Квант 1984, №6 · Страницы

КВАНТ
6
1984
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

На этом чертеже, выполненном ЭВМ по программе С: Баталова, показано семейство из двадцатки циклов (они нарушены графопостроителем сцилицетом) и соответствующие им зволоты (красные кривы). Прочитав «Геометрическую страничку» в этом номере журнала, вы узнали, что синец цикловы являются эволюентами красных кривых (так как кривая, по которой строится эволюота, всегда будет ее эволюентой).

Семейство циклов получено так. Колесо радиуса I катится без просkalывания по вертикальной оси справа от нее. На прямой, проходящей через центр колеса, отмечены 20 точек (с шагом 0,2 начиная от центра). Траекториями этих точек при движении колеса и будут наши 20 циклов.

В НОМЕРЕ:

2 Беседа с академиком А. А. Логуновым
5 К. Л. Самаров, В. М. Уроев. Модель Пуанкаре
12 П. Б. Берништейн. От Солнца до Земли
19 А. Б. Гончаров. Решетки и зоны Бриллюзна

IN THIS ISSUE:

11 Новости науки
Зачем может понадобиться нейтрино?

Science news
What can neutrino be used for?

18 Наш календарь
Космологическая взгляды Джордано Бруно

Our calendar
Giordano Bruno’s cosmological views

24 Лаборатория «Кванта»
С. Л. Гаврилов. Фонтаны в парках и дюма

Kvant’s lab
S. L. Gavrilov. Fountains in parks and at home

28 Математический кругок
Ю. И. Нонкин, А. И. Плоткин. Выбор модуля

Mathematics circle
Yu. I. Ionin, A. I. Plotkin. Choosing the modulus

30 Школа в «Кванте»
Избранные школьные задачи

Kvant’s school
Selected school problems

31 «Квант» для младших школьников
Задачи
Задча в картинах

Kvant for younger school children
Problems
A problem in pictures

33 Задачник «Кванта»
Задачи M866—M870; Ф878—Ф882
Решения задач M851—M855; Ф862—Ф866
Список читателей, приславших правильные решения

Kvant’s problems
Problems M866—M870; P878—P882
Solutions M851—M855; P862—P866
List of readers who have sent correct solutions

46 Геометрическая страница
Эвольвенты

Geometric page
Evolvents

48 Практикум абитуриента
Ю. А. Самарский. Движение по окружности

College applicant’s section
Yu. A. Samarski. Circular motion

52 Информация
MAH «Искатель»

Information
“The researcher” Junior academy of sciences

54 Варианты вступительных экзаменов

College entrance examination problems

60 Ответы, указания, решения
Смесь (45)
Шахматная страница
ЭВМ против чемппона мира (3-я с. обложки)

Answers, hints, solutions
Miscellaneous (45)
The chess page
Computer vs. world champion (3rd cover page)

Снимок солнечной короны, который воспроизведен на первой странице обложки, был сделан во время полного солнечного затмения 31 июля 1981 года в близи поселка Шортаны в Казахстане. По виду короны можно судить об активности Солнца. О том, как влаяет солнечная активность на различные явления на Земле, расссказано в статье «От Солнца до Земли» (с. 12). Фото Г. М. Никольского (СССР) и С. Куччи (Франция).

2

Беседа с академиком А. А. Логуновым

— Анатолий Алексеевич, вы возглавляете крупнейший узстраны. Не могли бы вы включите охарактеризовать Московский государственный университет — каким бы его видите сегодня, каким хотели бы видеть его завтра?

— Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова — крупнейший центр научки, образования и культуры. В университете учатся око-лое 27 тысяч студентов. Коллектив преподавателей, научных и других сотрудников насчитывает свше 25 тысяч человек, из них свыше тысячи профессоров и докторов наук. Ежегодно Московский университет окачивают около 5 тысяч молодых специалистов. В ассирантере университета обучаются свше 4 тысячи человек. За время существования ассирантуры в МГУ подготовлено свше 20 тысячи специалистов высшей научной квалификации. Четверть ученых, работающих в системе Академии наук СССР, — выпускники МГУ. В настоящее время в Московском университете работают свше 120 академков и членов-kорреспондентов АН СССР и союзных ресурсных.

В нашем университете представлены практические все основные направления современной науки. В его стенах возник цель ряд научных школ, получивших мировую известность. Говоря о дальнейшем развитию университетской науки, мы пониваем, что не все ее области мы можем развивать на собственной экспериментальной базе. Поэтому мы не ставим себе цель иметь в университете, скажем, крупнейшиеускорители или реакторы. Но мы всестороннее развиваем сотрудничество с крупными научными центрами, и это позволяет нашим ученым в подготовке кадров использовать громадный научно-технический потенциаль страны и одновременного творческого участков в решении наиболее важных проблем.

Однако пока нельзя утверждать, что научный потенциаль мы использем с максимальной эффективностью. Еще недостаточно основанное наихом лабораторий современной вычислительной техники. Большие шаги в этой области представляются. За последнее несколько лет мы удвоили свои вычислительные мощности. Вычислительные машины широко внедрятся в учебный процесс, студенты почти всех естественных специальностей обучения образующего с быстродействующей вычислительной техники. Но остававливается на достигнутом мы не собираемся, ведь это только начало.

— Бычет мнене, что молодежь сейчас тяготеет к гуманитарным наукам; яковы наметилось охлаждение к физике и математике. Сказвается ли это на конкурсе на естественные факультеты?

3

Должен сказать, что конкурс на естественные факультеты в среднем не уменшается. Однако уровень подготовки абитуриентов, поступающих, скажем, на физический или механико-математический факультет, на мой взгляд, не достаточно высокок. Многие школьники неосредственно перед поступлением вуз услугенного готовятся самостоятельно, решают задачи, тренируются дополнительно. Но основной базаж знаний и навыков должны давать школа. А как показывает результаты вступительных экзаменов, зачастую абитуриентов ставят в тупик простейшие тригонометрические уравнения, плохо обстоит дело с технической алгебраической счета, умением делать оценки, в целом культура вычисленной стала ниже. Это заставляет нас несколько спижать уровень сложности экзаменационных вариантов. Сейчас задачи, предлагаемые абитуриентам, проще, чем, скажем, десять лет назад. может быть, общее понимание школьниками каких-то вопросов сейчас и лучше, но именно техника зачастуюстрадает и очень существенно.

Я уже сказал, что конкурс на естественные факультеты в среднем не уменшается. Но тот факт, что он не растет, не может нас радовать. Я думаю, что в какой-то момент мы, учены, ослабили свое внимание к средней школе, и это сказалось на подготовке школьников. По этому вопросу я уже выступал на.ccсси Верховного Совета СССР. То, что многие ведущее учены страны сейчас проявляют большой интерес к проблемам преподавания математики в средней школе, надеюсь, в скором времени изменит сложившуюся ситуацию. Несомненно, кардиальной роль в улучшении среднего образования будет иметь реформа, к осуществлению которого присутствует страна.

Поговорим теперь о тех, кто, успешно сдав вступительные экзамены, прочили положенные годы в МГУ. Что ждет их после окончания университета?

Тот, кто хорошо учится и успешно окачивает МГУ, может не беспокоиться. Он всюду найдет себе применение — или в системе Академии наук, или у нас в университете, или в отраслех научно-исследовательских институтах, или в ведущих отраслях производства. Главное — хорошо учится. К сожалению, еще попадаются студенты, которые просто занимают участие места. Это-то, конечно, быть не должно; по этому поводу нам есть над чем подумать. Учеба никакогда не должна быть в тягость, и если она в тягость, то это значит, что студенту необходимо занятьчем другим, найти дело по душе и в то же время необходимо обществу.

Известно, что университетское образование отличается функментальнойностью, широкой. Но выпускник, скажем, физического факультета должен сразу после окончания университета в середняшнию, совершенную науку, участвовать в решении конкретных научных проблем. Поэтому уже в процессе обучения необходимо водить студента в проблематику, возникшую совсем недавно. Какое внимание вы, как заверующий кафедрой физики высоких энергий и одновременного лектор важнейшего курса теоретической физики — электроннаямики, удаляет эти вопросы?

Нучить, как пользоваться общими методами, дать функментальную значения — это главная задача университетского образования. Ведь научить всем — невозможно, важно дать глубокие представления о физических явлениях, выработать творческий подход к изучаемым законам и уравнениям, уменне поннимать границы их применимости. После окончания университета такой подход позволяет выпускникам достаточно быстро адаптировать в соответствии узкой области знаний, суметь творческими обогатить ее достижениями науки в других областях и сделать всесомый вклад в развитие науки.

Анатолий Алексеевич, а когда у вас пробудился интерес к физике и математике? Почему вы выбрали физике?

Физика, нужно сказать, я выбрал не сразу. Сначала мне нравилась математика. В школе у нас было очень хорошо учитель математики, который постоянно предлагал интересные задачи. Атмосфера на уроках была деловая и дружественная. Мы очень любили математику, любили учитель, всегда стрались его подготовить. Физика преодолавалась совсем на другом уровне. Особого интереса у меня она не вызывал. В те годы мы думали больше об авации. В журнале «Matематика в школе» я прочитал, что авация — это на деять десять математики. Поэтому после школы я решил почтиться в ав�aционный институт. Уже позднее, в

5

Модель Пуанкаре

Кандидат физико-mатематических наук
К. Л. САМАРОВ,
Кандидат физико-mатематических наук
В. М. УРОЕВ

Ни одна геометрия не может быть более истинна, чем другой.
Анир Пуанкаре

Ко второму веку до нашей эры завершилось аксиоматическое построение геометрии, изложенное Евклидом в тринадцатитомном труде «Начала». Накопленный поколениями практический опыт измерения углов, длин и площадей превращался в стройную математическую теорию с аксиомами и построатами, теоремими, определениями, доказательствами. Выявились основные действияuzione лица геометрии: точка, плоскость, прямая.

Но нечто тиннственное ощушалось в этих абстрактных понятиях. Практическая деятельности людей, особенно в то время, не могла подсказать, что же произходит с прямыми линяями очень далеко, «на бесконечности». Возможно, по этой причине значенную аксиому о паралельных (V постулат) Евклидс формулировал осторожно: если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньшие двух прямых, то при неодранченной продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньшие двух прямых.

По-видимому, древние описались операровать с бесконечностью, считая плоскость как бы скленной из привъявных сознанию одинаковых конечных кусков. Это не случайно. Согласно господствоващим тогда представленям, Земля считалась большим плоским диском. Настолько большим, что изменить его было невозможно. Да и не нужно, не было в этом необходимости — сликом уже узкими были пространственные границы познанного мира.

В эпоху дальнейх страсти и географических открытий эти границы значительно развинулись; но потребовались еще столетия, прежде чем изменение представленной об окружающей мире сказалось на развитию геометрии. Так или иначе, в XVIII веке, в книге английского педагога Плейфера, поступ-

6

лат о паралельных появляся в своей современной, более смелой и лаконичной, формулировке: через точку вне прямой можно проведити только одну прямую, не пересекающий данную и лежащую с ней в одной плоскости.

В двадцатых годах XIX века рождается геометрия Лобачевского*). В ней сохраняются все аксиomy и поступаты геометрии Евклида, кроме одного — пятый постулат заменяется на следующие утверждение: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную и лежащие с ней в одной плоскости.

Почти все современники Лобачевского были уверены, что его геометрия — ошибочная. Они не только отрицали ее применимость к внешнему миру, но считали ее порочной изнутри — внутренне противоречивой, то есть считали, что при дальнейшем развитии теории из поступата о паралельных, принятого Лобачевским, неизбежно будет получены противоречие друг друга утверждения.

