Квант 1981, №2 · Страницы

КВАНМ
2
1981

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Поставим в соответствии каждому квадратному трехчлену $x^2 + p_0x + q_0$ точку $(p_0; q_0)$ на плоскости $(p, q)$; это соответствие взаимно однозначно. Парабола $q = \frac{p^2}{4}$ на рисунке отделяет точки, соответствующие трехчленам с двумя корнями, от точек, соответствующих трехчленам без корней. Каждая прямая $c^2 + pc + q = 0$ состоит из точек, соответствующих трехчленам, один из корней которых равен $c$. Все эти корневые прямые касают «дискриминентной параболи» (на рисунке изображены такие прямые для $c = \pm 1, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{1}{2}$).

Каждая из области, на которые плоскость делится корневыми прямыми, состоит из точек, соответствующих трехчленам, корни которых расположены определенным образом. Например, точкам желтого четырехугольника отвечают трехчлены, для корней $x_1, x_2$ которых $-\frac{3}{2} < x_1 < -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} < x_2 < \frac{2}{3}$.

Подумайте, что можно сказать о корнях трехчленов $x^2 + px + q$, если точка $(p, q)$ принадлежит какой-нибудь из закрашенных области. Более подробно о связи плоскости $(p, q)$ и трехчленов $x^2 + px + q$ расскажено в статье В. Вавилова «Сетчатые номограммы» («Квант», 1978, №9).

1

В НОМЕРЕ:

Главный редактор
акademik И. К. Кикоин

Первый заместитель
главного редактора
акademik А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:

М. И. Башмаков
С. Т. Беллев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

2 Навстречу XXVI съезду КПСС

Ученые обращаются к молодежи

4 И. Франк. Путь в науку

6 А. Ноффе. Полупроводниковые термозлементы и холодильники

14 А. Раухман. Группоны

Лаборатория «Квант»
18 В. Майер, Е. Мамаева. Псевдолинза Роберта Вуда

Математический кругок
20 М. Апресян. Бесконечные суммы и… прямогоЛЬник

Задачик «Квант»
22 Задачи М666—М670; Ф678—Ф682
24 Решения задач М616—М621; Ф623—Ф630

«Квант» для младших школьников
33 Задачи
34 В. Касаткин. Пригодны ли счеты?

По страницам школьных учебников
36 P. Гордин. Что такое степень?

Практикум абитуриента
40 А. Едоров. Логарифмические уравнения
44 А. Буздин, В. Тугушев. Закон сохранения энергии для тепловых процессов

Вариantsы вступительных экзаменов вузы в 1980 году
48 Московский физико-технический институт

Искусство программирования
54 Заочная школа программирования. Урок 13

Рецензии, библиография
57 В. Лишевский. Учены иреволционер
58 Е. Левитан. Книга о прощлом и будущеем Вселенной

Информация
59 О приеме на биологическое отделение ВЗМШ

60 Шахматная страница

61 Ответы, указания, решения
Шахматный конкурс «Квант» (3-я с. обложки)

Наша обложка (39)

Смесь (13, 17, 32, 35, 53)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1981

2

Настречу XXVI съезду КПСС

23 февраля Кремлевский Дворец съездов примет участников XXVI съезда Коммунистической партии Советского Союза. Съезд рассмотрит и утвердит Основные направления экономического и социального развития СССР на 1981—1985 годы и на период до 1990 года, проект которых был опубликован в центральной печати в начале декабря 1980 года. При месяцта наш народ предельно заинтересованно и открывенно обсуждал этот важный документ современности. При этом было внесено много конкретных дополнений, изменений и уточнений, учет которых превращил его в плод коллективного развития всего народа.

Десять лет нам предстоит жить и работать на основе решений, которые примет XXVI съезд КПСС. Реализация намеченной им программы приблизит нашу страну к заветной цели — коммунизму. И в этом огромную роль должна сыграть научка. С ней неразрывно связаны многие разделы проекта Основных направления. Покажем это на примере физико-математических наук, которые посвязыван наш «Квант».

Третий раздел проекта Основных направления экономического и социального развития СССР на 1981—1985 годы и на период до 1990 года посвязыван развитие научки и укреплению технического прогресса. В нем, в частиности, сказано следующее:

«В области естественных и технических наук сосредоточить усилия на решении следующих важнейших проблем:

развитие математической теории, повышение эффективности ее использования в приложных целях;

развитие физики элементарных частиц и атомного ядра с целью дальнейшего познания строения материи;

развитие ядерной и создание основ термоядерной энергетики, совершенствование методов преобразования и передачи энергии; …

совершенствование вычислительной техники, ее элементной базы и математического обеспечения, средств и систем передачи и обработки информации, повышение эффективности автоматизированных систем управления, развитие сетей ЭВМ и вычислительных центров коллективного пользования; …

дальнейшее изучение и освоение космического пространства в интересах развития научки, технически и народного хозяйства; …».

В третьем разделе сказано:

«На основе использования достижений научки и технически:

развивать производство и обеспечить широкое применение автоматических манипуляторов (промышленных роботов),строенных систем автоматического управления с использованием микропроцессоров и миниЭВМ, создавать автоматизированные схемы и заводы. Расширить автоматизацию проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ с применением электронно-вычислительной техники; …»

3

использовать электроминические, лазерные, радиационные и другие высокоэфективные методы обработки металлов, материалов и изделий с целью существенного улучшения их свойства;…

увеличить масштабы использования в народном хозяйстве возобновляемых источников энергии (гидравлической, солнечной, ветровой, геотермальный)».

Лаконичен язык этого документа, но за каждой из прочитированных строк стоит важные проблемы нашего народного хозяйства, которые нельзя решить без огромной помощи физико-математических наук.

Немало конкретных заданий, тесно связанных с физикой и математикой, включено и в четвертый раздел проекта Основных направлений развития промышленного производства, увеличение выпуска необходимого народу продукции требуют непрерывного увеличения энергетических мощностей. В связи с этим перед энергетической промышленностью ставятся очень сложные задачи. Необходимо «довести выработку электрозергини в 1985 году до 1550—1600 млд. киловатт-часов, в том числе на atomных электростанциях до 220—225 млд. киловатт-часов и на гидроэлектростанциях до 230—235 млд. киловатт-часов. Обеспечить произведение электрозергини в европейской части СССР в основном на atomных и гидроэлектростанциях.

Ввести в действие наatomных электростанциях 24—25 млн. киловатт новых мощностей. Продолжить работы по освобению реакторов на быстрых нейтронах и использованию ядерного топлива для выработки теплозергини».

Все это связано с решением сложных научно-технических проблем, прежде всего — в области физики.

Не менее сложные задачи, решения которых просто невозможно без активного участия физико-математических наук, возникают и во многих других отраслях нашего народного хозяйства: в электротехнической и приборостроительной промышленности, черной и цветной металлургии, на транспорте, в строительстве и технические связи.

Прошлою, десятию, пятилетку вы, наши основные читатели, проверили в школе. Кто-то за вас плавил металл и выращивал хлеб, прокладывал рельсы БАМа и стропл КАМАЗ. Выучились на всем готовом, за счет труда своих родителей, всех тех, кто старше вас. В одинадцатой пятилетке вы окончите школу и уйдет в напряженную самостоятельную трудовую жизнь. В деньдцатой множеие из вас станут уже мастерами различных профессии. Планы, которые сегодня обсуждает наш народ, XXVI съезд нашей родной коммунистической партии, станут планами вашего дальнейшей жизни. Вместитель в них визитального и выбирайте. Переди много интересней работы и ее хватит на всех. Мир не стоит на месте. Он быстро меняется. И особенно быстро совершенствоваться и развивать наш страна, идущая по неизведанным путем навстречу коммуниизму.

Наша будущая жизнь наполлена интереснейшим проблемами. Многие из них технологии с научкой, в том числе — с математикой, механикой и физикой, И тот, кто выберет их своей будущей профессии, никогда не пожалеет. Романтика научного поиска, муки творчества, радость победы, ошушение общественного полезности вашего труда сделают всю вашу жизнь яркой и интересной.

4

И. Франк

Путь в научу

Пытаясь заглянуть в будущее, юность мечтает. Счастьлив тот, кто не расстается со своей мечтой и в дальнейшей жизни. Мне близке всего тот, кто уже с юных лет стремится к занятиям научкой. Не только в мечтах, но и в действительности наука необсячно увлекательна. Но, чтобы стать ученым, надо быть искренне и бескоростно преданным науке и не бояться трудностей.

Первые шаги объявно облегчены учительами, если, разумется, они не только знают, но и любят научку. И tema первого работы, и метод ее выполеняча часто бывают подсказаны руководителем. Это хорошо, так как приобретение опыта необходимо, а та научная среда, в которой попадает начинающий, для последующего немаловажана. Начинающему можно и нужно помочь учиться, и все же научиться он может только сам. При этом первый самостоятельное сделанные шаги, которые радуют как некоторые достижения, зачастую ведут к разочарование. Нередко оказывается, что полученный результат уже былkem-то найden ранее, а идея, представляющаяся новой, на самом деле не только не нова, но, возможно, уже оставлена как ошибочная. Но огорчаться не следует. Самое главное и наиболее ценное в науче — элемент творчества. Самостояльно пройти участок пути, даже проиденный другими, — это полезно и часто необходимо. Тем не менее после нескольких таких «неудачч» возникает ошибение, что в научке все известно. В действительности обязывание иное. Первоначальные знания неольно подсказывают и путь, по которым уже прошли многое. Умение мыслить по-своему не возникает сразу, оно вырабатывает трудной и направленный работой. Что касается научки, то никака не следует забывать слова Ньютона, сказанные им незадолго до смерти: «Не знаю,

Академик Илья Михайлович Франк — лаурpeat Нобелевской и Государственной premий, директор лаборатории нейтронной физики Объединенного института ядерных исследований, профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Статья перепечатается из сборника «Ленин. Натука. Молодежь», выпущенного в 1980 году издательством «Натука».

5

чем я могу казаться миру, но сам себе я каждый только малыйком, играющий на морском берегу, развлекательным тем, что до поры до времени отыскиваю камешек более цветистый, чем обживенно, или красную раковину, в то время как великий океан истинны расстилается перед мной неисследованным».

Не случайно Ньюотон видит себя малыйком, так как именно малыйков больше, чем взрослых, занимают понски «цветистых камешков», а именно свеже и легче различает необычное. Мне думается, что одна из необходимых и счастливых черте ученого — это любознатьность, так свойственная детству и так легко теряемая взрослыми. Ньюотон был гений, таких в истории науки немного. Не удивительно, что он находил удивительные камещки там, где другие видели только однозветные россыпи песка, и не только находил, но и стройл из них раззительной красоты здания.

После Ньюотона к океану истинны было продолжено множество новых путей и найdenы замечатые камещки и раковины, но океан истинны порежнему безбрежен. Каждый, кто не лишен таланта и уменялся, найдет в нем нечто свое.

Мечты юности не лишены иллюзий. Одна из них — в том, что у начинающего неограниченно много времени впереди. Невольно рассуждают так: «Я пока не знаю и не понимаю этого, но мне незачем торопиться. Я молод и все еще успело». В действительности, какую бы длинуную творческую жизнь ни подарила нам судьба, все равно не успеваешь узнать и малой доли того, что необходимо для работы, а тем более выполнить все, что мог бы сделать. Вам, конечно, известны слова Павлова: «Помните, что наука требует от человека всего жизни. И если у вас было бы две жизни, то и их не хватило бы вам» и «всегда имейте мужство сказать себе: я невежда».

Наши молодые годы наиболее плодотворны. К сожалению, лишь до жизни до старости, по-настоящему поннимаешь, что не только молодость, но и вся жизнь проletaет необживенно быстро. И все же именно в молодом возрасте жажда знаний и интерес к науке заставляют нас особенно много работы. Без этого пути в науку вообще были бы закрыты.

