Квант 1981, №6 · Страницы

КВАНТ
6
1981

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

В центре этого рисунка показана русская народная головоломка «шестЬ брусков» в полуразобранном виде $\textcircled{2}$. В собранном виде $\textcircled{4}$ эта конструкция каждой совсем жесткой, хотя бруски не склеены, не сбиты и не привинчены друг к другу. Нелегко угадать, за какие бруски и в какую сторону нужно тянуть, чтобы ее разобрать.
Головоломка составлена из шести одинаковых брусков с квадратным сечением и двумя по-перечными врезами $\textcircled{1}$. По развертке $\textcircled{3}$ можно найти точные размеры врезов и либо склеить бруски из тонкого картона, либо изготовить их из дерева.
Другой вариант этой головоломки — с круглыми брусками — показан на первой странице обложки.

В. Гамаюнов, А. Холманских

1

6
1981

Основан в 1970 году

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ИЗДАТЕЛЬСТВО·НАУКА·
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

В НОМЕРЕ:

Учены образуют к молодежи
2 В. Амбарцумян. Во имя расцвета науки нашей Родины

---

5 В. Болтянский. Топология графов
11 Ю. Брук, А. Стасенко. Метод размерностей помещает решать задачи
20 А. Михайлов. О солнечных затмениях вообще и конкретно о затмении 31 июля 1981 года

Лаборатория «Кванта»
25 П. Канаев. Несоклько опытов с пустотельным проразным шариком

Математический кругхок
27 Н. Васильев, Т. Маликов. Рассмотрим разность

Задачик «Кванта»
31 Задачи М686 — М690; Ф698 — Ф702
33 Решения задач М641 — М644; Ф657 — Ф662
41 Список читателей, приславших правильные решения

«Квант» для младших школьников
43 Задачи
44 Г. Топадзе. В волшебном мире чисел

Практикум абитуриента
45 Н. Берюлева. Интерференция света

Вариantsы вступительных экзаменов вузы в 1980 году
50 Воронежский государственный университет
51 Азербайджанский государственный педагогический институт
52 Киевский государственный педагогический институт
53 Ленинградский государственный педагогический институт
53 Московский государственный педагогический институт
54 Одесский государственный педагогический институт
55 Волгоградский политический институт
56 Ленинградский политический институт
57 Московский архитектурный институт

Информация
59 А. Савин. Международные математические соревнования школьников
60 Шахматная страница
61 Ответы, указания, решения
Смеся (10)
Новости науки (19)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1981

2

В. Амбарцумян

Во имя расцвета науки нашей Родины

Одна из современных легенд говорит о юношее, который был начинающим исследователем в области теоретической физики. Он явился к своему руководству А, ученому, отличавшемуся огромной научной инциативной и оригинальной мысли, и получил от него тему для своего первого исследования и указания, с чего надо начать работу над предложенной темой.

Юноша сел в самолет и прилетел в город, где жил другой крупный ученый — В, который прославился глубоким умением применять в теоретической физике математической аппарат. Молодой человек описал ему существъе своей темы и направление, с которой он собирается начать ее разработку. Тема очень понравилась В, он высоко оценил ее оригинальность и правильно выбора направления perвых шагов. Более того, владеля безукоризненной технической исследования, он посоветовал, как именно лучше всего осуществить эту perвую часть работы. Перенесся все это на бумагу, юноша попетел в третий город, где жил теоретическая феноменальная эрудицией в той же области. Теоретическый был восхитен как темой, так и выполненем perвых шагов и, расскаазав об ошибках, которые делались в прежние времена других учеными, работавшими над аналогичными проблемами, дал ряд ценных советов. Юноша вернулся к А и должен о достигнутых результатах. Весьма удовлетворенный успехом настоящего юноши, А с удовлетворением dal совет, как предолеть очередные трудности и продвинутся вперед.

Предприимчивый молодой человек несколько раз повторил облегт свои консультантов. Получалась весна оригинальная, блешшая техническая исполнения и эрудицией работа, за которой ему были присужены все степени и отличия, какие только может получить физик.

Академик Виктор Амаазпович Амбарцумян — дважды Герой Социальического Труда, лауреат Государственных премии, председент Академии наук Армянской СССР, директор Бiopрасканской астрофизической общеватории.

Статья с небольшим сокращениями перепечатается из сборника «Ленин. Наука. Молодежь», выпущенного в 1980 году издательством «Наука».

3

Легенда прибавляет только одну деталь. В разговоре с каждым из консуЛЬТАТОВ молодой учены не распространялся о помощи, полученной от двух других. Из этой детали авторы легенды делали вывод, осуществший ее героя.

Полностью присоединиясь к этому моральному осуществию, я хотел бы вместе с тем отметить, что юноша по сути дела показал неокоторые качества, которые сами по себе не только не содержат ничего положого, но были бы не лишини для многих организаторов науки.

В самом деле, как было бы хорошо, если бы существовало больше людей, которые умели бы обеднять научные услуги ученых разного типа, привыхших работать изолированно друг от друга, и делали бы это не из каких-то «частнособственческих» или карьеристических интересов, а по долгу организаторов науки.

Obviously считают, что организатор науки должен выдан выбирать предмет исследования, поддержать нужные кадры, распределять среди них работу, снабжать их аппаратой и находить пути применения законченной работы в жизни. Конечно, организатор науки нужно все это уметь.

Но, верятоно, нужно, чтобы он умел и активно сопоставлять между собой мысли разных авторов, обеднять их знания и, глубоко вникая в существность их мысли, строить научные мозки, обедняяшие разнотипное творчество разных ученых.

При этом в самом работе такого организатора будет много творческих элементов.

Значит, если молодых людей с таким способностью, как у героя легенды, направить по правильному пути, то получится выиграш в организации науки.

О вышепиведенной легенде я узнал как раз перед вводом в строй нового большого телефоннапа Бiopраканской астрофизической общеватории, в момент, когда сам остро нуждался в научной консультации. После первых испытаний необходимо было начать первую серию фотографических символов неба с помощью нового инструмента. Зная, что два молодых сотрудника, не имеющие никаких ученых степени, Армен Гюльбудагян и Тигран Магакьян только что успешно закончили понски на картах известного Паломарского атласа неба очень слабых кометарных туманностей, не обнаруженных до тех пор других астроономами, я обращался к ним с просьбой отображать из числа найdenных туманностей наиболее интересные объекты для включения в программу нагораго телефону нагораго телефоннапа. И они показали мне в атласе объект, вид которого был совершен нетипчен для кометарных туманностей. Посление обещано обращают на себя внимание наличием хвоста, или «веера», упирающегося вершиной в звезду. Здесь же была только звезда, не было никакого веера, и только на значительном расстоянии от звезды обозначающей небольшой слабой светящейся «огрызок», связь которой со звездой мы показалась весом проблематичной. Разочарованный первый впечалением, я стал возражать, но, почувствовав убежданость своих сотрудников в необходимости исследования этого объекта, уступил и согласился на включение его в программу. Вicio вторую половину дня, после их ухода, я упрекал себя за мягкость и уступивость.

Через два или три дня мне приесли симок этого объекта, полученный на большом телефоннапа. Светящейся «огрызка» уже не было. За два десятилетия после симок Паломарского атласа, он исчез, но за то к звезде примыкал российный, яркий веер, которого не было равше и подробности строения которого были хорошо видны. Сама звезда также изменилась. Яроксть ее сильно увеличилась, а цвет вместе красного стол головы. Для нашей Обсерватории и для всей нашей астроνομии это было счастливым открытом, так как у нас во все большей степени интерес сосредоточивается вокруг явления изменчивости объекта и их нестзационности. Хотя изменчивость и равше наблюдалась у некоторых кометарных туманностей (за последние сто лет отменого четыре или пять

4

случаев значительной изменчивости), но примера таких сильных изменений еще не было. Из архива Обсерватории сейчас же были извлечены другие системы этой области неба и была восстановлена картина изменений на протяжении почти двадцати лет. Большое продолжение наблюдений на новом телефоне, спектральные исследования этого объекта для интерресечной результаты.

Не легенда, приведенная выше, а именно этот реальный случай, связанный с именами двух молодых астрофизиков, характерен для поведения нашей советской научной молоджи.

Размышления над изложенными выше небольшими историями дают мне повод высказать в адрес молоджи, идущей в науку, некоторые пожелания.

Прежде всего хочу пожелать ей быть смелой и готовой встретить все перемены в жизни и науке, все предстоящие трудности и неожиданности. Нужна смелость, и еще раз смелость.

В качестве второго требования я назвал бы интерес, всеоглошащий интерес и любовь к науке и основанную на этой любви преданность ей. Если не отдаваться науке целиком, то легко можно превращаться в неудачника от науки.

Но одного лишь интереса и даже любви недостаочно. Наука требует способностей. Я верю, что человек может развивать имеющиеся у него способности, но нужно, чтобы было что развивать.

Однако даже всех этих качеств, взятых вместе, недостаочно. Нужно гигантское трудолюбие. Тому, кто намерен ограничивать официальными часами работы (скажем, восем часов в день), я советовал бы не идти в науку. Иначе ему угрожает опасность стать ее прихлебателем.

Дело в том, что объем знаний, накопленный в науке, со временем быстро возрастает. Но это значит, что объем научного материала, который мы должны владеть, возрастает таким же темпами. К этому следует добавить, что перекрещивание пути изследования требует постоянного расширения кругозора и привлечения знаний из все более отдельных от твоей специализности области. Все это требует направленного труда и огромных затрат времени. Все большею важность приобретает сотрудничество между представителями разных специализации, умение работать в коллективе.

Но и этого мало. Молодой ученый должен уметь на каждом этапе пределять, в каком направлении ему следует идти, какое место в общей системе научной работы ему занять, как найти оптимальный путем использования своих возможностей и способностей. Здесь, конечно, все зависит от сложившихся в данной эпоху и в данной области науки конкретных условий. Но выбранное им решение будет тем более правильно, чем лучше при этом он учет интересы страны и ее науки.

И еще один совет: в науке важно правильно оценить свои силы. Крайне вредна их недооценка, но опаска также их чрезмерная переоценка. Тем не менее следует быть оптимистом, чтобы тебя не вывели из строя возможные и даже части в науке неудаччи. Над уметь использовать и неудачи, находя в них ценные уроки.

Итак, все время учиться, учится до последнего часа жизни, работать и работать до самоизбавения, но все же никака не забывать главного: ты работаешь для Родины, для ее расцвета, для ее науки.

5

В. Болтянский

Топология графов

Известный французский математик Андре Вейль сказал как-то, что за душу каждого математика борются «дьявол абстрактной алгебры и ангел топологии». В этой статье, посвященной графам, мы будем прислушиваться в первую очередь к голосу ангела топологии, хотя легкий на помощь дьявол тоже скажет свое веское слово.

Граф (конечный) — это множество точек (вершин графа), соединенных — на плоскости или в пространстве — конечным числом дуг (ребер графа), причем дуги пересекаются только в вершинах*) (рис. 1).

В большей части статьи для нас будет важно, что граф — это некотора фигура (множество всех точек дуг); выделенные точки этой фигуры —

*) В общей теории графов принято несколько иное — «абстрактное» — определение графа (ср. «Квант», 1981, № 3, с. 18).

вершины — мы будем часто игнорировать.

Какие графы одинаковы?

Ангел топологии считает одинаковыми геометрические графы — такие графы $G_1$ и $G_2$, для которых существует непрерывное (без разрывов) и обратное (без скливиный) отображение $h$: $G_1 \rightarrow G_2$ множество $G_1$ на все множество $G_2$ (такое отображение называется геометрическим*)).

*) При определении геометризма произвольных фигуры требуется еще непрерывность обратного отображения $h^{-1}$ (для конечных графов она выполняется автоматически, что нам шпенул на уход без доказательства ангел топологии).

6

Из этого определения следует, что два графа геометрины, в частности, если, как угодно изгибая и растявая ребра, но не допуская разрывов и скливианный, можно один из них наложить на другой. На рисунке 2, $a$ показано, как можно окружность превращать в восчмерку; однако это не означает, что окружность и восчмерка геометрины (ведь при этом превращении произшло скливиание двух точек). Okружность можно превращать и в полупервал, но для этого ее нужно разровать и лишь потом распрямить. Поскольку разрывы не разрешены, такое превращение не будет геометризмом; к тому же, полупервал не является графом. А вот контур треугольника и контур квадрата геометрины, и оба они геометрины окружности, что показано на рисунке 2, $6$.

