Квант 1983, №2 · Страницы

КВАНТ
2
1983
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Один микропроцессор размером с канцелярскую конопку по запасу
вмешаемой информации заменяет множество книг. Слева —
фотография микропроцессора, визу — фрагмент картинки
голландского художника Я. Хеема «Стол, заваленный
книгами» (1628 г.).

В НОМЕРЕ:
2 А. П. Ершов. Программирование — вторая грамотность
8 И. К. Кикошин. Анатолий Петрович Александров
11 Я. А. Смородинский. Черные дыры
16 Л. С. Понтряzin. Комплексные числа

IN THIS ISSUE:
A. P. Ershov. Programming — the second literacy
I. K. Kikoin. Anatoly Petrovich Alexandrov
Ya. A. Smorodinski. Black holes
L. S. Pontriagin. Complex numbers

Новости науки
20 М. А. Кожушинер. Холодный взрыв

Science news
21 М. А. Kojushner. Cold explosions

Лаборатория «Кванта»
21 В. И. Пентегов. Давайте нагреем воду сверху

Kvant’s lab
21 V. I. Pentegov. Heating water from above

Школа в «Кванте»
25 В. Е. Белонучкин. Уравнение газового состояния
28 А. А. Болибрух, В. М. Уроев
М. И. Шабунин.
Задачи с устного экзамена в МФТИ
29 Л. Ф. Штернберг. Многофигурная стереометрическая задача

Kvant’s school
29 V. E. Belonuchkin. Equation of gazeous state
A. A. Bolibrukh, V. M. Uroev, M. I. Shabunin.
Oral examination problems from M. P. T. I.
L. F. Shternberg. Multiple figure space geometry problem

«Квант» для младших школьников
35 Задачи
36 Л. А. Лецинский, Т. С. Петрова. Дано… Требуется определить.

Kvant for younger school-children
Problems
36 L. A. Leschinski, T. S. Petrova. Given… Determine…

Задачник «Кванта»
38 Задачи M786—M790; Ф798—Ф802
41 Решения задач M765—M769, M771—M774; Ф783—Ф787

Kvant’s problems
41 Problems M786—M790; P798—P802
Solutions M765—M769, M771—M774; P783—P787

Олимпiadы
51 Задачи ресурвиканских олимпiad

Olympiads
51 Olympiad problems from our Republics

Искусство программирования
54 Стандартные приемы программирования. Урок 5

The art of programming
54 Standart programming methods. Lesson 5

Практикум абитуриента
60 Ответы, указания, решения
Наша обложка (34)
Смеся (52)
Шахматная страница
Каспаров — победитель Московского международного турнира (3-я с. обложки)

College applicant’s section
60 Anwers, hints, solutions
Our cover page (34)
Miscellaneous (52)
The chess page
Kasparov wins the Moscow interzone tournament (3rd cover page)

2

Программирование — вторая грамотность

Член-корреспондент АН СССР
А. П. ЕРШОВ

Эта статья основана на выступлении автора на открытии конференции Международной Федерации по обработке информации и ЮНЕСКО «Применение ЭВМ в обучении» в Лозанне (Швейцария) в июле 1981 г. Текст выступления переработан специально для «Кванта».

Я сознаю, что сравнение программирования с грамотностью многим показателям рискованным. По одному сторону нашего сравнения — необичная профессия, требующая способности и длиного обучения, а по другую — общее достояние, важнейшее свойство современного человека.

Тем не менее я сразу постараюсь пояснить, чем это сравнение почтильно.

3

Прежде всего, не нужно забывать, что всеобщая грамотность существовала не испокон веков. Как и программарование, она имела свое предначало, возникновение и развитие. Мы привыкли к тому, что СССР — страна практической сплошной грамотности; а ведь 100 лет тому назад в России грамотных было лишь около 20%. Еще сейчас на Земле насчитывается порядка 800 млн. неграмотных.

Далее, как в основе всеобщей грамотности, так и в основе широкого распространения программы, лежит техническое изобретение: печатный станок и ЭВМ соответственно. Развитие и распространения книгопечатания привело к всеобщей грамотности. Развитие и распространения ЭВМ приведет к всеобщему программированию.

Так же как слова «грамотность», смысл которого теперь значительно шире, чем просто уменение писать и читать, слова «программирование», приобретает более широкое значение. Это не просто уменение писать программы для ЭВМ на каком-то специализном языке, а способность составлять четкие, целенаправленные правила действия в самых различных ситуациях. В этом широком смысле программы является такой же организаской способностью человека, как и грамотность. Эта способность подготовлена организацией нервной системы человека, она присула людям в труда, при обшенинии друг с другом, в созерцании природы и во взаимодействии с ней.

Наконец, хотя грамотность и programmaрование можно, конечно, всячеки сравнивать, находя между ними много аналогий, самое главное, пожалуй, состоит в том, что они дополняют другие другие и вместе составляют новое представление о гармонини человекауогоума.

На последнем тезисе стоит немного остановиться.

Мы все помним простые и емкие слова Максима Горького: «Любите книгу, источник знания». Мы понаем грамотность как способность выразить знания в виде текста. Однако остается проблема: как перейти от знания к действия. «Сообщайте

действия со словами, а слова с действием», говорит один из героев Шекспира. Вот здесь — в перехождение от знания к действия — и возникает programmaрование.

В докнижный период единство слова и дела осуществлялось естественно и понятно. Словами и примером грашший (учитель) обучал младшего (ученика) делу. Понимание было не чисто умственным озарением, а достижением поставленной цели, овладением приемами изучаемого дела.

Появление книги нанесло сильнейший удар единству слова и дела. Отделился процесс накопления знаний от их применения, появились новые формы жажды знаний и новые ошушения постжения истинны. Во всех языках образовались специальные выражения для людей, отделших предопочтение книг в своей стремлении к знанию. В этих выражениях былает оттенок пребрежения, в целом несправедливый, но иногда заслужебный.

Постепенно стало ясно, что книжное накопление знаний требует новых механизмов для превращения этих знаний в действие. Так, задача programmaрования появилась задолго до ЭВМ. Появление ЭВМ лишь сделало проблему programmaрования актуальной, так же как книгопечатание сделало актуальной проблему грамотности.

Но грамотность и способность к действию сами по себе еще ничего не знают. В этом противопоставлении трудно сказать от чего мы страдаем больше: от невежства или бездеятельности. Гёте предупредил: «Нет ничего страшнее деятельности». Однако опыт подсказывает, что оно произрастает при недостаточном активной жизниенной позиции образованных и культурных людей. Отсюда наше стремление к второй грамотности — не только к обучению писать команды, но к восприятию человека, решительного и предусмотрительного вместе.

Книгопечатание

Вернемся слова к отправной точке нашего сравнения — к книгопеча-

6

всегда работает в автоматическом режиме.

Повседневная жизнь человека, особенно городская — это деятельности по программам. Каждый человек, придерживающийся режима, с гордостью почувствует себя программистом, если представит себе свою обычную утреннюю последовательность действия, начиная от звонка будильника и кончаная началом работы.

Мы жалуемся на социальные болезни века, в частности — отстранность от общих дел, пассивность, ратуем за формирование активной жизниенной позиции. Что это такое? Попросту говоря, это способность выработать программу действия и следовать ей.

Таким образом, мир программи — это далеко не только начинка памяти ЭВМ. Это, прежде всего, огромный запас операционной знания. Это «действие знание» хранится в библиотеках программ для ЭВМ, в общих библиотеках, в генофонде всего живого. А используется оно как вычислительные машины, роботами, автоматических устройствами, так и живыми организациями, в частности, человека.

Do such пор многим кажется, что овладение программрованием должно начинаться с ознакомления с устройством какой-нибудь ЭВМ и кропотливого заучивания деталей записи программы для этой ЭВМ на каком-нибудь конкретном алгоритмическом языке. Без навыков, конечно, нельзя обойти нигде, но основные законы программрования, способы перехода от знания к действияю, организация действия в пространстве и во времени носит, на самом деле, гораздо более фундаментальной и общий характер, приближющий их к основным законам математики или речи и письма.

На меня всегда производит сильное впечатление один простой пример задачи на программирование, показывающий переход от знания к действияю. Я выпишу последовательные этапы перехода от формул, выражающий знание, к программе, выражающий действия, для задачи возвведения числа $x > 0$ в целую степень $n$:

$$x^0 = 1 \quad x^{n+m} = x^n \cdot x^m \quad x^{mn} = (x^m)^n$$

$$x^0 = 1 \quad x^{2n} = (x^n)^2 \quad x^{2n+1} = x^{2n}x$$

если $n = 0$ I IV

если $n$ четное $(x^{n/2})^2$ если $n$ нечетное $x \cdot x^{n-1}$

степень $(x, n) =$ если $n = 0$ то 1

инначе если нет $(\text{степень}(x, n/2))^2$ инначе $x \cdot \text{степень}(x, n-1)$ все

Предлагаю каждому дать свое объяснение того, какие законы и какое значение здесь применяются при переходе от этапа к этапу, для того, чтобы перейти от очевидного знания к весма нетривиальной программы.

Вы почувствуете, что это, одновременно, и легкая и трудная задача, так как, с одной стороны, понятно, что делается, и, с другой стороны — трудно объяснить эти действия в общей форме.

Таким образом, перед нами стоит важнейшая задача — выработать общие принципы программрования, выделить в нем основные понятия и выразить в общейной форме. Такие задачи накапливаются, и это значит, что рано или поздно мир ЭВМ и программы соррикостей с миром шкoles.

ЭВМ в школе

Сейчас, после появления микропроцессоров, нет смысла ставить вопрос о том, быть или не быть ЭВМ в школе. ЭВМ уже есть во многих школах и будет приходит туда в нарастиших колчествах.

Часто активно высказывается мне, что ЭВМ с программой — это то же самое, что задача с известным решением; появление электронного помощика воспитает леность ума и ничего больше. Однако из лучших吻ристических картинок американского журнала «Нью Йоркер» изображет бедного Джонни, уныло глядящего на кучку карманных калькуляторов перед ним, и не менее измученную Маму, терпеливо повторяющий свой

7

Программисты за работой

воррос: «Ну, посмотри, если у тебя пять карманных калькуляторов и ты возьмешь от них два, сколько же останется?»
Эти предостережения описности «кнопочного» образования разделы и раныше. Оdnako многочисленный опыт обшення детей самых разных возрастов с ЭВМ подтверждает обратное: активность, питьливость, а с ними и способности возрастают очень сильно.
В нашей местной школе половина одного из классов вычили исторические данные наубок, после того как один из юных программстов вложил в ЭВМ диалогового программы, сообщающего исторические данные, а другой, подвергнуть учительницу экзамену с помощью ЭВМ, почти ее несколько раз на неточностях.
Какая-то компания выпустила на рыбок игру-компьютер, которая проверяет правильное английских слов. С помощью синтезатора речи слов произносится, ребенок набирает это слово по буквам, машина проверяет и реагирует. В карманную игру трудно вложить хороший синтезатор речи, но авторы обратили его недостаток в доступно, сделав его очень похожим на голос Буратино. Представляется себе восторг детей, когда игрушка пisiит им голосом Буратино: «Пробуй снова, пробуй снова, ты не знаешь это слово!»

Перед конкурсными вступительными экзаменами в одном изузов установили консультанную информациюную систему, реализованную на ЭВМ. Около терминалов всегда толпилась очередь. В интересах ребят рядом посадили двух преподавателей, чтобы разгрузить машину. Преподаватели сделали без дела, а у терминалов — по-прежнему очередь. Почему? «А мы не стесняемся перед машиной обнаружить свое незнание, а перед преподавателемстеяемся», — говорили ребята. ЭВМ создает игровую обстановку, которая тут ценней реализной жизни, — ведь из игры можно выйти не утратив достоинства.

