Квант 1983, №11 · Страницы

КВАНТ
11
1983

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

8

На этих рисунках изображено распространение отдельной волны: волна «бежит» вдоль оси x, и каждой волистая линия — как бы ее меновенная фотография; сделаны эти фотографии через равные промежутки времени. Обратите внимание: волна распространяется с постоянной скоростью, и форма ее остается неизменной. Такие уедининые волны — их называют солитонами — могут возникать при определенных условиях в самых различных средах — в воде, в плазме, в полупроводниках и сверхпроводниках, в цепочке последовательно соединенных atomов и т. д. Хотя физическая природа волны, возникшая в столбных системе, может быть различна, уравнения, описывающие их распространение, оказываются сходными или даже идентицы по виду. В этом номере журналы мы помещаем статью «Солитоны», в которой расссказывается об истории открытия солитонов, об исследований их свойства, о практическом использовании этих свойств.

Научно-популярный
физико-математический журнал
Академи наук СССР
и Академии педагогических наук СССР

11 1983
Основан в 1970 году

Издательство “Наука”: Главная редакция физико-математической литературы

В HOMEPE:
2 В. Н. Губанков. Солитоны
10 Р. В. Галиллин. Как устроены кристаллы
17 С. Г. Гиндикин. Леонард Эйлер

IN THIS ISSUE:
V. N. Gubankov. Solitons
R. V. Galiulin. How are crystals made
S. G. Gindikin. Leonard Euler

Новости науки
Л. Г. Асламазов. ЭВМ на сверхпроводниках

Science news
L. G. Aslamasov. Computers on superconductors

Школа в «Квант»
Физика 8, 9, 10

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10

«Квант» для младших школьников
Задачи
В. С. Данишенко. Электронный глаз

Kvant for younger school-children
Problems
V. S. Danyushenkov. Electronic eye

Задачик «Квант»
Задачи M831—M835; Ф843—Ф847
Решения задач M816, M817, M819, M820; Ф828—Ф832

Kvant’s problems
Problems M831—M835; P843—P847
Solutions M816, M817, M819, M820; P828—P832

Информация
Омскому НОУ — 15 лет

Information
15 years of the Omsk school research society

Олимпиды
С. В. Резниценко, А. М. Слинько.
XVII Весоизная олимпида по математике
Ю. А. Самарский. XVII Весоизная олимпида по физике
В. А. Орлов. Экспериментальный тур олимпиды по физике
Призеры XVII Весоизной олимпиды школьников

Olympiads
S. V. Reznichenko, A. M. Slinko. The XVIIth All-Union mathematics olympiad
Yu. A. Somarski. The XVIIth All-Union physics olympiad
V. A. Orlov. Experimental round in the physics olympiad
Prizewinners of the XVIIth All-Union school olympiad

Ответы, указания, решения

Answers, hints, solutions

Смеся (23, 30, 44)
Шахматная страница
Связка (3-я с. обложки)

Miscellaneous (23, 30, 44)
The chess page
Pinning (3 rd cover page)

На первой странице обложки — кристалл испандского шпата (найden на реке Низняя Тунгуска). О симметрии кристаллов читайте в статье Р. В. Галиллина.

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1983

4

небрежимо мало, форма волны может сохранять сколь угодно долго. Однако в реализации условий все процессы сложнее. Чаще всего по мере удаления от источника возбуждения волна «расползается» (рисунок 1а) и в конечном случае затухает. При наличии треня затухание происходит из-за неизбежных потерь энергии. Однако «расползание» и затухание волны наблюдается и в средах, в которых отсутствует трене. Это возможно в том случае, если волна имеет сложную форму уже в момент ее возникновения и различные ее части движутся с различными скоростями; например, одна часть волны обгоняет ее центр, а другая отстает от него (за центр волны мы принимаем участок, соответствующий амплитуде). Такое расползание волн происходит только в средах, обладающих определенными свойствами. Эти среды называют диспергирующими (от англійского слова dispersion, которое означает рассеяние, разбрасывание); при этом такие называют диспергирующими.*)

Форма волны может изменяться в неиспергирующей среде в отсутствие треня. Как это происходит, показано на рисунке 16. В начале движения профиль волны был близок к полуперiodу синусоиды. По мере распространения волны профиль заметно меняется: передний фронт становится все более крупным, а задний — пологим (хотя расползания волны нет!). Через некоторое время от синусодальной волны не остается и следа. Подобное изменение формы волны происходит в средах, которые называют диспергирующими.

*) Disсергейн называется зависимость скорости распространения волны от длины волны. Среды, в которых наблюдается эта зависимость, называют диспергирующими.

называют непинейными. Соответствие волны, образующиеся в таких средах, называют непинейными.*)

Нелиейные среды и волны прежде всего прилекают внимание исследователей, интересующихся различными вопросами распространения и взаимодействия волн. Именно в нейейных средах проявляются разнообразные виды преобразования волн различных частотных диапазонов. Нелиейным эффектом обязаны своим существованием многочисленные приборы — генераторы и успilitели электромагнитных сигналов, умножители и делители частоты, модуляторы и т.п. Нелиейные волновые явления играют важную, порой определенную роль при движении кораблей, полезные самолеты и ракет, распространении радиоволн в земной атмосфере.

Распространение единенной волны неизменной формы в среде, не обладающей диссергейней и непинейными свойствами, представляет собой естественное естественное. Самое интересное и удивительное заключается в том, что единенная волна может распространять, сохраняя скорость и форму неизменными, в случае непинейной среде с диссергейней! Оказывается, эффективное формирование диссергейн (расползание) может полностью компенсировать изменением формы выделение непинейности. В результате «наложения» этих двух эффектов в среде распространяется волна, форма которой подобна той, что изобравена

*) Нелиейными называют среды, свойства которых зависит от состояния среды (например, диэлектрическая пропищевая среды может зависеть от напряженности электрического поля в среде).

5

на рисунке 1в. Такие волны и называют солитонами.

Итак, солитон — это уединенная волна, распространяющаяся в нейнейной диспергирующей среде с пренебрежimo малым тренем, полностью сохраняющая свою форму.

Тот факт, что свойства уединенной волны в значительной мере зависит от свойств среды, в котором волна распространяются, был установлен теоретически в конце прошло века математики Д. Дж. Кортевером и Г. де Вризом. Они показали, что среди решений уравнения волнового движения в прямогольном канале с водой содержатся такие, которые описывают нелинейные диспергиющие уединенные волны, форма которых в процессе распространения сохраняется сколь угодно долго при отсутствии треня. Это и есть солитоны.

Следует подчернуть, что волна солитон — лишь одно из довольно многих решений волновой теории Кортевера — де Вриза. Среди остальных решений мы встречаем другие, в том числе периодические, типы волн, распространяющиеся по водной поверхности в различных направлениях и с различными скоростями. Это обстоятельство полностью согласуется с результатами экспериментальных наблюдений. Например, при движении корабля со скоростями, отличными от критического значения, образуют периодические структуры волн, гребни которых направлены почти параллельно или перpendикулярно борту корабля (обычно их называют, соответственно, «косыми» и «поперечными» волнами).

Вообще говоря, решения в виде уединенных волн существуют для многих систем. Однако уединенные волны, которые изучали Кортевер и де Вриз, имеют некоторые отличительные свойства. Эти отличия особенно наглядно проявляются при взаимодействии двух таких волн. Представим себе две уединенные волны с разными амплитудами, движущиеся в одну и ту же сторону с разными скоростями (рисунок 2, а). Согласно теории Кортевера—де Вриза более высокие волны движутся быстрее. Следовательно, левая волна на рисунке 2, а достаточно правую волну. После этого в течение некоторого времени волны будут движаться как одно целое, взаимодействующая между собой, а затем вовь разведяется. Так вот, замечательным свойством уединенных волн Кортевера—де Вриза является то, что после взаимодействия их форма полностью сохраняется (рисунок 2, б) и каждая волна продолжает движаться со своей прежней скоростью. (Сохранение формы и скорости после взаимодействия плоскогалализации в пространстве — такое поведение уединенных волн Кортевера — де Вриза напоминает у陆小ейства неокторых элементарных частиц — электронов, протонов, нейтронов. Вот почему им дали название, пожожее на название элементарной частицы.)

Термин «солитон» был предложен сравнительно недавно — в 1965 году. Однако за прошедшее время это название прочно вошло в физку нелинейных волновых процессов. Все чаще область исследовании солитонов выделяют в самостоятельное научное направление, называя его условия «солитонкой».

Классический пример солитонов является описанные в первых экспериментальных работах Рассела уединенных волны на воде (имеются даже замещения о сохранению формы

6

наблюдавшихся им удиненных волн после их взамодейства). Но если бы дело ограничилось существованием солитонов только на водной поверхности, «солитоника» вряд ли привлекла бы внимание специалистов, исследующих волновые процессы в различных областях физики. Между тем солитоны встречаются во многих средах и системах, в которых вообще возможно существование волн: в плазме — ионизированном газе с большой плотностью электронов ионов, в полупроводниках и сверхпроводниках, в цепочках последовательно соединенных атомов и т. д. Хотя физическая природа волн, возникших в этих разных системах, может быть различна, уравнения, описывающие распространение этих волн, оказываются сходными или даже идентичными по виду. (Разумеется, в каждом конкретном случае входящие в эти уравнения параметры имеют свой собственный физический смысл.)

Типичным примером солитонов в твердых телах служат так называемые электрические домены, образующие при определенных условиях в полупроводниках. Они были обнаружены в начале шестидесятых годов английским физиком Ганном. Используя поведение образцов арсенда галля — полупроводника с электронной проводимостью (то есть $n$-типа) — в достаточно сильных электрических полях, Ганн установил, что когда направленность поля в образце достигала значения $E \geq 3 \cdot 10^5$ В/м, в нем возникали строго периодические колебания тока с большой амплитудой; частота колебаний достигала значения $\sim 10^9$ Гц$^*$). Дальнейшие экспериментальные исследования прояснили картину появления колебаний. Оказалось, что они связаны с движением по образцу локализованной области сильного электрического поля; эта область и получила название электрического домена$^{**}$.

*) Об этом эффиците, получившем название «эффекта Ганна», было рассказано в статье М. Е. Левинштейна в 10-м номере «Кваната» за 1982 год.

**) Доменом в физике называют ограниченные области, свойства которых резко отличяется от свойства окружающего их среды.

В чем причина возникновения и движения электрических доменов и почему они образуют далего не во всех полупроводниках? Какими отличительными свойствами обладает арсенд галля $n$-типа?

Оказывается, в отличие от других полупроводников, арсенд галля с электронной проводимостью имеет весма своегообразную волтамперную характеристику. При увеличении электрического поля ток через образец сначала уvelичивается, как это и предсказывает закон Ома. Однако при достижении некоторой пороговой напряженности поля $E$ ток начинает уменьшаться и уменьшается до тех пор, пока не достигнет некоторого минимального значения, определяемого свойствами образца; при дальнейшем уvelичении электрического поля ток вовь начинает возрастать (рисунок 3,а). Такая «нелинейная» волтамперная характеристика обусловлена зависимостью действия электронов в образце) от напряженности поля в образце. Кривая, описывающая эту зависимость (рисунок 3,б), имеет такое же $N$-образную форму, как и волтамперная характеристика на рисунке 3,а.

Представим себе, что образец из арсенда галля включает в себя так, как показано на рисунке 3. Что происходит, если напряжение на образце

7

окажется несколько большие значения $U = E_{пор}$ и будет соответствовать тому участку волтамперной характеристики, где ток уменышается с ростом напряжения? Оказывается, именно при этом условия в образце возникает электрический домен. Разберемся, как это происходит.

Будем считать, что электрическое поле в образце однородно. Предположим, что за счет флуктуации*) в каком-либо месте образца плотность электрических зарядов в какой-то момент оказывается большие, нежели средняя плотность зарядов в остальном объема. Наряженное электрического поля в этом месте тоже возвращает. Дрейфовая скорость электровов, нахождения в этой области сильного поля, становится меньше, чем дрейфовая скорость электровов позади и вперед флуктуации (мы должны помнить, что электровы и, следовательно, флуктуация движется от κατάка к аноду образца). Таким образом, электровы, нахождения по заданному поля будет перемещаться все медленнее, все большие количество электровов заданы будет ее нагонять, все большие станет возвращать электрическое поле в области флуктуации. (На этом этапе формирования электрического домена наглядо проявляется эффективный дисперсий: различные области флуктуации движется с разными скоростями.) Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока электрическое поле вперед и позади флуктуации не уменышится до такой степени, что дрейфовая скорость электровов в этих областях начинает уменышаться. (Понятно, что уменышение скорости с уменшением поля начинается с того момента, когда направлено поля вне флуктуации станет меньше $E_{пор}$. С этого момента эффективный дисперсий)

*) Флуктуации называют случайные отклонения какой-либо физической величины, характеризующей систему из большого числа частиц, от ее среднего значения. Флуктуация плотности зарядов, о которой мы будем говорить, может возникнуть за счет теплового движения электровов.

Когда скорости электровов в области сильного поля и вне нее сравняются, электрический домен можно считать формировавшимся. В дальнейшем он будет двигать по образцу с постоянной скоростью.

Таким образом, в примере с эффективным Ганна проявляется все свойства, присущие солитону: наличие устойчивое образование — удиненная волна (электрический домен), — которое возникнет в образце с дисперсей и сильной непленностью и, сохраняя свою форму неизменной, движется с постоянной скоростью (рисунок 4).

Нетрудно видеть, что подобное образование и движение доменов сопровождается колбанями электрического тока. При приложении к образцу электрического поля $E \geq E_{пор}$ величина κατάσταется домен с высокой направностью поля; следовательно, в остальной части образца поле становится меньше, уменышается и электрический ток. При разрушении домена вблизи анода поле в объеме образца возвращается, следовательно, дрейфовая скорость электровов и электрический ток уменышается. Однако возвращение поля до величины $E_{пор}$ приведет к образованному домену вблизи κατάσταса, процесс его движения от κατάка к аноду повторится. Это периодическое повторение вызывает колбаня в образце электрического тока, причем период колбаня прямо пропорционален длине образца $d$.

Эффект Ганна сейчас активно используется в практических целях — на его основе разработаны и выпускаются промышленные образцы полупроводниковых малогабаритных генераторов электромагнитных колбаней сверхвысоких частот. Такие генераторы находят шириоке применение в системах радиосвязи, приема и обработки сигналов, в радиолока-

8

цини, телевидения, космических исследований. Можно сказать, что ганновские генераторы служат примером развития прикладной солитонники.

Рассказем еще об одном практическом использовании свойств солитонов. Уедининая волна, не меняющая свойей формы при движении, — идеальный носитель информации, который может быть незаменним при создании логических устройств, элементов памяти, при передаче и обработке информацииных сигналов. Для создания логических устройств по переработке и заполнанию информации сейчас начинают использовать магнитные солитоны в сложных сверхпроводниковых структурах. Оказывается, солитоны в виде «густков» магнитного потока могут перемещаться вдоль слонстой структуры, образованной сверхпроводящими электродами и изолирующей прослойкой с толщиной 20—40 ангстрем (1 ангстрем = 1Å=10⁻¹⁰ м). Сгусток можно перемещать вдоль контакта сверхпроводник — изолятор — сверхпроводник (вдоль оси X на рисунке 5), пропуска через слонстую структуру ток. Такой густок локализован в пространстве (рисунок 6) и несет малую, но строго определенную порцию магнитного потока Φ₀, равную h/2e = 2,07 × 10⁻¹⁵ Вб (h — постоянная Планка, e — заряд электрода). Величина Φ₀ носит название магнитного потока. Необучность структуры сверхпроводник — изолятор — сверхпроводник состоит в том, что при малой толщине изолирующего слоя вследствие квантовой природы сверхпроводящих электронов возможно их просачивание через слой изолятора без потерь, то есть без нарушения сверхпроводимости системы. Сверхпроводимость сохраняется до некоторой критической скорости

Рис. 5

Рис. 6.

электронов, соответствующей критической току Iₖ; при токе, большем Iₖ, сверхпроводимость разрушается, появляется сопротивление, и все структура переходит в нормальное (не сверхпроводящие) состояние. Появление и движение сгустка магнитного потока при действии внешнего магнитного поля сопроводается резким уменьшением Iₖ и изменением энергии системы в целом. Поэтому квантного потока Φ₀, присущей единнюю информацию: например, в его отсутствие энергии системы можно приписать цифру «0», а при его наличии — цифру «1». Вопрос, однako, заключится в том, как удержать магнитный структуру. Оказывется, это можно сделать, если в области изолирующего слоя искусстенно создать дефект структуры, например, прямой металлической канал между сверхпроводящими обкладками, имеющий поперечные размеры порядка нескольких десятков ангстрем. Взаимодействия с таким каналом, сгусток «зацепится» за него и остается в слонстой структуре после выключения магнитного поля. Такой элемент может служить ячейкой обработки и заполнения информации с двумя устойчивыми состояниями: одно — при наличии сгустка с единным квантом магнитного потока Φ₀, другое — в его отсутствие. Большое число соответствующих образом соединенных элементов дает возможность создать системы с большой памяти и разнообразными операциями по обработке поступающих информации.