Заметим, что не всегда удается, как в этом примере, реализовать геометриное отображение $h$: $G_1 \rightarrow G_2$ изгибанием, растяжением и скатнем графов в самом пространстве. Так, пара зацепленных окружностей (рис. 3) геометрина пале незацепленных, хотя в пространстве расцепить их, не разрывая, неозможно.

Как показывает пример с треугольником и квадратом, при геометриме вершина не обязана перейти в вершину. К этому мы еще вернемся.

Пример 1. Будем представлять себе буквы русского алфавита в виде линей. Буквы Г, Л, М, П, С геометрины между собой. Буквы Е, У, Т, Ч, Ш, Ц, Э также геометрины между собой, но не геометрины указанным ранее буквам. Буква О не геометрина

никакой другой букве русского алфавита *).

Поччительно сравнить понятие геометризации и понятие конструкности фигур. В геометрии рассматривают перемещения, то есть отображения, сохраняющие расстояния между точками. Две фигуры, которые переводятся одна в другую («совмещаются») с помощью перемещения называются конгрузными и рассматривают как одинаковые (с геометрической точки зрения). В топологи рассматривают отображения более общие, чем перемещения, а именно геометриные отображения, которые могут не сохранять расстояния, а сохраняют лишь неперерывность расположения точек в фигурах (не допускают разрывов и скливианий). Поэтому две геометриные между собой фигуры рассматривают (с топологической точки зрения) как одинаковые.

Простейшие инварианты

Свойства фигур, которые сохраняются при переходе от фигуры к геометриной ей фигуре, называются тополoeческими свойствами фигур, или тополoeческими инвариантами (от латинского слова invariant — неизменный). Изучением тополoeческих свойства фигур и занимается топология.

Чаще всего применяют такие тополoeческие инварианты, которые являются числами (или других алгебраических объеками), так как

7

с таким инвариантами удобно обращаться. Используются они в основном для решения на первый взгляд безнадежной задачи: доказать, что две фигуры $A$ и $B$ не геометорфны.

Дейстительно, доказывая, что нечто можно простить (у нас — геометорфизм $h: A \rightarrow B$), достаточно придумать один вариант этого построения. А как доказать, что нечто не льзя построить? Для этого нужно перебрать всевозможны е варианты построения (у нас — отображений $h: A \rightarrow B$) и проверить, что ни один вариант не годится (не является геометорфизмом). Но общую отображений $h: A \rightarrow B$ бесконечно много, всех не проверить. Как бы?

Здесь и помогают числовые инварианты. Пусть каждой фигуре $A$ рассматриваемого класса приписывается число $q(A)$, причем геометорфным фигурам приписываются одно и то же число. Пусть фигуры $A$ и $B$ таковы, что $q(A) \neq q(B)$. тогда они не могут быть геометорфными, нельзя построить геометорфизм $h: A \rightarrow B$!

Удивительная простота этого рассужждения скрывает его глубину и важность. Создается печатание, что нас обманул, спрятав неизвестно куда трудность задачи. Это не удивительно: появились инварианты — числа, за которых скрывается дьявол абстрактной алгебры, большой хитрец и мистификатор.

Пример 2. Буква $B$ представляет собой фигуру, состоящую из двух не связанных между собой частей. Большинство остальных букв русского алфавита состоит из одного связного куска (исключение состав-ляют буквы $I$, $E$). Число связывах «кусков», из которых состоит фигура (говорят также: число компонент фигуры), является топологическим инвариантом. Поэтому буква $B$ не геометоморфна, например, букве $O$, букве $П$, букве $Ц$ и т. д.

Пример 3. На восеммерке (рис. 4, $a$) имеется такая точка $x$, что после ее удаления (рис. 4, $b$) мы получаем не связную фигуру (содержащую большее одной компоненты). Точку, обладающего этим свойством, называют разбиающей точки фигуры. Никакая отличная от $x$ точка восеммерки не является разбиающей (рис. 4, $b$).

Если точка $x$ фигуры $A$ является разбиающей, она остается такой при любом геометорфизме фигуры $A$, аналогично — для неразбиающей точки. Поэтому число разбиающих точки данной фигуры есть ее топологический инвариант, число неразбиающих точки — также топологический инвариант.

Задачи

1. Для каждой из букв русского алфавита указываете, сколько разбиающих и неразбиающих точки она содержит. Докажите, что буквы $O$, $Г$, $T$, $B$ попарно не геометорфны.

2. Докажите, что для любой натурального $n$ существует фигура, содержащая равное $n$ разбиающих точки, а также фигура, содержащая равное $n$ неразбиающих точки.

Пример 4. Пусть $A$ — граф и $x$ — его вершина. Число ребер графа $A$, сходящих в $x$, называется индексом вершины $x$ в графе $A$ (при этом netля — ребро с началом и концом в одной и той же вершине $x$ — считается за два ребра, либо она входит в $x$ двумя своими концами). На рисунке 5 вершины $a, b, c, d$ имеют индексы 1, 2, 3, 4 соответственно. Число вершин индекса $n \neq 2$, содержащих в графе, — топологический инвариант. Почему приходится исключать вершины индекса 2?

Задачи

3. Докажите, что буквы $IO$ и $Ф$ не геометорфны. Указан ие. Воспользовитесь тем, что число вершин индекса $k (k \neq 2)$ является инвариантом.

4. Сформируйте необходимое и достаточно условное, при выполнении которого фигура, составленная из конечного числа дуг, геометорфна окружности.

5. Пусть $G$ — граф. Через $a_k(G)$ обозначаем число вершин этого графа, имеющих индексы $k$. Докажите, что число ребер графа $G$

8

правно

$$\frac{1}{2} (a_1(G) + 2a_2(G) + 3a_3(G) + \dots).$$

6. Докажите, что во всяком графе число вершин, имеющих нечетный индекс, четно.

Кёнигсбергские места

Граф называется уникурсальным (или эйлеровым), если его можно «нарисовать одним росчерком», то есть обойти его весь непрерывным движением, не проходя одно и то же ребро дважды. Свойство графа быть уникурсальным является, очевидно, топологическим инвариантом. Оdnako этот топологический инвариант не является новым, а выражается через понятие индекса вершины (см. задачу 9).

Задачи

7. Докажите, что если каждая вершина графа имеет индекс, не менящий двух, то из ребер этого графа можно составить линию, гомеomorphную окружности.

8. Докажите, что если все вершины связного графа имеет чётный индекс, то этот граф можно «нарисовать одним росчерком», начав движение из произвольной вершины и возвраться в ту же вершину.

9. Докажите, что связный граф тогда и только тогда уникурсален, когда он содержит не больше двух вершин нечетного индекса.

С уникурсальными графами связана задача о кёнигсбергских местах, рассмотренная еще Эйлером. В то время в Кёнигсберге было семь мест через реку Прегель (рис. 6, a). Задача состоит в том, чтобы выяснить, можно ли, прогуливаясь по городу, пройти через каждый мест точно по одному разу. Сопоставим с планом города неокоторый граф: вершина Л обозначает левый берег, Π — правый берег, А и Б — острова, а ребра графа соответствуют местам (рис. 6, б). В этом графе все четыре вершины имеют нечетный индекс. Следовательно, граф не уникурсален, и потому требуемого маршрута не существует.

Задачи

10. Докажите, что, добавив еще один мест (где уголно на плане рисуна 6, a), мы получим схему города, по которой можно пройти через каждый местровно по одному разу.

11. Полным графом называется граф без петель, у которого любые две вершины соединеныровно одним ребром. В каком случае полный граф уникурсален?

Как построить связный граф

Всякий граф можно «построить», добавляя одно ребро за другим (разумеется, при этом нужно будет отмечать и вершины графа). Нумерация ребер графа на рисунке 7 выбрана так, что при вычерчивании графа в соответствии с этой нумерацией все время получаются связные графы. Если бы, однako, мы занумеровали ребра в обратном порядке, то при вычерчивании у нас сначала получался бы не с вя з ный граф. Оказывается, во всяком связном графе существует такая нумерация ребер, что при вычерчивании графа в соответствии с этой нумерацией все время получается связные графы. Это утверждение можно назвать «теоремой о вычерчивании связных графов».

Задачи

12. Докажите, что любой связный граф можно «нарисовать одним росчерком», если разрешить проходить каждое реброровно до a раза.

13. Выведите из утверждения предыдущей задачи теорему о вычерчивании связных графов.

9

14. Докажите, что любые две вершины связного графа $G$ можно соединить в $G$ простой цепочка ребер — такой цепочка, что объединение ребер этой цепочки представляется собой линию, гомеomorphную отрезку.

Сколько деревьев в лесу?
Контуром в графе называется замкнутая цепочка ребер, объединение которых представляется собой линию, гомеomorphную отрезку (рис. 8). Связный граф, не содержащий ни одного контура, называется деревом (рис. 9). Докажем, что в любом дереве число вершин и число ребер $P$ связаны соотношение

$$B - P = 1.$$ (1)

Для доказательства проведем индукцию по числу ребер $P$. При $P = 1$ (дерево состоит только из одного ребра и имеет две вершины) соотношение (1) справедливо. Предположим, что для любого дерева, имеющего $n$ ребер, соотношение (1) уже доказано, и пусть $G$ — дерево, имеющее $n + 1$ ребер. Так как граф $G$ — связный, его можно получить из некоторого связного графа $G'$ добавлением одного ребра $r$. Граф $G'$ содержит $n$ ребер и тоже является деревом (почему?). По предположению индукции соотношение (1) для графа $G'$ справедливо, и потому в нем имеется $n + 1$ вершин. Заметим теперь, что только один добавляемого ребра $r$ является вершиной графа $G'$ (инчете, в силу задачи 14, при добавлении ребра $r$ в графе $G$ появился бы контур — см. рис. 10). Следовательно, при добавлении ребра $r$ в графе $G$ появляется одно новое ребро и одна новая вершина. Иначе говоря, в графе $G$ имеется $n + 2$ вершин и $n + 1$ ребер, и потому соотношение (1) для него справедливо. Проведенная индукция доказывает равенство (1) для любого дерева.

Разность $B - P$ называется эйлеровой характеристикой графа $G$ и обозначается через $\chi(G)$. Таким образом, равенство (1) означает, что эйлерова характеристика любого дерева равна 1.

Задание

15. Граф, не содержащий контуров, называется лесом. Ясно, что если граф $G$ представляется собой лес, то каждая его компонента является деревом. Докажите, что если $G$ — лес, то число деревьев, которые «растут» в лесу (то есть число компонент графа $G$), равно $\chi(G)$.

16. Докажите, что если граф $G$ является деревом, то каждые две его вершины могут быть соединены только одной простой цепкой. Верно ли обратное?

Максимальное дерево и системы токов

Пусть теперь $G$ — связный граф, не являющийся деревом. Тогда в $G$ имеется контур; пусть $r_1$ — какое-либо ребро, входящие в этот контур (рис. 11, а). Удалив из $G$ ребро $r_1$, мы получим связный граф $G'$ (поскольку концы выброшенного

10

ребра $r$ соединены в $G'$ простой цепочкой — оставшейся часть контура), причем вершины у графа $G'$ — те же, что и у $G$. Если $G'$ еще не является деревом, то есть в $G'$ также имеет контур (рис. 11 б), то мы можем взять произвольное ребро $r_2$ этого контура и, выбросив его, получить с вязый граф $G''$ с тем и же вершинами, что и у $G$, и т. д. Так как число ребер конечно, этот процесс должен на каком-то шаге оставиться; иначе говоря, после выбрасывания какого-то ребра $r_k$ мы получим связный граф $G^*$, содержащий все вершины графа $G$ и уже не имеющий контур, то есть являющийся деревом. Граф $G^*$ называется максимальным деревом графа $G$, а ребра $r_1, r_2, ..., r_k$, которые пришлось выбросить из $G$, чтобы получить максимальное дерево $G^*$, называются перемыками.

