Квант 1983, №4 · Страницы

КЕАНТ
4
1983

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

17 АПРЕЛЯ — ДЕНЬ СОВЕТСКОЙ НАУКИ

Верхнее фото — общий вид Ровенской
atomной электростанции. Нижнее фото —
нечтринный детектор. О том, как в нашей
стране впервые были зарезистрированы
нечтрино, роздающие внутри atomного
реактора, рассказано в статье
А. А. Борового «Первая в мире нечтринная
лаборатория на atomной электростанции».

Научно-популярный
физико-математический журнал
Академи наук СССР
и Академии педагогических наук СССР

4 1983
Основан в 1970 году

Издательство “Наука”. Главная редакция физико-математической литературы

В HOMEPE:

2 В. А. Винокуров, Б. С. Митин. Математика и технологии в космосе
7 Уникальная лаборатория (интервью с летчиком-космонавтом СССР А. А. Серебровым)
12 Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым
16 В. А. Фабрикант. Рождение квана
22 С. В. Матвеев. Расплавление контуров на плоскости
V. А. Vinokurov, B. S. Mitin. Mathematics and technology in outer space
A unique laboratory (interview with USSR cosmonaut A. A. Serebrov)
A talk with Andrei Nikolaevich Kolmogorov
V. A. Fabrikant. The birth of the quantum
S. V. Matveev. Unraveling closed curves on the plane

Новости научки
11 А. А. Боровой. Первая в мире нейтринай лаборатория на atomной электростанции
Science news
A. A. Borovoy. The world’s first neutrino laboratory on a nuclear power station

Лаборатория «Кванта»
29 И. Д. Жижилкин. Сирена Зеебека
Kvant’s lab
I. D. Jijilkin. Seebeck’s siren

Школа в «Кванте»
30 К. Л. Самаров, М. И. Шабунин. Обратные тригонометрические функции
Kvant’s school
K. L. Samarov, M. I. Shabunin. Inverse trigonometric functions

«Квант» для младших школьников
35 Задачи
36 В. Л. Гутенмахер. Магистр Игры в гостях «Кванта»
Kvant for younger school-children
Problems
V. L. Gutenmakher. The Magister of Games visits Kvant

Задачик «Кванта»
39 Задачи М796—М800; Ф808—Ф812
42 Решения задач М780—М785; Ф793—Ф797
Kvant’s problems
Problems M796—M800; P808—P812
Solutions M780—M785; P793—P797

Рецензии, библиография
50 Нужная книга
Book reviews
A useful book

Информация
51 Путь в научку начинается с задачи
53 Заочная физическая школа
Information
The road into science begins with problems
Physics correspondence school

Практикум абитуриента
54 College applicant’s section

Ответы, указания, решения
Наша обложка (21)
Смесь (21, 50, 52)
Шахматная страница
Доска под охраной (3-я с. обложки)
Answers, hints, solutions
Our cover (21)
Miscellaneous (21, 50, 52)
The chess page
The board is guarded (3rd cover page)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1983

Математика и технологии в космосе

Доктор физико-математических наук
В. А. ВИНОКУРОВ,
доктор технических наук
В. С. МИТИН

Возникновение авиации и космонавтики неразрывно связано с применением математики для анализа основных проблем полета, конструкция и расчета самолетов и ракет. Первый вопрос, остро обсуждавшийся на заре авиации в конце XIX-го и начала XX-го века — вопрос о том, могут ли летать аппараты тяжелое воздействие — был принципиально решен вликом русским ученым, теоретическом авиации Н. Е. Жуковским. Чисто математических методами (а именно, при помощи теории функции комплексной переменной) Жуковский выел формулу для подъемной силы крыла:

$$F = \varrho v \Gamma$$

(здесь $\varrho$ — плотность воздуха, $v$ — скорость движения крыла, $\Gamma$ — «циркуляция», неокоторая величина, зависящая от формы профиля крыла).

Начная с Жуковского, в теоретической авиации применяется самый современный математический аппарат, причем задачи, возникшие при анализе практических проблем авиации, последили основной создания новых направлений математики.

Решение ряда ключевых проблем авиации связано с именами известных математиков и механиков нашей страны. Мы остановимся лишь на проблемы флаттера. Это явление было обнаружено в 30-х годах нашего века, когда стали строиться цельнометаллические самолеты со скоростью полета 200—300 км/ч. Оказалось, что при некоторых критических значении скорости возникала сильная вибрация самолета—флаттер, в результате которой самолет часто разрушался в полете. Тайной этого страшного для плотов является заималис авиаконструкторов многохстран. Решить проблему флаттера удалось советскому математике (воспедствия президенти Академии наук СССР) М. В. Келдышу. Он показал, что флаттер имеет резонансную природу, и, исходя из этого, предложил определенные изменения в конструкции крыла. Первые же полеты самолетов, условиянствованные по рекомендациям Келдыша, для прекрасные результаты.

3

Координаты в космическом полете

Еще более важную роль, чем прирождании авиации, сыграла математика для возникновения космонавтики. Теоретически космонавтики К. Э. Циолковский в своих докзаательствах возникностей полета к другим планетам и в проектах космических поездов постояно использовал математику (см. «Квант», 1982, № 9, с. 12).

Кроме теоретического обоснования и расчета конструкции ракеты, математика необходима каждую секунду космического полета. Мы уже привыкли при сообщении о запуске очередного космического корабля слышать стандартную фразу: «Координанию-вышистельный центр ведет обработку постояно информатии». В основе обработки данных о траектории корабля лежит важное математическое понятие — система координат, придуманное в XVII века Великим Французским математиком Р. Декартом («Геометрия 9—10», § 59).

Первое практическое применение системы координат, проведенное самим Декартом, носило несовсем мириный характер: на одной из лекций Декарта неизвестный случайное построено стучал ногами; Декарт, не первывая лекция, попросил ассистента против в подвалное помещение под аудиторий и проведи измерения координат источника шума; вернувшийся ассистент отложил некоторое расстояние от одной стены аудитории и некоторое расстояние от другой стены — случайная, сидевшего на пересечении воображаемых перpendикуляров, он попросил удалиться. Демонстрация практического значения прямогоальной системы координат получалась весма убедительно.

Во многих случаях при движении ракеты, кроме трех координат ее центра масс, нужно знать еще три угла, заданное ее ориентацию относительно Земли. Возможность однозначного определения положения тела в пространстве с помощью конечного набора (шести) чисел позволяет все операции по управлению полетом и предсказанию поло-жения ракеты в пространстве свободить к математическим действиям. Таким образом, математика становится основным инструментом управления движению ракет.

Компьютерная революция и космос

Известно, что в настоящее время лекчики-истребители, летающие на наболее быстрых самолетах, проходят тщательный отбор и медицинский контроль. Они должны иметь безупречное здоровье и идеальные психические реакции. Современный истребитель может развивать скорость, в четыре раза превышающего скорость звука, то есть более 1200 метров в секунду. Так как время реакции человека порядка 0,1 секунды, за время реакции пилота самолет успевает протеет расстояние в 120 метров. Прежде чем пилот применение, ситuation в воздухе может существенно измениться. Скорости космических объектов и ракет превозходят скорость звука более чем в 20 раз, поэтому время реакции человека создает при управлении полетом ракет «мертвую зону» порядка одного километра. Таким образом, человек в ряде ситуации не в состоянии управлять непосредственно, как говорят

4

«в реальном времени», полетом создаемых им аппаратов. К счастью, человек столкнулся с этой трудностоящую тогда, когда уже было создано средство для ее предоления.

Это средство — микропроцессорная вычислительная техника, мощные малогабаритные компьютеры на больших интерgalных схемах, «думающие» достаточно быстро, чтобы управлять движением ракеты «в реальном времени». Современные самолеты, ракеты и космические корабли, да и многое другие новейшие технические устройства, оснашаются такими компьютерами. В этой связи стали говорить о «второй промышленной революции», или «компьютерной революции» (см. «Квант», 1983, № 2, с. 2).

Игра «в договорили» для ракет

С помощью ЭВМ детская игра «в договорили» поднялась на качественное новый уровень и потеряла свой безобидный характер. Ныне ракеты стали основным боевым средством против воздействия целей. При этом в случае, когда ракета применяется против другой ракеты или самолета, оснашенного компьютером и делающего защиты маверры, мы имеем игру «в договорили» между двумя летающими компьютерами.

Оказалось, что математические задачи, возникшие при управлении движением одного или нескольких летающих объектов, имеют принципиальное новый математический характер. Новая математическая теория решения таких задач была основана в работах советского математика академика Л. С. Понтрягина в 50-х годах и получила название «теория оптимального управления».

Как сделать ракету?

«Аэрокосмическая технология» — при звуке этих слов джит рука и учащается пульс даже у самого матерого шпина.

Гигантские потоки информационного политического характера захлебывают земной шар, переполняют кабельные и радиорелейные линни связи и выплескиваются в космос. Всемирные системы спутников связи, спутникового теле- и радиовещания, космическая служба изучения и охраны природы — все это необходимо, все это важно для экономики, для науки, для техники, но как, как все это сделать?

«Как сделать авнайнер?», «Как сделать спутник?» — из кких материалов, какими операциями и на каких аппаратах — это и называется технологией. Самолет и космический корабль остантуся фантацией, пока вы не знаете, из чего и как их можно построить. Уже в древнем Китае запускали небольшие ракеты на фейерверках, но для того, чтобы в космос поднялся Юрий Гагарин, нужен был принципиально более высокий уровень технологически. Поэтому взлет Гагарина — это взлет и триумф советской технологии, доказательство ее самого высокого мирового уровня.

И вовь требуется повторить, что так же, как конструкирование и проектирование авнайнеров и космических кораблей базируется на математическом расчете и законах физики, так и технологически на достижении математики и физики. Производство элементов летаательных аппаратов требует такой точности и такой степеню организации производства, которые недоступны без компьютерных систем управления и контроля за станками и технологическими линяями.

Сопло из порошка

Допустим, мы уже проектировали ракету и уже знаем, какой формы должны быть сопло진력ного движения (см. «Квант», 1982, № 9). Но из какого материала его сделать? Требования к этому материалу — прочность и высокая температура стойкости. Ведь струя газов, выходящая из соплоки ракеты, имеет температуру 4000°С. При такой температуре железо, алюминий и большеинструменты летают.

5

Кроме того, плазменная структура может оказать и заметное физическое воздействие на стенки спла, ведь сегодная плазменная горелька используется для резки самых прочных металлов и сплавов. Итак, материал спла должен выдерживать температуру в 3000—4000°C и при этих температурах быть устойчивым к физическим воздействиям.

В природа практической отсутствуют материалы, которые в чистом виде могли бы удовлетворять этим условиям. Поэтому приходит использование принципы, чтобы охлаждать материал спла во время горения топлива. Наболее подходящим материалом является волфрам, температура плавления которого равна 3400°C. Однако получить из него сплошного профиля и с достаточно тонкими (из сообщения минимального веса) стенками традиционных методами металлообработки невозможно. Получить изделия путем отливки очень сложно, да и качество металла будет низким. Кроме того, даже если бы это и удалось, то волфрам не смог бы работать, так как температура отходящих газов при горении неокоторых видов современного топлива выше температуры его плавления.

И здесь на помощь приходит порошковая металлургия в сочетании с известными физическими принципами. Метод порошковой металлургии, который заключется в том, что в полость инструмента вы закладываете порошок металла, а затем подвергаете его давлению и спеканию, получается пористая структура изделия типа «пемзы». Затем эта «пемза» пропитывается медью (ее температура плавления всего 1083°C) и полученный материал кратковременно может работать, даже если температура отходящих газов будет около 4000°C. Парадокс? Отнюдь. Вспомните, когда вы в жаркий летний день выходит из речи на берег. Вам холодно. Почему? Вода, испарясь, забирает у вас тепло и охлаждает тело. Так и здесь медь испаряется и охлаждает волфрамовый каркас, а так как весь он пронизан каналами, наполненными медью, то она все время выступает на поверхности спла и охлаждает его. А вот скорость охлаждения и время работы зависит от диаметра капилляров, состояния их поверхности, общей пористости и т. д. Расчет зависит-

7

Уникальная лаборатория

Интервью
с летчком-костонавтом СССР
А.А. Серебровым

19 августа 1982 года в соответствии с программой исследований космической пространства в Советском Союзе был запущен космический корпель «Союз T-7».
20 августа произила стыковка корпля «Союз T-7» с орбитальным комплектом «Салют-7» — «Союз T-5», в околоземном космическом пространстве наал функционировать плотируемый научно-исследовательский комплекс «Салют-7» — «Союз T-5» — «Союз T-7».
27 августа, после выполнения общирной программы научных исследований, экипаж корпля «Союз T-7» благополучно возвратился на Землю.
Редакция «Кванта» встретилась с одним из участников этой экспедиции летчком-костонавтом СССР
Героем Советского Союза А. А. Серебровым и попросила его ответить на ряд вопросов, интересующих наших читателей.

Александр Александрович, насколько нам известно, по образование Вы — инженер-физик, окончили Московский физico-технический институт и долго время работали в нем. Какая область физики Вам наиболее близка?

Основная моя специальность — термодинамика, исследование тепло-массоперенosa: экспериментальное изучение особенностей движения масс жидкости и газов в заданных режимах температуры и давления *). Я принимал участие в работах по созданию станций «Салют-6» и «Салют-7». А некоторые результаты моих студенческих исследований «летают», обеспечивая необходимый телловой режим «Союзов» и «Союзов-T».

Ваше мнение, как физика, о долго-срочных полетах в космос.

Долговременные космические станции — уникальные физические лаборатории, позволяющие создавать условия, неоспроизвольные на Земле. В то же время, как физик я считаю, что прежде чем серверить о постановке научных физических экспериментов на станции, нужно изучить специфику коабля как лаборатория.

После выхода на орбиту станция со всем ее содержимым начинает почти свободно, если не считать торможения в атмосфере, «падать» на Землю, и это «падение» происходит на протяжении всего полета, пока не включены двигатели. Так что все на станции находится в состоянии невесомости. Оdnako, не все так просто, как мы читаем у фантастов.

При движении корпля по орбите меняется его удаленность от Земли, что сказывается на величины силы тяготения, действующего на станцию. Разумеется, на величины силы тяготения влияет и недорогодоступности Земли. Кроме того, корпус станции осуществляетVENTION работы вентиляторов, без которых невозможно обеспечить и тепловой режим работы аппаратуры, и жизньательность человека.

