Квант 1981, №8 · Страницы

КВАНМ
8
1981
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Мы не раз помещали в нашем журнале репродуции с работ заменательного голландского художника М. Эшера. В этом номере мы знакомим вас еще с одной его работой.
Как вы думаете, рисовал ли художник «с натуры». или это — плод его воображения?

2

Г. Марчук

Слово
к научной
молодежи

Я хотел бы высказать несколько мыслей, адресованных непосредственно молодежи, идущей в научу.

У молодежи есть колосальные преимущества, которые она не всегда осознает, а потому не имеет использовать. Ведь молодость — огромное богатство, которое дает каждому человеку, но, к сожалению, только на время. Не растерять его, истранить его с ползой — главное условие того, чтобы последующая жизнь была продуктивной, осмысленной и радостной.

Молодые годы — это наиболее творческие годы в жизни человека. Именно то, что он успевает сделать в молодости, остается в нем навысгда, составляет фундамент, который он потом пользовется всю жизнь. Растраченое в молодости время уже невозвратимо. Потребить его исключительно на развлечения, или на чисто формальное учение, или бездумное использование службы обязаностей — значит обокрасть самого себя, погубить в себе еще не развившиеся способности. Поэтому к юным годам надо относиться с особым внимание, с особой требовательностью.

Некоторые молоды люди наивно полагают, что молодость — это пора, когда нужно брать от жизни все. А что такое «все», толком не знают. А брать от жизни все — значит выпитать в себя огромную массу знаний, называв и умений, совершенствовать и углублять их в продолжение творческого сознаательной жизни. И, конечно, возвращить это обществу стороны. Жизненный опыт показывает, что чем раньше обретешь свою цель, свое место в жизни, тем плодотворней и содержательней будет все дальнейшая деятельности. Этому насчит пример великих русских и советских ученых: Николая Ивановича Лобачевского, Дмитрия

Академик Гурий Иванович Марчук — Герой Социальстического Труда, лауреат Ленинской и Государственной премии, заместитель Председателя Совета Министров СССР, председатель Государственного комитета СССР по науке и технике.

Статья перепечатается с небольшими сокращениями из книги «Молодым о науке», выпущенной в 1980 году издательством «Молодая гвардия».

3

Ивановича Менделеева, Ивана Петровича Павлова, Пафнутья Львовича Чебышева, Игоря Васильевича Курчатова, Сергея Павловича Королева, Мстислава Всеволодовича Кельыша и многих других.

Молодости свойственного замахиваться на большие дела, решительные перемены, осмысливать глобальные крупные проблемы. Это прекрасно, но любой самый прекрасный замысел останется игрушкой, мыльным пузырьем, если он не будет осуществлен. Поэтому надо стараться не только замышлять, придумывать, предлагать, но всегда делать, делать конкретное дело и умет доводить его до конца. Ведь именно сумма, интеграл всех конкретных дел и создает, в существии, все наше общественное богатство, весь потенциаль в любой области человекаской деятельности.

Молодые люди, которые увлекаются спортом, хорошо знают, что для достижения результата, для сохранения спортивной формы нужен большой труд. Еще в большей степени это относится к творческим способностям. Только если тринировать свой интеллект, нагружать его задачи, поисками решения, только тогда он не ослабет и будет развивать и крепнуть.

Не нужно думать, что это относится только к молодежи, которая занимается научными исследованиями. Нало пытается выработать творческий подход к жизни в любой сфере деятельности. Только такой подход дает возможность глубоко произникать в судьве вещея, явленной, процессов и в производстве, и в экономике, и в общественной жизни. Прежде всего нужно произникать в глубину, в самом случае, ширата придет уже потом как следствие. Бойтесь поверхностного подхода к познанию — это закроет вам путь к творчеству.

Самое главное в профессиональной ученого — уметь вскрыть несоответствие накопленных обществом знаний, представленной с обнаружившимся друг явлениями или фактами, которые могут показаться, на первый взгляд, ошибками в эксперименте или в ходе рассужждения. Тщательно исследование возникшего противоречия и поиск способа его разрешения, как правило, позволяет только более глубоко посмотреть на вещи, но и зачастую открыть новые пути в науке.

Мне вспоминается случай, произведший в одном из волжских городов. Меня пригласили в университет прочитать доклад по проблемам математики, я с удовлетворением согласилась. После доклада подходит мне один из случаителей, называющийся доцентом университета, и говорит:

— Хорошо вам в Академгородке, у вас там сколько хочешь проблем, а где их взять у нас?

Я был не только поражен, но и прямо-tаки шокирован таким вопросом.

— Позвольте, уважаемый коллега, беретесь за любую тему, работайте и, как только упретесь во что-то непонятное, — вот вам и проблема… Беритесь за нее и решайте.

Специальность двухсячного года представляется мне широко образованным не в одной области науки, а по крайней мере в двух-трех: законы развития научно-технической революции обязаательно предъявят такой «счет».

Употребляя термин «широкий», имею в виду, конечно, основательность, сервисность знаний. И четко виду путь формирования такого специализта. После окончания вуза (возьмем для примера университет) главная задача его выпускника — войти серверно в ту сферу персоналомстоящий работы, которая будет ему поручена. Верятнее всего, в узкуно научную пробему. Исследуя ее, молодой специализист фактически глубоко разработывает собственные творческие умения, навкили. На это уходит три — пять лет. За этот срок молодой специализист становится — не может не стать — «профессором» в своей «узкой области».

После этого ему необходимо переключаться в смешную область науки, может быть даже далеко от той узкой проблемы, в которой он специализировался. Воити в новую сферу знаний — то есть овладеть

4

новыми фактами, фундаментальными идеями. Однако на это понадо-
бится уже меньше времени — один—три года, потому что методы, процес
познания оказываются теми же самых: отработанная сразу после уни-
верситета система творчества «сработает» и здесь. Именно это и даст
возможность быстро войти в новую область науки. На овладение третий
понадобится еще меньше времени, но глубина научного понска теперь
уже остается той же.

Тепер специализист оказывается способным обозревать более широкую
сферу науки или техники. Он начинает распознавать тенденции дальней-
шего развития науки на стыках смежных областей. А открытия на сты-
ках, как правило, более важны. Так в конце концов и рождения крупный
ученый, руководитель, способный обозревать и глубоко разрабатывать
основные направления научно-технического прогресса.

Слушается, что стремительный рост и первые успехи вызывают у
молодых людей чувство превосходства над своим товарismus. В связи
с этим я хотел бы обратить особое внимание молодежи на такое понятие,
как скромность.

Это вводе бы прописная истина, что надо быть скромным, тут вроде
и говорить не о чем. Но это качество, на мой взгляд, становится все
более важным в нашу эпоху, когда неуклонно возрастает удельный вес
и роль коллективных форм труда и других видов общественной человека
чеверской деятельности. Скромность проявляется именно в общении чел-
овека с другими людьми, именно она (или ее отсутствие) определяет
часто атмосферу в коллективе, нравственный климат. Скромность —
неотъемлемая черта высокой культуры.

Мне очень по душе высказывание на эту тему Гегеля. Правда, оно
облечено в несколько тяжеловесную и трудноватую для мгновенного
воспрятания форму, но загочь глубоко по содержанию. Вот оно:

«Под словами «культурные люди» можно близкойшим образом пон-
матить таких людей, которые в состоянии сделать все то, что делают другие,
и которые не выступают наоказ своей частности, между тем как
у некоторых людей обнаруживается именно последняя.

В своих отношениях с другими людьми некультурный человек может
легко их обидеть, так как он дает волю лишь себе и не предается раз-
мышлениям о чувствах, которые испытывали другие. Он не хочет ос-
корблять других, но его поведение не согласуется с его волю. Куль-
турность, следовательно, есть слабивание особенностей, чтобы она вела
себя согласно природе предмета. Истинная оригинальность, являющаяся
творством настоящего предмета, требует культурности, между тем как
ложная оригинальность принята форму тех безвкусных проявлений,
которые приходит в голову лишь некультурным людей».

Я выписал это высказывание и держу его под рукой, а при случае по-
казывало своим молодым сотрудником, чтобы взяли себе на заметку.

Только не следует путь скромность с богатливостью, инертностью —
это далеко не одно и то же. Смелость, даже деревность научных постановок,
новых решений — это то, что радует любого учитель в своей ученике.

Талантливая молодежь, как правило, проявляет интерес к новым
области науки и технике, она, часто сама того не сознавая, выражает
актуальные потребности общества. Молодые люди, не отягощенные гру-
зом традицией, легче входят в совершенное новое проблемы, работают на
стыках наук, в том числе таких, которые ранее казались несоединиными.

В нашей время приходится постоянно обновлять свои знания и вполне
сложившимся, зрелым специалистом, иначе они рискуют от жизни.
Позому призыва Владимир Ильчена Ленина, обращенный к молоде-
жи: «Учится, учиться и еще раз учиться» — не только не стареет, а, наоборот, с каждым годом становится все актуальное.

Будем же следовать ему.

5

Жидкие кристаллы

Удивительный мир жидких кристаллов открылся глазам ученых сравнительно давно, но за последнее 15—20 лет произошел огромный скачок в понимании природы жидкокристаллического состояния, физических свойства этих веществ, их роли в современной науке и технике. И сейчас уже нет сомнений в том, что без этих материалов, разнообразных по своим свойствам, высокозкономичных, сравнительно простых в изготовлении и применении, дальнейший научно-технический прогресс не может обойтись.

А самые первые сведения о таких веществ были сообщены в 1888 году авторским ботаником Ф. Рейницером, который синтезировал необучные кристаллы. При их нагревании получалась жидкость, которая в зависимости от температуры была то мутной, то произной, то прибретала синевая цвет. Немецкий физик О. Леман начал систематическое изучение таких веществ и установил, что открыто особое состояние, присуще многим организаским соедининиям.

Нематическая жидкость

Жидкость сльно отличится от газов и твердых кристаллов. Атомы или молекуры, из которых состоит жидкость, не могут разойти на скольудно большое расстояние друг от друга. Это означает, что в жидкости очень важны силы притяжения между атомами или молекулами. То же самое можно сказать и о твердом кристалле, но в кристалле эти силы нас только велики, что атомы вынуждены заниматься в нем строго определенные места, образуя трехмерную кристаллическую решетку. В такой решетке всегда имеются выделенные направления, называемые осями кристалла. Вдоль этих направлений атомы располагаются в строго периодическом порядке. В общий жидкость нет никаких выделенных направлений, она не обладает собственной формуой, потому что молекулы жидкости не столько связаны друг с другом и могут перемешаться в пространстве — перескакивать с места на месте.

Таким образом, в текущей жидкости молекуры только в среднем находится на некотором характераном расстоянии друг от друга. Ответ на вопрос, как взаимодействуют между собой молекуры и чему равно среднее расстояние $a$ между ними, дает квантовая механика. Оказывается, что на больших расстояниях между молекуами их взаимодействие определяется силами притяжения, а на очень малых расстояниях — силами отталкивания. Следовательно, молекуры не могут слизиться на скольудно малое расстояние из-за очень больших сил отталкивания — в этом случае говорят, что молекуры не могут пронкать друг в друга. На расстоянии $a$, применно равном размеру молекул, слая взаимодействие между молекуами становится равной нулю.

Такystроена общная жидкость, состоящая из относительно простых молекул или атомов. Однако нас поджидает замечательное открытие, если молекуры имеют ярко выраженную анизотропную форму, то есть если у молекул можно четко выделить какие-нибудь характерные оси. Такие молекуры схематически изображены на рисунке 1; в них атомы располагаются не как попало, а быстроевыдельной линии (рис. 1, $a$) или лежат в выделенной плоскости (рис. 1, $b$; на рисунках указаны атомы, образующие оси

6

остов молекул). Взаимодействие молекул такой формы приводит к тому, что в жидком состоянии они не только удерживаются на некотором среднем расстоянии друг от друга, но могут сохраняться определенный порядок в своей относительной расположении — длиные оси молекул (рис. 2, а) или плоскости молекул (рис. 2, б) оказываются параллельными друг другу. В такой необчисленный жидкости появляется особое направление, как в твердом кристалле, вдоль которого ориентируется видение оси молекул. Это сходство между кристаллом и описанной удивительной жидкостю и привело к созданию двух понятий в одной новое — «жидкий кристалл». А жидкое состояние, изображенное на рисунке 2, называют нематическим жидким кристаллом*).

Рассмотрим теперь силы, действующие в нематической жидкости. Эти силы — электрического процесхождения. Интересно, что сила пряжения возникает между двумя atomsми или молекулами, которые сами по себе являются электрическими нейтральными. Попытаемся на примере atomов разобраться, как это получается.

Представим себе, что по какой-то случайной причине в atomе произшло смешение отрицательного электронного облака относительно положительного заряженного

*) Изваивание «нематический» образовано от греческого слова γημα — нить. В жидких кристаллах под микросомом видны тонкие подвижные нити, которые представляют собой дефекты структуры. В идеальном жидком кристалле таких нитей нет.

