Квант 1983, №9 · Страницы

КВАНТ
9
1983
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

ВСТРЕЧА С ЧИТАТЕЛЯМИ

На физическом факультете МГУ состоялась встреча
редколлегии и редакции
нашего журнала
с учащимися
физiko-mатематической
школьи-интерната
№ 18 при МГУ.
На встрече выступил
главный редактор «Квант»
академик И. К. Кикоин.
Он рассказал
о развитии физики
в СССР, о том, как проблемы
преодавания
физики и математики
в школе, а также
перестройка школьного курса
логических привели
к необходимости создания
в нашей стране
специальизированного
научно-популярного
журнала для школьников.
Таким журналом и стал
наш «Квант».
Затем выступали школьники.
Круг интересующих их вопросов
оказался очень большим:
что нового в астрфизике,
как решается проблема
управляемого
термоярного синтеза,
как самому сделать лазер
для домашней laboratorии и т. д.
Были высказаны пожелания
увидеть в «Квант» статьи
по теории относительнойности,
квантовой механике,
нелинейной оптике,
а также
по физофским проблемам
физики и психологии
научного творчества.
Пожелания наших читателей
будут учтены
при подготовке
очередных номеров журнала.

В НОМЕРЕ:

2. М. И. Кондаков. С новым учебным годом!
3. В. А. Займовский. У металлов есть память?
4. А. С. Миценко, Ю. П. Соловьев. Кватернионы
5. Е. Н. Кудрявцева, С. С. Хилькевич. Почему вода выливается из ведра?

IN THIS ISSUE:

1. М. I. Кондаков. Нappy new school year!
2. V. A. Zaimovski. Metals have memory?
3. A. S. Mischenko, Yu. P. Soloviev. Quaternions
4. E. N. Kudriavtseva, S. S. Khilkevich. Why does water pour out of the pail?

Новости науки
21. Химчесская геометрия
Science news
Chemical geometry

Лаборатория «Кванта»
22. А. Э. Аринштейн. Сравнительный вискозиметр Жуковского
Kvant’s lab
A. E. Arinstein. Jukovski’s comparative viscometer

Школа в «Кванте»
26. А. А. Болибрух, В. М. Уроев, М. И. Шабунин. Квадратный трехчлен
Kvant’s school
A. A. Bolibrukh, V. M. Uroev, M. I. Shabunin. The quadratic trinomial
Physics 8, 9, 10

«Квант» для младших школьников
32. Задачи
33. В. Н. Дубровский. Кубик в картинах
Kvant for younger school children
Problems
V. N. Dubrovski. The cube in pictures

Задачик «Кванта»
39. Задачи M821—M825; Ф833—Ф837
42. Решения задач M806—M810; Ф818—Ф822
49. Список читателей, приславших правильные решения
Kvant’s problems
Problems M821—M825; P833—P837
Solutions M806—M810; P818—P822
List of readers who have sent correct solutions

Практикум абитуриента
53. Л. В. Тарасов, А. Н. Тарасова. Характерные ошибки на экзаменах по физике
College applicant’s section
L. V. Tarasov, A. N. Tarasova. Typical mistakes on physics exams

Рецензии, библиография
57. Библиотека «Квант»
Book reviews
The Kvant Library

Олимпiadы
58. Московская городская olимпида по физике 1982/83 года
Olympiads
The Moscow city physics olympiad of 1982/83
60. Свердловская область olимпида по математике 1982/83 года
The Sverdlovsk regional mathematics olympiad of 1982/83

Ответы, указания, решения
62. Наша обложка (51)
Смесь (25, 31, 52, 61)
Answers, hints solutions
Our cover page (51)
Miscellaneous (25, 31, 52, 61)
The chess page
A toss-up decided (3 rd cover page)

2

С новым учебным годом!

Дорогие друзья!
В старые времена на Руси раздик Нового года отмещали 1 сентября. Для всех нас, кто связан со школьой, этот день по-прежнему ознакомлен нового года — года учебного. Давайте подумаем, почему мы в этот день с такой радостью и воленением переступаем порог школы? Не только потому, что там каждого ученикаждет встреча с друзьями, спортивные игры, рассказы друзей о лете. Главное заключается в том, что ежегодно 1 сентября миллионы ребят направляются в увлекательное и трудное путешествие в Страну знаний. Знания необходимы для каждого из нас потому, что мы живем в эпоху научно-технической революции, когда достижения науч неосредствено использются на практике, когда науча становится производительной силой.

В речи на юньском (1983 г.) пленуме ЦК КПСС Генеральный секретарь ЦК КПСС тов. Ю. В. Андропов подчеркнул: «В сфере экономической kleueвая задача — кардиальное повышение производительности труда. Мы должны стремиться достигать в этом плане высшего мирового уровня… Главный путь к качественному сdwгу в производительных силах — это, конечно, переход к интенсивному развитию, соединение надел премиущества нашего социальического строя с достижениями научно-технической революции. Причем ее самого последнего этапа, который супит технический переворот во многих сферах производства».
Процесс автоматизации и комплектной механизации производства, изменение самого характера труда требует основательной научной базы, широкой эрудицини исполнительей. Поэтому научной подготовки будутших специалистов производства в нашей время растет с каждым днем.

На протяжении всех школьных лет вас сопровождает «царица наук» — математика. Бурный процесс математизации знания и основанного на научке современного производства предъявляет высокие требования к математической подготовке выпускников школы. Это же в равной мере относится к физике — основе наук о природе, теоретической базе современной техники и технологии. Высока физиоматическая подготовка школьников — залог достижения успехов в технике, экономике, обороне страны, непрееменное условие эффективной работы нашего общества по построению коммуникама.

Для нашего общества небезразличны люди с ярко выраженными интересами, склонностями и способностями к математике и физике. Школа помогает таким учащимся проявить свои дарования через систему кружковой работы, олимпiadы, факультативные занятия, создает классы с углубленным изучением физики и математики. Именно таким школьником адресован научно-популярный журнал «Квант».
Основательная физиоматическая подготовка школьников всегда важным достижением совершенной skills. Не случайно достижения нашей школы в обучении математике и физике вызывают такой пристальной интерес специальностей за рубежом. В конечном смете именно в школе воспривается сознанное отношение к труду и закладываются основы для соедининия премиуществ социального строя с достижениями научно-технической революции.

Итак, начинается новый учебный год — год новых знаний и умений, новых опытов и задач, год более глубокого проникновения в любимую науку. Я поздравлю вас от всей души с этим раздикком и желаю больших успехов в учебе и труда, в развитой, сознанной и целенаправленной подготовке к взрослой трудовой жизни!

Президент Академии педагогических наук СССР
акademик АПН СССР М. И. Кондаков

3

У металлов есть память!

Доктор физико-математических наук
В. А. ЗАИМОВСКИЙ

Явления живой и неживой природы настоящего многообразны и так тесно переплетены друг с другом, что, столкнувшись с чем-то новым в неорганичском мире, мы неволно ищем аналогою с проявлениями жизни-деятельности человека. Это стремление отражается и на научной терминологии. Такие термины, как «время жизни» или «время оседлой жизни» (применительно к частismam), «живучеть», «усталость» (применительно к конструкционным материалов), считаются волне строгими и стали общеприятыми наряду с сотнями других, им подобных в этом смысле. И не случайно открытое сравнительно недавно свойство металлических сплавов получило название «память формы». Могут ли металлы вспоминать, помнить, забивать? Давайте попробуем приписать металлам эти способности живых существ, и тогда мы увидим, что металлы способны даже на самом贞ство!

Упругая и пластическая деформация

Вначале вспомним, что нам известно из школьного курса физики о деформации металлов, и договорами о некоторых обозначениях.

Если к металлическому образцу приложить нагрузку — внешнюю силу, которая сообщает ускорение одной части тела относительно другой, то образец изменит свои размеры и форму — деформируется. Deформацию обычно характеризуют отношением изменения Δl размера образца к исходному размеру l: ε = Δl/l. Удельной мерой нагрузки служит напряжение — относение величины действующего на образец силы к площади поперечного сечения образца.

Связь между σ и ε определяется только свойств материалов и для общих металлов и сплавов отображается кривой, приведенной на рисунке 1.

На участке OA зависит σ (ε) линейна. Эта закономерность была установлена еще в XVII века английским ученым Гуком. Закон Гука σ = Eε действует только в пре-

4

Рис. 1. Диаграмма напряжения — деформация.

делах «упругой области» диаграммы, пока напряжение не превысило предела упругости $\sigma_{\text{упр}}$. Константа $E$ называется моделем упругости. Для большинства металлов $E$ имеет порядок величины $10^{10}-10^{11}$ Н/м$^2$, а порядок $\sigma_{\text{упр}}$ обычно $10^7-10^8$ Н/м$^2$; поэтому максимальная упругая деформация чаще всего имеет порядок величины $10^{-3}$, то есть составляется доли процента. Формальный призnak упругой деформации — ее обратимость: деформация исчезает при разгрузке, и образец возврашает к исходным размерам и форме. Между прочим, это означает, что, нахождение под любым напряжением, не превышающим $\sigma_{\text{упр}}$, металл помнит свою исходную форму и восстановляется ее сразу после устранения напряжения. Например, если мы увеличим напряжение и напряжение превысит $\sigma_{\text{упр}}$, а деформация выйдет за пределы $\varepsilon_{\text{упр}}^{\max}$? Упругая деформация продолжает нарастать прямо пропорционально растущей величины напряжения (в соответствии с законом Гука), но появляется вторая составляющая деформации — пластическая. Общая величина деформации, соответствующей некоторой точке $B$ на рисунке 1, складывается теперь из $\varepsilon_{\text{упр}}$, которая исчезнет при разгрузке (линия разгрузки $BC$ появляется параллельно упругому участку $AO$), и $\varepsilon_{\text{ост}}$ — остаточной деформации, которая остается при снять напряжения. Из рисунка 1 видно, что $\varepsilon_{B\text{упр}}^{\max}$ больше $\varepsilon_{\text{упр}}^{\max}$, поэтому символ «max» здесь не означает, что нельзя получить упругую деформацию больше величины. Он означает лишь, что если обшая деформация превысит $\varepsilon_{\text{упр}}^{\max}$, то она уже не будет чисто упругой и форма тела после разгрузки будет отличаться от исходной.

Таким образом, формальный призnakом пластической деформации является ее необратимость: после разгрузки сохраняется остаточная измененная резервируемость, то есть память

5

metалла начинает давать перебои. Если продолжать деформацию дальнейше, за точку $B$, то пластическая составляющая будет нарастать при сравнительно слабом росте напряжения. Конечно, в конце концов процесс законита разрушением образца; величина $\varepsilon_{\text{ост}}$ перед разрушением у пластических металлов составляет десяти процентов, то есть на 2 порядка превышает $\varepsilon_{\text{упр}}$. Это уже практический полный «склероз»—metалл забывает исходную форму и принимает новую.

На такой забывавости металлов основаны промышленные процессы их обработки, когда мы проделываем, например, путь от огромного слитка до тонкой проволочки. Если вернуть к нашему примеру с тонкой пластинкой, согласно в полукольцо, но увеличить ее толщину до 2 мм, то деформация нарушных словев составит уже 10%. Теперь после разгрузки концы пластины лишь немного «спружинят», разойдется в стороны (относительная деформация уменьшится на 0,5%), и пластина остановится почти таким же полукольцом с чуть большим радиусом.

Когда говорят: «согнуть в бараниной рог», имеют в виду именно такие большие деформации, при которых упругой составляющей уже можно пренебречь из-за ее малости по сравнению с остаточной. Между строкю этого решительного выражения можно прочитать: «уже не разогнешься». Действительно, чтобы устранить последствия пластической деформации и вернуть тело к исходной форме, необходимо приудительно пластические деформировать его в противоположном направлении. Если же нагревать пластические деформированный металл, то форма его остается прежней — нет никаких причины для уменьшения или роста величины остаточной деформации.

