Квант 1982, №2 · Страницы

КВАНМ
2
1982

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Оказывается, звуковые колебания стеклянной или металлической пластинки можно не только усышать, но и… увидеть. Это впервые продемонстрировал немецкий ученый Эрнст Хладни в 1787 году.
Если на поверхности пластинки насыпать мелкий песок и возбудить колебания пластинки, то песок перераспределится, собираясь вдоль отдельных линей. Эти линии образуют различные фигуры, которые теперь называют хладневыми фигурами. Некоторые из них и изображены на приведенном рисунке.
Многие ученые пытались разработать математическое теорию колебаний пластин. Среди них — Симеон Дени Пуассон, о котором рассказывает в этом номере журнала.

В НОМЕРЕ: IN THIS ISSUE:

А. Эфрос. Что такое теория протекания 2
А. Еfros. What is the theory of percolation
А. Тоом. Долго ли палке упасть? 10
А. Toom. How long does a stick take to fall?
В. Геллер, Ю. Брук. Симеон Дени Пуассон 14
В. Geller, Yu. Bruk. Siméon Denis Poisson

Лаборатория «Кванта» 21
С. Шишков. Водоворот
Kvant’s lab
S. Shishkov. Whirlpools

Задачик «Кванта» 25
Задачи M726 — M730; Ф738 — Ф742
Problems M726—M730; P738—P742
Решение задач M686 — M690; Ф698 — Ф702
Solutions M686—M690; P698—P702
С. Кротов. О теореме единственности в электростатике 32
S. Krotov. On the uniqueness theorem in electrostatics

«Квант» для младших школьников 35
Задачи
Problems
Ф. Бартенев, А. Савин. Метод перебора 36
F. Barteniev, A. Savin. The resetting method

Практикум абитуриента 39
В. Скороваров. Переменный электрический ток
College applicant’s section
V. Skorovarov. Alternating current

Вариantsы вступительных экзаменов вузы в 1981 году 43
Московский институт электронного машиностроения
Moscow Institute of Electronic Machine-building
Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина 44
Moscow Lenin Pedagogical Institute
Московский энергетический институт 45
Moscow Energetics Institute
Краснойрский институт цветных металлов 46
Krasnoyarsk Kalinin Institute of Non-ferrous Metals

Искусство программирования 48
Заочная школа программирования. Урок 18
Computer programming correspondence school. Lesson 18

Информация 55
Е. Юносов. III Московский турир юных физиков
Information
E. Yunosov. The third Moscow contest for the young physicist

Рецензии, библиография 58
В. Гутенмахер. Пособие по математике для поступающих вузы
Book reviews
V. Gutenmakher. A manual for college entrance exams

Ответы, указания, решения 59
Смесь(34, 47, 54)
Miscellaneous (34, 47, 54)

Наша обложка 54
Our cover page

Шахматная страница 55
Машина угадывает счет (3-я с. обложки)
The chess page
Computer guesses scores (third cover page)

Рисунок на первой странице обложки нарисован ЭВМ с помощью «случайных чисел». Подробнее см. с.54.

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1982

2

А. Эфрос

Что такое теория протекания

Два учены мужа кромсают экранную сетку

Не так уж часто в современных научных журнальных появляются отчеты об экспериментах, объектом которых является кусок объIkновеной экранной сетки*), купленный с несколько необычной целью в близжайшем магазине скобных изделия. И хотя статья американских физиков Ватсона и Лиса, появившаяся в журнале «Физикл Ревью» («Физическая обозрение») в 1974 году, была далекне первой работой в области теории протекания, наш рассказ начинается именно с нее.

*) Прямоное назначение экранной сетки состоит в том, чтобы зашищать различную радиоаппаратуру от электрических помех.

Кусок сетки, с которым работали Ватсон и Лис, имел квадратную форму и содержал $137 \times 137 = 18769$ узлов с расстоянием $1/4$ дюйма (6,35 мм) между соседними узлами. Учены припаяли к двум противоположным сторонам квадрата медные электроды и включили сетку в электрическую цепь (рис. 1, а), чтобы изменить ее электропроводность (напомним, что электропроводность — величина, обратная сопротивление). Затем они стали вырезать узлы из этой сетки (рис. 1, б) и изучать электропроводность в зависимости от доли вырезанных узлов.

Каждайный новый узел, который нужно вырезать, выбирался среди невырезанных раннее узлов случайно. В принципе для этого можно было бы написать координаты каждой узла на отдельной бумажке, положить все бумажки в шапку, хорошо перемешать и вынимать по одной. Однако при большом количестве узлов такая процедура (как и другие механические способы жеребевки) крайне неудобна, и потому учены пользовались случайной по-

3

следовательность координат, составленной ЭВМ.

Ясно, что по мере увеличения числа вырезанных узлов электропроводность сетки уменьшалась. Большое это, если отношение числа невырезанных узлов к полному числу узлов (137²) обозначает $x$, то при некотором значении $x$, которое в дальнейшем мы будем называть пороговым значением и обозначает $x_c$, электропроводность обращалась в нуль. Это происходитло, когда перерезался последний путь, связывающий левый и правый электроды. Определение вырезанных $x_c$ и являлось одной из задач эксперимента Batсона и Лиса. Они нашли, что $x_c = 0,59$.

Естественно возникнет вопрос: является ли величина $x_c$ случайной и невоспроизвольной от опыта к опыту, или она вплоне определяется?

Казалось бы, повторив эксперимент с другими куском экраниной сетки и воспользовавшись другой случайной последовательностью вырезаемых узлов, мы получим иное значение $x_c$. Этот ответ поддерживает здравый смысл: поскольку на каждом этапе вся конфигурация выреза

$$\bar{x}_c(N) = \frac{x_{c1} + x_{c2} + \ldots + x_{cQ}}{Q} = \frac{\sum_{i=1}^{Q} x_{ci}}{Q}.$$

Для того чтобы определить, насколько в среднем отличся значения $x_{ci}$, полученные в разных экспериментах, от $\bar{x}_c(N)$, сделаем следующее. Найдем сумму выражений вида $(x_{ci} - \bar{x}_c(N))^2$ (то есть сумму квадратов отклонений $x_{ci}$ от $\bar{x}_c(N))$ и поделим эту сумму на $Q$. Величина

$$\delta(N) = \frac{\sum_{i=1}^{Q} (x_{ci} - \bar{x}_c(N))^2}{Q}$$

представляет собой среднее значение квадрата отклонения $x_{ci}$ от $\bar{x}_c(N)$ при заданном $N$. Эту величины называют дисперсей. Величина же $\sqrt{\delta(N)}$ и характеризует разброс значений $x_{ci}$, полученных в серии экспериментов с сетками, содержащими $N$ узлов. (Заметим, что если мы стали складывать не квадраты отклонений, а perвыские степени, то есть выражения вида $x_{ci} - \bar{x}_c(N)$, то для среднего значения отклонения мы получили бы нуль, поскольку $x_{ci} - \bar{x}_c(N)$ имеют как положительные, так и отрицательные значения.)

Итак, для того чтобы оценить «степень случайности» величины $x_c$, надо проследить за поведением величины $\delta(N)$.

Расчеты показывают, что с увеличением числа узлов сетки $N$ величина $\delta(N)$ резко (по степени закону)

5

возникает суммарный магнитный момент $M = \mu N$, где $N$ — число atoms в образце, а $\mu$ — магнитный момент одного atoms. Важно, что магнитный момент, относный к единице объема, не зависит от объема и равен $M = \mu/v_0$, где $v_0$ — объем, приходящая на один atom. Величина $M$ называется спонтанной намагниченность (слово «спонтанная» означает «самопроизвольная», то есть возникающая не под действием внешнего поля, а сама по себе).

Тепловое движение разрушает магнитный порядок, и потому существует критическая температура, называемая температурой Кюри, выше которого спонтанная намагничность равна нулю. Для железа, например, температура Кюри составляет $770^\circ C$. При более высоких температурах железо не может быть ферромагнитным.

Рассмотрим теперь вещество, представляющее твердый раствор (смесь магнитных и немагнитных (не имеющих магнитного момента) atoms. Это кристалл, в узлах которого располагаются магнитные или неmagнитные atoms, причем их расположение оказывается не упорядоченным, а совершенно случайным. Обозначим $x$ относительно концентрации (долю) магнитных atoms и выясим, при всех ли значения $x$ существует спонтанная намагничность, то есть вещество является ферромагнетиком.

Допустим, что взаимодействие между магнитными моментами atoms убивает с расстоянием так быстро, что учитывает нулю лишь взаимодействие близкой ших, непосредственных, соседей. Это значит, что если два магнитных atoms стоит рядом, то их моменты обязаательно параллельны, но если между ними оказывается хотя бы один немагнитный atom, то моменты могут быть направлены произвольно: они уже «ничего не знают» друг о друге.

Введем некоторые определения. Будем называть два магнитных atoms связанных друг с другом либо если они стоят рядом, либо они соединены друг с другом целочкой из строящих рядом магнитных atoms (рис. 2, а). Совокупность связанных atoms приято называть классером

Рис. 2. Магнитные atoms обозначаны красными кружочками, немагнитные — синими. Штриховые линии — границы кластеров.

(● англійского слова «cluster», что в переводе означает «гроздь», «кисть»).

Предположим, теперь, что магнитных atoms очень мал ($x \ll 1$). Естественно, что при этом они, в основном, располагаются по одиночеке. Классер из двух магнитных atoms представляется собой редкое событие, из трех atoms — еще более редкое и т. д.

Благодаря магнитному взаимодействию магнитные moments связи этих atomsом ориентированы в одну сторону. Таким образом, каждый классер обладает результатующим магнитным моментом, пропорциональным числу atoms в кластере. С другой стороны, мы договорились, что магнитные atoms, не являющиеся близкой шихми, создают не взаимодействуют друг с другом. Поэтому не взаимодействуют друг с другой atomом, принадлежшие разные классерами. Вследствие этого ориентированных моментов, принадлежших к классам, оказывается произвольной (см. рис. 2, а), так что средний момент всех классеров равен нулю.

Итак, мы получили, что при малой концентрации магнитных atoms спонтанная намагничность отсутствует.

Теперь рассмотрим случай, когда почти все atoms — магнитные. Очевидно, что небольшая примесь неучтожает спонтанной намагничности, а только несколько уменшает ее. Обсуим этот вопрос на языке классеров. При $x=1$ все $N$ atoms принадлежат одному кластеру. Если $x$ немного отлично-

7

Задача об электроноводности формулировалась нами для плоской сетки; однako ясно, что ее легко поставить и для куба, к двум противоложным граям которого припаяны электроны. В задаче о ферромагнетике наша рассуждания относились в равной мере и к сетке, и к кубу. Таким образом, с точки зрения критической концентрации $x_c$ задача об электроноводности сетки и задача о примесном ферромагнетике — это одна и та же задача. Ее называют задачей узлов.

В заключение этого раздела еще раз подерknем, что основные понятия теории протекания, такие как порог протекания, бесконечный кластер и т. д., прибретают четкий характер лишь в применении к бесконечно большой системе. В любой конечной системе порог протекания «размыт»; при повторении эксперимента результаты воспроизводаятся лишь с определенной точностью, само определение порога становится неднозначным. Например, в эксперименте с проводящей сеткой мы могли бы назвать порогом протекания то значение $x$, при котором возникнет протекание сверху вниз, а не слева направо, или минимальное значение $x$, при котором существует протекание и сверху вниз, и слева направо. В достаточно большой системе разница между этим определениями страется, и порог протекания становится вполне определенной величины.

Заметим, что повышенная чувствительность к размерам системы есть общее свойство всех так называемых критических явлений. Так, температура Кюри, при которой исчезает ферромагнетизм, в конечной системе всегда немного «размазана» по тем же причинам, что и порог протекания. Следует, однako, иметь в виду, что фактически размер системы важен, только если мы пытаемся искустенно моделировать критическое явление (например, с помощью экранной сетки). Реальную же макросоппечую систему практические всегда можно считать бесконечной. Ведь один кубический сайт вещества содержит примерно $10^{22}$ атомов!

Другие решеточные задачи

В предыдуших разделах рассматривась решеточная задача узлов. Тепер мы обьясим, в чем состоит задача связи. Представьте себе, что в эксперименте с экранной сеткой мы не будем троять узлы, а будем разрезать проволочки (связи), которые эти узлы соединены (рис. 4). Обозначим через $x$ долю неразрезанных проволокек. Тогда снова можно поставить вопрос о критической доле $x_c$, при которой перевыается ток в очень большей сетке с металлическими контакками на боках. Эту задачу можно сформировать и на кластерном языке, считая, что узлы связываны друг с другом, если они соединены цепочкой из неразрезанных provолокек.

Задача узлов и задача связи кажутся очень похожими. Однако они не только детственны. Эти задачи могут быть сформированы и для решеток более сложных, чем квадратная и кубическая. При этом предполагается, что каждый узел решетки может быть связыван со всеми узлами, которые являются его ближайшими соседями. Число ближайших соседей зависит от типа решетки, и потому пороги протекания меняются от решетки к решетке. Но на любой решетке порог протекания в задаче связыва не больше порога протекания в задаче узлов.

