Квант 1984, №5 · Страницы

ISSN 0130-2221
5
1984
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Перед вам фотография трехов загруженных частиц, зарезистрированных в пузьрьковой камере. Одини треки — одиночные, пересекающие все поле фотографии и соответствуюте частицам, которые попадают в камеру извлекае. Другие — это парные треки (похожие на бараны рода), закрученные в противоположные стороны. Они начинаются в точках внутри камеры и соответствуюте структуре электронно-политронных пар при стольновении γ-квантов с ядрами atomов живкого вещества, заполняющего камеру. О том, как просходит процесс образования электронно-политронной пары и обратный ему процесс annihilation электрона иpositronа, можно прочитать в статье «Физика 8, 9, 10», опубликованной в этом номере журнала.

В НОМЕРЕ:

3. И. К. Кикoin. Философские идеи В. И. Ленина и развитие современной физики
4. С. М. Воронин, А. Г. Кулядин. Метод произвольных функций
5. С. Н. Артеменко, А. Ф. Волков. Синтетические металлы — новый тип проводников

IN THIS ISSUE:

1. К. Кикoin. V. I. Lenin’s philosophical ideas and the development of contemporary physics
   S. M. Voronin, A. G. Kulagin. The method of generating functions
   S. N. Artemenko, A. F. Volkov. Synthetic metals — a new kind of conductor

Новости научки
10. В. А. Бронштэн. Неетронная звезда, черная дыра или …?

Science news
V. A. Bronshten. Neutron star, black hole or…?

Наш календарь
22. Пьер Кюри

Our calendar
Pierre Curie

Лаборатория «Кванта»
23. Е. И. Бутиков. Связанные матники

Kvant’s lab
E. I. Butikov. Linked pendulums

Matematический кругок
26. В. М. Уроев. Инверсия

Mathematics circle
V. M. Uroev. Inversion

Школа в «Кванте»
33. Физика 8, 9, 10
36. Непослушные задачи
37. Избранные школьные задачи

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Disobedient problems
Selected school problems

Геометрическая страница
38. Эвволюта

The geometric page
The evolute

«Квант» для младших школьников
40. Задачи
41. Задача в картинах

Kvant for younger school-children
Problems
A problem in pictures

Задачик «Кванта»
42. Задачи M861—M865; Ф873—Ф877
45. Решения задач M847—M850; Ф858—Ф861

Kvant’s problems
Problems M861—M865; P873—P877
Solutions M847—M850; P858—P861

Информация
53. Ижевскому НОУ — 5 лет

Information
The Izhevsk school scientific society is 5 years old

Варианты вступительных экзаменов
54. Варианты вступительных экзаменов

College entrance examination problems

Ответы, указания, решения
Смесь (21)
Шахматная страница
«Бермудский треугольник» в центре доски (3-я с. обложки)

Answers, hints, solutions
Miscellaneous (21)
The chess page
The “Bermuda triangle” in the chessboard’s centre (3rd cover page)

На первой странице обложки изображения зволота эллипса, построенная ЭВМ по проекции физико-математической школе Аки Бабаковой. Эвлопити обсуждаются на «Геометрической странице» внутри номера.

С Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1984

Петр Леонидович Капица

8 апреля 1984 года на 90-м году жизни скончался крупнейший физик нашего времени, выдавшийся организатор советской научки, член председума Академии наук СССР, директор Института физических проблем, дважды Герой Социалистического Труда, один из инцицаторов создания журнала «Квант» и член его редакционного совета, академик Петр Леонидович Капица.

П. Л. Капица внес крупный вклад в развитие физики магнитных явлений, физики и технических температур, физической электроники. Он был членом Лондонского корполевского общества, иностранным членом академий наук США, Швеции, Дании, Польщии, Индии и ряда других стран, лауреатом Государственных премий СССР и Нобелевской премии.

П. Л. Капица активно участвовал в Пагушском движении ученых за мир. Он горяче любил молодежь и был одним из основателей Московского физico-технического института. Светлая память о нем нассердена сохраниться в истории советской научки.

3

Философские идеи В. И. Ленина и развите современной физики

(к 75-летию книги В. И. Ленина «Материализм и эмпирокритиизм»)

Академик И. К. КИКОИН

В своей книге «Материализм и эмпирокритиизм» В. И. Ленин дал исчерпивающий анализ философских проблем современной ему физики. Величащее значение этого труда Ленина заключается в том, что в нем был разработан метод анализа философских проблем научки, который и сейчас пользовется процессивые учены.

Владимир Ильич Ленин был не только великим политический и государственный деятелем, но и великим ученым.

Особая роль физики в развитике как технически, так и философии является причиной представления Ленина к вопросам новой физики (может быть, на интерес Ленина к физике в какой-то мере повлияло и то, что его отец Илья Николаевич Ульянов был учителем физики).

Ленинский метод научной работы особенно близок сердцем физиков. В своей теоретической работе Ленин всегда опирался на опыт, на практику как на критерий истинны. Ленин следующими словами Энгельса появляется идею «критерия практики»: «В тот момент, когда, сообщенное воспринимаемым нами свойством какой-либо вещи, мы употребляем ее для себя,— мы в этот самый момент подвергаем безошибочному испытанию истинность или ложность наших чувственных восприятий. (Курсив мой — И. К.)〈…〉 … Успех наших действия дает доказательство соответствия (Übereinstimmung) наших восприятий с предметной (gegenständlich) природой воспринимаемых вещеей »*).

Но история научки знает немало примеров, свидетельствующих о том, что явно неправильные с современной точки зрения представления учены приводили, тем не менее, к «успесу наших действия».

*) Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 18, с. 109—110.

4

Для примера возьмем старую теорию магнетизма, по которой намагниченный кусок стали рассматривался как магнитный диполь, состоящий из двух магнитных полюсов, или «магнитных зарядов» (по аналогии с электрическим диполем). Пользовать этим представленем, физики создают магнитостатку, на котором базируется вся практика и техника использования магнитов. Эта практика быстро передвигала теорию «магнитных зарядов». Между тем теперь хорошо известно, что никаких магнитных зарядов в действительности не существует. И когда сейчас говорить о магнитных полюсах, то обязательно оговоривают, что это фиктивное понятие.

Выходит, что критерий практики не может служить надежной основой для выяснения истинности наших представлений о том или ином предмете? Это, разумеется, не раздный вопрос.

Один из крупнейших физиков-теоретиков современности Ричард Фейнман, пытаясь выяснить, что же такое философское толкование физического закона, иллюстрирует значение этого вопроса следующим примером.

«Пусть те, кто настоявает на том, что единственное важным является лишь соглашение теории и эксперимента, представляет себе разговор между астрономом из племени майя и его студентом. Майя умели с поражительной точностью представлять, например, время затмения, положение на небе Луны, Венеры и других планет. Все это делалось при помощи арифметики… У них не было ни малейшего представления о врашении небесных тел.

Представьте себе, что к нашему астроному прихотит молодой человек и говорить: «Вот, что мне пришло в голову. Может быть, все это верится, может, это шары из камня… и их движение можно расчитать совсем иначе». Далее, узнать, что молодой человек еще не должен до расчетов движения планет, астроном майя ответит ему, что мы можем и так достаточно точно вычислять затмения, так что не стоит возиться с твоими идеями.

Как видим, — заканчивает Фейнман, — нелегкая задача — решить, стоит или не стоит задумывать над тем, что кроется за нашими теориими.

Это и в самом деле нелегкая задача. Ведь если принять безоговорочно утверждение, что критерим истинны является практика, то такое утверждение, как видно из приведенных примеров, может привести к застою в науке.

Эту нелегкую задачу с блеском решил В. И. Ленин.

Утверждая, что «точка зреня жизни, практики должны быть первой и основной точкой зреня теории познания», Ленин добавляет: «Конецно, при этом не надо забывать, что критерий практики никогда не может по самому сути дела подтвердить или опровергнуть полностью какого бы то ни было человекого представления. Этот критерий тоже настояble «неопределенен», чтобы не позволять знаниям человека превращаться в «абсолот», и в то же время настояble определен, чтобы вести беспошадную борьбу со всеми разновидностями идеализма и агностиизма»)..

«…Отсюда,— продолжает Ленин,— вытекает признание единственным путем к этой истине пути науки, стоящей на материалистической точке зреня.»*** (Курсив мои. — И. К.)

Подавляющее большинство физков сознанелно или стихийно руководствуется именно таким ленинским понятием критерия практики.

Опыт служил Ленин надежной опорой, когда он формулировал основы философских воззрения. Иллюстрацией к этому может служить следующее пример.

Ленин считал необходимым проверить историй науки (то есть проверить экспериментально, как сказал бы физик) одно из основных положений диалектики — так называемое «единство противоположностей». Свою заметку «К вопросу о диалектике» Ленин так и начинает: «Развоеение единого и познание противоречных частей его… есть суть (одна из «сушностей», одна из основных, если не основная, особенностей или черта) диалектики.〈…〉 Правильность этой стороны содержания диалектики должна быть проверена историй науки»**.)

*) Агностизимом называется философское учение, отрицание возможности познания объективного мира, ограничивающее роль науки лишь познанием явлений. (Прим. моe. — И. К.)

**) Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 18. c. 145—146.

***) Там же, с. 146.

****) Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 29, c. 316.

5

Это высказывание Ленина не было простой декларацией. Такую проверку он сам осуществил в своей классической работе «Материализм и эмпирокритизм», написанной в 1908 году, в работе, которая оказала и продолжает оказать огромное влияние на развитие науки.

Написанный в годы крутого перелом основных физических представления, этот труд дал исчерпывающий физический анализ данных физики того времени.

Известно, что Ленин называл «гигантскими, головокружительными» успехи физики за последнее три десятилетия XIX столетия и первые годы XX столетия. В еще большей мере такое оценку можно дать успехам физики за годы, прошедшие после выхода в свет книги Ленина «Материализм и эмпирокритизм».

Начало нашего века ознакомовалось величайшей революцией в физике. В 1905 году была опубликована знаменитая работа Эйнштейна «К электроннымнике движущихся тел», представляющая собой основу специальной теории относительной теории относительной.

Мы не можем здесь подробно изложить эту теорию. Существу ее заключается в «простой» идее о том, что в движущихся друг относительно друга системе отчета время течет по-разному. Теория относительной внесла коренные изменения в представления о времени и пространстве — об этих основных физических и физических понятиях. Сейчас, когда основы теории относительной внесла внесла коренные изменения в представления о времени и пространстве — об этих основных физических и физических понятиях. Сейчас, когда основы теории относительной внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла внесла

Известно, что вопрос о том, что такое масса тела в режиме времени казался довольно сложным и ответы на него разных физков были противенными. К сожалению, и в нашей время передко неоторные авторы придерживаются устарелых определений этой важнейшей физической величины. Это связывано с тем, что сам Ньюотон, который несомненно понял, что такое масса тела, в своей книге «Математические начала натуральной физией» дал не очень удачное определение этой величины. Точно определение понятия массы дал впервые известный механик Сен-Венан. Так же определил эту величины Л. Больцман в своих лекциях о принципах механики. Оно основано на опытах по взаимодействию тел.