В признаве работы содержится нечто существенно большое, чем общное наставление родитель детям-школьникам, что надо учится хорошо. Науке нужно не механическое заполнение материалов (это плохо и для школьников), а подлинное творческое овладение знаниями и методами. Основанное на них умение по-своему ставить вопросы и ответать на них или видеть неясность там, где другие ее не замечают, — это и есть то, что позволяет найти красивый камещк там, где другие не видят ничего, кроме песка. Здесь не просто удача, здесь прежде всего труд и многоество неудачч, через которые необходимо мужствовать проити.

Сумма знания в любой области науки огромна, и невозможно знать всего. Нельзя, например, в деталях знания все, над чем работают физики. Однако нужно быть в курсе основных идей и событий и вне своей специализации. Ученый обязан быть широко образованным, по-настоящему интеллектным человеком. Вопросы человеческой культуры и проблемы общественного жизни не могут быть ему чужды. Как найти время на все? Это, конечно, трудно в любом возрасте, но в молодые годы большие времени и сил, зато умение работы и широкота знания приходит с годами.

6

А. Иоффе

Полупроводниковые термозлементы и холодильники

Термозлементы
В 1822 году Зеебек заметил, что замкнутая цель, составлена из двух различных проводников (термозлемент), отклоняет расположенную вблизи магнитную стрелку всякий раз, когда места контакта проводников имеют различные температуры.

Отклонение стрелки было вызвано поевленем электрического тока

Академик Абрам Федорович Иоффе — выдавшийся физик, один из создателей советской физики. В 1980 году исполнилось 100 лет со дня его рождения и «Квант» отметил этот юбилей в № 10. Здесь мы воспроизведем отрывок из его книги «Полупроводники и их применение» (М.—Л., издательство АН СССР, 1956, издание 2-е).

в цепи. Любопытно, что Зеебек долго и упорно отрицал такое обяснение, считая, что открытое им является вызвано намагничиванием проводников.

Термозлемент можно было бы рассматривать как термоэлектрическую машину, которая без всяких движущихся механизмов превращает часть тепловой энергии, нагревающей горячий спай, в электрическую энергию; при этом остальная часть тепла отделяется холодным спаем в окружающую среду. Но одновременно большей поток тепла переходит от горячого спая термоэлемента к холодному потем теплопроводности, а из создавемой термоэлементом электрической энергии неокторая часть превращается в тепло внутренного же термоэлемента и не может быть использована. Эти бесполезные затраты того запаса теплла, который получает горячий спай, настолько велики, что коэффициент полезного действия, соответствующий превращению сообщаемой горячему спairo тепловой энергии в электрическую, для термоэлемен-

8

Дит к новым качественным воздействием. Коэффициент полезного действия полупроводниковых термозементов до 7%, но может быть и больше. Среди нахождения в обращении тепловых машин только двигатели внутреннего сгорания, требующие высококачественного жидкого топлива — бензина, керосина, нефти, обладают коэффициентом полезного действия порядка 40—50%. Коэффициент полезного действия лучших паровых электростанций еда достигает 30%, а паровых машин малой мощности — 10%. Учитывая крайнюю простоту термозлектрических генераторов электрозергини, не требующих ни сложных врашащихся механизмов тепловых машин, ни динамомашины, а также учтывая малые размеры и устойчивую работу термозементов, можно ожидать, что полупроводниковые термобатарен займут немалояжное место в энергетике народного хозяйства. Возможно, что термозементы откройот также путь к использованию новых источников теплла взделе, где имеются значительные разности температуры. Верятоно, можно будет с помощью термозлектрических батарей превращать в электрозергию энергию солнечных лучей.

Первое практическое применение термозементов осуществлено в Советском Союзе в целях радиофикции районов, не имеющих электрозергини. Источником теплла здесь служат горячее газы, выходящие из стекла керосиновой лампы; они проходят внутри вертикальной трубки, помещенной над стеклом, и подгревают внутренние спан термозементов, расположенных по радиусам трубки. Наружные спан охлаждаются комнатным воздухом; для усиления охлаждения эти спан содержены с металлическими пластинами радиатора. В таком устройстве внутренние спан нагреты до 300—350°С, тогда как температура наружных спаев не превышает 60°С. Разности температуры в 250—300°С, поддерживаемой теплом, доставляемым керосиновой лампой, оказывается достаточно для создания электрозергини, необходимой для питания радиоприемника.

Рассмотрим устройство полупроводникового термоземента. Он состоит из двух соединительных металлических проводом полупроводниковых ветвей, из которых одна изготовлена из электронного, а другой из двючного полупроводников (рис. 2). Соединяющий их металлический мостик M подгревается источником теплла. Два других конца, охлаждаемые воздуха или проточной водой, присоединены к внешней цепи, используемой создаваему термозементом электрозергию. Такой внешней цепью в описанном случае является радиоприемник; в других случаях это может быть лампа накапливания или флюоресцентная лампа, если задачей является освещение; электромотор, если нужна механическая энергия, и т.п. Рисунок 2 показывает сказаное. В нем I и II обозначают две ветви термоземента, состоящие из полупроводниковых стержней, R — электрическое сопротивление того или другого приемника электрозергини. Положим, что ветвь I представляет электронным, а ветвь II — двючным полупроводниками. Тогда электрическое поле, а следовательно, и электрический ток будут направлены так, как указывают стрелки: в ветви II от горячего конца к холодному, а в ветви I — от холодного к горячему, складываясь, таким образом, в направлении движения против часовой стрелки.

Обозначим абсолотную температуру горячих концов термоземента через $T_1$, а холодных через $T_0$. Если $a_1$ и $a_2$ обозначают термозлектрические силы, возникшие в ветвях I и II при протяжении температуры между концами в $1^\circ$ С, то общая электродвижущая сила $\delta$, соответствующая

9

ствуошая разность температур $T_1 - T_0$, составит
$$\mathcal{E} = \left( \alpha_1 + \alpha_{11} \right) \left( T_1 - T_0 \right).$$

Так $I$, который появится в замкнутой цепи, состоящей из внутреннего сопротивления $R_0$ ветвей термоэлемента и внешнего сопротивления $R_0$ приемника, будет равен
$$I = \frac{\mathcal{E}}{R + R_0}.$$

Полезная мощность $P$, которую мы получаем в применике, может быть выражена как
$$P = UI,$$

где $U$ — разность потенциаль на концах внешнего сопротивления $R$. Так как потенциаль падает в цепи постоянного тока, с которым мы здесь и имеем дело, пропорционально сопротивлению, то
$$\frac{U}{\mathcal{E}} = \frac{R}{R + R_0}, \quad U = \frac{\mathcal{E} R}{R + R_0},$$

а
$$P = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R + R_0)^2}.$$

Подставив вместе $\mathcal{E}$ его значение, мы получим общее выражение для полезной мощности $P$, доставляемой термоэлементом:
$$P = \left( \alpha_1 + \alpha_{11} \right)^2 \left( T_1 - T_0 \right)^2 \frac{R}{(R + R_0)^2}.$$

Нанобольшего значения $P$ достигает тогда, когда $R = R_0$ (доказьте это самостояльно — прим. ред.); наобольшая мощность, которую может создать термоэлемент во внешнем применике, равна
$$P_{\max} = \frac{\left( \alpha_1 + \alpha_{11} \right)^2 \left( T_1 - T_0 \right)^2}{4R}.$$

Вся же развиваемая термоэлемент электрической мощность будет
$$\mathcal{E} I = \frac{\left( \alpha_1 + \alpha_{11} \right)^2 \left( T_1 - T_0 \right)^2}{2R}.$$

Для того чтобы поддерживать разность температур, необходимо не перерывно сообщать тепловую энергию горячему спаю и относительно от холодных концов. Значит,

тельная часть подводимого теплыхUX doit путем теплопроводности обеих ветвей к холодным концам. Часть создаваемой термоэлементом электронергии бесполезно расходуется на нагревание обеих ветвей. Эти необратимые процессы резко снижают коэффициент полезного действия термоэлемента. Если бы можно было их полностью избежать (а это неосуществимо, так как любой полупроводник обладает теплопроводностью и электронческим сопротивлением), то термоэлемент давал бы наиболее допустимый по законам термодинамики коэффициент полезного действия

$$\eta_{\max} = \frac{T_1 - T_0}{T_1}.$$

В примере термообатерен для радиоприемника можно принять $T_1 = (350 + 273) \text{K} = 623 \text{K}$ и $T_0 = (50 + 273) \text{K} = 323 \text{K}$, откуда
$$\eta_{\max} = \frac{623 - 323}{623} = 0.48 = 48\%.$$

В действительности же коэффициент полезного действия $\eta$ термообатерен изменяется немного процентами. Этот пример показывает, какую громадную роль играют процессы теплопроводности и выделения током джойлевой теплоты.

Если мы заинтересованы в получении возможного коэффициента полезного действия $\eta$, а не максимальной мощности $P$, соответствие между внешним сопротивлением $R$ и внутренним $R_0$ следует подобрать иначе: $R$ должно быть больше $R_0$. В этом случае из всех развиваемой термоэлементом мощности $\mathcal{E} I$ используется более половины мощности $P$.

Аналіз является термоэлементом показывает, что резкое снижение коэффициента полезного действия $\eta$ во много раз по сравнению с термодиапазонческим возможным значением $\eta_{\max}$ вызвано в основном необратимым процессом теплопроводности. Обратимся по этом к вопросу о механизме передачи теплы внутренние температуры происходит здесь одновременно двумя путями — в результате: 1) переенса тепла элект-

10

ронами и 2) передачи тепла движением atomов. Электроны, обладающие в горячеем конце более высокой кинетической энергей, переходят к холодному концу, где они отдают избыток энергии atomам, успливая их тепловое движение и повышая температуру. Находившееся у холодного конца электроны с меньшей кинетической энергей, переходя к горячеем концу, ослабляет тепловое движение и понжают температуру. Так как те же электроны переносят и электрический ток в полупроводнике, то между переносом имми телла и тока существуют близкая связь.

Теплопроводность материалов характеризуется некоторым коэффициентом $x$, который можно определить следующим образом. Если мы возьмем цилиндрический стержень из данного вещества с единичным поперечным сечением, в котором на каждую единицу длины температура изменяется на один градус, то за единицу времени в направлении от горячего к холодному концу переносится количество теплоты, равное $x$.

Если же площадь поперечного сечения стержня равна $S$, его длина $L$, разность температур на его концах $\Delta T$, то за время $t$ путем теплопроводности перейдет от горячего к холодному концу количество теплоты

$$Q = \frac{\Delta T}{L} St.$$

С другой стороны, вызванный теми же электронами электрический ток в данном веществе определяется его удельной электропроводностью $\sigma$. В таком же стержне длиной $L$ и поперечным сечением $S$ при разности потенциальов $\Delta U$ между его концами за время $t$ пройдет количество электричества

$$q = \frac{\Delta U}{L} St.$$

Связь между теплопроводностью $x$ и электропроводностью $\sigma$ для различных металлов была чисто эмпирический установлена Видеманом и Францем. А именно: опыт показал, что

$$\frac{x}{\sigma} = A_M T,$$

где $T$—абсолютная температура и $A_M$—одинаковый для всех металлов множитель. Квантовая теория полупроводника также приводит к соответствию $\frac{x}{\sigma} = A_\pi T$, но коэффициент $A_\pi$ имеет другое значение.