*) За работы в этой области авторскому коллективу, в котором входил А. А. Серебров, в 1976 году была присущена премия Ленинского комсомола.

9

Космонавт А. А. Серебров ответает на вопросы редакции журнала «Квант».

Земле — наливать из крана в горловину, то собрать всю воду в сосуде не удался. В условиях неевесомости жидкость не накалливается на дне сосуда, она «плавает» в сосуде в виде шаровых капель разного размера. Заполнение сосуда водой вызоветыт-technение из него воздействия, и вместе с воздейством будет «выпливать» взвешенные в нем капли воды.

Если же струю с малой скоростью направить сразу на стенку сосуда, то вода, смачивая стенку, будет прилипать к ней, и взвешенных капель не будет (по крайней мере, до тех пор, пока сосуд не встряхивают). Таким способом можно без потерь налить жидкость в сосуд, выталкивая из него воздействия.

И тут же возникает второй вопрос: а как можно взять из сосуда «плавающий» в нем жидкость?

Конечно, если есть центрифуга, то задача решается просто: привращении сосуда жидкость будет «прижиматься» к дальней от оси врашення стенке, а оттуда ее можно забирать с помощью шрица. Если нет центрифуги, можно прижать жидкость к стенке, двигая сосуд с небольшим линейнымускорением. Именно так обычно и делают.

Я предложил другой способ: помещить внутрен сосуда длиной и узкий предмет — например, черенок ложки, к которой капли прилипают. За счет сил поверхностного натяжения жидкость «расползается» по

10

черенку и подходит к краю горловины сосуда. Слегка «помешивая» черенком, легко добиться того, чтобы жидкость постояно находилась на черенке влизи выходного отверстия сосуда, откуда не трудно производить отбор жидкости.

Есть ли еще, кроме неевесомости, какие-нибудь существные отличия космической станции от земной лаборатории?

В земных лабораториях, в которых мне приходилось до этого работать, вопрос о размещении оборудования всегда был второстепенным, там главенствовали сообщения удобства. На космической станции любое перемещение оборудования вызывает смешение центра масс станции, что сразу же сказывается на характере ее поступательного иращательного движения и, как следствие, на работе самого оборудования. Эти обстоятельства учитывают при выборе оптимального режима коррекции положения станции.

Рассказите поподробнее об эксперименте «Таврия», проведенном вашим экспериментом во время полета.

«Таврия» относится к разряду биотехнических экспериментов (этот термин был предложен вице-президентом АН СССР академиком Ю. А. Овчинниковым). Это эксперимент по разделению биологического вещества на факции — группы клеток, сходных по своим физическим свойствам. В частности, удается разделить однотипные клетки даже по возрасту.

Трубку из произного материалов, в котором находится исследуемое вещество, помещают в электрическое поле направенно порядка 10 В/cm, направленное вдоль трубки. Под действием этого поля и происходит разделение вещества на однородные факции по длине трубки. В земных условиях из-за конвекционного перемещения подобное разделение во многих случаях невозможно. В состоянии неевесомости удалалось выделить десяти факций там, где в земных условияхrekordное разделение содержало лишь три факции, да и то с размытыми границами.

Какова практическая ценность подобного эксперимента?

Дело в том, что различные факции одного и того же вещества при их введении в организм животного существа воздействуют на разные органы — один на печень, другой на сердце и т.п. Прилечении одного органа важно не допустить отрицательного воздействия на другой. В частности, ограниченное применение такого вещества, как интерферон, приготовленного в земных условиях, связано с возможными нежелательными побочными эффектами.

В чем состоит Воше частичное в эксперименте?

Помимо выполнения операторской работы —montажка и отладивания прибора, съемок лазерным головром на борту станции, — я еще на Земле внес некоторые условиянствования в методку эксперимента. Так, вместе предусмотренной ранее круглой трубки, форографирование процессов в которой затруднен преломлением света в цилиндрическом стекле, по моему предложению была использована камера с плоскопарелльными стекками. Поскольку такой эксперимент на борту станции ставился впервые, необходимо было выбрать и обеспечить оптимальный режим работы установки с учетом реализации воздействия на нее. Это тоже было моей задачей.

Каковы Ваши дальнейшие планы?

Моя специальность — инженер-пытатель космической техники, этим много сказано. Хочу продолжать свою испытательскую работу, связанную с условиянствованием существующей и созданием новой эффективной космической техники. Хотел бы сервернее занять вопросы физики борта космического корабля.

Что пожелали бы Вы читателем нашего журнала?

Читатели «Кванта» — люди молодые, любознательные, творческие. Я им желаю открыть для себя новые горизонты в познании окружащего мира и, конечно, желаю подлинных научных открытий. А главное — желание стремления и умения реализовать на практике то, что удалось создать пером и мыслью.

12

25 апреля исполянется 80 лет академику Андрею Николаевич Колмогорову, одному из основателей журнала «Квант» и бессменному первому заместителю главного редактора.

Жизнь А. Н. Колмогова неразрывно связана с Московским университетом, студентом которого он стал в 1920 году и где затем был профессором и деканом; ныне Андрей Николаевич возглавляет кафедру математической логики и отделение математики механико-математического факультета.

По всесобщему признанию А. Н. Колмогов — один из ведущих математиков современности. Работы Андрея Николаевич относятся к самых различным отраслям математики и ее приложений, начиная от абстрактнойших разделов и кончая таким прикладными областями, как гидродинамика и теория управления. Во время Великой Отечественной войны А. Н. Колмогов внес большой вклад в теории расчета артиллерийских стрелб. Оdnako наиболее известность ему принесли работы по теории вероятности — Андрей Николаевич поставил эту науку на прочный аксиоматический фундамент и значительно обогатил много из ее разделов (предельные теоремы, марковские процессы, сложности числовых последовательностей).

А. Н. Колмогов — не только выдавшийся математик, но и прекрасный педагог,оспитавший много талантливых ученых. Средя его ученок — академики А. И. Мальцев, С. М. Никольский и Ю. В. Прокорров, членкорреспондент АН СССР И. М. Гельфанд, а из математиков более молодого поколения — доктора физико-математических наук В. И. Арнольд, Я. Г. Синай и безвременно умерший В. М. Алексеев.

Педагогический талант А. Н. Колмогова проявился не только в воспитании математических исследований: Андрей Николаевич много преподавал в общей средней школе, основал школьную интернат при МГУ и 15 лет преподавал в ней; в шестидесятых годах Андрей Николаевич возглавил Комиссию по(refорме математического образования и написал ряд школьных учебников.

Редакционный совет, редакционная коллея и редакция журнала «Квант» поздравляет Андрея Николаевич с днем рождения и желают ему доброго здоровья и новых успехов в педагогической деятельности и в науке.

Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым

Мы находимся в старом деревянном доме в деревне Комаровка под Московой, где Андрей Николаевич обычно проводит конец недели. Светлая, скромно обставленная комната. В одном из углов старый, но качественный проигрыватель со специальными полками для пластинок. Стены заставлены стеллажами с книгами. В середине комнаты большой стол с множеством книг, оттисков статей, рукописей, художственных альбомов. Андрей Николаевич сидит у окна за небольшим письменным столом. Рядом с пышушей машинкой и аккуратно сложенными исписанными листами бумаги стоит магнитоfon, на котором записьвается наша беседа. Стенограмму этой беседы мы и предлагаем вашему вниманию.

13

— Андрей Николаевич, часто приходит ссылать о возрастающей специализациям науки. В то же время известно, что Вы занимались таким делекомми друг от друга областями математики, как теория вероятностей и алгебраическая топология, математическая логика и теория динамических систем. В чем, по-Вашему, будущее науки — в универсальном или специализции?

— Математика велика. Один человек не в состоянии изучить все ее развевления. В этом смысле специализация неизбежна. Но в то же время математика — единая наука. Все новые и новые связи возникают между ее разделами, иногда самим нередвиденным образом. Один разделы служат инструментами для других разделов. Позмоту замыкание математиков в слишком узких пределах, должны быть, гибельно для нашей науки. Положение облегчает тем, что работа в области математики, в принципе, коллективна. Должно быть неокоторое количество математиков, которые понятно взаимные связи между самыми различными областями математики. С другой стороны, можно работать с большим успехом и в какой-нибудь совсемузкой ветви математики. Но в этом случае надо еще, хотя бы в общих чертах, понимать связи между своей специальной области исследования с областями смежными, понимать, что, по существу, научная работа в математике — коллективная работа.

— Что вы можете сказать о соответствии и связях прикладной и чистой математики?

— Прежде всего, нужно заметить, что само различие между прикладной и чистой математикойрезвычайно условно. Вопросы, которые казалось бы, принадлежат к чистой математике и не имеют применений, очень часто совершенно неожиданно оказываются важными для развития приложений. С другой стороны, занимаясь прикладной математикой, ученный почти неизбежно наглядяется на смежные вопросы, решающие теми же методами, привлекающие его своей логической красотой, но, собственно говоря, неосредственных приложений уже не получающие. Вероятно, в практической работе математика нужно проявлять

должную широкоту. Несомненно, что математики должны, это их долг, занимается всем теми вопросами, которые настоятельно называются вопросами практики. Если смешные вопросы, пусты сразу применений не имеющие, являются привлекательными хотя бы в силу красоты и естественности возниккающих задач, имми, конечно, тоже нужно заниматься.

— Норберт Винер пишет в своей авторографической книге, что персетал занимается функциониальным анализом, когда почувствовал, что «Колмогоров настоядает мне на пятки». А как Вы относитесь к конкуренции в математике?

— Заявление Винера мне несовсем понятно. В функциониальном анализе я сделал немного. Самая интересная работа по функциониальном анализу называется «Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в глобертовом пространстве».

Что касается конкуренции, то конкуренции может быть других сокращений, тогда она мало отличается от сотрудничества. Тесное содержство, когда два математика одновременно и параллельно думают над одной и той же проблемой, порой бывают очень продуктивным. Но при этом иногда бывают и так, что участне одного из сотрудников практических оказывается излишним и тогда ему разумно без обиды отчеты в сторону.

— Всегда ли математика была Вашим основным увлечением? Когда Вы окончательно выбрали математку как профессю?

— Нет, как это часто бывают, пути мого развития были более известны. С раннего детства было известно, что я умер хорошего и что меня интересуют математические задачи арфметического характера; я сравнительно рано познакомился и с началом алгебры. Но все это относится к очень раннему возрасту. Несколько позднее, в средних классах школа, победили уже совместные группы в выбора дальнейшего пути. В первые студенческие годы, кроме математики

14

ки, я занимался самым сервисным образом в семинаре по древнерусской истории профессора С. В. Бахрушина. Не бросал мысль о технической карьере,почему-то меня увлекала металлургия, и, параллельно с университетом, я поступил на металлургическое отделение Химiko-технологии-ческого института им. Менделеева и некоторое время там прочилися. Окончательный выбор математики как профессии, собственно говоря, произошел, когда я начал получить первые самостоятельные научные результаты, то есть лет с всемнадцатидевятнадцати.

— Когда обычно проявляются способности к математике? Всердали, как у Вас, в раннем возрасте?

— Я довольно много преподавал в средней школе. У меня сложилось такое впечатление, что интерес к математике в средних классах, в возрасте дванадцати-тинадцати лет, часто оказывается временным и совсем проходит к старшим классам. Особенно часто это былоет у девочек. С теми школьниками, которые увлечены математкой в возрасте 13—14—15 лет, по-моеу, стоит работать. При умелом культивировании их способности постепенно развиваются и, как правило, уже не теряются. Бывает, конечно, и очень много искусней. Разумеется, серbezный интерес к математике может проявиться и позже.

— Какие математики старшего поколения оказали на Вас наиболее влияние?

— В студенческие годы я был учеником Николая Николаевича Лузина. Кроме него большое влияние оказали на меня Вячеслав Васильевич Степанов, Александр Яковлевич Хинчин, Павел Сергеевич Александров и другие математики их поколения.

— Что Вам хотелось бы сказать о своих учениках и кого из них Вы хотели бы упомянуть?

— Мне повезло на талантливых учеников. Многие из них, начав работу вместе со мной в какой-нибудь области, потом переходили на новую тематику и уже совершенно независимо от меня получали замечательные результаты. Выделить из них наиболее заслуживающих упоминания было бы трудно.

Скажу только в виде шутки, что в настоящее время один из моих учеников управляет темной атмосферой, а другой — океанами*).

— Андрей Николаевич, каков Ваш режим дня?

— Естественно, в течение моей достаточно длинной жизни режим дня в разные ее периоды был различным. Опишу, пожалуй, только тот режим дня, который мы с Павлом Сергеевым Алексаандровым установили для себя на те 3—4 дня в неделю, которые мы проводили за городом, под Москвой, в деревне Комаровка.

День начинается в 7 часов утра. Первый час был посвящен гимнастике, пробежке. В 8 часов мы завтракали и принимались за работу за столом — с пишущей машинкой или без нее. В час или два часа был полдник, состоящий из молока или кефира с хлебом. После полдника мы еще немного работали, но обычно отправлялись на большую прогулку пешком или — зимой — на льжах, до 4 часов дня. Потом на полчасы мы украдывались спать. В 5 часов был обед. После обеда мы иногда еще занимались работой, общино — второстепенной: переписьвание или тому подобное. Вечер просвящался чтению, музыке, приему гостей. Перед сном мы любили еще делать небольшую прогулку. Укладывались спать около 10 часов.

Но, конечно, когда работешь и начинает получаться решение какой-либо важной проблемы, все отсутствует на задний план, никакого распорядка дня уже не было.

— Вы, как и многое математики, любите серbezную музыку. Рассказите, почему.

— Вше заменение о многих математиках, увлекающихся серbezной музыкой, мне кажется правильным. Если прийти в концептный зал, особенно в Малый зал Московской консерватории, то вы там увидите непропорционально много математков. По-видимому, между математическим творчеством и настоящим

*) Речь идет об академике А. М. Обухове, директоре Института физики atmosферы АН СССР, и об академике А. С. Монине, директоре Института океанологии АН СССР. (Прим. редакции.)

15

— Занимается ли Вы спортом? Каким?

— Состязательным спортом я никогда не занимался. Если не ошибалось, я только три раза в жизни участвовал в гонке на 10 км на льжах.

Но я всегда очень любил больше прогулипешком и на льжах, совершал длинные путешествия на байдаре или на лодке. Очень люблю плавание, похожи в горах. Во всех этих занятий я ценю не только их полезную для здоровья, но ту радость обещения с природой, которую они приносят.

