Квант 1981, №3 · Страницы

КВАНМ 3
1981

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Гравюры, воспроизведенные на первой и второй страницах обложки, их авторы — немецкий художник XVI века Альбрехт Дюер и современный голландский художник Морис Эшер — называют «Узел». На языке математики на гравюре Дюерра изображено зацепление из нескольких узлов (можно ли их расцепить? какие из них можно развязать?), на гравюре Эшера — узел «трилистник» (можно ли развязать его?). Ответить на эти вопросы вам помогет стать «Раскрашенные узлы».

1

В НОМЕРЕ:

Учены образуются к молодежи
2. С. Соболев. На школьной парте будь исследователь

---

4. А. Варламов. О снежках, орехах, пузьрых и …
   жидком гелии
5. О. Виро. Раскрашенные узлы
6. Амeba … в піджаке
   Лаборатория «Кванта»
7. Н. Ростовцев. Сделать опыт Юнга? Это не так сложно
   Математический кругхок
8. В. Евстценев. Графы и программы
9. Победители конкурса «Кванта»
   Задачик «Кванта»
10. Задачи М671—М675; Ф683—Ф687
11. Решения задач М622—М624, М626, М627; Ф631—Ф637
12. Н. Васильев. К центру тяжесте
13. Список читателей, приславших правильные решения задач из Задачника «Кванта»
    «Квант» для младших школьников
14. Задачи
15. Ф. Бартенев, И. Никольская. О пользове
    По страницам школьных учебников
16. О. Овчинников. Что же показет динамометр?
    Практикум абитуриента
17. В. Можаев. Колебания
    Вариants вступительных экзаменов вузы в 1980 году
18. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
    Искусство программирования
19. Заочная школа программирования. Урок 14
    Информация
20. В. Комаров. Отдых и занятия наукой
    61 Шахматная страница
    62 Ответы, указания, решения
    Шахматный конкурс (3-я с. обложки)
    Смесь (15)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1981

2

С. Соболев

На школьной
парте
будь
исследовательем

В последнее время много внимания уделяется выбор жизниенного пути, тому, как найти свою правильную дорогу. Иного это бывают так трудно сделать! Ведь многое в жизни кажется интересным и увлекательным, неправда ли? Бывает так, что молодой человек больше всего любит стихи и музыку, но с увлечением решает трудные математические задачи, способен до поздней ночи сидеть с паяльником, сооружая свой собственный радиопримник.

А другим выпускником школы все равно куда идти, их ничего сльно не увлекает. Математика, в частности, рассуждают они,— это скука. История — еще хужке, чего стоит один хронологические таблицы, обилие исторических имен…

Жизненный путь ученого начинается общно рано. Еще в школьные годы, за парой, пробуждается у него жажда знаний. Одного юношу увлекают сложные математические построения, красота и стройность математических теории. Другого тянет мир химических или физических явлений, третий сждностою изучает египетские нероглифы.

Именно в школьные годы у будущего исследователья накопляется первый запас знаний, выковываются воля, характер, упорство и, наконец, укрепляется любовь к своему делу.

На школьной парте, в туристском походе, на колхозном поле, в чеxe тебя, молодой друг, непрестанно должны волновать вопросы: как, почему, отчет? Разве не увлекаетно, например, докопаться будущеу математике, какие силы испытывает реактивный самолет со стороны воздуха, который он разрезает? Зачем у быстроходных самолетов делают загнутые

Академик Сергей Львович Соболев — Герой Социалистического Труда, директор Института математики Сибирского отделения Академии наук СССР.

Статья перепечатается из сборника «Ленин. Наука. Молодежь», выпущенного в 1980 году издательством «Наука».

назад крылья? Как расчитать частоту колебаний какой-либо детали машины, чтобы избежать резонанса?

Для достижения той или иной цели мало одного желания. Над еще имеется крепкие знания, видеть интересующие тебя вещи в окружающей среде, уметь наблюдать их взаимосвязь. Это, конечно, трудно. Но ведь у советских людей, а тем более у советских ученых, есть хороший принцип: чем труднее, тем интереснее. Не пасовать перед трудностями, не огорчатся при неудачках.

Вспомните, например, знаменитого русского математика Александра Михайловича Ляпунова. В юностии он получил от своего учитель, другого знаменитого математика Пафнутья Львовича Чебышева очень трудную задачу. Эта задача состоит в том, чтобы расчитать устойчивость фигур равновесия врашающегося жидкости. Хотелось подойти к проблеме образования небесных тел, входящих в состав Солнечной системы. Если бы движение огенно-жидкого шара, каким представлялось Солнце, было неустойчным, от него могли бы оторвать часть и дать начало новым телам — планетам.

Ляпунов долго не мог справиться с этой задачей. Его попытки, одна за другой, были безспешны. Только через двадцать лет после того, как он начал думать над этим вопросом, ученый дал, наконец, решение задачи, принесшее ему мировую службу. В процессе работы ему пришлось создать множество новых идей и понятный, до тех пор неизвестных. Он вывел общую теорию устойчивости движения, перестроил существовавшую к тому времени несовершенню теорию потенциала тяготения, заложил основы будущей теории интегральных уравнений и многое-много других. Этот пример — убедительное подтверждение того, как важно верить в свои силы, быть целеустремленным, стремиться держать.

Нам, кому выпала часть строю первое в мире социальстическое государство, по праву можно назвать себя строителями коммунизма. Вам, кто сегодня еще учится, наверняка придется жить в этом обществе. Наше поколевание немало потрудилось, но и для вас в любой отрасля науки, народного хозяйства будет еще немало увлекательных дел.

Если ты, юный друг, собираешься быть математиком, то не только сам стремясь познать эту замечательную науку, но и страйся быть хорошо организатором. Создавший школьные математические кружки, будь инциативным участником математических оптимид, конкурсов, посещая те кружки, которые открыты при университетах и институтах. Как и у каждой науки, у математики словное прошло и замечательное будущее.

За последнее время математика приобрела особую популяриость. После создания математических машин всем стало ясно, каковы ее возможности. Вся история точных наук — это почти истории математики: так тесно связана она с каждой из них. Дерзать на этом благодарном порядке — значит много и вдумчиво работать, неустанно искать. Стать разведчиком нового можно и в школьные годы.

4

О снежках, орехах, пузырьках и…
жидком гелии

Хотя гелий и находится почти в самом начале таблицы Мендлеева, но с момента открытия он доставил физикам массу хлопот необъчностоящих свойств. Правда, хлопоты сlixвой окупаются красотой и уникально физических явлений, производящих в жидком гелии, а также использованием многохэтных свойств в современных физических laboratorиях. Это — и каждодневное получение низких температур (температура кипения жидкого геля при атмосферном давлении — 4,2 К), и исследование явления сверхтекучести, открыто в жидком гелии П. Л. Капицей в 1936 году, и получение сверхнизких температур (вплоть до 0,001 К), и многое другое.

Одним из заменательных свойств жидкого геля является необъчный механизм переноса в нем заряда.

Носителими заряда в жидкости, как правило, служат электроны и ionны. Можно представить также процесс, при котором электрон «перерыгивается» со своего атома на оказавшийся рядом он, на его освободившееся место «перерыгивается» электрон с соседнего атома, на место этого электрон — третий со следующего атома, и так далее. Со стороны такая чехарда электроны выглядит как движение положительного заряда в противоположную сторону. А так как на самом деле этого положительного заряда нет, а есть просто отсутствие электрона на своем «работем месте», то такой объект называют «дыркой». Движение как электронов, так и дырок производит в очень сложных полях большого числа atoms. В своей время задачи такого сорта — о движении электронов в твердом теле или жидкости — доставили физикам многохэтных частиц. Оказывается, в такой системе частицы в большой степени теряют свои индиидальные качества. Далее понятные массы становятся горизondo более сложным, чем привченное нам свойство инертности. В этих условиях частице приписывается так называемую эфективную массу, которая является важной характеристикой частицы, учитывающей ее взаимодействие с атомами окружающей среды. Если мысленно «выключить» все взаимодействия, то эфективная масса частицы переходит в ее обычную массу.

Была выдвинут гипотеза, что заряд в жидком гелии переходит электроны и дырки. Их движение должно быть почти свободным из-за малой плотности геля и слабого взаимодействия его атомов с заряженными частицами. Поэтому и эфективные массы таких заряженных частиц должны быть близкими к массе свободного электрона.

Для изменения масс носителей положительного и отрицательного заряда исследовались их траектории в жидком гелии при наложении однородного магнитного поля. Знача наальнуто скорость частицы и величины магнитного поля, изменив радиус круговой траектории частицы, легко определять ее массу. Результаты этих экспериментов оказались весом неожиданным: массы носителей положительного и отрицательного зарядов в десятики тысяч раз превышали массу свободного электрона!

Столь разительное отличие теоретических расчетов и экспериментальных данных неозвольительного даже для необъчного геля. Поэтому

5

необходимо было предложить какой-то другой, не такой, как у обычной жидкости, механизм переосназая в жидком гелиин. Объяснение структуры носителя положительного заряда было предложено американским физиком Аткинсом. Оказалось, что вся «хитрость» заключена в сравнительно низком давлении затвердевания жидкого геля: при достаточно низких темперарах $p_{\text{TB}}=25$ атм. Именно этот факт и приводит к весам необичной структуре носителей положительного заряда в жидком гелиин.

Известно, что в жидком гелиин существует положительные ионы, которые достаточно хорошо сохраняют свой заряд. Взанмодействие положительного она с молекулой $\text{He}_2$ приводит к тому, что ее электроны чут-чут изменяют свои орбиты, притягиваясь к положительным иону, а положительное заряжение ядра атомов, наоборот, отталкиваются от него. В результате, центры отрицательного и положительного заряда в молекуле оказываются разнесенными на некоторое расстояние. Таким образом, наличие положительных ионов в толще жидкого геля приводит к поляризация его молекул. Поляризованные молекулы притягиваются к положительным иону. Это притяжение приводит к повышению концентрации молекул (то есть к появлению избыточной плотности), а следовательно, и к повышению давления по мере приближения иону. Графические зависимости избыточного давления от расстояния $r$ до иона показана на рисунке 1.

Как мы уже говорили, при давлении в 25 атм жидкий геля затвердевает. Поэтому как только давление в близки положительной иона доступет этой величины, соответствующей объем жидкого геля затвердеет. Как видно из рисунка 1, при малом внешнем давлении затвердевание происходит на расстоянии $r_0=7\text{Å}$ от иона. Таким образом, положительный ион оказывается как бы «вмерзшим» в «снежок» из твердого геля. Так как центр этого снежка положительного заряжен, то при его движении в жидком гелиин

за ним «тянется хвост» избыточной плотности.

Тепер мы можем оценить массу положительного заряда, движущегося в жидком гелиин. Масса самого снежка равна $\frac{4}{3}\pi q r_0^3=32m_0$, где $m_0$ — масса атома геля (вплотность твердого геля). Массу «хвоста» избыточной плотности, который тянется за снежком, можно оценить так: зная зависимость давления от расстояния до центра снежка (то есть до самого иона), можно легко найти, как меняется в зависимости от этого расстояния избыточная плотность геля; далее мыследно разбиаем жидкость вокруг снежка на сферическое слой малой толщины (такие, что на толщине слоя плотность можно считать постоянной) и вычисляем массу каждой такого слоя; суммируем все эти массы, мы находим полную массу «хвоста», которая оказывается равной 28 $m_0$.

Кроме того, при движении тела в жидкости происходит перемещение ее слоев. Это приводит к тому, что тело движется так, как если бы его масса была на некоторую величины больше его истинной массы. Это дополнительную массу, связанную с перемещением жидкости, называют присоединенной массой (см., например, Г. Коткина

6

в «Кванте» № 1 за 1976 год). Для «снежка», движущgosя в жидком гелии, присоединенная масса оказывается равной 15 $m_0$.

Итак, для полной массы положительного заряда, движущgosя в жидком гелии, расчет дает значение 75 $m_0$. Это значение уже хорошо согласуется с величины, найденной экспериментально.

Совсем по-другому обстоит дело с носителями отрицательного заряда. Оказывается, отрицательно заряженныхонов гелия не существует, и следовательно, построить «снежок» с отрицательным ином внутри невозможно. Поэтому единственный претензientом в носителя отрицательного заряда в жидком гелии остается электрон.

Из эксперимента известно, что электрон не может беспрерывствовать в жидкий гелией через его поверхность. Этот факт качественно не трудно понять. Как вы знаете из курса химии, гелий — инертный газ, поэтому его первая электронная оболочка полностью застроена, а следующее застроивается еще раз — заряд ядра всего лишь $2e^+$, и появление третьего электрона в оболочке энергетической невозможно. Поэтому электрон не может приближаться к atomу гелия с шликом близко (точно так же обстоит дело и с молекулой гелия) — на близких расстояниях он отталкивается. Таким образом, чтобы загнать электрон через поверхность в толщу жидкого гелия, необходимо совершить некоторую «работу входа». Итальянские физики Каррери, Фазоли и Гаэта предложили, что именно благодаря этой энергии электрон, произвольный в толщу гелия через поверхность, «расталивает» молекулы гелия, к которым он не имеет права приближаться с шликом близко, и образует вокруг себя сферическими-симметрично полость — свободоразный пузырек (рис. 2).

