Квант 1981, №10 · Страницы

КВАНМ 10
1981

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ДВАДЦАТОЕ — ЛИШНЕЕ

В шестинадцатии свободных кругжках расставьте числа от 1 до 20, за исключением 6, 12, 18 и еще одного числа, так чтобы суммы чисел, расположенные на каждой из девяты указанных окружностей и каждой из трех указанных динамиров, были одинаковыми.

А. Медяник

1

10
1981

Основан в 1970 году

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-MATEMATИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ИЗДАТЕЛЬСТВО·НАУКА·
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-MATEMATИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

В НОМЕРЕ:

Главный редактор
академик И. К. Кикоин

Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:

М. И. Башмаков
С. Т. Беллев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Н. А. Патрикева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин

Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург

Ученые обращаются к молодежи

2 Н. Эмануэль. Думать и искать

5 Л. Асламазов. Что такое СКВИД?

13 Д. Козн. Метрика коня

17 С. Филонович. Генри Кавендиш

22 Генри Кавендиш. Экспериментальное определение закона электрической силы

Математический кругхок

27 В. Переяславский. Игра «Определенель»

Задачик «Квант»

32 Задачи М706 — М710? Ф718 — Ф722

34 Решения задач М666 — М670; Ф678 — Ф682

«Квант» для младших школьников

41 Задачи

42 И. Юфанова. Интервью с бароном Мюнхаузеном

По страницам школьных учебников

44 В. Кучеров. Геометрические аналогии

Практикум абитуриента

47 А. Шеронов. Кривolineное движение

Искусство программирования

51 Заоная школа программирования. Урок 15

Информация

58 Всеросскийская олимпида школьников

62 Шахматная страница

63 Ответы, указания, решения

Новости науки (31)

Наша обложка (57)

Смесь (50)

Шахматный конкурс (3-я с. обложки)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-mатематической литературы, «Квант», 1981

2

Думать
и искать

Я буду говорить о наиболее актуальных проблемах, которые придется решать сегодняшим школьником и студентам, о проблемах, которые «перейдет» в XXI век, о том, какие качества должны выковать в себе специальные новое язычелетия.

В многомиллионной армии Нauки сегодня много специализированных отрядов, но мне хотелось бы сказать несколько слов об основных, фундаментальных науках — математике, физике, химии и биологии.

Абстрактная по форме наука — математика — все больше становится инструментом изучения стройного и строого описания явлений, с которых имеют дело естественные, общественные и технические науки. Развитие науки показывает, что в ближайшем будущем роль математики возрастет настолько, что, какой бы специализостью человека ни овладел, ему понадобится для работы отличное значение современного математического аппарата.

В уходящем XX веке человекчество обогатилось в области физики такихими революционными открытиями, как расщепление ядер урана (в результате чего возникли atomная техника и энергетика), открытие термоядерного синтеза (связанного с огромным выделением энергии), квантовых генераторов — лазеров (нашеших широчайшие области применения), создание трансисторов (которые позволили развить современную радиоэлектронку, электронно-вычислительной технику). В XXI веке

Академик Николай Маркович Эмануэль — лаурат Ленинской премии, заместитель директора Института химической физики АН СССР, профессор Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Стратия с небольшими сокращениями перепечатываться из сборника «Ленин. Нauka. Молоджь», выпущенного в 1980 году издательством «Нauka».

3

физикам предстоит решать градинозные задачи, которые должны обеспечить будущее процветание человека.

Современная химия развивается вneaзрывной связи с физикой, математикой и биологическей. К числу новых области ее относится химия высоких энергий, которая изучает химические превращения под влиянием радиации, света, лазерного излучения, действия ударных волн, плазменные процессы. Развивается электросимия, создатся новые электромические источники тока. Исключительно важное народноозначение значения имеют работы в области коррозии и зашиты металлов от коррозии. Создатся новые полимерные материалы — термостойкие, высокопрочные, устойчивые к воздействию химических агрессивных сред, материалов для медицинских целей. В связи с проблемой заполнального использования ресурсов природного ограниченного сырья расширяются нефтехимия, угlexимия, сланцехимия, химия торфа, древесины. Особое место занимает организация химия с ее миллионами индивидальных химических веществ, уже нашедших применение или могут их стать нужными в дальнейшем. Химики-органики синтезируют лекарстенные препараты против наоболее опасных болезней человека и животных. Реальное значение приобретают работы по синтезу искусственного пищи.

Биология длительное время считалась науковой чисто описательной. Однако глубокое проникновение в существование биологических явлений привело к интенсивному развитию биологии живой клетки, биохимии и физиологии животных, человека и растений, генетики, биофизики, исследовании процесса фотосинтеза. Исключительно привлекательность и перспективы не только для познания механизма жизни явлений, но и для управления жизниными процессами имеет молекулярная биология. Здесь эффективно переплетаются интересы многих естественных наук.

Сейчас у нас около тысячи взов, в которых обучаются почти 5 млн. студентов. Грандизные цифры, которые не знает ни одна страна в мире!

Сейчас в Советском Союзе самоое большое в мире число научных работников — почти 1,3 млн. человек. Промышленность нуждается в сырье, и в поисках новых источников сырья неутомимо штуруют недра земли геологии. Страна нужны специальные сельского хозяйства, лесного дела, технологическа продовольственных товаров и товаров широкого потребления. Нужны экономисты, работники здравоохранения, педагоги, работники искусства и культуры и многие другие специальные. Когда перечисляется эти специальности, на ум приходит еще одна мысль. как это заменятьно, что нашей стране всегда будет нужно все больше и больше специальностей, что никакая выпускники наших взов не узнают, что такое безработица.

Склонность к той или иной профессии у молодых людей выявляется, по моему мнению, обично очень рано, применно в пятом-шестом классе школьы. Поэтому подчас еще в довузовский период молодой человек прибретает некоторые профессиональные кругозор, получает общее представление о будущеем, о работе, успевает даже собрать библиотечку из более или менее серверных и научно-популярных книг, собирает вырезки о любимой профессии из газет… В этом случае у него, совсем еще молодого по возрасту, появляется весма импонирующая нам, окружающим, деловая взрослость. Особенно хорошо, когда вы уже попробовали что-то сделать своим рукам — увлекательным ли моделими самолетов, роботов, собирали ли радиоприемники, не контесь электричеса, знаете, как обращаться с химическим веществом… Инфантильность в возрасте, близком к совершеннолетию,— большой недостаток. То, что я называл деловой взрослостью,— залог успешного и глубокого освенения профессии. Ведь избранной специальностью надо владеть в совершенстве, знать ее до тонкости,уметь все делать своим рукам. Когда механик на службе безопасности определяет характер и место неисправности в машине и увебе.

4

ренно устраняет неполадки, это столь же красиво, изящно и эстетично, как и виртуозная игра на музыкальном инструменте.

Профессионализм — хорошо качество, которое надо всемерно в себе развивать. И еще есть одна черта, которую следует питьаться выработать в себе к уровню развития своей науки. Познавая то, что уже сформировано, решение, легло в основу того или иного произвольства, конструкции, привякайте думать о том, нельзя ли решить проблему по-другому. Пытайте сами находить новые решения, более эффективные, оригинальные. Изобретайте, придумывайте!

Я глубоко уверен, что можно — и должно! — развить в себе подобные черты. Оргинальное творчество должно становиться массовым. Творческий критический подход помогает также и воспитанию инцидийы, что абсолютоно необходимо специализуру.

В знаменитом письме к молодежки, опубликованном еще в 1935 г., великий физик И. П. Павлов писал о скромности. Писал очень строго, требовательно, настаняя на упорном накоплении знаний, говорил о том, что, сколько бы высоко ни оценивали ваш знания другие, всегда надо иметь мужство сказаать себе: «Я невежда». Написано сурово и резко. Кстати говоря, пока человек еще молод, деловая нескромность, отсутствие самокритичности и самодовольство порой еще и не так приметны, но если он, взрослея, и дальше будет таким, вред, приносимый им обществу, может стать весьма ошутимым. Особенно, если такой человек оказывается на посту руководителя.

Есть старая и общеизвестная истина — «ученик должен превзойти своего учитель». Понятие «учитель» не следует поннимать в буквальном смысле слова. Учитель может и не возиться с учеником, выбирая ему в голову различные истинны. Но ученик должен взять у учитель все хорошее и ценное, что у него есть, и почти дальше, создать и развить то новое, прогрессивное, что заложено в нем самом. Тот, кого называют учитель, как правило, испытывает чувство глубокого удовлетворения, когда ученики идут дальше его самого. Только в немногих печальных случаях учительбитсяpostaсвонхучеников. И это скорее редкое исключение. Поэтому смотрите внимательно на своих преподавателей. Получайте удовлетворение от того, что вы научитесь излагать мысли в их стиле, а затем, может быть, вам удаться выработать свой собственный, который, возможно, оказывается более оригинальным, доходивым, интересным. Если учитель пишет научные работы, монографии, учебники — читайте их, пожмите логику его рассужdenей, научитесь писать так, как он, а затем выработайте свой почерк, свой стиль изложения.

Как ни оченьны эти советы, они могут оказаться полезными, могут способствовать профессиональной росту.

В заключение хочу пожелать вам следующее: вы вступили в такой возраст, когда ценность каждого прожитого дня настолько велика, что вы не имеете права перед самим собой и перед обществом страиваться перерывы на ничего неgehонеделение. Думайте, ищите, учитесь, творите себя и мир — ежедневно!

5

Что такое СКВИД?

О сверхпроводимости в нашей время знают, наверное, все. Это явление состоит в том, что при низких температурах электрическое сопротивление ряда чистых металлов и славов становится равным нулю и электрический токчет без всяких потерь.

Температуры, при которых исчезает сопротивление, очень низкие — они близки к абсолотному нулю (−273°С). Для охлаждения вещества до такой температуры его помещают в особую среду — жидкий гелий. При нормальном давлении гелий становится жидким при температуре 4,2 К и не замерзает при самых низких температурах — вплоть до абсолотного нуля.

Охлаждение до температур жидкого геля — довольно сложная задача. Вот почему стол перспективное для использования в технике является сверхпроводимость, пока еще не нашло широкого практического применения. А, казалось бы, как заманчиво, например, передавать электрическую энергию на далекие расстояния по сверхпроводящим проводам — никаких потерь! Однако охлаждение провода сейчас еще довольно дорого. И хотя уже созданы сверхпроводящие линни передач длиной в несколько километров, а также сверхпроводящие моторы и генераторы и даже сверхскоростные поезда на так называемой магнитной подушке (где тоже используется сверхпро-
водимость) — такие устройства все еще не запущены.

В лабораториях всего мира физики и химки ищут вещества, которые будут сверхпроводящими при не слишком низких температурах (например, чтобы для их охлаждения можно было использовать сравнительное дешевый и доступный жидкий воздуха). В этом направлении уже достигнут значительный прогресс — с каждым годом открывают все более «высокотемпературные» сверхпроводники. Но даже сегодняший рекордмен — сплав нюбия с германем Nb₃Ge — становится сверхпроводником лишь при температуре 22,4 К.

И тем не менее уже сейчас сверхпроводимость «работает». В ряде случаев возможность сверхпроводимости стол уникальны, что приходится мириться с затратами на охлаждение. Так, сверхпроводящие магниты ширококо использоваются для создания сильных магнитных полей (в несколько десятиков tesla); сверхпроводимость же применяют для измерения очень слабых магнитных полей (с точностью до 10⁻¹⁸ Тл). На основе сверхпроводимости действуют чувствительные волтметры, детекторы и успilitели электромагнитного излучения. Существует целая область электроники — криоэлектроника (от греческого слова «криос» — холод), основанная на использовании явления сверхпроводимости.

О некоторых практических примениях сверхпроводимости будет расссказано в этой статье. Однако расссказ придается издалеке. Давайте прежде познакомимся с одним красивым физическим явлением, лежащим в основе устройства многохих сверхпроводящих прибора.

Квантование магнитного потока

Как известно, в микромире — мире молекул, атомов, элементарных частиц — существенно свойственны могут применять только определенные дискретные значения — как говорят физики, величины

6

квантуются. (Для описания микромира создана специальная наука — квантовая механика.) В больших коллективах частиц — макросоппических телах — квантовые эффекты обычно перестановить заметными, поскольку из-за хаотического теплового движения проискот усредние величины по большому числу ее различных значений и квантовые скачки «замазываются».

А что будет, если тело охладить до очень низких температур? Оказывается, в таком случае квантование может проявляться и в макросоппических масштабах. Пример тому дает замечательное явление — квантование магнитного потока в сверхпроводнике.

Что такое магнитный поток Ф, знают все, кто изучал явление электромагнитной индукции:

$$\Phi = BS,$$

где B — модель вектора магнитной индукции, а S — площадь поверхности, охватываемой контуром (для простоты будем считать, что индукция направлена по нормали к поверхности). Оdnako для многохудет открытем, что магнитный поток, создаваемый сверхпроводящим током, текущим, направлен по колыцу, может принимать только определенные дискретные значения. Попробуем хотя бы упрощенно понять это явление.

