Квант 1983, №8 · Страницы

КВАНТ
8
1983

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Эта карта дня
Атлантического океана
составлена по данным,
полученным с помощью
звукового зондирования
океанческого дня.
Об актических методах
исследования Океана
читайте
в статье Ю. Ю. Житковского.

1

В НОМЕРЕ:
2 Ю. Ю. Житковский. Физикч изучают гидрокосмос
7 А. И. Анохин, З. Д. Ломакина. Математика мореплавателью
13 А. Д. Чернин. ВспышиваниеRENTНОВСКИЕ ЗВЕЗДЫ
20 М. Г. Крейн, А. А. Нудельман. Теорема Борсука — Улама
26 А. Н. Пегоев. Что служилось с лампочкой?

IN THIS ISSUE:
Yu. Yu. Jitkovski. Physicists study the hydrocosmos
A. I. Anokhin, Z. D. Lomakina. Mathematics for the seaman
A. D. Chernin. Flashing X-ray stars
M. G. Krein, A. A. Nudelman. The Borsuk — Ulam theorem
A. N. Pegoev. What happened to the lightbulb?

Новости науки
И. В. Карпова. Необычные кристаллы-генераторы

Science news
I. V. Karpova. Unusual crystals-generators

Matematический кругок
И. Ф. Шарыцин. Вокруг биссертрисы

Mathematics circle
I. F. Sharygin. About bissectors

Школа в «Кванте»
Л. Б. Печерский. Когда |a+b|=
=|a|+|b|?

Kvant’s school
L. B. Pecherski. When does |a+b|=
=|a|+|b|?

«Квант» для младших школьников
Задачи
E. E. Семенов. Степа Мошкин путешествует

Kvant for younger school-children
Problems
E. E. Semionov. Stiepa Moshkin travels

Задачик «Кванта»
Задачи M816 — M820; Ф828 — Ф832
Решения задач M801 — M805; Ф813 — Ф817

Kvant’s problems
Problems M816—M820; P828—P832
Solutions M801—M805; P813—P817

Игры и головоломки
В. А. Сапронов. Рэндзю

Games and puzzles
V. A. Sapronov. Renju

Рецензии, библиография
E. П. Левитан. Какое оно — наше Солнце?

Book reviews
E. P. Levitan. What is it like — our Sun?

Информация
Весоизный смотр
В. Н. Сердеев. Конкурс проектов
Вечерняя физическая школа при МГУ

Information
All union meeting
V. N. Sergeev. Contest of projects
Moscow state university physics evening school

Ответы, указания, решения
Смесь (25, 37, 45, 56, 60)
Шахматная страница
Каспаров играет мараджей (3-я с. обложки)

Answers, hints, solutions
Miscellaneous (25, 37, 45, 56, 60)
The chess page
Kasparov plays maharajhs (3rd cover page)

На первой странице обложки приведена фотография обчийной лампочки накладания. О том, когда и почему можно перегореть такая лампочка, вы прочитаете в статье A. Н. Пегоев.

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы. «Квант», 1983

Окейн… Для Земли — это две трети ее поверхности. Окейн — это кольцевый всего живого на Земле, окейн — это кухня погоды (к сожалению, человек пока не повар на этой кухне), окейн — это дорога, которая служит человекчеству тысячетия и, надо думать, прослужит еще долго без ремонта; наконец, окейн — природнаяkladовая белков и, как любят говорить, «неисчерпаемаяkladовая» минерального сырья. Думаю, следует говорить более осторожно, так как «неисчерпаемые запасы» многих видов рыб, увы, уже исчерпаны.

В XX веке сша стала мала человеку, ее границы стали ему тестины, и он стал рвать за ее пределы — в окейн, в воздух, в космос.

Что человек может найти в океане? О продуктах уже было сказано. Нефти в море, точнее — под морем, содержится не меньше, чем на суше. Сейчас со дня морского добавит около 20% мировой добави нефти, а к 2000 году, предположительно, океанская нефть будет составлять 50% всей добави. Большое количество каменного угля уже сегодня добавит из морских шахт. Более 4% мировой добави серы дают морские промышлены. Значительная часть мировой добави руд редких металлов приходится на морские российи. Вели-ка добави в море олива, золота, серебра, алмазов, марганца, колальта,никеля… Так в чем же дело? Окейн рядом, он tant в себе несметные богатства! Казалось бы, береи да осваивай его!

Почему же так медленно идет освоение океана? Почему в первой половине XX века ребеф видимой стороны Луны был нам известен лучше, чем ребеф дня океана? Почему, наконец, на высоте более 100 км над Землей повышало уже болееста человек, а на глубине океана, в десять раз меньше, только две? И почему человек называл глубины океана гидрокосмосом?

В основном освоении океана мешают две причины. Оданица очевидна — это гидрокосмическое давление. На глубине в 10 км на каждый квадратный метр поверхности давит себячуч тонн воды. Кроме того, не надо забывать, что морская вода — весма агрессивная жидкость, быстро разведающая большинство металлов.

Вторая причина, мешаюшая освоению океана, — это громадное затухание электромагнитных волн в хорошо проводящей соленой морской воде. Из-за этого человек в океане практические лишен основных привычных ему средств получения ин-

4

«Наутилуса» капитана Немо — «Подвижный в подвижном»? Точнее было бы — «Подвижный в изменчивом».

Так красиво нарисованная нами картина параллельных горизонтальных слоев на самом деле искажена в пространстве существованием глубинных, так называемых «внутренних» волн, обусловленных колбаниями слоев воды различной плотности. Вертикальные колбания могут иметь перiodы порядка суток и достигать размах в 100 м. Толщу океанских вод могут произвольать волны, вызванные подводными землетрясениями,— цунами.

Сложная картина акустических полей в океане связывана и с наличием неровных границ — повреждности и дна, которые отражают и рассеивают падающий на них звуковую энергию. При этом верхняя граница (вода — воздуха) практически непрозрачна для звука, а форма ее меняется во времени; нижняя граница — до — неизменна во времени, но частично практическая для акустических волн, которые проникают в до океана.

Рассеяние акустических волн звуковосвязывающих слоями.

Прием слабых сигналов осложняется наличие окружающего шумового фона. Этот фон складывает из шумов, обусловленных динамическими процессами, в основном — ветровым волнением, из биологических шумов (известно, что морские животные весма широко используют акустические волны), из сейсмического фона, шума прохождения судов и т. д.

Далее из такого краткого перечисления факторов, влияющих на распространение звука в океане, видна вся сложность процесса передачи и приема акустических сигналов в океане. Можно себе представить те трудности, которые встречаются при исследовании законов распространения звука в океане. А ведь эксперименты проводятся в очень широком диапазоне частот и на дистанциях от сотен метров до тысячи kilометров.

Изучение акустических полей в океане — только часть проблем, которые изучает акустика океана. Есть задачи, которые принято назвать обработными. Характер распространения, отражения, рассеяния акустических волн дает информацию о свойств среды, об объектах, отражающих и рассеяющих звук. Определение характеристик океана по такой информации — вот конечная цель исследования. Например, время распространения эхолотного импульса до дна и обратно позвольяет изменять глубину океана. Акустические методы исследования океана заменяют традиционные «kontактические» методы на экспрессные «неконтактические».

Теперь хотелось бы подробнее остановиться на некоторых вопросах. Я уже говорил о том, что окружаюший шум мешает приему полезных акустических сигналов. Могу добавить, что рассеяние в обратном направлении также, вообще говоря, мешает приему сигналов, например сигналов связи. Но, с другой стороны, шум несет и информацию о его источниках, например о диамическах процессах в океане, а рассеяние сигналы дает нам информацию о рассеивалении, в нашем случае — о/herновости по-

5

верхности и дна, а также о морских организациях.

В рамках журналной статьи невозможно расскаать подробно об всех исследований, проводящих по океане. Здесь и исследования решения и изучение его строения; исследование законов накопления осадков и изучение тепловых потоков, иуших со дна; определение химического состав океанических вод и исследование вихрей в водах океана, и многое, многое другое. Поэтому я попытаюсь расскаать более подробно только об исследовании, связанных с изучением рассеяния звука морских организаций.

Несколько десятилетий назад было обнаружено, что практические во всех районах Мирового океана, кроме его полярных области, существуют скопления мелких морских организаций, локализованных по вертикали. Эти скопления состояят, как правило, из мелких рыбок размером в несколько сантиметров. Они формируют один или несколько слоев толщиной в десятилетий метров. Днем эти слои находятся на глубинах 200—1000 м, а ночь они поднимаются, или, как говоря биологи, мирируют, к поверхности. Эти скопления рассеяние от них намного больше, чем от толщины, не содержащей морских организаций (то есть доля звуковой энергии, рассеивающейся при прохождения сигнала через скопление рыбок, горячдо большие, чем в случае «чистой» воды). Такие скопления как раз и были обнаружены по рассеянию звука, что было зарегистировано экологически как «ложное дно». Они были названы звуковосявшими слоями (сокращенно 3РС). Количество организаций и их видов состав меняется в сложх от района к району, а поскольку эти мелкие рыбки служат пшейдля более крупных промысловых рыб, то информация о 3РС позволяет судить о распределении промысловых рыб. Эти информации получают с помощью актических волн.

Излучатель звука генерирует колебания определяной части. Когда колебания, распространясь в толще воды, встречаются со скоплениями морских организаций, небольшая доля энергии рассеивается во все стороны, в том числе и в обратном направлении. Эта рассеяния энергия улавливается приемником звука, который располагается рядом с излучателем. Зная излученную мощность и измеряя интенсивность рассеяного сигнала, можно определить, какая доля энергии рассеивается в 3РС. Меняя частоту колебаний излучателя, можно «настроить» на частоту собственных колебаний плавающего пузья рыбки. При этом доля рассеяной энергии

6

резонансно возрастает. Частота собственных колебаний плаваательного пузира определяется его размерами, которые, в свою очередь, зависит от размера рыбки.

Таким образом, актическое «зондирование» дает информацию о месте нахождения ЗРС, глубине их «залегания», о количестве рыбок, об их размерах.

Недавно на новом научно-исследовательском судне «Академик Мстислав Келдыш», приналежащем Институту океанологии им. П. П. Ширшова АН СССР, состоялась экспедиция в Атлантику по разработке актических методов исследования океана (в ней принимали участие также студенты кафедры физики гидрокосмosa факультета общеи и прикладной физики МФТИ).

В исследований использовася глубоководный аппаратурный комплекс, представляющий собой термтическую сферу диаметром около полуметра, в котором находились мощный (несколько киловатт) генератор и исполнительное устройство, которое осуществляло управление генератором по команде сверху. Вне сферы находились изучать и применник звука. Этот комплект мог опускаться на кабель-тросе на любую глубину от поверхности до 5000 м. С его помощью было делать подробный «разрез» океана от поверхности до дня.

Объчно читатель интересует перспективы развития новых методов исследования океана. Что ожидает нас в будущем?

Развитие науки проинсходит, как правило, скачкообразно. Какой-то промежуток времени идет количество накопления экпериментального материала, осмысленное и интерпретация наблюдаемый, фактов. Результатом этого является качественный скачок в теории, заметно продвигающий нас по пути приближения к истине. При этом многое, казалось бы, незыбельное и очень представления часть перематриваются. Затем следует очередной этап нахождения результатов исследования. И так далее. На мой взгляд, актическа океана в настоящее время находится в стадии нахопления фак-

тов. Думаю, что этаот будет довольноdlительным, так как океан велик, изменив и многообразен, а фронт исследований еще относительно узок, что в значительной степени связано с недостаточной технической основностью исследований. Будут новые, более совершенные приборы и оборудования — будут новые результаты. Изучение океана требует дорогостоящего, часто весы громодкого основания.

Уже сегодня есть идеи, каким образом можно практически непрерывно получить информацию о характеристике Мирового океана по всей его акватории. Этот метод получил нахвание актической томографии. Суть егозаключается в следующем. По периметру района океана, характерistikи которого необходимо знать, установливаются достагоно жестко несколько применяются систем. Системы почередно изучают актические импульсы и применяют их. Принимаемые сигналы несут информацию о температуре, солености и других параметрах среды, через которого они распространялись, то есть о районе океана, «оконтуреном» применяются системами. В результате можно будет непрерывно получить характерistikи океанской среды. Ценность подобной информации оченьдана.

