Квант 1982, №3 · Страницы

КВАНМ
3
1982

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

DANIELIS BERNOULLI Jon, Fil.
MED. PROF. BASIL.
ACAD. SCIENT. IMPER. PETROPOLITAN E, PRIUS MATHESEOS
SUBLIMIORIS PROF. ORD. NUNC MEMBRI ET PROF. HONOR.

HYDRODYNAMICA,
SIVE
DE VIRIBUS ET MOTIBUS FLUIDORUM
COMMENTARII.
OPUS ACADEMICUM
AB AUCTORE, DUM PETROPOLI AGERET.
CONGESTUM.

Argentorati,
Sumpibus Johannis Reinholdi Dulseckeri,
Anno M D CC XXXVIII.

Typis Jon. Henr. Deckeri, Typographi Basilienfis.

Титульный лист первого издания книги Даниила Бернулли «Гидродинамика».

В этом номере мы помещаем статью о жизни о научной деятельности Даниила Бернулли (1700—1782) — замещального ученого-естественнойателя, почетного профессора Петербургской Академии Наук, одного из основоположников гидродинамики.

2

Годовшина замечательной статьи

Шестдессят лет назад, в марта 1922 года в журнале «Под Знаменем Марксизма» была впервые опубликована работа В. И. Ленина «О значении воинствующего материализма».
В ней четко обозначено несколько очень важных задач, которые не потребили своего активности и в нашей дни.

Прежде всего — задача укрепления и развития союза марксистской философии и естественногония. Еще в 1909 году в книге «Материализм и эмпириокритизм» Ленин убедительно показал, что в период величайшей революции в физике, связанной с открытом радиоактивности и сложного строения atomов, созданием специальной теории относительнойности и т. д., многие выдающиеся учены оказались не в состоянии правильно оценить суть произходящих событий. Они воспринимали их как глубокий криис физики,.linkвидцию ряда основных ее понятий и законов, крах материализма и торжество идеализма в самых разнообразных формах. Научный анализ революции в физике и точный прогноз ее дальнейшего развития можно было сделать только с позиций диалектического материализма, что и было выполено В. И. Лениным.

Борьба материализма с идеализмом приобретела в последующее годы еще большую остроту в связи с возникновением квантовой механики и общей теории относительнойности. И здесь победа оказалась на стороне диалектического материализма. Идеи, разработанные Лениным в его гениальной книге,lectureze выдержали испытание времени.

Для правильной оценки роли и места физики в необходимости расширения семейства естественных наук, в познании окружающей нас природы, совершенню недостаточно хорошо знания ее законов и умения правильно решать конкретные физические задачи. Необходимо овладеть основами марксисткого научного мировоззрения. Это отчетливо должны понимать все, кто хочет стать физиками или математиками. «…без солидного философского обоснования никакие естественные науки, никакой материализм не может выдержать борбы против натиска буржузанных идеи и восстановления буржузного мироосмерания» — так писал В. И. Ленин в своей работе «О значении воинствующего материализма». А это означает, что и в школьные годы, успешно овладевая физикой и математикой, надо не менее упорно изучать общественные науки.

Буржузное мироосмерание всегда было темно с религией и мистикой, стремящимсяprimирить широкие народные массы с политическим и социальным неравенством, непрерывно растущей эксплуатацией со стороны предпринимателей, признающих к смернию, покорности судьбе, непротивления волпющему злу. И чем сложнее оказалась конкретная социальная обстановка в каждой-либо капиталистической стране, тем активнее пропагандировались религиозные представления. Никогда, например, в США не было такого активажа вокг восточных религиозных культов, разнообразных, порогоизвергских сект, гадалок, пропицателей, астрологов, как в нашей дни.

Религиозные представления до сих пор сохраняются в сознании некоторых наших граждан. Церковь в СССР отделена от государства, и каждый из вас имеет полную свободу в выборе того или иного мирооззрения. Но это вовсе не означает, что те, кто является атеистами, не должны вести активную антирелгиозную пропаганду, быть, по словам Ленина, «воинствующими атеистами». Современная наука дает вам множество убедительных подтверждений несостоятьности религиозных представлений о «сотворении мира», возникновении и развитием человека и человекаческого общества. Их следует широко использовать в целях антирелгиозной пропаганды. Эту пропаганду надо вести терпельно, настоячно, убедительно, индивидуально, не осорбляя религиозных чувств верующих. Каждый отвоеванный нами у церкови граждан — это реализая победа в строительстве коммунистического общества. Такова вторая задача, поставленная В. И. Лениным в этой замечательной статье.

Комплексные числа

Здесь я прежде всего очень кратко рассказываю о том, как возникли в математике и постепенно утвердились в ней комплексные числа. Затем даю определение комплексных чисел, действий над ними и их геометрическую интерпретацию. Попутно доказываются формулы косинуса и синуса суммы, тесно связанные с умножением комплексных чисел.

Историческая справка

Из курса математики известно, что отрицательные числа введены прежде всего для того, чтобы операция вычитания, обратная к операции сложения, была всегда возможна. По аналогичной причине в математике появились комплексные числа. Если рассматривать только действные числа, то операция извлекания квадратного корня, обратная к операции возвления в квадрат, не всегда возможна, так как нельзя извлекачь квадратный корень из отрицательного числа. Это, однако, недостаточно, чтобы заводить в математике новые числа. Оказалось, что если произведение вычисления по общным правилам над выражениями, в которых встречается корень квадратный из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему корень квадратный из отрицательного числа. В XVI веке Карданов нашел формулу для решения кубического уравнения («Квант», 1976, № 9, с. 2). Оказалось, что именно в том случае, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Карданов встречается корень квадратный из отрицательного числа, можно получить в полне понятные результаты. Поэтому эти корни стали употреблять в математике. Извлечения вычисления с выражениями, содержащими корень квадратный из отрицательного числа, можно получить в полне понятные результаты. Полные гражданские права минимум числам на грани XVIII—XIX столейдал Гаусс («Квант», 1977, № 8, с. 2), который называет их комплексными числами, дал им геометрическую интерпретацию и, что самое главное, доказал основную теорему алгебры, утверждающего, что каждой многочлен имеет хотя бы один действительный или комплексный корень.

Определение комплексных чисел

Мы будем исходить из того, что действительные числа нам известны. Мы знаем, что для них определены два основных действия — сложение и умножение — и имеются обратные к ним действия — вычитание и деление. Для этих действий выполются хорошо известные правила, которые обычно употребляются совершенно автоматически — поэтому их не будут здесь формулировать. Множество объектов, для которых определены действие сложения и умножения и обратные к ним действия вычитания и деления, причем выполены объекты правила, имеющие место для действительных чисел, называется в современной абстрактной алгебре полем.

Таким образом, с точки зрения современной абстрактной алгебры множество R всех действительных чисел представляется собой поле.

4

Поставим теперь перед собой задачу расширить понятие числа или, как говорят в абстрактной алгебре, расширить поле $R$ до поля $K$ таким образом, чтобы в этом новом поле $K$ уравнение

$$z^2 + 1 = 0$$

(1)

имело решение. Элемент поля $K$, который удовлетворяет уравнению (1), мы обозначим через $i$. Таким образом, для $i$ имеем

$$i^2 = -1.$$

(2)

Так как поле $K$ содержит все действительные числа и элемент $i$ и так как в нем возможно действия сложения и умножения, в поле $K$ должны содержаться всевозможные многочлены относительно $i$ с действительными коэффициентами, в частности — все многочлены первого степени, то есть выражения вида

$$z = x + yi = x + iy,$$

где $x$ и $y$ — действительные числа. Эти выражения и называются компплексными числами. Действия над ними мы определям как действия над многочленами, учитывая при этом условие (2). Комплексные числа вида

$$z = x + 0i = x$$

являются действительными числами. Комплексные числа вида

$$z = 0 + yi = yi$$

называются число минимум числами.

Пусть $z_1 = x_1 + y_1 i$, $z_2 = x_2 + y_2 i$ — два компплексных числа. Согласно высказанному правилу сумма и произведение этих компплексных чисел определяются равенствами

$$z_1 + z_2 = (x_1 + y_1 i) + (x_2 + y_2 i) > = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) i;$$

$$z_1 z_2 = (x_1 + y_1 i) (x_2 + y_2 i) = x_1 x_2 + (x_1 y_2 + y_1 x_2) i + y_1 y_2 i^2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + y_1 x_2) i.$$

При получении последнего равенства мы используем полуаем

$$x_1 z_2 = x_1 x_2 + x_1 y_2 i.$$

(5)

Из формул (3) и (4) видно, что сумма и произведение двух компплексных

ных чисел есть также компплексное число.

Для того чтобы убедиться, что действие вычитания, обратное действию сложения, существует, достаточно найти число — $z$, противоположное числу $z$, а для того чтобы убедиться, что возможно деление, достаточно для $z \neq 0$ указывать число $z^{-1}$, обратное числу $z = x + yi$. Числа эти, как легко видеть, задаются формулами

$$-z = -x - yi,$$

$$z^{-1} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2} i.$$

Таким образом, величина $z^{-1}$, обратная к $z$, существует всегда, когда $z \neq 0$.

Геометрическое изображение компплексных чисел

Обозначим через $P$ плоскость нашей чертежа и выберем на ней прямоугольную систему координат (рис. 1). Комплексное число $z = x + yi$ мы помещим в точку $z = (x; y)$ с координатами $x, y$. Обозначим также через $z$ вектор, идиший из начала координат $O$ в точку $z$. Таким образом, буква $z$ обозначает у нас одновременного компплексное число, точку $z$, изображающего это компплексное число, и вектор $z$, соответствующий этому компплексному числу. При этом изображения действительные числа попадают на ось абсцисс — поэтому ось абсцисс называется действительным плоскости $P$ компплексного переменного, а число числа попадают на ось ordинат — поэтому ось ordинат называется минимой плоскости $P$ компплексного переменного. Нуль попадает в начало координат.

Длина вектора $z$ называется modуlem компплексного числа $z =$

Рис. 1.

5

$$= x + yi \text{ и обозначется } |z|: |z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

Комплексные числа $z$, удовлетворяющие условию $|z| = 1$, составляют окружность радиуса 1 с центром в начале координат. На этой окружности лежит число 1. Из точки 1 отложим по окружности дугу заданной длины $\varphi$ в направлении против часовой стрелки. Конец этой линии обозначим через $(\varphi)$. Если $\varphi$ — отрицательное число, то для получения $(\varphi)$ нужно отложить от точки 1 длину дуги $|\varphi|$ по часовой стрелке. Как известно, абсцисса точки $(\varphi)$ называется cos $\varphi$, а ее ordината sin $\varphi$. Таким образом, комплексное число $(\varphi)$ задается формулой

$$(\varphi) = \cos \varphi + i \sin \varphi.$$

Итак, всякое комплексное число $z$, по модели равное 1, записывается в виде (6). Если $z$ — произвольное комплексное число, модель которого $|z| = \varphi$ отличиет от 0, то число $z/\varphi$ является комплексным числом, по модели равным 1, и потому записывается в виде (6). Из равенства

$$\frac{z}{\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$$

мы получаем

$$z = \varphi (\cos \varphi + i \sin \varphi).$$

Запись (7) называется трионометрической формулой комплексного числа. Число $\varphi$ называется аргументом комплексного числа. Если модель $\varphi$ комплексного числа $z$ отличиет от нуля, то аргумент $\varphi$ определяет с точностью до слагаемого $2\pi k$, где $k$ — целое число. Если модель $\varphi$ комплексного числа равен 0, то формула (7) также имеет место, одноко в этом случае аргумент комплексного числа вовсе не определяен.

Числа $\rho$ и $\varphi$ называются полярными координатами точки $z$.

Дадим теперь геометрическое источник действия над комплексными числами.

Из формул (3) и (5) следует, что комплексные числа складываются и умножаются на действительные числа, как векторы.

Геометрический смысл сложения комплексных чисел очень виден: вектор $z_1 + z_2$ — это диагональ параллелогamma, построенного на векторах $z_1$ и $z_2$. Отсюда вытекает важное неравенство

$$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|.$$

Для того чтобы дать геометрическое источников умножения комплексных чисел, нужно употребить операцию поворота вектора или, что то же самое, комплексного числа. Повернуть вектор $z$ против часовой стрелки на угол $\alpha$, мы получим некоторый новый вектор, который обозначим через $R_\alpha(\alpha)$. Геометрические ясно, что операция поворота $R_\alpha$ имеет следующее свойство: если $a$ — действительное число, то

$$R_\alpha(az) = aR_\alpha(z),$$

$$R_\alpha(z_1 + z_2) = R_\alpha(z_1) + R_\alpha(z_2).$$

Из этих двух формул следует, что если $a_1$ и $a_2$ — два действительных числа, то имеет место соответствие $R_\alpha(a_1z_1 + a_2z_2) = a_1R_\alpha(z_1) + a_2R_\alpha(z_2)$.