Что бы хорошо понять существое эффектива памяти формы в металлах, надо разобраться в механизме их пластической деформации. Точнее, нам понадобится рассмотреть лишь геометрический aspect этого механизма. Будучи телами кристаллических, металлы пластические деформируются путем сдвигов

Рис. 3. Пластическая деформация осуществляется путем сдвигов. На фотографии — кристалл цикла после сильной пластической деформации (×50).

по определенныматомным плоскостям в решетке (рисунок 3). Это напоминает сдвиг в стопке монет или в колоде карт. Мы не можем увеличить размер колоды, потянув сразу все карты в продолжном направлении, но длина колоды увеличится, если мы будем сдвигать вдоль нее карты одну за другой. Так же удаляется при растяжении металлической стержень — произходит сдвиг сеседных словев металла друг по другу. Чтобы при этом не нарушалась сплошность металла, слой, разделенные плоскостями сдвига, постепенно разворачиваются в направлении деYSTрия нагрузки. Эти сдвиги, как мы уже знаем, необратимы; они и вызывают остаточно деформацию.

Открытие
Г. В. Курдюмова и Л. Г. Хандроа

Существуют ли в металлах сдвиговые процессы, которые могут идти без возникления внешней силы? Оказывается, существуют и уже 3000 лет используют человека. Еще в древней Греции и Риме использовали явление закалки стали для придания ей особой твердости и прочности. Однако только в XX века выясились, что это изменение свойств стали связано с превращением одной кристаллической модификации железа в другую.

7

Г. В. Курдимов предсказал, а уже в следующем году вместе со своим сотрудником Л. Г. Хандросом (ныне доктором физико-математических наук) экспериментально наблюдал новый тип мартестиного превращения в алюминевой бронзе. В 1980 году это было признано открытым. Авторы открытия получили соответствующий диплом, а само явление — называние «эффект Курдимова». Суть его в следующем. При благоприятном сочетании определенных условий (в частности, нужно, чтобы разница объемов фаз была небольшой) превращение аустенита (A) в мартестит (M) приобретает особые черты. Оно становится, как выразился Г. В. Курдимов, «термоупругим». Этот термин отражает многие необъявные особенности такого мартестиного превращения. В частности, он поддерживает то обостоятьсяство, что если прекратить охлаждение, то превращение сразу прекратается на той стадии, на которой его застгла температура остановка, а если начать нагрева образец, то превращение вскоре начинает идти в обратную сторону. Это значит, что мартестит снова превращается в аустенит, все сдиговые смесения атомов идут в обратном направлении, а сами атомы возврашаются точно в свои исходные позиции, соответствующие решетке аустенита.

Рис. 4. Мартестиное превращение при охлаждения (a) и под действием нарастющей внешней силы (b).

В сплавах, испытывших термоупругое превращение, приложением внешнего напряжения можно вызвать повышение температуры мартестиного превращения, но главное — в этих сплавах наличие внешней нагрузки особенно резко меняет геометрическую картину превращения. Если напряжение приложено так, как показано на рисунке 4, б, то увеличивается доля кристаллов 1, в которых направление сдиговый атомов согласуется с направлением действия нагрузки, а доля кристаллов 2 уменьшается. В предельном случае при A → M-переходе реализуется только один вариант смесений атомов (рисунок 4, б), и мы получаем значительное обшую деформацию образца, которая соответствует относительной удилиению 10% и более.

По своей величины эта деформация намного превышает εмax упр объчных металлов, но она накапливается не за счет необратимых сдиговов, а за счет направленного превращения A → M. Внешняя сила упорядочивает смесения атомов при этом превращении. Если теперь вызывать обратное превращение M → A, то все эта огромная деформация исчезнет, так как атомы возврашаются в исходное положение, которое они за имали в решетке аустенита.

Получается, что пластина, изготовлена из такого сплава и согнутая в колюцо, помнит исходную плоскую форму, причем может достаточно долго хранить ее в своей памяти. Процесс «вспоминания» реализуется при нагреве, и теперь мы уже можем «вызывать к памяти» металла в то время и в той области, когда нам это потребуется.

В настоящее время известны сотни сплавов, проявляющих эффект Курдимова. Регулируя их состав, мы можем смещать интервал A → M → A-превращений по температурной шкале. Например, сделаем так, чтобы мартестиная точка Mₙ была немного ниже комнатной температуры, а Aₙ — температура начала обратного M → A-превращения при нагреве — немного выше. Тогда небольшие напряжения, приложенное при комнатной температуре, вызовет превращение A → M и значительное изменение

8

нене формы тела, а при нагреве на 50—100 °C оно вспомнит свою исходную форму. Можно «спустить» интервал превращений в глубокий холод. Тогда задавать новую форму нужно будет при низкой температуре, а вспомнить прежную форму металл будет в ходе отогрева до температуры окружающей среды. Интересно, что если мы будем превращовать возврашение сплава к его первоначальной форме, то в нем возникают очень высокие напряжения. Скажем, изогнуть стержень вызлизи $M_1$ можно грузом 10 Н, а при нагреве, стремясь выпрямиться, он может уже поднять груз 100 Н. Если мы подвесям «непосильный» груз, то мучительно вспомнить свою прежнюю форму, стержень иногда даже разрывается на части (самоубийство?!).

Как использует память металлов?

Возможности практического применения сплавов, обладающих уникальным свойством заполнения форму, исключительно разнообразны и заманчивы. Зд с перед конструкторами — широкое поле деятельности, усеянное прициппально новых инженерными решениями. Например, в космической технике с помощью этих сплавов эфективно решается традиционная проблема экономии места в корпле. Свернутьые или скрученные в компактную форму и уложенные в небольших низах космического корпала антенны, излучатели энергии и т. п. распрямляются после запуска аппарата на орбиту от действия солнечного теплла. Сплавы с памятью можно использовать для создания космического радиотелексана — компактный мотор тонкой проводки разворачивается при нагреве в круг диаметром около 2 км!

Конечно, запоминающим сплавам есть много применений и на Земле. Их способность поднимать грузы при нагреве открывает возможность создания двигателей пряного преобразования тела в механическую работу. Модели таких двигателей уже построены. Их КПД невелиок, но ведь для их работы можно использовать низкотемпературные источники теплла — солнечный энергию, тепловые отходы промышленных предприятий и т. п.

Это же свойство запоминающих сплавов нашло применение при создании соединения способом, заменяющим сварку, пайку и другие традиционные методы. Допустим, нам надо соединить две трубки для получения, скажем, топливопровода двигателя самолета. Берем втулку из низкотемпературного запоминающего сплава, внутри диаметр которого на 4% меньше наружного диаметра соединения трехокок (рисунок 5). В жидком азоте (—196 °C) деформируем втулку так, что ее внутренний диаметр становится на 4% больше наружного диаметра трехокок. Теперь концы трехокок мы можем ввести втулки, которая, отгреваясь до комнатной температуры, вспоминает прежнюю форму, скжается и скжает концы трехокок, обеспечивая прочно герметичное соединение. Здесь используется совершенное с инженерной точки зрения особенно проявления памяти металла. Ведь все нормальные, то есть «забывающие», металлы при нагреве распряются во всех направлениях. А запоминающий сплав мы заставли при нагреве скжаться! Конечно, он скжается только по двум осям, а по третий — вдоль оси трехокок — растяивается, так как объем материалов в ходе $M \rightarrow A$-превращения меняется мало. Но в данном случае это

Рис. 5. Схема получения соединения с использованием муфты из сплава с памятью.

9

не мешает решению задачи; важно получить при нагреве уменьшение диаметра втулики, чтобы она сжала концы соединяемых трубок.

В авиации и кораблетроении уже установлены сотни тысяч таких соединений. Они показали высокую надежность и работают безотказно. А ведь надо учитывать, что технически это значительное процесс, чем сваривать или паять. Можно легко выполнять такие соединения в труднооступных или пожаропасных местах и даже в таких экзотических условиях, когда сварка или пайка вообше невозможны, — например, на дне моря.

Запоминающие сплавы используются для создания разного рода автоматических терморегуляторов, сравнительных при необходимости превышении заранее заданного значения температуры.

Интересны возможности использования этих сплавов в медицинке. Их уже применяют при операциях, связанных со сравнительным костным переломов. Разработываются новые способы лечения такого zabолевия, как склоиз — искусление позвоночника. В организм большого оперативным путем вводят стержень, изогнутый так, что он повторяет неправильную форму позвоночника, и скреплют его с позвоночным столбом. Стержень помнит заранее заданную ему форму правильного позвоночника и начинает восстановить ее при необходимости (не опасном и безболезнением для человека) повышении температуры (рисунок 6). Врач может легко регулировать ход лечения.

Другой пример — фильтры для улавливания тромбов (густков крови) в сосудах. Слегака охлажденная прямая тонкая проводочка вводится в нужное место кровеносного сосуда и там, отогреваясь до температуры тела, принимает заданную ей причудливую-запутанную форму. Фильтр пропускает крови, но задерживает тромб (рисунок 7), который, добавшись до сердца или мозга, мог бы привести к смертельному исходу.

Начаты работы по созданию искусственного сердца с использованием тонких проводок из заполняющих сплавов. В медицинке, кроме памяти, используется еще и то obstructionство, что неоторные из заполняющих сплавов, в частности сплавник и титана — нитинол, имеют очень высокую коррозиюную стойкость и показали отличную совместимость с тканими живых организмов.

Нитинол не ржавец, он легок и достаточно прочен. Не исключаено, что в будущем из него будут, например, делать корпус автоматический. Такой автоматический, даже после серверного дорожного проискствия, восстанавливает форму кузова просто в результате легкого подогрева поврежденных мест.

Конечно, сейчас «автомобильный» прогноз выглядит, пожалуй, слищком смелым, так как заполняющие сплавы еще довольно дороги. Но ведь мы еще не знаем, чем нас завтра порядют геологии.

10

Кватернионы

Доктор физико-mатематических наук
А. С. МИШЕНКО,
кандидат физико-mатематических наук
Ю. П. СОЛОВЬЕВ

От редакции. ВНИИЕНИЕМ ГОДУ «Кваит»
много рассказываал о числах. О комплексных числах (№ 2, с. 16), об их истории (№ 6, с. 10), о представлении действительных чисел в виде целых дробей (№ 5, с. 16 и № 6, с. 26), об алgebraических и transcendentных числах (№ 7, с. 2).
Завершает эту серию публикуемая ниже статья (не требующая, однako, знакомства с предыдушими). В ней речь идет о кватернионах — числах, содержащих комплексные, а значит и все остальные, числа. Вы узнаете немного о приложениях кватернионов и о свободазной истории их создания, исходной точкой которого было желание внести алgebraическую структуру (сложение и, главное, умножение) в геометрические объекты (различные многоестества точек).

Как сделать из точек числа?

Если речь идет о точках на прямой — это просто. Выбрав начало отчета («нуль») и масштаб с направлением («единицу»), можно получить из прямой числовую ось и тем самым превращать каждую точку в действительное число — ее координату (рис. 1).

С точками на плоскости сложнее. Выбрав начало отчета («нуль») и пару перpendикулярных осей, можно сопоставить каждой точке на плоскости пару ее координат (x; y). Что бы каждую такую пару — дуплет — сделать числом, нужно научиться «складывать» и «умножать» эти дуплеты, причем так, чтобы сохранялись прививчные свойства сложения и умножения (переместительный, сочетательный и распределенный законы, наличие обратных операций — деления и вычитания).

