Квант 1980, №12 · Страницы

КВАНТ
12
1980

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Изображенные здесь многогранники получены из пяты правильных многогранников среданием их вершин и ребер (подумайте, как это сделано). Эти многогранники обладают замечательным свойством: вершины каждой из них «устроены одинаково». Это означает, что любую вершину такого многогранника при помощи поворота вокруг некоторой оси можно перевести в любую другую его вершину так, что многогранник при этом совместится с самим собой.

Многогранники, устройные подобным образом, называются положительно транситивными. О таких многогранниках см. на с.9

К первой странице обложки

В статье А. Савина «Олимпийские колыза» («Квант», 1980, № 7) ставился вопрос о расположении на плоскости в виде «розетки» несколько колей, зацепленных так, что никакие два колыца не сцеплены, в то время как все колыца в совокупности — сцеплены.

Редакция получила несколько писем, содержащих примеры таких зацеплений. Пример киевлянина М. Корнилова мы публикуем на обложке этого номера журнала, такой же пример прислад нам и А. Азимов из Ташкента.

1

Основан в 1970 году
12
1980

Научно-популярный
физико-mатематический
журнал
Академи наук СССР
и Академи педагогических наук СССР

Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-mатематической литературы

В НОМЕРЕ:

2 Н. Шефер. Цезивый этапон частоты (времени)
9 А. Шкляр. О транситивных многограничках

Лаборатория «Кванта»
15 Дж. Уокер. Физическая фейверк

Математический кругхок
17 В. Залегалер, С. Залегалер. Венгерский шарнирный кубик

Задачик «Кванта»
22 Задачи М656—М660; Ф668—Ф672
24 Решения задач М609, М610; Ф613—Ф617

«Квант» для младших школьников
31 Задачи
32 М. Зельманzon, Л. Хlabыстова. Самосовмещения квадрата и тайнопись

По страницам школьных учебников
36 Ю. Иванов. Сколько вариантов?

Практикум абитуриента
40 В. Чехлов. Эти «коварные» векторы
45 С. Кротов. Задачи на столковении тел

Искусство программирования
50 Г. Звеницёродский, Ю. Первин, А. Сосинский.
V Весеюзная летняя школа юных программистов
55 Призеры Олимпiadы по программированию

Рецензии, библиография
56 А. Едоров, М. Смолянский. Новые книги
57 Шахматная страничка
58 Ответы, указания, решения

62 Напечатано в 1980 году

Шахматный конкурс (3-я с. обложки)
Смесь (14, 29, 30, 34, 35, 44, 55)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-mатематической литературы, «Квант», 1980

2

Цезиевый этапон частоты (времени)

Нука начиная… с тех пор, как начинают изменять.
Д. И. Менделеев

Любые научные исследования — и в области микромира, и в космосе,— все производенные процессы — от изготовления скрепок до построки atomного ледокола — опираются в конечном счете на изменения. Развитие технологии и расширение научных исследований требуют все более совершенных методов изменений. Например, с появлением сверхзвуковой авиации диспетчерским службам эропортов приходится иметь дело с миллионными долями секунды. Изучение atomных и ядерных процессов требует изменения промежутков времени в тысячи раз меньше миллиардов доли секунды.

Измерение физических величины по существу свойства к их сравнению с соответствующими этапонами. Поэтому от точности, с которой устанавливаются основные единицы измерения, зависит точность физического эксперимента.

Первый этапон времени

В отличие от измерений длины и массы, которые можно производить неоднократно, измерение процесса промежутка времени нельзя повторить и время невозможно изменить путем непредсказственного сравнения с этапом. О времени можно судить по изменениями в окружающей нас мире, например, по перемещениям, совершаемым телом, движущимся прямолинейно и равномерно. В основе измерения времени может быть положен также периодический процесс, например, равномерное выражение, колбанная маятника.

Из-за того что движение тел проискот не в пустом пространстве и на них всегда действуют силы, в природа не существует абсолотно равномерных движений и идеально строгих периодических процессов. Отсюда и неизбежные неточности в любом способе изменения времени.

В качестве образцов «часов», с которых сверяются все часы на земном шаре, была принята система Земля — Солнце. За опорные точки отчета промежутков времени приняты моменты времени, когда Солнце находится в определенном положении относительно земного наблюдаателя. Первым этапом времени было выбрано суточное выражение Земля. Промежуток времени между двумя последовательными верхими положениями центра солнечного диска (кульминациями) называют истинными солнечными сутками. Однако продолжительность этих суток в течение года меняется (движение Земля вокруг Солнца происходит неравномерно). Поэтому для отчета времени было решено пользоваться средними солнечными сутками, длительное состояние которых условилась считать равной средней длительности истинных солнечных суток за год. За единицу времени — секунду — принимается 1/86400 часы средних солнечных суток. Для хранения времени в промежутках между астроνομическим наблюданием и воспроизведением единиц времени — секунды — применяется маятниковые часы. В лучших экземплярах особо точных часов изменение хода в течение суток составляет ~0,001 секунды, что соответствовал относительной погрешности $\frac{\Delta t}{t} \approx 10^{-8}$.

Кварцевые часы

Развитие радиоэлектроники позволяет создать более точные хранители времени — кварцевые часы, в которых вместо колбанной маятника использует упругие колбания кварца.

3

У кварцевой пластинки, вырезанной определенным образом из кристалла, при деформации на противоположных гранах возникют разноименные заряды. Величина и знак заряда грани зависит, соответствно, от величины и направления деформации (рисунок 1). Это явление, называемое прямым пьезоэфектом, обратимо: если к пьезокварцевой пластинке приложить разность потенциальов, то пластика, в зависимости от полярности напряжения, либо созметя, либо расшириется. Такая пластинка, подключенная к источнику переменного напряжения, совершает вынужденные колебания с частотой, равной частоте электрических колебаний. При совпадении частоты v электрических колебаний с собственной частотой v₀ колебаний пластинки амплитуда A ее упругих колебаний будет наобольшей (рисунок 2). Частота собственных колебаний пластинки, определяемая ее размерами и формой, слабо зависит от температуры и внешних воздействий.

С точки зреня радиотехники пьезокварцевая пластинка эквивалентна общимому резонансному контуру, содержащему индуктивность и emкость, но отличается от него очень острым резонансом. Это свойство пьезокварца давно используется в радиотехнике для стабилизации частоты генераторов в радиопередатчиках. Это же свойство пьезокварца — высокое постоянство собственной частоты колебаний — было использовано для создания астрономических кварицевых часов. Основной таких часов является генератор элек-
трика.

Рис. 1.

Рис. 2.

тромагнитных колебаний, стабилизированный пьезокварцем. Схема генератора показана на рисунке 3.

Квариева пластинка через нанесеенные на противоположные грани электроды включается между сеткой и катодом радиолампы. После замыкания переключателя K ток в анодной цепи начинает заряжать конденсатор C. При разряде конденсатора через катушка индуктивности L в анодном контуре L — C возникют затухающие электромагнитные колебания с частотой v = $\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.

Для получения незатухающих колебаний нужно, чтобы колебания анодного тока совершалась согласно с колебаниями в анодном контуре и комплисировали потери энергии в нем. Это осуществляется посредством обратной связи. По цепи обратной связи «емкость C_a c — анод — сетка лампы» колебания в анодном контуре создают на квариевой пластинке переменное напряжение той же частоты. Изменением emкость конденсатора C производится

4

Рис. 4.

настройка анодного контура в резонанс с собственными колебаниями пластинки, сопровождаемые синхронными изменениями величины зарядов на ее электродах. А это вызывает колебания потенциала сетки, управляющей анодным током. Пульсации анодного тока поддерживают (за счет энергии батареи Б) независимые колебания в анодном контуре и в пластинке.

Поскольку пьезокварц обладает острым резонансом (см. рисунок 2), то даже при небольшем различиии в частотах анодного контура и пластинки амплитуда колебаний пластинки резко уменьшается и изменение зарядов на электродах становится недостаточным для управления анодным током. Вот почему генератор работы только на строго определенной частоте, равной частоте $v_0$ собственных колебаний пластинки.

Частоты колебаний, вырабатываемые кварцевыми генераторами, обычно порядка $10^4 - 10^6$ Гц. Для получения более редких отметок времени необходимо электронный делитель частоты, уменьшающий частоту колебаний в строго известное число раз *). Синхронные электромоторы, работающие на переменном токе этой понженной частоты, врашают стрелки часов и замыкают контакты реле, подающей сигнал точного времени. Упрощенная схема кварцевых часов показана на рисунке 4.

Относительная погрешность лучших кварцевых часов $\frac{\Delta t}{t} \approx 10^{-9} - 10^{-10}$. За сутки они отстают или уходят вперед на $10^{-5}$ с.

Comнительный этап

Наблюдения за группой мятниковых часов и первых кварцевых часов в 1937 году показали, чтоdlительность суток скачнообразно меняется в среднем за год на 0,002 с и одновременно плавано возрастает на 0,0016 с за 100 лет *). Значит, предельная точность определения секунды по часам «вращающая вокруг своей оси Земля» не превышает $\frac{2 \cdot 10^{-3}}{86400} \approx 0,2 \cdot 10^{-7}$.

Позмоту Международное бюро мер и весов в 1956 году решило перейти к более стабильному эталюу времени — вращению Земли вокруг Солнца. В качестве этаона использоватьdlительность тропического года — промежутка времени между двумя последовательными прохождениями центра Солнца через точку весеннего равновесия. Поскольку продолжительность тропического года не является строго постоянной из-за возмущения, оказываемых планетами на движение Земли, то был выбран один из них — 1900 год.

