Квант 1981, №5 · Страницы

ISSN 0130-2221
5
1981
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

«Объемлющая» кривая, нарисованная на этой странице обложки, давно известна в математике — это так называемая улитка Паскала. Получается она следующим образом: для каждой прямого угла, опирающегося на горизонтальный diamетр «порождaison окружности» (на рисунке все эти углы — голубые), отложим на прямой, содержащей его биссектрису, от вершины угла в обе стороны отрезки заданной (одинаковой для всех углов!) длины (от этой длины зависит форма кривой); множество концов этих отрезков и есть нужная кривая.
(Между прочим, все описанные прямы пересекаются в одной точке окружности; это точка называется полюсом улитки Паскала.)

А «звездочка», симметрично составлена из двух улитки Паскала, обладает следующим замечательным свойством: она может врашать внутри любого из описанных прямы углов так, что ее граница все время будет касаться сторона угла и проходит через точку пересечения биссектрисы этого угла с улиткой Паскала.

Почему это так, вы узнаете, прочитав статью А. Бабичева «Об одной задаче Колмогорова».

2

М. Лаврентьев

Приглашение
в науку

Какие качества отличют ученого, какие черты характера должны воспитывать в себе молодой человек, решивший посвятить себя науке?
Нелегко коротко ответить на этот вопрос.

Давайте посмотрим на ученых, которые много сделали в науке. Характерно, что независимо от специальности и дарования каждой из них вложил в наук огромный личный труд. В определенные периоды жизни (а эти периоды продолжались годами) направенно труда достирает вершины. Исследовать, забывая об отдельке, ежедневно работает по 14—16 часов. Так что слова о труде в науке — это не фраза. Это закон. Он остается в силе и для нашей времени.

Что еще характерно для исследований? Полное отключение от «посторонних» дел, которые помещали бы ему реализовать выполненную идею. Такие «перiodы отключения» длятся, как показывает жизнь, по нескольку мерецев. От осады крепости ученый переходит к ее штуму. Это очень ответственный этап, и тут проверяется умение человека завершить наuateе. В такие периоды исследователь еще и еще раз тренирует себя, учится предолевать внесенное появляющейся трудности, быстро решать головоломные задаки, которые всегда окружают проблему невидимой с первого взгляда, но очень стойкой крепостной стеной. Каждый этап, что стена пала, ты уже в крепости, но перед только новый吻с укрепленной, который прежде был не виден. Как на войне: рыбы, проволока, бездорожье… Так бывают и в математике, и в инженерном деле — в любой области. Поэтому молодому ученому надо готовить себя к Великому терпению, к тому, чтобы быстро ориентироваться и вовремя менять тактику, вызывать на помощь или самому строить новые «осадные орудия».

Академик Михаил Алексеевич Лаврентьев (1900—1980) — луреат Государственной премии, почетный преседатель Сибирского отделения АН СССР.

Страchy с небольшими сокращениями перепечатается из сборника «Ленин. Наук. Молодежь», выпущенного в 1980 году издательством «Наука».

Я думаю, человек, который хочет стать ученым, должен как можно скорее развить в себе способность много работать. Надо научиться работать даже во время отдыха.

Итак, воспитание в себе большой работоспособности. К этому я добавил бы еще одно качество, особенно важное для ученого, — абсолотная часть. Человек, склонный искажать факты, приписывать себе не принадлежание ему идиен, никогда не смотет стать настоящим ученым…

Так вот, трудолюбие и чистость идут вне конкураса. Это ясно без слов. Сложнее — со способностями. Когда юношу или девушку отбирают в балет, в школе пения, в консерваторию — это делается сравнительно просто. Способности в этих областях у людей проявляются открыто. Их видят, помещают все, помогает их проявить и наша довольно развитая система художственной самодеятельности. Но и тут, конечно, нужно большой знак искусства, чтобы определить, выйдет ли из молодого человека крупный музикант или художник. В научке дело обстоит во много раз сложнее.

В США предлагали разные способы отбора людей для творческой научной работы. Там вообще для каждой профессии стараются найти свой «тест», характерную задачу-упражнение, выполняя которую человек проверяет себя, какие вещи ему лучше удаются. К сожалению, подобные «тесты» мало что дают для отбора в науке. Ту часть способностей, которая нужна для творчества, они затрагивают лишь поверхностно. Как же быты? Какими методами пользоваться, из каких конкретных принципов искодить? Ждать, покупа педагогика через десятилетия даст нам эти методы и «приметы», мы не можем. Нам нужны специальные сегодня же. И поэтому учены Сибири обобщают свой личный опыт, действуют коллективно, когда дело доходит до отбора молодежи, проявляющей склонности, например, к математике, физике.

I Всесибирская физика-математическая олимпида учащся средних школа была для ученных не забавой и не просто «общественной нагрузкой». Все, кто проводил эту олимпиду, думали о будущеем советской науки, о пополнении, которое должно прийти нам на смену. Отрадно, что большешнство победителей олимпиды оказались из деревни, из небольших городков, из дальнейх области. Около 120 ребят, проявивших склонность к математике и физике, участвя по особой, ускоренной программе в специально созданной школе-интернате. Она открыта у нас, в Академгородке СО АН СССР.

Нам нужны теоретики, специальизирующие в разных областях науки. А они не рождения готовыхими. Их надо выявлять и растить смолоду. Мы ищем не «вундеркиндов», а людей с определенными склонностями. И исходим из того, что способностями одарено большимство людей. Нам остается лишь прийти к молодежи и определить, к чему лежит у человека душа. А уж дальше все зависит от школьы, от ученых, которые берется помогать такой школе, и, безусловно, от самого молодого человека.

Я не сказал об одной примете, который наши учены пользоваются, отискивая способных ребят. Пока эта примета нас не подводила. Не просто уседние, не заучивание (пуст даже блестящие) готовых стандартных решений, а самостояльность мышления интересны ученому в молодом человека. Юноше или девушке поручают сделать опыт, решить задачу, просят объяснить природное явление. Ничто необучного в самом задаче или в опытае нет. Опыт может быть продлен, задача решена, а «необучное» может при этом и не проявиться. Но вот юноша предлагает свой собственный путь решения. Иного учитель такого необучного может отпутнуть. А учены она радует. Лишь бы вывод был верным, а уж путь к выводу могут быть разные. И чем больше путь перебирает в уже молодой человек, чем свободнее он находится кратчайший, самый экономный, самый рациональный, я бы добавил, самый красивый, тем больше у нас уверенности, что из него выйдет только.

4

Однажды, когда мне было лет десять, друг нашей семьи академик Николай Николаевич Лузин рассказал мне забавную историю о том, как Сократ открыл Платона, своего лучшего ученика. Лузин был настолько хорошо рассказчиком, что отличить, где у него правда, а где вымысел, было невозможно. Слушая его, я живот представлял себе, как Сократ, прогуляясь, щелл по родному городу. Вот он подошел к стройке и вдруг остановился. Ему бросилось в глаза что-то необычное. Все каменшки возводили стены, продаввая одни и те же движения. И только один из них кaml камни по-особому. Сократ присмотрелся. Молодой рабочий берег силы. У него все было расчитано. Там, где другие делали два движения, он обходился одним. И стена у него росла быстрее, и работал он с меньшим напряжением. Сократ подозвал рабочого, взял его к себе жить. А через несколько лет из рабочого-каменщика получился ученый, философ, имя и иден котором живы до наших дней.

Николай Николаевич давно умер. Но я часто вспоминаю эту историю, которую впервые услышал от него.

Легенды легендами, а дело делом. Сейчас ученым и педагогам пришлось всерьез столкнуть с проблемой: как определить, есть ли у человека внутренняя тяга к разгадыванию новых для него явлений, к раскрытию больших и малых тайн природы? Когда педагоги станут делать это повсеместно, гораддо легче пойдет обновление шкoles, повышится и качество обучения.

Я предвижу вопрос: не слышком ли много мы требуем от ребят? Не будут ли они перегружены?

Нет, если соблюдится два условия.

Первое. Ребята должны идти в те или иные специальизированные школьы по склонности, а не вопросы ей. И тогда материал они усваивают вдвое, второе быстро и проще. Любимое занятие — это удовлетворение, а не нудная, обязательная работа.

Второе. Опытный руководитель, само окружение, обстановка, в которых воспитывался ребята, должны помогать им быстроровать в ученых. Полное развитие целуустремленности и приобретение достагоно широких знаний не должны идти за счет переутомления. Среди математков особенно много случаев, когда молодой человек перепрягается настолько, что на долгое время выходит из строя. Непрерывность работы нужно сочетать с разумным отдахом и «переключением» сознания на другие области.

Надо много трудиться, но делать это разумно. Надо создать новую систему воспитания молодых ученых, но внутри этой системы отказаться от стандартов, от шаблонов.

Старший товарщик, руководитель обязан с самого начала воспитывать у юных подопечных качества, характерные для большинства наших ведущих советских ученых. Надо ли еще раз говорить о них здесь? Они известны всему миру. Мы хотим, чтобы для будущих, подрастющих ученых наиболее им stimулим творчество было желание не только сделать открытие, но и как можно быстро поставить это открытие на службу Отчизне, народу. С этим качеством неразрывно связаны чувство товарищества и удовлетворения не только личным успехом, радость не только за себя, но и за успех соседа, за успех своего института.

5

В. Эдельман

Metalлы

1. Что такое металлы?

«Metаллом называется светлое тело, которое ковать можно,» — писал в 1763 году Ломоносов. Загляните в ваш учебник химики, и вы увидите, что металлы обладают характерным металлическим блеском («светлое тело»), хорошо проводят тепло и электрический ток. Правда, тут же вы прочитете, что существуют элементы, проявляющие свойства как металлов, так и неметаллов. Другими словами, нет четкой грани, отделяющей одно от другого. Химика, который интересуется, в первую очередь, химических реакциями и для которого каждый элемент — свой особый мир, такая недозначность не очень сму-

щает. А вот физика это не устранвает. Если физика делит тела на металлы и неметаллы, то нужно понять, в чем их приципппальное развитие. Поэтому надо так определить, что такое металл, чтобы, как и в других случаях в области точных наук, удовлетворить двум требованиям:

1. все металлы должны обладать всеми без исключения приписываемыми им признаками;

2. иные объекты должны не обладать хотя бы одним из признаков.

Вооружившись этим сообщениями, посмотрим, все ли металлы без исключения имеют все свойства, приписываемые им учебником. Начнем с «ковать можно», то есть с пластинности, говоря современным языком. И тут же, по созвучию, мы вспомним пластmasсы: ведь не зря они так называны, многим из них свойствена пластинность — способность необратимо изменять форму без разрушения. Конечно, медь, железо, алюминий ковать легко, со свинцом еще проще, индией — довольно редкий и дорогой металл — можно мять почти как воск (а воск

6

ведь — не металл!), щелочные металлы и того мягче. А попробyte стукнуть по обичному чугну — и он разлетится на кусочки! Ну, тут металлурги скажут: это потому, что чугун — не просто вещество. Он состоит из кристаллов железа, разделенных прослойками углерода, то есть графига. Вот по этим-то прослойкам чугун и ломается. Ну что же, все верно. Только вот беда — хруплкий графиг, как оказывается, современная физика относит к металлам! Да и не один графиг: числяется, например, среди металлов мышяк, сурьма и висмут, но ковать их можно с таким же успехом, как стекло — разлетются на мелкие кусочки!

Проделяйте такой простой опыт: разбейте балон сгоревшей лампы, доставьте оттуда вольфрамову спираль и попробyte ее раскрутить. Ничего не выйдет, она рассыпется в пыль! Но ведь как-то ее сумели скрутить на заводе? Значит, может быть и такое — то можно деформировать, то нельзя, в зависимости от того, что проискдило с образцом в прошлом. Что же, придется, видимо, с этим признаком — пластинностью — расстаться. Тем более, что он присущим немного неметалам; ведь то же стекло — нагрей его, и оно станет мягким и податливым.

Итак, укорачиваем формулировку и двигаемся дальше. На очереди — «блеск», или, говоря научным языком, оптические свойства. Блестящие предметы много: и вода, и стекло, и полированные камни, да мало ли что еще. Так что просто «блеском» не обойтись, вот и говорить: для металлов характерен металлической блеск. Ну, это совсем хорошего: получается, что металл — это металл. Правда, интуитивно мы чувствуем, что металлический блескят полированные медь, золото, сербро, железо. А широко распространенный минераль приит — разве не блестит, как металлы? Про типичные получрованники германей и кремний и говорить не приходится, по внешнему виду их от металлов никак не отличить. С другой стороны, не так давно научились получать хорошие кристаллы таких соединений, как двуокись молибдена; кристаллы эти коричнево-филотовые и на общий металл мало похожи. Оказывается, это вещество надо считать металлом. Почему — будет ясно чуть дальше.

Так что блеск как чисто «металлический» признак отладает.

На очереди — теплопроводность. Пожалуйста, этот признак можно отбросить сразу — все без исключения тела проводят тепло. Правда, про металлы говорится, что они хорошего проводят тепло. Но, бюось, на вопрос «что такое хорошего и что такое плохо?» в этом случае ни один папа не ответит.

Хорош ли проводит тепло медь? Посмотрим в таблицу и сразу же столкнемся со встречным вопросом: а какая медь и при какой температуре? Если взять чистую медь, например ту, из которой делают провода для радиоприборов, нагреть ее до красного каления, то есть отжчь, то при комнатной температуре она да еще чистое сербро будет проводить теплло лучше любого другого металла. Но погнитте такой медный образец, стукните или захмите в тисках — и его теплопроводность станет заметно хуже. А что произойдет, если кусочek отожженной меди начинается охлаждать? Сначала теплопроводность будет расти, увеличится вдесятки раз при температуре около 10 К, а потом начинает быстро падать (рис. 1) и при достижении абсолотного нуля должна стать нулевой.

