Квант 1983, №6 · Страницы

КВАНТ
6
1983
Научно-популярный физиком-математической журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

В 1804 году французский ученый Гей-Люссак (на гравиоре он справы) давал поднимался на воздушном шаре и достиг высоты 7 км. Его исследования показали, что состав воздуха не меняется с высотой. Телер извесно, что это справедливо вплоть до высоты 90 км.
О современных представлениях об атмосфере Земли вы можете узнать из статьи А. В. Бялко, опубликованной в этом номере журнала.

1

В НОМЕРЕ:

2. А. В. Бялко. Что такое атмосфера
3. С. Г. Гиндикин. О попытке чисел «попистие софистических»
4. А. Т. Фоменко. Minimalные поверхности
5. Ю. В. Нестеренко, Е. М. Никицин. Очерк о цепных дробях
   A. V. Byalko. What is the atmosphere
   S. C. Gindikin. On the usefulness of “truly sophistic” numbers
   A. T. Fomenko. Minimal surfaces
   Yu. V. Nesterenko, E. M. Nikishin. Essay on continued fractions

НОВОСТИ НАУКИ
31. М. Д. Франк-Каменецкий. Левая спираль ДНК
Science news
M. D. Frank-Kamenetski. The left DNA spiral

Лаборатория «Квант»
32. А. А. Боровой. Неоновая лампочка
Kvant’s lab
A. A. Borovoy. The neon lamp

Математический кругок
35. С. Н. Беспамятных. Раскраска плоскости и теорема Ван держ Вардена о прогрессиях
Mathematics circle
S. N. Bespamiatnykh. Coloring the plane and van der Waerden’s theorem on progressions

«Квант» для младших школьников
39. Задачи
40. А. В. Токарев. Дом, который построил…
Kvant for younger school-children
Problems
A. V. Tokarev. The house built by…

Задачик «Квант»
43. Задачи M806—M810; Ф818—Ф822
46. Решения задач M791, M792, M794, M795; Ф803—Ф807
52. Список читателей, приставших правильные решения
Kvant’s problems
Problems M806—M810; P818—P822
Solutions M791, M792, M794, M795; P803—P807
List of readers who have sent correct solutions

Практикум абитуриента
54. Задачи встретильных экзаменов по математике и физике в различных.by в 1982 году
College applicant’s section
Entrance examination problems in mathematics and physics at various colleges in 1982

Ответы, указания, решения
Смесь (9, 53)
Шахматная страница
Три эпизода с жертвой ферзя (3-я с. обложки)
Answers, hints, solutions
Miscellaneous (9, 53)
The chess page
Three episodes with Queen sacrifices (3rd cover page)

На первой странице обложки показана мыльная ленка с пузирем, натужтуй на каркас терраэлра (об этом см. статью А. T. Фоменко на c. 18).

© Издательство «Нука». Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1983

3

лучей переработывает углейслоту (двуокись углерода). Ее углерод входит в организаские соедининия, а кислород поступает в атмосферу. Есть, однако, и другой источник кислорода нашей планеты. Чтобы понять, как он действует, нужно сначала ответить на вопрос: а что же удерживает атомферры планет, почему газы атомферры не разделяются в космическое пространство?

Давление воздуха у поверхности Земли равно, как известно, $p_0 = 1,013 \cdot 10^5$ Pa. Это означает, что на каждой квадратный метр земной поверхности со стороны атомферры действует сила в $1,013 \cdot 10^5$ Н. Сила эта обусловлена прияжением Земли и равна весу столбца воздуха над земной поверхности с площадью поперечного секения $1 \text{ m}^2$. Поскольку высота атомферры мала по сравнению с радиусом Земли, можно считать, что ускорение свободного падения в пределах атомферры постоянно и равно $g \approx 9,8 \text{ m/c}^2$. Вес столбца атомферного воздуха с площадью секения $1 \text{ m}^2$ равен $p_0 = m_1 g$, где $m_1$ ($\text{kr/m}^2$) — масса этого воздуха. Так что над всей поверхности Земли площадью $4\pi R^2$ масса воздуха равна $m_1 \cdot 4\pi R^2$, то есть равна

$$m_A = \frac{p_0}{g} 4\pi R^2 \approx 5,3 \cdot 10^{18} \text{ кг}.$$

Как видите, масса атомферры составляет приблизительно миллионную долю всей массы Земли $m_3 \approx 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$. Интересно сравнить массу атомферры с массой воды на нашей планете: воды на Земле $1,4 \cdot 10^{21} \text{ кг}$, так что масса атомферры в 266 раз меньше.

Сила земного тяготения не только создает давление атомферры у поверхности. Она же превращает разлету атомферных газов в космическое пространство. Вы знаете, что молекулы газов находится в состоянииxaотического, теплового движения. Средняя квадратная скорость молекул при температуре $T$ равна $v = \sqrt{3RT/\mu}$, где $R$ — унверсальная газовая постоянная, а $\mu$ — молярная масса газа. Давайте сравним скорости молекул разных газов при температуре, скажем, $300 \text{ K}$ со второй космической скоростью $v_{II} = \sqrt{2gR_3} = 11,2 \text{ km/c}$. Для водорода $v_H \approx 1,3 \text{ km/c}$, для гелия $v_{He} \approx 1 \text{ km/c}$, для кислорода и азота средняя скорость молекул близка к $0,5 \text{ km/c}$. На первый взгляд, все в порядке. Скорости газов меньше второй космической скорости. Это означает, что Земля может удержать в своей атомферре любой из этих газов. На самом деле, газы атомферры все же очень медленно улетучивают в космос. Происходит это потому, что в высоких слоях атомферры температура, как мы вскоре узнаем, намного выше, чем у поверхности Земли, она достигает $1000 \text{ K}$ — скорости молекул там раза в два большие, чем полученные нами оценки. С другой стороны, мы оценвали средние скорости молекул. При тепловом равновесии с скоростями, близкими к средней, движется подавляющее большим速率. Однако всегда малая доля молекул, скорости которых значительно превышает среднюю и достигает значения второй космической скорости. Эти-то быстрые молекулы и могут покинуть Землю.

При данной температуре наиболее средние скорости имеют молекулы водорода и гелия. Им легче других газов улететь в космос, им легче и поднять на большие высоты. Казалось бы, количество этих газов в атомферре должно превышатьубывать. Но этого не происходит. Почему?

Есть, оказывается, процессы, поддерживающие эти легкие газов. Гелий образуется в земной коре при распаде тяжелых радиоактивных элементов. А водород в атомферре образуется из воды. Под действием ультрафилотовогоизлучения Солнца молекулы $H_2O$ на высотах больше 50 км распадаются на водород и кислород. Таким образом, улетучивание водорода в космос приводит к убили воды на Земле и к возрастанию содержания кислорода в атомферре.

Каждую секунду из атомферры улетаетprimерно 1 кг водорода.

5

Тепловое равновесие планет

Мы видели, что от температуры зависимости в космос. Но прежде всего температура атмосферы интересует нас, жителей Земли с практических позиций — от нее сильно зависит условия жизни.

Главный источник тепловой энергии Земли — Солнце. Человечество сознавало это всегда. Вот как, например, писал русский поэт Алексадр Сумароков в 1760 году:

О Солнце, ты — живот и красота природы, Источник вечности и образ божества!
Тобой жива Земля, жив воздух, живы воды, Душа времени и вещества!

Попробуем дать количественную оценку этих вечных истин. Солнце — раскаленный термоядерными реакциями шар радиуса $R_C = 6,96 \times 10^8$ м; температура поверхности Солнца $T_C = 5800$ К.

Всем хорошо известно, что раскаленные тела светятся, излучают энергию. В конце прошло века австрийские физики Стефан и Больцман открыли закон излучения: поток энергии, то есть энергия, излучаемая за единицу времени с единицами плошади поверхности тела, находящаяся в состоянии теплового равновесия (имеющего постоянную температуру), пропорционален цветерной степени температуры: $\varepsilon = \sigma T^4$, где $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8}$ Вт/($\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{K}^4$) — коэффициент пропорциональности, который называют постоянной Стефана—Больцмана.

Солнце не находится в полном тепловом равновесии, но для него закон Стефана—Больцмана приближенно выполняется. Согласно этому закону, мощность, излучаемая Солнцем, равна

$$P_C = 4\pi R_C^2 \sigma T_C^4 \approx 3,8 \cdot 10^{26} \text{ Вт}.$$

Эта мощность излучается равномерно по всем направлениям. Нетрудно подсчитать, какая ее часть попадает на Землю. На расстоянии $R = 1,5 \times 10^{11}$ м, равном радиусу земной орбиты, на каждой квадратной метр поверхности, перpendикулярной лучам, попадает мощность $P_C / 4\pi R^2$.

Земля «затеняет» на такой поверхности площадь $\pi R_C^2$. Следовательно, мощность, попадает от Солнца на Землю, равна

$$P = P_C \frac{\pi R_C^2}{4\pi R^2} = 1,75 \cdot 10^{17} \text{ Вт}.$$

Куда расходуется эта мощность? Часть ее отражается Землей в космос. Все знают, что планеты и Луна видны на звездном небе именно благодаря отраженную солнечному свету. Точно так же, удалясь в космическое пространство, можно видеть и свет, отражаемый Землей. Доля отраженной световой мощности называется альбедо (от латинского albus — белый; альбедо — это как бы степень белизны). Точность, с которой нам сейчас известно альбедо нашей планеты, невелика. Считается, что альбедо Земли $A$ лежит в пределах от 28 до 36 процентов. А куда девается остальная энергия $P(1-A)$? Ясно, что именно она и является причины того, что на нашей планете телло. Однако солнечное излучение поступает к Земле постоянно, и если бы никакого отвода энергии не было, то температура планеты постоянно росла бы. Следовательно, тепловод существует. Осуществляется он точно же физическим процессом, что и излучение самого Солнца. Да, представьте себе, и Земля, и остальные планеты тоже являются источниками излучения. Но спектр этого излучения лежит в невидимой глазу облаки, в инфракрасном диапазоне.

Давайте вычислим температур равновесного теплового излучения Земли, считая ее альбедо равным 0,28 (таковый последние изменения со спутников). Нам надо приравнять мощность поглощенного Земле солнечного излучения $P(1-A)$ мощности теплового излучения Земли. Если температура Земли $T_3$, то излучаемая с ее поверхности мощность равна $4\pi R_C^2 \sigma T_3^4$. Итак,

$$P(1-A) = 4\pi R_C^2 \sigma T_3^4,$$

откуда

$$T_3 = \left( \frac{P(1-A)}{4\pi R_C^2 \sigma} \right)^{1/4} = 258 \text{ K} = -15 \text{ °C}.$$

Неплохой морозец! Но ведь мы

8

Рис. 3. Телловой баланс в атмосфере.
Один процент солнечной мощности позволяет молекулими в экзосфере и термосфере. Еще три процента позволяет озоном стратосферы. Верхние слоны термосферы, содержащие пары воды, позволяют инфракрасную часть солнечного спектра. Остается 92 единиц первого аналогной мощности.

Эта мощность, большая часть которой приходится уже на видимый диапазон, проникает в плотные признаемые слоны воздуха. Значительная часть ее — около 45 единиц — рассеивает в воздухе. Приемые солнечные лучи — оставшиеся 47 единиц начального светового потока — доставляют непосредственно поверхности Земли. Она отражает наверх примерно 7 единиц. Оставшиеся 40 единиц положаются поверхностью Земли, нарезая сущу и океан.

путь 100 условных единиц солнечной мощности, падаюшей на Землю.

Обратите внимание на то, что на рисунке изображен телловой поток в 145 единиц, исходящий от земной поверхности, тогда как исходный поток солнечной энергии был равен только 100 единицам. Так, до некоторой степени условно, отражен тот факт, что средняя температура земной поверхности равна +15 °C, или 288 K, и телловой поток, излучаемый с поверхности Земли, примерно в 1,45 раз больше, чем те начальные 100 единиц, которые дает нам Солнце. Но в космос уходит только часть этого излучения. Остальная энергия — 97 единиц — постоянно

Расселяная в атмосфере световая мощность (всего 48 единиц) частично положается его (10 единиц), а остальное распределяется между поверхностью Земли и космосом. При этом в космическое пространство уходит больше энергии, чем попадает вниз, на поверхности, — целых 30 процентов поверхности поверхности.

У нас осталось 65 единиц мощности, положившихся и перемещших в телло в атмосфере и на поверхности Земли: 3 из них dal onset, 4 — пары воды верхней термосферы, 10 — положились в основной толец атмосферы и, наконец, 48 перешли в телло в почве и водах океана. Все эти 65 единиц мощности в конечном случае перешли в телло и излучаются в космос уже не в видимом и ультрафилолетовом диапазонах, а телловой радиацией.

