Квант 1984, №3 · Страницы

ISSN 0130-2221
3
1984

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Так выглядиит картина
электрического поля диолля,
выполняная с помощью ЭВМ.
Справа показана система
силовых линии и линии
равного потенциала
в одной из плоскостей,
проходящих через диолль.
В центре изображена
вспомогательная поверхность,
построенная таким образом,
что аппликаты
(вертикальные координаты)
ее точек соответствуют
значением потенциала
в точках
указанной выше плоскости.

Неколько подробнее
о графическом изображении
электрических полей
можно пройти
в разделе
«Спращивайте — отвечаем».

Выдающемуся советскому физику-теоретику, лауреату Ленинской и Государственных премий СССР, трижды Герою Социального Труда академик Я.Б.Зельдович. 8 марта 1984 года исполнили 70 лет. Журнал “Квант” поздравляет Якова Борисовича с этим юбилеем. Нашим читателем мы предложаем в этом номере статью Я.Б.Зельдовича, посвященную современной космологии.

Вселенная

Академик
Я.Б.ЗЕЛЬДОВИЧ

4

скопления галактики состоит из сотен миллиардов звезд. Звезды же состоит из горячего газа, образованного atomными ядрами и электронами. Небольшая часть газа находится в пространстве между звездами. Если взять достаточно большой объем во Вселенной и поделить общее количество вещества в нем на объем, то получим среднюю плотность. Средняя плотность вещества во Вселенной заключита между $10^{-30}$ и $10^{-31}$ г/cm$^3$. Большой объем надо было взять для того, чтобы случай не попасть на область, где вещества намного больше или меньше, чем в среднем.

Атомные ядра состоит, как мы знаем, из протонов и нейтронов (в свою очередь протоны и нейтроны состоит из кварков, но это сейчас для нас не существует). Средняя большие всего во Вселенной свободных протонов, то есть ядер водорода. Их примерно 70 % от общего числа нуклонов (протонов и нейтронов). Около 15 % протонов связаны в других ядрах, главным образом в ядрах гелия. И наконец, ~15 % составляют нейтроны, также связанные в ядрах. Всero гелия во Вселенной приблизительно 25—28 %. На ядра тяжелых элементов остаются всего лишь около 2 % нуклонов.

Плотность электронов (число штук в 1 cm$^3$) равна плотности протонов, так что электрические заряды их уравновешивают друг друга. В среднем Вселенная электронетральна. Протоны и нейтроны имеют приблизительно одинаковую массу $1,67 \cdot 10^{-24}$ г, масса электронна намного меньше, она равна $9,1 \times 10^{-28}$ г. Понятно теперь, что среднее (для больших объемов!) число нейтронов и протонов в 1 cm$^3$ можно оценить, поделив $(10^{-30} \div 10^{-31})$ г/cm$^3$ на $1,67 \cdot 10^{-24}$ г. Оказывается, что в 1 cm$^3$ во Вселенной в среднем $6 \cdot (10^{-7} \div 10^{-8})$ нуклонов. Другими словами, один нуклон (протон или нейтрон) приходит в среднем на несколько кубических метров!

Подчерким еще раз, что внутри тех больших объемов, о которых мы говорили, вещество распределено крайне неравномерно. Например, в центре нашего Солнца плотность около 100 г/cm$^3$, в $(10^{32} \div 10^{33})$ раз большие средней. Существуют и горизонтые плотные звезды, плотность в центральных области нейтронных звезд ~10$^{14}$ г/cm$^3$. И в то же время между галактиками плотность вещества меньше средней.

3. Вселенная заполнена perвичным радионзеленением с длинами волн от 1 метра до 1 миллиметра. Это излучение называют еще реликтовым, потому что оно сохранилось от самых первых стадий эволюции Вселенной. Ohno не связывано с какими-либо источниками, например, со звездами или с радиогалактиками.

Читатели «Кванта» знают, что излучение можно рассматривать как поток частиц — квантов электромагнитного поля, иначе их называют фотонами. Поэтому можно не только говорить о потоке и плотности энергии излучения, но и подсчитать число фотонов, находяшихся в данной моменте в единице объема.

Оказывается, что это число влико — 500 фотонов в 1 cm$^3$. Средняя энергия фотона $1,6 \cdot 10^{-15}$ эргг = $1,6 \cdot 10^{-22}$ Дж. Общая энергия всех фотонов в единице объема около $8 \cdot 10^{-13}$ эргг/cm$^3$ = $8 \times 10^{-14}$ Дж/m$^3$. Для сравнения со средней плотностью вещества во Вселенной выражим энергию фотонов через массу. Воспользуемся для этого формулой Эйнштейна $E = mc^2$. Тогда соответствующая «фотонная плотность массы» равна $8 \cdot 10^{-13}$ эргг/cm$^3$ : $(3 \cdot 10^{10} \text{ cm/c})^2 \approx 8 \cdot 10^{-34} \text{ г/cm}^3$.

Итак, по порядку величины «фотонная плотность массы» $10^{-33} \text{ г/cm}^3$).

Вырисовывается любопытная картина: по числу штук фотонов города более большие, чем протонов, нейтронов и электронов. Если же всецо подсчитет плотности, то есть массы в единице объема, то протоны и нейтроны в 100 или 1000 раз превозходят фотоны (излучение).

Хочется сравнить ситуацию со слонами в лесу, где есть также муравы: число слонов меньше числа муравы, но они тяжелее, и общая масса слонов больше массы всех муравы. Однако это сравнение неочное. Фотоны не муравы, они не сидят в муравейниках, они со скоростью света легают во всех направлениях и игнорize не coinciare в кучи или стан — именно потому, что они «легкие»; про-

*) Говоря о массе фотона, мы имеем здесь в виду определенное формулой Эйнштейна соответствие массы и энергии; напомним, что масса покоя фотона равна нулю. Энергия фотона $E$, его импульс $p$ и масса и связанные формулы: $e = mc^2 = cp$. Буквами $E$ и $m$ мы обозначаем в тексте соответственное суммарную энергию массу всех фотонов в 1 cm$^3$.

5

тоны и нейтроны — «тяжелые», поэтому ссылая тяготения собирают их в плотные кучи — планеты, звезды, галактики.

Подсчет числа реликтовых фотонов совершается с помощью радиотелекторов. Технически это довольно трудная задача, так как на Земле есть много фотонов местного, земного и солнечного присходения. Предодолев все эти трудности, радиоастроны измерили общий поток фотонов реликтового излучения. Он оказался равным 1,3 · 10^12 (cm² · с · стер)⁻¹. Отсюда и была вычислена указана выше концентрация реликтовых фотонов во Вселенной.

Есть основания считать, что кроме фотонов Вселенную пронизывают и другие частицы, в частности, нейтрино и антинейтрино разных сортов. Если масса покоя нейтрино равна нулю, то их вклад в суммарную плотность примерно равен вкладу в плотность от излучения. Однако даже очень малая масса покоя одного из видов нейтрино (в 25 000 раз меньше массы покоя электрона) радиkalно изменила бы наш представления о средней плотности вещества во Вселенной.

Современная физика уже вполне охотно приписывает нейтрино малую массу покоя, хотя и не дает определению числа. В свою очередь астрономыриводят доводы в ползу того, что масса галактик и скопленый галактик больше массы содержащого в них общного вещества. Предполагается, что существует еще какая-то «скрытая» масса, которая обнаруживает только по той seule тяготения, которую она создает.

4. Вселенная не остается все время в одном и том же состоянии — она эвольционирует. Об этом можно судить, измеря скорость движения галактик галактик. Наблюдения показывают, что даже галактики удаляются от нас со скоростью $u$, пропорциональной расстоянию $r$ до них. Формула $\vec{u} = Hr$ выражает значенный закон Хаббла. Козффициент пропорциональнойности $H$ называется постоянной Хаббла и приблизительно равен 50 (км/c)/Мпс. Отметим здесь же, что называние «постоянная» указывает в этом случае только на независимость $H$ от величины и направления вектора $\vec{r}$. В то же время $H$ зависит от времени.

Для того чтобы установить этот закон, нужно было научиться определить скорости движения галактик и расстояния, на которых они находятся.

Приципп определения скорости таков. Излучение галактик содержит спектр-

ральные линия, принадлежие определенным химическим элементам (вспомните, например, «желтую линю» натрия, которое вы видите, когда поваренная соль NaCl попадает в пламя газовой горрелки). Законы физики веде одинаковы. Длина волны определяемой линии в момент излучения — $\lambda_{изл}$ одинаковая на Земле и в любой самой далекой галактике. Если источник удаляется, то согласно эффициру Доплера покояшийся наблюдается будет принять излучение, смешенное к красному концу спектра, другими словами,лина волны для наблюдается $\lambda_{набл}$ уvelчится. Относительная величина смещения в космологии обозначается буквой $z$ и определяется формулой

$$z = \frac{\lambda_{набл} - \lambda_{изл}}{\lambda_{изл}}.$$

Для случая, когда скорость $u$ много меньше скорости света $c$, $z \approx u/c$. В случае же, когда скорость $u$ приближается к $c$, формула, связывающая $u$ и $z$, становится более сложной, но нам она не потребуется.

Понято поэтому, что изменящее спектральных линии в спектрах небесных тел и галактик, можно вычислить их скорость удаления (так называют компоненту скорости, направленную вдоль «луча зреня»))⁺).

Эффект Доплера дает возможность не только изменять скорость удалениях от нас галактики, но «работает» и на автоматных дорогах. Автонспекторы вооружены специальным прибором — «пистолетом», измеряющим скорость приближющихся или удаляющихся автоматии. В отличие от космических объектов, автоматически сами не излучают, а лишь отражают электромагнитный импульс, испускаемый «пистолетом». Подумайте, как это влияет на величины эффициента Доплера?

А как же определить расстояния до галактики? Эта задача — одна из самых важных и самых трудных в космологии.

Говорят, что нужно иметь «стандартный метр» или «стандартную свечу». Это означает следующее.

Если есть далекий объект с известным размером $d$ («метр»; не надо, конечно, отслеживать его с единицей длины в системе СИ) и если можно изменить угол $\theta$, под которым этот объект виден, то $d = r\theta$, а значит, $r = d/\theta$.

Представим себе другую возможность. Будем считать, что известна светимость удаленного объекта («свеча»). Пусть этот объект испускает $L$ единиц энергии в секунду; тогда поток

⁺) Об эффиците Доплера см. статью Я. Смородинского и А. Урнова — «Квант», № 8, 1980, c. 12—17

6

энергии от такого источника, падающий на единицу поверхности земного приемника
$$F = L / (4\pi r^2),$$
откуда $r = \sqrt{L / 4\pi F}$.

Астрономы, изучая и классифицируя сравнительно близкие к нам объекты, нашли среди них такие, светимость и размеры которых хотя бы приблизительно известны. Это позволило найти расстояния до аналогичных объектов, нахождение далего.

Сопоставляя расстояния со смесиями спектральных линей, астрономы установили закон Хаббла и нашли постоянную $H$.

С другой стороны, когда постоянная Хаббла $H$ уже известна, изменение расстояний может быть сведено к определенному скорости $u$ (или смесиния $z$).

Разумеется, у нас нет никаких оснований думать, что мы занимаем какое-то выделенное положение во Вселенной. Естественно поэтому, что наблюдаемый в любой другой галактике тоже увидит картину убегаюших удаленных от него галактик. Относительная скорость любых двух галактик пропорциональна расстоянию между ними. Именно это утверждение следует из закона Хаббла (проверьте!).

5. Большой взрыв. Процесс разбегания галактик заключится в увеличении со временем расстояний между ними. Можно задать вопрос — когда это движение началось?

Определить момент, когда все галактики находились «в одном и том же месте» («в точке»), совсем просто, если предположить, что скорость $u$ удаления от нас каждой галактики остается постоянной с течение времени. Достаточно для этого разделить середина расстояние $r$ на скорость $u$. Получим:

$$t = \frac{r}{u} = \frac{r}{Hr} = \frac{1}{H} = 20 \text{ млд лет.}$$

Предположение о постоянстве $u$ не противоречит закону Хаббла: хотя расстояние $r$ увеличивается со временем, $H$, как уже упоминалось выше, тоже зависит от времени.

Более аккуратные расчудения показывают, что скорость удаления каждой галактики к тому же уменьшается с течение времени. Причина этого в том, что галактикам приходится предполагать силы тяготения, действующие на них со стороны остальных галактик. Это приводит к тому, что в действительности время, произведее с начала расширения (возраст Вселенной), оказывается ближе к $t_0 = \frac{2}{3} \frac{1}{H} \approx 13$ млд лет. (Вычисляя возраст, мы подставляем в формулы середняяшее значение постоянной Хаббла $H$, равше величины этой постоянной была больше.)