Возьемт теплер другой металл — высут. Картина для него очень похожа на ту, которое мы видели для меди, только максимум теплопроводности лежит при 3 К; а при комнатной температуре высут проводит теплло плохо, не много лучше, чем кристалл кварца. Но кварц-то — не металл! И тот же кварц, как видно из рисунка 1, по своим теплопроводным свойствам иногда оказывается не хуже меди. А плавленный кварц, то есть кварцевое стекло, проводит теплло плохо, примерно как нержавеющая сталь.

Кварц — не исключание. Все кристаллы хорошего качества ведут себя подобным образом, только числа будут немного различными. У алмаза, например, уже при комнатной

7

температуре теплопроводность лучше, чем у меди.

Отбрасываем с чистым сердцем теплопроводность и желательно об этом не будем. И не только потому, что по этому признаку металл от неметалла не так уж легко отличить, но и потому, что, оказывается, специфические черты в теплопроводности металлов (а также являются следствием его электропроводности — последнего оставшегося свойства).

И опять в формулировке, приведенной в начале статьи, уточнение — не просто электропроводность, а хорошая электропроводность. А ведь когда речь шла о теплопроводности, epitет «хорошая» нас насторожил и, как оказалось, не напрасно. Что же — и последнее свойство под подозренем? Надо обязательно его спасать, а то мы остаемся вообще без металлов, а заодно без полупроводников, без изоляторов. Вот это наука получается! Любой школьник в большинстве случае не задумывся с каждой, с чем он имеет дело, а копнули поглубже — и оставлились в недоумении.

И есть от чего. Возьмем таблицы физических величины и посмотрим на числа. Вот, к примеру, при комнатной температуре удаленное сопротивление $\varrho$ (Ом·см) меди $\sim 1,55 \times 10^{-6}$; у высута $\varrho \sim 10^{-4}$; у графига $\varrho \sim 10^{-3}$; у чистых кремния и германия $\varrho \sim 10^{2}$ (но, добавляя примеси, его можно довести до $\sim 10^{-3}$); у мрамора $\varrho = 10^{7} \div 10^{11}$; у стекла $\varrho = 10^{10}$; а где-то в конце списка — янтарь с удаленным сопротивлением до $10^{19}$. И где же тут кончаются металлированники и начинаются дилектрики? А мы еще не упомянули про электропolitics. Общная морская вода неплохо проводит ток. Что же — и ее считать металлом?

Посмотрим, не поможет ли нам температура. Если повышать температуру, то различи между веществом начнут сглаживать: у меди

8

сопротивление начет расти, у стекла, например, уменьшается. Значит, надо проследить за тем, что произойдет при охлаждении. И вот тут мы наконец-то увидим качественные различия. Посмотрите на рисунок 2: при температуре жидкого геля, выззи абсолотного нуля, вещества разделились на две группы. У одних сопротивление остается небольшим, у сплавов или у не очень чистых металлов Q почти не изменяется при охлаждении, для чистых металлов сопротивление сильно уменьшается. Чем числе и совершенное кристалл, тем значительнее это изменение. Иnorда Q при температуре, близкой к абсолотному нулю, меньше, чем при комнатной, в сотни тысяч раз. У других веществ, например у полупроводников, с понijженем температуры сопротивление начинает стремительно возрастать, и чем ниже температура, тем оно больше. Если бы можно было добрать до абсолотного нуля, то Q стало бы бесконечно большим. Прочем, достаточно и того, что сопротивление реально становится столь большим, что никаким современным прибором его уже не изменилось.

Итак, мы добрались до ответа: металлы — это такие вещества, которые проводят электрическо при любой температуре.

В противоположность этому диэлектрики передают проводить ток, если их охладить до абсолотного нуля. Если пользоваться таким определением, то и графит, и двуокис молибдена оказываются металлими. А куда же относится полупроводники? Если речь идет о чистых, совершенных кристаллах, то они, строго говоря, диэлектрики. Но если в них содержится много примесей, то они могут стать металлими, то есть сохраняться проводимость при самых низких температурах.

Что же у нас осталось в конце концов? Нам удалось выявить единственный существенный признак, руководствуясь которым мы можем, если не в повышенной практике, то хотя бы в принципе, всегда отличить металл от неметалла. А раз этот признак единственный, то оказывается автоматически удовлетворными оба условия, выполнения которых мы потребовали в начале статьи.

9

2. Почему металлы проводят ток?

Уже давно было замечено, что один элементы, такие как медь, золото, серебро, железо, свинец, олово, и в чистом виде, и при сплавлении друг с другом образуют металлы. Другие, например фосфор, сера, хлор, азот, кислород, не только сами металлины не являются, но и соединяясь с металлими превращают их в диэлектрики. Пример тому — обыкновенная соль NaCl. Поэтому в химии появилось деление элементов на металлы и неметаллы.

Такая классификация, одна, не более чем констатция фактов, хотя на первый взгляд она претендует на то, чтобы объяснить свойства веществ исходя только из строения atomов. В самом деле, посмотрим на таблицу Менделеева. Элементы, расположенные в одном столбце, очень похожи по своим химическим свойствам. А вот будут ли изготовленные из них кристаллы или сплавы проводить электрический ток? Глядя на таблицу, ответить на этот вопрос нельзя. Так, все элементы первой группы образуют металлы, за исключением первого — водорода. Но ведь закон, который кому-то разрешено нарушать,—уже не закон. Правда, во второй группе дело обстоит лучше: здесь все элементы — привченные металлы; а в третьей группе опять сбой: бор — полупроводник, а алюминий — прекрасный металл. Дальше еще хуже. Первый элемент четвертой группы — углерод; мы уже упоминали, что график — так называют кристалл углерода — это металл. А вот алмаз — тоже кристалл, составленный из atomов углерода, но расположенных иначе, чем в графите,—изолятор. Krementий и германий — классические полупроводники. Олово — казалось бы, типичный металл. Однако… Если всем знакомое белое блескшее олово должно подержать при температуре —30°G, то его кристалическая структура изменится, а внешне оно посерет. И это олово — его так и называют «серое олово» — полупроводник! А свинец всегда металл.

Если начать смешивать разные элементы, то картина совсем услови-

нится. Возьмем, например, и сплавим два металла индий и сурьму — в пропорции один к одному. Получим широко применяемый в технике полупроводник InSb. С другой стороны, мы уже говорили, что двуокись молибдена MoO₂ при T ≈ 0K проводит ток, то есть MoO₂ — металл. (И WO₂, и Re₂O₃ и некоторые другие оксида — тоже металлы.) А если получающейся из atomов кристаллы сильно скать, сдавить, то, оказывается, чуть ли не все вещества становится металлими, даже такие типичные металлины, как сера. Правда, для нее давление перехода в металлическое состояние очень велико — несколько сотен тысяч атмосфер (а для водорода еще больше).

Похоже, что разделить элементы на металлы и неметаллы — не такая уж простая задача. Во всяком случае, ясно, что рассматривая отдельные atoms, мы не можем сказывать, будет ли вещество, составленное из этих atomов, проводить ток при T ≈ 0K, потому что огромную роль играет то, как расположены atoms друг относительно друга. Поэтому для ответа на вопрос «почему металлы проводят ток?» надо изучать, как atoms взаимодействуют между собой, образуя твердое тело.

Посмотрим, как обстоит дело с простейшим из элементов, образующих металлы,—литем. Порядковый номер Li — три. Это означает, что ядро atoms Li содержит три протона и положительный заряд ядра компенсируют три электрона. Два из них образуют заполненную s-оболочку, близкойшую к ядру, и сильно связаны с ядром. Оставшийся электрон расположен на второй s-оболочке. На ней мог бы помещаться еще один электрон, но его у лития нет. Все остальные разрешенные состояния энергии свободны, и электроны на них попадают только при возниклении atoms (порядок, при сильном нагреве паров лития). Схема уровней в atomе лития показана на рисунке 3.

Рассмотрим теперь множество atomов лития, находящихся в ограниченном объеме. Они могут образ-

10

зовывать газ (пар), жидкость или твердое тело. При достаточно низкой температуре силы взаимного притяжения преляется тотеловому движению atomов, образуется кристалл. Это называя проискодит при абсолотном нулеве температуре, когда все известные вещества, кроме геля, — кристаллы.

Итак, из опыта известно, что при низких температурах твердое тело — устойчивое состояние для лития. Но, как известно, устойчивым всегда является такое состояние вещества, в котором его внутренняя энергия меньше, чем в других возможных агрегатных состояния при той же температуре. Суммарное уменшение энергии при переходе из одного состояния в другой легко изменить — ведь это и есть теплота испарения или плавления.

С микросоппечской точки зрения при низких температурах внутренняя энергия вещества есть, в первую очередь, сумма энергий электронов atomов, составляющих тело. Но электроны в atomах занимают строго определенные уровни энергии. Значит, мы можем ожидать, что при сильении atomов изменяется уровни энергии. При этом распределение электронов по уровням должно оказаться таким, чтобы их суммарная энергия была меньше, чем сумма энергий электронов в таком же количестве изолированных друг от друга atomов:

Что произойдет с уровнями, можно понять исходя из аналогии движения электрона в atomе с любой колбательной системе, например с матриком. Пусть у нас есть два совершенного одинаковых матрика. Пока они не взаимодействуют друг с другом, частота колбатейной обиха матриковода и та же. Введем теперь взаимодействие между ними — связем их, например, мягкой пружинкой. И сразу же вместе одной часть появятся две. Посмотите на рисунок 4: связанные матрики могут колбататься синфазно, а могут насстречу друг другу. Очевидно, в последнем случае их движение будет более быстро, то есть частота колбатейной системы выше собственной частоты колбатейной одного матрика. Таким образом, связь при

Рис. 3. Схема уровней энергии atomа лития и их трансформации воны при обедининии atomов в кристалл. Красным цветом нарисованы занятые состояние.

11

из уровней, показанных на рисунке 3, расшипится на два. Каждый новому уровню энергии будет соответствовать свой электронная оболочка теперь уже не отдельного atomа, а «молекули». Оболочки заполняются электронами по тому же правилам, что и у atomа,— по два электронна на оболочку. Та пара оболочек, которая получалась из самого нижнего уровня, будет полностью заполнена электронами. Действительно, на них можно разместить четыре электрона, а их у двух atomов линия — шесть. Остатся два электрона, которые теперь расположятся на нижнем из уровней второй пары. Заметьте, какой произойдет качественный скачок: равные эти два электрона занимали два из четырех состояний, имеющих одинаковую энергию. Теперь у них появилась возможность выбирать, и они расположились так, чтобы их суммарная энергия была поменше. Нетрудно сообщить, что произойдет при добавлении следующих atomов: для трех atomов каждой исходный уровень распределится на три (см. рис. 3). Девять электронов расположятся так: шесть на нижней триаде уровней, возникших из уровня близней к ядру внутренней заполненной оболочки atomа; еще два электрона — на нижнем уровня следующей триады; оставшийся электрон — на среднем уровня той же триады. Еще одно место на этом уровне остается свободным, а верхний уровень полностью пуст. Если взять $n$ atomов ($n \gg 1$), то каждый уровень распределится на $n$ тесно расположенных уровней, образующих как говорят, полосу или зону разрешенных значений энергии. В нижней полосе все состояние окажутся занятыми, а во второй — только половина, и именно те, энергия которых лежит ниже. Следующая полоса — полностью пустая.

Расстояние между соседними уровнями в зоне легко оценить. Естественно считать, что при ближайших atomов изменение энергии электронов atoms примерно равно теплоте испарения вещества, пересчитанной на один atom. Она составляет для металлов общно несколько электронов, а значит,

12

вых для всех atomов. Теперь atoms объединились в кристалл. Сами atoms в кристалле не только одинаковы, но и совершенно одинаково расположены относительно соседей (за исключением, конечно, тех, которые попали на поверхности кристалла). А все электроны имеют теперь разные энергии. Это может быть только в том случае, если электроны больше не принадлежат отдельным atomам, а каждой электрон «поделили» между собой все atoms. Другими словами, электроны свободно передвигаются внутри идеального кристалла, образуя как бы жидкость, которая заполняет весь объем образца. И электронческий ток — это направленный поток этой жидкости, аналогичный текущей по трубам воде.

Что бы заставить воду течь по труббе, надо создать разность давления у концов трубы. Тогда под действием внешних сил молекулы прибреут направленную скорость — вода потечет. Очень важное здесь появление именно направленной скорости, ведь сами по себе молекулыxaотических движутся с громадными скоростями — при комнатной температуре средняя скорость теплового движения молекулы порядка $10^3$ м/c. Так что дополнительная энергия, прибретаемая молекулой в потоке, мала по сравнению с энергейем теплового движения.

Дополнительная энергия, которое надо сообщить электрону, чтобы он участвовал в общем направленном движении электронов в кристалле (а это и есть ток), также мала по сравнению с «собственной» энергейем электрона. В этом нетрудно убедиться. Мы уже говорили, что энергия электрона по порядку величины равна $1\exists B=1,6 \cdot 10^{-19}$ Дж. Если вспомнить, что для свободного электрона $E=mv^2/2$ и $m=9,1 \times 10^{-31}$ кг, то легко найти скорость: $v \sim 10^6$ м/c. Предположим что все электроны участвуют в токе, а их в $1\ m^3$ проводника $n \sim 10^{28}$ Z (Z — заряд ядра). Тогда в проведе с поперечным сечением $S=10^{-6}$ м$^2$ при токе $I \approx 10$ А (при большем токе провод расплатися) направленная скорость электронов равна $v_H=1/neS \approx 10^{-2} \div 10^{-3}$ м/c. Значит, энергия электрона, участвущего в токе, больше энергии $E$ свободного электрона всего на $10^{-8}$ Е, то есть на $1,6 \cdot 10^{-27}$ Дж.

И тут мы стalkиваем с удивительным фактом: оказывается электроны, которые расположены в нижней зоне, называемой обычно валентной, не могут изменить свою энергию на малую величины. Ведь если какой-то электрон увеличит свою энергию, то это значит, что он должен перейти на другой уровень, а все соседние уровни в валентной зоне уже заняты. Свообodies места есть только в следующей зоне. Но чтобыуда попасть, электрон должен изменить свою энергию сразу на несколько электроновольт. Вот так и сделят электроны в валентной зоне иждут журавля в небе — энергичного кванта. А кванты нужной энергии бывают у электронагнитных волн высокой частоты — увидимого света или ультрафиолетового света.