Непосредственно ясно также, что

$$R_\alpha(1) = \cos \alpha + i \sin \alpha.$$

Докажем теперь, что поворот комплексного числа $z = x + yi$ на угол $\alpha$ равноселен умножению его на комплексное число $\cos \alpha + i \sin \alpha$, то есть что

$$R_\alpha(z) = (\cos \alpha + i \sin \alpha)z.$$

Для этого рассмотрим сначала отдельно поворот на угол $d = \frac{\pi}{2}$. В этом случае $\cos d + i \sin d = i$, и равенство (11) принимает вид $R_dz = iz$. С одной стороны, геометрические оценки, что $R_d(1) = i, R_d(i) = -1$. С другой стороны, $i \cdot 1 = i, i \cdot i = -1$. Таким образом,

$$R_d(1) = i \cdot 1, R_d(i) = i \cdot i.$$

Из формулы (9) непосредственно вытекает

$$iz = i \cdot (x + iy) = x \cdot i + y(-1) = xR_d(1) + yR_d(i) = R_d(x \cdot 1 + y \cdot 1) = R_d(x + iy) = R_d(z).$$

Таким образом, формула (11) доказана для $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

7

В. Лицевский

Даниил Бернулли

… для меня истинное удовольствие всего жизни состоит в русской императорской службе…
Д. Бернулли

Говорят, что природа, создав гения, затем отдыхает, творя его потомков. И это, в основном, верно. Но не бывают правил без исклочения, и одно из них — семья Бернулли. На протяженииста лет род Бернулли дал человеку деревуту десяти выдающихся деятельности науки — математиков, физиков, врачей, юристов, риториков… Многие из них членами различных академий, пятеро — академики Петербургской академии наук.

Нанболее известны браться Яков (1654—1705) и Иоганн (1667—1748) Бернулли и сын Иоганна Даниил.

Даниил Бернулли родился 29 января 1700 года в Гроингене (Голландия), где его отец преподавал математике в университете. В 1705 году семья переехала в город Базель (Швейцария), где Иоганн Бернулли «унаследовал» место профессора математики после смерти своего старшего брата Якова.

Даниил учился в Базельской гимназии. После окончания гимназии в 1713 году его отправил во Францию совершенствовать значение французского языка. После возврашения на родину в 1716 году он получил звание магистра философии.

По настоянию отца Даниил занялся изучением медицинных. Он учился в Гейдельберге, в Страсбурге и после защиты диссертации «О дыхании» в 1720 году становится лиценциатом медицинных. Но сердце Даниила не лежало к врачебной деятельности. «…Пример членов его семьи, а именно его отца и старшего брата Николая, а также наклонности его собственной души влекли его к математическим наукам и к изучению природы»,— так писал о себе в третьем лице Даниил Бернулли в «Автобиографии», сохранившейся в архиве Академии наук СССР.

В 1724 году выходит в свет первый научный трактат Даниила Бернулли «Математические упражнения». В этом же году он получает предложение возглавить академию в Генуе. Пока Даниил разумный, пришло приглашение из России поступить на службу в только что созданную Петром I Петербургскую академию.

Предложение было заменивым, но Даниил не хотелось расставаться с братом Николаем, с которым его связьвал трогательная друзья. Затруднение разрешилось очень просто. Тогдаший президент Петербургской академии Л. Л. Блюментрост пригласил обихх Бернулли, и в октября 1725 года браться приближать в Петербург. Даниил получил кафедру физиологии, Николай — кафедру математики.

8

Братья активно включились в работу академии. В протоколе заседания от 14 января 1726 года записано: «Даниил Бернулли, физиологически профессор, началь математические к Теории медицинской потребы, да приличность их физиологически научит: перед обедом от часа 7 до 8. Николай Бернулли, математики профессор, о тех частях математики, которые к физике привязываны, а особыю о механике читать будет с 8 до 9».

Деятельность Николая Бернулли в Петербургской академии науч продолжалась недолго. Климат северной столицы оказался для него слишком суровым. Через восемь месяцев после приезда в Петербург Николай Бернулли умер.

Даниил Бернулли оставался в Петербурге до лета 1733 года, а затем вернулся в Базель. Здесь он получил кафедру медицинны в университете, но занимался, в основном, экспериментальной физикой. В 1750 году он возглавил кафедру физики, который и занимал до последних дней жизни.

После отъезда из России Даниил Бернулли поддержал техническую связь с Петербургской академией научки, посылал свои труды для публикации. Из 75 научных работ Даниила Бернулли 47 опубликованы в трудах Петербургской академии научки.

Вклад Даниила Бернулли в научку трудно переоценить. Он занимался уравнениям Рикатти $y = ax^n + by^2$, колбанями струп и стержней, теорей вероятностей, рядами, пределом выражения $(1 + \frac{1}{n})^n$… Вместе с М. В. Ломоносовым он стоял у истоков кинетической теории газов. В его трудах можно найти предвосхшение законов Гей-Люссака, Клапейрона и Шарля…

Даниил Бернулли был первым, кто высказал суждение о том, что давление газа обусловлено тепловым движением молекул. В своей «Гидродинамике», принесей ему мирую славу, он пишет:

«Представьте себе вертикальное поставленный цилиндрический сосуд

Рис. 1.

ADCB (рис. 1) и в нем подвижную крышку EF, поверх которой лежит груз P. Пусть в пространстве EDCF содержится мелчайшие частицы, движущиеся черезчайно быстро в различных направлениях; таким образом частицы, ударясь о крышку и подерживая ее своим непрерывно повторяющимся ударами, образуют упругую жидкость, которая при удалении или уменьшении тяжестей P расширяется, а при увеличении скимиется…

«Гидродинамика» была написана в Петербурге и издана в Страсбурге в 1738 году. В предисловии к ней Даниил Бернулли пишет: «…Я охотно обьявляю, что главнейшая часть этой работы обязана руководству, замыслам и подержке со стороны Петербургской Академии научки… Настоящая моя работа представляет единственную цель: привести пользования к тому, чтобы содержать рост и общественный полезные благи научки».

Даниил Бернулли недократно подчеркивал, что как ученый он сформировался в Петербургской академии научки, что свой открытия в научке он совершил благородя тем исключительно условием, которые были созданы в России для жизни и творчества ученых. В гидродинамике Даниил Бернулли дал уравнение установленного движения идеального несжимаемой жидкости. Теперь это уравнение называют уравненем Бернулли.

Рассмотрим идеальный жидкость, текущую по трубе с переменным сеценем (рис. 2). (Говоря «идеальная жидкость», мы имеем в виду, что в жидкости отсутствует трене.) Через сечение $s_2$ жидкость течет с большей скоростью, чем через сечение $s_1$. Действительно, поскольку жидкость не скимираема, через любое сечение за одно и то же время должна подойти одна и та же масса

9

Рис. 2.

жидкость, то есть
$$\varrho v_1 s_1 t = \varrho v_2 s_2 t.$$
Из этого условия — его называют условием неразрывности для установившегося течение — следует, что $v_1:v_2=s_2:s_1$ и $v_2>v_1$ (при $s_1>s_2$).

Представим себе, что неоторая масса жидкости, заключенная между сечениями $s_1$ и $s_2$, за время $\Delta t$ переместилась так, что сечение $s_1$ перешло в сечение $s'_1$, а сечение $s_2$ — в сечение $s'_2$. Потенциальная энергия тяготения этой массы осталась прежней, а кинетическая энергия изменилась на величины
$$\Delta T = \frac{\Delta m_2 \cdot v_2^2}{2} - \frac{\Delta m_1 \cdot v_1^2}{2},$$
где $\Delta m_1$ — масса жидкости между сечениями $s_1$ и $s'_1$, а $\Delta m_2$ — масса жидкости между сечениями $s_2$ и $s'_2$. Это изменение кинетической энергии равно работе внешних сил за время $\Delta t$.
Внешними по отношению к выбранному объему жидкости слиams является сил давления $F_1=p_1 s_1$ и $F_2=p_2 s_2$. Следовательно,
$$\frac{\Delta m \cdot v_2^2}{2} - \frac{\Delta m \cdot v_1^2}{2} = p_1 s_1 l_1 - p_2 s_2 l_2.$$ (*)
Из условия неразрывности следует, что $s_1 l_1=s_2 l_2$ и $\Delta m_1=\Delta m_2=\varrho s_1 l_1=\varrho s_2 l_2$ (вслед кидкость нежидкость унитывать потенциальную энергию тяготения. В общем виде уравнение Бернулли записьется так:
$$\varrho v_2^2 + p + \varrho gh = \text{const.}$$
Это же уравнение справедливо и для газов, текущих со сравнительно небольшими скоростями.
Уравнение Бернулли имеет большое значение в теоретической и практической гидромеханике. Оно используется при расчетных трудопроводов, насосов и расходомеров, исследований процессов фильтрации и т.п. Вместе с неото-
рыми другими уравнениями уравнение Бернулли, записанное для среды с переменной плотностью $\varrho$, составляется основу газов диамики. Даниилу Бернулли совместно с Леонардом Эйлером принадлежит главная заслуга в разработке механики жидких тел.

Можно без преуvellement сказать, что наука была единственной страстью Даниила Бернулли. Из-за занятый научкой у него были натуруты отношения с отцом, с которым они все время вели споры о природете. Отец и сын независимо занимались одним и теми же проблемами и занимались успешно. Об этом ярко свидетельствует следующий факт. В 1732 году Парижская академия наук объявила конкурс на тему «О взаимном наклонении планет». Две работы из поступивших на конкурс были признаны лучшими, и применю было решено разделить между их авторами. Когда вскрыли конверты с девизами, то оказалось, что эти авторы — отец и сын Бернулли. «Я радуюсь, что и твой сын носит печать Бернулли и хранит наследственный блеск фамилии», — писал Лейбниц Иоганну Бернулли.

Даниил Бернулли недократно получал премии Парижской академии наук. Ими были отмечены его работы «О лучшем способе устройства якорей» (1738), «О морском приложе и отливе» (1740), «О наиболее способе устройства магнитных стрелок наклонения» (1743), «О лучшем способе определения времени в море» (1745—1746), «Теория магнита» (1742, 1744, 1746)…

Научный авторитет Даниила Бернулли был очень высок. Свидетельством этого было избране его членом многохимических Академий наук (помимо Петербургской) — Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского Королевского общества (1750).

Do последних дней жизни он занимался научной деятельности. 17 марта 1782 года слуга нашел его в кресл заснушим насcerda.

(Окончание см. на c. 15)

10

А. Варламов, А. Шапиро

В голубом просторе

Оглядываясь вокруг, мы, чаше всего, видим лишь то, с чем уже знакомы, к чему привыкли. Между тем процесс познания почти всегда начинается с новых наблюдений.

Острой, профессиональный наблюдательство отличия художники, поэтому мир, отраженный глазами художников-реалистов в их пейзажах, особенно ярок и многокрасен, а отдельные явления природы проступают является. И при этом даже очень хорошо художнику нет нужны понятия подчас весы сложную сущность проискодияших в природе явлений, которые он реализически отображает на своих полотнах. Но вот изучать окружающий мир по картинам хорошего художника-пейзажиста можно даже лучше, чем в натуре, либо в пейзаже автор как бы останавливает мгновенье, интитивно усиливая существенное и опуская лише, случайное.

Всмотритесь в картину Аркадия Александровича Рылова «В голубом просторе». «Белые птицы, как и облака, легко парят, купаясь в голубой лазури. И так же плавно, как белая птица, по способно кольщимся синим волнам океана скользит покрытый парусами корабль», — так описывает эту картину известный искусствовед А. Федоров-Давыдов. Любуясь в Третьяковской галерее этим замечательным полотном, забываешь, что стоншь в зале музея, и ощушаешь себя участником этого праздника природы.

А теперь ответимся от живописи и оглядимости вокруг глазами искусствоведеля. Где же мы оказались?

На этот вопрос ответить несложно — виднеющийся неведлеке скалистый остров покрыт снегом, а море совсем не зимнее, так что мы находимся, вероятно, в полярных широтах.

А откуда художник писал пейзаж — со скалистого уступа берега? или с борта корабля?

Скорее всего, он был на корабле, так как на переднем плане картины

11

не видно прибоя, распределение волн симметрино и не искажено близким присутствием берега.

Давайте теперь попытаемся оценить скорость ветра, который раздувает паруса корабля, скользывающего вдали. Мы не первый, кто задается вопросом оценки скорости ветра по величины волн или по другим проявлениям в окружающей нас природа. Еще в 1806 году английский адмирал Ф. Бофорт разработал двенадцатинально шкалу для приближенной оценки скорости ветра по его действию на наземные предметы и по волнению в открытом море. Эта шкала принята Всемирной meteorологической организации, его пользовается и понятие.

Взглянув на картину, видим, что, согласно таблице Бофорта, ветер «слабый» со скоростью 5 м/c, волнение на воде легкое, изредка образуется маленькие барашки. А кстати, почему они белые и так сильно отличаются по цвету от сине-зеленого моря?

