Квант 1984, №2 · Страницы

КВАНТ
2
1984
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

В HOMEPE:

2. Б. В. Гнеденko. Математическое творчество и общественный прогресс
3. В. А. Займовский. Трещина — враг металла
4. В. П. Коротихин. Зримая прочность
5. А. П. Веселов. Классификация пленок

IN THIS ISSUE:

B. V. Gnedenko. Mathematical research and social progress
V. A. Zaimovski. Cracks — enemies of metals
V. P. Korotikhin. Visible solidity
A. P. Veselov. Classification of spanning surfaces

Наш календарь
22 Лев Андреевич Арцимович
23 Яков Ильич Френкель

Our calendar
Lev Andreevich Artsimovich
Yakov Il’ich Frenkel

Школа в «Кванте»
24 Физика 8, 9, 10
31 Школа без доски и мела

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
School without blackboard or chalk

«Квант» для младших школьников
33 Задачи
34 Н. А. Родина. Такая знакомая и такая удивительная вода!

Kvant for younger school-children
Problems
N. A. Rodina. So familiar and surprising — water!

Geometрическая страница
38 Перспектива

Geometric page
Perspective

Задачник «Кванта»
41 Задачи M846 — M850; Ф858 — Ф862
44 Решения задач M831 — M835; Ф842 — Ф846

Kvant’s problems
Problems M846 — M850; P858 — P862
Solutions M831 — M835; P842 — P846

Варианты вступительных экзаменов
59 Ответы, указания, решения Смесь (51, 52)

College entrance examination problems
Answers, hints, solutions
Miscellaneous (51, 52)

Шахматная страница
Перегрузка фигур (3-я с. обложки)

The chess page
Overload of pieces (3 rd cover page)

Фотоография на 1-й с. обложки —纵断面 к статуе В. П. Коротихина «Зримая прочность».

© Издательство «Нука». Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1984

2

Математическое творчество и общественный прогресс

Академик АН УССР Б. В. ГНЕДЕНКО

Общественный прогресс в первую очередь связаан не с количеством производимых изделий, а с общим новых ией, которые изменяют производительные силы и общественное сознание, открывают новые пути в науке и производстве. Конечно, для общественного прогресса одних новых ией недостаточно, требуется и их осуществление, материальное их вопросение в дела.

Создание нового — всегда в какой-то мере разрушение старого, уже устоявшегося. Вот почему так мутиельно долго и сложно роздаются и провиваются себе путь принципиально новые концепции в науке и непrivычные подходы к решению практических проблем.

Об этом превосходно рассказано в недавней стате А. Д. Алексадрова «Тупость и геней» (см. «Квант», № 11, с. 12—17 и № 12, с. 7—12 и 15 за 1982 г.), посвященной истории открытия неевклидовой геометрии Лобачевского. При чтении этой статьи возникает только одно пожелание, чтобы слова «Тупость» читатели относятся не к талантливым людям, открывающим и открывающим новое в безбрежном окане нерознанного, а к тем, кто готов кategoriчески судить обо всем, даже о том, чего он не понимает, и закрывать дорогу всему новому и перспективному.

Что бы человекство дивигалось вперед по пути прогресса, оно нуждается в постоянном приотеке смелых умов, способных увидеть в привящном и установившемся возможность совершенствования, не страшшихся от оказывающего решення во имя лучшего. Вот почему для молодежи так важна атмосфера творчества, понска новых решений и постановки принципиального новых проблем.

Годы школьного и университетского обучения обладают неповторимой особенностью, поскольку именно тогда человек находится в истинные увлечения, обогащает свой разум огромным объемом знаний, ставит перед собой жизньные цели и начинает испытывать свои творческие силы. Именно в это время перед молодыми людьми возникнет вопрос: а что я могу добавить к тому, что генини прошло для человекаству? Есть ли у меня для этого способности и талант? Ответы на эти вопросы могут определяться во дальнейшую жизнь человека. Общество же крайне заинтересовано в том, чтобы его члены получали привучку к самостоятельному мышлению, к понску нового, к творчеству, к совершенствованию уже известного.

Ряд крупных мыслиТЕЛЕЙ полагает, что наличие творческих способностей является частью случаяностей и далеко не каждый наделен им в достаточно полной мере. Действительно, каждый из нас встречался с людьми, практическими мгно-

3

венно находящими выход из положения, которое остальных ставит в тупик. В школе и в университете встречаются учащиеся, которые играочки справляются с труднейшими вопросами, тогда как для других они являются непредодолимыми претензиями. Но только ли эти учащие призванные сказать новое слово в науке, или же это сделают наиболее прилежные? На самом деле здесь все не так просто.

Я недократно наблюдал, что многое студенты-математики, превосходно сдавшие экзамены, так и не стали математиками-товорцами. И это случайность не потому, что они не прилагали к этому усилий, не стремились к тому, чтобы создать новое. Просто у них это не получилось, они как бы были лишены творческого начала. В то же время нередко студенты, не блиставшие во время экзаменов, считавшие далеко незнакомыми той или иной области математики, стали авторами превосходных работ, создали либо новые направления математических исследований, либо доказали превосходные теоремы. В них, как оказалось, горел творческий огонь, они обладали домом сопоставления, способностью взглянуть на вещи с иной стороны, в результате чего они заменили новое и интересное там, где многое специализиты проходили мимо, не вида ничего персонктивного для науки.

В одной из статей академика А. Н. Колмогорова «Нука требует горения» (Известия, 1962, 21 февраля) написано: «Талант, одаренность, скажем, в области математики, физического эксперимента, конструкция новых приборов, данные от природы не всем. Никакой упорный труд не может заменить эту природную одаренность. Он дает действительно ценные плоды в науке лишь в соединении с одаренностью, как, конечно, и одаренность окажется бесплодной без упорного и сосредоточенного труда».

Не следует думать, что математическая одаренность встречается крайне редко. Мой опыт показывает, что математические одаренные люди встречается достаточно много, только нередко они сами не верят в свою одаренность или же не находят в себе сил развивать ее упорным, направленным в определенную сторону трудом. Иногда же природная одаренность не получает развития, поскольку обладающие его люди не имеют увлекательных проблем для самостоятельных размышлений или же не прошли школьную творчества. Ведь творчество необходимо учитывая так же, как и любому делу. Недаром во все время на молдые люди стремились попасть в те университеты, в которых работали выдающие и руководители, где выдвигались и решались значительные научные проблемы. Молдой человек, попавший в такой коллектив, узнет больше число актуальных вопросов, требующих разрешения, постгает возможность подходы к их решению, наблюдается, как другие занимаются близкими задачими и продвигаются к заветной цели. Все это приближает его к проникновению в процессе творчества, оказывает огромное стимулирующее и восприывающее воздействие на его личность и характер.

---

В конце прошло века в нашей стране прославила себяпетбургская математическая школа. Ее истоки связаны с деятельности Л. Эйлера (1707—1783), М. В. Острогадского (1801—1862) и ряда других ученых. Пожалуйста, своёго расцвета она достигла в период, когда в Петербургском университете работал выдавшийся математик П. Л. Чебышев (1820—1896). Его научные интересы были исключительно широви — теория чисел, теория вероятностей, теория функций, теория интеграрования, теория механизмов. Он охотно делился с математическим интересовыми его проблемами. Совсем не случайно поэтому Чебышев был как центр прияжения для способных молодых математиков, и недаром из его окружения выши такие замечательные исследования, как А. М. Ляпунов (1857—1918), А. А. Марков (1856—1922) и Д. А. Граве (1863—1939). Чебышев не только предлагал проблемы, но и

6

Трешина — враг металла

Доктор физико-математических наук
В. А. ЗАЙМОВСКИЙ

Проблема развития металлов касается каждого из нас, поскольку из металла сделаны автоматически и поезда, корабли и самолеты, mostly и рельсы, а также многое другие изделия и детали, от надежной работы которых зависит нашезопасность. Разрушение маленькой детальки рулевого управления автоматически может иметь весма непритятные последствия, а если разрушается рельс или обрушивает место, если разламывается корпус корабля или самолета, то последствия могут быть трагичными.

Самым «коварным» видом разрушения металлов и других конструкционных материалов является так называемое хруплкое разрушение. Особенность его в том, что оно «подкрадывает» незаметно, не предупреждая о своем приближении вплоть до самого критического момента. Когда же этот момент наступает, то чаще всего уже ничего нельзя поделать. Процесс разрушения развивается с огромной скоростью и оставить его нельзя. Именно хруплкое разрушение стало причиной гибели многих самолетов и кораблей, причиной катстроф, связанных с разрушением местов, газопроводов и т.п. Количество подобных аварийных разрушений крупных конструкций исчисляется тысяцами, и ушерб от них огромен.

А непосредственным «исполнительем приговора», инструментом разрушения является хруплке трехины.

Трешина Гриффициса

Роль трешин в процессех хруплкого разрушения первым понял английский ученый и инженер А. Гриффицис в начале 20-х годов нашего столетия.

В те годы Гриффицис работал инженером в авиационном исследовательском центре и занимался исследованием прочности стекла. Стекло не использалось в авиастроении в качестве конструкционного материала и нужно было Гриффицису как модель, на котором было получить хруплкое разрушение. Руководители центра не одобряли «увлечения» Гриффициса, и когда горелка, на которой он плавил стекло,

стала причиной пожара в лаборатории, его опыты были запрещены, а сам он переведен на другую работу. Но все же Гриффицис успешный результаты, на которых базируется вся современная физическая теория хруплкого разрушения.

Чтоы понять суть теории Гриффициса, нужно вспомнить, как просходит деформация твердого тела. При деформации, как известно, возникает сила упругости $F$. Наряжение σ равно отношению величины этой силы к площади $S$ поперечного сечения тела: $\sigma = F/S$. С другой стороны, Наряжение определяется величины относительной деформации тела $\varepsilon = \Delta l/l$ (Δl — изменение длины тела, $l$ — начальная длина). Для каждого материала существует предельное значение деформации $\varepsilon_{\text{max}}$, которое он может выдержать, и соответствующое значение Наряжения $\sigma_{\text{np}}$ (предель прочитанности) (см. учебник «Физика 9»).

Гриффицис устанавливает, что прочность тонких стеклянных нитей может быть в сотни раз больше, чем прочность объечного (скажем, оконного) стекла. Он предположил, что в массивных стеклянных изделиях есть очень мелкие, невидимые глазу трешины, которые резко уменьшают их прочность.

Хорошо известно, что любое ответение в деформированном теле вызывает концентрацию напряжения. Картину напряженного состояния можно представить наглядно с помощью «силовых» линей, густота которых пропорциональна напряжению в материалов. Если в теле есть ответение, то силовые линии обходят его (ведь пустота не может нести нагрузку) и гушаются у его краев (рисунок 1), где материал оказывается перегруженным. Среднее напряжение σ в сечении при этом не меняется, так как иначе нарушилось бы условия равновесия тела.

Величина «концентрированного» напряжения зависит от формы ответствия, его размер и радиуса кривизны его краев. Например, у краев ответствия, имеющего в сечении форму эллипса, напряжение возрастает до величины

$$\sigma_{\text{конц}} = \alpha \sigma,$$

где $\sigma$ — напряжение вдали от ответствия, а $\alpha$ — так называемый коэффициент концентрации напряжения. Значение $\alpha$ определяется длиной ответствия и радиусом кривизны у краев. Как показывают расчеты, для эллиптического ответствия

$$\alpha = 1 + 2\sqrt{\frac{c}{q}},$$

где $c$ — половина длины ответствия, $q$ — радиус кривизны у краев.

Если роль концентратора напряжения играет трешина, то положение резко ухудшает, так как ее вер-

8

шина может быть очень острой. Предельный радиус кривизны в вершине «атомно острой» трещины равен междуному расстоянию, то есть $\sim 10^{-4}$ мкм. Такая трещина при длине в несколько микрон (когда ее с трудом можно увидеть в сильный оптический микрокоп) приводит к увеличению напряжения у ее края в сотни раз, что и объясняет наблюдаемое снижение прочности.

Гриффицис, однako, использовал в своем анализе другой подход. Он обратил внимание не на перегруженные, а на оборот — на недогруженные участки материалов в близки трещины. Картина распределения силовых линей на рисунке 1 показывает, что не только само отверстие не участвует в работе материалов, но «отлынивают» от работы и некоторые объемы выше и ниже отверстия. Иными словами, при появлении в деформированном теле трещины один участки частного разгружаются и передают свои обязанности другим участкам, расположенным левее и правее трещины. Условно можно рассматривать эту ситуацию так, как будто произошла полная разгрузка неокоторого объема (эффективного), размеры которого сопоставимы с длиной трещины (на рисунке 1 граница эффективного объема показана красноштовой линей).

Упругая энергия, которая вывобождается при разгрузке эффективного объема, расходится на образование новых поверхностей — «берегов» трещины (ведь поверхность обладает повышенной энергейой, а разрушение образца увеличит его суммарную поверхность). Как показывает расчеты (они приведены в конце статьи в Приложении), поверхностная энергия линейно увеличивается с ростом трещины, а упругая энергия, вывобождающая при увеличении эффективного объема, пропорциональная квадрату размеры трещины.

На рисунке 2 представлено графические изменения энергии деформированной пластины в зависимости от длины трещины. Как видно из рисунка, существенно неокоторый критический размер трещины ($c_{\text{кр}}$), при котором энергия деформированного тела максимальная. При деформации образца (при заданном напряжении) трещины,лина которых меньше $2c_{\text{кр}}$, расти не будет, так как это привело бы к повышению энергии пластины. Если же в образце есть трещина длины $2c > 2c_{\text{кр}}$, то ее рост будет выгодным — энергия образца будет понятаться.