Задача связыва на простой квадратной решетке решается точно; порог протекания $x_c = 1/2$ (он меньше порогового значения $x_c = 0,59$ в задаче узлов на такой же решетке). Точные решения существуют и для некоторых других двумерных (плоских) решеток. Для трехмерных (объемных) решеток пока не найдено ни одного точного решения. Такие трех-

8

Рис. 5.

мерные задачи решают приближенные методами (вроде описанного в первом разделе) и моделированием ЭВМ.

Пороговые значения для различных типов решеток приведены в таблице. Точные значения подчеркины. Остальные результаты получены приближенными методами. Естественно, приближенные результаты, полученные различных методами, несколько отличия друг от друга. В таблице приведены результаты, наиболее подходящее с точки зрения автора.

Различные применения теории протекания

Teория протекания — очень молодая математическая дисциплина. Ее основные идеи были сформированы в 1957 году в работе английских математиков Бродбента и Хаммерсли. В этой же работе было done и назван теории. (По-английски она называется «percolation theory».
В точном переводе «percolation» ознакомлен «просачивание», «фильтрация»; в русской литературе вместе термин «протекание» можно встретить слово «перkolляция».

Несмотря на молодость теории, область ее применений чрезвычайно широка. Мы разобрали в этой статье лишь так называемые решеточные задачи, но они далеко не исчерпывают всей области и играют сравнительно малую роль в приложениях.

Для того чтобы сформировать еще одну задачу теории протекания, вспомним древнюю легенду о Невом ковчете. В этой легенде говорится, что некоторые говорятся, что неокогда на Земле произошло градинозное наводнение. Спаслась от него лишь небольшая группа людей, заранее построивших большой корабль (ковчет). Корабль этот, видимо, курсировал где-то в район Кавказа, так как первым местом, куда он приналл, когда стала спадать вода, оказался вершина горы Арарат… А теперь представим себе, что путешественики решили пересечь Кавказский хребет с юга на север по воде. При каком минимальном уровне это путешествие еще

9

будет возникнуть? Иными словами, до какой выcisты должны опуститься уровень воды, чтобы исчез водный путь, пересекающий Кавказский хребет с юга на север? (Разумеется, когда разрешается лавировать между выступающим из воды вершинами.)

Эта задача (при условии, что горная система имеет достаточно большую протяженность во всех направлениях) также является задачей теории протекания, только сформированной не на решетке, а в непрерывном пространстве. Искомый уровень воды называется уровнем протекания.

С помощью представления об уровня протекания описывается, например, переход диэлектрик — металл, произходящий в полупроводниках с примесями при увеличении концентрации электронов. Дело в том, что примеси в полупроводниках расположены случайно и могут быть заряжеными. Вследствие этого в некоторых областях преобладает положительный заряд, в некоторых — отрицательный. Добавляемые в систему электроны собираются в области с положительным зарядом, образуя там нечто вроде озер или капель. Области, где возникают электронные капли, обладают высокой электропроводностью. Однако если концентрация электронов в системе мала, то эти капли не связаны друг с другом. Между находящаяся область с очень низкой электропроводностью, так что результатующая электропроводность полупроводника оказывается ничтожно малой. Положение резко меняется, когда концентрация электронов увеличивается настолько, что электронные капли, расположены друг с другом или соединяются друг с другом или соединяются по средством узких электронных каналов. При некоторых критических концентрации появляется возможность пересечь весь полупроводник, дивяясь только по области, заполненным электронами. Тогда электропроводность резко возратает. Это явление, и называют переходом диэлектрик — металл. Для определения критического концентрации нужно решить задачу теории протекания, ана-

логичную задаче о водном пути через горную систему.

Можно перечислить самые разнообразные применение теории протекания: произкновения жидкости в пористое тело (каждая пора имеет свой диаметр, и из-за капиллярности жидкости проходит ее лишь при определенном давлении; нужно найти критическое давление, при котором жидкость протекает на очень большое расстояние по системе случайных пор), разрушение горных пород (от старости или от нагрузки образуют микротрешины, которые, сливаясь, раскалывают камень), различные модели перехода металл — диэлектрик, обязывание аномальных свойства переохладенной воды и т. д.

Попытаемся теперь сформировать, что общего между всеми этими задачами и что, собственно, является предметом теории протекания. Это сделать довольно сложно. Я бы сказал, что теория протекания занимается связностью очень большого (макросоппечского) числа элементов при условии, что связь каждого элемента со своим соседями является величины случайной, но полученной определяным способом (например, с помощью бросания монетки). Важно, что выработанный с помощью этого способа набор связей должен быть зафиксирован и не может меняться в процессе решения задачи.

Следует еще заметить, что теория протекания занимается не только отисканием пороговых значений, но и (в гораздо большей степени) законами, определяющих поведение различных величины порога. Если пороговые значения являются специфическим для каждой задачи, то законы, по которым обращаются в нуль такие функции как $P(x)$ в задаче о применном ферромагнетике или электропроводность в задаче о сетке, оказываются универсальными для всех задач теории протекания. Это, пожалуй, самый интересный круг вопросов теории протекания, но расскааз о нем должен быть длинным, и он выходит за рамки этой статьи.

10

Долго ли палке упасть?

От редакции. Решая реальный физический задачу, мы обчено выбираем ее идеализированную модель, позволяющую применить математические методы для ее решения. Разумеется, важно смещать правильное устройство этого выбор. Неожиданные трудности, которые при этом могут возникнуть, обсуждаются в публикуемом ниже статье с точки зрения математика.

Проделяйте следующий физический эксперимент. Установите на полу вертикальное палку (можно щетку, скалку, линейку и т. п.) и плавно, без толчка отняв руку, отпустите ее. Палка упадет. Конечно, если палка толстая (например, полено) и нижний конец ее достаточно robustый, то она так и остается стоять, но мы этот случай не рассматриваем. Ton-кие палки с заостренным нижним концом, поставленные вертикально на пол, всегда падают, если их ничего не подерживает, — это экспериментальный факт.

Попытаемся теперь сопоставить этому факту теоретический расчет.

Как это построено делается при решении физических задач, идеализируем объект рассмотрения: вместе палки рассмотрим стержень, не имеющий толщины, установленный вертикально на горизонтальной поверхности; стержень находится в поле тяжесте, а среда не оказывает сопротивления движению; долго ли он будет nadать?

При некоторых внешательности можно заметить, что нижний конец палки неодвижен лишь в начальной стадии ее padения; позже он едет по полу. В какую сторону он едет — зависит от коэффициента треня палки об пол*. Чтоы не связаны с этим сложностями, предположим, что нижний конец нашего идеального стержня закреплен в шарнире; трене отсутствует.

Обозначим через $l$ расстояние от центра масс стержня до его нижнего конца, через $m$ — массу стержня. Расстояние момент времени, когда стержень образует с вертикально угодл $\alpha$, $0 < \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ (рис. 1). К этому моменту центр масс опустится на $l$ (1—cos $\alpha$). Значит, потенциальная энергия уменьшилась на $mgl$ (1—cos $\alpha$). Она перешла в кинетическое энергию, которое мы запишем в виде $K = I \frac{\omega^2}{2}$, так как она пропциональная квадрату угловой скорости $\omega$ (здесь $I$ — постоянная**), а $\omega$ зависит от $\alpha$).

Действительно, если массу стержня считать сосредоточенной в его центре масс, то

$$K = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m (l \omega)^2 = (ml^2) \frac{\omega^2}{2}.$$ (0)

Если же стержень считать однородным, то

*) См., например, задачи 196, 197 в заданнике Б. Б. Буховцева и др. «Сборник задач по элементарной физике» (M., «Нayka», 1974).

**) I называется моментом инерции; определяние этого понятия можно прочитать в предыдущем номере «Кванта» на с. 6, но оно нам не потребуется.

11

Рис. 1.

$$K = \int_{0}^{2l} \frac{m(v(y))^2}{2l \cdot 2} \, dy = \frac{m}{2l} \int_{0}^{2l} \frac{(\omega y)^2}{2} \, dy = \left( \frac{4}{3} m l^2 \right) \frac{\omega^2}{2}.$$ (00)

Приравнивая потерянную потенциалную энергию и прибретенную кинетическую, получим

$$\frac{1}{2} I \omega^2 = m g l (1 - \cos \alpha),$$

откуда

$$\omega = \sqrt{\frac{2}{l} m g l (1 - \cos \alpha)} = 2 \sqrt{\frac{m g l}{l} \sin \frac{\alpha}{2}}$$

Угловая скорость $\omega$ — это скорость изменения угла $\alpha$, то есть произвольная $\alpha$ по времени:

$$\omega = \frac{d\alpha}{dt}.$$

Отсюда (по теореме о произвольной обратной функции)

$$\frac{dt}{d\alpha} = \frac{1}{\omega} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{I}{m g l}} \cdot \frac{1}{\sin \frac{\alpha}{2}}.$$ (1)

Имеет ли смысл это выражение? В школе проходят интегралы непрерывных ограниченных функций. Здесь же под знаком интеграла стоит функция, не определенная при $\alpha = 0$ и стремящаяся к бесконечности при $\alpha \to 0$. «Кривolineная грапеция», заключенная между осью $\alpha$, прямыми $\alpha = 0$ и $\alpha = \frac{\pi}{2}$ и графиком этой функции

Рис. 2.

цини, бесконечна (рис. 2). Как можно говорить о площади бесконечной функции? Оказывается, можно, и при разумном определении эта площад даже иногда бывают конечной. Интерgal от неограниченной функции такого типа, как (1), называется неособственным и по определению полагается равным предлу обичного, «собственного» интерgal при подходящем изменении его границ*). В данном случае

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}}$$

Интерgal под знаком предела, отвечающий заштрихованной площади на рисунке 2, можно сосчитать точно, но пока нам это даже не нужно.

Вспомним, что $\sin \alpha < \alpha$ при $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Поэтому $\sin \frac{\alpha}{2} < \frac{\alpha}{2}$, откуда

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}} > 2 \int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}} = 2 \left( \ln \frac{\pi}{2} - \ln \varepsilon \right).$$

Посленее выражение при $\varepsilon \to 0$ стремится к бесконечности.

Вот те на! У нас получилось, что время падения стержня равно бесконечности! Но в эксперименте-то палка падет — значит, теория противочит практике?

Конечно, положение не такое уж неясное. Если вначале стержень стоит вертикально, то он

*) См., например, определение неособственного интеграла в задаче 12 параграфа 1 главы V книги Б. М. Ивлева и др. «Сборник задач по алгебре и началом анализа для 9 и 10 классов». (М., «Просвещение», 1978).

12

вообще не будет падать, то есть α всегда будет равным нулю. Мы же фактически начали наш расчет с некоторого положительного α.

Поскольку на практике палка все-tаки падает, ей и в теории надо сопоставлять стержень, который падает. С физической точки зрения естественно было бы рассмотреть один из следующих двух случаев:

1. вначале стержень вертикален и имеет маленькую, но отличную от нуля угловую скорость;
2. вначале стержень неподвижен и отклонен от вертикали на маленький, но отличный от нуля угол.

Но формулы в этих случаях придется писать заново, и они сложнее, чем те, что уже написаны. Поэтому рассмотрим случай, самый простой с математической точки зрения: стержень падает за время (см. 1))

$$T = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{I}{mgl}} \int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}}.$$

Физическая смысл этого случая состоит в том, что вначале стержень отклонен от вертикали на маленький угол ε > 0 и имеет начальную угловую скорость, равную

$$2 \sqrt{\frac{mgl}{I}} \sin \frac{\varepsilon}{2}.$$

Теперь никакого парадокса нет, так как написанный интервал имеет полное определение конечную величины.

Его можно даже вычислить точно. По формуле дифференцирования сложной функции вы можете убедиться, что

$$\left(2 \ln tg \frac{x}{4}\right)' = \frac{1}{\sin \frac{x}{2}},$$

откуда

$$\int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}} = 2 \left(\ln tg \frac{\pi}{8} - \ln tg \frac{\varepsilon}{4}\right).$$

Итак, время падения стержня равно

$$T = Q \left(\ln tg \frac{\pi}{8} - \ln tg \frac{\varepsilon}{4}\right),$$

где $Q = \sqrt{\frac{I}{mgl}}$.

Если все масса стержня сосредоточена в его центре масс, то (см. (0))

$$I = ml^2 \text{ и } Q = \sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Если стержень однороден, то (см. (0))

$$I = \frac{4}{3} ml^2 \text{ и } Q = \sqrt{\frac{4}{3} \frac{l}{g}}.$$

В обихх случае время падения $T$ не зависит от массы $m$ и пропорционально корню квадратному из $l$. Этому соответствует тот наблюдается факт, что длиные палки падают должны, чем короткие.

Отметим, что полученный в начале статы парадокса не всегда заменют. Например, задача 195 упомянутого задачиника Б. Б. Буховцева и др. формулируется так: На легкий стержень насажен массивный шар (рис. 3). В каком случае стержень упадет быстрее: если его поставить вертикально на конец $A$, или на конец $B$? Стойцей на земле конец стержня не просkalзывает.

