Квант 1984, №11 · Страницы

КВАНТ
11
1984

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

ХVIII Всесоюзная олимпиада школьников по математике и физике
(Aшхабад, Ереван, апрель 1984 г.).

1

В НОМЕРЕ:

2 Д. Г. Крутоцин, Л. М. Летюк, А. Т. Морценко. Магнитная память ЭВМ
10 С. Г. Гиндикин. Высокой геометрии начала…
D. G. Krutogin, L. M. Letyuk, A. T. Morchenko. Magnetic computer memory
S. G. Gindikin. Thus “high geometry” began…

Новости научки
9 Гало и лед
Science news
Halo and ice

Лаборатория «Кванта»
19 А. А. Лапидес. Несолько опытов с объектным
Kvant’s lab
A. A. Lapides. A few experiments with camera lenses

Наш календарь
23 Спектральный анализ
Our calendar
Spectral analysis

Школа в «Кванте»
24 Физика 8, 9, 10
29 Математика, 8, 9, 10
32 Избранные школьные задачи
Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Mathematics 8, 9, 10
Selected school problems

«Квант» для младших школьников
33 Задачи
34 Задча в картинах
Kvant for younger school children
Problems
A problem in pictures

Задачник «Кванта»
35 Задачи M891 — M895; Ф903 — Ф907
38 Решения задач M876 — M878, M880; Ф887 — Ф889
Kvant’s problems
Problems M891 — M895; P903 — P907
Solutions M876 — M878, M880; P887 — P889

Олимпiadы
45 Л. П. Купцов, С. В. Резниченко,
А. Б. Сосинский. XVIII Весоюзная олимпiadа по математике
49 Ю. А. Самарский, Л. В. Чернова.
XVIII Весоюзная олимпiadа по физике
52 В. А. Орлов, А. Г. Ростомян.
Экспериментальный тур олимпiadы по физике
56 Призеры XVIII Весоюзной олимпiadы школьников
Olympiads
L. P. Kyptsov, S. V. Reznichenko,
A. B. Sossinsky. XVIIIth All-Union mathematics olympiad
Yu. A. Samarski, L. V. Chernova.
XVIIIth All-Union physics olympiad
V. A. Orlov, A. G. Rostomian. Experimental stage of the Physics olympiad
Prizewinners of the All-Union school olympiad

Ответы, указания, решения
58 Смесь (9, 43, 44, 57)
Шахматная страница
Этиды Каспаряна
(3-я с. обложки)
Answers, hints, solutions
Miscellaneoes (9, 43, 44, 57)
The chess page
Kasparian’s etudes
(3rd cover page)

Фотоография, приведенная на первой странице обложки, получена в ясный морозный явварский день. Яркая светящаяся дуга на фоне неба — это солнечное зало. Об этом красивом природном явлении можно прочитать в статье «Гало и лед».

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1984

2

Магнитная память ЭВМ

Кандидат технических наук Д. Г. КРУТОГИН, доктор технических наук Л. М. ЛЕТЮК, А. Т. МОРЧЕНКО

Наше время — начало эпохи ЭВМ. Зародившись около сорока лет назад, племя компьютеров быстро набрало силы, широко внедрилось в самые различные сферы человекаской деятельности, от кассовых аппаратов до расчетов космических трасс. Микроэлектроника в последние годы позволила так резко снить размеры ЭВМ и повышить их надежность, что взгляд на ЭВМ как на экзотическую российскую стал уходить в области предания.

Цель и необходимость применения ЭВМ — освобождение человекаского мозга от рутиных мыслительных операций. Компьютеркое в чем заменяет мозг, но методы работы у них существуютно различны. Особенность строения и функционирования современных ЭВМ в том, что самые сложные задачи в них расчленяются на последовательность простейших арифметических операций. Зато скорость выполнения отромна — арифметические устройства ЭВМ, которые называются процессорами, совершают миллионы операций в секунду. И промежуточные, и окончательные результаты расчетов на некоторое время нужно запомнить, как заполняем мыфру «в уме» при умножении в столбик. Поэтому любая ЭВМ, и самая большая, и микрокалькулятор, имеет собственную память, точнее говоря — заполняющие устройства.

В заполняющих устройств (3У) хранится всё, что нужно ЭВМ для вычисления. Чем больше должа знать и помнить ЭВМ, тем больше объем ее 3У, и тем больше масса машин и ее цена. Память составляет бóльшую часть объема и стоимость ЭВМ (до 60—80 %). К тому же больше память подобна большой библиотеке, в которой время поиска и доставки требуемой книги иногда превышает время пользования его.

4

тельно нужна пересивность памяты, то есть способность к быстрой замене информации (перезаписи). Наконец, если эти требования выполнены, хорошо имеет системы, не требующие больших затрат энергии на управление, обладающие высокой надежность и т. д.

Вообще говоря, запоминающие устройства можно построить на различных принципах: механическом, акустическом, электронном, магнитном, оптическом. Но… Механические ЗУ неSTRAВВАЮТ нас по быстродействию, хотя изобретатель конторских счетов — простейшего запоминающего устройства — мы должны выразить признаательность за первое техническое выполнение порзряного принципа хранения информации, создание пересивной среды для записи и т. д. Довольно высокой емкостью, надежностью, помещающейшенноство обладают граммофонные пластинки. Но для ЗУ ЭВМ пластинки не очень удобны: нет нужного быстроествия и совсем плохо с пересивностью памяты.

Давно известен магнитный метод записи электрических сигналов. Он основан на свойстве неокоторых материалов «запоминаать» магнитное поле, в котором они pobывали. Наверное, многим из вас приходилось намагничивать гвозди, иголки, ножницы и т. п., поднося их к постоянному магниту. И вы, возможно, обращали внимание, что ножницы после этого сами становятся хорошо железную мелочь; намагниченная илка может служить стрелкой компаса; а гвозди, если их отнести от магнита, быстро теряют свои магнитные свойства. Не все магнитные материалы обладают способностью «запоминаать» магнитное поле; но один из них — минерал магнетит, представляющий собой сложный оксид железа, известен людям большие тысячи лет и послужил первым материалом для компасов.

Особенно хорошо намагничиваются мелкие илкаобразные частицы — побивав в магнитном поле, они могут заполнить и его индукцию, и его направление. Если такую намагничную часть проектируется mismo замкнутого проводящего витка, в нем возникнет индукционный ток.

На этом свойстве магнитных материалов основана работа магнитногона. Носителем магнитных частицы служит пластмассовая лента, на которой в тонком слое лака закреплены иглообразные частицы магнитного порошка (длина частиц порядка микрона, диаметр — порядка десятой доли микрона). Вместо проводящего витка используется маленький электромагнит — головка записи и воспроизведение: по нашему желанию он либо намагничивает частицы порошка (запись), либо сам намагничивает полем прохождения mismo намагниченной частицы, и в его обмотке возникает ток, повторяющий по форме ранее записанный сигнал (воспроизведение).

Magнитофон появился на свет почти одновременно с телефоном — около стает назад. Но обеспечить хорошее качество записи удалось лишь в сороковых годах нашего века.

В вычислительных машинах магнитофон сразу нашеел себе место. Каждая порошинка может несгибать 1 бит информации: намагниченной поршинке можно приписать значение 1, не намагниченной — 0. Понятно, что емкость и быстроествие такого устройства памяти зависит от длины ленты и скорости протяжения.

Переделака магнитофона позволяет быстроествие записи. Вместо магнитной ленты сигналы записьают на диске, покрытом магнитным лаком. Диск, диаметр которого около 0,5 м, врашается со скоростью 100 оборотов в секунду. Головка записи-считывания и поверхность диска не сопроваются (иначе при таких скорях они в результате треня сильно разогревались бы и быстро изнашивались). Головка парит над диском на расстоянии всего 2—5 мкм. Для качественного передачи сигнала важно, чтобы расстояние это было постоянно, поэтому диск не должен иметь заметных биней. Дисковый магнитофон любит чистый воздух — попадание в двухмикронный зазор трехмикронной пылинки, которое и глазом-то не увидишь, вызывает последствия, эквивалентные по значительности попадания крупного бульжника под бещею мчашйся автоматically.

С помощью дисков магнитофонов можно удовлетворить потребности буферных ЗУ по емкости и быстроествие.

Ферритовое колечко — элемент памятки

В оперативных ЗУ основными элементами памяти долгое времени были

5

матничные колыца. Такие колыца, сделанные из железонилевого сплава или ферритов (неметаллических магнитных материалов), обладают свойством находиться в течение длительного времени в состоянии остаточной намагниченности. При этом индукция магнитного поля в материалов колыца по направлению совпадает с индукцией внешнего поля, в котором колыцо намагничилась, а по величине близка к ней.

Представим себе, что мы намагнитили колыцо, пропустив по намагнитному на него проводу импульс тока, а по обмотке второго колыца пропустили импульс тока в противоположном направлении (рисунок 1, а). Тогда векторы индукции магнитных полей, возникших в колыцах при намагничивании, будут направлены в противоположные стороны. Оdnому состояние значения 1, а другому — 0. Поддамим теперь на оба колыца одинаковые по полярности импульсы тока. Однако (верхнее на рисунке 1, б) перемагнитится — за короткое время направление индукции магнитного поля в колыце изменится на противоположное. Изменение индукции означает изменение магнитного потока, произвольно любое сечение колыца. Следовательно, в намагничной на колыцо вторичной обмотке — обмотке считывания — при перемагничивании возникнет ЭДС индукции. Если вторичная обмотка замкнута, по ней протечет импульс тока — импульс «считанной» единиц们. Таким образом, мы прочитали число, записанное в первом колыце, и стерли его, то есть разрушили информацию. А что же второе колыцо? Оно не перемагничивается, так как уже было ранее намагничено с заданным направлением вектора индукции. Отсутствие импульса от второго колыца — это тоже информацию, но о числе 0. Таким образом, каждое колыцо — это элементарное заполнение устройства emкостью в 1 бит.

Магнитная память на колыцевых сердечниках работает довольно быстро — время перемагничивания колес составляет доли микросекунд. Емкость памяти зависит от числа колес. Для оперативного ЗУ на 1 метабит требуется не менее миллиона колес, а в некоторых случаях и более двух миллионов. Следать такое количество колес можно, процессы эти автоматизированы. Далее нужно каждое колыцо испыть, потому что если одно из миллиона колес «врет» — все системы грош цена. Был созданы машины, испытывшие до 5 тысяч колес в час, но и это еще не главная трудность.

