Квант 1982, №9 · Страницы

ISSN 0130-2221
9
1982
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

41. При мыши страниц из кавычка из себя передаются, но все условия как бы вертикаля минуя.

42. Дало при드 ставшейся верхой, где на—координатные линия. Сподряд по ней пользовали. Гела, Солнце киссеряя годная галоваи, годная нima, годная нima.

На этой странице мы воспроизводим рисунки К. Э. Циолковского из его «Альбома космических путешествий». «Альбом» был задуман ученым как первоое пособие для будуших покорителей международных пространств. Циолковский впервые на основании строго научного анализа показал, что в космических полетах сразу после прекрашения работы дивигатель будет возникать состояние неевесомости. Особенно творческий деятельности ученого было организское сочетание точного расчета и образной наглядности, и «Альбом космических путешествий» — яркий тому пример.

В НОМЕРЕ: IN THIS ISSUE:

С новым учебным годом! 2 Good luck in the new school year!
Народное образование в СССР 3 Public education in the USSR
Ю. Осипов. Гравитационный захват 4 Yu. Osipov. Gravitational capture
А. Стасенко. Летать быстрее и дальше 12 A. Stasenko. To fly faster and further
А. Буздин, В. Тугушев. Как создавалась физика низких температур 19 A. Buzdin, V. Tugushev. How low temperature physics were created
Б. Явелов. Луи де Бройль 28 B. Yavelov. Louis de Broglie

Matematический кругок Mathematics circle
И. Камышко. Поль Дирак и задача о трех рыбаках 30 I. Kamyshko. Paul Dirac and the three fishermen story

Задачник «Квант» Kvant’s problems
Премии «Квант» 32 Kvant’s prizewinners
Задачи M761—M765; Ф773—Ф777 33 Problems M761—M765; P773—P777
Решения задач M731—M738; Ф743—Ф747 36 Solutions M731—M738; P743—P747
Список читателей, приславших правильные решения 47 List of readers who have sent correct solutions

«Квант» для младших школьников Kvant for younger school children
Задачи 49 Problems
В. Нахшин. Понятие определения и определение понятей 50 V. Nakhshin. The notion of definition and the definition of notions

Практикум абитриента College applicant’s section
Г. Левитас. Использовая графики 54 G. Levitas. Using graphs

Информация Information
Е. Юносов. IV Московский турир юных физиков 57 E. Yunosov. The IVth Moscow young physicist competition

Ответы, указания, решения Answers, hints, solution
Рецензии, библиография (29) Book reviews (29)
Смесь (18, 46, 61) Miscellaneous (18, 46, 61)

Шахматная страница The chess page
Как выиграть проигрывая (3-я с. обложки) How to win when losing (3rd cover page)

На первой странице обложки изображены в натуральную величины сверхпроводящие кабели, использемые в крупных сверхпроводящих системах. В течение вдвых тонких сверхпроводника, окруженные металлом с высокой электронной теплопроводностью.
Об открытии сверхпроводимости читайте в статье А. Буздина и В. Тугушева «Как создавалась физика низких температур».

© Издательство «Наука». Главная редакция физico-matематической литературы, «Квант», 1982

2

С новым учебным годом!

Дорогие ребята!

1982 год богат событийми важного политического значения, каждое из которых имеет пряме отношение к нашим школьным делам.

Отмечается 60-летие образования СССР. Как далеко шагнула наша страна за эти годы! Первой из стран мира она перешла рублей полного среднего образования подрастшего поколения. Она может гордиться тем, что на этом новом количеством рублей обеспечивает и глубокий научный уровень подготовки молодежи. Для выпускака советской школы характерно глубокое проникновение и в понимание общественных закономерностей, и в материальной мир. Гармоничское развитие человека достигается позанием научных истин, непреемным посильным участем в общественного полезных трудовых делах, приобретением навыков высокого нравственного поведения. Школа стала важнейшим государственным воспитательным учреждением, в котором формируется молодые стройители коммунистического общества.

Майский (1982 г.) пленум ЦК КПСС выдвинул Продовольствие программы СССР. Вам предостотт трудиться над преворением ее в жизнь. Впереди у нас больше дела. Все быстро достижения человека мысли облекаются в конкретные дела, новые машины, эффективные технологии. Все совершенное становится труд, основание предприятия. И от вас требуется хорошо подготовка. Современный работник — это человек, глубоко понимающий процессы, произходящие в/materialном производстве, имеющий использовать их с максимальной отделкой. Вот почему очень важно в школах развиватьную систему кружков по интересам, факультативных курсов, школьных научных обществ, различных секций. На фундамент основных школьных курсов, в зависимости от интересов учащихся, должны накладывать дополнительные знания. Лучшие учитель не только обогащают вашу память знаниями. Они всемерно развивают ваш способности, страйются приить вам элементы творческого подхода к анализу явлений. Современная педагогика немыслима без применения приемов, развивающих, будоражащих мыслы.

Инициатива создания журнала, который вы держите в руках, принадлежит выдающемся ученым и педагогам страны. Это журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР. Он относится к жанру издания отнюдь не легкого чтения. Тем не менее его тираж превышает 175 тысяч экземпляров. Для многих молодых людей «Квант» становится первым ориентиром на пути в современную науку. Это ли не показатель огромного желания молодежи в мире математики, теоретической физики и других сопредельных наук.

Позвольте пожелать вам новых успехов в овладении богатствами познания природы и общества. Страйтесь вникнуть в существующее явление. Помните, что не только количество материалов, которые вы заполнили, определяется успеха учения, но и глубиной познания этого материала, умением активно его применять на практике.

Министр просвещения СССР
член-корреспондент АН СССР
М. А. ПРОКОФЬЕВ

3

Народное образование в СССР

Советская школа с момента ее возникновения всегда была верным помещником Партии в коммунистическом строительстве. За 60 лет Союза Советских Социалистических Республика каждый пятлетка оставляла в области народного образования свой неповторимый след.

Нелегок был путь страны от почти сплошной неграмотности до Октябрьской революции ко всемещему среднему образованиею. Советское общенародное государство взяло на себя решение всех задач школьного строительства, создание материальной базы школа и их финансоврование, подготовку и содержание педагогических кадров, обеспечение школьных необходимыми учебными материалы и пособиями. Наше государство ежедневно выделяет на нуждаы просвещения миллиарды рублей и всеми доступными ему средствами стимулирует его развитие.

В этом году исполнилиось 10 лет со дня принятия ЦК КПСС и Советом Министров СССР постановления «О завершении перехода ко всемещему среднему образованиею молодежи и дальнейшем развития общеобразовательной школи». В нем отмечалось, что в стране создаются все условия для завершения перехода ко всемещему среднему образованиею как одной из важных предпосылок дальнейшего социально-политического и экономического развития нашего общества по пути к коммунизму,posta социальстической сознаательности и культуры трудящихся.

Суммируя итоги развития школа за 10 лет со дня принятия постановления, следует отметить, что за это время среднее образование получили 37,5 млн. человек, что составляет почти половину всех людей, получивших среднее образование за все время существования Советской власти.

Осуществление общего, специального и профессионального технического среднего образования подстрашало поколения имеет историческое и международное значение. В нашей стране успешно развивается и совершенствует единая система народного образования, которая обеспечивает широкую образовательную подготовку молодежи, хорошо и надежно служит ее духовному, нравственному и физическому развития, обеспечивает возможность поступления в любой возраст, а также подготовку к труду во всех сферах народного хозяйства. Такая демократическая система народного образования — одно из величайших достижений Советской власти.

В отчетном докладе ЦК КПСС XXVI съезду Коммунистической партии Советского Союза daha высокая оценка достоженной советской социальностью системы народного образования. Генеральный секретарь ЦК КПСС Л. И. Брежнев в докладе съезду партии сказал: «Взят важный рубеж — завершен переход к обязательному всеобщему среднему образованиею».

4

Гравитационный захват

Как образовательсь Солнечная система? Этот вопрос завладел умами ученых, верятно, с той самой поры, как выяснились, в каком порядке сорасположены в мировом пространстве Солнец, Земля, другие планеты. Древние верили, что центральной фигурой этого космического сообщства является Земля. Оdnako истинная картина оказыласьиной: планеты, в том числе и наша, образаются вокруг Солнца по орбитам, близким к круговым и расположенным примерно в одной плоскости. Как же сложился этот хоровод?

В 1796 году французский математик и механик Пьер Симон Лаплас выдвинул свою знаменитую космогонческую гипотезу, предлагавшую ответ на этот вопрос. Лаплас полагал, что Солнечная система образовалась из врашающего газовой туманности. Под действием сил притяжения между частицами газа туманность с законом сохранения момента импульса, врашалась все быстрее. В какой-то момент для частиц, находившихся на экваторе врашающегося структка, сила притяжения к его центру оказалась равной центробежной силе инерции, так что орбиты этих частиц далее уже не сужались; другие же частицы продолжали приближаться к центру. Туманность сплошивалась к плоскости, перpendикулярной оси ее врашения. Затем, по предположению Лапласа, она разделилась на центральный сгусток, из которого впоследствии образовалась Солнце, и перipherные колыца, позже сгустившиеся в планеты.

Гипотеза Лапласа хорошо объясняла концентрический характер планетных орбит. Но ведь в околосолнечном хороводе участвуют не только планеты. Вместе с ними вокруг нашего света образаются также и кометы. У многих из них орбиты сильно отличаются от круговых, представляют собой весы вытянутые эллипсы и, что особенно примечательно, не лежат в плоскости планетных орбит, а ориентированы довольно хаотически. Как объяснить такое дисграмmonю?

В 1770 году астрономы наблюдали комету, названную кометой Лекселя. В ожидавшийся срок ее следующого появления она не была обнаружена в предвычисленной точке небосвода. Как оказалось, в этом повинен Юпитер: комета была резко сбита со своей орбиты мощным прияжением этой планеты-гиганта в тот момент, когда она миновала его окрестности.

И вот, вступав перед необходимостью вписать кометы в свою картину происхождения Солнечной системы, Лаплас выдвинул смело предложение: среди тел, ее составляющих, есть не только “родные” дети Солнца, но и “приемные”; кометы — это пришельцы из космоса; те из них, которые, пропеляя сквозь Солнечную систему, прошли в близки какой-либо кругной планеты, резко, подобно комете Лекселя, изменили свою орбиту и свернули со своей прежнего, устремленного в бесконечность, пути на эллиптические околосолнечные орбиты.

Правда, Лаплас не доказал своего предложения, видимо, полагаясь на его самоочевидное правдоподобие. Это сочетание правдоподобия и недоказанности предопределяло гипотезе gravитационного захвата нелегкую судьбу в истории науки.

Одни учены, веря в ее будущее строое обоснование, отводили ей принципиальный роль в своих суждениях о происхождения Солнечной системе. Другие, напротив, относили

6

Рис. 2. Типы орбит в задаче двух тел

“тихожоды”, гиперболические — самые “стремительные”.

По эллиптической орбите (рис. 2,а) комета движется перiodически с переменной скоростью, достигающий максимума при каждом прохождении через перигелий и минимума — при прохождении через афейий (наболее удалению от Солнца точку эллиптической орбиты).

При движении по гиперболической орбите (рис. 2,б) комета прилегает из бесконечности вдоль асимптоты, при приближении к Солнцу поворачивается, облегает его и удаляется в бесконечность вдоль другой асимптоты. При этом на очень большом расстоянии от Солнца скорость можно считать постоянной; при приближении к Солнцу ее величины возратает, достигая максимума в перигелии, затем убивает и комета уходит на бесконечность с прежней по величины скоростью. Роль Солнца, таким образом, совпается к тому, чтобы повернуть вектор скорости кометы.

У параболической орбиты (рис. 2,в) нет асимптоты и, что важно, при удалении на бесконечность скорость кометы стремится к нулю.

Гиперболические и параболические орбиты родственны друг друга: комета прилегает к Солнцу из бесконечности и в бесконечность же удаляется. Эллиптические орбиты качественно отличны от остальных: комета всегда остается на ограниченном расстоянии от Солнца.

Слова, только что послужившие нам для сравнения орбит, помогут отчетливее охарактеризовать про-

цесс gravitationного захвата одного тела другим (или какой-либо системе тел): в предшествующие этому процессу бесконечно давние moments времени захватываемое тело находится на бесконечном удалении от захватывающего, а во все последующие пребывает близ него на ограниченной расстоянии. Таким образом, картина движения захватываемого тела сугубо несимметрина во время по отношению к моменту захвата.

Ничего подобного мы не видим среди типов движения, исчерпывающие описанных Ньюотоном для случая двух тел, которые мы условно назвали Солнцем и кометой. В каждом из трех случаях характер движения кометы в.beсконечно далеком прошлом и.beсконечно далеком будет совпадают.

Иными словами, gravitationный захват в системе из двух тел невозможен.

А если тел больше?

