КВАНТ
9
1984
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Лампы-детекторы и лампы-усилители, генераторы лампы и электронолучевыные трубки — все эти приборы основаны на явлении термозлектронной эмписсии, открытом в конце XIX века Томасом Эдисоном.
О том, как было сделано это открытие, рассказывает в номере в заметке «Эффект Эдисона».

В НОМЕРЕ:

2. И. К. Кикoin. День знаний
3. Л. Г. Асламазов. Сверхпроводящие магниты
4. А. П. Веселов, С. Г. Гиндикин. Элементарные функции
5. А. И. Прохоров. Золотая спираль
6. I. К. Кикoin. Knowledge Day
7. L. G. Aslamazov. Superconducting magnets
8. A. P. Veselov, S. G. Cindikin. Elementary functions
9. A. I. Prokhorov. The golden spiral

ИН THIS ISSUE:

18. Новости научки

19. Школа в «Кванте»

20. Matematika 8, 9, 10

21. Избранные школьные задачи

22. Science news

23. Кvant’s school

24. Physics 8, 9, 10

25. Mathematics 8, 9, 10

26. Selected school problems

27. «Квант» для младших школьников

28. Задачи

29. А. Л. Стасенко. Закон Архимеда

30. Kvant for younger school children

31. Problems

32. A. L. Stasenko. Archimedes’ law

33. Задачик «Кванта»

34. Задачи М881—М885; Ф893—Ф897

35. Решения задач М866—М870; Ф878—Ф882

36. Список читателей, приславших правильные решения

37. Kvant’s problems

38. Problems M881—M885; P893—P897

39. Solutions M866—M870; P878—P882

40. List of readers who have sent correct solutions

41. Наш календарь

42. Эффект Эдисона

43. Our calendar

44. The Edison effect

45. Практикум абитуриента

46. П. П. Горнуша. Сведем неравенство к известному

47. College applicant’s section

48. P. P. Gornusha. Reducing the inequality to a known one

49. Олимпiadы

50. М. Л. Алексаидрова. Первая математическая олимпiadа

51. Избранные задачи 50-й ленинградской городской олимпiadы по математике

52. Selected problems from the 50th Leningrad olympiad in mathematics

53. The Leningrad olympiad in physics

54. Информация

55. VI Московский турир юных физиков

56. Information

57. The VIth Moscow young physicist’s tournament

58. Ответы, указания, решения

59. Смесь (8, 48, 56)

60. Шахматная страница

61. Последняя тринировка (3-я с. обложки)

62. Answers, hints, solutions

63. Miscellaneous (8, 48, 56)

64. The chess page

65. Last practice session (3rd cover page)

Почему две одинаковые половинки яблока ведут себя только различно — одна плавает на поверхности воды, а другая лежит на дне сосуда (см. фотографию на первой странице обложки)? Ответ на этот вопрос вы найдете в статье «Закон Архимеда».

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1984

День знаний

Дорогие друзья, читатели «Кванта»!
Поздравляю вас и в вашем лице всех школьников Советского Союза с праздником — началом учебного года, который решением Советского правительства объявлен Днем знаний.

Знание! Вдумайтесь, какой глубокий смысл содержится в этом слове. Без знания не сделать никакого дела. Старинная русская пословица гласит: «не умючи и лаптя не сплееть». Многие из вас, возможно, даже не знают, что такое лапти, а несколько десятиков лет назад это был один из наиболее дешевых и доступных видов обучения в русской деревне.

В нашей стране человекскому знанию придает особое значение. Советский гражданин должен обладать большим запасом знаний, в самых разных областях человека деятельности.

У человека существует вожденный институт любознательности. Потребность в знаниях присуза человека любого возраста. В Советской стране созданы все условия для удовлетворения этой потребности. Основным источником знаний у нас служит школа. В нашем государстве проводглашен закон о бесплатном обучения в начальной, средней и высшей школе.

Великое счастье — каждый день узнавать что-то новое в самых разных областях человека знания, будь то математика, физика, литература, химия и т. д. Большое удовлетворение доставляет самостоянию найденное решение трудной задачи. Не менее радости приносит успешно выполнение общественного поручения в масштабе класса или даже школа.

Когда я вспоминаю свои школьные годы, они представляют мне самым светлым и радостным периодом моого детства и юности. Мы с товарищами проводили большую часть дня в школе, а во время каникул мечтали о том дне, когда снова попадем в пахнущий свежей красной родной класс и погрузимся в прививчные школьные «будни». Мне бы хотелось, чтобы и для вас школа стала вторым домом, а учебные занятия доставляли бы вам радость познания окружащего мира.

Коммунистическая партия и Советское правительство всегда уделяли большее внимание вопросу школьного обучения. Недавно высший орган государственной власти — Верховный Совет СССР — принял постановление о реформе школьного образования.

В законе предусмотрен ряд мер, которые должны привести уровень школьного образования в соответствии с новыми требованиями, выдвинутыми различным нашего общества. Современные наука и техническа разработывают новыешие средства промышленного и сельскохозяйственного производства, признаны резко повышать производительность труда. Это приведет к росту выпуска продукции народного хозяйства и в результате — к дальнейшему лучшению благосостояния советского народа.

Вам, будущим выпускником школа, представит участие в осуществлении научно-технического прогресса. Это очень увлекательная задача. Быть может, вам повезет, и вы откроете новые закономерности в явлениях приоды, разработайте новые методы решения физico-mатематических задач или новые технические приемы. Все зависит от вас, от вашего отношения к школьному труду.

Главный редактор журнала «Квант» академик И. К. Кикоин

3

Сверхпроводие магниты

Доктор физико-математических наук
Л. Г. АСЛАМАЗОВ

Сильные магнитные поля можно получить, пропуская через катушка сильный ток. Чем больше ток четет через катушка, тем больше магнитное поле он создает. Но если катушка обладает электрическим сопротивлением, то в ней выделяется телло. Приходится тратить огромную энергию на поддержание тока, возникают серые проблемы, связанные с отводом телла (инначale катушка может расплавиться). Так, в 1937 году впервые было получено магнитное поле с индукцией 10 Тл. Но удерживать это поле удалалось только ночной, когда другие потребители электростанции, подающей ток в обмотку, были отключены. Выделявшееся телло отводилось проточной водой, и при этом каждую секунд 5 литров воды доводились до кипения.

Именно это и ограничивает возможность получения сильных магнитных полей в обычных соленодах.

Идея использования сверхпроводимости для создания сильных магнитных полей возникла сразу после ее открытия. Казалось бы, все, что требуется, — это намотать из сверхпроводшей проводки катушка, замкнуть ее концы и пустить по такому контуру достагоно сильный ток. Так как электрическое сопротивление катушки равно нulo, то выделения телло не производит. И хотя охлаждение соленода до температур жидкого геля, при которых наступает сверхпроводимость, создает определенные трудности, премиущества окупили бы недостатки, если бы… магнитное поле само не разрушало сверхпроводимость.

Открытие сверхпроводимости

На рисунке 1 показана схема опыта Kamерлинга-Оннеса, который был сделан в 1911 году в Лейдене. Голландские учены изготовили катушка из свинца, подсоединили ее к источнику ЭДС и, поместив катушку в жидкий гели, охладили ее до температуры кипения геля (4,2 К). При этом электронное сопротивление свинца исчезло — он перешел в сверхпроводшее состояние. Затем изменили положение ключевой и замкнутый катушку накоротко — по ней начал циркулировать незатухающий сверхпроводящий ток.

Этот ток создает магнитное поле, индукция которого пропорциональна силе тока. Казалось бы, чем сильнее ток в катушке, тем больше магнитное поле можно получить таким образом. Результат, однako, оказался разочаровывающим: при индукции поля в несколько долей тесла соленод переходил в нормальное состояние (у него появлялось сопротивление). Пытались делать катушки из других сверхпроводников, но и в них разрушение сверхпроводимости происходило при сравнитино малых магнитных полях. В чем же дело?

Эффект Мейснера

Разгадку такого «неудобного» поведения сверхпроводников нашли в 1933 году в Берлине в лаборатории В. Мейснера. Казалось, что сверхпроводник обладает свойствам полностью вытеснять из себя магнитное поле; в его только индукция магнитного поля равна нулю.

Представим себе, что металлический цилиндр (кусок проволоки) охладили до низкой температуры и переведели в

4

сверхпроводяще состояние. Затем включили магнитное поле с индукцией $\vec{B}_{\text{внешш}}$. По закону электромагнитной индукции на поверхности цилиндра появятся крутовые точки (рисунок 2), которые создают в цилиндре магнитное поле с индукцией $\vec{B}_{\text{ток}}$, равной по величины и противоположной по направлению индукции внешнего поля. Эти точки — сверхпроводящие и затухать не будут. Поэтому в толще сверхпроводника суммарная индукция равна нулю: $\vec{B} = \vec{B}_{\text{внешш}} + \vec{B}_{\text{ток}} = 0$. Линии индукции магнитного поля в сверхпроводнике не пропикают.

Ну, а что, если изменить последовательность операций — сначала помещить металл во внешнее магнитное поле, а затем охладить его до сверхпроводащего состояния. Казалось бы, индукция магнитного поля при этом не меняется и нет причин для возникновения экранирующих поверхностных точек. Именно так и думал Мейснер, когда проверял расчеты Лауз, относится к первому способу проверения экперимента.*) Думать-то думал, но все-тakin решил проверить. Результат измененного экперимента получился удивительным. Оказалось, что и в этом случае магнитное поле полностью вытекается из сверхпроводника, не пропикает в него.

Это явление называли эфектом Мейснера.

Тепер ясно, почему магнитное поле разрушает сверхпроводимость. Ведь на возникление поверхностных точек tratится определена энергия. В этом смысле сверхпроводащее состояние не
не выгодно, чем нормальное состояние, когда магнитное поле проникает в металл и экранирующих поверхностных точек нет. Чем больше индукция внешнего поля, тем более сильный ток должен течь по поверхности, чтобы обеспечить экранировку. При некотором значении индукции магнитного поля сверхпроводимость обязательно разрушается, и металл переходит в нормальное состояние. Поле, при котором происходит разрушение сверхпроводимости, называется критической полем сверхпроводника. Важно помним, что для разрушения сверхпроводимости не обязательно внешнее магнитное поле. Ток, текущий по сверхпроводнику, сам создает магнитное поле. Когда при определенном значении тока индукция этого поля достигает значения, соответствующего критической полю, сверхпроводимость разрушается.

Величина критического поля растет с уменьшением температуры, но даже вылизи абсолотного нуля критического поле у чистых сверхпроводящих металлов не велико (см. график на рисунке 3). В лучших случаях оно составляет всего десять доли теска. Так что, казалось бы, нечего и думать о создании сильных магнитных полей с помощью сверхпроводников.

Но дальнейшее исследование сверхпроводимости показало, что выход естеки есть. Было обнаружено, что имеется целая группа сверхпроводников, которые и в очень сильных магнитных полях сохраняют сверхпроводимость, правда, в несколько ослабленном виде.

Абрикосовские винри

В 1957 году советский физик А. А. Абрикосов теоретически показал, что в сплавах разрушить сверхпроводимость

Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.