Всегда любил купание в морском прибое. В солнечные матровские дни люблю делать больше лыжные пробеги в одних шортах. Во время таких матровских лыжных пробегов люблю выкупаться посредни сяюших на солнеце сгуговов в только что вскрывшейся отлъда речке. Впрочем, я не советую обязать подражать мне во всем этом — можно просто записаться в какую-нибудь привлекающую Вас спортивную секцию.

— Андрей Николаевич, что бы Вы хотели пожелать нашим читателем?

— Я сам являюсь ученым, и, конечно, в первую очередь, я желаю нашим читателем внести тот или иной вклад в научку, большой или хотя маленький. Замечу, впрочем, что в случае если все наши читатели принялись бы писать самостояльные научные работы, то научные журналы не выдержали бы такого натиска. Поэтому я высказку и более скромное пожелание — чтобы школьное увлечение математикой пригодилось вам и в дальнейшей жизни. В «Кванте» мы как раз стараемся вам показать (может быть, и недостаочно), как разнообразны приложения математической научки.

Беседу записал А. В. Сосинский

16

Рождение кванта

Академик АПН СССР
В. А. ФАБРИКАНТ

Председование определенной цели, дальнейшей свет которой не меркнет от первых неудачи, является необходимой предпосылкой, хотя далеко не гарантией успеха.

М. ПЛАНК.
Нобелевская речь.

В этом году 23 апреля исполнилось 125 лет со дня рождения Макса Планка, сделавшего одно из самых великих открытий за всю историю физики. Он открыл существование квантов. Есть не очень достоинный рассказ о том, что, гуляя со своим семилетним сыном, Планк сказал ему: «Или то, чем я занимаюсь теперь, есть совершенная бессмыслация, или речь идет, быть может, о самом большом открытии в физике со времен Ньютона». Действительно, сделанное Планком открытие поставило его имя в один ряд с именами выдающихся физков мира. Но путь к открытию был долг и труден. Речь шла о начале всей квантовой физики, а Карл Маркс недаром писал: «Всякое начало трудно — эта истина справедлива для каждой науки».

Интерес вопрос о том, благом ли было бы для человека отсутствие этих трудностей. У Достоевского в «Дневнике писателя» дан ответ: «Ну, что вышло бы, например, если … вдруг посыпался бы ряд открытий вроде таких, что солнце стоит, а земля вокруг него обращается (потому что, наверно, есть еще много таких же точно, по размерам, открытий, которые теперь еще не открыты, да и не снять мудрецам нашим); вдруг все знания так и свалились на человека, и, главное, совершенно даром, в виде подарка? Я справиваю: что бы тогда стало с людьми? О, конечно, сперва все бы пришли в восторг… Но вряд ли и одно поколевание людей хватило бы этих восторгов! Люди вдруг увидели бы, что жизнь уже более нет у них, нет свободы духа, нет воли и личности, что кто-то все украл разом… Поняли бы люди, что нет счастья в бездействии, что погаснет мысль не трудящаяся… Настанет скука и тоска: все сделано и нечего более делать, все известно и нечего более узнать».

Планк учится

Интерес к изучению физики у Планка пробudился еще в гимназии. В своей автообогранении он с большой теплотой вспоминает преподавателя математики Г. Мюллера — «общительного, произцательного, острумного человека, умевшего на ярких примерах объяснить смысл тех физических законов, о которых он нам, ученикам, говорил. Так получилось, что в качестве первого закона, не зависящего от человека и имеющего абсолотное значение, я, как открыто-

18

счет света, идущего изнутри полости. Так что отверстие ведет себя, как тело, поглощаще все падающие на него лучи, — абсолотно черное тело, и выходящие из него излучение — абсолотно черное.

На рисунке 2 изображено распределение энергии в спектре абсолотно черного излучения. По оси абсцисс отложена частота $v$, а по оси ordinат — интенсивность излучения $I_v^*$). Как видно из рисунка, спектр имеет непрерывный характер, и при каждой температуре максимум интенсивности приходит на определенную частоту.

Но вернемся к теории черного излучения. Общие термодинамические сообщения позволили Кирхгофу, Больцману и Вину вывести строгим путем ряд важных законов, управляющих излучением нагретых тел. Однако эти общее сообщения оказались недостаочными для вывода конкретного вида закона распределения энергии в спектре абсолотно черного излучения. В этом направлении больше всех продвинутся Вин. В 1893 году он доказал, что интенсивность излучения $I_v$ при данной частоте может зависеть от температуры только как от параметра, входящого в отношение $v/T$. Иными словами, $I_v$ должно зависеть от некоторой функции $f(v/T)$. Конкретный вид этой функции оставался неизвестным.

*) Интенсивность излучения — это энергия, приходящаяся на единичный интервал частот.

Планк приступает к решению проблем черного излучения

Планк приступил к исследованию проблем черного излучения в 1894 году, уже имея большой опыт физика-теоретическа. Он много занимался уточнением формулировок основных законов термодинамики, добавясь большой строгости и тем самым отчачивая строгость своего мышления. Вместе с тем, как мы увидим ниже, совершая свой главный научный подвиг, он вынужден был поступиться этой строгости, что создают дополнительные трудности.

Планк начал с попытки построить теории черного излучения на основе электронами Максвелла, расматривая излучацию тела как совокупность осцилляторов, испускающих и поглощающих электромагнитные волны $^*$). Он показал, что интенсивность излучения $I_v$ пропорциональна энергии $E_v$ осциллятора, испускающего излучение данной части. Этот результат дал возможность перейти от рассмотрения черного излучения к анализу свойств осцилляторов, представляющих более привычные объекты для физкового времени.

*) Интенсивность излучения — это энергия, приходящаяся на единичный интервал частот.

19

В 1896 году Вин, использую, по его словам, «счастливую идею» русского физика В. А. Михельсона, получилическим путем получил формулу, связывающегоую интенсивность изучения с частотой и температурой излучателя:

$$I_v = a v^3 e^{-b v/T}$$

(a, b — неоторные constants). Эта формула (ее называя «формулой Вина») оказывается в хорошо согласини с экспериментальными данными в области больших значений отношения v/T. Однако вскоре были получены экспериментальные данные в области малых значений v/T (инфракрасная часть спектра, высокие температуры), которые явно противоречили формуле Вина.

Стою ясно, что формула Вина нуждается в существенном улучшении, и Планк взялся за эту задачу. Решить ее ему удалось веснастерном путем. Полученный результат Планк изложил в докладе «Об одном улучшении закона излучения Вина», сделанном на засадании Немецкого физического общества 19 октября 1900 года. Здесь впервые появился знаменитая формула Планка:

$$I_v = \frac{a v^3}{e^{b v/T} - 1}$$

(1)

В «Научной автообогранении», опубликованой в 1955 году, Планк вспоминал: «На следующий день (после доклада) утром меня разыскал мой коллега Рубенс и рассказал мне, что после закрытия середины в ту же ночь моя формула была аккуратно сравнения с данными его измерений и повсюду было найдено удовлетворительное совпадение. Было найдено совпадение также и с данными Луммера и Прингхейма… Более поздние измерения все снова и снова подтверждали формулу для излучения и притом тем точнее, чем к более тонким методам измерений переходили».

Научный подход Планка

Планк отнюдь не был удовлетворен oderжанной победой. В той же автообогранении он пишет: «Однако, даже если формулу для излучения предполагаать справедливой с абсолотной точностью, то все же она имеет только формульный смысл удачно угадаанного закона».

Для ума, воспитанного на термодинатмических исследований, такое положение было нетерпимым. В речи, произнесенной при получении Нобелевской premии в 1920 году, Планк говорит: «Позтому я со дня ее (формулы) находения был занят задачей установления ее истинного физического смысла, и этот вопрос приведен … к большимановскому образу мысли. После нескольких недель напряженнойшей в моей жизни работы темного рассеялась и наметилась новые, неподозреваемые ранше дали».

Полученные результаты Планк должны 14 декабря 1900 года. Этот день следует считать днем рождения кванта, хотя в докладе Планка отсутствует соответствующий термин. В докладе Планка ссылался на больший темуар 1877 года, в котором Большман для построения кинетической теории газов воспользовался методами теории вероятности. Планк решил применить теорию вероятности к вопросу о распределении по энергиям осцилляторов, а потом перейти к распределению интенсивности в спектре абсолотного черного излучения. Все попытки Планка проведи этот выбор в рамках классической физики оказались безспешными. В поисках выхода из создавшегося положения Планк пришел к использованию приема, примененного Большманом в качестве промежуточного этапа вероятностных вычислений.

Большман в указанном темуаре ввел, как он писал, «полезную фикцию», заключавшуюся в предположении, что кинетическая энергия молекул может иметь только дискретный ряд значений, кратных одной и той же величины ε. Он выписаларифметическую прогрессию значений энергии молекул:

$$0, \varepsilon, 2\varepsilon, 3\varepsilon, ..., n\varepsilon.$$

Проведя соответствующие выкладки, Большман перешел затем к предлуу, устремляя ε к нулю, а n к беско-

20

нечности, так как на самом деле кинетическая энергия молекул образует непрерывный ряд значений. Таким образом, дискретность значений кинетических энергий молекул была просто промежутным вычислительным приемом, лишенным физическим смысла. Несмотря на формальный характер примененного Большимом приема, он, очевидно, сыграл существенную роль в становлении взглядов Планка, предположившего, что энергия осцилляров также образует дискретный ряд значений, кратных одной и той же величины. Попытки устремить эту велиину к нулю не дали желаемого результата, то есть не приведил к получению формулы (1). Тогда Планк отказался от этих попыток. В письме к известному американскому физнику Вуду Планк писал: «Коротко и ската я могу все это дело назвать актом отчаяния. Потому что по приодаю я миролюбив и не расположен к рискованным приключением. Но я тогда уже бLET (с 1894 г.) былся над проблемой равновесия между излучением и материй, не достигнувникакого успеха; я знал, что эта проблема имеетfundamentalное значение для физики, и я знал формулу, которая воспроизводит распределение энергии в нормальном спектре; теоретическое объяснение должно было быть найдено любой ценой, иникакая цена не была бы слишком высока». И Планк запалатил эту цену, введя в физку совершенное представление о дискретности возможных значений энергии осцилляров уже не как промежутный этап, обусловленный удобством вычисления, а как существенный элемент всего рассмотрения проблем. Тем самым нарушался основной принцип классического физики, согласно котором физические величины всегда изменяются непрерывным образом. Все верили в справедливость изречения Аристотеля: «Природа не делает скачков».

Учитывая ограничения, указанные Вином для вида зависимости $I_v(T)$, Планк вынужден был предположить, что порции энергии осцилляров должны быть пропорциональными частоте:

$$\varepsilon = h\nu .$$

Так в физку вошла новая функция постоянная $h$ — постоянная Планка. Величина $\varepsilon$ позволяет была назван квантом энергии. Использование условия (2), Планк получил выражение для энергии осциллятора $E_v$, а затем перешел к интегисовности излучения:

$$I_v = \frac{2\pi h\nu^3}{c^2(e^{h\nu/kT}-1)},$$

где $c$ — скорость света, $k$ — постоянная Большимана.

Планк недократно говорил об «извилистости» пути, который ему пришлось пройти. Действительно, ведь шла о вывода формулы (1’), представляющей улучшение формулы Вина. Это удалось сделать за счетведения квантования энергии. Но формула Вина расходилась с опытом в области малых частот, где $\varepsilon$ мало и квантование мало существенно. В области больших частот, где $\varepsilon$ велико и дискретность значений энергии осцилляров существенно, формула Вина давала хорошее совпадение с опытом. В чем же дело? Obviously пишут, что Вин вывел свою формулу из классических представлений. Это неточно. Вин, по существу, указаал свою формулу.

Появление единцы в знаменатель формелы Планка обеспечивало совпадение результатов теоретических расчетов с экспериментальными данными и в области малых частот. Вместе с тем, в этой единце был заложен зародыш новый отрасли технически — квантовой электронки, то есть возможность создания маzeров и лазеров. Но это, как говоря, уже другая история.

Как ни важна формула Планка, но идея квантования, использованная в процессе ее вывода, и введение новойfundamentalной константы оказались еще важней. Это была настоящая революция в физике, имеющая также последствия, как создание квантовой теории вещества и излучения. Наличие в физической формеле величины $h$ означает, что эта формула может быть получена только из квантовых представлений.

Путь, приведший Планка к полной победе, был, по существу, нелогич-

21

ным: пропорциональноность интенсивности изучения $I_v$ энергии осциллятора $E_v$ была установлена им на основе представления чисто классической физики, а выражение для $E_v$ было получено из квантовых представлений. Но эта «нелогичность» относить не紊жает заслуг Планка. Здесь явно сказалась его интуция великого естественногоателя. Такая же ситuation повторилась при создании Бором модели atoma. Только значительное позднее трудами ряда ученых была создана логичная квантовая теория, но при этом выявились новые проблемы. Развитие физики — яркое подтверждение справедливости ленинского теиса о неисчерпаемости свойств материалов. Получая терминологический Достоевского — человеку не угрожает «скука».

---

В заключение — несколько слов, характеризующих неокоторые черты облика Планка как человека и его взгляды.

Наряду с занятыми физикой Планк всего жизнь увлекателься музикой. Однако время, в юности, он даже коллебался в выборе между физикой и музикой. Планк был незаярным панистом, директоровал академическим хором и играл на органе. Он часто музицировал с Эйштейном, игravшим на скрипке. До глубокой старости Планк занимался туризмом и альпинизмом. Есть fotografия 84-летнего Планка на трехысячнике в Восточном Тироле. В егонатуре было стремление к предолению препятствий, хотя в общий жизни он был скромным, привеливым и серджанным человеком. Планк испытыл в своей жизни тяжельые утраты. В войне 1914 года под Верденом был смертельно ранен его старший сын; во времяфашизма его вторый сын был казен за участие в офисском заговоре против Гитлера.

Планк недократно проявлялружеские чувства к нашей стране. В 1925 году он посетил Советский Союз в связи с 200-летем Академии наук СССР. На вопрос корреспондента «Комсомольской правды» — «Что дала советская наука Западу?» — Планк ответил: «Русская наука внесла за последние годы крупный вклад в мировую науку. Работы русских физиков, особенно Иофе и Лазарева, хорошо известны мне и моим товарищам. В Германии известны имена многих советских ученых». В газете «Правда» было напечатано следующее заявление Планка: «Я унесу из вашей страны радостную мысль о том, что у вас о науке несут большую завоту не только учены, но и правительство, и общественность».