Размеры такого пузырька можно оценить, рассматривая условия равновесия его границы. Хотя на близких расстояниях электрон и отталкивается от молекул гелия, но с достаточно удаленными молекулами он поступает точно так же, как и положитель-

Рис. 2.

ный он — он поляризует их. Поэтому на больших расстояниях взаимодействие электрон с молекулой $\text{He}_2$ будет точно таким же, как и в рассмотренном уже случае «снежка». Следовательно, по мере приближения к «пузырьку» избыточное давление в гелиии возрастает по тому же закону (см. рис. 1). Однако в случае малого внешнего давления на границе пузырька оно еще остается гораздо меньше 25 атм из-за сравнительно большого размера пузырька. Кроме этого давления, связанного с избыточной плотностью поляризованного гелия, на границе пузырька действуют силы поверхного натяжения, направленные так же, как и силы избыточного давления — к центру пузырька. Что же уравновешивает эти силы? Оказывается, противодействие им создает сам электрон. Нахождение внутри пузырька, электрон как бы «мечется» по нему, отражаясь от границ. В результате соедения со стенками создается неокоторое давление, которое и компенсирует полное давление извне. Иными словами, электрон внутри пузырька «ведет себя» подобно газу в закрытом сосуде. Расчеты показывают, что при малом внешнем давлении радиус $R_0$ такого пузырька оказывается порядка 20 Å.

Итак, мы выяснили, что носители отрицательного заряда в жид-

7

ком гелии является пузырьки с электромом внутри. Масса таких носителей вычисляется так же, как и масса «снежков». Оdnako теперь собственной массы пузырька практически нет — она равна массе электрона и пренебрежимо мала по сравнению с массой увлекаемой жидкости. Аналогичный вышензложенному метод расчета дает для полной массы носителя отрицательного заряды величину 245 $m_0$.

Теперь посмотрим, как влияет на носителей зарядов рост внешнего давления $p_0$. На рисунке 1 показана зависимость полного давления в гелии (с учетом внешнего давления) от расстояния до иона для $p_0^*=20$ атм. Такая зависимость для произвольного внешнего давления $p_0<25$ атм получается переносом зависимости для $p_0=0$ вдоль оси ordinат. Как видно из рисунка 1, чем больше внешнее давление, тем на большеем расстоянии от иона полное давление становится равным 25 атм. Поэтому с ростом внешнего давления «снежок» ведет себя подобно снежному кому: он стремительно обращает «снегом» — твердым гелием, становится все больше и больше в размере. Зависимость $r(p_0)$ размеща «снежка» от внешнего давления показана на рисунке 3.

А как ведет себя с ростом внешнего давления пузырек? До поры до времени, подобно любому пузырьку в жидкости, при нарастании внешнего давления он просто скнимается. Его радиус $R$ уменьшается, как это показано на рисунке 3. Но вот при давлении $r(p_0)=20$ атм графики $r(p_0)$ и $R(p_0)$ пересекаются — размеры пузырька и «снежка» становятся одинаковыми и равными 12 Å. Что будет делать «снежок» при дальнейшем увеличении давления, мы знаем — он будет стремительно наращивать свои размеры за счет затвердевающего на его поверхности геля. А как вести себя пузырьку — скиматться дальше (пунктирная линия на рисунке 3)? Но вот тут-то пузырек и проявляет свой норв — при дальнейшем повышении давления он подобно «снежку» начинает обрабатывать ледной коркой из твердого геля. Действительно, как это видно из рисунка 1, при внешнем давлении 20 атм полное давление на границе пузырька (12 Å от его центра) становится равным 25 атм, то есть достигает давления затвердевания жидкого геля. Пузырек при этом «одевается в ледную скорлупу», внутренний радиус которого при дальнейшем повышении давления остается приблизительно постоянным, а внешний в точности равен размеру «снежка» при соответствующем давлении.

Итак, при внешних давлениях больше $p_0^*=20$ атм пузырьки обращают ледной скорлупой и превращаются, таким образом, в некоторое орехов. Однако ядрышко у этих «орехов» весма своегоразное — это электрон, который «мечется» внутри скорлупы из твердого геля.

Остается добавить, что при $p_0\rightarrow 25$ атм внешний радиус «ореха», как и «снежка», стремится к бесконечности, что соответствует полному затвердеванию жидкого геля во всем объеме. В твердом гелии носители отрицательного заряда оказываются вмерзшие пузырьки с размерами, равными внутреннему радиусу бышшего «ореха» — примерно 12 Å. Положительный заряд переносить заряды не так-то просто — ведь они находится в твердом веществе. Поэтому и подвижность у этих носителей города ниже, чем у «снежков» и пузырьков в жидком гелии.

8

О. Виро

Раскрашенные узлы

Что такое узел
Занимаясь каким-нибудь предметом из реальный жизни, математики обычно заменяют его подходящим математическим объектом. Не избежал этой участи и веревочный узел — он был превращен в узел математической.

Прототип математического узла — это заузленный кусок веревки с закрепленными концами.

Одним из вопросов, побудивших математиков занять узлами, был вопрос, какие узлы можно развязать, не порвав, и какие нельзя.

Концы веревки приходит закреплять, потому что если не запретить ими манипулировать, все узлы окажутся одинаково завязанным (в самом деле, любой узел на веревке можно развязать, протягивая конец веревки поочередно через петли узла).

Более удобный способ избавиться от заботы о концах веревки — соединить их друг с другом. Эта операция показана на рисунке 1. В результате кусок веревки превращается в заузленное колюцо.

Следующий шаг к математическому узлу — замеща вервки линей — осью веревки.

Не всякая линя способна быть осью веревки. Например, кривую с бесконечной последовательностью бесконечного убивающих узелков (рис. 2) невозможно «нарастить» до веревки конечной толщины. Кривые такого рода рассматривают в математике; они называются дикими узлами.

Мы не будем здесь заимататься дикими узлами и, чтобы исключить их, примен следующее определение: полюгональный узлом называется замкнутая, связная, не имеющая точек самопересечения пространственной ломана, составленная из конечного числа прямолинейных отрезков.

Это определение вполне соответствует нашему наглядному представлению об узлах. Любой полюгональный узел можно нарастить до веревочного колюца и в любом веревочном колюце можно найти ocь, со-

9

ставленную из конечного числа отрезков.

Слово «связная» в определении полигонального узла означает, что ломанная не представляется в виде объедининия нескольких замкнутых ломанных. Если не настанать на связи, то получится определение полигонального зацепления. На рисунке 3 изображены полигональные узлы, а на рисунке 4 — полигональные зацепления, не являющиеся узлами.

Поскольку в этой статье все узлы и зацепления будут полигональными, слово «полигональный» будет для краткости опускаться.

Как написать узел

При изображении узла выбирают такую точку наблюдания, чтобы, во-первых узел лежал по одному сторону от некоторой плоскости, проходящей через эту точку, и, во-вторых, чтобы никакие три звена узла не казались из нее прохождения через одну точку. Выполнение первого условия можно достичь, выбрав точку наблюдания достагоно далеко от узла. Из удовлетворяющей этому условиям точки весы можно проектировать на плоскость, то есть как бы охватить одинзм взглядом. Для выполнения второго условия нужно, чтобы всякая прямая, проходящая через точку наблюдания, задавала не более двух звенев узла. Выполнение этого условия можно достичь сколь годно малым смещением точки наблюдания.

В том месте, где изображения двух непересекающихся звенев узла пересекаются, нужно указать, какое звено проходит близке, а какое — дальше. Для этого изображение дальнейго звена перевыают, как это сделано на рисунках 3 и 4.

Изображение узла, выполенное с соблюдением этих правил, называется «дизаймой узла».

Что значит «одинаково зацепленные» узлы

Веревочные колыца, которые получаются друг из друга в результате изгибов, растяжений, скаттий и других непрерывных деформаций, естественно

но считать «одинаково зацепленные». Это наглядное представление об одинаковой зацепленности при перехождение к полигональным узлам превращается в понятие изотопности: два узла (или, более общо, два зацепления) называются изотопными, если от одного к другому можно перейти, последовательно выполняя преобразования, которые называются элементарными изотопями. Элементарная изотопия — это или замена одного из звенев узла двумя новых отрезками, которые вместе с ним образуют контур треугольника, пересекающего с прямым узлом только по замененной звену*), или обратная операция — замена двух соседних звенев одним отрезком, который вместе с ними образует контур треугольника, пересекающего с прямым узлом только по заменяемым звеням. На рисунке 5 показаны два узла, получающихся друг из друга элементарной изотопией.

*) Эти «два новых отрезка» вместе с заменемым звеном могут образовать «вырожденный» треугольник — отрезок. В этом случае элементарная изотопия свидетельствует к добавлению внутри звена новой вершины.

10

Рис. 5.

Треугольник, участующий в определении элементарной изотопии, нужно воспринять как траекторию деформации.

Упражнение 1. Докажите, что узлы с одинаковыми диаграммами изотопы.

Узел, изотопный контур треугольника, называется тривиальным. Узлы, изображенные на рисунке 5, тривиальные. Последовательность элементарных изотопий, соединяющих их с контуром треугольника, показана на рисунке 6.

Ясно, что контуры любых двух треугольников изотопны, так что все тривиальные узлы изотопны друг другу. Тем не менее, тривиальные узлы могут быть весма замысловаными.

Упражнения

2. Докажите тривиальное узлов, изображенных на рисунке 7.
3. Докажите, что узлы, изображенные на рисунках 3, а и 3,б, изотопы.

Как доказать неизотопность узлов

Определение изотопности немедленно ставит перед нами пробелу: существует ли неизотопные узлы?

Пока мы не сможем ответить на этот вопрос, все узлы будут для нас «на одно лицо».

Мы знаем, что очень затейлиые узлы могут оказаться тревиальным

Рис. 6.

Рис. 7.

10

11

Рис. 8.

Однако введение этих и многох аналогичных инвариантов не помогает решить старые вопросы, а приводит к постановке новых. Дело в том, что вычисление этих инвариантов вызывает те же затруднения, что и доказательство нетривиального узла.

Помочь при доказательстве нетривиального узла может только легко вычислительной инвариант, определяяющийся не через целый класс изотопных узлов, а непосредственно по диаграмме узла. Такой инвариант мы сейчас введем.

Раскрашиваем диаграммы узлов в три цвета

Напомню, что диаграмма узла — это его изображение на плоскости, в котором изображения никаких трех звеньев не проходят через одну и местах, где должны были бы пересекаться изображения непересекающихся звеньев, изображение дальнейшего звена перевыается. Из-за этих перевыаний диаграмма узла оказывается составленной из нескольких непересекающихся ломаных. Эти ломаные будем называть участками диаграммы. Их число равно числу перевыаний, то есть числу скрещиваний.

Для доказательства неизотопности узлов оказывается полезно раскрашивать их диаграммы, соблюдая некоторые правила.

Раскраску диаграммы узла в черный, красный и синний цвета будем называть правильной, если каждый ее участок окрашен в один цвет и вблизи каждой точки скрещивания либо все три участка окрашены в один цвет, либо встречаются все три цвета. Примеры правильной раскраски показаны на рисунке 9, примеры неправильной — на рисунке 10.

Упражнения

4. Докажите, что диаграммы узлов, изображенные на рисунках 6 и 7, нельзя правильно раскраску, использув все три цвета, то есть докажите, что эти диagramsы допускают только три однозвательные раскраски.

5. Докажите, что число правильных раскраски трилистника (рис. 8,6) равно девятим.

Теорема 1 (Основная теорема о трехцветных раскрасках). Число правильных раскраскок диagramsы узла в три цвета является инвариантом узла.

Прежде чем доказывать теорему 1, обсудим неокоторые ее применения. Вот простейшее следствие:

Следствие 1. Если диagramma узла допускает правильную раскраску, в котором участок идет речь, тривалны.

Это следствие сразу позволяет решать, формулированный в упражнения 4 (узлы, о которых там идет речь, тривалны). Но неизмеримо важнее то, что из него вытекает нетривиального трилистника и многох других узлов.

Рис. 9.

Рис. 10.

12

Замечание. Если диаграмма зацеления не допускает правильной раскраски, в котором присутствовал бы более одного цвета, то зацеление невозможно расценить (то есть оно не изотопно никакому зацелению, состоящему из узлов, которые расположются по разные стороны от неотопной плоскости).

У праванке 8. Докажите, что зацеления, изображенные на рисунке 4, не расценляют.

Как доказать теорему 1

Теорема 1 оченьным образом вытекает из следующих двух теорем, доказательства которых несложны, но довольно громоздки; приложений читатель, несомненно, найдет их самостоятельно.