So сложением просто. Дуплеты естественно складывать как векторы —

12

веktorным произведением $v_3 = v_1 \times v_2$ ненулевых векторов $v_1, v_2$ называется вектор, перpendикулярный плоскости, проходящей через векторы $v_1, v_2$, имеющий направление, определяемое правлим правой руки» (рис. 3), и длину $|v_1| \cdot |v_2|$.

$\sin(v_1, v_2)$. Для дальнейшего заметим, что если векторы $v_1, v_2$ заданы свойства координатми в прямогольной системе координат:

$$v_1 = (\alpha_1; \beta_1; \gamma_1)$$
$$v_2 = (\alpha_2; \beta_2; \gamma_2),$$

то
$$v_1 \times v_2 = (\beta_1 \gamma_2 - \beta_2 \gamma_1; \gamma_1 \alpha_2 - \gamma_2 \alpha_1; \alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1).$$

(4)

Не операция векторного произведения не годилась Гамильтону, поскольку она не имеет обратной. Например, если $v_1 = v_2 \neq 0$, то угол $(v_1, v_2)$ между этими векторами равен нулю. Значит,лина векторного произведения $v_3 = v_1 \times v_2$ равна нулю, то есть и сам вектор $v_3$ нулевой. Если бы операция деления на ненулевой вектор существовала всегда, то мы имеем $(v_1 \times v_2):v_2 = v_1 \neq 0$, в то время как $v_1 \times v_2 = 0$ и, значит, $(v_1 \times v_2):v_2 \neq 0$. Получившееся противоречие показывает, что деление на $v_2$ невозможно.

Не может не вызвать уважения и восхищения то, что, несмотря на разочарование и неудачи, Гамильтон не оставил надежды и в течение десяти лет с завиным упорством пытается решить поставленную перед собой задачу. И хотя задача так и не была решена (и не могла быть решена — почему, мы обьясим позже), десятилетний труд не пропал даром. В один прекрасный день 1843 года Гамильтон вдруг решил для определения умножения расстаривать не триплеты (тройки чисел), а четверки, или, как он их тут же окрестил, кватернины. Вот как это произойдет.

Случай на Брогемском месте

В одном из писем к своему сыну, написанном в свойствном тому времени несколько высокопарном стиле, Гамильтон вспоминал: «Это был 16-й день октября, который служил в попедельник, в день заседания Совета Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какне-то отделные фразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будет бы замкнула электрический контур; блескула искра, предшешаюшая многое длинные годы определению направленной мысли и труда, моето — если доведется, или труда других, если мне будет дарено достагоно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского места фундаментального формулу о символах $i, j, k$,

$$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1,$$

содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех порстерлась. Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где завиетельствованно, что я попросил и получил разрешение на доклад о кватернинах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственно в попедельник 13-го следующего месяца — ноября».

Определение кватернионов

Кватернионы — это четверки действительных чисел $(x; y; u; v)$, которые удобно записывать в виде

$$q = x + yi + uj + vk,$$

15

При умножении кватернионов дело обстоятель сложнее. Если $q_1$ и $q_2$ — скалярные кватернионы, то их произведение $q_1 q_2$ тоже скалярный кватернион. В случае, когда $q_1 = x$ — скалярный кватернион, а $q_2 = r$ — векторный кватернион, произведение $q_1 q_2 = x \cdot (y_i + uj + vk) = (xy)i + (xu)j + (xv)k$ является векторным кватернионом и операция умножения совпадает с умножением вектора $r$ в пространстве на действительное число $x$.

И наконец, если оба кватерниона векторные:

$$q_1 = r_1 = y_1 i + u_1 j + vk$$
$$q_2 = r_2 = y_2 i + u_2 j + v_2 k,$$

то

$$q_1 q_2 = -(y_1 y_2 + u_1 u_2 + v_1 v_2) + (u_1 v_2 - v_1 u_2) i + (v_1 y_2 - y_1 v_2) j + (y_1 u_2 - u_1 y_2) k.$$

Как видно из последней формулы, скалярная часть произведения $q_1 q_2$ равна скалярному произведение $(r_1, r_2)$ векторов $r_1$ и $r_2$ с обратным знаком. Векторная же часть $q_1 q_2$ — это наш старый знакомый — векторное произведение $r_1 \times r_2$, записанное в координатах (см. (4)).

Объединяя все рассмотренные случаи, получим общую формулу для умножения кватернионов. Если $q_1 = x_1 + r_1$ и $q_2 = x_2 + r_2$, то

$$q_1 q_2 = (x_1 x_2 - r_1 \cdot r_2) + (x_1 r_2 + x_2 r_1 + r_1 \times r_2)$$

А как же триплеты?

Почему Гамильtonу все-tаки не удалось найти удовлетворительное способа для умножения триплетов? Не из-за недостаточного построения или трудолюбия — выше мы уже отмеали, что задачу построения «трехмерных чисел» решить нельзя. Действительно, доказано, что процесс не существует способа умножения точек пространства, удовлетворяющего нашим требованием (ассоциативности, дистрибутивности относительно покоординатного сложения, возможность деления на ненулевые элементы). Более того, сейчас известны все случаи, когда можновести такое умножение.

Как, доказал немецкий математик Ф. Г. Фробенус (1849—1917), этих случаев три: в размерности один (объчные действительные числа), в размерности два (комплексные числа) и в «размерности четырех» (кватернионы).

Что было дальнейшее

Гамильton и его последовательные возлагаемые больше нежды на кватернионы. От кватернионов ожидали таких же результаты, как от комплексных чисел, и даже больше. И действительно, с помощью исчисления кватернионов были обнаружены совершенные в их математической красоте формулы, описывающие ряд важных физических явлений. Но дальнейшие надежды на развитие алгебраического и функциониального исчисления кватернионов не оправдались.

Для кватернионов не имеет места основная теорема алгебры о существовании корней у многочлена с кватернионными коэффициентами, а, с другой стороны, существует такой многочлен с кватернионными коэффициентами от одной переменной, для которого любой кватернион является корнем.

Оптимизм сменился скеписом. В начале нашего века математики перестали интересовать кватернионы. Но время шло, и физики упорно искали математический формул для некоторых эффектов, связанных с так называемым спином элементарных частиц. Кватернионы снова получили признание, когда была понята их роль в построении различных геометрических преобразований пространства, используемых в квантовой физике. Геометрические свойства кватернионов — это особая большая тема, о которой мы надеемся расссказать в дальнейшем.

16

«Загадка»
Опять ничего не могу я понять,
Опилки мои в беспорядке.
Везде и повсуду, опять и опять
Меня окружают заадки.

А. А. Милл. «Винни-Пух и все-все-все».
Трудно сосчитать, сколько раз вам приходилось выливать воду из ведер, стаканов, кувшинов и прочих сосудов. А задумывались ли вы хоть раз, почему она оттуда выливается?

Мы предвидим недопустение: «А над чем тут думать? Этоже совершенно ясно! На воду действует сила тяжести, и если сосуд перевернуть, то под действием этой силы вода потеряет види. Что тут может быть непонятного?»

Проделаем несколько несколько экспериментов, которые показут вам, что не все так просто.

Обыт 1. Наливаем воду в стакан и переворчиваем его вверх дом. Как и следовало ожидать, вода выливается.

Обыт 2. Наливаем воду в тот же стакан, накрываем его листком бумаги, плотно прижимаем листок к краю стакана, переворчиваем стакан и отпускаем листок. Вода не выливается.

Этот опыт хорошо известен, и объясняется он просто: вода не выливается потому, что этому препятствует атмосферное давление. Под действием веса воды листок прогибается, уровень воды в перевернутом стакане попирается, объем, занимаемый в стакане воздуха, увеличается, поэтому давление воздуха умеется и становится ниже атмосферного (рисунок 1).

Разность сил давления атмосферного воздуха и воздуха внутри стакана направлена вверх и уравновешивается сили тяжести, действующего на воду. Вот вода и не выливается, хотя за исключением листка бумаги условия этого опыта — размеры сосуда, количество наливаемой воды, атмосферное давление, температура и т. д. — полностью повторяют условия опыта 1.

Обыт 3. Наливаем воду во фlakон из-под двух и переворчиваем его. Вода не выливается.

Результат этого опыта широко известен, но обычно ему не придают значения. Однако если обратить

18

не возникает, амплитуда волн на нижней поверхности убивает с течение времени, и вода не вытекает.

При каких условиях возникнет неустойчивая волна? Ответ на этот вопрос будет получен в следующем параграфе, но, забегая немного вперед, скажем, что решающее значение имеет длина волны. Если она меньше некоторого критического значения, то волна постепенно затухает, если больше — волна неустойчива. Это объясняет, почему вода не выливается из флакона и других сосудов с узким горлом: если диаметр отверстия меньше критического значения, то неустойчивые волны не возникают — они просто «не помещаются» в отверстии с маленьким диаметром.

Подчеркием, что основным «удерживающим» фактором является атмосферное давление. Причина выливания воды — возникновение на нижней поверхности перевернутой жидкости неустойчивой волны.

Займется теперь более подробным изучением неустойчивых волн.

Немного математики

Далее немногоочищено, чайная ложечка, — это уже хорошо!

А. А. Милл. «Винни-Пух и все-все-все».

К сожалению, полный анализ процессов, происходящих на нижней поверхности перевернутой жидкости, довольно сложен. Поэтому мы ограничимся рассмотренем упрощенной модели, которая, тем не менее, дает возможность разобраться в процессхом.

Представим себе, что мы перевернуть сосуд, накрытый листом бумаги, и сили атмосферного давления уравновесили силу тяжести, действующую на_body (это произходило в опыте 2). Представим теперь, что лист бумаги мгновенно исчез, и на нижней границе жидкости обращалась свободная поверхность. В первый момент атмосферное давление еще удерживает жидкость, но в силу случайных колбаний воздействия и сосуда на невозмущенной поверхности начинают образоваться волны.

Рис. 2.

ны. Поведение этих волн и будет интересовать нас в первую очередь.

Мы рассмотрим только один тип волн: плоские волны в сосуде с ответственным прямоугольной формулы. При этом мы будем предложать, что сечение волны плоскостью α, изобразенной на рисунке 2, состоит из полукружностей радиуса R. Этот тип волн выбран в основном из сообщений простоты расчетов. Расстояние других типов волн приводит к аналогичным выводам.

При возникновении на нижней поверхности жидкости волны меняется поверхностная энергия жидкости и ее потенциальная энергия.

Как мы уже говорили, свойства волн на нижней поверхности жидкости определяются поверхностным натяжением. При возникновении волны площадь свободной поверхности уравновесия. Следовательно, уравновесия поверхности жидкости

Напомним, что молеклы на поверхности обладают большей энергии, чем молеклы внутри жидкости. Силы притяжения, действующие на молеклу внутри жидкости со стороны ее соседей, направлены во все стороны, и ихравнодействующая равна нулю. А равнодействующая сил притяжения, действующих на молеклу на поверхности жидкости, не равна нулю. Для перемещения молеклы из глубины на поверхности необходимо совершить работу против этой силы. Следовательно, молеклы влизывают поверхностную энергию по сравнению с молеклами, находящимися внутри жидкости. Это

19

избыток и называют поверхностной энергейой. Понятно, что поверхностная энергия пропорциональная площади поверхности: $W = \sigma S$, где коэффициент пропорциональности $\sigma$ называется коэффициентом поверхности натяжения.

Представим себе, что на нижней поверхности жидкости в перевернутом состоянии образовалась волна, длина которого равна линейному размеру отверстия в сосуде (рисунок 3). Подсчитаем изменение энергии жидкости, то есть разница между энергиями до и после возникновения волны.