Если $B$ — число вершин графа $G$, то максимальное дерево $G^*$ тоже имеет $B$ вершин. Согласно (1), граф $G^*$ имеет $B-1$ ребер, и потому число ребер графа $G$ равно $B-1+k$ (что бы из $G^*$ получить $G$, надо «возвращать» $k$ выбросенных ребер-перемычек). Следовательно,

$$\chi(G) = B - (B-1+k) = 1-k. \quad (2)$$

Так как $k \ge 1$, получаем $\chi(G) \leq 0$. Таким образом, учитывая (1), мы видим, что для любого связного графа $G$ справедливо соотношение

$$\chi(G) \leq 1,$$

причем равенство достигается в том и только в том случае, когда $G$ — дерево.

Далее, согласно (2), число перемычек равно

$$k = 1 - \chi(G).$$

В чём дело?

Согласно «основному свойству первообразной» («Алгебра и начала анализа 9—10», п. 57), если произвольные двух функций совпадают, то эти функции должны отличаться на константу. Произвольные функции:

$$a) y_1 = \frac{1}{1-x^2}$$

$$n) y_2 = \frac{x^2}{1-x^2},$$

заданчи

17. Докажите, что если граф $G$ содержит $l$ компонент, то $\chi(G) \leq l$. В каком случае достигается равенство?

18*. Будем говорить, что в графе $G$ задана система токов, если каждому ребру приписано направление (указываемое стрелкой) и некоторое неотрицательное и село (tok), причем выполяется правлою Кирхофа: для каждой вершины сумма входящих в нее токов равна сумме исходящих. Докажите, что если граф является деревом, то в нем существует только тривалная система токов (все токи равны нулю).

19. Пусть $G$ — связный граф, $G^*$ — его максимальное дерево, а $r_1, r_2, ..., r_k$ — перемычки (то есть ребра графа $G$, не содержащие в $G^*$). Докажите, что если произвольно задается токи на ребрах $r_1, r_2, ..., r_k$, то их можно однозначно дополить токами на остальных ребрах так, чтобы получилась система токов в $G$.

Указание. Для каждой перемычки $r_i$ существует единицу контур, содержащей ее и не содержащий других перемычок. Если пустить по этому контуру ток такой величины и направления, как указано на перемычке $r_i$, а затем взять сумму всех этих «kontурных токов», то мы и получим требуемую систему токов на графе $G$. Если бы существовали две различные системы токов, совпадующие на перемычках, то их разность была бы нетривиальной системой токов на дереве $G^*$.

Итак, экскурсия по теории графов, проведенная под крылом англела топологии, оказывается полезной для решения математических и даже физических задач. Мы надемемся, что она была приятной и вы захотите ее продолжить. В следующем номере журнала мы оставимся на более глубоких вопросах топологии графов. Но для их изучения нам придется более внимательно прислушаться к «дьяводу абстрактной алгебры».

В чем дело?

Согласно «основному свойству первообразной» («Алгебра и начала анализа 9—10», п. 57), если произвольные двух функций совпа��ают, то эти функции должны отличаться на константу. Произвольные функции:

$$a) y_1 = \frac{1}{1-x^2}$$

$$n) y_2 = \frac{x^2}{1-x^2},$$

заданчи

17. Докажите, что если граф $G$ содержит $l$ компонент, то $\chi(G) \leq l$. В каком случае достигается равенство?

18*. Будем говорить, что в графе $G$ задана система токов, если каждому ребру приписано направление (указываемое стрелкой) и некоторое неотрицательное и село (tok), причем выполяется правлою Кирхофа: для каждой вершины сумма входящих в нее токов равна сумме исходящих. Докажите, что если граф является деревом, то в нем существует только тривалная система токов (все токи равны нулю).

19. Пусть $G$ — связный граф, $G^*$ — его максимальное дерево, а $r_1, r_2, ..., r_k$ — перемычки (то есть ребра графа $G$, не содержащие в $G^*$). Докажите, что если произвольно задается токи на ребрах $r_1, r_2, ..., r_k$, то их можно однозначно дополить токами на остальных ребрах так, чтобы получилась система токов в $G$.

Указание. Для каждой перемычки $r_i$ существует единицу контур, содержащая ее и не содержащий других перемычок. Если пустить по этому контуру ток такой величины и направления, как указано на перемычке $r_i$, а затем взять сумму этих «kontурных токов», то мы и получим требуемую систему токов на графе $G$. Если бы所述ная система токов, совпадшие на перемычках, то их разность была бы нетривиальной системы токов на дереве $G^*$.

Итак, экскурсия по теории графов, проведенная под крылом англела топологии, оказывается полезной для решения математических и даже физических задач. Мы надемемся, что она была приятной и вы захотите ее продолжить. В следующем номере журнала мы оставимся на более глубоких вопросах топологии графов. Но для их изучения нам придется более внимательно прислушаться к «дьяводу абстрактной алгебры».

Н. Алексаандров,
П. Смирнов

11

Ю. Брук, А. Стасенко

Метод размерностей помещает решать задачи

В физике… нет места для пустых мысли… Действительно понятие природу того или иного явления должна получить основные законы из сообщений размерности.

Э. Ферми

Введение. Основные идеи

Едва ли не каждое выступление на научных семинарах или конференции, где обсуждаются новые теоретические или экспериментальные работы, начинается с качественного описания и оценки того эфекта, о котором хочет расссказать выступающий. Далее в очень подробном докладе, лекции или статьи нет возможности расссказать об всех экспериментальных деталях или всех теоретических хитростях, которые были существены для выполнения самой работы, для решения той или иной задачи. Но есть вопросы, о которых нужно сказать всегда, не доказываясь вопросов служатей или читателей.

К таким вопросам всегда и прежде всего относятся оценка порядка величины ожидаемого эфекта, простые предельные случаи и характер функциональной связи определения явления величины. Все эти вопросы тесно связаны друг с другом, анализ их и есть по существу-то, что мы называем качественным описанием физической ситуации.

Одним из наиболее эффективных методов такого анализа является метод размерностей. Мы рассмотрим в этой статье его основы. Не будет преувеличением сказать, что метод размерностей обладает «максимальным КПД», экономя горы бумаги теоретическам, деньги и время экспериментаторам. Быстрая оценка масштабов исследуемых явлений,

12

построение прициппальной схемы экперимента, получение качественных и функциональных зависимостей, восстановление забыты формул на экзаменах — таковые лишь некоторые достоинства и приложения метода размерностей.

Аналіз размерностей применяется в физике еще со времен Ньютона. Именно Ньютон формулировал тесно связанный с методом размерностей приципп подобия, который мы и проиллюстрируем сейчас на совсем простом и хорошо понятном примере.

Представим себе, что тело с массой $m$ перемещается прямолиной под действием постоянной силы $F$. Если начальная скорость тела равна нулю, а скорость в конце проилденного отрезка длиной $s$ равна $v$, то мы можем написать равенство, выраженное законом сохранения энергии: $mv^2/2 = Fs$. Между величины $v$, $F$, $m$ и $s$ существует. Очень часто (но, конечно, не всегда!) функциональная зависимость физических величины имеет степенной характеристик. Допустим, что и в нашем примере это так. Можно сказать это же другими словами: мы считаем, что формула, определяющая скорость $v$ как функцию $F$, $m$ и $s$, имеет степенной вид $v \sim F^x m^y s^z$.

Здесть $x$, $y$ и $z$ — неокотые числа, которые нам представит еще определенить. Знак ~ означает, что левая часть формулы пропорциональна правой, то есть $v = kF^x m^y s^z$, где $k$ — числовой коэффициент. Поскольку $k$ — величина безразмерная, определять этот коэффициент с помощью метода размерностей, естественно, нельзя.

Левая и правая части соответствия (*) должны, конечно, изменяться одними и теми же единицами, то есть имеет одинаковые размерности. Будем изменять $v$ в «м/c», $F$ — в «H», $m$ — в «кг» и $s$ — в «м».

Иными словами, размерности величины $v$, $F$, $m$ и $s$ выберем таким: $[v] = m/c = m \cdot c^{-1}$, $[F] = H = k \cdot m \cdot c^{-2}$, $[r] = k \Gamma$, $[s] = m$. (Символ [A] обозначает размерность величины $A$.) Запишем условия того, что размерности левой и правой части соответствия (*) одинаковы:

$$m \cdot c^{-1} = k \Gamma^x \cdot m^x \cdot c^{-2x} \cdot k \Gamma^y \cdot m^z = k \Gamma^{x+y} \cdot m^{x+z} \cdot c^{-2x}.$$

Заметьте, что сейчас мы написали уже равенство. В левой части вообще нет килogramмов, поэтому и справа их быть не должно. Это значит, что

$$x + y = 0.$$

Справа метры входят в степени $x + z$, а следва — в степени 1, поэтому $x + z = 1$.

Аналогично, из сравнения показателей степени при секундах следует $-2x = -1$.

Полученные нами уравнения дают возможность найти числа $x$, $y$ и $z$:

$$x = 1/2, \quad y = -1/2, \quad z = 1/2.$$

Теперь нам осталось записать окончательную формулу

$$v \sim \left( \frac{F}{m} \right)^{1/2} s^{1/2}.$$

Возведя в квадрат левую и правую части этого соответствия, мы найдем, что $v^2 \sim \frac{F}{m} s$, или $mv^2 \sim Fs$. В последней формуле читатель без труда узнет законом сохранения энергии, правда, без числового коэффициента.

Приципп подобия, формулированный Ньютоном, заключается в том, что отношение $v^2/s$ прямо пропорционально отношению $F/m$. Возьмем, например, два тела с разными массами $m_1$ и $m_2$; будем действовать на них разными силами $F_1$ и $F_2$, но таким, что отношения $F_1/m_1$ и $F_2/m_2$ будут одинаковыми. Под действием этих сил тела начинает двигаться. Если начальные скорости тел работы нулю, то скорости, прибретаемые телами на отрезке пути длины $s$, будут равны. Мы пришли к закону подобия с помощью иравенства размерностей правой и левой части формулы, описывающей степенную связь значения

13

ния конечной скорости со значениями силы, массы и длины пути.

Нелише упомянуть здесь о том, что, хотя метод размерностей был по существу введен уже при построении основ классической механики, его эффективное применение для решения физических задач наcalось в конце прошло — в начале нашего века. Большая заслуга в пропаганде этого метода и решения с его помощью ряда интересных и важных задач приадлежит выданнойему физнику Джону Вильяму Стрэтту (лорду Рэлею). В 1915 году Рэлей писал: «Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется велику прицилиу подобия даже со стороны весма крупных ученых. Нередко случайется, что результаты кроотливых исследований преподносятся как вновь открыты «законы», которые, тем не менее, можно было получить аппирно в течение нескольких минут».

В нашей физике уже нельзя упрекнуть в пребрежнительном отношении или недостаточном внимании к прицилиу подобия и к методу размерностей. Мы разберем ниже две классические задачи, часто называемые задачи Рэлея. Задач, рассмотренных Рэлеем, в том числе и с помощью сообщения размерности, конечно, намного больше, но те, о которых мы расскажем, довольно типичны. На этих и других примерах мы и познакомимся подробнее с тем, когда и как можно использовать для решения задач метод размерностей.

Задча Рэлея о колебанях шарика наструне

Пусть между точками A и B натянута struya. Сила натяжения struны F. На середине этой struны в точке C находится тяжелый шарик. Длина отрезка AC(и соответствующего CB) равна l. Масса M шарика намного больше массы самой struны. Струну оттягают и отпускают. Довольно ясно, что шарик будет совершать колебания. Если амплитуда этих колебаний много меньше длины struны, то процесс будет гармоничским.

Рэлей показал, как найти зависимость частоты этих колебанийω от натяжения struны F, массы шарика M и размер l. Мы воспроизведем сейчас его рассужждение.