Опыты показали, что отношение ускорения двух взаимодействующих тел есть величины постоянная и не зависит от условий взаимодействия и других условий. Обратное отношение ускорения называют относением масс этих тел. Чтобы массу отдельного тела,

*) Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 18, с. 276.

6

выбирают какое-нибудь тело, массу которого условно принимают за единицу — этаон массы. Отсюда следует определение массы: масса тела — это величины, выражающая его инертоность, она определяет отношение модели ускорения этаона массы к модели ускорения тела при их взаимодействии.

Упомянутый выше идеологический противник В. И. Ленина, не поняв смыслла приведенного определения, решил его использовать для «опроверения» материалистического микроэзерения, указав, что понятие материи… сводится к обратному отношению ускорения взаимодействия тел!

В. И. Ленин объявил не зададальную функцию его ошибку следующего слова: «Понятно, что если какое-нибудь тело взят за единицу, то движение (механическое) всех прочих тел можно выразить простым отношением ускорения. Но ведь «тела» (т. е. материя) от этого вовсе еще не исчезают, не перестановted существовать независимо от нашего сознания»*). Приведенный пример показывает, насолько ясно, профессIONALно В. И. Ленин разбирался в сложных, по тем временам, понятых физики.

Революцию, сравнимую с той, которую произвела теория относительнойности, совершила в физике и квантовая механика. Уже упоминавшийся ранее Ричард Фейнман свидетельствует, например, что «…было время, когда газеты писали, что теория относительнойности понятий только давалась человек». Не соглашаясь с таким мнением и считая, что многие учены, прочитав статью Эйнштейна, так или иначе поняли теorio относительнойности, Фейнман продолжает: «Не мне кажется, я смело могу сказать, что квантовой механики никогда не понимает».

Это очень чистое заявление одного из крупнейших физικών-теоретическов, только много сделавшего для развития квантовой электродинамики, весма многозначительно.

Далее Фейнман появляется, что значит «попитать» квантовую механику. Это значит найти ответ на вопрос: «Как же так может быть?».

Современная физика — это квантовая физика. Успех квантовой механики можно назвать исключительными.

Она позволяет раскрыть тайну строения.atoma. Пользовь квантовой механикой, можно с любой степенью точности расчитать atom, то есть вычислить детальную электронную структуру.atoma. Эти вычисления находятся в потрясающем по точности согласно с экспериментом.

Вся современная квантовая электроника с ее разнообразными техническими применениями (лазерами, мазерами и т.п.) — это продукт квантовой механики. Квантовая механика еще не стала обеектом изучения в школе, но ее приложения уже изучаются в техническихузах.

И при всем том крупнейший авторитет в этой области физики утвердает, что ее никто не понимает!

Попытаемся разобраться, в чем причины непонимания квантовой механики.

Дело в том, что уже при самом заорожении квантовая механика содержала противоречия. Обратимся, например, к простейшем проявлении квантовой природы света — к фотолектрическому эффекту.

В теории фотоэфекта, развитой Эйнштейном, свет частицы v рассматривается как поток «частиц» — фотонов, энергия которых E=hv (h — постоянная Планка). Когда фотоны достигают поверхности металла, некоторые части их поглощаются электронами. Электрон, поглотивший фотон, прибретает энергию hv. Обладая такой энергий, электрон может покинут металл, вылететь наружу. При этом он теряет часть прибретаенной энергии, затратив ее на «работу выхода» A. Поэтому максимальная книетическая энергия, с которой электрон вылетит из металла, равна

$$\frac{1}{2}mv^2=hv - A.$$

Эта заменит формула Эйнштейна для фотоэфекта подтверждается многочисленными экспериментами и лежит в основе бесконечных применений этого явления.

Так вот, если вдумать в смысл формулы Эйнштейна (она была получена им тоже в 1905 году), то сразу становится ясно противоревность.

Входящая в эту формулу величины E=hv — это энергия «световой частицы» (фотона), а величины v — частота света, состоящего из частиц. Но частота — это величина, характеризующая

7

волну. Понятие частоты света появилось после того, как в XIX столетии было установлено, что свет представляет собой процесс распространения колбаний. Такой процесс и называется волной. Но волна, по самому смыслу этого понятия, занимает большую область пространства (если говорить строго — всё пространство). Частца же — это нечто такое, что локализовано в пространстве, занимает малый объем. Поэтому основное выражение $E=hv$, связывающее энергию фона, то есть частцы, с частой световой волны, представляется с точки зрения «здравого смысла» абсурдным.

Фотоэлектрические явления неопровержимо доказали, что свет представляет собой поток частиц.

С другой стороны, существуют столбже неопровержимые экспериментальные доказательства того, что свет представляет собой волновой процесс. Действительно, само характерное свойство волн заключится в следующем: если наложить две волны друг на друга так, чтобы гребень одной совпал со владиной другой, то волнение вовсе прекратиется. И наоборот, когда гребни одной волны совпадают с гребнями другой, волнение усиливается. Это хорошо известное явление называется интерференцией волн. Можно утверждать, что если в опите наблюдается явление интерференции, то мы имеем дело с волной.

Волновая теория света утвердилась в начале того, как было показано, что неокотые точки экрана, освещаемого одновременного двумя одинаковыми источниками света, оказываются темными, тогда как при действии каждой из источников в отдельности экран освещен равномерно.

Практика, следовательно, привела к необходимости принять парадоксальный факт, что как волновая, так и квантовая теория света верны, а формула $E=hv$ устанавливает связь между этим противоречащими друг другу теориими.

Этот вызов «здравому смыслу» достигет своей культиманции в 1924 году, когда двойственное понятие «волна — частница» путем теоретических рассужdenя было распространения на электроны и atoms. Другими словами,Atom и электрон, которые с момента их открытия обладают всеми свойством частиц, должны вести себя и как волны. И очень скоро эксперименты подтвердили эти теоретические выводы.

Основы квантовой механики были заложены в 1925—1927 годах. Существенный вклад в ее развитие внес немецкий физик Вернер Гейзенберг. Он формулировал так называемое соответствие неопределенностей, вокруг которого разгрелась община философская дискуссия. Многих известных физиков это соответствие привело в лагерь философских идеалистов.

На первый взгляд соответствие неопределенностей имеет совершенное безобидный вид:

$$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{2\pi}.$$

Здесь $\Delta x$ — неопределенность (неточность) значения координат частицы, $\Delta p$ — неопределенность значения импульса частицы и $h$ — постоянная Планка. В переводе на разговорный язык формула ознакомает, что нельзя в одно и то же время точно узнать место и скорость движения частицы. Другими словами, если мы попытаемся определить точное значение скорости частицы, находящейся в данной момент встроенного точке ее траектории, то сделать это нам не удалось. И наоборот, если мы заставим частицу двигаться со строю определенной скоростью, то мы не смогем точно указать, в какой точке траектории находится в данной момент времени. Отсюда легко сделать «простейшее» заключение явно идеалтического характера о том, что знания человека принимаются, раз нам не дано ответить на такой простой вопрос. Более того, отсюда же можно сделать заключение, столбже идеалтическое по своему смыслу, что события в мире нередсказуемые, то есть нарушается принцип принципности.

Действительно, мы привели к тому, что классическая механика позволяет нам предвидить будущее движение тела, если известны его начальное положение и скорость, а также действующие на него силы. На этом строится вся классическая механика. Так, успехи космонавтики основаны на том, что, знание место старта пакеты (начальные координаты), сообщив пакете известную начальную скорость, мы можем по законам классической механики заранее предсказать, где будет находиться пакета в любой момент времени.

8

Иное дело с частицей, подчиняющейся квантовой механике. Раз мы, в соответствии с соответствием неопределенностей, не можем точно указыть ее координаты и скорость в данной момент времени, то, очевидно, мы не можем предсказать, какими они станут в будущеем. Нетрудно догадаться, что все это является следствием того, что частицы (электроны, атомы, нейтроны и т. д.) обладают волновыми свойствами.

В самом деле, рассмотрим следующий грубо схематизированный опыт, который, тем не менее, очень недалекот действительное осуществляемых опытов. Представим себе, что через два ответствия в экране пролетают электроны, испускаемые каким-то источником, например накаленной проволочкой. Позади экрана мы можем передвигать параллельно ему счетчик электронов. Счетчик регистрации каждой попавший в него электрон. Значит, число электронов можно неопределенно осуществить.

Естественно полагать, что каждый электрон, попадающий в счетчик, прошел через одно из двух ответствий. Поэтому, если мы сосчитаем число электронов, попавших в счетчик через ответствие при закрытом втором, затем проделаем то же самое с электронами, попавшими в счетчик через второе ответствие при закрытом первом, мы впраve ожидать, что число электронов, попавших в счетчик через оба ответствия, будет равно сумме показанной счетчика. Мы уверены, что так было бы, если мы стреляли из пулемета через броневой щит с двумя ответствями, за которым в каком-нибудь месте помещен ящик с пеком, где застревают протеевшие пули. Можно не сомневаться в том, что число пуль, попадающих в ящик с пеком при открытии обихх ответствях в шите, равно сумме чисел пуль, попадающих в тот же ящик через каждое из ответствий в отдельности (конечно, за один и тот же промежуток времени, скажем, за час).

Но когда мы «стреляем» электронами, этого не получается! Большое того, может оказаться, что установленный в надлежащем месте счетчик, зарегистрироващий одинаковое число электронов при их прохождения через каждое ответствие в отдельности (когда одно из ответствий закрыто), не зарегистрировано, ручет ни одного электрона, когда открыты оба ответствия.

Естественно возникает вопрос: как это может быть?

Нетрудно усмотреть здесь то же явление, которое наблюдается при освешении экрана двумя одинаковыми источниками света, то есть явление интерференции.

Попытемся теперь ответить на вопрос, почему непонятна квантовая механика. Это помогет нам найти корни идеалстических вывода, к которым пришли некоторые философы и физики, анализируя создавшееся в физике положение.

Основная трудность понимания расстояний выше физических явлений заклонается в том, что мы пытаемся при их анализе пользоваться теми же понятями, к которым мы привыклили в повышенной жизни. Многовековой опит человекства приведел к тому, что человек считает для себя понятным то, что он может представить себе в виде геометрического или механического образа. Этот опит, практика изучения окружащего мира приведел к созданию ряда понятей, при помощи которых реализый мир отражается в мозгу человека. Но до XX века человекство занималось лишь макросоппециальными темами, движущимися со сравнительно небольшими скоростями. Макросоппециальными называются тела, которые можно видеть, определять их форму и размеры (создать геометрический образ) и изучить их движение (создать механический образ). К этому опиту были приспособлены и соответствующие понятия.

Механика Ньютона, разработанная применительно к движению макросоппециальных тел, установила, что механическое состояние тела однозначно определяется координатами и имплусом (или скоростью, если массу тела считать неизменной).

Но вот мы перешли к миру объектов, подчиняющихся квантовым законом, чужым механике Ньютона. Человеческий опит не успел еще выработать образы объектов и понятия, соответствующие этому миру.