Рис. 1.

Рис. 2.

ядра. Такой atom можно рассматривать как совокупность двух разноименных точных зарядов, одинаковых по абсолотной величины, находящихся на некотором расстоянии друг от друга (рис. 3, а). Подобную систему зарядов называют электрическим диполем. В окрестности.atoma-диполя возникает электрическое поле. Напримерность этого поля быстро убивает при удалении от.atoma, но вблизи.atoma полезно величко. Если в окрестность.atoma I попадает нейтральный.atom II (рис. 3, б), то электрическое поле.atoma I должно сместить заряды электронов и ядра.atoma II так, как изобравенно на рисунке 3, б. Такое относительное смешение зарядов в.atome II должно, в свою очередь, создавать электрическое поле, поддерживающее разделение зарядов в.atome I.

Из рисунка 3, б видно, что разноименное заряженные части atomов должны прягировать друг к другу, а значит и atoms целиком должны прягировать друг друга. При сильении atomов между ними начинают действовать силы отталкивания. На рассмотрении, примерно равном размеру atomов, силы взаимодействия между atomами равны нулю.

Точно такое же рассужждение мы можем проверить и в отношении двух молекул, состоящих из нескольких деяктивов.atомов. Неятальные молекул должны прягировать друг друга за счет образования электрических диполей-atомов. Действительно, молекул должны прягировать. Но как? Ясно, что по описанным выше принципам большая часть

8

Рис. 4.

световой пучок. Особые кристаллы — поляризаторы — преобразуют неполяризованный свет в линейно поляризованный, поскольку они могут пропускать светь себя только волны, в которых вектор $\vec{E}$ ориентирован совершенно определенно по отношению к оптической оси поляризатора. Например, кристалл турмалина пропускает светь себя лишь свет, поляризованный вдоль оптической оси этого кристалла, в то время как волны с перпендикулярной поляризцией им сильно поглощаются. Если на пути светового пучка расположить два поляризатора, оси которых параллельны, то свет (поляризованный) пройдёт сквозь такую оптическую систему (рис. 4, а), а если оси поляризаторов скрещены, то свет сквозь эту систему пройдёт не сможет (рис. 4, б).

Поместим теперь между двумя скрещенными поляризаторами два стекла, а между ними — нематическое жидкость, предварительно слегка пополировав стекла вдоль определенного направления. Такая полировка стекол нужно для того, чтобы сорентировать в заданном направлении оптическую ось жидкого кристалла ($\vec{n}$). Например, при параллельной полировке стекол молекулы, прилипшие к стеклам параллельно микроборозам на стеклянной поверхности, задают благодаря описанным механическим взаимодействием такую же ориентацию вектора $\vec{n}$ и

Свет
Поляризатор
Стекло
Жидкий кристалл
Стекло
Поляризатор
Нет света
а)
б)
Поляризованный свет
в)
Изображение цифры
Фигурный электрод
Сплошной электрод
Зеркало

Рис. 5.

9

в глубине слоя нематического жидкости (рис. 5, а). Если непользовные стека предварительно образотать специальных химических веществ, то можно добиться ориентации оси $\vec{n}$ перpendикулярно стеклянной поверхности (рис. 5, б). Наконец, если пользовные стека развернуть перpendикулярно друг другу, то можно получить закрученную по толщине слоя ориентацию вектора $\vec{n}$ (на рисунке 5, в показаны проекции оси $\vec{n}$ на плоскость рисунка).

Как же проходит поляризованный свет сквозь ориентированный слой нематического жидкости и сквозь изобразенные оптические системы вообше? Если поляризация света параллельна оси $\vec{n}$ (вектор $\vec{E}$ колеблется вдоль направления $\vec{n}$), то свет проходит сквозь жидкий кристалл, не изменяя свой поляризация (рис. 5, а). То же происходит и в случае, если поляризация света перpendикулярна оптической оси (рис. 5, б). В случае закрученной ориентации $\vec{n}$ поляризация света также поворачивается всед за осью $\vec{n}$ (рис. 5, в).

Можно понять, почему это происходит.

Для этого вспомним основные свойства света и условия его распространения в кристаллах. Во-первых, свет как электромагнитная волна может излучаться при колебаниях электрических зарядов, например при быстром перiodическом изменении расстояния между разноменными зарядами в atomе (рис. 3, а) или молекULE. При этом влиззи зарядов с тем же перiodом изменяется электрическое поле, которое создает перiodическими меняющимися магнитное поле $\vec{B}$, а последнее порождает, уже на большем расстоянии от зарядов, переменное электрическое поле $\vec{E}$ и т. д. (это объясняется хорошо известным явлением электромагнитной индукции Фарадея). Так возникает в пространстве вокруг колеблюшихся зарядов перiodических изменяющихся электромагнитное поле. В таком электромагнитном поле, как известно, векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$ перpendикулярны друг другу и направлено распространения волны (рис. 6). Волны бегут по всем направлениям от источника. Если источником света является диополь, то свет премишесенно излучается в направлении, перpendикулярном оси диополя. Вдоль оси диополя излучения нет, поскольку в этом направлении магнитные поля, порождаемые колебаниями электрического поля по разные стороны от оси, в точности газят друг друга.

Если электромагнитная волна распространется в среде, состоящей из atomов и молекул, то колебания вектора $\vec{E}$ вызывают электрическое колебания в atomах и молекулах. В результате возникнет диополи, у которых электрические изменения расстояние между разномыми зарядами зарядами. Но такие диопольные колебания, в свою очередь, приводят к излучению световой волны. Это означает, что в среде на самом деле распространяется как первая волна, так и вторичные волны, излучаемые молекулами и atomами под действием поля первой волны. Эти волны интерференуют друг с другом, то есть усиливают или ослабляют друг друга в зависимости от того, приходит ли они в данной момент времени в данную точку пространства в фазе или противофазе. В фазе — это значит, что амплитуды волн просто складываются; в противофазе — амплитуды вычитаются.

Что же происходит в слое жидкого кристалла при прохождении через него света? В жидком кристалле полезно световой волны приходить к разделению зарядов в молекулах и возникновению диопольных колебаний. Предположим, что в молекULE кристалла электроны легко смешаются вдоль длиной оси молекулы, то есть вдоль направления $\vec{n}$. Тогда в случае, изобразенном на рис. 5, а по толщине слоя распространяется падающая волна и вторичные волны, причем векторы $\vec{E}$ в волнах совпадают по направлению. В случае, изобразенном на рис. 5, б, диополи не образуют и вторичные волны не излучаются; значит, падающая волна проходит, не ослабляется. Наконец, в случае 5, в поляризация света изменяет свое направление в соответствии с поворотом оптической оси $\vec{n}$ по толщине слоя. Поворот вектора $\vec{E}$ в такт с осью $\vec{n}$ обеспечивает излучение вторичных волн, не ослабляем на любой глубине слоя. (Это интерференционное явление возникнет тогда, когда на пути светового лука находится многочисленные диополи — источники вторичных волн, то есть

10

когда толщина слоя намного больше длины волны света.)

Так свет проходит сквозь слой нематический жидкости и доходит до второго поляризатора. И здесь возникает уже знакомая нам ситuation. В случае а и б (рис. 5) свет сквозь оптическую систему прояты не может, а в случае в он проходит беспрерывтевно. А теперь представим себе промежутный слуай, когда оси $\vec{n}$ на стенках скрещены между собой, но в толщце слоя, благодаря какому-то воздействию, они повернуть почти перpendикулярно стеклам. В этой ситuation свет практически не проходит сквозь второй поляризатор. Остался еще один шаг до массового применения подобной системы: надо научиться управлять оптической осью нематической жидкости так, чтобы в отсутствие воздействия эта ось ориентировалась, как на рисунке 5, в при включении воздействия она наклонлась на заметный угол, как на рисунках 5, 6 и 2. После выключения воздействия молекулы занимают, размещется, свои прежние позиции вседствие условий на стеклянных поверхностях и взаимодействия между собой.

И оказалось, что именно в нематической жидкости кристалле это очень просто сделать с помощью электрического поля, заключив слой между полированными стеклами, на которые нанесены произчные электроды. Подключив к этим электродам слабенькую батарейку и замкнув цель, мы сделаем нашу оптическую систему светопропонизаемой, а разомкнув цель — произной, что и осуществил впервые Фредерикс. Осталось обсуить интересный физический вопрос: почему электрическое поле поворачивает молекулы так, как нам нужно, и сколько сильно оно при этом должно быть.

Ответ на первую часть вопроса легко даить с помощью рисунка 7. Пусть молекula, у которой диполь легко образуется вдоль длиной оси, находится в электрическом поле и между векторами $\vec{E}$ и $\vec{n}$ имеет некоторый угол. Тогда в образователься диполе на заряды $+Q$ и $-Q$ действуют силы $\vec{F}_+ = +Q\vec{E}$ и $\vec{F}_- = -Q\vec{E}$; таким образом, возникает пара сил, создающая кругящий момент. Этот момент сил и поворачивает молекулу так, чтобы она свеяя длиной осью ориентировалась вдоль вектора $\vec{E}$.

Здесь важно иметь, что на самом деле необходимо повернуть одновременно очень большое число молекул, но, к счастью, при этом нет необходимости поворачивать каждую молекулу в отдельности. Поискольку молекулы, взаимодействующие между собой, ориентированы одинаково, то, грубо говоря, достаточно тольконуть одну, чтобы другие, как костяшки домино, другно повернуть вседз за первой. Поэтому для осуществления описанного эфективе необходимо неокторое конечное значение разности потенциальов на электридов — пороговое напряжение. Это пороговое значение определяется из условия равенства моментов двух сил: силы, действующей со стороны электрического поля, и возврашающей силы взаимодействия между молекулами, которая стремится ориентировать молекулы так, как сорентированы молекулы, прилипшие к стеклу. И оказывается, что независимо от толщины слоя пороговое напряжение может составлять доли волта, причем толщина слоя, использых на практике, составляет долу миллиметра! Это во много раз меньше, чем требуется для получения таких же оптических эфективов в твердых кристаллах, что и обусловило громадный практический интерес к жидким кристаллам при создании циферблатов всевозможных типов.

Циферблат в упомянутых электриных часах устроен так, как показано.

11

зано на рисунке 5, 2, где добавлено отражающие зеркало за вторым поляризатором, а верхний электрод имеет контур необходимой цифры. При padении сверху на этот циферблат свет свободно проходит до зеркала и отражается всюду, кроме участка, соответствующего цифре электроду (если цепь замкнута). На участкеже электрода свет, поглощаясь, не доходит до зеркала, и это место каждого темным — так появляется, скажем, черная цифра или буква на светлом фоне циферблатандикатора. На подобном принципе работают буквенно-цифровые индикаторы в часах, калькуляторх, электронных переводчиках, в качестве шкаал изменительных прибора и настройки, в разнообразных таблию и т. п. Добавка краситель в слой жидкого кристалла делает эти индикаторы цветными. Кроме того, жидкокристаллические устройства с большим числом точек-электродов и сложной электриной схемой управления могут служить в качестве телевизionных экранов (плоский телевизор без электринойлечевой трубки), преобразователь изображения (приборыочного видения), средств модуляции и сканирования светового луча в системах оптической связи, светолокации, оптической обработки информации в быстродействующих ЭВМ.

Нематические жидкости нашли широкое применение и в современном плане. Оказывается, полимерные нити, получаемые из хорошего ориентированного нематического растора полимерных молекул, приобретают огромную прочность. Это объясняет тем, что в таких нитях практические все молекулы хорошо «подогнены» друг к другу, то есть их главные оси паралельны между собой, а это многоократно усиливает межмолекулярное сцепление. Такие полимерные нити служат прекрасным средством прочнения самых ответственных узлов в механизмах, машинах и аэрокосмических конструкциях, работающих в экстремальных условиях, то есть при очень высоких температурах и нагрузках. Есть, однако, и другие типы жидкокристаллических структур и материалов, имеющие не менеешее значение, но мы поговорим о них в следующей статье.

Геометрические задачи
наших читателей

1. a) Докажите, что для любой точки N окружности, описанной около правильного треугольника ABC, разность между квадратом длины наибольшего из отрезков AN, BN, CN и произведением длины двух других из этих отрезков равна квадрату длины сторон треугольника.

6. Пусть длина сторон треугольника равна a, а длина наибольшего из упомянутых отрезков равна t. Чему равны длины двух других отрезков?
   A. Дупло

2. Треугольник ABC разбит медиана AA1, BB1, CC1 на шесть треугольников, в каждой из которых вписана окружность. Пусть r1, r2,…, r6 — радиус этих отрезков (рис. 1). Докажите, что

$$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_4} + \frac{1}{r_5}.$$

P. Мазов

3. В треугольнике ABC величины угла C равна 120°. Пусть M — точка на стороне AB. Докажите, что отрезок CM является биссеектрисной угла C в том и только в том случае, когда

$$\frac{1}{|CM|} = \frac{1}{|AC|} + \frac{1}{|BC|}.$$

C. Сефибеков

4. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через середину M

Рис. 1

боковой стороны CD проведена прямая MO, пересекающая сторону AB в точке N. Пусть K — точка пересечения прямой AM с диагональю BD. Известно, что (BM) || (NK). Найдите отношение |AD|:|BC| (AD и BC — основания трапеции).