Движение сверхпроводящих электронов в колыце (рис. 1) похож на движение электронов в атоме: электроны в колыце как бы движутся по гигантским орбитам радиуса R без всяких столковеней. Поэтому естественно предположить, что их движение подчиняется тем же правилам квантования, что и движение электронов в атоме. Согласно построалу Бора, в атоме только определенные орбиты электронов являются Staционарными, устойчивыми. Они отбираются с помощью следующого правила квантования: произведение модели импульса электрона mv на радиус орбиты R (величина mvR называется моментом импульса электрона) может принимать только дискретные значения, то есть

$$mvR = n\hbar.$$

Здесь n — целое положительное число, а величина $\hbar$, определяющая наименьшее возможное изменение (квант) момента импульса, — постоянная Планка*). Оказывается, квантование всех физических величины определяется именно этой универсальной постоянной. Она очень мала:

$$\hbar = 1.05 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с},$$

позному квантовые эффекты проявляются, либо когда значения физических величины самы малы (в микромире), либо когда имеется много микрочастицы, движущихся совершенно одинаково. В последнем случае говорят о макросоппических квантовых явлениях, к которым и относится квантование магнитного потока в колыце со сверхпроводящим током.

Найдем величины кванта магнитного потока. Магнитный поток Ф через колыцо связыван с током I соответствующей колыца. Ток I можно выражить через скорость электронов v и их число N. Действительно, за время t = 2πR/v электроны совершают полный оборот; следовательно, за это время через любое поперечное сечение колыца пройдут все электроны, переосщение заряд q = eN (где e — заряд одного электрона). Позному ток в колыце

$$I = \frac{q}{t} = \frac{eNv}{2\pi R}.$$

Еще одно соотношение, связывающее

7

величины $v, N$ и $I$, можно получить, приравняя кинетическая энергия сверхпроводящих электронов к энергии колыца с током (см. «Приложение» на с. 12):

$$N \frac{mv^2}{2} = \frac{1}{2} L I^2.$$

Теперь выражение для магнитного потока можно представить в виде

$$\Phi = L I = \frac{L I^2}{2} \frac{2}{I} = N \frac{mv^2}{2} \frac{4\pi R}{e N v} = \frac{2\pi}{e} mvR,$$

откуда следует, что магнитный поток пропорционален моменту импульса электронов. Но, согласно правилам квантования Бора, момент импульса может принимать только дискретные значения, поэтому и магнитный поток через колыцо, по которым течет сверхпроводящий ток, тоже квантуется:

$$mvR = n \hbar$$

Квант магнитного потока, который можно найти из предыдущего формулы, конечно, очень величана ($\sim 10^{-15}$ Вб), но тем не менее современные приборы позволяют наблюдать квантование магнитного потока. Такой опыт был проделан американским ученым Дивером и Фейрбенком в 1961 году, только вместе кольца они использовали получив сверхпроводящий трубку, по которой цирклировали круговые сверхпроводящие токи. В опите было обнаружено, что магнитный поток через плошадь поперечного сечения трубки менялся действительно скачкообразно, однako величана кванта потока оказалась вдвое меньше приведенной выше. Объяснение этому дает современная теория сверхпроводимости. Дело в том, что в сверхпроводящем состоянии электроны объединяются в пары и именно движением пар, имеющих заряд $2e$, создается сверхпроводящий ток. Поэтому правление значения $\Phi_0$ квантичного потока получается, если в формулу квантования потока подставить удвоенный заряд электрона:

$$\Phi_0 = \frac{2\pi \hbar}{2e} = 2,07 \cdot 10^{-15} \text{ Bb}.$$

Вот так нашлась двойка, потерянная не только нами, но и англій-ским ученым Лондоном, который теоретически predсказал квантование магнитного потока еще в 1950 году — задолго до того, как была понята природа сверхпроводшего состояния.

Хочется подчернуть, что приведенный здесь вывод квантования магнитного потока, хотя и отражает правильно физическую существу этого явления, слищом упрощенный. Далее удивительно, что таким образом можно получить правильно значение кванта магнитного потока. В действительности сверхпроводимость — сложное квантовое явление. Тем, кто хочет в нем разобраться по-настоящему, предстоит долгий путь от школьной физики до современной теории твердого тела — путь, на котором потребуется много лет упорного, но увлекательного труда.

Эффект Джозефсона

Разберем еще одно сверхпроводящие квантовое явление, которое послужило основой для создания целого ряда уникальных изменительных прибов. Речьнойой об эффекте Джозефсона, открытом сравнительно недавно — в 1962 году, но за который Джозефону, англійскому ученому, теоретически predсказавшую этот эффект, уже присуждена Нобелевская премия.

Представьте себе, что на стеклянную пластинку (как говорят, на подложку) нанесли пленку сверхпроводника (объчно ее получают, напыляя металл в вакууме). Затем ее окисли, создав на поверхности слой диэлектрика (окислла) толщиной всего в несколько ангстрем*). И снова покрыли пленкой сверхпроводника. В результате получился так называемый сэндвич (в буквахном смысле этим англійским словом называют два куска хлеба с сыром или другим чем-нибудь вкусным между ними). В сэндвичах и наблюдается эффект Джозефсона (для удобства измерения основных сэндвич делают в виде креста, как показано на рисунке 2).

*) 1 ангстрем = 1Å = 10^{-10} м.

8

Рис. 2.1 — металлические плены; 2 — слой диэлектрика; 3 — подложка.

Давайте вначале обсуждим случай, когда металлические плены находятся в нормальном (не сверхпроводашем) состоянии. Могут ли электроны из одной металлической плены (рис. 3,a) переходить в другую? Казалось бы, нет — им мешает слой диэлектрика. Для того чтобы выйти из металла, электрон должен обладать энергией, большей чем работа выхода, а при низких температуре электронов с такой энергией практически нет. На рисунке 3,6 приведен график зависимости потенциальной энергии электрона W от координаты x (ось X перпендикулярна к плоскости сндвича). В металле электрон движется свободно, и его потенциальная энергия равна нулю. Для выхода в диэлектрик надо совершить работу выхода W_B, которая больше, чем кинетическая, а значит и полная, энергия электрона W_9*). Поэтому говорят, что электроны в металлических пленках разделяют потенциальный барер, высота которого равна W_B—W_9.

Если бы электроны подчинялись законам классической механики, то такой барер для них был непредодолим. Но электроны — микрочастицы, а в микромире действуют особые законы, которые позволяют многое, неодуступное большим телам. Человеку, например, с такой энергией на горку не взобраться, а вот электрон может пройти сквозь нее! Он как бы рост под горкой туннель и пронкает, даже если его энергии не хватает, чтобы взобраться на горку. Конечно, не следует все это понимать буквально. Туннельный эффект (так называют это явление) объясняется волновыми свойствами микрочастиц, и по-настоящему в нем можно разобраться, только изучив квантовую механику. Но факт остается фактом: с некоторойверяностью электроны могут пронкаться диэлектрик из одной металлической плены в другую. Эта веряность тем больше, чем меньше высота W_B—W_9 барера и чем меньше его ширина a.

Итак, тонкая плена диэлектрика оказывается проницаемой для электронов — через нее может течь так называемый туннельный ток. Однако суммарный туннельный ток равен нулю: сколько электронов переходит из нижней металлической плены в верхнюю, сколько же в среднем переходит, наоборот, из верхней плены в нижнюю.

Как же сделать туннельный ток отличным от нуля? Для этого надо нарушить симметрию, например — присоединить металлические плены к источнику тока с напряжением U (рис. 4,a). Тогда плены будут играть роль обкладок конденсатора, а в случае диэлектрика возникнет электрическое поле с напряженной E=U/a. Работа по перемещению заряда e на расстояние x вдоль направления поля равна A=Fx=eEx=eUx/a, и поэтому график потенциальной энергии электрона прибретает вид, показанный на рисунке 4,6.

Как видно, электронам из верхней плены (x>a) предодолевает барер

*) Аналогично, для того чтобы вырвать молекул из жидкости, надо как известно, совершить работу испарения.

9

легче, чем электронам из нижней пленки ($x<0$), который надо подскочить на более высокий уровень. В результате даже при малых напряжениях источника возникнет туннельный ток.

Туннельные контакты из нормальных металлов использются в некоторых приборах, но в этой стране редуйте даже при малых напряжениях источника возникнет туннельный ток.

Туннельные контакты из нормальных металлов использются в некоторых приборах, но в этой стране редуйте даже при малых напряжениях источника возникнет туннельный ток.

Как уже говорилось, электроны из верхней пленки имеют избыточную энергию $eU$ по сравнению с электронами нижней пленки. Эту энергию они прибретают,ускоряясь электрическим полем в слое диэлектрика, через которых туннелируют. Оказывшись в нижней пленке, они должны сбросить лишню энергию и перейти в равновесное состояние. Если бы пленка находится в нормальном состоянии, то осуществить это было бы легко — достаточно нескольких стольновений с кристалической решеткой металла и лишня энергия электронов в конечном случае перейти в равновесное состояние.

Рис. 4.

ходит в тепло. Но пленка находится в сверхпроводящем состоянии, и передать энергию решетке электроны не в состоянии! Вот и остается только электронам излучить эту энергию в виде кванта электромагнитного излучения с энергий $h\omega$. Поэтому часть излучения $\omega$ связывана с приложенным напряжением $U$ простим соотношением

$$h\omega = 2eU.$$

Вы заметили, что справа направлену заряд электрона — надо помнить, что туннелируют не отдельные электроны, а сверхпроводящие пары.

Вот какой удивительный эффект был представлен Джозефсоном: постоянное напряжение, приложенное к сверхпроводящему туннельному контакту (его называют также джозефсоновским элементом), приводит к генерации электромагнитного излучения. Экспериментально этот эффект впервые был обнаружен в Харьковском физико-техническом институте низких температур учеными И. М. Дмитриенко, В. М. Свистиновым и И. К. Янсоном в 1965 году.

Первое, что приходит в голову, если говорить о практическом использении энергекта Джозефсона, — это создание генератора электромагнитного излучения. Но в действительности все не так просто: излучение довольно трудно вывести из узкой щели между сверхпроводящими плenkами, где оно генерируется (именно поэтому экспериментальное обнаружение энергекта Джозефсона было непростой задачей), да и мощность излучения очень мала. Поэтому сейчас джозефсонские элементы использются в основном в качестве детекторов электромагнитного излучения, но загорались чувствительны в некоторых диапазонах частот.

Такое применение основано на явлении резонанса между внешними электромагнитными колебаниями (в регистрации волне) и собственными колебаниями, возникшими в джозефсоновском элементе при приложении к нему постоянного напряжения. Собственно говоря, резонанс лежит в основе работы многохриемников: волну удается «пойматЬ», когда ее частота совпадает с частотой

10

той приемного колебательного контура. В качестве приемного контура удобно использовать джозефсоновский элемент: частоту его собственных колебаний легко подстраивать (изменя напряжение), а острата резонанса, определяющая чувствительность приемника, оказывается очень высокой. По такому принципу уже созданы самые чувствительные приемники электромагнитного излучения, которые использются для использования излучения Вселенной.

Квантовый магнитометр

Эффект Джозефсона в сочетании с явлением квантования магнитного потока последули основой для создания целого семейства сверхчувствительных изменительных прибора. Они называются «сверхпроводящие квантовые интерференционные приборы» или «СКВИДы» (по сочетанию первых букв соответствующих англійских слов Superconducting Quantum Interference Devices*). Об одном из них — квантовом магнитометре (прибор для измерения слабых магнитных полей) — будет рассказано в этой главе.

Простейший квантовый магнитометр состоит из сверхпроводшего колба, в цель которого включает джозефсоновский элемент (рис. 5). Как вы уже знаете, для того чтобы возникок ток в нормальном туннельном контакте, к нему надо приложить хотя бы небольшое напряжение. А вот в сверхпроводящем туннельном контакте это не обязательно. Если в колбе создается сверхпроводящий ток, то он может течь и через джозефсоновский элемент: сверхпроводящие пары будут туннелировать через тонкий слой диэлектрика. Такое явление называют Staционным (постоянным во времени) эффектом Джозефсона, в отличие от Staционного эффекта, сопровождаемого излучением (о нем было рассказано в предыдущеей главе). Существует,

*) Любопытно, что если в полном русском названный заменить слово «приборы» на слово «детекторы» (а это только уточнить название, указет на использование этих приборов как регистраторов), то сокращенное название будет звучать и по-русски и по-англійски одинаково.

Рис. 5.

однако, максимальное допустимое для контакта значение сверхпроводшего тока (его называют критическим током контакта $I_k$. При тоже, большем критическом, сверхпроводимость в контакте разрушается и на нем обнаружено появляется напряжение (эффект Джозефсона становится нестационным).