Использование солитонов в сверхпроводящих структурах для создания логических устройств по переработке и заполнению информации является, пожалуй, одним из наиболее ярких примеров применения этих

9

необычных удиненных волн в практических целях. Важное преимущество создавемых на этих принципах сверхпроводящих электронно-вышительных машин состоит в малой величины потребляемой энергии: на одну логическую операцию расходется не более $10^{-19}$ Дж. Это остательство даст возможность избежать перегревов твердотельных элементов, из которых будет состоять такая ЭВМ, располагает элементы достаточно близко друг к другу. Размеры смих элементов очень малы: площадь поперечного сечения каждого элемента обычно равна сотой или даже тысячной доле квадратного миллиметра. Поэтому сверхпроводящая ЭВМ должна быть очень компактной, ее объем не будет превышать несколько сотен кубических сантиметров; она будет обладать лучшим быстродействием по сравнению с известными ЭВМ. По мнению ученых, ЭВМ этого типа составляет основу для целого будущего поколения сверхбистродействующих компактных ЭВМ с практическим неограниченной памяти. Недаром в научной литературе эти вычислительные машины получили название «суперЭВМ». Однако малые размеры «суперЭВМ», являясь несомненным достоинством, порождают и определенные трудности: для изготовления элементов столь малых, «микронных», размеров требуется проведение целого комплекта сложных технологических операций и дорогостоящее оборудование.*

Изучение солитонов в полупроводниках и сверхпроводниках представляет интерес не только для исследователей, специалистарующихся в области физики и техники полупроводников и низких температур. Дело в том, что математические уравнения, описывающие движения электрических доменов и магнитных сгустков, имеют тот же вид, что и уравнения движения удиненных волн в некоторых биологических средах, уравнения взаимодействия элементов частиц, распространения лазерных импульсов. Решения этих уравнений

*) Проблеме создания ЭВМ на сверхпроводниках посвящена заметка Л. Г. Асламазова в этом номере журнала (с. 24). (Прим. ред.)

в виде удиненных волн — также одинаковы или близки, хотя, как мы уже говорили, в каждой конкретной ситуации входящие в них величины имеют различный физический смысл: в одной условиях эти решения описывают волны на воде, в другой — волны электрического заряда в плазме, в третьих — электромагнитные волны, распространящиеся по линиям передач. Многообразие этих явлений поеволле приводит нас к мысли оfundamentalности понятия «солитон», а их описание с помощью идентичных или близких по форме уравнения — о возможности моделирования процессы, скажем, в физике элементарных частиц волновыми процессами, проискодящими в твердом теле. Так на конкретном примере солитонов можно проследить единство и многообразие изучаемого нами мира природы.

За полтора столетия наука о солитонах прошла большой путь: от наблюдения удиненных волн на воде до сложного и строго математического описания с помощью солитонов взаимодействия элементов частиц и, наконец, разработок «суперЭВМ» на сверхпроводниках. Здесь проявляется еще одно свойствоfundamentalных физических явлений: за открытом и детальным исследованием, рано или поздно, но обязательно следует их активное использование в практических целях.

И еще одно, последнее. В науке о солитонах в полную меру проявились все десятилетия математических методы анализа. Эти методы, отличующие строю и строой сами по себе, позволили получить столь необходимое и изящное решение — одиночную волну неизменной формы, распространяющегося в сложной нелинейной среде с дисперсей. Изящство всегда было отличительным чертомfundamentalных явлений природы, и здесь оно проявляется в полной мере. Наряду с чисто физическим интересом и многими практическими возможностями изящство солитонов составляет одну из наиболее прилежащих их ученых, специализированных в различных областях физики, и не только физики.

10

Как устроены кристаллы

Доктор физико-математических наук
Р. В. ГАЛИУЛИН

С древнейших времен кристаллы поражали человекаское воображение своим исключительным геометрическим совершенством. Наши предки видели в них творения ангелов или подземных духов. Первой попыткой научного обясияния формы кристаллов считается произведение Иоганна Кеплера «О шестиугольных снежинках» (1611 г.). Кеплер высказал предложение, что форма снежинок (кристаллов льда) есть следствие особых расположений составляющих их частиц. Спустя три века было окончательно установлено, что специфические особности кристаллов связаны с особыми расположениями atoms в пространстве, которые аналогичны узорам в кале-доскопах. Все различные законы таких расположений были выведены в 1891 году нашим замечательным соответствием, родоначальником современной кристалографии Е. С. Федоровым (1853—1919). Правильные формы кристалических многогранников легко обясияются в рамках этих законов. И сами эти законы настолько красивы, что не разслужили основой для создания произведений искусства (см. заставку)*.

С геометрической точки зрения расположение atoms в пространстве представляется системой точек, соответствующих их центрам. Поэтому задачу можно поставить так: требуется найти геометрические условия, выделяющие системы точек с «кристаллеской структурой», причем эти условия должны физически оправданы. Последнее весма существует, колб скоры мы хотим выявить причины упорядоченного расположения atoms в кристаллах.

Простейшим геометрическим свойством системы точек, соответствующих

*) На заставке — узор, занимаванный из Канадского минералологического журнала № 19 за 1981 г.

11

центрам atomов в любых atomных совокупностях (а не только в кристалах), является дискретность.

Условие дискретности. Расстояние между любыми двумя точками системы большие некоторой фиксированной величины r. Физическая оценность этого условия не вызывает сомнений.

Стремление atomов равномерно расположиться в пространстве можно отразить следующим ограничением на соответствующее систему точек:

Условие покрытия. Расстояние от любой точки пространства до ближайшей к ней точки системы меньше некоторой фиксированной величины R.

Название этого условия объясняется тем, что если система точек ему удовлетворяет, то шары радиуса R с центрами в этих точках покрывают все пространство (доказите!).

Условие дискретности не позволяет точкам системы располагаться слишком густа, а условие покрытия — слишком редко. Совместно эти два требования обеспечивают примерное равномерное располагание точек в пространстве. Системы точек, удовлетворяющие этим двум условиям одновременно, называются системами Делоне, в памяти об известном нашем геометре Б. Н. Делоне (1890—1980), впервые выделившем эти системы.

Простейший пример системы Делоне (на плоскости) — это множество узлов бесконечного листа клетчатой бумаги. В кристалографии системы такого типа играют очень важную роль и мы еще поговорим о них подробно. Из этой системы можно получить систему Делоне более общего вида, если произвольно свинить каждый узел на расстояние, не превысodiaщее, скажем, 1/3 расстояния между соседними узлами (рис. 1).

Упражнение 1. Докажите, что указанные системы точек действительно удовлетворяют условиям дискретности и покрытия; найти для них значения r и R.

Системы Делоне служат наиболее общей геометрической моделью располагания atomов в любом atomном образованнии. Поэтому любую теоре

12

Рис. 2. Кирпичные классы: а) несметричная, б) сметричная.

нице центров атомов в кристалл и ческих структурах. Чтобы выделить эти системы, мы воспользовемся главнейшим геометрическим свойством кристаллов — сметтрией.

Что такое сметтрия? Интуитивно каждый из нас имеет отличать сметтриное от несметричного. Сметтричные тела всегда можно разбить на равные части и даже многоими способами. Но этого свойства не достаточно для определения сметтрии. Бесконечная крипичная класса, фрагмент которого приведен на рисунке 2, а, несметрична, хотя и составлена из равных крипичков. А вот крипичная класса рисунка 2,6 сметтрична. В ней каждый крипич равно окружен всеми другими крипичами. Равенство (или конгруэнтность) двух частей фигуры означает, что их можно совместить перемещением. Их «равное окружение» — что это перемещение можно выбрать так, чтобы и все фигура перешла сама в себя. Перемещение, переодящее неокоторую фигуру в себя, называется ее преобразованием сметтрии или самосовмещением. Итак, фигура сметтрина, если она имеет хотя бы одно преобразование сметтрии (отличное от точдественного).

Упражнение 2. а) Найдите все преобразования сметтрии правильно n-угольника. 6)* Докажите, что куб имеет 48 преобразований сметтрии (с учетом зеркальных перемещений) и найдите их.

Множество всех преобразований сметтрии данного объекта, рассматриваемое вместе с операцией композиции этих преобразований, называется группой сметтрий (или самосовмещений) этого объекта. С этим важным математическим понятением, лежащим на стыке геометрии и алгебры, можно познакомиться, например, по книге П. С. Алексадрова «Введение в теории групп» (М., «Наука», 1980).

Итак, системы Делоне, отвечающие кристаллам, должны быть сметтричны. Такие системы можно описать и опираясь на понятие равного окружения. Для этого соединим произвольную точку A системы Делоне со всеми остальных ее точками (рис. 3). Так полученную бесконечную совокупность отрезков называем elобальной звездой точки A в данной системе. В общем случае глобальные звезды разных точек системы не равны друг другу. Но ясно, что если в системе окажется хотя бы две точки с равными глобальными звездами, система будет уже сметтричной. Верно и обратное утверждение: всякая сметтриная система Делоне содержит точки с равными глобальными звездами. Таким образом, равенство глобальных звезды была у двух точки системы Делоне есть необходимое и достаточно условие сметтриности этой системы.

Упражнения
3. Докажите, что в любой сметтричной системе Делоне найдется бесконечно много пар точки с равными глобальными звездами.
4. Построите плоскую систему Делоне, которая переходит в себя при повороте на 90°; на 60°.
5. Докажите, что если поворот на угол а является преобразованным сметтриным неокторой плоской фигуры, то поворот на углы

13

na (где n — любое целое число) с тем же центром — тоже ее преобразования симметрины, а если эта фигура — система Делоне, то отношение a/π должно быть рационально.

Но не всякая симметриная система Делоне соответствует центром atomов в кристалических структурах. Симметрия кристаллов спецификана. Например, среди кристаллических многогранников нет правильных дodeкадров и икосадров и вообще многогранников, имеющих оси симметрики 5-го порядка (то есть «самосовмещающихся» при поворотах на угол 2π/5 около этих осей). Как обязыванить такую привередливость кристаллических форм?

В 1783 году французский аббат Р. Ж. Гаюн, минералог по признанию, высказал предложение, что всякий кристалл составлен из параллельно расположенных равных частиц, смежных по целым граням (рис. 4). В 1824 году ученик Великого Гаусса, профессор физики во Франбурге Л. А. Зеебер для объяснения расширения кристаллов при нагревании предложил заменить многогранники Гаюн их центрами тяжестей. Такие системы точек были названы «решетками».

Более строго, решеткой называется множество всех точек с целочисленными координатами относительно произвольной (необязательной прямогольной) системы координат (рис. 5,a—в). Точки решетки называют узлами. Очевидно, что система координат однозначно определяет решетку. Но обратное утверждение не верно: в данной решетке определяющийую её система координат можно выбрать бесконечным числом способов (рис. 5,б). Легко проверить, что решетки удовлетворяют условиям дискретности и покрытия, то есть является системами Делоне. Доказем теперь их симметриность. Справадлива следующая.

Лемма о решетке. Всякая решетка переходит в себя при параллельном переносе на вектор, соединяющий любые два ее узла, а также при центральной симметричной относительной любого узла.

Для доказательства первого утверждения заметим, что вектор АВ, где A и B — узлы решетки, имеет целые координаты (равные разно-

14

симметрии. Всякая решетка бесконечным числом способов разбиается на бесконечные совокупности конгрузных и паралельно расположенных плоских сеток (двумерных подрешеток, рис. 5, в). Приято считать, что плоскости всех граней кристалла обязательно содержат в себе плоские сетки какой-либо одной общей решетки. Плоские сетки решетки, связанные преобразованиями симметрии, не отличны друг от друга. Поэтому при росте кристалла соответствующие им грани растут одинаково. Так симметрия кристалла повторяет симметрию решетки.

Докажем теперь, что кристалл не может иметь ось симметрии 5-го порядка. Допустим, что такой кристалл существует. Тогда соответствующая ему решетка тоже имеет ось 5-го порядка $l$. Проведем через любой узел плоскость, перpendикулярную $l$, и выберем в этой плоскости узел $A$, близкий к $l$ (существование такого узла нетрудно вывести из условия дискретности). Поскольку решетка переходит в себя при поворотах на углы, кратные 2π/5, вокруг оси $l$, образы точки $A$ при поворотах является узами решетки. Они образуют правильный пятнуюгольник $ABCDE$ (рис. 6). Если сдвинут решетку на вектор $\overrightarrow{AB}$, то по лемме о решетке узел $E$ должен перейти в некоторый узел $N$, лежащий внутри пятугольника. Но это невозможно, так как точка $N$ расположена близке к оси $l$, чем $A$.

Уражнение 6. Построите решетки, имеющие оси симметрии 2-го, 3-го, 4-го, 6-го порядков. Докажите, что осей выше 6-го порядка решетка имеет не может.

Отметим, что в мире растений и мелких организмов (вирусов) часто встречаются индивды, обладающие осями 5-го порядка. По образному выражению нашего выдающегося кристаллографа академика Н. В. Белова (1891—1982), «пятерная ось является у мелких организмов своегообразным инструментом борьбы за существование, страховкой против окаменения, против кристаллизации, первым шагом которого была бы «попмка» решеткой живого организма».

Но не все известные о кристаллах факты укладывались в рамках решеточной модели. Один из таких фактов — это существование нецентросимметричных кристаллических многогранников, таких как кристаллы драгоценного камня термалина (рис. 7) (по лемме о решетке все решетки центросимметрицы). Для объяснения подобных явлений потребовалось расширить арсенал допустимых расположений частиц в пространстве. Известный немецкий кристаллограф Л. Зонке в 1879 году высказал предположение, что частицы в кристаллах располагаются по правильным системем.

15

Рис. 9. Структура флюорита, составная из двух различных правильных систем (зеленые точки — atoms фтора, красные — кальция).

Система Делоне называется правильной, если из каждой ее точки система видна одинаково, то есть если глобальные звезды всех точек этой системы равны друг другу (рис. 8,a—в). Если бы наблюдаемый заснул на какой-либо точке правильной системы и в это время его перенесли бы на другую точку этой системы, он бы и не заметил этого. Другими словами, любую точку правильной системы можно перевести в любую другую преобразованным системам. Группы системи правильных систем называются федоровскими или пространственными кристаллографическими группами. Имеется 230 различных федоровских групп (плоких кристаллографических групп значительное менше — всего 17; самосовмещения узора, изображенного на заставке, представляют одну из этих групп). Они и задают те законы расположения atomов в кристаллических структурах, о которых мы упоминали в начале статьи.

Уражнение 7. Плокость можно заметить одинаковыми правильными треугольниками без просветов и перекрытия. Доказите, что их вершины образуют правильную (плокую) система Делоне и опишите все преобразования системы. Следайте то же самое для квадратов и правильных шестиугольников. Все ли эти системы являются решетками?

Из леммы о решетке следует, что любая решетка является правильной системой. Обратное неверно, но можно показать, что всякая правильная система составлена из конгрузных и параллельно расположенных решеток (рис. 8,в). Доказательство этого не простого факта наметил Е. С. Федоров в своей знамененной книге «Начала учения о физах», работу над которой он начал 16-летним юношей. Провел это доказательство А. Шенфлис, но оно оказалось настолько сложным, что в первом издании книги о симметрини кристаллических структуры в 1891 году он помещил это доказательство в самом конце, dabei не устрашить читателя. Б. Н. Делоне совместно со своим учеником М. И. Штогриным упростили это доказательство, но не настояло, чтобы можно было изложить его здесь.

В начале нашего вклада экземплярно подтверждено, что atoms в кристаллических структурах образуют одну или несколько правильных систем с общей федоровской группой (рис. 9). Но это утверждение не вскрывает причин упорядочения, а только констатирует факт его существования. Об этом говорил основатель советской кристаллографии академик А. В. Шубников (1887—1970): «Мы хорошо знаем, как устроен кристалл, но почему он так устроен, этим никто серверно не занимается».