Цвет моря определяется многими факторами, среди которых важнейшими являются положение Солнца, цвет неба, решение поверхности моря, глубина моря; если глубина неевелка, то важным фактором является наличие или отсутствие в воде водорослей и содержание в ней взвешенных твердых частиц. Все эти факторы влияют на отражение света от поверхности моря, на поглощение и рассеяние света в глубине. Поэтому однозначное обязывание видимого цвета моря просто невозможно. Нокое в чем разобраться можно. Так,

Баллы Бофорта	Словесное определение силы ветра	Средняя скорость ветра (m/c) на высоте 10 м	Действие ветра
0	Штиль	0 ÷ 0,2	Зеркально гладкое море
1	Тихий	0,3 ÷ 1,5	На море легкая рябь; пены на гребнях нет. Высота волн до 0,1 м
2	Легкий	1,6 ÷ 3,3	На море короткие волны с максимальной высотой до 0,3 м
3	Слабый	3,4 ÷ 5,4	Легкое волнение на воде; изредка образуется маленькие барашки. Высота волн до 0,6 м
4	Умеренный	5,5 ÷ 7,9	Белые барашки на море видны во многих местах. Максимальная высота волн до 1,5 м
5	Свежный	8,0 ÷ 10,7	Повсюду видны белые барашки. Средняя высота волн 2 м
6	Сильный	10,8 ÷ 13,8	Белые пенистые гребни занимают значительные площади, образуется водная пыль. Максимальная высота волн до 4 м
7	Крепкий	13,9 ÷ 17,1	Гребни волн срываются ветром. Максимальная высота волн до 5,5 м
8	Очень крепкий	17,2 ÷ 20,7	Сильное волнение на море. Максимальная высота волн до 7,5 м
9	Шторм	20,8 ÷ 24,4	Очень сильное волнение на море. Максимальная высота волн до 10 м
10	Сильный шторм	24,5 ÷ 28,4	Поверхность моря белая от пены. Сильный гросот волн подобен ударам. Очень высокие волны — до 12,5 м
11	Жестокий шторм	28,5 ÷ 32,6	На море исключательно высокие волны — до 16 м. Небольшие суда временно срываются из виду.
12	Урагаан	≥ 32,7	—

13

вольны. Рэлей применил этот закон к рассеянию света в атмосфере, считая, что рассеяние солнечных лучей происходит на молекулах газов, входящих в состав воздуха (позотому иногда сформированы выше закон называют «законом синго неба».).

Отношение длины волны красного света к длине волны синго света составляет 6500Å/4500Å≈1,44. Возвода это число в четырёх степени, получаем 4,3. Таким образом, согласно закону Рэлей интенсивность рассеяного синго света в четыре раза превышает интенсивность рассеяного красного света, и слой воздуха толщиной в десятики kilометров прибретает окраску с заметным преобладанием синих и голубых цветов. А видимый солнечный свет, который должен до нас сквозь «засlon» атмосферы, в большой степени лишен коротковолновой части своего спектра. Позотму Солнце, которое мы видим в прошедших сквозь атмосферу лучах, принимает слабый желтый оттенок. Он может становиться сильнее, оранжевее и краснее по мере захода Солнца, когда солнечный лучам приходит преодолевать больший путь в атмосфере (при восхождение Солнца, естественно, смена цветов присходит в обратном порядке).

Заметим, что в законе Рэлей предполагается, что λ≥d, однако сама величина d в выражение для интенсивности не входит. Этот факт привед к тому, что заблудение относительно природы рассеяателей синного света в атмосфере, с легкой руки Рэлей, просуществовал вплоть до середины двадцатого века. И только в 1940 году советский физик академик Л. И. Мандельштам показал, что в действительности рассеяние света в атмосфере присходит не на молекулах газов, входящих в состав воздуха, а на весы неожиданных объектах — неоднородности плотности воздуха. Но откуда же берутся эти неоднородности? Ведь воздух находится в состоянии термодинамического равновесия, а если даже дует ветер, то связанные с ним неоднородности имеют размеры,Prevышающие длину волны света в гигантское число раз, и на рассеянии света сказываться никак не могут.

Для понимания природы неоднородностей показателя преломления света давайте более детальное размеря с понятным термодинамического равновесия. Для простоты расстояния неоднородный макросопперсий объем газа, находящийся в замкнутом состоянии.

Физика расстояния системы, состоящие из гигантского числа частиц, поэтому единственно возможный путь описания свояств таких систем — статистический. Статический подход означает, что мы следим не за состоянием каждой молекулы в отдельности, а вычисляем средние значения соответствующих физических величины для всей системы в целом. При этом вовсе не обязательно, чтобы для всех молекул значения расматриваемого физического величины равнялось соответствующему среднему. При рассмотрении нашей макросопперсного объема газа наиболее важным будет состояние, в котором молекулы газа распределены равномерно по всему объему сосуда. Однако, благодаря тепловому движению молекул, всегда имеет отличная от нуля веряность того, что концентрация молекул в некоторых области сосуда на некоторое время превыстит среднюю концентрацию молекул в расматриваемой объему (при этом, естественно, в другой области расматриваемого объема концентрация молекул на это время понится). Теоретически возможно даже такое состояние, когда все молекулы газа собственная в одной половине объема расматриваемого сосуда, а вторая окажется абсолютино пустой. Но веряность такого события выражается только мы видим на его реализации даже в пределах времени существования Вселенной, которое по современным представлениям составляет 10¹³ лет.

Однако необольшие отклонения физических величины от их средних значений возможны, но и постоянно присходят благодаря тепловому движению молекул. Эти отклонения называются флуктуациями (от латинского слова fluctuari — колебаться). Именено они и приводят к тому, что в некоторых областях плотность газа возрастает, а в других убивает, что сказывается на величины коэффициента преломления света в данных области.

Если мы теперь вернемся к рассмотрению рассеяния света в атмосфере, то все расхождения, проведенные для ограниченного объема газа, остаются справедливыми. Кроме того, как как воздух является смесью различных газов, различие в тепловому движению молекул разных газов приводит к дополнительным возможным появления локальной неоднородности коэффициента преломления света, связанной с флуктуациями.

Характерный размер области неоднородности коэффициента преломления света (неоднородности плотности), возникло из необходимости неоднородности равновесия, а если даже дует ветер, то связанные с ним неоднородности имеют размеры,Prevышающие длину волны света в гигантское число раз, и на рассеянии света сказываться никак не могут.

Для понимания природы неоднородностей показателя преломления света давайте более детальное размеря с понятным термодинамического равновесия. Для простоты расстояния неоднородный макросопперсий объем газа, находящийся в замкнутом состоянии,

Физика расстояния системы, состоящие из гигантского числа частиц, поэтому единственно possible, поэтому рассмотрение рассеяния света присходится в замкнутом состоянии.

И все же небо мы видим сним, а не филотовым, хотя закон Рэлей предсказывает пребладание физического света. Оказывается, что это расхождение обусловлено двумя причинами. Во-первых, в спектре сол-

14

нечного света гораздо меняше филолетовых лучей, чем синих. Вторым виновником кажущероса расхождения теории и практики является наш «регистириующий прибор» — глаз человека с нормальным зренем. Дело в том, что острата зрительного восприятия человекаского глаза существует от длины волны света. На рисунке 2 приведена экспериментальное построения кривая, характеризующая эту зависимость. Из рисунка видно, что на филолетовые лучи глаз реагирует гораздо слабее, чем на сине-зеленые. Именно поэтому воспринимаемые человекаским глазом рассеянные солнечные лучи практические не имеют филолетовой компоненты.

А почему же на голубом небе мы ясно видим белые облака? Разве при рассеянии света на составляющих их частицах не справедливы выводы из закона Рэлея?

Дело в том, что облака состоит из мелчайших капель воды или кристаллов льда, размеры которых, однako, значительное превышают длины волн видимого света. Поэтому при рассеянии солнечного света на частицах, составляющих облака, закон Рэлея неприменим — рассеяние света всех длин волн просходит приблизительно с одинаковой интенсивностью, и облака воспринимаются белыми. Что мы и видим на картине.

Вместpritесь теперь в форму облаков. Верх облаков на картине —

Рис. 2.

Рис. 3.

17

И светит и греет

В заочном конкурсе III Московского турира юных физиков была такая задача:

Свеча при горении светит и греет. Определяйте теплотворную способность парафиновой свечи.

Много различных решений представили жюри участники конкурса. Они решения базировались на неопределенном нагревании свечой какого-либо тела с известной тепломкостью. Главный недостаток этого метода в том, что свеча нагревает не только выбранное тело, но и окружающий среду, а учет это практическим невозможно. Другие решения основывались на явления конвекции, но до конца доведены не были из-за сложности математических расчетов. Были и такие предложения: окружить свечу металлической оболочкой какой-нибудь простой формы и расчитать тепловой поток через нее при установившихся температурах внутри и снаружи. Неодостаток этого метода — в необходимости подачи кислорода для горения свечи, что связано с дополнительными потерями тепла.

Рис. 1.

Наиболее радиональным для решения данной задачи жюри признано так называемый компенсационный, или сравнительный, метод. Вообще говоря, это один из важнейших методов экспериментальной физики. Он позволяет находить значения физических величины не непосредственно (что часто невозможно сделать достаточно точно), а сравнивая их с эталонными значениями. Классический пример применения этого метода является изменение неизвестных сопротивлений с помощью мостика Уитстона (рис. 1). Если ток через галванометр G нечет, выполняется соответствие (проверьте самостояльно)

$$\frac{R_{3\tau}}{R_x} = \frac{R_1}{R_2},$$

Здесь неизвестное сопротивление $R_x$ сравнивается с эталонным сопротивлением $R_{3\tau}$ (отношение $R_2/R_1$ легко изменить, например — с помощью реохорда). Такой метод и был применен нами для определения тепловой мощности свечи.

Представим себе свечу, помещенную в трубу, через которого проускается воздуха. Тепло, излучаемое свечой, выходит частно вместе с воздухом, а частно — через стенки трубы. Тепрь заменим свечу каким-нибудь другим излучателем, похожим по форме и размерам на свечу, но мощность которого известна и притом может изменяться. Например — электрическим нагреваем. Меня мощность нагреваеля, добавляемая потоков тепла, уносимых воздуха в обихах случах. Так как условия опытов не меняются, тепловые потоки, выходящие через стенки трубы, тоже одинаковы. Следовательно, однаковы и суммарные мощности свечи и нагреваем. Определив мощность электрического нагреваеля, как произведение тока на напряжение, найдем тепловой мощность свечи.

Заметим, что важным премиумществом данного метода является исследование стационарного процесса, когда все энергия сгорания свечи выделяется в виде тепла.

18

Рис. 2.

На рисунке 2 приведена фотография установки, с которой мы проводили опыты, а на рисунке 3 — схема этой установки. Воздух в трубу 1 подается с помощью вентилятора 2, который позволяет регулировать скорость воздушного потока, чтобы добиться более полного сгорания топлива и Staционарности потока. На выходе трубы установки термодатчик 3; он позволяет с большой точностью контролировать равенство температур выходшего воздуха в различных опытах. На решетку 4 ставится блюдце 5 для сбора стеклощего парафина. Пlamя свечи 6, установленный на блюдце, окружается длинным закопченным металлическим цилиндром 7. Через его верхнее отверстие (достаточно удаленное от пламени свечи) выходит пренебрежимо мало света. (В наших опытах световой поток, выходящий через отверстие, составлял около 4% от всей световой мощности, излучаемой свечой). Practически весь свет поглощается цилиндром и, превращаясь в тепло, отдается воздуха.

В качестве электрического нагрева мы использовали проводочный реостат (залитый керамикой) сопротивлением 550 Ом и номинальной мощностью 20 Вт (в опытах мощность значительно превышала номинальную и достигала ~50—120 Вт).

Для определения теплоты сгорания свечи, кроме ее тепловой мощности, надо знать еще расход парафина в единицу времени. Это можно сделать, взвешив собранный на блюдце парафин и измерив время горения свечи (~3—4 минуты). При этом надо иметь в виду, что сначала процесс горения не будет стационарным. Однако момент установки Staционарного режима легко определить с помощью термодатчика —

Рис. 3.

20

Математический кружок

М. Евграфов

Механика волшебного кубика

В ответ на многочисленные просывы читатель мы публикуем статью об устройстве «Венгерского шарнирного кубика» («Квант», 1980, № 12). В статье подробно расссказывается, как «Венгерский кубик» можно изготовить в школьной мастерской. К математической стороне делы мы вернемся в одном из следующих номеров, когда изготовленный вам кубик будет у вас в руках.

Внешне «волшебный кубик» венгерского архитектора Э. Рубика представляется из себя куб, как бы разрезанный на 27 равных маленьких кубков (видны, конечно, только 26 из них). Маленькие кубики сцелены таким образом, что любой слой из 9 кубков, примыкающих к одной грани большого куба, можно свободно врашать вокруг его оси (см. рисунок выше). Поразительно, что все система в целом при этом не распадается, ни один из маленьких кубков пошевелить отдельно не удаляется. Внешние грани маленьких кубков снабжены наклейками шести различных цветов (по девять наклейки каждого цвета); требуется с помощью поворотов слоев переставить маленькие кубики так, чтобы каждая грань большого куба оказалась окрашеной в один цвет.

О том, как это сделать, напечатано немало статей (например, «Квант», 1980, № 12 и «Нayka и жизнь», 1981, № 3). Устройство «Венгерского кубика» в этих статях подробно не обсуждалось, что вполне естественно. Имея кубик, его нетрудно разобрать и увидеть, как он устроен. Моя статья написана для тех, кто не имеет возможность решить задачу столпостим путем. Я сам был именно в таком положении, но мне повезло: я выпросил у одного из своих знакомых слований «Венгерский кубик», починил его и вернул хозяйну. С полученными знаниями мне уже нетрудно было сделать свой кубик.

Как же он критится?

