Квант 1984, №7 · Страницы

КВАНМ 7 1984
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Mg
13 Al
АЛЮМИНИЙ
26,982
14 Si
КРЕМНИЙ
28,086
15 P
ФОСФОР
24,312

Ca
21 Sc
СКАНДИЙ
44,956
22 Ti
ТИТАН
47,90
23 V
ВАНАДИЙ
50,942
40,08

30 Ga
ГАЛЛИЙ
69,72
32 Ge
ГЕРМАНИЙ
72,59
33 As
МЫШЬЯК
65,37

Sr
39 Y
ИТТРИЙ
88,905
Zr
40 ЦИРКОНИЙ
91,22
Nb
НИОБИЙ
87,62

48 In
ИНДИЙ
114,82
50 Sn
ОЛОВО
118,69
51 СУРШИ

ISSN 0130-2221

2

Перiodическая система элементов

Доктор физико-математических наук
M. A. КОЖУШНЕР

27 января исполнили 150 лет со дня рождения великого русского ученого Дмитрия Ивановича Менделеева, а в febrero — 115 лет его величайшим творению — периодический таблице элементов. История того, как Менделеев шел к одному из крупнейших научных открытий XIX века, как постепенно происходило усовершенствование таблицы, как выяснение сложной структуры atoms и открытие квантовых законов, управляющих движением atomных частиц, приведи, наконец, к пониманию физической основы периодической системы элементов — исключительно интересна и почительна. Сейчас, когда наук уже достигно хорошего известна структура atoms, ретроспективно эта история наполнивает увлекательный детектив, когда большая армия ученых в разные годы и в разных странах постепенно накапливала факты, выдвигала различные гипотезы, чаше всего в обшем не верные, но содержащие какое-то приближение к истине — правильно картине строения atoms.

Научную историю периодической таблицы элементов можно разить на четыре этапа:

1 этап — накопление фактов о свойствах элементов, первые попытки их систематизации, создание Д. И. Менделеевым первого варианта таблицы;

2 этап — уточнение таблицы, заполнение пустуюших клеток, окончательное подтверждение ее истинности;

3 этап — развитие знаний о структуре atoms, открытие квантовой механики, качественное объяснение периодического закона;

4 этап — создание и развитие количественных методов расчеты структуры atoms, создание новых элементов, расшириние таблицы Менделеева.

Еще будучи студентом Петербургского педагогического института, Д. И. Менделеев, избравший химию основной специализностью под влиянием своего учителья, крупного русского химика А. А. Воскресенского, задумался над закономерностями изменения химических свойств от элемента к элементу. В то время, к середине XIX века, было накоплено огромное количество фактических сведений о химических свойствах элементов, были найдены группы химических сходных элементов (шелочные металлы — Li, Na, K, Rb, Zs, щелочно-земельные металлы, галогены), причем внутри этих группы подмечена определенная закономерность, связывающая химическую активность элементов с их atomными массами. Однако обещалишей, картины не было. Делались попытки как-то классифицировать элементы по качественным характеристикам образования или химических соединений. Но они оказались несостоятьыми из-за слишком большого разнообразия таких соединений и их свойства.

Менделеев был физик-химиком и понимал, что системаизация воз-

6

На фото слева почти в натуральном масштабе показана значительная часть микровыхзапасов элемента прометия ($61Pm$).

На верхнем фоне — специальное устройство, позволяющее отделить atoms менделения ($101Md$), которые возникали при bombardировке эйнштейния. На фотографии показано, как вынимается фольга, на которой «осжалались» atoms менделения.

Этот образец — существенная часть микровыхзапасов технических ($43Tc$); следует учеть, что изображение увеличено по сравнению с реальными размерами почти вторе.

механики, созданной в 1925—27 годах. Математический аппарат квантовой механики позволяет расчитать структуру различных atoms.

Так в конце двадцатых годов XX века периодическая система элементов получила окончательное физическое объяснение. Исполнилась мечта Д. И. Менделеева о том, что «причина периодической закономности будет открыта и понята».

К тридцатым годам периодическая таблица содержала 88 элементов и в ней было 4 независные клеточки — с номерами 43, 61, 85 и 87. Соответствующих элементов практических нет в природа — их atomные ядра нестабильны. Миллиарды лет назад, в период формированияния Земли, они должны были существовать, но с течение времени их земные запасы исчезли в результате радиоактивного распада. При из этих четырех элементов — технический ($N_{2}43$), прометий ($N_{2}61$) и актат ($N_{2}85$) — были получены искусственным путем, а четвертый — французий ($N_{2}87$) — был открыт при естественной α-распаде ядер активия. С открытом этих элементов периодическая таблица заполняется плоть до урана ($N_{2}92$).

Активные понки элементов, стоящих за ураном, — трансуранов — начались после открытия в 1938 году деления ядер урана. В 1940—41 годах открыты непутинный $^{93}$Np и плутинный $^{94}$Рu. Следующие же трансурановые элементы

8

лы из-за спонтанного деления тяжельых ядер. Однако есть теоретические предложения, что ядра элементов с зарядами 114 и 126 могут оказаться достаточно стабильными, так что, может быть, мы с вами еще станем свидетельяем

Уголок коллекционера

Марки, посвященные
Д. И. Менделееву

Советская филиальная недократно посвящала различных знаки почтовой оплаты выдающему русскому ученому Дмитрию Иванович Менделееву. Первые четыре марки были выпущены в 1934 году, к столетю со дня рождения Д. И. Менделеева. На одной из них изобравен памятник великом ученому, установленный в 1932 году в Ленинграде. Эта марка приведена в нашей подборке.

В августа 1951 года вышла серия из шестнадцатей марок, посвященная выдающим русским ученым. Средние мы видим синою марку с портретом Д. И. Менделеева. Следующая марка с его портретом на фоне здания Ленинградского университета была выпущена в 1957 году к пятим десятилетию со дня смерти ученого. В 1969 году, к столетю перiodический системы, вышла новая марка с портретом Менделеева и почтовый блок с факсимиле одного из первых вариантовperiodический системы.

В нашу подборку включена также марка Польской народной Республики, посвященная Д. И. Менделееву.

В. Рудов

8

13

шахматной позиции и тогда, в частиности, ответить на вопрос, выигрыют ли в ней белые.

Вы, наверное, уже договорась,почему это до сих пор не сделано. Описанное построение возможно лишь с точки зрения математической абстракции. Реально выполнить его нельзя из-за огромного числа всех шахматных позиций. Доказано, что в каждой позиции существует оптимальный ход. Однако не известен короткий способ (например, формула) для его нахождения.

Но нельзя ли практически проделать это, разумеется, не для всех позиций, а лишь для части — например, для некоторых эндшпилей?

Малофигурные эндшпилии

Пользовать методом обратных волн, автором удалость научить ЭВМ играть в эндшпилле «король, ферзь и пешка против короля и ферзя», (КФП—КФ), при условии, что белая пешка стоит на поле g7 и «король, ладья и пешка против короля и ладьи» (КЛП—КЛ) *) с любым положением пешки. Этный эндшпилли машина играет не просто лучше человека, а делает в каждой позиции оптимальный ход. Таким образом, малофигурные эндшпилли подаются точному анализу на ЭВМ.

Однако такой анализ реализоватьсовсем не просто, потому что его трудоемкость находится где-то на пределе возможности современных ЭВМ. Так, в эндшпилле КЛП—КЛ необходимо рассмотреть около миллиарда позиций. А если на запись каждой позиции

*) Последняя работа была проделана большим коллективом под руководством В. Л. Арлазаров.

потратить всего лишь несколько «бит» (символов 0 или 1 в машинной памяти), то множество позиций займет всего память машины (и «оперативную», и «внешнюю»). Поэтому для машинного анализа малофигурных эндшпилей при шлосковременных применениях ряд специальных приемов, направленных на экономное использование ресурсов ЭВМ. Мы лишь бегло оставимся на одном из этих приемов (декомпозиции), на примере эндшпиля КЛП—КЛ.

Вспомним, что задача машины — ранжирование графа Δ всех позиций, возникка ошибих при разгрузивании эндшпилля КЛП—КЛ. Разумеется, число позиций в Δ больше, чем число позиций КЛП—КЛ (например, обмен ладей переводит нас в эндшпилль КП—К, проходишки в ферзи дает КФЛ—КЛ и т.п.), но это число значительное меньше, чем позиций в графе Γ всея шахматной игры. Более того, сам граф Δ может быть разбит на части (это разбиение показано на рисунке 4). Суть метода декомпозиции состоит в том, чтобы эти части ранжировать по отдельности. Этот прием приводит к целю потому, что связи между частями не слишком сложны: в частиности, они не образуют ориентированных циклов*) (см. рис. 4). Такой граф называется ациклическим.

Задча 2. Докажите, что вершины ациклического графа можно зануемровать так, что любая дуга будет вести из вершины с большим номером в вершину с меньшим номером.

Итак, исследование графа Δ свелось к изучению серии эндшпилей; однако некоторые из них все еще велики.

*) Это значит, что нельзя выйти из какой-либо вершины и, движясь по направлению стрелок, вернуться в нее же.

Схема эндшпилей, возникка ошибих из позиций типа КЛП—КЛ при изменении состояния фигур (взятем или превращением пешки). Для наладности опущена часть эндшпилей, не влияющих на исследование основного эндшпиля КЛП—КЛ.

14

В случае пешечного эндшпилля, задачу его анализа удается уменшить, проверяя декомпозицию уже не по составу фигур, а по различным положениями пешек. Это можно сделать потому, что пешки не ходят назад и не переходят с одной вертикали на другую без взятый. Декомпозиция оказывается решающим приемом для размещения эндшпилля КЛП—КЛ во внешней памяти ЭВМ.

Недостаток места не позволяет нам расскаазать подробнее о других приемах — использование симметрии, метод «групповой обработки» и др. Эти приемы для возможности удовлетворить ограничения как по объему имеющейся оперативной памяти ЭВМ так и во времени счета, что позволяет довести анализ малофигурных эндшпиллей до конца.

Машина разыгрывает эндшпиль

Как же все это выглядит на практике? Имеются два партнера, делящие ходы почередно, скажем, в эндшпиле КЛП—КЛ. Но в нашем случае один из партнеров — человек, а другой — ЭВМ. В результате процесса ранжирования позиций, проведенного раз и навсегда, в памяти ЭВМ хранится «шпаргалка»—список всех позиций с указанием ранга. Сидя за пультом дисплея, человек набирает позицию и сообщает свой ход. В ответ машина, пользовать «шпаргал-ных от единцы, чисел Фибоначчи никак не является числом Фибоначчи.

Известно, что с возрастанием номеров сами числа Фибоначчи быстро увеличиваются. Так, $f_1=1$, но $f_{50}=12586269025$ и $f_{100}=354224848179261915075$. Однако последнюю цифру лю-

кой», находит ранг получившейся позиции и просматривает все ходы из нее, пока не натыкается на оптимальный ход, который и вывесивает на экран дисплея.

Задача 3 (для тех, у кого есть много много времени). В позицини с рисунка 5 больше начинают и выгрывать.

Эта позиция заменяется тем, чтолина оптимального пути от нее до превращения пешки рекордна — 60 ходов! Цепочка ходов из нее мы получили, заставив машину играть за обе стороны.

И что же делать?

Итак, машину научили разыгрывать эндшпиль КЛП—КЛ, причем не только идеально правильно, но и весма быстрого, затрачивая на каждый ход 10—15 секунд (сравните с туририными правилами — 2 часа на 40 ходов).

Аналогично можно научить ЭВМ играть оптимально и в других пятей фигурных эндшпилях. С использованием новых идей, улучшающих алгоритм анализа эндшпиля, а также более мощных машин, видимо, удостраняется доступными для исследований 6—7 фигурные эндшпилии. В то же времяMitтельшпильные шахматные программы, о которых мы уже расскаазвали, даже в многофигурных эндшпилях (10—12 фигур) играют неважно.

Как заполнить эту лакуну, пока не известно. Быть может, удостраться достаточно простого формируемые правила поведения в эндшпиле, рекомендующие пусты и не оптимальные, а близкие к оптимальным ходы. Такие правила можно разрабатывать, исследуя эндшпилли, полный анализ которых уже выполен на ЭВМ. Эти правила оказылись бы весма ценными и для шахматистов, поскольку полезны им удобнее, чем огромными справочными массивами, хранящимися в памяти машины.

Две задачи о числах Фибоначчи

Докажите следующие свойства чисел Фибоначчи (см. с. 17).