циркульрует между поверхностью Земли и термосферой.

Этот механизм прогрева земной поверхности и нижних слоев атмосферы называют иногда парниковым эффектом. Действительно, очень похожие процессы покрытие парника, нагрева почву и воды. Но уйти теплу трудно — стекло или пластниковая плена парника не пропускают наверх воздуха, ни инфракрасное излучение; поэтому охлаждение парника происходит медленно.

Точность, с которой нам сегодня тепловые потоки, изображенные на рисунке 3, невелика.

9

Тем не менее такой тепловой баланс разумно обязается, почему температура земной поверхности выше равновесной температуры излучения Земли.

Как уже говорилось, парниковый эфект возникает за счет малых приcesей в атмосфере Земли водяных паров и двуокиси углерода, которые не пропускают в космос инфракрасное излучение от Земной поверхности. Содержание CO₂ в атмосфере сейчас равно 0,0337%. А всего 20 лет назад оно было меньше 0,0318%. Это возрастание произойдет вследствие все увеличивающегося скигания организаческих топлив: нефти, угля, газа. Так не будет ли парниковый эфект все возрастать? Не розит ли Земле перегрев?

Конечно, дополнительная углескола атмосферы способствует попелленю климата. Климат, однako, зависит не только от нее. К тому же надо отметить, что количество CO₂ в атмосфере возрастает относительно так быстро, как сжигается топливо — подавляющая часть дополнительной углесклоты расторяется в океане и поглощается растениями при фотосинтезе. Океан содержит растореной углесклоты в 30—100 раз больше ее атмосферной массы и способен поглотить еще очень много. Увеличение доли углесклоты в атмосфере связано с тем, что процесс расторения ее в океане медленный по сравнению с поступлением CO₂ от скигания организаческих топлив. В близжейше 50—100 лет нефтяные ресурсы источятся, и человекство будет вынуждено перейти к atomной энергетике. Тогда проблема атмосферной углесклоты будет решена автоматически.

От редакции. Разумеется, в небольший степени нельзя подробно рассказать о многих физических явлениях, происхождения в атмосфере Земли. Тем, кого интересуют эти вопросы, мы советем прочитать книгу А. В. Бяло «Наша планета — Земля», которая выходит в издательстве «Нуука» в серии «Библиотека Квант».

Наш календарь

Правило Ленца

В 1831 году английский ученый Фарадей открыл явление электромагнитной индукции, явление, которое наглядно пропллюстрировало возможность «превращения магнетизма в электричесво». В опытах Фарадей индукционный ток возникал либо при движении проводников друг относительно друга, либо при относительной движении проводника и магнита. Для определения направления тока Фарадей формулировал два соответствующих правил: 1) электричесный ток вызвает в приближаемой к нему параллельной проводок ток противоположного направления, а в удаляемой — ток того же направления; 2) магнит вызвает в перемещающегося около него проводнике ток, зависимости от направления, в котором проводник в свою движении пересекает магнитные силовые линии.

Ознакомимшись с работами английского ученого, экстраordinарный академик Петербургской Академии наук Эмилий Христанович Ленц (1804—1865) расценил эти правила как неудовлетворительные. Действительно, они имели чисто геометрическое содержание, описывали лишь частные случаи и не охватывали все его явления в целом.

Взамен этому Ленц предложил одно общее правило, с помощью которого можно определить направление индукрованного тока независимо от того, как наводится ток — движением проводника или магнита, включением или выключением тока в соседнем проводнике. Вот это правило в том виде, в каком Ленц формулировал его 29 ноября 1833 года, когда на заседании Петербургской Академии впервые сообщал о своей открытии:

«Если металлический проводник движется пользовости от галванчического тока или магнита, то в нем возникнет галванчический ток такого направления, что если бы данный проводник был неподвижным, то ток мог бы осуществить его перемещение в противоположную сторону; при этом предполагается, что покоящийся проводник может перемещаться только в направлении движения или в противоположном направлении». Справедливо предложенного им правила Ленц надежно подтвердил целой серий убедительных экспериментов.

Конечно, эта формулировка не так лаконина, как эквивалентная ей современная формулировка правила Ленца.

Б. Е. Явелов

10

О пользе чисел
«понстине софистических»
Кандидат физико-mатематических наук
С. Г. ГИНДИКИН

Многовековая история развития представления человека о числах — одна из самых ярких сторон развития человекаской культуры. В стремлении расширить мир чисел трудноразделываемым образом переплелись разнообразные мотивы.

Дроби появились очень рано — уже у египтан и вавилонн — по-видимому, в связи с переходом к более мелким долям измерения. Их связь с делением натуральных чисел поималась более смутно и вторично.

Греки осознавали числа через процесс геометрического измерения: именно так они уясили себе существование irrationalных чисел (неосознанием диагонали квадрата и его стороны) и построили теорию «величины» (как мы сказали бы сегодня, теорию положительных действительных чисел) — одну из вершин греческого геометрии. Характерный штрих: «числами» назывались лишь натуральные числа, а их расширения — «величины». Вычислительныйспект отодвигался на второй план и обычно не считался достойным вниманияу ученого. Платон, энергично заботившийся о том, чтобы практические задачи не освверняли подлинного духа геометрии, смеляся над вычислительными, «которые разменивают единцу на мелкую монету» (занимаются делением).

Отрицательные числа появились в V—VI веках в индийской и арабской математике, где на первый план вывинулась вычислительная сторона дела. И хотя довольно рано была осознана возможность интерпретаровать отрицательные числа, скажем, как долг в задачах коммерческого содержания, практика пока-

11

зывала, что ими удобно пользоваться чашке, чем такая интерпретация возможна. Сильно упрощая, можно сказать, что вычислители расматривают отрицательные числа как «вображаемые», ненасстоящие числа, которые удобно пользоваться в промежуточных вычислениях как результатом вычитания, когда оно невыполним в области положительных чисел. При этом важно убедиться, что не нарушают «правилагиены»: можно доверять окончательному положительным ответу. Ни о каком равноправни отрицательных чисел с положительным решением не шла: в окончательном ответе, кроме простейших ситуаций, отрицательные числа не появлялись. Об отношении к ним выражительное говорят различные варианты их названия: «ложные», «фиктивные», «абсурдные», «невозможные», «минимые».

Впрочем, последний термин позднее пришлось «уступить» другому классу чисел, который удивительным образом появился в европейской математике одновременно с первым серbezным рассмотрением отрицательных чисел. Этот историк-математический пародок с Джероламо Кардано (1501—1576), яркой и противоречной личностью с повышенной склонностью к фантазиям и мистике, что передко далекzozoдоило его вложном направлении. Однако более практичный и осторожный человек вряд ли решился бы в то время на построения, который математика обязана Кардано.

Главные результаты Кардано относится к исследованию формулы для решения кубического уравнения, которое впервые получил Ферро (1465—1526) и которое Кардано узнал от Тартальы (1500?—1577) (подробнее об этом см. в моей книге «Рассказы о физике и математике» (M., «Наука», 1981)).

Напомним, что общее кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ заменой $x = y - \frac{a}{3}$ приводится к виду

$$x^3 + px + q = 0.$$ (1)

Будем искать решение уравнения (1) в виде $x = y_1 + y_2$. Тогда $x^3 = y_1^3 + y_2^3 + 3xy_1y_2$. Сопоставляя с (1), мы видим, что если $y_1$ и $y_2$ удовлетворяют равенствам $3y_1y_2 = -p$, $y_1^3 + y_2^3 = -q$, то $x = y_1 + y_2$ является решением уравнения (1). Такие $y_1$, $y_2$ легко найти: если $t_1 = y_1^3$, $t_2 = y_2^3$, то по теореме Виета $t_1$ и $t_2$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 + qt - \frac{p^3}{27} = 0$,

то есть $t_{1,2} = -\frac{q}{2} \pm \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}$,

откуда

$$x = \sqrt[3]{\frac{-q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt{\frac{-q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$$ (2)

формулу (2) называют сейчас формулой Кардано.

Вспомним теперь, что Кардано величисматривает в рамках положительных чисел. (Кроме того, он не владел алгебраической символькой, что невероятно осложняло дело, особенно при попытках формулировать общие правила. Однако этот тип трудностей мы не будем здесь имипировать.) Позмоту Кардано изучает отдельно уравнения

$$x^3 + ax = b,$$ (3)

$$x^3 = ax + b,$$ (4)

$$x^3 + b = ax,$$ (5)

где $a$, $b$ положительные. Четвертый формульно возможный тип $x^3 + ax + b = 0$ он не рассматривает, так как такое уравнение, оченьindo, не имеет (положительных!) корней.

Дель Ферро придумал правила решения (3). Тарталья переоткрыл это правило и придумал правила решения (4); он формулировал оба правила в виде стихотворения, которое и было сообщено Кардано.

Говоря проходит, печь идет о том, что решение ищется в виде $x = \sqrt[3]{u} \mp \sqrt[3]{v}$ (минус для (3), плюс для (4)), где, соответствно, $u \mp v = b$, $uv = \left(\frac{a}{3}\right)^3$ (ср. с (2)).

Уравнение (3) всегда имеет единственный действительный корень, причем этот корень всегда положен (сегодня в этом легко убедиться по графику) и благополно-

12

лучно находится по указанному правилу.

В (4) также всегда имеет единственный положительный корень $x$, причем всегда $x > \sqrt{a}$ (почему?).

Если $\Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} = \frac{b^2}{4} - \frac{a^3}{27} \geq 0$ (это равносильно тому, что $x \leq \frac{4a}{3}$), то корень находится по формуле (2).

В этом случае других действительных корней нет. Если же $\Delta < 0$, то в (2) под квадратным радиkalом стоит ориентиальное число и формула отказывается. На самом деле в этом случае (он был назван неприводимым) кроме одного положительного имеет два ориентиальных корня (быть может, кратных). Тарталья несомненно знал на примерах, что и при $\Delta < 0$ положительный корень у уравнения (4) может существовать, а Кардано недвусмысленно утверждал существование корня в общем случае. Неприводимый случай уравнения (4) достигл много воленей и Тарталье и Кардано, но способ находить корень так и не был найден!

Что касается уравнения (5), то оно легко сводится к (4): корни (5) отличаются от корней (4) знаком, и, стало быть, при $\Delta = \frac{b^2}{4} - \frac{a^3}{27} > 0$ у (5) нет положительных корней, а при $\Delta < 0$ (в неприводимом случае) имеется два положительных корня (и один ориентиный). Но такой тип рассужdenный был за пределами возможностей математков XVVI века. Тарталья пишет, что решение (5) сводится к решению (4), но не делает никаких намеков на способ сведения.

Кардано придумал способ перейти от (5) к (4), довольно близкий к подстановке $x = -y$. Мы ищем положительный корень $x$ уравнения (5). Пусть $y$ — положительный корень уравнения (4); он всегда существует, причем $y \geq \sqrt{a}$ и, в неприводимом случае, $y < \sqrt{\frac{4a}{3}}$. Складывая (4) и (5), получаем $x^3 + y^3 = a(x+y)$, откуда $x^2 - xy + y^2 = a(x+y) \neq 0$ в положительной области), $x_{1,2} = \frac{y}{2} \pm a - \frac{3y^2}{4}$. В результате при $y < \sqrt{\frac{4a}{3}}$, то есть в неприводимом случае ($\Delta < 0$), мы выражаем через положительный корень $y$ уравнения (4) два положительных корня уравнения (5) (их положительное следует из неравенства $y > \sqrt{a}$). Кардано замечает, что $y = x_1 + x_2$, то есть в неприводимом случае положительный корень уравнения (4) равен сумме положительных корней уравнения (5).

Таким образом, изучая уравнение (5), Кардано сумел остаться в рамках положительных корней. Но именно в результате этих расстояний он понял ту роль, которую играют отрицательные корни. Он понял, что у уравнения (5) всегда имеет «ложный» (отрицательный) корень — $y$, что при $\Delta < 0$ сумма всех его корней, включая «ложный», равна нулю, что для справедливости этого уравнения при $\Delta = 0$ надо считать, что уравнение (5) имеет кратный положительный корень, что уравнение (4) в неприводимом случае имеет два «ложных» корня и что сумма всех его корней в этом случае тоже равна нулю.

Утверждение о сумме корней уравнения, имеющего три корня (считая «ложные»), Кардано обобщил на общие кубические уравнения: сумма корней знаком отличяется от коэффициента при $x^2$. (Надо сказать, что известная теорема Виета, относящаяся к корням квадратного уравнения, была получена позднее.) Кардано первым работал с отрицательными корнями, причем он не просто обратил внимание на возможность их рассмотрения — он показал, сколько гармонично они входят в теории алгебраических уравнений. С этих результатов Кардано началась алгебра в современном смысле слова.

