Квант 1983, №7 · Страницы

КВАНТ
7
1983

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

30 июня 1908 года в 70 км от поселка Ванавара упал метеорит. Это явление носило характер настоящего каатстрофы.
Такой увидел тайгу облизи Ванавары художник Д. М. Утенков в 1980 году.
Об этой каатстрофе рассказыается в статье В. А. Бронштэна.

В НОМЕРЕ:

2. Н. И. Фельдман. Алгебраические и трансцендентные числа
3. В. А. Бронштэн. Тунгусский meteorit — в лаборатории физика
4. В. П. Лищевский. Революционер в науке и жизни

IN THIS ISSUE:

N. I. Feldman. Algebraic and transcendental numbers
V. A. Bronshtein. The Tungus meteorite — in the physicist’s laboratory
V. P. Lishevski. Revolutionary in science and life

Новости науки
8. Э. А. Свириденков. Как увидели один он

Science news
E. A. Sviridenkov. How a single ion was seen

Matematический кругок
23. С. В. Фомин. Разложение на множители

Mathematics circle
S. V. Fomin. Factorisation

Школа в «Кванте»
26. Г. В. Меледин. Задачи-оценки
34. В. Э. Матизен. Равнограничные и каркасные tetraэдры

Kvant’s school
G. V. Meledin. Estimale problems
V. E. Matizen. Special classes of tetrahedra

«Квант» для младших школьников
39. Задачи
40. А. П. Савин. О больших числах

Kvant for younger school-children
Problems
A. P. Savin. About large numbers

Задачик «Кванта»
43. Задачи M811—M815; Ф823—Ф827
46. Решения задач M796—M798; Ф808—Ф812
52. С. С. Валландер. Постоянная становится переменной
53. В. Н. Дубровский. Что скрывается за превращениями tetraэдра

Kvant’s problems
Problems M811—M815; P823—P827
Solutions M796—M798; P808—P812
S. S. Vallander. When constants become variables
V. N. Dubrovski. What is hidden behind the tetrahedron’s transformations

Рецензии, библиография
59. И. М. Яелом. Мартин Гарднер и “The Mathematical Gardner”
61. Б. М. Болотовский. И. Е. Тамп: человек и ученый

Book reviews
I. M. Yaglom. Martin Gardner and “The Mathematical Gardner”
B. M. Bolotovski. I. E. Tамп: the man and the scientist

Ответы, указания, решения
Наша обложка (32)
Смесь (16, 25, 33, 51, 55, 57, 58)
Шахматная страница
Хроматические числа (3-я с. обложки)

Answers, hints, solutions
Our cover (32)
Miscellaneous (16, 25, 33, 51, 55, 57, 58)
The chess page
Chromatic numbers (3rd cover page)

На первой странице обложки приведена фотография «гладкой» поверхности тщательно отшлифованного стекла, сделанная при помощи микрокоскола с увеличением 2100. О физике поверхности будет рассакано в одном из следующих номеров журнала.

Жозеф Лиувилль (1809–1882)

Теорема Лиувилля (1844 г.). Если α — алгебраическое число степени n ≥ 2, то существует такое число c > 0, что для любых p ∈ Z и q ∈ N
$$|\alpha - \frac{p}{q}| \geq \frac{c}{q^n}$$

(Смысл теоремы состоит в том, что irrationalное алгебраическое число α нельзя «слишком хорошего» приближить рациональными дробями *). Поэтому, если мы найдем irrationalное число, которое можно «слишком хорошего» приближить, оно будет не алгебраическим.)

Доказательство. Пусть α — алгебраическое число степени n ≥ 2. Тогда существует такой многочлен с целыми коэффициентами
$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \ (a_n \neq 0),$$
что P(α) = 0. Обозначим через H наиболее из моделей чисел |a_1|, |a_2|, …, |a_n|. Покажем, что число

$$c = \frac{1}{n^2 H(1 + |\alpha|)^{n-1}}$$

обладает нужным свойством. Заметим для дальнейшего, что c < 1. Возьмем произвольные p ∈ Z и q ∈ N. Тогда

$$P\left(\frac{p}{q}\right) = \frac{a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} q + \dots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n}{q^n} = \frac{a}{q^n}.$$

По лемме $P\left(\frac{p}{q}\right) \neq 0$. Значит, a ≠ 0.

Поскольку a ∈ Z, мы имеем |α| ≥ 1. Следовательно,

$$|P\left(\frac{p}{q}\right)| \geq \frac{1}{q^n}.$$

Так как P(α) = 0, получаем

$$\frac{1}{q^n} \leq |P\left(\frac{p}{q}\right)| = |P(α) - P\left(\frac{p}{q}\right)| = |a_n \left(a^n - \left(\frac{p}{q}\right)^n\right) + a_{n-1} \left(a^{n-1} - \left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}\right) + \dots + a_1 \left(a - \frac{p}{q}\right)|.$$

Если |α - \frac{p}{q}| ≥ 1, то |α - \frac{p}{q}| ≥ 1 ≥ \frac{1}{q^n} > \frac{c}{q^n}.

Если же |α - \frac{p}{q}| < 1, то |\frac{p}{q}| < |\alpha| + 1. Тогда для любого 1 ≤ k ≤ n, k ∈ N, получаем

$$|\alpha^k - \left(\frac{p}{q}\right)^k| = |\alpha - \frac{p}{q}| \cdot |\alpha^{k-1}| + \alpha^{k-2} \cdot \frac{p}{q} + \dots + \left(\frac{p}{q}\right)^{k-1} \leq \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| k(|\alpha| + 1)^{k-1} \leq \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| n(|\alpha| + 1)^{n-1}.$$

Отсюда

$$\frac{1}{q^n} \leq |\alpha - \frac{p}{q}| n^2(|\alpha| + 1)^{n-1} H = |\alpha - \frac{p}{q}| \cdot \frac{1}{c}, |\alpha - \frac{p}{q}| \geq \frac{c}{q^n}.$$

Теорема доказана.

Теореме Лиувилля можно придать следующую форму, в которой уже не требуется условия deg α ≥ 2.

5

Теорема. Если $a - a$ аллебраическая число степени $n$, то существует такое число $c_0 > 0$, что для любых $p \in \mathbb{Z}$ и $q \in \mathbb{N}$, для которых $a \neq p/q$, имеем

$$\left| a - \frac{p}{q} \right| \geq \frac{c_0}{q^n}.$$

Доказательство. Случай deg($\alpha$) $\geqslant 2$ рассмотрен выше. Пусть теперь deg($\alpha$) = 1, то есть $a = a/b$ ($a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{N}$). тогда число $c' = 1/b$ обладает нужным свойством. В самом деле, если $a/b \neq p/q$, то $|pb - qa| \geqslant 1$. Следовательно,

$$\left| a - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{a}{b} - \frac{p}{q} \right| = \frac{|pb - qa|}{bq} \geqslant \frac{1}{bq} = \frac{c'}{q}.$$

Выбрав в качестве $c_0$ наименьшее из чисел $c$ и $c'$, получим искомое неравенство.

Teoreму Лиувилля можно доказать также, изучив разность $P(\alpha) - P(p/q)$ с помощью теоремы Лагранжа («Алгебра и начала анализа 9—10», п. 25). Попробуйте проделать это!

Приближение алгебраических чисел рациональных

Будем говорить, что число $a$ допускает приближення порядка $m$, если для некоторой постоянной $\gamma$ существует бесконечного много рациональных дробей $p/q$, удовлетворяющих неравенству

$$0 < \left| a - \frac{p}{q} \right| < \frac{\gamma}{q^m}.$$

Teoreма Лиувилля показывает, что аллебраическая число степени $n$ не допускает приближення порядка $m$, то из (1) и (2) получаем, что для бесконечной последовательности натуральных $q$

$$\frac{c}{q^n} < \frac{\gamma}{q^m}, \frac{1}{q^{m-n}} > \frac{c}{\gamma},$$

а это неравенство при $m > n$ и достаточно больших $q$ невозможно.

Пример трансцендентного числа *)

Теперь у нас есть средство для построения действительных чисел, не являющихся алгебраическими. (Такие числа называются трансцендентными.) Нужно построить число, допускающее приближення сколь угодно высокоого порядка. Мы зададим такое число в виде бесконечной десятичной дроби: $\alpha = 0$, $a_1 a_2 a_3 \dots$, где $a_i = \begin{cases} 1, \text{ если } t = m! \text{ (m = 1, 2,...)}, \\ 0, \text{ если } t \neq m!. \end{cases}$

В частности,

$$a_1 = a_2 = a_6 = a_{24} = a_{120} = a_{720} = \dots = 1,$$

$$a_3 = a_4 = a_5 = a_7 = \dots = a_{23} = a_{25} = \dots = a_{119} = a_{121} = \dots = 0.$$

Тогда для любого $m > 1$

$$\alpha = 0, a_1 \dots a_{(m-1)!} + 0, 0 \dots 0_{am!} = \frac{p_m}{q_m} + \beta_m,$$

где

$$p_m = a_1 a_2 \dots a_{(m-1)!},$$

$$q_m = 10^{(m-1)!}, \beta_m = 0, 0 \dots 0_{am!} \dots,$$

$$0 < \beta_m = 10^{-m!} \cdot a_m! \dots =$$

$$= 10^{-m!} \cdot 1, \dots < 2 \cdot 10^{-m!} = \frac{2}{q_m^m}$$

Таким образом,

$$0 < \left| a - \frac{p_m}{q_m} \right| < \frac{2}{q_m^m}, \quad m = 1, 2, \dots,$$

а это означает, что $a$ допускает приближення сколь угодно высокоого порядка и поэтому не может быть алгебраическим.

4. Покажите, что $a$ будет трансцендентным, если в (3)

$$a_t = \begin{cases} 1 \text{ при } t = m^m \text{ (m = 1, 2,...)}, \\ 0 \text{ при } t \neq m^m. \end{cases}$$

5. Пользовать теорему Лиувилля, постройте еще несколько трансцендентных чисел.

Teoreма Дирихле

В 1955 г. английскому математнику К. Роту удалось доказать, что любое алгебраическое число не допускает

*) Читатель, знакомый с понятным счетности, легко доказет, что множество алгебраических чисел счетно. Если он знает, что множество всех действительных чисел не счетно (красивое доказательство этого факта излагается в «Кванте», 1973, № 12, с. 7), он сразу заключит, что трансцендентные числа существуют. Это расчудение, однako, не дает ни одного конкретного примера трансцендентного числа.

6

приближенный большое порядка, чем 2.

В то же время каждое irrationalное число допускает приближения второго порядка. Это доказал немецкий математик П. Дирихле с помощью носящого его имя очень простого и в то же время очень плодотворного прицита: если предметов разложить по n—1 ящикам, то хотя бы в одном ящике оказывается не менее двух предметов.

6. Построите несколько трансцендентных чисел с помощью теоремы Рота.