В качестве решения этой задачи выводится формула угловой скорости

$$\omega = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sqrt{\frac{g}{R}},$$

где $R$ — расстояние от конца стержня до центра масс шара (эта формула совпадает с нашей при $l = R, I = mR^2$), и дальнейшее пшеття: «При данном α она тем меньше, чем больше $R$. Следовательно, стержень упадет скорее, если он поставлен на конец $B$» (с. 227). Данное рассуждение не корректно, потому что, как мы видели, интегral написанной выше формулы бесконечен при всяком $R > 0$. Есть ли какой-нибудь смысл говорить, что одна бесконечность больше других бесконечности? Что бы в каком-то

Рис. 3.

13

смысле решить цитированную задачу, можно, например, рассмотреть стержни, отклоненные вначале от вертикали на какой-то маленький угол, или имеющие какую-то маленькую начальную угловую скорость, или и то и другое — как сделано выше.

Кстати, мы в каком-то смысле решили и задачу №56 из прекрасного задачи И. Ш. Слободецкого и Л. Г. Асламазова «Задачи по физике» (М., «Нука», 1980): Почем полову что значительно легче удерживать на палеце, чем палутой же длины?

В решении этой задачи, приводимом в задачике (с. 77), читатель предлагается самостояльно рассмотреть, как зависит время падения от длины стержня, причем не упоминается о тех трудностях, с которых мы пытаемся здесь справиться. Аккуратное решение этой задачи действительно требует рассмотрения времени падения палки, но чтобы это время получилось конечным (а только конечные величины можно сравнивать между собой), надо рассмотреть начальное условие, как-то отличное от условия равновесия. Такое рассмотрение придает строгий смысл неформальным расчетением типа «чем выше центр масс палки, тем медленнее она наклоняется, и тем легче успеть сместить палец в эту же сторону».

В процессе обсуждения исходной задачи нам прилось отказаться от наболее простой ее модели (идеальный стержень на шарнире, стоящий вертикально) и рассмотреть более сложную модель, так как вертикальный идеальный стержень не падает. Однако простейшая модель в полне корректа, если обратить время, иными словами — имеет дело не с падаюшей, а с поднимшей палкой. Точнее, рассмотрим такую задачу: один конец горизонтального лежащего идеального стержня длины l закреплен в шарнире, а другой концу придается скорость, направления вверх и равная $\sqrt{8gl/3}$; как долю будет стержень подниматься?

Правильный ответ дает интеграл (1): стержень будет подниматься бесконечно долго, стремясь к вертикальному положению, но ни когда не достига его. Так, гипнаст, поворачивающийся в верхнюю стойку на перекладине, чтобы не подниматься к точке равновесия бесконечно долго, должен за счет.maxового движения придать себе скорость, обеспечивающего движение дальнейшее этой точки, и оставиться в ней за счет трения (зажимая руками перекладину).

Но вот что еще остается неясным в исходной задаче.

Предположим, что мы продельиваем несколько экспериментов с одной и той же палкой. Каждый раз мы естьvim на пол, как нам кажется, вертикально и отпускаем. Палка падает, причем можно убедиться в том, что промежутки времени, затраченные на падение, во всех случаях не сильно отличаются друг от друга. И вот это страно. Ведь каждый раз палка в действительности отклоняется от вертикали на какой-то иной ненулевой угол и имеет какую-то иную ненулевую начальную скорость. Значит, и длительность падения должны быть различными. В некоторых случаях, казалось бы, начальные угол и скорость должны служной получаться совсем маленькими, и тогда время падения должна быть очень большим, однако этого не наблюдается. В чем же дело?

На этот вопрос нам удостраться ответить только неформально. Расмотрим формулу (2). Она содержит постоянный член $Q \ln tg \frac{\pi}{8}$ и переменный член — $Q \ln tg \frac{\varepsilon}{4}$. При маленьких $\varepsilon$ (а нас также и интересует) $tg \frac{\varepsilon}{4}$ близок к $\frac{\varepsilon}{4}$, и переменный член близок к

$$-Q \ln \frac{\varepsilon}{4} = Q \ln 4 - Q \ln \varepsilon.$$

Так вот в том, что величина — $\ln \varepsilon$, хотя и стремится при $\varepsilon \rightarrow 0$ к бесконечности, но очень медленно.

Например, уменьшению $\varepsilon$ в 10 раз соответствует увеличение — $\ln \varepsilon$ на постоянную величины $\ln 10 \approx 2,3$.

(Окончание см. на c. 24)

14

Б. Геллер, Ю. Брук

Симеон
Дени Пуассон

В 1981 году исполнилось двери лет со дня рождения Симеона Дени Пуассона — выдающегося французского ученого, который мы по праву считаем одним из создателей современной математической физики. Имя Пуассона то и дело встречает в учебниках математического анализа и электронная физика, теории вероятностей и акстики, в книгах по квантовой механике и по теории упругости. В истории науки Пуассон стоит теперь в одном ряду с его выдающимся современниками — Лапласом, Лагранжем, Фурье, Коши, Ампером, Гей-Люссаком, Френелем.

Родился Пуассон 21 июня 1781 года. О родителях Пуассона известно немного. Мы знаем, что отец его поначалу был солдатом ганноверских войск, но его военная карьера не удалось. Из-за придирок и притенней официров он бежал из армии и обосновался в маленьком французском городке Питивье. К моменту рождения сына он занимал скромную, но уважаемую должность натариуса.

Мальчикрос совершенно обичным, ничего не применательным и никаких особых надежда в раннем детстве не подавал. У родителей даже возникли сомнения по поводу его умственных способностей. Отцу, конечно, очень хотелось, чтобы его сын стал натариусом, но семейный совет решил, что с этой работой ему не справиться и что лучше быть ему врачем. Решение семейного совета — своевого рода закон. Симеона отправили в городок Фонтенебло к дяде Ланфану для обучения достойному, но, в их понимании, простому ремонту хирурга. Однако овладеть этой профессейю оказалось нелегко. Чтобы научиться, например, делать кровопускания (один из основных методов лечения в то время), необходимо было в течение долгих часов упражняться в прокалывании и голкой жилок на капустных листах. Позже Пуассон расскажвал друзьям, что даже самые крупные жилки в последний момент все жеускользали из-под его иголки. В ненависных упражнениях прошел почти год, дядишка был доволен племянником, но первая же доверенная ему самостояльная прививка закончилась смертью пациента. Это событие так потрясло юношу, что он наторез отказался дальше заниматься медицинной и вернulty к родителим в Питивье.

За то время, пока Симеона не было дома, там произошли некоторые изменения. Отец стал «государственным человеком», возглавив городскую обшину. Семья переехала в другой дом, более приличестуующей

16

ское место занял 25-летний Пуассон. В 1812 году Пуассон был избран академиком Парижской Академии наук; с 1820 года он — член Совета Парижского университета. Ему поручается наблюдение за преодаванием математики во всех колледжах Франции. В Политехнической школе Пуассона назначают экзаменатором по артиллерии и экзаменатором абитриентов. Должность экзаменатора была в определенном смысле выше обычной профессорской: приняла итоговые экзамены, он подвергал тем самым проверке и то, как условия знания воспитниковами Политехнической школе, и то, как и чему их научили профессора.

Все смешанноеся в те бурные годы правительства Франции с большим вниманием относились к научным заслугам Пуассона. Он получил титул барона, был награжden орденом Почетного легиона (высшая награда во Франции), стал прром Франции. Получил Пуассон признание и зарубежом: он был членом всех научных обществ и академий Европы и Америки, в том числе — почетным членом Петербургской Академии наук (с 1826 г.).

Пуассон, по словам Араго, «обладал еще одним достоинством, который часто пребрегают даже не высоко стоящие в науке: точно использовать свои обязанностей». Известно, например, что выпускные экзамены в Политехнической школе ежедневно отнимали у Пуассона четыре недели, в течение которых он должен был экзаменовать по девять часов в день. «Только однажды, — пишет Араго, — из приличия Пуассон отказылся экзаменовать своего старшего сына, но воспитники Политехнической школе, узнали об этом, послали к нему делутцию с объявлением, что они вполне верят его беспритрастию и просит не откзываться от экзамена». Педагогический работу Пуассон любил, об этом говорит и его известное высказание: «Жизнь украшается двумя вещи — занятем математикой и ее преодаванием». Лекции Пуассона отличались ясностью и глубиной.

В последние годы жизни (умер Пуассон в Париже весной 1840 года) он поставил перед собой задачу написать фундаментальный курс математического физики. До конца выполнить эту задачу Пуассон, к сожалению, не успел.

О научных трудах Пуассона рассказывает очень непросто. Библиая часть его работы (а всего их около 350) относится к математической физике, поэтому подробно обсуждать даже основные результаты этих работ мы не сможем. В то же время не упомянут хотя бы совсем кратко о наиболее известных и важных работах Пуассона просто нельзя. Мы сделаем это ниже и, кроме того, рассмотрим несколько вопросов, смысл которых в полне можно понять на школьном уровне.

Одно из главных понятий в электроности — это понятие об электронском потенциале. Потенциальность светаит от величины и расположения зарядов в пространстве. Пуассон в 1811 году вывед дифференциальное уравнение, связывающее потенциал с плотностью распределения зарядов. Простейшие задачи в электроности можно, конечно, решать и не пользоваться уравнениям Пуассона. Но для сколько-нибуд сложных задач, когда есть много зарядов и расположены они произвольным образом, расчитать зависимости потенциала от координат можно только с помощью этого уравнения. Уравнение Пуассона, вместе с результатами Эйлера, Гаусса, Лапласа, Грина и Ostrogradского, лежит теперь в основе современной теории потенциала — важного раздела математической физики.

Значительные заключения Пуассона в теоретической механике, в механике сплошных сред, теории теплопроводности, теории упругости. Изучал Пуассон вопросы, связанные с адинамическим изменением состояния газа, с atmosферным электречством, с изменением горизонтальной составляющей земного магнитного поля, с природой сил поверхностного натяжения, с распространением волн в глубоком бассейне. Были у Пуассона и «артиллерийские» заключены. Он подробно исследовал задачу об отклонении снарядов от вертикальной плоскости, проведенной через направление ствола орудия. Встроими они

18

тогда параметр $\lambda = \frac{1}{365} \cdot 1982 \approx 5,43$ (число людей в коллективе есть в этом случае число испытаний). Терьер вы сами можете вычислить вероятность $p(k; \lambda)$ того, что $k$ человек родились в интересующей нас день. Для этого достаточно подставить в формулу Пуассона $k=0, 1, 2, 3, \dots$.

Третья задача относится к физике. Известно, что процесс радиоактивного распада радия заключится в превращении ядра атома радия в ядро атома радиа с испусканием альфа-частицы. Распад каждой отдельного ядра Ra происходит независимо от состояния других ядер, и вероятность такого распада в единицу времени есть величины постоянная. Обозначим эту вероятность буквой $p_0$. Если в образце всего $N$ ядер Ra, то среднее число альфа-частицы, испускаемых в единицу времени, есть $\lambda = Np_0$. Для определения $\lambda$ нам, казалось бы, нужно знать два числа — $N$ и $p_0$. Однако в классическом опите Резерфорда, Чедвика и Элиса эти числа вовсе не потребовались экспериментатором. Цель этого эксперимента был поиск закономерности, определяющий вероятность испускания радиоактивным образом определенного числа альфа-частицы в единицу времени.

Излучемые альфа-частицы попадали в счетчик. Наблюдения велицы в течение $n=2608$ промежутков времени, длительность каждого из них равная 7,5 с. Специально подсчитываюсь число $n_k$ промежутков, за каждый из которых в счетчик попадалоровно $k$ частиц. Полное число частиц за все время опыта равностью $\sum kn_k = 10094$. Если разделить теперь эту сумму на $n$, то получится среднее число альфа-частицы, испускаемых за 7,5 с. Можно считать условной единицей времени 7,5 с, тогда число $\frac{\sum kn_k}{n} = 3,87$ и есть параметр $\lambda$ в распределении Пуассона. Вычисленные с помощью формулы Пуассона числа $p(k; \lambda) = p(k; 3,87)$ естественно сравнить теперь с числами $\frac{n_k}{n}$, полученными из опыта. Мы приводим здесь соответствующее таблицу из обслуживаемых методов.

Мой нами работы. График на рисунке 1 построен по этой таблице. Красные точки обозначают числа $np(k; 3,87)$, сине соответствует $n_k$. Кривая, проведенная через красные точки, дает наглудное представление о характеристике распределения Пуассона. Важной особенность этого графика является наличие максимума. Из таблицы и графика видно, что альфа-распад хорошо описывает формулу Пуассона.

С самого раннего детства Пуассон был связан с физкой колебаний. Связан, как ни удивительно это звучит, в буквальном смысле слова. Дело в том, что нянька маленького Симеона Дени, по-видимому, не отличалась особым приложением. Чтобы иметь с малыми помещениями хлопот, она объясвала младенца во кругл吻ся широким полотенцем и подвешивала его к большой горизонти-

Рис. 1.

