Квант 1983, №5 · Страницы

КВАНТ
5
1983

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Для наглядного изобранения различных процессов, произходящих в мире элементарных частиц, физики пользовятся специальными рисунками, называемые графами. Выше нарисовано несколько таких графов.

1. Электромагнитное взаимодействие двух электронов.

2. Рождение фотонов при annihilationи электрона и позитрона. Процесс производства в два этапа, в каждом из которых излучается один фотон.

3. Бета-распад нейтрона по старой теории: протон, электрон и антинетрино роздаются одновременно.

4. Бета-распад по новой теории — теории электрослабого взаимодействия.

5. Рождение двух W-бозонов при annihilationи протона и антипротона. (Чаще вместе одно из бозонов роздаются какие-либо другие частицы.)
   6—7. Примеры распадов образованийхся W-бозонов. Об открытии W-бозонов можно прочитать в разделе «Новости науки».

1

В НОМЕРЕ:
2. И. К. Кикoin. Физика и научно-технический прогресс
9. А. А. Шур. Эти разные радиоволны
16. Ю. В. Нестеренко, Е. М. Никшин. Очерк о цепных дробях
21. А. В. Митрофанов. Задачи П. Л. Капиць
24. А. Н. Зайдель. Обман или заблудение? (Об одном способе вычисления π.)
IN THIS ISSUE:

1. К. Кикoin. Physics and technological progress
   A. А. Shur. These varying radiowaves
   Yu. V. Nesterenko, E. M. Nikishin. Essay on continued fractions
   A. V. Mitrofanov. P. L. Kapitsa’s problems
   A. N. Zaydel. Mystification or error? (On a method for finding π.)

Лаборатория «Кванта»
29. А. А. Варламов. Из старых опытов
Kvant’s lab
A. A. Varlamov. From old experiments

Школа в «Кванте»
34. Л. П. Баканина. Интерференция волн
Kvant’s school
L. P. Bakanina. Wave interference

Новости научки
38. Открытие новой частицы
Science news
A new particle is discovered

«Квант» для младших школьников
39. Задачи
40. Р. Ш. Данелия. На пальцах и в уме
Kvant for younger school-children
Problems
R. Sh. Danelia. On one’s fingers or in one’s head

Задачник «Кванта»
42. Задачи M801—M805; Ф813—Ф817
45. Решения задач M786—M790; Ф798, Ф799, Ф801, Ф802
Kvant’s problems
Problems M801—M805; P813—P817
Solutions M786—M790; P798, P799, P801, P802

Практикум абитурента
53. College applicant’s section

Ответы, указания, решения
Рецензии, библиография (23, 28)
Наша обложка (20, 52)
Смесь (33, 37, 51)
Шахматная страница
Симметрия и асимметрия (3-я с. обложки)

Answers, hints, solutions
Book reviews (23, 28)
Our cover page (20, 52)
Miscellaneous (33, 37, 51)
The chess page
Symmetry and asymmetry (3rd cover page)

© Издательство «Нука». Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1983

2

Физика и научно-технический прогресс

Академик И. К. КИКОИН

Первая часть этой статьи, посвященная влиянию физических открытий на развитие техники в XIX веке, была опубликована в 3-м номере нашего журнала.

В 1896 году французский физик Анис Беккерель, узнал об открытии Рентгена, предложил, что источникомRENTGENA, представляет лучший случай флуоресцирующие вещества*. У Беккерель была целая коллекция таких веществ, среди которых наиболее интенсивно флуоресцировала уравновая соль. Он провел ряд экспериментов. В опытах Беккереля флуоресцирующая уравновая соль действительно засвечивала фотопластику, заключую черной бумагиой. Но однажды он случайно оставил не освещенную предварительную уравновую соль около фотопластики. Оказалось, что и в этих условиях, в отсутствие флуоресценции, уравновая соль засвечивала зашищенную черной бумагиой фотопластику. Беккерель решил, что уравновая соль испускает лучи, подобныеRENTGENA. Так было открыто явление, получшее название предактивности (от латинского слова радиус — луч).

Этим явлением заинтересовались французские физики супруги Мария Склодовская-Кюри и Пьер Кюри.

*) Флуоресценция — свечение некоторых веществ, возникших после облучения их светом. Флуоресценция имеет конечную длительность.

Онни занялись детальным изучением урана и отходов от его фабричного производства и впервые обнаружили, что эти отходы дают излучение, которое по интенсивности намного превосходит излучение самого урана. В результате огромной работы Мария и Пьер Кюри впервые в мире выделили из этих отходов два новых доселе неизвестных элемента — положий и радиий.

Интенсивность излучения радия (в действительности это был хлопид радия) оказалась в миллион раз выше, чем интенсивность излучения урана. Вяя снилось что каждый грамм радия в течение часа излучает около 580 джойлей. Непрерывное излучение химического элемента энергии было совершено непонятно и на первый взгляд, казалось, противоречило закону сохранения энергии.

Способность радия испускать, хотя и очень медленно, значительные количества энергии больше всего заинтересовала физиков. Что заставляет радиоактивные вещества испускать лучи? Какова природа этих лучей? Откуда радиоактивные вещества берет энергию, которое они отдают в форме своих танистенных лучей? Такие вопросы волновали физиков. Это была загадка радия. Многие физики ломали голову над ее решением.

Экспериментальные исследования излучения радия продолжили Мария и Пьер Кюри. Они помещали радий в магнитное поле (между полосами электромагнита) и заметили удивительное явление — излучение радия заметно ослабло. Супруги Кюри договорались, что ослабление излучения радия в магнитном поле связано с отклонением в этом поле каких-то загруженных частиц. Эти частицы назвали β-частицами. Тепер извесно, что β-частицы — это электроны.

Резерфорд обнаружил, что кроме β-частицы радия испускает еще и положительное заряжение частицы. Они получили название α-частиц. И наконец, часть излучения радия, на которой магнитное поле вовсе не влияет, получила название γ-частиц.

4

Если в Солнечной системе планеты движутся под действием gravитационных ньютоновских сил, то в атоме электrons движутся вокруг заряда под действием электрических, кулоновских сил.

«Солнце» было назван ядром атома, которое имеет положительный заряд, равный сумме зарядоввращающихся вокруг электронов (что бы atom оставался электрическим нейтральным). Это так называемая планетная модель атома Резерфорда. Размер ядра при этом не превышает 10-тысячной доли разметра самого атома (так же как размер Солнца много меньше разметров всей Солнечной системы). Так на свет появился новый термин, характеризующий atom, — atomное ядро. Открытие ядра положило начало новой отрасли физики, которая теперь называется ядерной физикой.

Исследования рассеяния α-частица на различных элементах таблицы Менделеева привели к важному открытию: положительный заряд ядра численно равен произведению порядкового номера данного элемента в таблице Менделеева на заряд электрона. Это прошло новый свет на величий закон Менделеева, придав ему глубокий физический смысл. Оказалось, что номер химического элемента в его значению таблице равен числу электронов,вращающихся вокруг ядра. Было выясено также, что в состав ядра входят положительное заряжение частицы — протоны, заряд которых равен заряду электрона, а масса примерно в 1800 раз больше массы электрона.

Вначале изучением atomного ядра занимались лишь в очень небольшом числе laboratorий мира. Это laboratorия Резерфорда в Кембридже, laboratorия мадам Кюри в Париже и laboratorия Д. В. Скобельна в Ленинграде. Однако к концу давались — началу тридцатых годов основные свойства самих атомов были хорошо исследованы, и многие физики мира обратили свой взор на atomное ядро.

В 1932 году было сделано одно из крупнейших открытий в ядерной физике XX века: был открыт нейтрон — электрический нейтральная частица, масса которой приблизительно равна массе протона. Стало ясно, что ядро состоит из протонов и нейтронов.

Действительно, к тому времени было известно, что atoms, имеющие один и тот же номер в таблице Менделеева, могут обладают разными массами. Такие atoms называют изотопами данного элемента. Ядра atoms изотопов содержат таким образом, одинаковое число протонов, но разное число нейтронов.

В 1934 году супруги Ирен и Фредерик Жолно-Кюри сделали не менее важное открытие искусственного радиоактивности. Она заключалась в том, что легкие элементы (например, берилли) при облучении α-частицами сами становились радиоактивными, испуская при этом нейтроны.

При облучении тяжелых элементов таких ядерней не наблюдаются. Знаментийный инталянский физик Ферми договорался, что у тяжелых элементов сликом велика заряд ядра, и α-частица, имеющая заряд того же знака, не может к нему достагоно близко подойти. На нейтрон, не имеющий заряд, положительный заряд не будет действовать кулоновскими силами. Ферми выполнил цель ряд оптового по облучению различных элементов нейтронами и обнаружил, что практические все элементы после облучения становятся искусственно радиоактивными. После облучения большим источником испускагоно α- и β-частицы, γ-лучи, нейтроны. При испускании α- и β-частиц образовывались новые химические элементы.

Вскоре Ферми опубликовал большую работу, в которой приведены результаты своих исследований почти всех элементов таблицы Менделеева, которые после облучения нейтронами становились радиоактивными. При этом он дал практические полную характеристику искусственного радиоактивности каждой элемента. Тем самым открылась новая энсусквеного превращения элементов при соответствующем облучении.

6

Если бы удалось выделить практические в чистом виде $^{235}\text{U}$, то, обеспечив его критическую массу, можно было бы получить огромное количество энергии. Как показали расчеты, процесс распределения практических чистого $^{235}\text{U}$ под действием нейтронов происходит очень быстро и носит характер взрыва (такие расчеты проводили Я. Б. Зельдович, Ю. Б. Харитон в СССР и ряд зарубежных физиков). Большое того, для этой цели даже не требуется специального источника нейтронов, потому что в атмосфере Земли всегда имеет небольшое количество нейтронов космического проискождения, которое достаточно для возникления взрывной реакции, если уран доступ к критической массы. Стало ясно, что таким образом можно создать грозное оружие — atomную бомбу.

Многие физики во всем мире занялиись детальным исследованием процесса деления ядер урана. Почти в каждом номере физических журналов во всем мире публикались научные статьи или заметки, выясняющие детали, касающиеся распределения ядер урана. Но получение чистого $^{235}\text{U}$ в нужных количествах, порядка десятиков килogramмов, казалось тогда фантастическим.

Однако вскоре стало ясно, что и естественная смесь изотопов урана может подвергаться цепной ядерной реакции. Для этого надо только как-то сизить энергию нейтронов, вылетающих при делении ядра $^{235}\text{U}$. К счастью, оказалось, что скорость нейтронов можно регулировать в стороны ее уменшения очень простым путем. Для этого достаточно пропустить нейтроны через вещество, состоящее из атомов, масса которых мало отличается от массы самих нейтронов. Тогда при стольновении нейтронов с таким атомами они довольно быстро передают часть своей энергии этим атомам, тем самым уменшая свою скорость до уровня скорости теплового движения атомов.

Для заменения нейтронов пригодны вещества, масса атомов которых не слишком велика. Надо только, чтобы эти вещества не поглощали нейтронов, лишь их возможность заменить и распределить соответствующие ядра урана. Свойством малого поглощать нейтроны обладает тяжелая вода, в состав которого вместе двух атомов обчч-

ного водорода входит два atomа тяжелого водорода (изотопа водорода — дейтерия — с водое большей массой). Поместив блоки с естественным ураном в тяжелую воду, можно заменить нейтроны и осуществить регулируемую самоподдерживающую цепную реакцию деления естественного урана. Это послужило основой создания ядерных реакторов на тепловых нейтронах.

В ядерном реакторе уран размешается в виде отдельных блоков (обычно цилиндрических), между которых расположен замедлитель — графит или тяжелая вода. Постепенно увеличивая количество таких блоков, можно подойти к критической массе. При этом удаляется управлять числом нейтронов, выделяющихся при расщеплении ядер урана в блоках, и цепная реакция не переходит во взрывную. Вatomной бомбе быстро соединяют две отдельные части урана, масса каждой из которых несколько меньше критической. Ясно, что общая масса соединенных части быстро становится выше критической. В результате проискодит взрыв. Ядерный реактор может служить долговечующим источником энергии.

При работе ядерных реакторов производит еще одно важное явление: часть избыточных нейтронов, взаимодействия с ядрами $^{235}$U, приводит к образованию изотопа нового элемента таблицы Менделеева с atomным номером 94 и массой ядра 239. Такого элемента в природе нет, и получают его только искусственное при облучении урана нейтронами. Этот элемент получил название плутония. Pluttonий, так же как и $^{235}$U, при облучении нейтронами расщепляется (делится) с образованным избыточного количества нейтронов. Его критическая масса в несколько раз меньше, чем у урана, и в этом его существенное преимущество по сравнению с $^{235}$U. Pluttonий химический отличен от урана, что позволяет выделить его из массы урана и получить в чистом виде химический путем.