Итак, твордо установлено, что около 13 миллиардов лет тому назад произошел Большой взрыв. Более того, прослежена последовательность событий, начинающих с расширения очень плотного вещества. Это вещество было и очень горячим, поэтому приято говорить о теории «горячей» Вселенной. Расширение сопровождается не только уменьшением плотности, но и поняением температуры. На основе известных нам законов физики можно наделено проследить, какие процессы происходит во Вселенной начинается с того момента, когда температура вещества составляет около $10^{13}$ градусов, плотность $10^{33}$ г/cм$^3$, давление $10^{54}$ дин/cm$^2 = 10^{53}$ H/m$^2 \approx 10^{48}$ атм. При этих условиях вещество представлено собой «супп» из всевозможных частиц и античастиц. «Тяжелые» частицы и античастицы в основном ангигилируют, «выживают» кванты электромагнитногоизлучения (фотоны) и нейтрино. Количество вещества в «супп» не намного превышает количество антишества. Поэтому выживает и небольшое (по сравнению с фотонами и нейтрино) количество протонов, нейтронов и электронов. Выжившие нейтроны с частию протонов соединяются в ядра геля. Гораздо позже (через 300 000 лет) протоны и ядра геля соединяются с электронами, превращаются в нейтральные atoms. Расчетное количество образующего геля хорошо совпадает с тем, которое наблюдается. Это укрепляет нашу уверенность в правильности теории горячего Вселенной.

Общешее расширение между тем продолжается. Фотоны остаются равномерно распределеными в пространстве и до настоящего времени. Они-то и образуют уже упоминавшийся выше космический фон радионзлучения — реликтовое излучение.

Атомы же, нарушу с общим расширением, образуют местные «сгущения» — звезды, квазары, галактики, скопления галактик. Тяжелые элементырождаются позже — в процесах ядерного горения в звездах. При взрывах звезд они выбрасывают и начинают свое путешествие внутри галактики, часть их попадает в звезды второго

7

Для циллстрации закона Хаббла на рисунке a) показано распределение скоростей убедающих галактик с точки зреня наблюдаателя, находящемся в нашей Галактике (0). На рисунке b) приведено распределение скоростей тех же галактик, но с точки зреня наблюдаателя, находящее в законах.

поколения (Солнце!) и в планеты (Земля!). Общее число атомов тяжелых элементов, однako, невелико (см. выше).

Такова история эволюции Вселенной в самом кратком очерке. Уверенность в том, что эта картина эволюции в целом правильна, не исключает необходимости дальнейшей трудной работы, в ходе которого возникны и открыты и ошибки.

Необходимо, например, подробно исследовать последнюю стадию, связанную с образованением отдельных небесных тел и галактик и с их расположением в пространстве. Один из центральных вопросов космологии — это вопрос о том, какова сегодияя структура Вселенной и как эта структура образовалась. Сюда же относится вопрос о проискждении скопления и сверхскопления галактик. Ответы на эти вопросы зависит от начальной малой неоднородности плотности, которое потом тяготение усиливало.

Усиление неоднородности плотности проявляется в случае газообразного вещества. В трехмерном пространстве «газовое облако» могло бы скиматься в каждой из трех взаимно перpendикулярных направлений. Однако одновременное сcilное скатие вдоль двух или трех осей — явление нехарактерное. Как правило, скатие каждой «облака» проискодит в одном выделенном направлении. Такой процесс к образованению тонких слоев, их называют «блинами». Плотность вещества внутри этих слоев увеличивается по мере их скатия. При наличии новых порций газа на уже образованшие «блины» они разогревают и разрастворятся в направлении своей плоскости. На более поздних стадиях «блины» начинают пересекаться. В результате формируется сложная ячеистая структура, наполняющая пчелные соты. В этой структуре слои скатого газа окружены облактами, где газа практически нет. Размеры отдельных ячеек достигают сотни мегаларсков, а их «стенки» образуют сcilно уплошенными сверхскоплениями. Именно в «блинах» проискодитрождеение отдельных звезд, галактики и их скоплений.

Образование структуры описывается уравнением, определяющим положение части вещества в произвольный момент времени t. Если задаваться положение части в неоднород системе отсутства вектором $\vec{X}$, то уравнение имеет вид:

$$\vec{X} = t^{2/3}\vec{x} + t^{4/3}\vec{v}(\vec{x}).$$

Здесь $\vec{x}$ — вектор, определяющий начальное положение части (при $t=0$). Первое слагаемое в правой части этого уравнения описывает общее распределение Вселенной. Функция $\vec{v}(\vec{x})$ задает начальное возникние для частицы, которой соответствуют вектор $\vec{x}$, а второе слагаемое в целом характеризует рост возникшей со временем.

Векторы $\vec{x}$ и $\vec{v}(\vec{x})$ таковы, что размерности обиха слагаемых в правой части уравнения совпадает с размерностью вектора $\vec{X}$ (понятно, что

9

По моим приближенным расчетам, вы, мои читатели в 4 — 5 раз моложе меня. На языке космологии вы находимесь «на другой стадии эволюции». Поэтому позвольте дать вам несколько советов.

1. Учитесь постановке задач. Учитесь этому всегда и всегда. Почти любое явление в жизни, в природе, в быту может быть источником «задач», источником размышления.

Падение капли воды, ожидание автобуса, попет палки, мелkbание двух оград, цвет пленки масла на воде…
Еще Козьма Прутков сказал: «Бросая в воду камшки, смотри на круги, ими образуемые; иначе такое бросание будет пусто забаво».
Экзамены и олимпиды нацелены на решение задач, которые перед вами ставят другие. Открытия — большие или маленькие — это, как правило, постановка задач.

2. Физика неотделима от математики. Только на языке математики можно формулировать законы физики. Мой взгляд на то, как учить высшую математку, изложен в предисловии к моей книге «ВЫСШАЯ MATEMATICA ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ». Недавно вышла книга И. М. Яглома и моя с близким названем, более толстая, скорее нацеленная на педагога, а не на учащегося. В этих книгах дано много конкретных примеров задач, доступных школьникам *).

3. Занимайте самообразование. Ищите задачи и решайте их — в одиночку, а еще лучше вдвоем. Если Ваш партнер сильнее Вас, он Вас многоу научит. Если Ваш партнер слабее, то ведя его за собой, обучая его, Вы лучше и глубже поимете вопросами.

4. Чередайте приобретение знаний и приложение знаний к решению интересующих Вас вопросов. Более того, пробуйте учению придать характер открытия, научной работы. Можно взять глаза учебника и подробно, шаг за шагом, страницу за страницей, формулу за формулой добавовестно прочесть, понять и разобраться в материале. Но можно поступить иначе: бегло проглядеть глаза, понять — хотя бы очень приближительно — о чем идет речь, какие задачи

*) Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике, 5-е изд. М.: Наука, 1970; Зельдович Я. Б., Яглом И. М. Высшая математика для начинающих физков и техников. М.: Наука, 1982.

ставятся и решаются в данной главе. Потом отключить учебник и попытаться самому придумать решение или восстановить ход доказательства. Помучившись несколько дней, возьмите учебник и посмотрит уже внимательно — правлен ли был тот подход, который Вы нашли сами, или — в другом случае — как в учебнике предолены те трудности, с которых Вы столкнулись, но не справились.

Время, затраченное на понски пути, не потеряно. Если Вы придумаете сами что-то, наук уже известное, Вы будете это знать лучше, чем если бы то же самое узнали пассивно. Пройдут годы — и Вы будете открывать новое так, как сейчас Вы открывает для себя то, что уже известно. Но даже если Вы и не нашли ответ, все равно Вы лучше поняли трудности вопроса, лучше оценили то, что написано в учебнике.

Будущий физик (или вообще ученый) уже в школьные годы не должен ограничивать классными занятиями, стандартной программиой и стабильными учебниками.

Я пишу обо всем этом, вспоминая свои школьные годы, не простые, но вodoxновляющие.

Учитесь творить! И всем тем, кто становится на этот трудный путь, я от всей души желаю успеха.

Что читать о Вселенной и космологии:

1. Зельдович Я. Б. Современная космология. Природа, 1983, № 9.
2. Силк Дж. Большой взрыв. М.: Мир, 1982.
3. Вайнберг С. Первые три минуты. Современный взгляд на проискождение Вселенной. М.: Энергондат, 1981.
4. Климшин И. А. Рочтявская астрономия. М.: Наука, 1983.
5. Гуревич Л. Э., Чернин А. Д. Проискождение галактики и звезд. М.: Наука, 1983.
6. Долгов А. Д., Зельдович Я. Б. Вещесто и антивещество во Вселенной. Природа, 1982, № 8.
7. Энциклопедический словарь юного астронома. М.: Педагогика, 1980.
8. Физика космоса. Маленькая энциклопедия. М.: Сов. энциклопедия, 1976.
9. Зельдович Я. Б. Почему расширяется Вселенная. Природа, 1984, № 2.

Кубическая парабола
Академик Л. С. ПОНТРЯГИН

Для понимания этой статьи нужно уметить вычислять производуную многочлен и знать теорему о том, что если функция $f(x)$, заданная на отрезке $a_1 \leq x \leq a_2$, имеет положительное производу на интервале $a_1 < x < a_2$, при этом быть может имеет производуную равную нулю в концах отрезка, то она возвращает на всем отрезке $a_1 \leq x \leq a_2^*$).

Так что для двух точек $x_1, x_2$, удовлетворяющих условию

$$a_1 \leq x_1 < x_2 \leq a_2$$

(1)

имеет место неравенство

$$f(x_1) < f(x_2).$$

(2)

Аналогическая теорема имеет место так:

*) «Алгебра и начала анализа 9—10», п. 25.

Же и для убывания функции в случае отрицательной производной.

Кроме того нужно знать, что такое вторая и третья производы функции $f(x)$. Вторая производана $f''(x)$ есть производаная от производной функции $f(x)$, то есть задается формулой

$$f''(x) = \left(f'(x)\right)'.$$

(3)

Третья производана $f'''(x)$ функция $f(x)$ есть производаная от второй производной, то есть задается формулой

$$f'''(x) = \left(f''(x)\right)'.$$

(4)

Стайя посвящена изучению графика функции

$$y = g(x) = x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3.$$

(5)

Этот график называется кубической параболой.

Рассмотрим прежде всего кубическую парабoly частного вида

$$y = f(x) = x^3 - px,$$

(6)

где $p$ — постоянная. Гraphik этой функции (рис. 1) обозначает через $L$.

Отметим прежде всего совершенное специальные, но очень заметные свойства кубической параболы (6). Кубическая парабола центрально симметрина относительно начала координат. В самом деле, если точка $(x, y)$ принадлежит кубической параболе, то есть величины $x$ и $y$ удовлетворяют уравне-

11

(6), то точка $(-x, -y)$ также удовлетворяет этому уравнению. Именно, имеем
$$(-y) = (-x)^3 - p(-x).$$
(7)
Таким образом, наряду с точкой $(x, y)$ к линии $L$ принадлежит и симметричная к ней относительно начала координат точка $(-x, -y)$.
Найдем, далее, точки пересечения линия $L$ с осью абсцисс, то есть корни уравнения
$$x^3 - px = 0.$$ (8)
Уравнение это имеет три корня
$$x = 0, x = \pm \sqrt{p}.$$ (9)
Последение два корня при $p < 0$ минимы и потому не имеют общного геометрического смысла. При $p > 0$ все три корня (9) различны, и, следовательно, имеются три точки пересечения линия $L$ с осью абсцисс. При $p = 0$ три корня сливются в один трекратный корень $x = 0$.
Производная функция (6) задается формулой
$$f'(x) = 3x^2 - p.$$ (10)
Изучая знак этой функции при различных значениях $x$, мы можем разбит линию $L$ на участки возрастания и убывания функции $f(x)$ и найти точки максимума и минимума. Для той и другой целы нам следует найти корни уравнения
$$f'(x) = 3x^2 - p = 0.$$ (11)
При отрицательном $p$ функция $f'(x)$ (см. (10)) положительная при любом значении $x$ и, следовательно, функция $f(x)$ возрастает на всем протяжении изменения $x$: $-\infty < x < \infty$.
При $p = 0$ функция $f'(x)$ (см. (10)) положительная при всех значениях $x \neq 0$. Таким образом, она возрастает при $-\infty < x < 0, 0 < x < \infty$. А так как на первом из этих участков функция $f(x)$ отрицательна, на втором положительная, то она возрастет на всем протяжении изменения от $-\infty$ до $\infty$.
В точке $x = 0$, где $f'(x) = 0$, функция $f(x)$ также возрастает. Таким образом, при $x = 0$, где $f'(x) = 0$, функция $x^3$ не имеет ни максимума, ни минимума.
В случае положительного $p$ уравнение (11) имеет два корня
$$x_1 = -\sqrt{p/3}, x_2 = \sqrt{p/3}.$$ (12)
Следует проверить, не имеет ли функция $f(x)$ в точках $x_1$ и $x_2$ максимумов или минимумов. Те же точки $x_1$ и $x_2$ разбивают все протяжение изменения $x$ на участки:

$$-\infty < x \leq x_1, x_1 \leq x \leq x_2, x_2 \leq x < \infty.$$ (13)

На первом из этих участков функция $f'(x)$ положительная, на втором — отрицательна, на третьем — вновь положительная. Таким образом, функция $f(x)$ возрастает на первом участке, убывает на втором и возрастает на третьем.
Отсюда же видно, что точка $x_1$ есть точка максимума, а точка $x_2$ — точка минимума. Таким образом, кубическая парабола (6) имеет три существенного различные формы в зависимости от значения $p$: первая $p < 0$, вторая $p = 0$, третья $p > 0$. На рисунке 1 кубическая парабола изображена во всех трех случаях.