19

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

тальной балке. Так, качаясь в виде своеобразного мятника, маленький мальчик проводил много часов. Будучи взрослым, Пуассон шутил, говоря, что сам бог велел ему занимать теорий колебаний.

Одна из решенных им в этой области задач касалась вычисления частот колебаний небольших металлических или стеклянных пластин, жестко закрепленных в одной точке. Опыты с таким пластинами продолжались немецким Эрнстом Хладни, и первая информация о них относится к 1787 году. В 1809 году Хладни продемонстрировал эти опыты членам Французского Национального института (Академии наук). Все смотрели на них сизумлением, не сразу понял их смысла Лаплас.

Сами опыты заключится в следующем. На рисунке 2 показана за_

2*

20

и поперечных деформаций. Вспомним сначала закон Гука, с помощью которого можно расчитать изменения длины образца под действием силы, растяивающей или скимаюшей его. Если обозначить буквой ε относительной изменения длины стержня, а буквой σ — возникающей в нем напряжение, то для малых деформаций σ=Eε. Величина E называется моделем Юга и определяется внутренней структурой материала стержня.

Другой важной характеристикой упругих свойств материалов является коэффициент Пуассона, связывающий относительные изменения поперечных и продольных размеров деформации образца. В том, что одновременно с изменением продольных размеров меняются и поперечные, легко убедиться, если рассмотреть, например, деформацию резинового шнура или даже обживенного ластика. Возникает вопрос: насколько отличается относительные деформации в разных направлениях, если к образцу приложена каждая-то сила? Этот вопрос и был исследован Пуассоном. Расмотрим цилиндрический стержень длины l и радиуса r. Представим себе, что вдоль оси стержня действует растяивающая сила. При этом в нем возникают напряжение σ_l и относительная деформация ε_l=Δl/l>0. Поперечные размеры стержня тоже изменяются — радиус цилиндра уменьшается на Δr. Радиальная относительная деформация ε_r=Δr/r имеет знак, противоположный знаку ε_l. Коэффициент Пуассона есть k=|ε_r/ε_l|.

Проанализируем, в каких пределах изменяется k. Сначала предположим, что объем деформаного тела не изменяется, и запишем выражение этот факт соответствие:

π(r+Δr)^2(l+Δl)=πr^2l.

Раскрыв скобки и пренебрегая произведениями малых величины Δr и Δl, получим

rΔl+2lΔr=0,

или, другими словами,

ε_l=Δl/l=-2Δr/r=-2ε_r.

Коэффициент Пуассона в этом случае равен 1/2. На самом деле объем тела при растяжении увеличивается, и мы должны написать неравенство

(r+Δr)^2(l+Δl)>r^2l.

Из этого неравенства вытекает, что k<1/2. (Такое же неравенство справедливо и для тел нецилиндрической формы.) С другой стороны, по самом своему определению коэффициент Пуассона — число неотрицательное. Итак,

0<k≤1/2.

Близкий к нулю коэффициент Пуассона имеет пробковое дерево: при растяжении (или скатии) куска пробки поперечные размеры меняются мало (если, конечно, деформация не слищком больше!). Именно поэтому для закупоривания бутылок использовут цилиндрические пробки из пробкового дерева. С другой стороны, цилиндрические пробки используются для той же целлюллюх — коэффициент Пуассона для резины близок к 1/2, а, значит, поперечные размеры при продольном увеличении меняются довольно существенно. Если заталкивать резиновую пробку в горлышко бутылки, она может просто застрять. Чтобы трудность обойти, резиновые пробки обычно изготовляют конечной формы. Полезно отметить, наконец, что для материалов, чаще всего используются в технике — металлов, камня, бетона, значения коэффициента Пуассона заключены обычно между 1/4 и 1/3.

21

С. Шицков

Водоворот

На страницах «Кванта» уже не раз расссказывалось о вихревом движении. Достаточно упомянуть такие статьи, как «Вихревые колыца» P. Вуда (1970, № 12), «Основы теории вихрей» H. E. Жуковского (1971, № 4), «Вихри, которые делают погоду» Л. Алексеевой (1977, № 8), «Модели смерца» B. Майера (1979, № 9), «О вихревых колыцах» C. Шабанова и В. Шубина (1979, № 11). Круг является, связанным с вихревым движением, исключительно многообразен, и нет никакой возможности осветить его полностью в рамках одной статьи. В перечисленных статях особое внимание уделялось вводу — цикломам, смерцам, вихревым колыцам. В настоящее время почти об одном из видов вихревого движения в воде — о водовороте.

О циклопах и…карусели

На детских площадках часто можно увидеть карусель — свободно врашающего горизонтального платформу диаметром метра в четыре и сpadильными перилами. Игра на этой карусели требует определеннойловости. Участики своим силами приводят платформу в быстroe врашение и запрыгивают на нее по краям. Затем по команде все устремляются к центру платформы, перебирая сущinem руками по перилам. При этом карусель начинает врашаться все быстрее и быстрее, и заменкавшийся участник уже практически не может последовать за остальными — от него требуются большие услуги, чтобы удержаться на своем месте.

Увеличение угловой скоростивращения можно объяснить по-разному. Читатель, знакомый с законом сохранения момента импульса, сразу поймет, в чем дело. Тот, кто имеет описывать движение в неперциальной системе отчета, может объяснить проискодящее на языке сил инерции. Но качественное объяснение доступно каждому читателю. На краю платформы линейная (касательная) скорость ее точек и нахождение там участника игры больше. Чем ближе к центру — тем меньше эта скорость, так что, переходя от края к центру, участник, чтобы не упасть, должен уменшать свою скорость. Доступается это за счет взаимодействия с платформой. Понятно, какое это взаимодействие — треннее. Но возникка ошибки слада треня, действующего на платформу, сообщает ей дополнительное ускорение, увеличивающее линейные скорости всех ее точек, — и угловая скорость врашения растет.

Оказывается, между детской игрой на карусели и таким явлениями природы, как возникновение атмосферных цикловов, образование воронки в стоке, существует неокотора аналогия. Поэтому мы будем, наблюдая движения воды в банке, говорить о карусели и делать выводы о поведении цикловов и водоворотах на море.

Наблюдение водоворота

Вихри и водовороты всегда привлекали внимание. В 30-х годах замечательный популяризатор физики Я. И. Перельман обработался молодежки с признаком исследовать возникновение водоворотов при вытекании воды из ванны и, в частности, направление врашения этих водоворотов. Юные естественные призывы, проведены огромное количество наблюдений.

Надо заметить, однако, что ванна как «экспериментальное оборудование» обладает рядом недостатков.

22

Например, она «мало» симметрина, направление ее каждой раз занимает много времени. Воронка образуется не сразу после начала вытекания воды, и почти совершенно невозможно управлять условиями опыта. В этом отношении более удобна цилиндрическая «малолитражная» установка из подручного материала, например такая, как на рисунке 1. Сосуд — перевернуть стеклянная банка с отрезанным домом; доно сосуд (бывшее горло) плотно закрыто (например, полистиленовой крышкой). В ответе в центре дна вставлен сливной шланг; открывать и перекрывать слив можно с помощью закxima. Наливной шланг следует закрепить на внутренней стенке так, чтобы вода из него вытекала горизонтально и не вдоль радиуса сосуда; тогда при направлении сосуда с самого начала будет возникать врашение воды.

Налейте в установку воды через наливной шланг и открыйте слив. Через некоторое время станет заметен прогиб свободной поверхности воды, и, наконец, появится воронка.

Это явление отличается от детской игры на карусели лишт тем, что роль участников игры выполняет частицы жидкости; только их к центру перепададавления между перipherей (атмосферное + гидроостатическое давление) и ответием в дне (атмосферное давление).

В равномерно врашшемся ведереке свободная поверхности воды также прогибается, но при этом все частицы жидкости (и на поверхности) врашаются с одной и той же угловой скоростью. А вворонке, которое мы только что наблюдали, угловая скорость возвращает по мере приближения к центру врашения.

Удобно исследовать установившийся водоворот; для получения такого водоворота надо при открытом сливе все время компенсировать расход воды, непрерывно добавляя воду из наливного шланга.

Водоворот можно наблюдать не только при вытекании воды, но и при наполнения сосуда (при закрытом сливе). Если в центре врашющейся жидкости (напомним, что наливной шланг крепится так, чтобы при наполнения сосуда вода врашалась) направить сливную тонкую струю, то возникнет водоворот — так называемая «вторичная» воронка. Подумайте, чем отличаются условия в такой воронке от условия в водовороте, образующем при сливе.

О расходе жидкости

Наладьте установку так, чтобы образователься установившийся водоворот. Опустите в такой водоворот вертикально кусок плотной бумаги так, чтобы он перегородил течение врашющейся воды, но не превращовал вытеканию воды через слив. И вы увидите, что уровень воды быстро попизеляна на 1—2 см. Связано это с тем, что при наличиии вихра расход

23

Жидкость уменышается. В этом легко убедиться. Опустите наливной шланг так, чтобы вода в текла в сосуд вертикально. Тогда при том же напоре уровень воды будет попижаться.

Понятно, какой аналог этого явления можно продемонстрировать на детской карсуели: при затрате одинаковых усилий участники игры добираются до центра врашающейся платформы гораздо медленнее, чем по неподвижной платформе.

Межу водоворотом и расходом жидкости существует и обратная связь — от расхода зависит форма свободной поверхности жидкости в водовороте.

Наполните сосуд водой (при закрытом сливе) и отключите наливной шланг. Теперь откройте слив. Когда начинает формировать воронка, поднимайте свободный конец шланга, из которого вытекает вода. При этом нетрудно заметить, что прогиб свободной поверхности жидкости с увеличением высоты конца шланга.

Поднимая конец шланга, мы уменышаем перепад давления на выходе (рис. 2); в связи с этим уменышается скорость истечения воды, ее расход. Почему же сглаживает воронка? Что понять это, обратимся к карсуели. Что произдет, если участники игры будут передвигаться к центру врашающейся карсуели очень медленно? Ясно, что из-за трения платформа остановится прежде, чем кто-нибудь доберется до центра. Сглаживание воронки происходит из-за наличия тремя между жидкими жидкости, дном и стенками сосуда. Чем медленнее убывает вода из сосуда, тем больше времени у сил тремя на сглаживание воронки.

Осторожно — водоворот!

На речных и морских плажах часто встречаются плакаты, разъяснющие правила поведения при купании. Имеются среди них и рекомендации на тот случай, если вдруг попадете в водоворот. Заключится они в следующем: наберите в легкие побольшие воздуха и пытайтесь удержаться на поверхности. Ценность этого совета не стоит определять, заплывая в настоящий водоворот. Некоторые

24

Иначе обстоит дело с большими водоворотами. Пловца теперь можно моделировать частицами краски, которые не могут перекрыть канал водонки, а двигатостя по ее поверхности. Как показывает траектории движения частицы краски на фотографиях (рисунки 3 и 4 сделаны с таких фотографией), спастись из большого водоворота — задача более сложная. Однако из вариантов решения этой задачи описан в известном расскаде Эдгара По «Низвержение в Мальстрем».
Таким образом, хотя пловец и не сможет покинут водоворот самостоятельно, рекомендуется содержит долю истинны: попав в водоворот, не стоит траитить силы на попытки выбраться; гораздо полезнее успоконтаться, набрать в легкие воздуха и завть на помощь! (Не самое лучшее — «не лесть в воду, не зная броду»!)

«Усы» водоворота
Еще одно интересное явление, наблюдающееся в водовороте, — «усы». К сожалению, автору не удалось получить хорошей фотографии с «усями». Но вы видите их отсутствив, если попаботаете за водоворотом в стоке ванны. Они несомненно привлекут ваше внимание своим необходимым поведением. Первоначально «усы» воспринимаются как установившееся линейка. По мере вытекания воды они начинают врашаться, как бы наматываясь на невидимую ось водоворота. А в последний момент вы обнаружите, что врашение воды происходит вовсе не в сторону «наматывания усов».
Как появляется эти «усы»? В чем причина их обманчивого поведения?
Возможно, «усы» — застившие капитлярно-гравитационные волны на поверхности водонки, подобные «гармошке» на структуе с преградией (об этой «гармошке» говорилось в стате С. Соскина «Капиллярные волны в струе» в 10-м номере «Кванта» за 1976 год). Если внешние процессы в водонку, то он возникдает на поверхности 1—3 характеристики «уса».
А может быть, все-tаки существуют какая-нибудь аналогия между «усями» водоворота и …рукавами спиральных галактик? Ведь передко природа порождает единством несозмеримых по масштабам явлений.
На сегодняший день вопрос об «усах» остается открытым. может быть, Вы, читатель, высказете свое мнение по этому вопросу?

Долго ли пале упасть?

(Окончание; начало см. на c. 10)

Таким образом, чтобы время падания увеличилось, скажем, на одну секунду, надо уменьшить в определенное количество раз. Но на практике каждый новый знак точности дается с большим трудом. В домашних условиях вообще достаточно достичь большие двух знаков точности для любого физического параметра, будь то угол, скорость и т.п. Поэтому и время у нас получается колблющемся в довольно узких пределах. Подобные ситуации в теоретической физике нередки; в таких случаях говорят о лоаарифмической расходимости.