Заключение

Я начал свою статью со сравнения. Сейчас мы можем раскрыть его конкретоное содержание. Мы стоим на пороге практических беспредельного развития и распространения электронной вычислительной техники в обществе. Машина становится интеллектуальным ordiem и партнером практических во всех сферах жизни и деятельности человека. Развитие мира программы, постоянное усложнение окружающей среды требуют и одновременного делают возможным значительное повышение интеллектуального силу человека.

Для того чтобы не затерять в этом стремительно развивающемся мире, мире удивительное технически и условияношихся программы, уже не хватает грамотности в традиционном ее смысле. Необходимо предолеть и рубеж, который я назвал рубежом второй грамотности. И, в первую очередь, это относится к учащимся.

11

Черные дыры

Доктор физико-mатематических наук
Я. А. СМОРОДИНСКИЙ

Общая теория относительнойности всегда порождала воображение своим предсказаниями удивительных явлений. Среди всех ее предсказанийrekорд побивает вывод, что во Вселенной могут существовать черные дыры — небесные тела с большой плотностью, внедра которых попадает, проваливается практически все, что находится в окрестности.

Пока еще трудно сказаать, доказано ли существование черных дыры, и хотя о них естественспытели рассуждали более 200 лет тому назад, основываясь на теории тяготения Ньютона, их понски начались только в наших дни, когда поняли, что их можно «увидеть».

Если черные дыры — реализность, то для них есть дело во Вселенной: они могли бы взять на себя роль гигантских генераторов энергии, обеспечивающих эволюцию Вселенной. может быть, такой генератор увидел недавно астрономы, получив фотографию центра нашей галактики. Наука о черных дырах только начинается. Каковы будут успеки и где нас ждет разочарование — сказать нельзя, но о свойствах черных дыр физики могут рассказать много интересного.

Движение тел в окрестности черной дыры

Рассмотрим небесное тело (звезду) с радиусом $R$ и массой $M$.

Предположим, что никаких других тел пользовости нет и поле тяготения создается только им одним. Пусть какое-то другое тело (массу и радиус которого для простоты рассуждений будем считать малыми по сравнению с $M$ и $R$ соответственно), дивяясь из бесконечности, попадает в это поле тяготения.

Согласно законам Кеплера, оно либо будет движаться вокруг звезды по эллипсу, либо, придая из бесконечности, обогнет тело по параболе или гиперболе и уйдет обратно на бесконечность, нассгда покинут звезду.

Аналогично, если тело начинает свое движение с поверхности звезды, где ему сообщается неокоторая скорость, то оно (если, конечно, не упадет на звезду) либо станет спутником звезды, либо нассгда покинет ее.

Чтобы покинут звезду, тело должно иметь энергию, достаточно для совершения работы против сил тяготения. Другими словами, его кинетическая энергия $mv^2/2$ должна не менше, чем $GmM/R$ (ибо такое работа, которое надо затраться, чтобы массовое $m$ переместить с поверхности звезды в бесконечность*)):

$$\frac{mv^2}{2} \geq G \frac{mM}{R}.$$

Отсюда можно найти минимальную скорость, которая дает возможность телу покинут звезду; ее называют второй космической скоростью:

$$v_{\text{II}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.$$

Если радиус звезды $R$ уменьшается, а ее масса $M$ остается неизменной, то скорость $v_{\text{II}}$ увеличивается и становится сколь годно большей, если $R$ стремится к нулю. Другими словами, тело, падающее по прямой на точечную звезду, прибретает, формально, бесконечно большешую скорость.

*) См., например, Приложение I к статье К. Кикона «Что такое потенциальная яма» («Квант», 1982, № 8) или п. 61 учебного пособия «Алгебра и начала анализа 9—10» (М., «Просвещение», 1982).

12

Такой результат противоречит утверждению теории относительнойности, что никакое тело не может иметь скорость, большую скорости света.

Наша формула верна не всегда и ее можно использовать лишь тогда, когда скорость $v_{II}$ оказывается много меньше скорости света $c$:

$$\sqrt{\frac{2GM}{R}} \ll c.$$

Это неравенство можно записать по-другому:

$$R \gg \frac{2GM}{c^2}.$$

Величина, стоящая в правой части, играет в теории важную роль и ей присвоено особое название — гравиатционный радиус звезды:

$$R_{rp} = \frac{2GM}{c^2}.$$

Тепер условие применимости классической механики к описанию движения в поле тяготения небесных тел будет выглядеть так:

$$R \gg R_{rp}.$$

Гравитационный радиус большинства небесных тел очень мал. Для Солнца он равен приблизительно 3 км, для Земли — 0,8 см, то есть он существенно меньше их линейных размеров ($R_C = 7 \cdot 10^5$ км, $R_3 = 6,4 \cdot 10^3$ км). Так что обычно скорость тела, даже падающего из бесконечности на поверхности звезды (или планеты), очень мала:

$$v_{II} = \sqrt{\frac{R_{rp}}{R}} c \ll c.$$

Всегда ли это неравенство сохраняется или возможно, что бы оно нарушило? Конечно, возможно, но для этого нужно, прежде всего, чтобы радиус звезды — источника гравиатционного поля — был бы по крайней мере равен гравиатционному радиусу. Солнце, например, попадалось бы для этого скать приблизительно в 230 000 раз. Плотность его оказалась бы невообразимо большой: $\sim 2 \times 10^{19}$ кг/м$^3$ (средняя плотность Солнца $\sim 1,4 \cdot 10^3$ кг/м$^3$), большей, чем плотность atomного ядра (плотность atomных ядер $\sim 10^{17}$ кг/м$^3$). Тем не менее именно такие объекты и имеют в виду, когда говорят о черных дырах — структах невероятного скатой материалов.

Что же отличает поведение тела взлизи этих объектов? Если тело движется издалека, до тех пор пока расстояние $r$ до него много больше гравиатционного радиуса: $r \gg R_{rp}$, его движение подчиняется законом Кеплера. Если же тело попадает на более близкое расстояние такое, что относение $R_{rp}/r$ оказывается не слишком малым, движение приобретает совсем другой характеристику. (Формальная причина этого состоит в том, что сила прияжения перестает подчиняться закону обратных квадратов — закону всемирного тяготения. А это сразу нарушает строяную классическую картину движения.) Наконец, в окрестности черной дыры, то есть на расстояниях, сравнимых с гравиатционным радиусом, прияжение к черной дыре будет столь большим, что никакое тело не может пройти mismo — оно затягивает его и исчезает в ее «черных» недрах. В классической пьютовской механике комета, например, может пролететь сколь годно близко от центра прияжения и все же уйдет от него в бесконечность. Черная же дыра собирает вокруг себя все, что пролетает сравнительно близко. Луч света и тот ведет себя необучным образом. Проходя окол черной дыры, луч отклоняется столь сильно, что его траектория закручивается в спираль и, таким образом, он тоже захватывает черной дырой.

А может ли какое-нибудь тело (или хотя бы световой луч) покинут черную дыру? Оказывается, нет, поскольку для того, чтобы вылететь наружу, недостаточно даже скорости света. Никакой энергией тела не хватит, чтобы предолеть колосальное гравиатционное поле черной дыры.

Немного истории

У теории черных дыр есть давняя история. Неожиданная сторона ее состоит в том, что связывает радиусом и массой черной дыры была обнаружена внести лет назад. И хотя основания для этого открытия были ложными, оно заслушивает того, чтобы о нем расскаать.

13

В XVIII вке в Англии научные сообщения посыллись в виде письем иачтывались на заседании Королевского общества (так называлась Английская академия наук). Однако такое письмо было послано одним из членов этого общества бакалавром богатославия Джоном Мичелом другому члену — знаменитому Генри Кавендишу*). Оно было зачитано на заседании 27 ноября 1783 года. Как теперь известно из записок Кавендиша, изданных Максвелом, Кавендиш также обращил внимание на возможность существования объектов, которые мы сейчас называем черными дырами. может быть, поэтому именно ему и сообщал о своих сообщениях Мичел.

Процитируем отрывок из его письма, которое было опубликовано в известном журнале Philosophical Transactions Королевского общества в 1784 году: «…если радиус шара, который имеет ту же плотность, что и Солнце, будет превышать радиус Солнца в отношении 500:1, то тело, падающее на шар с бесконечно большой высоты, прибретет на его поверхности скорость, превышающего скорость света. Можно заключить, предполагая, что свет, как и другие тела, притягивает с силой, пропорциональной массе, что свет, излучаемый таким шаром, будет прижен вернуться обратно из-за собственной тяжести». Так звучало первоое теоретическое предложение.

Откуда взял свою оценку Мичел? Попробуем ответить на этот вопрос, решив обратную задачу — найдем, каким должно быть относение радиусов расматриваемого шара и Солнца, чтобы ворея космическая скорость для шара стала равной скорости света.

Будем исходить из выражения для второй космической скорости, в котором массу тела $M$ выразим через его плотность $q$:

$$v^2 = \frac{2GM}{R} = \frac{8\pi G}{3} qR^2.$$

Отсюда видно, что при построении плотности $v_{\text{II}}$ пропорционально $R$. Следовательно, для того чтобы скорость $v_{\text{II}}$ была равна скорости света $c$, радиус шара $R_{\text{ш}}$ должен быть во столько раз больше радиуса Солнца $R_{\text{с}}$, во сколько скорость света больше второй космической скорости для Солнца:

$$\frac{R_{\text{ш}}}{R_{\text{с}}} = \frac{c}{v_{\text{II}} c}.$$

Или, используя формулу $v_{\text{II}} c = \sqrt{R_{\text{rp}} C / R_{\text{с}}} c$, —

$$\frac{R_{\text{ш}}}{R_{\text{с}}} = \sqrt{\frac{R_{\text{с}}}{R_{\text{rp}} C}}.$$

Зная, что $R_{\text{с}} \approx 700\ 000$ км, а $R_{\text{rp}} C \approx 3$ км, получаем для отношения радиусов значения ≈ 480, что, действительно, близко к 500.

Заметим, что Мичел, вычисляя вторую космической скорость для Солнца, конечно же, не мог воспользоваться понятным границей онного радиуса (в то время такойPOINTЯ простого не существования). Как же он считал?

Мичел знал скорость движения Земли вокруг Солнца: $v = 30$ km/c и относение радиуса орбиты Земли $R$ к радиусу Солнца $R_{\text{с}}$:

$$k = \frac{R}{R_{\text{с}}} \approx \frac{150 \cdot 10^6 \text{ km}}{0,7 \cdot 10^6 \text{ km}} \approx 214.$$

Согласно второму закону Ньютона, орбитальная скорость Земли

$$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}.$$

Чтобы покинуть Солнечную систему с орбиты Земли, нужно скорость

$$v' = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.$$

что в $\sqrt{2}$ раз больше скорости $v$.

Скорость, необходимая для того, чтобы

15

тронные оболочки атомов — звезда превращится в холодный белый карлик. Если масса звезды несколько большие, примерно две-три солнечные массы, то gravитационные силы оказываются достаточно сильными, чтобы «раздавить атомы» и загнать электроны внутри ядер, превращив протоны в нейтроны. Звезда превращается в нейтронную звезду.

Но если масса звезды будет превышать 3—5 масс Солнца, то, начав скиматться, она не сможет остановить своего скатия до тех пор, пока не превращится в бездонную пропасть — черную дыру.

Так могут возникнуть эти страны объекты. Вопрос только в том, реализуется ли на самом деле во Вселенной такой процесс, может ли в процессе эволюции звезда сохранить столбьшую массу, изменяв взрывов и разрушений, чтобы реализно достичь неизбежного превращения в черную дыру.

Излучение черных дыр

Как мы уже говорили, из недр черной дыры не выходит ничего, поэтому она и называется черной. Тем не менее место черной дыры дает себя знать по мощному потоку излучения. Далекие небесные тела — квазары, расположенные от нас на расстоянии миллиардов световых лет, излучают энергию, в сотни раз превышающего энергию, которое выделяют целые галактики. Что происходит в этих области — мы не знаем. Существует гипотеза, что источниками энергии являются гигантские черные дыры, масса которых превышает массу Солнца в 10⁶—10⁹ раз и которые родились вместе со Вселенной. К сожалению, проверить эту гипотезу очень трудно.