Если опит показывает, что эти объекты обладают и свойствами частиц, и свойствами волн, то в действительности они не волны и не частицы, а должны быть чем-то инным, «едининым»

9

в противоположности». И действительно, если внимательно рассмотреть экспериментальные доказательства того, что электрон есть общная механическая часть, то мы убедимся, что это весыма косвенные доказательства. Скорее всего только глубокое убежение физков в atomистическом строении вещества привело их к выводу, что опыты с электронами (и атомами тоже) свидетельствуют о том, что они являются частицами в общном механическом смысле.

Далее Эйнштейн не мог отречься от «механической» точки зрения на движение электрона. Он часто качал головой и говорил: «Не ведь не гадает же богат «орел — решка», чтобы решить, куда должен движаться электрон».

В нашей время достоверность реализации atomов, электронов, протонов может соперничать с достоверностью системы Коперника в атомомии. Но это не значит, что мы можем представлять себе эти объекты как уменьшенную модель астроνομических тел. Мы до сих порник не можем их себе представить; они ни на что не похожи. И в этом природа не вновьата!

Было бы, конечно, выражением высшей степени физического идеализма считать, что природа должна так приспособиться к человекескому разуму, чтобы он мог образно представить себе все ее объекты. Именно потому, что мы не можем представить квантовые объекты в виде геометрических и механических образов, мы считаем их непонятными.

Но если это так, то какие у нас основания предполагать, что состояние квантовых объектов должно представляться теми же величиными, то есть координатами и импульсом, которые определяются состояние небесных тел? Словом, вопрос «каковы координаты и импульс в данной момент времени?» применительно к квантовым объектам — незаконный вопрос. Ведь не всякий вопрос правомерен. Например, нельзя ответить на вопрос «какого цвета пульковский меридан?». Но из этого не следует, что возможность познания ограничены!

В такой же мере, по-видимому, неправомерен вопрос «каковы координаты и импульс электрона?».

К создавшейся ситуации в квантовой механике как нельзя лучше применены слова Ленина: «Движение тел превращается в природа в движение того, что не есть тело с постоянной массой, в движение того, что есть неведомый заряд неведомого электричества в неведомом эфире,— эта диалектка материалов превращений, продельываемых в laboratorии и на завода, служит в глазах идеалистики… подтверждением не материалов естественных диалектики, а доводом против материалов…»).

Из того, что было сказано выше, ясно, что «неопонятность» квантовой механики не дает никаких оснований для идеалистических выводов об ограниченности возможности познания природы.

Также лишен основания идеалистический вывод о нарушении принципности, то есть о непредсказуемости событий.

По квантовой механике состояние в полне определяется специальной величины, так называемой волновой функцией. Для нее имеется уравнение, решив которое, физик в полне может представить, какой у него получится результат опыта. И не было случай, чтобы уравнение квантовой механики подводили экспериментаторов!

Здесь волне имеет следующее высказывание Ленина о современной ему новой физике: «…все это много мудреннее старой механики, но все это есть движение материалов в пространстве и во времени»**).

В нашей все больше и больше физков всего мира становятся на позиции диалектического материалов. В своей время Ленин показал, что современные ему физики не сумели «прямо и сразу подняться от мета физического материалов к диалектическому материалов». Но он предвидел, что «этот шаг делает и сделает современная физика».

Это предвидение Ленина события!

10

Неятронная звезда, черная дыра или …?

Кандидат физико-mатематических наук
В. А. БРОНШТЭН

Все началось довольно позицично. В 1977 году американские астрономы Б. Стефенсон и Н. Сандулак, завершив многолетний труд, опубlikовали новый катаалог звезд Млечного Пути с яркими линяями водорода в спектре.

Уже на следующий год одна из звезд нового каталога, получившая обозначение SS 433, привлекла все общее внимание. Это слабенькая звездочка (14-ий звездной величины) в созвездии Орла, наблюдать ее можно только в крупные телескопы. Однако, если в спектре звезды наблюдаются яркие линии, значит, звезда проявляет необучную активность. Ее решили «проверить». Оказалось, что в близи этой звезды находится источник радиозеления, напоминающий остаток взрыва сверхновой звезды. Почти в той же точке неба был зарегистирован и источник рентгеновского излучения. Но самое удивительное было связано все же со спектром самой звезды.

Начиная с июля 1978 года астрономы из Калифорнияского университета (США) начали систематически fotografировать спектры нового объекта. Они оказались какими-тостраными. Вместо каждой линейного водорода, геля и других газов наблюдась три линни: одна там, где её положено быть, и еще две по бокам. Вскоре обнаружилось, что боковые линни смешаются: они как бы сходятся, приближаясь друг к другу. В сентябре этого же года крайние линни сошлись, но при этом не совпали со средней линейей! Затем они опять начали расходиться. Наблюдения, проводные в течение полутора лет, показали, что линни сходятся и расходятся с периодом в 165 суток.

Чем можно обьясить расщепление каждой спектральной линни на три?

В принципие, возможно три причины: смещение линей в гравитационном поле, расщепление линей сильным магнитным полем и эфект, связанный с движением источника излучения (эффект Доплера). Первые два механизма были ответнуть, поскольку им не нашлось соответствующих подтверждений. Остается эффект Доплера — смещение линей при движении источника относительно наблюдается. Но это означает, что исследуемый объект должен содержать по меньшей мере три источника излучения: один неподвижный и два движущихся в противоположных направлениях. Согласно расчетам, скорости последних достигают 80 000 км/c — более чем скорости света!

Что же представляют собой эта система источников? Может быть, это центральная звезда с двумя спутниками, обращающихся вокруг нее с периодом, равным 165 суткам? Но такому периоду и указанным гигантским скоростям движения спутников соответствует радиус орбиты, в 1000 раз превышающее среднее расстояние от Земли до Солнца, и масса системы порядка 10^10 солнечных масс. Таких звезд проще не бывают!

Не может данный объект быть и квазаром (далеким квазизведным источником радиоизлучения): объект находится в пределах нашей Галактики.

Начались разработки возможной модели звезды SS 433. Одну из первых предложили английские астрофоны Э. Фабиан и М. Рисс. Согласно их гипотезе, некое центральное тело в результате пока еще не известного процесса выбрасывается в двух противоположных направлениях два потока газа со скоростями порядка 80 000 km/c. При этом все системы испытывает прецессию — хорошего известное движение оси системы по конусу, как у детского волка или у нашей собственной планеты. Перiod этой прецессии и равен, по уточненным данным, 164 суткам. Но что же находится в центре?

По мнению Фабиана и Рисс центральным телом может быть, например, черная дыра. Советский астрофилик И. С. Шкловский высказал другую гипотезу. Он предложил, что в центре находится нейтронная звезда, обладающая сильным магнитным полем, а неподалеку от нее — нормальная звезда. Вещесто нормальной звезды под действием прияжения перетекает к нейтронной звезде, образуя вокруг нее газовый диск. Магнитное поле быстро врашающее нейтронной звезды, подобно гигантскому фонтану, выбрасывает две газовые струпы: одну — в стороны Земли, другую — в противоположную сторону.

Развивая эту модель, советский ученый И. Д. Новков и его сотрудники предложили, что нейтронная звезда выбрасывает потоки быстрых частиц, которые, взаимодействующая с веществом диска, разгоняет это вещество до сверхвысоких скоростей.

Все же мы не можем сейчас дать окончательный ответ на вопрос, что же находится в центре объекта SS 433. Исследования продолжаются!

Метод производящих функций

Доктор физико-математических наук
С. М. ВОРОНИН,
А. Г. КУЛАГИН

Метод, называемый в заглавии статы, — красивый и неожиданный математический прием, позволяющий свойства задания из теории чисел, теории вероятностей и комбинаторики к заданием из анализа. Часто оказывается, что для анализческой переформулировки задания, полученной этим методом, удалется быстро найти решение, в то время как другие подходы к исходной задаче ничего не дают. Следует сразу оговорить, однako, что метод производящих функций не является «волшебной палочкой», с помощью которого можно решить все задания (см. ниже задачу Ферма, для решения которого он оказывается бесполезным).

Вначале, не вдаваясь в тонкости теории, мы показем, как работает метод производящих функций в четырех классических задачах. Затем кратко остано-вимся на обосновании метода, а в конце предложим ряд задач, решаемых с его помощью.

Задача о взвешивания

В 50-х годах XVIII века Л. Эйлер решал следующую задачу: какие другие можно взвести цифры в 1, 2, 2², 2³, …, 2ⁿ,… грамм, и сколько способами?

Мы не знаем, как быстро и каким образом Эйлер пришел к ее решения, но окончательный ход мысли великого петербургского математика, должен до нас, поражает свой неожиданное. Посудите сами.

Эйлер рассматривает… произведение α(z)=(1+z)(1+z²)(1+z⁴)(1+z⁸)·…,
(1)

которое, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, представляется в виде «бесконечного многочлена по z»:

α(z)=1+A₁z+A₂z²+A₃z³+….

(2) Чему же равны числа Aₙ(k=1, 2,…)? Каждый Aₙ — это коэффициент при zⁿ, а zⁿ получается как произведение кажих-то однолетов z²ⁿ (не более одного из каждой скобки в (1)), то есть Aₙ — это в точности число разных представлений числа k в виде суммы неокторных чисел 1, 2, 4, 8, …, 2ⁿ,… (продумайте это место). Другими словами, Aₙ — это

12

число способов взвешивания груза в $k$ грамм рассматриваемых гирями!

Итак, для решения исходной задачи остается вычислить $A_k$. И здесь — очередной неожиданный ход Эйлера. Он пишет оченьные тожества

$$\begin{align*} (1-z) (1+z) &= 1-z^2, \\ (1-z^2) (1+z^2) &= 1-z^4, \\ (1-z^4) (1+z^4) &= 1-z^8, \end{align*}$$

а после перемножения и сокращения на общие множители получает

$$1-z (1+z) (1+z^2) (1+z^4) (1+z^8) \cdot \dots = 1,$$

то есть $(1-z) \alpha(z) = 1$, откуда

$$\alpha(z) = \frac{1}{1-z} = 1+z+z^2+z^3+z^4+\dots$$

(здеся написана хорошо вам известная формула суммы геометрической прогрессии*). Сравнение (3) с (2) показывает, что $A_k = 1$ для всех $k$, то есть всякийгруз в целое число граммов можно взвести цирами в 1, 2, 4, …, $2^m$, … граммов, при этом единственный способом.

Задача о разбиении числа

Так Эйлер называл следующую задачу: найти число положительных целых решений уравнения

$$x_1 + \dots + x_m = k,$$

(4)

еде $m$ и $k$ — фиксированные натуральные числа. Здесь к целю приводит другое неожиданное выражение, именно

$$\beta(z) = (1+z+z^2+z^3+z^4+\dots)^m.$$

После раскрытия скобок, $\beta(z)$ записывается в виде

$$\beta(z) = 1+B_1z+B_2z^2+B_3z^3+\dots$$

(6)

Чему равно $B_k$? Попробуйте ответить на этот вопрос сами, имея в виду, что $B_k$ — коэффициент при $z^k$. Да, разумеется: коэффициент $B_k$ равен числу способов выбора по одному целому показателю из каждой из скобок в правой части (5), то есть $B_k$ равно числу положительных целых решений уравнения (4)!