5

магнитным полем не так-то просто. Так же как у чистых сверхпроводников, при некоторых значении индукции магнитное поле начинает проникать внутри сверхпроводника. Но в сплавах магнитное поле обычно не сразу заполняет весь объем сверхпроводника. В толще его вначале образуется лишь отдельные структуки линей индукции магнитного поля (рисунок 4). В каждом таком структуке содержится строго определенная порция магнитного потока $\Phi_0 = 2 \cdot 10^{-15}$ Вб. Величина $\Phi_0$ называется квантом магнитного потока.

Чем больше внешнее магнитное поле, тем больше таких структуков, а следовательно, и квантов магнитного потока пропикает в сверхпроводнике. Поэтому магнитный поток в сверхпроводнике меняется не непрерывно, а скачами, дискретно. Объчно дискретность физических величины проявляется в микромре (например, квантуется энергия электронов в атоме). Здесь мы сталиваемся с удивительным явлением — законы квантовой механики «работают» в макросоппических масштабах.

Каждай структок линей индукции магнитного поля в сверхпроводнике окружен колщевыми незаутхающими токами (см. рисунок 4), которые наполняют выход в жидкость или газе. Вот почему такие структуки линей, окруженные сверхпроводящими токами, называют абрикосовскими выходами. Внутри каждой выхода сверхпроводимость, размерется, разрушена. Но в пространстве между выходами она сохраняется! Только при очень сильных полях, когда выход становится так много, что они начинают перекрывать, наступает полное разрушение сверхпроводимости.

Такая необучная картина разрушения сверхпроводимости магнитным полем в сплавах впервые была открыта

Рис. 5.

6

леногда необходима проволока, которая выдерживает бы не только сильное магнитное поле, но и сильный электрический ток. А это, оказывается, не одно и то же.

Что такое пиннинг?

Известно, что на проводник с током в магнитном поле действует сила. А куда приложена сила противодействия, возникшая по третьему закону Ньютона? Если, например, магнитное поле создается другим проводником с током, то на него действует равная по величины и противоположная по направлению силы (сильы взаимодействия между проводниками с током определяются законом Ампера).

В нашем случае ситуация более сложная.

Когда сверхпроводник находится в смещанном состоянии и по нему течение ток, то в тех областях, где имеется магнитное поле (сердцевины вихрей), возникнет силы взаимодействия между током и полем. В результате распределение тока изменяется, но и областки, в которых сосредоточено магнитное поле, не оставится неподвижными, а начинают перемешаться. Абрикосовские вихри под действием тока движутся!

Сила, действующая на ток в магнитном поле, перpendикулярна индукими магнитного поля и направлению проводника. Сила, действующая со стороны тока на абрикосовский вихрь, тоже перpendикулярна индукими магнитного поля и направлению тока. Если, например, в сверхпроводнике в смещанном состоянии, показанном на рисунке 5, создать ток, протекающий слева направо, то абрикосовские вихри под действием тока начинают движаться сизу вверх или сверху вниз (в зависимости от направления индукими магнитного поля). Но движение абрикосового вихря сквозь сверхпроводник — это перемешение нормальной, не сверхпроводшей, сердцевины. При таком движении возникнет своеобразное трение, которое приводит к выделению тела. Значит, при протекании тока через сверхпроводник, находящаяся в смещанном состоянии, все-tаки появляется сопротивление и использовать такие сверхпроводники для создания соленодов нельзя.

В чем же выход? Надо помещать вихрям движаться, закрепить их на месте.

Сделать это, оказывается, можно. Надо только «испортить» сверхпроводник, создать в нем какие-то дефекты. Дефекты обычно возникают сами по себе в результате механической или термической обработки материалов. На рисунке 6, например, показана электронномикросоппереческая фотографика пленкинитрида нюбия (критическая температура которого 15 К), полученной налыленем металла на стеклянную пластинку. Ясно видна зернистая (столочная) структура материалов. Пересколько через границу зерна вихрю довольно сложно. Вот почему до определения значения тока (его называют критическим током) вихри остаются неподвижными. Электрическое сопротивление в током случае равно нулю.

Это явление называют пиннингом — от англійского слова pinning, что в переводе на русский язык означает прикалывание.

Благодаря пиннингу можно получить сверхпроводящие материалы с высоким значением как критического поля, так и критического тока. При этом, если значение критического поля определяется свойствами самого материалов, то значение критического тока (точнее, его плотности, то есть силы тока, прихождения на единицу площади секции) во многом зависит от способа приготовления, методов обработки материалов. Сейчас разработана технология, позволяющая сверхпроводящие материалы, имеющие высокие значения всех критических параметров. Например, на основе сплава нюбия с плотностью критического тока в сотни

8

вания для этих целей сверхпроводяших магнитов, создавших сильные магнитные поля без затрат огромных энергии, оченьны. В нашей стране уже действует первая в мире сверхпроводяющая система для установки термодерного синтеза «Токамак-7» и разработана установка «Токамак-15», в котором будет накапливается магнитная энергия в 600 миллионов джойлея. Создание устройств следующих поколеней, расчитанных на более высокие энергии, без использования сверхпроводимости просто невозможно.

При исследовании твердых тел, молекул и атомов, ядер необходимо создавать сильные магнитные поля в малых объемах, а также очень однородные магнитные поля. Сверхпроводящие магниты в таких случаях незаменены и сейчас широко используются в физических laboratorиях. Маленькие сверхсильные соленoids в комплекте с системой охлаждения стали уже промышленной продукции, выпуск которого все более расширяется.

Энергетика будущего — это не только новые источники энергии. Необходимо разработать новые эффективные способы хранения и передачи электроэнергии. Сверхпроводники и здесь предлагают свои услуги. Учеными Висконсинского университета (США) разработан проект системы хранения электроэнергии. Гигантская сверхпроводящая катушка диаметром более 100 метров будет установлен в специальном тоннеле, пробитом в горах. В нем с помощью холодильных установок с жидким гелем будет поддерживать температура, близкая к абсолотному нулю. Незатухающий сверхпроводящий ток в такой катушке запасет гигантскую энергию в 4·10¹¹ Дж. Установку планируется создать к 1987 году.

А передача энергии без потерь по сверхпроводящим кабелям? Пока что можно только мечтать о линейх электропередач, которые, «купаясь» в[jидком гелии, переносили бы электрическую без потерь на огромные расстояния. Но сверхпроводимость веде еще не сказала последнего слова. Вполне возможно, что появятся материалы, которые будут становиться сверхпроводниками при температуре жидкого азота. И тогда сразу все изменится. Фантация становится реальностью. Хочется верить, что читательм «Квана» предстоит это увидеть.

Традиционный осенний праздник юных математков

В начале ноября в гостириимной столице Аджарии — г. Батуми в очередной раз соберутся юные любители математики. Традиционный батумский праздник — давний друг и почтировщик «Квана»: в прошлом году он отметил свое 15-летие. Этот небольшой юбилей был отмечен рекордным числом делегации (14), участников (более 200), докладов на конференциции (43). Тем больше заслуга организаторов праздника, сумевших четко продумать и осуществить всю его весба наащшению программы. Средние них нужно отмечить работников Министерства просвещения Аджарской АССР (Л. А. Чантурая и В. М. Цулукидзе), Батумского города (А. В. Готишвили), общества «Знание» (Д. У. Чхендзе), Области совета профессионов (Ш. М. Окропиридзе) и, конечно, главного инцицатора и входновителя этого замечательного слета юных математков — заслуженный учительницы Республики Медею Илларновну Жгенти.

За 15 лет батумцы выработали прочные традиции проведения своего праздника и многое из их опыта безусловно может быть использовано в других городах, не только на конференциях, собирающих учетников из разных мест, но и на встречках нескольких школ одного города. Это касается и собственно конференциции, занимающей центральное место, то есть докладов школьников и их обслужения (с учетом членов жюри — математиков и педагогов), и вечера занимающей математики, и конкурира математических степеней и, конечно, любимого всеми веселого математического КВHa (ведущий которого, по традиции, главный «затейник» нашего журнала А. П. Савин).

Истинно праздничному настроению участников в прошлом году весба способствовала великолепная солнечная погода, несовсем обычная для этого времени в Батуми. Она украсила экскурсии в знаменитый ботанический сад и дел-финансией, новрьскую демонстрацию, на которой гости稼енно понравились живые картины, посвязываенные 200-летию Герогреевского тракта — союза между Грузией и России, прогулки поprimорскому бульвару.

(Окончание см. на c. 28)

9

Элементарные функции

Кандидат физико-mатематических наук
А. П. ВЕСЕЛОВ
Кандидат физико-mатематических наук
С. Г. ГИНДИКин

В этой статье рассматривается показательные, логарифмические и трионометрические функции. Эти функции приселяют к классу элематриных функции (в котором еще входят линейная функция $y=ax+b$, степенная $y=x^n$, а также всевозможные комбинации перечисленных функций — суммы, разности, произведение, частные и композиции). Эти функции называют так потому, что это были первые функции, которые изучались в математике, и долго базых математиков не выходил за пределы этих функций.

Мы рассмотрим два основных подхода к определению показательных, логарифмических и трионометрических функций: аксиматический и кинematический, убедимся в том, что эти подходы приводят к тем же функциям, и обсуждим их связь со кинольными определениями.

Аксиматическое определение показательной функции

Показательная функция $a^x$ — это такая функция $y=f(x)$, что выполены следующие условия:

1. $f$ определяна для всех $x$;

2. $f(1)=a>0$ ($a\neq 1$);

3. для любых $x$, $y$ выполняно соответствие

$$f(x+y)=f(x)f(y);$$

4. $f(x)$ — монотная функция.

Школьная теория показательной функции заключается в построении функции, удовлетворяющей четырем перечисленным свойствам; важно, что существует только одна функция, обладающая этим свойствами. В прочеем, в школе доказывается лишь, что 2), 3) определяют $f$ однозначно для рациональных $x$; утверждение об однозначном продолжении на все $x$ с рациональных $x$ при условии 4) приводится без доказательства (доказательство можно найти в статье Р. К. Гордина «Что такое степень», Квант, 1981, № 2).

Такие определения объекта при помощи перечисления свойства, его характеристических, называются аксиматическими. Необходимо уяснить, что аксиматическое определение показательной функции в существе не отличается от школьного определения. Соотношение (2) называется функциональным уравнением для показательной функции. Функциональные уравнения связаывают значения функции в разных точках, а их решения называют функции, которые этим соответствуют. В данном случае показательные функции являются решениями функционального уравнения (2) (а при выполнении указываемых выше дополнительных ограничений других решений нет).

Задача 1. Докажите, что в случае решения (2), определение для всех $x$, — это или

10

тождественный нуль или всюду положительная функция (и значит всюду определенная показательная функция существует лишь для неотрицательных оснований $a$).

Приятный сегодная аксиматическая подход к определению показательной функции возник не сразу. Заметательно, что показательная функция появляется впервые как решение дифференциального уравнения. Эта история заслуживает того, чтобы ее вспомнить.