Такое соответствие между $x$ и $\sigma$ делает прициппально невозможным осуществление обратного термоземента. Для устройства теплопроводности нужно, чтобы $x=0$; для устройства джоулевой теплоты нужно, чтобы удельное сопротивление ветвей термоземента равнялось нулю, а обратная величины $x$ — бесконечности. Но требование, чтобы одновременно было $x=0$, а $\sigma \rightarrow \infty$, несовместимо с законом Видемана—Франца.

Перейдем к рассмотрению второго вида теплопроводности. Кроме переноса теплла электронами, теплопроводность в полупроводниках осуществляется и тепловым движением atomов кристаллической решетки. Механизм этого процесса можно представить себе следующим образом. Хаотическая теплопроводность самых разнообразных их колебаний. Сюда входят и колебания отдельных atomов одного по отношению к другому, и колебания их попарно, по три и т. д., вплоть до колебаний всего тела как целого. Чем выше температура, тем интенсивнее колебания. Каждый из этих многочисленных колебаний распространяется в теле в виде упругих волн, переносся свою энергию.

Коэффициент теплопроводности $x$ полупроводника складывается, таким образом, из двух частей: из теплопроводности $x_{эл}$, обязанной электронами, и теплопроводности $\cdot x_\phi$, создаваемой тепловым движением atomов тела. Величина $x_{эл}$ пропорциональная удельной электропроводности $\sigma$. Поэтому с изменением концентрации свободных электронов в полупроводнике коэффициент $x_{эл}$ изменяется пропорционально $\sigma$, тогда как $x_\phi$ остается почти неизменным. Общая теплопроводность $x$ может быть выражена как

$$x = A_\pi T \sigma + x_\phi.$$

11

Наши опыты действительного подтвердили такую зависимость $x$ от $\sigma$.

Коэффициенты теплопроводности $x_1$ и $x_{11}$ ветвей термоэлемента играют важную роль в определении его коэффициента полезного действия; наряду с этим, существование значения имеют термоэлектрическиешие силы $a_1$ и $a_{11}$ и удельные сопротивления $q_1$ и $q_{11}$ обенх ветвей. Как показывает вычисления, при данных темперарах $T_1$ горячего и $T_0$ холодного концов коэффициент полезного действия термоэлемента определяется одной величины $z$, зависит от перечисленных характеристик материалов термоэлемента:

$$z = \frac{(\alpha_1 + \alpha_{11})^2}{(\sqrt{x_1 q_1} + \sqrt{x_2 q_2})^2}.$$

Чем больше $z$, тем выше коэффициент полезного действия; при данном же значении $z$ он всегда один и тот же, каковы бы ни были значения величины $a$, $x$ и $q$ в отдельности. Расчет показывает также, что коэффициент полезного действия не зависит от размеров и формы ветвей термоэлемента, а зависит только от $T_1$, $T_0$ и $z$. коэффициент полезного действия термоэлемента может быть выражен следующим образом:

$$\eta = \frac{T_1 - T_0}{T_1} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{2} (T_1 + T_0) z} - 1}{\sqrt{1 + \frac{1}{2} (T_1 + T_0) z} + \frac{T_0}{T_1}}.$$

Для металлов $z$ имеет значения порядка нескольких единиц, умноженных на $10^{-5}$, для полупроводников $10^{-3}$ и выше, то есть в нескольковых десятиков раз больше. Соответственно с таких значениями $z$, коэффициент полезного действия полупроводников термоэлементов в десятиках раз превыходит таковой металлических термоэлементов.

Из термоэлементов составляются термоэлектрические батареи. Если нужно получить значительные напряжения, приходит содействь последовательно большое число термоэлементов. Так, при термоэлектрической силы $a_1 + a_{11} = 4 \cdot 10^{-4} \text{B/°C}$ и разности температур $T_1 - T_0 = 30^\circ \text{C}$ электронвижущая сила одного элемента $\mathcal{E} = 0,12 \text{B}$. Для того чтобы создать электронвижущую силу в 120 волт, нужно включить последовательное 1000 таких элементов. Если ставится требование получения сильных токов, элементы соединяются параллельно.

Чем больше теплла поступает через каждый квадратный сантиметр горячего спая, тем меньше размеры термообатерен, выделяющий данную электрозергию. Эти сообщения определяют выбор той или иной конструкции термообатерен. Коэффициент полезного действия термообатерен не зависит ни от способа соединения элементов, ни от ее формы.

Холодильники

Вскоре после открытия Зеебека Пельтье в 1834 году наблюдал явление, которое оказалось тесно с термоэлектрическим (чero, впрочем, сам Пельтье не подозревал). Пельтье хотел доказать, что нагревание проводников слабыми токами не подчиняется общему для всех проводников закону Джоуля — Ленца и обнаруживает индивидальные особенности в различных металлах. С этой целью он составил цепи из разных металлов. Хотя изменения теплоты, выделяемой в них током, неправдали ожидали Пельтье, но это он подметил на граних двух разных металлов своего образные тепловые эффекты, которые и описали. Петербургский академик Ленц показал в 1838 году изящным опытом, что на граниze различных проводников электрической ток либо выделяет, либо поглощает определенное количество тепла. Поместив на стыке двух металлов каплю воды, Ленц заморозил ее пропусканием тока.

Тепер мы знаем, что количество теплоты $Q$, выделяемой или поглощаем на границе двух проводников, пропорционально силе тока $I$ и абсолотной температуре $T$ стыка проводников:

$$Q = A I T.$$

Коэффициент $A$ совпадает с суммой термоэлектрических сил $a_1 + a_{11}$ ветвей термоэлемента. Знак вели-

12

Чины $Q$ (то есть получение или потеря теплла в стыке) зависит от знака $I$, то есть от направления тока.

Рассмотренный нами ранее ток, возникший в замкнутой цепи термоэлемента, охлаждает горячий спай и, наоборот, подогревает холодный спай, выделяя здесь теплоту. Если, пользовясь внешним источником, пропустить через термоэлемент ток обратного направления, то он будет выделять тепло на горячем спае и относительно тепло от холодного. Один и тот же спай двух проводников при одном направлении тока нагревается, при другом — охлаждается.

Расчет показывает, что разность температур, которое можно таким образом создать, а также количество теплла, которое ток отнимает от охлаждаемого им спая и сообщает нагреваемому, определяется той же величины $z$, что и коэффициент полезного действия термоэлемента.

Te же свойства материалов обеспечивают определенные величины $a$, $x$ и $q$, характеризуют произведение электрознергии в термоэлектрическом генераторе и холодопроизводительность в холодильнике.

Поддерживая температуру нагреваемого спая близкой к комнатной и непрерывно отводя от него выделяемого здесь теплу в окружающей среду, можно значительно охладить другой спай и через его посредство — окружающий воздуха. Таким образом, с помощью полупроводников, характеризующих достаточно величины $z$, можно получить в холодильном шкафу необходимые низкие температуры. На этом принципие могут быть осуществлены домашние холодильники.

С другой стороны, можно воспользоваться явлением Пельтье и для подогрева помещения, например для отопления зданий или для подогрева пищи. Подобные задачи давно решаются более простым способом — выделением джоулевой теплоты в реостате или нагреваемый плитке. Количество выделяемой в этом случае тепловой энергии равно количество затраченной электрознергии.

Термоэлектрический же обогрев помещения существенно отличается от действия нагреваительной плитки. Пропуская электрознергий ток через термоэлектрическую цепь, мы, помимо обычного нагрева всего проводника, охлаждаем один спай и нагреваем другой. От охлаждаемого спая оптимается неокторое количество тепловой энергии $Q_0$, которое может быть выражено так:

$$Q_0 = \alpha T_0 I t,$$

где $\alpha$ — термоэлектридовижшая сила, $T_0$ — абсолотная температура холодного спая, $I$ — сила тока и $t$ — длительность прохождения тока. Соответствие в теплом спае, абсолотную температуру которого обозначаем через $T_1$, выделяется тепловая энергия

$$Q_1 = \alpha T_1 I t,$$

которая больше теплоты $Q_0$ в относении

$$\frac{Q_1}{Q_0} = \frac{T_1}{T_0}.$$

Если мы ограничимся рассмотренем процессов на обихах спаях, то их можно описать следующим образом. Электрический ток оптимает от холодного спая теплоту $Q_0$ и передает теплому спаю больше коилчесвою энергию $Q_1 - Q_0$ в виде электрической энергии $W$. К теплоте $Q_0$, оптимаемой от холодного спая, добавляется энергия $W$, и сумма их $Q_0 + W = Q_1$ выделяется на теплом спае.

Из приведенных данных о величины $Q_0$ и $Q_1$ видно, что относение затрачиваемой электрознергии $W$ к теплоте $Q_1$, которая освобождается на теплом спае, равно

$$\frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_0}{Q_1} = \frac{T_1 - T_0}{T_1}.$$

Если, например, абсолотная температура теплого спая $T_1 = 300$ К, что соответствует $+27^\circ$ С, а температура $T_0 = 270$ К, или $-3^\circ$ С, то

$$\frac{W}{Q_1} = \frac{30}{300} = 0,1.$$

Другими словами, для того чтобы передать в теплое помещение при температуре $27^\circ$ С 100 калорий теплла (1 кал=4,18 Дж — притм. ped.), можно было бы использовать 90 калорий, взятых от холодной среды

13

(например, от внешнего воздействия, и добавить всего 10 калорий электрозергини. Поскольку от внешнего холодного воздействия или водного резервуара легко доступно, возникнет заманчивая возможность, затрачивая всего 10 калорий электрозергини, сообщить более теплому помещению 100 калорий теплла.

К сожалению, действительный процесс в термозлектрической батарее не ограничивается выделением и поглощением теплла на спаях. Вдоль ветвей самой термобатараен возникает поток теплла от теплого спая к холодному, который протоведёт переносу теплла в обратном направлении, сопровождающего прохождение тока. Кроме того, часть электрозергиной энергии тока превращается в теплло в обенх ветях термозлемента.

В результате наличия этих двух процессов использование электрозергини резко снижается: приходит добавлять не 10% электрозергини, а около 60%. Но и такой результат представляет значительный интерес: затрата электрозергини составляет только около половины теплоты, поступающей в помещение, остальная половина доставляется более холодным наружным воздухом или проточной водой. Чем меньше разность $T_1 - T_0$ по сравнению с $T_1$, тем вышее окажется термозлектрическая батарея по сравнению с электрозеркой печью сопротивления.

Термозлектрическая батарея обладает и другим важным преимуществом. Если изменить направление тока на противоположное, то наружных спаях начинает выделяться теплота $Q_0$, а нагревашие помещение спая будет оптимать теплоту $Q_1$, охлаждая помещение. В жаркое время года та же термобатара может охлаждать воздуха. Регулируя силу и направление тока в батарее, можно поддерживать в помещении одну и ту же температуру при любых температурах внешнего воздуха.

Охлаждение, вызываемое термозлектрической батареей, можно, как мы уже упоминали, использовать для осуществления холодильника. Тепленные спая отделяют получаемую ими теплоту $Q_1$ в окружающей воздуха или в водопроводную воду, холодные спая, находящиеся внутри холодильного шкафа, отличают теплоту, поддерживая в нем желательную низкую температуру.

В современной технически изменяющие типы холодильных машин. Чем меньше в них необходимых процессов, тем также машины выгоднее, тем более их коэффициент полезного действия к термодинамическому. Существуют сложные холодильные машины с большим коэффициентом полезного действия, чем термозлектрические, но последние обладают преимуществам простоты и отсутствия движушихся механизмов.

В коллекцию фильтров

В нашей стране недократно выпускались почтовые марки, посвязываемые выдощимся советским физикам и математикам —резиденту Академии наук СССР академику С. И. Вавилову, академик И. В. Курчатову, Л. А. Аршимович, М. Д. Миллионшкову, И. Г. Петровскому, А. Н. Крылову. В конце 1980 года эта коллекция пополнилась маркой с изображением выдощения советского физика академика А. Ф. Иоффе. Она выпущена в связи с юбилеем —столетием со дня его рождения.