«Венгерский кубик» составлен из 27 основных деталей (не считая цветных наклеек, пружинок и других мелочей). Эти детали — трехмерный крест, скрытый внутри, и 26 «кубиков», выходящих наружу.

«Кубики» — отнюдь не кубики. Они былиот трех различных видов в зависимости от расположения на гранях большого куба: центральные кубики (их 6 штук, расположены они в центре каждой грани), средние кубики (их 12 штук, расположены они в середине каждой ребра) и угловые кубики (их 8 штук, они расположены в вершинах большого куба).

Рис. 1. Крест.
Рис. 2. Боковой кубик.
Рис. 3. Угловой кубик.

21

Рис. 4. Центральный кубик на кресте (1 — крышечка; 2 — центральный кубик; 3 — гайка; 4 — пружинка; 5 — шайба; 6 — тонкая ось креста; 7 — толстое плечо креста).

Рис. 5. Внутренняя сторона грани куба, с креста (один угловой кубик также снять).

Рис. 6. Вид куба, с которой снять одна грань и один средний кубик.

На рисунках 1, 2 и 3 изображены соответствие внутренней крест, средний кубик и угловой кубик. На рисунке 4 изображено крепление центрального кубика на внутреннем кресте.

Рисунок 5 изображает внутреннюю сторону грани, сяяой с креста.

Рисунок 6 изображает «волшебный кубик», с которой сяяой одна грань и один из средних кубиков.

Для большей наглядности на рисунках 5 и 6 центральные кубики, средние кубики, угловые кубики и внутренней крест оказываны в разные цвета. Эта окраска не имеет отношения к цветным наклейкам на внешних гранах кубиков.

На рисунках 5 и 6 видно, как выступы на средних и угловых кубиках складываются в почти цилиндрической выступ с внутренней стороны грани большого куба, а на среднем слое образуется цилиндрическое колцеобразное углубление. Поворот слоя (грани) отвечает повороту цилиндрического выступа в цилиндрическом углублении.

Вот в существии и весь секрет устройства головоломки Э. Рубика!

Роль пружинки 4 (см. рис. 4) — в том, чтобы иметь возможность слегка оттягивать при поворотах поворачиваемый слой.

Из рисунка 4 видно, в частиности, как разбирать «волшебный кубик». Для этого нужно снять цветную наклейку с какого-либо одного центрального кубика, вытащить крышечку 1, подцепив ее за край иголкой или ножом, и освободить пружинку 4. После этого центральный кубик с оси креста, и головоломка легко разберется.

---

Перейдем ко второй теме статьи — как мастерить самодельный «волшебный кубик». Речь поддет не о каком-либо неполюценном подражании промышленному экземпляру. Самодельная головоломка должна быть и красивее, и надежнее промышленной. Как говорит одна мудрая пословица, если дело стоит делать хотя как-нибудь, то его стоит делать как следует.

23

«венгерском кубике») из куска капрона. Кусок капрона нужной величины можно получить, расплавив стары чулки, обрывки рыболовной лески и т. п. при температуре 120° в алюминевой или жестрой баночке. Капрон легко режется ножом, и грубою заготовку креста сделать легко. Для придания каждого плечу креста точной цилиндрической формы удобно следующее приспособление: в металлической пластине сверляться 4—5 отверстий; самое узкое — желаемого диаметра, каждае следующее на 0,2—0,3 мм шире. Когда мы продавливаем капроновое плечо креста через отверстие, острый край отверстия средает с капрона стружку. После продавливания через отверстия по очереди мы получим плечо почти идеальной цилиндрической формы. При обработке каждого следующего плеча нужно следить, чтобы оно получилось строго перепendlкулярным к тем уже обработанным плечам, к которым оно должно быть перепendlкулярно, и сооснов с противоположным плечом. Перепendlкулярность проверяется угольником на просвет. Нарушення подправляются ножом. Соосновы проверяется на глаз и подправляется ножом.

Тонкие оси креста лучше всего делать из стальных вязальных спиц диаметра 2,5 мм, нарезанных на кусочки нужной длины. Толстые плечи креста подрезаются по размеру (рис. 11), а затем в них высверлиаются осевые отверстия диаметра 2 мм (рис. 12). Концы тонких осей (~7 мм) грубо зазубриваются на пильником. Эти концы нагревают и вдавливают в высокерленные отверстия. Чтобы не испорить крест, эту операцию лучше проводить, вставив операруемое плечо в отверстие, которое использовалось для подрезания по размеру. На оставшемся конце тонкой оси нарезается резьба. Поскольку начало резьбы всегда не очень точным, лучше сделать тонкую ось немного длинее. Когда на резьбу будет навернуть гайка, лишний кусочек спиловается на пильником.

Для завичивания гайки на нужно сделать прорезь (рис. 13: на том же рисунке изображен конец отверстики для завичивания такой гайки).

Окончательная подгонка креста проверится при сборке головоломки, так что крест не следует сразу доводить до совершенства.

На токарном станке можно сделать очень хороший крест из металла (материал — твердый дюраломный или латунь). Однако эта работа требует сравнительно высокого уровня токарного мастерства. Обработку де-

рис. 13. а, б — гайка; θ — отвертка.

26

Победители конкурса «Кваента»

Ежегодно наш журнал проводит конкурс среди школьников по решению задач из Задачника «Кваента». В соответствии с решением оргкомитета Всеюозной олимпiadы школьников победили этого конкурса получают право участвовать сразу в четвертом (ресубликанском) туре Всеюозной олимпiadы.

Ниже публикуется список победителей конкурса «Кваента» 1981 года, получивших право участвовать вресубликанских олимпiadах 1982 года.

Математика

М. АЛЕКСЕЕВ — Москва, с. ш. № 2, 8 кл.
А. АСЛАНЯН — ФМШ № 1 при ЕрГУ, 9 кл.
Ю. БЕСПАЛОВ — ФМШ № 2 при КГУ, 19 кл.
И. БИНУС — Пенза, с. ш. № 20, 10 кл.
А. ГОХБЕРГ — Донецк, с. ш. № 17, 10 кл.
О. ГРИНИВ — ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
О. ДРАНКО — ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
А. ДУБИЦКАС — Таураге, с. ш. № 1, 11 кл.
М. ЕЛИСЕЕВ — ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
О. ЕРОШКИН — Днепропетровск, с. ш. № 15, 9 кл.
И. ЖУКОВ — Ленинград, с. ш. № 239, 9 кл.
П. ЗУСМАНОВИЧ — Алма-Ата, РФМШ, 10 кл.
И. ИТЕНБЕРГ — ФМШ № 45 при ЛГУ, 9 кл.
Ю. КАКУЛОВ — Цалка, с. ш. № 3, 9 кл.
Д. КАМУНТАВИЧОС — Вильнюс, с. ш. им. А. Венуолиса, 11 кл.
А. КИСЕЛЕВ — Ташкент, с. ш. № 103, 10 кл.
В. КИСИЛЬ — Одесса, с. ш. № 33, 10 кл.
Д. КОРОТКИН — ФМШ № 45 при ЛГУ, 10 кл.
А. КОРСУКОВ — ФМШ при НГУ, 10 кл.
Л. ЛЕЙЦИН — Чернигов, с. ш. № 10, 9 кл.
С. МАМЕДОВ — Баку, с. ш. № 70, 10 кл.
Ю. НИКОЛАЕВСКИЙ — Харьков, с. ш. № 131, 10 кл.
А. НИКОНОВ — Кировград, с. ш. № 2, 10 кл.
М. ОВЕЦКИЙ — Донецк, с. ш. № 17, 10 кл.
Г. ПЕРЕЛЬМАН — Ленинград, с. ш. № 239, 10 кл.
А. САВКИН — ФМШ № 45 при ЛГУ, 10 кл.
В. ТИТЕНКО — д. Блужа Минской обл., 10 кл.
Г. ТРУНОВ — Москва, с. ш. № 2, 10 кл.
Е. ТЮРИН — Вильнюс, с. ш. № 4, 9 кл.
Р. УГРИНОВСКИЙ — Хмельник, с. ш. № 3, 10 кл.

А. ХОХЛОВ — Москва, с. ш. № 36, 10 кл.
П. ЦВЕТКОВ — ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
О. ЧАЛЫХ — ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
Л. ЭПРЕМИДЗЕ — Тбилиси, ФМШ им. Комарова, 10 кл.
Ф. ЭФЕНДИЕВ — Баку, с. ш. № 134, 10 кл.
В. ЯРОШ — ФМШ № 45 при ЛГУ, 10 кл.

Физика

М. АРАМЯН — ФМШ № 1 при ЕрГУ, 9 кл.
А. АСТАХОВ — ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
А. БАБАЕВ — Баку, с. ш. № 145, 10 кл.
Э. БАГДАСАРЯН — Баку, с. ш. № 46, 8 кл.
Я. БАЗАЛИЙ — Донецк, с. ш. № 17, 10 кл.
Ю. БЕСПАЛОВ — ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
Б. ВЕЙЦМАН — Одесса, с. ш. № 53, 10 кл.
М. ЖЯКОНИС — Каунас, с. ш. № 2, 11 кл.
Г. КОСТЫШИН — Минск, с. ш. № 16, 10 кл.
А. КУБЫШКИН — Киев, с. ш. № 145, 10 кл.
Б. МУРЗАХМЕТОВ — Джезкаган, с. ш. № 22, 10 кл.
В. ПЕНТЕГОВ — Киев, с. ш. № 145, 10 кл.
А. ПИРОЖЕНКО — ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
А. РАДИОНОВ — пос. Никольское Ленинградской обл., 10 кл.
М. РАХМАНОВ — Алма-Ата, РФМШ, 10 кл.
Ю. СИНЮКОВ — ст. Селезни Тамбовской обл., 10 кл.
М. СТЕЖКО — Брест, с. ш. № 1, 10 кл.
С. СТРЕЛЕЦКИЙ — Львов, с. ш. № 50, 10 кл.
Ю. ТАЛДЕНКО — Сумы, с. ш. № 10, 10 кл.
А. ТЕРЕШЕНКО — ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
А. ТИЩЕНКО — Днепропетровск, с. ш. № 23, 10 кл.
А. ХОДАРИН — п. Нововоронежский, с. ш. № 1, 10 кл.

27

Задачи

M731—M735; Ф743—Ф747

M731. Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и т. д.; выигравает тот, у кого впервые получится произведение большей a) тысячи, 6) миллиона. Кто выигравает при правильной игре — начинающий или его партнер?

В. Болтянский

M732. a) В треугольник ABC описаны два различных прямоугольника так, что на основании AC лежат по две вершины каждой прямоугольника (а на сторонах AB и BC — по одному). Перimetр каждой из прямоугольников равен 10. Найдите площадь треугольника ABC и докажите, что перimetр любого вписанного в треугольник ABC прямоугольника, две вершины которого лежат на [AC], тоже равен 10.

6. • В четырехугольник ABCD описаны два прямоугольника с параллельными сторонами (так, что на каждой из сторон AB, BC, CD, DA лежит по одному вершине каждой прямоугольника). Перimetр каждой из прямоугольников равен 10. Найдите площадь четырехугольника ABCD и докажите, что для любой точки на любой из сторон четырехугольника ABCD можно построить вписанный прямоугольник с вершиной в этой точке, стороны которого параллельны сторонам данных прямоугольников и перimetр которого также равен 10

Малхази Бергашвили
(ученик 10 класса ФМШ им. Комарова г. Тбилиси)

M733. a) При каких натуральных m число 31^m — 1 делится на 2^m? 6) * Докажите, что для любого нечетного a и натурального m существует бесконечно много натуральных k таких, что a^k — 1 делится на 2^m. b) * Докажите, что для любого нечетного a существует лишь конечное число натуральных m таких, что a^m — 1 делится на 2^m.

В. Прасолов

28

М734. Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную вокруг него окружность в точке $K$. Доказите, что длина проекции отрезка $AK$ на прямую $AB$ (или $AC$) равна получме длин сторон $AB$ и $AC$.

Р. Мазов

М735. a) Докажите, что круг диаметра 1 нельзя покрыть несколькими бумажными полосками, суммарная ширина которых меньше 1 (рис. 1).
б) Наозем слоем толщины $h$ часть пространства, заключенного между параллельными плоскостями, нахождения на расстоянии $h$ друг от друга. Докажите, что шар диаметра 1 нельзя покрыть несколькими слоями, суммарная толщина которых меньше 1.

Ф743. С какой минимальной скоростью можно перебросить камень через стену высотой $H$ и толщиной $l$, если бросать его с высоты $h$?

О. Савченко

Ф744. Космический аппарат представляет собой жесткую тонкостенную сферу радиуса $R=2$ м, направленную газом. Внутри аппарата находится шар радиуса $r=R/2$, направленный тем же газом, что и вес аппарат, но при большем давлении. Шар касается внутренней поверхности аппарата. В результате повреждения шар лопнул. Найти, во сколько раз изменилось давление внутри аппарата, если оказалось, что вес аппарат при этом сместился на расстояние $a=0,5$ м. Массой оболочек пренебречь; температуру считать неизменной.

А. Буздин

Ф745. Теплоизолированный сосуд разделен на две части теплопроводным поршнем, который может перемешаться в сосуд без трения. Влевой части сосуда содержится 1 моль идеального одноатомного газа, в правой — вакуум. Поршень содержен с правой стенкой сосуда пружиной (рис. 2), длина которой в свободном состоянии равна длине сосуда. Пренебрегая теплокостюмо сосуда, поршня и пружины, определять теплокосты системы.

