Квант 1983, №1 · Страницы

КВАНТ
1
1983

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Эта конструкция из тонких проводов и стилизованных палочки, называя ее создателем Э. Хандлокова «стержне-вантовым многооргаником», демонстрировалась в прошлом году в Москве на выставке «Архитектурная бионика, новые формы и конструкции».
Воздущность и изящество ее линей сочетания со сложностью геометрического замыска. Для любителей математики «стержне-вантовый многоорганик» Э. Хандлокова —

источник интересных вопросов. Хочется разобраться в его геометрии, выяснить, в какой мере он является переплетением правильных многооргаников, как кажется на первый взгляд. Хотелось бы также понять математические основы подобных конструкций, понять, почему нитки и палочки без единого жесткого соединения могут образовать жесткую конфигурацию.

Фотографика, которое мы воспроизведели на первой странице обложки, сделана из космоса с помощью специальной аппаратуры.
Обратите внимание на извилостое русло реки. На участке, видном на фотографини, река протекает по низменности. Чем обьяс-
няется тот факт, что реки, текущие даже по главной равнине, извиваются, и на иззибах один берег, как правило, пологий, а другой — кругой?
Ob этом вы узнали, прочитав статью «Меаноры рек».

В НОМЕРЕ:
2 К читательям
3 Б. В. Гнеденко. Математика и произведение
7 И. К. Кикошин. Он прохил счастливую жизнь
12 М. И. Каданов. Выдающийся физик-теоретик XX века
17 Л. Г. Асламазов. Meandры рек

IN THIS ISSUE:
To our readers
B. V. Gnedenko. Mathematics and industry
I. K. Kikoin. He lived a happy life
M. I. Kaganov. An outstanding 20-th century theoretical physicist
L. G. Aslamasov. Meandering rivers

Matematический кругок
22 В. М. Тихомиров. Об одной оптимальной задаче

Mathematics cirele
V. M. Tikhomirov. About an olympiad problem

Новости науки
26 Самый далекий квазар

Science news
The furthest quazar

Лаборатория «Кванта»
27 С. Л. Гаврилов. Что такое стrobоскоп

Kvant’s lab
S. L. Gavrilov. What is a stroboscope

Школа.в «Кванте»
30 Н. Б. Васильев, В. Л. Гутенмахер. Арифметика и принципы подсчета

Kvant’s school
N. B. Vassiliev, V. L. Gutenmakher. Arithmetic and principles of counting

«Квант» для младших школьников
36 Задачи
37 Я. А. Смородинский. Пирамидки и куб

Kvant for younger school-children
Problems
Ya. A. Smorodinski. Pyramids and cubes

Задачик «Кванта»
39 Задачи M781—M785; Ф793—Ф797
42 Решения задач M759—M761, M763, M764; Ф778—Ф782

Kvant’s problems
Problems M781—M785; P793—P797
Solutions M759—M761, M763, M764; P778—P782

Искусство программирования
50 Стандартные приемы программирования. Урок 4

The art of programming
Standart programming. methods. Lesson 4

Информация
52 Новый прием во Всесоюзную заочную математическую школе
53 Новый прием на заочное отделение Малого механита
54 Заочная физико-техническая школа при МИСиСе

Information
Entrance requirements to the All-Union mathematics correspondence school
Entrance requirements to the correspondence «Maly mechmat» school
The MISIS physico-technological correspondence school

Практикум абитуриента
59 Ответы, указания, решения
Смесь (21, 49)
Шахматная страничка
Пять задач оферзях (3-я с. обложки)

College applicant’s section
Answers, hints, solutions
Miscellaneous (21, 49)
The chess page
Five Queen problems (3rd cover page)

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1983

Matematika
и производство

Академик АН УССР
Б. В. ГНЕДЕНКО

Назначение каждой науки состоит в поиске истинны, разработке методов исследования, а также в использовании полученных знаний для решения задач практики. Это относится ко всем наукам, в том числе и математике. Во все времена математика с целью выполняла обязываности верного помощи практики в самых разнообразных ее проявлениях. Первоначально круг применения математики был довольно ограничен — использование арифметики при взаимных расчетах, использование геометрии при определении расстояний, вычисления объемов и площадей. Еще в древнем мире математика стала использоваться для исследования астроνομических явлений — движения светил, затмений Луньи и Солнца. Позднее, когда человекство решилось выйти в открытое море, появились интересные и сложные проблемы ориентации в пространстве без видимых земных ориентиров. Возникли новые задачи прикладной математики, которые служили предметом исследования выдающихся математиков XVIII и XIX столейй.

Существенно новый период развития применения математики начался в связи с созданием элементов математического анализа в XVII века. Конечно, влияние практики на появление новых понятий математики, связанных с движением, приведших к созданию дифференциального и интегрального исчисления, а позднее и теории дифференциальных уравнений, совершенного исключительно. А именно: изучение движения было

4

вызвано, с одной стороны, развитием мореплавания, а с другой — появлением артиллерии и необходимостью изучения траектории снаряда. Недаром Ф. Энгельс писал, что «лишь дифференциальное исчисление дает естественное возможность изобраться математически не только состояние, но и процессы, движение».

На базе математического анализа в XVIII века были созданы основы теоретической (или, как тогда говорили, аналитической) механики. Движение системы материалов точек и твердого тела было описано системой дифференциальных уравнений. Эти уравнения позволили, зная силы, действующие на отдельные детали машин, определить, как они будут движаться. Теоретическая механика стала тем математическим аппаратом, который позволяет работу машин еще до того, как они были выполнены в металле.

В современном произведстве математические методы исключительно широкого использования. Прежде всего, до ее произведения, всякая техническая система — машина, прибор, аппарат и т. д. — должна быть спроектирован; нужно рассчитать состояние ее узлов при механических, тепловых, электрических и иных воздействиях. Это — большая и крупная работа, часто daleko не тра

фаретного характера. Далее, эти узлы необходимо расчитать на надежность в работе, поскольку не достаточно надежное оборудование будет за себя местить в процессе эксплуатации. Сейчас достаточно daleko продвинут развитие теории надежности, и математические методы в ней занимают серыеное место.

Конструкция создания и проверена, но ее, как правило, следует изготовить в большом числе экземпляров. Для этого следует организовать произвольство так, чтобы все узлы и детали произвольились в нужном количестве и надлежащего качества. Кроме того, от произвольства требуется так организовать технологический процесс, чтобы узлы не нуждались в непроизводительной перевозке или переноске. Следует также расчитать расположение цехов, а в цехах станков, чтобы избежать излишней транспортировки.

Мы приступили к произвольному процессу. Нам следует организовать его так, чтобы в процессе изготовления своего ремонта заменять изделия не достаточно высокого качества (не говоря уже о браке). Иными словами, мы должны научиться управлять качеством в процессе производства. Это очень большая и важная задача, особенно теперь, когда предпринятая изготовлятю свою продукцию в десятих тысяч и даже миллионов экземплярах.

Изготовление неодостаточно качественной (а значит, и неодостаточно надежной) продукции оборудования для общества огромными потребностями оборудования, на необходимость изготовления большого числа запасных частей и на привлечение рабочей силы не на изготовление новых изделий, а на ремонт испортившихся изготовленных. Подсчет потерь от снижения качества также требует математических расчетов, зачастую не сводится к чисто арифметическим. Для этого приходится создавать математические модели, собирать и обработать данные экземплярами, оценивать целесообразность повышения качества тех или иных узлов.

5

Смена одного типа изделий на другой также требует математических средств, поскольку необходимо сравнить надежность новых изделий с надежностью ранее выпускающих, экономичность в изготовлении и эксплуатации, а также экономию в материалах. Нередко новые конструкции, особенно на первых порах, оказываются более дорогими. Однако если их качество выше, а надежностьprevышает надежность старых изделий, то выпуск такой продукции оправдан. Тем более, что когда технический процесс становится и налаживается, то и стоимость, как правило, снижается.

В последние годы в связи с увеличением выпуска продукции, усложнением технических процессов и условиями самой продукции выявлась необходимость рационального управления производством. Управление многих производств «вручную» оказалась невозможным. Так, при протяжке стальной проволоки, она перемешается со скоростью экспресса. Подметить с помощью глаза наметившиеся дефекты протяжки попросту невозможно. Физиологические возможности оператора или контролера оказываются для этого недостаточных. Что же делать? Решение найдено в составлении математических модели производственного процесса, в которых включены подмодели, учитывающие то или иное изменение условий производства (перепады температур, наличие выбраций, повышенной влажности и т. д.). Без математической модели процесса передать управление автоматическим устройству невозможно, поскольку автомат не понимает указанный качественный характер — делай лучше, обработай точнее, приведи температуру нагрева в соответствии с необходимостью. Для того чтобы автомат хорошо управлял, он должен в надлежащие моменты получить информацию от специальных датчиков о состоянии параметров производственного процесса и в соответствии с моделью выбирать необходимое управление.

Поскольку все задачи управления имеют много общERO, нет нужны для каждой задачи разработать особую теорию. Конечно, может служиться, что для частных задач управления можно найти более простое решение, но это не снимает вопроса построения общей теории. Такая теория была предложена в нашей стране академиком Л. С. Понтрягиным, а в США — Р. Беллманом. Теория Ponttrягина получила название оптимального управления, а Беллмана — динамического программирования.

6

Исходя из задачи разладки оборудования, А. Н. Колмогоров и его ученик А. Н. Ширев начали разработку теории управления случаными процессами, превращившуюся в настоящие время в одно из центральных направлений развития теории вероятности. Задача ставится так: в результате поступающих на оборудование воздействий произвольный процесс постепенно отходит от нормального уровня. Это уклонение может достигнуть такого уровня, что дальнейшее произвольство становится нецелесообразным, поскольку разладка оборудования стала слишком большим. Разработываются методы, которые позволили бы своевременно заменить момент, когда разладка еще не наступила, но появился опасность, что она может вскоре наступить. Это задаче можно придать множество иных прикладных формулировок. В частности, с этой задачей и теории Колмогоров неисредственно связаны вопросы управления качеством и оно проверялось. Телеръ же наSTANCE-автоматize за короткие сроки выпускаются многое сотни изделий. Зачатую проверка относает неисредственно больше времени, чем изготовление. Произвольству неисредственно умножать количество контролеров, которые ничего не производят и заняты лишь проверкой изготовленных изделий. Для некоторых типов изделий проверка качества каждого изготовленного изделия привела бы к такой картине: на каждое произвольшего рабочого нужно иметь 10—15 контролеров, и все таки нет полной уверенности в точности оценки качества произведенной партии. Но это еще мало. Существуют такие типы произвольства (скажем, фотопленки, спички), в которых нельзя проверять качество каждого изготовленного изделия, поскольку проверка приводит изделия в непригодное для дальнейшего использования.

Наконец, несплошную проверку изготовленных изделий необходим затратить больше средств и имеются стенды для испытания.

Необходим другой доступно наdejный способ оценки качества, который не обладает бы указанным недостатками. Такой метод предложен, он получил наименование статистического приемочного контроля. Он основан на законах теории вероятности и настоящее время широко используется в промышленности.

Мы отметим еще один современно особыный и современный вид продукции, при изготовлении которого математические методы играют особенно большое роль. Я имею в виду электронные вычислительные и управляющие машины, а также промышленные роботы. В свою очередь на XXVI съезд КПСС Леонид Ильич Брежнев сказал: «Понятие революционной возможности открываются создание и внедрение миниатюрных электронных управляющих машин, промышленных роботов. Они должны получить самое широкое применение». Они уже изготовляются в десятих тысяч экземпляров и вследствие, когда микропроцессоры будут еще дешевле, чем теперь, потребность в них будет составлять ежедневно миллионы штук.