1. Произведение и частное двух любых различных, отличных

ных от единцы, чисел Фибоначчи не являются числами Фибоначчи.

Известно, что с возрастанием номеров сами числа Фибоначчи быстро увеличивается. Так, $f_1=1$, но $f_{50}=12586269025$ и $f_{100}=354224848179261915075$. Однако последнюю цифру лю-

кой», находит ранг получившейся позиции и просматривает все ходы из нее, пока не натыкается на оптимальный ход, который и вывесивает на экран дисплея.

Задача 3 (для тех, у кого есть много много времени). В позицини с рисунка 5 больше начинают и выгрывать.

Эта позиция заменяется тем, чтолина оптимального пути от нее до превращения пешки рекордна — 60 ходов! Цепочка ходов из нее мы получили, заставив машину играть за обе стороны.

И что же делать?

Итак, машину научили разыгрывать эндшпиль КЛП—КЛ, причем не только идеально правильно, но и весма быстрого, затрачавая на каждый ход 10—15 секунд (сравните с туририными правилами — 2 часа на 40 ходов).

Аналогично можно научить ЭВМ играть оптимально и в других пятей фигурных эндшпилях. С использованием новых идей, улучшющих алгоритм анализа эндшпиля, а также более мощных машин, видимо, удостраняется доступными для исследований 6—7 фигурные эндшпилии. В то же времяMitтельшпильные шахматные программы, о которых мы уже расскаазвали, даже в многофигурных эндшпилях (10—12 фигур) играют неважно.

Как заполнить эту лакуну, пока не известно. Быть может, удостратьсяDEFAULTLY

2. Ровно через 60 чисел последняя цифра любого числа Фибоначчи перiodически повторяется.

Докажите это.

M. И. Защкин

16

Львиновое Сerdце (1157—1199). В ряде интальянских городов он завел гаремы, что мало подходило «христанейшем» императору. К преподаванию в основном им Неаполитанском университете, наряду с христанскими учеными, он привлек арабов и евреев. Более того, молва приписьвал ему авторство атеистического памфлета «О трех обманшиках», под которым подразумевались Монсей, Христос и Магомет.

Столь любимые его делом рыцарские туриры, на которых стражошие каLEЧили друг друга на потеху публике, Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал города мнее кровавые математические современная (нечно среднее между математическими оптимизации и KBH), на которых противники обменывают неударами мечом, а задачими.

На таких турирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Этому способствовал хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учительей. Воспследствии Фибоначчи пользовался неизменным покровительством Фридриха II. Это покровительство облегчило дальнейшие торговые поездки Леонардо в сверную Африку, Египет, Сирию, Византию, во время которых он глубоко ознакомился с арабской и греческой науки. (Произведения классков античной науки были известны тогда, главным образом, в арабских переводах.) Покровительство Фридриха II стимулировало также выпуск научных трактатов Фибоначчи: общийшей «Книги абака» (1202 г., переработанный и дополненный варант, 1228 г.), «Практики геометрии» (1220 г.), «Книги квадратов» (1225 г.). По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математку учть ли не до времени Декарта (XVII в.) и Эйлера (XVIII в.).

Встроении всех книг Леонардо является их произходение от математических туриров. Основную роль в них играют многочисленные решения и комментированные задачи, — иногда те, которые предлагались на турирах самим Леонардо или его основным соперником, выходцем из сцилийского купечества Иоганном Палермским, приворным философом Фридриха II. Заметим еще, что абак — это старинная счетаная докса, нечто вроде русских счетов. Однако «Книги абака» посвящена не практике счета, а теоретической арифметике в широком понимании этого термина. В частности, по этой книге Европые познакомились с арабскими (точнее — индийскими) цифрами и с современной системой записи чисел. Аналогично, «Практика геометрии» посвящена не прикладной (землемерной) геометрии, а теоретической геометрии.

Для характеристки достижения Леонардо достаточно упомянуть две из решенных им задач: найти три числа x, y и z такие, что их сумма, увеличенная как на x², так и на x²+y² и x²+y²+z² была бы полным квадратом (решение Леонардо: x=16/5, y=48/5 и z=144/5) и, особенно, задачу о решении кубического уравнения x³+2x²+10x=20. Леонардо доказывает, что корень этого уравнения не может быть выражен в квадратных радиках (перворе «доказательство невозможности» в европейской математике после античных теореms об irrationalности √2 и других чисел), а затем вычисляет корень уравнения с ошибкой, не превышащей 0,00000000003 (фантастическая точность).

Но из всех достижения Леонардо неблагодарное человекчество помнить сегодня лишь следующую задачу из «Книги абака»:

«Некто помещил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех стороны, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов произойдет на свет другую пару, аождают кролик со второго месяца после своего рождения».

Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными (Леонардо не делает этого предположения, что, впрочем, мало отражается на результатах, то на 2-й месяц мы будем по прежнему иметь 1 пару; на 3-й месяц — 1+1=2; на 4-й — 2+1=3 пары (и из двух имеющихся пар потомство даты лишь одна пара); на 5-й — 3+2=5 пар (лишь две родившиеся на 3-й месяц пары даут потомство на 5-м месяц); на 6-й месяц — 5+3=8 пар (ибо потомство даут только те пары, которые родились на 4-м месяц) и т. д. Таким образом, если обозначить число пар

17

кроликов, имеющих на $n$-м месте через $f_k$, то $f_1=1, f_2=1, f_3=2, f_4=3, f_5=5, f_6=8$ и т. д., причем образование этих чисел регулируется общим законом:

$$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$$ при всех $n>2$ (1)

— ведь число $f_n$ пар кроликов на $n$-м месте равно числу $f_{n-1}$ пар кроликов на предшествующем месте после числа новых родившихся пар, которое совпадает с числом $f_{n-2}$ пар кроликов, родившихся на $(n-2)$-м месте (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).

Числа $f_n$, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …, называются новые числа обладают многими удивительными свойствами. Перечислим некоторые из них. Их доказательства читатель может рассматривать как задачи:

1. $f_1+f_2+\dots+f_n=f_{n+2}-1$.
2. а) $f_1+f_3+f_5+\dots+f_{2n-1}=f_{2n}$,

6. $f_2+f_4+f_6+\dots+f_{2n}=f_{2n+1}-1$.

3. $f_1^2+f_2^2+\dots+f_n^2=f_nf_{n+1}$.
4. а) $f_{2n}=f_{n+1}^2-f_{n-1}^2$,

6. $f_{3n}=f_{n+1}^3+f_n^3-f_{n-1}^3$.

5. $f_n^2=f_{n-1}f_{n+1}-(-1)^n$.
6. $f_{n+m}=f_{n-1}f_m+f_nf_{m+1}$.
7. $f_n$ четно ⇔ делится на 3.
8. $f_n$ делится на 7 ⇔ делится на 8.
9. $f_n$ делится на $f_m$ ⇔ $n$ делится на $m$.

Этот список можно было бы продолжить. Занитересованный читатель найдет много других красивых точекств (свойств чисел $f_n$) в популярных книгах, названных в конце статьи, в частиности в заменательных брошюрах и книгах Н. Н. Воробьева. Еще два свойства, присланные в «Квант» М. И. Занкиным, можно посмотреть на с. 14 этого номера.

Рекурентное соотношение (1) позволяет без труда последовательно вычислять числа $f_1, f_2, f_3, \dots$. Но есть ли явное выражение для общего числа $f_n$ последовательности Фибоначчи, не требущее знания предыдущих членов? Есть, притом совершенное неожиданное. Посудите сами:

$$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right].$$

Подробный разбор доказательства имеется у Воробьева, а также в брошюре А. И. Маркушевича, читрованной в списке литературы; см. также «Квант» 1982, № 1, с. 19.

Особенно возросла популярность чисел Фибоначчи в последовенные годы, что связано с определенными изменениями в самом математике, в частности — с ростом значения комбинаторики и проблем, связанных с целыми числами. Известную роль здесь cfgало неожиданное появление чисел Фибоначчи в некоторых из недавних важных исследований, формировно на каким с этим числам не связаны. В первую очередь мы имеем в виду сенсционное решение молдым ленинградцем Юрием Матиясевичем так называемой десятой проблеми Гильберта*, а также возникновение чисел Фибоначчи в некоторых из душих от американца Ричарда Беллмана направлениях современной прикладной (оптимизционной) математики.

Где только не возникновение числа Фибоначчи! У них есть красивые геометрические применения, важные приложения в биологии растений: например, в размещении на ветке листев тех или иных пород деревьев, в строении чешук ананаса или расположении зерен подсолнуха (явление филотаксиса; см. «Квант», 1979, № 5, с. 53). Задчаа об оптимальной стратегии автоматизации, желающего найти самую выгодную для него скорость машины, то есть такую, при которой она потребляет наменьшее количество бензина на километр проиденного пути, тоже приводит к числом Фибоначчи — вот уже новозможное сразу увидеть, какое отношение эти числа имеют к такой задаче!

Всего не перечислишь. Мы назовем еще лишь разработку оптимальной стратегии в старинной китайской народной игре изяньшизцы, о которой можно прочитать на с. 18 этого номера.

Список литературы

1. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи, 1-е издание, М. — Л.: Гостехидат, 1951; 4-е издание, М.: Наука, 1978.
2. Маркушевич А. И. Возвращные последовательности, М.: Наука, 1979.
3. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. И. Избранные задачи и теоремы элементарной математики (аррифметика и алгебра), М.: Наука, 1976.
4. Дынкин Е. Б., Успенский В. А. Математические беседы, М. — Л.: Гостехидат, 1952.
5. Стахов А. П. Алгоритмическая теория измешения, М.: Знание, 1979.

• См. «Квант», 1971, № 11, с. 31.

18

«Ферзя — в угол», «Цзяньшиццы» и числа Фибоначчи

А. Ю. МАТУЛИС, А. Ю. САВУКИНАС

Мы хотим познакомить вас с еще одним, довольно неожиданным, применением чисел Фибоначчи, о которых рассказано в статье И. М. Яглома на с. 15—18 этого номера журнала.

Мы увидим, что числа Фибоначчи помогают построить теории древней китайской игры «Цзяньшиццы» и связанной с ней игры «Ферзя — в угол». Этот игра уже был посвящены статью И. М. Яглома («Квант», 1971, № 2, с. 4) и А. Орлова («Квант», 1977, № 3, с. 41).

Здесь мы наметим несколько иной подход к решению той же задачи.

«Цзяньшиццы» и «Ферзя — в угол»

Условия старинной игры «Цзяньшиццы» (выбранные камней) таковы. Имеются две кучки камней (или каких-нибудь других предметов, например спичек). Двое играющих почередно выбирают камни из этих кучек, причем за один ход можно либо взять либо число камней из одной (какой уголно) кучки, либо поровну из обенных кучек сразу. Выигравает тот, кто возьмет последний камень.

Нам требуется найти правильное беспроигрывной игры.

Пусть в одной кучке a камней, во второй b камней. Поставим в соответствии пале чисел (a, b) клетку (бесконечной!) шахматной доски, изображенной на рисунке 1 и поместим в клетку (a, b) ферзя.

Легко видеть, что каждому ходу в игре «Цзяньшиццы» соответствует некоторый ход ферзя: если играк берет k камней из первого кучки, то ферзь смешается на k клеток влево; если играк берет l камней из второй кучки — ферзь смешается на l клеток вниз; если же он берет по m камней из каждой кучки, ферзь смешается на m клеток по диагонали влево и вниз.

Итак, вместе игры «Цзяньшиццы», можно рассматривать игру «Ферзя — в угол» с таким правилом: на бесконечной шахматной доске стоит ферзь. Два играка по очереди перемещают ферзя так, чтобы он приближался к угловому полю (0, 0), то есть за один ход разрешается смешать ферзя на любое число клеток либо влево, либо вниз, либо по диагонали влево и вниз. Выигравает тот, кто приведет ферзя на поле (0, 0).

На рисунке 1 изображен ход игры, начинающийся в клетке (12, 14), где красные стрелки указывают ходы первого играка, а сине — второго; выиграл здесь первый играк.

Понятно, что любой партии игры в «Цзяньшиццы» соответствует некоторой партии игры «Ферзя — в угол», а партии игры «Ферзя — в угол» — партия «Цзяньшиццы». Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только об игре «Ферзя — в угол».

Проигрывные поля

На рисунке 2 изображена бесконечная шахматная доска, на которой неокторые поля помещены знаком «—». Эти поля мы будем называть также проигрывными. Нетрудно видеть, что если один из церающих будет каждым своим ходом ставить ферзя на отмещенное поле, то он выиграет.