Э. Абдулаев

5. Внутри четырехугольника ABCD взяты точки P и R так, что (AP) || (CR), (DP) || (BR) и APD = 120° (рис. 2). Докажите, что если |RC| — |AP| = |DP| — |RB| = |DC| — |AB|, то четырехугольник ABCD — трапеция.

Ф. Кабдикairoв

12

Д. Фукс

О раскрытини скобок,
об Эйлере, Гауссе, Макдональде
и об упущенных возможностях

Сколько раз каждому из вас доводилось раскрывать скобки в произведении? Тысячи, а может быть, десяти тысяч? Если и есть в этом занятии что-нибудь привлекательное, так это надежда, что результат умножения, после приведения подобных членов, примет благоприятный вид, как, скажем,

$$\begin{align*} (a+b) (a-b) &= a^2 - b^2, \\ (1-a) (1+a + \dots + a^n) &= 1 - a^{n+1}. \end{align*}$$

Ниже пойдет речь о подобных равенствах, только горячдо менее оченьидных и горячдо более глубоких. Они составляют результат более чем двухсотлетней работы крупнейших математиков мира. Своим читателем я посоветую вооружиться ручкой и бумагой и повторять за мной все выкладки: это помогет не только понять содержание статьи, но и оценить степень нетривиальности ее результатов.

1. Тождество Эйлера

В середине XVIII века — дело было в 1748 году или несколько годами раньше — Леонард Эйлер занитесовался коэффициентами многочлена

$$\varphi_n(x) = (1-x) (1-x^2) (1-x^3) \dots (1-x^n).$$

Он раскрыл скобки в произведении — и получил порозительный ре-

13

Зультат. Проделаем эту выкладку и мы:

$$\varphi_1(x) = 1 - x,$$
$$\varphi_2(x) = 1 - x - x^2 + x^3,$$
$$\varphi_3(x) = 1 - x - x^2 + x^4 + x^5 - x^6,$$
$$\varphi_4(x) = 1 - x - x^2 + 2x^5 - x^8 - x^9 + x^{10},$$
$$\varphi_5(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + x^6 + x^7 - x^8 - x^9 - x^{10} \dots,$$
$$\varphi_6(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + 2x^7 - x^9 - x^{10} \dots,$$
$$\varphi_7(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 + x^8 - x^{10} \dots,$$
$$\varphi_8(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 + x^9 \dots,$$
$$\varphi_9(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 + x^{10} \dots,$$
$$\varphi_{10}(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 \dots$$

Многооточная обозначют части многочленов $\varphi_n(x)$, содержащие $x$ в степени, больших 10 (выписать эти многочлены полностью не позволяет формату журнала: многочлен $\varphi_{10}(x)$, например, имеет степень 55).

Начнем с очередного, но важного наблюдания: коэффициенты многочлена $\varphi_n(x)$ с ростом $n$ «стабилизируются», то есть каждый из них начиная с некоторого $n$ не меняется. Это легко обязывает: переход от $\varphi_{n-1}(x)$ к $\varphi_n(x)$, состоящий в умножении на $1 - x^n$, не оказывает никакого воздействия на коэффициенты при $1, x, \dots, x^{n-1}$, так что при $n > k$ коэффициент при $x^k$ в многочлене $\varphi_n(x)$ от $n$ не зависит. (Например, вычисления часты многочлена $\varphi_{10}(x)$ не изменятся, если вместо $\varphi_{10}$ взять $\varphi_{11}, \varphi_{12}$ и т. д.) Ввиду этого мы можем говорить о «бесконечном произведении»

$$\varphi(x) = (1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3)(1 - x^4) \dots,$$

поннима под этим, конечно, не многочлен, а «степенной ряд», то есть выражение вида

$$a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \dots,$$

где $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 \dots$ — числа; в нашем случае $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ — стабилизирующиеся коэффициенты. Наше вычисление показывает, что

$$a_0 = a_5 = a_7 = 1,$$
$$a_1 = a_2 = -1,$$
$$a_3 = a_4 = a_6 = a_8 = a_9 = a_{10} = 0.$$

$\varphi(x)$ называется функцией Эйлера.

Слово «функция» здесь употреблено не случайно: при $-1 < x < 1$ значения $\varphi(x)$ можно вычислить (подобно тому, как вычислют сумму бесконечной геометрической прогрессии).

Тепер — главное. После раскрытия наших скобок очень многое уничтожается, можно сказать — почти все. Например, результат раскрытия скобок в произведении $(1 - x)(1 - x^2) \dots (1 - x^{10})$ содержит до приведения подобных 43 слагаемых с $x$ в степени, меньше или равных 10, в том числе 24 слагаемых с $x$ в степени 8, 9, 10. После приведения подобных из этих 43 слагаемых остается всего 5, в том числе ни одного с $x$ в степени 8, 9; 10. Более точно, как мы видели, среди коэффициентов $a_0, a_1, a_2, \dots, a_{10}$ три равны 1, два равны —1 и шесть равны 0. Высказем осторожную гипотезу: коэффициенты $a_k$ всегда равны 0, 1 или —1, причем большимство из них равно 0. Дальнейшее вычисление, которое читатель при желании может проверить сам, не только подтверждает эту гипотезу, но и позволяет ее уточнить. Вот, например, часть ряда $\varphi(x)$, содержащая $x$ в степени, не превозходящих 100:

$$\varphi(x) = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} -$$
$$- x^{35} - x^{40} + x^{51} + x^{57} - x^{70} - x^{77} + x^{92} + x^{100} \dots$$

Надо полагать, что Эйлер, который не боялся длинных выкладок и отменно считал, примерно столько членов ряда $\varphi(x)$ и вычислил. А потом он просто не мог не заметить, что коэффициенты, отличные от 0, равны 1 или —1, и при этом единицы и минус единицы расположили.

14

Жены не как попало, а в строго определенном порядке: две единицы, две минут единицы, две минут единицы и т. д.*). В таблице выписаны показатели степени $x$, при которых стоит ненулевые коэффициенты.

Легко угадать, что это за показатели: в $n$-м столбце нашей таблицы в верхней строке стоит числа $\frac{3n^2 \pm n}{2}$, в нижней — число $(-1)^n$. Если это так при всех $n$, мы приходим к равенству

$$(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \ldots = 1-x-x^2+x^5+x^7 \ldots +(-1)^n x^{\frac{3n^2-n}{2}} + (-1)^n x^{\frac{3n^2+n}{2}} + \ldots$$

или, пользоваться приняной в математике сокращенной символкой,

$$\prod_{n=1}^{\infty} (1-x^n) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left( x^{\frac{3n^2-n}{2}} + x^{\frac{3n^2+n}{2}} \right).$$

Это и есть тождество Эйлера. Последующие показания математков для этого тожеству несколько доказательств. Однако из них приводится в п. 3. (Читатель, который больше интересует фактами, чем доказательствами, без учерба для понимания дальнейшего может этот параграф пропустить.) А сейчас я расскажу об одном замечательном применении тождества Эйлера, которое украшает все учебники комбинаторики.

2. Тождество Эйлера и число разбиений

Пусть $n$ — натуральное число. Обозначим через $p(n)$ число способов, которые можно представить $n$ в виде суммы натуральных слагаемых (при этом слагаемые в суммах могут повторяться, и представления, различащие лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми).

Например:

$$p(1) = 1;$$
$$p(2) = 2 \quad (2=2; 2=1+1);$$
$$p(3) = 3 \quad (3=3; 3=2+1; 3=1+1+1);$$
$$p(4) = 5 \quad (4; 3+1; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1);$$
$$p(5) = 7 \quad (5; 4+1; 3+2; 3+1+1; 2+2+1; 2+1+1+1+1).$$

Числа $p(n)$ входят во многое математическое формулы, и их полезно уменьшить. Но как это сделать? Попробуйте, например, найти $p(10)$. Вам предется изрядно повозиться, и, если повезет, вы найдете правильный ответ: 42. А если нужно знать, скажем, $p(50)$? На помощь приходит тождество Эйлера.

*) Мемуар Эйлера на эту тему полностью приведен в книге Д. По й а «Matematika и праводопобные рассудения» (М., «Наука», 1975, с. 111). Чтение этого темуара, как и других глав книг Пойа, несомненно, доставит вам больше удобства.

15

Сначала немного «теории». Положим
$$\pi(x) = 1 + p(1)x + p(2)x^2 + p(3)x^3 + \dots = 1 + x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 7x^5 + \dots$$

Как и $\varphi(x)$, $\pi(x)$ — функция, определяющая при $-1 < x < 1$. Но, опять-tаки, нас она интересует только как степенной ряд.

Теорема. Ряды $\varphi(x)$ и $\pi(x)$ взаимно обратны, то есть
$$\varphi(x) \cdot \pi(x) = 1.$$

Вы понIMAGE, в чем смысл этого равенства? Степенные ряды можно перемножать:
$$(a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots) (b_0 + b_1x + b_2x^2 + \dots) = a_0b_0 + a_0b_1x + a_0b_2x^2 + \dots$$
$$+ a_1b_0x + a_1b_1x^2 + a_1b_2x^3 + \dots + a_2b_0x^2 + a_2b_1x^3 + a_2b_2x^4 + \dots$$
$$= a_0b_0 + (a_0b_1 + a_1b_0)x + (a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0)x^2 + \dots;$$

наше утверждение означает, что если перемножить таким образом ряды $\varphi(x)$ и $\pi(x)$, то полученное произведение сведется к 1: коэффициенты при $x, x^2, x^3, \dots$ будут равны нулю.

Доказательство.
$$\frac{1}{\varphi(x)} = \frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-x^2} \cdot \dots \cdot \frac{1}{1-x^k} \cdot \dots =$$
$$= (1+x+x^2+x^3+\dots) (1+x^2+x^4+x^6+\dots) \times \dots$$
$$\dots \times (1+x^k+x^{2k}+x^{3k}+\dots) \dots$$

При раскрытии скобок в последнем произведении получится сумма всевозможных выражений вида
$$x^{a_1}x^{2a_2} \dots x^{ka_k},$$

где $a_1, \dots, a_k$ — целые неотрицательные числа. Таким образом, $x^n$ войдет в эту сумму столько раз, сколькоими способами $n$ можно представить в виде
$$a_1 + 2a_2 + \dots + ka_k.$$

Но это представление можно переписать так:
$$\underbrace{1 + \dots + 1}_{a_1} + \underbrace{2 + \dots + 2}_{a_2} + \underbrace{k + \dots + k}_{a_k}.$$

Мы видим, что представленный числа $n$ в виде $a_1 + 2a_2 + \dots + ka_k$ столко же, сколько есть его представленный в виде суммы натуральных слагаемых, то есть $p(n)$. Таким образом, коэффициент при $x^n$ в нашем произведении равен $p(n)$, то есть $\frac{1}{\varphi(x)} = \pi(x)$. Теорема доказана.

Положив для удобства $p(0) = 1$, написем
$$(1-x-x^2+x^5+x^7-\dots) (p(0) + p(1)x + p(2)x^2 + \dots) = 1$$

(коэффициенты в первом множителе пишутся согласно теодесту Эйлера!). Раскроем скобки и приравняем нулю коэффициенты при $x, x^2, x^3, \dots, x^n$ в левой части. Получим:
$$p(1) - p(0) = 0;$$
$$p(2) - p(1) - p(0) = 0;$$
$$p(3) - p(2) - p(1) = 0;$$
$$p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) - \dots = 0$$

(в левой части последней формулы нужно писать слагаемые до тех пор, пока аргумент у р остается неотрицательным). Итак,
$$p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + \dots$$

Эта формула позволяет быстро составить довольно длинуную таблицу чисел $p(n)$. Вот практический совет, как это сделать. Возьмите лист клетчатой бумаги — лучше всего двойной террадиный лист. Отрежьте вдоль его длиной стороны полоску шириной 3—4 клетки. Положите эту полоску перед собой вертикально и улевого среда в нижней клетке поставьте какой-нибудь знак, скажем звездочку. Затем, дивяясь вверх,

16

поставьте в первой клетке +, во второй +, в пятой -, в седьмой —, в двенадцатой +, в пятнадцатой + и т. д., насоклько хватит длины полоски (рис. 1). Оставшуюся часть листа также положите перед собой вертикальное и, отступя 10—15 клеток от ее левого среда, проведите на ней вертикальную черту — сверху донизу. В клетки, прилегающие к черте слева, дивяясь сверху вниз, выпишите уже известные вам числа $p(n)$, начиная с $p(0)$: 1, 1, 2, 3, 5, 7. Чтобы найти следующее значение, приложите отрезанную полоску справа к вертикальной черте так, чтобы звездочка оказалась против первой пустой клетки. Тепер из суммы чисел, стоящих против плосков, выпишите сумму чисел, стоящих против минусов. Что получится — выпишите в клетку против звездочки: это — следующее значение функции $p(n)$. Опустите полоску на одну клетку вниз и повторите то же самое. И так далее. Через несколько минут вы получите колонку чисел $p(n)$ высотой в ваш лист.