Представим себе растущий кристалл. Вот очередной atom включается в его структуру. Что заставляет этот atom занять предписанное ему строого определенное место? Для того чтобы не нарушить правильность системы (в смысле данного выше определения), он должен «знать» и «учиться» положения всех других atoms, в том числе очень далеко. Было бы вполне естественно потребовать, чтобы каждой atom был равно окружен всеми atomами, удаленными от него на какое-то сравнительное облечение химических связи.

17

Леонард Эйлер

(к 200-летию со дня смерти)

Кандидат
физико-mатематических наук
С. Г. ГИНДИКИН

Великое наследие

Научное наследие Эйлера поражает совершенню беспреследенными размерами. При жизни увидели свет его 530 книг и статей. Последние годы жизни академические издания не справлялись с потоком научной продукции слепого ученого, и он шутливо обещал графу В. Н. Орлову, что его работы будут заполять «Комментарии» Академии в течение 20 лет после его смерти. Эта оценка оказалась «оптимистической»: Академия занималась изданием трудов Эйлера 47 лет. Число работ дошло до 771, но составлена в 1910 г. Энстером библиография содержала 886 названия, разбитых по рубрикам: философия, математика, механика, астрономия, физика, география, сельское хозяйство. С 1910 г. Швейцарское общество естественно-спытательней издает собрание сочений Эйлера, распространяется по международной подписке: по предварительной оценке оно составит 75 томов большого объема. К началу 80-х годов вышло 72 тома. Восемь

Окончание. Начало — в предыдущем номере.

2 «Квант» № 11

дополнительных томов должна составить научная переписка Эйлера.

Такой объем отражает не только поразительную скорость, с которой работал Эйлер, но и привчку систематических печать научные тексты, в том числе и сравнительно специно подготовленные. Большой разброс тематики отражает не только широку интересов и умение быстро войти в дальнейшее научки, но и многочисленные академические обязаности как в Петербурге, так и в Берлине. Некоторые публикации носят характер коротких реплик. Эйлер легко входил в научные контакты, давал разнообразные консуЛЬТАции, охотно думал над случайными, изолированными задачами, сообщаемыми его корреспондентами. может показаться, что ученый разбрасывался, проявлял всегданость, но это только на первый взгляд. Слушанные вопросы и задачи служили питательной почвой для хорошо спланированных размышлений. Эйлер умел своевременно останавливаться в своих раздумых, если не видел реалистической возможность дивигаться вперед. Он умел организовать свою жизнь так, чтобы много-

18

численные текущие дела не сильно отражались на основном направлении его работы.

Как это ни парадоксально, без большого преувеличения можно сказать, что всю свою жизнь Эйлер занимался почти исключительно математикой. В других областях науки (например, механике или астрономии) успел его был преждевременно связан с применением математических методов. Его философская установка на противении всей его жизни состояла в том, что естественно-начальные открытия должны получаться путем теоретической (в значительной степени математической) обработки небольшого числа общих, несомненных принципов. В своей швейцарской диссертации девятнадцатилетний Эйлер пишет: «Я не считал необходимым подтвердить эту новую теорию опитом, потому что она полностью выведена из самых надежных и неопровержимых принципов механики и, таким образом, сомнение в том, верна ли она и имеет ли место в практике, просто не может возникнуть». Далее законы Ньютона Эйлер пытается вывести из более общих принципов, а в небесной механике он стремится не получать эмпирические формулы из обработки результатов наблюдений, а делать выводы непосредственного из закона всемирного тяготения. Как правило, он движался от теории к практике. Хотя Эйлер и был всю жизнь связан с экспериментом, это не было его сильно стороны. Академик С. И. Вавилов писал: «…гений Эйлер был, по существу, математический… он плохочевовал эксперимент (хотя сам и экспериментировал)…»; в другом месте: «Математический генius Эйлер не хватало физической интуицини Ньютона и Гюйгена, позволяющей угадать решение при отсутствии точной математической формулировки задачи или методов ее решения».

Не имея возможности осветь все стороны многогранной деятельности Эйера, мы подробно остановимся лишь на его арифметических работах, в которых отсутствив проявились характеристики особенности его занятый научкой.

Ученик Ферма

Первые публикации Эйлера по арифметике (теории чисел) относятся к 1732 году — пятому году превывания в Петербурге. У Эйлера было два великих представления в арифметике: грек Диофант (III век) и француз П. Ферма (1601—1665). Эйлер начинает с того, что prodумывал и снабжет доказательствами утверждения Ферма. Его рассмотрения столб системичны, что кажется, что это заготавки к первому учебнику вышей арифметики (который не был им написан).

В работе 1732 г. исследуется вопрос о делимости «чисел Ферма» (то есть чисел вида $F_n = 2^{2n} + 1$, где $n \in \mathbb{N}$) и «чисел Мерсенна» (то есть чисел вида $M_p = 2^p - 1$, где $p$ — простое). Няяные вопросы относятся к столбом числам этого вида, что прямой перебор был недоступен даже такому виртуозному вычислительной, как Эйлер.

Эйлер доказал, что делители чисел $F_n$ и $M_p$ могут иметь лишь весы. Специальный вид. Именно, делители числа $F_n$ имеют вид $k \cdot 2^{n+2} + 1$; благодаря этому, Эйлер обнаружил, что $F_5$ делится на $641 = 5 \cdot 2^7 + 1$, опровергив утверждение Ферма о простоте всех чисел $F_n$. Делители числа $M_p$ должны одновременно иметь вид $2pk - 1$ и $8l \pm 1$. Полезная этим, Эйлер доказал простоту числа $M_{32} = 2147483647$. С тех пор простых чисел Ферма не было обнаружено, а рекорды в мире простых чисел Мерсенна постояно улушаются (рекорд 1983 г. получается при $p = 86243$). В отношении чисел Мерсенна Эйлер заполнил также пробел, оставшийся от Евклида. Евклид знал, что если $M_p$ — простое число, то $M_p \times (M_p + 1)/2$ — совершенное число (то есть число, равное сумме своих собственных делителей). Эйлер доказал, что каждое четное совершенное число представимо в таком виде (не известно до сих пор, существуют ли нечетные совершенные числа).

Эйлер интересует, существуют ли многочлены $P(n)$, которые при всех $n \in \mathbb{N}$ принимают простые значения. Он получает отрицательный

20

если представление $n$ в виде суммы квадратов существует и единственно, то $n$ — простое число. Он показывает, что этим свойством иногда можно пользоваться для доказательства простоты $n$: например, число 1 000 009 — составное, поскольку наряду с представлением $1000^2+3^2$ имеется представление $235^2+972^2$.

Эйлер занимается простотой чисел, допускающих единственное представление в виде $x^2+2y^2, x^2+3y^2$ и, вообще, $x^2+Dy^2$ (D — фиксированное целое число). Он доказывает их простоту для $D \leq 10$, но при $D=11$ обнаруживает составное число, допускающее единственное такое представление. Ситуация заинтриговала Эйлер. Он назывался $D$ удобным, если в виде $x^2+Dy^2$ единственным образом представляется лишь простые числа. Эйлер получил критерий, позволяющий проверять удобство чисел, и с любопытством выписывает удобные числа одно за другим; после 10 идут 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24 …
Постепенно удобные числа встречаются все реже. В первой тисче их набрались 62, но Эйлер упорно продолжает вычисления, верятно надёсь подметить закономерность. Он обнаружил еще только три удобных числа: 1320, 1365, 1848, хотя, не теряя терпения, он перебрал все числа до 10 000 и несколько дальше. Эйлер имел все основания высказать гипотезу, что совокупность удобных чисел ограничивается найdenными им 65 числами. Гаусс сделал рассмотрения Эйлера более корректными, но новых удобных чисел не нашел. Сейчас доказана конечность множества удобных чисел, но не известно, существуют ли удобные числа, больше 1848.

Этот поиск очень характерен для творческого метода Эйлер, продолжшего огромную экспериментальную вычислительную работу как для проверки гипотез, так и с целью увеличить новые закономерности. Из великих математиков, пожалуйста, лишь Гаусс также владел эти имдуктивным методом.

На этом мы кончим обзор той стороны арифметической деятельности Эйлер, в котором он был последова-

Гипсовый барельф Л. Эйлер работы Д. Рашетта (1781 е.)

телем Ферма. Он без пробелов выделил контуры новой арифметики, ее проблематику, тщательно проработал ее технические средства, хотя и не все смог доказать, оставив это на долю своих великих последователей Лагранжа, Лежандра, Гаусса.

Аналитическая теория чисел

Теория чисел обязана Эйлер идеей, которая вскоре совершенню изменила ее лицо. Речь идет о применении в арифметике математического анализа. Трудно было представить такую возможность. Поначалу она удивила самого Эйлер: «И хотя мы здесь рассматриваем природу целых чисел, к которой Исчисление Бесконо Мальх какется неприложимым, тем не менее, я пришел к своему заключению с помощью дифференцирования и других уловок».

Эйлер для разных s рассматривает сумму бесконечного ряда

$$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \dots + \frac{1}{n^s} + \dots$$

(позднее $\zeta(s)$ называют дзета-функцией Римана — она играет в арифметике исключительной роль). Пусть нетрогого рассудения Эйлер доказывает, что эта бесконечная сумма совпадает с бесконечным произ-

21

введением по простым числам

$$\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)^{-1} \left(1 - \frac{1}{3^s}\right)^{-1} \dots \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1} \dots$$

Эйлер чувствует, что эти рассмотрения ведут к исключительно серверным арифметическим результатам, но сам может предъявить на этом пути лишь новое доказательство восходяшей еще к Евклиду теоремы о бесконечности множества простых чисел! Можно показать, что гора родила мышь, но чуть не обманную Эйлера. Это стало ясно, когда в конце прошло века Дирихле, отправляясь именно от наместного Эйлером доказательства, доказал бесконечность числа простых чисел в арифметической програмсии $a + dn$ с взаимно простыми $a$ и $d$ (обобщение теоремы Евклида).

Эйлер приоткрывает еще одну тайну в мире простых чисел. Его анализческое учтение, сильно опережащее его технические возможности, подсказывает, что сумма по простим числам $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{p}$ при больших $p$ близка к $\ln \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{p-1} + \frac{1}{p}\right)$, а это первый шаг в получении закона распределения простых чисел в натуральном ряду.

Эйлер чувствует, что функцию $\zeta(s)$ можно продолжить даже на те значения $s$, для которых ее нельзя определить как сумму ряда. Более того, он заменяет связь между значениями $\zeta$ в точках $s$ и $1-s$ (то, что позднее было формулировано Римом в виде знаменного функциониального уравнения). Эйлер исследует значения $\zeta(s)$ в целых точках. Мы рассекем ниже, как он разобрался со случайным аргументов, а симметрию между значениями $\zeta$ в точках $s$ и $1-s$ он расчитвал применить к исследованию $\zeta$ в нечетных точках, но потерпел неудачу, появ, что в отличительных точках продолженная $\zeta$ равна нулю. Отметим, что об арифметической приодаже числа $\zeta(3)$ стало кое-что известно лишь в самые последние годы.

Эйлер береется за право публикации и доверия к недоказанным утверждениям, прошедшим серверную экспериментальную проверку и получившим ковренные подтверждения.

22

Няя. Он понмает, что в современной ему ситуации математика потеряет многое, если жестко придерживается вкладовых правил установления истинны.

Адитивная теория чисел

Задание о числе представления натуральных чисел в виде сумм слагаемых неокторой природы (как говорил Эйлер, задан о «разбении чисел») должно быть в центре его внимание. Возможно, первоначальный толок для задания, содержащиеся в письме Ноде, фамилия которого ничего не говорит нашему современнику. К этим заданием Эйлер применил аппарат бесконечных произведения. Вот несколько примеров. Эйлер показывает, что

$$\begin{align*} (1+x)(1+x^2)(1+x^3) &\dots = \frac{1}{(1-x)(1-x^3)(1-x^5)}. \end{align*}$$

Рассужждение состоит в том, что если умножать левую часть последовательности на 1−x, 1−x^3, 1−x^5, …, то постепенно будет исчезать все ненулевые степени, а это и означает тожество (это рассужение можно сделать строгим при помощи теории пределов). После раскрытия скобок в левой части получается ряд 1+a₁x+a₂x²+a₃x³+…, где aₖ — число представления k в виде суммы различных натуральных слагаемых. Правая часть при помощи суммы бесконечной геометрической прогрессии записьается в виде

$$\begin{align*} (1+x+x^2+x^3+...) (1+x^3+x^6+x^9+...) \times (1+x^5+x^{10}+x^{15}+...) \cdot ... \end{align*}$$

откуда вновь получается ряд 1+b₁x+b₂x²+b₃x³+…, где bₖ — число представления k в виде суммы нечетных слагаемых, среди которых могут быть одинаковые (почему?). Эйлер делает вывод о совпадении числа представления a_k=b_k. Попробуйте доказать это совпадение непредставенно и вы убедитесь, что не видно, как подобит к этой задаче.

Следующое рассужение исходит из точекства

$$\begin{align*} (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8) &\dots = \frac{1}{1+x+x^2+x^3+...} \\ = 1+x+x^2+x^3+... \end{align*}$$

(чтобы убедиться в его праводоподобии, можно умножить обе части на 1−x и проследить, как последовательно исчезают нелуевые степени x в обенных частях). Из него сразу следует, что каждое число одним и только один способ представляется в виде суммы различных степеней двойки (числа таких представлений — коэффициенты в степени ряду, полученном после преобразования левого произведения).

Задание о разбениих отходили отарифметики Дюфанта и Ферма не только по методам, но и по постановкам. Они ознакомлены наcology новей областиARIФметики — additивной теории чисел, которая развивается и в нашей дни.

Коротко о других работах

В математике Эйлер был прежде всего анализом. Значительная часть его жизни была подчинена созданию систематического (семитного) курса математического анализа. Эйлер первым работал с общим понятием функции, задаваемой произвольной кривой (графиком), причем он связывает общее понятие функции с задачей о количестве струны. Много сделал Эйлер в рассмотрении специальных классов функций, важных для приложений. Здесь знаменитая Γ-функция, принимающая в точке n натурального ряда значения n!, ее двойник В-функция (эйлеровы интегралы), цилиндрические и эллиптические функции. Эйлер систематически вел анализические рассмотрения в комплексе одной области, обнаружив заменательную связь между комплексной показательной функцией и тригонометрических функций. Его занятие геометрией были более эпизодичными. В основном они относятся к задачам, связанным с картографией, или к применением анализа в геометрии (начаими дифференциальной геометрии). Но можно также вспомнить и о значении формуле Эйлера для многогранников: B+Γ=P+2, где B — число вершин, Γ — число граней, P — число ребер, а также о задаче о семи кенггергских местах, в которой Эйлер правильно почувствовал проблемы новой геометрии (топологи).

23

В механике Эйлер первым перешел от геометрического языка Ньютона на аналитический язык, позволяющий пользоваться чисто математическими приемами из области дифференциальных уравнений. Вслед за Мопертюн Эйлер предложил первую корректную формулировку принципа наименьшего действия, позволяющего выводить законы механикиzentральных сил из предположения о том, что некоторые величины при движении должны быть минимальной (см. «Квант», 1975, № 12, с. 34). Он же перешел от механики материйной точки к механике твердого тела конечных размеров.

Занятия Эйлера астрономией — продолжение его занятия механикой. Его область интересов — небесная механика. Он смог реализовать здесь свои妒зитные вычислительные способности (как писал французский астроном Араго, он «вычислил так, как человек дышит»). Его теория Луны позволяет Майеру составить лунные таблицы невиданной точности. Много занятий Эйлер вычислением эллиптических орбит комет, в частности, знаменитой кометы Лексея (1769 г.).

---

В нашем обзоре мы не имели возможность коснуть многих сторон деятельности Эйлера, например оптики, картофели, баллистики и теории корабля. Мы оставили в стороне и его педагогическое наследие, в частности, его знаменитые «Письма к принцессе» — своеобразную попытку энциклопедии всей современной Эйлеру науки. По работам Эйлера учились великие математики XIX века. «Читайте Эйлера — это наш общий учитель», — говорил Лапас. По словам Гаусса, «изучение работ Эйлера остается налучшей школа в различных областях математики, и ничего другое не может это заменить». Эйлера ценили прежде всего те, кто изучал его труды, а не оценивал наследие по «вершинам», кто учился у него и пользовался его проводскими идеями.

Уголок коллекционера

Почтовых марок, посвязываемых Леонарду Эйлеру, немного. На приведенном здесь рисунке воспроизведены все марки, выпущенные до 1983 года. Первые из них отпечатана в ГДР в 1950 году к 200-летию Берлинской Академии наук. Остальные выпущены в 1957 году в СССР,

ГДР и Швейцарии к 250-летию со дня рождения Эйлера.