Таким образом, появились новые источники энергии — уран и получающие блоки с естественным ураном в тяжелую воду, можно заменить нейтроны и осуществить регулируемую самоподдерживающую цепную реакцию деления естественного урана. Это послужило основой создания ядерных реакторов на тепловых нейтронах.

Первый советский атомный реактор, построенный в 1946 году (Москва, Истиит атомной энергии им. И. В. Курчатова).

чающийся из него плутония. Чтобы представить себе масштабы энергии, которая выделяется при расщеплении ядра урана, достаточно сказать, что энергия, выделяющаяся при полном расщеплении одного килограма $^{235}$U, равна энергии, выделяющейся при скигания 3000 тонн угля.

К сожалению, первое техническое использование ядерной энергии пошло не на благо человека, а для чисто военных целей. В 1945 году американцы сбросили на города Хиросиму и Нагасаки две atomные бомбы. В этом не было необходимости, поскольку война с Японией уже была на исходе. взрыв первого atomной бомбы над Хиросимой был эквивалентен 20 000 тонн объчного взрывчатого вещества (тринитрополуола).

Современные бомбы могут быть значительно мощней. Их мощность приципппально не ограничена. Поэтому использование такого оружия будет иметь катастрофические для всего человека результаты.

странения и применения радиоволн, интересную историю их основания. Сегодня мы затронем эту общину тему, насколько это можно сделать в рамках журналной статьи.

Сразу надо сказать следующие. При делении радиоволн на диапазоны исходят из качественных особенностей распространения, способов генерирования, изучения и приема радиоволн. Однако при переходе от одного диапазона к другому не всегда наблюдаются существенные изменения; поэтому границы диапазоновусловны. Для простоты их определенияют «круглыми», легко запоминающимся числами.

Длинные волны (диапазон ДВ) — радиоволны длиной от 10 км до 1 км, что соответствует частотам от 30 кГц до 300 кГц.

Средние волны (диапазон CB) — от 1000 м до 100 м, соответствующего частотам от 300 кГц до 3 МГц.

Короткие волны (диапазон KB) — от 100 м до 10 м, частоты от 3 МГц до 30 МГц.

Ультракороткие волны (диапазон УКВ) — от 10 м до 1 см, частоты от 30 МГц до 30 000 МГц; диапазон УКВ подзделяется на три поддиапазона: метровые волны (1÷10 м), дезimetровые волны (10÷100 см) и сантimetровые волны (1÷10 см).

Длинные волны

Немногим более 50 лет назад, на заре развития современной радиотехники, использовались преимущественно длиные волны. Под влиянием теории диффракиции считали, что чем длиннее волна, тем лучше она огибает земной шар (ведь чем больше длина волны, тем больше по размерам преятствие волна способна огибать).

Техника того времени не давала возможность получить колебания более высоких частот. Мощности же, вырабатываемые в диапазоне ДВ, были волне «приличные». Так, мощность машинных генераторов, созданных В. П. Вологданым, на частотах 18÷50 кГц достигала 600 кВт. Машины Вологдана позволили осуществить радиотелеграфную связь между Москвой и Нью-Йорком (1925 год).

10

На длинных волнах началось массовое радиовещание. В Советском Союзе к регулярным передачам присутствили почти одновременное две Московские радиопередающие станции (1924 год). Однако из них, расположенная в Сокольниках, имела небольшую мощность и предназначалась для радиолюбителей Москвы и области. Другая — радиостанция им. Коминтерна — находилась на Шаболовке и значительное превосходила по мощности сокольничскую станцию. В радиусе ее действия входили центральные районы европейской части страны.

Чтобы охватить вещением всего огромную территорию России, необходимы было либо создать сверхмощную станцию, либо построить сеть маломощных станций, которые могли бы транслировать Москву и вести собственные программы. Второй путь оказался более разумным; им пользоваться в настоящие время.

В сети станций некоторых из них, расположенные далеко друг от друга, могут работать на одних и тех же частотах без взаимных помех. Но в большинстве случае в каждой станции выделяется свой полоса частот, иначе говоря — свой частотный канал. И тут стало ясно, что длиноволновый диапазон имеет весма ограниченное число каналов. Весь диапазон занимает полосу частот 270 кГц. Для передачи одной радиовещательной программы требуется частотный канал шириной 9 кГц*). Легко подчитать — в диапазоне ДВ содержится всего $\frac{270}{9} = 30$ радиовещательных каналов.

Другой недостаток длиных волн — слабо выраженная направность антенн.

Понять качественно, что такое направность, нетрудно. Приемная антенна улавливает колебания, расстоянияwiseется от источника по определенному направлению. Чем больше часть энергии, излучаемой передающей антенной, распространяется в данном направлении, тем лучше — это позволяет сизить мощность передачика, а на приемной стороне — «отстроиться» от помех. Поэтому важно, чтобы передающая антенна «направляла» излучение, а приемная антенна «вылавливала» излучение, идее по даннымному направлению.

Необходимые направленные свойства антенны нетрудно получить, когда размеры антенны превышают длину волны. На длиных волнах это сделать, мягко говоря, затруднительно.

Прием сигналов в диапазоне ДВередко сопровождается треском и шорохами. Это — атмосферные и индустриальные помещи. Источник атмосферных помещи — близкие и дальнейшие грозы.

Средние волны

Наряду с диапазоном ДВ для радиовещания станции используется средние волны. И здесь очень скоро было замечено, что условия приема радиостанций, работающих в диапазоне CB, различны в двеные и почные часы. Днем радиус действия таких станций — сотни километров. Ноchio же, особенно зимой, дальность приема существенно больше. Иногда можно «поймать» станции, удаленные на несколько тысяч километров. Была заменена и еще одна особенно仕事 приема на CB: те станции, которые днем принимались устойчиво, ноchio часто подвергались замираям — громкость звука время от времени плавно возрастала и падала.

Когда были обнаружены эти явления, первоначальные представления о том, что радиоволны распростраются только вдоль земной поверхности, были сильно поколеблены. Стало очевидно, что в точку приема могут приходит две волны: одна «земная» — волна, распрострающая вдоль земной поверхности, а другой «небесная» — волна, отраженная от нософеры (рисунок 1).

11

Рис. 1.

Напомним, что ионосфера — это слой ионизированного газа в верхней части атмосферы — на высотах от 60 км до 450 км. Ионизация газа происходит под действием ультрафилотовых лучей и потока заряженных частиц, испускаемых Солнцем.

Средние волны отражаются от слоя, находящемся на высоте 100÷120 км (этот слой обозначают буквой «E»). Но отражениевозможно только в ночные часы. Днем в атмосфере на высоте 60÷80 км под воздействием солнечного излучения возникает слой, в котором средние волны сильно поглощаются (этот слой обозначают буквой «Д»). Так что в дневные часы на примеру антенну приходит только земная волна. Ночью же в тех местах приема, где происходит interference земной и небесной волн, и отмечается замирание сигнала (на рисунке 1 это происходит в близней к источнику точке приема; до дальней точки земная волна не доходит — она затухает, и в этой точке принимается только отраженная волна). Если фазы волн совпадают, то результатирующая направность поля возвращает громкость звука. Если же волны компенсируют друг друга — слышимость станции ухудшается. Траектория отраженной волны и степень ее отражения все время изменяется, поэтому характер замираний случен.

Изучение ионосферы привело к изменению взгляда и на распространение длинных волн. По современным представлениям, длинные радиооволны распространяются в своевобразном сферическом волноводе. Нижней стенкой волновода является земная поверхность, верхней — ионосфера.

Короткие волны

Коротковольный диапазон шири диапазона длиных и средних волн в девять раз. Для работы на этих волнах можно создавать направленные антенны; при этом уровень помех меньше. Габариты передатчиков и антенн, работающих на KB, сравнительно небольшие. Тем не менее короткие волны не сразу получили путьку в жизнь. Согласно теории диффракции, крупные превращения на пути распространения коротких волн (большие дома, лесные массивы, возвышенности) экранируют передающий антенну. Поэтому считалось, что прием на KB возможен только в зоне прямой видимости, и эти волны были отданы радиолюбителем для близких связи и экспериментирования. В представленном диапазоне радиолюбителя стали установливать невиданные рекорды связи. Так, в января 1925 года радиолюбитель Ф. А. Лобов при помощи передатчика мощностью 15 Вт передал из Нижнего Новгорода сигналы, которые были приняты в Бардade, Париже и Лондоне. В 1928 году коротковольник Е. В. Андреев, совершая поход на учебном парисном судне «Вега» вокруг Европы, поддерживал непрерывную связь с

12

Рис. 2.

радностанцией Ростовского университета. Станция Андреева имела мощность всего несколько ватт. Естественно, такие факты заставили специалистов переоценить возможность коротких волн и присутствить к их систематическому изучению. В Советском Союзе исследованием коротких волн с 1923 года занималась, в частности, известная Нижегородская радиолаборатория им. В. И. Ленина. Как и следовало ожидать, распространение коротких волн на большие расстояния было обусловлено отражением от иноосферы.

Отражение может произойти на высотах 100÷400 км. Нетрудно рассчитать, что максимальная дальность приема при однократном отражении может составлять 2000÷4000 км (рисунок 2). Короткие волны способны отражаться от поверхности Земли и далее снова от иноосферы, поэтому они могут «обжать» весь земной шар и вернуться в точку передачи («круто-светное эхо»). С другой стороны, в некоторых средней части трассы скача приема сигнала оказывается затрудненным. Этот участок называется «зоной молчания».

В точку приема всегда приходит несколько волн, прошедших различные пути и соответственно имеющих различные физы. Вследствие их интерференции прием на коротких волнах всегда сопровождается быстрыми замираниями. Для борбы с замираниями в радиоприменках предусматривается система автоматического регулирования условий.

Приципл ее работы прост: при уменьшении сигнала успешное приемника возрастает, а при возрастании — уменьшается. На коротковольных линиях связи для борбы с замираниями применяется так называемый «разнесенный прием».
При таком приеме сигнал от одного передатчика принимается на две или три антенны, которые установлены поперек трассы и разнесены друг от друга на расстояния, превышающее несколько длину волн. Сигналы на выходах приемных антенн изменяют несинхронно, и всегда есть возможность выбрать лучший сигнал (этот выбор произвольится, конечно, автоматически).

Поскольку коротковольные антенны имеют довольно острую направленность, на одной и той же частоте работы без взаимных помех несколько удаленных друг от друга станций, вещеющих на разные направления. К настоящему времени диапазон коротких волн использован до отказа. Можно себе представить, сколько сейчас в нем работает радиостанций, если в 1940 году число официально зарегистрированных станций, не считая радиолюбительских и военных, доступного 28 407!

Ультракороткие волны

Систематическое изучение ультракоротких волн в Советском Союзе началось в 1926 году под руководством Б. А. Введенского. Оdnako

13

широкое их использование началось лишь после Великой Отечественной войны.

Главное преимущество диапазона УКВ — его ширина, почти 30 000 МГц! В этом диапазоне без труда можно передавать сигналы, содержащие широкий спектр (набор) частот, например, радиосигналы телевизионного изображения. Создание остронаправленных антенн в этом диапазоне не вызывает трудностей. Прием сигналов отличается высокой устойчивостью, практическим не зависят от времени года и суток, не подвержен влиянию атмосферных и индустриальных помех. Но все эти преимущества реализации, в основном, при наличии прямой видимости между антеннами передатчика и приемника. Если на пути распространения ультракоротких волн имеется преятствие, оно частично экранирует передающий антенну, и направлено поля принимаемого сигнала существенного уменшается. Качество приема ухудшается.

Очевидно, что расстояние прямой видимости зависит от высоты антенн (рисунок 3). В результате условияследствие преломления (рефракиции) в воздухе волны распространяются по несколько искривленной траектории. (Это позволяет увеличить расстояние прямой видимости на 15÷20%). Для использования сказанного приведем пример из практики. В большинстве служев перепись сигналов на очень большие расстояния в диапазоне ультракоротких волн осуществляется с помощью радиорелейных линей. Радиорелейная линя представляет собой целочкурированных радиостанций, расположенных таким образом, чтобы между антеннами соседних станций была прямая видимость (рисунок 5). Сигнал, передаваемый с оконечной станции, принимается первой проме-

Рис. 4.

Даношая антенна телевизионных станций приподнята на 250 м, высота приемных антенн около 10 м. Расчет расстояния прямой видимости удовлетворительно совпадает с результатом экспериментальной проверки на равнино-холмистой местности. Получается 75÷80 км.

При передаче на ультракоротких волнах в пределах прямой видимости в точку приема приходят две волны. Вторая волна возникаетследствие отражения от земной поверхности (рисунок 4,а). Фазы волн различны. Поэтому при перемещении приемной антенны по высоте наблюдается периодическое возрастание и убывание направленных поля (рисунок 4,б), образно говоря,— «застывшая» интерференционная структура электромагнитного поля. Максимум направления поля отмечается в тех точках приема, где фазы волн совпадают, минимум — при несовпадении фаз. Расчет радиолиней связи конечно, с оптимальным подбором высоты антенн с учетом профиля местности.