*) Неравномерность вращения Земли, в основном, вызвана тем, что при приливах и отливах частей энергии вращательного движения расходуется на предоление сил управления деформации основной твердой части Земли и сил внутреннего трения при перемещениях больших масс воды в океанах и воздуха в атмосфере.

5

Тоchnость определения секунды как 1/31556925,9747 части тропического года ограничалась точностью астрономических наблюдений и достигала $10^{-10}$.

Но всевозрастной уровень физического эксперимента и развитие техники требовали дальнейшего повышения точности установления основных единиц измерения. Например, успехи в исследовании космоса не были бы так значительны безвозможности измерять время с точностью до $10^{-12}$ с. Это стало возможным после переход к новым методам стандартизации частоты, основным на atomных процесах.

Почему атомные часы точнее «земных» и кварцевых?

В отличие от макромира, где нет даже двух совершенного одинаковых тел, в микромира все части одного сорта, например электроны, принимающего неразличимы. Совершенно одинаковы и atoms, состоящие из одинакового числа элементов частиц. Молекулы, представляющие собой одинаковые комбинации одного и того же числа одних и тех же atoms, также оказываются совершенными.

Одинаковые atoms или молекулы обладают одинаковыми и исключительно постоянными наборами собственных частот колбаний; они могут излучать или поглощать электромагнитные волны одинаковых и строго определенных длины, зависимости только от строения данного сорта частиц. Важно, что эти генераторы электромагнитных колбаний не подвержены износу и старанию.

Вот почему так заманчив было использовать atomные системы для стандартизации частоты (времени) и длины. Поскольку поведение микрочастиц определяется законами квантовой механики, этаоны, созданные на основе atomных систем, называют квантовыми.

Первым квантовым этаоном стал этаон длины. Оказалось, что международный этаон длины — метр — содержит 1650763,73 длин волн излучения, возникшего при переходе де между двумя определенными состояниями atomа криптона ($^{86}$Kr).

Казалось бы, стандартизацию частоты и установление единцы времени следовало бы произвести по той же орнжевой линии криптона-86, которая используется для установления единцы длины. Однако удобнее использовать радионзуение, так как это дает возможность обединить этапон частоты с радиохемой, контролирующей ход кварцевых часов или позволяющей сравнительные частоты с этаонной. Учитывая эти обстоятельства, Международная конференция мер и весов в 1967 году решила отрицаться от природного этаона времени «вращающегося вокруг Солнца Земля» и перейти к искусственному созданию и не связанному с астроνομическим наблюдаемыми квантовому этаону, в котором используется одна из длин волн электромагнитного излучения atomов цезия, лежащая в радионапазоне ($\lambda \approx 3,27 \cdot 10^{-2}$ м). Для того чтобы получить прицип Действия квантовых часов, нам придется рассмотреть, как ведут себя atoms в магнитном поле.

Атом и магнитная стрелка

Электроны и ядра atomов помимо электрического поля создают в окружающей пространстве магнитные поля. Вектор индекции магнитного поля atoms является геометрической суммой векторов магнитной индукции полей составляющих его частиц. У части atomов результатирующий вектор индекции равен нулю, но многое atoms, в том числе и atoms цезия, обладают магнитным полем. Такие atoms в грубом приближении подобны магнитным стрелкам.

При отсутствии внешнего магнитного поля векторы индекции магнитных полей atoms цезия, как и у достаточно удаленных друг от друга магнитных стрелок, ориентированы хаотично. На языке квантовой механики это означает, что на одном энергетическом уровне находится atoms с различным направлением магнитных полей (рисунок 5).

Известно, что стрелка компасу устанавливается в направлении сило-

6

Рис. 5.

вых линей магнитного поля. Если, совершив работу против сил взаимодействия стрелки и магнитного поля, отклонить стрелку на некоторый угол и отпустить, то под действием этих сил она после нескольких колбаний вернется в первоначальное положение. Это положение равновесия устойчивое, потому что ему соответствует минимальное значение потенциальной энергии стрелки — в любом другом положении ее потенциальная энергия больше на величины работы, затраченной на изменение первоначальной ориентации.

Согласно квантовым представлениям, у атомов, помещенных во внешнее магнитное поле, возникны лишь две ориентации их собственных магнитных полей: либо «по полю» (как у магнитных стрелок в магнитном поле Земли), либо «против поля». Если ориентации «по полю» соответствует энергия atoma $E_1$, то ориентации «против поля» будет соответствовать несколько больше значению энергии atoma $E_2$ (подобно тому как энергия магнитной стрелки, принимающего «против поля», больше энергии магнитной стрелки, самопроизвольно ориентированной «по полю», на величины работы, затраченной на эту переориентацию).

Иначе говоря, помещение atoma целья во внешнее магнитное поле вызывает расшеление основного энергетического уровня на два подурровня с энергиями $E_1$ и $E_2$, причем $E_2 > E_1$ (рисунок 6).

Переходы atомов $E_2 \rightarrow E_1$ (с подурровня $E_2$ на подурровень $E_1$) сопровождаются излучением, а переходы $E_1 \rightarrow E_2$ — поглощением волн с частотой $v_0 = \frac{E_2 - E_1}{h} = \frac{\Delta E}{h}$. Разность энергии $E_2 - E_1$ не велика, и частота $v_0$ лежит в диапазоне радиоволн.

Рис. 6.

Рис. 7.

Величина $\Delta E$ очень слабо зависит от внешних воздействий. Поэтому излучение с частотой $v_0 = \frac{\Delta E}{h}$ можно использовать как эталонное. Но чтобы осуществить это на практике, необходимо пространство «рассортировать» atoms по энергиям.

В силу того, что электрическое поле не оказывает действия на нейтральные atoms, а однородное магнитное поле способно вызывать только ориентацию магнитных полей atoms, «сортировка» atoms по энергиям производится с помощью недорогого магнитного поля. Например, такого, как на рисунке 7. Как видно из рисунка, atoms, ориентированные «по полю», втягиются в область большей его индукции, а atoms, ориентированные «против поля», смешаются в сторону меньше индукции. Смешение вызвано неравенством сил, действующих на «северную» и «южную» части atoms ($|\vec{f}_1| > |\vec{f}_2|$).

Цезивный эталон

Схема устройства цезивного эталона частоты показана на рисунке 8.

7

Через узкую щель нагревая (1), в котором происходит испарение металлического цезия, атомы цезия вылетают в виде плоского пучка и попадают в область недородного магнитного поля $B_1$, создаваемого магнитом (2) специальной формы. Для простоты на рисунке изображены только траектории атомов по краям этого пучка. Движение атомов происходит внутри вакуумной трубки, не показанной на рисунке.

В недородном магнитном поле $B_1$ атомы цезия ориентируют «по полю» и «против поля», принимая, соответственно, значения энергии $E_1$ и $E_2$. Но кроме ориентации происходит разделение атомов по энергиям. Часть атомов верхнего края пучка, ориентированных «по полю» и имеющих энергию $E_1$, втягается в область большей индукции и в работе прибора не участвует. Другая часть атомов верхнего края пучка, ориентированных «против поля» и обладающих энергий $E_2$, выталкивается из области с большей индукцией, и их траектории искривляются вниз. В нижней части пучка атомы с энергий $E_2$ (ориентация «против поля») отклоняются в сторону меньше индукции и выходят из игры, а к оси прибора отклоняются атомы, ориентированные «по полю» (с энергий $E_1$).

Рассортированные по энергиям $E_1$ и $E_2$ атомы цезия попадают в резонантор (3), где создается однородное магнитное поле $B$ (магнит (4)), в котором атомы движутся при молинейно и сохраняют расщепление по энергиям. В области резонантора создается также электромагнитное поле, частота которого может плавно изменяться. Если эта частота в точности равна частоте $v_0 = \frac{E_2 - E_1}{h}$, то часть атомов с энергий $E_1$, поглотив квант энергии $hv_0 = E_2 - E_1$, перейдет в состояние $E_2$ и примет ориентацию «против поля», а часть атомов с энергий $E_2$ другого пучка под действием кванта $hv_0$ в результате вынужденного излучения перейдет в состояние $E_1$, изменив ориентацию «против поля» на ориентацию «по полю»*).

За резонантор находится область недородного магнитного поля $B_2$ (магнит (5)), подобного полю $B_1$. В этом поле происходит расортировка атомов по энергиям, в результате которой появились всестоятельные взаимодействия с электромагнитным полем атомы с энергиями $E_2$ и $E_1$ отклоняются к оси пучка и попадают на применик. Атомы с энергиями $E_1$, не поглотившие квант электромагнитного поля $hv_0$, и атомы с энергиями $E_2$, не испытающие вынужденного излучения, отклоняются недородным магнитным полем $B_2$ в сторону от оси прибора и не попадают на применик. Таким образом, если частота электромагнитного поля не равна частоте $v_0 = \frac{\Delta E}{h}$, то взаимодействия электромагнитного поля с атомами цезия нет. В этом случае в применик атомы не попадают.

*) В. А. Фабрикант. «Что происходит в гелий-неоновом лагере». («Квант», 1978, № 6.)

Рис. 8.

8

Приемник представляет собой нагретую вольфрамового проволоку (6), расположенную вдоль оси электрода получидридической формы (7). Атомы цезия, соррикоснулись с раскаленным вольфрамом, отдают ему валентные электроны, становятся положительными и пригravаются к отрицательно заряженному электроду — коллектору (7). Очевидно, что ток через галванометр Г пропорционален числу атомов цезия, изменивших свою энергию путем поглощения или испускания в области резонанта кванта радионзеленения $hv_0$. Кривая зависимости тока через галванометр от частоты электромагнитного поля в резонанте по форме аналогична кривой на рисунке 2, но обладает еще более узким максимумом: $\frac{\Delta v}{v_0} \approx 10^{-13}$.