Пользовать этим решетом, я нашел числа $p(n)$ для $n \leq 50$. На это потребовалось — чисто, по часам — 17 минут. (Неколько первых шагов вычисления я привожу на рисунке 2; красные числа — это новые значения $p(n)$.) В частности,

$$p(50) = 204226.$$

Представьте себе, сколько потребовалось бы времени для нахождения этого числа кустарным способом!

3. Доказательство точкиства Эйлера

Раскроем скобки в нашем произведение

$$(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)$$

Получится сумма (бесконечная), в которой $x^n$ встречается столько раз, сколькоми способами $n$ представляется в виде суммы возратающей последовательности натуральных чисел: $n=n_1+n_2+\dots+n_k$, $n_1<n_2<\dots<n_k$; при этом знак при $x^n$ будет +, если $k$ четно, и —, если $k$ нечетно. Ниже в этом параграфе набор们 $(n_1, \dots, n_k)$ с $n_1+\dots+n_k=n$ и $n_1<\dots<n_k$ называются просто «разбиениями».

Мы будем различать разбиения трех типов. Обозначим для разбиения $(n_1, \dots, n_k)$ через $s$ наиболее число такое, что $n_k-n_k-s+1=s-1$, то есть $s$ чисел $n_k-s+1, \dots, n_k$ идут подряд (очевидно, $s \leq k$). Например, для разбиения $12=2+4+6$ $s=1$, для разбиения $12=1+5+6$ $s=2$, для разбиения $33=4+5+7+8+9$ $s=3$. Мы скажем, что разбиение $(n_1, \dots, n_k)$ принимает

первому тину, если $n_1 \leq s$, исключая случай $n_1=s=k$;
второму тину, если $n_1>s$, исключая случай $n_1=s+1$, $s=k$;
третьему тину в исключениях случайх, то есть если $s=k$ и $n_1$ равно $s$ или $s+1$.

Поставим теперь в соответствие разбиению $(n_1, \dots, n_k)$ первого типа разбиения

$$\begin{cases} (n_2, \dots, n_k-n_1, n_k-n_1+1+1, \dots, n_k+1), \text{ если } k-n_1 \geq 2, \\ (n_2+1, \dots, n_k+1), \text{ если } k-n_1=1, \end{cases}$$

которое относится, оченьindo, ко второму типу (проверьте!)

17

Рис. 2

Более того, таким образом между разбиениями первого и второго типа получается взаимно однозначное соответствие: обратное отображение ставит в соответствие разбиению $(n_1, \dots, n_k)$ второго типа разбиение
$$\begin{cases} (s, n_1, \dots, n_{k-s}, n_{k-s+1}-1, \dots, n_k-1), \text{ если } k-s \geqslant 1, \\ (s, n_1-1, \dots, n_k-1), \text{ если } k-s=0 \end{cases}$$

(обозначение $s$ сохраняет прежний смысл), относится к первому типу (проверьте!). Посокльку наше соответствие связи дает разбиения, в которых числа слагаемых различаются на 1, соответствующие этим разбиениям $x^n$ уничтожаются, и в нашей сумме останут только слагаемые, отвечащие разбиениям третього типа. А разбиения этого типа, по определению, имеют вид
$$\begin{align*} (k, k+1, \dots, 2k-1), \\ (k+1, k+2, \dots, 2k), \end{align*}$$
и им соответствует $(-1)^k x^{\frac{3k^2-k}{2}}, (-1)^k x^{\frac{3k^2+k}{2}}$ (как вам известно, $k+(k+1)+\dots+(2k-1)=\frac{3k^2-k}{2}$ и $(k+1)+(k+2)+\dots+2k=\frac{3k^2+k}{2}$).

Доказательство окончено.

4. Тождество Гаусса

Прошло около 70 лет со времени открытия Эйлера, и другой великий математик, Карл-Фридрих Гаусс, сделал следующий шаг в теории, получшей (по причине, в которых мы не вникаем) название «теория модулярных форм». Он обнаружил, что, если функцию Эйлера возвели в куб, получится ряд, быть может еще более замечательный, чем ряд Эйлера:
$$\varphi(x)^3 = (1-x)^3(1-x^2)^3(1-x^3)^3\dots = 1-3x+5x^3-7x^6+9x^{10}-11x^{15}\dots$$
(я советую вам не полениться и вычислить столько коэффициентов ряда $\varphi(x)^3$ или
$$\prod_{n=1}^{\infty} (1-x^n)^3 = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (2n+1)x^{\frac{n(n+1)}{2}}.$$
Это тождество Гаусса тем более удивительно, что квадрат функции Эйлера с виду ничего не применяется:
$$\varphi(x)^2 = 1-2x-x^2+2x^3+x^4+2x^5-2x^6-2x^8-2x^9+x^{10}\dots$$

21

С. Гиндикин

Медичейские звезды

Молодость Галилея была безразделно отдана механике. Более двадцати лет он целенаправленно щелк к намеченной еще в юности цели: постчь законы естественных движений. Очень рано (по свидетельству Вивиани) он открыл изхронность качанный математического мятника. К 1604 г. Галилей знал закон изменения пути при свободном падении, но еще был ознакомен противоречиями с фактами, казавшимся несомненными (письмо к Сарпи). Наконец, к 1609—10 гг. результаты исследования свободного падения и движения брошенных тел были доведены до полной ясности*). Оста-

валось только записать их; Галилей приступает к работе над всеобъемлюшим темуаром, но постепенно удаляет ему все меньше времени, пока вообще не прерывает работу на…30 лет. Что же происходит?

«Новые очки». Рассказывая о жизни великих людей, передко приходится обращать внимание на дела житейские. Более высокое желание было одной из причины переезда Галилея из Пизы в Падую. Здесь его материальное положение становится более важным. Первоначальное желание в 180 флоринов, хотя и медленно, увеличалось; дополнительный доход давали молодые аристократы, с которых Галилей занимался отделно и которые часто жили в его доме. Однако тяжельим грузом легла на плечи Галилея выплата приданного естерам; да и его собственная семья росла и требовала все больше средств. В 1609 г. Галилей был ознакомен очередными переговорами об увеличении жа-loванья. Скупую и практичную

*) О работах Галилея по механике рассказывавось в статье «История о том, как Галилей открыл законы движения» («Квант», 1980, № 1).

22

синьорию Венецанской ресурсыми могло раскошельть какое-нибудь изобретение, имеющее несомненное практическое применение.

…В 1608 г. в Голландии появились зрительные трубы, позволяющие разгладывать отдельные предметы; их называли иногда «новыми очками». Еще Леонардо да Винчиговорил об очках, позволяющих видеть Луну большей; Роджер Бэконговорил об очках, делаюших человека размером с гору. Чест изобретения осправали мастероптики Липперсгей и Андриансен.

К середине года трубы появились в Париже. Тогда же какой-то чужестранец пытался prodать зрительную трубу Венецанской ресурсы, не даваясь в подробности по поводу ее происхождения. Паоло Сарпи, друг Галилея, дал отрицательный отзыв о возможности использования зрительной трубы «на войне, на суше и на море». Первые трубы были еще очень несовершенны.

Галилей услышал о трубах, когда находился в Венеции. «Узнать об этом, я вернулся в Падую, где тогда проживал, и начал размышлять над задачей. В первую же ночь после моого возврашения я ее решил, а на следующий день изготовил инструмент, о котором и сообщил в Венецию тем же самым друзьям, с которых предшествующей день я рассуждал об этом предмете. Тотчас же я принялся за изготовление другого, более совершенного инструмента, который шесть дней спустя приезвел в Венецию». В «Звездном вестинике» Галилей описвал ситуацию еще более торжественных образом: «…не жалей ни труда, ни средства, я достиг того, что изготовил инструмент настолько совершенный, что при взгляде через него предметы казались почти в тысячу раз крупнее и более чем в тридцать раз ближе, чем видимые естественным образом. Совсем излише было бы перечисленное того, насолько удобны такие инструменты как на суше, так и море».

На самом деле характерistikи труб были более скромными. Первая труба Галилея давала трехкратное увеличение, а труба, приезенная в Венецию, — восьмикратное. Галилей решил при помощи своего совершенной трубы сnickать расположение членов синьории (быть может, это была идея Сарпи). 21 августа смыли уважаемые люди Венеции рассматривали с колокольни собора Св. Марка отделенные кварталы города, а 24 августа Галилей торжественно передал свою трубу в дар Венеции. Галилей не скупился на рекламу своего подарка. В последни dosку Венеции Леонардо Донаго он говорит, что извлек идею прибора «из наиболее сокровенных сообщений о перспективе».

Потом много говорили, что Галилей присоволл себе чужое изобретение (об этом идет речь в пьесе Бреxtа «Жизнь Галилея»). Сам Галилей, по крайней мере в публикациях, всегда признавал, что построл свой трубу, услышав об изобретении голландцев (но не имея подробной информации и не видя «фламандской перспективы»). Позднее он подчеркивал оригинальную своего пути. «Теперь мы достоверно знаем, что голландец — изобретатель телефона был простым мастером, изготовлявшим обыкновенные очки. Слушайо перебирая стекла разных сортов, он взглянул сразу через стекла, одно выпукло, другое вогнутое, находившееся на разных расстояниях от глаза… и таким образом открыл инструмент. Я же, движимый вышепитнуть извлечением, нашел инструмент путем рассуждения.»

Можно сказать, что Галилей продомонстрировал превосходство теории над практикой. Многие годыникто не мог создать трубы, сравниной по возможности с трубами Галилея (из-за этого, в частиности, не получали подвергения астрономическе наблюдения Галилея).

Труба Галилея выполнила свое назначение: ему было назначено пожизненное годовое желание в тысячу флоринов, невиданное для математика. Галилей должен быть изготовить 12 труб для синьории, аникому больше труб не предоставлять.

«Звездный вестиник». Вскоре Галилей имел труб с 20-кратным увеличением.

23

чением, а потом он «оставив дела земные… образился к небесным».
В конце 1609 г. Галилей рассматривает через труду Луну и обнаруживает, что «поверхность Луны не гладкая и неровная и не в совершенстве сферическая, как полагал в отношении ее цельй легиной философов, а, напротив того, неровная, шероховатая, испрешная углублениями и возвышенностими, наполобие поверхности Земли». Кроме того, Галилей обращает внимание на пепельный свет на части Луны, не освещенной Солнцем. Он считает этот свет «отблеском Земли».
Позднее оказалось, что в то же время наалины наблюдая небесных тел при помощи телескопа английин Харриот и его ученик Лоуэр (их наблюдая не были известны современникам). Лоуэр писал в письме учителью, что Луна наполнила ему пирог с варенем, испеченный его кухаркой на прошлой неделе. О пепельном свете на Луне говорили уже Леонардо да Винчи и Местлин, учитель Кеплера.

Затем перед глазами Галилей Млечный Путь распался на отдельные звезды: «все споры, в течение веков мучившие философов, умолкли сами собой благодарная наглядости и оченьности… Млечный Путь представляет собой не что иное, как скопление бесчисленного множества звезд, как бы расположенных в куахах…»

Наконец, 7 января 1610 г. Галилей направил труду в сторону Юптера. Вблизи Юптера он обнаружил три звезды. Он не comневался, что видит обычные «неподвижные» звезды, но что-то привлекло его приставное внимание. На следующую ночь, Галилей, «водимый неизвестно какой судьбой», вновь рассматривает Юптер. Он имел все основания неожалеть! Он вновь увидел знакомые звезды, но… их положение относительно Юптера изменилось: вчера они располагались по разные стороны Юптера, а сегодня — все были по одному сторону. Пока еще можно продолжать считать звезды неподвижными, а изменение их взаимного положения объяснить движением Юптера. 9 января «небо со всех стороны было обложено тучами». 10 и 11 января Галилей нашел только две из трех звезд. 13 января…появились четырёх!

Зреет новое решение: эти звезды перемещаются относительно Юптера, это его спутники — луны, и их исчезновение объясняется их затмением. К концу месяца, «переход от ошибения загадки к чувству восхшения», Галилей абсолютино уверяетсь в этом. Он пишет флорентийскому министру Винте: «наибольшим из всех чудес представляется то, что я открыл четырые новые планеты и наблюдаяемые им их собственные движения и различия в их движениях относительно друг друга и относительно движений других звезд. Эти новые планеты движутся вокруг большой звезды таким же образом, как Венера и Меркурий и, возможно, другие известные планеты движутся вокруг сокруг Солнца».