В самом деле, ни из какого отмещенного поля нельзя перейти ходом ферзя на отмещенное поле. Например, из любого неотмещенного поля можно один ход перейти на отмещенное поле. Поэтому, поставив ферзя на отмещенное поле, вы вынуждаете вашого противника соисти с отмещенного поля. Следующим ходом вы можете снова шагнуть на отмещенное поле (более близкое к полю (0, 0) и так далее. В конце концов вы шагните на отмещенное поле (0, 0) и выиграете.

Можно указать правила, по которым последовательно получаются отмещенные поля. Сначала отмещается поле (0, 0). На это поле можноойти с любого поля вертикали a=0, горизонтали b=0 и диагонали a=b. Ближайшие нерассмотренные поля — это поля (1, 2) и (2, 1). На одно из этих полей можноойти из любых полей вертикали a=1, a=2, горизонтали

21

Основная теорема

Тепер мы можем забыть все сообразения, которые приведены нас к выписанным выражениям для проигрывших полей ($a_n, b_n$), и сразу сформировать следующую основную теорему.

Теорема 1. Пусть $u = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $v = u^2 = u + 1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$. Поле $(a, b)$, где $b > a$, в том и только в том случае является проигрывным, если существует натуральное число $n$ такое, что $a = [nu], b = [nv]$. Если такого натурального $n$ не существует, то позиция является выигрывной.

Доказательство. Рассмотрим последовательность точек

$$(a_1, b_1), (a_2, b_2), \dots, (a_n, b_n), \dots,$$

где $a_n = [nu], b_n = [nv]$, и доказем, что для этой последовательности выполнены свойства 1 и 2 (см. с. 19). Начнем со свойства 1.

Сначала убедимся в том, что все числа $a_1, b_1, a_2, b_2, \dots$ различны. Числа $a_i = [iu]$ различны, так как $u > 1$. По той же причине ($v > 1$) различны числа $b_j = [jv]$. Предположим, что какие-то два из чисел $a_j$ и $b_j$ совпадают. Это значит, что $[iu] = [jv] = k$. Поэтому $iu = k + \delta$, где $0 < \delta_1 < 1$, $jv = k + \delta_2$, где $0 < \delta_2 < 1$. Разделив первое равенство на $u$, второе на $v$, а затем сложив полученные равенства, приходим к равенству

$$i + j = \frac{k}{u} + \frac{k}{v} + \frac{\delta_1}{u} + \frac{\delta_2}{v} = k + \frac{\delta_1}{u} + \frac{\delta_2}{v},$$

из которого следует, что

$$0 < i + j - k = \frac{\delta_1}{u} + \frac{\delta_2}{v} < \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = 1,$$

что невозможно, так как число $i + j - k$ — целое.

Тепер доказем, что каждое натуральное число встречает в последовательности $a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_n, b_n, \dots$.

Пусть $N$ произвольное натуральное число.

Существуетровно $\left[ \frac{N}{u} \right]$ чисел $a_i = [iu]$, меньше $N$. (Это числа с номерами $i = 1, 2, \dots, \left[ \frac{N}{u} \right]$.) Ировно $\left[ \frac{N}{v} \right]$ чисел $b_j = [jv]$, меньше $N$. (числа с номерами $j = 1, 2, \dots, \left[ \frac{N}{v} \right]$.) Всего чисел $a_i$ и $b_j$, меньше $N$, существуют $\left[ \frac{N}{u} \right] + \left[ \frac{N}{v} \right]$, а так как $\frac{N}{u}$ и $\frac{N}{v}$ — не целые числа, $\frac{N}{u} - 1 + \frac{N}{v} < \left[ \frac{N}{u} \right] + \left[ \frac{N}{v} \right] < \frac{N}{u} + \frac{N}{v}$, то есть

$$N - 2 < \left[ \frac{N}{u} \right] + \left[ \frac{N}{v} \right] < N.$$

Таким образом, $\left[ \frac{N}{u} \right] + \left[ \frac{N}{v} \right] = N - 1$. Но это означает, что чисел вида $a_i$ и $b_j$, меньше $N$, имеется в точности столько, сколько всего натуральных чисел, меньше $N$. Поскольку все числа $a_i$ и $b_j$ различны, свойство 1 последовательности $(a_1 b_1), (a_2 b_2), \dots, (a_n b_n)$, … доказано.

Свойство 2 доказывает без труда:

$$b_n - a_n = [vn] - [un] = [(u + 1)n] - [vn] - [un] = [nu] + n - [un] = n.$$

Тем самым основная теорема полностью доказана.

Появляется числа Фибоначчи

Согласно основной теореме, для определения проигрывной пары с номером $n$ надо умножить $n$ на irrationalное число, заданное в виде бесконечной десятичной дроби. Возможно, что такое умножение вам не понятно, особенно если вы не имеете счетной машины. Как для определения проигрывных пар $(a_n, b_n)$ обычно только действиями над натуральными числами?

Для этой цели может послужить такое свойство проигрывных пар:

3. Если $(a_n, b_n)$ — произвольная пара, то пары $(b_n - 1, a_n + b_n - 1)$ и $(b_n + 1, a_n + b_n + 2)$ — тоже произвольные.

При этом, исходя из начального поля $(0, 0)$ или первого поля $(1, 2)$, мы можем построить, пользоваться свойством 3, все проигрывные пары.

Наметим доказательство свойства 3.

Упражнение 2. Доказите, что для проигрывных пар $(a_n, b_n)$ и $(a_{n+1}, b_{n+1}): 2 \leq b_{n+1} - b_n \leq 3$, и $1 \leq a_{n+1} - a_n \leq 2$.

Из результатов упражнения 2 следует, что числа $b_n - 1$ и $b_n + 1$ не являются большими числами проигрывных пар. По свойству 1 существуют такие $k$ и $l$, что $a_k = b_n - 1$, $a_l = b_n + 1$. Посмотрим, чему равны $k$ и $l$.

По свойству 2, номер любой пары равенности между большим и меньшим из чисел этой пары.

С другой стороны, из свойства 1 следует, что номер любой отменной пары $(a_k, b_k)$ равенности ее меньше числа $a_k$ и количество всех неулевых $b_l < a_k$. При $a_l = b_n - 1$ количество чисел $b_l$, меньше числа $a_l$, равно $n - 1$. Это значит, что $k = b_n - 1 - (n - 1) = a_n$. Поэтому пара $(b_n - 1, b + a_n - 1)$ — отмеченная.

Упражнение 3. Доказите, что пара $(b_n + 1, a_n + b_n + 2)$ является отменной для всякой отменной пары $(a_n, b_n)$.

Упражнение 4. Доказите, что любая отменная пара $(a_n, b_n)$ может быть получена из пары $(0, 0)$ или пары $(1, 2)$ с помощью последовательного применения нескольких операций, описываемых свойством 3.

(Окончание см. на с. 29)

22

Еще один шаг на пути к абсолотному нулю

Кандидат
физико-mатематических наук
А. И. БУЗДИН

Недавно японские учены из Токийского университета установили новый рекорд в получении сверхнизких температур. Им удалось достичь температуры, превышаюшей абсолотный нуль лишь на 27 миллионных долей кельвина (27 мкК).

Получение столбных температур, конечно, не является самоцелюю. Продвижение к абсолотному нулю позволяет обнаружить новые физические явления, исследовать поведение необъчных фаз вещества и, в конечном итоге, лучше понять природу различных физических взаимодействий.

Когда в начале века был получен жидкий гелий и появился возможность работать с температурами поядка нескольких кельвинов, были обнаружены такие новые фундаментальные явления, как сверхпроводимость и, открыта несколько позже, сверхтекущость.*)

Долго время считалось, что сверхтекущую область только изотоп гелия с массовым числом четыре (гелий-4). В последнее десятилетие созданы установки, на которых можно получить температуры около

одной тысячи кельвина (1 мК), что позволяет наблюдать сверхтекущость другого изотопа гелия — с массовым числом три (гелий-3). Оказаюсь, что переход гелия-3 в сверхтекущое состояние (при температуре, близкой к 1 мК) имеет принципиальное иной характер, чем возникновение (при $T \approx 2,2$ K) сверхтекущости в гелии-4. Это открытие означено сообщению на поверхности нового направления, которое позволяет расширять наши представления о физике низких температур.

Теперь очередь за микрокельвиновым диапазоном температур. Что же можно ожидать от приникновения в эту новую область? В принципе возможно смежные сiopриззывы. Например, учены предоплатают обнаружить сверхпроводимость ряда нормальных металлов (золота, платины); причем возникло, что эта сверхпроводимость будет носить иной характер, чем наблюдающаяся до сих пор.

Нужно отметить, что каждый новый шаг на пути к абсолотному нулю сопряжен с огромными техническими и техническими трудностями, поскольку требуется создание новых методик охлаждения. Рассказем немного об одной из них.

Рекорд температуры, о котором мы говорили, был поставлен с последовательным применением нескольких различных методов охлаждения. На последнем этапе использовался метод ядерного размагничивания. Суть его заключается в следующем. Ядра atomов отчасти подобны маленьким магниткам, которые из-за теплового движения ориен-

23

Если бы
Следить
знал физику…
Кандидат физico-mатематических наук
Ю. М. САНДЛЕР

«Берите польче пулю, и ваш выстрел будет точен…» «Ункас, мальчик, ты даром тратишь порох и засыпаешь его слишком много. Ружеь отдает, и пуля летит плохо… Твоя пуля попала на два дюйма выше…» Эти слова принадлежат герою романа Купера охотнику Натанизлю Бампо. Охотником он, судя по романам, был действительно замечательным. Но вот насколько точны были его советы с точки зрения физики? Действительно ли пуля польче и не слишком много пороху повышают точность выстрела? Давайте попытаемся разобраться в этом вопросе.

Сначала полезно напомнить, что выстрел всегда сопровождается отдельей. Если приклад ружья упирается в пуля стрелка, то при выстреле ружье «толкает» его. Внимательный наблюдается заметить, что одновременно с толком в пуля при выстреле стрелка держается вверх — ружье поворачивается около точки, в которой оно.

Упирается в пуляю. Это тоже обьясняется отдельей.

Чтобы понять, как это все происходит, обратится к рисунку 1. Отревок OB — это ствол ружья, отрезок OA — приклад, в точке A ружье упирается в пуля стрелка. На пуля, движущуюся в стволе, действует сила давления пороховых газов. На ружье в горизонтальном направлении действует такая же по абсцилотной величины丝ла, направленная в противоположную сторону. Проекция fcos α этой силы определяет толчок в пуляю, а проекция fsin α создает момент, который заставляет ружье поворачивать вокруг точки A. Плечо стрелка мы будем считать неподвижным (в первом приближении это справедливо, так как время выстреле

Рис. 1.

24

ла мало, а массу стрелка можно считать достаточно большой).

Понятно, что от количества пороха, сторающего при выстреле, зависит сила давления пороховых газов. Чем больше пороховой заряд, тем больше это давление, тем больше сила $f$ (см. рисок 1) и тем больше скорость набирает пуля, движясь в стволе. С другой стороны, чем больше сила $f$, тем больше врашательный момент, обусловленный ее проекцией $f$ sin $\alpha$, и тем больше должно быт отклонение ствола от горизонтали при выстреле. Мы попробуем оценить это отклонение и обсуждим вопрос о том, как оно зависит от массы и скорости пуля.

Мы будем рассматривать упрощенную «модельную» задачу, и наши вычисления нельзя расматривать как точное решение задачи о механике ружья при выстреле. О степени правильности наших качественных расужdenей мы сможем судить по разумности количественных оценок, к которым они приведут.

Для обозначения приближенных равенств мы получемся значком $\sim$; такой значок часто употребляют, когда речь идет о сравнению по порядку величины$^*$).