В. Рудов

15

Так, группоны (Z; +), (R; •) коммутативны, но (R₀; :), конечное же, нет: например, 8:4 ≠ 4:8 !

Свойство А. Группонд (M;*) называется ассоциативным, если для любых a, b, c ∈ M

(ab)c = a(bc).

По-видимому, все известные вам операции этим свойством обладают; примеры не ассоциативных группондов появятся ниже (см. задачу 2).

Свойство Е. Элемент e ∈ M называется нейтральным (говорят еще.edиницым, а для операции сложения — нульевым) в группонде (M; *), если для любого a ∈ M

ae = ea = a.

Мы будем говорить, что группонд (M; ) обладает «свойством Е». если в нем есть нейтральный элемент. Выкладка e = ee’ = e’ показывает, что нейтральный элемент всегда единственный.

Для сложения чисел нейтральным элементом служит число 0, для умножения — число 1. А есть ли нейтральный элемент в группонде всех перемещений плоскости (относительно операции композиции перемещений)? Конечно же, есть — тоже действенное преобразование.

Свойство И. Пусть (M; *) — группонд с нейтральным элементом e. Тогда (M; *) обладает свойством инверсности (говорят еще обратимости), если для любого a ∈ M можно указать обратный элемент, то есть такой элемент a̅ ∈ M, что

aa̅ = aa = e.

Для умножения чисел, например, операным для элемента a ≠ 0 служит элемент 1/a, а при сложении — элемент (-a). А вот для группонд (N; +) сложения натуральных чисел неет свойства инверсности (почему?)

Свойство С. Группонд (M; *) обладает свойством сократимости, если для любых a, b, c ∈ M

ab = ac ⇒ b = c
ba = ca ⇒ b = c.

Вам, наверное, пока трудно себе представить группонд, в котором эти

Рис. 1.

правила не действуют. Но такие примеры вы сейчас увидите!

Задача 2. Исследуйте, каким из свойств K, A, E, И, C обладают следующим группондами:

а. (R; ), еде для любых x, y ∈ R xy = max(x, y)
(max(x, y) — наиболее из чисел x, y).

б. (N; ), еде xy = HOK (x, y)
(HOK — наиболее общее критое).

в. (R²; *), еде R² — координатная плоскость u для произвольной пары точек (a; b) u (c; d)
(a; b) * (c; d) = (ac; bc + d).

Задача 3. Пусть Π — множество точек плоскости. Определим на этом множество алgebraической операцию * следующим образом: Пусть A, B ∈ Π; если A = B, то считаем, что AA = A; если A ≠ B, положим AB = C, еде C — третья вершина правильного положительного орientированного*) треугольника ABC (рис. 1). Исследуйте свойства группонда (П, *).

Какие группонды невозможны?

Составим таблицу всех мыслиемых сочетаний пяты рассмотренных свойств. Эти выделяются различные типы группондов (M; *). Каждый такой тип мы охарактеризуем пятеркой букв вида К А Е И С. В этой записи буква Козначает, что группонд обладает свойством коммутативности, буква А — что свойство

*) Треугольник ABC называется положительно ориентированным, если обход вершин в порядке A→B→C осуществляется против часовой стрелки.

16

ассоциативности не имеет места и т. д.

Мы получим всего 32 сочетания:

КАЕИС КАЕИС КАЕИС КАЕИС
КАЕИС КАЕИС КАЕИС КАЕИС
КАЕИС КАЕИС КАЕИС КАЕИС
КАЕИС КАЕИС КАЕИС КАЕИС
КАЕИС КАЕИС КАЕИС КАЕИС
КАЕИС КАЕИС КАЕИС КАЕИС

Однако не все указаны здесь типы группподов существуют. Давайте совместимыми условиями докажем, что группподы, тип которых напечатан красным шрифтом, на самом деле невозможны.

Проще всего решается вопрос с теми типами, в обозначении которых встречается сочетание ЕИ (таких типов всего 8). Противоречность ЕИ и И становится совершенно ясной из анализа формулировки свойства И.

Задача 4. Докажите, что АЕИ ⇒ С,
то есть одновременное выполнение свойств А, Е и И влечет за собой выполнение свойства С.

Эта теорема исключает в нашей таблице еще два сочетания (какие?).

Какие группподы существуют?

Итак, из 32 пероначально намеченных типов группподов у нас осталось 22. Мы подошли теперь к основной задаче этой статьи:

Задача 5. Докажите, что все группподы, тип которых напечатаны черным шрифтом, существуют.

Как доказать существование математического объекта? Проще всего — построить пример. В самом деле, если мы сложем привести конкретный пример групппода, обладающего, скажем, свойствами КАЕИС, то этим самым докажем существование данного типа группподов.

Следовательно, чтобы решить задачу 5, достаточно сделать такую задачу:

Задача 7. Пусть M = {a, b, c}, а операция * задана «таблицей умножения» (рис. 2). Каков тип групппода (M; *)?

Задача 8. Рассмотрим групппод (R; ), где для любых x, y ∈ R xy = (√3x + √3y - √32)³.

Каков тип групппода?

Задачи 7 и 8 подсказывают два способа задания группподов — таблицы и формулы. Эти способы могут вам пригодиться при решении основной задачи 5′.

Конечные и бесконечные группподы

Групппод (M; *) называется конечным или бесконечным в зависимости от того, конечно или бесконечно множество M.

18

Псевдолинза Роберта Вуда

Может ли произная плоскопаралельная пластинка давать изображения предметов, то есть действовать подобно собирающей линзе? Давайте рассуждать.

Как формируется изображение в собирающей линзе? От точного источника света распространяется сферическая волна. В линзе центр волны проходит больший путь, чем края, поэтому он отстает от краев, а волна превращается в сходяшуюся. Световые лучи, которые всегда нормальны волновым поверхностям, при этом поворачивают так, что после выхода из линзы они пересекаются в одной точке. Эта точка и является действительным изображением источника.

В плоскопаралельной пластинке нормальное падание на нее лучи проходят одинаковые пути. Поэтому, на первый взгляд, кажется, что сделать из такой пластинки собирашую линзу нельзя. В прочем, можно поступить по-другому. Вспомним, что скорость света в веществе зависит от его показателя преломления: чем больше показатель преломления, тем меньше скорость света. Следовательно, чтобы из плоскопаралельной пластинки получить собирашую линзу, достаточно сделать показатель преломления наиболее близим к центре пластинки и постепенно уменьшится к ее краям.

В настоящее время линзы с переменным показателем преломления нашли применение в технике сантиметровых радиоволн. Для оптического диапазона электромагнитных волн изготовить подобную линзу, которая могла бы выдержать конкуренцию с объцной, довольно сложно. Однако выдающейся американский физик-экспериментатор Роберт Вуд предложил простую модель оптической линзы с переменным показателем преломления, которое он называет псевдолинзий. Несолько измененный способ изготовления псевдолинзий, приводящий на наш взгляд, к лучшим результатам, мы вам и рекомендуем.

Возьмите пробирку и насыпьте в нее фотографический или пищевой желатин так, чтобы образователься слой толщиной около 2 см. Налейте в пробирку до половины ее высоты воды и оставьте желатин на 2—3 часа набухать в воде. Затем следует из пробирки избыток воды и, нагрева пробирку на пламени сухого горючего, полностью расплавьте набухший желатин. (Пробирку нагревайте осторожно, чтобы приготовляемый состав не подгорел.) После этого в расплавленный желатин равное по объему количествоглицерина.

Пока состав охлаждается, приготовьте две чистые пластинки размером примерно 20×20 мм и 40×40 мм из тонкого стекла (можно использовать стекло тщательно от эмульсии фотопластики, оконное стекло или, в крайнем случае, оргстекло). Заготовьте также две полоски картона размером 4×25 мм и толщиной около 0,5 мм.

В охладивщейся состав опустите стеклянную трубку и перенесите его на расположенную горизонтальную большую стеклянную пластинку немного состава. Постаайте добиться, чтобы образователься капля была совершеннено круглой диаметром 6—10 мм. Если с первого раза вам не удалось получить то, что нужно, быстро вы можете в проточной воде стеклянную пластинку, насухо выритите ее и продолжайте все еще раз. Как только вы сумете получить нужную каплю, положите рядом с каплей на пластинку картоны

20

М. Апресян

Бескочечные суммы и… прямугольник

Сташеклассики знают, что при $|q| < 1$ сумма бесконечной геометрической прогрессии $1 + q + q^2 + q^3 + \dots$ равна $\frac{1}{1 - q}$, и умеют это доказать анализчески (см. пособие «Алгебра и начала анализа 9», п. 24).

Для $q = \frac{1}{n}$, где $n \in \mathbb{N}$, существует простой геометрический способ нахождения этой суммы.

Начем с $n = 2$: найдем сумму
$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$$

Возьем произвольный прямугольник площади 2. Разрежем его на два равновеликих (одинаковой площади) прямугольника единичной площади так, как показано на рисунке 1. Один из этих прямугольников снова разрежем на две равновеликые части; получим прямугольники площади $\frac{1}{2}$. С одним из них снова поступит так же — получим два прямугольника площади

Рис. 1.

Рис. 2.

21

Рис. 3.

$n$ — натуральные числа) равна $\frac{n}{m-n}$: для этого нужно оставить без изменения $n$ — $m$ единчных прямогольничков, а каждой из $m$ прямогольничков площади 1 снова разрезать на $n$ равновеликих частей (рис. 3). Затем оставить без изменения $n$ — $m$ полос, площади $\frac{m}{n}$ каждой, а каждой из $m^2$ прямогольничков площади $\frac{1}{n}$ снова разрезать на $n$ равновеликих частей. Вы уже договорались, что нужно делать дальше? Доведите это построение до «конца» и обоснуйте его.

В заключение мы с помощью прямогольника площади 2 вычислим еще одну бесконечную сумму; именно, мы докажем, что

$$1 + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{n+1!} + \dots = 2.$$

Первые два шага будут также же, как раньше: разрежем прямо-угольник на два прямогольника площади 1; один из них — на два прямогольника площади $\frac{1}{2}$ (рис. 4). А затем один из этих прямогольничков разрежем уже на три равновеликие частies (плошади $\frac{1}{6}$ каждой). Одну из частей плошади $\frac{1}{6}$ разрежем на четыре равновеликие частies; одну из них — на пятЬ частей и т. д. Продолжая этот процесс до бесконечности, мы получим в результате один прямогольничок площади 1, один — плошади $\frac{1}{2!}$, два прямогольничка площади $\frac{1}{3!}$, три — плошади $\frac{1}{4!}$, …, $n$ прямогольничков площади $\frac{1}{(n+1)!}$ и т. д. Значит, искомая сумма плошади исходного прямогольника, то есть двум.

Псевдолинза Роберта Вуда

(Начало см. на с. 18)

Отсюда, согласно формуле $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, можно найти формуле расстояние псевдолинзы: $F = 19,5$ см. Псевдолинзы диаметром около 6 мм имеют формуле расстояние порядка 10 см.

Каков прицип действия псевдолинзы? Показатель прямолиня глицерина $n_r = 1,47$; а показатель прямолиня воды $n_B = 1,33$. Вода, диффундируя в однородный цилиндрик, состоящий из железна и глицерина, вытесят из него глицерин. Цилиндрик при этом становится неоднородным, причем его показатель прямолиня постепенно уменьшается от центра к краям. А также система, как уже говорилось, ведет себя как собирающая линза.

Заметим, что примерно через сутки состав вновь становится однородным, и псевдolinза теряет свои удивительные свойства.