Выяснили, что математические методы для изготовления ЭВМ нужны во всех тех аспектах, которые уже были отмечены. Кроме того, следует обратить внимание на еще два очень существенных момента. Во-первых, само проектирование ЭВМ не может быть осуществлено без математики, поскольку никакого и как часто приходит осуществлять при решении вычислительных и логических задач. В этом произвольстве математика особенно велика на всех этапах — от проектирования, изготовления, испытания до установки и использования. Во-вторых, если раньше основные средства при прибретинии ЭВМ затрачивают на самом это изделие, то теперь стоимость собственного машины составляет не более 40%. Основную цену

11

Ляемой термоядерной реакции. Личные интересы Курчатова также переместились в эту увлекательную область. В последние годы он сам руководил работами по термоядерному синтезу.

С самого начала организации Институтаatomной энергии (ИАЭ) Игоря Васильевича беспоконил вопрос, сумем ли мы наладить работу так, как она была организана А. Ф. Иоффе в ЛФТИ, где в основе лежал беспредельный энтузинам сотрудников. Все мы чувствовали себя ответственных перед Иоффе, авторитет которого был чрезвычайно высок. Это Курчатов понимал и хотел обеспечить такую же интенсивную работу у себя в институте. Он не раз высказывался в том дуxe, что нам придется надеться не на личное обаяние руководителя, а на важность и градинозность решаемой проблемы. В действительности его личный авторитет был велик. Что касается обаяния, то ему тоже было его не занимать. Он сам в этом не был убежен, но когда ему на это указывалли, ухмылялся и говорил:

Математика и производство

(Начало см. на с. 3)

имеют проерами — математическое обеспечение, без которого машина неработоспособна. Таким образом, сама математика превращалась теперь в производственный продукт!

Очень интересно отметить, как менялось представление о том, какие разделы математики имеют значение для производства. Первоначально лишь элементарные арифметика, геометрия и математический анализ использались для этих целей. Но постепенно оказалось, что новые вопросы требуют и новых математических средств исследования. Так, появление авизации в число прикладных дисциплин теории функций комплектного переменного. Управление производством и граммирование для ЭВМ сделало математическое логику непосредственной производительной силой. Учет молекулярных и субмолекулярных явлений в электронных схемах нуждается в широком использовании методов и результатов теории вероятности и теории случайных процессов. Оптимизация производства привела к созданию новых дисциплин (линейное и выпуклое программирование, оптимальное управление и др.). Вычислительные методы привели к широкому использованию алгебры, функциониального анализа, теории вероятности. В существии математика, даже в самых абстрактных ее частях, оказалась необходимой для практики, в том числе и для организации производства.

Для применения математики не видно границ. По мере развития технических и углублых roles и место математических методов в практической жизни.

12

ВЫДАЮЩИЯ
ФИЗИК-ТЕОРЕТИК
XX век

(к 75-летию со дня рождения Л. Д. Ландду)

Доктор физико-математических наук
М. И. КАГАНОВ

XX век — век революционных преобразований в теоретической физике — войдет в историю создания релятивистской механики (теории относительной) и квантовой (волновой) механики. Он богатlectricalими именами учены — творцов новой физики. Одним из таких творцов был Лев Давидович Ландду. Он влял на развитие теоретической физики и своим личными научными результатами, и созданием активно работающего школа

физиков-теоретиков — «Шкоды Ландду» (он был понятие выданногося учительем), и «Курсом теоретической физики», начаты в 1937 году и завершены (Е. М. Лифшцем и Л. П. Питаевским) в 1979 году. Чем бы Л. Д. Ландду не занимался, в любой его деятельности осуществляющейся особый, присущий ему стиль. В собственных его работах — ясная постановка задачи, математическое изучение, краткость решения; в «Курсе» — оптимальный путь от основ теории к решению конкретных задач; в его изложении сложные вопросы об卑но превращаются в простые, иллюзорные трудности рассеиваются.

Невозможно в короткой стать сколько-нибудь полно охарактеризовать деятельности Л. Д. Ландду. Придется ограничиться коротками заметками, в большой мере основными на личных воспоминаниях автора.

---

На книжной полке почти у любого физика — и преподавателя, и исследователь — стоит тома «Курс теоретической физики» Ландду и Лифшца. У частливцев — все десять. И стоит не для украшения. При подготовке кlekции или в процессе непосредственной работы к ним приходит бесконечно обращаться. Имя Ландду вошло во многочные термины: затухание Ландду и уровни Ландду, диамагнетизм Ландду и уравнения Ландду — Лифшца, критерий сверхтекучества Ландду, теория физных переходов второго рода Ландду, особенности Ландду, теория Ферми-жидкости Ландду и уравнение Гинзбурга — Ландду… А ведь Ландду не произвольных изменений, не работал с приборами в лаборатории, а только, как он сам говорил, «писал на бумаге формулы». Он был одним из великих физик-теоретических столовия.

Способности Ландду проявились очень рано. Он говорил, что не помнит себя не умело дифференцировать и интерпровать. Четырнадцат лет (в 1922 году) он поступил в Бакинский университет, где училися одновременно на двух фак-

13

культетах — физico-mатематическом и химическом; семнадцати лет закончил физическое отделение Ленинградского университета, куда перевелся в 1924 году (химическое образование он не стал продолжать); восемнадцати лет опубликовал свою первую работу — теорию интенсивности в спектрах двухatomных молекул (одна под номером 1 входит в «Собранте трудов» Л. Д. Ландду). Потом — аспирантура в Ленинградском физico-техническом институте; в 1929—30 годах — получагодничная поезда за границу: в Дании, в Англюю и в Швейцарию. «Наболеще важным для него было пребывание в Копенгагене, где в Институте теоретической физики у великого Нильса Бора собирались физики-теоретически со всей Европы и на руководимых Бором знаменитых семинарах обсуждались все основные вопросы теоретической физики того времени. Эта научная атмосфера, успливаемая обаянием самой личности Бора, оказала решающее влияние на физическое мировоззренение Льва Давидовича, и в дальнейшем он всегда считал себя учеником Нильса Бора. Еще два раза он посетил Копенгаген: в 1933 и 1934 гг.»*)

Трижды Бор приезжал в Советский Союз. Встречи и долги беседы с Ландду входили в обязательную программу пребывания Бора в нашей стране. Последний раз Бор и Ландду встречались в 1961 году в Москве. Они приняли участие в традиционном празднике физков Московского университета «Дне Архимеда».

В 1932 году Ландду переезжает в Харьков. Здесь он — двацатического — возглавляет теоретический отдел нового Укранского физico-технического института и одновременно завершет кафедрой теоретической физики на физico-механическом факультете Харьковского механико-машиностроительного института, а с 1935 года завершет кафедрой общей физики в Харьковском университете. С весны 1937 года

Ландду в Москве — заведует теоретическим отделом Института физических проблем, незадолго до этого созданного П. Л. Капицей. Здесь он оставался до конца жизни. Институт физических проблем и фигурано, и фактически многое годы был его родным домом. На одном из данной института —emornalная докса: «Здесь с 1937 года по 1968 год жил и работал крупнейший физик академик Лев Давидович Ландду». Окна сегоднящего теоретического отдела института, между которых помещенаemornalная докса, соседвуют с окнами его квартры. Здесь написаны (совместно с Е. М. Лифшцем) основные книги «Курса теоретической физики». В Институте физических проблем в 1941 году построена теория сверхтекучестия геля — исключительно интерсного явления, открыто в 1938 году П. Л. Капицей.

Однажды (в конце пятидесных годов) я спросил у Льва Давидовича: «Какую свою работу Вы считаете лучшей?» Ответ: «Теорию сверхтекучестия геля. Ее до сих пор многое не понимают».

Научное творчество Л. Д. Ландду беспредседento на своей шпоте. Она охватывает всю теоретическую физку от гидродинамики до квантовой теории поля. Нашvek — век специальизации. Нет ученых, одинаково хорошего разбиращихся во всей физике. Ландду, по-видимому, был последним физиком-энциклопедистом. Его учениками считают себя и теоретически, занимающейся физкой творого тела, и астрофизики, и специальны по элементарным частицам. Их научные пути разошлись уже при жизни Ландду, но он — их Учитель — обведил всех. Все они каждой четверг в 11 часов утра собирались в Институте физических проблем на знаментом Ланддуском семинаре. Не только москвичи, но и харьковане, ленинградцы, физики-теоретически из Киева, Тбилиси…

Семинар, который руководил Ландду, войдет в историю теоретической физики. На его заседаниях создавалось, строилось то, что назвают «школой Ландду». Здесь можно было выступить с работой из лю-

14

Бой области теоретической физики. И не просто выступить, но и получить квалифицированный совет либо во время доклада, либо до — при предварительном обсуждении с Ландду. На семинаре царила полная демократичность. Лев Давидович сделал спиной к аудитории, в первом ряду, и хотя докладчик, как правило, обращался непосредственно к нему, он не был Председателем, Куратором — никакой торжественности, важности (в день пятидестилителя Ландду А. И. Шальников назнач его «самым не важным человеком», какого он знаел). Каждый мог первять докладчика, требуя разъяснения или высказывания свое недобренние. Этот возможность пользовался и Ландду. Докладывать в такой обстановке, естественно, было трудно. Если выяснялась несостоять работы или докладчик не мог объяснить существа дела, он безжалостно лишался слова. Но надо помнить: причиной такой «жесткости» было бескомпромиссное отношение Ландду к науке. Правильность или неправильность результата не зависит от того, получен он близким другом или совершенно построенным. Ландду передко защищал докладчика от нападок слушателей. Часто можно было услышать: «Послушаем dalleше, автор объчно бывает прав».

---

Teоретическая физика исследует природу методами математики. Ландду придавал большее значение физика-теоретика владеть математической техники. Степень владения должна быть такой, чтобы математические затруднения не отвлекали от физических трудностей задачи, а предоление математических трудностей не становилось бы самоцелюво. «Начинать надо с математики, которая, как Вы знаете, является основой нашей науки… Имейте в виду, что под знанием математики мы понимаем не всячеcke теоремы, а умение реализно на практике интегрировать, решать в квадратурах обыкновенные дифференциальные уравнения и т. д.» Или: «…теоретику в первую голову необходимо знание математики. При этом нужны

15

не всякие теоремы существования, на которые так щедры математики, а математическая техника, то есть уменные решать конкретные математические задачи… В качестве метода изучения могут только подчернуть, что необходимо самому произвести все вычисления, а не предоставлять их автором читаемых Вам книг».
Это — цитаты из писем Л. Д. Ландду молдым Людям, увлеченным теоретической физикой и обратнымшим к Ландду с просьбой помощью разобраться, как овладеть основами науки. Лев Давидович всегда ответал на подобные письма, если чувствовал искреннее желание автора письма серbezно занимается наукой. Письма Л. Д. содержат не только точные советы и указания молодым корреспондентам, но и простые слова поддержки, стоять важные в начале пути, шутливые, но весы нужные замечания: «Инструкные языки, увы, необходимы. Не забывайте, что для условия их, несомненно, не нужно особых способностей, поскольку английским языком неплохо владеют и очень тулые английне…» «Бояться меня не стоит — я вовсе не кусаюсь»,*) и тут же — приглашение звонить «Лучше всего от 9.30 до 10.30 утра, когда я почти всегда дома, но можно и в любое другое время… Я произзаменую Вас иdam Вам программу для дальнейшего обучения».