Рассмотрим уравнение
$$x^3 - px = c.$$ (14)
Геометрические ясно, что при $p < 0$ это уравнение имеет лишь один действительный корень. При $p = 0$ это уравнение имеет также лишь один действительный корень, за исключением случая $c = 0$, когда имеет тройной корень $x = 0$. Если $p > 0$, уравнение (14) имеет три корня при
$$f(x_2) \leq c \leq f(x_1),$$ (15)
причем в крайных положениях значения

12

ния $c$ на отрезке (15) имеет один простой и один двойной корень. Вие отрезка (15) имеет лишь один действительный корень уравнения (14).

Кубический парабола (6) всегда продолжит через начало координат. Тангенс угла наклона ее в начале координат определяется формулой

$$f'(0) = -p.$$ (16)

Таким образом, сама кубическая имеет уравнение

$$y = k(x) = -px.$$ (17)

Эта кубальная разбиает всю плоскость на две части: верхнюю, лежащую над ней, и нижнюю, лежащую под ней. Произвольная точка $(x^*, y^*)$ плоскости лежит над прямой (17), если

$$y^* > -px^*.$$ (18)

Точка $(x^*, y^*)$ лежит под прямой (17), если

$$y^* < -px^*.$$ (19)

Выясним, в какой из рассмотренных двух полупоскостей лежит точка $(x, y)$ кубический парабольы, то есть точка, удовлетворяющая уравнению (6). Для выяснения этого вопроса мы должны сравнить величины

$$x^3 - px$$ (20)

с величины

$$-px.$$ (21)

Ясно, что при $x < 0$ величина (20) меньше величины (21), а при $x > 0$ величина (20) больше величины (21). При $x < 0$ точка $(x, y)$ кубического параболя удовлетворяет условию (19), то есть лежит под касательной, а при $x > 0$ эта точка удовлетворяет условию (18), то есть лежит над касательной. Следовательно, в начале координат кубическая парабола переходит с одной стороны на другую ее сторону.

Явление перехода линии с одной стороны кубательно на другую вблизи точки касания имеет общий интерес. Займется этим явлением.

Точка перегиба. Пусть $L$ — график некоторых двух полупоскостей лежит точка $(x, y)$ кубический парабольы, то есть точка, удовлетворяющая уравнению (6). Для выяснения этого вопроса мы должны сравнить величины

$$x^3 - px$$ (20)

с величины

$$-px.$$ (21)

Ясно, что при $x < 0$ величина (20) меньше величины (21), а при $x > 0$ величина (20) больше величины (21). При $x < 0$ точка $(x, y)$ кубического параболя удовлетворяет условию (19), то есть лежит под касательной, а при $x > 0$ эта точка удовлетворяет условию (18), то есть лежит над касательной. Следовательно, в начале координат кубическая парабола переходит с одной стороны на другую вблизи точки касания. Оказывается, что для точки перегиба выполнен условие (см. (3))

$$f''(x_0) = 0.$$ (22)

Докажем это утверждение. Уравнение кубательно на другую вблизи точки касания может записать в виде

$$y = K(x) = f'(x_0) \cdot x + y_0.$$ (23)

Здесь $f'(x_0)$ есть тангенс угла наклона кубического кости абсисс, а $y_0$ — некотора константа, которая определяется уравнием

$$f(x_0) - K(x_0) = 0.$$ (24)

Это условие выражает тот факт, что кубательно в точке $a$ к линии $L$ проходит через точку $a$. Расмотрим функцию

$$h(x) = f(x) - K(x).$$ (25)

Эта функция удовлетворяет следующим двум условиям

$$h(x_0) = 0, h'(x_0) = 0.$$ (26)

Таким образом, график функции

$$y = h(x)$$ (27)

касается оси абсисс в точке $x = x_0$.

Если $a$ есть точка перегиба, то график функции $h(x)$ в точке $x_0$ переходит с одной стороны оси абсисс на другую. Докажем преждевое всего, что $h''(x_0) = 0$. Докажательство будем вести от противного. Действительно, допустим, что $h''(x_0) > 0$. Так как $h'(x_0) = 0$, то функция $h(x)$ имеет в точке $x_0$ минимум и потому при всех $x$, достаточно близких к $x_0$, имеем

$$h(x) \geq h(x_0) = 0.$$

Позному график функции $h(x)$ не переходит в точке $x_0$ с одной стороны оси абсисс на другую. Точно так же

13

разбирается случай $h''(x_0) < 0$. Тогда функция $h(x)$ имеет в точке $x_0$ максимум, и потому $h(x) \leq h(x_0) = 0$; следовательно, и при $h''(x_0) < 0$ график функции $h(x)$ не переходит с одной стороны оси абсцисс на другую в точке $x_0$.

Итак, остается одна возможность: $h''(x_0) = 0$.

Далее, мы имеем
$$0 = h''(x_0) = f''(x_0) - K''(x_0) = f''(x_0),$$
(28)

так как $K''(x) = 0$. Таким образом, формула (28) доказана.

Не следует, одноко, думать, что это равенство является достаточно условием для того, чтобы точка $x_0$ была точкой перегиба графика функции $f(x)$.

Читатель предлагается доказать, что точка $a$ действительное является точкой перегиба, если
$$f''(x_0) = 0, f'''(x_0) \neq 0,$$
(29)

так что условия (29) являются достаточно условием для того, чтобы точка $a$ была точкой перегиба.

Вернемся теперь к кубической параболе (6). Вычислим вторую произвольную функцию (6). Мы имеем
$$f''(x) = (x^3 - px)'' = 6x.$$ (30)

Мы уже установили, что начало координат является точкой перегиба кубической параболе (2). Выражение (25) для второй произвольной функции (2) показывает, что начало координат является единственной точкой перегиба кубической параболе, так как вторая произвольная (25) обращается в нуль лишь при $x = 0$.

Третья произвольная функция (6) определяется формулой (см. (4))
$$f'''(x) = 6.$$

Таким образом, в точке $x = 0$ для кубической параболе (6) выполняется функция (29), откуда в частиности вытекает, что точка $x = 0$ является точкой перегиба.

---

Зайемся теперь общей кубической параболе (5). Выясним преждевое сколько действительных корней имеет многочлен (5).

Рассмотрим уравнение (14)
$$x^3 - px = c.$$

Как уже было сказано, при $p < 0$ это уравнение имеет лишь один действительный корень. При $p = 0$ это уравнение имеет также лишь один действительный корень, за исключением случая $c = 0$, когда имеет troйной корень $x = 0$. Если $c = 0$, уравнение (14) имеет три корня при
$$f(x_2) \leq c \leq f(x_1)$$
(см. (15)), где
$$f(x_1) = \frac{2}{3}p\sqrt{\frac{p}{3}}, \quad f(x_2) = -\frac{2}{3}p\sqrt{\frac{p}{3}},$$
(см. (12)), так что неравенство (15) можно записать в виде
$$|c| \leq \frac{2}{3}p\sqrt{\frac{p}{3}},$$
(31)

причем для крайних значений $c$ из отрезка (31) имеет один простой и один двойной корень. Вне отрезка (31) уравнение (14) имеет лишь один действительный корень.

Многочлен (5) можно привести к виду
$$\eta = f(\xi) = \xi^3 - p\xi$$
(32)

заменой переменных
$$x = \xi + \alpha, \quad y = \eta + \beta.$$ (33)

Такая замена означает параллельный сдигг системы координат.

Производа подстановку (33), получим
$$\eta = \xi^3 + (3\alpha + a_1)\xi^2 + (3\alpha^2 + 2a_1\alpha + a_2)\xi + (\alpha^3 + a_1\alpha^2 + a_2\alpha + a_3) - \beta.$$ (34)

Для того чтобы многочлен (5) был приведен к виду (32), достаточно, чтобы были выполнены условия
$$3\alpha + a_1 = 0, \quad \alpha^3 + a_1\alpha^2 + a_2\alpha + a_3 - \beta = 0.$$ (35)

Из первого уравнения системы (35) имеем
$$\alpha = -\frac{a_1}{3}.$$ (36)

Подставляя это уравнение для $a$ во второе уравнение системы (35), получим
$$\beta = \frac{2a_1^3}{27} - \frac{a_1a_2}{3} + a_3.$$ (37)

Считая, что $\alpha$ и $\beta$ заданы формулами (36) и (37), мы можем переписать (34) в виде
$$\eta = f(\xi) = \xi^3 - p\xi,$$
(38)

где
$$p = \frac{a_1^2}{3} - a_2.$$ (39)

Геометрическая форма кубической параболе (5) совпадает с геометрической формулой параболе (38). Последняя же зависит от знака величины $p$ (39).

---

Выясним теперь вопрос о том, сколько корней имеет многочлен $g(x)$ (см. (5)).

14

Многочлены $g(x)$ и $f(\xi)$ связаны соотношениями
$$f(\xi) = g(x) - \beta.$$
Таким образом, число корней многочлена $g(x)$ равно числу корней многочлена $f(\xi) + \beta$ или, что то же самое, число корней уравнения $f(\xi) = -\beta$. Но это число нам уже известно (см. (14)).
Следовательно, при $p < 0$ (см. (38)) многочлен $g(x)$ имеет один действительный корень, при $p = 0$ многочлен $g(x)$ также имеет один действительный корень, за исключением случая, когда величины $\beta$ (см. (37)) равна нулю.
Рассмотрим случай $p > 0$. Если величины $\beta$ (см. (37)) удовлетворяет условияю
$$|\beta| \leq \frac{2}{3\sqrt{3}} p^{3/2} \tag{40}$$
(см. (31)), то многочлен $g(x)$ имеет три действительных корня, причем на концах отрезка (40) два корня сливются в один. Подставляя в (40) величины $\beta$ и $p$ из соответствий (37) и (39) и возвода полученное соответствие в квадрат, получим условия
$$\left( \frac{2a_1^3}{27} - \frac{a_1a_2}{3} + a_3 \right)^2 \leq \frac{4}{27} \left( \frac{a_1^2}{3} - a_2 \right)^3. \tag{41}$$

Полученное условие является полным критерiem начиная трех действительных корней многочлена $g(x)$, так как при его выполнения исключается случай $p < 0$. Ведь первый неравенства (41) при $p < 0$ отрицательна, в то время как левая часть, будучи квадратом, не может быть отрицательной.

---

Укажем теперь путь изучения графика многочлена четвертой степени
$$y = h(x) = x^4 + b_1x^3 + b_2x^2 + b_3x + b_4.$$
Для выяснения его поведения следует изучить поведение многочлена
$$h'(x) = 4x^3 + 3b_1x^2 + 2b_2x + b_3.$$
Этот многочлен уже имеет степень 3 и вопрос о том, сколько у него действительных корней, нами уже решен.
Так как многочлен $h(x)$ неограниченно возрастает, оставаясь положительным, когда $x \rightarrow +\infty$ и $x \rightarrow -\infty^*$), то в случае, если многочлен $h'(x)$ имеет лишь один действительный корень, многочлен $h(x)$ имеет лишь один минимум. Если же многочлен $h'(x)$ имеет три различных действительных корня, то многочлен $h(x)$ имеет два минимума и один максимум. Вид графика функции $h(x)$ в этих двух случаях dan на рисунке 3, а, б, а в случае, когда два действительных корня сливются в один, график имеет вид, показанный на рисунке 3, в.