Предположим, что величины ω, F, M и l связаны степенной зависимостью:

$$\omega \sim F^x M^y l^z.$$ (**)

Показатели степени x, y и z — числа, которые нам нужно определить. Как и в задаче, рассмотренной выше, выпишем размерности интересующих нас величины в какой-либо системе единиц, например, в системе СИ:

$$[\omega] = c^{-1}, [F] = H = \kappa \Gamma \cdot M \cdot c^{-2}, [M] = \kappa \Gamma, [l] = m.$$

Если формула (**) выражаетrealную физическую закономерность, то размерности правой и левой части этой формулы обязаны совпадать, то есть должны выполнять равенство

$$c^{-1} = \kappa \Gamma^x \cdot M^x \cdot c^{-2x} \cdot \kappa \Gamma^y \cdot M^z = \kappa \Gamma^{x+y} \cdot M^{x+z} \cdot c^{-2x}.$$

В левую часть этого равенства вообще не входят метры и килограммы, а секунды входят в степени —1. Это означает, что должны удовлетворять следующие условия для чисел x, y и z:

$$x + y = 0, x + z = 0, -2x = -1.$$

Решая эту систему, находим:

$$x = 1/2, y = -1/2, z = -1/2.$$

Следовательно,

$$\omega \sim F^{1/2} M^{-1/2} l^{-1/2}.$$

Мы уже говорили раньше о том, что из-за незначения числового коэффициента знак равенства нам приходится заменять символом пропорциональности. Интересно отмечить,

14

однако, что точная формула для частоты отличается от найденной нами всего в $\sqrt{2}$ раз ($\omega^2 = 2F/Ml$). Другими словами, мы можем в данном случае считать, что оценку для $\omega$ мы получили не только качественно (в смысле характера зависимости от величины $F$, $M$ и $l$), но и количественно. По порядку величины найденная степенная комбинация $F$, $M$ и $l$ дает правильное значение частоты. Нас и в дальнейшем будут интересовать оценки по порядку величины. В простых задачах довольно часто коэффициенты, неопределяемые методом размерностей, можно считать числа порядка единицы. Следует иметь в виду, конечно, что это не есть строгое правило. Окончательный вывод о значении числового коэффициента можно сделать только из каких-то дополнительных сообщений. (Заметьте, кстати, что в примере, рассмотренном во «Введении», числовой коэффициент в формуле, определяющей скорость $v$ как функцию силы, массы и длины пути, — также число порядка единицы.)

Само собой разумеется, решая задачу о количестве струны, мы могли бы с самого начала ввести вместе частоты $\omega$ однозначно связанный с ней период колебаний $T = 2\pi/\omega$ и искать степенную зависимость именно периода $T$ от натяжения струны $F$, массы $M$ и размер $l$. Множитель $2\pi$ здесь вовсе «не портит» (но и не «уличшает»!) формулы, полученной из сообщения размерностей, — ведь мы все равно не можем написать числовой коэффициент без точного решения уравнения колебаний.

Любопытно, что в другом, совсем простом и хорошо всем известном примере — о количестве математического матрика — для частоты колебаний уже из сообщений размерности мы получили бы точную формулу $\omega^2 = g/l$. Неопределяемый метод размерностей числовой коэффициент равен в этом случае единице. Если мы с самого начала отыскивали бы связь периода колебаний математического матрика с его длиной $l$ иускorenем свободного падения $g$, то мы пришли бы к формуле $T \sim \sqrt{l/g}$, которая отличается от точной на множитель $2\pi$. Но и из этого примера вовсе не следует, что при использовании метода размерностей частота колебаний имеет какое-то присутствие перiodом; произхождение множителя $2\pi$ связано лишь с определением $\omega = 2\pi/T$.

Вернемся к рассмотрению задаче Рэлея и еще раз формулируем предположения, которые позволили решить ее метод размерностей.

Во-первых, мы предположили, что действительное существует связи между величины $\omega$, $F$, $M$ и $l$. Во-вторых, мы считали, что формула, выражающая эту связь, имеет степенной вид: $\omega \sim F^x M^y l^z$.

Метод размерностей помогает находить функцию значимости между разными физическими величинами, но только для тех ситуаций, когда эти значимости степени. К счастью, таких значимости в природае довольно много, и метод размерностей должен стать нашим хорошим помощью.

Правило $N—K=1$

Понятие размерности физической величины вводится тогда, когда уже выбраны некоторые основные физические величины и установлены единицы для их измерения. В механике традиционными основными величинами мы считаем массу, длину и время. В системе СИ эти величины измеряются соответствственно в килогramмах, метрах и секундах, в системе СГС — в граммах, сантиметрах и секундах.

Напомним, что основными единицами измерения в каждой системе (основными размерностями) называются измерения (размерности) основных величини. Единиц измерения всех прочих, не основных величини выражаются через основные единицы измерения. Например, в системе СИ единица измерения силы «Ньютон» — это $\text{kg} \cdot \text{m/c}^2$, единица измерения энергии «Джоулы» — $\text{kg} \cdot \text{m}^2/c^2$; в системе СГС это соответствственно «дина» — $\text{г} \cdot \text{cm/c}^2$ и «эргг» — $\text{г} \cdot \text{cm}^2/c^2$. Такие единицы называют произвольными.

Если мы рассматриваем задачи, в которых физируют немеханические величины (например, электрический заряд, температура и т. д.), можно увеличить число основных величини. В системе СИ в числе основных величини включают силу тока (измеряют ее в «Амперах»), температур (единица измерения — «Кельвин») и т. д.

В общем случае основных величини и единиц для их измерения может произвольиться разными способами. Здесь многое зависит от удобства, традиций и существующих стандартов и соглашений. Для нас очень важно отметить, что пользоваться методом размерностей можно в любой системе единиц. Каждый раз, конечно, выражения для размерностей величины нужно писать в одной и той же заранее выбранной системе.

Представим себе, что в какой-то задаче нам надо отыскать функцию значимости между $N$ величинами. Предполагая, что эта значимость имеет степенной характеристику, мы можем пытаемся решить задачу методом размерностей. Если размерности всех $N$ величини выражаются через размерности $K$ основных величини и если этом $N—K=1$, то существует единственная формула, заданная степенную зависимость между $N$ величинами,

15

и эта формула может быть найдена методом размерностей.

Убедиться в этом нетрудно. Общий вид исходной формулы мы записьиваем так: в левой части стоит одна из величины в степении 1, а в правой части — произведение степенной остальных $N-1$ величины. Показатели степени пока неизвестны. Всего неизвестных показателей тоже $N-1$. Для определения этих показателей нам нужно $N-1$ уравнения. Каждое из уравнений мы получаем, сравнивая показатели степени, стоящие слева и справа при одной из основных размерностей. Если в нашей задаче встречаетсяровно $N-1$ основных размерностей, мы получимровно столько уравнений, сколько уравнений, сколько нам требуется. Уравнения эти линейные, а существование и единственность решения системы таких уравнений гарантирует нам существование и единственность исходной степенной формулы. Это правило хорошо иллюстрирует разобрание выше примеры. Записьая формулы $v \sim F^x m^y s^z$ или $\omega \sim F^x M^y l^z$, мы каждый раз именяем $N=4$ величины, число неизвестных показателей $N-1=3$ совпадало с числом основных размерностей $K=3$ (кг, м, с). Системы трех линейных уравнений для трех неизвестных именя единственные решения, окончательные формулы для $v$ и $\omega$ также были единственно возможными. Таким образом, для четырех функционирования связи величины всегда может построить только одну формулу, если число основных размерностей, встречающихся в задаче, равно трех.

Задча Рэлея о колебанях сферической капельки

Пусть из круглого отверстия вытекает капля. Довольно естественно считать, что в равновесии капля должна иметь сферическую форму — поверхностная энергия при этом минимальная, а всякая система стремится попасть в состояние с минимальной энергией. Далее очень маленьые деформации капли приведут к тому, что силы поверхностного натяжения «заставят» ее пульсировать — форма капли будет периоди-

Рис. 2.

чески изменяться. Мы предполагаем, что колебания продолжают достаточно долго и затухание их мало. Нас интересует вопрос о частоте (или периоде) процесса. Эта частота может зависит, оченьindo, от величины поверхности натяжения жидкости $\sigma$, плотности жидкости $\rho$ и радиуса капли $r^*$. Будем искать эту зависимость в виде

$$\omega \sim \sigma^x \rho^y r^z.$$

Выпишем размерности всех величины в системе СИ:

$$[\omega] = c^{-1}, [\sigma] = H \cdot M^{-1} = \kappa \Gamma \cdot M \cdot c^{-2} \cdot M^{-1} = \kappa \Gamma \cdot c^{-2},$$

$$[\varrho] = \kappa \Gamma \cdot M^{-3}, [r] = M.$$

Число величины, связь между которых мы отыскиваем, снова на единицу больше числа основных размерностей. Правило $N-K=1$ говорит нам, что формула для частоты должна получить единственную. Уравнение для определения $x, y$ и $z$ получается из соответствия:

$$c^{-1} = \kappa \Gamma^x \cdot c^{-2x} \cdot \kappa \Gamma^y \cdot M^{-3y} \cdot M^z = \kappa \Gamma^x + y \cdot c^{-2x} \cdot M^{-3y + z}.$$

Для трех неизвестных чисел есть три уравнения:

$$-2x = -1, x + y = 0, -3y + z = 0.$$

Эта система имеет единственное решение

$$x = 1/2, y = -1/2, z = -3/2.$$

Okончательно интересующая нас формула для частоты колебаний записывается так:

$$\omega \sim \sqrt{\frac{\sigma}{q r^3}}.$$

Эта формула подсказывает и возможность способ экпериментального определения величины $\sigma$. Для этого нужно знать плотность жидкости $\rho$, радиус капли $r$ и определить на опите частоту $\omega$. То, что мы не знаем числового коэффициента в этой формуле, не должно быть сервисным прействением. Мы можем определить его, например, продолжать опить с жидкостью, для которого вели-

*) Возможно, в этом месте у вас возникло вопрос: почему не предположить, что частота может зависеть еще и от силы тяжестей, действующей на каплю? Вопрос этот очень естественный, и мы обязательно обсуждим его. Но немного позже.

16

чина поверхностного натяжения известна.

По существу мы стalkиваемся сейчас с простым случаем моделирования — колебания капли исследуемой жидкости можно промоделировать колебаниями капли жидкости с известными σ и q. Можно говорить здесь и о подобни колебаний формулы капли в двух разных жидкости.

Можно проинтегрировать формулу для частоты колебаний ω и по-другому. Перепишем ее так: $(\sigma/\rho) \sim r^3 \omega^2$.

Считая σ и q параметрами, характеризующими жидкость и потому одинаковыми для капель этой жидкости, имеющих разные размеры, мы приходим к заключению, что периоды $T_1 = 2\pi/\omega_1$ и $T_2 = 2\pi/\omega_2$ колебаний двух капель одной и той же жидкости и радиусы $r_1$ и $r_2$ этих капель связываны соответствием

$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$$

— квадраты периодов колебаний двух капель относится как кубы их размеров! Не напоминает ли это вам один из законов Кеплера? Аналогия, пожалуйста, далека, но в обихх случае речь идет о периодических процесах!

Сделаем еще одно замечание. Уже при выписывании набора величины, связь между которых мы хотим отыскать, нужно отдавать себе отчет в том, что существенно и что несущественно для конкретного физического явления. Если речь идет о диамике (например, о колебаниях), то в задаче должны появиться силовая и массовая характеристики. Роль первой из них в задаче о колебаниях капли играла величина σ, роль второй — плотность жидкости q. По существу мы считали, что колебания определяются только поверхностным натяжением. Полученное нами решение, безусловно, годится, если капля колебляется в кабине космического корабля. А годится ли оно вблизи Земли? Не должны ли мы учеть еще и силу тяжесты, действующую на каплю?

Будем рассуждать так. Сила тяжесты $F_T \sim \rho r^3 g$, а силы поверхностного натяжения $F_{n,h} \sim \sigma r$. Ясно, что при достаточно малых $r$ силы поверхностного натяжения больше силы тяжесты. Опускающие множители, запишем неравенство, выражающее условие, при котором можно пребежать силой тяжесты: $\sigma r \gg \rho r^3 g$. Это неравенство эквивалентно такому: $r \ll (\sigma/\rho g)^{1/2}$. Можно утверждать, что для достаточно малых капель силы тяжести не должна сказаться на колебаниях. Оцените сами, каковы максимальные размеры капель воды, при которых еще можно пользоваться полученной нами выше формулу для частоты колебаний.

