Квант 1982, №8 · Страницы

КВАНМ 8
1982

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На среднем рисунке изображена модель односторонней поверхности, отличующейся от общеизвестного (см., например, «Квант», 1978, № 6 и 1979, № 1) листа Мёбиуса. Она получена из трех цилиндрических полосок бумаги, склеенных последовательно друг с другом (см. верхний и средний рисунки). То, что поверхность — односторонняя, видно из среднего рисунка: обход из красной точки по синей линии

возвращает к этой точке с другой стороны листа бумаги, хотя линия не переходит через краей. Интересно, что, если поверхность разрезать по трех красным линиям, она разбиается на две зеркально-симметричные части; одна из них показана на нижнем рисунке. Советуем изготовить эти модели и повозиться с ними (в частности, разрезать их по синим линиям).

А. Кипенский

В НОМЕРЕ: IN THIS ISSUE:

П. Алексаандров. Математика и человекская культура 2
P. Alexandrov. Mathematics and human culture

M. Франк-Каменецкий. Самая главная молекула 4
M. Frank-Kamenetski. The main molecule

M. Шубин. Топология и … решение местности 10
M. Shubin. Topology and … the relief of terrains

K. Кикоин. Что такое потенциальная яма 16
K. Kikoin. What is a potential hole

B. Дубровский. Математика волшебного кубика 22
V. Dubrovski. Mathematics of the magic cube

Лаборатория «Кванта» Kvant’s lab
B. Майер. Свет, воздуха и вода 28
V. Mayer. Light, air and water

Задачик «Кванта» Kvant’s problems
Задачи M756—M760; Ф768—Ф772 30
Problems M756—M760; P768—P772
Решения задач M721—M730; Ф733—Ф742 34
Solutions M721—M730; P733—P742

«Квант» для младших школьников Kvant for younger school children
Задачи 49 Problems
H. Родина. Архимедова сила и киты 50
N. Rodina. Archimedean force and whales

Практикум абитуриента College applicant’s section
M. Маринчук. Квадратное уравнение в задачах по физике 54
M. Marinchuk. Quadratic equations in physical problems

П. Горнуша. В чем разница? 59
P. Gornusha. What is the difference?

A. Смоляков. Почему так? 59
A. Smoliakov. Why so?

Искусство программирования The art of programming
Ю. Первин. Однажды вечером в семье программы 60
Yu. Pervin. One evening in a programmer’s family

Ответы, указания, решения Answers, hints, solutions
Наша обложка (21) Our cover page (21)

Смесь (9, 15, 53) Miscellaneous (9, 15, 53)

Шахматная страница The chess page
Жертава ферзя в партии чемпиона мира (3-я с. обложки) Queen sacrifices in the world champion’s games (3rd cover page)

На первой странице обложки изображена пространственная модель молекулы ДНК. О том, как было выясено, что именно ДНК является главной молекулой живой природы, вы можете прочитать в статье М. Франк-Каменецкого.

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1982

2

Математика имеет репутацию самой отвлеченной науки. В то же время никакто не сметет считать ее бесполезной науккой, наоборот — эта сама нужная наука. И вот получается, казалось бы, противоречное положение: с одной стороны — сама отвлеченная и оторванная от жизни наука, а с другой стороны — сама нужная наука. Это кажущее противоречение объясняется тем, что математика имеет два спектра: теоретический, где она рассуждает о самых общих и далеко от жизни вещех, и прикладной, где она касается самых практических необходимых вещех.

Я всю свою жизнь был представителем теоретической (или, как ее еще называют, чистой) математики иникогда не имел дело с ее приложениями. В то же время я не считаю, что занимается бесполезным делом.

Один из моих учеников, ныне академик, Андрей Николаевич Тихонов начал свою научную деятельность — прикладная математика.

Академик Павел Сергеевич Александров — Герой Социальстического Труда, лауреат Государственной премии СССР, заведующий кафедрой высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ.

ность в самом отвлеченной области чистой математики (так называемой абстрактной топологии) и являся одним из создателей теории биомпактных пространств, обогатив математику одной из самых значительных конструкций, известной под названием топологического (или тихоновского) производства пространств. А в настоящее время Андрей Николаевич занимается вычислительной математикой, то есть тем, что наиболее тесно связано с потребностями практики.

Далее из этого примера вы видите, как трудно и рискованно противоставлять в математике теорию и практику.

Как же выляет математика на человека?vу? Это влияние так же многосторонне, как и сама человека?vу? Это связано с тем, что человека?vу? представляет собой не только абстрактные знания, не только искусство, не только художественную литературу. В сокровищницу человека?vу? культуры входит и математика, в частности — прикладная математика. Трудно себе представить культуру нашего времени, в котором не существует бы разработанной технических вычислений. Эта тех-

ника математических вычислений входит, например, в современную медицину и в языкеознание в полном объеме. Как же можно ее включать в человекскую культуру!

Мне хочеется остановиться на следующем вопросе: как математика действует на развитие человека линности? Вопрос этот имеет, потому что математика является учебным предметом, которое придает чрезвычайно большое значение на всех ступенях общего образования. И в алгебре, и в геометрии школьники обучаются тому, что я мог бы назвать технической человекского мышления. Ну, а можно сказать просто: мышленю. Потому что нигде, может быть, человекское мышление не выступает с такой силой и с такой яркостью, как в математике. Это во все времена признаалось всеми крупными мышлетями. Недаром Платон на входе в свою Академию, которая должна была объединять все формы человека культуруры, человекского творчества, написал: «Пусть не войдет сюда никто, не знающий геометрии». Платон считал, что геометрия — основная ступеня на пути к философскому мышлению. Сейчас мы не говорим о геометрии с такой категоричностью. Вероятно, существует много различных путей, вводящих в храм человека мышления. Но, что математике несомненно принадлежит одно из важнейших мест в развитие человекаскогоума и человекаского творчества, представляется совершенно бесспорным.

Но это лишь одна сторона влияния математики на формирование человека линности. Имеется и другая сторона.

Считается, что математические утверждения никогда не были и не

бывают дискуссионными. В этом состоянии совершенно особое положение математики в ряду других теоретических наук. Никому не приходит в голову спросить, верна ли такая-то математическая теорема.

Я говорюсь, что самим-то математикам это приходит в голову, потому что понятие математической истинны не так просто и не так однозначно, как мы привыкли это считать, опираясь на школьную математку. Когда мы приходим к высшим главам математики, мы видим, что там тоже насчитет количество тех или иных истин, кажушихся совершенностью бесспорными в других областях человекаского знания. Например, существует закон исключенного третьего: из утверждений А и (не А) верно одно и только одно: либо утверждение А, либо его отрицание; ничего третьего не дано. Так вот в математике и этот, казалось бы основной, устойвсякого познания подвергается сомнению. В математике много можно говорить о законе исключенного третьего, и вопрос о применимости этого закона — одна из больших математических проблем.

Так что вы видите: все это горизонтов сложнее и, я надеюсь, интереснее, чем кажется с первого взгляда. В математике много бесспорного, много и спорного. Другими словами, математика не является, так сказать, заключенной формулой человекаского мышления. Это — человекская мышление, находящаяся еще в стадии искания, причем исканий, относящихся к самим принципальным, к самым важным и к самым трудным сторонам мышлетной деятельности.

4

Самая главная молекула

Потребающие вещи производят в биологически. Мне кажется, Джим Уотсон сделал открытие, сравнимое с тем, что сделал Резерфорд в 1911 году.

Макс Дельбрюк
(из письма Нильсу Бору от 14 апреля 1953 года)

Из всего, что нас окружает, наиболее необходимой кажется жизнь. Мы привыкли, что она всегда вокруг нас и в нас самих, и потеряли способность удивляться. Но почти в лес, взгляните на деревья, траву, цветы, на птиц и муравьев так, будто видите их впервые, и вас охватит чувство беспомощности перед лицом великой тайны жизни. Нужели во всем этом есть нечто общее, нечто такое, что объединяет все живые существа, будь то человек или невидимый глазом микроб? Чем преследуется преемственностью жизни, ее возрождание вновь и вновь из поколения в поколение? Эти вопросы стары как мир, но только нам, живущим во второй половине XX века, посчастливилось впервые узнать ответы.

Революционные преобразования, произведение в физике в первой трети нашего века, оказали глубокое влияние на другие области науки, в первую очередь — на химию и биология. Однако из главных всех на пути создания новой физики было открытие Резерфордом в 1911 году atomного ядра. Само существование atoms Резерфорда находится в во-пищеем противоречии с классической теории. Начался период создания новой физики, известной теперь под названием квантовой механики.

Эта новая теория, разработка которой была начата Планком, Эйштейном и Бором, нашла свою окончательную и замещенную ясную формулировку в знаменитом уравнения Шредингера. Это уравнение не только позволяет физикам решать все «головоломки», которые наполились в области atomных спектров, но, будучи дополнено принципиом Паули, поставило на прочный теоретический фундамент всего химию. Наконец-то стал понятен смысл atomного номера в таблице Менделеева, ясен истинный смысл валентности, выясена природа химического связи.

У физков появилось ощущение всемуогуществва. И их взоры образились к связи связывах — к самой жизни. Не помогет ли новая физика разгадать тайну жизни? Или, может быть, наоборот — удаться доказать, что жизнь противоречит квантовой механике, и тогда придется «изобретать» какие-то новые законы. Это было бы особенно интересно.

…В августа 1932 года в Копенгаге проходил Международный конгресс по светотерапии. На одном из заседанной выставил Нильс Бор. Его lekция называлась «Свет и жизнь». В ней Бор поделился своим мыслими о проблеме жизни в связи с последними достижениями квантовой механики. На lekции приступовал молодой немецкий физик-теоретик, стажер института Бора в Копенгаге Макс Дельбрюк. До сих пор онникогда не интересовался биологии. Он занимался квантовой химей, потом ядерной физикой, но не мог найти себе занятие по вкусу. Лекция Бора все определяла: Дельбрюк твордо решил, что отпыли он посвятит себя биологии.

Вернувшись в Берлин, Дельбрюк стал искать контактов с биологами. Ему повезло. В это время в Берлине работал известный генетик Николай Владимирович Тимофеев-Ресовский.

Продолжавшиеся всего несколько лет друзья и сотрудничтое физика Дельбрюка и генетика Тимофеева-

5

Респовского явились тем началом, из которого двадцать лет спустя родилась разгадка тайны наследственности.

Дельбрюк стал собирать у себя дома друзей-физиков и приглашать Тимофеев-Респовского, который часами обучал их своей наук — генетике. Расссказывая, Тимофеев-Респовский бегал, по своему обикновению, из угла в угол, словно тигр в клетке. Он говорил о математических строгих законах Менделя, управляющих наследственностью. О генах и о заменательных работах Моргана, установившего закономерности расположения генов в хромосомах. О плодовой муше дрозфиле и о мутациях, которые можно взвать у нее рентгеновским излучением. Этим последним вопросом он как раз занимался вместе с физиком-экспериментатором Циммером.

Дельбрюка крайне заинтересовала их работа. Вообще в генетике было столько созвучного квантовой механике! Ведь квантовая механика принесла в физку дискретность, скачообразность. Она также заставила серьено относиться к случайности. И вот оказывается, что биологи тоже обнаружили дискретную недelimмую частицу наследственности — ген — которая может случайным образом переходить из одного состояния в другое (этот переход называют мутацией).

Что же такое ген? Как он устроен? Об этом часто спорили на вечерах у Дельбрюка. Тимофеев-Респовский говорил, что вообще-то этот вопрос мало интересует генетиков. Для них ген — то же, что для физков — электрон. Ген — элементарная часть наследственности.

— Что вы ответите, если я спрошу, из чего состоит электрон? — сказал однajды Тимофеев-Респовский. Все рассмеялись.

— Вот так же смешются генетики, когда их спрашивают, из чего состоит ген. Вопрос о том, что такое ген, выходит за рамки генетики, и его бессмысленно адресовать генетикам, — продолжал он. — Вы, физики, должны искать ответ на него.

— И все-tаки, — настанвал Дельбрюк, — неужели нет никаких гипо-tezз, пустычного умозрительных?

— Есть, — ответил Тимофеев-Респовский, немного подумав. — Мой учитель Николай Константинович Кольцов считает, что ген — это полимерная молекула, скорее всего — молекула белка.

— Ну и что это объясняет? — тощий, длинный Дельбрюк прямотаки кричал на широкоплечего, могучего Тимофеев-Респовского. — Оттого, что мы назовем ген белком, мы понем, как гены удаваются? Ведь главная-то загадка именно в этом! Не ты ли расссказывал нам, как характерная форма губы переходила из поколения в поколение в роду Габсбургов? Какой механизм обеспечивает стол точное копирование генов в течение веков? Разве химия дает нам такие примеры? Во всяком случае, я никогда ничего подобного не слышал. Нет, тут нужно совершенню тайтся загадка. Великая загадка. Возможно, новый закон приоды. Сейчас главный вопрос — как к этому продуктився экспериментально.