Магнитные колыца надо сначала обмотками записи и считывания, а затем организовать в некотором системе, чтобы иметь возможность определить, какому именно колыцу соответствует данной бит информации. Миллион колес с двумя обмотками — это два миллиона проводов и четыре миллиона контактов. Избавиться от этого изобилия помогает матричная система построения ЗУ. Нанжем десяток колес на один провод, который наоземен числовым (рисунок 2). Теперь все колыца можно намагничить одним импульсом, и во всех колыцах запишется 0. Через каждое колыцо пропустим провод перепendlukулярно числовому; эти десять проводов наоземен разрядными. Конструцию, который мы получили, называют числовой линейкой. Чтобы записать в ней двойное число 1110001101 (что это за число

6

в десятичной системе?), пошелем по числовому проводу импульс, равный по величины половине перемагничивающего значения тока, а другой такой же импульс одновременно пошел в разрядные провода колцит 1, 2, 3, 7, 8 и 10. Там, где импульсы сложятся, колца перемагнитятся; в колцах 4, 5, 6 и 9 этого не производет. «Считать» все число можно, пропустив большой «отрицательный» (перемагничивающий) импульс по числовому проводу. Но для того чтобы получить и образовать сигнал считывания, нужно еще один провод в каждом разряде — обмотка считывания. Итак, на десять колцит числовой линейки мы имеем двадцать один провод. На десять числовых линейки, то есть на десять десятирарядных чисел, нужно десять числовых проводов. (разрядные и считывающие будут прежними) — итого — 31 провод и т. д. То же, конечно, немало, но все-tаки для создания метабитового 3У можно ограничиться несколькими сотнями проводов. Сложнее другое.

Пусть колечко (далеко не самое маленькое) имеет наружный диаметр 0,6 мм, внутренний — 0,35 мм. Теперь через каждое колцито необходимо в разных направлениях протянуть минимум три провода диаметром 0,05 мм и повторить эту операцию более миллиона раз. Такая работа сродни шитью бисером (она и называется прошивкой). Толком автоматизировать ее, увы, не удалось, а ручной труднеечайно заменял производство и удорожал собираемые устройства.

Первые образцы 3У на магнитных колцах даже необходимо емкости представляли собой кубы памяты в букваном смысле слова — они имели объем около 1 м³. По вполне понятным причнам стремятся уменьшить газариты запоминающих устройств. К настоящему времени удалось уменьшить нарушенный диаметр изготовляемых колцц до 0,25 мм. Можно представить себе, насколько условияется при этом задача их прошивки. Казалось бы, трудности дальнейшего уменьшения размеров колцевых сердечников непредодолимы, и продолжавшееся двадцать лет господство магнитных ОЗУ заканчивается; тем более, что благодаря успехам микроэлектронки полупроводниковые ОЗУ стали эффективнее магнитных, то есть компактнее и дешевле.

В этом месте следует перевать рассказ об истории магнитной записи и представить электронные ячейки памяти. Давно известно, что из двух триодов можно собрать схему, которая «работает» в двух режимах: при одном направлении тока работает один триод, а второй оказывается запертым, а при другом направлении тока триоды меняются ролими. В одном режиме работы системе можно приписать значение 0, в другом — 1. Такая система называется триггером. У самых первых ЭВМ как раз триггеры (тысячи триггеров) и выполнили функции оперативной памяти; но они не выдержали конкуренции с более компактной, почти не выделяющей телла, надежной, потребляющей мало энергии магнитной памяти.

Современные полупроводниковые микросхемы 3У, в основном, те же триггеры, только уменьшенные до микронных размеров. На пластине размером 5×5 мм, сделанной из полупроводникового кристалла, удаляется размеры запоминающей устройство emкостью в 200 000 бит; быстроествие таких 3У — порядка 10⁻⁸ с. Объективно отметим один весма существенный недостаток электронных ОЗУ: выключение питания стирает всю накоплен-

7

ную информацию. Во многих случаях этот недостаток терпим, но иногда, например в военной или космической технике, становится серьезным преятствием.

Бег магнитных пузырьков

Около пятнадцати лет назад появились первые модели экспериментальных 3У в интегральном исполнении, сочетание достоинств магнитной записи с эффективностью микрозлектронной технологии. Эти устройства, используемые магнитных доменов, получили название доменных 3У. Доменами называются malleе области (объемы) магнитного вещества (например, железа), каждый из которых самопроизвольно полностью намагничена. Векторы индукции магнитных полей отделены доменов в отсутствие внешнего магнитного поля направлены так, что в целом образец оказывается размагниченным.

Нанболее перспективным для создания доменных 3У оказалось применение так называемых цилиндрических магнитных доменов. Их историю следует начать с конца 50-х годов, когда в ряде магнитных материалов были обнаружены домены специфической формы, наполняющие воздушные пузырьки в плотницком уровне. Позмоту эти домены часто так и называют — магнитные пузырьки. Однако особый интерес к этим доменам стал проявлять только после того, как в октября 1967 года появился статя американского физика Эндрю Бобека, в котором он впервые указал на заманчивые перспективы их использования для создания устройства хранения и переработки информации. (Причемательно, что сам Бобек не является специализатом в области физики магнитных явлений, а занимается вычислительной техникой.)

Magнитные пузырьки могут возникать в тонких пластинках или пленках неоторых магнитных кристаллов. В исходном (размагниченном) состоянии доменная структура тонкого слоя таких кристаллов состоит из равного числа доменов с противоположными направлениями намагничности — векторы индукции магнитных полей отделных доменов перепределуярыны плоскости слоя и направлены в противоположные стороны.

На рисунке 3, а показана магнитная структура кристалла в размагничном состоянии, называемая лабиринтовой доменной структурой (симмок сделан под микросопом). Темные и светлые участки — домены различной поляности. А фотографии 3, 6—e сделаны в процессе намагничивания кристалла магнитным полем, индукция которого направлена в сторону наблюдается. При увеличении индекции внешнего поля домены с намагничностью, направленной по полю, растут, а против поля — наоборот сужаются. В некоторых интервале внешних полей остатки «невыгодно» намагниченных доменов стягиваются сначала в эллиптические, а затем и в круговые «пузырьки». Области кристалла, занимаемые магнитными пузырьками, в сочетании, перепедикулярном плоскости пленки или пластинны, имеют очередная «пузатых» цилиндриков. Поэтому домены называют еще цилиндрическими. Дальнейшее увеличение индекции внешнего поля приводит к уменьшению диаметра «пузырьков», и при некоторых критических значениях индекции $B_0$ «пузырьки» схлопываются, или, как говоря, ангигилируют, — цилиндрические магнитные домены (ЦМД) скачаком перемагничования до того же состояния, в котором превывает основная часть кристалла. Если же индукцию поля, приложенного к пластине, в которой уже имеются ЦМД, уменьшать, то при некоторых значениях поля начинает искажаться форма доменов — они становятся эллиптическими и затем превращаются

8

в обычные полосовые домены лабиринной структуры.

Итак, цилиндрические домены можно зарождаать (генерировать), воздействуя на образец импульсным магнитным полем, которое возникает, например, при пропускании по витку импульса тока. Пропуская импульс образной полярности, ЦМД можно уничтожить. Наличие или отсутствие в данной точке магнитной пластины цилиндрического домена эквивалентно 1 или 0 информации в этой точке.

Цилиндрические домены обладают еще одним замечательным свойством — их можно перемешать по пластине. Движется они довольно быстро, подчас быстрое реактивного самолета, со скоростью до 500 м/с. Удобнее всего перемешать ЦМД магнитным полем, вектор индукции которого лежит в плоскости пластины. Чтобы придать их движению организованный, направленный характер, в пластине формирует специальные магнитные коридоры, в пределах которых только и могут двигаться домены. Запущенная в этот коридор последовательность ЦМД движения как единое целое, расстояния между соседними доменами при движении не изменяются. В отличие от магнитной ленты в этом случае информационная последовательность безит в неподвижной магнитной среде.

Если магнитную дорогу (коридор) замкнут в колюцо, получится аналогия с колютом магнитной ленты или дорогой дискового магнитногона, с той лишь разницей, что в ЦМД-колюце полностью отсутствует движущие части, а размеры всего колца составляют доли миллиметра.

Для полной аналогии разместим на колъевой ЦМД-дорожке (см. рис. 4) генератор доменов (он будет выполнять функцию записывающей головки), ангигилятор (унчтожитель) ЦМД (для страница записанной информации) и, наконец, какой-либо датчик, отмещющий электрическим сигналом прохождение mismo него каждой ЦМД. Датчик будет выполнять функцию считывающей головки магнитногона. Магнитное поле, вектор индукции котороговращается в плоскости пластины с большой скоростью (100÷400 кГц), обеспечит циркуляцию информации в колъевой дорогже. Когда это поле отключено, внешние постоянные магниты поддерживают все домены в устойчивом состоянии и прежнем порядке. Емкость одной дорогки может достигать сотни килобит; на пластине размером 10×20 мм можно разместить несколько десятиков или сотен дорогек.

Микросоппические размеры ЦМД (до 0,5 мкм и менее), их уникальные свойства позволяют изготовить приборы, обладающие большей информационной скоростью при малых размерах и низком потреблении энергии, сохраняющие записанные сведения даже при отключении питания. Замечательное еще и то, что почти все технологии производства запоминающих устройств, основанных на ЦМД, практические готова — это технологии полупроводниковых больших интервальных схем (БИС). Поэтому такие 3У развивались быстреми темпами, и сейчас существенно сердные микросхемы с плотностью памяти 10^7 бит/cm² и емкостью до 10^8 бит, занимающие объем менее литра, приемленные по цене и по затратам энергии на управление.

3У на ЦМД могут найти применение для устройства огромного размера во временах доступа к информации между оперативными 3У (на ферритовых сердечниках или полупроводниковых ИС) с высоким быстроествием (10^-8—10^-6 с) и внешними 3У большей емкости (на магнитных лентах и дисках) с относительной низким быстроествием (10^-3 с). Это позволяет повышить эффективность работы современных ЭВМ, поскольку на сегодня день около 80 % машинного времени затрачивается на обмен информацией между оперативной и внешней памятью. Кроме того, 3У на ЦМД вне конкуренции при работе в экстремальных условиях, например, в бортовой электриной аппаратуре космических корпей, в военной технике, где требуется повышенная надежность.

