Квант 1982, №6 · Страницы

КВАНМ
6
1982

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

В апреле этого года в Москве, в Центральном Доме художника прохладила выступка «Учены рисуют». Среди представлены на ней работ большой интерес вызвала графика доктора физико-математических наук А. Т. Фоменко, математика, известного своим исследованием по дифференциальной геометрии и топологии. Здесь мы помещаем репродукцию работы А. Т. Фоменко, называемой «Диаграмма Герцшпрунга — Рессела», а на четвертой странице обложки — репродукцию работы «ЛИНЗОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА».

На первой странице обложки помещена фотографика дифференциальной картины от круглого отверстия (фото — А. Шуки). В качестве источника света был использован гелий-неоновый лазер, дающий монoxроматический свет красного цвета.

О некоторых опытах по дифферциции, которые вы сможете proveсти самостояльно в вашей домашней лаборатории, рассказано в этом номере журнала в статье Я. Амстиславского «Необучные явления вокруг обичных источников света».

1

В НОМЕРЕ: IN THIS ISSUE:

Л. Асламазов, И. Кикoin. Что такое волна?
2. L. Aslamazov, I. Kikoin. What is a wave?

Б. Мартынов. О максимумах функций
Ван-дер-Вардена
8. B. Martynov. On maxima of the Van der Waerden function

Лаборатория «Квант»
Я. Амстиславский. Необычные явления вокруг
объчных источников света
15. Ya. Amstislavski. Unusual phenomena about
usual light sources

Задачник «Квант»
Задачи M746 — M750; Ф758 — Ф762
19. Problems M746 — M750; P758 — P762
Решения задач M706 — M710; Ф718 — Ф722
23. Solutions M706 — M710; P718 — P722
С. Кротов. Об оптимальных траекториях
30. S. Krotov. On optimal trajectories of motion
diversion
Список читателей, прилавших правильные
решения
34. List of readers who have sent correct
solutions

«Квант» для младших школьников
Задачи
35. Problems
Ф. Бартенев. Кантование кубика
36. F. Bartenev. Rolling cubes

Практикум абитриента
А. Назaretov. Плоскость в пространстве
38. A. Nazaretov. Planes in space
И. Быстрый. О сокращении показателей
40. I. Bystri. Cancelling exponents

Варианты вступительных экзаменов вузы
41. College entrance exams

Искусство программирования
Г. Звеницородский. VI Всегоизная летняя
школа юных программистов
54. G. Zvenigorodski. VI All-Union summer
school for young programmers

Информация
Заочная физico-техническая школа
при МИСиС
56. Physico-technical correspondence school at
the Moscow steel and alloys institute
Вечерняя физическая школа при МГУ
56. Moscow state university physics evening school

Ответы, указания, решения
57. Answers, hints, solutions

Смесь (14, 53)
Miscellaneous (14, 53)

Шахматная страница
The chess page

Шахматные лестницы (3-я с. обложки)
Chess ladders (3rd cover page)

© Издательство «Наука». Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1982

2

Л. Асламазов, И. Кикоин

Что такое волна?

Бросая в воду каменики, смотри на круziи, ими образуемые; иначе такое бросание будет пустого забавого.
Козьма Прутков. Плоды разделы

Понятие волны нам кажется оченьным, и мы интуитивно связываем его с каким-то движением. Бросим в воду камень — по поверхности воды побежит волна. Но если на воде в это время плавает ветка, то мы заметим, что она вовсе не смешается в направлении распространения волны, а совершает колебательное движение вверх-вниз. Что же перемещается при распространиении волны? Расмотрим несколько примеров.

Говорят, что импертица Елизавета, doch Петра I, пожелала, чтобы торжественный момент ее коронации был отмечен артиллерийским сальтом с Петропавловской крепости в новой столике — Петербург. А по закону коронация русских царей проходила в Успенском соборе в Москве. В нашей время передать любую информацию из Москвы в Ленинград просто: достаточно послать по радио сигнал, и пушка выстрелит вовремя. А тогда нужно было придумать другой способ оповещения о моменте возникления патриархом короны на голову импертицы.

И вот на всем пути (примерно 650 км) от собора в Москве до крепости в Петербурге были выступены солдаты на расстоянии прямой видимости (около 100 м) друг от друга. Для этого, как легко подсчитать, она добавилось приблизительно 6500 солдат. У каждой солдата в руке был флажок. В момент коронания перый солдат взмахнул флажком, следующий повторил его движение, за ним — все остальные. Время реакции человека составляет десять секунды, и, следовательно, через 10—20 минут известное о коронации должно до артиллерия в Петропавловской крепости.

Что же перемещалось от Москвы до Петербурга? Каждый солдат остался стоять на своей месте. Единственное, что он сделал — взмахнул флажком. На научном языке можно сказать, что, подняв и опустив руку с флажком, он на некоторое время изменил свое состояние. Это изменение состояния и перемещалось вдоль цепи солдат.

3

Переменные в пространстве изменения состояния называется волной.

В 1905 году в Петербурге начались забастовки, и тогда печать письма, что волна забастовок распространилась по всей России и достигала самых дальних окран. В этом случае распространялось состояние, в котором рабочие бросали работу на промышленных предприятиях и предъявляли политические и экономические требования.

А вот пример о том, как распространяются слухи. Известно, что слух, пущенный даже одним человеком, может распространиться в городе в течение короткого времени. Она значительное меньше времени, необходимого для того, чтобы этому человеку обойти (или обзвонить) всех людей в городе. Ясно, что носители слуха сами могут и не перемешаться. Перемешается состояние освещенности. Так облично и говорят — по городу распространяется волна слухов.

Разберем, наконец, физический пример. На билиардном столе выстроена цепочка шаров (рис. 1, а). На нее налетает еще один шар так, что его скорость направлена вдоль цепочки. После удара налетаются шар оставentries, а последний шар отскочит (рис. 1, б). Мы сообщаем импульс первому шару, а получает его — последний. Это происходит потому, что вдоль цепочки шаров распространяется волна деформации. При ударе первый шар сплющается и деформарует соседний, тот — следующий и т. д. На любой промежуточной шар слева и справа действуют равные по модулю, но противоположные по направлению силы упругости (рис. 1, в), и он остается на месте. Посленему шару действующая только с одной стороны сила упругости сообщает импульс, и он отскакивает.

Такие волны деформации, распространиющиеся в упругих средах, называют звуковыми волнами. Следовательно, в результате удара по цепочке шаров пробежала звуковая волна. Она может распространяться в любом упругом теле. Например, если по закрепленному стержню (рис. 2, а) ударить с одной конца молотком, по стержню побежит волна деформации (звуковая волна). Когда эта волна doit do противоложного конца стержня, высший там шарик отскочит (рис. 2, б). Аналогично можно возбудить звуковую волну в жидкости или в газе, только вместе молотка удобнее, конечно, воспользоваться поршнем.

Попытаемся подобрать в механизме распространяния звуковых волн в упругих телах. В частности, выясим, от чего зависит скорость распространения волны. Сначала решим упрощенную задачу для модели упругого тела. Будем считать, что у нас имеется целочка шарков массой $m$, соединенных пружинками жесткостью $k$ (рис. 3). Размеры шарков малы по сравнению с

4

рассстоянием между ними, а масса пружинок пребрежимо мала по сравнению с массой шариков. По существу это та же цепочка билиарных шаров, у которой мы «разделили» инертность (массу) и упругость (жесткость).

Такая модель близка к реализации в твердом теле. В кристаллической решетке atoms располагаются так, что в состоянии равновесия векторная сумма сил, действующих на каждой atom со стороны всех других, равнется нулю. При отклонении atomов от положения равновесия возникают силы пряжения и отталкивания, которые похожи на силы упругости*).