Результаты Кардано были собраны в его книге «Великое искусство или о правилах алгебры»,ышедшей в 1545 г. Глава XXXVII этой книги носит название «О правиле рассмотрения ложного неизвестного». И если первое правило в этой главе относится к отрицательным корням, то второе правило гласит: «Второй вид ложного решения

13

уравнения заключится в корне из отрицательного количества. Я приведу пример. Если кто-нибудь потребует, чтобы разделить 10 на две части, которые по переменной длины бы 30 или 40, то ясно, что этот случай или вопрос неозможно. Но мы поступим так: разделим 10 пополам, половина будет 5; умноженная на самое себя, она даст 25. Затем вычити из 25 то, что должно получить по переменной, скжем 40, как я объявил тебе это в главе о действиях в 4-й книге; тогда остатся $m:15$; если взять от этого $R$ и прибавить к 5 и вычесть из 5, то получаются части, которые, переменные между собой, дадут 40. Таким образом, части эти будут $5p:Rm:15$ и $5m:Rm:15$). Текст этот нетрудно расшифровать. Речь идет об уравнения $x(10-x)=40$, то есть $x^2-10x+40=0$. Утверждается, что его корнями будут $5 \pm \sqrt{25-40} = 5 \pm \sqrt{-15}$. Читатель без труда восстановит обозначения, которые пользовся Кардано.

Так впервые появились в математике комплексные числа, которые Кардано называют «понстине софистическими». Новыми числами Кардано совершено не пользовался и, похоже, относится к ним не без подозрения.

Во всем этом есть один интересный момент. Нередко высказывают предложение (например, Н. Бурбаки), что Кардано придумал комплексные числа, пытаясь разобраться с неприводимым случайным кубического уравнения. Дело в том, что если в формуле (2) при $\Delta<0$ не побояться извлечь квадратный корень из отрицательного числа, то в последующих операциях минимые части уничтожаются и в результате получается правильный ответ, являющийся действительным числом*). Таким образом, обращение к комплексным числам не только позволяет оправдать формулу Кардано в общем случае, но они неминуемо возникают в задаче определения действительных корней кубического уравнения с действительными коэффициентами. Было бы очень логично, если бы Кардан воел комплексные числа по этой причине. Но никаких свидетельств того, что при работе с комплексными числами Кардано выходит за пределы квадратных уравнений, нет. В результате исторически фактах часто не удается обнаружить «естественных» связи!

Связь комплексных чисел с неприводимыми кубическими уравнениями была обнаружена, если и не Кардано, то очень скоро. Это было сделано непосредственным преемником Кардано, инженером из Болоньи Рафаелем Бомбелли (около 1530—1572), автором знаменют «Алгебры», вышедший в 1572 г. Сред многохарактеристиков системыческое изучение комплексных (и отрицательных) чисел. У Бомбелли можно найти соответствия

$$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1},$$

$$\sqrt[3]{52+\sqrt{-2209}}=4+\sqrt{-1}.$$

Интересно, что Бомбелливодит специальное наименование для $i$ (“pii de meno”; 1 он называет “pii”). Бомбеллиуверенно применяет комплексные числа к неприводимому кубическому уравнению.

В формуле Кардано фигурируют выражения вида $\sqrt[3]{\alpha \pm \sqrt{\beta}}$, где $\beta$ может быть любого знака; эти выражения и исследуют Бомбелли. Пусть $\sqrt[3]{\alpha \pm \sqrt{\beta}}=u \pm \sqrt{v}$ (значит, из (2) $x=2u$). Тогда $u^3+3uv=a$, $u^2-v=a^3\sqrt{a^2-\beta}$ и, если положить $\gamma=a^3\sqrt{a^2-\beta}$, для $u$, независимо от знака $\beta$, возникнет уравнение $4u^3=3\gamma u+\alpha$. В частности, в формуле Кардано для уравнения (4) имеем $\alpha=\frac{b}{2}$, $\beta=\frac{b}{2})^2-\frac{a}{3})^3$, $\gamma=\frac{a}{3}$.

Теперь, с одной стороны, понятно, как действительный корень выражается через кубистические корни из комплексных чисел ($x=2u$), но, с другой стороны, выражения для $x$ через действительные радиалы все равно не получается, поскольку кубистическое уравнение $4u^3=$

14

$$au + \frac{b}{2}, \text{ фактически совпадающие (подстановка } x=2u \text{) с исходным уравнением (4).}$$

Позднее Лейбниц (1646—1716), который изучал кубические уравнения по книге Бомбелли, окончательно осознал, что в неприводимом случае невозможно выразить корни уравнения через радикалы оставясь в действительной области.

На рубеже XVII—XVII веков судьба новых чисел не решалась. Франсуа Виет (1540—1603), которое часто называли «отцом алгебры» за то, что он начал пользоваться алгебраической символькой (буквенными обозначениями для коэффициентов уравнения, а не только для неизвестных), старался обходиться не только без комплисных корней, но и без отрицательных. Поскольку он занимался, в частности, соответствия соответствия между корнями и коэффициентами (теорема Виета), это было ему не просто, но он находил выход из положения. Скажем, если уравнение (5) имеет два положительных корня $x_1$, $x_2$ и один отрицательный корень $x_3$, то Виет, вместе равенств $x_1+x_2+x_3=0$, $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-a$, $x_1x_2x_3=-b$ (сейчас эти равенства называются формулами Виета), показывают, что $x_1^2+x_2^2+x_1x_2=a$, $x_1x_2(x_1+x_2)=b$ (доказите!), не привлекая, в отличие от Карданов, ни третьего отрицательного корня, ни положительного корня вспомогательного уравнения (4). Есть мнение (Н. Бурбаки), что относительной консервации Виета связаан с тем, что он былстраным почитателем древних.

Мы должны вспомнить Виета еще в связи с его интерпретацией неприводимого кубического уравнения. Виет был великим мастером получения алгебраических соответствия трионометрических средств. Занimaясь трионометрическими функциями кратных углов, Виет решил воспользоваться формулой $$\cos 3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi$$ (6) для решения кубических уравнений. Он сопоставил (6) с уравнением (4). Чтобы это сопоставление было более произвольным, сделаем в (4) замену $a=3r^2$, $b=\alpha r^2$. В этих обозначениях неприводимому случае отвечает $r>\frac{a}{2}$, что делает естественным замену $a=2r \cdot \cos v (0<v<\frac{\pi}{2})$. Если еще сделать замену неизвестного $x=2ry$, то (4) превращится в уравнение

$$4y^3-3y=\cos v,$$

(kоторому, в силу (6), удовлетворяет $y=\cos \frac{v}{3}$, то есть для (4) получаем выражение для положительного корня $x_1=2r \cdot \cos \frac{v}{3}$. Ясно, что два отрицательных корня равны $x_{2,3}=2r \cdot \cos \left(\pm \frac{2\pi}{3}+\frac{v}{3}\right)$ и что для уравнения (5) корректны аналогичные выкладки, только $\frac{\pi}{2}<v<\pi$ и $x_1$-отрицательный корень, а $x_2,x_3$-отрицательные (сопоставьте эти представления для корней со способом Карданов переходит от корней уравнения (4) к корнем уравнения (5)).

Откажемся на время от имитации старины и перепишем формулу Виета в обозначениях (1), (2). Если $\Delta=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}<0$ (неприводимый случай), то, в частности, $p<0$. Полягая $r=\sqrt{-p/3}$, $\alpha=\frac{3q}{p}$ (тогда $2r>a$), $v=\arccos \frac{\alpha}{2r}$, окончательно получаем

$$x=2\sqrt{-p/3}\cos \left(\frac{2\pi k}{3}+\frac{\arccos \frac{3q\sqrt{3}}{2p\sqrt{-p}}}{3}\right)$$

Все выкладки Виет производит в области действительных чисел, однако в его представлении корней уравствуют не только алгебраические операции, но и trigonometricные функции. Его формула не противенит тому, что не существует алгебраического представления корней неприводимого кубического уравнения. Формула Виета несомненно пригодна в вычислительной помощи:

16

согласиться с Жираром: в то время «полезность» комплектных чисел никак не проявлась.

Теорема о корнях уравнения $n$-й степени появляется и на «алгебраических» страницах знаментий «Геометрии» Рене Декарта (1596—1650), выSEDшей в 1637 г. в Лейдене (там же, где книга Жирара). В этой книге заложены основы аналитической геометрии, но очень почителен также текст, относящийся к общим алгебраическим уравнениям. Декарт не пользовется буквенными обозначениями для коэффициентов (как это делал Виет) и вынужден посягать утверждение на примерах; Декартводит обозначение $x$ для неизвестного и от него идут современные обозначения для степеней $x^3$, $x^4$ (впрочем, вместе $x^2$ все еще пишется $xx$). «Итак, знайте, — пишет Декарт, — что в каждом уравнении может иметься столько различных корней, то есть значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений».
Показатель степеня здесь называется «измерением», потому что по-прежнему на первый план вывгается геометрическая интерпретация степения (квадрат, куб). Далее: «No иногда слушается, что неокоторые из этих корней ложны, или меньше, чем ничего». Как и следовало ожидать от создателя аналитической геометрии, Декарт уверенно обращается с отрицательными числами. Он четко формулирует утверждение, называемое теперь теоремой Безу (который жил заметно позже — в XVIII веке), как для положительных, так и для отрицательных корней, что позволяет понять степеня уравнения, если известен корень. После этого Декарт пишет: «Впрочем, как истинные, так и ложные корни не всегда действительны, но иногда они только минимые (“imaginaires”; отсюда и пошел термин «минимые» — С. Г.), то есть всегда можно вообразить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует никакой величины, которая соответствовала бы корнем, которое вообразит себе. Так, например, в уравнинии $x^3 - 6xx + 13x - 10\infty$ (Декарт пользовался знаком $\infty$ вместе уже

существовавшего =) можно вообразить себе три корня, но среди них только один действительный, именно 2; что же касается двух других, то их можно уведомить, уменьшать или умножать так, как я только что объясил, но при всем том они остаются только минимыми».

Обратим внимание на два остоятельства: Декарт не пытается делить левую часть уравнения на $x$—а для комплского корня $\alpha$ и, соответственно, не готов рассматривать уравнения с комплексными коэффициентами ( комплексные числа играют службную роль). Декарта можно понять так, что комплексные числа бывают положительных и отрицательными, то есть он не поняет еще, что комплексные числа есть естественно упорядочить! Это заблудение великого ученого показывает, сколько смутными были еще представления о комплексных числах. Мы приведли извлечения из Декарта, чтобы продемонстрировать в наиболее совершенном варианте представления об алгебраических уравнениях и комплексных числах, которые сложились к середине XVII века.

А затем почти полтора века слили лучших математических были концентрированы на создании математического анализа. Алгеброй, которая тогда фактически совпадла к теории алгебраических уравнений, занималась мало, и алгебраические результаты по сравнению с аналитическим достижениями выгляделя скромными. Можно сказать, что выдающее математики в основном обращении к алгебре в связи с нуждами анализа и аналитической геометрии. Складем, разложение многочленов на многотелели понадобилось для интерпрования рациональных дробей. А к комплексным числам начали поннему привыкать. В связи с нуждами анализа рассматривали даже логарифмы комплексных чисел.

В 1746 г. Д’Аlamбер публикует доказательство основной теоремы алгебры с некоторыми проблемами, но с «истинным стержнем» (Гаусс). С работ Лагранжа (1736—1813) началась новая эпоха в теории алгебраических уравнений. Покза-

17

тельно, что и Лагранж, и Эйлер (1707—1783) уделяют заметное внишание исследованию формулы Карданов в комплекной области. Эйлер рассматривает элементарные функции комплского переменного и обнаруживает порядательную связь показательной и тригонометрических функций. Это был принципиальный шаг, поскольку прежде комплские числа связьвались лишь с алгебраическими уравнениями.

Еще в начале XVIII века был обнаружен важный пример, когда комплские корни не просто могут быть введены для полотны картины, но связаны с конкретной действительной задачей. Котес и Муав обнаружили связь уравнения $x^n-1=0$ с классической задачей о делении круга на $n$ равных частей. Эта связь оченьнана, если знать геометрическую интерпретацию комплских чисел ($n$ комплских корней из 1 является вершинами правильного $n$-угольника).