Итак, жидкость есть, а точь она не может. И если бы у лития было всего два электрона в atomе, то есть если мы строили нашу картинику для atomов, то и получили бы мы изолятор. Но твердый гелий — действительно изолятор, так что мы можем уже поздравить себя с некоторым успехом: мы еще не объяснили, почему в металлах может течь ток, зато понЯли, почему диэлектрики, где электронов полным-полно и все они «размазаны» по всему кристаллу, не проводят ток.

А что же литий? Да ведь у него есть вторая зона, которая заполнена только наполовину. Энергия, разделяющего занятые и свободные уровни внутренней этой зоны, называют энергий Ферми $E_\Phi$. Как мы уже говорили, разность энергии между уровнями в зоне очень велика. Электрону, который расположен в зоне возле уровня Ферми, достаточно чуть-чуту увеличить свою энергию — и он на свободде, там, где состояние не заняты. Электронам из приготовной полосы ничего не мешает увеличить энергию под действием электронического поля и прибрести направленную скорость. А ведь это и есть ток! Но так же легко электронам и

13

потерять направленную скорость, столкунувшись с атомами-приемцами (которые всегда есть) или с другими нарушениями идеальной структуры кристалла. Этот обясняется сопротивление току.

Кажется, ясно, почему гелий — изолятор, а литий — проводник. Пробуем-ка наши представления применить к следующему элементу — бериллю. И тут — осечка, модель не сравотала. У берилляя — четыре электрона, и, казалось бы, должны быть полностью заняты первая и вторая зоны, а третья обязана быть пустой. Получается изолятор, в то время как берилний — металл.

Дело в том, Если ширина зон достаточно велика, то они могут налесть друг на другу. Про такое явление говорят, что зоны перекрываются. У берилляя так и проискодит: минимальная энергия электронов в третьей зоне меньше, чем максимальная во второй. Поэтому электронам оказывается энергетически выгодно оставить пустой часть второй зоны и занять состояние вирузу третий. Вот и получается металл.

А что будет с другими элементами? Перерываются зоны или нет, заранее сказать нельзя, для этого нужны громоздкие расчеты на ЭВМ, и то не всегда можно получить достоверный ответ. Но вот что применительно: из нашей схемы следует, что если брать элементы с нечетным числом электронов, то всегда должен получиться металл, если только структурной единицей в кристалле является отдельный atom. А вот водород, например, азот и фтор не желают кристаллизовать в такую решетку. Они предпочитают сначала обединиться попарно, а уже молекулы, содержащие по четному числу электронов, выступаются в кристалл. И законы квантовой механики немешают ему быть диэлектриком.

Итак, мы теперь знаем, что такое металл с точки зрения физики, и разобрались в самой сутки явления, поняв, почему в принципе существует изоляторы и проводники. Мы увидели, что нельзя предложить простой способ обяснения, почему какое-то конкретное вещество оказывается диэлектриком или металлом. Сделать это можно, лишь вооружившись всей мощью аппарата современной квантовой механики и вычислительной техники, но это уже задача специализтов.

Сила Архимеда и диффузия в жидкостьх

Возьмите стеклянную литровую банку и наполовину наполните ее соленой водой. Концентрация поваренной соли в расторе должна быть такой, чтобы куриное яйцо плавало в нем, погрузившись примерно на девять десятисвоего объема.

Выньте яйцо из банки, а на поверхности соленой воды аккуратно положите бумжный круг, закрывающий всю воду. Тепер осторожно налейте в банку прессов воды и удалите бумжный круг (лучше всего это сделать пинцетом).

Рис. 1.

Минут через 5—10 опустите в банку яйцо. Вы видите, что оно как бы повиснет на границе двух слоев, почти не погружаясь в нижний слой (рис. 1).

С течение времени, в результате диффузии, граница пресного и соленого слоев будет перемещаться в банке. Вместе

Рис. 2.

с границей будет перемещаться и яйцо. Через двое-трое суток, когда граница между слоями совсем исчезнет, яйцо поднимается к поверхности воды и всплыет (рис. 2).

Подумайте, какое практическое применение могло бы найти описанное выше явление.

С. Селцер

14

Об одной задаче
Колмогорова

От редакции

Десять лет назад в «Кванте» рассказывалось о проблеме, которое поставил на лекции для школьников академик А. Н. Колмогоров. Вот ее формулировка:

Фиксируем на плоскости угол и точку О внутри него (рис. 1.). Существуют ли отличные от круга фигуры, которые могут врачаться внутри данного угла так, чтобы граница фигуры все время касалась сторона угла и проходила через точку O?

А. Н. Колмогоров отметил, что решение этой проблемы имеет и практическое значение: «На некоторых заводах производят проверку цилиндрических деталей следующим образом: деталь укладывает в лоток и врачают так, чтобы она касалась сторона лотка, затем сверху подводится «шуп» (стержень, которой может совершать продолжное перемещение) до соприкосновения с деталью. Если во время вращения шуп сdvинается, то деталь бракуется. Таким образом, если существуют отличные от круга фигуры, удовлетворющие условия задачи, то цилиндры, имеющие всеечение точки фигуру, будут великолепно проходить через ОТК» («Квант», 1971, № 3, с. 20).

В статье дается частичное решение проблемы Колмогорова.

Рис. 1.

Для некоторых видов углов и положений точки O внутри угла мне удалось найти фигуры, отличные от круга и удовлетворяющие условиям, формулированным А. Н. Колмогоровым. Построение таких фигуры может быть произведено следующим образом:

Рассмотрим правильный многоугольник; продолжим две его непалательные стороны до пересечения. Полученный угол и возьмем в качестве заданного угла. В качестве точки O возьмем одну из вершин многоугольника, например так, как это сделано для пятугольника на рисунке 2, а. Тепер начнем вращать многоугольник так, чтобы при этом он касался обеих сторон угла неоторыми своими вершинами. Наша задача — деформаровать многоугольник в такую фигуру, при повороте которой внутри угла точка O все время оставалась бы на ее границе; при этом, конечно, разумно «сохранить вершины» многоугольника, поскольку им он касается сторон угла.

Будем поворачивать многоугольник до тех пор, пока сторона BC не вернется на исходную сторону угла (начало этого поворота см. на рисунках 2, а — е). При этом помещим в точку O obstрике карандаша и последим за тем, какие кривые будут рисовать этот карандаш при нашем повороте.

Полный поворот (на угол от 0 до 2π) пятугольника естественно развивается на пяту этапов: поворот на угол от 0 до 2π/5, от 2π/5 до 4π/5 и т. д. После первого этапа на исходной стороне угла оказывается со стороны BC сторона AB пятугольника, после второго этапа — соседняя с ней сторона AE и т. д. В каждый из этих этапов наш угол опирается на какую-нибудь одну из диагоналей пятугольника: в первый — на диагональ BE, затем — на AD, потом на EC, на DB и, наконец, на CA. Точка O при этом все время находится на bicсекtrисе нашей угла.

При повороте пятугольника из положения, изображенного на рисунке 2, а, в положение, изображенное на рисунке 2, е, острике карандаша

15

Рис. 2.

процертит некоторую кривую (см. рисунки 2, а—е). При полном же повороте пятугольника карандаш нарисует на нем «звездочку», которая, очень и будет ограничивать искомуо фигуру в силу самого способа построения.

Что же за кривые образуют границу этой фигуры?

Что бы это понять, поступим следующим образом: оставим пятугольник неподвижным, а врашать будет плоскость с направлением на ней углом и гвоздем в точке O. Мы

Рис. 3.

ужке отмечали, что при повороте на величины от 0 до 2π/5 наш угол будет опираться на диагональ BE; следовательно, его вершина будет скольнить по дуге окружности, показанной на рисунке 3.

Точка O находится на биссеktrиссе угла и удалена от его вершины на заданное расстояние. Биссеktrисса угла при движении вершины угла по большей издуг BE рассматривается окружности будет проходит через середину S меньше других BE этой окружности. Таким образом, метод построения искомой кривой ясен: нужно через каждую точку большей длиги BE нашей окружности и середину S меньше длиги проводится прямую и от точки большей длиги отложить отрезок, равный расстоянию от точки O до вершины угла; тогда концы этих отрезков будут описывать искомую кривую.

Затем ту же процедуру нужно проделать с диагоналями AD, EC, DB и CA пятугольника, поворачивая наш угол соответственно на величины от 2π/5 до 4π/5, от 4π/5 до 6π/5 и от 6π/5 до 8π/5 и от 8π/5 до 2π.

Получающаяся при этом кривая (см. рис. 3) давно известна в математике, о ней «Квант» уже писал на своих страницах. Она называется улиткой Паскала (см. «Квант», 1977, № 5).

Подобным же образом исследуется форма ограниченной кривой и для других правильных многоугольников. Во всех случаях соот-

16

Легкое решение трудной проблемы

В конце прошло века английский математик Дж. Сильвестр поставил следующие проблемы:

Пусть $S$ — конечное множество точек на плоскости также, что не все его точки лежат на одной прямой. Обязательно ли существует прямая, на которой лежатрово две точки множество $S$?

Более сорока лет проблема Сильвестра оставалась нерешенной, а затем около получаются считалась очень трудной задачей. Но вдруг возникла следующая проблема идея.

Проведем всевозможные прямые через пары точки множество $S$ (быть может, на некоторых из них лежит больше двух точек). Расмотрим всевозможные расстояния от точки множество $S$ до проведенных прямых. Их — конечное число. Пусть $r$ — наименьшее из этих расстояний ($r > 0$). Возьмем ту точку $P$ и ту прямую $l$, расстояние между которых равно $r$. Докажем, что на прямой $l$ лежатрово две точки множество $S$.

Предположим, что на ней лежат три или более точки множество $S$. Опустим перепределкуляр из точки $P$ на прямую $l$; пусть $A$ — основание этого перепределкира (см. рисунок). Легко видеть, что $A \notin S$. Значит, на прямой $l$ по крайней мере с одной стороны от точки $A$ лежит не менее двух точек множество $S$; обозначаем две из них через $X$ и $Y$, причем пусть $X$ лежит близке к $A$, чем $Y$. Проведем теперь прямую через точки $P$ и $Y$. Очевидно, расстояние от точки $X$ до этой прямой меньше, чем расстояние от точки $P$ до прямой $l$, что противоречит выбору $P$ и $l$.

Следовательно, на прямой $l$ лежат лишь две точки множество $S$.

На рисунке 4 изображена «звездочка», соответствующая пятуюгольнику. На второй странице обложки журнала — «звездочка», соответствующая квадрату. Желающие могут нарисовать «звездочка», соответствующие другим правильным многоугольником, при этом в качестве точки $O$ не обязательно быть верхину на биссеktrисе угла. Получающие кривые также будут кусками улитки Паскаля, но ее «зубцы» уже не будут симметричными.

Заключение от редакции

Итак, А. Бабичев частчно решил задачу Колмогорова. Однако его решение ставит новый вопрос: существуют ли вы пуклые фигуры, отличные от круга, удовлевorioщие условия задачи? (Фигуры, полученные А. Бабичевым, все невелики.) Ждем ваших писем.

Легкое решение трудной проблемы

В конце прошло века английский математик Дж. Сильвестр поставил следующие проблемы:

Пусть $S$ — конечное множество точки на плоскости также, что не все его точки лежат на одной прямой. Обязательно ли существует прямая, на которой лежатрово две точки множество $S$?

Более сорока лет problema Сильвестра оставалась нерешенной, а затем около получаются считалась трудной задачей. Но вдруг возникла следующая проблема идея.

Проведем всевозможные прямые через пары точки множество $S$ (быть может, на некоторых из них лежит больше двух точек). Расмотрим всевозможные расстояния от точки множество $S$ до проведенных прямых. Их — конечное число. Пусть $r$ — наименьшее из этих расстояний ($r > 0$). Возьмем ту точку $P$ и ту прямую $l$, расстояние между которых равно $r$. Докажем, что на прямой $l$ лежатрово две точки множество $S$.

Предположим, что на ней лежат три или более точки множество $S$. Опустим перепределкуляр из точки $P$ на прямую $l$; пусть $A$ — основание этого перепределкира (см. рисунок). Легко видеть, что $A \notin S$. Значит, на прямой $l$ по крайней мере с одной стороны от точки $A$ лежит не менее двух точек множество $S$; обозначаем две из них через $X$ и $Y$, причем пусть $X$ лежит близке к $A$, чем $Y$. Проведем теперь прямую через точки $P$ и $Y$. Очевидно, расстояние от точки $X$ до этой прямой меньше, чем расстояние от точки $P$ до прямой $l$, что противоречит выбору $P$ и $l$.

Следовательно, на прямой $l$ лежат лишь две точки множество $S$.

Наша обложка

Поверхность причудливой формы, нарисованная на первой странице обложки, получена приемом, который уже описывался на страницах нашего журнала («Квант», 1980, № 10, с. 62): левые части уравнения трех эллипсонов.

ЭВМ ЕС-1030, выполняя чертеж по уравнению, показала два семейства линей на поверхности: их отсекают плоскости, расположенные через промежутки, параллельные координатным плоскостям $Oxz$ и $Oyz$. Получившиеся кусочки поверхности машина раскрасила в шахматном порядке.

Машина считала поверхность непрозрачной. На рисунке мы видим, таким образом, «внешнюю часть» поверхности. Подумайте — а что у нее «внутри»?

18

Рис. 1. Ход луча при чертесточной развертке: 1—2 — начало нечетного полукадра; 5—6 — начало четного полукадра; 2—3, 4—5, 6—7 и 8—1 — обратный ход луча.

нельзя затенить электронный луч馏то на середине кадра, так как в этом случае просто пропадет часть изображения. Создатели телевидения были найден оригинальный выход: кадр передается не весь сразу, а полукадрами, так что электронный луч рисунет сначала нечетные, а затем четные строки изображения. При этом полукадры меняются с частотой 50 Гц, и глаз воспринимает изображение движения непрерывным. Такой способ формирования кадра на телевизionном экране получил название чертесточной развертки (рис. 1).