В. Р.

24

ЭВМ на сверхпроводинках

Доктор физико-mатематических наук
Л. Г. АСЛАМАЗОВ

Термин «поколение» прочно вошел в вычислительной техники. Каждый следующее поколение ЭВМ должно иметь большие быстродействие (число операций в единицу времени), больший объем памяти, меньшие размеры. Есть ли предел на этом пути, и какими станут ЭВМ в будущеем? Многие ведущие специалисты в мире сейчас считают, что ЭВМ должно стать сверхпроводими.

Что такое сверхпроводимость, теперь знает каждый школьник: при очень низких температурах неоторные металлы и сплавы теряют свое сопротивление, и электрический ток течет по таким проводникам без потерь. Идея использования сверхпроводимости для записи информации в ЭВМ имеет давнюю историю. Еще на заре эры вычислительной техники, в 50-х годах были разработаны сверхпроводящие элементы памяти — криотроны. Приципп их действия основан на том, что магнитное поле разрушает сверхпроводимость. Замкнутое количество из сверхпроводника может находиться в двух устойчивых состояниях: когда по нему циркулирует незаутхающий сверхпроводящий ток, и когда при включении магнитного поля сверхпроводимость разрушается, а колюц переходит в нормальное состояние. Так можно «записьать» «0» и «1», то есть создать простейший элемент памяти ЭВМ.

Основное преимущество сверхпроводящих криотронов по сравнению с полупроводниковыми элементами памяти заключается в том, что в сверхпроводящем состоянии не проинсходит выделения тела. Ведь при работе ЭВМ греется, и чем больше объем памяти, тем больше теперь выделяется. Если вспомнить, какое огромное количество содержимые ЭВМ, то становится понятным, почему эта проблема имеет первостепенное значение.

Похоже, что альтернативы нет — сверхЭВМ должны быть сверхпроводящими. Однако оказывается, что время переключения криотронов не может быть меньше, чем $10^{-8}$ с, а для современных ЭВМ даже миллиарды доли секунды не такая уж малая величины. В то же время сделать ЭВМ на сверхпроводящих криотронах оказывается гораздо труднее, чем на полупроводниках. И охлаждать ее надо было бы до очень низких температур — до температур жидкого геля (только в таких условиях металлы становятся сверхпроводящими). Поэтому сверхпроводящие криотроны на какое-то время были оставлены, и казалось, что это — тупиковая ветвь в эвлюциниме ЭВМ.

Но вот в 1962 году английский физик Джозефсон открыл замечательный эфект, называемый его именем (об этом эфекте можно прочитать, например, в статье «Что такое СКВИД?» в «Кванте» № 10 за 1981 год). И как часто бывают, новый физический эфект открыл новые технические возможности. Хотя прицип действия элемента памяти остался в существии прежним, были разработаны так называемые джозуляры (предельно возможная величина еще на два порядка меньше).

С таким рекордсменами полупроводниковые элементы памяти конкурировать уже не могут. Преимущества джозефоновских криотронов окупают затраты на охлаждение, трудности конструкирования и многое другое недостатки сверхпроводящих ЭВМ. Сейчас во всем мире ведутся интенсивные работы по созданию таких ЭВМ. И хотя на этом пути еще очень много нерешенных проблем, учены считают, что тот день, когда заработает первая ЭВМ на сверхпроводинках, не за горами.

26

Температура.
Теплога.
Теплоемкость

(Из истории физики)

Температура.
Теплога.
Теплоемкость

(Из истории физики)

Температура.
Теплога.
Теплоемкость

Точно так же между углом поворота и угловой скоростью существует связь:

$$\omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha\varphi.$$

Вообще любая формула kinematики выражительного движения тела получается из соответствующей формулы kinematики точки (или поступательного движения тела) простой заменой линейной величины соответствующей угловой.

В заключение отметим (в учебнике «Физика 8» об этом не говорится), что величины ф, и а также считаются векторными. (Нужно же отличать повороты или вращения по часовий стрелке от поворотов или вращений против часовой стрелки!) Принимается, что векторы угловых величины направлены вдоль оси вращения тела по правилу правого винт: если мысленно вращать правый винт так, как вращается тело, то направление поступательного движения винт укажет направление соответствующего вектора (см. рисунок). Правда, для угловогоускорения это правило несколько условяется: векторускорения совпадает по направлению с направлением движения винт, если угловая скорость возрастает по модулю, и направлен в противоположную сторону, если угловая скорость уменьшается.

Температура.
Теплога.
Теплоемкость

Температура.
Теплога.
Теплоемкость

По причем тут слово «емкость»? Ведь им обычно пользовется, когда говорят об объеме какого-нибудь соуса, точнее, — о его вместености.

Термин «темперакость» появился в физике около 200 лет назад, во второй половине XVIII века, и он остался в физике как память о тех кажущих теперь страницами представления о телле, холоде, температуре, которые существовали тогда в науке.

Начиная с XVII века, в физике шла борба двух представлений о природе теллоты. Борба эта закономильась сравнительно недавно — в середине прошло столетия; в результате одна из теорий теллоты была отброшена полностью, а вторая восторжествовала лишь частично.

Первая теория (точнее было бы сказать — гипотеза) состоит в том, что теллота — это особое вещество, способное проникать в любое телло. Чем больше этого вещества в телле, тем выше его температура. Опытным фактом, на котором основалось это представление, служило то, что при контакте двух по-разному нагретых тел более теллое из них охлаждается, а более холодное нагревается. Дело в самом деле выглядит так, как будто бы нечего переливается из более теллого тела в более холодное. Это нéчто, своего рода телловое вещество, называли по-разному, но чаще всего — теплородом. Считалось, что всякое тело представляется

27

собой смесь вещества самого тела с теплородом, а температура, изменяемая термометром, характеризует концентрацию теплорода в теле. Слово «температура» по-латьи как раз и означает смесь. Бронза, например, называется температурой (смесь) меди и олова.

Вторая теория (гипотеза), впервые предложенная в начале XVII века английским ученым Фрэнсисом Бэконом, утверждала, что теплота — это движение малых частицы внутри тела (молекул, атомов, или, как тогда говорили, нечувствительных частиц). Эта гипотеза тоже основывает на опытых наблюдающих, показывающих, например, что движением можно вызвать нагревание. У этой теории было много сторонников, и даже очень значenthых, таких, как Декарт, Бойль, Гук, Ломонсов.

Обе теории при всем их различии имели и коe-что общее. И та, и другая сходильсь на том, что теплота — это нéчто, содержащейся в теле. По первой гипотезе в теле содержится теплород, по второй — частицы с их «живой силой» (так тогда называли кинетическая энергия). Сходились они и в том, что теплота не пропадает и не появляется: если при контакте двух тел одно из них теряет теплоту, то другое получает ее, так что потеряное один темпробетается другим. Тем не менее, подавляющее большинство исследователей вплоть до XIX века придерживались перой, так сказать, вещественный теории теплоты, и XVIII век был, безусловно, веком торжества именно этого представления о теплоте.

Введение понятия тепломкости тесто связывано с решением проблем распределения тепла при соррикосновении различных тел.

Исходя из первой гипотезы и из того, что термометр показывает концентрацию теплорода в теле, английский математик Тейлор показал, что если смещать, например, массу $m_1$ воды при температуре $t_1$, массу $m_2$ при температуре $t_2$, $m_3$ при температуре $t_3$ и т. д., то температура смеси оказывается равной

$$t = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2 + m_3 t_3 + \dots + m_n t_n}{m_1 + m_2 + m_3 + \dots + m_n}.$$ (1)

Немецкий физик Фаренгейт по предложению индерландского врача и химika Бурграве провел опыты с двумя равными массами воды и рутуи и показал, что температура смеси (рить и вода не смешиваются, но встречиванием их все же можно привести к одной температуре), не равна температуре $t$, подсчитанной по формуле (1), то есть, что формула (1) для смеси разных жидкости не верна. Оказалось, что если температура воды выше температуры рутуи, то температура смеси выше подсчитанной. Это выглядело страным, потому что если термометр действительное показывает концентрацию теплорода в теле, то при равных массах любое тело получает одно и то же количество теплоты (теллорада) при нагревании на одно и то же число градусов.

Ясность в этот вопрос внес в середине XVIII века английский химик Блэк. Опыт Фаренгейта—Бурграве, объясняет Блэк, показывает, что для нагревания некоторых массы рутуи требуется меньше теплоты, чем для нагревания такой же массы воды на то же число градусов. Словами самого Блэка: «Ртуть поэтому имеет меньше емкости для теплоты (если мне позвольено применять это выражение), чем вода, меньше количество теплоты необходимо для повышения температуры рутуи на то же количество градусов».

Так впервые появилось понятие «емкость для теплоты» (теллорадьость). Так было ясно показано, что теплота и температура не одно и то же. Но верным осталось то, что было известно и раньше: количество теплоты, полученное одним телом, потеряному другим. В математической форме идея Блэка выражается равенством, теперь известным каждому школьнику:

$$c_1 m_1 (t - t_1) = c_2 m_2 (t_2 - t).$$ (2)

Его называют уравнением теплового баланса, которое и выражает идею о сохранении теплоты.

Из уравнения (2) нельзя найти уделные тепломкости $c_1$ и $c_2$ по от-

28

дельности, а можно определить только их отношение:

$$\frac{c_1}{c_2} = \frac{m_2(t_2-t)}{m_1(t-t_1)}$$

В частности, из опытов получалось, что теплокость воды в 20 раз больше теплокости ртути (по современным данным — более чем в 30 раз). Вообще уделная теплокость воды — наиболее средний жидкий и твердых веществ.

Неколько позже было предположено принять уделную теплокость воды за единицу (на этой основе была введена и единица количество теплоты — calorия, теплый вышедшая из употребления), и тогда стало возможным измерять теплокости любых веществ.

Примерно в то же время Блэк сделал еще одно важное открытие, особенно ясно показавшее, что существует разница между количеством теплоты и температурой. Дело в том, что если термометр измеряет концентрацию теплоты (теллорада), то подвод теплка к телу обязаться до джен вызывать повышение температуры тела, а отвод теплоты — ее понижение. Между тем, Блэк обнаружил, что при плавлении твердого тела (льда) температура остается неизменной, несмотря на подвод к нему теплоты. Не изменяется температура и воды, когда она отвердевает, хотя от воды при этом отводится теплота. Блэк называл эту теплоту, которое «не замечает» термометр, скрытой теплотой плавления или отвердевания (телер ее называют просто теплой плавления). Им же было установлено существование и скрытой теплоты парообразования.

Открытия Блэка были, несомненно, самых важными в XVIII века в области физики тепловых явлений. Интересна и необучена их судьба. Избегая популяристии, Блэк не публиковал статей о своих работах, а сообщал о них только в lekциях и докладах. Лишь после его смерти, в 1803 году, были опубликованы его «Лекции об элементах химии», в которых содержалось физическое вступление, ознакомленное «Общие тепловые эффекты». В нем и излага-

лись результаты его замечательных исследований.

Чем же закономлся спор о природа теплоты? Какая из двух гипотез поедила? Работы, связанные с тепломкостью, да и другие тепловые исследования XVIII века спора решить не могли. Понадобились эксперименты, которые показали, что температура тела может повышаться и без подвода теплоты, за счет механической работы. Понадобилось получить и более подробные сведения об атомах и молекулах («нечувствительных частиц»), которых «подозревали» в присутствии к теплоте. Все это было сделано в XIX веке. В результате выяснили, что теория теплорада не имеет никакого отношения к действительности и что теплота действительно связана с движением частицы внутреннего тела, но не так, как это себе представляют раньше. То, что «содержится» внутренний теплри тел, — это не теплота, а внутренняя энергия (то есть кинетическая энергия поступательного беспорядочного движения частиц, которая и определяет температуру тела, кинетическая энергия врашательного и колбательного движения частиц, а также потенциальная энергия их взаимодействия). Теллота же — это энергия беспорядочного движения частицы тела, передаваемая (например, при контакте) другому телу или телам. Уравнение (2), в частности, не выражает как думали преждевое, закон сохранения количеств теплоты (такого закона нет!). Это просто частный случай закона сохранения энергии для тепловых процессов (то есть первого закона термодинамики) $Q = \Delta U + A$. Они справедливо, когда сама система или внешние силы над системой не совершают механической работы ($A = 0$), а изменение внутренней энергии системы $\Delta U$ неосредственно связано с процессом теплопередачи.

29

Электрические колебания.

Колебательный контур

В 1853 году знаменитый английский физик Уильям Томсон, впоследствии лорд Кельвин, опубликовал статью под названием «О неустаноившихся электрических токах».
В ней он показал, что в контуре, составленном из конденсатора емкостью $C$ и катушки с индуктивностью $L$ (рис. 1), должны присходить электримагнитные колебания с периодом $T = 2\pi\sqrt{LC}$.

При слове «колебания» нам сразу представляется образ колеблощого математического матрика (рис. 2) или груза, прикрепленного кружине (рис. 3). Но колебания ознакомют не только механическое движение какого-нибудь тела «туда — сюда».
Под колебаниями нужно понять всекое перiodическое изменение какой-либо величины, то есть такое изменение, при котором значение этой величины через определенный промежуток времени, называемый периодом колебания, повторяется.

При механических колебаниях материальной точки перiodических изменяющаяся величина — это координата $x$ точки. В нашем контуре — это заряд $q$, который был сообщен конденсатора. В течение периода колебаний заряд на обкладке постепенно исчезает, изменяет свой знак и снова восстанавливается. Совершает колебания и напряжение $U = q/C$ между обкладками конденсатора, и сила тока $I$ в цепи, так как в любой момент времени справедливо соответствие.

$$U = L \frac{\Delta I}{\Delta t}$$

Колеблются также напряжение $E$ электрического поля в конденсаторе (потому что $E = U/d$, где $d$ — расстояние между обкладками) и индукция $B$ магнитного поля катушки (потому что она пропорциональна току).

Это аналогично тому, как при механических колебаниях периодические изменяется не только координата точки, но и ее скорость,ускорение, кинетическая энергия и т. д. Все эти величины совершают колебания.

В школьном учебнике «Физика 10» рассказывается об аналогии между механическими и электрическими колебаниями. Эту аналогию можно сделать более строго, если заметить, что уравнение (1) по форме совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона для тела, колеблощого под действием других:

$$F = m \frac{\Delta v}{\Delta t},$$

где $F$ — сила уравнений, действующего на тело, $m$ — масса, $\Delta v/\Delta t = a$ —ускорение тела. Поэтому уравнение (1) можно исследовать по принципу «одинаковые уравнения имеют одинаковые решения».

Сравнение уравнения (1) и (2) показывает, что напряжение $U$ соответствует силе уравнений $F$, ток $I$ в катушка — скорости $v$ движения тела, а индуктивность катушки $L$ — массе тела $m$. Наконец, из соответствия

$$U = \frac{q}{C} \text{ и } F = k\lambda$$

следует, что величины, обратная емкостью конденсатора ($1/C$), соответствует жесткости пружины $k$. Сводная таблица, подытоживающая эту аналогию, приведена в «Физике 10».

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.

30

В заключение рассмотрим интересный вопрос о токе в колебательном контуре. Несмотря на то, что контур разомкнут (между обкладками конденсатора нет проводников), по такой «разомкнутой цепи» течение ток. Более того, если бы сопротивление катушки и подводящих проводов было равно нулю (сверхпроводимость), электрический ток, вызванный разрядом конденсатора, никогда бы не прекратился.

Как это ни странно, но ток в колебательном контуре можно считать замкнутым. Что это понять, нужно вернуть к явлению электромагнитной индукции. Как впервые указыл Максвелл, существ это явление заключится не в том, что изменение магнитного потока порождает индукционный ток, а в том, что изменение магнитного поля порождает электрическое поле с замкнутыми силовыми линиями (вихревое поле). Индукционный ток — это движение заряженных части в этом поле. В связи с такой формулировкой явления электромагнитной индукции Максвеллу пришла в голову генциальная мысль, что должно существовать и обратное явление: изменяющиеся электрическое поле создает магнитное поле.

В нашем колебательном контуре, когда в нем происходит колебания, есть место, где ничего, кроме изменяющегося электрического поля, нет, Это конденсатор. Значит, вокруг конденсатора существует магнитное поле (рис. 4). С другой стороны, известно, что магнитное поле окружает всякий электрический ток. Выходит, что своим свойством быть окруженным магнитным полем изменяющейся (переменное) электрическое поле ничем не отличается от электрического тока. Со времен Максвелла скорость изменения переменного электрического поля и называют поэтому током, точнее, током смещения.