Задание
Во всех предложениях задача к получшарниро прикреплен легкий стержень длины l с маленьким тяжелым шариком массы m на конце.

1. Покажите, что время T, определяемое формулой (2), удовлетворяет оценкам
   $c_1 - c_2 \ln \varepsilon \leq T \leq c_3 - c_4 \ln \varepsilon$,
   где $c_1, c_2, c_3, c_4$ не зависит от $\varepsilon$, $c_2 > 0$, $c_4 > 0$.

2. В начальной момент стержень вертикален, и шарику придана начальная скорость v в горизонтальном направлении. Выведите формулу времени падания стержня, содержащую интеграл. Собственный ли это интеграл (то есть ограничена ли подintervalная функция на промежутке интерирования)? К чему он стремиется при v→0? Оцените время падания сверху и сизу выражениями вида const — const • ln v, где знаки const ознакомят различные константы.

3. В начальной момент стержень неподвижен и обращает с вертикалью угол β. Выведите формулу времени падания стержня, содержащую интеграл. Собственный ли это интеграл? Конечен ли он? К чему он стремиется при β→0? Оцените время падания сверху и сизу выражениями вида const — const • ln β.

25

Задачи

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Найболее трудные задачи отмечаются звездочкой. Послед формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 30 апреля 1982 года по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, «Физматлит», «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 2 — 82» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «М726, М727» или «Ф738». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Квант», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»).

М726—М730; Ф738—Ф742

М726. Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в головой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей головых треугольников равна сумме площадей красных a) для n=4, 6) для n=3, в) для произвольного натурального n.

В. Прасолов

М727. Докажите неравенство
a²+b²+c²+2abc<2,
где a, b, c — длины сторона треугольника perimeter 2.

И. Жаров

М728. Пусть A, B, C — вершины параллелепида, соединение с его вершиной P, a Q — вершина, противоположная P. Докажите, что a) расстояние от точки A, B, C до прямой PQ могут служить длинами сторона неокоторого треугольника; 6) площадь S этого треугольника, объем V параллелепида и длина d его диагонали PQ связаны соотношением V=2dS.

И. Шарыцин

М729. Найдите натуральное число, обладающее таким свойством: если записать рядом его квадрат и его куб, а затем переставить написанные цифры в обратном порядке, получится шестей этого числа.

Н. Васильев

М730*. Последовательность (aₙ) определяется условиями
a₁=0, a₂n+1=a₂n=n-aₙ.
(Например, a₁₀=5-a₅=5-a₄=5-(2-a₂)=3+(1-a₁)=4.)
a) Выпишите первые 20 членов последовательности и найти a₁₉₂.
б) Докажите, что каждое натуральное число входит в последовательность 2 или 4 раза. Сколько раз встретиется в ней число 2ᵉ (при каждом k=1, 2, 3,…)?

в). Докажите, что разность aₙ−aₙ−1 равна 1, если в разложение числа n на простые множители

26

число 2 входит в нечетной степени, и 0 — в противном случае.
г) Доказите, что $a_n = n/3$ для бесконечного множества значений $n$.
д) Найдется ли $n$ такое, что разность $|a_n - n/3|$ больше 1982?
e) Доказите, что $\lim a_n/n = 1/3$.

В. Шевелев

Ф738. Частцы движутся гуськом с постоянными скоростями. Скорости частц равномерно возрастают от значения $v_1$ в голове колонны до значения $v_2$ в хвосте колонны. В некоторых момент частцы занимают отрезок длины $l_0$ и при этом на единицу длины приходит $n_0$ частц. Сколько частц спустя время $t$ будет приходит на единицу длины в хвосте колонны? в голове колонны?

И. Воробьев

Ф739. В цилиндрический сосуд высоты $H$ с площадью основания $S$ из горизонтального расположенной трубы ежесекундно вливается масса воды $M$. В основании сосуда имеется небольшое отверстие. На поверхности воды в сосуд лежит тонкая легкая губка (рис. 1). С некоторого момента высота уровня воды в сосуд становится постоянной и равной $h_0$. Определить, с какой скорость вытекает при этом вода из отверстия.

И. Омелян

Ф740. В сосуд находится смесь газов — гелия и кислорода. При температуре $t = -2^\circ$ С и давление $p = 0,9$ атм плотность этой смеси $\rho = 0,44$ кг/м$^3$. Каким станет давление в сосуд, если из него удалить половину молекул кислорода?

Ф741. В себя переменного тока с напряжением 220 В и частотой 50 Гц подключены последовательно два конденсатора с емкостью 1 мкФ каждый. Параллельно одному из конденсаторов включен резistor с сопротивлением $R = 100$ кОм (рис. 2). Найти тепловую мощность.

А. Зильберман

Ф742. Стеклянный сосуд прямогоЛЬного сечения установлен между двумя собирающими линзами с фокусными расстояниями $F$ перpendикулярно оптической оси линз (рис. 3). Точечный источник света $S$ расположен в фокальной плоскости линзы $\varLambda_1$. Когда сосуд пустой, изобравжение источника наблюдается на экране $\varDelta$, расположенном в фокальной плоскости линзы $\varLambda_2$. Сосуд заполняется прорачной жидкостью, показатель преломления которой меняется с высотой по закону $n(y) = n_0 + \alpha y$. Толщина слоя жидкости равна $L$. На сколько сместится по вертикали изобравжение источника на экране? Изменение показателя преломления с глубиной сосуда считать малым в пределах диаметра светового пучка.

В. Можаев

28

P742. A glass receptacle of rectangular section is placed between two convergent lenses of focal distances $F$, perpendicularly to the lenses’ optical axis (see figure Pisc. 3, p. 26). A point light source $S$ is located in the focal plane of the lens $\Lambda_1$. When the receptacle is empty, the image of the source may be observed on the screen $\exists$ located in the focal plane of the lens $\Lambda_2$. The receptacle is filled with a transparent liquid whose refraction index varies with height in accordance to the rule $n(y) = n_0 + ay$. The thickness of the layer of water is $L$. What will the vertical displacement of the image on the screen be? The change of the refraction index within the diameter of the light beam may be assumed negligible.

V. Мojaev

Решения задач

M686 — M690; Ф698 — Ф702

Ответ: для любого.

Пусть $a$ — натуральное число, для которого $a^4 \leqslant x < (a+1)^4$. Тогда $a^2 \leqslant \sqrt{x} < (a+1)^2$. Отсюда, с одной стороны, $a \leqslant \sqrt{x} < a+1$, $[\sqrt{x}] = a$. С другой стороны, $a^2 \leqslant [\sqrt{x}] < (a+1)^2$, $a \leqslant \sqrt{x} < a+1$, $[\sqrt{x}] = a$.

Г. Гальперин

M687. a) В девятцуцелевой парамиде все 9 боковых ребер и все 27 диагоналей основания окрашены: некоторые — в красный цвет, остальные — в синий. Докажите, что существует три вершины парамиды, служащие вершинами треугольника, все стороны которого окрашены в одинаковый цвет.

b) Верно ли аналогично утверждение для восмыцелевой парамиды?

a) Среди девятти боковых ребер парамиды найдется пять окрашенных в какой-то один цвет (например, в красный). Пусть $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ — концы этих ребер, занумерованные подряд. Одна из сторона пятугольника $A_1A_2A_3A_4A_5$ является диагоналю основания (пусть, для определения, это $A_1A_2$). Расмотрим треугольник $A_1A_2A_4$; его стороны — диагоналю основания. Если он однозветный, то все доказано. Если нет, то одна из его стороны (диагоналей основания) — красная, и поэтому будет однозветным треугольник, образованный этой diagonалю и боковым ребрами, соединяющим ее концы с вершиной парамиды.

b) Ответ: неверно. Пример получается, если четыре индикаты подряд ребра окрашены в красный цвет, а остальные четыре ребра — в синий, причем концы красных ребер соединены синими diagonалями, концы синиях — красными. (Сообщите, как нужно раскрасть остальные diagonали.)

H. Ненов

M688. Данные натуральные числа $a_1, a_2, ..., a_n$ также, что $a_k \leqslant k$ ($k=1, 2, ..., n$) и сумма $a_1 + a_2 + ... + a_n$ четна. Докажите, что одно из выражений $a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm ... \pm a_n$ равно нулю.

Докажем что утверждение индикцией по $n$.

Для $n=2$ оно очевидно, так как единственный возможный набор $a_1 = a_2 = 1$.

Пусть для набора меньше чем из $n+1$ чисел, оно доказано; докажем его для $n+1$ чисел.

Возьем произвольный набор $a_1, a_2, ..., a_n, a_{n+1}$ из $n+1$ чисел, удовлетворяющий условию. Если $a_n = a_{n+1}$, то сумма $a_1 + ... + a_{n-1}$ четна; учитывая предположение индикции, заключаем, что одна из сумм $a_1 \pm a_2 \pm ... \pm a_{n-1} + a_n - a_{n+1}$ равна нулю. Если же $a_n \neq a_{n+1}$, заменим данный набор $a_1, a_2, ..., a_n - a_{n+1}$ из $n$ чисел. Для нового набора выполнен все условия: число $|a_n - a_{n+1}|$ имеет ту же четность, что и $a_n + a_{n+1}$, поэтому сумма $n$ чисел по-прежнему четна; из $a_n \neq a_{n+1}$, $1 \leqslant a_n \leqslant n$ и $1 \leqslant a_{n+1} \leqslant n+1$ вытекает $1 \leqslant |a_n - a_{n+1}| \leqslant n$. По предположению индикции одна из сумм $a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm ... \pm a_n$ равна нулю. Остает-

29

ся «раскрыть модель». В любом случае $|a_n - a_{n+1}| = \pm (a_n - a_{n+1})$, и мы получаем, что одно из выражений $a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm \dots \pm a_n \pm a_{n+1}$ равно нулю (при этом в нашем решении перед $a_{n+1}$ и $a_n$ всегда стоит разные знаки).

С. Ненашев

М689. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равноведренных трапецей с основаниями 3 см, 1 см и высотой 1 см, нельзя составить прямуюольник.

Предположим, что прямуюольник удалилось составить из $n$ трапецей. Отметим точки, в которые попадают вершины трапецей, в том числе — четыре вершины прямогоольника.

У каждой трапеции два острых угла (по 45°) и два тупых (по 135°), так что у всех $n$ трапеций вместе одинаковое число острых и тупых углов — по 2$n$.

С другой стороны, ясно, что в каждой из отмеченных точек расположено не меньше острых углов, чем тупых (если там есть од и и типой угол, то есть по крайней мере один острый, а если — дв в а тупых, то — и два острых — см. рисунок); при этом в вершинах прямогоольника могут оказаться только острыые углы трапецей. Таким образом, острых углов больше, чем тупых (по крайней мере, на 8).

Полученное противоречие доказывает невозможность составления прямогоольника из трапецей.

H. Васильев

М690. a) Внутри выпуклого многоугольника площади $S_1$ и периметра $P_1$ расположен выпуклый многоугольник площади $S_2$ и периметра $P_2$. Докажите неравенства
$$2\frac{S_1}{P_1} > \frac{S_2}{P_2}.$$
6) Сформируйте и докажите аналогично утверждение для выпуклых многоугольников.

Рис. 1.

a) Заметим сначала, что для треугольников справедливо более сильное утверждение: $\frac{S_1}{P_1} > \frac{S_2}{P_2}$. Это почти очевидно, так как $\frac{2S_1}{P_1}$ и $\frac{2S_2}{P_2}$ — радиусы кругов, вписанных в эти треугольники.

Для доказательства общего утверждения воспользуемся двумя фактами, которые мы докажем ниже:

1. во всякий выпуклый многоугольник площади $S$ и периметра $P$ можно поместить круг радиуса $R > \frac{S}{P}$;

2. для любого круга, содержащого в данной многоугольнике, $R \leq \frac{2S}{P}$.

Из 1) и 2) сразу следует утверждение a): помещим во внутренний многоугольник круг радиуса $R > \frac{S_2}{P_2}$; поскольку $R \leq \frac{2S_1}{P_1}$, получаем требуемое.

Докажем 1). Построим на каждой стороне (выпуклого) многоугольника прямогоольник с высотой $h = \frac{S}{P}$ (рис. 1; $S$ — площадь, $P$ — перimeter многоугольника). Эти прямые перекрываются; они могут даже «вылезать» за пределы многоугольника. Поскольку суммарная площадь прямогоольников равна $S$, площадь покрытой ими части многоугольника меньше $S$. Поэтому найдется непокрытая точка, удаленная от всех сторон на расстояние $R > h$.

Докажем 2). Пусть $O$ — центр круга радиуса $R$, содержащого в многоугольнике (рис. 2). Поскольку длинны высот треугольников с вершиной $O$, основания которых служат стороны многоугольника, не меньше $R$, получаем

31

скорости вращения жидкости начинает выплаваться из капилляра? Плотность жидкости q, поверхностное натяжение σ, жидкость полностью смачивает капилляр; размеры капилляра указаны на рисунке.