Давайте сообщим какому-либо шарику, например первому слева, импульс, направленный вдоль цепочки (толкнем его). Тогда, как и в примере с билиарными шарами, по цепочке побежит волна упругой деформации, которая через какое-то время достигнет правого конца цепочки. Так как последний шарик связан с цепочкой пружинкой, отскочить совсем он не сможет. Растянутая пружинка вынудет его вернуть назад, а затем, вследствие своей инертности, шарик созмет пружинку. Тепер волна деформации побежит справа налево. В таком случае говорят, что волна отразилась от конца цепочки и начала распространять в обратном направлении. По тем же причинам она отразится от противоположного конца и т. д. Эти отраженные волны условия наше рассмотрение, и, чтобы избавиться от них, рассмотрим «бесконечную» (то есть без концов) цепочки. Ее можно реализовать, замкнуть цепочку из большого числа шариков в колюцо (рис. 4). По такой «бесконечной» цепочке волна упругой деформации будет дивгаться по кругу без отражений, пока не затухнет.

*) На далеких рассстояниях между atomами действияют премущественно силы пряжения, а на близких — силы отталкивания (квантовая механика запрещает atomам пронКАТЬ друг в друга). Лишь при некоторых равновесном, расстоянии (примерно равном размеру atoms) силы взаимодействия между atomами обращаются в нуль.

Отклоним один из шариков от положения равновесия (например, сметтим по часовой стрелке) и отпустим. Тогда под действием подсоединенных к нему пружин положение шарика в пространстве будет периодически изменяться. Такое движение называют колебательным.

Колебания играют важную роль в природа и технике. Колебательное движение совершает мятник в часах; в бытовых электроприборах колеблотся сила тока и напряжение; смена дня и ночи, времен года — это тоже колебательный процесс, обусловленный движением Земли. Всевращаются механизмы вызывают колебания фундамента, которые не обходимо обязаательно учитывать при конструкировании.

Простейший тип колебательного движения — это гармоничское колебание, когда смещение тела от положения равновесия меняется со временем по закону

$$\alpha = \alpha_m \sin(2\pi t/T) = \alpha_m \sin 2\pi vt = \alpha_m \sin \omega t,$$

где в случае колебовой цепочки $\alpha$ — угловое отклонение шарика от положения равновесия. Как видно, гармоничское колебание характеризуется двумя величины (параметрами): максимальным отклонением (амплитудой) $\alpha_m$ и периодом колебаний $T$ (промежутком времени, через которой колебание полностью повторяется). Частота vравна числу колебаний в единицу времени, циклическая частота $\omega = 2\pi v$ вводится для упрощения математической записи колебательного движения, а величины $\varphi = \omega t$, определяющая положение шарика в данной момент времени $t$, называется фазой колебаний.

Приведем пример. Пусть шарик совершает полное колебание за время $T = 4$ с, в начальной момент он находится в положении равновесия, а его максимальное отклонение $\alpha_m = 0,1$ рад. Тогда, если он совершает гармоничное колебание, то зависимости отклонения от времени дается формулой

$$\alpha = 0,1 \sin(\pi t/2).$$

В момент $t_1 = 1$ с фаза колебаний равна $\varphi_1 = \pi/2$, в момент $t_2 = 2$ с фаза

6

Рис. 6.

пространства в цепочке, имеет длину $\lambda_1 = L$. Следующая, более короткая, $\lambda_2 = L/2$, следующая $\lambda_3 = L/3$ и т. д. Какая же самая короткая волна может распространяться в цепочке?

Чем меньше длина волны, тем больше сдвиг фаз прихождения на соседние шарики. Максимальный «разнобой» происходит при сдвиге фаз между соседними шариками, равном п. В таком случае шарики колеблются в противофазе (рис. 6), и соответствуют длине $\lambda_{\min} = 2a$.

Давайте рассчитаем, с какой частотой происходит колебания, соответствующие минимальной длине волны (это позволяет оценить скорость распространения волны в цепочке). Если положить, что средний шарик колеблется по закону
$$\alpha_n = \alpha_m \sin \omega t$$
то колебания предыдущего шарика описывается формулой
$$\alpha_{n-1} = \alpha_m \sin (\omega t + \pi),$$
а последующей —
$$\alpha_{n+1} = \alpha_m \sin (\omega t - \pi).$$

Зная, как движутся концы пружин, легко найти, как зависит от времени их деформация, и по закону Гука $F = kx$ расчитать силы упругости, действующие на средний шарик. Результирующая сила
$$F = kx_m (\sin (\omega t - \pi) - \sin \omega t) + \sin (\omega t + \pi) - \sin \omega t) = -4kx_m \sin \omega t$$
где $x_m = R\alpha_m$ — максимальное линейное отклонение шарика ($R$ — радиус колба, в котором замкнут цепочка). Как видно, средний шарик колеблется так, как если бы он был присоединен к одной пружинке, но с учетверенной жесткостью. Подставляя в формулу (*) значение $k_0 = 4k$, получаем, что при распространении по цепочке волны с минимальной длиной $\lambda_{\min} = 2a$ частота колебаний $\omega = 2\sqrt{k/m}$. Это — максимальная частота колебаний шариков в замкнутой цепочке.

В результате твердом теле также имеется максимальная частота, с которой могут колебаться атомы.

Какова при этом скорость распространения волны? Если частота колебаний $\omega$, то их период $T = 2\pi/\omega$. При скорости распространения $v$ волна за время $T$ проходит пути $l = vT = 2\pi v/\omega$. Этот путь и равен длине волны, так как сдвинуть во время на период $T$ колебания будет проискодить в фазе. Таким образом,
$$\lambda = vT = 2\pi v/\omega,$$
и, следовательно,
$$v = \frac{\lambda \omega}{2\pi} = \frac{2}{\pi} a \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

А каковы скорость распространения и частота колебаний для волн с большей длиной? Их можно подсчитать, например, таким же способом (хотя это и несколько более сложная задача). При этом оказывается, что с увеличением длины волны частота колебаний уменьшается, а скорость распространения волны увеличивается, но незначительно. Для больших длин волн ($\lambda \gg a$) скорость распространения становится постоянной и равной
$$v_0 = a \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Так что выведенное нами выражение с хорошей точностью даетеличину скорости распространения волн в цепочке связанных шариков и для других длин волн.

Вернемся к твердому телу. Чем определяется скорость распространения в нем звуковых волн? Проведяя анализо с цепочкой шаров, можно понять, что скорость зависит от упругих свойства материалов, массы atoms, из которых состоит вещество, и расстояния между ними. Чем меньше расстояние между atomами и чем больше их масса, тем больше плотность вещества $q$. Жесткость $k$ в нашей модели можно считать пропор-

7

циональный модулю Юнга Е. Точная формула для скорости звука в твердом теле такое:

$$v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}.$$

Например, для стали с помощью этой формулы получаем $v \approx 5000$ м/с. Так нам удалось разобраться в явлении распространения звука в упругих телах, то есть в распространении колебаний смещений атомов, из которых состоит эти тела.

В пространстве могут распространяться колебания и других физических величины. Если периодические измененияются значения напряженности электрического и индукции магнитного полей, то говорят, что распространяется электромагнитная волна. Могут распространяться колебания температуры — температурные волны, колебания индукции магнитного поля в веществе — волны намагничания и т. д. Образно говоря, все здание современной физики пронизывают разные типы волн.

Приложение

Представим себе, чторужина надета на стержень AB, расположенный по диаметру колца (рис. 7). Один конецружины связан с шариком, а второй закреплен у края стержня A. Шарик может свободно перемешаться вдоль стержня, причем в состоянии равновесия он находится в центре колца O. Приведем колью во врашение в горизонтальной плоскости с угловой скоростью $\omega_0$. Тогда шарик отключится от центра. Если его смешение равно $r$, то со стороныружины на шарик будет действовать сила, равная по закону Гука $F = k_0 r$ и направленная к центру колца. Согласно второму закону Ньютона, эта сила должна создавать центростремительное ускорение $a_ii = \omega_0^2 r$:

$$m\omega_0^2 r = k_0 r.$$

Следовательно, для того чтобы шарик находился в устойчивом состоянии при врашении колца, необходимо, чтобы скорость врашения была равна $\omega_0 = \sqrt{k_0/m}$.