Мы не будем касаться здесь сложного вопроса о связи геометрии Лобачевского с внешним миром — он раскрывается во всей глубине лишь в теории относительной, созданной в начале нашего века**). Наша цель иная — расссказать о том, как математик удалость с геометрию Лобачевского обвининие в противоречивости. Именно для этой цели в конце прошло века французский математик А. Пуанкаре построил модель геометрии Лобачевского (1882 г.). Но чтобы расссказать, что представляет собой модель Пуанкаре и почему она установливает непротиворечивость геометрии Лобачевского, нам придается сначала заняться свойствми… общковенной окружности.

Построение ortogonalных окружностей и прямых

Назовем две линии — окружности или прямые — ortogonalными, если они пересекаются под прямым углом.Напомним, что под углом между окружностями понимается угол между

*) Об истории ее становления см. Квант, 1982, № 11, с. 12 и № 12, с. 7.
**) Об этом написано, например, в книге «Релятинский мир» В. Н. Дубровского, Я. А. Смородинского, Е. Л. Суркова (М., Наука, 1984).

Рис. 1.

7

Инверсия и ее свойства

Инверсия ($O, r$) (или симметрией относительной окружности с центром $O$ и радиусом $r$) называется преобразование плоскости, при котором каждой точке $M$ ставится в соответствие такая точка $M'$ на луче $OM$, что
$$|OM| \cdot |OM'| = r^2.$$
Точку $O$ называют центром инверсии (это единственная точка, где преобразование не определяено), число $r$ — радиусом инверсии, а окружность ($O, r$) — окружность инверсии.

Инверсия — действительное своего рода симметрия относительной окружности; она «выворочивает» внутренность окружности в ее внешность (и наоборот), своеобразно искажает форму и размеры фигур (см. иллюстрации к статье «Инверсия» в «Кванте» № 5, с. 26). Основные свойства инверсии ($O, R$) показаны на рисунке 2, где можно проследить, что

1. точки, лежащие внутри окружности инверсии, переходят в точки, лежащие вне нее, и наоборот;
2. точки окружности инверсии, и только они, остаются на месте;
3. прямые, проходящие через центrium инверсии, переходят в себя;

3’) прямые, не проходящие через центrium инверсии, переходят в окружности;

4. окружности, проходящие через центrium инверсии, переходят в прямые;

4’) окружности, не проходящие через центrium инверсии, переходят в окружности;

5. величины между линиями сохраняется;

6. инверсия, как и другие виды симметрии, образна самой себе; другие словами, двукратное применение инверсии возвращает все точки (кроме $O$) на место.

Эти свойства не сложно доказываются; читатель может найти их доказательства в статье «Инверсия» в предыдущем номере «Кванта», однako для понимания дальнейшего их разбор не обязательен. Приведем (уже с доказательством) еще одно важное свойство инверсии.

7. Любая окружность, отгоющаяная окружности инверсии, переходит в себя при этой инверсии.

Доказательство. По свойству 4’), данная окружность $\gamma$ переходит в окружность $\gamma'$. По свойству 2), точки пересечения $A$ и $B$ окружности $\gamma$ с окружностью инверсии остаются на месте, значит, $\gamma'$ проходит через $A$ и $B$. По

10

противоречи, то то же самое имело бы место и для перевод этих двух теорем, сделанных при помощи нашего словааря; но эти переводы субт теоремы объективной геометрии (…), которая свободна от противоречи`.

Это рассужждение показывает, что из непротиворечности эклидовой геометрии следует непротиворечность геометрии Лобачевского. Именно в этом смысле Пуанкаре говорил, что ни одна геометрия не может быть более истинна, чем другая.

Таким образом, чтобы установить непротиворечность геометрии Лобачевского, осталось проверить, что все ее аксиомы выполняны для построенной выше модели.

Проверка аксиом

Мы не будем проверять все аксиомы геометрии Лобачевского для модели Пуанкаре — это скучное и утомительное дело, а ограничимся доказательством лишь несколько характеристик основных положений геометрии Лобачевского. Именно следующих.

I. Любое перемещение переводит «плокость» λ в себя, причем «прямы» переходят в «прямы».
II. Через любые две «точки» плоскости λ проходит одна и только одна «прямя».
III. «Перемещения плоскости» λ сохраняет улы между «прямыми».
IV. Любые две «прямы» конгрузиты, то есть существует «перемещение плоскости», переводящие одну в другую.
V. Через каждую точку, не принадлежую данной «прямой», проходят по крайней мере две «прямы», не имеющие с ней общих точек. (Это «аксиома параллельных» Лобачевского; рис. 5).

Докажем утверждение I—V.
I. Поворот кругга λ вокруг его центра и симметрия относительно его диаметров, очень непроведят λ в себя. Что же касается инверсии относительно любой окружности τ, ortогonalной γ, то она переводит γ в себя (свойство 7)), притом две области, на которые τ разбиивает λ, меняются местами, то есть λ переходит в себя.
II. Это вытекает из следствия задачи 5.
III. Это верно для всех основных перемещений (см., в частисти, свойство 5)), а значит, и для их композиций.
IV. Это следует из задачи 4.

V. Пусть данная прямая т пересекает γ в точках A и B. Рассмотрим сперва частный случай, когда данная точка не что иное, как центр O кругга λ. Тогда диаметры (OA) и (OB) — прямые, не пересекающие τ. Наломним, что точки окружности γ, в частиности точки A и B, «точками» «плокости Лобачевского» не являются. Общий же случай сводится к рассмотрению частному случаю с помощью задачи 3.

Итак, основные положения (I—V) геометрии Лобачевского доказаны в модели Пуанкаре. Тем, кто хотел бы дальше изучать геометрию Лобачевского на этой модели, в конце статьи мы предложаем несколько задачи. А пока ответим на один из вопросов, возникший еще в начале статьи.

А что же все-tаки проискодит «на бесконечности»?

Одно из приемуществ модели Пуанкаре состоит в том, что на ней — с нашей эклидовой точки зрения — можно видеть танистенное множество «бесконечно удаленных» точек геометрии Лобачевского.

Покажем, что граничную окружность γ естественно рассматривать как «бесконечно удаленную окружность» плоскости Лобачевского λ. Для этого возвратимся на заданное в обычную инверсию плоскость и посмотрим, как с помощью перемещений эклидовой плоскости сдвинуть заданную фигуру сколь годно далеко от ее первого嗽ального положения. Например, это можно сделать так. Выберем на эклидовой плоскости две параллельные несовпадующие прямые $l_1$, $l_2$ и отразим плоскость симметрично относительно прямой

От Солнца до Земли

Кандидат физико-математических наук
П. Б. БЕРШТЕЙН

Вылетали частицы геля,
ядра стронция…
И чего оно не наделало,
это Солнце!
Прерывалось и гложло радно,
и бессовестно
вращли компасы,
лихорадила
нас бессоница.
Гибили яблони, падал скот
от бескормицы.
Беспокойное
в этот год
было Солнце.

Эти строчки взяты из стихотворения замечательного позта Семена Кирса-нова «Солнце перед спокойствием».
И в этом отрывке упомянут большинство эффектов, изучением которых занимается солнечно-земная физика.

Давайте же последем за позтом и выясим, что же «наделало это Солнце». Но сначала поговорим о самом Солнце.

I

Солнце — звезда, находящаяся на расстоянии около 33 000 световых лет от центра Галактики, в одном из ее спиральных рукавов — в рукаве Ориона. Масса Солнца $M_{\odot} = 1,99 \cdot 10^{30}$ кг; радиус $R_{\odot} = 6,96 \cdot 10^{5}$ км, и средняя плотность вещества Солнца $q_{\odot} = 1,41 \cdot 10^{3}$ кг/м$^3$, то есть в 4 раза меньше средней плотности вещества Земли. А сила тяготения на Солнце в 28 раз больше, чем на Земле.

Эти свойства — низкая средняя плотность и громадная сила тяготения — наиболее важны для понимания того, что происходит внутри Солнца. Изучение спектра излучения Солнца показало, что вещество Солнца состоит из тех же химических элементов, которые найдены на Земле.*) Термература внутри Солнца настолько высока, что в твердом и жидком состоянии вещества не могут там существовать, то есть Солнце представляет собой раскаленный газовый шар. Термература в недрах Солнца, по оценкам, должна быть выше $10^7$ К. При таких температурах газ полностью ionизуется, превращается в плазму — вещество, состоящее изонов и электронов. Так что Солнце — раскаленный плазменный шар. Столь высокая температура поддерживает за счет проискания из недрах Солнца термоядерных реакций.

Выделяющаяся в реакциях тепловая энергия излучается во все стороны, и часть ее попадает на Землю.

Внешнюю часть Солнца называют солнечной атмосферой. По физическим особенностям — главным образом, по различным значениям плотности и температуры — в солнечной атмосфере выделяют три слоя: фотосферу, хромосферу и корону.

*) Напомним, что элемент геля впервые был обнаружен при изучении спектра солнечного света, откуда и его названия.

13

Фотосфера (по-русски — сфера света) — наиболее глубокий слой солнечной атмосферы, доступный нашим наблюдением. Навание — «сфера света» — очень хорошо иллюстрирует то значение, которое она имеет для нас, но от нее мы получаем большую часть света и теляta. Толщина фотосферы очень невелика — около 100 км, и этим обусловлены совершенное резкие очередная Солнца, пожожие на очередная твердиной поверхности. Уровень фотосферы интересен еще и тем, что именно здесь наблюдаются солнечные пятна, число и размеры которых служат наиболее яркими характеристиками солнечной активности.

Область над фотосфером характеризуется резко уменьшающей плотностью. Называется эта область хромосфей (по-русски — «окрашенной сферой»). Во время полного солнечного затмения, когда интенсивный свет фотосферы экранирует прохождение между Солнцем и Землей Луной, хромосфера видна как колючо красноватого цвета, окружающей диск Солнца. Такой цвет обусловлен тем, что хромосфера в значительной степени состоит из водорода, а у этого газа наблюдая яркая видимая спектральная линия находится в красной области спектра.

Следующая область солнечной атмосферы — корона — видна во время полного солнечного затмения как великолепный венец белого цвета, контрактирующий с красноватым светом хромосферы. Солнечная корона состоит из разреженной плазмы с температурой порядка 10⁶ К. Исследования показали, что постоянно истекший от Солнца горячий корональный газ (плазма) доходит вплоть до Земли. Но плотность его у Земли столь мала, что он не может иметь сколь-нибудь существенного значения.

Непрерывное истечение коронального газа называют солнечным ветром. Солнечный ветер состоит в основном изонов H⁺ и ⁴He⁺⁺, но были обнаружены и другие составляющие, в том числе ³He⁺⁺, ⁴He⁺, O⁺⁵, O⁺⁶, О⁺⁷ Общеприятной теории, обьясняющей физические процессы, происходит в солнечном ветре, до сих пор не создано, хотя существует несколько гипотез, дающих различные значения для плотности — от 6,75 до 13 частиц/cm³ (при 0 °C и atmospheric давления газа плотность ≈ 3·10¹⁹ частиц/cm³), темппературы — от 9·10⁴ до 2,8·10⁵ К и скорости солнечного ветра — от 165 до 350 km/c.

Солнеце вращается около своей оси в том же направлении, что и Земля, но в отличие от Земли оно вращается не как твердое тело. Полярные области Солнца вращаются медленнее, чем экваторальные, — такое свойство называют дифференциальным вращением. Частота вращения на различных шипотах Солнца приближено определяется эмпирической формулой

ω = 1/T₀ (1−1/8 sin²φ−1/6 sin⁴φ) оборота за земные сутки, где φ — гелюграфическая шипота, T₀ — продолжительность солнечных суток на экваторе; T₀=26 земных суток. Перiod вращения изменяется от 26 суток на экваторе до 37 суток на полюсах, где φ=90°=π/2.

Из спектральных наблюдающих извлечено, что вокруг Солнца существует магнитное поле. В полярных области Солнца направлено поля около 10⁻⁴ Тл, и векторы направленных направлены в противоположные стороны. Однако, в отличие от земного магнитного поля, поле Солнца не симметрично. Источник его — сложные движения плазмы, которая представляет собой вещество с большой электропроводностью.