Пусть ω — предельная угловая скорость вращения капилляра. Разобъем мысленного горизонтального колено на N отрезков малой длины Δx=l/N (Δx<<l). Рассмотрим два малых элемента массы воды Δm=πr²ρ·Δx, нахождение на расстояниях x от середины колена (см. рисунок). Запишем уравнение движения этих элементов:

$$\Delta m \cdot \omega^2 \left( \frac{l}{2} - x \right) = \left( p_{i+1} - p_{i-1} \right) \pi r^2,$$

$$\Delta m \cdot \omega^2 \left( \frac{l}{2} + x \right) = \left( p_{q+1} - p_{q-1} \right) \pi r^2,$$

где $p_{i-1}$ ($p_{q-1}$) и $p_{i+1}$ ($p_{q+1}$) — давление на эти элементы соответствующего слева и справа. Число таких пар, очень large N/2. Просуммировав все аналогичные уравнения, получим

$$\frac{N}{2} \cdot \Delta m \cdot \omega^2 l = \left( p_B - p_A \right) \pi r^2 \Rightarrow \frac{\varphi \omega^2 l^2}{2} = \frac{4\sigma}{r} - \varphi gh.$$

Отсюда находится ω:

$$\omega = \sqrt{\frac{8\sigma/r - 2\rho gh}{\rho l^2}}.$$

А. Буздин

Ф701.*) На рисунке 1 показано распределение температуры воды тонкого однородного теплопроводного стержня в некоторый момент времени. Как будет меняться распределение температуры в дальнейшем? Какое распределение установится через достаточно долю времени?

Процесс перераспределения температуры заканчивается выравниванием температуры по всей длине стержня. Поскольку стержень теплопроводов, его внутренняя энергия остаются неизменной. Нетрудно понять, что площадь под кривой распределения температур на любом промежутном этапе будет оставаться постоянной. Следовательно, температура $t_y$ стержня, которая установится через достаточно долю времени (рис. 2), можно определить из условия

$$t_y \cdot 90 = 2(200 \cdot 30) + 100 \cdot 30.$$

Рис. 1.

Рис. 2.

Отсюда находится

$$t_y \approx 166,6^\circ C.$$

В начале процесса выравнивания температуры наиболее измененная будет на границах между областями с наиболее различным температуром. В средней части стержня (40÷70 см на рисунке 2) температура будет повышаться, приближаясь к 166,6°C, а в боковых частях (10÷40 см и 70÷100 см на рисунке) — понятие, приближаясь к этой температуре.

О. Савченко

Ф702. Две системы, какая из которых состоит из двух одинаковых масс m, связанных прижинкой жесткости k, движутся по ладкой горизонтальной поверхности на

Через время $t_1 = L/2v_0$ произойдет стольновение масс I и I’. Поскольку соударение абсцизно упругое, сразу после удара скорость каждой из этих масс остаются прежней по абсцизной величины, но помещает направление на противоположное, а скорости масс II и II’ не изменяется (рис. 2). Следовательно, сразу после соударения в каждой системе

33

соответствующих зарядов в данном месте поверхности изменены на противоположные. Действительно, слиями взаимодействия в конфигурации $P_1$ ($P_2$) являются слияями взаимного отталкивания зарядов, «сидящих» на поверхности. Изменение знаков всех зарядов оставляет эти слияние неизменными, поэтому каждый элементный поверхности заряд будет в равновесии; при этом электрическое поле в каждой точке пространства вне проводника лишь изменит направление на противоположное. Таким образом, конфигурация $P'_1$ ($P'_2$) также будет равновесной.

Рассмотрим далее такую ситуацию. Сообщенный проводник заряд $Q$ принимает распределение $P_1$. «Заморозив» это распределение, поместим на проводник заряд — $Q$ так, чтобы он принимает распределение $P'_2$. Если теперь суммарный заряд проводника (равный нулю) представляет самому себе, то, согласно принципу суперозициции, система будет находиться в равновесии и никакого перетекания заряд по поверхности проводника не производится. Итак, общий заряд проводника оказывается равным нулю; при этом на поверхности проводника обязательно найти разноменню заряженные области: $A_1$, заряженная положительно, и $B_1$, заряженная отрицательно. Рассмотрим сливую линию, выходящий из области $A_1$. Поскольку проводник удаленный, то эта сливая линия либо конечается на нем, либо уходит на бесконечность. В первом случае точки начала и конца сливой линии (принадлежшие проводнику) должны иметь разные потенциальы (почему?), чего не может быть. Остается второй случай. Аналогично, рассмотрев одну из сливых линии, приходящих к проводнику в области $B_1$, мы приедем к выводу, что она пришла из бесконечности. Мы считаем, что бесконечность имеет фиксированный потенциаль; но тогда потенциаль области $A_1$ выше потенциаль бесконечности, а потенциаль бесконечности выше потенциаль области $B_1$, то есть различные области проводника имеют разные потенциальы. Но это противоречит условия равновесия зарядов на поверхности проводника.

Итак, предположение о возможности двух различных равновесных распределений заряды было неверным. Заряд на проводнике может распределиться единственным образом. Если в конкретной задаче нам удалось угадать равновесное распределение зарядов, то это и будет ответ.

Рассмотрим в свете сказанного решения задачи Ф700. Напомним ее условия:

$\Phi 700$. Имеется два проводника $A$ и $B$ произвольной формы. Пероначально на проводнике $A$ имеет заряд $Q$, а проводник $B$ не заряжен. Проводники приводят в сопротивление (см. рис.ок), и на проводник $B$ перетекает заряд $q$. Соприкасающийся проводником сообщают дополнительно некоторый заряд $q_x$, и в результате на проводнике $A$ оказывается заряд $q$. Определить заряд $q_x$.

Два соприкасающих проводника $A$ и $B$ представляют собой уединенный проводник ($A+B$). Заряд, сообщенный этому проводнику, равен $Q$. Рассмотрим малый элемент Дs поверхности проводника, на котором в результате равновесного распределения заряд $Q$ по поверхности проводника ($A+B$) уста-

новилась плотность заряда $\sigma$. Если бы проводник ($A+B$) (незаряженному) сообщили заряд $Q'$, то установившаяся плотность заряда $\sigma'$ на $\Delta s$ удовлетворяла бы следующему соотношению:

$$\frac{\sigma'}{\sigma} = \frac{Q'}{Q}.$$

Действительно, слияя, действующего на заряженный элемент $\Delta s$ поверхности проводника ($A+B$) со стороны других заряженных области поверхности, определяется как сумма сил взаимодействия данного элемента поверхности со всеми остальных. Поскольку пространственное расположение проводников осталось неизменным (это важный момент), взаимные расстояния между элементарными зарядами (зарядами отдельных элементов поверхности ($A+B$)) также остались неизменными, а изменились лишь величины связанных с поверхности поверхности зарядов. Поэтому каждая из сил попарного взаимодействия элементов зарядов изменлась в одно и то же число раз — в $(Q'/Q)^2$ раз. Таким образом, каждая элементарная область поверхности по-прежнему будет находиться в равновесии.

Из приведенных рассуждений следует, что, какой бы заряд ни сообщался контактрующим проводником $A$ и $B$ (проводнику ($A+B$)), относение заряд $q_A$, распределующему на проводнике $A$, к заряду $q_B$, распределующему на проводнике $B$, относение неизменным (разумеется, при неизменном взаимном расположении контактрующих проводников).

Первоначально, когда на проводнике ($A+B$) распределен заряд $Q$,

$$\frac{q_A}{q_B} = \frac{Q - q}{q}.$$

При сообщении проводнику ($A+B$) дополнительного заряд $q_x$

$$q_x = Q \frac{2q - Q}{Q - q}.$$

34

Задание
республиканских
олимппад

Наакануне математических
олимппад, которые будут проходит в большинсте соозных ресурубликки в дни весенних каникул, мы предлагаем нашим читателем позначить с неокторыми задачими, предлагавшимся на ресурубликских olимппадах в прошлом году.

1. Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги okрашены в белый цвет, остальные — в красный. Наозем клетку особенной, если ее цвет отличен от цвета хотя бы одной из всём окружающих ее клеток. Докажите, что всегда найдется хотя бы 9 особенных клеток.

2. Докажите, что для любых чисел p и q суммарная длина отрезков оси $Ox$, на которых выполняется неравенство
   $$|x^2 + px + q| \leq 2$$,
   не превысит 4.

3. Всюду определенная функция f при любых x и y удовлетворяет соотношению $f(xy) = f(x) \cdot f(y) - f(x+y) + 1$, причем $f(1) = 2$. Найдите:

a) $f(m)$ для произвольного целого m;

6. $f\left(\frac{m}{n}\right)$ для произвольного рационального числа $\frac{m}{n}$.

4. На прямой даны точки $A, B$ и $C$, причем $B$ лежит между $A$ и $C$. На отрезках $AB, BC$ и $AC$, как на диаметрах, построены ресурубликности, лежащие по одному сторону от этой прямой. Перpendикуляр к $(AC)$, проведенный через точку $B$, пересекает большую полукружность в точке $D$.

a) Докажите, что общая касательная двух меныших полукружностей, отличная от $(BD)$, паралельна касательной к большей полукружности, проведенной через точку $D$.

6. Докажите, что точки $B, D$ и точки касания меныших полукружностей с их общей касательной являются вершинами прямого лилика.

5*. Учитель написал на доске многочлен степени 3. Один из учеников прибавил к этому многочлену его произвольную, либо вычел ее — по своему желанию. Полученный многочлен он написал на листке бумаги и передал его другому ученику. Тот ученик продолжал с новым многочленом — опять-tаки, по своему усмотрению, — одну из указанных выше двух операций (прибавление или вычитание произвольной) и листок с результатом передал следующее ученику, и так далее.

Через некоторое время у одного из учеников получился тот же самый многочлен, который был написан учительем не доске. Докажите, что хотя бы один из учеников ошибся.

6. По тем веткам дерева — по тем некомпланным луцам с общим началом $O$ — получит три жука, $A, B$ и $C$. В каждой момент времени расстояния от жуков до точки $\theta$ удовлетворяют соотношям
   $$\frac{1}{|OB|} - \frac{1}{|OA|} = 1, \quad \frac{1}{|OC|} - \frac{1}{|OB|} = 1.$$
   Докажите, что существует прямая l такая, что плоскость $(ABC)$ в любой момент времени проходит через $l$.

7. На двух одинаковых бумажных кругах художник нарисовал двух совершенной одинаковых дракона. На одном рисунке глаз дракона совпал с центром круга, а на втором не совпал. Докажите, что второй круг можно разрезать на части так, что из них можно сложить тот же круг с тем же драконом, у которой глаз находится в центре круга.

8. Внутри данного угла расположены две точки $A$ и

B. Постройте параллелограмм, у которой две противоположные вершины совпадают с $A$ и $B$, а две другие лежат на сторонах данной угла.

9. Найти длину сторон наименшего квадрата, в котором можно поместить без наложений три круга радиусов $1, \sqrt{2}, 2$.

10. Докажите, что множество чисел $1, 2, 3, \dots, 1413, 1414$ можно разбит на группы так, чтобы сумма чисел в каждой группе равная 1981.

11. По тем параллельным дорогам с постоянными скоростями $A, B, C$. В некоторых момент времени площадь треугольника $ABC$ равна $2\ m^2$, а через 5 секунд стала равна $3\ m^2$. Как изменится эта площадь еще через 5 секунд?

12. Доказать, что для произвольных $n$ различных натуральных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ выполняется неравенство
    $$\frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{a_1 + a_2 + \dots + a_n} \geq \frac{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}{1 + 2 + \dots + n}.$$

13. Докажите, что если для всех $x \in ]-1; 1[$ выполняется неравенство
    $$|a_1 \sin b_1 x + a_2 \sin b_2 x + \dots + a_n \sin b_n x| \leq |\sin x|,$$
    то
    $$|a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n| \leq 1.$$

14. Существует ли многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что $P(19) = P(81) = 1981$, а $P(1981)$ равняется 19 или 81?

15. Докажите, что если выражение
    $$2\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12}$$
    привести к общему знаменателю, то его числитель будет делиться на 13.

35

Задания

1. В треугольники и квадраты, изображенные на рисунке, выпишите первыые двеять натуральных чисел, причем в треугольники — нечетные числа, в квадраты — четные числа так, чтобы все двенадцать соответствий «больше-меныше» были верными.

2. Можно ли из двенадцати одинаковых брусков с квадратным сечением сделать каркас куба?

3. При стрелбе по мишени спортом несколько раз попал в десятику, столко же раз выбил по 8 очков и несколько раз попал в пятерку. Всего он набрал 99 очков. Сколько выстрелovesделал спортом?

4. На доске написано несколько ненулевых чисел, каждое из которых равно получиме остальных. Сколько чисел написано?

5. Из семи правильных шестиугольников один раскрашен шестю красками (см. рисунок). Раскрасьте остальные шестиугольники теми же красками так, чтобы в «цветке», изображенном на рисунке, все треугольные участки, граничшие по сторонам шестиугольников, были окрашены одинаково.