Теорема Дирихле (1842 г.). Для любых действительных числа a и натурального числа m существует также p∈Z и q∈N, что q≤m и

$$\left| a - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^m}.$$

Доказательство. Промежуток [0, 1] является обедининием m промежутков

$$\left[ 0, \frac{1}{m} \right], \left[ \frac{1}{m}, \frac{2}{m} \right], \dots,$$

$$\dots, \left[ \frac{m-2}{m}, \frac{m-1}{m} \right], \left[ \frac{m-1}{m}, 1 \right]$$

(5)

Рассмотрим числа {kα} (k=0, 1, …, n) (здесть {x} — дробная часть; напомним, что, по определению, {x} = x—[x]). Каждое из них принадлежит одному из промежутков (5). Но наших чисел m+1, a промежутков m. Следовательно, хотя бы одному из промежутков (5) принадлежит по крайней мере два наших числа (прицип Дирихле!). Пусть это {k₁α} и {k₂α} (k₁>k₂). Тогда

$$\frac{1}{n} > \left| \{k₁α\} - \{k₂α\} \right| = \left| k₁α - [k₁α] - k₂α + [k₂α] \right| = \left| (k₁-k₂)α - ([k₁α] - [k₂α]) \right|.$$

Если мы теперь положим q=k₁-k₂, p=[k₁α]-[k₂α], то, разделив на q и учитывая неравенства 0≤k₂<k₁≤n, получим требуемое.

Следствие. Каждое irrationalное число a допускает приближения второго порядка.

Доказательство. Для любого m∈N существует также p∈Z и q∈N, что q≤m и выполняется (4). Поскольку q≤m и α — irrationalное, из (4) получаем

Петер Густав Лежен Дирихле (1805—1859).

$$0 < \left| a - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}.$$

Из (4) следует, что при неогранном возрастании m величины |α−p/q| становится сколь годно малой. Она отлична от нуля, поэтому с увеличением m дробь p/q должна принадлежать все более близкие к α значения, так что (6) выполняется для бесконечного числа дробей p/q.

Знаменные трансцендентные числа

Хотя, пользовясь теоремим Лиувилля и Рота, можно построить бесконечное множество трансцендентных чисел, непредставенно доказать с их помощью трансцендентность таких известных чисел, как, например, π, e, ln 2, lg 2, до сих пор не удалилось. В то же время интерес к этим числам существует уже давно.

Особенно значимым в этом смысле является число π. Дело в том, что еще математики Древней Греции поставили ставшую значенную задачу о квадратуре круза: с помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади круга с заданным радиусом. Эта задача сводится к построению отрезка

14

в тайгу участники КСЭ. Учены-специальны сначала смотрели на них снисходительное, потом добродушно, потом с уважением. По результатам исследованияашшались диссертации, публикались только трудов. Теперь это уже не КСЭ, а постояно действующего группа исследовательей, руководимая Комиссей по meteorитам и космической пыли Сибирского отделения Академии наук СССР и Tomским отделением Всесоюзного астроно-геодезического общества.

Участники КСЭ поставили задачу: построить математическое модель поля вывала леса. Для этого они планомерно, разбив тайгу на квадраты, измерили азимуты поваленных деревьев. Азимуты 100 деревьев успешно средняялись. Каждый точка вывала соответствовать определенный средний азимут. Потом математики В. Г. Фаст и А. П. Бояркина обработали результаты на ЭВМ. Получилось следующие: в среднем вывал радиальный (значит, взрыв был!), но наблюдаются следы и освой симметрии. Ось симметрики проходит с востока — юго-востока на запад — северозадал. Можно полагать, что это направление и соответствует азимуту траектории Тунгусского тела. Вывал в целом по форме наполнял бабочку. Так его и произвали — бабочкой.

Изучение области «мертвого» леса в центре бабочки позволило оценить высоту взрыва в 5—10 км.

Построение модели вывала леса занало почти 10 лет направженной работы. Теперь представило по этой модели попытаться восстановить картину взрыва — определять наклон траектории, интенсивность выделения энергии вдоль нее, наконец, высоту взрыва и его энергию, а по ней — массу и скорость Тунгусского тела.

Эта задача была решена.

Расчеты, проведенные на ЭВМ, для следующего результаты: энергия взрыва — 4·10^16 Дж; скорость Тунгусского тела — 40 km/c; высота взрыва была оценена в 5—10 км, что хорошо согласовалось с данными, определяными по радиусу «мертвого» леса и по данным обработки сейсмографми.

Оценка массы Тунгусского тела была сделана еще в 1961 году независимо двумя методами. Академик В. Г. Фесенков обработил внимание на наблюдения американского астронама Ч. Аббота, который две недели спустя после падения Тунгусского meteorита зафиксировал ослабление солнечного излучения над Калифорнийей. Полягая, что за это время туда должно облако пыли, образовавшееся при взрыве, В. Г. Фесенков сумел по ослаблению солнечного света расчитать массу взоравшегося тела. Получилось около миллиона тонн.

В том же году автор этой статьи расччитал вход в атмосферу семейства тел различных массы с различными скоростями (в пределах скоростей, характерных для meteorитов, — от 15 до 60 km/c). Оказалось, что только тело с начальной массой в один миллион тонн, летя со скоростью около 25 km/c, могло достигнуть высоты 5—10 км над Землей и произвести взрыв энергии, которая соответствовала взрыву леса: 10^16 Дж. Как видно, обе оценки совпали с результатами расчетом по модели взрыва: при энергии взрыва 4·10^16 Дж и скорости 4·10^3 м/c масса тела должна быть ~10^9 кг.

Итак, механика взрыва была высенена. Но его физика все было

17

Революционер
в науке и жизни
В. П. ЛИШЕВСКИЙ

Многие учены — люди удивительной судьбы, но мало кто прожил такую захватывающую интерсную, полную приключений жизни, как Гаспар Монж. Замечательный ученый (математик, механик, химик и металлург) был также активным участником Великой французской буржазной revolución: именно он своей подписью утверждил смертный приговор Людовику XVVI. Сын бедных родителей, revoluciónер и якобинец Монж, боровшийся против привилегий знания, становится графом и личным другом императора Наполеона. После реставрации монархии ученый был исклочен из французской Академии наук и кончил свои дни в изгнании.

Гаспар Монж родился 10 мая 1746 г. в небольшим городке Бон, расположенном на востоке Франции. Его отец был малограммотным уличным торговцем, но своим детям он поставался дать наилучшее образование, доступное в то время представителем третього сословия. Два брата Гаспара тоже стал профессорами: младший, Жан, — математик, гидрографини и навигации, средний, Луи, — математик и астрономии. Интересно, что Луи Монж был участником экспедиции Лаперуза — одним из трех, оставшихся в живых после нее.

Учитывая Гаспар начал в шесть лет и вскоре стал лучшим учеником школа, ее гордость. Окончив в 1762 г. школа, он поступает в коллеж Святой Троиццы в Лионе, где одновременно учится и преподает физику. Лето 1764 г. будущий ученый, как всегда, проводит дома. И здесь в его судьбу вместеется

Его Величество Случай

В дни отдыха Гаспар вместе с одним из друзей начертил план своего родного города Бона. Этот план увиел подполковник инженерной службы до Винько и предложил Монжу поступить в возглавляемую им Мезьерскую школа на отделение, готовившее мастер и произвольный инженерных работ. Другое отделение готовило военных инженеров, но на него принимали только детей дворян.

Занимаясь в школе, Монж заинтересовался задачей, которая всегда стояла перед военными инженерами: как разместить на местности укрепления, чтобы они были наименее подвержены разрушению артиллерийной противника, нахождение в определенной точке. Монж быстро решил задачу, но преподаватели школа не стали смотреть его решения, полагая, что ученик не мог справиться с необходимыми сложными

20

с блок контрреволюционных государств. Законодательное собрание Франции объявляет: «Отечество в опасности!». 10 августа 1792 г. начинается новый этап революции — король свергнут и к власти приходит Временный исполнительный совет, состоящий из министров, избранных Законодательным собранием. В этот совет в качестве морского министра входит Гаспар Монж.

21 сентября 1792 г. на своем первом заседании новь избранный Конвент принял решение об управлении монархии и провозглашении республики. Король был предан суду и приговорен к смертной казни. Приговор был утвержден Монжем, который в то время использовал обязанности председателя Временного исполнительного совета (должность председателя Совета министры занимали по очереди).

Французская республика нахоллась в тяжелом положении. Неxbatalю оружия и продовольствия. Плюх обученные, недостаточно вооруженные и голодные солдаты стражались на многочисленных фронтах с превосходящими слими противника. По поручению революционного правительства Монж организаует производство пороха, ружей, кабель, пушек. Он разыскивает запасы сельтиры, необходимой для производства пороха, под его руководством железоделательные фабрики и заводы переходят на изготовление оружия (производство ружей в одном только Париже доходит до 1000 штук в день); Монж создает литераные мастерские для отливки пушечных столовов. Он обучает рабочих, заботится об их питании, сам же живет впроголдь. Когда жена ученого к кукухлеба — общному обеду его в то время — добавила сыр, Монж отказалася: «Право же, ты вязываешь меня всквернуто историю; ведь я рассказывал тебе, что, когда на прошлом неделе я проявил некоторых учреждение, мне пришлось с горечью услышать, как делут Нину с загаданым видом говорил окружающим: “Монж перестает стесняться; глаза — он есть редиску”».

9 термидора (27 июля) 1794 г. произведел контрреволюционный переворот. Русоводители якобинской диктатуры — Робеспер, Сен-Жюст и другие — были казены. Монжу, как активному якобинцу, пришлось неокоторое время скрываться.

Конвент закрыл Академию наук, высшие и средние специалисты школа. Сокращается производство оружия, перестановать многое мастерские и мануфактуры — теперь Монж только преподает.

Политехническая школа

При активном участии Монжа создается Центральная школа общественных работ, преобразованная позже (1 сентября 1795 г.) в Еcole Polytechnique — знамениту Политехническую школа, директором которой Монж был долгие годы. Это его любимое детше. Политехнической школе Монж отдает все свое свободное время и даже деньги (на степендинину нуждающимся студентам). И школа оправдала его надежды. Из нее в разные годы вышили такие выдающесу учены, как Ампер, Корилис, Гей-Люссак, Беккерель, Араго, Френель, Пуансо, Пуассон, многое поколения инженеров высшего класса.

«Никто не преподавал так хорошо, как он,— вспоминал впоследствии ученик Монжа известный инженер Бриссон. — Жесты, поза, модуляция голоса — все служило ему для развития мышления. Он всегда следил за глазами служителей и знал, как угадать степень понимания каждой из них… Мы узнали Монжа, этого добрейшего человека, привязанного к юношеству и преданного наукам. Он всегда был средни нас; после lekций по геометрии, анализу и физике нанимались частиные беседы, которые еще расширяли и укрепляли наши способности. Он был другом каждой воститанника, побужdal нас к труду, всегда помогал и всегда радовался нашим успехам».