Кinemатическое определение показательной функции

В самом начале XVII века Галилей (1564—1642) хотел открыть закон, по которым произходит свободное падение. Он надялся открыть этот закон чисто умозрително, руководствуясь лишь сообщениями простоты. Поэтому он предположил, что свободного падения должна быть пропорциональна проиденному пути:

$$\dot{s} = \lambda s.$$

(3)

По физическим сообщениям $\lambda > 0$ (движение ускорено) и $s(0) = 0$ (в начальной момент тело покопится). Через некоторое время Галилей с большим удивлением обнаружил, что дифференциальное уравнение (3) не может иметь решения с $s(0) = 0$, отличного от $s \equiv 0$ (невозможное движение со свойствами, которые Галилей первоначально приписали свободному падению).

Задача 2. Докажите утверждение Галилея. Указание. Пусть $\lambda > 0$; тогда скорость $\dot{s}$ возратает с увеличением $s$. Если в некоторых момент времени $t_0$ имеем: $s(t_0) = c > 0$, то $\dot{s}(t_0) = \lambda c$; $\dot{s}(t) < \lambda c$ при $t < t_0$, а значит, $t_0 > 1/\lambda$ неависимо от $c!$. Отсюда легко вывести, что $s \equiv 0$.

Это наблюдение побудило Галилея поменять предполагаемый закон на $\dot{s} = gt$, что привед его к открытию закона свободного падения, а движением по закону (3) он больше не интерресовался. Подробнее об этом можно прочитать в книге С. Г. Гиндикина «Рассказы о физике и математике» (M., «Нука», 1981).

Мы же должны вспомнить еще об одном замечательном математике — Джоне Непере, бароне Мерчистоне (1550—1617), который почти в те же годы, что и Галилей, совершенное по другим принимам исследовал движение по закону (3). Если Галилей стремился получить математическое описание реального механического явления, то Непер двигаллся прямо в противоположном направлении: он хотел дать механическую интерпретацию чисто математическим процедурам. Еще до Непера матемики пытались воспользоваться связью между аргументическим и геометрическим прогрессей для упрощения вычисления (замены умножения сложением!). Для увеличения точности требовались более «частые» прогрессии и генциальная догадка Непера состояла в том, что следует дойти в этом до конца и заменить дискретные прогрессины непрерывными величины — функциями. Расматривая для этого воображаемое движение по закону (3) и интерпретируя время как непрерывный аналог аргументической прогрессии, Непер убеждает, что тогда пусть аналогом геометрической прогрессии. Именно, если время $t$ увеличить на $k$ единицу, то пусть умножается на $q^k$ для некоторого $q$; если перейти к более мелким единицам времени, то по-прежнему сдвигам по времени $t$ отвечают преобразования по закону геометрической прогрессии.

Главное отличие подода Непера от подхода Галилея состоит в том, что он снимает ограничение $s(0) = 0$. Пусть $\lambda$ фиксировано. Из утверждения Галилея следует важное свойство движения (3). Движение по закону (3) для фиксированного $\lambda$ полностью определяется значением $s$ в любой фиксированный момент времени $t_0$. Действительно, если $s_1(t), s_2(t)$ — два движения с $s_1(t_0) = s_2(t_0)$, то для $s(t) = s_1(t) - s_2(t)$, также является решением (3), имеем: $s(t_0) = 0$, то есть $s \equiv 0$; по теореме Галилея и $s_1(t) = s_2(t)$. Далее, если $s$ — решение (3), то $s_1(t + t_0)$ — также решение, а значит, все решения (3) отличают лишь постоянным множителем. Так же, если $s$ — решение, то $s_1(t) = s(t + t_0)$ — также решение (для фиксированного $t_0$).

Пусть $S_\lambda(t)$ — такое решение (3), что $S_\lambda(0) = 1$. Возьмем $s_1(t) = S_\lambda(t + t_0)$, $s_2(t) = S_\lambda(t) S_\lambda(t_0)$. Обе эти функции будут решениями (3), принимающими одно и то же значение $S_\lambda(t_0)$ при $t = 0$, а потом должны совпадать. Мы получаем, что

11

$$S_{\lambda}(t+t_0) = S_{\lambda}(t) S_{\lambda}(t_0).$$

Далее, функция $S_{\lambda}$ дифференцируем, значит, она непрерывна. По теореме Галлея она нигде не обращается в нуль, а значит, она всюду имеет один и тот же знак, то есть $S_{\lambda}(t) > 0$ ($S_{\lambda}(0) = 1$). В силу (3), тогда $S_{\lambda}(t)$ всюду имеет тот же знак, что и $\lambda$, то есть возрастает при $\lambda > 0$, убивает при $\lambda < 0$.

Итак, решение уравнения (3) с $s(0) = 1$ обязательно является показательной функцией. Если теперь продиференцировать (4) по $t_0$ и положить $t_0 = 0$, мы получим

$$S_{\lambda}(t) = S_{\lambda}(t) S_{\lambda}(0).$$

Значит, показательная функция (в предположении, что она дифференцируем) является решением (3), $\lambda = S_{\lambda}(0)$. Дифференцируемость показательной функции доказывает непосредственно (см. «Алгебра и начала анализа 9—10», п. 65).

Необходимо обсуждать еще один вопрос. Мы исследовали решение (3) в предположении, что они существуют. Это предположение следует из общего факта про дифференциальные уравнения, который мы не будем здесь доказывать*). Если принять его, то мы получим показательную существование показательной функции, отличное от осуществляется выше. С другой стороны, из существования и дифференцируемости показательной функции следует разрешимость уравнения (3).

Число $e$ (непервоно число)

У нас теперь два подхода к определению показательной функции. При аксиоматическом определении показательные функции естественно различают по их основаниям $f(1) = a$. Если же исходить из уравнения (3), то в основу более естественного положить коэффициент $\lambda$. Как связаны этиCONSTANTЫ?

Прежде всего при кинематическом подходе естественного выделить показательную функцию, отвечающую $\lambda = 1$. Ее основание принято обозначать через $e$ и называть непервоным числом, а саму функцию иногда обозначают expr $t$ (по началу слова «экспонента»). Итак, для движения, произходшего по закону $\dot{s} = s$, для которого $s(0) = 1$, имеем: $s(t) = e^{\dot{s}}$ ($= \exp t$).

Исследуем число $e$. Это расстояние от начала, на котором в момент времени $t = 1$ оказывается точка. Посокльку движение проискодит со скоростью, большей 1, а начинается движение на расстоянии 1 от начала, мы получаем, что при $t = 1$ расстояние $e > 1 + 1 = 2$. Покажем, что, с другой стороны, $e < 3$ (точка не успет уйти за отметку 3). Для этого разобем путем от 1 до 3 на 8 равных частей (длина одной части 1/4). Первый отрезок точка проijdет со скоростью, не превышающее ее значения в правом конце отрезка, где, в силу (3), она равна 5/4; следовательно, время, которое потребуется на этот отрезок, не менее 1/5. Аналогично на второй отрезок уйдет не менее 1/6, на третьий — не менее 1/7 и т. д. Общее время на пути от 1 до 3 не менее, чем $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12}$, а эта сумма больше 1. Значит, точка $e$ лежит близке 3.

Если теперь разбить отрезок времени $[0, 1]$ на $n$ равных частей, то на первом отрезке времени скорость больше 1, точка проijdет за $\Delta t = 1/n$ пути, больший $1/n$ и оказывается от начала дальше, чем $1+1/n$ со скоростью, превышающее отрезке $\Delta = 1/n$ будет проijdен пути, больший $(1+1/n)/n$, и точка оказывается от начала на расстоянии больше $(1+1/n)^2$ со скоростью, большей $(1+1/n)^2$ и т. д., в момент времени $t = 1$ — на расстоянии $(1+1/n)^n$ от начала.

Из этого расужения представляется правильным, что при увеличении $n$ величины $a_n = (1+1/n)^n$ возрастает (доказите, что это действительное так!) и стремится к $e$. В учебнике «Алгебра и начала анализа 9—10» (§22, п. 113) доказывает, что

$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n,$$

откуда, в частности, $e$ можно определить с любой точностью. Напомним, что $e = 2,718281828459045\dots$. Аналогично доказывается, что

$$e' = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{t}{n}\right)^n.$$

Продумайте кинематическую интерпретацию этого равенства.

Задача 3. Дайте кинематическое доказательство неравенства

12

$$e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}.$$

Указание. Разбейте отрезок пути $[1, \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}]$ на $(n+1)$ отрезков вида $[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{k-1}, \left(1 + \frac{1}{n}\right)^k]$. Тогда при движении по $k$-му отрезку длины $\frac{1}{n+1}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^k$ по закону $\dot{s} = s$ скорость не превосходит $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^k$, а затраченное время соответственно больше, чем $1/n+1$, то есть общее время больше 1.

Вернемся к вопросу, с которой начинается наш разговор о числе $e$. Пусть $S_\lambda(t) = a^t$. Как связаны $\lambda$ и $a$? Замечая, что если $s(t)$ — решение (3) для некоторого $\lambda$, то $s(ct)$ — решение (3) с $\lambda' = c\lambda$ и тем же значением в нуле, то есть $S_{\lambda c}(t) = S(ct)$, откуда $S_\lambda(t) = a^t$, где $a = e^\lambda$.

Таким образом, связь между $a$ и $\lambda$ очень просто выражается через непровою число.

Подведем итоги рассмотрения уравнения (3). Мы доказали, что общее решение этого уравнения имеет вид $s(t) = s_0 \exp(\lambda t), s_0 = s(0)$.

Уравнение (3) называют уравнением показательного (или экспоненциального) роста (или убывания при $\lambda < 0$). Оно описывает многое процессы, встречающиеся в природе: радиоактивный распад, изменение температуры со временем и давления с высотой, законы биологического и социального развития и другие процессы. Важнейшей характерастикой показательной функции, проявляющейся в описываемых его явлениях, является быстрый рост (при $\lambda > 0$). В частности, экспоненциальный рост (при $\lambda > 0$) превосходит любой степени рост, а экспоненциальное убывание (при $\lambda < 0$) — степени убывание, именно

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{t^k}{\varepsilon^{\lambda t}} = 0 \quad (\lambda > 0), \quad \lim_{t \to +\infty} e^{\lambda t} t^k = 0 \quad (\lambda < 0)$$

(«Алгебра и начала анализ 9—10», § 22, п. 117).

Логарифмическая функция $\log_a x$, $a > 0, a \neq 1$

Эта функция определяется как функция, обратная к показательной функции $a^x$, $a \neq 1$, и все ее свойства неосредственно следует из этого определения.

Она определяна при $x > 0$, ее область значений — вся прямая, $\log_a x$ возрастает при $a > 1$ и убывает при $a < 1$, $\log_a 1 = 0$, но, самое главное, имеет место функциональное уравнение (называемое «основным свойством логарифма» в школе)

$$\log_a xy = \log_a x + \log_a y,$$

(7) которая неосредственно следует из функциониального уравнения для показательной функции (1) (почему?). Логарифмическую функцию можно также описать как номатическая: $\log_a x$ — это monotonная функция, равная 1 при $x = a$, удовлетворяющая (7) и определяющая при всех $x > 0$ (доказhte!). Отметим, что при перехождения логарифмической функции мы существенно пользовемся строгой monotonностью $a^x$ при $a \neq 1$ (это обеспечивает существование обратной функции); по этой причине исключаено $a = 1$.

Натуральный логарифм $\ln x$ определяется как функция, обратная к $e^x$, то есть как время, необходимое точке, движущейся по закону $\dot{s} = s$, чтобы попасть из 1 в $x$.