С телевизором в домашних условиях можно проводить ряд экспериментов, демонстрирующих строкооптический эффект.

В первом опыте попробyte посмотреть на экран телевизора через «классический» строкоскоп — врашающейся диск с ответящими. Его нетрудно изготовить из куска картона, насаженного на вал микроэлектродвигателя (рис. 2). Для регуляровки частотыращения двигателя его нужно питать от плоской батарейки (с ЭДС 4,5 В) через реостат (с полным сопротивлением 100 Ом). Расстояние от строкоскопа до экрана телевизора должно быть таким, чтобы через ответные были виден весь экран.

Наблюдаемую картину можно проанализировать с помощью графиков, изображенных на рисунке 3. Первый график (рис. 3, а) демонстрирует, как изображение заполняет экран сверху вниз (по оси ordinат отложено положение строки в кадре, по оси абсцисс — время). Пунктром показан обратный ход луча (луч в этот момент гасится). График «видности» строкоскопа (рис. 3, б) представляет собой отрезки прямых, верхняя из которых отвечает положению «видно», нижняя — «не видно». Третий и четвертый графики (рис. 3, в и 2) получены наложением первых двух при разном сдвиге фаз между ними. Они объясняют, почему мы видим (при совпадении частот, конечно) лишь половину экрана.

При небольшим изменении частотыращения диска темная полока будет пробегать вверх или вниз по экрану, в зависимости от нашего желания.

Попробyte самостоятельно объяснить, при каком соответствии частот полока будет бежать вверх, а при каком — вниз. Как будет выглядеть картина при частоте строкоскопа 100 Гц? 150 Гц? Почему по экрану телевизора, снятьго на кинопленку, пробегает темная полока? Почему иногда на кино- или телеэкране у движущого вперед авто-

Рис. 2. Схема опыта с «классическим» строкоскопом: 1 — непрозрачный экран; 2 — врашающей диск с ответящими; 3 — микроэлектродвигатель; 4 — реостат; 5 — плоская батарейка.

19

Рис. 3.

Рис. 4. На рисунке изображена только 21 строка, на самом деле в полукадре 312,5 (а в целом kadре — 625) строк.

мобиль колеса медленно врашаются назад?

Проведите еще один эксперимент. Для этого вам понадобится струна длиной 0,3—0,5 м (можно использовать резинку для авиамоделей). Как будет выглядеть вертикально расположенная колеблющая струна на фоне экрана телевизора?

Пусть в момент начала полукадра струна находится в положении равновесия. Пока луч пробежит строку, струна сместится и встретится с лучом в новом месте. В следующей строке «место встречи» опять сместится и так далее. Если период колебаний струны 20 м (частиота 50 Гц), то за это время заполняется весь полукадр, а струна вернется в исходное положение, совершив полное колебание. Многократное повторение этой ситуации приведет к тому, что tengь от струны, которое мы увидим на фоне экрана телевизора, будет иметь форму синусoidы (рис. 4).

Что вы увидите, если частота колебаний струны удвоится? утроится? Что вы увидите, если струна будет расположена по диагонали экрана? по горизонтали? Проделяйте эти опыты и попробуйте обьясить положенные результаты. Набравшись опыта, попробуйте сообщить, как будет выглядеть на фоне экрана пальочка, врашаюшая вокруг своей поперечной оси. Проверьте свои соббражения экспериментально.

20

Задачи

M681 — M685; Ф693 — Ф697

M681. a) Придумайте целые числа $a, b, c, d$ такие, что числа $a^2+b^2, a^2+b^2+c^2, a^2+b^2+c^2+d^2$ — квадраты целых чисел.
b) Существует ли последовательность, состоящая из квадратов целых чисел, такая, что при любом $n$ сумма $n$ ее первых членов — квадрат целого числа?

Г. Григорьев

M682. Внутри треугольника $\triangle$ нужно расположить треугольник $\triangle_1$ так, чтобы у каждой из трех квадратов, построенных на сторонах треугольника $\triangle_1$, две вершины лежали на разных сторонах треугольника $\triangle$ (рис. 1).
a) Доказите, что медианы треугольника $\triangle$ перpendикулярны сторонам треугольника $\triangle_1$.
b) Для любого ли остругольного треугольника $\triangle$ такое построение возможно?

А. Ягубянц

M683. Несоколько кругков одинакового размера положили на стол так, что никакие два не перекрывают. Доказите, что кругки можно раскрыть в четыре цвета так, что любые два касающиеся кругка будут окрашены в разные цвета. Найдите расположение кругков, при котором трех цветов для такой раскраски недостаточно.

Г. Рингель

M684*. Двое играют в следующий вариант «морской боя». Один играк располагает на доске $n \times n$ неокоторое количество непересекающихся «кораблей» $n \times 1$ (быть может, ни одного). Второй играк наносит одновременно ряд ударов по полям доски и про каждой поле получает от противника ответ — попал или промахнулся. По какому минимальным количеству полей следует нанести удары, чтобы по ответам противника можно было однозначно определить расположение всех его кораблей? Рассмотрите три случая: a) $n=4, 6)$ $n=10$, в) $n$ — любое натуральное число.

Е. Гик

21

М685*. Два подмножества множества натуральных чисел называется из другого сдигром на целое число. (Например, множества чисел и нечетных чисел конструкты.) Можно ли разить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающийся) бесконечных конструкты?

А. Федоров

Ф693. На неподвижном клине, образующем угол α с горизонтом, лежит нерастижная неесомая вервка (рис. 2). Один из концов вервки закреплен в точке A. К нижнему концу вервки (в точке B) прикреплен небольший грузик. В некоторых момент времени клин начинает двигаться вправо с постояннымускорением a. С какимускорением движется грузик, пока он находится на клине?

С. Кротов

Ф694. По длиному прямолинейному желобу, наклоненному под углом α к горизонту, движется без трения N одинаковых шариков. Какое максимальное число соударений может произойти в системе при произвольных начальных положениях и скорости шаров? Соударения шаров считать абсолотно упругими.

E. Сурков

Ф695. В простейшей модели звезда рассматривается как газовый шар, находящийся в равновесии в собственном поле тяжесте. Считая, что газ состоит из полностью инизованных atomов водорода и геля, оценить температуру звезды. Масса звезды M, радиус r; относительное содержание водорода в газе равно n.

В. Тугущев

Ф696. Емкостьный волтметр представляет собой плоский воздушный конденсатор, одна из пластин которого закреплена неодвижно, а вторая может перемещаться поступательно в направлении, перpendикулярном плоскости пластин. К подвижной пластине прикрепленаружина жесткости k (рис. 3). Мерой приложенного напряжения служит изменение зазора между пластинами. Какое максимальное напряжение можно изменить таким прибором? Площади пластин S, зазор между пластнами при нульом напряжения d.

Д. Павлов

Ф697. Между двумя средами с показателем преломления n₀ > 1 и n₁ = 1 имеется неоднородный слой высоты h = H (1 - 1/n₀²), где H = const, внутри которого показатель преломления меняется с высотой по закону n = √1 - x/H n₀ (рис. 4). Из среды с показателем преломления n₀ в неоднородный

22

Слой входит луч света. При каких значениях угла α (см. рис. 4) луч вернется в оптически более плотную среду? При каком значении угла α₀ расстояние между точками входа и выхода луча максимально?

П. Калуцин, ученик 10 кл. (Москва, с. шт. № 444)

Решения задач

M636—M640; Ф647—Ф655

Множество {1, 2, 3, 5, 10, 20, 25, 50, 100} удовлетворяет условием задачи. Значит, искомое множество содержит не более девяты элементов. Упорядочим его элементы по возрастанию:

$$1 = k_1 < k_2 < \dots < k_n = 100, n \leqslant 9.$$

Так как $k_j \leqslant 2 \cdot k_{j-1}$ ($j=2, 3, \dots, n$), для любого $j$ имеем $k_j \leqslant 2^{j-1}$. Пусть $r$ — наиболее индекс такой, что $k_r \neq 2k_{r-1}$. Тогда $100 = k_n = 2^{n-r} \cdot k_r \leqslant 2^{n-r}(k_{r-1} + k_{r-2}) \leqslant 2^{n-r} \cdot 2(2^{r-2} + 2^{r-3}) = 3 \cdot 2^{n-3}$. Из неравенства 100 $\leqslant 3 \cdot 2^{n-3}$ следует, что $n \geqslant 9$. Итак, $n=9$ и множество {1, 2, 3, 5, 10, 20, 25, 50, 100} является исключим.

Отметим, что существуют и другие множества из девяты элементов, удовлетворяющие условию задачи. Например, годится и множество {1, 2, 4, 6, 10, 20, 30, 50, 100}.

Ю. Нестеренко

М637. Дан правильный треугольник ABC. Некоторые прямая, параллельная прямой AC, пересекает прямые AB и BC в точках M и P соответственно. Точка D — центр треугольника PMB, точка E — середина отрезка AP. Определите углы треугольника DEC.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

23

Рис. 5.
Рис. 6.
а)
Б=M=P=D
x=0
б)
x=1
Рис. 7.
x=1
Рис. 8.

М638. Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги выкрашены в красный цвет, остальные — в синий, причем так, что каждый прямоугольник из 6 клеток размером 2×3 содержит в точности две красные клетки. Сколько красных клеток может содержать прямоугольник из 99 клеток размером 9×11?

Тоchnи $D$ и $D_1$ как центры треугольников $MBP$ и $M_1BP_1$ соответственно лежат на отрезке $MP_1$ и делят его на три равные части. Следовательно, $D_1E_1$ — средняя линия в треугольнике $DP_1C$, $|D_1E_1| = \frac{1}{2}|DC| = |DE|$, причем $[D_1E_1] \parallel [DC]$. Но $[D_1E_1]$ получается из $[DE]$ поворотом на 60°; следовательно, $EDC = 60^\circ$. Остальное очевидно.

Третье решение (алгебраическое, но почти без вычислений).

Пусть 1 — длина стороны треугольника $ABC$, $x$ — длина стороны треугольника $MBP$ (рис. 6). При $x=0$ и $x=1$ (см. рис. 7)

$$|DC|^2 - |DE|^2 - |EC|^2 = 0.$$ (1)

Равенство (1) несложно проверяется и для $x = \frac{1}{2}$ (рис. 8). В этом месте надо немного повыслить: проведем $(DH) \parallel (AB)$ и $(DF) \parallel (AC)$. Имеем $|DH| = \frac{1}{3}, |HE| = \frac{1}{12}, |EK| = \frac{1}{4}, |DF| = \frac{1}{6}$, а каждый из углов $DHE, EKC$ и $DFC$ равен 120°. По теореме косинусов в треугольниках $DHE, EKC$ и $DFC$

$$|DE|^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{144} + \frac{1}{36} = \frac{21}{144}, |EC|^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{63}{144}, |DC|^2 = \frac{1}{36} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{84}{144},$$

откуда следует (1).

Левая часть соответствия (1) является квадратным треугольном от $x$ (квадраты длин стороны выразывать из соответствующих треугольников при помощи теоремы косинусов). В силу сказанного выше, этот треугольник в трех точках ($x=0, x=\frac{1}{2}$ и $x=1$) обращается в нуль. Значит, он тоже действенно равен нулю.

Следовательно, (1) выполняется при всех $x$, то есть при всех $x$ треугольник $DEC$ — прямогольный: $DEC = 90^\circ$.

Аналогично проверяется, что квадратный треугольен

$$|DE|^2 - \frac{1}{4} \cdot |DC|^2$$ (2)

в трех точках ($x=0; \frac{1}{2}, 1$) также принимает нулевое значение, а потому тоже действенно равен нулю. Значит, $|DE| = \frac{1}{2}|DC|$, то есть $CDE = 60^\circ$.

Еще одно, четвертое, решение основано на таком наблюдении: треугольник $DPC$ получается из треугольника $DKE$ таким центральной подогром: композицией повората на угол 60° с центром $D$ и готовет с коэффициентом 2. Попробуйте записать это решение так, чтобы оно годилось сразу для всех трех случаем (см. рис. 1, 2, 3).

Л. Купцов

◆

Ответ. В любом прямогольнике $9 \times 11$ содержится 33 красные клетки.

Доказательство. Рассмотрим произвольную красную клетку $K_0$ и рассмотрим квадрат $3 \times 3$ с центром в этой клетке. Соседние с $K_0$ по горизонтали или вертикали клетки не могут быть красными: если, например, как на рисунке 1, красной окзалась клетка $K$, то в правом илевом прямоугольнике $2 \times 3$ больше красных клеток не будет, поэтому таком прямогольнике окзается всего одна красная клетка ($K_0$) — противоречие с условиям. Итак, соседние с $K_0$ клетки — синице.

Далее, в правом прямогольнике должана быше одна красная клетка — пуст, например, это будет клетка $K_1$, как на рисунке 2. Рассматривая верхний илевый прямогольник

24

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

М639. В тетраэдре ABCD (AC) ⊥ (BC) и (AD) ⊥ (BD). Докажите, что косинус угла между прямыми AC и BD меньше, чем |CD|/|AB|.

М640. Число $x \in [0; 1]$ записано в виде бесконечной десятичной дроби. Переставив ее первые 5 цифр после запятой в произвольном порядке, получим новую бесконечную десятиную дробь, отвецающего неекоторому числу $x_1$. Переставив в десятичной запись числа $x_1$ цифры со 2-й по 6-ю после запятой, получим десятиную запись числа $x_2$. Вообще, десятиная угольник $2 \times 3$, из условия задачи выводим, что в углу на шшего квадрата $3 \times 3$, противоположном клетке $K_1$, тоже должна стоять красная клетка — $K$, и красные клетки в этом квадрате расположены по диагонали. Расматривая такие квадраты с центрами в клетках $K_1$ и $K$ и свигая эти квадраты далее по «красной диагонали», из приведенного расчудения получаем, что весь диагональный ряд $KK_0K_1$ состоит из красных клеток, а по два диагональных ряда выше и ниже красного — из синих клеток, как показано на рисунке 3. Рассуждая аналогично (см. рис. 3), получаем, что два следующих (сверху и снизу) клетки, а так как прямогольник $9 \times 11$ можно разбит на 9 квадратов $3 \times 3$ и 3 прямогольника $2 \times 3$, заключаем, что в этом прямогольнике $9 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 33$ красные клетки.