Научные идеи Планка получили всеобщие признание и принесли ему мировую славу. Он был избран членом академий наук практических всех стран, в том числе и АН СССР.

Умер Макс Планк в 1947 году в возрасте 89 лет. Имя его нассгда вошло в историю науки.

Наша обложка

《Ты целину усердно поднимал,
А я лишь изредка букет цветов сывал》

— так написал в письме Максу Планку выданной немецкой физик Арнольд Зоммерфельд, развивший квантовую теорию atoma Бора. Планк, считая, что в этих строках Зоммерфельд явно несправедлив по отношению к собственным заслугам, ответил ему таким четвертишим:

«Цветы, что ты и я сывали,
Друг друга дивно дополняли.
И мы из них с тобой вдвоем
Прекраснейший венок совем».

На первой странице обложки воспроизведена фотография, полученная Г. М. Гречко и Ю. В. Романенко с борта космической станции «Салют-6». Они фотографировали так называемый зодикаальный свет — явление рассення солнечного света в близнем космосе. Затем снимок прошел специальную обработку, в ходе которого зоны разной освещенности получили разные цветы. Такой метод позволяет оценивать состояние межпланетной среды, ее произношность, степень запыленности и изменять эти величины.

22

Расправление контуров на плоскости

Кандидат физико-mатематических наук С. В. МАТВЕЕВ

Сделаем из тонкой проволоки окружность, плавано изогнем ее в пространстве, придавей более сложную форму, и бросим на плоскость, плотно прижав к ней (рис. 1). Можно ли полученный плоский проволочный контур расправить в окружность не отрывая его от плоскости?

Мы считаем, что толщина проволоки нульвая, так что и в тех точках, где один участок колца проходит над другим (в так называемых двойных точках), верхний участок также лежит на плоскости. Проволока очень гибкая, но не бесконечно гибкая — радиус закругления не должен обращаться в ноль, иначе проволока может слиматиться. В частности, запрещена операция затягивания петелек, изображенная на рисунке 2.

Разумеется, расправить наш контур в пространстве всегда можно. Ведь мы начинали с проволочной окружности: ее можно восстановить, выполив проделанные нами изгибания в обратном порядке. Начав с окружности, мы обошли все сложности, связанные с узлами: если бы мы начали с такого заузленного контура, как на рисунке 3, нам завершено не удалось бы его расправить в окружность не только на плоскости, но даже в пространстве (см. «Квант», 1981, № 3, с. 8). Вернемся к нашему вопросу. Сначала

Немного поэксперименту и подумаем

Начем с проволочного контура на рисунке 1. Повозившись немного с реальный проволочной (можно и с ниткой), вы легко убедитесь, что этот контур расправить можно (процесс расправления показан на рисунке 4).

А теперь попробуйте расправить контуры а — е, изображенные на рисунке 5.

Я найдюсь, что читатель сумел расправить контуры б, д, е. Бесплодность попыток расправить контуры а, в, е убеждает в существовании нерасправляемых контуров. Но как доказ-

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3

23

Зать, что какой-нибудь контур расправить нельзя?

Что бы доказать невозможность того или иного построения или процесса, математики часто пользоваться следующим примемом. С каждым состоянием рассматривается объект связьвается некоторое число, осталось неизменным в данном процессе (такое число называют инвариантом или преяствием); затем инвариант подсчитывает для начального и конечного состояния объект; если получаются разные числа, то процесс перехода от начального состояния к конечному невозможен: ведь инвариант в процессе изменяется не может, на то он и инвариант!

Попробуем и мы связать какое-нибудь число с каждым плоским проводочным контуром. Первое, что приходит в голову, — это число двойных точек контура. Увы! Это — не инвариант, как видно, например, из процесса расправления контура на рисунке 4. Однако рассматривая этот рисунок внимательно, можно заметить, что двойные точки появляются и исчезают парами. Это наводит на мысль, что четность числа двойных точек не меняется, то есть что остаток от деления числа двойных точек на два — инвариант.

Так оно и есть (мы к этому еще вернемся). Из этого утверждения

24

возможных направлений обхода. Будем дивигаться по контуру из точки А с единной скоростью в выбранном направлении, а вектор скорости будем откладывать от фиксированной точки А’. Тогда вектор скорости будет поворачивать вокруг А’, причем его конец будет дивигаться по единной окружности (с центром в точке А’). Так как в момент завершения обхода контура и возвращения в точку А вектор скорости займет исходное положение, общее число оборотов, которое он совершит вокруг точки А’, является целым. При этом обороты в положительной направлении (против часовой стрелки) считаются со знаком «+», в отличательном (по часовой стрелке) — со знаком «-».

Постотрите на рисунок 6. На нем путь конца вектора скорости помещен красной линей и для наглядности с движут с окружности. На самом деле, красная кривая плотно наматывается на окружность, а точки 1’ — 6’ совпадают. Всего вектор скорости совершает (-1) оборот: от точки 1’ до точки 2’ — один оборот, от точки 2’ до точки 3’ и от точки 5’ до точки 6’ оборота не совершается, а от точки 3’ до точки 4’ и от точки 4’ до точки 5’ совершается по одному обороту в отпечатальном направлении.

Обещанный нами инвариант (обозначим его V) равен modulo общего числа оборотов вектора скорости. Он не зависит, оченьindo, от выбора начальной точки A; не зависит он также от выбора направления обхода, так как при изменении направления обхода общее число оборотов меняет только знак. Например, для контура на рисунке 6 инвариант V равен 1.

Покажем (не привода подробного доказательства), что V действительно является инвариантом. В процессе расправления все положения векторов скорости меняются плавано, без скачков, поэтому число V тоже должно меняться непрерывно; однако V — всегда целое число, оно может превращаться в другое целое число только скачком, что противоречит непрерывности. Поэтому V остается неизменным, является инвариантом расправления.

Теперь мы можем разобраться с контуром 5, е. Для него V=3 (проверьте!), поэтому он не расправляется в окружности (для которого V=1).

Если вы действительно проверили, что для контура 5, е V=3, вы, наверное, заметили, что вычислить число оборотов вектора скорости на практике не очень удобно, легко совершить ошибку. Однако V можно найти проще.

Для этого выберем определение на плоскости, скажем — направление оси Oy (см. рис. 6), и отметим точки, в которых вектор скорости направлен так же, как ось Oy. Поставим около каждой отмененной точки число +1, если маленький содержащий ее участок контур находится слева от нее; и —1, если справа (если же контур в отмененной точке имеет перегиб — то есть лежит по обе стороны от вектора — мы никакого числа не ставим).

Тогда инвариант V равен modulo суммы поставленных чисел.

25

Рис. 7.

Например, около точек 1 и 2 на рисунке 6 следует поставить +1, около точек 3, 4, 5 — поставить (—1). Поэтому для контура на рисунке 6 инвариант V равен 1. Доказите самостояльно, что указаный способ действиялено позволяет сосчитать V для любого контура.

На рисунке 7 для каждой целого неотрицательного числа n изображен контур с инвариантом V=n. Напомним, что если контур расправляется в окружность, то его инвариант V обязаан равняться инварианту окружности, то есть единце.

Инвариант R

Равенство V=1 является необходимым условием расправляемости контур в окружность. Является ли это условие достаточно? Я полагаал, что ответ на этот вопрос положен. Однако безупречные попытки расправить собственный брючный ремень, положенный так, как на рисунке 8, a, убедили меня в обратном и одновременно натолкнули на важное наблюдение: поднять с пола ремень (рис. 8, б) оказался дважды перекрученным!

Заменним контур на ленту, лежащую на плоскости так, чтобы контур совпадал с ее средней линией (рис. 9, a). Расправив контур в пространстве (например, верну его в исходное положение до бросания на плоскость), получим перекрученную ленту. Число «перекруток» обозначим через R. Это и есть второй инвариант, равенство которого 0 необходимо для расправляемости контур в окружность. Следует уточнить, что число перекруток береется со знаком «+», если перекручивание ленты проискит так, как на рисунке 8, б, и со знаком «—», если лента перекручена так, как на

26

рисунке 8, в (вспомните различие между правой и левой резьбой).

Докажем, что число R действительно является инвариантом, то есть что оно не меняется при расправлении контур на плоскости. Для этого достаточно заменить, что расправление контура определяет расправление ленты на плоскости, а число перекруглителей не меняется не только при расправлении ленты на плоскости, но и при произвольном перемещении ленты в пространстве.

Можно доказать (мы на этом останавливаемся не будем), что инвариант R вычисляется следующим образом. Выберем на контуре направление обхода. Поставим около каждой двойной точки число +1, если нижний вектор скорости направлен влево от верхнего, и —1, если вправо (легко увидеть, что при другом направлении обхода получается те же числа). Инвариант R равен сумме поставленных чисел. Например, контур на рисунке 9, б имеет 3 положительные и 4 отрицательные двойные точки, поэтому его инвариант R равен —1. Следовательно, этот контур на плоскости расправить нельзя.

Необходимые и достаточно условия

Мы убедились, что условия V=1 и R=0 необходимы для того, чтобы контур можно было расправить в окружность. Достаточно ли эти условия? Другими словами, можно ли, подсчитав инвариants V и R и убедившись, что V=1 и R=0, заключить, что контур расправляется в окружность? Оказывается, да.

Основная теорема. Для того чтобы контур можно было расправить на плоскости в окружность, необходимо и достаточно, чтобы его инвариант V был равен единице, а инвариант R — нулю.

Эта теорема дает полный ответ на вопрос, поставленный в начале статьи. Описанные выше простые способы подсчета инвариants V и R позволяют быстро проверить формулированное в ней необходимое и достаточно условие. Предлагаю читателю в этом убедиться на

29

Сирена Зеебека

И. Д. ЖИЖИЛКИН

Наверное, вам приходилось когда-нибудь слышать резкий звук сирены машины скорой помощи, спешащей к тяжелобольному, или мощный гул сирены, установленной на маяк и предупреждшей об опасности бороздящие открытое море корабли, или какой-то еще аналогичный сигналный гудок.

Может быть, не случайно источник этих сильных и потому далеко слышных звуков называющий сиреной. В древнегреческой мифологии сирены — это полуптицы-полуженщины, своим пеним завлекавшие моряков в опасные и гибельные места. Впрочем, это уже выходит за рамки темы данной статьи.

Существует много различных типов сирен. Например — механическим сирень, в которых используется перевывание воздуха струпу. Однако из наиболее простых была изобретена немецким физиком Томасом Иоганном Зеебеком, жившим с 1770 по 1831 года. (Объчно имя Зеебека связывает с открытьм им явлением термозлектричества, но любопытно, что Зеебек был первым, кто предложил использовать железные опилки для определения форм магнитных линей и для их непосредственного наблюдания.)

Как устроена такая сирена и можно ли ее сделать самостояльно — вот о чем讶ает речь в статусе, написанной учеником 9 класса 147-ой Московской школи Игорем Жижилкиным.

Сирену Зеебека можно сделать, используя… домашний пылеос и соковый химику.

Из плотного картона надо вырезать диск диаметром 400—600 мм и проделать в нем отверстия диаметром около 10 мм. (Отверстия удобнее всего пробивать с помощью металлической трубки, у которой напильником заострюют края.) Отверстия располагают на равных расстояниях друг от друга по концентрическим окружности так, чтобы расстояния между отверстиями были больше их диаметра.

С соковый химику надо снять нож и прочее оборудование и на вал надеть изготовленный круг с отверстиями, закрепив его зажимным винтом.

На шланг пылеоса нужно сделать насадку такую, чтобы ее выходное отверстие имело диаметр также около 10 мм.

Включив соковый химику в себя, направим струю воздуха из пылеоса перpendикулярно диску с отверстиями. Раздаться резкийвой. (Вот почему опыты с сиреной надо проводить только с согласия окружающих!) Высоту звука можно изменять, направляя струю воздуха на отверстия различных концентрических окружностей.

Почему же звучит сирена? Ответить на этот вопрос можно так. Если быстро врашать диск с отверстиями и продавать через эти отверстия воздуха, то позади отверстия струя будет перевыстий, представляя собой чередующся друг с другом скатания и разрежения. Они и вызывают звук определенной высоты.

Нетрудно сообщить, что высоту тона можно расчитать заранее, для этого достаточно умножить частоту врашения вашего круга (о чем можно прочитать в инструкции к соковый химику) на число отверстия.

Советует вам проделать предлагемые эксперименты и самостоятельную убедиться во всем, сказалном выше.

33

ющая на всей числовой прямой. График арктагена изображен на рисунке 6.

---

Тождества с «аркусами» доказываются обычно следующим примемом: во-первых, вычисляется значение какой-нибудь тригонометрической функции φ (φ — это синус, косинус или tangent) от обеих частей доказываемого тождества

$$A = B$$

и проверяется, что $\varphi(A) = \varphi(B)$, и, во-вторых, установливается, что $A$ и $B$ расположены на таком промежутке, где выбранная функция φ монотонна; тогда из равенства $\varphi(A) = \varphi(B)$ вытекает, что $A = B$.

Пример 1. Докажем, что для всех $x \in [-1; 1]$ верно (4). Посчитаем косинус от обеих частей равенства (4):

$$\cos(\arccos(-x)) = -x,$$
$$\cos(\pi - \arccos x) = -\cos(\arccos x) = -x.$$

Итак, $\cos(\arccos(-x)) = \cos(\pi - \arccos x)$. По определению арккосинуса

$$0 \leq \arccos(-x) \leq \pi.$$

Из неравенства $0 \leq \arccos x \leq \pi$ вытекает, что

$$0 \leq \pi - \arccos x \leq \pi.$$

На $[0; \pi]$ косинус монотонен. Следовательно,

$$\arccos(-x) = \pi - \arccos x.$$

Если мы в качестве вычисляемой функции выбрали синус, то, конечно, тоже получили бы совпадение значений:

$$\sin(\arccos(-x)) = \sqrt{1 - \cos^2(\arccos(-x))} = \sqrt{1 - (-x)^2} = \sqrt{1 - x^2},$$
$$\sin(\pi - \arccos x) = \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - \cos^2(\arccos x)} = \sqrt{1 - x^2}$$

(в обеих случаях перед корнем пишется «плюс», так как $0 \leq \arccos(-x) \leq \pi$ и $0 \leq \arccos x \leq \pi$, а на $[0; \pi]$ синус неотрицатель), но из равенства

$$\sin(\arccos(-x)) = \sin(\pi - x) = \sin(x).$$

Пример 3. Докажем, что для $x \in \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3}{2}\pi\right]$

$$\arcsin(\sin x) = \pi - x.$$

С одной стороны,

$$\sin(\arcsin(\sin x)) = \sin x,$$
$$\sin(\pi - x) = \sin x.$$

34

С другой стороны,

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin(\sin x) \leq \frac{\pi}{2}.$$

Из неравенства $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3}{2} \pi$ следует, что

$$-\frac{\pi}{2} \leq \pi - x \leq \frac{\pi}{2}.$$

На $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ синус монотенен. Значит, $\arcsin(\sin x) = \pi - x$. Итак, $\arcsin(\sin x) =$

$$\begin{cases} x, & \text{если } -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ \pi - x, & \text{если } \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3}{2} \pi. \end{cases}$$

Поскольку $\arcsin(\sin x)$ — периодическая функция с периодом $2\pi$ (почеему?) и отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3}{2} \pi]$ имеет длину $2\pi$, мы можем построить ее график (рис. 7).