Задача Эйлера свелась к вычислению $B_k$.

Для этого, вспомним формулу геометрической прогрессии, можно написать

$$\beta(z) = (1-z)^{-m} = 1+B_1z+B_2z^2+B_3z^3+\dots$$

(7)

Дифференцируя это равенство

$$m(1-z)^{-m-1} = B_1+2B_2z+3B_3z^2+\dots$$

и подставляя $z=0$, получаем $B_1=m$.

*) Если $|z|<1$. Но к этому мы еще вернемся.

Дифференцируя еще раз и вновь подставляя $z=0$, получаем $B_2=m(m+1)/2$. Продолжая точно так же (то есть продолжениеравов (7) $k$ раз и подставив $z=0$), мы получаем, следуя Эйлеру, число решений уравнения (4) в виде

$$B_k = \frac{m(m+1) \cdot \dots \cdot (m+k-1)}{n!}$$

Задача о размене

Сколькоми способами можно разменять рубль монетами достинством 1, 2, 3, 5, 10 копеек? Эту задачу можно сформировать иначе: сколько неотрицательных целых решений имеет уравнение

$$x_1+2x_2+3x_3+5x_4+10x_5=100?$$

В более общем виде «задачу о размене» ставят так: сколько неотрицательных целых решений имеет уравнение

$$a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_mx_m=n,$$

(8)

если $a_i$ — целые положительные числа, а $n$ — фиксированное натуральное число?

Рассмотрим выражение

$$\gamma(z) = (1+z^a_1+z^a_2+z^a_3+\dots) \times (1+z^a_2+z^a_2+z^a_3+\dots) \times (1+z^a_m+z^a_m+z^a_m+\dots) = 1+C_1z+C_2z^2+C_3z^3+\dots$$

Если вы поняли предыдущие рассуждания, вы сразу скажете, что число $C_n$ равно числу решений уравнения (8). Но как найти $C_n$? Пользовать формулу суммы бесконечного убывающего геометрического прогрессии (например, $1+z^a_1+z^a_2+\dots=1/(1-z^a_1))$, можно $\gamma(z)$ представить в виде

$$\gamma(z) = \frac{1}{(1-z^a_1)(1-z^a_2)\dots(1-z^a_m)},$$

но от сюда сразу не ясно, как получить $C_n$ в общем случае. Однако уже формулы (9) достаточно, чтобы найти $C_n$ при малых $n$.

Задача о четырех квадратах

Всякое ли целое число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел, а если можно, то сколькими способами? Другими словами, сколько целых решений имеет уравнение

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=m,$$

(10)

еде $m$ — данное натуральное число?

Эта задача потребнее предыдущих, хотя она сводится к как и они, к вычислению коэффициентов неокоторого «бесконечного многочлена». Именно, положив

13

$$\delta(z) = \frac{1 + 2z + 2z^4 + 2z^9 + 2z^{16} + \dots}{1 + D_1z + D_2z^2 + D_3z^3 + \dots},$$

легко понять, что число искомых решений уравнения (10) равно $D_m$. Дифференцируя $m$ раз и подставляя $z=0$, можно найти $D_m$ в виде

$$D_m = \frac{1}{m!} \frac{d^m}{dz^m} \left( \delta(z) \right) |_{z=0}$$

где $\frac{d^m}{dz^m}$ обозначает взятие производной $m$-го порядка, а символ $|_{z=0}$ означает, что всему вместе $z$ нужно подставить 0. Для малых $m$ число $D_m$ можно сосчитать по этой формуле, но в общем виде это не непросто. Исходная задача по теории чисел сведена к некоторой задаче из анализа, но последнюю нужно еще решить!

Из результатов немецкого математика К. Г. Якоби (1804—1851) следует замечательная формула для $\delta(z)$

$$\delta(z) = 1 + 8 \sum_{m \neq 4k} \frac{mz^m}{1 - z^m},$$

которую также получил индийский математик С. Рамануджан (1887—1920). Из нее можно вывести, что уравнение (10) всегда разрешимо, и найти число решений этого уравнения.

Обсуждение метода

Попробуем теперь понять, в чем состоит общий метод, так удивительно сравотвший в разобранных задачах. В каждой из них рассматривалось некое «бесконечное выражение», содержащое букву $z$ (бесконечное произведение двучелов — (1), конечная степень бесконечной суммы — (5) и (11), произведение бесконечных сумм — (9)). Далее это выражение записалось в виде «бесконечного многочлена от $z$», то есть в виде

$$\alpha(z) = A_0 + A_1z + A_2z^2 + A_3z^3 + \dots + A_nz^n + \dots,$$

и выясалось, что коэффициенты $A_k$ дают ключ к решению задачи. Коэффициент $A_k$ удалалось затем вычислить, производя разные операции над бесконечными выражениями: выполнялисьарифметические действия над ними, они дифференцировались, преобразовавались по формуле геометрической прогрессии…

Естественно спросить: что представляют собой рассматриваемые нами бесконечные выражения, и законны ли те действия, которые над ними производились? Автор метода, Леонард Эйлер, видимо, не очень задумывался над этим вопросами — он операровал с бесконечными выражениями как с конечными, для него было важно лишь получение результата. Между тем беспечное обращение с бесконечностью tant в себе опасность ошибок.

Претенрный пример

Рассмотрим два «бесконечных многочлена»

$$\alpha(z) = 1 - z + z^2 - z^3 + z^4 - \dots,$$

$$\beta(z) = -1 + z - z^2 + z^3 - z^4 + \dots$$

и посчитаем бесконечную сумму

$$S(z) = \alpha(z) + \beta(z) + \alpha(z) + \alpha(z) + \dots$$

Если группировать слагаемые в $S(z)$ попарно, начиная с первой пары, получим

$$S(z) = [\alpha(z) + \beta(z)] + [\alpha(z) + \beta(z)] + \dots = \alpha(z) + 0 + 0 + \dots = \alpha(z)!$$

Не если группировать иначе, можно получить

$$S(z) = \alpha(z) + [\beta(z) + \alpha(z)] + [\beta(z) + \alpha(z)] + \dots = \alpha(z) + 0 + 0 + \dots = \alpha(z)!$$

А если менять порядок слагаемых, то можно прийти к еще более странному результату, например, $S(z) = 17z^{17}$ (подумайте, как это можно сделать).

Наверное, наступило время дать точные определения бесконечных выражений и выяснить, какие операции над ними законны.

Формальные степени ряды

Формальные степени рядом называется выражение

$$\alpha(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots + a_nz^n + \dots,$$

где $a_i$ — действительные числа (козффициенты ряда (12)), а $z$ — простым символом (форманая переменная ряда). Математики говорят также, что $\alpha(z)$ является производящей функцией для последовательности коэффициентов $a_0, a_1, \dots, a_n, \dots$. Не следует думать, однако, что в рассматриваемом нами общем случае $\alpha(z)$ является функцией от переменной $z$ в общим смысле. Когда мы говорим, что $\alpha(z)$ — производающая функция от последовательности $a_0, a_1, \dots, a_n, \dots$, это значит лишь то, что $\alpha(z)$ является сокращенной записью формального выражения в правильной части (12).

Для читателей, знакомых с понятием (обучного) степени ряда, подчеркием, что формальный ряд (12) может рассматриваться (при некоторых $z$ или даже при всех $z$), но при этом равенство (12) остается законным: ведь $\alpha(z)$ обозначает не сумму ряда для данного значения $z$, а сам формальный ряд.

Выдающийся немецкий математик К. Вейерштрасс (1815—1897), развивший и поставивший на сторую логическую основу степени рядов, рассматривал лишь сходящей степени ряды, и критиковал Эйлер заCommitные трики с «бесконечными многочленами». Современная алгебраическая теория формальных степени рядов, которое мы здесь касаемся, выполняется, однako по сути ближе к «наивному» подходу Эйлера, чем к строю аналитической теории Вейерштрасса.

Формальные степени ряды можно складывать и умножать. Пусть, кроме ряда $\alpha(x)$ (см. (12)), дан формальный

14

степенной ряд
$$\beta(z) = b_0 + b_1z + b_2z^2 + \dots + b_nz^n + \dots$$
(13)

Тогда сумма и произведение этих рядов определяются по естественным формулам:
$$\alpha(z) + \beta(z) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)z + \dots + (a_n + b_n)z^n + \dots,$$
$$\alpha(z) \cdot \beta(z) = a_0b_0 + (a_1b_0 + a_2b_1)z + (a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0)z^2 + \dots$$
(14)
(эти действия выполняются по правилам, аналогичным обычным правилам сложения и умножения конечных многочленов). Заметим, кстати, что обычный многочлен можно считать частным случаем формального степенного ряда — именного такого, у которого все коэффициенты, начняя с некоторого, равны нулю. При этом обчное сложение и умножение многочленов будут, конечно, совпадать с их сложением и умножением как формальных степенных рядов.

Далее, формальные степенные ряды можно дифференцировать и интеррировать. По определению
$$\frac{d}{d(z)} (\alpha(z)) = (\alpha(z))' = a_1 + 2a_2z + 3a_3z^2 + \dots + na_nz^{n-1} + \dots,$$
$$\int \alpha(z) = \int_0^z \alpha(x)dx = a_0z + \frac{a_1}{2}z^2 + \frac{a_2}{3}z^3 + \dots + \frac{a_n}{n+1}z^{n+1} + \dots$$

Для определенных таким образом сложения и умножения бесконечных рядов будут выполняться свойства, аналогичные свойства чисел или многочленов. Именно, будут выполняться переместительный, сочетательный и распределительный законы.

Подобно целым числом, из любого формального ряда можно вычесть любой другой ряд и получить опять же формальное степенной ряд. Деление же в области формального степенных рядов не всегда возможно, так же как не всегда возможно деление двух целых чисел. Например, нельзя делать на «нуль», то есть нельзя делать на ряд
$$0 = 0 + 0 \cdot z + 0 \cdot z^2 + \dots + 0 \cdot z^n + \dots$$
Нельзя осуществить деление «единиц», то есть ряд
$$1 = 1 + 0 \cdot z + 0 \cdot z^2 + \dots + 0 \cdot z^n + \dots$$
на ряд
$$z = 0 + 1 \cdot z + 0 \cdot z^2 + \dots + 0 \cdot z^n + \dots$$

Действительно, предположим, что существует ряд
$$\alpha(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots,$$
для которого $\alpha(z) \cdot z = 1$, или,
$$\left(a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots\right) \times \left(0 + 1 \cdot z + 0 \cdot z^2 + \dots\right) = 1 + 0 \cdot z + 0 \cdot z^2 + \dots$$

Но из формулы (14) следует тогда, что $a_0 \cdot 0 = 1$, что безусловно невозможно.

Аналогично доказывается, что $\alpha(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots$ делится на $z^n$ тогда и только тогда, когда $a_0 = a_1 = a_2 = \dots = a_{n-1} = 0$.

Легко проверить, что 1 делится на $\alpha(z)$, если только $a_0 \neq 0$, причем коэффициенты получаются ряда определения однозначно.