С какой частотой колеблотся атомные ядра?

Оказывается, что на поставленный вопрос можно получить ответ, использую формулу для частоты колебаний капли.

В капельной модели атомного ядра ядро рассматривается как капелька ядрного вещества — «жидкость», состоящей из протонов и нейтронов. Ядро-капельку удерживает от распада силы поверхностного натяжения.

Нуклоны (протоны и нейтроны) находятся внутри ядра в связываном состоянии. Это значит, что для того, чтобы «отташить» их друг от друга, нужно затратить определенную энергию. В расчете на один нуклон эта энергия равна $\varepsilon \approx 13 \cdot 10^{-13}$ Дж/нуклон. Радиус ядра $r \approx 10^{-14}$ м, масса протона $m_p \approx 1,7 \cdot 10^{-27}$ кг. Попробуем использовать всю эту информацию для вычисления характеристических частот, с которых колеблотся атомные ядра — капельки ядрного вещества*).

Для частоты колебаний капельки ядрного вещества можно было бы воспользоваться той же формулу, что и для колебаний капель объчной жидкости, если бы только мы научили

*) Нас интересует сейчас только качественная зависимость частоты колебаний от параметров ядра и количественного оценка по порядку величины; поэтому мы можем не учитывать разницу протона и нейтрона и считать массу нуклона равной, например, массе протона.

17

лись вычислять поверхностное натяжение «ядерной жидкости». Полная поверхностная энергия в капельной модели должна быть по порядку величины такой же, как и энергия связи всех частиц, находящихся внутри капли. Если число нуклонов в ядре равно $A$ (это число называют «массовым числом»), то полная энергия связи всех нуклонов равна $A\varepsilon$ и поверхностная энергия ядра-капельки по порядку величины тоже равна $A\varepsilon$. Поделив ее на площадь поверхности капли $S=4\pi r^2$, мы и получим оценку для поверхностного натяжения: $\sigma \sim A\varepsilon/4\pi r^2$. Масса ядра из $A$ нуклонов порядка $Am_p$, объем ядра — $\frac{4}{3}\pi r^3$; следовательно, плотность «ядерной жидкости» по порядку величины равна $\omega \sim 3Am_p/4\pi r^3$. Подставив полученные выражения для σ и q в формулу $\omega \sim (\sigma/\rho)^{1/2}r^{-3/2}$, мы придем к интересующему нас результату:

$$\omega \sim \frac{1}{\sqrt{3}r} \left( \frac{\varepsilon}{m_p} \right)^{1/2} \sim \frac{1}{r} \left( \frac{\varepsilon}{m_p} \right)^{1/2}.$$

Типичные «ядерные» частицы — порядка $10^{22}c^{-1}$. Проверьте, что написанная формула дает близкий результат, не определяемый нами числовой коэффициент — порядка единицы.

Метры «вдоль» и «поперек»
Te задачи, которые мы рассматривали до сих пор, решались по существу, одинаково и однозначно. Не нужно думать, что так всегда и бывают. Существуют ситуации, когда правило $N-K=1$ не выполняется, и тогда приходит прибегать к новым идеям. Одна из таких идей заключается в том, что можно попытаться увеличить число основных величины, то есть по существу перейти к изучению задачи в системе с большим числом основных размерностей.

Чтобы проиллюстрировать такую идею, рассмотрим две простые задачи.

Первая — безусловно, всем хорошо известна. Представим себе, что со стола высоты $H$ падает на пол шарик. Скорость шарика в момент отрыва от стола горизонтана и равна $v_0$. Дальность его полета можно, конечно, связать с $H$ и $v_0$. Мы предлагаем читателю продолжать сейчас эти простые вычисления, прежде чем читать эту статью дальнейше. Проделали? А теперь подумайте — нельзя ли найти связь между $H$ и $v_0$ с помощью метода размерностей? Давайте попытаемся. Пусть дальнейшее полета равна $x_0$. Кроме $H$ и $v_0$, для задания существенной величины является, несомненно,ускорение свободного падения $g$. От массы шарика ответ зависит не должен — ведь это чисто kinematическая задача. Таким образом, у нас есть четыре величины — $x_0$, $v_0$, $H$ и $g$. В выражении же для размерностей всех этих величины входят только метры и секунды, то есть $N=4$, $K=2$ и $N-K=2>1$! Если записать $x_0 \sim v_0^a H^\beta g^\gamma$, то для трех неизвестных чисел $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ мы сможем написать только два уравнения. Как же быты?

Давайтеведем отдельные единицы для измерения расстояний по вертикали и по горизонтали: расстояния вдоль вертикальной оси $Y$ будем измерять в «вертикальных» метрах — $M_y$, а расстояния вдоль горизонтаальной оси $X$ — в «горизонтальных» метрах — $M_x$. Тогда размерности таких:

$$[g] = M_y c^{-2}, [v_0] = M_x c^{-1}, [H] = M_y, [x_0] = M_x.$$

Рис. 3.

18

Теперь для $N=4$ уже $K=3$ — основными размерностями стали $M_x$, $M_y$ и $c$. Формула $x_0 \sim v_0^\alpha H^\beta g^\gamma$ приводит к соответствию
$$M_x = M_x^\alpha \cdot c^{-\alpha} \cdot M_y^\beta \cdot M_y^\gamma \cdot c^{-2\gamma} = M_x^\alpha \cdot c^{-\alpha-2\gamma} \cdot M_y^\beta+y.$$
Система управления
$$\alpha=1, -\alpha-2\gamma=0, \beta+\gamma=0$$
имеет единственное решение
$$\alpha=1, \beta=1/2, \gamma=-1/2,$$
и мы получаем исключый ответ:
$$x_0 \sim v_0 \sqrt{\Pi}/g.$$
Сравните это решение с тем, которое получилось у вас при точном вычислении.
Вторая задача, иллюстрирующая ту же идею, относая к кинетической теории газов. Молеклы газа имеют конечные размеры и могут сталиивать друг с другом даже в разреженном газе. Среднее расстояние, пропетаемое молеклами между двумя последовательными столковенными, называется длиной свободного пробета. Нас интересует, как зависит длина свободного пробета $l$ от размера молекул $r$ и их концентрации $n$.
Выписьаем размерности: $[n] = M^{-3}, [l] = M, [r] = M$. Ясно, что, пытаясь связать $l, r$ и $n$, мы опять обнаружим, что правило $N-K=1$ не выполняется: $N=3$, а $K=1$ — в задаче есть только одна основная размерность — $M$.
В этом случае также удобно ввести «продольные» и «поперечные» длины. Будем условно считать молеклы шариками и следить за одним из таких шариков. Договоримся измерять расстояние вдоль траектории шарика-молеклы «продольными метрами» — $M_\parallel$. Ясно, что «помещать» движению избранной нами молеклы могут те молеклы, которые попадают в цилиндр, образующая которого параллельна траектории, а основанием служит сечение молекул-шарика, перpendикулярное к траектории. Площадь этого сечения пропорциональна $r^2$. Естественно считать в такой ситуации, что $r$ измеряется в «поперечных метрах» — $M_\perp$. Тогда объем измеряется в единицах $M_\parallel \cdot M_\perp^2$ и размерность $n$ есть $M_\parallel^{-1} \cdot M_\perp^{-2}$. После этих расчужdenия у нас появляются две основные размерности — $M_\parallel$ и $M_\perp$ — для трех величины $l, r$ и $n$. Это уже достаточно, чтобы получить однозначную формулу, их связывающую. Легко проверить, что эта формула такова:
$$l \sim 1/nr^2.$$
Задачи и рекомендации
Мы познакомились выше с основными элементами анализа задач с помощью метода размерности. Еще раз подчеркием, что формулы полученные из подобных расчужdenия, обычно позволяют делать и количественные оценки. Здесь нужно, конечно, известная осторожность, и тем не менее, просто грех не пользоваться тем, что числовые коэффициенты в формулах часто оказываются порядка единицы.
Само собой разумется, что оценки, построение простых модели и использование аналгий — это всегда только первый этап исследования физических процессов. За этим этапом должно следовать более аккуратное и по возможности точное изучение обсуждаемых явлений. Мы вовсе не хотели бы, чтобы у вас сложилось впечатление о веселности метода размерности. Прежде чем использовать его в той или иной форме, нужно построить ясное представить себе физический процесс, хорошо продумать интересующие нас характеристики. Только при этом условия можно надеться на успех.
Ниже мы предложаем вам для самостоятельных размерностей задачи.

Задачи

1. Найдите формулу, описывающую связи между массой планеты $M$, ее радиусом $R$ и минимальным перiodомвращения планеты вокруг своей оси. Учитите, что само существование столь градинозных «шариков», которые являются планеты, обусловлено гранитом взаимодействия частности, из которых также «шарики» состоит. Каков минимальный перiod вращения для планеты с массой и радиусом такими же, как у Земли? Нужно получить оценку по порядку величины.
2. Линейные размеры двух геометрических подобных стальных камеронов отличия в три раза. Как отличия частоты этих камеронов?
3. Найдите зависимости periodа пульсации газового пульсая, образованшего при глубинном подводном точном взрыве, если известно, что при взрыве выделилась энергия $E$, а давление воды равно $p$. Попробуйте оценить также максимальный размер газового пульсая. Как зависит пульсация от глубины $H$?

20

А. Михайлов

О солнечных затмениях вообще и конкретоно о затмении
31 июля 1981 года

Утром 31 июля 1981 года произойдет интересное астрономическое явление — солнечное затмение, видимое как частное на всей территории Советского Союза и как полное на узкой, но длиной полосе, индейной от берегов Черного моря через Кавказ, Казахстан, Сибирь, Дальний Восток и Охотское море к простом Тихого океана. Но прежде чем описать это затмение, появим некоторые общие вопросы солнечных затмений.

Эти явления вызывают Луной, когда она частчно или полностью закрывает солнечный диск. Луна по своему диаметру почти в 400 раз меньше Солнца, но примерно во столько же раз она близке к Зем-ле, вследствие чего видимые размеры Солнца и Луны для земного наблюдателя практические одинаковы. Однако небольшие отклонение земной орбиты от круговой вызывает небольшие изменения в расстояниях до Солнца, а вместе с тем и в угловом диаметре Солнца. То же происходит и с Луной при ее движении вокруг Земли. Поэтому лунный диск быстро виден нам времени немного больше солнечного, а времени немного меньше. В первом случае Луна может полностью закрыть все Солнце и произвести полное солнечное затмение, а во втором случае — оставить видимыми края Солнца в виде узкого колца, окружающего темный диск Луны, и произвести колщеобразное затмение. Ежегодно в зимнее время, когда Земля бывает близке к Солнцу и поэтому Солнце видно нам под набольшим углом, произходит преимущественно колщеобразные затмения, а в летнее время, когда Земля дальше от Солнца, преобладают полные затмения.

Во время солнечных затмений Луна повернута к Земле своей неосве-

21

Рис. 1.

щенной стороной и находится в ново-
лунии. В течение полного года бы-
вает 12 или 13 новолунный, но далеко
не каждое сопровождается затмени-
ем, так как плоскость лунной орбиты
не совпадает с плоскостью эклипти-
ки, по которой совершается видимое
годичное движение Солнца, а накло-
нена к ней под углом 5°8′. Если раз-
вернуть линей эклиптики и лунной
орбиты на плоскость, получится картина, представленная на рисунке 1.
Здесть AA′, BB′ и т. д. изобразают
ряд новолунный, в большинсте котор-
ых Луна проходит выше (севернее)
или ниже (южнее) Солнца, не произ-
водя затменный. Лишь новолуния,
происходящие близ точек пересечения лунной орбиты с эклиптикой, называемых узлами, сопровождаются
солнечными затменями. Узлы изоб-
ражаются специальными значками:
Ω — восходящий узел, в котором
Луна переходит из южного эклипти-
ческого полушария в северное, и Ω —
нисходящий узел, в котором Луна
переходит из северного полушария в южное. Эти значки представляют схематическое изображение дракона: по древнекитайскому поверью он караулит близ узлов Солнце, чтобы его проглотить.