Задча трех тел

Казалось бы, с появлением третьего участника в ансамбле движущихся тел расчет их движения не должен существовать. Однако это не так: сложность задачи при переходе от случая двух тел к случая телярезко возратает. Движение двух тел сложет расчетать (хотя и не без труда) всякий, кто хорошо освоил методы дифференциального и интегрального исчисления. Задча трех тел представляют собой значентирую проблуу, над которой близь не одно поколение математков и астрономов.

7

Легко написать уравнение движения для каждой из тел. Но вот решить получившееся уравнение, найти траектории тел по заданным их положениями и скоростью в некоторый момент времени в обшем случае не удалось. Более того, сейчас строго доказано, что найти общее решение задачи невозможно! Дать геометрическое описание решения тоже представляется в высшей степени затруднительным.

Ну, а если подойти к задаче трех тел без желания найти ее точное решение и попытаться определить хотя бы типы их движения? При таком подходе удается достичь некоторых результатов.

Ради ясности можно несколько существующих вопроса наполобие того, как мы поступали при разборе задачи двух тел. Пусть одно из трех тел значительно превосходит по массе остальные. И пусть в какой-то период времени оба легких тела (кометы) находятся пользовости от тяжелого (Солнца). Расмотрим моменты времени, бесконечно далее от этого периода, прошленные или будущее по отношению к нему, и будем интересовать: где в такие моменты находится та или иая комета — на бесконечном удалении от Солнца или в ограниченной его окрестности? В зависимости от ответа на этот вопрос классифицировать типы движения.

Подобную классификацию для задачи трех тел предположил французский астроном Ж. Шази (1882—1955). Все мыслиные движения он подразделил на четыре типы:

тин гиперболический (рис. 3,a), когда в бесконечном дальнейшем времени и будущего и прошло обе кометы бесконечно дальней от Солнца;

тин гипербол-эллиптический (рис. 3,б), когда одна из комет находится на ограниченной расстоянии от Солнца, а второй приходит из бесконечности и уходит в бесконечность;

тин орангичных движений (рис. 3,в), когда все три тела в продолжение бесконечного времени на ограниченных расстояниях друг от друга;

тин орангичных движений (рис. 3,e), весма экзотическая, когда существует неоторая ограниченная область пространства, где все три тела время от времени оказываются одновременно, но не существует такой ограниченной области, где они оставались бы вечно.

Исходя из этой классификации, для случая трех тел определют понятие частного и полного захвата. Про частный захват говорят, если в прошлом движения принадлежит гиперболическому типу, а в будущеем — гипербол-эллиптическому.

Рис. 3. Классификация движения в задаче трех тел

9

О. Ю. Шmidt (1891—1956). Выдающийся советский математик, прославленный полярный исследователь. Предложил первый primer частичного захвата в задание трех тел.

слегка изменившейся гиперболе с несколько увеличенной скоростью.

Этот primer, возможно, станет более понятным, если представить себе противоположную ситуацию «распада», когда тело $P_1$ «от века» обращалось вокруг $P_0$, но в какой-то момент налетевшее с огромной скоростью тело $P_2$ стали его с орбиты и выбросило на бесконечность, а само продолжило свой путь на бесконечность, немного потеряв в энергии (рис. 4, 6). Чтобы получить отсюда пример захвата, достаточно представить себе время, текущим вспять.

Пример Шmidt обладал теми же недостатками, что и примеры обмена: расчет охватывал лишь конечный промежуток времени; к тому же ошибки численного интегрирования оказались чрезмерно велики. Когда сравнили значения момента импульса на концах интегрирования, они не совпали. Пример Шmidt получился не убедительным. Казалось, что точка зрения Шази восторжествовала.

K. A. Ситников: частичный захват возможен!

Прошло несколько лет. Пример Шmidt подвергся переместу. Результаты свидетельствовали: основная идея ученого верна — небесное тело, прилетевшее к Солнцу на огромной скорости, может «столкнуть» другое тело, пропетающее рядом, с гиперболической орбиты на эллиптическую, а затем удалиться в бесконечность. Более того, выяснили, что эту идею можно использовать для построения траекторий чисто теоретическими средствами, без численного интегрирования.

В 1952 году К. A. Ситников построил аналитический primer частичного захвата, а в 1956 году В. М. Алексеев — примеры обмена. При этом оказалось, что подобные примеры отнюдь не представляют собой какие-то единичные исключания — небольшие изменения параметров небесных тел не приводило к изменении качестваенной картины явления.

Рис. 4. Примеры частичного захвата и распада

10

В сравнительно простых случаях утверждение Шази было опровергнуто.

Но оставалось под сомнением возможность комбинации других типов движений. Было неизвестно, существуют ли осцилирующие движения вообще, возможно ли полный захват. Дело осложнялось тем, что такие примеры, если бы их и удалость обнаружить, представляли бы собой случай исключительных.

Равнобедренная задача трех тел

Уже на примере задачи двух тел мы могли убедиться, как много для осмысления общей проблемы значит порого характераный частный случай. При разборе задачи двух тел одно из них мы предполагали значительное тяжелое другого. Это сильно упростило классификацию их движений. Классификация остается справедливо и для общого случая, но если мы сразу приняли за него, обьяснение потребовало бы больших условий.

При анализе осцилирующих движений успех также был обусловлен модельным примером. Предложенный А. Н. Колмогоровым, он получил впоследствии название равноведренной задачи трех тел. Слово «равноведренный» выражает характерную особенность примера: в каждой момент времени треугольник, образующий трея темами, оказывается равноведренным. Два тела, составляющие основание этого треугольника, имеют одинаковую, веса солидную массу. Назовем их «звездами»; третье же, значительное более легкое, естественно называть «пылинкой».

Звезды в примере Колмогорова движутся в плоскости по эллиптическим орбитам вокруг своего центра масс, пылинка же движется вдоль перпендикулара к плоскости, восстанавливающего в этом центре (рис. 5).

В 1960 году Ситников показал, что движение пылинки может носить осцилирующий характер, то есть представлять собой колебания с изменяющимся размахом, причем этот размах временами достигает сколь годно больших значений.

Такие колебания могут проискать и с постоянным размахом — если звезды движутся по окружности, словно гонясь друг за другом. Но если орбиты звезд — эллиптические и благодаря этому звезды то сбижаются, то расходятся, хотя бы незначительно, в движении пылинки возникает эффектив раскачки.

Этим примером было доказано существование осцилирующих движений в задаче трех тел.

Рис. 5. Равнобедренная задача трех тел

11

Оставался последний бактон: проблема полного захвата.

В. М. Алексеев: полный захват возможности!

Исходной позицией для штура последнего бактона последила все та же равноведренная задача трех тел. Исследуе ее, В. М. Алексеев в 1968 году доказал: начальное положение и скорость пылинки можно выбрать так, что ее последующее движение будет принадлежать к типу ограниченных или осцилириующих движений, а приобретится полное movement и скорость пылинка может и прилетев из беконечности.

В целом же картина движения выглядит так: пылинка приближается из беконечности к плоскости эллиптического движения двух массивных тел, произдает эту плоскость, и за это время массивные тела сближаются, силы взаимного прияжения между всеми tremя участниками движения возрастают настолько, что приормживают пылинку, поворачивают ее вспять и заставляют в последующем совершать колебания с ограниченным или неограниченным размахом. Первая из двух этих возможность соответствует полному захвату, вторая — захвату в осцилляцию, как говорят исследователи.

Как водится, самые последние шаги оказываются самыми трудными. Все те примеры движения, имеющих различный характер в прошлом и будущеем, которые были построены до 1968 года, как бы выживались из огромного океана неизвестности, какой представляет из себя все совокупность возможных движений в задаче трех тел. Исследования же Алексеева пропили свет на то, как эта совокупность устроена.

Результат Алексеева завершил многоолетнюю диссусцию по поводу утверждения Шази: оно оказалось полностью неверным! Самые спорные комбинации разнородных типов из классификации Шази, которые движение трех тел описывает в прошлом и будущеем, оказались осуществыми, получили строовое аналогическое обоснование.

Рис. 6. Катастрофическая трансформация кометы Kirnca-Кви в 1855 г. и эволюция ее орбиты (по расчетам Е. И. Казимирчак—Полонской)

Комета Kirnca-Кви: захват Юпитером?

Нельзя сказать, что с опровержением утверждения Шази в probleме гравиитационного захвата не осталось никаких неясностей. Некоторые из них внимательный читатель мог бы подметить даже с помощью этой короткой статьи.

Ну, например: возможность захвата кометы, каким он виделся Лапласу — за счет ее прохождения mismo Юпитера или другой планеты-гиганта? Есть основания думать, что ответ — положительный.

Вот как может выглядеть этот захват. Комета,ройдя взлизи Юпитера на гиперболической (по отношению к Солнцу) скорости, тормозится им и переводится на эллиптическую орбиту вокруг Солнца с тем, чтобы при очередной встрече с Юпитером перейти на другую эллиптическую орбиту и т. д.

Некоторые время казалось, что так была захвачена комета Kirnca-Кви, открыта в 1963 году. По результатам полученного наблюдения были вычислены ее нынешняя и предшествующая орбиты. Получилось (рис. 6), что в 1961 году комета Kirnca-Кви продолжла взгляда юпитера (Окончание см. на с. 27)

12

А. Стасенко

Летать
быстрее и дальше

Живет она, дошедшая от дедов,
Особая скшагочная страсть:
Влечет к себе туманность Андромеды
Сквозь немуту космических пространств.
Н. Образцова. Город над морем

Тысячи лет мечтал человек летать и добился этого, «опираясь на силу своего разума», на сумму науки и технологически. Летательный аппарат, по сути дела, — венец технической цивилизации. Не случайно его разработка и построка и сегодня доступны не всем странам. Мы можем по праву гордиться вкладом русских ученых в осуществление этой общечеловеческой мечты. Одиним из них был Константин Эдуардович Циолковский, который впервые обосновал возможность использовать искусство пакета для межпланетных сообщений.

Рассмотрим некоторые аспекты физики летательного аппарата, в частиности — ракетного двигателя, разработанного Циолковским и описанного в его научных и популярных статьях и книгах.

Почему именно пакета?

В определенном смысле любое движение является реактивным. «Пароход отталкивает body, dirijжабл и азроплан — воздух, человек и лошадь — земной шар… Такие реактивные явления мы обыкновенно и наблюдаем на земле. Вот почему они никогда не могли поощрить к мечтам и исследованиям… Ракета заключит в самом себе вещества для отброса» (К. Э. Циолковский).

Ракеты начали делать давно, но сначала это была «то гульба, то пальба», как讶ся в песне. Только Циолковский понял, что пакета — единственное средство для достижения принципального любой скорости, а значит, и необходимой для преодоления силы земного тяготения. «Только разум и наука могли указыть на преобразование этих явлений в градиизные, почти непостязимые чувства», — писал Циолковский.

13

Так почему же именно пакета? Постараемся понять это, сравив ее с другими, казалось бы самым близким ей «по духу», летательным аппаратом — прямоточным воздействием.divигательем. Но прежде — о самом пакете (рис. 1). Представим себе, что в некоторых произвольный момент времени $t$ пакета имела скорость $v$. Мы следенно разобем пакету на две части — ту, которая через малый промежуток времени $\Delta t$ «собирается» отлететь назад (отработанное топливо пакеты), обозначим ее массу через $\Delta M$, и тот «остаток» массой $m$, который попетит дальше, но уже с другой скоростью, равной $v + \Delta v$. Скорость отлетевшей части относительно «остатка» обозначим через $u$, тогда ее скорость относительно земного наблюдается будет равна $(v + \Delta v) - u$. Так как разделение произошло под действием внутренних сил, суммарный импульс пакеты не изменился*):

$$(m + \Delta M)v = m(v + \Delta v) + \Delta M(v + \Delta v - u),$$

или

$$mv + \Delta M \cdot v = mv + m\Delta v + \Delta M \cdot v + \Delta M \cdot \Delta v - \Delta M \cdot u.$$

Слагаемые, подчерknутые прямыми чертами (одной или двумя), взаимно уничтожатся, а слгааемое, под-

*) Если эта фраза вам показалась не очень понятной, советем прочитать главу «Закон сохранения импульса» из школьного учебника «Физика 8».

Рис. 1.

Рис. 2.