Площадь поверхности жидкости (см. рисунок 3) увеличивается на

$$\Delta S = S_2 - S_1 = 4\pi Rl - 4Rl.$$

Увеличение поверхности энергии за счет увеличения площади поверхности равно

$$\Delta W_1 = \sigma (2\pi Rl - 4Rl) = 2\sigma (\pi - 2)Rl.$$

С другой стороны, при возникновении волны часть жидкости опустилась, и соответственно изменение потенциальной энергии равно

$$\Delta W_2 = -mgh,$$

где $m$ — масса опустившейся жидкости, $h$ — расстояние, на которой опустился ее центр тяжесте, $g$ —ускорение свободного падения (минус в этой формуле означает, что изменение энергии отрицательно, то есть энергия уменьшилась).

Массу опустившейся жидкости $m$ найти легко — это произведение плотности жидкости $q$ на объем половины круглого цилиндра радиуса $R$ и высоты $l$. Расстояние, на которой опустился центр тяжесте жидкости, — $h = 2d$, где $d$ — расстояние от центра тяжесте половины $2^*$

Полное изменение энергии запишется в виде

$$\Delta W = \Delta W_1 + \Delta W =$$

$$= 2(\pi - 2)\sigma Rl - \varphi g l \frac{4}{3} R^3 =$$

$$= 2Rl[(\pi - 2)\sigma - \frac{2}{3}\varphi g R^2].$$

На рисунке 4 приведен график зависимости $\Delta W$ от $R$. Посмотрите на этот график повышательное. Именно он дает ответ на все непонятные вопросы, связанные с выполнением воды. Для начала сравните его с графиком на рисунке 5, где изображена зависимость потенциальной энергии от координаты для шарика, который находится на вершине горы в небольшей яме. Похоже, неправда ли?

И поведение этих столь не похожих друг на друга систем во многом оказывается аналогичным. Шарик, как и любая система, стремится

20

занять положение с минимальной потенциальной энергией. Позному при малых отклонениях от положения равновесия он вернется обратно, на дно ямы. Но если отклонение будет достаточно велико, то шарик начнет скатывать с горы и уже не вернется в первоначальное положение равновесия. Переваличрез навысшую точку, он будет стремиться к другому минимуму потенциальной энергии.

Аналогичная картина происходит и при выливании жидкости. Невозмущенная нижняя граница соответствует нульному значению $R$ (точка 0 на рисунке 4). При возникновении волн с $R < R_{\text{кр}}$ поверхность жидкости будет стремиться вернуть в невозмущенное состояние. Но как только $R$ превышает $R_{\text{кр}}$, амплитуда волн будет стремиться неограниченно возрастать. Уменьшение энергии за счет попежения центра тяжестеки оказывается большие, чем увеличение энергии, связанное с увеличением площади поверхности. Поэтому волне энергетически выгодно увеличивать амплитуду. Это и приведет к выливанию жидкости из сосуда.

Вычислим теперь критическое значение $R_{\text{кр}}$. Из рисунка 4 видно, что максимум потенциальной энергии достигается только в одной точке. Те, кто уже имеет исследовать функцию на максимум и минимум с помощью произвольных, легко найти, что

$$R_{\text{кр}} = \sqrt{\frac{(\pi-2)}{2} \frac{\sigma}{\rho g}}.$$

Остальные придется поверхить нам на слова.

Таким образом, наша простая модель позволяет объяснить важнейшие черты исследуемого явления. Недостаток ее заключается в том, что параметр $R$ характеризует у нас и длину волны, и ее амплитуду. Гораздо последовательнее было бы независимо задавать все параметры волны, но это условило бы подсчет изменения энергии. Для тех, кто не имеет интегрирования, трудности стали бы непреодолимыми, а мы стремились максимально упростить все вычисления. Тем не менее подстановка численных значений для воды — $\rho = 10^3$ кг/м³ и $\sigma = 73 \cdot 10^{-3}$ Дж/м² — дает значение критического радиуса $R_{\text{кр}} = 2 \cdot 10^{-3}$ м=2 мм. Учитывая, что длина волны равна $\lambda = 4R$, мы получим, что вода будет вытекать из перевернутого сосуда, если размер ответствия превышает 8 мм, что находится в разумном согласии с экспериментом.

---

Итак, мы выяснили роль различных факторов, которые влияют на выливание воды и прочих жидкостей из сосуда. Это простое, на первый взгляд, явление оказалось сложным и интересным.

И в заключение вернемся к самому началу. Как же все-tаки ответить на вопрос: «почему вода выливается из воды?» Правильный ответ можно сформироватьprimерно так: радиус города должно быть критического радиуса, начиная с которого на нижней поверхности воды могут образовать неустойчивые волны. Поэтому волне, случайно возникшие на нижней поверхности воды, имеют тенденцию неограниченно увеличивать свою амплитуду, что и приводит к выливанию воды из перевернутого воды.

21

Химическая геометрия

Химические соединения, особенно организкие, имеют сложное строение. Наглядный тому пример — молекula деоксирибонукленовой кислоты, представляющая собой две полимерные цепочки, закрученные в двойную спираль (см., например, статы М. Д. Франк - Каменецкого «Самая главная молекula» в «Кванте» № 8 за 1982 год и «Левая спираль ДНК» в «Кванте» № 6 за 1983 год).

Выяснить строение сложных молекул, созданных природой, разобраться в их геометрии не так-то просто. Однако сейчас химики научились не только разшипровать известные соединения, но и создавать новые, геометрия которых веса необсяна. О двух осуществленных геометрических «проектах» инойдет речь. Сообщения о них появились в научных журналах в конце 1982 года.

Первое такое соединение получило название «додекаэдран». Его молекуры имеют форму додекаэдра — правильного двенадцатигранника (см. рисунок в начале статьи). Каждая молекula состоит из 40 атомов: 20 атомов углерода, расположенных в вершинах додекаэдра, и 20 атомов водорода, присоединенных к атомам углерода.

История о том, как «собрать» такой многогранник, как следить заправильною «сборки» на каждом этапе, заслуживает отдельно рассказа. Заметим только, что молекул с такой симметрией до сих пор известно не было и в книгах о такой симметринии говорилось лишь для полотны картины. Теперь же это не так, додекаэдран — в полне реальное вещество, хотя и полученное пока в очень небольшом количестве. Это порошок белого цвета, который начинает плавится при температуре 450 °C.

Молекуры второго необъического соединения, полученного химики, имеют вид ленты Мёбиуса. Попробуем обяснить, как они устроены.

Среди организаских соединений есть много таких, молекуры которых представляют собой колца. Например, некоторые эфиры. Эфирные колца часто объединяются по несколько штук, образуцепочку-мономер, связанную перемычками двойных связей. В на-их концах находится активные группы, могут объединяться в лентообразные цепочки-полимеры. Однако, если в расторе мономеров мало, они, изгибаясь, могут соединяться простым с собой, образуя колцо. При этом примерно в половине случае образуется не простое колцо, а перекрученное. Так устроен первый химический лист Мёбиуса.

К нашей геометрической колекции следует добавить еще катенаны — недавно полученные колцеобразные молекулы, в которых колца сцепленны не химически, а соединины, как в ювелирной цепочке.

Можно надеться, что с течение времени колекция будет пополнять все новыми и новыми экспонатами.

Я. С.

22

Сравнительный вискозиметр Жуковского

Кандидат физико-mатематических наук А. Э. АРИНШТЕЙН

Всем хорошо известно, что, согласно законам Ньютона, для поддержания движения тела с постоянной скоростью не требуется никаких сил. Однако на практике мы убеждаемся как раз в обратном: если к движущему телу не прикладывать сил, поддерживающих это движение, то тело рано или поздно оставится.

Жужщеся противоречие обяснить очень легко. И дело, конечно же, не в нарушении закона Ньютона

на. Просто в результате ситуаций практических на любое движущесе тело действуют силы сопротивления, направленные против движения. Природа этих сил может быть различной, но результат их действия один и тот же: для поддержания движения необходима дополнительная сила, в противном случае только остановится.

Одно из свойств материалов тела, которые приводит к возникновению силы сопротивления движения, то по закону Бернулли давление жидкости должна быть одинаковым по всей длине трубы. В действительности давление вдоль направления движения жидкости падает, и для сохранения устойчивого течение на концах трубы надо поддерживать определенную разность давления. Это связано с тем, что скорости движения жидкости на различных расстояниях от стенок трубы неодинаковы, и между отдельными слоями движущейся жидкости возникают силы, называемые силами вязкости. Они стремятся затормозить тот из двух соприкасающих слоев, который движется быстрее, иускорить тот, который движется медленнее.

У разных жидкостей этот эффект проявляется по-разному. У густых жидкостей, подобных меду, он выражен сильнее, чем у жидкостей типа воды. Первые жидкости называют, соответственно, более вязким, а вторые — менее вязким. (Для тел, находящихся в аморфном состоянии, вязкое течение, хотя и очень слабое, тоже имеет место. Известно, например, что поставленная вертикальная пластинка через несколько десятьков, а иногда сотен, лет принимает форму силы воытянутой капли. Аналогично происходит сталактитов — натеков причудливой формулы, свешивающихся с потолка и стен пещер.)

Существует и количество оценка вязких свойства — вязкость, величины, которая может быть изменена (а это очень важное для физков). Что же под этим понятие?

Мы следeno поместим жидкость (договоримся впредь этим словом назы-

23

васть и жидкость, и газ) между двумя паралельными достаочно большими пластинами, расположенными на небольшем расстоянии друг от друга (рис. 1). Пусть первоначально вся система поконтся, а в некоторый момент верхняя пластина начинает двигаться паралельно нижней с постоянной скоростью $v_0$. Благодаря вззости, жидкость тоже придет в движение, причем прилегаюший к верхней пластине слой будет двигаться с той же скоростью, что и пластина, следующего слой — с меньшей скоростью, следующего — с еще меньшей и так далее до самого нижнего слоя, который как бы прилипает к нижней пластине и остается в покое. Оказывается, для того чтобы поддерживать движение верхней пластины с постоянной скоростью, к ней требуется прикладывать постоянную силу. Как экспериментально было установлено еще Ньютоном, модель $F$ этой силы тем больше, чем больше площадь $S$ пластины и скорость $v_0$ ес движения и чем меньше расстояние $d$ между пластинами (другими словами, сила, приходящая на единицу площадей поверхности пластины, зависит от того, насолько быстро меняется скорость течение жидкости при переходе от слоя к слюю):

$$F \sim S \frac{v_0}{d},$$

Коэффициент пропорциональности $\eta$ и есть вязкость жидкости. В единицах СИ она измеряется в кг/($\text{m} \cdot \text{c}$).

Для разных жидкости ее значения различны, а для каждой данной жидкости вязкость довольно сильно зависит от температуры. Так, в жизни мы часто замечаем, как с понжением температуры загустевают, то есть становятся более вязкими, многое жидкости. Поэтому, задавая вязкость вещества, всегда оговаривают температуру, а в случае необходимости задают различные значения вязкости в зависимости от температуры или даже график зависимости вязкости от температуры (например, на рисунках 2 и 3 изображены такие графики для воды и оливкового масла).

Вязкость можно измерить, для этого существуют специальные приборы, называемые вискозиметрами. Имеется несколько различных типов вискозиметров, об одном из них мы и хотим расскаать.

Непосредственное изменение вязкости — процессора довольного тонка. Но если у вас есть жидкость, вязкость которой известна, то можно буквально из подручных материалов сделать прибор, с помощью которого легко сравнить вязкость двух жидкости, а значит, и определять вязкость интерресуцию вас жидкости. Речь идет о сравнительном вискозиметре Жуковского, названном по имени замечательного русского ученого Н. Е. Жуковского, придумашшего и описавшего этот прибор.