Теорема 2. Всякую элементарную изотопию зацеления можно заменить конечной последовательностью элематриных изотопий, какдая из которых изменяет диаграмму зацеления одним из способов, изображенных на рисунке 11.

Например, элементарную изотопию, изображенную на рисунке 12, можно заменить последовательностью элематриных изотопий, показанных на рисунке 13 (цифрами указаны порядок выполнения элематриных изотопий).

Теорема 3. Между правильными трехцветными раскраками диаграмм, получающихся друже из друга, операциями, изображенными на рисунке 11, существует взаимное однозначное соответствие, при котором в соответствии их раскраках неизменяющиеся части диаграмм окрашены одинаково.

Для всех операций, кроме операции, изображенной на рисунке 11, 3, утверждение теоремы 3 оченьно. В последнем случае доказательство легко сводится к картинам, показанным на рисунке 14.

Почему же число правильных раскраок диаграммы — инвариант узла?

Я надеюсь, что читатель доказал теоремы 2 и 3, а вместе с ними и теорему 1. Однако что же ответить на вопрос, вынесенный в заголовок этого параграфа?

Вы убедились в инвариантности числа правильных раскраок, но, ве-

13

роятно, скажете, что хотели бы узнать о настоящих причины этого удивительного явления. Вы желаете обясенний и хотите понять, как математики должны раскрашивать диаграммы узлов. Не могло же, кроме того, это доказательство быть первым доказательством! Так можно доказать инвариантность любого инварианта, определяемого по диаграмме узла, совершенно не понимая, откуда он взялся! Ведь непонятно, почему нужно раскрашивать в три цвета и как возникли правила раскраски. Наконец, неясно, как это обобщить, а это — верный признак непоннимания.

Почему же я выбрал такой путь доказательства? На то были две причины. Во-первых, настоящее доказательства теоремы 1, прояснющее суть дела, связаны со сложными вспомогательными объектами, которые занимают почетное место в современной математике, но которых нет в школьной математике. Мне же хотелось представить чисто элементарное доказательство существования нетривиальных узлов. В литературе, а тем более в популярной литературе, таких доказательств не было. Во-вторых, опираясь на теорему 2, действительное можно доказать инвариантность любого инварианта, определяемого по диаграмме. Попытайте придумать совершенно новый инвариант и доказать его инвариантность таким образом. Если получится, сообщите, это может оказаться очень интересным! Известно много инвариентов, определяемых по диаграмме узла, но в определенных большей их части встречаются не элементарные математические понятия. Поэтому опасность придумать что-нибудь известное не велика.

Чем в действительности обясеняется инвариантность числа правильных раскраски? Важнейшим инвариантом узла является его группа. Сама по себе группа узла — не простой объект. Это множество, в котором определяена операция, связими свойствами наполняющей сложение целых чисел. Доказать, что группы двух узлов различны, может быть очень трудно. Однако из простейших способов сделать это состоит в изу-

15

Пока зиман нежота доставал из кармана бумажник, его окончательно расстроила завершающая эту историю реплика Адамса:
— Кстати, хотел бы я знать, как вы это докажете без инвариантов?
Опираясь на инвариант, описанный в статье О. Виро, дока-
Рис. 3. a) 6)
жем, что ameba в піджаке не может расцепить пальцы.
Проведем мысленно две замкнутые кривы: синюю — по піджаку вокруг правой руки (рукав) и красную, соединишую внутри amebы большие и указательные пальцы правой и левой рук (рис. 3,a). Этти две кривы образуют зацепление (рис. 3,б), изотопное изобравенному на рисунке 4,2 на с. 9. Если ameba смогла разнять руки, то она смогла бы снять піджак. Но это невозможно, поскольку зацепление рисунка 4,2 расцепить нельзя (см. упражнение 8 на с. 12).
О. В.

Задачи
наших читателей

1. a) Возьмем число 16. Между единцией и шестеркой вставим число 15 — получим число 1156. В середину этого числа снова вставим 15 — получим 111556 и т. д. Докажите, что все такие числа (вида 11…155…56) являются квадратами целых чисел.

6. То же про числа 4489, 444889, …, получащиеся из 49 вставкой в середину числа 48.

2. a) Между цифрами числа 961 вставили по n нулей. Докажите, что при любом n получится квадрат целого числа.

6. Найдите другие трехзначные числа, обладающие тем же свойствам.

3. a) Докажите, что дроби
   $$\frac{19}{95}, \frac{199}{995}, \frac{199}{995}, \dots, \frac{199}{995}$$

можно «сократить», «зачеркнуть» все девятки.
6) Есть ли еще дроби, допускающие подобное обращение?
Н. Суев

4. Обозначим через S(n) сумму цифр числа n. Докажите, что последовательность S(1979), S(1979²), S(1979³), … не ограничена.
   A. Келарев

16

Н. Ростовцев

Сделать опыт Юнга?

Это не так сложно

На достаточно большом расстоянии от экрана для наблюдаемой расположенные рядом две одинаковые лампочки, например лампочки для карманного фонаря. Зажигте вначале одну из них, а затем обе одновременно. Вы увидите, что в любом месте экрана освещность больше при двух горяших лампочных, чем при одной.

Однако это не всегда так. При наличии двух световых лучков может оказаться, что в одной местах пространства они успливают друг друга, в другой — ослабляют или даже газят друг друга. Это явление называют интерференцией света, а световые лучки, которые дают такую картину, называют коэферентными.

Впервые экспериментальное изучение интерференции света было проведено английским ученым Томасом Юнгом в самом начале XIX века. Схема опита, носящого его имя, приведена на рисунке 1,a. Свет от ярко освещенного Солнцем малого ответия (или узкой щели) А попадал на два близко расположенных друг к другу малых ответия (или узкие щели) В и С (| BC| ≈ 2 mm). На удаленном экране (l≈2 м) в месте перекрытия световых лучков, выходящих из В и C, наблюдались чередующеся друг с другом светящие и темные полосы (рис. 1, б). Если одну из щелей В или C загораживали, темные полосы исчезали и на экране оставалось лишь светло пятно.

Как можно обьясить результаты опыта Юнга? Согласно принципу Гюйгена — Френеля, мыble ответия В и C, до которых должна от ответия A, становятся точными источниками вторичных волн. Из-за общности проискождения эти волны когерентны и при наложении они интерферрируют. В тех местах, куда волны приходят в одинаковых фазах, они усиливают друг друга и образуют минимумы освещенности. Там же, куда волны приходят в противоположных фазах, они ослабляют друг друга и образуют минимумы освещенности. Так как колбания в ответиях В и C совпадают по фазе, ясно, что результат интерференции целиком зависит от разности хода Δ интерферриующих волн до рассматриваемой точки.

В точку O, равноудаленную от ответий, волны приходят в одинаковых фазах и успливают друг друга — там наблюдается центральный максимум освещности. При удалении от точки O вверх или вниз разность хода волн Δ=|BD−CD| постепенно увеличивается и последовательно принимает значения λ/2, λ, 3/2λ, 2λ, …, где λ — длина волны. Максимумы освещности наблюдаются в тех местах, для которых выполняется условие
Δ=0, λ, 2λ,…

В точках, для которых
Δ=λ/2, 3/2λ, 5/2λ,…,

наблюдаются минимумы освещности.

17

Можно ли самому воспроизвести опыт Юнга? Оказывается, сделать это, правда, в несколько других варианте, довольно просто.

Приготовьте одну или две одинаковыеручные швейные иголки диаметром 0,6—0,8 мм и лист бумаги. Лучше воспользоваться черной бумаги, применяемой для упаковки фотопленки или фотоумагги. Роль точного источника света может играть лампочка для карманного фонаря (если наблюдается проводить на расстоянии, не меньше 2—3 м от нее) или малое отверстие (диаметром 2—3 мм) в кусе картона, установленного непосредственно перед лампочной так, чтобы через отверстие была видна нить накаливания. В вечернее время можно воспользоваться светом от удаленного фонаря. Самым же лучшим источником света является изображение Солнца в стальном шарике (диаметром 10—20 мм).

Если у вас все готово, присутствайте к опытам.

1. Вырежьте из бумаги полоску шириной 1—2 см и иголой проколите в ней отверстия все уменьшащихся диаметров, начиная с диаметра иглы 0,6—0,8 мм. Чтобы отверстия получились круглыми, полоску бумаги при прокалывании поворачивайте вокруг иглы или иглу врашайте вокруг ее оси.

Послеотрите на точный источник последовательного через каждое отверстие, помещая его непосредственно перед глазом. Вы увидите, что через самое большое отверстие источник будет выгляделать практическим так же, как и без отверстия. При меньшем диаметре отверстия картина будет другой: светлое кругле пятно будет окружено темными и светлыми колышами (рис. 2). По мере уменьшения диаметра отверстия диаметр центрального светлого пятна и окружащих его колес будут увеличиваться, а их интенсивность — уменьшаться.

2. Теперь изготовьте так называемое двойное отверстие, чтобы проведи непосредственно опит Юнга. Вправую и левую руки возьмите одинаковые иглы. На по-

лоске бумаги шириной 1—2 см установите острые одной иглы, а на расстоянии долей миллиметра от него установите острые другой иглы. Иглы должны составлять небольшой угол с вертикалью. Пострайтесь одновременно и одинаково сильно нажать на обе иглы — вы получите двойное отверстие. (Конечно, двойное отверстие можно сделать и одной иглой, но, как показывает практика, качество его будет хуже.) Хорошо, если диаметры отверстий будут порядка 0,2—0,3 мм, а расстояние между ними — порядка 0,4—0,6 мм.

Послеотрите через эти отверстия на точный источник света. Вы видите, что центральное светлое пятно, получаемое при предыдущем наблюлении, будет разбито темными полосами на ряд светлых полос (рис. 3). Темные полосы (минутмы освещенности) и есть те места, где свет от одного отверстия гасится светом от другого отверстия. Если отверстия круглы и одинакового диаметра, личини минимумов хорошо видны не только на центральном светлом пятне, но и окружащих его светлых колышах.

В центре интерференционной картины всегда видна светлая полоса. Число светлых полос, укладывающихся на центральном пятне, может быть равным 3,5,7,… Это зависит от отношения расстояния между центрами отверстий к их диаметру. Если диаметр отверстия оставить неизменным, а расстояние между отверстиями уменьшать, число светлых полос тоже уменьшается, а их ширина соответствует увеличивается.

Поверните полоску бумаги с двойным отверстием вокруг игры и глаз, — повернется и система светлых и темных полос.

18

В. Евстгенев

Графы и программы

Теория графов оформлясь как самостоятельная ветвь математики в середине тридцатых годов и продолжает интенсивно развивать по сея день. Большой интерес к теории графов сегодия основан в первую очередь на ее широких и плодотворных применениях к проектированию и анализу сложных систем самой различной природы: трансportных сетей, электрических цепей, электронных схем, механических систем, химических реакций, управляющих систем, социальных групп и коллективов и т. д.

На этом занятии математического кружка мы разберем несколько задач программирования, в которых применяются графы.

Графы и ориентированные графы

Граф — это набор элементов, неокторые пары которых выделены. Граф $G$, таким образом, определяется двумя множествами:

$$G = (X, U);$$

первое состояние из элементов произвольной природы (они называются вершинами), а второе — из всех выделенных пар вершин. Если каждая выделенная пара упорядочена, граф $G$ называется ориентированным графом или орерафом, пары называют дуемами; говорят, что дуга $(x, y)$ направлена от своего начала $x$ к своему концу $y$ и пишут

$$U \ni u = (x, y).$$

В этом случае говорят еще, что дуга и исходит (выходит) из $x$ и заходит (входит) в $y$. Изображают орграф на плоскости в виде точек, соединенных дугами со стрелками (рис. 1). Заметьте на этом рисунке, что дуга, выходящая из вершины $x_3$, заходит в нее же; такая дуга называется netлей.

Если пары $(x, y)$ не упорядочены, то их называют ребрами, вершины ребра $u = \{x, y\}$ называются концами, а сам граф $G = (X, U)$ называется неориентированным графом или протего графом. Пример такого графа — так называемый граф Петерсона — показан на рисунке 2.

Граф данной программы

Пусть дна неоктора программы $P$, например, в виде блок-схемы («Алгебра 8», п. 50). Сопоставим каждому блоку вершину графа и соединним вершины в соответствий с последовательностью действия (указанной стрелками) в блок-схеме. Полученный орграф называем operафом проекции $P$ или $p$-графом.

Упражнение 1. Нарисуйте $p$-граф, отвечающий блок-схемы программных сортировки шаров, показанной на рисунке 3.

Если программа $P$ записана на каком-либо алгоритмическом языке,

Рис. 1.

Рис. 2.

19

то ей тоже можно сопоставить некоторый $p$-граф: каждый оператор отвечает вершина, две вершины $a$ и $b$ соединяются другой $(a, b)$, если управление передается от оператора, изображенного вершиной $a$, к оператору, изображенного вершиной $b$.