Итак, при включении в сверхпроводящий контур Джозефсоновского элемента не происходит полного разрушения сверхпроводимости, но в контуре появляется место, в котором сверхпроводимость ослаблена (как говорят, возникнет слабая связь). Именно на этом основано использование такого контура для точного измерения магнитных полей. Постараемся понять, как это делается.

Если бы контур был полностью сверхпроводшим (не содержал слабой связи), то магнитный поток через его площадь был бы строго постоянным. Действительно, согласно закону электромагнитной индукции, всякое изменение внешнего магнитного поля приводит к возникновению ЭДС индукини $\mathcal{E}_i = -\Delta \Phi_{\text{внеш}} / \Delta t$, а значит — к изменению тока в контуре. Но изменяющий ток в свою очередь порождает ЭДС самонидук-

11

цин $\varepsilon_{is} = -L\Delta I/\Delta t$. Поскольку падение напряжения в сверхпроводящем контуре равно нулю (сопротивление равно нулю), алгебраическая сумма этих ЭДС тоже равна нулю:

$$\varepsilon_i + \varepsilon_{is} = 0,$$

или

$$\frac{\Delta \Phi_{\text{внешш}}}{\Delta t} + L \frac{\Delta I}{\Delta t} = 0.$$

Отсюда следует, что при изменении внешнего магнитного потока сверхпроводящий ток в контуре меняется так, чтобы изменение магнитного потока, создаваемого током, компенсировало изменение внешнего потока (правило Ленца). При этом полный магнитный поток через контур остается постоянным: $\Phi = \text{const}$. Изменить его, не переводя контур в нормальное состояние, нельзя (говорят, что в сверхпроводящем контуре магнитный поток «заморожен»).

А что произойдет, если сверхпроводящий контур содержит слабую связь? Оказывается, что магнитный поток через такой контур может меняться — через слабую связь в контур проникают кванты потока (как уже знаете, магнитный поток сверхпроводшего тока квантуется — он равен целому числу квантов потока $\Phi_0$).

Давайте проследим, как меняются магнитный поток внутри сверхпроводшего колба со слабой связью и величины тока в колбе при изменении внешнего магнитного поля. Пусть вначале внешнее поле и ток в контуре равны нулю (рис. 5,a). Тогда поток внутри контура тоже равен нулю. Будем увеличивать внешнее поле — в контуре появится сверхпроводящий ток, магнитный поток которого в точности компенсирует внешний поток. Так будет продолжаться до тех пор, пока ток в контуре не достигнет критического значения $I_k$ (рис. 5,б). Предположим для определенияности, что в этом момент внешнее поле создает поток, равный половине кванта: $\Phi_0/2^*$).

*) Критический ток зависит от многих причины, в частности — от толщины слоя диэлектрика. Меняя ее, всегда можно добиться того, чтобы создаваемый этим током магнитный поток, а значит и внешний магнитный поток, был равен $\Phi_0/2$. Это упрощает рассмотрение, но не меняет существа дела.

Как только ток станет равным $I_k$, сверхпроводимость в месте слабой связи разрушится, и в контурвой квант потока $\Phi_0$ (рис. 5,в). При этом отношение $\Phi_{\text{внутт}}/\Phi_0$ скачаком увеличится на единицу (как говорят, сверхпроводящий контур перейдет в новое квантовое состояние). А что произойдет с током? Его величина остается прежней, но направление изменится на противоположное. Действительно, если до входления кванта потока $\Phi_0$ ток $I_k$ полностью экранировал внешний поток $\Phi_0/2$, то после входления он должен усиливать внешний поток $\Phi_0/2$ до значения $\Phi_0$. Поэтому в момент входления кванта потока направление также на противоположное.

При дальнейшем увеличении внешнего поля ток в колбе начинает уменьшаться, сверхпроводимость в колбе восстановится и поток внутри колца будет оставаться равным $\Phi_0$. Ток в контуре обратится в нуль, когда внешний поток также становится равным $\Phi_0$ (рис. 5,е), а затем он начинает течь в обратном направлении (опять экранировка!). Наконец, при значении внешнего потока $3\Phi_0/2$ ток опять станет равным $I_k$, сверхпроводимость разрушится, войдет следующее квант потока и т. д.

Графики зависимости магнитного потока $\Phi_{\text{внутт}}$ внутри колца и тока $I_k$ в нем от величины магнитного потока $\Phi_{\text{внешш}}$ показаны на рисунке 6 (оба потока изменяются в естественных единицах — квантах потока $\Phi_0$). Ступенчатый характер зависимости позволяет «чувствовать» отдельные кванты потока, хотя величина их очень малa (порядка $10^{-15}$ Вб). Нетрудно понять почему. Магнитный поток внутри сверхпроводшего контуряется хотя и на малую величины $\Delta \Phi = \Phi_0$, но скачаком, то есть за очень короткий промежуток времени $\Delta t$. Так что скорость изменения магнитного потока $\Delta \Phi/\Delta t$ при таком скAUообразном характеристике потока оказывается очень большой. Ее можно изменить, например, по величины ЭДС индекции, наводимой в специальной изменительной катушке прибора. В этом и состоит приципп работы квантового магнитометра.

12

Рис. 6.

Устройство реального квантового магнитометра в действительности много сложнее. Так, обычно использует не одну, а несколько слабых связей, включенных параллельно, — своевообразная интерференция сверхпроводящих токов приводит к повышению точности измерений (позтому также приборы и называются интерференционными). Чувствительность элемент прибора индykтивно связьюют с катушкой колебательного контура, где скачки потока преобразуют в импульсы напряжения, которые затем успливают. Но расскааз обо всех этих тонкостях выходит за рамки данной статьи.

Заметим, что в нашей дни сверхчувствительные магнитометры, измерющие магнитные поля с точностью до $10^{-15}$ Тл, — это уже промышленная продукция, находящая широкое применение в измерительной технике. Недалек, например, тот день

Рис. 7.

когда магнитокардиграммы*), снимаемые с помощью СКВИДов, принимающие изменяющие количественные к источнику тока с ЭДС $\mathcal{E}$. В коллеце появится ток, который будет все время нарастать. При этом скорость изменения тока $\Delta I/\Delta t$ должна быть такой, чтобы ЭДС самондукции $\mathcal{E}_{is} = -L\Delta I/\Delta t$ компенсировала внешнюю ЭДС $\mathcal{E}$ (сопротивление сверхпроводника, а следовательно, и padение напряжения на нем равны нулю):

$$\mathcal{E}_{is} = -\mathcal{E}.$$

При прохождения по цепи заряда $\Delta Q = I\Delta t$ источник совершает работу

$$\Delta A = \mathcal{E} \Delta Q = L \frac{\Delta I}{\Delta t} I \Delta t = L I \Delta I.$$

Произведение $LI$ — это магнитный поток $\Phi$ через площадь колба. Для того чтобы нагледнее представить полученный результат, например график зависимости $\Phi$ от $I$ (рис. 7). Как видно из рисунка, элементарная работа $\Delta A$ равна площади защитыхованного прямоугольника. Полная работа $A$ при изменении тока от 0 до $I_0$ равна сумме площадей прямоугольников с высотами, равными соответствующим значением магнитного потока, то есть площади треугольника со сторонами $I_0$ и $LI_0$:

$$A = \frac{1}{2} (LI_0) I_0 = \frac{1}{2} LI_0^2.$$

Эта работа как раз и равна энергию тока в коллеце. Разумеется, полученное выражение не зависит от того, какой ток течение — сверхпроводящий или нормальный.

*) Оказывается, при работе сердца возникнет очень слабые магнитные поля — порядка $10^{-11}$ Тл. Их регистрации и называют в медициншем магнитокардиграммы.

13

Д. Коэн

Метрика коня

Нас здесь будет интересовать ходы коня на шахматной доске, которую мы вначале будем предложать бесконечной. Обозначим клетки доски параметных чисел (координатами центра клетки — см. рис. 1). Ход коня, находящемся в начале координат (0;0), — это переход в одну из 8 клеток с координатами (±1; ±2), (±2; ±1). Если же конь находится в клетке (x; y), то один ход переводит его в одну из клеток (x±1; y±2), (x±2; y±1).

Определим расстояние от клетки P до клетки Q как мин и мал но е число ходов коня, необходимое для того, чтобы перейти из P в Q. Обозначим это число через q (P, Q). Например,

Автор — американский математик — написал эту статью для «Кванта» по-английски. Перевод под редакцией А. Сосинского.

Рис. 1.

мер, расстояние от начала O(0;0) до клетки E(1;0) равно расстоянию от начала до клетки F(3;6) — оба они равны 3. Функция q, определяная на множество пар (P, Q) клеток, обладает треяя основными свойствами расстояния*):

q(P, Q) > 0, при P ≠ Q; q(P, P) = 0;
q(P, Q) = q(Q, P); (II)
q(P, R) ≤ q(P, Q) + q(Q, R). (III)

Первые два свойства оченьидны, а третье — его называют неравенством треугольника — следует из того, что может найти путь из P в R, не проходящей через Q и более короткий, чем любой путь из P в R, проходящий через Q.

Это расстояние — метрика коня — порождает весма необучную «геометрию». В ней можно определить понятие отрезка [AB]** как множество клеток M таких, что q(A, M) + λ(M, B) = q(A, B), но отрезки получаются весма уродливыми (два отрезка могут пересекаться в нескольких клетках). Можно определить и окружности радиуса r, которые выглядят несколько более прилично (по крайней мере, при r ≥ 5).

А пока отметим следующее оцененное свойство функции q:

q((x; y), (x’; y’)) =
= q((0; 0), (x’ − x; y’’ − y)). (*)

он позволяет вместе функции q от пар клеток изучать функцию от одной клетки — расстояние от начала:

d(P) = q(O, P).

Проставим в каждой клетке P значение функции d(P). Вообразим, что мы это сделали на листке кальки. Тогда свойство (*) означает, что, если мы параллельно свинием кальку, совместим на начало O с точкой P, на кальке над точкой Q будет написано q(P, Q).

На рисунке 2 прославлены все значения d(P), меньше или равны 4. Рисунок подсказывает следующее:

*) См. «Геометрия 6—8», п. 4 — прим. ред.
**) См. «Геометрия 6—8», пп. 5—6 — прим. ред.

14

Формула расстояния $d((a; b))$
В силу свойств (1) и (2) достаточно вычислить $d((a; b))$ в случае, когда $0 \leq a \leq b$. Кроме того, чтобы избежать путаницы, существуют около начала отсчета, мы будем предполагать, что $a+b \geq 6$. Расстоянием два случая в зависимости от того, лежит ли клетка $P(a; b)$ в горизонтальной полосе $n$-го пояса, то есть $2a \leq b$. При фиксированном $d=d((a; b))$ у точки $P$ имеются 4 разные возможные.

Первый случай: клетка $P(a; b)$ лежит в горизонтальной полосе $n$-го пояса, то есть $2a \leq b$. При фиксированном $d=d((a; b))$ у точки $P$ имеются 4 разные возможные.

• Мы предлагаем доказательство, несколько отличия от авторского (прим. ред.)

Рис. 2.
шце свойства функции $d$:
$$d((a; b))=d((b; a)),$$
(1)
$$d((a; b))=d((|a| |b|)),$$
(2)
числа $d((a; b))$ и $a+b$
имеют одинаковую четность, (3) которые, очевидно, следует из определения.

Заметим далее, что на рисунке 2 внутри красной линии стоит числа 0, 1, 2, 3, 4, изрядно переупятные, хотя и симметрично расположенные (из-за свойств (1) и (2)). В порядке между красной и синей линиими стоит только четверки и значок $\times$ (на самом деле $\times=5$). В следующем таким поясе будет стоять только 5 и 6, в следующем — 6 и 7 и т. д. (рис. 3). На рисунке 4 изображена только первая четверть $(x, y \geq 0)$. На этом рисунке также показан участок $n-20$ пояса, в котором стоит только числа $n$ и $n+1$.

Грубо говоря, $n$-й пояс имеет форму границы квадрата (со стороны длины $4n+1$) со среданным углам (отрезаны равноведенные прямогольные треугольники с боковой стороны длины $n-1$). Пояс составлен из горизонтальных и вертикальных полос толщины 2 и четырех диагональных участков в виде лесенки; один из них выделен на рисунке цветом.

Таким образом, если отвлечется от путаницы, существующий вблизи начала отсчета, геометрическая картина метрики коня проясилась. Однако этого нам мало: мы хотим научиться находить $d((a; b))$ чисто аналогичски — по числам $a$ и $b$. Короче, нам нужна

Рис. 3.
Рис. 4.