Do 2 марта Галилей наблюдает за спутниками Юптера, пользовая каждой безоблачной ночь, а уже 12 марта выходит его знаментий «Звездный весник, возвезащий великие и очень удивительные зрелища и предлагающий на рассмотрение каждойому, в особенности же философам и астрономам, то, что Галилео Галилей, флорентийский патриций, Государственный математик Падуанской гипназии, наблюдая с помощью подзорной трубы, недавно им изобретенной, на поверхности Луны, среди бесчисленных неподвижных звезд, в Млечном Пути, туманных звездах и преждевшего всего на четырёх планетах, врашающся вокруг звезд Юптера на нединаковых расстояниях с неравными перiodами и с удивительной быстротой».

А дальше… На все сказанное выше наложились дела житейские. Оказалось, что желавшие прибавят только через год, а кроме того, Галилей стали очень тяготить преподавательские обязанности. Он начинает думать о переезде во Флорентию. Только умер герцог Фердинандо Медчини, и на простолвил Козимо ПМ Медчини, бышший ученик Галилея. Покровительство гер-

24

цога может быть незаменимым при решении многих проблем…

А пока Галилей предлагает через Винту называть спутники Юптера в честь Козимо Медицин Космейскими или Медицинских звездами. Был выбран второй вариант. Количество спутников удочно совпадало с тем, что у Козимо было три брата. «Звездный вектик» посвязывается Козимо Медицин: «Называя новые звезды, открытие мной, величаим именем рода Медицин, я сознаю, что если преждевшие в звездный мир служило для прославления богат и властелинов, то в данном случае, наоборот, величаовое имя Медицин обеспечит бессмертное воспоминание об этих звездах.» Потом все четыре спутника получили собственные имена (Ио, Европа, Ганимед, Каллисто), а чтобы отличить их от открытых позднее спутников Юптера*), их будут называть галилеевыми.

На пасхальные канкулы Галилей отправился во Флоренцию. Он взет с собой трубу, чтобы герцог мог сам увидеть «свой» звезды. Галилей окружен почетом, в его честь должны быть выбита медаль с изображением Медицинских звезд, вчера договаривался об условиях переезда, лишь утончяется навание должнысти Галилея. Государю приятно увековечение своего имя на небе, никак из царственных особ не может похвастаться этим. 14 мая Галилей получает из Франции письмо от 20 апреля, в котором его просит «открыть возможность скорей какое-либо небесное тело, которое могло бы быть дан им его величества». Речь идет о Генрихе IV. Уточняется, что звезду следует назвать «именем Генриха без добавления Бурбон». Оказалось, что автор письма не зря торопил Галилея: пока шло письмо, «сопутствующий счастем государя» был убит.

А тем временем начали упорно распространять слухи, что «подаренные» герцогу звезды — плод фантации Галилея или порождение

• В настоящее время известно 16 спутников Юптера (три последних были открыты во время полета американских автоматических станций «Вояджер»).

25

Иоганн Кеплер

Юпитера, Марса и Венеры; Меркурий же, самый последний из окружения Солнца, настолько погружен в его лучи, что в нем Кеплер до сих пор не мог заметить чего-нибудь подобного». Кеплер повсюду ищет числовые закономерности! Затем он думает о том, что речь может идти о планетах, врашающся около «неповивжных звезд», а не Солнца. Вспоминает бесчисленные миры Джорданов Бруно и уже думает «о возможности после этого начала сделать открытия там еще бесчисленного множества новых планет».

Тем временем император Рудольф II (Кеплер был императорским астрономом) получает «Звездный весник». Кеплер безоговорочно доверяет сообщению Галилея: «Может быть, я показусь сликом смелым, если так легко поверю твоим утверждениям, не подкрепившись никаким собственным опитом. Но почему же мне не верить ученейшем математике, о правote которого свидетельствует самый силь его сухдейний, который далек от существии и для стяжания общего признания не будет говорить, что видел то, чего на самом деле не видел, не колеблясь из любви к истине противоречить распространеннойшим меняям». Кеплер указывает Галилею на ряд предшественников (Местлинговорил о пепельном свете Лунны, Порто предсказывал возможность создания критейной группы). Кеплер найдется, что Солнце ярче неподвижных звезд, и ему хочеется верить в исключительность нашего мира: «наш мир не принадлежит к простому стаду других бесконечных». Нет предела фантазия Кеплара: «не будет непохожим на истину предположение, что не только на Лунне, но и на Юпитере имеются жители… Дай корабли или приспособь паруса к небесному воздуху, и найдуться люди, которые не побояться и такой общирости».

Самого Кеплара, разумеется, волнуют закономерности в распределенении числа спутников у планет: «Лучше я пожелаю, чтобы у меня была готова критейная труда, с которой я обогнал бы тебя в открытии двух (так, мне кажется, требуется пропорция) спутников Марса и шести или восемми Сатурновых, к которым, может быть, прибавится один-другой вокруг Венеры и Меркурия». (Кеплер не знал, оставиться ему на арфметической или геометрической прогрессии!)

Маджини пытается привлечь Кеплара на свою сторону. Кеплер поналу неумолим: «Мы оба коперники — свой своему радуетя». Но Маджини не унимается. У него цель — «этих четырех новых прислушников Юпитера изгнать и уничтожить». Серийо памфлетов против Галилея открыл в мае 1610 г. Мартин Горкий, астроном из окружения Маджини. В его «Кратчайшем странстипе против «Звездного весника» спутники Юпитера объявлялись оптическим обманом. Кеплер не постоянен в своей отношении к Горскому. В письме к Галилею это сочинение называется наглым, он «удивляется держости этого юнца». Самому Горскому Кеплер пшет: «неудивляюсь и не обвиню тебя; мнення философствующих должны свободными».

Кеплара начало волновать от-

26

Антоний Маджин

сустные подвержdenий. Он сам все еще не имел подходящей трубы. Из Болоньи пришло заключение университета, что в собственную трубу Галилея звезды не видны (инсценировка Маджин). В августа обеспокoenный Кеплер пшет Галилю: «Я не могу скрыть от тебя, что в Прагу приходят письма многохитальных иллянцев, что при помощи твоей зрительной трубы нельзя видеть эти планеты… Позтому я прошу тебя, Галилей, чтобы ты возможно скорее привед некоторые свидетелей… На тебе одном лежит все доказательство истинности наблюдания». К счастью, император Рудольф II, известный не только своим приидами, но и любвию к наукам, воспламал страстью к зрительным трубам. Наконец, в Праге появился достаточно совершенная труба, и в сентября трубки Юпiterа. Участники наблюдания независимо зарисовали положения звезд и рисунки совпали. «Ты победил, Галилеанин!» — воскликнул Кеплер.

В сентября Юпiterа Юпiterа видел Сантини в Венецин, а в декабре пришло особенно радостное известие: спутники наблюдаал Клавий.

Правда, он еще не был уверен, планеты это или нет. В сентября Юпiter переехал во Флоренцию. Он вступает в переписку с Клавием (находясь в Венецинской республике, переписывать с изучатами было нельзя). «Вопросу Вы, Ваша милость, заслуживаете великой пожавы, поскольку Вы первый, кто это наблюдается» — пишет Юпiter Клавий. Наше Галилей путь и к сердцу Маджин. Он рекомендувал его работы по зажигательным стеклам герцогу, способствовал получению освободившейся кафедры в Падуе (Маджин претензовал на это место еще когда Юпiter переезжал в Падую из Пизы). Осторожный Маджин положительно отзывается о свидетельстве Сантини. На большее расччитывать не приходилось.

Год великих открытий. 1610 год, начавшийся открытием спутников Юпiterа, был необчайно счастливым для Галиля-астроома: почти все свои замечательные астрономические наблюдения он сделал именно в этом году. 25 июля Галилей снова наблюдается «Юпiterа утром на Востоке вместе с его свитой». После этого он обнаружил «еще другое необчайное чудо». Он сообщает о своей открытии во Флоренцию, просядает его в тайне до публикации: «Звезда Сатурна не является одной только, но состоит из трех, которые как бы касаются друг друга, но между собой не движутся и не меняются…, причем средняя из них примерно в три раза больше, чем две боковые; и они расположены в такой форме».

Кеплеру Галилей посылает защищенный в виде анграммы фразу: «Высочайшую планету тройного наблюдаемого». Позднее Галилей писал: «Я нашел целый двор у Юпiterа и двух прислушников у старика [Сатурна — С. Г.], они его поддерживают и никогда не отскакивают от его боков».

Пять месяцев не раскрывал Галилей своей тайны. Кеплер и Рудольф II не терплось узнать разадку, строились самые невероятные предположения. «Удовлетвори как можно быстрее наше страсти жела-

27

Христоф Клавий

ние узнать, в чем состоит твое новое открытие. Не существует человека, который ты мог бы описать как соррника». Галилей раскрыл тайну, добавив, что в более слабую труду Сатурн наполниет маслину. Открытие Галилея впервые упоминается в печати в предисловии к «Диоптрике» Кеплера, которая была опубликована в 1611 г.

Через два года Сатурн неожиданно перестал быть тройным. Галилей связал это с движением Сатурна вокруг Солнца и предсказал, что скоро его снова можно будет наблюдать в виде трех звезд. Предсказание события, но тайны Сатурна Галилей не разгадал. Тайна раскрылась, когда в 1655 г. Гюйгенс, рассматривая Сатурн в телефопс с 92-кратным увеличением, обнаружил, что Сатурн окружен колцом, которое при меняшем увеличении казалось боковым звездами. Колцо становится незаметным, когда к земному наблюданию оно обращено ребром. Это редкое явление и посчастливилось наблюдать Галилей. Такова была эволюция критических в печатлении от Сатурна по мере усления телефопов: от маслины до шара, окруженного колцом. Гюйгенс открыл также самый большой спутник Сатурна — Титан.

Вскоре после того как было послано письмо Кеплеру с разгадкой анаграммы, появились новости и других планетах. Галилей давно пристальное наблюдал за Венерой. С Венерой и Меркурием было много хлопот и у сторонников Птолемея, и у сторонников Коперника. Первые не могли договориться, где помещаются их «сферы» — внутри «сферы» Солнца или вне ее. Для сторонников Коперника было ясно, что если эти планеты являются темными телами, то, поскольку они располагаются между Солнцем и Землей, временами должны наблюдаться неполные дискки планет (явление, подобное фазам Луны). Это проблемы не возникнет, если предполагается что планеты светят собственным светом (по-видимому, так думал Кеплер) или что они произрачны (эта возможность серверно обсуждалась).

Об этой проблемы напоминает Кастелли в письме Галилю от 5 декабря 1610 г. «Поскольку (как я верю) правильно положение Коперника, что Венера врашает вокруг Солнца,— пишет Кастелли,— то ясно необходимость того, чтобы она наблюдалась нами иногда рогатой, иногда же нет…, если, однako, неольшая величина рогов и испускание лучей не мешает нам построению наблюдаться эти различия». Но вред ли Галилей нуждался в этом напоминании. Уже 10 декабря он отправляет в Прагу Кеплеру через токанского посла Джулиано Медичи шифрованное сообщение об открытии фазы Венеры с сопровожденным письмом: «Я посылю Вам шифрованное сообщение о еще одном моем необучном наблюдании, которое приводит к разрешению важнейших споров встроенном и которое содержит важнейший аргумент в ползу пифогорейской и коперниканской системы». Кеплеру, как всегда, не терпится узнать разгадку.

Но первым, кому Галилей раскрыл свою тайну, был Клавий. Гали-

28

лей только что получил от Клавия известие, что астрономы Римской коллеги наблюдали и спутники Юптера, и удлиненную форму Сатурна. Поддержка Римской коллеги играла особую роль в планах Галилея, и он спешит удивить Клавия своим новым открытием. Галилей описывает свои наблюдания над Венерой после «ее вечернего появления», рассказывает о том, как неожиданное ее круглая форма стала искажаться со стороны, обращенной к Солнцу, пока Венера не стала напоминать получку; потом она «стала заметно рогатой»; предсказывает, какую форму будет принять Венера, когда она будет наблюдаться в виде утренней звезды. И вот вывод: «Так вот, синьор мои, выясняется, как Венера (и несомненно, что то же самое сделает и Меркурий) движется вокруг Солнца, являющегося вне всякого сомнения центром набольших образцений всех планет. Кроме того, мы уверены, что эти планеты сами по себе являются темными и блескят только освещенные Солнцем, чего, как я думаю, не произходит с неподвижными звездами по некоторым моим наблюданиям». У Клавия не должно было оставаться сомнений в том, куда клонит Галилей.

Так закончился для Галилея год его великих астрономических открытий.

Галилей и в дальнейшем не прекрашал астрономические наблюдания. Но никака уже не будет он уделять столько времени совершенствования телесопа, и никака тайны мирадания не будет открыться ему так, как в этот замечательный 1610 год! Достинжения Галилея были столвки, что пройдет не менее полувека, прежде чем в наблюдаительной астрономии появятся открытия, сравнимые с открытиями Галилея (Гюйгенс, Кассини).