Гаусс (1777—1855), возможно, уже знал эту интерпретацию, когда в 1796 г. использовал связь с уравнением $x^{17}-1=0$ для построения правильного 17-угольника. Однако в своей публикации, как, впрочем, и в диссертации 1798 г., посвященной первому строому доказательству основной теоремы алгебры (у нее есть чисто действительная формулировка: любой многочлен с действительными коэффициентами раскладывается в произведение таких же многочленов не выше второй степени), он предопчитает комплскими числами не пользоваться. В 1811 г. в письме к Бесселью Гаусс пишет: «Подобно тому, как всего действительных величины можно представить с помощью бесконечной прямой, можно себе представить область всех величины, действительных и миниых, с помощью бесконечной плоскости, где каждой точка, определяная своей абсциссой $a$ и своей ordinатой $b$, представляется в то же время величины $a+ib$.» Этот результат Гаусс опубликовал только в 1831 г. Аналогичные результаты менее известных современников Гаусаса остались почти незамещены: Ж. Аррон (1806 г.), К. Вессель (1798 г., работа оставалась неизвестной сто лет). В создании математков геометрическая интерпретация комплских чисел превращала воображаемый объект в реальный (кстати, термин «комплексное число» предложил Гаусс).

Историю математики в XIX века уже нельзя отделить от комплексных чисел. Гаусс, Коши, Якоби, Абель, Риман показывают, что переход к анализу функций комплской переменной позволяет обнаружить глубочайшие факты, которые нельзя увидеть в действительной области.

В геометрике «вообращаемые» элементы появились на сто лет позже, чем в алгебре. Жерар Дезарг (1593—1662) обнаружил, что если ввести «вообращаемые» бесконечную удаленные точки, в которых «пересекаются» параллельные прямые, то параллельность в самом деле превращается в частный случай пересечения. Здесь картина во многом напоминает ситуацию с комплексными числами, которые позволили избежать рассмотрения исключительных случаев. Виктор Понселе (1788—1867) почти через две лет (было это в Саратове, в плену после войны 1812 г.) показал, что все окружности «проходят» через две комплексные бесконечную удаленные точки. Это был момент, когда комплексные числа появились в геометрике. Многие считали, что они противоречат подлинной геометрической интуициции (известный геометр Якоб Штейнер (1796—1863) называл их «призраками», «царством теней»). И все же выбора не было — слишком многоге (действительные) геометрические факты стали понятны с комплексной точки зрения.

Triва показала комплексным числом, чтобы занять бесконечное положение в математике. Быть может, это и не так много в сравненении с десятью веками, которые показали отсутствие отрицательных числам. Впрочем, в школьной математике положение комплексных чисел (в отличие от отрицательных) остается непрочным по сея день.

18

Миниальные повреждности

Доктор физико-математических наук
А. Т. ФОМЕНКО

Когда белыйский физик Жозеф Плато в XIX веке начал опыты по изучению конфигурации мыльных пленок, он вряд ли предполагал, что они послужат толчком к возникновению целого научного направления, бурно развивающегося вплоть до настоящего времени и известного сегодня под названием «проблема Плато». Опыты, которые когда-то проволил Плато, хорошо знакомы нам с детства — вряд ли кто-нибудь не развлекался в свое время выдуванием мыльных пузырей или конструкрованием мыльных пленок, затягивающих проволочный контур.

Если вы хотите в домашних условиях получить красивые мыльные пленки (например те, которые обсуждаются в этой статье), вот несколько практических советов. Вам нужны: гибкая тонкая проволока, туплетное мыло, стакан или миска воды и глицерин (можно и без него, но с ним пленки

устойчивее). Из четырти куска мыла сделайте мелкую стружку, расторите в теплой воде и добавьте ложку глицерина (если он есть). Из проволоки сделайте замкнутый контур с ручкой, опустите в растор и осторожно выhte его; замысловаато изгибая контур, можно разнообразить форму пленок.

Когда мы вынимаем проволочный контур из мыльной воды, на нем повисает красивая радужная мыльная пленка, ограниченная этим контуром. Размеры пленки могут быть довольно значительны, но, конечно, чем больше пленка, тем легче она лопается под воздействием силы тяжесте. Если, напротив, размеры контура невелики, то во многих вопросах, связанных с изучением мыльных пленок, можно пренебрегать силой тяжесте. Этим обстоятельством мы и будем пользоваться в дальнейшем.

Как образуется мыльная пленка?

Рассмотрим изменение свойств поврежденной пленки жидкости при добавлении в нее мыла. На рисунке 1, а условно изображена граница раздела двух сред: воды и воздуха. Стрелками обозначены силы взаимного притяжения, действующие между полярными молекулами воды, характеризующимся асимметриным распределением электрического заряда. Отчетливо видно, что именно эти силы вызывают появление по-

19

верхностного натяжения на границе двух сред. В отличие от молекул воды, молекулы мыла образованы длиными тонкими неполярными углеводородными цепями с полярной кислородной группой на одном из концов цепи. Когда молекулы мыла добавлены в воду, они устремляются к поверхности и заполняют ее равномерным слоем, причем каждая из них ориентирована своим неполярным, концом наружу (рис. 1,6). Оттесяя молекулы воды внутри, молекулы мыла уменьшают, тем самым, поверхность натяжение. Оказывается, это obstructionство придает поверхностной пленке дополнительную эластичность, проявляющийся в тот момент, когда мы опускаем, а затем извлекаем из воды тонкий проводочный контур.

В самом деле, когда проводка достигает поверхности (см. рис. 1,6, где показано сечение проводки), поверхность вспучивает, обволкавая контур. Это происходит вследствие того, что около проводки число молекул мыла временно уменьшается (см. рис. 1,6), то есть падает их число на единицу площади пленки, а следовательно, увеличивается поверхность натяжения.

Минимальная поверхность — модель мыльной пленки

Физическая принцип, лежащий в основе формирования мыльных пленок и регулярующий их поведение и свойства, чрезвычайно прост: физическая система сохраняет определенную конфигурацию только в том случае, когда она не может легко изменить ее, заняв положение с меньшим значением энергии. Энергия по-

Рис. 1.

2*

20

верхности (мыльной пленки), часто описываемая в терминах поверхностного натяжения жидкости, обусловлена наличием сил притяжения между отдельными молекулами и несбалансированностью этих сил на границе поверхности. Начиные несбалансированных сил влечет за собой следующий интересный эффект: жидкая пленка превращается в эластичную поверхность, стремящаяся минимизировать свою площадь и, следовательно, минимизировать энергию натяжения, приходящая на единицу площади. При этом мы пренебрегаем силой тяжестии и давлением воздуха.

Таким образом, математический модель мыльной пленки служит гладкая поверхность минимальной площади, стягивающая данный контур: математики ее называют минимальной поверхностью. Классическая математическая теория этих поверхностей относится к так называемому варианному исчислению — области анализа, возникшей в XVIII века. В нашей дни для развития этой теории привлекаются и более современные средства топологии и дифференциальной геометрии. Разумеется, пользоваться «школьной» математикой, саму теории не изложить; но ее результаты легко посящить наглядно и можно даже проверить на опыта. Впрочем, здесь попутно возникла красивые геометрические задачи, которые решаются средствами элементарной математики.

Рис. 5.

Рис. 6.

21

Простейшие контуры

Рассмотрим сначала случай, когда контур не слишком сильно изогнут — именно, когда его можно взамно-однозначно*) спроектировать на выпуклый контур, лежащий в некоторой плоскости. Тогда из математической теории следует, что существует одна и только одна минимальная поверхность, затягивающая данные контур. Когда этот контур плоский, «теорема существования и единственности» представляется очевидной: контур можно затянуть куском плоскости, который он ограничивает, а любая другая стягивающая его поверхность будет большей площади (рис. 2).

Разные пленки на одном контуре

Если не ограничивать простейшим контурами, описанными в предыдущем разделе, то теорема единственности перестает быть верной: на один и тот же контур иногда можно натянуть две совсем разные минимальные поверхности. Несложный пример показан на рисунке 3; этот пример легко воспроизводится с мыльными пленками. Обратите внимание на то, что контур на рисунке 6 нельзя «хорошо» спроектировать ни на какую плоскость: возникают «двойные точки» (как на рисунке) или целые отрезки вырождаются в одну точку.

Задача 1. Придумайте другие контуры, на которые натягаются несколько минимальных поверхностей. Можно ли таких поверхностей быть больше двух?

Если сильно запутать контур (например, заузлить его), то не только может нарушиться единственность пленки, но и сама ее структура может усложнить. Именно, в общем случае «почти наверняка» появляется особые точки (или сингулярности) — такие точки, в окрестности которых пленка уже не устроена, как (изогнутый) диск, а имеет более сложную, ветвящую структуру. Это проще всего увидеть, если использовать

*) To есть так, что никакие две различные точки контура не попадут на одну и ту же точку плоскости.

Контуры с ветвлением

Простейший такой контур показан на рисунке 4. Стягивающая его минимальная поверхность имеет целый отрезок особых точек, от которого поверхность разветвляется в три плоских листа, образующие между собой углы в 120°. Причины этого эфекта вам станут понятнее, если вы решите следующее задачу.

Задача 2. a) Соедините три точки отрезками так, чтобы сумма их длины была минимальной. Сделайте то же 6) для вершин квадрата, в) для вершин произвольного четырехугольника.

Ответы на эту задачу показаны на рисунке 5, а куски аналогичных минимальных поверхностей — на рисунке 6. Обратите внимание на то, что в ответах все углы 120°, и на новь возникшую недозначность поверхности (рис. 6,6 и 8).

Интересно, что попытки построить минимальную пленку, у которой на каком-либо сингулярном отрезке сходилось бы число листов, большее, чем три, терпят неудачу. Это объясняется простым геометрическим obstructionным. Допустим, что на каком-то отрезке сошлись четыре листа пленки. Рассмотримечение поверхности, ortогональное этому

Рис. 7.

Рис. 8.

22

сигнулярному отрезку (рис. 7). Тогда четырехкратная особая точка (то есть такая, в которой сошлись 4 листа) распадается в обедининие двух трехкратных точек, поскольку длина ломаной, состоящей из двух диагоналей, больше, чем длина каждой из двух других ломаных, показанных на рисунке 7 (в чем вы убедились, если решили задачу 2). На рисунке 8 этот процесс распадения показан в непосредственной близости от сечения пленки.

Ясно, что изображенная перестройка пленки уменьшает ее полную площадь по сравнению с площадью исходной пленки. Минимальная поверхность нахождения в источном равновесии, в частности, малые возможности пленки лишь увеличивают ее площадь, поэтому равновесиявая всех сил, действующая на каждой точку пленки, должна быть равна нулю. Это относится к особым точкам. В положении равновесия в каждой точке сходятсяровно три листа, поэтому сумма трех丝, действующая в направлении листов, должна быть равна нулю. Отсюда следует, что листы должны сходиться на их общем сигнулярном отрезке под углами в 120°. Аналогичные рассуждания показывают, что если на общем ребре сходится больше четырех листов, то поверхность, стремясь занять положение с минимальной площадью, перестраивается и сигнулярное ребро распадается в несколько трехкратных ребер.

Задча 3. Нарисуйте ломаню минимальной длины, соединяющего пяты вершин правильного пятуугольника. Сколько различных таких ломаных существует?

Другие красивые ветвящиеся пленки получаются, если пленкой стянуть каркас tetraэдра или куба (рис. 9). Обратите внимание на особые точки, в которых сходятся не сколько сигнулярных ребер.

Задча 4. а) Найдите все углы между плоскостями минимальной поверхности, стянувой ребра правильного tetraэдра (рис. 9, a). 6) При каком значении x стороны центрального квадрата стянувой поверхности куба будет минимальной (рис. 9, 6)?

Задча 5*. Могут ли в особой точке минимальной поверхности сходиться не 4 особых линия, а при? А пять?

Незамкнутые контуры

Важной характеристикой поверхности является ее взаимодействие с граничным контуром. Различные типы такого взаимодействия изучаются методами топологии. Из физических свойств минимальных поверхности следует, что в них не должны быть «дырок», проколов, не взаимодействующих с граничей пленки. В противном случае такая «дырка» под действием сил поверхности

24

Провисшая цепь образует неокотурю траекторию, соединяющего две точки подвеса и называемую цепной линией. Вращая ее вокруг горизонтальной оси, мы и получим катенонд. Чтобы совместить его с поверхностью, описанной выше, нужно просто развернуть его, направив раструбом вверх.

Отметим, что конус с вершиной в начале координат не будет минимальной поверхности. На рисунке 10, е показано, как деформируется конус, стремясь занять положение с наименьшей площадью (при фиксированной границе). Конфигурация, соответствующая этому положению, и есть катенонд. Это обстоятельство связано с эффектами, с которых мы уже познакомились при изучении распада четырехкратных точек в сумму трехкратных точек. В самом деле, рисунок 7 можно рассматривать как процесс превращения «одномерного конуса», образованного двумя пересекающимся отрезками (диаметрами пунктной окружности), в более сложную кривую с двумя трехкратными особенностями. В принципие, аналогичное явление происходит и в случае обичного двумерного конуса, но только здесь его вершина (особая точка) раздувается в целую окружность — горловину катенонада.