На пути решения этой задачи, конечно, есть много трудностей. Во-первых, надо решить ее теоретически; во-вторых, надо неподвижно установить по всему Мировому океану множество достагоно мощных излучающих систем и управлять их изменением. В-третьих, надо создать парк мощных ЭВМ, которые могли бы в относительной коротке времени обработать громадный объем информации. И многое, многое другое…

Задча эта, несомненно, междунарного масштаба и пока еще не сегодняшнего дня. Однако у меня нет сомнения, что человекство решит ее.

7

Математика мореплавателью

Капитан дальнего плавания
А. И. АНОХИН,
кандидат физико-mатематических наук
З. Д. ЛОМАКИНА

Три морские трагедии

Это случайность в середине прошло века. Вскоре после того, как следовавший с Цейлона в Европу барк «Звезда» прошел остров Св. Елены, к нему стремительно приблизлась «Мрачная шутка» — черная бригатина снискавшего устройствашую известность пирата Бениито де Сото. На «Звезда», где, кроме немногочисленного экипажа, находились 25 солдат-инвалидов и почти столько же женщин и детей, не помышляли о сопротивлении, но надялись откупиться находившимся в триome грузом. Однако дело до переговоров не дошло — высадившиеся на барк пираты зверски убили несколько человек, включая капитана, а остальных загнали в триом, забив гвоздями крышку люка. Затем морские разбойники разграбили судно, свалили мачты, изрубили рангут, takelаж и устроили попойку, после которого вернулись на свою бригатину. Но прежде, чем «Мрачная шутка» на всех парусах убралась вовояси, Бениито до Сото убедился, что в корпусе «Звезды» ниже赁лини просверлены ответствия, через которые в несколько отсеков трюма поступала забортная вода. Но зловещему замыслу пирата не суждено было осуществться. Почему? Об этом мы расскажем позже, когда немного разберемся в теории.

В Лондоне к стене собора Св. Павла с конца прошло века прикреплена бронзовая пластина. Выбитый на ней текст повестиет о гибели броненосца «Капитан» и, быть может, невольно выражает упрек тем, по чейей вине она произшла.

Броненосец «Капитан» был построен в 1870 году. Те, кому доверлялись тайны военного флота Великобритании, знали, что сине творение строитель необучно: в нем, так сказать, соединилось несовместимое — многочисленные артиллерийские установки, в том числе в громадных врашаюшихся башнях, мощная бортовая броня, усиленное парусяное вооружение и весына низкий

8

надводный борт, что должно было уменшить вероятность попадания вражеских снарядов. Казалось бы, лучше не надо! Правда, привлеченный в качестве консультата опитный инженер Рид заново произвед необходимые математические расчеты и заявил, что при незначительном воздействии усилившегося ветра броненосцу грозит опрокидывание. Однако это заключание специализита, подтвержденное математическим расчетами, не было принято во внимание — высокочтые лорды из Адмиралтейства настояли на своем.

Спуск броненосца на воду состоялся, как говорится, под звуки фан-фар. А затем «Капитан» вместе с десятью другими кораблями принял участие в учениях. Внезапно налетел шквал. Все корабли не особенноощутили его силу. Все, за исключением броненосца «Капитан», — он опрокинулся. Чем же была вызвана эта катстрофа?

---

Апрель 1912 года. Мировая общественнаяность, казалось, затанла дыхание — английский трансоканскийлайнер «Титаник» в первый раз пересекал Атлантику. Самое большое и компортальное судно того времени: длина — 270 метров, водоизмещение — 66 тысяч тонн, спортивные залы, бассейны, бани, бары, рестораны. Кроме того, плавучий остров высотой в пятнадцатизтажный дом рекламировался как предел надежности.

Наступила очередная ночь заменательного плавания. Многие пассажеры отправились отдельать, но не малое их число продолжало веслиться. И, видимо, никто из них не знал, что судно вошло в район, где ему угрожала встреча с айсбергами — ледяными исполинами, четыре пятых которых коварно пручется под водой. В определенной степени уподобился пассажирам капитан, подгоняемый судовладельцем, требовавшим выдержать график движения, расчитанный на установление рекорда скорости пересечения Атлантики. Правда, капитан выступил шесть впередсторщих. Но простое сравнение дальности види–

мости и скорости судна показало бы, что на них нельзя надеться. И действительно, когда один из впередсторщих заметил айсберг и доложил о нем, увернуться от плавающей ледяной скалы уже не было возможности. Своей подводной частью она безшумно разрезала общивку корпуса по длине 90 метров.

Трагедия «Титаника», его экппажка и пассажиров (из 2200 человек погибло 1517) описана во многих источниках. Поэтому мы затронем лишь один вопрос, который, кстати, не нашел широкого освещения. Однако все по порядку…

Плавучеть и судьба барка «Звезда»

На известном каждому шклнику законе Архимеда основано свойство плаучести судна — способности плавать с заданной осадкой, неся на себе снаружи и грузы, необходимые для нормальной эксплуатации.

На судно в спокойной воде (рис. 1, а) действуют два рода сил: сила тяжесте $\vec{P}$, которая приложена в центре тяжесте $G$ судна и направлена вертикально вниз (к центру Земли), и сила гидроstatического давления $\vec{\gamma}$, которая приложена в так называемом центре величины $C$ и направлена вертикально вверх. Под влиянием последней силы судно стремится всплыть, поэтому ее называют силой поддержания.

Если все судна большие силы поддержания, судно, естественно, тонет. Кстати, этим и хотел воспользоваться Бенито де Сото, «загружая» барка «Звезда» забортийной водой.

Для обеспечения плаучести судна в процессе его экпплатации судоводителью требуется пользоваться многими математическими понятиями и приемами вычислений. В частности, для этого нужны чертеж судна и связанные с ним коэффициенты, параметры, определение посадку судна, уравнение равновесия судна; вычисляется все судна и координаты его центра тяжесте, объемное водоизмещение и координаты центра величины, изменение углубления от приема груза; определяется число тонн на единицу осадки. И все это требует больших

и точных математических расчетов.

Вернемся теперь к заключенным в триом «Звезды». Им удалось выбитъ крышки лока. Часть триома затопило водой, судно дополнительно погрузилось. Оdnako Бениито де Сото просчитался — сила подержания оказылась достаточной для того, чтобы барк удержался на плаву. И хотя погиб капитан, который мог бы произвести необходимые расчеты и установить, что судну не угрожает непосредственная опасность потопления, часть оставшихся в живых членов экипажа знала, что при том количестве груза, которое пираты оставили на разграбленном корабле, у них оставался запас плавучести. Это их водущевляло в отчетных попытках спати барк и продолжать до того момента, когда их подобали моряки с проходившего судна, случайно оказывшегося влизи движущего по воле стихии барка.

Остойчивость и гибель «Капитана»

Остойчивость называется способностью судна, выведенного воздействием внешних сил из положения равновесия, возвращаться к нему снова после прекрашения этого воздействия.

Потеря остойчивости — скоротечный вид крушения, чаще всего приводшего к гибели не только судна, но и экипажа.

Различют продавец плавающего остойчивость судна. Набольшую опасность при плавании представляет потеря поперечной остойчивости. Наклонение судна в поперечной плоскости, перpendикулярной плоскостиватииватели, называется креном, наклонение в пополной плоскости — дифферентом.

Поясним понятие остойчивости в случае крена.

Очевидно, для равновесия плавающего судна необходимо, чтобы сила $\vec{P}$ и $\vec{\gamma}$ (см. рис. 1, а) были равны по величины, а точки их приложения лежали на одной вертикали.

При наклонении судна на какой-либо борт под действием кренящего момента $M_k$ (например, внезапного усиления ветра, как было с броненосцем «Капитан») на угол $\theta$ центр величины судна, вседствие изменения формы подводного объема судна (рис. 1, б), переместится в сторону крен из положения $C_0$ в положение $C_0$. В курсах теории устроства судна доказывается, что при малых углах крена траекторию перемещения центра величины можно принять за окружность с центром в некоторой точке $M$ (см. рис. 1, б) и радиусом $r$. Точка $M$ называется поперечным метацентром, $r$ — поперечным метацентрическим радиусом.

Тогда пара сил $\vec{P}$ и $\vec{\gamma}$, приложенных, соответственно, в точках $G$ и $C_0$, образует так называемый восстановливочный момент $M_B$. В курсах теоретической механики доказывается, что восстановливочный момент можно определить по формуле

$$M_B = |\vec{P}| \cdot |GK| = |\vec{P}|h \cdot \sin \theta,$$

где $h = r - z_G + z_C$, а $z_G$ и $z_C$ — соответственно, координаты центра тяжести и центра величины в выбранной системе координат. В соответствии с этим выражением может быть три случая крена.

1. $^\circ M_B > 0$, то есть центр тяжести лежит ниже метацентра (см. рис. 1, б). Тогда восстановливочный момент действует в сторону возврашения судна в прямое положение; судно остойчиво.

10

2°. $M_B=0$, то есть центр тяжесте совпадает с метанетом (рис. 2, а). Тогда сила тяжесте $\vec{P}$ и сила поддержания $\vec{\gamma}$ действуют по одному прямой и восстанавливающего момент не возникает. Этот случай называется случая нулевой остойчивости судна; практические судно неостойчиво.

3°. $M<0$, то есть центр тяжесте лежит выше метантора (рис. 2, б). Тогда восстанавливающий момент действует в ту же сторону, что и крепящей момент, — в сторону увеличения крена; судно неостойчиво.

При крепе судна на большой угол $\theta$ физическая сущность является не изменится, только формула для нахождения плеца $GK$ остойчивости прибретает более сложный вид.

Таким образом, остойчивость судна нужно уменьшить по определенным законам конструкции судна (именно этими расчетами инженера Рида и пренебреляли, когда приляли решение строить броненосец «Капитан»).

Но при этих расчетах конструкторы должны учитывать, что избиточно остойчивость тоже нельзя считать явлением положительным, так как судно, обладающее избыточной остойчивостью, испытывает резкую бортовую качку, что отрицательно сказывается на самочувствии и работоспособности экипажа и работе судовых механизмов.

А при эксплуатации судна каждый капитан помнит, что любое достагоно остойчивое судно неразумными действиями можно привести в неостойчивое состояние. Например, если капитан рыболовного судна, увлекшисьLOBом (такой уж богатый попался косяк!), не проследит за тем, чтобы своевременно обработать и уложить улов в триомы, на пальце скопится слишком много рыбы. Как следствие, центр тяжесте судна поднимается выше метантора и судно потрячет остойчивость.

При работе на судах следует учитывать, что при приеме и снять груза взаимное расположение центра тяжесте и центра величины меняется, что влечет за собой изменение остойчивости. Поэтому при грузовых операциях в море и в порту капитан должен контролировать и регулировать остойчивость судна. Для этого в процессе грузовых работ производят расчет остойчивости по определенным формулам и схемам, учитывая все и расположение имеющихся на судне запасов топлива, питьевой воды, балласта, пищевых запасов и принимаемого или снимаемого груза.

Непотопляемость и крушение «Титанника»

Каждео судно, естественно, должно обладать неотопляемостью, то есть способностью оставаться на плаву и не опрокидывать при затоплении части его отсеков. Другими словами, при затоплении одного или нескольких отсеков судно должно сохранять плавучесть и остойчивость.

А что служилось с получившим повреждение корпуса «Титанником»? По словам одного из оченьцев катастрофы, поначалу этот гигант показался на небольшийзыби, сияя огнями иллюминаторов и окон, лишь слегка наклонившись на нос. Затем дифферент стал резко возра-

11

стать. В воду ушли носовая часть и местик, а кормовая часть поднялась вверх. В течение нескольких минут «Титанник» стоял почти вертикально и затем ушел в глубину.