Астрономы (предполагают, что в центре нашей Галактики находится черная дыра с массой около 10⁹ масс Солнца. Вокруг нее обращается другой — примерно такой же (или даже больше) массы, но с большим радиусом. В этой системе возникают потоки вещества, устремляющиеся в направлении черной дыры. Это и маленькие частицы, и большие тела — осокки звезд, разорванных огромными гравицоонными силами черной дыры. Они порождают потоки гравицоонных и электромагнитных волн.

Излучая энергию, частицы все время приближаются к поверхности черной дыры и при этом теряют свою кинетическая энергию. Но запас этой энергии все время восполняется за счет уменьшения потенциальной энергии. (Потенциальную энергию на поверхности черной дыры можно оценить по ньютоновской формуле:

$$E_{\pi} = -G \frac{mM}{R_{\text{гр}}} = -\frac{1}{2} mc^2.$$

При вычислении по формулам общеей теории относительной коэффициент 1/2 исчезает.) Поэтому тело, падающее с бесконечно большого расстояния (когда $E_{\pi} = 0$), имеет запас энергии, равный сумме кинетической энергии $mv^2/2$ (при условии, что $v \ll c$) и энергии покоя $mc^2$. В процессе padения этот запас практически полностью теряется.

Таким образом, с теоретической точки зрения черная дыра оказывается механизмом, который способен «переработать» в излучение всего энергию частиц, включая и энергию покоя. Такой «двигатель», способный работать с коэффициентом полезного действия оченьким к единице, уникален. Было бы неправедливым, если бы природа не реализовала эту возможность.

---

Итак, у черных дыр могут быть разные обличия. Либо это грустные остатки звезд, некогда блиставших во всем своей великолепии, либо это гигантские «энергетические станции», с которых связывано само существование Вселенной.

16

Комплексные числа

Академик Л. С. ПОНТРЯГИН

Здесь я прежде всего очень кратко рассказываю о том, как возникли в математике и постепенно утвердились в ней комплексные числа. Затем даю определение комплексных чисел, действий над ними и их геометрическую интерпретацию. Попутно доказываются формулы косинуса и синуса суммы, тесно связанные с умножением комплексных чисел.

Историческая справка

Из курса математики известно, что отрицательные числа ведены прежде всего для того, чтобы операция вычитания, обратная к операции сложения, была всегда возможна. По аналогичной причине в математике появились комплексные числа. Если рассматривать только действительные числа, то операция извлечения квадратного корня, обратная к операции возвления в квадрат, не всегда возможно, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Это, однако, недостаточно, чтобы заводить в математике новые числа. Оказалось, что если произведение вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречается корень квадратный из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему корень квадратный

Определение комплексных чисел

Мы будем исходить из того, что действительные числа нам известны. Мы знаем, что для них определены два основных действия — сложение и умножение — и имеются обратные к ним действия — вычитание и деление. Для этих действий выполются хорsoно извлечные правила, которые обычно употребляются совершенно автоматически — поэтому я их не буду здесь формулировать. Множество объektов, для которых определены действия сложения и умножения и обратные к ним действия вычитания и деления, причем выполены объектные правила, имеющие место для действительных чисел, называется в современной абстрактной алгебре полем.

Таким образом, с точки зрения современной абстрактной алгебре множества R всех действительных чисел представляют собой поле. Поставим теперь перед собой задачу расширить понятие числа или, как

17

говорят в абстрактной алгебре, расширить поле $R$ до поля $K$ таким образом, чтобы в этом новом поле $K$ уравнение

$$z^2 + 1 = 0$$

(1)

имело решение. Элемент поля $K$, который удовлетворяет уравнению (1), мы обозначим через $i$. Таким образом, для $i$ имеем

$$i^2 = -1.$$

(2)

Так как поле $K$ содержит все действительные числа и элемент $i$ и так как в нем возможны действия сложения и умножения, в поле $K$ должны содержаться всевозможные многочлены относительно $i$ с действительными коэффициентами, в частности — все многочлены первой степени, то есть выражения вида

$$z = x + yi = x + iy,$$

где $x$ и $y$ — действительные числа. Эти выражения и называются комплексьми числами. Действия над ними мы определям как действия над многочленами, учитывая при этом условия (2). Комплексные числа вида

$$z = x + 0i = x$$

являются действительными числами. Комплексные числа вида

$$z = 0 + yi = yi$$

называются число минимыми числами.

Пусть $z_1 = x_1 + y_1 i$, $z_2 = x_2 + y_2 i$ — два комплексьных числа. Согласно высказанному правилу сумма и произведение этих комплексьных чисел определяются равенствами

$$z_1 + z_2 = (x_1 + y_1 i) + (x_2 + y_2 i) =$$

$$= (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) i;$$

(3)

$$z_1 z_2 = (x_1 + y_1 i) (x_2 + y_2 i) =$$

$$= x_1 x_2 + (x_1 y_2 + y_1 x_2) i + y_1 y_2 i^2 =$$

$$= (x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + y_1 x_2) i.$$

(4)

При получении последнего равенства мы используем полуаем

$$x_1 z_2 = x_1 x_2 + x_1 y_2 i.$$

(5)

Из формул (3) и (4) видно, что сумма и произведение двух комплексьных чисел есть также комплексе число.

Для того чтобы убедиться, что действие вычитания, обратное действию сложения, существует, достаточно найти число $-z$, противоложное числу $z$, а для того чтобы убедиться в том, что возможно деление, достаточно для $z \neq 0$ указывать число $z^{-1}$, обратное числу $z = x + yi$. Числа эти, как легко видеть, задаются формулами

$$-z = -x - yi,$$

$$z^{-1} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2} i.$$

Таким образом, величина $z^{-1}$, обратная к $z$, существует всегда, когда $z \neq 0$.

Геометрическое изображение комплексьных чисел

Обозначим через $P$ плоскость нашего чертежа и выберем на ней прямуюгольную систему координат (рис. 1). Комплексное число $z = x + yi$ мы помещим в точку $z = (x; y)$ с координатами $x, y$. Обозначим также через $z$ вектор, иуший из начала координат $O$ в точку $z$. Таким образом, буква $z$ обозначает у нас одновременного комплексьное число, точку $z$, изображающего это комплексе число, и вектор $z$, соответствующий этому комплексу числу. При этом изображения действительные числа попадают на ось абсцисс — поэтому ось абсцисс называется действной осью плоскости $P$ комплекского переменного, а число числа попадают на ось ординат — поэтому ось ординат называется минимой осью плоскости $P$ комплекского переменного. Нуль попадает в начало координат.

Рис. 1.

18

Длина вектора $z$ называется модулем комплексного числа $z = x + yi$ и обозначется $|z|$:

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

Комплексные числа $z$, удовлетворяющие условию $|z| = 1$, составляют окружность радиуса 1 с центром в начале координат. На этой окружности лежит число 1. Из точки 1 отключим по окружности дуг заданной длины $\varphi$ в направлении против часовой стрелки. Конец этой дуги обозначим через $(\varphi)$. Если $\varphi$ — отрицательное число, то для получения $(\varphi)$ нужно отложить от точки 1 длину дуги $|\varphi|$ по часовой стрелке. Как известно, абсцисса точки $(\varphi)$ называется cos $\varphi$, а ее ordината sin $\varphi$. Таким образом, комплексное число $(\varphi)$ задается формулой

$$(\varphi) = \cos \varphi + i \sin \varphi.$$

Итак, всякое комплексное число $z$, по модели равное 1, записывается в виде (6). Если $z$ — произвольное комплексное число, модель которого $|z| = \varphi$ отличен от 0, то число $z/\varphi$ является комплексным числом, по модели равным 1, и потому записьется в виде (6). Из равенства

$$\frac{z}{\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$$

мы получаем

$$z = \varphi(\cos \varphi + i \sin \varphi).$$

Запись (7) называется трионометрической формулой комплексного числа. Число $\varphi$ называется аргументом комплексного числа. Если модель $\varphi$ комплексного числа $z$ отличен от нуля, то аргумент $\varphi$ определяен с точностью до слагаемого $2\pi k$, где $k$ — целое число. Если модель $\varphi$ комплексного числа равен 0, то формула (7) также имеет место, однako в этом случае аргумент комплексного числа вовсе не определяен.

Числа $\varphi$ и $\varphi$ называются полярными координатами точки $z$.

Дадим теперь геометрическое источник действия над комплексными числами.

Из формул (3) и (5) следует, что комплексные числа складываются и умножаются на действительные числа, как векторы.

Геометрический смысл сложения комплексных чисел очень виден: вектор $z_1 + z_2$ — это диагональ параллелограмма, построенного на векторах $z_1$ и $z_2$. Отсюда вытекает важное неравенство:

$$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|.$$

Для того чтобы дать геометрическое источковое умножение комплексных чисел, нужно употребить операцию поворота вектора или, что то же самое, комплексного числа. Повернуть вектор $z$ против часовой стрелки на угол $\alpha$, мы получим некоторый новый вектор, который обозначим через $R_\alpha(z)$. Геометрический ясно, что операция поворота $R_\alpha$ имеет следующее свойство: если $\alpha$ — действительное число, то

$$R_\alpha(az) = aR_\alpha(z),$$

$$R_\alpha(z_1 + z_2) = R_\alpha(z_1) + R_\alpha(z_2).$$

Из этих двух формул следует, что если $a_1$ и $a_2$ — два действительных числа, то имеет место соответствие

$$R_\alpha(a_1z_1 + a_2z_2) = a_1R_\alpha(z_1) + a_2R_\alpha(z_2).$$

Непосредственно ясно также, что

$$R_\alpha(1) = \cos \alpha + i \sin \alpha.$$

Докажем теперь, что поворот комплексного числа $z = x + yi$ на угол $\alpha$ равноселен умножению его на комплексное число $\cos \alpha + i \sin \alpha$, то есть что

$$R_\alpha(z) = (\cos \alpha + i \sin \alpha)z.$$

Для этого рассмотрим сначала отдельно поворот на угол $d = \frac{\pi}{2}$. В этом случае $\cos d + i \sin d = i$, и равенство (11) принимает вид $R_d(z) = iz$. С одной стороны, геометрические оценки, что $R_d(1) = i$, $R_d(i) = -1$. С другой стороны, $i \cdot 1 = i$, $i \cdot i = -1$. Таким образом,

$$R_d(1) = i \cdot 1, R_d(i) = i \cdot i.$$

Из формулы (9) непосредственно вытекает

20

Холодный взрыв

Доктор физико-математических наук
M. A. КОЖУШНЕР

В 1980 году исследователи из Института химического физики АН СССР открыли новое интересное явление: способная к химическому реакции смесь взрывалась не при нагревании, а при охлаждении.

Взрыв смеси метиликлогексана и хлora происходил при температуре около 10 К.

Всем известно, что холод замедляет химические процессы, а интенсивные реакции — взрывы — происходит при нагревании. Химическая реакция, приводящая к обчимому тепловому взрыву, как правило, протекает по цепном механизму: смесь подогревается и при определенной температуре в результате взаимодействия молекул число реагирующих частиц (радикалов) в смеси лавинообразно возвращает. При этом столже стремительное успливается выделение тепла. Если выделаемое при реакции тепло не успевает отводиться, то температура смеси будет так быстро возрастать, что реакция приобретет характер взрыва.

Холодный взрыв происходил по такому же цепному механизму. Начальные радикалы — химические активные atoms хлora создались с помощью лазера: квант света разбивал молекул хлora на два атома. Далее смесь быстро охлаждаясь, образуя аморфное стекло. В интервале температур от 60 К до 10 К начинается взрыв. Чем ниже исподная концентрация радикалов, тем при более низкой температуре смесь взрыва-

лась. Большое нагревание тормозило реакцию.