Лев Давидович часто говорил остимулах научного творчества. Молодой научный работник не должен ставить себя целю открытые новых законов. «Только не стаяйте решать никаких проблем. Нало просто разобраться, а решение проблем приходит само». Понимиание физики является, приходит ее в процессе ежедневной, казалось бы rutинной работы, доставляет радость и удовлетворение, окупающие бесконечное науке.

*) Нелишнее замечание: о Ландду ходила слава резкого, ironничного, острумного, в каком-то смысле безжалостного собеседника. Не стеснясь, он говорил все, что думает о работе. Неверная работа могла быть назван чущью, патологией. На его кабинете в Харьковском институте внесла таблица «Л. Д. Ландду. Осторожно — кусается!» Бесплатность критики полностью искуслась научной беспристрастностью, искусней радостью, когда кто-то получал нетривиальный, интересный результат, желанием помочь трудности.

Бор и Ландду в МГУ на «Дне Архимеда» (1961 год).

прижение, требующесся для решения действительно интерсной задачи.

Все, кто общался с Л. Д., поражались его неослабывающейся с годами интерсу к разнообразным задакам, которые ставит и решает физика. Он разговаривал о науке с сотнями физиков. Они рассказывают ему о самых различных работах, различных по трудности, по глубине, по значительности, работах, относится к самых разных объектам — к твердым телам и к элементарным частицам, к звездам и к газам. Любая работа представляла для него интерес, если удовлетворяла простому принципу: работа должна развязывать что-то непонятное. Бессонно разъясняющимся и бесконечно ставящим новые загадки — таким воспринимал мир Ландду. У него по существу с детства появилось ошибение красоты науки о природае. «Он рассказывает, как в то время (ему было тогда 16 лет) он был потрясен невероятной красотой общей теории относительнойности… Он рассказывает о экстзаре, в ко-

16

торый привело его изучение статей Гейзенберга и Шредингера, ознакомивших рождение новой квантовой механики… Они ему не только наслажденное истинной научной красотой, но истрое ошушение силы человекаского гения, величайшим триумфом которого является то, что человек способен понять вещи, которые он уже не в силах вообразить*). Эту мыслу (человек способен понять то, что не в силах вообразить!) он пронез через всю жизнь.

Занятость реализации научными задачими делала Ландду совершенно нечувствительным к модным увлечениям читательской аудитории: к снежному человеку, телепати, летающий тарелкам и т. п. Подобные увлечения он считал существием и остро высмеивал. Его разражали болтовня и верхоглядство, которые, как правило, сопровождали попытки решения «таинстененных» проблем. Однако, прочитав популярную статью о навигационном устройстве птиц, я попытался поговорить на эту тему с Ландду. Он довольно равнодушно отношся к моим словам, сказал, что прежде чем рассудить о правильности или неправильности тех или других гипотез, надо познакомиться с проблемой по существу, а не из вторых рук. Вскоре из журнала «Природа» я узнал, что результаты опытов, которые обсуждал автор популярной книги, опровергнуть.

Не нужно думать, что Ландду был «научным сухarem», целиком погруженным в теоретическую физика. Круг интересов Льва Давидовича вне физики был очень широк. Он очень любил и хорошо знал историю, часто порожал знакомством с подробностями исторических событий; его интересовали все виды искусства (правда, за исключением музыки), он очень много читал, знал на память и хорошо декламировал массу стихов. Друзья подраззивали Ландду, говоря, что у него инфантильный вкус. Он любил Драйзера больше Хемингузя. Ему нравились бытовые драмы в театре. Но… Когда Ландду имеет непреходящшее значение и остается навсегда в науке.

*) Е. М. Лифшц. Приложение в Собрантрудов Л. Д. Ландду.

17

Меанды рек

Доктор физико-математических наук
Л. Г. АСЛАМАЗОВ

Видел ли кто-нибудь реку, текущую прямо, без изгибов? Какой-то участок реки, конечно, может быть прямым, но рек, текущих совсем без изгибов, не существует. Далее если река четет по равнине, она обычно «петляет», и часто изгибы рек повторяются с определенным периодом. А на изгибах один берег реки, как правило, кругой, а другой — пологий. Как обьяснить эти особенности поведения рек?

Гидродинамика — раздел физики, изучающий движение жидкости,— в нашей время очень развита стройная наука. Но в применении к таким сложным естественным объектам, как реки, даже она не в состоянии обьясить все особенности их течение. И тем не менее на многое вопросы можно дать ответы.

Вопросом о причины образования извилин в русах рек занимается Эйнштейн. В своем докладе «Причина образования извилин в русах рек и так называемый закон Бэра», сделанном в 1926 году на засеединении Прусской академии наук, Эйнштейн сравнил движение врашаюшей воды в стакане и в русах рек. Эта аналогия позволяет объяснить tendенцию русел рек приобретать извилистую форму.

Попробуем разобраться в этом явлении хотя бы качественно. И научем со стакана чая.

Как движутся чанники в стакане

Возьмите стакан с чаем, хорошо размешайте чай ложкой, а затем выньте ее. Вода постепенно оставится, а чанники соберутся в центре стакана. Что заставляет их «сбегаться» к центру? Что бы ответить на этот вопрос, выясним сначала, какую форму принимает поверхность воды, врашаюшей в стакане.

Из опыта видно, что поверхность жидкости испривляется. Легко понять, почему это происходит. Для того чтобы частички воды совершали врашательное движение, равнойствующая всех сил, действующих на каждую частику, должна приводить к центростремительномуускорению.

18

Выделим мысленно внутри жидкости на расстоянии $r$ от оси вращения кубик массы $\Delta m$ (на рисунке 1 такой кубик выделен снимом цветом). При угловой скорости вращения $\omega^2 r$ это ускорение создается разностью сил давления, действующих на боковые грани (левую и правую на рисунке 1) кубика. Следовательно,

$$\Delta m \cdot \omega^2 r = F_1 - F_2 = (p_1 - p_2) \cdot \Delta s,$$

(1)

где $\Delta s$ — площадь боковой грани кубика. Давления $p_1$ и $p_2$ определяются расстояниями $h_1$ и $h_2$ до свободной поверхности жидкости —

$$p_1 = \rho gh_1, \quad p_2 = \rho gh_2,$$

(2)

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного давления. Так как сила $F_1$ должна быть больше силы $F_2$, то, следовательно, и $h_1$ должна быть больше $h_2$, то есть свободная поверхности жидкости при вращении должа искривиться так, как показано на рисунке 1. Чем больше скорость вращения, тем сильнее искривляется поверхности.

Можно найти форму искривленной поверхности жидкости. Она оказывается параболюдом, то есть поверхности, разрез которого — парабола. (Показите это самостояльно. Правильно своих рассуждений вы сможете проверить, посмотрев на с. 59).

Пока мы мешаем чай ложкой, мы подерживаем вращение жидкости. Но если вынуть ложку из стакана, то вследствие треня между отдельными слоями жидкости (вязкости) и треня о стенки и до стакана книетическая энергия будет переодить в тепло, и жидкость постепенно оставится.

По мере уменьшения частоты вращения поверхности жидкости выпрямляется. При этом внутри жидкости возниккают выходные потоки, направление которых показано на рисунке 2. Происходение выходных потоков связано с неодинаковым торможением жидкости у дна стакана и у поверхности. На глубине вседствие большого треня о дно стакана жидкость тормозит с сильнее, чем у поверхности. Поэтому у частических потоков связи оно неодинаковым торможением жидкости — чем близке к дну стакана, тем меньше скорость. А равнойствующая сил «бокового» давления, действующих на такие частички, одна и та же. Эта сила уже не может по всей глубине вызвать необходимое торможение жидкости (как в случае вращения массы жидкости с одной и той же угловой скоростью). У поверхности угловая скорость слищом большая, и частцы воды отбрасываются к стенкам стакана: у дна угловая скорость мала, и результатующая сила давления заставляет воду дивгаться к центру.

Теперь понятно, почему чанники собираются в центре на дне стакана (рисунок 3) — они увлекаются возниккающими при торможении вихревыми потоками. Конечно, такое рассмотрение — довольно упрощенное, но оно правильно отражает суть явления.

Как меняются русла рек

Давайте разберем характер движения воды в реке при повороте русла. Здесь возникнет картина, пожожая на движение воды в стакане. Поверхность воды наклоняется в сторону поворота так, чтобы разность слодая сообщала необходимое торможение жидкости (на рисунке 4 показано вертикальное сечение реки на повороте). Так же как в стакане с чаем, скорость воды у дна вседствие треня меньше, чем у поверхности реки (распределение скоростей по глубине показано на рисунке 4; красным цветом выделена вертикальная плоскость

20

Диало постепенное перемещение русла и увеличение изгиба.

Таким образом, даже небольшой начальный изгиб, возникший по случайной причине (например,следствие обвала, падания дереви и т.п.), будет со временем увеличивать. Примолинейное течение реки по однородной равнине является неустойчивым.

Как образуют.meandры рек

Форма русла реки во многом определяется рельефом местности. Река, текущая по нервной местности, извивает также реким образом, чтобы избежать высоких мест и заполнить низины, выбирает путь с максимальным уклоном.

А как текст реки по равниnam? Как влияет на форму русла описанная выше неустойчивость прямолинейного течение реки по отношению к изгибам? Такая неустойчивость приводит к увеличению длины реки, и река начинает извивать. Естественно думать, что в идеальном случае (совершенноровная однородная местность) должна возникнуть периодическая кривая. Какова ее форму?

Геологи высказали предположение, что русла рек, текущих по равниnam, на изгибах должны применять форму … изогнутой линейки.

Возьмите стальную линейку и попытайте сжать линейку вдоль ее длины (уменьшить расстояние между ее концами). Линейка изогнется (как на рисунке 6). Такой упругий изгиб называют эйлеровым изгибом (по имену замечательного ученого, русского академика Леонарда Эйле-

Рис. 4.

ра (1707—1783), теоретически рассмотрено это явление). Форма изогнутой линейки описывается особой кривой. Эта эйлерова кривая обладает замечательным свойством: из всех кривых заданной длины, соединяющихся данные точки, она в среднем наименее изогнута. Если изменить угловые отклонения Θ (см. рисунок 6) через равные расстояния вдоль длины кривой и просуммировать квадраты угловых отклонений, то для эйлеровой кривой эта сумма будет минимальной. Такой «экономный» изгиб эйлеровой кривой и послужил основанием для гипотезы о форме русла рек.

Геологи моделировали процесс изменения русла реки в искусственном канале, продолженном в однородной среде, которая приготовлена из мелких частц, слабо скрепленных между собой и потому довольно легко подвергающихся эрозии. Очень скоро прямолинейный канал начинает извивать, причем форма изгибов описывается именно эйлеровой кривой (рисунок 7). Ко-

22

Об одной
олимппадной
задание

(или может ли в меншем быть
чero-нибудь больше?)
В. М. ТИХОМИРОВ

Как-то раз — это было давным-
давно, тридцать с чем-то лет тому
назад — руководитель кружка, тани-
ственно улыбнувшись, задал нам тако-
й вопрос:

«Один тетраэд лежит внутри дру-
гого. Как вы думаете, может ли сум-
ма его ребер оказаться больше, чем
сумма ребер объемлющего тетраэдра?»