Сравнительный вискозиметр (рис. 4) состоит из большого сосуда $K$, заполненного водой, температура которой поддерживает постоянной и контролирует термометром $T$. В воде находится два грушевидных сосуда (например, молочные бутыл-

24

ки) Б и Б’, закрытые гуттаперчевыми пробками. В каждую пробку входит по две трубки: одна изогнутая, другой пряма. Изогнутые трубки 1 и 1’, окачивающиеся в горловинах сосудов, посредством тройника соедиены с резиновым шаром Ш (годится, например, футбольная камера или медицинская спринцовка). Прямы трубки 2 и 2’ одним концом доходят до дна соответствующего сосуда, а другим входят в мензурки М и М’ (програмрованные в кубических сантиметрах). Выступающие участки этих трубок можно плавно изогнутъ так, чтобы их концы были почтировены (чуть выше) с уровнем жидкости в сосудах Б и Б’. Это делается для того, чтобы уменьшить погрешность измерения за счет разной плотности жидкости (не надо предолевать различную силу давления стольников самих жидкости).

Наполним сосуд Б жидкостью с известной вязкостью, а сосуд Б’ — исследуемой жидкостью, опустим их в сосуд К и залым туда воды определенной температуры. Через некоторое время, когда этой же температуры достигнет все содержимое сосуда K, начинаем скимать шарик Ш и гнать из него воздух в сосуды Б и Б’. Он попадает в верхние части сосудов и давит на жидкость с равными силами давления. Под давлением воздуха жидкости частично вытесяются из сосудов и через прямы трубки попадают в мензурки.

Как показывает опыт, объем V жидкости, протекающий через трубку постояного сечения за некоторое время т, тем больше, чем меньше вззость жидкости, то есть

$$\frac{V}{\tau} = \frac{A}{\eta},$$

где коэффициент A зависит от условия опыта, к которым относится переад давления и параметры трубок (подробнее об этом будет расссказано в Приложении к статусе). Если трубки 2 и 2’ одинаковы, то относение объемов вытесенных жидкости будет равно обратному отношению их вззостей:

$$\frac{V}{V'} = \frac{\eta'}{\eta}$$

(ведь все условия протекания обих жидкости одинаковы). Отсюда, зная вззость η известной жидкости и измерив на опите объемы V и V’, легко найти вззость исследуемой жидкости:

$$\eta' = \eta \frac{V}{V'}$$.

А как бы, если нельзя гарантировать идентиность трубок 2 и 2’ (в домашних условиях это сделать, действительное, практическое невозможное)? Это затруднение можно предолеть, несколько изменить методку проведения эксперимента.

Проведем опыт два раза: сначала так, как было описано выше, а затем

27

Предлагаем читателем самостоятельную разобрать случай б, в, 2.

3. Корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $x^2 - 2rx - 7r^2 = 0$ удовлетворяют условиям $x_1^2 + x_2^2 = 18$. Найдите $r$.

Сначала выразим $x_1^2 + x_2^2$ через сумму и произведение корней, а затем воспользуемся теоремой Виета. Имеем
$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (2r)^2 - 2 \cdot (-7r^2) = 18r^2.$$
Таким образом, задача сводится к решению уравнения $r^2 = 1$, откуда $r_1 = 1$, $r_2 = -1$.

4. Найдите необходимые и достаточно условия того, что корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $f(x) = x^2 + px + q = 0$ больше 1 по абсолотной величины и различны по знаку.

Решение, основанное на применении известных формул для дискримината и корней квадратного уравнения, является трудоемким и техническим сложным. Задача легко решается, если используются геометрические соображения.

Найдем сначала необходимые условия. Пусть $x_1 < x_2$ (корни различны). По условию задачи $x_1 < -1$, $x_2 > 1$, то есть отрезок $[-1, 1]$ лежит внутри промежутка $]x_1, x_2[$ (рис. 2). Последнее условие эквивалентно следующей системе неравенств:
$$\begin{cases} f(-1) < 0, \\ f(1) < 0. \end{cases} \quad (1)$$
Подставляя 1 и -1 в выражение для $f(x)$ получаем необходимые условия:
$$\begin{cases} -p + q < -1, \\ p + q < -1. \end{cases} \quad (2)$$
Связь между найdenными значениями $p$ и $q$ удобно представить графически, изображив на координатной плоскости $(p, q)$ множество точек, координаты которых удовлетворяют полученным неравенствам (рис. 3).

Покажем, что необходимые условия (2), являются достаточноми, то есть при выполнении неравенств (2) квадратный треугольен $f(x) = x^2 + px + q$ имеет такие корни $x_1$ и $x_2$, что $x_1 < -1$, а $x_2 > 1$. Так как условия (2) эквивалентны условиям (1), в двух различных точках $(x = 1$ и $x = -1)$ функция $y = f(x)$ принимает отрицательные значения. Так как коэффициент при $x^2$ положитель, ветви парабoles $y = f(x)$ направлены

вверх. Следовательно, парабола пересекает ось $Ox$ в двух различных точках $x_1$ и $x_2$ ($x_1 < x_2$), причем точки $-1$ и 1 лежат на интервале $]x_1, x_2[$, то есть $x_1 < -1$, $x_2 > 1$.

5. Найдите все значения $r$, при которых корни уравнения $(r - 4)x^2 - 2(r - 3)x + r = 0$ больше -1.

Сначала отделно рассмотрим случай $r = 4$. Тогда уравнение имеет вид $-2x + 4 = 0$, откуда $x = 2$. Так как $2 > -1$, значение $r = 4$ нам подходит.

Если $r \neq 4$, то уравнение является квадратным.

Решим задачу в более общем виде: найдем необходимые и достаточноные условия, при которых корни квадратного треугольена $f(x) = ax^2 + bx + c$ существует и она больше заданного числа $d$.

Геометрическое решение. Корни $x_1$ и $x_2$ должны существовать, поэтому $(1) D = b^2 - 4ac \geq 0$.

Построим эквивалентные графики функций $y = f(x)$. Возможна одна из двух ситуаций, представленных на рисунке 4. Так как она корня больше $d$, абсцисса вершины парабoles больше $d$, то есть $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} > d$, или по формуле Виета
$$-\frac{b}{2a} > d \quad (2)$$

Точка $x = d$ должна лежать вне отрезка $[x_1, x_2]$. Это означает, что либо ветви парабoles направлены

28

Рис. 4.

вверх ($a > 0$) и $f(d) > 0$ (рис. 4, а), либо ветви параболы направлены вниз ($a < 0$) и $f(d) < 0$ (рис. 4, б). Следовательно, числа $a$ и $f(d)$ — одного знака, то есть
$$af(d) > 0.$$ (3)

Проверьте самостояльно, что условия (1) — (3) в совокупности являются не только необходимыми, но и достаточноими.

Алгебраическая решение. Два действительных числа $x_1 - d$ и $x_2 - d$ положительные тогда и только тогда, когда их сумма и произведение положительных. Поэтому условия задачи равносильно совокупности следующих трех условий:
$$D = b^2 - 4ac > 0,$$
$$(x_1 - d) + (x_2 - d) > 0,$$
$$(x_1 - d)(x_2 - d) > 0.$$
Пользовать формулами Виета, второе условие можно переписать в виде
$$x_1 + x_2 - 2d > 0, \frac{x_1 + x_2}{2} > d, -\frac{b}{2a} > d.$$
Третье — переписывается так:
$$x_1x_2 - (x_1 + x_2)d + d^2 > 0,$$
$$a(ad^2 + bd + c) > 0, af(d) > 0.$$
Таким образом, мы вновь доказали, что совокупность условий (1) — (3) равносильно условия рассмотренной общей задачи.

Возвращаясь к задаче 5, выпишем для нее условия (1) — (3). Получим систему неравенств
$$\begin{cases} (r - 3)^2 - r(r - 4) = 9 - 2r \ge 0, \\ \frac{r - 3}{r - 4} > -1, \\ (r - 4)(4r - 10) > 0. \end{cases}$$
Решая ее, получаем $r < 5/2$, $4 < r \leq 9/2$. К этим решениям надо добавить решение $r = 4$. Ответ:
$$] -\infty, \frac{5}{2} \cup [4, \frac{9}{2}].$$

Задание

6. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$. Найдите $p$ и $q$, если известно, что $x_1 + 1$ и $x_2 + 1$ являются корнями уравнения $x^2 - p^2x + pq = 0$.

7. График квадратной функции $y = ax^2 + bx + c$ высекает на двух параллельных прямых отрезки $[AB]$ и $[CD]$. Докажите, что прямая, проходящая через середины этих отрезков, параллельна оси ordinат.

8. Известно, что квадратный трехчлен $f(x) = ax^2 + bx + c$ не имеет корней и его коэффициенты связаны соотношениям $a - b + c < 0$. Определите знак $c$.

9. Пусть корни $x_1$ и $x_2$ квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ различны. Докажите, что число $x_0$ находится между $x_1$ и $x_2$ тогда и только тогда, когда $a(ax_0^2 + bx_0 + c) < 0$.

10. Пусть уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет неотрицательных корней и $a < 0$. Определите знак $c$.

11. Пусть коэффициенты уравнения $x^2 + p_1x + q_1 = 0$ и $x^2 + p_2x + q_2 = 0$ связаны соотношениям $p_1p_2 = 2(q_1 + q_2)$. Докажите, что по крайней мере одно из этих уравнений имеет корни.

12. Может ли уравнение $x^2 + px + q = 0$, где $p$ и $q$ — разница числа, имеет следующее корни:
    a) $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$?
    b) $x_1 = \sqrt{3} + 2, x_2 = 2 - \sqrt{3}$?

13. Докажите, что любой разционной корень уравнения $x^2 + px + q = 0$ с целыми коэффициентами $p$ и $q$ является целым числом.

14. Уравнение $x^2 + p_1x + q_1 = 0$ и $x^2 + p_2x + q_2 = 0$ с целыми коэффициентами $p_i, q_i$ ($i = 1, 2$) имеют общий нецелый корень. Докажите, что $p_1 = p_2, q_1 = q_2$.

15. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и $S_m = x_1^m + x_2^m$ ($m$ — целое положительное). Докажите формулу $aS_m + bS_{m-1} + cS_{m-2} = 0$.

29

Физика 8, 9, 10

С этого номера раздел «Школа в «Кванте» начинает публикаровать небольшие заметки по физике для учащихся 8–10 классов. В них будут разъясняться некоторые вопросы. Читатель узнает также, как можно по-другому вывести известные школьные формулы. Некоторые статьи будут посвящены вопросам, которые не уместились в школьном учебнике. Редакция найдется, что эти материалы послужат дополнением к учебнику и помогут читателям лучше усовойти школьную программу.

Публикуемая ниже заметка «О выборе координатной оси» предназначена восмилклассикам, заметка «Простой способ определения размеров молекул» — девятиклассикам, а заметка «О законе колебательного движения» — десятиклассикам.

Материалы подготовили И. К. Белкин.

О выборе координатной оси

При рассмотрении прямолинейного движения точки координатную ось X обычно направляют вдоль направления движения, то есть вдоль направления вектора перемещения (рис. 1).

Рис. 1.

Рис. 2.

Тогда проекция $S_x$ вектора $\vec{S}$ на ось простора равна modulo $S$ этого вектора:

$$S_x = x_2 - x_1 = S.$$

В случае, показанным на рисунке 1,

$$S = 8\text{ м} - 2\text{ м} = 6\text{ м}.$$

Но не нужно думать, что такой выбор оси обязательен. Ось $X$ можно направить произвольным образом, под любым углом к направлению вектора $\vec{S}$. Например, так, как это показано на рисунке 2, где ось $X$ образует с вектором $\vec{S}$ угол $\alpha = 60^\circ$. От этого результат (modulo вектора перемещения) не может измениться. Из рисунка 2 видно, что

$$S_x = x_2 - x_1,$$

а

$$\frac{x_2 - x_1}{S} = \cos \alpha,$$

или $x_2 - x_1 = S \cos \alpha,$

откуда

$$S = \frac{x_2 - x_1}{\cos \alpha}.$$

В нашем случае

$$S = \frac{4\text{ м} - 1\text{ м}}{0,5} = 6\text{ м}.$$

Таким образом, результат не зависит от того, как направлена координатная ось. Выбор направления оси диктуется только сообщением удобства.