Оценим, какова протяженность
области вокруг узла, в котором Луна
может закрыть хотя бы край Солнца.
Для воображаемого наблюдаателя,
находщегося в центре Земли, пре-
дельное новолунное с затменем изоб-
ражено на рисунке 2, где диски
Солнца и Луны соприкасаются. Полагая их кругами с радиусами 16′
(все расстояния будем измерять в
угловых единицах), получим рав-
бедренный треугольник ЛΩС с основанием |ЛС|=32′ и углом i=5°8′.

Рис. 2.

Из этого треугольника (считая его
плоским) найдем искомое предель-
ное расстояние R Луны от узла:

$$R = \frac{|ЛС|}{2 \sin i/2} = 357' \approx 6°.$$

Оdnako наблюдается на поверхности Земли, видит Луну
смешенной на величину ее парал-
ласка, который может достигать 61′.
На столкко же нужно увеличить
сторону ЛС: |ЛС|=32′+61′=93′.
Повторив вычисление с этим значением, получим R=994′ или прибли-
зительно 16,6°, так что все зона затменей (в обе стороны от узла) охва-
тывает 33°.

При этой оценке мы пользовались
средними значениями радиусов
Солнца и Луны. Еслискомниро-
вать их крайные значения и учесть,
что наш треугольник — не плоский,
а сферический, то получилось бы
для минимума области затменей
31,8° и для максимума — 35,8°. Таковы размеры обиталища дракона,
поджидающего Солнце, чтобы, если
и не проглотить его целиком, то хотя
бы откусить кусочек, вызвав част-
ное затменение малой фазы.

Посмотрим, может ли Солнце
в своем видимом годичном движении
по эклиптике просочить эту область,

22

не пав жертвой дракона. За сутки Солнце проходит в среднем 57′, а зимой, при наиболее быстром движении, — 61′. Между двумя наволлиями бывают 29,53 суток; за это время, при наиболее скорости, Солнце пройдет 30°, то есть меньше, чем минимальная область затмений. Следовательно, оно не успет беспрерывствовать прояты области затмений между двумя наволлиями, и по крайней мере одно из них затигнет Солнце внутри этой зоны. Если это сличится близко от узла, затмение будет большой фазы, даже полное или коллеобразное. Если же первое наволлие произойдет в самом начале входения Солнца в зону затмений, то следующее наволлие сличится еще до выхода Солнца из опасной зоны, так что два наволлия подряд будет сопроводаться затмениями, но частими и очень малой фазы (которые для широкой публики могут остаться незамеченными). После этого почти через пологда повторяется также же явления в близи другого узла.

Таким образом, ежедневно бывают две эпохи, когда происходит солнечные затмения. В каждую эпоху бывают либо одно затмение большей фазы, либо два малей фазы, а в течение года могут быть два затмения большей фазы или четые малой. Конечно, возможно и промежутные сличания — одно затмение большей фазы и два малей или два большой и одно малой. Но если первое затмение сличится в начале явваря, то еще до истечения года (в конце декабра) Солнце вступит опять в опасную зону и может произойти еще одно затмение малой фазы, (Этому способствует и то obstructionство, что лучные узлы не остаются неподвижными на эклиптике, а движутся навстречу Солнцу, так что время между прохождениями Солнца через данный узел на 19 дней короче календарного года.) В этом случае в течение одного года возможно пять затмений. Таким был, например, 1935 год, когда частиные затмения наблюдались 5 января, 3 февраля, 30 июня, 30 июля и 25 декабря.

Если говорить о Земле вообщество, то солнечные затмения — совсем не редкие явления. В течениеста лет в среднем было 84 частных, 77 коллеобразных, 11 коллеобразно-польных и 66 полных, а всего — 238 затмений. Однако каждое частиное затмение видимо не на всей Земле, а на ограниченной, хотя и большой, ее части. Лунная полутень (рис. 3) обычно имеет радиус около 3500 км и скольчит по Земле в стороны движения Лунны — в восточном направлении. В центре полутени находится пятно тени, радиус которого может достигать 135 км. Но может быть и так, что вершина конуса тени не достигает Земли, тогда на ее поверхности падает расширяющаяся полость конуса, производающая коллеобразное затмение. В случае полного затмения пятно тени уносится Лунной скоростью порядка одного kilометра в секунду, так что набольшая продолжительность полного затмения в данном месте не превышает 7 минут.

Можно ли заранее предсказать затмения? Оказывается, день предстоящего затмения умеи предсказываешь еще в глубокой древности, когда были уточнены период чередо-

Рис. 3. Т — область полного затмения; К — область коллеобразного затмения.

23

виния фаз Луны и положение лунной орбиты относительно эклиптики. Новолуня чередуются через так называемый синодический месяц, равный 29,5306 суток, а возврашение Луны к данному узлу проискотит через 27,2122 суток — промежуток времени, называемый драконческим месяцем. Эти числа почти coincимыми:

242 драк. мес. = 6585, 357 суток,
223 син. мес. = 6585, 321 — »
разность = 0,036 — » — .

Этот период, округленно равный 6585 1/3 суток, или 18 лет и 10 1/3 или 11 1/3 дней, в зависимости от числа високных лет в этом периоде, называется каросом. По свидетельству Геродота он был известен еще в шестом веке до н. э. В течение одного кароса проискотят 15 частных, 14 коллеобразных, 2 коллеобразно-полных и 12 полных, а всего — 43 солнечных затмения, которые по истечении кароса чередуются в прежнем порядке. Однако добное число суток в каросе приводит к тому, что по окончании кароса Земля оказывается дополнительно повернуть на 1/3 оборота, так что затмения каждой раз свигаются на 120° к западу. Поэтому с помощью карosa можно predсказать лишь день и общий характер будущего затмения, но без подробного указания мест его видимости.

Тепер же затмения predсказываются на многое годы вперед с точностью до нескольких секунд во времени и до двух kilометров по месту его видимости, что является результатом огромной и длительной работы по изучению движения Солнца и Луны по звездному небу.

1981 год отмечен двумя затмениями — коллеобразным, которое наблюдается 5 февраля в южной части Тихого океана, и интересующим нас полным, которое произойдет 31 июля. Оно начинается на Кавказе, когда полоса полного затмения шириной в 65 км вступит на черноморское побережье близ Очамчира и отсюда пройдет в северо-восточном направлении через Нальчик и Моздок, пересечет северную часть Каспийского моря, затронет Актибинскую область (станция Берчогур на Ташкентской железной дороге),

24

Рис. 5. Течение затмения в Москве.

пройдет немного севернее Целинограда и Павлодара, между Новосибирском и Барнаулом, через Ленинск-Кузнецкий, южнее Красноярска, через Тайшет, Братск, Северо-Байкальск и Тынду, где продолжительность полной фазы достигнет 120 секунд, а ширина полосы полного затмения — 110 км при высоте Солнца над горизонтом 53°. Северную часть Татарского полива полоса пересечет у Декастри и пройдет через Алексадровск-Сахалинский и Охотское море, охватит еще один из небольших островов Курильской гряды и, не затрагивая большие суши, закончится далеко в Тихом океане. В пределах СССР весь путь длиной около 7400 км лунная темь пробежит за 101 минуту.

Для наблюдения полного затмения многочисленные советские и иностранные эксперции направляются в полосу полной фазы — премишественно в Сибирь и на Дальний Восток, где затмение будет наиболее продолжительным и хорошо погода в полне верояtha. Пожелаем же им успеха.

На маленькой карте (рис. 4) жирной линии изображена полоса полного затмения, а параллельные ей линии, оцифрованные 0,8, 0,6 и 0,4 (называемые изобразами), указывают места, в которых направляя фаза частного затмения имеет соответствующее величины. Косые линии, называемые изохронами, дают московское декретное время настоящего направления направляя фазы. Так, например, Москва находится между изобразами 0,6 и 0,8, но близке к последней, так что величины направляя фазы можно оценить в 0,72. По изохронам можно определить время настояления этой фазы — 5 ч 35 мин. Точно вычисление для Москвы дает по летнему декретному времени:

восход Солнца 5 ч 32 мин,
начало частного затмения 5 ч 43,0 мин,
набольшая фаза затмения 6 ч 34,7мин,
конец частного затмения 7 ч 29,4 мин.

На рисунке 5 изображен вид Солнца в Москве в течение всего затмения через каждые 10 минут.

В заключение напомним, что во время частного затмения, во избежание серверного повреждения зрения, нельзя смотрить на Солнце без зашитного темного стекла, так как неакрытая часть солнечного диска имеет такую же яркость, как и вне затмения. Лишь при настоялении полной фазы затмения можно любовать красивым зрелищем хромосферы и короны невооруженным глазом или в бинокль.

25

П. Канаев

Неколько опытов с пустотельным проэрачным шариком

В магазинах спортивных товаров продается нехитрый предмет для рыболовов — «груз плавучий». Это пустотельный пластмассовый шарик с двумя ушками и небольшим слегка вытянутым отверстием (рис. 1). С ним можно проверить ряд интересных физических опытов.

Прежде чем приступить непосредственно к опытом, научитесь быстро наполнять шарик водой (или какой-нибудь другой жидкость). В этом вам может помочь шриц без иглы или резиновая груша, в ответстве которого вставлена пустая трубка от шариковой авторучки.

1. Неколько кристалликов марганцовки (марганцовикслого калия) расторите в небольшим количестве горячего воды до получения расторона темно-малиинового цвета. Этим растором наполните шарик и на нитке опустите его отверстием в стеклянный сосуд с водой комнатной температуры. (Для устойчивости шарика к нижнему егоушку привяжите небольший груз.)

Сразу же из отверстия начинает подниматься окрашенная струя диаметром, равным диаметру отверстия (рис. 2). Струя доходит до «потолка» (до поверхностного слоя), откуда отделены потоками стекает вниз. Процесс этот продолжается довольно долго.

Неколько видимение опыт. Приготовьте растор марганцовки комнатной температуры и погрузите шарик в воду той же температуры — окрашенной струи из отверстия невозникает.

Тепер добавьте в растор несколько капель этилового спирта и повторите опыт — окрашенная струя устремляется вверх и сушистуетdlительное время.

Почему возникает окрашенная струя в первом и последнем случае и не возникает во втором случае?

Причиной всему — движение молекул. В первом опыте скорость движения молекул горячего расторора больше скорости движения молекул холодной воды в сосуде — теплая струя поднимается вверх. Во втором опыте температуры расторора и воды одинаковы — одинаковы и скорости движения молекул. В третьем опыте температуры тоже одинаковы, но движение молекул спирта более интенсивное, благодарчем ему и вытесяется растор из отверстия.

2. Наполните шарик водой до краев ответия. Затем с помощью пипетки удалите часть воды (приблизительно три полные пипетки) и влейте такое же количество этилового спирта. После этого закройте ответие пластилином.

Примерно через 20 минут в верхней части шарика появится воздушный пузырь величиной с горошину.

Если этиловый спирт заменить растором борной или уксусной ки-

26

слоты, результат будет таким же.
Если же.body смещать сглицерном, пузырька не возникнет.

Как это можно обязанить?

Молекулярно-kinетическая теория учит, что между молекулами есть промежутки. При смешивания воды со спиртом объем смеси оказывается меньше суммы объемов воды и спирта в отдельности; в результате появляется пузырьк. То же наблюдается в смеси воды с борной или уксушной кислотой, а в смеси сглицерном скатия не проинсходит (очевидно, в этом случае промежутки между молекулами не заполняются).

3. Возьмите шарик и краями его отверстия коснитесь поверхности воды. Отверстие затянет пленкой, но секунд через 30—40 пленка лопнет (при этом вы услышите легкий щелчок), а внутри шарика у края отверстия образуется капля воды.

Еще раз затяните отверстие шарика пленкой, но теперь пленку в середине проткните иглой. Пленка очень долго остается целой.

Почему пленка так недолговечна в первом слуае и долговечна во втором?

Дело в том, что образуошаяся на отверстии водная пленка только по краям, чем в середине (благодаря смчиванию). Поэтому, если плоскость пленки не строго горизонтальная (что весма вероятно,), вода будет смещаться по уклону, а пленка будет утончаться. В некоторых момент пленка лопнет, а вода собереется в каплю.