Частоту $v_0 = \frac{(E_2 - E_1)}{h} = 9192631770,0$ Гц, при котором ток достигает максимального значения и происходит квантовые переходы $E_1 \rightarrow E_2$ атомов изотопа цезия-133 ($^{123}$Cz), Международная конференция мер и весов приняла за этапную Единница времени — атомная секунд — это 9 192 631 770,0 периодов таких электромагнитных колебаний.

Цезивая трубка и высокочастотный генератор связи с электронным устройством — дискриминатором, автоматически подстраивающим частоту генератора к этапной частице $v_0$, на котором реагируют атомы цезия. Высокая степень стабилизации частоты обусловлена тем, что даже самая незначительная расстройка генератора резко влияет на величины сигнала с цезивой трубки.

Поскольку период колебаний, соответствующий этапной частице $v_0$, на много порядков отличается от единицей времени — секунды, то возникает задача получения низкоэстного сигнала, управляющего ходом стрелочных часов и устройством для выработки сигналов точного времени. Для этого генератор связи с резонантом не непосредственно, а через цепи умножения. Поэтому его частота в известное число раз меньше этаонной. Этот генератор контролирует ход кварцевых часов, управляющий ших стрелочных часов и устройством для выработки сигналов точного времени.

Первый квантовый цезивный стандарт частоты был создан в 1955 году английским физиком Л. Эссеном. За создание и применение этого прибора он был удостоен Золотой медали имени А. С. Попова.

Один из четырех самых лучших в мире цезивых этапов, являющийся основой Государственного перичного этаона частоты и времени, находится в Главном метроологическом центре нашей страны в подмосковном поселке Менделеево. Он воспроизведет atomную секунд с относительной точностью до $3 \cdot 10^{-13}$, что соответствует ошибке в одну секунду за 100 000 лет. Для хранения времени, то есть непрерывного счета секунд, минут и часов, подачи сигналов точного времени и поверок службы вторичные цезивые этаоны частоты и времени и целая группа аммячных, водородных, рубидевых и других квантовых генераторов — лазеров, ширина спектральных линей которых очень узка ($\sim 10^{-7}$ Å). Для изменения частоты излучения лазера, отличающего от этаонной на несколько порядков, сбижают эти частоты путем многоократного увеличения меньшей из них в строго известное число раз. Сравнение двух близких по величины частот произведется путем изменения их частоты биенной с помощью осциллографа и других методами$^*$.

В последние годы выяснили, что параметры часов, основанных на водородном квантовом генераторе, лучше у цезивых. Их стабильность в течение суток порядка $10^{-14}$, то есть в 10 раз меньше, чем у цезивого этаона. Предполагается, что ее можно уменьшить до $10^{-16}$. Поэтому обсуждается вопрос о замене цезивого стандарта частоты другим, еще более точным и стабильным этаоном.

В нашей дни точность изменения времени в десятики тысяч раз превышает точность изменения других физических величины.

*) Об этом можно прочитать в статье А. В. Елецкого «Скорость света и ее изменения» («Квант», 1975, № 2).

9

О транситивных многограничках

В прошлом году киевский школьник А. Шкляр прислад в редакцию нашего журнала статью «Геометрический способ нахождения всех конечных групп положительных перемещений пространства», в основу которого были положены его собственные результаты, дополнительные им на засаданиях математического кружка Киевского НОУ.

Публиковать статью на столь нешкольную тему мы бы не стали, но теорема, доказанная А. Шкляром, допускает переформулировку, связанную со школьной темой «Многогранички».

Ниже публикуется статья А. Шкляра, переработанная членом редакленики «Кванта» профессором В. Г. Болтянским.

В п. 3 дается простое геометрическое описание «устройства» граней положительного транситивных многограничков. В п. 4 все они перечисляются.

1. Перемещения, имеющие неподвижную точку

Прежде чем формулировать задачу, о которой躬дет речь в этой заметке, напомним (см. статью А. Сосинского «Перемещения пространства» в «Кванте» № 8) некоторые факты, связанные с перемещениями пространства. Будем предложать, что в пространстве фиксирован точка $O$, и рассмотрим лишь такие перемещения пространства, при которых $O$ остается неподвижной, то есть переходит в себя. Примером такого перемещения может служить поворот $f$ на неокторный угол вокруг прямой $l$, проходящий через точку $O$. При перемещении $f$ каждой точки прямой $l$ переходит в себя, а других неподвижных точек нет (если только угол поворота не кратен 2π).

Заметим, что поворот представляется собой перемещение, сохраняющее ориентацию. (Это можно посчитать следующим образом: правильный винт переходит при повороте снова в правильный винт.) В статье Сосинского было доказано, что среди перемещений, оставляющих неподвижной точку $O$, повороты вокруг прямых, проходящих через $O$, и только они, сохраняют ориентацию. Посокльку композиция двух перемещений, сохраняющих ориентацию, также сохраняет ориентацию, мы заключаем, что композиция двух поворотов вокруг прямых, проходящих через точку $O$, также представляет собой поворот вокруг некоторой прямой, проходящий через $O$.

2. Положительное транситивное многогранички

Некоторые (непустое) множество перемещений $G$ называется группой перемещений, если оно обладает следующими свойствами:

1. $f \in G \Rightarrow f^{-1} \in G$;
2. $f_1 \in G$ и $f_2 \in G \Rightarrow f_2 \circ f_1 \in G$.

Из сказанного в предыдущем пункте ясно, что множество поворотов (на всевозможные углы) вокруг прямых, проходящих через $O$, представляется собой группу перемещений.

Пусть теперь $M$ — некоторая фигура в пространстве. Множество всех самосовмещений фигуры $M$ обозначает $\Gamma(M)$ см. («Квант», 1980, № 7, стр. 4), а через $\Gamma_+(M)$ обозначает множество самосовмещений фигуры $M$, сохраняющих ориентацию. Очевидно, каждое из множества $\Gamma(M), \Gamma_+(M)$ представляется собой группу перемещений.

Множество $M$ называется транситивным, если для любых точек $A$, $B$ этого множества в группе $\Gamma(M)$ имеется перемещение, переводящие $A$ в $B$. Аналогично, множество $M$ называется положительным транситивным, если для любых $A$, $B \in M$ найдется такое самосовмещение $f \in \Gamma_+(M)$, что $f(A) = B$.

Назовем многограничок положительным, если множества

10

СТВО ВСЕХ ЕГО ВЕРШИН ЯВЛЯЕТСЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ТРАНЗИТIVНЫМ. Если многогранник $M$ поджительно транситивен, то он, конечно, транситивен, и потому (см. «Кваит», 1980, № 7, с. 5, теорема 2) вокруг него можно описать сферу. Каждое самосовмещение многогранника $M$ переводит центр $O$ этой сферы в себя. Позному каждое сохраняющее ориентацию самосовмещение многогранника $M$ представляет собой поворот вокруг неокторой прямой, проходящей через точку $O$. Теперь определяление положительного транситивного многогранника можно сформулировать следующим образом: многогранник $M$ называется положительным транситивным, если вокруг него можно описать сферу и при этом для любых двух его вершин $A, B$ имеется поворот (вокруг неокторой прямой, проходящей через центр описанной сферы), который переводит этот многогранник в себя, а вершину $A$ переводит в $B$.

Целью нашей статьи является описание всех положительных транситивных многогранников.

3. Какие бывают грани

Пусть $M$ — положительное транситивный многогранник. Фиксируем его грань $y$. Однако из двух: либо существует поворот $j \in \Gamma_+(M)$, отличный отложественного, который переводит грань $y$ в себя, либо такого повората не существует.

Пусть сначала такой поворот $j$ существует и $l$ — ось этого повората. Прямая $l$ проходит через центр $O$ описанной сферы и пересекает грань $y$ в неокторой точке $P$.

Точка $P$ не может, очевидно, быть вершиной многогранника $M$.

Точка $P$ не может также быть в внутренней точкой неокторого ребра $AB$, принадлежшего грани $y$. Допустим противное. Поиску $f(P) = P$, ребро $AB$ тоже должно перейти в себя (поскольку других ребер, проходящих через точку $P$, нет). Следовательно, $f(A) = B$, $f(B) = A$. Отсюда вытекает, что ребро $AB$ перепедикулярно прямой $l$ и делится точкой $P$ пополам, а $j$ представляется собой поворот на угол $j$ вокруг

прямой $l$. Однако в этом случае, очень не $j(\gamma) \neq \gamma$.