Передача сигналов на очень большие расстояния в диапазоне ультракоротких волн осуществляется с помощью радиорелейных линей. Радиорелейная линя представляет собой целочкурированных радиостанций, расположенных таким образом, чтобы между антеннами соседних станций была прямая видимость (рисунок 5). Сигнал, передаваемый с оконечной станции, принимается первой проме-

15

соте 90÷110 км. Он представляет собой скопление газа городадо большей электронной плотности, чем электронная плотность на той же высоте в окружающей среде. Слуяный прием телевизионных станций, удаленных от места приема на несколько тысячки kilометров, объясняется отражением волн от этого слоя. Попытки использовать этого явления для регулярного приема телевидения, равно как и борба с ним как с помехой, не имели успеха.

Изучение сигналов на расстояниях порядка 200÷800 км от передатчика привело к открытию ранее неизвестного явления, которое сейчас называется «дальнее тропосферное распространение УКВ». Такое распространение связано с переизлучением радиоволн в воздушной оболочке Земли, иными словами, — в тропосфере. Переизлучение объясняется неодородным строением воздуха. Электрическая пропищемость воздуха зависит от влажности, температуры и давления. В воздухе всегда имеются неодородности — области, в которых эти meteопараметры, а следовательно и электрическая пропищемость, отличаются от параметров окружащего воздуха. Ярким примером неодородностей, видимых простым глазом, является обласка. Неодородности воздуха приводят к частному рассеянию и отражению энергии волны. Схематически это показано на рисунке 6. В правой части рисункадана случайная зависимость электроскопических воздействия от высоты. Зубчики на зависимости свидетельствуют о наличии неодородностей. Форма неодородностей и их взаимное расположение могут быть самыми различными. Набольшую роль играют сложные неодородности. Их протяженность — от сотен метров до нескольких kilометров. Отраженные от неодородностей ультракороткие волны могут быть прияты на большом расстоянии от передатчика. Изменчивость неодородностей во времени приводит к интерференции приходящих волн и, как следствие, к быстрым замирании сигнала. Переизлученная мощность составляет всего $10^{-6} \div 10^{-8}$ часть от мощности передаваемого сигнала.

Описанное явление используется в тропосферных радиорелейных линиях. Такие линии требуют установки мощных передающих устройств и систем разнесенного приема для устройства замирания сигнала. И все же они оказываются целесообразными для радиотелефонной связи в труднодоступных районах. Примущество тропосферных линий — большаялина интервала между соседними станциями. При использовании дециметровых волнлина интервала получается равной $250 \div 300$ км, но в отдельных случаях может быть и больше. Например, на известной тропосферной радиолинии «Советский Союз — Индуция» расстояние между корреспондирующими пунктами около 700 км.

16

Очерк
о цепных дробях

Кандидат физико-mатематических наук
Ю. В. НЕСТЕРЕНКО,
доктор физико-mатематических наук
Е. М. НИКИШИН

Известно много примеров, когда научное направление, считавшееся перспективным и важным, неправдывало возникенных на него надежд; постепенно наблюдался оток от него научных сил, и само направление теряло свою актуальность. Один из таких направлений в математике является теория цепных (или непрерывных) дробей. До конца прошлоого века непрерывные дроби различного сорта весма часто появились в математических работах. В прошлом вке и немного ранее были доказаны важные теоремы о непрерывных дробях. Теплилась надежда, что если удался понять структуру цепных дробей, можно будет получить новые результаты в теории чисел и математической анализе. Надежда оправдалась лишь частично, и в дальнейшем математика, особенно в области теории чисел, продолжила новые пути так, что задачи теории цепных дробей были отодвинуты в сторону.

Но все равно, как неогода Северный полос принятовал свои покорители, простые по постановке, легкие на вид проблем цепных дробей тянут к себе математиков, заставляют их снова и снова искать закономерности этого странаного объекта. Многие важные вопросы современной математики и физики приводят к объектам типа цепных дробей. Поэтому методы исследований, отчаиваемые на них, оказываются полезными в широком круге проблем. Мы коснемся здесь лишь тех вопросов, которые связаны с теории чисел, откуда, собственно говоря, и возникла теория цепных дробей.

Календарь, зубчатые колеса и немного истории

Сколько дней в году? Все знают, что в общном году 365 дней, а в высоком — 366 дней. Високосными объявленными годы, номер которых делится на 4, например, 1904, 1908, …, 1980, 1984, …, 1996. Однако годы 1800, 1900, 2100, 2200 не объявляются высокими, а годы 2000, 2400, 2800 будут высокими. Почему?

Механика календаря довольно проста. Земля равномерновращается вокруг своей оси, делая один оборот за сутки. Один круг обращения Земли вокруг Солнца составляет один год и этот год равен 365,24219878… суток. Конечно, можно сказать, что добавка 0,242… суток мала. Оdnako с течение времени она накалливается, если положить год равным 365 суток. В древности, когда знание длительного года в сутках было весма приближенным, накалливаемая ошибка достигла серверных размеров. Так в Риме в 46 г. до н. э. отставание составляет 90 дней!

Чтобы установить закономерность черезования объчных и высоких годов в календаре, нужно выбрать длину цикла $q$ (после которого все периодические повторяется) и число $p$ высоких годов в цикле. Запишем величины года в виде $365+\alpha$, где $\alpha=0,242...$. Натуральные числа $p$ и $q$ нужно подобрать так, чтобы величины

$$\beta = q\alpha - p$$

была по возможности маленькой, в то время как $p$ и $q$ были не очень большими. Собственно говоря, подбору подлежит лишь натуральное $q$, число же $p$ есть близкой к $q\alpha$ целое. Тогда за $q$ лет прошет $365q+p$ суток. Из равенства $365q+p=q(365+\alpha)-\beta$ следует, что за это время Земля сделает

$$q - \frac{\beta}{365+\alpha} \approx q$$

17

оборотов вокруг Солнца. Ошибка в одной сутки набежит лишь за $\frac{1}{\beta}$ таких циклов или же $\frac{q}{\beta}$ лет.

В григорианском календаре, по которым мы живем, в качестве длины цикла взято $q=400$ годам. Из этих лет 303 являются обычными и 97 высокими. Високосными объявляются годы, которые делятся на 4, за исключением тех из них, для которых число сотен тоже делится на 4. Таким образом, средняя дительность года по григорианскому календарю составляет 365,242500 суток,

ошибка в одной сутки набежит примерно за 3300 лет. Эта точность вполне удовлетворительная. Можно было бы достигнуть даже большей точности, взяв $q=128$ и $p=31$, однako устройство календаря 128-летними цикlamами неудобно для использования.

Для нас важно в данной случае возникка ошибка здесь математическая задача: по данному числу $n$ найти $p$ и $q$, по возможности необходиме так чтобы число $\frac{p}{q}$ как можно лучше приближало заданное значение $\omega$ (нужное отношение угловых скоростей). Ясно, что из сообщений экономии следует подбирать $p$ и $q$ по возможности меньше.

Можно было бы увеличить список примеров, которые приводят нас к задаче наличищего приближения дейстительных чисел при помощи рациональных. Например, устройство музыkalной гаммы, применения в вычислительной математике, в теоретических вопросах небесной механики и др.

Цепные дроби как раз и являются инструментом, дающим в некоторых смысле наличищие приближения рациональных чисlam们. Эти дроби для вычислительных целей начали при

2 «Квант» № 5

менять очень давно. Уже в 1572 году итальянский математик и инженер Р. Бомбелли (1526 ? — 1572) использовал их для вычисления $\sqrt{13}$. Позднее английнин У. Броункер (1620—1684) применил их для уччения числа $n$. Х. Гюйгенс (1629—1695), выдавшийся физик, астроном, математик (изобретатель магнитковых часов), был первым, кто при использовании цепных дробей указал, в каком смысле они дают наилучшую аппроксимацию дейстительного числа. Великий Л. Эйлер (1707—1783) дал обоснование ряда положений теории непрерывных дробей и нашел цепную дробь для числа $e$. Перечислить математиков, внесших свой вклад в эту теорию после работы Эйлера, уже очень трудно из-за их большого числа. Начиная с работы выдавшегося русского математика П. Л. Чебышева (1821—1894), активно развивается теория, имеющая дело с функциональным цепными дробями.

Алгоритм Евклида и разложение числа в цепную дробь

Пусть $p$, $q$ — два натуральных числа. Производление с остатком, найдем

$$p = a_0 q + q_1, \quad 0 < q_1 < q$$

$$q = a_1 q_1 + q_2, \quad 0 < q_2 < q_1$$

$$q_1 = a_2 q_2 + q_3, \quad 0 < q_3 < q_2$$

$$q_{k-2} = a_{k-1} q_{k-1} + q_k, \quad 0 < q_k < q_{k-1}$$

$$q_{k-1} = a_k q_k.$$

Указанный набор дейстий называется алгоритмом Евклида. Можно показать, что полученное число $q_k$ будет наиболее обширным обшим дейстелем чисел $p$, $q$. Нам этот факт не потребуется, поэтому доказательство мы опускаем*).

Из полученных равенств следует

$$\frac{p}{q} = a_0 + \frac{q_1}{q} = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{q_2}{q_1}} = \dots = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \dots + \frac{1}{a_k}}}.$$

18

К тому же результату приводит и такой процесс. Пусть α — действительное число. Положим
$$\alpha = a_0 + \frac{1}{a_1}, a_0 - \text{целое},$$
где $a_1 > 1$. Если $a_1$ — не целое, то продолжим процесс dalleше. Представим $a_1$ в виде $a_1 = a_1 + \frac{1}{a_2}$, где $a_1$ — целое, положительное и $a_2 > 1$. Таким образом,
$$\alpha = a_0 \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2}}.$$
Если $a_2$ — не целое, то можно продолжить процесс dalleше. Таким образом, на $k$-м шаге получаем равенство «Многоэтажная» запись дроби (1) очень громоздка, поэтому в дальнейшем мы будем часто пользоваться следующей более компактной специалной записью:
$$\alpha = a_0 + \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{k-1}} + \frac{1}{a_k},$$
где $a_k > 1$.
Нетрудно доказать, что если $\alpha = \frac{p}{q}$ — рациональное число, то для некоторого $k$ число $a_k$ будет целым.

Ясно также, что если при некотором $k$ получится целое $a_k$, то число $a$ является рациональным. Если же $a$ — irrationalное число, то указанный процесс никакогда не оборвется и возникнет бесконечная цепная (или непрерывная) дробь
$$\alpha = a_0 + \frac{1}{|a_1|} + \frac{1}{|a_2|} + \dots +$$
$$\dots + \frac{1}{|a_{k-1}|} + \frac{1}{|a_k|} + \dots$$
Знак равенства здесь стоит условно, поскольку непонятно, что означает выражение справа. Для того чтобы придать ему смысл, рассмотрим конечные суммы вида
$$\pi_k = a_0 + \frac{1}{a_1 + \dots} + \frac{1}{a_k},$$
которые называются подходящими дробями непрерывной дроби (2). По определению принимают, что права часть равенства (2) представляется собой предел подходящих дробей:
$$\lim_{k \to \infty} \pi_k$$
Сформилируем теперь в виде набора задач те свойства цепных дробей, которые составляют основу их элементарной теории и, в частности, установливают равенство (2).

Основные свойства цепных дробей

1. Пусть $\pi_k = \frac{p_k}{q_k}$ — подходящая дробь цепной дроби (2). Доказите справедливость рекуррентных соотношения:
   $$p_0 = a_0, p_1 = a_0 a_1 + 1, \dots,$$
   $$p_{k+1} = a_{k+1} p_k + p_{k-1}, \dots$$
   $$q_0 = 1, q_1 = a_1, \dots,$$
   $$q_{k+1} = a_{k+1} q_k + q_{k-1}, \dots$$
   для $k = 1, 2, 3, \dots$.
2. Установите следующие соотношения:
   a) $q_n p_{n-1} - p_n q_{n-1} = (-1)^n, n \geqslant 1$;
   b) $q_k p_{k-2} - p_k q_{k-2} = (-1)^{k-1} a_k, k \geqslant 2$;
   c) $\pi_{n-1} - \pi_n = \frac{(-1)^n}{q_n q_{n-1}}, n \geqslant 1$;
   d) $\pi_{k-2} - \pi_k = \frac{(-1)^{k-1} a_k}{q_k q_{k-2}}, k \geqslant 2$.