В обих случаях процесс деформации пленки (одномерной кривой) уменьшает ее первоначально площадь (или длину в одномерном случае) и заставляет поверхности (кривую) занять оптимальное положение, характеризующая наименьший площадью (длинной).

Миниmalные поверхности в живой природе

Оказывается, минимальные пленки широко распространены в природе как наиболее экономные поверхности, формирующие скелеты неокотурных живых организмов. Наиболее эффективный пример — скелеты радиолярий, микросоппических морских животных, имеющих самые разнообразные и экотических формы. По-видимому, первый, кто обратил внимание на то, что поверхность натяжение играет существенное роль в создании формы этих существ, был английский ученый D’Arcy Wentworth Tompson, автор книги «Рост и форма». Радиоляриン состоит из небольших комчков протоплазмы, заключенных в пенообразные формы, наполобные мыльных пузырей и пленок. Поскольку эти организмы достаточно сложны, то минимальные поверхности, входящие в них, имеют вообщее говоря, много точек ветвления и ребер ветвления, на которых и концентрируется основная масса жидкости, входящей в состав организма. Эта концентрация жидкости вдоль ребер ветвления и около особы точек хорощована на реальных мыльных пленках: жидкость стекает с мыльной пленки свободно до тех пор, пока не

25

встречает ребро, на котором сходятся три листа пленки. Здесь жидкость тормозится и оседает, образуя водяные отрезки, зрительно выявляющие особые ребра минимальной поверхности. Этот же процесс фактически происходит и у радиолярий. Концентрация жидкости вдоль ребер ветвления приводит к тому, что твердые фракини морской воды и соли оседают вдоль этих ребер и постепенно образуют твердый скелет животного. Наглядно геометрию этого скелета можно представить, если в массе мыльной пены образить внимание на ребра ветвления, то есть на отрезки, по которым стыкуют разные пузыри. Эти отрезки соединяют друг с другом (иногда сложным образом) и образуют «жидкостью костяки» пены. После гибели животного мягкие ткани постепенно исчезают и остаются твердый скелет, образовавшийся описанным образом.

Итак, он представляет собой не что иное, как наглядное застывшее изображение системы ребер ветвления и особы точек, возникших в сложной минимальной поверхности, включаяшей в себя и замкнутые объемы, ограниченные подобием мыльных пузырей. Кроме того, в формировании твердого скелета радиолярии определянию роль играют и стенки клеток, также аккумулирующие в себе соли морской воды.

На рисунке 12 показаны два скелета радиолярий.

На рисунке 13 изображены две минимальные поверхности с мыльными пузырыми приями и натянутые, на контуры, образованные системой ребер обчичного тетраэдра и куба. Сходство форм на рисунках 12*) и 13 позволяет. Отчетливо видно, что скелеты радиолярий довольно точно воспроизведут картину ребер ветвления минимальных поверхности.

Важна роль минимальной поверхности в химии, где поверхности взаимодействия на границах различных сред определяют характер и скорость многих химических превращений. Примерами минимальных поверхности могут служить всем нам хорошо известные_memбраны — это и барабанная перепонка в нашем уже; это_memбраны, служащие границами живых клеток; это_memбраны в живых организмах, отделяющие один орган от другого и т.п.

Эта интереснейшая тематика привлекает самых разных специализов по биологии, химии, физики. Как мы видели, с минимальными поверхностями связан и целый ряд интересных математических проблем. Их корректная постановка и исследование позволяет лучше понять этот удивительный (хотя и простой с виду) природный фенomen.

*) Рисунок взят из книги: Ernst Haeckel, “Report on the scientific Results of the Voyage of the HMS Challenger during the Years 1873—1876”.

28

А это оказалось не под силу Архимеду и его современникам…
Вобобще же уравнение вида
$$x^2 - Dy^2 = 1,$$
(6)
где $D$ — натуральное число, не являющееся квадратом $^*$), называется уравнением Пелля; разумеется, это диофантово уравнение, то есть алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, решение которого ищется в области целых чисел.

Как решить уравнение Пелля?
Первое, что приходит в голову, это прямой перебор: почередно подставлять числа $x = 1, 2, 3, \dots$ в формулу $y = \sqrt{(x^2 - 1)/D}$, пока подкоренное выражение не оказывается точным квадратом. Бессперспективность такого подхода показывает следующий замечательный пример. Уравнение
$$x^2 - 991y^2 = 1$$
имеет решение в целых числах, однако среди его решения $(x_0, y_0)$ наименьшее (!) $x_0$ равно
379 516 400 906 811 930 638 014 896 080.
Далее на самом мощной ЭВМ до него не добавляется простым перебором!

Оказывается, непрерывные дроби дают очень удобный инструмент для решения уравнения Пелля. Опишем алгоритм (без доказательства) решения.

При каждом натуральном $D$, отличном от квадрата целого числа, уравнение (6) имеет бесконечное число решений в целых положительных числах $x, y$. Все они могут быть найдены по формуле
$$x + y\sqrt{D} = (x_0 + y_0\sqrt{D})^k,$$
$k = 1, 2, \dots$,
где $x_0, y_0$ — решение с наименьшим значением $y$. Для нахождения наименьшего решения $(x_0, y_0)$ нужно разложить в целую дробь число $\sqrt{D}$. Если
$$\sqrt{D} = [a_0; a_1, \dots, a_n, 2a_0]$$
и $\frac{p_n}{q_n}$ — подходящая дробь числа $\sqrt{D}$ с номером $n$, то
$$p_n^2 - Dq_n^2 = (-1)^{n-1},$$
(7)
и если $n$ — нечетно (длина перiodа четна), то
$$p_n = x_0, q_n = y_0$$
будет наименьшим решением уравнения

*) Если $D = m^2$, $m \in N$, то уравнение (6) не имеет целых решений — подумайте, почему.

нення Пелля. Если же период нечетен ($n$ — четно), то наименьшее решение находится по формуле
$$x_0 + y_0\sqrt{D} = (p_n + q_n\sqrt{D})^2.$$
Пример 3. Расстоярим уравнение
$$x^2 - 7y^2 = 1.$$
Из разложения $\sqrt{7} = [2; 1, 1, 1, 4]$ находим
$$\frac{p_3}{q_3} = 2 + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} = \frac{8}{3}.$$
Так каклина перiodа четна, то наименьшее решение уравнения $x_0 = 8, y_0 = 3$, а любое решение в науравльных числах получается по формуле
$$x + y\sqrt{7} = (8 + 3\sqrt{7})^k,$$
$k = 1, 2, \dots$
При $k = 2$ имеем $x = 127, y = 48$.
Пример 4. Решим уравнение
$$x^2 - 13y^2 = 1.$$
Раскладывая $\sqrt{13}$ в целую дробь, получаем $\sqrt{13} = [3; 1, 1, 1, 1, 6]$
и $\frac{p_4}{q_4} = 3 + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} = \frac{18}{5}$.
Длина перiodа четна, поэтому наименьшее решение находится по формуле
$$x_0 + y_0\sqrt{13} = (18 + 5\sqrt{13})^2 = 649 + 180\sqrt{13},$$
то есть $x_0 = 649, y_0 = 180$. Общее решение имеет вид
$$x + y\sqrt{13} = (649 + 180\sqrt{13})^k,$$
$k = 1, 2, \dots$
Задча 14. Найти наименьшее решение уравнения
$$x^2 - 61y^2 = 1.$$
Ответ: $y_0 = 226 153 980$.
Отметим, что имя англійского математика Пелля (1610—1685) связается с уравнением (6) по ошибке, с легкой руки Л. Эйлера. Раныше Пелля это уравнение рассматривали его соответствники Дж. Валлис и У. Бронкер, а также француз П. Ферма. Что же касается архимедской задачи о быках, ее решили лишь в 1880 году. Наименьшее решение () содержит 41 цифру, а общее число быков в задаче Архимеда имеет порядок $10^{206 545}!$.)

*) Нет, это не факторал, а всклицательный знак.

30

ше, чем

$$\frac{1}{3} \sqrt{D} (\ln D)^{-1},$$

и, значит, стремительно растет с ростом $k$. Наблюдения над большим численным материалом подтверждают гипотезу, что существует бесконечное множество чисел $D$, не делияхся на квадрат простого числа, у которых длина периода цепной дроби $\sqrt{D}$ превышает $D^{\frac{1}{2}} - \varepsilon$ для любого фиксированного положительного $\varepsilon$.

Использованный выше результаты, что период цепной дроби $\sqrt{p}$ для простых $p$ вида $4k+1$ имеет нечетную длину были доказан в 1785 году Лежандром. Позже немецкий математик Дирихле установил подобную теорему для чисел $D=p \cdot q$, где $p, q$ — простые числа с определенными условиями. Лишь недавно, в 1980 году, американский математик Лагарис нашел алгоритм, позволяющий определить разрешимость в целях числа уравнения (9) или, что то же самое, нечетность длины цепной цепной дроби для $\sqrt{D}$, примерно за $(\log D)^{5+\varepsilon}$ операций.

Цепные дроби для конкретных чисел

Мы видели выше, что квадратные irrationalности и только они раскладывают в периодические цепные дроби. Таким образом, имеется определенная ясность в структуре цепных дробей квадратических irrationalности. Естественно спросят, какие классы других irrationalных чисел обладают столь же хорошего обозримыми разложениями в цепные дроби. Удовлетворительно ответа на этот вопрос нет.

Например, для числа $\sqrt[3]{2}$ do схх пор неизвестно, будут ли ограничены или нет неполные частиные $a_0, a_1, a_2, \dots, a_k$, … его разложения в цепную дробь

$$\sqrt[3]{2} = a_0 + \frac{1}{|a_1|} + \frac{1}{|a_2|} + \dots$$

На ЭВМ были расчетны первые несколько тысяч чисел $a_0, a_1, \dots$

Вот самые первые из них:

$$\sqrt[3]{2} = [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, 1, 10, 2, 1, 4, 12, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 1, 2, 14, 3, 12, 1, 15, 3, 1, 4, 534, 1, 1, 5, 1, 1, 121, 1, 2, 2, 4, 10, 3, 2, 2, 41, 1, 1, 1, 3, 7, 2, 2, 9, 4, 1, 3, 7, 6, 1, 1, 2, 9, 2, 3, 3, 1, 1, 69, 1, 12, \dots]$$

Из этого разложения видно, что последовательность $a_0, a_1, \dots$ ведет себя как ограниченная последовательность и лишь «выбросы» (например, 534, 121) в отдельных местах нарушают эту картину.

Более того, до схх пор не известно ни одного алгебраического числа, не являющегося квадратной irrationalностью, о цепной дроби которого имелась бы достаточно информации.

Особый интерес вызывало разложения в цепную дробь неокотряхних классических постоянных. Число таких постоянных, для которых известно разложение в цепную дробь, весма невелико.

Л. Эйлер нашел разложение числа $e$ в цепную дробь

$$e = 2 + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|2|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|4|} + \dots,$$

где закон обозвращения неполных частных $a_0, a_1, \dots$ таков:

$$a_0 = 2, a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 1, a_4 = 1, a_5 = 4, \dots, a_{3m} = a_{3m-2} = 1, a_{3m-1} = 2m, m = 1, 2, \dots$$

Напомним, что

$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 2,718281828459045 \dots$$

Вывод соответствия (10) хотя и нетруден, но не является элементарным. Отметим, что такое же «хорошое» разложение в цепную дробь для числа π никакому не известно.

Мы расссказали здесь лишь о небольшей части задан, в которых встречаются цепные дроби. На самом деле круг их применения, в особенности когда оператор анализичным образом с функциональными дробями, весма широк. Это богатая и сложная область математики, весма далекая от своего завершения.

31

Левая спираль ДНК

Доктор физико-математических наук
М. Д. ФРАНК-КАМЕНЕЦКИЙ

Тридцать лет прошло с тех пор, когда в 1953 году Дж. Уотсон и Ф. Крик предложили свою модель строения молекулы ДНК. И все это время двойная спираль ДНК привлекала большое внимание физиков и математиков, химков и биологов, медиков и фармацевтов. Такой интерес в полне понятен — ведь в полмерной молекуле ДНК в виде определенной последовательности мономерных звеньев (нуклеотидов) всего лишь четырех сортов заключена вся генетическая информация, содержится план строения целого живого организма.

Напомним, что, согласно модели Уотсона—Крика, молекula ДНК представляет собой две полимерные цепочки, закрученные в двойную спираль, вернее — в винтовую линию. Характерно, что закручивание цепочки — правило, то есть такое же, как у обычных шурпов или винтов.