Таким образом, можно считать, что «объичный» электрический ток (так называемый ток проводимости) в проводящей части цепи колебательного контура как бы продолжается в конденсаторе током без зарядов — током смещения.

Нашкалендарь

Об изохронности колебаний магнитика

На склоне лет Галилео Галилей (1564—1642) рассказал своему юному ученку Винченго Винчини, как началась его научная жизнь. Однако было в 1583 году, девятнадцатилетний Галилей, находясь в Пизанском соборе, наблюдал за качаниями большой лестры. Ему показалось, что период ее колебаний с течение времени не изменяется. Несмотря на затухание, то есть уменьшение размахов колебаний, продолжительность каждого колебания оставалась одинаковой. Вернулись домой, он продолжал эксперимент с шарами, подвешенными на нитях, и приSEL к выводу, что период колебаний магнитка в самом деле не зависят от максимального уела отклонения. Как стацим потом говорить, — колебания магнитка изохронны, то есть постоянны по времени. (Позднее Галилей обнаружил, что период колебаний относится как корни квадратные из длины магнитков.) С этого открытия юного Галилея началась цепь его великих механических открытий.

В соборе, как пишет Винчини, Галилей контрольовал период колебаний листры по бенично собственного пульса, провода эксперименты, он пользовался водяными часами.

Механические часы это время оставляли желать много лушец. Мы не знаем, когда Галилей решил использовать для создания изохронность колебания магнитка: на зареле ли его научной деятельности, в период создания новой механики, или в конце жизни, когда он после суда инквизицины ввода вернулся к занятым механикой. Несомненно, однако, что вплотную конструктивием магнитковых часов Галилей заняла, когда был стар и практическей слен, и потому не смог довести свой великий замисел до реального работающего механизма.

Первые магнитковые часы созданы ХристIANом Гюйленсом (1629—1695). В свою жизнь Гюйленс работал над их условиямствованием и получил в процессе этой деятельности много замечательных результатов. В частности, он уточнил, что утверждение Галилея об изохронности колебаний магнитка справедливо лишь для малых улов отклонения магнитка от равновесия.

С. Г.

31

Задчи

1. Журнал «Квант» состоит из 16 волженных друг в друга двойных листов. На каком двойном листе сумма чисел, обозначающих номера страниц, будет наиболее?

2. Найдите двухначное число, вдвое больше произведения его цифр.

3. Решите путь «географических» ребусов (см. рисунок). В каждом ребусе одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные.

4. Кости домино выложены в виде круговой салфетки, причем сумма очков в каждой вертикальном и в каждой горизонтальном ряду одна и та же (см. рисунок). Значения очков на костях, кроме «пустышек», защищены буквами. Расшифруйте их.

5. Отец и сын наблюдают солнечное заттение, и темой их разговорав былли Солнце и Луна. «Папа,— спросил мальчик,— а во сколько раз Солнце дальше от нас, чем Луна? «Насколько я помню,— отвечал отец,— в 387 раз». «Тогда я могу подсчитать, во сколько раз объем Солнца больше объема Луны». «Пожалуйста, ты прав»,— ответил, подумав, отец. Во сколько же раз объем Солнца больше объема Луны?

Эти задчи нам предложили
М. В. Варда, А. М. Козлов, М. А. Мначакян, Э. Сулейманов (ученик 10 класса с.ш. № 10 г. Шеки), А. Холин (ученик 7 класса с.ш. № 1 г. Кокчетава).

32

Электронный
глаз

Кандидат педагогических наук
В. С. ДАНЮШЕНКОВ

Наверное, многое из вас в кабинете физики образили внимание на прибор, пожожий на телевизор с маленьким круглым экраном. Когда он работает, по его экрану «бегают» различные светящиеся линии. Этот прибор называют осциллограмом. Он служит для записи на экране быстро протекающих и невидимых для человекаского глаза физических процессов. Тем самым прибор расширяет возможность нашего восприятия при познании явлений природы. За эту особенность осциллограмф часто называют «электронным глазом».

Главное — это трубка

Основной элемент осциллографа — электронолучевая (или просто «электронная») трубка. Она представляет собой стеклянный баллон специальной формы, из которого выкачан почти весь воздух. Внутри баллона располагаются «электронная пушка» для получения электронного лучи и механизм для управления этим лучом (рисунок 1). О том, как работает трубка, мы рассскажем позже. А сначала — немного истории.

Прототипом современной электронной трубки была газоразрядная трубка, с помощью которого английин У. Крукс изучал процессы прохождения электрического тока через разреженные газы. Трубка представляет собой стеклянный баллон с влаяными в него электродами; баллон подсоединяется к насосу, откачиващему из него воздуха. Крукс обнаружил, что когда электроды были подсоединены к источнику напряжения, внутри трубки появлялись неизвестные лучи.

Спустя 25 лет французский физик Ж. Перрен доказал, что эти лучи представляют собой поток отрицательного заряженных частиц, источником которых является packленная поверхность отрицательного электрода — катода. Перрен помещил перед

Электронная пушка
Откклочие пластмы
Экран

Рис. 1.

33

катодом полый металлический цилиндр, который соединялся с электросоком (рисунок 2). Когда на электроды было подано напряжение, лепестки электросока зарядились и разошлись. При поднесении к электросоку положительно заряженной стеклянной палочки лепестки возврались в исходное положение. Следовательно, на цилиндре при работе трубки скалпивался отрицательный заряд. Перен поднес к трубке магнит так, что он находился против свободного пространства между катодом и полым цилиндром. При этом электросокоп не заряжался. Значит, отрицательно заряженные частицы, которые в отсутствие магнита попадали на цилиндр, вылетали с катода. Магнитное поле отклоняло эти частицы на стенку трубки. В этом опыте впервые было осуществлено магнитное управление потоком заряженных частиц.

Вы можете увидеть действие магнитного поля на поток электронов, поднеся магнит к телевизору сбоку. Изображение на экране будет смещаться вверх или вниз в зависимости от того, каким полосом вы подносите магнит.

В 1897 году немецкий физик К. Браун создал лучевую трубку с магнитным управлением, по форме

Рис. 2.

похожую на современную электронную трубку.

В том же году английский физик Дж. Дж. Томсон с помощью этой трубки показал, что лучи, вылетующие с катода, представляют собой поток электронов. В своей эксперименте Томсон впервые электрический способ управления потоком электронов. Поместив перед катодом две параллельные пластины, подсоединенные к полюсам электрической батареи, он увидел, что лучи, попадающие в электрическое поле между пластинами, отклоняются от своего первогоначального пути.

Увидеть, как действует электрическое поле на заряженные частицы, вы можете, продолжав такой опит. Берете две аломинические пластины или крышки от кастрюль с изолированными руками и укрепляете их параллельно друг друга.

Из файла делаете крульный шарик (или гильзу) и прикрепляет к ней нитку. Затем берете эбонитоую палочки и натираете ее кусочком шелка; при этом палочка электризуется отрицательно. Сначала легким прикосновением палочки заряжаете шарик, а потом odну из пластин. Затем натираете палочки листком бумаги. В этом случае она электризуется положительно. Заряжаете палочки вторую пластину. Тенерь все готово к опыту. Шарик на нитке опустите между пластинами. Вы увидите, что шарик отклоняется в стороны полосительного заряженной пластины.

Аналогичным образом действует электрическое поле на электроны в электроннойлучевой трубке. При движении между управляющими пластнами весь поток электронов отклоняется от первогоначального пути

34

в сторону пластины, подсоединенной к положительной полюсу батареи.

Пушка, стреляющая электронами

Мы уже сказали, что источником электронов в трубке является отрицательное заряженный электрод — катод. В любом проводнике имеется огромное количество электронов, которые находятся в постоянном движении. Большинство электронов движется с почти одинаковыми по абсолотной величины скорости. Но есть электроны, скорость которых значительно больше средней скорости. Такие электроны, оказываись зблизи поверхности проводника, могут «провраться» сквозь поверхность, «испариться» (эта ситуация аналогична процессу испарения жидкости). При комнатных температуре доля этих электронов ничего не оказывает. Испарение электронов с поверхности накаленного проводника идет очень интенсивно.

Катод электронной трубки (тоенький проводник) разогревают докрасна, пропуская через него электрический ток, и с поверхности катода испарются электроны.

Убедиться в том, что с нагретою проводника испарится электроны, можно с помощью несложного опыта. Для опыта нужна лампа накаливания, листок фольги и электросокон. Электронный мощте сделать сами. Для этого возьмите бутылку и подберите к ней пробку (лучше всего резиновую; можно сделать пробку из ластika). Через пробку пропустите достаточно длинный звездь; к острому концу звездя прикрепите лепестки из папиросной бумаги. Закройте бутылку пробкой так, чтобы лепестки были внутри бутылки. Электросокон готов.

Из фольги вырежьте полоску и оберните ее плотно вокруг колбы ламры накапливания. Tonким проводком соедините фольгу с электросоком.

Теперь зарядите электросокон положительно (например, с помощью стеклянной палочки, потертою о щелк) и включите лампу в свет. Вы увидите, что лепестки электросока опадают.

Фольга, соединенная с электросоком, имеет положительный заряд. Электроны, испарющиеся из нити накала лампы, пригиваются этим зарядом, оседают на колбе лампы и заряжают ее внутреннюю поверхность отрицательно. Этот отрицательный заряд и нейтрализует положительный заряд фольги и, следовательно, электросока.

Как собрать все «испарящиеся» с катода электроны в тонкий луч?

Напротив катода помещен второй электрод — аод. Как правило, он имеет форму диска. Между катодом и аодом создают большое напряжение (от нескольких сотен до нескольких тысячvolt). Электрическое поле между электродами направляется электроны, вылетящие с поверхности катода, на аод и разгоняет их до очень большей скорости. А чтобы собрать эти электроны в тонкий луч, делают следующее.

На катод одевают металлический «рубашку» — цилиндрический стакан с маленьким отверстием в дне. Ей сообщают отрицательный заряд. Этот заряд скнимает вылетящие с поверхности металла электроны к оси «рубашки»-стакана, так что большая часть электронов вылетает из «рубашки» через маленькое отверстие. Меняя заряд на «рубашке», можно регулировать число вылетующих из нее электронов. Благодаря этому свойству металлический «рубашку» называют управляющим электродом. Узкий пучок электронов, вылетших из управляющего электрода, направляется на аод и проходит через узкое отверстие в нем.

36

Задчи

M831—M835; Ф843—Ф847

M831. Пусть $P$ и $Q$ — середины сторона $AB$ и $CD$ четырехугольника $ABCD$, $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$. Докажите, что если прямы $MN$ и $PQ$ перпендикулярны, то $|BC| = |AD|$.

B. B. Прасолов

M832. a) Докажите, что для любого натурального $n > 6$ квадрат можно разрезать на $n$ квадратов (среди которых могут быть и квадраты одинакового размера).

6. Докажите, что для любого натурального $n > 100$ куб можно разрезать на $n$ кубов.

B. A. Ли

M833*. Последовательность $x_n$ задается условиями:

$$x_1 = 2; \quad x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} \quad (n=1, 2, 3, \dots).$$

Докажите, что a) $x_n \neq 0$ (при всех $n$);

6. эта последовательность неперiodическая.

B. Э. Матизен

M834. Оросительная установка, расположенная в точке $O$, обслуживает круг радиуса 100 м с центром $O$. Таким установками нужно полностью орошать квадратное поле 1 км×1 км.

a) Бригадир предположить 64 установки в вершинах квадратной сетки со стороны, параллельными краям поля (рис. 1). В каких пределах может меняться сторона $a$ квадратной сетки?

6. Восьмиклассник Витя утверждает, что можно оросить поле с помощью лишь 46 таких установок. Прав ли Витя?

H. B. Васильев

M835*. На однокруговый шахматный турир приехало $n$ шахматистов из страны $A$ и $n$ шахматистов из страны $B$. Оказалось, что как бы ни разбит шахматистов на пары (чтобы друг с другом играли шахматные разницы стран), найдется хотя бы одна пара шахматистов, которые уже встречались ранее друг с другой. Докажите, что можно выбрать $a$ шахматистов из страны $A$ и $b$ шахматистов из страны $B$ так, что каждый из выбранных $a$

37

шахматистов встречался с каждым из выбранных $b$ шахматистов, а $a+b>n$.

Л. Д. Менихес

Ф843. Колесо радиуса $R$, расположенное на высоте $H$ над землей, врашается с угловой скоростью $\omega$. С колеса сывается капля и падает на землю в точке $B$ под центром колеса (рис. 2.). Найти время падения капли и точку $A$ колеса, в которой капля отрывается.

А. Н. Григоренко

Ф844. В сосуд, наполненный смесью жидкости, плотность которого изменяется с глубиной по закону $\rho = \rho_0 + ah$, опускают тело массы $m$ и объема $V$. Тело целиком погружается в жидкость. На какой глубине оно оказывается, если имеет форму куба? шара?

Л. Г. Маркович

Ф845. Внутрь камеры автоматного колеса радиуса $R$ попал небольшой камешек. При какой минимальной скорости автоматная камешек будет врашаться вместе с колесом, если коэффициент трения камешка о камеру равен $\mu$?

А. В. Левин

Ф846. Почему мощные двигатели постоянного тока следует включать через пусковой реостат?

А. В. Кубышкин

Ф847*. В объемный пучок положительных носов, имеющий круглое сечение, в точке $A$ влетает электрон, скорость которого параллельна оси симметрины пучка (рис. 3). Объемная плотность зарядов в пучке равна $\rho$, длина пучка $l$ (длина пучка много больше его радиуса). При каких значениях скорости электрона он вылетит из пучка в точке $B$? Столковенная электрона с номами не учитывать.

О. В. Фатьянов

Problems

M831—M835; P843—P847

M831. Suppose $P$ and $Q$ are the midpoints of sides $AB$ and $CD$ of the quadrilateral $ABCD$, $M$ and $N$ — those of the diagonals $AC$ and $BD$. Prove that if the lines $MN$ and $PQ$ are perpendicular, then $|BC| = |AD|$.

V. V. Prasolov

M832. a) Prove that for any natural $n>6$ a square can be cut up into $n$ smaller squares (among which some may be congruent).

b) Prove that for any natural $n>100$ the cube may be cut up into $n$ smaller cubes.

V. A. Li

39

Решения задач
M816, M817, M819, M820*); Ф828—Ф832

М816. Натуральные числа a и b получаются друг из других перестановкой цифр. Доказите, что
a) суммы цифр чисел 2a и 2b равны;
b) суммы цифр чисел a/2 и b/2 равны (если a и b четные);
c) суммы цифр чисел 5a и 5b равны.

Сначала доказаем одно вспомогательное утверждение.
Пусть $S(x)$ — сумма цифр натурального числа $x$, $N(x)$ — количество его цифр, больших 4. Тогда
$$S(2x) = 2S(x) - 9N(x).$$

Представим, что мы складываем число $x$ само с собой столбиком, начиная с младших разрядов. Перенос единицы в очередной, $(k+1)$-й разряд суммы произходит в том и только в том случае, когда в $k$-м разряде числа $x$ стоит одна из цифр 5, 6, 7, 8 или 9 (в примере на полях это произходит во 2-м, 3-м и 5-м от конца разряда), то есть количество переносов равно $N(x)$. При каждом переносе вместе десятики, которая входит в сумму $S(x) + S(x)$, возникнет единица, которая входит в сумму $S(2x)$, то есть $S(2x)$ по сравнению с $2S(x)$ уменшается на 9. Отсюда получаем (*).

Теперь легко доказать утверждение задачи.
a) Подставляя в () вместе $x$ поочередно $a$ и $b$ и учитывая очередные равенства $S(a) = S(b)$ и $N(a) = N(b)$, получим, что $S(2a) = S(2b)$.
b) Заметим, что цифра $i$-го разряда числа $x$ больше 4 в том и только том случае, когда цифра $(i+1)$-го разряда числа $2x$ нечетна. Поэтому $N(x)$ равно количеству нечетных цифр в числе $2x$. Следовательно, для чисел $a$ и $b$, составленных из одних и тех же цифр, $N(a/2) = N(b/2)$ и в силу ()
$$S\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(S(a) + 9N\left(\frac{a}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(S(b) + 9N\left(\frac{b}{2}\right)\right) = S\left(\frac{b}{2}\right).$$
в) Очевидно, числа 10a и 10b удовлетворяют условям пункт 6), поэтому
$$S(5a) = S\left(\frac{10a}{2}\right) = S\left(\frac{10b}{2}\right) = S(5b).$$
А. Д. Лисицкий

М817. Точка $K$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Доказите, что соответствие $|AK|^2 = |AB| \cdot |AC|$ — $|KB| \cdot |KC|$ выполняется тогда и только тогда, когда $|AB| = |AC|$ или $BAK = CAK$.