В чем же причина столь парадоксального явления? Авторы эксперимента объявляют его наличие в образце деформаций скатия, которые возникают как при быстром замораживании смеси, так и в процессе самой реакции.

Известно, что при высоких температурах энергия химических активных частиц вликана и они могут слижаться настолько, что становится возможным химическое взаимодействие между ними. В твердых телах можно добиться слижения между химическими активными частицами за счет деформаций. При этом чем выше температура, тем быстрее расасываются (релаксируют) деформации. Их энергия переходит в теплую. При понженной температуре деформации, напротив, не успевают релаксировать, а накаливаются лавинообразно, и реакция начинает идти с возратающей скоростью. Возникает холодный взрыв (его можно было бы назвать деформационным).

Но каким же образом при низких температуре (всего лишь на несколько градусов выше абсолотного нуля!) релаксирующие молекул могут вступить в реакцию? Ведь при столбте техном слижении они начинают отталкивать, а в близи абсолотного нуля движение молекул заедляется и их энергии недостаточно для предоления сил отталкивания. Существует, как говоря, энергетическая барер, для предоления которой требуется достаются кинетическая энергия. Однако при низких температуре в поведении частицы все является закономерности, в частности, так называемый туннельный эффект. Он заключается в том, что частицы могут предолать энергетические бареры, не обладая превышающей такие бареры энергей,— образно говоря, проходят не поверх барера, а сквозь него, как бы по туннелю, слижаясь до расстояния, при которых начинается реакция. Этот эффект, видимо, и делает возможным холодный взрыв.

21

Давайте нагреем воду сверху

В. И. ПЕНТЕГОВ

Люди ежедневно греют воду и почти всегда награватель помещают внизу, под сосудом с водой. Это и понятно — конвекция жидкости, произходящая по всему объему сосуда, обеспечивает равномерное прегревание всей жидкости до необходимой температуры.

А что будет, если расположить нагреватель сверху? Этот вопрос не раздный. Вспомним, что 70% земной поверхности покрыто водой, для которого основным источником энергии является Солнце. Так что в природа в огромных масштабах происходит нагрев воды именно сверху. Многие процессы, связанные с этим, настолько сложны, что до сих пор нет единого мнения об их причины. Например, относительно недавно было установлено, что температура воды в океане меняется с глубиной не плавано, а скачаками. Эти скачки произходят в очень узком промежутке между слоями, в которых температура постояна. Внутри каждой слоя постояны также плотность и «соленость» (процентное содержание soli) воды. С течение времени скачки сглаживаются (при этом выравнивание температур производит значительное быстрое, чем выравнивание «солености»), но гра-

Когда Всеволод Пентегов написал эту статью, он был учеником 10 класса 145 средней школы г. Киева. Сейчас Всеволод студент Московского физико-технического института.

Рис. 1. Схема установки.

22

Волны под водой

Из фотографии, приведеной на рисунке 2,6, видно, что на поверхности раздела могут возникать поперечные волны. (Кстати сказаны, границу можно видеть и без подкрашивания — из-за рассенывания и отражения света от волн на ней.) Следовательно, граница обладает поверхностным натяжением. Наглядной иллюстрацией этого может служить, например, отражение вихревых колес от границ.

Отключит нагреватель (что бы уменьшить перемещение жидкости в горячем слое) и капнем чернилами из пипетки с высоты 1—2 см над уровнем воды. В воде образуется вихревое колюцо, движущее вниз. Если энергия колюца не очень велика, оно упруго отразится от границ (при этом граница несколько прогнется), а затем разрушится; если же энергия колюца достигано больше, оно может пройти через границу, но сразу же после этого разушится (рис. 2,θ).

Движущая граница

Понаблюдав за поверхностью раздела различных слоев жидкости неокторое время, мы обнаружим, что она движется. Экспериментальные графики зависимости толщины верхнего слоя воды $h$ от времени $t$ и скорости движения границ $v$ от толщины верхнего слоя, точнее — от разности уровней $h-h_0$ (см. рис. 1), приведены на рисунках 3 и 4 (измерения проводились для 3-х литровой банки при мощности нагревателя $P \approx 120$ Вт).

Обратим внимание на то, что заметное движение границ происходит только тогда, когда температура верхнего слоя близка к температуре кипения или равна ей — стоит только отключить нагреватель, как движение границ прекращается. Можно предположить, что движение границ есть следствие интенсивного перемещения в горячем слое (которое возникнет именно при высоких температурах). Чтобы проверить это, проделаем следующее. Отключит нагреватель (при этом движение границ прекращится) и начнем каким-нибудь механическим способом осторожно перемещать воду в верхнем слое. Как мы и ожидали, граница снова начинает двигаться.

Опираясь на приведенные факты, можно предложить такое обяснение движения границ. Расмотрим поверхность раздела слоев горячего и холодной воды в некоторых момент времени и виделим на ней очень малый участок (рис. 5,а; здесь красные точки изображают молекулы горячего воды, сине — холодной). В результате процесса диффузии и сoduареный молекул под поверхностью раздела появляются «горячные» молекулы. Tonкий слой воды становится горяным и через неокторое время «смывается» конвективными потоками горячего воды (рис. 5,б и θ). Этот микропроцесс и приводит к движению границ вниз.

Итак, в случае нагрева жидкости сверху тепло передается не только с помощью теплопроводности (что совершенено естественно), но и благо-

23

даря движению границы, обусловленному конвекцией жидкости в горячеем слое. При этом конвекция обеспечивает практические одинаковую температуру во всех точках верхней зоны.

Попробуем ответить еще на один вопрос, возникший при проведении опытов: зависят ли движение границы от мощности нагрева?

Очевидно, что толщина верхнего слоя не может быть меньше глубины уровня $a-a$ (см. рис. 1), так как выше всегда проискодит конвекция. В то же время вначале она не может быть больше глубины уровня $b-b$, так как ниже конвекция еще нет (при плоском или точном нагревале уровни $a-a$ и $b-b$ совпадают). Следовательно, существует неокоторая начальная толщина верхнего слоя, определяемая, в основном, глубиной погружения нагрева. Движение границы начинается с началом интенсивного перемещения жидкости в этом слое. Как уже говорилось, это проискодит при температуре, близкой к температуре кипения. Значит, нагреваль должен обеспечить нагрев слоя жидкости начальной толщины практических до кипения при наличии потерь теплы в окружающей пространство. Это условия и определяет минимальную мощность нагрева, при которой начинается движение границы.

Из приведенных опытов можно сделать несколько основных выводов. Вот они:

1. Граница раздела между теплой и холодной водой может существовать длительное время, не разрушаясь, только при наличии конвективных потоков жидкости у границ: эти потоки.linkвидируют последствия диффузии, сохраняя границу.

2. Граница движется, и скорость движения зависит от перепада температур. При уменьшении перепада скорость уменьшается вплоть до остановки границ, но сама граница при этом сохраняется, если сохраняются течение жидкости у границ.

3. Большие перепады температур (и высокое значение температуры нагретий воды) в проведенных опытах были необходимы только затем, чтобы в горячее жидкости возникали конвекционные течение доста-

Рис. 3. График зависимости толщины верхней зоны $h$ от времени $t$ (по результатам двух опытов).

Рис. 4. График зависимости скорости движения границ $v$ от глубины $h-h_0$ (по результатам двух опытов).

Рис. 5. К obtясению механизма движения границ.

24

точной интенсивности. Если движение жидкости по одному или обе стороны границы обеспечивает каким-либо другим путем, например механическим, то перепад температур может быть и необольшим.

Догадки и предположения

Тепер вернемся к разговору о нагревании солнечных лучами воды в океане и попытаемся ответить на некоторые вопросы. Почему границы между различными слоями в океане с течением времени не перемещаются, хотя проискодит постепенное выравнивание температуры и «солености»? Почему выравнивание «солености» происходит существенно медленнее, чем выравнивание температуры?

Объяснить это можно опять-tаки конвекцией, которая в океане существует во всех слоях (а не только в горячем слое, как в наших опытах).

Рассмотрим два соседних слоя. В результате диффузии и содарении между молекулами по обе стороны границы раздела оказываются как «холодные», так и «горячие» молекулы. Они подхватываются конвективными потоками и уносятся от границ. При этом, если конвекция одинаково интенсивна с обих сторон границы, сама граница не движется, хотя передача энергии проискодит и температуры постепенно уравнивается.

Что касается выравнивания «солености» воды, то этот процесс идет гораэд медленнее. Связано это с поверхностным натяжением, который обладает границ раздела. Известно, что коэффициент поверхности натяжения растора слой больше, чем чистой воды. Граница, как и всякая физическая система, стремится иметь минимальную поверхность энергию. Поэтому оны, на которые в воде распадаются молекулы слой, в большинстве своей нахождения вдалеке от границ, и их диффузия начинает заметно проявлять себя только тогда, когда поверхность натяжение границы существенно уменьшится.

Возникновением границы между теплой и холодной водой можно, наверное, обязывать не только слоистость океана. Возможно, что это явление обязываит существование четырех и устойчивых границ океанических течений и недавно открытых гигантских выходей в океане, а также многоое-многое другое.

Приложение

Обозначим через $W$ мощность нагреваателя (пустя она больше минимальной). Некоторые части этой мощности траится на испарение жидкости, но если температура постоянна, то эти потери тоже постоянны. Поэтому для удобства введем величины $W_1$, равную мощности мощности нагреваателя и мощности, ищей на испарение жидкости и будем считать ее постоянной.

Естественно предположить, что мощность $W_2$, отделавая в окружающей пространстве через боковую поверхность сосуда, пропорциональна толщине $h$ горячего слоя: $W_2 = kh$. Коэффициент пропорциональности $k$ зависит только от условий эксперимента и во время опыта не изменяется.

Пусть за время $dt$ граница переместилась на расстояние $dh$. Это значит, что слой жидкости толщиной $dh$ нагрелся от температуры холодного слоя до температуры горячего слоя, то есть на $\Delta T$ градусов. На это требуется количество теплоты $dQ = cQ\Delta Tdh = k_1dh$ (здесть $c$ – удельная температура жидкости, $Q$ – ее плотность, $S$ – площадь горизонтального сечения сосуда).

Согласно закону сохранения энергии,
$$W_1dt = dQ + W_2dt,$$
или
$$W_1dt = k_1dh + khdt.$$
Перепишем это равенство по-другому:
$$\frac{dh}{W_1 - kh} = \frac{dt}{k_1},$$
проинтегрируем его и получим зависимость толщины горячего слоя $h$ от времени $t$:
$$h = a - be^{-at},$$
где $a = W_1/k$, $b = W_1/k - h_0$ и $\alpha = k/k_1$ — постоянные коэффициенты, $h_0$ – начальная глубина, на которой образуется граница.

Теперь найдем скорость движения границ $v$:
$$v = \frac{dh}{dt} = \frac{W_1 - kh}{k_1}.$$
Отсюда видно, что скорость границы линейно зависит от толщины слоя, причем-next горой толщине ($\frac{равной}{W_1/k}$) скорость должна стать равной нулю. Это происходит потому, что по мере увеличения толщины растут потери энергии и должен настилить момент, когда все энергия от нагреваателя будет уходить в окружающей пространство.

В момент остановки границы конвективные потоки влизыва не ослабваются настолько, что перемещение жидкости практическими прекращается, и за счет диффузии и теплопроводности граница будет постепенно «рассываться».

25

Уравнение газового состояния

В. Е. БЕЛОНУЧКИН

Уравнение состояния идеального газа (или просто уравнение газового состояния, или уравнение Менделеева — Клапейрона) описывает связь между параметрами состояния — давлением, температурой и объемом — одной из простейших физических систем. Прост объект, поэтому и уравнение его состояния достаточно простое:

$$pV = \frac{m}{\mu} RT,$$

где $p$ — давление газа, $V$ — его объем, $m$ — масса, $\mu$ — молярная масса, $T$ — температура, $a$ — универсальная газовая постоянная.