Нало сказаь, что именно логарифмическая функция, а не показательная, была целю Непера. Однако построенная им картина была несколько сложена. Он рассмотрел уравнение (3) с $\lambda = 10^{-7}$ и взял его решение с $s(0) = 10^7$, то есть $s(t) = 10^7 \exp(10^{-7} t)$; соответственно обратная функция — неперов логарифм — имела вид $t = \text{Ner} \log x = 10^7 \ln 10 + 10^7 \ln x$, и для нее не верно, что $t(x \cdot y) = t(x)t(y)$, $t(1) = 0$. К концу двадцатилетних условий по составлению таблицы логарифмов Непер чувствовал несомненно неудовлетворенность приняемой им системы. Он уже обладал идеей десятичных логарифмов, но не имел сил проводится неосредственно вычисл-

13

пня. Соответствующие таблицы составил longitudinal математик Генри Бригс, который имел возможность обсуждать идею десятичных логарифмов с Непером в его последние годы. Десятические логарифмы до сих пор иногда называют бриссовыми (им была посвящена книга Бригса «Арифметика логарифмов», вышедшая в 1624 г.). Натуральные логарифмы появились в 1619 году в книге малинвестного учтеля математики Спейделя (небольшая анонимная таблица появлась на год раны в приложении ко второму изданию книги Непера).

Из кinemатического определения логарифмов по правиламу дифференцирования обратной функции получается

$$\left( \ln x \right)' = \frac{1}{x}.$$

Далее, указаная выше связь между λ и основанием решения $S_\lambda(t)$ означает, что $(a^t)' = \ln a \cdot a^t$, откуда

$$\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}.$$

Задача 4. Найти максимальное средние чисел вида $\sqrt[n]{n}$ (n — натуральное число).
Указание. Исследуйте на экстремум функции

$$f(x) = x^{\frac{1}{x}} = \exp \left( \frac{\ln x}{x} \right)$$

или, что эквивалентно, $g(x) = \ln x/x$.

Функция $\ln x$ удобна для вычисления различных показателей процессов, описываемых уравнением (3). Так, если за характеристку роста (убывания) принять время $\tau$, в течение которого величина удавается (или уменьшается в два раза), то поскольку $e^{\lambda \tau} = 2$, получим $\tau = \frac{\ln 2}{\lambda}$ при $\lambda > 0$

и $\tau = -\frac{\ln 2}{\lambda}$ при $\lambda < 0$. В случае радиоактивного распада $\tau$ называют временем полураспада ($\lambda < 0$).

Задача 5. Срочный вклад в сберегательной кассе за год увеличивается на 3%. За сколько лет он увеличится в 2 раза?

Наконец, отметим, что в силу того, что показатель функции очень быстро растет, логарифмическая функция, направив, растетрезвчайно медленно. Она растет медленнее любой положительной степени $x$:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0, \quad a > 0.$$

Трионометрические функции

Оба пути, которые мы обсуждали в связи с показательной функцией (активное)

Графики некоторых трионометрических функций.

симатически и кinemатически), имеются и для трионометрических функций. Однако не один из них не был источником первым. Первую естественно определять трионометрические функции через отношения сторон в треугольнике или трионометрическом круге. Правда, при этом возникают функции, принимающие числовые значения, в то время как их аргумент принимает угловые, а не числовые значения. Чтобы перейти к функциям числового аргумента, надо научиться изменять углы. Надо сказаать, что хотя трионометрика развивалась, начиная со П века до н. э., причем ей придаалась большое значение в связи с астрономическими вычислениями, сегоднянее определяние трионометрических функций появилось лишь в XVIII века (в значительной степени у Эйлера). До этого обходились всевозможными таблицами, например, хорд, отвечающих углам. Нельзя забывает, что долго для большинства математков функции не выходила за пределы алгебраических функций и не приходило в голову, что трионометрия как-то связывана с анализом.

Остановимся на кinemатическом определении трионометрических функций. Расмотрим один из самых простых законов: ускорение (или сила) пропорциональны расстоянию, или

$$\ddot{x} + \omega^2 x = 0.$$

Это уравнение называется уравнением гармонических колбаний (он описывает движение шарика наружинке, качания мятника около положения равновесия и т. д.). Ограничимся вначале с лучем $\omega = 1$

$$\ddot{x} + x = 0.$$

Мы знаем, что решениями этого уравнения являются $\sin t$ и $\cos t$, но попытаться получить их независимое определение

14

ленине. Прежде всего надо получить аналог теоремы Галилея для (3) — теорему единственности. Надо доказать, что единственное решение (9) с $x(0)=\dot{x}(0)=0$ — это $x=0$. Обратите внимание, что нам приходит задача два условий при $t=0$, что связано с тем, что в (9) входит второй произвольная. Доказательство следует из сохранения величины $E=\frac{1}{2}(\dot{x}^2+x^2)$ (проверьте, что $\dot{E}=0$ в силу уравнения (9)).

Обозначим через $s(t)$ решение (9) с $s(0)=0$, $\dot{s}(0)=1$. Исследуем свойства этого решения (которое на самом деле совпадает с sin $t$, но мы хотим вывести все свойства из уравнения (9)).

1. Пусть $c(t)=\dot{s}(t)$; тогда $c(t)$ — решение (9) с начальными условиями $c(0)=1$, $\dot{s}(0)=0$ (проверяется непредставенным дифференцированием: $\ddot{c}=\dot{s}=-\dot{s}=-c$, $\dot{c}=-s$).

2. $s(t)=-s(-t)$, $c(t)=c(-t)$ (достаточно проверить, что $x(t)=-s(-t)$) является решение (9) с теми же условиями при $t=0$, что и $s(t)$; аналогично для $c(t))$.

3. Имеют место теоремы сложения $s(t+t_0)=s(t)c(t_0)+s(t_0)c(t)$, (10) $c(t+t_0)=c(t)c(t_0)-s(t)s(t_0)$. (11) Достаточно убедиться, что левые и правые части при фиксированном $t_0$ являются решения (9) с одинаковыми начальными при $t=0$.

Из теorem сложения можно вывести уже много новых трионометрических формул (на самом деле почти все, но мы об этом еще поговорим). Например, полагая в (11) $t_0=-t$, получаем $c^2(t)+s^2(t)=1$. (12)

Из (12) следует, что $|c(t)|\leqslant 1$, $|s(t)|\leqslant 1$.

4. Можно показать, что $c(t)$ обращается в нуль при неокотором положительном значении аргумента.

Если бы это было не так, то $c(t)$ было бы положительным при $t>0$, а это означает, что функция $s(t)$ монotonно возрастает и, следовательно, при $t>0$ принимает положительное значение. Зафиксируем неокоторый момент времени $t=t_0>0$, при этом $s(t_0)=s_0>0$. Равенство $c(t)=-s(t)$ означает, что скорость убывания $c(t)$, начная с момента $t_0$, больше $s_0$, и, следовательно, $c(t)$ обратится в нуль не позднее, чем через время $c(t_0)/s(t_0)$, что противоречит предположению о положительной счедущей задачи.

Задача 6*. Пусть $s(t)$ и $c(t)$ — функции, которые: 1) определяет при всех $t$; 2) $s(0)=0$, $c(0)=1$; 3) удовлетворяет функцию уравнения (10) и (11); 4) непрерывны. Тогда $c(t)=\cos \omega t$, $s(t)=\sin \omega t$ для неокоторого действительного числа $\omega$.

Указание. Воспользоваться тем фактом, что непрерывная функция полностью определяется свойства значения в точках вида $t=\frac{m}{2^k}t_0$ ($m, k$ — целые числа, $t_0$ — произвольное функцию действительное число, не равное нулю).

15

Золотая спираль

А. И. ПРОХОРОВ

Измеряя все, что может изменить, и сделай таковым все, не поддающейся изменению.
Галилео Галилея

Геометрические мотивы передко присутствуют в картинах великих живописцев. Геометрические схемы с большей или меньшей очередностью просматривают в самом композиции многохлопотен. Их можно назвать пирамидальных, круговых, диагональных, спиральными и т. п. в зависимости от той геометрической фигуры, которая положена в основу композиции. Художник при этом часто действует интуитивно, а искусственно, исследуя композицию, выявляет ее основу, приводит картину к упрощенной геометрической схеме. Наша заметка — пример такого исследования, относительно к художственному наследию великого Рафаэля Санти, 500-летие со дня рождения которого отмечалось в прошлом году.
Для дальнейшего нам потребуется наследию великого Рафаэля Санти, 500-летие со дня рождения которого отмечалось в прошлом году.

Две геометрические конструкции

Еще древние ввели в рассмотрение золотое сечение — такое деление («сечение») данного отрезка длины $a$ на две неравные части $x$ и $y$, $a=x+y$, $x>y$, при котором меняющая часть относится к большей так же, как большая часть к целому, то есть $x:y=x:a$. Из этого определения следует

$$\frac{a-x}{x} = \frac{x}{a}$$

или $x^2+ax-a^2=0$. Решая это квадратное уравнение и отбрасывая отрицательный корень, находим

$$\frac{x}{a} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0,62.$$

Эта пропорция часто используется в древнегреческой архитектуре, например при строительстве знаменного Парфенона. Архитекторы понимали, что при зрительном восприятии прямоугольник, относение сторон которого

16

выбрано по золотому сечению, вызывает ошушение гармония, покоя.

Напротив, ошушение динамики, воленения проявляется, пожалуйста, сильней всего в другой простейшей геометрической фигуре — спирали. Спираль — это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно врашающего вокруг своего начала. Если точка удаляется от начала равномерно ($r=k\varphi$, где $r$ — расстояние от начала, а $\varphi$ — угол поворота луча), то получается спираль Архимеда. Если же точка удаляется по экспоненциальному закону ($r=ke^{m\varphi}$, рисунок 1), то получается логарифмическая спираль. Частным случаем логарифмической спирали является интересующая нас золотая спираль: она получается в том случае, если начало луча и параметры $k$ и $m$ экспоненциального закона выбраны так, чтобы спираль проходила через три из четырех вершин каждой из последовательно построенных на рисунке 1 «золотых прямугольников».

Задачка. Найдите параметры $k$ и $m$ для золотой спирали.

«Корабельная роза»

На этой знаментий картине И. И. Шишкина (рисунок 2) с очевидностью просматривается мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стояшая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны — освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен — при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делих ее в отношении золотого сечения

Рис. 1.

Рис. 2.

17

ния, придают ей характер уравновешности и способствия, в соответствии с замыслом художника.

Когда же замысел художникаиной, если, скажем, он создает картину с буро развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикальной и горизонтальной) становится непримемемой.

«Избение младенцев»

Многофигурная композиция (см. рисунок на с. 15), выполненная в 1509—1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однako, его экскиз был гравирован известным италянским графиком Маркантоно Раймонди, который на основе этого экскиза и создал граиву «Избение младенцев» (рисунок 3).

На подготовительном эскизе Рафаэля мы провели красные линии, душие от смыслового центра композиции — точки, где пальцы воина комкнулись вокруг лодыжки ребенка, — вдоль фигур ребенка, женщины, прижимаюшей его к себе, воина с занеcenным мячом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается … золотая спираль! Это можно проверить, изменяя отношение длины отрезков, высекаемых спиралью на прямых, прохождение через начало кривой.

Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции «Избение младенцев» или только «чувствовал» ее. Однако с утвернностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствует добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной граиворе Раймонди: арка места, душая от головы женщины, — в левой части композиции и лежащее тело ребенка — в ее центре.

Первоначальную композицию Рафаэль выполнил в рассеете своих творческих сил, когда он создавал свои наблюдае совершенные творения. Глава шкOLS романтизма французский художник Эжен Делакруа (1798—1863)

(Окончание см. на с. 33)

Рис. 3.

18

Существуют ли планетные системы у других звезд?

Доктор физико-математических наук Л. С. МАРОЧНИК

Вопрос о том, существуют ли планетные системы у каких-либо еще звезд, кроме Солнца, в нашей Галактике, беспокотчное человеко давно. Беспокотт, потому что, не имея на него ответа, невозможно даже подступиться к таким волнующим проблемам, как произхождение жизни, существование внешних цивилизций и т. п.

Если не доказательства, то, по крайней мере, серые аргументы в ползу существования планетной (или протопlanетной) системы у звезды Веги (и созвездия Лиры) совсем недавно представил англоамерикано-голландский спутник ИРАС (IRAS — Infra Red Astronomical Satellite).

Известно, что максимум интенсивности в спектре свечения Веги приходится на ультрафилотовый облакть и что по мере увеличения длины волн интенсивность должна спадать. ИРАС, однako, зарегистировал большую избыточную интенсивность в инфракрасной части спектра. Это означает, что инфракрасные детекторы ИРАС обнаружили окружающие Вегу холодное облако твердых частиц, нагреты до температуры 90 К и имеющих миллиметровые размеры*, что в тысячи раз больше, чем размеры пылинок в обычной межзвездной среде.

По мнению ученых, ведущих экспериментов, в области безусловно должны быть частицы и больших размеров, и если их распределение такое же, как в появе астронойдов в Солнечной системе, то полная масса облака, окружающей Вегу, близка к 0,001 $M_C$ (масса Солнца). Но это как раз та доля массы Солнечной системы, которая приходит на всю совокупность больших и малых ее планет.

Диаметр облака, окружащего Вегу, определяет пока очень неточно. По оценкам он близок к 170 астрономическим единицам. Это приблизительно в два раза больше диаметра орбиты Плутона — последней планеты Солнечной системы.

Очевидно, чтобы не упасть на Вегу, частицы облака должны враться воокругнее.

Итак, получено первое доказательство существования врашшейся вокруг звезд «твердой материалов».** Специалисты программы ИРАС полагают, что облака, окружающей Вегу, примерно такое же, каким бы протопlanетное облака на относительной ранних стадиях зволочки Солнечной системы. Такая гипотеза кажется привлекательной, потому что Вега довольно молода — она протоплазлено в 5 раз моложе Солнца.

*) Частцы меньших размеров должны быть обьясить изокрестной Веги под действием давления ее света.

**) Другие причины, которые могут быть обьясить изокрестной Веги под действием давления ее света.

Советский астрофизик И. С. Шкловский привел еще один красный аргумент в ползу этой гипотезы. Хорошо известно, что основная масса Солнечной системы сосредоточена в Солнце, но что врашение Солнца происходит существенно медленнее, чем врашение окружающей звезды его планет. Значит, если «твердая materia», врашшаяся вокруг планетой (или протопlanетной) системы, то сама звезда должна медленно. Оказалось, что астрономыны-наблюдатели, изучавшие близкие звезды, давно обращали внимание на то, что Вега не врашает (или врашает очень медленно), хотя звезды того же типа (спектральный класс A) обладают быстроjem врашением.

ИРАС обследовал около 9000 ярких звезд на небе. Из них только 450 звезд были настолько ярким в инфракрасном свете, что могли быть зарегистированы детекторами ИРАС. Мнении специализов, из них около 50 могут оказаться системыми, подобными Веге, но окончательных подтверджений пока не получено.

И в этом нет ничего удивительного. Как отмечает один из руководителей эксперимента Джордж Ауманн, если бы спутник, подобный ИРАСу, обследовал Солнце с расстояния в 30 световых лет (расстояние до Веги составляет приблизительно 26 световых лет), то он не смог бы обнаружить нашу планетуную систему даже на предлее свежечувствительности. С его «инфракрасной точки зрения» Солнце оказалось бы совершенню нормальной и неинтересной звезды.

19

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Траектория, путь, перемещение» предназначена восемиклассик, «Об арегатных состояний вещества» — девятиклассик, «Гармоническая колебания. Сложение колебаний» — десятиклассик. Материалы подготовили И. К. Белкин.

Траектория, путь, перемещение

Три слова в заглавии этой заметки связаны с движением тел (материальных точек). Первые два шрикою употребляются в житейском обиходе, третьим пользовется, главным образом, в науке о движении тел — механике.

Траектория — это непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка. Она может быть прямой линий. О теле (точке), движущемся по такой траектории, говорят, что оно совпадает прямолинейное движение. Траектория может представлять собой и кривую линию любой формы. Тело, движущесся по такой траектории, совпадает кривolinейное движение. Например, траектория свободно падающего тела по отношению к Земле (если пренебречь ее врашением) — вертикальная прямая, а траектория искусственного спутника Земли — кривая (окружность или эллипс).

Если траектория известна заранее, то задачей механики может быть, скажем, определение точки на траектории, где находится движущесся тело в тот или иной момент времени. Траектория может быть и неизвестной, тогда задача состоит в том, чтобы найти вид траектории. Законы движения позволяют решать и ту, и другую задачи.

Путь, пройденный телом (точкой), — этолина его траектории (измеренная в метрах, километрах и т. д.). Его можно определить, например, по счетчику километров в автоматике.

Для решения задач механики знать пройденный путь обычно недостаточно и вот почему. Явление движения тела состоит в том, что с течение времени изменяются координаты тела. Путь же с изменением координат связи не всегда. может даже служиться и так, что пройденный путь не равен нулю, а изменение координат равно нулю (тело прошло по замкнутой траектории). Вот поэтому путь, как правило, в уравнении механики не входит.

Для описания движения тела (точки) в механике (точнее — в kinematике) используется другая физическая величины — перемещение. Напомним, что перемещение — это направленный отрезок прямой (вектор), соединяющий неокторое начальное положение движения точки с каким-то последующим ее положением («Физика 8», §3).

Важность для механики именно этой величины вытекает из того, что проекции вектора перемещения на оси координат равны изменением соответствующих координат («Физика 8», §5). А это значит, что, если известен вектор перемещения, можно найти и координаты тела. Правда, для этого нужно знать еще начальные координаты.

Возникает вопрос: не равны ли другую модуль вектора перемещения и пройденный путь (и то и другое — скаляры)? Оказывается, что в общем случае — нет, не равны. Например, если тело из точки A пришло в точку B по траектории, представляющей собой половину окружности радиуса R, то пройденный телом путь l=πR, а модуль перемещения |$\vec{s}$|=2R (рис. 1). Если бы тело прошло не половину окружности, а сделало полный оборот (вторая половина траектории показана на рисунке 1 шрихтовой линии), то путь

20

был бы равен 2лR, а модуль перемещения — нулю. Только в одном случае, когда траектория движения тела — прямая линия и тело движется по такой траектории в одном направлении, модуль перемещения и проеденный путь равны друг другу.

Существует простая связь между величины перемещения и проеденного пути. Поясим ее на уже рассмотренном примере движения тела по полукружности. Разобъем этого траекторию на малые частики 1, 2, 3 и т. д. (рис. 2). На участке 1 путь тела — это длина дуги Aa, а перемещение $\vec{s}_1$ по модулю равно длине хорды Aa. На участке 2 путь тела — это длина дуги ab, а модуль перемещения $\vec{s}_2$ — длина хорды ab и т. д. Можно сделать участки, на которые мы разбили траекторию, таким мылыми, чтобы дуга участка мало отличалась от хорды. Тогда, как это видно из рисунка 2, вектор полного перемещения $\vec{s}$ равен сумме векторов элементов перемещений $\vec{s}_1, \vec{s}_2, \vec{s}_3$ и т. д.:

$$\vec{s} = \vec{s}_1 + \vec{s}_2 + \vec{s}_3 + \dots + \vec{s}_n,$$

а длина пути l равна алгебраической сумме моделей $|\vec{s}_1|, |\vec{s}_2|, |\vec{s}_3|$ и т. д. элементных перемещений:

$$l = |\vec{s}_1| + |\vec{s}_2| + |\vec{s}_3| + \dots + |\vec{s}_n|.$$

Об агрегатных состояний вещества

Молекулярно-kinетическая теория строения вещества — одно из величины достижения физической науки — основана на трех утверждениях: 1) всякое вещество состоит из частиц — молекул или atomов; 2) частицы (молекул, atomы) совершают беспорядочное тепловое движение; 3) частицы (молекул, atomы) взаимодействуют друг с другом. Эта теория позволяет понять множество самых разнообразных явлений и в их числе факт существования вещества в трех, как говоря, агрегатных состояний — твердом, жидком, газообразном.

Почему же совокупности совершенного одинаковых частиц, например молекул воды (H₂O), могут образовать такие столбические друг на друга тела, как лед, вода, водяной пар? «Виноваго» в этом третье из перечисленных выше утверждений, лежащих в основе молекулярно-kinетического теории, — утверждение о том, что между молекулами действуют силы («Физика 9», §§ 4 и 5). Однако существование различных агрегатных состояний удобнее объяснить, пользоваться не «силовым», а «энергетическим» языком.

Теплоbose движение молекул характеризуется их средней kinетической энергии. Она, как известно, определяет температуру тела. Для идеальных газов, например, температура T и средняя kinетическая энергия поступательного движения молекул mv²/2 связаны соотношениям:

$$\frac{m v^2}{2} = \frac{3}{2} k T,$$

где k — постоянная Больцмана ($k=1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/K). Kinетическая энергия вместе с концентрацией n молекул (число молекул в единице объема) определяет и второй основной макросопперсий параметр газа — его давление p:

$$p = \frac{2}{3} n \frac{m v^2}{2}.$$

Если бы молекулы обладали только kinетической энергии, они разделились бы по всем направлениям (движение молекул хаотического!) и вещество занало бы весь доступный ему объем. Единственное возможным состоянием вещества было бы газообразное состояние.

Взаимодействие молекул (как и всякое взаимодействие) характеризуется потенциальной энергией. Она зависит от расстояния между молекулами. Если бы молекулы обладали только потенциальной энергии, они занали бы друг относительно друга такие положения, чтобы сумма сил, действующих на каждой молекулу со стороны ее соседей, была равна нулю. При этом потенциальная энергия взаимодействия молекул была бы минимальной. Единственное возможным состоянием вещества было бы твердое состояние.

No молекулы движутся и взаимодействуют одновременно, и, следовательно, они обладают и kinетической и потенциальной энергии. Поэтому были ли тельтвердым, жидким или газообразным, зависит от соотношения общих видов энергии. А изменение этого

21

соответствие и приводит к переходу вещества из одного состояния в другое.