Б. Клячин

Ф746. Электрическая батарея, использующая β-радиоактивность, представляет собой металлическую сферу, внутри которого помещен изолированный от нее кусочек радиоактивного вещества (рис. 3). Ежесекундно распадаются $v$ атомов. Считая, что энергия электронов, образующих при распаде, равноверятно распределена от минимального значения $W_{\min}$ до максимального $W_{\max}$, определять ЭДС батареи. Какой наиболее ток может давать такая батарея? До каких сопротивлений нагрузки батарею можно считать генератором тока?

Н. Воробьев

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

30

P743. With what minimal velocity must a stone be thrown from height $h$ in order to clear a wall of height $H$ and thickness $l$?
O. Savchenko

P744. An apparatus in cosmic space consists of a rigid thin sphere of radius $R=2$ m, filled with gas, and also containing a sphere of radius $r=R/2$ filled with the same gas, but at higher pressure. The inner sphere is tangent to the inner surface of the apparatus. As the result of an accident, the inner sphere explodes. Find how the pressure inside the apparatus changes if the explosion displaces the apparatus by $a=0.5$ m. The mass of the shells of the spheres is negligible, the temperature assumed constant.

A. Buzdin

P745. A thermoisolated receptacle is divided into two compartments by a thermoisolated piston which moves without friction. The left compartment contains 1 mole of an ideal monoatomic gas, the other is vacuum. The piston is connected to the right wall of the receptacle by a spring (see figure Pис. 2, p. 28), whose length in unstressed state is equal to the length of the receptacle. Neglecting the heat capacity of the receptacle, piston and spring, determine the heat capacity of the system.

W. Kliachin

P746. An electric battery, working on $\beta$-radioactivity, is a metallic sphere, inside which a piece of a radioactive substance, isolated from the sphere, is placed (figure Pис. 3, p. 28). Every second $v$ atoms are decomposed. Assuming that the energy of the electrons appearing in the process of radioactive decomposition is uniformly distributed in the range between the minimal and maximal values $W_{\min}$ and $W_{\max}$, find the electromotive force of the battery. What maximal current can such a battery yield? Up to what values of the load’s resistance can this battery be considered a generator of current?

I. Vorobiev

P747. While their spaceship was rising to orbit, cosmonauts noticed a thin luminous layer (complete inner reflexion of light in atmosphere) at elevation $H_0$ above the earth surface. Using the graph (figure Pис. 4, p. 29) showing the dependence of the refraction coefficient $n$ on the distance $R$ from the centre of the earth, how can one determine $H_0$?

O. Batischev

Решения задач

M691—M695; Ф703—Ф707

M691. Будем говорить, что число обладает свойством (K), если оно разладает в произведении K последовательных натуральных чисел, больших 1. a) Найдите K такое, для которого неокоторое число N обладает одновременного свойств (K) и (K+2). b) Докажите, что число, обладающих одновременного свойств (2) и (4), не существует.

a) Число $2 \cdot 3 \cdot 4=24$ обладает свойств (1) и (3). Приписав к обеим частям равенства $2 \cdot 3 \cdot 4=24$ все натуральные числа от 5 до 23, получим число
$$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 23 = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \dots \cdot 23 \cdot 24,$$
обладающей свойств (20) и (22). Разумеется, примеров такого типа — бесконечное множество: если $b=a(a+1)(a+2)$, то число
$$a(a+1)(a+2) \dots (b-1) = (a+3) \dots (b-1)b$$
обладающей свойств (b—a-2) и (b—a).
Существуют примеры и другого рода: например, число
$$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 8 \cdot 9 \cdot 10$$
обладающей свойств (3) и (5). Приписав сюда «процесенную» семерку, мы получим число, обладающей свойств (4) и (6):

32

Рис. 4.

М693. В некоторых последке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узналыми вчера новостями со всеми свойствами. Известно, что любая новость становится известной всем жителем поселка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то новость, то через 10 дней она станет известной всем жителем поселка.

Рис. 1.

Сопоставим каждому жителю поселка некоторую точку на плоскости. Те точки, которые соответствуют знакомым между собой жителями, соединним отрезком. Получающая картина называется графом. Выделенные точки называются вершинами графа, а связьующие их отрезки — ребрами.

Та часть условия задачи, в которой требуется, чтобы новость, сообщенная одному жителю поселка, в конце концов становится известной всем его жителям, соответствует тому, что по ребрам нашего графа можно пройти от любой его вершины до любой другой. Такой граф называют связным. Последовательность ребер графа, связывающего две его вершины, в которой нет повторяющихся ребер, называют цепью. Если цепь начинается и кончается в одной и той же вершине, ее называют циклом. На рисунке 1 показана цепь, соединяющая вершины A и B, а также цикл. Связный граф, не содержащий циклов, называют дерево. Он действительно похож на дерево (рис. 2).

Назовем расстоянием между двумя вершинами графа количество ребер в самом короткой цепи, соединяющей эти вершины. Заметим, что если граф является дерево, то любую пару его вершин соединяет лишь одна цепь.

Введенные понятия позволяют упростить запись решения задачи. В новых терминах формулировка может быть переписана так:

Доказать, что в связином графе с 1000 вершинами можно указать такое множество из 90 вершин, что для любой вершины графа найдется вершина из этого множества, расстояние до которой не больше 10.

Пусть X и Y — две вершины нашего графа, находящиеся на набольшем расстоянии. Если это расстояние не больше 10, то расстояние от любой вершины нашего графа до любой другой не больше 10 — в этом случае 90 вершин можно выбрать произвольно.

Заметим, что достаточно решить нашу задачу лишь для случая, когда граф является дерево. Действительно, пусть наш граф — не дерево; тогда он содержит хотя бы один цикл. Если выбросить из графа какое-нибудь ребро, принимающее этот цикл, цикл исчезнет, а граф остается связным. Посокльку в графе — лишь конечное количество циклов, применив несколько раз эту операцию, мы превращим наш граф в дерево. Множество из 90 вершин полученного дерева, удовлетворяющее условию задачи, очень удобен, будет годиться и для первого аналогного графа, так как прибавление новых ребер не увеличивает расстояния между вершинами.

Итак, пусть у нас имеется дерево с 1000 вершинами, X и Y — две вершины, находящаяся на максимальном расстоянии, которое больше 10. Расстояние цепь, соединяющей X и Y: X—A1—A2—A3—…—A10—A11—…—Y. Возьмем точку A10 в качестве первого точки K1 искомого множества. Если мы сотруднием между вершинами A10 и A11, нашей дерево разобется на два дерева. Отметим, что часть, содержащая вершину X, содержит не менее 11 вершин.

Заметим, что расстояние от вершины A10 до каждой из вершин содержащей ее части не больше 10 (если расстояние до некоторой вершины M будет больше 10, то расстояние от M до Y будет больше расстояния от X до Y, что противоречит тому, что вершины X и Y находится на максимальном расстоянии).

Расстояние теперь ту часть графа, которая содержит вершину Y. Это — дерево, содержащей не более 1000—11 = 989 вершин. Повторим с ним ту же самую операцию. В результате

33

Пис. 3.

М694. В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещенным на одном (любом) ребре, прибавляется по единице. Можно ли за несколько таких шагов сделать все восемь чисел равными между собой, если вычале бы были поставлены числа, как на рисунке 1? Как на рисунке 2? Как на рисунке 3?

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Получим еще одну группу из не менее 11 вершин и средних — точку $K_2$ искомого множества, а также дерево, содержащое не больше 1000—2·11=978 вершин. После того как мы проделаем эту операцию 89 раз, мы получим 89 групп вершин, расстояние которых до каждой вершины своей группы не превыходит 10. Останется дерево, содержащое не более 1000—89·11=21 вершин. Вновь рассмотрим в нем две вершины, находящиеся на максимальном расстоянии, и вовь возьмем в цепи, соединяющей эти вершины, десятию вершину. Очевидно, что эта вершина годится в качестве точки $K_{90}$ искомого множества. Задча решения.

А. Савин

Раскрасием вершины куба в синей и красный цвет таким образом, чтобы концы каждой ребра оказались окрашенными в разные цвета (рис. 4). При добавлении единиц к числам, размещенным на одном ребре, суммы чисел в синях и красных вершинах увеличиваются на 1, так что разность этих двух сумм не изменяется. Так как в кубах на рисунках 1 и 3 эта разность не равна нулю, от них нельзя прийти к кубу с равными числами в вершинах. Покажем теперь, что если в вершинах искодного куба записаны числа и суммы чисел в красных и синых вершинах равны, то все восемь чисел можно сделать равными между собой.

Обозначим через $d$ разность между наиболее и наиболеешим из чисел, записанных в вершинах куба, а через $n$ — количество чисел, равных наиболееному кубе, то, прибавляя по единице к числам, размещенным на ребре $A_1B_1$, мы уменьшим либо $d$, либо $n$. Продолжая подобным образом, мы приедем либо к кубу, у которого $d=0$, то есть все восемь чисел равны между собой, либо кубу, в котором каждое число, соседнее с наиболеешим, является наиболееным. Если в вершине $A_1$ такого куба расположено одно из наиболееших чисел, равное $a$, то в вершинах $B_1, D_1$ и $A_2$ записано число $a+d$ (десь $d$ — разность между наиболеешим и наиболеешим числами в новом кубе).

Рис. 5.

Так как сумма чисел в красных вершинах равна сумме чисел в синых вершинах, в четвертой красной вершине $C_2$ записано число $a$, а в синых вершинах $C_1, B_2$ и $D_2$ — число $a+d$. Прибавив по $d$ единиц к концам ребра $A_1B_1$, затем к концам ребра $C_1C_2$, ребра $A_1D_1$, ребра $C_2D_2$ и, наконец, ребра $A_2B_2$, мы приедем к кубу, все восемь чисел которого равны $a+2d$. Для куба на рисунке 2 эта решения изображены на рисунке 5.

Ю. Ионин

34

М695. Может ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы оксаить в белый и черный цвет так, чтобы белых и черных клеток было повину, а в каждой строке и в каждой стольце было более 3/4 клеток однозоюцета?

Предположим, что требуется раскраска возможна. Будем называть столбец белым или черным в соответствии с тем, какой цвет в нем преобладает. Аналогичные будут употребляться и для строк.

Пусть $m_0, m_1$ — количество белых и черных строк, $n_0, n_1$ — количество белых и черных столбцов соответствующего, $m_0 + m_1 = m, n_0 + n_1 = n$.

Все клетки, лежащие на пересечении белых строк с черными столбцами и черных строк с белыми столбцами, отличаются по цвету либо от содержащого их столбца, либо от содержащей их строки. Число таких клеток равно $m_0 n_1 + m_1 n_0$. Не уменьшая общности, можно считать, что более половины этого числа клеток отличается по цвету от содержащих их строк. Опять-tакки, не уменьшая общности, можно считать, что $m_0 \leq m_1$. В черных строках содержится по условию более $\frac{3}{4} m_1 n$ черных клеток. Значит, в белых строках содержится менее $\frac{mn}{2} - \frac{3}{4} m_1 n$ черных клеток. Но в черных строках содержится менее $\frac{1}{4} m_1 n$ белых клеток. Таким образом, число клеток, цвет которых отличается от цвета содержащих их строк, меньше.

$$\frac{mn}{2} - \frac{3}{4} m_1 n + \frac{1}{4} m_1 n = \frac{m_0 n}{2}.$$

Получаем неравенство

$$\frac{1}{2} (m_0 n_1 + m_1 n_0) < \frac{m_0 n}{2},$$

откуда $m_1 < m_0$, что противоречит предположению относительно $m_0$ и $m_1$.

С. Коняzin, Ю. Нестеренко

Ф703. Ракета запущена с поверхности Земли вертикальной верхс с первой космической скоростью и возврашает на Землю недалеко от места старта. Сколько времени она находится в полете? Радиус Земли $R = 6400$ км.

Примечание. Площадь эллипса с получаема а и b равна $S = \pi ab$.

Траектория пакеты представляется собой часть очень вытянутого эллипса, в одном из фокусов которого находится центр Земли (см. рисунок). Скорость пакеты в верхней точке $D$ траектории почти равна нулю.

Согласно закону сохранения энергии.

$$\frac{mv_0^2}{2} - G \frac{Mm}{R} \approx -G \frac{Mm}{2b}.$$

Здесь $M$ — масса Земли, $m$ — масса пакеты, $v_0 = \sqrt{GM/R}$ — начальная скорость пакеты (первая космическая скорость); $-G \frac{Mm}{R}$ и $-G \frac{Mm}{2b}$ — потенциальная энергия пакеты у поверхности Земли (при запуске) и в верхней точке траектории. Из (*) найдем большую получаемую эллипса: $b \approx R$.

Из третьего закона Кеплера (крадиус-вектор, соединиющий тело, движущемся под действием силы тяготения по замкнутой орбите, с центром притяжения, за равные промежутки времени заметает равные площади) следует, что относение времени движения $T$ по положение эллипса (участок BDC) к полному периоду $T_3$ равно относению площади защиты на рисунке фигуры OBDC к полной площади эллипса:

$$\frac{T}{T_3} = \frac{1/2 \pi ab}{πab}.$$

35

Ф704. По двум главным наклонным плоскостям, образующим одинаковые углы а с горизонтом, движутся, касаясь друг друга, цилиндр и клин (см. рис.ок). Начти, с какой силой клин давит на цилиндр. Масса цилиндра $m_1$, масса клина $m_2$. Треншем между цилиндром и клином претензивы.