Итак, согласно уравнению, давление идеального газа пропорционально его температуре. Как это надо понимать? Означает ли это, например, что всегда при повышении температуры давление газа растет, а при пожежении температуры — падает? Конечно, нет. Это безусловно справедливо, только если не меняются ни объем, ни масса, ни молярная масса. Далее для фиксированной массы определяемого газа с ростом температуры давление может не растить, а падает, если при этом занимаемый газом объем достаточно быстро растет. Возможны и другие ситуации. Пожалуйста, удобнее всего их обсуить на конкретных задачах (все задачи взяты из библиотек приемных экзаменов в Московский физико-технический институт).

Задача 1. Температура и давление неоторной массы идеального газа изменяются, как показано на рис. 1.

Сунке 1. Изменяется ли закимаемый газом объем? Как именно?

Как видно из рисунка, давление с ростом температуры линейно возрастает. может быть, при этом объем остается постоянным? Если нет, то как отличить график процесса, при котором объем не меняется?

При неизменном объете давление не просто растет с ростом температуры, а растет прямо пропорционально температуре. А график прямой пропорциональной зависимости от других линейных графиков тем, что проходит через начало координат. Таким образом, на диаграмме в $p-T$ координатах изхора — прямая, проходящая через начало координат.

Рис. 1. Рис. 2.

Проведем изохоры через интерсуцию нас точки 1 и 2 (рис. 2). Изохоры разные; значит, в состоянии 1 и 2 объемы различны. Какой из них больше? Проще всего это определить при помощи графика. Соединним эти две изохоры, например, избарой 1—3 (или изотермоий 1—4, или любой другой изобарой или изотермоий). На участке 1—3 температура увеличивается при постоянном давлении. Ясно, что при этом объем должен растити.

Итак, точка 2 лежит на изохоре с большим объемом, то есть при перехождение из состояния 1 в состояние 2 объем газа увеличился.

А не может ли все-tаки график на рисунке 1 изображать процесс с постоянным объемом? Впрочем, давайте уточним вопрос.

Задача 2. В сосуде постоянного объема находится целый. К сосуду присоединены манометр и термометр. Показания приборов меняются в соответствии с рисунком 1. Что можно сказать о состоянии газа?

26

В частности, давление в сосуде выше или ниже атмосферного?

В данном случае объем газа не меняется, а давление не пропорционально температуре. Возможно ли такое?

Обратимся к уравнению Менделеева — Клапейрона. Кроме параметров p, V и T в нем фигурируют еще m и μ. Молярная масса геля и изменяется не должна — геляй газ одноатомный и диссоцированать не может. Конденсащий тоже не должно быть, поскольку температура растет. По-видимому, единственная возможность — изменение массы m газообразного геляя.

Так как давление растет медленнее, чем было бы при изохорном процессе для неизменной массы, масса газа должна уменьшаться; то есть газ должен вытекать из сосуда. А это означает, что давление в сосуде больше атмосферного, иначе бы газ не вытекал.

Уравнение Менделеева — Клапейрона позволяет сравнить не только различные состояния одного газа, но и состояния различных газов. Вот пример.

Задача 3. Шаровая молния представляет собой слабо светящейся газовый шар, свободно плавающий в воздухе. Созданное модель Стаханова (одной из моделей, построенных для обжяснения природы и поведения шаровой молнии), газ внутри шара представляет собой комплисное соединение, какая часть которого состоит из иона азота, связанного с нескольким молекулами воды. Потерянные азотом электроны захватываютводой, так что каждая комплисная молекula в целом оказывается нейтральной. Определите, сколько молекул воды связывает каждый он азота, если температура внутри шара t=600°С, а температура окружающей воздуха t0=20°С.

Так как шаровая молния плавает в воздухе, плотность составляющего ее газа равна плотности окружащего воздуха. Давление в молнии, по-видимому, также равно атмосферному. Эти два условия в совокупности дают

$$\frac{p}{\varphi} = \frac{p_0}{\varphi_0},$$ или $$\frac{pV}{m} = \frac{p_0V_0}{m_0}$$

(здесь все величины без индекса относится к комплиссу, а с индексом — к воздуху).

Используя уравнение газового состояния, получаем

$$\frac{T}{\mu} = \frac{T_0}{\mu_0},$$

откуда, зная молярную массу воздуха ($\mu_0=29 \cdot 10^{-3}$ кг/моль), найдем молярную массу комплисного соединения:

$$\mu = \mu_0 \frac{T}{T_0} \approx 86 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль.}$$

Молярная масса atomарного азота равна $14 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, а воды — $18 \cdot 10^{-3}$ кг/моль; следовательно, каждый он азота связывает четыре молекулы воды.

Внешние условия, в которых находится газ, могут быть изменены различными способами, но всякий раз состояние газа можно описать уравнением газового состояния.

Задача 4. Цилиндрический соеденция S=10 см² закрыт массивным поршнем. Внутри соеденция газ. Сосуд начинают поднимать сускорением 2g. Коеда температура газа сравнялась с первоначальной, объем газа под поршнем уменьшился в 1,5 раза. Найдите массу поршня. Внешнее давление $p_0=10^5$ Па.

В неподвижном состоянии силаяжестии поршня уравновешивая разность сил давления газа внутри сосуда и снаружки:

$$mg = (p - p_0)S.$$

При движении соеденция сила, действующая на поршень, сообщает емуускорение 2g, направленное вверх:

$$2mg = (1,5p - p_0)S - mg,$$ или

$$3mg = (1,5p - p_0)S$$

(при неизменной температуре объем уменьшится в 1,5 раза; значит, давление возросло тоже в 1,5 раза). Решая совместно полученные два уравнения, получаем

$$m = \frac{p_0S}{3g} \approx 3,4 \text{ кг.}$$

27

Мы рассмотрели несголько примеров использования уравнения газового состояния (конечно, ими не исчерпывается диапазон задач, в которых находится применение уравнения Менделеева — Клапейрона). Однако не менее важным является вопрос, когда нельзя пользоваться этим уравнением, или, другими словами — какова область его применения.

Модель идеального газа основылася на предпо.оженини малости энергии взаимодействия молекул по сравнению с их кinetической энергейой. Молеклы рассматривают как упругие шарики, взаимодействующие лишь при непосредствном контакте. Размеры этих шариковничтожно малы по сравнению с длиной их свободного пробета.

Конечно, такая модель весма условия. Действительно, как, например, определять размеры молекул? Безусловно, разумно под так называемым эфективным диаметром молекул понимать то расстояние, при соблюдении на котором движение молекул заметно изменяется. Ясно, что при таком определении размер молекул должен зависеть от многих условий, в частности — от температуры. Опыт это подтверждает — он показывает, что с ростом температуры эфективный диаметр молекул уменьшается. Это и понятно: при повышении температуры кинетическая энергия молекул возрастает, молекулы должны близке подойти друг к другу, чтобы потенциальная энергия их взаимодействия оказалась одного порядка с кинетической (начье движение заметно не изменится). Правда, оказывается, что зависит эта оцень слабая и не так уж бессмысленного говорить о конкретных постоянных значениях размеров молекул.

Значительные отклонения от поведения идеального газа у реальных газов начинаются тогда, когда нельзя считать, что молеклы большеую часть времени не взаимодействуют, то есть когда длина свободного пробета молекул — от содержания до содержания — становится сравнимой с размером молекул. В этом случае молеклы находится, в основном, недалеко друг от друга, и их взаимодействием пренебрегать уже нельзя.

При каких же условиях это происходит? Прежде чем ответить на этот вопрос, рассмотрим следующий подход.

Задача 5. Оцените длину свободного пробета молекул воздуха при нормальных условиях. Диаметр молекул прить равным $d = 3,7 \cdot 10^{-10}$ м.

Молекula стокленется с другой молекулой, если расстояние между их центрами оказывается меньше диаметра молекул $d$. Пусть за какое-то время молекula прошла пути $l$. При этом она стокнулась с молеклами, центры которых находится в ломаном цилиндре (изломы в точках стокновеней) длины $l$ и сечения $\pi d^2$. Число молекул в этом объеме $n l \pi d^2$ ($n$ — число молекул в единице объема) и есть общее число стокновеней. Подсчитаем путем от одного стокновения до другого, то есть длину свободного пробета молекул:

$$\lambda = \frac{l}{n l \pi d^2} = \frac{1}{n \pi d^2} = \frac{RT}{N_A p \pi d^2} \approx 8,75 \cdot 10^{-8} \text{ м}$$

(здесь давление $p = 10^5$ Pa, температура $T = 273$ K, число Авогадро $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}$ mol$^{-1}$). Экспериментальное значение для таких условий — $6,20 \cdot 10^{-8}$ м. Расходение связиано, в основном, с тем, что мы считали все молекулы, кроме выбранной, неподвижными. Подробный анализ, выходящий за рамки школьного курса, показывает, что учет относительной движения молекул приводит к изменению длины свободного пробета в $1/\sqrt{2}$ раз. Помножив полученный нами результат на этот момент, получим $6,19 \cdot 10^{-8}$ м.

Не сейчас нас больше интересует другая сторона дела. При нормальных условиях длина свободного пробета примерно в 200 раз больше диаметра молекул, и модель идеального газа работает довольно хорошо. Но если давление возрастет в 100—200 раз (а температура не изменится),лина свободного пробета становится сравнимом молекул. Это значит, что при таких

28

Задание с устного экзамена в МФТИ

Ниже приведется задание, предназначенное в разные годы на вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт. Здесь собраны задания относительно лишь к одной теме — простейшим свойством целых чисел.

1. Является ли число 123456789 простым?
2. Докажите, что уравнение $x^2 - y^2 = 1982$ не имеет решений в целых числах.
3. Пусть $p_1$ и $p_2$ — два последовательных нечетных простых числа и $p_1 + p_2 = 2n$, $n \in N$. Докажите, что число $n$ — составное.
4. Докажите, что если число $1 \cdot 2 \dots n + 1$, $n \in N$, делится на $n + 1$, то число $n + 1$ — простое.
5. Докажите, что для всякого натурального числа $n$, большего двух, одно из чисел $2^n - 1$ и $2^n + 1$ является составным.
6. Может ли число $3n + 2$, где $n$ — натуральное, быть квадратом неокоторого целого числа?
7. Докажите, что сумма $n^3 + 6n^2 - 4n + 3$ делится на 3 при любом натуральном $n$.
8. Докажите, что средние трех простых чисел, большех 3, всегда по крайней мере два обладают тем свойством, что либо их сумма, либо их разность делится на 12.
9. Докажите, что число $333^{777} + 777^{333}$ делится на 37.

Однако если температура достаточно велика, то и при высоких давлениях газа зачастую можно считать идеальным, поскольку решающего роль (подчерком это еще раз) играет плотность газа.

Уражнения

1. На рисунке 3 изображен график изменения состояния неокоторой массы идеального газа. Укажите, на каких участках графика давление растет, на каких падает.
2. В сосуде, где находится кислород, произведен электрический разряд. В результате весь кислород превращался в озон, а температура воздуха в 2 раза. Как изменилось давление? Obъем сосуда считать неизменным.
3. Сосуд сечения $S = 10$ см² закрыт поршнем массы $m = 5$ кг. В сосуде находится газ. При движении суда вниз сускорением 4g объем газа под поршнем уvelчилися в 2 раза. Temperatura газа не изменилась. Найдите внешнее давление.
4. Спутник сечения $S = 1$ м² движется с первой космической скоростью $v = 7,8$ км/c по околоземной орбите. Атмосферное давление на высоте орбиты (200 км) равно $p = 1,37 \cdot 10^{-4}$ Pa, температура $T = 1226$ K. Определите число соударений спутника с молекулами воздуха за 1 секунду.

А. А. Болибрух, В. М. Уроев, М. И. Шабунин

30

Рис. 2. Первая связка фигур.