---

Задачи на вычисления с «аркусами» решаются аналогично.

Пример 4. Вычислим $A = \arcsin\frac{4}{\sqrt{65}} - \arccos\left(-\frac{11}{\sqrt{130}}\right)$.

Прежде всего, $A = \arcsin\frac{4}{\sqrt{65}} - \left(\pi - \arccos\frac{11}{\sqrt{130}}\right) = \arcsin\frac{4}{\sqrt{65}} + \arccos\frac{11}{\sqrt{130}} - \pi$. Оценим теперь число $B = \arcsin\frac{4}{\sqrt{65}} + \arccos\frac{11}{\sqrt{130}}$. Поскольку $\frac{4}{\sqrt{65}} > 0$ и $\frac{11}{\sqrt{130}} > 0$,

$$0 < \arcsin\frac{4}{\sqrt{65}} < \frac{\pi}{2}$$

$$0 < \arccos\frac{11}{\sqrt{130}} < \frac{\pi}{2}$$

Так как на $[0; \pi]$ синус не монотенен, а косинус монотенен, найдем cos $B$:

$$\cos B = \cos\left(\arcsin\frac{4}{\sqrt{65}} + \arccos\frac{11}{\sqrt{130}}\right) =$$

$$\cos\left(\arcsin\frac{4}{\sqrt{65}}\right) \times$$

$$\times \cos\left(\arccos\frac{11}{\sqrt{130}}\right) -$$

$$-\sin\left(\arcsin\frac{4}{\sqrt{65}}\right) \times$$

$$\times \sin\left(\arccos\frac{11}{\sqrt{130}}\right) =$$

$$\sqrt{1 - \left(\frac{4}{\sqrt{65}}\right)^2} \cdot \frac{11}{\sqrt{130}} -$$

$$-\frac{4}{\sqrt{65}} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{11}{\sqrt{130}}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Из соответствия cos $B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0 < B < \pi$ следует, что $B = \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$. Значит, $A = B - \pi = -\frac{3}{4} \pi$.

Пример 5. Сравним числа $\arcsin\frac{2}{5}$ и $\arccos\frac{2}{5}$. Поскольку $\frac{2}{5} > 0$,

$$0 < \arcsin\frac{2}{5} < \frac{\pi}{2}$$

$$0 < \arccos\frac{2}{5} < \frac{\pi}{2}$$

(Окончание см. на с. 49)

35

Квашт
для младших школьников

Задачи

1. Мой знакомый Саша однажды мне сказал: «Позавчера мне было 10 лет, а в будущеем году мне исполнится 13 лет». Может ли такое быть?

♦
2. Две высоты треугольника не меняше сторон, на которые они опущены. Найти углы треугольника.

♦
3. Сломаем пополам спичку. Одну половинку переломим еще раз. Один из получившихся кусочков снова попытаемся переломить пополам. Почему с каждым разом ломать спичку становится все труднее?

♦
4. Найдите все пятизначные числа, равные кубу числа, образованного двумя их последними цифрами.

♦
5. Какое число нужно поставить вместе знака «?» в последовательности 17, 23, 13, 11, ?, 15?

♦
Эти задания нам предложили
С. М. Коршунов, А. П. Савин, С. Р. Сефибеков,
С. М. Ушинцкий.

35

36

Магистр Игры
в гостях
у «Кванта»

Кандидат физико-математических наук
В. Л. ГУТЕНМАХЕР

Мы пригласили в редакцию Магистра Игры*), известного специалиста по теории игры — он знает много старинных игры и придумывает новые.

— Уважаемый Магистр, расскажите нам, пожалуйста, об целях.

Магистр. Начнем с простейшей игры, которую мы будем называть.

Игра для начинающих. На столе лежат 66 бусинок. Первый игрок может взять себе от 1 до 9 бусинок, второй игрок берет от 1 до 9 бусинок из оставшихся и так далее. Выигравает тот, кто заберет последние бусинки.

Игра называна «Игрой для начинающих» — в этом есть двоякий смысл. Во-первых, игра простая и на ее примере удобно показать способы рассужdenей начинающим математикам. Во-вторых, в этой игре, если правильно играть, выигравает начинающий игрок — тот, кто ходит первым.

— Как Вы будете церать, если Вы начинаете?

Магистр. Я возьму 6 бусинок — останется 60. Как бы ни пошел противник, следующим ходом я могу сделать так, что останется 50 бусинок, затем — 40, затем 30 и так далее, пока не останется 0 бусинок. Я выиграл.

Если же начну игра не я, то выиграет противник, знающий описанный способ игры. Поэтому двум магистрам достаточно бросить монетку и

*) Магистр Игры — персонаж романа Германа Гессе «Игра в бисер» (М., «Художественная литература», 1969).

37

выяснить, кто научет игру. После этого они могут и не играть — и так ясно, кто победит.

— Что делать, если противник начал первым церру, но не знает, как правильно церть?

Магистр. Нам же известны «выигрышие позиции» — когда число бусинок, которое остается после хода, кратно 10. Вот и нужно, как только представится возможность, перейти в такую позицию.

— Как Вы разгадали секрет этой церры?

Магистр. Я начал рассуждать от конца игры, а не от ее начала. Допустим, я выиграл, то есть взял последние бусинки. Я мог это сделать только в том случае, если перед этим противник оставил на столе от 1 до 9 бусинок. Что бы заставить его сделать, я должен был оставить на столе после своего предыдущего хода 10 бусинок. Это выигрыная позиция. Точно так же следующего (на самом деле — предыдущего) выигрыная позиция — оставить 20 бусинок. Выигрышие позиции дальше периодически повторяются. Самая последняя, то есть самая первая выигрыная позиция — оставить на столе 60 бусинок. Мы знаем, что попасть в нее можно первым ходом — забрав 6 бусинок.

Как видите, мои секреты очень просты: рассуждать от конца игры и нахождение выигрыные позиции. Ну и, конечно, подмечать, как они периодически повторяют.

— Спасибо, Магистр. А не предложите ли Вы нам другие церры?

Магистр. Рассмотренную игру очень легко обобщить: давайте, считать, что в начале на столе лежит N бусинок и что каждый игрок может брать от 1 до p бусинок. При конкретных N и p мы получаем различные конкретиные игры. В частности, при p=9, N=66 — это наша игра для начинающих.

— А есть ли правила, которое годилось бы для любой такой церры?

Магистр. Да, есть. Если число N не делится на p+1, при правильной

38

ингре начнающий выиграет. Он должен сначала взять столько бусинок, чтобы оставшееся число делилось на $p+1$ (то есть взять $r$ бусинок, где $r$ — остаток от деления $N$ на $p+1$), а затем применять эту тактику и дальше.

Если же число $N$ делится на $p+1$ (скажем, $N=k (p+1)$), то выигравает игрок, который ходит вторым. Как бы ни начал его противник, он сможет все время попадать в выиграшные позиции: $(k-1)(p+1), (k-2)(p+1)$ и т. д.

— Может ли еще как-нибудь изменить «Неру для начинающих»?

Магистр. Да, например, есть игра «Побеждает чет». В этой игра два игрок тоже берут поочередно от 1 до $p$ бусинок из кучки, в котором в начале имеет нечетное число бусинок. Побеждает на этот раз тот, кто в игге, когда стол опустет, наберет четное число бусинок. Эта игра горздо интереснее — выиграть в ней значительное сложнее.

— Правда ли, что тем не менее Вы и в ней всегда выиграете?

Магистр. Если мне предоставлено право выбирать, начинаю ли я игру или ходу вторым, то я всегда выиграю. Я знаю теорему — в играх такого типа*), как эти, у одного из игроков есть выиграшная стратегия. Этот замечательный факт теории игри придал мне уверенность, и, готовясь к игре, я нашел секрет выиграша**).

Приведу по этому поводу стих моето приятель Магистра Игры Изефа Кнехта:

Ты пишешь на листе, и смысл ознакомен И закреплен блуждаями пера,
Для следующего до конца проразчен:
На правильах поконтся игра***

*) Речь идет об играх, которые специализми называют «конечные игры безничных с полной информацией». О них можно прочитать в книге Е. С. Вентцель «Элементы теории игри» (М., «Наука», 1959) или в «Кванте», 1981, № 1, с. 12.

**) Этот секрет разгадали также ребята из Малой Академии наук Крыма. «Квант» найдется вскоре вернуть к этой игре.

***) Из упомянутой книги Германа Гессе «Игра в бисер» (перевод стихов С. Аверинцева).

39

Задачи

М796—М800; Ф808—Ф812

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наноблее трудные задания отмещаются звездочек. Послед фирмularовки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера можно отправлять не позднее 30 июня 1983 года по адресу: 103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 4 — 83» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «М796, М797» или «Ф808». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задач по физике» или «…новая задач по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школя и класс, в котором вы учитесь.

М796. Точка $P$ расположена внутри квадрата $ABCD$ так, что $|AP| : |BP| : |CP| = 1:2:3$. Най-dите $\widehat{APB}$.

Л. Д. Курляндик

М797*. Известно, что последним цифрами квадратов целых чисел могут быть лишь цифры 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Верно ли, что перед последней цифрой в них может встретиться любая группа цифр, то есть что для любого набора из $n$ цифр $a_1, a_2, \dots, a_n$ можно найти целое число, квадрат которого окачивается цифрами $a_1 a_2 \dots a_n b$ (где $b$ — одна из перечисленных выше цифр)?

Д. Б. Фукс

М798*. На окружности отметили $4k$ точек и раскрасли их попеременно в красный и синий цвета; затем $2k$ красных точек произвольным образом соединили попарно $k$ красными отрезками, а $2k$ синиях — $k$ синими отрезками (никание три отрезка не пересекаются в одной точке). Докажите, что найдется по крайней мере $k$ точек пересечения красных отрезков с синими.

С. В. Фомин

М799. a) Найдите одно решение уравнения $3^{x+1}+100=7^{x-1}$ и докажите, что у него нет других решений.

6. • Найдите два решения уравнения

$$3^x+3^{x^2}=2^x+4^{x^2}$$

и докажите, что у него нет других решений.

С. С. Валландер

М800*. a) На плоскости отмечены все точки с целочисленными координатами — узлы квадратной решетки, и среди них выделен один «начальный» узел $O$. Для каждой из остальных узлов $P$ проведена прямая, относительно которой узлы $O$ и $P$ симметрины, — серединный перpendикуляр к отрезку $OP$. Проведенные прямые разбивают плоскость на мелкие части (треугольники и выпukлы многоугольники). Припишем каждой из них натуральное число —

40

ране — по следующему правилу: часть, содержащая точку $O$ (она имеет форму квадрата), получает ранг 1, части, граничшие с ней по стороне, — ранг 2, части, граничшие с ним по стороне (и отличные от уже рассмотренных) — ранг 3 и т. д. (рис. 1). Доказите, что суммарная площадь всех частей ранга $r$ одна и та же при всех натуральных $r$.

6. Верно ли аналогичное утверждение для произвольной решетки из параллельгаммов (в частности, из ромбов с углом в $60^\circ$)? Для решетки из правильных шестиугольников?
   в) Сформируйте и доказите аналогичное утверждение для кубического решетки в пространстве.

А. В. Гончааров

Ф808. Моторная лодка, нахождения в точке $A$ на расстоянии $R$ от берега озера, начинает разворот, двигаясь со скоростью $v=18$ km/ч по окружности радиуса $r=R/2$; в начальной момент скорость лодки направлена к берегу (рис. 2). Волна от лодки до берега через время $t=3$ мин после начала разворота. Скорость распространения волн от лодки по поверхности воды равна $u=9$ km/ч. Найти расстояние $R$.

А. И. Буздин

Ф809. Цилиндрический бак наполнен доверху жидкостью плотности $q$. Сверху бак плотно закрыт крышкой радиуса $R$. Снизу в баке имеется отверстие площади $s$, закрытое пробкой массы $m$ (рис. 3). Чтобы вытащить пробку из бака, нужно приложить силу $f$. С какой максимальной угловой скоростью можно врашать бак вокруг вертикальной оси так, чтобы пробка не вылетала?

В. И. Комов

Ф810. Имеется нагреваль с рабочей температурой $t_H=700^\circ C$. Температура окружающей среды — $t_0=20^\circ C$. Какое минимальное количество теплла необходимо забрать у нагревалеля, чтобы испарить $m=3$ кг воды, нагретий до температуры кипения ($t_1=100^\circ C$)? Удельная температура парообразования воды $r=2,26$ МДж/кг.

О. С. Рабинович

Ф811. В обычной схеме однополуперiodного выпрямителя (рис. 4) $C=1000$ мкФ, $R=500$ Ом. Частота сети $f=50$ Гц. Считая дидельным, найти:

1. величины коэффициента пульсации напряжения $k=\frac{\Delta U}{U}$ на резисторе $R$;
2. • во сколько раз уменьшится коэффициент $k$, если последовательно с резистором включить катушка индуктивности $L=100$ Гн?

А. Р. Зильберман

43

между которых не более 1, также, что длина части ломаной, заключающий между ними, не меньше 198.

Рис. 1.

Рис. 2.

М781. Построите прямую, паралельную стороне AC данной треугольника ABC и пересекающую его стороны AB и BC в таких точках D и E соответственно, что |AD| = |BE|.

Рис. 1.

Рис. 2.