Нибольший интерес представляют участки солнечной поверхности, в которых направлено магнитное поле достигает больших значений — 0,2—0,4 Тл. Такое сильное магнитное поле действует на движущие заряды плазмы, то есть на онны и электроны, со значительной силой и тем самым превращает их перемешивание. Ведь движущие заряды это электрический ток, на которой магнитное поле действует с силой, пропорциональной току и направлению поля. В силу этого участки с сильным магнитным полем оказываются более холодными и при наблюдающих видных темными. Называются эти темные «острова» пятнами. Площадь пятен обусловно изменяют в миллионных долях площади полусферы Солнца (мдп). Солнечные пятна иногда достигают размеров до несколько тысяч мдп, а самоое большое из зарегистрированных пятен (наблюдалось 7 апреля 1947 года) имело площадь более 6000 мдп, то есть более 15 миллиардов квадратных километров! На такой площади могли бы помещить-

14

Рис. 1.

ся почти все планеты солнечной системы.

Большие пятна можно наблюдать даже с помощью небольшего бинокля. (Только не смотите на Солнце, не зашиит предварительно глаза!) Лучше всего фокусировать изображение на белый экран, помещенный за окуляром. Если вам повезет, и вы направите прибор на Солнце во время нахождения на его наблюдаемой поверхности большой группы пятен, то вы сможете увидеть также вокруг пятен более яркие площадки — флоккуляы. Если же очень повезет, то вы сможете видеть, как вдруг около группы пятен возникает яркое свечение, захватывающее значительную площадь. Знайте, что вы увидели очень большую солнечную вспышку.

Солнечные вспышки зарождаются в нижних слоях солнечной короны, когда в сравнительно небольший области за короткое время выделяется огромная энергия — до $10^{25}$ Дж (примерно столько же, сколько при взрыве $2 \cdot 10^{15}$ тонн стандартного взрывчатого вещества). Температура вещества в области вспышки может достигать $10^8$ К. Вспышка сопровождается мощным излучением. Набольшая интенсивность этого излучения приходит наRENTеновскую и ультрафилолетовую области его спектра, а также на видимую красную область спектра. И только самые мощные вспышки бывают видны в белом свете. Это очень редкое событие.

До настоящего времени еще нет удовлетворительной теории, объясняю-

шей проискождения солнечных вспышек. Но многое ученые считают наиболее вероятной причиной вспышки так называемую ангигиляцию сильного магнитного поля в солнечной короне, при которой энергия магнитного поля переходит в кинетическое энергию заряженных частиц, составляющих корональный газ.

Многолетие наблюдания показали, что картина солнечных пятен меняется со временем. Бывают дни, когда пятен нет совсем, потому они появляются, растут, количество их увеличивается, достигает максимума, а затем уменьшается до минимума. Пятноеобразование деятельности Солнца имеет периодический характер. В среднем этот период равен 11 годам, но вообщепранообразование представляет собой очень сложное явление, и в действительности продолжительность цикла колблется от 7 до 17 лет. Для характерастики активности Солнца использует как называемое число Волфа $W$, которое определяется выражением

$$W = k(10f + g),$$

где $g$ — число отдельных пятен на данной момент времени, $f$ — число групп пятен, $k$ — коэффициент пропорциональности, зависимости от конкретного прибора, использованного для наблюдения. На рисунке 1 представлен график изменения числа Волфа со временем (с 1700 года наблюдания пятен ведутся регулярно).

15

Как известно, радиосвязь на Земле между пунктами, находящимся на большом расстоянии друг от друга, возможно только благодаря начино в земной атмосфере хорошо электропроводящих слоев, называемых иносферой. Слой эти расположены на высокотах от ~70 до 400 км. Их электропроводность вызвана ионами и электронами, возникающими вследствие ионизации воздуха ультрафилолетовым излучением Солнца.

Возможность дальней радиосвязи обусловливается способностью иносферы отражать радиоволны, которые могут, таким образом, уходить далеко за пределы видимого горизонтта. Радиоволны отражаются от иносферы потому, что она обладает электропроводностью. Точно так же, как металлы отражают видимый свет вследствие их большой электропроводности. В местах велика плотность электронов (около $10^{22}$ электронов/cm$^3$). Радиоволны разной частоты отражаются на различных высотах. Дело в том, что волна отражается от иносферы, если частота $v$ волны меньше некоторой критической величины. Значение же этой критической частоты зависит от плотности электронов в иносфере и определяется формулой

$$v = \frac{e^2}{m\varepsilon_0} n,$$

где $e, m$ — загяд и масса электрона, $\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} \text{Ф/m}$ — электрическая постоянная, $n$ — плотность электронов. Волны с большей частотой проходят сквозь слой иносферы, не отражаются от нее. Ясно, что чем больше волны (чем меньше частота), тем при меньшей плотности заряженных части пронзойдет отражение.

Плотность электронов в атмосфере различана на разных высотах (рисунок 2). Однако и значение электронной плотности на данной высоте постоянно меньше вследствие многих принцип. Так как верхняя атмосферяющая под действием солнечного излучения, то ясно, что наиболее ионизация наступает в полдень, когда Солнце выше всего на небе. Наименьшая ионизация наблюдается почью, не задолго до рассвета. Наверное, любители крупить ручки радиоприемника давно заметили, что радиостанция, который должен услышать только на коротких волнах, почью хорошего слышна и в средневоловом диапазоне. Если вы отметили этот эфект — знайте, что вы столкнуть с одним из эфектов солнечного земной физики!

Разумеется, кроме существенных электриной плотности существуют еще и другие причины изменения плотности электронов. Попробуйте объяснить, как должны радиостанция изменять частоту радиовещания в зависимости от времени года и фазы цикла солнечной активности. Ответить на этот вопрос вам помогет рисунок 3, на котором представлено типичное распределение электронной плотности в атмосфере в моменты максимумов (правые кривы на рисунках) или минимумов (левые кривы) солнечного цикла.

Происходящие на Солнце вспышки также оказывают сильное влияние на иносферу. Значительное увеличение

17

сферу, с различными нейтральными атомами или молекулами воздуха верхних слоев атмосферы. При этих стольновениях atoms инизуются, то есть от них отрываются электроны. При обратном процессе, когда электрон снова соединяется с иномом, образуя нейтральный atom, излучается свет. Длина волны этого света зависит от сорта атомов. Так, кислород окрашивает небо в зеленьий цвет, а темно-красное свечение обязано азоту.

Довольно давно было замечено, что геомагнитные возможности и яркие полярные сияния былиют чаще и сильнее во время максимума солнечного цикла. Большинство возможности удается увеличению связать с прохождение по диску Солнца пятнами или с мощными вспышками. Но в то же время точно также же пятна проходят по диску, не вызывая геомагнитных возможности; бывают сильные вспышки, не имеющие последствий на Земле. Поэтому прихождения сделать вывод, что сами по себе солнечные пятна и вспышки неосредственно не связаны с геомагнитными возможностими. Но есть один постоянный эффект, который свидетельствует о наличии потоков заряженных частиц, движущихся от Солнца. Это — тенденция магнитных бурь повторяется с периодом около 27 дней. Число это близко к периодувращения Солнца. Отсюда следует, что солнечный «агент», их вызывающий, распространяется в виде ограниченного пути, следующего за солнечным врашением. Интересно, что 27-дневная повторяемость ярче выражена во время минимума солнечной активности, когда «запятенное» мала. Эти тиннстенные области Солнца, вызывящие геомагнитные возможности, называют М-областими, и долго времени не могли отложить их с какими-либо определенными образованиями на Солнце. Ситуация несколько проясилась в последнее время, когда были обнаружены так называемые корональные дыры. Такое название получили области солнечной короны с исключительно низкой плотностью и температурой. Эти области характеризуют низким уровнем излучения в крайнем ультрафиолетовом,RENTеновском микроволновом диапазонах.

Предполагают, что наличие сырано со структурой магнитного поля Солнца — в окрестностях дыры поле направлено так, что оно не оказывает заметного влияния на движение заряженных частиц коронального газа, и именно из этой области в космическое пространство устремляются наиболее мощные потоки заряженных частиц.

IV

Наверное, многим школьникам и студентам приходила в голову мысль: «Эх, опоздал я родиться! Все в науке уже открыто». Что же, действительное, многое уже сделано. Но наука о Солнце и его

20

Повозившись с картинами, можно сделать два наблюдания, подсказывающие идины двух разных доказательств. С них мы и научем.

Наблюдение 1. Расмотрим самую простую квадратную решетку. На рисунке 3 красным цветом выделена область $D_6(O)$; кроме того, жирными черными линиями плоскость разбита на одинаковые квадраты так, что каждый узел $Q$ служит центром одного из квадратов; этот квадрат — обозначим его $D(Q)$ — получается переносом центрального квадрата $D(O)=D_1(O)$ на вектор $\overrightarrow{OQ}$. Если разрезать всю плоскость по жирным линиям на квадраты $D(Q)$ и перевести все квадраты так, чтобы они совместились с центральным $D(O)$, то красные кусочки $D_6(O)$ в точности заполняют квадрат в один слой, не налегая друг на друга (то же самое будет верно для кусочков области $D_r(O)$ при каждом $r=2, 3, ...$; предполагаем это проверить читателем для стольких $r$, чтобы в этом не осталось сомнений). Отсюда, конечно, сразу будет следовать, что $D_6(O)$ (и $D_r(O)$ при каждом $r$) имеет ту же площадь, что $D_1(O)$.

Наблюдение 2 проиллюстрирует, отчеты для разнообразия, на примере решетки из вершин правильных шестиугольников, заполняющих плоскость. На рисунке 2 показаны области $D_r(O)$ для $r=1, 2, ..., 6$.

Аналогично можно построить области $D_r(Q)$, приняв за центральный любой другой узел $Q$ решетки. На рисунке на с.19 выделено несколько области $D_4Q$ — каждая имеет тот же цвет, что и ее центр $Q$; все области $D_4Q$ для разных $Q$ заполняют плоскость в один слой, не налегая друг на друга. (To же самое верно для области $D_r(Q)$ при каждом $r=1, 2, ...$) Таким образом, площадь $D_4Q$ (и $D_r(Q)$ при каждом $r$) — это «средняя» площаяся на один узел. Что это такое, мы уточним ниже, а пока формулируем лемму, которая объясняет оба наблюдания.

Ключевая лемма. Области $D_r(O)$ состоит из тех точек $M$ плоскости, для которых узел $O$ является r-м по удаленности от точки $M$.

Разберем сначала случай $r=1$. Заметим, что перpendикуляр, проведенный к отрезку $PO$ в его середине, делит плоскость на две полуплоскости так, что точки $M$ в одной из них (содержащей $O$) близке к $O$, чем к $P$, в другой — наоборот. Области $D(O)=D_1O$ пересечение таких (содержащих $O$) полуплоскостей для всех возможных узлов $P$, отличных от $O$. Поэтому $D(O)$ состоит из точки $M$, для которых узел $O$ близке всех других узлов $P^*$).

*) Аналогичное развитие на «области Дирихле» использовано в решении задачи М765 (см. Квант, 1983, № 2, с. 41 и 1984, № 3, с. 47).

21

Пусть теперь $M$ — точка ранга $r > 1$ (по отношению к центру $O$). Из определения ранга, данного в условии, следует, что, движясь по некоторому пути от точки $M$ к $O$, мы пересечемровно $r - 1$ проведенных прямых — серединных перпендикуляров некоторых отрезков $OP_1, OP_2, \dots, OP_{r-1}$. (Этот путь можно построить так: сначала мы идем по прямолинейному отрезку от точки $M$ до любой погранничной точки области $D_r(O)$ и $D_{r-1}(O)$, затем — по другому отрезку до погранничной точки области $D_{r-1}(O)$ и $D_{r-2}(O)$ и т. д. Дойдя до области $D_1(O) = D(O)$, мы по прямолинейному отрезку идем в точку $O$. Это означает, что имеется $r - 1$ узлов $P_1, \dots, P_{r-1}$, к которым $M$ близке, чем к $O$. Лемма доказана.