Великая тайна, скрывашаяся за коротким словом «ген», не давала покоя Дельбрюку. Как происходит удвоение, или редупляция, генов при делении клеток?

В особенно сильное возбуждение пришел Дельбрюк, когда узнал о существовании бактериофагов. Эти удивительные частицы, которые и живыми-то не назовешь, вне клетки ведут себя просто как большие молекулы — из них даже выращивают кристаллы. Но если такая частица попадает в клетку, то минут черезвадцать клеточная оболочка лопается, и из нее вываливается сотня точных копий исходной частицы. «Вот он — ключ к разгаде, — думал Дельбрюк. — Это очень простое явление, горячдо более простое, чем деление целой клетки. Здесь нетрудно будет разобраться. В самом деле, надо посмотреть, как внешние условия будут влиять на воспроизводство вирушных частиц. Над проведти эксперименты при разных температурах, в разных средах, с разныхми вирушками».

6

Так физик-теоретик превращался в биология-экпериментатора. Но мышлене — мышлене осталось чисто физическим. А главное — цель. Во всем мире не было другого человека, который занимался бы виртуами с единственной целью — узнать, как устроен ген.

… В 1937 году Дельбрюка приглашал работать в США, где он мог бы целиком посвятить себя проблеме редупликции бактериофагов. Он спешит воспользоваться этим предложением, так как жизнь в национской Германии становится невелиим.

В Америке Дельбрюк собрал вокруг себя горстку энтузинастов, заразившихся его идеей изучения природы наследственности на бактериофагах. Так возникла «фаговая группа».

Шли годы, иучатники фаговой группы все больше и больше узнали о том, как протекает фаговая инфекция, как процесс воспроизведения фагового потомства зависит от внешних условий и т. д. Было проведено много замечательных исследований, в особенности в области изучения мутации у бактерии и бактериофагов. Но все это, казалось, даже не приближало к решению основной проблемы.

Как часто бывают в науке, люди, объединенные для решения большей и важной задачи, постепенно занялись скрупулезным изучением частных вопросов, сделались мастерыми специалистами в своих конкретных областях, но перестали видеть перед собой исходные цели. Так путики видят издалека сяюше горные вершины, но затем, приближаясь к ним, попадают в лесные предгорья, откуда эти вершин не видно. Эти леса изобилиют грибами, ягодами… Если долго耕ить по предгорьям, то виденные издалека снежные вершины начинают казаться миражем. Можно быть, это были лишь облака, похожие на снежные горы? Но даже если это и в самом деле были горы, зачем туда спешить? Ведь здесь, в этих нежженных лесах, так хорошо. Чтобы люди вновь вспомнили о цели, нужен громкий голос лидера.

И такой голос произвел. Это был голос замечательного физиактеоретика, одного из создателей квантовой механики Эрвина Шредингара.

В 1944 году вышла в свет небольшая книга Шредингара под бросским заголовком «Что такое жизнь? С точки зрения физика». Тогда она не привлекла почти никакого внимания. Шла война, и большеинстров тех, кому была адресована книга, с головой ушли в научнотехнические проблемы, от решения которых во многом зависит исходы с физической Германии.

Но когда война кончалась, появилось много специализитов, особенно среди физков, которые надо было все начинать сначала, снова искать себе место в мирной науке — вот для них книжка Шредингара оказалась как нельзя кстати.

В своей книге (на русском языке она вышла впервые в 1947 году) Шредингер, прежде всего, дал оченьясное и скатое изложение основных генетики. Для физков это была уникальная возможность узнать, причем вlectedшем и, главное, доступном изложении их прославленного коллекги, в чем же состоит эту этой загадочного привлекательной науки. Но мало того. Шредингер изложил иlectraше развил идея Дельбрюка и Тимофеева-Ресовского о связи генетики и квантовой механики. Пока эти идеи вывгались неизвестными физкам лидыми, на них не обращали особого внимания. Но когда об этом заговорил сам Шредингер…
По признанию всех, кто в последующее годы штумовал проблему гена, именно книга Шредингара послужила для них главным толчком. Шредингер был тем, кто как бы крикнул: «Вот они, сяюше вершины, посмотрите, они совсем уже близко. Что же вы мешкаете?»

Из многих, откликнувшихся на признание Шредингара, двойм посчастливилосьервыми увидеть дали, открывшиеся с самого верха. Это были совсем еще юный воспитник фаговой группы Джим Уотсон и сотрудник прославленной Кавендишской лаборатории Фрэнсис Крик.

7

Не будем подробно прослеживать их путь к вершине — об этом рассказал сам Уотсон в своей книге «Двойная спираль». Давайте пробуем кратчайшим путем достичь этой вершины, одной из величайших, когда-либо покоренных человеком, и хотя чуть-чуть ощутим те чувства, которые испытыли первопроходцы и те, кто щел за ними следом.

Будучи одержим идеей узнать, как устроен ген, и считая, что фаговой группе эта задача не по плечу, Уотсон в 1951 году едет работать в Европу. Вскоре он «осел» в Кавендишской лаборатории, так как встретил там Крика, который был настроен так же по-боевому, как и он сам. Уотсон к тому времени уже был уверен, что ключ к разгадке тайны гена — в выясении структуры ДНК.

Дело в том, что в том же 1944 году, когда вышла книга Шредингера, в одном из медицинских журналов была опубликована статья трех американских бактериологов во главе с шестидесятейлным Эвери, которая в последовенные годы привлекла в гораддо большей степени винимание генетиков, химков и физков, чем медиков. В этой скрупулезно выполненной работе было абсолютино однозначно доказано, что когда из убитой бактерии неотorious генетические признаки передаются другой, живой бактерии (это явление было к тому времени уже давно известно и называлось трансформацией), то просходит передача только молекулезокрибонуклиновой кислоты (ДНК). Ни белки, ни какие-то другие составляющие убитой клетки в трансформации не участвуют. Собственно, эта работа Эвери теперь считается первым доказательством того, что гены представляют собой именно молекулу ДНК. Так что же, Эвери со своим двумя помошниками, а вовсе не Уотсон и Крик, впервые повышали на вершине?

Бесспорно, Эвери сделал очень важный шаг в нужном направлении, но до вершины он не добрался. Эйштейн как-то сказал изучительные по своей глубине слова: «Лишь теория решает, что мы уxitряем наслюдать». У Эвери не было в запасе ничего такого, что можно было бы назвать теорией, и он ограничился сухим изложением фактов. Это, однако, не делало проблему менее строй. Генетики оказались перед выбором — либо надо отказывать верить данным Эвери, либо признать, что веществом наследственности является ДНК, а не белок, как принято было считать. Не верить Эвери было трудно — в его работе просто не к чему было придаться. И все-tаки генетики ни за что не хотели отстоявшего представления о белковой природе гена. Опытам Эвери былоано следующее объяснение: ДНК, конечно, никаких генов не содержит и содержать не может, но она может вызывать генные мутации, то есть изменять гены, которые, как им и положено, состоит из белка. Такое объяснение спасало белковую теорию гена. Правда, действие ДНК оказалось весом необучным: вызываемые его мутации повторились от опыта к опыту. И это, конечно, не могло не заинтересовать генетков, уже давно искавших способы направленного изменения наследственности. И генетики, и все, кто занимался проблемой химической (или физической) природы наследственности, вынуждены были, наконец, принять, что на ДНК следует обратить серверное внимание.

Дело в том, что, хотя ДНК была открыта Мишером еще в 1869 году, она оставалась «падчерцей» даже у биохимиков, не говоря уже о генетиках или физках, занимающих биологический. Было общепризнано, что ДНК — это регулятор полимер, состоящий из строю повторяющихся четырехомерных звенев (аденинового, гуанинового, тиминового и цитозинового), и эта молекула, скорее всего, выполняет какую-то чисто структурную функцию в хромосомах, но ни в коем случае не связана с хранением и передачей генетической информации. Работа Эвери заставила усомнить в этих взглядах.

Той теорией, которая решила, что же на самом деле уxitрились наблюдать Эвери и его последовательности, была модель строения молекулы ДНК, придуманная Уотсоном и Криком в 1953 году.

8

Если отбросить детали, то суть модели Уотсона — Крика предельно проста. Молекula ДНК состоит из двух полимерных цепочек. Каждая из цепочек представляет собой некоторую последовательность из звеньев четырех сортов — А (адениновое), Г (гуаниновое), Т (тиминовое) и Ц (цитоzinиновое). Последовательность в одной из двух цепей может быть совершенно произвольна. Тогда последовательность в противоположной, или, как говоря, комплементной цепи однозначно задается с помощью следующого принципа комплементности (рис. 1):
против А должно быть Т
против T должно быть А
против Г должно быть Ц
против Ц должно быть Г
Прицип комплементности был выведен из известного к тому времени пространственного строения мономерных звеньев ДНК. В этом Уотсон и Крик следовали общему методу построения молекулярных моделей, разработанному Лайнусом Полингом.

Если внутри каждой из взаимно комплементных полимерных цепочек atoms скреплены очень мощными кovalentными связями, то между цепочками действуют сравнительно слабые связи, подобные тем, которые удерживают молекуры друг возле друга в кристалках.

Самой заменательной особенностью модели Уотсона — Крика было то, что она с необыкновенным изяществом решала главную проблу — проблу редупликции гена.

Ведь если мы разведем две нити, а потом на каждой нарастим, согласно принципу комплементности, по новой нити, то мы получим из одной молекулы ДНК две, причем об будут идентичные исходной (рис. 2).

Можно себе представить, в какое возбужждение пришел Дельбрюк, когда получил от Уотсона письмо, содержащое решение загадки удвоения гена. Он сразу и безоговорочно поверил в модель Уотсона — Крика. Под печатлением письма Уотсона он и написал те слова, которые мы привели в качестве эпиграфа. Конечно, он тогда испытывал особую благодарность Бору за то, что тот вдохновил его в свое время заняться биологическим. Нет, новых законов физики в биологии не обнаружили. Но центральную проблу, проблу физического строения гена, решить удалось.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

10

М. Шубин

Топология и…
рельеф местности

Топология — в отличие от топографии — специально не занимается картами рельефа местности. Эта наука изучает, как приято считать, наиболее глубокие свойства геометрических фигур. Такие свойства (их называют топологическими) могут быть одинаковыми у внешне совсем не по-

хожих фигур — М. Гарднер как-то писал, что «топология принято называть математиков, которые не могут отличить кофейнуюашку от бублика». Иногода топологические свойства и величины получаются как комбинации совсем простых геометрических свойств и величины. Именно так объектит дело в знаментий теореме Эйлера о многограничках*). Сейчас мы познакомимся с еще одним примером такого же рода — одной теореой из «теории Морса**). В ней-то решение и появится.

На географических картах рельеф местности обычно показывают с помощью линейного уровня, соединяющих точки, изображающие точки земной поверхности, находящиеся на данной

*) См., например, главу о топологии в книге P. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика?» (М., «Просвещение», 1967), а также ниже теорему 2.

**) Гарольд Марстон Морс (1892—1977) — замечательный американский математик, создавший теорию, называнию впоследствии его и представляющий собой один из важных разделов современной топологии.

Рис. 1.
Рис. 2. Примеры поверхностей.

11

высоте над уровнем моря (рис. 1). Математический модель ограниченного участка земной поверхности служит геометрической поверхности в пространстве, заданная уравнением вида $z=f(x,y)$. Несколько примеров поверхности показано на рисунке 2. На каждой поверхности нарисованы множества точек, лежащие на данной высоте $z=const$, а линии уровня являются проекциями этих множества на плоскость $Oxy$. Таким образом, линяя уровня — это множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих уравнению $f(x,y)=const$, где постоянная в правой части определяет расстояние между линии уровня, так что линии уровня как бы нумеруются таким постояными. На рисунке 2 мы под каждой поверхности помещили соответствующие семейства линейного уровня.

Нас в первую очередь будет интересовать поведение решения решения вблизи его характеристих точек — вершин, котловин и перевалов, а также вблизи его точки наклона.

Вершина. Характерное поведение линейного уровня реблефа вблизи вершины показано на рисунке 3. Казалось бы, вершину можно определить просто как самую высокую точку неоторого окружающего ее участка местности. Однако окрестности таких точек могут иметь города более сложное строение, чем на рисунке 3. Например, можно себе представить, что в сколь уголно малой окрестности такой точки имеются как-то другие точки, обладающие тем же свойствам, но расположенные ниже данной (рис. 4). Желая исключить такую ситуацию (ией подобные), мы назовем точку вершиной, если она является самой высокой точкой неоторого окружающего ее участка местности и в ее окрестности линейного уровня устроены, как на рисунке 3, то есть они являются замкнутыми кривыми без самопересечений, охватывающими расстояние точки, причем $z_0>z_1>z_2>...$.