Значит, точка $P$ является внутренней точкой грани $y$. Поскольку $j(\gamma) = \gamma$, прямая $l$ перpendикулярна плоскости грани $y$. Пусть $g \in \Gamma_+(M)$ — поворот на наименьший (по величине) угол, переводящий грань $y$ в себя, и $a$ — величина этого угла. Тогда поворот на каждой из углов $2a, 3a, \dots$ также переводит грань $y$ в себя. Отсюда можно заключить, что $a = \frac{2\pi}{k}$, где $k$ — некоторое натуральное число. В самом деле, если $k$ — такое число, что $(k-1)a < 2\pi$, но уже $ka \geq 2\pi$, то при $ka > 2\pi$ получилось бы, что поворот на угол $ka - 2\pi$ переводит грань $y$ в себя, чего, однако, не может быть, поскольку $ka - 2\pi < a$. Следовательно, $ka = 2\pi$, то есть $g$ есть поворот на угол $\frac{2\pi}{k}$. Возьмем произвольную вершину $A_0$ грани $y$ и положим $A_1 = g(A_0)$, $A_2 = g(A_1)$,…, $A_{k-1} = g(A_{k-2})$ (тогда $g(A_{k-1}) = A_0$). Вершины многоугольника $y$ между $A_0$ и $A_1$ обозначаем через $B_1$, $B_2$, …, $B_{m-1}$. Ломанная $p_0 = A_0B_1B_2...B_{m-1}A_1$ (состоящая из $m$ звенев) переходит при повороте $g$ в аналогичную ломанную $p_1 = g(p_0)$ (идущую от точки $A_1$ до $A_2$) и т. д.; наконец, ломанная $p_1 = g(p_2)$ содержит точки $A_k$ и $A_0$. Из этого видно, что многоугольник $y$ имеет $km$ вершин, причем $m$ вершин $A_0$, $B_1$, $B_2,..., B_{m-1}$ «различны» в том смысле, что никакие две из них не могут быть совмещены каким-либо поворотом из $\Gamma_+(M)$, переводящим грань $y$ в себя. Остальные же вершины «одинаковы» с какой-либо из вершин $A_0$, $B_1$, $B_2,..., B_{m-1}$. Число $k$ будем называть числом перiodов грани $y$.

Если $m = 1$, то есть поворот $g$ переводит вершину $A_0$ в соседнюю вершину грани $y$, то существует и поворот, переводящий $A_0$ в любую другую вершину этой грани. Такая грань называется транситивной. Легко видеть, что транситивная грань является правильным многоугольником, а все вершины, принадлежащие этой грани, устроены одинаково.

Если же не существует поворот $j \in \Gamma_+(M)$, отличного отложествен-

11

ного, который переводит грань $\gamma$ в себя, то есть все вершины грани $\gamma$ «различны», положим $k=1$ и через $m$ обозначим число вершин.

Тепер числа $k$ и $m$ определяны для любой грани любого положительного гранитного многограника.

Лемма 1. Для любой грани $\gamma$ числа $k$ и $m$ могут принимать только следующие значения:

1. $k=1$, $m=3$; 2) $k \geq 2$, $m=2$; 3) $k > 2$, $m=1$.

Доказательство. Поскольку $M$ — положительное гранитный многограничик, существует поворот $h_i \in \Gamma_+(M)$, переводящий $B_i$ в $A_0 (i=1,2,...,m-1)$. Грань $h_i(\gamma)$ конгруэнтна $\gamma$, но не совпадает с ней, поскольку вершины $A_0$ и $B_i$ «различны». Более того, все грани $\gamma$, $h_1(\gamma),...,h_{m-1}(\gamma)$ попарно различны (если $h_1(\gamma)=h_2(\gamma)$, то $h_2^{-1} h_1(B_1) = h_2^{-1}(A_0)=B_2$), и все они примыкают к вершине $A_0$. Поэтому сумма величины углов многоугольников $\gamma$, $h_1(\gamma),...,h_{m-1}(\gamma)$ при вершине $A_0$ меньше $2\pi$. Это означает, что сумма величины углов многоугольника $\gamma$ при вершинах $A_0$, $B_1,...,B_{m-1}$ меньше $2\pi$. Но сумма величины его углов при вершинах $A_0$, $B_1,...,B_{m-1}$ равна $\sigma = \frac{1}{k} (km-2)\pi$. Следовательно, $\frac{1}{k} (km-2)\pi < 2\pi$, то есть $m-2 < \frac{2}{k}$, $km \geq 3$. Из полученных неравенств $m-2 < \frac{2}{k}$, $km \geq 3$ вытекает, что для $k$ и $m$ возможно только указанные значения. (Убедитесь в этом.)

Лемма 2. Если к вершине $A_0$ примыкает негранитная грань $\gamma$, то все остальные негранитные грани при вершине $A_0$ конгруэнтныей, а количество примыкающих к $A_0$ негранитных граней равно $m$.

Доказательство. При доказательстве леммы 1 мы видели, что сумма величины углов грани $\gamma$ при «различных» вершинах $A_0$, $B_1,...,B_{m-1}$ равна $\sigma = \frac{\pi}{k} (km-2)$. При $m=3$, $k=1$ (первая возможность в лемме 1) имеем $\sigma=\pi$; при $m=2$, $k \geq 2$ (вторая возможность) имеем

$$\sigma = \frac{k-1}{k} \cdot 2\pi \geq \pi.$$

Таким образом, при $m>1$ (то есть для негранитной грани) $\sigma \geq \pi$. Применив к $\gamma$ повороты $h_1, h_2,...,h_{m-1}$ из доказательства леммы 1, получаем при вершине $A_0$ м конгруэнтных негранитных граней $\gamma$, $h_1(\gamma),...,h_{m-1}(\gamma)$ и заключаем, что второго «комплекта» негранитных граней в точке $A_0$ примыкает не может (сумма плоских углов при вершине $A_0$ была бы больше или равна $2\pi$).

При формулировке следующего леммы условия о термине «смежные грани» так будем назвать две грани, имеющие общую сторону (то есть две грани, имеющие лишь общую вершину, смешными считать не будем).

Лемма 3. Любые две грани, смejные с некоторой гранитной гранью $\gamma$, могут быть совмещены некоторые поворотом из $\Gamma_+(M)$, переводящим $\gamma$ в себя.

Доказательство этой простой и важной леммы мы предоставляем читателю.

4. Описание всех положительных многограников

Чтобы перечислить все положительные многограники, рассмотрим четыре возможности.

A) Многограник $M$ содержит негранитную грань $\gamma$, отличную от треугольника, причем для этой грани число перiodов (то есть $k$) больше 2. Следовательно, по лемме 1, $m=2$.

Пусть $A_0$ — какая-либо вершина грани $\gamma$. Тогда, по лемме 2, к вершине $A_0$ примыкают две конгруэнтные негранитные грани $\gamma$, $\gamma_1$, а остальные примыкающие к $A_0$ грани гранитных. Ясно, что хотя одна гранитная грань имеет (так как в каждой вершине сходятся не менее трех граней). При доказательстве леммы 1 мы видели, что сумма величины углов грани $\gamma$ при «различных» вершинах (или, что то же самое, сумма величины углов граней $\gamma$, $\gamma_1$ при вершине $A_0$) равна

$$\sigma = \frac{\pi}{k} (km-2) = \frac{\pi}{k} (2k-2) = 2\pi - \frac{2\pi}{k}.$$

Так как $k>2$, $\sigma \geq 2\pi - \frac{2\pi}{3}$

12

Так как сумма всех углов, сходящихся в вершине $A_0$, меньше 2π, на сумму углов транситивных граней при вершине $A_0$ приходит меньше $\frac{2\pi}{3}$, откуда видно, что к $A_0$ может применять только одна транситивная грань γ. Если эта грань является правильным $l$-угольником, то есть имеет угол $\alpha = \pi - \frac{2\pi}{l}$, то, согласно скзаанному, $\sigma + \alpha < 2\pi$, то есть $(2\pi - \frac{2\pi}{k}) + (\pi - \frac{2\pi}{l}) < 2\pi$. Иначе говоря, $\frac{1}{k} + \frac{1}{l} > \frac{1}{2}$. Учитывая, что $k > 2$, $l > 2$, находим отсюда следующие пять возможностей:

1. $m = 2$, $k = 3$, $l = 3$;
2. $m = 2$, $k = 3$, $l = 4$;
3. $m = 2$, $k = 3$, $l = 5$;
4. $m = 2$, $k = 4$, $l = 3$;
5. $m = 2$, $k = 5$, $l = 3$.

Положительное транситивные многогранники, соответствующие этим случям, легко построить: для этого нужно «срезать» вершины у пяты правильных многогранников (о правильных многогранниках см. «Геометрия 9—10», § 54 или «Квант», 1980, № 7, с. 6).

Чтобы срезать вершину, нужно отложить на всех ребрах, выходящих из нее, отрезки равной длины, меньшей половины длины ребра, и проведги плоскость через полученные точки (рис. 1). Например, на рисунке 2 изображен многогранник, соответствующий случанию 4: он получается среднем вершин куба. Легко видеть, что все самосовмещения куба переодят в себя этот многогранник и наоборот. Поэтому группа самосовмещений многогранника совпадает с группой самосовмещений куба. То же относится к остальном из перечисленных пяты случев.

Таким образом, положительное транситивные многогранники, соответствующие случанию А, — это правильные многогранники со средними вершинами.

Б) Многогранник М содержит heterзитивную грань γ, отличную от треугольника, причем для этой грани $k = 2$. Здесь также $m = 2$, то есть грань γ является параллелогramмом ($m = 2$, $k = 2$), причем $\sigma = \frac{\pi}{k}(km - 2) = \pi$. Следовательно, к вершине $A_0$ примыкают не более двух транситивных граней.

Рассмотрим сначала подслучай, когда к вершине $A_0$ примыкают 2 транситивные грани. Эти грани не являются смежными (иначе по лемме 3 все грани были конгруэнтны одной из них и были бы транситивными, что невозможно, так как имеется heterzитивная грань γ). Положим, что эти грани являются правильным $l_1$-угольником и правильным $l_2$-угольником, тогда $\sigma + \left(\pi - \frac{2\pi}{l_1}\right) + \left(\pi - \frac{2\pi}{l_2}\right) < 2\pi$, то есть $\frac{1}{l_1} + \frac{1}{l_2} > \frac{1}{2}$. Это дает еще три возможности (мы можем считать, что $l_1 \leq l_2$:

6. $m = 2$, $k = 2$, $l_1 = 3$, $l_2 = 3$;
7. $m = 2$, $k = 2$, $l_1 = 3$, $l_2 = 4$;
8. $m = 2$, $k = 2$, $l_1 = 3$, $l_2 = 5$.