Твердое состояние — это состояние, в котором потенциальная энергия $W_p$ взаимодействия молекул подавляющее вещека по сравнению с кинетической $W_k$:

$$W_p \gg W_k.$$

Как можно изменить это состояние? Например, нагрева твердое тело. Ясно, что при нагревании увеличивается кинетическая энергия части тела, а их потенциальная энергия при этом praktически не изменяется. Таким образом можно добиться того, чтобы кинетическая энергия стала примерно равной потенциальной. Тогда и произойдет переход из твердого состояния в жидкое, для которого характерно примерное равенство $W_p$ и $W_k$:

$$W_p \approx W_k.$$

В этом состоянии потенциальная энергия еще достаточно велика, чтобы молекуры не могли разлетаться друг от друга, а кинетическая энергия уже достигло велика, чтобы молекуры прибрели определенную подвижность, то есть возможность перемещаться внутри объема. Жидкость сохраняет свой объем, но становится текущей и поэтому не сохраняет свой формуы.

Будем продолжать поставлять энергию, нагрева теперь уже жидкость. Кинетическая энергия молекул будет расти и в какой-то момент превышает потенциальную энергию их взаимодействия настоящего, что его (потенциальной энергей) можно будет пребежать:

$$W_p \ll W_k.$$

Вшестью перейдет в состояние, которое соответствует идеальному газу («Физика 9», § 6).

А что если продолжать нагрев, теперь уже газа? Приведет ли дальнейший рост кинетической энергии молекул к еще одному агрегатному переходу? Оказывается, да. Но только потом, что молекуры (атомы) это не просто очень маленькие шарики. Они представляют собой сложные системы заряженных части, еще меньшех, чем atoms, размеров. При достичению высокой температуре газа стольновения его части приводят к тому, что молекуры развалиются на atoms, а atoms — на составляющие их заряженные частицы.

В результате получается особого рода вещество, состоящее из одинакового числа положительного и отрицательно заряженных частицы (в целом — электронские нейтральное). Это и есть четверое состояние вещества — плазма.

В отличие от других агрегатных состояний плазма состоит из электронских взаимодействия двух с другой части. Вот почему свойства плазмы существенно отличаются от свойств вещества в других состояниях.

Гармоническая колбанная.

Колбательное движение — это периодическая движение, то есть такое, при котором координата тела через определенные промежутки времени (минimalный промежуток называют периодом колбаний) повторяется. Типичный пример колбаний — движение тела, прикрепленного кружине («Физика 10», §§ 2 и 4). Вызывает такое движение слая упруgosity $F_x = -kx$, изменяющаяся от точки к точке, поэтому изменяющимся оказывается иускорение тела. При движении колблющеся тело проходит и через такое положение, в котором действующая на него сила обращается в нуль. Это — положение равновесия, оно служит центром колбания. Максимальное отклонение тела от положения равновесия называется амплитудой колбания.

Так как сила упруgosти — сила переменная, то решить уравнение второго закона Ньютона

$$-kx = ma_x$$

и найти, как координата $x$ изменяется со временем, средствами общей алгебры нельзя. Поэтому мы заменим на время физику геометрией и рассмотрим движение совсем другое, но «как две капли воды» похоже на движение тела, скрепленного сружиной.

Пусть некоторое тело (materialная точка) движется с постоянной угловой скоростью $\omega$ по окружности радиуса $A$ (рис. 1). Движение по окружности — это тоже периодическое движение, поскольку через определенные промежутки времени $T = 2\pi/\omega$ (перiod обращения) тело оказывается в одном и том же месте на окружности. Рассмотрим, однako, движение не самой точки, а ее

22

проекции на диаметр XX окружности. Сразу видно, что при движении точки по окружности ее проекция движется вдоль диаметра XX и это движение действительное положение на движение тела, скрепленного с пружиной. Двигаясь вдоль диаметра, проекция удаляется от центра окружности на расстояние, не большее, чем радиус A. Можно, значит, сказать, что проекция совершает колбания с амплитудой A. Центр окружности O играет здесь такую же роль, как положение равновесия в опыте с пружиной. Перiod обращения точки по окружности — это в то же время и период колбаний ее проекции. Но если для точки, движущейся по окружности, $\omega$ — это угловая скорость, то для проекции $\omega$ — это так называемая циклическая частота, то есть число колбаний за 2π секунд:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi v.$$

Здесь $v$ — частота колбаний, то есть число колбаний за одну секунду.

Предположим, что в некоторых момент времени, который мы примем за начальный ($t=0$), движущаяся по окружности точка находится в положении $M_0$ (рис. 2). Проведем из центра окружности как из начала координат вектор $\overrightarrow{OM_0}$. Его называют радиус-вектором (модуль этого вектора равен A). Радиус-вектор определяет положение точки на окружности, а проекция его конца на диаметр XX определяет положение проекции $M'_0$ точки, то есть координат $x_0$ этой проекции, отчисываемого от центра окружности O. Двигаение точки по окружности означает в то же время вращение радиус-вектора вокруг центра O с той же угловой скоростью $\omega$. Из рисунка 2 видно, что начальная координата $x_0$ проекции равна A cos $\varphi_0$, где $\varphi_0$ — угол, отсчитанный от оси X против часовой стрелки до вектора $\overrightarrow{OM_0}$.

Пусть через промежуток времени $t$ движущаяся по окружности точка оказалась в M, а ее проекция — в $M'$. Угол поворота радиус-вектора увеличился на $\Delta\varphi=\omega t$ и стал равным $\Delta\varphi+\varphi_0$. Koордината $x$ проекции точки теперь равна

$$x=A \cos(\Delta\varphi+\varphi_0)=A \cos(\omega t+\varphi_0).$$

Формула

$$x=A \cos(\omega t+\varphi_0)$$

и показывает, как координата $x$ проекции движущаяся по окружности точки, то есть координата точки, совершающего колбания, зависит от времени. Колбания, при которых координата колбающегося тела (точки) зависит от времени по закону (*), называются гармоничскими. Величина $\varphi=\omega t+\varphi_0$ называется фазой колбания, а $\varphi_0$ — начальное фазой.

Как мы уже говорили, движение проекции конца радиус-вектора на диаметр окружности во всем положке на движение тела, скрепленного с пружиной. Верно и обратное: движение тела, прикрепленного к пружине, совершенное подобно движению проекции точки, движущейся по окружности, на диаметр этой окружности. Поэтому каждому колбающемуся телу можно сопоставить врашающая радиус-вектор, проекция конца которой есть колбающемся тело (точка). Это и показано на рисунке 3 для случая тела, прикрепленного к горизонтальнойружине.

Только что высказанное сообщение позволяет решить важную задачу о сложении колбаний, произходящих вдоль одной прямой и с одинаковыми частотами. Например, когда положение равновесия, около которого тело совершен

23

шает колебания, само совершает колебания с такой же частотой и вдоль той же прямой. Складем, тело, скрепленное с пружиной, совершает колебания на платформе, которая сама колебляется относительно неподвижной системы отчета.

Предположим, что нужно сложить такие два колебания:

$$x_1 = A_1 \cos(\omega t + \varphi_0),$$
$$x_2 = A_2 \cos(\omega t + \varphi_0).$$

Как видно из написанных формул, колебания могут различаться амплитудами ($A_1$ и $A_2$) и начальные фазами ($\varphi_01$ и $\varphi_02$). Чтобы узнать, что получится в результате сложения, изобразим соответствующие складываемым колебаниям врашающего радиус-векторы $\vec{A}_1$ и $\vec{A}_2$ как бы заступили в начальной момент времени и покажем окружности, по которым движутся их концы (рис. 4; для упрощения на рисунке приведены не полные окружности). Очевидно, что результатрушее колебание будет произходить с той же частотой $\omega$, но с другой амплитудой и другой начальной фазой:

$$x = A \cos(\omega t + \varphi_0).$$

Значения $A$ и $\varphi_0$ мы получим, если сложим векторы $\vec{A}_1$ и $\vec{A}_2$ по правилам параллелограмма. Диагональ параллелограмма $A = |\vec{A}|$ и есть амплитуда суммарного колебания, а угол $\varphi_0$, который вектор $\vec{A}$ образует с осью $X$, — начальная фаза этого колебания.

Согласно известной теореме косинусов, мы можем написать

$$A^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2 \cos OA_1A,$$

где $OA_1A = 180^\circ - A_2OA_1 = 180^\circ - (\varphi_02 - \varphi_01)$. Так как $\cos(180^\circ - (\varphi_02 - \varphi_01)) = -\cos(\varphi_02 - \varphi_01)$, то

$$A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\varphi_02 - \varphi_01).$$

Результат сложения двух колебаний зависит, таким образом, от разности фаз колебаний-слагаемых. Поскольку колебания произходит с одной и той же частотой, разность фаз $\varphi_2 - \varphi_1$ колебаний в любой момент времени равна разности $\varphi_02 - \varphi_01$ начальных фаз.

Представляют особый интерес два крайних случая:

1. Разность фаз $\varphi_2 - \varphi_1 = 0$ (или $2\pi$, $4\pi$ и т. д.). Колебания, фазы которых в любой момент времени одинаковы, называются синфазными. В таком случае $\cos(\varphi_02 - \varphi_01) = \cos(\varphi_2 - \varphi_1) = 0$, и $A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2$, или $A = A_1 + A_2$ — амплитуда результатрушшего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Другими словами, колебания в результате сложения осуществляется.

2. Разность фаз $\varphi_2 - \varphi_1 = \pi$ (или $3\pi$, $5\pi$ и т. д.). О таких колебаниях говорят, что их фазы противоположны (колебания антифазные). В этом случае $\cos(\varphi_02 - \varphi_01) = \cos(\varphi_2 - \varphi_1) = -1$, и $A^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2$, или $A = A_1 - A_2$ — результатрушшее колебание оказывается ослабленным: амплитуда равна разности амплитуд колебаний-слагаемых. Если $A_1 = A_2$, то амплитуда результатрушнего колебания равна нулю, то есть колебаний вовсе нет: одно колебание «погасило» другое.

В этом состоянии одно из самых важных свойств колебания — при сложении они могут успливаться или ослабляться. Это свойство играет важную роль в волновых процесах («Физика 10», § 36).

Из рисунка 4 легко получить и значение начальной фазы $\varphi_0$ результатрушшего колебания:

$$tg \varphi_0 = \frac{A_1 \sin \varphi_01 + A_2 \sin \varphi_02}{A_1 \cos \varphi_01 + A_2 \cos \varphi_02}.$$

24

Математика 8,9,10

Публикуемая ниже заметка «Таблица составных чисел» предназначена воспользоваться в основном чисел, то есть в выясненном вопросе, является ли они простыми или составными. Для простых чисел, не превышших 6000, в сравчении по элементарной математике есть таблица. Но если мы имеем дело с составным числом или с числом за пределами таблицы простых чисел, к которым не подходит известные нам признаки делимости на 2, 3 и 5, то анализ его может оказаться довольно трудоемким. Например, определить, является ли число 10607 простым или составным, можно лишь путем перебора более двух десятиков простых делителей, начиная с 7 и кончая 101.