При этом проекция шарика на неподвижную ось совершает гармоничное колебание с циклической частотой, равной угловой скорости врашения. Например, $x = r \sin \omega_0 t$. Таким образом, частота гармоничных колебаний шарика массой $m$ наружные жесткости $k_0$ определяется формулой

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k_0}{m}}.$$

Уражнения

1. «Почувствовать», что такое волна, можно, сделав следующее упражнение. Вставьте

8

Б. Мартынов

О максимумах функций Ван-дер-Вардена

Функция, которой мы знаемся

Школьники девятого и десятиого классов знают, что функция, дифференцируемая в некоторых точке, непрерывна в этой точке («Алгебра и начала анализа 9—10», п. 19). Знают они и то, что обратное не верно: например, функция $y = |x|$ непрерывна при $x = 0$ (и в любой другой точке), но не имеет произвольной при $x = 0$. Вобобще, всякая функция, график которого в некоторых точке имеет «уголок», не дифференцируема в этой точке. Ясно, что легко построить функцию, которая на отрезке, скажем, [0; 1] имеет бесконечное количество «уголов» (на рисунке 1 изображен кусок графика такой функции; полностью его нарисовать, конечно, невозможно).

Однако все такие функции, а также другие известные вам непрерывные функции все-tаки дифференцируемые в «большинстве» точек.

Долго время после изобретения дифференциального исчисления математики думали, что непрерывные функции являются, как правило, дифференцируемыми. Поэтому, когда в шестидесятых годах прошло века немецкий математик Карл Вейерштрасс опубликовал пример функции, непрерывной в каждой точке прямой и не имеющей произвольной ни в одной точке*), в математическом мире возникнет вечерштрассовского.

*) Первый пример такого рода лет за сорок до Вейерштрасса построил чешский математик и философ Бернгард Больцано, но его пример стал известен позже вечерштрассовского.

Рис. 1.

9

А что, если все функции $\varphi_n$ сложить? Есть основания надеяться, что «сумма» уже во всяком случае будет непрерывна в каждой точке и не дифференцируема в точках вида $x = \frac{k}{2^n} (k \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N})$. К сожалению, мы не знаем, что такое сумма бесконечного числа слагаемых.

Поэтому мы поступим так: образуем последовательность функции $\Phi_n(x) = \varphi_0(x) + \varphi_1(x) + \dots + \varphi_n(x)$ (таким образом, $\Phi_{n+1}(x) = \Phi_n(x) + \varphi_{n+1}(x)$; см. рис. 3—5) и доказем, что при любом $x$ существует $\lim_{n \to \infty} \Phi_n(x)$.

Для доказательства нам понадобится теорема Вейерштрасса, утверждающая, что монotonная ограниченная последовательность имеет предел («Алгебра и начала анализ 9», п. 32).

Из $\varphi_{n+1}(x) \geq 0$ следует $\Phi_{n+1}(x) \geq \Phi_n(x)$ — последовательность ($\Phi_n(x)$) монotonна. Поскольку $\Phi_n(x) = \varphi_0(x) + \varphi_1(x) + \dots + \varphi_n(x) \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{n+1}} = 1 - \frac{1}{2^{n+1}} < 1$, последовательность ($\Phi_n(x)$) ограничена. Следовательно, $\lim_{n \to \infty} \Phi_n(x)$ существует. Обозначим этот предел через $\Phi(x)$. Таким образом, на всей числовой оси определена функция $\Phi$. Она периодическая (с периодом 1), $0 \leq \Phi(x) \leq 1$ при всех $x \in \mathbb{R}$, график функции $\Phi$ симметричен относительно любой прямой $x = \frac{k}{2} (k \in \mathbb{Z})$ — все это легко следует из свойств функции $\varphi_0$ и свойств предела. Поэтому график функции $\Phi$ неозможно: на рисунках 3—5 видно, как «накалливаются» точки, в которых график функции $\Phi_n$ имеет «уголок», то есть точки, где эти функции не имеют произвольной.

Непрерывность построенной функции $\Phi_n$ непрерывна в каждой точке прямой.

Интутитивно это довольно ясно: если бы у $\Phi$ в некоторой точке $x_0$ был разрыв, то при достаточно большом

10

$n \in \mathbb{N}$ примерно такой же разрыв был бы в точке $x_0$ у $\Phi_n$, а $\Phi_n$ непрерывна на всей прямой. Приводимое ниже доказательство уточняет эти сообщения.

Изучим сначала разность $r_n(x) = \Phi(x) - \Phi_n(x)$ (здесть $x$ фиксирован, $n$ — переменная).

$$\Phi_{n+m}(x) - \Phi_n(x) = \varphi_{n+1}(x) + \varphi_{n+2}(x) + \dots + \varphi_{n+m}(x).$$

Ясно, что

$$0 \leqslant \Phi_{n+m}(x) - \Phi_n(x) \leqslant \frac{1}{2^{n+2}} + \frac{1}{2^{n+3}} + \dots +$$

$$+ \frac{1}{2^{n+m+1}} = \frac{1}{2^{n+2}} \cdot \frac{1 - \frac{1}{2^m}}{1 - \frac{1}{2}} < \frac{1}{2^{n+1}}.$$

Поскольку $\lim_{m \to \infty} \Phi_{n+m}(x) = \Phi(x)$ и $\lim_{m \to \infty} \Phi_n(x) = \Phi_n(x)$,

$$0 \leqslant r_n(x) \leqslant \frac{1}{2^{n+1}}.$$

Теперь можно перейти к доказательству непрерывности функций $\Phi$ в произвольной точке $x_0 \in \mathbb{R}$. Возьмем $\varepsilon > 0$ и рассмотрим модель разности

$$|\Phi(x_0 + h) - \Phi(x_0)| = |\Phi_n(x_0 + h) + r_n(x_0 + h) - \Phi_n(x_0) - r_n(x_0)| \leqslant$$

$$\leqslant |\Phi_n(x_0 + h) - \Phi_n(x_0)| + |r_n(x_0 + h)| + |r_n(x_0)|.$$

Но $|r_n(x_0)| \leqslant \frac{1}{2^{n+1}}$ и $|r_n(x_0 + h)| \leqslant \frac{1}{2^{n+1}}$; поэтому

$$|\Phi(x_0 + h) - \Phi(x_0)| \leqslant$$

$$\leqslant |\Phi_n(x_0 + h) - \Phi_n(x_0)| + \frac{1}{2^n}.$$

При достаточно большом $n$

$$\frac{1}{2^n} < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Функция $\Phi_n$, как сумма конечного числа непрерывных функций, непрерывна в точке $x_0$. Следовательно, за счет выбора $\delta > 0$ можно добиться того, что при $|h| < \delta$

$$|\Phi_n(x_0 + h) - \Phi_n(x_0)| < \frac{\varepsilon}{2}.$$

При выбранном $\delta$

$$|\Phi(x_0 + h) - \Phi(x_0)| < \varepsilon,$$

а это и доказывает непрерывность функций $\Phi$ в точке $x_0$.

Недифференцируемость построенной функции

Функция $\Phi$ не диференцируема ни в одной точке прямой.

На первый взгляд это может показаться очень удивным: с ростом $n$ множество точек недиференцируемости функций $\Phi_n$ становится все гущее и глубнее, поэтому естественно ожидать, что «в пределе», то есть для функций $\Phi$, оно заполнит всю прямую. Однако это наивное рассужждение неверно, как показывает пример функции

$$G(x) = \lim_{n \to \infty} G_n(x),$$

где функции $G_1, G_2, G_3$ показаны на рисунке 6. Очевидно, $G(x) = 1 - x^2$ — функция, диференцируемая в любой точке.

Доказывая от противного, допустим, что для некоторых $x_0 \in \mathbb{R}$ существует $\Phi'(x_0)$.