(Окончание см. на с. 18)

В 1684 году, в выходившем в Лейпциге журнале “Acta Eruditorum” («Труды ученых» или, как говоря сейчас, «Ученые записки»), появился семистраничная статья Готфрида Вильгельма Лейбница (1646—1716) «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат прейстствием ни дробные, ни irrationalные величины, и особый для этого род исчисления». Это была первая публикация по дифференциальному исчислению, хотя возникло оно лет за двадцать до этого, а первые шаги были сделаны на пятыдесят лет ранше — в самом начале XVII века. Однако статья Лейбница знаменовала важный этап в истории анализа бесконечного малых и 300-летие со дня ее появления — это естественный повод вспомнить о становлении этой великой математической теории.

Золотой век анализа

Аналіз бесконечного малых был создан в течение XVII века в результате коллективных усилий замечательной плейды математиков. Основными ориентирами были задача о касательной и задача о вычислении площадей кривойнейных фигур (задача о квадратуре), которые впоследствии привели соответствие к дифференциальному и интегральному исчислению. С проведением касательных, в свою очередь, связанных задачи об экстремумах (максимумах и минимумах), точках перегиба, выпуклости кривых. К квадратурам свойства вычисления разнообразных механических величины.

Становление анализа бесконечного малых было тесно переплетено с созданием новой механики. В начале века Галилей, исследуя свободное padение и движение тела, брошеного под углом к горизонту, одновременно решал первые аналитические задачи. Важнейший момент в создании анализа состоял в осознании взаимной обратности операций построения касательной и нахождения квадрата-

11

ратуры кривой, причем понято это было при помощи кинематических рассмотрений: нахождение скорости по пути сводится к построению касательной, а путь находится по скорости при помощи квадратуры.

К 60-м годам было решено большое число разнообразных задач, научились строить касательные к широким классам кривых, было сочитано много площадей. В этой градинозной работе принимали участке Кеплер, Кавальери, Декарт, Ферма, Паскаль, Гюйгенс и многое другое. Назрела необходимость систематизировать эти разрозненные результаты и превращать отдельные искусственные приемы в общие методы. Необходимо было превращать теорию бесконечного малых в исчисление — набор простых формальных, но широко действующих, решетов. Нужно было превращать теорию из искусства в ремесло. В таком виде ее не только можно было вывести из узкого круга посвященных, но и крупным математикам это позволило бы пройти без усилий часть пути и сконцентрировать усилия на более глубоких вопросах.

Эту работу, опираясь на достижения их великих предшествников, выполнили Ньюотон (1642—1727) и Лейбниц. «Бог сказал: да будет Ньюотон! и наступил свет» — так сказал в популяром двустиини А. Попа. Ньюотон создал свое исчисление в 1665—1667 годах во время своих «чумных каникул» в Вулсторпе, когда после окончания Кембриджского университета он оказался на своей ферме отрезанным из-за чумы от внешнего мира. Подробное сочинение Ньюотона, почти законченное к 1670—1671 годам, не нашло издателя и надолго осталось неизвестным. Лишь разрозненные сведения о нем распространялись среди математиков. Оdnовременно наблюдая неотorious спад в математике. Как пишет Н. Бурбаки, к 70-м годам «активными остаются только Ньюотон в Кембридже и Дж. Грегори, удивившийся в Абердине, к которым в скором времени со всем плом вновь посвященного присоединяется Лейбниц».

Лейбниц и его путь в математике

Всю свою жизнь Лейбниц был нацелен на глобальные проблемы, на всеобъемлющие теории. Его путь в математике был не стандартен — он отдал предпочтение методу вvek, когда более

ценили конкретные результаты. В жизни Лейбниц было много планов. Некоторые поражают своея градинозность. Новые заметы вытесяли стары, передко увлекательемся автору не хватало реализации. Почти ни одной из задуманных книг он не дописал до конца, а большинство оставил в самом начале (лишь несколько книг по философии постигла лучшая часть). Но как трудно сохранить реализм, когда замыслы далекого обгоняют век!

Уже с 13—14 лет Лейбниц мечтает о перспройке логики, о создании алфавита человекаских мыслей, в котором было бы записьать все мыслиные процессы. Постепенно зреет главная идея его жизни: создание «универсальной характеристики», «универсальной языка». «Универсальная математика является, так сказать, логкой воображения», она должна занять все, «что в области воображения поддержается точным определением». Язык должен быть защищен от записи неправильных мыслей: «химеры, которые не понимает даже тот, кто их создает, не смогут быть записьны его знаками». Онрезит о машине, которая будет доказывать теоремы, хочет превращать мышление в исчисление, аргументизировать его так, чтобы можно было заменять рассуджения вычислениями и решать споры при помощи математических выкладок. Прижды присутствал Лейбниц к реализации своего градинозного, сильно опередившего время замысла, но оставился, пройдя лишь первыше шаги. Только в XX века многое из задуманного Лейбницем оказалось явью в рамках математической логики и современной вычислительной техники. Стало ясно, что его замыслы были не употребны, а произливны.

Лейбница интересует разнообразные применения математики и он верит в безграничные ее возможности. Он готовится стать юристом и в 18 лет пытается строить юридическую теорию с аксиомами и теоремими, думает о применении вероятностных сообщений в суточ производства. В 20 лет он отказывает от кафедры в Нюрбергском университе, его не привлекает способная академическая карьера. Планы Лейбница более естественно:

«Я давно в душе лейелл другое» и далее «Я считал недостойным молодого человека сидеть, точно приплённый к месту; дух мой горел желанием стяжать большую научную служу и посмотреть на свет».

12

Лейбницц принимает приглашение герцога Иоганна Филиппа и переезжает в Майнц. Он хочет воспользоваться ситуацией и, пусть в рамках довольного скромного государства, создает совершенный свой закон. Постепенно его планы становятся все более широкими и одновременно … менее реалистическими. Он задаумывает перестройку всей юридической науки, начинает три большие монографии. У него не мало интересных идеи, но скоро приходит очередь совершенного другого замысла.

Живший в это время в Майнце известный дипломат Бойнебург увлекает Лейбницца градинозными планами изменить европейскую политику. Их замыслам тесно в провинциальном Майнце. Они берутся за предложение курфюрета Бранденбургского найти мотивировку для избрания на полский представленем немецкого князя. Лейбницц сочиняет блестиший неморадум, который, впрочем, не помог выиграть дело: правильная практическая дипломатия оказылась эффективнее политической памфлега. Следующий проект касался организации союза немецких государств против Франции. Он содержал немало оструемых ходов, но реализовать его не удалось. Наконец, третий градинозный замыслел: вовлечь Францию в войну с Турцией с тем, чтобы освободить ее влиние в Европе. Для реализации этого замыслла, в 1672 году Лейбницц едет в Париж. Единственным результатом было то, что Лейбницц по существу лишился поддержки курфюрета, который не очень занитресован в советике, который через его голову пытался перестраивать европейскую политику.

Оставшись не у дел, Лейбницц переключается на математике. Первоначально в планах Лейбницца математике предназначалась вспомогательная роль. В 1666 году он издал в Лейпиле «Диссертацию о комбинаторном искусстве», в котором он сообщает, что его не интересует открытие новых арифметических истин, математика должна помочь ему разработать «логику открытия». И в Майнце он находится для «математических доступов». В 1670 году он работает над конструкцией арифметической машины, интересуется машиной Паскала. Лейбницц приезз в Париж в 1672 г. свои математические результаты. Осенью 1672 года они были темообсудения с Гюйгенсом, который тогда работал в Париже. Речь шла о суммировании числового ряда $a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots$. При помощи подбора такой последовательности $b_1, b_2, b_3, \dots$, что $a_n = b_n - b_{n+1}$. Тогда $a_1 + \dots + a_n = b_1 - b_{n+1}$. Лейбницц рассматривает ряд примеров, когда его правило работать; под правило удачно подошел пример, предложенный Гюйгенсом

$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} + \dots \left( b_n = \frac{1}{n} \right).$$

Он оба не знали, однako, что этот прием не был нов, да и речь шла об очень частном вопросе. Лейбницц, тем не менее, был тогда высокого мнения о своих достижениях. Позднее он более трезво оценивал ситуацию:

«Когда я приехал в 1672 году в Париж, я был математиком-самоучкой, но опыт мой был не велик, мне не хватало терпения проятыдогу цель dokazательств… Я хотел плавать самостояльно, без учтеля… В этом высоком математическом невежстве я уделал внимание только истории и праву, видел в их изучении своего цель. Однако математика была для меня более приятным развлечением.»

«Смычий учащся из смертных»

В 1673 г. Лейбницц посетил Лондон в состав майнцской дипломатической миссии. Контакты с английскими математиками подействовали на него отрезвляюще. Он узнал, что его основные результаты не новы, а современная математика далек вперед. У Лейбницца оставался единственный путь войти в современную математку — начать все с начала. 27 лет — не самый подходящий возраст для старта в научу молодых, но Лейбницца это не смущает. Он имел все основания позднее назвать себя «смычим учащся из смертных» (письмо Я. Бернулли, 1703 г.).

С осени 1673 года начинаются «годы математического ученчества» Лейбницца, умело направляемые Гюйгенсом. Гюйгенс угадал в самоувереном «переростке» подлинный дар.

«…Гюйгенс, который, как я предполагаю, считал меня более способным, чем я был на самом деле, дал мне экземпляр только что изданого «Маятника». Для меня это было на самом или поводом для более глубоких математических занятий.»

Итак, все началось с великой книги «Маятниковые часы». Затем последовал изучение работ Сент-Винцента, Декарта, Слюза, Валлиса и, прежде всего, Паскала.

Лейбницц было бы не плохо читать и более классические тексты, но он торговится и пробирается «к геометрии понстину с черного хода». Появляются результаты, удивительные Гюйгенса, например, ряд вычисления числа:

$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots$$

Потом оказалось, что его знал Грегори. Гюйгенс расчитвал, что при помощи ряда можно получить квадратную кругга (а Грегори, напротив, расчитывавал таким способом dokazатель трансцендент-

13

ность π). Лейбниц занимается не только анализом. Он пытается найти формулу для решения общего алгебраического уравнения (именно общего, частные проблемы его мало интересут), анализирует формулу Карданов в комплексной области (удивляет Гюнгена соотношение $\sqrt{1+\sqrt{-3}} + \sqrt{1-\sqrt{-3}} = \sqrt{6}$), работает над циркулем, который позволяет бы находить корни любого уравнения, подобно тому как обычный циркуль позволяет находить корни квадратного.