Простой способ определения размеров молекул

В молекулярной физике главные «действующие лица» — это молекулы, неообразимо маленькие частицы, из которых состоит все на свете вещества. Ясно, что для изучения многих явлений важно знать, каковы они, молекулы. В частности — каковы их размеры.

Когда говорят о молекулах, их общую считают маленькими упругими твердыми шариками. Следовательно, знать размер молекул — значит знать их радиус.

Несмотря на малость молекулярных размеров, физики сумели раз-

30

работать множество способов их определения. В «Физике 9» рассказывается о двух из них. В одном использовется свойство некоторых (очень немного) жидкости растется в виде пленки толщиной в одну молекулу. В другом размер частицы определяется с помощью сложного прибора — иннного проектора.

Существует, однако, очень простой, хотя и не самый точный, способ вычисления радиусов молекул (или атомов). Он основан на том, что молекулы вещества, когда оно находится в твердом или жидком состоянии, можно считать плотно прилегающим друг к другу. В таком случае для грубой оценки можно считать, что объем $V$ неоторной массы $m$ вещества просто равен сумме объемов содержащихся в нем молекул. Тогда объем одной молекулы мы получим, разделив объем $V$ на число молекул $N$.

Число молекул в теле массой $m$ равно, как известно, $N_A m/M$, где $M$ — молярная масса вещества и $N_A$ — число Авогадро. Отсюда объем $V_0$ одной молекулы определяется из равенства

$$V_0 = \frac{V}{N} = \frac{VM}{mN_A}.$$

В это выражение входит отношение объема вещества к его массе. Обратное же отношение $m/V = \rho$ есть плотность вещества, так что

$$V_0 = \frac{M}{\rho N_A}.$$

Плотность практических любого вещества можно найти в доступных всем таблицах. Молярную массу легко определять, если известна химическая формула вещества.

Объем одной молекулы, если считать ее шариком, равен $\frac{4}{3} \pi r^3$, где $r$ — радиус шарика. Поэтому

$$\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{M}{\rho N_A},$$

откуда мы и получаем выражение для радиуса молекул:

$$r = \sqrt[3]{\frac{3M}{4\pi\rho N_A}} = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi N_A}} \sqrt[3]{\frac{M}{\rho}}.$$

Первый из этих двух корней — постоянная величана, равная $\approx 7,4 \cdot 10^{-9} \text{ м}^2/\text{м}$, поэтому формула для $r$ принимает вид

$$r \approx 7,4 \cdot 10^{-9} \sqrt[3]{\frac{M}{\rho}} (\text{м}).$$

Например, радиус молекулы воды, вычисленный по этой формуле, равен $r_b \approx 1,9 \cdot 10^{-10} \text{ м}$.

Описанный способ определения радиусов молекул не может быть точным уже потом, что шарики нельзя уложить так, чтобы между ними не было промежутков, даже если они соприкасаются друг с другом. Кроме того, при такой «упаковке» молекулшариков были невозможны молекулярные движения. Тем не менее вычисления размеров молекул по формуле, приведенной выше, дают результаты, почти совпадающие с результатами других методов, неравенно более точных.

О законе колебательного движения

Колебательное движение способно совершать всякое тело (точка), если на него действует упругая сила, например сила упругостики пружины (или сила, «похожая» на упругую).

Для вывода закона движения, то есть зависимость координаты от

31

времени, приходится пользоваться дифференциальным исчислением, решать дифференциальное уравнение (см. «Физику 10»). Можно получить этот закон и более простым образом. Показем это.

Пусть некоторая матриальная точка $M$ движется по окружности радиуса $A$ под действием других (рис. 1). Пружина надета на стержень, который может врашаться вокруг точки $O$. Один конец приложены связи с точкой $M$, а другой закреплен на краю стержня. Если стержень привести во врашение с угловой частотой $\omega$, то прижина растется на длину $A$ и возникнет сила упругости, которая будет действовать на точку $M$. Эта сила сообщит точке центроремительное ускорение, равное $\omega^2 A$, где $A$ — радиус окружности, по которой будет движаться точка. Модуль силы упругости равен, как известно, $k A$, где $k$ — жесткость других. Значит, согласно второму закону Ньютона,

$$m\omega^2 A = k A,$$

откуда

$$\omega^2 = \frac{k}{m}, \text{ и } \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}. \quad (*)$$

Время, в течение которого точка совершает один оборот, называется периодом обращения точки и обозначает буквой $T$. Мы легко получить значение $T$, если разделим длину окружности $2\pi A$ на скорость $v$, которая может быть выражена через $\omega$: $v = \omega A$, так что

$$T = \frac{2\pi A}{\omega A} = \frac{2\pi}{\omega}.$$

Отсюда период обращения точки $M$, согласно равенству (*), равен

Бим и Бом

На арене цирка выступал феноменальный вычислитель Бим, который мог переможать в уменьшенной числа. Только что на глаза у изумленной публики он возвел два в двадцать девятую степень. Получилось девятизначное число, в котором все цифры были различны. У Бим было десять карточек, на которых были написаны все десять цифр. Из девятки карточек Бим выложил на арене нужно число, а десятию положил в карман. Придя после выступления домой, Бим расскажал свое ему брату математику Бому все, что написано выше, и хотел уже достать из кармана карточку, но Бом остановил его:

— Хоть я и не умело так хорошо считать в уже, как ты, но могу сказать, что у тебя в кармане четверка.

Как Бим это узнал, не вычисляя девятизначного числа?

Г. А. Гато

32

Задания

1. Гена вырезал из бумаги десять карточек и на каждой из них написал по цифре: 0, 1, 2, …, 9. Затем он разложил их на столе по две и обнаржил, что получившиеся двумячные числа относится как 1:2:3:4:5. Вечером он захотел показать свой результат отцу, но не нашел картоку с цифрой 0. Однако, подумав, он разложил карточки так, что новые числа также относились, как 1:2:3:4:5. Как раскладывал Гена карточки в первый раз и как — во второй?

2. На ежегодном «конкурсе тыкв», проводимом в Великобритании, очередной «чемпион» имел массу 109 килограмм и 2,5 метра в обхвате. Будет ли она плавать в воде? Сможет ли на ней, как на плоту, плавать мальчик, если его масса 20 килограмм? При расчетах считайте тыкву шаром, объем шара радиуса $R$ равен $\frac{4\pi R^3}{3}$.

3. В обычном наборе домино 28 косточек. Сколько косточек содержало бы домино, у которого значения, указанные на косточек, изменились бы не от 0 до 6, а от 0 до 12?

4. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AE$. Сравните по величины углы $AEB$ и $AEC$, если известно, что $|AB| > |AC|$.

5. Коля сделал доску (для игры, называемой «Иога») и раскрасил ее на манер шахматной, как показано на рисунке. Как-то раз он решил обойти все поля этой доски одной шашкой, pobывав на каждой поле по одному разу и переходя с поля на поле через сторону соответствующего квадрата. Он заметил, что если он начинает с белого поля, то такой обход ему удается, а если с рыжого поля — то не удается. Почему?

Эти задания нам предложили
А. Л. Кабризон, Н. А. Родина, А. П. Савин, Л. З. Карелин, Н. И. Авилов.

33

Кубик
в картинах

Кандидат физико-mатематических наук
В. Н. ДУБРОВСКИЙ

Наверное, кубик Рубика уже не нуждается в представлении — только «Квант» посвятил ему четыре большие статы *), и даже по телефению его показывали! А самое главное — наконец, он стал появляться в продаже. Тепер повсюду можно встретить людей (обычно весма юных), питанияся собрать кубик — упорно, но не всегда успешно. Вот мы и решили еще раз расскаать, а точнее — показать на картинах, как это делается.

Повороты граней мы будем изобразить с помощью стрелок в квадрате

*) В. Залгаллер, С. Залгаллер «Венгерский шарнирный кубик» (1980, № 12), М. Евграфов «Механика волшебного кубика» (1982, № 3), В. Дубровский «Алгоритм волшебного кубика» (1982, № 7) и «Математika волшебного кубика» (1982, № 8). См. также заметку «Игра, задача или спор?» (1982, № 7, с. 25) и статью Ю. Демкова «Поворачиваем кубики» (1981, № 12).

3×3, изобразяющим переднюю грань кубика (рис. 0).

Каждай этап сборки задается рисунками, на которых показаны исходное положение кубиков, которые переставляются на этом этапе, последовательность поворотов этого этапа и вид кубика после его завершения.

Договоримся, что при сборке грань с синим центральным квадратом всегда будет у нас верней. Центральный квадрат противоположной грани в разных экземплярах кубика бывают разным; для определения будем считать его зеленым. Итак, в результате сборки верхняя грань кубика должна стать у нас синей, нижняя — зеленой. Передней грань по ходу сборки может служить любая из четырех остальных (боковых) граней.

Если вы хотите немного круглки кубик, вы поняли, что центральные кубики всех граней сразу можно считать стоящими на своей месте (поскольку их взаимное расположение жестко установлено конструкцией кубика), а для каждой из остальных кубиков имеет вплоне определение окончательное положение: каждая грань кубика должна применять (по стороне или вершине) к центральному квадрату того же цвета.

Кубик мы будем собирать последно — сначала нижний слой (первые шаг), потом средний (третьй шаг) и, наконец, верхний (последние четыре шаг).

Рис. 0. «Стрелочные» и «Буквенные» обозначения поворотов пяты граней (задняя грань нам не понадиться). Например, буква Ф обозначет поворот передней (Фасад) грани на 90° по часовой стрелке, Ф’ — ее поворот на 90° против часовой стрелки, Ф² — ее поворот на 180°. На этом и следующих рисунках неакрашенные грани кубиков — это грани, цвет которых на данной рисунке мы не желаем фиксировать.

34

Рис. 1. Первый шаг: установка нижнего реберного кубича.

Итак, начнем!
Первый шаг. Нижний крест:
установливаем нижние реберные кубички (рис. 1). Выберите какой-нибудь реберный кубичек с зеленой гранью, не стоящий в окончатальном положении, и поворотом боковой грани, в которой он находится, переведите его в верхнюю грань. Пусть вторая грань выбранного кубича — желтая; поворотом кубика сделайте грань с желтым центральным квадратом передней и поворотом верхней грани приведите кубик в какое-то из двух исходных положений рисуника 1. Действуйте согласно рисунку — выбранный кубичек оказывается в нужном положении. Установливая каждый следующий реберный кубик, нельзя портить уже доступную (подумайте, как это сделать!).
В дальнейшем на всех рисунках мы тоже будем переднюю грань изображать желтой (то есть с желтой

Рис. 2. Второй шаг: установка нижнего углового кубича.

35

тым центральным квадратом), правую — оранжевой. Но, разумеется, на каждом шаге, приводя к исходному положению соответствующего рисуна, вам самим придется сообщать, какую грань принять за переднюю.

Второй шаг. Нижние углы: установливаем нижние угловые кубики (рис. 2). Выберите какой-нибудь угловой кубиек с зеленой гранью, находящейся в верхнем слое, и поворотом верхней грани поставьте его точно над его местом в нижнем слое. При этом выбранный кубиек займет какое-то из трех исходных положений рисуна 2. Действуйте согласно рисуну — выбранный кубиек окажется в нижном положе-

нии. Если в верхнем слое не осталось угловых кубиков с зеленой гранью, но в нижнем слое какой-то угловой кубиек не стоит в окончательном положении, поверните кубик так, чтобы этот кубиек оказался «передним-правым-низким», и продолжайте лю-бую из операций рисуна 2 — он оказывается в верхнем слое.