Легко видеть, что раскраска рисунка 4 удовлетворяет условиям задачи. При этом каждой квадрат $3 \times 3$ содержит в точности три красные клетки, а так как прямогольник $9 \times 11$ можно разбит на 9 квадратов $3 \times 3$ и 3 прямогольника $2 \times 3$, заключаем, что в этом прямогольнике $9 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 33$ красные клетки.

В приведенном расчудении доказано больше, чем требовалось условиям задачи — фактически нами описаны все возможные раскраски.

Большинство читателей расчудали инчае: прямогольник $9 \times 11$ легко разбит на 16 прямогольников $2 \times 3$, после чего останется полоска $1 \times 3$. Из условия нетрудно получить, что в этой полоске может содержаться только одна красная клетка, поэтому во всем прямогольнике — только $16 \cdot 2 + 1 = 33$ красные клетки. После этого достаточно привести пример раскраски, которая удовлетворяет условиям задачи.

Отметим, что в этой задаче совсем не обязательно расчудить раскраску всей плоскости — можно было ограничиться раскраской 99 клеток прямогольника $9 \times 11$.

А. Земляков

Проведем $(BE) \parallel (CA)$ и $(AE) \parallel (CB)$ (см. рисунок). Косинус угла между прямыми AC и BD — это $|\cos DBE|$.

С другой стороны, четырехугольник $ACBE$ — прямогольник, поэтому $|AB| = |CE|$ и $|CD|/|AB| = |CD|/|CE|$.

Заметим, что вершины прямых углов $ACB, ADB, AEB$ лежат на сфере с диаметром $AB$. Отрезок $CE$ тоже является диаметром этой сферы, поэтому угол $CDE$ — прямой и $|CD|/|CE| = \cos DCE$. Нужное неравенство принимает теперь вид $|\cos DBE| < \cos DCE$.

Пусть $R$ — радиус сферы и $r$ — радиус окружности, получащейся в сечении сферы плоскостью $BDE$. Так как эта плоскость не проходит через центр сферы, $r < R$ и из равенств $2r \cdot \sin DBE = |DE| = 2R \cdot \sin DCE$ получаем $\sin DBE > \sin DCE$. Значит, $|\cos DBE| < |\cos DCE| = \cos DCE$.

Ю. Нестеренко

М640. Число $x \in [0; 1]$ записано в виде бесконечной десятичной дроби. Переставив ее первые 5 цифр после запятой в произвольном порядке, получим новую бесконечную десятиную дробь, отвецающего неекоторому числу $x_1$. Переставив в десятичной запись числа $x_1$ цифры со 2-й по 6-ю после запятой, получим десятиную запись числа $x_2$. Вообще, десятиная угольник $2 \times 3$, из условия задачи выводим, что в углу на участках цифр с номерами $10^n < k < 10^n + 5$ при всех натуральных $n$: вместе 1010 на этих местах поставим 1100. Участиц цифр с номера-

25

запись числа $x_{k+1}$ получается перестановкой цфра в записи $x_k$ с $(k+1)$-й по $(k+5)$-ю после запятой.
a) Докажите, что как бы ни переставлялись цфры на каждой шае, получаются последовательность чисел $x_k$ всегда имеет некоторый предел.
Обозначим этот предел через $y$.
b) Выясните, можно ли с помощью описанного процесса из рационального числа $x$ получить irrationalное число $y$.
b) Придумайте такую дробь $x$, для которого данный процесс всегда приводит к irrationalным числам, каковые бы ни переставки пятерок цфра на каждой шае.

В) Пусть $y$ дроби $x$ на местах с номерами $10^n < k \leq 10^n+5$ при всех натуральных $n$ стоян единиц, остальные цфры — нулы. Покажем, что ни при каком перемещении дробь $x$ не превращается в периодической. Предположим противное: при каком-то последовательном перемещении пятерок цфра получилась периодическая дробь $y$. Заметим, что при перемещении номер данной цфры (нуля или единиц) не может уменьшиться более, чем на четые. Среди цфра от первой до $(10^n+5)$-й после запятой всего $5n$ единиц, и, в силу предыдущего заменения, их число на этом участке не может увеличиться. Если бы в периоде дроби $y$ было $p$ цфра и среди них $q>0$ единиц, то при достаточно большом $n$ на участке цфра с номерами $1 \leq k \leq 10^n$ было бы по крайней мере $q \cdot \left[ \frac{10^n-N}{p} \right]$ единиц, где $N$ — номер цфры $y$, с которой начинается периодность. Таким образом, получаем неравенство $q \cdot \left[ \frac{10^n-N}{p} \right] \leq 5n$, неверное при достижению больших $n$. Следовательно, единица не может начиная с некоторого места должны идти одни нуля.

Теперь показем, что при любом перемещении дроби $x$ сколько угодно делено от запятой должны остаться единицы. Среди цфра дроби $x$ от первой до $(10^n+1)$-й после запятой имеет некоторое количество нулей. Так как более далеко от запятой нулю имеет номера, начиная с $10^n+6$, после перемещения они не могут попасть в указанный участок; число нулея на нем не увеличится, а число единиц соответствует не уменьшится. Следовательно, стоящие в дроби $x$ на участке цфра с номерами $10^n+1 \leq k \leq 10^n+5$ единиц не могут все сдивнуть вправа — хотя бы одна единица должна остаться на участке от первой до $(10^n+1)$-й цфры. С другой стороны, сдивнуть вправа чем на четые места они тоже не могут, поэтому при любом $n$ на участке цфра с номерами $10^n-3 \leq k \leq 10^n+1$ у дроби $y$ остаются бы одна единица. Очевидно, это противечит тому, что период дроби состоит только из нуля.

A. Земляков

Ф647. Крупная дождевая капля покинула облака в безветренную поеду на больший высоте. В момент, когда ускорение капли было равным 7,5 м/c², ее скорость составляла 20 м/c. Вблизи капля nadала с постоянной скоростью $u$, попав на боковое стекло автоматически, оставила на нем след под углом $30^\circ$ к вертикали. Ошибфтует ли инспектор ГАН водителя за превышение скорости, если разрешенная скорость движения автоматically 60 км/ч? Сили сопротивления воздуха считать пропорциональной каудрату скорости капли.

♦

Запишем второй закон Ньютона для момента, когда ускорение капли равно $a=7,5$ м/c², а скорость $v_1=20$ м/c:

$$ma=mg-kv_1^2,$$

где $kv_1^2$ — значение силы сопротивления в этот момент.

Вблизи земли капля движется с некоторой постоянной скоростью $v_2$, следовательно:

$$mg=kv_2^2.$$

Так как след, оставленный каплей на стекле, составляет с вертикальной угол $\alpha=30^\circ$, скорость капли и скорость автоматической $v$ связаны соотношением

$$v=v_2tg\alpha.$$

Из уравнения (1) — (3) найдем скорость автоматической:

$$v=\frac{v_1tg\alpha}{\sqrt{1-a/g}} \approx 23,8\text{ м/c} \approx 85,7\text{ км/ч}.$$

Штраф придает запалить.

B. Белонукин

26

Ф648. Шарнирная конструкция состоит из трех ромбов, стороны которых относится как 3:2:1 (рис. 1). Вершина $A_3$ перемещается в горизонтальном направлении со скоростью $v_0$. Определить скорость вершин $A_1, A_2, B_1$ в тот момент, когда все конструции прямые.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф649. В ведре находится смесь воды со льdom. Масса смеси 10 кг. Ведро внесли в комнату и сразу же начали изменять температуру смеси. Получившийся график зависимости $t(\tau)$ изображен на рисунке. Известны удельная темперакость воды $c_B = 4200$ Дж/(кг·К) и темпераплевия льда $\lambda = 3,4 \cdot 10^5$ Дж/кг. Определите, сколько льда было в ведре, когда его внесли в комнату. Теплоемкость ведра пребрежь.

Ф650. Для получения напряжения, величины которого мало зависит от температуры, собранa схема по рисунку 1. Вольтметрные характеристики диода Д при трех различных температурах окружающей среды $t_1 = 125^\circ C$, $t_2 = 25^\circ C$, $t_3 = -60^\circ C$ приведе-

Из условия задачи следует, что во время движения конструкции между длинами $l_1, l_2, l_3$ отрезков $A_0A_1, A_0A_2, A_0A_3$ сохраняется соответствие

$$l_1:l_2:l_3 = 3:5:6.$$

Поэтому скорости точек $A_1, A_2, A_3$ соответствия

$$|\vec{v}_{A1}|:|\vec{v}_{A2}|:|\vec{v}_{A3}| = 3:5:6,$$

и следовательно,

$$|\vec{v}_{A1}| = \frac{v_0}{2}, |\vec{v}_{A2}| = \frac{5v_0}{6}.$$

Рассмотрим теперь движение среднего звена ($A_1B_2A_2C_2$) в тот момент, когда углы конструкции прямые. В системе отчета, движущейся со скоростью $\vec{v}_{A1}$, в этот момент скорость $\vec{v}'_{B2}$ точки $B_2$ направлена вдоль стороны $B_2A_2$; скорость точки $A_2$ направлена горизонтально и равна

$$|\vec{v}'_{A2}| = |\vec{v}_{A2} - \vec{v}_{A1}| = \frac{v_0}{3}.$$

Из условия нерактимости стержня $B_2A_2$ следует (рис. 2, а):

$$|\vec{v}'_{B2}| = |\vec{v}'_{A2}| \sin 45^\circ = \frac{v_0 \sqrt{2}}{6}.$$

Скорость точки $B_2$ относительно неподвижной системы отчета найдем, воспользовавшись теоремой косинусов (рис. 2, б):

$$|\vec{v}_{B2}|^2 = |\vec{v}_{A1}|^2 + |\vec{v}'_{B2}|^2 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2} |\vec{v}_{A1}| |\vec{v}'_{B2}| = \frac{17}{36} v_0^2,$$

$$|\vec{v}_{B2}| = \frac{v_0}{6} \sqrt{17}.$$

С. Кротов

◆

Как видно из графика, первые 50 мин температура смеси не менялась и оставалась равной 0°С. Все это время тепло, получаемое смесю из комнаты, шло на тяние льда. Через 50 мин весь лед растал, температура воды начала повышаться. За 10 мин (от $\tau_1 = 50$ мин до $\tau_2 = 60$ мин) температура повышалась на $\Delta t = 2^\circ C$. Тепло, поступившее к воде из комнаты за это время, равно $q = c_B M \Delta t = 8,4 \cdot 10^4$ Дж ($M = 10$ кг — масса воды). Значит, за первые 50 мин смеси из комнаты поступило количество теплла $Q = 5q = 42 \cdot 10^5$ Дж. Это теплло и пошло на тяние массы $m$ льда: $Q = \lambda m$. Таким образом,

$$m = \frac{Q}{\lambda} \approx 1,23 \text{ кг}.$$

А. Буздин

◆

Диод подключен к источнику последовательного с резисторами, сопротивление которых $R_{06\mu}$ = $5,2 \cdot 10^3$ Ом. Следовательно, в любой момент времени (при любой температуре) ток в цепи равен

$$I = \frac{U - U_0}{R_{06\mu}}.$$

где $U, U_0$ — значения напряжения на источнике и на диode в данной момент.

27

Построим на рисунке 2 графики зависимости $I(U_\pi)$ для трех различных температур:

$$t_1 = +125^\circ C - U_{125} = 8,5 \text{ B}, \quad I_{125} = \frac{8,5 - U_{\pi,125}}{5,2} \text{ мА};$$

$$t_2 = +25^\circ C - U_{25} = 6 \text{ B}, \quad I_{25} = \frac{6 - U_{\pi,25}}{5,2} \text{ мА};$$

$$t_3 = -60^\circ C - U_{-60} = 3,875 \text{ B}, \quad I_{-60} = \frac{3,875 - U_{\pi,-60}}{5,2} \text{ мА}.$$

Точки пересечения этих графиков с волтамперными характеристиками диода (для соответствующих температур) определяют значения напряжения на диode и ток в цепи при данной температуре. Из рисунка 2 находится (разумеется, приближенно):

$$U_{\pi,125} = 0,77 \text{ B}, \quad I_{125} = 1,48 \text{ мА};$$

$$U_{\pi,25} = 0,8 \text{ B}, \quad I_{25} = 1 \text{ мА};$$

$$U_{\pi,-60} = 3,875 \text{ B}, \quad I_{-60} = 0,58 \text{ мА}.$$

Соответствие значения напряжения $U_{AB} = U_\pi + I \cdot 0,2$ (В) между зажимами $A$ и $B$ —

$$U_{AB,125} = 1,07 \text{ B};$$

$$U_{AB,25} = 1 \text{ B};$$

$$U_{AB,-60} = 0,94 \text{ B}.$$

Таким образом, температурный коэффициент, характеризующий относительное (относительное $U_{AB,25}$) изменение напряжения $U_{AB}$ при изменении температуры от $-60^\circ C$ до $+125^\circ C$, равен

$$\alpha = \frac{\Delta U_{AB}}{\Delta t \cdot U_{AB,25}} \approx 7 \cdot 10^{-4} \text{ град}^{-1}.$$

По сравнению с исходным температурным коэффициентом $\alpha_0 = \frac{25 \cdot 10^{-3}}{6} \approx 4 \cdot 10^{-3} \text{ град}^{-1}$ полученное значение $\alpha$ примерно в 6 раз меньше.

Подумайте, как надо изменить сопротивления резисторов, чтобы практически полностью скоппенсировать температурную несабильность источника.