Еще один пример $p$-графа показан на рисунке 4. Обратите внимание на две особые вершины: $x_{0d}$ ($s$) (соответствующий входным данным программмы), в которых не заходит ни одна дуга, и $b_{1x0d}$ ($t$) (соответствующий выходным данным программмы), из которого не исходит ни одна дуга.

На данной $p$-графе $G = (X, U)$ (и вообще на любом орграфе) часто рассматривается путем, если в нем вершины не повторяются, контуром, если $a = b$, и простым контуром, если $a = b$, но других повторений вершин нет. Так, на рисунке 4 путь $(x_1, x_3, x_6, t)$ — простой, $(x_1, x_4, x_6, x_3, x_6, t)$ — не простой путь, $(x_3, x_6, x_3)$ — простой контур, $(x_3, x_6, x_3, x_6, x_3)$ — контур, но не простой, $(x_2, x_7, x_6)$ — даже не путь.

Рис. 3.

Рис. 4.

Уражнение 2. Перечислите все простые пути и все простые контуры $p$-графа, построенного при решении упражнения 1.

Все ли пути ведут в Рим?

В $p$-графе, отвечающем хорошо составленной программы, «все пути ведут в Рим», то есть любой путь с началом в $s$ можно продолжить до выхода $t$, обозначающего конец работы программы. Поэтому $p$-граф естественно называется правильным, если любая вершина лежит на пути (не обязательно простом), ведущем из $s$ в $t$.

Конечно, правильность $p$-графа еще не гарантирует успешную работу программы: если в нем есть хотя бы один контур, из которого не выходит ни одна дуга, программа может зациклиться, то есть крутится по этому контуру. Но так как не существует общого алгоритма, проверяющего правильность работы программы (об этом мы рассскажем в «Кванте» в другой раз), важно проверять хотя бы правильность $p$-графа.

Как проверить правильность $p$-графа? В простых случаях это легко делается «вручную».

Уражнение 3. Проверите правильность $p$-графа программы сортировки шаров (см. упражнение 1). Удостоверться в неправильности $p$-графа на рисунке 5, найти неем «тупики», «тупиковые контуры» и «недоступные контуры».

В сложных же случаях, например, в современных больших программах,ручная проверка слищом трудемка и ненадежна — приходит прибегать к помощи ЭВМ. Поэтому необходимо иметь подходящие для этой цели алгоритмы. Задачу о построении таких алгоритмов мы сформулируем в виде трех упражнений (4—6) и для первого из них подскажем решение.

20

Рис. 5.

Уражнение 4. Найти все простые пути, соединяющие вход $p$-графа с его выходом.

Один из наиболее красивых алгоритмов для решения этой задачи основан на последовательном устройении вершин $p$-графа. На рисунке 6 показано его применение к $p$-графу из рисунка 4. На каждом шагуSTRAЯЕТСЯ одна из вершин $x \in X$ (отличная от $s$ и $t$); вместе простых путей, соединяющих вершины, соседние с $x$ и проходящие через $x$, строится новая дуга (рядом с которой записьается название удаленной вершины). Возникающие в этом процессе петли отбрасываются. В результате получается набор дуг, соединяющих $s$ с $t$, притом на каждой из этих дуг последовательно выписаны вершины, через которых разделяется найти алгоритмы, решающие управнения 5, 6. Записать их можно в виде блок-схемы, в таблином виде («Алгебра 8», п. 49) или, для учащихся ЗШП, на языке Рапира.

Уражнение 5*. Найти все простые контуры $p$-графа.

Уражнение 6*. Построить систему путей (не обязательно простых), соединяющих вход $p$-графа с его выходом, покрывающим все вершины $p$-графа. Построить минимальный по числу путей) такую систему.

Оргraph арифметического выражения

При вычислении арифметических выражений на ЭВМ в произвольном порядке, когда этих выражений много и они достаточно громоздки, исходные данные и промежуточные результаты вычислений могут занять недопустимо большой объем памяти ЭВМ; как говорят программисты, «программа забивает оперативную память машины». Как с этим бороться? Здесь на помощь приходит теория графов.

Оказывается, с каждым арифметическим выражением можно свя-

ПРОСТЫЕ ПУТИ:

$s x_1 x_3 x_6 t$
$s x_1 x_4 x_6 t$
$s x_2 x_7 t$
$s x_2 x_5 x_7 t$

Рис. 6.

21

зать орграф специального вида. Например, с выражением
$$((a+b) \cdot (c-d)) / (g+f) + h = L$$
можно связать граф, показанный на рисунке 7. Если в формуле буквы не повторяются, подобные графы имеют специальное название. Ордеревом (ориентированным деревом) называется граф, в котором выделена одна вершина — корень ордерева и от любой другой вершины ордерева к корню идет единственный путь. Из корня ни в одну вершину путь нет.

Так, в нашем примере (см. рис. 7) показано ордерево с корнем $L$. Вершины $a, b, c, d, f, g, h$ называются высчиним.

Упражнение 7. Построите ордерево выражения
$$\frac{\sqrt{x+y}}{z^2+5at+7k} + \frac{b+c}{r} = L.$$

Возвращаясь к рисунку 7, представим себе, что отдельные операции производятся в момент времени, показанные красными вертикальными линиями. Тогда в памяты приходит дережать до 6 чисел одновременно. Правда, это число можно сизить до 4, если в памяти числа $g, f$ в момент времени $t=2$ (вместо $t=1$).

Нельзя ли изобразить наше выражение еще более экономным (в этом смысле) ордерево?

Протащим верблюда через игольное ушко

Рассмотрим дискретную шкалу времени $t=1, 2, 3, \dots$. Пусть вычислительной процесс организован так, что ячейки памяты заполняются (вводятся исходные данные, записываются вычисленный промежуточный результат и т. д.) в целочисленные моменты времени и оставятся занятыми в течение нескольких интервалов времени выбранной шкалы. Когда содержимое ячейки используется, она освобождается. Предположим также, что в каждой момент времени производится засылака только в одну ячейку памяты. Последнее условие позволяет занумеровать вершины соответствующего ордерева,

Идей построения укладок ордерева, шклина которых мала, была высказана А. П. Erшовым в 1958 году и оказалась чрезвычайно полезной. Для сложных задач удаются также узкие укладки, что впору готовить о протакивании верблюда через игольное ушко!

22

висячая, переходим к шагу 4, в противном случае — к шагу 5.

Шаг 4. Во втором столбце пшем 0, в третьем — x. (Таким образом, мы положили $p(x) = 0, q(x) = x$.) Переходим к шагу 3.

Шаг 5. Пусть $y_1, y_2, \dots, y_k$ — вершины ордерева, неосредственно предшествующие x, упорядоченные так, что $p(y_1) \geq p(y_2) \geq \dots \geq p(y_k)$. Найдем
$$p(x) = \max_{1 \leq s \leq k} \{p(y_s) + s - 1\}$$
$$q(x) = q(y_1)q(y_2) \dots q(y_k)x,$$
и внесем найденные значения во второй и третьий столбцы расматриваемой строки. Переходим к шагу 3.

Рис. 8.

Рис. 9.

Один из алгоритмов построения таких укладок, известный под названием alгоритма Реджеевского, мы сейчас описем.

Шаг 1. Построим таблицу с n строками и треяя стольцами, где n — число вершин ордерева.

Шаг 2. Заполним первый столбец таблицы сизу вверх, помещив в самой нижней строке корень $x_0$ ордерева, затем в произвольном порядке его предшествников, лишь бы нигде не нарушалась очередность вычислений (то есть любые данные, нужные для очередной операции, должны быть получены равше ее выполнения).

Далее через $p(x)$ и $q(x)$ мы будем обозначать записи во втором и третьем столбах строки, начинаяшейся с буквы x. Значениями функции $p$ будут числа, функция $q$ — последовательности букв. Пусть уже заполены r первых строк.

Шаг 3. Приступаем к заполнению очередной строки (предыдущие уже заполнены); обозначим через x ее первую букву. Если вершина x —

Повторяем шаги 3—5, пока не будет заполнен все таблица. Тогда в последней строке во втором столбце мы получим ширину укладки, то есть $p(x_0) = W(Y, T)$, а в третьем — саму укладку ордерева T, если вершины в последовательности $q(x_0)$ занутеровать слева направо.

Tabлица, полученная при применении алгоритма Реджеевского к ордереву на рисунке 7, показана на рисунке 8, а «уложенное» ордерево — на рисунке 9.

Упражнение 9. Примените алгоритм Реджеевского к ордереву, полученной в упражнения 7.

23

Победители конкурса «Кваента»

Ежегодно наш журнал проводит конкурс среди школьников по решению задач из Задачника «Кваента». В соответствии с решением оргкомитета Всегоозной олимпiadы школьников победили этого конкурса получают право участвовать в четвертом (республиканском) тура Всегоозной олимпiadы.

Ниже публикуется список победителей конкурса «Кваента» 1980 года, получивших право участвовать в.resпубликанских олимпiadах 1981 года.

Математика

Э. АБДУЛЛАЕВ — Масаллы, с.ш. № 2, 10 кл.
А. БАРГ — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
Ю. БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ — Минск, с.ш. № 64, 10 кл.
В. БЕРЕЖНОЙ — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
А. БРУДНЫЙ — Ярославль, с.ш. № 33, 10 кл.
М. ГАЙСИНСКИЙ — Ташкент, с.ш. № 103, 10 кл.
Д. ГРИГОРЬЕВ — Москва, с.ш. № 57, 10 кл.
О. ЕРОШКИН — Днепропетровск, с.ш. № 15, 8 кл.
А. ЗЕГЕ — Минск, с.ш. № 50, 10 кл.
А. ЗОЛОТЫХ — Москва, ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
З. ИБРАГИМОВ — Масаллы, с.ш. № 2, 10 кл.
А. КАГАРМАНОВ — Москва, ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
С. КИМ — Бектемир, с.ш. № 2, 10 кл.
И. КОЛПАКОВ — Москва, ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
Д. КОРОТКИН — Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ, 9 кл.
С. ЛАМИХОВ — Ташкент, с.ш. № 103, 10 кл.
Л. МЕРКЯВИЧЮС — Лентварис, с.ш. № 2, 11 кл.
Ю. НАЗАРЕНКО — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
П. ОВЧИННИКОВ — Вязники, с.ш. № 11, 10 кл.
М. ОКРОЯН — Ереван, ФМШ при ЕрГУ, 10 кл.
В. РОМАНЮК — с. Кусише Вольинской обл., 10 кл.
Б. РУБЛЕВ — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
А. СПИВАК — Москва, ФМШ № 18 при МГУ, 9 кл.
С. СПИЧАК — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
Э. СТЕПАНЯН — Баку, с.ш. № 5, 10 кл.
В. ТИТЕНКО — д. Блужа Минской обл., 9 кл.
Р. УГРИНОВСКИЙ — Хмельник, с.ш. № 3, 9 кл.
О. ФОНАРЕВ — Сумгант, с.ш. № 11, 10 кл.
А. ХАРИТОНСКИЙ — Киев, с.ш. № 145, 10 кл.
О. ЧАЛЬХ — Москва, ФМШ № 18 при МГУ, 9 кл.
Л. ЭЛЬКУН — Ташкент, с.ш. № 189, 10 кл.

Физика

В. АВЕТИСОВ — Баку, с.ш. № 145, 10 кл.
В. БЕРЕЖНОЙ — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
В. ВАСИЛЬЕВ — Великие Луки, с.ш. № 3, 10 кл.
Б. ВЕЙЦМАН — Одесса, с.ш. № 53, 9 кл.
И. ГУБИН — Ереван, ФМШ при ЕрГУ, 10 кл.
И. ЕЛИШЕВИЧ — Чернигов, с.ш. № 3, 10 кл.
М. ЗЕЙФМАН — Вологда, с.ш. № 9, 10 кл.
И. КОМПАНЕЙЦЕВ — Алма-Ата, РФМШ, 10 кл.
А. ЛЯПИН — Москва, ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
О. МАНУЙЛЕНКО — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
А. ОСИПОВ — Сосновый Бор, с.ш. № 5, 10 кл.
В. ПЕНТЕГОВ — Киев, с.ш. № 145, 9 кл.
А. ПОНОМАРЕНКО — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
А. САНЖУР — Киев, с.ш. № 145, 10 кл.
А. СМИРНОВ — Курган, с.ш. № 28, 10 кл.
Ю. ТАЛДЕНКО — Сумы, с.ш. № 10, 9 кл.
В. ФЕДЮКОВИЧ — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
А. ЦЕХАНСКИЙ — п. Запрудня Московской обл., с.ш. № 1, 10 кл.
И. ШКРАДЮК — Ногинск, с.ш. № 83, 10 кл.

24

Задачик
кванта

М671—М675; Ф683—Ф687

М671. Во вписанном четырехугольнике одна диагональ делит вторую пополам. Доказите, что квадрат длины первой диагонали равен половине суммы квадратов длины всех сторон четырехугольника.