1. пирамида и вписанный шар;
2. основание пирамиды и два шара (подчеркием: только основание, а не вся пирамида);
3. основание пирамиды, второй шар и секущая плоскость;
4. секущая плоскость и пирамида (а здесь нельзя обойти одной прямой SA, так как существенно, что это — ребро пирамиды).

Сделаем для каждой связки отдельный чертеж, развернуть её так, чтобы было удобно видеть составляющие её фигуры. Рядом с отрезками, длинны которых нам известны, напишем эти длины (в виде формул). Это очень важный момент: длинны на чертеже помогут увидеть уравнения. Процесс расстановки длины на чертеже мы назовем разметкой чертежа. Теперь для каждой связки выпишем получающейся соответствия.

1-ая связка фигур. Плоскость, проходящая через высоту пирамиды и апофему SE грани SBC, пересекает пирамиду по равноведренному треугольнику, а шар — по вписанному в него кругу радиуса $r$ (рис. 2, а). (Это и подобные ему утверждения в записи решения должны быть доказаны, сколько бы очередными они ни казались. Но для нас сейчас важнее сам поиск решения и получение ответа, поэтому такого рода посянения мы опускаем. А тому, что и как доказывать, как «навести строгость», уделяется достаточно много вимания в школе и в различных пособиях для поступающих*).

*) См., например, Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов «Пособие по математике для поступающих вузы» (М., «Наука», 1976), раздел III, § 1.

Начертим сечение отдельно (рис. 2, б). Центр O вписанного шара лежит на биссектрисе угла SEH, который по величины равен углу между боковой грани и основанием пирамиды. Отсюда вытекает первое соответствие:

$$r = \frac{a}{2} \mathrm{tg} \frac{a}{2}.$$

Заметим, что тот же рисунок 2, б можно было бы получить, пользов не сечение, а проекцией пирамиды на плоскость, перпендикулярную ребру BC.

2-я связка фигур. Вынесем на отдельный чертеж оба шара и основание пирамиды (рис. 3, а). Выберем такой ракурс, чтобы нужные нам отрезки и углы были видны в натуральную величины (рис. 3, б). Проведяя очевидные вспомогательные построения (не забудьте проделать нужные доказательства) и разметив чертеж, получим уравнение

$$(R + r)^2 - (R - r)^2 = \left( \frac{a \sqrt{2}}{2} \right)^2.$$

(Tот же чертеж получается в течение, проходящем чертеж центры шаров и точки их касания с основанием.)

3-я связка фигур. Процедура аналогична: выносая связку на отдельный чертеж (рис. 4, а), проводя вспомогательные построения и разметку (доказите, что $PBA = \phi$!) и рисуя сечение (плоскостью PAB — рис. 4, б), из прямогоного треугольника PAB получаем уравнение

$$R = a \mathrm{tg} \phi.$$

4-я связка фигур. Еще раз

31

Рис. 3. Вторая связка фигур.

Рис. 4. Третья связка фигур.

Рис. 5. Четвертая связка фигур.

та же процедура; на рисунке 5, а показан чертеж связки с разметкой, на рисунке 5, б — чертеж «удобного» сечения плоскостью ACS, на котором все нужные углы (они помещены дужками) видны в натуральную величины. Некоторые из этих углов, как легко заметить по рисунку, равны. Отсюда вытекает подобие треугольников PAC и AHS и уравнение

$$\frac{R}{a\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \left( \frac{a \mathrm{tg} \alpha}{2} \right)$$

или $R = 2a \mathrm{ctg} \alpha$.

А теперь проверим условия — это очень полезный пример контроля.

1. Пирамида правильная. Условие использовано при определении длины отрезков в парамиде.

2. Первый шар вписан. Использовано при составлении уравнения 1-й связки и на рисунке 3, б ($\widehat{AHO} = 90^\circ$).

3. Второй шар касается первого. Использовано при определении расстояния между шаров (рис. 3, б).

4. Второй шар касается плоскости основания. Использовано на рисунке 3, б ($\widehat{HAP} = 90^\circ$) и при составлении уравнения 3-й связки ($PAB = \varphi$).

5. Перпендикулярность ребра SA и диагонали сечения CK. Использовано при составлении уравнения 4-й связки.

Итак, все условия использованы. Получено 4 уравнения с 5-ю неизвестными. Так как надо найти только

32

одну величины, которая размерности не имеет, то размерные величины должны сократиться. Значит, нехватка одного уравнения помещать не должны.

Все! Геометрия окончена — начинается алгебра (в котором абитуриент обычно чувствует себя увереннее). Соберем полученные уравнения в системе:

$$r = \frac{a}{2} \text{tg} \frac{a}{2}$$
$$(r + R)^2 - (R - r)^2 = \left( \frac{a \sqrt{2}}{2} \right)^2 \text{или } 8Rr = a^2$$
$$R = a \text{tg} \varphi$$
$$R = 2a \text{ctg} \alpha.$$

Размерные величины $R, r$ и $a$ из нее без труда исключаются, после чего остается система из двух уравнений с неизвестными $\varphi$ и $\alpha$:

$$\begin{cases} 4 \text{tg} \varphi \text{tg} \frac{a}{2} = 1 \\ \text{tg} \varphi = 2 \text{ctg} \alpha. \end{cases}$$

Решение этой системы оставим читательям. (Ответ: $\text{tg} \varphi = \frac{\sqrt{3}}{6}$.)

Подведем итоги. Решениестерический задачи со многими формулами и связями между ними можно разбить на следующие этапы:

1. Построить чертеж — общий вид конфигурации. На чертеже не должны быть вспомогательных линей: они лишь затемяют общую картину.

2. Ввести переменные, определяющие размеры элементов чертежа. Не бояться, если этих переменных оказывается много: их должно быть достаточно, чтобы построить каждой элемент конфигурации в отдельности.

3. Выделить связки фигур, пользовать общим чертежом и условиями задачи.

4. Ввести на отдельный чертеж каждой из связки, разметить чертежи.

5. Выбрать такой ракурс (или такое сечение) для каждой связки, чтобы все отрезки и углы, которые предполагается связать уравнениям, были видны в натуральную величины. Разметить полученный чертеж.

6. Выписать уравнения, получающие из каждой связи фигур. Не торопиться их разрешать относительно каждой величины.

7. Проверить использование всех условий, количество уравнений и неизвестных и возможность нахождения того значения, которое требуется по условияю.

8. Свести уравнения в системе и решить ее, забив про геометрию и пользоваться приемами алгебры и тригонометрии.

9. Проверить решение. Техника проверки геометрических решений заслуживает отдельного разговора*). Сейчас мы познакомимся с одним из ее приёмов — прикинем, насколько чертежи и ответ в нашей задаче согласуются друг с другом.

Простой подсчет показывает, что при найденном нами значении $\varphi$ угол $\alpha$ близок к прямому (ctg $\alpha = \sqrt{3}/12$), то есть параметра довольно сільно вытянута, а радиус второго шара меньше (!) радиуса первого (вписанного): $R = 2r/3$. По сути дела, нашей решения опирались на неправильные, вернее — не совсем правильные, чертежи! Но недаром говорят, что «геометрия — это искусство делать правильные выводы из неправильных чертежей». Легко убедиться, что уравнения, которые мы выели из 1-й, 3-й и 4-й связок, никак не зависит от степени «вытянутости» приемиды. А вот в рассмотрение 2-й связки поправку внеси надо. Исправленный вариант рисуна 3,6 показан на рисунке 6. Впрочем, на окончательном виде уравнения эта поправка не сказывается. Подчеркием, что в записи решения должны быть учтены все возможные варианты расположения фигур.

Роль общего чертежа в приведенной схеме решения свойства, в основном, к тому, чтобы помочь выделить связки. Порой, как вследующая задаче, это можно сделать неосредственно по условияю, и тогда он вообще не нужен.

Задача 2. Точка $A_1, B_1, C_1, D_1, A_2, B_2, C_2, D_2$ лежат на сфере. Отрезки

*) См., например, В. Матизен «Найдем ошибку» («Квант», 1980, № 10).

33

Ки $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ и $D_1D_2$ пересекаются в точке $O$, которая делит отрезок $D_1D_2$ пополам. Известно, что $D_1D_2=2l$, относение плоскостей треугольников $OB_2C_1$ и $OB_1C_2$ равно $k$, относение объемов парамид $OA_1B_1C_1$ и $OA_2B_2C_2$ равно $m$, а относение объемов парамид $OA_2B_1D_1$ и $OA_1B_2D_2$ равно $n$. Найти длины отрезков $OA_1$, $OB_1$ и $OC_1$.

Читатель может убедиться самостоять, что общий чертеж к этой задаче способен, пожалуйста, только напутать, либо по нему не видно ничего*). Поэтому, не обращаясь к нему, сразу приступим к выделению связок и составлению уравнения. Пусть $a_1=|OA_1|$, $a_2=|OA_2|$, $b_1=|OB_1|$. Аналогично определим величины $b_2$, $c_1$,

$$c_2, d_1 \text{ и } d_2.$$ (Надеемся, 8 неизвестных не смущают читателя и он готов вести еще хоть сотно, если потребуется.) Два уравнения видны сразу:

$$d_1=d_2=l$$

(«связка» здесь — отрезок $D_1D_2$ и его середина $O$). Вторая связка — треугольники $OB_2C_1$ и $OB_1C_2$ (рис. 7). Выражая их площади через угол $\varphi = B_2OC_1=B_1OC_2$ и заключющие его стороны, получим

$$\frac{S_{OB_2C_1}}{S_{OB_1C_2}} = \frac{0,5 \cdot b_2c_1 \sin \varphi}{0,5 \cdot b_1c_2 \sin \varphi} = \frac{b_2c_1}{b_1c_2},$$

следовать,

$$\frac{b_2c_1}{b_1c_2} = k.$$ (2)

Аналогично записывается и относение объемов парамид (связка состоит из тетраэдров $OA_1B_1C_1$ и $OA_2B_2C_2$). Найдем, например, объем парамиды $OA_1B_1C_1$ (рис. 8). Пусть $C_1H$ — её высота, опущенная на основание $OA_1B_1$, тогда

$$V_{OA_1B_1C_1} = \frac{1}{3} \cdot S_{OA_1B_1} \cdot |C_1H| =$$

$$= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a_1b_1 \sin \alpha \cdot c_1 \sin \beta =$$

$$= \frac{1}{6} a_1b_1c_1 \sin \alpha \sin \beta,$$

где $\alpha = A_1OB_1$, а $\beta$ — угол между ребром $OC_1$ и основанием. Точно так же

$$V_{OA_2B_2C_2} = \frac{1}{6} a_2b_2c_2 \sin \alpha \sin \beta,$$

позному $V_{OA_1B_1C_1}: V_{OA_2B_2C_2} = a_1b_1c_1 : a_2b_2c_2$. Отсюда получаем следующие уравнения:

$$\frac{a_1b_1c_1}{a_2b_2c_2} = m$$ (3)

и, таким же образом,

$$\frac{a_2b_1d_1}{a_1b_2d_2} = n.$$ (4)

Остается неиспользованным лишь одно условие: все точки (кроме $O$) лежат на сфере. Его нужно записать в виде соответствия между длинами отрезков $OA_1$, $OA_2$, $OB_1$, …. Расстояние связку, состоящую из сферы и отрезков $A_1A_2$ и $B_1B_2$. Пересекая её плоскостью, содержащей эти отрезки, получим рис. 9. Треугольники

34

Это помогет предоставить работу, которую испытывают многие абитуриенты, стalkиваясь со стереометрией на конкурсных экзаменах.

Уражнения

1. (МГУ, экономический ф-т, 1972). В треугольнике $ABC$ $|AC|=12$ см, $|AB|=|BC|=3\sqrt{10}$ см. Два шара касаются плоскости треугольника $ABC$ в точках $A$ и $C$ и расположены по разные стороны от этой плоскости. Расстояние между центрами этих шаров равно 15 см. Центр треугольника находится в точке $B$, и этот шар касается двух данных шаров. Определить радиус треугольника.