22

Задачи

M666—M670; Ф678—Ф682

M666. Докажите, что наименьшее общее кратное $n$ натуральных чисел $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ не меньше $na_1$.

A. Разборов

M667. Постройте треугольник $ABC$, если заданы его наименьший угол $\widehat{A}$ и отрезки длины $d = |AB| - |BC|$ и $e = |AC| - |BC|$.

H. Васильев

M668*. Последовательность $(x_i)$ определяется условиями

$$x_1 = 1, x_2 = 0, x_3 = 2, x_{n+1} = x_{n-2} + 2x_{n-1}$$

Докажите, что для любого натурального $m$ найдется два соседних члена этой последовательности, каждый из которых делится на $m$.

G. Козлов

M669. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Докажите, что

a) отрезок, соединяющий середины угла $AB$ и $CD$, перpendикулярен отрезку, соединяющий угол $BC$ и $AD$;

b) центры окружностей, вписанных в треугольники $ABC, BCD, CDA$ и $DAB$, являются вершинами прямогоугольника.

K. Малхасян, И. Герман

M670*. а) Дано несколько точек, неоторные пары которых соединены линями (точки таких пар называются соседями). Число соседей у каждой точки нечетно. В начальной момент все точки раскрашены в два цвета — красный и синий. Затем каждую минуту проискодит одновременное перекрашивание точки по следующему правилу: каждая точка, у которой большество соседей имеет отличный от нее цвет, меняет свой цвет; в противном случае ее цвет сохраняет.

Докажите, что наступит момент, начиная с которого у некоторых точки нет неудет меняться, а у некоторых точки такая же变化.

б) Останется ли это утверждение верным, если не предполагается, что у каждой точки число соседей нечетно?

O. Козлов

24

сигнал на входе антенны, необходимая для нормальной работы, $P_{\min} = 1 \cdot 10^{-13}$ Вт.
Оцените максимальную дальность обнаружения локатором самолета, площадь отраженной поверхности которого $S = 5$ м$^2$. Считать, что мощность отраженного сигнала в $n = 10$ раз меньше мощности падающего сигнала и отражение происходит равномерно во все стороны.

А. Зильберман

Решения задач

M616. Можно ли числа 1, 2, …, 30 разить на группы a) по пять чисел, b) по шесть чисел так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?

в) При каких n и k числа 1, 2, …, nk можно разить на n групп по k чисел так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Наозовем разбиение, удовлетворяющее условием задачи, правильным. Ответ на общий вопрос в) задачи дает

Теорема. Чтобы множество {1, 2, …, nk} допускало правильное разбиение на k-элементные подмножества, необходимого и достаточно, чтобы либо k было четным, либо nk нечетным.

Необходимость этих условий очевидна. В самом деле, пустые разбиение существует; тогда сумма чисел $\frac{nk(nk+1)}{2}$ делится на n (количество подмножества), то есть число $k(nk+1)/2$ — целое; поэтому либо k четно, либо nk+1 четно, то есть nk нечетно.

Отсюда видно, что ответ на вопрос a) задачи — отрицательный ($k=5$ нечетно, а $n=6$ четно).

Для доказательства достаточно сформулируем теорему в более наглідном виде:

Чтобы nk чисел {1, 2, …, nk} можно было разставить в таблицу из k строк и n стольцов правильным образом (суммы чисел во всех столбцах одинаковы), необходимого и достаточно, чтобы либо k было четным, либо nk — нечетным.

Пусть k четно. Тогда числа можно разставить в таблицу «змейкой» (рис. 1; для каждой двух последовательных строк сумма чисел в любом столбце одинакова).

Пусть nk нечетно. Расставим «правильно» в трех верхних строках таблицы числа {1, 2, …, 3n} (оставшиеся числа, начиная с числа 3n+1, можно разставить в таблицу $(k-3) \times n$ змейкой, поскольку $k-3$ четно — рис. 2). Как это сделать при $n=3, 5, 7$, показано на рисунках 3, а—в. Аналогичным образом можно построить таблицу $3 \times n$ для любого нечетного $n=2m+1$ (рис. 4; проверьте, что в нее входит по разу любое число от 1 до $3n=6m+3$).

Легко видеть, что справедливо тривальное обобщение доказанной теоремы: чисles nk чисел {a+1, a+2, a+3, …, a+nk} можно было разставить в таблицу из k строк и n стольцов правильным образом, необходимого и достаточно, чтобы либо k было четным, либо nk — нечетным.

Это обобщение подсказывает еще один способ «правильной разстановки» в прямую линия $3 \times n$: надо разить прямую линия $3 \times n$ на прямую линия $3 \times 3, 3 \times 5$ (либо нечет-

25

ное число $n \geqslant 9$ можно представить в виде $n=3p+5q$, где $p, q$ — целые неотрицательные числа) и правильным образом расположить в них отрезки ряда $\{1, 2, \dots, 3n\}$ — соответственно, из 9 и 15 чисел — так, как в уже готовых табликах на рисунках 3, а, б (при этом в каждой прямогольнике придется добавить к числом своего константу $a$).

Подумайте над таким более сложным вопросом: при каких $k < n$ существует «магический прямогольник» из чисел 1, 2, …, $nk$, у которого суммы чисел по всем строкам равны между собой и суммы чисел по столбцам тоже. Магический квадрат существует при любом $n \geqslant 3$ (см. книгу М. М. Постникова «Магические квадраты», М., «Нayka», 1964).

С. Берколайко, Н. Васильев

M617. Внутри треугольника расположены окружности $a, b, \gamma$, δ одинакового радиуса так, что каждой из окружностей $a, b, \gamma$ касается двух сторон треугольника и окружности $b$. Докажите, что центр окружности δ принадлежит прямой, проходящей через центры в данной треугольник окружности и окружности, описанной около него.

Пусть $ABC$ — данный треугольник и $O_1, O_2, O_3$ — центры конгрузных окружностей, касающихся пар его сторон, а $O_4$ — центр четвертой окружности — той, которая касается указанных трех (см. рисунок). Длины их радиусов обозначаем через $q$. Треугольник $O_1O_2O_3$ готовится треугольнику $ABC$, так как его стороны соответственно параллельны сторонам треугольника $ABC$. Не трудно видеть, что центром этой гомотетии будет точка $N$, являющаяся одновременно центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$, и центром окружности, вписанной в треугольник $O_1O_2O_3$. Действительно, прямые $AO_1, BO_2, CO_3$ являются биссертрисами углов как треугольника $ABC$, так и треугольника $O_1O_2O_3$, а точка $N$ — точка пересечения этих биссертрис.

Теперь заметим, что точка $O_4$ является центром окружности, описанной вокруг треугольника $O_1O_2O_3$ (ее расстояние до каждой из вершин этого треугольника равно 2$q$).

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $N$, переводящий треугольник $O_1O_2O_3$ в треугольник $ABC$. Точка $O_4$ переходит при этом в некоторую точку $M$, лежащую на прямой $NO_4$. Мы уже знаем, что точка $O_4$ была центром окружности, описанной вокруг треугольника $O_1O_2O_3$; следовательно, ее образ — точка $M$ — будет центром окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$. Итак, центр окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$, лежит на одной прямой с точкой $O_4$ и с центром окружности, описанной в треугольнике $ABC$. Тем самым доказано утверждение задачи.

Нетрудно вычислить величины q этих четырех окружностей через $r$ и $R$ — радиусы вписанной в треугольник окружности и окружности, описанной около него.

Заметим, что радиус окружности, вписанной в треугольник $O_1O_2O_3$, равен $r-q$, а радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, равен $2q$.

Пусть $k$ — коэффициент рассмотренной выше гомотетии. Тогда $(r-q)k=r$ и $2qk=R$. Выразив $k$ из каждой соответствия и приравняв полученные выражения, найдем

$$\frac{r}{r-q} = \frac{R}{2q},$$

откуда

$$q = \frac{rR}{R+2r}.$$

А. Савин

26

М618. а) Докажите, что существует бесконечного много натуральных n таких, что n! делится на $n^2+1$.

б) Докажите, что для любого a>0 существует бесконечного много натуральных n таких, что $[\alpha n]!$ делится на $n^2+1$. (Здеся m!=1·2·…·m; [x] — целая часть числа x.)

Покажем, например, что существует бесконечного много n, при которых $n^2+1$ имеет вид $5m^2$. Инными словами, уравнение $n^2-5m^2=-1$ имеет бесконечное число натуральных решений. Это утверждение следует из следующих двух фактов, каждый из которых проверяется непосредственно: пара $n=2$, m=1 удовлетворяет этому уравнению, и если n=a, m=b — его решение, то и пара $n=9a+20b$, m=4a+9b тоже (как doit это этих формул, объясняется в статье Н. Вагутена «Сопряжение числа», «Квант», 1980, № 2).

Это сразу дает нам доказательство утверждения задачи a). Действительно, при найденных значениях n имеем $n^2+1=5m^2$, $m=\sqrt{\frac{n^2+1}{5}}<\frac{n}{2}$ и n! делится на $n^2+1$, так как при n>5 в произведение 1·2·3·…·n встречются числа 5, m и 2m.

Так же можно действовать и в общем случае 6). Но для этого пришлось бы доказывать, что существует бесконечного много натуральных D таких, что число натуральных решений уравнения $n^2-Dm^2=-1$ бесконечно (выбрав тогда D так, чтобы выполнялось неравенство $D\geqslant5/\alpha^2$, мы бы получили искомые значения n). Это утверждение верно, но элементарное доказательство его весма сложно, поэтому мы поддем другим путем.

Будем искать нужные нам n среди чисел вида $2k^2$. В этом случае $n^2+1$ разлагается в произведение $n^2+1=4k^4+1=(2k^2+2k+1)(2k^2-2k+1)$, но это еще не достаточно. Покажем, как получить много таких k, при которых числа $P(k)=2k^2+2k+1$ и $Q(k)=2k^2-2k+1$ — составные (разлагаются на множители). Возьмем произведение натуральное c и положим p=P(c), q=Q(c). Тогда при любом l число P(c+lpq) делится на q (доказите!). Пусть $P(c+lpq)=p\cdot r$ и $Q(c+lpq)=q\cdot s$. Взяв c достаточно большим, мы можем добиться того, чтобы p=P(c) и q=Q(c) стали больше, чем 5/a (это следует из того, что P(k) и Q(k) неограниченно возрастают с ростом k). В таком случае $n^2+1=4k^4+1=P(k)\cdot Q(k)=p\cdot q\cdot r\cdot s$, где $k=c+lpq$, $r=P(k)/p<\frac{P(k)}{5/\alpha}<\frac{an}{4}$ (при k>5) и $s=Q(k)/q<\frac{Q(k)}{5/\alpha}<\frac{an}{4}$ (при k>5). Выбирая теперь l так, чтобы p и q были меньше, чем an/4, получаем, что в последовательности 1, 2, 3, …, [an] существует четые различных числа, одно из которых делится на p, другое на q, третье на r, а четвертое на s. Таким образом, мы построили бесконечное многоответство n, что [an] делится на $n^2+1$.

Возможны и другие решения этой задачи. Найболее короткое, по-видимому, основано на разложении

$$64m^{12}+1=(4m^4+1)(4m^4-4m^3+2m^2-2m+1)\times(4m^4+4m^3+2m^2+2m+1)$$

(это решение предложено нашим читателем В. Юдаковым).

А. Вайнтроб

Рисунок к М619.

М619. Докажите, что если для виссанного четырехугольника ABCD выполено равенство $|CD|=|AD|+|BC|$, то bicсекtrисы его углов A и B пересекаются на стороне CD.

В задане, по существу, требуется доказать существование бесконечного числа натуральных n таких, что $n!$ делится на $n^2+1$.