Ф705. Горизонтальное расположение цилиндрической теллоизолированной сосуд объема $V_0 = 100$ л, заполненный гелем, разделен на две части теллорезонамым поршнем, который может перемещаться без трения. Газу, находящемуся в левой части сосуда, сообщают колиство телла $\Delta Q = 100$ Дж. Начти изменение давления в сосуде к тому моменту, когда поршень перестанет движаться.

Отсюда находится полета $T$:

$$T = T_3 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \right) = (\pi + 2) \sqrt{R/g} \approx 1 \text{ ч. 9 мин.}$$

E. Сурков

На цилиндр действуют сила тяжести $m_1\vec{g}$, сила $\vec{N}_1$ нормальной реакции со стороны левой наклонной плоскости и сила $\vec{R}$ нормальной реакции со стороны клина (сила $\vec{R}$ направлена горизонтально). Запишем уравнение движения цилиндра в проекциях на ось $X_1$, направленную вдоль левой наклонной плоскости (см. рис.ок):

$$m_1 a_1 = m_1 g \sin \alpha - R \cos \alpha,$$

(1)

где $a_1$ — проекция ускорения цилиндра на ось $X_1$.

На клин действуют сила тяжести $m_2\vec{g}$, сила $\vec{N}_2$ нормальной реакции со стороны правой наклонной плоскости и сила нормальной реакции со стороны клина, которая, согласно третьему закону Ньютона, равна $-R$. Запишем уравнение движения клина в проекциях на ось $X_2$, направленную вдоль правой наклонной плоскости:

$$m_2 a_2 = -m_2 g \sin \alpha + R \cos \alpha.$$

(2)

В процессе движения клин соррикается с цилиндром; поэтому, если перемещение клина вдоль оси $X_2$ равно $\Delta x$, то центр цилиндра (вместе с вертикальной гранью клина) сместится по горизонтали на $\Delta x \cdot \cos \alpha$. При этом вдоль левой наклонной плоскости (вдоль оси $X_1$) центр цилиндра сместится на $\Delta x$. Это означает, что в процессе движения клина и цилиндра выполняется соответствие соответствие.

$$a_1 = a_2.$$

(3)

Решая совместно уравнения (1) — (3), найдем силу $|\vec{R}|$, с которой клин давит на цилиндр:

$$R = \frac{2m_1 m_2}{m_1 + m_2} g \mathrm{tg} \alpha.$$

C. Кротов

После подвеждения телла $\Delta Q$ газ в левой части сосуда распряется, совершая работу $\Delta A$. Эта работа цилиндом идет на увеличение внутренней энергии газа в правой части сосуда. Таким образом,

$$\Delta Q = \Delta U_1 + \Delta A = \Delta U_1 + \Delta U_2 = \frac{3}{2} R \left( \frac{m_1}{\mu} \Delta T_1 + \frac{m_2}{\mu} \Delta T_2 \right).$$

(*)

Условие равновесия поршня до нагрева —

$$p_1 = p_2 = p,$$

уравнение состояния газа в левой и правой части сосуда

$$p V_1 = \frac{m_1}{\mu} R T_1, \quad p V_2 = \frac{m_2}{\mu} R T_2,$$

где $V_1 + V_2 = V_0$. После нагрева, когда поршень уже не будет движаться, давления в левой и правой части уравнения. Обозначим увеличение давления в сосуде $\Delta p$; тогда

$$(p + \Delta p) (V_1 + \Delta V) = \frac{m_1}{\mu} R (T_1 + \Delta T_1),$$

$$(p + \Delta p) (V_2 - \Delta V) = \frac{m_2}{\mu} R (T_2 + \Delta T_2).$$

После простых преобразований получаем

$$\Delta p (V_1 + V_2) = R \left( \frac{m_1}{\mu} \Delta T_1 + \frac{m_2}{\mu} \Delta T_2 \right),$$

или (с учетом (*))

$$\Delta p V_0 = \frac{2}{3} \Delta Q.$$

Отсюда находится $\Delta p$:

36

$$\Delta p = \frac{\frac{2}{3} \Delta Q}{V_0} \approx 667 \text{ H/m}^2.$$

Этот результат можно получить намного проще: при равновесии давление в сосуде всюду одинаково, значит, одинаково и плотность энергии (энергия единицы объема). Следовательно, увечиние плотности энергии составляет $\Delta Q/V_0$; вспомним известную формулу, связывающую плотность энергии идеального газа с давлением, сразу получим ответ.

А. Зильберман

Ф706. Для горизонтального перемещения грузов на расстояние $L=20$ м используется самоходная тележка, перемещающая по горизонтальном рельсам. На тросе длины $l=5$ м к тележке подвищают перемещаемый груз (рис. 1). Тележка половину времени движется равноскореенно, а половину — равнозамедленно. Определить возможность значения ускорения тележки, при которых груз после остановки тележки в конце пути будет неподвижным.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф707. Объектив телефонная Гейла имеет диаметр $D=250$ см и фокусное расстояние $F=160$ м. Тележок используется для фотографирования искусственного спутника Земли, имеющего диаметр $d=200$ см и нахождение на расстоянии $L=320$ км.

Поскольку начальная и конечная скорости тележки равны нулю, а время равноскореенного движения равно времени равнозамедленного движения, абсолитные значения ускорений при равноскореном и равнозамедленном движения равны; следовательно, пути, пройденные при этих режимах движения, равны между собой и равны $L/2$.

Рассмотрим движение груза, когда тележка движется с некоторым постоянным ускорением $\vec{a}$. В этом случае груз будет участвовать в двух движениях: он будет двигаться ускорением $\vec{a}$ и, кроме того, совершать гармонические колбания в системе координат, связанной с тележкой. Положение равновесия при этих колбании находится из условия, что груз в этом положении под действием силы натяжения трска $T$ и силы тяжестки $m\vec{g}$ движется вдоль горизонтальной оси с ускорением $\vec{a}$. Из этих условий находится что в положении равновесия трех отклонен от вертикали на угол $\alpha$ такой, что $tg\alpha = |\vec{a}|/|\vec{g}|$ (рис. 2); поскольку $\alpha$ мало, $tg\alpha \approx \alpha \approx |\vec{a}|/|\vec{g}|$.

Груз будет совершать колбания около этого положения равновесия с периодом $T=2\pi \sqrt{l \cos \alpha/g} \approx 2\pi \sqrt{l/g}$, а утиловая амплитуда колбаний груза будет равна $\alpha$.

При смете знака ускорения тележки угол $\alpha$, определяющий отклонение трска от вертикали в положении равновесия, также меняет знак, то есть трос отклоняется на угол $\alpha$ в противоположную сторону. Для того чтобы оставался неподвижным после остановки тележки, на середине пути (при смете знака ускорения тележки) он должен находиться в первоначальном положении равновесия, то есть $\alpha$ должно быть равно нулю. Из этого следует, что за время $t$ прохождение тележкой расстояния $L/2$ груз должен совершить целое число $n$ полных колбаний, то есть

$$t=nT, \text{ где } n=1, 2, 3, \dots$$

Из условия

$$\frac{L}{2} = \frac{at^2}{2} = \frac{an^2T^2}{2} = \frac{2\pi^2n^2al}{g}$$

находим на значений ускорения, при которых после остановки груз будет оставаться неподвижным:

$$a_n = \frac{1}{n^2} \frac{Lg}{4\pi^2l} = \frac{1}{n^2} \text{ m/c}^2.$$

В. Можаев

1. Расстояние $f$ от объекта до плоскости изображения спутника определяется из формулы линзы:

$$f = \frac{LF}{L-F} = \frac{F}{1-F/L}$$

Поскольку $F \ll L$, можно приближенно записать

$$f \approx F(1+F/L).$$

Расстояние от фокуса объекта до плоскости изображения

37

1. На каком расстоянии от фокуса должна быть расположена фотопластика?

2. Каким будет размер изображения искусственного спутника?

3. Каков будет диаметр возникших размыты (несфокусированных) изображений звезд на фотопластики?

равно
$$\Delta x = f - F = F^2/L = 8 \text{ см.}$$

На этом расстоянии от фокуса должна быть установлена фотопластика.
2) Размер изображения спутника равен
$$l = \frac{f}{L} d \approx \frac{F}{L} d = 10^{-1} \text{ см.}$$

3. Изображения далеки звезд должны располагаться в фокальной плоскости объекта. В плоскости фотопластики,

нахождение на расстоянии $\Delta x$ от фокальной плоскости, изображения звезд оказывается размытся размытыми (несфокусировными). Как видно из рисунка, диаметр размытого изображения звезд на фотопластике (П) равен
$$\delta = D \frac{\Delta x}{F} = 1,25 \cdot 10^{-1} \text{ см.}$$

Оценим влияние диффракции. Далекие звезды вседствие диффракции должны изображаться в фокальной плоскости не точками, а диффракционными пятнами, радиусом к которым определяется выражением $\rho = \frac{\lambda}{D}$. В нашем случае порядок этой величины — $10^{-3}$. Поскольку $\rho \ll \delta$, диффракция оказывается несущественной, и размер несфокусированных изображений звезд определяется практическим только геометрическим расхожением пучков.

С. Козел

Список читателей, приславших правильные решения

В этом номере мы публикуем фамилии тех, кто прислал правильные решения задач М676—М690; Ф692—Ф707 (жирные цифры после фамилии — последние цифры номеров решенных задач).

Математика

Большинство читателей, приславших свои решения, справились с задачами М676, М681, М686, М687. Остальные задачи решили:
Т. Алавидзе (Москва) 88; М. Алексеев (Москва) 78, 84, 85, 89; И. Альтман (Одеска) 88; С. Асеев (Николаев) 88; В. Барабанов (Севастополь) 78; Ю. Баркаан (Пенза) 78; Ю. Беспалов (Шостка) 82, 85, 88; И. Бинус (Пенза) 78, 85, 89; В. Балуев (Тула) 78; Л. Гареев (Уфа) 85; А. Гохбере (Донецк) 77, 78; О. Гринив (Киев) 77, 84; И. Гришко (Киев) 78, 79, 84; А. Дубицкас (Туараг) 78, 82, 83, 88—90; М. Елисеев (п. Нововоронежский Воронежской обл.) 78, 84, 85, 88—90; О. Ерошкин (Днепропетровск) 78, 83, 85, 88, 89; И. Жуков (Ленинград) 78, 83—85, 89; М. Заславский (Харьков) 78;

П. Зустаанович (Алма-Ата) 90; И. Итенберге (Ленинград) 78, 82—85, 88, 90; А. Казмерук (Киев) 89; Д. Калюжный (Одеска) 78, 80, 89; В. Кисиль (Одеска) 77—79, 82, 84, 85; А. Корсуков (Ачинск) 78, 82, 83, 85; И. Кудряшов (Ленинград) 77—79, 83—85, 88; И. Ласкин (Алексин) 77; Л. Лейцин (Чернигов) 82, 84, 85, 89; С. Мамедов (Баку) 78; Д. Миллюнцков (Москва) 77, 78, 80; А. Мильман (Одеска) . 77, 78, 82, 88—90; Ю. Николаевский (Харьков) 78; А. Николов (Кировград) 77, 78, 80, 84, 89; М. Овецкий (Донецк) 77; А. Пайак (Лодзь, ПНР) 79; К. Панкратов (Куйбышев) 83; Г. Перельман (Ленинград) 77—80, 82—85, 89; В. Поярков (Николаев) 78, 89; С. Путинцев (Невиномысск) 77—80, 84, 85; А. Родцонов (Москва) 78; П. Савельев (п. Черноголовка Московской обл.) 79, 84, 85; Е. Сазонов (Москва) 79; А. Сикса (Киев) 78; И. Солодовникова (Долгорудный) 79; С. Спицак (Припять) 89; Э. Стетанян (Баку) 89; В. Титенко (д. Блуза Минской обл.) 82—85; Г. Трунов (Москва) 85; Е. Тюрин (Вильнюс) 77, 78; Р. Уериновский (Хмельник) 77, 79, 82, 88; Ю. Усаев (Киев) 77; В. Фреер (Вольск) 82, 83, 89; А. Хохлов (Москва) 78, 83—85, 88—90; Т. Хусейов (Душанбе) 78; П. Цветков (Подольск) 77, 89, 90; Р. Цоуф (Прага, ЧССР)

39

Задание

1. На рисунке изображены два числовых ребуса. В каждом из них одинаковым буквам соответствует одинаковые цифры, разным — разные. Расшифруйте эти ребуса.

2. Разрежьте изображенную рисуке фигуру на четыре конгрузные части и сложите из них квадрат так, чтобы красные кружочки и сине квадратки оказались симметричными относительно всех осей симметрики квадрата.

3. Из трех «выкроек», изображенных на рисунке, собрать три кубика; затем из этих кубиков склейли прямотолный параллелепид $1 \times 1 \times 3$. На четырех гранах параллелепида оказались написанными четыре трехначных числа (положение цифры в квадрате не имеет значения). Каково наиболее возможное значение суммы этих чисел?