Найдем, для примера, результат деления «единиц» на ряд 1—z. Пусть $(1-z)(a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots) = 1 + 0 \cdot z + 0z^2 + \dots$

Тогда, раскрывая скобки и приравнивая коэффициент при одинаковых степенях $z$, получаем систему равенств
$$1 \cdot a_0 = 1, a_1 - a_0 = 0, a_2 - a_1 = 0, \dots, a_n - a_{n-1} = 0, \dots,$$
откуда $a_0 = a_1 = \dots = a_n = \dots = 1$, то есть
$$\frac{1}{1-z} = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots + z^n + \dots$$

Мы уже пользовались этой формулой (см. (3) выше и сноку на с. 10) под другим названием; здесь же эта формула — верное равенство для формальных степенных рядов (и условие $|z| < 1$ уже не причем).

Бесконечные суммы и произведение

В решении задач в начале исследования бесконечные произведения; не менее полезны и бесконечные суммы (в частности, формальный степенной ряд можно рассматривать как бесконечную сумму однозначнов). Во избежание непрятности, даим необходимые определения этих понятий.

Пусть $\alpha_1(z), \alpha_2(z), \dots, \alpha_k(z), \dots$ — последовательность формальных степенных рядов (в частности — многочленов). Мы хотим определить бесконечную сумму и бесконечное произведение:
$$\left(\alpha_1(z)\right) + \left(\alpha_2(z)\right) + \dots + \left(\alpha_k(z)\right) + \dots,$$
(15)
$$\left(\alpha_1(z)\right) \cdot \left(\alpha_2(z)\right) \cdot \dots \cdot \left(\alpha_k(z)\right) \cdot \dots$$
(16)

так же, как и выше, то есть с помощью раскрытия скобок и приведения подоб-

15

ных членов. Однако такое определение в общем случае не годится. Действительно, если, например, в «бесконечном произведении»

$$(1+z)(1+z) \cdot \dots \cdot (1+z) \cdot \dots$$

мы начнем раскрывать скобки и прибодить подобные, мы сразу увидим, что коэффициент, скажем, при $z^2$, растет и продолжает расти по мере того, как мы раскрываем скобки. Этот пример прициплально отличается от ранее разобранного произведения

$$(1+z)(1+z^2)(1+z^4) \cdot \dots$$

$$\dots \cdot (1+z^{2m}) \cdot \dots$$

в котором начальные коэффициенты постепенно ставили и руются, в силу того, что в «далеких» скобках нет одночленов с формальной переменной в «низкой» степени.

Так вот, бесконечная сумма (15) и бесконечное произведение (16) определяются, только если произходит стабилизация коэффициентов при раскрытии скобок и приведении подобных членов, — как формальный степенной ряд с полученными таким образом коэффициентами.

Точно определение «стабилизации» такое: для всякого натурального $d$ найдется натуральное число $n$ такое, что при $n \geq N$ ряд $a_n(z)$ не содержит $z$ в степенях меньше, чем $d$.

Этим завершается наш краткий экскурс в теории формальных степенных рядов. Мы советуем читателю превать чтение на этом месте, вернуть к примерам в начале статьи и убедиться в том, что в них производились не комнютельные трики с бесконечными многочленами, а в полне законные операции с формальными степенными рядами.

Производящие функции

Вдумчивый читатель, разбиая примеры в начале статьи, возможно, заметил, что успex метода связан с возможностью записать производящий функцию формального степенного ряда $a(z)$ в компактном виде. Так, например, производящий функцию последовательности 1, 1, 1, … можно записать как $1/(1-z)$, либо

$$\frac{1}{1-z} = 1+z+z^2+\dots+z^n+... \tag{17}$$

Отправляясь от этого соответствия, можно получить много других конкретичных производящих функций. Например, умножив обе части (17) на $z$ и дифференциру, получим

$$\left( \frac{z}{1-z} \right)' = 1+2z+3z^2+\dots+(n+1)z^n+... \tag{18}$$

Это значит, что функция $(z(1-z))' = 1/(1-z)^2$ является производящей для последовательности 1, 2, 3, 4, ….

Снова умножая на $z$ и дифференциру, мы получим

$$\frac{1+z}{(1-z)^3} = 1+2^2z+3^2z^2+\dots+(n+1)^2z^n+... \tag{19}$$

Мы нашли явное выражение для производящей функции последовательности $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$, …

Читатели, умелошие делить многочлены «уголком», могут получить соответствие (19) иначе — именно деля многочлен $1+z$ на многочлен $1-3z+3z^2-z^3$.

Вновь отправляясь от (17), но теперь уже интегриру, получим

$$\int_0^z \frac{dx}{1-x} = \int_0^1 dx + \int_0^z xdx + \dots + \int_0^z x^ndx + \dots,$$

$$-\ln(1-z) = z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + \dots$$

Мы видим, что производящей функции последовательности 1, 1/2, 1/3, … будет функция $-\ln(1-z)/z$.

Ограничимся этим примерами и перейдем к задачам, решаемым методом производящих функций.

Задачи

1. Докажите, что любое целое положительное число можно представить в двойной записи единственным образом.

Указание. Сравните эту задачу с задачей о взвешивании.

2. Докажите, что любое целое положительное число можно представить в десятичной записи единственным образом.*

Указание. Воспользоваться соответствием (доказав его):

$$\left( 1+z+z^2+\dots+z^9 \right) \cdot \left( 1+z^{10}+z^{20}+...+z^{90} \right) \times \left( 1+z^{100}+z^{200}+...z^{900} \right) \cdot \dots = 1+z+z^2+z^3+\dots=1/(1-z).$$

3. Докажите, что любое целое положительное в виде суммы различных чисел положительных слагаемых. (Например, для числа 6 — четые способа, имеющего $6=1+5=2+4=1+2+3$ и $1+5=3+3=1+1+1+3=1+1+1+1+1+1$.)

(Окончание см. на с. 52)

*) То, что этот факт вам известен с первого класса, нельзя считать математическим обоснованием его справедливости!

16

Синтетические металлы — новый тип проводников

Кандидат физико-mатематических наук
С. Н. АРТЕМЕНКО,
доктор физико-mатематических наук
А. Ф. ВОЛКОВ

Что лучше всего проводит ток?

По способности проводить электрический ток все твердые тела делят на три большие группы: металлы, полупроводники и диэлектрики (или изоляторы). Сюда можно добавить и сверхпроводники — ряд металлов и их соединений, которые при очень низких температурах проводят ток без потерь энергии; их электросопротивление равно нулю.

Нанлучшим проводниками электричесная является металлы. Удельное сопротивление металлов — порядка $10^{-8} - 10^{-6}$ Ом·м. У диэлектриков удельное сопротивление больше $10^{3}$ Ом·м. Полупроводники занимают промежуточное положение.

На рисунке 1 приведены значения удельного сопротивления некоторых металлов, полупроводников и диэлектриков. Видите, удельное сопротивление у середба меньше, чем у тефлона, в $10^{24}$ (!) раз. Ни одна физическая характеристика не изменяется так сильно при переходе от вещества к веществу, как удельное сопротивление.

И диэлектрики, и полупроводники, и металлы широко используются в техническом, в качестве изоляторов. Полу-proводники составляют основу современной электроники. Полупроводникиые приборы можно встретить во многихустройствах, начиная с бытовой радиоаппаратуры и кончая современными вычислительными машинами, создание которых было бы немыслimo безполупроводниковых элементов. Из металлов делают соединительные провода, а также различные электросиловые установки (генераторы тока, электромоторы, трансформаторы и т. д.).

В последнее время в технически начиная от вторгаться и сверхпроводники. Основное преимущество сверхпроводников состоит в их способности проводить ток без потерь энергии. Это свойство сверхпроводников оказывается очень ценным не только при проектировании будущих линей электропередач от мощных ГЭС к потребителям, но и в тех областях, где расходы энергии сравнительно невысоки. В частности — при конструкировании сверхмощных (по числу выполняемых операций, а не по потребляемой мощности) ЭВМ со скоростью вычисления в столе или тысячу миллионов операций в секунду.*)

Недостаток же существенно сверхпроводников состоит в необходимости охлаждать их до очень низких температуры (далее «высокотемпературный» сплав Nb$_3$Ge переходит в сверхпроводящие состояние лишь при 21,3 К). Поэтому ясно, что очень заманчивой является задача создания проводника тока, который становится бы сверхпроводником при обычных температуре или хотя бы при температуре жидкого азота, равной 77 К (жидкий азот намного дешевле жидкого геля, его сейчас использует даже при транспортировке скоропортящихся продуктов). В этом направлении уже было сделано немало оригинальных предложений. Интересные и перспективные идеи были высказаны в 1964 году.

*) См. статью Л. Г. Асламазова «ЭВМ на сверхпроводниковах» в «Кванте» № 11 за 1983 год.

Рис. 1.

19

шается. При дальнейшем пожженении температуры в веществе пронсходит переход типа пайерловского и сопротивление увеличивается. Но при последующем охлаждения при температуре около 1 К критал переходит в сверхпроводящее состояние! Ясно, конечно, что это не высокотемпературная сверхпроводимость, хотя и несовсем понятно, почему вещество из полупроводникового состояния переходит сразу в сверхпроводящее. Имеются экспериментальные данные, показывающие, что сверхпроводимость в этом веществе отличается по своим свойством от сверхпроводимости в обычных металлах. Однако полной ясности относительно природы обнаруженной сверхпроводимости пока нет, и вопрос о ее механизме остается открытым. Исследования его продолжатся.

Новый механизм проводимости

Как же обстоит дело с ответом на второй вопрос — об отличии квазидномерного пайерловского проводника от общного полупроводника? Здесь успешная физика была вполне вознаграждены природой. Как оказалось, такие отличия есть, и они настолько существенно, что подчас трудно решить, к какому типу веществ отнесится пайерловские проводники: к металлам, полупроводником или к диэлектрикам. В некоторых квазидномерных веществ можно обнаружить черты поведения, свойстваные всем тем типам. Более того, в пайерловских проводниках наблюдаются явления, обусловленные коллектribным поведением электронов и сходы с теми, которые пронсходят в сверхпроводниках. Остановимся на одном из наиболее ярких отличий пайерловского проводника от общих проводников и расскажем о новом механизме проводимости.

Несмотря на то, что, как мы уже говорили, проводимость металла, полупроводника и диэлектрика очень сильно различаются по величины, механизмов conductivities не зависит от температуры и является самой большей: в кубическом сантиметре содержится примерно $10^{22}$ свободных электронов. В полупроводниках и диэлектриках при достаточно низких температурах свободных электронов практически нет — все электроны участвуют в образования химических связей. С повышением температуры часть связи разрывается, и некоторые электроны становятся свободными. В полупроводниках разрывся проискот легче (при более низких температурах), чем в диэлектриках. Именно свободные электроны и создают ток в твердом теле при приложении к нему напряжения. Телловые колбания atomов кристаллической решетки мешают дивигаться электронам, ограничивая их среднюю скорость. Поэтому и уменьшается сопротивление металла при охлаждения — при низких температурах atoms решетки колблются слабее, с меньшей амплитудой. В полупроводниках и диэлектриках тепловое движение, как правило, также уменьшается направленную скорость имеющихся в наличии свободных электронов. Это самое число электронов сильно зависит от температуры: оно резко возрастает с повышением температуры. При охлаждения число свободных электронов уменьшается, и сопротивление полупроводника и диэлектрика увеличивается.