Гриффицис получил соответствие, связывающей критический размер трещины ($c_{\text{кр}}$) и напряжение σ в образце (см. Приложение):

$$c_{\text{кр}} = \frac{2E\gamma_s}{\pi\sigma^2},$$

где $\gamma_s$ — поверхностная энергия, приходящая на единицу площади (у твердых тел эта энергия значительное больше, чем у жидкостей).

Итак, если известно напряжение, возникшее в образце при данной деформации, можно указать, при каком критическом размере трещины материал образца немного разрушится. Переписав гриффицисовое соответствие в виде

$$\sigma = \sqrt{\frac{2E\gamma_s}{\pi c}} \approx \sqrt{\frac{E\gamma_s}{c}} = c_{\text{кр}},$$

мы выясним другую сторону вопроса. Если в образце есть трещина длины $2c$, то мы можем найти из этой формулы критическое значение напряжения $\sigma_{\text{кр}}$, соответствующее то пре-

пис. 2. График изменения энергии деформированной пластины в зависимости от размера трещины (красная кривая); $W_1(c)$ — упругая энергия (она взята отрицательной, так как характеризует уменьшенное энергие деформированной пластины); $W_2(c)$ — поверхностная энергия.

9

дельное значение деформации, с которой начинается неотвратимое разрушение материалов образца. При $\sigma > \sigma_{kp}$ трешина начинает расти, то есть будет увеличивать $c$. Из формулы видно, что с ростом $c$ все меньше значение $\sigma$ становится критическим для данного материала. Фактически это означает, что после достижения критического напряжения окончательное разрушение неизбежно даже в случае уменьшения или полного снития деформации.

Проверяя полученную им формулу для стекла, Гриффицис получил хорошо совпадение расчетных данных с экспериментальными. Однако для металлов, как было выясено позднее, формула Гриффициса давала очень большую ошибку. Причину этого несоответствия установил внегерский физик Е. Орован. Оказалось, что при обработании трешины в металле в тонком слое, прилегаюшем к берегам трешины, обязательно имеются, пусть необольшие, остаточные деформации (именно поэтому осолки разрушенного металла не удается совместить так же точно, как это можно сделать с осолками стеклянного стакана).

Однако это не противоречит идее баланса энергии, которое развил Гриффицис. Проство в расчетах нужно учеть, что часть упругой энергии, вывобождающейся при разгрузке эффективного объема, затрачивается на пластическую деформацию слоя материалов, прилегающего к берегам трешины. Это приводит к тому, что в формуле Гриффициса к величины $\gamma_s$ добавляется слагаемое $\gamma_p$ — энергия пластической деформации, прихождения на единицу площади свободной поверхности трешины:

$$\sigma_{kp} \approx \sqrt{\frac{E(\gamma_s + \gamma_p)}{c}}.$$

Эта формула (ее называют формулой Гриффициса — Орована) прекрасно описывает реализную ситуацию при хруплком разрушении металлов.

Посмотрите на фотографию на с.6. Так выглядит при большом увеличении (в несколько тысяч раз) поверхности разрушения стали. Отчетливо видны «холмы», «долины» и другие особенности рельефа по верхности. Это и есть следы пластического деформации, сопровождающей рост трешины в металле. Анализ подобных photographs, проводимыми специальными методами, позволяет восстановить подробности поведения трешины при разрушении металла.

Итак, основные выводы теории Гриффициса свойства к следующему. Во-первых, можно указать размер трешин, с которых материал еще может надежно работать при заданном напряжении. Во-вторых, после достижения критического соотношения между напряжением и длиной трешины процесс дальнейшего роста трешины становится неуправляемым,лавинным. Вершина трешины очень быстро разгоняется до огромных скоростей*).

Предельная скорость трешины составляет примерно половину скорости звука в данной материале. Для стали экспериментального зафиксированных скорости движения трешин около 2,5 км/c, или ~10 000 км/ч! Интересно, что трешина может развивать такую огромную скорость за одну тысячную долю секунд, то естьускорение на этапе разгона — порядка $10^6$ м/c$^2$. Примерно так и произойдет разрушение газопровода, результаты которого вы видите на фотографии на с.11, — трешина за считанные секунды пробежала несколько миль.

Конечно, если рабочие напряжения в конструкции мало, то критическая длина трешины будет очень большая. Так, после разрушения одного из местов было обнаружено, что перед наступлением катстрофы в нем была трешина длиной 3 м. Она посла медленно, в течение, может быть, многих лет, о чем свидетельствует окисленная поверхность ее берегов. Именено это позволяет легко отличить «докритическая» трешину от «свекgeo» излома. Но чаще приходится иметь дело с трешинами значительной меньшей длины, и для их обнаружения применяют специальные методы.

*) Конечно, понятие скорости иускорения трешины условны, так как трешина не является материалным телом. Речь идет о движении ее вершины.

10

Усталость и живучеть металлов

Как же возникают и как растут трешины до наступления критического момента? Один из самых распространенных в технике слияев связи с так называемой установью металлов. Этим термином определяют процессы постепенного наконпления повреждений и роста трешин при периодически меняющейся деформации материалов. Именно такие деформации возникают, например, на врашающемся изогнутом валу. В той точке вала, которая в данной момент находится внизу (точка А на рисунке 3, а), материал растует. Но когда эта точка оказывается наверху, она попадет в зону скатия. Вращение приводит к многократному повторению этой ситуации; деформация, а следовательно, и направление в окрестности точки А будет со временем меняться так, как показано на рисунке 3, б.

Подобных деталей вокруг нас огромное множество. Это и коленчатый вал двигается, и оси железнодорожных вагонов, и.maxовики, и многое-много другие. Усталость неизбежно возникает в «работе» любого места: мест всегда деформирован в результате действия силы тяжестей, а когда по нему проходит поезд (или машина), деформация возрастает, затем уменшается до исходного уровня, и т. д.

Появление установки свободно свободными процессами пластического деформации, которые охватывают не весь объем материалов, а сосредоточены в самых «слабых» точках детали — там, где есть остые углы, отверстия и т. п., около которых создается концентрированное напряжение. Появляющаяся трешина сама становится эффективным концентратором напряжения. Постепенный рост трешины увеличает концентрацию напряжения, и скорость ее рост увеличивается. В результате рано или поздно длина трешины достигает критического значения, определяемого соответствием Гриффиста — Орована. За этим наступает быстрое окончательное развитие.

Полный срок службы изделия можно разделить на две части: время до появления трешины такого размера,

Рис. 3. Изменение напряжения при вращении деформированного вала.

11

что ее уже можно обнаружить каким-либо методом, и время от этого момента до окончательного разрушения. Соотношение между этим двумя составляющими полной долговечности изделия зависит от свойств самого материала и от многих внешних факторов, но, к счастью, второй период чаще всего растягивается на достаточно большой срок.

Способность материалов работать при наличии растушей в нем трещины называется живучестью. Конечно, точность определения продолжительности перiode живучестии зависит от чувствительности метода, который применяют для обнаружения трещин.

На железной дороге конкретное вопросение этой ситуации каждой пассажир может наблюдать из окна вагона. Многие, вероятно, видели стоящие на пути вагоны-дефектоскопы, но пока еще контроль рельсов в основном осуществлении вручную. Если вы много путешествуете по железной дороге, то, возможно, видели и такую картину: вдоль пути движется рабочий в научниках, толкая перед собой тележку на колесах; прибор на тележке — ультразвуковой дефектоскоп. Работой обходит свой участок дороги раз в 10 дней, и если в проверяемом рельсе имеется трещина размером больше копеечной монеты, в научниках произвilit предостерегающий сигнал. Рельс будет заменен новым, и угроза катстрофы миновала.

Теперь оценим пригодность для изготовления рельсов трех различных материалов. Предположим, что для двух из них критическаялина трещины (2cкр) одинакова, а для третьего — значительное меньше. Установленные трещины в этих трех материалов могут растити с существенно разными скоростями. На рисунке 4 рост длины трещины для каждой материалов показан красными кривыми. В нашем случае материал 2 имеет гораздо большего живучестЬ, чем материал 1. Штриховая горизонтальная линия на рисунке характеризует минимальный длину трещины, которая может быть обнаружена данных методом, а вертикальные штриховые линии отмечают периодичность контроля. Как видно из рисунка, в первом материале трещина может быть

12

обнаружена при двух проверках, а во втором — при пятин.

Ясно, какой из этих двух материалов будет более надежным. Ведь обходчик — это живой человек, который может быть в плохой форме или отвлечь в неподходящий момент и т. д. Далее следует скидку на это, дефектный рельс из второго материала будет заменен прежде, чем трещина достигнет критической размера и произойдет непоправимое. То, что наверняка можно сделать с пятой попытки, не всегда делается со второй!

Что касается материалов 3, то он обладает Великолепной живучностью. Но покачевительность дефектокопа, использующего для контроля, не может быть повышена, этот материал должен быть забракован. Хотя трещина в нем растет очень медленно, она достигнет критический длины и разовет рельс, даже не предупредив дефектоппиства о своем присутствии.

Повышениечевительности дефектокопа — задача технически разрезимая. Но это привело бы к заменению процесса контроля или сделало бы аппаратуру более громоздкой, так что обходчик уже не смог бы действовать в одиночку. Можно и чаще делать проверки, но ведь надо когда-то пропускать и сами поезда и, кроме того, возможно число обходчиков не беспредельно.

---

Изучение законов образования и движения трещин необходимо — знание этих законов позволяет разрабатывать способы защиты металлов от разрушения. И не случайно становится все более редкими аварии и катастрофы, связанные с коварным хруплким разрушением.

Приложение

Рассмотрим трещину, образовавшуюся в пластине толщины $d$. Будем, как и Гриффисть, считать, что если трещина имеет эллиптическую форму — такую, как на рисунке 1, — то дефектный объем ограничен (в плоскости платины) эллипсом с получением $c$ и $2c$ и равен $2\pi^2 d$. Энергия, запасенная в пластине вседействие ее деформации, равна работе, которое совершила упругая сила $F$ при перемещении всех частей тела на расстояние $\Delta l$ ($\Delta l$ — абсолютиная деформация тела):

$$A = \frac{1}{2} F \cdot \Delta l$$

( $\frac{1}{2} F$ — среднее значение упругой силы, которая в процессе деформации линейно увеличивается от 0 до $F$ ). Энергия, прихождения на единицу объема, — это

$$a = \frac{A}{Sl} = \frac{1}{2} \frac{F}{S} \cdot \frac{\Delta l}{l}$$

Но $F/S$ — это напряжение $\sigma$ в пластине, а $\Delta l/l$ — относительная деформация $\varepsilon$. Если деформация упругая, то справедлив закон Гука и

$$\sigma = \varepsilon E$$

где $E$ — модель упругости материалов пластины.

Итак, энергия упругой деформации, прихождения на единицу объема пластины, —

$$a = \frac{1}{2} \varepsilon \sigma = \frac{\sigma^2}{2E}$$

и, следовательно, при разгрузке эфективного объема $2\pi^2 d$ выделяется энергия

$$W_1 = \frac{\pi \sigma^2 c^2 d}{E}$$

При обработании трещин длины $2c$ вскрылись две новые поверхности, каждая площадью $2cd$ (кривизной берегов трещины пренебрегаем). Энергия, которая была затрачена на обработание этих поверхностей, равна

$$W_2 = 4cd\gamma_s$$

( $\gamma_s$ — поверхностная энергия, прихождения на единицу площади).

Таким образом, появление трещины изменило энергию деформированной пластины на величины

$$W = W_2 - W_1 = 4cd\gamma_s - \frac{\pi \sigma^2 c^2 d}{E}$$

Приведенный на рисунке 2 график зависимости $W(c)$ имеет максимум в точке с абсциссой $c = c_{\text{кр}}$. В этой точке произведена обработка $dW/dc$ обращается в нуль:

$$\frac{dW}{dc} = 4d\gamma_s - \frac{2\pi \sigma^2 cd}{E} = 0$$

и из этого условия мы находим $c_{\text{кр}}$:

$$c_{\text{кр}} = \frac{2E\gamma_s}{\pi \sigma^2}$$

13

Зримая
прочность

В. П. КОРОТИХИН

Во все времена человек заботился
о прочности того, что создавалось
его руками. Однако у древних стро-
телей и конструкторов представления
о природе прочности были в основном
интуитивные. Новые здания, напри-
мер, проектировались почти всегда
по типу старых, проверенных, и обя-
зательно с большим запасом прочности,
которые видели в непомерной
массивности колонн, арок, стен. Но
и только стены бывают непрочными.
Наглядный тому пример — величест-
венные развалины мечети Биби-Xа-
ным в Самарканде, разрушившейся
через 30 лет после окончания стро-
тельства. И таких случавы было не-
мало.

В нашей время катстрофические
разрушения в строительстве и техни-
ке происходят городареже, чем да-
же 100 лет назад. А ведь в XX веке
создано и создается новых машин,
приборов и сооруженный несоизмеримо
больше, чем во все прошленные вре-
мена. При этом сегодняшняя техника
нечета техническая техника прошлого. Современ-
ные сооружения должны, зачастую,
выдерживать понятие фантастические механические направления. Как удается избежать ошибок, сделать
верный прогноз прочности будущеей
конструкиции? Ответить на этот вопрос в несколько слов невозможно.
Для этого существует целая научка — механика деформаруемого твердого тела, которая включает в себя математическое теорию упругости, теории пластинности, ползучесты, разрушения, устойчивости, волновых процессов и т. д.

Существуют и различные экспериме-
mentальные методы исследования де-
формаций в телах. Эксперименталь-
ными методами решаются наиболее сложные задачи, не поддающиеся пока что теоретическому анализу. Об одном из них, по праву считао-
щемся самым наглядным и универ-
сальным, инойдет речь.

14

Модель панели типового жилого дома, исследуемая методом фотоупругости. На экране видна четкая интерфейсционная картина, по которой можно определить распределение деформаций и направлений, возникших при нарузке (нарузка приложена в четырех точках).