6. Двигая горизонтальную линейку, положенную ребром на цилиндр, мы перекатыем (без просkalзывания) цилиндр по столу (см. рисунок). В начальной момент нулевое деление линейки находилось над точкой касания цилиндра и стола. Где будет нулевое деление линейки после того, как цилиндр прокатится на 5 см?

Эти задания нам предложили
Н. Авилов, С. Дворянников, Л. Купцов,
А. Савин, А. Халамайзер, А. Швецов.

36

Ф. Бартенев, А. Савин

Метод перебора

Рассказывают, что однажды племянник Шерлока Холмса Джек образили к своему знаменитому дяде с просьбой помочь в решении следующего задачи*): Купили несколько одинаковых книг и одинаковых альбомов. За книги заплатили 10 руб. 56 коп. Сколько купили книг, если цена одной книги более чем на 1 рубль превосходит цену альбома, а книги купили на 6 больше, чем альбомов?

Прочтя условия, знаменитый сыщик прошел от стола к окну, затем вернулся к столу, постоял около него, установился в потолок, и, наконец, сказал: «Книг было куплено 8 штук».

«Как вы это установили?» — в один голос воскликнул Джек

*) В такой формулировке задача в действительности давалась на применных экзаменах по математике на физической факультете МГУ (1968 г.).

и присутствовавший при этом мистер Уотсон.

«О, это было совсем просто! — ответил Шерлок Холмс, усаживаясь в кресло. — Посмотрев на слова «книг купили на 6 больше, чем альбомов», я тут же понял, что книг купили не меньше 7. Из того, что «цена одной книги более чем на 1 рубль превосходит цену альбома», я сделал вывод, что каждая книга стоит больше 1 рубля, а поскольку за них заплачено 10 руб. 56 коп., книг купили не больше 10. Таким образом, все числа, больше 10, и все числа, меньше 7, оказались вне подозрений. Проверив каждое из чисел 7, 8, 9, 10, я установил, что искомое число может быть только 8: остальные не делят 1056».

Метод перебора, который воспользовался здесь Шерлок Холмс, видимо, является древнейшим из методов решения задач. Долго время его относил к методам «второго сорта», «переборные» решения считались некрасивыми. Однако в последние годы метод перебора применяется все чаще и чаще в задачах, где искомая величина принимает только целочисленные значения.

37

Перебор ведет ЭВМ

Известно много серъезных задач, которые математики не могут решать иначе, чем метод перебор. Правда, при этом перебор произойдет электронная вычислительная машина, а математик лишь инструкрует ее, как этот перебор нужно сделать. Известный американский математик С. Голомб пишет по этому поводу*): «В отличие от человека машина, решая задачи, произойдет однозобразные вычисления, которые каждятся нам столь скучными, с невообразимой быстротой. Но вместе с тем она не заметит способа просчитать или улучшить решение, если этот способ не будет заранее учтен программистом, составляющим детальные инструкции для работы ЭВМ».

Тем не менее в последние годы рост быстроействия и объема памяти компьютеров, их большая доступность и дешевизна позволяют все чаще использовать их для решения переборных задач. Так, знаменитая «задача о четырех красках» (Всякую ли географическую карту можно раскрасть четырьмя красками так, чтобы страны одинакового цвета не имели общих участков границ?) была решена — очень хитрым перебором — лишь при помощи ЭВМ. Недавно одна из наиболее известных задач о полимино из книги С. Голомба тоже была решена метод перебора с участием компьютера.

Турист укладывает рюкзак

К числу задач, решаемых методом перебора, относится так называемая «задача об укладке рюкзака»: Уложить в рюкзак предметы из заданного набора так, чтобы их суммарная масса была наиболее (и суммарный объем не превысил объема рюкзака).

В такой постановке задача выглядит игрушечной, но замените «риокзак» на «отскек в триом теллохода» и вы躬мете, что эта задача имеет существенное народное значение.

Уражде для 5 городов количество вариантов равно 24, для 6 городов их 120, для семи — 720, для десяти — 362880. Чтобы избежать полного перебора, математики придумали различные ухищения**. Делается это не зря — решение подобной задачи необходимо для нахождения налучшего маршрута для фургона, развозящого журналы и газеты по киоскам, автовуса, под-

*) С. В. Голомб. «Полимино» (М., «Мир», 1975).

Коммивояжер отправляется в путь

Другой ширококое известной задачей, решаемой перебором вариантов, является «задача коммивояжера»*): Как обжать несколько городов, между каждыми двумя из которых имеется железнодорожное сообщение, затратив как можно меньше времени, если задан город, в котором начинается и кончается путь?

*) Коммивояжер — путешествующий представитель торговой фирмы.
*) См., например, «Квант», 1978, № 6, с. 11.

38

бирающего сельских жителей на работу, и т. п.

Упражнение 2. На рисунке показана карта местности, на которой расположены 5 городов: Ax, Ox, Эх, Ух и Их, а в таблице указаны расстояния между ними по железной дороге. Найдите кратчайший путь коммувяжера, который должен выехать из города Ух, объехать остальные города и вернуться в Ух.

| | Ax | Их | Ox | Ух | Эх |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Ax | 0 | 60 | 40 | 50 | 20 |
| Их | 60 | 0 | 30 | 35 | 45 |
| Ox | 40 | 30 | 0 | 55 | 50 |
| Ух | 50 | 35 | 55 | 0 | 20 |
| Эх | 20 | 45 | 50 | 20 | 0 |

Сократим перебор

Для решения подобных задач были созданы сложные методы, сокращшие перебор вариантов. Они составляют новую математическую науку, которая носит название «целочисленное программирование».

Некоторые представление о возможностях сокращения перебор может быть решено такой задачи:

Известно, что $\sqrt[3]{****3}$ есть натуральное число. Найдите его.

Первое, что приходит в голову, — это перебирать пятизначные числа, оканичивающиеся на 3, и смотреть, нет ли среди них точных кубов: 10003, 10013, 10023,… Но когда еще мы доберемся до 99993, да и как узнать, является данное число кубом или нет?

Лучше будем возводить число в куб и посмотрим, какие из них будут пятизначными и оканичивающимися на 3. Получим $1^3=1$, $2^3=8$, $3^3=27$, $4^3=64$, $5^3=125$, $6^3=216$, $7^3=343$, $8^3=512$, $9^3=729$, $10^3=1000$.

Так дело тоже неойдет. Зачем нам нужны кубы маленьких чисел? Посмотрим, чем равно наименьшее число $x$, куб которого является пятизначным числом. Оно не меньше чем $\sqrt[3]{10000}=10\sqrt[3]{10}$, но $\sqrt[3]{10}$ больше 2, так как $2^3=8$; поэтому $x$ больше 20. Оценим число сверху, то есть посмотрим, какого числа оно не может превышать. Такое число, очень видно, равно $\sqrt[3]{10000}=10\sqrt[3]{100}$. Но $\sqrt[3]{100}$ меньше 5, так как $5^3=125$. Значит, нужно перебирать числа от 21 до 49.

Посмотрим, не поможет ли нам сократить перебор то, что число под радикалом оканичивается на 3. Изучим выписанные нами кубы первых десяти натуральных чисел. Из них на 3 оканичивается лишь 7. Если теперь немного подумать, то нетрудно сообщить, что куб натурального числа будет оканичаться на 3 в том и только в том случае, если оно оканичивается на 7.

Теперь нам осталось для перебор лишь три числа: 27, 37 и 47. $27^3=19683$, $37^3=50653$, $47^3=103823$, но последнее число уже шестизначное, поэтому осталось лишь числа 27 и 37.

Упражнение 3.

В составлении 40 задач (для школьников) прияло участие 30 студентов (пединститута) со всех пяты курсов. Любые два однокурсника придумали одинаковое число задач. Любые студенты разных курсов придумали разное число задач. Сколько студентов придумало по одному задаче?

4. Сколько нулями может оканичивать число $9^n+1$?

5. В буфете продавалисьippiки по 5 коп., буфели по 6 коп., буфели по 7 коп., слойки по 8 коп., и коржки по 10 коп. Группа ребят купила на рубль 14 изделия в видов. Если взят по одному представителю каждой купленного вида, то их суммарная цена будет равна 21 коп. Сколько и каких изделий было куплено, если дополнительно известно, что никаких изделий не было куплено больше шести и никаких изделий не было куплено поровну?

6. Найдите два целых положительных числа, разность между квадратами которых равна 455.

7. Студент за 5 лет учebы сделал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал экзаменов больше, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов было второе больше, чем на первом. Сколько экзаменов было на четвертом курсе?

39

Переменный электрический ток

Переменный ток широко используется в промышленности (на заводах и фабриках) и в обычной осветтельной сети.

Известно, что для построного тока выполняется закон Ома — сила тока в однородном участке цепи прямо пропорциональна приложению напряжение. В цепях переменного тока сила ток также зависит от напряжения источника, но уже по более сложному закону, поскольку напряжение и ток с течение времени изменяются. Закон изменения напряжения может быть скольго сложным, но наиболее распространение и практическое применение получили источники, напряжение которых изменяется по гармоничскому закону. Например, по такому:

$$u = U_m \cos \omega t,$$

где $U_m$ — амплитуда напряжения, $\omega$ — циклическая частота, $\omega t = \varphi$ — фаза колебаний. Заметим, что в нашей стране на все ее территории принята частота $v = \omega/2\pi = 50$ Гц.

Электрическая цепь переменного ток состоит из источника ток и различных элементов таких, как лампы накапливания, электропреватные приборы, конденсаторы, катушки, электродвигатели, трансформаторы.

Основной задачей изучения переменного ток является расчет электрических цепей, то есть определение силы ток при заданном напряжение источника ток и заданных параметрах элементов цепи.

В обшем случае ток в цепи, как и напряжение источника, изменяется со временем по гармоничскому закону

$$i = I_m \cos(\omega t + \varphi).$$

Амплитуда ток $I_m$ и сдвиг фаз $\varphi$ между током и напряжением зависит от параметров данной цепи.

Рассмотрим сначала простейшие электрические цепи, состоящие из источника и одного элемента — активного сопротивления, конденсатора или катушки. При подключении к источнику активного сопротивления в цепи возникнет переменный ток, амплитуда которого равна амплитуде напряжения, деленной на активное сопротивление: $I_{RM} = U_m/R$, а фаза совпадает с фазой напряжения. В цепи с конденсатором ток по фазе определяет напряжение на $\pi/2$, а амплитуда ток $I_{CM} = U_m \omega C$, где $C$ — емкость конденсатора. Ток, возникший в катушке с индуктивностью $L$, отстает по фазе от напряжения на $\pi/2$, а его амплитуда $I_{LM} = U_m / (\omega L)$.

Расчет электрических цепей удобно вести с помощью векторных диаграмм токов и напряжений. Построим векторные диаграммы для расстояний простейших случаем (рис. 1). Начнем с известного вектора напряжения $\vec{U}_m$ и расположим его горизонтально. Поскольку ток через активное сопротивление совпадает по фазе с напряжением, вектор тока $\vec{I}_{RM}$ направим так же, как и вектор $\vec{U}_m$. Ток в цепи с конденсатором определяет напряжение по фазе на четвертый период; следовательно, вектор ток $\vec{I}_{CM}$ следует направить вертикально вверх. Наконец, ток в катушке отстает от напряжения на

40

Рис. 2.

π/2, поэтому вектор тока $I_{LM}$ должен быть направлен вертикально вниз.

Заметим, что все соотношения, полученные для амплитуд токов и напряжений, справедливы и для их действующих значений. Векторные диаграммы можно также строить, используя действующие значения токов и напряжений.

Тепер разберем такую задачу:

Задача 1. Определите силу тока в цепи, изображенной на рисунке 2, а. Параметры элементов цепи и напряжения источника питания считайте заданными.

Сначала рассмотрим участок цепи, содержащий параллельное соединение резистор сопротивлением $R_1$ и конденсатор emкостью $C$. Построим для него векторную диаграмму, считая напряжение $U_1$ на этом участке известным (рис. 2, б). Получим, что ток в цепи равен сумме токов через первый резistor и конденсатор:

$$\overrightarrow{I} = \overrightarrow{I_{R1}} + \overrightarrow{I_C}.$$

Амплитуда этого тока равна

$$I = \sqrt{I_{R1}^2 + I_C^2} = \sqrt{\left(\frac{U_1}{R_1}\right)^2 + \left(U_1 \omega C\right)^2} = U_1 \sqrt{\frac{1}{R_1^2} + (\omega C)^2}.$$

Такой же ток протекает и через резistor сопротивлением $R_2$, поэтому напряжение на нем равно

$$U_2 = IR_2.$$

Очевидно, что векторная сумма $U_1$ и $U_2$ равна напряжению $\overrightarrow{U}$ на зажимах источника:

$$\overrightarrow{U}_1 + \overrightarrow{U}_2 = \overrightarrow{U}.$$

Спроектируем вектор $\overrightarrow{U}_2$ на оси координат $X$ и $Y$ и найдем

$$U_{2x} = U_1 \frac{R_1}{R_2}, \quad U_{2y} = U_1 R_1 \omega C.$$

Из векторной диаграммы видно, что

$$U^2 = \left(U_1 + U_{2x}\right)^2 + U_{2y}^2,$$

или

$$U = U_1 \sqrt{\left(1 + \frac{R_1}{R_2}\right)^2 + \left(R_1 \omega C\right)^2}.$$

Okончательно из равенств (1) и (2) получим

$$I = U \sqrt{\frac{1 + \left(R_2 \omega C\right)^2}{\left(R_1 + R_2\right)^2 + \left(R_1 R_2 \omega C\right)^2}}.$$

Большое практическое значение имеет мощность, выделяющаяся в электрических цепях. В случае постоянного тока для любого участка цепи мощность определяется произведением напряжения на силу тока. Мощность переменного тока зависит от действующих значений тока и напряжения, а также от сдвига фаз между током и напряжением на этом участке:

$$P = UI \cos \varphi,$$

где cos φ — коэффициент мощности.