черknутое волнистой линей, «исчезнет» вот по какой причине. Здесь и в дальнейшем мы будем все приращения — $\Delta t$, $\Delta v$, $\Delta M$ и другие — считать очень малыми, так что их произведение типа $\Delta M \cdot \Delta v$ будет совсем малыми, или, как говорят математики, второго порядка малости. Итак, что же остается от закона сохранения импульса? Вот какое равенство:

$$m\Delta v = u\Delta M.$$

Если учеть, что отброшенная масса $\Delta M$ в точности равна убили массы пакеты: $\Delta M = -\Delta m$, то полученное равенство можно переписать в виде

$$\frac{\Delta v}{u} = -\frac{\Delta m}{m}.$$

Теперь проведем анализчные расчёжения для воздействию двигательного.divигателя (рис. 2). Вот он «готовится» в момент времени $t$ «заглотить» порцию воздуха массой $\Delta m_B$ и, израсходовав массу горючего $\Delta m_r$, выбросить образованшуюся смесь с относительной скоростью $u$. При этом, разумеется, изменение массы самого летательного аппарата будет равно $\Delta m = -\Delta m_r$. Запишем закон сохранения импульса для системы.divигателя — горючее — воздух:

$$\Delta m_B \cdot 0 + (m + \Delta m_r)v = (\Delta m_B + \Delta m_r)(v + \Delta v - u) + m(v + \Delta v)$$

(здесь $v$ — скорость аппарата в момент времени $t$, $v + \Delta v$ — его новая скорость в момент $t + \Delta t$, первое слагаемое слева отражает тот факт, что поглощенный.divигатель возвращающий поконлся).

14

Отсюда, учитывая сделанные ранее оговорки, после некоторых преобразований получаем

$$\frac{\Delta v}{u} = \frac{\Delta m_r}{m} - \frac{\Delta m_B}{m} \left( \frac{v}{u} - 1 \right).$$

Пусть горючого подаетсяровно столько, чтобы оно все прореагировало с кислородом воздуха. Отношение масс $\Delta m_r / \Delta m_B$, конечно, будет зависеть от химического состояния горючого, но для данного вещества оно будет постояной величины, которое мы обозначим через $\beta$. Тогда предыдущее равенство примет вид

$$\frac{\Delta v}{u} = \frac{\Delta m_r}{m} \frac{1 + \beta - v / u}{\beta},$$

или

$$\frac{\Delta v}{u} = - \frac{\Delta m}{m} \frac{1 + \beta - v / u}{\beta}.$$

Посмотрите внешательно на уравнение (1) и (2). Они имеют нечто общее, а именно: для того чтобы скорость летательного аппарата росла ($\Delta v > 0$), нужно, чтобы масса его убывала ($\Delta m < 0$). Но есть и очень важное отличие: в правую часть уравнения (2) входит множество $1 + \beta - v / u$, который по достижении скорости $v = u (1 + \beta)$ становится равным нулю. Это означает, что воздействно реактивный диггатель, «заглатывший» покоящийся воздейству, не может разогнаться до скорости, существующего большей, чем относительная скорость истечения продуктов сорта. Скорость такого диггателя имеет предел, который предполагает невозможно. А для ракеты аналогичного предела нет.

На самом деле этим уже все сказано, однако в принципие можно получить и точные выражения для скоростей ракеты и диггателя.

Тот, кто имеет суммированное малые приращения, то есть интегрировать, из выражения (1) легко получить (учитывая, что в момент $t_0 = 0$ $v = 0$ и $m = m_0$)

$$\frac{v - 0}{u} = - (\ln m - \ln m_0),$$

или

$$\frac{v}{u} = \ln \frac{m_0}{m}.$$

Это и есть знаменита формула Циолковского. Историки науки говорят, что он затратил на нее немало времени: первоctrвыателю всегда трудно. Сегодня грамотный школьник получит ее за несколько минут, а студент факультета аэромеханики и летательной техники Московского физико-технического института (специально тому обученный) — за несколько секунд.

Проанализируем полученную формулу. Если убыль массы ракеты в единицу времени есть величины постоянная (обозначим ее через $\mu = - \frac{\Delta m}{\Delta t}$), то с течение времени масса ракеты изменяется по закону (см. рис. 1)

$$m(t) = m_0 - \mu t.$$

По истечении времени $t$, когда срокит и будет выброшено все топливо, масса ракеты станет равной $m_\tau = m_0 - \mu t$, а ее скорость —

$$\frac{v_\tau}{u} = \ln \frac{m_0}{m_\tau}.$$

Очевидно, что ракета достигает тем большей скорости, чем меньше оставшаяся масса. Это печально, либо неэкономно, но что поделаешь — такое природа. Хорошо уже то, что найдена лазейка, использую которую можно достичь «скорости убегания» от планеты, хотя и дорогой ценой. Но есть и еще одна возможность — увеличение относительной скорости выброса отработанного топлива.

Вот что писал сам Циолковский по этому поводу: «Что бы снаружи получил наиболее мощный ракет, надо, чтобы частца продуктов горения или иного отброса получила наиболее мощный отбросную горения. Она же постоянна для определенных веществ отброса. Экономия энергии тут не должна иметь места: невозможна и невыгодна».

Итак, нужно построаться увеличить скорость выброса $u$.

Как выбрасывайте массу?

В принципие, это можно делать миллионом способов. Так, в одном из проектов Циолковского реактивная тга должна быть получаться в ре

15

зультате выбрасывания из имеющейся на борту космического корабля пушки сферических ядер. Ясно, что такой способ не многого стоит: большой скорости он дать не может.

Среди множества гориздо более поздних проектов был, например, такой*) (рис. 3). В геометрическом центре огромной прочной части взрывются почередно доставляемые туда атомные бомбы. При взрыве каждой из них сначала возникает интенсивный выборос электромагнитной энергии в виде гамма- иRENTНОВСКИХ ЛУЧЕЙ, видимого света и теллового излучения. Поглошение этой энергии, сопровождающееся испарением тонкого слоя космического корабля, сообщает аппарату импульс в желаемом направлении. Второе воздействие на корабль возникнет, когда осколки бомбы достигнут поверхности цаши и, обладая высокой скоростью, передают ей свой импульс. Серия из нескольких сотен таких взрывов может обеспечитьускорение большой полезной нагрузки и ее взлет с поверхности планеты. (Этот процесс можно сравнить с работой многоступенчатой реакты, состоящей из мощных ступеней с малыми периодами работы.) Конечно, в этом проекте речь идет о громадном летательном аппарате размером в нескольких kilометров (а может быть, даже и десять kilометров). Вот «как далеко может хватить разум человека*!.

В настоящее время задача разгона и выброса массы реализуется более обденино: путем пропускания сильно нагретого газа через так называемое сверхзвуковое сопло. Такой вариант получения реактивной тягги — «силюю действия струп газа, вытекающего из резервуара, в котором этот газ находится под давлением», — тоже рассматривается Циолковским.

Разберем этот процесс в упрощенном виде, который, однako, позволяет сделать многоные выводы. Для лучшего понимания нам придетя вместе несколько новых для многоих читателей

Рис. 3.

понятный — таких, как поток массы, поток импульса и поток энергии*). Они часто используются в физике.

Представьте себе реакку, в которой вода течение со скоростью $u$ и которая имеет площад поперечного сечения (перpendикулярного скорости) $S$. Тогда за единицу времени через это сечение проходит масса воды, равная произведению $quS$. Эта величина и называется потоком массы. Посмотрите, как она «устроена»: плотность воды $q$ умножается на объем $uS$, переносимый в единицу времени. Но каждая единица массы (точнее — масса каждой единицы объема) обладает и кинетической энергией $qu^2/2$, и импульсом $qu$. Значит, река переносит не только массу, но и эти величины тоже, причем потоки кинетической энергии и импульса равны соответственно ($qu^2/2)uS$ и $qu \cdot uS$.

В дальнейшем эти понятия будут нами использованы.

Пусть какая-нибудь жидкость (или газ) движется по каналу переменного сечения с площадю $S$, зависит от точки на оси $X$. Очевидно, что масса жидкости (или газ), проходящая через любое сечение $S$ в единицу времени (поток массы), одинакова:

$$quS = \mu = \text{const.}$$

*)Этот и ряд других любопытных проектов описаны в книге У. Корлисса «Ракетные движители для космических полетов» (М., «Инструментальная литература», 1962).

16

Если плотность $\rho$ постоянна, например, течение отражаетсовсем простую мысль: где канал шире, там течение медленнее, где уже — быстрее. В отличие от несжимаемая жидкость, газ может сильно расширяться, при этом его плотность уменьшается. Следовательно, при той же площади секения канала скорость газа будет газаздо большие, чем скорость жидкости. Что и требуется для наших целей. Теперь понятно, почему из ракеты должен выбрасывается именно газ.

Для простоты рассужdenя будем считать газ идеальным и однозатным. Это означает, что он подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона $pV = \frac{m}{M} RT$, или

$$p = \rho \frac{RT}{M}$$

(4)

(здесь $p$ — давление, $\rho = m/V$ — плотность, $T$ — температура, $M$ — молярная масса газа, $a$ $R$ — унверсальная газовая постоянная), и что его внутренняя (тепловая) энергия равна

$$\frac{3}{2} \frac{m}{M} RT.$$

Далее положим, что в газе не произходит никаких химических реакций, тепло к нему ноткуда не поступает и никака от него не obtaints. Тогда поток суммарной энергии газа, так же как и поток массы, должен сохраняется. Как это записать?

Какая единlua объема газа обладает во время движения кинетической энергии $\rho u^2/2$ и тепловой энергии $^3/2\rho RT/M$, поэтому поток этих энергий равны $(\rho u^2/2)uS$ и $(^3/2\rho RT/M)uS$. Кроме того, сила давления $pS$ совершает в единицу времени работу, равную $pSu$, что вызывает соответствующое увеличение потока энергии. Таким образом, поток суммарной энергии равен

$$\left( \frac{\rho u^2}{2} + \frac{3}{2} \rho \frac{RT}{M} \right) uS + pSu = \text{const},$$

или, после деления на $\rho uS$,

$$\frac{u^2}{2} + \frac{3}{2} \frac{RT}{M} + \frac{p}{\rho} = \text{const}.$$

Преобразуем еще это уравнение, подставив выражение для давления из уравнения Менделеева — Клапейрона. Тогда получим

$$\frac{u^2}{2} + \frac{3}{2} \frac{RT}{M} + \frac{RT}{M} = \frac{u^2}{2} + \frac{5}{2} \frac{RT}{M} = \text{const} = \frac{5}{2} \frac{RT_0}{M}$$

(5)

Здесь мы конкретизировали выражение постоянной,雯я температуру $T_0$, при которой газ поконтся ($u=0$).

Теперь, хорошоенько поработа,opa получать «урожай». Из последнего уравнения видно, что если бы газ в процессе движения мог охлаditся до $T=0$, то он приобрет бы самую большую скорость

$$u_{\text{max}} = \sqrt{\frac{5RT_0}{M}}.$$

При этом вся тепловая энергия газа перешла бы в кинетическое энергию его направленного движения.

Сделаем численную оценку. Допустим, нам удалось нагреть самый легкий одноатомный газ гелий ($M=4$ кг/кмоль) до $T_0=3000$ К. Тогда его можно разогнать до скорости

$$u_{\text{max}} = \sqrt{\frac{5RT_0}{M}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 8,31 \cdot 10^3 \text{Дж}/(\text{кмоль} \cdot \text{К}) \cdot 3 \cdot 10^3 \text{К}}{4 \text{ кг/кмоль}}} \approx 5,6 \cdot 10^3 \text{м/c} \approx 5,6 \text{ км/c}.$$

Это приблизительно в полтора раза меньше первой космической скорости, но все прелесть в том, что пакета может набрать скорость, горячдо большую скорости источения газа.

И, наконец, остался последний вопрос.

Каким нужно сделать канал?

Иначе говоря, каков должен быть закон изменения площади поперечного секения $S$ вдоль оси $X$, чтобы можно было достичь скорости $u_{\text{max}}$?

Выделим объем канала, заключенный между близкими друг к другу секениями $x$ и $x+\Delta x$, где площади равны $S$ и $S+\Delta S$, а скорости, плотности и давления — $u$ и $u+\Delta u$, $\rho$ и $\rho+\Delta \rho$, $p$ и $p+\Delta p$ соответственно (рис. 4). На участке $\Delta x$ поток массы $\mu=\rho uS$ изменяет свой импульс под

17

действием разности $pS - (p + \Delta p) \times (S + \Delta S)$ сил давления, действующих вдоль оси $X$, и проекции на эту ось силы давления, действующей на боковой стенку канала: $p \cdot 2\pi r(x) \times \Delta x \cdot \mathrm{tg} \alpha = p \cdot 2\pi r(x) \cdot \Delta r = p \cdot \Delta (\pi r^2) = p \Delta S$.

Запишем уравнение второго закона Ньютона для приращения имплуса потока массы $m$ под действием указаных сил:

$$\mu (u + \Delta u) - \mu u = pS - (p + \Delta p) (S + \Delta S) + p \Delta S,$$

или

$$\mu u + \mu \Delta u - \mu u = pS - pS - \Delta p \cdot S - p \Delta S - \Delta p \cdot \Delta S + p \Delta S.$$

Отсюда, опуская подчеркнутьые члены, получим

$$\mu \Delta u = -\Delta p \cdot S,$$

или

$$\mu \Delta u = -\Delta p.$$

Тут кончается физика и начинается форминая обработка полученных результатов. Чтобы собрать сдухом, выпишем рядом уравнения (3)—(6):

$$\mu u S = \text{const},$$

$$p = \rho \frac{RT}{M},$$

$$\frac{u^2}{2} + \frac{5}{2} \frac{RT}{M} = \text{const},$$

$$\mu \Delta u = -\Delta p.$$

Можно положовать и прислушаться: тут все диамника Staционного течения идеального газа! Но вот что любопытно. При уравнения выписаны в виде общих алгебраических соот:

Рис. 4.