Метод фотоупругости, или поляризационно-оптичский метод, позволяет исследовать увидеть сам процесс возникновения в конструкции деформаций и вызванных имми направлений.

Идей метода фотоупругости была разработана еще в прошлом веке. В 1815 году шотландский физик Дейвид Брюстер обнаружил, что при освещении некоторых投影ных веществ, подвергнутых деформации, поляризованным светом на экране, установленном позади освещаемого образца, наблюдается яркая интерфейсционная картина. Брюстер предложил, что расположение и конфигурация интерфейсционных полос определяются теми деформациями, которые возникают в образце в результате действия нагрузки.

Позднее в работе Максвелла, Френеля и других ученых была установлена точная математическая зависимость между оптическими явлениями, наблюдаемых в деформированных投影ных материалов, и существующими в них механическими деформациями и направлениями. Таким образом, появился возможность «расшифровывать» картину полос, переводить ее в картину распределения деформаций и направлений в исследуемом объекте. А таким объектом может быть модель места, стены здания, участка плотины, переборки корабля и т. п.

Однако реализовать идею метода фотоупругости в XIX веке было очень сложно. Главная помеха заключалась в том, что не было хорошо материалов для модели. При

17

сем не ждали (если не продельвали эту операцию раныше). Амебиус не распался на два, но разрез подействовал на него губительно: граница новый поверхности состоит уже из двух замкнутых кривых (проверьте!), и поэтому полученная поверхность не отвечает никакой пленке в нашем смысле. Кроме того, у нее уже две стороны. Именно поэтому повторно аналогичная процедура не приведет к столь поразительному результату, хотя вряд ли читатель сможет предугадать его.

Однако оставим подобные жесткие операции и посмотрим, что происходит с ametnусом в естественных условиях. Прежде всего, благодаря способности к разрыву-срастанию, ametnус может принять форму ленты, перекрученной на любое нечетное число полуборотов (рис. 6). (Отметим, что полоска, скрученная на целое число оборотов, не отвечает никакой пленке, так как имеет границей две замкнутые кривые.) В самом деле, поравшись поперек, он может раскрутиться на любое целое число оборотов, а затем срастись на старом месте (проследите это на полоске бумаги). Точно так же ametnус может завязывать в любой узел и снова завязывать (рис. 6).

Для таких превращений не потребовалось бы никаких временных разрывов, живи ametnус в четырехмерном пространстве. Четвертое изменение позволяет, помимо извлечного из начно-фантастической литературы выхода из полностью закрытой комнаты, свободно завязывать узлы и раскручивать перекрученные пленки. Таким образом, способность

18

к разрыву-срастинию у наших пленок появляется в процессе эволюции только из-за «маломерности» нашего пространства. Желаяшим познакомиться с четырехмерным пространством пользоваемым книжку И. М. Гельфанда и др. Метод координат (М.: Наука, 1965).

Можно выделить целое (бесконечное) семейство пленок, которые естественно называют амебиусовыми. Второй (после амебиуса) представитель этого семейства получается в результате «приживления» двух амебиусов друг к другу по кусочку границ (рис. 7). Следующий — приживлением трех амебиусов и т. д. Формы этих пленок весна разнообразны, так что их не всегда просто опознаны. На рисунке 8 изображено все семейство в одном из наиболее симметричных их обличий.

Точно таким же образом ручка порождает семейство двусторонних пленок, получающихся последовательным приживлением друг к другу несколько ручек (рис. 9). семейство двусторонних также состоит из бесконечного числа видов, определенных числом видов ручек, «входяших в состав» пленки. Сюда естественно включаются и диски, поскольку у них тоже две стороны (они отвечают числу ручек $N=0$). Автор не смог выработать наиболее красивую среди многообразия форм этих пленок, и поэтому на рисунке 10 $a$, $b$ семейство нарисовано дважды. Убедитесь на приме-

21

Впрочем, все ли мы доказали? Мы установили, что любую пленку можно отнести по крайней мере к одному из видов, перечисленных в списке. А может быть, — ее можно отнести к несколько видам? Другими словами, не могут ли два вида из списка оказаться одним и тем же (то есть приводится друг в друга по естественным законом развития пленок)? Оказывается — нет. Но на доказательстве мы останавливаемся не будем, отсылая читателя к книгам, перечисленных в конце статьи.

Отметим, что приведенное доказательство дает эффективный способ для определения вида, которое принадлежит данной пленке, в частности, позволяет решить, когда две данные формы ответают одной пленке.

Задача. Определите, к какому виду принадлежат пленки, изобразенные на рисунке на с. 51, а также показите, что формы, изобразенные на рисунке 10, действительно соответствуют одной и той же двусторонней пленке.

На этом можно было бы заключить, однako во избежание недоразумений автор должен отметить, что все изложенное имеет отношение не только к биологически, сколько к топологии — области геометрии, занимающейся свойством фигур, не меняющимся при любых скатиях и растяжениях. В связи с этим даим перевод основных понятий с биологического языка, принято в статье, на математической. Пленки — компактные связи двумерные многообразия со связным краем, двусторонняя и amбивосая пленка — соответственно ориентируемое и неориентируемое двумерное многообразие со связным краем, амбивус — лист Мёбиуса, называние «диск» и «ручка» занимаvolвны из топологии и в переводе не нуждаются. Наша классификация есть не что иное, как топологическая классификация двумерных многообразий со связным краем. Из нее сразу получается и топологическая классификация замкнутых многообразий (таких сили, действующих на данное тело, начальная скорость которого равна нулю, постоянна, то есть длина и направление вектора $\vec{F} \neq 0$ не зависит от значения времени $t$, то движение тела происходит по прямой линии.)

Поправка
В статье «Роль математической физики в современной науке» («Квант», 1983, № 12) напечатано ошибочно утверждение. На странице 3, вторая колонка, 8—13 строки сверху, должно быть: «Например, если сумма всех

23

Яков Ильич Френкель

(к 90-летию со дня рождения)

Имя выдающегося советского физико-теоретического Я. И. Френкеля прочно связано с целью ряда физических эффектов. Прежде чем кратко расссказать о них — несколько данных из его биографии.

Яков Ильич родился 10 февраля 1894 года в Ростове-на-Дону. С 1909 года жизнь его нассгда связывается с городом на Неве. В 1913 году он с золотой медалью заканичивает известную в Петербурге гимназию. К этому времени молодой человек выполняет первый самостояльную работу по физике, которую высоко оценивает профессор А. Ф. Иоффе. По окончании физико-математического факультета Петроградского университета Я. И. Френкель оставется при нем для подготовки к профессорской деятельности. С начала 1918 года он преподал физику в Тавричском (Симферопольском) университете. В 1921 году Френкель переезжает в Петроград и начинает работать в физико-техническом институте (ФТИ) и на физко-механическом факультете Политехнического института. Вскоре он становится главой теоретического отдела ФТИ и заведующим кафедрой теоретической физики на физике. С обоими этим учреждениями, территorialно расположенными в двух шагах друг от друга, связана вся трицатилетняя научная и педагогическая деятельности Яков Ильча.

Я. И. Френкель посвязывал свои усилия разработке широкого круга проблем. Назовем лишь некоторые из полученных им результаты.

Он первым введел представление о количестве-поступательном характере движения молекул в жидкостьх и построил основы кинетической теории жидкости (работы 1926—44 гг.).

Введ понятие о дефектах кристаллической решетки (1926 г.). «Deфекты по Френкелю» (или «Френкельские пары») — это сочетание пустого узла в решетке — дырки — и.atoma, перешедшего из этого узла в пространство между узлой. С ним неразрывно связаны процессы диффузии, тепло- и электропроводности в твердых телах.

Френкельский экстон — квант возникения — представляет собой связанное состояние электрона и положительной дырки, способное двигаться по кристаллу (предложен в 1931 г.). Сейчас физика экстонов — одна из наиболее интенсивно развивающихся областей физики твердого тела.

Для описания процессов, происходит их в адрес, Френкель предложил использовать представления статистической физики и термодинамики, рассматривая ядро как систему большого числа частиц (нуклонов). Им (независимо от Н. Бора) была создана капельная модель ядра (модель Бора — Френкеля, 1936 г.). Было введено понятие температуры ядра, испускание частиц из ядра трактовалось в терминах испарения, а поглощение — конденсации. Эти процессы сообщения оказались необычайно плодотворными и дали особенно ценные результаты после открытия деления урана (1939 г.). Я. И. Френкелем (одновременно с Н. Бором и Дж. Уилером) была разработана теория деления тяжелых ядер.

Ученый-романтик, каким был Я. И. Френкель, по самому складу своего ум может находить черты общего в различных и казалось бы, далеко друг от друга явлениях, связывая далекое с близким, устативая черты нового в старом. Такому художственному видению мира в большой степени способствовало это, что Яков Ильч владел кистю: его портреты и пейзажи не раз экспонновались на выступах и воспроизвольлись в различных книгах и журналах. Он был хорошо скрипчатом, тонко чувствовавшим музыку и исполнявшим ее исключительно проникновенно.

Автор первого в нашей стране полного курса теоретической физики Яков Ильч Френкель выполнилfundamentalные работы не только в области физики жидких и твердых тел и физики ядра, но и в классическом и квантовом механике, астрфизике, геофизике и биофизике.

В. Я. Ильин

24

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Как решается основная задача механики?» предназначена восемиклассиком, «Дизлектрики, полупроводники, полуметаллы, металлы» — девятиклассик и «Фотоэлектрический эффект и кванты» — десятиклассик. Материалы подготовили И. К. Белкин.

Как решается основная задача механики?

Основная задача механики, как неоднократно указывается в учебнике «Физика 8», — определять положение (координаты) движущего тела в любой момент времени. Это механика обязает должа «уметь», иначе она не может быть наукой о движении. Законы движения, открыты Ньютоном, и преждевшего второй закон Ньютона (основной закон диамки) $\vec{F} = m\vec{a}$, как раз и позволяет решать эту задачу.

Второй закон Ньютона связывает силу, приложенную к телу, и вызывает силу ускорение. Но ускорение — это быстрое изменение скорости, а скорость, в свою очередь, — быстрое изменение перемещения тела. Поэтому, решив уравнение, выраженное основной закон диамки, мы узнали о быстрое изменении координат тела, а значит, и о самом координатах в любой момент времени. Для этого кроме силы нужно знать еще начальные условия — начальные координаты и начальную скорость тела.

На первый взгляд кажется, что уравнение второго закон Ньютона очень простое и что решается оно тоже просто. Однако надо помнить, что уравнение $\vec{F} = m\vec{a}$ — векторное. Это значит, что за ним «скрываются» три скалярных уравнений для проекции сил и ускорения на оси координат:

$$F_x = ma_x,$$
$$F_y = ma_y,$$
$$F_z = ma_z.$$

Эти уравнения в самом деле решаются легко, но только в том случае, когда проекции силы $F_x, F_y$ и $F_z$ построены, то есть когда их значения одинаковы при любых значениях координат точки, а значит, и в любой момент времени. Тогда постоянны и значения проекций ускорения $a_x, a_y$ и $a_z$, движение тела, следовательно, равную скорению, и координаты $x, y$ и $z$ определяются равенствами

$$x = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2},$$
$$y = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2},$$
$$z = z_0 + v_{0z} t + \frac{a_z t^2}{2}.$$

Здесь $x_0, y_0$ и $z_0$ — начальные координаты, а $v_{0x}, v_{0y}$ и $v_{0z}$ — соответствующие проекции начальной скорости на оси координат.

В школьном курсе физики рассматриваются только такие задачи, когда силы построены. Значительное решение основную задачу механики, если сила и ее проекция зависит от координат. В действительности обычно имеются так и выше. Как решается задача в таком случае?

Конечно, и теперь нужно начать начальные условия и силу. Но теперь «знать силу» — значит знать, как она изменяется при изменении координат тела.

Пусть, например, на тело действует сила $F$, которая определяется (и известным) образом зависит от координаты $x$. Для определения координаты $x$ тела в любой момент времени прежние формулы непргиодны, потому что если сила $F_x$ изменяется от точки к точке, будет изменяться и ускорение $a_x$ тела. Будем решать задачу постепенно, так сказать, шаг за шагом.

Сначала рассмотрим движение нашего тела в течение малого промежутка времени $\Delta t$, начиная с момента, который мы условиями считать начальным. В этот момент $(t=0)$ координата $x$ тела. Равна $x_0$

25

(начальная координата), а скорость равна $v_{0x}$ (начальная скорость). Промежуток $\Delta t$ выберем настолько малым, чтобы в течение этого времени силу $F_x$, а значит, и ускорение $a_x$ можно было считать постоянными. Силу $F_{0x}$ мы знаем, поскольку нам известно, как сила зависит от координаты; $a_{0x}$ мы тоже знаем, так как $a_{0x} = F_{0x}/m$. Следовательно, по известным нам формулам равноускоренного движения для скорости $v_{1x}$ и координаты $x_1$ в конце промежутка времени $\Delta t$ мы можем написать:

$$v_{1x} = v_{0x} + a_{0x} \Delta t,$$

$$x_1 = x_0 + v_{0x} \Delta t + \frac{a_{0x} \Delta t^2}{2}.$$

Затем рассмотрим движение тела в следующий столь же малый промежуток времени $\Delta t$. Начальной координатой теперь будет найденное нами значение $x_1$ и начальной скоростью — значение $v_{1x}$. В течение этого второго промежутка на тело будет действовать уже другая сила — $F_{1x}$. Ее значение мы найдем, зная зависяство силы от координаты. Соответствие другим будет и ускорение тела $a_{1x}$. Таким образом, к концу второго промежутка времени скорость тела будет равна

$$v_{2x} = v_{1x} + a_{1x} \Delta t,$$

а координата —

$$x_2 = x_1 + v_{1x} \Delta t + \frac{a_{1x} \Delta t^2}{2}.$$

Эти значения скорости и координаты будут начальным для движения тела в течение следующого, третьего, промежутка, и мы таким же способом найдем значения скорости и координаты к концу этого промежутка. Так, «двигаясь» шаг за шагом, мы сможем определить координату $x$ тела в любой момент времени. Аналогично можно найти и координаты $y$ и $z$.