19

3. Покажите, что дроби $\pi_0, \pi_2, \pi_4, \dots$ монотно возрастают:
   $$\pi_0 < \pi_2 < \pi_4 < \pi_6 < \dots,$$
   а дроби $\pi_1, \pi_3, \dots$ монотно убывают:
   $$\pi_1 > \pi_3 > \pi_5 > \dots$$

4. Пусть числа $a_k$ определяны равенством (1). Докажите соответствие:
   $$\alpha = \frac{p_{k-1}a_k + p_{k-2}}{q_{k-1}a_k + q_{k-2}}, k \geqslant 2.$$

5. Докажите неравенство
   $$\frac{1}{2q_{n+1}} < |q_n\alpha - p_n| \leqslant \frac{1}{q_{n+1}}.$$

6. Докажите, что
   $$\lim_{k \to \infty} \pi_k = \alpha.$$
   Как видно из задачи 1—6, подхождение дроби $\pi_n$ довольно хорошо приближают число $\alpha$. Так, из оценок задачи 5 и неравенства $q_{n+1} < q_n$ следует, что если $\alpha$ — irrationalно, то неравенство
   $$\left| \alpha - \frac{p_n}{q_n} \right| < \frac{1}{q_n^2}$$
   выполняется для всех подхождения дробей $\pi_n = \frac{p_k}{q_k}$ цепной дроби числа $\alpha$.

Числовые примеры

Цепную дробь (2) числа $\alpha$ иногда обозначают $[a_0; a_1, a_2, \dots, a_k, \dots]$. Можно доказать, что для каждой последовательности целых чисел $a_0, a_1, a_2, \dots, (a_0 \geqslant 0$ и $a_j \geqslant 1$ для $j \geqslant 1$) существует единственное положительное число $\alpha$ такое, что
$$\alpha = [a_0; a_1, a_2, \dots].$$
Если последовательность $a_0, a_1, a_2, \dots$ известна, то последовательность подхождения дробей $\pi_k = \frac{p_k}{q_k}$ удовно вычисляется, пользоваться равенствами из задачи 1, заполняя следующую таблицу:

| $a$ | $a_0$ | $a_1$ | $a_2$ | … | $a_{n-1}$ | $a_k$ | $a_{k+1}$ | $a_{k+2}$ | … |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $p$ | 1 | $a_0$ | $p_1$ | $p_2$ | … | $p_{k-1}$ | $p_k$ | … | … |
| $q$ | 0 | 1 | $q_1$ | $q_2$ | … | $q_{k-1}$ | $q_k$ | … | … |

Пример 1. Найдем разложение в цепную дробь числа $\sqrt{2}$.
Имеем $a_0 = 1$,
$$a_1 = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1, \quad a_1 = 2,$$
$$a_2 = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1, \quad a_2 = 2.$$
Ясно, что в последовательности $a_j, j = 1, 2, \dots$, все члены равны $\sqrt{2} + 1$, а в последовательности $a_j, j = 1, 2, \dots$, все члены равны 2. Итак,
$$\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, \dots].$$
Вычислим несколько подхождения дробей для $\sqrt{2}$:

| $a$ | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | … |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $p$ | 1 | 1 | 3 | 7 | 17 | 41 | 99 | … |
| $q$ | 0 | 1 | 2 | 5 | 12 | 29 | 70 | 169 | … |

Получили последовательность подхождения дробей: $\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots$

Из задачи 5 следует, что
$$\left| \sqrt{2} - \frac{99}{70} \right| < \frac{1}{70 \cdot 169} < 10^{-4}.$$
Таким образом, разполяная дробь

20

99/70 приближает $\sqrt{2}$ с точностью лучшей, чем 0,0001.

Пример 2. Расстоянием перiodичную цепную дробь
[2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, …].

Коротко ее можно записать так:
[2; $\overline{1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...}$].

Найдем число, которое она соответствует. Если это число обозначит через $\alpha$, то выполянется равенство (почему?)

$$\alpha = 2 + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|2+a|}$$

или, после преобразования,

$$\alpha = \frac{21+8\alpha}{8+3\alpha}$$

Отсюда следует, что $\alpha^2 = 7$, и, так как $\alpha > 2$, получаем $\alpha = \sqrt{7}$.

Легко видеть, что этим способом можно найти значение любой периодической цепной дроби.

Найлучшие приближения и цепные дроби

Найлучшим приближением к числу $\alpha$ называется дробь $\frac{p}{q}$ ($q > 0$) такая, что

$$|q' \alpha - p'| > |q \alpha - p|$$

для всех $1 \leq q' < q$ и всех $p'$. Справедливая

Теорема. Всякое найлучшее приближение к $\alpha$ есть подходящая дробь $\alpha$; при $k > 1$ верно и обратное, то есть любая подходящая дробь $\frac{p_k}{q_k}$ при $k > 1$ доставляет найлучшее приближение к числу $\alpha$.

Доказательство этой теоремы несложно, и мы предоставляем его читателю. (Если же трудно окажать непреодолимыми, то можно обратиться к книге С. Ленга «Введение в теорию диофантовых приближений» (M., Мир, 1970).

Эквивалентность чисел

Два числа $\alpha$ и $\beta$ называются эквивалентными, если

$$\alpha = \frac{a\beta + b}{c\beta + d},$$

где $a, b, c, d$ — целые и $ad - bc = 1$ или — 1.

Обозначим через $\sigma$ и $\sigma_k$ (где $k$ — целое) операции, определяемые следующим образом:

$$\sigma \alpha = \frac{1}{\alpha}, \quad \sigma_k \alpha = k + \alpha.$$

Ясно, что, применяя $\sigma$ и $\sigma_k$ к числу $\alpha$, мы всегда получаем эквивалентное число. Ясно также, что применение операций вида

$$\sigma \sigma_k \alpha = \frac{1}{\alpha + k}, \quad \sigma_k \sigma_\alpha = k + \frac{1}{\alpha} = \frac{k\alpha + 1}{\alpha}$$

также дает пример эквивалентных числу $\alpha$ чисел.

Задание

7. Докажите, что если $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны, то найдет цель числа $k_1, k_2, \dots, k_j$ также, что $\beta = \sigma_k1 \sigma_k2 \dots \sigma_kj \alpha$.

8. Пусть числа $\alpha$ и $\beta$ имеют одинаковое разложение в цепную дробь, начиная с некоторых номеров $k$ и $S$, то есть

$$\alpha = r_0 + \frac{1}{|r_1|} + \frac{1}{|r_2|} + \dots + \frac{1}{|r_k|} + \frac{1}{|d_1|} + \frac{1}{|d_2|} + \dots,$$

$$\beta = h_0 + \frac{1}{|h_1|} + \frac{1}{|h_2|} + \dots + \frac{1}{|h_s|} + \frac{1}{|d_1|} + \frac{1}{|d_2|} + \dots$$

Докажите, что тогда числа $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны.

9. Докажите, что если числа $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны, то их цепные дроби имеют вид (3).

(Продолжение в следующем номере)

Наша обложка

Бумажные звездочки, показанные на первой странице обложки, — не просто декоративный сюжет к Первоーマйском празднику. Они связаны с математикой, причем с развитиями ее разделами. С одной стороны — это модель из звездчатых многогранников, о которых уже писалось в «Кванте» (1973, № 5, с. 26), и поэтому они относятся к теории симметрии в пространстве (геометрия, теория групп). С другой стороны, эти звездочки соприкасаются с теории узлов (см. «Кванте», 1975, № 7, с. 6 или 1981, № 3, с. 8) и с так называемой теории

кос. В теории кос алгебраических методами изучаются приемы сплетения кос извервок или полосок, а наши звездочки как раз и сплетены из бумажных полосок. О том, как это делается, мы рассакjem в одном из ближайших номеров журнала.

О. М.

21

Задачи
П. Л. Капицы

Кандидат физико-математических наук
А. В. МИТРОФАНОВ

Некоторые из читателей «Кванта» наверное слышали о «Физических задачах» луреата Ленинской и Нобелевской премии академика П. Л. Капицы. В полном объеме (153 задачи) они были изданы в 1972 году*). Предназначались эти задачи, в основном, для студентов и аспирантов физека — Московского физico-технического института. Сейчас задачи Капицы популярины у молодых физиков. Чем же они применять?

Формулировки задач П. Л. Капицы занимаются, неохожки на аналогичный материал из других задачников. В задачах много юмора, шутки. Курьезные эксперименты, примеры из истории физики, забавные физические опыты, принципи действия некоторых игрушек и серbezных технических устройств — часто это тоже темы капицинских задач. Некоторые из них удобнее решать, экспериментура с простейшим самодельными устройствами, — в этом случае можно легко обращает внимание. Во многих задачах не заданы численные значения физических величины; решающий задачу должен сам выбрать эти значения. Делается это для того, чтобы ущущеся могли конкретно представлять себе масштабы тех физических величины, которые приходится операровать (так, скорость, напряжение, температура и т. п.).

Для достаточно полного решения всех задач требуется хорошая профессиональная подготовка. Но уловить идею решения той или иной задачи, оценить полученный результат, хотя бы по порядку величины, бывают доступно и школьнику.

Пользовь любезным разрешением академика П. Л. Капицы, мы помещаем в этом номере журнала несколько новых его задач. Оdnу из них мы попробуем решить здесь же. Соображения о выборе подхода к решению остальных задач, ответы и решения некоторых из них будут опубликованы в одном из следующих номеров «Кванта». Попробуйте решить предложенные задачи самостоятельно*). Не огорчайте, если они сразу у вас не получается. Путь поиска истинны никакогда еще не был легким. Зато эти поиски помогут вам открыть для себя новый мир физики. Желаем вам в этом успеха!

Задачи

1. Два спутника летят навстречу друг к другу. Опишите, что произойдет в результате их любового столновения.

2. На корабле установлен ветровигатель типа ветряной мебницы,

*) П. Л. Капица . Физические задачи. М., Знание, 1972. В предисловии к этому сборнику П. Л. Капица рассказывает об истории создания задач.

*) От редакции. Если вам очень понравится собственное решение какой-нибудь из этих задач — присылайте его в редакцию. Наболее интересныечитательские решения мы опубликуем.

22

который врашает гребной вит корабля. Рассмотрите возможность движения такого корабля против ветра.

3. В старые добрые времена у стороны были колотушки (чтобы злоумышленники зали, что сторож не спит). Такая колотушка — это дошечка с рукойкой, к дошечке на веревке подвешен шарик. При каком движении колотушки шарик будет стучать с периодом $T$?

4. Как влияет на скорость полета стрелы форма лука? Оцените предельную скорость стрелы, выпущенной из современного спортивного лука.

5. С горы выcisты $h=1$ км с уклоном в $45^\circ$ катится без скольжения и разрастается снежная лавина. Определите скорость лавины у подножия горы.

6. Человек мог бы ходить по потолку, как ползает по потолку муxa, если бы ноги человека прилипали к потолку. В случае железного по-tолка это можно было бы осуществить с помощью магнитных башмаков. Придумайте и рассчитайте конструкцию таких башмаков.

7. Гимнасты, многократно отскакивая от батута, увеличают высоту прыжков. Батут — это горизонтальная плоскость на пружинных толка это можно было бы осуществить с помощью магнитных башмаков. Придумайте и рассчитайте конструкцию таких башмаков.

24

Обман или заблужение?

(Об одном способе вычисления π)

Доктор физико-математических наук
А. Н. ЗАЙДЕЛЬ

Как определить экпериментальное численное значение π? Наверное, проше всего взять нитку, измерить с ее помощью длину какой-нибудь окружности известного диаметра и разделить результат на длину диаметра. Оказывается, приближенно найти π можно и с помощью иолки … и теории вероятности. Такой способ придумал французский естественный пытается Jah. Л. Л. Бюффон (1707—1788)*. Воспследствии опит Бюффона не раз повторялся для проверки некоторых выводов теории вероятности (вернее, их применности на практике). Не обошлось при этом и без одного курзенного случая, о котором инойдет у нас речь. Но сначала расскажем, в чем состоит

Опыт Бюффона

Для его осуществления нужно немного: плоская горизонтальная поверхность с нанесенными на ней параллельными равностоями прямыми и илла. Расстояние между прямыми h и длина иллы l должны удовлетворять соответствию l≤h (рис. 1). Будем произвольным образом подбрасывать иллу над такой поверхностью, сообщая ей каждой раз небольшое врашение так, чтобы илла свободно padала с высоты

*) См. об этом также в заметеке А. Виленкина «Число «пи» и теория вероятности» (Квант, 1977, № 5).

Рис. 1.

25

осуществления того или иного события в достаточно длинных сериях экспериментов. Поэтому приближенное значение вероятности можно получить эмпирически, вычислив соответствующее частоту. (Тоchnым математическим выражением наблюдаемого в эксперименте стремления частоты к какому-то предельному значению (вероятности) служит так называемый закон больших чисел, доказанный в своей самой простой форме около трехсот лет назад Якобом Бернулли.) С другой стороны, методы теории вероятности во многих случаях позволяют использовать условий проведения эксперимента рассчитывать вероятности теоретически.