2 «Квант» № 9

ношений, а последнее — в виде малых приращений. И с этим ничего не поделаешь — ведь и $\varphi$, и $p$ и $u$ изменяются вдоль канала. Поэтому последнее уравнение трогать не будем, а все другие запишем тоже в виде приращений (подробнее о том, как это сделать, в частности — как найти мало приращение произведения изменяющихся величины, можно прочитать в Приложении к статье):

$$u S \Delta \varphi + \varphi S \Delta u + \varphi u \Delta S = 0,$$

или

$$\frac{\Delta \varphi}{Q} + \frac{\Delta u}{u} + \frac{\Delta S}{S} = 0,$$

(3')

$$\Delta p = \frac{R}{M} (T \Delta \varphi + \varphi \Delta T),$$

(4')

$$u \Delta u + \frac{5}{2} \frac{R}{M} \Delta T = 0,$$

(5')

$$\varphi u \Delta u = -\Delta p.$$

Подставим $\Delta T$ из выражения (5’) в равенство (4’), $\Delta p$ из полученного выражения подставим в (6), оттуда $\Delta \varphi$ — в (3’) и найдем связь между $\Delta u$ и $\Delta S$:

$$\frac{\Delta u}{u} \left( \frac{3}{5} \frac{u^2 M}{RT} - 1 \right) = \frac{\Delta S}{S}.$$

Отметим, что $^5/3RT/M$ — это квадрат какой-то скорости. Обозначим его через $a^2$, тогда в скобке будет выражение $u^2/a^2 - 1$. На самом деле $a^2$ — это квадрат скорости звука в одноатомном газе при температуре $T$, но этот факт нам не понадбится. Просто будем помнить, что есть некоторая важная скорость $a$, зависит от $T$. И это нам здесь будет достаточно.

Итак, что же видно из последнего уравнения? Если $u < a$, то скобка отрицательна, и для положительного приращения скорости ($\Delta u > 0$) приращение площади должно быть отрицательным ($\Delta S < 0$), то есть площадь надо уменьшать. По мере увеличения $u$ мы достигнем точки, где $u = a$. Здесь скобка обращается в нуль, и $\Delta S = 0$ при любом $\Delta u$, в том числе и положительным. И наконец, когда $u > a$, для дальнейшего роста $u$ нужно обеспечить положительное приращение площади ($\Delta S > 0$), то естьечение канала должна должно увеличивать. Это и есть качественное описание

20

1877 года Кальте сделал сообщение о результатах своих опытов поожжению кислорода в Парижской Академии наук. Вскоре Кальте удалось получить в жидком виде и азот.

Понять, почему в опытах Кальте газ охлаждается, нетрудно. При достаточно быстро расширинии газа не происходит заметного теплобмена между системой и окружающей средой, так что процесс расшириния очень близок к адиабатному. Согласно первому закону термодинамики, при адиабатном процессе $\Delta U = A$, то есть изменение внутренней энергии газа равно равен внешних сил над газом. При расширинии газа совершает положительное работу ($A' > 0$), и работа внешних сил — отрицательная. Следовательно, $\Delta U < 0$, что и означает охлаждение газа (поскольку внутренняя энергия газа пропорциональна его температуре).

Весьма важным параметром, определяющим охлаждение газа, является давление. В конце XVIII века голландский физик Ван Марум, проводя эксперименты с аммиаком с целью проверить справедливость закона Бойля—Мариотта, заметил следующее. Вначале при уменьшении объема, занимаемого газом, давление газа пропорционально увеличивалось. Когда давление достиило значения 7 атм, произошло неожиданное — при дальнейшем скатии давление неросло. В цилиндре появился жидкий аммиак, и количество жидкости увеличивалось при скатии.

Именно по пути скатия и шли исследователи в своих попытках охлаждать газы. Однако водород, азот, кислород не удавалось охлаить, как бы сильно их ни сжимали. Учены полагали, что это «постоянные газы», то есть водород, азот, кислород не могут существовать в виде жидкости. Загадкой оставалось, почему они газы — «постоянные», а другие — нет. Решить эту задачу помогла теория голландского физика Ван-дер-Ваальса.

Ван-дер-Ваальс во второй половине XIX века предложил довольно простое уравнение, описывающее состояние реальных газов. Как известно, модель «идеальный газ» тем точнее соответствует реальным газам, чем выше температура газа и чем меньше его плотность. При низких температурах и больших плотностях существующего роль играют силы взаимодействия между молекулами газа и тот факт, что молекулы имеют собственный объем. Предложенное. Ван-дер-Ваальс уравнение состояния реальных газов учитывают эти особенности.

На рисунке 1 приведены изображения реальных газов, получающихся при изменении (сплошные кривы), и теоретические изображения, расчитанные по уравнению Ван-дер-Ваальса. Как видно из рисунка, и изображены Ван-дер-Ваальса тем точнее описывают поведение реального газа, чем выше его температура. Иными словами, и уравнение Ван-дер-Ваальса лишь приближенно описывает реальные газы. Однако это уравнение отражает факт существования двух различных состояний вещества, или, как говорят, двух фаз вещества — жидкой и газообразной, и из этого уравнения следует, что существует неокоторая кричическая температура, при которой исчезает различие между этим фазами.

Основная особенность изображения I на рисунке 1 — наличие уча-

21

стка, на котором давление возрастает с увеличением объема газа.

Как нетрудно понять, наличие участка изотермы $I$, отвечающего давлению давления с уменьшением объема, указывает на неустойчивость газа.

Действительно, рассмотрим газ в цилиндре, закрытом поршнем: на некотором участке изотермы $I$ (между точками $a$ и $b$) служают уменьшение объема газа привойло бы к уменьшению давления на поршень и, следовательно, к дальнейшем сказано. В этой области теория Ван-Дер-Ваальса неприменима — здесь происходит конденсация газа в жидкость. При конденсции давление остается постоянным — равным давлению насыщенных паров — на реализной изотерме появляется горизонтальный участок ($V_a-V_b$). После конденсции всего газа мы уже имеем дело с жидкостью. Определить точно, при каком значении $V$ начинается процесс конденсции, можно лишь экспериментально.

По мере увеличения температуры максимум и минимум на участке изотермы, соответствующем неустойчивому состоянию, сближаются, и при некоторых температуре они совпадают (изотерма $II$ на рисунке 1). Эта температура $T_k$ — критическая температура — является характерной величины для каждого газа. При температуре выше $T_k$ газ не может сконденсировать ни при каких значениях давления. Иными словами, $T_k$ есть максимальная температура, при которой вещество может существовать в жидком состоянии. Соответствующие этой температуре значение критического давления $p_k$ — максимальное давление насыщенного пара (газа), а значение $V_k$ определяет максимальное плотность газа. По мере приближения к критической точке разность плотностей газа и жидкости уменьшается, и в критическом состоянии она обращается в нуль. (Отметим, что для идеального газа $T_k=0$, то есть конденсция не происходит ни при каких конечных давлениях. Это связано с тем, что в модели идеального газа полностью отсутствует механический взвод-

На подступах к жидkomу гелию

Хотя Кальте и удалостьожжить кислород, перед ним продолжала стоять задача удержания заметного количества кислород в жидкой фазе — ведь представленный самому себе кислород очень быстро испарлялся. Эту задачу решить ему не удалось. Дальнейший прогресс вделеожжения газов связана с именами полских физиков Ольшевского и Вроблевского, усовершенствовавших малопроизводительный прибор Кальте и получивших жидкий кислород «спокойно кипящим в испыталенный трубке». Однако, несмотря на настоящие попытки, Вроблевскому и Ольшевскому не удалось пополнить списокожженных газов — водород не подавалсяожжению. Первым получил водород в жидком состоянии англійский физик Дьюар в 1898 году.

В Голландии этафету в проведении исследований поожжению газов принял друг и последователь Ван-Дер-Ваальса Камерлинг-Оннес, который возглавил в 1882 году криогенную лабораторию в Лейденском университете. Первым шагом в его научной деятельности на этом пути была экспериментальная проверка теоретических предсказаний Ван-Дер-Ваальса относительной критических значений температуры и давления, при которых газ может перейти в жидкое состояние.

В качестве объектов исследований Камерлинг-Оннес использовали газы, охлаждая их до все более низких температур и изменяющих методы. Наобольшое внимание ученого прилеккеляй, который к тому времени еще не быложжен, несмотря на настоящие попытки. Тот факт, что гелий остается в газообразном состоянии вплоть до крайне низких температур, дает возможность изучить механические свойства газа.

22

можность по экспериментальным изотермам геля получать данные о межмолекулярных взаимодействиях в газе (ведь именно при низких температурах резце проявляются отклонения реального газа от идеального, связанные с межмолекулярным взаимодействием).

В 1907 году Камерлинг-Оннесопылковал результаты измерений изотермам геля в интервале температур от +100°С до —216°С. Вскоре после этого последовали измерения при температурах жидкого водорада (—259°С).

Исследования при таких температурах требовали уникального оборудования, мощной технологической базы для сжжения газов. И здесь cameое время расскаatzь о некоторых выдающихся качеств Камерлинг-Оннеса, которые во многом определяли условия Лейденской лаборатории в низкотемпературных исследованиях.

Камерлинг-Оннес попимал, что сложность исследовательской техники требует искусного и хорошего подготовленного вспомогательного персонала. Он чувствовал, что времена профессоров-любителей, проводивших эксперименты с помощью непритязательных самодельных приборов, безвозвратно уходят. Проникновение во все более глубокие тайны приоды требовало создания «индystрии» научного приборостроения. Оннес основал при своей лаборатории в 1901 году школь приборов и стеклодувов. Он постояно подчеркивал, что физические наблюдения должны выполнять с астрономической точностью; а это требовало радиального изменения технической подготовки эксперимента. По существу, лаборатория Оннеса стала прообразом и модель для научно-исследовательских институтов XX века.

Понимая важность быстрого ознакомления учены с научными достинениями, Камерлинг-Оннес основал журнал «Сообщения из физической лаборатории Лейденского университета», в котором печатались сообщения о работах, выполненных в его лаборатории. Двери лаборатории были широко расшифровали перед всеми, кто хотел работать в области криогенной техники. Это был совершенно новый стиль, новый тип взаимодействий между физиками разных стран и научных школ.

Ожижение геля

Камерлинг-Оннеса интерсовали прежде всего значения критических параметров геля, главным образом — температуры $T_k$. Измеряя изотермы геля при все более низких температурах, он пришел к выводу, что значение $T_k$ лежит между 5К и 6К. Решено было, что охлаditь геля до температуры ниже критического можно при помощи быстродирения геля, скатого предварительно до давления 100 атм и охлажденного до температуры жидкого водорада. При опытной проверке Камерлинг-Оннесзаметил плотное серое облако тумана. Казалось бы, это свидетельство о конденсции геля.

Одноко продолжение этих экспериментов показало, что причина появления облака — наличие в геляне незначительной примеси водорада, оставшейся несмотра на тщательную очистку. Когда опыт был повторен с гелем, онишениным еще более тщательно, образование тумана не наблюдалось. Увеличив скорость распределения, Камерлинг-Оннесувидел легкое облачно тумана. Но туман был очень неплотным, и облачно исчезло в течение секунды; так что вопрос об истинном значении критического температуры геля остался открытым.

Решающий эксперимент был произведен 10 июля 1908 года. Схема этого эксперимента приведена на рисунке 2. Гелий, сжатый до большого давления, из компрессора поступает в теплобменник, где охлаждается жидким водорадом. Охлажденный скатый геля, проядя через специальный кран $K_1$, попадает в приемник, где резко распределяется и охлаждается. Пока температура геля в применнике выше $T_k$, конденсция не происходит, и охлажденный геля возвращается в компрессор через теплобмен-

24

пар над жидким гелем с помощью двенадцати насосов, он сумел попасть давление до 0,013 мм рт. ст. и достичь температуры 0,83 К!
Одно даже при такой рекордно низкой температуре гелий остался жидким.

Камерлинг-Оннеса в первом же эксперименте показала очень малая плотность жидкого геля. Он оказался в 8 раз легче воды; это говорит о том, что легкие atoms геля находятся на относительной большом расстоянии друг от друга; перевести такую жидкость в твердое состояние города сложнее, чем обычные жидкости.