Мы дружно закричали: «Нет!» —
«А кто-нибудь может это доказать?»
И тогда один из нас воскликнул:
«А чего тут доказывать: разве у меня
шего может быть чero-нибудь больше?
» — «Это что — аксиома?» —
«Нет, но…» — «А не аксиома — дока-
жи!» — «Не это же оченьно!» Они
преприализсень еще немного, и вдруг
раздался удивленный возглас:
«А ведь может!»

Эта сценка вспомнились мне в
апреле прошло года в Одесе, когда
дало проходил второй тур XVI Всесоюз-
ной математической олимпiadы. Там
десятиклассик был предложена
такая задача:

Вершины тетраэдра KLMN лежат
внутри, на гранях или на ребрах
другою тетраэдра ABCD. Докажите,
что сумма длины всех ребер тетраэдра
KLMN меньше, чем 4/3 суммы длины
всех ребер тетраэдра ABCD*).

(Отметим, что число 4/3 в форму-
лировке нашей задачи не может быть
уменьшено. Для того чтобы понять
это, достаточно рассмотреть правиль-
ную треугольную парамиду ABCD с
очень большим в сравнении с ребром
основания ABC боковым ребром и
взять точки K и L где-нибудь на основании, а две другие точки M и N —
где-то у вершины D.)

С этой задачей справились лишь
четверро участников из пятидесети
трех. Но все решения оказались
очень красивыми, и мне захотелось
о них расскаать.

Начну с чисто геометрического решения, целиком лежшего в русле школьной математики. Оно принадлежит школьнику из города Дмитровграда Ульяновской области Ильмуру Зиганшину.

Введем сначала некоторые обозначения. Пусть KLM — грань тетраэд-

*) Полное решение этой задачи приводится на с. 42 (задание M759). Но не спешите знакомиться с ним. Советуем сначала doitать статью конца и попробовать с ее помощью найти решение самостояльно.

23

ра KLMN, имеющая наиболее периметр среди всех граней этого трезада. Спроектируем трезадр ABCD на плоскость грани KLM. Проекции вершин трезада образнаим соответствие $A_1, B_1, C_1, D_1$. Проекция всего трезада ABCD — это либо треугольник (и тогда одна из точек $A_1, B_1, C_1$ или $D_1$ лежит внутри треугольника, образованного остальных точками), либо выпуклый четырехугольник, ограниченный ломаной $A_1B_1C_1D_1$ (см. рисунок). Ломаную, ограничивающую проекцию трезада ABCD, образнаим через Г (на рисунке она происована более жирными линиями). Ясно, что $\triangle KLM$ лежит внутри Г. Для любых четырех точек пространства $E, F, G, H$ (они могут оказаться в одной плоскости, неокоторые из них могут совпадать и т. п.) через $P_{EFGH}$ образнаим величины $|EF|+|FG|+|EG|+|EH|+|FH|+|GH|$ и называем ее периметром EFGH. Проектиру треугольника KLM и длину ломаной Г образнаим $P_{KLM}$ и $P_\Gamma$ соответственно.

Решение Зиганшина основано на четырех вспомогательных утверждениях, которые представляют интерес и сами по себе. Они формулированы в виде задач, продумайте их самостоятельно.

Задание 1. Если грань KLM имеет периметр, не менящий, чем перimeter каждого из остальных трех граней трезада KLMN, то

$$P_{KLMN} \leq 2P_{KLM}.$$

Задание 2. Если треугольник KLM лежит внутри выпуклой ломаной Г, то

$$P_{KLM} \leq P_\Gamma.$$

Задание 3. Если ломаная Г ограничивает проекцию на плоскость трезада ABCD и при этом $A_1, B_1, C_1, D_1$ — проекции вершин трезада, то

$$P_\Gamma < \frac{2}{3}P_{A_1B_1C_1D_1}.$$

Задание 4. Если $A_1B_1C_1D_1$ — проекции вершин трезада ABCD на некоторую плоскость, то

$$P_{A_1B_1C_1D_1} \leq P_{ABCD}.$$

Из соответствия (1) — (4) решение основной задачи следует немедленно

$$P_{KLMN} \leq 2P_{KLM} \leq 2P_\Gamma < 2 \cdot \frac{2}{3}P_{A_1B_1C_1D_1} \leq \frac{4}{3}P_{ABCD},$$

что и требовалось доказать. Если вы хорошошенько потребите и докажете все утверждения задачи 1—4, то вы непреемно получите удовлетворение от естественности и красоты замечала этаго решения.

Сходным с заграншинским было решение победителя олимпиды среди десятиклассников ленинградского школьника Гриш Перельмана.

Два других решения выходит за рамки школьной программы. Здесь, пожалуйста, уменьшено сделать одно значение. Объчно более всего цепятся также олимпидные задачи, для решения которых знание высших разделов математики не может особенно помочь и математик-профессионал не имеет премиущества перед школьником. Однако удовлетворить этому требованиюудается не всегда. И вот здесь как раз тот случай, когда знание некоторых фактов «нешкольной» математики позволяет получить доказательство очень быстро. При этом решения достигается двумя совершенными путями. Удивительно, что оба эти способа решения были найдены школьниками.

Сначала я рассеккую о решении Андрея Савкина (Ленинград).

В начале своего решения Савкин формулирует следующую теорему: Пусть заданы две системы векторов в трехмерном пространстве, обладающие следующим свойствам: если взять любую прямую и проектировать на нее все векторы объектs системы,

25

Задание 7. По крайней мере у одной из тетраэдров $K_0L_0M_0N$ или $K_0L_0M_0N'$ перimeter больше, чем у тетраэдра $K_0L_0M_0N_*$).

А раз у максимального тетраэдра каждой вершина совпадает с одной из точек $A, B, C$ или $D$, то следует лишь рассмотреть этот вырождный случай.

Задание 8. Пусть каждая из точек $K, L, M$ и $N$ совпадает с одной из точек $A, B, C$ или $D$. Тогда

$$P_{KLMN} < \frac{4}{3} P_{ABCD}$$

Так завершает решение Спивака. Мы видим, что для математикапрофессионала его можно сконцентрировать в одной фразе: вследствие теоремы Вейерштрасса решение задачи о сложном тетраэдре максимального перimeter существует, а вследствие выпуклости функций расстояния это решение сосредоточено в вершинах тетраэдра ABCD, что свойит общую проблуку к вырожденной (задаче 8).

Отметим, что авторское решение основывалось также на задаче 7: чуть более тонкое ее применение позволяет избежать ссылки на теорему Вейерштрасса**).

На этом можно было бы и закончить, но еще несколько слов — попутных. В последнем решении нашел отражение важный принцип для задачи на максимум и минимум: максимальное значение выпуклой функции на многоэрннике (если оно существует) достигается в вершине многоэрнника. Этот принцип играет важную роль в линейном программировании — разделе математики, имеющим большое применение в экономике (см. об этом, например, в статье 3. Литовченко «Лучший вариант» («Квант», 1978, № 5)). В предпоследнем решении мы столкнулись с одним из сравнительно новых понятий математики — понятии варианции (о нем расссказывается в

*) Для тех из вас, кто знаком с понятным выпуклости, задача 7 будет особенно легкой, но ее решение сразу следует из выпуклости функций расстояния. (Согласно одному из определений, функция, заданная на точках пространства, называется выпуклой, если ее значение в середине любого отрезка не превыходит полусуммы значений в его концах.)
**) См. решение задачи М759.

26

Самый далекий квазар

В начале прошло года в печати появилось сообщение о том, что английские и австралийские астрономы обнаружили новый светящийся объект, который расположен от нас дальней всех других небесных объектов. Оказалось, что это квазар, находящейся в созвездии Стрельца (его экваториальные координаты: склонение +33° и пряме воскхождение 1,3 с).

Квазары (квазизведены) были открыты около двадцати лет тому назад. Так стали называть далекие космические тела, которые по внешнему виду на фотографиях похожи на звезды, но их излучение по мощности сравнимо с излучением целых галактик. (Например, квазар, о котором поддет здесь речь, излучает в 10¹⁴ раз больше энергии, чем Солнце.) Квазары расположены не в нашей Галактике, а очень далеко за ее пределами, на расстояниях в несколько миллиардов световых лет.

Как же можно определить расстояние до квазара? Оказывается, для этого нужно измерить его красное смение. Объясним, что это значит.

При сравнинии спектров химических элементов, входящих в состав квазаров, со спектрами тех же элементов на Земле было обнаружено, что линии в спектрах квазаров сильно смещены в сторону больших длины волн, то есть к красному концу спектра. Если обозначить через λ наблюдаемую длину волны, а через λ₀ — и называется красным смещением. Характерно, что для всех линей спектра данного квазара z одно и то же. С другой стороны, известно, что длина волны, излучаемая источником, меняется при движении источника и наблюдается относительно друг друга. (Этот эффект называется эффектом Доплера). В частности, если источник движется от наблюдаателя, наблюдаемый фиксирует бóльшую длину волны.

Таким образом, был сделан вывод, что квазары удаляются от нас, причем удаляются с очень большими скоростями. Для этого следует относить формулу

$$\lambda = \lambda_0 \sqrt{\frac{c+v}{c-v}},$$

где c — скорость света, a v — скорость источника относительно наблюдаателя. Знача красное смещение z, из этой формулы можно найти скорость v. Так, скорость внешнего квазара равна v=0,92 c. Это — самая большая скорость, которую когда-либо наблюдаются.

Теперь, когда известна скорость квазара, можно оценить и расстояние до него. Для этого надо воспользоваться тем, что указана скорость v связывана с расстоянием R до квазара законом Хаббла (законом «разбегания» галактик):

$$v = HR.$$

Величину H называют постоянной Хаббла. Ее точное значение изменить трудно; в настоящее время на основе многоолетних наблюдающих значения H≈2,5·10⁻¹⁸c⁻¹.

Для квазара, удаляющегося от нас со скоростью 0,92 c, получаем R≈1,1·10²⁶m≈1,2·10¹⁰ св. лет.

Другими словами, можно сказать, что этот квазар мы видим таким, каким он был приблизительно 12 миллиардов лет тому назад. Если вспомнить, что возраст Вселенной оценывается в 13—15 миллиардов лет, «древность» обнаруженного квазара, безусловно, должен вышать уважение.

Я. С.

28

Рис. 1. Фотографика одного из старинных строскопов.

ник или грузик сквозь кругящийся диск.

Если в диске прорезать не одну, а несколько (например, 10 или 20) щелей на равном расстоянии друг от друга, то можно будет наблюдать и более быстрые движения, скажем — врашение лопастей вентилятора. Лопасти работающего вентилятора практически невидимы для нас — они сливаются в один полупрозрачный диск. А с помощью строскопа их можно разглядеть, не остававливая вентилятор. Тем-то и полезен строскоп, что он позволяет наблюдать только быстрые процессы, за которых наш глаз, из-за его инерционности, уследить не в состоянии. Схема одного из подобных опытов приведена на рисунке 1.

Но еще удобнее работать со строскопом, который создает прерывистое освещение (рис. 2). Для этого врашающегося картониный диск с прорезями нужно поместить перед источником света. В качестве источника света годится обычный круглый фонарь, работающий от трех батареек. Он дает достаточно света, и его световой пучок хорошо фокусирован. Диск можно приводить в движение моториком от электроконструтора. Чтобы изменять скорость врашения, нужно последовать с动机иком включить реостат на 40—50 Ом и менять его сопротивление. Наблюдения проводят в темноте — исследуемый предмет освещается только мигающим светом строскопа.