Теперь применим лемму для анализа наших наблюданий.

$1^\circ$. Пусть решетка такова, что при переносе на вектор $\overrightarrow{OQ}$; где $O$ и $Q$ — любые ее узлы, все решетка совмещается с собой. (Этот условию удовлетворяет квадратной решетке, «treугольная» решетка на рисунке 1 и вообще любая решетка из концов векторов $m \cdot \overrightarrow{OA} + n \cdot \overrightarrow{OB}$, где $OAB$ — фиксированный треугольник, а $m$ и $n$ — произвольные целые числа.) Будем ниже «переносами» называть лишь параллельные переносы на векторы $\overrightarrow{OQ}$. Докажем, что для любой внутренней точки $M$ «области Дирихле» $D(O)$ найдется перенос $T$ такой, что $T(M) \in D_r(O)$, причем если $T(M)$ лежит внутри области $D_r(O)$, то существуетровно один такой перенос $T$. Другими словами, область $D(O)$ разбиается на куски, при переносах $T$ которых составляется область $D_r(O)$. Пусть $M$ — такая точка, что $r - m$ по удалению от нее узлом является $Q$. По ключевой лемме $M \in D(O) \cap D_rQ$, и поэтому при переносе $T$ на вектор $\overrightarrow{OQ}$ мы получим, что $T(M) \in D_r(O)$. Перенос $T$ определяен однозначно, если не существует узла решетки $X$, для которого $|MQ| = |MX|$.

Рис. 2.

Рис. 3.

22

Легко видеть, что это условию удовлетворяют все точки внутриности $D(O)$, которые лежат вне конечного числа отрезков. Эти отрезки — в точности те линия, по которым надо разрезать $D(O)$, чтобы из полученных кусочков сложить $D_r(O)$.

$2^\circ$. Пусть решетка такова, что для любых узлов $P$ и $Q$ можно указыть некоТОРОЕ самосовмещение решетки, переводящее $P$ в $Q$ (в отличие от $1^\circ$, это может быть и поворот, а не только перенос).

По ключевой лемме для каждой точки $M$ есть лишь один узел $Q$, для которого $M \in D_r(Q)$ — это $r$-й по удаленности от точки $M$ узел. Ясно, что области $D_r(Q)$ для разных $Q$ пересекаются лишь по границам. Наложенные условия показывают, что все области $D_r(Q)$ одинаковы — при совмещении решетки, переводящем $Q$ в $O$, $D_r(Q)$ переходит в $D_r(O)$.

Объясним теперь, почему отсюда следует, что $D_r(Q)$ равновелики для различных $r$. Изовем для данной решетки «плотностю» следующий предел: $\alpha = \lim_{N \to \infty} \frac{K(N)}{N^2}$, где $K(n)$ — число узлов, лежащих в квадрате размером $N \times N$ с центром $O$. Докажем, что $\alpha = \frac{1}{S_r}(S_r - \text{плошадь области } D_r(Q))$ для каждой

дого $r$. Пусть $L_r$ — наиболее расстояние точки $D_r(O)$ от $O$, $N > L_r$. Тогда для всех $K(N)$ узлов $Q$ квадрата $N \times N$ объединение области $D_r(Q)$ покрывает квадрат $(N - L_r) \times (N - L_r)$ и содержится в квадрате $(N + L_r) \times (N + L_r)$, поэтому

$$\left(1 - \frac{L_r}{N}\right)^2 = \frac{(N - L_r)^2}{N^2} \leqslant \frac{S_r \cdot K(N)}{N^2} \leqslant \frac{(N + L_r)^2}{N^2} = \left(1 + \frac{L_r}{N}\right)^2.$$

При $N \to \infty$ правая и левая часть скольго годно близки к 1, поэтому существует предел $\lim_{N \to \infty} = \frac{S_r \cdot K(N)}{N^2} = 1$, так что $\alpha = \frac{1}{S_r}$; величины $\frac{1}{\alpha}$ — это и есть «средняя площадь на один узел», в частности, площадь $S_1$ области $D(O)$ тоже равна $\frac{1}{\alpha}$.

Замечание. На тех же идеях основано доказательство знаментий леммы Минковского о выпуклом теле, имеющей много неожиданных приложений в теории чисел.

Лемма Минковского. Пусть $C$ — выпуклая центрально-симметриная фигура с центром в узле $O$ решетки. Тогда если отношение площадей $C$ и $D_1(O)$ больше 4, то внутри $C$ есть узел решетки, отличный от $O$.

Набросок доказательства. Сначала доказываем, что существуют узлы решетки $P$ и $Q$

23

такие, что если сдивинут фигуру $\frac{1}{2} C$ на векторы $\vec{OP}$ и $\vec{OQ}$, то полученные области будут иметь общую точку $X$ (эта часть абсолотно аналогична проведению выше рассудения). Обозначим через $Y$ и $Z$ точки, полученные из точки $X$ сдигами на векторы $\vec{PO}$ и $\vec{QO}$. Эти точки лежат в области $\frac{1}{2} C$. Далее, $\vec{OY}-\vec{OZ}=\vec{OP}-\vec{OQ}$, так что точка $A$, являющаяся концентратора $\vec{OY}-\vec{OZ}$ — узел решетки. Заметим, что из выпуклости и центральной симметрики фигуры $C$ следует, что конец вектора $\vec{OY}-\vec{OZ}=\frac{1}{2}(\vec{OY}+2(-\vec{OZ}))$ лежит в $C$.

Ясно, что рассудения $1^\circ$ и $2^\circ$ вполне применимы к пространственным решеткам: для них ребут идти о «серединных плоскостях» к параметру узлов $O, P$ и об объемах соответствующих «ячеек» $D_1(O)$ и $D_r(O)$. На рисунках 4, $a$—6, $a$ представлены три наиболее популярных решетки — простая кубическая, объемно-центрированная кубическая и гранитрированная кубическая. Соответствие им области $D(O)$ и $D_2(O)$ приведены на рисунках 4, $6$—6, $6$ и 4, $8$—6, $8$. Многогранники на рисунках 4, $8$ и 5, $6$ называются ромбодекаэдрами, а многогранник на рисунке 6, $6$ — усеченным октаэдром.

Геометрические конструкции, которые были в центре нашего сюжета, играют важную роль в физике твердого тела. Области $D_r(O)$ известны в физике кристаллов под названем зон Бриллюзона, по имени французского ученого Леона Бриллюзона, который в начале 30-х годов детально исследовал квантовые законы движения электронов в кристалле. В несколько слов это можно понимать так.

Свойства электропроводности кристалла в основном зависимости кристалла в основном зависимости наличия «энергетических шелей» — интервалов, в которых не попадают возникшие значения энергии электронов. Для свободного электрона (не взаимодействующого с кристаллом) график зависимости энергии от импульса — парабола (кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, рис. 7, $a$). Если же электрон взаимодействует с понами кристаллической решетки, то в графике зависимости энергии от импульса при некоторых значениях импульса появляется разрывы. Для «одномерного» кристалла график будет выглядеть примерно так, как показано на рисунке 7, $6$. Для «двумерного» и реального — «трехмерного» кристалла импульс $\vec{p}$ — вектор. Условившись откладывать эти векторы $\vec{p}$ от одной точки $O$ — начала координат, мы получим (двумерное или трехмерное) пространство, точкам которого соответствуют значения импульсов — так называемое импульское пространство. Заданной решетке $A$атомов в общим пространстве естественных образом ставится в соответствии некоторая «двойственная» по отношению к $A$ решетке $P$ в импульском пространстве (физики обычно называют ее обратной решеткой). При подходящем выборе масштаба в импульском пространстве она задается так: вектор $\vec{p}$ принадлежит $P$, если скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{p}$ — целое число для всех векторов $\vec{a}$, соединяющих две точки решетки $A$.

Упражнение. а) Объясните, почему концы $P$ таких векторов $\vec{p}=\vec{OP}$ образуют решетку. б) Нарисуйте двойственные решетки $P$ для решеток $A$, изображенных на рисунках 1, 2, 3.

Оказывается, что разрывы энергии (как функции на импульском пространстве) возникают как раз на плоскости, являющиеся «серединными перпендикулярами» отрезков $OP$, где $P$ — точки двойственного решетки. Физические смысл имеет также параллельный перенос всех кусочков зоны Бриллюзона $D_r(O)$ $r$-го ранга в основную зону $D_1(O)$, который мы использовали в решении задачи М800.

24

Фонтаны в парках и дôма

С. Л. ГАВРИЛОВ

Предок современного фонтана появился очень давно — когда первобитный человек облицвал родник камнями. Вода полилась стружкой, и стало удобно наполять его глиняную и деревянную посуду. Спустя тысячелетия каменная облицовака прибрела естеческое значение. Появились такие произведения искусства, как фонтаны Древней Греции, Рима, а затем Версаля и Петродворца (Петродрофа). Но вплоть до конца прошло столетия сохранились и утилатрное назначение фонтанов — населенение брало из них воду. Это и понятно: само слово «фонтан» проискит от латинского юns — источник.

Большое внимание внешнему виду фонтанов уделяли русские архитектуры. С XVIII века фонтаны в России — неотъемлемая часть дворцов-парковой архитектуры. Самый яркий пример этому — фонтаны Петродворца, загородной резидения русских царей, основной Петром I в 1709 году (см. фотофию вверху). В его стропельве принимали участие такие прославленные архитекторы, как Растрелли, Кваренги и др. Гидротехническими работами руководил инженер Туволков.

Вот что писал о Петродворце русский художник Александр Бенуа: «Это — резидения царя морей. Фонтаны в Петергофе не придаток, а главное. Они являются символьческим выражением водяного царства, тучей брызг того моря, которое плещется у берегов Петергофа».

Причемательно, что из-за благоприятного расположения территории дворца для питания фонтанов не пришлось стройтьникх водоподъемных сооружений. Вода собиралась в окрестных реках и по развевленному трубопроводу поступала к Петродворцу. А необходимое для действия фонтанов давление создавалось за счет естественного перепада уровней.

Не менящий интерес к фонтанам проявляли и западноевропейские архитекторы. Со времен элохи Возрождения в Европе было построено много красивых фонтанов, которые до сих пор производят неизгладимое впечатление. Но самый выдающийся памятник садово-парковой архитектуры с использованием фонтанов — это Версаль, резидения французских королев, построенная во второй половине XVII века по проекту архитектора Андре Ленотра.

26

Рис. 4.

Рис. 5.

он употребил вместе шаров аптечные скляники с двумя отверстиями, а вместе стеклянных трубок — резиновые (рис. 2). Не обязательна и специально изготовления верхняя ванночка. Ее вполне может заменить обычная миска, к которой соответствующим образом крепятся резиновые трубки. Такая конструкция интересна еще и тем, что, меняя относительное расположение склянок, можно изменять высоту струи фонтана.

Этого же можно добиться, если в разрез трубки, передающей давление воздуха из сосуда B в сосуд B, помещить своеобразный «гидроусилитель давление».

Рис. 6.

ния》 — скляники с жидкостью большой плотности (рис. 3). Нанобольшего эфекта можно было бы добиться, используя рутуль, которая также воды в 13,6 раза. Но работает с ней опасно, поэтому лучше воспользоваться растором поваренной cols или сахара в воде. Сахар несколько предотчителене, так как он, в отличие от соли, не дает насыщенного расторра и позволяет получить «сироп» с плотностью, в 1,5 раза превышает плотность воды.

А можно устроить фонтан, который будет приводиться в действие паром. Подобные конструкции используются на практике, когда человеке еще не знало насосов с электрическим приводом. Пример схемы «парового» фонтана приведен на рисунке 4. При нагревании воды в колбе А образуется пар, который создает избыточное давление в сосуд B, вытесняя из него воду.