В течение многих лет учены были утверены в том, что лишь такую структуру может иметь ДНК и в клетке, и в пробирке при обычных условиях. Это подтверждалось многочисленными экспериментами, проведенными смыми разными физическими методами. Однако в 1979 году группа американских учены из Массачусетского технического института совершенно неожиданное обнаружила новую форму молекулы

ДНК. По-видимому, это было наиболее важным открытом в области изучения структуры ДНК со времен работы Уотсона и Крика.

Учены работали с очень коротками молекулами, состоящими всего из шести нуклеотидов (позтому их называют гексануклеотидами) двух типов — цитозинового (Ц) и гуанинового (Г):

ЦГЦГЦГ
ГЦГЦГЦ,

и им удалось впервые получить из молекул ДНК настоящие кристаллы.

Известно, что сейчас самим точным методом исследования внутреннего строения кристаллов являетсяRENTНОСТРУКТРУЙНЫЙ анализ. Метод основан на явлении диффракции волн. Анализируя диффрацонную картину, полученную от кристалла, можно узнать о нем все — каково расположение молекул в кристалле и как «уложены» atomiны внутри молекул.

Каким же было удивление американских учены, когда после получения всех необходимых данных и проведения на ЭВМ громоздких расчетов они нашли, наконец, структуру гексануклеотида. Оказалось, что первая же структура, определяющая методомRENTНОСТРУКТРУЙНЫЙ анализ, очень сильно отличается от модели Уотсона—Крика. И прежде всего — направленем закручивания цепочки в спираль. У гексануклеотида оно не правое, а левое! Есть и другие отличия этой новой формы, которая называют Z-формой, от классической, называемой теперь B-формой.

Так что же, модель Уотсона—Крика неверна?! Нет, такого категорияного заявления из открытия американских учены не последовало. Испследования других коротких молекул ДНК, проведенные в последние годы, показали, что в Z-форме могут находиться только такие молекулы, в каждой из комплементных цепей которых строго черезются нуклеотиды типа Ц и Г. Все остальные произвольные последовательности

(Окончание см. на с. 38)

33

сос этот позволял понятие давление газа в откачиваемой трубке до нескольких миллиметров путиного столба. Если при таком давлении к электродам, помещенным в газ, приложить напряжение порядка 1000 В, то в трубке вспыхнет тлеющий разряд (рис. 2).

Для того чтобы в газе протекал заметный электрический ток, необходимо, чтобы там существовал достаточно количества носителей тока — ионов и свободных электров. Как они возникают?

Когда к электродам прикладывают напряжение, небольшое число заряженных частц, всегда существуютших в газе, ускоряются электрическим полем и образуют новые электроны ионы. В основном, этот процесс идет двумя путями: во-первых, за счет ударов энергичных электронов по молекулам газа и их ионизации и, во-вторых, за счет того, чтоускоренныеоныombардируют катод и выбивают из него новые свободные электроны.

Кроме ионизации молекул газа, в разряде происходит и другие процессы — возбуждение нейтральных молекул и рекомбинация ионов и электронов. Они и обусловливают свечение газа.

Тлеющий разряд может быть очень красным. В этом легко убедиться, посмотрев на газосветные лампы реклам. В них неон горит ярким красно-оранжевым, а аргон синего-зеленым светом.

Но вернемся к нашей лампочке. Оказывается, если начать сближать аод и катод в трубке, то сначала уменышится, а затем и вовсе продолжет положительное светающий столб. Именно в такой «укороченном» виде и существует разряд в лампочке.

Для того чтобы она зажигалась при не очень большом напряжении, электроды лампочки покрывают специальным составом, содержащим соли лития и бария. Под действием ионных ударов такой катод легко отдает электроны, и напряжение зажигания снижается. У лампочки TH-0,2-2 оно составляет всего 80—90 В. Цвет ее свечения может быть красным или красноато-

Рис. 3.

34

схема не позволяет продемонстрировать это.

Если проводить этот опыт в слабо освещенной комнате, а потом осветить лампочка ярким светом, например с помощью мощной лампы и линзы, фокусирующей световой пучок на лампочку, то напряжение зажигания заметно уменьшится. (Придется, правила, внимательно приглядаться, когда вспыхнет лампочка — на ярком свету ее свечение едва заметно.) Уменьшение напряжения проискот потому, что свет, падая на покрыты сцеплным составом электроды, выбивает из них электроны и тем самым способствует началу разряда. Таким образом, лампочка может работать как своеобразный светочувствительный элемент.

Читательям представляется возможность самостоятельного придумать схемы, использующие это свойство лампочки.

Миграошая лампочка

Тот факт, что напряжение зажигания разряда в неоновой лампочке выше рабочого напряжения горения, позволяет сделать с помощью лампочки простой генератор колбаний. Одана из возможных схем приведена на рисунке 4. В схеме используется конденсатор emкостью C=1 мкФ, расччитанный на напряжение до 300 В; сопротивления резисторов равны соответствию R₁=1 кОм и R₂=47 кОм; диод D может быть любого типа, лишь бы его обратное напряжение было больше 350 В (в принципле, можно работать и с выпрямителем, упоминавшимся в предыдущем опите).

Работает генератор следующим образом. В момент включения в себя конденсатор начинает заряжаться через резistor с сопротивлением R₁. При этом лампочка не горит (ее сопротивление можно считать бесконечно большим). С течение времени напряжение на обкладках конденсатора увеличивается. Когда оно станет равным U₃ажигг, лампочка вспыхнет, ее сопротивление резко уменьшится и конденсатор начинает заряжаться через лампочка и второй резistor. В нашей схеме процесс этот идет с большей скоростью, чем заряжда, и продолжается до тех пор, пока напряжение на лампочке не сниится до напряжения газения разряда U₃ащен (≈60 В). Лампа потухнет, и цикл повторится снова. Если воспользоваться осциллографом, то на его экране мы сможем увидеть картину, подобную той, что изображена на рисунке 4.

Меняя величины емкости C и сопротивления R₁ и R₂, можно получить разную продолжительность вспышки и развитие значения периода колбаний T.

Описанный генератор (усовершенствованный самыми разными способами) можно использовать, скажем, для конструкрования звукового генератора. Для этого параллельно лампочка через еще один конденсатор надо подключить телефон (например, TOH-1). На таком приборе вы сможете, в частности, пронаблюдать и чувствоватьность неоновой лампочки к свету.

В заключение мы хотим посоветовать читателя, заинтересовавшимся опитами с неоновой лампочной, познакомиться с книгой В. Ф. Шилова «Конструкции на неоновой лампе». В ней собраны десяти схем, доступных для выполнения школьников-радiolюбителей.

35

Раскраска плоскости и теорема
Ван дер Вардена о прогрессиях
С. Н. БЕСПАМЯТНЫХ

В этой заметке мы докажем следующие краисное обобщение результата задачи М750.

Теорема о раскраске. Пусть каждый клетка бесконечного листа клетчатой бумаги окрашена в один из N цветов. Тогда для любого набора клеток $a_1, \dots, a_l$ найдется набор одинаково окрашенных клеток $b_1, \dots, b_l$, подобный первому в том смысле, что (см. рис. 1) $B_i B_j = d A_i A_j$ при всех i, j=1, …, l, $e d e A_1, \dots, A_l, B_1, \dots, B_l$ — центры клеток $a_1, \dots, a_l, b_1, \dots, b_l$ соответственно, а d — некоторое натуральное число; иначе говоря, фигуры, образованные центрами клеток $b_1, \dots, b_l$ и $a_1, \dots, a_l$ соответствуют d.

Рис. 1.

Более того, такой набор клеток можно найти в любом квадрате $m \times m$, где m — достаточно большое число, зависящее от количества цветов N и заданного набора $a_1, \dots, a_l$.

(Обратите внимание: «подобие наборов клеток》означает у нас не совсем то, что обычное понятие «подобия фигур»!).

Интересна история этой теоремы. В 1928 году один математик, работший в крупном математическом центре — Геттингене, столкнул с таким вопросом: можно ли утверждать, что при любом разбиении множества натуральных чисел на две части (или на конечное число частей), хотя в одной из них найдется арфметическая прогрессия сколь годно большой заданной длины? Представлялось почти оченьным, что ответ здесь положительный. Однако доказать это, несмотря на кажущуюся простоту задачи, понacularly не удалось, и вскоре она сделалась предметом всеобщого увлечения. Первым добавляя модулой голландец Б. Л. Ван дер Варден, ставший впоследствии известным математиком. После нескольких недель работы он нашел не простое, но в полне элементарное доказательство, основанное на хитроумном применении математической индукции и «приицпа Дирихле» (см. например, «Квант», 1977, № 2, с. 17). В 40-х годах теорема Ван дер Вардена была перенесена на n-мерный случай; теорема о раскраске — это случай размерности n=2.

Вот одна из формулировок теоремы Ван дер Вардена, несколько обобщая исходную задачу.

Для любых чисел N и l можно указать такое число m=m (N, l), что при произвольном разбиении отрезка натурального ряда длины m на N классов по крайней мере в одном из них найдется арфметическая прогрессия длины l.

Покажем, как можно вывести эту теорему из теоремы о раскраске. Возьмем любые m последовательных натуральных чисел и занумерем им стольцы квадрата $m \times m$; разбиению этих чисел на N классов сопоставим

36

раскраску квадрата в $N$ цветов, при котором все клетки всех столбцов, чьи номера входят в один и тот же класс, получают один и тот же цвет (рис. 2). Пусть теперь $a_1, \dots, a_1$ — горизонтальный ряд из $l$ последовательных клеток. Тогда по теореме о раскраске при достаточно большом $m$ в нашем квадрате найдется набор однозвенных клеток $b_1, \dots, b_l$, подобный набор $a_1, \dots, a_l$, то есть горизонтальный ряд равностоящих друг от друга клеток. Очевидно, что номера столбцов, содержащих клетки $b_1, \dots, b_l$, образуют искому прогрессию (разность $d$ этой прогрессии равна «козффициенту подобия» наборов $a_1, \dots, a_l$ и $b_1, \dots, b_l$).

Переход к доказательству теоремы о раскраске, условиями рассматривать не произвольные наборы клеток $a_1, \dots, a_l$ а неторы «стандартные» — такие, как на рисунке 3. Ясно, что от этого общность не построает, потому что любой набор клеток можно дополить до «стандартного», причем если утверждение

Рис. 2.

Рис. 3.

теоремы будет доказано для дополнительного — «стандартного» — набора, то оно завершимо будет справедливо и для исходного. Наборы клеток, подобные «стандартным» наборам, называемыми, коэффициент подобия — коэффициент серии; серий квадратов будет называться набор конгрузных квадратов, состоящих из клеток нашего бесконечного листа, левые нижние клетки которых образуют серию (очевидно, любые соответственные клетки таких квадратов тоже образуют серию). Наконец, два конгрузных раскрашенных квадрата называемо однонаково, то есть их раскраски совпадают при паралельном переносе, совмещающем квадраты.

Таким образом, мы должны доказать, что, каковы бы ни были числа $N$ и $l$, при достаточно большом $m = m(N, l)$ в квадрате $m \times m$, произвольно раскрашением в $N$ цветов, всегда найдется одноцветная серия $b_1, \dots, b_l$ длины $l$.

Доказательство будет вести индукцией по $l$.

При $l=1$, очевидно, можно взять $m(N, 1)=1$, а при $l=2-m(N, 2)=N+1$ (приницп Дирихле!). Допустим теперь, что утверждение теоремы верно для серий длины $l$ при всех, сколько уголно больших $N$, и доказем его для серий длины $l+1$.

Поясним сначала идею доказательства. Пусть имеется серия из $l+1$ квадратов $K_1, K_2, \dots, K_{l+1}$ и в каждом из квадратов $K_i$ выбрана серия из $l+1$ клеток $b_{i,1}, b_{i,2}, \dots, b_{i,l+1}$, причем эти серии одинаково расположены в квадратах (см. рис. 4, где $l=4$). Тогда из клеток $b_{i,j}$ можно образовать еще $l+1$ серий вида $b_{1,j}, b_{2,j}, \dots, b_{l+1,j}$ ($j=1, \dots, l+1$) — на рисунке 4 такая серия для $j=l+1$ показана розовым цветом — и еще одну серию $b_{1,1}, b_{2,2}, \dots, b_{l+1,l+1}$ с несколько большим коэффициентом — эти клетки на рисунке обведены рамками. Если известно, что квадраты $K_{1,b}, \dots, K_{l,b}$ однотипны, а клетки $b_{1,1}, b_{1,2}, \dots, b_{1,l}$ (а вместе с ними все клетки $b_{i,j}$, где $i, j \leq l$) одноцветны, то в каждом из трех серий: $b_{1,1}, b_{1,2}, \dots, b_{1,l+1}$ (серия в квадрате $K_1$), $b_{1,1},$

37

Рис. 4.