Другой ученик, Дюпен, так описывает внешность Монжа: «Высокий, сильный, мускулистый. Лицо, широкое и короткое, напоминает льва. Глаза, большие и живые, сверкают из-под густых черных бровей, кого-

21

рые подчеркивают широкий и высокий лоб, оттененный глубоким моршинами, свидетельствуют о большом уме. Это замечательное лицо обычно бывал спокояным — лицом человека, погруженного в размышления.

Для своих служателей Монж написал несколько учебников по геометрии (начертательной, аналитической и дифференциальной), по которым училось несколько поколений инженеров.

Монж и Наполеон

Собиться в стране тем временем шли своим черedom. В февраля 1796 г. Директория назначает 26-летнего генерала Бонапарта главнокомандующим французским войсками, стражающимся в Италии. В мае того же года по заданию Директории в Италию выехал Монж. Здесь и произшла его встреча с будщим императором, которая сыграла такую большую роль в жизни ученого.

Бонапарт и Монж один раз встречались ранее (в бытность последнего морским минстром), но ученный не запомнил очередного посетителя. Теперь Бонапарт, улыбаясь, напомил о том свидетель: «Один молодой артиллерийский офицер… обращался в 1792 году с просьбой к морскому минстру. Может быть, минстр и не запомнил этого случая — мало ли просителей у него тогда перебывал… Что же касается безвестного офицера, то он никогда не забудет его внимания».

Междуполковедем и ученым сразу же установились доверительные отношения. Это была взаимная симпатия двух умных людей, перешла за тем в искреннюю друзьбу. Бонапарт не отпускал Монжа от себя ни на шаг. И хотя их отношения не всегда были безоблачными, в лице Монжа — этого бескорыстного, простодушного ученого, не способного на маленьую фальш, неискренность, интригу, Наполеон Бонапарт нашел настоящого друга. Будущий император не ошибся в своей выборе. Монж остался верен этой друзьбе до самого смерти.

Когда Бонапарт затяел свой Египетский поход (1798—1799 г.), Монж принял в нем участе. Этот поход едва не стопил ему жизнь: он чуть не умер во время эпидемии чумы. Только благодар химику Бертоле, самоответенно ухажившему за большим Монжем, тот поправился.

Именно к Египетскому походуту относится слова Наполеона, сказанные им в минуту опасности: «Ослов и ученых в середину!» Эту фразу неокоторые пытаются трактовать как неуважение к ученым. Отдавая данные номеру будущего императора, все же отметим, что он приказал поместить в середину каре тех, кем более всего дорогил: ученых и животных, которые перевозили оружие, продовольствие и воду.

В Египте Монж и другие учены, входившие в экспедицию Бонапарта, вели научную работу. Их цель было, по определению Монжа, — содержовать программу и просвещению Египта. Для этой цели создается Капрский институт, президентом которого избирается Монж, вице-президентом — Бонапарт. Французские учены составляли «Описание Египта», изучали древние памятники и сельское хозяйство, работали над проектом канала, который создил бы Средиземное и Красное море.

Положение французских войскухудшается. И не только в Египте. Суворов освобождает от французов Италию. Тяжелое положение на других фронтах. В этих условиях Наполеон принивает решение вернуть в Париж. В августа 1799 г. он покидает армюю и отпливает во Францию. Вместе с ним — Монж, Бертоле, Мюрат и другие приближенные люди. 16 октября Бонапарт вместе со своим спутникам выезжает в Париж. Его приветствуют восторженные толпы народа.

18 бриомера (9 ноября) 1799 г. была упраздена Директория, а на следующий день — парламент. К власти пришли три консула, но все полного власти сосредоточились в руках первого консула — Наполеона Бонапарта. 24 декабря 1799 г. пер-

23

Разложение на множители

Кандидат физико-mатематических наук С. В. ФОМИН

В школе часто приходится стalkивать с алгебраическим уравнениями. Линейные уравнения имеют решать уже шестиклассики. В сельом классе школьники узнали формулы для решения квадратных уравнений. Довольно громоздкие формулы для решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени, найdenные в XVI веке, оказавются мало полезными на практике (см. книгу С. Г. Гиндикина «Рассказы о физиках и математиках» (М., «Наука», 1981)). Уравнения же пятой степени и выше в обшем случае не разрешимы в радиакалх.

И тем не менее, во многих случаях уравнение степени $n>2$ дает легко решить. Чаще всего помогает разложение на множители. Из утверждения «число $a$ тогда и только тогда является корнем многочлена $P(x)$, когда $P(x)$ делится на $x-a$» и Основной теоремы алгебры («Квант», 1982, № 4) вытекает, что всякий многочлен с действительными коэффициентами степени $n>2$ разладает в произведении множителей первой степени и неразложимых квадратных трехлелов.

Решим несколько уравнения.

$$2x^3 - x^2 - 7x + 2 = 0.$$

(1)

У многочлена в левой части уравнения (1) — целые коэффициенты. Легко доказать, что если такое уравнение имеет целый корень, то этот корень является делительом свободного член (доказите это!). Число 2 — корень уравнения (1). Значит, многочлен $2x^3 - x^2 - 7x + 2$ делится на $x-2$. Очевидно, частный уравнение квадратный

ратный трехчлен со старшим коэффициентом 2, так что

$$2x^3 - x^2 - 7x + 2 = (x-2)(2x^2 + Bx + C),$$

где $B$ и $C$ — неизвестные показ коэффициенты. Это равенство верно при всех $x$. Полягая $x=0$, получаем $-2C=2$, $C=-1$. Полягая, далее например, $x=1$ получаем $-(B+1) = -4$, $B=3$.

Таким образом, уравнение (1) переписывается в виде

$$(x-2)(2x^2 + 3x - 1) = 0.$$

Ответ. $\left\{2, \frac{-3+\sqrt{17}}{4}, \frac{3\sqrt{17}}{4}\right\}$

$$\frac{x^4 - 3x^3 + x^2 - 2}{x^3 + 1} = \frac{2}{3x-1}$$

Если сразу освободиться от знаменателя, мы получим уравнение 5-й степени. Поэтому «попытаем считать» — попробуем выяснить, нельзя ли сократить дробь, стояшую в левой части. Ее знаменатель раскладывается на множители:

$$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1).$$

На первый множитель числитель не делится (ведь число — 1 не является корнем многочлена $x^4 - 3x^3 + x^2 - 2$). Попробуем разделить его на $x^2 - x + 1$. Можно, конечно, опять применить «метод неопределенных коэффициентов»:

$$x^4 - 3x^3 + x^2 - 2 = (x^2 - x + 1)(x^2 + Ax + B) + C.$$

Проще, пожалуйста, разделить «уголком» — так, как мы делим многозначное число на многозначное:

$$\frac{x^4 - 3x^3 + x^2 - 2}{x^4 - x^3 + x^2 - 2} = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 - 2x - 2}$$

$$- \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x}{2x^2 + 2x - 2}$$

$$- \frac{2x^2 + 2x - 2}{0}$$

(Mы делим старший член делимого на старший член делителя: $\frac{x^4}{x^2} = x^2$ — это будет старший член частного. Затем умножаем полученный член частного на делитель и вычитаем произведение из делителя. Далее старший член разности снова делим

24

на старший член делитель: $\frac{-2x^3}{x^2} = -2x$ — получаем следующий член частного и т. д.)

Нам «повезло» — разделилось без остатка. Таким образом, уравнение (2) переписывается в виде
$$\frac{(x^2-x+1)(x^2-2x-2)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{2}{3x-1},$$
$$\frac{x^2-2x-2}{x+1} = \frac{2}{3x-1}$$

и легко совпадая к уравнению
$$x(x-3)(3x+2) = 0.$$
Ответ. $\{0, 3, -\frac{2}{3}\}$.
$$\frac{2}{x+1} + \frac{4}{x-2} - \frac{2}{x} + x+4 = 0.$$ (3)

Можно сразу освободиться от знаменателя и раскладывать левую часть полученного уравнения четвертой степени на множители. Проще, однako, раскладывать на множители непосредственно левую часть уравнения (3). Заметим, что число 1 является его корнем. При $x=1$ пять слагаемых, стоящих в левой части, принимают значения 1, -4, -2, 1 и 4. Преобразуем данное уравнение, вычтя из каждой слагаемого его значение при $x=1$:
$$\left(\frac{2}{x+1}-1\right) + \left(\frac{4}{x-2}+4\right) + \left(-\frac{2}{x}+2\right) + (x-1) + (4-4) = 0$$
(sумма добавленных слагаемых равна нулю). Произведем действия в каждой из скобок:
$$-\frac{x-1}{x+1} + \frac{4(x-1)}{x-2} + \frac{2(x-1)}{x} + (x-1) = 0.$$
В каждом слагаемом появился множитель $x-1$. Это и не удивительно — ведь значение каждой слагаемого при $x=1$ должно быть нулевым! Тепер задача свелась к решению уравнения
$$-\frac{1}{x+1} + \frac{4}{x-2} + \frac{2}{x} + 1 = 0.$$
Нетрудно угадать один из его корней: $x=-2$ и еще раз применить тот же пример:
$$\left(-\frac{1}{x+1}-1\right) + \left(\frac{4}{x-2}+1\right) +$$

$$+\left(\frac{2}{x}+1\right) + (1-1) = 0,$$
или
$$-\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+2}{x-2} + \frac{x+2}{x} = 0,$$
откуда $x=-2$ или
$$-\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x} = 0,$$
$$\frac{x^2+2x-2}{x(x+1)(x-2)} = 0.$$
Решая квадратное уравнение, находим остальные корни.

Ответ. $\{1, -2, -1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3}\}$.
$$(x^2+3x-2)^2 + 3(x^2+3x-2) - 2 = x.$$ (4)

Заметим, что если х является решением уравнения
$$x^2+3x-2=x,$$
то оно удовлетворяет и уравнению (4). Следовательно, два корня уравнения (4) нам известны: $x_1 = -1-\sqrt{3}$ и $x_2 = -1+\sqrt{3}$. Раскрывая скобки и перенося $x$ в левую часть, получим уравнение
$$x^4+6x^3+8x^2-4x-4=0.$$
Его левая часть делится на $x-x_1$ и на $x-x_2$, а значит, и на $(x-x_1)(x-x_2) = x^2+2x-2$. Разделить тем или иным способом, получаем $(x^2+2x-2)(x^2+4x+2) = 0.$
Ответ. $\{-1+\sqrt{3}, -1-\sqrt{3}, -2+\sqrt{2}, -2-\sqrt{2}\}$.

В заключение решим систему уравнений
$$\left\{ \begin{array}{l} (x+1)(13x-2y-15) - 2(y-1)(3y+2) = 0, \\ (x+1)(x+4y-15) - 28(y-1) = 0. \end{array} \right.$$ (5)

Легко заметить, что пара $(-1; 1)$ удовлетворяет ей. Нетрудно найти еще одну пару $(1; 0)$.