Все же главные результаты связаны с бесконечно малыми. Лейбниц писал уже в 1673 году: «я заполил несколько сот страниц», но еще «не считал этот труд достойным быть изданным. Ибо мне наскучило заниматься мелочами, когда перед мной открылся Океан». Много теorem было получено в первый год «ученичества», но большество из них можно найти у Грегори или у учитель Ньютона Барру (1630—1677). Однако общее приемы позволяли получить все проще и единообразнее. Путь Лейбница был выбран: он строит исчисление бесконечно малых.

Характер его таланта, его предыдущий научный опыт как нельзя лучше отвечали этой цели. Он четко продумывает вопрос о классе функций, которые должны рассматривать в анализе (само слово «функция» впервые появляется у Лейбница в 1673 г.). Он решительно ответает идею ограничиться алгебраическим функциями («геометрическими кривыми» по Декарту) и считает, что необходимо рассматривать и трансцендентные функции (термин Лейбница, Декарт говорил о «механических кривых»).

Лейбниц, как никто до него, понимает важность удачной символьки, причем не только в математике. Исчисление бесконечно малых должно ему прекрасный повод для разработки символьки, которая не только упрощает пользование исчислением, но и по существу необходима для овладения им. В 1678 году Лейбниц писал своему коллеге Чирнгаузу:

«Следует заботиться о том, чтобы знаки были удобны для открытия. Это достигается в наиболее мере тогда, когда знаки коротко выражют и как бы отображают глубочайую природу вещи, и при этом удивительным образом сокращается работа мышления».

Лейбниц искал возможность ввести удобную символьку всюду. Стоп упомянуть, что к нему восходит метод решения систем линейных уравнений при помощи определителя, в связи с чем он писал Лопитало во Францию (1693 г.):

«Часте секрета анализа состоит в искусстве хорошо употреблять применемые знаки, и по этому малому образцу Вы видите, сударь, что Виет и Декарт еще не познали все его тайны».

Следует подчернуть, что в исчислении Ньютона не было развитой символьки. Ньютон сам писал, что «не дал своего метода в форме символов и не придерживался какого-либо их определенного вида». Вероятно, символька явлась решающей причиной, по которой мы пользовемся сегодня аналогом в варианте Лейбница.

Уже в 1674 году Лейбниц уверен, что «все учение о суммах и квадратах может быть сведено к анализу — вещеь, на котором нужно до сих пор не наделяся». К концу 1675 года в первом приближении исчисление построено. У Лейбница возникнет повод убедиться в его эффективности при решении задачи Дебона, который занимался Декарт, но не смог довести до конца:

«Еще в прошлом году я поставил перед собой вопрос, который можно ответить к труднейшим во всей геометрии, поскольку расстояние до сих пор методы здесь почти ничего не дает. Сегодняя я нашел его решение и я приведу его анализ» (11 ноября 1675 г.).

Речь идет о нахождения кривой с построенной подкастальной — отрезок между проекцией точки A на ось x и точкой пересечения касательной в точке A с осью x (рис. 1). К середине 1676 года дифференциальное и интегральное исчисление сложились окончательно. Он порядкается, что «благодаря этому исчислению все предстает очиами и в уме с восхитительной краткостью и ясною».

14

Лейбницц, как и Ньюотон, стремился создать мощный метод, не заботая на этой стадии о достаточно строгом обосновании исчисления. Еще на стадии ученчества Лейбницц казалось, что Грегори сликом увлекается «доказательством на античный лад». Для Лейбницца конкретные результаты, в первую очередь, рассматривались как возможная иллюстрацию его метода. Видимо здесь сказаюсь, что он никогда не умел легко делать выкладки и всегда завидовал вычислителем «из железа или меди». Позднее (1696 год, письмо Лопитало) он связыл это с тем, что одновременно занимался многими разными вещими:

«Моему уму, занятому другими предметами, не удается сосредоточиться в необходимой мере, из-за этого я ежеминуто спотыкаюсь, а когда я направаю внимание, у меня появляется непряятное ошушение какого-то жара». В 1699 году вычисления «становятся пригнее, когда их делились с кем-нибудь, а я не в состоянии долго заниматься вычислениями, если мне не помогают».

В 1675 году в Париже вместе с Лейбниццем работал его соответствник и коллега Цирнгауз (1651—1708), который занимался больше всего алгебраических уравненийми, но интересовал также и квадратурами. Умели вычислитель, он удачно дополил Лейбницца, но тогда все же не смог оценить ползу исчисления.

Ньюотон и Лейбницц

Лейбницц, разумеется, слышал, что Ньюотон владеет какими-то мощными методами и решает обсуждение с ним свой новый метод. Через посредничето Ольденбурга (секретаря Королевского общества) в 1676 году просходит обмен письмами. Лейбницц перечисляет задачи, которые он имеет решать, просит сообщить о методах Ньюотона, общеает расссказать о своем методе. Еще ранее Лейбницц писал Ольденбургу, что создание метода — «единистеная вешь», который он придает значение. Результаты Лейбницца не удивили Ньюотона. Он сразу заметил, что задача Дебона совпится к квадратуре гиперболи (логарифмам), а по поводу ряда для π заметил, что потребалось бы 1000 лет, чтобы сосчитать 20 десятичных знаков π. Очень скуто говорит Ньюотон о метода. Ясно лишь, что центряжестеки в его рассмотрении на степенных рядах. Ньюотон утверждает, что он в состоянии решить при их помощи любое дифференциальное уравнение. Основная часть информации закодирована в двух анграммах. Ньюотон расшифровал их много позднее. Это был старинный способ сохранения приоритет. Быть может, значение, которое Ньюотон приписывает степенным ряdem, помещало Лейбниццу осознать, что у Ньюотона имеется исчисление.

Лейбницц не согласен, что ряды решают все проблемы. Ему видится иная картина. Нало пытается создать решение дифференциальных уравнений к известным квадратурам. Важно разобраться, хватает ли элементарных функций и квадратур гиперболи и круга (логарифмческой и тригонометрических функций). Грегори приводил в пользу того, что для вычисления длин друг эллипса или гиперболи (будущее эллиптические интерралы) этих квадратур мало. Тогда надо «установить какие-то другие вычисленные основные функции» (в другом месте «выше трансцендентности в геометрии»), которые достаточно для решения дифференциальных уравнений. Ньюотона и эта постановка не заставят врасллов: он сообщает при каких α, β интеграл ∫x^α(1+x)^βdx свойства к известным квадратурам. Переписку приравал Ньюотон; кроме того в 1677 году умер Ольденбург, через которого она велась.

Вновь при двое

Да и жизнь Лейбницца решительно изменилась. От его парисккого периода остались лишь черновики и наброски статей. У него зреет план подготовки всебъемлющего труда «Математика бесконечного», но жизнь перемены решительно его от математики.

Нам не дано знать, опять-ли взыгало у Лейбницца политическое частюбнение или он не нашел возможность обеспечить себе жизнь занятыми наукой (возможно протестировать помещало ему получить место в парискской академии наук). Так или иначе с конца 1676 года он на службе у герцога Иоганна Фридриха в Ганновере. Онедет в Ганновер крупным путем, посещает Лондон, где видится со многими математками, но не встречает с Ньюотом, а в Голландии навсегда Спинозу.

15

Итак, Лейбниц смотл мосто лишь у второстепенного государя, да и то, поначалу, он лишь герцогский библиотекарь. Не самое завидное место для 30-летнего ученого и политика, еще не отказавшегося от частолюбных замыслов. Но Лейбниц полон энтузизма и мечтает о лучшей библиотеке в мире, пока реализно отпускаемые средства не охладили его. Он занимается и юридической деятельности, но его предпочтают загружать повседневными делами, к которым у него нет вкуса, а не к глобальным юридическим проблемам. Очень ограниченное допускают Лейбница к дипломатической деятельности. Так, ему поручается подготовить текст, мотивирующий право герцога участковать во франко-германских мириных переговорах. Иоганн Фридрих был каталогическим монархом в протестанском государстве, и Лейбниц хотел воспользоваться этим обстоятельством, чтобы осуществить еще одну свою заветную идею — обведить каталогическую и протестанскую религию.

В 1679 году на престоле новый герцог, Эрнст Август, при котором делали и丁ит хуже. Но Лейбниц полон проектов, спектр которых необычайно широк: усовершенствование классией, произвольства гвоздей, молотков, усовершенствование колес экипажей, удочек, рулей, кораблей, литераного произвольства, пожарного дела, реорганизация архивов, составление «Свода законов Эрнста-Августа» и т. д. Почти ни один проект не нашел поддержки.

В каждом проекте Лейбница была остроумная находка, но ему часто не хватало реализации. Успех наступал тогда, когда за доводку и брасля талантливый практик. Так было с паровой машиной: «…Лейбниц, рассыпая вокруг себя, как всегда, генциальные идеи без заботы о том, припшут ли заслугу открытия этих идеи ему или другим, — Лейбниц, как мы знаем теперь из переписки Папена (изданной Германом), подсказал ему при этом основную идею: применение цилиндра и поршня» (Энгельс) *).

Постоянная борьба за влияние при дворе надолго отвлекла Лейбница от математики. Новое обращение Лейбница к математике стимулировалось двумя обстоятельствами.

С 1682 года при его поддержке стали выходить «Учены записки» в Лейпице и Лейбниц предлагает публиковать там свои результаты. В 1683—1684 годаах в журнале публикаются статьи Цирнгауза о квадратурах, в которых Лейбниц обнаруживает следы своих недавних бесед с автором, без необходимости ссылок. Когда-то Лейбниц безспешно пытается убедить Цирнгауза в эффективности исчисления, теперь Цирнгауз напечатал сам некоторые результаты в этом направлении. Очень верятно, что Цирнгауз не помил, что первоонсточник его утверждений были высказывания Лейбница. Так бывают, что непонятные мысли пручются глубоко, а через некоторое время возникают как свои собственные.

В мае 1684 года Лейбниц напечатал статью с стороны критикой Цирнгауза (без приоритетных претензий и без указания полной фамилии своего коллеги), а в октября выходит его заменит статья, юбилей которого является поводом для наших обсуждения.