4. На столе стоит семь коробочек. Средняя коробочка пустая, а в остальных шести коробочках лежит по две монеты: сизу — пятак, сверху — «двушка».
   Разрешается перекладывать по одной монете в соседнюю коробочку, но нельзя пятьак класть на «двушку».
   Кроме того, в пятой коробочке не должно оказаться более трех монеты, а в остальных — более двух.
   Можно ли переложить монеты так, чтобы a) в первых трех коробочках лежало по две «двушки», а в последних трех — по два пятака, б) в первых трех коробочках лежало по два пятака, а в последних трех — по две «двушки»?

Эти задания нам предложили
Н. Актонович,
Ф. Бартенев, А. Швецов

39

40

Н. Иванова

Самосовмещения фигур и геометрические задачи

На занятии математического кружка учитель предложил ребятам восстановить границу участка, имеющего форму квадрата, если сохранили два стола на противоположных сторонах изгорodu и дерево, расчете в центре участка.

Как решать эту задачу? Один из членов кружка сделал рисунок, считая, что задача решена (рис. 1). Стало ясно, что нужно знать положение хотя бы одной из сторон квадрата. На стороне AD известна точка N. Нельзя ли найти еще точку на этой стороне? Немного подумав, ребята договорались: «Надо повернуть квадрат вокруг центра O на 180°; при этом точка M перейдет в точку M₁, лежащую на [AD], — ведь при повороте R₀^{180°} квадрат отображая на себя!» (рис. 2) — и ребята легко решили задачу (как?).

Тогда учитель предложил членам кружка восстановить границу участка, имеющего форму квадрата, если сохранили два стола на противоположных сторонах изгорodu и дерево, расчете в центре участка.

Немного подумав, ребята сообщали, что и здесь надо использовать одно из самосовмещений квадрата: поворот вокруг O на 90° (рис. 3).

«Молодцы, — сказал учитель. — Вот вам задача потребнее» — и он нарисовал на доске квадрат. Затем через его вершины он провел прямые, деляшие противоположные стороны квадрата пополам, и защищовал фигуру, образованную пересекающимся прямыми (рис. 4). «Какую фигуру я защищовал?».

Посмотрев на рисунок, ребята сразу договорались, что это квадрат. Но как это доказать? Оказывается, и здесь можно привлечь самосовмещения квадрата. В самом деле, повернем данный квадрат вокруг центра O на 90°; при этом повороте защищанный выпуклый четырехугольник отображается на себя. Значит, он — квадрат (почему?).

Один из самых активных участников кружка Петя спросил: «Поче-

41

му мы все время рассматрием квадрат?».

Вместо ответа учитель нарисовал на доске равносторонний треугольник, провел через его вершины прямы, отсекающие $\frac{1}{3}$ противоположной стороны (рис. 5), и просил: «Какую фигуру образуют проведенные прямы?»

«Наверное, это равносторонний треугольник, — сказал Петя, — но как это доказывает, я не знаю. Может, здесь нужно использовать самосовмещения равностороннего треугольника?».

«А какие самосовмещения и сколько имеет равносторонний треугольник?» — просил учитель.

После некоторых размышлений ребята пришли вот к чему: «При самосовмещениях равностороннего треугольника его вершины переходят в себя. Значит, у равностороннего треугольника столько самосовмещений, сколько перестановок можно сделать из трех букв. Таких перестановок шесть: значит, и самосовмещений не больше шести. Вот они: тождественное, повороты $R_0^{120^\circ}$, $R_0^{-120^\circ}$ и осевые симметрии $S_{l_1}, S_{l_2}, S_{l_3}$ (О — центр треугольника, $l_1, l_2, l_3$ — его медианы)».

Ребята сообщали, что в последней задаче надо рассмотреть поворот вокруг центра треугольника на $120^\circ$. При этом повороте защитыованный треугольник перейдет в себя. Отсюда следует, что он — равносторонний (почему?). Задча решения.

В заключение учитель предложил ребятам самостояльно решить дома следующее задачи:

1. Докажите, что «внутренность» правильной пятуюлной звезды (рис. 6) есть правильный пятуюлник.
2. К двум окружностям проведены две внешние и две внутренние касательные. Докажите, что точка пересечения внешних и точка пересечения внутренних касательных лежат на прямой, проходящей через центры данных окружностей.
3. Докажите, что параллелогам, вписанный в окружность, является прямойкомом.
   4*. Построите квадрат, если на каждой его стороне задано по точке.

Он рекомендувал также прочитать в «Кванте» статью «Самосовмещения квадрата и тайнопись» (1980, № 12).

43

катодом и аномом будет равна

$$U_3 = \frac{E_\kappa}{e},$$
или $U_3 e = E_\kappa$,

где $e$ — заряд электрона. Подставив это выражение в основное уравнение, получим формулу, связывающего $U_3$ и частоту света $v$:

$$U_3 = \frac{h}{e} v - \frac{A}{e}.$$

Как видно из этой формулы, относение постоянной Планка $h$ к заряду электрона $e$ равно тангенсу угла наклона $\alpha$ экпериментальной прямой (см. рис. 1); следовательно,

$$h = e \lg \alpha + \frac{e \Delta U_3}{\Delta v} = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ KJ} \cdot 3,15 \text{ B}}{7,5 \cdot 10^{14} \text{ Гц}} \approx 6,7 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$$

Для определения работы выхода $A$ продолжим экпериментальную прямую до пересечения с вертикальной осью. Величина отсекаемого отрезка, выраженная в электрон-вольтах, и будет равна работе выхода:

$$A = 1,9 \text{ ЭВ.}$$

Красной границей фотоэфекта называют наименьшую частоту света $v_\kappa$, при которой возникает фотоэфект. Как видно из графика, $v_\kappa = 4,5 \cdot 10^{14} \text{ Гц.}$

Задача 2. Свет от Солнца nadает на плоское зеркало площадью $S = 1 \text{ m}^2$ под углом $\alpha = 60^\circ$. Найдите силу светового давления, считая, что зеркало полностью отражает весь nadающий на него свет. Известно, что средняя мощность солнечного излучения, приходящая на 1 $\text{ m}^2$ земной поверхности, перепределкульярной к излучению, равна $P = 1,4 \cdot 10^3 \text{ Bt/m}^2$.

Прежде всего обсуждим, почему вообще сущестуvet световое давление и как его объяснить с квантовой точки зрения.

Падающие на зеркало фотоны упруго отражаются от него, при этом импульс фотонов изменяется. Это изменение обусловлено импульсом силы, действующей со стороны зеркала на фотоны в момент отражения (взаимодействия с зеркалом). По третьему закону Ньютона точно

Рис. 2.

такая же сила (по модулю) будет действовать на зеркало со стороны фотонов (рис. 2). Она и создает световое давление.

Тепер проводем расчет. Найдем сначала импульс силы, действующий на зеркало в течение промежутка времени $\Delta t$ со стороны фотонов, обладающих энергий $h v_i$, где $v_i$ — некоторая фиксированная частота. Пусть концентрация таких фотонов в падающем потоке равна $n_i$. Тогда за время $\Delta t$ на зеркало попадут $n_i c \Delta t S \cos \alpha$ фотонов (с — скорость света). Их суммарный импульс до взаимодействия с зеркалом равен $P_1 = (n_i c \Delta t S \cos \alpha) mc = n_i S \cos \alpha \cdot h v_i \Delta t$.

После отражения импульс изменяется по направлению (угод отражения равен углу падения), а по модулю остается тем же:

$$P_2 = P_1.$$

Таким образом, изменение импульса $\Delta P = |\vec{P}_2 - \vec{P}_1| = 2 n_i h v_i S \cos^2 \alpha \cdot \Delta t,$

и сила давления на зеркало со стороны фотонов данного сорта

$$F_i = \frac{\Delta P}{\Delta t} = 2 n_i h v_i S \cos^2 \alpha.$$

Суммарная сила давления со стороны всех фотонов

$$F = \sum F_i = 2 S \cos^2 \alpha \cdot \sum n_i h v_i.$$

Поскольку мощность солнечного излучения, приходящая на единицу площади поверхности, перепределкульярной к направлению излучения, равна

$$P = c \sum n_i h v_i,$$

45

торую скорость $v$. Полная энергия системы в этом случае будет равна $m_p c^2 + E_1 + m_p v^2/2 + hv$, а импульс системы будет равен
$$hv/c - m_p v.$$

Согласно законам сохранения энергии и импульса, можно записать
$$m_p c^2 + E_k = m_p c^2 + E_1 + \frac{m_p v^2}{2} + hv$$
и
$$0 = \frac{hv}{c} - m_p v.$$

Учитывая, что $E_k - E_1 = hv_0$, получим
$$h\Delta v = hv - hv_0 = -\frac{m_p v^2}{2} = -\frac{m_p (hv)^2}{2m_p c^2} = -\frac{(hv)^2}{2m_p c^2},$$
или
$$\Delta v = -\frac{hv^2}{2m_p c^2} = -\frac{h}{2m_p \lambda^2}.$$

При относительной малых изменениях частоты ($\Delta v \ll v$)
$$\Delta v = \Delta \left( \frac{c}{\lambda} \right) = -\frac{c}{\lambda^2} \Delta \lambda.$$

Тогда окончательно
$$\Delta \lambda = \frac{h}{2m_p c} \approx 6,7 \cdot 10^{-16} \text{ m}.$$

Упражнения

1. Найдите среднее число $n$ фактов, попадающих в глаз за единицу времени, если смотреть на электрическую лампочку накаливания мощностью $P = 200$ Вт с расстояния $l = 10$ м. Средняя длина волны излучения лампочки $\lambda = 6 \cdot 10^{-7}$ м. Диаметр экрана примите равным $d = 2$ мм. Рассеянием и поглощением света можно пренебречь.
2. До какого максимального потенциала $\Phi_{\text{max}}$ зарядится удлиненный медный шарик, если его облучать ультрафилотовым светом с длиной волны $\lambda = 2 \cdot 10^{-7}$ м? Работа выхода электрона для меди $A = 4,47$ эВ.
3. Рубиновый лазер, работающий в импульсном режиме с дительностью импульса $\tau = 5 \cdot 10^{-4}$ с, излучает параллельный пучок света с энергией $E = 1$ Дж. Определите силу $F$ светового давления на шарик, освещаемый этим светом, если диаметр шарика равен диаметру лазерного пучка, а поверхность шарика полностью поглощает падающее на шарик излучение.
4. Какую частоту $v$ факта зарегистирует неподвижный применик, если факton испущен движущимся atomом вдоль направления его движения? Скорость.atoma $v$ ($v \ll c$, где $c$ — скорость света). В случае неподвижного atomа частота излучаемого факта равна $v_0$. Указан ие. Воспользовайте приближением: для $a \ll 1 \sqrt{1+a} \approx 1+a/2$.

Все врут календари?

(Начало см. на с. 19)

Мы перепеччатаем несколько «малых форм» Евг. Сазонова, опубликованных в разное время в «Литературной газете».

Из цикла «Математизмы»
Средний лодей
привчного мне круга
(A у меня
культурные друзья)
Есть мнение,
что квадратуру круга,
Как ты ни бейся,
доказать нельзя.
Ну, и не надо!
Стонт ли тужить?

И времени,
и сил пуста трата…
Не лучшие ли
усиляя приложить,
Что доказать округлость
у квадрата?

Из цикла «Диалоги»
— Как вы относитесь к теории относительной энергии? — спросил Евг. Сазонова знакомый ученый.
— Относительно неплохо,— ответил людовед.

Из рассыпи незацикленного
Изучает физик пи-мезоны,
И, наверно, в этом есть резон;
Я же по утрам стригу газоны,
Чтобы свежий был в саду озон!

---

Ты синтезируй мне, браток,
Скорей искусственный желток!

---

Не всяк, кто знает синхрофазотрон,
Ввинтить сумет лампочку в патрон!

46

Московский инженерно-физический институт

Математика
Писменный экзамен

Вариант 1

1. Имеется два сплава меди и серебра, причем в первом сплава процентное содержание меди (по весу) на 45% больше, чем во втором. Сплавив кусок первого сплава, содержащий 6 кг меди, с кусом второго сплава, содержащим 12 кг меди, получили слиток, содержащий p% меди. Определите процентное содержание серебра в первом сплава.

2. В правильной треугольной примите $SABC |SC| = l$ и ребро $[SC]$ составляет с плоскостью основания угол величины $\alpha$. На высоте $[SO]$ примыдь взята точка $S_1$ такая, что сумма расстояний от этой точки до вершины $S$ и до точки $C_1, A_1, B_1$, является серединами сторона $[AB], [BC], [CA]$. треугольника, лежащого в основании примыдь, имеет наименьшее значение. Определите объем примыдь $S_1A_1B_1C_1$.

3. Найдите все значения $a \in R$, при которых выполняется неравенство

$$\sum_{-1}^{2a} \frac{dx}{x+a} \geq \log_a(2^{\log_2 e}).$$

4. Найдите $f'(x)$ и критические точки функции

$$f(x) = \frac{2}{3} \sqrt{\sin^3 2x} + x + 0,25 \sin 4x + \ln \frac{1}{3}.$$

Вариант 2

1. Из одного и того же пункта, расположенного на прямолинейном пути, одновременно в одном направлении с разными, но постоянными скоростями вышили два пешекода. Через два часа расстояние между ними было равно $s$ км. После этого пешекоды пошли быстрее и стали затрачивать на каждой kilometer пути на 10 мин меньше. Еще через 2 ч расстояние между ними стало равно 3s км. Определите путь,ройденные пешекодами за первые 2 ч движения.