Использову такой строскоп, можно, например, изменять скорости иускорения движущихся поступательно тел (об этом рассказано в учебнике физики для 8 класса: «Физика 8», 1982, с. 39). Но, пожалуйста, самый эффективный опит — это наблюдание распадения тонкой струи жидкости на капли. Представьте себе, например, несильную струю воды, вытекающий из водопроводного крана. Из гидродинамического принципа неразрывности струи следует, что свободная струя по мере возрастания скорости жидкости (в полеяжестии земли) должна уменьшаться в течение. И если бы не поврежденное натяжение, сечение струи уменьшалось бы неограниченно. Начиные же повреждности натяжения приводит к тому, что при достагоно малом сечении струя начинает распадаться на капли. Объясняется это тем, что энергия повреждного натяжения сферической капли меньше, чем цилиндрической струи, а любая система всегда стремится к состоянию с наменьшей энергией. Инерционность нашего зрения не позволяет нам разглядеть

30

Арифметика и принципы подсчета

Н. Б. ВАСИЛЬЕВ,
В. Л. ГУТЕНМАХЕР

В основе математики лежит арифметика — теория натуральных чисел 1, 2, 3, … . В теории число глубоких и красных теорем. Немало в ней трудных и до сих пор не решенных проблем, в течение сотен лет не поддаюшихся усилиям самых выдающихся математиков. Цель разделы современной математики возникли из попыток решения и обобщения теоретико-числовых задач. К. Ф. Гаусс (1777—1855), сделавший много замечательных открытий в теории чисел и в других областях математики, сказал: «Matematika — царица наук; теория чисел — царица математики».

Цель этой статьи — познакомить читателей с простейшим понятиями этой увлекательной науки, основной теоремой арифметики, некоторых арифметических функций и принципами подсчета.

§ 1. Простые и составные числа

Всюду в дальнейшем мы будем иметь дело с натуральными числами. Мы говорим, что число $n$ делится на число $a$, если существует такое число $b$, что $n=ab$. В этом случае число $a$ называется делительem числа $n$, а число $n$ называется, в свою очередь, кратным числу $a$.

Всякое натуральное число, большее единицей, имеет, по крайней мере, два делителя: 1 и само это число. Число, большее 1, называется простым, если у него нет других делителей, и составным, если они есть. Единница при этом не является ни простым, ни составным числом.

Каждее натуральное число можно разложить в произведение простых.

В самом деле, составное число $n$ можно разложить в произведение двух множителей, меньше $n$. Если среди них есть не простые (составные), можно каждае из них разложить в произведение двух меньше

31

и т. д. Очевидно этот процесс не может продолжаться бесконечно, потому что на каждом шагу мы получаем меньше множители, чем на предыдущем, а всего натуральных чисел, меньших $n$, конечное число: $n-1$. В результате мы приходим к разложению числа на простые множители.

Объчно одинаковые простые множители собирают вместе и записьют разложение в таком стандартном виде:

$$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k},$$

где $p_1 < p_2 < \dots < p_k$ — различные простые числа, $a_1, a_2, \dots, a_k$ — натуральные числа. Например, $1350 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.

Основная теорема арифметики. Всякое натуральное число, больше 1, разлагается на простые множители единственным образом.

Основной эта теорема называется потому, что практические все свойства делимости чисел являются ее следствиями.

Мы не будем останавливаться на доказательстве основной теоремы (его можно найти, например, в [1], [3]), а формулируем лишь одно ее следствие.

Для того чтобы число $a$ делилось на число $b$, необходимо и достаточно, чтобы каждый простый множитель, входящий в разложение числа $b$, входил в разложение $a$ в такой же или в более высокой степени.

А как разложить больше число на простые множители? В этом нам помогет такое полезное наблюдение.

Если число $n$ составляет, то у него есть делитель, не превышший $\sqrt{n}$ и больше 1.

Допустим противное. Пусть $n=ab$, и оба делителя $a$ и $b$ больше, чем $\sqrt{n}$. Поскольку $a > \sqrt{n}$ и $b > \sqrt{n}$, по лучем, что $ab > n$, что противоречит предположению.

Чтобы убедиться в простоте данного числа $n$ или, если $n$ составляет, найти его делитель, достаточно проверить, делится ли $n$ на простые числа, не больше $\sqrt{n}$.

Составить список простых чисел, не превышающих заданного числа $N$, можно таким образом. Надо выписать подряд все натуральные числа от 1 до $N$, вычернуть единицу, потом вычернуть все четные числа, кроме числа 2, затем вычернуть все числа, кратные 3, кроме самого числа 3, затем — кратные 5, и т. д. выплить до самого большого простого числа, не превышющего $\sqrt{N}$. После вычеркивания чисел, кратных какому-то простому числу $p$, первое не вычеркиvole число и будет следующего за $p$ простым числом. Этот метод просвищения чисел называется «решетом Эратосфена». Он не так плох, как кажется на первый взгляд: например, чтобы составить таблицу простых чисел до 2000, достаточно вычернуть все кратные первым четырнадцатим простым числом от 2 до 43 (так как $47^2 > 2000 > 43^2$). С помощью современных ЭВМ составлены очень больше таблицы простых чисел. Здесь, конечно, стоит заметить, что все простые числа выписать нельзя. Как умел доказывать еще Евклид,

Существует бесконечно много простых чисел.

Предположим, что простых чисел — конечное число и $p$ — самое большое из них. Расмотрим произведение $p! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot p$ всех чисел от 1 до $p$ (пчетается «$p$ факторial»). Число $p!$ делится на все простые числа, так как, по предположению, в произведение $p!$ содержится все простые числа. Следующое за ним в натуральном ряду число $p! + 1$ должно раскладываться на простые множители, но это не возможно, так как $p! + 1$ не делится ни на одно из простых чисел! Противоречие.

Многие древние и до сих пор до конца не решенные проблемы теории чисел относятся к распределению простых чисел в натуральном ряду.

32

Например, наблюдаяя показывают, что встречаются рядом стоящие простые нечетные числа: 3 и 5, 5 и 7, 17 и 19, 29 и 31 и т.п. Такие числа называются простыми близкими. До них пор не известно, конечно или бесконечно количество пар простых близцев.

С другой стороны, между простыми числами могут встречаться сколь годно больше промежутки, точнее

Для любого $k$ в натуральном ряду существует $k$ последовательных составных чисел.

В самом деле, возьмем число $(k+1)!$ и рассмотрим ряд из $k$ последовательных чисел:

$$(k+1)!+2; (k+1)!+3; (k+1)!+4;...$$
…; $(k+1)!+k+1,$

Все они — составные: первое делится на 2, второе — на 3, …, последнее — на $k+1$.

Задачи

1. Разложите на простые множители числа $a$) 1981; $b$) 1982; $c$) 1983; $d$) 1984.
   Решение задачи 1$\theta$). Разделив 1983 на 3, получим 1983=3·661. Телер ищем делители числа 661. Так как $25^2<661<26^2$, нужно проверить делимость на простые числа 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Ни на одно из них 661 не делится, значит, 661 — простое число.

2. Укажите в натуральном ряду $a)$ шесть; $b)$ тринадцать последовательных составных чисел.
   $\theta)$ Существуют ли такие соседние простые числа, между которых в натуральном ряду помещаетсяровно шесть составных чисел?

3. Доказите, что если $d$ — наиболее делитель составного числа $n$, меньший $n$, то число $n/d$ — простое.

4. Доказите, что среди натуральных чисел от 1 до 30$m$ не более 10$m$ простых чисел (при каждой $m=1, 2, 3, ...$).

5. Найдите все такие числа $p$, что числа $p, p+2, p+4$ одновременно является простыми (такие числа можно назвать простыми «тройнями»).

6. Каким количество нулей кончается десятичная запись числа 30!?

7. Докажите, что среди чисел 2, 5, 8, 11, … (то есть чисел вида $3m+2$, где $m=0, 1, 2, ...$) бесконечно много простых.

§ 2. Количество делителей.
Комбинаторное правило произведения

На рисунке 1 ниже выписаны все натуральные делители чисел 96 и 144. Мы видим, что все делители числа 96 разбиаются на пары дополнительных друг друга делителей (на рисунке 1 они соединены двумми), а числа 144 один из делителей, 12, является дополнительным к самому себе, поскольку $144=12^2$. Из симметрики множества делителей следует такое утверждение:

Если число $n$ не является квадратом целого числа, то у него четное число делителей, а если является — то нечетное.

В самом деле, каждому делителю $a$ числа $n$, меньше $\sqrt{n}$, соответствует делитель $n/a$, больше $\sqrt{n}$. Поэтому делители, отличных от $\sqrt{n}$, всегда число. Если же $n=k^2$, то к ним добавляется еще один делитель $k$.

Пусть $d(n)$ — количество делителей числа $n$. Как показано выше, если $n$ — полный квадрат, то $d(n)$ — нечетное число (например, $d(144)=15$), а если нет, то $d(n)$ — четное число (например, $d(96)=12$). Покажем теперь, как, зная разложение числа $n$ на простые множители, находить значение $d(n)$.

Прежде всего, заметим, что при простом $p$ всегда $d(p^a)=a+1$.

Действительно, по определению, простое число $p$ имеет только два де-

Рис. 1. Делители и дополнительные к ним

33

Рис. 2. Правило произведение: делители $2^{\beta_1} \cdot 3^{\beta_2}$ числа $144 = 2^4 \cdot 3^2 (0 \leq \beta_1 \leq 4, 0 \leq \beta_2 \leq 2)$ размешаются в таблице $5 \times 3$.

литея: 1 и $p$, а, в силу следствия из основной теоремы арифметики, число $p^a$ имеет $(a+1)$ делители: 1, $p$, $p^2$, …, $p^a$ (считается, что $p^0 = 1$).

Рассмотрим теперь число $n$ с двумя различными простыми множителими, например $n = 144 = 2^4 \cdot 3^2$. Все его делители имеют вид $2^{\beta_1} \cdot 3^{\beta_2}$, где $\beta_1$ может принимать любое из пятей целых значений от 0 до 4, $\beta_2$ — одно из трех значений 0, 1 или 2. Значит, всего разных пар $(\beta_1; \beta_2)$ может быть $3 \cdot 5 = 15$, так что $d(144) = 15$ (см. рис. 2). Здесь мы воспользовались полезным принципом подчета.

Правило произведения. Если элемент $\beta_1$ можно выбрать $N_1$ способами, а элемент $\beta_2$ — незначimo от $\beta_1 - N_2$ способами, то всего можно составить $N_1 \cdot N_2$ различных пар $(\beta_1; \beta_2)$. Вообще, если нужно составить набор $(\beta_1; \beta_2; ..., \beta_k)$ из $k$ элементов, причем элемент $\beta_1$ можно выбрать $N_1$ способами, элемент $\beta_2$ — $N_2$ способами, …, элемент $\beta_k$ — $N_k$ способами, то всего можно составить $N_1 \cdot N_2 \cdots N_k$ различных наборов $(\beta_1; \beta_2; ...; \beta_k)$.

Это общее правило позволяет написать формулу для числа делителей любого $n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$. В самом деле, согласно следствию из основной теоремы арифметики, любой делитель числа $n$ имеет вид $p_1^{\beta_1} \cdot p_2^{\beta_2} \cdots p_k^{\beta_k}$, где $\beta_i$ принимает одно из $(\alpha_i + 1)$ значений 0, 1, …, $\alpha_i$. Следовательно, количество разных наборов $(\beta_1; \beta_2; ...; \beta_k)$, а значит, и различных делителей числа $n$, равно $d(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \cdots (\alpha_k + 1)$. (*)

Задание:
8. Найдите: a) $d(1000)$; 6) $d(1350)$; b) $d(5040)$; г) $d(84^{19})$.