---

В заключение приведу формулу Карданов (1501—1576) для решения кубического уравнения (14), то есть уравнения
$$x^3 - px = c. \tag{42}$$

После того, как решение будет получено, мы сможем заменить $p$ и $c$ в соответствии с формулими (37) и (39). Таким образом, мы можем получить формулу для нахождения всех корней многочлена (5).

Для решения уравнения (42) произвольные замена переменного на сумму двух новых неизвестных $u$ и $v$, то есть
$$x = u + v. \tag{43}$$

Новые неизвестные $u$ и $v$ мы свяжем некоторым дополнительным соответствием. Подставляя $x = u + v$ в уравнение (42), получим
$$u^3 + v^3 + (3uv - p)(u + v) = c. \tag{44}$$

(Окончание см. на с. 32)

*) To есть когда $x$ неограниченно возрастает по модулю, оставаясь положительным ($x \rightarrow +\infty$) и оставаясь отрицательным ($x \rightarrow -\infty$). (Прим. ред.)

15

Из предыстории радио
(к 125-летию со дня рождения А. С. Попова)

Член-корреспондент АН СССР
С. М. РЫТОВ

Как возникло изобретение, почему оно возникло именно в конце прошло века, каким образом сооружение, построенное изобретателями, выросло в столб цширное и великолегное здание,— все это становится по-настоящему понятным только если учесть, что пionеры радио могли строить на широком и солидном фундаменте, возведение которого было заверщено за несколько лет до самого изобретения.

Академик Л. И. Мандельштам

Радио — одна из основных современной цивилизации, определяющая ее облик. Не только в пределах Земли, но и в международных масштабах, в космических и даже в космологических проблемах радиоволны является теперь как средством обещения, так и средством познания.

Если сопоставить современное значение радио с его скромным началом, то может показаться, что весь путь развития радио — как идейный, так и практический — исчерпывает нашим веком. Но это ошибное представление. Как писал выдающаяся советский радиофизик и радиотехник академик Л. И. Мандельштам, «изобретение радио, равно как и его развитие, сделалось возможным только благодаря тому перевороту в представлениях об электронических явлениях, который связан с именами Фарадей, Максвелла и Герца. История развития этих представлений есть, по существу, предыстория радио».

В 1831 году Фарадей открыл явление электромагнитной индукции — возникновение электрического поля при всяком изменении магнитного поля. В 1833 году он открывает законы электролиза; в 1837 — обнаруживает влияние среды на емкость конденсатора; с 1845 года следует ряд дальнейших блестиших открытий, в том числе — открытие врашшения плоскости поляризации света в магнитном поле, открытие диамагнетизма и параметгнетизма. Во всей своей титанческой экспериментальной работе Фарадей опирался на идею о сильных линях, на представление о роли среды в электромагнитных явлениях, на концепцию близкодействия от точки к точке в противовес ньютоновским представлениям мгновенного дальнейства. Несмотря на распливчатость своих представлений о природе электромагнитизма, несмотря на непонятие и описание его концепций, Фарадей щел своим непропотенным путем, и этот путь его от одного открытия к другому. А ведь в числе стороны данных естествы были такие блестишие физики, как Ампер, Вебер, Кирхгоф, В. Томсон. Единственным, кто глубоко проникся идеями Фарадей и кто поставил перед собой задачу разъяснить и уточнить эти идеи,

16

был Джеймс Клерк Максвелл. В предисловии к написанному им позднее «Трактату по электричеству и магнетизму» он так и пишет: «Главным образом в надежде сделать его [Фарадей — С. Р.] иден основой математической теории, я и предприял написание этого трактата».

Но, предследуя эту цель, сам Максвелл сделал величайшее открытие, новое не только по содержанию, но и по методу: открытие пришло не из эксперимента, а из математического обобщения теории. Он предсказал явление, обратное тому, которое открыл Фарадей, — возникновение магнитного поля при всяком изменении электрического поля. Тем самым была создана нивенняя макросоппечка электродинамика, которая математически выражена уравнением Максвелла, в физике охватывает гигантский круг электромагнитных явлений, а исторически означает победу фарадевского близкодейства, рождения в физике понятия поля.

Чрезвычайно важным выводом, вытекашим из теории Максвелла, было следующее: должны существовать электромагнитные поперечные волны, скорость распространения которых конечна и определяется произведением электрической и магнитной постоянных

$$c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$$

$\varepsilon_0$ и $\mu_0$ были изменены ранее и значения величины $\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$ оказалось равным 193 088 миль/c, то есть очень близким к значению скорости света 193 118 миль/c, полученному в оптическом опите Физю. Это позволило Максвеллу уверенно выдвигать свой знаменный тезис о том, что «свет есть не что иное, как электромагнитные колбания**). Первое упоминание об этом величайшем открытии содержится в

*) См. статью «Электрическое и магнитное поля» в разделе Школа в «Кванте». (Прим. ред.)
**) «…названные числа совпадают с точностью до 30 миль/c, и что особенно удивительное — это то, что она числа ошибочных более чем на 6000 миль/c… Впрочем, при опыкковании в 1864 году своего метура «Динамчская, теория электромагнитного поля»… Максвелл указывает скорости в км/c, приема об числа ни в какой мере не находится в таком хорошем согласии, как это казалось вначале. К счастью, Максвелл, видимо, осознал, что скорость света была изменена очень неочно, и поэтому не дал обескуражить себя существенно расхождение в числах», — так говорил по поводу первых определений скорости света из теории Максвелла англійский физик Дж. Джинс.

письме Максвелла Фарадю, датированном 19 октября 1861 года.

Следует заметить, что сам Максвелл скромно считал, что электромагнитная теория света предложена Фарадем. Он прямо пишет об этом в 1864 году, ссылясь на чисто умозрительные расчудения Фарадей в его статье 1846 года «Мысли о лучевых колбании». Скромность, конечно, украшает человека, но не может уничтожить разницу обещаний словами и прямым следствием теории, следствием, поддерживающего новые явления. Однако из таких предсказаний, пожалуй, самым важным был электромагнитные волны. Ни Фарадей, ни понacular — сам Максвелл не имели в виду той прямой связи между оптикой и электромагнитнымом, которая так ярко вывилась в качестве результата теории, создавшейся первоначально только для электромагнитных явлений. Недаром Генрих Герц сказал о теории Максвелла, о его уравнениях в своей докладе «О соответствии между светом и электричеством» (Гейдельберг, 1889 год):

«Нельзя изучать эту чудесную теория без того, чтобы порою не возникало ошибки, что математическая формула присуза самоостояльная жизнь и собственный разум, что они умнее нас, умнее даже открывшего их, что они дают даже больше, чем в них было первоначально ложено».

Герц немало сделал для усвоения математического облика теории, но главное его достжение — это задуманные и проведенные им опыты, «классические на веки вечные», как сказал о них известный русский физик О. Д. Хвольсон.

По случаю столетия со дня рождения Максвелла (то есть в 1931 году) Дж. Дж. Томсон, сам выданной экспериментатор, сказал об этих опытах: «Исследования Герца являются одним из наиболее замечательных во всей истории физики триумфом экспериментального уменья, изобретательности и осторожности в выводах». И далее: «Открытие электрических волн имело не только научный интерес, хотя единственное им оно было вложенено. Подобно открытию электромагнитной индукции Фарадей, оно имело глубокое

17

влияние на цивилизацию. Оно должно в руки рабочий метод, который позволяет приблизить друг к другу обитатель земного шара на расстояние слыщимости, в чем заложены социальные, воспитательные и политические возможности, значение которых мы только начинаяем понимать».

Именно эти волны породили радно. Ведь радно и есть не что иное, как использование электромагнитных волн для связи возникла у многих сразу же всед за опытами Герца. Интересно поэтому, что думал по данному поводу сам Герц.

В 1889 году к Герцу образили инженер Губер из Мюнхена с вопросом, нельзя ли открыть Герцем волны использовать для беспроводного телефонна. Полученное от Герца ответное письмо Губер в 1897 году (то есть через 3 года после смерти Герца) переслал в немецкий электротехнический журнал, где оно было направано без комментиров. Вот перевод этого письма.

«Милостивый государь! Я с удовлетворением ответаю на Ваше любезное письмо от 1 декабря. Силовые магнитные линии распространяются подобно лучам, так же как и силовые электрические линии, только тогда, когда их колебания достаточно быстры; в этом случае оба вида силовых линей неотделимы друг от друга, и лучи или волны, о которых идет речь в моих исследованиях, могут быть с одинаковым правом названны как магнитными, так и электрическими. Но колебания в трансформаторе или телефонне намного более медленны. Предположим, что у нас 1000 колебаний в секунду, что уже представляется довольно высоким числом колебаний; этом соответствовала бы в эфире волна длиной 300 км; фокусные расстояния применяемых зеркал должны быть имеет размеры того же порядка. Если бы Вы были в состоянии построить волнуные зеркала размером с материк, то Вы могли бы отлично поставить опыты, которые Вы имеете в виду. Но с общными зеркаlamми практические ничего сделать нельзя, и Вы не сможете обнаружить ни маленьго действия. Так, по крайней мере, я думаю.

С совершенным уважением, преданный Вам Г. Герц.»

Мы тоже не будем комментаровать это письмо. Далее генеральному человеку трудно заглянуть на десяти лет вперед и угадать пути решения технической задачи, в данном случае — радиотелефонии.

Предложения использовать электромагнитные волны для связи были, конечно, лишь пожеланиями. Над было показать, как это осуществить.

Именно это и сделал Алексадр Степанович Попов своим великим изобретением.

Что же именно сыграло основную роль в изобретении Попова? Ведь, казалось бы, все элементы его приборов уже были известны.

Было известно, что искровой разряд, будь то разрядлейденской банки, электрофорной машины, индукционной катушки или грозовой разряд, представляет собой затухающие электрические колебания. Тем самым, было известно, как создавать электрические колебания высокой частоты.

После опитов Герца стало известно, что такие колебания порождают в окружающей пространстве электромагнитные волны. Вопрос о повышении мощности разряда, конечно, не воспринался как нечто принципиальное, а представлялся чисто техническим.

Таким образом, центральной задачей было создание чувствительного приемника. Маленькая искорка в приемном вибраторе, который пользовался в своих опитах Герц, конечно, не могла служить практическим способом приемника.

За пять лет до изобретения Попова появился прибор, называемый когерером. Это трубка с двумя электродами, между которых находятся металлические опилки. Под действием высококачественного поля сопротивление опилок меняется от сотен тысяч до десятиков и даже единиц omов. Это происходит в результате «спекания» опилок (из-за микросоппических искр в точках их соприкосовения) при прихождения электромагнитной волны. Таким образом, когерер — это превосходное решение высококачественного сигнала замкнуты целым местной батареи. Беда только в том, что при каждом сравнивании это решение: надо встречнуть опилки, чтобы когерер снова стал высокоимным и мог дать скачок (резкий спад) сопротивления при следующем сигнале. Конечно, такое устройство не является приемником, своевременного готовым к приему сигнала.

Мы подошли теперь вплотную к тому, что нового создал А. С. Попов.

18

«Добившись удовлетворительно постоянства чувствительности при употреблении трубки с платиновыми листиками и железным порошком *), я поставил себе еще и другую задачу: добиться такой комбинации, чтобы связь между опилками, вызванная электрическим колбанием, разрушалась немедленно автоматически» [выделено мной — С. Р.], — так писал Попов в своей статье «Прибор для обнаружения электрических колбаний» в яварском выпуске «Журнала Русского физико-химического общества» в 1896 году. И с этой задачей он справился быстро. Можно сказать, что в своем приемнике Попов электромеханическим путем реализовал не только усиление, но и то, что теперь мы называем обратной связи.

Свой примник Попов называл «грозотметчиком», но в описанных в статье опытах примник фиксировал не только удары молнии, но и разряды электрофорной машины, и разряды в большом герцевском вибраторе, и даже быстрызмах заряженной эбонитовой палочки. Статья заканчивается той же фразой, которой А. С. Попов закончил свой

*) Попов потратил много усилий на создание хорошего когерера. [С. Р.]

Схема и описание прибора

(из статьи А. С. Попова «Прибор для обнаружения электрических колбаний»)

«Прилагаемая схема показывает расположение частей прибора. Трубка с опилками подвешена горизонтально между зажимами M и N на леккой часовой пружине, которая для большей эластичности согнута со стороны одного зажима зигзагом. Над трубкой расположен звонок, так чтобы при своем действия он мог давать легкие удары молоточком по средине трубки, защищенной от разбивания резиновым колбом. Удобнее всего трубку и звонок укреплять на общей вертикальной дошечке. Реле может быть помещено как угодно.