А пока Галилея начинают волновать другие проблемы, и для решения этих проблем ему важно поехать в Рим.

Покорение Рима. Галилей прибил в Рим 29 марта 1611 г.; он прибил как лицо, пользовается особым винманем токанского герцога (в герцогских носилках, остановился в римском дворце Medичи). Любезно приняли Галилея четыре астронома Римской коллеги — Клавий, Гринберг, Малькотий, Лембол. Галилей узнал, что отцы-neзуиты систематически наблюдают в трубы Медичские звезды, пытаются определить их периоды. 21 апреля один из руководителей Свяшенной службы кардиал Роберт Белармино посылает им официальный запрос «о новых небесных наблюдающих одного выдающегося математика» (имя не указано) относительно Млечного Пути, Сатурна, Луны, спутников Юптера. 24 апреля был получен ответ, в основном подтверждении наблюдания Галилея.

14 апреля Галилей становится пятым членом Академии Линчеев (рысбеглазых), основанной вASEд Федерацию Чези, маркизом Монтичелли. Эта Академия ставила своей целью свободное, не связанное никакими рамках изучение природы. Чези писал Галилю: «Те же, кого мы прием, не будет рабами ни. Аристотеля, ни какого-нибудь другого философа, а любыми благородного и свободного образца мыслей в исследовании природы». Телер Балилей ставит на своих работах имя Галилю Линчео.

На вершине Яникульского холода состоялась демонстрация удивительных труб Галилея (Чези предложил назвать ее телесопом).

Галилей чистует Римская коллеги. Dokлад, получивший название «Звездный вестник Римской коллеги», читает Одо Малькот. Он называет Галилей «самым знаменитым и счастливым им из живущих ныне астрономов». Кардиал дель Монтил писал герцогу: «Галилей в дни, когда был в Риме, доставил много удовлетворения и, думало, получил его сам, либо имел возможность столхого демонстрировать свои открытия, что все достойные и сведшие люди этого города признали их только достовернейшим и действительными. Если мы жили теперь веспублике Древнего Рима, то я убеждан, что ему бы возникли статую на Капитолии, дабы по-

29

тить его исключительно доблесть».
Эпилог. Так закончился краткий, но очень продуктивный период в научной жизни Галилея, когда он активно занимался астроνομическим наблюдениями. Он продолжался edва ли больше года. Галилея не вернулся к перванной работе над трактатом по механике. Он уверен, что имеет решающее аргументы в попыту гелюцентрической системы мира, и все силы отдает пропагандез этих идей.

Галилею еще суджено было вспомнить про Медичейские звезды. С 1636 г. он вел переговоры с Генеральными Штатами Голландии об использовании наблюдаемой над затмениями спутников Юпiterа для измерения долговы на борту корабля. Речь шла о решении одной из самых актуальных задач XVII века*). Переговоры окончились безрезультатно. Но в связи с этим переговорами Галилея вернулся к давно интересовшей его задаче о вычислении периодов обращения открытых им спутников и безспешно пытался при помощи опытного в вычислениях монах Ренberger составить таблицы движения. Задча оказалась трудной, и она еще долго доставляла непряятности астрономам. Весьма точные наблюдения и вычисления провел в 1672 г. Кассинь в Парижской обсерватории и обнаружил нестабильность во времени наступления затмения. В 1676 г. Ре*

*) Об этом можно прочитать в статье «Магнитоковые часы» («Квант», 1974, № 9).

Наша обложка

Если к неокторой кривой проводится очень много касательных, а затем — перпендикуляр к ним в точках касания (они называются нормальными), то в большиност-
ве случав мы увидим, что эти нормали будут касательными к неокторой новой кривой; эту новую кривой называют описанной семейства нормали или эволюютой исходной кривой. Эволюют элиппса, изобразенную на первой странице обложки, нарисовала ЭВМ по программе, составленной Ю. Котовым (прямые на рисунке — это нормали). Попробуйте самостоятельно нарисовать эволюиты каких-нибудь известных кривых — например, синусиды и парабoles, а также кривой, задаваемой уравнением (x² + y² − 2x)² = x² + y² (вручную это сделать не так-то легко!).

30

Колебания
и маятники

Уже не в первый раз Лаборатория «Кванта» обращается к опитам с маятниками. Это и понятно — теория колебаний, которая применяется во многих областях физики и техники, может быть просто и наглядно представлена в таких опытах.
Предлагаемая статья состоит из двух частей.
В первой приведется описания некоторых опытов; для их проведения не требуется никакого специального оборудования. Продельные опыты и качественное обучение полученные результаты смотрят каждый.
Во второй части статья дает количество объяснения некоторых явлений. Оно будет понятно тем, кто знаком с темой «Механические колебания», изложенной в самом начале учебника для 10 класса.

Эксперименты и наблюдения

Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, стоя на молитве в соборе, внимательно наблюдал за качанием бронзовых люстр. Наблюдал и определил время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали перiodом колебаний. Часов у Галилей не было, и, чтобы сравнить перiodы колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.
Давайте и мы начнем с аналогичных простых опытов.

1. Возьмите небольший по размерам грузик (лучше всего — гирьку для весов) и прияжите к нему прочную нить или леску (рис. 1). Вы получите простейший так называемый математический матник. Подвеше матник, например к гвоздю, и начинайте опыты.

Меняя массу грузика и длину лески, вы можете убедиться в том, что период колебаний такого матрика не зависит от массы грузика, но зависит от длины лески: с увеличением длины $l$ лески период колебаний $T$ увеличивается. Такие выводы сделал и Галилей.

Точка формула для перiodа колебаний матрика $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ появляется значительно позднее. Ее вывед Гюйгенс. Проверьте эту формулу для вашего матрика.

Понаблюдайте за матриком неокоторое время и вы заметите, что размах (амплитуда) его колебаний постепенно уменьшается — колебания затухают. Причем затухание происходит тем быстрее, чем меньше масса грузика. Обратите на это внимание. Несоклько позже нам это понадобится.

2. Вбейте два гвоздя на расстоянии приблизительно 30 см друг от друга по горизонтали и прикрепите к ним матрики. Массу одного грузика возьмите равной $m_1 = 100$ г, а массу второго — $m_2 = 500$ г. Длину нити первого матрика выберите равной $l_1 = 1$ м, а длину нити второго матрика нужно будет изменять, например, так: $l_2 = 0,5$ м; 0,7 м; 1 м; 1,2 м; 1,5 м.

Возьмите медную проволоку диаметром около 0,3’ мм и сделайте из нее мягкую пружинку длиной 30 см (например, наведите проволоку на общчный круглый карандаш и затем аккуратно снимите).

31

Теперь соберите всю «установку», как показано на рисунке 2. Это — так называемые связанные матрики. С ним можно проделать много интересных опытов.

Слегка раскачайте тяжелый (второй) матрик и предоставьте систему самой себе. Повторите опит несколько раз, меняя длину нити тяжелого матрика. Как ведет себя при этом легкий (первый) матрик?

Когда разность длины нитей обих матриков влика, колебания второго практического не влияют на первый. Когда же длины нитей сравнимы между собой, первый матрик начинает раскачиваться, причем раскачивается он то сильно, то слабо, потом снова сильно и снова слабо и так далее. Почему?

Очевидно, для передачи энергии от второго матрика к первому необходимо, чтобы только отружинки произходили в такт с качаниями первого матрика. Это осуществляется при равенстве длины нитей матриков. В таком случае говорят, что наступил резонанс.

Обратите внимание на то, что амплитуда колебаний тяжелого матрика почти не меняется. Значит, он передает легкому матрику лишь небольшую часть своей энергии.

Поменяйте матрики местами, то есть первоначально раскачайте легкий матрик. Вы убедитесь, что резонанс будет выражен гораддо слабее (чем легче матрик, тем быстрее затухают его колебания!). Проверьте это еще раз, воспользовавшись матриком с грузиком массой 20 г.

Наконец, подвешете на одинаковых нитях одинаковые по массе грузики и раскачайте один из них. Вы увидите, что в этом случае оба матрика будут попеременно раскачивать то сильно, то слабо, пока совсем не затухут. Причем, если один сейчас колебляется с большой амплитудой, то второй — с малой, и наоборот. Колебания как бы перетекают от первого грузика ко второму и обратно.

Оказывается, все дело в наложении колебаний. Матрики соединены слабой пружинкой, колебания которой передают энергию от одного матрика к другому и как бы регулярот эту передачу. Наложение таких двух колебаний называют бценями.

Интересно, что математические уравнения, которые описывают бензия (и с которых вы познакомитесь во второй части статьи), недавно пригодились в … нейтринной физике. Советский ученый академик Б. М. Понтекорво предложил, что один сорт нейтрино (анаалог первого матрика) может переходить в другой сорт (второй матрик), если в природа есть слабое взаимодействие (пружинка), связывающее эти сорта. И вот может оказаться, что нейтрино, легящие на Землю от Солнца, по дороге все время меняют свою природу. Происходит то же, что и с матриками. Сейчас учебы во всем мире ставят эксперименты, чтобы выяснить, существуют ли осцилляции. Понтекорво — процесс перехода одного сорта нейтрино в другой.

3. Этот опыт потребует некоторого терпения.

Изготовьте пять—шесть одинаковых матриков и связите их одинаковыми пружинками (рис. 3). Приведите в движение пружинки, и вы увидите, как постепенно колебания будет передааться остальные матриками — по цепочке матриков побежит волна.

Такая система — простейшая модель одномерной кристаллической решетки. На ней можно, например, наглядно пропилострировать поведение кристаллической решетки, когда в каком-то месте решетки возникли колебания.

Рис. 3.

34

Окружность
девяты точек
и пряма Эйлера

Самый простой из многоугольников — треугольник — издавана привлекательными геометров. После Евклида красивые теоремы доказывали о нем такие замечательные ученыые древности, как Аполлоний, Герон, Менелай и Птолемей. Ближе к нашему времени треугольник увлекались Эйлер, Понселе, Симсон, Дезарг, Клейн, Адамар.

В нашей дни треугольник немного вышел из моды, но не утратил своей быющей красоты. В этом вы сможете убедиться, прочитав про связанные с треугольником окружность и прямую, носящие имя Леонарда Эйлера. А рассмотренные затем задачи, мы надемся, покажут, что вокруг треугольника еще есть, над чем подумать.

Окружность Эйлера
Начнем со следующей замечательной теоремы, опубликованной Эйлером в 1765 году:

Основания высот, основания медиан и точки, расположенные на середина отрезков от ортцентра*) до вершин треугольника, лежат на одной окружности.

Окружность эта получила название окружности девяты точек или окружности Эйлера (рис. 1).

Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, обратим внимание на несколько простых, но полезных фактов, связанных с геометрией треугольника (рекомендуем доказать их самостояльно).

Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, $M$ — точка пересечения его медиан (остальные обозначения см. на рисунке 1).

(1) Точки $A_3, B_3, C_3$ являются центрами окружностей, описанных, соответствующего около треугольников $AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C$. (Указание. АН, ВН, СН — диаметры этих окружностей — см. рис. 2).

(2) Треугольники $AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C$ подобны между собой и подобны исходному треугольнику $ABC$. (Указание. Соответствие вершины обозначены одинаковыми буквами; $ABC = A\widehat{HC} = A\widehat{B_1C_1}$).

(3) Пусть $A, B$ и $C$ — величины соответствующих углов треугольника $ABC$. Если эти углы — остые, то величины углов треугольника $A_1B_1C_1$ равны, соответствующей, $180^\circ - 2A, 180^\circ - 2B, 180^\circ - 2C$; если же, например, $A > 90^\circ$, то они равны $2A - 180^\circ, 2B, 2C$ (рис. 2).

(4) Расстояние от точки $O$ до каждой стороны треугольника ввода меньше, чем расстояние от противолюшной вершины до ортцентра $|A_2O| = \frac{1}{2}|AH|, |B_2O| = \frac{1}{2}|BH|, |C_2O| = \frac{1}{2}|CH|$.

(Указание: Расстояние треугольника, стороны которого проходят через точки $A, B, C$ паралелно $BC, AC, AB$ соответственно.)

35

Прямая Эйлера

Заметим, что из утверждения (4) сразу следует, что точки O, M и H лежат на одной прямой, поскольку прямая OH делит медиану AA₂ в том же отношении, что и точка M. Эта прямая носит название прямой Эйлера треугольника ABC. Легко видеть, что |OM| = $\frac{1}{2}$ |MH|.

Докажем теперь, что точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂, A₃, B₃, C₃ лежат на одной окружности. Ограничимся рассмотренем случай остроугольного треугольника ABC. (Для тупоугольного треугольника проведите рассужждение самостояльно.)