15

ности в зависимости от ее уровня по вертикали (рис. 5). На самом верхнем уровня точка $P$ достигается минимальный целочкой из $d$ ходов, увеличивающих вторую координату на 2; на следующем уровне — целочкой из $d-1$ ходов этого типа и одним ходом, увеличивающим вторую координату на 1; на следующем уровне требуется $d-2$ и 2 хода этих типов; на нижнем уровне — соответственно $d-3$ и 3. В этих случаях высота $b$ равняется $2d$, $2(d-1)+1=2d-1$, $2(d-2)+2=2d-2$, $2(d-3)+3=2d-3$ соответственно. Отсюда можно было бы выразить $d$ через $b$, но $b$ — целое, и мы не можем записать ответ, не зная четности $b!$ Как бы?

Оказывается, правильный ответ дает одно из чисел $[(b+1)/2]$ или $[(b+1)/2]+1$ (здесть квадратные скобки обозначают целую часть), а именно то, чья четность совпадает с четностью числа $a+b$ (см. свойство (3)). Читатель легко проверит это, воспользовавшись рисунком 5 и подписью к нему.

Второй случай: клетка $P(a; b)$ лежит на диагональном участке $n$-го пояса, то есть $2a>b$. Легко видеть, что в любую точку диагонального участка первой четверти $n$-го пояса можно добрать минимальный последовательностью ходов коня так, чтобы на каждом ходе сумма координат увеличиваласьровно на 3 (то есть ходами $(a; b) \rightarrow (a+1; b+2)$ и $(a; b) \rightarrow (a+2; b+1)$). Поэтому $a+b=3n$ или $a+b=3(n+1)$, откуда $d((a; b)) = [(a+b+1)/3]$ или $d((a; b)) = [(a+b+1)/3]+1$. Какое именно из этих двух чисел можно взять, ясно из сообщений четности (см. (3)).

Подведем итог нашго исследования функции $d((a; b))$. При условиях $0 \leq a \leq b$ и $a+b \geq 6$ число $d((a; b))$ имеет ту же четность, что $a+b$, равняется $[(b+1)/2]$ или $[(b+1)/2]+1$ в случае $2a \leq b$, $[(a+b+1)/3]$ или $[(a+b+1)/3]+1$ в случае $2a>b$.

На самом деле эти формулы дают верный ответ и при $a+b<6$ всюду, кроме клеток (0; 1) и (2; 2), где они дают 1 и 2 соответственно, вместе правильных 3 и 4 (см. рис. 2).

Метрика коня на прямогольной доске

Ограничим теперь нашу бесконечную шахматную доску: будем рассматривать ходы коня на прямогольной доске $a \times b$ ($a \leq b$). При $a=1$ рассматривать нечего («Товарищ гроссейстер, так конь не ходит!»), при $a=2$ все очень просто. Более содержательные случаи $a=3$ и $a=4$ мы оставим читателю, а сами перейдем к случае $5 \leq a \leq b$. Оказывается,

При $5 \leq a \leq b$ существует ходов коня длинны $d((a; b))$ внутри прямогольника со стороны $x=0$, $x=a$, $y=0$, $y=b$, соединяющая точки (0; 0) и $(a; b)$, и этот путь самый короткий.

Действительно, начинаем с точки в $n$-м поясе и сделаем один в сторону начала. Тогда мы остаемся внутри прямогольника и попадем в $(n-1)$-й пояс. Продолжая этот процесс, мы доберемся до четвертого пояса. Далее остается проверить справедливость нашей утверждения для клеток четвертого

16

Поясса. Этот перебор мы оставляем читателю.

Метрика коня на квадратной доске
Рассмотрим теперь квадратную доску $n \times n$, скажем, ограниченную прямоугольником $x=0, x=n-1, y=0, y=n-1$. Изозем диаметром этой доски наиболее расстояние (в смысле метрики коня) между ее клетками. Вновь оставляя случай малых размеров читателю, мы рассмотрим случай $n \geq 5$. Из предыдущего легко видеть, что диаметром будет расстояние от клетки (0; 0) до одной из клеток $(n-1; n-1)$ или $(n-1; n-2)$. Пользовать этим замечанием и ранее получить формулой расстояния, показем, что
Диаметр шахматной доски $n \times n$ равен числу $2n/3$, округленному до ближайшего целого.

Действительно, по формуле расстояния $d((n-1; n-1))$ равняется $[(2n-1)/3]$ или $[(2n-1)/3] + 1$ (именно, тому из этих чисел, которое четно); а $d((n-1; n-2))$ равняется $[(2n-2)/3]$ или $[(2n-2)/3] + 1$ (нечетному). Расмотрим три случая в зависимости от остатка от деления числа $n$ на 3.

Первый случай: $n=3k$. Тогда
$$[(2n-1)/3] = [(2n-2)/3] = 2k-1,$$
так что расстояние до $(n-1; n-1)$ равно $2k$, а до $(n-1; n-2)$ равно $2k-1$. Диаметр равен $2a$, что есть $2n/3$ без всякого округления.

Второй случай: $n=3k+1$. Тогда
$$[(2n-1)/3] = [(2n-2)/3] = 2k,$$
так что расстояния до $(n-1; n-1)$ и $(n-1; n-2)$ соответственно равны $2k$ и $2k+1$. Диаметр равен $2k+1$, то есть округленному числу $2n/3$.

Третий случай: $n=3k+2$. Тогда
$$[(2n-1)/3] = 2k+1,$$
так что интересующие нас расстояния соответственно равны $2k+2$ и $2k+1$. Значит, диаметр равен $2k+2$, то есть снова округленному числу $2n/3$.

Заметьте, что наиболее расстояние реализуется в этом случае клетками, не лежащими на главной диагонали.

Другие формулы
Функция $d((a; b))$ уже исследовалась раньше, и для нее были получены другие (более сложные) аналогичные выражения (при $a+b \geq 8$, $0 \leq a \leq b$). М. Голдберг (США) нашел
$$d((a; b)) = \begin{cases} b-a-2[(b-2a)/4] \\ \text{при } 2a \leq b, \\ b-a+[(8a-4b+2)/3] - [(4a-2b)/3] \\ \text{при } 2a > b, \end{cases}$$

а Д. Цветкович и С. Симч (Югославия) нашли
$$d((a; b)) = \begin{cases} a+b-2\left[\frac{b}{2}\right] - \left[\frac{a-[b/2]}{2}\right] \\ \text{при } 2a \leq b, \\ a+b-2\left[\frac{a+b}{3}\right] \end{cases}$$

Можно показать, что эти формулы эквивалентны нашим, но интереснее попытаться угадать, какими рассуждениями пришли к ним их авторы.

В заключение предлагаем читателю такую задачу: найти площадь кругла радиуса $r$, то есть число клеток $(a; b)$, для которых $d((a; b)) \leq r$.

Турнир имен М. В. Ломоносова
По уточненным данным в этом году турир (см. «Квант», 1981, № 8, с. 51) состоит в Москве 25 октября в 10.00 в помещении следующих взвов: МАИ, МАТИ, МГПИ, МИИГАИК, МИНХИГП, МИСИ, МИСИС; приглашают школьники 6—9 классов.

17

Генри Кавендиш

В этом году исполняется 250 лет со дня рождения Генри Кавендиша. С именем Кавендиша в истории науки связано множество открытий, о которых человечество узнал много лет спустя после того, как они были сделаны. Личность этого человека, посвященного всего воizio жизни естественного, многие годы привлекает внимание физик, историк науки, психологов.

Генри Кавендиш, принадлежший к знанному году герцогов Девонширских, родился 10 октября 1731 года в Нищце, где по совету врачей в то время жила его мать. Она вообще не отличалась крепким здоровем, а рождения детей окончательно расшатало его, и люди Кавендиш умерла вскоре после рождения второго сына, когда ее переведу Генри был около двух лет. В 11 лет мальчика отправили в одну из лучших частных школ в Лондоне, а в 1749 году он поступил в Кембриджский университет, который оставил в 1753 году, так и не получив ученой степени. Высказываюсь предложение, что это остоятельство было связано с болезненной застенчивостью Кавендиша и его страхом перед экзаменом.

После ухода из университета Генри неокторое время путешествовал вместе с младшим братом по Европе, а затем поселился в доме отца в Лондоне. Об отце Кавендиша, сэре Чарльзе, следует сказать особо. Знатийный, хотя и не очень богатый человек, он более всего на свете интересовался естественным. Сэр Чарльз в течение многих лет был членом Лондонского Королевского общества, а неокторое время даже его вице-президентом. Научные интересы его относились к модной в то время области электричества. Известный американский естественныйатель Б. Франклин писал о Кавендише-отце: «Хотелось бы, чтобы такой уважаемый ученый больше сообщал миру о многочестве проводимых им с большой тщательностью экспериментов». Не исключаено, что отец и сын Кавендиши неокторые опыты ставили совместно.

Итак, интерес Генри к естественным наукам родился под влиянием занятый отца. Однако, судя по сохранившимся записям, больше иностранноговажнейших опытов Генри провел самостоятельно.

Каково же место Кавендиша в науке второй половины XVIII века? Какие проблемы его интересовали?

Круг научных интересов Кавендиша столбил широк, что больше всего к нему подходит определение «естественного естественного». При жизни он прославился как химик. За пиноерские исследования газов Кавендиша иногда называют «отцом пневматического химии». Он впервые определил природу водорада как особого газа, подтвердил, что воздуха есть смесь кислорода и азота, что вода образуется из воздуха и водорада. Его интерес к химии и электрическим явлениям привел к открытию того

18

факта, что при действии электрической искры на влажный воздух образуется азотная кислота. При проведении одного из своих электримических оптовок Кавендиш, пропуская электрическую искру через смесь воздуха с кислородом в присутствии.edкого калия, заметил, что после образования азотной кислоты, взаимодействующей с.edким калия, и удаления избытка кислорода получается незначительный остаток (1/120 начального объема газа), на который не действуют никакие средства. Это открытие было найдено за бытю, о нем вспомнили лишь в конце XIX века, после открытия инвертных газов.

Исследования Кавендиша по химии тематических совпадали с работами многих других учены того времени: Лавузье, Уатта, Пристли. Однако исследовательский метод Кавендиша был оригинальным: он характеризуется явно выраженным стремлением к точному количественному эксперименту. Кавендиш, например, не только доказал существование водорода, но и провел расчеты, найти, что этот газ в 11 разлече воздуха*). Применяя специально усвоенныйствованный им прибор — эвдиометр, учены исследовали объемные соответствия между воздухом, водородом и водой, образованной при взрыве смеси.

Бытут мнение, что ученыый проводился всего жизнь за опытами, совершенно не публику их результаты. Это несколько преувеличенное представление. Действительно, Кавендиш, по не очень ясным причинам, редко публиковал свои научные результаты. Значательно публикации делились значительно позднее проведения оптовов, и это приводило к острым приоритетным спорам. Тем не менее можно насчитать более десята его работы по физике и химии, опубликованных в журнале «Philosophical Transactions», издававшегося Лондонским Королевским обществом. Кавендиш был членом общества с 1760 года и играл активную роль в работе ряда его комиссии. Он принимал участие в заседаниях и традиционных обе-

*)В действительности водород в 14,3 раза легче воздуха.

20

и третий точками, считая его крайней точкой отклонения в одном направлении, а затем определял точку покоя [точку равновесия стержня — С. Ф.] как среднее между найденной путем расчета и второй крайней точками]. И далее: «Я определил две крайние точки колебания, а также моменты времени, в которые конец стержня проходил через две заданные точки, находящие между крайними, страясь, чтобы эти две точки находились по разные стороны от точки покоя и не слищом далеко от нее. Затем я определил точку покоя и, составляя пропорцию, находил момент времени, в которые стержень проходил через нее. После нескольких колебаний я повторил эту процедуру и, деля промежуток времени между проходящими весов через точку покоя на число колебаний, находил время одного колебания».

Для определения средней плотности Земли Кавендиш провел семнадцать серии измерений. Расчитаное по данным этих измерений среднее значение относительной плотности

Земли (средней плотности Земли) к плотности воды оказалось равным 5,48.

Эксперименты ученого были высоко оценены современниками. В 1820 году выдавшийся французский механик и математик Лаплас писал: «Скрупулезно изучив прибор Кавендиша и все эксперименты, выполненые с точностью и проницаательностью, которые характерны для этого выдавшегося физика, я не смог вывидить ни одного возражения против данного им величины средней плотности Земли 5,48».

В нашей среднее значение плотности Земли принимается равным 5,517 г/cm³. Отметим, что модернизированные крупные весы Кавендиша используют для физических измерений и в нашей дни.