Рис. 1.
$$|AK|^2 = q|AB|^2 + p|AC|^2 - |BK| \cdot |KC|$$
где $p = |BK| : |BC|$, $q = |CK| : |BC|$.

Первое решение (рис. 1). Пусть $p = |BK| : |BC|$, $q = 1 - p = |CK| : |BC|$, тогда
$$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{AB} + p\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + p(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = q\overrightarrow{AB} + p\overrightarrow{AC}.$$
(*)

По условиям $|AK|^2 = (q\overrightarrow{AB} + p\overrightarrow{AC})^2 = |AB| \cdot |AC|$ — $|KB| \cdot |KC| = |AB| \cdot |AC| - pq(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})^2$.

Раскрывая скобки и учитывая, что $p + q = 1$, получаем:
$$q|AB|^2 + p|AC|^2 - |AB| \cdot |AC| = 0.$$

Следовательно, отношение длин стороны треугольника $\lambda = |AB| : |AC|$ удовлетворяет квадратному уравнению $q\lambda^2 - \lambda + p = 0$, то есть $\lambda = 1$ или $\lambda = p/q$. В первом случае $|AB| = |AC|$, во втором — $|AB| : |AC| = p/q = |BK| : |KC|$, откуда по известной теореме***) вытекает, что $AK$ — биссерриса или $BAK = CAK$.

С помощью равенства (*) легко вывести общую формулу для длин отрезка $AK$, известную как формула Стюарта. Она приводится на полях.

*) Задачка М818 будет решена в одном из следующих номеров «Кванта».
***) См., например, С. Р. Сефи беков «Четыре доказательства теоремы о биссеррисе» («Квант», 1983, № 8).

40

Второе решение. Возьмем на отрезке BC такую точку L, что $\widehat{CAL} = \widehat{KAB}$ (рис. 2). Покажем, что $|AL| = |AK|$. Отсюда будет вытекать, что либо точки L и K совпадают, то есть AK — биссертиса угла A, либо $\Delta ALK$ равноведренный и тогда по теореме о внешнем угле треугольника

$$\widehat{ABC} = \widehat{AKC} - \widehat{BAK} = \widehat{ALB} - \widehat{LAC} = \widehat{ACB},$$

то есть треугольник ABC — равноведренный.

Обозначим через D точку пересечения прямой AK и описанной около треугольника ABC окружности. Поскольку $ACB = ADB$, треугольник ACL подобен треугольнику ADB, следовательно, $|AL| \cdot |AD| = |AB| \cdot |AC|$. Треугольники ACK и BDK также подобны ($\widehat{ACB} = \widehat{ADB}, \widehat{AKC} = \widehat{BKD}$), поэтому $|BK| \cdot |KC| = |AK| \cdot |KD|$. Таким образом, равенство, данные в условия, эквивалентно следующему

$$|AK|^2 = |AL| \cdot |AD| - |AK| \cdot |KD|$$

или

$$|AK|(|AK| + |KD|) = |AL| \cdot |AD|.$$

Отсюда и вытекает, что $|AK| = |AL|$.

А. Л. Тоом, Н. Б. Васильев

M819. В Швамбрании n городов, каждые два из которых соединены дорогой. (Дороги сходятся лишь в городах, все пересечения ограничены в разных угловях.) Злой волшебник намерена установить на каждой дороге одностороннее движение так, что, выхав из любого города, в него уже нельзя будет вернуть. Докажите, что a) волшебник может это сделать;
б) при этом найдется город, из которого можно добрать до всех других, и найдется город, из которого нельзя выехать;
в) существует $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ способов осуществить намерение этого волшебника.

a) Волшебник может занутеровать все города Швамбрании числами от 1 до n и установлен на каждой дороге движение от города с меньшим номером к городу с большим номером. Этим он достигнет своей цели, потому что номера городов, которые встретиются при движении по любому маршруту с таким ограничением будут всегда возвращать.

b) Начав с любого города, подем по дорогам Швамбрании, соблюдая правила этого волшебника. Будем дивится, пока это возможно. Никакой город не встретиется на нашем пути движения, и поскольку число городов конечно, рано или поздно нам придется остановиться. Но это и значит, что мы попали в город Z, из которого нельзя выехать.

Теперь обратим направления движения на всех дорогах. Ясно, что дивитсь по новым правилам, мы опять не сможем посетить движения один и тот же город. Поэтому, как и выше, найдется город A, из которого нельзя выехать по новым (!) правилам. Следовательно, первоначально на дороге, соединяющей A с любым другом городом B, было установлено движение от A к B, то есть из A можно попасть в любой город (пройяд всего одну дорогу).

Заметим, что из любого города кроме Z можно выехать (например, в Z), а в любой городу кроме A можно выехать.

в) Проведем индукцию по числу городов n. При n = 1 утверждение в) очевидно. Докажем его для n городов, считая, что оно справедливо для n — 1 городов. Согласно пункту 6), при любых правилах движения, удовлетворiousых условиям этого волшебника, найдется один и только один город Z, из которого нельзя выехать. Им может быть любой из n городов.

На всех дорогах, соединяющих по направлению к городу Z. Поэтому никакой маршрут, соединяющий два других города, уже не может пройти через Z и надо только установить направления на дорогах между остальными n — 1 городами так, чтобы ни в один из них нельзя выехать, дивитсь по этим направлениям. По предположению индукции это можно сделать (n — 1)! способами. Следовательно, общее число способов равно n · (n — 1)! = n!.

Другое решение основано на том, что существует единственный самый длинный (по числу дорог) маршрут

43

Пар над поверхностью расторова содержит только молекулы воды. Универсальная зазовая постоянная $R = 8,3$ Дж/(моль·К).

Плотность $\rho_{\pi}$ пара при температуре $T = 293$ К найдем из уравнения газового состояния:

$$\rho_{\pi} = p_{\text{mac}} \frac{\mu}{RT}.$$

Таким образом,

$$h = \frac{0,05c_2RT}{\mu g} (2 \frac{h_0}{h} - 1).$$

Подставляя приведенные в условия числовые данные, находим

$$h \approx 16,4 \text{ см.}$$

Интересно отмечить, что, как следует из рассмотренной задачи, если под колпаком будет нахождение два одинаковых сосуда с расторами разных концентраций, то испарение будет произходить из растора с меньшей концентрацией. И наоборот, водяной пар будет конденсироваться в растор с большей концентрацией. Таким образом, концентрации будут стремиться выравнять. Именно с этим физическим явлением связано намокание сахара, соли и т. п. в атмосфере влажного воздуха.

А. И. Буздин

Ф831. Незарженная проводящая тонкостенная сферическая оболочка помещена в однородное электрическое поле. При направлении поля $E_0$ оболочка разрывается. При какой минимальной направлении поля разорвется оболочка вдвое большего радиуса, имеющая ту же толщину стенок?

◆ На проводящей оболочке, помещенной в электрическое поле, будет индуцированная заряды. Поверхностная плотность этих зарядов пропорциональна направлению поля $E$. При изменении размера оболочки в $n$ раз и направлении поля в $k$ раз сили, действующие на половинки сферы (на которых индуцированны заряды противоположных знаков), изменяется в $k^2n^2$ раз.

Поскольку толщина стенок остается постоянной, сила, прихождения на единицу длины оболочки, должна быть прежней. Если в первом случае разрыв пропорциональна направлению поля в $k$ раз и направлении поля в $n$ раз и направлении поля в $k$ раз разрыв пропорционален, Из условия $f = (k^2n^2/n)f_0$. Из условия $f = f_0$ следует:

$$\frac{k^2n^2}{n} = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

При увеличении радиуса оболочки в два раза разрыв пропорционален поля

$$E = E_0 / \sqrt{2}.$$

С. К. Строков

Ф832*. Квадратная недеформируемая сверхпроводящая рамка со стороны а расположена горизонтально и находится в недородном магнитном поле, индукция которого меняется в пространстве по закону

$$B_x = -kx,$$

$$B_y = 0,$$

$$B_z = kz + B_0.$$

Масса рамки $m$, индуктивность $L$. В начальной момент центр рамки совпадает с началом координат, а стороны паралелны осем $X$ и $Y$. Рамку оттускают. Как она будет движаться и где оказется через время $t$?

Магнитный поток, произвывающий площадку, ограниченную сверхпроводящим контуром, постоянен. Действительно, $\Delta \Phi / \Delta t = \delta_i$, но $\delta_i = iR = 0$ (поскольку $R = 0$), следовательно, $\Phi = B_0 a^2 + kz^2 + Li$.

Так как в начальной момент $(z = 0, i = 0)$ $\Phi = B_0 a^2$, в любой другой момент времени значение точки $i$ будет определяться соотношением

$$Li = -kz^2 \Rightarrow i = -\frac{kz^2}{L}.$$

Результирующая сила, действующая со стороны магнитного поля на рамку с током $i$, равна сумме сил, действующих на те стороны рамки, которые паралелны оси $Y$,

то есть

$$F_M = 2a |kx| i = a^2 ki,$$

и направлена вдоль оси $Z$.

Таким образом, уравнение движения рамки имеет вид

$$mz'' = -mg + a^2 ki = -mg - \frac{a^4 k^2}{L} z.$$

Это уравнение аналогично уравнению колебаний тела массы $m$, подвешенного на пружине жесткость $K = a^4 k^2/L$:

$$mz'' = -mg - Kz.$$

Из этой аналогии ясно, что рамка будет совершать гармоничные колебания вдоль оси $Z$ около положения равновесия, определяемого из условия

$$\frac{a^4 k^2}{L} z_0 = -mg \quad z_0 = -\frac{mg L}{a^4 k^2}.$$

Частота колебаний будет равна

$$\omega = \frac{a^2 k}{\sqrt{L m}}.$$

Координата $z$ рамки через время $t$ после начала движения равна

$$z = \frac{mg L}{a^4 k^2} \left( -1 + \cos \frac{a^2 k}{\sqrt{L m}} t \right).$$

О. Ю. Никшина

Стариная восточная притча

Давным-давно на востоке жил-был старик, который, умирая, оставил своим trem сыновым 19 верблюдов. Он заведал старему сыну — половину, среднему — четвертуо часть, а младшему — пятую. Не сумев найти решения самостояльно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), браться обратились к мудрецу.

О мудрец!— сказал старший брат,— отец оставил нам 19 верблюдов и вел разделить между собой: стар-шему — половину, среднему четырёть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, либо мы хотим выполнить волю отца?

— Нет ничего проще,— ответил им мудрец.

Что задумал мудрец? Если вы не угадали, посмотрите окончание притчи в разделе «Ответы, указания, решения».

А. А. Бялко

46

ХVII Всесоюзная олимпида по математике

Кандидат физико-математических наук
С. В. РЕЗНИЧЕНКО,
кандидат физико-математических наук
А. М. СЛИНЬКО

С 13 по 20 апреля в Кишиневе проводился заключительный этап XVII Всесоюзной олимпиды школьников по математике. В нем приняли участие 146 школьников (42 восемиклассника, 51 девятиклассника) — победители ресурсиканских олимпиды, победители Московской и Ленинградской городских олимпиды и школьники, отмеченные на предыдушей Всесоюзной олимпиде дипломами I и II степени. Стоила Советской Молдавии во второй раз удостоллась этой части. Быстро летит время. Каждый, ещесовсем недавно Кишинев принял заключительный этап XVII Всесоюзной математической олимпиды, а сегодня два ее победителя — С. В. Конягиин и Е. И. Хухро — приехали в Кишинев уже в качестве членов жюри.

13 апреля, в день заезда, участником олимпиды были показаны документы фильмы, рассказывающие об истории, культуры и экономике Молдавии. При регистрации каждой участника вручалась памятная папка с программой заключительного этапа олимпиды, пригласным билетом на торжественное открытие, программой раздичного концертта, памятными знаками и молдавскими сувернирами.

14 апреля участники олимпиды возложили цветы к памятнику В. И. Ленину и Мемориалу Славы. А затем во Дворце культуры проф- союзов состояния торговенное открытие. С темыми словами привствия к участникам олимпиды обращаются министр просвещения Молдавской СССР Д. Г. Зиду. Успешного выступления, интересной, творческой работы, чистой борьбы пожелали ребятам секретарь ЦК ЛКСМ Молдавии Е. М. Бейко, председатель жюри академ. АН УССР Б. В. Гнеденко и зам. председателя жюри чл.-корр. АПН СССР В. Д. Белоусов. Приступление единодушно приняли решение отправить Почетному Председателю жюри олимпиды академ. А. Н. Колмогорову, которое в эти дни исполнилось 80 лет, привственную телефонму.

Задания заключительного этапа олимпиды участники писали 15 и 16 апреля. Задание каждой из двух дней состоит из четырех задач, на решение которых отводилось по пять часов.

Ниже приводятся условия всех задач. Некоторые из этих задач включают в Задачник «Кванта» («Квант» №№ 9, 10; номер, под которым там помещена задача, указаан после условия задачи), их решения читатели смогут найти в последующих номерах жюрнала.

Задания

Первый день
8 класс

1. В сетке, изображенной на рисунке 1, каждой ячейка имеет размер 1×1. Можно ли эту сетку представить в виде объединения следующих множества: a) восеми ломаных, каждой из которых имеет длину 5; b) пяты ломаных, каждой из которых имеет длину 8? (М824).

Рис. 1.

2. На доске написали три целых числа. Затем одно из них стерли и вместе него написали сумму двух других оставшихся чисел, уменьшенную на единицу. Эти операции повторили несколько раз в результате получа-

47

чили числа 17, 1967, 1983. Могли ли на доске первоначально быть записаны числа: a) 2, 2, 2; б) 3, 3, 3? (M826).

3. Три круга попарно касались друг друга внешним образом в точках X, Y, Z. Затем радиусы этих кругов увеличили более, чем в $\frac{2}{\sqrt{3}}$ раз, сохранив центры. Доказите, что каждая точка треугольника XYZ оказалась на крытой хотя бы одним из увеличенных кругов.

4. Данные несколько различных натуральных чисел, заключенных между квадратами двух последовательных натуральных чисел. Доказите, что все их попарные произведения также различны.

9 класс

1. Найдите все решения системы уравнений
   $$\begin{cases} y^2 = x^3 - 3x^2 + 2x \\ x^2 = y^3 - 3y^2 + 2y \end{cases}$$

2. Натуральное число $K$ в десятичной записи имеет $n$ знаков. Это число округлили с точностью до десятиков, затем последнюю цифру нулем и увеличив на единицу число десятиков, если эта последняя цифра была больше четырех. Полученное число аналогичным образом округлили с точностью до сотен и так далее. В результате последнего, $(n-1)$-го округления получилось $\tilde{K}$. Доказите, что $\tilde{K} < \frac{18}{13} K$.

3. В треугольнике $ABC$ точка $D$ является серединой стороны $AB$, точки $E$ и $F$ лежат на отрезках $AC$ и $BC$ соответственно. Доказите, что площадь треугольника $DEF$ не превыходит суммы площадей треугольников $ADE$ и $BDF$.

4. Будут ли периодически последовательности $(a_n)$ и $(\beta_n)$, состоящие, соответственно, из последних цифр целых чисел $[(\sqrt{10})^n]$ и $[(\sqrt{2})^n]$? (Здесяв $[x]$ — целая часть числа $x$).

10 класс

1. Величины $\alpha$ и $\beta$ двух острых углов удовлетворяют равенству $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin (\alpha + \beta)$. Доказите, что $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$.

2. Задча № 2 для 9 класса.

3. Вершины tetraэдра $ABCD$ ортогонально спроектированы на две плоскости. Точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ и $A_2, B_2, C_2, D_2$ — проекции соответствующих вершин. Доказите, что одну из плоскостей можно переместить в пространстве так, чтобы прямые $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2, D_1D_2$ стали параллельными.

4. Школьник упражняется в решении квадратных уравнений. Решив очередное квадратное уравнение и убедившись в том, что у него имеет два корня, он составляет следующие уравнения по правилам: свободный член равен большему корню, коэффициент при переменной $x$ равен меньшему корню, коэффициент при $x^2$ равен единице. Доказите, что это упражнение не может продолжаться бесконечно долго. Каково наиболее число уравнений, которое ему, возможно, придает решить? (M830)

Ребята довольно успешно справились с задачами, предложенными в первый день. Набольшие трудности, как и ожидалось, вызвали задачи

8.3, 8.4, 9.4, 10.3 и 10.4. Особенно трудной оказалась задача 8.4; полностью ее сумм решить лишь один участник и еще трое участников решили ее с небольшими недочетами. Неожиданное трудной оказалась задача 9.1. Однако ни в одном из классов не было задачи, которое бы никто не сумм решить.