Дейстуует прибор следующим образом. Ток батареи в 4—5 волт постояно циркulierет от зажима P к платиновой пластинке A, далее через порошок, содержащийся в трубке,— к другой пластинке B и по обмотке электромагнитарелle обратно к батарее. Сила этого тока недостаточная для питания якорярелle, но, если трубка AB подвергнется действию электрического колбания, то сопротивление мгновенно уменьшится и ток увеличится настолько, что якорьрелле притается. В этот момент цель, ищая от батареи к звонку, перевана в точке C. замкнется, и звонок начинает действовать, но точас же сотрудничества трубки опять уменьшsat ее проводимость и реле разомкнет цель звонка. В моем приборе сопротивление опилок после сильного доклад на Физической секции Русского физико-химического общества 7 мая 1895 года:

«В заключение могу выразить надежду, что мой прибор при дальнейшем усовершенствовании его может быть применен к передаче сигналов на расстояния при помощи быстрых электрических колбаний, как только будет найден источник таких колбаний, обладающий достаточной энергейей».

На деле первоначальный прогресс шел по линии увеличения высоты приемных антенн. Этот прогресс протекал, как известно, очень быстро, ичем дальнейшее, тем быстрее. Уже в 1897 году П. Н. Рыбкин, сотрудник Попова, перекрыл передачей расстояние в 5 км.

XX век принес одно за другим многочисленные новые принципы изобретения и усовершенствования, поток которых продолжался и нарастает по сегодняшній день. Радиотелеграф и радиотелефон, радиовещание и телевидение, радиолокация и радионавигация, радиоастроономия и радиоспектроники, радиогеодезия и служба времени плоскостей новых физических явлений, открытие которых было стимулирован практическими нуждами радиотехники. Вот что такое радио в нашей дни.

Встряхивание бывают около 100 000 ом, а реле, имея сопротивление около 250 ом, пригивает якорь при токах от 5 до 10 миллиампер (предельы регуляровки), т. е. когда сопротивление всей цепи падает ниже 1000 ом.»

20

Цвета рассеянного света

Кандидат физико-математических наук
А. А. БОРОВОЙ

Синева неба, белые, постояно меняющее свой очертания облака, краски восхода и заката всегда вызывали у людей чувство восхшения. Они питали фантазию позтов и художников, естественно, привлекали внимание ученых.

«Воздушная синева рождается от телевой плотности освещенного воздуха, находящeroся между верхимм краком и землей»,— писал еще Леонардо да Винчи. Околоста лет назад, в 1869 году, известный английский физик и популяризатор науки Дж. Тиндаль впервые поставил опыты, в которых наблюдал синий оттенок рассеянного света. Однако понадобилось еще немного услей и труда таких ученых, как Рэлей, Смолуховский, Мандельштам, Эйштейн, чтобы окончательно обьясить краски дневного и вечернего неба рассеянным света.

Знакомство с этим явлением мы начнем с простых модельных опытов, затем попытаемся качественно обьясить полученные результаты и от них «перекинить мостик» к цвету неба.

I. Для опытов необходимо прямотольный сосуд с произчными стенками, например акварным. Его длина должна составлять не менее 30 см. Кроме сосуда понадобится источник света, дающий слабо расходящийся лучок лучей. Можно воспользоваться диапроектором, поставив на место слайда кусочек черной бумаги с круглым отвергением диаметра 2—3 мм в центре, или приспособить для этой цели достагоно сильный электрический фонарь.

Обыты надо проводить в затемненной комнате.

Налейте в сосуд воду и направьте сквозь нее световой пучок вдоль длинной стороны сосуда (как показано на рисунке). А теперь посмотрите на него сбоку. Чем чище вода, чем меняше в ней пузырьков, пылинок и других посторонних включений, тем менее заметен пучок. Он лишь слегка подвечивает сосуд на границах воздуха — стекло и стекло — вода. Однако стоит только нарушить однород-

21

ность жидкости, например начать перемешивать воду или нагревать ее (придумайте сами, как можно это осуществить), и в местах недородностей рассеяние света, отклонение его по различным направлениям станет значительное сливнее. (Здесь можно вспомнить и всем известный факт: солнечный луч, пропикший через щель в занавеске, виден нам сбоку по светящимся в нем пылинкам.)

Из этого опыта можно сделать вывод, что свет, распространяясь в однородной жидкости, не рассеивается (или рассеивается очень слабо).

Теперь будем добавлять в воду по каплям молоко и хорошего размера жидкость. Частчики жира, содержащeros в молоке, не расторяются в воде, а находятся там во взвешенном состоянии. Уже после добавления первых капель рассеянный свет станет виден гораздо лучше. Обратите внимание — он имеет голубоватый оттенок. (Иногда наблюдается такой же эффициент, если в легком тумане вы смотрите сбоку на свет фар проезджающий машины.)

Постепенно увеличивая концентрацию молока, мы увидим, что голубоватый свет рассеянного света смешался в конце пути на желтоватый или даже красноватый. Окрашенным в также же света будет и свет, проездший через сосуд.

При большом количестве молока рассеянный свет становится белым.

Можно сделать еще несколько выводов: нарушение однородности жидкости добавлением в нее весма малых части приводит к увеличению рассеяния, при этом синей свет рассеяется сливнее, а красный слабое, так что белый свет, проездший сквозь такую жидкость, «обогащается» красным цветом; если же частичень много и они образуют целые скопления, рассеянный свет оказывается белым.

II. Качественное объяснение оптового можно понять, если опираться на такие факты:

a) Любой электрический заряд, движущая ускоренно (например, колеблющая), излучает электромагнитные волны. Излучение тем более интенсивно, чем больше ускорение (частика колебания).

b) Электромагнитная волна в каждой точке среды, куда она дошла, создает переменное электромагнитное поле.

b) Волны от зарядов, колеблющихся с одной частью, складываются таким образом, что в один точках они могут усиливать, а в других гастить друг друга.

г) Свет представляет собой электромагнитные волны. Видимый белый свет — набор электромагнитных волн, в котором смаям малая длина волны у фиолетового и синero цвета ($\lambda = (4 - 5) \cdot 10^{-7} \text{ m}$), а смаяя больше — у желтого и красного ($\lambda = (6 - 7) \cdot 10^{-7} \text{ m}$).

Когда свет проходит через однородную среду, его переменное поле возбуждает колебания электронов в atomах, и они начинают смыть электромагнитные волны той же частицы. Но, как показывает расчет, их излучение газит друг друга во всех направлениях, кроме направления расспространения света. При идеальной однородности среды мы вовсе не увидели бы рассеяного света.

Другое дело, когда среда недородна. Наличие недородностей создаетсовсемины условия для сложения вторичных волн и возникнет рассеяние света по различным направлениям.

Если недородности неевелики по размерам (много меньше длины волны падающего света), рассеяние света описывается законом, открытом в 1871 году англійским физиком Рэлеем: интенсивность рассеяного света прямо пропорциональна четвертой степени частицы (обратно пропорциональна четвертой степени волны). Следовательно, голубой свет рассеяется гораздо сильнее, чем газую окруженную света, а цвет проездшего через жидкость оказывается оказылся красноватым. Типдаль так описывается в эффицике: «Мы наблюдали синий цвет, который содержи

22

Чал с цветом голубого и чистого неба Италии, если не превосходил его.»

III. В повседневной жизни мы часто стalkиваем с таким случаем, когда в однородной среде (жидкость или газе) присутствует весьма malые (по сравнению с длиной волны видимого света) построенные частицы. Это дым, туман или пыль в воздухе, мелкие частицы твердого вещества в воде, различные эмульсии и т. п. Все они могут вызвать рассеяние света.

Что же, голубой цвет весеннего неба или краски солнечного заката связываны с пылью и дымом в воздухе? Так вначале и думали. Но этому противоречило, например, то, что высоко в горах, где нет ни пыли, ни дыма, окраска неба может быть ярче, чем в запыленном городе.

Объяснение состоит в другом. За счет хаотичного движения молекул воздуха возможность появление в нем существовних недородностей плотности. Эти недородности приводят к рассеянию света и появлению синего или голубого цвета дневного неба. А солнечные лучи, которые на рассеете или закате приходятся произвольным гораздо большую, чем днем, толщу воздуха, прибретают красный или желтый оттенки.

Конечно, это не исключает влияния пыли, дыма, тумана на окраску неба. По этому поводу можно привести любопытный эпизод*), описанный К. Паустовским в книге «Золотая роза»:

«Французский художник Моне приехал в Лондон и написал Вестминстерское аббатство. Работал Моне в обыкновенный лондонский туманный

*) Читатели «Кванта» могли с ним встретиться в статье А. Шмелева «Новогодний физический фейерверк» в № 1 за 1982 год.

Спрашивайте — ответаем

Уважаемая редакция!

В вашем журнале часто публикуются различные замисловые рисунки, полученные с помощью ЭВМ. Было бы очень полезно познакомить читателей с графическими изображениями электрических полей несольных точных загадов. Ведь во всех учебниках, школьных иузовских, также рисунки выполняются «на глаз», а не в соответствии со строгими математическими расчетами.

В. И. Кондратенко, преподаватель физики из г. Дроюбица

На это письмо редакция поросила ответить специалиста в области машинной графики Ю. В. Котова.

Распределение электрического поля в пространстве (на плоскости) можно сделать наглядным с помощью силовых линей и эквивпотенциальных поверхностей (линий).

На второй странице обложки восприизведена картина поля диполя, расчитанная и построенная при помощи ЭВМ и графопостроителя. Вследствие освеной симметрии такая картина одинакова во всех плоскости, прохождения через dichionля. Чтобы наглядно проиллюстрировать зависимость потенциальна от координат точки плоскости, построена вспо-
(Окончание см. на c. 26)

24

Возражение 2. Но биссектриса может и совпадать со средним перпендикуляром.

Ответ. На это возражение у меня есть сразу два ответа. Во-первых, в этом случае биссектриса тоже совпадает с высотой и треугольник опять оказывается равноведенным. Во-вторых, если биссектриса совпадает со средним перпендикуляром, то точку $N$ можно выбрать произвольно на биссектрисе и проведи все расужделия доказательства.

Возражение 3. А что, если биссектриса пересекает средний перпендикуляр на основании $AC$, то есть $N = M$?

Ответ. В этом случае биссектриса совпадает с медианной $BM$. Отсюда легко следует, что треугольник $ABC$ опять оказывается равноведным.

Возражение 4. Вы не рассмотрели случай, когда биссектриса пересекается со средним perпендикуляром внутри треугольника $ABC$.

Ответ. Этот случай изобранен на рисунке 2. Рассуждая аналогично тому, как мы делали при рассмотрении рисунка 1, мы заключаем, что $|AN| = |NC|$, $|NP| = |NQ|$ и, следовательно, $\Delta APN = \Delta CQN$. Поэтому $\angle NAP = \angle NCQ$. Кроме того, $\Delta ANC$ равноведенный, поэтому $\angle NAM = \angle NCM$. Складывая равные углы, мы получаем, что $\angle BAC = \angle BCA$. Следовательно, треугольник $ABC$ — равноведенный.

Впрочем, могут представить и другой контрудовод: случай, изобраненный на рисунке 2, невозможен, так как биссектриса треугольника всегда лежит между его мединой и высотой.

Итак, четыре возражения мне удалось парировать. Предлагаю читателю, на этом месте остановиться и вестики найти решающее возражение про-

тив приведенного «доказательства». А если не получится — посмотреть раздел «Ответы, указания, решения».

---

Ну вот, теперь вы будете относиться к чертежам с большим подозрением. Возможно, неокоторым читателем захотелось даже讶ти дальнейшее сделать все математические доказательства совершенного формально-логических, не обращаться к наглядным представлениям, исключая тем самым возможностью ошибки. Математики-профессионалы обычно удовлетворяют тем, чтобы их доказательства могли бы быть записаны формально. Однако, как правило, они ширококо использованы наглядные представления, в том числе рисунки. Объясняется это тем, что формальные выводы значительное длинее обычных доказательств, восприниманы и придумываны их гораддо труднее*). Так что отказываются от чертежей и наглядных представления при доказательстве геометрических теорем не стоит, нужно только научиться правильно им ползовать. В этом вам помогет решение следующих задач, также занимаютсяствовать книги Я. С. Дубнова.

Задания. Найдите ошибки в следующих доказательствах.

1. Как известно, сумма целов треугольника равна $180^\circ$. Доказательство этого факта опирается на аксиomy параллельности. Мы сейчас даим доказательство, не использовшее аксиomy параллельности.