Перечисленные экспериментами и открытиями наследие Кавендиша не исчерпывает. Значительные результаты получили Кавендиш при исследовании тепловых явлений. Он составил таблицу значений теплоемкости различных веществ, исследовал процессы плавления и обна-

21

ружил существование скрытой теплоты плавления. Очень интересны опыты Кавендиша, поставленные для исследования электрических и магнитных явлений. Часть из них стала известна лишь после публикации трудов Кавендиша по электричеству, осуществленной выдающимся английским физиком Максвеллом. Интересна история этой публикации. В 1861 году кандером Кембриджского университета был избран Уильям Кавендиш, герцог Девонширский, когда-то сам закончивший этот университет и проявлявший способности к математике. В 1870 году он выразил желание, чтобы при университеете была построена физическая laboratorия, и создан денежный фонд для финансования строительства. В 1871 году была учреждена Кавендищская кафедра, на которую по рекомендации таких видов английских физиков, как Сtokс, Рэлей, У. Томсон, пригласили Максвелла. Он принял это предложение и активно занялся строительством laboratorии. Через три года строительство было завершено. На церемония открытия Кавендищской laboratorии, сыгравшей выдающийся роль в становлении и развитию современной физики, герцог вручил Максвеллу рукописи Кавендиша, хранившиеся в архиве семьи. Максвелл согласился их просмотрить. Уже первоое знакомство с наследием Кавендиша поразило его. Он писал одному из друзей: «В своих рукописях он [Кавендиш — С. Ф.] обнаружит знакомство с законами параллельного и последовательного соединения проводников… Он провел весма общеные исследования в области проводимости соляных расторов в трубах, которые можно употребить проводкам из разных металлов. Создается печатление, что он достоин еще больших почетей, так как превозел Ома задолго до того, как были открыты постоянные точки. Его измерения емкости заставят нас попотеть в Кавендищской laboratorии, прежде чем мы достигнем точки, где он остановился…».

В течение последних лет лет жизни Максвелл с исключительным вниманием занимается подготовкой к изданию рукописей Кавендиша с описанием исследований электричества. Труды Кавендиша увидели свет в 1879 году, за несколько месяцев смерти Максвелла.

Что же нового узнал научный мир о работах Кавендиша? Проще перечисление результатов говорит о многоатом: он впервые четко определил понятие емкости и использовал емкость шара заданных размеров как эталонную; исследовал зависимости проводимости водных расторов соли от ее концентрации и температуры растора; за 14 лет до работ Кулона установил зависимости силы электрического отталкивания и прияжения от расстояния; задолго до Ома предсказал законы построенного тока.

И все эти результаты оставались неопубликовыми!

Почи для каждой своего эксперимента Кавендиша конструкировал специальный прибор. И при этом его интересали не только точность измерений, но и удобства пользования прибором.

Для опытов по исследованию тепловых свойства веществ он создал весма точный термометр. Внешне этот прибор Кавендиша почти не отличается от современных оценочных (прецизиновых) термометров.

22

Последняя трудов ученого неокоторы его опыты были поставленыано вою. Оказалось, что в подавляшем большинстве случае результаты Кавендиша весма точны.

Интерес к научному наследию ученого не ослабвал. В 1927 году по инциативе Кембриджского университета было предложено новое издание работы Кавендиша, в котором были включены и ранее неопубликаенные работы. И вовь ученый мир пришел в восхшение: многолетние (1782—1809 гг.) изменения характерistik магнитного поля Земли для в руки геофизков неоценным материалом о «магнитной истории» Земли. Оказалось, что Кавендиш высказывал идею о сохранении энергии, рассматривал величины, соответствующего потенциальной энергии. И вовь, в которой раз, были высказаны соглашения о том, что научные результаты Кавендиша оставались неизвестными болееста лет. Сожалеть приходится не только о забвении результатов, но и о том, что современник не был известны проблемы, интересавшие Кавендиша. Зачастую они составляли целую научную программу, разработавшуюся в течение XIX столетия. Приером может служить перечень проблем из области магнитизма: изучение постоянных и «меняюшихся» магнитов; влияние тела на магнитные свойства тела; зависимость «силы» магнитов от сечения; управлигие изгиб намагниченных игл в магнитном поле Земли; ошибки при изучении земного магнитизма, обусловленные этим изгибом.

Итак, восхшение и недоумение — чувства, возникающие при знакомстве с научным творчеством Генри Кавендиша. И, несмотря на то, что многое его результаты были получены заново другими учеными, по праву считающимся авторами открытий, ценность трудов Кавендиша непреходяща. И, прежде всего, она в научной глубине, с которой Кавендиш продумывает свои опыты, и в той скрупулезной тщательности, с которой он их выполял. Именно эти требования являются основными в современной экспериментальной физике.

Генри Кавендиш

Экспериментальное определение закона электрической силы

С творчеством выдалошегося ученого лучше всего знакомиться, читая его труды. Отмечая юбилей Кавендиша, мы публикуем сокращенный перевод его работы, посвященной установлению зависимости сил электрического прияжения и отталкивания от расстояния. Начало работы Кавендиша над проблемами электричества относится, повидимому, к 1771 году. Полученные им результаты представляют собой весма полное и, главное, точное решение поставленной задачи. В своих исследованиях ученый более чем на десятилетие определил Кулона, опубликовавшего результаты своих опытов в 1785 году. Интересно, что Кавендиш сумел ответить на поставленный вопрос, несмотря на то, что придерживался неправильных представлений о природе электричества. Он полагал, что существует некая электрическая жидкость, избыток которого проявляется в положительной электризации тела, а недостаток — в отрицательной. Для облегчения понимания физического смысла опытов Кавендиша в переводе неоторные устройства термины заменены соответствующими современными выражениями; там, где это необходимо, дан подтверчный комментарию.

Предлагаемая вниманию читателей работы Кавендиша написана, по видимому, между 1771 и 1775 годами. Однако она впервые была опубликована (на английском языке) лишь в 1879 году, в подготовленном Максвеллом собрании трудов Кавендиша.

Цель следующего эксперимента был ответ на вопрос: когда полый шар электризуется, заряжается ли малый шар, вложенный в первый и соединенный с ним каким-либо проводником? Таким образом можно найти закон электрического прияжения и отталкивания.

Я взял шар диаметром 12,1 дюйма, укрепил его на твердом стеклянном стекле, проходившем через центр шара как ось, и покрыл стержень сгугучом, чтобы сделать его менее проводящим электрическо. Затем я вложил этот шар между двумя полными картоными полусферами

Перевод и подготовка публикации выполнены С. Филоновичем.

23

динамиром 13,3 дюйма и толщиной около 1/20 дюйма так, что вряд ли в каком-нибудь месте между шаром и внутренней поверхности полусфер расстояние было меньше, чем 4/10 дюйма. Полусферы были сложены друг с другом так, что образованы полуюсферу, а их края соприкасалисьвозможно теснее. В каждой из них были сделаны вырезы, чтобы получились отверстия для выхода наружу стеклянного стержня.

Таким образом, я получил внутренний шар, окруженный полым шаром. Между ним не было связи, по которой электрическо могло бы переходить от одного к другому.

Затем с помощью провода, проходившего через одну из полусфер и касавшегося внутреннего шара, я создал связь между ними. К концу провода был прикреплен куском шелковой нити, посредством которого я при желании мог вытасивать провод наружу.

Вслед за этим я налестризовал полусферы с помощью провода, соединенного с положительной обкладкой лейденской банки, затем отделил его и мгновенно вытасил наружу провод, соединяющий внутренний и внешний шары. Провод, вынутый при помощи шелковой нити, не мог разрядить ни шар, ни полусферу. Затем я разделил полусферы, следя за тем, чтобы они не коснулись внутреннего шара, и приложил к шару пару маленьких пробковых шариков, подвешенных на тонких льняных нитях, чтобы увидеть, налестризовался ли внутренний шар.

Для большей уверенности в результате опыта я использовал еще другую аппаратуру. В принципие она была сложнее, чем нужно, однокрепirement этот был для меня настолько важен, что я хотел проверти его предельно аккуратно.

ABCD и AbcD — две деревянные рамки одинаковых размеров и формы, связанные петлями в точках A и D так, что каждой рамка может двигать вокруг горизонтальной оси AD; H — одна из полусфер, прикрепленная к рамке ABCD с помощью четырех стеклянных стержней Mm, Nn, Pp и Rr, покрытых супгуном; h — другая полусфера, прикрепленная таким же образом к рамке AbcD; G — внутренний шар, закрепленный на горизонтальном стержне Ss (деревянная рамка, с помощью которого удерживает стержень Ss, и петли в точках A и D на рисунке не показаны, дабы избежать его условия); Tt — обернуть станилом*) (в точке x) стеклянная палочка, которой касаются шара; со станию свешиваются пробковые шарики.

Благодаря действию различных пружин одно движение руки приводило к следующим последовательным действиям: удалялся провод, с помощью которого налестризоваилась полусферы, вытасивался провод, соединяющий полусферы и внутренний шар, полусферы разведнялись и к внутреннему шару подносилась палочка Tt. Кроме того, было предусмотрено, что электричество, находившееся на полусферах и проводе, посредством которого они заряжались, удалялось немедленно после разведнения полусфер; в противном случае действие этого электричества могло заставить пробковые шарики разойтись, даже если бы внутренний шар не был налестризован.

*) Станиоль — оловянная форла.

Рисунок из рукописи Кавендша со схемой опыта по определению закона электрического прятяжения и отталкивания.

24

Внутренний шар и полусферы я покрыл станиюм, чтобы сделать их хорошо проводниками электричеста.

При проведении экспериментовлейденская банка, покрытая станиюм, соединилась с проводом, через который налектизовалась полусферы; этот провод располагался так, чтобы не касаться полусфера до тех пор, пока банка не зарядится в должной степени. Затем провод приводился в соприкосовение с полусферами в течение двух трех секунд, отделгивался и полусферы разводились, как было описано выше.

К первичному проводнику, через который заряжаласьлейденская банка, присоединился электрометр и полусферы всегда заряжались одинаково.

Соображения, по которым я использовал банку, состоят в следующем. Без нее было бы трудно как установить, до какой степени налектизовались полусферы, так и удержать электричество одинаковой силы*) в течение секунды или двух; я опасался, что если провод будет лежать на полусферах во время электризации банки, то электричество может постепенно растаться само по себе по стеклянным стержням, которые удерживают шар и полусферы, а это вносило бы неокоторые ошибки в результаты опыта.

Результат экспериментов, которые я повторял несколько раз, был всегда один и тот же: я не заметил расхождения шариков или каких-либо признаков электричеста.

Что имеется возможностьчевать меньше количество электричества, я проводил опыт и другими способом. Перед тем как полусферы налектизовались, я электризовал пробковые шарики положительно, затемляя их расходиться примерно на дюйм. Тогда всед за разведением полусфера и приведением станиолях в контакт с шаром электричево пробковых шариков, естественно, передавалось шару; однако они проводали расходиться, хотя и едва заметно. Затем я практически так же повторял опыт, но предварительно электризовал шарики отрицательно, причем в той же самой степени, что и в первом случае. После проведения в контакт с шаром они расходились так же, как и при положительной электризации.

Необходимо отметить, что, если бы шар имел дополнительный положительный заряд, пробковые шарики должны были расходиться сильнее при их предварительной положительной электризации, чем при сообщении им отрицательного заряда.

С помощью этого приема может быть заменена малая электризация шара. Когда шарики уже получили достаточно для их расхождения количества электричества, дальнейшее увеличение их расхождения будет вызван количеством электрического жидкости*), в несколько метров то, который первооначально обладали шарики. Ясно, что этот способ проведения опыта неверен, если полусферы не электризуют примерно одинаково при положительной и отрицательной электризации шариков. Это условие проверялось с помощью электрометара.

Для того чтобы определить, сколько количество электричества на внутреннем шаре может быть обнаружено в этом опите, я удалил полусферы с их рамками, а шар и пробковые шарики оставил на месте. Затем взял кусок стека, покрытый станилом, каклейденская банка; об этом куске стека я знал, что на нем находится не более 1/59 части электричества, сосредоточенного на положительной обкладкелейденской банки**), с помощью которой электризовались полусферы.

Вслед за этим я налектизовал эту стеклянную пластинку до той же

*) To есть одинаковые заряды.

**) Отметим, что Кавендиш независимо от других ученных ввел понятие электрического емкости. В качестве этого емкости он использовал шар определяемых размеров; единицей емкости, использовавшейся Кавендишем, был «дюйм электричества», то есть емкость имела, как и в современной системе единиц CGSE, размерность длины. В данном случае Кавендиш имеет в виду, что конденсатор из куска стека, обклеенного станилом, имеет емкость, сосредоточную 1/59 части емкостилейденской банки.

25

степени (это показал электрометр), до какой была заряжена банка в первом опыте, отделил ее от первыйного проводника и сообщил ее электричесво лейденской банке, которая до этого момента не была назначена вовсе. Таким образом, в этом опыте банка получала только 1/60 часть электрической жидкости, сообщавшей ей в первом опыте.