На рисунках 2 и 3 показаны положения ружья в начальной момент (горизонтальный ствол) и в момент вылета пуля. Точку $A$, как уже сказано выше, можно считать неподвижной. Центр тяжестки ружья находится в точке $O$. Длину ствола обозначим буквой $L$, а расстояние $AO$ — $l$. Угол между $L$ и $l$ равен $\alpha$, угол отклонения ствола в момент, когда пуля покидает ствол ружья, — $\varphi$. Средняя сила давления пороховых газов, действующая на пуля, равна $f$, пуля движется в стволе ружья ускорено, но нам удобно для оценок пользоваться средней скоростью пуля; обозначим ее $\bar{v}_n$. Временем выстрела $t$ называем время движения пуля по стволу; тогда

$$\bar{v}_n\tau \sim L.$$ (1)

Вращение ствола ружья, вообще говоря, тоже неравномерно, но можно вести среднюю угловую скорость $\bar{\omega}$;

$$\bar{\omega} \sim \frac{f \sin \alpha - Mg \cos \alpha}{M},$$ (4)

$$\bar{v}_p \sim \bar{a}_p \tau$$ (5)

(здесь $M$ — масса ружья). Можно сразу воспользоваться тем, что типичные значения $\alpha$ не велики ($\alpha \leq 2 \cdot 10^{-1}$ рад), и считать $\sin \alpha \approx \alpha$, $\cos \alpha \approx 1$. После этого из написанных выше формул (2)—(5) легко получить

$$\varphi \sim \frac{L}{l} \left( a \frac{m}{M} - \frac{g L}{\bar{v}_n^2} \right).$$ (6)

25

Посмотрим теперь повышательное на формулу (6). При ее вывод мы не учили, что перед выстрелом где-то вблизи точки $O$ ружее подерживает еще рукой охотника. Но нас интересует отклонение ствола вверх, и если у охотника не доходит руки, то в рассматриваемой нами модельной ситуации можно считать, что ружее «оторвалось» от подерживающей руки в тот самый момент, когда был нажат спуск. Поэтому в формулах (4) и (6) учтены только силы $\vec{f}$ и $M\vec{g}$. Действие силы $\vec{f}$ вдоль направления $OA$ (проекция $f$ cos $\alpha$) «гасится» плечем стрелка (последний действия на ружее с такой же по величине, но противоложно направленной силой).

Следующий наш выбор основан на том факте, что ружее «прыгает» вверх; значит, первое слагаемое в скобках в формуле (6) больше, чем второе, то есть

$$\alpha \frac{m}{M} > \frac{gL}{\bar{v}_n^2}$$

и, следовательно,

$$\bar{v}_n > \left( \frac{MgL}{\alpha m} \right)^{1/2}.$$

Попробуем теперь сделать численную оценку. Пусть масса ружья $M \sim 5$ кг,лина ствола $L \sim 1$ м, масса пули $m \sim 10$ г, $\alpha \sim 2 \cdot 10^{-1}$ рад. Нетрудно убедиться, что неравенство (7) приводит к значению $\bar{v}_n > 100$ м/c. Реальные скорости для боевого оружия $\sim 600$—800 м/c. Таким образом, мы убедились в том, что второе слагаемое в формуле (6) меньше первого, и по порядку величины

$$\varphi \sim \alpha \frac{m}{M} \frac{L}{l} \sim 0,2 \frac{m}{M} \frac{L}{l}.$$

Из (8) следует, что чем меньше $\alpha$, тем точнее стрелба. Значит, лучше, если ружее имеет вид неизогнутой палки? Разумеется, нет. Не нужно забывать, что формула (8) справедлива только тогда, когда первое слагаемое в (6) превышает второе. Существует и чисто практическая причина — из ружья с очень малым углом $\alpha$ очень трудно стрелать, из него просто неудобно целиться.

Если взять $(m/M) \sim 10^{-3}$ и учтень, что $L/l \sim 1$, то для угла $\varphi$ мы получаем оценку $\varphi \sim 10^{-3}$ рад. Что это означает? При таком значении $\varphi$ на расстоянии порядка 100 м пуля отклонится вверх от точки прицеливания примерно на 10 см (естественно, если отсутствует другие причины промахов и если отвлечется пока от влияния на летящую пулью силы тяжести).

Итак, как показали наши оценки, легкая руля действительного улучшает точность стрелбы. От массы порохового заряда рассмотренное выше отклонение пули от цели не зависит.

Мы обсудили пока только вопрос о том, как вычислить отклонение ружья от линни прицеливания (в нашем случае — от горизонтального направления), пока руля движется в канале ствола. Именно это отклонение и существенно для точности стрелбы. Но и после того, как руля вылетела из ствола, само ружее продолжает двигаться вверх, скорость центра тяжестки ружья не равна нулю. Попробуйте сами оценить, на какой дополнительный угол отклоняется ружье после того, как руля покинала ствол. (Вследующем номере журнала мы приведем решение этой задачи.)

Обратимся теперь снова к вопросу о скорости пули и величины порохового заряда. Мы уже говорили о том, что чем больше насыпает охотник пороху, тем больше скорость пули. А какая здесь связаь с точностью стрелбы? Мы должны учеть еще, что руля отклоняется при своем полете и вниз, это связано с действием сил тяжести. Такое отклонение зависит, конечно, от скорости пули и дальности цели. Если руля вылетает из ружья горизонтального, то ее отклонение виз определяется формулой $gt^2/2$, где $t$ — время полета. Считая $t \sim (X/\bar{v}_n)$, где $X$ — дальность цели, оцените сами отклонение $gt^2/2 \sim gX^2/2\bar{v}_n^2$ при $\bar{v}_n \sim 8 \cdot 10^2$ м/c и $X \sim 100$ м. Вы увидите, что вниз пуля отклоняется тоже на несколько сантиметров ($\sim 10$ см). В принципе, отклонение, определяем углом $\varphi$, и отклонение под действием силы тяжести могут даже до той или иной степени компенсировать друг друга. Понято теперь, что изгиб ружья ($\varphi$) конструтивно оправдан.

А теперь читатель может снова задуматься над вопросом о том, знал ли Следопыт физику.

26

О гидравлическом уdaре

Кандидат технических наук
E. M. ВОИНОВ

В конце XIX века в Москве учатились случаи разрыва труб городского водопровода, неднократно происходили сервисные аварии на гидравлических станциях. Видимых причины событий не было, и в 1897 году великий русский ученый Николай Егорович Жуковский занялся изучением этого вопроса. В результате появился, ставшая теперь классический, работа «О гидравлическом уdaре в водопроводных трубах», в котором Жуковский дал предельно четкое решение задачи, доведенное до непосредственного практического применения. Он показал теоретически, а затем и экспериментально проверил, что при быстром закрывании запорных устройств и, следовательно, быстром прекрашения движения воды по трубе давление в трубопроводе резко возрастает. Это явление, называемое гидравлическим ударом, и служит причной разрыва труб. Познакомимся с ним подробнее.

Н. Е. Жуковский предложил, что резкое повышение давления в трубе обусловлено неустановившимся движением жидкости. Он пришел к выводу, что в процессе повышения давления в трубе после быстром прекрашения течение участует все жидкость, находящаяся в трубе, и ее кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию пругоя деформации самой жидкости (то есть приводит к резkomу повышению давления в ней), а также расходуется на работу по пругоя деформации стенок труб. Поясним, как протекает этот процесс.

Пусть из большого резервуара (рисунок 1) по достаточно длинной трубе течение жидкости со скоростью $v_0$. На конце трубы установлена задвижка, которая может быстро прекраивать трубу (что значит «быстро», мы поясним позже). При быстром закрывании задвижки в первый момент времени остановляется некоторый слой жидкости, находящийся на носиная отзадвижке и вплоть до резервуара. Очевидно, что граница области повышенного давления будет перемещаться в том же направлении. Важно помнить, что при этом все слой жидкости остаются на своих местах, смешаясь лишь на незначительной величины, определяемого значением пругоя деформации каждой слоя. Происходит передача состояния деформации от слоя к слюю и связанное с ним распространение области повышенного давления вдоль трубы. Как принято говорить, распространяется волна давления.

Определим теперь максимальное значение возникшего неустановившимся движением жидкости. Для этого выделим небольшой объем жидкости, примыкающий к задвижке (это и есть слой, о котором шла речь выше). Пусть площадьечение трубы равна $S$, а толщина слоя $\Delta x$; тогда выделенный объем жидкости равен $S \cdot \Delta x$, а его масса $m = \rho S \cdot \Delta x$. За малое время $\Delta t$, в течение которого этот остановливается, он теряет импульс $\Delta (mv_0) = \rho S \cdot \Delta x \cdot \Delta v_0$, что приводит к повышению давления в нем на $\Delta p$. Согласно второму закону Ньютона, изменение импульса этого слоя определяется импульсом возникшего силы давления $F = S \cdot \Delta p$, то есть

$$F \cdot \Delta t = \Delta p \cdot S \cdot \Delta t = \rho S \cdot \Delta x \cdot v_0.$$

Отсюда

$$\Delta p = \rho v_0 \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right).$$

27

Входящая в это выражение величины $c = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ — это скорость распространения границы области повышенного давления (деформации) в жидкости водьтрубы. Как показал Н. Е. Жуковский, эта величина зависит от упругих свойств самой жидкости и материалов стенки трубы, а также от отношения толщины стенки трубы к ее диаметру. Окзадалось, что для обычного использования в трубопроводах стальных и чугунных труб при протекании в них воды эта скорость близка к скорости звука в воде $c_{3B} = 1450$ м/c и равна $c = 0,9c_{3B} \approx 1300$ м/c. Таким образом,

$$\Delta p = \varrho v_0 c.$$

Мы получили известную формулу Н. Е. Жуковского для избыточного давления, возникшего при быстроистановке жидкости, текущей по трубе. Явление резкого изменения давления жидкости, вызванное внешним изменением скорости ее течение, называют гидравлическим ударом.

Теперь посящим, что следует понимать под быстроим закрытем задвижки. Для этого рассмотрим более подробно процесс распространения волны давления по трубе. Если труба имеет длину $L$, то время распространения области повышенного давления от задвижки до резервуара составляет $t_1 = L/c$. Когда эта волна (ее часто называют ударной) достигает резервуара, на границе труби и резервуара соприкаются два слоя жидкости с различными давлениями: один, нахождение со стороны резервуара, с давлением $p_0$, и другой, нахождение в трубе, с давлением $p_{yd} = p_0 + \Delta p$. Поскольку в таких условиях состояние равновесия на границе этих слов невозможно, то небольшое количество жидкости из трубы вытечет в резервуар, и давление в этом сечении трубы понимается до давления $p_0$.

Это состояние понженного (по отношению к давлению $p_{yd}$ в трубе) давления начинает, в свою очередь, распространяется в обратном направлении — от резервуара к задвижке, которое он достигает через время $t_2 = 2L/c$ от момента закрытия задвижки. В момент времени $t_2$ во всей трубе установлена начальное давление $p_0$. Однако, в тот момент, когда волна понженного давления $p_0$ достигает самого задвижки, слой жидкости, примыкающий к ней, стремится отсорвать от нее, что приводит к понжению давления в нем до некоторой величины $p_1 < p_0$. Понятно, что после этого волна понженного давления $p_1$ начинает распространяется от задвижки к резервуару. После того как она достигает границы труби и резервуара, там снова возникнет ударная волна (но уже повышенного давления в трубе), которая доходит до задвижки через время $t_3 = 4L/c$ от начала всего процесса. Теперь процесс, полный цикл которого мы рассматривали, начинает повторяться, но вследствие потерь энергии на работу против сил треня (обусловленных вззкоствю жидкости) амплитуда колбаний давления в ударной волне постепенно будет уменьшаться. На рисунке 2 показано, как будет изменяться давление у задвижки в течение всего расстоянего цикла. Как следует из приведенного Н. Е. Жуковского, максимальное повышение давления в трубе принято называть прямым ударом.

Если же время закрытия задвижки больше $2L/c$, то величина избыточного давления оказывается меньше, чем при прямом ударе, и как показал Н. Е. Жуковский, определяется выражением

$$\Delta p_{\text{непр}} = \varrho v_0 c \left( \frac{L}{ct_{3akp}} - L \right).$$

Для примера распрострим остановку давления воды в стальной трубе длиной $L = 500$ м при скорости течение воды $v_0 = 3$ м/c. Принаяв $c \approx 1300$ м/c, получим: время быстрого закрывания трубы $t_{3akp} = 2L/c \approx 0,8$ с; соответствующое максимальное повышение давления при прямом ударе составляет $\Delta p_{\text{max}} = \varrho v_0 c = 39 \cdot 10^5$ Па = 39 атм. При таком повышении

шенини давления труба, расчитанная даже на 10 атм, может разорваться. Если же время закрытия принять равным 10 с, то повышение давления составляет всего ~2 атм, что уже не угрожает разрывом трубы. Такой удар называется непрямым.