Сначала заметим, что точки A₁, A₂, B₂, C₂ лежат на одной окружности (рис. 3), поскольку B₂A₁ и C₂A₁ — медианы прямогольных треугольников AA₁C и AA₁B, проведенные на гипотенузы, и, следовательно, B₂A₁C₂ = B₂A₁A + AA₁C₂ = A₁A B₂ + A₁A C₂ = A = B₂A₂C₂. Абсолютно аналогично доказывается, что точки B₁, A₂, B₂, C₂ лежат на одной окружности (точка B₁ — точка «того же сорта», что и A₁!) и что точки C₁, A₂, B₂, C₂ лежат на одной окружности. Таким образом, шесть точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ лежат на одной окружности. С другой стороны, если мы рассмотрим, например, четырехугольник A₃B₃A₂C₃ (рис. 4) и выразим какие-то два его противоположных угла через углы A, B и C (что нетрудно сделать), мы убедимся, что их сумма равна 180°; отсюда следует, что четырехугольник A₃B₃A₂C₃ — вписанный. Таким образом, шесть точки A₃, B₃, C₃, A₂, B₂, C₂ также лежат на одной окружности. Значит, все девять точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂, A₃, B₃, C₃ лежат на одной окружности (точки A₂, B₂, C₂ входят в общестерки). Теорема Эйлера доказана.

Свойства прямой и окружности Эйлера

(5) Радуус окружности девяты точек равен половине радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, с коэффициентом $\frac{1}{2}$ и центром琢отции в точке H (именно так расположены по отношению друг к другу треугольники ABC и A₃B₃C₃).

(7) Эти же окружности琢отции, но уже с коэффициентом $(-\frac{1}{2})$ и центром琢отции в точке M (так расположены по отношению друг к другу треугольники ABC и A₃B₃C₃).

(8) Центр окружности девяты точек лежит на прямой Эйлера в середине отрезка OH.

36

Трудная задача

На тему окружности девяты точек и прямой Эйлера составлено много интересных задач. Вот одна из них, опубликованная в книге «Избранные задачи из журнала American Mathematical Monthly» (M., «Мир», 1977):

Дан треугольник ABC; AA1, BB1, CC1 — его высоты. Доказать, что прямы Эйлера треугольников AB1C1, A1BC1, A1B1C пересекаются в такой точке P окружности девяты точек треугольника ABC, для которого один из отрезков PA1, PB1, PC1 равен сумме двух других отрезков (рис. 5).

Пусть, как и прежде, H — ortоцентр треугольника ABC, A3, B3, C3 — середины отрезков AH, BH, CH (они, напомним, является центрами окружностей, описанных около подобных треугольников AB1C1, A1BC1, A1B1C).

Докажем сначала вспомогательное утверждение. Если через точки A3, B3, C3 проведены прямы, одинаково расположенные по отношению к треугольникам AB1C1, A1BC1, A1B1C, то такие прямы пересекются на окружности девяты точек треугольника ABC.

Обозначим через P точку пересечения ккихнбуд двух из этих прямы — направер, прямы, проведенных через A3 и C3 (рис. 6). Так как прямы A3P и C3P одинаково расположены относительно треугольников AB1C1 и A1B1C, A1A3P=A1C3P. Значит, окружность, проходящая через точки P1, A1, C3, пройдет через точки A3. Но тогда эта окружность — окружность девяты точек треугольника ABC! Таким образом, любые две из проведенных прямы пересекются на окружности девяты точек треугольника ABC, отстояла легко заключить, что все три прямы пересекются в одной точке.

Для завершения доказательства предположим теперь, что P — точка пересечения прямы Эйлера. Легко видеть (проверьте!), что числа |PA1|, |PB1|, |PC1| пропорциональны

(*) To есть образующие с соответствующими сторонами одинаковые углы.

Рис. 5.

Рис. 6.

синусом углов PA3A1, PA3B1, PA3C1. Положим PA3A1=φ.

Предположим, что △ABC — остроугольный. Пользовать свойством (3) и рисунком 5, найдем
PA3B1=φ+A1A3B1=φ+A1C1B1=
=φ+180°-2C,
PA3C1=A1A3C1-φ=A1B1C1-φ=
=180°-2B-φ.

Таким образом, нам нужно доказать, что одно из трех чисел
sin φ, sin (2C-φ), sin (2B+φ)

(в данном случае — второе) является суммой двух других.

Рассмотрим треугольник AOH (рис. 7). Поскольку △ABC≈△AB1C1 и точки O, A3 является центром описанных около этих треугольников окружностей, AOH=φ и OAC=HAB=90°-B. Значит,
OAH=A-OAC=A1AB=
=A-(90°-B)-(90°-B)=2B+A-180°,
откуда sin OHA=sin (360°-2B-A-φ) =
=sin (2B+A+φ).

Если R — радиус окружности, описанной около △ABC, то |OA|=R; в силу свойства (4) и равенства A2OB=1/2 COB=A

|AH|=2|OA2|=2R cos A.

По теореме синусов для треугольника OAH получаем
R/(sin (2B+A+φ))=2R cos A/sin φ,
sin φ=2 cos A sin (2B+A+φ),
sin φ=sin (2A+2B+φ)+sin (2B+φ),
sin φ=-sin (2C-φ)+sin (2B+φ),
sin (2C-φ)=sin φ+sin (2B+φ).

Попробуйте самостояльно проделать доказательство в случае, когда треугольник ABC — тупоугольный.

В заключение приведем без доказательства еще один замечательный факт, связанный с окружностью девяты точек:

Теорема Фейербаха. Окружность девяты точек касается впи-

37

Санной и трех внешисанных окружностей*) данно треугольника.

Все известные нам доказательства этого утверждения весма громоздки и носят, по существу, чисто вычислительной характеристик. Возможно, вам удastore найти хорошее геометрическое доказательство теоремы Фейербаха.

Желающим поближе ознакомиться с геометрией треугольника мы рекомендуем две книги:

С. И. Зетель «Новая геометрия треугольника» (М., «Учредгиз», 1962).

*) Внешисанная окружность — это окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолженной двух других его сторон.

Колебания и матрики

(Начало см. на с. 30)

становится равной нулю. Это означает, что произшла полная передача энергии от первого матрика ко второму. Затем процесс поддет в обратном направлении.

Гораздо труднее математически описать колебания связанных матриков с разными массами, но одинаковыми длинами нитей (при желании попробуйте сделать это самостояльно). Заметим только, что в этом случае амплитуда первого матрика в нуль не обращается — энергия хотя и передается другому матрику, но не полностью. Это вы тоже наблюдают на опыте.

Если же длинны матриков не одинаковы ($l_1 \neq l_2$), то, как вы видели на опыте, резонанса не будет. В математическом описании это скажется в том, что станет невозможным переходот системы (4) к системе (5).

В заключение советует вам самостояльно исследовать вопросы о зависимости колебаний связанных матриков от жесткости пружинки, от положения места ее крепления к нитям и от масс матриков. Попробуйте, например, решить задачу для случая, когда масса одного матрика города больше массы другого, и сравните полученный результат с опытом (для этого один из матриков прикрепите пружинкой к стене).

38

Задачи

M696—M700; Ф708—Ф712

M696. Можно ли таблицу 10×10 клеток заполнить 100 различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата $k \times k$ клеток ($2 \leq k \leq 10$) а) суммы, б) произведение $k$ чисел на его диагоналях были одинаковы?

A. Балинский

M697. Изовем пузаостью прямогольника отношение его меньше стороны к большей (пузаостью квадрата равна 1). Доказите, что, как бы разрезать квадрат на прямогольники, сумма их пузаностей будет не меньше 1.

C. Фомин

M698. На сторонах $a, b, c, d$ вписанного в окружность четырехугольника «наружу» построены прямогольники размерами $a \times c, b \times d, c \times a, d \times b$. Доказите, что центры этих прямогольников являются вершинами $a$) параллелограмма, $b$) прямогольника.

O. Пенкин

M699*. Полукруг с диаметром $AB$ разрезан отрезком $CD$, перpendикулярным $AB$, на два кривойнейных треугольника $ACD$ и $BCD$, в которых вписаны окружности, касающиеся $AB$ в точках $E$ и $F$ (рис. 1). Доказите, что $|AD| = |AF|$, $|DF|$ — биссертиса угла $BDC$, величина угла $EDF$ не зависит от выбора точки $C$ на $AB$.

B. Сендеров

M700*. Можно ли множество всех конечных десятичных дробей разить на $a$) два, $6$) три класса так, чтобы в один класс не попали два числа с разностью $10^m$ (ни при каком целом $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$)?

A. Лейдерман

Ф708. Для исследования свойств линейного резистора был произведен ряд экспериментов. Вначале была исследована зависимость сопротивления резистора от температуры. При повышении температуры до значения $t_1 = 100^\circ C$ мгновенно происходит скачок сопротивления от величины $R_1 = 50$ Ом до величины $R_2 = 100$ Ом; при охлажд-

39

деними обратный скачок происходил при температуре $t_2 = 99^\circ\text{C}$ (рис. 2).
Во втором опите к резистору приложили постоянное напряжение $U_1 = 60\text{ В}$, при котором его температура оказалась равной $t_3 = 80^\circ\text{C}$.
Наконец, когда к резистору приложили постоянное напряжение $U_2 = 80\text{ В}$, в цепи возникли самопроизвольные колебания тока. Определите период этих колебаний, а также максимальное значение тока. Температура воздуха в лаборатории постоянная и равна $t_0 = 20^\circ\text{C}$. Теплоотдача от резистора пропорциональна разности температуры и окружающей воздуха. Теплоемкость резистора $c = 3\text{ Дж}/\text{К}$. (9)

А. Буздин

Ф709. Собранна схема, показанная на рисунке 3. ЭДС батареи $\varepsilon_1$ уменьшили на 1,5 В, после чего токи на различных участках цепи изменились. Как нужно изменить ЭДС батареи $\varepsilon_2$, чтобы

1. ток через батарею $\varepsilon_1$ стал прежим?
2. ток через батарею $\varepsilon_2$ стал прежим?
   Внутренними сопротивлениями батарей пренебречь.

А. Зильберман

Ф710. При наблюлении в области за пределем капли, которая увеличивается в размерах, поглощая мелчайшие капельки, встречающиеся на ее пути, было установлено, что капля движется все время с постояннымускорением. Определите этоускорение, считая начальной размер капли малым. Сопротивлением воздуха при движении капли пренебречь.

А. Стасенко

Ф711. В таблице приведены экспериментальные данные о теплоемкости и молярных массах неокотorbых твердых тел. На основании этих данных установить неокотropy физической закономерность и заполнить три пустые клеточки таблицы. Какова предполагаемая точность ваших предсказаний (в процентах)? Универсальная газовая постоянная $R = 8,31\text{ Дж}/(\text{моль} \cdot \text{К})$. (9)

Е. Сурков

Таблица

| | Серебро | Аломиней | Золото | Висмут | Кобальт | Медь | Железо | Литий | Магний | Никель | Платина | Титан | Ванадий |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $c$, Дж/(г·К) | 0,238 | 0,90 | 0,128 | 0,122 | 0,417 | 0,383 | 0,447 | 3,52 | | 0,43 | 0,131 | | 0,484 |
| А, г/моль | 107 | 27 | 197 | 209 | 59 | 64 | | 7 | 24 | 60 | 196 | 48 | 51 |

40

Ф712. Небольшой шарик движется с постоянной скоростью $\vec{V}_0$ по гладкой горизонтальной поверхности и попадает в точке $A$ в цилиндрический вертикальный колодец глубины $H$ и радиуса $R$. Вектор скорости шарика составляет угол $\alpha$ с диаметром колодца, проведенным в точку $A$ (рис. 4). При каком соотношениям между $\vec{V}_0$, $H$, $R$ и $\alpha$ шарик после упругих соударений со стенками и дом сможет «выбрать» из колодца? (8)

С. Кротов

Решения задач

M656—M660; Ф668—Ф672

Поместим начала всех векторов в одну точку и построим сферу радиуса 1 с центром в этой точке. Возьмем точки пересечения наших векторов (или их продолжений) с постоянной сферой и окружим какую из них шапочкой «диаметром» $45^\circ$ (рис. 1) или, что по существу то же самое, сами векторы — конусами с растором $45^\circ$ (и образуют 1). Утверждение задачи будет доказано, если мы показем, что какие-то две из этих «окрестностей»: шапочки или конуса — пересекаются. А для этого сравним суммарную площадь поверхности шапочки (или суммарный объем конусов) с площадью поверхности сферы (соответственно, с объемом шара).

Площадь поверхности шапочки (см. рис. 1; $H = R(1-\cos \varphi)$ — высота шапочки) равна $2\pi RH = 2\pi \left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right) = 2\pi \left(1-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}\right)$ (мы воспользовались формулой для косинуса поливинного угла). Наша цель — доказать, что $30 \cdot 2\pi \left(1-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}\right) > 4\pi$, то есть, что $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2} < \frac{4}{15}$. Произведя несколько несложных преобразований (два из которых — возведение в квадрат), приdem к верному равnocильному неравенству $\frac{1}{2} < \left(\frac{167}{225}\right)^2$. Из этого следует, что среди шапочки найдет две пересекающиеся; угол между соответствующими им векторами будет меньше $45^\circ$.