*) Например, записать с единицу на одном из формальных языков — изяке теории множества $H$. Вурбакки — совсем непросто. «Полная запись», содержающая бы несколько десятиков тысяч знаков; для «единичных» этого, пожалуйста, многоговато» (Манни Ю. И. Доказуемое и недоказуемое. М.: Советское радио, 1979).

26

5. Известно, что длина окружности радиуса $R$ равна $2\pi R$. Но мы «доказем», что длина окружности вдвое большие ее диаметра.

Построим полукругжность с диаметром $AB$ (рис. 7). Разделим отрезок $AB$ пополам точкой $C$ и построим на отрезках $AC$ и $CB$ полукругжности, расположая их по разные стороны от прямой $AB$. Каждая из построенных полукругжностей имеет диаметр, вдвое меньший, чем диаметр исходной полукругжности. Поэтому их длины вдвое меньше длины исходной полукругжности. Следовательно, длина волнообразной линии, помещенной на рисунке номером 1, равна длине данной полукругжности. Разделим теперь каждый из отрезков $AC$ и $CB$ пополам и построим волнообразную линию 2. Ее длина также равна длине исходной полукругжности. Продолжим этот процесс, получая на каждом шаге волнообразную линию той же длины. Расстояние от точек этой линии до прямой $AB$ не превыходит радиуса полукругжностей, составляющих эту линию, то есть стремится к нулю. Следовательно, последовательность волнообразных линей стремиется к отрезку $AB$. Поскольку их длины длине данной полукругжности, такой же длина быть и длина отрезка $AB$. Поэтому длина окружности равна ее удвоенному диаметру.

6. Докажем, что площадь сферы радиуса $R$ равна $\pi^2 R^2$.

Рассмотрим полусферу с полосом $O$ и разделим ее экватор на $n$ равных частей. Площадь полусферы в $n$ раз больше площади каждой из маленьких сферических треугольников, изображенных на рисунке 8. Рассмотрим такой треугольник. Его основание равно $2\pi R/n$, а высота стремиется к $\pi R/2$ при $n \to \infty$. Следовательно, его площадь стремиется к $\pi^2 R^2/2n$. Поэтому площадь полусферы равна

$$n \cdot \frac{\pi^2 R^2}{2n} = \frac{\pi^2 R^2}{2},$$

а площадь сферы — $\pi^2 R^2$.

Материал подготовил С. Л. Габачников

Спрашивайте — ответаем

(Начало см. на с. 22)
могательная поверхность. Аппликаты ее точек соответствуют значениям потенциала в точках плоского сечения поля. Там, где расположены сами заряды, поверхность «вытягается» вверх или вниз, а при удалении от зарядов — приближается к горизонтальной («нулевой») плоскости.

В разных точках поверхность по-разному наклонена к горизонтальной плоскости. Чтобы уточнить наклон, надо в интерсующей точке поверхности построить касательную плоскость и определить угол ее наклона к горизонтальной плоскости. Тангенс этого угла связано со значением направленности поля в данной точке.

Слобые линии поля можно было бы проведи на вспомога-плоского сечения поля. Там, где расположены сами заряды, поверхность «вытягается» вверх или вниз, а при удалении от зарядов — приближается к горизонтальной плоскости. Чтобы уточнить наклон, надо в интерсующей точке поверхности построить касательную плоскость и определить угол ее наклона к горизонтальной плоскости. Тангенс этого угла связано со значением направленности поля в данной точке.

С помощью ЭВМ и графопостроителя можно получить аналогичные картины электронных полей и для нескольких различных образом расположенных точки зарядов. В качестве примера здесь показаны сливые линии поля, образованного тремя зарядами, нахождения на одной прямой. Крайние заряды одноменены и одинаковыми, средний — противоположен по знаку, а по модулю равен сумме двух краейних.

Ю. В. Котов

27

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга заметка «Работа, энергия и архимедова сила» предназначена восмилклассикам, «Электрическое и магнитное поля» — девятиклассикам и «Заряд атомного ядра и периодическая система элементов Менделеева» — десятиклассикам.
Материалы подготовили И. К. Белкин.

Работа, энергия и архимедова сила

Работа силы, с которой одно тело действует на другое, равна, как известно, изменению потенциальной энергии взаимодействия этих тел, взятому с противоположным знаком («Физика 8», §57):

$$A = -\Delta E_p.$$

Если, например, тело массы $M$ падает в вакууме с высоты $h_1$ до высоты $h_2$ ($h_1$ и $h_2$ отсутствуют от произвольного выбранного нулевого уровня, как показано на рисунке), то сила тяжесте совершает работу, равную произведению проекции $Mg$ этой силы на направление перемещения на модель перемещения $h_1 - h_2$:

$$A = Mg(h_1 - h_2).$$

(1)

Это равенство можно записать и так:

$$A = Mgh_1 - Mgh_2 = -(Mgh_2 - Mgh_1) = -\Delta E_p,$$

то есть работа равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

Теперь допустим, что падение этого же тела происходит в некоторой жидкости (см. рисунок). Присутствие жидкости, конечно, не изменит массы тела, ни ускорения свободного падения, ни, следовательно, силы тяжесте, действующей на тело. Но когда тело займет новое положение на высоте $h_2$, оно вытеchtит находившуюся там жидкость, которая перемещается в верху, на высоту $h_1$, и затем место, освобождаенное телом. Тело и жидкость в объеме тела как бы помещаются местами. При этом по-

тенциальная энергия тела уменьшится на величины $\Delta E_p = (Mgh_2 - Mgh_1)$, а потенциальная энергия жидкости увеличится на величины $\Delta E_p = (mgh_1 - mgh_2)$, где $m$ — масса жидкости в объеме, равном объему тела. Общее изменение потенциальной энергии $\Delta E_p$ будет равно сумме $\Delta E_p$ и $\Delta E_p$, поэтому получим

$$A = -\Delta E_p = -((Mgh_2 - Mgh_1) + (mgh_1 - mgh_2)) = (Mg - mg)(h_1 - h_2).$$

(2)

Сравним равенства (2) и (1), мы видим, что во втором случае на тело кроме силы $Mg$, направленной вниз, действует еще сила $-m\vec{g}$, направленная вверх. Но $mg$ — это модель силы тяжесте, действующего на жидкость, вытеchnenyю телом (и равной ее весу). Следовательно, сила $-m\vec{g}$ и есть архимедова сила. Утверждение о том, что такая сила существенно изменяется в физике как закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, со стороны окружающей жидкости действует вытalkивающий силы, равная весу жидкости в объеме, вытеchnenyю телом.

Формулу (2) можно переписать в другом виде. Обозначим объем тела через $V$, плотность тела через $\rho_T$ и плотность жидкости через $\rho_{ж}$. Тогда масса тела $M = \rho_{ж}V$, масса жидкости в объеме $V$ равна $m = \rho_{ж}V$ и

$$A = (\rho_{ж}Vg - \rho_{ж}Vg)(h_1 - h_2) = (\rho_{ж} - \rho_{ж})Vg(h_1 - h_2).$$

(3)

Величина $\rho_{ж}Vg$ и представляется собой модель архимедовой силы.

Из формулы (3) видно, что если плотность $\rho_{ж}$ тела больше плотности $\rho_{ж}$ жидкости, то результатирующая сила, действующая на тело, направлена вниз, и тело тонет. Если, наоборот, плотность тела меньше плотности жидкости, результатирующая сила направлена вверх.

28

вверх, и тело всплывает. Когда вес жидкости в объеме погруженной части тела становится силье тяжесте тела, наступит равновесие. Наконец, если плотности тела и жидкости равны друг другу, тело оказывается в равновесии, будучи полностью погруженным в жидкость.

Рассуждания, которые приведены нас к выводу о существовании архимедовой силы (и закона Архимеда), справедливы как для жидкости, так и для газа. Позному законом Архимеда лежит в основе теории плавания не только кораблей на воде, но и воздушных кораблей — азростатов, дрижаблей и т. п. с той только разницей, что воздушный корабль не может быть погружен в газ частино.

В учебнике «Физика 8» указывается, что в механике прихождения иметь дело с темя видами сил — упругости, треня и тяготения. К какому же виду нужно отнести силу Архимеда? Или это, может быть, особый, четверый вид сил? Нет, по природае своей архимедова сила — это результат упругого взаимодействия тела и жидкости (или газа), то есть ее следует считать силой упругости, возникающей вследствие скатания жидкости (или газа).

Отметим в заключение, что закон Архимеда, при всей его исторической важности, нельзя считать одним из основных, фундаментальных законов природы. В действительности, это прикое следствие более общего закона — закона Паскала. Как мы только что видели, он может считаться также следствием закона сохранения энергии.

Электрическое и магнитное поля

Вокруг всякого покоящегося в некоторой системе отчета электрического заряда $q$ существенно, электростатическое поле. Если этот заряд точный, то направенно поля в любой точке на расстоянии $r$ от него определяется формулой:

$$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}.$$

Сила взаимодействия двух покоящихся точных зарядов $q$ и $q'$, находящихся на расстоянии $r$ друг от друга, равна

$$F_{\text{эл}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qq'}{r^2}.$$

Если заряды одинаковые ($q=q'$), то

$$F_{\text{эл}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}.$$

Это хорошо известный закон Кулона. Подчеркием, что этот закон был установлен экспериментально. Входящая в формулы (1), (2) величины $\epsilon_0$ — это электрическая постоянная, равная $8,85 \cdot 10^{-12} \text{KJ}^2 / (\text{H} \cdot \text{m}^2)$.

Обсудим теперь ситуацию с зарядом, движущимся с постоянной скоростью $\vec{v}$. Скорость $\vec{v}$ мы измеряем относительно заранее выбранной системы отчета, которое мы условиям не подвижной и обозначим буквой $K$.

Движущийся заряд — это электрический ток, а вокруг ток существенно магнитное поле. Значит, движение заряда приводит к появлению магнитного поля в рассматриваемой нами системе отчета $K$.

Обратите внимание на то, что если бы мы перешли в системе отчета $K'$, движущуюся относительно системы $K$ со скоростью, равной скорости заряда $\vec{v}$, никакого магнитного поля в этой системе не было бы (помещенная там магнитная стрелка (компас) оставалась бы в покое).

Вернемся, однако, снова в системе $K$. Из опыта мы знаем, что магнитное поле действует на электрический ток, а значит, и на движущийся заряд. Понятно, что между электрическими и магнитными явлениями должны существовать тесяная связь.

Рассмотрим простой пример. Пусть заряд $q$ движется со скоростью $\vec{v}$ (в системе $K$). Тогда в пространстве вокруг него есть и электрическое, и магнитное поля. Пусть теперь в какой-то точке, где электрическое и магнитное поля создают зарядом $q$, оказался друг заряд $q'$, который движется со скоростью $\vec{v}$. Очевидно, что на него будут действовать электрические и магнитные силы. Аналогичное утверждение можно сделать и про заряд $q$.

Если заряды движутся со скоростью не слищком большими (что такое «не слищком большие», выяснить ниже), то их электрические поля в каждой момент времени практические не отличются от случая покоящихся зарядов, а сили электрического взаимодействия зарядов можно подчитывать по закону Кулона (2).

29

Мы ограничимся дальнейше служем не очень быстро движущихся зарядов. В этом случае можно довольно просто сравнить магнитные и электрические силы. Мы сделаем это для двух зарядов, скорости которых в некоторый момент оказывается параллельными друг другу и перpendикулярными к линии, соединяющей эти заряды (рис. 1).

Прежде всего нам нужно понять, как индукция магнитного поля $\vec{B}$, создаваемого движущимся зарядом, связана с величины этого заряда $q$ и его скоростью $\vec{v}$. Проведем из точки, где находится заряд $q$, в точку, в которой мы хотим вычислить индукцию $\vec{B}$, радиус вектор $\vec{r}$. Обобщение результатов опытов показывает, что величина индукции определяется формулой

$$B = kq \frac{v}{r^2} \sin \varphi. \tag{3}$$

Здесь $r = |\vec{r}|$, $\varphi$ — угол между векторами $\vec{v}$ и $\vec{r}$, а $k$ — постоянная, определяемая опытным путем и равная $10^{-7} \text{H} \cdot \text{c}^2 / \text{KJ}^2$. Для интересующего нас служая $\varphi = 90^\circ$ и

$$B = kv \frac{q}{r^2}. \tag{3'}$$

Направление вектора $\vec{B}$ определяется по правилам буравчика (правого вината): если вращать вектор $\vec{v}$ по направлению к вектору $\vec{r}$ в той плоскости, в которой они оба лежат, и так, чтобы вращение проискдило в направлении минимального угла между $\vec{v}$ и $\vec{r}$, то вектор $\vec{B}$ направлен perpendикулярно указанной плоскости и «смотрит» туда, куда «смотрел бы» ввичиваемый буравчик (рис. 2).