Таким образом, наиболее простым средством борьбы с гидравлическим ударом является выбор безопасного времени закрытия задвижки. Получив эти результаты, Н. Е. Жуковский предложил заменить применяющиеся в магистральных трубопроводах пробковые краны (подобные самоварным) на медленно закрывающейсяventильные, которые применяются и в настоящее время. После того как это было сделано, массовые разрывы труб перератились. Как уже упоминалось, все описанные теоретические результаты о распространении ударных волн были проверены экспериментально симм Жуковским, и даже при имевшихся в то время весма примитивных приборах получили блестие подтверждение.

С явлением гидравлического удара вы, наверное, не раз встречались в быту. Иногда бывают так: открываешь водопроводный краан, … и раздается сильное дерезжание, сопровождающееся вибрацией подводящей трубы. Это явление неосредственно связано с гидравлическим ударом, который вызывается неисправностью в кране. Попробуйте обьясить, как в данном случае «работает» гидравлический удар. *)

Однако не следует думать, что гидравлический удар приносит только вред. По предложению Н. Е. Жуковского он использует, например, для очень полезного дела — нахождения мест разрыва труб, заложенных в землю. Для этого в том числе трассы, которые, предположительно, имеют повреждение, перед задвижкой установления прибора, записьющей давление. Затем достаточно быстро закрытем задвижки (но не опасным для прочности трубы) создается слабый непрямой удар. Возникшее избыточное давление, одной до места утечки, резко спадет, и обратно к задвижке появит уже волна пониженного давления. По

*) В этом номере журнала в разделе «Лаборатория «Квата» помещена статья «Почему «поет» водопровод?». Вы можете воспользоваться приведенной в ней схемой установки водопроводного крана (рис. 1 на с. 31). (Прим. ред.)

29

Что оно позволяет производить подъем воды на $H_2=20 \div 30$ м при напоре $H_1$ всего 1—2 м. При этом никакого нарушения закона сохранения энергии не происходит — значительная часть воды вытекает из-под кланана $E$, теляя свою кинетическая энергия. Разработанная Н. Е. Жуковского. Таким образом, к нему были «прочность» основатели воздухоплавания братья Монгольфе и «отец русской авиации» Н. Е. Жуковский.

И, наконец, приведем еще один пример очень полезного использования гидравлического удара. В настоящее время в промышленности широко использовется так называемая гидравлическая штамповка. Это делается следующим образом. В достаточно прочную емкость установливается матрица, изготовления из прочного материала, имеющая «негативную» форму штампуемого изделия (там, где в изделия должа быть выпуклость, в матрице — вогнутость, и наоборот). На нее кладется заготовка, и емкость заливается жидкость. В определенных местах в емкость вводят два (или несколько) электрода. Осуществляя мощный импульс разряд (или серию разрядов), создают гидравлический удар, деформационный заготовку по форме матрицы. Таким образом штампуются стальные изделия значительных размеров с толщиной до 10 мм, изготовляются кузовные детали автоматический и др.

Имеются и водотные устройства, работающие по этому принципу. За счет энергии разряда удается получить скорость истечения струп до 1000 м/c. Однако имплусный удар такой струп

«Ферзя в угол», «изяншины» и числа Фибоначчи

(Начало см. на с. 18)

После сделанных нами заменений мы можем формулировать следующую теорему, дающий еще одно описание всех отмеченных пар.

Теорема 2. Пусть $(a_n, b_n)$ — отмечная пара. Если представить натуруальное число $n-1$ в виде суммы неповторяющихся чисел Фибоначчи: $n-1 = f_{k_1} + f_{k_2} + \dots + f_{k_l}$, то $a_n-1 = f_{k_1+1} + f_{k_2+1} + \dots + f_{k_l+1}$ или, иначе говоря, если $n-1$ есть сумма неокотых попарно различных чисел Фибоначчи, то $a_n-1$ есть такая же сумма чисел Фибоначчи с номерами на единицу большими.

30

Почему «поет» водопровод?

Е. И. ПАЛЬЧИКОВ

Согласитесь, что «пенине» водопроводных труб, особенно в позиний час, не доставляет особого удовольствия. Пытаясь избавиться от непряятных звуков или хотя бы понять причину их возникновения, вы открываете водопроводный краан. Часто это ни к чем не приводит. Но иногда бывают и так: достаточно открыть краан, который до этого был закрыт, и гудение либо переходит на другую ноту, либо пропадает вовсе. Значит, причиной всему водопроводный краан? Оказывается, да. Точнее — неисправный краан.

Физику-экспериментатору «поощий» водопровод может послужить хорошим объектом для исследований, а избавление от «пения» — неплохойLABораторной работы с полезным выходом для окружающих.

Как известно, источником звука может быть любое тело, колблющесся со звуковой частотой.*) Рассмотрим, где и каким образом возникают колбания в системе водопровод — краан.

На рисунке 1 изображена одна из возможных конструкций водопроводного крана. В нем заслона, состоящая из металлической шайбы и резиновой прокладки, прижимается винтом к бортику, ограничивающей круглое отверстие, через которое вода поступает к крану. Что произойдет, если краан следует приоткрыть? Из рисунка видно, что самоое узкое место, через которое проходит вода, это щель между краями ответия и нижней стороны заслони. Так как объем воды, проходящий в единицу времени через любое поперечное сечение водопровода, остается постоянным, в самом узком месте скорость движения воды будет самой большой. С верхней стороны заслони скорость воды существенно меньше, чем с нижней. При изменении скорости жидкости, движущейся по водопроводу, меняется и давление. В соответствии с законом Бернулии, там, где больше скорость, меньше давление и наоборот.*)

При некоторых скорости расхода воды и «благоприятных» размерах заслони, ответия и щели может оказаться, что сумма сил давления, действующих на заслонику силы, будет намного меньше сил давления сверху, и заслона прижмется к ответию. Очевидно, что долго такая ситуация продолжаться не может. Как только заслона перекроет воду, скорость в

31

зазоре упадет, давление сниузу повышается, и заслонку отбросит отверстия вверх. После чего процесс повторится сначала.

Колебания заслонки, которые мы рассмотрели, могут произойти в довольно широком интервале частот. Однако из практики известно, что каждый водопровод «поет», как правило, на одной, своей ноте. В крайнем случае на двух-трех. Почему?

Оказывается, здесь главную роль играют трубы водопровода, заполненные водой. Под влиянием заслонки в них тоже возникают колебания, причем сильнее всего столь воды откликается на те частоты, на которых может колебаться он сам. Это — конкретное проявление известного явления резонанса, поэтому неслучайно, что соответствующий участок водопровода называют резонансом. Таким образом, из всех возможных частот колебаний заслонки в кране «выбираются» только те, на которых может колебаться столь воды в прилегающих к крану участках трубопровода.

При этом колебания стольа воды помогают колебаниям заслонки, управляют ими. Заслонка же отбирает часть энергии у вытекающей из крана воды и отделяет эту энергию колеблющему в трубах стольу воды. Другими словами, колебания заслонки вызывают колебания воды, а последнее, в свою очередь, заставляют колебаться заслонку. Для того чтобы колебания не ослабвали, заслонка должна колебаться в такт с колебаниями прилегающего к ней стольа воды.

Заметим, что рассмотренная система наблюдается реально только тогда,

Рис. 1.

Когда заслонка расхлябана и имеет возможность свободно двигаться в некоторых пределах воды оси винта, а резиновая прокладка сильно деформирована и повторяет очередная бортика вокруг ответствия.

И еще. Все процесSIONе в результате трубопроводе, конечно, намного сложнее того, что было описано выше. Тем не менее понятие физической существии процессов, происходит их в «пющем» водопроводе, может оказать реализную практическую помощь — найти неисправные краны.

Например, если при открывании вашего, ранее закрытого крана, «пенине» изменилось или прекратилось, то это означает, что участок труби с вашим краном входит в резонанор. Изменение «пенина» обычно происходит за счет изменения размеров, формы резонантора (или потерь в нем). Прекращение (срыв) колебаний может быть следствием изменения давления в трубопроводе, увеличения потерь в резонанте или уменьшения энергии, поступающей от крана. А если после открывания вашего крана «пенине» не изменилось, говорит ли это о том, что ваш участок труби не резонирует? Подумайте над этим вопросом самостояльно.

Во всяком случае радиальное средство избавления от «пенина» состоит в том, чтобы отскать и починить кран (или краны), в котором сделформировалась или выскочила прокладка. Достаточно сменить резиновую прокладку, а при необходимости и уменьшить возможность передвижения заслонки — и колебания пропадут. Как же это сделать практически?

Для этого нужно сначала перекрыть водопровод авариным краном (которые обычно расположен вванной комнате или в кухне под раковиной), затем ключом или плоскогубцами открыть корпус ремонтируемого крана (ни в коем случае не авариного!). Чтобы не нарушить нижнюю нikelировку, открывать крышку корпуса нужно осторожно, подложив под плоскогубцы несколько слоев бумаги или ткани. После этого из резины подходящей толщины (обычно от 2 до 4 мм) вырезается новая прокладка и ставится на место неисправной (или отсутствующей вовсе). В большинстве бытовых кранов прокладка должна лежать в углублении металлической шайбы и держаться за счет того, что ее диаметр чуть больше диаметра углубки-

32

Леняя. В некоторых кранах в центре прокладки делается отверстие, и она крепится к шайбе гайкой. Отремонтированный краан собирают в обратном порядке и потихоньку открывают авариный краан.

В заключение предлагаем вам proveсти опыт, моделирующий поведение заслонки в водопроводном кране.

Через получатерновый резиновый шланг подсоедините к крану мундштук с размерами, изображенными на рисунке 2. Откройте воду, возьмите в руку трехкопеечную монету и поставайте ее «посадить» на конец мундштука (гербом к мундштуку). После некоторых тренировки можно добиться того, чтобы монета устойчиво держалась при довольно большом интервале скорости расхода воды и при любом положении мундштука. Никаких колебаний при этом не наблюдается, а вся конструкция напоминает разбрызгиваатель для поливки огородов.

Интересно, что диск того же размера, что монета, но с гладкой поверхностью, на мундштуке не удерживает. Зато если прижать его к мундштуку пальцем, появляются колебания, причем при увеличении силы нажима частота колебаний возрастает. Таким образом можно руками потрогать модель заслонки водопроводного крана и убедиться, что колебания действительно возможны.

Для последнего опыта не обязаτεльно выдерживать указанные размеры мундштука и «заслонки». Важно только, чтобы их поверхосты были плоскими и гладкими. Попытайте самостоять придумать и другие опыты, моделирующие процессы, происходит в гудяшем («поощем») водопроводе.

Гармоничский ряд

Единица плоскополина плоскчетверть плоск одна восьмая… Если продолжить это суммирование все дальше и дальнейше — будет ли образушие суммы стремиться к какому-либо пределу? Конечно, ведь перед нами бесконечная геометрическая прогрессия со значенателем меньше 1. Для ее суммы извлечна простая формула — первый член, деленный на единицу минус значенатель прогрессии:

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots = \frac{1}{1 - (1/2)} = 2.$$

Hy, а если попытаться суммировать величины, бесконечную убывающие, но не по закону геометрической прогрессии?

Например, единца плоскополина плоскчетверть плоск очень сумму. Для этого последовательно будем вычислять его частные суммы, то есть числа $S_1 = 1$, $S_2 = 1 + 1/2 + 3/2$, $S_3 = 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6$, … С помощью микрокалькулятора мы получили, например, $S_{99} = 5,177$, $S_{100} = 5,187$. Так чему же равна сумма гармоничского ряда? Подумайте и попробуйте найти его сумму самостояльно.

Hy как? Оценили сумму гармоничского ряда? Если вы пришли к выводу, что сумма $1 + 1/2 + 1/3 + \dots$ стремится к определенному пределу, то вы определенно ошиблись. По мере прибавления новых слагаемых сумма увеличивается, увеличивается, но не стремится к пределу (как это делает сумма геометрической прогрессии)

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \dots$$

Теперь видно, что…, впрочем, конечается место на этой странице: допуйте расходимость гармоничского ряда сами!

(Окончание см. на c. 44)

33

Момент инерции в геометрии

Кандидат физико-математических наук
В. Н. ДУБРОВСКИЙ

Все хорошо знают, что математика постояно используется в физике. Режке встречается и потому менее известно обратное — использование физических понятий в математике. Один яркий пример такого рода — центр масс в геометрии — обсуждался в недавней стате М. Б. Балка и В. Г. Болтянского («Квант» № 4, с. 18). В нашей стате главную роль также играет понятие, занимаванное из механики, — момент инерции.