А теперь — нестандартный ход. Проведем через точки $(-1; 1)$ и $(1; 0)$ прямую (ее уравнение $y=-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$) и возьмем на ней еще какую-нибудь точку, например (3; -1). При $x=3; y=-1$ левая часть первого уравнения системы (5) равна 100, а второго равна -8. Сле-

25

довательно, если первое уравнение системы (5) умножить на 2, второе — на 25 и сложить их, то пара (3; —1) будет удовлетворять получному уравнению (обозначим его ()). Пары (—1; 1) и (1; 0), очевидно, также удовлетворяют уравнению (). Таким образом, система уравнения
$$\left\{ y = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right\}$$

имеет, по крайней мере, три различных решения. С другой стороны, подставляя выражение для $y$ через $x$ из второго уравнения системы (6) в первое, мы получим для $x$ уравнение не выше второй степени. Значит, уравнение () после подстановки $y = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ превращается в тождество (ведь уравнение степени $n \leq 2$ не может иметь более двух корней). Таким образом, любое решение уравнения $y + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} = 0$ является решением уравнения (). Поэтому естественно предположить, что левая часть уравнения (*) раскладывается на множители, одним из которых является $y + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

О десятичной записи некоторых чисел

В двух книгах, выпущенных издательством «Просвещение» в 1980 г., о значениях чисел $n$ и $e$ сказано, что для $n$ найдено 707 десятичных знаков, а для $e$ — более двух тысяч. Приведем более полные данные об этих и некоторых других числах, полученные с помощью ЭВМ.

В 1961 г. найдено 100 625 десятичных знаков числа $n$ и 100 265 десятичных знаков числа $e$. В 1964 г. вычислено более миллиона цифр числа $e$, а в 1967 г. — 500 000 цифр числа $n$, однокто эти результаты не были опубlikованы.

Для знаменного числа $1 : \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ («золотоеечение»)

вычислено 2 878 знаков.

В 1970—71 г. был получен миллион цифр числа $\sqrt{2}$. При проверке результата возв렸нем в квадрат получилась единица, за которой следует десятичная запятая и 1 000 082 девятки.

О больших простых числах. В 1963 г. было найдено 23-e простое число Мерсена $^*$) $2^{11 213} - 1$. Оно содержит 3 376 цифр и полностью приведено в книге М. Гарднера «Matематические новеллы», 1974, с. 349.

В 1971 г. было найдено 24-e число $2^{19 937} - 1$, в 1978 г. — 25-e число $2^{21 701} - 1$, а в 1979 г. — 26-e число $2^{23 209} - 1$ и 27-e число $2^{44 497} - 1$.

Найдем цифр цифр, а также несколько первых и последних цифр последнего из перечисленных чисел Мерсена. Числа $2^p - 1$ и $2^p$ имеют одинаковое число цифр. Действительно, если бы $2^p$ имело на одну цифру больше, то оно оканчалось бы нулем. Но это невозможное, так как ни одна степень числа 2 на нуль не оканчивается. Итак, цифр цифр 27-го простого числа Мерсена равна числу цифр числа $2^{44 497}$. Имеем:

$$\lg 2^{44 497} = 44 497 \cdot \lg 2 = 44497 \cdot 0,3010 2999 57 = 13394,93172.$$

Характеристика логарифма равна 13394, следовательно, само число содержит 13 395 цифр. Мантисса логарифма равна 93 172, поэтому число начинается с цифр 8545.

Можно доказать, что последним тремя цифрами будут 6, 7 и 1. Итак:

$$2^{44 497} - 1 = 8545...671.$$

М. С. Гельфанд

26

Задчи-оценки

Кандидат физико-математических наук
Г. В. МЕЛЕДИН

В жизни каждого прикладки, оценки: успею ли добраться, хватит ли денег, намного ли надо подвести регулятор часов, сумме ли удержать груз и т. п.

В деятельности исследователь оценки необходимы профессионально. Грубая прикладка, оценка по порядку величины — почти обязательный этап подготовки эксперимента, проектирования установки, теоретической разработки. Они незаменимы в процессе обсуждения новых идей и проектов. Иногда оценки подсказывают путь точного решения задачи, дают возможность установить границы области применения точного решения и понять, какие изменения потребуют при постановке и решения задачи вне пределов этой области.

Умение делать прикладки, наряду с.intuцией, весма существно в творческой работе. Неслучайно поэтому, что в последнее время задчи-оценки стали встречаться и наступительных экзаменах вузы. Например, уже несколько лет в каждом варианте письменного экзамена по физике для поступающих на физический факультет Новосибирского государственного университета есть задача-оценка. В формулировке такой задачи нет или почти нет необходимых для решения численных значений физических величины; предполагается, что каждый сам может их выбор и задать.

Физическая постановка задачи, выбор и построение простейшей физической модели явления — наиболее важный и вместе с тем трудный этап решения задач-оценок. Нужно правильно отбрать физические параметры, наиболее существенные для задачи, определяющие ее физику, и пренебречь параметрами, слабо влияющими на интерсушение нас явление. Для установления связи между различными параметрами существенно правильное использование основных физических законов и определений. Иногда можно ограничиться не очень строгими определениями или качественной трактовкой физических законов.

Прежде чем перейти к конкретным задачам, сделаем два небольших замечания. Во-первых, договоримся, что именно мы будем понимать под словами «оценка по порядку величины». Два численных значения какой-либо физической величины считаются отличующимся на порядок, если их отношение примерно равно 10, на два порядка, если оно равно 10², и т. д. С этой точки зрения число 89 должно считаться числом порядка 10², а число 15 — порядка 10. Если же два значения отличются, например, в 1,3 раза, их нужно считать величины одного порядка. То же самое относится к случае, когда имеет отличие в 2,3 или даже в 5 раз. При грубых оценках также отличия от точного результата не существует.

Во-вторых, условия об обозначениях. Наряду со знаком равенства «=» или знака приближенного равенства «≈» мы будем употреблять знаок «~». Obviously он использует для записи факта пропорциональности двух величины. Мы же этим значком будем обозначать равенство по порядку величины, подчеркивая, тем самым, что безразмерные коэффициенты пропорциональности в наших формулах — числа порядка единицы. Еще раз подчеркием, что отличие коэффициентов «истинных» и «оценочных» в нескольких раз для наших неисуществного.

27

Теперь рассмотрим несколько сравнительно несложных задач-оценок. Почти все они взяты из вариантов вступительных экзаменов на физический факультет НГУ.

Начнем с задач, в которых физика является предмето ясна и нужно лишь разумно выбрать конкретные значения соответствующих физических величины.

Задача 1. Оцените давление шариковой ручки на бумаду при письме.

Чтобы сделать такую оценку, воспользоваться неопределенным давлением: $p = F/S$. Теперь надо подумать о том, каковы численные значения силы и площади, входящих в это определение. Каждый линей, который мы рисуем на бумаге во время письма, состоит из отдельных точек. Точку можно считать кругком, диаметр которого равен ширине слева $d$, оставляемого на бумаге: $S = \pi d^2/4$. Причем $d \sim 0,2$ мм (что достаточно правдо-побно). Усиление $F$, прилагаемое к ручке, тоже оценим «на глазок»: оно не превышает веса кисти руки, но заведomo больше веса ручки. Возьмем $F \sim 1$ Н. Тогда

$$p = \frac{F}{S} \sim \frac{4F}{\pi d^2} \sim 3 \cdot 10^7 \text{ Pa}.$$

Для того чтобы почувствовать, много это или мало, полезно сравнить полученное значение с каким-либо другим. Представьте себе, что на столе стоит гиря массой 1 кг. Ее диаметр в нижней части порядка 4 см, так что гиря оказывает на стол давление порядка $8 \cdot 10^3$ Pa. Значит, при письме шариковой ручной давление на бумагу в несколько тысяч раз превышает давление килogramмов гири, стоящей на столе.

Задача 2. Оцените скорость струи пара, выходящо из носика кипящого чайника.

Пусть мощность нагреваателя $W$, а удельная теплота парообразования воды $L$. Введем еще один параметр — долю мощности $\eta$, иушую на образование пара. Тогда $\eta W/L$ — это масса пара, образующшего в каждой единицу времени. Очевидно, сколько пара образовалась, столко же и выходит из чайника:

$$\frac{\eta W}{L} = \varrho v S.$$

Здесь $\varrho$ — плотность пара при кипении, $v$ — скорость вытекания пара, $S$ — площадь сечения носика чайника. По закону Менделеева—Клапейрона плотность пара $\varrho = p\mu/(RT)$, где $p$ — давление, $\mu$ — молярная масса воды, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура пара. Окончательно получаем

$$v = \frac{\eta W}{L\varrho S} = \frac{\eta WRT}{Lp\mu S}.$$

Если мощность нагреваателя $W \sim 1$ кВт, $\eta \sim 0,5$, $S \sim 1$ см$^2$, $T \sim 373$ К, $p \sim 10^5$ Pa (так как давление насыщенного пара при температуре кипения равно атмосферному давлению), а постоянные величины равны, соответствующей $R = 8,3$ Дж/(кг·К), $L = 4,2$ кДж/кг и $\mu = 18 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, то

$$v \sim 2 \text{ м/с}.$$

Задача 3. Оцените, во сколько раз в положий солнечный день светлее, чем ночь в пололуние.

Прежде всего заметим, что Луна лишь отражает свет, падаюший на нее от Солнца. Будем считать,

28

чито освещенность, создаваемая Солнцем на Земле и на Луне, примерно одна и та же и равна $E_C$. На Луну попадает световая мощность $E_C \pi R^2$ (здесть $R$ — радиус Луны). Луна создает на Земле освещность $E_\pi = E_C \pi R^2 k / (2\pi l^2)$, где $k$ — коэффициент отражения света от поверхности Луны, $l$ — расстояние от Луны до Земли (считаем, что Луна равномерно «отбрасывает» отраженный свет внутри телесного угла, равного половине максимального). Теперь найдем относение освещенности:

$$\frac{E_C}{E_\pi} = \frac{2}{k} \left( \frac{l}{R} \right)^2 = \frac{8}{k} \left( \frac{2R}{l} \right)^{-2},$$

где $2R/l$ — угловой размер Луны, равный по порядку величины 0,01 радиана.

Возьем $k \sim 0,2$, тогда окончательно

$$E_C/E_\pi \sim 4 \cdot 10^5.$$

Задача 4. Оцените, на сколько дальше уnadет граната, если спортмен будет бросать ее с разбеза.

Предположим, что при полете гранаты она поднимается на максимальную высоту $H$. Тогда время полета гранаты равно $2\sqrt{2H/g}$. Если в начальной момент горизонтальная проекция скорсти гранаты увеличится на $v$, а вертикальная проекция остanetся практически без изменения, то время полета не изменится, а дальность полета возрастет на $l = 2v\sqrt{2H/g}$.