А. Зильберман

Ф651. В научно-фантастической поверхности описывается аварийная ситuation, в котором астронавт массы $M = 100$ кг оказывается на расстоянии $l = 100$ м от корабля со стаканом замерзшей воды. Обеспечивая сублимарию (испарение) льда, астронавт возврашает на корабль. Реален ли такой способ возврашения? Оцените, за какое время астронавт возврашает на корабль. Считайте, что сублимария льда просходит при постоянной температуре $T = 272$ К. Давление насыщающих паров при этой температуре $p_H = 550$ Па. Универсальная газовая постоянная равна $R = 8,3 \times 10^3$ Дж/(кмоль·К). Размеры стакана и массу льда задайте самостояльно.

Если плотно закрыть стакан, то число молекул, падающих на поверхности льда в единицу времени, будет равно числу молекул, сублимариющих с поверхности (динамическое равновесие); при этом условия и изменено давление насыщающих паров $p_H$. Оба указаны потока массы равны по модели $\frac{1}{6} \rho_H \bar{v} S$ (кг/c), где $\rho_H = p_H \mu/RT$ — плотность насыщенных паров, $S$ — плотность поверхности льда, $\mu$ — молярная масса льда, $\bar{v} \approx \sqrt{3RT/μ}$ — средняя скорость молекул, множитель $1/6$ (или, точнее, $1/4$) учитывает направленность движения «в одну сторону из шести возможных». Когда стакан открыть, поток улетающий молекул прежний, а возврашает молекул нет; давление терррь равно $1/2p_H$. Оценим время полного испарения, подставляя начальную массу льда $m \approx 0,2$ кг, плотность стакана $S \approx 30$ см$^2$, $\mu = 18$ кг/кмоль:

$$\tau \sim \frac{m}{\frac{1}{6} \rho_H \bar{v} S} \approx \frac{6m}{p_H S} \sqrt{\frac{RT}{3\mu}} \approx \frac{6 \cdot 0,2}{550 \cdot 3 \cdot 10^{-3}} \sqrt{\frac{8,3 \cdot 10^3 \cdot 272}{3 \cdot 18}} \approx 150 \text{ c}.$$

Заметим, что в результате времени испарения будет больше, так как веряностить для молекул, попавшей на поверхности льда, «приплитнуть» к ней, равна так называемому коэффициенту конденсации и, естественно, меньше 1; соответственно и в поток испарения должен быть введен множитель, меньше

28

1. Далое, возможно, не все молекулы, испарившись, могут сразу улететь на бесконечность; часть из них за счет столковенной в паровой фазе может вернуть назад. Таким образом, мы получили для времени испарения оценку сизу.

Пока лед испаряется, ускорение космонавта равно $a = p_H S/2M$. За это время он пролетит расстояние $L = a\tau^2/2 \approx 100\text{ m} = l$.

Учитывая приближенность наших оценок, можно сказать, что космонавт вернется на корабль за время $\gtrsim 100\text{ c}$.

A. Стасенко

Ф652. Схема, изображенная на рисунке, состоит из двух одинаковых резисторов $R_2 = R_3 = R$ и двух одинаковых неполинейных резисторов $R_1$ и $R_4$, волтемерная характеристика которых имеет вид $U = \alpha I^2$, где $\alpha$ — неокотрий извечный постоянный коэффициент. При каком направлении источника питания $U_0$ сила тока через галванометр $\Gamma$ равна нулю?

Ф653. Некоторые элементы Z, соединены с батареей с ЭДС $\varepsilon = 10\text{ B}$ и внутренним сопротивлением $r = 10\text{ K}\Omega$, подключает к внешнему источнику тока так, как показано на рисунке 1. Волтемерная характеристика такой цепи показана на рисунке 2 (черная кривая). Постройте волтемерную характеристику элемента Z.

Рис. 1. Рис. 2. $I_6(U)$

Ф654. Штатив массы M стоит на главном столе. К штативу на лекой нити длины l прикреплен шарик массы m. Нить отклоняет на малый угол a и отпускают (рис. 1). Нарип

Пусть через ветвь схемы течение tok I. Поскольку одинаковый и линейные, и неполинейные резисторы, в ветвях цепи текут одинаковые токи. Наряжение источника питания равно

$$U_0 = IR + \alpha I^2.$$

Так через галванометр равен нулю, когда потенциаль точки A равен потенциальу точки B. Поэтому

$$IR = \alpha I^2 \Rightarrow I = \frac{R}{\alpha}.$$

Подставив это значение тока в уравнение (*), найдем направление источника, при котором ток через галванометр равен нулю:

$$U_0 = 2 \frac{R^2}{\alpha}.$$

В. Скороваров

Построим волтемерную характеристику батареи. Согласно закону Ома для полной цепи, направление $U_6$ на батарее и ток $I_6$, текущий через батарею, связаны соотношениям

$$U_6 = \varepsilon - I_6 r.$$

Поскольку элемент Z и батарея соединены параллельно, $U_6 = U_2 = U$ (U — направление внешнего источника).

На рисунке 2 волтемерная характеристика батарея — синяя прямая.

Ток $I_2$, текущий через элемент Z, равен алгебраической разности $I - I_6$. Для построения волтемерной характеристики элемента Z надо при каждом фиксированном значении направления $U$ найти значение $I_2$ вычитанием ordinаты $I_6$ соответствующей точки волтемерной характеристики $I_6(U)$ из ordinаты соответствующей точки волтемерной характеристики цепи.

На рисунке 2 волтемерная характеристика $I_2(U)$ — красная кривая.

В. Можаев

При малом угле отклонения α перемещение шарика мало отличается от горизонтального. В горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы, и импульс системы (точнее — проекция импульса на горизонтальном ось) остается постоянным — равным нулю. Следовательно, при движении шарика шатин движется в противоположную

29

соответствует график зависимости скорости шатива от времени. Столковенная шарка с основанием шатива абсолютно упругие.

Рис. 1.
$$\begin{align*} |AO|: |OB| &= m : M; \\ A'O'|: |O'B| &= m : M \\ A'O'| + |O'B| &= l \end{align*}$$

$$\Rightarrow |O'B| = l \frac{M}{m+M}.$$

Рис. 2. $\tau = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{l}{g} \frac{M}{m+M}}$.

Ф655. В настоящее время используются соленoids со сверхпроводящей обмоткой. Такие соленoids могут dlительное время создаать магнитное поле без затраты энергии. Однако, если выделение каких-либо причины участок обмотки соленода утраит сверхпроводящие свойства, произойдет авария. На этом участке током будет выделяться большое количество теля и произойдет взрыв. Придумайте простейшее приспособление, исключайте подобные аварии (не пытайтесь придумывать какие-либо схемы с реле, размыкающим цепь, — они не помогут).

сторону; абсолютные значения $v$ и $u$ скоростей шарка и шатива (точнее — проекций соответствующих скоростей на горизонтальной ось) связаны соотношением

$$mv = Mu.$$

Центр масс системы (точка $O$ на рисунке 1) остается неподвижным; значит, неподвижной остается и точка $O'$.

Таким образом, движение шарка — это колебания магнитка с длиной нити

$$l' = |O'B| = l \frac{M}{m+M}$$

(cm. рис. 1). Частота этих колебаний равна

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{l'}} = \sqrt{\frac{g}{l} \frac{m+M}{M}};$$

скорость шарка —

$$v = v_M \sin \sqrt{\frac{g}{l}} \frac{m+M}{M} t,$$

где $v_M = \omega x_M = \sqrt{\frac{g}{l}} \frac{m+M}{M} l \sin \alpha$ — максимальное (по моему) значение скорости, $x_M = l \sin \alpha$ — амплитуда смеси шарка.

Воспользовавшись соотношением (*), найдем скорость шатива:

$$u = \left( \frac{m}{M} \sqrt{\frac{g}{l}} \frac{m+M}{M} l \sin \alpha \right) \sin \sqrt{\frac{g}{l}} \frac{m+M}{M} t =$$

$$= u_M \sin \sqrt{\frac{g}{l}} \frac{m+M}{M} t.$$

После каждого упругого соударения направления скоростей $v_M$ и $u_M$ меняются на противоположные (проверьте это).

График зависимости скорости шатива от времени приведен на рисунке 2.

А. Зильберман

◆

Простейший способ исключить аварию при утверге каким-либо участком обмотки сверхпроводящей связи — шутировать обмотку. Раньше в качестве шутов использовали массивные медные проводники, которые размешали снаружи обмотки.

В настоящее время сверхпроводящую обмотку делают из пучка тонких жил из сверхпроводника, заключенных в матрицу из металла с высокой электро- и теплопроводностью,— из меди или алюминия. При утверге каким-либо участком обмотки сверхпроводящих связи ток идет по массивному медному проводнику с малым сопротивлением.

Г. Мякшев

30

К конкурсу
«Малый интеркосмос»

В предыдущеем номере нашего журнала помещена информация о Всесоюзном конкурсе учащихся школ и профессиональных под названием «Малый интеркосмос». Ниже мы приводим примерный перечень проблем, предложенных специальами участникам этого конкурса.

1. Земля — Космос — Земля

— Известно, что «потолок» авнации около 30 км, а нижняя граница полета спутников — около 180 км. Предложите физический принцип полета на промежуточных высотах.

— При запуске космических аппаратов первые ступени пакет бесплатного пропадают, падая на Землю. Разработайте варианты использования этих ступеней пакет.

Предложите:

— экономические способы доставки груzes на орбиту, проект космического самолета, который можно использовать не только для полетов на орбиту, но и как международное транспортное средство;

— направление и формы совместной работы школьников и экпіажей космических станций в интересах народного хозяйства (например, параллельные наблюдания школьников на Земле, а космосов с орбиты за состоянием посевов, водных бассейнов, лесных массивов и т. д.);

— способ спасения космосов при возникновении авариной ситуации на орбитальном космическом корабле. Один из вариантов спасения — возврашение космосов на Землю с использованием индивидальных средств;

— способ моделирования различных условий космоса на Земле;

— метод определения химического состояния почвы по изучению площади из космоса, выявления недостатка или избытка питания веществ;

— формы учатия космической науки и техники в решении экологических проблем;

— метод исследования природных ресурсов Земли.

2. Дом на орбите

— При длительных полетах на состояние космосов отрицательно действует однообразие обстановки. Предложите способ изменения обстановки на станции по желанию космосов.

3. Индустрия в космосе

— В условиях времени проводятся эксперименты с целью выращивания кристаллов и получения

31

сплавов из материалов с разным удаленным весом. Предложите другие технологии процессы, которые могут быть наложены в космосе.

— Применение обычных земных инструментов в неевосмоси затрудено (например, забить гвоздь молотком тяжело). Придумайте инструменты (молоток, отвертка, гаечный ключ и т. д.), которые можно использовать в неевосмоси.

— На различных орбитах вокруг Земли обращается большое количество отработанных свой ресурс космических аппаратов. Разработайте проекты их использования.

Предложите:

— конструктор прибор для быстрой охлаждения жидкого металла (до твердого состояния), нахождения во взвешенном состоянии на борту орбитальной станции;
— способ измерения частоты колбаний калины воды, свободно плавающей в кабине станции;
— методы измерения поверхности наяжения в условиях неевосмоси, а также температуры жидкого металла бесконтактным способом;
— конструктор амплы (из стекла или кварца), в котором можно поместить твердый материал (metалл или полупроводник), полностью заполняющий объем этой амплы. Важно, чтобы при нагреве она не растрескалась в связи с изменением объема материалов;
— как получить солнечную энергию в условиях космоса в большом количестве и переправить на Землю;
— как неосредственно в космосе использовать энергию, которое станут получать солнечные электростанции на орбите;
— химические процессы, успешно протекающие в неевосмоси;
— проект космического химического производства, сырьем которого служил бы материал планет солнечной системы и астроиды.

4. В открытом космосе

— Разработайте средства фиксации и перемещения космонавтов на поверхности космического аппарата.
— По Земле, в воздухе и в воде с помощью специальных устройств (например, велосипеда) человек может передвигаться, использую только свою мускульную силу. Придумайте способ передвижения в космосе между двумя близкорасположными кораблями, основанный на этом принципе.
— Разработайте конструкцию роботамипулятора с дистанционным или программным управлением для проведения монтажных работ на околоземной орбите в открытом космосе.
— Если спутник имеет высоту орбиты 36000 км и запущен в плоскости экватора в стороны с суточного вращения Земли, то он все время будет находиться над одной и той же точкой земного экватора. Это очень удобно для использования таких спутников в качестве ретрансляторов радио и телевидения. Предложите другие способы применения таких космических аппаратов.
— Наблюдая один и тот же объект одновременного двумя или более радиотелеком-
пами, астроономы получают высокое угловое разрешение (метод радионитерфометрии). Можно ли и как именно создать такой же оптический интерферометр на базе двух или несколько телекопов?
— Известно, что связыва с космонавтом вне корабля можно поддерживать по радию и телевизионным каналам; предположите дополнительный (аварийный) вид связи космонавта с экппажем станции.
— Большое значение в научной программе выходитщего в открытий космоса надается фото- и киносъемкам. В то же время современная конструкция скафандра не позволяет поднести окуляр к глазу наблюдается. Разработайте способы приближения условий к киносъемкам в космосе к земным.
Предложите трансортирование средства для сообщения между двумя космическими кораблями (космическая шлюпка).

Предумайте:

— какими должны быть органы управления, организация рабочого места в этих аппаратах;
— конструктор индивидального трансортирования средства для перемещения космонавтов-монтажников в открытий космосе в околоземном пространстве;
— конструктор портативного съемного устройства для трансортировки грузов при осуществлении монтажных работ в открытий космосе;
— способы передвижения, помимо реактивного, которые можно использовать в открытий космосе;
— метод и аппаратру для проведения эксперимента в открытий космосе по оценке зрительно-двигательной координации, скорости движения реакции космонавта;
— свой проект астрономического обеспечения в космосе;
— способы применения лазеров в космическом пространстве;
— средства для вынесения исследований приборов за борт космического аппарата на расстояние нескольких десятьков метров с последующим возврашением их на борт аппарата.