$b_{2,2}, \dots, b_{l+1,l+1}$ (серия в рамках) и $b_{1,l+1}, b_{2,l+1}, \dots, b_{l+1,l+1}$ («розовая» серии) все клетки, кроме может быть, последней, однозветны, а крайними клетками служат какие-то две из клеток $b_{1,1}, b_{1,l+1}$ и $b_{l+1,l+1}$ (на рисунке они помещены *)). Поэтому, если среди этих трех клеток найдет две однозветные, мы получим однозветную серию длины $l+1$. Так будет наверняка, по принципиу Дирихле, в случае двух цветов. В случае же $N$ цветов надо рассмотреть не двух-, а $N$-ступенчатую конструкцию (в больших квадратах выбирать серию квадратов поменше, в тех — еще меньше квадраты, и так $N$ раз, пока не получается клетки). При этом размер исходного квадрата должен позволить на каждой «ступени» выделить очередную серию $l+1$ квадратов, среди которых переше л однозветны — тут и должно помочь предположение индекции.

Приведем теперь формульное доказательство теоремы о раскраске. Определим последовательность $(q_r)$, $r=0, 1, \dots, N$, соответствиями

$$q_0 = 1, \quad q_{r+1} = 2m(N^{q_r^2}, l) \cdot q_r$$

и положим $m(N, l+1) = q_N(N^{q_r^2})$ это число раскраок квадрата $q_r \times q_r$ в $N$ цветов; существование числа $m(N^{q_r^2}, l)$ обеспечено предположением индекции, $l=1, 2, \dots$).

Квадрат $q_r \times q_r$ называет квадратом раница $r$. Покажем, что при любой раскраске квадрата $K$ ранга $r+1$ в $N$ цветов в нем можно выбрать серию квадратов $K_1, K_2, \dots, K_{l+1}$ ранга $r$, в котором все квадраты, кроме быты, $K_{l+1}$ однозветны. Представим, что квадрат $K$ разбит на большие «клетки», каждая из которых — это квадрат ранга $r$; «цветом» такой клетки будем считать любой из $N' = N^{q_r^2}$ способов ее раскраски в $N$ цветов. Разделим квадрат $K$ на 4 равных квадрата и выберем из них левый нижний — $Q$ (рис. 4). Он состоит из $m' \times m'$ «клеток», где $m' = m(N', l)$, раскрашенных в $N'$ «цветов», и по определению числа $m'$ в нем найдется серия из $l$ «клеток» одного и того же «цвета», то есть серия однозветных квадратов $K_1, \dots, K_l$ ранга $r$. Остается дополнитель ее до серии из $l+1$ квадратов квадратом $K_{l+1}$, который может и не помещиться в $Q$, но заведomo помещится в квадрате $K$.

Докажем теперь, что в качестве числа $m(N, l+1)$ можно взять $q_N$. Пусть $K$ — произвольный квадрат со стороны $m=q_N$, то есть ранга $N$, окрашенный в $N$ цветов. Выделим в нем квадратов $K(1), \dots, K(l+1)$ ранга $N-1$, первыле $l$ из которых однозветны. Пусть $d_1$ — коэффициент этой серии. Выделим в квадрате $K(1)$ серию квадратов $K(1, 1), K(1, 2), \dots, K(1, l+1)$ ранга $N-2$, первыле $l$ из которых однозветны. Пусть $d_2$ — коэффициент этой серии и пусть $K(i, j)$ — это квадрат, который получается из $K(1, j)$ при переноске, совмещающем $K(1)$ и $K(i)$, $i=2, 3, \dots, l+1$, то есть при переноске на вектор $d_1A_1A_i$ (напомним, что $A_1, A_2, \dots$ — центры клеток «стандартного» набора $a_1, a_2, \dots$). Продолжим этот процесс, выделяя в квадрате $K(1, 1)$ серию $K(1, 1, 1), K(1, 1, 2), \dots, K(1, 1, l+1)$ квадратов ранга $N-3$ с коэффициентом $d_3$ и «разносся» ее по своим квадратам $K(i, j)$ и т. д. Через $N$ шагов мы получим квадраты ранга 0, то есть клетки — $K(i_1, i_2, \dots, i_N)$ ($i_k=1, \dots, l+1$). Каждая из этих клеток является последним звеном в цепочке сложенных квадратов более высоких рангов: $K(i_1) \supset K(i_1, i_2) \supset \dots \supset K(i_1, i_2, \dots, i_N)$. С учетом правила построения серий квадратов отсюда

38

Легко вывести следующие свойства:

1. квадраты $K(i_1, i_2, \dots, i_s, i_{s+1}, \dots, i_r)$ и $K(i'_1, i'_2, \dots, i'_s, i_{s+1}, \dots, i_r)$ у которых первые $s$ индексов не превосходят $l$ (а остальные совпадают), однозначны; в частности, при заданных $p$ и $q$ ($p, q \geqslant 0, p+q < N$) клетки $b_i = K(1, \dots, 1, i, \dots, i, l+1, \dots, l+1)$ (1)

имеют один и тот же цвет при всех $i=1, \dots, l$;

2. вектор, соединяющий центры квадратов $K(i_1, i_2, \dots, i_r)$ и $K(j_1, j_2, \dots, j_r)$ равен $d_1 A_{i_1} \vec{A}_{j_1} + d_2 A_{i_2} \vec{A}_{j_2} + \dots + d_r A_{i_r} \vec{A}_{j_r}$; в частности, для клеток $b_i$ и $b_j$ (см. (1)) он равен $(d_{p+1} + d_{p+2} + \dots + d_{N-q}) A_i A_j$.

Тепер мы уже недалеки от цели. Расмотрим следующие $N+1$ клеток:

$K(l+1, l+1, l+1, \dots, l+1), K(1, l+1, l+1, \dots, l+1), K(1, 1, l+1, \dots, l+1), \dots, K(1, 1, 1, \dots, 1)$. По принципу Дирихле хотя бы две из них однозначны. Пусть для определения этого будут клетки $b_1 = K(1, 1, 1, l+1, \dots, l+1)$ и $b_{l+1} = K(1, l+1, l+1, l+1, \dots, l+1)$ (ср. (1) при $p=1, q=N-3$). Тогда из свойств 1) и 2) вытекает, что клетки $b_1, b_2, \dots, b_{l+1}$, где $b_i = K(1, i, i, l+1, \dots, l+1)$, образуют искому однозветную серию (с коэффициентом $d_2 + d_3$). Теорема о раскраске доказана.

Если эта тема вас заинтересовала, советуем обратиться к книжке А. Я. Хинчина «Три жемчужины теории чисел», где приводится подробное доказательство теоремы Ван держ Вардена о прогрессиях.

Уражнения

1. Показать, что теорема о раскраске позволяет решить все пункты задачи M750.

2. Доказать, что если в теореме Ван держ Вардена слово «арифметическая» заменить на «геометрическая», то она остanetся верной. (Кстати, сам Ван держ Варден доказывал свою теорему именно для геометрических прогрессий.)

3. Доказать, что при любом $n$ и при любом разбиении натурального ряда на $N$ классов хотя бы один из них содержит $n$арифметических прогрессий длины $n$, первый которые образуют геометрискую прогрессию.

4. Привести пример разбиения натурального ряда на два подмножества, ни одно из которых не содержит:

a) бесконечнойарифметической прогрессии;

b) ни бесконечнойарифметической прогрессии, ни бесконечной геометрической прогрессии.

5. Привести пример раскраски клеток в два цвета, при которой не найдется бесконечного множества вертикальных и бесконечного множества горизонтальных прямых, в пересечении которых получается центра однозветных клеток.

6. Доказать, что при любой раскраске клеток в $k$ цветов найдется бесконечное множество вертикальных прямых $\{x_i\}$ и бесконечное множество горизонтальных прямых $\{y_i\}$ ($i=1, 2, 3, \dots$) такие, что в пересечении прямых $y_i$ и $x_j$, где $i \geqslant j$, получается центра однозветных клеток.

Левая спираль ДНК

(Начало см. на с. 31)
ности нахождения, как это и считалось раньше, в В-форме.

Возникает вопрос, что будет, если в длиной молекуле ДНК (напомним, что обычная длиная молекула содержит десятичные нуклеотидов) оказывается участок, имеющий последовательность … ЦГЦГ …?

Опыты показали, что при определении условий такой участок действительно нахождения в Z-форме, хотя вокруг него ДНК остается в обычной форме. Имеются доказательства того, что такое возможно и внутри клетки.

Открытие левой спирали и возможность ее существования в «работающей» ДНК вызвало огромный интерес. Во многих laboratorиях мира сейчас интересно исследовать новый формый, условия, при которых в нее переходят соответствующие участки ДНК. Учены пытаются выяснить ту роль, которую Z-форма и вообщество ДНК изменяет свою структуру играют в работе этой молекулы в клетке.

Несомненно, близжайте годы приесут еще много интересных открытий в этой области.

39

Задание

1. Восемь косточек домино лежат на столе так, как показано на рисунке. Какое значение имеет закрытая часть косточки домино, если эти косточки можно расположить в «магический квадрат» $4 \times 4$ (то есть так, чтобы сумма окнов на косточек в каждой вертикальном ряду, в каждой горизонтальном ряду и по каждой диагонали была одинаковой)? Добейтесь такого расположения.

2. Братья Алеша и Боря родились в августа. В школе начали учиться с семи лет. Номер класса, в котором учится сейчас старший брат Борис, равен возрасту Алеши. В какой класс перейдет Алеша, когда Борис окончит среднюю школа?

3. На прямой расположили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. И так несколько раз. Доказите, что после каждой такой операции общее количество точек будет нечетным.

4. Дорога от дома до школа занята у Пети 20 минут. Однако они по дороге в школе вспомнили, что забыл дома ручку. Петь знал, что если он продолжит путь в школе с той же скоростью, то придет туда за 8 минут до звонка, а если вернется домой за ручкой, то, движясь с той же скоростью, опоздает к началу урока на 10 минут. Какую часть пути он прошел?

5. Известно, что направление врашения Земли вокруг своей оси совпадает с направлением обращения Земли по орбите вокруг Солнца. На сколько бы изменилась продолжительность земных суток, если бы Земля врашалась вокруг оси с той же угловой скоростью в противоположном направлении?

Эти задания нам предложили
В. Д. Выон, С. В. Дворянинов, В. В. Егоров,
А. П. Савин, Е. Д. Сергенko

40

Дом, который построил…
А. В. ТОКАРЕВ

Выдающийся итальянский архитектор XVI века Андреа Палладю считал, что в каждой построке должны быть соблюданы три вещи, без которых ни одно значение не может заслужить одобрения. Это — полза (и удобство), красота и долговечность. Оставим в стороне сообщения удобства и красоты и поговорим о долговечности, или, другими словами, о надежности построики.

Наверное, каждый из вас знает, что строительство любого сооружения начинается с закладки фундамента. Хороший, прочный фундамент — залог дальнейшего успеха. Но что это значит — прочный фундамент?

Много вопросов приходит решать специалистам. Один из них — борьба с осадкой фундамента. Особые трудности, связанные с этой проблемой, возникают при возниклении сооружений на вечной мерзлоте. Построенные там дома часто дают трешины из-за неравномерной осадки фундамента, вызванной подтаванием грунта под ним.

Можно ли избежать подтавания грунта под домами, построенными на вечной мерзлоте, или хотя бы уменшить подтавание?

Давайте попытемся решить эту задачу, исходя только из знаний простейших физических законов и закономерностей.

Прежде всего, проанализируем условия задачи. Почему грунт под домом может начать подтаивать? Очевидно, потому, что фундамент передает ему некоторое количество теплоты. Значит, все дело в фундаменте. Тогда, первое, что направляется сделать, это уменшить площадь соприкосовения фундамента с грунтом. Именно с этой целью задания стали строить на связи, отказавшись от привчного сплошного фундамента. Но этого оказалось недостаочно.

Как еще можно уменшить приоктелла к грунту? В данном случае приоктелла передается только теплопроводностью; следовательно, материал связывает проводить теплло как можно хуже. Из чего же нужно делать свяй?