Как же ведет себя пайерловский проводник, когда к нему приложено напряжение? В слабых электrictских полях выполняется закон Ома: ток пропорционален приложенному напряжению $I=U/R$. Сопротивление $R$ велико и увеличивается при попжении температуры, как в полупроводнике или в диэлектрике. Оdnako, когда напряжение $U$ превышает некоторое поро-

22

Пьер Кюри

(к 125-летию со дня рождения)

Известный французский физик, один из основателей учения о радиоактивности, Пьер Кюри родился 15 мая 1859 года.

Не много из ученных удостановались того, чтобы их именем был назван новый эфект, закон, единица измерения. Имя Кюри встречался на страницах учебников физики не один раз: принципи Кюри, закон Кюри, точка Кюри и просто кюри — единица измерения радиоактивности.

Эти названия соответствуют крупнейшим открытиям ученого. Так, многое, наверное, знают, что один из способов размагнитить постоянный магнит составить в том, чтобы его сильно нагреть. Температура, при которой происходит размагничивание, и называется точкой Кюри. Законы поведения магнитных тел при различных температурах были открыты учены и описаны в его докторской диссертации.

Есть и еще одно открытие, которое было сделано Пьером Кюри совместно с его старшим братом Жаком. Это открытие пьезолектрическая. При деформации некоторых кристаллов (например, кварца) на их гранах возникют противоположные по знаку электрические заряды. Браться Кюри впервые экспериментально обнаружили этот эфект, а также и обратный ему — при помощи пьезолектрического в электронное поле он деформируется. Сейчас это явление использется в самых разных областях науки и техники, начиная от радиотехники и кончая точными часами.

В 1895 году Пьер Кюри женился на Марии Склодовской. С этого момента начинается одинаковый период счастливой, трудной и необычайно плодотворной жизни супругов Кюри, принесший им мирую славу и трагически оборвашияся гибелью П. Кюри в результате несчастного случая 19 апреля 1906 года.

Начиная с 1897 года научные интересы Кюри сосредоточиваются на изучении явления радиоактивности.

Исследуя радиоактивность солей урана, Мария Кюри обнаружила, что их изучение значительное сcilное, чем изучение чистого урана. Тогда она предположила, что соли содержат еще неизвестное радиоактивное вещество. Так началась работа, которая привела к открытию двух новых элементов — полония и радия.

Для того чтобы выделить из воды тонн отходов урановой руды десятию долю грамм ради, потребовалось четыре года. Основные работы проводились учеными на собственные скудные сбережения в старом деревянном сарае, без всяких приспособлений. Обыты, в которых выделились вредные газы, приходимось делать во дворе.

Кюри могли бы стать богатыми людыми, если бы запатентовали способ получения ради, но они полностью опубликовали результаты своих исследований, не стремясь извлечь из них какую-либо материалную выгоду. Любой заинтересованный человек получал подобную информацию.

Крупнейший физик, признанный во всем мире учены, лауреат Нобелевской премии (совместно с М. Кюри), П. Кюри не доходался того, о чем мечтал,— хорошоLABоратории для своих исследований. Когда в 1903 году его хотели нагradить ordenом Почетного легина, он написал в письме: «Прошу Вас передать господину минстру, что не имею никакой нужды в ордене, но весма нуждаюсь в лаборатории».

Лучше всего о Пьере Кюри сказала его жена: «Веря лишь в мирное могущество науки и разума, он жил для искания истинны».

А. А. Боровой

23

Связанные матники

Кандидат
физико-mатематических наук
E. И. БУТИКОВ

Закономерности колебаний сложных систем таких, как связывание матники, можно изучить на опите с помощью простейших средств. Все, что вам потребуется для того, чтобы воспроизвести описываемые здесь опиты, — это два одинаковых небольших группика (например, массивные грузика (например, массивные грузика), два штатива, которые с успехом можно заменить спинками стульев, прочные нитки, секундомер или часы с секундной стрелкой.

Прикрепим грузики к нитям одинаковой длины 50—60 см, а нити привяжем к поперечной нити длиной около 1 м, расположив их симметрично на расстоянии 40—50 см друг от друга. Концы поперечной нити закрепим в штативах или привяжем к спинкам стульев. В результате получим систему из двух матников, примерно такую, как показано на фотографии. Это и есть связывание матники. Желательно добиться возможность более совершенной симметричной системы. Нужно познавиться также и о том, чтобы можно было изменять расстояние между штативами, регуляру, тем самым, повышение поперечной нити.

Несмотря на простоту, это устройство дает возможность проверсти много интересных наблюданий. Ограничимся изучением лишь свободных (или собственных) колебаний системы в случае, когда матники качаются перпендикулярно к плоскости их равновесия.

Удерживая один из матников в положении равновесия, другой отклоним на небольшой угол в поперечном направлении, затем отпустим их одновременно. Будем внимательно следить за их дальнейшим поведением. Мы увидим, что амплитуда колебаний первого начального отклоненного матника постепенно уменьшается, но одновременно с этим второй матник раскачивается все сльнее и сильнее. В какой-то момент матники будут колебаться с одинаковыми амплитудами. Но через некоторое время первый матник вообще оставляется, «замрет» в положении равновесия, а второй раскачается настолько, что его амплитуда будет такой же, как в начальной моменту у первого матника. Колебания как бы полностью «перейдет» от одного матника к другому.

Продолжаем наблюдать далее. Теперь все процессы происходит в обратной последовательности: амплитуда второго матника уменьшается, а первый раскачивается, пока не достигнет прежней амплитуды. Затем все повторяется снова.

Такой тип движения с периодическими «замираниями» колебаний принято назвать бценями. Проследите за несколькими циклами бценей и поставя-

24

тесь определять их период, то есть время, в течение которого один из мятников совершает полный цикл от одной остановки до другой. (При этом в качестве часов можно использовать сами мятники: подсчитайте, например, сколько полных колебаний совершает мятник за один цикл беней.)
Почему колебания передаются от одного мятника к другому? Понаблюдаем за поперечной нитью, к которой они призываны. Легко заметить, что при колебаниях мятников она не остается неподвижной: отклонясь в сторону, один из мятников тянет ее за собой и тем самым приводит в движение точку подвеса второго мятника. Таким образом, попереная нить осуществляется связь мятников друг с другом. Потому мятники и называются «связанными».
Интупция подсказывает, что мятники связаны тем сильнее, чем больше провисает нить. Проверим это на опите. Уменышим натяжение нити, несколько слизив точки ее закрепления, и повторим описанный выше опит. Мы увидим, что полный цикл передачи колебаний от одного мятника к другому и обратно сокращается. Например, при увеличении натяжения нити связь мятников ослабляется, и обмен колебаниями происходит медленнее. Но интересно, что и при замете ослабленной связи мятников полностью обмениваются энергейой. (Конечно, если приять во внимание постепенное затухание колебаний мятников из-за треня, то при очень слабой связи обмена энергейой может стать больше времени затухания колебаний. Колебания возбужденного мятника прекратется прежде, чем он успет передать заметную часть своей энергии другому мятнику. В таких условиях связи мятников становятся несущественными, и их можно рассматривать как независимые.)

Задумаемся над тем, почему после того как амплитуды, а значит, и энергии мятников станут одинаковыми, процесс обмена энергей не прекращается, а продолжается до тех пор, пока возбужденный мятник не передает другому всего своего энергии. Все дело в соответствии фаз: при выравнивании амплитуд колебания раскачиваемого мятника отстают по фазе на четвертый период. В тот момент, когда «активный» мятник достигает максимального отклонения и создает наиболее натяжение поперечной соединительной ни-
ти, «пассивный» мятник (то есть раскачиваемый) еще только проходит через положение равновесия. Скорость точки его подвеса максимальная, а действующая на нее со стороны поперечной нити сила направлена в ту же сторону, куда движется точка подвеса. Это значит, что здесь сложились наиболее благоприятные условия для продолжения передачи энергии в пределом направления.

Мы видели, что при рассмотрении способе возбуждения (начальное отклонение одного из мятников) возникло колебания не являются гармоничческими (хотя при слабой связи их можно считать «почти гармоничскими» с медленно меняющейся амплитудой). А нельзя ли возбуить колебания таким образом, чтобы движение каждой из мятников было чисто гармоничким? Легко сообщить, что для колебаний, перpendикулярных к равновесной плоскости, существует два типа движения.

Во-первых, можно отклонить оба мятника на один и тот же небольшой угол в одном направлении и одновременного отпускить их без толчка. Тогда все системы будет качественно как единое целое. Попробуйте возбуить такие колебания и изменьте их частоту $\omega_1$. Так как мятники колебляются в одинаковых фазах, зависит смесения от времени для каждой из них выражается одной и той же гармоничкой функцией:

$$x_1(t) = x_2(t) = x_m \cos \omega_1 t,$$

(1)

где амплитуда $x_m$ равна начальной отклонению мятников из положения равновесия.

Во-вторых, можно ответить оба мятника на одинаковые углы в противоположные стороны и одновременного отпускить. Мятники и в этом случае будут совершать гармоничские колебания с одинаковой амплитудой и одной и той же частотой $\omega_2$ (эта частота не сколько больше, чем $\omega_1$), но в противоположных фазах. Поэтому зависимость смесения от времени имеет вид

$$x_1(t) = x_m \cos \omega_2 t,$$

(2)

Такие движения сложной системы, когда все тела совершают чисто гармоничкие колебания с одной и той же частотой, называют нормальными колебаниями, или модами системы. Поперечным колебаниям связанных мят-

25

Так вылядят графики бенейный двух связанных матриков. В начальный момент первый матрик отклонен на небольшой угол в направлении, перепедикулярном плоскости равновесия системы, а второй матрик находится в положении равновесия.

Какое отношение имеет модель к изученным ранее бенейям? Вспомним начальные условия, при которых возникется каждой из них: для первой матрики нужно отклонить в одну сторону, для второй — в противоположные. Если мы захотим возбудить обе модели одновременно, то как раз и получим начальные условия, соответствующие возбудению бенейии: один матрик отклонен, второй находится в положении равновесия. Таким образом, мы приходим к выводу, что бенейя получается в результате суперпозиции нормальных матрики с частотами $\omega_1$ и $\omega_2$ и одинаковыми амплитудами.

Смешение каждого матрика в любой момент времени $t$ мы получим, сложив соответствующие выражения из формул (1) и (2) и воспользоваться известными тригонометрическими точествами:

$$x_1(t) = x_m(\cos \omega_1 t + \cos \omega_2 t) = 2x_m \cos \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} t \cos \frac{\omega_2 + \omega_1}{2} t,$$

$$x_2(t) = x_m(\cos \omega_1 t - \cos \omega_2 t) = 2x_m \sin \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} t \sin \frac{\omega_2 + \omega_1}{2} t.$$

Если разность частот нормальных матрики $\Delta \omega = \omega_2 - \omega_1$ мала по сравнению со средней частотой $\omega = (\omega_2 + \omega_1)/2$, то в правых частях формул (3) первая тригонометрическая функция изменяется медленно по сравнению со второй. Это и значит, что $x_1(t)$ и $x_2(t)$ описывают «почти гармоничские» колебания с частотой $\omega$ и медленно пульсирующими амплитудами. Соответствующие графики приведены на рисунке. Мы видим, что они правильно описывают то, что наблюдаются в первом опите.