Разумно считать $H \sim 5$ м, а $v \sim 8$ м/с (вспомните, например, что спритеры пробегают стометровку за время порядка 10—12 с); следовательно, $l \sim 20$ м.

Полученная оценка достаточно разумна.

Задача 5. Оцените время разрядаки металлического заряженного шара, соединенного с Землей через резистор с известным сопротивлением.

Пусть потенциаль заряженного шара $\varphi$, а заряд $Q = C\varphi$, где $C = 4\pi\varepsilon_0a$ — емкость шара ($a$ — радиус шара). После соединения с Землей и потенциаль шара, и его заряд станут равными нулю. Во время разрядаки по цепи поддет ток $I$, который с течение временой будет, конечно, изменяться, но для оценки этим фактором мы пребрежем. Тогда получаем

$$I \sim \frac{Q}{t} \sim \frac{\varphi}{R},$$

где $R$ — сопротивление резистора, $t$ — время разрядаки. Отсюда

$$t \sim \frac{QR}{\varphi} = CR = 4\pi\varepsilon_0aR.$$

При $a \sim 1$ м, $R \sim 1$ МОм и $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \Phi/\text{м}$

$$t \sim 10^{-4} \text{ с.}$$

В «Занимательной физике» Я. И. Перельмана есть рассказ, который называется «Сухим из воды». Он начинается так: «Положите монету на большую плоскую тарелку, налейте столко воды, чтобы она

29

покрыла монету, и предложите гостям взять ее прямо руками, не замочив пальцев.

Эта, казалось бы, невозможная задача довольна просто решается с помощью стакана и горяшей бумажки. Зажигите бумажку, положите ее горяшей внутрень стакана и быстро поставьте стакан на тарелку влизи монеты вверх дом. Бумажка погаснет, стакан наполнится белым дымом, а затем под ним сама собой соберется вся вода с тарелки. Монета же, конечно, оставется на месте, и через минуту, когда она обсохнет, вы сможете взять ее, не замочив пальцев».

Давайте в связи с этим рассказом решим такую задачу.

Задача 6. Оцените минимальную температуру, до которой должен нареться стакан, чтобы в него после остыания оказалась вянутой вся вода из тарелки.

Решим сначала задачу точно (кочечно, в рамках некоторых предположений, о которых позже скажем). Когда стакан подносит к поверхности воды, давление воздуха в нем равно атмосферному давлению $p_a$, а его температура $T_x$ не известна. Когда стакан остынет и в него оказется вянутой масса воды $m$, давление воздуха в нем будет $p$, температура стакан равной температуре $T$ окружающей воздуха, а объем уменьшится на величины объема воздуха воды, то есть стакан равным $(S_l - m/Q)$, где $S$ и $l$ — площадь секения стакана и его высота, $Q$ — плотность воды. Согласно закону Менделеева—Клапейрона,

$$\frac{p_a S_l}{T_x} = \frac{p S (l - m/(\varrho S))}{T}.$$

Из условия равновесия столбка воды следует, что $pS + mg = p_aS$, тогда

$$T_x = T \frac{1}{1 - \frac{mg}{p_a S}} \frac{1}{1 - \frac{m}{\varrho l S}}.$$

Укажем теперь неявные допущения, которые мы сделали при решении. Мы считали, что температура воздуха в стакане совпадает с температурой его стенок; что стакан ставится на воду медленно, так что начальное давление в нем совпадает с atmosферным; что давлением водыных паров в стакане можно пренебречь; что капитлярные эфективы пренебрежимо малы.

Интересно, что в полученную формулу для $T_x$ учет изменения давления (обусловленного вошедшим в стакан водяным столбком) и учет изменения объема воздуха в стакане воды в виде независящих компонентов. Поэтому их влияние можно исследовать разделно.

Преобразуем первыйсомжитель из правой части указаанной формулы:

$$\frac{1}{1 - \frac{mg}{p_a S}} = \frac{1}{1 - \frac{p_{BO}}{p_a}} \approx 1 + \frac{p_{BO}}{p_a}.$$

Atmosферное давление соответствует давлению водыного столбка высотой 10 м, а в нашем случае ясно, что высота водышего в стакан столбка воды не может превышать высоту стакана, то есть приблизительно 10 см, поэтому разумно давление водыного столбка пренебречь и считать этот множитель приближенно равным единице:

$$\frac{1}{1 - \frac{mg}{p_a S}} \approx 1.$$

Второйсомжитель связаан с изменением объема воды в стакане. Объем воды и объем стакана уже не различаются столбculo, как давления, поэтому объем воды пренебречь нельзя.

Таким образом,

$$T_x \approx \frac{T}{1 - \frac{m}{\varrho l S}}.$$

31

Задание 8. Оцените время, через которое вы услышите этом после вспышки молнии, если известно, что молния ударила в дерево, находящая от вас на расстоянии около 3 км.

Поскольку свет распространяется со скоростью $\approx 3 \cdot 10^5$ km/c, вспышку молнии можно будет увидеть через время $\sim 10^{-5}$ с. Звук же идет гораздо дольше. Попробуем оценить скорость распространения звуковых колбаний в воздухе. Воспользовемся для этого методом размерностей.

Очевидно, что скорость $v$ звука зависит от параметров, характеризующих эту среду. Пусть для воздуха это будет давление $p$ и плотность $\rho$. Предположим теперь, что $v \sim p^x \rho^y$,

где $x$ и $y$ — неизвестные показы. Если подобная формула действительно существует, то размерности ее левой и правой части должны быть, конечно, одинаковы.

Условия размерности физической величины $A$ обозначают [A].

Тогда

$$v = m \cdot c^{-1},$$

$$p = \Pi a = \kappa \Gamma \cdot m^{-1} \cdot c^{-2},$$

$$\rho = \kappa \Gamma \cdot m^{-3},$$

и можно записать

$$m \cdot c^{-1} = (\kappa \Gamma \cdot m^{-1} \cdot c^{-2})^x (\kappa \Gamma \cdot m^{-3})^y.$$

Это равенство выполняется при условии, что

$$x + y = 0,$$

$$-x - 3y = 1,$$

$$-2x = -1.$$

Отсюда

$$x = \frac{1}{2} \text{ и } y = -\frac{1}{2},$$

позетом получаем

$$v \sim \sqrt{\frac{p}{\rho}}.$$

Численный коэффициент в этой формуле из сообщений размерностей определять нельзя. Предположим, что он порядка единицы (вобше говоря, это нужно было бы как-то проверить).

Для оценки скорости звука давление воздуха применяем нормальное атмосферному давление: $p \sim 1$ атм $\sim 10^5$ Pa, а плотность воздуха будем считать равной плотности при нормальных условиях: $\rho \sim 1,3$ кг/m³. Тогда скорость звука

$$v \sim \sqrt{\frac{p}{\rho}} \sim 300 \text{ м/c},$$

и время, через которого наблюдаются условия гром,

$$t \sim \frac{3 \cdot 10^3 \text{ м}}{300 \text{ м/c}} \sim 10 \text{ с}.$$

Это время на шесть порядков больше времени разространения света, что в полне разумно с точки зрения нашей жизниенного опыта.

В заключение предлагается еще несколько задач-оценок. Предыдущие, не заглядывая в ответ, получить необходимые оценки самостоятельно.

Задание для размышления

1. Оцените, как изменится давление атмосферы, если в вода в океанах испарится.
2. Оцените скорость опускания парашюта с раскрытым парашютом.
3. Оцените среднюю плотность Солнца.
4. Оцените, сколько оборотов (кувырков) совершит автоматически, на полной скорости свободно улавший в климетровую пропасть.
5. Оцените успешное спортемена при толкании ядра.
6. Оцените силу натяжения цепи вlosсипеда при езде в гору.
7. Оцените, с какой скоростью летела капля воды, если при ударе о неподвижную стенку она оказывает на нее среднее давление порядка $10^6$ Pa.
8. Оцените силу натяжения ремней безопасности, удерживающих человека в автоматике, если автоматиль, движущийся со скоростью порядка 30 км/ч, столкнулся со столбом, в результате чего у автоматила получила вмятина глубиной порядка 30 см.
9. Оцените, на сколько отключются рассстояния уровней мирового океана до центра Земли на полюсе и на экваторе.
10. Оцените, на каком расстоянии человека в яркой одежде, уходя в сосновый лес, потеряется из виду. (Подлеска нет.)

32

Избушка на курых ножках

Чтобы постройть «избушка на курых ножках», фотография которой помещена на четвертой странице обложки, вам не потребуется ничего, кроме нескольких коробок спичек. Спички в избушке держатся «сами по себе», без помощи клей или каких-либо других креплевых приспособлений. Поняв идею постройения этой избушки, вы сможете в дальнейшем построить много других аналогичных конструкций, может быть — более разноальный способ. Пока же рекомендуем строго придерживать приводимого ниже описания.

Начнем с выбора стройматериала. Для строительства лучше всего поддят наибольшее тонкие спички. Чем тонкие спички, тем больше их потребуется, но тем проще будет избушка. В процессе стройтесть наружно отбрасывается спички, затем отлично освещается от других по толщине, а также гнутые.

Затем подготовим стройплошадку. Возьмите для нее какое-нибудь твердое основание, например книку, на котором вы будете при необходимости поворачивать недостроенную конструкцию.

Наконец, можно приступать к стройтестьву. Положите на основание в направлении от себя 5—6 спичек параллельно друг другу, оставляя между ними промежуток, примерный толщине спички. (В дальнейшем направление от себя будем называть продольным, а перпендикулярное ему, то есть слева направо, — поперечным.) На первый слой положите такой же второй в поперечном направлении. Эти два слоя образуют пол избушки. Тепер克拉ите стены в виде колодца (две спички справа и слева в продольном направлении, на них две — в поперечном и т. д.). Ширина колодца должна быть большше ширины пола: между стенами и крайними спиками пола при взгляде сверху должны оставаться просвет в одну спику. Все колодец должны содержать 4—5 продольных пар спичек и столько же — поперечных. Последняя пара спиек должны идти в поперечном направлении. Сверху положите два слоя потолка: продольный и над ним, поперечный.

Тепер наступает через самой тонкой работы — установки в стены вертикальных спичек. Положите на избушку монету подходшего размера (обычно подходит трехкопеечная монета). Нажимая на монету для придания конструкции жесткости, установливайте вертикальные спики стен головками вверх. Начинать следует с правой (или с левой) стены, поскольку спики передней и задней стены будут держаться за спики пола сыми кончиками, которые обещают иметь какие-либо нерновости, ухудшающее сцепление. Первую спику поставьте в правый передний угол — внутри колодца, но вне словев пола и потолка (можно временно сдвигать продольные слои пола и потолка к центру, чтобы они не мешали). Следующие спики ставьте вдоль правой стены, через их с поперечными спиками пола и потолка. Развигать спики поперечными слоев можно с помощью еще одной спики. Все вертикальные спики следует продвигать вниз до основания. Закончив установку вертикальных спичек правой стены (их должно быть на одну головке, чем в поперечных слоях), установите аналогичную левую стeny (вот тут вам и приготовятся возможность вращать стойллошадку).