В рассмотренной нами процедуре нетрудно заметить систематически ошибку, которое мы допускаем. Состоит она в том, что сила и ускорение считаются постоянными в течение каждого малого промежутка времени $\Delta t$, а в конце промежутка они скачаком изменяются. Между тем в действительности и сила, и ускорение всегда изменяются непрерывно. Уменный эту ошибку можно, уменьшив значение $\Delta t$. Ошибка практически вовсе исчезнет, если промежутки времени сделать бесконечно малыми. Но тогда число «шагов» станет бесконечно большим, и процессура из-за этого сделается невозможно.

Специально для таких случаев разработан особый математический аппarat, называемый дифференциальным и интегральным исчислением (Ньютон придумал его именно для этой цели). С его помощью и решается основная задача механики. Но принципи решения именно тот, который мы здесь рассмотрели. Именно таким способом расчитывают сложные механические движения (например, спутников и ракет) современные ЭВМ.

В заключение отметим следующие. Когда мы говорим, что основная задача механики — нахождение координаты движения тела по известным силам и начальным условиям, то это вовсе не значит, что только этим и занимается механика. Бывает и так, что движение тела, то есть его положение в любой момент времени, известно из наблюданий. Тогда законы движения позволяют найти силу, действующего на тело. Эта задача, так называемая обратная задача механики, столжее важна, как и рассмотренная нами примая задача, но, как нетрудно понять, она значительная проще.

Диэлектрики, полупроводники, полуметаллы, металлы

В классической физике было принято все вещества по их электрическим свойством разделять на проводники и диэлектрики («Физика 9», §§ 44 и 46). Современная физика различает еще два промежутных состояния — полупроводники («Физика 9», § 78) и полуметаллы. Лишь с появлением квантовой механики стало ясно, в чем различа между всеми этим типами веществ. В этой заметке мы постараемся включить суть современной квантово-

27

обшить ему дополнительную энергию, а согласно законам квантовой механики, это можно сделать, только переведя его на более высокий энергетический уровень. Но прицип Паули запрещает электромамзанимать уже занятые уровни, а попасть в следующую разрешенную зону, которая совершенно пуста, они не могут, потому что энергия, полученная от электрического поля, много меньше ширины Δ запрещенной зоны.

При температуре, отличной от нуля, электроны, в принципе, могут перейти в зону проводимости и стать носительми электрического тока. Однако для того чтобы число электронов, перешедших в эту зону, было достаточно большим, нужно диэлектрик нагреть до такой высокой температуры, что он расплавится, прежде чем ток достигнет измененной величины. При комнатной температуре ток в диэлектрике практически нечетет.

Полупроводники. От диэлектрика полупроводник отличается только тем, что ширина Δ запрещенной зоны, отделяющей валентную зону от зоны проводимости, у него много меньше (в десяти раз). При T=0 валентная зона в полупроводнике, как и в диэлектрике, целиком заполнена, и ток по образцу текь не может. Но благодаря тому, что энергия Δ не велика, уже при незначительном повышении температуры часть электронов может перейти в зону проводимости (рис. 3). Тогда электрический ток в веществе станет возникным, причем сразу по двум «каналам».

Во-первых, в зоне проводимости электроны, прибрежая энергию в электрическом поле, переходит на более высокие энергетические уровни. Во-вторых, включает в электрический ток дают… пустые уровни, оставленные в валентной зоне электронами, щедшими в зону проводимости. Действительно, прицип Паули разрешает любому электрону занять освободившийся уровень в валентной зоне. Но, заняв этот уровень, он оставляет свободным свой собственный уровень и т. д. Если следить не за движением электронов по уровнем в валентной зоне, а за движением самих пустых уровней, то оказывается, что эти уровни, имеющие начное название дырки, тоже становятся носителем тока. Число дырок, оченьindo, равно числу электронов, щедших в зону проводимости (так называемых электронов проводимости), но дырки обладают положительным зарядом, потому что дырка — это отсутствующий электрон.

Таким образом, в полупроводнике электрический ток — это ток электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. Такая проводимость полупроводника называется совственной.

Электроны и дырки при движении по кристаллу взаимодействуют с atomами кристаллической решетки, теряя при этом своего энергии. С этим потерями связано электрическое сопротивление вещества. При увеличении температуры потери энергии возрастает, так что сопротивление полупроводника должно быть с ростом температуры тоже увеличивается. Но при повышении температуры растет число электронов, переходящих в зону проводимости, а следовательно, и число дырок в валентной зоне. Это значит, что растет (и очень

29

К сожалению, идеальные кристаллов не былиает, а нулевой температуры достичь невозможно. В действительности электроны теряют энергию, взаимодействия с колблющимся атомами решетки, так что сопротивление реального металла растет с температурой (в отличие от сопротивления полупроводника). Но самое главное — это то, что при любой температуре электроновность металла значительно выше электроновности полупроводника потому, что в металле гораздо больше электронов, способных проводить электронический ток.

Фотоэлектрический эффект и кванты

Фотоэлектрический эффект был открыт немецким физиком-экспериментатором В. Галльваком в 1888 году.*) Он обнаружил, что при освещении отрицательно заряженного проводника ультрафилотовым светом заряд проводника быстро уменьшается.

Фотоэффект был подробно исследован в 1888—1890 году русским ученым А. Г. Столетовым и несколько позже — немецким ученым Ф. Ленардом. Так, в 1899 году Ленард доказал, что при освещении металла ультрафилотовым (а иногда и видимым) светом из металла вырываются отрицательно заряженные частицы — электроны.**)

Сам по себе факт вырывания электронов из металла под действием света не вызывал удивления. К этому времени уже было известно, что свет — это электромагнитная волна. Значит, падающий на поверхности металла свет приносит с собой переменное электрическое поле. В та

*) Годом раныше немецкий физик Г. Герц обнаружил, что искровой разряд между двумя электронами происходит более активно, если искровой промежуток освещается ультрафилотовым светом.

**) Говоря более точно, испускание электронов твердыми и жидкими телами следует назвать внешним фотоэлектрическим эффектом (в отличие от внутреннего фотоэфекта, когда под действием света электроны остаются внутри тела и лишь изменяют свое состояние).

ком поле электрон в металле должен совершать колбания, а при достичении большой амплитуде он может и вылететь из металла, где его удерживает сила притяжения к положительной заряженной частицам (напомним, что амплитуда определяет энергию колбания). Можно ожидать, что на «раскачку» электрон потребуется некоторое время (расчет показывает, что могут потребовать даже минуты). Число вылетоших в единицу времени электронов должен быть означено, что могут потребовать даже минуты. Так, свет мощного проектора должен естественно, вырывать больше электронов, чем свет карманного фонарика. От интенсивности подающей света должна зависеть и энергия вылетоших электронов.

Таким образом, на основании волновой теории света можно ожидать, что:

1. Любой свет, то есть любой длины волны, должен вырывать электроны из металла, поскольку любой свет приносит с собой переменное электрическое поле.

2. На вырывание электрона из металла требуется определение времени. Поэтому фотоэлектроны (электроны, вырыанные светом) должны появляться через некоторое время после включения света.

3. Число вырывания электронов и их энергия должны пропорционально интенсивности света (то есть квадрату амплитуды колбаний в световой волне).

Однако исследования, проведенные А. Г. Столетовым, В. Галльваком и Ф. Ленардом, показали, что законы фотоэфекта совсем не такие, как ожидалось. Оказалось, что:

1. Не всякий свет вырывается электроны из металла. Для каждого металла существует определенная наименьшая частота $v_{\min}$ (набольшая длина волны $\lambda_{\max}$), такая, что свет меньше частоты (большей длины волны) вовсе не вырывается электронов. Если частота колбания в световой волне меньше этой граничной

30

часоты, то и самый мощный проектор, испускающий такой свет, не вывет ни одного электрона. Но если частота больше $v_{\min}$, то и маленький карманный фонарик вызовет вылет электронов. Эта наименьшая частота (наибольшая длина волны) называется красной гранией фотоэфекта.

2. Вылет электронов из металла начинается практическим одновременно с началом его освещения. Мгновенность действия и сделала фотоэфект таким важным в различных автоматических устройствах.

3. Выравненные светом электроны имеют различные значения кинетической энергии — от самых малых до некоторого максимального значения $mv^2_{\max}/2$. Эта максимальная энергия фотоэлектронов линейно зависит от частоты света, а не от его интенсивности. Интенсивности света пропорционально только число выравненных электронов (в этом состоянии закон Столетава для фотоэфекта).

Таким образом, главную роль поcemу-то играет частота света, которая определяет его цвет, но не имеет никакого отношения к энергии волны. Законы фотоэфекта оказываются следовательно, несовместимыми с волновой теории света.

Полное теоретическое обяснение фотоэлектрического эфекта было найдено в 1905 году А. Эйнштейном. Он показал, что в этом случае свет ведет себя не как волна, а как поток частиц, квантов света, энергия которых выражается равенством $E=hv$, введенным еще за пять лет до этого М. Планком для обяснения совсем другого процесса.

Сам фотоэфект состоит в том, что световые частицы, стalkиваясь с электронами металла, передают им свою энергию и импульс (сами кванты при этом исчезают). Если энергия квантов padающего света больше той работы, которое электрон должен совершить против сил притяжения к положительно заряженным частицам вещества, электрон может вылететь из металла. Если энергия квантов меньше этой работы (работы выхода электрона из металла), он один электрон из металла не вылетит.

Становится понятным смысл граничной частоты, то есть красной границы фотоэфекта: для вырывания электрона из металла энергия квантов должна быть не меньше, чем $hv_{\min}$. Эта энергия и равна работе выхода $A$ электрона из данного металла. В случае, когда энергия $hv$ падающих квантов больше $A$, максимальная кинетическая энергия электронов равна разности $hv-A$:

$$\frac{mv^2_{\max}}{2} = hv-A.$$

Это и есть формула Эйнштейна для фотоэфекта. Obviously ее пишут в виде

$$hv = A + \frac{mv^2_{\max}}{2}.$$

А что же интересно света, играет ли она какую-нибудь роль? Да, играет. Если свет вызывает фотоэфект, то число вылетающих в единицу времени электронов пропорционально именно интересно света. Но интересно света теперь связана не с амплитудой колбаний в световой волне, а с числом квантов, испускаемых источником в единицу времени. Вдвое более «сильная» лампа испускает вдвое кольце квантов; свет такой лампы и электронов из металла выгibt вдвое кольце. Но энергия вылетающих электронов зависит не от силы света лампы, а от того, какого цвета свет она испускает.

Теория Эйнштейна самим тщательным образом была проверена экспериментально (в опитах, подобных описанному в «Физике 10» на с. 225). Особенно точные измерения проводел в 1916 году американский физик Р. Милликен. Результаты этих исследований могут быть пред-

32

ся и что он должен делать, чтобы правильно решить задачу.

Например, была дана такая задача: «Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 100 см²?» Один ученик написал в решении: «Да, существует. Основание берем сколь годно больше, а высоту 2—3 мм, тогда другие высоты будут меньше 1 см, так как угол близок к 180°». Подобные тексты представляют трудную проблему для проверяющих, потому что их нельзя ни просто одобить, ни просто отвергнуть. Хотя это ученик, несомненно, сообщательный, его еще надо учить и учить, как записьать свои мысли. Проверяющий написал на полях: «To, что Вы написали, хорошо прикидка, которая должна была показать Вам, какие стороны и углы могут быть у Вашого треугольника. Вы волны были писать или оставить при себе эту прикидку. Но ответ должен был выглядеть так: «положим a=…см, b=…см, c=…см. Тогда треугольник с таким стороны удовлётворяет условия задачи. Доказательство: …». А без этого задача не решена!».

Проверенные работы высилаются учениками для договора — разумеется, не в качестве наказания, а чтобы они прошли замечания, которые им были сделаны, и почерпили из них как можно больше ползы.

Немалая трудность в обучении математике вообще, а при зачном обучении особенно, обусловлена специфика математики как науки. Математика работает с абстракциями, а также работа требует соблюдения особых «правил игры». Те пешеходы, заводы, бассейны и комбайны, о которых идет речь в школьных задачах, так же качественно отличается от своих конкретных тезок, как шахматный король отличается от живых королей. Соответствие, необычен и язык математики. Математические тексты пестят не только формальными обозначениями, но и такими непривычными выражениями, как «сколь уголно больше», «произвольный», «если и только если», «для любого A найдется B», выражающихми сложные логические конструкции. Критерием понимания утверждения является умение обращаться с ними: делать из них выводы, формулировать противоположные утверждения, проверять их на частных случаях, обобщать, переходить к наглудным представлениям и т.п. Чтобы успешно работать с математическими абстракциями, необходимо свободно и правильно владеть математическим языком, а также умение лучше всего прибретаться в непосредственном общении с культурным в этом отношении собеседником. Таким образом, нужны какие-то гриbidные формы обучения, сочетание приемыства оной и заочной формы.

С этой целью в ВЗМШ приннимаются «коллективные ученики» — группы школьников, работающие над заданиями под руководством своего учитель. Это очень гибкая и удобная форма занятия, которая получила положительное оценку со стороны многих учительей и учеников. Вот характерный отзыв: «Вы делаете громадное дело, влияя конкретное, живое содержание в работе тысяч математических кружков».

Пожелаем же дальнейших успехов всем работникам Заочной школы — педагогам, студентам, ученым, занятым общим делом — вывелением талантов и приобретением их к науке.