«Зажемем» $x_0$ в последовательности двойных приближений по недостатку и по изображению:

$$\frac{s_k}{2^{k+1}} \leqslant x_0 < \frac{s_k + 1}{2^{k+1}} \quad (k = 0, 1, 2, \dots; \ s_k \in \mathbb{Z}).$$

Положим $\alpha_k = \frac{s_k}{2^{k+1}}, \beta_k = \frac{s_k + 1}{2^{k+1}}$. Тогда

$$\alpha_k \leqslant x_0 < \beta_k \quad (k = 0, 1, 2, \dots)$$

и

$$\lim_{k \to \infty} \alpha_k = \lim_{k \to \infty} \beta_k = x_0.$$

Из (1)

$$0 < \frac{\beta_k - x_0}{\beta_k - \alpha_k} \leqslant 1$$

$$0 \leqslant \frac{x_0 - \alpha_k}{\beta_k - \alpha_k} \leqslant 1.$$

Отсюда, из (2) и из легко проверяемого тожества

$$\frac{\Phi(\beta_k) - \Phi(\alpha_k)}{\beta_k - \alpha_k} - \Phi'(x_0) =$$

$$= \frac{\beta_k - x_0}{\beta_k - \alpha_k} \left[ \frac{\Phi(\beta_k) - \Phi(x_0)}{\beta_k - x_0} - \Phi'(x_0) \right] +$$

$$+ \frac{x_0 - \alpha_k}{\beta_k - \alpha_k} \left[ \frac{\Phi(x_0) - \Phi(\alpha_k)}{\beta_k - x_0} - \Phi'(x_0) \right]$$

следует

$$\lim_{k \to \infty} \frac{\Phi(\beta_k) - \Phi(\alpha_k)}{\beta_k - \alpha_k} = \Phi'(x_0).$$

12

$$\Phi(2\bar{x}) = 2\Phi(\bar{x}) - 2\varphi_0(\bar{x}) = 2\Phi(\bar{x}) - 2\bar{x} = 2M - 2\bar{x} \leqslant M$$
$$\bar{x} \geqslant \frac{M}{2} \geqslant \frac{1}{3}.$$

Из симметрини графика функции Ф относительно прямой $x = \frac{1}{2}$ следует, что на промежутке $] \frac{2}{3}; 1]$ точек максимума нет.

Докажем теперь, что $M = \frac{2}{3}$. Снова применим равенство (3):

$$\Phi(4x) = 2\Phi(2x) - 2\varphi_0(2x) = 2[2\Phi(x) - 2\varphi_0(x)] - 2\varphi_0(2x) = 4\Phi(x) - 4\varphi_0(x) - 2\varphi_0(2x)$$
$$\Phi(x) = \varphi_0(x) + \frac{1}{2}\varphi_0(2x) + \frac{1}{4}\Phi(4x) = \Phi_1(x) + \frac{1}{4}\Phi(4x).$$

Функция $\Phi_1$ на отрезке $[\frac{1}{4}; \frac{3}{4}]$ построена и равна $\frac{1}{2}$ (рис. 3), поэтому на этом отрезке

$$\Phi(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\Phi(4x).$$

Поскольку $\bar{x} \in [\frac{1}{3}; \frac{2}{3}] \subset [\frac{1}{4}; \frac{3}{4}]$, к $\bar{x}$ можно применить равенство (4):

$$M = \Phi(\bar{x}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\Phi(4\bar{x}) \leqslant \frac{1}{2} + \frac{1}{4}M$$
$$M \leqslant \frac{2}{3}.$$

Вспомним, что $M \geqslant \Phi(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$, окончательно найдем $M = \frac{2}{3}$. Кроме того, $\Phi(\frac{1}{3}) = \Phi(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$.

Для дальнейшего доказения, что если $\bar{x} - \text{точка максимума},$ то $4\bar{x} - \text{точка максимума};$ если $4\bar{x} - \text{точка максимума}$ и $\{\bar{x}\} \in [\frac{1}{4}; \frac{3}{4}]$, то $\bar{x} - \text{точка максимума}$. Для доказательства заметим, что равенство (4) верно для всех $x$, для которых $\{x\} \in [\frac{1}{4}; \frac{3}{4}]$ (проверьте!). Пусть $\bar{x} - \text{точка максимума}$. Тогда $\{\bar{x}\} \in [\frac{1}{3}; \frac{2}{3}] \subset [\frac{1}{4}; \frac{3}{4}]$.

$$\frac{2}{3} = M = \Phi(\bar{x}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\Phi(4\bar{x})$$
$$\Phi(4\bar{x}) = \frac{2}{3} = M.$$

Пусть теперь $4\bar{x} - \text{точка максимума}$ и $\{\bar{x}\} \in [\frac{1}{4}; \frac{3}{4}]$. Тогда $\Phi(4\bar{x}) = M = \frac{2}{3}$ и $\Phi(\bar{x}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\Phi(4\bar{x}) = \frac{2}{3} = M.$

Множество точек максимума

Выясним структуру множества $E$.

Наверное, если бы Эрмит знал, как сложно оно устроено, он ответился бы от функций Ван-дер-Вардена с еще большим омерзением. С другой стороны, кто знает — быть может, красивое и тонкое строение этого множества привлекло бы Эрмит к исследованию недифференцируемых функций.

Две точки множества $E$ мы знаем:

$$\frac{1}{3} \text{ и } \frac{2}{3};$$ мы знаем также, что $E \subset [\frac{1}{3}; \frac{2}{3}]$.

Далее, множество $E$ замкнут. Это означает следующее: если имеется сходящая последовательность из точек множества $E$, то предел этой последовательности также принадлежит $E$. Докажем это. Пусть $x_n \in E$ ($n=1, 2, 3, \dots$), то есть $\lim_{n \to \infty} x_n = \bar{x}$; тогда из непрерывности функций $E$ в точке $\bar{x}$ следует, что $\Phi(\bar{x}) = \Phi(\lim_{n \to \infty} x_n) = \lim_{n \to \infty} \Phi(x_n) = M$, то есть $\bar{x} \in E$.

Из доказанного в конце предыдущего пункта и того, что $1$ — перiod функции $E$, следует, что если $x - \text{точка максимума} E$, то и точки $\frac{1}{4} + \frac{x}{4} = \frac{x+1}{4}, \frac{2}{4} + \frac{x}{4} = \frac{x+2}{4}$ принадлежат $E$. Таким образом, исход из точек $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$, можно построить много точек множества $E: \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}, \frac{2}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}$ и т. д.

Легко видеть, что все числа вида

$$x = \frac{a_1}{4} + \frac{a_2}{4^2} + \dots + \frac{a_n}{4^n} + \frac{1}{4^n} \cdot \frac{a_{n+1}}{3},$$

13

где $a_1, a_2, \dots, a_n, a_{n+1}$ — либо единцы, либо двойки, являются элементами множества $E$. Поскольку
$$\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \dots,$$
такое $x$ можно представить в виде
$$x = \frac{a_1}{4} + \frac{a_2}{4^2} + \dots + \frac{a_n}{4^n} + \frac{a_{n+1}}{4^{n+1}} + \frac{a_{n+1}}{4^{n+2}} + \dots$$
или, по аналогии с десятичными дробями, в виде бесконечной периодической четверной дроби с периодом длины 1:
$$x = 0, a_1 a_2 \dots a_n a_{n+1} a_{n+1} = 0, a_1 a_2 \dots a_n (a_{n+1}).$$
Так как множество $E$ замкнут, любое число
$$x = \frac{a_1}{4} + \frac{a_2}{4^2} + \dots + \frac{a_n}{4^n} + \frac{a_{n+1}}{4^{n+1}} + \frac{a_{n+2}}{4^{n+2}} + \dots$$
где $a_i$ — либо единцы, либо двойки, принадлежит множество $E$. В самом деле, для каждого такого $x$ можно найти последовательность $(x_n)$ элементов из $E$, сходящую к $x$; например, если
$$x_n = \frac{a_1}{4} + \frac{a_2}{4^2} + \dots + \frac{a_n}{4^n} + \frac{1}{4^n} \cdot \frac{1}{3},$$
то $\lim_{n \to \infty} x_n = x \left(0 \leqslant x - x_n \leqslant \frac{1}{4^{n+1}}\right)$.

Таким образом, множество $E$ содержит все числа, в представлении которых $0, a_1 a_2 a_3 \dots$ в виде бесконечной четверной дроби все цифры $a_i$ — либо единцы, либо двойки (на рисунке 8 изображены четверчные разложения чисел $\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \dots, \frac{11}{12}$).

Докажем теперь, что других чисел $E$ не содержит. Пусть в четверной записи числа $x \in E$ на каком-либо месте после запятой имеется цифра 0, то есть $x = 0, a_1 a_2 \dots a_n 0 a_{n+2} \dots$; тогда $\{4^n x\} = 0, 0 a_{n+2} \dots \in E$.