Решение задачи 6). Ответ: 24. Так как $1350 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$, по формуле (*) получаем $d(2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^2) = (1 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 24$.

9. Приведите пример числа, имеющего a)ровно 6 делителей; 6)ровно 7 делителей.

10. Докажите, что число $n$, дающее при делении на 3 остаток 2, имеет поровну делитель вида $3l + 1$ и $3s + 2$ и не является полным квадратом.

11. Окружность разбитка на 720 одинаковых дуг. Сколько существует различных (по числу сторон) правильных многоугольников с вершинами в точках разбиения?

12. Сколько у числа $n$ четных делителей (напишите общую формулу)? Для каких чисел $n$ количество таких делителей равно $\frac{1}{2} d(n)$?

13. В письменном столе имеется 9 ящков. Сколько способами можно разложить по ним пять разных книг?

Ответ: $9^5$ способов. Решение. Первую книгу мы можем положить 9 способами в тот или иной ящик, и, независяimo от этого выбора, есть 9 способов выбрать ящик для второй книги, и т. д. По правилам произведения, все способов $9^5$.

14. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все цифры нечетные?

15. Сколько существует пятизначных чисел, в десятичной записьх хотя бы один раз встречается цифра 5?

§ 3. Функция Эйлера.
Включения и исключения

В § 2 мы познакомились с арифметической функцией Эйлера: $\varphi(n)$ — количество чисел, меньше числа $n$ и взаимно простых с ним, то есть таких чисел, которые не имеют с $n$ общих делителей (кроме 1).

На рисунке 3 для примера выписаны числа от 1 до 18. Мы видим, что все взаимно простые с 18 числа разбиаются на пары $(a; 18 - a)$.

Такая симметрия будет для любого $n > 2$: если число $a$ взаимно простое с $n$, то $(n - a)$ также будет взаимно простое с $n$ и не равно $a$. В самом деле, если бы $n - a$ и $n$ имели общий делитель $p > 1$, то их разность $n - (n - a) = a$ имела бы тот же делитель $p$, тем самым $n$ и $a$ не были бы взаимно просты.

Из этой симметрии $a \leftrightarrow (n - a)$ мы видим, что число $\varphi(n)$ всегда четно (при $n > 2$).

Показем теперь, как находится $\varphi(n)$, зная разложение числа $n$ на

34

Простые множители. Прежде всего, заметим, что если $p$ простое, то $\varphi(p) = p - 1$, так как все числа 1, 2, …, $(p - 1)$ взаимно просты с $p$ и меньше его. Пусть $n = p^\alpha$, где $p$ — простое число и $\alpha > 1$. тогда из $n$ чисел, не превысading их $n$, мы должны исключить те, которые делятся на $p$. Таким чисел

$$\frac{n}{p} = \frac{p^\alpha}{p} = p^{\alpha - 1},$$

позетом

$$\varphi(n) = n - \frac{n}{p} = n \left(1 - \frac{1}{p}\right).$$

Рассмотрим теперь числа $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}$ с двумя различными простыми множителими. Подсчет $\varphi(n)$ (для $n = 18$ он продолжан на рисунке 3) мы проиллюстрируем диаграммой на рисунке 4: квадрат избражает множество чисел от 1 до $n$, красный и голубой кругги — это множество чисел, деляшихся на $p_1$ и $p_2$ соответственно, пересечение кругов — множество чисел, деляшихся на $p_1 p_2$.

Числа, взаимно простые с $n$, изобраются заштрихованной частью квадрата. Для определения их числа мы должны исключить $N_1 = n/p_1$ «красных чисел», $N_2 = n/p_2$ «голубых» и прибавить $N_{12} = n/p_1 p_2$ чисел, лежащих в пересечении кругов. Таким образом,

$$\varphi(n) = N - N_1 - N_2 + N_{12} = n - \frac{n}{p_1} - \frac{n}{p_2} + \frac{n}{p_1 p_2} =$$

$$= n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right).$$

Разобрать случай числа $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}$ с темя различными множителими нам помогет рисунок 5: квадрат избражает множество чисел, не превысading их, а кругги — множество чисел, деляшихся на $p_1$, на $p_2$ и на $p_3$; тогда в кругах будет соответствено $N_1 = \frac{n}{p_1}, N_2 = \frac{n}{p_2}$ и $N_3 = \frac{n}{p_3}$ чисел, в их попарных пересечениях — $N_{12} = \frac{n}{p_1 p_2}, N_{13} = \frac{n}{p_1 p_3}$ и $N_{23} = \frac{n}{p_2 p_3}$ чисел, а в пересечении всех трех кругов — $N_{123} = \frac{n}{p_1 p_2 p_3}$ чисел (это числа, деляшиеся одновременно на $p_1, p_2$ и $p_3$, то есть на $p_1 p_2 p_3$).

Мы должны подсчитать, сколько чисел содержится в квадрате, но не попадает ни в один из кругов. Если мы вычитем из $n$ сумму $(N_1 + N_2 + N_3)$, то числа, попавшиеровно в два из трех кругов, мы вычитем два раза, а числа, попавшие во все три круга — даже три раза.

Теперь к разности $N - (N_1 + N_2 + N_3)$ добавим сумму $(N_{12} + N_{13} + N_{23})$. Тогда все числа, попающие только в одной в два круга, мы учтем правильно, и только числа,

Рис. 4.

Рис. 5. Если все это в квадрате $N$ элементов, то вне кругов их $N - N_1 - N_2 - N_3 + N_{12} + N_{23} + N_{31} - N_{123}$.

35

попавшие во все три круга одновременно — неправильно: их количество мы трижды вычли и вновь трижды прибавили. Придется из суммы $N - (N_1 + N_2 + N_3) + (N_{12} + N_{13} + N_{23})$ вычесть еще $N_{123}$. Теперь все числа, вошедшие в обедининие трех кругов, мы учили по разу и пришли к такой формуле:

$$\varphi(n) = n - \frac{n}{p_1} - \frac{n}{p_2} - \frac{n}{p_3} + \frac{n}{p_1 p_2} + \frac{n}{p_1 p_3} + \frac{n}{p_2 p_3} - \frac{n}{p_1 p_2 p_3} = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \left(1 - \frac{1}{p_3}\right).$$

Мы встретились здесь с частными случаями такого обещенного правила подсчета.

Правило включений и исключений. Пусть задано множество $A$ и выделено $k$ его подмножества. Количество элементов множество $A$, которые не входят ни в одной из выделенных подмножества, подсчитывается так: надо из общшего числа элементов $A$ вычесть количество элементов всех $k$ подмножества, прибавить количество элементов всех их попарных пересечений, вычесть количество элементов всех трейных пересечений, прибавить количество элементов всех пересечений по четыре и т. д. вплоть до пересечения всех $k$ подмножества.

Примения это правило к подсчету $\varphi(n)$, где

$$n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k},$$

и использует алгебраические тожества

$$1 - x_1 - x_2 - \dots - x_k + x_1 x_2 + x_1 x_3 + \dots + x_{k-1} x_k - x_1 x_2 x_3 - \dots - x_{k-2} x_{k-1} x_k + \dots + (-1)^k x_1 x_2 \dots x_k = (1 - x_1) (1 - x_2) \dots (1 - x_k)$$

(его левая часть устройства как раз по правилам «включений и исключений»), можно получить общую формулу

$$\varphi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{p_k}\right).$$

Заметим, что написанное выше алгебраическое тожество можно использовать и при доказательстве общего правила включения и исключения: положив несколько $j$ из $k$ букв $x_1, x_2, \dots, x_k$ равными 1, а остальные $(k - j)$ — нулю, мы получим (при $0 < j \leq k$) в правой части 0, а левая часть показет, что элементы пересеченияровно $j$ подмножества одинаковое число раз прибавляются и вычитаются.

В заключение отмечим, что функция $\varphi(n)$ и функция $d(n)$ из предыдущего параграфа обладают таким важным свойством, которое в теории чисел называется мультипликативно:

Если $a$ и $b$ взаимно просты, то $\varphi(ab) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$ и $d(ab) = d(a) d(b)$

(Убедитесь в этом самостояльно.)

Задачи

16. Сколько существует правильных несократимых дробей со значением 288?

17. Найдите $a)$ $\varphi(96)$; $b)$ $\varphi(540)$; $b)$ $\varphi(1983)$.

18. Сколько существует чисел, не превысших 1000, которые $a)$ делятся одновременно на 6 и на 15; $b)$ делятся на 3, но не делятся на 7; $b)$ делятся на 6 или на 15.

19. Сколько существует натуральных чисел, не превысших 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?

20. Объединение множества $A$ и $B$ состоит из 25 элементов, пересечения — из 10 элементов. Сколько элементов в множестве $A$, если в $B$ 15 элементов; $6$ 21 элемент; $b)$ 10 элементов?

21. В декабре было 10 ясных и безветренных дней, 15 дней был ветер и 12 дней шелсен. Сколько дней была метель (и снег, и ветер)?

22. В группе из 25 студентов 12 изучают латынь, 10 — греческий и 9 — санскрит. Для каждой двух языков найдетсяровно 5 студентов, изучающих об этих языка. Сколько студентов изучает все три языка?

23. На каждой стороне треугольника $ABC$ отмечены по 9 точек, разбиаются ее на 10 равных частей. Расстоярим всевозможные треугольники с вершинами в отмещенных точках (по одной на каждой стороне). Сколько среди этих треугольников таких, у которых они одна из сторон не параллельна стороне треугольника $ABC$?

Литература

1. И. М. Виноградов. «Основы теории чисел» (М., «Наука», 1980).

2. И. И. Ежов, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. «Элементы комбинаторики» (М., «Наука», 1977).

3. Л. А. Калужин. «Основная теорема алфметики» (М., «Наука», 1969).

4. О. Оре. «Приглашение в теории чисел» (М., «Наука», Библотечка «Квант», 1980).

5. Л. А. Басова, М. А. Шубин, Л. А. Эпштейн. «Лекции и задачи по математике» (М., «Просвещение», 1981).

6. Заочные математические оптимизации (М., «Наука», 1981).

7. Р. Курант, Г. Роббинс. «Что такое математика?» (М., «Просвещение», 1967).

36

Задчи

1. Пошел было Иван-царевич куда глаза глядят искать Василису Прекрасную, пожищенную Кашем, как навстречу ему Леший. «Знаю, — говорит, — я дорогу в Кашево царство, случалось, ходил туда. Шел я четыре дня и четыре ночи. Первые день и ночь — прямой дорогой на север, и прошел я треть пути. Потом повернул на запад и продолжался лесом сутки и прошел вдвое меньше. И треты сутки шеел лесом, уже на юг, и вышел на прямую дорогу, ведущую на восток. Прошагал я по ней за сутки сто верст и попал в Кашево царство. Ты ходок такой же резвый, как и я, иди, Иван-царевич, глаздшь, на пятый день будешь в гостях у Кашея». «Нет, — отвечал Иван-царевич,— если все так, как ты говоришь, то уже завтра я увижу мою Василису Прекрасную». Прав ли он? Сколько верст прошел Леший и сколько думает прояты Иван-царевич?

2. Задумано трехзначное число, у которого с любым из чисел 543, 142 и 562 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумано?