Хоть передняя и задняя стены еще не достроены, однако и того, что есть,xbатает для получения устойчивой конструкции! Надавливая на крышу сверху с помощью монеты, одновременно созмите пальцами переднюю и заднюю стены так, чтобы сливнуть эти стены до упора. Проследите, чтобы все спики стен свиннулись. Тепер можно приподнять полученный каркас (лучше при этом продолжать скимать переднюю и заднюю стены). Спики самого нижнего слоя остатруется лежать на основании, но остальные спики будут держаться! Ни в коем случае не следует скимать правую и левую стены; их, напротив, желательно развинить насколько возможно, чтобы хватило места для передней и задней стены.

Установку вертикальных спичек передней и задней стен можно, в принципе, выполнять «в воздухе», однако, если вы сделаете так, то рискуете видеть, как ваша конструкция в один миг превращается в грудной спичек. Поэтому созмите переднюю и заднюю стены, как описано выше, и установливайте вертикальные спики этих стены на основании. Крайние спики этих стен уже установлены в состав правой и левой стены. Установливаемые спики должны проходить внутри колодца, но в поперечных слоях.

Убедившись, что все спики вошли в предназначенные для них промежутки, скимийте почередно правую стену с левой и переднюю с задней, давя одновременно на потолок. Необходимо слизить все спики до упора. Возможно, для этого придется надавливать на неокторые спики отделно. После этой операции получается веса прочитанной каркаску (фото 1).

(После того как самая трудная часть работы осталась позади, можно немного расслаться и повнимательнее рассмотреть то, что получилось. Обратите внимание: построенный «куб» — не совсем куб, его грани различаются по размерам. Подумайте, как сделать настоящий куб.)

35

Рис. 2.

Читатель, уловивший аналогию между tetraэдром и треугольником, наверное, теперь ожидает следующую фразу: «Все выcisты (перпендикуляры, опущенные из вершины на противоположную грань) tetraэдра пересекаются в одной точке, называемой его ortоцентром». Но, увы, это утверждение неверно для произвольного tetraэдра, а верно лишь для класса tetraэдров, называемых ortоцентрическими. Это классы в этой статье касаться не будем, но надемся к этой теме еще вернуться в «Кванте».

Хорошо представить себе tetraэдр в пространстве помогает описанный параллеленед (рис. 1), который определяется тем, что скрещивающиеся ребра tetraэдра являются диагоналями его противоположных граней. На этой фигуре легко «выдеть» еще один важный элемент tetraэдра: общие перпендикуляры скрещивающихся ребер — они образуют высоты параллелепипеда (например, отрезок КН на рисунке 1).

Равногранные tetraэдры

Как уже говорилось, равногранным называется tetraэдр, все грани которого конструкны. Чтобы представить себе равногранный tetraэдр, отличный от правильно, возможно произвольный остроугольный треугольник из бумаги и будем сгибать его по средним линиям. Тогда три вершины сочутся в одну точку, а половинки сторон сопннутся, образуя боковые ребра tetraэдра (рис. 2).

Перечислим теперь свойства tetraэдра, каждое из которых является необходимым и достаточно условием равногранности, начиная с определения.

(0) Грани конструкны.
(1) Скрещивающиеся ребра попарно конструкны.
(2) Трехгранные углы конструкны.
(3) Противожащие двумгранные углы конструкны.
(4) Два плоских угла, опирающиеся на одно ребро, конструкны.

37

ках $B$, $C$ и $D$ приложены по три угла, сумма которых $180^\circ$, поэтому углы $A_1BA_2$, $A_2OA_3$, $A_3CA_1$ — развернуть; значит, $A_1A_2A_3$ — треугольник, содержащий точки $B$, $C$, $D$ и является разверткой тетраэдра $ABCD$. Для остальных разверток расчужение аналогично.

Наш следующий шаг — доказательство равnocильности

(1) ⇔ (7)

В самом деле, поскольку скрещивающиеся ребра тетраэдра — диагонали граней описанного параллелепипеда (см. рис. 1), из попарной конгруэнтности ребер следует, что грани описанного параллелепипеда — прямоугольники и наоборот.

Теперь мы предлагаем расчужать по схеме

(7) ⇒ (8) ⇒ (9) ⇒ (10) ⇒ (7)

Остановимся лишь на (7) ⇒ (8). Взглянув на рисунок 5, вы легко установить, что осями симметрия является прямые, соединяющие центры симметрии противоположных граней описанного (прямоугольного) параллелепипеда, или, что здесь то же самое, общими перpendикулярами скрещивающихся граней.

Далее, оченьindo,

(0) ⇒ (11), (12), (13), (14), (15)

Мы докажем, что (11) ⇒ (1), (12) ⇒ (3), (13) ⇒ (12), (14) ⇒ (1), (15) ⇒ (4); тем самым будет установлена равnocильность первых 15 свойств.

Чтобы установить

(11) ⇒ (1)

запишем условия (11) в виде

$$a_2 + b_2 + c_2 = a_2 + b_1 + c_1 = b_2 + a_1 + c_1 = c_2 + a_1 + b_1,$$

(*)

где $a_1$, $b_1$, $c_1$ — длины ребер тетраэдра, исходящих из одной вершины, $a_2b_2c_2$ — длины соответствующего скрещивающихся с ними ребер. Из этой системы легко получить (как?)

$$a_1 = a_2, b_1 = b_2, c_1 = c_2,$$

а это и есть запись условия (1).

Для доказательства утверждение

39

Задчи

1. В любре 5 лампочки. Переключитель имеет 6 положений, при которых каждый раз горит разное количество лампочки — от 0 до 5. Однажды несколько лампочки перегорело. Какое наименьшее число раз нужно переключить переключатель, чтобы узнать, какие именно?

2. Найти все такие трехзначные числа, которые равны произведению числа, записываемого его двумя последними цифрами, на число, выражаемое его последней цифрой.

3. В клетках квадрата 3×3 расставили числа 1,2,…,9. Затем в каждом кружке записали среднее арифметическое окружающих его четырех чисел. После этого вычислили среднее арифметическое полученных четырех чисел. Какое наибольшее число может при этом получить?

4. В бочке 18 литров бензина. Имеется два ведра объемом по 7 литров, в которых нужно наить по 6 литров бензина. Кроме того, есть черпак объемом 4 литра. Как можно осуществить разлив?

5. Почему днем из комнаты, окно которого завешено тюлевой занавеской, предметы на улице хорошо различны, а предметы, находящиеся в комнате, с улицы не видны?

Эти задчи нам предложили
А. И. Азамов, Г. А. Гальперин,
В. В. Произволов, С. В. Дворянинов,
А. П. Савин.

40

О больших числах

Кандидат физико-mатематических наук
А. П. САВИН

Однажды в одном пionерском лагере мне довелось пистворвать на вечере вопросов и ответов под названием «А кто самый…?» Много было разных вопросов: «У кого самый длинный хвост? Какая звезда самая близкая к Земле?» Но вот одна девочка спросила:
— А какое число самое большое?
Вместо ответа я ей предложил сыграть в такую игру.
— Вот конфета,— сказал я,— кто назовет больше число, тот получает эту конфету. Назови свое число!
— Сто тысяч миллионов,— выпали девочка.
— Нет такого названия,— ответил я.

— Нет есть,— настанвала девочка.
— Ладно, тогда я загадал двести тысяч миллионов. Сыграем еще?
Остальные ребята зашумели, начали говорить, перебивая друг друга.
— Тихо,— сказал я,— давайте говорить по очереди, а то ничего нельзя понять. Из десята ребят, тут же поднявших руку, я выбрал невисокого мальчика в очках.
— Игра нечестная,— сказал он— какое бы число ни назвала Маша, Вы назовете число на единицу больше и вышегаете. И вообше, нет наиболее числа: к любому числу единичку можно прибавить.
Маша, продолжавшая стоять около стола, спросила меня:
— А как называются числа большие миллиона?
Судя по лицам ребят, этот вопрос заинтересовал многих из них. Я стал расскажать.
— В пределах первой тысячи, как вы знаете, название имеет единица каждого размера: единица, десять, сто, тысяча. Следующее единица, имеющее собственное название.

41

ние, идут через три разряда, то есть каждый очередная именованная единица содержит тысячу предыдуших именованных единиц:
1 000 000 — миллион,
1 000 000 000 — миллиард или биллон,
1 000 000 000 000 — триллюон,
1 000 000 000 000 000 — квадраillon,
далее идут квитиллюон, секстиллюон, centиллюон, октиллюон, нониллюон, дeuциллюон.

Прицели построения называют неиспользовуются. Астрономы, физики и другие специалисты, имеющие дело с большими числами, предпочитают записать числа с помощью степеней числа 10. Так, число 460 000 000 физик записет либо как $46 \cdot 10^7$, а чаше, как $4,6 \cdot 10^8$. Если это число нужно прочесть, то он и прочетет его как «четыре и шесть десятих на десять в восемой».

— А что делать, если на конце не будет нулей? — спросил меня один из мальчиков.

— Дело в том,— сказал я,— что при физических и других измерениях, как правило, верными бывают только первые две-три цифры. Чтобы получить большие количества верных знаков для каждого числа, например, массы планеты или расстояния до нее, требуется применять особые предосторожности и специальные очень точные приборы. Поэтому в больших числах, получаемых из обычного эксперимента, оставляют лишь первые две-три цифры, а остальные заменяют нулями.

— А с каким самым большим числом приходилось иметь дело на практике? — раздался вопрос с последнего ряда.

— Такое число можно даже называть,— ответил я,— физики считают, что во всей Вселенной количество элементов частиц, из которых состоит atoms находится в ней вещества, не больше, чем $10^{88}$. Поэтому нет практической необходимости пользоваться числами, большими, чем $10^{100}$. Для этого числа придумано специальное название — учелол. Каждый можно представить себе такую градиницу. Но все таки попробуем.

Представьте себе табло из 400 лампочки, расположенных в виде квадрата $20 \times 20$. Это представить себе легко, подобные табло встречаются в крупных эропортах и на вокзалах, там с помощью загорашихся лампочки вывечиваются объявления о прибитии и отправления поездов или самолетов. А теперь подумаем, сколько разных способов существуют, чтобы зажчь табло $20 \times 20$.