Да, плавучий остров после повреждения держался на воде лишь два часа. И случайность это потому, что в период проектирования и построки «Титанника» были нарушены основные требования непотолляемости: поперечные водонепроницаемые переборки, отделяющие один от секк от другого, не были доведены до верхней палубы, пальбные лики не обладали водонепроницаемостью. В связи с этим и имея в виду решение состоявшегося после гибели «Титанника» lonдонского суда, академик Алексей Николаевич Крылов писал: «Таким образом, вся вина целиком свалена на капитана, добавлено погибшего на своем посту, о самом же конструктивных недостатках, повреждих за собой его гибель при сравнительно небольшом повреждении, в постановлении суда не упомянут ни единим словом».

Основоположники науки о неотопляемости являются академик С. О. Макаров, академик А. Н. Крылов и профессор И. Г. Бубнов. Именно А. Н. Крылов, опираясь на идеи С. О. Макаров, разработал теоретическую сторону неотопляемости и создал таблицы неотопляемости. Кстати, в 1905 году, в период русско-японской войны, при Цусимском сражении, когда погибло три броненосца, однотипный с ними и получивший не менее повреждений

«Орел» был спасен, так как инженер механик броненосца практически использовал исследование А. Н. Крылова.

Что касается таблиц непотопляемости Крылова, позволяющих вести успешную борьбу за живучость суда, то к 1930 году они были прияты на флота уже почти всех стран мира.

Безопасность судов в наших дни

Но, быть может, достижения науки и техники в области мореплавания и судостроения существенноубавили заботы о мореходных качеств суда и, таким образом, снили значение математики? Да и необходима ли математика в других важнейших областяхповеденной работы судоводителя?

Ныне морская стихия остается такой же грозной и коварной, какой была всегда. Достижения современной науки и техники, конечно, повышили степень безопасности плавания, но, с другой стороны, резко возросли объем, разнообразие и сложность задач, которые решают морки сегоднящего дня.

Так, в начале 1982 года крупноотножное судно «Серебрянка» вел промышленное зверя среды льдов Арктики. Когда произшла внешняя подвижка пакового льда, мастерство капитана и возглавляемых им моряков позволило избежать губительных последствий, но судно получило все также две проблемы: во вспомогательном машинном отделении и в первом трех трюмов. Моряки справились с заделкой пробин. Но в процессе борьбы за живучость суда капитану и его помошник потресовалось быстро произвести многочисленные сложные и точные математические расчеты, показывающие, что именно необходимо сделать для уменьшения опасного дифферента в случае затопления поврежденных отсеков (разумется, с учетом распределения имеющегося на судне груза).

К сожалению, во многих странах мира обеспечение безопасности су-

12

дов и борьба за живучеть судна
далеко не всегда осуществляются
испешно. По данным ассоциации
«Институт оф Лондон андерай-
терс», объединяющей свыше 100 стра-
ховых компаний, в 1979 году
мировой торговый флот попесные
большие потери за время существ-
ования судоходства. И почти все
погибшие суда пребывали под опекой
страховых компаний капиталистических государств. Наваанная ассоциация резко критикует судовладельцев,
которые «…грубо нарушают инструкции и не соблюдают элементарные нормы безопасности, практические неуделяют внимание профессиональной подготовке судовых экипажей».
Широко известное стraxовое общество «Регистр судоходства Лойда» еще раньше обращалось к контактруюшим с ним судовладельцам с отчаянным признаком всемерно успешить теоретическую и практическую подготовку. моряков, особенно судоводительей. Указанное стraxовое общество вынуждено было обратиться и неосредственно к морякам: «Учитесь!
Постоянно учитесь, если не желаете поконтся на дне! Курс по имени Техническое Невежество ведет к кастрофе!»
Безусловно, математика является основополагающим фундаментом учebы судоводителя и вообше моряка. Об этом уже говорилось, когда затрагивались такие мореходные качества судна, как плаучесть, остойчивость и непотопляемость. Знание математики необходимо и для того, чтобы владеть мореходной астрономией.
Без математики невозможно освить и успешно эксплуативовать технические средства судовождения.
Продолжать дальнейший перечень нет смысла.
Упоминавшийся выше академик А. Н. Крылов, математик и карабел, сказал о своей специализации, что она — «… приложение математики к различным вопросам морского дела». Точно так и судоводителя!

Рис. 3.

12

13

Вспышивающие рентгеновские звезды

Доктор физико-mатематических наук
А. Д. ЧЕРНИН

В 1975 году группа советских астрономов сообщила о наблюдении коротких и мощных всплесков космического рентгеновского излучения. Вскоре американские учены обнаружили вспышки рентгеновского излучения в центре одного из звездных скоплений нашей Галактики. Так началась история исследования барстеров — вспышивающих рентгеновских звезд. Их название происходит от английского слова burst, что значит взрыв, вспышка. Сейчас известно более 30 таких звезд; 8 из них принадлежат звездным скоплением.

To, что звезды способны излучать не только видимый свет, но и рентгеновские лучи, выяснили в последние 15—20 лет, когда появились специальные рентгеновские телесоны, выносимые на высоких баллонах, ракетах, спутников за пределы земной атмосферы (которая не пропускает к нам космическое рентгеновское излучение). Космические источники испускают рентгеновские лучи в области длины волн от $10^{-8}$ до $10^{-10}$ м. Кваныты, соответствующие этому диапазону электромагнитных волн, имеют энергию от 0,1 до 30 кэВ или от $10^{-17}$ до $3 \cdot 10^{-15}$ Дж.

Барстеры — нейтронные звезды

Нарастиние блеска барстера*) проискодит за время от нескольких долей секунды до десяти секунды. Затем во время от нескольких секунды до нескольких минут блеск убивает до исходного уровня, и новая вспышка проискодит через несколько часов или несколько дней (рисунок 1). Некоторые барстеры иногда «выключаются» на недели и места,

*) Говоря о нарастинии блеска барстера, мы имеем в виду нарастиние мощности рентгеновского излучения, испускаемого барстером. И дальнейшее, говоря о невидимом для глаза рентгеновском излучении, мы будем пользоваться теми же привычными терминами, что и для видимого свет.

Рис. 1. Типичная зависимость светимости барстера от времени.

14

а затем снова «оживают», опять дают рентгеновские всышки. Почти всегда всышки барстеров происходят на фоне неисчезаюшей, хотя и несколько меняющейся со временем, рентгеновской светимости.

Расположение барстеров на небе и неxaотично, и неравномерно. Большинство их сосредоточено в направлении на центр Галактики, и их тем больше, чем близке к центру (рисунок 2). Это обстоятельство служит очень灵敏ным указанием на то, что барстеры принадлежат нашей Галактике. Более того, отсюда следует, что типное расстояние до барстера близко к расстоянию от нас до центра Галактики — это 10 кпс, или $3 \cdot 10^{20}$ м.

Сигналы, принимаемые рентгеновскими телесопами во время всышек разных барстеров, различаются по энергии приближительно в десять раз. Значания плотности потока энергии, то есть энергии, приходящей на единицу поверхности в единицу времени, лежат в пределах $F = (3 \cdot 10^{-11} \div 3 \cdot 10^{-12}) \text{ Дж}/(\text{м}^2 \cdot \text{с})$.

Знача расстояние до источника — $R = 3 \cdot 10^{20}$ м, можно найти его светимость, то есть полную энергию, излучаемую источником в единицу времени во все стороны:

$$L = 4\pi R^2 F = (3 \cdot 10^{30} \div 3 \cdot 10^{31}) \text{ Дж}/\text{с}.$$

Энергия, излучаемая барстером за время всышки, получается умножением светимости $L$ на дительность всышки $\Delta t$: (здесть для дительности всышки $\Delta t$ приято среднее значение 10 с).

Таким же способом нахождение и фоновая, неисчезаюшая светимость барстера. Ее значание приближенно одинаково для всех барстеров: $L_0 \approx 10^{30} \text{ Дж}/\text{с}.$

Для понимания природы барстеров очень важно то обстоятельство, что во время всышки барстер светится так, как светилась бы поверхность тела, нагретою до температуры от десяти до тридцати миллионов градусов. Это установлено по виду спектра рентгеновского излучения барстера, то есть по характеразии излучаемой энергии от длины волны$^*$). Средняя энергия $\varepsilon$ излучаемого кванта связывана с температурой $T$ тела приближенным соответствием $\varepsilon \approx kT$, где $k = 1,4 \cdot 10^{-23} \text{ Дж}/\text{K}$ — постоянная Больцмана. При температуре $T = (1 \div 3) 10^7$ К значение $\varepsilon \approx (1 \div 4) 10^{-16}$ Дж действительное лежит в интервале энергии, характерных для рентгеновских лучей.

Согласно одному из законов термодинамики — закону Стефана — Больцмана, поверхность тела, нагретою до температуры $T$, излучает в единицу времени с единицы площади количество энергии, пропорциональночестве температуры тела: $W = \sigma T^4$. Коэффициент пропорциональности $\sigma = 5,7 \times 10^{-8} \text{ Дж}/(\text{m}^2 \cdot \text{с} \cdot \text{К})$ называют постоянной Стефана—Больцмана. Шар ридуса $r$ имеет площадь поверхности $4\pi r^2$; эта поверхность, если она нагрета до температуры $T$, создает светимость

$$L = \sigma T^4 \cdot 4\pi r^2.$$

С помощью этой формулы и на основании данных о температуре

$^*$) На различных участки спектра излучающего тела приходятся разные доли излучаемой энергии. Максимум энергии приходится на определенный интервал длины спектра. Чем выше температура тела, тем дальше смегается максимум в области малых длины волны. По тому, на какую длину волны приходится максимум излучаемой температуры, можно судить о температуре тела.

17

один за другим без какой-либо четкой периодичности, ознакомает, оценindo, что механизм вспышек не связан ни с собственным врашением нейтронной звезды вокруг оси, ни с ее периодическим орбитальным движением в двойной звездной системе. Иначе барстеры были бы таким же хорошо часами, как пульсары.

Причина вспышек — в тех превращениях, которые испытывает вещество, выпавшее на поверхности нейтронной звезды.

Захваченное барстером вещество звезды-компанона имеет общий звездный химический состав: (70—75)% водорода (по массе), около (25—30)% геля, приблизительно 1% более тяжелых элементов. При ударе о поверхности нейтронной звезды газ сжимается и разогревается до такой степени, что становится возможным термоядерные реакции превращения водорода в гелий — также же, как и в недрах Солнца и других «объичных» звезд.

Выделяющаяся в реакциях энергия добавляется к той энергии, которую сообщает поверхности звезды аккреции. Эта добавка, однako, не очень велика. Действительно, в ядерных превращениях — пусты даже до полного «сгорания», то есть превращения водорода в железо,— выделяется не больше чем 0,01 $c^2$ энергии на единицу массы вещества. Поэтому энергия, выделяемая в единицу времени при термоядерном горении аккретируемого вещества, не превышает величины 0,01 $c^2 j$. Сравнивая это с нашей оценкой кинетической энергии аккретируемого вещества, найдем, что термоядерные реакциидают приок энергии, который приближительно в тридцать раз меньше энергии аккреции.

Важнее здесь другие. В результате термоядерных реакций горения водорода на поверхности нейтронной звезды образуется слой геля. Оказывается, именно в слое геля и развиваются процессы, вызывающие вспышки.

Более 30 лет назад Л. Э. Гуревич и А. И. Лебединский, разработавая теория поздних стадий эволюции звезд, обнаружили, что при определенных условиях на звездах могут произойти термоядерные взрывы. В звезде, исчерпавшей ядерное горючее в своей центральной области, чаще всего имеются близкие к поверхности слоя, где вещество еще богато водородом, гелем и других легкими элементами. Представим себе ситуацию, когда температура в этих слоях веса высока, но все же не достаточно для протекания ядерных реакций. Пусть, далее, по какой-либо причине температура в одном из этих слоев повышается и оказывается вдруг выше критического предела, с которой становится возможным ядерное горение. Что будет произходить дальше?

Очевидно, научится ядерные реакции с выделением теплла. Но будет ли температура слоя оставаться достагоно высокой? Повысистия ли она или понизится? Это зависит от соответствии между темперами выделения теплла в ядерных реакциях и темперамотов теплла из слоя наружу. Если теплло уходит из слоя очень быстро, почти мгновенно, то ясно, что, едва начавшись, ядерные реакции тут же и затухнут, так как температура слоя сразу понизится и становится критической.