Покажем, например, что существует бесконечного много натуральных n таких, что число натуральных решений уравнения $n^2-Dm^2=-1$ бесконечно (выбрав тогда D так, чтобы выполнялось неравенство $D\geqslant5/\alpha^2$, мы бы получили искомые значения n). Это утверждение верно, но элементарное доказательство его весма сложно, поэтому мы поддем другим путем.

Возьмем на стороне CD точку K так, чтобы $|DK|=|AD|$, $|KC|=|BC|$ (см. рисунок), и опишем около треугольника ABK окружности. Пусть M — вторая точка пересечения этой окружности с [CD]. Покажем, что [AM] и [BM] — bicсекtrисы соответствующих углов. Например, для [AM] имеем $BAM=BKC=90^\circ-\frac{BCK}{2}=90^\circ-\frac{1}{2}(180^\circ-DAB)=\frac{1}{2}DAB$, что и требовалось.

И. Шарын

27

М620. Пусть $x_1, x_2, \dots, x_n$ — действительные числа такие, что $x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = 1$. Доказите, что сумма моделей $2^n$ чисел

$$\pm x_1 \pm x_2 \pm \dots \pm x_n$$

(so всевозможными комбинациями знаков «+» и «-») не превозходит $2^n$.

Докажем вначале, что если $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_k^2 = k$, то $a_1 + a_2 + \dots + a_k \leq k$. В самом деле, пусть $a_i = 1 + a_i$ ($i = 1, 2, \dots, k$). Тогда

$$a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_k^2 = k + 2(a_1 + \dots + a_k) + (a_1^2 + \dots + a_k^2),$$

откуда

$$a_1 + a_2 + \dots + a_k = -\frac{1}{2} (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_k^2) \leq 0.$$

Позетом

$$a_1 + a_2 + \dots + a_k = k + (a_1 + a_2 + \dots + a_k) \leq k.$$

Обозначим теперь сумму моделей $2^n$ чисел

$$\pm x_1 \pm x_2 \pm \dots \pm x_n$$

(so всевозможными комбинациями знаков «+» и «-») через $S$. Нетрудно проверить, что сумма квадратов всех $2^n$ чисел, входящие в сумму $S$, равна $2^n (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2) = 2^n$. Обозначим $2^n$ чисел, входящие в $S$, через $a_1, a_2, \dots, a_{2^n}$. Тогда $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{2^n} = 2^n$, и из утверждения, доказанного выше, получаем оценку $a_1 + a_2 + \dots + a_{2^n} \leq 2^n$, что и требовалось доказать.

Как справедливо заменил наш читатель А. Хейфцц из Ростова-на-Дону, задача М620 является частным случаем следующей обещания М. Klamkin’a (American Mathematical Monthly, 1975, 82, № 8, p. 829—830):

Пусть $x_1, x_2, \dots, x_n$ — любые действительные числа. Тогда при $\lambda \geq 2$ и при $\lambda \leq 0$ имеет место неравенство

$$\sum |\pm x_1 \pm x_2 \pm \dots \pm x_n|^\lambda \geq 2^n \left( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right)^{\lambda/2},$$

а при $0 < \lambda < 2$ — неравенство противоположного смысла. (Суммирование в левой части произвольных комбинаций знаков «+» и «-».) Предлагаем вам подумать над доказательством этого утверждения самостояльно.

И. Клумова

М621. Вокруг окружности описан п-уольник. Произвольная точка $P$ внутри окружности coединина со всеми его вершинами и точками касания. Образовавшиеся 2n треугольников окружены по переменной в красный и синей цвете. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведение площадей синей треугольников.

Ф623. Переменный конденсатор с начальной emкостью $C_0$, заряженный до направления $U$, замыкот на резистор с сопротивлением $R$ (см. рис.ок). Как нужно изменять со временем emкостью конденсата-

◆ Пусть $A_1 A_2 \dots A_n$ — описанный $n$-угольник, $t_1, t_2, \dots, t_n$ — длины отрезков касательных, проведенных к окружности из точки касания отрезками, то произведение $n$ длины отрезков, которые попали в синей треугольнике, равно произведение $n$ длины отрезков, которые попали в синей треугольнике. Для доказательства достаточно заметок $T_{k-1} T_k$, равно отношению площадей треугольников $PT_{k-1} A_k$ и $PT_k A_k$.

◆ Ток, в цепи определяется напряжение на резисторе, равным напряжению на конденсаторе: $I = U/R$. Так как ток должен постоянным, постоянным должно быть и напряжение на конденсаторе, то есть

$$\frac{q_0}{C_0} = \frac{q_0 - \Delta q}{C},$$

28

тора, чтобы в цепи щел потояний ток? Какую мощность развивают внешние силы, благодара которых изменяется емкость конденсатора?

Ф624. В отростке сосуда, закрытою плоским поршнем диаметра $D=5$ см, имеется небольшое количество воды (см. рисунок). Диаметр отростка $d=2$ мм. Если при постоянной температуре $t=20^\circ C$ поршень опустить на $H=10$ см, то уровень воды в отростке повышается на $h=1$ мм. Найти давление насыщенных паров воды при температуре $t=20^\circ C$.

Ф625. Из яичной скорлупы сделан реактивный двигаель, показанный на рисунке. Площадь отверстия в скорлупе $s=3\text{ mm}^2$. Какова наиболее сила этой такого двигаеля, если температура воды в скорлупе поддерживается равной $100^\circ C$?

Где $q_0$ — начальный заряд конденсатора, $\Delta q=It/R$ — заряд, прошедший по цепи за время $t$, $C$ — емкость конденсатора в момент времени $t$. Отсюда

$$C = C_0 \left( 1 - \frac{\Delta q}{q_0} \right) = C_0 \left( 1 - \frac{t}{RC_0} \right).$$

Для определения мощности $N$, развиваемой внешними силами, воспользуемся законом сохранения и изменения энергии: изменение энергии системы за время $t$ равно равоте внешних сил, то есть

$$\left( \frac{CU^2}{2} - \frac{C_0U^2}{2} \right) + I^2Rt = Nt.$$

Отсюда, учитывая зависимость емкости от времени, находим мощность внешних сил:

$$N = \frac{U^2}{2R}.$$

П. Зубков

◆

Так как в отростке с самого начала находится вода, воданой пар в сосуде — насыщенный. При опускании поршня его давление не меняется, а вес пар, находящийся в «исчезаюшем» объeme

$$V = \pi D^2/4H,$$

конденсируется. Масса сконденсировавшейся воды равна

$$m = \varrho p d^2/4h,$$

где $\varrho = 10^3 \text{ кг/m}^3$ — плотность воды.

Из уравнения Менделеева — Клапейрона находится насыщенного пара:

$$p = \frac{m}{\mu} \frac{RT}{V} = \varrho \left( \frac{d}{D} \right)^2 \frac{h}{H} \frac{RT}{\mu} = 2,16 \text{ кПа.}$$

Заметание. В полученной формуле величины $d$ и $D$, $h$ и $H$ образуют безразмерные комбинации. Следовательно, значения этих величины можно подставлять в любых, но обязательно одинаковых единиц измерения. Например, $d$ и $D$ — в миллиметрах, $a$ и $H$ — в сантиметрах. При условии, что остальные величины ($\varrho$, $R$, $T$ и $\mu$) выражены в единицах СИ, ответ получится в пакалех.

В. Белонуккин

◆

Согласно закону сохранения импульса, реактивная сила, действующая на скорлупу, равна по модulo разности импульсов молекул, вылетевших из скорлупы за единицу времени и вылетевших в скорлупу за то же время. С другой стороны, давление газа на стенку есть не что иное как удвоенный импульс молекул, ударяющийся о единицу площади поверхности стены в единицу времени. Таким образом, импульс молекул, вылетious из отверстия площадью $s$ в единицу времени, равен $ps/2$, импульс вылетious молекул — $p_0s/2$ (где $p$ и $p_0$ — давления внутри скорлупы и вне ее соответствие), а искомая сила

$$F = \frac{ps}{2} - \frac{p_0s}{2} = (p - p_0) \frac{s}{2}.$$

Максимальное давление, которое теоретически можно получить внутри скорлупы, несколько больше удвоенного атмосферного давления. Действительно, если воду в скорлупе нагревается так быстро, что масса воздуха не успет измениться, давление будет складывать из давления воздуха (которое при $100^\circ C$ несколько больше атмосферного) и давления насыщенного водяного пара (которое при $100^\circ C$ равно атмосферному). В этом случае

$$F_{\text{max}} = (p_{\text{max}} - p_0) \frac{s}{2} = p_0 \frac{T}{T_0} \frac{s}{2} \approx 0,2 \text{ H}.$$

30

талл будет быстро остывать, а нагар будет продолжать оставаться горячим. Если же кастрюлю охлаждать изнутри, нагар будет остывать медленно, температура металла будет успевать следовать за температурой нагара и разностти температур практические не будет.

Возникают ли силы, способствующие отделению нагара, при медленном охлаждении, то есть практические при равенстве температур металла и нагара? Да, так как у металла и у нагара различные коэффициенты линейного расширения. Но, оказывается, эти силы недостаточны для разрушения слоя нагара и его отделения от дня кастрюли.

Л. Ашкинази

Ф628. В вертикальной трубке длиной $H=152$ см, запаянной с нижнего конца, имеется столькirk воздуха высотой $h=76$ см, запертый стольком ртути (рис. 1). Атмосферное давление равно $10^5$ Па, а температура $t_0=17^\circ$ С. До какой температуры $t_1$ следует наресть воздух в трубке, чтобы все ртуть выиллась?

Рис. 1.

Рис. 2.

Начальное давление воздуха в трубке складывается из гидро-статического давления столька ртути высотой $H-h=76$ см и давления атмосферы. Атмосферное давление по условию равно $10^5$ Па≈76 см ртути. ст. Таким образом, начальное давление воздуха в трубке приблизительно равно удвоенному атмосферному давлению.

Будем считать, что вытекание ртути производит медленно, так что система в каждой момент можно считать нахождениеся в состоянии равновесия. В конечном состоянии, когда почти все ртуть выилется, давление воздуха в трубке будет равно атмосферному, то есть вдвое меньше нахального. Объем же воздуха $HS$ (S — площадь поперечного сечения трубки) будет вдвое больше нахального объема $hS$. Согласно уравнению состояния идеального газа это означает, что температура в конечном состоянии должна быть такой же, как и в начальном!

Разумеется, вообще без повышения температуры ртуть выилится из трубки не будет. Поэтому полученный результат означает, что для ответа на вопрос задачи ограничиться рассмотрением только нахального и конечного состояния, а нужно проследить за всем процессом.

Выясним, как должна изменять температура воздуха в трубке для того, чтобы ртуть выилалась постепенно и в каждой момент времени системы можно было считать нахождение в состоянии равновесия.

Обозначим высоту столька воздуха в некоторый момент времени через $z$. Тогда давление воздуха в трубке $p(z)$ равно

$$p(z) = p_0 + \rho g(H-z),$$

где $\rho$ — плотность ртути, а $p_0$ — атмосферное давление, которое по условию задачи приблизительно равно давлению столька ртути высоты $H/2$:

$$p_0 = \rho g H/2.$$

Подставляя (2) в (1), получаем

$$p(z) = \rho g \left( \frac{3}{2} H-z \right).$$

Поскольку мы предполагаем, что воздуха в трубке находится в состоянии термодинамического равновесия при любом $z$, то давление $p(z)$ воздуха, занимаемый им объем $Sz$ и температура $T(z)$ связаны уравнением состояния идеального газа:

$$\frac{p(z) Sz}{T(z)} = \frac{2 p_0 SH/2}{T_0},$$

где $T_0$ — начальная температура, $2 p_0$ — начальное давление воздуха в трубке, $SH/2$ — начальное объем воздуха. Подставляя в (4) $p(z)$ из (3) и $p_0$ из (2), находим зависимость температуры от высоты столька воздуха в трубке:

$$T(z) = T_0 \frac{(3H-2z)z}{H^2}.$$

График функции $T(z)$ показан на рисунке 2. Процессу выиливания ртути соответствует участку точками $z=H/2$ и $z=H$, изображенный сплошной линейной. Видно, что для медленного (квазиравновесного) процесса температура должнаначала повышаться до значения $T_1=(9/8)T_0$ (при этом

31

Рис. 3.