По этой причине гелий остается жидким вплоть до самых низких температур. Но даже и вблизи абсолотного нуля он остался бы жидким, поскольку здесь его затвердевание превращают законы квантовой механики. Напомним, что с точки зрения классической физики с понжением температуры тепловые колебания части вещества становится все слабее и слабее. Наличие механикулярных сил должны в конце концов приводить к затвердевание вещества. Согласно законам квантовой механики обычное представление о полной остановке atoms при абсолотном нуля оказалась неверным — atoms совершают так называемые «нулевые» колебания, которые не связаны с тепловым движением.

Таким образом, с точки зрения классической физики уникальное поведение жидкого геля при низких температурах совершено не затвердевает вплоть до абсолотного нуля. Так, при $T = 1,78$ К твердый гелий существует при давлении $p = 30,000$ атм.

Другое очень страное свойство жидкого геля было отмечено Оннесом в первом же опыте поожжению. Измеряя плотность жидкого геля, он обнаружил, что при понжении температуры от точки кипения она увеличается, то есть гелий скимается. При температуре 2,2 К имеет место острый максимум, и при дальнейшем охлаждении гелий увеличается в объеме, и плотность его падает. Исследования, проведенные Оннесом в последние годы жизни, выявили аномали в физических свойствах геля при температуре ниже 2,2 К.

Позднее, уже после смерти Оннеса в 1926 году, были опубликованы результаты исследований жидкого геля, проведенных его учениками. Так, в 1932 году Кeeзом и Клаузис обнаружили резкое увеличение теплоемкости жидкого геля влизи $T = 2,2$ К. Через несколько лет стало ясно, что при $T = 2,2$ К в жидком гелии происходит фазовый переход, характеризующийся изменением физических свойств. При $T > 2,2$ К до точки кипения жидкий гелий представляется собой обличную жидкость (называемую HeI), а вот при $T < 2,2$ К у него появляется совершенное необъявные свойства. В 1938 году советский физик П. Л. Капица обнаружил, что при $T < 2,2$ К жидкий гелий (названный HeII) характеризуется полным отсутствием вязкости: он течение по узкому капилляру без сопротивления, то есть силы треня строго равны нулю. Такое свойство HeII было назван сверхтекучеством. Теория этого явления была создана Л. Д. Ландуу.

Работы выдahoшихся советских физков получили высокую оценку — оба они были удостоены Нобелевских премии.

В своих экспериментах с жидким гелем Камерлинг-Оннеса фактически наблюдал переход жидкого геля в совершенном новое, сверхтекучестве, но не сумел оценить величины сделанного им открытия. Не будем забывать, однако квантовая физика еще только делала первые шаги; чтобы объяснить поведение жидкого геля при низких температуре, требовался радиальное новый подход, отказ от классических представлений. Это могло сделать и сделали только физики следующего поколения. Во времяена же Оннеса само ожидание геля было огромной научной победой и казалось последней ступенью на пути к абсолотному нулю.

25

Открытие сверхпроводимости

Располагая возможность получения температуры лишь на один градус выше абсолотного нуля, Камерлинг-Оннес приступил к исследованию свойств различных веществ при «гелиевых темперарах». Определить удельное электрическое сопротивление образца сравнительно легко при любой температуре. Вполне понятно поэтому, что Оннес начал с изучения поведения сопротивления при низких темперарах. К тому же в начале века этот вопрос был весна важен.

Существовали теории, которые давали совершенное противоположные предсказания относительно поведения электропроводности при очень низких темперарах.

Согласно одной, при абсолотном нULE электрическое сопротивление должно исчезать. Действительно, электропроводность металла пропорциональная временем между двумя последовательными стольновениями электрона с колеблющимся атомами. При понжении температуры амплитуда колебаний atomов уменьшается. Следовательно, стольновения электрона с atomами становятся более редкими, и проводимость растет; так что при $T=0$ сопротивление становится равным нулю.

С другой стороны, была вывидена гипотеза, согласно которой электропроводности при низких темперарах связавются с atomами, что приводит к бесконечному сопротивлению при $T=0$.

Камерлинг-Оннес приступил к измерению сопротивления платины при низких темперарах. Полученные им результаты не укладывались в рамках существовавших теории — при понжении температуры сопротивление платины оставалось постоянным. Однако Оннес обратил внимание на то, что величана сопротивления различных образцов при прочих равных условиях была тем меньше, чем выше оказался металл. Отсюда он заключит, что существование сопротивления при $T \rightarrow 0$ — так называемого остаточного сопротивления — связано с примесями, и чистый металл при нулевой температуре должен обладать бесконечной проводимость. (Оннес, правда, ошибочно полагал, что сопротивление чистых металлов должнолавно уменьшаться до нуля уже при гелievых темперарах.) Задча, таким образом, заключалась в исследовании возможность обрабатывающего лучшего большинства металлов, в частности лучшие платины. Полученные при измерениях величины удельного остаточного сопротивления у золота были много ниже, чем у платины, и подали с увеличением частоты обрабатывающего.Камерлинг-Оннес обратился также к исследованию поведения сопротивления ртути. Дело в том, что это вещество при комнатной температуре находится в жидкой фазе, и путом последовательной перегонки можно получить все более и более чистую ртуть.

Результаты экспериментов со rtтуто оказылись неожиданным. Сопротивление ртути изменялось с понжением температуры не плавано — при температуре несколько ниже точки кипения жидкого геля оно резко падало и становится неизмеримо малым.

28 апреля 1911 года Камерлинг-Оннес сообщил о результатах своих экспериментов Нидерландской Королевской академии. Открытое им является он назвал сверхпроводимость.

В 1913 году в своей лекции при получении Нобелевской премии Оннес высказал предположение, что явление сверхпроводимости может быть связано с квантованием энергии, открытым Планком в конце прошло века. Однако должно было пройти около полувека, пока была построена полная теория сверхпроводимости.

Обнаружив переход в совершенное ранее состояние, Камерлинг-Оннес задался целюдосконального изучить его свойства. Первым встречал вопрос: насколько же малым становится сопротивление образца в сверхпроводящей фазе? Оннесу необходимо было научиться измерять предельно малые удельные сопротивления. С этой задачей он

26

Рис. 3.

блестише справился, разработав новый остроумный метод измерения.

Катушка из свинцового провода (рис. 3) путем замыкания кюча 1 может быть подключена к батарее, а с помощью кюча 2 может быть замкнута накоротко. В начале эксперимента кючч 1 был замкнут, а 2 — разомкнут. Охлаждаемая жидким гелем в сосуде Дьюара катушка находилась в сверхпроводящем состоянии. При этом ток от батареи, проходящий через катушка, создавал вокруг нее магнитное поле, которое легко обнаружилось по отклонению стрелки компаса, расположенной снаружи соуса Дьюара. Затем кючч 2 замкнул, а кючч 1 разомкнул. Сверхпроводящая обмотка оказалась замкнутой накороткой. Стрелка компаса, однако, оставалась отклоненной, что указывало на наличие тока в катушке, уже отсоединенной от батареи. Наблюдая за стрелкой на протяжении нескольких часов (пока не испарился весь гелий из сосуда), Оннес не заметил ни малейшего изменения в отклонении стрелки. Это и означает отсутствие сопротивления обмотки — ведь при наличии сопротивления энергия рассеиваясь бы в катушке, ток уменьшался бы, и это можно было бы заметить по изменению отклонения стрелки компаса.

По результатам эксперимента Камерлинг-Оннес пришел к выводу, что сопротивление сверхпроводящей свинцовой катушки по меньшей мере в 10¹¹ раз меньше ее сопротивления в нормальном (не сверхпроводящем) состоянии.

Самое длительное зафиксированное до сих пор существование незатухающего тока — около двух лет. (Этот ток циркулировал бы и понные, если бы не перерыв в слабоженини жидким гелем, вызванный забастовкой транспортных работих.) Далее спустя два года не было замечего никакого ослабления величины циркулирующего тока, что позволяет с полным основанием считать сопротивление сверхпроводника равным нулю.

Практическое применение сверхпроводимости силило блестише перспективы. Ведь сверхпроводящий электромагнит совсем не потребляет электрозергию, и с его помощью было бы легко получить сильные магнитные поля. В общим электромагните получение сильного магнитного поля требует больших токов, что приводит к выделению колосального количества теплла в обмотках. Посленее обстоятельство и ограничивает предельную величины магнитного поля, создаваемого электромагнитом. Применение сверхпроводников в трансформаторах, электромоторах и генераторах также силило огромные преимущества, с лихвой окупающие необходимость работать при глиевых температурах.

Оннес первым приступил к созданию сверхпроводшего магнита. Однако здесь его ждало разочарование. Эксперименты в Лейдене показали, что в магнитном поле, превышающем неокоторое пороговое значение, сверхпроводимость исчезает. Величины этих пороговых полей оказались очень малыми — несколько сотен экрастед, что существенно ниже полей даже в небольших электрических машинах. Пропускание сильного электрического тока также разрушало сверхпроводимость — возникавшие магнитные поля оказались выше пороговых уже при сравнительной слабых токах.

Лишь много времени спустя были открыты сверхпроводящие материалы, способные выдерживать сильные магнитные поля и пропускать большие токи без разрушения сверхпроводности. Понадобилось более

27

Гравитационный захват

(Начало см. на с. 4)

и перешла с орбиты, афейий которой располагался между орбитами Нептуна и Урана, на короткоперидическую орбиту с перилегемом, довольно близким к орбите Земли (последнее обстоятельство и сделало возможным ее обнаружение). Согласно тем же вычислениям, на большей эллипис комету Кирнаса-Квы выведел Юпитер в 1855 году, захватив с гиперболической орбиты.

К сожалению, позднейшие наблюдения и вычисления не подтверждили захват. Представления астрономов о прошлом кометы Кирнаса-Квы радиkalно изменяются при каждом уточении ее нынешней орбиты. Понстине «беззаконная комета в кругу расчисленных светил»!

Таким образом, проблема поставления Лапласом почти два столетия назад, все еще вызывает острые дискусии. С одной стороны, гравиатционный захват осуществим, это доказано стого и окончательно. С другой стороны, до сих пор не выясено, была ли захвачена Солнечной системе

мой хотя бы одна из принадлежихей ей комет. Ни об одной из них, наблюдащихся до сих пор, нельзя с достоверною утверждать, что она действительно пришла из межзвездных пространств. На 1979 год (дата издания последнего каталога кометных орбит) надежно определены орбиты 659 комет, из которых только 98 имеют гиперболический тип. Но где гарантия, что они были гиперболическими и до момента первого наблюдения этих комет?

В настоящее время считается, что на границе Солнечной системы находится гипертское облако комет — облако Оорта, которое по размерам в 100—150 тысяч раз превосходит орбиту Земли. Считается, что те кометы орбиты, которые касутся нам параболическими или слабо гиперболическими, в своей подавляющей части являются на самом деле сильно вытянутыми эллипсами, обход которых совершается за времени до 400 тысяч лет. Но вот вопрос: образовательы ли облако Оорта одновременно со всей Солнечной системе или оно время от времени пополняет за счет гравиаточного захватом, страствуоших в межзвездных пространствах? Здесь меняя расходяя. Будем надеяться, что ответ на этой вопрос дает будущее.

28

Б. Явелов

Луи де Бройль

Девяносто лет назад в небольшим городке Дьеппе на французском берегу Ла-Манша родился Луи де Бройль, один из основоположников квантовой теории. Род де Бройлей — очень старый, аристократический, его многочисленные представители прославились как военачальники, дипломаты, высокопоставленные сановники.

Но молодого Луи де Бройля, так же как и его брата Мориса (который был старше на 17 лет), лавры предков предышали мало — они оба стали учеными. К концу первого десятилетия нивеннего века Морис де Бройль прибрел репутацию одного из самых авторитетных физиков Франции. Его младший брат, окончивший в 1909 году лицевый Париже, вначале решил посвятить себя гуманитарным наукам и в 1910 году получил в Парижском университете (в знаментий Сорбонне) значение лиценциата (низшая ученая степень во Франции) истории. Но тяга к физике и математике — сложившаяся не без влияния брата — возобладала, и в 1913 году Луи де Бройль в той же Сорбонне получил еще одно значение лиценциата, на этот раз — лиценциата точных наук.

В 1914 году началась первая мировая война, и будущий Великий физик был мобильизован и определен радистом на радиостанцию, которая помещалась в Эйфелевой башне. ШестЬ лет он занимался радио, или, как тогда говорили, «беспроволочным телефоном», и только в 1920 году получил возможность вернуть к физике. Он начал работать в частиной лаборатории своего брата, где занялся экспериментами с высокочастным электромагнитным изучением (в частности — сRENTНОВСКИМИ ЛУЧАМИ). Глубоко заинтересовавшись тесно связанным с этой работой проблемами квантовой теории, стоявшими тогда в центре внимания физики, Луи де Бройль уже в начале 1922 года приступил к теоретическим попыткам продвинуть в понимании существки квантовых явлений.