Облегчит эту задачу и избавить нас от необходимости анализа чисел методом последовательного перебора простых делителей позволяет таблицу разложения составных чисел, не кратных 2, 3 и 5, на простые множители от 7 до 101 включительно. С ее помощью можно разложить на простые множители все прочие составные числа с множительами, превышащими 101, при условии, что таких множителей не более одного, а остальные входят в указанный ряд. С помощью этой таблицы можно также выявлять простые числа, если они меньше 103². Охватывая, в принципе, бесконечное множество чисел, она позволяет, не прибегая к записам, анализировать числа до пяты знаков включительно.

В верхней строке таблицы — простые делители от 7 до 101. Правая крайняя колонка — возрастший ряд двухзначных чисел, без чисел, оканичивающих на 0, 2, 4, 5, 6, 8. В дальнейшем мы будем обозначать эти двухзначные числа символом $R$. Остальные числа в таблице обозначим символом $Q_T$.

Правила пользования таблицей посимм на примерах чисел 3827, 5251 и 51620. Проанализируем число 3827. Для этого разделим его с остатком на 100. Получаем в остатке число 27. Это значение $R$ для данного числа, с которым мы входим в таблицу. Частное равно 38. Это величана $Q$ для данного числа. Для того, чтобы найти простые множители данного числа, необходимо в строке $R=27$ таблицы

Таблица составных чисел

| 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | $R$ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |

| 3 | 10 | 10 | 9 | 15 | 20 | 20 | 22 | 27 | 25 | 3 | 39 | 9 | 23 | 25 | 2 | 22 | 27 | 15 | 39 | 8 | 32 | 1 | 01 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 2 | 8 | 4 | 10 | 7 | 14 | 2 | 4 | 7 | 34 | 9 | 23 | 27 | 10 | 14 | 6 | 66 | 8 | 45 | 34 | 24 | 96 | 3 | 03 |
| 0 | 4 | 5 | 12 | 10 | 2 | 24 | 30 | 4 | 11 | 21 | 38 | 10 | 43 | 53 | 14 | 12 | 43 | 26 | 24 | 56 | 30 | 7 | 07 |
| 6 | 2 | 12 | 13 | 2 | 19 | 6 | 12 | 21 | 20 | 27 | 22 | 28 | 30 | 42 | 18 | 56 | 24 | 56 | 19 | 72 | 94 | 9 | 09 |
| 5 | 0 | 6 | 14 | 13 | 13 | 17 | 25 | 1 | 29 | 33 | 6 | 46 | 17 | 31 | 22 | 29 | 5 | 7 | 14 | 88 | 61 | 11 | 11 |
| 4 | 9 | 0 | 15 | 5 | 7 | 28 | 7 | 18 | 38 | 39 | 37 | 11 | 4 | 20 | 26 | 2 | 59 | 37 | 9 | 15 | 28 | 13 | 13 |
| 2 | 5 | 1 | 0 | 8 | 18 | 21 | 2 | 15 | 15 | 8 | 5 | 47 | 37 | 59 | 34 | 19 | 21 | 18 | 82 | 47 | 59 | 17 | 17 |
| 1 | 3 | 8 | 1 | 0 | 12 | 3 | 15 | 32 | 24 | 14 | 36 | 12 | 24 | 48 | 38 | 63 | 2 | 48 | 77 | 63 | 26 | 19 | 19 |
| 0 | 1 | 2 | 2 | 11 | 6 | 14 | 28 | 12 | 33 | 20 | 20 | 30 | 11 | 37 | 42 | 36 | 56 | 78 | 72 | 79 | 90 | 21 | 21 |
| 6 | 10 | 9 | 3 | 3 | 0 | 25 | 10 | 29 | 1 | 26 | 4 | 48 | 57 | 26 | 46 | 9 | 37 | 29 | 67 | 6 | 57 | 23 | 23 |
| 4 | 6 | 10 | 5 | 6 | 11 | 18 | 5 | 26 | 19 | 38 | 19 | 31 | 31 | 4 | 54 | 26 | 72 | 10 | 57 | 38 | 88 | 27 | 27 |
| 3 | 4 | 4 | 6 | 17 | 5 | 0 | 18 | 6 | 28 | 1 | 3 | 49 | 18 | 54 | 58 | 70 | 53 | 40 | 52 | 54 | 55 | 29 | 29 |
| 2 | 2 | 11 | 7 | 9 | 22 | 11 | 0 | 23 | 37 | 7 | 34 | 14 | 5 | 43 | 62 | 43 | 34 | 70 | 47 | 70 | 22 | 31 | 31 |
| 1 | 0 | 5 | 8 | 1 | 16 | 22 | 13 | 3 | 5 | 13 | 18 | 32 | 51 | 32 | 66 | 16 | 15 | 21 | 42 | 86 | 86 | 33 | 33 |
| 6 | 7 | 6 | 10 | 4 | 4 | 15 | 8 | 0 | 23 | 25 | 33 | 15 | 25 | 10 | 7 | 33 | 50 | 2 | 32 | 29 | 20 | 37 | 37 |
| 5 | 5 | 0 | 11 | 15 | 21 | 26 | 21 | 17 | 32 | 31 | 17 | 33 | 12 | 60 | 11 | 6 | 31 | 32 | 27 | 45 | 84 | 39 | 39 |
| 4 | 3 | 7 | 12 | 7 | 15 | 8 | 3 | 34 | 0 | 37 | 1 | 51 | 58 | 49 | 15 | 50 | 12 | 62 | 22 | 61 | 51 | 41 | 41 |
| 3 | 1 | 1 | 13 | 18 | 9 | 19 | 16 | 14 | 9 | 0 | 32 | 16 | 45 | 38 | 19 | 23 | 66 | 13 | 17 | 77 | 18 | 43 | 43 |
| 1 | 8 | 2 | 15 | 2 | 20 | 12 | 11 | 11 | 27 | 12 | 0 | 52 | 19 | 16 | 27 | 40 | 28 | 73 | 7 | 20 | 49 | 47 | 47 |
| 0 | 6 | 9 | 16 | 13 | 14 | 23 | 24 | 28 | 36 | 18 | 31 | 17 | 6 | 5 | 31 | 13 | 9 | 24 | 2 | 36 | 16 | 49 | 49 |

25

найти такое значение $Q_T$, которое отвечало бы условиям

$$\frac{Q-Q_T}{d} = \text{целое число},$$

(1)

где $d$ — простой делитель в колонке найdenного значения $Q_T$.

В строке $R=27$ условию (1) отвечает табличные значения $Q_T=38$ в колонках делитель $d=89$ и $d=43$. Это и есть простые множители заданного числа $(89 \times 43=3827)$.

Проанализируем теперь число 5251. При делении его на 100 получаем частное $Q=52$ и остаток $R=51$. Для чисел с $R>49$ берем вместе $R$ во входе таблицы его «приведенное» значение $R'=100-R$, т. е. в данном случае $R'=100-51=49$. При этом вместе условия (1) требуется соблюдение условий

$$\frac{Q'+Q_T}{d} = \text{целое число},$$

(2)

где $Q'=Q+1$. В данном случае $Q'=52+1=53$.

В строке $R=49$ условию (2) отвечает $Q_T=36$, в колонке делителя $d=89$ $(53+36=89)$ и $Q_T=6$ в колонке делителя $d=59$ $(53+6=59)$. Таким образом, простые множители данного числа $89 \times 59=5251$.

Число 51620. После деления его на 20 остается проанализировать число 2581. Здесь $R=81$. Следовательно, $R'=100-81=19$, $Q=25$. Следовательно, $Q'=25+1=26$.

Условию (2) здесь obtueют $Q_T=63$ в колонке делителя $d=89$ и $Q_T=3$ в колонке делителя $d=29$. Итак, $89 \times 29 \times 20=51620$.

Отметим, что общим множителем для всех трех чисел является простое число 89.

С помощью таблицы нетрудно определить, что упомянутые выше число 10607 — простое. Действительно, в строке $R=07$ нет ни одного значения $Q_T$, которое при вычитании его из $Q=106$ удовлетворило бы условиям (1).

В. С. Хитрук

Простоящий в непростых задачах

С формулой квадрата суммы или разности двух чисел знаком шестиклассник. Нетрудно научиться выделять из алгебраического выражения полный квадрат, «узнавать» его, а затем извлекаать корень. Эти действия часто помогают при решении конкретных задач. Конечно, приведенные ниже задачи допускают и другие способы решения, однако умеют использовать указынных примеров позволяют абитриенту «сэкономить» так необходимое на экзамене времени.

Упрощение выражений

Пример 1 (МГУ, механизм, 1978). Разность $\sqrt{|40\sqrt{2}-57|}-\sqrt{40\sqrt{2}+57}$ является целым числом. Найти это число.

В книге Ю. В. Нестеренко, С. Н. ОLEXНИКА, М. К. Потапова «Задачи вступительных экзаменов по математике» (М., Наука, 1980) авторы обозначают искому число через $x$, находят, что $x$ есть одно из чисел 10 или —10 и сравнием уменышаемого и вычитаемого приходят к выводу, что $x=-10$ (с. 132).

Этот же пример решим, выделяя полный квадрат, этот пример пригодится нам впоследствии.

$$A=\sqrt{40\sqrt{2}+57}=\sqrt{25+40\sqrt{2}+32}=\sqrt{(5+4\sqrt{2})^2}=5+4\sqrt{2},$$

$$B=\sqrt{|40\sqrt{2}-57|}=\sqrt{|(5-4\sqrt{2})^2|}=-5+4\sqrt{2}.$$

Таким образом, $B-A=-10$.

Пример 2 (МГУ, механизм, 1969; КПИ, 1980). Упростить:

$$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}.$$

Решение:

$$A=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}+1-1}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}+1-1}=\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=|\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=\sqrt{x-1}+1+|\sqrt{x-1}-1|.$$

Очевидно, что $x \geqslant 1$;