Но когда с понятием, взятым из физики, начинает работать математик, он быстро забывает его физический смысл и видит в нем лишь полезную математическую формулу. Так, понятие матерIALНОЙ ТОЧКИ А массы m, которое физик воспринимает как «тело массы m пренебрежимо малых размеров для данной задачи», математик определяет формально, как «пару (A, m)», состоящую из точки A (геометрической) и действительного числа m∈R». Физик дважды подумает, прежде чем воспользовется «отрицательной массой», а математик будет рассматривать как ни в чем не бывало «материальный точку»/(A, m), для которой m<0! И притом с пользователем для дела (см. цитированную выше статую, например задачу 5 на с. 19). Подобным же образом мы здесь определяем момент инерции чисто математическим выражением. А выведенная

34

затем формула Лагранжа для вычисления момента инерции станет ключом в своевобразную кунсткамеру геометрии, с множеством диковинных теorem и формул. Об этом наш расссказ.

Предваря возможный вопрос любозательного читателя, посямим все же физический смысл момента инерции. Это легко сделать, отправляясь от второго закона Ньютона. Привращаемым движением второй закон Ньютона записьается в виде $M=I\alpha$, где $M$ — момент прилагаемой силы, $\alpha$ — угловое ускорение, а $I$ и есть как раз момент инерции (см. «Квант», 1971, № 1, с. 6). Сравнивая эту формулу с $F=ma$, мы видим, что момент инерции представляется собой меру инерции врашающего тела, подобно тому, как масса представляется собой меру инерции при поступательном движении.

Что нужно знать о центре масс

Коротко напомним все необходимые нам сведения о центре масс (продобности можно найти в упомянутой статье М. Б. Балка и В. Г. Болтянского).

Рассмотрим систему из $n$ материалов точек (или точных масс), то есть $n$ пар $(A_1, m_1), ..., (A_n, m_n)$, где $A_i$ — произвольные точки пространства, $m_i$ — действительные числа («массы», сосредоточенные в этих точках); более короткое и удобное обозначение для этой системы — $m_1A_1, ..., m_nA_n$. Если общая масса $m=m_1+...+m_n\neq 0$, то

1. существует и единственная такая точка $Z$, что

$$m_1\overrightarrow{ZA}_1+...+m_n\overrightarrow{ZA}_n=\overrightarrow{0};$$

эта точка называется центром масс системы $m_1A_1, ..., m_nA_n$;

2. для любой точки $P$ имеет место равенство

$$\overrightarrow{PZ}=\frac{1}{m}(m_1\overrightarrow{PA}_1+...+m_n\overrightarrow{PA}_n);$$

(1)

Рис. 1.

3. (теорема о группировке) при замене части материалов точек системы $m_1A_1, ..., m_nA_n$, например точек $m_1A_1, ..., m_kA_k$, на их центр масс $C$, в которой помещена их общая масса $m'=m_1+...+m_k$, положение центра масс всей системы не меняется, то есть центры масс системы $m'C, m_{k+1}A_{k+1}, ..., m_nA_n$ и $m_1A_1, ..., m_nA_n$ совпадают.

Неопределенно из определения следует, что центр $Z$ двух точных масс $m_1A_1$ и $m_2A_2$ находится по известному правилу рычаза: точка $Z$ лежит на пряной части — коэффициент пропорциональности двух коллинеарных векторов).

Задачи

1. Пусть $a, b, c$ — длины сторон $BC, CA, AB$ треугольника $ABC$. Доказите, что центр его вписанной окружности является центром масс системы $aA, bB, cC$. (Указание: пользователь тем, что биссертиса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам $^*$), доказите, что, например, барисентр материалов точек в $bB$ и $cC$ — основание биссертисы угла $A$; примените теорему о группировке.)

2. Рассмотрим три внешисанные окружности треугольника $ABC$ — окружности, касающиеся (извне) одной из сторон треугольника и продолженной двух других сторон (рис. 1). Пусть $A_1, B_1, C_1$ — точки их касания со стороны $BC, CA, AB$. Доказите, что а) отрезки $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $N$ (точке Наделя), б) точка пересечения медиан $M$ треугольника лежит на отрезке $ZN$, где $Z$ — центр вписанной окружности, и $|ZM|:|MN|=1:2$.

Мoment инерции и формула Лагранжа

Мomentом инерции системы материалов точек

$$m_1A_1, m_2A_2, ..., m_nA_n$$

относительно фиксированной точки $P$ называется число

$$I_P=m_1|PA_1|^2+m_2|PA_2|^2+...+m_n|PA_n|^2.$$

Впервые это понятие было введено вликом Л. Эйлером (1707—1783).

Для любителей физики отметим, что в механике обычно рассматривается, собственно говоря, момент инерции системы точек относительно

*) См., например, статью Сефибекова С. Р. «Четыре доказательства теоремы о биссертисе» (Квант, 1983, № 8, с. 37).

**) См. также книгу Н. Н. Воробьева «Числа фибоначчи» (М.: Наука, 1978, с. 15).

35

Основные от точки $A_i$ до этой оси (его произведение на угловую скорость вращения системы вокруг оси равно момент имплуса системы).

Он совпадает с $I_P$, когда точка $P$ и все точки $A_i$ лежат в одной плоскости, а ось перепределения её и проходит через $P$.

Формулу (2) можно записать короче, обозначив расстояние от $A_i$ до $P$ через $r_i$ и воспользовавшись знаком суммы $\Sigma^*$):

$$I_P = \sum_i m_i r_i^2.$$

(3)

Формула (3) и (2) можно придать другую форму. Пусть $P$ и $Q$ — две произвольные точки, тогда

$$I_P = \sum_i m_i |PA_i|^2 = \sum_i m_i (\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QA_i})^2$$

$$= \sum_i m_i |PQ|^2 + 2\sum_i m_i \cdot \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{QA_i} + \sum_i m_i |QA_i|^2,$$

то есть

$$I_P = I_Q + m |PQ|^2 + 2\overrightarrow{PQ} \cdot (\sum_i m_i \overrightarrow{QA_i}).$$

(4)

Если теперь в качестве $Q$ взять центр масс $Z$ нашей системы, то, поскольку $\sum_i m_i \overrightarrow{ZA_i} = \overrightarrow{0}$ (по определению центра масс), мы получим

$$I_P = I_Z + m |PZ|^2.$$

(5)

В конце статьи мы показем, что момент инерции относительно центра масс выражается, если $m \neq 0$, следующей красивой формулой:

$$I_Z = \frac{1}{m} \sum_i m_i m_j |A_i A_j|^2$$

(6)

и, следовательно, для любой точки $P$

$$I_P = \left( \frac{1}{m} \sum_i m_i m_j |A_i A_j|^2 \right) + m |PZ|^2.$$

(7)

Формулы (5)—(7) называются формулами Лаеранжа, на них основываются все дальнейшее.

*) Этот знак позволяет кратко записывать суммы из многих слагаемых: вместе $A_1 + A_2 + A_3 + \dots + A_n$ мы пишем $\sum_i A_i$ или просто $\sum_i A_i$ (когда число слагаемых $n$ ясно из контекста). Аналогично, $\sum_i m_i r_i^2$ — сокращение для $m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \dots + m_n r_n^2$ и т. п.

Рис. 2.

Математика — это исчисство называется веши одинаково, а одинаковые — по-разному

Шутливый афоризм, вынесенный в заголовок, имеет глубокий смысл. Математические теоремы отражают самые общие закономерности, поэтому одна и та же теорема в разных областях может встретиться нам в ситуации, не имеющих на первый взгляд ничего общего. Хорошим, хотя и очень элементарным, примером служит формула (5).

Перепишем ее в «нейтральных» обозначениях, отвлекаясь от смысла входящих в нее величины. Пусть $x_1, \dots, x_n$ — какой-то набор векторов, $c_1, \dots, c_n$ — набор чисел, $c = c_1 + \dots + c_n \neq 0$, $x_0 = (c_1 x_1 + \dots + c_n x_n) / c$, $y_i = x_i - x_0$ при $i = 1, \dots, n$. Тогда

$$c_1 x_1^2 + \dots + c_n x_n^2 = (c_1 y_1^2 + \dots + c_n y_n^2) + cx_0^2$$

(8)

($x_i^2, y_i^2$ нужно понимать, как складные квадраты векторов $x_i, y_i$). Доказывать эту формулу нам уже не нужно, потому что всегда можно считать, что $x_i = \overrightarrow{PA_i}$, тогда $x_0 = \overrightarrow{PZ}$, где $Z$ — магнитный системе материалов точек $c_1 A_1, \dots, c_n A_n$, $y_i = \overrightarrow{ZA_i}$ и формула (8) превращается в формулу Лаеранжа (5).

Теперь приведем еще три интерпретации этой формулы.

1. Пусть $x_1, \dots, x_n$ — векторы перепределикляров, опущенных из точек $A_1, \dots, A_n$ на ось $l$ (рис. 2), $c_1, \dots, c_n$ — массы, помещенные в эти точки. Тогда $x_0$ — это вектор перепределикляра из их барицентра $Z$ на ось $l$ (почему?), а $y_i$ — векторы перепределикляров из точек $A_i$ на ось $l_0$, проведенный через

36

точку $Z$ паралельно $l$. В этом случае (8) принимает вид теоремы Штейнера:

$$I_l = I_{l_0} + md^2$$

(здесь $I_l$ и $I_{l_0}$ — моменты инерции системы $c_1A_1$, …, $c_nA_n$ относительно осей $l$ и $l_0$, $m=c$ — общая масса, $d$ — расстояние между осями).

2. Пусть $n$ частиц $A_1$, …, $A_n$ с массами $m_1$, …, $m_n$ движутся равномерно и пря-молинейно со скоростью $\vec{v}_1$, …, $\vec{v}_n$ относительно некоторой системы отчета $S$. Тогда их центр масс движется в системе $S$ со скоростью $\vec{v}_0 = (m_1\vec{v}_1 + \dots + m_n\vec{v}_n) / m$ ($m = m_1 + \dots + m_n$). Скорость частицы $A_i$ в системе покоя центра масс по правлу сложения скоростей равна $\vec{u}_i = \vec{v}_i - \vec{v}_0$. Пусть $E$ и $E_0$ — полные кинетические энергии всех части в системе $S$ и в системе центра масс, то есть $E = \frac{m_1v_1^2}{2} + \dots + \frac{m_nv_n^2}{2}$, $E_0 = \frac{m_1u_1^2}{2} + \dots + \frac{m_nu_n^2}{2}$. Полягая в (8) $x_i = \vec{v}_i$, $c_i = m_i/2$, получим теорему Кёнца о кинетической энергии:

$$E = E_0 + \frac{mv_0^2}{2}$$

(полная кинетическая энергия системы части равна энергии их движения относительно центра масс плоскости энергия движения центра масс).

Последний пример — из совершенного другой области — теории вероятности.

3. Пусть в некотором эксперименте со случайным исходом измеряется некоторая величина $X$, например, бросают игольную кость и определяют выпавшее число очков. Предположим, что, в зависимости от результата эксперимента, величина $X$ может принимать $n$ значений $x_1$, …, $x_n$ (в примере с костью — 6 значений 1, 2, …, 6), причем значение $x_i$ принимается с вероятностью $p_i$ (числа $p_i$ неотрицательны и дают в сумме 1; в нашем примере, оченьindo, все значения равноверятны, то есть $p_1 = p_2 = \dots = p_6 = 1/6$). Число $p_1x_1 + \dots + p_nx_n$ называется средним значением (или математическим ожиданием) случайных $X$ и обозначается $MX$ (в нашем примере $MX = (1 + \dots + 6)/6 = 3,5$). Таким образом, с точки зрения теории вероятностей выражения, входящие в (8) (при $c_i = p_i$, $c = \Sigma p_i = 1$), можно интерпретировать так*):

$$p_1x_1^2 + \dots + p_nx_n^2 = MX^2$$

— среднее значение случайной величины $X^2$ или, как говоря, второй момент (снова «момент»!) случайной величины $X$; $y_i = x_i - x_0 = x_i - MX$ — отклонения значений случайных $X$ от среднего значения;

$$p_1y_1^2 + \dots + p_ny_n^2 = MX(X - MX)^2$$

— среднее значение квадрата отклонения $X$ от $MX$; это очень важная характеристика случайной величины, показывающая степень ее «разброса» вокруг среднего значения, она называется диисперсей и обозначается $DX$; $x_0^2 = (MX)^2$.