Иной результат следует ожидать в случае, если теплло, выделяемое при ядерных реакциях, не успевает быстро покидать слой, так что происходит дальнейшее его температуры. С повышением температуры ядерные реакции протекают все эффективнее, быстро растет выделение теплла, и в результате температура слоя продолжает нарастать. Но тогда ядерные реакции почти утесъются, приок теплла повышается и т. д. Можно сказать, что процесс ядерного энерговыделения развивается в этом случаелавиновбазно, поддерживая иускоряя сам себя. А это — взрыв. В случае ядерного энерговыделения звезды этот процесс развивается потому, что скорость ядерных реакций очень быстро витлена к температуре: чем выше температура, тем эффективнее ядерные реакции, тем быстро выделяется теплло.

Об этом явлении вспомнили сразу же, как только были открыты барстеры; астроономы разных стран были

19

Рис. 3. Схема рентгеновского пульсара (аккреция в магнитном поле, излучение горячих пятен). 1 — силовые линии магнитного поля; 2 — ось врачиния нейтронной звезды; 3 — магнитная ось звезды; 4 — частцы висества, падающие к магнитным полюсам; 5 — горячие пятна у полюсов.

Рис. 4. Схема барстра (аккреция, нагрев и излучение со всей поверхности).

ну звезд. Все 124 известных шаровых скопления Галактики содержат чуть больше Sta миллионов звезд, что составляет одну тысячную полного числа звезд Галактики. Отсюда видно, что барстра определяно предпочтают возникать среди звезд шаровых скоплений. Причину этого предпочтения еще предстоит понять. Почему нейтронная звезда проявляет себя в одних случаях как барстра, а в других — как пульсар?

Или иначе: почему барстер не пульсирует, а пульсар не вспыхивает?

Полягают, что рентгеновские пульсары тоже входят в тестиые двойные системы с переtekанием вещества и аккрецией. Возможно, в этом случае значительное роль играют магнитные поля. Магнитное поле нейтронной звезды, если оно достаточно сильное (в $10^{12}$ раз сильнее среднего магнитного поля Солнца, равного $10^{-4}$ Тл), способно изменять характер аккреции — вещество направляется полем преимущественно к магнитным полюсам звезды. Из-за этого нагрев оказывается неравномерным: у полюсов температура значительное выше, чем на всей остальной поверхности звезды. Горячие пятна у полюсов и создают главным образом, излучение (вспомним, что светимость сильно зависит от температуры, она пропорциональна ее четырёхстепи). Если звезда быстро вращается и при этом магнитная ось наклонена к ее оси вращения (рисунок 3), то возникает эффект маяка: яркое пятно то видно, то не видно наблюдаемого, и излучение представляется прерывистым, пульсирующим.

Магнитное поле барстра, верятно, слабее, чем у пульсара; оно не влияет на аккрецию, которая проискдает более или менее равномерно по всем направлениям, так что все поверхности нейтронной звезды прогревается одинаково и одинаково излучает (рисунок 4). Тогда вращение звезды, которое и здесь может быть быстрым, не проявится в излучении. Если так, то становится понятным, почему барстер не пульсирует. Но почему на пульсар не проискдает всышки? Предполагают, что магнитное поле, управляющее аккрецией, способно каким-то образом предотвращать термодержные всышки на поверхности нейтронной звезды.

Эти догадки и гипотезы еще предстоит проверить дальнейшим теоретическими расчетами и астроономическими наблюдениями.

20

Погода
считается с топологически

Теорема
Борсука —
Улама

или
Кое-что о погоде,
о дрессированной лошади
и двумерных полях

Член-корреспондент АН УССР
М. Г. КРЕЙН,
кандидат физико-математических наук
А. А. НУДЕЛЬМАН

Погода капризна и своенравна. Параметры, описывающие ее (например, давление, температура, влажность), непрерывно изменяются с течение времени и при переходе из одной местности в другую. На картах погоды изготовы и изобары могут иметь самые прихотливые (и, увы, не всегда предсказуемые) формы. И тем не менее, как бы причудливо ни выглядела карта погоды земного шара, имеет место

Теорема о погоде. В каждой момент времени на Земном шаре имеется пара диаметрально противоположных точек («антиподов»), в которых одинаковы как температура, так и давление.

Это утверждение, облеченное в «метеорологическую» форму, на самом деле отражает не свойства земной атмосферы, а свойства функиций, определяемых и непрерывных на сфере. Она относится к топологии — отдельу математики, которые, в частности, занимается изучением свойств функиций, или наборов функиций, непрерывных на тех или иных множествах.

Некоторые свойства таких функиций определяются структурой множества, на которых они непрерывны. Например, для числовых функиций, изучаемых в школе, справедлива геометрическая оценная.

Теорема о нулеве функиции. Если функиция f непрерывна на отрезке [a; b] и на его кончках принимает значение противоположных знаков, то между a и b есть такая точка x₀, в которой f(x₀) = 0.

Мы не приводим доказательства этой наглядно очевидной теоремы, поскольку оно, как это нистрано, не элементарно.

Для справедливости теоремы о нулеве существены как непрерывность функиции (почему?), так и то свойства отрезка, которое называется связываностью

21

(в отрезке нет «пробелов», «просветов»). Так, функция $f(x) = \sqrt{(x^2 - 1)(4 - x^2)} + 2x$ непрерывна на своей области определения $[-2, -1] \cup [1, 2]$ отрицательна на $[-2, -1]$ и положительная на $[1, 2]$, а в нуль она не обращается ни в одной точке.

В этой стате расссказывается о некоторых свойствах пар функции, определенных и непрерывных на сфере. Но научем мы с более простого случая — с одного неожиданного свойства функции, непрерывных на окружности.

Случай окружности: без рассированной лошади

Пусть цикровая лошадь по команде рассировщика плавано начинает бег по окружности аренды из точки $A$ и, заканчивая оборот, плавано оставливается в этой же точке. Окзывается, как бы ни изменялась ее скорость во время бета, можно указать две диаметрально противоположные точки аренды, в которых скорость лошади имеет одно и то же значение.

Разумеется, дело здесь не в рассировке лошади (которую мы в дальнейшем представляем себе в виде точки), а в свойстве непрерывных функции, о котором сейчас понятет речь.

Будем определять положение лошади $J$ на окружности с площадью угла $\Theta$ ($0 \leq \Theta \leq 2\pi$), который радиус $OJ$ образует с радиусом $OA$, проведенным в начальном точку (рис. 1); соответствующое значение скорости обозначим через $v(\Theta)$. Подразумеется, что функция $v$ непрерывна на $[0; 2\pi]$ (движение и остановки — плавные), по условию $v(0) = 0$, $v(2\pi) = 0$. Точка $J'$, диаметрально противоположной точке $J$, при $0 \leq \Theta \leq \pi$ отвечает угол $\Theta + \pi$. Требуется доказать существование та-

Рис. 1.

кого $\Theta_0 \in [0; \pi]$, для которого $v(\Theta_0) = v(\Theta)$.

Рассмотрим функцию $u(\Theta) = v(\Theta + \pi) - v(\Theta)$. Нам надо найти такое $\Theta_0 \in [0, \pi]$, для которого $u(\Theta_0) = 0$. Функция $u$ непрерывна на отрезке $[0; \pi]$ (как разность непрерывных функций) и на концах этого отрезка ее значения $u(0) = v(\pi) - v(0) = v(\pi)$ и $u(\pi) = v(2\pi) - v(\pi) = -v(\pi)$ либо имеют противоположные значки (если $v(\pi) \neq 0$, либо равны нулю (если $v(\pi) = 0$). В последнем случае $\Theta_0 = 0$; если же $v(\pi) \neq 0$, то существование $\Theta_0$ вытекает из теоремы о нуле.

Легко понять, что для доказательства несуществования неотрицательности функции $v(\Theta)$ (обегая арену, лошадь может время от времени двигаться в обратном направлении) и условия $v(0) = 0$, $v(2\pi) = 0$, существенно лишь равенство $v(0) = v(2\pi)$ (точку $A$ лошадь может пройти с разгона; важно, чтобы она вернулась в эту точку с той же мгновенной скоростью).

Очевидно, что $v$ можно рассматривать как функцию не числа $\Theta$, а точки $J$, поэтому доказанную теорему можно сформулировать еще следующим образом:

Теорема «о лошади». Если неоторая функция определена на окружности и непрерывна на ней, то найдется две диаметрально противоположные точки окружности, в которых эта функция принимает одинаковые значения.

Mathematical formulas for theorems on paths

Переведем на математический язык теорему о погоде. В данной момент времени каждой точке $P$ земной поверхности $S$ ставятся в соответствие два числа — давление $f(P)$ и температура $g(P)$ в этой точке. Тем самым на сфере $S$ определены две функции, которые предполагаются непрерывными на $S$ — при малых изменениях положения точки $P$ значения этих функций изменяются мало.

Точное определение непрерывности функции на произвольном точном множестве $X$ (просположном на прямой, в плоскости или в пространстве) можно сформулировать так:

22

функция $\varphi$ называется неперрывной в точке $P_0 \in X$, если для любого $\varepsilon > 0$ можно указать такое $\delta > 0$, что для каждой точки $P \in X$, удаленной от $P_0$ на расстояние, меньше $\delta$, имеет место неравенство $|\varphi(P) - \varphi(P_0)| < \varepsilon$; функция неперрывна на множество $X$, если она неперрывна в каждой точке этого множество.

Условимся антипод точки $P \in S$ обозначает через $P'$ ($P$ и $P'$ — концы одного и того же диаметра сферы).

Отвлекаясь от «метеорологического» смысла функций $f$ и $g$, формулируем теорему в общем виде:

Теорема Борсука — Улама а*). Если функция $f$ и $g$ определяны и неперрывны на сфере $S$, то на этой сфере найдется диаметрально противоположные точки $P_0$ и $P'_0$, в которых $f(P'_0) = f(P_0)$ и $g(P'_0) = g(P_0)$.

Введем две функции $F(P) = f(P') - f(P)$ и $G(P) = g(P') - g(P)$. Обе они неперрывны на $S$ и обладают свойством антисимметрии; $F(P') = -F(P)$, $G(P') = -G(P)$, так как, например, $F(P') = f((P')') - f(P') = f(P) - f(P') = -F(P)$. Для точек $P_0 \in S$, в которых $f(P'_0) = f(P_0)$, $g(P'_0) = g(P_0)$, и только для таких точек $F(P_0) = 0$ и $G(P_0) = 0$.

Следовательно, теорема Борсука — Улама вытекает из следующей теоремы:

Теорема об обшем нуле. Если функция $F$ и $G$ неперрывны на сфере $S$ и обладают свойством антисимметрии, то на сфере $S$ найдется точка $P_0$, в котором обе функции равны нулю: $F(P_0) = G(P_0) = 0$.

Teorema о нулях векторных полей

Теорема о нуля дает достаточно условия, при выполнении которых функция, неперрывная на отрезке, имеет на отрезке «нуль». Сейчас будет рассмотрен теорема, дающая признак существования общего «нуля» у двух функций, неперрывных на круге.

Пусть каждой точке $Q$ некоторого плоского множества $K$ (у нас это чаще всего будет круг) поставлен в соответствии неокторный вектор $\vec{a}(Q)$, лежащий в той же плоскости. В этом случае говорят, что на множество $K$ задано двумерное векторное поле (рис. 2). Вектор в плоскости задается с помощью двух координат, поэтому задание двумерного векторного поля равносильно заданию двух функций: $\vec{a}(Q) = (x(Q); y(Q))$.

Векторное поле называется неперрывным в точке $Q_0$, если в этой точке неперрывны обе функции $x(Q)$, $y(Q)$; поле неперрывно на данной множестве, если оно неперрывно в каждой точке. Векторное поле называется вырождным в множестве $K$, если для некоторой точки $Q_0 \in K$ вектор $\vec{a}(Q_0)$ — нульвой. Нам нужны достаточные условия вырождности неперрывного на круге векторного поля.