«Новый метод…» Лейбница

Попытаемся, опираясь на наши середняяшие сведения о дифференциальном исчислении, прочитать текст Лейбница и отнесемся соувственно к его современникам, которые статья осталась непонятной. Лишь математик масштаба Я. Бернулли (см. ниже) было по плецу домыслить то, что еще не прибрело форму, приспособленную для передачи другим.

«Допустим, что данные АХ и ряд кривых VV, WW, YY, ZZ и их перпендикулярные к оси ординаты VX, WX, YX, ZX, которые мы назовем соответствующим v, w, y, z; отсекаемый на оси отрезок AX назовем x.

Пусть VB, WC, YD, ZE будет касательные, пересекающие ось соответствующего в точках B, C, D, E (рис. 2). Изовем произвольное взгуто примую dx, а другой отрезок, относится к dx так, как v (или w, или y, или z) относится к XB (или XC, или XD, или XE) назовем dv (или dw, или dy, или dz) или же раз-

*) Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 431.

16

ность v (или w, или y, или z). Если установлен это, то правильна сущностьми.

Если a представляет собой постоянную величины, то da будет равно 0 и dx равно adx. Если y равно v (или же какая одинаковая кривой YY равна соответствующей ordinante кривой VV), то dy равно dv. Далее, Сложение и Вычитание: если z—y+w+x равно v, то d—z+y+w+x или dv равно dz—dy+dw+x. Умножение: dxv рав. xdv+vdx или, если положить y равно xv, то dy равно xdv+vdx. Можно по произвольу пользоваться либо формулой с xv, либо же, для краткости, одной буквой, как, например, y. Заметим, что в этом исчислении с x и dx обращаются так же, как и с y и dy или с какой-нибудь иной неопределенной буквой и ее дифференциальом. Заметим также, что обратный переход от дифференциального уравнения получается лишь при некоторых условиях; но об этом в других месте. Далее, Деление:

$$d\left(\frac{v}{y}\right) \text{ или же } \left(\text{ если положить } z \text{ равно } \frac{v}{y}\right)$$

dz равно $\frac{\pm vdy \mp ydv}{yy}$.

Здесь черта вверху заменяет скобки. Однакоременно рассматривается несколько функций v, w, y, z от независимой переменной x, хотя термин «функция» еще не вводится. Дифференциаль dy определяется из условия $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{l}$, где y — ordината, l — длина подкастнойной, dx — произвольно выбранный отрезок. Подчеркивается его «отчужение» от исходной функции и произволь (далее на рисунке он вынесен наружу). Казалось бы, его можно было положить равным 1 и тогда мы получили бы произвольную, но Лейбница это не устанавливает. Он подчеркивает, что можно произвольно менять выбор независимой переменной и ее дифференциальа, в одной фазе формулируя несомненно выстраданное им утверждение об «инварианности дифференциальа», то есть, в существии, правила дифференцирования сложной функции. У Ньютона независимая переменная была фиксирована (время). В дальнейших примерах Лейбниц демонстрирует, как полезно было положить произвольным в выборе x и dx.

Дальнейший текст статьи содержит довольно туманные рассуждения о выборе знаков dy. Затем рассматривается задача о нахождения максимумов и минимумов, обращение dy в бесконечность связьвается с перпендикулярностью касательной к оси AX. Без достаточно мотивировок рассматриется dy — «разности разностей» — и исследуется задачи о точках перегини-

ба, выпukлости и вогуностии. Дифференцируется функция $x^a$ для любого рационального α и этому придает большое значение (см. заглавие статьи), поскольку задачи, содержащие радикалы, до работы Лейбница предварительно сводили к целым показателям. На примере циклонды рассматривается задача о проведении касательных к трансцендентным кривым. Исследуется разнообразные задачи на касательные и экстремумы, в частности, выводится закон предложения и решается задача Дебона (см. выше). Очеень оптимизация предлагаемого исчисления: «To, что человек, сведший в этом исчисления, может получить прямо в трех строках, другие учёенные мужки приужедены были искать следуючи, обходными путями».

Matematika и «завоевание умов» государей

После публикации «Нового метода…» жизнь Лейбница в Ганновере продолжается без заметных изменений. По существу в это время Лейбница не занита.

NOVA METHODUS PRO MAXIMIS ET MINIMIS. ITEMQUE TAHENTIBUS, QUAE NEC FRACTAS NEC IRRATIONALES QUANTITATES MORATUR, ET SINGULARE PRO ILLIS CALCULI GENUS*.

Sit thg 111) axis AX, et curvae plures, ut VV, WW, YV, ZZ, quarum ordinata ad axem normales. YX, WX, YX, ZX, quae voceur respective v, w, y, et ipsa AX, abscissa ab aze, voceur x. Tangentes sint VB, WC, YD, ZE, axi occurrentes respective in punctis B, C, D, E. Jam recta aliqua pro arbitrio assumta voceur dx, et recta, quar sit ad dx, ut v (vel w, vel y, vel z) et ad XB (vel XC, vel XD, vel XE) voceur dv (vel dw, vel dy, vel dz) sive differentia ipsarum v (vel ipsarum w, vel y, vel z). His positis, calcul regular erunt tales.

Sit a quantitas data constans, erit da aequalis 0, et dax erit aequalis adx. Si sit y aequ. v (scu ordinate quaevis curvae YY aequalis quivis ordinate respondenti curvae YY) erit dy aequ. dv Jam Additio et Subtraction: si sit z — y + x aequ. v, erit dz — y + x scu dv aequ. dz — dy + dw + dx. Multiplication: dv aequ. xdv + vdx, scu posito y aequ. xv,iet dy aequ. xdv + vdx. In arbitrio enim est vel formulam, ut xv, vel compendio pro ea literam ut y, adhibere. Notandum, et x et dx codem modo in hoc calculo tractari, ut y et dy, vel aliam literam indeterminam cum sua differentiali. Notandum eriam, non dari semper regressum a differentiali Aequatione, nisi cum quadam cautione, de quo aibi. Portro Dipisio: d v vel (posito z aequ. v) dz aequ. ± vdy ± ydv.

Qnoad Signo hoc probe notandum, cum. in calculo pro litera substitutur simpliciter ejus differentialis, servari quidem eadem signa, et pro + z scribi + dz, pro — z scribi — dz, ut ex addi-

*) Act. Erud. Lips. an. 1684.

Первая страница статьи Лейбница «Новый метод…».

18

строенной много высокей геометрии, настанявот на издании моей «Науки о беконечном», содержащей основы много нового анализа…»

Последение годы жизни Лейбница были омрачены полемкой с Ньютомом о природите. Постепенно спор перерос в обвининие Лейбница в плагите. Намекали на то, что возможно он познакомился с рукописями Ньютона в Лондоне. Сегодня независимость открытия Лейбница представляется доказанной. В Лондоне не было достагоно подробного текста, в первый приезд Лейбниц не был готов восприять теорию Ньютона, не былоникого, кто понимал исчисление настоящего, чтобы передать его Лейбницу. Ко второму же визиту в Лондон Лейбниц уже владел своим исчислением. Вначале полемка проходила безучастия Ньютона и Лейбницца. Удивительно, что Ньютон, который всегдауходил от природетных споров, на этот раз энергично включился в полемнику. Верятно, Лейбницц очень задел его, ни разу не признав в нем творца нового исчисления (телеръ уже появились публикации). В Англии организовали подлинную травлю Лейбницца.

Все осложнили еще из-за того, что в 1714 году герцог становится королем Англии Георгом I. Лейбницц расчитывает переехать в Лондон, стать королевским исторографом, но ему вскорбительной форме отказывают даже в позедке на коронацию (заставляя завершать «Историю»). Сыграло свою роль и то, что король не хотел иметь в своей свите поверженного противника знаменного Ньютона. Умер Лейбници в 1716 году. Надпись на могильной плите весыла лаконина: «прах Лейбницца».

Возможно, научная карьера Лейбница сложилась бы иначе, если бы он смог найти себе просвещенного и сильного покровителя. На склоне лет, в 1711 году, Лейбницц познакомился с Петром I, на свадьбе царевча Алексея. Петр принял Лейбницца на русскую службу тайным советником юстиции, обсуждая с ним организацию Академии наук в Петербурге. Но планам Лейбницца, связанным с Петром I, как и многим другим его проектам, не судлено было сбытся. Лейбницц писал Петру I:

«Хотя мне часто приходилось действовать на политическом и юридическом поршхах, и знание князья иногда в этих вопросах пользоваться моими советами, я все-tаки предпочтал научки и искусства, так как они постояно содержувот славе господней и благоостоянию всего года человекаческого… научки и ремонса составляют настоящие сокровище человекаского рода, либо посредством их искусство превозмогает природу и цивилизованные народы отличия от варварских. Поэтому я с малолетства любил научки, знаниями и имена счастые… сделать разные и очень важные открытия, восхваленные в печати бесплатрастными и знаменитыми людьми. Я не находил только могущественного государя, который достагоно интересовался бы этим».

По-видимому с годами оценки Лейбницца сместились: он долго отдавал приоритет политике перед научкой, но жизнь жестоко научила его, как нелагодарно положение ученого во дворцах. И последующее поколения помят не столько неудачи Лейбницца на политическом поршше, сколько его научные достижения, сыграшие решаюшую роль в дальнейшем развития научки. К числу таких работ, несомненно, принадлежит работа 1684 года о дифференциальном исчислении.

Магнитная память ЭВМ

(Начало см. на с. 2)

Заканчивая рассказ о магнитной памяти вычислительных машин, отметим, что идеальное ЗУ пока еще не создано, мечта фантастов о магнитском кристалле, который все помнить и все знает, остается мечтой, но достагоно близкой к реализации. С точки зрения физики, дело упирается в подходящий материал, с точки зрения инженеров — требуется удобная технология и доступная цена.

Авторы понимают, что в короткой стать все охватить невозможно. Поэтому они хотят еще раз напомнить читателям, что явление магнетизма, известное с древности, и сегодня служит самой передовой научной мысли и супитlectящие перспективы. Его теоретические разработки далеки от завершения, а поиски новых магнитных материалов только развернуть. Магнитофизики и материалов ждут новых энтузинатов.