А. Л. Тоом

Из старых задач
ВЗМШ

Этот рисунок наеян следующее задание из старой встретильной работы ВЗМШ:

Можно ли заполнить таблицу 4×4 буквами В, З, М и Ш, обвести их рамками четырех типов (квадрат, ромб, треугольник, круг) и раскрасти клетки таблицы в четыре цвета так, чтобы выполнили следующее условие:

1. в каждой строке и в каждом столбце должны встречаться все буквы, все цветы и все типы рамок;
2. каждая буква должна появляться по разу в клетке каждой цвета;
3. рамка каждой типа должна содержать каждую букву и каждый цвет?

33

Задчи

1. В коробке лежали спички. Их количство удвоили, а затем убрали 8 спичек. Остаток спичек снова удвоили, а затем снова отняли 8 спичек. Когда эту операцию проделали в третий раз, в коробке не осталось ни одной спички. Сколько их было сначала?

2. А и К — различные цифры. Еще 7 цифр в примере на умножение заменены звездочками. Восстановите цифры в этом примере.

3. Что можно сказать о точках А, В и C на плоскости, если известно, что для любой точки M этой плоскости расстояние AM меньше хотя бы одного из расстояний BM и CM?

4. Саша и Гриша на велосипедах часто катались по лесной тропине от одного конца леса до другого. Однажды Гриша, проехав 2 км по лесу, встречил Сашу, чинившего свой велосипед. Друзья поговорили о школьных делах, и Гриша поехал дальше. Достигув опущки леса, он заметил, что со времени выезда в лес прошло 24 минуты. Развернулись, он поехал в обратную сторону и через 2 км снова встречил Сашу, чинившего свой велосипед, но уже в другом месте. «Сколько же ты проехал?», — спросил Гриша. — «Всего 900 метров», — ответил ему Саша. Определите время их первого разговора, если известно, что Гриша ездил все время с одной и той же скоростью 10 км/час.

5. Два сосуда коничской формы, изображенные на рисунке, залиты доверху одинаковым количством воды. В донышках сосудов имеются одинаковые ответствия. Из какого сосуда быстрее вылется вода, если открыть эти ответствия?

Эти задчи нам предложили P. Ю. Винокур, В. Д. Вьюн, Г. А. Гальперин, А. С. Козинский, С. Р. Сефибеков.

Такая знакомая и такая удивительная вода!

Доктор педагогических наук
Н. А. РОДИНА

Если последовательно сформировать все части поверхности земного шара, то 70% силков будут иметь такой вид, как фотография на странице 35, — поверхность Земли более чем на 2/3 покрыта водой.

На долю океанов приходится основная масса воды, содержится она в озерах, реках, под землей и в водадухе. Запас воды в атмосфере — в виде пара — вдвое превышает ресурсы всех рек.

Средняя глубина океанов составляет 3800 м, наиболее глубина имеет так называемая Маринская впадина в Тихом океане — около 11 000 м. Если выровнять суше и до океанов так, чтобы Земля стала точно шаром, то вся поверхность ее будет покрыта слоем воды толщиной около 2500 м.

Зная это, а также учитывая, что средний радиус Земли равен 6400 км, можно расчитать примерный объем воды на Земле и радиус той «капли», которое образовала бы вода, если все ее собрать водино.

Конечно, можно показать, и вы можете это сделать сами, что все же объем воды составляет лишь небольшую часть всего объема Земли. Но из всех планет Солнечной системы (а в ней, кроме девяты больших планет, есть еще тысячи маленьких планет — аsteroides) ни одна не может сравнить с Землей по общию воды. Например, Венера и Марс имеют такие сухие поверхности, каких нет нигде на Земле. Даже пустия Сахара по сравнению с ними казалась бы просто болотом.

Без воды невозможна была бы жизнь на нашей планете. Она содержится в организмах животных, в растениях. Человек ежегодно потребляет около двух тонн воды. Мы получаемся его постояно, она необходима нам так же, как воздух.

И эта вода, такая распространенная и такая, на первый взгляд, обживеная жидкость, обладает, оказывается, необъявенными физическими свойствами, отличающими ее от других веществ и делающими ее такой полезной для человека. Как будто природа специально позаботилась о том, чтобы придать воде свой-

35

ства, благодаря которых смягчаются жара и холод на Земле, рыбы могут zmовать в водоемах, человек ползуется «мостами изю льда»…

Рассмотрим некоторые из этих свойств.

Вода относится к тем редким веществом, которые в обычных условиях нашей жизни встречаются и в виде твердого тела, и в виде жидкости, и в виде газа. Многие ли из вас видели, например, твердый бензин (температура его плавления ниже — 60°С)? Жидкое железо мы можем увидеть только во время эскурсии на металлургический завод, а жидкий воздух — в специальных laboratorиях. А вот воду мы хорошо знаем во всех трех состояниях. Зимой, стоя на берегу реки, мы видим лед — твердое состояние воды, видим в проруби воду, выдыхаем вместе с воддухом водяной пар (он невидим).

Известно, что все тела при нагревании расширяются, а при охлаждении скимиются. Это относится к воде. Именно этим обьясняется, например, прогревание воды способом конвекции. Но если пронаблюдать расшириние и скатие воды при изменении ее температуры более тщательно, то мы заметим особенность воды, имеющую большое значение для человека.

Представьте себе, что в двух одинаковых колбах налиты жидкости. В одной колбе — вода, в другой — любая другая жидкость, скажем бензин, и обе жидкости имеют одинаковую температуру, например, 15°С. Будем постепенно охлаждать эти жидкости до 0°С. Сначала вода не проявит никаких «чудес», обе жидкости будут скиматься. Но после того как температура жидкости становится равной 4°С, бензин будет продолжать скиматься, а вода становится расширяться!

Рассмотрим обратный процесс: будем нагревать эти жидкости от 0°С. Бензин (и другие жидкости) будет только расширяться, а вода сначала сокмется, а лишь после 4°С начинает расширяться, то есть поведет себя как остальные жидкости.

Вы можете продолжать опыт, доказывающий это удивительное свойство воды. Налейте в банку или в стекан примерно до половины высоты холодной воды (по возможности, воду возьмите похолоднее, но не холоднее 4°С) и опустите в воду термометр, который может изменять температуру от 0°С и выше (годится, например, школьный лабораторный термометр или комнатный). Резервар термометра должен находиться в близке к холоду, если вы укрепите термометр так, чтобы его можно было двигать только вверх и вниз). Теперь осторожно помещите на поверхности воды небольшие кусочки льда слоем 2—4 см и наблюдайте за показаниями термометра. Термометра будет понжаться, но когда она станет близкой к 4°С (она может отличаться на 1—1,5°, это зависит от качества термометра, то есть его «класса», от наличия приcesей в воде и других прицин), вы увидите, что столбик термометра оставится. Убедитесь, что он остается неподвижным, а затем осторожно поднимайте термометр так, чтобы его резервар оказался в верхнем слое воды, где находится лед. Вы увидите, что там температура близка к 0°С. В процессе опита вам, может быть, придется добавлять лед; делайте это осторожно, чтобы он не опускался вниз и не перемешивать с нижними слоями воды.

36

Из наших наблюдений следует, что наиболее плотность вода имеет при 4 °C, при нагревании выше этой температуры и при охлаждении ниже плотность воды уменьшается. Это свойство пресной воды (морская вода им не обладает) носит название аномали теллового расширения (анomalия — неправильность, отклонение от общей закономерности).

На рисунке 1 изображен график зависимости объема воды от температуры (для 1 г воды). Пользовим им, построите график зависимости плотности воды от температуры.

Благодаря аномали теллового расширения воды водоемы с пресной водой не промерзают зимой до дня. По мере наступления холодов воздуха над озером, рекой или прудом постепенно охлаждается. Охлаждается и соррикающийся с ним верхний слой воды. По мере оставления он становится плотнее и опускается на дно — тоет в менее плотной теплой воде. Постепенно придонный слой воды становится все холоднее, и наконец температура его достигает 4 °C. Лежащие над ним воды продолжают охладаться от 4 °C до 0 °C, но теперь уже плотность их становится меньше, и они не опускаются выше. Поэтому на дне водоема и зимой сохраняется сравнительно теплый слой воды, в котором и зимуют рыбы, рачки, водоросли.

Но на этом «чудеса» не кончаются, вода не скупится на сюрпризы.

Возьмите две пробирки (или маленькие стеклянные пузырыки) и налейте в одну из них воды, а в другой — расплавленный водок или стеарин. Воск оставьте в комнате — он быстро застенет, а воду придется

Temperature graph

Рис. 1.

вынсти на мороз или помещить в морозильную камеру холодильника, чтобы она обратилась в лед. И снова вода удивит нас! Воск в процессе отвердания созметя, на его поверхности образуется глубокая водонка. А на поверхности льда вы видите выпуклость (а если пузырек был наполен водой доверху и закрыт, то лед его даже разорвет).

Сделаем вывод: при переходе воды из жидкого состояния в твердое плотность ее уменьшается — ведь объем ее увеличивается при неизменной массе. У воды, как и у большинства веществ, наоборот, плотность при отвердаении увеличилась.

Благодаря этой особенности воды лед, покрывающий зимой поверхность озера, не опускается на дно, не тонет. Если бы он не имел свойство озера, то аномали теллового расширения воды не принесла бы ползы, водоемы промерзали бы до дна. То, что вода имеет наиболее плотность при 4 °C и что она расширяется при отвердаении, приводит к таким окончательному распределению температур в водоемах, какое показано на рисунке 2.

Возникает, однако, вопрос: почему не выравнивается температура воды в водоеме? Почему за долгуную зиму водоемы все же не охлаждаются до дна за счет теплопроводности? Это объясняется тем, что вода имеет очень малую, или, как говорят, плохуую теплопроводность.

Слой воды толщиной в 1 м и площадью в 1 м² при разности температуры его поверхности, равной 1 °C, передает за одну секунду от более нагретий к менее нагретий поверхности 0,58 Дж энергии. Эта величины — 0,58 Дж/(м³·°C·с) — называется коэффициентом теплопроводности воды. Для сравнения указываем значения коэффициентов теплопроводности меди — 395 Дж/(м³·°C·с) (в 660 раз больше, чем воды), а минница — 204 Дж/(м³·°C·с).

Плохо проводит тепло и лед. А если поверх льда лежит еще и свежей плавшей снег, а он состоит из мелких кристалликов льда, между которых находится воздуха, — совсем плохой проводник тепла, имеющий коэффициент теплопроводности

37

0,023 Дж/(м³·°C·с), — то уж такая «шуба» надежно укрывает от мороза нижние слоны воды в глубоких водоемах.

Обсуждим еще одно замечательное свойство воды. Посмотрите таблицу удельных теплоемкости тела (учебник для 6—7 классов). Самая большая удельная теплоемкость у воды! Чтоы нагреть 1 кг ее на 1 °C необходимо 4200 Дж энергии. Для керосина при тех же условиях необходимо 2100 Дж, а для других — 140 Дж. Значит, и остывая на один градус, килограмм воды отдаст окружающим телам в два раза больше энергии, чем керосин, и в 30 раз больше, чем ртути. Поэтому при повышении грекой не только проще всего, но и выгоднее всего заполнять ее обычной водой.

Подсчитайте, какое количество теплла выделится при остывании грекки с объемом 2 л, от 100 °C до 20 °C в двух случаях: когда грекка заполнен водой и когда она заполнена растительным маслом (плотность воды 1000 кг/м³, масла — 900 кг/м³, их удельные теплоемкости, соответственно, 4200 Дж/(кг·°C) и 2000 Дж/(кг·°C).

А теперь рассмотрим это явление в других масштабах. Летом, в теплую погоду, количество тепллоты, поглощаемое от окружащего воздуха водами океанов, морей, больших озер, настоящего значительного чего смягчает жара в тех местах суши, которые лежат в близи больших водоемов. Наступает зима, и вода, остывая, отдает воздух это громадное количество тепллоты. Поэтому зима в таких местах Земли не столь сурова, как в других, лежащих на тех же шипотах.

Подсчитаем, например, какое количество тепллоты отдает Черное море при смене времени года от лета к зиме. Наблюдения показывают, что средняя температура поверхностных воды Черного моря летом около 25 °C, а зимой около 7 °C. Площадь его поверхности приблизительно равна 420 000 км², а средняя глубина — около 1200 м.

Объем воды в море
$$V = (420 000 \cdot 10^6) \text{ m}^2 \cdot 1200 \text{ m} \approx 5 \cdot 10^{14} \text{ m}^3.$$

Подсчитаем массу воды, зная, что плотность морской воды равна 1030 кг/м³: $$m = 1030 \text{ kg/м}^3 \cdot 5 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 \approx 5,1 \cdot 10^{17} \text{ кг}.$$

Удельная теплоемкость морской воды 4000 Дж/(кг·°C). Следовательно, общее количество тепллоты, которое отдает море, остывая, равно:
$$Q = 4000 \text{ Дж/(кг·°C)} \cdot (25-7) \cdot 10^3 = 3,7 \cdot 10^{22} \text{ Дж}.$$

Подсчитайте сами, сколько нужно было бы сжечь каменного угля, чтобы получить такое количество тепллоты.

Воду применяют в качестве охлаditеля для dwигателей внутреннего сортания и реакторов потому, что она поглощает много теплла при нагревании.

Вода хорошо расторяет многое вещество, и поэтому можно сделать и соленой, и сладкой. Температура кипения воды такова, что в ней можно сварить большинство потребляемых человеком продуктов… Мы предлагаем вам посмотреть еще и таблицу удельных тепллот парообразования веществ, убедиться, что из всех веществ, указанных в ней, вода имеет наиболее уделную теплоту, и подумать — какие выгоды (а может быть, неудобства?) приносит это человеку.