В конце статьи мы показем, как решается задача Биофона о нахождения вероятности $p$ того, что игра пересечет одну из линей. Ответ получается заменяемый:

$$p = \frac{2}{\pi} \frac{l}{h}!$$

A поскольку частота пересечения $m/n$ примерно равна этой вероятности, для приближенного вычисления $n$ имеем формулу

$$\pi \approx \frac{2l}{h} \frac{n}{m}.$$

(1)

Что показали эксперименты?

Tochnость приближения в формуле (1) будет тем выше, чем больше $n$, и на первый взгляд кажется, что, бросая иглу достаточно много раз, можно получить сколько углового точное значение $n$. Попробуйте проделать такой опыт и вы легко убедитесь, что получить этим способом для $n$ значения 3,1 довольно легко. Надежно получить следующее десятичный знак — 4 — уже значительное труднее.

В прошлом вке, когда теория вероятности зачастую рассматривалась как получсериментальная наука, такие опыты имели больше значения и веса тщательно ставились многоими учеными. Ниже приведется таблица, взята из курса теории вероятностей Б. В. Гнеденко.

В первой колонке даны фамилии учены, бросавших иглу, во второй — год проведения опыта, в третьей — число бросаний, из которого было определено $n$, и в последней — по-

лученное в результате опытов значение. В нижней строке таблицы данного значения $n$ с восемью знаками.

Сравним с этим числом экспериментальные значения. Числа в первых двух строках отличия от $n$ на 0,01—0,02. Число, полученное Фоксом, всего на 0,0003 больше $n$ — это удивительный результат, а вот число Лацарини лишь на 0,0000002 отличается от истинного значения. Это уже действительное — чудо, а чудеса бывают только в сказках.

Незбежность ошибок

Постараемся разобрать, что заставляет нас удивляться и, скажем откровенно, не верить в результат последнего опыта. Таких причины несколько. Первая — погрешности измерений. Для того чтобы получить из (1) точное значение $n$, нам необходимо точно знать величины $h$ и $l$, вернее, их отношение. Эти данные мы можем получить только в результате измерений. А погрешности измерений внесут свой вклад в погрешность определения $n$. Оценим эти погрешности. Пустьлина иглы будет 50 мм, такое же расстояние между линяями. Получясь обчными измерительными инструментами, например штанген-циркуль или линейкой с нонусом, сравнительно легко изменить обе нужные длины с точностью до 0,1 мм или 0,2%. Мы видим, что для любой из нужных нам длин расстояние 0,1 мм классет предел точности измерений*). Однако

*) В небольшим числе опытов (примерно 0,1—0,2% от общего числа бросаний) расстояние от конца иглы до прямой будет меньше 0,1 мм. В таких случаях глаз не разлияет, произойдет пересечение или нет. Это обстоятельство может ввести свою правда, малую по сравнению с другими погрешностями.

26

ко, применив более совершенные инструкции, можно все длины изменить с погрешностью 0,01 мм. Это уже практический предел — уменьшить погрешность до 0,001 мм в таком опите исключательно трудно — изменение температуры иглы или поверхности, на котором нанесены линии, на 1—2 градуса уже вызовет изменение размеров на величины около 0,001 мм. Деформация иглы при ударе о поверхности, стирание ее концов, деформация самой поверхности — все эти принципы делают проведение опита на уровень погрешности 0,001 мм нереальным. Поэтому, и не производя более детальных оценок, можно уверенно сказаать, что в описанных опитах число π могло определяться с погрешностью, не меняющей 0,2—0,02%. To есть в опитах с простым изменительным инструментом (с каким они обычно проводятся) можно ожидать значение π=3,141±0,006. При очень тщательно выполненных опитах можно расчитать на результат π=3,1416±0,0006. А получить для π из подобных опитаов величины с погрешностью в восмой значшей цифре так же невозможно, как нельзя взвести спичку на весах, предназначенных для взвшивания железнодорожных вагонах — сликом грузы инструменты.

Разумеется, при любом изменении следует оценить его точность и прибодить результат с тем количеством знаков, которое ей соответствует. Если мы получим для каждой-то величины A в результате изменений и вычислений значение A=2,474329, а точность изменительного прибора — 1%, то следует писать A=2,47, зачеркнуть все последующие цифры, которые отражают только точность нашего вычислительного устройства (современные, даже простейшие микрокалькуляторы всегда дают 6—8 десятичных знаков), а не результат реального опита. Выписьать в таких случаях все знаки, которые можно сосчитать, — это завершено пытается обманнуть себя и других, преувеличивая точность опита.

Однако в большой точности изменений вообще нет необходимости:

вплане достаточно изменять длины с погрешностью в 0,1 мм. Причина в том, что точность определяется отраслем с совершенной совершенной другими. «Вероятностным» по природа obstruction — невозможностью произвести достаточно число бросаний для того, чтобы приближенное равенство (1) надежно выполнялось с относительной погрешностью, меньше 0,01. Можно выяснить, с какой скорость убивает разница |$\frac{m}{n}-p$| между частотой данного события в серии из n испытаний и еговероятность при возниклении числа испытаний. Оказывается, для того чтобы увеличить точность приближенного равенства $\frac{m}{n} \approx p$ в N раз, число испытаний надо увеличивать в $N^2$ раз, другими словами, погрешность приближенного определения вероятности обратно пропорциональна квадратному корню из числа испытаний. Более точный расчет для опита Бюофона показывает, что при $h \approx l$ погрешность α значения π, которая более или менее надежно не будет превышена при n бросаниях иглы, можно оценить так:

$$\alpha \approx \sqrt{\frac{5}{n}}.$$

Если мы потребуем, чтобы α было не больше 0,02, то из формулы (2) получаем $n \approx 12000$. В опитах, прибеденных в таблице (кроме опита Фокса), проводилось от 3000 до 5000 бросаний. В соответствии с (2), α получается при этом несколько больше, то есть пример 0,025—0,030. Это находится в хорошо согласиении с результатами Вольфа и Смита. Пример такой же погрешность получается при ошибках изменения длины порядка 0,1 мм. Следовательно, нет оснований их изменять точнее, так как погрешности в каждом звене опита не должны существовать — нет смысла изменять длину иглы с точностью до 0,001%, если погрешность, связанная с ограниченной числа испытаний, приводит к ошибке конечного результата в 0,2%—0,3%. Выбор числа бросаний в 3000—5000

27

вполне оправдан. Однако испытание должно занять около 5 с (попробуйте бросать быстрее). При этом 10 000 бросов займут примерно 14 часов, то есть два полных рабочих дня. Если мы захотим получить результат в десять раз более точный, то, в соответствии с «законом 1/√n», нужно бросать в 100 раз долше — 200 дней, а это уже многого.

А вот для того, чтобы получить результат Лаццарини, погрешность которого составляет всего 0,0000002, нужно бросать иглу около 4 000 000 лет! (Разумеется, при соответствующей абсолотно нереальной точности измерения всех длин.) Так что, начав свой опыт в 1901 году и бросая до середнящего дня, Лаццарини был бы так же далек от опубликованного им результата, как и в день начала опыта.

Укажем еще один источник погрешностей в опытах такого рода. Для того чтобы верятность пересечения действительно равнялась теоретическому значению $p=2l/\pi h$, все положения упавшей иглы относительно линей на поверхности должны совершенно равноприравны, то есть ни одно из них не должно встречаться чаше других (более точную формулировку этого требования мы приведем при вычислении $p$). Есть все основания полагать, что в реальном эксперименте добиться этого трудно.

В связи со всем сказанным следует отметить, что число знаков, приведенных в таблице, неоправданно велико. Следовало оставить в первых двух строках четверной колонки 3,16, а в третьей — 3,14.

И все-tаки:
обман или заблудение?

Как же все-tаки объяснить полученный Лаццарини результат? Трудно предположить попытку создатьного обмана. Когда Лаццарини занимается бросанием иглы, закон больших чисел был хорошо известен и те расчеты, которые здесь приведены, мог проделать любой математик. Вероятно, никто из ученыхникогда серbezно этот результат и не воспринял, хотя его неодно-кратно публиковали. Приступая к опытам, Лаццарини должен был знать заранее, чего от них можно было ожидать. И, даже получив в результате аргументских упражнений приведенное им число, он не должен был публиковать такой фантастический результат, не подтвердив его повторной серей опытов. Мне кажется, что ему очень хотелось получить то, чего до него никакой получить не сумел. Такое список сильное желание иногда увлекается исследователя и заставляет принять желаемое за реализность.

Можно, конечно, предположить, что, бросая иглу, он после каждого испытания вычислил л и прекратил опыты после 3408 бросов именно потому, что как раз после такого числа испытаний он случайно получил приведенное им число. Разумеется, даже из 10 000 бросаний получить хотя бы один раз значения с точностью до $2 \cdot 10^{-7}$ очень мало верятно (вероятность этого примерного равна $10^{-3}$), но все же событие с такой вероятностью могло произойти. Если дело было действительным так, то Лаццарини не обманывает других, но обманул самого себя. К сожалению, и такое случается.

Будем удовлетворены тем, что, хотя результат опыта Лаццарини не подтвердил правильность выводов теории вероятностей (а скорее даже вступил с ним в противоречие, если уж воспринят его всегда), он последил нам еще один поводом для обсуждения того, как стороны нужно относиться к получаемым в опите результатам и их статистической обработке.

Решение задачи Бюффона

Нам остается объяснить, как числаяется вероятность пересечения иглы и одной из параллельных прямых в опите Бюффона. Обозначим расстояние от центра иглы до ближайшей прямой через $a$ ($0 \leq a \leq h/2$), а угол между иглей и прямой — через $\varphi$ ($0 \leq \varphi \leq \pi/2$). Тогда, как ясно из рисунка 1, $a$, условия пересечения иглы и прямой можно

28

Записать в виде

$$a \leq \frac{l}{2} \sin \varphi.$$

Какому возможно результат нашего эксперимента отвечает точка на плоскости с координатами $(a; \varphi)$, лежащая внутри прямогольника, ограниченного координатами осями и прямыми $a = \frac{h}{2}$ и $\varphi = \frac{\pi}{2}$ (рис. 2).

Точки прямогольника, лежащие под кривой $a = \frac{l}{2} \sin \varphi$, соответствуют следующим пересечения иглы с прямой: точки, лежащие выше этой кривой — случая, когда пересечение не имеет места. Теперь задачу можно сформулировать так: в прямогольнике $\{0 \leq \varphi \leq \pi/2; 0 \leq a \leq h/2\}$ наведывается точка; какова веряность того, что эта точка оказывается под синусоидой $a = (l/2) \sin \varphi$?

Слово «наугад» заменяет здесь требование равноправности*) всех положений уравнений иглы. Его строий смысл можно обязывать по-разному. Проще всего сказать, что веряность попадания выбранной точки в любой квадрат $\{\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2; a_1 \leq a \leq a_2\}$ ($\varphi_2 - \varphi_1 = a_2 - a_1 = d$) с данной стороны не зависит от положения этого квадрата внутри прямогольника (хотя, разумеется, зависит от длины $d$ его стороны).

Например, веряность того, что точка оказывается внутри квадратов $K_1$ или $K_2$ на рисунке 2, одинаковы. Отсюда нетрудно вывести, что веряность попадания внутри любой фигуры, лежащей в нашем прямогольнике, пропорциональна ее площади, и, следовательно, равна относению этой площади к площади всего прямогольника.

В частности, площад кривой новой трапеции, ограниченной расматриемой синусоидой, равна

$$S_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{l}{2} \sin \varphi d\varphi = \frac{l}{2} \left( -\cos \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\cos 0 \right) = \frac{l}{2}.$$

А так как площад $S$ прямогольника равна $\pi h/4$, для исключения получения значения

$$p = \frac{S_1}{S} = \frac{2l}{\pi h}.$$

*) Мы предопчитаем не говорить о «равноверяности», потому что веряность того, что угла займет какое-то точное фиксированное положение попросту равна нулю.

Рецензии, библиография

Новые книги

В 1984 году издательство «Наука» предполагает выпустить в серии Библиотечка «Квант» следующие книги (цена каждой книги 40 к.):

1. В. В. Брагинский, А. Г. Полнарев. Удивительная гравитация.

2. Г. С. Воронов. Штурм термоядерной крепости.

3. В. И. Гольданский, Р. П. Кузьмин. Эффект Мёссбауэра.

4. В. Н. Дубровский, Я. А. Смородинский, Е. Л. Сурков. Релятивистский мир.

5. В. А. Займовский, Т. Л. Колупаева. Необучные свойства общих металлов.

6. Занимательное о физике и математике. (Составители С. С. Кротов, А. П. Савин.)

7. М. Е. Левинштейн, Г. С. Симин. Знакомство с получированием книги.