Рис. 3.

Соответствующие положительные транситивные многогранники можно получить «срезанием» вершин и ребер у правильных многогранников (на рисунке 1 показана проедура средняя вершин, на рисунке 3 — проедура средняя ребра).

На второй странице обложки изображены многогранники, полученные таким способом из пяты правильных многогранников. Многогранники 1 и 2 с точки зрения нашей классификации «одинаковы» — к каждой вершине примыкают оди-

13

наковые наборы граней (на языке «высшей» алгебры: группы самосовмещений этих многогранников изоморфны — «Квант», 1976, № 10, с. 10; «одинаковы» в том же смысле многогранники 3 и 4).

Итак, в этом подслучае получаем три типа положительное транситивных многогранников — правильные многогранники со средными вершинами и ребрами.

Если же к вершине $A_0$ примыкает лишь одна транситивная грань ($l$-угольник), то $\sigma + \left( \pi - \frac{2\pi}{l} \right) < 2\pi$, то есть $-\frac{2\pi}{l} < 0$. Иначе говоря, в этом случае никаких ограничений на $l$ не накладывается. Мы получаем

9. $m = 2, k = 2, l \geqslant 3$ — любое.

Соответствующий многогранник является правильной $l$-угольной призмою (рис. 4).

В) Многогранник $M$ содержит неграничную грань $\gamma$, являющуюся треугольником ($k = 1, m = 3$).

В этом случае $\sigma = \pi$, и потому к вершине $A_0 \in \gamma$ примыкают три треугольника $\gamma, \gamma_1, \gamma_2$ и еще могут примыкать две, одна или ни одной транситивных граней.

Если к вершине $A_0$ примыкают две транситивные грани (правильный $l_1$-угольник и правильный $l_2$-угольник, причем $l_1 \leqslant l_2$), то имеются три возможности (на рисунке 5 схематически показано, как примыкают друг к другу грани в вершине $A_0$):

10. $m = 3, k = 1, l_1 = 3, l_2 = 3$;
11. $m = 3, k = 1, l_1 = 3, l_2 = 4$;
12. $m = 3, k = 1, l_1 = 3, l_2 = 5$.

Схемы вершин многогранников 10), 11), 12) показаны на рисунках 6—8. Многогранник 10) — «неправильный икоадр».

Если к вершине $A_0$ примыкает одна транситивная грань — правильный $l$-угольник, то соответствие $\sigma + \left( \pi - \frac{2\pi}{l} \right) < 2\pi$ не дает никаких ограничений на $l$. Получаем еще один случай:

13. $m = 3, k = 1, l \geqslant 3$.

На рисунке 9 изображен соответствующий многогранник (антипризма).

Если же у многогранника вообще нет транситивных граней, то к каждому

14

дой вершине примыкают различными углами три конгруэнтных остроугольных треугольника, и многогранник оказывается тетраэдром (убедитесь в этом), изобразенным на рисунке 10. Разверткой этого тетраэдра) служит произвольный остроугольный треугольник с проведенными средними линяями. Таким образом, получен еще один тип положительного транситивных многогранников:

14. $m=3, k=1$.

Г) Многогранник $M$ не содержит неразвитных граней.

Согласно лемме 3, либо все грани конгруэнтны — это дает путь правильных многогранников (случан 15—19), либо же имеются два вида граней: правильные $l_1$-угольники и правильные $l_2$-угольники, причем смежными с $l_1$-угольниками является только $l_2$-угольники и наоборот ($здесь l_1<l_2$). В этом последнем случае в каждой вершине сходятся $l_1$-угольник, затем $l_2$-угольник, затем снова $l_1$-угольник и т. д. Отсюда легко заключит, что в вершине схо

*) Иногода также тетраэдры называют полуправильными.

Задание
наших читателей

1. Известно, что
   $$F\left(\frac{x+1}{x-2}\right)+2F\left(\frac{x-2}{x+1}\right)=x.$$
   Найдите $F(x)$.

Н. Адцезалов

2. Пусть дано равенство $x^2+y^2=z^2$, где $x, y, z, m>1$ — натуральные числа. Докажите, что $x, y, z$ не могут образовать прогрессию — ни арифметическую, ни геометрическую.

M. Ибраимов

3. Обозначим через $S(A)$ сумму цифр числа $A$. Докажите, что последовательность $\left(\frac{S(n^2)}{S(n)}\right), n\in\mathbb{N}$ не ограничена.

Верно ли аналогичное утверждение для последовательности $\left(\frac{S(n)}{S(n^2)}\right)$?

Э. Туркевич

Когда под рукой нет ЭВМ

Очевидное тожество
$$a^2=(a-d)(a+d)+d^2$$
может оказаться полезным при возникении чисел в квадрат:
$$43^2=(43-3)(43+3)+3^2=40\cdot 46+9=1849,$$
$$43^2=(43+7)(43-7)+7^2=50\cdot 36+49=1849,$$
$$257^2=(257+43)(257-43)+43^2=300\cdot 214+43^2=64200-1849=66049.$$
А. Криц

15

Лаборатория «Кванта»
Дж. Уокер

Физический фейверрк

Задачи-вопросы, публикуемые ниже, взяты из книги Дж. Уокера «Физический фейверрк», выпущенной недавно издательством «Мир».

1. С карандашом в ванне
   Если, купясь в ванне, вы захотите немного развлечения, захватите с собой карандаш и попа Люддайте за его тенью на дне ванны. Погрузив карандаш в воду наполовину, вы увидите, что его тень не имеет с ним ничего общого — она скорее похожа на два стержня с закругленными концами, которые разделены светлым промежутком (рис. 1). Откуда возник этот светлый промежуток и чем определяется его ширина?

2. Изображение монеты в воде
   Положите монету на дно произной широкой банки, наполненной водой,

Рис. 1.

Рис. 2.

и посмотрите на монету сквозь воду под разными углами зрения. При некоторых угле вы увидите изображение монеты на поверхности воды (рис. 2). Тепер приложите к банке с обратной стороны руку. Скорее всего, это не повлияет на изображение монеты, однako, если рука будет мокрой, изображение исчезнет. Почему?

3. «Призраки» в окнах с двойными рамами
   Почему отделенные предметы каждуся развлечеными, если смотреть на них через окно с двойной рамой?
   В некоторых случаях, например при наблюлении через окно диспетчерской эропорта, подобное развлечение изображения не просто непряятно — оно может привести к весыма опасным ситуациям. Попытайтесь, хотя бы ориентировочно, оценить угловое расстояние между истинным предметом и его «призраком». Как оно зависит от времени суток и погодных условий?

4. Светящийся дожь
   Возможно вам приходилосьогда наблюдайте даже освещена прямым солнечным светом, можно заметить, что выше некоторой отсутствивой горизонтальной линия должна газеть города более светлым, чем внизу. Как это можно обьясить?

5. Солнечные очки и искажение видимого движения
   Закрыв темным фильтром, например стеклом от солнечных очков, один глаз, посмотрит на качание простого маятника. Хотя вы точно знаете, что маятник качается в одной плоскости, у вас создается впечатление, что он описывает эллипс (рис. 3). Непосвященноу это наблюдайте между истинным может показаться удивительным, даже загадочным.

Если вам как-нибудь придется сидеть за рулем автоматия в солнечных очках с одним стеклом, вы обна-

16

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

ружите, что скорость автоматическая, идущее слева от вас, заметно отличается от скорости автоматическая, идущее справа, хотя на самом деле они движутся с одинаковыми скоростями. Скорости обиха автоматический вы оценивает неверно.

Более того, в рассмотрении случая вы неправильно оцените расстояния до окружающих предметов. Ошибка в оценке зависит даже от того, справа или слева от вас находится предмет.

Чем обьясняется кажущее трехмерное движение мятника? Какую роль играет световой фильтр или стекло очков в оценке этого движения, скорости автоматической и расстояния до предметов?

6. Вращающийся волокн перед экраном телевизора

Если в темной комнате перед экраном телевизора, изображение на котором сохраняется неизменным, запустить плоский волокн с узором на верхней поверхности, то на волке возникнут умопрачительные картины. Нет сомнения в том, что они обусловлены узором на поверхности волка, но причем тут свет телевизционного экрана?

7. «Плавающий» телевизонные изображения

Глядя в темной комнате на экран телевизора, быстро переведите глаза сначала на полметра влево от экрана, а потом тут же на полметра вправо. Вы увидите детальное признаное изображение телевизционного кадра, «висящее» в воздухе справа от экрана (рис. 4). Иного даже возникают три-quеты изображения, каждое в виде наклонного вправо параллелограмма. Почему появляются эти изображения и почему они наклонены? Сохранится ли их наклон, если вы переведете глаза в другую сторону? Возникнут ли аналогичные признаные изображения, если перевести глаза вверх или вниз?