Р. Мазов

М672*. Пусть $a$ — натуральное число такое, что $2^a-2$ делится на $a$ (например, $a=3$). Определим последовательность $(x_n)$ условийми
$$x_1=a, x_{k+1}=2^{x_k}-1.$$
Доказите, что $2^{x_k}-2$ делится на $x_k$ при любом $k$.
Вальтер Яноус (Иисбрук, Австрия)

М673. На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы $A, B, C$. Хоккеист выбирает одну из них и будет по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-то точке.
a) Покажите, как после пяты ударов шайба $C$ может вернуть на свое место, а шайбы $A$ и $B$ поменять местами.
b) Могут ли все три шайбы $A, B, C$ вернуть на свои прежние места после 25 ударов?

А. Разборов

М674. На сторонах $BC, AC$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ взяты точки $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно. Известно, что центр описанной около треугольника $ABC$ окружности совпадает с точкой пересечения высот треугольника $A_1B_1C_1$. Доказите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

Д. Изаак

М675. Системой разновесов называется совокупность натуральных чисел, из которых извлечь два различных набора с одинаковой суммой (например, числа 24, 23, 22, 20, 17, 11 образуют систему разновесов, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 8 — не образуют: $2+3+4=1+8$). Доказите, что из чисел, меньших 1000, можно выделить систему разновесов из: a) 10 чисел, b) 11 чисел.

25

в) Докажите, что 14 чисел из них выбрать нельзя.
г) Докажите, что если числа образуют систему разновесов, то сумма их обратных величины не превыходит 5/2.
д) Выберите из чисел, меньших 700, систему разновесов из 11 чисел.

Г. Гуревич, А. Колотов

Ф683. На рисунке 1 показаны источник $AB$ и его изображение $A'B'$, полученное в лице. Определить построением расположение линии и ее фокусное расстояние.

Ф684. Схема имеет $N$ входных зажимов, один выходной и один общий («земля»). На каждом из входных зажимов потенциально «земли» составляют от +50 до +200 В.

1. Нарисуйте варитан схемы, который обеспечит на выходном зажиме максимальный из приложенных ко входам потенциальов.
2. Нарисуйте другой варитан — обеспечивающий на выходном зажиме минимальный из приложенных потенциальов.
   Пострайте обойтись без применения дополнительных источников питания.

А. Зильберман

Ф685. Между стенкой и кубом массы $M=10$ кг летает на гладком столе упругий шарик массы $m=0,1$ г. Его скорость вначале, когда куб покоился, составляла $v_0=100$ м/c. Найти скорость куба в тот момент, когда он будет в 2 раза дальше от стенки, чем вначале.

Ф686. Tonкий обруч массы $M$ и радиуса $R$ поставлен на горизонтальном плоскость. По гладкому каналу, проходящему внутри обруча, сосkalзывает из верхней точки без начальной скорости небольшое тело массы $m$. Определить скорость центра обруча в тот момент, когда тело находится в точке обруча $A$, радиус-вектор которого образует угол ф с вертикально. В начальной момент обруч покоится. Треннее между обручем и плоскостью отсутствует.

С. Кротов

Ф687. Стальному шарику, находящемуся в точке $A$ основания $AB$ равноведренного прямогоного клина, сообщают скорость $v_0$ в направлении сторонны $AO$ (рис. 2). При каких значениях $v_0$ шарик из точки $A$ попадает в точку $B$? Длина ребра клина $l$.

Е. Рабкин, ученик 9 кл.

27

метрицы относительно $m$, то $S_l(P)$ и $S_l(P')$ будут симметрины относительно $m'$. Короче: $S_{m'} = S_l \circ S_m \circ S_l$.

Лемма 2. Если $l$ и $m$ — оси симметрины многоугольника $M$, пересекаются в точке $O$ и перpendикularные другие к другу, то прямая $n$, перpendикularная им обошим и проходящая точку $O$, также служит осью симметрины $M$.

Действительно, $S_n = S_m \circ S_l$. Это легко проверить, приявные прямые за оси координат, или построив прямогольный параллелепид с центром в точке $O$ и осями симметрины $l$, $m$, $n$ с произвольной вершиной $P$ (рис. 3).

Леммы 1 и 2 позволяют, приявные прямые за оси координат, или построив прямогольный параллелепид с центром в точке $O$ и осями симметрины $l$, $m$, $n$ с произвольной вершиной $P$ (рис. 3).

Возникает естественный вопрос: какое вообще (конечное) множество прямых может быть многогольным всех осей симметрины неокоторого многоугольника?

Различные примеры даются многогольным осей симметрины $n$-угольной правильной признамы (здесь колчечтою осей $p = n$ при $n$ нечетном и $p = n + 1$ при $n$ четном), тетраэдра (или прямогольного параллелепипеда с разными ребрами, $p = 3$), куба (или октаэдра, $p = 9$) и дodeкаэдра (или икосаэдра, $p = 15$). Попробуйте доказать, что других многогольств осей симметрины (состоящих более чем из одной прямой) не бывают.

Конечно, тут не обойтись без такой оцень полезной леммы, которое многогольне читателя применяли и в решении задачи 6).

Лемма 3. Оси симметрины любого многоугольника пересекаются в одной точке.

Предположим, что $l$, $m$ — непересекающая оси симметрины многоугольника $M$. Пусть $n$ — общий перpendикular $l$, $m$; расстояние прямогольную систему координат с началом в точке $O = l \cap n$, с осью $Oz$, направленной по лучу $OA$, где $A = n \cap m$; пусть $|OA| = a$. Тогда при симметрином относительной оси $l$ координата $z$ любой точки переходит в $(-z)$, а при симметрином относительной $m$ — в $(2a - z)$. Поэтому при композиции этих двух симметрий $z$ изменяется на $2a$. Повторяя эту композицию достаточно число раз, мы «выгоним» любую точку за пределы многоугольника $M$. Противоречие!

Вот еще более короткое доказательство леммы 3 (правда, использующое понятие, заимствованное из механики): пусть $O$ — центр масс одинаковых грузников, помещенных в вершинах многоугольника $M$; ясно, что при любом самосовмещении многоугольника $M$ грузники лишь меняются местами, поэтому точка $O$ переходит в себя; в частности, все оси симметрины $M$ проходят через точку $O$.

Н. Васильев, В. Сендеров, А. Сосинский

**M624. Найдите последовательность $(a_n)$, определяемую условием условия $a_1 = 1$,

$$1 + \sum_{d} (-1)^{n/d} a_d = 0,$$

еде сумма $\sum$ берется по всем делительям $d$ числа $n$ (включая $d = 1$ и $d = n$).

Например, если $n = p$ — простое число, то (*) принимает вид $1 + (-1)^{p/1} a_1 + (-1)^{p/p} a_p = 0$, откуда $a_p = 2$, если $p = 2$, и $a_p = 0$, если $p > 2$.

28

Приименя соответствие (*), определяющее последовательность $(a_n)$, получаем

$$1 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2m-1} - a_{2m} = 0,$$

откуда

$$a_{k+1} = a_{2m} = 1 + 1 + 2 + \ldots + 2^{m-1} = 2^m,$$

— утверждение в случае a) доказано.

6. $n = k + 1 \neq 2^m$.

Запишем $k+1$ в виде

$$k+1 = 2^r \cdot s,$$

где $2^r$ — максимальная степень двойки, на которой делится $k+1$, а $s$ — нечетное число, большее единицы.

Согласно предположению индекции делителями $d$ числа $k+1$ (отличными от $k+1$), для которых $a_d \neq 0$, является лишь числа 1, 2, $2^2$, …, $2^r$.

Из соответствия (*)

$$1 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2r-1} - a_{2r} - a_{k+1} = 0,$$

то есть

$$a_{k+1} = 1 + 1 + 2 + \ldots + 2^{r-1} - 2^r = 0,$$

— и утверждение (1) в случае 6) также доказано.

В. Абрамович

M626. Каждый сторона выпуклого четырехугольника разделена на 8 равных частей. Соответствие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Доказите, что сумма площадей сих клеток равна сумме площадей белых клеток.

Поскольку середины сторона выпуклого четырехугольника являются вершинами параллельрамма, его средние линии (красные отрезки на рисунке) в точке пересечения делятся пополам. Применяя это сообщение к образованным четырехугольникам, получим то же утверждение для их средних линии и т. д., так что каждый из отрезков, соединяющих точки деления на противоположных сторонах данного выпуклого четырехугольника, оказывается разбитым на восемь равных частей.

Рассмотрим теперь «удвоенную клетку» разбиения (размер $2 \times 2$; на рисунке в ней выделены зеленым цветом диагонали). То, что суммы площадей сних и белых полей этой удвоенной клетки равны, очевидно (площади соответствующих сних и белых треугольников с общей вершиной и попарно конгруэнтными основаниями одинаковы). Из этого замечания следует утверждение задачи.

В. Произвольов

M627. В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано натуральное число.

a) Пусть каждое из этих чисел встречаетсяровно один раз. (Приведите примеры такой расстановки чисел!) Доказите, что для любого заданного m найдется две соседние (имеющие общую сторону) клетки, разность чисел в которых не меньше m.

b) Пусть каждое число n ∈ N встречаетсяровно n раз (то есть 1 — один раз, 2 — два раза и т. д.). Укажите наиболее число k такое, что обязательно найдется две соседние клетки, разность чисел в которых не меньше k. (Приведите пример

29

1. Может ли расставить числа в клетках бесконечного листа клетчатой бумаги так, чтобы разности чисел, стоящих в соседних клетках, не превысили 1, если каждое число $n \in \mathbb{N}$ встречает $n^2$ раз? А $(n+100)$ раз?

2. Пусть пространство разбито на кубические ящики, и в каждой ящиек помещено натуральное число так, что каждое число $n \in \mathbb{N}$ встречаетровно $n$ раз. Каким будет ответ на вопрос, аналогичный вопросу задачи М627?

А. Толпыго

Ф631. Проволочная спираль, присоединенная к городской сети, наревается электрическим током. Половину спирали начинают охлаждать (например, водоей). Как это отражается на количестве телята, виделяемого этой половиной спирали? друго половиной? все спираль?

Обозначим сопротивление каждой половины спирали до начала охлаждения через $R$. Так как сопротивление металлов зависит от температуры (увеличивается при нагревании и уменьшается при охлаждения), охлаждение одной из половин спирали приводит к уменьшению сопротивления этой половины до некоторой величины $R_1 < R$. Поскольку напряжение сети $U$ неизменено, это вызовет увеличение тока в цепи и, следовательно, дополнительное нагревание другой половины спирали. Сопротивление этой половины увеличится истанет равным $R_2 > R$.

Новое значение силы тока в цепи $I = \frac{U}{R_1 + R_2}$ будет больше прежнего $I_0 = \frac{U}{2R}$. Действительно, предположим что $I \leq I_0$. Тогда сопротивление неохлаждаемой половины спирали остается прежним или уменьшится ($R_2 \leq R$), а сопротивление охлаждаемой половины $R_1 < R$. Следовательно, общее сопротивление $R_1 + R_2 < 2R$ и новое значение тока $I > I_0$, что противоречит нашему предположению.

Итак, $I > I_0$, и поэтому выделяемая во всей цепи мощность (то есть количество телята в единицу времени) $P = IU$ увеличится.

Так как $I > I_0$ и $R_2 > R$, количество телята $P_2 = I^2R_2$, выделяемое в неохлаждаемой половине, также увеличится.

Мощность $P_1 = I^2R_1 = \frac{U^2R_1}{(R_1 + R_2)^2}$, выделяемая в охлаждаемой половине, наоборот, уменьшится по сравнению с начальной мощностью $P_0 = I^2R = \frac{U^2}{4R}$. Покажем это.

Найдем отношение $P_0/P_1$:

$$\frac{P_0}{P_1} = \frac{U^2}{4R} : \frac{U^2R_1}{(R_1 + R_2)^2} = \frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1R}$$

Очевидно, что

$$\frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1R} > \frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1R}$$

а посленее выражение больше или равно 1, так как среднее геометрическое двух величины $(\sqrt{R_1R_2})$ не превышает их среднего арифметического $(\frac{R_1 + R_2}{2})$.

Таким образом, действительно $P_1 < P_0$, то есть мощность, выделяемая в охлаждаемой половине спирали, уменьшится.

Б. Буховцев

31

$$R = \frac{X_C}{\sqrt{4n^2 - 1}} = \frac{1}{\omega C \sqrt{4n^2 - 1}} = \frac{\omega L}{\sqrt{4n^2 - 1}}.$$

Резистор в неразветвленной части цепи влияет только на величины напряжения на зажимах цепи. Если в качестве резисторов взяты три одинаковые лампы накапливания, то лампа в неразветвленной части цепи может быть темной при полном накапле ламп в ветях (при достаточно большом $n$).

Г. Савкун

Ф634. Стержень AB длиной $l$ и массой $m$ нижним концом опирается на стену и с помощью нити удерживается в наклонном положении (см. рисунок). Нить привязана к стене в точке $C$, а к стержню — в точке $D$ такой, что $|AD| = \frac{1}{3}|AB|$. Улыбь, составляемые нитью и стержнем со стеной, равны а и β соответственно. Наити возможные значения коэффициента трения между стержнем и стеной.