В результате (8) превращается в формулу для вычисления дисперсии, имеющейся во всех учебниках теории вероятности (правда, не носшуюничих звучных имен):

$$DX = MX^2 - (MX)^2$$

Легко ли здесь узнать формулу Лагранжа?

Задча 3. Найдите дисперсию числа окнов при бросании кости.

Геометрические следствия

Формула Стоярта. Найдем расстояние $d$ от вершины $A$ треугольника $ABC$ до точки $D$ на стороне $BC$, знаний длины $a$, $b$, $c$ сторон треугольника и длины отрезков $BD$ и $DC$ (рис. 3). Пусть $p = |BD| : |BC|$, $q = |DC| : |BC|$, тогда $D$ — это центр масс системы материалов точек $qB$, $pC$. Вычисляя момент инерции этой системы относительно точки $A$, получим (см. (7))

• Формула (8) верна и в случае, когда $x_i$ — числа: можно просто считать их векторами с координатами $(x_i; 0; 0)$. С другой стороны, ее можно применять к случайным величинам, принимающим векторы значения.

38

Для доказательства заметим, что $Z$ — это центр масс системы материальных точек $aA, bB, cC$ (см. задачу 1). Найдем моменты инерции этой системы относительно $Z$ (см. (6)):

$$I_Z = \frac{abc^2 + bca^2 + cab^2}{a+b+c} = abc = 2R \sin \hat{A} \cdot bc = 4RS = 4Rrp,$$

и относительно 0:

$$\Pi \text{ формуле (5)} |OZ|^2 = (I_O - I_Z)/2p = R^2 - 2Rr.$$

Одна из красивейших теорем геометрии треугольника утверждает, что середины сторона треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, лежат на одной окружности — так называемой «окружности девятей точек» (см. «Квант» 1981, № 8, с. 34). Но еще большее впечатление произвольит.

Теорема Фейербаха. Окружность девятей точек касается четырех «замечательных» окружностей — вписанной и трех внешисанных.

Мы доказем эту теорему только для вписанной окружности (остальные расстриваются аналогично — см. задачу 8), причем нам будет достаточно знать, что окружность девятей точек проходит через середины $A_1, B_1$ и $C_1$ сторона треугольника $ABC$.

Треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом 1/2, поэтому радиус его описанной окружности равен $R/2$; ее центр обозначим через $F$. Условие касания этой окружности с вписанной удобно записать и доказывать в виде:

$$|FZ|^2 = \left(\frac{R}{2} - r\right)^2.$$

Поместим в вершины $ABC$ треугольника массы $a, b, c$ (их центром масс будет точка $Z$), разобем каждую массу на две части: $a = (p-b) + (p-c), b = (p-c) + (p-a), c = (p-a) + (p-b)$ и попарно сгруппируем эти части, как показано на рисунке 6; центр масс при этом остается на месте. Центр масс системы $(p-a)B, (p-a)C$ находится в точке $A_1$, системы $(p-b)A, (p-b)C$ — в точке $B_1$, а системы $(p-c)A, (p-c)B$ — в точке $C_1$, следовательно, точка $Z$ — это центр масс системы $(p-a)A, (p-b)B_1, (p-c)C_1$ (массы, полученные после группировки, мы одновременно уменшили вдвое). Найдем моменты инерции этой системы относительно точек $F$ и $Z$:

$$I_F = ((p-a) + (p-b)) + (p-c)) \cdot \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{R^2}{a} \cdot p,$$

$$I_Z = \frac{1}{p} ((p-a)(p-b)\left(\frac{c}{2}\right)^2) + (p-b)(p-c)\left(\frac{a}{2}\right)^2) + (p-a)(p-b)\left(\frac{b}{2}\right)^2).$$

Задачка 7. Докажите, что для любого треугольника справедливо точекство $(p-a)(p-b)c^2 + (p-b)(p-c)a^2 + (p-c)(p-a)b^2 = abcp^2 - 4S^2$.

Пользовать токдейством этой задачи (её решение приводится в конце журнала), завершить доказательство совсем легко: по формуле (5)

$$|FZ|^2 = \frac{I_F - I_Z}{P} = \frac{R^2}{4} - \frac{abc}{4p} + \frac{S^2}{p^2} = \frac{R^2}{4} - \frac{abc}{4Rp} R + \left(\frac{S}{p}\right)^2 = \frac{R^2}{4} - rR + r^2 = \left(\frac{R}{2} - r\right)^2,$$

что и требовалось.

Задачка 8. Докажите утверждение теоремы Фейербаха для вписанных окружностей. (Указание: центр вписанной окружности, касающейся (извне) стороны $a$, служит центром масс системы $(-a)A, bB, cC$. Соберите эти массы в середина сторона, пользоваться равенствами $a = (p-b) + (p-c), b = p - (p-b), c = p - (p-c).$)

Расстояние до центра масс и вывод формулы Лагранжа

Чтобы доказать формулы (7) и (6), мы выведем формулу, выражающего расстояние от произвольной точки $P$ до центра масс $Z$ системы материальных точек $m_1A_1, \dots, m_nA_n$ через расстояния от этой точки до точек системы: $r_i = |PA_i|$, и попарные расстояния между

(Окончание см. на с. 48)

39

Задчи

1. Из пункта А вниз по течение реки одновременно отплыли плот и катер, а навстречу им в тот же момент из пункта В отправился второй такой же катер. Когда первый катер достигнет пункта В, к чему будет ближе плот — к пункту А или ко второму катеру?

2. На бумаге нарисованы непересекающая контуры: 3 красных и 3 синих. Рисунок нарисовали другим листом бумаги, так, чторовно один из контуров оказался накрытым целиком, а все другие частично видны. Определите цвет накрытого контура.

3. Сколько существует натуральных чисел, делящихся на 11, меньших 100 000, сумма цифр которых равна 11?

4. На витрине магазина разложены яблоки и груши в виде треугольника. В первом ряду — одно яблоко, во-втором — две груши, в третьем — три яблока и т. д. Сколько лежало яблоки и сколько груши, если было n рядов?

5. Замечали ли вы, что, оступившись с утоптанной тропинки, можно довольно глубоко провалиться в рыхлый снег? А в начале весны, когда снег оседает при таянии, тропинки иногда оказываются даже выше окружающей снежной целины. Чем это можно обьясить?

Эти задчи нам предложили: Г. А. Гальперин, В. В. Произволов, В. Д. Выон, Эльхан Адaeв (ученик 7 класса), А. А. Бялко

Вниз по кроличей норе

Л. КэРРОЛЛ

Многие читатели «Алисы в стране чудес» и «Алисы в зазеркале» знают, что Льюис Кэрролл — это псевдом изввстного английского математика Чарлза Доджона (1832—1898), автора научных статей и монографий по алгебре. Несомненно, логическая и геометрическая фантазия математика Доджона сильно повлияет на творчество писателя Льюиса Кэрролла. Наверное, поэтому математик или физик, читающий «Алису», обещано начиная фантазировать; у него непреемно возникают интересные вопросы.

И вот «Квант» для младших школьников》 решился на следующее эксперимент: в этом и в следующем номере мы помещаем первые две главы книги Л. Кэрролла «Алиса в стране чудес» в замечательном переворе Н. М. Демуровой (М., «Наука», 1979), а также те вопросы и задачи, которые пришли нам в голову при перечнительии этой замечательной книги. Как обычно в КМШ, ответы приводятся в следующее номерах.

Ждем ваших отзываев (их можно присылать по адресу: 103006, Москва, ул. Горького, 32/1, редакция журнала «Квант», АЛИСА). Те читатели, у которых есть указанная книга Л. Кэрролла, могут к отзывам присоеднять свои задчи и вопросы к следующим главам книги. Если этот материал вам понадобится и мы получим достаточночный читательский отклик, публикация «Алисы в стране чудес» будет продолжена.

Задача 1. Со скуки Алиса подсчитала количество цифр, нужных для нуmerации страниц в книге своей серры, и получила, что их 373. Сильна ли Алиса в артифметике?

Вопрос 1. Как вы аутаете, со старшей или с младшей сестрой сидела Алиса?

Вопрос 2. Каким голосом говорил кролик: “тонким или “тонким?

Задача 2. Кролик на бегу уронил часы и они разблиблс. Мог ли циферблат расколиться на a) 2 часа; 6) 3 часа; в) 4 часа с равными суммами чисел, стоящих в этих частях?

Алисе наскучило праздно сидень рядом с светрой на берегу реки; разокдругой она заглянула в книжку, которую читала сестра, но там не было ни картинок, ни разговоров.

Что только в книжке, — подумала Алиса, — если в ней нет ни картинок, ни разговоров?

Она сидела и размышляла, не встать ли ей и не нарвать ли цветов для венка; мысли ее текли медленно и не связно — от жары ее клюнило в сон. Вдруг mismo пробежал Бельй Кролик с красными глазами.

Конечно, ничего удивительного в этом не было. Правда, Кролик на бегу говорил:

— Ax, боже мои, боже мои! Я опасдаю.

Но и это не показалось Алисе особенно страным. Вспомним об этом впоследствии, она подумала, что ей следовало бы удивиться, одна подумала, что ей следовало бы удивиться, одна подумала, Алиса вскочила на ноги. Ее тут осенило: ведь никака раны она не видела кролика с часами, да еще с жилетным карманом в придачу! Сгорая от любопытства, она по-proлете? — сказала Алиса всух. Я, верно, приближалось к центру земли. Дайте-ка вспомнить… Это, кажется, около четырех тысячи минут виз… Видшь ли, Алиса вычила коe-что в этом роле на уроках в классе, и хоть сейчас момент был не самый подходящий демонстрировать свои познания — никак ее не слышал, она не могла удержаться.

— Да так, верно, оно и есть,— про-должала Алиса.— Но интересно, на какой же я тогда ширote и долгите? Сказать по правде, она понятия не имела о том, что такое широта и долгота, но её очень нравились эти слова. Они звучали так важно и внушительно! Помолчав, она начала слова:

— А не пролечу ли я всего землю насвободь? Вот будет смешно! Как их там зову?.. Антипатики, кажется…

В глубине души она породовалась, что в этот миг ее никакит, потому что слоно это звучало как-то не так.

— Придетя мне у них спросить, как называется их страна. Простите, сударина, где я? В Австралии или вновь Зеландии?

И она попробовала сделать реверанс.

Вопрос 3. Могла ли Алиса падать очень медленно?

Задача 3. На трех банках с варенем рассеянная хозяйка сделала надписи так, как показано на рисунке. Определите сорта вареня в каждой банке, если известно, что все надписи не верны.

Бежала за ним по полю и только успела заметить, что он юридил в нору под изготовью.
В тот же миг Алиса юридила за ним следом, не думая о том, как она будет выбираться образно. Нора сначала шла прямо, повная, как туннель, а потом вдруг кругто обрывалась виз. Не успела Алиса и глазом моргнуть, как она на чала падать, словно в глубокий колодец.
To ли колодец: был очень глубок, то ли падала она очень медленно, только времени у нее было достагоно, чтобы прийти в себя и подумать, что же будет дальше. Сначала она попыталась разглядеть, что ждет ее визу, но там было темно, и она ничего не увидела. Тогда она принялась смотеть по сторонам. Стены колодца были уставлены шкафами и книжными полками; кое-где внесли на гвоздиках картины и карты. Проделя тимо одной из полож, она приватила с нее банку с варенем. На банке было написано «АПЕЛЬСИНОВОЕ», но увы! она оказалась пуста. Алиса побоялась бросить банку виз — как бы не убить кого-нибудь! На лету она умуридлась заснуть ее в какой-то шкаф.
«Вот это упала, так упала! — подумала Алиса. — Упасть с lectницей теперь для меня пара пустяков. А наши решат, что я ужасно смелая. Да свались я хоть с крыши, я бы и то не пикнула».
Вполне возможно, что так оно и было бы.
А она все падала и падала. Нуужели этому не будет конца?
— Интересно, сколько мылья я уже

Можешь себе представить реверанс ввоздуxe во время падения?
Как, по-твоему, тебе бы удалось его сделать?
— А они, конечно, подумают, что страшная невежда. Нет, не буду никакого спрашивать! Может, увижу где-нибудь надпись! А она все падала и падала. Делать нечего, помолчав, Алиса снова заговорила.
— Дина будет меня сегодня весь вечер искать! Ей без меня скучно! Диной звалии их кошку.
— Надеюсь, они не забудут в поддник напить ей молочка… Ax, Дина, миляя, как жаль, что тебя со мной нет. Тут раздался страшный треск. Алиса упала на кучу валежника и сухих листев.
Она ничего не ушиблась и быстро на гвоздиках картины и карты. Проделя тимо одной из полож, она приватила с нее банку с варенем. На банке было написано «АПЕЛЬСИНОВОЕ», но увы! она оказалась пуста. Алиса побоялась бросить банку виз — как бы не убить кого-нибудь! На лету она умуридлась заснуть ее в какой-то шкаф.
«Вот это упала, так упала! — подумала Алиса. — Упасть с lectницей теперь для меня пара пустяков. А наши решат, что я ужасно смелая. Да свались я хоть с крыши, я бы и то пикнула».
Вполне возможно, что так оно и было бы.
А она все падала и падала. Нуужелиному этому не будет конца?
— Интересно, сколько мылья я уже

Задочка 6. Подник бывал в полдень, а в поддень стрелки часов совпадают. a) Когда они совпадут в следующий раз? 6) Сколько в сутках таких моментов? b) Сколько раз в сутки стрелки часов совпадини-кулярны?