Такой фонтан восприизвести нетрудно. Нужно помнить только, что колба А должна быть из термостойкого стекла (можно использовать металлический сосуд), а соединения — достаточно герметичными. Пробки для колб легко изготовить из плотной резины, а ответ-

Фонтан Латоны в Версале. Фонтан состоит из четырех крупных бассейнов, поднимающих один над другой. В центре на круллом пьеестале стоит фигура босини Латоны. Ляущики и ящерцы на трех верхних бассейнах выбраются из насадок струи воды, почти закрывающие фигуру Латоны. Струи цилиндrica кассами вода из верхних бассейнов переливается в нижний.

27

стия в них — прорезать с помощью тонкостенной металлической трубочки с заостренными краями.

Этот фонтан может действовать также, если вместе пара использовать скатый воздух. Для этого колбу нужно заменить предварительно накачанной камерой от волейбольного мяча или любой другой подходящей резиновой емкости. По мере уменшення давления в камере фонтан, естественно, будет ослабеть. Чтобы это происходит не так быстро, на камеру можно поставить сосуд, как это изобразено на рисунке 5. Наполняясь водой, сосуд будет давить на камеру с большей силой, что, в некоторых степени, заменит падение давления в камере.

Фонтан возможно привести в действие и с помощью газов, выделяющихся при некоторых химических реакциях. Например, использую реакцию нейтрализии уксусной кислоты пищевой содой, при которой выделяется достаточно количество углекислого газа.

Фонтан, изобразенный на рисунке 6, интересен тем, что он сам перiodический прекращает свое действие, а через определенное время возобновляется его. Пока нижний конец трубки B открыт, простася ими серbezно. Но, возможно, мы не достаточно удаляем внимание тем, кто еще не определен свой интерссы, нашему «начинающему» читателью. Увлечь его математикой и физикой, возбудить у него интерес к этим научам — наша задача. По-видимому, нужно спектр статей и задач разного уровня сложности, чтобы постепенно вводить читателя в круг трудных проблем.

Очень важно, конечно, как читать журнал. Необходимы и постепенно, и внимательность, и терпивость. И главное — это поиск оригинальных решений. Именено с этого и начинается самостоятельное творчество. Это требует большого труда, но и приносит истинное удовлетворение. Трудиться надо не ради того, чтобы кого-то удивить, а для того, чтобы узнать что-то новое, в чем-то разобраться, глубже проникнуть в существенное явление.

Это, если хотите, и пожелание, и признав…

29

в) куб целого числа равен 0,1 или —1 по modulo 9;
г) куб целого числа равен 0,1 или —1 по modulo 7;
д) при нечетном n числа n^n и n равны по modulo 8.

Задача 1. Докажите эти леммы.
Задача 2. Докажите, что любое натуральное число по modulum 3 и 9 равно сумме своих цифр в десятичной записи.

Проиллюстрируем применение лемма a) —6), ответив на следующий вопрос. Является ли число 97 531 квадратом или кубом целого числа? Нет. Оно не является квадратом хотя бы потому, что равно 3 по modulum 4, и не является кубом, так как равно 7 по modulum 9 (поскольку сумма его цифр равна 25). Как видите, успех часто определяется удачным выбором modуля.

Пример 3. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не является квадратом целого числа.

Решение. Попробуем рассуждать по modulum 3. Если первое из чисел делится на 3, то их квадраты образуют по modulum 3 последовательность 0,1,1,1,0,1 и значит, их сумма равна 0 по modulum 3. Мы не получили противоречия: квадрат целого числа может равняться 0 по modulum 3. Что ж, это означает, что мы неудачно выбрали modуль. Попробуем рассуждать по modulum 4. Легко видеть, что в этом случае, в зависимости от того, четно или нечетно первое число, мы приходим либо к последовательности 0,1,0,1,0 с суммой 2, либо к последовательности 1,0,1,0,1 с суммой 3. Но результат леммы 6) говорит о том, что квадрат целого числа не может равнять ни 2, ни 3 по modulum 4.

Задача 3. Докажите, что каждое из следующих чисел не может быть квадратом целого числа:
a) сумма квадратов трех нечетных чисел;
b) число, десятичная запись которого состоит из 20 единиц и неокоторого числа нуля;
c) 2^2+4^4+6^6+…+50^50.

Разумеется, не всегда удается решить задачу такого типа, рассуждая лишь по modulum 3 или 4.

Задачи
4. Найдите все натуральные числа n, для которых число 1!+2!+3!+…+n! является квадратом целого числа.*)
5. Докажите, что число 222…2 (1982 двойки) нельзя представить в виде xy(x+y), где x и y — целые числа.

*) Запись n! обозначает факторial числа n, то есть n! = 1 • 2 • 3 • … • (n-1) • n.

6. Докажите, что сумма квадратов трех последовательных чисел не может быть кубом целого числа.

Разберем два более трудных примера.

Пример 4. Докажите, что число 1^1+2^2+3^3+…+1983^{1983} нельзя представить в виде m^k, где m и k — натуральные числа, k ≥ 2.

Решение. Начнем с рассуждения по modulum 3. Так как любое целое равно 0,1 или —1 по modulum 3, то a^n равно a^2 по modulum 3 при четном n и a^n равно a по modulum 3 при нечетном n. Отсюда можно вывести, что числа 1^1, 2^2, 3^3, … образуют по modulum 3 периодическую последовательность с периодом длины 6, состоящим из чисел 1, 1, 0, 1, —1, 0. Используя эту периодность, нетрудно показать, что данная сумма равна 2 по modulum 3 и, следовательно, не может быть квадратом. Но как показать, что эта сумма не может быть кубом, пятой степени и т. д.?

Необходимую помощь оказывает modulum 4. По этому modulum числа 1^1, 2^2, 3^3, … также образуют периодическую последовательность с периодом 1,0, —1, 0 длины 4, откуда следует, что сумма 1^1+2^2+3^3+…+1983^{1983} делится на 4. Поэтому, если бы эта сумма имела вид m^k, где k ≥ 3, то она делилась бы на 8. Испследуем ее по modulum 8. Если n четно, и n ≠ 2, то n^k делится на 8, а если n нечетно, то n^n равно n по modulum 8 (см. лемму д)), так что данная сумма равна по modulum 8 сумме 2^2+1+3+…+1983. Но эта сумма не делится на 8 (она равна 984068).

Пример 5. Две последовательности целых чисел. (x_n) и (y_n) построены так, что x_1=x_2=10, y_1=y_2=-10, x_n+2=(x_n+1)+1)x_n+1, y_n+2=(y_n+1)+1)y_n+1 при всех натуральных n. Возможно ли при каких-нибудь k и l равенство x_k=y_l?

Решение. Попробуем подобрать modulum m таким образом, чтобы последовательности были по этому modulum постояниями, то есть равны соответственно 10 и —10. Если x_n, x_n+1 и x_n+2 равны 10 по modulum m, то по modulum m равны числа 10 и (10+1)10+1=111. Следовательно, в качестве m нужно взять число 101. Легко убедиться, что по этому modulum последовательность (y_n) также оказывается постояной и равной —10. Но 10 и —10 не равны по modulum 101. Следовательно, равенство x_k=y_l невозможно.

30

Задание
7. Найдите все простые числа $p$, для которых число $2p^4 - p^2 + 16$ является квадратом целого числа.
8. Найдите все натуральные $n$, для которых число $3^n + 55$ является квадратом целого числа.
9. Натуральное число $n$ такое, что число $n^2 + 1$ десятиначное. Докажите, что в записи этого десятиначного числа встречаются две одинаковые цифры.
10. Натуральное число $n$ такое, что число $n^{n+1} + (n+1)^n$ делится на 3. Докажите, что $n-1$ делится на 6.
11. Докажите, что куб целого числа равен 0, 1 или — 1 по модулю 7.
12. Докажите, что уравнение $15x^3 + 13y^3 = 101$ не имеет решений в целых числах.

Школа в «Кванте»

Избранные школьные задания

Восьмой класс

1. Вычислите:
   $$\frac{1}{\sqrt{8} - \sqrt{7}} + \frac{2}{\sqrt{10} + \sqrt{8}} - \frac{3}{\sqrt{10} - \sqrt{7}}$$
2. a) Диагонали выпуклого четырехугольника разбивают его на 4 треугольника, площади которых равны $S_1, S_2, S_3, S_4$ (рис. 1). Докажите, что $S_1S_3 = S_2S_4$.
3. В трапеции $ABCD$ проведены диагонали (рис. 2). Известно, что $S_{BOC} = S_1, S_{AOD} = S_2$. Найдите $S$ — площадь треугольника $ABO$.
4. Докажите, что в любом треугольнике
   $$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c},$$
   где $r$ — радиус вписанной в треугольник окружности, $h_a, h_b, h_c$ — его высоты.
5. Решите систему уравнений:
   $$\begin{cases} x^2 + 2y + 1 = 0, \\ y^2 + 2z + 1 = 0, \\ z^2 + 2y + 1 = 0. \end{cases}$$
   Рис. 1.
   Рис. 2.

Девятый класс
6. Даны два неоклипнеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равной длины. Найдите угол между векторами $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$.
7. Вычислите:
$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{4^2}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{1984^2}\right).$$
8. Докажите irrationalность чисел: a) $\sqrt{6}$; b) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.
9. Решите уравнения:
a) $(x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40,$
b) $(x+1)^4 + (x+3)^4 = 82.$
10. Могут ли: a) четная, b) нечетная, b) периодическая функция — имеет $n$ точек экстремума, если $n=0$; 1; 3; 4?

Десятый класс
11. Докажите, что если $a, b, c$ — положительные действительные числа и $abc=1$, что $a+b+c+ab+ac+bc \geq 6$.
12. Докажите, что в сечении любого выпуклого четырехугольного угла плоскостю можно получить параллелограмм.
13. Докажите, что в любом треугольной параллелограмме
$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4},$$
где $r$ — радиус вписанной в треугольник окружности, $h_1, h_2, h_3, h_4$ — его высоты.
14. Решите уравнения:
a) $x^4 - 2x^3 - 13x^2 - 2x + 1 = 0,$
b) $x^4 + 3x^3 - 2x^2 - 6x + 4 = 0.$
15. В трехгранном угле все плоские углы при вершине $O$ прямы. На ребрах этого угла выбирается по точке: $A, B, C$. a) Докажите, что треугольник $ABC$ — остроугольный. b) Докажите, что точки $A, B$ и $C$ можно выбрать так, чтобы треугольник $ABC$ был конгруэнтен данному остроугольному треугольнику.

Публикацию подготовил Б. М. Ивлев

Задание

1. Впищите в квадратики цифры от 1 до 9 так, чтобы все эти девять цифры были использованы и выполнялись указанные равенства.

2. Круг и квадрат имеют одинаковые площади. В круг виссали квадрат, а в квадрат виссали круг. Что больше — площадь квадрата, вписанного в круг, или площадь круга, вписанного в квадрат?

3. Какое число нужно поставить вместе знака «?» в последовательности: 7, 17, 37, 77, ?, 317,…?

4. Найдите ключ к «тарабарской грамете» — тайнописи, применяшейся ранее в России для дипломатической переписки: «Пайчик тюг т «камашмлютой чмароке» — кайпонили, нимеряшвейя ш Моллии изся цинсораки-гелтой неменилти.»

5. В большом зеркале отражается ваза. Рита сdwинула зеркало на метр, и отражение сметилось на метр. Женя сdwинула зеркало на метр, а отражение сметилось на два метра. Лили сdwинула зеркало на метр — отражение не сметилось вообше. Гриша же к зеркалу не прикасался, а отражение сdwинуLOBь на метр. Как вы все это обьясните?

Эти задания нам предложили: Л. П. Мочалов, А. П. Савин, Н. К. Антонович, С. В. Дворянинов, Н. Ю. Нечувтаев

Задча в картинах

Князь Владимир принвал к себе трех Богатырей.