как объединение двух множества U точек, удаленных на расстояние, не большее 1/2, от ломаной AM и множества V точек, удаленных на такое же расстояние от ломаной MB. Эти множества не пусты (U содержит точку C₁, а V—C₃) и каждое из них состоит из отрезков и отделных точек. (Действительно, множество точек плоскости, удаленных от ломаной на расстояние 1/2, представляет собой «коридор» ширины 1, иуший вдоль ломаной, с закруглением около ее вершин — см. рис. 2. Ясно, что такой коридор может пересекаться с произвольным отрезком по конечному числу отрезков и отделных точек.) Легко понять, что множества U и V имеют хотя бы одну общую точку P, либо в противном случае они не покрывали бы весь отрезок A₁A₃. На ломаной AM найдется точка X, отстоящая от P на расстояние, не большее 1/2; аналогичная точка Y (|YP|≤1/2) есть и на ломаной MB. Точки X и Y являются искомыми.

В самом деле, расстояние от X до Y не превыходит |XP|+|YP|≤1. С другой стороны,лина участка ломаной L от X до Y равна сумме длин ломанных XM и MY, то есть не меньше суммы длин отрезков XM и MY. Но |XM|≥|PC₂|—|PX|—|C₂M|≥|C₁C₂|—1=99; аналогично, |YM|≥99. Следовательно,лина ломаной XY не меньше 198.

А. П. Савин

Из многочисленных решений этой задачи мы выбрали два, показавшиеся нам наиболее почительными.

Первое решение основано на методе комотетии. Заметим, что при громотии Hᵉk с центром B и коэффициентом k=|AB|:|DB| отрезок DE перейдет в AC (рис. 1), так как (DE)||(AC); при этом △ABC перейдет в △A₁BC₁. Ясно, что |A₁A|=|BC| и что прямые A₁C и AE параллельны. Поэтому для построения отрезка DE достаточно отложить на луче BA отрезок |AA₁|, равный |BC|, (см. рис. 1) и проведсти через точку A прямую l, параллельную A₁C. Точка ее пересечения со стороны BC и есть искомая точка E. (Вершина C₁ фактически нам не понадобилась). Это построение можно слегка упростить: очевидно, что прямая l=(AE) пересекается с прямой, параллельной AB и проходящей через C, в точке K, удаленной от вершины C на расстояние |CK|=|AA₁|=|CB| (см. рис. 1). А построить точку K совсем легко.

Второе решение использует перемещения, точнее, перемещение определенного типа — скользываную симметрию. Скользывающую симметрию Sᵗᵗ с осью l и вектор а называется композиция осевой симметриции Sᵗᵗ и параллельного переносса на вектор а, при этом вектор а должен быть параллельен оси (рис. 2); в частности, при а=0 скользывающую симметрия превращается в обычную осву. Очевидно, что середина любого отрезка PP₁, где P₁—образ точки P при скольизации симметрики, лежит на ее оси (см. рис. 2). Кроме того, легко видеть, что для любых двух лучей PQ и P₁Q₁ можно указыть (единистенную) скользываную симметрию, переводящую луч во второй: ось l этой симметрики проходит через середину отрезка PP₁ и образует равные углы с данными лучами *) (см. рис. 2), а вектор равен P’P₁, где P’=Sᵗᵗ(P).

Рассмотрим теперь скользываную симметрию, переводящую луч AB в луч BC. Поскольку |AD|=|BE|, она переведет точку D в точку E. Поэтому середина F отрезка DE лежит на оси этой симметрики. С другой стороны, точка F лежит на медиане BM треугольника ABC, так как

*) Точнее, ось l параллельна биссертисе угла, стороны которого совпаданы с лучами PQ и P₁Q₁.

45

Теперь воочию видно, что $\sqrt[3]{3} > \sqrt[5]{6}$ и, следовательно, $n < 5$. Кроме того, видно, что, например, число 1,45 удовлетворяет первым четырем неравенствам.

Если же вместо калькулятора мы станем пользоваться логарифмической линейкой, дающей не более трех верных знаков, то, даже получив в качестве значения для $\sqrt[3]{3}$ число 1,44, а для числа $\sqrt[5]{6}$ значение 1,43, мы не будем уверенены в правильности последних цифр и должны будем сравнить эти корни прямым счетом, как это было сделано выше.

6. Покажем, что для любого натурального $n$ можно подобраться столь малое $\alpha > 0$, что аргументческая прогрессия $1 + \frac{\alpha}{2}, \left(1 + \frac{\alpha}{2}\right) + \alpha, \dots, \left(1 + \frac{\alpha}{2}\right) + n\alpha$ с разностью $\alpha$ и геометрическая прогрессия $1 + \alpha, (1 + \alpha)^2, \dots, (1 + \alpha)^n$ со значением $1 + \alpha$ удовлетворяют условиям задачи.

Воспользуемся тождествором $q^k - 1 = (q - 1)(q^{k-1} + q^{k-2} + \dots + 1)$. Полягая в нем $q = 1 + \alpha$, получим, что при всех $k \ge 1$

$$(1 + \alpha)^k = 1 + \alpha((1 + \alpha)^{k-1} + (1 + \alpha)^{k-2} + \dots + 1).$$

Подберем столь малое $\alpha$, что $(1 + \alpha)^n < 1 + \frac{1}{2n}$, тогда при всех $k = 1, \dots, n$

$$(1 + \alpha)^{k-1} + (1 + \alpha)^{k-2} + \dots + 1 < k(1 + \frac{1}{2n}) \leq k + \frac{1}{2}.$$

При таком $\alpha$ в силу (*) будут выполены неравенства $(1 + \frac{\alpha}{2}) + (k - 1)\alpha < 1 + k\alpha < (1 + \alpha)^k < 1 + \alpha(k + \frac{1}{2}) = (1 + \frac{\alpha}{2}) + k\alpha$ при всех $k = 1, \dots, n$, то есть $k$-й член указанной геометрической прогрессии заключен между $k$-м и $(k + 1)$-м членами аргументической прогрессии, что нам и требовалось.

A. П. Савин

**M784. Шарообразная планета движется по окружности вокрезды и врачается вокруг своей оси, причем ось сутичного врачания наклонена к плоскости орбиты под углом $\alpha$ (для нашей Земли $\alpha = 66,5^\circ$). Найдите зависимость продолжительности $T$ самого короткого дня в году в данной пункте на поверхности планеты от географической широты $\varphi$ этого пункта. (Движение планеты по орбите считается очень медленным по сравнению с врачанием). Напишите формулу для функции $T = T(\varphi)$ и начерите примерный график.

Рис. 1.

Ответ: $T(\varphi) = \frac{1}{\pi}$ агссos (tg $\varphi$ · ctg $\alpha$) при $0 \leq \varphi \leq \alpha$ и $T(\varphi) = 0$ при $\varphi > \alpha$ (за единицу времени приняты сутки для данной планеты, то есть время одного ее оборота вокруг своей оси); примерный график функции $T(\varphi)$ показан на рис. 1.

Пусть плоскость, содержащая точки с широтой $\varphi$, пересекает ось врачания планеты в точке $M$, а перpendикуляр к плоскости ее орбиты, проведенный из центра планеты $O$, — в точке $K$ (рис. 2). Гранизация дня и ночи на этой шрифте служит концы хорды $P_1P_2$, по которой указывается больший круг, отделяющий освещенную поливну планеты от неосвещенной. Поэтому продолжительность дня (в сутках) на шрифте $\varphi$ равна $T = \gamma/2\pi$, где $\gamma$ — величины угла $P_1MP_2$. Очевидно, этот угол (и продолжительность дня) имеет наименьшую величины, когда хорда $P_1P_2$ perpendикулярна прямой $MK$.

В этом случае $\cos \frac{\gamma}{2} = \frac{|MK|}{|MP_1|}$. Точка $P_1$ имеет широту $\varphi$, значит $P_1OM = \frac{\pi}{2} - \varphi$ и $|MP_1| = R \cos \varphi$, а $|OM| = R \sin \varphi$, где $R$ — радиус планеты (см. рис. 2). В треугольнике $MOK$ угол при вершине $O$ равен $\frac{\pi}{2} - \alpha$, поэтому $|MK| = |OM| \cdot \cos \varphi = R \sin \varphi$. Таким образом,

46

М785. а) Про возрастицую последовательность положительных чисел $a(n)$, $n=1, 2, 3, \dots$ извесно, что для любого натурального числа $k>1$ существует числа $b_k$ такое, что $a(kn) \leq b_k a(n)$ при всех $n$. Докажите, что существует последовательные числа $c$ и $a$, для которых $a(n) \leq cn^a$ при всех $n \geq 1$.

Останется ли верным это утверждение, если в условияб) слово «любого» заменить на «некоторого»?
в) не требовать, чтобы последовательность $a(n)$ была возрастицей?

$$a(k) \leq ba(1)$$
$$a(k^2) \leq ba(k)$$
$$a(k^r) \leq ba(k^{r-1})$$
$$b = k^{\log_k b}$$
$$b^{\log_k n} = n^{\log_k b}$$

$$\gamma = 2 \arccos \frac{|MK|}{|MP_1|} =$$
$$= 2 \arccos \frac{R \sin \varphi \mathrm{tg} \alpha}{R \cos \varphi} = 2 \arccos(tg \varphi \cdot ctg \alpha).$$

При $\varphi > \alpha$ в момент «зимнего солнцестояния» параллель с широтой $\varphi$ целиком лежит в неосвесенной половине планеты и $T(\varphi) = 0$; здесь наступает полярная ночь (эта область видела на рисунке 2 черным цветом). Заметим, что при приближении к точке $\varphi = \alpha$ (из интервала $\varphi < \alpha$) касательная к графику $T(\varphi)$ становится вертикальной.

А. П. Савин

Докажем сразу, что ответ на вопрос 6) утвердительный: если (для некоторого $k > 1$) найдется $b = b_k$ такое, что $a(nk) \leq b \cdot a(n)$ при всех $n$, то $a(n) \leq cn^u$ при некоторых $c$ и $a$.

Положим $a(1) = a$. Переменная ряда головных неравенств на полях, получим, что (для любого натурального $r$)
$$a(kr) \leq a \cdot br = a \cdot kr^u,$$
где $a = \log_k b$. Для любого $n$ выберем $r$ так, что $kr^{-1} < n \leq kr$, то есть $\log_k n \leq r < \log_k n + 1$. Получясь монotonность $a(n)$ и вторым красным тождестом на полях, получаем:
$$a(n) \leq a(kr) \leq a \cdot br < a \cdot b^{\log_k n + 1} = ab \cdot n^{\log_k b} = cn^u,$$
где $c = ab$.

Построим теперь пример, показывающий, что ответ на вопрос в) — отрицательный. Нетрудно построить такую последовательность $a(n)$, которая обладала бы свойством мультитипикативности: $a(mn) = a(m)a(n)$ для всех $m, n$, и при этом (для любого натурального $r$) нашли бы такие $n$, что $a(n) \geq n^r$. Например, можно положить
$$a(n) = p_1^{i_1} p_2^{i_2} p_3^{i_3} \dots p_s^{i_s}$$
для $n = p_1^{i_1} p_2^{i_2} \dots p_s^{i_s}$ (где $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, \dots$ — последовательно простые числа); тогда для $m = \prod_{r=1}^{s} p_r^{i_r}$, $n = \prod_{r=1}^{s} p_r^{i_r}$ будет $a(mn) = a(m)a(n) = \prod_{r=1}^{s} p_r^{i_r(i_r+i_r)}$ и для $n = p_r^k$ (при каждом натуральном $k$) $a(n) = p_r^k = n^r$.

Для этой последовательности условия $a(n) \leq b_k a(n)$ будет выполнено, например, при $b_k = a_k$. Но ни для каких $c$ и $a$ оценка $a(n) \leq cn^a$ не может быть верной для всех $n$, поскольку при $r > \alpha$ существует бесконечного много $n$ таких, что $a(n) \geq n^r > cn^a$ (при достаточно большом $n$).

Н. Б. Васильев

Рассмотрим движение одного шарика, свободно падающего в близости оси симметрии. Сразу после соударения с поверхностью шарика имеет скорость $v_0 = \sqrt{2gH}$ (поскольку удар абсолотно упругий); вектор $\vec{v}_0$ составляет угол $2\alpha$ с вертикальной (см. рисунок).

Пусть через время $t$ после соударения с поверхностью шарика вдоль горизонтали равно $l$ (см. рисунок), то есть
$$v_0 \sin 2\alpha \cdot t = l \Rightarrow t = l/v_0 \sin 2\alpha = l/(\sqrt{2gH} \sin 2\alpha),$$
где $v_0 \sin 2\alpha$ — горизонтальная проекция скорости $v_0$ (за время $t$ шарик не ударяется по поверхности). Высота, на которой будет находиться шарик через время $t$, равна
$$\Delta h = h_0 + v_0 \cos 2\alpha \cdot t - gt^2/2,$$
(*)
где $v_0 \cos 2\alpha$ — вертикальная проекция скорости $v_0$.

48

нальна его глубине. Во время работы колчественного воды, протекающей через сечение канала за одну секунду, увеличивается ввое. Как меняется при этом средняя скорость потока?

чает, что векторная сумма всех сил, действующих на такой объем, равна нулю.

Запишем это условия (II закон Ньютона) для выделенного на рисунке объема ABCD. Действующие на него силы — это сила тяжестей $F_\tau = \omega gabh$ (b — ширина потока), сила давления atmosферного воздуха $F_a = p_0ab$ (p$_0$ — atmosферное давление), сила давления лежащих ниже слоев воды $F_H = p_hab$ (p$_h$ — давление на «глубине» h), силы давления $F_\pi$ и $F_\pi$ со стороны воды слева (выше по течению) и справа (ниже по течению) и сила треня о прилежащей слой воды на глубине h. Запишем II закон Ньютона в проекциях на ось Y (см. рисок):

$$p_0ab + \omega gabh \cos \alpha - pab = 0.$$

Из этого уравнения видно, что давление p в потоке определяется только «глубиной» h.

Теперь запишем условия постоянства средней скорости для выделенного на рисунке объема MBCN. В проекциях на ось X имеем:

$$\omega gabH \sin \alpha - k \frac{v}{H} = 0.$$

Здесь $\omega gabH$ — сила тяжестей, v — средняя скорость течения, $kv/H$ — сила треня (k=const). (Силы давления со стороны воды слева и справа взаимно компенсируются, и поэтому мы не включали их в уравнение). Глубину H выразим через количество Q воды, протекающей через сечение канала за единицу времени: $Q = Hbv \Rightarrow H = \frac{Q}{bv}$.