Вопрос 4. Что будет, если Алиса отсутствит банку?
Вопрос 5. ли банка при этом не развиться?
Задочка 4. Падая по лестнице с пятого этажа. Алиса насчитала 100 ступенек. Сколько ступенек она насчитала бы, падая со 2 этажа?

ПЕРЕВЕРНИ СТРАНИЦУ

Задача 7. Сколькоми способами можно осветить зал, если в ряду десять ламп и каждая из ламп может гореть или быть выключенной?

Задача 8. Часть подземного замка имеет план, показанный на рисунке. Можно ли пройтися по замку так, чтобы пройти церема каждой дверьровно один раз?

Задача 9. Представим себе что в этом момент перед Алисой представили два антипода Х и У и сказали ей следующие:
X: Один из нас живет в стране А;
Y: Не верьте ему! Он лежит! В пузырьке я!
Что в пузырьке и в какой стране живут Х и Y?

сюда выбратья.
Вдруг она увидела стеклянный столик на трех ножках. На нем не было ничего, кроме крошечного золотого ключка.
Алиса решила, что этот ключ от одной из дверей, но увы! — то ли замочные скважины были слишком велички, то ли ключик слишком мал, только он не подошел ни к одной, как она ни старалась. Пройдясь по залу во второй раз, Алиса увидела занавеску, который не заметила раныше, а за ней оказалась маленькая дверца доимов в пятнадцать вышиной. Алиса вставила ключку в замочную скважину — и, к величайшей ее радости, он подошел!
Она открыла дверцу и увидела за ней нору, совсем узку, не шире крысиной. Алиса встала на колени и заглянула в нее — в глубине виделся сад удивительной красоты. Ax, как ей захотелось выбрать из темного зала и пободить между яркими цветочными ключами и прохладными фонтанами. Но она не могла проснуть в нору даже голову. Если б моя голова и прошла, — подумала бедная Алиса,— что толку! Кому нужка голова без плеечей? Ax, почему не складываюсь, как подзорная трубба! Если б я только зала, с чего начать, я бы, наверно, сумела.
Видшь ли, в тот день столко было всяких удивительных процесств, что ничего не казалось ей теперь совсем невозможно.
Сидеть у маленькой дверцы не было никакого смысл, и Алиса вернулась к стеклянному столку, смутно надевься на ней на нем другой ключ, или, на

---

— Какое странное ощущение! — воскликнул Алиса. — Я, верно, складывось, как подзорная трубба.
И не ошиблась, в ней сейчас было всего десять доимов росту. Она подолшема, что легко проидет теперь сквозь дверцу в чудесный сад, и очень обравалась. Но сначала на всякий случай она немножко подождала, ей хотелось убедиться, что больше она не уменышается. Это ее слегка тревожило.
— Если я и дальше буду так уменышаться,— сказала она про себя,— я могу и вовсе исчезнуть. Сгорю, как свечка! Интересно, какая я тогда буду?
И она постаралась представить себе, как выглядиит плая севи после тоzo, как свеча потухнет. Насколько ей поминилось, такого она никакогда не видала.
Подождав немного и убедившись, что больше ничего не происходит, она решила тотчас же выйти в сад. Ведняжка! Подойдя к дверце, она обнаружила, что забывались к столу, поняла, что ей теперь до него не dotянутся. Сквозь стекло она ясно видела сизу лежащий на столе ключик. Она попыталась взбраться на стол по стеклянной ножке, но пожка была очень сколькая. Устав от напрасных услуг, бедная Алиса села на пол и запалала.
— Ну, хватит! — строго приказала она себе немного спустя. — Слезами горю не поможешь. Советую тебе сюда минут передать!
Она всегда давала себе хорошее состояние.

44

Гармоническая ряд

(Начало см. на c. 32)

Ну конечно. Каждый из групп, ограниченная выделением числами, например 1/5+1/6+1/7+1/8 или 1/9+1/10+…+1/16, имеет сумму большую, чем 1/2. А эти группы — бесконечно много! Частные суммы гармонического ряда становятся большие, чем 1/2+1/2+…+1/2. Взяв сумму из 2n групп, мы получим число, больше n. Ряд расходится.

---

Этот удивительный факт проявляется самим неожиданным образом. Например, при решении следующей задачи: как, имея n киппичей, положить их друг на друге так, чтобы самый верхний был вывидит в сторону на максимальное расстояние?

Если киппичей всего два, то их, очевидно, надо составить так, чтобы центр масс верхнего оказылся над краем нижнего: тогда верхний киппич будет выступать в сторону на 1/2 (длинную киппич мы примем равной 1). Центр масс такой пары отстотит от края нижнего киппича на 1/2. Положим эту пару на третий киппич так, чтобы ее центр масс оказылся над его краем (рис. 1). При этом верхний киппич будет вывидит в сторону на расстояние 1+1/2.

Воспользуемся системой координат, связанной с рисунком, на начало которой размещено точно под краем нижнего киппича, и будем понимать под первым телом нижней киппича, а под вторым — положенную на него стопку из (n-1) киппича. Тогда $x_1=1$, $x_2=0$, $m_2=(\frac{n-1}{2})m_1$, $x=\frac{1}{n}$. Утверждение доказано. А вместе с ним доказано и такое: n киппичей можно составить так, что верхний будет вывидать в сторону за край нижнего на расстояние $S_{n-1}$, где $S_n$ — n-я частная сумма гармонического ряда.

Величина $S_n$, как мы знаем, неограниченно растет с ростом n. Итак, достаточно высокую стопку киппичей можно загнуть в сторону сколько годно далеко! Невероятно, но факт! Правда, величины $S_n$ растут очень медленно. И если мы хотим, например, чтобы боковое уklонение превышало длину киппича хотя бы вдвое, нам придает положить друг на друга ни много ни мало тридцать два киппича.

---

Если подсчитывать частные суммы гармонического ряда, приводя их к общему значенателю, точчас обнаружится любопытная деталь: во-первых, знаменатель суммарной дроби всегда будет четным, во-вторых, все слагаемые в числитель, за исключением одного-единственного, то же четные. Первое неудивительно: оно обусловлено наличие в гармоническом ряде слагаемого 1/2. Второе же, если бы удалилось его доказать для произвольной частичной суммы ряда, сразу же позвонили бы утверждать, что среди чисел $S_n$ нет ни одного целого. Попробуем это доказать.

Вновь нам могут сослужить добрух службы степенки половины, то и дело встречалось в гармоническом ряде. Взяв произвольную частиную сумму ряда, obtiem в ней набольшую половины: 1/2p Знаменатель всех других слагаемых этой суммы содержат двойку в степенки меньше, чем p. Поэтому при приведении всей суммы к общему значенателю числитель дроби 1/2p будет умножен на нечетное число, а числитель всех остальных дробей — на четные. Это и обосновывает высказанное ранее утверждение: в числитель суммарной дроби все слагаемые, за исключением одного, — четные; после суммирования в числитель получается нечетное число, а поскольку знаменатель любой дроби — четный, дробь не может равнять целому числу.

---

Гармонический ряд обладает и многоими другими свойствами и приложениями. В частности, в теории музыки — недаром он называется гармоническим! Но это уже, как говорится, другая история…

46

ТЕЖ ДОЛЖЕН БЫТЬ ОСВЕЩЕН РОВНЫМ, МЯГКИМ, РАССЕЯНЫМ СВЕТОМ.

При рассматривании стереопары через двуцветные очки вместе с основным изображением иногда появляются добавочные бледные линии или контуры полукартина. В этом случае надо ослабить освещенность стереочержения или сгустить плотность окраски светофильтров. Часто бывают достагоно увечить плотность одного синего светофильтра. Если же изображение при рассматривании получается недостагоно ясным, четким, следует услитть освещение.

Приведенный здесь чертеж получен путем процирования на горизонтальной плоскость. Поэтому его надо рассматривать, расположив горизонтальное.

---

Для изготовления стереочержения мы будем пользоваться специальным приспособлением, называемым шаблон-трафаретом. Это приспособление многократного использования нужного изготовить заранее. Для этого, в свою очередь, нужно построить так называемый перспективный масштаб. С него мы и научем.

Построение перспективного масштаба

Перспективный масштаб устанавливает соответствия между натуральными и перспективными линейными размерами изображения нужного изготовить заранее. Для этого, в свою очередь, нужно построить так называемый перспективный масштаб. С него мы и научем.

Построение перспективного масштаба выходит показано на рисунке 2, где обозначены:

точка $S$ — центр процирования, отстоящий от своей горизонтальной проекции $S_1$ на высоту $h=300$ мм;

$a$ — расстояние (160 мм) между горизонтальной проекцией $S_1$ до основания натурального масштаба $O_1$:

$O_1N$ — натуральный масштаб высот (150 мм), разделенный на равные масштабные отрезки;

$O_1N_S$ — перспективный масштаб, в котором масштабные отрезки имеют разные длины (по мере удаления от точки $O_1$ они увечиваются).

$D_k$ — длина произвольного perспективного масштабного отрезка. Все линейные элементы изображения изображения изменяются в единицах натурального масштаба.

Перспективный масштаб определяется построением или вычисляется по формуле $x_k=aK/(h-K)$. В последнем случае длин отдельных отрезков perспективного масштаба считаются от нулевой отметки $O_1$.

С целью упрощения построения perспективного масштаба дана таблица с вычисленными величины отрезков perспективного масштаба для значений $K$ от 5 до 150 мм. В случае необходимости промежуточные величины на

47

стояла не менее чем на 145 мм от горизонтальной проекции $L_1$ и $R_1$.

Рассмотрим пример построения центральной проекции точки $A$. Точка $A$, заданная своей горизонтальной проекцией $a_1$, отстояит от предметной плоскости на высоте $h=100$ мм (рис. 4).

Для определения центральной проекции точки $A$ выполняется следующие построения: через точку $L_1$ проводят проекцию проекрушшего луча $LA$ через точку $a_1$, продолжая его вверх за точку $a_1$; нульевую отметку левого перспективного масштаба $O_L$ соединяют с точкой $a_1$ отрезком прямой $O_L a_1$; из отметки 100$L$ (левого перспективного масштаба) соответствующей заданной высоте изображаемой точки $A$ над предметной плоскостью проводят прямую параллельно отрезку $O_L a_1$ до пересечения с проекцией проекрушшего луча $LA$.

Полученная при пересечении точки $A_L$ является центральной проекцией точки $A$ для левого центра проекирования. Аналогичные построения для этой точки $A$ выполняются для правого центра проекирования, в результате чего определяется положение точки $A_R$ — центральной проекции точки $A$ для правого центра проекирования.

Дальнейшее построениестероппечных чертежей к нахождения всех характерных точек изображаемого объекта и соедининию их между собой линяями.

Для каждого центра проекирования строится отдельная полукартина. В простейших случаях изображение обеих полукартины может вычерчиваться на одном сменном листе.

На практике обычно используетсястеробазис $b$ меньше нормального ($b<65$ мм). При этом необходимости делать новый шаблон-трафмет. Проство на изготовленном шаблене отмещают две точки $L'_1$ и $R'_1$ на отрезке $L_1 R_1$ симметрично относительно его центра, так чтобы $|L'_1 R'_1|=b$. Далее все построения выполняют точно так же, только с заменой $L_1$ на $L'_1$ и $R_1$ на $R'_1$.

Изготовлениестероппечных чертежей

Оно состоит из двух этапов: построенияэскизов в карандаше и изготовлениястеропперы в цете.

До составленияэскиза определяются: положение изображаемого предмета относительно