а) при $2 \geqslant x \geqslant 1$, имеем

26

$$A = \sqrt{x-1} + 1 - \sqrt{x-1} + 1 = 2;$$
6) при $x \geqslant 2$
$$A = \sqrt{x-1} + 1 + \sqrt{x-1} - 1 = 2\sqrt{x-1}.$$
Пример 3 (КПИ, 1980). Упростить:
$$\frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - 1}{\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha - 1}.$$
Решение:
$$\frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - 1}{\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha - 1} = \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1}{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1} = \frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1}{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1} = \frac{2}{3}.$$
Решение уравнения
При решении irrationalных уравнений не следует торопиться возводить в квадрат, стоит посмотреть — нельзя ли его выделить?
Пример 4 (КПИ, 1979). Решить уравнение:
$$\sqrt{x-2} + \sqrt{2x-5} + \sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}} = 7\sqrt{2}.$$
Решение:
Имеем
$$\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2x-5} + 2\sqrt{2x-5} + 1) + \sqrt{2x-5} + 6\sqrt{2x-5} + 9) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{(\sqrt{2x-5}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt{2x-5}+3)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\sqrt{2x-5}+1| + |\sqrt{2x-5}+3|).$$
Итак, заданное уравнение эквивалентно уравнению
$$\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2x-5} + 1 + \sqrt{2x-5} + 3) = 7\sqrt{2}$$
или $2\sqrt{2x-5} = 10$, откуда $x = 15$.
Пример 5 (КГУ, экон. фак. 1978). Решить уравнение:
$(\sqrt{4+2\sqrt{3}} - \sqrt{4-2\sqrt{3}})^{2x} + 2^{2x+3} = 144.$
Решение:
Имеем
$$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3+2\sqrt{3}} + 1 = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1;$$
аналогично $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1$. Поэтому заданное уравнение примет вид
$$4^x + 8\cdot 4^x = 144, x = 2.$$
Пример 6 (МГУ, 1978, филфак). Число $\alpha$ подобрано так, что уравнение $\sqrt{x-\sqrt{3}} + \alpha^2 x^2 + 2\alpha x(\sqrt{6}-\sqrt{3}) = 6\sqrt{2}-9$ имеет решение. Найти решение.
Решение: Обозначим $x_1$ корень уравнения. Тогда $x_1 \neq 0$ и $\sqrt{x_1-\sqrt{3}} + \alpha^2 x_1^2 + 2\alpha x_1(\sqrt{6}-\sqrt{3}) - 6\sqrt{2}+9 = 0$, или
$$\alpha^2 + 2\alpha \left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{x_1}\right) + \frac{\sqrt{x_1-\sqrt{3}} + 9 - 6\sqrt{2}}{x_1^2} = 0.$$
Выделим полный квадрат относительно чисел $x_1$ и $\alpha$. Имеем
$$\left(\alpha + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{x_1}\right)^2 + \frac{\sqrt{x_1-\sqrt{3}}}{x_1^2} = 0.$$
Так как каждое слагаемое не отрицательно, то $x_1 = \sqrt{3}$, при этом $\alpha = 1 - \sqrt{2}$.
Пример 7. Решить уравнение $\sin^2 x + \sin^2 y = \sin x \sin y + \sin x \sin y - 1.$
Решение: Данное уравнение эквивалентно такому:
$(\sin^2 x - 2 \sin x + 1) + (\sin^2 y - 2 \sin y + 1) + (\sin^2 x + \sin^2 y - 2 \sin x \sin y) = 0$, или $(\sin x - 1)^2 + (\sin y - 1)^2 + (\sin x - \sin y)^2 = 0$, откуда $x = \sin y = 1$, $x = \sin y$. Таким образом, решение уравнения будет любая пара вида
$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, k, n \in Z.$$
Упражнения

1. (МГУ, 1979, экон. фак.) Решить уравнение: $\log_{3x+7}(9+12x+4x^2) + \log_{2x+3}\times(6x^2+23x+21) = 4.$
2. (КГУ, 1978, химфак.) Решить уравнение: $(\sqrt{6+2\sqrt{5}} - \sqrt{6-2\sqrt{5}})^{2x} + 2^{2(x+1)} = 320.$
3. (МГУ, 1965, механит) Найти все пары чисел, которые удовлетворяют уравнению
   $$\cos x + \cos y - \cos(x+y) = \frac{3}{2}.$$
4. (КГУ, 1973, механит) Решить неравенство $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}} - \sqrt{x-4\sqrt{x-4}} \geq 3.$
5. (МГУ, 1982, биофак) Найти наиболее и наиболее значения функции
   $$y(x) = x + \sqrt{(x^2+6x+9)(x^2+2x+1)}$$
   на отрезке $[-4; -\frac{5}{4}].$

И. А. Кушинр

28

9 класс

6. Сколько существует различных видов треугольников с величины углов $\frac{360^\circ}{k}, \frac{360^\circ}{l}, \frac{360^\circ}{m}$, где $k, l, m$ — натуральные числа?

7. Внутри данного угла с вершиной $A$ дана точка $P$. Построите прямой угол с вершиной в точке $P$ так, чтобы треугольники $APE$ и $APF$ были равновеллики ($E$ и $F$ — точки пересечения сторон прямого угла со сторонами данного).

8. Длины медиан треугольника $ABC$ равны $m_a, m_b$ и $m_c$. Найдите стороны и углы треугольника $ABC$.

9. При каких значениях $x$ существуют числа $y$ и $z$, удовлетворяющие системе
   $$\begin{cases} \frac{x}{y} = x - z, \\ \frac{x}{z} = x - y. \end{cases}$$

10. Найдите сумму
    a) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)$;
    b) $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)(n+2)$;
    b) $1 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 4 \cdot 6 + 3 \cdot 5 \cdot 7 + \dots + n(n+2)(n+4)$.

11. На сторонах данного треугольника, как на диаметрах, построены окружности. Длины отрезков общих касательных этих окружностей равны $k, l, m$. Найдите перimetр треугольника.

12. Четыре равносторонних треугольника сделаны боковыми граями правильной четырехугольной прямыми. Найдите отношение объема этой прямиды к объему тетраэдра, составленного из тех же четырех треугольников.

13. В данной треугольник впишите шестиугольник так, чтобы противоположные стороны шестиугольника были равны и параллельны, три из этих сторон лежали на сторонах треугольника, а диагонали пересекались в заданной точке внутри треугольника.

14. Два путешественника садятся на поезда, идущие по одному и тому же замкнутому маршруту в противоположных направлениях и отправляющихся одновременно. Поезда отходят от станции отправления каждой 15 минут в обихах направлениях. Поезда, идущий на восток, возврашает через 3 часа, поезда, идущий на запад, — через 2 часа. а) Сколько поездов встретил в пути каждой из путешественников? 6) Сколько поездов встретил какому из путешественников, если они научут считать встречные поезда с момента встречи их поездов?

15. Докажите, что если $a$ и $b$ взаимно-простые числа, то при некоторых натуральном $n \leqslant b$ число $a^n - 1$ делится на $b$.

Публикацию подготовил А. А. Егоров

Традиционный осенний праздник юных математиков
(Начало см. на с. 8)

No даже эта погода не могла рассеять теные группы ребят, толпившихся по утрам в дни конференции перед классами, где проходила конференция. Доклады читались одновременно в трех секциях — это было вызван и их обилием, и их разнообразием по уровню и тематике.

Пожалуйста, с наиболеешим внимание слушатели относялись к докладам ребят о своих собственных решениях интерсных трудных задач. Например, Денис Косыгин (ФМШ при МГУ) доказал, что сумма цифр чисел последовательности $2^n$ (и $5^n$) стремится к бесконечности, Елена Шашкова (ПТУ № 13, Ленинград) решала геометрическую задачу об оценке ширины двери и коридора, позволяющей протащить боком стол заданных размеров, а Николай Григорьев (с. ш. № 57, Москва) рассказал о замошении фигур отрезками. Некоторые участники конференции познакомили со своим достижениемми в области математики, существенно выходящими за рамки школьного курса,— разумется, при этом им приходилось ограничивать постановкой задачи и объясненем результата. Среди таких

научных сообщений наиболее интересные были посвящены алгебре (так, Олег Матвеев из Свердловска рассказал об оценке числа корней многочленов от матрицы, Алексей Родин из ФМШ при МГУ — о формуле для вычисления определителя); понвилися жюри и доклад Бориса Музикантского (с. ш. № 57, Москва) о некоторых задачах математической логики.

Все больше число школьников с увлечением знамется программированием; ряд докладов в Батуми был связан с вычислительными экспериментами (работы свerdловчан), с алгоритмами, в разработке которых принимали участие докладчики (несколько интересных докладов об этом представили члены клуба юных программистов «ЮТА» из Таллина, в частиности, они изучали модели коллецевого и встречного знакомства или, например, книгообмена).

Накануне торжественное закрытие праздника составляя традиционный вечер друзья — пожауля, самый символический пункт программы. Разbezжались ребята, обогащенные не только приятными восполняющими и новыми знаниями, но и новыми друзьями из разных городов. А самые прочные друзкие связи установили, наверное, «специальны по знакомствам и обмена» из Таллина; на зимних канкихах у них гости рецепта из ФМШ при МГУ.

Н. Б. Васильев, В. Н. Дубровский

29

Задание

1. Можно ли в 400-значном числе 84198419…8419 вычеркнуть несколько цифр в начале и в конце так, чтобы сумма оставшихся цифр равная 1984?

2. Расставьте в клетки таблицы 4×4 числа, не равные 0, так, чтобы сумма чисел в углах каждой квадрата 2×2, 3×3 и 4×4 клетки была равна 0.

3. В ряду выписаны числа 1 2…100. Двое играющих по очереди всталют между ними знаки +, — и × (очередной знак можно ставить на любое свободное место). Докажите, что игрок, делаюший первый (а значит, и последний) ход, может добиться, чтобы окончательный результат был нечетным числом.

4. 175 Шалтаев стоит дороге, чем 125 Болтаев, но дешевле, чем 126 Болтаев. Докажите, что на покупку 3 Шалтаев и 1 Болтая рублей не хватит, если каждой Шалтей и каждой Болтей стоит целое число копеек.

5. Звенья AB и CD шарнирного четырехугольника ABCD пересекаются в точке O; при этом AB=CD и BC=AD. Докажите, что AO=CO и BO=DO.

Эти задания предлагались в 5—7 классах наибольной 50-й ленинградской олимпиде. Их авторы: А. Г. Гольдберг, С. Л. Генкин, С. В. Фомин.

30

Закон Архимеда

Доктор технических наук
А. Л. СТАСЕНКО

…фурвин (мешок) сделал, как мяч больший, надул дымом по-zанным и вонючим, от него сделал петлю, сел в нее, и нец-stая сила подняла его выше беззы…
(рассказ о полете подъячего Крякутного в Рязани в 1731 году)

Возьмите кубик из дерева или пласт-mассы, который может быть, остался от древних времен детского сада. Подержите его в воздухе где-то между полом и потолком и отпустите. Кубик упадет на пол. Почему? Понятно: его притягивает Земля с силой, которое называют силой тяжесте.

Теперь, засучив рукава, помещите этот кубик в ванну, наполненную водой, где-то между дном и поверхностью воды и отпустите. Кубик всплывет. Почему? Разве сила прияжения Земли не действует на него через воду? Не может быть: ведь утог или ган-tель опускается на дно!

Значит, действует еще какая-то сила, направленная вверх, — выталкивающая сила. В случае кубика она «пере-барывает» силу тяжесте, в случае ган-tели ее не хватает, чтобы заставить ган-tель двигаться вверх.

Как бы узнать, чем равна эта вы-tалкивающая сила? Обратимся к рисунку 1 и посмотрим, какое действие оказывает вода на опущенный в нее кубик. На все грани кубика действуют силы давления воды. Но, как известно, давление в жидкости на раз-ной глубине разное — оно тем больше, чем больше глубина погружения. Значит, силы давления, действующие на верхнюю и нижнюю грани кубика, различны. Нетрудно догадаться, что сила, действующая на нижнюю границу, больше. Посмотрим, на сколько больше.

На верхнюю грань действует сила давления, направленная вниз и равна

$$F \downarrow = \varrho_* g y^2.$$

Сила, действующая со стороны воды на нижнюю границу, направленной вверх и равна

$$F = F \uparrow - F \downarrow = \varrho_* g (y + a) a^2 - \varrho_* g y^2 = \varrho_* g a^3.$$

Это и есть вытalkивающая сила. Но $\varrho_* g a^3$ — это вес воды, которое больше бы налить в наш кубик, если бы он был полым, то есть это вес воды в объеме кубика. Теперь понятно: если вытalkивающая сила больше силы тяжесте, которая «тянет» тело вниз, — тело всплывет; если эта сила меньше