19

Несколько опытов с объектным

Кандидат физико-математических наук
А. А. ЛАПИДЕС

Наверное, каждому из вас приходилось иметь дело с биоклем или проекционным аппаратом, фото- или киноаппаратом, микросkopом или телесоколом. Основной элемент всех этих оптических прибора — объектив, позволяющий получить действительные изображения различных объектов.

Современные объективы очень сложны по своему устройству, но все они, как правило, представляют собой совокупность специально подобных линз. Так что линзу можно считать продолжительней сегодяших объектов.

В конце XVII века индерландский натуральist А. Левенгук, отшлифовав кусочек стекла, изготовил линзу, которая давала увеличение в 300 раз. С ее помощью Левенгук впервые удалось исследовать мир инфузорий и бактерии, наблюдать движение крови в капиллярах и многое другое, что невозможно было увидеть невооруженным глазом.

Законы геометрической оптики обеспечют способность линзы создавать изображение — световые лучи, испущенные какой-нибудь точкой объекта, преломляются в линзе так, что опять собираются в точку. Однако так происходит daleko не всегда. Любая одиночная линза обладает целым рядом недостатков.

Во-первых, лучи, испущенные светящейся точкой и душие под малыми углами к оптической оси линзы, собираются в одной точке (B), а лучи, душие под большими углами к оси, — в другой (B′) (рис. 1). Поэтому, если в плоскости, проходящей через изображение B, установить экран, вокруг точки B мы увидим светлое пятно. Его часто называют кругком рассеяния.

20

Во-вторых, из-за явления дисперсии линза преломляет свет разных длины (разных цветов) по-разному. А это значит, что лучи разных цветов собираются после преломления в разных точках и вместе одной яркой точки на экране наблюдается пятно, причем окрашенное.

Эти и другие погрешности линз приводят к тому, что изображения протяженных объектов оказываются искаженными, не вполне отчетливыми, порой окрашенными.

Характер искажения может изменяться в зависимости от различных причины. Но, во всяком случае, искажения тем больше, чем больше угол, образуемый с оптической осью лучами, идущими от объекта. Давайте убедимся в этом экспериментальном.

Опыт 1. Возьмите очки, расположите их на расстоянии 20—30 см от глаз и посмотрите на какой-нибудь предмет, например на страницу текста. Перемешая текст и очки относительно лица, добавьте такого положения, при которой вы видите текст увеличенным. Обратите внимание на то, что изображения букв вблизи краев искажены; в центре же искажения невелики (рис. 2). (Подумайте, почему те, кто носит очки, не замечают подобных искажений?)

Велики или малы искажения линзы? Как всегда в физике этот вопрос сам по себе бессмыслен. Необходимо иметь некоторый «эталон», с которым можно сравнивать величины искажений. В данном случае таким «эталоном» может быть размер наиболее мелкого характераного участка изображения. Если он много больше кружка рассеяния, то искажения линзы следует признать незначительными — наблюдаются их просто не заметит. Если же изображение такое, что размер его мелких элементов сравнимы с диаметром кружка рассеяния, то они будут казаться как бы смазанными, нечетками.

Можно ли исправить положение и уменьшить искажения изображения?

Оказывается, это можно сделать введением на пути лучей дополнительной линзы, искажения которой противоположны по знаку искажения данного линзы. Так, для линзы, изображенной на рисунке 1, роль «корректирующей» линзы будет играть рассеяния линза, которая сильнее противляет центральные лучи и слабее — перipherные (в этом легко убедиться, сделав соответствующий чертеж). В современных оптических приборах количество использемых с этой целью линzes может достигать 8—10 и даже больше. Получаемую при этом систему линzes и называют объектным. Он обладает основным свойством одиночной линзы — способностью создавать изображение, но дает существенное меншение искажения.

Ход лучей в объектные представлен на рисунке 3. Сравнивая рисунки 1 и 3, мы видим, что объектив собствен

21

практические все лучи в одну точку — размер кружка рассеяния объектава обычно составляет величины порядка 20 мкм. Однако, если экран смешен на величины $a$ от точки $B$, на нем образуется круг размер $a \times g$, где $a$ — угол, соответствующий крайним лучам, проходящим сквозь линзу. Зависимость размера этого круга от угла, а значит и от диаметра объектава, используется фотографиями для получения фотографией с большой глубиной резкости.

Наводка аппарата на резкость заключится в смесении объектава относительно пленки (которая в данной случае играет роль экрана на рисунке 3). Объектив устанавливают в такое положение, что изображение фотографируемого объекта оказывается расположенным точно в плоскости пленки. При этом, очевидно, изображения предметов, находящихся дальше от фотографируемого объекта, оказываются перед пленкой, а предметов, находящихся перед ним, — за пленкой. Отдельные малые элементы этих предметов создают на пленке освещенные кружки, диаметр которых пропорционален величины диффектава объектава. Поскольку качество фотографического изображения определяется еще и зернистостью пленки, то изображения предметов не будут ухудены по сравнению со случая точной наводки на резкость, если размер кружка рассеяния не превыходит радиуса зерна пленки. А этого можно добиться соответствующим подбором диаметра объектава. Вот почему при фотографировании сцен, содержащих далеко расположенные друг от друга (вдоль оптической оси) предметы, или, как говорят, имеющих большую глубину, необходимо уменьшать диффектава. Подтвердиим сказанное экспериментом.

Обыт 2. Возьмите фотоаппарат, лучше с зеркальным видомскателем (например, «Зенит»): Нарисуйте на белом листе несколько горизонтальных и вертикальных линей, закрепите лист на стене и осветите его настолько лампой.

С расстояния около 1 м наведите фотоаппарат на резкость при полностью открытии диффектава объектава, отдовиньте его от первого嗽ального положения на 20—30 см так, чтобы изображение стало нерезким, и зад�aфрагмуйте объектава. Глубина резкости при этом увеличится, и изображение опять станет четким.

Снова откройте диффектава до максимальной величины. Приложите к объективу экран из картона в виде щеллюлой примерно 3 см и шириной 2—3 мм. Если вы ориентируете щеллюлой горизонтальной, изображение горизонтальных линей становится резким, в то время как вертикальные линей остаются размытыми; если же щеллюл娥тикальная — резко будут видны вертикальные линей. Фотография, воспроизведенная на рисунке 4, илистрирует этот факт (слева изображен неискаженный объект, а справа — его вид через горизонтальную щеллюл).

Объяснить этот опыт можно так. Введение щеллюл изменяет форму пятна рассеяния — вместо круглого оно становится прямого лампом, причем длина сторона прямого лампом ориентирована

22

вина параллельно щели. Для линей, параллельных щели, глубина резкости оказывается большой (величину диффрамы для них определяет ширина щели), а для линей, перpendикулярных щели, — малой (величину диффрамы для них определяет длина щели).

Как мы уже говорили, если источник посылает свет во все стороны, размер кружка рассеяния на экране определяется диаметром диффрамы объектива. Если же источник испускает узкий пучок, изменения диффрамы роли не играют и диаметр кружка целиком определяется самим пучком.

Проведем опит, цель которого — исследовать зависимость резкости изображения от расходимости освещающего пучка. Нам понадобится объектов от фотоаппарата, два карманных фонарика и два цветных стеклышка, например красное и синее. Обращаться с объектом следует осторожно, чтобы не повредить поверхностей линз.

Обычное лист черной бумаги и бритвой прорежьте в нем тонкий крест. Установите этот лист перед объектом, а за объектом закрепите другой лист бумаги — экран. Овсеите крест карманным фонариком. Перемещая оба листа и объектив друг относительно друга вдоль оптической оси, добавьте такого положения, когда изображение креста на экране будет наиболее четким. Убедитесь, что изображение будет оставаться достаточно четким при перемещении экрана в некоторой области вдоль оптической оси.

Теперь направьте на крест свет от двух фонариков, совместив с одним из них красное стекляшко, а с другой — синее (рис. 5). Красные лучи, падающие под углом β, образуют красное изображение креста, а синее лучи, идущие под углом β, — синее изображение. Эти изображения накладывают друг на другу только при одном положении экрана (рис. 6, а). Смешения экрана вызывает смещение изображения в поперечном относительно оптической оси направления — появляется окрашенный контур изображения на экране (рис. 6, б). Но при этом как красное, так и синее изображения остаются четкими. Уберите цветные стеклшки — изображение креста становится беспроводным и менее четким.

Объяснение опита состоит в следующем. Как красное, так и синее изображения образованы узкими пучками. Поэтому диаметр кружка рассеяния на экране, создаваемого светом каждой точки, мал. За счет наклона пучка к оси центр кружка, а значит и каждое однозвечное изображение, смещается в сторону, но остается достаточно резким. Если убрать цветные стеклшки, то белый свет от двух фонариков как бы образует общий пучок с углом раскрытия 2β, который значительно превосходит углы раскрытия красного и синего пучков. Поэтому резко возрата радиус круга на экране — изображение становится менее четким.

Мы расссказали лишь о нескольких опитах с объектовом, которые интересно и полезно проведены. Разумеется, их число можно увеличить по своему усмотрению.

Поправка

В «Кванте» № 9 в заметеке «Гармонические колебания». Сложение колебаний в середине правой колонки на с. 23, там, где обсуждается первая крайный случай, вместе равенства

$$\cos(\phi_{02}-\phi_{01})=\cos(\phi_{2}-\phi_{1})=0$$

должно быть

$$\cos(\phi_{02}-\phi_{01})=\cos(\phi_{2}-\phi_{1})=1.$$

23

Спектральный анализ

В этом году исполянется 125 лет спектральному анализу, одному из важнейших физических методов исследования вещества.

В 1802 году английский ученый У. Х. Волластон (1766—1828) впервые заметил в солнечном спектре узкие темные линии, но не придал этому наблюдению особого значения. Гораздо более общирные и достоверные результаты получили в 1814—1815 годах немецкий оптик Я. Фраунгофер (1787—1826). Он показал, что спектр Солнца содержит множество темных линии (позже их стали называть фраунгоферовыми), а спектр пламени, куда была введена поваренная соль,—две яркие желтые линии. При этом он заметил также, что положения двух этих цветных линии точно совпадают с положениями двух темных линии (D-линий, по Фраунгоферу) солнечного

Спектры искусния и положения Солнца, натрия и водорода. Цифры на рисунке — это диапазоны волн (в нанометрах), соответствующие различным участкам видимой области спектра. Буквами обозначены наиболее интенсивные фраунгоферы линии.