15 апреля, после завершения работы над конкурсными заданиями, ребята совершили увлекательную экспертцию по пущинским местам Молдавии.

Второй день

8 класс

5. Натуральные числа $m, n, k$ таковы, что число $m^n$, делится на $n^m$, а число $n^k$ делится на $k^n$. Доказите, что число $m^k$ делится на $k^m$.

6. В языке пламени Абба две буквы. Известно, что никакое слово этого языка не является началом другого слова. может ли словарь языка этого пламени содержать 3 четырех буквенных, 10 пятых буквенных, 30 шести буквенных и 5 семи буквенных слов?

7. Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа бумаги расставить целые числа так, чтобы в каждой прямой разметки разделены на нем, также равновелики. Чему равна площадь одного четырехугольника, если площадь одного треугольника равна 1 см²? (M827)

Рис. 2.

9 класс

5. Группа детского cada построила парами друг за другом. При этом оказалось, что в каждой колонне стоит поровну мальчиков и девочек, а число пар, в которых стоит девочек и мальчиков, равно числу остальных пар. Доказите, что число детей в группе делится на 8.

6. Длины двух параллельных сторон прямого уравнения 1 см. Кроме того, известно, что двумя перpendикularными прямыми он может быть разбит на четыре прямые прямые, три из которых имеют плоскость, не меньше 1 см², а четвертый — не меньше 2 см². При какой минимальной длине двух других сторон прямого уравнения это возможно?

50

шарик массы $m_2=0,05$ кг. Нижнему шарику толком сообщают скорость $v_0$ в горизонтальном направлении. При какой величины $v_0$ шарики могут оказаться на одной высоте?

2. В плоской горизонтальной расположенной коробке размером $10 \times 10$ см в беспорядке лежат $N=1000$ маленьких стальных шариков. Масса каждой шарика $m=0,5$ мг. Коробку начинают двигать в горизонтальном направлении с постоянной скоростью $v_0=10$ м/c. Через некоторое время движение шариков в коробке становитсяxaотничным, подобно движению молекул газа. 1) Найдите среднюю скорость шариков. 2) Оцените силы, действующие на стены коробки. Соударение шариков со стенками и друг с другом считать абсолютино упругими.

3. Спускаемый аппарат космического корабля приближается к поверхности планеты по вертикали с постоянной скоростью, передавая на борт корабля данные о нарушном давлении. График зависимости давления (в условиях единицах) от времени приведен на рисунке 2. Опустившись на поверхности планеты, аппарат изменил и передал на борт данные о температуре: $T=700$ К иускорении свободного падения: $g=10$ м/c². Определите скорость спуска аппарата, если известно, что атмосфера планеты состоит из углекислого газа ($\text{CO}_2$).

4. Пластина $A$ плоского конденсатора неодвижна, пластина $B$ прикреплена к стенке пружиной и может двигаться, оставясь параллельной пластине $A$ (рис. 3). После замы

Graph

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

50

52

Экспериментальный тур олимпиды по физике

Кандидат педагогических наук
В. А. ОРЛОВ

Выполнение экспериментальных заданий заключительного тура XVII Всегоозной олимпиды школьников по физике проходило в трех.byзах Вильнюса: восьми классики работали в Педагогическом институте, девятиклассики — в Вильнюском университете им. В. Капсука, десятиклассики — в Инженерно-строительном институте. В подготовке задач приняли участие преподаватели кафедр физики этих институтов. Особо следует отметить авторов предлагавшихся заданий: А. Кивериса, А. Медейшиса, А. Брилингаса и Я. А. Семенова.

Приведем условия всех экспериментальных заданий и варианты их решения, предложенные учатиками олимпиды.

8 класс
Задание 1

1. Исследуйте зависимость скорости движения тела в трубке с водой от угла наклона трубки и построите график этой зависимости.
2. Оцените коэффициент треня между телом и стенкой трубки с водой.
3. Считая, что сила сопротивления при движении тела в жидкости пропорциональна

Рис. 1.

Рис. 2.

скорости: $F_c = \alpha v$, определяте коэффициент пропорциональности $\alpha$.

Оборудование: стеклянная трубка с водой и телом (объем и плотность тела заданы), линейка, штатив, секундомер, миллиметровая бумага, математические таблицы.

Опыты показывают, что тело начинает двигаться лишь после достижения трубкой некоторого минимального наклона $\beta_0$. Применим к этому предельному случай второй закон Ньютона, записанный в проекциях на координатные оси (рис. 1):

$$F_A \sin \beta_0 - F_{\tau p} - mg \sin \beta_0 = 0,$$
$$F_A \cos \beta_0 - mg \cos \beta_0 - N = 0.$$

Учтя, что $F_{\tau p} = \mu N$, получим

$$(F_A - mg) \sin \beta_0 = \mu (F_A - mg) \cos \beta_0,$$

откуда найдем коэффициент треня между телом и стенкой трубки с водой:

$$\mu = tg \beta_0.$$

При угле наклона трубки $\beta$ больше, чем $\beta_0$, тело начинает двигаться равноскореенно. Но так как появляется сила сопротивления, пропорциональная скорости, тело быстро, как следует из опыта, достигает постоянной скорости. Ее легко определять по формуле $v = l/t$, где $l$ — длина пути, прошедного телом с установившейся скоростью, $t$ — время движения. Измеряя таким образом скорости тела при различных углах наклона $\beta$, можно построить экспериментальный график зависимости $v = v(\beta)$. На рисунке 2 этот график изображен синейной.

Дополнительные баллы получили ученки, которые сравнили экспериментальную кривую с теоретической. Запишем второй закон Ньютона для случая движения тела под произвольным углом $\beta$ и под углом $\beta = \pi/2$:

$$(F_A - mg) \sin \beta - \mu (F_A - mg) \cos \beta - \alpha v = 0,$$
$$F_A - mg - \alpha v_{\pi/2} = 0.$$

Отсюда

$$v = v_{\pi/2} (\sin \beta - \mu \cos \beta) = v_{\pi/2} \frac{\sin(\beta - \beta_0)}{\cos \beta_0}.$$

Графикаски эта зависимость показана на рисунке 2 черной линии.

Коэффициент $\alpha$ легко определять для случая подвела тела в вертикальном направлении:

$$\alpha = \frac{V(\rho_0 - \rho) g}{v_{\pi/2}}.$$

где $V$ — объем тела, $\rho$ и $\alpha$ — плотности воды и тела соответствующего.

Вследствие несимметриности тела, а значит, и разных условий его обтекания, при переворочивании трубки коэффициент $\alpha$ может получить инным. Те, кто учи это и нашли два значения $\alpha$, получили дополнительные баллы. Правда, как показал опыт, разность значений лежала в пределах погрешности измерений.

Задание 2

1. Определите жесткость пружины и коэффициент треня стелы по стеклу.
2. Используя устройство вертикального «мяккоо амортизатора», определите потерю энергии шарик при первом стокновении шарика и пружины.

53

3. Для случая padения шарика с верхней точки трубки на пружину наертите график зависимости проекции ускорения шарика на вертикальное ось от расстояния от верхней точки.

Оборудование: стабная пружина, стеклянная трубка, стабной шарик с известной массой, линейка, миллиметровая бумага.

Определение жесткости пружины затруднен не вызвало: $k = mg/\Delta l$, где $\Delta l$ — деформация пружины, когда шарик положен на нее (для устойчивости пружину помещают в вертикальное поставленную стеклянную трубку). Чтобы определить коэффициент треня скольжения стабного шарика по стеклу по формуле $\mu = tg \beta_0$ (где $\beta_0$ — минимальный угол наклона, при котором начинается скольжение), необходимо было заставить шарик скольнить по стеклу. С этой целью можно было, например, зажать шарик между витками пружины. Некоторые ущшеся восползовались тем, что пружина стабная, и определили (таким же способом) коэффициент треня скольжения пружины по стеклу.

Потерю энергини шарика большая часть ущенков определила из выражения $\Delta E = mg(h_2 - h_1)$, где $h_2$ и $h_1$ — конечная и начальная высоты шарика над столом (то есть после и до первого столковения шарика с пружиной). Некоторые определили энергини по максимальному скатную пружины.

При построении графика зависимости проекции $a_x$ ускорения шарика на вертикальное ось от расстояния $x$ шарика до верхней точки трубки (рис. 3) основным недостатом было чисто теоретическое решение задачи:

$$a_x = g - \frac{k}{m} (x - x_0) = g - \frac{k}{m} \Delta x = g \left(1 - \frac{\Delta x}{\Delta l}\right).$$

На самом деле все точки на график следовало нанести после изменения соответствующих величины с учетом высанного масштаба.

К сожалению, большая часть ущенков ограничились одним циклом padения шарика на пружину, в то время как шарик после взаимодействия с пружиной отскакивал от нее и поднимался на новую высоту, снова padал, скимая пружину, вовь поднимался и так до полной остановки. Небходимо было все эти точки также показать на графике.

Оценная в целом задания для 8 класса, следует отметить, что они достаточно интересны, но объем работы был велик. Полностью все задания не выполнилникто. Лучший результат (2,1 балла из 3) показали Д. Калавинская и Г. Мечецос (Вильнюс). Типичными недочетами были: выполнение лишь одного измерения, нереженое оформление отчета, отсутствие таблиц с экспериментальными данных и неправильное определение (а иногда и просто отсутствие) погрешностей измерений.

9 класс

Задание 1

Определите удельную теплоемкость неизвестной жидкости.

Оборудование: теплозолинованный сосуд (термостат), капилляр с пузырьком на конце, резистор, сосуды с водой и незвездной жидкости, изменительный цилиндр, пластинка с клеммами, миллиметровая бумага, батарея галванических элементов, конденсатор, провода, пластин.

При выполнении этого задания ученики столкнулсь с рядом проблем:

a) Как изменить температуру, не имея термометра?

b) Как расчитать энергию электрического тока, не имея секундомера?

b) Как исключить неизвестную теплоемкость термостата?

г) Как оценить теплоотдачу сосуда с жидкостью в окружающей пространство?

Только правильно ответив на эти вопросы, можно было выбрать оптимальный методку выполнения работы.

a) Для измерения температуры нужно изготовить газовый термометр. С этой целью капилляр с пузырьком на конце нагревается рукой, и конец капилляра опускается в воду, чтобы капилляра воды вошла в него. Объем воздуха в пузырьке под столбком воды при помощи пропорциональной абсолютной температуре среды, в которой находится капилляр:

$$\frac{V}{V_0} = \frac{T}{T_0} \Rightarrow \Delta T = \frac{\Delta V}{V_0} T_0.$$

Термпература окружающего тока формулу $W = U^2 t/R$ использовать нельзя, так как не известно значение сопротивления.

Рис. 4.

54

резистора $R$ и нет секундомера. С этой целью нужно зарядить конденсатор извввной емкость $C$ до изввного напряжения $U$ и разрядить его на резистор (рис. 4), опущенный в термостат с жидкостью, причем этот процесс следовало повторить $n$ раз. Тогда энергия электрического тока

$$W = n \frac{CU^2}{2}.$$

в) Опускаая резистор в термостат с водой, а затем с жидкостью с извввной удельной тепломкостью, разряжаем конденсатор определенное число раз и записьаем для каждого случая закон сохранения энергии:

$$n_1 CU^2/2 = C_T \Delta T_1 + c_B Q_B V_B \Delta T_1,$$
$$n_2 CU^2/2 = C_T \Delta T_2 + c_x Q_x V_x \Delta T_2,$$

где $c_B$, $Q_B$, $V_B$ — удельная тепломкость, плотность и объем воды в термостате, $c_x$, $Q_x$, $V_x$ — соответствующие параметры извввной жидкости, $C_T$ — тепломкость термостата.

Для упрощения можно подобрать такие значения $n_1$ и $n_2$, чтобы изменения температуры $\Delta T_1$ и $\Delta T_2$ были одинаковыми в общих опитах ($\Delta T_1 = \Delta T_2 = \Delta T$). Можно также напивать в термостат одинаковые объемы жидкости ($V_B = V_x = V_\text{ж}$). Тогда, исключая тепломкость термостата, для извввной удельной тепломкости жидкости получаем

$$c_x = c_B \frac{Q_B}{Q_x} - \frac{CU^2/2(n_1 - n_2)}{V_\text{ж} \Delta T_\text{ж}}.$$

Однако (в связи с тем, что добиться одинакового повышения температуры не так просто) целесообразнее задать одинаковую энергию электрического тока, то есть одинаковое число переключений $n$. В этом случае

$$c_x = c_B \frac{Q_B}{Q_x} + \frac{nCU^2/2}{Q_x V_\text{ж} \Delta T_2} - \frac{nCU^2/2}{Q_B V_\text{ж} \Delta T_1}.$$

Оба способа считались верными, если давали правильную оценку удельной тепломкости извввной жидкости (спирта).

г) Для оценки оптимального числа переключений ($n=1$ — явно мало, $n>100$ — явно много) полезно было оценить время заметного остывания жидкости в термостате, то есть теплотдатчу в окружающей пространстве. Кроме того, важно оценить время разряда конденсатора (знач его емкость и сопротивление резистора), чтобы определить необходимую частоту переключения конденсатора.

При выполнении этого задания лучше результаты показали Г. Баранауская (Шляйя), А. Король (Новокузнецк) и С. Орлов (Москва).

Характеристики недочеты: пребрежение тепломкости термостата, однократная разряда конденсатора, а также недостаточное перемещение жидкости в сосуда.

Задание 2

Определите ЭДС источника тока.

Оборудование: источник ток с извввной ЭДС, источник ток с извввной ЭДС, спираль из низкомроводной проводки, нерадированный чувствительный прбор для извввания тока, соединитель провода.

Трудность данной работы заключается в невозможности произвольить абсолотные от-

55

контакта он добивался того, чтобы сила тока через гальваномстр была равна нулю (то есть использовал гальваномстр как «нуль-прибор»). Отсюда
$$\mathcal{E} - I(R_1 + r) = 0, \quad \mathcal{E}_x - I(R_2 + r_x) = 0, \Rightarrow \mathcal{E}_x = \frac{R_2 + r_x}{R_1 + r} = \frac{R_2/R_1 + r_x/R_2}{1 + r/R_1}.$$
Считая $r \ll R_1$ и $r_x \ll R_1$, получаем выражение для расчета $\mathcal{E}_x$:
$$\mathcal{E}_x = \mathcal{E} \frac{R_2}{R_1} = \mathcal{E} \frac{l_2}{l_1} = \mathcal{E} \frac{n_2}{n_1},$$
где $n_1$ и $n_2$ — число витков спирали на участках длиной $l_1$ и $l_2$. Однако в данном случае этот метод давал неправильные результаты, так как внутренние сопротивления источников тока были сравнимы с внешним сопротивлением $R_1$.

10 класс
Задание 1
Определите ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока.
Оборудование: исследуемый источник тока, источник тока с известной ЭДС и известным внутренним сопротивлением, спираль из нихромовой проволоки, чувствительней нерадирующий прибор для измерения силы тока, соединительные провода.
Первая часть этого задания ничего не отличается от второго задания для 9 класса.
Для измерения неизвестного внутреннего сопротивления источника тока $r_x$ гальванометр с шунтом ($R_1$) и добавочный сопротивлением ($R_2$) следовало подключит сначала к исследуемому источнику, затем к известному:
$$I_3 = \frac{\mathcal{E}_x}{r_x + \frac{R_r R_1}{R_r + R_1} + R_2}, \quad I_4 = \frac{\mathcal{E}_x}{r + \frac{R_r R_1}{R_r + R_1} + R_2}.$$
Отсюда, разумно пренебрегая сопротивлением $R_r R_1/(R_r + R_1)$ (так как оно много меньше $R_2$), находится искомая величины $r_x$.
Приемой способ одновременного определения $r_x$ и $\mathcal{E}_x$ предложил А. Гниловской (Ленинград). Подключая к известному источнику гальванометр с шунтом сначала добавочного сопротивления, а затем с добавным сопротивлением $R$, таким, чтобы показания гальванометра во втором случае были в 2 раза меньше, чем в первом: $I_2 = I_1/2$, получаем, что $R = r$ (так как $R_r \ll R$). Теперь, зная значение сопротивления $R$, подключит с шунтом и с добавным сопротивлением $R$, а также без него к неизвестному источнику:
$$I'_2 = \frac{\mathcal{E}_x}{r_x + R}, \quad I'_1 = \frac{\mathcal{E}_x}{r_x},$$
откуда
$$r_x = \frac{I_2}{I_1 - I_2} R, \quad \mathcal{E}_x = I_1 r_x.$$

Для определения $\mathcal{E}_x$ необходимо знать абсцилтоное значение сила тока $I_1$. С этой целью нужно прорадировать гальванометр, зная, что при полном отклонении прибора без добавочного сопротивления, подключенного к известному источнику, сила тока равна $I = \mathcal{E}_x/r$.