Потом с помощью банки я на электризовал шар тем же способом, каким ранее заряжал полусферы, и сразу же, после того как был убран соединительный проводник, приблизил к шару пробковые шарики. Оказылось, что при использовании предварительно на электризованных пробковых шариков заряд шара проводлялся очень отчетливо, поскольку шарики развигались значительно сильнее, когда они были заряжены на электризованы положительное, чем при предварительной отрицательной электризации. Однако, если шарики заряжены не заряжать, электричесвана на шаре оказывается недостаточно для их развижения.

Ясно, что количество электрической жидкости, сообщенной шару в этом опыте, было менее 1/60 части жидкости, которая передавалась полусферам в предшествующих экспериментах.

Таким образом, оказалось, что если шар диаметром 12,1 дюйма вложен в полый шар диаметром 13,3 дюйма, соединин с ним каким-либо проводником и в связи на электризована положительное, то количество электрической жидкости, скапливающегося на внутреннем шаре, во всяком случае меньше 1/60 части жидкости, находящейся на внешней сфере, и никакие детали эксперимента не дают оснований думать, что внутренний шар вообще на электризован.

Отсюда следует, что электричесное отталкивание (и прияжение) должно быть обратно пропорционально квадрату расстояния, и когда шар на электризован положительное, электричесная жидкость сосредоточена целиком на его поверхности.

Оценим, насколько зависимость электрического прияжения и отталкивания от расстояния может отличаться от обратной пропорциональной квадрату расстояния, чтобы это отличище не проявлялось в экспериментах. Пусть $AT$ проходит через диаметры двух концентрических сфера $ABD$ и $abd$ и $Aa$ делится пополам точкой $e$. $Ae$ в эксперименте приближенного равнялось 0,35 дюйма, $Te$ — 13,1 дюйма. Если электричесное отталкивание (и прияжение) обратно пропорционально расстоянию в степении $2+1/50$, то можно показать, что сила, с которой электричесная жидкость на $ABD$ отталкивает частиц [заряженную — $C$. Ф.], находится в точке $e$, по направлению к центру, относится к силе, с которой то же количество жидкости, сообщенное в центре, будет отталкивать частицы в противоположном направлении, как $1:57$*).

Однако, поскольку только слегка отталкивается от обратной пропорциональной квадрату расстояния, жидкость на внутреннем шаре будет отталкивать частиц в точке $e$ применено с той же силой, как если бы вся жидкость находилась в центре. Поэтому, если бы жидкость на внутреннем шаре составляла 1/57 часть жидкости на $ABD$, частица находилась бы в равновесии. поскольку послеедние между $A$ и $a$, имеются всекие основания думать, что все сказанное относится к жидкости на поверхности банки.

Таким образом, мы можем заключить, что электричесное прияжение (и отталкивание) должно быть обратно пропорционально расстоянию в степении, лежащей между 2—1/50 и

26

2+1/50, и нет основной полагать, что закон отличается от закона обратных квадратов.

Примечание переводчика
В 1878 году по инциативе Максвелла опыт Кавендиша был повторен в следующем виде в Кавендишской лаборатории. Результат опыта состоял в том, что поправка α в законе взаимодействия $F \sim r^{-(2+\alpha)}$, где $F$ — сила взаимодействия, а $r$ — расстояние, не может превышать 1/21600.

Комментарий к работе
Г. Кавендиша

Метод, примененный Кавендишем для определения зависимости силы взаимодействия между электрическими зарядами от расстояния, основывает на том факте, что если электрическое поле внутри равномерно заряженной сферы равно нулю, то сила взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами. Докажем это.

Рассмотрим произвольную точку $A$ внутри равномерного заряженной сферы $S$ (см. рис.нок). Образуем мысленную конус с вершиной в точке $A$. Конус вырежет на поверхности сферы небольшой участок площадью $\Delta S_1$. Другой конус, симметричный первому относительно точки $A$, вырежет на поверхности сферы плоскую $\Delta S_2$. Пусть расстояния от $A$ до соответствующих плоскок равны $r_1$ и $r_2$. Поскольку углы между осью конусов и нормалими к плосккам равны,

$$\frac{\Delta S_1}{\Delta S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}.$$

Предположим теперь, что силы взаимодействия между зарядами центральны и направленные поля, создаваемого зарядом $q$ в некоторой точке пространства, обратно пропорциональна $n$-й степени расстояния от точки до заряда, то есть

$$E = k \frac{q}{r^n},$$ где $k$ = const.

Поскольку сфера заряжена равномерно, заряд,средедоточный на площадке площадью $\Delta S$, пропорционален этой площади. Следовательно, отношение моделей напряженности полей, создаваемых в точке $A$ зарядами, находится на площадках $\Delta S_1$ и $\Delta S_2$, равно

$$\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{\Delta S_1 r_2^n}{\Delta S_2 r_1^n}.$$

Векторы $\vec{\Delta E}_1$ и $\vec{\Delta E}_2$ направлены в противоположные стороны и могут либо полностью, либо частично компенсировать друг друга. Чтобы определить напряжение в точке $A$, создаваемого всем зарядами на сфере, необходимо рассмотреть все возможные ориентации конуса. Ясно, что результатушая напряжение может быть равной нулю лишь при условии $\vec{\Delta E}_1 = -\vec{\Delta E}_2$. Посленое возможное только в том случае, когда $n=2$, что и требовалось доказать.

Следует подеркнуть, что идея опыта, поставленного Кавендишем, принимает не ему, а другому англичскому ученому XVIII века Джозефу Пристли, который, однако, сам опыта не поставил.

Несмотря на быстрышее экспериментальное искусство Кавендиша, его опыта имели все же один существенный недостаток: из них нельзя было получить взаимодействия от величины зарядов или, на языке Кавендиша, «от количества электрической жидкости». В закономном виде закон взаимодействия неподвижных электрических зарядов установил в 1785 году французский физик Шарль Огюстен Кулон, использовавший для этого круглые весы и методку, сходную с той, которая применил Кавендиш для определения средней плотности Земли. Поэтому основной закон электриости справедливо называют законом Кулона.

С. Филонович

27

В. Переяславский

Игра
«Определенель»

Два варианта одной игры
В 1978 году «Квант», рассказывая о IX празднике юных математиков в Батуми (см. № 10), предложил своим читателем придумать выигрышную стратегию для следующего игры:

Играот двое. Они по очереди выcisвалиот в таблицу 3×3 числа от 1 до 9 (каждое число должно быть использовано). Коеда таблица заполнена, подсчитывают две суммы: сумму $S_1$ произведений по стольцам и сумму $S_2$ произведений по строкам. Если $S_1 > S_2$, выцрывает начинающий церру; если $S_1 < S_2$, выцрывает второй церрок.

В 1971 году эта игра в несколько другой форме была популярина среди студентов механико-математического факультета МГУ (а узнали они о ней от студентов Пермского университета). Назывался эта игра «Определенель» и выглядела так:

Итерают двое. Они по очереди выcisвалиот в таблицу 3×3 числа от 1 до 9 (каждое число должно быть использовано). Коеда таблица заполнена, подсчитывают две суммы: сумму $S_1$ произведений по стольцам и сумму $S_2$ произведений по строкам. Если $S_1 > S_2$, выцрывает начинающий церру; если $S_1 < S_2$, выцрывает второй церрок.

Тут, конечно, мы должны обязывать вам, что определенелем таблицы $T$ (рис. 1) называется число
$$d = x_1 x_5 x_9 + x_2 x_6 x_7 + x_3 x_4 x_8 - x_3 x_5 x_7 - x_1 x_6 x_8 - x_2 x_4 x_9.$$
В том, что эти две игры по существу совпадают, мы предлагаем вам убедиться самостояльно. Дальше мы будем рассматривать варинт, предложенный в «Кванте».

Полезное сообщение
Все игры условно можно разделить на простые и сложные. Простые игры — это те, которые имеют

$$T = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{bmatrix}$$

Рис. 1.

28

несложные выигрышение стратегии, сложные — все остальные. Повидимому, игра «Определитель» является сложной. Сложность — непреемное условие популяристии игры. Например, в шахматы и в крестики-nоликки на беконечном листе клетчатой бумаги все играют с увлечением, а в крестики-nоликки на доске «3×3» — разве что младшие школьники.

Решим задачу, которая поможет нам играть в «Определитель»: найдем наименьшее значения применим к теме ее слагаемым неравенство о среднем арифметической и среднем геометрической («Квант», 1980, № 3, с. 23):

$$\frac{x_1 x_2 x_3 + x_4 x_5 x_6 + x_7 x_8 x_9}{3} \geq \sqrt[3]{x_1 x_2 \cdot \dots \cdot x_9} = \sqrt[3]{9!} = \sqrt[3]{70 \cdot 72^2} > 71.$$

Отсюда $S > 213$ и, поскольку $S$ — целое число, $S \geq 214$. Но $2 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 8 \cdot 9 + 3 \cdot 4 \cdot 6 = 70 + 72 + 72 = 214$; значит, искомое наименьшее значение равно 214.

Для нахождения наименьшего значения нашей суммы воспользоваться следующей леммой (доказателье!) : если числа $a, b, c, d$ положительные, $ab = cd$ и $|a - b| > |c - d|$, то $a + b > c + d$.

Образуем новую сумму $S'$ так: последнее слагаемое $x_7 x_8 x_9$ оставим без изменения, первое слагаемое $x'_1 x'_2 x'_3$ составим из трех самых маленьких чисел множества $\{x_1, x_2, \dots, x_6\}$, а второе слагаемое $x'_4 x'_5 x'_6$ — из остальных чисел этого множества. Тогда по лемме $S \leq S'$, причем знак равенства будет лишь в том случае, когда каждое из чисел $x_1, x_2, x_3$ больше (или меньше) каждой из чисел $x_4, x_5, x_6$. Отсюда получаем, что значение суммы $S$ будет наименьшим, если все компоненты первого слагаемого меньше всех компонентов второго слагаемого, а те в свою очередь меньше всех компонентов третього слагаемого. Таким образом, искомое наименьшее равно $1 \cdot 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 \cdot 6 + 7 \cdot 8 \cdot 9 = 6 + 120 + 504 = 630$.

Подведем итог: сумма $S$ принимает наименьшее значение, когда ее слагаемые максимально близки (и равны, следовательно, примерно 71), наиболее значение — когда они максимально различны. Отсюда практический совет играющему: стремясь к тому, чтобы слагаемые противника были примерно одинаковы (и равны 71), а собственные слагаемые — максимально различны!

Стратегия «71» для первого игрока

Допустим, что после вашего первого хода противник написал свое число в одном столбце или в одной строке с вашим числом. Тогда мы предлагаем вам следующее стратегию «71»:

Определим для каждой заполненной строки и каждой заполненного столбца таблицы число

$$m = \begin{cases} \frac{\Pi}{71}, \text{ если } \Pi \geq 72, \\ 71/\Pi, \text{ если } \Pi \leq 71, \end{cases}$$

где $\Pi$ — произведение чисел, написанных в данной строке или данном столбце.

Очередным ходом начинающий игрок должен дополнять строку или столбец по следующему правилау: если он дополняет строку, то числом, дающим минимальное значение $m$ для этой строки (что произведение было как можно больше к 71), а если — столбец, то числом, дающим максимальное значение $m$ для этого столбца (что произведение как можно больше отличается от 71).

Поясним сказанное примером. Для удобства изложения занумерем клетки нашей таблицы (рис. 2) и будем записывать партию строкой из девятки чисел с индексами, где индекс обозначает номер клетки,

Рис. 2.

29

в котором на соответствующем ходе вписано данное число. Убедимся, что в партии $3_55_81_24_66_47_72_98_19_3$ начинающий игру пользовался стратегей «71» (на первый ход стратегия ограниченной не накладывает).

После первых двух ходов (рис. 3, а) первый игрок по стратегии должен поставить в клетку № 2 число, дающее максимальное возможное m. В данном случае максимум m может быть либо ход 1$_2$, при котором произведение чисел второго столбца равно 15, либо ход 9$_2$, дающий произведение 135. Так как 71/15 > 135/71, в клетку № 2 нужно поставить 1, что и было сделано.

После хода 4$_6$ (рис. 3,6) в клетку № 4 нужно поставить число, дающее минимум m, а именно 6$_4$, и т. д.

Два частных случая

1. Если у цераюцезо есть произведение $1 \times 2 \times 3$, или $1 \times 2 \times 4$, или $6 \times 8 \times 9$, или $7 \times 8 \times 9$, то он выйрывает независяimo от того, как в таблице расположены остальные числа.

Докажем, например, что, когда в таблице есть столбец из чисел 1, 2, 4, начинающий выигрыает. Если, скажем, таблица выглядит так, как на рисунке 4, то

$$\frac{x_2x_5x_8+x_3x_6x_9}{2} \geq \sqrt{x_2x_5x_8x_3x_6x_9} = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9} > 212.$$

Значит, $S_1 \geq 1 \cdot 2 \cdot 4 + 425 = 433$.