На стержень действуют три сили: сила $\vec{T}$ натяжения нити, сила тяжестеги $m\vec{g}$ и сила реакции со стороны стенки $\vec{R} = \vec{N} + \vec{F}_{\tau}$ ($\vec{N}$ — сила нормальной реакции, $|F_{\tau}| \leq \mu |\vec{N}|$ — сила трения). В состоянии равновесия стержня сумма моментов этих сил относительно любой точки равна нулю. Чтобы условие выполнялось, линии действия сили $\vec{R}$ должны проходит через точку пересечения линейной действия сили $\vec{T}$ и $m\vec{g}$ (моменты сили $\vec{T}$ и $m\vec{g}$ относительно этой точки равны нулю).

В зависимости от соответствия между α и β точка пересечения линейной действия сили $\vec{T}$ и $m\vec{g}$ может лежать: а) выше перpendикуляра $AM_0$ к стене (точка $M_1$ на рисунке), б) ниже этого перpendикуляра (точка $M_2$), в) на нем (точка $M_0$). Соответствие сили треня направлена либо вдоль AC вверх ($\vec{F}_a$), либо вдоль AC вниз ($\vec{F}_b$), либо равна нулю. Рассмотрим каждый из этих случаев отделно а) Условие равновесия стержня:

$$T \cos \alpha + F_a - mg = 0, \quad N - T \cos \alpha = 0$$

(1) — равенство нулю суммы проекций всех сил на оси $Y$ и $X$ соответственно;

$$d_1 mg = d_2 T,$$ или $$\frac{mg l}{2} \sin \beta = \frac{Tl}{3} \sin (\alpha + \beta)$$

(2) (см. рисунок). Из (1) и (2) имеем

$$\mu_a \geq \frac{F_a}{N} = \frac{2}{3} \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} - \frac{1}{tg \alpha} = \frac{1}{3} \left( \frac{2}{tg \beta} - \frac{1}{tg \alpha} \right).$$

(Случай a) осуществляется при условии $2tg \alpha > tg \beta$.) б) Записав условия равновесия, найдем:

$$\mu_6 \geq \frac{1}{3} \left( \frac{1}{tg \alpha} - \frac{2}{tg \beta} \right).$$

(Этом случае соответствует условие $tg \beta > 2tg \alpha$.) в этом случае стержень находится в равновесии при любом значении $\mu_b (2tg \alpha = tg \beta)$.

Таким образом, при произвольном соответствии между углами α и β стержень находится в равновесии при

$$\mu \geq \frac{1}{3} \left| \frac{1}{tg \alpha} - \frac{2}{tg \beta} \right|.$$

К. Серееев

Ф635. Два одинаковых автоматics массой $m = 10^3$ ке движется вверх по одному и той же горной дороге. Зависимость высоты h дороги от расстояния x до начала подема показана на рисунке. Каждый автоматик развищет постоянную мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления支配а на участке II.

За время t, в течение которого первый автоматический по участку II, а второй — еще по участку I, второй автоматический по участке l, а первый — неокорое расстояние l’ < l. Очевидно, расстояние l’ между автоматическим будет на участке II.

32

ризонтальном участке дороги расстояние между автоматом равно 100 м. Каким бы минимальное расстояние между автоматом при их движении?

Найдем скорости автоматической участка I и II. На участке I работа совершается только против слепойления. На этом участке баланс энергии можно записать следующим образом:

$$P = |\vec{F}_1| |\vec{v}_1| = \alpha |\vec{v}_1|^3.$$

(1)

На участке II добавляется работа против слепойления:

$$P = |\vec{F}_2| |\vec{v}_2| + m |\vec{g}| \frac{h_2}{S_2/|\vec{v}_2|} = \alpha |\vec{v}_2|^3 + m |\vec{g}| |\vec{v}_2| \frac{h_2}{S_2}.$$

(2)

Наклон $h_2/S_2$ определяем из графика: $h_2/S_2 = \frac{4}{30}$.

Из уравнения (1) находится $|\vec{v}_1| \approx 20,5$ м/c. Следовательно, $\tau = \frac{l}{|\vec{v}_1|} \approx 4,9$ с. Из уравнения (2) находится $|\vec{v}_2| = 8,5$ м/c. За время т первый автоматиль пройдет расстояние $l' = |\vec{v}_2| \tau = 41,6$ м. Это и есть минимальное расстояние между автоматом.

Рекомендуем самостояльно проанализировать движение автоматей при переходе с горизонтального участка I на участок II и убедиться, что учет плавного характера изменения скорости от значения $|\vec{v}_1|$ до значения $|\vec{v}_2|$ не меняет ответа задачи.

В. Белонучкин

Ф636. Цилиндрический сосуд, закрытый неевесомим поршнем площадью сечения S, содержит газ под атмосферным давлением $p_0$. Объем газа при этом равен $V_0$. Сосуд порегулирует в-body (плотность $\rho_0$) так, как показано на рисунке. Найти зависимость расстояния x между поршнем и поверхостью воды от modуля F сили, удерживающей нить, которая прияззана к поршню.

Ф637. В сверхпроводящих катушках с индуктивности $L_1$ и $L_2$, включенных паралельно, возбужден ток. Индуктивность $L_1$ одной из катушек уменьшается до нуля. Во сколько раз изменяется при этом ток в цепи и энергия системы?

Запишем уравнение состояния газа в цилиндре (закон Бойля — Мариотта), когда поршень находится на некоторой глубине x под водой:

$$p_0 V_0 = p V = ph S,$$

(1)

где p — давление в цилиндре, a h — расстояние от дниша цилиндра до поршня. Условие равновесия поршня на глубине x —

$$p S + F = (p_0 + \rho_0 g x) S.$$

(2)

Условие равновесия цилиндра —

$$p S = [p_0 + \rho_0 g (x - h)] S + Mg,$$

(3)

где M — масса цилиндра.

Решая совместно уравнения (1), (2), (3), получим:

$$x = \frac{p_0 V_0 \rho_0 g S + Mg F + F^2 - p_0 SF - p_0 SMg}{\rho_0 g S (F + Mg)},$$

(4)

или, если цилиндр неевесом,

$$x = \frac{p_0 V_0 \rho_0 g S + F^2 - p_0 SF}{\rho_0 g SF}.$$

(5)

Соотношения (4) и (5) справедливы, оченьindo, лишь тогда, когда цилиндр полностью погружен в воду.

В. Белонучкин

Будем считать, что катушки разнесены достаточно далеко и взаимно индуктивно можно не учитывать. Так как катушки сверхпроводящие, магнитный поток Ф, произвольный их, остается постоянным. Из этого условия находится:

$$\Phi = L_1 I_0 + L_2 I_0 = L_2 I_{(1)}$$

(1)

— в случае, когда обмотки катушек одинаково ориентированы относительно направления тока в цепи (рис. 1), и

$$\Phi = L_1 I_0 - L_2 I_0 = L_2 I_{(2)}$$

(2)

— когда обмотки ориентированы по-разному (рис. 2). В (1) и (2) $I_0$-начальный ток в цепи, I — ток в конце процесса.

Энергия системы в начале процесса равна

$$E_0 = \frac{L_1 + L_2}{2} I_0^2.$$

33

К центру тяжести

В первом случае
$$\frac{I_{(1)}}{I_0} = 1 + \frac{L_1}{L_2}.$$
Энергия системы в конце процесса в этом случае равна
$$E_{(1)} = \frac{L_2 I_1^2}{2} = \frac{L_1 + L_2}{2} I_0^2 \left(1 + \frac{L_1}{L_2}\right) = E_0 \left(1 + \frac{L_1}{L_2}\right),$$
откуда
$$\frac{E_{(1)}}{E_{(0)}} = 1 + \frac{L_1}{L_2}.$$
Во втором случае
$$\frac{I_{(2)}}{I_0} = 1 - \frac{L_1}{L_2}.$$
$$E_{(2)} = \frac{L_2 I_2^2}{2} = \frac{(L_2 - L_1)^2}{2 L_2} I_0^2,$$
$$\frac{E_{(2)}}{E_0} = \frac{(L_2 - L_1)^2}{L_2 (L_1 + L_2)}.$$
П. Зубков

К центру тяжести

Как ведет себя система одинаковых части, правила движения каждой из которых зависит лишь от небольшого числа оседей? Такие вопросы возникают во многих математических моделях физических, химических, биологических объектов, и ответы на них, как правило, получить очень трудно. В этой заметке мы решим одну задачу такого типа (М604 из Задачника «Кванта»), где правила движения частицы выражаются линейми и функциями, что позволяет получить простой ответ: частицы слияжются к общему центру тяжести.

Формулировка задачи
a) Андрей, Виктор, Сергей, плавающее под водой, одновременно выбирающие в точках $A_0, B_0, C_0$ и тут же нырнул снова, причем Андрей решил проплыть за минуту треть пути до Виктора, Виктор — треть пути до Сергея, Сергей — треть пути до Андрей. Через минут они выбираили вновь (точки $A_1, B_1, C_1$ — см. рис. 1) и решили повторить этот маневр — уже за полминуты; потом за четверть минуты и т. д.

Где и коеда они встретиются?
b) Внутри сферы радиуса 1 км расположен миллион точек, занумерованных числами от 1 до миллиона. Какую секунду одновременно каждой точке движется к следующей по номеру на 1/3 расстояния до этой точки; последняя точка точного так же движется к первой. Докажите, что через некоторое время все точки совершятся внутри некоторой сферы радиуса 1 см.

Решение задачи a)
Докажем, что все точки $A_k, B_k$ и $C_k$ стремятся в пределе к центру тяжести. Q треугольник — точке пересечения его медиан; в этом смысле можно сказать, что Андрей, Виктор и Сергей встретиются через $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 2$ минуты в точке $Q$ (хотя, конечно, даже делфинны не смогли бы так быстро поворачивать и кувыркатся, как это придает делать нашим пловцам к концу второй минуты).

Прием $Q$ за начало координат и воспользовемся векторной записью преобразования $(A_k, B_k, C_k) \rightarrow (A_{k+1}, B_{k+1}, C_{k+1})$.

Как нетрудно видеть (рис. 2), для каждой $k = 0, 1, 2, \ldots$
$$\vec{Q}A_{k+1} = \frac{2\vec{Q}A_k + \vec{Q}B_k}{3},$$
$$\vec{Q}B_{k+1} = \frac{2\vec{Q}B_k + \vec{Q}C_k}{3},$$
$$\vec{Q}C_{k+1} = \frac{2\vec{Q}C_k + \vec{Q}A_k}{3}.$$
Из этих формул следует, что точка $Q$ является общим центром тяжести всех треугольников $A_k B_k C_k$: $\vec{Q}A_k + \vec{Q}B_k + \vec{Q}C_k = \vec{0}$ (рис. 3).

Более того, преобразование $L^2 = L \cdot L$, как видно из формул
$$\vec{Q}A_{k+2} = \frac{4\vec{Q}A_k + 4\vec{Q}B_k + \vec{Q}C_k}{9} = -\frac{\vec{Q}C_k}{3},$$
$$\vec{Q}B_{k+2} = -\frac{\vec{Q}A_k}{3},$$
$$\vec{Q}C_{k+2} = -\frac{\vec{Q}B_k}{3},$$
— готовятся с коэффициентом $(-1/3)$ и центром $Q$ (см. рис. 1). Таким образом, если треугольник $A_0 B_0 C_0$ лежит в круге радиуса $R$ с центром в точке $Q$, то треугольник $A_{2k} B_{2k} C_{2k}$ и все следующие треугольники будут

37

Задания

1. В примере, изображенном на рисунке, некоторые цифры заменены звездочками. Восстановите недостающие цифры.

2. При каком основании системы численения число 1111 является полным квадратом? А число 11111?

3. Из девяты цифр 1,2,3,…,8,9 со ставьте три трехначных числа, которые относятся, как a) 1:3:5; б) 1:2:3.
   Сколько решений имеет задача 6)?

4. Сумма цифр трехзначного числа, все цифры которого различны, кратна 7; само число также делится на 7. Найдите все такие числа.

5. Дан угол величины 54°. Пользовать только цифру, разделите его на три равные части (то есть найдите точки так, чтобы лучи, проходящие через вершину данного угла и эти точки, разделили его на три равные части).

6. Две окружности, длина каждой из которых равна 0,5 м, касаются стороны BC прямогольника ABCD (|AB|=1 м, |BC|=2 м) в одной и той же точке: одна с внешней стороны, другая — изнутри (см. рисунок). Окружности начинают перекатывать по сторонам прямогольника (находясь в одной с ним плоскости). Сколько оборотов сделает каждая из окружностей к моменту возврашения в исходное положение?

7. По окружности расположены семь монет, лежащих вверх «решкой». Одним ходом разрешается перевернуть любые пять подряд лежащих монет. Можно ли добиться того, чтобы все монеты лежали вверх «орлом»?