Кто из вас поимал Соловья-разбоинника?

Негоже хвостать. Позтому мы решили, что каждый из нас будет триж-дый речь держать. Два раза скажет правду, а единожды слукавит. После этого сам решай, кто поимал Соловья-разбоинника.

Это сделал Алеша Попович.

Это сделал не Я.

Я давно хотел со-вершить подвиг.

Много на Руси храбрых воинов.

Я был в это время в другом месте.

Это не Я сделал.

Это сделал Алеша Попович.

Илья в это время был в другом месте.

Трудна задача, но попробую её решить.

Я знаю, где жил Соловей-разбоинник.

Текст А. П. Савина, рисунки Э. В. Назарова

33

Задачи

М866—М870; Ф878—Ф882

М866. а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоит по одному солдатку. Для каждого наиболее d можно переставить солдатков в другие клетки так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше d? (Расстояние изменяется по прямой между центрами старов и новой клеток; сторона клетки равна 1.)
Решите эту же задачу
6) для квадрата 21×21;
в) для прямого лыния m×n клеток.

С. С. Кротов

М867. На уроке танцев 17 мальчиков и 17 девочек построили двумя параллельными рядами так, что образовались 17 пар. При этом в каждой паре рост мальчика отличался от роста девочек не более чем на десять сантиметров. Доказите, что если в каждой ряду переростить мальчиков и девочек по росту, то по-прежнему в каждой паре мальчик и девоcka будет отличаться по росту не более чем на десять сантиметров.

А. Г. Печковский

М868. Из вершин основания tetraэдра в боковых гранах проведены высоты. Доказите, что три прямые, соединяющие основания высот в каждой грани, параллельны одной плоскости. (Плоские углы при вершине — не прямые.)

И. Ф. Шарыzin

М869*. Пары последовательных натуральных чисел (8, 9); (288, 289) обладают тем свойством, что каждое из этих чисел содержит любой простой множитель не менее чем во второй степени.
а) Найдите еще одну такую пару последовательных чисел.
6) Доказите, что существует бесконечного много таких пар.

А. В. Анджанс

М870. По одной стороны бесконечного коридора расположено бесконечное число комнат, занумерованных по порядку целыми числами, и в каждой стороне по роялю. В этих комнатах живет неокотное число панистов. (В одной комнате может жить и несколько панистов.) Каждый день какие-то два паниста, живущие в соседних комнатах — k-й и (k+1)-й — приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k−1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Доказите, что через конечное число дней эти переселяния прекратятся.

В. Г. Ильцев

34

Ф878. Два гладких железа, образующих с горизонтом углы α, расположены в одной вертикальной плоскости (рис. 1). Из точки A одного железа и из точки B другого железа одновременно без начальных скоростей начальной сковательства два шарика. Время движения до горизонтальной плоскости первого шарика (из точки A) — $t_1$, второго — $t_2$. Через какое время после начала движения шариков расстояние между ними было наименьшим?

П. IIIхалиев

Ф879. Вагон массы M, установленный на рессорах с жесткостью $k$, катится по горизонтальном участку пути со скоростью $v_0$. После прохождения прямолинейного наклонного участка пути с перепадом высот H, составляющего угол α с горизонтом (рис. 2), вагон прибретает скорость $v_x$. Определить значение $v_x$, преобразая тренем в колесах. Считать, что период колебаний варона на рессорах много меньше времени прохождения наклонного участка пути и много больше времени прохождения скругленной, сопрягающих наклонный и горизонтальные участки пути; рессоры «пружинят» только в направлении, перpendикулярном плоскости рельсов.

И. П. Крылов

Ф880. Клещи состоит из двух одинаковых частей, скрепленных осью в точке O (рис. 3). Какова сила, действующая на ось, если свободные концы kleшей скжимают с силой F? Трене в оси отсутствует.

Л. Г. Маркович

Ф881. Над газом совершают два тепловых процесса, нагрева его из одного и того же состояния до одной и той же конечной температуры. На $p$—V-диаграмме процессы изображаются прямыми линяями (рис. 4). При каком из процессов газу сообщается большее количество теплла?

А. И. Буздин, С. С. Кротов

Ф882. В схеме, приведенной на рисунке 5, $R_1 = R_2 = R_3 = R$, $C_1 = C_2 = C$. Определить величины тока через источник с ЭДС $\beta$ a) в первый момент времени после замыкания ключа K; 6) спустя большей промежуток времени.

С. К. Строков

Problems

M866—M870; P878—P882

M866. a) A toy soldier stands in each little square of a 20 by 20 square. For what largest $d$ can we interchange the soldiers so that each is moved a distance no less than $d$? The distance is the one between the centres of the corresponding little squares, whose sides are 1. Solve the same problem

b) for a 21 by 21 square;
c) for an $m$ by $n$ rectangle.

S. S. Krotov

37

вательно,
$$|AX| + |AY| = (|AP| + |PT|) + (|AQ| + |QT|) = |AP| + |AQ| + |PQ| = 2,$$
то есть $|AX| = |AY| = 1$ или $X = B, Y = D$. Тоqua $P$ равноудалена от прямых $CB$ и $CT$ ($|PB| = |PT|$), поэтому $CP$ — биссектриса угла $BCT$, аналогично, $CQ$ — биссектриса угла $DCT$. Отсюда вытекает, что $\widehat{QCP} = \widehat{DCB}/2 = 45^\circ$.

А. В. Ходулев

M852. Пусть $x, y, z$ — длины сторон треугольника. Доказите, что величины
$$\left| \frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x} \right|$$
меныше $a)$ 1; $b)$ $^*$ 1/8.

◆

Докажем сначала, что расматриваемая сумма трех дробей по абсолотной величины равна их произведению. Заменяя числитель последней дроби $z-x$ на $(z-y) + (y-x)$, получим:

$$\frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x} =$$
$$= (x-y) \left( \frac{1}{x+y} - \frac{1}{z+x} \right) + (y-z) \left( \frac{1}{y+z} - \frac{1}{z+x} \right) =$$
$$= \frac{(x-y)(y-z)}{z+x} \left( -\frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} \right) =$$
$$= \frac{(x-y)(y-z)(x-z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}.$$

Тепер будем оценивать это произведение.

a) Поскольку $x, y, z$ — положительные числа, справедливые неравенства $|x-y| < x+y, |y-z| < y+z, |z-x| < z+x$, поэтому

$$\left| \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{y-z}{y+z} \cdot \frac{z-x}{z+x} \right| < 1.$$

(Для этого пункта условие, что $x, y, z$ — длины сторон треугольника, несущественно.)

b) Длины сторон треугольника удовлетворяют следующим неравенствам: $|x-y| < z, |y-z| < x, |z-x| < y$, поэтому

$$\left| \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{y-z}{y+z} \cdot \frac{z-x}{z+x} \right| < \frac{zxy}{(x+y)(y+z)(z+x)} =$$
$$= \frac{\sqrt{xy}}{x+y} \cdot \frac{\sqrt{yz}}{y+z} \cdot \frac{\sqrt{zx}}{z+x} \leqslant \frac{1}{8}$$

(в последнем перехode мы использовали неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим: $\sqrt{ab} \leqslant (a+b)/2$ при $a > 0, b > 0$).

Более подробное исследование средств математического анализа позволяет установить точную оценку:

$$\left| \frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x} \right| < \frac{16\sqrt{2}-10\sqrt{5}}{3} \approx 0,089;$$

равенство в этой оценке достигается для вырожденного треугольника со сторонами $z=1, y=(\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{2})/2, x=z+y$. Попробуйте получить эту точную оценку самостояльно.

A. В. Ermилов

39

Остается еще доказать, что указаный набор можно восстановить по результатам размера. Действительно, среди меди имеется только одна монета достоинством 1 коп., поэтому в исходном наборе все монеты, кроме одной, должны быть десятикопеечными, а оставшаяся, очевидно, может быть только пятнадцатикопеечной.

Б. И. Бегун

M855. Можно ли жесткий правильный тетраэдр с ребром 1 протацить сквозь обруч диаметра a) 1; б) 0,95; в) 0,9; е) 0,85?

a) Ответ: можно. Для этого располагаем тетраэдр так, чтобы прямая, проходящая через середины двух его скрещивающихся ребер, была перпендикулярна плоскости окружности и проходила через ее центр (рис. 1).

6. Ответ: можно. Покажем, что тетраэдр можно протацить сквозь окружность диаметра $3/\sqrt{11} \approx 0,905 < 0,95$; это диаметр окружности, проходящий через вершину тетраэдра и середины двух ребер основания.

Наденем такую окружность на вершину $A$ тетраэдра $ABCD$ и продвинем ее так, чтобы она прошла через вершину $B$ и середины $M$ и $N$ ребер $AC$ и $AD$ (рис. 2). После этого будем поворачивать окружность вокруг оси $MN$ за вершину $B$. Плоскость окружности будет пересекать тетраэдр по трапеции $MNL_1K_1$. Диаметр окружности, описанной около этой трапеции, равен $|NK_1|/\sin NMK_1$; нетрудно подсчитать, что при врашении он уменьшается ($|NK_1|$ уменьшается, а $\sin NMK_1$ растет). Поэтому окружность можно поворачивать беспрепятственно, пока она не попадет в плоскость $MNLK$, где $K$ и $L$ — середины ребер $BC$ и $BD$. Теперь ее можно снять с тетраэдра через ребро $CD$ точно так же, как мы надели ее через $AB$ (осью врашения, аналогичной $MN$, при этом будет прямая $MK$ или $NL$).

b) Ответ: можно. Поступаем примерно так же, как в случае 6), но точки $M$ и $N$ берем на расстояниях $|AM| = |AN| = 1/3$ от вершины $A$ (на тех же ребрах). тогда диаметр окружности, описанной около треугольника $BMN$, равен $14/9\sqrt{3} \approx 0,898 < 0,9$. Последовательность протаскивания чут-чут изменяется: после того как в результате врашения вокруг $MN$ плоскость окружности станет параллельной ребру $AB$, окружность нужно параллельно переести так, чтобы она коснулась ребер $CA$ и $CB$ в точках,

40

отстоящих от вершины $C$ на расстояние 1/3, а затем «обратным порядком» снимает окружность через $CD$.

г) Ответ: нельзя. Равносторонний треугольник со стороны 1 нельзя протащить сквозь окружность, диаметр которого меньше высоты этого треугольника, то есть меньше $\sqrt{3}/2>0,85$. Но тогда тем более сквозь окружность диаметра 0,85 нельзя протащить тетраэдр, все грани которого — такие равносторонние треугольники.

В. В. Произвольов

Отредакции. После того как эта задача была подготовлена к печати и независямо от этого, она появилась в только чтоышедшей в серии Библиотека «Квант» книге И. Ф. Шарыгина «Задачи по геометрии (стереометрия)» (М., 1984, задача 261). Там же приводится вычисление диаметра наименьшей окружности, сквозь которого можно протащить тетраэдр с ребром длины 1. Этот диаметр примерно равен 0,896; протаскивание осуществляется по тому же принципу, что в решении задачи в).

Ф862. Линза с фокусным расстоянием $F$ и диаметром $d$ вставлена в отверстие такого же диаметра в экране из светополощацоцезо материала $(d/F<2)$. Экран расположен так, что оптическая ось линии совпадает с биссектральной плоскостью и перpendикулярна ребру двуугранного прямого угла (рис. 1). Грани уела посередében. Рассмотрение от ребра уела до фокуса линии равно $a(a>F)$. Экран освещается широким пучком, параллельным оси линии. Какая доля светового пучка, отраженного от зерка, выйдет наружу, пройдет через линия? На каком расстоянии от линия эти пучки дают изображение?

Пучок лучей, прошедших через линзу, собирается в ее фокусе (рис. 2). Лучи, индические фокуса, падают на зеркала под тупыми углами (так как $d/F<2$). Поэтому после первого отражения от одного из зеркала лучи падают на второе зеркало. После отражения от двух зеркал все лучи (все световой поток) падают на экран с линзой.