С другой стороны, значение суммы $S_2$ максимально, когда числа $x_2$ и $x_3$ меньше, чем $x_5$ и $x_6$, а $x_5$ и $x_6$ меньше, чем $x_8$ и $x_9$. Таким образом, $S_2 \leq 1 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 4 \cdot 8 \cdot 9 = 387$, то есть $S_1 > S_2$, что и утверждалось.

2. Иного при игре удается использовать идею «цугшанга» — отсутствия разумных ходов у противника. Например, в ситуации, изобранной на рисунке 5, начинающий при любом ходе второго игрока может (и должен) поставить числа 1, 2 в один столбец, а 8, 9 — в другой. Просчитав разные варианты, легко проверить, что это обеспечит начинанное ему выигрыш.

Попытка перебор

На первый взгладигra «Определитель» кажется не очень сложной: соперники делают всего девять ходов и для каждой хода есть не более девяты вариантов — просчитаем все варианты и выберем нужный. Беда в том, что различных партий черезчур много.

В самом деле, для первого хода есть 81 варианта (одно из девяты чисел в одну из девяты клеток); для второго хода — 64 варианта и т. д. (рис. 6) — всего $9^2 \cdot 8^2 \cdot 7^2 \cdot \ldots 2^2 \cdot 1^2 = (9!)^2 \approx 1,3 \cdot 10^{11}$ различных партий. Разумеется, определить результат игры таким перебором невозможно даже с помощью ЭВМ.

Правда, этот перебор слишком «груб», а оценка слишком завышена: ведь наша игра имеет симметрию. Например, все первые ходы в разных клетки одним и тем же числом равноправны; поэтому нужно рассматривать не 81, а только 9 вариантов первого хода. Восемь осталось для второго хода клеток можно разделить на три класса так, что ходы одним и тем же числом в клетки одного класса будут равноправны (на рисунке 7 клетки разных классов закрашены в разных цвета); поэтому нужно рассматривать не 64, а 8 \cdot 3 = 24 варианта второго хода. Так нам удалось сизить верхнюю оценку числа партий до числа $9 \cdot 24 \cdot 7^2 \cdot 6^2 \cdot \ldots \cdot 2^2 \cdot 1^2 \approx$

30

≈ 5 · 10^9, которое, однako, по-прежнему очень велико. Нужна новая идея, сокращаюшая перебор вариантов. Такая идея нашлась.

Чем может помочь мудрец?

Предположим, что появился мудрец, утверждающий, что, начиная игру, он добавется победы, и пусть этот мудрец настолько добр, что в одинаковых позициях делает одинаковые ходы. Сколько партий нужно сыграть с мудрецом, чтобы проверить, что он на самом деле имеет выигрывать?

Мудрец все партии начинает одинаково; мы же должны попробовать игру с ним все 24 варианта второго хода. В каждой позиции второго хода мудрец однозначно делает третьий ход; мы же перебираем все 36 вариантов четверого хода и т. д. (рис. 8). Всего нужно сыграть 24 · 6^2 · 4^2 · 2^2 = 55296 партий, проверяющих мудреца.

Понграв с мудрецом в течение месяца, можно убедиться в его беспропгрышности или доказать обратное. Можно составить и отладить программу на ЭВМ, проверяшую мудреца, что, правда, займет по времени тот же самый месяц, за то этой же программоий можно проверять теперь на «выиграшность» любую стратегию.

Итак, проверяющая программа есть, но где же мудрец? Пришлось автору научиться играть и, использую уже высказанные сообщения и стратегии, постепенно исправлях ходы, не обеспечивающие выигрыша для начинающего (они обнаруживались с помощью проверяющей программы), «превращаться» в та-

31

кого мудреца. Удалось доказать, что если играют два мудреца, то выигравает начнающий; точнее, было доказано, что начнающий началом $7_1$ имеет возможность выиграть при любых ответах противника. Был составлен своеобразный «справочник», в котором на все вторые и четверные ходы противника указаны выигравaisonные третьи и пятые ходы.

Заключение

Проверка стратегии «71» на «выиграшность» показала, что, при первом ходе $7_1$, на все вторые ходы, при которых стратегия действует, за исключением трех, она дает такой третий ход, что при любом четвертом ходе, за исключением девятки, стратегия «71» приводит к выиграшу. Исключительные случаи перечислены в таблице. Выиграvioший ход в таких случаях все-тaki существует (см. таблицу), но он расходит с рекомендацией стратегии «71».

Новости науки

Органический сверхпроводник

Как известно, явление сверхпроводимости заключится в полном исчезновении электрического сопротивления при температуре ниже некоторой критической $T_k$, называемой температурой сверхпроводшего перехода. Практические все существующиеся сейчасы сверхпроводники являются металлими или их сплавами с $T_k$, не превышающими 25K. Иными словами, сейчас нет материалов, которые были бы сверхпроводниками при температуре выше 25K.

Необходимость работы при очень низких температурах сильно ограничивает применение сверхпроводников. В связи с этим большой интерес как с экспериментальной, так и с теоретической точки зрения вызывает изучение возможности создания сверхпроводника с высоким значением $T_k$. Около двадцати лет назад были высказаны сообщения о возможности существенного повышения $T_k$ для некоторых типа организаческих соединений, в которых электропоны движут вдоль отдельных стопок организаческих молекул, а переходы электропоны на соседние стопки затрудены. Однако до сих пор все попытки получить организационный сверхпроводник не приводили к успеху, и лишь недавно группе датских исследователей удалось впервые синтезировать организационный сверхпроводник. Полученное имя соединение носит довольно сложное название — диетрагметил-тетраселенфорт) терраоксилорат и обозначает по первым буквам входящих в него atomов и радикалов — $(\text{TMTSF})_2\text{ClO}_4$. Переход в сверхпроводяще состояние происходит при нормальном давлении и температуре $T_k = 1,2 \div 1,4$ К. Температура сверхпроводшего перхода ограничено организацией сверхпроводника, как видно, довольно низкая. В организациях соединения замена того или иного радикала или ввод в них других молекул приводит к созданию большого числа новых соединений с самыми разнообразными свойствами. Именно это обстоятельство и обусловливает практическую важность получения организационных сверхпроводников. Может поэтому надеться, что целенаправленные исследования в данной области приведут кинтезирования сверхпроводников с высокими $T_k$. Важность такого открытия просто трудно переоценить.

А. Бузди

32

Задачи

M706 — M710; Ф718 — Ф722

M706. Из центра каждой из двух данных окружности проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.

A. Савин

M707. Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, где занимаются не менее 2/3 учеников этого класса.

A. Сидоренко

M708. На сторонах выпуклого четырехугольника площади $S$ вне его построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырехугольника площади $S_1$. Докажите, что
a) $S_1 \geq 2S$;
b) $S_1 = 2S$ в том и только в том случае, когда диагонали исходного четырехугольника равны по длине и взаимно перпендикулярны.

П. Гусятников

M709. Пол комнаты, имеющий форму правильного шестиугольника со сторонай 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со сторонай 1 и острым углом 60°. Разрешается вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со сторонай 1, и заменить их расположение другим (рис. 2). Докажите, что
a) из любого расположения плиток таких операций можно получить любое другое;
b) это можно сделать не более чем за 1000 операций;
в) из расположения плиток рисунка 3, а нельзя получить расположение рисунка 3,6 менее чем за 1000 операций.

A. Смирнов

M710. Существует ли последовательность различных натуральных чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$, ни один из членов которого не равен сумме нескольких других, такая что (при всех $n=1,2,\dots$)
a) $a_n \leq 2(\sqrt{3})^n$;
b) $a_n \leq 10(1,5)^n$;

33

г) $a_n \leq 1000n^{7/2}$; д) $a_n \leq 1000n^{3/2}$

С. Коняцин

Ф718. На берегу реки, скорость течение которого равна $\omega$, в точке $A$ находится малчик. Он может быть по берегу со скоростью $v$ и плять по реке со скоростью $u$ (относительно воды), причем $u < \omega$. Определить, на каком расстоянии $x$ от точки $A$ находится та точка $C$ берега, откуда малчик должен начать плять, чтобы добраться до бакена $B$ за напменшее время. Расстояние $BD$ от бакена до берега равно $h$, расстояние $AD$ равно $l$ (рис. 4).

С. Кротов

Ф719. Маленькому тяжелому шарику массы $m$, имеющему заряд $q$, сообщают начальное скорость $v_0$, направленную вертикальную вверх. Шарик находится в однородном горизонтальном электростанческом поле, направленность которого равна $E$. Пренебрегая сопротивлением воздуха и зависяство ускорения свободного давления $g$ от высоты, определять минимальную скорость шарика в процессе его движения.

Б. Буховцев

Ф720. Оdnородный брус массы $M$ длины $l$ начинает движаться вниз по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Начальний участок длины $l$ наклонной плоскости занят близко расположенными катками в виде трубок массы $m$ и радиуса $r \ll l$ (рис. 5), которые врашаются без tremия в подшипниках. Ostальной участок наклонной плоскости гладкий. Найти зависяство ускорения груза от перемещения вдоль плоскости.

А. Стасенко

Ф721. Равномерно заряженный по поверхности лист из диэлектрика, имеющий форму равноведренного прямого угольного треугольника, сложили пополам. При этом была совершена работа $A$ против сил электростанческого поля. Какую работу надо совершить, чтобы сложить пополам пополенный треугольник?

О. Савченко

Ф722. Плокский конденсатор находится в магнитном поле, которое перепедикулярно плоскости пластин (рис. 6). Расстояние между пластинами $d$, вектор магнитной индукции $B$. Внутри конденсатора около отрицательно заряженной пластины расположен источник медленных электровов, испускающий электроны в разных направлениях. При каком направлении между пластинами электроны будут фокусироваться на положительное заряжение пластине? От чего зависят размер «пятна»?

А. Трубачев

34

Решения задач

M666. Докажите, что наименьшее общее кратное число $a_1 < a_2 < ... < a_n$ равно $A$. Тогда, очевидно, $\frac{A}{a_1} > \frac{A}{a_2} > ... > \frac{A}{a_n}$ — науральные числа. Поэтому $\frac{A}{a_1} \geq n$, откуда $A \geq n a_1$.

Эта оценка является точной. В самом деле, если $a_1 = \frac{n!}{n-1}$, $a_2 = \frac{n!}{n-1}$, …, $a_n = n!$, то $A = n! = n \cdot a_1$.

A. Разборов

M667. Построите треугольник ABC, если заданы его наименьший угол $\hat{A}$ и отрезки длины $d = |AB| - |BC|$ и $e = |AC| - |BC|$.

На сторонах данного угла $\hat{A}$ отключим данные нам отрезки AD длины $d$ и AE длины $e$. Телерь нужно на эти сторонах (за точками D и E) найти также точки B и C, что $|BD| = |BC| = |CE|$.

Чтобы это сделать, построим вначале фигуру, готовичную искомому четырехугольнику BCED. Для этого (рис. 1) отложим на прямой AD (на луче, не содержащем A) отрезок DB1 любой длины $q$, затем параллельно пересечем луч [DE] на вектор $\vec{q}$ той же длины $q$, направленный параллельно [AE], после чего на полученном луче $l$ отметим точку $C_1$, для которого $|B_1C_1| = q$. Очевидно, четырехугольник $B_1C_1E_1D$ подбен искомому четырехугольнику BCED. Проведя теперь через точку E прямую, параллельную $B_1E_1$, найдем точку B; проведя затем через точку B прямую, параллельную $B_1C_1$, найдем точку C. (Легко видеть, что все построения всегда выполны, причем единственным образом.)

Вот еще одно решение — не использующее метод подобия. Если $O$ — центр окружности, вписанной в искомый треугольник ABC, то треугольники BOD, BOC и COE конструктивны (рис. 2). Все углы, отмещенные при вершине O, равны $90^\circ + \hat{A}/2$. Поэтому $D\hat{OE} = 90^\circ - 3\hat{A}/2$ (эта величины положительная при $\hat{A} < 60^\circ$). Телерь можно построить точку O как пересечение биссектрицы угла A и души сегмента с концами D, E, вместешего вписанной угол величины $90^\circ - 3\hat{A}/2$ (красная дуга на рисунке 2). Затем, проведя под нужными углами к отрезкам DO и EO лучи OB и OC, находим две вершины треугольника ABC.

Наконец, задачу можно решить и вычисленем: длина искомого отрезка $x = |BD| = |BC| = |CE|$ находится из квадратного уравнения

$$x^2 = (x+d)^2 + (x+e)^2 - 2(x+d)(x+e) \cos \hat{A},$$

после чего искомый отрезок можно построить (исходя из $d, e$ и $\hat{A}$) циркulum и линейкой, комбинируя известные методы построения по данным отрезкам длины $p$ и $q$ и углу $\alpha$ отрезков длины $p$ cos $\alpha$, $p \pm q$, $\sqrt{pq}$, $\sqrt{p^2 \pm q^2}$. Интересно, что отрицательный корень этого уравнения также имеет геометрический смысл: он определяет положение еще одной точки $B_2 \in [DA)$, $C_2 \in [EA)$, для которых $|B_2D| = |B_2C_2| = |C_2E|$.