8. А. П. Пурмаль, Е. М. Слюбодцкая, С. О. Травин. Как превращаются вещества.

9. С. С. Хилькович. Физика вокг нас.

10. А. Д. Чернин. Звезды и физика.

Мы советуем всем заинтересованным читателем оформить заказы на эти книги в книжных магазинах или в отделах «Книга — почтой».

29

Из старых опытов

Кандидат физico-mатематических наук
А. А. ВАРЛАМОВ

Полода назад мы опубликовали первый статью о занимаемых опытах, которые проводили любозательные юноши в прошлом вке.*) Сеодняя мы продолжаем эту тему и предлагаем внимание читательу расссказ о нескольких zabавных опытах по электричеству.

В начале XIX столетия Распорядительный совет Королевского института Великобритании в целях просвещения юношства в области естественных наук учредил специальный курс научных чтений. (Заметим, что естественные предметы в английской школе в то время не преодавались вовсе.) По своей организации это было нечто вроде воскресной школе, которое, как вы помните, прилежно посещал Tom Сойер. Однако вместе «плюгавого директора с молитвеником и скучными проповедями» на кафедру Королевского института всходили и выступали перед юными лю-

бознаательными случаем выдающее учение того времени Майкл Фарадей, Джон Тиндаль и другие.

Некоторые из прочтанных курсов были записаны и затем опубликованы. Так всемирную известность получила серия лекций под названием «Химическая история свечи», прочитанная Фарадем в 1860 году и впервые опубликованная в 1861 году. С тех пор эта книга многократно переиздавалась на разных языках, в том числе и на русском. Очередное издание вышлосовсем недавно в Библиотечке «Квант»*).

Не менее замечательна и книга Тиндалая «Уроки по электричеству». О некоторых опытах из этой книги вы сегодня узнаете.

Учение об электричестве стало развивать崭нительное позже механики. Так, на протяжении почти двух тысяч целейлетей познания человека в этой области ограничались лишь тем фактом, что янтарь может притягивать к себе легкие предметы. И только в XVII века были открыты первые закономерности, описывающие электрические явления.

Причину такого застоя Тиндаль видел в пренебрежении опытами. Именно искусство проводить опыты,

*) А. Варламов. Сто лет назад. «Квант», 1982, № 10.

29

31

«оживать» — поднимают руки и ноги, подпрыгивают и, наконец, приплпают к стеклу.

Как только вы прекратите электризовать стекло tremenем, заряд начнет стекать с коробки, и фигурки станут падать на дно, но еще довольно долго будут подергивать руками и ногами, пока из них не уйдет жизнь, дарованая им электрическом.

Оргинальные фонты

Устройте простейший фонтан с помощью резервуара с водой, поставленного на возвышение (скажем, на шкаф), и обыкновеного сифона, сделанного из резиновой трубки. Укрепите конец трубки так, чтобы струя воды была не вертикально вверх, а несколько под углом, достигая высоты сантиметров пятьдесят. После достижения максимальной высоты, струя обычно рассыпается на сонопызг. Если же вы поднесете к ней заранее на электризованную палочку, сопп брызг тут же послушно стянется в спокойную струю. Попробуйте объяснить, почему.

Этот опыт эфективно показывает в темноте, осветив снизу лишь струю воды.

А теперь опишем красивый опит, демонстрирующий противоположное действие электрических зарядов.

Закрепите неподвижно воронку и воткните в нее проволоку. Другой конец проволоки обмотайте вокруг нагретий стеклянной трубки. Насыпьте в воронку металлические опилки — они будут высыпаться из нееровной сплошной струей. Но стоит вам потереть трубку кусочком кожи или шелка, как картина резко изменится. Заряды, возникшие на трубке в результате tremя, передаются по проволоке металлическим опилкам, они приобретут одномерные заряды и разлетятся, образуя своеобразный фонтан.

Как сделать электрифорную машину

Если вы хотите выйти за рамки оптовов с электризованной палочкой, необходимо научиться сообщать темам гораздо большие заряды. Например, с помощью предлагаемой машины.

Первая электрическая машина была конструкирована бургомистром Магдебургга, военным инженером Отто фон Герике в 1660 году. Герике известен прежде всего своим опитам по обнаружению атмосферного давления, которые вошли в историю физики под названием «опыты с магдебургскими полушарями» (о них упоминается в учебнике физики для 6—7 классов).

Электрическая машина Герике представляет собой шар из серы величиной с детскую головку, насаженный на железную ось с рукойтой и укрепленной на деревянной подставке. С этим шаром можно было проводить различные опыты. Например, врашая шар с помощью рукотки и натирая его прямо сухой рукой, Герике наблюдал возникновение маленьких искр вокг шара — шар светился в темноте. Сняв шар с подставки и перемешаясь с ним по комнате, ему удавалось застать легкие тела, например перышко, плавать в воздухе. В процессе опытов Герике заметил важное обстоятельство: лег-

32

кне тела сначала притягаются на электризованным шаром, но после прикосновения к нему тут же отталкиваются (подумайте, почему?) и держатся от него на некотором расстоянии, пока не коснутся других предметов, после чего они снова могут притягаться к шару. В дальнейшем серный шар был заменен стеклянным цилиндром, а затем — более удобным стеклянным диском. Эти машины давали столь сильные искры, что они были способны воспламенить эфир.

Во всех последующих образах электрофорных машин, позволяющих получить еще больше электрические заряды, присутствует характерный и для современных машин дополнительный элемент — кондуктор, то есть собирать зарядов.

Опишем устройство одной из простейших машин, которое несложно изготовить самостояльно. Она состоит из двух главных элементов — удиненного цилиндра, электризующего трением, и кондутора.

Цилиндр $A$ сделан из простой бутылки. Вместе с пробкой в горлышко входит коленчатая ручка $P$, с помощью которого цилиндр приводится во врашение. Стойки $B_1$ и $B_2$, приклеенные к основанию $O$ машины, вырезаны из фанеры, их высота 10—12 см. В верхней части стоке на одинаковой высоте привергавются отверстия для оси врашения. К дну бутылки приклеивается кусочке дерева, в которой упирается пропущенный сквозь стойку винт $M$. Он служит левым концом оси врашения и одновременно приживает бутылку к противоположной стойке. Чтобы винт не врезался в деревашку, под него лучшее подложить металлическую пластинку с углублением в центре.

Трушая щетка представляет собой оклеенное кожей дощечку Д шириной 4—5 см, которая прижимается к бутылке с помощью двух тугих пружин. Шетка креплится к основанию следующим образом: в основание включаются две короткие достагоно шриокие тонкостенные трубки, а в щетку включаются трубки меньше диаметра, свободно входящие в нижние.

Кондуктор $K$ состоит из металлического прutta толщиной 4—6 мм и металлического шарика, прикрепленного к левому концу прutta. К пруту приклеивается медная насадка, с помощью которой кондуктор закрепляется в трубке, включенной в верхушку левой стойки. Места соединения прutta с шариком и медной насадкой должны быть хорошо зачищены.

Электрический ветер и электрическое сетерovo колесо

С помощью изготовленный вами электрофорной машины можно провести множество интересных опытов. Один из самых простых — это создание так называемого электрического ветра. Прикрепите с помощью пластинка к шарику кондутора бульавку так, чтобы ее головка обязаательно касалась кондутора, а сама бульавка была расположена горизонтально. Если теперь вы одной рукой будет крутить ручку машины, а другой подставите костирю, то почувствуете дуновение ветра. Этот ветер может быть настолько сильен, что его порывы задуют пламя свечи.

33

Такое, на первый взгляд загадочное, явление объясняется электрическими свойствами ostрия. Так как заряды одного знака отталкиваются, они, стекая с кондуктора, стремятся отойти от него как можно дальше и в большом количестве скалливаются на конце ostрия. Эти заряды притягивают заряды противоположного знака из воздуха, которые «сидят» на различных частяхах, взвешенных в воздухе. Прикосновшись к острию, частички тут же перезаряжаются и, обретя заряд того же знака, что и на кондукторе, улетают прочь от ostрия. Поток этих части и создает ошушаемый ветер.

Описанное свойство ostрия можно использовать для устройства электрического аналого изввесного с древности сегнерова колеса (вращающийся с помощью реактивной силы вытекающий из его сопел воды). Возьмите пробку, выдолбите ее середину так, чтобы туда вошел металлический наперсток. Снаружи воткните, расположив их симметрично, несколько металлических стержней, загнутых в виде крючков. Теперь установите это «колесо» на металлической вертикальной оси, подсоединенной к кондуктору электрофорной машины. При вращении ручки машины на остриях скалливаются заряды и, как в предыдущем опыте, от них получит поток перезаряивающихся частичек. Эти потоки приводят «колесо» во вращение.

На этом же свойстве основано действие громоотвода. Его изобретатель Бенджамин Франклин чрезвычайно протумно продемонстрировал принцип действия громоотвода следующим образом. Известно, что грозовые облака всегда очень неровные, отделные их участки нахождения на разных расстояниях от земли, некоторые из них проходят иногда совсем низко над землей. Франклин полагал, что такие спускошеся «звенья» грозовой тучи являются ступенями, облачащими молнии выбор пути. Для демонстрации этого он подвесил к кондуктору электрофорной машины несколько клюковрых бумаги, прикрепив их друг к другу. При поступлении на них заряда клюки вытягивались к земле. Поднос к нижнему из клюковости иглы, Франклин заставил его поднять к предыдущему и продельвал это до тех пор, пока все бумага не возвралась к кондуктору, как если он не был заряжен.

Попытайтесь и вы проделать и объяснить этот опит.

Задча

На рисунке изображены головки трех винтов (вид сверху). Одна из этих головок имеет цилиндрическую форму, другая — форму усеченного конуса, третья — полушара. Какая — какую?

35

( $I_{\text{рез} \min} = 0$ ). Такое перераспределение энергии в пространстве и является характерным признаком интерференции.

Явление интерференции легко демонстрируется для волна на воде или для радиоволн. В оптике наблюдаются интерференционную картину нелегко, так как обычные источники света (не лазеры) испускают колебания с быстро и случано изменяющейся фазой и, следовательно, неокрепленные. Однако если свет от одного источника разделить на два пучка и затем наложить эти пучки друг на друга, то можно получить достаточно четкую интерференционную картину$^*$).

Заметим, что для правильного описания явления интерференции ошибка при определении разности фаз колебаний должна быть существенно меньше $\pi$ (инначе будет невозможно отличить максимум от минимума). При этом ошибка в изменении разности хода волн должен быть много меньше длины волны $\lambda$ (для световых волн эта ошибка должна быть много меньше 0,1 мкм).

Тепер разберем несколько конкретных задач. Почти все они взяты из бытовых письменного экзамена по физике в Московский физико-технический институт.

Задача 1. Плосая электромагнитная волна частоты $v$, формированная рупорной антенной, падает перpendикулярно на плоский отражатель экрана. Определите амплитуду отраженной волны, если изменить направление электросоюю поля при перемещении между экраном и рупором зафиксированным максимальным амплитуду поля $A_1$ и минимальным $A_2$. Определите также расстояние между двумя соседними максимумами поля.

В пространстве между рупором и отражшим экраном проискот наложение падающей и отраженной волн. В точках максимума фазы колебаний, вызванных этим волнами, совпадают, и, следовательно, результирующее количество проискот с амплитудой

$$A_1 = A_{\text{пад}} + A_{\text{отр}}.$$

В точках минимума падающей и отраженной волны находится в противофазе, и суммарная amплитуда колебаний равна

$$A_2 = A_{\text{пад}} - A_{\text{отр}}.$$

Из этих двух равенств находится

$$A_{\text{отр}} = \left( A_1 - A_2 \right) / 2.$$

Пусть колебания в точке с координатой $x$, вызванные падающей волной, описываются выражением

$$a_{\text{пад}} = A_{\text{пад}} \cos \omega \left( t - \frac{x}{c} \right) = A_{\text{пад}} \cos \left( \omega t - \frac{2\pi}{\lambda} x \right).$$

Если расстояние от рупора до экрана равно $l$, то отраженная волна проходит до данной точки расстояние $2l - x$, и колебания, вызванные отраженной волной, имеет вид

$$a_{\text{отр}} = A_{\text{отр}} \cos \omega \left( t - \frac{2l - x}{c} \right) = A_{\text{отр}} \cos \left( \omega t + \frac{2\pi}{\lambda} x - \frac{4\pi l}{\lambda} \right).$$

(На самом деле при отражении волны фаза колебаний может измениться на противоположную, но на дальнейшие наши рассуждения это повлиять не может.)