В 1924 году де Бройль зашитил докторскую диссертацию, которая называлась «Исследования по теории квантовов». Научным консультантом де Бройля был Поль Ланжевен (1872—1946) — выдавшийся французский физик, человек передовых научных и политических взглядов (Ланжевен был большим другом нашей страны, в 1944 г. он вступил во Французскую коммунистическую партию). В этой работе де Бройль выдвинул идею о волновых свойствах материи: он предположил, что любая матриальная часть наряду с корпускулярными свойствами обладает и волновыми свойствами. Если масса частицы $m$, скорость ее $v$, то этой частице соответствует волна, длина которой определяется по формуле

$$\lambda = \frac{h}{mv},$$

где $h$ — постоянная Планка.

При энергии электрона 200 эВ соответствующая ему волна имеет длину $\sim 10^{-10}$ м, то есть такой же, как длина волн генетенского излучения. Можно было ожидать, что если электроны действительно обладают волновыми свойствами, то при прохождения электронов через кристаллический ресурсу должны происковать дифракция — как при прохождения через кристалл генетенских лучей.

Действительно, в 1927 году впервые наблюдалась дифракционная картина при прохождения электронов через металлический фольгу.

29

Основная идея теории де Бройля — уподобление движущихся материйных объектов волнам — шла враззез с привчными представлениями об окружающей мире, и большинству физиков она казалась несуразной, дикой, даже сумасшедшей. Лишь немного с пониманием отнеслись к революционным взглядам де Бройля. Но среди этих немногох били Ланженен и Эйнштейн, сказавший, что своей работой де Бройль «приподнял краешек великого занавеса».

Прошло два года, и этот занавес был полностью поднят — на сцене физики во всем величини и более представлена новая наука — квантовая механика, важнейшей частью которого является переосмысленная и углубленная волновая теория де Бройля.

В 1929 году выдаошся заслуги де Бройля перед научкой были отмечены присуждением ему Нобелевской премии по физике; множество научных учреждений и организаций различных стран мира сделали французского ученого своим членом, Луи де Бройль — иностранный член АН СССР.

После своего эпохального открытия Луи де Бройль продолжал заниматься принципальным вопросами квантовой теории, проблемами сверхвысокостотных электромагнитных колебаний, физофейей и историй физики, много времени уделял он и преподаванию физики, в частности, в той же Сорбонне, где когда-то учили сам. Свой живой интерес к физике великий ученый не утратил и посядень.

Рецензии, библиография

Этот прочитый непрочный мир

Каждай человек, маломальский интерсуциейся, как устроен наш мир, рано или поздно задает себе вопрос: «Почему наш мир устроен так, а не иначе?» В самом деле, почему, например, все предметы не развиваются на составляющие их молекулы и atoms? А если atomам и молекулам так нравится держаться друг за друга, то почему наш мир состоит из отдельных предметов, а не представляется из себя единую монолитную глыбу?

Ответы на эти вопросы в первую очередь пытается дать физика. Ученым многое ясно уже и теперь. А как бы тем, кто знает физку еще слишком мало, только начал ее изучать? Махнуть на все рукой: мол, интересно, конечно, но не по зубам? Не стоит отчаиваться. Физики сами охотно рассказывают об всем, что знают, и страются делать это просто и понятно, так сказать «на пальцах».

Вот и на наши «почему?» можно найти ответы в книге «Портрет трешины» (М., «Металургия, 1981), написанной физиком профессором В. М. Финкелем. Научная работа автора непосредственного касается обсуждаемых в книге проблем.

Открыв книгу, мы сразу же знакомимся с главными «действующими лицами», нарисованным художником Р. В. Левицким: это — металл с atomами, вакансиями и дислокациями, ус, направление, трешина, температуры.

Не будет перевелечение сказаать, что настоящее и будущее человекства зависит от того, какими/materialами мы пользовемся сейчас и какие природу им на смену. Ведь наше способствие, удобства, а иногда и жизнь зависит от прочности и надежности окружающих нас предметов: домов, дорог, местов, автомобилей, поездов, самолеты… Читая книгу, мы постепенно начинаем понимать, как сложны и оригинальные механизмы прочитности и разрушения, определенные многое физические свойства тел.

Автор разбирает эти вопросы на самом современном уровне: читатель попадает в тайнстевный микромир — мир atomов и молекул. Довольно строое изложение относить не сухо, во многом — благодаря удачным аналогиям, считать из литературных произведений, образно иллюстрирующим сложные физические проблемы.

А теперь предоставим слово автору:

«Книга, лежащая перед вами, посвящена разрушению, его природа и его многообразным проявлением: и когда оно обнаруженное зло, и когда оно жизньно важно и успешно служит людям… Возможно, и хорошо, если природа была бы проще, чем она есть, но это как чудесно, что так еще много неизвестного, даже опасно неизвестного, к чем можно приключить свои мужество, ум и руки…

Книга расчитана на любозначательного читателя, и автор стремился написать ее так, чтобы она была интересна и неебесполезна и школьнику, и специализуйтесь.

Преисполенный этой надежды, автор отдает свою книгу на суд читателей».

Нам кажется, что надежды автор оправдаются.

А. Аринштей

И. Камышко

Поль Дирак
и задача
о трех рыбаках

Совсем недавно, 8 августа этого года, отмечалось восемидесятлетие выдающегося физика современности, лауреата Нобелевской премии Поля А. М. Дирака. С его именем связаны многие яркие достинения квантовой теории, и, может быть, самоое впечатляющее среди них — предсказание первого античастицы — «антиэлектрона», или, как его называют, позитрона. Напомним вкратце, как обстояло дело*).

Diрак составил уравнение, описывающее поведение электронов с учетом эфектив теории относительнойности. Это уравнение прекрасно обьемяло ряд экспериментальных фактов, но обнаружилось и некая «странность»: части его решения отвечали отрицательные значения энергии электрона. Что было с ними делать? Отмахнуть от них или попытаться выявить скрытый в них физический смысл? Для Diрака ответ был ясен. Приведем его слова, сказанные, правда, в лекции, посвяшенной А. Эйнштейну и теории относительнойности, но в полне применимы и к нему самому: «Любой, кто понимает глубокую гармонию, связывающего между собой явления природы и общее математическое принципы, должен чувствовать, что если теория так прекрана и изящна, как теория Эйнштейна, то она в основном, безусловно, верна». И он высказывает оригинальную и исключительно смелую, особенно для того времени, гипотезу: решения его уравнения, лишенные, как казалось, физического смысла, в действительности описывают неизвестную пока элементарную частцу, почти ничего не отличающего от электрона, но с противоположным (положительным) электрическим загрязом той же величины. Так позитроны были прекразаны. А уже в следующем, 1932 году они были зарегистированы в космических лучах.

31

Веряятно, именно этот эпизод из богатой творческими победами жизни Поля Дирака способствовал возникновению одной легенды, уже много лет кончшей в разных вариантах по научно-популярным книжкам.

Расссказывалот, что в юности ему попалас такая задача: Три рыбака занимались ловлей рыбы в темную ночь. Устав, они улепись спать, не поделив улова. На рассвете один из них проснулся и, не желая тревожить товарищей, поделил рыбу на три равные части; взяв свою часть, он уехал домой. При деление у него одна рыбка оказалась лишней и он ее выборил в море. Затем проснулся второй. Не зная, что первый уже уехал со своей долей, он тоже разделил рыбу на три части, odну из которых забрал себе, и уехал, а оказавшуюся и у него лишней рыбину он, как первый, выбросил в море. Наконеч, проснулся третий рыбак. Не зная о том, что проделали первые два, он поступил, как они, то есть разделил рыбу на три части, забрал себе треть, а оставшуюся и у него рыбну выборил в море, после чего уехал домой. Спрашивается, сколько всего рыбью выловлено?

Ответ (приписьаемый Дираку): «Было выловлено… минут две рыбы». Легко проверить, что формально все правильно. Первый рыбак, обнаружив всего минут (!) две рыбы, одну рыбу выбрасывает и из оставшихся (-3) рыб частно берет одну треть. В точности то же самое проделают второй и третий рыбаки, каждый из которых тоже унеSETровно минут рыбу. И хотя, по собственному свидетельству знаменито физика, это решение ему сообщил профессор математики Дж. Уайтхед из Оксфорда*), понять авторов «легенды о Дираке и отрицательных рыбах» можно. Трудно найти более простой и изящный пример, который бы так же хорошо иллюстрировал деревость идеи и вверу в «непостыжную эффективность математики в естественных науках» (как выразился другой новелевский луреат — американский физик Ю. Вигнер) — качества, столп присущие современной физике и физикам.

Но задача о рыбаках любитьна и сама по себе. Давайте попробуем ее решить. Переведем условия на языке уравнения. Пусть $N = N_0$ — количество всей выловленной рыбы, $N_1$ — количество рыбы, оставшейся после первого деления, $N_2$ — после второго, $N_3$ — после третьего. Тогда, очевидно, $N_1 = \frac{2}{3}(N_0 - 1)$ и, вообще, при $k = 0, 1, 2$
$$N_{k+1} = \frac{2}{3}(N_k - 1).$$

Требуется найти такое целое число $N$, чтобы и числа $N_1, N_2$ и $N_3$ были целыми. Потребуем к тому же, чтобы все они были неотрицательными. Далее при этом ограничения задача, размещается, имеет бесконечную много решений. Мы постараемся вывести общую формулу для числа $N$.

Откажемся пока от условия неотрицательности (!). Заметим, что задача допускает решение, причем только одно, при котором все $N_k$ равны одному и тому же числу $D$. Из (1) для числа $D$ получается уравнение $D = \frac{2}{3}(D - 1)$, откуда $D = -2$. Это «решение Дирака». Пусть теперь $(N_k)$ — произвольная последовательность, удовлетворяющая соотношению (1). Расмотрим разность $N'_k$ двух решений задачи — $N_k$ и решения Дирака: $N'_k = N_k - D = N_k + 2$. Поскольку

$$N'_{k+1} = N_{k+1} - D = \frac{2}{3}(N_k - 1) - \frac{2}{3}(D - 1) = \frac{2}{3}(N_k - D) = \frac{2}{3}N'_k,$$

последовательность $(N'_k)$ является геометрической прогрессей со значением $\frac{2}{3}$. Следовательно,

$$N_k = N'_k - 2 = \left(\frac{2}{3}\right)^k N'_0 - 2 = \left(\frac{2}{3}\right)^k (N + 2) - 2.$$

(Окончание см. на с. 62)

33

Задачи

М761 — М765; Ф773 — Ф777

М761. Через произвольную точку $P$ на стороне $AC$ треугольника $ABC$ параллельно его медианам $AK$ и $CL$ проведены прямые, пересекающие стороны $BC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно (рис. 1). Докажите, что медианы $AK$ и $CL$ делят отрезок $EF$ на три одинаковые части.

Э. Готман

М762. Докажите, что для любых положительных чисел $a, b, c$ выполнены неравенства

$$a + b + c \leq \frac{a^2 + b^2}{2c} + \frac{b^2 + c^2}{2a} + \frac{c^2 + a^2}{2b} \leq \frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab}.$$

М763*. Дан параллелограмм $ABCD$, отличный от ромба. Прямая, симметричная прямой $AB$ относительно диагонали $AC$, пересекает в точке $Q$ прямую, симметричную прямой $DC$ относительно диагонали $DB$ (рис. 2). Найдите относение $|QA|:|QD|$, если известно относение $|AC|:|BD| = k$.

В. Дубровский

М764*. Докажите, что каждое из уравнений a) $x^2 + y^3 = z^5$; b) $x^2 + y^3 + z^5 = t^7$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

О. Мазуров

М765. Пусть $B$ — конечное множество точки на плоскости, не принадлежащих одной прямой. a) Докажите, что найдется три точки множество $B$ также, что проходящая через них окружность не содержит внутри себя других множеств $B$.

б) * Изовем триангуляцией множества $B$ сеейство треугольников с множеством вершин $B$, не налегающих друг на друга и в обедининии дюших выпуклый многоугольник (triangulция множества $B$ можно получить, соединяя его точки непересекающимся отрезками, пока это возможно). Докажите, что для любого $B$ существует такая triangulция, что окружность, описанная около любого треугольника этой triangulции, не содержит внутри себя множеств $B$. Укажите способ построения

34

ния такой триангуляции.
в) * Докажите, что если никакие точки множества $B$ не лежат на одной окружности, то описанная в пункте 6) триангуляция единственна.

Ф. Вайштейн

Ф773.*) На шероховатой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ лежит тело, к которой привязана легкая нерястяжная нить. Свободный конец нити пропущен через маленькое отверстие в плоскости. В начальной момент тело лежит на плоскости так, что нить горизонтальная (рис. 3). Нить начинают медленно вытягировать; при этом тело к моменту достижения отверстия описывает половину окружности. Найти величины коэффициента трения тела о плоскость. (10)

Ф774. Для многохвостев существуют такие значения температуры $T_{\text{tr}}$ и давления $p_{\text{tr}}$, при которых все три фазы вещества — газообразная, жидкая и твердая — находятся в равновесии друг с другом — так называемая тройная точка. Для воды $T_{\text{tr}} = 0,0075^{\circ}\text{C}$, $p_{\text{tr}} = 4,58$ мм рт. ст; удельная температура парообразования в тройной точке равна $r = 595,8$ кал/г, удельная температура плавления — $\lambda = 79,7$ кал/г. Найти удельную темперацию (примого перехода из твердого состояния в газообразное) воды в близи тройной точки.