38

Перспектива

Общенствие, что уходящие вдаль параллельные линии кажутся нам сходящимся и что это явление называется перспективой. Перспективой издревле пользовались художники для создания на плоском холсте иллюзии пространственного изображения. Иллюстрацией может служить картина Гонзаго, фотографию которого вы видите перед собой.

Нанболее доступное плоское изображение пространственных объектов — это фотографика. Можно считать, что фотографирование — это отображение, ставшее в соответствие каждой точке пространства (точнее, его части) неоктору точку листа бумаги следующим образом. Фиксируется точка — «фокус» Ф — и плоскость — «экран» Э (плоскость, параллельная задней стенке аппарата). Чтобы избежать проискодящего в реальном фотоаппарате переоравнения изображения, мы помещаем эту плоскость между фокусом и снимаемым объектом. После этого точке А фотографируем часть пространства в соответствие точке А’ пересечения экрана с прямой ФА (рис. 1).

Посмотрим, как изображаются на экране прямые, плоскости и углы.

1°. Отрезок прямой, не проходящий через Ф, изображается как прямолинейный отрезок (отрезок линей пересечения плоскости Э с плоскостью, проходимей через заданный отрезок и точку Ф; рис. 2).

2°. Уходящий в бесконечность кусок прямой l, не параллельной Э и не проходящий через Ф, изображается как конечный интервал, кончающийся в точке пересечения плоскости Э с прямой, параллельной l и проходимей через Ф. Эта точка называется изображением бесконечного удаленной точки прямой l (см. рис. 2).

3°. Изображения бесконечного удаленных точек параллельных прямых (не параллельных Э) совпадают («параллели сходятся на бесконечности!»).

40

с $M$ и $C_1$ с $K$. Продолжение линей $AA_1$ и точка $L$ попадается нам в части 6), красные линей — в части в).

6. На рисунке 6, 6 черные линей изображают требуемый план, сине — дополнительные построения; красные линей нужны для части в). Построение использует длины сторона, а также следующие пропорции (мы пользовемся обозначениями рисунков 6, а и 6; прямые $\Phi K', \Phi M'$ на рисунке 6, 6 параллельны сторонам дома): $l_2:l_1=AA_1:BB_1; l_3:l_1=AA_1:CC_1; K'L':L'M'=KL:LM$. (Построение по этим данным проводится без труда и многими разными способами; например, можно начать с того, что направить в заданном масштабе затрихованный прямогольник, а затем найти на нем точку $E$.)

в) Проделаем на рисунках 6, а и б следующие построения (они показаны на них красным цветом): проведем перпендикуляр $\Phi P'$ к отрезку $K'M'$, отметим на отрезке $KM$ точку $P$, такую, что $KP:PM=K'P':P'M'$, и построим точку $Q$, такую, что $PQ \perp KM$ и $KQ \perp QM$. Тогда

$$AA_1:AL:PQ=h:H:l_1,$$

(1)

где $h$ — высота дома и $H$ — высота точки съемки. Поскольку $l_1$ мы можем найти из рисунка 6, 6, этого достаточно для нахождения $h$ и $H$ (по нашим измерениями, $l_1 \approx 50,7$ м, $h \approx 24,5$ м, $H \approx 40,9$ м). Докажем пропорцию (1). В точке местности, соответствующей точке $P'$ нашего плана, соорудим вертикальную мачту и отметим на ней две точки: первую — на уровне точки съемки, вторую — ниже первой, так, чтобы отрезок между первой и второй точками был виден из фокуса под углом $45^\circ$ (вторая точка оказылась у нас ниже уровня земли). Длина этого отрезка равна расстоянию от фокуса до мачты, то есть $l_1$, а на фотографию его изображением служит отрезок $PQ$ (в силу утверждения $8^\circ$ угол $KQM$ должен быть прямым). Теперь пропорция (1) следует из утверждения $6^\circ$.

Задание к следующему вынуждению геометрической страницы

На чертеже изображены три кривые: красным — эллипс, синим — «вывернутая восемерка» и черным — полукубическая парабола. Сведения каждой из этих кривых на отдельный лист (можно с увеличением, но обязаательно точным!), возьмите на них достаточно части послеовательности точки на примерно одинаковых расстояний и проведите в этих точках нормали к кривым (нормаль — перпендикуляр к касательной в точке касания); не забудьте, что перпендикуляр располагается по обе стороны от прямой, к которой он восстанавливает). Каждый из трех ваших чертежей будетгуто разлинован прямыми, ищущими в различных направлениях. Вы увидите, что эти прямые не равномерно заполют чертеж (на одном из них будет даже совершенню пустой кусок). Более того, на каждом из чертежей можно будет различать кривую, к которой прямыеGruшются осененно сильно. Попытайте проследить ход этих кривых.

41

Задачик
кванта

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Найболее трудные задания отмещаются звездочек. После формировки задания мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задания публикуются впервые. Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 30 апреля 1984 года по адресу: 103006, Москва, K-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 2 — 84» и номера задач, решения которых вы посылаете, например, «M846, M847» или «Ф858». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах с вашим решением этой задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указать номер школа и класс, в котором вы учитесь.

М846. Докажите, что среднее арифметическое длин сторона правильно многоугольника меньше среднего арифметического длин его диагоналей.

В. Ф. Лев

М847. Квадрат расчерчен на $n \times n$ клеток. Двое игроков по очереди обводят по одной стороне одной клетки (дважды обводить одну и ту же сторону нельзя). Кто выиграет при правильной игре, если
a) побеждает игрок, первый построивший замкнутую линию;
b) проигравает игрок, который вынужден первым построить замкнутую линию.

И. Ветров, А. Кодан

М848. a) Постройте график функции
$$f_0(x) = \left| x - 1 \right| - 2 \left| x \right| - 3$$

б) На рисунке 1 изображены графики трех «кусочно-линейных» функции $f_1, f_2, f_3$. Запишите формулы для них в виде
$$y = kx + b + c_1 |x - a_1| + \dots + c_m |x - a_m|,$$
где $k, b, c_i, a_i$ — некоторые числа, $m$ — количество точек излома графика ($a_i$ — абсциссы точек излома, $i = 1, 2, \dots, m$).

в) Запишите в таком же виде функцию $f_0$ из пункта a).

г) * Некоторые функции являются комбинацией линейных функций, «модуля» и операции сложения, причем знак modulo использован в ее записи $n$ раз (в примере a) $n = 4$. Какое наиболее число изломов (при каждой $n$) может иметь ее график?

П. Г. Сатьянов

М849. Из цифр 1, 2, …, 7, взятых в разном порядке, составлены семь семизначных чисел. Докажите, что сумма седьмых степеней нескольких из этих чисел не может равнять сумму седьмых степеней остальных чисел.

Г. А. Гальперин

М850*. Через точку пересечения биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне $BC$. Докажите, что длина меншшего основания об-

42

разовавшейся трапеци равна получиме длине ее боковых сторон.

В. Н. Дубровский

Ф858. После удара футболиста мяч полетел в направлении ворот, находящихся на расстоянии $L=32$ м, со скоростью $v=25$ м/c под углом $\alpha$ к горизонту ($\cos \alpha=0,8$). Из-за бокового ветра, душшего вдоль ворот перепendlukулярно скорости $\vec{v}$, горизонтальное смещение мяча в плоскости ворот оказалось равным $s=2$ м. Найти время полета мяча до плоскости ворот. Мяч не врашается; скорость ветра $u=10$ м/c.

В. И. Чивилёв

Ф859. Шар радиуса $R$ и массы $m$ движется по горизонтальной поверхности под действием постоянной силы натяжения $\vec{F}$ легкой нерсатяжимой нити. Точка закрепления нити находится на высоте $h$ над поверхностью (рис. 2), нить все время горизонтальная, шар движется поступательно. При каком максимальном коэффициенте треня это возможно? Чему равноускорение шара?

Л. Г. Маркович

Ф860. В кончекской непроводящей лунке с углом $2\alpha$ при вершине на глубине $h$ находится два небольших одинаково заряженных тела, связанных нитью (рис. 3); масса каждой тела $m$. После пережигания нити тела начинают скольнить вверх по поверхности лунки и вылетают из лунки на высоте $H$ над ее основанием со скоростью $v$. Коэффициент треня тела по вершине лунки $\mu=a \text{tg} \alpha$ ($a<1$). Определить заряды тел.

О. Я. Савченко

Ф861. В колебательном RLC контуре сопротивление невелико, так что колебания затухают в нем слабо. Для получения незатухающих колебаний поступают следующим образом: дважды за период в моменты, когда ток в цепи максимален, катушку индуктивности быстро растягивают от длины $l$ до длины $l+\Delta l$, а в моменты, когда максимален заряд на конденсаторе, катушку быстро скжимают до прежнего размена (параметрический резонанс). При каком относительной изменении длины катушки $\Delta l/l$ колебания в контуре будет незатухающим? Индуктивность катушки считать обратно пропорциональной ее длине.

А. И. Киркинский

Ф862. Линза с фокусным расстоянием $F$ и диаметром $d$ вставлена в ответе такого же диаметра в экране из светопоглощающего материалов ($d/F<2$). Экран расположен так, что оптическая ось линзы совпадает с биссектральной плоскостью и перепendlukулярна ребру ду-

45

Из этого соотношения видно, что $|AD| = |BC|$ тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{MN} = 0$, то есть отрезки $PQ$ и $MN$ перпендикулярны (или вырождаются).

Оба решения без изменений проходят для любой четырёх точек $A, B, C, D$ на плоскости или в пространстве. В частности, справедливы, например, такие утверждения: если у четырехугольника средние линии перпендикулярны, то его диагонали равны; если три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер tetrahedра, попарно перпендикулярны, то каждое его ребро равно противоположному (о таких — «равнограничных» — tetrahedра рассказываюсь в стате В. Э. Матизена в «Кванте» № 7 за 1983 г.). Из приведенных решений также видно, что в условиях задачи прямые $AD$ и $BC$ образуют равные углы с $PQ$ (и с $MN$).

В. В. Прасолов,
В. Н. Дубровский

**M832. a) Докажите, что для любого натурального $n \geqslant 6$ квадрат можно разрезать на $n$ квадратов (среди которых могут быть и квадраты одинакового размера).

б) Докажите, что для любого натурального $n \geqslant 100$ куб можно разрезать на $n$ кубов.

a) Если квадрат разрезан на $n$ квадратов, то разрезая любой из них на 4 равных квадрата, мы получим разрезание исходного на $n+3$ квадрата. Поэтому достаточно придумать разрезания для $n=6$ (что дает все $n=3k$, $k=2, 3, \dots$), для $n=7$ (что дает все $n=3k+1$) и для $n=8$ (что дает все $n=3k+2$). Эти разрезания показаны на рисунке 1.

б) Идея решения также же, как в пункте a). Разрезая любой из кубов, составляющих исходный куб, на $m$ равных кубов, мы увеличим общее число частей

Рис. 2.

Рис. 3.

*M833. Последовательность $x_n$ задается условиями:

$$x_1 = 2; \quad x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} \quad (n=1, 2, 3, \dots).$$

Рис. 1.

на $m-1$. Нам попадобятся три основных способа разрезания: для $m=8$ (по схеме $2 \times 2 \times 2$), для $m=20 = 3^3 - 2^3 + 1$ (8 кубов из 27, образующих куб $3 \times 3 \times 3$, заменяются на один размер $2 \times 2 \times 2$; рис. 2) и для $m = 38 = 4^3 - 3^3 + 1$ (27 кубов в разрезании $4 \times 4 \times 4$ заменяются на один размер $3 \times 3 \times 3$; рис. 3). Комбинируя эти разрезания по указанному прицилиу, мы получим, что куб можно разрезать на $n$ кубов для

$$n=1+7k, \quad (1+19)+7k, \quad (1+2 \cdot 19)+7k, \quad (1+3 \cdot 19)+7k, \quad (1+4 \cdot 19)+7k, \quad (1+37)+7k, \quad (1+2 \cdot 37)+7k$$

($k=0, 1, 2, \dots$).

А так как первые слагаемые в этих выражениях — 1, 20, 39, 58, 77, 38 и 75 — меньше 100 и дают при делении на 7 все возможные остатки (соответственно, 1, 6, 4, 2, 0, 3 и 5), среди выписанных чисел содержатся все числа $n, n \geqslant 100$. В действительности, как легко понять, среди этих чисел содержат все числа, больше 70. Подумайте, можно ли еще уменьшить эту границу.

В. А. Ли

**Прежде всего докажем индуцией по $n$, что $x_n = tg n a$, где $a = \arctg 2$. При $n=1$ это верно по условиям. Пусть теперь $x_n = tg n a$; тогда

$$x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} = \frac{tg a + tg n a}{1 - tg a \ tg n a} = tg(n+1)a,$$

47

Угольники со сторонай $R$, каждый из которых поливается своей установкой.

В горизонтальном направлении ряд из 6 установлен обслуживает расстояние $6b = 600\sqrt{3} \approx 1039,23 > 1000$, так что и в этом направлении все объекты благополучно. Правда, в ряде из 7 установлен на рисунках 2 и 3 крайние выступают за границы поля, но это легко исправить — можно просто сдиинуть каждую из них на край поля или равномерно уменшить все расстояния по горизонтали.

С различными проявлениями «оптимальное» шестиугольной решетки в математических задачах и физических явлениях можно позначить, например, в книге Г. Штейнгауза «Математический калейдоскоп» из серии Библотечка «Квант» (М., 1981). Напишите нам, встречались ли вам интересные ее использования в живой природе (не считая, конечно, всем известных пчелиных сот), в технике.