Котловина (рис. 5) — это «вершина наоборот», то есть точка,

Рис. 3.
Рис. 5.
Рис. 7.
Рис. 6.

которая станет вершиной, если у расстоянияемой функции изменить знак. Таким образом, котловин мы назовем точку, у которой линейного уровня устроены так, как показано на рисунке 5, причем $z_0<z_1<z_2<...$.

Перевал. Перевал можно описать как точку, вблизи которой реблефтстроен как седло (рис. 6). Около перевала линейного уровня располагаются так: в точке перевала существуют два таких направления, что, идеally из них вперед или

12

назад, мы будем подниматься, а иду по другому — спускаться. Более того: направления первого типа заполют два вертикальных угла, а направления второго типа — два других вертикальных угла, так что разделющие их прямы, заданное эти две пары вертикальных углов, должны касаться линейную, проходящих через точку перевала. Итак, мы будем называть перевалом точку, в окрестности которого линейную уровня устроены в соответствии с только что приведенным описанием.

Точка наклона (рис. 7). Горяя образно, точка наклона — это такая точка ребра, что, если в нее положить шарик, он показится, тогда как шарик, аккуратно поставленный в точку, является вершиной, котловиной или перевалом, будет показаться (хотя в случае вершины или перевала его равновесие будет неустойчивым). Изовем точкой наклона точку ребра, что влизаи не линейную уровня устроены, как на рисунке 7, причем … <z₂< <z₁< <z₁< <z₂< …

Точнее, семейство линейную должно бытую таково, что его можно получить из семейства параллельных прямы так называемым домашomorphизмом, то есть взаимно однозначным и взаимно непрерывным преобразованным участка карты.

Заметим, что на карте точке наклона, как правило, большистivo. Например, все вершины, котловины и перевалы изолированны и окружены точками наклона.

Разумеется, кроме вершин, котловин, перевалов и точке наклона, существует и другие типы точек. Например, на географической карте попадаются платы — целые области, высота точки которых постоянна. Постоянная максимальная высота может быть и на целой линии, как, например, на рисунке 2, в. Бывают и более «хитры» точки, например «обезьяны седла» (рис. 2, 2) и точки скопления вершин (рис. 4). Однако все точки, не являющиеся точками наклона, кроме вершин, котловин и перевалов, можно установить, чтобы подправив реблеф местности; они при этом исчезают или заменяют на несколько вершин, котловин, перевалов*). Поэтому, помимо точки наклона, мы будем рассматривать только эти три типы точек.

Теперь мы можем сформировать нашу основную теорему, являющуюся одной из простейших теореми Морса.

Теорема 1. Пусть в море дан остров с таким ребром, что все точки острова суть либо точки наклона, либо вершины, либо котловины, либо перевалы, причем все береговые точки острова являются точками наклона. Пусть В — число вершин этого ребра, К — число котловин, П — число перевалов. Тогда

B+K−Π=1.

Доказательство 1) Наозовем самую высокую вершину нашей

*) Этот факт (в более строгой формулировке) является одной из теореми Морса; нам он не потребуется.

13

острова Эверестом (если таких вершин несколько на одинаковой высоте, наозем Эверестом любую из них), а самую глубокую котловину наозем Маршанской владиной. Может так изменить рельеф острова, не меняя чисел B, K, Π и не нарушая условия теоремы, чтобы оказались выполненными следующие условия:

a) все вершины имеют одинаковую высоту (равную высоту Эвереста);
b) все котловины находятся на уровне моря;
b) все перевалы находятся на разной высоте.

Проще всего удовлетворить условия a) — для этого достаточно «надстроить» все вершины до уровня Эвереста (рис. 8).

Задно выкопаем все котловины до глубины Маршанской владины — это нам понадобится для последующего обеспечения условия 6). Это условия выполнить не так просто — если пытается «засыпать» котлови-

Рис. 8.

Рис. 9. Поднятие точки перевала: синяя часть поверхности (ее мы считаем жесткой) сдигается немного верхх, а розовая часть (ее можно себе представить сделанной из тонкой резиновой пленки) слегка вытягается от неподвижной внешней границы.

ны, можно наткнуться на перевал. Однако есть простой выход: «высушить море». А именно, можно считать, что под водой берега острова кругу уходят вниз до глубины, превышающей глубину Маршанской владины. Тогда надо просто «высушить» мореровно до этой глубины.

Для обеспечения условия в) надо уменьшить часть приподнять или опустить окрестность данного перевала, не задавая других вершин, котловин и перевалов и не создавая новых вершин, котловин и перевалов. Это можно сделать, например, приподнимающая целиком часть рельефа, находящая внутри круга малого радиуса ε с центром в данной точке перевала (рис. 9, а), не трогая точки, лежащие вне круга радиуса 2ε (с тем же центром), и доставвая рельеф между окрестностями радиусов ε и 2ε так, как показано на рисунке 9, б.

Итак, будем считать, что рельеф нашего острова удовлетворяет условия a) — в).

2. Теперь устроим «всемирный потоп». Пусть должна постепенно заливает остров, поднимая равномерно уровень воды всюду (в котловинах и в море) от уровня моря до высоты Эвереста. При этом на острове отложя в котловинах образуют внутренние озера, и он может в дальнейшем делаться на более мелкие острова. Мы будем следить, как по ходу потопа меняется количество озера и островов. Море не будем считать озером.

В начале потопа на доньшках котловин образуется K озер. В конце потопа все озера сливаются с морем, а над водой остаются лишь верхх всex гор (вот для чего они надстраивались!), так что количество озера и островов задается следующей таблицей:

| | Озера | Острова |
| :— | :— | :— |
| Начало потопа | K | 1 |
| Перед полным затоплением | 0 | B |

3. Посмотрим, когда меняется число озер и островов в процессе

14

потопа. Ясно, что если вода заливает лишь точки наклона, то изменения этих чисел не производит. Посмотрим, что будет, когда вода покрывает какой-нибудь перевал (рис. 10). При этом имеется две возможность:

a) сливаются воды одного и того же озера; тогда число озер не меняется, но загорает новый остров (рис. 11);

6. сливаются два разных озера (рис. 12); тогда число озер уменьшается на 1, а число островов не меняется.

Итак, при каждом покрытии водой перевал или уменшится на 1 число озер или увеличится на 1 число островов. Но всего количество озер уменшается на K, а количество островов увеличивается на B—1, так что K+(B-1)=Π, то есть B+K−Π=1, что и требовалось доказать.

Следствие. Пусть все точки Земного шара суть льюго точки наклона, льювершины, льюковины, лью перевалы. Тогда B+K−Π=2.

Доказательство. Будем считать, что на дно самой глубокой из котловин налита вода (это можно добиться, высутив все моря и океаны и оставив воду лишь на донышке Маринской платины). Тогда все остальное можно считать островом, а воду на донышке этой котловины — море. Но у всей Земли вершин и перевалов столько же, сколько у этого острова, а котловин на 1 больше. Остается воспользоваться теоремой 1, и следствие доказано.

Примером решение, к которым применимо это следствие, может служить всякий многогранник, внутри которого можно найти такую точку O, что все перепедикуляры, опущенные из нее на грани, попадают на сами грани (a не на их продолжения).

Тогда, если называть высотой ребефа в данной точке многогранника расстояние от нее до точки O, то основания перепедикуляров, опущенных из O на грани (и только они), будут котловинами, вершины ребефа будут лежать в вершинах многогранника, а перевалы будут в основаниях перепедикуляров, опущенных из точки O на ребра (проверьте!). Отсюда следует, что для таких многогранников верна

Теорема 2 (теорема Эйлера о многогранниках). Пусть Γ, В и P — числа граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Тогда

$$\Gamma + B - P = 2.$$

Как мы увидим ниже, эта теорема на самом деле верна для любого выпуклого многогранника — без формулированного перед ней дополнительного условия. Она легко выводится из следующего теоремы.

Теорема 3 (теорема Эйлера о картах). Пусть дна политеческая карта острова, оранчиенное замкнутой кривой, причем выполены следующие условия:

a) число стран больше или равно 2;

b) каждая страна оранчиена замкнутой кривой без самопересечений;

b) нет страна, лежащих одна внутри другой (типа Монако, Batikana или Сан-Марино).

Пусть C — число страна, B — число вершин (точек стыка границ или

15

границ с лицей берега), Г — число границ (от одной вершины до другой), причем границы с морем тоже считаются. Тогда С+B—Г=1.

Пример. На карте, изображенной на рисунке 13, C=2, B=2, Г=3.

Доказательство теоремы 3. Достаточно построить на нашем острове такой ребёнч, чтобы вершины его находились в точках стыка границ, которых —ровно по одному на каждой границе (границы с морем можно считать внутри острова). Это можно сделать так: поставить в точках стыка границ стороны башни, имеющие форму Эйфелевой башни; на границах построить крепостные стены, снижающие к середине каждой границы и полого сходящие в сторону каждой из двух стран, которые разделят эта граница; наконец, вырыть по котловине в каждой стран, причем склонны котловин должны полого выходить к крепостным стенам. Пример также ребёнч для карты рисунка 13 изображен на рисунке 14. Теперь остается воспользоваться теоремой 1, и теорема 3 доказана.

Следствие. Если на сфере наиссована политическая карта с числом стран не менее 3, удовлетворяющая условия 6) и в) теоремы 3, то для нее

C+B—Г=2.

Доказательство. Можно считать одну из стран морем, а все остальное — островом. тогда применяма теорема 3, немедленно приводящая к требуемому результату.

Доказательство теоремы 2 (для любого выпуклого многогранника). Возьмем точку O внутри рассматриваемого многогранника и проведем какую-нибудь сферу большого радиуса с центром в точке O. Теперь проектирует наш многогранник из точки O на сферу. тогда мы получим на сфере политическую карту (грани многогранника проектируется в страны, а ребра — в границы), к которой применимо предыдущей следствие.

Задачи

1. Сформировать и доказать аналогич следствие из теорем 1 и 3 для того, то есть поверхности бараники или автоматной шины (рис. 15).

2. То же — для «сферы с p ручками» (на рис. 16 изображена сфера с треяя ручками).

Новые книги

Украинское издательство «Вища школа» выпускает в 1 квартале 1983 года книгу «Математika сегодня» (научно-популярный сборник на русском языке, под редакциейей проф. А. Я. Дороговцева).

Сборник предназначен для студентов и преподавателей вузов, но, несомненно, будет интересен и полезен школьникам старших классов и учительям средней школы. Он включает статьи, посвященные актуальным направлениям математики, ‘раздел нерезеленых проблем, статьи о студенческих олимпидах по математике, новые задачи.

Сборник выходит ограниченным трахом, поэтому рекомендуем своевременно оформить заказ на него. Заказы нужно направлять в магазина «Книга — почтой» по адресу: 252117, Киев, ул. Попудренко, 26.

16

К. Кикопин

Что такое потенциальная яма

Пotenциальная яма — это яма, которая еще не вырыта…
(из научного фольклora)

В физике часто встречается фраза: «Частца (или система) находится в потенциальной яме». Что же такое потенциальная яма и почему любой физической объekt в конце концов в ней оказывается? Попробуем в этом разобраться. Удобнее всего это сделать на конкретных примерах. На нем с самого простого.

Яшик и шарик

Возьем яшик с нервным динамием, в котором есть выпуклости и вмятины (лунки), иbrosим в него металлический шарик. Покатавшись по днишу, шарик в конце концов оставится на дне одной из лунок. Задаимся вопросом: почему шарик оставился в лунке, причем именно на ее дне, а не на склоне? Очевидный ответ состоит в следующем. На шарик, находящейся на стенке лунки (или выпуклости), действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_\tau$ и сила реакции стенки $\vec{F}_p$ (рис. 1). Равнодействующая сила $\vec{F}$ направлена вниз по склону, поэтому шарик, в соответствии с вторым законом Ньютона, приобретает ускорение и скатывается на дно лунки. На дне действие двух сил ($\vec{F}_\tau$ и $\vec{F}_p$) уравновешивается, иравнодействующая обращается в нуль, так что здесь шарик будет находиться в положении равновесия.

Рассмотрим ту же самую ситуацию с энергетической точки зрения. У шарика, покоящегося на дне лунки, скорость равна нулью, равна нулью и его кинетическая энергия. Следоватьно, вся энергия, которой он обладает, — потенциальная. Попробуем сdynить шарик из положения равновесия. Ясно, что на любое перемещение шарика вверх по склону должен затрачена работа против силы тяжести. За счет этой работы, произведенной над телом, возвращает его потенциальная энергия. Но если эта энергия ($E_\pi$) возвращает при любом

17

перемещения ($r$) относительно положения равновесия, то, значит, в самом равновесной точке ($r=0$) она минимальная (рис. 2).