Если сравним объемы (рис. 2), нужно доказать, что объем каждого конуса больше $\frac{4}{90}$ π. Предлагаем вам убедиться в этом самостояльно.

A. Толпьео

M657. В таблице $n \times n$, заполнен числами, все строки различаны. Докажите, что из таблицы можно вычернуть неокторный столбец так, что в оставшейся таблице все строки также будут различаны.

Допустим противное: какой бы стольец мы ни вычерknулы, в оставшейся таблице найдет хотя бы одна пара одинаковых строк. Рассмотрим $n$ «укороченных» таблиц, получающихся из данной, соответствующего, вычеркиванием первого, второго, …, $n$-го стольца. Отметим для каждой из этих таблиц одну пару одинаковых строк (длины $n-1$). Будем теперь считать, что строки исходной таблицы — это точки на плоскости, причем точки, соответствующие отмеченным параметром в укороченных таблицах, попарно соединены. Мы получили картинику «$n$ точек — $n$ отрезков». Нетрудно доказать, что в такой картинике найдет цикл — замкнутая ломанная с вершинами из наших точек. Пусть эти вершины соответствуют строкам $A_1$, $A_2$, …, $A_m$, и пусть отрезок $A_iA_{i+1}$ получается в результате вычеркивания

41

столбца $B_i$ ($i=1, 2, \dots, m-1$), а отрезок $A_m A_1$ — столбца $B_m$.
Тогда в исходной таблице строки $A_1$ и $A_2$ отличются только в столбце $B_1$, строки $A_2$ и $A_3$ — только в столбце $B_2$, …
строки $A_{m-1}$ и $A_m$ — только в столбце $B_{m-1}$, так что в столбце $B_m$ во всех этих строках записано одно и то же число.
Но это противоречит тому, что точки, соответствующие строкам $A_1$ и $A_m$, соединены (поскольку, по условию, все строки в исходной таблице различны, строки $A_1$ и $A_m$ должны отличаться в столбце $B_m$).

А. Анджан

M658. В квадрате со стороны 1 проведено конечное число отрезков (рис. 1), параллельных его стороны. Отрезки могут пересекать другие другие. Сумма длины проведенных отрезков равна 18. Доказите, что среди частей, на которые квадрат разбивает эти точки отрезки, найдется такая, площадь которого не меньше 0,01.

◆ Сумма длин границ всех частей, на которые квадрат разбит отрезками, равна $2 \cdot 18 + 4 = 40$ (длины проведенных отрезков входят в эту сумму по два раза, длины сторон квадрата — по одному). Пусть для $i$-й части сумма длин горизонтальных границ равна $2x_i$, вертикальных — $2y_i$, а площадь $i$-й части равна $c_i^2 (c_i > 0)$; тогда $x_i y_i \geqslant c_i^2$ (рис. 2), поэтому $x_i + y_i \geqslant 2\sqrt{x_i y_i} \geqslant 2c_i$. Итак,

$$40 = \Sigma (2x_i + 2y_i) \geqslant 4\Sigma c_i,$$

откуда $\Sigma c_i \leqslant 10$ (десь сумма $\Sigma$ береется по всем частям разбиения).

Рис. 1.

Рис. 2.

Если $c_i^2 < 0,01$ (то есть $c_i < 0,1$) для всех $i$, то $1 = \Sigma c_i^2 < \Sigma 0,1c_i = 0,1\Sigma c_i$, откуда $\Sigma c_i > 10$. Противоречие. Очевидно, оценка 18 — точная: восемнадцатую отрезками длины 1 наш квадрат можно разбит на 100 одинаковых квадратков площади 0,01 каждый.

А. Берзины

M659. Доказите следующие свойства последовательности Фибоначчи $f_1 = 1, f_2 = 2, \dots, f_{k+1} = f_k + f_{k-1}$.

а) Кажде натуральное число $n \geqslant 3$ представляется в виде суммы различных чисел Фибоначчи.

б)* Обозначим количество таких представлений числа $n$ в виде суммы четного числа слагаемых через $K_n$, в виде суммы нечетного числа слагаемых — через $H_n$; тогда $|K_n - H_n| \leqslant 1$ при всех $n$.

в)* Если переможить несколько подряд стойчих двуххлелов из последовательности

$$1 - x, 1 - x^2, 1 - x^3,$$

$$1 - x^5, \dots, 1 - x^{f_k}, \dots$$

Для краткости мы будем вместе «представление числа $n$ в виде суммы различных чисел Фибоначчи» говорить «представление числа $n$»; представления, удовлетворяющие условиям г), мы будем называть правильными.

Утверждение задачи a) содержится в утверждении задачи г).

Решение задачи г). На полях приведена таблица правильных представлений натуральных чисел. Эта таблица устроена так. Ее строки разбит на группы, содержащие, соответствующие значения $1, 2, \dots, f_k$, … равенств. Первая группа состоит из равенств $1 = 1$, вторая — из равенств $2 = 2$ и $3 = 1 + 2$, а группа с номером $k \geqslant 3$ получается из $(k-2)$-й и $(k-1)$-й групп увеличением левой части входящих в них равенств на $f_k$ и приписьванем к правой части слагаемого $f_k$. Из таблицы видно, что всякое натуральное число $n \geqslant 3$ обладает правильным представлением. Для доказательства единственности правильного представления предположим, что $n$ — самоое маленькое число, для которого оно единственно; пусть

$$n = f_{i_1} + \dots + f_{i_m} (i_1 < \dots < i_m)$$

— представление, не содержащая в нашей таблице. Но тогда

42

(в показательх стоит числа Фибоначчи), то в полученном многочлене все коэффициенты будут равны 0, —1 или +1. Известное нам доказательство утверждений б) и в) опирается на такое свойство:
e) Для любого $n \geq 3$ существует единственное представление $n$ в виде суммы различных чисел Фибоначчи, которое вместе с каждым слагаемым $f_k(k \geq 3)$ содержит хотя бы одно из двух предыдуших чисел Фибоначчи $f_{k-1}$ или $f_{k-2}$.

$$1 = 1$$
$$2 = 2$$
$$3 = 1 + 2$$
$$4 = 1 + 3$$
$$5 = 2 + 3$$
$$6 = 1 + 2 + 3$$
$$7 = 2 + 5$$
$$8 = 1 + 2 + 5$$
$$9 = 1 + 3 + 5$$
$$10 = 2 + 3 + 5$$
$$11 = 1 + 2 + 3 + 5$$
$$12 = 1 + 3 + 8$$
$$13 = 2 + 3 + 8$$

$$1 = S(1)$$
$$2 = T(1)$$
$$3 = S(2)$$
$$4 = S(1,1)$$
$$5 = T(2)$$
$$6 = S(3)$$
$$7 = T(1,1)$$
$$8 = S(2,1)$$
$$9 = S(1,2)$$
$$10 = T(3)$$
$$11 = S(4)$$
$$12 = S(1,1,1)$$
$$13 = T(2,1)$$

$$37 = S(2,2,1)$$

$$K_1 - H_1 = M(1) = -1$$
$$K_2 - H_2 = N(1) = -1$$
$$K_3 - H_3 = M(2) = 0$$
$$K_1 - H_4 = M(1,1) = 1$$
$$K_5 - H_5 = N(2) = 0$$
$$K_6 - H_6 = M(3) = 0$$
$$K_7 - H_7 = N(1,1) = 1$$
$$K_8 - H_8 = M(2,1) = -1$$
$$K_9 - H_9 = M(1,2) = 0$$
$$K_{10} - H_{10} = N(3) = 0$$
$$K_{11} - H_{11} = M(4) = 1$$
$$K_{12} - H_{12} = M(1,1,1) = 0$$
$$K_{13} - H_{13} = N(2,1) = -1$$

$$K_{37} - H_{37} = M(2,2,1) = 0$$

правильное представление
$$n - f_{i_m} = f_{i_1} + \dots + f_{i_{m-1}}$$
то же может содержаться в таблице, иначе нам пришлось бы при обработании $i_m$-й группы включить в таблицу представления (1). Противоречие.

Решение задачи 6). Представления натуральных чисел будем изобразать в виде последовательностей черных и белых кружков: черный кружок на $k$-м месте означает, что $f_k$ входит в представление, белый — что не входит (мы обращаем последовательность на последнем черном кружке). На рисунке 1 этим способом записаны шесть различных представлений числа 37 (это — все возможные его представления). Правильные представления прибретают при этом вид, показанный на рисунке 2, а или 2, 6; здесь $j_1, \dots, j_q$ — натуральные числа. В первом случае мы полагаем $n = S(j_1, \dots, j_q)$, $K_n - H_n = M(j_1, \dots, j_q)$; во втором случае мы полагаем $n = T(j_1, \dots, j_q)$, $K_n - H_n = N(j_1, \dots, j_q)$. (Так, 37 = S(2, 2, 1), $M(2, 2, 1) = K_{37} - H_{37} = 3 - 3 = 0$; другие примеры приведены рядом на полях.)

Если $n = f_{i_1} + \dots + f_{i_m}$ — представление числа $n$, включая ее в себя $f_r$ и $f_{r+1}$, но не включая ее $f_{r+2}$, то, заменив слагаемые $f_r$ и $f_{r+1}$ слагаемые $f_{r+2}$, мы получим другое представление числа $n$. Это преобразование (… ● ● ○ … → … ○ ○ ● …) мы будем называть элементарным упрощением. Очевидно, всякое представление числа получается из правильного элементарных упрощений. Пусть сначала $q = 1$. На рисунке 3 изображен полный набор представления числа $n = S(j)$ (костати, равного $f_{j+2} - 2$). Мы видим, что $K_{S(j)}$ есть число четырех от $[(j+1)/2]$ до $j$, а $H_{S(j)}$ есть число нечетных х чисел на этом отрезке. Следовательно,

$$K_n - H_n = M(j) = \begin{cases} 1, \text{ если } j \equiv 0 \text{ mod } 4^* \\ -1, \text{ если } j \equiv 1 \text{ mod } 4, \\ 0, \text{ если } j \equiv 2 \text{ mod } 4. \end{cases}$$

Обратимся теперь к числу $M(j_1, \dots, j_q)$. Разделим представления числа $S(j_1, \dots, j_q)$ на две группы: представления вида $f_{1+1} + \dots + f_{j+1} + \dots$ и остальные. Число представления первого группы совпадает с числом всех представлений числа $S(j_2, \dots, j_q)$, только последнее имеет на $j_1$ слагаемых меньше, поэтому включает первый групп в $M(j_1, \dots, j_q)$ равен $(-1)^j M(j_2, \dots, j_q)$ (на полях приведено несколько чисел примеров, или построирующих нашей наблюдание).

Далее, чтобы с помощью элементов упрощений получить из правильного представления второго группы, необходимо сделать элементарное упрощение ($f_{j_1-1}, f_{j_1}) \rightarrow f_{j_1+1}$, причем с него можно найти. В результате между первыми $j_1-2$ слагаемых и остальных возможнет зазор длины 2 (рис. 4), исключающий возможность взаимодействия. Поэтому в дальнейшем элементарные упрощения первого $j_1-2$ слагаемых и остальных происходит независяство, так что включает второй групп в $M(j_1, \dots, j_q)$ равен $M(j_1-2) M(j_2+1, j_3, \dots, j_q)$. Итак,

$$M(j_1, \dots, j_q) = (-1)^j M(j_2, \dots, j_q) + M(j_1-2) M(j_2+1, j_3, \dots, j_q)$$

(см. также примеры на полях)**). Доказем теперь по $q$, что $M(j_1, \dots, j_q) = -1, 0$ или 1.

При $q = 1$ это мы уже знаем. Предположим, что $M(k_1, \dots, k_r) = -1, 0$ или 1 при $r = q$ и любых $k_1, \dots, k_r$. Если $j_1 \equiv 0$ или 1 mod 4, то $M(j_1-2) = 0$ (см. формулу (2)) и $M(j_1, \dots, j_q) = (-1)^j M(j_2, \dots, j_q) = -1, 0$ или 1.

Если $j_1 \equiv 2$ или 3 mod 4, то $M(j_1-2) = (-1)^j M(j_2, \dots, j_q)$ (см. формулу (2)) при $q = 2$ и

*) Запись $a \equiv b$ mod $c$ (читается: $a$ сравним с $b$ по модую $c$), где $0 \leq b < c$, означает, что при делении $a$ на $c$ получается остаток $b$.

**) Формула (3) имеет смысл только при $j_1 \geq 3$, но его можно пользоваться и при $j_1 = 1, 2$, положив $M(-1) = 0, M(0) = 1$ (что не противоречит и формуле (2)); доказательство оставляется читателю.