В формулы (3) и (3’) входит в качестве множителя то же отношение $q/r^2$, которое содержится и в выражении для направленности электрического поля, создаваемого зарядом $q$ в точке, где находится заряд $q'$. Это замечание позволяет установить связь между величины $B$ и $E$. Учитывая (1), получаем

$$\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} = c^2 \tag{7}$$

и

$$\frac{F_{\text{магн}}}{F_{\text{эл}}} = \left( \frac{v}{c} \right)^2. \tag{8}$$

Это очень важные формулы. Формула (7) еще раз подтверждает существование глубокой связи электрических и магнитных явлений. Из формулы (8) мы можем сделать вывод, что относие-

30

ниме магнитных и электрических сил для многохратических интерсных случая оказывается малой величины. Например, обычно направленная скорость электров в металле при прохождения тока составляет десять доли миллиметра в секунду. В таких случаях магнитное взаимодействие электров примерно в $10^{24}$ раз меньше их электрического взаимодействия. Стоит ли вообще считаться с магнитным взаимодействием движущихся зарядов? Оказывается, стоит и вот почему. Во всяком проводнике имеются в равном числе зарядные частицы обихх знаков. Поэтому проводники с током электрического практических нейтральных. Электрические силы в проводниках с огромной точностью скопперсированы, а при их отсутствии даже очень малые магнитные силы оказывают существенные. В электрических моторах движущиеся в их обмотках электров взаимодействуют именно магнитными силами. Именно за счет магнитных сил приводятся в движение двигателя.

Вспомним теперь, что в наших расчетениях мы сделали допущение о «не слишком больших скоростях». Тервер можно сказать, что мы имели ввиду малость скоростей частиц по сравнению со скоростью света. Это было нужно нам для того, чтобы не возникло необходимости ползоваться более сложными (релятивистскими) формулами. Например, при скорости заряженных частиц, близких к скорости света, уже нельзя записьать формулу для направленности электрического поля в виде (1).

Так же, как и другие физические величины, например, скорости иускорения частиц, силы, действующие на них, направленность электрического поля и индукция магнитного поля зависит от того, в какой системе отчета мы их рассматриваем (измерем). Выше мы уже говорили, например, о том, что если магнитное поле существует в системе $K$, то из этого еще не следует, что оно сохранится в системе $K'$. Система $K'$, которое мы рассматривали, дивгалась со скоростью, равной скорости $\vec{v}$ интерсовавшего нас заряда. И магнитное поле в системе $K'$ отсутствовало. В общем случае и вектор $\vec{E}$, и вектор $\vec{B}$ относительно, то есть зависит от того, в какой системе отчета находится наблюдатель с приборами, измеряющими эти величины.

Для нас существует то, что при скорости, малых по сравнению со скоростью света, электрическое поле изменяется мало. Количество характеристикой этой малости как раз и служит относение $(v/c)^2$.

Заметим, впрочем, что формула (8) оказывается справедливой и при скорости, близких к скорости света. Поэтому для релятивистских частиц, движущихся со скоростью, лишь немного меньше скорости света, величины магнитных и электрических сил могут отличаться не очень сильно.

Подводя итог нашим вычислениям, еще раз подвергнем, что для многохратических интерсных случая оказывается существенное существенное значение магнитных сил.

Остановимся совсем кратко на других отличных магнитного и электрического (электростатического) полей. Однако из этих отличий состоит в том, что линнией действия электрических сил (силовые линни электростастического поля) имеют начало и конец. Они начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных. Работа при перемещении заряда между двумя фиксированными точками в электрическом поле не зависит от формы и длины траектории, а работа, совершаемая при движении заряда по замкнутой траектории, равна нулю. Благодаря этому свойству электристического поля каждая его точка характеризуется не только направлением, но и потенциалом.

Линни же магнитной индекции, в отличие от силовых линей электрического поля, не имеют начала и конца. Они замкнуты и охватывают ток. Каждый точка магнитного поля характеризуется величиной магнитной индекции, но не потенциалом.

Сила, действующая на заряд в электрическом поле, всегда направлена по касательной к силовым линям. Если рассматривать в магнитном поле участки проводников с током или движущиеся заряженные частицы, то силы, действующие на них, направлены не по касательной к линям индекции, а перpendикулярно к ним (сила Лоренца, закон Ампера). Сила в магнитном поле может вовсе не вызвать поступательного движения, а лишь поворот (рамка с током в однородном магнитном поле; движение заряда по окружности в плоскости, перpendикулярной однородному магнитному полю).

33

В начале факультатава по геометрии Петр Иванович нарисовал на доске три окружности (рис. 1) и предложил решить такую задачу:

Три окружности одинакового радиуса R пересекаются в общей точке S и в точках M, N, P. Доказите, что точки M, N, P лежат на окружности того же радиуса R.

Подумали мы немного. Ничего не получается: не видно, как присутствить к задаче. Тогда Петр Иванович поставил на стол маленькую матрешку и написал на доске:

Задача 1. Внутри треугольника ABC дана такая точка H, что HAC=HBC, HBA=HCA, HCB=HAB. Тогда H — ортометр треугольника ABC, то есть точка пересечения его высот.

Мы это доказали почти сразу. В обозначениях, которые появились в чертеже на доске (рис. 2), оченьindo, 2(α+β+γ)=180°, откуда α+β+γ=90°. Но тогда внешний угол AA1B треугольника ACA1 равен (α+β)+γ=90°, значит, AA1 — высота. Аналогично BB1 и CC1, и, стало быть, H — ортометр.

— Правильно,— сказал Петр Иванович, поставил рядом с первой матрешкой вторую, чуть побольше, а на доске написал:

Задача 2. Точка, симметриная ортометру относительно стороны треугольника, лежит на его описанной окружности.

По чертежу, нарисованному на доске (рис. 3), в котором D обозначает точку пересечения высоты AA1 с описяной окружностью, мы быстро устотели равенства HBC=CAD (так как каждый из этих углов составляется 90° вместе с углом B1CB) и CAD=CBD (углы опираются на общую дуг CD). Поэтому HBC=DBC и точка D симметрина H относительно CB.

Тут на стол Петра Иванович появилась третья матрешка, а на доске — такая запись:

Задача 3. Радиус описанной окружности треугольника равен радиусу окружности, проходящей через две вершины и ортометр.

На предыдущем чертеже (см. рис. 3) Петр Иванович нарисовал окружность, проходящую через точки C, H, B и отрезки CD и DB. С места ему стал говорить, что треугольники CHB и CDB конструктивны по предыдущей задаче, поэтому их описанные окружности — одинакового радиуса. Петр Иванович вторую матрешку спрятал в третью.

— А еще есть матрешки? — спросили мы.

— Есть,— ответил Петр Иванович, вынув самую маленькую матрешку,— но задача будет устная, и написал:

Задача 4. Други окружности равных радиусов, соединяющие две их точки пересечения, конструктивны.

— Други, конечно, конструктивны, ведь они симметрины относительно прямой, проходящей через точки пересечения,— ответили мы (рис. 4).

— Ну, а теперь любой из вас должен решить первоначально задачу про три окружности,— сказал Петр Иванович и… вызвал меня к доске.

Я начал говорить что-то не ввятное, но тут произвольный спасибоный звонок. Тогда Петр Иванович достал пятую, самую большую матрешку, многозначительное волжил матрешки друг в друга и сказал:

— Чтобы к следующему разу все решили эту задачу. Дома я ее довольно быстро решил.*) А вы?

*) Решение можно прочитать в разделе «Ответы, указания, решения».

34

Задчи

1. При делении числа 2 • 3=6 на 4 получаем в остатке 2, при делении числа 3 • 4=12 на 5 получаем в остатке 2. Верно ли, что остatok от деления произведение двух последовательных чисел на число, следующее за ними, всегда равен 2?

2. Два малучка катаются на велосипедах поздно вечером. У одного из них велосипед с большими колесами, а у другого — с маленькими, но едят они с одинаковой скоростью. У кого из них ярче горит фонарь, работающий от динамомашины на ободе колеса?

3. Существует ли трехзначное число, равное произведению своих цифр?

4. На радиусах четверти круга, как на диаметрах, построены получуги (см. рисунок). Что имеет большую площадь: общая (красная) часть этих получуков или (синяя) часть четверти круга, не покрыта им?

5. Цифру 9, с которой начиналось трехзначное число, перенесли в конец числа. В результате получилось число на 216 меньше. Какое число было первоначально?

Эти задчи нам предложили:
H. K. Антонович, C. B. Дворянинов,
C. H. ОLEXНИК, A. П. Савин, A. Г. Самосват.

35

Решено
Эраtocфена

Академик А. Н. КОЛМОГОРОВ

Эта красивая форма решета Эраtocфена*) заимствована из книги М. Гарднера «Математические документы» (изд-во «Мир», 1972). Все не перечеркичные (красным или синим) числа — простые, кроме числа 121. Объяснить, почему!

Задача 1. Чтоби получить список простых чисел, меньших 1000, надо «отсеять» числа, которые делятся на 2, 3, 5, 7, 11,…. На каком простом числе можно при этом остановиться?

Как изменится ответ для случая составления таблицы простых чисел, меньших 10 000?

Восклицательным знаком отмечены в таблице пары простых чисел «близнецов**». В нашей таблице их десять.

Известно, что простых чисел бесконечно много. Но никто не знает, конечно или бесконечно множество пар близнецов.

Задача 2. Первые две пары близнецов (3, 5) и (5, 7) имеют общий элемент (5). «Расстояние» между второй и третьей парой близнецов (11, 13) равно

11 — 7 = 4.

Расстояние между третьей и четвертой (17, 19)

17 — 13 = 4,

между четвертой и пятой (29, 31)

29 — 19 = 10.

Докажите, что данные расстояние между соседними парами близнецов не будет меньше четырех.

*) См. «Квант», 1973, № 4, c. 71.
**) См. «Квант», 1973, № 5, c. 56.

Сколько воды в колбах?

ШестЬ произрачных колб с водой расставлены в два паралельных ряда по три колбы в каждой дом. На рисунке 1 видны три переменные колб и на рисунке 2 — две правила боковые. Через произрание стены колб просматриются уровни воды в каждой видимой колбе и во всех колбах, стоящих за ней. Определите, сколько воды наlintо в каждой колбу.

37

Задчи

М851—М855; Ф863—Ф867

М851. Длина стороны квадрата $ABCD$ равна 1. На сторонах $AB$ и $AD$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что перimeter треугольника $APQ$ равен 2. Доказать, что $PCQ=45^\circ$.

А. Б. Ходульев

М852. Пусть $x, y, z$ — длины сторона треугольника. Доказите, что величины
$$\frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x}$$
меныше a) 1; 6)* 1/8.

А. В. Ермилов

М853. Квадрат $ABCD$ врашается вокруг своего неподвижного центра. Найдите множество, которое описывает середина отрезка $PQ$, где $P$ — основание перпендикулара, опущенного из точки $D$ на неподвижную прямую $l$, а $Q$ — середина стороны $AB$.

Й. Табов (Болгария)

М854. На переговорном пункте установлены автоматы для размена середины монет достоинством 10, 15 и 20 копеек, действующего так, как показано на рисунке 1. У Пети был 1 руб. 25 коп.

Рис. 1.

серебряными монетами и он все их размеры в автоматах на медь. Вася, посчитав сколько кких монет стало у Пети, сказал:
— А я знаю, какие у тебя были середины монеты!
Узнайте это и выше.

Б. И. Бегун

М855. Можно ли жесткий правильный терраэд с ребром 1 противь сквозь обруч диаметра a) 1; 6) 0,95; в) 0,9; г) 0,85?

В. В. Произволов

38

Ф863. В кончекской лунке с углом при вершине 2α прыгает шарик, упруго отражаясь от стенки лунки. Точки сударения шарика со стенкой лежат на одной и той же высоте (рис. 2); время от удара до удара постояно и равно Г. Чему равна средняя угловая скорость движения шарика вокруг оси лунки, если максимальная скорость шарика v лежит в диапазоне от $\frac{1}{2}gT$ до $gT/2$ sin α?

О. Я. Савченко

Ф864. Мальчик медленно поднимается на снежную горку и тащит за собой на вервке санки. Вервка все время параллельна касательной к горке в той точке, в которой находится мальчик. Вершина горки расположена на высоте H и на расстоянии l от ее основания (рис. 3). Какую работу совершит мальчик при поднятии санок на горку? Масса санок m, коэффициент треня санок о снег μ.