Ф629. Шарик массы m подвешен на пружине жесткости k (пружинный магнитик). Точка подвеска пружины совершает вертикальное гармоничное колебания с амплитудой a и частотой $\omega$. Как движется шарик при установившихся колебаниях?

Ф630. Элемент atomной батареи представляет собой конденсатор, на одну из пластин которого нанесен радиоактивный пренарат, испускющий α-частицы со скоростью $v_0=2,2 \cdot 10^6$ m/c. Определить ЭДС этого элемента. Отношение заряда α-частицы к ее массе k=4,8 $\cdot 10^7$ Кл/кг.

вылется половина первого嗽ального количества ртути), а затем попжаться до начального значения $T_0$. Поэтому для полного выпжания ртути воздуха в трубке нужно нагреть до температуры $T_1 \approx 326$ K. Доступный этой температуры, нужно сохранить контакт с нагревателем, имеющим температуру $T_1$. Дальше ртуть будет выпжаться смара, причем этот процесс уже не будет квазиравновесным.

Чтобы лучше уяснить это, полезно рассмотреть процесс на $p-V$-диаграмме (рис. 3). Равновесному процессу вытекания ртути соответствует линейная зависимость давления воздуха в трубке от z, описываемая формулой (3) и показанная сплошной прямой между значениями $z=H/2$ и $z=H$. На этом же рисунке изображены изображения соответствующих температур $T_0$ и $T_1$. Начальное и конечное состояние лежат на одной изтерме. Видно, что при температуре выше $T_1$ ни одна изтерма не пересекает прямой $p(z)$, то есть равновесие воздуха в трубке не возможно ни при каком значении высоты столбика z. Поэтому, если температура воздуха будет поддерживать хотя бы выше значения $T_1$, вся ртуть неизбежно будет вытолкнута воздуха из ртуки.

E. Бутиков, А. Быков, А. Кондратев

На рисунке показано положение системы в некоторый момент времени t. Точка O — положение равновесия точки подвеса; x — отклонение шарика от положения равновесия, при которомлина пружины равна $l_0+mg/k$ ($l_0$ — длина пружины в нерастиутом состоянии).

Запишем уравнение движения шарика:

$$mg-k\Delta X=m\ddot{x}.$$

Подставив $\Delta X=\frac{mg}{k}+x+a\sin \omega t$ (полное удилинение рружины), получим:

$$m\ddot{x}+kx=-ka\sin \omega t.$$

Вынужденные колебания шарика произходит с частотой вынужденной силы, то есть с частотой $\omega$. В установившемся режиме собственные колебания, частота которых $\omega_0=\sqrt{k/m}$, отсутствует.

Будем искать решение (1) в виде

$$x=A\sin \omega t+B\cos \omega t,$$

где A и B — некоторые постоянные коэффициенты, которые нужно определить. Взяв дважды произвольную от (2) и подставив (2) в (1), получим:

$$(-A\omega^2 m+kA)\sin \omega t+(-B\omega^2 m\cos \omega t+kB)\cos \omega t$$

$$=-ka\sin \omega t.$$

Это равенство должно выполнять в любой момент времени.

Взяв $t_1=0$ и $t_2=\pi/2\omega$, найдем $B=0$, $A=\frac{ka}{\omega^2 m-k}=\frac{a}{\omega^2-\omega^2}=1$.

Подставив найденные значения A и B в (2), получим:

$$x=\frac{a\sin \omega t}{\omega^2-\omega^2}-1.$$

A. Зильберман

Электродвижущая сила источника равна отношению работы сторонних сил по перемещению заряда по цепи к величины этого заряда. Максимальный ЭДС будет тогда, когда α-частицы уже не будут достигать противоположной пластинкой конденсатора. Другими словами, когда работа стороны силы равна кинетической энергии вылетающих α-частиц:

$$\mathcal{E}=\frac{mv_0^2}{2q}=\frac{v_0^2}{2k}\approx 5 \cdot 10^5 \text{ B}=500 \text{ kB}.$$

A. Гризоренко, ученик 10 класса, г. Макеева Донецкой обл.

32

Играют полифигуры

В «Кваните» (1978, № 11, с. 37) уже рассматривались группы коней, живущих на (бесконечной) шахматной доске по закону взимной зашиты. Напомним, что набор коней, занимающий определенную позицию, называется активным экладроном, если, передвигая их (на каждом ходу по шахматным правилам передвигается какой-нибудь из коней набора), мы можем достичь одним из коней любого направления заанного поля, причем как в начальной момент, так и после каждого хода любой конь зашищен, по крайней мере, один конем из набора. Пример активного экладрона из пятей коней показан на рисунке 1 (доказательство — «Квант», 1978, № 12, с. 61).

Естественный обобщением активного экладрона является полифигура Π(n,k)—набор из n одинаковых фигур, передвигая которые (на каждом ходу по шахматным правилам передвигается какая-нибудь из фигур набора), мы можем достичь одной из фигур любого направления заанного поля, причем как в начальной момент, так и после каждого хода, любая фигура зашищена, по крайней мере, k фигурами из набора*). Для коней соответствующая полифигура будет называться экладроном Э(n,k) (например, активный экладрон на рисунке 1 — это Э(5,1)), для королев — кланом K(n,k), для ферзей — фраクцей Ф(n,k) и для ладей — люоЙ Л(n,k).

Задача 1. Докажите, что лиза, фраクцей, экладрон и клан возможны только при k=1, k≤3, k≤2 и k≤2 соответственно.

На рисунке 2 показаны Л(3,1), Ф(2,1), Ф(3,2),

*) При этом фигуры считаются «непрозрачными»: наprimер, две ладьи Ла2 и Ла3 зашищают ладью Ла1 не двукратно, а однократно.

Рис. 1.

Л (3,1)

Ф (3,2)

К (2,1)

Рис. 2.

К (4,2)

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

K(2,1) и K(4,2). Легко проверить, что при фиксировании k эти полифигуры минимальны по n (по количеству фигур).

На рисунке 3 показана минимальная (по n) фраクция Ф(n,3): для нее n=6.

Задача 2. Проверить, что полифигура на рисунке 3 действительное является фраクцей Ф(6,3) и доказите ее минимальность по n (при K=3).

Указание: сdwиг на одну клетку все фракиции — шестиходовка!

Описанных выше полифигурами можно играть (наprimер, на доске 8×8), если договориться о правилах; ниже мы сформулируем три правила, позволяющих ставить игровые задачи.

1. Игроки ходят поочередно, на каждом ходу переставляя одну из своих фигур на свободное поле (браться чужие фигуры нельзя) так, чтобы не испортить своих полифигур.

2. Полифигура Π(n,k) считается уничтоженной ходом полифигуры Π′(n′,k′), если у полифигуры Π этом ходом нарушено «условие к кратной зашиты». Уничтоженная полифигура с доски. (Наprimер, экладрон Э(5,1) на рисунке 4 уничтожил фракуцей Ф(6,3), разрушив взаимную зашиту двух крайних слева ферзей.)

III. Клану K(n,k) обьявлен шах (соответственно мат), если он объявлен каждому из королевы клана. (На рисунке 5 показано, как фракиция Ф(3,2) обьявила мат клану K(2,1).)

Задача 3. Поставит ли фракуцей Ф(2,1) формированный мат клану K(2,1) на доске 8×8? А фракуцей Ф(3,2) — клану K(2,1)?

При этих правилах ни клан, ни экладрон не могут быть уничтожены. Подумайте, как переделать правила II с тем, чтобы экладрон тоже можно было уничтожить.

В заключение мы предлагаем вам самостояльно поиграть в полифигурные шахматы. Если при этом возникнут интересные вопросы, напишите нам.

В. Чванов

33

Задания

1. В жаркий летний день представители нескольких фирм собраслись на переговоры.
   Вначале, при обсуждении двусторонних договоров, за каждым столом сидели по два человека — и служители поставили на каждый стол по бутылке минеральной воды.
   Потом представители разбили на группы по трое — и служители принесли каждой группе по бутылке лимонада.
   В заключение за каждым столом уселись по четыре человека — и на каждый стол поставили по бутылке фруктового сока. Кроме того, каждый представитель выпил по бутылочке пепси-колы.
   После совещания со всех столов было собрано 50 пустых бутылок.
   (Известно, что все поданные напитки были выпиты и никогда не унес с собой ни одной бутылки.)
   Сколько человек участвовали в совещании?

2. Имеются шестилитровая кастрюля и четырехлитровая банка (см. рисунок). Требуется найти из бочки один литр воды.

3. Дедушка подарил Пете на день рождения пятирублевую бумажку. Пошел Петя в «Спорттовары», чтобы купить компас за 3 рублей. Подошел к кассе, а кассира говорит: «Чем я тебе сдачи давать буду? У меня одна медь, да и той, боюсь, не хваитит!» Стала набирать 2 рублей: сначала пятаками — пятаки скоро кончились, потом трехкопеечными монетами — и эти кончились, затем «двушками». Когда кончились и «двушки», набралось 1 рублей 99 копеек, а в кассе осталась одна-единственная копейка. Взяла ее кассира и говорит: «Ну, повезло тебе! Ровно 2 рублей набралось!»
   Взял Петя сдачу, получил компас, собрался уходить и вдруг видит

Эти задания нам предложили
А. Кушин, Г. Кушиниренко,
А. Халамайзер

34

В математическом кабинете, где занимались участники школьного математического кружка, стояли счета, изображенные на заставке слева. Но однажды, прийдя на очередное занятие кружка, школьники увидели еще один, «испоренные» счета (они изображены на заставке справа).

— Что это такое? Зачем нам испоренные счета? — спросил кто-то из ребят.

— Не удивляйтесь, — сказал учитель математики. — Это новые счета, на которых мы сейчас научимсячитать.

Прежде всего разберемся в их конструкции. Каждая костька нижней проволочки, как и на привычных вам счетах, имеет «вес» равный единице. А вот любая из четырех косточек, расположенных на второй счете, заменяет уже не десять косточек нижней проволочки, как в обычных счетех, а две, и поэтому ее «вес» равен не десяти, а двуум. Легко сообщить, какой «вес» имеет любая из косточек, расположенных на третьей и четвертой provолочках.

— Я, кажется, договорая, — воскликнул один из школьников. — Любая костька третьей provолочки заменяет четыре косточки второй provолочки, и поэтому «вес» ее равен восмыи, а «вес» косточки с самой последней provолочкой равен уже сорока восмыи единицам.

— Правильно, — подтвердил учитель. — Таким образом, «вес» косточек образуют последовательность 1, 2, 8 и 48.

Знакомство с необучными счетами привело нас к новой системе численения; назовем ее «испоренной». Посмотрим, что в этой системе ознакомает, например, запись 3021₁.

35

Имеем
$$3021_n = 3 \cdot 48 + 0 \cdot 8 + 2 \cdot 2 + 1 = 149_{10},$$
то есть $3021_n$ — это десятичное число 149.