Пусть два соседних максимума наблюдаются в точках с координатами $x_1$ и $x_2$. Разности фаз колебаний, вызванных падающей и отраженной волнами в этих точках, равны соответственно

$$\left( \Delta \varphi \right)_1 = \left( \omega t - \frac{2\pi}{\lambda} x_1 \right) - \left( \omega t + \frac{2\pi}{\lambda} x_1 - \frac{4\pi}{\lambda} l \right) = - \frac{4\pi}{\lambda} x_1 + \frac{4\pi}{\lambda} l$$

и

$$\left( \Delta \varphi \right)_2 = - \frac{4\pi}{\lambda} x_2 + \frac{4\pi}{\lambda} l.$$

В двух соседних максимумах фазы результирующих колебаний должны

36

Очевидно, что наиболее ширина интерференционной картины будет в том месте, где самая большая площадь пересечения интерферриующих лучков. Из рисунка 2 видно, что это будет на расстоянии

$$L \approx \frac{D}{4 \text{tg} \beta} \approx \frac{D}{4 \beta} \approx \frac{Dn}{4 \alpha} \approx 112.5 \text{ см.}$$

При этом ширина всей интерференционной картины равна $b = D/2 = 3 \text{ см.}$

Каждай из пересекающих лучков имеет ширину $d = (D/2) \cos \beta \approx D/2$. Волновые поверхности лучков образуют между собой угол, равный $2\beta$; следовательно, максимальная разность хода лучков равна

$$\Delta l = d \text{tg} 2\beta \approx d \cdot 2\beta.$$

Разность хода, соответствующая двум соседним максимумам (или минимумам), равна длине волны $\lambda$. Таким образом, число интерференционных полос, образующихся на экране, равно

$$N = \frac{\Delta l}{\lambda} \approx \frac{2d\beta}{\lambda} \approx \frac{D\alpha}{n\lambda} \approx 800,$$

а ширина одной полосы —

$$b_0 = \frac{b}{N} \approx \frac{D/2}{D\alpha/(n\lambda)} \approx \frac{n\lambda}{2\alpha} \approx 37.5 \text{ мкм.}$$

Задача 3. Приемник радиосценалов, следящий за появлением спутника Земли из-за горизонтта, расположен на берегу озера на высоте $H = 3$ м над поверхности воды. По мере поднятия спутника над горизонтом расположется перiodическая измененная интенсивность примаемого сигнала. Определите частоту радиосценала спутника, если максимумы интенсивности наблюдаются, в частности, при углах возвывания спутника над горизонтом $\alpha_1 = 3^\circ$ и $\alpha_2 = 6^\circ$. Поверхность озера можно считать идеально отражающим зерком.

В приемник попадают лучи, induce неопределенно от спутника и отражшие от поверхности озера. На рисунке 3 это лучи 1 и 2 соответственно. Разность хода между ними

$$\Delta l = |AC| - |AB| = \frac{H}{\sin \alpha} - \frac{H}{\sin \alpha} \cos 2\alpha$$

37

Разложение на различные множители

В разложении натурального числа на простые множители, вообще говоря, совместели повторяются: $4 = 2^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$ и т. п.

Обозначим через $B$ такое множество натуральных чисел, что каждое не входящие в $B$ натуральное число $n > 1$ можно и при этом единственным образом! — представить в виде произведения различных чисел из $B$.

1. Постройте такое множество $B$; докажите, что оно определяено однозначно. а) Какой вид имеет разложения на простые множители чисел из $B$? Обозначим через $b_n$ $n$-й по величине элемент множества $B$. Легко видеть, что $b_1 = 2$, $b_2 = 3$, $b_3 = 4$, $b_4 = 5$, $b_5 = 7$, $b_6 = 9$.

2. Расмотрим представления натуральных чисел в виде произведения чисел из $B$ (для чисел $b \in B$ будем считать таких представлениями равенства $b = b$). Например, $2 = 2$, $10 = 2 \cdot 5$, $12 = 3 \cdot 4$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $90 = 2 \cdot 5 \cdot 9$, $120 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$. Для $b \in B$ обозначим через $v_b(n)$ количество чисел, не превосходящих $n$, в упомянуте представление которых входит сомножителем $b$. Например, $v_2(2) = v_2(3) = v_2(4) = v_2(5) = 1$, $v_2(6) = v_2(7) = 2$, $v_2(8) = v_2(9) = 3$, $v_2(10) = 4$. Докажите, что для каждой $b \in B$ а) $\lim_{n \to \infty} \frac{v_b(n)}{n} = \frac{1}{b+1}$; б) есть бесконечно много таких $n$, что $\frac{v_b(n)}{n} = \frac{1}{b+1}$.

3. Положим $m < n$, если каждый множитель из вышеупомянутого представления числа $m$ входит в представление числа $n$. Например, $2 < 2$, $2 < 10$, $30 < 120$, но не $30 < 90$. Положим также $1 < n$ для всех $n$. Сколько существует таких $m$, что $m < n$, если $n$ раскладывается в произведение числа $k$ чисел из $B$? Наозем число $n$ гармоничным, если оно равно сумме всех $m < n$ таких, что $m < n$. Например, числа 6 и 90 гармоничны: $6 = 2 \cdot 3 = 1 + 2 + 3$, $90 = 2 \cdot 5 \cdot 9 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45$. а) Найдите еще несколько гармоничных чисел (автору неизвестно, конечной или множество). б) Докажите, что любое гармоничное число четно. В найдите числа, являющиеся одновременно гармоничными и совершенными.

В. С. Шевелев

38

Открытие новой частицы

Январь 1983 года отмечен крупным событийем в истории физики. В Женеве, в Европейской организации ядерных исследований (ЦЕРН) обявлено об открытии новой частицы — W-бозона. Частца родилась при стольновении протона и антипротона, разогнанных до энергии 270 ГэВ (1 ГэВ = 10³ МэВ = 10⁹ ЭВ) каждый.

Явление это — чрезвычайно редкое. За два месяца работы установки зарегистрирования лишь шесть случайев рождения W-бозона (еще о двух случайах сообщила другая группа физиков).

Открытие новой частицы ожидалось с большим нетерпенем. И неслучайно: ее существование было теоретически предсказано еще несколько лет назад. Дело в том, что бозоны — «главные действующие лица» теории электрослабого взаимодействия, единой теории электромагнитных и слабых процессов (ее авторы С. Вайнберг, Ш. Глэшоу и А. Салам получили Нобелевскую премию 1979 года). Они связаны с полем слабого взаимодействия — взаимодействия, которое проявляется, например, при бета-распаде ядер. Эти частицы суть кванты слабого поля, аналогично тому, как фотоны представляют собой кванты электромагнитного поля.

Семейство слабых квантов состоит из трех частиц: W⁺, W⁻ и Z⁰; первые две — заряженные, последняя — нейтральная. С их помощью осуществляются многоные превращения в мире элементарных частиц.

Когда о новых частинах защища речь, никако не в одном опыте их не видел, и это очень огорчало ученых. Однако теория предсказала не только сам факт их существования, но и их массу: 78 ГэВ для W⁺ и W⁻ и 89 ГэВ для Z⁰ (напомним, что в физике элементарных частиц массу принято выражать не в единицах массы, а в единицах энергии).

Два года длилась подготовка к опытам, и, наконец, первые базоны были зарегистрированы приборами. Опыты (их руководителем был инальянский физик Руббина) проводились со встречными пунктами протонов и антипротонов, при стольновениях которых нарушу了 с другой частицами должны былирождаться и W-бозоны:

$$p + \bar{p} \rightarrow W + \text{что угодно.}$$

«Поймали», конечно, не сам бозон, а зафиксировали его последующий распад (вот почему более полное название новой частицы — промежуточный бозон). Например, родившийся положительный W-бозон распадается на позитрон и нейтрино:

$$W^{+} \rightarrow e^{+} + v.$$

Удивительно, что опытные оценки массы W-бозона — (81±5) ГэВ — оказались очень близки к теоретическим (добавка ±5 ГэВ — это оценка точности эксперимента; действительное значение лежит в пределах от 76 до 86 ГэВ). Это дает возможность считать проведенные опыты веса праводоподобными.

Можно сказать, что теперь теория электромагнитного и слабого взаимодействия получила экспериментальное обоснование. Хотя, конечно же, работа предстоятель еще немалая — надо накопить подобные случаеврождания W-бозонов, уточнить их свойства и, наконец, надо «поймать» и нейтральный бозон тоже.

Я. С.

39

Задачи

1. За книгу заплатили рубль, и осталось заплатить еще столько, сколько осталось бы заплатить, если бы за нее заплатили столько, сколько осталось заплатить.
   Сколько стоит книга?
2. Расставьте в кругочках на рисунке числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы суммы пяты треек чисел, расположенных по «отрезкам», были равны между собой.
3. На какое наиболее число делится произведение любых трех последовательных четырех чисел?
4. Двое играют в «крестики-нолики» на доске 3×3 по измененным правилам: каждый на своем ходу может поставить как «крестик», так и «нолик». Выигравает тот, после хода которого образуется три подряд стоящих одинаковых значка (по вертикали, горизонтали или диагонали — как в обычных «крестиках-ноликах»). Кто выигравает в эту игру — начинающий или второй игрок? И как?
5. В солнечный день я ехал на машине по мокрой дороге с дядей Сережей, опытным водителем. Комочки грязи, летящие из-под колес впереди идущих машин, попадали наLOBовое стекло. Когда машина остановилась по красному сигналу светофора, я спросил:
   — Дядя Сережа, можно я быстреью вытру стекло мокрой трипкой?
   — Ни в коем случае,— ответил дядя Сережа,— иначе придется это делать постояно!
   Объясните, в чем тут дело.

Эти задачи нам предложили
Н. К. Антонович, М. А. Мнацаканян,
А. П. Савин, Л. Фельдман, С. С. Кротов

40

На пальцах и в уме

Р. Ш. ДАНЕЛия

В детстве для сложения чисел мы все пользовались вычислительной машиной, устройной самой природой — десятью пальцами. Оказывался, этим же «прибором» можно пользоваться и при умножении чисел. Покажем, как «на пальцах» перемножить любые два числа от 6 до 10 включительно. Для этого пропумерем пальцы рук: миннец — 6, безымянный — 7, средний — 8, указательный — 9, большой — 10. Допустим, надо найти произведение 7×8. Для этого на левой руке загнем пальцы 6, 7, на правой — 6, 7, 8, затем количество загнутых пальцев обеих рук умножим на десять и прибавим произведение количества разрядных пальцев руки на количество разрядных пальцев левой: 5·10+2·3=56.

Поппражнявшись немного или научив этому нехитрому искусству младшего брата, еще плюхо знающего таблицу умножения, вы задно можете проверить, что этот способ умножения всегда дает правильный результат. Почему?

Искомое число — это произведение ab, где 6≤a≤10, 6≤b≤10. Ясно, что на левой руке загнуто a—5 пальцев, а на правой b—5. Таким образом, количество разрядных пальцев равно a+b—10. На левой руке загнуто 10—a, на правой 10—b пальцев. Их произведение равно (10—a)(10—b).

Согласно высказанному, надо найти сумму:

(a+b—10)·10+(10—a)(10—b).

Раскрыв скобки, мы убедимся, что сумма действительного равна a·b, то есть

41

$$a \cdot b = (a + b - 10) \cdot 10 + (10 - a) \cdot (10 - b).$$

Таким образом, используемый нами метод умножения на пальцах обоснован.

---

Поглядев внимательно на то же действие (1), легко понять, что вместо числа 10 можно поставить любое число $m$, то есть

$$ab = (a + b - m)m + (m - a)(m - b).$$

Проверьте это! С помощью этого то жества можно быстро найти произведение двух таких чисел, у которых одно и то же число десяток, сотен, …

Рассмотрим примеры.

1. Вычислим произведение 16 · 17. В то жестве (2) возьмем $m = 20$. Тогда

$$16 \cdot 17 = (33 - 20) \cdot 20 + 4 \cdot 3 = 272.$$

2. Найдем произведение 42 · 44. Возьмем $m = 50$. Тогда

$$42 \cdot 44 = (86 - 50) \cdot 50 + 8 \cdot 6 = 1848.$$

Конечно, для $m$ можно быть и другие значения. Например, будет неплохо, если мы в качестве $m$ возьмем 40.

В этом случае мы имеем

$$42 \cdot 44 = (86 - 40) \cdot 40 + 2 \cdot 4 = 1848.$$

3. Чтобы найти произведение 121 · 103, в то жестве (2) возьмем $m = 100$. Тогда

$$121 \cdot 103 = (224 - 100) \cdot 100 + 21 \cdot 3 = 12463.$$

---

Возможно, вы знаете правило возвления в квадрат двухчанных чисел, оканичивающих на 5. Для того чтобы найти $(10x + 5)^2$, достаточно цифру $x$ умножить на число, следующее за ним, и к получению произведение прибавить 25. Например,

$$35^2 = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 25 = 145.$$

Это правило является следствием равенства

$$(10x + 5)^2 = 10x(x + 1) + 25,$$

которое, в свою очередь, — частный случай тожества (2).