О представлении сложного колебания в виде суммы гармоничских колебаний говорят как о разложении в спектр. Спектр любого поперечного колебания матриков изучаем системы, в том числе и бенейи, состоит только из двух компонент с частотами $\omega_1$ и $\omega_2$, так какими исчерпывается весь набор поперечных нормальных колебаний. Все многообразие возможных свободных колебаний, возниккающих при разных начальных условиях, обусловлено различными соответствиями амплитуд и фаз этих спектральных компонент. Попробуйте задать иные, чем раныше, начальные условия (например, неодинаковые начальные отклонения) и попалюдайте за возниканию колебаний.

С нашими связанными матриками можно проделать еще много интересных опитов, если не ограничивать только поперечный движениями. В этой системе есть еще три модели, соответствующие колебаниям матриков в плоскости, образуемой нитями приравновесии. Попробуйте возбудить эти модели и попалюдайте за ними.

26

Инверсия
Кандидат физико-математических наук
В. М. УРОЕВ

В этой статье мы рассакjem об одном замечательном геометрическом преобразовании плоскости. Это преобразование — инверсия — позволяет решать задачи, даже подступиться к которым на первый взгляд очень трудно.

§ 1. Что такое инверсия

Предположим, на плоскости α задана окружность C радиуса R с центром O. Инверсей плоскости α относительно этой окружности называется отображение, при котором каждой точке A плоскости α, за исключением точки O, ставится в соответствие лежащая на луче (OA) точка A’ такая, что

$$|OA'| = \frac{R^2}{|OA|}.$$ (1)

Из этого определения видно, что при инверсии точки A и A’ меняются местами, отображаясь друг в друга. Центр О окружности C, называемый центром инверсии, не имеет образа, и никакая точка при инверсии в него не попадает (рис. 1). Внутренность круга, ограниченного окружностью C, инверсия переводит во внешнюю область, поскольку из неравенства |OA| < R следует, что |OA’| > R, и наоборот, внешняя область отображается во внутреннюю.

Точки окружности C при инверсии остаются на месте, а из того, что внутренность круга переходит во внешность, вытекает, что других неподвижных точек нет.

На этих рисунках, выполненых учащимся ФМШ при МГУ, показано, как инверсия преобразует цветные картины. На первом рисунке окружность инверсии охватывает букву A, на втором эта окружность — край солнца.

27

Иногда инверсию называют симметрией относительно окружности (по аналогии с симметрией относительно окружности. Как и освая симметрия, инверсия относительно окружности $C$ обладает интересным свойством: ее повторное выполнение возвращает точки в исходное положение. Отметим еще, что если точку $A$ выбирать все ближе и близке к $O$, то $|OA'|$ будет неограниченно возрастать. Инверсия как бы «выворочивает» внутренность круга на его внешность и, соответственно, внешность круга выворочивается» на его внутренность.

Это наблюдается на мысль добавить к плоскости не принадлежуюей «бесконечного удалению точку» $\infty$ и считать, что при инверсии центр $O$ переходит в $\infty$, а $\infty$ — в точку $O$.

§ 2. Свойства инверсии

Постотрим, как преобразуется при инверсии прямые и окружности плоскости $a$. Непосредственно из определения следует, что прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя. При этом центр $O$ и $\infty$ меняются местами. Примая как бы «проворачивается по плоскости»: часть ее, находящаяся вне окружности вместе с «бесконечностью», переходит в диаметр окружности, а диаметр переходит в два луца, причем точка $O$ переходит в $\infty$, как бы «соединяющего» эти лучи.

А что произойдет с прямой, не проходящей через центр $O$?

Пусть $l$ — прямая, и $D$ — основание перпендикулара, опущенного из центра $O$ на $l$, точка $D'$ — образ точки $D$ при инверсии, относительно окружности $C$ (рис. 2)*. Пусть $A$ — произвольная точка на прямой $l$, а точка $D'$ — ее образ при инверсии. Из $|OA'| \times |OA| = |OD'| \cdot |OD| = R^2$ следует, что $\frac{|OA'|}{|OD|} = \frac{|OD'|}{|OA|}$. Поэтому треугольник $A'OD'$ и $AOD$ подобны, поскольку угол $AOD$ у них общий, а стороны, между которых заключит этот угол, пропорциональны. Это означает, что $OA'D' = ODA = 90^\circ$, так что точка $A'$

*) На рисунке 2 окружности $C$ нет. Но это и не нужно: наши рассудения, связанные с подобным, никак не зависит от чертежа.

Легит на окружности, построенной на $[OD']$ как на диаметре.

Итак, прямая, не проходящая через центр инверсии $O$, переходит в окружность, проходящую через точки $O$. Верно и обратное утверждение: всякая окружность, проходящая через центр инверсии $O$, переходит в прямую, не проходящую через точки $O$.

Упражнение 1. Докажите это утверждение.

Теперь выясним, что произходит с окружностями, не проходящими через центр инверсии. Пусть сначала точка $O$ лежит вне данной окружности $S$ с центром $Q$.

Проведем луч $OQ$ и рассмотрим диаметр $ED$ (см. рис. 3)*. Пусть $D'$ и $E'$ — точки, симметричные точки $D$ и $E$ относительно $C$, а $A'$ — образ произвольной точки $A$ окружности $S$.

Упражнение 2. Докажите, что $\triangle OA'D' \sim \triangle OAD$, а $\triangle OA'E' \sim \triangle OAE$.

Отсюда следует, что $D'A'E' = OEA - ODA = EAD = 90^\circ$. Итак, отрезок $D'E'$ виден из каждой точки $A'$ под прямым углом, а это и значит, что образом окружности $S$ является окружность $S'$, построенная на $D'E'$ как на диаметре.

Упражнение 3. Докажите, что утверждение остается в силу, если центр инверсии лежит внутри окружности $S$.

Для доказательства достагоно аккуратно построить чертеж и proveсти почти дословно рассудения из упражнения 2.

Объединия результаты упражнения 2 и 3, мы видим, что образом всякой

*) На рисунке 3 смачокность инверсии не изображена.

29

Задание 1. Если при инверсии относительно некоторой окружности $C$ точки $A$ и $B$ окружности $T$ переходят друг в друга, то окружность $T$ переходит в себя (см. рис. 5).

Решение. Центр инверсии $O$ должен лежать на прямой $AB$, которая переходит в себя, причем $OA \cdot OB = R^2$, где $R$ — радиус окружности $C$. Проведем касательную $OD$ к окружности $T$. По доказанному теореме $|OA| \cdot |OB| = |OD|^2$. Значит, $|OD| = R$. Проведем теперь произвольную секущую $OK$ к окружности $T$. По теореме о квадрате касательной $|OK| \cdot |OL| = |OD|^2 = R^2$, и, значит, точки $K$ и $L$ переходят друг в друга, а поэтому окружность $T$ переходит в себя.

Задание 2. Пусть $A'$ и $B'$ точки, симметричные точки $A$ и $B$ относительно окружности радиуса $R$ с центром $O$. Доказите, что $|A'B'| = \frac{R^2 \cdot |AB|}{|OA| \cdot |OB|}$.

Указание. Воспользовитесь подобным треугольников $OAB$ и $OA'B'$.

Задание 3. Прямы $MA$ и $MB$ касаются окружности $C$ в точках $A$ и $B$, точка $D$ — середина хорды $AB$. Доказите, что точки $D$ и $M$ симметричные относительно окружности $C$ (рис. 6).

Доказательство. $\triangle OAD \sim \triangle OAM$. Поэтому $\frac{|OA|}{|OM|} = \frac{|OD|}{|OA|}$. Отсюда сразу следует, что $|OA|^2 = R^2 = |OM| \cdot |OD|$.

Задание 4 (теорема Полемея). Доказите, что в любом вписанном четырехугольнике $ABCD$ произведение длины диагоналей равно сумме произведений длины противоположных сторон (рис. 7):

$$|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|.$$

Доказательство. Выполним инверсию с центром в вершине $A$. Тогда описанная окружность $T$ перейдет в прямую $T'$, вершины $B, C, D$ — соответственно в точки $B', C', D'$ на прямой $T'$. Обозначим $R$ — радиус описанной окружности. Обращаясь к задаче 2, получаем

$$|C'B'| = \frac{R^2 \cdot |BC|}{|AB| \cdot |AC|},$$

$$|B'D'| = \frac{|BD| \cdot R^2}{|AD| \cdot |AB|},$$

$$|C'D'| = \frac{R^2 \cdot |CD|}{|AC| \cdot |AD|}$$

Отсюда видно, что утверждение теоремы Полемея выражает следующий факт: $|B'D'| = |B'C'| + |C'D'|$. Действительно, подставляя в это равенство найденные значения $|C'B'|, |B'D'|, |C'D'|$ и приводя к общему знаменателю, приходим к искому соответствию.

Задание 5. На окружности $C$ даны две точки $A$ и $B$. Расматривают всевозможные пары окружностей, лежащие внутри $C$, одна из которых касается окружности $C$ в точке $A$, другая — в точке $B$ и касающей друг друга, (рис. 8). Найдите множество $X$ всех точки, в которых касаться друг друга две окружности такой пары.

Решение. Пусть $T_1$ и $T_2$ касающиеся окружности $D$ — их точки касания (см. рис. 8). Выполним инверсию с центром в точке $A$ относительно произвольной окружности. Тогда окружности $C$ и $T_1$ перейдет в парал-

30

лельные прямые $C'$ и $T'_1$. Окружность $T_2$ перейдет в окружность $T'_2$, касаощуся прямой $T'_1$ в образце $D'$ точки $D$, а прямой $C'$ — в образце $B'$ точки $B$ (рис. 9). Очевидно, точка $D'$ лежит на перпендикуляре $m'$, восставленном к $C'$ в точке $B$. При другом выборе пары $T_1, T_2$ получится другая прямая $T'_1$, паралельная $C'$, но точка $D'$ будет по-прежнему лежать на перпендикуляре $m'$. Следовательно, искомое множество точек инверсия отображает на луч $m'$.

Очевидно, каждая точка луча $m'$ может быть точкой касания неокторой прямой $T'_1$, паралельной $C'$, и окружности $T'_2$, касаощейся $C'$ в точке $B$. Следовательно, любая точка $(m')$ является образом неокторой точки $D$ множество $X$. При повторном выполнении инверсии, сделанной вначале, все точки вернутся на прежнее место, поэтому луч $m'$ перейдет в множество $X$ точек касания. Следовательно, искомым множество является лежащая внутренри $C$ дуга окружности, пересекающей $C$ в точках $A$ и $B$ под прямым углом.