Нетрудно сообщать, что в младшем разряде этой системы придется использовать только цифры 0 и 1, в следующем — цифры 0, 1, 2, 3, в следующем — цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5. Легко понять, как будут выглудеть в этой системе признаки делимости на 2, 8, 48 (числа берутся в десятичной системе): число $a_1 a_2 a_3 a_4$ четно тогда и только тогда, когда $a_4 = 0$; число $a_1 a_2 a_3 a_4$ делится на 8 тогда и только тогда, когда $a_3 = a_4 = 0$ (то есть оканчивается двумя нулями); число $a_1 a_2 a_3 a_4$ делится на 48 тогда и только тогда, когда $a_2 = a_3 = a_4 = 0$ (оканчивается третья нулями).

Научиться считать на «испорченых» счетах совершенно.

Прошло несколько минут, и ребята уверенно складывают и вычитали числа в «испорченой» системе чисс-

ления, решали и другие забавные задачи на «испорченых» счетах.

Предлагаем и вам поprobовать свои силы в решении некоторых задач.

Задачи

1. а) Имеется 23 камешка. При их пересчитывании (по одному) выполняли косточек (по одному) на новых счетах. Как будут выглудеть счеты по окончании пересчитывания всех камешков? Изображите счеты с отмещенным на них результатом пересчитывания и запишите это число в «испорченой» системе.

6. Какое наиболее число можно отложить на «испорченых» счетах? Запишите это число в «испорченой» системе. Какому десятичному числу оно равно?

2. На счетах, изображенных на рисунке, отмещены числа в «испорченой» системе. Каким десятичным числом они соответствуют?

3. Отложите на необъчных счетах десятичные числа 37, 59, 101, 269.

4. Выполните указанные действия (результаты проверте на счетах):
   $$231_n + 120_n; 4021_n + 2521_n; 320_n + 4430_n; 221_n - 30_n; 1001_n - 231_n; 4021_n - 311_n.$$

5. Утройте число 21. Рассказите, как вы выполнили умножение.

6. Выполните умножение $1311_n \times 21_n$.

Письмо в редакцию

Уважаемый товарищ редактор!

Недавно вышла из печати книга В. Гильде и З. Альтрихтера «С микрокалькулятором в руках» (М., «Мир», 1980), рассчи-

танная на массового читателя. Хочу обратить Ваше внимание на опечатки в этой (в целом очень хорошо) книге на с. 38, которые описны прежде всего для юного читателя, поскольку старшее поколевание, возможно, еще помнит правильное значение числа истихи для его запоминания.

Во-первых, приведенное значение числа л неверно в двух последних знаках. Правильное значение составляет 3,1415926536, это округление значения 3,141592653589…

Во-вторых, не подходит извввенный стилок для заполнения числа л. В этом стилке число буков в словах определяет последовательные цифры числа л, но все дело в том, что приведенный в книге текст дает верный результат только в старой орфографии:

Кто и шутя, и скоро
пожелает
Пи узнать число, ужь знаеть!

E. C.

37

в виде дроби не единственно. Так, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \dots$.

Будем искать определение степени $a^r$, где $a > 0$, $r = \frac{m}{n}$, исходя из необходимости сохранения свойства $1^0$. Это значит, что для любых $r_1$ и $r_2$ должны выполняться соответствие $a^{r_1} + a^{r_2} = a^{r_1} \cdot a^{r_2}$.

Предположим, что мы уже знаем, что такое $a^{\frac{m}{n}}$. Пусть $a^{\frac{m}{n}} = k$.

Тогда должно быть $(a^{\frac{m}{n}})^n = k^n = a^{\frac{m}{n}} + \frac{m}{n} + \dots + \frac{m}{n} = a^m$. Окончательно получаем $k = \sqrt[n]{a^m}$.

Это соответствие подсказывает следующие определение:

О пределене 4. Если $a > 0$, то $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Заметим, что для отрицательных $a$ понятие степени с рациональным не целым показателем не определяется. Также заметим, что в учебнике изучению степени с рациональным показателем предшествует тема «Корень $n$-й степени и его свойства» («Алгебра 8», §9), в котором выводятся основные свойства корня $n$-й степени, позволяющие доказать, что приятое нами определение $a^r$ корректно. Под корректностью определения в данном случае понятие независящность числа $a^r$ от записи числа $r$ в виде дроби, то есть, в конечном случае, справедливо равенства $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{a^{km}}$, где $k \in \mathbb{N}$, $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$.

Упражнение 3. Повторите свойства корня $n$-й степени и выведите из них свойства $1^0 - 6^0$ степени с рациональным показателем.

Степень с действительным показателем.

В учебнике «Алгебра и начала анализ 10» вводится показательная функция с любым действительным показателем (п. 108). Фактически и здесь ставится задача найти

*) «Алгебра 8», § 10.

«хорошее» определение степени с действительным показателем, причем в самом определении показательной функции перечисляется те ее свойства, которые могут быть выведены из этого «хорошого» определения. Каково же «хорошее» определение степени с любым действительным показателем?

Пусть для определности $a > 1$. Если $x$ — рациональное число, то $a^x$ нами уже определено, причем функция $y = a^x$ в силу свойства $5^0$ возвращает на множество $Q$ всех рациональных чисел (при $0 < a < 1$ функция $y = a^x$ убивает (свойство $6^0$) на множество $Q$).

Для того чтобы продолжить функцию $y = a^x$ на множество $R$ всех действительных чисел, мы сначала потребуем лишь сохранения многоотности этой функции.

Пусть $a$ — irrationalное число, а $r_1$ и $r_2$ — irrationalные числа, для которых $r_1 < a < r_2$. Предположим, что нам уже известно, что такое $a^a$. В силу нашей требования, должны быть справедливны неравенства

$$a^{r_1} < a^{a^a} < a^{r_2}.$$

Таким образом, число $a^a$ должно быть заключено между любыми двумя числами $a^{r_1}$ и $a^{r_2}$, где $r_1 < a < r_2$.

В курсах математического анализа доказывается, что существует единственное число $b$, для которого справедливо все неравенства $a^{r_1} < b < a^{r_2}$, где $r_1$ и $r_2$ — произвольные рациональные числа, для которых $r_1 < a < r_2$.

Это дает возможность следующей определение:

О пределене 5. Пусть $a$ irrationalно и $a > 0$. Тогда $a^a$ — это действительное число, заключенное между любыми двумя числами $a^{r_1}$ и $a^{r_2}$, где $r_1$ и $r_2$ irrationalны и $r_1 < a < r_2$.

Рамки школьного курса не позволяют доказать существование числа $a^a$, и мы примем его на веру. Ограничимся доказательством единственности.

Для доказательства нам понадобится важное и само по себе неравенство Бернулли $(1 + h)^n \geqslant 1 + nh$, где $n \in \mathbb{N}$ и $h \geqslant -1$.

38

Докажем его методом математической индукции.

При $n = 1$ это неравенство верно $(1 + h) \geqslant 1 + h)$. Предположим, что $(1 + h)^k \geqslant 1 + kh$, и докажем, что $(1 + h)^{k+1} \geqslant 1 + (k+1)h$. Имеем $(1 + h)^{k+1} = (1 + h)(1 + h)^k \geqslant (1 + h)(1 + h)^k = 1 + hk + h^2k = 1 + h(k+1) + h^2k \geqslant 1 + h(k+1)$, что и требовалось доказать.

Докажем теперь, что $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$ при $a > 0$.

Пусть дано $\varepsilon > 0$ и $a > 1^*$, тогда $\sqrt[n]{a} = 1 + \varepsilon_n$, где $\varepsilon_n > 0$. Отсюда, при меняя неравенство Бернулли, получаем $a = (1 + \varepsilon_n)^n \geqslant 1 + n\varepsilon_n$. Поэтому $0 < \varepsilon_n \leqslant \frac{a-1}{n}$. Легко видеть, что $\frac{a-1}{n} < \varepsilon$ при $n > N = \left[ \frac{a-1}{\varepsilon} \right] + 1$.

Мы доказали, таким образом, что $\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0$, но это и значит, что $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} (1 + \varepsilon_n) = 1$.

Теперь перейдем к доказательству единственности.

Пусть существует 2 числа $\beta$ и $\gamma$, для которых справедливый неравенства $a^1 < \beta < a^2$ и $a^1 < \gamma < a^2$ при любых рациональных $r_1$ и $r_2$, для которых $r_1 < a < r_2$. Пусть для определения $\beta > \gamma$.

Тогда $0 < \beta - \gamma < a^2 - a^1 = a^1(a^2 - r_1 - 1)$. Ясно, что $a^1 < a^{[a]+1} = c$. Существуют для любого $n \in \mathbb{N}$ такие $r_1^{(n)}$ и $r_2^{(n)}$, что $r_1^{(n)} < a < r_2^{(n)}$ и $r_2^{(n)} - r_1^{(n)} < \frac{1}{n}$.

Для этих $r_2^{(n)}$ и $r_2^{(n)}$ (по свойству $5^0$ для рационального показателя) $0 < \beta - \gamma < c\left(\frac{1}{n} - 1\right)$.

По доказанному ранее, для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $N$, что при всех $n > N$ справедливо неравенство $a^{\frac{1}{n}} - 1 < \frac{\varepsilon}{c}$. Поэтому при любом $\varepsilon > 0$ справедливо неравенство $0 < \beta - \gamma < \varepsilon$, что невозможно.

Исходя из определения 5, можно доказать, что для степени с действительным показателем сохраняется все свойства $1^0 - 6^0$, установленные нами для натуральных показателей. Эти и завершаются построение функций $y = a^x$.

*) Слушай $0 < a < 1$ разберите самостояльно.

Следует заметить, что при определении степени с irrationalным показателем мы отошли от приняной ранее схемы: строить определения, лишь исходя из необходимости сохранения свойства $1^0$ можно бесконечным количеством способов.

Точнее, существует бесконечного многофункций $y = f(x)$ таких, что $f(x) = a^x$ при $x \in \mathbb{Q}$, для которых $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$.

Из всех этих функций монotonной (и непрерывной) будет лишь одна построенная нами функция $y = a^x$. Все остальные функции этого семейства устроены достаточно «дико». Например, любая из них не ограничена ни на каком промежутке числовой оси.

Как вычислить $2\sqrt{2}$?

Рассмотрим несколько десятичных приближений $\sqrt{2}$ по недостатку и по избытку. Эти приближения удовлетворяют неравенствам $1 < \sqrt{2} < 2; 1,4 < \sqrt{2} < 1,5; 1,41 < \sqrt{2} < 1,42$. Тогда, по нашему определению 5, число $2\sqrt{2}$ должно удовлетворять неравенствам $2^1 < 2\sqrt{2} < 2^2; 2^{1,4} < 2\sqrt{2} < 2^{1,5}; 2^{1,41} < 2\sqrt{2} < 2^{1,42}$, или $2 < 2\sqrt{2} < 4; 2,6 < 2\sqrt{2} < 2,9; 2,65 < 2\sqrt{2} < 2,68$.

Второе из этих неравенств позволяет найти $2\sqrt{2}$ с точностью до целых, третье — с точностью до десятих. Понятоно, что можно получить значение $2\sqrt{2}$ с любой заданной точностью, взяв соответствующие приближения $\sqrt{2}$.

Ураженяя

4. Чем больше $2\sqrt{3}$ или $3\sqrt{2}$?

5. Докажите свойства $4^0$ и $5^0$ для степени с любым действительным показателем.

6. Докажите свойство $1^0$ для степени с любым действительным показателем.

7. Докажите непрерывность функций $y = a^x$ при $x = 0; 6)$ при $x = x_0$, где $x_0 \in \mathbb{R}$.

8. Пусть $a$ и $\beta$ — irrationalные числа. Можно ли число $a^\beta$ быть рациональным?

9. Докажите, что $y = a^x$ и $y = \exp_a x$ — одна и та же функция.