Для линзы источником этих лучей является минимое изображение $S$ фокуса линзы, создаваемое зеркальными гранями угла на расстоянии $2a+F$ от линзы. Сквозь линзы наружу проходит лишь лучи, лежащие внутри телесного угла $\Omega$ (на рисунке 2 показаны лучи, ограничивающие выходящий пучок).

Доля $k$ светового потока, отраженного от зеркал и проходшего повторно через линзу, равна относительной светового потока, распространяющего внутреннюю телесного угла $\Omega$, к световому потоку, отраженной от зеркал. Но световой поток, распространяющий внутреннюю телесного угла $\Omega$, равен световому потоку, входящему в линзу внутренний пучка диаметра $\delta$ (рис. 2), а световой поток, отраженный от зеркал, равен световому потоку, входящему в линзу, то есть световому потоку внутренний пучок.

41

пучка диаметра $d$. Следовательно,

$$k = \left( \frac{\delta}{d} \right)^2.$$

Каждай прошедший через линзу луч после двукратного отражения от зеркал меняет свое направление на обратное. Следовательно (см. рис. 2),

$$\frac{\delta}{d} = \frac{F}{F+2a}$$

и

$$k = \left( \frac{F}{F+2a} \right)^2.$$

Действительное изображение $S_1$ источника $S$, создаваемое линзой, находится на главной оптической оси линзы. Расстояние $x$ от $S_1$ до линзы определяется по формуле линзы:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{F+2a} + \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{F(F+2a)}{2a}.$$

A. A. Лапидес

Ф863. В концепской лунке с углом 2а при вершине прыгает шарик, упруго отражаясь от стенки лунки. Точки соударения шарика со стенкой лежат на одной и той же высоте (рис. 1); время от удара до удара постоянно и равно $T$. Чему равна средняя уловая скорость движения шарика вокруг оси лунки, если максимальная скорость шарика $v$ лежит в диапазоне от $\frac{1}{2}gT$ до $\frac{gT}{2\sin \alpha}$?

На рисунке 2 изображены: 1 — плоскость, в которой лежат векторы скоростей падающего и отраженного шарика, 2 — горизонтальная плоскость, 3 — плоскость, касательная к поверхности лунки в точке удара. Время от удара до удара будет оставаться постоянным только в том случае, когда плоскость 1 будет перpendикулярна плоскости 3, а угол $\varphi$ — угол между вектором скорости шарика сразу же после удара и горизонтальной плоскостью — будет таким, что sin $\varphi = gT/2v$. В этом случае cos $\gamma$ (γ — положина угла между проекциями скоростей шарика до и после удара на горизонтальной плоскости) можно определить по формуле

$$\cos \gamma = \frac{tg \varphi}{tg \alpha} = \left( tg^2 \alpha \cdot \left( 1 - \frac{g^2 T^2}{4v^2} \right) \right)^{-1/2}.$$

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Но cos $\gamma = \sin \gamma_1$ (рис. 3; $2\gamma_1 = (\pi - 2\gamma)$ — угол поворота плоскости движения шарика вокруг оси лунки за время $T$). Значит, средняя уловая скорость шарика равна

$$\omega = \frac{2}{T} \arcsin \left( tg^2 \alpha \cdot \left( 1 - \frac{g^2 T^2}{4v^2} \right) \right)^{-1/2}.$$

О. Я. Савченко

Ф864. Мальчик медленно поднимается на снежную горку и

42

тацит за собой на веревке санки. Веревка все время паралельна касательной к горке в той точке, в которой находится малый. Вершина горки расположена на высоте H и на расстоянии l от ее основания (рис. 1). Какую работу совершит малый при поднятии санок на горку? Масса санок m, коэффициент треня санок о снег μ.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф865. Оцените размер atoma рути, если известны: σ — коэффициент поверхностного натяжения рути (в единицах энергия / площадь), q — плотность рути, r — удельная теплота парообразования рути.

и работы против силы треня $A_2$. Чтобы найти $A_2$, рассмотрим небольшие перемещение $\Delta s$ санок вдоль горки. Пусть касательная к горке в этом месте составляет угол α с горизонтом (рис. 2). Поскольку подъем медленный и сила натяжения ввервики T направлена вдоль касательной (вдоль $\Delta s$), можно считать, что санки все время находятся в равновесии, и

$$f_{\tau p} = \mu N = \mu mg \cos \alpha.$$

Работа $\Delta A_2$, совершаемая против силы треня при перемещении на $\Delta s$, равна

$$\Delta A_2 = \mu mg \cos \alpha \cdot \Delta s.$$

Как видно из рисунка 2, $\Delta s \cdot \cos \alpha = \Delta x$ — перемещение санок в горизонтальном направлении. Так что ясно, что результатирующая работа против силы треня при поднятии санок на высоту H равна

$$A_2 = \mu m g l,$$

так как $l$ — суммарное горизонтальное перемещение санок при подъеме.

Таким образом, полная работа, совершаемая малымом, равна

$$A = A_1 + A_2 = mg H + \mu m g l = mg (H + \mu l)$$

и не зависит от профиля горки.

А. И. Буздин

◆ При плотной упаковке молекул (что в полне справедливо для жидкости) каждый молекula имеет 12 соседей. (Показите это самостояльно. Подсказка: рассмотните телесные углы, в которых видны из центра молекулы ее соседи.) Из этих 12 молекул 6 окружают ее колыстом, а еще по три молекулы находятся с каждой стороны от плоскости колыста. Когда мы создаем плоскую свободную поверхность, мы отрываем от молекулы по 3 молекулы из 12, то есть разрываем четверть всех связей.

Итак, создавая свободную поверхность площади S, мы совершаем работу

$$A = \sigma S = \frac{1}{4} r m = \frac{1}{4} r V \varrho = \frac{1}{4} r S d \varrho,$$

где $d$ — диаметр молекул («высота» одного слоя). Отсюда

$$d = \frac{4 \sigma}{r \varrho}.$$

Для рути $\sigma = 0,47$ Дж/$m^2$, $\varrho = 13,6 \cdot 10^3$ кг/$m^3$, $r = 2,82 \cdot 10^5$ Дж/$\mathrm{kg}$, и $d \approx 5 \cdot 10^{-10}$ м.

Оценим диаметр молекулы стандартным способом — по объему, занимаемому 1 молекам: на 1 молекул прихождения объем

$$v = \frac{\mu}{\varrho N_A} = \frac{1}{6} \pi d^3,$$

откуда

$$d = \left( \frac{6 \mu}{\pi \varrho N_A} \right)^{1/3}.$$

Для рути $\mu = 0,2$ кг/$\mathrm{mol}$, и $d \approx 3,6 \cdot 10^{-10}$ м, то есть наша оценка по энергии связывает полне разумна.

43

Подумайте, годится ли такой способ оценки (по энергии связи) для многоатомных молекул.
Ю. А. Родионов, А. Я. Яковлев

Ф866. Электропolitическаяванна подключаена через идеальный диод к сети переменного напряжения (рис. 1). Найти показание теплового амператора (A), если известно, что за время t=1 ч на katode выделяется m=1,078 г меди. Электрохимический эквивалент меди k=0,33 · 10⁻⁶ кЕ/КЛ.

Рис. 1.

Рис. 2.

Согласно I закону Фарадея, m=kq, открывая

$$q = \frac{m}{k},$$

(1)

где q — заряд, прошедший через электролит за время t.

На рисунке 2 показано изменение тока в цепи с идеальным диодом. Как видно из рисунка, суммарный заряд, прошедший по цепи за время t, равен

$$q = q_{T/2} \cdot \frac{t}{T},$$

где $q_{T/2}$ — заряд, проходящий по цепи за половину периода колбаний тока в сети, равный

$$q_{T/2} = \int_{0}^{T/2} I_m \sin \omega t dt = -\frac{I_m}{\omega} \cos \omega t \Bigg|_{0}^{T/2} = \frac{I_m}{\pi} T.$$

Таким образом,

$$q = \frac{I_m}{\pi} T \cdot \frac{t}{T} = \frac{I_m}{\pi} t.$$

(2)

Из (1) и (2) находится значение тока в сети:

$$I_m = \frac{\pi m}{kt}.$$

(3)

Количество тела, выделяющего на ампературе за время t, равно Q=Q_{T/2} \cdot \frac{t}{T}, где Q_{T/2} — тепло, выделяющего за половину периода изменения тока, равное

$$Q_{T/2} = \frac{I_m^2}{2} R \frac{T}{2}.$$

Следовательно,

$$Q = \frac{I_m^2}{4} R t.$$

При установившемся тепловом равновесии средняя мощность, выделяющая на ампературе, равна

$$\bar{p} = \frac{I_m^2}{4} R.$$

Тепловой амператор проградируван по действующему значению тока. Значит, показание амператора I_A определяется соответствием

$$\bar{p} = I_A^2 R = \frac{I_m^2}{4} R \Rightarrow I_A = \frac{I_m}{2}.$$

Подставляя найденное выражение для I_m (см. (3)), находим:

$$I_A = \frac{\pi m}{2kt} = \frac{3,14 \cdot 1,078 \text{ r}}{2 \cdot 0,33 \cdot 10^{-3} (\text{r/KJ}) \cdot 3600 \text{ c}} \approx 1,43 \text{ A}.$$

Б. А. Мукушёв

КВАНТ УАБІВАЕТСЯ
Микроистории

История, рассказная В. Вайскопфом о Н. Боре

Однажды коллега-физик зашел в кабинет к Нильсу Бору и к своему удивлению увидел подкову, прибитую к двери.
— Профессор,— неужели Вы верите в это?
— Нет, конечно,— спокойно отвечал Бор,— но говорят, подкова помогает и тем, кто в нее не верит…
(Шелест В. П. Новый круц. М.: Атомизdat, 1978.)

Выкладывайте научistory

Великий Лаплас присутствовал на засеединии Парижской Академии наук 18 сентября 1820 г., когда Амлер впервые продемонстрировал электродинамическое взаимодействие токов — при пропускании тока по двум проводикам они взаимно смещались. Рассказывали, что после окончания лекции, когда полная впечатлену публика уже расходилась, Лаплас остановился в дверях, джидяясь Даниэля Колладона, ассистровавшего Амперу. Когда тот приблизился, Лаплас, отличащийся малорритным характером и подзрительностью, хлопнул Колладона по плечу и, пристальное смотря ему в глаза, сказал: «А теперь, молодой человек, признавайте! Ведь это вы подталкивали провод.»
(По материалам Льющии М. История физики. М.: Мир, 1970.)

История, рассказная И. К. Киконым

Это произходило в конце 20-х годов в Ленинграде. Киностудии вместе с группой физков было поручено сделать научно-популярный фильм о физике. В группе физков был и Исаак Константинович Кикоин, тогда еще — молодой сотрудник Физiko-техническогоRENTеновского института.

По сценарию надо было отнять опыт с отталкиванием одиноменных зарядов. На репетиции взял целлюлодный шарик, поднесли к нему налектризованную эбонитую палочку — шарик исправно оттолкнулся. После этого приступили к съемке. Мотор, камера… подносят палочку к шарику — никакого эффекта.

Тогда сценарий немного изменили. Лабораторка держала шарик на ниточке, подносила к нему палочку, а рядом стоял И. К. Кикоин и незаметно подталкивал шарик. Съемка прошла блестящие.

Почему же не получился такой простой «настоящий» опыт? Дело в том, что в те годы для освещения при съемке применялись мощные лампы, испускающие ультрафилотовые лучи, которые, ионизируя воздейству, делают его проводящим ток. Понятно, что как только были включены лампы, заряды с шарика и палочки быстро стекли через проводящий воздейству.

48

Движение по окружности

Кандидат физико-математических наук
Ю. А. САМАРСКИЙ

Движение тела по окружности часто встречается в природе и технике. Это полезный спутник Земли и движение автоматизин на закруглениях дороги, врашение шарика на нитке и движение заряженных частц в магнитном поле, врашение деталей различных механизмов и движение самолета при выполнении летчком «мертвой петли».