Начнем считать количество состояний нашего табло. Для порядка занумерцем лампочки числами от 1 до 400. Первая лампочка может быть в двух состояниях: потушеной и зажженной. Две лампочки могут быть уже в четырех состояниях. Если использовать для обозначения потушеной лампочки знаок о, а для зажженной знаок +, то эти четыре состояния можно перечислять: 00, +0, 0+, ++0, 00+, +0+, 0++, +++. Количество состояния удовлетворяющей для первых двух лампочки при потушеной третьей лампке, плюс то же самое количество состояния при зажженной третьей. Нетрудно заметить, что при добавлении четырех лампочных состояний вновь удовлетворяя и становится равным $2^4 = 16$, при пятей лампочных состояний будет $2^5 = 32$, при десяти — уже $2^{10} = 1024$, а при 400 лампках — $2^{400}$. Покажем, что это число больше гугола. Обратим внимание, что $2^{10} = 1024 > 10^3$, поэтому $2^{400} = 2^{10 \cdot 40} > 10^3 \cdot 40 = 10^{120}$. Итак, с помощью нашей нехитрого табло мы смогли превзойти гугол.

Сколько же времени понадобится для того, чтобы реализовать все имеющиеся возможности? Пусть у

42

нас есть электронное решение, которое меняет состояние табли со скоростью 100 раз в секунду. Поскольку в каждом часе 3600 секунд, в сутках 86 400 секунд, а в году 31 536 000 секунд, то за год таблиет сделать 3 153 600 000 миллиный или 3,1536 · 10^9. Разделив 10^120 на это число, получим около 3 · 10^110 лет — число, в миллиарды раз больше гугола. Вот так табли!

Может быть, мы сделали великое открытие в науке? К сожалению, нет. То, что количество состояний системы во много раз превоздит количество ее элементов, люди поняли очень давно. И очень часто трудно бывают из всего многообразия вариантов выбрать наиболее лучший. Например, где размещить заводы по производству какого-то нового типа изделия? Какие мощности выбрать для этих заводов? Если сделать немного крупных заводов, то стоимость производства будет невелика, это изделия придется дальше. Если же сделать много мелких заводов, то возить изделия придется меньше, но стоимость изготовления изделия на небольших предприятиях возрастает. Чтобы решать такие и подобные задачи, имеющие больше народноозязательное значение, непрерывно работают тысячи электронных вычислительных машин, перебирающих тысячи вариантов в секунду.

— А можно еще вопрос? — руку поднял первой мальчик в оках.
— Да, пожалуйста.
— Но математикам, наверное, приходится операровать еще большеими числами?
— Те, кто думает, что математики только то и делают, что складывают, умножают и делят числа, очень далеко от истинны. Лишь в одной ее области → теории чисел — ученые часто имеет дело с конкретими целыми числами. И здесь действительное появляется очень больше числа. Например, долго время шло совершение — кто назовет больше простое число. Проство — значит, имеющее лишь два различных делителя: себя и единицу. Потом стали искать лишь такие простые числа, которые имеют вид:

2^n — 1. Эти числа называются простыми числами Мерсенна, в частности французского ученого Марена Мерсенна, математика, акустика, теоретика музыки, одного из основателей Парижской Академии наук. Числа Мерсенна интересны тем, что если число 2^n — 1 — простое, то число 2^n−1 (2^n — 1) равно сумму всех своих делителей, кроме самого числа. Такие числа древние греки называют совершенными. Укажем три первых совершенных числа:

6 = 2 · 3 = 2(2^2 — 1) = 1 + 2 + 3,
28 = 2^2 · 7 = 2^2(2^3 — 1) =
= 1 + 2 + 4 + 7 + 14,
496 = 2^4 · 31 = 2^4(2^5 — 1) =
= 1 + 2 + 4 + 8 +

• 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Интересно, что число 2^n — 1 будет простым только в том случае, если число n — простое. К концу прошло века было известно 12 простых чисел Мерсенна: для n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127. Для n=127 простое число Мерсенна равно — тут я достал из кармана записную книжку, и на доске переписал: 170141183460469231731687303715884105884105727

— Это число все меньше гугола, — продолжил я. — Но теперь за дело взгляс электронные вычислительные машины. Они нашли, что число 2^n — 1 будет простыми при n=521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 44497.

После нее число 2^44497 — 1 имеет уже более 13 тысяч цифр. Затем, что гугол имеет «всего» 100 цифр.

После этого последовали новые вопросы: «Какая ЭВМ считает быстрое всех? Какой звёрь бегает быстрое всех?»

Вечер вопросов и ответов продолжали…

43

Задачи

M811—M815; Ф823—Ф827

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмещаются звездочки. После формирования задачи мы обычно указаем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задания публикуются впервые. Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 30 сентября 1983 года по адресу: 103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 7—83» и номера задачи, решения которых вы посылаете, например, «M811, М812» или «Ф823». Решения задачи из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения). Условие каждой оригинальной задчи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задчи (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задча по физике» или «…новая задча по математике»).

В начале каждого письма просим указать номер школьи и класс, в котором вы учитесь.

M811. Пусть $h_a, h_b, h_c$ — высоты, а $m_a, m_b, m_c$ — медианы остругольного треугольника (проведенные к сторонам $a, b, c$), $r$ и $R$ — радиусы вписанной и описанной окружности. Докажите, что

$$\frac{m_a}{h_a} + \frac{m_b}{h_b} + \frac{m_c}{h_c} \leq 1 + \frac{R}{r}.$$

Д. М. Милошевич

M812. Докажите, что при любом натуральном $n$

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}} < 2.$$

С. И. Майзус

M813. Даны отрезки $OA, OB$ и $OC$ одинаковой длины (точка $B$ лежит внутри угла $AOC$). На них как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь кривolineного треугольника, ограниченного двумми этих окружностей и не содержащого точку $O$ (см. рис. 1, с. 44), равна половине площади (объчного треугольника $ABC$).

В. В. Прасолов

M814. Отметим в натуральном ряде числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Средние чисел встречаются тройки последовательных чисел, например

$$72 = 6^2 + 6^2, 73 = 8^2 + 3^2, 74 = 7^2 + 5^2.$$

a) Объясните, почему не могут встретиться последовательных отчечных числа.

Докажите, что средние чисел встречаются бесконечно много 6) пар, в*) троек последовательных чисел.

Л. Д. Курляндчик

M815*. На окружности расставлены $4k$ точек, занумерованных в произвольном порядке числа 1, 2, …, $4k$.

a) Докажите, что эти точки можно соединить $2k$ попарно непересекающимся отрезками так, что разность чисел в концах каждой отрезка не превышает $3k-1$.

46

the ammeter then? The battery is assumed ideal, the resistance of the wires is 2 Ohm.

A. R. Zilberman

P826. Far-away objects are viewed through a convergent lens of focal distance $F=9$ cm, the eye being located at the distance $a=36$ cm from the lens. Estimate the minimal size of a screen which, if placed behind the lens, would entirely cover the field of vision. Where should the screen be placed?

D. V. Belov

P827. A cube with side $a$ moves with velocity $v=0.8$ c (where $c$ is the velocity of light) in a direction perpendicular to one of its faces. What will we see on a photograph of the cube taken by a far-away camera with a very short exposure, if the optical axis of the camera is perpendicular to a face of the cube and intersects the trajectory of its centre (figure Pric. 3)?

D. Ju. Grigoriev

Решения задач

M796—M798; Ф808—Ф812

ОТВЕТ: $\widehat{APB}=135^\circ$. Повернем $\triangle ABP$ вокруг точки $B$ на $90^\circ$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с $C$ (см. рисунок). Пусть вершина $P$ перейдет при этом в точку $Q$. Тогда $|PQ|^2=2|BP|^2=8|AP|^2$ ($\triangle BPQ$ равноведенный прямогольный), а $|QC|=|PA|$. Следовательно, $|PQ|^2+|QC|^2=9|AP|^2=|CP|^2$, то есть $PQC$ прямогольный треугольник с прямым углом $PQC$. Отсюда $\widehat{APB}=\widehat{CQB}=\widehat{CQP}+\widehat{PQB}=90^\circ+45^\circ=135^\circ$.

Имеется и менее искусственное (но более громоздкое) решение с помощью метода координат. Примем прямые $AB$ и $AD$ за оси координат; пусть $(x, y)$ — координаты точки $P$. Тогда, считая сторону квадрата равной 1, получим: $|AP|^2=x^2+y^2$, $|BP|^2=x^2+(1-y)^2$, $|CP|^2=(1-x)^2+(1-y)^2$. По условию $|AP|^2:|BP|^2:|CP|^2=1:4:9$, отсюда легко найти $x$ и $y$, а затем и искому угол.

Л. Д. Курляндчик

M797*. Известно, что последним цифрами квадратов целых чисел могут быть лишь цифры 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Верно ли, что перед последней цифрой в них может встретиться любая группа цифра, то есть что для любого набора из $n$ цифра $a_1, a_2, \dots, a_n$ можно найти целое число, квадрат которого окачивается цифрами $a_1a_2\dots a_nb$ (еде b — одна из перечисленных выше цифр)?

ОТВЕТ: Нет. Мы приведем два доказательства этого факта.

Первое доказательство. Пусть $A_n$ — число всех комбинаций из $n$ цифра, на котором окачивается точный квадрат. Мы показем, что если $n \geq 4$, то $A_n<10^n$. Из этого будет вытекать наше утверждение: даже если бы каждая комбинация $a_1, \dots, a_n$ встретилась в сочетании лишь с одним $b$, уже было бы $A_n=10^n$. Чтобы получить все $n$-значные окончания квадратов, очень надо, достаточно рассмотреть квадрат только $n$-значных чисел. Разобем эти $10^n$ чисел (от 0 до $10^n$-1) на классы, собирая в один класс все числа с одинаковым $n$-значным окончанием квадратов ($p$ и $q$ входят в один класс, если $p^2-q^2$ делится на $10^n$). Тогда $A_n$ равно числу таких классов; исходя из этого мы и будем оценить $A_n$.