Третий шаг. Средний слой: установливаем средние реберные кубики (рис. 3). Выберите какой-нибудь реберный кубиек без синих граней, находящийся в верхнем слое. Поворотом верхней грани приведите кубик в какое-то из двух исходных положений рисуна 3. Действуйте согласно рисуну — выбранный кубиек окажется в нижном положе-

Рис. 4. Четвертий шаг: ориентирование двух верхих реберных кубиков. (Красные стрелки показывают, как они при этом переставляются, что на этом шаге для нас не важно.)

37

Рис. 6. Шестой шаг: ориентирование трех верхих угловых кубиков. (При выборе исходного положения кубика красные стрелки идентируется.)
(рис. 7). После шестого шага либо все верхние угловые кубики встанут правильно, либо один из них встанет правильно, а три других надо циклические переставить, либо все они будут стоять неправильно. В первом слуаче все в порядке — кубик собран. Во втором слуаче, в зависимости от того, надо ли переставить «неправильные» кубики против часовой стрелки или по часовой стрелке, выполните одну из двух операций рисуника 7 — кубики расставятся по своим местам. В третьем слуаче выполните юо бую из операций рисуника 7, приняв за переднюю любую боковую грань кубика, — один угловой кубиек встанет пра-
вильно, и мы получим предыдующий слуай*).
Все. Можно вздохнуть с облегчением — кубик собран!

---

Читатель нашего журнала вред ли удовлетворится тем, что научится собирать кубик по шаргалке. Как же без нее обойтись? Конечно, все нужные операции можно просто запомнить. И подобраны они так, чтобы это было не слишком трудно.
*) Попробуйте доказать, что в любом слуаче можно обойтись не более чем двух кратным применением операции Z.

Рис. 7. Седьмой шаг: перестановка трех верхих угловых кубиков.
Z = Ф
Z’ = Ф²
Л² Ф'
П’ Ф
Л² Ф'
П Ф

38

Операции первых двух шагов совсем короткие. Советуем вам проделать их медленно, поворот за поворотом, и проследить за передвижениями тех кубичков, которые устанавливаются в правильное положение с их помощью, — вы躬ете, как эти операции «работают», и научитесь выполнять их не задумываясь. Для каждой из следующих шагов можно запомнить только одну операцию; вторую (там, где она есть) всегда можно заменить на дважды проделанную первую. Отметим еще, что 5 последних шагов операции $M_1$ (3-й шаг) совпадает с 5-ю первых ходами $F$ (4-й шаг) и что операция $Z$ (7-й шаг) получается из $T$ (6-й шаг) заменой первого хода $\Pi^2 = \Pi' \Pi'$ на $\Phi \Pi'$ и двух последних — $\Phi^\circ \Pi$ — на $\Phi' \Phi' = \Phi^2$. Так что по сути дела надо вычитать только три основные операции $M_1$, $C$, $T$ и некоторые их варианты.

Однако гораздо интереснее и полезнее проникнуть в «приицп действия» этих операций.

Рассмотрим для начала операцию $M_1 = \Phi' B \Phi \cdot B \cdot \Pi B' \Pi'$. Первые три ее поворота $\Phi' B \Phi$ аналогичны трехходовкам 2-го шага и переводят кубичек $\phi n$ (способ обозначения кубичков см. на рис. 0) из нижнего слоя в верхний, причем так, что он правильным образом представляется к соответствующему реберному кубичку (проверьте!); похожи на них и последние три поворота $11B'11'$, возвращающие кубичек $\phi n$ (вместе с присутствием к нему реберным) на месте; промежуточный поворот $B$ готовит исходную позицию для последних трех поворотов. Проанализируйте самостояльно операцию $M_2$ и операцию $M_3 = \Phi' B \Phi B^2 \Pi B^2 \Pi'$, которое можно применять вместе $M_1$. После этого попробyte на той же основе придумать операции, аналогичные $M_1$ и $M_2$, для случая, когда кубичек $\phi n$ стоит на своем месте, но ориентирован неправильно. Можно讶ти дальше и разработать операции, позволяющие обединить 2-й и 3-й шаг, то есть одновременно с каждой нижним угловым кубичком устанавливаться и примыкающий к нему реберный кубичек среднего слоя.

Операции 4-го и 5-го шагов построены на основе так называемых коммутаторов, то есть последовательность вида $xyx^{-1}y^{-1}$ ($x^{-1}$ — это поворот, обратный к $x$: $\Phi^{-1} = \Phi'$, $(\Phi')^{-1} = \Phi$, $(\Phi^2)^{-1} = \Phi^2$). Если $x$ и $y$ — это повороты двух смежных граней кубика $X$ и $Y$ (на $\pm 90^\circ$ или $180^\circ$), то коммутатор $xyx^{-1}y^{-1}$ циклический представляет три реберных кубичка: один — из грани $X$, другой — из $Y$, третий — на общем ребре $X$ и $Y$ (проверьте!); при этом представляется и некоторые угловые кубички, но здесь это нас почти не инте-

*) Алгоритм сборки кубика, целиком основан на коммутаторах, был опыликован в стате «Венгерский шарнирный кубик».

39

Задачи

M821—M825; Ф833—Ф837

M821. Решите уравнение $x^3+x^2+x=-\frac{1}{3}$.

Ю. И. Ионин

M822. Карточки четырех цветов — $n$ зеленых, $n$ красных, $n$ синих и $n$ желтых — сложены стопкой так, что через четыре карточки цвет повторяется (например, 1-я, 5-я, 9-я, … карточки — красные, 2-я, 6-я, … — желтые и т. д.). Несколько карточек сверху сяли, не перекладавая перевернули и произвольным образом

Рис. 1.
оставили между оставшимся (рис. 1). После этого стопку разделили на $n$ маленьких стопок по четыре карточки. Доказите, что в каждой из этих четырех встречется карточки всех четырех цветов.

С. Б. Шлосман

M823. С фотографини списован (рис. 2) контур дома длиной 60 м и шириной 15 м, причем более длинная стена на фотографини слева (остальные части контура на фотографини загородены веткой дерева). Требуется:
a) дорисовать контур;
b) дорисовать точную карту (проекцию на горизонтальной плоскость), на которой указать контур дома и точку съемки;
b) определить высоту дома и высоту, с которой произвольная съемка.

Д. Б. Фукс

M824. В сетке, изображенной на рисунке 3, каждая ячейка имеет размер $1 \times 1$. Можно ли эту сетку представить в виде объедининия
a) 8 ломаны длины 5;
b) 5 ломаны длины 8? (8)

Н. И. Авилов

M825. Множество $M$ состоит из $k$ попарно не пересекающихся отрезков, лежащих на одной

40

Напомним читательм, что в декабре мы подведем итоги конкура на решение задачи из «Заданияка «Кванта» (учитываются будут письма, присланные до 10 декабря). Победители получают право участвовать в ресурсikanских олимпидах, соответственно, по математике или физике. При оценке успехов школьников по математике будут приняты все внимание также письма по поводу «задач для исследования» (см. № 5, с. 37, «Разложения на различные множители»; № 7, с. 33)

Прямою. Известно, что любой отрезок длины, не больше 1, можно расположить на прямой так, чтобы его концы принадлежали множеству M. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, не меньше 1/k. (10)

Е. И. Хухро

Ф833. На ленту трансортера, получую со скоростью $v_0=1$ м/c, сбоку стальвают коробку. Скорость коробки сразу после попадания на ленту равна $u_0=2$ м/c и перpendикулярна скорости ленты. Какую минимальную скорость относительно Земли будет иметь коробка во время движения? Сила tremняя достаточно велика, и коробка не сокальзывает с ленты. (8)

С. С. Кротов

Ф834. На очень длинной невескомой нити подвешен к потолку шарика массы $m_1=0,1$ кг, к нему прикреплен на нити длины $l=0,2$ м шарика массы $m_2=0,05$ кг. Нижнему шарику толком сообщают скорость $v_0$ в горизонтальном направлении. При какой величины $v_0$ шарики могут оказаться на одной высоте? (9)

Е. И. Бутиков

Ф835. В стакан с водой опустил нагреватель и сяли зависямость температуры воды от времени (см. таблицу).

1. На сколько градусов остынет вода за 1 мин, если нагреватель отключить от сети при температуре $t_1=50^\circ\text{C}$?
2. Закипит ли вода, если нагреватель не выключать достагоно долго?
   Мощность нагревателя считать неизменной. (8)

Время, т мин 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Temperature, $t^\circ\text{C}$ 20 26,2 31,8 36,8 41,4 45,6 49,3 52,7 55,8 58,5 61,1

А. Р. Зильберман

Ф836. Пластина A плоского конденсатора неподвижна, пластина B прикреплена к стенке пружиной и может двигаться, оставаясь паралельной пластине A (рис. 4). После замыкания ключа K пластина B начала двигаться и оставалась в новом положении равновесия. При этом расстояние между пластнами уменьшилось на $\alpha_1=10\%$. На сколько изменилось бы равновесное расстояние между пластнами, если бы ключ K замкнул на короткое время? Предполагается, что за это время пластина B не успевает заметно сdwинуться. (9)

А. И. Буздин

Ф837. Для изменения скоростей частиц используется лазерный аnemометр, в котором движу-

42

Problems M824, M825 and R833—R837 were proposed at the final round of the All-Union School Olympiad.

E. I. Butikov

P835. A heater was placed in a glass of water and the water temperature registered as a function of time (see table).

1. By how many degrees will the water cool in 1 min, if the heater is turned off when the temperature is $t_1 = 50$ °C?

2. Will the water boil, if the heater is turned on long enough? The power of the heater is assumed constant.

| Time, $\tau$ min | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Temperature, $t$ °C | 20 | 26.2 | 31.8 | 36.8 | 41.4 | 45.6 | 49.3 | 52.7 | 55.8 | 58.5 | 61.1 |

A. R. Zilberman

P836. The plate A of a flat capacitor is motionless, the plate B is joined by a spring to the wall and can move, remaining parallel to A (see figure Pис. 4). After the switch K is turned on, the plate B begins to move and stops in a new equilibrium position, the distance between the plates decreasing by $\alpha_1 = 10\%$. How would the equilibrium distance between the plates have changed if the switch K was turned on only for a brief period of time? It is assumed that the plate B does not have enough time to move noticeably during this period.

A. I. Buzdin

P837. A laser anemometer is used to measure the velocity of particles which move through two intersecting coherent laser light beams (see figure Pис. 5). The light reflected by the particles is registered by the photoelement $\Phi$ and is transformed into an electric impulse. The particles move perpendicularly to the bisector of the angle $\alpha = 60^\circ$ between the beams. In what direction did a particle move, if a periodic signal of frequency $v = 320$ kHz was registered (for laser beam wavelength $\lambda = 0.63$ mkm).

V. V. Mojaev

Решения задач

M806—M810; Ф818—Ф822

M806. a) Докажите, что если $a_1 + \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} + \ldots + \frac{a_n}{n} = 0$, то многочлен $a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ имеет корень между 0 и 1.

b) Докажите, что если для некоторых $p > 0$

$$\frac{a_1}{p+1} + \frac{a_2}{p+2} + \frac{a_3}{p+3} + \ldots + \frac{a_n}{p+n} = 0,$$

то этот многочлен также имеет корень между 0 и 1.