3. В этом числовомребусе (см. рисунок) почти ничего неизвестно, однako он допускает лишь одно решение. Найдите его.

4. Шарик для игры в пинг-понг подбросили вверх. Что займет больше времени — подьем или спуск?

Эти задчи нам предложили
В. Журавлев, В. В. Произволов,
В. Н. Денисенко, А. П. Савин.

37

Пирамидки и куб

Я. А. СМОРОДИНСКИЙ

Мне захотелось пограть с простой, но красивой головоломкой, которую я встретил в одной из статей Мартина Гарднера.

Я отправился в механическую мастерскую и попросил сделать мне по три детали согласно двум чертежам (рис. 1). Механик, к которым я обращался, чуть не обиделся, считая, что я его глупо разыгрывало. Но я и не думал шутить — чертежи были выполенены по всем правилам технического черчения (см. рис. 2).

(Не заглядывая дальше, попробуйте нарисовать эти детали или представить, как они выглядают.)

Пытаясь облегчить задачу, я решил вместе шести деталей сделать только три по другому чертежу (рис. 3). Так как и этот чертеж оказалось нелегко расшифровать сразу, я не стал испытывать терпение механика и сам склейл модели из бумаги, по которым уже легко было бы сделать их и из металла. Но до этого так руки и не дошли: бумажные детали вполне годились для головоломки. (Вы можете изготовить эти детали, воспользовавшись развертками, показанным на рисунке 4).

Сами детали изображены на рисунке 5. Читатель разберется, по какому чертежу какая деталь склеена.

---

Сейчас можно поговорить и о головоломках. Из шести деталей первого типа или трех второго надо сло-

38

жить куб. Это на самом деле не трудно, но поччительно — попробуйте!

Возьмите двумя пальцами куб, сложенный из трех деталей второго типа, так, как показано на рисунке 6, и поворачивать его аккуратно вокруг образовшейся оси (эта ось — пространственная диагональ куба). При повороте на 120° и на 240° каждая из трех деталей будет переходить на место своего оседа. В таких случаях говорят, что фигура (куб) имеет ось симметричной треугольника (см. рис. 6).

Легко представить себе, как разделить яблоко на три одинаковые части — «третийки»; а вот такую «третийку» — одну треть куба — наверное еще не видели.

У этой «третийки» есть плоскость симметрию — ее можно разрезать плоскостью, перpendикулярной квадратному основанию так, что это основание разделится на два конгрузных треугольника. Получается две примидки — конгрузные, но не одинаковые; они зеркальны, то есть относится друг к другу, как предмет и его изображение в зеркале.

Забавно, что обычно человек трудно различить зеркально-симметричные объекты. Возьмите из набора рисунка 5 две примидки и, поставив их далеко друг от друга, спроисите товарища, одинаковы они или зеркальны. Вы увидите, как этот вопрос для многих будет совсем не простым.

Можно проверить себя и так. У вас, наверное, есть игральный кубик. Всем известно, что сумма очков на противоположных гранах равна семи. Поэтому, посмотрев на одну грань, можно сразу сказать, сколько очков нанесено на противоположной грани. Но можно задать вопрос немного более трудный: сколько очков надо нанести на грань с противительным знаком (рис. 7)? Попробуйтеогдадаться и сравните со своим игральным кубиком.

---

Отвечая на последний вопрос, вы наверное заметили, что, в принципие, можно рассставить очки двумя способами — зеркальными друг другу. Это значит, что существует два типа кубков — «правый» и «левый» (рис. 8). В играх обычно используют «левый» кубик — по крайней мере, говорят, что такой принят в игorbых домах. В детских играх встреется и «правый» кубик — не все знают, что есть разница.

39

Задачи

M781—M785; Ф793—Ф797

M781. Постройте прямую, параллельную стороне AC данного треугольника ABC и пересекаюшую его стороны AB и BC в таких точках D и E соответственно, что |AD| = |BE|.

Л. В. Ким

M782. Докажите, что если сумма двух натуральных чисел равна 30 030, то их произведение не делится на 30 030.

С. В. Фомин

M783. a) При каком наиболее n система неравенств
$$\begin{cases} 1 < x < 2, \\ 2 < x^2 < 3, \\ 3 < x^3 < 4, \\ \dots \\ n < x^n < n+1 \end{cases}$$
имеет решение?

6. Для каких n существует такие две прогрессии — арифметическая a₁, a₂, a₃, …, aₙ+1 и геометрическая b₁, b₂, b₃, …, bₙ, что a₁ < b₁ < a₂ < b₂ < a₃ < … < aₙ < bₙ < aₙ+1?

M784. Шарообразная планета движется по окружности вокруг звезды и врашается вокруг оси, причем ось сгущенного врашения наклонена к плоскости орбиты под углом α (для нашей Земли α = 66,5°). Найдите зависимость продолженности T самого короткого дня в году в данном пунке на поверхности планеты от географической широты φ этого пунка. (Угловая скорость врашения планеты по орбите много меньше угловой скорости врашения планеты вокруг ее оси). Напишите формулу для функции T = T(φ) и начертитеprimерный график.

А. П. Савин

M785. a) Про возрастищую последовательность положительных чисел a(n), n = 1, 2, 3,… извесно, что для любого натурального числа k > 1 существует число bₖ такое, что a(kn) ≤ bₖa(n) при всех n. Докажите, что существует

40

положительные числа $c$ и $\alpha$, для которых $a(n) \leq cn^\alpha$ при всех $n \geq 1$.

Останется ли верным это утверждение, если в условиях
б) слова «любого» заменить на «некоторого»?
в) не требовать, чтобы последовательность $a(n)$ была возрастящей?

М. У. Гафуров

Ф793. На вопросу сферическое поверхности радиуса $R$ с высоты $H = R/8$ вблизи оси симметрики падают (с нулевой начальной скоростью) маленькие шарики. Считая удары шариков по верхносту абсолотно упругими, показать, что после первого соударения каждой шарика попадает внизшую точку поверхности. Взaimные соударения шариков не учитываются.

И. В. Кривенков

Ф794. Два одинаковых телопозоливанных калометра высоты $h = 75$ см заполены на одну треть один — льдом, другой — водой при температуре $t = 10^\circ\text{C}$. Воду из второго калометра переливают в первый, и при этом калометр оказывается заполенным на две трети. После того как температура в калометре устанавливается, уровень заполнения его увеличится на $\Delta h = 0,5$ см. Какова была начальная температура льда в калометре? Плотность льда — $\varrho_{\text{л}} = 9 \cdot 10^2 \text{ кг/m}^3$, воды — $\varrho_{\text{в}} = 10^3 \text{ kg/m}^3$; удельная теплота плавления льда — $\lambda = 3,4 \times 10^5 \text{ Дж/kg}$; удельная тепломкость льда — $c_{\text{л}} = 2,1 \cdot 10^3 \text{ Дж/(кг·К)}$, воды — $c_{\text{в}} = 4,2 \cdot 10^3 \text{ Дж/(кг·К)}$.

А. И Буздин

Ф795. Вода течение по длиному каналу с прямогольным сечением, наклонением к горизонту. Можно считать, что сила треня воды о дно и берега канала пропорциональна средней скорости потока и обратно пропорциональна его глубине. Во время Паводка количество воды, протекающей через сечение канала за одну секунду, увеличается вдвое. Как меняется при этом средняя скорость потока?

Г. Л. Коткин

Ф796. На главной оптической оси $AB$ собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$ нахождения плоское зеркальце, врашающееся с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, перpendикулярной оси $AB$ (см. рис.ок). На зеркальце падает параллельный пучок лучей, который после отражения фокусируется на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы. Найти скорость свето-вого пятна на экране в момент, когда оно проходит фокус линзы.

Е. И. Пальчиков

42

Решения задач

М759. Внутри вынуклоо четырехуполюнка, у которой сумма шести попарных расстояний между вершинами (то есть сумма длины всех сторон и диаzoналей) равна $S_1$, расположен другой, для которого эта сумма равна $S_2$.
a) Может ли величина $S_2$ быть больше $S_1$?
b) Докажите, что $S_2 < 4S_1/3$.
c) Докажите, что если внутри произвольного тетраэдра с суммой длины ребер $S_1$ расположен другой, для которого эта сумма равна $S_2$, то $S_2 < 4S_1/3$.

Для любых четырех точек $A, B, C, D$ плоскости или пространства (не обязательно различных) обозначим через $P_{ABCD}$ сумму длины отрезков, соединяющих попарно эти точки.
a) Ответ: может. Один из примеров показан на рисунке 1: первый четырехуполюнк $ABCD$ сильно вытянут вдоль диагонали $AC$, причем $|AB| = |AD| = |AC| = a$, второй — $ABCN$ — вписан в первый так, что его вершина $N$ лежит на отрезке $AD$ вблизи точки $A$. Ясно, что $S_2 = P_{ABCD} > S_1 = P_{ABCD}$. Более того, если устройств длины отрезков $BD$ и $AN$ к нулю, то $S_2$ будет стремиться к $4a$, а $S_1$ — к $3a$, поэтому $S_2:S_1$ будет стремиться к $4/3$.
b) Доказательство неравенства $S_2 < 4S_1/3$ для четырехуполюнков легко получить незначительным изменением приводимого дальше доказательства для tetraэдров*).
c) В основе решения лежит следующая
Лемма (рис. 2). Если точка $H$ лежит на отрезке $H_1H_2$, то для любых трех точек $E, F, G$ $P_{EFGH} \leq P_{EFGH_1}$ или $P_{EFGH} \leq P_{EFGH_2}$.

*) См. также статью В. М. Тихомирова «Об одной оптипадной задаче (с. 22).»

44

М760. С замкнутой ломаной $A_1A_2...A_m$, где $m$ нечетно, продельывает такая операция: середины ее звеньев соединиются $m$ отрезками через одну (середина $A_1A_2$ — с серединой $A_3A_4$, $A_2A_3$ — с $A_4A_5$, …, $A_{m-1}A_m$ — с $A_1A_2$, $A_mA_1$ — с $A_2A_3$). С полученной ломаной вновь продельвается эта же операция, и т. д. Доказите, что из любой $m$-звенной ломаной $a$) при $m=5$ — через два шага.
б) при $m=7$ — через три шага,
в) при любом нечетном $m$ — через некоторое (зависание от $m$) число шагов получится ломаная, подбная (далее готовится) первого начального.