8. Цвета черно-белого диска

Можно ли различить какие-либо цвета на черно-белой поверхности? Как правило, нет. Однако сделайте диск с чередушимися черными и белыми секторами и, вращая его с относительной небольшой скоростью, приставно смотрите на него, страясь не замечать отдельных секторов. Через несколько минут передние по отношению к направлению вращения края белых секторов станут красными, задние — синими. (При разных уровних освещенности оттенки будут различными.) При вращении с большей скоростью белые секторы становятся красными, а черные частино окрашиваются в зеленоватого цвет. При дальнейшем увеличении скорости вращения цвета уже не удалется различить, но по диску начинают прыгать искорки фильтров-розового и зеленоватого цветов. На диске, изображенном на рисунке 5, можно наблюдать все три эфекта одновременно. Почему мы видим эти цветы? Почему, чтобы диск «окрасился», нужно преждевременно в течение нескольких минут посмотреть на него?

17

В Венгерской Народной Республики распространяется занятие математической головоломка, созданная в 1975 г. венгерским архитектором, профессором Эрнё Рубиком. Ее внешний вид показан на четвертой странице обложки: это пластасовый куб, разбитый на 27 конгрузных кубиков. Внутренний кубик удален, а 26 наружных кубиков с помощью специальных выступов сцеплены так, что любая плитка из 9 кубиков, прилегающих к одной грани куба, может быть повернута в любую сторону на 90°. (Начало двух таких поворотов избражено на рисунке 1.) После поворота на 90° вся система сохраняет прежнюю свободу вращений: снова любую плитку в любую сторону можно повернуть в ее плоскости на 90°.

Об устройстве шарнирного скрепления этих кубков можно написать отдельную статью — сейчас же мы будем обсуждать другой вопрос.

Первоначально каждая из граней большого куба была окрашена в свой цвет (красный, оранжевый, желтый, зеленный, синий, белый). После ряда случайно выбранных вращений окраска граней куба становится пестрой: на грани присутствуют клетки разных цветов. Головоломка состоит в том, чтобы, получив в руки такой пестрый куб, добався с помощью вращений правильной расстановки кубиков, то есть такой расстановки, при которой каждая грань куба снова будет одного цвета.

Задача эта совсем не проста. Не вооруженному теорией человека, даже способному, редко удается сразу собрать более одной грани. Число расстановок кубиков, которые можно получить (подсчитано, что их $N=43\ 252\ 003\ 274\ 489\ 856\ 000$), делает ее недоступной для перебора даже на ЭВМ. Заметим, впрочем, что не любая расстановка может быть получена вращениями плиток куба: если разрешить разборку куба на составляющие его 26 кубиков, то можно составить $12 \cdot N=529\ 024\ 039\ 393\ 878\ 272\ 000$ разных расстановок (см. задачу 8 из Добавления).

В настоящее время мы предлагаем читателю правила (они не являются самыми экономными по числу вращений), позволяющие от любой из $N$ возможных расстановок кубиков вернуть к их правильной расстановке.

Описание вращений

Чтобы изложить предлагаемые правила, условия сначала о терминологии.

Будем назвать центральными кубики, стоящие в центрах граней куба. Каждый центральный кубик всегда центральным и смотрит наружу одной клетки определяемого цвета.

Поскольку нас интересют не изменения положения всего куба в пространстве, а лишь изменения взаимного расположения его части, мы будем считать его положение в пространстве фиксированным. Это означает:

Рис. 1.

18

чает, что положение всех центральных кубков в пространстве остается неизменным. Это означает также, что из девятки плоскостей куба мы будем поворачивать только шесть.

Если на рисунке неоторая центральная клетка отмещена буквой $A$, то поворот (не «средней») плитки, содержащей эту клетку, на $90^\circ$ по часовой стрелке мы будем обозначать через $A$, а поворот этой же плитки на $90^\circ$ против часовой стрелки будем обозначать через $A^{-1}$. Очевидно, $A^{-1}A^{-1}A^{-1}=A$ и $A^2=A^{-2}$, где $A^2=A$ и $A^{-2}=A^{-1}$ $A^{-1}$.

Кубики, содержащие среднюю часть ребра большого куба, будем называть средними. Средний кубик всегда остается средним и смотрит наружу двумя клетками определяющего цвета. Для каждой пары цветов (кроме тех пар цветов, которые первоначально были раскрашены противоположные грани куба) имеется единственный средний кубик с клетками этих цветов.

Уеловыми называют кубики, занимающие в составе куба угловые места. Каждый угловой кубик всегда остается угловым и смотрит наружу третья клетки, окруженных в разные цвета. Соответние этих трех цветов у каждой из угловых кубков свое.

Основные этапы

Заманчивый, на первый взгляд, путь: постепенно увеличивая пятно однозвечных клеток, получить однозвечную грань, а потом взять за другую — видимо, приводит лишь к непредодолимым трудностям. Не сравнившись с головоломкой, ее передко порятят — от злости или из любопытства к устройству шарнира. Мы на

деемся, что предлагаемый ниже способ решения сделает головоломку доступной, но и требует определенных условий при реализации.

Предлагаемые действия разобем на четыре больших этапа, Мы уже договорились, что в ходе решения головоломки центральные кубики не меняют своего положения в пространстве. Что касается средних кубков, то каждый из них должен в процессе решения занять волне определенное место: оказаться на ребре между двумя «своими» гранями куба, то есть теми гранями, чьи центральные клетки такого же цвета, как две клетки данного среднего кубика. Кроме того, он должен быть правильно повернуть: его цветные клетки должны прилегаать к центральным клеткам того же цвета. Совершенно аналогично обстоит дело с угловыми кубками: у каждой из них есть свое место (на стыке трех граней с центральными клетками его цветов) и единственный правильный разворот. В соответствии с этим порядок наших действия будет следующим:

1. Поставить на нужные места все средние кубики.
2. Правильно повернуть на своих местах все средние кубики.
3. Поставить на нужные места все угловые кубики.
4. Правильно повернуть все угловые кубики.

Каждай из этапов будем выполнять только после того, как предыдущий этап полностью закончен. При этом очередной этап будем выполнять так, чтобы после его завершения оказались не нарушенными достижениями предшествующих этапов.

20

Очевидно, попарные перестановки средних кубиков позволяют осуществить этап 1: поставить на свой место все средние кубики.

Этап 2: повернем средние кубики

Комбинация из двенадцати поворотов
$$K_2 = (AB^{-1}A^{-1}B)(BC^{-1}B^{-1}C)(CA^{-1}C^{-1}A)$$
одновременно поворачивает в своих гнездах кубики 1, 2 (рис. 4) и не меняет ни местоположения, ни поворотов остальных средних кубиков (проверьте!).

Комбинация $K_2$ позволяет повернуть на своих местах любые два средних кубика. Действительно, если они не прилегали к одной гранику или не были на ней соседними, то всегда можно вспомогательными поворотами (запомним эти повороты по цвету центра поворачиваемой плитки) привести желаемые два кубика в положение 1, 2 (рис. 4), повернуть их комбинацией $K_2$, а затем, в обратной очередности и в обратных направлениях повороть вспомогательные повороты.

Попарные совместные повороты средних кубиков позволяют осуществить этап 2, поскольку (ввиду свойства 1) не может служить, чтобы требовал поворота только один средний кубик.

Этап 3: угловые кубики — на место

Комбинация из двенадцати поворотов
$$K_3 = (ABA^{-1}B^{-1})^3$$
осуществляет одновременное перестановки кубиков 1, 2 и кубиков 3, 4 (рис. 5), сохраняет все достижения этапов 1, 2 и не изменяет местоположения угловых кубиков, отличных от 1, 2, 3, 4 (проверьте!)

Комбинация из двенадцати четырех поворотов
$$K_4 = (ACA^{-1}C^{-1})^3(B^{-1}A^{-1}BA)^3$$
осуществляет перестановку кубиков 1, 2, 3 (рис. 6) по схеме $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$, сохраняет все достижения этапов 1, 2 и не изменяет местоположения угловых кубиков, отличных от 1, 2, 3.

Поясним, как, пользоваться комбинациями $K_3$ и $K_4$, осуществлять этап 3.

Допустим, что после завершения этапа 2 часть угловых кубиков не стоит на своих местах. Ввиду свойства П таких кубиков будет не менее, чем три. Выберем один из них и отметим его номером 1. Кубик, занимающий место, куда должен встать кубик 1, отметим номером 2.

Если кубик 2 сам должен перейти на место кубика 1, то номером 3 отметим любой, отличный от первых двух и стоящий не на своей месте угловой кубик, а номером 4 — кубик, стоящий там, куда должен перейти кубик 3. Затем, с помощью вспомогательных поворотов (запомним их) поставим кубики 1, 2 и 3, 4 в положение пар 1, 2, и 3, 4, изображенных на рисунке 5. С помощью комбинации $K_3$ осуществим перестановку $1 \rightarrow 2, 3 \rightarrow 4$, после чего в обратной очередности и обратных намеренных поворотов.

В итоге, кроме ранее стоящих на своих местах местах угловых кубиков, завершено поворот на свой место кубики 1, 2, 3.

Если же кубик 2 не должен был перейти на место кубика 1, то отметим номером 3 кубик, стоящий там, куда должен перейти кубик 2. Если кубик 3 не должен перейти на место кубика 1, то отметим номером 4 кубик, стоящий там, куда должен перейти кубик 3. После этого, как и выше, то есть с помощью вспомогательных поворотов и комбинации $K_3$, осуществляется перестановку $1 \rightarrow 2, 3 \rightarrow 4$, которая ставит на свой место кубики 1 и 3.