Н. Б. Васильев

M835*. На однокрутовой шахматный турир приехало пшахматов из страны $A$ и пшахматов из страны $B$. Окзадось, что как бы ни разбить шахматов на пары (читы другие с другой церрали шахматисты разных стран), найдется хотя бы одна пара шахматистов, которые уже встречались ранее другие с другой. Докажите, что можно выбрать а шахматов из страны $A$ и пшахматов из страны $B$ так, что каждый из выбранных а шахматов встречался с каждой из выбранных в шахматов, $a + b > n$.

Доказательство проводем индykцией по $n$.

При $n = 1$ утверждение задачи очевидно ($a = b = n = 1$). Теперь надо доказать его для $n = k$, предполагая, что оно верно для всех $n < k$.

В случае, когда каждый из $k$ шахматов, прибивших из страны $A$, встречался ранее с каждой, прибившим из $B$, доказываясь нечего ($a = b = k$). Поэтому будем считать, что какне-то два шахматства — $a$ из $A$ и $B$ — друг с другом не встречались. Тогда остальные шахматные удовлетворяют условию задачи для $n = k - 1$. (Если составить из них пары и присоединить к ним ($a, \beta$), то по условию в одну из этих пар, но заведomo не в ($a, \beta$), попадут встречавшиеся шахматные.) По предположению индykции можно обращать группу $A$ из $a_1$ шахматов страны $A$ и группу $B$ из $b_1$ шахматов страны $B$ так, что каждый шахматист группы $A$ встречался с каждой из $B$ и $a_1 + b_1 > k - 1$. Если окажется, что $a_1 + b_1 > k$, — все в порядке ($a = a_1, b = b_1$). Остается рассмотреть случай $a_1 + b_1 = k$; рассудения иллюстрирует рисунок на полях.

Пусть $A$ — группа из $k - a_1 = b_1$ шахматов из $A$, не вошедших в группу $A$, $B$ — группа шахматов из $B$, не вошедших в $B$. Устройм два новых турира — для групп $A$ и $B$ ($n = a_1$) и $A$ и $B$ ($n = b_1$). Один из этих туриров (для определения, с учетом групп $A$ и $B$) удовлетворяет условию задачи. (В противном случае можно так составить пары из шахматов групп $A$ и $B$, и независям, групп $A$ и $B$, что ни в одной из этих пар не попадут встречавшиеся шахматные, а это противоречит условию для «общего» турира.) По предположению индykции в группе $A$ можно найти $a_2$ шахматов, каждой из которых встречался с каждой из таких $a_1 + b_2 > a_1$. Кроме того, по выбору групп $A$ и $B$ можно найти эти $a = a_2$ шахматов встречался с каждой из $b_1$ шахматов группы $B$. Таким образом мы можем выбрать $a = a_2$ шахматов из страны $A$ и $b = b_1 + b_2$

48

В этой «таблице встреч» каждый столбец отвечает шахматному из страны $A$, а строка — шахматному из $B$ (здеся $n=6$). Единицы ставятся на пересечении строк и столбцов, отвечающих встречавшимся ранее шахматистам, на остальных местах — нулы. Желтым цветом отмечены клетки, отвечающие параметры шахматистов, красным — одна из максимальных систем независящих нулей.

В нашем случае строки и столбцов в матрице («таблице встреч» — см. рис.) одинаково (и равно $n$); условие задачи означает, что в любом наборе независящих чисел есть единица, то есть максимальное число независящих нулей меньше $n$. По теореме Кёнга можно указать меньше $n$ линей, содержащих все нулы. Тогда на пересечениях отмеченных линей — $a$ столбцов и $b$ строк, где $a+b>n$, — стояят единицы, а это, по существу, и утверждается в задаче.

Еще одно эквивалентное утверждение, часто непользуемое в оптимизации задач, — теорема Холла о различных представлениях (или «теорема о свойстваве»): пусть каждый из $n$ ионишей знаком с некоторыми из $n$ деваушек, причем для любых $k$ ионишей ($k=1, 2, \dots, n$) имеется по крайней мере $k$ деваушек, знакомх хотя бы с одним из них; тогда их можно разбить на пары так, что в каждой паре будут знакомые деваушка и иониша. Эту теорему в разных формулировках и с несколькоми доказательствами можно найти в статьях М. И. Башмакова («Квант», 1970, № 4, с. 14) и В. Н. Вагутена («Квант», 1974, № 11, с. 23).

Л. Д. Менихес

Ф842. В схеме, изображенной на рисунке, в некоторых моментах замыкают ключи $K$. Найти установленное значение точки, текущего через катушки с индуктивностью $L$ и активным сопротивлением $r$. Какой заряд протечет через галванометр $\Gamma$ после замыкания ключи? Параметры элементов, указанные на рисунке, считать заданными. Внутренним сопротивлением источника и сопротивлением галванометра пребрежить.

В установившемся режиме, когда в схеме будет точь постоянный ток, а катушка индуктивности будет обладать только активным сопротивлением $r$, схема будет симметричной. В этом случае ток через галванометр равен нулю, а точки в правой илевой части разветвленного участка схемы будут равны друг другу и равны $\frac{\varepsilon}{(R+r)}$. Следовательно, в установившемся режиме ток через катушка будет равен.

$$I_L(\infty) = \frac{\varepsilon}{(R+r)}$$

Пусть теперь в некоторый произвольный момент через элементы схемы текут также точки, как это показано на рисунке. Поскольку сопротивление галванометра равен нулю, при любых конечных значениях точки через галванометр равен нулю, при любых конечных значениях точки через галванометр равен нулю, и следовательно, в любой момент времени точки $I_1$ и $I_2$ будут равны.

Согласно закону сохранения заряда,

$$I_1 = I_\Gamma + I_L,$$

$$I = I_1 + I_2 = 2I_1 = I_L + I_3$$

Согласно закону Ома для контура abcd,

$$I_L r - I_3 r = -L \frac{dI_L}{dt}$$

Из уравнения (3) и (2) получаем:

$$I_1 - I_L = \frac{L}{2r} \frac{dI_L}{dt}$$

Используя уравнение (1), найдем связь точки $I_\Gamma$ через галванометр с током $I_L$ через катушки индуктивности:

*См., например, Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

49

$$I_\Gamma = \frac{L}{2r} \frac{dI_L}{dt}.$$

Заряд, протекший через галванометр, очень удобен

$$Q = \int_0^\infty I_\Gamma dt = \int_0^\infty \frac{L}{2r} \frac{dI_L}{dt} dt = \frac{L}{2r} \int_0^\infty dI_L =$$

$$= \frac{L}{2r} \left[ I_L(\infty) - I_L(0) \right] = \frac{L}{2r(R+r)}.$$

Здесь $I_L(0)$ — ток через катушка в начальной момент времени. До замыкания ключа ток $I_L$ был равен нулю; следовательно, и после замыкания он также будет равен нулю: $I_L(0) = 0$.

В. В. Можаев

Ф843. Колесо радиуса $R$, расположенное на высоте $H$ над землей, врачается с угловой скоростью $\omega$. С колеса скрывается калля и падает на землю в точке $B$ под центром колеса (рис. 1). Найти время nadения калля и точку $A$ колеса, в которой калля отрывается.

Рис. 1

Рис. 2.

Ф844. В сосуд, наполненный смесью жидкости, плотность которого изменяется с глубиной по закону $\varphi = \varphi_0 + \alpha h$, опускают тело массы $m$ и объема $V$. Тело целиком поружается в жидкость. На

Чтобы найти время nadения калли, представим себе, что одновременно с каждой точки колеса скрывается калли, и рассмотрим движение этих каллы в системе отчета, падающей сускорением $g$. В этой системе калли движется по инерции со скоростью $v = \omega R$. Через время $t$ они будут находиться на окружности радиуса

$$r = \sqrt{R^2 + v^2 t^2}$$

(рис. 2). Чтобы найти положение калли в неподвижной системе отчета, связанной с землей, эту okружность надо опустить на расстояние

$$s = gt^2/2$$.

Ясно, что в тот момент, когда $r + s = H$, калля должен до точки $B$ на земле. Из условия

$$\sqrt{R^2 + v^2 t^2} + \frac{gt^2}{2} = H$$

находим:

$$t_{\text{пад}}^2 = \frac{2}{g^2} \left((v^2 + gH) \pm \sqrt{v^4 + 2gHv^2 + g^2R^2}\right).$$

В этой формуле нас устанавливает только знак «минус», так как второй корень соответствует приходу в точку $B$ той калли, которая находится в точке $N$ okружности (см. рис. 2), а эта калля задерживается колесом. Подставляя $v = \omega R$, находим:

$$t_{\text{пад}} = \sqrt{2(\omega^2 R^2 + gH - R \sqrt{\omega^4 R^2 + 2gH\omega^2 + g^2R^2})}$$

(*)

Зная время nadения калли до точки $B$, легко найти точку ее отрыва от колеса. Действительно, в падающей системе отчета эта калля через время $t = t_{\text{пад}}$ после отрыва должна оказаться в точке $M$ okружности (см. рис. 2). Следовательно, она отрывается в точке $A$ такой, что

$$tg a = \frac{vt_{\text{пад}}}{R} = \omega t_{\text{пад}},$$

где $t_{\text{пад}}$ определяется формулой (*).

А. Н. Григоренко

IIусть в состоянии равновесия центр тяжесте куба, погруженного в смесь, находится на глубине $H$. Сила тяжесте, действующая на куб, уравновешивается в仗алкивающей силой, равной численному весу смеси в объеме куба.

Чтобы найти этот вес, разобем мысленно жидкость в объеме куба на $n$ тонких горизонтальных слоев

50

какой глубине оно окажется, если имеет форму куба? шара?

толщины $\Delta h$ таких, что в пределах каждой плотность жидкости можно считать постоянной (см. рисунок). Тогда вес жидкости в объеме куба равен

$$P = gS \cdot \Delta h \left( \varrho_1 + \varrho_2 + \dots + \varrho_n \right)$$

($S$ — площадь грани куба). Поскольку плотность смеси меняется с глубиной по линейному закону, сумма, стоящая в скобках, равна $(\varrho_1 + \varrho_n)n/2$. Если $\varrho_1$ — плотность у верхней грани куба, а $\varrho_n$ — у нижней, то

$$\varrho_1 = \varrho_0 + a \left( H - \frac{a}{2} \right), \quad \varrho_n = \varrho_0 + a \left( H + \frac{a}{2} \right),$$

где $a$ — длина ребра куба. Таким образом,

$$P = gS \cdot \Delta h \cdot n \frac{\varrho_1 + \varrho_n}{2} = gSa(\varrho_0 + aH) = gV(\varrho_0 + aH).$$

Тепер из условия равновесия куба —

$$mg = gV(\varrho_0 + aH)$$

— найдем глубину его погружения:

$$H = \frac{m - \varrho_0 V}{aV}.$$

Аналогичным образом можно найти глубину погружения шара. Следовательно, вы убедитесь, что шар погружается в смесь на ту же глубину, что и куб.

Из приведенного решения понятно, что если тело массы $m$ и объема $V$ имеет такое форму, что площади его горизонтальных сечений, взятых на одинаковом расстоянии по вертикали от некоторой точки $O$ тела, равны, то при полном погружении тела в смесь точка $O$ будет находиться на глубине $H = \frac{m - \varrho_0 V}{aV}$.

Л. Г. Маркович

Ф845. Внутрь камеры автоматического колеса радиуса $R$ попал небольшой камейк. При какой минимальной скорости автоматическая камейк будет вращаться вместе с колесом, если коэффициент трения камейка о камеру равен $\mu$?

На камейк внутренки камеры действуют три силы (см. рисунок): сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции $\vec{N}$ и сила треня $\vec{F}$. Чтобы камейк вращался вместе с колесом, эти силы должны сообщать ему центростремительноеускорение $v^2/R$, где $v$ — линейная скорость вращения колеса, равная скорости движения автоматics (колеска вращаются без просkalзывания).

Запишем уравнение движения камейка в проекциях на оси $X$ и $Y$ (см. рисунок):

$$F = mg \sin (\pi - a) = 0,$$

$$N + mg \cos (\pi - a) = mv^2/R.$$

Из уравнения (1) находится:

$$F = mg \sin a.$$

Абсолютное значение силы треня не может быть больше $\mu N$, и следовательно, $N \geqslant F/\mu$. Minimalному значению $v$ соответствует как видно из уравнения (2), $N = \frac{F}{\mu} = \frac{m}{\mu} g \sin a$. С учетом этого получаем:

$$v_{\text{min}}^2 = Rg \left( \frac{\sin a}{\mu} - \cos a \right).$$

Выражение, стоящее в скобках, минимально, когда произвольная функция $f(a) = \frac{\sin a}{\mu} - \cos a$ равна нулю, то есть

$$\frac{\cos a}{\mu} + \sin a = 0 \Rightarrow -\mu = \text{ctg} a.$$

Тогда

$$\sin a = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{ctg}^2 a}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}.$$

51

Ф846. Почему мощные двигатели постоянного тока следует включать через пусковой реостат?

При нормальной работе двигателя ток в его обмотке равен

$$I = \frac{U - \mathcal{E}_n}{r_n},$$

где $U$ направление сети, $\mathcal{E}_n$ ЭДС индуктивity, возникающая при вращении якории двигателя в магнитном поле, $r_n$ — сопротивление обмотки якории, которое невелико. Если двигатель включать прямо в сеть, без пускового реостата, то в момент пуска двигателя, когда якorb еще неподвижен и $\mathcal{E}_n = 0$, пусковой ток в обмотке $I_n = U/r_n$ будет намного превышать нормальный рабочий ток. Чтобы уменьшить значение $I_n$ и предотвратить перегрев обмотки, в цепь якория вводят пусковой реостат, которое затем выводит.

А. В. Кубышкин

Эти замысловые поверхности, придуманные Ю. В. Котовым, являются «пленками» (см. статью «Классификация пленок» на с. 16). Определенте, к какому классу каждой из них относится.