2. В прямой круговой конус с образующей $l$ и высотой $H$ вписана правильная шестугольная примма так, что нижнее основание примыдь лежит в плоскости основания конуса, а вершины верхнего основания принадлежат конечной поверхности. Найдите площадь основания призмы, если известно, что площадь полной поверхности этой приммы наибольшая из всех возможных.

3. Вычислите интегралы $I_1 = \int_4^8 \frac{dx}{2x}$ и $I_2 = \int_4^{169} \frac{dx}{\sqrt{1-x}}$ и определите знак разности $I_2 - I_1$ (без помощи таблиц).

4. Найдите $f'(x)$ и критические точки функции

$$f(x) = 5x + \ln 2 + \log_2 \sin^3 \frac{x}{3} + 3 \log \frac{1}{2} \left( \sin \frac{4}{3} x - \sin \frac{2}{3} x \right).$$

Физика

Задачи устного экзамена

1. Клежащему на горизонтальной поверхности бруску массой $m = 12$ кг прикреплена пружина жесткостью $k = 300$ Н/m (рис. 1). Козффициент треня между бруском и поверхности $\mu = 0,4$. Вначале пружина не деформирована. Затем, приложив к свободному концу пружины силы $\vec{F}$, направленную под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту, медленно перемещали брусок на расстояние $s = 0,4$ м. Какая работа была при этом совершена?

2. Два маленьких тела с массами $m_1 = 2$ кг и $m_2 = 6$ кг соединили нитью и положили на гладкую цилиндрическую поверхности так, как показано на рисунке 2, а величина $\alpha$ неизвестна. Если тела в таком положении отпустить, они начинают движаться сускорением $a = 6$ м/c². С каким ускорением будут движаться тела, если их расположить на цилиндрической поверхности симметрично (рис. 2, 6)?

3. Конденсаторы, имеющие емкости $C_1 = 20$ мкФ и $C_2 = 60$ мкФ, заряды до некоторых напряжений $U_1$ и $U_2$ соответственно. Затем отрицательно заряженные обкладки конденсаторов соединили проводиком, сопротивление которого можно считать пребрежимо малым, а положительные обкладки соединяются через сопротивление $R = 80$ Ом (рис. 3). В момент замыкания ключа $K$ по резистору течет ток $I = 0,2$ А. Какое количество теплоты выделится в резисторе к моменту, когда ток в цепи практических практических?

4. Пуукок протонов в области однопrodного магнитного поля с индикцией $B = 0,1$ Тл. Направление поля перpendикулярно скорости пучка. В этом поле протоны движут по дуге окружности радиусом $r = 0,2$ м и попадают на заземленную шншень. Найдите теплую мощность, выделяющуюся в мишени. Ток в пучке $I = 0,1$ мА. Удельный заряд протона (отношение заряда к массе) $e/m = 10^8$ Кл/кг.

5. По двум параллельным металлическим рейкам, находящимся в горизонтальной плоскости на расстоянии $l = 1$ м друг от друга, мо-

48

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -(x^2 - 5x + 4)$ и $y = 0$. Сделайте рисунок.
5. Боковое ребро правильно четырехугольной парамиды длиной $m$ наклонено к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите объем парамиды.

Задачи устного экзамена

1. Определите знак выражения $\log \frac{\pi}{4}$ (tg1).
2. Найдите область определения функции $f(x) = \sqrt{9-x^2} + \lg(x-1) - \sqrt{x}$.
3. Вычислите tg $\left(\arccos \frac{1}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
4. Решите уравнение
   a) $6 \cdot 9^{0.5x-2} + 2 \cdot 3^{x-6} = 56$
   b) $f'(x) = g'(x)$, если $f(x) = 3 + 2x^2$, $g(x) = 3x^2 - (5x-3)(2-x)$.
5. Решите неравенство
   a) $|x^2 - 4x| > 1$
   b) $3^{|x|+2} < 27$.
6. Напишите уравнение касательной к параболе $y = x^2 - 4$ в точке пересечения ее с осью ordinат.
7. На кривой $y = 4x^2 - 6x + 3$ найдите точку, в которой касательная параллельна прямой $y = 2x$.
8. Найдите первообразную функцию $y = \frac{2}{\sin^2 3x}$, график которого проходит через точку с координатами $\left(\frac{\pi}{12}; 1\right)$.
9. В круг вписаны две границы с соответственно параллельными сторонами. Доказите, что диагонали этих границ конгруэнтны.
10. Найдите радиус сектора, если его площадь равна 144 см², а дуга содержит $\frac{4}{9}$ радиана.
11. Дан треугольник $ABC$ и точка $M$ на стороне $AB$. Прямая, проведенная через точку $M$ параллельно медиане $CC_1$, пересекает $(CA)$ в точке $P$, а $(CB)$ — в точке $O$. Доказите, что $PM + OM = 2CC_1$.
12. Доказите, что в любом четырехугольнике $ABCK$ имеет место соответствие $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{BC})$, где $M$ и $P$ — середины отрезков $AB$ и $CK$ соответственно.

Физика
Задачи устного экзамена

1. Автомобилист и велосипедист движутся навстречу друг друг со скоростью $v_1 = 20$ м/с и $v_2 = 5$ м/с соответственно. В начальной момент расстояние между ними $l_0 = 250$ м. Каким станет это расстояние через $t = 5$ с? Задучите решите аналогичные и графические.
2. На какой глубине в прессовое воде давление в $n = 3$ раза больше нормального атмосферного давления?
3. Найдите плотность воздуха при температуре $t = 127^\circ C$ и давлении $p = 900$ гПа.
4. Свиñцовая дробина, летяющая со скоростью $v = 100$ м/с, попала в дску и застряла в ней. На сколько градусов изменилась температура дробинки, если 50% выделенного при ударе количество пшло на ее нагревание? Удельная темперакость свинца $c = 130$ Дж/(кг·К).
5. Генератор тока, имеющий ЭДС $G = 250$ В и внутреннее сопротивление $r = 0,4$ Ом, питает $n = 10$ ламп сопротивлением $R_1 = 240$ Ом каждая и $k = 5$ ламп сопротивлением $R_2 = 145$ Ом каждая. Лампы соединены параллельно. Сопротивление подводящих пробов $R_{np} = 2,5$ Ом. Найдите напряжение на лампах. Изменится ли ответ (и как), если взять другой источник тока?
6. Сколько электрозергини затрачивает для выделения из расстояра $ZnSO_4$ $m = 306$ г цинка? Наряжение на электродах $U = 4$ В. Электроимпеciiей эквивалент цинка $k = 0,34$ мг/Kл.
7. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле с индукцией $B = 4 \cdot 10^{-3}$ Тл. Найдите период обращения. Заряд электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл, его масса $m = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг.
8. Маятник представляет собой стальной шарик, подвешенный на нити. Масса магнитка $m = 5$ г, период его колебаний $T = 1$ с. Какова длина нити? Когда под шариком помещили магнит, период колебаний уменьшился до $T' = 0,8$ с. Определите силу прятяжения шарика к магниту.
9. Начертите ход лука, который переходит из стека в воду и падает на границу раздела этих сред под углом $\alpha = 60^\circ$. Показатель предлемления стека $n_{ct} = 1,8$, воды — $n_B = 1,33$.
10. На каком расстоянии из расстояния $F = 8$ см надо поместить предмет, чтобы его изобравнение получилось таким же по величины, как предмет, и действительными? Сделайте чертеж. Изменится ли ответ (и как), если взять линзу с большим фокусным расстоянием?
    Публикацию подготовили
    З. Новосельцева, О. Оноршенко

Московский институт химического машиностроения

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Доказите точдество $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha + \sin 2\alpha = \sqrt{2} \cos \left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.
2. Решите систему уравнений $\begin{cases} \log_x 10 + \log_y 10 = 5 \\ \lg x + \lg y = \frac{5}{4} \end{cases}$.
3. Конус расположен так, что его основание совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина лежит в центре другого основания цилиндра. Найдите площадь полной поверхности цилиндра и его объем, если объем конуса равен $V$, а его образующая составляется с осью цилиндра угол $\alpha$.

49

4. Вычислите
   $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2+x-3}}{x^2-4}.$$

5. Построите график функции $y=2x^3-3x^2+6$.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\frac{1}{2} \cos 2x + \sin x \cdot \sin 2x = \cos x.$$

2. Решите уравнение
   $$\frac{\lg x + 7}{4} = 10^{\lg x + 1}.$$

3. В правильную треугольную парамиду вписан конус. Сторона основания парамиды равна $a$ и ее ребра образуют с плоскостью основания угол $a$. Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса.

4. Найдите точки max и min функции
   $$y = \frac{x^2+x+3}{x^2+5}.$$

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y=1-x^2$, $y=x^2-1$.

Физика

Задание устного экзамена

1. Тело на вервке поднимают от поверхности земли сускорением $a=2$ м/c$^2$ вертикально вверх. Через время $t=5$ с вервека оборвалась. Расчитайте, сколько времени тело движалось до земли после того, как оборвалась вервка.

2. Летящая горизонтальное со скоростью $v=400$ м/c пуля попадает в брусок и застревает в нем. Какое расстояние пройдет по горизонтальной поверхности этот брусок от толчка пули, если его масса в $n=99$ раз больше массы пули? Начальная скорость бруска равна нулю, а коэффициент треня между бруском и поверхности $\mu=0,1$.

3. Деревянный шарик погрузили в воду на глубину $h=1$ м и опустили. Как высоко он подскочит над водой (без учета силы треня), если плотность шарика $q_{\text{ш}}=600$ кг/m$^3$, а плотность воды $q_{\text{в}}=1000$ кг/m$^3$?

4. Открытую с обеих стороны узкую цилиндрическую трубку длиной $l=80$ см до поливны погружают в руть. Затем закрывают верхнее отверстие в трубке и вынимают ее из рутины. При этом в трубке остается стольик рутины длиной $l_{\text{рт}}=22$ см. Чему равно атмосферное давление?

5. В calorimetр налито $m_{\text{B}}=2$ кг воды при температуре $t_{\text{B}}=+6^\circ\text{C}$ и положен кусок льда массой $m_{\text{л}}=2$ кг, имеющий температуру $t_{\text{л}}=-20^\circ\text{C}$. Сколько воды и сколько льда будет в calorimetре после установления теплового равновесия? Теплоемкость калорийета и теплобменном с внешней средой можно пренебреть. Удельная теплемкость воды $c_{\text{в}}=4200$ Дж/(кг·К). Удельная теплемкость льда $c_{\text{л}}=2100$ Дж/(кг·К). Удельная теплота плавления льда $\lambda=330$ кДж/кг.

6. Восемь одинаковых маленьких капель рутины, называемых do потенциала фрикции, называются в одну. Расчитайте потенциаль этой капли. Все капли считайте шариками.

7. Электрон,ускоренный напряжением $U_0=100$ В, bleibt в плоский конденсатор вдоль его осевой линии. При каком наименьшем напряжении между пластинами конденсатора электрон не выйдет из конденсатора? Расстояние между пластинами $d=1$ см,лина пластин $L=10$ см.

8. Два шарик имеют одинаковые электрические заряды $q=20$ нКл. Шарик соединиют тонкой проволокой. Какое количество электрических пройдет по проволоке, если шарик металлические, а их радиусы равны $R_1=15$ см и $R_2=5$ см?

9. К источнику тока подключили потребитель сопротивлением $R_1$. Затем его отключили и подключили другой потребитель сопротивлением $R_2$. Полезная мощность в обихах случих оказалась одинаковой. Чему равно внутреннее сопротивление источника тока?

10. Расстояние от освещенного предмета до экрана составляет $L=100$ см. Линза, помещенная между ними, дает четкое изображение предмета при двух положениях, расстояние между которых равно $l=20$ см. Найдите фокусное расстояние линии.

Публикацию подготовили
Н. Болышаков, В. Кудрявцев,
Р. Нифантева, А. Першин

Харьковский институт радиоэлектроники

Matematika

Писменный экзамен

Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$2 \cos x + \text{ctg} x + 2 \sin x + 1 = 0.$$

2. Решите неравенство
   $$\log \frac{1}{2} \sin x > 1.$$

3. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ взаимно перpendикулярны, а вектор $\vec{c}$ образует с каждой из них угол $60^\circ$. Знача, что $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=5$ и $|\vec{c}|=8$, вычислите скалярное произведение $(3\vec{a}-2\vec{b}) \times (\vec{b}+3\vec{c})$.

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$, $x-2y+2=0$, $x=2$.

5. Решите уравнение
   $$\frac{x}{x+1}-2 \sqrt{\frac{x+1}{x}}=3.$$

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\frac{1}{\cos x}+1=\sin(\pi-x)-\cos x \cdot \tg \frac{\pi+x}{2}.$$

2. Решите неравенство
   $$\sqrt{x^2-4x}>x-3.$$

3. Тело представляется собой прямоугольник с полушарным сверху. При каких линейных размерах это было имеет