Остается случай, когда требуется перестановка кубиков $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$. В этом случае, с помощью вспомогательных поворотов (запомним их) ставим кубики 1, 2, 3 в каком-то порядке на место 1, 2, 3 (рис. 6). Однако из двух комбинаций $K_4, K_4^{-1}$, которые осуществляют перестановки мест $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1, 1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1$, будет осуществлять перестановку кубиков $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ (находящихся с местах 1, 2, 3). Выполним именно эту комбинацию. После этого в обратной очередности и обратных направлениях поворотим вспомогательные повороты. В итоге кубики 1, 2, 3 станут на место.

Повторяя указанный процесс, мы выполним этап 3 — поставим на свой место все угловые кубики.

Этап 4: повернем угловые кубики

Нам потребуется следующие две комбинации:
$$K_5 = [(A^{-1}CAC^{-1})(C^{-1}BCB^{-1})(B^{-1}ABA^{-1})]^2, K_5^{-1} = [(AB^{-1}A^{-1}B)(BC^{-1}B^{-1}B)(BA^{-1}B^{-1}A)]^2.$$

Комбинация $K_5$ поворачивает одновременно каждый из кубиков 1, 2, 3 (рис. 7) вокупности, идущей от его центра к центру куба. на 120° по часовой стрелке. Комбинация $K_5^{-1}$ поворачивает те же кубики против часовой стрелки. Местоположение и поворот любого из остальных кубиков при этом не меняются.

Знание комбинации $K_5$ и $K_5^{-1}$ позволяет совместно повернуть в желаемом направлении (но в одной и ту же сторону) либо етри угловых кубика. Достаточно собрать их с помощью вспомогательных поворотов в одну грань, совместно повернуть с помощью комбинации $K_5$ или $K_5^{-1}$ (в зависимости от нужного направления поворота), а затем вернуть на свой место поворотами, обратными вспомогательным.

Поясним теперь, как, пользоваться комбинации $K_5$ и $K_5^{-1}$, осуществить этап 4.

Если после завершения этапа 3 имеются неправильное повернуть угловые кубики, то, ввиду свойства III, таких кубиков не менее двух.

Допустим, что их больше двух. Возьмем любые три из них. Хотя бы два из этих трех кубиков требуют поворота в одну и ту же сторону. Повернуть в эту сторону все три кубики, мы уменьшим число неверного повернуть кубики. Так мы придем к положению, когда неверно повернуть кубики либо нет, либоровно два.

21

Если неверно повернуть кубиков только два, они не могут оба требовать поворота в одну и ту же сторону. Иначе мы бы совместно повернуть их и еще один кубик — появилось бы положение с одним неверно повернуть кубиком, что невозможно в силу III.

Итак, два неверно повернуть кубика требуют поворота в разные стороны. Повернем в нужную сторону один их этих кубиков и два кубика, ранее стоящих правильно. А затем — в другую сторону — эти два новых кубика и второй из ранее повернуть неправильно. В результате все кубики займут правильно положение!

Приложение*)

Обозначим через $S_0$ правильное состояние куба. Занутерем числа $i=1, 2, ..., 8$ его вершины (угловые кубики) и числа $j=1, 2, ..., 12$ его ребра (средние кубики). На ребрах выберем (и заполним) любую ориентацию (и направим соответствующие стрелки на средних кубиках) так, чтобы параллельные ребра были сопправлены.

Предположим, что в некотором законом состоянии**) $S$ куба $j$-й средний кубик попал на ребро $j'$; сравним ориентацию ребра $j'$ (которую мы заполнили) со стрелкой, направенной на $j$-м кубике. Обозначим через $n_j(S)$ величины, равную 0, если указывающие ориентации совпадают, и равную 1 в противном случае. Если сумма

$$n_1(S) + n_2(S) + ... + n_{12}(S)$$

четна, мы полагаем $n(S)=0$, иначе $n(S)=1$; можно сказать, что $n(S)$ — это «четность суммарного поворота средних кубков». Доказйте, что

1. Величина $n$ является инвариантом, то есть одинаковая при всех законом состоянии куба: $n(S)=n(S_0)=0$. (Указание. Достаточно показать, что $n(S)$ не меняется при любом повороте одной литки).

2. В законом состоянии куба не может быть повернуть равно один средний кубик (свойство I, с. 19). (Указание. В таком состоянии $n(S)=1$).

Вспомним, что положение центральных куба в пространстве не меняется при поворотах; для определения предположим, что нижний центральный кубик — зеленьй, верхний — синий; эти два цвета будем считать виделенными. Возмем $i$-й угловой кубик нашего куба, находящаяся в состоянии $S$. Ровно одна клетка углового кубика выделена (почему?). Если эта клетка горизонтальная, положим (по определению) $N_i(S)=0$; если эта клетка становится горизонтальной при повороте кубика на $120^\circ$ (по часовий стрелке) вокруг диагонали большого куба, положим $N_i(S)=1$; если же горизонтальное получается поворотом на $240^\circ$, то $N_i(S)=-1$. Если сумма

$$N_1(S) + N_2(S) + ... + N_8(S)$$

при делении на 3 дает в остатке 0, 1, 2, мы полагаем величины $N(S)$ равной 0,1, —1 соответственно. Можно сказать, что величина $N$ — это «направление суммарного поворота угловых кубков». Доказите, что

3. Величина $N$ является инвариантом, то есть одинаковая при всех законом состоянии куба: $N(S)=N(S_0)=0$.

4. В законом состоянии куба не может быть повернуть равно один средний кубик (свойство III, с. 19).

Предположим, что в состоянии $S$ средние кубики с номерами 1, 2, …, 12 занимаются с номерами $j_1, j_2, ..., j_{12}$ соответственно, а угловые кубики 1, 2, …, 8 — места $i_1, i_2, ..., i_8$. Наборы $I(S)=(i_1, i_2, ..., i_8)$ и $J(S)=(j_1, j_2, ..., j_{12})$ — это просто номера кубков, записанные в другом порядке; математики также наборы называют перестановками. Перестановку называют четной, если в ней имеется чётное число беспорядков, то есть чётное число пар цифр, стоящих не в порядке возрастания, и нечетной в противном случае. Можно сказать, что $\epsilon$ — это «четность расстановки всех кубков». Доказите, что

5. Величина $\epsilon$ является инвариантом, при этом $\epsilon(S)=\epsilon(S_0)=0$ для любого законом состояния $S$. (Указание. Показите, что при любом повороте литки меняется четность $I$ и четность $J$).

6. Ровно одна угловых кубика не может помещаться местами (свойство II, с. 19).

7*. Состояние $S$ куба законом тосяда и только тосяда, когда

$$n(S)=N(S)=\epsilon(S)=0$$.

8*. Все состояния (в том числе полученные разборки и сборкой куба развищется на 12 классов; при этом два состояния $S, S'$ переводятся друг в друге поворотами лит тосяда и только тосяда, когда $n(S)=n(S')$, $N(S)=N(S')$, $\epsilon(S)=\epsilon(S')$.

*) Автор Принложения — В. Дубровский.
**) То есть в состоянии, полученном из правильного поворотами литок (без перекрашивания клеток или разборки кубика).

22

Задачик
кванта

Задачи
M656—660; Ф668—Ф672

М656. В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказите, что среди них найдется два, угол между которых меньше 45°.

A. Толпыю

М657. В таблице $n \times n$, заполненной числами, все строки различны. Доказите, что из таблицы можно вычернуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице все строки также будут различны.

A. Анджан

М658. В квадрате со стороны 1 проведено конечное число отрезков (рис. 1), параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длины проведенных отрезков равна 18. Доказите, что среди частей, на которые квадрат разбивает этими отрезками, найдется такая, площадь которого не меньше 0,01.

A. Анджан

М659. Доказите следующие свойства последовательности Фибоначчи $f_1 = 1, f_2 = 2, \dots, f_{k+1} = f_k + f_{k+1}$:

a) Каждое натуральное число $n \geqslant 3$ представляется в виде суммы различных чисел Фибоначчи.

b) Обозначим количество таких представлений числа $n$ в виде суммы четного числа слагаемых через $K_n$, в виде суммы нечетного числа слагаемых — через $H_n$; тогда $|K_n - H_n| \leqslant 1$ при всех $n$.

b) Если переможить несколько подряд стойших двухленов из последовательности

$$1 - x, 1 - x^2, 1 - x^3, 1 - x^5, \dots, 1 - x^{f_k}, \dots$$

(в показательх стоит числа Фибоначчи), то в полученном многочлене все коэффициенты будут равны 0, —1 или +1.

Известное нам доказательство утверждения б) и в) опирается на такое свойство:

г) Для любого $n \geqslant 3$ существует единственное представление $n$ в виде суммы различных чисел Фибоначчи, которое вместе с каждым слагаемым

23

$f_k(k \geqslant 3)$ содержит хотя бы одно из двух предыдуших чисел $f_{k-1}$ или $f_{k-2}$.

А. Одесский, ученик 9 класса, Д. Фукс

М660. На окружности расставляются синне и красные точки (рис. 2a). Разрешается добавить новую красную точку и одновременно поменять цвет у каждой из двух соседних с ней точки (рис. 26), либо убрать красную точку и поменять цвет у каждой из соседних точки (рис. 2в). Пусть первоначально было всего две красные точки (мебшие двух точек оставлять не разрешается). Можно ли несколькими такими операциями по-лучить на окружности
a) две точки — синюю и красную;
b) 8 красных точки;
b) одну красную и 6 синих точки;
г) * две синих точки?

К. Казарновский

Ф668. Через неподвижный блок перекинита невесомая нить. К одному концунит прикреплен груз массы $m_1$. К другому концу наружнее с жесткостью $k$ подвешен груз массы $m_2$. Длина ружины в нерастинутом состоянии равна $l_0$. Найти апплитуду колебаний, которые будут совершать груз $m_2$, когда система предоставят самой себе. Качаный поперек нити нет.