Спектры искусния и положения Солнца, натрия и водорода. Цифры на рисунке — это диапазоны волн (в нанометрах), соответствующие различным участкам видимой области спектра. Буквами обозначены наиболее интенсивные фраунгоферы линии.

Такова вкратце предыстория спектрального анализа. Его же действительна история начинается с октября 1859 года, когда в трудах Берлинской Академии наук появился небольшая — всего две страницы — стать «О фраунгоферовых линяях». Статья была написана уже знаменитым в то время профессором физики Гейдельбергского университета Г. Кирхгофом (1824—1887), и речь в ней шла о спектральных исследованиях, которые он провел вместе с другими — не менее значениями — гейдельбергским профессором-химиком Р. Бунзеном (1811—1899).

Важнейший опыт состоит в следующем: перед разложением в спектр (с помощью признаемых солнечных лучи пропускали через пламя; в которое была введена поваренная соль. «В тех случаях, когда солнечный свет был достаточно ослаблен, писал Кирхгоф,— на месте темных D-линий появлялись две светлые линии; если же интенсивность солнечного света переступала известную границу, то обе темные D-линия обнаружились с гораиздо большей отчетливостью, чем при отсутствии пламя с поваренной солью». Кирхгоф сделал вывод: «Можно считать, что светлые линии в спектре пламя, совпадающие с D-линиями, всегда возникаютследствие присутствия в нем натрия; поэтому темные D-линия в солнечном спектре заставляют думать, что в атмосфере Солнца имеется натрий».

В нашей дни даже трудно представить, сколько сильное впечатление произел на современников этот выбор — впервые земная наука получила возможность определить химический состав далеких небесных тел. Сам же метод спектрального анализа, который с первых опытов представлялся гейдельбергским профессором учет ли не самоочувствим, был найдено проверен и со всей определностью установлен в последующих работах Кирхгофа и Бунзена.

Вот его основной принцип: каждому химическому элементу свойственно специфическое расположение спектральных линии, которые выглядают ярким и цветным, когда atoms этого элемента излучают свет, и темными — когда они свет поглощают.

Отромная плодотворность метода спектрального анализа вывелися незамеглительно. Уже в 1860 году Кирхгоф и Бунзен, зарегистировав неизвестный спектр, открыли новый элемент — цезий. В 1861 году они же открыли рубидий. Вскоре другими аналогичным образом были открыты талий и индий. Со временем открытие Кирхгофа и Бунзена превращалось в стандартный, универсальный и обладающий чрезвычайно высокой чувствительностью лабораторный метод качественного и количественного анализа вещества. Так, с его помощью можно обнаружить примеси, содержание которых составляет 10⁻⁶ % от основного материала.

Что касается природных спектров и причины удивительных закономерностей в расположении спектральных линии, то ответ на эти вопросы удалось получить только в первые десятилетия нашей века, когда возникла квантовая механика, теория, само создание которого было неразрывно с пробелем «расшифровки» спектров.

Б. Е. Явелов

24

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга заметка «Как «открыть» второй закон Ньютона?» предназначена восемиклассиком, «Газ превращается в жидкость» — девятиклассиком, «Уравнение волны» — десятиклассиком.
Материалы подготовил И. К. Белкин.

Как «открыть» второй закон Ньютона?

Ньютон в своей знаменитом труде «Математические начала натуральной физиофии» определяет силу следующими словами:

«Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения».
Другими словами, сила есть причина ускорения. Второй же закон движения Ньютон формулирует так:

«Изменение движения пропорционально приложенной движения силы и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует».
Слова «изменение движения», несомненно, означает изменение скорости движения, так как именно скорость — главная количественная характеристика движения, а направление вектора скорости и есть направление движения. Таким образом, второй закон Ньютона свойства к утверждению, что ускорение (которое непредставлено связано с изменением скорости) тела пропорционально приложенной кнему силу и направлено так же, как сила.

Но слово «пропорционально» предполагает, что сила может быть выражена численно. Между тем приведенное выше словесное определение силы не позволяет сопоставить силу как коэффициент число. Остается поэтому неясным, как именно Ньютон «узнал», что ускорение и сила связаны между собой так, как это утверждается в его законе. Но ясно, что второй закон Ньютона — это такой закон, который может быть получен только из опыта. Какого опыта? К сожалению, Ньютон не счел нужным сообщить об этом в своей книге. Но нетрудно себе представить, каким должен быть такой опыта.

Прежде всего для опыта нужно воспользоваться такой силой, которая не зависит от того, к какому телу она приложена. Этому условию удовлетворяет, например, сила ургостирания (сжатой) приходы. Она пределяется только удлинием приложны, и при данном удлиниении приложна действует на любое прикрепленное к ней тело с одинаковой силой.

Если для опыта использовать силу ургостирирования, то связи между силой и ускорением можно установить двумя способами.

Способ первый. Сила ургостирирования образом растянутой (сжатой) приложены принимается равной единице (эталон силы). К приложение прикрепляется какое-нибудь тело и изменяется ускорение тела при его движении под действием силы (разумается, при движении тела удлинием приложны изменяется не должно!). Затем к этому же телу, то есть к телу той же массы, прикрепляется 2, 3, 4 и т. д. такие же и так же растянутые (сжатые) приложены и снова изменяется ускорения, сообщаемые тела силами, равными теперь двум, trem, четырем и т. д. единицам.

При всех этих изменениях масса $m$ тела остается одной и той же. Поэтому должны быть какая-то величины, связанная с силой и ускорением, то же одинаковая во всех опытах. Ее и следует приравнять массela. Такой опит показал бы, что одинаковой при любых действиях силах величины было бы относение $F/a$, так что можно написать

$$m = \frac{F}{a},$$ или $F = ma.$

Этот способ требует предварительного выбора этаона силы. Тогда изменение ускорения позволяет определить массу тела, выражать ее определенным числом.

Способ второй. Берете приложение, деформированная произвольным образом, так что возникнет какая-то сила ургостирирования, пока не изменяется. К приложению

25

прикрепляется тело извесной массы. А известна она потому, что существует этапон массы, с которым можно сравнить массу любого тела, например так, как это описано в § 23 «Физики 8».
Измеряется ускорение тела, движущемся под действием силы упругости пружины. Затем к той же и так же деформированной пружине (так что сила осталась прежней) прикрепляется тела с другими, но тоже извесными, массами и снова измеряется их ускорения.

Раз сила, приложенная к разным телам, одна и та же, то при изменениях должны получиться некоторая величины, связанная с ускорением, одинаковая для всех тел. Ее и нужно приравнять приложенной ко всем телам силы («Физика 8», § 25). Описанные опыты показывают, что такой одинаковой для всех тел величины оказывается произведение $ma$. Значит,

$$F = ma.$$

Оба способа дают, как мы видим, одинаковый результат. Они эквивалентны друг другу, потому что все равно действовать ли разными силами на одно и то же тело или одной и той же силой на разные тела. В учебнике «Физика 8» второй закон Ньютона «открыт» с помощью второго способа, возможно, потому, что его проще выполнить. Дело в том, что первый способ предполагает, что выбран определенный этапон силы — какая-то и как-то деформированная пружина. Второй способ предполагает, что выбран определенный этапон массы. В физике и в технике пошли именно по этому пути — существенно международный этапон массы в виде платино-придневного цилиндра. Этalon массы проще хранить и воспризводить, чем этаон силы.

Таким образом, основной закон динамики — второй закон Ньютона — есть чисто опытный закон, впрочем, как и всякий другой закон природы. В то же время формула $F = ma$ второго закона может служить и определением силы как физической величины: силой называется физическая величина, равная произведению массы тела, к которой она приложена, на его ускорение.

Это не единственный случай, когда одна и та же формула выражает определенный закон природы и в то же время служит определением некоторая физической величины.

Газ превращается в жидкость
(Из истории физики)

Долго время единственным извесным наук газом был атмосферный воздуха, который к тому же считался чем-то вроде элемента, составной части всего существенного. И лишь во второй половине XVIII века усилими многохимков было установлено, что существуют и другие газы, что сам воздуха — это смесь различных по своей природе и свойством газов. Впрочем слово «газ» тогда не было в употреблении. То, что мы теперь называем газом, тогда называлось «воздухом». Водород — это горючий воздуха, кислород — огнечный воздуха, азот — удушливый воздуха, аминак — щелочной воздуха и т. д.

Но в конце XVIII века химки, и прежде всего французский химик Антуан Лавузье, сумели разобраться в новом своей газовом «хозяйстве». Лавузье дал всем 20 известным в то время газам имена. Он же предложил слово «газ» в качестве общего наименования всего этого класса веществ. Лавузье впервые вел и представление об агрегатных состояниях вещества.

Как превращать газ в жидкость? Овозможности превращения газа в жидкость Лавузье высказал такую идею: «… Если бы мы могли поместить Землю в некую весма холодную область, например в атмосферу Юпитера или Сатурна, то… воздух, или по крайней мере некоторая его компоненты, переставля бы быть невидимым и превращаться в жидкость. Превращение такогорода открыло бы возможность получения новых жидкости, о которых мы до сих пор не имеем никакого понятия».

Это было доказкой выдающегося химка, доказкой прочегоской. Но нашлась и другая возможность.

Вместо охлаждения — скатание. В 1792 году индерландский физик Ван Марум пытался выяснить, справедлив ли законом Бойля — Мариотта («Физика 9», с. 45) для аммиака (ведь и Бойль и Мариотт открыли этот закон, исследуя воздуха!). Для этого Ван Марум скимал аммиак в цилиндре и изменял его давление, которое при этом, естественно, росло. Но неожиданно при давлении около 7 atmosфера (1 атм ≈ 10⁵ Па) давление газа

26

перестановка расти, несмотря на то, что объем егоprodолжал уменьшаться. При этом всосуде появилсяжидкий аммиак.

На рисунке 1 сплошной линей показана полученная Ван Марумом зависимость давления газа от объема. Штриховой линей показана зависимость $p$ от $V$, соответствующая закону Бойля — Мариотта; так вели себя воздействно малом давления всосуде с аммиаком появляетсяжидкость и, конечно, насыщенный пар над ней.

Следовательно, насыщенный пар можно получить не только испаряяжидкость в закрытом сосуде («Физика 9», с. 79), но и скимая газ, конечно, то же в закрытом сосуде. Опыт Ван Марума показывает как будто что для скинения газа охлаждение не обязательно, его можно заменить скатнем, повышением давления.