Подставим это выражение в (*) и найдем v:

$$v = \left( \frac{\omega g \sin \alpha}{kb} \right)^{1/3} Q^{2/3}.$$

Отсюда видно, что при уравнения Q в 2 раза средняя скорость течения возрастает в $\sqrt[3]{4} \approx 1,6$ раза. Глубина потока возрастает при этом в $\sqrt[3]{2} \approx 1,3$ раза.

Г. Л. Коткин

Ф796. На главной оптической оси AB собирающей линии с фокусным расстоянием F нахождения плоское зеркальное, врачающееся с угловой скоростью w векру оси, перендикулярной оси AB (рис. 1). На зеркальное nadaет паралельный пучок лучей, который после отражения фокусируется на экране, расположенном в фокальной плоскости линии. Найти скорость светового пятна на экране в момент, когда оно проходит фокус линии.

Пусть в начальной момент времени угол между главной оптической осью лины и перпендикуляром к зеркалу равен α, а световое пятно при этом находится в точке пересечения оси с экраном (точка B на рисунке 1), то есть после отражения от зеркала лучи идут паралельно главной оптической оси. Через малый промежуток времени $\Delta t$ зеркало повернет на малый угол $\Delta a = \omega \cdot \Delta t$. Отраженные от зеркала лучи «повернуть» на угол $2\Delta a$ относительно оси (рис. 2) и световое пятно будет находится в точке C на экране. Найдем перемещение $|BC|$ пятна за время $\Delta t$:

$$|BC| = |OB|tg 2\Delta a = Ftg 2\Delta a \approx 2F \cdot \Delta a$$

(мы воспользовались тем, что $\Delta a$ мало и tg $\Delta a \approx \Delta a$). Зная перемещение, находим мгновенную скорость светового пятна в точке B:

$$v = \frac{|BC|}{\Delta t} = \frac{2F \cdot \Delta a}{\Delta t} = \frac{2F\omega \cdot \Delta t}{\Delta t} = 2F\omega.$$

E. И. Пальчикков

Рис. 1.
Рис. 2.

49

Ф797. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, диэлектрическая пропицаемость которого зависит от напряжения $U$ на конденсаторе по закону $\varepsilon = \alpha U$, где $\alpha = 0,1$ $B^{-1}$. Паралельно этот диэлектрик, диэлектрика, емкость «нелинейном» конденсатору (незаряженному) подключают обычный конденсатор, заряженный до разности потенциалов $U_0 = 60$ В. Каким будет напряжение на конденсаторе?

Поскольку «нелинейного» конденсатора от общного заклонается лишь в наличии между его обкладками диэлектрика, емкость «нелинейного» конденсатора при напряжении $U$ на нем равна

$$C = \varepsilon C_0 = \alpha UC_0,$$

где $C_0$ — емкость общного конденсатора. При этом заряд на «нелинейном» конденсatore —

$$q_H = CU = \alpha C_0 U^2,$$

а заряд на общном конденсatore —

$$q = C_0 U$$

(напряжение $U$ на конденсаторах при паралельном соединительном одинаковое).

Начальный заряд общного конденсатора был равен

$$q_0 = C_0 U_0,$$

и в силу закона сохранения заряда при любом напряжении $U$ на конденсаторах

$$q_H + q = q_0 \Rightarrow \alpha C_0 U^2 + C_0 U = C_0 U_0.$$

Отсюда находится напряжение $U$:

$$U = \frac{\sqrt{4\alpha U_0 + 1} - 1}{2\alpha} = 20 \text{ В.}$$

А. И. Буздин

Обратные тригонометрические функции

(Начало см. на с. 30)

На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ и синус, и косинус, и тангенс monotonны. Вычислим, например, косинус от сравниваемых чисел:

$$\cos \left( \arcsin \frac{2}{5} \right) = \sqrt{1 - \left( \frac{2}{5} \right)^2} = \frac{\sqrt{21}}{5},$$

$$\cos \left( \arccos \frac{2}{5} \right) = \frac{2}{5}.$$

Так как на $[0; \frac{\pi}{2}]$ косинус убивает, из неравенства

$$\cos \left( \arcsin \frac{2}{5} \right) > \cos \left( \arccos \frac{2}{5} \right)$$

следует, что

$$\arcsin \frac{2}{5} < \arccos \frac{2}{5}.$$

Пример 6. Вычислим $\arcsin(\sin 11)$. Для этого сравним сначала $11$ с $\frac{\pi}{2}$ $k$ ($k \in \mathbb{Z}$). Из неравенства $3 < \pi < 3,142$ ($\pi = 3,14159...$) следует, что $\frac{7}{2} \pi < 11 < 4\pi$. Значит, $-\frac{\pi}{2} < 11 - 4\pi < 0 < \frac{\pi}{2}$. Поэтому $\arcsin(\sin 11) = \arcsin(\sin(11 - 4\pi)) = 11 - 4\pi$.

Упражнения

1. Докажите точдество
   a) $\arcsin x = \begin{cases} \arcsin \sqrt{1-x^2}, \text{ если } 0 \leq x \leq 1 \\ \pi - \arcsin \sqrt{1-x^2}, \text{ если } -1 \leq x \leq 0; \end{cases}$
   b) $2 \arctg \frac{1+x}{1-x} + \arcsin \frac{1-x^2}{1+x^2} = \pi$ ($0 \leq x < 1$).

2. Вычисление
   a) $\arctg \frac{1}{3} + \arctg \frac{1}{5} + \arctg \frac{1}{7} + \arctg \frac{1}{8}$;
   b) $\arccos(\cos 4)$;
   b) $\arccos(\sin(-\frac{\pi}{7}))$.

3. Постройте график функции
   a) $\arccos(\cos x)$;
   b) $\arctg(tg x)$.

51

Путь в научу начиная с задачи

Пятнадцать лет назад при Институте атомной энергии им. И. В. Курчатова (ИАЭ) начала работать физико-mатематическая школа дляучащихся старших классов. Когда к предметам, изучаемым в школе, прибавились биология, было решено назвать ее Школой естественных наук (ШЕН).

Это была первая школа такого типа при крупнейшем научно-исследовательском институте. Инцицаторами ее создания выступили комитет ВЛКСМ и партком Института. Работе шкOLS во многом помогли ведущее учение ИАЭ академики А. П. Александров, Л. А. Арцимович, Б. Б. Кадомцев, И. К. Кикоин, члены-kорреспонденты АН СССР И. И. Гуревич, В. М. Галицкий и многое другое.

Какие задачи были поставлены перед ШЕН? Основных — три.

Во-первых, учить школьников физике, математике, биологии, углубляя школьный курс, связая его с новейшим достоженными науки и техники, использующей богатейший потенциал Института атомной энергии.

Во-вторых, как можно раныше выявить способных учащихся, помочь им пройти себя и выgbать правильно дальнейший путь.

Наконец, третья задача — развивать в учащихся советскую гражданственность, материалистическое мировоззрение, все то, что входит в понятие коммунистического воспитания молодежи. На это особое внимание обращали ученого Совета института, выступая на заседании, посвязываном школе.

И вот уже пятнадцать лет по вечерам загорается свет в двухэтажном здании, расположном недалеко от Института, и в него приходит (после занятый в общеобразовательной школе) учащся 8, 9, 10-х классов из многих районов Москвы. Здесь они два (а неокторы и три) раза в неделю встречются со своим преподавателями — научными сотрудниками и инженерами ИАЭ, аспиранами и студентами старших курсов Московского физико-технического института.

Как проводится отбор учащихся в школе? Этот вопрос решается в течение нескольких лет. Трудность заключалась в том, что приходящие на приемные экзамены учащся обладают самим широкимспектром знаний. И не только за счет своих способностей, но и за счет того, что они представляют почти сорок различных школ Москвы. В то же время коэффициент отбора должен составлять 4—5, то есть из четырех-пяти абитриентов в ШЕН можно приять лишь одного.

Представление о дальнейших разделах могут дать многочисленные пособия, выпущенные в ШЕН и написанные ее преподавателями. Средний книг, вышедших в «Библиотека физико-математической школи», можно назвать также книги, как «Механика», «Законы электромагнитизма». В конце десятиого класса возобновляется расскааз об отдельных отражениях физики. Но ведут его уже только преподаватели, но и ведущее учение Института, приглашенные в школе. Достаточно вспомнить лекции профессоров Я. А. Смородинского, Л. А. Миказляна, Ю. С. Лазуркина и многих других, которые собирали учащихся, преподавателей ШЕН и очень многохотя сотрудников Института. На них можно было получить полное представление о работе инженера и ученого.

Одна из целей курса математики — показать проникновение математических методов в естественных науки, использование аппарата математики в биологии, химии, физике. Конечно, ребятам важно научиться с ним аппаратом. Однако овладение математических методами анализа позволяет не только глубже изучить, например, физику, но и в более широком, глубинном смысле обога-

52

Инженер В. В. Синев проводит занятие по физике.

шает духовный мир человека. Пятнадцатилетний опыт ШЕН показал, что способности школьников воспринять красоту и логику математики чрезвычайно высоки, и при интенсивной работе ребят под руководством ученых ИАЭ — специальностей в области прикладной математики, физиков-теоретическов, разработчиков математического обеспечения задач, решаемых в вычислительной центре Института, многое из наших выпускников выбирают математку своей профессии.

Нелья не сказать о том, что ШЕН находится в постоянном контакте и шестивует над научными обществами и физико-математических школами Челябинска, Навон и других городов, Ма-

лой академий наук Крыма. Идет полезный обмен пособиями, планами. На слетах учащения Москвы встречаются со своим «коллегами», а ученые ИАЭ читают курсы лекций для ребят этих городов.

Какие же итоги деятельности школьных?

Большинство из ее учениковны работают в научке и техническе, хотя некоторые стали врачами, экономистами. Многие пришли после окончанияуза в ИАЭ. Среди них есть уже кандидаты наук. А некоторые из наших выпускников сами стали преподавателями ШЕН.

На XIX съезд комсомола первый секретарь ЦК ВЛКСМ Б. Н. Пастухов говорил: «При комитете ком-

сомола Института atomной энергии имени И. В. Курчатова действует Школа естественных наук, в котором с интересом занимаются 300 мощовских школьников, а в пятей ее фильпах в разных городах страны — более тысячи ребят. С lekциями передними выступают известные учены. Как выиграло бы дело образования, если бы у курчатовцев было побольшее последовательей».

Читатели «Кванта», наверное, поннимают, что путь в научку начинается с умения поставить и решить задачу. Последуйте за ребятами в ШЕН, проверьте свои способности.

В. Д. Куляzin,
К. П. Чечеров

Оптические инллюзии

На рисунках изображены квадрат в квадрате, окружность и две пары горизонтальных параллельных линей. Нанесяная штриховая вызывает оценение искажения их форм.

53

Заочная физическая школа (3ФШ) при физическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова объявляет набор учащихся в 9 и 10 классы на очередной учебный год.

Основная цель 3ФШ — помочь учащимся средней школы глубже изучить физику в объеме школьной программы, а также лучше подготовиться к вступительным экзаменам по физике в высшие учебныеведения, в первую очередь на физический факультет МГУ.

Прием в 3ФШ проводится на основании решения результатов вступительного задания, публикуемого ниже. Решение вступительного задания необходимо отслать до 15 сентября по адресу: 117234, Москва, В-234, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, Заочная физическая школа. В письмо вложите конверт с вашим домашним адресом и два экземпляра анкеты, написанной на листах плотной бумаги размером 7×12 см и заполненной по следующему образцу:

Фамилия, имя, отчество
Класс
Профессия родитель и
занимаемая должность
Подробный домашний адрес
Номер и адрес школя

Сидоров Иван Петрович
9-й
отец — инженер
мать — врач
248016, г. Калуга, ул. Ленина, д. 4, кв. 73
школа № 10, ул. Пушкина, д. 3.

Решение приемной комиссии 3ФШ о зачислении будет сообщено до 15 октября. Проверенные вступительные задания обратно не высылаются.

Защисленным в 3ФШ в течение года направляются методические разработки и контрольные задания по различным разделам физики, изучаемым в средней школе. Решенные задания оцениваются, решенные путем и возвратаются учащимся. Окончившие 9 класс 3ФШ переводятся в 10 класс на основании оценок, полученных за решение контрольных заданий. Успешно проведшие курс обучения получают справку об окончании 3ФШ.

Вступительное задание

Поступающим в 9 класс для решения предлагатся задания 1—4, поступающим в 10 класс — задании 3—6.

1. Клин с углом при вершине 90° и углами при основании α и β нахождения на горизонтальном столе. По его боковым граям начинают одновременно скольить без трения два бруска одной и той же массы. Будет ли при этом клин скольить по столе (трение между клином и столом отсутствует)?

2. В lodke массы M и длины L стоит человек массы m. На какое расстояние переместится lodка, если человек передет с одного ее конца на другой?

3. На наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 30° лежит цилиндр массы M.

Цилиндр удерживает в состоянии покоя с помощью огибаюшей его нити, один конец которого закреплен на наклонной плоскости, а другой натягут вертикально вверх. Чему равна сила натяжения нити?

4. Оцените массу Солнца, зная, что средний радиус орбиты Земли равен 149·10⁶ км.

5. При обламывании кончка электрической лампочки, объем которого равен 1 л, на глубине 1 м под поверхностью воды в нее вошло m=998,7 г воды. Каким было давление газа в лампочке? Атмосферное давление — нормальное.

6. Положительный электрический заряд Q равномерно распределен по тонкому проводочному колыцу радиуса R. Найдите зависимость модели напряженности электрического поля на оси колыца от расстояния r до центра колыца.

54

Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-математический факультет)

1. Решите уравнение
   $$\log_2(x^2-3) - \log_2(6x-10) + 1 = 0.$$
2. Выпуклый четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности с центром в точке $O$, при этом $|AO| = |OC| = 1, |BO| = |OD| = 2$. Найдите периметр четырехугольника $ABCD$.
3. Решите уравнение
   $$\sqrt{5 \sin x + \cos 2x} + 2 \cos x = 0.$$
4. Найдите все значения $x$, для которых выражение
   $$\sqrt{3x^4-2-x^8} \cdot \sin(\pi(2x+16x^2))$$
   имеет смысл и не обращается в нуль.
5. Дана трехугольная парамida $ABCD$ с вершиной $D$, грани которого $ABD$ и $ACD$ — прямоугольные треугольники, ребро $AD$ перpendикулярно медианное основа $AK$ и $|AD| = |AK|$. Сечением парамиды плоскостью, не проходящей через середины ребер $AD$ и $BC$, является равновесная трапеция $EFGH$ с основаниями $EF$ и $GH$, причем точка $E$ делит ребро $BD$ пополам, а точка $G$ лежит на ребре $AC$ и $|AG| = 3|GC|$. Найдите отношение плоскости трапеции $EFGH$ к плоскади грани $BCD$.