H. Васильев

M668. Последовательность $(x_i)$ определяется условиями $x_1 = 1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$, $x_{n+1} = x_{n-2} + 2x_{n-1}$. Докажите, что для любого

Пусть $m$ — любое натуральное число. Вместо последовательности $(x_i)$ рассмотрим последовательность $(\bar{x}_i)$ остатков от деления $x_i$ на $m$.

Из определения последовательности $(x_i)$ следует, что по любым тем числам $\bar{x}_i$, $\bar{x}_{i+1}$ и $\bar{x}_{i+2}$ можно однозначно

35

натурального $m$ найдуться два соседних члена этой последовательности, каждый из которых делится на $m$.

В самом деле, поскольку число членов последовательности бесконечно, а количество треек из набора чисел {0, 1, 2, …, $m-1$} не больше $m^3$, найдет две совпадющие трейки $\bar{x}_i, \bar{x}_{i+1}, \bar{x}_{i+2}$ и $\bar{x}_{i+T}, \bar{x}_{i+T+1}, \bar{x}_{i+T+2}$. Но так как числа первой трейки однозначно определяются по числам второй трейки, то вообще при любом $k$ будет верны равенства $\bar{x}_{k+T}=\bar{x}_k, \bar{x}_{k+T+1}=\bar{x}_{k+1}, \bar{x}_{k+T+2}=\bar{x}_{k+2}$ ($T$ — период последовательности).

Поскольку $\bar{x}_0=\overline{x}_3-2x_1=0, \bar{x}_{-1}=\overline{x}_2-2x_0=0, \bar{x}_{iT-1}=0$ и $\bar{x}_{iT}=0$ при любом $l$. Мы доказали тем самым, что существует бесконечно много пар соседних членов последовательности ($x_i$), каждый из которых делится на $m$.

Интересно отмечать связь последовательности ($x_j$) с последовательностью Фибоначчи ($f_i$): $f_1=1, f_2=2, ..., f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$ при $n \geqslant 1$. Последовательность Фибоначчи также может быть продолжена выше: $f_{n-1}=f_{n+1}-f_n$, так что $f_0=1, f_{-1}=0$ и т. д. Нетрудно проверить, что $x_i=f_{i-2}+(-1)^{i-1}$. Таким образом, для любого натурального $m$ в последовательности ($f_i+(-1)^{i-1}$) существует бесконечно много пар соседних членов, делящих на $m$. В то же время любые два соседних числа Фибоначчи взаимно просты*.

Г. Козлов

M669. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Доказите, что a) отрезок, соединяющий две члены AB и CD, перпендикулярен отрезку, соединяющий две члены BC и AD; b) центры окружностей, вписанных в треугольника ABC, BCD, CDA и DAB, являются вершинами прямойника.

a) Поскольку $NMP=\frac{1}{4}(BC+CD)=\frac{1}{2}\hat{A}, MNQ=\frac{1}{4}(AB+AD)=\frac{1}{2}\hat{C}$ (рис. 1), $NMP+MNQ=\frac{1}{2}(\hat{A}+\hat{C})=90^\circ$, открывается вписание соответствующего треугольника ABC, BCD, CDA и DAB (рис. 2).

Греугольники BMN и MO$_1N$ конгрузны, так что $|BN|=|NO_1|$. Аналогично, $|CN|=|NO_2|$. Но $|BN|=|CN|$; следовательно, треугольник $O_1NO_2$ — равноведенный, в котором $[NQ]$ является биссертрисой. Поэтому $[NQ] \perp [O_1O_2]$; значит, $[O_1O_2] \parallel [MP]$.

Рис. 1.

Рис. 2.

Аналогично доказывается, что $[O_3O_4] \parallel [MP]$ и $[O_1O_4] \parallel [NQ] \parallel [O_2O_3]$. Таким образом, четырехугольник $O_1O_2O_3O_4$ — прямойник.

И. Герман, K. Малхасян

• (Об интересных свойств делимости чисел Фибоначчи см. в книге Н. Н. Воробьева «Числа Фибоначчи» (Серия «Популярныеlekции по математике», М., «Наука», 1978).

36

М670. а) Дано несколько точек, некоторые пар которых соединены линиями (точки таких пар называются с оседяем ими). Число соединений у каждой точки нечетно. В начальный момент все точки раскрашены в два цета — красный и синей. Затем каждую минуту происходит однорекрашивание точек по следующему правилу: каждая точка, у которой большинство соединений имеет отличный от нее цвет, меняет свой цвет; в противном случае ее цвет сохраняется. Доказите, что наступит момент, начиная с которого у некоторые точек цвет не будет меняться, а у некоторые будет меняться каждую минуту. б) Останется ли это утверждение верным, если не предполагается, что у каждой точки число соединений нечетно?

Рис. 1.

Рис. 2.

Назовем отрезок $X'_i X''_j$, соединяющий точки увоенной системы, пестрым ребром, если его концы $X'_i$ и $X''_j$ разного цвета. Покажем, что если в очередной момент хотя бы одна точка пестрым ребром, то число пестрым ребром увоенной системы, примет вид … $P_{t-1}, P_t, P_{t-1}, P_t, \dots$, (рис. 3), а именно это и требуется доказать в задание.

Рис. 3.

Назовем отрезок $X'_i X''_j$, соединяющий точки увоenной системы, пестрым ребром, если его концы $X'_i$ и $X''_j$ разного цвета. Покажем, что если в очередной момент хотя бы одна точка пестрым ребром, то число пестрым ребром увоenной системы, примет вид … $P_{t-1}, P_t, P_{t-1}, P_t, \dots$, (рис. 3), а именно это и требуется доказать в задание.

37

Ф678. Артиллерийское орудие стрелляет из-под укрытия, наклоненного под углом α к горизонту (рис. 1). Орудие находится в точке A на расстоянии l от основания укрытия (точка B). Начальная скорость снаряда равна $|\vec{v}_0|$.
Считая, что траектория снаряда лежит в плоскости рисунка, определять максимальную дальность полета.

Рис. 1.

Из всех возможных траекторий снаряда выберем ту, которая касается укрытия. Расмотрим движение снаряда в системе координат, оси которой направлены так, как показано на рисунке 2. В этой системе «горизонтальная» (вдоль оси OX) проекция начальной скорости снаряда равна $v_{0x} = v_0$ cos ($\varphi - \alpha$), а «вертикальная» (вдоль оси OY) проекция равна $v_{0y} = v_0 \sin (\varphi - \alpha)$, где $\varphi$ — угол, который составляет с горизонтом вектор начальной скорости снаряда.

Точка C, в которой траектория снаряда касается укрытия, определяет максимальную высоту $h'$ поднятия снаряда над «горизонтом», равную, как видно из рисунка 2, $l \sin \alpha$. В этой точке проекция полной скорости $\vec{v}$ снаряда на ось

Рис. 2.

$OY$ равна нулю и
$$h' = v_{0y}^2 / 2g'$$,
где $g' = g \cos \alpha$ — «ускорение свободного падения» в системе $XOY$ (проекция вектора $\vec{g}$ на «вертикаль» $OY$). Таким образом, $v_{0y}^2 = 2g' h' \Rightarrow v_0^2 \sin^2 (\varphi - \alpha) = 2(g \cos \alpha) (l \sin \alpha)$.

Отсюда, в частности, вытекает, что если по условиям задачи $2g l \sin \alpha \cdot \cos \alpha = g l \sin 2\alpha > v_0^2$, то ни одна из траекторий снаряда не коснется укрытия и максимальная дальность полета $L_{\max}$ будет у снаряда, пущенного под углом $\varphi = \pi/4$ к горизонту; при этом $L_{\max} = v_0^2/g$.

Если по условиям вышеполняется соответствие $v_0^2 \geqslant g l \sin 2\alpha$, то для того, чтобы траектория касалась укрытия, снаряд должен быть пущен под углом
$$\varphi_{\kappa c} = \alpha + \arcsin \frac{\sqrt{g l \sin 2\alpha}}{v_0}$$.

Если при этом по условиям вышеполяется неравенство
$$\frac{v_0^2}{v_0^2 + 2g l} \leqslant \sin 2\alpha$$,
что в свою очередь означает, что $\varphi_{\kappa c} \geqslant \pi/4$ (покажите!), то угол вылета снаряда с максимальной дальностью полета $\varphi_{\beta} = \pi/4$ и $L_{\max} = v_0^2/g$. Если же по условиям вышеполяется обратное неравенство
$$\frac{v_0^2}{v_0^2 + 2g l} > \sin 2\alpha$$,
что в свою очередь означает, что $\varphi_{\kappa c} < \pi/4$, то

38

$$L_{\max} = \frac{v_0^2}{g} \sin 2\varphi_b = \frac{v_0^2}{g} \sin 2 \left( \alpha + \arcsin \frac{\sqrt{g l} \sin 2\alpha}{v_0} \right).$$

С. Кротов

Ф679. Нерастяжимая цероховая вервка линейной плотности q и длины L перекинита через блок так, что длина однозоно из свисающих концов равна $l(l < L/2)$. Блок, найденный на горизонтальном ось, представляет собой тонкий обруч массы m и радиуса r на лекких спицах (см. рисунок). Систему удерживают в состоянии покоя и затем отнускают. Найти силу давления на ось в первой момент времени. Тренце между осью и блоком мало.

На системе блок+вервка действуют три силы: сила $\vec{R}$ реакции в оси блока и силы тяжестеги $m\vec{g}$ и $M\vec{g}$ ($M = \rho L$ — масса вервки). Согласно третьему закону Ньютона, сила $\vec{N}$ давления на ось блока равна по абсолотной величины $|\vec{R}|$.

Запишем уравнение движения центра масс системы в проекциях на оси $OX$ и $OY$ (см. рисунок):

$$\begin{align*} (M + m)g &= R_x = (M + m)A_x, \\ R_y &= (M + m)A_y \end{align*}$$

($A_x$ и $A_y$ — проекции ускорения центра масс). Так как вервка нерастяжима и не просkalзывает по блоку, ускорения всех точек вервки и блока в первый момент времени будут равны по абсолотной величины (начальная скорость системы равна нулю, и точки вервки, лежащие на обруче, еще не приобрел центростремительной составляющей ускорения).

Ускорение $\vec{A}$ центра масс системы связано с ускорением $\vec{a}_i$ всех ее $i$ точек соотношениям

$$M\vec{A} = \sum_i m_i \vec{a}_i,$$

где $M$ — масса системы, $m_i$ — масса ее $i$-й точки. Запишем для нашей системы это соотношение в проекциях на оси $OX$ и $OY$.

В проекции на оси $OX$

$$-M_{AC}a + M_{BD}a = (M + m)A_x,$$

так как суммарный вклад всех произведений $M_{i(AB)}\vec{a}_i$ (от точек вервки, лежащих на участке $AB$) и $m_i\vec{a}_i$ (от точек обруча) в проекциях на ось $OX$ равен нулю; это ясно из сообщений симметрины. В проекцию же на ось $OY$ высят вклад только произведения $M_{i(AB)}\vec{a}_i$. Чтобы найти проекцию на ось $OY$ вектора $\sum_i M_{i(AB)}\vec{a}_i$, мы должны просуммировать векторы $M_{i(AB)}\vec{a}_i$ с учетом того, что в каждой точке ускорение направлено по касательной к обручу (напомним, что начальная скорость равна нулю). Такое суммирование (проведите его самостояльно) приведет нас к следующему результату:

$$\frac{2}{\pi} M_{AB}a = (M + m)A_y.$$

Подставим полученные выражения для $(M + m)A_x$ и $(M + m)A_y$ в (*) и найдем $R_x$ и $R_y$:

$$R_x = (M + m) \left( g - \frac{M_{BD} - M_{AC}}{M + m} a \right),$$

$$R_y = \frac{2}{\pi} M_{AB}a.$$

Для определения ускорения $a$ запишем уравнение движения отдельных частей системы:

$$M_{BD}g - T_B = M_{BD}a,$$

$$T_A - M_{AC}g = M_{AC}a,$$

$$T_B - T_A = (M_{AB} + m)a,$$

где $\vec{T}_A$ и $\vec{T}_B$ — силы натяжения вервки в точках $A$ и $B$ (см. рисунок). (Чтобы получить последнее уравнение, рассмотрите движения отдельных частей вервки на участке $AB$ и обруча.) Из этих уравнений находится:

$$a = \frac{M_{BD} - M_{AC}}{M + m} g.$$

Таким образом,

$$R_x = (M + m) \left( g - \frac{(M_{BD} - M_{AC})^2}{(M + m)^2} g \right),$$