Долговечность пленки во втором слуае обьясняется тем, что игла хорошо смчивается водой и вода стягивается с краев к месту соприкосновения с иглой. Пленка становится только и прочнее.

4. Приготовьте две стеклянные банки емкостью 0,5 литра каждая. Обе банки доверху наполните водой комнатной температуры. В одну из них капните из пипетки немного разведенного в воде (в отношении 1:4) шампуня.

Наполните шарик чистой воды и оторожно опустите его в банку с растором шампуня. Тотчас же шарик опустится на дно.

Вы можете под краном поверхность шарика и так же осторожно опустите его в банку с чистой водой. Почти полностю погрузившись в воду, шарик не тонет, хотя сила тяжести несколько превышает выталкивающую силу.

Почему шарик с водой в одном слуае тонет, а в другом — нет? Будет ли шарик тоннуть в слабом расторресахара в воде?

Оказывается, все зависит от поверхности натяжения жидкости и от того, смчивает или нет эта жидкость поверхности шарика. Так, коэффициент поверхности натяжения у чистой воды почти в два раза больше, чем у мыльного растора, и пластмаска плох смчивается водой. Вот почему шарик в воде не тонет.

Сахар еще увеличитает поверхности натяжение воды, так что в слабом расторресахара шарик тоже не уtonет.

5. Возьмите проволоку диаметром 2—3 миллиметра и длиной околометра. Один конец provолоки опилите напильником и, согласно его под прямым углом, воткиите в ближайшее к отверстию ушко шарика. Телерь шарика медленно опускайте в бак или ведро с водой и так же медленно поднимайте его на поверхности. Вы увидите, что при поднятии шарика из его отверстия будут вылетать воздушные пузырьки. Чем глубже погружается шарик, тем больше вылетает пузырьков.

Как обязывать образование и отрыв пузырьков воздуха при подъеме шарика?

Когда шарик опускается, воздуха внутри него скнимается и в шарик входит неокторое количество воды. При подъеме внешнее давление уменьшается, воздуха в шарике расширяется и на краях отверстия образуется пузырьк. Размеры пузырька постепенно увеличаются, а околотерсия образуется шеяка, которая сухается. При этом выталкивающая сила, направленная вверх, увеличается, а сила поверхности натяжения, удерживающая пузырьк, уменьшается. В некоторых момент эти силы уравнивают, пузырьк отрывается и принимает шарообразную форму.

27

Рассмотрим разность

Трудно найти сборник олимпидных или алгебраических задач, где не встречались бы задчи такого типа: доказать, что при любом натуральном n

a) $7^{2n} - 5^{2n}$ делится на 24;
b) $n^3 - n$ делится на 6;
c) $\frac{n^5 - 5n^3 + 4n}{120}$ целое число;
d) $3^{2n+3} + 40n - 27$ делится на 64;
e) $2^{2n-1} - 9n^2 + 21n - 14$ делится на 27;
f) $5^n(5^n + 1) - 6^n(3^n + 2^n)$ делится на 91;
g) $\frac{n^5}{5} + \frac{n^3}{3} + \frac{7n}{15}$ целое число.

Попробуйте порешить эти задачи. Верятно, у вас возникнут разные сообщения вроде следующих:
в задаче
a) воспользоваться тем, что $7^2 - 5^2 = 24$, и то жеством
$$a^n - b^n = (1) = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + b^{n-1})$$,
показывающим, что $a^n - b^n$ всегда делится на $a - b$;
b) разложить многочлен в числитель на пять множителей $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ и заменить, что из пяты последовательных чисел найдется одно, делящейся на 3, одно — на 5, одно — на 4 и еще одно, делящейся на 2 (и не делящейся на 4);

e) представить разность как $(25^n - 18^n) - (12^n - 5^n)$ и как $(25^n - 12^n) - (18^n - 5^n)$, чтобы доказать ее делимость на 7 и на 13;
ж) доказать отделно делимость $5n^3 + 7n$ на 3 и делимость $3n^5 + 7n$ на 5.

Не умаляя красоты и полезности этих и других подобных расчудений, мы хотим разобраться один общий рецепт для всех таких задач.

Мы увидим, что справедливо каждого из утверждений a) — ж) достаточно проверить лишь для небольшого числа первых значений n (в задаче a) — для двух, г) — для трех и т. п.), чтобы быть уверенным в их справедливости при всех n.

А читатель, который разберется в заметке достаточно основательно, сможет сам составлять новые задачи в неограниченном количестве (причем даже такие, где встречаются irrationalные числа):

3. число $45^n + (-44)^n - 1$ делится на 1980;
   и) число $[(6 + \sqrt{31})^n] - 2^n + 1$ делится на 10; вообщее, если m, a, b — натуральные числа и b < 2a, то число $[(am + 1 + \sqrt{a^2m^2 + bm + 1})^n] - 2^n + 1$ делится на 2m (здесь [x] — целая часть числа x) *).

Сумма разностей

Прежде чем формулировать общие теоремы, продемонстрируем ход наших расчудений на примере d). Эта задача, а также следующее ниже следствие из теоремы 2 и lemma 1 составляют содержание задачи M629 из Заданияка «Кванта».

Рассмотрим разность значений данной функции
$$f(n) = 2^{2n-1} - 9n^2 + 21n - 14$$
в точках n+1 и n:
$$g(n) = f(n+1) - f(n) = 3 \cdot 2^{2n-1} - 18n + 12.$$
Мы хотим доказать, что $f(n)$ делится на 27 при всех n=1, 2,…

*)Эти две задачи прислали в прошлом году наших читателей B. Чучин из с. Вознесенское Хабаровского края и Вальтер Яноус из Инсбрука (Австрария).

29

Как придумать новую задачу?

Нет ничего проще. Подберем, например, $a, b$ и $c$ так, чтобы выражение $f(n) = an + b + c \cdot 9^n$ принадлежало (кале угодно!) целые значения при $n = -1$, $n = 0$ и $n = 1$. тогда по теореме 2 (при $k = 2$) число $f(n)$ будет целым при любом целом $n \geq -1$.

Возьем, скажем, $f(-1) = -1$, $f(0) = 0$, $f(1) = 4$. Решив систему

$$\begin{cases} -a + b + c/9 = -1, \\ b + c = 0, \\ a + b + 9c = 4. \end{cases}$$

мы найдем $a = \frac{5}{8}$, $b = -\frac{27}{64}$, $c = \frac{27}{64}$.

Именно так, возможно, и был придуман когда-то давно пример г). Советуем читателю в качестве отдельxa самому придумать несколько новых примеров.

Но наш путь еще не закончен: теорему хотелось бы обобщить так, чтобы она включала и примеры, где имеется несколько геометрических прогрессий.

Сумма прогрессий

Попробуйте доказать такой аналог наших теorem 1 и 2:

Теорема 3. Если $q_1, q_2, \dots, q_r$ – целые числа $u$
$f(n) = c_1 q_1^n + c_2 q_2^n + \dots + c_{r-1} q_{r-1}^n + c_r q_r^n$
— целое при $n = 1, 2, \dots, r$, то $f(n)$ – целое при любом натуральном $n$.
(Лемма 1 – частный случай теоремы при $r = 2, q_2 = 1$).

Указание. Для доказательства теоремы 3 полезно рассмотреть разность $g(n) = f(n+1) - q_r f(n)$. Поскольку $g(n) = c_1 (q_1 - q_r) q_1^n + \dots + c_{r-1} (q_{r-1} - q_r) q_{r-1}^n$ – сумма $r-1$ геометрических прогрессий и в условиях теоремы число $g(n)$ – целое при $1 \leq n \leq r-1$, доказать теорему можно индукцией по $r$: ведь
$$f(n) = g(n-1) + q_r g(n-2) + \\ + q_r^2 g(n-3) + \dots + q_r^{n-1} g(1) + q_r^n f(1).$$
(Tak, в задаче 3) можно рассмотреть разность $f(n+1) - 45f(n)$.

Упражнение 1. Проверьте примеры a), e) с помощью теоремы 3 и придумате к ней несколько новых примеров.

Мы надемемся, что пробудили у читателя страсть к обобщениям, и предлагаем ему следующее, более трудные упражнения:

2. Сформируйте и докажите аналоги теорем 1–3

a) для суммы $r$ прогрессий и многочлена степенки $k-1$;

6. для произведения прогрессии (с целым значениемелем) на многочлен.

Придумайте несколько примеров на применение ваших теорем.

3. Какую более общую теорему такого типа вы можете сформулировать?

4. Можно ли в условиях наших теорем уменшить число точек, в которых требуется проверка?

5. Докажите утверждение и и поставайте обобщение и и поставайте обобщение доказывается яснее и проще, чем частное. Прекрасная иллюстрация этому — следующее теорема, довольно громоздкая по формулировке, но обобщшая предыдущие и позволяющая ответить на все вопросы упражнения 2–5.

Теорема 4. Пусть выражение $f(n)$ является суммой $r$ многочленов, умноженных на некоторые геометрические прогрессии. Составим многочлен со старшим коэффициентом 1, корни которого — значенатели этих $r$ прогрессий, а кратность каждого корня на единицу больше степени соответствующего ему многочлена. (Степень $k$ этого характеристикого многочлена равна сумме количества $r$ прогрессий и степени всех многочленов, на которых они умножены.) Если (1) все коэффициенты характеристикого многочлена — целые числа и (2) значения $f(n)$ – целые при $n=1, 2, \dots, k$, где $k$ – степень характеристикого многочлена, то $f(n)$ будет целым и при всех натуральных $n>k$.

Разумеется, для выполнения условия (1) достаточно (но не обязательно), чтобы все значенные прогрессии были целыми числами. Какова роль коэффициентов характеристикого многочлена — ясно из следующего очевидного важной леммы, проверку которой мы оставляем читателю:

30

Лемма 2. Пусть
$$f(x) = B_1(x)q_1^x + B_2(x)q_2^x + \dots + B_r(x)q_r^x,$$
(3)
еде $B_i(x)$ — многочлен степени $k_i-1$ ($i=1, 2, \dots, r$), и
$$D(\lambda) = (\lambda-q_1)^{k_1}(\lambda-q_2)^{k_2} \dots (\lambda-q_r)^{k_r} = \lambda^k + d_1\lambda^{k-1} + d_2\lambda^{k-2} + \dots + d_{k-1}\lambda + d_k.$$
То еда при всех $x$ выполнен равенство:
$$f(x) + d_1f(x-1) + d_2f(x-2) + \dots + d_kf(x-k) = 0.$$

Теорема 4 следует отсюда сразу же: если все коэффициенты $d_1, \dots, d_k$ характеризуются многочлена $D(\lambda)$ — целые, то из равенства (3) вытекает, что $f(n)$ при каждом $n > k$ получается сложением целых значений $f(n-1), f(n-2), \dots, f(n-k)$, умноженных на фиксированные целые коэффициенты.

В качестве иллюстрации рассмотрим два режных примера.

д) Пусть $f(n) = \frac{1}{2} \cdot 4^n + (-9n^2 + 21n-14) \cdot 1^n$. Здесь $D(\lambda) = (\lambda-4)(\lambda-1)^3 = \lambda^4 - 7\lambda^3 + 15\lambda^2 - 13\lambda + 4$. Позному для всех $n$
$$f(n) = 7f(n-1) - 15f(n-2) + 13f(n-3) - 4f(n-4).$$

В частности, вслед за $f(1) = f(2) = f(3) = 0$ и $f(4) = 54$ идут $f(5) = 7 \cdot 54 = 378$, $f(6) = 7 \cdot 378 - 15 \cdot 54 = 1836, \dots$; естественно, все они будут делиться на 27 (далее на 54).

и) Пусть $f(n) = \frac{(6+\sqrt{31})^n}{10} + \frac{(6-\sqrt{31})^n}{10} - \frac{2^n}{10}$. Здесь коэффициенты многочлена $D(\lambda) = (\lambda^2 - 12\lambda + 5)(\lambda-2) = \lambda^3 - 14\lambda^2 + 19\lambda - 10$ — также целые. Вслед за первыми членами $f(0) = \frac{1}{10}, f(1) = 1, f(2) = 13$ все дальнейшие $f(n)$ определяютсяrekурентным соответствием
$$f(n) = 14f(n-1) - 19f(n-2) + 10f(n-3).$$

В частности, $f(3) = 14 \cdot 13 - 19 \cdot 1 + \frac{10}{10} = 124$ — целое, следовательно, будут целыми числами также все $f(n)$ при $n=4, 5, \dots$.