Но $0, 0 a_{n+2} a_{n+3} \dots < 0, 033 \dots = 3 \left(\frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \dots\right) = \frac{1}{4}$ и, значит, точка $\{4^n x\}$ не принадлежит отрезку $\left[\frac{1}{3}; \frac{2}{3}\right]$, содержащему $E$.

Если в четверной записи числа $x \in E$ имеется цифра 3, то есть $x = 0, a_1 a_2 \dots a_n 3 a_{n+2} \dots$, то

14

Спрашивайте — ответаем

Вы правы: по определению интеграла, данному в школьном учебнике («Алгебра и начала анализа 9—10», п. 60), для существования интеграла $\int_a^b f(x) dx$ требуется, чтобы подынтерральная функция $f$ была непрерывна на отрезке с концами $a, b$ (то есть на $[a; b]$ при $a < b$ и на $[b; a]$ при $a \geq b$).

Ответ, указанный в «Кванте», получается при чересуур форматном интерировании, не учитывающим условия, при которых верна формула Ньютона — Лейбница

$$\int_a^b f(x) dx = F(x) \bigg|_a^b.$$

Эта формула верна, если функция $f$ непрерывна на $[a; b]$ и $F'(x) = f(x)$ всюду на $[a; b]$.

Позному

$$\int_0^x \frac{dy}{(y+1)^2} = -\frac{1}{y+1} \bigg|_0^x$$

только при $x > -1$ и данное неравенство равносильно системе

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{9x-15}{19} < -\frac{1}{y+1} \bigg|_0^x -1 \\ x > -1. \end{array} \right.$$

Правильно ответ в задаче: $\emptyset$.

Между прочитам, из (*) следует

$$\int_0^x \frac{dy}{(y+1)^2} = \frac{1}{x+1} -1.$$

При $x < -1$ получаем парадоксаный результат: интеграл от положительной функции, то есть вроде бы площадь, отрицатель (напомним, что $\int_a^b f(x) dx$ есть площадь при $a < b$ и $f(x) \geq 0$ на $[a; b]$).

Для тех, кто знаком с понятием несобственного интеграла, заметим, что при $x_0 < -1$ интеграл $\int_0^x \frac{dy}{(y+1)^2}$ не существует.

15

Я. Амстиславский

Необъчные явления вокруг объчных источников света

Наверное, каждому доводилось накладать так называемые венцы — разноцветные колыца, окружающие удаленный источник света, например Солнце, Луну или уличный фонарь. Их возникновение связано с явлением дифракции света — отбания световыми волнами различных препятствий.

О дифракционных венцах написано немало, и это не удивительно. Они очень красивы, получить их довольно несложно и с их помощью можно проводить весма тонкие измерения, причем в условиях скромной домашней лаборатории. Можно ожидать, что и читатель «Кванта» эта тема будет небезынтересной.

Что представляется собой изображение звезды в телефоне?

Представьте себе, что вы смотрите в телефон на звездное небо. Из геометрической оптики известно, что параллельный пучок света, идущий от бесконечного удаленного источника, попаВ в объектив, должен сфокусировать в одном из побочных фокусов объектива, создав там точное изображение источника. Однако в действительности это не так.

Из-за дифракции света на краях оправы объектива изображение звезды получается в виде светлого крыжка, окаймленного цветными колыцами (рис. 1). Оказывается, размер получ-

Чем отличаются множество отверстий от одного и непрозрачный шарик от произного отверстия?

А что, если дифрагму заменить экраном с большим числом отверстий, имеющих строго одинаковые размеры, но распределенных по поверхности экрана совершенноxaотически (рис. 3)?

В этом случае проискодит наслоние огромного числа одинаковых первичных дифракционных картины, и суммарная картина сильно изменяется. Во-первых, она гораздо сильнее освещена в целом. Во-вторых, появляется дифракционный узор в виде слабого заметной лучистой структуры. Наконец, в-третьих, в центре появляется изображение источника света. Такую картину и называют венцом.

Описанный экран для получения венцов изготовить не так-то просто, да в этом и нет необходимости. Оказывется, в дифракционной картине не произойдет заметных изменений, если непрозрачный экран с множеством одинаковых круглых отверстий заменить произрачным экраном, покрытым большим числом одинаковых непрозрачных шарков аналогичных размеров. В качестве подобного экрана с успехом может быть использо-

16

Рис. 4.

вана обыкновенная стеклянная пластинка, запыленная ликоподем — желтым порошком из непрозрачных шарообразных спор плауна (рис. 4; здесь приведена микрофотография дифракционной решетки с периодом 0,02 мм, покрытой ликоподем).

Как изготовить хороший препарат?

Для приготовления препарата вам понадобится две стеклянные пластинки размером в четырьтем tetradного листа и ликоподей. Ликоподей можно купить в аптеке, а в качестве пластинок удобно использовать отмытье от эмульсиного фотопластики размером 9×12 см.

На поверхности чистой пластинки наносят капельку машинного или растительного масла (можно крупиц жира, маргарина, сливочного масла или взелина — что попадет под руку) и размазывают ее тонким слоем. Затем чистой трипочкой аккуратно протирают смазанную поверхность до произвости. Остающияся при этом тончайший слой жира служит клейкой основой для удержания части покрытия. На обработанную поверхность насыпают небольшие коливесто (с наперсток) ликоподия, пластинку наклоняют и, постукивая по краю, добавляются ссылания порошка к ее основанию. На пластинке остается широкий след в виде достаточно плотного и однородного слоя ликоподия. Затем изменяют наклон пластинки и добавляются ссылания порошка в другом направлении. Эту процедуру повторяют до тех пор, пока все листы бумаги, и постукивая нижним краем пластинки по столу, избавляются от излишков ликоподия. Правильно заполненя пластинка не должна быть ни слишком плотной, ни слишком произрачной. По виду она напоминает матовое стекло средней плотности.

Если покупие оказалось неудачным — не беда. Его легкостерить и воспроизвести заповдо. Однако обращаться с ним надо аккуратно.

При желании сохранить препарат для многократного пользования поступают следующим образом. Запыленную пластинкуkladут на стол покрытем вверх, на нее накладывают бумажную рамку шириной 0,5—1 см, вырезанную по размерам пластинки, покрывают второй (чисой) пластинкой тех же размеров и оклевают по краям положами черной бумаги. Полученный прибор можно с успехом использовать в любой момент, когда появится желание пользоваться красной дифракционной картиной или показать ее друзьям.

Дифракционныеvents — картина впечатляющая

Если через запыленную пластинку посмотреть на какой-нибудь яркий источник света не очень больших угловых размеров, то можно наблюдать описанные выше дифракционныеvents (рис. 5). При этом не нужны никакие оптические приборы: роль объекта игарет хрусталик глаз. Дифракционная картина создается на сетчатке глаз, но восприняется нами в той плоскости, в которой виден источник света.

Источником может быть диск Луны на чистом ночном небе, наблюдаемый с улицы или через окно комнаты

17

Дифраクционные венцы, наблюдаемые вокруг различных удаленных источников света.

Рис. 6. Диск Луны и его дифраクционное изображение.

Рис. 7. Венцы вокруг уличного фонаря.

Рис. 8. Лампа накаливания и изображение ее раскаленной спирали.

Рис. 9. Дифраクционное изображение пламени свети.

Рис. 10. Венцы вокруг Солнца.

2 «Квант» № 6

18

при выключенном свете (рис. 6). Или уличный фонарь, удаленный на несколько детяков метров (рис. 7). Или раскаленная спираль лампы накладная, наблюдаемая в комнате с расстояния 2—3 м (рис. 8); лучше, если лампа расположена так, что луч зрения оказывается в плоскости спирали. Или, наконец, лампя свечи (или даже — спички) на расстоянии вытянутой руки в темном помещении (рис. 9; внизу видно отражение пламени от поверхности полированного стола).

Можно любовать и венцам во кругг Солнца. Если светило находится достаточно низко над горизонтом, его рассматривают непосредственно через пластинку (рис. 10, а; восходящее Солнце сфотографировано в проеме между домами). В случае Солнца, высоко поднято над горизонтом, к запыленной пластинке надо добавить засвеченную фотопластинику или закопченное стекло (рис. 10, б).