Тепер проследим за превращением энергии шарика, брошенного на дно ящика. В первый момент он обладал определенной kinетической и потенциальной энергей. При движении вверх и вниз по впадинам и выпуклостям дниша проискодило взаимное превращение kinетической и потенциальной энергей, но при этом часть энергии терялась на работу против треня. В конце концов общий запас механической энергии стал настолько малым, что шарику его не хватило, чтобы выбрать из очередной лунки, и он оставился на ее дне. В этом положении вся оставшаяся у шарика энергия — потенциальная и равная минимальным значению, возможноу в этой лунке. Для примера на рисунке 3 показаны два возможных положения равновесия шарика в двух соседних лунках разной глубины. Каждый из равновесных положений отвечает свой минимум энергии, причем $E_{n\min 1} < E_{n\min 2}$ (для премещения шарика из положения 1 в положение 2 нужно затратить положительное работу).

Итак, мы пришли к еще одному определению равновесия (точнее — устойчивого равновесия):

устойчивому равновесному положению тела всегда отвечает минимальное значение его потенциальной энергии.

Или, как говоря в таком случае, — в положении устойчивого равновесия тела находится в потенциальной яме.

Разобранный нами пример прост и нагляден: потенциальная яма для шарика оказывается ямой и в буквальном, житейском смысле. Тепер перейдем к объекту, для которогоникаой реализной ямы представить себе нельзя, а потенциальная яма, тем не менее, существует и определяет его равновесное состояние.

Мыльный пузьрь

Любому ребенку известно, что обыкновенный мыльный пузьрь всегда сферическую форму. Почему это так?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить о поверхностном натяжении. Мыльный пузьрь, с физической точки зреня, — это жидкая плена, ограничивающая полость, заполненную газом. Если посмотреть на эту пленку в более крупном масштабе, то можно увидеть, что она состоит из двух поверхностных слоев (внешнего и внутреннего) и жидкости, заключенной между ними. Молеклы на поверхности находится в особых условиях по сравнению с объемными молеклами. Каждый из молекул внутри жидкости пребывает в окружении себе подобных, и результатирующая всех сил прияжения равна нулю. На поверхности молекул с одной стороны действия молекулы нежидкости, а газа, имеющего значительное меньше плотность. Поэтому равновесную силу прияжения на поверхности всегда направлена во внутрень, в объем. Следовательно, молеклы, для того чтобы выйти на поверхности, должны совершить работу против

18

этих сил прятяжения. А это означает, что молекуры на поверхности жидкости обладают большей энергейей, чем внутри. Эту дополнительную потенциальную энергию называют поверхностной энергейей. Чем больше площадь поверхности S, тем больше поверхности энергия Eₙ₀ₑ:

$$E_{пов} \sim S, \text{ или } E_{пов} = \sigma S.$$

Коэффициент пропорциональности и есть поверхности натяжение. Этот коэффициент изменяется относением работы A, необходимой для увеличения площади поверхности на ΔS, к величины ΔS. Для каждого жидкости он свой.

Когда мы надваем пузырь, размер полости (а значит, и поверхности пленки) увеличивается, но количество жидкости в пленке, естественно, остается постоянным. Ясно, что увеличение поверхности возможно только за счет выхода новых молекул из объема в поверхности слой, то есть за счет совершения работы и увеличения поверхности энергии жидкости.

Тепер мы можем ответить на вопрос, почему же мыльный пузырь имеет форму сферы, а не, к примеру, яйца, эллипсона или многогранника. Дело в том, что сфера обладает замечательным свойством: из всех геометрических фигур, ограничивающих данный объем, она имеет наименьшую поверхности. Поэтому, если мы попытаемся придать пузырю неферическая форму, то мы будем вынуждены увеличить площадь поверхности слоя, то есть совершить дополнительную работу по выводу молекул на поверхности, а значит — и дополнительно увеличить поверхности энергию жидкости.

Иными словами,
сферический форму пузыря отвеяет минимум потенциальной энергии пленки, образующей его оболочку.

Спрашивается, кто же здесь находится в потенциальной яме? Ясно, что это не отдельная часть, поскольку сама природа поверхности натяжения связана не с отдельными молекулами, а с их взаимодействием. Нельзя даже сказает, что в потенциальной яме находится молекулы поверхности слоя, так как при изменении радиуса пузыря происходит переход молекул из объема на поверхности или наоборот (да и при постоянных размерах пузыря, благодаря темповому движению, имеет место непрерывный объем молекулами между объемом и поверхности).

Таким образом,
в потенциальной яме находится всего поверхности энергии жидкости.

А ввести понятие потенциальной ямы нам удалось только получить потенциальной ямы, отвечающей сферической форме пузыря (рис. 4). Уменьшить площадь молекулы сжав пузырь, то есть совершить дополнительную работу по скатанию газа, находящемся внутри полости. Соответствующое возрастание энергии системы в этом случае показано на рисунке 4 штиrxовой линей. Так что в действительности в потенциальной яме находится сложная система «поверхности молекулы жидкости + объемные молекулы жидкости + молекулы газа внутри полости».

Ионный кристалл

Рассмотрим, наконец, последний пример системы, находящаяся в потенциальной яме. Для такой системы вид потенциальной ямы можно установить с помощью точных, но весма грамодиких вычислений, а можно и приближенно, буквально в нескольких

20

В кристалле ситuation, конечно, более сложная. Кроме ближайших соседей с зарядами противоположного знака у любого она имеется следующие, одноменно заряженные, соседи, за ними — еще и так далее. Хотя размеры кристалла и ограничены, число соседей можно считать бесконечно большим. Действительно, возьмем для примера соль «Экстра» самого мелкого помола. Ее кристаллики имеют размеры ~0,1 мм, а постоянная решетки $a \sim 10^{-8}$ см, так что на ребре такого кристаллика уменьшается ~10^6, на грани — 10^12, а в объеме ~10^18 одинаковыхонов.

Расчет полной энергии взаимодействия столбцового числаонов, на первый взгляд, представляет собой безумно сложную задачу. Однако с помощью острумного приема, основанного на функментальных физических сообщениях, расчет можно выполнить действительно в несколько строк. Подробно об этом будет расссказано в Приложении II в конце статьи, здесь же мы лишь приведем окончательный результат. Оказывается, суммарная энергия взаимодействия всехонов в кристалле имеет вид

$$W_{\text{кр}}(a) = -\frac{Ae^2}{a} + \frac{B}{a^n},$$

где $A$ и $B$ — неокотые постоянные. Графические она представляет собой кривую с минимумом, описывающего потенциальную яму, в котором находится кристалл в целом. Это означает, что в состоянии равновесия相互作用 решетки принимает такое значение $a_0$, которое соответствует минимуму потенциальной энергии.

Мы рассмотрели три, на первый взгляд, совершенное различных объекта и убедились в том, что для каждой из них потенциальная энергия изображается кривой с минимумом. В общем случае вид потенциальной ямы может быть более сложным, в частности — зависит не от одного параметра, а от нескольких, но общий принцип всегда один и тот же:

в состоянии устойчивого равновесия любая система имеет минимальную потенциальную энергию, или, других словами, пребывает на дине потенциальной ямы.

Приложение I

Вычислим потенциаль $\varphi_1$, создаваемый в точке 1 с координатой $r_1$ электронским зарядом + $e$, находящимся в начале координат (рис. 7). Как известно, этот потенциаль равен работе электронского поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Поместим в точку 1 пробный положительный заряд $q$. По закону Кулона на него состоит заряд $e$ действует сила $F = qe/r_1^2$ (в абсциссной системе единиц). Найдем работу $A_{1-2}$ по перемещению заряд $q$ из точки 1 в ближайшую точку 2. При этом расстояние $r_2 - r_1$ выберем настолько малым, чтобы на всем участке 1-2 силу можно было считать постоянной и равной $F_1 = qe/r^2 = qe/(r_1r_2)$. Тогда

$$A_{1-2} = F_1(r_2 - r_1) = \frac{qe}{r_1r_2}(r_2 - r_1) = qe \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).$$

Аналогично можно вычислить работу $A_{2-3}$ по перемещению заряд $q$ из точки 2 в ближайшую точку 3:

$$A_{2-3} = F_2(r_3 - r_2) = \frac{qe}{r_2r_3}(r_3 - r_2) = qe \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_3}\right).$$

Очевидно, что работа поля на участке 1-3 равна сумме работы 1-2 и 2-3:

$$A_{1-3} = A_{1-2} + A_{2-3} = qe \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) + qe \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_3}\right).$$

Продолжая рассуждение, можно убедиться в том, что промежуточные точки нижкой полей не играют, и в выражение для работы входят только координаты начальной и конечной точки. Поэтому работа поля по перемещению пробного заряд $q$ из точки 1 в бесконечность ($1/r_\infty = 0$) равна

$$A_1 = qe \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_\infty}\right) = qe/r_1.$$

Тогда окончательно для потенциаль в точке 1 получаем

$$\varphi_1 = \frac{A_1}{q} = \frac{e}{r_1}.$$

Te, кто знаком с интегрированием, легко могут получить этот результат в одну строку…

21

Приложение II

Для того чтобы найти полную потенциальную энергию кристалла, прежде всего вычислим его электростатическая энергия. Расмотрим нон натрия Na⁺, расположенный в центре кубического решетки, которая изобразена на рисунке 5. Ближайшие его соседей — это 6 инов хлora Cl⁻, расположенных на расстоянии r=a/2 от него. Каждый из них создает потенциальная -e/r=2e/a. Согласно принципу суперпозиции, потенциаль суммы зарядов равен сумме потенциальных этих зарядов; следовательно, близкий соединитель, близкий соединитель 12 инов натрия, находится от расматриваемого она на расстоянии a/√2. Их суммарный потенциаль равен +12√2e/a=+16,97e/a. Продолжая эту процедуру, можно найти, что третьи соединитель потенциаль —9,24e/a, четвертые +6e/a, …, девятнадцатые —3,08e/a и так далее.

Ясно, что суммировать все эти слагаемые беспереспективно. Однако тот факт, что знаки слагаемых черезются (разноимененно заряженные соединителься с одномименно заряженными), наводит на мысль, что эти слагаемые можно как-то перегруппировать, и интересующее нас сумму найти более коротким путем. Такая перегруппировка действительно существует, и основывается она на сообщении электронной связи.

Давайте соччитем суммарный заряд всех ионов куба, изобразенного на рисунке 5. При этом будем полагать, что кубу принадлежит только половина каждой изона, расположенного на его грани, четвертый каждой изона, расположенного на ребре, и восмая часть каждой изона, находящаяся в вершине. Такое предположение относительно не производилось. Если мы мысленно разобъем весь кристалл на кубики, подобные нашему, то оказывается, что он на грани принадлежит сразу двум кубикам, но не ребре — четЫрем, а он в вершине — восмяни кубикам. Так вот, суммарный заряд куба, сосчитанный в соответствии с такой договоренностью, оказывается равным нулю! Иными словами, предположенный способ позволяет разбить кристалл на электронный判处йки. Кулоновская энергия это

го нейтрального куба равна

$$-\frac{12}{2} \frac{e^2}{a} + \frac{16,97}{4} \frac{e^2}{a} - \frac{9,24}{8} \frac{e^2}{a} = -2,91 \frac{e^2}{a}.$$

Теперь нарастим на каждую куба еще по одному слою инов и снова выделим нейтральную ячейку. Сторона этого куба равна 2a, все они первоначального куба принадлежат ему целиком, а вновь включенныеоны — наполовину, на четвертые или на одну восмую, в зависимости от того, где они расположены. Электростатическая энергия такого куба, подсчитанная прежним способом, оказывается равной -3,50 e²/a. Если взять электронный кубо с стороны 3a, то его энергия будет равна -3,49 e²/a. Дальнейшее увеличение объема куба практическую уже ничего не изменяет, и в конце концов для его энергии получается величины, приблизительно равная -3,495 e²/a.

Так, удачно выбранная модель, основанная на понимании того, что наиболее существенно в данной физической ситуации, позволяет во много раз сократить вычисления.

Энергия отталкивания посчитать гораздо проще. Из-за того что потенциаль отталкивания убивает очень быстро, можно предположить, что отталкивание существенно только между близкими соединительными между двумя параметрами, и для нее сразу получается выражение +B/a². Здесь B=kb, где k — число пар в ячейке. На это же число k нужно умножить и вычислную выше электростатическую энергию одного изона, и в результате для полной энергии куба получается выражение, приближенное в основном тексте статьи.

Например:

a) квадратами со стороны 1/√2?
b) квадратами со стороны √2 и квадратами со стороны √2?
c) квадратами со стороны √2?

Сколько нужно квадратов в каждой случае? Как их нужно располагать на кубе? Ответ смотрите на 4 с. обложки.