Докажем сначала такое утверждение: если дифференцируемая функция $f(x)$ обращается в поле в точках $x = 0$ и $x = 1$, то ее произvodная должа обратится в поле в некоторой внутренней точке от нуля и, следовательно, принимается в точке $x_0$, лежащей внутри отрезка [0; 1].

Это очевидно, если функция $f(x)$ тоже действено равна 0 на отрезке [0; 1]. В противном случае рассмотрим точки, в которых она принимает свое наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке. (Такие точки существуют по теореме Beйерштрасса — см. учебник «Алгебра и начала анализ 9—10», п. 28 — либо функция $f(x)$, будучи дифференцируемой, непрерывна.) Однако из этих значений должно быть отнуля и, следовательно, принимается в точке $x_0$, лежащей внутри отрезка [0; 1].

Таким образом, $x_0$ — точка экстремума функции $f(x)$ на интервале [0; 1] [1, и по теореме Ферма («Алгебра и начала анализ 9—10», п. 26) $f'(x_0) = 0$.

Воспользуемся доказанным утверждением для решения задачи.

a) Рассмотрим функцию $f(x) = a_1 x + \frac{a_2}{2} x^2 + \ldots + \frac{a_n}{n} x^n$.

По условию $f(1) = a_1 + \frac{a_2}{2} + \ldots + \frac{a_n}{n} = 0$, кроме того, $f(0) = 0$.

43

Согласно доказанному утверждению $f'(x_0) = 0$ при некотором $x_0$ из интервала $]0; 1[$. Остается заметить, что $f'(x) = a_1 + a_2x + \dots + a_nx^{n-1}$.

6. Доказательство такое же, как в п. а) с той разницей, что вместо функции $f(x)$ надо взять $g(x) = \frac{a_1}{p+1}x^{p+1} + \frac{a_2}{p+2}x^{p+2} + \dots + \frac{a_n}{p+n}x^{p+n}$ и учеть, что в равенстве $g'(x_0) = x_0^p(a_1 + a_2x_0 + \dots + a_nx_0^{n-1}) = 0$ множество $x_0^p$ ненулевой.

А. Гохберг, М. Овецкий

**M807. a) Из произвольной точки $M$ внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры $MK_1$, $MK_2$, $MK_3$ на его стороны. Доказите что сумма векторов $MK_1 + MK_2 + MK_3$ равна $\frac{3}{2} \vec{M}O$, где $O$ — центр треугольника.

6. Из произвольной точки $M$ опущены перпендикуляры $MK_1$, …, $MK_n$ на все стороны правильно по-уzelвика или их продолжения. Доказите, что

$$\vec{MK}_1 + \dots + \vec{MK}_n = \frac{n}{2} \vec{M}O,$$

его $O$ — центр $n$-уzelвика.

8. Из произвольной точки $M$ внутри правильно терраэдра опущены перпендикуляры $MK_1$, $MK_2$, $MK_3$, $MK_4$ на его грани, Доказите, что

$$\vec{MK}_1 + \vec{MK}_2 + \vec{MK}_3 + \vec{MK}_4 = \frac{4}{3} \vec{M}O,$$

его $O$ — центр терраэдра.

Рис. 1.

Рис. 2.

a) Проведем через точку $M$ прямые, параллельные сторонам треугольника и обозначим точки пересечения этих прямых со стороны треугольника, как показано на рисунке 1.

Ясно, что $2\vec{MK}_1 = \vec{MA}_1 + \vec{MA}_2$, $2\vec{MK}_2 = \vec{MB}_1 + \vec{MB}_2$, $2\vec{MK}_3 = \vec{MC}_1 + \vec{MC}_2$ и в то же время, $\vec{MC}_1 + \vec{MB}_2 = \vec{MA}$; $\vec{MC}_2 + \vec{MA}_1 = \vec{MB}$ и $\vec{MA}_2 + \vec{MB}_1 = \vec{MC}$. Позному

$$2(\vec{MK}_1 + \vec{MK}_2 + \vec{MK}_3) = \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MO} + \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}.$$

Но, очевидно, $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$, следовательно, $2(\vec{MK}_1 + \vec{MK}_2 + \vec{MK}_3) = 3\vec{MO}$, что и требовалось.

6. Доказем сначала, что если $O$ — центр правильно многоугольника $A_1...A_n$, то $\vec{OA}_1 + \dots + \vec{OA}_n = \vec{0}$.

В самом деле, при повороте на $\frac{360^\circ}{n}$ вокруг $O$ вершина $A_1$, перейдет в $A_2$, $A_2$ — в $A_3$, …, $A_n$ — в $A_1$, а вектор $\vec{s} = \vec{OA}_1 + \vec{OA}_2 + \dots + \vec{OA}_n$ — в $\vec{OA}_2 + \vec{OA}_3 + \dots + \vec{OA}_n + \vec{OA}_1 = \vec{s}$, то есть не изменится. Позному $\vec{s} = \vec{0}$.

Опустим перпендикуляры $OP_1$, …, $OP_n$ на стороны данного правильно многоугольника $(OP_i \parallel MK_i)$, затем опустим из точки $M$ перпендикуляры $MB_i$ на прямые $OP_i$ (при четном $n$ прямые $OP_i$ и $OP_{i+n/2}$ $i=1, 2, \dots, n/2$, совпадают и $B_i = B_{i+n/2}$; см. рис. 2 для $n=6$). Поскольку $\vec{MK}_i = \vec{B}_iP_i = \vec{B}_iO + \vec{OP}_i$ и $P_1P_2...P_n$ — правильно $n$-уzelвика с центром $O$,

$$\vec{MK}_1 + \vec{MK}_2 + \dots + \vec{MK}_n = (\vec{B}_1O + \vec{B}_2O + \dots + \vec{B}_nO) + (\vec{OP}_1 + \vec{OP}_2 + \dots + \vec{OP}_n) = \vec{B}_1O + \vec{B}_2O + \dots + \vec{B}_nO.$$

(1)

Доказем, что точки $B_1$, …, $B_n$ лежат на окружности с диаметром $MO$ (ибо $\vec{MB}_iO = 90^\circ$), поэтому достаточно доказать, что угловая вершина любой из дуг, на которой эта окружность разбиается точками $B_1$, …, $B_n$, равна $360^\circ/n$. Пусть $B_iB_j$ — одна из этих дуг и она не содержит точку $O$. Тогда $\angle B_iOB_j$ есть один из $2m$ равных углов, на которые разбиается плоскость $m$ прямых $OB_i = OP_i$ (см. рис. 3, где $n=m=5$, $i=2$, $j=4$). Следовательно, $B_iOB_j = 180^\circ/m$ и $B_iB_j = 360^\circ/m$. Дуга, содержащая точку $O$, также имеет величины $360^\circ - (m-1) \cdot 360^\circ/m = 360^\circ/m$.

Из доказанного вытекает, что $\vec{O}_1B_1 + \dots + \vec{O}_1B_n = \vec{0}$, и согласно (1)

$$\vec{MK}_1 + \dots + \vec{MK}_n = \vec{B}_1O_1 + \vec{B}_2O_1 + \dots + \vec{B}_nO_1 + n\vec{O}_1O = \frac{n}{2} \vec{MO}.$$

Отметим, что эту задачу можно решить также методом пункта $a$.

в) Достаточно доказать, что проекции векторов $\vec{MK}_1 + \dots + \vec{MK}_n$ и $\frac{4}{3} \vec{MO}$ на какие-то две пересекающие плоскости совпадают. (Действительно, отсюда следует,

44

что две проекции разности $\vec{d}$ этих векторов равны нульевектору, то есть вектор $\vec{d}$ перепределилуран одновременно двум пересекающим плоскостям, а значит, $\vec{d} = 0$).

Эти плоскости можно выбрать так, чтобы доказательство свелось к плоскому случанию — задаче a). Именно, проведем через точку $M$ плоскость $p$, перепределилуран, скажем, $\vec{MK}_4$, и проектируем на нее векторы $\vec{MK}_i$, $i=1, 2, 3$ (рис. 4). Каждый из них образует с плоскостью $p$ угол $\gamma$, равный углу между высотой и боковой грани правильно тетраэдра $(\cos^2 \gamma = \frac{8}{9})$, поэтому проекция вектора $\vec{MK}_i$ равна $\vec{MH}_i = \frac{8}{9} \vec{MQ}_i$, где $Q_i$ — проекция точки $M$ на соответствующую сторону треугольника, получающейся в сечени тетраэдра плоскостью $p$. Пусть $O'$ — центр этого треугольника, тогда, согласно a),

$$\vec{MH}_1 + \vec{MH}_2 + \vec{MH}_3 = \frac{8}{9} (\vec{MP}_1 + \vec{MP}_2 + \vec{MP}_3) =$$

$$= \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{2} \vec{MO}' = \frac{4}{3} \vec{MO}'.$$

Остается заметить, что левая часть этого равенства есть проекция суммы $\vec{MK}_1 + \ldots + \vec{MK}_4$ на плоскость $p$ (proекция суммы векторов равна сумме их проекций), а правая — проекция вектора $\frac{4}{3} \vec{MO}$. Это же рассужждение годится и для плоскостей, параллельных другим гранам тетраэдра.

Попробуйте решить задачу a) аналогичным способом, сведя двумерный случай к одномерному с помощью проекции.

Наметим еще одно решение задачи b) (которое можно приспособить и к задачам a) и 6)). Рассмотрим вектор разности $\vec{d} = (\vec{MK}_1 + \vec{MK}_2 + \vec{MK}_3 + \vec{MK}_4) - \frac{4}{3} \vec{MO}$ как функцию от вектора $\vec{a} = \vec{MO}$. Легко проверить, что утверждение задачи справедливо для вершин $A_1, A_2, A_3, A_4$ тетраэдра, значит, $\vec{d}(A_iO) = 0$. Кроме того, $\vec{d}(\vec{a})$ — линейная векторная функция, то есть $\vec{d}(\vec{a} + \vec{b}) = \vec{d}(\vec{a}) + \vec{d}(\vec{b})$ и $\vec{d}(k\vec{a}) = kd(\vec{a})$. (Действительно, сумма векторов $\vec{MK}_i$ равна сумме проекций вектора $\vec{MO}$ на четыре прямы, перепределилуран сторонам $n$-угольника. Но легко видеть, что проекция вектора на прямую является линейной функцией этого вектора.) Отсюда вытекает, что $\vec{d}(\vec{a}) = 0$ для любого вектора $\vec{a}$, поскольку его всегда можно представить в виде $k_1\vec{A}_1O + k_2\vec{A}_2O + k_3\vec{A}_3O$.

В. В. Прасолов

M808. На бесконечном листе клетчатой бумаги двое церрают в текущий церру: первый окрашивает какую-нибудь клетку в красный цвет, второй — к (неокрашенных) клеток в синий цвет, затем снова первый одну (неокрашенный) — в красный, второй — к клеток в синий и т. д. Первые страсти к тому, чтобы какие-нибудь четыре красные клетки расположились в вершинах квадрата (со стороными, параллельными лиu-

Ответ: второй игрок не сможет помещать первому ни при каком $k$.

Решать задачу удобно с конца. Ясно, что первый игрок (будем называть его $K$ — «красный») выиграет, если каким-то своим ходом он пострет сразу $k+1$ «неполных» квадратов, в трех вершинах каждой из которых стояят красные клетки, а в четвертой — неокрашенная. Тогда после ответа второго игрок (назовем его $C$ — «синний») хотя бы одна из четырех вершин остается неокрашенной и, окрасив ее, $K$ получит «красный квадрат». Примеры таких выгрышных позиций приведены на рисунках 1, а — для общего случания — и 1, б — для $k=1$ (в последнем случae $K$ может действовать так же, как и в общем, при произвольном $k \geqslant 1$, но у него есть и более экономный путь к победе, использующий симметрию квадратной решетки).