Мы сначала даим векторное истолкование теоремы о нulle. На прямой вектор задается одной координат. Поэтому задание на отрезке функции можно использовать как задание одномерного векторного поля (состоящего из векторов, которые расположены на одной прямой), и теорему о нulle можно сформулировать так:

Теорема о нуля одномерного поля. Если она отрезке задано неперрывное одномерное векторное поле, причем на концах отрезка соответствующие векторы имеют противоположные направления, то это поле вырожденное (рис. 3, а).

На случай двумерного поля эта теорема обобщается следующим образом:

Теорема о нуля двумерного поля. Если на круге задано неперрывное двумерное векторное поле, причем в любых диаметрально противоположных точках его окружности соответствующие векторы имеют противоположные направления, то это поле вырожденное (рис. 3, б).

Как и одномерная теорема о нulle, эта теорема доказывается средствами, выходящими за рамки школьного курса. Но в то время как в теореме о нуля одномерного поля это компенсировалось наглядно, о двумерной теореме этого нельзя сказать. Поэтому мы приведем «праводопобное рассужждение», которое мы надеемся, убедит читатель в справедливости этой теоремы.

23

Пусть $O$ — центр круга $K, r$ — его радиус. Граничную окружность круга $K$ образнаим через $C$, а через $C_u$ образнаим концентрическую окружность радиуса $ar(C = C_1)$. Пусть $\vec{a}$ — непрерывное векторное поле на $K$.
Если $\vec{a}(Q) \neq 0$ для всех $Q \in C_u$, то при движении $Q$ по $C_u$ вектор $\vec{a}(Q)$ будет как-то поворачивать. Обозначим через $v(C_u)$ количество оборотов против часовой стрелки, которое совершает вектор $\vec{a}(Q)$, приложенный к фиксированной точке $I$, когда точка $Q$ пробегает окружность $C_u$ один раз против часовой стрелки$^*$). Целое число $v(C_u)$ может быть положительным, нулем или отрицательным.
Уточним, что если в процессе движения $Q$ по некоторой дуге окружности $C_u$ вектор $\vec{a}(Q)$ сделает несколько оборотов против часовой стрелки и столько же оборотов по часовой стрелке, то при подсчете $v(C_u)$ эти обороты «взаимно уничтожаются».
Советуем читателю найти $v(C)$ для полей, показанных на рисунке 4 (поле скоростей врашающего круга и поле, образованное паралельным переносом).

Пусть $\vec{a}(Q), Q \in K$ — векторное поле, удовлетворяющее условием теоремы. Рассуждая от противного, предположим, что $\vec{a}(Q) \neq 0$ для всех $Q \in K$. Тогда, в частности, $\vec{a}(Q) \neq 0$. В силу непрерывности поля, выззи 0 все векторы $\vec{a}(Q)$ мало отличаются по направлению от $\vec{a}(0)$. Значит, при малом $\varepsilon_0 > 0$ имеем $v(C_{\varepsilon_0}) = 0$ (см. рис. 5 — так как на $C_{\varepsilon_0}$ векторы направлены «почти так же», как $\vec{a}(0)$, вектор $\vec{a}(Q)$ не совершенно увеличивать $\varepsilon$ до крайнего значения $\varepsilon = 1$. Так как $\vec{a}(Q) \neq 0$ всюду, число $v(C_{\varepsilon})$ определяено для всех значений $\varepsilon, 0 < \varepsilon \leq 1$, то есть $v(C_{\varepsilon})$ — всюду определенная на $(0, 1]$ функция от $\varepsilon$. Эта функция непрерывна (так как нашей поле непрерывно) и принимает лишь цель значения. Но целочисленная функция изменяется только

*) Читательям, ознакомившимся со статей С. В. Матвеев в «Кванте», 1983, № 4, советуем сравнить это число с «инвариантом $V$».

24

ко скачами (по величины $\geqslant 1$), она либо разрывна, либо постоянна. Значит, в нашем случае $v(C_\varepsilon) = \text{const}$, откуда $v(C) = v(C_{\varepsilon_0}) = 0$.

Возьем теперь на окружности $C$ неокторуто точку $A$ и диаметрально противоположную ей точку $A'$ (рис. 6). Так как направления векторов $\vec{a}(A)$ и $\vec{a}(A')$ противоположны, при движении точки $Q$ по полукружности $AmA'$ от точки $A$ до точки $A'$ вектор $\vec{a}(Q)$ совершает нечетное число полуборотов. При дальнейшем движении точки $Q$ по полукружности $A'nA$ от $A'$ к $A$ вектор $\vec{a}(Q)$ совершит такое же (и притом в том же направлении) число полуборотов. Следовательно, $v(C)$ есть нечетное число, что противоречит доказанному равенству $v(C) = 0$ и завершает наше рассужждение.

Доказательство теоремы об общем нуле

Итак, пусть на сфере $S$ заданы непрерывные функции $F$ и $G$, обладающие свойством антисимметрии $F(A') = -F(A)$, $G(A') = -G(A)$.

Проведем через центр $O$ сферы $S$ какую-либо плоскость. Круг, получившийся в сечении, обозначим через $K$, а его окружность — через $C$. Введем в секущей плоскости какую-нибудь прямогольную систему координат с началом $0$ и каждой точке $Q \in K$ поставим в соответствии вектор $\vec{a}(Q)$ с координатами $F(P)$ и $G(P)$, где $P$ — та точка верхней полусферы, которая проектируется в точку $Q$ (рис. 7). Предоставляем читателю убедиться в том, что полученное векторное поле непрерывно на $K$. В силу свойства антисимметрии на сфере функций $F$ и $G$, для всех $Q \in C$ будем иметь

$$\vec{a}(Q) = -\vec{a}(Q')$$

По теореме о нулевому поля найдется точка $Q_0 \in K$, в котором $\vec{a}(Q_0) = \vec{0}$. Это значит, что $F(P_0) = 0$, $G(P_0) = 0$, где $P_0$ — точка сферы, проектирующая в точку $Q_0$. Теорема доказана.

Одно географическое следствие

Из теоремы Борсука — Улама вытекает одно следствие, огорчительное для географов. Положение точки на земном шаре принято указывать с помощью географических координат — широты $\theta$ и долговы $\varphi$. Их можно рассматривать как функции точек земной сферы. В этой системе координат особое положение занимают полюсы: широта у каждой из них $90^\circ$ (северная или южная), а долгову можно приписать любую. Поэтому, если дивгаться, скажем, к северному полюсу по одному meridianу, а достигнуть его, продолжить движение по любому другому meridianу, то при этом непрерывном движении широта будет изменяться непрерывно, а долгова — испытает скачок. Если условиться приписывать знак «плюс» восточной долгите и знак «минус» — западной, то долгова испытывает скачок и при переходе из западного полушария в восточное черте meridianан, являющийся антиподом гривничского meridiana. Возникает вопрос: нельзя по всей поверхности сферы ввести координаты так, чтобы они были непрерывными функциями соответствующей точки сферы? При этом, естественно, не должно быть разных точек с одинаковыми параметрами координат.

25

Согласно теореме Борсука — Улама, это невозможно. Действительно, если бы на сфере S были бы заданы непрерывные координаты x(P) и y(P)(P∈S), согласно этой теореме, нашлись бы даже антиподы P₀, P’₀∈S, в которых x(P)=x(P’₀), y(P₀)=y(P’₀).

Некоторые обобщения

Если вымательно проанализировать ход доказательства теоремы «о лошади», можно обнаружить что не так уж важно to обстоятельство, что точки Л и Л’ — диаметрально противоположные. Все рассуждания сохраняют силу, например, тогда, когда вместо центра O взят произвольную внутреннюю точку O₁ круга и под Л и Л’ попimatь концы хорды, проходящей через O₁. Аналогично можно поступить и с теоремой о нулевому поля, и с теоремой Борсука — Улама (рис. 8). Здесь важно то, что при новом определении точки P’ сохраняется свойство (P’’)=P.

Всякое непрерывное отображение P→P’, обладающее этим свойством, называется инвольцей. Советский математик А. Фет, использует тонкие и сильные средства топологи, обнаружил, что теорема Борсука — Улама (далее в ее п-мерном варианте) остается в силу, если на сфере S задана произвольная инвольця P→P’. Вот точная формулировка этого утверждения для трехмерного пространства:

Пусть на сфере S задана произвольная инвольця P→P’. Для каждой пары непрерывных на S функций f(P) и g(P) найдется точка P₀∈S такая, что f(P’₀)=f(P₀), g(P’₀)=g(P₀).

Читатель, у которого появилось желание более подробно ознакомиться с основными понятиями топологи, мы рекомендуем прочесть превосходно написанную популяриную книгу Н. Стинрода и У. Чинна «Первые понятия топологи» (М., Мир, 1967) *. В этой книге имеется более полное и строгое доказательство теоремы Борсука — Улама, а также ряд других «аппетитных» теorem (например, «теорема о блинах», «теорема о разрезании с ветчиной»).

*) См. также книгу В. Г. Болтянского и В. А. Ефремовича «Наглядная тополгия» (М., Нayka 1982).

Наш календарь

Законы электролиза

В самом начале 1833 года Фарадей сообщил Лондонскому Королевскому обществу о проведенных им экспериментах, впервые доказавших точественное различных видов электречента — «объикновенно», возникало в результате треня, zalванического, термозлектричества, электречента, получаемого индукционным способом, и так называемого животного электречента (обнаруженного у некоторых рыб и морских животных). Суть доказательства состояния в демонстрации одинаковости «действий», произвольных электречентов различного процессовления.

В числе прочих действий (таких, например, как телловое, физиологическое или магнитное) Фарадей исследовал и химическое действие. Это исследование привело его к выводу, получившего в последствии название первого закона Фарадея для электролиза: химическое действие электреченного тока прямо пропорционально абсолотному количеству прохождения электречента (естественно, что формулировка Фарадея несколько отличия от современной). Закон был формулирован на основе целой серии тщательного продуманных и мастерских проведенных опытов, в ходе которых Фарадей открыл еще один закон, называемый теперь вторым законом Фарадея: электрохимические эквиваленты соответствуют химическим эквивалентам.

Писать отчет об этих экспериментах Фарадей закончил 31 декабря 1833 года, а опубликовал его уже в 1834 году. Вот почему и позднее пишут, что законы Фарадея были открыты в 1833, а иноед — в 1834 году.

Установить точные количественные законы электролиза в те времена было делом не простым. Фарадея сумел это сделать, во многих случаях изобретением им прибору — волтазлектрометру, который впервые позволил изменить количество электречента.

Заметим также, что именно при описании этих исследований Фарадея в физике также привились и необходимые для нас сейчас термины, как электролит, электролиз, аод, катод, катон и т. д.

Помимо того, что законы Фарадея легли в основу электрохимии, они съедали очень важно роль в истории развития физики: впервые на мысль о дискретной природе электречента, о существовании «атома электречента» (по-современному — электрона).

26

Что служилось с лампочной?

Кандидат физико-математических наук
А. Н. ПЕГОЕВ

Конечно, перегорание лампочки — собственные мелкое. Пожалуйста, даже слово «событие» здесь кажется несовсем уместным. Однако разговор о том, почему и как разрушаются нити в лампах накаливания, волне достонн внимания.

Наша промышленность выпускает миллиарды ламп в год. Прослужив по нескольку сотен или тысячи часов, все они перегорают, вызывая у одних легкую досаду, а у других удивление и любопытство. Иногда вид перегорающей лампочки задачает даже опытного электрика.

Но прежде чем говорить о перегорании ламп, несколько слов об их устройстве. Главная деталь лампы (рис. 1) — тело накаливания. Объчно это волфрамовая нить в форме спирали или двойной спирали. Концы нити соединины с концами вводов. Вводы средней частью закреплены в стеклянной лопатке. Нить поддерживает вводами и проводчными держателями, последние вяны в стеклянный штенгель. Эта конструкция размешается в стеклянной колбе. К колбе приклеен циколь, к контактом которого припаяны наружные концы вводов. Их диаметр несколько меньше, чем диаметр внутренней части вводов. Внутри циколя находится носик — запаяный конец стеклянной трубочки, через которого открывается воздух из колбы. В некоторых видах ламп колба направляется инертным газом (аргоном, криптом), иногда с добавлением галотенов.