Вариант 2
(механико-математический факультет)

1. Решите уравнение
   $$\log_x(2x^2-3x-4) = 2.$$
2. В трапеции $ABCD$, вписанной в окружность радиуса $r = 2$, диагональ $AC$ является биссертской угла $BAD$, а длина основа $AD$ в два раза больше длины основа $BC$. Найдите плоскад этой трапеции.
3. Решите уравнение
   $$\sqrt{2 \sin x \cdot \sin 2x} = \sqrt{5 \cos x + 4 \sin 2x}.$$
4. Найдите все значения $x$, для которых выражение

$$\sqrt{4x^4-3-x^8} \cdot (1-\cos(2\pi(2x+21x^2)))$$

имеет смысл и не обращается в нуль.
5. В четырехугольной парамиде $ABCDE$ основание $ABCD$ — параллелограмм, а грани $ADE$ и $BCE$ — прямоугольные треугольники. Ребро $BC$ перpendикулярно медианное $EP$ грани $CDE$ и $|BC| = |EP|$. Сечением парамиды плоскостью является равновесная трапеция $GKHL$, вершины которого $G, K, H, L$ лежат, соответствно, на ребрах $AE, BE, CE, DE$, причем $|GE| = 3|GA|$ и $|CH| = |EH|$. Найдите отношение плоскади трапеции $GKHL$ к площади грани $ABE$.

Вариант 3
(факультет вычислительной математики и кибернетики)

1. Какое из чисел больше: $\sqrt{8}$ или $2^{2\log_2 5 + \log_2 \frac{9}{2}}$?
2. Найдите все $x$, для которых функция $y = 6 \cos^2 x + 6 \sin x - 2$ принимает наиболее значение на $R$.
3. Решите неравенство
   $$\frac{\sqrt{2-x} + 4x-3}{x} \geq 2.$$
4. На заводе было несколько одинаковых прессов, штампуших детали, и завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все прессы заменили на более произвольные, но также одинаковые, а их количество увеличилось на три. Завод стал выпускать в день 11 200 деталей. Сколько прессов было первоначально?
5. При всех $a$ решите уравнение
   $$|x+3| - a|x-1| = 4$$
   и определите, при каких $a$ оно имеетровно два решения.
6. Около трехугольника $ABC$ описана окружность с центром в точке $O$. Касательная к окружности в точке $C$ пересекается с прямой, делящей пополам угол $B$ треугольника, в точке $K$, причем угол $BKC$ равен половине разности угроенного угла $A$ и угла $C$ треугольника. Сумма длион стороны $AC$ и $AB$ равна $2+\sqrt{3}$, а сумма расстояний от точки $O$ до стороны $AC$ и $AB$ равна 2. Найдите радиус окружности.

Вариант 4
(физический факультет)

1. Решите уравнение
   $$\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} + \sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = 0.$$
2. Для каких значений $a$ решение уравнения
   $$10x-15a=13-5ax+2a$$
   больше 2?
3. Известно, что $\log_b a = \sqrt{3}$. Вычислите
   $$\log \left(\frac{\sqrt{a}}{b}\right)\left(\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right).$$
4. Решите неравенство
   $$5^x-3^{x+1} > 2(5^{x-1}-3^{x-2}).$$

55

5. На боковом ребре SA правильно треугольной парамиды SABC с вершиной S взята точка D, через которой проведено сечение парамиды, пересекающей апофемы граней SAC и SAB в точках M и N. Известно, что прямые DM и DN образуют с плоскостью основания парамиды углы величиной β, а величины углов DMS и DNS равны $\alpha\left(\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$. Найдите величины угла MDN.

6. Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружности треугольника, перпендикулярна одной из его bicсектрис. Известно, что отношение расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей к радиусу описанной окружности равно h. Найдите углы треугольника.

Вариант 5
(химический факультет)

1. Решите уравнение
   $$\sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x = \sqrt{3}.$$

2. Решите неравенство
   $$\log_2 \frac{x}{x-1} \leq -1.$$

3. Решите неравенство $f(g(x)) < g(f(x))$, где $f(x) = 2^x - 1$, $g(x) = 2x + 1$.

4. Конус лежит на горизонтальной плоскости П, касаясь ее боковой поверхности. Площадь основания конуса $S_1$, площадь боковой поверхности $S_2$. На какой высоте (над П) находится на высшей точке конуса?

5. При каких значениях параметра p уравнение
   $$(x-p)^2[p(x-p)^2-p-1] = -1$$ имеет больше положительных корней, чем отрицательных?

Вариант 6
(биологический факультет)

1. Решите неравенство
   $$\log_1\left(1+x-\sqrt{x^2-4}\right) \leq 0.$$

2. Решите уравнение
   $$\sin^2 x + \cos^2 3x = 1.$$

3. В правильно четырехугольную парамиду SABCD вписан кубе. Вершины одной из граней куба лежат на основании ABCD парамиды. Вершины противоположной грани куба лежат на боковых ребрах парамиды. Известно, что $|SA| = |AB| = a$, то естьлина бокового ребра парамиды равна a и равна длине стороны ее основания. Чему равен объем куба?

4. Найдите уравнения тех касательных к графику функции $y = \frac{x^3+1}{x}$, которые вместе с осями координат ограничивают треугольник площади $\frac{1}{2}$.

5. Точки P и Q расположены на стороне BC треугольника ABC так, что $|BP|:|PQ|:|QC| = 1:2:3$. Точка R делит сторону AC этого треугольника так, что $|AR|:|RC| = 1:2$. Чему равен отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника ABC, где S и T — точки пересечения прямой BR с прямыми AQ и AP соответственно?

Вариант 7
(факультет почведения)

1. Из пункта A в пункт B отправился скорый поезд. Одновременно навстречу ему из B в A вышел товарный поезд, который встретился со скорым через $\frac{2}{3}$ часа после отправления. Расстояние между пунктами A и B равно 80 км, позеда двигались с постоянными скоростями. С какой скоростью двигался скорый поезд, если 40 км он прошел за время на $\frac{3}{8}$ часа больше, чем время, за которое товарный поезд 5 км?

2. Решите уравнение
   $$\sqrt{2-3 \cos 2x} = \sqrt{\sin x}.$$

3. Найдите наиболее значение функции $f(x) = |x^3+6x^2+9x+1|$ на отрезке $[-3; 1]$.

4. В равноведенный треугольник ABC (где $|AB| = |BC|$) вписана окружность радиуса 3. Прямая p касается этой окружности и параллельна прямой AC, но не совпадает с ней. Расстояние от точки B до прямой p равно 3. Найдите расстояние между точками, в которых окружность касается сторон AB и BC.

5. Длина высоты SO правильно треугольной парамиды SABC равна 1, а длины сторона основания ABC равны $2\sqrt{6}$. Точки M и N — середины отрезков AC и AB. Вычислите радиус сферы, вписанной в парамиду SAMN (то есть касающейся всех боковых граней и основания).

Вариант 8
(географический факультет)

1. Решите уравнение
   $$\sqrt{2x^2+8x+7} -x = 2.$$

2. При каких значениях x произвольная функция y = 3-2 sin $\left(2x-\frac{\pi}{8}\right)$ равна $2\sqrt{2}$?

3. В треугольнике ABC длина высоты BD равна 6 см, длина медианы CE равна 5 см, расстояние от точки пересечения BD с CE до стороны AC равно 1 см. Найдите $|AB|$.

4. Найдите все пары (x; y) действительных чисел, удовлетворяющие системе неравенств
   $$\begin{cases} \log_2-x(2-y) > 0 \\ \log_4-y(2-x) > 0. \end{cases}$$

5. В прямойном параллелипеде ABCDA’B’C’D’ длина ребра AB равна 4 см, длина ребра AD равна 6 см, длина ребра AA’ равна 8 см. Точка K, лежащая на ребре AA’, удалена от вершины A на 4 см. Расстояние от точки L ребра DD’ до вершины D равно 2 см. Точка M лежит на отрезке B’C’, длина MC вдвое больше длины B’M. Найдите площадь сегмента параллелипеда плоскостью, проходящей через точки K, L, M.

Вариант 9
(отделение геофизики геологического факультета и специалистности «экономическая книга» и «планирование народного хозяйства» экономического факультета)

1. Определите, что больше $\sqrt{1-2 \sin \frac{3\pi}{2}}$ или $\sqrt{5 \text{ctg} \frac{\pi}{4}}$.

56

2. Найдите все решения неравенства
   $$\frac{2x+5}{|x+1|} \geq 1.$$

3. Найдите все решения уравнения
   $$9 \cdot \frac{1}{x} + 5 \cdot \frac{1}{x^2} = 4 \cdot \frac{1}{x^2}.$$

4. Найдите все решения уравнения
   $$\frac{\sin 4x}{\cos 6x} = 1.$$

5. Построите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
   $$y = 4 - \left| y - \frac{6}{x} \right| - 2 \left| \frac{3}{x} - 1 \right|$$
   и среди точек этого множества найдите все также, где координата $y$ принимает наиболее значение.

6. Длина меньше основания равновобочной трапеции равна сумме длины ее боковых сторон. Найдите наименьшее возможное целое $k$ такое, что площадь полной поверхности фигуры, полученной вращением трапеции вокруг менящего основания, в $k$ раз больше площади трапеции.

Вариант 10
(отделение геологически геологического факультета и специальность «политическая экономия» экономического факультета)

1. Определите, что больше
   $$\sqrt{\text{ctg} \frac{\pi}{4} - 2 \sin \frac{3\pi}{2}} \leq \sqrt[3]{5}.$$

2. Найдите все решения уравнения
   $$\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2}.$$

3. Найдите все решения неравенства
   $$\log_3[(x+2)(x+4)] + \log_{\frac{1}{3}}(x+2) < \frac{1}{2} \log_{\sqrt{3}}7.$$

4. Найдите все решения уравнения
   $$\sin \left(\frac{4}{3} \pi \cdot \sin x\right) = \frac{1}{2}.$$

5. В треугольник вписана окружность, которая касается сторона $AB$, $BC$, $AC$ треугольника $ABC$, соответственно, в точках $M$, $D$, $N$. Определите длину отрезка $MD$, если известно, что длина отрезка $NA$ равна 2, длина отрезка $NC$ равна 3, а угол $BCA$ равен $\frac{\pi}{3}$.

6. Найдите все решения системы уравнений
   $$\begin{cases} 8 \cos x \cdot \cos y \cdot \cos (x-y) + 1 = 0 \\ x+y=z \end{cases}.$$
   Вариант 11
   (факультет психологии)

7. Решите неравенство
   $$\frac{2x-3}{4-x} > \frac{1}{x}.$$

8. Найдите координаты точки пересечения касательных к графику функции $y=\cos xx$ в точках с абсциссами $x=\frac{1}{6}$ и $x=\frac{7}{6}$.

9. Решите уравнение
   $$2 \sin x - \sqrt[4]{3} = (\sqrt{2} - \sqrt[4]{12}) \sqrt{\sin x}.$$

10. В ромбе $ABCD$, где $B \cdot A = 60^\circ$, перпендикуляр к стороне $AD$, восстанавливающий из середины $AD$, пересекает диагональ $AC$ в точке $M$, а перпендикуляр к стороне $CD$, восстанавливающий из середины $CD$, пересекает диагональ $AC$ в точке $N$. Найдите отношение площадей треугольника $MND$ и ромба $ABCD$.

11. Из пункта $A$ в пункт $B$ вышел пешекод, и одновременно из пункта $B$ в пункт $A$ выхал моториклист. Встретив в пути пешекода, моториклист сразу же развернулся, довез пешекода до пункта $B$, а затем точас же снова поехал в пункт $A$, куда беспрерывственное добрался. В результате моториклист затратил на дорогу до пункта $A$ в два с половиной раза больше времени, чем если бы он ехал из пункта $B$ в пункт $A$ не подвозя пешекода. Во сколько раз медленнее пешекод добрался бы до пункта $B$, если бы весь путь от $A$ до $B$ он прошел пешком?

12. Решите уравнение
    $$\log_2 \sqrt[2+{\sqrt{3}}]{x^2-2x-2} = \log_2+{\sqrt{3}}(x^2-2x-3).$$
    Вариант 12
    (отделение структурной и прикладной лингвистики филологического факультета)

13. Решите уравнение
    $$2 + \cos 2x = -5 \sin x.$$

14. Найдите все числа $x$, удовлетворяющие одновременному условию:
    $$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{x+6} \leq \log_{\frac{1}{3}}(x+4) \text{ и } x + \frac{1}{2} - \text{целое число}.$$

15. Проводятся две касательные к графику функции $y=6x+x^2$. Первая касательная проводится в точке с абсцисской $x_0=-2$, вторая — в точке минимума данной функции. Найдите плоскость треугольника, образованного осью ordinатс с этим двумя касательными.

16. В параллелограмме $ABCD$ длины сторон $AB$ равна 1 и равна длине диагонали $BD$. Длины диагоналей относятся, как $1:\sqrt{3}$. Найдите плоскость той части круга, описанного около треугольника $BDC$, которая не принадлежит кругу, описанной около $\Delta ADC$.

17. При каких значениях параметра $y$ количество пар целых чисел $(z; x)$, удовлетворяющих неравенству $\gamma^3|x| \leq \sqrt{2}(\gamma^2-z^2)$, минимально?

Физика
Задачи устного экзамена
Физический факультет
1. Длинный неевесомый жесткий стержень может свободно врашаться в вертикальной плоскости вокруг точки $O$ (рис. 1). На стержне на расстоянии $l_1$ и $l_2$ от точки $O$ закрыленные небольшие по размерам grузы массой $m_1$ и $m_2$ соответственно. Стержень отклонили от вертикали на угол $α$ и отпустили. Каково будет натяжение стержня в точке $A$, находящейся между grузами, в момент прохождения стержнем положения равновесия?
2. Две пружины вставлены в закрепленную горизонтальную трубку и разделены подвижным поршнем (рис. 2). Первая пружина имеет жесткость $k_1$ и упирается вторым коном