Задание 2

1. Определите различных способами показателя плоскости пластинки.
2. Оцените метод между плоскостями пластинки (ее клиновидность) и указывайте правила работы клина.
   Оборудование: исследуемый плоскина, лампочка с батарейкой, миллиметровая бума-

56

за, измерительная линейка, кусочек пластилна.

Самым точным способом определения показателя преломления исследуемой пластинки оказался «школьный» способ. Пластина ставилась на миллиметровую бумагу и совмещением параллельных линей сетки, отстоящих друг от друга на 5 мм, находилсяход лучей. Заменяя угловые измерения линейными, можно было достингнуть погрешности измерений, не превышающей 5%.

Другой способ, приводящий к погрешностям до 10%, заключался в следующем: две параллельные линей, расстояние между которых было l=2 см, расматривались через пластинку так, чтобы одна линя совместилась с другой (рис. 7). Измеряя расстояния H, L, l и d, несложно расчитать искомый показатель преломления n = sin α/sin β.

Третий способ, приводящий к погрешностям до 10%, заключался в следующем отражения света от двух поверхностей пластинки (рис. 8). Измеряя расстояние l, можно расчитать показатель преломления вещества пластинки. Этот способ годится и для случая, когда нижняя поверхность пластинки зачерена и поэтому первые два способа не применены.

Предлагались и другие способы, но по точности измерений они уступали описанным выше.

Нанобольшие трудности вывала вторая часть задания. Опишем два способа ее выполнения.

Первый, наиболее рациональный способ, приложенный A. Алексеевым (Ленинград), A. Бурщенко (Новосибирск) и M. Савровым (Азов), заключается в следующем. Лампочка располагается около глаза на высоте H от пластинки. Если смотреть на пластинку в вертикальном направлении, видно два изображения нити лампочки. Положив под пластинку полоску миллиметровой бумаги и отметив на ней две точки на расстоянии x друг от друга, можно подобрать такую высоту H, с которой два изображения лампочки будут находиться на заданном расстоянии. Знача показатель преломления вещества пластинки n, можно оценить угол δ между плоскостями пластинки и указать направление ребра клина (рис. 9):

$$\alpha \approx \frac{x}{H}, \alpha=n\delta \Rightarrow \delta \approx \frac{x}{nH}.$$

Второй способ, приложенный B. Банкковым (Алексин) и M. Дьячковым (п. Черноголовка Московской области), основан на наблюдении изображений светящейся нити лампочки после отражения от верхней и нижней граней. При повороте пластинки расстояние между изображениями лампочки изменяется от нуля до максимального значения. Положение пластинки при максимальном или минимальном отложении между изображениями спрауз уже позволяет сделать вывод о положении ребра клина и о том, в каком месте толщина пластинки максимальная, а в каком минимальная. Расчет же угла δ удобнее проводить при совмещении обихих изображений (рис. 10). Измеряя расстояния h, l и L, можно расчитать искомый угол δ.

57

Виннер Г. (Свердловск, с.ш. № 9),
Ворожейкин В. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Кохась К. (Ленинград, с.ш. № 239),
Орлов Д. (Владимир, с.ш. № 8),
Родионов А. (Москва, с.ш. № 444),
Садзтов С. (Ростов-на-Дону, с.ш. № 14),
Седола С. (Рига, с.ш. № 1),
Харитонов Р. (Николаев, с.ш. № 38).

Дипломы III степени
по 8 классам получили
Атаманчик Ю. (п. Усть-Юган Тюменской обл.),
Бадрин Е. (Рязань, с.ш. № 8),
Дворцовой Д. (Минск, с.ш. № 19),
Еспилова Т. (Ростов-на-Дону, с.ш. № 5),
Маринец Ю. (Львов, с.ш. № 11),
Свягодух И. (Красноармейск Донецкой обл., с.ш. № 3),
Троицкий В. (Южно-Сахалинск, с.ш. № 2);

по 9 классам —
Ведерников А. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Виксна Ю. (Алуксне, с.ш. № 1),
Гараев М. (Физули, с.ш. № 2),
Глуховский Л. (Москва, с.ш. № 842),
Кангро Р. (Таллин, с.ш. № 1),
Ковалевский А. (Коммунарск, с.ш. № 7),
Маргевелашивил Г. (Тбилиси, ФМШ им. Комарова),
Мисник С. (Воронеж, с.ш. № 62),
Набцев С. (Алма-Ата, РФШ),
Пlakунова Е. (Горький, с.ш. № 40),
Рейсонс Э. (Рига, с.ш. № 1),
Серченко А. (Североморск, с.ш. № 12),
Харлан С. (Гомель, с.ш. № 12),
Царин Ю. (Харьков, с.ш. № 116),
Чернышев С. (Александров, с.ш. № 5);

по 10 классам —
Айисаар Т. (Тарту, с.ш. № 10),
Арабидзе В. (Тбилиси, ФМШ им. Комарова),
Байбородин О. (Сыктывкар, с.ш. № 1),
Булавас В. (Панаевжис, с.ш. им. Балчикониса),
Васильченко Е. (Алексин, с.ш. № 3),
Гаврилов С. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Зорько О. (Витебск, с.ш. № 31),
Итенберг И. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Кной К. (Одеcca, с.ш. № 100),
Кузнецов Д. (Горький, с.ш. № 36),
Марголин Г. (Калинкович, с.ш. № 1),
Мисник В. (Кишинев, с.ш. № 37),
Сапецин И. (Пенза, с.ш. № 29),
Стаховский В. (п. Капустин Яр Астраханской обл., с.ш. № 231),
Судаков А. (Ленинград, с.ш. № 8),
Тупайло С. (Киев, ФМШ при КГУ).

Физика
Дипломы I степени
по 8 классам получили
Григорьев Г. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ);

по 9 классам —
Абанов А. (Красноярск, с.ш. № 170),
Баранауская Г. (Шяуляй, с.ш. № 5),

Дипломы II степени
по 8 классам получили
Иваененко Т. (Киев, с.ш. № 145),
Каледин Д. (Москва, с.ш. № 728),
Меньков В. (Мончерорск, с.ш. № 3),
Теллеев А. (Ленинград, с.ш. № 524);

по 9 классам —
Брезгунов А. (Новосибирск, с.ш. № 25),
Закревский Л. (Минск, с.ш. № 50),
Король А. (Новокузнецк, с.ш. № 7),
Курников Н. (Гатчина, с.ш. № 1),
Паршин Н. (Пенза, с.ш. № 6),
Потеряйко И. (Киев, ФМШ № 2 при КГУ),
Приходько В. (Ростов-на-Дону, с.ш. № 14),
Ярунин Н. (Павлово, с.ш. № 1);

по 10 классам —
Амишинский С. (Ленинград, с.ш. № 239),
Бирзвалкс В. (Рига, с.ш. № 1),
Бурченко А. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Гниловской А. (Ленинград, с.ш. № 239),
Кулябин К. (Челябинск, с.ш. № 127),
Савров М. (Азов, с.ш. № 6),
Фатьянов О. (Курск, с.ш. № 6).

Дипломы III степени
по 8 классам получили
Зеленок А. (Здольновов, с.ш. № 6),
Линдунен И. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ);
Лобода А. (Прокопьевск, с.ш. № 2);

по 9 классам —
Воротнеев П. (Ленинград, с.ш. № 239),
Галочки Д. (Днепропетровск, с.ш. № 15),
Кузницин К. (Киров, с.ш. № 16),
Макаров Д. (п. Черноголовка Московской обл., с.ш. № 82),
Мусаелян К. (Ереван, с.ш. № 55),
Писарев А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ);

по 10 классам —
Аристов Д. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Бруенков Е. (Коммунарск, с.ш. № 22),
Винчиенко В. (Ворошиловград, с.ш. № 24),
Долгополов С. (Пермь, с.ш. № 8),
Коба И. (Запорожье, с.ш. № 28),
Кондратьев C. (Кострома, с.ш. № 32),
Пивинский А. (Минск, с.ш. № 50),
Подоба В. (Харьков, с.ш. № 9),
Стефанов М. (Москва, с.ш. № 1).

61

a $r$ — расстояние до оси (рис. 8). Центробежная сила инерции, действующая на одну из половин стержня, равна

$$F_u6 = \int_0^l \frac{m}{2l} \omega^2 rdr = \frac{m\omega^2 l}{4}.$$

Эта сила должна быть равна силе натяжения в середине стержня, то есть силе, с которой на эту половину действует другая половина стержня. Таким образом,

$$T_0 = m\omega^2 l/4.$$

Аналогично для натяжения стержня в сечеении, отстояем от оси вращения на расстоянии $r$, получаем

$$T = T_0 - \frac{m\omega^2}{2l} \frac{r^2}{2} = \frac{m\omega^2}{4l} (l^2 - r^2),$$

то есть натяжение в середине максимального, а по мере удаления от оси вращения оно убывает по квадратному закону.

5. Во вращающейся системе отсчета (рис. 9) на каждый элемент цепочки длины $\Delta r = r\Delta \alpha$ ($r = l/2\pi$ — радиус цепочки, $\Delta \alpha$ угловой размер элемента длины) действует центровежная сила инерции $\Delta F_u6 = \Delta m\omega^2 r$, направленная по радиусу от центра ($\Delta m = m\Delta r/l$). Найдем суммарную силу инерции, действующего на половину цепочки. Для этого надо сложить проекции сил на направление, перпендикулярное диаметру, соединяющего концы половины цепочки. В результате получаем

$$F_u6 = \int_0^\pi \frac{m\omega^2 r}{l} r \sin \alpha \cdot d\alpha = 2mln^2.$$

Эта сила уравновешивается суммой двух сил натяжения, действующих на половину цепочки. Следовательно, натяжение цепочки

$$T = mln^2.$$

6. Под действием центровежной силы инерцииlezные начет двигатться вдоль канавки от оси вращения, а под действием корилисовой силы оно будет падает в сторону, противоположную направлению вращения.

7. На частцу воды массой $\Delta m$ действует направленная по горизонтали на запад корилисова сила

$$F_k = 2\Delta m\omega v \sin \varphi,$$

где $\omega$ — угловая скорость вращения Земли. Для частцы, находящейся у поверхности воды (рис. 10), равновесующая силы тяжести и корилисовой силы должны направлена перепределкой поверхности воды. Поэтому поверхности воды наклоняется к горизонту под углом $\alpha$ таким, что

$$tg \alpha = F_k / (\Delta m g) = \frac{2\omega v}{g} \sin \varphi.$$

Соответственно, разность уровней

$$h = d tg \alpha = 2\omega v d \sin \varphi \approx 10 \text{ см.}$$

Когда река течение вдоль параллели, сила Корилиса направлена под углом к горизонту. Однако параллель не совпадает с экватором, то у корилисовой силы всегда есть горизонтальная составляющая, и эффициент сохранения. У реки, текущей вдоль экрана, сила Корилиса направлена вертикально, и берега подмыты одинаково. А вот если река пересекает экратор, то решение русла меняется — после пересечения экратора круглим становится противоположный берез. Георгфы действительно наблюдали это явление.

«Квант» для младших школьников (см. «Квант» № 10)

1. Нет. Замечание. Перевернуть одну из звездочек, получим центрально-симметричный фигуру (рис. 11).

2. Во-первых, заметим, что каждый шарик на левой частияжеле, чем шарик того же цвета на правой частияжке (если бы было не так, то нашла бы пара шариков таких, что шарик на левой частияжке не тяжеше шарик того же цвета на правой частияжке; поменяв их местами, мы не нарушили бы положения весов). Если количество шариков на каждой частике не меньше трех, то, поменяв местами ту пару шариков, у которой разность масс наименьшая, мы не изменим положения весов. Следовательно, шарик на чашках не более, чем по два. Может, оченьindo, лежать и по одному шарику. Если же лежит по два шарика, нужно, чтобы разность масс у каждой пары однозвечных шариков была одинакова.

62

3. См. рисунок 12.
4. Заметим, что в вершинах квадрата находится вершины только одного из прямогольников, а в других точках квадрата могут находиться вершины только двух прямогольников. Пусть $n$ — количество прямогольников, на которые разрезали квадрат, $m$ — количество точек квадрата, являющихся вершинамировно двух прямогольников. Подсчитаем количество вершин у прямогольников. С одной стороны оно равно $4n$, с другой — $4+2m$. Отсюда $m=2(n-1)$. Значит, число точек, являющихся вершинами $(m+4)$, четно.
5. При нагревании руть расширяется сльнее, чем сталь, поэтому выталкивающая сила уменьшится и шарик опустится.

Перед школьной олимпидой
(см. «Квант» № 10)

1. За 365 дней. Решение. Обозначим через $A$ количество воды в озере без учета ключи, через $B$ — количество воды, поступащее в день от ключи, через $C$ — дневной рацион слона и через $x$ — исключение число. Тогда $A+B=183C$, $A+5B=5 \cdot 37C$, $A+xB=$

$=xC$, откуда $B=\frac{1}{2}C$, $A=182\frac{1}{2}C$ и $x=365$.
2. $a^2+b^2+c^2=(a+b)^2+(a+c)^2+(a+d)^2$.
3. Указание. Докажите, что $(a-b)^2<\times q(1-q)=0$.
4. $a=b=c=d=0$, $a=b=c=d=\sqrt{3}$, $a=b=c=d=-\sqrt{3}$.
5. $x=y=z=1$. Указание. Вычитите из суммы первого и третьего уравнения вдвоенное второе.
6. 3. Решение. Поскольку $x^2+3x+10>0$ при всех $x$, данное неравенство можно переписать в виде $|x^2+kx+10|\leq x^2+3x+10$. Таким образом, для всех $x(k-3)x\leq 0$. Отсюда $k=3$.
7. $a$ — irrationalное. Решение. Данное уравнение равносильно системе
$$\begin{cases} \cos x=1, \\ \sin^2\alpha x=0, \end{cases}$$
имеющей единственное решение, если $a$ — irrationalное.
8. $\{\sqrt[3]{5}\}$. Указание. Заметив, что $0<x<2$, разберите случай $[x]=0$ и $[x]=1$.
9. 2. Указание. Данное произведение равно $\frac{2(n+1)}{n+2}$.
10. Указание. Докажите, что диагонал делятся точкой пересечения пополам.
11. Указание. Поверните меньшею окружность вокруг точки касания на угол в $60^\circ$. Положенная точка пересечения окружностей будет второй вершиной искомого треугольника. Поворот в противоположную сторону даст второе решение.
12. Две другие окружности, стягиваемые хордой $AB$. Указание. Угол $y$ (рис. 13) равен $180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=90^\circ+\frac{1}{2}x$, то есть при постоянном $x$ постоянен.
13. Указание. Пусть $\vec{m}_A, \vec{m}_B, \vec{m}_C, \vec{m}_D$ — векторы с началом $A, B, C, D$ и концами в точках пересечения медиан противоположных граней. Выразите эти векторы через векторы
$$\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} \text{ и докажите, что } \frac{3}{4}\vec{m}_A = \vec{AB}+\frac{3}{4}\vec{m}_B=\vec{BC}+\frac{3}{4}\vec{m}_C=\vec{AD}+\frac{3}{4}\vec{m}_D.$$
14. Указание. Покажите, что хотя бы одно из них четно.
15. Решение. $2^9+2^{99}=2^9(1+2^{90})=2^9(1+1024^9)=2^9(1+1024^3)(1-1024^3+1024^6)= 2^9 \cdot 1025 \cdot (1-1024+1024^2)(1-1024^3+1024^6).$
16. Доказательство. Число $10^n-1$ делится на 9, а $10^m+1$ — не делится.
17. Решение. Как известно, сумма цифр любого числа имеет при делении на 9 такой же остаток, как и самое число (докажите это). Следовательно, если $x$ — исключое число, то $2x$ и $x$ имеют при делении на 9 одинаковые остатки, то есть $2x-x=x$ делится на 9. В то же время непосредственно проверяется, что все двух значения числа, делияces на 9, удовлетворяют условиям задачи.
19. 1089. Указание. Искомое число $x$ не больше 1111 (поскольку $9x$ — четыезначное число), окачивается на 9 (поскольку $9x$ окачивается на 1) и делится на 9 (поскольку сумма цифр $y$ и $9x$ одна и та же).