Для количественной оценки теплопроводности различных веществ воditится специалная физическая велича — коэффициент теплопроводности. Для каждой вещества он свой. Самую большую теплопроводность имеет металлы, у жидкостей теплопроводность неVELICA, у газов — еще меньше. Для наших рассуждений не важно, как именно

41

определяется коэффициент теплопроводности и в каких единицах он измеряется. Нам интересно лишь сравнить способности различных материалов проводить тепло. Поэтому воспользовемся справочником*) и составим небольшую таблицу относительных коэффициентов теплопроводности, выбрав теплопроводность воды за единицу:

| Вещесто | Относительный коэффициент теплопроводности | Вещесто | Относительный коэффициент теплопроводности |
| :— | :— | :— | :— |
| Бензин | 0,2 | Железо | 122 |
| Вата | 0,07 | Керосин | 0,2 |
| Вода | 1 | Кирпич | 1,1 |
| Воздух | 0,04 | Лед | 3,7 |
| Войлок | 0,1 | Пробка | 0,07 |
| Дерево | 0,2—0,6 | Спирт | 0,3 |

Постотрим внимательно на эту таблицу. Из твердых материалов наимененный теплопроводностью обладают вата и пробка, затем идут дерево и кирпич. Однако прежде всего связь должны быть прочной, так что все перечисленные материалы являются не подходят. А что, если связь сделать из металла, например из железа, и внутри ее помещить вату, войлок или какое-то другой пористое вещество, содержащое много воздуха? Это — выход!

Итак, связь должна быть изготовлена из прочного тердого материалов и заполнена каким-либо пористым веществом.

Аналізируя полученный результат, делаем выбор: благодаря малой теплопроводности, связая указанной конструкции действительное уменьшит приток тепл от окружащего воздуха к группу (то есть сверху вниз) в теплое время года. А в холодное? Хорошо бы сделать так, чтобы зимой, во время сильных морозов, связая способствовала охлаждение группы (то есть передавала бы тепло сизу вверх). Это увеличило бы прочность группы и уменьшило степень его подтаивания летом.

Сформируем более четко, какие же физические процессы происходят в свеже и в грунте около не летом и зимой. В теплое время года верхняя часть свеже, соприкась с воздухом, нагревается. Постепенно будет нагреваться и та часть свеже, которая находится в земле. Чем меньше нагрева нижней конец свеже, а значит и прилегающий к ней групп, тем лучше. Зимой верхняя часть свеже охлаждается от соприкосновения с холодным воздухом. Постепенно охлаждается и нижняя часть свеже, и групп вокруг нее. Чем ниже температура, до которой охладиется групп, тем лучше.

Таким образом, связая должную следующими свойствами:

a) если температура верхней части свеже выше, чем нижней, то свая должа проводить теплло плохо;

b) если верхний конец свеже холоднее нижнего, то свая должа проводить теплло хорошего.

Или, другими словами:

сверху вниз передача теплла должная проискать плохо, а снизу вверх — хорошего.

Как известно, в твердых телах теплопроводен осуществляется только за счет теплопроводности, которая не зависит от направления. Это означает, что связь с перечисленными выше свойствами не может быть изготовлена из тердого тела. Наша предыдущего модель — металлическая связь, заполненная пористыми материалов, — не годится (пористая «внутренность» свеже будет проводить теплло не только летом, но и зимой, когда желательно, чтобы групп хорошо охлаждено охладился).

А что, если прочную оболочку свеже, способную выдержать большую нагрузку, заполнить жидкость или газом? В этом случае передача теплла будет осуществляться не только теплопроводностью, но и конвекцией. К чему это приведет?

Зимой верхние слоны жидкости или газа будут охлаждаться и, как более плотные, будут опускаться вниз. Имesto займут менее плотные нижние слоны, которые будут, в свою очередь, охлаждаться и опускаться вниз и т. д. В результате свеже и групп вокруг нее примут температуру окружащего воздуха, то есть охладятся за счет естественных морозов. В летнее время верхние слоны жидкости или газа будут, ко-

42

нечно, нагревая окружающим воздухом, но, как менее плотные, опускаться вниз они не будут. Передача тепла будет осуществляться только теплопроводностью, а она у жидкость и газов очень мала.

Значит, связая такой конструкции летом будет проводить тепло плохо, и грунт вокруг нее прогреется незначительно.

Итак, мы приходим к выводу: свяю, изготовленную из прочного материалов, необходимо заполнить жидкость или газом.

Остается последний вопрос — чем именно надо заполнить свяю? Зимой это все равно, так как в течение долгого холодного периода температура грунта успеет попизиться до температуры окружающего воздуха. Летом же важно, чтобы грунт прогрелся как можно меньше. Значит, надо подобрать такое тело, которое, получая тело, нагревалось бы меньше всего. Из формулы

$$Q = cm(t_2 - t_1)$$

получаем, что изменение температуры $(t_2 - t_1)$ зависит не только от получения количества теплоты $Q$, но и от удаленной тепломкости $c$ тела и от его массы $m$.

Масса жидкости всегда больше массы газа того же объема. Из этих сообщений предопочтение следует отдель жидкости. Теперь сравним удельные тепломкости, воспользовись уже упоминавшимся справочником:

| Вещество | Удельная тепломкость, кДж/(кг·К) |
| :— | :— |
| Бензин | 1,4 |
| Вода | 4,2 |
| Воздух | 1 |
| Глицерин | 2,4 |
| Керосин | 2,1 |
| Масло машинное | 1,9 |

Оказывается, иудельные тепломкости больше у жидкости, чем у газов.

Следовательно, свяю надо заполнять жидкость. Но какой? Вода, хотя и самая дешевая и доступная, не подходит, поскольку она зимой замерзает. Глицерин и машинное масло при низких темперарах густеют, что затрудняет конвекцию. Остаются бензин и керосин. Обе жидкости замерзают при температуре ниже —50°С, так что каждая из них могла бы «выдержать» суровые зимние морозы. Однако выбираем все же керосин, поскольку у него больше уделная тепломкость и ондешевле бензина.

Наконец-то мы можем сформировать окончательный ответ задачи.

Итак, чтобы уменьшить подомами, построными на вечной мерзлоте, здания надо строить на свяях; свяи, изготовленные из прочного твердого материалов, внутри должны быть заполнены керосином.

Заметим, что такой способ укрепления мерзлы оснований (уменьшенная подавания грунта под фундаментом) — не фантастика, а реальность. Он детально разработан теоретически и испытан в произвольных условиях условий эксплуатации «нарушения» законом природы. Слушай этот описан в книге А. П. Нечаева «Чудеса без чудес»:

«…Был подан самовар. Из-под крышки валил пар. Стали заваривать чай, и оказалось — вода холодная!».

Добавим только, что описанный случай произошел в конце XIX века, когда самовары, в отличие от современных электрических, были углевыми.

43

Задачи

M806—M810; Ф818—Ф822

M806. а) Докажите, что если
$$a_1 + \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} + \ldots + \frac{a_n}{n} = 0,$$
то многочлен $a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ имеет корень между 0 и 1.

6. Докажите, что если для некоторого $p > 0$
   $$\frac{a_1}{p+1} + \frac{a_2}{p+2} + \frac{a_3}{p+3} + \ldots + \frac{a_n}{p+n} = 0,$$
   то этот многочлен также имеет корень между 0 и 1.

А. Гохбере, М. Овецкий, ученики 10 кл., Донецк

M807. а) Из произвольной точки $M$ внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры $MK_1, MK_2, MK_3$ на его стороны. Докажите, что сумма векторов $\vec{MK}_1 + \vec{MK}_2 + \vec{MK}_3$ равна $\frac{3}{2} \cdot \vec{MO}$, где $O$ — центр треугольника.

6. Из произвольной точки $M$ опущены perпендикуляры $MK_1, \ldots, MK_n$ на все стороны равильно $n$-угольника (или их продолжения). Докажите, что
   $$\vec{MK}_1 + \ldots + \vec{MK}_n = \frac{n}{2} \vec{MO},$$
   где $O$ — центр $n$-угольника.

в) Из произвольной точки $M$ внутри равностороннего треугольника опущены perпендикуляры $MK_1, MK_2, MK_3, MK_4$ на его грани. Докажите, что
$$\vec{MK}_1 + \vec{MK}_2 + \vec{MK}_3 + \vec{MK}_4 = \frac{4}{3} \vec{MO},$$
где $O$ — центр треугольника.

В. В. Прасолов

44

М808. На бесконечном листе клетчатой бумаги две играют в такую игру: первый окрашивает какую-нибудь клетку в красный цвет, второй — $k$ (неокрашенных) клеток — в синей цвет, затем снова первый одну (неокрашенную) — в красный, второй — $k$ клеток — в синей и т. д. Первый стремится к тому, чтобы какие-нибудь четыре красные клетки расположились в вершинах квадрата (so сторонами, параллельными линяям сетки). Сможет ли второй ему помещать a) при $k=1$; 6) * при $k=2$; в) ** при каком-либо $k>1$?

Д. Г. Азов

М809. Найдите сумму
$$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \dots + \frac{n-1}{n!}$$
(через $k!$ обозначается произведение $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$).

В. В. Произволов

М810*. Доказите, что в любой выпуклый многоугольник $M$ можно помещить прямой угольник, площадь которого не меньше 1/4 площади многоугольника $M$.

Ф. В. Вайинтейн

Ф818. Два жестких стержня длины $l$ каждой шарнироскреплены в точке $A$ (рис. 1). Стержень $BA$ жестко закреплен в точке $B$, а точка $C$ стержня $AC$ может скольнить по направлению $BC$. Стержень $BA$ начинают врашать в плоскости рисунка вокруг точки $B$ с постоянной угловой скоростью $\omega$. Чему будет равны максимальная скорость иускорение точки $C$, если в начальной момент стержни вытянуты вдоль направляющей $BC$ ($B\hat{A}C = \pi$)?

Л. Г. Маркович

Ф819. При небольших тела, массы которых относится как 3:4:5 (масса самого легкого тела равна $m$), удерживаются в трех различных точках на внутренней поверхности гладкой полусферической части радиуса $R$, которая в нижней точке прикреплена к горизонтальной поверхности. В некоторых моментах отпускают и представляют самим себе. Какое максимальное количество тепла может выделиться в этой системе? При каком начальном положении тел это осуществится? Все соударения тел абсолотно неупругие.

С. К. Строков

Ф820. Процесс $A—B—C—A$ производит над одним молем идеального одноатомного газа (рис. 2). Определить КПД цикла.

А. Г. Изерцин, Ю. П. Малышев, В. Р. Саулит

45

Ф821. В схеме, приведенной на рисунке 3, трансформатор идеальный. Параметры схемы указаны на рисунке. Найти амплитуду тока и сдвиг фаз в первичной цепи.

Р. З. Александров

Ф822. Ваш собственник, следующий направив вас, носит очки. Сможете ли вы определить, каким дефектом зреня — близорукостью или дальнейзоростью — он обладает? (Естественно, вы не станете просить собственника дать примеры его очки и не будете заводить о них разговор.)

М. В. Семенов

Problems

M806—M810; P818—P822

M806. a) Prove that if

$$a_1 + \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} + \ldots + \frac{a_n}{n} = 0,$$

then the polynomial $a_nx^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + \ldots + a_2x + a_1$ has a root between 0 and 1;

b) Prove that if, for some $b > 0$,

$$\frac{a_1}{b+1} + \frac{a_2}{b+2} + \frac{a_3}{b+3} + \ldots + \frac{a_n}{b+n} = 0,$$

then this polynomial also has a root between 0 and 1.

A. Gohberg, M. Ovetski, 10th grade students, Donetsk.

M807. a) Perpendiculars $MK_1, MK_2, MK_3$ to the sides of an equilateral triangle are drawn from an arbitrary point $M$ inside it. Prove that the vector sum $\overrightarrow{MK_1} + \overrightarrow{MK_2} + \overrightarrow{MK_3}$ equals $(3/2)$. $\overrightarrow{MO}$, where $O$ is the triangle’s centre.

b) Perpendiculars $MK_1, \ldots, MK_n$ to all the $n$ sides of a regular polygon are drawn from an arbitrary point inside it. Prove that

$$\overrightarrow{MK_1} + \overrightarrow{MK_2} + \overrightarrow{MK_3} + \overrightarrow{MK_4} = \frac{4}{3} \overrightarrow{MO},$$

where $O$ is the centre of the polygon.

c) Perpendiculars $MK_1, \ldots, MK_4$ to the faces of a regular tetrahedron are drawn from an arbitrary point inside it. Prove that

$$\overrightarrow{MK_1} + \overrightarrow{MK_2} + \overrightarrow{MK_3} + \overrightarrow{MK_4} = \frac{4}{3} \overrightarrow{MO},$$

where $O$ is the centre of the tetrahedron.

M808. Two persons play the following game on an infinite plane square lattice: the first player colours one node in red, the second colours $k$ (uncoloured) nodes in blue, then the first colours one more node in red, the second $k$ more in blue, and so on. The first player’s goal is to colour four nodes forming the vertices of a square with sides parallel to the lines of the lattice. Can the second player prevent him from doing this a) when $k=1$; b) when $k=2$; c) for some $k>1$?

D. G. Azov