Ю. Пухначёв

22

В. Дубровский

Математика
волшебного кубика

«Квант» уже расссказывает подробно о конструкции венгерского «волшебного кубика» и алгоритмах решения этой головоломки*). Вслед за кубиком на свет появился целая серия похожих на него игр. Математический теории таких игр и посвящена наша статья. А для любителей практической игры в кубик мы приводим принципально схему рекордно короткого алгоритма волшебного кубика, основанную на этой теории.

Волшебный кубик задает вопросы
Условимся называть различные варианты сборки волшебного кубика, возникающие при произвольной расстановке 8 угловых маленьких кубков по вершинам волшебного куба и 12 средних — по ребрам, его состояниеми. Центральные кубики во всех состояниях расположены одинаково — так же, как в нулевом состоянии, когда каждой граны волшебного кубика оказывается законным, то есть можно ли, собрав маленькие кубики в произвольном порядке, получить затем нулевое состояние поворотами граней? Если нет, то как узнать, законно ли данное состояние и вообще, связанные ли два данных состояния? Сколько существует законных

*) «Квант», 1980, № 12, с. 17; 1982, № 3, с. 20 и № 7, с. 22; см. также «Нуука и жизнь», 1981, № 3, с. 131 и 1982, № 2, с. 97.

23

Рис. 1. Нулевое состояние. Скрытий угловой кубик имеет номер 9, скрытие средние — номера 10, 11, 12. На скрыты ребрах стрелки сопправлены со стрелками на симметричных им относительной центра куба ребрах.

состояний, других словами — сколько разных раскрасков волшебного кубика можно получить, врашая его грани? Каково максимальное число попарно не связанных состояний? Прежде всего разберемся,

Как задавать состояние

Чтобы полностью описать состояние волшебного кубика, надо для каждой malенького кубика указыва место, которое он занимает, и его ориентацию на этом месте — каждый угловой кубик можно помещить в одно и то же «гнездо» треяя, а средний — двумя способами.

Представим, что волшебный кубик находится в нулевом состоянии. Перенумерем его вершины и находящиеся в них угловые кубики числами от 1 до 8, а ребра и соответствующие средние кубики — числа от 1 до 12. Кроме того, на каждом ребре волшебного куба выберем определенное направление (мысленно на рис. 1) и на рисунем стрелку того же направления на соответствующем среднем кубике (рис. 1).

Тепер местонахождение $i$-го углового ($j$-го среднего) кубика в состоянии $S$ можно задать номером $\sigma_s(i)(\tau_s(j))$ той вершины (того ребра), где он находится (здесь $i=1$, …, 8, $j=1$, …, 12).

Чтобы задать ориентацию угловых кубков, выделим пару противоположных граней волшебного куба, например его горизонтальные грани. Для определения противоположим, что верхний центральный кубик —

синний, а нижний — зеленьй*). Каждый угловой кубик имеет либо одну грань синего цвета, либо одну грань зеленного цвета; угол $\alpha(\alpha=0^\circ, 120^\circ$ или $240^\circ)$, на котором следует этот кубик в его «гнезде» вокруг диагонали большого куба против часовий стрелки**), чтобы эта (синяя либо зелена) грань стала горизонтальной, будем называть уелом поворота данного углового кубика в состоянии $S$ и обозначать $\alpha_s(i)$, где $i$ — номер кубика.

Оrientation $j$-го среднего кубика в состоянии $S$ заданным углом $\beta_s(j)$ между направлением на нем стрелкой и направлением ребра, на котором он находится ($\tau_s(j)$-го ребра). Угол $\beta_s(j)$ может равнять $0^\circ$ или $180^\circ$; будем называть его уелом поворота $j$-го среднего кубика в состоянии $S$.

Что общего у связанных состояний

Нам надо выяснить, в каком случае два состояния связанных друг с другом. С этой целью проследим, как изменяются характеристики состояния $\alpha_s, \beta_s, \sigma_s$ и $\tau_s$ при поворотах граней. Начнем с угловой поворотов. Легко проверить, что

А. Углы поворотов угловых кубков не изменяются при поворотах четырех вертикальных граней на $180^\circ$ и при произвольных поворотах горизонтальных граней.

В. Углы поворотов средних кубков не изменяются при поворотах двух противоположных (правой илевой на рис. 1) граней на $180^\circ$ и при произвольных поворотах对立ных граней.

В. При повороте любой вертикальной грани на $\pm 90^\circ$ к углам поворотов $\alpha_s$ двух кубков, стоящих в ее противоположных вершинах, добавляется по $120^\circ***$), а к углам

*) Между прочит, кубик раскрашивают по-разному. Мы имеем в виду куб, у которой зелена и синяя грани противоположны.

**) Разумеется, не разушая волшебный куб, реализно повернуть его угловой кубик в своей гнезде нельзя — мы здесь определяем теоретическое понятие.

***) Как это принято, углы поворотов мы складываем с точностью до $360^\circ$, например $240^\circ + 240^\circ = 120^\circ, 180^\circ + 180^\circ = 0^\circ$ и т. д.

24

Рис. 2. После поворота правой грани на 90° по часовой стрелке. Здесь $\tau(1)=2$, $\tau(4)=1$, $\tau(2)=3$, $\alpha(1)=\alpha(3)=120^\circ$, $\alpha(2)=\alpha(4)=240^\circ$, $\beta(1)=\beta(2)=\beta(3)=\beta(4)=180^\circ$.

поворотов двух ее других угловых кубков добавляется по 240°.

Г. При повороте правой или левой (рис. 2) грани на ±90° меняются углы поворотов всех четырех средних кубков этой грани.

Отсюда немедленно вытекает, что суммы углов поворотов всех угловых и всех средних кубков

$$A(S) = \alpha_S(1) + \alpha_S(2) + \ldots + \alpha_S(8),$$
$$B(S) = \beta_S(1) + \beta_S(2) + \ldots + \beta_S(12)$$
остаются постоянными при всех поворотах граней. Такие характеристики состояния называются инварантами (от латинского «не изменяющийся»). Значения любого инваранта для двух связанных состояний $S_1$ и $S_2$, очевидно, совпадают. Поэтому равенства $A(S_1) = A(S_2)$ и $B(S_1) = B(S_2)$ являются необходимыми условиями связанности состояний. Вскоре мы увидим, что, присоединив к ним аналогичное равенство для еще одного инваранта, мы получим и достаточно условия. Но, прежде чем определить этот третий инварант, нам предется сделать небольшое отсутствие

О перестановках

Перестановкой конечного множества называется любое отображение этого множества на себя. Таким образом, определенная выше функция $\sigma_S$, заданная на множестве {1, …, 8}, является перестановкой этого множества, а $\tau_S$ — перестановка множества {1, …, 12}. С любой операцией $F$ также связаны две перестановки $\sigma_F$ и $\tau_F$ этих же множества: если нулевое состояние $S_0$ переводится операцией $F$ в состояние $S$, то, по определению, $\sigma_F(i) = \sigma_S(i)$, $\tau_F(j) = \tau_S(j)$. Другими словами, $\sigma_F(i)$ и $\tau_F(j)$ — это номера тех мест (см. рис. 1), которые занимают в результате операции $F$ угловой кубик, стоящий на $i$-м месте, и средний кубик, стоящий на $j$-м месте.

Выполнить одну за другой перестановки $\sigma_1$ и $\sigma_2$ одного и того же множества, мы снова получим его отображение на себя — перестановку $\sigma$. Она называется композицией $\sigma_1$ и $\sigma_2$: $\sigma = \sigma_1 \circ \sigma_2$.

Задача 2. Пусть операция $F$ переводит волшебный кубик из состояния $S'$. Докажите, что $\sigma_S' = \sigma_S \circ \sigma_F$, $\tau_S' = \tau_S \circ \tau_F$. Докажите также, что $\sigma_{F_1} \circ F_2 = \sigma_{F_1} \circ \sigma_F, \tau_{F_1} \circ F_1 = \tau_{F_1} \circ \tau_F$, где $F_1 \circ F_2$ — композиция операций $F_1$ и $F_2$.

Пусть $\sigma$ — произвольная перестановка множества {1, 2, …, $n$}. Нарисуем одну под другой две строчки по $n$ точек. Если при перестановке $\sigma$ число $i$ переходит в $j$, соединим $i$-ю точку верхней строки отрезком с $j$-й точкой нижней строки — мы получим граф перестановки $\sigma$ (рис. 3). Обозначим через $N(\sigma)$ число точки пересечения отрезков графа (точку, в которой пересекается больше двух отрезков, сосчитаем столько раз, сколько пар отрезков ее содержит). Перестановка $\sigma$ называется четной (нечетной), если

26

грань выбранного среднего кубика белой наклейкой, а белую — синей. Получим состояние $S_1^1$. Переведем его в $S_2^1$ и симметм наклейки — получится состояние $S_2^1$. Следовательно, состояние $S_1$ и $S_2$ связаны. Аналогично доказывается, что любые два состояния с одинаковыми инвариантами связаны. Таким образом, каждый из $3 \times 2 \times 2 = 12$ наборов значений инвариантов $A$, $B$ и $E$ (А принимает три значения: $0^\circ$, $120^\circ$ и $240^\circ$, $B$ — два: $0^\circ$ и $180^\circ$, $\varepsilon$ — тоже два: 1 и —1) определяет класс попарно связанных состояния с этим набором инвариантов, причем состояние из разных классов не связаны; один из классов образован законными состояниями.

Задача 4. Докажите, что число состояний во всех классах одинаково и равно $8! \cdot 3^8 \cdot 11! \cdot 2^{12}$.

Задача 5. Докажите, что значения инвариантов $A$, $B$, $\varepsilon$ зависит только от состояния волшебного кубика, но не от выбора пары граней, направленной на ребрах и нумерации вершин и ребер.

Рекордный алгоритм

В журнале «Сайентифик Америкэн» (1981 г., № 3) описана общая идеяrekordно короткого алгоритма волшебного кубика, приуманного английским математиком M. Тистлетуэйтом. Получясь этим алгоритмом, можно перейти от любого законного состояния к нулевому не более, чем за 52 хода*). Алгоритм Тистлетуэйта коренным образом отличается от алгоритмов, которые описаны в упомянутых нами выше статьях. В общих чертах его схема такова.

Введем три ограничения на допустимые повороты граней:

1. запрещается поворачивать две противоположные вертикальные грани (допустим, правую илевую на рис. 1) на ±90°;
2. запрещается поворачивать какую бы то ни было вертикальную грань на ±90°;
3. запрещаются все повороты граней на ±90°.

Обозначим через $\Phi_1$, $\Phi_2$, $\Phi_3$ совокупность всех операций, удовлетворяющих соответствию (например, $\Phi_3$ — это всевозможные последовательности поворотов граней на

*) В том же журнале сообщается, что в действительности всегда достаточно 23 ходов (!), причем уменьшить это число нельзя. Судя по всему, пока столбок короткий реализый алгоритм решия кубика не найден.

180°), а через $\Sigma_1$, $\Sigma_2$, $\Sigma_3$ — класс всех состояний, получаемых из нулевого операции из $\Phi_1$, $\Phi_2$, $\Phi_3$. Ясно, что $\Sigma_1 \supset \Sigma_2 \supset \Sigma_3 \supset S_0$ и что любые два состояния из класса $\Sigma_k$ связаны друг с другом операцией из $\Phi_k$. Весь алгоритм разбивает на четыре этапа. На первом выполняется такая операция $F$ (без ограничений на ходы), которая переводит исходное состояние $S$ в какое-нибудь состояние $S_1 \in \Sigma_1$. В дальнейшем разшагются только операции из $\Phi_1$. На втором этап с помощью операции $F_1 \in \Phi_1$ выполняется в состояние $S_2 \in \Sigma_2$, на третьем с помощью операции $F_2 \in \Phi_2$ — в состояние $S_3 \in \Sigma_3$. Наконец, на четвертом этап, вращая грани только на 180°, мы должны получить из состояния $S_3$ нулевое состояние $S_0$.

Очевидно, попав после очередного этапа в класс $\Sigma_k$, мы его уже не покидаем, так что достижения всех предыдущих этапов сохраняются автоматически. Кроме того, вплоть до последнего этапа не нужно «загорать» маленькие места. Но основное достоинство этой схемы в том, что она городадо лучше обчувных приспособления к просчету на ЭВМ. Веряно, это и сыграло решающего роль при «установлении мирового рекорда».

Прежде, чем составлять по этой схеме алгоритм, надо выяснить, что из себя представляют классы состояния $\Sigma_1$, $\Sigma_2$, $\Sigma_3$. Тут-то нам и пригодятся инварианты. С классами $\Sigma_1$ и $\Sigma_2$ разобраться легко. Вспомним свойства $A$ и $B$ углов поворотов маленьких кубков, мы видим, что улыб повторных средних кубков $\beta_S(j)$ инвариантных относительной операции из $\Phi_1$ (свойство $B$), улыб повторных угловых кубков $a_S(i)$ инвариантных относительной операции из $\Phi_2$ (свойство $A$). Легко заметить также, что при операциях из $\Phi_2$ четыре средних кубика, расположенных в горизонтальном «среднем слое» между вершней и нижней гранями, могут меняться местами только между собой, так что состав этого слое остается неизменным.