Нить накаливания — самый неадежный элемент лампы. Ток, протекающий через нить, нагревает ее почти до 3000 К. Повышение напряжения на 15% от номинального приводит к быстрому разрушению нити. Далее повышение напряжения на 1% снижает срок ее службы на 15%, хотя и повышает светотдачу на 4%.

Как уже говорилось, вид перегорающей лампочки может вызвать удивление, а иногда может и задачить. Выделим по внешним признакам несколько видов разрушения ламп, формулируем соответствующие вопросы, а затем и ответим на них.

Жизнь большинства ламп заканчивается после длительного горения. В последнее мгновение свет мерцает, может измениться его цвет, иногда слышится тихое гудение, и нить разрывается.

Вопрос 1: почему после длительного экрана участок нити, тогда как остальная часть нити еще работает нити, обычно около ввода.

В быту до четверти ламп перегорает в момент включения. Сразу после замыкания цепи лампа ярко вспышивается и гаснет. Характерно, что разрушается нескольной участок нити, обычно около ввода.

Вопрос 2: почему в момент включения, когда температура нити еще не достигала рабочого значения, возвращается вероятность перегорания нити?

Иногда перегорание нити при включении сопровождается вспышкой в цикле. При этом перегорает один из вводов в нарушенной его части, а на стекле колбы осаждается испарившийся металл. Колба может отключаться от циколя и повисать.

Рис. 1. Лампа накаливания в разрезе.

27

нуть на ущелевшем вводе. (В этом случае можно вывинуть циколь из патрона, захватив край циколя концами бокорезов с изолированными ручками.) Такая картина понятие не может не удивить. Во-первых, электронная цепь разрушилась в двух местах — нить и ввод. Во-вторых, перегорел ввод, у которого ток плавления значительное больше, чем у нити (это видно хотя бы из того факта, что в рабочем режиме один и тот же ток раскаляет нить и почти не нагревает вводы). Парадокс здесь такой же, как будто мы потянули за слабый шнурок и порвалели его, но при этом порвалась еще и прочная вервка, к которой привязан шнурок (рис. 2).

Вопрос 3: по какой цепи протекает ток, разрушающий ввод?

В некоторых случаях (это касается, в основном, мощных ламп) при включении лампы разправляется значительная часть нити накаливания. Капли вольфрама проплавляют колбу лампы (а иногда и стеклянный плафон), стекло трескается и с гросотом падает. Застывшие капли вольфрама, их обугленные следы, нерасплавленные кусочки нити можно найти на предметах, находившихся под лампой.

Вопрос 4: почему при перегорании лампы ток возрастает настолько, что может разправиться значительный участок нити?

Желающие могут попытаться самостояльно ответить на эти вопросы и лишь после этого прочитать приведенные ниже ответы.

---

Ответ на вопрос 1. Причину разрушения малого участка нити естественно искать в том, что нить не может быть абсолотно однородной. Представим нить как последовательное соединение небольших участков, изображенных на схеме в виде резистиров с сопротивлением $R_i$ каждый (рис. 3).

Электрическое сопротивление участка нити определяется его длиной $l_i$, диаметром $d_i$ и удельным сопротивлением материалов $Q_i:R_i = 4Q_i l_i / (\pi d_i^2)$. Выберем длины участков одинаковыми и будем считать одинаковыми удельные сопротивления всех участков, тогда разлиние в сопротивлениях будет связано только с разлинием в диаметрах участков. Путь по нити протекает ток $I$, который определяется приложенным к нити направлением $U$ и сопротивлением нити $R$ (то есть суммой сопротивлений всех участков): $I = U/R$. На каждом участке выделяется мощность $P_i = I^2 R_i$. При установившем теперь режиме эта мощность расходуется на световое и тепловое излучение, а также на отвод тепла по соседним участкам и вводам и через газ в колбе.

29

ратура нити $T_2$ почти 3000 К, то, сразу после включения сопротивление нити приблизительно в 10 раз ниже, чем в разогретом состояния. Следовательно, в начальной момент ток, протекающий через нить, превышает номинальное значение почти в 10 раз (рис. 4). Затем по мере разогрева нити сила тока уменьшается.

Само по себе повышенное значение тока не разрушает нить, но создает предпосылки для временного перегрева отдельных ее участков. Действительно, слабый участок нити с уменьшенным диаметром, как мы уже выяснили, обладает повышенным сопротивлением, на нем выделяется повышенная мощность. В неустановившемся режиме мощность расходуется, помимо излучения и теплотвода, на нагрев нити. Поскольку тепломкость слабого участка понжена по сравнению с другими участками, а мощность повышена, этот участок разогревается быстро, чем остальные. Это, в свою очередь, приводит к увеличению сопротивления слабого участка и к дополнительномуускорению разогрева. В результате его температура достигает рабочого уровня раныше, чем разогреется вся нить. В этот момент ток еще превышает номинальное значение, поэтому слабый участок на некоторое время перегревается (см. рис. 4). Это может оказаться достаточно, для того чтобы произошло испарение волфрама с поверхности нити и нить в этом месте уменьшалась в диаметре. С каждым последующим включением ослабление нити прогрессирует, пока, наконец, при очередном включении перегрев не приведет к разрушению слабого участка.

Таким образом, зависимость сопротивления нити от температуры приводит к перегреву и разрушению слабого участка нити в момент включения, когда основная часть нити еще не прогрелась.

Лампам в театральных светильках, например на которых повышается плавно, такая гибель не угрожает. А мигающие, часть включенные лампы должны иметь особенно однородные нити или работать с недогревом. Это же касается, например, ламп для светофоров.

Рис. 5. Последовательные стадии разрушения нити и ввода.

Ответ на вопрос 3. Как перегорает нить при включении лампы, мы уже выяснили. А почему при этом может разрушиться ввод? Ясно, что ток, разрушаюший ввод, не протекает по нити, так как основная часть нити (с относительной небольшим током плавления) сохранилась. Ясно также, что этот ток протекает внутри лампы, поскольку разрушение ввода является связыванием нити.

Оказывается, причина всему — дуговой разряд между вводами внутри колбы. При разрушении слабого участка нити в колбе возникнет облачко паров волфрама, частчно ионизированных. Иногда через это облачко проискот прообой, и между вводами zajигается электрическая дуга. Ток дуги и разрушает ввод в его ослабленной нарушенной части (рис. 5). Следы дуги остаются в виде сизого налета на вводах внутри колбы.

Интересно, что такая неприметная деталь конструкции лампы, как различие диаметров вводов внутренней и внешней колбы, имеет важное значение. Если диаметр нарушенного участка ввода был таким же или большем, чем диаметр внутреннего участка, то было бы возможность испарение вводи лампы. А это чреваго взрывом колбы.

Ответ на вопрос 4. Иногда после разрушения слабого участка нити пробой возникнет не между двумя вводами, а между одним из вводов и оставшейся частью нити. Это приводит к плавлению большого отрезка нити и возможность взрыву колбы лампы (рис. 6). Можно ли

30

Рис. 6. Последовательные стадии разплательния значительной участка нити.

посоветовать не встать под лампой в момент ее включения.

---

Рассмотрим еще два необычных и интересных случая перегорания ламп.

Однажды в момент выключения разбилась колба лампы. Оказалось, что при длительном горении нить постепенно провисала под действием силы тяжести, приближалась к дну

Тепер расскажем о случае одновременной гибели двадцатей ламп, соединенных последовательно. Во времяна, когда.elочных гирлянд еще не было врейскуранте Деда Мороза, была составлена цепочка из двадцатей маломощных автоматных ламп, расчитаных на 12 В каждая. При включении в себя с напряжением 220 В лампы мигнули и перегорелли (все двадцать!), при этом в каждой лампе испарился короткий отрезок нити. Это такое удивительное, как если бы при растявании шнура, связанного из двадцатей кусочков, он порвался бы в двадцатей местах — аккуратно между узелками (рис. 7, а).

Почему же одновременно перегорелли все лампы? Причина этого в следующем. Разрушение слабого участка нити в одной из ламп привело к зажиганию электрической дуги между вводами (рис. 7, б). Сопротивление договора промежутка существенно меньше сопротивления нити в рабочем режиме, в результате этого наряжение на остальных лампах увеличилось. Этоускорило гибель следующей лампы: зажигание дуги в ней (рис. 7, в). Наряжение на увеличших лампах еще возросло, а эстафета разрушения передавалась от одной лампы к другой, пока в цепи не осталось слабых мест. Так перегорание одной слабой лампы обусловило разрушение остальных. Такие случаи, конечно, редки, но вполне верятны.

Рис. 7. Шнурок не может разорвать сразу в несколько мест, а последовательно соединенные лампы могут перегореть одновременно.

31

Необъчные кристаллы-генераторы

Кандидат физико-mатематических наук
И. В. КАРПОВА

Представьте себе электрическую цель, состоящую из специально приготовленного полупроводникового кристалла, резистора и источника постоянного напряжения (например, батарейки для карманного фонаря), соединенных последовательно. Оказывается, при определенных условиях в такой цепи могут возникнуть электрические колабания. Сначала это было предсказано теоретически, а затем и подтверждено экспериментально.

На опите были обнаружены колабания с амплитудой несколький волт, частоты колабаний лежали в интервале от $10^2$ до $10^7$ Гц. Генерирующий образец представлялся собой прямоугольный брусок с размерами граней от нескольких мм до десятков мкм, вырезанный из монокристалла германия или кремния.

Характерно, что колабания возникают при самых общих условиях: при комнатной температуре, без дополнительного давления, в отсутствие сильных электрических или магнитных полей. Все особенности связаны только с составом кристалла. Какие же это особенности?

Известно, что в полупроводниках заряды переносятся двумя типами носителей: электронами и дырками, отличующимся друг от друга, в первую очередь, знаком заряда и направлением упорядоченного движения в электрическом поле. Электроны и дырки могут находиться в двух состояниях — свободном и связанном. Переход из первого состояния во второе называют рекомбинацией. При этом переход носителей зарядов захватываются на так называемые ловушки, которые обычно служат atoms примеся или дефекты кристаллеческой решетки полупроводника. Ловушки, как правило, заряжены, поэтому понятно, что электроны и дырки захватываются одной и той же ловушкой с разными верятностями. Следовательно, и время, в течение которого они участвуют в переносе тока (время жизни), тоже не одно и то же. Так вот, если в кристалле введены подходящие примеси, такие, что время жизни электронов и дырок, а также их концентрации удовлетворяют определенным соотношением, то в кристалле может произойти генерация электрических колабаний. Попробуем обьясить это.

Предположим, что где-то в полупроводнике случаено возникла флуктуация (неоднородность) плотности электронов. Так как полупроводник в целом электрическе нейтрален, возникший отрицательный заряд должен быть компенсирован положительным зарядом соответствующей флуктуации дырок. Пусть введены в кристалл ловушки таковы, что практические все избыточные дырки будут связанными, а электроны — свободными.

Если к образцу приложить внешнее электрическое поле направленности $E_0$, оно поляризует флуктуации дырок и электронов так, что в результате суммарное электрическое поле имеет провал

(см. рисунок). Расстоярим потоки свободных дырок, втекающих в области провода поля и вытекающих из нее. Поток дырок, то есть число дырок, проходящих ежекундно через единицу площади сечения, перепендикулярного направления дырок, равен $q_p=n_pv$, где $n_p$ — концентрация дырок, $c$ — их скорость. В однородном кристалле концентрация свободных дырок всегда направлена (анаалогично скорости направления свободных дырков в металле). На левом склоне провода поля втекающий поток дырок больше вытекающего, поэтому дырки будут накоплять на левом склоне, то есть заревать на ловушках. На правом склоне провода поля втекает дырок меньше, чем вытекает, то есть здесь дырки будут вырабатываться с ловушек. Таким образом, флуктуация дырок будет перемещаться влево.