Все фотографии, приведенные на рисунках 6—10, были сделаны обычным фотоаппаратом через красное стекло, запыленное ликоподем. Гораздо красиве дифракционная картина, наблюдаемая в белом свете. В центре картины находится светый кругг с оранжево-красным окаймленем на перipherии и изображением источника света в средней части. Этот кругг виден под углом около 3°, что почти в шесть раз больше углового диаметра Луны или Солнца (30′). К центральному круггу прилегают два ярких окрашенных дифракционных колца. Пристотревшись, можно видеть лучистую структуру картины; более отчетливо она проявляется при меньших размерах источника света. Любопытно, что, если отвлечься от этой структуры и от наличия изображения источника, наблюдаемая картина очень напоминает дифракционное изображение звезды в телеске, правда восприизведенное с огромным увеличением.

Насладившись красивыми картиками дифракционных венцов, подумайте над природой этого явления. может быть, в этом вам помогут следующее книги:

1. М. Минарт. «Свет и цвет в природе». (М., «Нука», 1969, c. 222.)
2. Р. В. Поль. «Оптика и atomная физика». (М., «Нука», 1966, c. 149.)
3. «Опты в домашней laboratorии». (М., «Нука», серия «Библиотека «Квант», выпуск 4, c. 125.)

Приложение. Чему равна длина световой волны?

В самом начале статьи было сказано, что с помощью дифракционной картины можно проводить весма тонкие изменения. Например — длины волны света. Покажем, как это можно сделать.

Как показывает наблюдения и расчеты, подавляющая часть света, прохождение через отверстие, попадает в область центрального светлого кружка (который обчено и принимает за дифракционное изображение источника). Размеры его связываны с диаметром отверстия d и длиной световой волны λ соответственно.

$$d \sin \varphi = 1,22 \lambda,$$

где φ — угловой радиус первого темного колца, а значит — и центрального светлого кружка. Отсюда, зная d и φ, можно найти λ.

Это же соотношение справедливо и для дифракционной картины, полученной с помощью стеклянной пластинки, запыленной ликоподем. Динамир d частиц<linkedния нетрудно оценить по микрофотографии дифракционной решетки с периодом 0,02 мм. Из рисунка 4 видно, что d≈0,03 мм≈3·10⁻⁵ м.

Для определения угла φ поступим следующим образом. Из черной бумаги изготовим дифрактму с темя сделанным игрой проколами: центральным, диаметром 5—7 мм, и двумя боковыми, расположенными симметрично относительно центраного и удаленных друг от друга на заданное и точное вымеренное расстояние a, например a=3 см.

В качестве источника света восполyzемся карманным фонариком. Прикроем его стекло сделанной дифрактой так, чтобы центральное отверстие оказалось как раз напротив лампочки, и положим на него осокок красного стекла. Глядя на лампочку через запыленную пластинку, удалится от источника на такое расстояние L, при котором первое темное колючий видимой глазом дифрактонной картины будет проходить через боковые проколы в дифрактме. В этом случае

$$\sin \varphi \approx tg \varphi = \frac{a}{2} L = \frac{a}{2L}$$

(мы воспользовались тем, что для малых углов синусы углов можно заменять их тангенсами).

Таким образом, длину волны λ можно вычислить по формуле

$$\lambda = \frac{d \sin \varphi}{1,22} \approx \frac{da}{2,44L}.$$

Можно решить и обратную задачу. Поляга длину волны известной (для красного света λ=0,65 мкм), нетрудно определить дифрактчий ликоподем. Проделяте это самостоятельное.

19

Задачи
M746 — M750; Ф758 — Ф762

M746. Бумажный квадрат складывается пополам по некоторой прямой l, проходящей через центр, в (невыпуклый) девятугольник. Как нужно проводить прямую l, чтобы:
a) полученный девятугольник имел наибольшую площадь?
b) В нем помещалась окружность наибольшего возможного радиуса (рис. 1)?

К. Вульфсон

M747. a) Сумма n чисел равна 0, сумма их моделей равна a. Доказите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше 2a/n.
b) Внутри выпуклого n-угольника $A_1A_2...A_n$ выбрана точка O так, что сумма векторов $\vec{OA}_1 + \vec{OA}_2 + ... + \vec{OA}_n$ равна нулю вектору, а сумма их длины равна d. Доказите, что перimeter этого n-угольника не меньше 4d/n.
b) Можно ли улучшить эту оценку (при некоторых n)?

В. Прасолов

M748. a) Можно ли разместить на плоскости конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость? (Внутренней область параболы мы называем выпуклую фигуру, границей которого служит эта парабола — см. рис. 2)
b) В пространстве расположено несколько непересекающихся конусов. Доказите, что их нельзя переместить так, чтобы они покрыли все пространство. (Конусом мы называем здесь неограниченную выпуклую фигуру, полученную в результате врашення неокоторого угла вокруг его биссектрисы.)

О. Кузьминых

M749* a) Доказите, что если $x_1, x_2, x_3$ — положительные числа, то
$$\frac{x_1}{x_2+x_3} + \frac{x_2}{x_3+x_1} + \frac{x_3}{x_1+x_2} \geq \frac{3}{2};$$
при каком условия это неравенство превращается в равенство?

20

6. Доказите, что если $x_1, x_2, \ldots, x_n$ — положительные числа, то
   $$\frac{x_1}{x_2+x_n} + \frac{x_2}{x_3+x_1} + \ldots + \frac{x_{n-1}}{x_n+x_{n-2}} + \frac{x_n}{x_1+x_{n-1}} \geq 2,$$
   причем равенство возможно только при $n=4$.
   в) Доказите, что при $n>4$ неравенство пункта
7. является точным в том смысле, что ни при
   каком $n$ число 2 в правой части нельзя заменить
   на большее.

А. Прокопьев

М750. Доказите, что, как бы ни раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в $N$ цветов, найдется
a) прямогольник, вершины которого лежат в центрах клеток одного цвета (а стороны идут параллельно линяем сетки — по вертикальным и горизонтальным прямым — рис. 3, а);
б) $l$ горизонтальных и $m$ вертикальных прямых, которые пересекаются в центрах $lm$ клеток одного цвета ($l$ и $m$ — любые натуральные числа — рис. 3, б);
в) равнобедренный прямогольный треугольник, вершины которого — центры клеток одного цвета, при $N=2$ (рис. 3, θ);
г)* то же для $N=3$.

С. Беспамятных

Ф758. Жесткая заготовка зажата между двумя параллельными направляющими, движущимися в горизонтальном направлении со скоростью $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ (рис. 4). В некоторых момент времени точки касания заготовки с направляющими лежат на прямой, перpendикулярной вектором $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$. Какие точки заготовки имеют в этот момент скорости, равные по абсолотной величины $v_1$ и $v_2$?
С. Кротов

Ф759. Невесомыйстержень длины $l$ с небольшим грузом массы $m$ на конце шарниро закреплен в точке $A$ (рис. 5) и находится в строго вертикальном положении, касаясь при этом тела массы $M$. От небольшого толка системы приходит в движение. При каком соотношения между $m$ и $M$стержень в момент «отрыва» от тела $M$ будет составлять с горизонтом угол $\alpha=\pi/6$? Чему будет равна в этот момент скорость тела $M$? Треннем претензь.

К. Сердеев

Ф760. В теплопозоливной сосуд, содержащий $m_1=20$ г гелия, влагает со скоростью $v=100$ м/с стальной шарик массы $m_2=1$ г. Найти изменение температуры в сосуд. Удары шарика о стенки сосуда и атомов о шарик считать абсолотно упругими.

Р. Алексадров

21

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications.

The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than August 31, 1982 to the following address: USSR, Moscow, 117071, Москва.

Ф761. Схему собирают из батарейки, двух одинаковых амператоров и двух одинаковых волтметров (рис. 6). Амператоры $A_1$ и $A_2$ показывают, соответствие $I_1=1,1$ мА, $I_2=0,9$ мА; волтметр $B_2$ показывает $U_2=0,25$ В. Что показывает волтметр $B_1$? Чему равно напряжение батарей?