А. И. Буздин

Ф865. Оцените размер атома ртути, если известны: σ — коэффициент поверхности натяжения ртути (в единицах $\frac{\text{энергия}}{\text{площадь}}$), q — плотность ртути, r — удельная теплота парообразования ртути.

Ю. Родионов, А. Яковлев

Ф866. Электропитическая ванна подключена через идеальный диод к сети переменного напряжения (рис. 4). Найти показания теплового амператора (А), если известно, что за время t=1 ч на катод выделяется m=1,078 г меди. Электрохимический эквивалент меди k=0,33·10⁻⁶ кг/Kл.

Б. А. Мукушев

Ф867. Представьте себе, что вы стоите перед большим листом толстого прорачаного стекла (например, перед стеклянной витриной). Каким образом определять толщину стекла, если доступа к его краям нет (скажем, края стекла замурованы в стены), в помещение за стеклом проникнуть нельзя, разбитъ стекло тоже нельзя? В вашем распоряжении имеются линейка, угольник, бумага, карандаш и карманный калькулятор для проведения расчетов.

М. В. Семенов

Problems

M851—M855; P863—P867

M851. The square ABCD is of length 1. Points P and Q are chosen on sides AB and AD respectively so the perimeter of ABC is 2. Prove that $\widehat{PCQ} = 45^\circ$.

A. B. Khodulev

M852. Suppose x, y, z are the lengths of a triangle’s sides. Prove that the number

$$\left| \frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{x+z} + \frac{z-x}{z+x} \right|$$

is less than a) 1; b) $1/8$.

A. V. Ermilov

40

мую $O_1L$. Следовательно, они параллельны и $O_1\widehat{A}O_2 = A\widehat{O}_1L$; аналогично, $M_1\widehat{AM}_2 = A\widehat{M}_1L$. Таким образом, равенство углов $O_1\widehat{A}O_2 = M_1\widehat{AM}_2$ эквивалентно следующим утверждением:

$$A\widehat{O}_1L = A\widehat{M}_1L;$$

точки $A, L, O_1, M_1$ лежат на одной окружности;

$$O_1\widehat{LA} + A\widehat{M}_1O_1 = 180^\circ;$$

$$O_1\widehat{LS} = A\widehat{M}_1S;$$

треугольники $SLO_1$ и $SAM_1$ (с общим углом при вершине $S$) подобыны;

$$\frac{|SA|}{|SO_1|} = \frac{|SM_1|}{|SL|}.$$

Для доказательства последнего равенства достаточно заметить, что $|SA| \cdot |SL| = |SP_1|^2 = |SO_1| \cdot |SM_1|$ (первое равенство здесь — свойство касательной и секущей — следует из подобия треугольников $P_1LS$ и $AP_1S$, второе — из подобия треугольников $O_1P_1S$ и $P_1M_1S$).

А. М. Абрамов

M837*. Пусть $a, b, c$ — целые положительные числа, каждые два из которых взаимно просты. Докажите, что наобольшее из целых чисел, которые не представимы в виде

$$xbc + yca + zab$$

(еде $x, y, z$ — неотрицательные целые числа), равно

$$2abc - ab - bc - ca.$$

Удобно рассматривать сразу более общую задачу:

пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — натуральные поларно взаимно простые числа. Наовем натуральное число $u$ «красным», если его можно представить в виде

$$u = a_1a_2\dots a_n \left( \frac{x_1}{a_1} + \dots + \frac{x_n}{a_n} \right),$$

(1)

еде $x_1, x_2, \dots, x_n$ — целые неотрицательные числа, $u$ «синим» — в противном случае. Каково наобольшее число число?

(В нашей задаче $n = 3$.)

Оно из самых коротких решений этой задачи опирается на следующее два утверждения:

1. любое целое число $u$ допускает единственное представление (1), где $x_1, x_2, \dots, x_n$ — целые числа, причем $0 \leq x_2 \leq a_2 - 1$, …, $0 \leq x_n \leq a_n - 1$, $x_1$ может быть любым (такое представление мы будем называть стандартным);

2. целое число $u$ — красное тогда и только тогда, когда в его стандартном представлении $x_1 \geq 0$.

Из последнего утверждения ясно, что наобольшее число $m$ имеет стандартное представление $c x_1 = -1$, $x_2 = a_2 - 1$, …, $x_n = a_n - 1$, то есть

$$m = a_1a_2\dots a_n \left( n - 1 - \frac{1}{a_1} - \dots - \frac{1}{a_n} \right).$$

Докажем эти утверждения по индукции, начиная со случая $n = 2$. В этом случае 1) превращается в такую очень полезную lemma (ниже $a_1 = a, a_2 = b$):

если натуральные числа $a$ и $b$ взаимно просты, то любое целое и единственный образом представляется в виде

$$u = bx + ay,$$

(2)

еде $x, y$ — целые, $0 \leq y \leq b - 1$.

Для ее доказательства заметим, что все остки от деления $b$ чисел $0, a, 2a, \dots, (b - 1)a$ на $b$ различны (в противном случае оказалось бы, что какое-то число вид $(k - l)a$, где

41

0 ≤ l < k ≤ b - 1, делится на b, а это невозможно), и следовательно,ровно одно из них, ay, дает такой же остаток, как и число u,то есть u - ay = bx при некоторых целях x и y, 0 ≤ y ≤ b - 1.

Утверждение 2) при n = 2 почти очевидно: если число u красное, то есть имеет представление (2) с x ≥ 0, y ≥ 0, то и в его стандартном представлении коэффициент при b будет неотрицательен (если y = qb + r, где q ≥ 0, 0 ≤ r ≤ b - 1, то u = bx + ay = b(x + aq) + ar).

Таким образом, в этом случае наиболее снимим число будет m = b · (-1) + a · (b - 1) = ab - a - b.

Покажем теперь, как с помощью этой же леммы сделать переход от n = 2 к n = 3 (тем самым задача M837 будет решена; в общем случае переход от n к n + 1 совершается аналогично). Перешем представление вида (1) числа u, как показано на полях. Поскольку c и ab взaimно просты, по лемме можно найти (причем единственным образом) целые v и z, 0 ≤ z ≤ c - 1, такие что u = cv + abz, а затем — x и y, 0 ≤ y ≤ b - 1, такие что v = bx + ay. Это доказывает утверждение 1) для n = 3. Для доказательства 2) достаточно заметить, что красным u отвечают красные v, а стандартному представлению u — стандартное представление v, в котором x ≥ 0.

На рисунке отмечены красные и сине числа для a = 2, b = 3, c = 5; здесь m = 29. Видно, что они располагаются симметрично относительно точки m/2; если u — красное число, то m - u — сине. Из нашей решения нетрудно вывести, что так будет и в общем случае (при любых a, b, c): красные числа — это всевозможные значения функции u(x,y,z) = bcx + cay + abz на множестве точек пространства с целыми координатами (x, y, z), где x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ b - 1, 0 ≤ z ≤ c - 1, сине — ее значения на множестве x ≤ -1, 0 ≤ y ≤ b - 1, 0 ≤ z ≤ c - 1. Эти множества симметрины, а функция u — линейная, поэтому и ее значения на этих множествах расположены симметрично.

Было бы интересно исследовать аналогичные задачи для представления целых чисел в виде Ax + By + Cz с любыми взаимно простыми коэффициентами A, B, C.

А. М. Абрамов,
Н. Б. Васильев

M838. Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника ABC, разбиты на два множества E1 и E2. Верно ли, что для любого такого разбения в одном из множества E1 и E2 найдется трейка вершин прямого треугольника?

ОТВЕТ: верно. Доказательство проведем от противного. Пусть точки множества E1 окружены с ним цветом, множества E2 — красным. Предположим, что не существует прямого треугольника с однозвесными вершинами, и рассмотрим правильный шестугольник, вписанный в треугольник ABC (см. рисунок). Каждые две его противоположные вершины должны быть окрашены по-разному — если, например, противоположные вершины P и Q сине, то любая из остальных четырех вершин должны быть красной, так как образует вместе с P и Q прямой треугольник; но тогда любые три из этих красных точки образуют запрещенный однозвесный прямой треугольник.

Ясно, что в таком случае найдет две coseдние разноветные вершины шестугольника. Любо эти две вершины, либо противоположные им (то же разноветные!) лежат на одной из сторон треугольника. Пусть для определения на стороне AB лежат слияя вершина K и красная L, тогда противоположные им вершины K1 и L1 будут красной и сине (см. рисунок). Но тогда в какой бы цвет ни была окрашена вершина A, один из противоположных треугольников AKL1 и ALK1 будет однозвесным. Противоречие.

Это рассужждение показывает, что даже множество из восемми точки — вершин шестугольника и любых двух вершин треугольника — нельзя на подмножества без прямого треугольников.

Н. Б. Васильев, В. Н. Дубровский

M839*. Можно ли выбрать 1983 натуральных числа, не превосходящих 10^5, так, чтобы выбраны чисел не было ни одной трейки чисел, состав-

42

Ляоцих арифметической процедсии (то есть ни одной тройки $a, b, c$, в которой $a + c = 2b$)?

Не является средним арифметическим двух других). Докажем, что из множества $1, 2, \dots, 5 \cdot 3^k$ ($k \geqslant 0$) можно выбрать «хорошое» подмножество $X_k$, состоящее из $4 \cdot 2^k$ чисел.

На рисунке показаны первые шаги индуктивного построения нужного множества: $X_0 = \{1, 2, 4, 5\}$, а $X_{k+1} = X_k \cup Y_k$, где множество $Y_k$ получается из $X_k$ сдигром на $2a_k$, $a_k$ — наиболее число в $X_k$. Таким образом, $a_{k+1} = 3a_k$ и $a_k = 5 \cdot 3^k$, то есть $X_k \subset \{1, 2, \dots, 5 \cdot 3^k\}$, кроме того, на каждом шаге количество чисел в нашем «хорошем» множестве удаливается, то есть $X_k$ состоит из $4 \cdot 2^k$ чисел. Докажем по индукции, что все множества $X_k$ «хорошие». Для $X_0$ это очевидно. Проверим, что среднее арифметическое двух чисел из $X_{k+1}$ не входит в $X_{k+1}$. Посольку по предположению индукции множества $X_k$, а с ним и $Y_k$, «хорошее», можно считать, что одно из этих чисел, $x$, содержится в $X_k$, а другое, $y$, — в $Y_k$. Тогда $0 < x \leqslant a_k$, $2a_k < y \leqslant 3a_k$, поэтому $a_k < (x + y)/2 \leqslant 2a_k$, но числа от $a_k + 1$ до $2a_k$ по построению не входят в $X_{k+1}$.

Остается заменить, что множество $X_9$ содержит $4 \cdot 2^9 = 2048 > 1983$ чисел, и все они не превосходят $a_9 = 5 \cdot 3^9 = 98415 < 10^5$.

А. М. Абрамов

M840. a) Докажите, что если $a, b, c$ — дианы сторон треугольника, то выполено неравенство

$$a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geqslant 0.$$

Выясните, в каких случаях оно превращается в равенство.

б) Докажите, что для любых положительных чисел $a, b, c$ выполено неравенство

$$a^3b + b^3c + c^3a \geqslant a^2bc + b^2ca + c^2ab.$$

Ясно, что равенство $(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2$ возможно ли тогда, когда векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ коллинеарны, то есть $\frac{a^3b}{c} = \frac{b^3c}{a} = \frac{c^3a}{b}$ или $a = b = c$.

Имеется и короткое прикое доказательство с помощью выделения полных квадратов:

$$a^3b + b^3c + c^3a - a^2bc - b^2ca - c^2ab = (a^3b - 2a^2bc + c^2ab) + (b^3c - 2b^2ca + a^2bc) + (c^3a - 2c^2ab + b^2ca) = ab(a-c)^2 + bc(b-a)^2 + ca(c-b)^2 \geqslant 0.$$

a) Приведем два решения.

Первое решение использует замену переменных $x + y = c$, $y + z = a$, $z + x = b$ ($x, y, z$ — это отрезки, на которые стороны треугольника разбиваются точками касания вписанной окружности). Можно проверить, что после этой замены неравенство пункта a) приводится к виду

$$xy^3 + yz^3 + zx^3 \geqslant x^2yz + y^2zx + z^2xy,$$

а это неравенство, как мы доказали выше, справедливо при любых неопределенных $x, y, z$.

При этом, чтобы не запутаться в выкладках и не вычислять всех членов разложения, можно использовать «симметричность» левой части неравенства пункта a) относительно цикли-