Задача 6. Докажите, что величины $A(S)$, $\varepsilon(S)$ и $\beta_j(S)$ (j=1, …, 12) образуют полную систему инвариантов относительной операции из $\Phi_1$, а $\varepsilon(S)$, $\alpha_i(S)$ (i=1, …, 8), $\beta_j(S)$ (j=1, …, 12) и состав горизонтального среднего слое — относительной операции из $\Phi_2$.

Столь же просто убедиться, что при операциях из $\Phi_3$, кроме инвариантов, перечислены в задание 6, сохраняются также составы двух вертикальных средних слоев и составы двух четверок угловых кубков, образующих правильные тетраэды (на рис. 1 в одну

27

из них входят угловые кубики 1, 3, 5, 7, а в другой — 2, 4, 6, 8). Но это еще не все! Имеется еще один инвариант относительно набора операций $\Phi_3$, описывающий зависимость между перестановками угловых кубков внутри четверок. Возьмем любые два кубика одной из четверок. Они прилежаатровно к одной из граней куба. Если это права или левая грань, то скажем, что эти кубики занимают 1-ю позицию, если передняя или задняя — то 2-ю, если верхняя или нижняя — то 3-ю. Ясно, что вторая пара кубков этой четверки всегда занимает ту же позицию, что и первый. Для простоты ограничения состояниями $S$, у которых состав четверок «правильный» (как в нульевом состоянии). Расмотрим первый четверку и определим перестановку $p_S$ множество {1, 2, 3}, полагая $p_S(i) = j$, если пара кубков этой четверки, занимающая i-ю позицию в состоянии $S_0$, занимает j-ю позицию в состоянии $S$. Аналогично, для второй четверки определим перестановку $q_S$. Наш последний инвариант — это перестановка $\delta_S = p_S \cdot q_S^{-1}$). Он может принимать любое из 3!=6 значений.

Задача 7. Докажите, что $\delta_S$ действительно инвариант относительно $\Phi_3$ и что вместе с инвариантами, перечисленных выше, он образует полную систему для $\Phi_3$.

Тепер ясно, что на каждом этапе алгоритма следует стремиться к тому, чтобы значения очередной порции найdenных нами инвариантов стали таким же, как для нульового состояния.

Мы предлагаем читателям самостоятельное разработать алгоритм или его отдельные этапы по указанной схеме и прислать в редакцию своих вариантов. Лучшие из них будут опубликованы.

Понграмм в другие игры

Далее неискшенные в математике люди сразу признают в волшебном кубике «родственника» замененной головоломки «15» Сэма Лойда, хотя внешне они совершенно не похожи. Сходство заключено в общей структуре этих игры, которое можно описать так: имеется некая система, способная孵ать в различных состояниях, среди которых одно («нулевое») состояние выделено. Задча состоит в том, чтобы перевести произвольное заданное состояние в нульевое, пользовясь определенным набором стандартных преобразований системы (в случае волшебного кубика — поворотами граней на $\pm 90^\circ$ или $180^\circ$), которые можно назвать элементарными операциями или ходами. При этом любой ход обратим (то есть, сделав его, мы всегда можем одним ходом вернуться в исходное состояние).

Так же, как и для волшебного кубика, в общем случае определяются понятия операции, связанных с состояниями, инварианта. Еще одно полезное понятие — орбита состояния: так называют множество всех состояния, связанных с данным. В частности, как мы видели, множество состояния волшебного кубика распадается на 12 орбит.

Мы предлагаем читателю ряд задач, посвященных исследованию игрузанного типа. В задачах 8—10 требуется доказать некоторые общие свойства этих игры (приводятся только их формулировки). В задачах 11—16 рассматриваются различные примеры, причем дает только описание игры, а ответить нужно на следующие вопросы: 1) каков полный набор инвариантов данной игры? 2) как перевести одно из двух связанных состояния в другое? 3) каково число орбит и состояния в одной орбите?

Задание 8.

8. Будем писать $S_1 \approx S_2$, если состояния $S_1$ и $S_2$ связаны. Тогда для любых состояния $S_1, S_2, S_3$ 1) $S_1 \approx S_1, 2) S_1 \approx S_2 \Rightarrow S_2 \approx S_1, 3) S_1 \approx S_2, S_2 \approx S_3 \Rightarrow S_1 \approx S_3$. Другими словами, отношение $S_1 \approx S_2$ есть отношение эквивалентности.

9. Орбиты любых двух состояния $S_1$ и $S_2$ либо совпадают (если $S_1 \approx S_2$), либо не имеют общих элементов.

10. Если всякая операция, переводящая в себя хотя бы одно состояние, переводит в себя и любое другое состояние, то число $N_0$ состояние во всех орбитах одинаково, а число всех состояния $N = N_0 \cdot k$, где $k$ — число орбит. Проверьте, что указанное свойства операции справедливо для волшебного кубика.

11. Исследуйте игры, отличующие от «волшебного кубика» только набор элементов операций: 1) разрешено врашать только 2 (3, 4 или 5) грани; 2) ход — это поворот пары противоположных граней (одной по, а другой против часовой стрелки) на один и тот же угол; 3) соответствен, обе грани по часовой стрелке.

(Окончание см. на с. 48)

28

Свет, воздух и вода

Преломление при перехождение из воды в воздуха

Почти во всех книгах по физике в том месте, где говорится о преломлении света, есть рисунок, на котором изображены воды, точный источник света внутри нее и лучи, выходящие из источника и преломляющейся на границе вода — воздуха. Например, так, как показано на рисунке 158 из учебника по физике для 10 класса («Физика 10», М., «Просвещение», 1981). Но, конечно же, гораздо интереснее поставить опит и пронаблюдать само явление, а не рисунок.

Прежде всего изготовьте соответствующий осветитель. Возьмите непрозрачную пластмассовую баночку диаметром 40—50 мм и высотой 20—30 мм. В стенке баночки ножовочным полотном сделайте ряд равносторических друг от друга одинаковых прорезей шириной примерно 1—1,5 мм. Вы получите кожух для осветителя.

В нижней части прямогольной пластинки (из алюминия или пластмассы) просверлите отверстие по диаметру патрона лампочки для карманного фонаря. Одну поверхность пластинки покрыте в белый цвет. (Проше всего это сделать, побрызгав поверхность белой нитроэмалью, которая продается в аэрозольной упаковке.) Или просто наклейте на пластинку лист белой бумаги.

К лампоче припаяйте проводники,ставьте ее в отверстие и об-

мажьте патрон лампочки с задней поверхности пластинки пластлином. Эта обмазка будет фиксировать лампоку в пластинке и одновременно изолировать место соединения лампочки с проводниками.

Подсоедините выводы лампочки к батарейке для карманного фонаря. Наденьте на лампоку изготовленный кожух так, чтобы лампочка оказалась на его оси, и прикрепите кожух к пластинке. На белой поверхности пластинки вы должны наблюдать световые лучки, расходящие от осветителя и душие в пределах угла, не превышающего л. Возможно, вам придется несколько подрегулировать положение кожуха или подправить щели в его стенке. Позному кожуху удобнее всего закрепить на пластинке пластлином.

Разумеется, если вы захотите сделать более основательный прибор (скажем, для школьного кабинета физики), то придется придумать и осуществить более надежный способ крепления кожуха. Но прежде чем делать это, попробуйте простейший вариант, описанный здесь.

После того как прибор изготовлен, приступайте к опыту. Опустите пластинку с осветителем в сосуд с водой так, чтобы пластинка была расположена вертикально. Лучше всего использовать сосуд с плоской передней стенкой, например — аквариум. Через произрачную стенку соуда вы будете наблюдатьprimерно такой ход световых лучков, который показан на рисунке 1 (здеся 1 — сосуд с водей, 2 — осветитель, 3 — пластинка с белой поверхностью).

Если уже сделали прибор и пронаблюдали явление, то проведите и простейшие изменения. Ставя карандашом точки, отметьте на плас-

Рис. 1.

29

типке положение поверхности воды, местá выхода световых лучков из воды и положение лучков света на некотором расстоянии от поверхности воды.

Выhte пластинку из воды, высушите ее и карандашом по линейке нанесите ход световых лучков от щелей осветителя до границы раздела сред и далее — в воздух. Линейное обозначьте границу раздела и в точках padения лучков восстанавливайте к ней перендикуляры. Измерьте трансортиром различные углы padения и преломления света и на основе этих экспериментальных результатов найти среднее значение показателя преломления воды.

Отражение от нагретий воды

В большой сосуд с холодной водой (это может быть стеклянная банка, поставленная на лист белой бумаги, или тазик с белым дом) опустите жестяную банку, например из-под кофе, и каким-либо образом закрепите ее в вертикальном положении (рис. 2). Чем больше будет банка, тем лучше (мы использували банку диаметром 80 мм и высотой 120 мм, и это, пожалуйста, минимальные подхождения для опыта размеры).

Вскипятите воду, быстро вылейте кипяток в банку и посмотрите сверху сквозь воду в большом сосуде вдоль боковой поверхности банки — вы увидите ее жестяшей как зеркало.

Опыт получения особенно эффективным, когда поверхность банки — черная. Если вам не удалось найти такую банку, возьмите любую и оберните ее черной бумагой от фотопакета (бумагу можно закрепить, например, липкой лентой). При заполнения банки горячей водой бумага будет ярко блестеть.

Очевидно, что в этом опите наблюдается полное отражение света. Вопрос в том, почему это происходит.

Может быть, свет отражается от слоя воздуха на поверхности банки? Оказывается, нет. Ижесть, и бумага хорошо смачиваются водой, так что никакой воздушной лепки не образуется.

В чем же дело? Повторите опите еще раз. Тепер, прежде чем зали-

Рис. 2.

вать в банку кипяток, опустите палец в холодную воду в близи стенки большого сосуда. Налив в банку кипяток, приближайте палец к банке — вы будетеощущать постепенное увеличение температуры воды. Продолжайте наблюдания, и вы убедитесь, что полное отражение света исчезнет тогда, когда все только в радиальном направлении ширикого сосуда прогреется примерно до одной и той же температуры.

Так вот в чем разгадка! Полное отражение в условиях данного опита происходит потому, что вода во внешнем сосуде прогрета неравномерно. В близи банки с кипятком температура воды наиболее направлена, а плотность — наиболее низкая. По мере удаления от банки температура воды уменьшается, а плотность — увеличивается. При этом увеличивается и оптическая плотность воды, или, другими словами, растет ее показатель преломления. Свет, индуший отнасщеная, постепенно переходит из области с большей в области с меньшей оптической плотностью, поэтому и наблюдается его полное отражение.

В отличие от многих опитов с полным отражением, в данной случае нет резкой границы между средами с разными оптическими плотностями, следовательно, нет и отражения света в строом смысле этого слова. Свет в оптически недородной среде с плаваим изменением оптической плотности распространяется кривolinейно (как показано на рисунке 2), загибаясь в области больших значений показателя преломления.

30

Задачи

М756—М760; Ф768—Ф772

М756. В стране, кроме столцы, больше 100 городов. Столца страны соединена avialininями со 100 городами; каждый из остальных городов соединен avialininямировно с 10 городами. Известно, что из любого города можно (быть может, с пересадками) перелететь в любой другой. Докажите, что можно закрыть половину avialininей, ищих из столцы, так, что возможно попасть из любого города в любой другой сохранится.

М757. Из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4, … нетрудно выделить арифметическую прогрессию длины три: 1/2, 1/3, 1/6. Можно ли из этой последовательности выбрать арифметическую прогрессию
a) длины 4?
b) длины 5?
c) длины k, где k — любое натуральное число?