Задание
для
исследования

1. Имеется несколько гирек. Известно, что если любую из них убрать, то остальные можно разделить на две группы равной массы.
   Докажите, что число гирек нечетно, если

a) массы гирек — целые числа;
b) массы гирек — любые действительные числа.
b) Из какого наменьшего числа гирек с различными целочисленными массами может состоять набор, удовлетворяющий условиям задачи?
r) Сколько гирек может входить в такой набор?
B. В. Произволов,
Э. И. Туркевич

2. Известно, что квадрат любого целого числа при делении на 3 дает остаток 0 или 1, а при делении на 5—0, 1 или 4.
   a) Найдите все натуральные $k$, такие, что остаток от деления квадрата любого целого числа на $k$ — тоже квадрат.
   b) Попробуйте найти такие $k$, что остаток от деления квадрата любого целого числа на $k$ — тоже куб.

C. А. Голдобин

КВАНТ УЛЬБАЕТСЯ

Маленькие хитрости
маленьких

Оргинальное решение
— Лиза, реши задачу. Тебе семь лет,
а твоей подружке Оле на два года меньше.
Сколько лет Оле?
— Пять лет.
— Правильно. А как ты решала?
— Я вчера была у нее на дне рождения!

Кухня погоды
В который раз мама объявляет шестилетней Марине, почему идет дожь. Сейчас привела ее на кухню:
— Вот смотри. Когда вода кипит в кастрюле, то на ее крышку садится пар, а потом он, охлаждаясь, спадает назад в кастрюлю каплями. Так и дожь.
Девочка просила:
— Наконец-то я поняла, почему идет дожь! Его люди варят!

Заниматься надо!
Хороший солнечный день. Все детей играют во дворе, только одна трехлетняя Лена расстривает картины в книжке.
— Доченька, или погуляй.
— Нет, заниматься надо! — строго ответила девочка.

Съедобные …трубы
— Папа, что это за машина? — спросил четырелетний Дима.
— Сварочный аппарат.
— А что он делает?
— Трубы варит.
— А когда он их сварит, кто их будет есть?

В. А. Миронов

Как важно быть точным
На семинаре по ядерной физике Э. Ферми, появив зависимости эфективного секения рассеяния нейтронов от их энергии, изобразил на докке следующий график:

Затем задумался, извлек из кармана маленькую логарифмической линейку, быстро произведел какие-то вычисления и со словами «немного понятие» стер старую кривую и проевел новую

После минутного молчания аудитория разразилась смехом (введи никаких численных значений ни на том, ни на другом графике проставлено не было). Ферми сначала не понял, в чем дело, но затем понимающее улыбнулся и продолжил лекцию.
(По материалам журнала «American journal of physics», 1976, v. 44, № 3, p. 235.)

Извините за аргон
Когда в 1895 году замениты англичские учены Рэлей и Рамзай открыли первый инертный газ — аргон (за это открытие позднее им была присуждена Нобелевская премия) и ввели «нулевую» колонку для благородных газов в таблицу Мендлеева, большинство учены относилось к этому достинению скеттичски. Чрезвычайно терпельный и корректный Рэлей ответил: «Без сомнения, результат очень странен. В самом деле, я вижу некоторые признаки того, что анomalные свойства аргона преодолются как своего рода обвининия против нас. Но мы работали очень добросовестно. Факты были слипком за нас, и все, что мы можем сделать сейчас, это извиниться за самих себя и за газ».
(По материалам журнала «Успехи физических наук», 1966, т. 88, № 1, стр. 149.)

54

трехгранного угла в точках A, B и C, причем отрезки OA и OB равной длины, а отрезок OC короче отрезка OA. Известно, что величины двумя гранимного угла между плоскостью α и гранью OAB равна β. Два шара расположены по разные стороны от плоскости α так, что каждой шар касается всех гранитрехгранного угла и плоскости α. Найдите:

1. величины угла между прямой, проходящей через центры шаров, и плоскостью грани OAB,
2. отношение радиусов указаных шаров.

Вариант 4
(химический факультет)

1. Найдите все решения уравнения
   $$\cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + \cos \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 4 \sin x = 2 + \sqrt{2} (1 - \sin x).$$
2. Решите неравенство
   $$\left(\sqrt{x^2 - 4x + 3} + 1\right) \log_5 \left(\frac{x}{5}\right) + \frac{1}{x} \left(\sqrt{8x - 2x^2 - 6} + 1\right) \leq 0.$$
3. Треугольная призама $ABCA'B'C'$ с нижним основанием $ABC$ и боковым ребрами $AA', BB', CC'$ рассечена плоскостью, проходящей через точки E, F, C, где точка E является серединой ребра AA’, а точка F лежит на ребре BB’, причем $|BF|:|FB'| = 1:2$. Найдите объем части призмы $ABCA'B'C'$, заключенной между секущей плоскостью и нижним основанием этой призмы, если известно, что объем призмы равен V.
4. Найдите координаты точки, лежащей на графике функции $y = 1 + \cos x$ при $0 \leq x \leq \pi$ и наименее удаленной от прямой $x\sqrt{3} + 2y + 4 = 0$.
5. Значениями переменных x, y являются действительными числа. Найдите все целые значения n, при которых система уравнения
   $$\left\{ \begin{array}{l} 6x^2 + 24y(x + y) + 2(3n - 2)x + 4(3n - 2)y + 3 = 0, \\ 4(x^2 + y^2) + (4n + 2)y + 2n^2 = 8xy + (4n + 2)x + \frac{5}{2} \end{array} \right.$$
   имеет решение. При найденных целых значениях n найдите все решения этой системы.

Вариант 5
(биологический факультет)

1. Решите уравнение
   $$4 \cos^3 x + 3\sqrt{2} \sin 2x = 8 \cos x.$$

2. Найдите все значения x, при которых произвольная функция
   $$y(x) = 3x^3 \cdot \ln x - 36x \cdot \ln x - 7x^3 + 108x$$
   равна нулю.

3. Решите неравенство
   $$8 + 6|3 - \sqrt{x + 5}| > x.$$

4. Площадь трапеции $ABCD$ равна 6. Пусть E — точка пересечения продолженной боковых сторон этой трапеции. Через точку E и точку пересечения диагональной трапеции проведена прямая, которая пересекает меньшее основание BC в точке P, а больше основание AD — в точке Q. Точка F лежит на отрезке EC, причем $|EF|:|FC| = |EP|:|EQ| = 1:3$. Найдите площадь треугольника EPF.

5. Найдите все значения b, при которых оба неравенства
   $$2b \cdot \cos 2(x - y) + 8b^2 \cdot \cos(x - y) + 8b^2(b + 1) + 5b < 0,$$
   $$x^2 + y^2 + 1 > 2bx + 2y + b - b^2$$
   выполняется при любых x и y.

Вариант 6
(факультет почтоведения)

1. Поле разделено на три участка. За день были вспаханы поливина первого участка и 3/4 второго участка, а третий участок, который составляет четвертую часть всего поля, был вспахан полностью. Вслаханная за день площадь поля в два раза больше площади второго участка. Какую часть площади площадь составляет площадь, Вслаханная за день?
2. Решите уравнение
   $$\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \cos 2x = 1.$$
3. Найдите действительные x и y, удовлетворяющие системе уравнения
   $$\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 1 = 3, \\ 4x + 4y = 32. \end{array} \right.$$
4. В треугольнике ABC bisсектриса угла ABC пересекает сторону AC в точке K. Известно, что |BC| = 2, |KC| = 1, |BK| = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Найдите площадь треугольника ABC.
5. Найдите все значения α, которые удовлетворяют условию 2 < α < 5 и при которых уравнение
   $$\log_2(3 - |\sin \alpha|) = \cos \left(\pi x - \frac{\pi}{6}\right)$$
   относительно x имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 2 ≤ x ≤ 3.

Вариант 7
(географический факультет)

1. Решите уравнение
   $$\cos^2 2x - 5 \sin^2 x + 1 = 0.$$
2. Решите неравенство
   $$\log_2(\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x + 1}) + 1.$$
3. На катете AC прямогоного треугольника ABC как на диаметре построена округность, которая пересекает гипotenуzy AB в точке K. Найдите площадь треугольника CKB, если длина катета AC равна b и величины угла ABC равна β.
4. Решите систему
   $$\left\{ \begin{array}{l} 2|x^2 - 2x - 3| - \log_2 3 = 3^{-y - 4}, \\ 4|y| - |y - 1| + (y + 3)^2 \leq 8. \end{array} \right.$$
5. Каждое из ребер треугольной прямой и ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC и точка R на ребре CD взяты так, что длина отрезка AP равна $\frac{1}{2}$, длина отрезка BQ равна $\frac{1}{3}$ и длина отрезка CR равна $\frac{1}{3}$. Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S. Найдите величины угла между прямыми SP и SQ.

55

Вариант 8
(отделение геофизики геологического факультета)

1. Найдите все действительные решения уравнения
   $$(x+1)\sqrt{16x+17}=(x+1)(8x-23).$$

2. В треугольнике $ABC$ угол $BAC$ — прямой, длины сторона $AB$ и $BC$ равны, соответственно, 1 и 2. Биссертиса угла $ABC$ пересекает сторону $AC$ в точке $L$, $G$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Что больше — длина $BL$ или длина $BG$?

3. Решите неравенство
   $$\log_{\sin \frac{\pi}{3}}(x^2-3x+2) \geq 2.$$

4. Найдите все пары действительных чисел $x$ и $y$, удовлетворяющие системе уравнений
   $$\begin{cases} 3\sin 3x+\cos y=-4, \\ x+y=\frac{3\pi}{2}. \end{cases}$$

5. Согласно расписанию, катер проходит по реке, скорость текения которого 5 km/ч, путь из $A$ в $D$ длиной 15 km за 1 час. При этом, выходя из пункта $A$ в 12 часов, он прибивает в пункты $B$ и $C$, отстоящие от $A$ на расстояние 11 км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и в 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигаллся из $A$ в $D$ без остановок с постоянной скоростью $v$ (относительно воды), то сумма абсцилных величины отклонений от расписания прибиты в пункты $B$, $C$, $D$ не превышает бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью $v$ в стояней воды. Какой из пунктов — $A$ или $D$ — находится выше по течение?

6. В основании парамиды $SABC$ лежит равноведренный треугольник $ABC$, в котором длины сторона $AB$ и $AC$ равны 1, а косинус угла $BAC$ равен $\frac{4}{5}$. Ребро $SA$ перpendикулярно ребрам $AB$ и $AC$, угол $BAC$ вдвое больше угла $BSC$. Внутри парамиды находится прямой круговой цилиндр, образующая которого парамедна $BC$. Какова наиболее возможная площадь боковой поверхности такого цилиндра?

Вариант 9
(отделение общеей геологии геологического факультета)

1. Найдите все действительные решения уравнения
   $$(x+1)\sqrt{x^2+x-2}=2x+2.$$

2. В треугольнике $ABC$ угол $BAC$ — прямой, длины сторона $AB$ и $BC$ равны, соответственно, 1 и 3. Точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении 7:1, считая от точки $A$. Что больше — длина $AC$ или длина $BK$?

3. Решите неравенство
   $$\log_3(5x^2+6x+1) \leq 0.$$

4. Найдите все пары действительных чисел $x$ и $y$, удовлетворяющие системе уравнений
   $$\begin{cases} \cos 4x+\sin 2y=-2, \\ x-y=2\pi. \end{cases}$$

5. Автобус проходит путь $AE$, состоящий из участков $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ длиной 10 км, 5 км, 5 км, 6 км соответственно. При этом, согласно расписанию, выездная из пункта $A$ в 9 часов, он проходит пункт $B$ в 9 $\frac{1}{5}$ ч, пункт $C$ — в 9 $\frac{3}{8}$ ч, пункт $D$ — в 9 $\frac{2}{3}$ ч.

С какой постоянной скоростью $v$ должен двигаться автобус, чтобы сумма абсцилных величины отклонений от расписания прибиты в пункты $B$, $C$, $D$ не превышает бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью $v$ в стояней воды. Что расстояние от центра нижнего основания до ребра $BC$ составляет 11 $\frac{1}{16}$ длины медианы $AM$ треугольника $ABC$. Найдите объем парамиды $SABC$.

Вариант 10
(специальности «экономическая книбертика» и «планирование народного хозяйства» экономического факультета)

1. Решите уравнение
   $$x^2+11+\sqrt{x^2+11}=42.$$

2. Найдите все $x$, удовлетворяющие уравнению
   $$\sqrt{4-x^2}(\sin 2\pi x-3\cos \pi x)=0.$$

3. Решите неравенство
   $$\log_3(x^2-2)<\log_3\left(\frac{3}{2}|x|-1\right).$$

4. В треугольнике $ABC$ медианы, опущенные на стороны $AC$ и $BC$, пересекаются под прямым углом. Длина стороны $AC$ равна $b$, длина стороны $BC$ равна $a$. Найдите длину стороны $AB$ треугольника $ABC$.

5. В магазине продаются красные и сине карандаши. Красный карандаш стоит 17 копеек, синий карандаш — 13 копеек. На покупку карандашей можно затратить не более 4 рублей 95 копеек. При заказке синиих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей более, чем на пять. Необходимо заключить максимальное возможное суммарное количество красных и синиих карандашей, при этом красных карандашей нужно заключить как можно меньше. Сколько красных и синой карандашей можно заключить при указанных условиях?

6. Для каждой неотрицательного значения $a$ решите неравенство
   $$a^3x^4+6a^2x^2-x+9a+3 \geq 0.$$

Вариант 11
(специальность «политическая экономия» экономического факультета)

1. Решите уравнение
   $$2^{x+2}\cdot 5^{x+2}=2^{3x}\cdot 5^{3x}.$$

2. Найдите все $x$, удовлетворяющие уравнению
   $$\lg 3x=\lg 5x.$$