2. (МГУ, ф-т вычислительной математики и кибернетики, 1972). Боковые ребра правильной треугольной парамиды $SABC$ наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$. Шар касается плоскости основания $ABC$ в точке $A$, кроме того, касается продолжения ребра $BS$ за вершину $S$. Через центр шара и высоту $BD$ основания проведена плоскость. Найти угол наклона этой плоскости к плоскости основания.

3. (МГУ, геологический ф-т, 1980). На сфере радиуса 11 см расположены точки $A$, $A_1$, $B$, $B_1$, $C$ и $C_1$. Прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ взимно перепределилиярны и пересекаются в точке $M$, отстоящей от центра сферы на расстояние $\sqrt{59}$ см. Найти длину отрезка $AA_1$, если известно, что $|BB_1|=18$ см, а точка $M$ делит отрезок $CC_1$ в отношении $(8+\sqrt{2}):(8-\sqrt{2})$.

4. (МГУ, механизм, 1981). Отрезок $DE$, лежащий в двумгранном угле $AD$ с точки $B$ и $C$ на его гранах, параллелен плоскости треугольника $ABC$, имеющего площадь $S$. В тетраэдр $BCDE$ вписан шар, $k$ — отношение расстояния от центра шара до прямой $DE$ к расстоянию от $(DE)$ до плоскости $ABC$. Пусть $B'$ — проекция точки $B$ на плоскость $CDE$; известно, что $tg B'DE:tg BDE=l$. Через середину $[AD]$ проводится плоскость $P$, параллельная плоскости $ABC$. Найти площадьечения многогранника $ABCDE$, составленного из тетраэдров $ABCD$ и $BCDE$, плоскостью $P$, если известно, что сумма площадей всех граней тетраэдра $BCDE$ равна $\sigma$.

На первой странице обложки мы публикуем фотографию «большой интегральной схемы» микропроцессора (увеличено в 50 раз).

Появление микропроцессоров связано с огромным прогрессом микрозлектроники, выпавшей в себя успехих многих области науки и техники, — физики, химии, вычислительной техники, точной металлургии, приборостроения и машиностроения. Сейчас в «большой интегральной схемы» — такой, как на обложке (ее размеры — до 50 квадратных миллиметров, толщина — менее миллиметра), — помещаются десятичные элементы размером 2—3 микрона и потребляет она энергию всего в несколько ввтт.

Одна из первых отечественных ЭВМ БЭСМ-1 занимала площадь в десятики кв м, разделых метров и потребляла десятики киловатт энергии. Современные микро-ЭВМ размером с небольшую книгу, работающее на больших интегральных схемах, имеют значительное большую производство во всех области народного хозяйства.

А. Н. Березенко, В. И. Юшков

35

Задание

1. Угадайте экономерность форм фигурок. Какую фигуру следует поставить следующей?

2. Отношение двух чисел равно десятичной дроби, целая часть которой равна делителью, а после запятой записан делитель. Какие это числа?

3. Вертушку погрузили целиком в ручей так, что ее ось расположилась горизонтально и перпендикулярно направлению течения: Будет ли она кругиться?

4. Текст шифруется с помощью таблицы: каждой цифре сопоставляется одна из трех букв, расположенных под ней в таблице, а знаку «» — пробел или одна из букв «ю», «я». Расшифруйте следующей вопрос и ответьте на него:
   534393415041368156215044414*
   *305041080?

Эти задания нам предложили
Н. И. Бовсуновский, А. К. Звонкин,
Б. А. Мукушев, А. П. Савин,
А. В. Бутлевич

36

Дано…
Требуется
определить…

Л. А. ЛЕШИНСКИЙ,
T. С. ПЕТРОВА

Как вы решаете задачи по физике?
Возможно, многим из вас этот вопрос покажется страным — уж очень очевиден ответ: сначала читайте условия, потом думаю над решением, потом его записью, получаю ответ, если в заданнике приведены ответы, то проверяю свой ответ по заданнику.

Ну, а если решение сразу не «вырисовывает»? Вы смотрите в ответы? Думаем, что много из вас делают именно так. А жаль. Поломайте голову над задачей, подойдите к ней и так, и задак, сами доберитесь до ответа — и мы уверены, что, получив правильный результат, вы испытаете чувство большого удовлетворения. Польза же, которое приносит такая работа над задачей, несомненна.

Конечно, бывают очень трудные задачи, и дать какой-либо универсальный решет решения невозможно. Однако есть условия, выполнять которые совершенно необходимо, если вы хотите научиться решать за-дачи. Каждый ясно, что перед тем, как приступать к задачам, надо разобраться в теории. Но вот вы выучили теоретический материал, поняли его и беретесь за задачу. Прочитали, что «дано», что «требуется определить». Приступайте к решению? Подождите! Прежде чем думать над решением, подумайте над условия. Представьте себе то физическое явление, тот процесс, о котором идет речь в задаче. Проанализируйте все данные, приведенные в условия, — ведь, как правило, ничего из того, что в условия «дано», не бывают нараспaso. И очень часто, осмыслив до конца это «дано», вы сможете доказать (не угадать, а именно доказаться), что «требуется определить». Если эта связь вам установлена, можете считать, что полела сделано.

Что бы лучше поняли, о чем мы говорим, предлагаем вам сделать несколько задач. В условиях этих задач приведено только то, что «дано». Вы сами придуйте, что «требуется определить», и определите*).

Задча 1. Две дороги пересекаются под прямым углом. Участки дорог, образующие перекресток, покрыли acфальтом. Длина каждой участка 25 м, ширина 4 м. На покрытие израсходовали 5520 кг acфальта.

Задча 2. Стальной шар, масса которой

37

рого равна 1,2 кг, имеет объем 200 см³.

Задча 3. Длина платформы железнодорожной станции равна 60 м. Товарный состав, движущийся со скоростью 45 км/ч, идет mismo платформы 16 с.

Задча 4. Атмосферное давление у поверхности Венеры — 10,3 мПа, сила тяжесте — в 1,2 раза меньше, чем на Земле.

Задча 5. Металлический шар массы 900 г, нагретий до 155°С, опустил в calorimetр, в котором было 3 л воды при температуре 10°С. В результате в calorimetре установилась температура 15°С. Теплоемкость calorimetра пренебрежимо мала по сравнению с тепломкостью шара и воды.

Задча 6. В цилиндрическом сосуде с площадью дна 125 cm² находится вода. Когда в сосуд положили кубик

лда, уровень воды повышался на 9 мм.

Задча 7. Сопротивление железной проволоки, масса которого 390 г, равно 5 Ом.

Задча 8. Два ползунковых резистора, расччитанных на сопротивление 20 Ом каждый, намотаны один из нижелювой проволоки, а другой — из нижромовой. Длины проволок, использованных для обмоток, одинаковы.

Нам хотелось бы, чтобы придуманные вам вопросы к этим задчам и их решения вы прислали в редакцию. Нанболее удачные из них будут опубликованы в журнале. Желаем вам успехов!

39

$$|f(x) - f(y)| = |x - y|?$$

Пусть про отображение $F$ плоскости в себя извесно, что любые две точки $X, Y$, находящиеся на расстоянии 1, оно переводит в две точки $F(X), F(Y)$, также находящиеся на расстоянии 1:

$$\varrho(X, Y) = 1 \Rightarrow \varrho(F(X), F(Y)) = 1;$$

Тогда для любых двух точек $X, Y$ плоскости

$$\varrho(X, Y) = \varrho(F(X), F(Y)),$$

то есть отображение $F$ сохраняет расстояние. Доказите следующие утверждения, из которых вытекает эта теорема: для любых $X, Y$

б) $\varrho(F(X), F(Y)) \leq \varrho(X, Y) + 1$;

в) $* \varrho(X, Y) = \sqrt{3} \Rightarrow \varrho(F(X), F(Y)) = \sqrt{3}$;

е) $* \varrho(F(X), F(Y)) \leq \varrho(X, Y)$;

д) $* \varrho(F(X), F(Y)) \geq \varrho(X, Y)$.

(Вы можете, конечно, предложить и другой план доказательства теоремы.)

А. Тыщка

Ф798. В реку, скорость течение которого взделе равна $u$, из точки $O$ на берегу бросают камень перпендикулярно берегу. Скорость поверхности волн в воде равна $v$. Через какое время после padения камня волна придет в точку $O$, если камень упал на расстоянии $L$ от берега?

П. И. Зубков

Ф799. Высота вертикального водяного фонтана от уровня выходной трубы насоса равна $H$. Во сколько раз следует изменить мощность насоса, чтобы полная высота фонтана осталась прежней после подсоединения к выходной трубе насоса вертикальной трубы такого же диаметра с высотой $h < H$?

П. И. Зубков

Ф800. Схема состоит из конденсатора емкости $C$, диодов $\varDelta_1$ и $\varDelta_2$, и катушек с индуктивностями $L_1$ и $L_2$, собраных, как показано на рисунке. Найти период колебаний напряжения на конденсаторе в этой схеме.

Г. Л. Коткин, Г. В. Меледин

Ф801. В исходном состоянии центры двух шаров с массами $m$ и радиусами $R$ разнесены на расстояние 10 $R$. На одном из них равномерно распределен заряд $+Q$, на втором — $Q$. Первый шар привязан к удаленной стенке ниткой, которая выдерживает на разрыв натяжение $T$. Второй шар в некоторая момент отпускают. Найти скорость шаров после соударения, если удар абсолотно неупругий. Заряды не перераспределются.

Г. В. Федотович

40

Ф802. Закрытый с торцов теплопроводный цилиндр массы $m$ перегороден неподвижным поршнем массы $M$. С обеих сторон от поршня находится по одному молю идеального газа, внутренняя энергия которого равна $U=cT$. Коротким ударом цилиндру сообщают скорость $\vec{v}$, направленную вдоль его оси. На сколько изменится температура газа после затухания колбаный поршня? Тренняя между поршнем и цилиндром нет.

В. Г. Дудников

Problems

M786 — M790; P798 — P802

M786. Prove that for any two integers $n$ and $k$ greater than 1, the number $n^k$ can be represented as the sum of successive odd numbers, e. g.

$$4^3 = 13 + 15 + 17 + 19; \quad 7^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13; \quad 3^4 = 25 + 27 + 29.$$

A. N. Kozachenko

M787. Half the hypothenuse (from its midpoint to a vertex) is seen from the centre of the incircle of a right triangle under a right angle. Find the quotient of lengths of the two other sides of the triangle.

B. S. Pitskel

M788. a) Two points $A(a; a^2)$ and $B(b; b^2)$ are picked on the graph of $y=x^2$. Find a point $M(m; m^2)$ between them such that the sum of areas of the two figures bounded by the graph and the line segments $AM$ and $BM$ is minimal.

b) Two points $A$ and $B$ are picked on the graph of a differentiable function $y=f(x)$. It is known that the graph and the line segment $AB$ bound a convex figure. Suppose that $M$ is the point of the graph for which the sum of areas of the two figures bounded by the graph and the segments $AM$ and $BM$ is minimal. Prove that the tangent to the graph at the point $M$ is parallel to $AB$.

E. D. Moskalenski, Yu. B. Chinyaev

M789. a) 10 points, which divide the circle into 10 congruent arcs, are joined pairwise by 5 line segments. Will two segments necessarily be of the same length?

b) 100 points, which divide the circle into 100 congruent arcs, are joined pairwise by 50 line segments. Prove that at least two of them will be of the same length.

V. V. Proizvolov

M790. a) For the numerical function $f$ it is known that $|x-y|=1$ implies $|f(x)-f(y)|=1$. Will the inequality

$$|f(x)-f(y)|=|x-y|$$

necessarily hold for all $x, y$?