Г. Коткин

Ф669. Перевернуть тонкостенный стакан с пробковым домом толщины $d$ плавает на границе раздела двух жидкости с плотностями $\varrho_1$ и $\varrho_2$. Верхняя часть стакана находится на высоте $H$ над границей раздела (рис. 3). Сечение стакана $S$. На какое расстояние поднимается стакан, если в дне стакана появится дырка?

Ф670. Покажите, что максимальная скорость, которую при стокновении может сообщить протону α-частица, составляет 1,6 начальной скорости α-частицы.

Ф671. Имеется 1 л горячее воды с температурой $T_1$ и 1 л холодной воды с температурой $T_2$. При помощи горячее воды нагревают холодную. Можно ли сделать так, чтобы окончательная температура воды, бывшей сначала холодной, стала выше температуры воды, которая была сначала горячее?

А. Кравчатый, ученик 9 кл.

Ф672. Ko вторичной обмотке включенного в себя понжающего трансформатора с коэффициентом трансформатии $K=220/127$ подключена нагрузка с сопротивлением $R_h=10$ Ом. Напряжение в сети $U=220$ В, сопротивление perвичной обмотки трансформатора $R_1=3,6$ Ом, сопротивление вторичной обмотки $R_2=1,2$ Ом. Определите напряжение на нагрузке.

В. Скороваров

24

М609. а) Длины проекций выпуклого многоугольника площади S на две взаимно перепределительные прямые равны $l_1$ и $l_2$. Доказите, что $S \leq l_1 l_2$.
б) Длины проекций выпуклого многоугольника объема V на три взаимно перепределительные прямые равны $l_1, l_2$ и $l_3$. Доказите, что $V \leq l_1 l_2 l_3$.
в) Площади проекций выпуклого многоугольника объема V на три взаимно перепределительные прямые равны $S_1, S_2$ и $S_3$. Доказите, что $V \leq \sqrt{S_1 S_2 S_3}$.

М609, М610; Ф613—Ф617

Утверждение пунктов а) и б) неисредственно следует из того, что в случае a) многоугольник содержится в прямогольнике со стороны $l_1$ и $l_2$, а в случае б) многоугольник содержится в прямогольном параллелипе с ребрами $l_1, l_2, l_3$.

в) Пусть $\pi_1, \pi_2, \pi_3$ — взаимно перепределительные плоскости, $S_1, S_2, S_3$ — площади проекций многоугольника M на эти плоскости, а $l_1, l_2, l_3$ — линии проекций многоугольника M на прямые $\pi_2 \cap \pi_3, \pi_1 \cap \pi_3, \pi_1 \cap \pi_2$ соответственно, $V = V(M)$ — его объем. Плоскости, параллельные $\pi_1$, будем в дальнейшем назвать горизонтальные.

Первое решение. Справедливо неравенства
$$V \leq \sqrt{S_1 S_2 S_3}$$

для прямой признамы с горизонтальными основаниями легко следует из а): для такой признамы $S_1 \leq l_2 l_3, S_2 = l_1 l_3, S_3 = l_1 l_2$ и $V^2 = (S_1 l_1)^2 = S_1 \cdot S_1 l_1^2 \leq S_1 \cdot l_1 l_2 \cdot l_1 l_3 = S_1 S_2 S_3$.

Чтобы доказать (1) для произвольного многоугольника, нам понадобится

Лемма. Пусть многоугольник M разрезан горизонтальным плоскостями на n многоугольников $M_1, \dots, M_n$. Если для каждого из них выполняно неравенство (1), то оно выполняно и для M.

Докажем лемму сначала для $n = 2$. Пусть площади проекций многоугольников $M_1$ и $M_2$ на плоскость $\pi_2$ равны $a_1^2$ и $a_2^2$, на плоскость $\pi_3$ — $b_1^2$ и $b_2^2$ соответственно ($a_i > 0, b_i < 0$). Площадь проекций $M_1$ и $M_2$ на $\pi_1$ не превыходит $S_1$. Поэтому
$$V(M) = V(M_1) + V(M_2) \leq \sqrt{S_1} (a_1 b_1 + a_2 b_2) \leq \sqrt{S_1} \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{S_1 S_2 S_3}.$$

Неравенство
$$(a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2) (b_1^2 + b_2^2),$$

которым мы воспользуемся, эквивалентно оценному $(a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 \geq 0$.

Докажательство леммы для любого $n$ можно proveсти либо идущей по $n$, либо аналогично случанию $n = 2$ с использованием вместе (2) неравенства Коши («Квант», 1972, № 1)
$$(a_1 b_1 + \dots + a_n b_n)^2 \leq (a_1^2 + \dots + a_n^2) (b_1^2 + \dots + b_n^2).$$

Теперь доказательство неравенства (1) завершается так. Разрежем многоугольник M на горизонтальные слон. При малой толщине словь объемы многоугольника M и объедининия некоторых поставленных друг на друга признам (а также площади их соответствующих проекций) отличия скольго углоно малого. Именно:

Пусть $h$ — малое положительное число. Проведем достаточно густо горизонтальные плоскости (в том числе — через все вершины многоугольника M) так, чтобы М оказался разрезанным на $n$ словь толщиной $h_i \leq h(l_1 = h_1 + h_2 + \dots + h_n)$. Заключим $i$-й слой в прямую признам высотой $h_i$ и с горизонтальным основанием, совпадующим с проекцией этого слоя на $i$-ю секущую плоскость.

Пусть $M'$ — объединение построенных признам. Проекция $M'$ на $l_1$ совпадает с проекцией многоугольника M на $l_1$: $S_1' = S_1$, а площади $S_2'$ и $S_3'$ проекций $M'$ на плоскости $l_2$ и $l_3$ не меньше площадей $S_2$ и $S_3$, соответствующно и отличия от них на сумму площадей прямого угольников, защищенных на рисунке 1. Эта сумма не больше $cl_1 h$, где $c$ — наиболее alta степень углов, образуемых проекциями ребер многоугольника M на плоскости $l_2$ и $l_3$ с вертикальным. Поэтому
$$V(M) \leq V(M') \leq \sqrt{S_1' S_2' S_3'} \leq \sqrt{S_1 (S_2 + cl_1 h) (S_3 + cl_1 h)}.$$

25

Поскольку это неравенство верно при любом $h$, $V \leqslant \sqrt{S_1 S_2 S_3}$.

Второе решение. Введем в пространстве прямоугольную систему координат, приняв $\pi_1 \cap \pi_2$, $\pi_1 \cap \pi_3$, $\pi_2 \cap \pi_3$ за оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Пусть $[a; b]$ — отрезок оси $Oz$, на которой проектируется многограничник $M$. Через каждую точку $z \in [a; b]$ проведем горизонтальную плоскость. Пусть $S(z)$ — площадь сечения многограничника этой плоскости, а $l_2(z)$ и $l_3(z)$ — длины проекций этого сечения на плоскости $\pi_2$ и $\pi_3$ соответственно. Можно доказать, что

$$V = \int_a^b S(z) dz. \tag{4}$$

В учебнике «Геометрия 9—10» (§58 и §66) эта формула выведена для примеры и для тела вращения; для произвольных многограничков доказательство аналогичное. Мы еще воспользовемся формулой (доказите ее самостояльно!)

$$S = \int_a^b l(z) dz, \tag{5}$$

где $S$ — площадь выпуклого многоугольника, лежащого в плоскости $xOz$, а $l(z)$ — длина отрезка, по которой пересекается с многоугольником прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящей через точку $z \in [a; b]$ (рис. 2). Кроме того, нам понадобится интегральное неравенство Буняковского, являющееся аналогом неравенства (3):

$$\left| \int_a^b f(z) g(z) dz \right| \leqslant \sqrt{\int_a^b f^2(z) dz} \cdot \sqrt{\int_a^b g^2(z) dz}.$$

Мы доказем его для непрерывных функций $f$ и $g$.

Доказательство. Пусть $\lambda \in \mathbb{R}$. Расмотрим функцию

$$\varphi(\lambda) = \int_a^b (f(z) - \lambda g(z))^2 dz =$$

$$= \lambda^2 \int_a^b g^2(z) dz - 2\lambda \int_a^b f(z) g(z) dz + \int_a^b f^2(z) dz = A\lambda^2 - 2B\lambda + C$$

$$\left( A = \int_a^b g^2(z) dz, B = \int_a^b f(z) g(z) dz, C = \int_a^b f^2(z) dz \right).$$

Функция $\varphi$ — квадратный трехчлен, принимающий при любых $\lambda$ неотрицательные значения. Поэтому $\frac{D}{4} = B^2 - AC \leqslant 0$ или $B \leqslant \sqrt{A} \cdot \sqrt{C}$, а это и есть требуемое неравенство. (Доказательное аналогом неравенство (3).)

Теперь завершим второе решение задачи.

$$V = \int_a^b S(z) dz = \int_a^b \sqrt{S(z)} \cdot \sqrt{S(z)} dz.$$

Так как $S(z) \leqslant S_1$ при любом $z \in [a; b]$, получаем

$$V \leqslant \sqrt{S_1} \cdot \int_a^b \sqrt{S(z)} dz.$$

В силу пункта a) $S(z) \leqslant l_2(z) l_3(z)$. Поэтому

$$V \leqslant \sqrt{S_1} \cdot \int_a^b \sqrt{l_2(z)} \cdot \sqrt{l_3(z)} dz.$$

Приимена интегральное неравенство Буняковского и формулу (5), получаем