З. Рафаилов

Ф762. На рисунке 7 приведена волтметрная характеристика лампы накаливания, номинальное напряжение которого $U_H=220$ В, номинальная мощность $P_H=100$ Вт. Лампу подключит к сети переменного тока (220 В, 50 Гц) последовательно

Рис. 7.

с конденсатором емкости $C=10$ мкФ. Определить ток в лампе и напряжение на ней. Считать, что в течение периода сегвого напряжения температура нити практически не меняется.

А. Зильберман

Problems

M746 — M750; P758 — P762

M746. A paper square is folded in half along a line $l$, passing through its centre, into a (non-convex) nine-sided polygon. How should the line $l$ be chosen in order to:
a) make the area of the polygon maximal?
b)* construct a circle of maximal radius contained in the polygon (see figure Рис. 1)?

K. Vulfson

M747. a) The sum of $n$ numbers is zero, the sum of their absolute values is $a$. Prove that the difference between the largest and smallest number is no less than $2a/n$.
b)* The point $O$ is chosen inside the polygon $A_1A_2...A_n$ so that the sum of vectors $\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OA_2} + ... + \overrightarrow{OA_n}$ is the zero vector and the sum of their lengths is $d$. Prove that the polygon’s perimeter is no less than $4d/n$.
c)* Can this estimate be improved (for certain $n$)?

V. Prasolov

M748. a) Can a finite number of parabolas be placed on the plane so that their inner domains cover the entire plane? (The inner domain of a parabola is the convex figure bounded by it — see figure Рис. 2).
b)* Several non-intersecting cones are placed in space. Show that they cannot be moved so as to cover the entire space. (By a cone here we mean the unbounded convex figure obtained by rotating an angle about its bisector).

O. Kuzminykh

23

Решения задач
M706 — M710; Ф718 — Ф722

M706. Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Доказите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.

M707. Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кругхах, причем для любой пары учеников существует кругок, в котором они занимаются вместе. Доказите, что найдется кругок, где занимаются не менее 2/3 этого класса.

Если в одном из кругков занимается весь класс, то все доказано. Пусть ни в одном из кругков весь класс целиком не занимается. Расмотрим один из кругков (назовем его кругком № 1) и одного из учеников, занятого в этом кругке (назовем его учеником A). Поскольку в кругке № 1 весь класс целиком не занят, найдется ученик B, не занимающийся в этом кругке. По условию существует кругок № 2, где занимаются вместе ученики A и B. Поскольку и этот кругок не охватывает весь класс, существует ученик C, который не не входит. Но ученик A занимается только в кругках № 1 и № 2, поэтому ученик C занимается вместе с учеником A в кругке № 1. Тогда должен существовать кругок № 3, где занимаются вместе ученики B и C. Расмотрим любого другого ученика D (если в классе есть еще ученики, кроме учеников A, B и C). Если бы ученик D не занимаался ни в кругке № 1, ни в кругке № 2, то для него не нашлось бы общего кругка с учеником A. Если бы D не занимаался в кругках № 1 и № 3, то он не занимался бы вместе с учеником C. Наконец, если бы D не занимаался в кругках № 2 и № 3, то у него не было бы общего кругка с учеником B. Таким образом, каждый ученик класса должен быть в двух из трех рассмотренных кругков. Обозначив через $y_1, y_2$ и $y_3$ число учеников в кругках № 1, № 2 и № 3 соответственно, получим $y_1 + y_2 + y_3 = 2y$, где $y$ — число всех учеников в классе. Ясно, что хотя бы одно из чисел $y_1, y_2, y_3$ должно быть не менее $\frac{1}{3} \cdot 2y$.

A. Сидоренко

M708. На сторонах выпуклого четырехугольника площади S вне его построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырехугольника площади S1. Доказйте, что площадь $S_1$ нового четырехугольника MNPQ (M, N, P и Q — центры квадратов, построенных на сторонах данного четырехугольника ABCD) равна сумме площадей четырехугольников (с вершинами, соответственно, в центрах двух соседних квадратов и серединах двух соседних сторонах исходного

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.

24

жите, что а) $S_1 \geq 2S$; 6) $S_1 = 2S$ в том и только в том случае, когда диагонали чисточеxyгольника равны по длине и взаимно перпендикулярны.

четырехугольника) и глубого параллграмма (с вершинами в серединах сторона данного четырехугольника). Найдем, чем равна площадь одного такого розового четырехугольника — например, четырехугольника $EMNF$ (см. рис. 1).

Обозначим через ф угол при вершине $B$ исходного четырехугольника. Заметим, что

$$S_{EMNF} = S_{EBF} + S_{EMB} + S_{FNB} \pm S_{MBN},$$

причем знак «+» берется, если $\frac{3\pi}{2} - \varphi < \pi$ (рис. 2), то есть $\frac{\pi}{2} < \varphi < \pi$, и знак «-», если $0 < \varphi \leq \frac{\pi}{2}$ (рис. 3).

Подсчитав алгебраическую сумму последних трех слагаемых, найдем

$$S_{EMNF} = S_{EBF} + \frac{|AB|^2}{8} + \frac{|BC|^2}{8} + \frac{|AB|\cdot|BC|}{4} \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \varphi \right) = S_{EBF} + \frac{1}{8} \left( |AB|^2 - 2|AB|\cdot|BC| \cos \varphi + |BC|^2 \right) = S_{EBF} + \frac{|AC|^2}{8}$$

(мы воспользовались теоремой косинусов для трехугольника $ABC$).

Проведя аналогичные вычисления для остальных розовых четырехугольников, окончательно получим, что

$$S_1 = S + \frac{1}{4} \left( |AC|^2 + |BD|^2 \right).$$

Но $S = \frac{1}{2} |AC| \cdot |BD| \sin \alpha$ (α — угол между диагонали $AC$ и $BD$), так что $\frac{1}{4} \left( |AC|^2 + |BD|^2 \right) \geq \frac{1}{2} |AC| \cdot |BD| \geq S$ и $S_1 \geq 2S$, — мы решили задачу a).

Поскольку последние неравенства превращаются в равенства в том и только в том случае, когда $|AC| = |BD|$ и $\sin \alpha = 1$, то есть $(AC) \perp (BD)$, мы получим получаем 6).

П. Гусятников

M709. Пол комнаты, имеющий форму правильного шестиугольника со сторонам 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со сторонам 1 и острым углом 60°. Разрешается вынуть три плитки, составляющие правильные шестиугольник со сторонам 1, и заменить их расположение другом (рис. 1). Доказите, что а) из любое расположение плиток таких операций можно получить любое другое; б) из расположения плиток рисунка 2 нельзя получить расположение рисунка 3 менее чем за 1000 операций.

Автор задачи А. Смирнов предложил заменательную пространственную интерпретацию, которая делает решение задачи почты очередным.

Представим себе куб размерами $k \times k \times k$, разбить на $k^3$ кубков $1 \times 1 \times 1$. Уложим его в «открытую коробку», склеенную из трех квадратов $k \times k$ с общей вершиной $A$, и посмотрим на него по направлению диагонали $HA$ (рис. 4). Мы увидим рисунок 3. Если же высыпать из коробки все кубики (но считать, что на внутренних стенках коробки осталась $k \times k$ — «следы» от кубиков), то мы увидим рисунок 2. Вообше, если снять сверху лишь часть из $k^3$ кубков, то мы увидим как раз такую картину, о которой говорится в условиям задачи (где $k = 10$): шестиугольник, разбитый на $3k^2$ одинаковых ромбов (с острым углом 60°)*). При этом ромб какого из трех типов — стороны которых параллельны определяемых двум сторонам шестиугольника (на рисунках 5, 6 и 7 эти ромбы показаны белым, светло-голубым и темно-голубым цветом) — соответствуют грани кубиков, параллельные определенной паре граней большого куба; отстояда ясно, что соответствие между разбиениями шестиугольника на ромбы и соответствующими «частичными»

*) Разумеется, при проектировании куба на плоскость, перпендикулярную диагонали, длинны ребер и параллельных им отрезков в определение числа разумышаются (а именно, умножаются на $\sqrt{2/3}$ — проверьте!), но мы надемся, что отсутствие коэффициента не вызовет недоумения читателей, — ведь нас интересют лишь расположения кубиков, а не размеры.