5. Освоение Солнечной системы

— Через несколько десятилетий станут возникновены полеты на любое тело Солнечной системы. Подумайте, где и по каким причинами лучше всего организовать обеспечению для:
a) изучения физики Солнца;
b) изучения звезд и далеких галактик.
— В литературе высказываясь мыслю о создании на Луне атмосферы искусственных путем. Разработайте проект реализация этой идеи.
— На Земле самый быстро вид транспорта — самолет. Разработайте проект аппарата, приспособленного для быстрой трансортировки лодей и грузов в условиях Венеры и Марса.
— На планетах-гигантах силаяжетна значительное увеличение угловое разрешение способы облегчения работы астрономов на такой планете.

32

Список рекомендаций литературы

В. И. Алимов, В. П. Денисов, А. А. Ермилов, А. В. Кирсанов. Советские пилотируемые корабли и орбитальные станции. М., «Машиностроение», 1976.

А. Антрушин. Космические ракеты будущего. В книге «Хочу все знать». Л., 1973.

В. Алексеев, И. С. Минчин. Венера раскрывает тайны. М., «Машиностроение», 1975.

А. Н. Бушко и В. С. Городинская. Год в звездолете. М., «Молодая гвардия», 1975.

М. Борисов. На космической верфи. М., «Машиностроение», 1976.

В. П. Бурдаков, Ф. Ю. Зигель. Физические основы космонавтики. «Атомиздат», 1975.

В. С. Губарев. Хронка одного путешествия, или повесь о первом Луноходе. М., «Молодая гвардия», 1971.

Ю. А. Гагарин. Есть плая! (статы, речи, письма, интервью). М., «Молодая гвардия», 1971.

Ю. А. Гагарин, В. Лебедев. Психология и космос. М., «Молодая гвардия», 1976.

И. Н. Галкин. Геофизика Луны. М., «Нуука», 1978.

К. А. Гильзин. Электрические межпланные корабли. М., «Нуука», 1970.

Ю. Н. Глазков, Л. С. Хачатурьянц, Е. В. Хрунов. На орбите вне корабля. М., «Знание», 1977.

В. П. Глушко. Путь в ракетной технике. М., «Машиностроение», 1977.

А. Ф. Евчч. Индустрия в космосе. «Московский рабочий», 1978.

Ю. И. Зайцев. Спутники «Космос». М., «Нуука», 1975.

Ф. Зигель. Заниматель космонавтика. М., «Машиностроение», 1970.

А. Д. Коваль, В. П. Сенкович. Космос далеки и близки. Л., «Лениздат», 1977.

А. Л. Кемурджан, В. В. Громов, И. И. Черкасов, В. В. Шварев. Автоматические станции для изучения поверхности Луны. М., «Машиностроение», 1976.

А. Д. Коваль, Ю. А. Тюрин. Космос — Земле. М., «Знание», 1979.

А. Д. Коваль, Г. Р. Успенский. Космос — человеку. М., «Машиностроение», 1974.

Ю. В. Колескийков, Ю. Н. Глазков. На орбите космической корабль. М., «Просвещение», 1980.

А. А. Космодемьянский. К. Э. Цилковский. М., «Просвещение», 1980.

Л. Ксанфомалите. Планеты, открыты заново. М., «Просвещение», 1978.

Н. Н. Крупеню. Радиоизлучение исследований планет. М., «Нуука», 1978.

Е. П. Левитан. Астрофизика школьникам. М., «Просвещение», 1977.

В. И. Левантовский. Механика космического полета в элементарном изложении. М., «Нуука», 1980.

А. Д. Марленский. Основы космонавтики. М., «Просвещение», 1975.

В. И. Мороз. Физика плаеты Марс. М., «Нуука», 1978.

Г. Нагaeв. Пионеры Вселенной. Трилогия Кибальчич, Цилковский, Цандер. М., «Художественная литература», 1976.

Нука плос фантазия — рассказы советских ученых. Комментарует журналист Е. Кhorpe. М., «Детская литература», 1978.

Л. Николаев. Химия космоса. М., «Просвещение», 1974.

Орбиты сотрудничества. Под ред. Б. Н. Петрова. М., «Машиностроение», 1975.

Освоение космического пространства в СССР. М., «Нуука», 1975—1979.

Н. М. Романтеев, Е. В. Хрунов. Астрономическая-navigation-plottering-kosmosickness-corablerie. «Машиностроение», 1976.

Е. М. Савицкий, В. С. Клячко. Металлы космической эры. М., «Metаллургия», 1978.

«Союз-22» исследует Землю. Под ред. Р. З. Cardeева, И. Х. Штилера. М., «Нуука», 1980.

Физика Вселенной. М., «Нуука», 1976.

В. Шталлов, М. Ребров. Космос — рабочая площадка. М., «Детская литература», 1978.

В. Шталлов, М. Ребров. Лоди и космос. М., «Молодая гвардия», 1975.

33

Задание

1. Расшифруйте арифметический пример, изобразенный на рисунке. Здесь разным буквам соответствует разные цифры, одинаковым — одинаковые, а про букву A известно, чтоей соответствует четная цифра.

2. Найдите десять последовательных натуральных чисел, среди которых a) нет ни одного простого числа; b)ровно одно простое число; в) два простых числа; г) три простых числа; д) четыре простых числа.
   Сколько вообще простых чисел может быть среди десяти последовательных натуральных чисел?

3. На плоскости векруг точек A и B в одну и ту же сторону поворачивается два стержня, причем стержень AA₁ поворачивается вдвое медленнее стержня BB₁ и в начальной момент ABB₁=90° и BAA₁=45°. В точке M пересечения этих стержней на них надето колечко. Доказите, что колечко будет двигаться по дуге окружности с центром в точке B. Найдите радиус этой окружности.

4. В кружках фигуры, изобразенной на рисунке, расставьте числа от 1 до 19 так, чтобы сумма чисел, расположенных в кружках-вершинах всех правильных шестиугольников (их девять!), была постоянной.

5. В каждом из трех горизонтальных рядов (см. рисунок) переложите по одной спице так, чтобы все шесть равенств (вертикальных и горизонтальных) оказались верными.

Эти задания нам предложили Н. Авилов, Н. Антонович, Н. Михайленко, С. Савасток.

35

сти, описанной вокруг треугольника (эти биссектриса и перпендикуляр делят пополам дуг описанной окружности, опирающегося на указанную сторону и не содержащую вершины $A$, — см. рис. 2).

Кончить построение теперь уже просто. Проводим через точку $M$ перпендикуляр к прямой $l$ и продолжаем биссектрису $AK$ до пересечения с ним в точке $D$ (рис. 3). Итак, точки $A$ и $D$ лежат на окружности, описанной вокруг искомого треугольника, а ее центр $O$, очевидно, находится на прямой $MD$. — средином perпендикуляре к одной из ее хорд, и на срединном perпендикуляре к отрезку $AD$, который также является одной из ее хорд. Построив точку $O$, как точку пересечения указанных прямых, можно проверить окружность, описанной вокруг искомого треугольника, поскольку мы знаем ее центр $O$ и радиус $|OA|$. Точки $B$ и $C$ пересечения этой окружности с прямой $l$ дают недостающие вершины $B$ и $C$ искомого треугольника.

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было развито в Древней Греции в высокой степени. Однако из труднейших задач на построение, которые тогда умели выполнять, является задача построения окружности, касающейся трех данных окружностей. Эта задача носит название задачи Аполлония по имени выдающегося греческого геометра Аполлония из Перги (около 260—170 г. до н. э.).

Однако древнегреческий геометрамник не удавалось выполнить некоторые построения, использующие линейку и линейку, а построение, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких построений относятся построение квадрата, равновеликого данному кругу («квадратура кругга»); деление произвольного угла на три равные части («трисекция угла») и построение сторон куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба («удвоение куба»).

Эти три значенные задачи привлекали внимание выдающихся математиков на противженни столетий, но окончательное решение получили лишь в середине прошло века, когда была доказана их неразрешимость, то есть невозможность указанных построений лишь с помощью циркуля и линейки. Эти результаты были получены средством не геометрики, а алгебры, что еще раз подчеркнул единство математики.

Еще одной интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторона. Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильные пятугольник и пятнадцатугольник, а также все многоугольники, которые получаются из них удвоением числа сторона, — и только их.

Новый шаг в этой области был сделан лишь в 1801 году Великим немецким математиком К. Ф. Гауссом. Он указал способ построения циркуля и линейкой правильного 17-угольника и все значения $n$, при которых построение правильного $n$-угольника возможно указанным средством. Эти многоугольники оказались лишь те многоуголь-

36

ники, у которых количество сторон является простым числом Ферма*) или произведениями несколько различных простых чисел Ферма, а также те, которые получаются из них удвоением числа сторона. Таким образом, была доказана невозможность построения с помощью циркуля и линейки правильных семиугольника, девятугольника, одинадцатугольника, тринадцатугольника.

Теория построения при помощи циркуля и линейки получила широкое развитие в конце XIX века. Например, было показано, что любое построение, выполяемое с помощью циркуля и линейки, можно выполнить с помощью лишь одной линейки, если в плоскости построения задана некоторая окружность и указаан ее центр.

Все эти исследования внесли огромный вклад в развитие математики. Однако в практических построениях ничего не ограничивает нас в наборе инструментов. Для больших построений в полне достаточно линейки с делениями и транспортира.

Довольно любопытные некоторые приближенные способы построения. Например, приближенная квадратная круга получается, если за сторону квадрата взять хорду, проходящую через конец одного из diamетров круга и середину перpendикularного ему радиуса (рис. 4). Этому построению соответствует значение π=3,2.

Способ приближенной трисекции угла при помощи циркуля и линейки

предложил наш читатель А. Падалко. Вот его метод: «Чтобы проведти трисекцию угла с вершиной O₁ (см. рис. 5), описываем друг AmB с центром O₁ произвольного радиуса и проводим хорду AB; пусть O — ее середина. Радиусом, равным |AO|, описываем полученную AnB с центром O. Из точки B делаем на этой полученную засечку C радиусом |AO|; легко видеть, что BC = \frac{AmB}{3}. Затем находим точку D такую, что |BD| = \frac{|AB|}{3}. Соединием точки C и D и из середины E отрезка CD восстанавливаем перpendикular к [CD]. Пусть Y — точка пересечения этого перpendикularа с продолжением [AB]. Радиусом |DY| проводим из Y друг; пусть X — пересечение этой дуги с другой AmB. Тогда BX = \frac{AmB}{3}, то есть BO₁X ≈ \frac{AO₁B}{3}.

Оценку точности этого построения мы получили ЭВМ. Машина выдала следующий результат: точность построения не менее 0,1°, нахудший результат — при угле около 78°, относительная ошибка, то есть отношение величины отклонения к величины самого угла, не превыходит 0,01 и максимальная при угле около 158°.

37

Построение изображений наклонных предметов

Чтобы найти изображение светашейся точки в оптической системе, например в линзе или в зеркрале, достаточно построить ход двух лучей,ышедших из точки. Обычно выбирают два из трех характеристиных лучей, ход которых после системы известен. Это луч, проходящий через оптический центр системы, луч, падающий на систему параллельно ее оптической оси, и луч, проходящий через передний фокус системы.

А как бы, если источник света не точный, а протяженный? Можно, конечно, строить изображения отдельных его точки, но иногда возможно не использовать упрощения. Так, если предмет перpendикулярен к главной оптической оси, изображение тоже perpendикулярно к ней. А если предмет наклонен к оси под произвольным углом? Остановимся подробнее на этом случае.

Пусть предмет $AB$ опирается на ось в точке $A$ и составляет с осью угол $\alpha$. Построим изображение $A'B'$ этого предмета в оптической системе, например в собирающей линзе (рис. 1). Инутитив можно предложить, что изображение будет расположаться симметрично предмету относительно оси. Однако это не так. Найдем зависимости угла $\beta$ от угла $\alpha$.

Направим оси координат $XOY$ в пространстве предметов и $X'OY'$ в пространстве изображений соответствующего правилу знаков, принятому в школьном учебнике. При этом координата $x$ соответствует расстоянию $d$ от предмета до линзы, а координата $x'$ — расстоянию $f$ от линзы до изображения.

Углы $\alpha$ и $\beta$ будем определять по их тангенсам$^*$). Из рисунка 1

$$tg\alpha = \frac{y}{d - d_0}, \quad tg\beta = -\frac{y'}{f_0 - f} = \frac{y'}{f - f_0},$$

$$\frac{y'}{y} = \frac{f}{d}.$$

Из формулы линзы $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$ и $\frac{1}{d_0} + \frac{1}{f_0} = \frac{1}{F}$ выразим $f$ и $f_0$:

$$f = \frac{Fd}{d - F}, \quad f_0 = \frac{Fd_0}{d_0 - F}.$$

Okончательно получим

$$tg\beta = tg\alpha \left(1 - \frac{d_0}{F}\right).$$

• При этом угол $\alpha$ отсутствует в направлении поворота от оси $OX$ к оси $OY$, а угол $\beta$ — от оси $OX'$ к оси $OY'$.

38

На рисунке 2 изображен более общий случай, когда предмет $AB$ и его изображение $A'B'$ не касаются оптической оси. Расмотрите этот случай самостояльно и получите более общую формулу для тангенса угла $\beta$:

$$\text{tg} \beta = \frac{y_1(d_2 - F) - y_2(d_1 - F)}{F(d_2 - d_1)}$$

Предположим, что источником света является светящаяся прямая (рис. 3). Уравнение этой прямой имеет вид $y = kx + b$, где $b = -kd_0$, а $x = d$. Найдем функцию $y'$ в пространстве изображений:

$$y' = y \frac{f}{d} = y \frac{f - F}{F} = k \left( \frac{fF}{f - F} - d_0 \right) \frac{f - F}{F} = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) f + kd_0,$$

или

$$y' = k'x' + b'$$

где $k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right)$ и $b' = kd_0$.

Очевидно, что это уравнение прямой; следовательно, изображением прямой является тоже прямая. Коэффициенты $k$ и $k'$ это тангенсы углов $\alpha$ и $\beta$ соответственно:

$$k = \text{tg} \alpha, \ k' = \text{tg} \beta.$$

Таким образом, еще раз выведена связь между тангенсами углов $\alpha$ и $\beta$.