Эти задания нам предложили
Ф. Бартенев, А. Кабризон, Ю. Метт,
А. Швецов, Л. Яковлева

38

Ф. Бартенев, И. Никольская

О польце
нелепостей

Как-то раз мама с Катей ушли в гости, а Петя, предвкушая приятный вечер, полез на верхню полку за томиком увлекательнейших историй о Шерлоке Холмсе. Доставая книгу, он нечаянно смахнул с полки взочку, которая разбилсь вдребезги. Хорошее настроение Пети было несколько омачено, но, решив не расстраиваться заранее, он смел черепки в угол и уютно устроился с книгой на диване. Рядом примостился Дружок. Едва раскрыв книгу, Петя тотчас же позабил обо всем на свете и с головой погрузился в мир загадочных представлений, которые так ловко распутвал Шерлок Холмс с помощью своего детуктивного метода. К действительности его вернул возмущенный возглас Кати:

— Мама, смотри, Петка разбил взочку, которое я тебе подарила!

— А ты видела? — по привчке запросетовал Петя. — Докажки, что это я!

— Что же тут доказывать? — поожала плечами Катя. — Дома были только ты и Дружок. Допустим, что не ты разбил взочку; значит, ее разбил Дружок. Но не станешь же ты утверждать, что Дружок смог добраться до верхней полки. Это было бы нелоно: Дружок все-tаки собака, а не кошка. Значит, взочку разбил ты, больше некому.

— Да, — подумал Петя, — с ней не поспорись, логика — как у Шерлока Холмса; да и спорить нечего — взочку действительно разбил я. Пойду-ка к Мите, спрошу, что задано по математике.

У Мити он узнал, что по геометриим задали теорему Две прямы имеют не более одной общей точки, доказательство которого Мити уже разобрал и вычил.

— Рассказки, — попросил Петя (чтение учебника геометрии, которое они только начали изучать, казалось ему делом трудным и скучным).

— Пожалуйста, — согласился Мити. — Допустим, что утверждение теоремы неверно; тогда…

39

— Постой, постой, — первый его Петя, — дальше я сам расскажу. Если неверно, что две прямые имеют не более одной общей точки, значит они имеют более одной общей точки, то есть две или три, а может, и больше. Но тогда получится, что две точки соединяют две прямые. А этого не может быть — мы уже знаем, что через две точки проходит одна-единственная прямая. Значит, две прямые не могут иметь более одного общей точки, то есть общих точек у них не более одной.

— Ну, ты молодец, — удивился Митя. — Где это ты так насобачился?

— Именно насобачился, — засмеялся Петя. — Только что КатЬка таким же способом доказала, что взоочку разбил я, а не собака.

— Каким это способом? — занитересовался Митя. — В чем он состоит? И вообше, что общего между доказательством геометрической теоремы и следствием по делу о разбитой взоочке?

Петя немного растерялся, но только на секунду. Воодушевленный успехом и пожвалой другга, он стал думать всухх:

— В обонх случайх доказываюсь некоторое утверждение $P$ (в первом случае — Вашочку разбил Петя, во втором — Две прямые имеют не более одной общей точки);

— доказательство начиналось с того, что допускалась истинность не $P$ (отрицания предложения $P$);

— допущение истинности не $P$ в обонх случайх привело к непослушисти (в первом — к тому, что собака может вскарабаться на верхнюю полку, а это противоречит нашим представлениям о способности и привыхках собак; во втором — к тому, что через две точки можно проведи две прямые, а это противоречит известной аксиome).

— Ну и что? — спросил Митя. — Почему же этим доказано $P$?

— А вот почему: раз допущение, что не $P$ истинно, привело к непослушисти, значит, не $P$ истинным быть не может. Но если не $P$ ложно, то $P$ истинно!

— Все правильно, — сказал Митя. — Если отрицание предложения $P$ ложно, то само предложение $P$ исслада.

тинино; помнишь, мы с только об этом говорили?*). Поэтому вместе того, чтобы доказывать истинность $P$, можно доказывать ложность не $P$, а уже отсюда делать вывод об истинности $P$.

— Можно-то можно, — заметил Петя, — да нужно ли? Не проще ли идти прямым путем? Вот так, например, как мы с Катей в контрольной по алгебре-доказывании, что число 13 не является корнем уравнения $x^3-17x^2+119x-1000=0$: подсчитали значение выражения в левой части уравнения при $x=13$ и убедились, что оно не равно 0.

— И не лень вам было умножать и складывать? — усмехнулся Митя. — Ведь стоило только предположить, что 13 — корень этого уравнения, как сразу получился бы непельный вывод: 1000 делится на 13 ($13^3-17 \cdot 13^2+119 \cdot 13=1000$). Следовательно, 13 — не корень данного уравнения.

— И что же, — осведомился Петя, — такой путь доказательства всегда короче прямого?

— Нет, не всегда, — ответил Митя, — но довольно часто. Попробуй, докажи, например, что в Москве есть люди с одинаковым количеством волос на голове (лыцы не считаются). Не станешь же ты у всех подряд перебирать шевелиору по волоску. А вот если предложить, что таких людей нет, то, прияв во внимание, что в Москве живет около 8 миллионов, а число волос на голове у человека не превыходит 500 000, мы приdem к непелому выводу: 500 000 $\geq$ 8 $\cdot$ 10^6. Следовательно, в Москве есть жители с одинаковым числом волос на голове.

Доказательство уверженения $P$ путем доказательства ложности его отрицания не $P$ называется косвенным доказательством; называют его также доказательством от противного. А теперь попробуй, докажи от противного, что не существует наиболее четного числа.

*) См. статью «Неверно, что… — как это понятно?» («Квант», 1980, № 9).

40

— Ну, что же, — сказал Петя, — это нетрудно. Допустим, что такое число $n$ существует. Тогда всякое другое четное число должно быть меньше $n$. Однако, прибавив к числу $n$ двойку, получим четное число $n+2$, больше, чем $n$. Полученное противоречие доказывает, что предположение о существовании наиболее четного числа ложно; значит, наиболее четного числа не существует.

— Знаешь, — сказал Митя, — еще в третьем веке до нашей эры Евклид доказал, что наиболее простого числа не существует. Предположив, что такое число $p_n$ существует, он построил число $p=p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n+1$, где $p_1, p_2, \dots$ — простые числа, противоречие $p_n$; $p$ не делится ни на одно из чисел $p_1, p_2, \dots p_n$ (в остатке всегда будет 1), а значит, либо оно само — простое, либо делится на простое число $q$, больше, чем $p_n$. Полученное противоречие ($p_n$ — наиболее простое число и, одновременно, либо $p$, либо $q$ — простое число, больше $p_n$) доказывает ложность сделанного допущения и, тем самым, истинность утверждения Наибольшего простого числа не существует.

— Быает так, — продолжал Митя, — что ложность не $P$ стоял очень давно, что можно сразу сделать вывод об истинности $P$. Помнишь, в четвертом классе нам говорили, что пустое множество является подмножеством любого множества? Это звучало как-то страно, неубедительно. Попробуем доказать это утверждение от противного. Вспомним, что множество $M$ называется подмножеством множества $N$, если всякий элемент множества $M$ принадлежит множеству $N$. Допустим, что пустое множество $M$ не есть подмножеством множества $N$, то есть найдется такой элемент множества $M$, который не принадлежит $N$. Но это — оченьная непопость, так как в пустом множестве согласно его определению вообще нет никаких элементов. Следовательно, пустое множество есть подмножеством множества $N$.

— И в самом деле убедительно, — согласно Петя.

Друзья расстались, весыдовые друг другом.

Вскоре на уроке физики учитель рассказал ребятам, как Галилей логически доказал свою гипотезу о том, что в пустоте все тела падают одинаково быстро, и опроверг тем самым гипотезу Аристотеля, полагавшего, что тело падает тем быстро, чем оно тяжелее.

— Допустим, — сказал Галилей, — что тяжело ядро падает быстро, чем легкое. Что будет, если связать эти два ядра вместе? С одной стороны — легкое ядро должно замедлять падение тяжелого, с другой же — скорость падения связанных ядер должно быть больше скорости падения тяжелого ядра. Полученное противоречие доказывает, что предположение о различии скоростей падения тяжелого и легкого ядр ложно. Следовательно, ядра должны паать с одинаковой скоростью.

— Значит, приведение к противоречению было не и в физике, — отметил про себя Петя.

Спустя некоторое время учительница русского языка попросила Петю доказать, что в предложении Почти все понеры нашей класса уле-

41

калотся спортом слово почти — частица.

— Вот те на, — подумал Петя. — Я понимо, же — частица, ли — частица, бы — частица, а почти — какая же это частица? Слово как слово. Впрочем, это, несомненно, службная часть речи, то есть либо предлог, либо союз, либо международные, либо частица. Допустим, что слово почти — не частица; тогда оно — предлог, или союз, или международные. Но это слово не служит для связи слов или частей предложения; значит, оно — не предлог и не союз. Неверно и то, что слово почти — международные: оно не выражает никаких чувств и не побуждает к действия. Следовательно, слово почти — частица, и я доказал это, рассудядая от противного. Учительница пожвалила Петю за только ответ.

Прошло много времени. Петя и Митя окончили шестой класс и перешли в сельмой. На одном из первых уроков геометрии в сельмом классе разбиалась теорема: Если две прямые перpendикularны одной и той же прямой, то они паралельны. Доказываясь эта теорема так: Предположим, что прямые a и b, перpendикularные прямой p, пересекаются в точке M. Тогда через точку M проходят два перpendикularа к прямой p, что противоречит теореме «Через любую точку проходит один и только один перpendикular к данной прямой». Учительница сказала, что это — доказательство от противного.

— Ага, — подумал Петя, вспоминв прошлогодного беседу с Митей, — эта теорема сформулирована в виде условного предложения: Если A, то B, а отрицанием такого предложения является предложение A и (не B), то есть Правые а и b перpendикularные прямой p и пересекаются. Мы доказали, что утверждение A и (не B) ложно, так как противоречит ранее доказанной теореме. Значит, Если A, то B истинно. Все правилано.

На уроке алгебры нужно было доказать утверждение: Если натуральное число n меньше 1, то $\frac{1}{n} > n$.

Учительница называла доказательством от противного такое рассужждение: допустим, что $\frac{1}{n} \leq n$; тогда $\frac{1}{n} - n \leq 0$; от сюда следует, что $\frac{1 - n^2}{n} \leq 0$, откуда $1 - n^2 \leq 0$, $1 \leq n^2$ и $n \geq 1$. Пете показалось, что это не совсем то, что он привил считать доказательством от противного, и он решил обсуить этот вопрос с Митей. Тот расселл его сомнения.

— Посмотри, — сказал он, — мы предположили, что истинно отрицание исходного утверждения Натуральное число n меньше 1 и $\frac{1}{n} \leq n$.

Из этого предложения вытекает опровергающее его противение: $n < 1$ и $n \geq 1$ одновременно. Следовательно, исходное предложение истинно. Как видшь, это самое настоящее доказательство от противного. Но к этому вопросу можно подойти и иначе. Мы недавно проходит тему «Равносильные предложения». Так вот, предложения Если A, то B и Если (не B), то (не A) равносильны, то есть при любых A и B они либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Значит,

43

О. Овчинников

Что же показет диамометр?

На гладкой горизонтальной поверхности лежит диамометр. К одному концу диамометра прикладывают силу $F_1=5\text{H}$, к другому — силу $F_2=8\text{H}$ (рис. 1). Что показет диамометр?

Задачи подобного содержания можно встретить в задачниках и учебных пособиях по физике. Ответ, как правило, приводится такой: диамометр будет показывать 5\text{H}. Подтвердить это можно следующим рассуждением. Если к обомим концам диамометра прикладывают силы, равные 5\text{H}, то диамометр показывает 5\text{H}. Если же одну из сил уvelличить на 3\text{H}, то равновесие нарушится, и диамометр, показвая 5\text{H}, начинает дивятся в направлении действия большей силы с ускорением $a=(F_2-F_1)/m$, где $m$ — масса диамометра.

Казалось бы, все очевидно. Однако…

Давайте разберемся в этом вопросе детально. Начнем с такой простой задачи:

на гладком горизонтальном столе лежит пружина с жесткостью $k$. К одному из концов пружины прикладывают силу $F_0$, направленную

$$m_x = \frac{m_0}{l_0} x,$$

где $m_0$ — масса пружины, $l_0$ — длина пружины в нерастянутом состоянии. Ускорение, с которой будет дивятся все пружина под действием силы $F_0$, равно

$$a = \frac{F_0}{m_0}.$$

С таким же ускорением будет дивятся рассматриваемый нами участок пружины длиной $x$. На этот участок со стороны остальной части пружины действует сила, равная массу пружости $F_x$, возникающей в течение на расстоянии $x$ от свободного конца пружины. Следовательно, значение силы пружости $F_x$ равно

$$F_x = m_x a = \frac{F_0 x}{l_0}.$$

Мы получили интересный результат. Во-первых, сила пружости, возникающая в данном случае приравненная его координате при нерастянутой пружине, или длине участка, отсекаемого этим сечением. Во-вторых, значение этой силы не зависит от массы пружины. Масса пружины может принимать значения, отличные от нуля. В случае $m_0=0$ ускорение, прибретаемое пружиной, обращается в бесконечность.