25

заполнениями коробки взаимно однозначно. Операция, указанная на рисунке 1, — это простое добавление кубика $1 \times 1 \times 1$ в свободное «гнездо» или вынимание такого кубика, на котором не лежат другие. (Например, на рисунке 7 происходит добавление кубика в «гнездо», обеспеченное красной линией.)

Тепер все утверждения задачи допускают вполне осзаемое обоснование (если не верите, сделайте модель!). Чтобы перейти от рисунка 2 к рисунку 3, нужно классify кубики в коробку по одному — и, разумеется, уложить их все можно самое меньше за $k^3$ ходов (большое число ходов может получить, если вынимайте уже уложенные кубики). Если имеется два расположения ромбов: одному соответствует заполнение $C_1$, а другому — заполнение $C_2$ кубиками, то перейти от одного к другому можно любым из двух способов: либо сначала «спуститься» к рисунку 2 — вынуть все кубики, а затем уложить нужные $C_2$ кубиков, либо «поднять» до полного куба (рис. 3), а затем вынуть лише. Нетрудно

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

проверить, что в случае $C_1 + C_2 \leq k^3$ первый, а в случае $(k^3 - C_1) + (k^3 - C_2) \leq k^3 \Leftrightarrow C_1 + C_2 \geq k^3$ второй способ гарантийрует переход от $C_1$ к $C_2$ не более чем за $k^3$ ходов. (Впрочем, наша модель позволяет указать для любых двух заполнений $C_1$ и $C_2$ точно «расстояние» $\rho(C_1, C_2)$ между ними — наименьшее число ходов, за которой можно перейти от одного к другому. Оно равно числу кубков, на которое различится $C_1$ и $C_2$, то есть число кубков $C_1$, которые лежат выше $C_2$, плоск число кубков $C_2$, которые лежат выше $C_1$.)

Заметим, что «выход в пространство» для решения этой задачи не обязательен: многие читатели изложили (по существу, то же) решения, не выходя из плоскости, примерно так. Заметим, что ромбы, у которых имеется хотя одна «горизонтальная» сторона (гольые ромбы обихотенков на наших рисунках), образуют $k$ полосок, каждая из которых ведет от верхней к нижней стороне шестиугольника и состоит из $2k$ ромбов. При этом рисунок 5 соответствует слуаю, когда все полоски максимально смешены вправа, рисунок 6 — влево, а переход (рис. 7) позволяет на одной полоске в одном месте «изгиб вправа» заменить «изгибом вп胳» — сдинуть на 1ровно одну из пересекаемых полосков ромбов. Тепер остается ввести какую-либо числовую оценку «смешения полосок» (аналогичную числу $C$ кубков в пространстве модели), и решения задачи доводится до конца так же, как и выше.

Н. Васильев

М710. Существует ли последовательность различных натуральных чисел $a_1, a_2, a_3, ...$, ни один из членов которого не равен сумме нескольких других, — прогрессия 1, 2, $2^2$, $2^3$, …: у нее каждый член на 1 больше суммы предыдущих. Но она растет слишком быстро.

Основная идея построения всех нижеследующих примеров, показывающих, что ответы на вопросы a) — г) положительные, — составляют последовательность «пачками». В примерах a), б) с показательным ростом числа в печах можно взять расстоянием примерно по геометрической прогрессии, а количество чисел в печке — постоянным; в примерах со степенным ростом длины печек, как и их первые числа, очень

26

быстро растут.
а) Пусть $a_{2m-1}=3^m-1$, $a_{2m}=3^m$. Очевидно,
$(2+3)+(8+9)+...+(3^{m-1}-1+3^{m-1})<2(3+9+...+3^{m-1})=3^m-3$
менные $3^m-1$; поэтому ни одно из чисел $3^m-1$ и $3^m$ не равно сумме предыдуших. При этом $a_1=2$ и $a_n<3^{(n+1)/2}<2(\sqrt{3})^n$ при всех $n$. (В этом примере в каждой «пачке» всего два числа.)
6) Последовательность $(a_n)$ будем строить тоже по пачкам. $m$-я пачка $(m=1, 2, ...)$ будет содержать 16 чисел:
$$15 \cdot 361^{m-1}, 16 \cdot 361^{m-1}, ..., 30 \cdot 361^{m-1}.$$
Таким образом, $a_n=361^{m-1}(14+r)$, где $m$ и $r$ выбираются из условия $n=16(m-1)+r$, $m=1, 2, ..., r=1, 2, ..., 16$.
Заметим, что сумма всех чисел в пачках с первой до $(m-1)$-й равна
$(15+16+...+30)+(15 \cdot 361+...+30 \cdot 361)+...+ +(15 \cdot 361^{m-2}+...+30 \cdot 361^{m-2})= =360+360 \cdot 361+...+360 \cdot 361^{m-2}=361^{m-1}-1.$
Допустим, что какое-то число $a$ из $m$-й пачки представимо в виде суммы $b_1+...+b_k$ нескольких меньших членов $b_1, ..., b_k$ нашей последовательности. Поскольку $a>361^{m-1}$, среди чисел $b_1, ..., b_k$ есть хотя одно из $m$-й пачки. Расмотрим два случая.
$1^\circ$. Среди чисел $b_1, ..., b_k$ровно одно из $m$-й пачки; можно считать, что это $b_1$. Но равенство $a-b_1=b_2+...+b_k$ невозможно, так как, с одной стороны, $a-b_1$, как разность чисел $m$-й пачки, не меньше $361^{m-1}$, а с другой стороны, $b_2+...+b_k$, как сумма чисел из пачек с номерами меньше $m$, не превыходит $361^{m-1}-1$.
$2^\circ$. Среди чисел $b_1, ..., b_k$ больше одного лежит в $m$-й пачке. Тогда равенство $a=b_1+...+b_k$ невозможно, так как сумма двух любых различных чисел $m$-й пачки уже больше любого третьего числа этой пачки.
Таким образом, ни одно из чисел $a_n$ не представимо в виде суммы других членов построенной последовательности.
Поскольку $361^{m-1} \leq (1,5)^{16(m-1)}$ и $14+r \leq 10 \cdot (1,5)^r(r=1, ..., 16)$, получаем
$$a_n=361^{m-1}(14+r) \leq (1,5)^{16(m-1)} \cdot 10 \cdot (1,5)^r=10 \cdot (1,5)^n$$ — условия 6) выполнено.
в), г). Построим последовательность $(a_n)$, ни один из членов которого не равен сумме нескольких других, такую, что при всех $n$ одновременно $a_n \leq n^{10}$ и $a_n \leq 100n^{7/2}$.
Сначала положим $b_m=10^{5m-2}$ для всех натуральных $m \geq 2$, то есть $b_2=10$, $b_3=10000$, $b_4$ равно единице с 25 нулями, и т. д.
Последовательность $(a_n)$ опять будет строить «по пачкам». Первую пачку возьмем состояние из одного числа — единицы. В качестве $m$-й пачки при $m \geq 2$ возьмем арифметическую прогрессию с первой членом $2b_m+1$, разность $2b_m$ и числом членов, равным $b_m^2/2$:
$$2b_m+1, 4b_m+1, ..., b_m^3+1.$$
Оценим сумму чисел $m$-й пачки
$$\frac{(2b_m+1)+(b_m^3+1)}{2} \cdot \frac{b_m^2}{2} = = \frac{b_m^5+2b_m^3+2b_m^2}{4} < \frac{b_m^5}{2} < b_m^5-b_m=b_m+1-b_m.$$
Таким образом, сумма чисел в пачках от 1-й до $m$-й включительно меньше
$$1+(b_3-b_2)+...+(b_{m+1}-b_m)=b_{m+1}-b_2+1<b_{m+1}.$$
Допустим, что некоторое число $a$ из $m$-й пачки ($m \geq 2$) представимо в виде суммы нескольких других членов построенной последовательности. Так как сумма всех членов последовательности найдется несколько чисел из $m$-й пачки; обозначим их $c_1, ..., c_k$. Остальные члены нашей суммы обозначим через $d_1, ..., d_l$:

$$a=c_1+...+c_k+d_1+...+d_l.$$