Заметим, что в геометрической оптике рассматривается только параскальные лучи, то есть очень близкие к главной оптической оси. Однако из сообщений наглядности на всех рисунках (предыдущих и последующих) углы $\alpha$ изображены достаточно большими.

Перейдем теперь к конкретным примерам. Договоримся на всех рисунках светящаяся прямой имеет вид $y = kx + b$, где $b = -kd_0$, а $x = d$. Найдем функцию $y'$ в пространстве изображений:

$$y' = y \frac{f}{d} = y \frac{f - F}{F} = k \left( \frac{fF}{f - F} - d_0 \right) \frac{f - F}{F} = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) f + kd_0,$$

или

$$y' = k'x' + b'$$

где $k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right)$ и $b' = kd_0$.

Пример 1. Пусть светящаяся прямая пересекает оптическую ось собирающей линии в точке с координатой $d_0 = 2F$ (рис. 4). Тогда

$$k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) = k \left( 1 - \frac{2F}{F} \right) = -k,$$

или

$$\text{tg} \beta = k' = -k = -\text{tg} \alpha.$$

Пример 2. Пусть $d_0 = 0$. Тогда

$$k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) = k.$$

Соответствующая светящаяся прямая и ее изображение в собирающей линии показаны на рисунке 5.

Пример 3. Найдем изображение прямой линии в волнутом сферическом зеркале, если $d_0 = F/2$ (рис. 6).

Отметим, что в случае волнутого зеркала ось $OX'$ в пространстве изображения направлена в ту же сторону, что и ось $OX$ в пространстве предметов.

39

Рис. 4.

Пример 4. Построим изображение прямой в рассеивающей линзе и в выпуклом зеркале при условии, что $d_0 = F$.

Для рассеивающих системы формула линзы имеет вид

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{F},$$

постому

$$k' = k \left( 1 + \frac{d_0}{F} \right).$$

В нашем случае

$$k' = k \left( 1 + \frac{d_0}{F} \right) = 2k.$$

Рис. 5.

Рис. 6.

Поскольку все формулы для вогутого зеркала также же, как и для собирающей линзы, получаем

$$k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) = \frac{k}{2}.$$

Соответствие построения для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала приведены на рисунках 7 и 8.

Пример 5. Пусть светящаяся прямая проходит через точку с координатой $d_0 = F$. Каким будет ее изо-

40

бражение в собирающей системе (собирающей линзе или волнутом зеркале)?
Если $d_0 = F$, то
$$k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) = 0.$$
Это означает, что изображением наклонной линни будет прямая, параллельная главной оптической оси системы. На рисунке 9 проведено построение для собирающей линзы.
Пример 6. Выясним, при каком расположении прямой ее изображение в рассенвающей системе будет параллельно оптической оси системы.
Поскольку для рассенвающей системы
$$k' = k \left( 1 + \frac{d_0}{F} \right),$$
то $k'$ будет равным нулю при $d_0 = -F$. Соответствующие построения для выпуклого зеркала показано на рисунке 10.

Остановимся чуть более подробно на двух последних примерах.
Во-первых, из рисунков 9 и 10 следует, что $y' = F \mathrm{tg} \alpha$. Значит, чем больше угол наклона светящейся прямой к оптической оси системы, тем дальше от оси находится линяя изображения.
Во-вторых, отметим, что при равномерном распределении точек линни предмета на линни изображения точки распределения неравномерно (см., например, рис. 10). Это связано с так называемым продольным увеличением (с увеличением в направлении оптической оси), которое определяется формулой
$$\Gamma_{\text{прод}} = \lim_{d_2 \to 0} \frac{f_2 - f_1}{d_2 - d_1}.$$
Другими словами, продольное увеличение равно произвольной от $f$ по $d$:
$$f' = \left( \frac{Fd}{d-F} \right)' = -\left( \frac{F}{d-F} \right)^2 = -\Gamma_{\text{попер}}^2$$

41

— горизонтальное увеличение равно квадрату вертикального увеличения, взятому с обратным знаком.

---

В заключенное заметим, что все скзаанное в этой стате имеет практическое значение только тогда, когда расстояние от предмета до линии или зеркала сравним с фокусным расстоянием линии или зеркала. Если же указано расстояние велико (по сравнению с фокусным), изобравнение предмета, независимо от его наклона к оптической оси, будет находиться в фокальной плоскости, перpendикулярной оптической оси системы. Это хорошо знают, например, фотообители: использую коротко-фокусные объекты, они получают практические одинаково резкими изобравнения и близких, и далеких предметов.

У разження

1. Построите изобравнение светящейся прямой в собственной линзе, если $d_0 = -F$.
2. Найдите изобравнение прямой в волнутом зеркале при $d_0 = 0$.
3. Сделайте построение предмета и изобравнения для $k = 2$ и $d_0 = F$ в случае волнутого зеркала.
4. Сделайте построение для $k = 0,5$ и $d_0 = -F$ в случае рассеивающей линзы.
5. Построите изобравнение прямой, параллельной главной оптической оси системы. Расмотрите все возможные случаи. Указан и ее. Воспользовитесь приципом обратности световых лучей.

Как экзаменют по физике в МФТИ

В редактирование журнала приходит много писем с просьбой рассказывать о том, как проходят вступительные экзамены по физике в различныхузы. Предлагаем внимание читателей интервью, взятое корреспондентом газеты «За наук» Московского физического института Л. Санаевым у заместителя заведующого кафедрой общей физики этого института профессора С. Козела. Интервью перепечатьается с небольшими изменениями и сокращениями.

— Скажите, сколько лет вы уже принята вступительные экзамены?
— С небольшим перерывами двадцать лет.
— В чем, по-вашему, заключается отличительная особенность физической системы приема?
— МФТИ готовит кадры для работы на передовых рубежах современной науки. Этим и объясняются высокие критерии приема: отбираются самые способные.

Контингент абитируентов очень ширококоторая от выпускников сельских школ до выпускников Москвы физiko-mатематических школ. Мы учитьсяем это и стремимся выяснить преждевое налиние не формальных знаний, а способностей, которые впоследствии можно развивать. Задча, конечно, трудная. Но, по-видимому, приема коммуникации решает ее довольно успешно.

— Рассказите, пожалуйста, о письменном и устном экзаменах и связи между ними.

— Письменный экзамен проводится первымым, он отсекает определенную часть слабого подготовленных абитриентов — процентов 30—40. Затем идет устный экзамен. Следует оворориться, что оценка, полученная за письменную работу, никогда обязает не влияет на оценку за устный экзамен. Часто получивший тройку за письменную работу затем получает пятерку; бывают и наоборот, но горадское решение.

— Несолько подробнее о задачах письменной работы.
— По традиции, мы даем четые задачи, соответствующего основным разделам физики: механика, теплота, электричесво, оптика. Из них, по крайней мере, две — средней трудности, одна — чуть труднее и одна — трудная. Это приводит к сильной дифференциальии оценок.

Перед началом письменной работы экзаменующся предупреждают: начинайте решать с наиболее простых для вас задач.

— Что больше всего вы цените в ответе на устном экзамене?
— Устный экзамен состоит из коротких, направивну качественную характеристику вопросов экзаменатора. Нет возможности заслушивать пространные выступления. Большое мыщем, когда экзаменующся дают не заученный ответ, а проявляют понимание физики.

— Среди старшеклассников обычно ходят слухи, что для поступления в МФТИ школьной подготовки недостаточно. Так ли это?

— Задачи и вопросы, предлагаемые на экзаменах, не выходят за рамки школьной программы, но мы требуем более глубокой понимания, что, к сожалению, редко достигается при изучении предмета в школе. В обшем, нужно определения подготовка, а лучшая подготовка — решение задач повышенной трудности, например из физических сборников или журнала «Квант».

41

42

Можно решить проще!

Тот, кто готовится к вступительным экзаменам по математике, не раз встречался, верятно, с трудными экзаменционными задачими, решение которых требует долгих расчужdenий и длинных вычислений. И каждого, конечно, занимает вопрос: а нельзя ли для такой задачи придумать простое, разнональное и короткое решение?

Довольно часто — можно. Но допусться до такого решения не просто — нужен долгий и упорный понск. Зато каждое красивое решение трудной задачи всегда вызывает чувство удовлетворения, свидетельствует о глубоких знаниях и творческих способности абитриента. Именно поэтому при подготовке к экзаменам пытается отыскивать или, в крайнем случае, разбирать такие решения особенно полезно.

Тем более досадно, что в книгах для абитриентов иногда приводятся неоправданное громоздкие и нерациональные решения.

Возьем, к примеру, книгу Ю. В. Нестеренко, С. Н. ОLEXНИКА и М. К. Потапова «Задачи вступительных экзаменов по математике» (М., «Наука», 1980), где воспроизведены варианты по математике, предлагавшиеся в 1977—1979 гг. поступшим в Московский университет, и указываются решения части вариантов. Решения некоторых задач занимают в этой книге одну, две, даже три страниц.

Между тем, зачастую их можно решить много проще и короче.

В настоящее.state приведены восемь задачи из указанной книги с более простыми решениями.

Свойства фигур

При решении геометрических задач абитриенты часто, не особенно размышляя,zteвают длины и громоздкие вычисления, которые, впрочем, обычно и приводят к целли. Между тем, такие задачи иногда удалятся решить очень быстро, если договора с применить некутою теорему, суметь воспользоваться спецификой конфигурации, увидеть нужное дополнительное построение. В геометрины мы тем успешнее будем продвигаться вперед, чем шире будет наш «геометрический кругозор», чем лучше мы научимся видеть свойства фигур, которые можно «обыграть» в решения.

Задача 1 (МГУ, физак, 1977). Дана равноведняя трапеция, в которой вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу описанной окружности равно $\sqrt{\frac{2}{3}}$. Найти улы трапеции.

Решение. Пусть $ABCD$ — данная трапеция (рис. 1). Проведем диагональ $BD$ и высоту $BE$. Обозначим $DAB$ через $x$, $ADB$ — через $y$. Опустив перpendикуляр из центра $O$ по санной окружности (обозначим ее радиус через $R$) на $BD$ и продолжив его до пересечения с этой окружностью, можно увидеть, что $|BD|=2R \cdot \sin x$. (1)

Рис. 1.

44

Рис. 4.

Значит, $\frac{|CE|}{|EA|} = \frac{4}{5}, \frac{|CE|}{|CA|} = \frac{4}{9}$. Так как $[BK]$ — общая высота треугольников $BCE$ и $BCA$,

$$\frac{S_{\triangle BCE}}{S_{\triangle BCA}} = \frac{|CE|}{|CA|}.$$

Значит, $S_{\triangle BCE} = \frac{4}{9} S_{\triangle BCA}$. Но $S_{\triangle BCA} = S_{\triangle ADB} = \frac{1}{2} |AD| \cdot |AB| \cdot \sin DAB$.

Следовательно, $S_{\triangle BCE} = 10\sqrt{3}$.

Задача 4 (МГУ, отд. обшей геологической ф-та, 1979). Основанием параметры $SABC$ является правильный треугольник, длина стороны которого равна $\sqrt{3}$. Основанием высоты, опущенной из вершины $S$, является точка $O$, лежащая внутри треугольника $ABC$. Расстояние от точки $O$ до стороны $AC$ равно 1. Синус угла $OBA$ относится к синусу угла $OBC$ как 2:1. Площадь грани $SAB$ равна $\sqrt{\frac{5}{6}}$. Найти объем параметры.

Решение. Обозначим основания перpendикуляров, опущенных из $O$ на стороны $AB, BC, CA$ соответственно через $D, E, F$ (рис. 4). Из треугольников $OEB$ и $ODB$

$$\frac{|OE|}{|OD|} = \frac{\sin OBC}{\sin OBA}.$$

Значит, $|OE| = \frac{1}{2} |OD|$. Из равенства $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle OAB} + S_{\triangle OBC} + S_{\triangle OAC}$ следует, что $|OD| + |OE| + |OF| = h$, где $h$ — длина высоты треугольника $ABC$. (Заметим и.e. Это равенство, очевидно, верно для любого точки $O$ внутри равностороннего треугольника.) Поскольку $h = |BC| \times \sin 60^\circ = \frac{3}{2}$ и $|OF| = 1$, получаем

$$|OD| = \frac{1}{3}.$$ Знача $|AB|$ и $S_{\triangle SAB}$, находим $|SD|$. Затем из $\triangle SOD$ находим $|SO|$. Ответ. $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Помогает график

Нередко на вступительных экзаменах предлагаются уравнения- системы-неравенства, содержащие две переменные (скажем, $x$ и $a$), причем требуется найти все значения одной переменной (например, $a$), при которых вторая переменная (соответственно, $x$) или, если уголно, уравнение-используется обладает некоторым свойством. (В подобных задачах переменная $a$ обычно называется параметром.)

Почему-то многое авторы учебных пособий, в том числе авторы вышеназванной книги, свойят решение таких задач к грамодиким исследованием формулы, выражающих х через $a$, в то время как более целесообразно «геометрическое решение» — построение графика на плоскости $Oxa$ (позному этот способ называют иногда «методом Оха»). Искомое множество «считывается» с оси $Oa$, чем и заканчивается решение.

Задача 5 (МГУ, отд. политэкономии эконом. ф-та, 1977). Найти все $a$, при каждой из которых неравенство

$$3 - |x - a| > x^2$$

имеет хотя бы одно отрицательное решение.

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству

$$|x - a| < 3 - x^2.$$

и, следовательно, системе

$$-(3 - x^2) < x - a < 3 - x^2.$$

Позному задачу можно переформулировать так: найти все $a$, при каждой из которых система

$$\begin{cases} x - a < 3 - x^2 \\ x - a > -(3 - x^2) \\ x < 0 \end{cases}$$

или система

$$\begin{cases} a > x^2 + x - 3 \\ a < -x^2 + x + 3 \\ x < 0 \end{cases}$$

имеет хотя бы одно решение. Нари-