Если размеры тела много меньше радиуса окружности, тело можно считать матерIALной точкой. Напомним основные особенности движения матерIALной точки по окружности.

Как известно, скорость $\vec{v}$ тела всегда направлена по касательной к окружности и может изменяться как по модели, так и по направлению. Вектор ускорения тела при этом не совпадает с направлением скорости, а составляет с ней неокторный угол. Для анализа движения удобно вместо ускорения $\vec{a}$ рассматривать две его проекции — на направление скорости (по касательной к окружности) и на направление, перpendикулярное скорости (по радиусу окружности). Первую проекцию называют касательным ускорением $a_k$, а вторую — центростремительным ускорением $a_u$ (рис. 1). Касательное ускорение характеризует изменение модели скорости, а центростремительное — изменение направления скорости.

Модуль центростремительного ускорения в каждой точке траектории равен квадрату модуля скорости, деленному на радиус окружности: $a_u = v^2/R$. Модуль касательного ускорения зависит от характера движения тела по окружности. В частности, при равномерном движении $a_k = 0$ и полное ускорение совпадает с центростремительным, изменяющим только направление скорости. В этом случае бывают удобно выделить центростремительное ускорение через угловую скорость $\omega$ или период $T$ движения тела по окружности радиуса $R: a_u = \omega^2 R = 4\pi^2 R/T^2$.

Для тела, движущегося по окружности, так же как и для всякого движения, справедлив второй закон Ньютона: векторная сумма всех действующих на тело сил равна произведению массы тела на его ускорение. При движении по окружности тело все время остается в одной плоскости, поэтому второй закон Ньютона удобно представить системой двух скалярных уравнений, записанных для проекций всех векторов на направление вдоль радиуса окружности и перpendикулярное к нему.

Физическая природа сил, обеспечивающих движения матерIALной точки по заданной окружности, может быть веса разнообразной. Покаем это на несколько конкретных задачах. Почти все они в разные годы предлагались на вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт.

Задание 1. Выезд с горки на горизонтальное плоскость представляет собой дугу окружности радиуса $R=4$ м (рис. 2). Горка гладкая, а горизонтальная плоскость шероховатая, с коэффициентом треня $\mu=0.2$. Санкт-Петербург

49

сорки, оставились на расстоянии $l=30$ м от ее конца. На какой высоте санки давли наорку с силой, в два раза превышает по modulo их силу тягости?

Пусть искомая высота $h$ соответствует точке $A$, как показано на рисунке 2. Рассмотрим силы, действующие на санки в этой точке. Это сила притяжения к Земле (сила тягости) $m\vec{g}$ и сила реакции горки $\vec{N}$. По третьему закону Ньютона сила реакции горки равна по modulo силе давления санок:

$$N = F_\pi = 2mg.$$

Напишем уравнение движения санок (второй закон Ньютона), приняв за положительное направление оси $OX$ направление центристремительного ускорения $\vec{a}_u$:

$$N - mg \cos \alpha = ma_u.$$

Здесь $\cos \alpha = (R-h)/R$ и $a_u = v_A^2/R$. Подставляя значения $N$, $\cos \alpha$ и $a_u$, имеем

$$2mg - mg \frac{R-h}{R} = \frac{mv_A^2}{R}.$$

(1)

Скорость $v_A$ можно определить из закона сохранения и превращения энергии — работа сил тягости на участке $l$ равна полной энергии санок в точке $A$:

$$\mu mgl = \frac{mv_A^2}{2} + mgh.$$

(2)

Решая уравнения (1) и (2), получим

$$h = \frac{2\mu l - R}{3} \approx 2.7 \text{ м}.$$

Задача 2. Шарик радиуса $r$ высит на нити длины $l$ и касается вертикально расположенного вала электродвигателя (рис. 3). Радиус вала $R$. При какой угловой скорости врачи «системы» шарик перестанет давить на вал?

Рассмотрим силы, действующие на шарик при небольшей угловой скорости врачи, пока шарик еще оказывает давление на вал (см. рис. 3). На него действуют силы тягости $m\vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и силы реакции вала $\vec{N}$. С увеличением угловой скорости должны расти и центристремительное ускорение шарика, что возможно только за счет уменшения modula силы реакции $\vec{N}$, поскольку силы $m\vec{g}$ и $\vec{T}$ остаются постоянными.

При некоторой угловой скорости $\omega_0$ взаимодействие шарика с валом прекра-

Рис. 3.

Рис. 4.

тится, и сила $N$ исчезнет (обратится в нуль). Запишем уравнение движения шарика в этот момент в проекциях на оси координат $OX$ и $OY$:

$$T \sin \alpha = m\omega_0^2(R + r),$$

$$T \cos \alpha - mg = 0.$$

Решая их, найдем искомую угловую скорость:

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{g tg u}{R + r}}.$$

Используя рисунок 3, легко определить, что

$$tg \alpha = \frac{R + r}{((l + r)^2 - (R + r)^2)^{1/2}}.$$

Тогда окончательно

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{((l + r)^2 - (R + r)^2)^{1/2}}}.$$

Задача 3. На полное некоторой планеты тело высит ввода большие, чем на экваторе. Определите период обращения планеты вокругруе собственной оси. Планету снитать шаром. Плотность вещества планеты $\omega_0$.

Напомним, что весом тела $\vec{P}$ называется сила, с которой тело вследствие притяжения к планете действует на неподвижную относительно него опорили подвеся. По третьему закону Ньютона со стороны опоры на тело действует

53

Летний лагерь-83
Торжественное открытие летнего лагеря 1983 г. в пос. Фрунзенское.

Встречу школьников с ветеранами MAH ведет ее председатель В. Н. Касаткин.

Занятие со школьниками ведет ветеран MAH, ниже доктор физико-математических наук Б.И. Фукс.

Встреча школьников с учеными.

го комсомола. О значении MAH для крымских школьников очень хорошо сказал ее президент В. Н. Касаткин на встрече школьников с учеными: «Если школьник в Крыму хочет попробовать свои силы в науке или технике, то он знает, куда ему идти. При каждом выщем учебном заведении в Симферополе, Севастополе, Керчи работает учебные подготовления MAH. Отделения MAH есть во многих школах городов и области».
В этом — огромное достижение «Искателя». Пожелаем же ему дальнейшей успешной работы.

А. Н. Виленкин

53

54

Задание
вступительных
экзаменов
в различные виды
в 1983 году

Предлагаемnodборку задан вступительных
экзаменов по математике и физике в некоторых
учиверситеты — Белоруссий, Донецкий,
Казанский, Киевский, Саратовский, Ташкентский и институты — Кищиневский политехнический, Ленинградский филиал Московского
технологического института, Московский аввационный технологический, Московский здро-
мелюративный, Тбилисский педагогический.

Математика
Писменный экзамен

Алгебра

1. Сумма квадратов двух последовательных
   целых чисел на 29 больше утроенного меньшего
   числа. Найдите эти числа.
2. Определите три числа, образующие их
   геометрическую прогрессию, если сумма этих
   целых разна 31, а сумма их квадратов равна 651.
3. От пристигаи $A$ одновременно отправились
   вниз по текущию катер и плот. Катер спустился
   вниз по текущию на 96 км, затем повернул обратно
   и вернулся в $A$ через 14 часов. Найдите
   скорость катара в стоячей воде, если известно,
   что катер встретил плот на обратном пути
   на расстоянии 24 км от $A$.
4. Точки $A$ и $B$ находятся на окружности
   радуса $R$ см. Если точки начнут дивигаться
   настречу друг другу по меньшей дуге, то встретираться через 5 с, а если по большей дуге, то
   встреча произойдет через 11 с. Если точки будут
   -divigаться в одном направлении, то первая точка
   нагонит вторую через 20 с. Найдите скорости
   точек.
5. Трое рабочих разной квалификации выполнили неокторую работу, причем первый работал
   6 часов, второй — 4 часа, третьий — 7 часов. Если бы первый работал 4 часа, второй —
   2 часа и третьий 5 часов, то было бы выполнен
   лишь 2/3 все работы. За сколько часов рабочие
   закончили бы работу, если бы они работали все
   вместе одно и то же время?
6. Числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ образуют арифметическое прогрессию. Докажите, что

$$\frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \dots + \frac{1}{a_{n-1} a_n} = \frac{n-1}{a_1 a_n}.$$

7. Упростите:

$$\frac{\sqrt{\frac{1+a}{1-a}} + \sqrt{\frac{1-a}{1+a}}}{-\frac{1}{a}},$$

8. Докажите точдество:
   a) $$\frac{1+\text{ctg} 2\alpha \text{ctg} \alpha}{\text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha} = \frac{1}{2} \text{ctg} \alpha,$$
   b) $$\frac{(\alpha + \sqrt{3}\alpha^2) : (\alpha + \sqrt{3}\alpha^2) - 1}{\sqrt{3}\alpha - \sqrt{3}\alpha} = -\frac{1}{3}.$$
9. Докажите точдество:
   a) $$\frac{1+\text{ctg} 2\alpha \text{ctg} \alpha}{\text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha} = \frac{1}{2} \text{ctg} \alpha,$$
   b) $$\cos^2(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha - \beta) - \cos 2\alpha \cos 2\beta = 1,$$
   g) $$1 - \frac{1}{4} \sin^2 2\alpha + \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha.$$
10. Известно, что $\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2}$. Найдите
    $$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha.$$
11. Вычислите $\sin (2\alpha + \frac{5}{4}\pi)$, если $\text{tg} \alpha = \frac{2}{3}$.
12. При каких значениях $p$ оба корня квадратного уравнения
    $$(p-2)x^2-2px+p-1=0$$
    положитьны?
13. Найдите все значения $b$, при которых
    ровно один корень уравнения
    $$x^2+2bx-2b=1$$
    удовлетворяет неравенству $x>2$.
14. Решите уравнение:
    a) $$\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 5,$$
    b) $$\sqrt{3x+7} - \sqrt{x+1} = 2,$$
    c) $$\sqrt{x-2} + \sqrt{x} = \sqrt{x-2} - \sqrt{x},$$
    g) $$x^{\log_2 x} + 1 = \sqrt{x-2},$$
    r) $$x^{\log_2 x} + 1 = 100x,$$
    d) $$2 + \log_3(2^x-2) = \log_3 2 + \log_3(4^{x-1}-1),$$
    e) $$4^{x+1.5} + 9^x = 6^{x+1},$$
    j) $$\lg(x-3) + \lg(x+6) = \lg 2 + \lg 5,$$

3. $$\log_{16} x^3 + \log_x \sqrt{x} = 2,$$
   i) $$\cos 4x + 2 \cos^2 x = 1,$$
   k) $$5 \text{ctg} x - 4 \text{tg} x = \frac{9}{\sin x},$$
   l) $$5 \sin 2x - 12(\sin x - \cos x) + 12 = 0,$$
   m) $$\sin x \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{4} \sin 4x,$$
   n) $$\sin^4 x + \cos^4 x = \sin x \cdot \cos x,$$
   o) $$4 \log_2 \sin x + 2 \log_1 \cos(2x + \frac{\pi}{4}) + 1 = 0,$$
   п) $$4 \sin x - 2^{-\frac{1}{2}} + \sin x = 1,$$
   p) $$\cos \left(\frac{4\pi x}{x^2 + x + 1}\right) = 1.$$

14. Определите, какие значения $x$ из отрезка
    $[-\pi; \pi]$ удовлетворяют уравнению
    $$\frac{1}{\cos x} = \sin x + \cos x.$$
15. Найдите все решения уравнения
    $$\frac{2}{\cos 6x - \cos 2x} = \frac{1}{\cos 8x \cos 2x},$$
    удовлетворяющие неравенству $0 \leq x \leq \pi/2$.