Как известно, для того чтобы получить максимальный мощность от источника постоянного тока, к нему нужно подключить нагрузку, сопротивление которого равно внутреннему сопротивлению источника. Источник переменного тока тоже обладает внутренним сопротивлением, причем оно носит не только активный, но и индуктивный характер. Интересно знать, какую же нагрузку нужно подключить, чтобы получить максимальный активный мощность в цепи переменного тока. Ответ на этот вопрос дает следующая задача:

Задача 2. Каким должно быть параметры напряжения для того, чтобы мощность, потребляемая на напряжении, была максимальной? Активное сопротивление источника $R$, его индуктивность $L$.

Поскольку мощность, выделяющая на напряжении, зависит от сдвига фаз между током и напряжением, естественно предположить, что последовательное с активным сопротивлением напряжения больше включен конденсатор (что бы скомпенси-

41

ровать сдиг фаз, создаваемый индуктивность источника).

Обозначим через $\mathcal{E}$ электродвижую силу источника, через $R_{\mathrm{H}}$ — активное сопротивление напряжения и через $C$ — емкость конденсатора. Тогда в цепи будет течь ток

$$I = \frac{\mathcal{E}}{\sqrt{(R_{\mathrm{H}}+R)^{2} + (\omega L-1/\omega C)^{2}}},$$

и на нагрузке будет выделяться активная мощность

$$P = U_{\mathrm{H}} I \cos \varphi = I^{2} R_{\mathrm{H}} = \frac{\mathcal{E}^{2} R_{\mathrm{H}}}{(R_{\mathrm{H}}+R)^{2} + (\omega L-1/\omega C)^{2}}.$$

Очевидно, что при любом значении $R_{\mathrm{H}}$ мощность будет наиболее или в противном случае равенство

$$\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0.$$

Значит, емкость конденсатора должна быть равна

$$C = \frac{1}{\omega^{2} L}.$$

При этом мощность равна

$$P = \frac{\mathcal{E}^{2} R_{\mathrm{H}}}{(R_{\mathrm{H}}+R)^{2}}.$$

Чтобы найти максимум мощности в зависимости от сопротивления $R_{\mathrm{H}}$, приравняем к нулю производую от $P$ по $R_{\mathrm{H}}$:

$$P'(R_{\mathrm{H}}) = \frac{\mathcal{E}^{2} ((R_{\mathrm{H}}+R)^{2} - 2 R_{\mathrm{H}} (R_{\mathrm{H}}+R))}{(R_{\mathrm{H}}+R)^{4}} = 0.$$

Отсюда

$$R_{\mathrm{H}} = R, \quad P_{\text{max}} = \frac{\mathcal{E}^{2}}{4 R}.$$

Заметим, что мы получили точно такие же соотношения, что и для построного тока.

---

Особое место в цепях переменного тока занимает трансформатор. Это — устройство, которое передает электрическую энергию из одной цепи в другую и при этом преобразовывает величины токов и напряжений. Отсюда и произходит название «transформатор», то есть «преобразователь». Приципп действия трансформатора основан на явлении электромагнитной индукции, так что он может работать только на переменном токе.

Transформатор состоит из замкнутого ферромагнитного сердечника, на которых намотаны две (иногда и больше) катушки из медной проволоки. Катушки часто называют обмотками трансформатора. Однако из них, первичная, подключается к источнику, другая, вторичная, — к нагрузке. (Впрочем, такое разделение обмоток является условным, потому что в зависимости от режима работы подключение может быть и противоположным.) Катушки могут быть намотаны на сердечник двояк: в одну сторону или в разные стороны. В зависимости от этого напряжения на обмотках будет изменяться в одинаковых или в противоположных фазах. Для определения условий работы на конец обмотки и считать, что в любой момент времени напряжение между началом и концом каждой обмотки имеет одинаковую полярность. На рисунках и чертежах начало обмотки обычно отмечают звездочкой.

Расчет электрической цепи с реальным трансформатором представляет большие трудности. Для управления расстройством так называемый идеальный трансформатор. (Заметим, что результаты расчетов идеального и реального трансформаторов практические совпадают.) Во-первых, будем считать, что обмотки не имеют активного сопротивления, поэтому передняя напряжение в них равны нулю, и выполняется равенство

$$\frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{\mathcal{E}_{1}}{\mathcal{E}_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} = K.$$

Здесь $U_{1}$ и $U_{2}$ — напряжения, $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ — ЭДС индукции, $n_{1}$ и $n_{2}$ — число витков в первичной и вторичной обмотках соответствующего; $K = n_{1}/n_{2}$ — коэффициент трансформатии. Вторых, не будем учитывать потеря энергии на выделение тепла не только в обмотках, но и в сердечнике трансформатора. А это означает, что мощность, которая поступает в первичную обмотку, равна мощности, которая уходит из вторичной обмотки на нагрузку, или, другими словами, сумма поступающей иуходящей мощности равна нулю:

$$U_{1} I_{1} + U_{2} I_{2} = 0,$$

где $I_{1}$ и $I_{2}$ — токи в первичной и вторичной обмотках соответствующего.

42

Из двух равенств получаем

$$I_1 n_1 + I_2 n_2 = 0.$$
Важность этой простой формулы позволяет следующего задача:

Задача 3. Трансформатор, имеющий число витков в первичной обмотке $n_1$, а во вторичной $n_2$, подключиен к источнику переменного тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $R_B$. Назукрас с сопротивлением $R_H$ подключиена так, как показано на рисунке 3. Определите напряжение на напряжение на напряжение.

Обозначим через $U_1$ и $U_2$, $I_1$ и $I_2$ действующие значения напряжения и токов в первичной и вторичной обмотках соответственно, а через $I_0$ — действующие значение тока в источнике. Пусть в некоторый момент времени токи направлены так, как изображено на рисунке 3. Тогда

$$I_0 R_B = \mathcal{E} - U_1, \quad I_2 R_H = U_1 - U_2,$$
$$I_0 = I_1 + I_2, \quad \frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2}, \quad I_1 n_1 + I_2 n_2 = 0.$$

Первые три равенства ничем не отличаются от аналогичных равенств для цепей постоянного тока и запися с учетом правила знаков для ЭДС, токов и паданий напряжения. Знаки напряжения на обмотках выбираются в зависимости от положения начала и конца обмотки. Условиялись напряжение считать положительным, если при обходе соответствующего контура сначала встречается конец обмотки. Так, если контуры первичной и вторичной цепей данного трансформатора обходить, например, по часовой стрелке, то напряжения $U_1$ в первом и $U_2$ во втором уравнениях действительное должно быть запися со знаком «минус». В четвертом уравнения знаки $U_1$ и $U_2$ берется всегда положительные. Знаки токов в обмотках в пятом уравнения выбираются так: ток считается положительным, если он на

Рис. 3.

правлен от начала обмотки к ее концу, и отпечатным — в противоположном случае.

Обвединв все пять уравнений в системе и решив ее, найдем ток $I_2$, а значит, и направление на нагрузке:

$$U_H = I_2 R_H = \mathcal{E} \frac{R_H n_1 (n_1 - n_2)}{(n_1 - n_2)^2 R_B + R_H n_1^2}.$$

Уражнения

1. Определите силу тока в цепи, показанной на рисунке 4. Належение источника питания и параметры элементов цепи считайте заданным.

Рис. 4.

2. Цепь, состоящая из двух одинаковых резисторов сопротивлением $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$, подключиена, как показано на рисунке 5, к генератору синусoidального тока переменной частоты. Найдите соответствия между параметрами элементов цепи, при которых цель будет вести себя как резistor, имеющий только активное сопротивление, на любой частоте.

Рис. 5.

3. При передаче электрической энергии на большие расстояния индуктивность линни сначала передаваемые мощности. Считая, что генератор электростанции создает ЭДС $\mathcal{E}$, линия передачи имеет индуктивность $L$, а направление на пример системе должны быть $U$, определяйте максимальную активную мощность, которой можно передать в этом случае.

Рис. 6.

4. Трансформатор, имеющий число витков в первичной обмотке $n_1$, а во вторичной $n_2$, и два резистора с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ подключины к источнику переменного тока с напряжение $U$ так, как показано на рисунке 6. Определите напряжение на обмотках трансформатора и ток через резисторы.

43

Московский институт электронного машиностроения

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} x^2 = (x-a)y \\ y^2 - xy = 9ax. \end{cases}$$

2. Решите уравнение
   $$(6x-5)|\ln(2x+2,3)| = 8\ln(2x+2,3).$$

3. Решите уравнение
   $$\frac{3\cos 5x-2(\cos 6x+\cos 4x)}{3\sin 5x-2(\sin 6x+\sin 4x)} = \mathrm{tg} 17x.$$

4. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром длины $a$ точка $K$ — середина ребра $AB$, точка $L$ — середина ребра $DD_1$. Найдите стороны треугольника $A_1KL$ и определите, в каком отношении делит объем куба плоскость, проходящая через вершины этого треугольника.

5. Изображите на плоскости множества точек $(x; y)$, координаты которых удовлетворяют системе неравенств
   $$\begin{cases} 2y \geq x^2 \\ y \leq -2x^2 + 3x. \end{cases}$$

Докажите, что для всякой такой точки $(x; y)$ выполняется неравенство $x^2 + y^2 \leq 2$.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\lg(x-a) - \lg 2 = 3\lg(x-1).$$

2. Решите уравнение
   $$\sqrt{2\cos^2 x + 4\sin(x+1)} = \sqrt{4\sin x \cdot \cos 1 - \sin 2x}.$$

3. Найдите наиболее и наиболее значения функции
   $$f(x) = (3x^2 - 7x + 7)e^x$$
   на отрезке $[0; \frac{2}{3}]$.

4. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ последовательно соединиты середины ребер $AA_1, A_1B_1, B_1C_1, C_1C, CD, DA$ и $AA_1$. Докажите, что полученная функция есть правильный шестиугольник и определите его площадь по ребру куба $a$.

5. Для каких чисел из множества $A=\{1, 2, 3\}$ неравенство
   $$2\sin x \cdot \cos y \cdot \sin z - \cos x \cdot \sin y \cdot \cos z \leq a$$
   выполняется для всех значений $x, y, z$?

Физика
Задачи устного экзамена

1. Два груза одинаковой массы $M=400$ г связываны неевесомой нитью, перекиниут через блок массой $m=100$ г, и находятся на одинаковом расстоянии от блока (рис. 1). На один из грузов кладаут перегрузок массой $m$. С какой скоростью $v$ будет движаться обод блока, когда расстояние между грузами будет $h=1$ м, если на каждый из грузов массой $M$ действует одинаковая средняя сила сопротивления $F_c=0,17$ Н? Считать, что масса блока сосредоточена в его ободе. Силами сопротивления, действующего на блок, нить и перегрузок, претензь. Просkalьзывание между блоком и нитью отсутствует.

2. Стержень длиной $l$ и массой $m$ одним коном упирается в вертикальное стену, а другой его конец удерживается с помощью нити, длина которого равна длине стержня (рис. 2). При каких углах $a$ стержень будет находиться после установки равновесия, если температура газа осталась неизменной? Obъем каждой половины цилиндра $V=1$ л, сечение цилиндра $S=100$ см², а $m=2M$.

3. В двух половин цилиндра, разделенных поршнем, находятся одинаковые массы $M$ азота при одинаковой температуре. Затем масса азота в одной из половин цилиндра увеличивается на $m$. На каком расстоянии $d$ от первого начального положения будет находиться поршень после установки равновесия, если температура газа осталась неизменной? Obъем каждой половины цилиндра $V=1$ л, сечение цилиндра $S=100$ см², а $m=2M$.

4. Сферические джедевая капля радиусом $R=2$ мм падает на землю с постоянной скоростью $v$. На сколько повышается температура капли за время $t=10$ с, если все вышешлещеся при движении коливесто теллоты идет на ее нагревание, а сила сопротивления воздействия описывается выражением $F_c=0,24\pi R^2v^2$ (в единицах СИ)?

5. Три точечных конденсатора емкости $C_0=1$ мкФ каждой соединены последовательно. Конденсаторы заряжены и отключены от источника. Заряд этой батареи $Q_0=10^{-4}$ Кл. Затем пространство между обкладками одного из конденсаторов полностью диаполяют ди-

Рис. 1. Рис. 2.