Г. Гальперин

М758*. Какое наименьшее количество чисел необходимо вычернуть из последовательности 1, 2, 3, … 1982, чтобы ни одно из остшихся чисел не равилось произведению двух других остальных чисел? (9)

Л. Курляндчик

М759. Внутри выпуклого четырехугольника, у которого сумма шести попарных расстояний между вершинами (то есть сумма длин всех сторон и диагоналей) равна $S_1$, расположен другой, для которого эта сумма равна $S_2$.
a) Может ли величина $S_2$ быть больше $S_1$?
b) Докажите, что $S_2 < 4S_1/3$.
c) Докажите, что если внутри произвольного tetraэдра с суммой длин ребер $S_1$ расположен другой, для которого эта сумма равна $S_2$, то $S_2 < 4S_1/3$. (10)

П. Гусятников

М760. С замкнутой ломаной $A_1A_2...A_m$, где m нечетно, продолжается такая операция: середины ее звеньев соединяются m отрезками через одну (середина $A_1A_2$ — с серединой $A_3A_4$, $A_2A_3$ — с $A_4A_5$, …, $A_{m-1}A_m$ — с $A_1A_2$, $A_mA_1$ — с $A_2A_3$). С полученной ломаной вновь продолжается эта же операция и т. д. Докажите, что

31

из любой $m$-звенной ломаной
a) при $m=5$ — через два шага (рис. 1)
b) при $m=7$ — через три шага
c)* при любом нечетном $m$ — через некоторое (зависшее от $m$) число шаров
получится ломаная, подобная (далее готовчная) первогочальной. (9)

А. Келарев

Ф768. По гладкому столу движется, быстро врашаясь вокруг своей оси, волчок, имеющий форму конуса (рис. 2). При какой скорости $v$ поступательного движения волчок не ударится о край стола, сосочив с него? Ось волчка остается вертикальной. Размеры волчка указаны на рисунке 2. (8)

А. Зильберман

Ф769. Массивный цилиндр радиуса $R$ опирается на две подставки одинаковой высоты (рис. 3). Одна подставка неподвижна, а другая вызжает из-под цилиндра со скоростью $v$. С какой силой давит цилиндр на неподвижную подставку в тот момент, когда расстояние между точками опоры равно $R\sqrt{2}$? Считать, что в начальной момент подставки располагается очень близко друг к другу; треннее между цилиндром и подставками отсутствует. (9)

С. Кротов

Ф770. В теплопроводном цилиндре под легким поршнем находится смесь равных количеств воды и льда: $m_B=m_\pi=1$ кг. Давление на поршень медленно увеличивается от начального значения $p_0=10^5$ Па до $p_1=2,5 \cdot 10^6$ Па. Определить, сколько льда при этом растает и какую работу совершит внешняя сила. Известно, что для уменьшения температуры плавления льда на 1 градус нужно довести давление до $14 \cdot 10^6$ Па.

1. Решите задачу, считая воду и лед несжимыми.
2. Оцените поправку, которое дает учет скимаемости.
   Известно, что для уменьшения объема некоторого количества воды на 1% давление нужно поднять до $20 \cdot 10^6$ Па. Сжимаемость льда примите для оценки равной половине скимаемости воды.
   Удельные теплопростности воды и льда — $c_B = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К), $c_\pi = 2,1 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К); удельная теплота плавления льда $\lambda = 3 \cdot 10^5$ Дж/кг, плотность льда $\rho_\pi = 0,9\rho_B$, где $\rho_B$ — плотность воды. (9)

А. Буэдин

32

Ф771. В схеме, приведенной на рисунке 4, поддел Д и катушка с индуктивностью $L$ в момент времени $t=0$ при помощи ключа $K$ подключаются к источнику переменного напряжения $u = U_M \cos \omega t$. Определить силу тока в катушка как функцию времени; построить график этой функции. Дiod и катушка считать идеальным. Внутренним сопротивлением источника претенбчь. (10)

В. Скороваров

Ф772. Междупланetary корабль совершил мягкую посадку на Луну. Корабль имеет форму диска радиуса $r=4$ м; его поверхности покрыта черной (неотражающей) краской. Можно ли обнаружить приложение корабля с помощью самого большого в мире советского телевеса БТА с диаметром объектава $D=6$ м, если в фокальной плоскости установить фотопластику и сформатировать участок поверхности Луны, в котором находится предполагаемое место приложения?

Приятить, что надежно различимая конструкность изображения на фотопластике (то есть минимальная относительная разница в освещенности светлых и темных частей изображения) равна $k=0,05$.

Расстояние от Земли до Луны $L=4 \cdot 10^5$ км; фотографирование ведется в свете с длиной волны $\lambda=0,6$ мкм. Оценить, при каком размере букв, выложенных космонавтами на поверхности Луны, их можно прочесть при наблюдении с Земли с помощью телевеса БТА. (10)

С. Козел

Problems

M756—M760; P768—P772

M756. There are more than 100 cities in a certain country, not counting the capital. The latter is joined by direct flights to 100 cities; each of the remaining cities is joined by direct flights to exactly 10 cities. It is known that one can fly from any city to any other (eventually, with transfers). Prove that half the airlines flying from the capital can be closed down so that it will still be possible to fly from any city to any other.

M757. It is easy to see that the sequence 1, 1/2, 1/3, 1/4, … contains a three-term subsequence which is an arithmetical progression: 1/2, 1/3, 1/6. Is it possible to find another subsequence, which is also an arithmetical progression,

a) of length 4?
b) of length 5?
c) of length $k$, where $k$ is any natural number?

G. Galperin

34

key $K$ at the moment $t=0$ to a source of alternating tension $u=U_M \cos \omega t$. Determine the current in the solenoid as a function of time. Construct the graph of this function. The diod and the solenoid are assumed ideal, the inner resistance of the source may be neglected. (10).

V. Skorovarov

P772. An interplanetary space-ship made a soft landing on the Moon. The ship has the form of a disk of radius $r=4\text{m}$, its surface is covered by black (non-reflecting) paint. Can the landing on the Moon be observed from the largest telescope in the world, the Soviet telescope BTA with object lens diameter $D=6\text{m}$, if a photographic plate is placed in the focal plane to take a picture of the area of the Moon where the landing is to take place. Assume that clearly noticeable contrast of the image on the photo (i.e. the minimal relative difference of the dark and light parts of the image) is $k=0.05$. The distance from Earth to Moon is $L=4 \times 10^5\text{km}$; the picture is taken in light with wavelength $\lambda=0.6\text{mkm}$. Estimate the size of letters arranged by astronauts on the moon surface that can be read from the Earth using the BTA telescope. (10)

S. Kozel

Решения задач

M721—M730; Ф733—Ф742

М721. Каждая сторона треугольника поделена на 3 равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестугольник. Найдите площадь этого шестугольника, если площадь данного треугольника равна $S$.

Ответ: $\frac{2}{9} S$. Покажем, что данный треугольник можно разбит на 27 равновеликх треугольников, 6 из которых составляют расстатриваемый в задание шестиугольник. Пусть $K, L, M, N, P, Q$ — точки, делящие стороны треугольника $ABC$, как указано в условия (см. рисунок). Заметим, что отрезки $KM$ и $QN$, $QL$ и $PM$, $KP$ и $LN$ параллельны соответствуют медиам данного треугольника. Например, отрезок $KM$ параллелен медиам $AD$, потому что $\frac{|BK|}{|BA|} = \frac{|BM|}{|BD|} = \frac{2}{3}$ и, следовательно, треугольники $BKM$ и $BAD$ готовятся. Проводя из точек деления остальные отрезки, параллельные медиам, а также сами медианы, мы получим нужное разбиение.*) В самом деле, шестиугольник разбиается на 6 конгрузных треугольников (на рисунке — головы), еще 12 треугольников (белые) конгрузны им, а остальные 9 (красные) им равновелики. (Скажем, площади треугольников $MEN$ и $MFE$ равны, потому что их стороны $EN$ и $EF$ конгрузны, а высоты, опущенные на эти стороны из вершины $M$, совпадают.) Таким образом, площадь шестиугольника равна $6 \cdot \frac{S}{6+12+9} = \frac{2}{9} S$.

А. Едоров

M722. В точках $A_1, A_2, \dots, A_n$, расположенных по окружности, расстатриятся в некотором порядке числа 1, 2, …, $n$. а) Доказите, что сумма $n$ моделей разностей чисел не меньше 2n—2. б) Для какого количества разстановок эта сумма равна 2n—2?

Пусть числа 1 и $n$ стоят в точках $A_i$ и $A_j$ соответственно. Будем вычислять разности соседних чисел, пользоваться рисунком: число, стоящее в начале каждой стрелки, вычитается из числа, стоящего в ее конце.

*) Чтобы решение стало безупречный, надо еще доказать, что построенные нами отрезки, действительно, пересекаются по три, как показано на рисунке. Пусть, например, $H$ — точка пересечения $[KP]$ и $[LQ]$. Тогда треугольники $LHP$ и $BGC$ готовятся с центром $A$, следовательно, $H \in [AD]$ (G — точка пересечения медиан). Аналогично точка $E$ пересечения $[LN]$ и $[MP]$ лежит на $AD$, потому что треугольники $MEN$ и $BGC$ готовятся с центром $D$, и т. д.

36

Ясно, что никакая из сумм чисел $b_1, b_2, \dots, b_{k+1}$ не принадлежит множеству $A$. Существование множества $B$ доказано.

В силу леммы для утверждения ответа на вопрос задачи достагоно доказать, что множество $S = \{a^k | a \geq 1, k \geq 2\}$ всевозможных степеней натуральных чисел имеет нулевую плотность.

Оценим количество $v_n(S)$ степени, не превосходящих числа $n$. Если $a^k \leq n$, то $a \leq \sqrt[k]{n}$. Поэтому натуральных чисел, $k$-я степень которых не превосходит $n$, имеет не более, чем $[\sqrt[k]{n}]$, где $[x]$ — целая часть числа $x$. В частности, при $k > m = [\log_2 n]$ существует только одно такое число — единица. Следовательно,

$$v_n(S) \leq \frac{[\sqrt{n}] + [\sqrt[3]{n}] + \ldots + [\sqrt[n]{n}]}{n} \leq \frac{\sqrt{n} \log_2 n}{n} = \frac{\log_2 n}{\sqrt{n}}.$$

Переход к пределу при $n \to \infty$, получим

$$d(S) = \lim_{n \to \infty} v_n(S) \leq \lim_{n \to \infty} \frac{\log_2 n}{\sqrt{n}} = 0.$$

Л. Гурвиц

M724. По плоскости ползут несколько черенах, скорости которых равны по величины, но различны по направлении. Доказите, что, как бы черенах ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника.

Пусть в начальной момент черенах находится в точках $A_1, \dots, A_n$, расположенных в круге радиуса $R$ с центром в точке $O$. Отложим от точки $O$ векторы скорости черенах $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n$. Ясно, что концы $V_1, \dots, V_n$ этих векторов являются вершинами некоторого выпуклого $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $v$, равного величины скорости любой черенах. Построим круги радиуса $e$ с центрами в точках $V_1, \dots, V_n$. При достагоно малом $e$ любой многоугольник $B_1B_2\dots B_n$, вершины которого принадлежат этим кругам, оченьindo, то же будет выпуклым. (В качестве $e$ можно взять, например, положину наименшшего из расстояния от точек $V_i$ до прямых, соединяющих с $V_i$ вершины, — см. рисунок.)

Пусть через время $T$ черенах оказывается в точках $A'_1, \dots, A'_n$, и пусть при громотении с центром $O$ и коэффициентом $\frac{1}{T}$ эти точки переходят в точки $B_1, \dots, B_n$. Доказем, что при достагоно большом $T$ точки $B_1, \dots, B_n$ попадают в построенные нами круги, то есть, что $|V_iB_i| < \varepsilon$ при $i=1, \dots, n$. Вектор $\overrightarrow{A_iA'}_i$, на которой переместилась $i$-я черенах за время $T$, равен $\overrightarrow{Tv}_i$. Поэтому $\overrightarrow{OA'}_i = \overrightarrow{OA}_i + \overrightarrow{Tv}_i$, а $\overrightarrow{OB}_i = \frac{1}{T}\overrightarrow{OA'}_i = \overrightarrow{v}_i + \frac{1}{T}\overrightarrow{OA}_i = \overrightarrow{OV}_i + \frac{1}{T}\overrightarrow{OA}_i$. Следовательно, $|V_iB_i| = \frac{1}{T}|OA_i| \leq R/T$. Значит, при $T > \frac{R}{\varepsilon}$ точки $B_i$ попадают в круги радиуса $e$ с центрами $V_1, \dots, V_n$, многоугольник $B_1 \dots B_n$ будет выпуклым, а потом и точки $A'_1, \dots, A'_n$, в которых оказывается череня $T$, служат вершинами выпуклого многоугольника.

В. Прасолов

*M725. Положим $r_n = \cos^n \frac{\pi}{7} + \cos^n \frac{3\pi}{7} + \cos^n \frac{5\pi}{7}$. Найдите $a)$ $r_1$ и $r_2$, $b)$ $r_3$ и $r_4$. Доказите, что $r_n$ — рациональное число при любом $n$.

Пусть $c_k = \cos \frac{\pi k}{7}$ при $k=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$. Заметим, что $c_k$ — проекция на ось $Ox$ единного вектора $\vec{e}_k$, образующего угол $\frac{\pi}{7}$ с лучом $x \geq 0$, $y=0$ (см. рисунок). Легко убедиться в том, что $c_{7+m} = c_{7-m} = -c_m$.

а) Нетрудно доказать, что

$$\vec{e}_1 + \vec{e}_3 + \vec{e}_5 + \vec{e}_7 + \vec{e}_-3 + \vec{e}_-1 = 0$$

(одно из докаательств: при повороте на угол $\frac{2\pi}{7}$ эта

37

система векторов переходит в себя; при этом сумма не меняется и, следовательно, равна 0).