Задача 6 (теорема Эйлера). Пусть $r$ и $R$ — радиусы вписанной $T_1$ и описанной $T_2$ окружностей треугольника $ABC$, а $d$ — расстояние между центрами этих окружностей. Доказите, что $\frac{1}{R+d} + \frac{1}{R-d} = \frac{1}{r}$, то есть $d^2 = R^2 - 2Rr$.

Указание. Обозначим $M, N, K$ — точки касания вписанной окружности со стороны треугольника $ABC$ (рис. 10). Сделаем инверсию относительно вписанной окружности $T_1$. Тогда вершины $A, B, C$ треугольника отображается на середины $P, Q, R$ сторона треугольника $MNK$ (см. задачу 3), поэтому описанная окружность $T_2$ перейдет в окружность $T_3$, описную около треугольника $PQR$. Сама окружность $T_1$, описанная около треугольника $MNK$, останется на месте. треугольники $PQR$ и $MNK$ подбны с коэффициентом 1/2, поэтому радиус окружности $T_3$ равен 1/2r. Проведем диаметр $GF$ окружности $T_2$, проходящий через центр $O_1$ вписанной окружности $T_1$. При инверсии относительно $T_1$ точки $G, F$ перейдет в точки $G'$ и $F'$, лежащие на концах диаметра окружности $T_3$, проходящего через точку $O_1$. Следовательно, выполняется соответствие $|O_1G'| + |O_1F'| = 2 \cdot r/2$, откуда $\frac{r^2}{|O_1G|} =$

Упражнения

9. Четыре окружности касаются друг друга внешним образом, как показано на рисунке 11. Доказите, что четыре касания $A, B, C, D$ лежат на одной окружности.

10. На отрезке $AB$ отмещена точка $M$ и на отрезках $AB$ и $AM$ как на диаметрах построены полукругности $C_1$ и $C_2$. Okружность $C_3$ касается полукругности $C_1$, $C_2$ и перпендикура $m$, восставленного к $(AB)$ в точке $M$ (рис. 12). Доказите, что общая касательная к окружности $C_2$ и $C_3$ проходит через точку $B$.

11. На отрезке $AB$ отмещена точка $M$ и на отрезках $AB, AM$ и $MB$ как на диаметрах построены полукругности $C_1$, $C_2$ и $C_3$ соответственно. Пусть точка $O$ — центр окружности $T$, касаощейся полукругности $C_1, C_2, C_3$ (рис. 13). Найдите расстояние от точки $O$ до прямой $AB$, если радиус окружности $T$ равен $r$.

31

§ 4. Задачи на построение

ИНверсия с большим успехом может применяться при решении задач на построение.

В основе решения всех задач лежит способ построения точки $A'$, симметричной данной точки $A$ относительно окружности $C$ (см. рис. 14). Способ этот заключится в следующем (для точки $A$, лежащей вне окружности $C$). Проводим касательную $AM$ и из точки $M$ опускаем перпендикуляр на $OA$. Основание перпендикура — искомая точка $A'$ (см. задачу 3 из § 3).

Упражнение 12. Придумайте построение точки $A'$, если $A$ лежит внутри окружности $C$.

Зная, как строить образы точки, мы без труда можем построить образы прямых и окружностей. Например, если требуется построить образ прямой $l$, не проходящей через точку $O$, достаточно опустить из точки $O$ перпендикуляр $OD$ на прямую $l$, построить точку $D'$ и описать окружность на $OD'$ как на диаметре.

Упражнение 13. А как построить образ окружности, не проходящей через точку $O$? Вспомните, что об этом написано в § 2.

Приведем теперь пример задачи на построение, решаемой с помощью инверсии.

Задача 7. Построите окружность, касающейся данной прямой $l$ и проходящую через данные точки $A$ и $B$. Сколько решений имеет эта задача?

Решение. Предположим, что искомая окружность $T$ построена. Сделаем произвольную инверсию с центром в точке $A$. Прямая $l$ перейдет при этом в некоторую окружность $l'$, точка $B$ — в точку $B'$, а окружность $T$ — в прямую $T'$, касающейся окружности $l'$ (см. рис. 15).

Отсюда сразу вытекает способ построения: выполняем инверсию с центром в точке $A$, из точки $B'$ проводим касательные к окружности $l'$, выполняем еще одну инверсию с центром в точке $A$, получаем требуемое. Всего будет, вообще говоря, два решения. (А одно решение может получить?)

Упражнения

14. Построите окружность, проходящую через данные две точки $A$ и $B$ и касающейся данной окружности $L$. Сколько решений имеет эта задача?

15. Построите окружность, касающейся данной окружности $S$ в точке $A$ и $a$) данной прямой $l$; б) данной окружности $T$.

16 (задочка Аполлоня). Построите окружность, касающейся трех данных окружностей. Об этой знамененной задаче см. статью А. П. Савина «Инверсия и задочка Аполлоня» («Квант», 1971, № 8, с. 23).

17. Проведите две окружности равных диаметров, которые касались бы друг друга в данной точке $D$ и проходили соответствующее данные точки $A$ и $B$.

§ 5. Инверсия и stereografическая проекция

Рассмотрим сферу $Q$, касающейся плоскости $a$ в точке $O$. Пусть точка $N$ диаметрально противоположна точке $S$. Стереografическая проекция сферы $Q$ на плоскость $a$ называется отображением, которое каждой точке $B$ сферы, за исключением точки $N$, сопоставляет точку $A$ плоскости $a$, полученную в результате пересечения прямой $NB$ с плоскостью $a$ (рис. 16). Заметим, что любая точка $A$ плоскости $a$ является образом некоторой точки $B$ сферы при stereografии

32

фической проекции. Точка $B$ — есть пересечение прямой $NA$ со сферой $Q$.

Покажем, как устроены на сфере множество точек, соответствующие некоторым хорsoю известным линям в плоскости $a$. При этом нам удобно будет пользоваться «географический» терминологический, называя сферу $Q$ глобусом, а точки $S$ и $N$ — южным и северным полюсом.

Параллели, то есть окружности, проведенные на сфере «параллельно» плоскости $a$, отображаются на концентрические окружности с центром $S$. «Южный полюс» $S$, принадлежащий одновременно и сфере и плоскости, переходит в себя. «Северный полюс» образа не имеет.

Построим множество точек сферы, отображающейся на прямую линю $l$, лежащую в плоскости $a$. Поскольку через полюс $N$ и прямую $l$ можно проведить единственную плоскость $B$, то все лучи, выходящие из точки $N$ и осуществляющие stereografическая проекцию исходного множества на прямую $l$, лежат в плоскости $B$ (рис. 17). Следовательно, прямая $l$ сопоставляется множеству точек сферы, принадлежащему пересечению сферы $Q$ с плоскостью $B$, т. е. окружности с выброшенной точкой $N$. В частности, «мериданны», проходящие через точки $S$ и $N$, отображаются на лучи, выходящие из точки $S$. Заметим, что если точки $A$ на плоскости $a$ неограниченно удаляется от точки $S$ (например, по прямой), то соответствующая ей точки $B$ сферы приближается к полюсу $N$. Это сообщение дает возможность вновь определить понятие бесконечного удаленной точки плоскости $a$ как мысленный образ полюса $N$ при stereografической проекции.

Оказывается, инверсия плоскости $a$

33

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Закон Бернулли» предназначена восмилкасксикам, «Токи смешения» — девятикласксикам и «Антицелляция и роздение пар» — девятикласксикам.
Материалы подготовили И. К. Белкин.

Закон Бернулли

В учебнике «Физика 8» расссказывается о зависимости давления $p$ жидкости от скорости $v$ ее движения. Выведем формулу, связывающего эти величины количественно.

Будем считать, что труба, по которой течение жидкости, имеет широкий и узкий участки. Труба расположена горизонтально, так что потенциальная энергия жидкости в поле тяжесте при течение не меняется. Выделим объем жидкости, ограниченный сечениями $S_1$ и $S_2$, где скорость жидкости равна $v_1$ и $v_2$ соответственно (см. рисунок). Этот объем при течение жидкости перемешается вправа. Через промежуток времени $\Delta t$ он займет положение между сечениями $S'_1$ и $S'_2$, показанным на рисунке штиховыми линиями.

Так как жидкость несжимаема, уменьшение объема жидкости в широком участке трубы равно его приращению в узком участке:

$$S_1v_1\Delta t = S_2v_2\Delta t,$$ или $S_1v_1 = S_2v_2$.

Но что значит — жидкость несжимаема? Когда так говорят, имеют в виду только то обстоятельство, что изменения объема жидкости относительно мали. Небольшие деформации жидкости имеют всегда, и именно они приводят к возникновению сил давления — упругих сил скатия жидкости.

На выделенный объем жидкости действуют силы давления с двух сторон — со стороны жидкости, следующего за ним, и со стороны жидкости, находящейся вперед. При перемещении этого объема силы давления совершают работу. Согласно теореме о кинетической энергии, полная работа сил давления равна изменению кинетической энергии жидкости:

$$A = E_{k2} - E_{k1}.$$

Подсчитаем работу $A$ сил давления. В сечении $S_1$ давление жидкости равно $p_1$, и сила давления $F_1 = p_1S_1$. За время $\Delta t$ это сечение перемещается вправо на расстояние $v_1\Delta t$, и, следовательно, сила $F_1$, направленная вдоль перемещения, совершает работу

$$A_1 = F_1v_1\Delta t = p_1S_1v_1\Delta t.$$

В сечении $S_2$ действует сила давления $\vec{F}_2(F_2 = p_2S_2)$, направленная противоположно перемещению. Работа этой силы отрицательна:

$$A_2 = -F_2v_2\Delta t = -p_2S_2v_2\Delta t.$$

Полная работа сил давления

$$A = A_1 + A_2 = (p_1v_1S_1 - p_2v_2S_2)\Delta t.$$

Вот эта работа и равна уравнению кинетической энергии жидкости.

Теперь найдем разность кинетических энергий выделенного объема жидкости до и после перемещения. Очевидно, что энергия жидкости между сечениями $S'_1$ и $S_2$ не изменяется. Поэтому общее изменение энергии будет таким, как если бы часть жидкости, заключенная между сечениями $S_1$ и $S'_1$, заняла место жидкости, заключенной между сечениями $S_2$ и $S'_2$.

Kинетическая энергия массы жидкости $m_1$, протекающей за время $\Delta t$ через сечение $S_1$ (то есть жидкость в объеме между сечениями $S_1$ и $S'_1$), равна

$$E_{k1} = \frac{m_1v_1^2}{2} = \varrho v_1\Delta t \cdot S_1 \frac{v_1^2}{2},$$

где $\varrho$ — плотность жидкости. Для сечения $S_2$ кинетическая энергия соответствующего равна

$$E_{k2} = \varrho v_2\Delta t \cdot S_2 \frac{v_2^2}{2}.$$

Следовательно, за время $\Delta t$ кинетическая энергия выделенного объема жидкости изменяется на величины

$$E_{k2} - E_{k1} = (\varrho v_2S_2 \frac{v_2^2}{2} - \varrho v_1S_1 \frac{v_1^2}{2})\Delta t.$$