В. Давыдов

Ф775. Многопредельный амператор высокой точности содержит для каждой предела измененный отделный шутт. Амператор включает в себя на пределе 10 мА, и он показывает силу тока $I_1 = 2,95$ мА; когда его переключили на предел 3 мА, он показал $I_2 = 2,90$ мА. Какова была сила тока в цепи до подключения амператора? (9)

А. Зильберман

Ф776. В небольший чайник налита доверху тепляя вода ($t_1 = 30^{\circ}\text{C}$). Чайник оставает на 1 градус за время $\tau = 5$ мин. Для того чтобы чайник не остыл, в него капают горячего воды ($t_2 = 45^{\circ}\text{C}$). Масса одной капли $m_k = 0,2$ г. Сколько капель в минуту должны капать в чайник, чтобы температура поддерживалась равной $30^{\circ}\text{C}$? На сколько градусов поддерживается вода за одну минуту, если начать капать второе чашце?

Считать, что температура воды в чайнике выравнивается очень быстро. Лишняя вода выливается из носика. В чайник входит 0,3 литра воды. Temperatura окружащего воздуха $t_0 = 20^{\circ}\text{C}$. (8)

А. Зильберман

36

nal problem to propose for publication, please send it to us in two copies (including the solution) in an envelope inscribed “NEW PROBLEM IN PHYSICS (MATHEMATICS)”.

=0,0075 C, $p_{tr} = 4.58$ mm Hg, the specific heat of evaporation is $r = 595.8$ cal/g and the specific heat of melting is $\lambda = 79.7$ cal/g. Find the specific heat of sublimation (the direct passage from solid to gas) of water at the triple point.

V. Davydov

P775. A high precision multi-range ammeter has a separate scale for each range of measurement. The ammeter is plugged into a network at range 10 mA and registers a current of $I_1 = 2.95$ mA; when it is switched over to the 3 mA range, it shows $I_2 = 2.90$ mA. What was the current in the network before the ammeter was plugged in?

A. Zilberman

P776. A small tea-kettle is filled with warm water ($t_1 = 30^\circ\text{C}$). The kettle cools by 1 degree in time $\tau = 5$ min. To keep the water warm, hot water ($t_2 = 45^\circ\text{C}$) is added to it drop by drop. The mass of one drop is $m_d = 0.2$ g. How many drops per minute are required to keep the temperature at $30^\circ\text{C}$? By how many degrees will the water warm up in one minute, if the frequency of dripping is tripled? Assume that the water temperature evens out very quickly. The extra water drips out of the kettle’s nose. The kettle contains 0.3 litres of water. The surrounding air temperature is $t_0 = 20^\circ\text{C}$.

A. Zilberman

P777. A pulley is suspended by a weightless unstretchable string; the length of the vertical parts of the string is $l$ (see figure Pис. 4). Find the period of small oscillations of the system in the plane perpendicular to the pulley’s axis.

W. Ilyin

Решения задач

M731 — M738; Ф743 — Ф747

M731. Двое церают в такую церру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9 и т. д.; вызрывает тот, у кого впервые получится произведение большие a) тышчи; б) миллиона. Кто вызрывает при правильной церре — начинающий или его партнер?

a) Задча решения разбором с конца (рис. 1). Если в конце концов один из игроков $I$ предложит другому игроку — наозем его $B$ — любое из чисел от 112 до 999, то игрок $B$ выигрывает (умножением на 9). Следовательно, если $B$ предложит своему партнеру $I$ любое из чисел от 56 до 111, то у $I$ получится не менее 112 (далее он умножит только на 2) и не более 999 (далее он умножит на 9), и игрок $B$ будет обеспечен выигрыш. Тепер ясно, что если $I$ называет любое из чисел от 7 до 55, то $B$ может попасть в выгодный ему промежуток [56; 111]. Наконец, чтобы $I$ обязаτεло попал в этот роковой для него промежуток [7; 55], игрок $B$ достаточно называть на первом шаг любое из чисел 4, 5, 6. Итак, начинающий при правильной церре выигрыш.

6. Этот случай может быть разобрано примерно так же — «с конца». Оdnako мы приведем общее решение, позволяющее оценить ситуацию при игре не только до 1000 или до 1000 000, но и до любого числа. С этой целью «прологарифмируем» условия игры. Игра, можно считать, начинается с того, что первый игрок получает число 1 и умножает его на любое из чисел 2, 3, …, 9. Перейдем к логарифмам: начинающий имеет число $lg 1 = 0$ и может прибавить к нему любое из чисел $a_1 = lg 2$, $a_2 = lg 3$, …, $a_8 = lg 9$. Затем партнер прибавляет к результату любое из чисел $a_1$, $a_2$, …, $a_8$, затем начинающий и т. д. Выигрыет тот, кто первый доберется до числа $lg 1 000 000 = 6$. Тепер можно сформировать более общие

39

значит, что точка $M$ лежит на прямой $C_1D_1$. Но по условию при двух различных положениях точки $K$ точка $M$ попадает на сторону $CD$, поэтому отрезок $C_1D_1$ совпадает с $[CD]$. Попутно мы получаем, что диагонали $AC$ и $BD$ параллельны сторонам вписанных прямогольников.

Найдем периметр прямогольника $KLMN$:
$$p = 2(|KL| + |KN|) = 2((1-t)|AC| + t|BD|),$$
следовательно, $p$ — линейная функция от $t$. Отсюда, как и в пункте $a$), заключаем, что $p = 10$ при всех положениях точки $K$. В частности, при $K = A$ получаем, что $p = p(0) = 2|AC| = 10$, а при $K = B$, что $p = p(1) = 2|BD| = 10$. Легко доказать, что площадь четырехугольника равна $\frac{1}{2}|AC| \cdot |BD| \cdot \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между его diагоналями.

В нашем случае diагонали перpendикularны, поэтому $S_{ABCD} = \frac{25}{2}$.

Второе решение. Четырехугольник $ABCD$ с вписанным в него прямогольниками $KLMN$ и $K_1L_1M_1N_1$ можно рассматривать как проекцию тетраэдра $ABCD$ и двух его сечений (см. рис. 3). В самом деле, приnodимем прямогольник $K_1L_1M_1N_1$ над плоскостью чертежа так, чтобы его стороны остались параллельными сторонам прямогольника $KLMN$. Четыре плоскости, проведенные через соответствие стороны «приподнято» прямогольника и прямогольника $KLMN$, ограничивают тетраэдр $ABCD$. Выполним параллельную проекцию, при которой «приподнятый» прямогольник переходит в $K_1L_1M_1N_1$. Тогда тетраэдр спроектируется в четырехугольнике, описанной околданных прямогольников, то есть в исходный четырехугольник $ABCD$.

Грани $ABC$ и $ADC$ tetraэдра проходят через параллельные отрезки $KL$ и $MN$ и пересекаются по ребру $AC$. Поэтому оно параллельно этим отрезкам и, следовательно, плоскости чертежа. Отсюда вытекает, что любая его параллельная проекция на эту плоскость, в частности diагональ $AC$ четырехугольника $ABCD$, равна и параллельна ребру $AC$. Аналогично любая проекция ребра $BD$, в частности diагональ $BD$ четырехугольника $ABCD$, равна и параллельна ребру $BD$. Теперь спроектируется tetraэдр $ABCD$ на плоскость чертежа по-другому — параллельно ребру $CD$. Проекции точки $C$ и $D$ совпадают, и мы получим прямогольный треугольник $ABC$, в котором вписаны два прямогольника перimetра 10 (см. рис. 4). При этом катаеты $AC$ и $BC$ этого треугольника равны и параллельны diагональ $AC$ и $BD$ исходного четырехугольника. Любому прямогольнику, вписанному в $\triangle ABC$ так, как показано на рисунке 4, отвечает некоторое сочетание тетраэдра и некоторый прямогольник, вписанный в четырехугольнике $M735$ в этом номере журнала.

В. Дубровский, А. Егоров

◆
a) Ответ: $m = 1, 2, 4, 6, 8$. Доказательство будет приведено в решении пункта в).

6. Первое решение. Пусть $c_k = a^k - 1$. Разложим $c_k$ на множители при $k = 2^n$:
   $$c_k = a^{2n} - 1 = (a^{2n-1} - 1)(a^{2n-1} + 1) = (a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) \dots (a^{2n-1} + 1).$$
   Если $a$ нечетно, то в этом произведении $n + 1$ четных сомножителей, и поэтому $c_k$ делится на $2^{n+1}$. Итак, при всех $k = 2^n$, где $n - 1 \geq m$, число $c_k$ делится на $2^m$.

Второе решение. Расмотрим остатки, которые

40

Дайот числа $c_1, c_2, c_3, \dots (c_k=a^k-1)$ при делении на $2^m$.
Число различных остатков конечного, поэтому средние чисел $c_k$ найдется два, скажем $c_n$ и $c_l$ ($n>l$), дающие при делении на $2^m$ одинаковые остатки. Их разность крата $2^m$, а так как $c_n-c_l=a^n-a^l=a^{n-l}-1=a^l\cdot c_{n-l}$ и $a$ нечетно, на $2^m$ делится $c_{n-l}$. Из формулы для разности вытекает также, что вместе с $c_{n-l}$ на $2^m$ делятся и все члены бесконечной последовательности $c_{n-l}, c_{2(n-l)}, c_{3(n-l)}, \dots$.

Мы рекомендуем читателю доказать, что вообщество всех чисел $c_k$, делящихся на $2^m$, имеет вид $\{c_r, c_{2r}, \dots, c_{i.r}, \dots\}$, где $r=2^l$, $t\leq m$.

В) Обозначим через $d(N)$ показатель наиболее степеней двойки, на котором делится целое число $N$. Пусть $d(m)=n$, тогда $m=2^n\cdot s$, где $s$ нечетно. Поскольку $c_m=a^{2n}\cdot s-1=(a^{2n}-1)(a^{2n(s-1)}+a^{2n(s-2)}+\dots+1)$, а сумма во второй скобке нечетна, $d(c_m)=d(a^{2n}-1)$. Заметим теперь, что сомножители вида $a^{2l}+1$ в разложении (1) при $l\geqslant 1$ делятся на 2 и не делятся на 4 (в самом деле, число $a$ нечетно, поэтому $a^{2l}$ — квадрат нечетного числа и дает при делении на 4 остаток 1). Отсюда следует, что $d(c_m)=d(a^2-1)+n-1$ при $n\geqslant 1$; если же $n=0$, то $d(c_m)=d(a-1)$.

Для делимости $c_m$ на $2^m$ необходимо, чтобы выполнялось неравенство $d(c_m)\geqslant m$, то есть $d(a-1)\geqslant m$ при $m$ нечетном и $d(a^2-1)+n-1\geqslant m=2^n\cdot s$ при $m$ — четном. Первое неравенство выполняется лишь для конечного количество чисел $m$, а второе неравенство приводится к виду

$$s \leq \frac{d(a^2-1)+n-1}{2^n}.$$

Так как права часть этого неравенства стремится к 0 при $n\rightarrow\infty$, оно может выполнять лишь для конечного множества пар $(n;s)$ при любом фиксированном $a$.

Возвращаясь к пункту a), положим $a=31$. Искомые числа $m$ удовлетворяют неравенству $m\leqslant d(31-1)=d(30)=1$, если $m$ нечетно, и неравенству $s\leqslant(d(31^2-1)+n-1)/2^n$, если $m=2^n\cdot s$, где $n\geqslant 1$, $s$ — нечетно. Первое неравенство дает $m=1$. Второе приводится к виду $s\leqslant(5+n)/2^n$, поскольку $d(31^2-1)=d(30\cdot 32)=6$. Отсюда получаем возможность пары $(n;s)$: это $(1;1), (1;3), (2;1)$ и $(3;1)$, то есть $m=2, 4, 6, 8$.

В. Прасолов

M734. Биссертиса уела А треугольника ABC пересекает описанную вокруг нео окружность в точке K. Доказите, что длина проекции отрезка AK на прямую AB (или AC) равна получме длине сторон AB и AC.