For the map $F$ of the plane into itself it is known that it sends any two points $X, Y$ whose distance is 1 into points $F(X), F(Y)$ at the same distance:

$$\varrho(X,Y)=1 \Rightarrow \varrho(F(X), F(Y))=1$$

Then for any two points $X, Y$ of plane

$$\varrho(X,Y)=\varrho(F(X), F(Y))$$

42

мейство треугольников с множеством вершин B, не належающих друг на друга и в обведении диапазих выпуклий многоугольник (триангуляцию многоугольника В можно получить, соединяя его точки непересекающимся отрезками, пока это возможно). Доказите, что для любого B существует такая триангуляция, что окружность, описанная около любого треугольника этой триангуляции, не содержит внутри себя точек многоугольства B. Укажите способ построения такой триангуляции.

в)* Доказите, что если никакие четыре точки многоугольства B не лежат на одной окружности, то описанная в пункту б) триангуляция единственна.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

расположена ближе к ней, чем все остальные столцы. Покажем, как построить это разбиение и получить из него искому триангуляцию.

Обозначим через C=C(B) выпуклюю оболочку B, то есть наименший выпуклый многоугольник, покрывающий B (его вершинами служат некоторые точки из B, которые мы будем называть крайним).

Для любых двух точек P, Q из B назовем осью пары (P, Q) прямую l.(P, Q), проведенную через середину отрезка PQ перепendlukулярно этому отрезку. Заметим, что ось l(PQ) служит многоугольным центров всех окружностей, проходящих через точки P и Q. Нам попадбится также следующие оченьидное утверждение, на которое мы будем ссылаться как на «сно в ную лемму»: ось l(P, Q) разбиает плоскость на две части, в одной из которых находится точки, которые ближе к P, чем к Q, а в другой — ближе к Q, чем к P.

Для данной точки P из B назовем страной со столцей P области D_p, полученную следующим образом: проведем прямые l(P, Q), где Q — все точки B, отличные от P, и средние тех области, на которые эти прямые делят плоскость, выберем область D_p, содержащую точку P (рис. 2). Это будет либо выпуклый многоугольник, либо (если P — крайняя точка B) — неограниченная, «уходящая в бесконечность» выпуклая область, граница которой состоит из двух лучей и, возможно, еще одного или несколько отрезков.

Пользовать основной леммои, мы видим, что каждая страна D_p состоит из всех точек плоскости, которые расположены к точке P ближе, чем к другим точкам из B (на границе двух страна D_p и D_q лежат точки, одинаково удаленные от столцц и Q). Отсюда следует, что страны D_p, где P пробегает все многоугольное B, покрывают плоскость и пересекаются лишь по границам (рис. 3)*).

Назовем точки P, Q из B близки, если их страны D_p и D_q имеют общий участок границ, лежащий на прямой l(P, Q), и далеки, если их страны не имеют ни одной общей граничной точки. (В исключительно случайе, когда в одной точке O схолят границы более чем трех страна, возникают пары точек P, R, для которых пересечение границ D_p∩D_r состоит из одной точки — при этом точки P, Q не близкие и не далекие.)

Теперь построим триангуляцию многоугольника C(B) с вершинами во всех точках B, обладающих требуемым в условиях своястом. Для этого соединим отрезки все пары близких точек (красные отрезки на наших рисунках); эти отрезки разобут многоугольник C(B) на треугольники (и многоугольники). Заметим, что если PQ и PR — соседние отрезки, ведущие из некоторой столццы P в близкие к ней столццы Q и R, то есть в угле QPR нет точки, близких к P, то страны D_p, D_r и D_p имеют общую точку границ O (рис. 4). Расмотрим один из треугольников (или многоугольников), на которых разделен C(B) проведенными отрезками. Страны со столццами в его вершинах имеют общую точку O границ; точка O удалена от этих столцц на одинаковое расстояние, а от всех остальных точек B — на большие расстояние, то есть внутри описанной окружности нашего треугольника (многоугольника) с центром O нет точки B. Многоугольники с числом вершин более трех (они возникают лишь в исключительных случаях, когда более трех страна имеют общую точку границ) мы можем произвольным образом разбить диагоналими на треугольники (рис. 5). Полученная триангуляция удовлетворяет условиям задачи.

Очень советуем вам, разбирая решение, взять любые 5—10 точки плоскости и практически постройить для

*) Об этом разбиении плоскости, называемом разбиением Дирихле, см., например, в книге Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера «Прямы и кривы» (М., «Нayka», 1978, § 3, с. 59, решение «Задачи про сыр»).

43

них разбение на «страны» и описанную трианглляцию (см. рисунок на 4-й странице обложки).

в) Пусть никакие четыре точки не лежат на одной окружности (тогда каждой пара этих точки — близкая или далекая). Докажем, что любая трианглляция $T$, удовлетворяющая условием задачи, обязательно совпадает с той, которая мы построили выше (соединив близкие точки).

Предположим, что неокторая точка $P$ соединена с далекой от нее точки $R$. Центр $O$ любой окружности, проходящей через $P$ и $R$, лежит на оси $l(P,R)$ и (поскольку $P$ и $R$ — далекие точки) отделен от $P$ неокторой прямой $l(P,Q)$, где $Q$ — близкая к $P$ точка; следовательно, $Q$ лежит внутри окружности. Значит, $PR$ не может быть стороной треугольника трианглляции $T$.

Итак, мы доказали, что в трианглляции $T$ могут быть соединены лишь пары $6$ или $3$ и $x$ точки. Но для того чтобы получить трианглляцию, то есть разбение $C(B)$ на треугольники с вершинами $B$, как мы видели, надо соединить в се пары близких точки.

Замечание: вы, наверное, обратили внимание на то, что требование, чтобы никакие 4 точки не лежали на окружности, является излишним для доказательства единственности. Достаточно потребовать, чтобы любая окружность, проходящая через 4 точки из $B$, содержала бы внутри по крайней мере одну точку из $B$.

Подумайте, как можно обобщить эту задачу и ее решение на конечные множества точки, лежащие в трехмерном пространстве.

Ф. В. Вайнштейн,
Н. Б. Васильев

M766. Докажите, что сумма квадратов трех последовательных целых чисел $a-1, a, a+1$ равна $3a^2+2$. При делении на 9 это число дает в остатке 2 или 5. Однако куб любого целого числа либо делится на 9, либо дает в остатке 1 или 8 $(3k \pm 1)^3=27k^3 \pm 27k^2+9k \pm 1)$.

Ю. И. Ионин

M767. a) Прямая $l$ делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что отношение, в котором эта прямая делит проекцию многоугольника на перпендикулярную к ней прямую, не превыходит $1+\sqrt{2}$.

б) Каждый из трех прямых делит площадь данной фигуры пополам. Докажите, что площадь частей фигуры, заключенная в треугольнике между прямыми, не превышает $1/4$ всей площади фигуры.

Пусть $A$ и $B$ — точки пересечения прямой $l$ с контуром многоугольника, $h$ и $k$ — отрезки его проекции на перпендикулярную ей прямую, $h>k$ (рис. 1; отрезок $h$ — проекция головкой, $k$ — красной половины многоугольника). Докажем, что $h/k \leq 1+\sqrt{2}$. Соединим сумму далекую от $l$ точку $C$ многоугольника в головкой полуплоскости (она проектируется в конец отрезка $h$) с точкими $A$ и $B$ и продолжим отрезки $CA$ и $CB$ до пересечения в точках $E$ и $F$ с прямой, параллельной $l$ и содержащей самую далекую от $l$ точку $G$ в красной полуплоскости (эта прямая проходит через конец отрезка $k$). Поскольку многоугольник выпуклый, отрезки $AC$ и $BC$ и весь $\triangle ABC$ содержатся в головкой половине многоугольника, а отрезки $EA$ и $BF$ лежат вне многоугольника, так что трапеця $EABC$ содержит его красную половину. Поскольку точи и другой половин многоугольника равны, то площадь трапеция $EABC$ не меньше площади $\triangle ABC$, поэтому $S_{ECF} \geq 2S_{ABC}$, а поскольку треугольники $ECF$ и $ACB$ подобны, причем коэффициент подобия (отношение высот) $(k+h)/h$, то

$$\left(\frac{k+h}{h}\right)^2 \geq 2, \frac{k}{h} + 1 \geq \sqrt{2}, \frac{h}{k} \leq \sqrt{2} + 1.$$

Из решения видно, что равенство достигается только для треугольников, одна сторона которых параллельна $l$.

б) Пусть каждая из прямых $l_1, l_2$ и $l_n$ делит площадь фигуры пополам, $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6, S_7$ — площади частей, на которых фигура разбивается этими прямыми (см. рис. 2), а $S$ — площадь всей фигуры.

44

Поскольку $S_3 + S_4 + S_5 = S_3 + S_2 + S_7 = \frac{S}{2}$, то $S_4 + S_5 = S_2 + S_7$, и поэтому $S_3 = S_1 + S_6$. Значит, $S_3 \geq S_1$.

Кроме того, $\frac{1}{2} S = S_2 + S_4 + S_3 + S_1$, откуда следует, что $\frac{1}{2} S \geq 2 S_1$, то есть $S_1 \leq \frac{1}{4} S$. Равенство достигается для невЫпуклой фигуры, показанной на рисунке 3.

Пункты $a$ и $b$) этой задачи возникли при попытках выяснить, каким может быть отношение площади треугольника $S_1$, ограниченного треями прямыми $l_1, l_2, l_3$, каждой из которых делит площадь данного выпуклого многоугольника пополам, к площади $S$ всего многоугольника.

По-видимому, это отношение наиболее в случае, когда исходный многоугольник является треугольником, а прямые $l_1, l_2, l_3$ параллельны его сторонам, то есть всегда справедливо неравенство $S_1 \leq a S$, где $a = \frac{17 - 12\sqrt{2}}{2} \approx 0,0147$.

Попробуйте выяснить, верно ли это.

В. В. Прасолов

M768. Сумма $n$ чисел, каждое из которых не превыходит по modulo 1, равна $s$. Доказите, что из них можно выбрать несколько чисел так, что сумма выбранных чисел будет отличаться от $s/3$ не более чем на 1/3.

Докажем, что данные числа можно разить на три группы так, что суммы чисел в этих группах $s_1 \leq s_2 \leq s_3$ отличаются не более чем на 1, то есть $s_3 - s_1 \leq 1$. (Мы допускаем и «пустые» группы, состоящие из 0 чисел — сумма чисел в такой группе считается равной 0.) Для этого достаточно выбирать числа в произвольном порядке по одному и записьвать в три столбика, причем каждое очередное число добавляется в тот столбик, где сумма чисел на и больше шая, если это число отрицательно, и в тот столбик, где сумма на и меньше шая, если это число неотрицательно (вначале мы возьмем три числа одного знака из данных $n$ чисел и запишем их первыми в разные столбики). Легко видеть, что после каждого шага суммы чисел в столбиках отличаются не более чем на 1, так что в результате мы получим нужное разрешение*).

Теперь проверим, что средняя по величины сумма $s_2$ удовлетворяет требованиям — $1/3 \leq s_2 - s/3 \leq 1/3$, где $s = s_1 + s_2 + s_3$ — сумма всех чисел:

$$3s_2 \leq (s_1 + 1) + s_2 + s_3 = s + 1,$$

$$3s_2 \leq s_1 + s_2 + (s_3 - 1) = s - 1.$$

Интересно выяснить (для каждой $\theta$ между 0 и 1), для каждого наименьшего $d = d(\theta)$ верно аналогичное неравенство $|s' - \theta s| < d$, где $s$ — сумма произвольных $n$ чисел,

*) Подобный алгоритм был использован в решении задачи М575 — одной из самых трудных задач Всегоизной олимпиды в Тбилиси 1979 года. Заметим, что для $n = 3$ и $n = 4$ чисел, средние которых не более двух чисел одного знака, средняя группа у нас может оказаться пустой; убедиться в справедливости утверждения задачи (напечат не пустой группы из одного или нескольких чисел с нужной суммой) можно с помощью перебора.