Фиксируем произвольную точку $O$ (ее положение мы уточним в процессе решения), тогда любую точку $A$ можно задавать вектором $\overrightarrow{OA}$ — вектором точки $A$. Если обозначить векторы вершин данной ломаной $J$ через $\bar{a}_1 = \overrightarrow{OA}_1$, …, $\bar{a}_m = \overrightarrow{OA}_m$, то векторы вершин ломаной $J_1$, которая получается из $J$ в результате указано в задане операции, равны
$$\frac{1}{2} (\bar{a}_1 + \bar{a}_2), \frac{1}{2} (\bar{a}_3 + \bar{a}_4), \dots$$
$$\dots, \frac{1}{2} (\bar{a}_m + \bar{a}_1), \frac{1}{2} (\bar{a}_2 + \bar{a}_3), \dots, \frac{1}{2} (\bar{a}_{m-1} + \bar{a}_m).$$

поскольку вектор середины отрезка равен получиме векторов его концов. Аналогично, векторы вершин следующего ломаной равны
$$\frac{1}{4} (\bar{a}_1 + \bar{a}_2 + \bar{a}_3 + \bar{a}_4), \frac{1}{4} (\bar{a}_5 + \bar{a}_6 + \bar{a}_7 + \bar{a}_8), \dots$$
$$\dots, \frac{1}{4} (\bar{a}_{m-3} + \bar{a}_{m-2} + \bar{a}_{m-1} + \bar{a}_m).$$

Вобобщите, для нахождения векторов вершин ломаной $J_k$ нужно $2^k$ раз записать последовательность векторов вершин ломаной $J$:
$$\bar{a}_1, \bar{a}_2, \dots \bar{a}_m, \bar{a}_1, \bar{a}_2, \dots, \bar{a}_m, \dots, \bar{a}_1, \bar{a}_2, \dots, \bar{a}_m,$$
сложить первые $2^k$ векторов этой строки, следующего $2^k$ векторов и так далее, а затем каждую из полученных $m$ сумм разделить на $2^k$.

a) Пользовать выведенным правилом, найдем векторы вершин ломаной $J_2$ для $m=5$:
$$\frac{1}{4} (\bar{a}_1 + \bar{a}_2 + \bar{a}_3 + \bar{a}_4), \frac{1}{4} (\bar{a}_5 + \bar{a}_1 + \bar{a}_2 + \bar{a}_3), \dots$$
$$\dots, \frac{1}{4} (\bar{a}_2 + \bar{a}_3 + \bar{a}_4 + \bar{a}_5)$$
или, полагая $\bar{a}_1 + \bar{a}_2 + \bar{a}_3 + \bar{a}_4 + \bar{a}_5 = \bar{a}$:
$$\frac{1}{4} (\bar{a} - \bar{a}_5), \frac{1}{4} (\bar{a} - \bar{a}_4), \frac{1}{4} (\bar{a} - \bar{a}_3), \frac{1}{4} (\bar{a} - \bar{a}_2), \frac{1}{4} (\bar{a} - \bar{a}_1).$$

Теперь заметим, что точку $O$ всегда можно выбрать так, чтобы сумма $\bar{a}$ векторов вершин ломаной $J$ равнялась $\overrightarrow{O}$ (см. конец решения). В этом случае векторы вершин ломаной $J_2$ будут равны $-\frac{1}{4} \bar{a}_5, -\frac{1}{4} \bar{a}_4, -\frac{1}{4} \bar{a}_3, -\frac{1}{4} \bar{a}_2, -\frac{1}{4} \bar{a}_1$, поэтому сами вершины будут готовыми.

вершинам ломаной $J$ относительно точки $O$ с коэффициентом $-1/4$ (см. рисунок): 1-я вершина ломаной $J_2$ соответствует 5-я вершине $A_5$ ломаной $J$, 2-я — соответствует $A_4$, 3-я — $A_3$, 4-я — $A_2$ и 5-я — $A_1$. При этом и порядок соединения вершин $J_2$ будут таким же, как у соответствующих вершин $J$, хотя направление их обхода будет противоположным.

б), в) Всегда можно выбрать такое $k$, чтобы число $2^k-1$ делилось на нечетное число $m$. (В частности, в задание 6) $m=7$, а $k=3$. Действительно, средние чисел 1, 2, $2^2$, … обязаются найти дуя, $2^l$ и $2^n$ ($l<n$), которые дают одинаковые остатки при делении на $m$. Их разность $2^n-2^l=2^l(2^n-l-1)$ делится на $m$ без остатка. А так как $m$ нечетно, отсюда вытекает, что при $k=n-l$ число $2^k-1$ делится на $m$; пусть $2^k-1=mp$.

Тогда $2^k=mp+1$, и согласно нашему правилу нахождение векторов вершин ломаной $J_k$ они представляются в виде
$$\frac{1}{2^k} (p\bar{a} + \bar{a}_1), \frac{1}{2^k} (p\bar{a} + \bar{a}_2), \dots, \frac{1}{2^k} (p\bar{a} + \bar{a}_m),$$

где $\bar{a}=\bar{a}_1+\dots+\bar{a}_m$. Если точка $O$ выбрана так, что $\bar{a}=\overrightarrow{OA}_1+\dots+\overrightarrow{OA}_m=\overrightarrow{O}$, то векторы вершин ломаной $J_k$ равны $2^{-k}\bar{a}_1, \dots, 2^{-k}\bar{a}_m$, и поэтому она готовится ломаной $J$ с центром готовии $O$ и коэффициентом $2^{-k}$.

45

Остается объяснить, как найти нужную нам точку $O$ — центр гомотетии. Сумму векторов вершин можно записать в виде
$$\bar{a} = \overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \dots + \overrightarrow{OA}_m = \overrightarrow{OA}_1 + (\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{A}_1\overrightarrow{A}_2) + \dots$$
$$\dots + (\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{A}_1\overrightarrow{A}_m) = m \cdot \overrightarrow{OA}_1 + (\overrightarrow{A}_1\overrightarrow{A}_2 + \dots + \overrightarrow{A}_1\overrightarrow{A}_m),$$
позному, если $\overrightarrow{A}_1\overrightarrow{O} = \frac{1}{m} (\overrightarrow{A}_1\overrightarrow{A}_2 + \dots + \overrightarrow{A}_1\overrightarrow{A}_m)$, то $\bar{a} = \overrightarrow{0}$. (Эта точка $O$ — центр тяжести одинаковых масс, помещенных в точки $A_1, A_2, \dots, A_m$).

А. В. Келарев, Н. Б. Васильев, А. Н. Земляков

**M761. Через произвольную точку $P$ на стороне AC треугольника ABC параллельно его медианом AK и CL проведены прямы, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно (см. рисунок).

Докажите, что медиан AK и CL делят отрезок EF на три одинаковые части.

*M763. Дан параллелограмм ABCD, отличный от ромба. Прямая, симметриная прямой AB относительно диагонали AC, пересекает в точке Q пряму, симметриную прямой DC относительно диагонали DB. Найдите отношение $|QA|:|QD|$, если известно отношение $|AC|:|BD| = k$.

Положим $AQO = OQD = \varphi$, $QAO = \alpha$, $QDO = \beta$. Тогда $AOD = 2\pi - \alpha - \beta - 2\varphi$. В то же время $AOD$ — внешний угол треугольника ODC, в котором $OCD = OAB = \alpha$, $ODC = \beta$ (см. рисунок). Следовательно, $AOD = \alpha + \beta$, то есть $2\pi - \alpha - \beta - 2\varphi = \alpha + \beta$. Отсюда вытекает, что $\alpha + \beta + \varphi = \pi$, значит, $AOQ = \pi - \alpha - \varphi = \beta - ODQ$. Поскольку треугольники $AQO$ и $OQD$ имеют соответствие равные углы, они подобны с коэффициентом подобия $|AO|:|OD| = |AC|:|BD| = k$. Таким образом,

$$\frac{|QA|}{|QD|} = \frac{|QA|}{|QO|} \cdot \frac{|QO|}{|QD|} = k^2.$$

Замечание. Стоит посясить проискхождение этой, как будто довольно искусственной, задачи. Дело в том, что $Q$ — это неподвижная точка преобразования подобия (одного из двух возможных), которое переводит точку $A$ в $O$, а $O$ — в $D$. Его можно представить как композицию поворота вокруг точки $Q$ на угол $\varphi$ (на нашем рисунке — по часовой стрелке) и готовети $H^k_Q$. Преобразования этого типа называют подоротными нометрами или спиральными подобиями. Таким образом, построение, описанное в условиям задачи, позволяет найти спиральное подобие $F$, если заданы точки $A, F(A) (= O)$ и $F(F(A)) (= D)$. Второе преобразование подобия, переводшее точки $A$ и $O$ в $O$

46

и $D$ соответственно, является композицией осевой симметрии и гомотипи с центром на ее оси. Подумайте, как построить его неподвижную точку.*)

В. Н. Дубровский

M764. Докажите, что каждое из уравнений $a) x^2 + y^2 = z^5$; $b) x^2 + y^2 + z^5 = t^7$ имеет бесконечную много решений в натуральных числах.

**a) Попробуем искать решения среди степеней одного и того же натурального числа $a: x = a^k, y = a^e, z = a^m$ ($k, e, m$ — натуральные).

Подстановка таких $x, y, z$ в уравнение дает равенство $a^{2k} + a^{3e} = a^{5m}$. Легко видеть, что при $2k \neq 3e$ такое равенство невозможно. Поэтому $2a^{2k} = a^{5m}$. Отсюда следует, что $a = 2$.

Подходим $x = 2^{3n}, y = 2^{2n}$, при этом $x^2 + y^2 = 2^{6n+1}$, и, следовательно, число $6n+1$ должно делиться на 5.

А так как $6n+1$ делится на 5 только при $n = 5s+4$ ($s \geq 0$), получаем бесконечную серию решений:

$$x = 2^{15s+12}, y = 2^{10s+8}, z = 2^{6s+5}, s \in Z, s \geq 0.$$

б) Решается аналогично $a$). Нужно искать решения, для которых $x = 3^{15n}, y = 3^{10n}, z = 3^{6n}$. После подстановки в уравнение получим $3^{30n+1} = t^7$, но $30n+1$ делится на 7 при $n = 7s+3$, $s \geq 0$, $s \in Z$. Нами получена бесконечная серия решения $x = 3^{105s+45}, y = 3^{70s+30}, z = 3^{42s+18}, t = 3^{30s+13}$.

Нетрудно заметить, что вообще уравнение $x^2 + x^2 + \dots + x^n = y^b$ имеет бесконечное число решений в целых числах, если наименьшее общее кратное $M$ чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ взимено просто с $b$. Так же как и в пунктах $a$ и $b$), решения можно искать в виде степеней числа $n$.

Подходим $x_1 = n^{M_t}, \dots, x_n = n^{a_n}$, где $t \in N$. После подстановки $x_1, x_2, \dots, x_n$ в уравнение, получим равенство $n^{M_t+1} = y^b$, а так как $M$ и $b$ взимено просто, существует бесконечное количество $t$, при которых $M_t+1$ делится на $b$.

О. В. Мазуров

Ф778. Колечко массы $m$, свободно скрепляющее два тонких obруча массы $M$, начинает сокращаться вниз; обруч при этом разрезается в разные стороны по цереховатой горизонтальной поверхности. Определить ускорение колечка в начальной момент времени, если уелл $AO_1O_2$ (см. рисунок) равен $a$. Трение между колечком и obручами отсутствует.

Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ после начала движения системы колечко опустилось на расстояние $\Delta x$ от точки $A$ и прибрело скорость $v$. Скорость поступательного движения обручей в этот момент должна равна $u = vtg\alpha$ ($\Delta t$ настолько мало, что угол $\alpha$ практически не изменился). Следовательно, такое же линейная скорость всех точек обручей. Согласно закону сохранения энергии,

$$mg \cdot \Delta x = 2Mu^2 + m \frac{v^2}{2} = 2Mv^2tg^2\alpha + m \frac{v^2}{2}$$

($Mu^2$ — полная кинетическая энергия каждой обручей в данной момент). Из этого равенства находится,

$$a = g \frac{1}{1 + 4\frac{M}{m}tg^2\alpha}.$$

С. С. Кротов

*) Продобнее о преобразовании подобия и их применениях в геометрии можно прочитать в следующих книгах: И. М. Яглом «Геометрические преобразования», т. 1, (М., Гостехторидат, 1955) и Г. С. М. Кокетер, С. Л. Грей тцер «Новые встречи с геометрией» (М., «Нayka», 1978).