Пусть для определения $|AB| \leqslant |AC|$. На стороне AC рассмотрим точку P, симметрично B относительно прямой AK (см. рисунок). Очевидно, $|AP|=|AB|, |PK|=|BK|$. Из равенства углов BAK и CAK вытекает равенство дуг BK и CK, на которые они опираются, а из равенства дуг следует равенство стягивающих их хорд BK и CK. Таким образом, $|CK|=|BK|=|PK|$, и поэтому проекция K’ точки K на сторону AC является серединой отрезка CP. Следовательно,

$$|AK'|=|AP|+|PK'|=|AB|+\frac{|AC|-|AB|}{2} = \frac{|AB|+|AC|}{2}.$$

А. Егоров

43

рассматривать функцию $L(\varphi)$ на отрезке $\varphi_0 \leqslant \varphi \leqslant \pi + \varphi_0$, где $L(\varphi_0) \neq L$. При этом числа $p$, $q$ и $m$ не изменятся (точки 0 и π надо считать за одну). Итак, $m$ — четное число.

Покажем, что $p = q$. Сдвинем прямую $y = L$ вверх на расстояние $\varepsilon$ (рис. 2). Если $\varepsilon$ достаточно мало, то каждой «объичной» точке пересечения графика функции $L(\varphi)$ с прямой $y = L$ будет отведать одна «объичная» точка на прямой $y = L + \varepsilon$, каждый из $q$ точек минимума как бы «раздвоится», а точки максимума исчезнут. Общее число точек пересечения графика и прямой станет равно $m + 2q$, а так как увеличится оно не может, $m + 2q \leqslant m + p + q$, то есть $q \leqslant p$. Аналогично доказывается, что $q \geqslant p$. Следовательно, $p = q$, и число $m + p + q$ четно.

в) Рассмотрим $\triangle ABC$. Пусть $c$ — его наиболее стороны, $c \geqslant b \geqslant a$ (обозначения см. на рис. 3). Примулю $l_0$ проведем перpendикулярно стороны $AB$. Направления высот треугольника $ABC$ соответствуют значения $\varphi = 0$, $\varphi = \alpha$ и $\varphi = \pi - \beta$. Поэтому на отрезке $0 \leqslant \varphi \leqslant \alpha$ проекция треугольника на прямую $l_\varphi$ совпадает с проекцией стороны $BC$, то есть $L(\varphi) = L_a(\varphi) = a \left| \cos \left( \varphi - \left( \frac{\pi}{2} - \beta \right) \right) \right|$, на отрезке $[\alpha; \pi - \beta]$ — с проекцией стороны $AB: L(\varphi) = L_c(\varphi) = c \left| \cos \varphi \right|$, а на отрезке $[\pi - \beta; \pi]$ — с проекцией стороны $AC: L(\varphi) = L_b(\varphi) = b \left| \cos \left( \varphi - \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) \right) \right|$.

Если треугольник — тупоугольный или прямогоольный, то $\alpha + \beta = \pi - \gamma \leqslant \frac{\pi}{2}$, поэтому, как легко проверить, точки максимума функции $L_a(\varphi)$ и $L_b(\varphi) - \frac{\pi}{2} - \beta$ и $\frac{\pi}{2} + \alpha$ попадают на отрезок $[\alpha; \pi - \beta]$, на котором $L(\varphi) = L_c(\varphi)$. В этом случае функция $L(\varphi)$ сначала возвращает на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ от $h_c$ до $c$, а затем убивает от $c$ до $h_c$ (рис. 4).

Каждеое значение она принимает не более двух раз. Если $\triangle ABC$ — остроугольный, то $a + \beta > \frac{\pi}{2}$, и максимумы функции $L_a(\varphi)$ и $L_b(\varphi)$ попадают внутри отрезков $[0; \alpha]$ и $[\pi - \beta; \pi]$. Поэтому функция $L(\varphi)$ имеет три максимумы и шесть промежутков монотности (рис. 5). Поскольку $h_c \leqslant h_b < a \leqslant b \leqslant c$, любое значение из интервала $h_b; a$ [функция $L(\varphi)$ принимает не менее четырех раз — на первых трех и последнем промежутках монотности (см. рис. 5). Заметим еще, что если $h_a < a$, то любое значение из интервала $h_a; a$ [принимается шесть раз — по разу на каждом промежутке монотности функции $L(\varphi)$.

В. Прасолов

◆ Камень, брошенный с минимальной начальной скоростью $v_0$, достаточно, чтобы камень перелетел через стену, описывает траекторию такую, как показано на рис. В точках А и В траектория касается кромок стены; скорость $v$ камня в точке А составляет угол $\alpha = 45^\circ$ с горизонтом. Время $t$, в течение которого камень летит от точки А до точки В, определяется условиям
$$v_y = v \sin \alpha = gt/2 \Rightarrow t = 2v (\sin \alpha)/g.$$

Величина скорости $v$ связана с тупоугольным стенем $l$ соответствием
$$l = v_x t = 2v \cos \alpha \cdot v (\sin \alpha)/g = v^2/g \Rightarrow v = \sqrt{gl}.$$

Связь между $v_0$ и $v$ найдет из закона сохранения энергии:
$$\frac{mv_0^2}{2} + mgh = \frac{mv^2}{2} + mgH,$$
откуда
$$v_0 = \sqrt{v^2 + 2g(H - h)} = \sqrt{g(l + 2H - 2h)}.$$

О. Савченко

44

Ф744. Космический аппарат представляет собой жесткую тонкостенную сферу радиуса $R=2$ м, наполненную газом. Внутри аппарата находится шар радиуса $r=R/2$, наполненный тем же газом, что и восьмой аппарат, но при большем давлении. Шар касается внутренней поверхности аппарата. В результате повреждения шар лопнул. Начити, во сколько раз изменилось давление внутри аппарата, если оказалось, что восьмой аппарат при этом сметлися на расстояние $a=0,5$ м. Массой оболочек претенбрежь; температур считать неизмененной.

При изменениях, произходящих внутри аппарата, положение центра масс (ц. м.) аппарата не меняется.

В начальной моментц. м. аппарата определяется какц. м. системы «шар с плотностью $\varrho_1$ + шар с плотностью $\varrho_2$ — $\varrho_1$», где $\varrho_1$ — плотность газа, заполняющего сферу радиуса $R$, $\varrho_2$ — плотность газа, заполняющего шар радиуса $R/2$.

После того как лопнул шар,ц. м. аппарата определяется какц. м. сферы радиуса $R$, заполненной газом с плотностью $\varrho$, где $\varrho$ — плотность газа в сфере после повреждения шара.

Тот факт, что после повреждения шара весь аппарат сметлися на расстояние $a$, означает, чтоц. м. аппарата с цельным шаром находится на расстояние $a$ от центра сферы (см. рисунок). Из этого условия найдем соответствие между $\varrho_1$ и $\varrho_2$:

$$\frac{4}{3} \pi R^3 \varrho_1 a g = \frac{4}{3} \pi \frac{R^3}{8} \left( \frac{R}{2} - a \right) g \Rightarrow \frac{\varrho_2}{\varrho_1} = \frac{R+14a}{R-2a}.$$

Плотность газа в аппарате, после того как лопнул шар, определяется условием

$$\frac{4}{3} \pi R^3 \varrho_1 + \frac{4}{3} \pi \frac{R^3}{8} \left( \varrho_2 - \varrho_1 \right) = \frac{4}{3} \pi R^3 \varrho \Rightarrow \varrho = \frac{7}{8} \varrho_1 + \frac{1}{8} \varrho_2.$$

Давление $p$ газа в аппарате после повреждения шара может быть найдено из условия $\frac{p}{p_1} = \frac{\varrho}{\varrho_1}$, где $p_1$ — начальное давление газа внутри тонкостенной сферы.

Таким образом,

$$\frac{p}{p_1} = \frac{\varrho}{\varrho_1} = \frac{7}{8} + \frac{1}{8} \frac{\varrho_2}{\varrho_1} = \frac{R}{R-2a} = 2,$$

то есть давление газа внутри аппарата увеличилось в 2 раза.

А. Буздин

Ф745. Теллоизолированный сокуд разделен на две части теллоизолированным поршнем, который может перемещаться в сосуда без трения. В левой части сокуда содержится 1 molль идеального одноатомного газа, в правой — вакуум. Поршень содержит с правой стеккой сокуда пружиной, длина которой в свободном состоянии равна длине сокуда. Пренебрегая теллоемкость сокуда, поршня и пружины, определять теллоемкость системы.

Пусть $T_1$ — начальная температура газа под поршнем, $T_2$ — температура газа после того, как система сообщено телло ΔQ. Поскольку тренение отсутствует и сосуд теллоизолирован, все телло ΔQ идет на изменение ΔU внутри энергии системы, то есть ΔQ = ΔU. Изменение внутри энергии системы складывается из изменения внутри энергии газа и изменения потенциальной энергии скалярных (теллоемкость сокуда, поршня и пружины пренебрегаем).

Внутренняя энергия одного моля одноатомного идеального газа при нагревании от температуры $T_1$ до температуры $T_2$ увеличивается на

$$\Delta U_1 = \frac{3}{2} R \left( T_2 - T_1 \right).$$

Потенциальная энергия скалярных изменяется на величины

$$\Delta U_2 = \frac{k}{2} \left( x_2^2 - x_1^2 \right),$$

где $x_1$ и $x_2$ — значения абсолотной деформации пружины при температуре газа $T_1$ и $T_2$ соответствующего. Найдем связь между параметрами газа под поршнем и деформацией пружины.

Из условия равновесия поршня следует, что

$$p = \frac{F}{s} = \frac{kx}{s} \Rightarrow x = \frac{ps}{k}$$

(p — давление газа, s — площадь поршня, k — упругость пружины). Согласно закону Менделеева — Клапейрона для 1 molля одноатомного газа выполняется соответствие соответствующей системе сокуд.

45

$$pV = RT \Rightarrow p = RT/V.$$
При деформации пружины $x$ объем, занимаемый газом под поршнем, равен $V = xs$ и $p = RT/xs$. Подставляя это выражение в (*), находим

$$x^2 = RT/k.$$

Таким образом, изменение потенциальной энергии скатой пружины при нагревании системы равно

$$\Delta U_2 = \frac{R}{2} (T_2 - T_1).$$

Полное изменение внутренней энергии системы при нагревании от температуры $T_1$ до температуры $T_2$ равно

$$\Delta U = \Delta U_1 + \Delta U_2 = 2R (T_2 - T_1),$$

и тепломкость системы равна

$$c = \frac{\Delta Q}{\Delta T} = \frac{\Delta U}{T_2 - T_1} = 2R.$$

Б. Клячиин

Ф746. Электрическая батарея, используя β-радиоактивность, представляет собой металлический сферу, внутри которого помещен изолированный от нее кусочек радиоактивного вещества (рис. 1). Ежескундно распадаются ватомов. Считая, что энергия электровов, образующая при распаде, равноверной распределена от минимального значения $W_{\min}$ до максимального $W_{\max}$, определять ЭДС батареи. Какой наиболее ток может давать такая батарея? До каких сопротивлений наружки батарею можно считать генератором тока?

Рис. 1.

Рис. 2.

Пусть клеммы батареи замкнуты на нагрузку, и напряжение на клеммах равно $U$. Найдем ток, текущий через нагрузку, то есть установим волт-амперную характеристику батареи.

Do сферы должныот электроны с энергий $W \geq eU$. В Staционарном режиме (при постоянном $U$) заряд сферы остается неизменным. Следовательно, число электронов, попадающих ежескундно на сферу, равно числу электронов, возвращающийся за это же время через нагрузку к кусочку радиоактивного вещества.

При $eU \leq W_{\min}$ все электроны должныот сферы, переносимый им в единицу времени заряд и есть максимальный ток, который может давать такая батарея, то есть

$$I_{\max} = ev.$$

При большем напряжении, когда $W_{\min} < eU < W_{\max}$, на сферу попадают только те электроны, энергия которых $W \geq eU$; эти электроны и определяют ток, текущий через нагрузку (остальные электроны возвращаются в центр сферы, мину нагрузку). Доля этих электронов от общего числа электронов, вылетающих из кусочка радиоактивного вещества, равна

$$n = \frac{W_{\max} - eU}{W_{\max} - W_{\min}}$$

(ввиду равномерного распределения электронов по энергии). Ток, текущий при этом через нагрузку, равен

$$I = evn = ev \frac{W_{\max} - eU}{W_{\max} - W_{\min}}.$$

Нибольшее напряжение $U_{\max}$ на разомкнутых клеммах батареи (ЭДС батареи) определяется условием

$$eU_{\max} = W_{\max} \Rightarrow U_{\max} = W_{\max}/e.$$

Как только это напряжение достигают, заряд сферы и кусочка радиоактивного вещества перестают меняться.

При рисунке 2 приведена зависимость тока от напряжения. На этом же графике изображены волт-амперные характеристики наружки с сопротивлением $R$ (при различных значениях $R$). Ordinаты и абсциссы точек пересечения графиков дают значения тока и напряжения в цепи при данном значении $R$. При

$$R \leq R_0 = W_{\min}/e^2 v$$

tok остается постоянным независимо от сопротивления наружки. При таких сопротивлениях батарею можно считать генератором тока.

И. Воробьев