При определениях условий оказывается, (Окончание см. на с. 40)

32

Вокруг биссектрисы

Кандидат физико-математических наук
И. Ф. ШАРЫГИН

В этой статье собраны некоторые геометрические факты, прямо или косвенно связанные с биссектриской треугольника. Среди них читатель найдет и несложные, но часто используемые «леммы», и более солидные и трудные «теоремы» и просто красивые «задания». Но мы не станем их никак классифицировать, а просто будем нумеровать в порядке появления в стате. Утверждения, которые приводятся в статье без доказательства, автоматически включаются в число упражнений. Впрочем, и имеющиеся в статье доказательства мы постарались изложить по возможности лаконично, чтобы оставить читатель простор для размышлений.

Это должно знать каждый

Напомним прежде всего некоторые общеприятные обозначения: $ABC$ — данный треугольник, $S_{ABC}$ — его площадь, $|BC|=a$, $|CA|=b$, $|AB|=c$, $2p=a+b+c$, $O$ и $R$ — соответственно, центр описанной окружности и ее радиус, $I$ и $r$ — центр и радиус вписанной окружности. Кроме того, треугольник имеет три внешисанные окружности, каждый из которых касается одной стороны треугольника и продолженной двух других сторон. Их центры и радиуса будем обозначать, соответственно, $I_a$, $I_b$, $I_c$, $r_a$, $r_b$, $r_c$ ($I_a$ — центр внешисанной окружности, касающей стороны $BC$ и продолженной стороны $AB$ и $AC$, $r_a$ — ее радиус).

Все другие обозначения будут разъясняться в соответствии with места.

(1) Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $A_1$. Тогда
$$\frac{|BA_1|}{|A_1C|} = \frac{|BA|}{|AC|} = \frac{c}{b}.$$

(2) Пусть биссектриса внешнего угла при вершине $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $A_2$. Тогда
$$\frac{|BA_2|}{|A_2C|} = \frac{|BA|}{|AC|} = \frac{c}{b}.$$

(3) $S_{ABC} = pr.$

(4) $S_{ABC} = (p-a)r_a.$

(5) Если $M$ — точка касания вписанной окружности со сторонам $AB$, то $|AM| = p-a$. (Аналогично определе-

Рис. 1.

Рис. 2.

33

Рис. 3, а.

ляются и другие отрезки, на которые стороны треугольника делятся точками касания со вписанной окружностью.)

(6) Если $M$ — точка касания внешней списанной окружности с центром $I_a$ с прямой $AB$, то $|AM| = p$.

(7) Вершины $B$ и $C$ лежат на окружности с диаметром $II_a$; центр $L$ этой окружности лежит на описанной окружности (рис. 1).

Таким образом, центр вписанной окружности $I$ обладает следующим свойством: прямые $AI$, $BI$ и $CI$ (то есть bicсетрицы) проходят через центры описанных окружностей треугольников $BIC$, $CIA$, $AIB$ соответственно. Верна и обратная теорема.

(8) Если прямые $AM$, $BM$ и $CM$ проходят через центры описанных окружностей треугольников $BMC$, $CMA$ и $AMB$, то $M$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$.

В самом деле, пусть $M_a$, $M_b$, $M_c$ — точки пересечения прямых $AM$, $BM$ и $CM$ с соответствующими окружностями, отличные от $M$ (рис. 2). Тогда $MM_a$, $MM_b$ и $MM_c$ — диаметры этих окружностей, поэтому $M_aA$, $M_bB$ и $M_cC$ — высоты треугольника $M_aM_bM_c$. Отсюда получаем $B\hat{A}M = B\hat{M}_cM = 90^\circ - B\hat{M}_aC = C\hat{M}_bM = C\hat{A}M$, то есть $M$ лежит на bicсетрисе угла $A$ и, аналогично, на bicсетрисах углов $B$ и $C$.

Расстояния между центрами «замечательных окружностей».

(9) $|OI|^2 = R^2 - 2Rr$ (формула Эйлера).

(10) $|OI_a|^2 = R^2 + 2Rr_a$.

(11) $|II_a|^2 = 4R(r_a - r)$.

Для доказательства первых двух формул напомним, что если $M$ и $N$ —

Рис. 3, б.

точки пересечения произвольной прямой, проходящей через данную точку $P$, с окружностью радиуса $R$ с центром $O$, то $|PM| \cdot |PN| = |R^2 - |OP|^2$. (Это вытекает из подобия треугольников $PMM'$ и $PNN'$, где $M'$ и $N'$ — точки пересечения прямой $OP$ с окружностью; рис. 3, а и б.) Отсюда следует, что $R^2 - |OI|^2 = |IA| \cdot |IL|$, где $L$ — точка пересечения биссетрисы угла $A$ с описанной окружностью (рис. 4). Но $|IA| = r/\sin(\hat{A}/2)$, а $|IL| = |LB| = 2R \times \sin(\hat{A}/2)$ по утверждению (7), поэтому $R^2 - |OI|^2 = 2Rr$. Аналогично, $|OI_a|^2 - R^2 = |I_aL| \cdot |I_aA| = 2R \times \sin(\hat{A}/2) \times r_a/\sin(\hat{A}/2) = 2Rr_a$. Наконец, $|II_a|^2 = (2|IL|) \cdot (|I_aA| - |IA|) = 4R \sin \frac{\hat{A}}{2} \cdot \frac{r_a - r}{\sin \frac{\hat{A}}{2}} = 4R(r_a - r)$.

(12) Точки, симметричные центрами внешних окружностей относительно центра описанной окружности, лежат на окружности радиуса 2R с центром $I$.

34

Два экстремальных свойств центра вписанной окружности

Возьем внутри треугольника $ABC$ произвольную точку $M$. Существует довольно много неравенств, касаошихся расстояний от этой точки до вершин треугольника. Мы рассмотрим два таких неравенства, имеющих отношение к теме статьи.

(13) Обозначим через $A_1$ точку пересечения прямой $AM$ с описанной окружностью. Тогда

$$\frac{|BM| \cdot |CM|}{|A_1M|} \geq 2r.$$

(14) $|AM| \sin B\widehat{MC} + |BM| \times \sin C\widehat{MA} + |CM| \sin A\widehat{MB} \leq p$.

В обозначим через прямую неравенства достигается, если $M$ совпадает с $I$ — центром вписанной окружности.

Доцустим, что наименьшее значение выражения $f(M) = \frac{|BM| \cdot |CM|}{|A_1M|}$, стоящего в левой части неравенства (13), достигается в некоторой точке $M$ внутри треугольника $ABC$. Мы показем, что $M = I$. А поскольку $f(I) = 2r$ (это следует, например, из подобия прямой угольных треугольников $BID$ и $I_aIC$ на рисунке 4*)), отсюда будет вытекать, что если $f(M)$ принадлежит свое наименьшее значение внутри треугольника $ABC$, то $f(M) \geq 2r$. Выделенное предложение является нетривиальным и очень существенным. Мы обсуим его несколько позже.

Описем около треугольника $AMC$ окружность (рис. 5). Все треугольники $CMA_1$, получающие при перемещении точки $M$ по ее дуге $AC$, подобны между собой (почему?), следовательно, отношение $|CM| / |A_1M|$ будет для них одним и тем же. Поэтому, если $M$ — точка минимума величины $f(M)$, прямая $BM$ должна проходить через центр окружности, описанной около треугольника $AMC$, иначе мы могли бы уменьшить $|BM|$, оставляя постоянным отношение $|CM| / |A_1M|$. Пусть теперь $B_1$ и $C_1$ — точки пересечения прямых $BM$ и $CM$ с окружностью,

$$\frac{|BM| \cdot |CM|}{|A_1M|} = \frac{|CM| \cdot |AM|}{|B_1M|} = \frac{|AM| \cdot |BM|}{|C_1M|}.$$

Следовательно, прямые $AM$ и $CM$ также должны проходить через цент-

35

ры окружностей, описанных около треугольников BMC и AMB соответственно, и в силу (8) точка $M$ — центр вписанной окружности треугольника ABC.

Вернемся к вопросу о достижении наименьшего значения функций $f(M)$. В анализе доказывается, что непрерывная числовая функция, заданная на отрезке, обязает принимает в некоторых его точках свое наибольшее и наименьшее значение$^*$). Аналогическая теорема верна и для функций нескольких переменных, например для функций на плоскости; в частности, функция, непрерывная на многоугольнике, всегда достигает на нем наибольшего и наименьшего значения. Однако к нашей задаче эта теорема неисредственно не применена — функция $f(M)$ не определяна в вершинах треугольника ABC. Более того, ее даже невозможно допредельить в точках $A, B, C$ так, чтобы она стала непрерывной на всем треугольнике (включения уголки, мы получим шестиугольник, на котором наша функция уже будет непрерывна и, следовательно, достигает наименьшего значения. Можно показать, что вблизи границы треугольника $f(M) > 2r$. Поэтому, если отрезание уголки достаточно малы, наименьшее значение $f(M)$ на шестиугольника, а значит, и на треугольнике, достигается при $M=I$ и равно $2r$.

Рассмотренное доказательство неравенства (13) относит к косвенным, в отличие от так называемых прямых, когда неисредственно доказывается, что (в нашем случае) $f(M) \geq f(I)$ для всех точек $M$ внутри треугольника ABC. Косвенные доказательства нужно проводить с известной осторожностью, потому что наибольшее или наименьшее значение функций достигается относительно не всегда. За примером далекого ходить не надо: сама функция $f(M)$ не принимает своего наибольшего значения; читатель предлагается доказать, что $f(M) < l$, где $l$ — длина наибольшей стороны треугольника, для всех точек $M$ треугольника ABC (кроме, конечного, вершин), причем величины $f(M)$ может быть скольго близка к $l$.

Перейдем к доказательству неравенства (14). Оно тоже будет косвенным: мы показем, что точка максимума $M$ лежой части этого неравенства (если она существует!) совпадает с $I$.

Опшем около треугольника BMC окружность и продолжим отре-
зок $AM$ до вторичного пересечения с ней в точке $A_2$ (рис. 6). Примем к четырехугольнику $BMCA_2$ теорему Птолемея — «сумма произведений противоположных сторон вписанного в окружность четырехугольника равна произведению его диагоналей»: $|BM| \cdot |A_2C| + |CM| \cdot |A_2B| = |BC| \cdot |A_2M|$.

Эту теорему можно доказать, выражая двумя способами площадь четырехугольника: если $KLPQ$ — вписанный четырехугольник и хорда $KK'$ параллельна диагонали $LQ$, то $S_{KLPQ} = S_{K'LPQ}$ (рис. 7); в то же время $2S_{KLPQ} = |KP| \cdot |LQ| \cdot \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между диагоналями $KP$ и $LQ$, а $2S_{K'LPQ} = |K'L| \cdot |LP| \sin K'LP + |K'Q| \cdot |QP| \times \sin K'QP = (|KQ| \cdot |LP| + |KL| \cdot |QP|) \times \sin \alpha$, либо $K'LP = \alpha$ — см. рис. 7.

Учитывая, что длины хорд одной окружности пропорциональны снукам опирающихся на них углов, получим

$$|BM| \sin A_2MC + |CM| \sin A_2MB = |A_2M| \sin BMC,$$

или

$$|BM| \sin AMC + |CM| \sin AMB = |A_2M| \sin BMC.$$

Сопоставляя последнее равенство с неравенством (14), видим, что левая часть неравенства равна $|AA_2| \sin BMC$. Значит, прямая $AM$ должны проходить через центр окружности, описанной около BMC, поскольку в противном случае, перемещая $M$ по дуге $BC$, мы можем увеличить левую часть неравенства (14). Дальнейшие рассуждания (в том числе и доказательство существования точки максимума) проводятся так же, как и в задаче (13).

Докажите самостояльно, что если $M$ совпадает с $I$, то $|AA_2| \sin BMC = p$; для этого можно воспользоваться, например, заданным (6) и (7) и тем, что $BIC = 90^\circ + \hat{A}/2$.

Когда подводит интуция

Если у треугольника равны два «однотипных» элемента (например, два угла или две медианы и т. п.), то естественно ожидать, что он будет равноведным. Среди задач на

36

Доказательство утверждений такого рода издавна одной из самых трудных считается так называемая задача Штейнера—Лемуса.