---

Наконец, рассмотрим случай, когда $a = 10x + y$, $b = 10x + z$. Тогда мы имеем

$$(10x + y)(10x + z) = x(10x + y + z)10 + yz.$$

Если $y + z = 10$, мы получим тожество, подобное тожеству (3):

$$(10x + y)(10x + z) = 100x(x + 1) + yz.$$

На основе этого можно формулировать следующее правило: чтобы найти произведение двух чисел, число десятков которых одно и то же, а сумма единиц равна 10, необходимо число десятков умножить на последующее число и к получению числу приписать произведение единиц (если одно однозначно, перед ним приписывается 0). Например:

1. $48 \cdot 42; 4 \cdot 5 = 20, 8 \cdot 2 = 16; 48 \cdot 42 = 2016;$
2. $99 \cdot 91; 9 \cdot 10 = 90, 9 \cdot 1 = 09; 99 \cdot 91 = 9009;$
3. $102 \cdot 108; 10 \cdot 11 = 110, 2 \cdot 8 = 16, 102 \cdot 108 = 11016.$

Попражнявшись в этих примах умножения, вы научитесь быстро умножать в уме многое число. А если вы придумаете другие примеры, сокращающее умножение, — напишите нам.

42

Задачи

M801 — M805; Ф813 — Ф817

M801*. Докажите, что для любого натурального $n$ выполнен равенство

$$[\sqrt{n}] + [\sqrt[3]{n}] + [\sqrt[4]{n}] + \ldots + [\sqrt[n]{n}] = [\log_2 n] + [\log_3 n] + [\log_4 n] + \ldots + [\log_n n]$$

([$x$] означает целую часть числа $x$).

В. В. Кисиль

M802. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники $APB$ и $BQC$ с одинаковыми углами величины $\beta$ при их общей вершине $B$ (см. рис. 1). Найдите углы треугольника $PQK$, где $K$ — середина стороны $AC$.

Л. П. Купцов

M803. Сумма двух разнольных чисел $x$ и $y$ — натуральное число, сумма обратных к ним чисел $1/x$ и $1/y$ — тоже натуральное число. Какими могут быть $x$ и $y$?

Р. А. Мазов, А. П. Савин

M804. Точка $O$ — середина оси прямого кругового цилиндра, $A$ и $B$ — диаметрально противольные точки окружности нижнего основания цилиндра, $C$ — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости $OAB$. Докажите, что сумма двумгранных углов трехгранного угла $OABC$ (с вершиной $O$) равна 2π.

И. К. Жук

M805*. a) На сторонах $BC$, $CA$, $AB$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ так, что отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке. Докажите, что $S_{A_1B_1C_1} \leq S_{ABC}/4$.

б) На гранях $BCD$, $CDA$, $BDA$, $ABC$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $A_1$, $B_1$,

43

$C_1, D_1$ так, что отрезки $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ пересекаются в одной точке. Докажите, что $V_{A_1B_1C_1D_1} \leqslant V_{ABCD}/27$.

Р. П. Ушаков

Ф813. Три невесомых шарниро свазанных стержня длины $a$ каждый закреплен шарниро в точках $A$ и $B$, лежащих на одной горизонтали (рис. 2); $|AB|=2a$. К шарниру $C$ подвесили груз массы $m$. При какой минимальной силе, приложенной к шарниру $D$, средний стержень будет сохранять горизонтальное положение?

С. К. Строков

Ф814. На гладкой горизонтальной поверхности тележки лежит шар радиуса $R$. Тележка начинает движаться со скоростью $v_0$. Найти горизонтальную проекцию скорости шара в момент его удара об пол.

А. Р. Зильберман

Ф815. Нижний конец капилляра радиуса $r=0,2$ мм и длины $l=8$ см погружают в воду, температура которого постоянна и равна $0^\circ C$. Температура верхнего конца капилляра $t_0=100^\circ C$. Температура зависит козффициента поверхности натяжения $\sigma(t)$ воды приведения в таблице. На какую высоту поднимается вода в капилляре? Теплопроводность капилляра намного превосходит телопроводность воды в нем; телообменом с окружающим воздейством можно пренебреть.

А. И. Буздин

Ф816. В схеме, приведенной на рисунке 3, сопротивления резисторов одинаковы и равны $R=60$ Ом, диоды идеальные. Батарею, дающий напряжение $U=12$ В, подключит к точкам $A$ и $B$ на время $t_1=1$ с. Затем, поменяв полоса местами, подключит батарею к схеме на время $t_2=5$ с. Найти выделившееся в схеме количество теплоты.

Л. П. Баканина

Ф817. На рисунке 4 показана зависимость показателя преломления $n$ от координаты. Узкий монохроматический пучок света падает на границу раздела сред I и II. При каких углах падения свет проникает в среду III?

В. В. Можаев

46

М788. a) На графике $y = x^2$ отмещены точки $A$ ($a; a^2$) и $B$ ($b; b^2$). Надите между ними точку $M(m; m^2)$, для которого сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками $AM$ и $BM$, наименьшая.
б) На графике дифференцируемой функцией $y = f(x)$ отмещены точки $A$ и $B$. Известно, что график и отрезок $AB$ ограничивают выпуклуо-физуру. Пусть $M$ — точка графика, расположенная между $A$ и $B$, для которой сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками $AM$ и $BM$, наименьшая. Докажите, что касательная к графику в точке $M$ параллельна хорде $AB$.

Приведем сначала решение для общого случая (пункт 6), а затем применим результат к функциям $f(x) = x^2$ (пункт a).

Поскольку по условию сегмент $AB$, ограниченный отрезком $AB$ и графиком $y = f(x)$, — это выпуклая функция, его площадь равна сумме площадей треугольника $ABM$ и сегментов $AM$ и $MB$ (см. рисунок). Следовательно, если сумма площадей сегментов $AM$ и $MB$ минимальная, площадь треугольника $ABM$ максимальная. Разобъем этот треугольник на два — $AM_1M$ и $BM_1M$ — прямой $MM_1$, параллельной оси ordinат. Пусть $a, b$ и $m$ — абсциссы точки $A, B$ и $M$, причем, для определения, $a < b$. Тогда

$$S_{ABM} = S_{AM_1M} + S_{BM_1M} = \frac{1}{2} (m - a) \cdot |MM_1| + \frac{1}{2} (b - m) \cdot |MM_1| = \frac{1}{2} (b - a) \cdot |MM_1|,$$

позному наиболее значению площади треугольника $ABM$ достигается, когда максимальная длина отрезка $MM_1$. Обозначим через $l(x) = kx + c$ линейную функцию, график которого служит прямая $AB$, тогда $|MM_1| = l(m) - f(m)$. (Мы считаем, что хорда $AB$ расположена над графиком — см. рисунок; в противном случае $|MM_1| = f(m) - l(m)$.) По теореме Ферма (см. Алгебра и анализ 9-10, п. 26), в точке максимума функции $g(x) = l(x) - f(x)$ ее произвольная равна нулю, то есть $g'(m) = l'(m) - f'(m) = 0$ и $f'(m) = l'(m) = k$. Но $f'(m)$ и $k$ — это угловые коэффициенты касательной к графику $y = f(x)$ в точке $M$ и прямой $AB$, а из равенства угловых коэффициентов вытекает параллельность соответствующих прямых.

В частности, если $f(x) = x^2$, угловой коэффициент прямой $AB$ равен $(b^2 - a^2) / (b - a) = a + b$, а произвольная функция $f(x)$ в точке $m$ равна $2m$. Фигура, ограниченная параболю и ее хордой, как легко видеть, является выпуклой. Поэтому абсцисса точки $M$, для которого сумма площадей сегментов $AM$ и $MB$ максимальная, удовлетворяет условиям $2m = a + b$, то есть точки $M$ имеет координаты $(\frac{a + b}{2}; (\frac{a + b}{2})^2)$.

Е. Д. Московский. Ю. В. Чинаяев

M789. a) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуэг, попарно соединины 5 хордами. Обязательно ли среди них надугся две хорды одинаковой длины?
б) * 100 точек, делящие окружность на 100 равных дуэг,

48

Очевидно, что $F$ сохраняет тройку вершин любого правильного треугольника со стороной $r$. Докажем, что $F$ сохраняет также и четверку вершин любого ромба $ABCD$ со стороной $r$ и диагональю $|BD|=r$ (отсюда вытекает в): $|A'C'|=|AC|=\sqrt{3}$ при $r=1$). Достаточно доказать, что $C' \neq A'$. Для этого рассмотрим вместе с ромбом $ABCD$ равный ему ромб $AKLM$, такой что $|CL|=r$ (рис. 3). Если $C'=A'$, то $|C'L'|$ равно 0 или $\sqrt{3} r$, а это невозможно, либо $|C'L'|=|CL|=r$.

Итак, $F$ сохраняет четверку $ABCD$, а следовательно, «треугольную решетку», то есть множество вершин правильных треугольников со стороной $r$, покрывающих плоскость, и ее подмножества — целочкуту точек на прямой, отстоящих друг от друга на расстояние $mr$, $m=1, 2, \dots$ (рис. 4). Поэтому $F$ сохраняет расстояние $mr$.

Докажем теперь, что для любых двух точек $X$ и $Y$ $|XY|-2r \leqslant |X'Y'| \leqslant |XY|+r$ (*)

(второе неравенство при $r=1$ — это пункт 6) задачи). Пусть $(m-1)r \leqslant |XY|<mr$, где $m$ — натуральное число. Тогда точки $X$ и $Y$ можно соединить ломаной $XX_1X_2\dots X_{m-1}Y$ из $m$ звенев длины $r$ (рис. 5, а) и $|X'Y'| \leqslant |X'X_1'|+|X'_1X_2'|+\dots+|X'_{m-1}Y'|=mr \leqslant |XY|+r$. С другой стороны, если $X_m$ — такая точка луga $XY$, что $|XX_m|=mr$ (рис. 5, б), то $|X_mY| \leqslant r$ и $|X'Y'| \geqslant |X'X_m'|-\dots|X'_mY'|$. Но $|X'X_m'|=|XX_m|=mr$, а $|X'_mY'| \leqslant |X_mY|+r \leqslant 2r$, поэтому $|X'Y'| \geqslant mr-2r \geqslant |XY|-2r$.

Наконец, докажем, что если $F$ сохраняет расстояние 1, то можно указать и сколь угодно малое расстояние $r$, сохраняющееся при этом отображении. Отсюда, пользоваться неравенствами (*), мы выведем утверждение г) и д).

Рассмотрим луч $l$ с началом $O$ и две последовательности его точек $(A_m)$ и $(B_n)$: $|OA_m|=m, |OB_n|=n\sqrt{3}$, $m,n=1,2$, … Отображение $F$, сохраняющее расстояние 1, сохраняет как мы знаем, каждую из этих последовательностей. Более того, оно сохраняет и их объединение, то есть лучи $O'A_m'$ и $O'B_n'$ совпадают. (В противном случае (рис. 6) можно найти столбцов $n$, что $|A_m'B_n'|>2$ при всех $m$. В то же время $|A_mB_n| \leqslant 1$ при некоторых $m$, а тогда в силу (*) $|A_m'B_n'| \leqslant 2$.) Отсюда следует, что отображение $F$ сохраняет расстояние $r=|m-n\sqrt{3}|$ при всех целых $m$, $n$. Остается применить следующую важную lemma; среди чисел $|m-n\sqrt{3}|$ можно найти число, меньше любого положительного $\varepsilon$. (Аналогичное утверждение верно для множества чисел $|m-n\alpha|$, где $m,n$ — целые, при любом irrationalном $\alpha$.) Для доказательства достаточно заметить, что число $(2-\sqrt{3})^N$ имеет вид $a_N-b_N\sqrt{3}$, где $a_N$ и $b_N$ — целые, а при достаточно большом $N$ это число меньше $\varepsilon$.

Итак, если $F$ сохраняет расстояние 1, то неравенства (*) выполняются при сколь угодно малом положительном $r$. Следовательно, $|XY| \leqslant |X'Y'| \leqslant |XY|(\text{пункты г})$ и д)), то есть $|X'Y'|=|XY|$ для любых двух точек $X$ и $Y$. Другими словами, $F$ — это просто перемещение плоскости.

Оставляем читателем в качестве задачи доказательство аналогичной теоремы в пространстве. (Заметим, что здесь нужны новые идеи, поскольку одним правильными терраэдрами заместить пространство нельзя! Попробуйте доказать, что если отображение $F$ пространства в себя сохраняет расстояние $r$, то оно сохраняет не только правильный терраэд и составленную из двух терраэдов «бипирамиду», но и правильный октадр с ребром $r$.) А. Тыщка, Н. Б. Васильев

Ф798. В реку, скорость течение которого взделе равна $u$, из точки $O$ на берегу бросают камень перепикулярно без