Из (1) сразу следует, что $c_7 + 2c_1 + 2c_3 + 2c_5 = 0$, то есть
$$r_1 = c_1 + c_3 + c_5 = -\frac{1}{2} c_7 = \frac{1}{2}.$$

Пользовать известной формулой $2\cos^2\alpha = 1 + \cos 2\alpha$, получим $2c_1^2 = 1 + c_2$, $2c_3^2 = 1 + c_6$, $2c_5^2 = 1 + c_{10}$, а так как $c_2 = -c_5$, $c_6 = -c_1$, $c_{10} = -c_3$, находим
$$r_2 = c_1^2 + c_3^2 + c_5^2 = \frac{1}{2} (3 - c_1 - c_3 - c_5) = \frac{5}{4}.$$

6), в) Доказем, что $c_1, c_3, c_5$ — корни многочлена третьей степени с разциональными коэффициентами. Рассмотрим многочлен
$$p(x) = (x - c_1)(x - c_3)(x - c_5) = x^3 + a_1 x^2 + a_2 x + a_3,$$
корни которого — $c_1, c_3$ и $c_5$. Выразим коэффициенты этого многочлена через его корни. Раскрывая скобки, получим
$$a_1 = -(c_1 + c_3 + c_5) = -r_1 = -\frac{1}{2};$$
$$a_2 = c_1 c_3 + c_3 c_5 + c_5 c_1 = \frac{1}{2} ((c_1 + c_3 + c_5)^2 -$$
$$-c_1^2 - c_3^2 - c_5^2) = \frac{r_1^2 - r_2}{2} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4} - \frac{5}{4}\right) = -\frac{1}{2};$$
$$a_3 = -c_1 c_3 c_5 = -c_1 c_2 c_4 = -\cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{4\pi}{7} =$$
$$= -\frac{\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{4\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}} =$$
$$= -\frac{\sin \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{4\pi}{7}}{2 \sin \frac{\pi}{7}} =$$
$$= -\frac{\sin \frac{4\pi}{7} \cdot \cos \frac{4\pi}{7}}{4 \sin \frac{\pi}{7}} = -\frac{\sin \frac{8\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}} = \frac{1}{8}.$$

Итак, для каждой $j=1, 3, 5$ выполено равенство
$$c_j^3 - \frac{1}{2} c_j^2 - \frac{1}{2} c_j + \frac{1}{8} = 0.$$
Значит, для любого $n \geqslant 2$
$$c_j^{n+1} = \frac{1}{2} c_j^n + \frac{1}{2} c_j^{n-1} - \frac{1}{8} c_j^{n-2}.$$
Сложив три таких равенства (при $j=1, 3, 5$), получим для $r_n = c_1^n + c_3^n + c_5^n$ рекуррентную формулу
$$r_{n+1} = \frac{1}{2} r_n + \frac{1}{2} r_{n-1} - \frac{1}{8} r_{n-2},$$
позволяющий вычислить $r_{n+1}$, если известны $r_n, r_{n-1}, r_{n-2}$. Поскольку, в силу a), $r_1 = \frac{1}{2}, r_2 = \frac{5}{4}$, а $r_0 = 3$, находим
$$r_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{8} \cdot 3 = \frac{1}{2},$$
$$r_4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{13}{16}.$$

38

Ясно, что числа $r_n$ при каждой $n$ разциональны. (Подробнее о применении в решении идее см. статью «Рассмотрим разность», «Квант», 1981, № 4.)

Н. Васильев

М726. Точка внутри правильного 2n-уольника соединина с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в轮廓 и красный цвет. Докажите, что сумма площадей головных треугольников равна сумме площадей красных a) для n=4, 6) для n=3, в) для произвольного натурального n.

Так как в правильном многоугольнике длины всех сторон равны, достаточно доказать, что сумма длины высот красных треугольников равна сумме длины высот головных треугольников (см. рис. 1). Разбивая треугольники на пары, прилегаются к противоположным сторонам, сразу получаем утверждение задачи.

Рис. 1. Рис. 2

При нечетном n, продолжив «красные» стороны 2n-уольника, получим правильный n-уольник (рис. 2). Построенный таким же образом головной n-уольник конгрузен красному. Площадь головного n-уольника равна сумме длины высот головных треугольников, умноженной на половину длины его стороны. То же верно и для красного n-уольника. Отсюда вытекают равенство сумм длины высот головных и красных треугольников и вместе с этим утверждение задачи.

В. Прасолов

М727. Докажите неравенство $a^2+b^2+c^2+2abc<2$, где a, b, c — длины стороны треугольника перimeter 2.

Если a, b и c — длины стороны треугольника перimeter 2, то a<1, b<1, c<1 (в противном случае одна из сторон треугольника будет больше суммы двух других). Поэтому (1-a)(1-b)(1-c)>0. Раскрывая скобки и преобразуялевую часть, получим

$$1 - (a+b+c) + ab+bc+ac - abc = -1 + \frac{a^2+b^2+c^2}{2} + ab+bc+ac - \frac{a^2+b^2+c^2}{2} - abc = -1 + \frac{(a+b+c)^2}{2} - \frac{a^2+b^2+c^2}{2} - abc = 1 - \frac{a^2+b^2+c^2}{2} - abc > 0,$$

а это и значит, что $a^2+b^2+c^2 < 2(1-abc)$.

А. Егоров

М728. Пусть A, B, C — вершины параллелена, соседние с его вершиной P, a Q — вершина, противоположная P. Докажите, что a) расстояния

41

($a_{n+3} = a_{n+2} = a_{n+1} = a_n = a$). Из сказанного также вытекает, что числа $a_n$ последовательно пробегают вес натуральный ряд.

Выведем теперь явную формулу для $a_n$. В сумме $a_n = (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + \dots + (a_2 - a_1)$ все слагаемые равны 0 или 1, причем единцровно столько, сколько чисел первого рода, не превысodiaщих $n$. Поэтому $a_n$ равно количеству чисел первого рода, не превысodiaщих $n$. Легко показать, что

$$a_n = \left[ \frac{n}{2} \right] - \left[ \frac{n}{4} \right] + \left[ \frac{n}{8} \right] - \dots$$

(1)

(число ненулевых слагаемых здесь конечно, либо $n < 2^m$ при некотором $m$). Для доказательства формулы (1) заметим, что $\left[ \frac{n}{2} \right], \left[ \frac{n}{4} \right], \left[ \frac{n}{8} \right], \dots$ — это количество чисел, не превысodiaщих $n$ и делияхся на 2, 4, 8, …. Поэтому разность $\left[ \frac{n}{2} \right] - \left[ \frac{n}{4} \right]$ равна количество чисел от 1 до $n$, которые делятся на 2 и не делятся на 4, $\left[ \frac{n}{8} \right] - \left[ \frac{n}{16} \right]$ — это количество чисел от 1 до $n$, делияхся на 8, но не делияхся на 16, и т. д.

Вычислим $a_n$ по формуле (1) для $n = 3 \cdot 2^k$. Если $k$ нечетно, то

$$a_{3 \cdot 2^k} = \frac{3 \cdot 2^k}{2} - \frac{3 \cdot 2^k}{4} + \dots + \frac{3 \cdot 2^k}{2^k} - \left[ \frac{3}{2} \right] =$$

$$= 3(2^{k-1} - 2^{k-2} + \dots + 1) - 1 = 3 \frac{2^k + 1}{3} - 1 = 2^k.$$

Заметим, что в этом случае $n$ и $n+2 = 2(3 \cdot 2^{k-1} + 1)$ — числа первого рода. Следовательно, при нечетном $k$ число $2^k$ встречает в нашей последовательности 2 раза. Пусть $k$ — четное число. Тогда снова

$$a_{3 \cdot 2^k} = \frac{3 \cdot 2^k}{2} - \frac{3 \cdot 2^k}{4} + \dots + \left[ \frac{3}{2} \right] = 3 \frac{2^k - 1}{3} + 1 = 2^k.$$

Но теперь $3 \cdot 2^k$ — число второго рода. Поэтому число $2^k$ при четном $k$ повторяется среди чисел $a_n$ четые раза. Попутно мы доказали утверждение (г), так как $a_n = n/3$ при всех $n = 3 \cdot 2^k$.

д) Ответ: да. Допустим, что $n$ делится на 4. Тогда по формуле (1)

$$a_n = \frac{n}{2} - \frac{n}{4} + \left[ \frac{n}{8} \right] - \left[ \frac{n}{16} \right] + \dots = \frac{n}{4} + a_{\frac{n}{4}}.$$

(2)

Рассмотрим последовательность $a_{n_m}$, где $n_m = \frac{4^m - 1}{3}$ при $m = 1, 2, \dots$ ($n_m$ — целое нечетное число при любом $m$). Заметим, что $\frac{n_m - 1}{4} = \frac{4^m - 4}{3 \cdot 4} = \frac{4^{m-1} - 1}{3} = n_{m-1}$. Поэтому по формуле (2) для $n = n_m - 1$

$$a_{n_m} = a_{n_m-1} = n_{m-1} + a_{n_{m-1}}.$$

Следовательно,

$$a_{n_m} = n_{m-1} + n_{m-2} + \dots + n_1 + a_1 = \frac{n_m}{3} - \frac{m}{3}.$$

При $m = 6000$ получим $\left| a_{n_m} - \frac{n_m}{3} \right| = 2000 > 1982$.

e) Заметим, что в формуле (1) число слагаемых, отличных от нуля, равно $v = [\log_2 n]$. Поэтому

$$\left| a_n - \left( \frac{n}{2} - \frac{n}{4} + \frac{n}{8} \right) \right| \leq v,$$

так как, снимая знаки целой части, мы допускаем в каждом слагаемом ошибку, меньше 1. В скобках стоит сумма геометрической прогрессии. Вычисляя ее, получим

42

$$\left| a_n - \frac{n \left( 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^v \right)}{3} \right| \leq \log_2 n$$

или
$$\left| \frac{a_n}{n} - \frac{1}{3} + \frac{(-1)^v}{3 \cdot 2^v} \right| \leq \frac{\log_2 n}{n}.$$
А так как $\frac{(-1)^v}{3 \cdot 2^v} \to 0$ и $\frac{\log_2 n}{n} \to 0$ при $n \to \infty$,
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \frac{1}{3}.$$

В. Шевелев

Ф733. На «получилдре» с радиусом основания $R$ лежит гантелька длины $l$ (рис. 1). Найти перiod малых колебаний гантельки.

Рис. 1.

Рис. 2.

Пусть гантелька повернута на малый угол $\alpha$ относительно положения равновесия (рис. 2); точка $B$ — точка касания стержня с получилдром; $A\hat{O}B = \alpha$ (поверхность получилдра шероховатая, и гантелька не просkalзывает). Возникающие при этом моменты сил стремятся вернуть гантельку в положение равновесия. Поскольку угол $\alpha$ мал, можно считать, что шарики гантельки будут движться по дугам окружностей радиусов
$$r_1 \approx \frac{l}{2} - |AB| = \frac{l}{2} - R\alpha, \quad r_2 = \frac{l}{2} + R\alpha.$$
Скорости шариков будут равны, соответствующим.
$$v_1 = x_1' = (r_1\alpha)' = \alpha' \left( \frac{l}{2} - 2R\alpha \right), \quad v_2 = x_2' = (r_2\alpha)' = \alpha' \left( \frac{l}{2} + 2R\alpha \right).$$
Полная энергия гантельки остается постоянной и равной ее потенциальной энергии $\Pi_0$ в момент максимального отклонения от положения равновесия. Когда гантелька отклонена на угол $\alpha$ от положения равновесия, ее энергия равна
$$\Pi_1 + K = mg(R + x_2) + mg(R - x_1) + \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} = m \frac{l^2(\alpha')^2}{4} + 2mgR \left( 1 + \frac{\alpha^2}{2} \right) = \Pi_0$$
(m — масса каждой шарика; стержень считаем неисомым; вычисляя $v_1^2$ и $v_2^2$ мы пренебрегли членами порядка $\alpha^2(\alpha')^2$). Продиференцируем полученное:
$$\frac{ml^2\alpha' \alpha''}{2} + 2mgR\alpha' = 0,$$
откуда
$$\alpha'' = - \frac{4gR}{l^2} \alpha.$$
Полученное уравнение является уравнением гармоничских колебаний с частотой $\omega = \sqrt{4gR/l^2}$. Следовательно, период малых колебаний гантельки равен
$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \pi l \sqrt{\frac{1}{gR}}.$$
А. Фролов

Ф734. Веревка, прикрепленная одним концом к боковой поверхности цилиндра у его основания радиуса $r$, обмотана вокруг цилиндра $k$ раз

Сила натяжения вервки, действующая на груз, направлена перpendикулярно скорости груза. Следовательно, абсолотная величина скорости груза остается постоянной и равной $v$.
Рассмотрим движение в тот момент, когда вервка