Рассмотрим по отдельности три групп $n$-значных чисел: (1) числа, делящиеся на $5^n$ (ихровно $2^n$); (2) нечетные числа, не делящиеся на $5^n$ (их меньше чем $0,5 \cdot 10^n$); (3) четные числа, не делящиеся на $5^n$ (их тоже меньше чем $0,5 \cdot 10^n$). Количество чисел в первой группе мало по сравнению с $10^n$. Для нас важно, что они дают попарно разные остатки при делении на $2^n$ (потому что $k \cdot 5^n-l \cdot 5^n=(k-l) \cdot 5^n$ не может делиться на

47

2$^n$ при $1 \leqslant l < k \leqslant 2^n$), и следовательно, среди этих остатков по одному разу встречаются всевозможные остатки отделения на $2^n$. Пусть, далее, $m$ — число из второй группы. Найдем в первой группе числа $k_1 \cdot 5^n, k_2 \cdot 5^n, k_3 \cdot 5^n$ и $k_4 \cdot 5^n$, дающие при делении на $2^n$ такие же остатки, как $2m, 2^{n-1}+2m, 2^n-2m$ и $2^{n-1}-2m$. Тогда квадраты 8 чисел $m, 10^n-m, 0,5 \cdot 10^n \pm m, k_1 \cdot 5^n-m, k_3 \cdot 5^n+m$ и $k_4 \cdot 5^n+m$ (они выписаны на полях) имеют одинаковые $n$-значные окончания при $n \geqslant 4$. Действительно, поскольку $0,25 \cdot 10^n$ — целое число ($n \geqslant 4$), $k_i$ — четные числа, а числа в синей рамке на полях делятся на $2^n$, все числа в красной рамке делятся на $10^n$. Таким образом, классы чисел второй группы содержат по крайней мере по 8 элементов, поэтому их число меньше, чем $0,5 \cdot 10^n/8$. Точно так же при $n \geqslant 4$ классы чисел третьей группы содержат по крайней мере по 16 элементов. (Каждай класс вместе с числом $m$ содержит числа $10^n-m, 0,25 \cdot 10^n \pm m, 0,5 \cdot 10^n \pm m, 0,75 \cdot 10^n \pm m, k_1 \cdot 5^n-m, ..., k_4 \cdot 5^n-m, k_5 \cdot 5^n+m, ..., k_8 \cdot 5^n+m$, где $k_1, ..., k_8$ выбранны так, что числа $k_1 \cdot 5^n, ..., k_8 \cdot 5^n$ дают при делении на $2^n$ те же остатки, что и числа $2^n, 2^{n-2}+2m, 2^{n-1}+2m, 3 \cdot 2^{n-2}+2m, 2^n-2m, 2^{n-1}-2m, 3 \cdot 2^{n-2}-2m$.) Таким образом, число классов в группе (3) меньше $0,5 \cdot 10^n/16$, а общее число классов $A_n < 2^n + \frac{0,5 \cdot 10^n}{8} + \frac{0,5 \cdot 10^n}{16} = 10^n \left( \frac{1}{5^n} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \right) \leqslant 10^n \left( \frac{3}{32} + \frac{1}{5^4} \right) = 0,9535 \cdot 10^{n-1} < 10^{n-1}$.

Попробуйте найти $\lim_{n \to \infty} A_n/10^{n-1}$.

Второе доказательство. Оно короче первого, но менее почительно. Иммет место следующий факт:

если предпоследняя цифра точного квадрата нечета, то последняя равна 6.

В самом деле, из равенства $(10a+b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2$ видно, что предпоследняя цифра квадрата любого числа и предпоследняя цифра квадрата его последней цифры имеют одну и ту же четность. Но квадрата однозначного числа предпоследняя цифра нечета только в двух случаях: $4^2 = 16$ и $6^2 = 36$.

Теперь показем, что точный квадрат не может кончаться на 005$b$. Действительно, по доказанному такой квадрат должен быть имеет окончание 0056, и тогда он давал бы остаток 8 при делении на 16, что, очевидно, невозможно (квадрат числа, делящегося на 4, делится на 16, а квадрат числа, не делящегося на 4, не делится на 8).

Предлагаем читателю самостоятельное исследование $n=2$ и 3 подробнее. Докажите, что а) для любого числа $a_1a_2$ найдется точный квадрат с окончанием $a_1a_2b$; б) точный квадрат может кончаться на $a_1a_2a_3b$ (при неоктором $b$) в том и только том случае, когда трехзначное число $a_1a_2a_3$ дает при делении на 8 остаток, не равный 5 или 7.

Приведем еще одну задачу на эту тему, присланную в редакцию Д. Федоровым: докажите, что число вида $aa...ab$, где $b=a+1$, не может быть точным квадратом.

Д. Б. Фукс

◆ Допустим сначала, что красные отрезки друг с другом не пересекаются, и показем, что тогда каждый из них пересекается хотя бы с одним снимом, то есть число красно-синих пересечений не меньше $k$. Возьмем любой красный отрезок $AB$ и одну из стягиваемых им друг. Число красных точек на ней четно (потому

48

ми отрезками, а 2k синих — к синimi отрезками (никаче три отрезка не пересекаются в одной точке). Доказите, что найдется по крайней мере k точек пересечения красных отрезков с синими.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф808. Моторная лодка, находящая в точке A на расстоянии R от берега озера, начинает разворот, двidaясь со скоростью v=18 km/ч по окружности радиуса r=R/2; в начальной момент скорость лодки направлена к берегу. Волна от лодки до берега через время t=3 мин после начала разворота. Скорость распространения волна от лодки по поверхности воды равна u=9 km/ч. Найти расстояние R.

Ф809. Цилиндрический бак наполнен доверху жидкостью плотности q. Сверху бак плотно закрыт крышкой радиуса R. Снизу в бake имеет отверствие площади s, закрытое пробкой массы m (см. рисунок).

Что любая из них должна быть соединена отрезком с точкой той же дуги), следовательно, число синих точек на этой дуг нечетно. Поэтому один из начинающихся на ней синих отрезков должен пересечь AB.

Телерь показет, что любую систему красных и синих отрезков можно «распутать» — заменить новый, в которой красные отрезки попарно не пересекаются, не увеличивая при этом числа красно-синих пересечений. Пусть AC и BD — пересекающие красные отрезки. Заменим их красными отрезками AB и CD (рис. 1). Ясно, что любой отрезок (красный или синный), пересекающийся с отрезком AB или с отрезком CD, имеет с ним общим столктою же точек пересечения, сколько с AC и BD. Поэтому при замене число красно-синих пересечений не увеличивается, а число красно-синих пересечений уменьшается по крайней мере на 1. После нескольких таких операций мы получим систему отрезков, в которой красные отрезки попарно не пересекаются, а число красно-синих пересечений не больше исходного и в то же время, как было доказано вначале, не меньше k.

Легко построить пример системы отрезков, имеющей k красно-синих пересечений (рис. 2).

С. В. Фомин

◆ Рассматривая лодку как источник волн, распространяющая из каждой точки траектории лодки, найдем ту точку C, из которой волна дойдет равше всего до берега. Положение точки C определяется из условия равенства скорости распространения волн и проекции скорости лодки на направление «к берегу» (ось X на рисунке):

$$u = v_x = v \sin \alpha \Rightarrow \sin \alpha = u/v = 1/2,$$

то есть $\alpha = 30^\circ$. Рассмотрение от точки C до берега равно

$$l = R - r \cos \alpha = R - \frac{R}{2} \cos \alpha = R \left( 1 - \frac{1}{2} \cos \alpha \right).$$

Время t₁, которое требуется волне, чтобы дойти из точки C до берега, равно

$$t_1 = l/u = \frac{R}{u} \left( 1 - \frac{1}{2} \cos \alpha \right).$$

Время t₂, в течение которого лодка должна от точки A до точки C, равно

$$t_2 = \frac{2\pi r}{v} \cdot \frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi R}{6v}.$$

Полное время, через которого после начала разворота волна дойдет до берега, равно

$$t = t_1 + t_2 = \frac{R}{u} \left( 1 - \frac{1}{2} \cos \alpha \right) + \frac{\pi R}{6v}.$$

Отсюда находится R от точки A до берега:

$$R = \frac{6tuv}{3v (2 - \cos \alpha) + \pi u} \approx 545 \text{ м.}$$

А. И. Буздин

◆ Давление в жидкости во врашающем бake на одной и той же глубине будет разным в центре сосуда и у стенок — давление нарастает по мере удаления от центра. Найдем, на сколько отличается давление у стенок от давления в центре.

Выделим мысленно тонкий горизонтальный столбик жидкости с площадью поперечного сечения σ (см. рисунок).

49

Чтобы вытащить пробку из бака, нужно приложить сили f. С какой максимальной угловой скоростью можно вращать бак вокруг вертикальной оси так, чтобы пробка не вылетала?

Центр масс этого стольника движется по окружности радиуса $R/2$. Запишем уравнение движения стольника:

$$\varrho R \omega^2 \frac{R}{2} = \Delta p \cdot \sigma$$

($\varrho R \sigma$ — масса стольника, $\Delta p \cdot \sigma$ — результатрушающая сил давления, действующих на стольник справа и слева). Таким образом, давление в жидкости у стенки больше давления в центре на вершину

$$\Delta p = \frac{1}{2} \varrho \omega^2 R^2.$$

Позному сила, действующая на пробку со стороны жидкости, равна

$$F = s \left( p_0 + \varrho g H + \frac{1}{2} \varrho \omega^2 R^2 \right),$$

где $p_0$ — атмосферное давление, $H$ — высота бака.

Запишем уравнение движения пробки:

$$m \omega^2 R = p_0 s + F_{\text{тр}} - s \left( p_0 + \varrho g H + \frac{1}{2} \varrho \omega^2 R^2 \right).$$

Как следует из условия, пробка вылетает из бака при $F_{\text{тр}} = f + s \varrho g H$. Учитывая это, найдем угловую скорость вращения, при которой пробка вылетит:

$$\omega = \sqrt{\frac{f}{m R + \frac{1}{2} s \varrho R^2}}.$$

В. И. Комов

Ф810. Имеется нарезатель с рабочей температурой $t_H = 700^\circ\text{C}$. Температура окружающей среды — $t_0 = 20^\circ\text{C}$. Какое минимальное количество тепла необходимо забрать у нарезателя, чтобы испарить $m = 3$ ккв. воды, нарезой до температуры кипения ($t_1 = 100^\circ\text{C}$)? Удельная температура нарезавания воды $r = 2,26$ МДж/кг.

При непосредственной передаче тепла от нагреваателя к воде для испарения массы воды $m$ необходимо получить от нагреваателя количество тепла $Q_0 = mr$.

Попытаемся уменьшить эту величины, воспользовшись тем фактом, что тепловой насос (то есть тепловая машина, работающая по обратному циклу) может перекачивать большое количество тепловой энергии от холодного тела к горячему при малых затратах механической энергии, если перепад температур неVELK.

Представим себе устройство для испарения воды, состоящее из идеального тепловой машины $M$ и идеального теплового насос $H$, включенных так, как показано на рисунке 1. Машина забирает у нагреваателя количество теплла $Q_1$ и передает горячей воде количество теплла $Q_2$, совершая при этом работу $A$. тепловой насос $H$, использует работу $A$, забирает у окружающей среды количество теплла $Q_3$ и передает горячей воде количество теплла $Q_4$.

Рассчитаем суммарное количество теплла $Q_2 + Q_4$, получаем водой. Козффициент полезного действия машины $M$ равен

$$\eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{T_H - T_1}{T_H}.$$

Отсюда

$$A = Q_1 \frac{T_H - T_1}{T_H}, \quad Q_2 = Q_1 \frac{T_1}{T_H}.$$

Так как тепловой насос $H$ — идеальная тепловая машина, работающая по обратному циклу, то для него можно аналогичным образом записать

$$\frac{A}{Q_4} = \frac{T_1 - T_0}{T_1} \Rightarrow Q_4 = A \frac{T_1}{T_1 - T_0} = Q_1 \frac{(T_H - T_1) T_1}{T_H (T_1 - T_0)}.$$

Таким образом,

$$Q_2 + Q_4 = Q_1 \frac{T_1}{T_H} \frac{T_H - T_0}{T_1 - T_0}.$$