(15) Доказать, что если в треуольнике равны две биссектрисы, то треуольник равноведренный.

Эта задача широко известна*), а вот следующая забавная варнация на ту же тему почти неизвестна даже среди любителей геометрии.

(16) Про данный треуольник известно, что треуольник, образованный основанием его биссектрис, является равноведренным. Можно ли утверждать, что и данный треуольник равноведренный?

Оказывается, утверждать это, вообше говоря, нельзя! Более точно, пусть $A_1, B_1, C_1$ — основания биссектрис треуольника $ABC$. Если $|A_1B_1| = |A_1C_1|$, а треуольник $ABC$ — не равноведренный, то его угол $A$ туной и cos $\hat{A}$ лежит в интервале $] - \frac{1}{4}; \frac{\sqrt{17}-5}{4}$ [, что для самого угла $A$ соответствует интервалу $102^\circ 40'; 104^\circ 28'$ [(значения в градусной мере приближенные). Обратно, для любого угла $a$ из этого интервала можно указать единственный (с точностью до подобия) неравноведренный треуольник $ABC$ с $\hat{a} = a$, для которого $|A_1B_1| = |A_1C_1|$. Подробное решение этой задачи дается в книге И. Ф. Шаргина «Задачи по геометрии (планметрия)» (М., Наука, 1982), с. 157. К сожалению, автор не сумел построить конкретный пример треуольника (то есть точно указывать величины всех его углов или длины сторона) со столь экзотических свойств. Может быть, это удастся читательм журнала?

Еще 11 задач

(17) Доказать, что биссектриса треуольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведенными из той же вершины.

(18) Пусть $AA'$ — биссектриса треуольника $ABC$. Доказать равенства: $|AA'| =$

$$\sqrt{bc - |BA'| \cdot |CA'|} = \frac{2bc \cos(\frac{1}{2})}{b + c}.$$

(19) Доказать, что высоты треугольника служат биссектрисами треугольника, образованного их основаниями.

(20) Пусть $M$ и $N$ — проекции точки пересечения высот треугольника $ABC$ на биссектрисы внутри него и внешнего углов при вершине $A$ этого треугольника. Доказать, что прямая $MN$ делит сторону $BC$ пополам.

(21) Доказать, что сумма площей трех треугольников, вершинами каждой из которых является три точки касания одной внешней оси окружности со стороными или продолжениями сторона данного треугольника, равна удвоенной площади этого треугольника, сложенной с площадью треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности с его сторонами.

(22) Пусть $AA', BB', CC'$ — биссектрисы треугольника $ABC$, $L$ и $K$ — точки пересечения прямых $AA'$ и $B'C', CC'$ и $A'B'$ соответственно. Доказать, что $BB'$ — биссектриса угла $LBK$.

(23) Пусть $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$. Доказать, что если $BD$ — биссектриса угла $ANC$, то $AC$ — биссектриса угла $BMD$.

(24) В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $B$ пересекает прямую, проходящую через середину $AC$ и середину высоты, опущенной на $AC$, в точке $M$, $N$ — середина биссектрисы угла $B$. Доказать, что биссектриса угла $C$ является также и биссектрисой угла $MCN$.

(25) Через основания биссектрис треугольника $ABC$ проведена окружность. Расмотрим три хорды, образованные при пересечении сторон треугольника с этой окружностью. Доказать, что длина одной из этих хорд равна сумме длины двух других.

(26) В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $K$ и $L$ так, что $|AK| = |KL| = |LC|$. Через точки пересечения прямых $AL$ и $CK$ проведена прямая, пересекающая прямую $B$, пересекающая прямую $AB$ в точке $M$. Доказать, что $|AM| = |BC|$.

(27) Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Противоположные стороны $AB$ и $CD$ при проджении пересекаются в точке $K$, стороны $BC$ и $AD$ в точке $L$. Доказать, что биссектрисы углов $BKC$ и $BLA$ перепendlкулярны и пересекаются на прямой, соединяющей середины $AC$ и $BD$.

37

Четыре доказательства теоремы о биссеktrice

Теорема о свойстве биссеktrices внутринего угла треугольника в учебном пособии «Геометрия 6-8» не доказывается, а предлагается в виде задачи (№ 914, с. 232). Эта теорема часто используется, например, при установлении факта пересечения трех биссеktrисс треугольника в одной точке. Здесь мы даим сразу несколько ее доказательств.

Теорема. Биссеktrиса BD внутринего угла треугольника ABC делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам |BC| и |BA| треугольника.

$$\frac{|AC|}{|AD|}; \text{ отсюда последовательно получаем}$$
$$\frac{|AB|+|BC|}{|AB|} = \frac{|AD|+|DC|}{|AD|},$$
$$1 + \frac{|BC|}{|AB|} = 1 + \frac{|DC|}{|AD|},$$
$$\frac{|CB|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|AD|},$$
что и требовалось доказать.

Второе доказательство (для 8-го класса).
Имем (см. рис. 1):

$$\frac{S_{CBD}}{S_{ABD}} =$$
$$= \frac{0,5 \cdot |CB| \cdot |DB| \cdot \sin \frac{\hat{B}}{2}}{0,5 \cdot |AB| \cdot |DB| \cdot \sin \frac{\hat{B}}{2}} =$$
$$= \frac{0,5 \cdot |CD| \cdot h}{0,5 \cdot |AD| \cdot h},$$
где $h$ — длина высоты треугольника ABC, проведенной из вершины B. Отсюда
$$\frac{|CB|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|AD|}.$$

Первое доказательство (для 7-го класса).
Проведем через точку C (рис. 1) прямую m, параллельную (BD). Тогда
$$m \cap |AB| = D_1 \text{ и } \triangle ABD \sim \triangle AD_1C; \text{ так как } \widehat{ABD} = \widehat{CBD} = \widehat{BCD}_1 = \widehat{CD}_1B, \text{ получаем } |BC| = |BD_1| \text{ и } \frac{|AD_1|}{|AB|} =$$

Третье доказательство (8 класс). По теореме синусов (см. рис. 1)

$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|CD|} = \frac{\sin \hat{C}}{|BD|}$$

и
$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|AD|} = \frac{\sin \hat{A}}{|BD|},$$

или
$$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

Четвертое доказательство (7-8 классы). Выполнить осевую симметрию S треугольника ABC относительно (BD) (рис. 2), получим
$$S_{(BD)}(A) = A_1, S_{(BD)}(C) = C_1 \text{ и } S_{(BD)} = B.$$

Рис. 1.

Рис. 2.

Первое доказательство (для 7-го класса).
Проведем через точку C (рис. 1) прямую m, параллельную (BD). Тогда
$$m \cap |AB| = D_1 \text{ и } \triangle ABD \sim \triangle AD_1C; \text{ так как } \widehat{ABD} = \widehat{CBD} = \widehat{BCD}_1 = \widehat{CD}_1B, \text{ получаем } |BC| = |BD_1| \text{ и } \frac{|AD_1|}{|AB|} =$$

Третье доказательство (8 класс). По теореме синусов (см. рис. 1)

$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|CD|} = \frac{\sin \hat{C}}{|BD|}$$

и
$$\frac{\sin \frac{\hat{B}}{2}}{|AD|} = \frac{\sin \hat{A}}{|BD|},$$

или
$$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

Тогда $\triangle CDC_1 \sim \triangle ADA_1$ и $\triangle CC_1B \sim \triangle AA_1B$ (убедитесь в этом!). Отсюда (учитывая, что $|AB| = |A_1B|$) $$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CC_1|}{|AA_1|},$$
$$\frac{|CC_1|}{|AA_1|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

Следовательно,
$$\frac{|CD|}{|AD|} = \frac{|CB|}{|AB|}.$$

С. Р. Сефибеков

Объявление

Магазин № 8 Московги принимает заказы на следующие книги, выпущенные издательством «Нуука»:

«Задачи по физике» (Под ред. О. Я. Савченко, 1981, 95 к.),
Каганов М. И., Цу-

керник В. М. «Природа магнетизма» (1982, 30 к.),
Яворский Б. М., Пинский А. А. «Основы физики» — Т. I «Механика. Молекулярная физика. Электроники» (3-е изд., переработ., 1981, 1 р. 20 к.),
Т. П

«Колебания и волны. Квантовая физика» (3-е изд., переработ., 1981, 1 р. 20 к.).

Заказы направлят по адресу: 103050, Москва, К-50, ул. Медведева, 1, магазин № 8 Московги, отдел «Книга—почтой».

38

Когда
$$|a + \theta| = |a| + |\theta|$$?

Л. Б. ПЕЧЕРСКИЙ

Как известно («Алгебра и начала анализа 9—10», п. 3),
$$|a| - |b| \leqslant |a+b| \leqslant |a| + |b|$$ (1)

Из геометрического смысла модели легко следует, что $|a+b| = |a| + |b|$ тогда и только тогда, когда $a$ и $b$ — числа одного знака, точнее (поскольку не запрещается, чтобы какое-нибудь из них было нулем) — когда $a \geqslant 0$ и $b \geqslant 0$ или когда $a \leqslant 0$ и $b \leqslant 0$.

Очевидно, формулированный критерий равенства можно записать и так:
$$|a+b| = |a| + |b| \Leftrightarrow ab \geqslant 0.$$ (2)

Следовательно,
$$|a+b| < |a| + |b| \Leftrightarrow ab < 0.$$

Критерий равенства «в сложной форме» справедлив для любого числа слагаемых: $|a_1+a_2+\dots+a_n| = |a_1| + |a_2| + \dots + |a_n|$ тогда и только тогда, когда $a_1, a_2, \dots, a_n$ — числа одного знака (точнее — когда среди чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ нет чисел разного знака).

Между прочит, утверждение $|a+b+c| = |a| + |b| + |c| \Leftrightarrow abc \geqslant 0$ неверно (почему?).

Пример 1. Решим уравнение
$$|\lg(2x-3) + \lg(4-x^2)| = (3) = |\lg(2x-3)| + |\lg(4-x^2)|.$$

По критерию (2) это уравнение равносильно уравнению
$$\lg(2x-3) \cdot \lg(4-x^2) \geqslant 0$$,
которое, в свою очередь, равносильно системе
$$\begin{cases} \lg(2x-3) \cdot \lg(4-x^2) \geqslant 0 \\ 2x-3 > 0 \\ 4-x^2 > 0 \end{cases}$$

Так как $\frac{3}{2} < x < 2 \Leftrightarrow 0 < 2x-3 < 1$, последняя система равносильно системе
$$\begin{cases} \lg(2x-3) < 0 \\ \lg(4-x^2) \leqslant 0 \\ \frac{3}{2} < x < 2 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{3}{2} < x < 2 \\ 0 < 4-x^2 \leqslant 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{3}{2} < x < 2 \\ x^2 \geqslant 3 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{3}{2} < x < 2 \\ x \geqslant \sqrt{3} \end{cases}$$

Ответ. $[\sqrt{3}; 2]$.

Решение неравенства
$$|\lg(2x-3) + \lg(4-x^2)| < |\lg(2x-3)| + |\lg(4-x^2)|$$

можно получить выбрасыванием из его области определения $\frac{3}{2}; 2$ [решения $[\sqrt{3}; 2]$ соответствующего уравнения (3). Ответ. $\frac{3}{2}; \sqrt{3}$ [.

Пример 2. Решим «уравнение с параметром»
$$|a-2\sin x| + 2|\sin x-\cos x| + |2\cos x-1| = a-1.$$

При $a < 1$ это уравнение, очевидно, корней не имеет. Пусть теперь $a \geqslant 1$. Так как
$$(a-2\sin x) + 2(\sin x-\cos x) + (2\cos x-1) = a-1,$$

можно воспользоваться критерием равенства для трех слагаемых. Поскольку, вдобавок, $a-1 \geqslant 0$, решение уравнения равносильно системе
$$\begin{cases} a-2\sin x \geqslant 0 \\ \sin x-\cos x \geqslant 0 \\ 2\cos x-1 \geqslant 0 \end{cases}$$

или «тройному неравенству»
$$\frac{1}{2} \leqslant \cos x \leqslant \sin x \leqslant \frac{a}{2}.$$