Возникающая всестrene удининия пружины силы пружости пропорциональна этому удиниению: $F=k\Delta l$, где $k$ — жесткость пружины. Однако рассчитывать показания диамометра по этой формуле можно лишь тогда, когда в любом сечении пружины

44

возникает одна и та же сила упругости. Именно такая ситуация осуществляется в том случае, когда на оба конца приходы действуют одинаковые по абсолотной величины силы (например, когда к одному концу приходы приходы приложена сила $F$, а другой конец закреплен).

В нашем случае приускореном движении приходы силы упругости, возникающие в различных сеченях приходы, различны. Это означает, что удилиния отдельных участков приходы, вседствие которых и возникают соответствующие силы упругости, различны.

Для расчета удилиния всея приходы восползуется следующими рассуждениями. Мы следенно разделим нераспределную приходную на $N$ одинаковых частей. Расмотрим кусочек приходы, отделенный от свободного ее конца $i$ кусочками (рис. 3). Сила $T_i$, с которой выделенный участок приходы действует на эти $i$ кусочков с массой $\frac{m_0}{N} i$, сообщает им ускорение $a = F_0/m_0$; следовательно,

$$T_i = \frac{i}{N} m_0 a = \frac{i}{N} F_0.$$

Такая же по абсолотной велиние сила действует на выделенный участок приходы. Пусть справа на этот участок действует сила $T_{i+1}$. Тогда

$$T_{i+1} - T_i = m_i a = \frac{F_0}{N}.$$

С ростом $N$ величины $F_0/N$ уменьшается, и при достаточно больших $N$ можно считать, что $T_{i+1} - T_i \approx 0$, то есть $T_{i+1} \approx T_i = \frac{i}{N} F_0$. Иными словами, при большом $N$ можно считать,

$$T_i = \frac{F_1 - F_2}{N} i + F_2 = kN \cdot \Delta l_i.$$

Удилиние такого участка равно

$$\Delta l_i = \frac{(F_1 - F_2)i + F_2N}{kN^2}.$$

Следовательно, удилиние всея приходи

45

жины равно

$$\Delta l = \sum_{i=1}^{N} \Delta l_i = \frac{1}{kN^2} \sum_{i=1}^{N} (F_1 - F_2) i + F_2 N =$$

$$= \frac{F_2}{kN} + \frac{F_1 - F_2}{kN^2} \sum_{i=1}^{N} i = \frac{F_1 - F_2}{2k}$$

(поскольку по-прежнему $N$ очень велико).

Теперь мы перейдем от простой пружины к диамометру. Вспомним, что представляет собой простой школьный диамометр. Это ставная пружина с кричком, прикрепленная к корпусу с нанесенной на него шкалой (рис. 5). Так что условия нашей самой первой задачи можно формулировать так:

на главной горизонтальной поверхности лежит диамометр. К корпусу его прикладывают силу $F_1$, а к пружине (к кричку) — силу $F_2$. Что показет диамометр?

Чтоы представляют показания диамометра, представим его в виде такой системы, как на рисунке 6. Кубик слева — это корпус диамометра; его масса $m_1$. Пружина справа — это пружина диамометра; ее масса $m_2$. Запишем уравнения движения корпуса и пружины:

$$T - F_1 = m_1 a,$$

$$F_2 - T = m_2 a,$$

где $a$ — ускорение, с которой движется диамометр.

Из этих уравнений находится

$$T = F_2 - \frac{(F_2 - F_1) m_2}{m_1 + m_2}.$$

Наружную диамометра действуют две силы — $F_2$ и $T$, причем $T < F_2$. А удиленние пружины в таком случае, как мы выяснили, равно $\Delta l = \frac{T + F_2}{2k}$. Подставив найденное значение $T$, получим

$$\Delta l = \frac{F_2}{k} - \frac{(F_2 - F_1) m_2}{2k(m_1 + m_2)}.$$

Из этого выражения видно, что при $m_2 = 0$ (то есть в том случае, когда массой пружины можно пренебреть) удиленние пружины равно $\Delta l = F_2/k$.

Итак, результат наших расчудений следующий: удиленние пружины, а следовательно, и показания диамометра зависит не только от величины сил, действующих на корпус и пружину, но и от массы корпуса и пружины диамометра. Мало этого. Показание зависит от того, к чему (к корпусу или к пружине) приложены силы $F_1$ и $F_2$. Если помещать в рассмотрении нами задаче силы $F_1$ и $F_2$ местами, показание изменяется. (Проверьте сами, что это действительное так.)

Мы приходим к выводу, что задача, сформированная в начале статьи, не может быть решена строго до тех пор, пока не будут заданы массы корпуса и пружины диамометра. И ответ, приведенный нами в самом начале, не верен. Чтобы еще раз убедиться в этом, решите задачу, воспользоваться реальными данными, характерными для знакомого вам школьного диамометра.

Список читателей, приславших правленные решения задач из Задачника «Квата»

(Начало см. на с. 35)

(Кировакан) 27; А. Мельник (Житомир) 27; Е. Мельницук (Черновцы) 25, 27; О. Меркулов (Муром) 25; С. Милованов (Запорожье) 23, 25, 27; А. Митко (Гомель) 31; С. Михайловский (с. Концогье Архангельской обл.) 19, 23, 28; М. Моильский (Запорожье) 18, 21; П. Муталев (Джизак) 25; М. Найловзин (Баку) 18, 19, 23, 27, 28, 31; А. Найден (Берлин, ГДР) 23; А. Николаев (Чебоксары) 25; А. Нозин (Минск) 18, 21, 23; С. Обочеув (Ленинград) 25, 27, 31; А. Оспинов (Сосновый Бор) 25, 29, 31, 32; И. Осовяк (с. В. Дедеркалы Терпопольской обл.) 23; Ю. Остапук (Здольнов) 31; Ю. Павлов (Ленинград) 18, 23, 27; А. Павлове (Рига) 19, 25, 27, 28,

31; Д. Пастухов (Челябинск) 18; С. Пашенко (Киев) 18, 19, 21, 23, 25, 27, 28; А. Пелех (Казатин) 18, 21, 23, 25, 27, 28; В. Пентеов (Киев) 19—23, 28, 31; В. Петров (Свердловск) 27; И. Пиковский (Киев) 19, 21; С. Пшенин (Черновцы) 28, 31; С. Погорлов (Киев) 27; Г. Поде (Ворошилоград) 27; Г. Подчурский (Бельцы) 31; А. Полисский (Киев) 18, 21; Е. Поляков (Калининград Московской обл.) 18; А. Пономаренко (Киев) 18, 21, 23; А. Посметоко (Минск) 25; В. Потылцин (п/o Савинское Архангельской обл.) 25, 27; О. Потылцина (Жуковский) 25, 27; В. Прилилко (Киев) 28; К. Протасов (Москва) 27; О. Райцев (Киев) 23, 25, 27; И. Решетов (Мелитополь) 27; Г. Розикян (Ереван) 23; Е. Розман (Киев) 25, 31; И. Салахов (Ташкент) 18; А. Саланов (Новополюк) 18, 25, 31; Ю. Самохин (Москва) 25, 27;

(Окончание см. на с. 50)

46

Колебания

С колебаниями мы стalkиваем повсюду. Это, например, колебания различных магнитков и струп музикальных инструментов, молекул газа в звуковой волне и молекул жидкости в морских волнах. Колебательные движения совершают atoms в твердых телах и электроны, входящие в состав atomов. Колебания электрического заряда и тока проискают в контурах радиоприемников и телевизоров. По таким же законам происходит изменение направления электрического поля и индуктивного поля в электромагнитной волне.

Самое удивительное, что все эти совершенное различные физические явления описывают одними и теми же математических уравнений, то есть подчиняются единим законом. Именно с такой позицией мы и рассмотрим ряд примеров простейших колебательных систем. Ограничимся рассмотренем только свободных колебаний, когда внешние воздействия на колебательную систему отсутствуют, параметры системы и условия, в которых совершаются колебания, so временем не изменяются.

Потерями энергии в колебательной системе будем пренебрегать, то есть будем полагать, что полная энергия системы остается постоянной. Это, конечно, идеализация, но, если потери энергии существенно меньше полной энергии системы, колебания реализой системы в течение достаточно длительного времени будет мало отличаться от колебаний идеализированной системы.

Задача 1. Груз массой m, находящаяся на главной горизонтальной поверхности, прикреплен к неподвижной стенке с помощью пружины жесткого к (рис. 1, a). Груз смещают от положения равновесия 00′ на величины A₀ и отпускают без начальной скорости. Найдите:

1. смечение груза от положения равновесия в зависимости от времени; 2) временную зависимость скорости груза; 3) зависимость от времени кинетической энергии груза и потенциальной энергии пружины; 4) среднюю (за период) кинетическую и среднюю потенциальную энергии данной системы.

2. Пусть в некоторый момент времени t груз находится в точке с координатой x (рис. 1, б). Запишем уравнение движения груза вдоль оси X. В этом направлении на груз действует только одна сила — сила упруости пружины $\vec{F}$, направлена к положению равновесия ($x=0$). Проекция этой силы $F=-kx$, поэтому уравнение движения груза имеет вид

Рис. 1.
Рис. 2.

47

$$ma = -kx,$$

(1)

где $a$ — проекция ускорения груза в данный момент времени. Учитывая, что ускорение — это вторая произвольная координаты по времени $(a = x'')$, перепишем уравнение (1) так:

$$x'' + \frac{k}{m} x = 0,$$

или, обозначив постоянный коэффициент $\frac{k}{m}$ через $\omega_0^2$, —

$$x'' + \omega_0^2 x = 0.$$

(2)

Полученное уравнение описывает гармоничное колебания груза, то есть колебания, при которых смешение груза от положения равновесия изменяется со временем по закону

$$x = x_m \cos (\omega t + \varphi_0).$$

(3)

Выражение (3) является решением уравнения (2). Здесь $x_m$ — амплитуда, $\omega$ — круговая частота, $(\omega t + \varphi_0)$ — фаза и $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний.

Чтобы найти круговую частоту, подставим решение (3) в уравнение (2):

$$-x_m \omega^2 \cos (\omega t + \varphi_0) + \omega_0^2 x_m \cos (\omega t + \varphi_0) = 0,$$

или

$$x_m \cos (\omega t + \varphi_0) \cdot (\omega_0^2 - \omega^2) = 0.$$

Это равенство справедливо для любого момент времени $t$, если $x_m = 0$ либо $\omega_0^2 - \omega^2 = 0$. Поскольку амплитуда колебаний не может быть равна нулю, остается

$$\omega_0^2 - \omega^2 = 0,$$ или $\omega = \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Мы получили очень важный результат: коэффициент при $x$ в уравнения (2) есть не что иное, как квадрат круговой частоты колебаний.

Теперь найдем амплитуду колебаний и начальную фазу. Для этого используем начальные условия: в момент времени $t = 0$ смешение $x = A_0$ и скорость, которая является первой произвольной координаты по времени, $v = x' = 0$. Из второго условия получим, что $\varphi_0 = 0$, а из первого — что $x_m = A_0$.

Таким образом, смешение груза со временем изменяется по закону

$$x = A_0 \cos \sqrt{\frac{k}{m}} t.$$

Рис. 3.

2. Скорость (точнее, ее проекция) является первой произвольной координаты по времени, поэтому зависит от времени будет такой:

$$v = -A_0 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \sqrt{\frac{k}{m}} t.$$

Графики $x = x(t)$ и $v = v(t)$ показаны на рисунке 2.

3. Кинетическая энергия груза в произвольный момент времени $t$ равна

$$E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{A_0^2 k}{2} \sin^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t,$$

а потенциальная энергия пружины —

$$E_\pi = \frac{kx^2}{2} = \frac{A_0^2 k}{2} \cos^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t.$$

На рисунке 3 изображены соответствующие графики.

4. Средние (за период) значения кинетической и потенциальной энергии равны соответствующим.

$$\overline{E_k} = \frac{A_0^2 k}{2} \sin^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t = \frac{A_0^2 k}{4}$$

и

$$\overline{E_\pi} = \frac{A_0^2 k}{2} \cos^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t = \frac{A_0^2 k}{4}$$

— средние значения $E_k$ и $E_\pi$ одинаковы. (Здесь было использовано то, что среднее за период значение квадрата синуса равно среднему значению квадрата косинуса и равно 1/2.)

Задание 2. Тонкий обручи радиусом $r$ катается без скольжения по внутренней поверхности цилиндра радиусом $R$, совершая малые колебания около положения равновесия (рис. 4). Найдите период этих колебаний.