В качестве последнего упражнения предлагаем читателю разобраться в том, как с помощью леммы 2 можно доказать частиные случаи теоремы 4, о которых шла

31

Задачи

M686—M690; Ф698—Ф702

M686. Для любого ли числа $x \geqslant 1$ верно равенство
$$[\sqrt{x}] = [\sqrt{\sqrt{x}}]?$$
(Здесь через $[y]$ обозначена целая часть числа $y$.)
В. Прасолов

M687. a) В девятнутульной примике все 9 боковых ребер и все 27 диагоналей основания окрашены: некоторые — в красный цвет, остальные — в синей. Докажите, что существует три вершины примиды, служащие вершинами треугольника, все стороны которого окрашены в одинаковый цвет.
6) Верно ли аналогичное утверждение для восмиугольной примиды?

H. Ненов (Болгария)

M688. Даны натуральные числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ такие, что $a_k \leqslant k$ ($k=1, 2, \dots, n$). Докажите, что одно из выражений
$$a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm \dots \pm a_n$$
равно нулю.
C. Ненашев

M689*. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равноведренных трапеций с основаниями 3 см, 1 см и высотой 1 см, нельзя составить прямогольник.
C. Рукшин

M690*. a) Внутри выпуклого многоугольника площади $S_1$ и перimetра $P_1$ расположен выпуклый многоугольник площади $S_2$ и перimetра $P_2$. Докажите неравенство
$$2 \frac{S_1}{P_1} > \frac{S_2}{P_2}.$$
6) Сформируйте и докажите аналогичное утверждение для выпukлых многоугольников.
A. Келаров

Ф698. На некотором произвольстве детали перемещают с помощью двух трансортеров, ленты которых движутся во взаимно перпендикулярных

32

направления с одинаковыми по абсолотной величины скорости $v_0$ (рис. 1). При этом деталь, вызжая на трансортер II, останавливается на середине ленты. Скорость трансортера II увеличили в $n$ раз. Как надо изменить скорость трансортера I, чтобы детали по-прежнему останавливались на середине ленты трансортера II? Размеры деталей пренебречь; считать, что переход на трансортер II происходит без удара.

А. Омельянчик

Ф699. Изогнутый капитляр радиуса $r$ (рис. 2), полностью заполненный жидкость, врашается вокруг вертикальной оси $OO'$. При какой угловой скорости врашения жидкость начинает выливаться из капитlara? Плотность жидкости $q$, поверхностное натяжение $\sigma$, жидкость полностью смчивает капитляр; размеры капитlara указаны на рисунке 2.

А. Буздин

Ф700. Имеются два проводника $A$ и $B$ произвольной формы. Первоначально на проводнике $A$ имеется заряд $Q$, а проводник $B$ не заряжен. Проводники приводят в соприкосновение (рис. 3), и на проводник $B$ перетекает заряд $q$. Соприкаошимся проводником сообщили дополнительно некоторые заряд $q_x$, и в результате на проводнике $A$ оказался заряд $q$. Определить заряд $q_x$.

С. Кротов

Ф701. На рисунке 4 показано распределение температуры вдоль тонкого однородного теплозолированного стержня в некоторый момент времени. Как будет меняться распределение температуры в дальнейшем? Какое распределение установится через достаточно долго времени?

О. Савченко

Ф702. Две системы, каждый из которых состоит из двух одинаковых масс $m$, связанных пружинкой жесткости $k$, движутся по гладкой горизонтальной поверхности настречу друг другу с одинаковыми по величины скорости $v_0$. В некоторый момент времени расстояние между системами равно $L$ (рис. 5). Определить время, через которой расстояние между теми же массами снова равно $L$. Столкновение системы считать абсолотно упругим.

В. Можаев

33

Решения задач

M641. Дан правильный шестугольник ABCDEF с центром O. Точка M и N — середины сторона CD и DE. Прямые AM и BN пересекаются в точке L. Доказите, что
a) треугольник ABL и четырехугольник DMLN имеют равные площади;
б) ALO = OLN = 60°;
в) OLD = 90°.

Все утверждения задачи нетрудно получить из одного наблюдания: при повороте на 60° вокруг центра O четырехугольник AMCB отображается на четырехугольник BNDC.
Действительно, при повороте $R_0^{60°}$ (против часовой стрелки) точка A переходит в точку B, точка B — в точку C, сторона CD отображается на сторону DE, так что середина M стороны CD переходит в середину N стороны DE (см. рисунок). Следовательно, четырехугольники AMCB и BNDC конгружены, так что площади их равны. Вычитая из этих равных площадей площадь четырехугольника BCML, получим равные площади, то есть треугольник ABL и четырехугольник DMLN равновелики.

Так как при повороте $R_0^{60°}$ луч AM отображается на луч BN, угол между направлениями этих лучей равен углу поворота, то есть $ALB = 60°$. Следовательно, $ALN = 120°$. Приведем два доказательства того, что $ALO = OLN = 60°$ и $OLD = 90°$.

1°. Воспользовемся таким очевидным фактом: если две прямые, пересекающиеся в точке K, равнодалены от точки P, то прямая PK служит bicсектрисой угла между этим прямыми (содержащero точку P). Поскольку точка O равнодалена от прямых AM и BN, OL — bicсектриса угла ALN, то есть $ALO = OLN = 60°$. Поскольку точка D равнодалена от прямых AM и BN одинаково (на такое же расстояние, как C — от прямой AM), $NLD = DLM = 30°$, то есть $OLD = 90°$.

2°. Около четырехугольника DMON можно описать окружность, так как углы при его вершинах M и N — прямые. Точка L также принадлежит этой окружности. Это следует из того, что в четырехугольнике DMLN сумма углов при вершинах D и L равна 180°. Заметив, что $ODN = 60°$, применим теорему о вписанном угле. Тогда получим $OLN = ODN = 60°$ и $OLD = OMD = 90°$.

Э. Готман

M642. Докажите, что каждое натуральное число представляется в виде $a_0 + 2a_1 + 2^2a_2 + \dots + 2^n a_n$, где каждое из чисел $a_k = 0, -1$ или 1, а $k \cdot a_{k+1} = 0$ для всех $0 \leq k \leq n-1$, причем такое представление единственно.

Рассматривая требуемые представления
$$A = a_0 + 2a_1 + 2^2a_2 + \dots + 2^n a_n$$
(*)
($a_k = 0, -1$ или 1, $a_k \cdot a_{k+1} = 0$) для нескольких натуральных чисел, нетрудно заметить, что

1. последний знак+стоп при $2^n$ (старшая цифра $a_n = +1$) для чисел A от $2^n - 2^{n-2} - 2^{n-4} - \dots$ до $2^n + 2^{n-2} + 2^{n-4} + \dots$ (например, в нашей таблице на полях последний знак+стоп при $2^3$ для чисел A от $2^3 - 2 = 6$ до $2^3 + 2 = 10$, при $2^4$ для чисел A от $2^4 - 2^2 = 1 = 11$ до $2^4 + 2^2 + 1 = 21$ и т. д.);
2. первый знак (младшая цифра $a_0 \neq 0$) периодически повторяется с периодом 4, то есть зависит лишь от остатка при делении A на 4 ($a_0 = 0$ повторяется даже чаше — с периодом 2).

На этих двух наблюдающих построены два доказательства нужего представления (*) и его единственности. Оба эти доказательства проводятся по индукции, то есть справедливо утверждение для данного числа A выводится из его справедливости для всех чисел A.

1°. Обозначим через $M_n$ число $2^n + 2^{n-2} + 2^{n-4} + \dots$ (последнее слагаемое здесь $2^1 = 2$ при нечетном $n$ и $2^0 = 1$ при четном $n$). Докажем, что каждое число $A \leq M_n$ представляется в виде (*) единственным образом, причем $a_n = 1$ для чисел
$$2^n - M_{n-2} \leq A \leq 2^n + M_{n-2} = M_n.$$

34

Мб43. Карточки с числами 1, 2, …, 32 сложены в стопку по порядку. Разрешается снять сверху любое число карточек и вложить их между неокторыми из оставшихся или под ним, не меняя порядка тех и других, а в остальном произвольно.

Эта операция называется перемещением ием.

1. Докажите, что за 5 перемещений можно a) переложить карточки в обратном порядке;

6. разложить карточки в любом порядке.

11. Докажите, что не всякий порядок карточок можно получить за 4 перемещения.

Рис. 1.

Мы можем (поскольку мы доказываем по индукции) считать наше утверждение доказанным для чисел $A$, не превосходящих $M_{n-2}$. Пользовясь этим, мы получим представление () для любого целого числа $A$ из промежутка (1). В самом деле, либо $A=2^n$, либо $1 \leqslant A-2^n \leqslant M_{n-2}$, либо $1 \leqslant 2^n-A \leqslant M_{n-2}$. Добавляя к $2^n$ представление числа $A-2^n$ или вычитая из него представление числа $2^n-A$, мы получим представление () для $A$.

Заметим, что

$$2^n-M_{n-2}-1=M_{n-1};$$

это равенство становится оченьным, если запись его так:

$$2^n-1=M_{n-2}+M_{n-1}=2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\dots+1.$$

Как видно из равенства (2), промежутки (1) для $n=1, 2, 3, \dots$ не перекрываются и заполют все множество натуральных чисел $N$, поэтому представление (*) существует для любого $A$. Отсюда ясно также его единственность: по данному $A \in \mathbb{N}$ однозначно определяется разряд $n$ старшей цифры $a_n=1$, а добавок $|2^n-A|$ представляется единственным образом по предположению индукции.

$$2^\circ.$$ Если $A$ четно, то $a_0=0$ и представление () числа $A=2m$ получается из представления меньшего числа $m$ «сввигтом» на один разряд. Если $A$ нечетно, то $a_0=\pm 1$ и $a_1$ должно равнять нулю; поэтому число $A-a_0$ делится на 4 и представление () числа $A=4m+a_0$ получается из представления меньшего числа $m$ «сввигтом» на два разряда и добавлением слева цифры $a_0$. Во всех этих случаях единственность представления числа $A$ следует из единственности представления числа $m$.

Единственное представления числа 1 оченьна: если $n>1$ и $|a_n|=1$, то $|a_0+a_1 \cdot 2+\dots+a_n \cdot 2^n| \geqslant 2^n-(2^{n-2}+2^{n-4}+\dots) \geqslant 2$.

Н. Васильев

◆

Приведем два решения этой задачи.

Первое решение. Будем считать, что карточки в стопке расположены в произвольном порядке. Докажем, что за пять перемещений их можно упорядочить, а за четые — не всегда. Тем самым задача будет решена.

Назовем отрезком группу лежащих подряд карточки, номера которых возрастают при удалении от верхha стопки. Длиной отрезка будем называть количество входящих в него карточек.

Если имеются два отрезка, то всегда можно, не меняя порядка следования карточки в каждой из них, перемещаемим получить отрезок, состоящий из карточек этих отрезков и только из них. Будем говорить, что такой отрезок получен операцией сляния двух отрезков. Понятно, чтолина результата сляния равна сумме длины сляаемых отрезков.

Отметим сначала в стопке карточок 32 отрезка единственной длины и затем будем продельвать перемещения так:

1. разделим стопку пополам;
2. сливаем попарно отрезкие отрезки соответствующего из первого и второй половин стопки;
3. отметим отрезки, получившиеся в результате сляния пункта 2).

Эту операцию повторим пять раз (на рисунке 1 изображено, что происходит с отрезками, получившимися после второй сляния). Длины отрезков, отеченных до перемещения, вдвое меньше длины отрезков, отеченных после него (см. рис. 1). Следовательно, после пятых операций длина (единственного!) отеченного отрезка будет равна $2^5=32$. Это доказывает утверждение а) и б) задачи (для пункта a) нужные перемещения приведены на полях).

Для доказательства того, что произвольно расположенные карточки нельзя упорядочить за 4 перемещения, введем