Изобретатель сирены нагреваетжидкость. В 1822 году французский физик Каньяр де Латур, известный как изобретатель сирены и автор многочисленных исследований колебаний струны, опубликовал статью, в котором описылся с нагреваниемжидкости (спирта, эфира, воды) сначала в запаяномстальном сосуде (сделанном изпушечного ствола), а затем в запаяныхтолстостенных стеклянных трубках (встальном сосуде ничего не видно!). Он заметил, что с повышением температуры уровеньжидости в сосуде сначала следует(жидкость испрается), а затем повышается(жидкость при нагревании расширяется), при некоторой же температуре граница междужидкостью и паром над ней внесало исчезает (рис. 2). Отсюда Каньяр де Латур сделал вывод, что при температуре выше той, при которой изчезает граница, вещество в жидком состоянии не может существовать —возможно только газообразное состояние.

Что бы снова получитьжидкость, вещество нужно охладить. Каньяр де Латур и в самом деле для многих веществ наблюдаетсяграницыжидкость — пар при охлаждении трубки. Только для воды он не смог увидеть исчезновение границ — еще до этого лопались трубки.

За дело беретсяФарадей. Одним из немногих, кто понял работу Каньраде Латур как указание на то, что для скинения газа требуется не только скатне его, но и охлаждение, был английский физик МайклФарадей. Уже в 1823 году он сумел превращить в жидкость хлор. Через 20 лет, в 1844 году, он снова вернулся к работе по скинению газов. Действуя и охлаждением и повышением давления,Фарадей сумел скинить сероводород,дувокись углерода, серный ангидрид. Правда неокоторые газы, такие, как кислород, азот, водород, упорно не подавались скинению. Некоторые исследователи, считавшие, что для скинения газа достаточно одного давления, подвергали эти газы действию все более высоких давления. Но шеетно — даже казалось в то время чудовизным давление в 3000 атмосфер не принесло успеха. За этим газами прочно украпились«репутация» несживаемых, и их стали называть«постоянными» газами.

Охлаждение обязаетно. Однако все большие ученых склонялись к мысли, что для каждого вещества существует такая температура, выше которой оно может находиться только в газообразном состоянии. Так думалФарадей. К такой же мысли в 1860 году пришелД. И. Менделеев, который назвал эту температуру абсолютной точкой кипения.

27

Окончательную ясность в этот вопрос внес английский физик Томас Эндрис. В 1869 году он опубликовал результаты своих многолетних опытов. Как и Ван Марум, Эндрис изучал поведение газа при уменьшении его объема и увеличении давления. Но если Ван Марум провел опыт только при комнатной температуре, то Эндрис проводил опыты при самых разных температурах.

На рисунке 3 сплошными линиями показаны кривые, полученные Эндрисом. Он тоже наблюдается появление жидкости при давлениях, которые соответствуют горизонтальные участки кривых. Но с увеличением температуры эти давления постепенно повышались, а ширина горизонтальных участков становились все меньше, пока при некоторых температуре, обозначающей на рисунке 3 через $T_k$, горизонтальный участок на кривой не исчезал совсем. При этом исчезала и граница между жидкостью и паром — то, что наблюдается еще Каньяр де Латур.

Выше этой температуры, называемой Эндрисом критической температурой, вещество жидким быть не может. Жидкость и насыщенный пар над ней могут наблюдается лишь в той области давления и объема, которая на рисунке 3 ограничена штириховой линии. Если же температура газа выше $T_k$, то для его сжжения обязательно охлаждение.

После работы Эндриса стало ясно, что и «постоянные» газы вовсе не постоянны. Проство их критические температуры много ниже комнатных. С этого времени борба за сжжение «постоянных» газов превращалась в борббу за получение низких температур. Потребовалось еще 40 лет, прежде чем удалось сжжить все без исключения газы. Так в 1877 году были сжжены азот ($T_k = 126,3$ К) и кислород ($T_k = 154,8$ К). В 1898 году был получен жидкий водород ($T_k = 33,2$ К). Еще через 10 лет, в 1908 году, был превращен в жидкость последний газ — гелий ($T_k = 5,2$ К). Этим было положено начало развития одной из важнейших областей физической науки — физики низких температур.

Таким образом, для веществ, обусловных известиных нам как газообразные, комнатная температура выше их критической температуры. Поэтому они и газообразны. Наоборот, для веществ, которые мы привыклисить жидкими, комнатная температура ниже их критических температуры.

Уравнение волны

Волна, как известно, это процесс распространения колебаний в пространстве. Чтобы волна в среде могла распространяться, точки среды должны быть связаны между собой слиами, способными вызывать колебания, то есть слиами упругости. На рисунке 1 показан ряд таких связанных между собой точек. Если одна из точек, например точка $O$, начинает колебаться, то ее колебания переедают в направлении $r$.

Пусть точка $O$ колебляется вдоль оси $X$ по закону

$$x = x_m \sin \omega t. \tag{1}$$

Здесь время $t$ отсчитывается от момента, когда точка $O$ находится в положении равновесия. Ее колебания переедают другим точкам не мгновенно, а с некоторой скоростью $v$. Это значит, что за единицу времени колебание должно до точки в ряду, расположенной от точки $O$ на расстоянии, численном равном $v$. Расстояние же, на которой колебание распространяется за время, равное одному периоду $T$ колебаний, называется дилиной волны $\lambda$ («Физика 10», с. 81). Отсюда следует, что

$$\lambda = vT, \text{ или, так как } T = \frac{1}{v}, \quad v = \lambda v.$$

Любая точка в нашем ряду (см. рис. 1), как только до нее должен волна, начинает колебаться с той же частотой, что и точка $O$, то есть будет повторять эти колебания. Но повторять с некоторым запозданием — ведь до точки, находящейся от $O$ на расстоянии $r$, колебание должна через промежуток времени, равный $r/v$. Поэтому для координаты $x$ точки на расстоянии $r$ мы должны написать

$$x = x_m \sin \omega \left( t - \frac{r}{v} \right). \tag{2}$$

28

Уравнение (2) называется уравнением волны. Оно позволяет найти смесение $x$ от положения равновесия любой точки (находящейся на любом расстоянии $r$) в любой момент времени. Для данного момента времени оно дает как бы фотографию положений всех точек ряда относительно оси $X$. Уравнение волны показывает, что все точки действительно совершают одинаковые колебания (все колебются вдоль оси $X$, и у всех одинаковые амплитуд и частота колебаний). Неодинаковы только фазы колебаний — разность фаз колебаний двух точек, расстояние между которых равно $\Delta r$, составляет $\omega \Delta r/v$.

Иногда уравнение волны удобнее представить несколько иначе. Перепишем уравнение (2) в виде

$$x = x_m \sin \left( \omega t - \frac{\omega r}{v} \right).$$

Подставим во второй член в скобках вместо скорости волны $v$ равную ей величины $\lambda$, а вместе $\omega$ напишем $2\pi v$. Тогда получим

$$x = x_m \sin \left( \omega t - \frac{2\pi r}{\lambda} \right).$$

Из этого выражения видно, что координата $x$ любой точки на расстоянии $r$ от источника волны зависит от величины $r/\lambda$, то есть от числа длины волн, укладывающихся на расстоянии $r$. Если, например, $r=\lambda$, то отставление по фазе будет равно $2\pi$, а это значит, что фаза колебаний этой точки будет такая же, как и точки $O$. Точно так же, если $r=2\lambda$, $3\lambda$ и т. д., то сдвиг фазы будет равен $4\pi$, $6\pi$ и т. д., то есть и в этом случае фазы будут одинаковыми. Таким образом, точки волны, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, двум длиам волн, вообще

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( r_1 - r_2 \right).$$

Позному условие усиления (максимов) имеет вид

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( r_1 - r_2 \right) = 2\pi k,$$

где $k=0, 1, 2, \dots,$

откуда

$$r_1 - r_2 = k\lambda = 2k \frac{\lambda}{2}$$

— колебания будет усилены (то есть амплитуд сложного колебания будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний), если разность хода $r_1 - r_2$ волн до места «встречи» равна четному числу получлен. Соответственно усилене минимов —

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( r_1 - r_2 \right) = (2k+1)\pi,$$

или

$$r_1 - r_2 = (2k+1) \frac{\lambda}{2}$$

— колебания будет ослаблены (результующая амплитуд будет равна разности амплитуд колебаний в двух волнах), если разность хода волн равна четному числу получлен.

29

Математика 8,9,10

Публикуемая ниже заметка «Об одном способе решения некоторых уравнений» представляет возможность дедеции в каждой-то мере условно, так как каждая из этих заметок может быть полезной не только учащимся указанных классов.

Об одном способе решения некоторых уравнений

Рассмотрим следующую задачу:

1. Решите уравнение
   $$(2x-1)\sqrt{x-2}=7\sqrt{2}.$$
   (1)

Традиционное возведение обеих частей в квадрат приводит к кубическому уравнению
$$4x^3-12x^2+9x-100=0,$$
и большимство решающих пробут найти другой способе уравнения задачи.

Наверное, многие договорались, что можно попытаться найти один из корней уравнения, приравняя соответствующие множители:
$$\begin{cases} 2x-1=7, \\ \sqrt{x-2}=\sqrt{2}, \end{cases}$$
откуда $x=4$.

К сожалению, передко на этом останавливаются и выписывают ответ. В итоге решения содержит грубейшую ошибку, несмотря на правильный ответ: мы «угадали» (единистенный) корень уравнения, но не доказали, что больше корней нет.

В данном случае легко доказать, что других корней уравнения (1) не имеет, так как при $x>4$ имеем $2x-1>7$, $\sqrt{x-2}>\sqrt{2}$ и левая часть больше правой, а при $x<4$ (из области определения уравнения) $2x-1<7$, $\sqrt{x-2}<\sqrt{2}$, поэтому левая часть меньше правой.

Еще раз подчерким, что решение состоит из двух частей:

1. мы «угадываем» корень (или корни) уравнения;
2. доказываем, что больше корней уравнение не имеет.

Заметим, что примененный для решения (1) способ уравнения корней пригоден и в случае, когда вместо произведения в уравнения взята сумма. Например, в такой задаче:
2. Решите уравнение:
$$2x+\sqrt{x-2}=8+\sqrt{2}.$$

Число множителей (слагаемых) в подобных задачах может быть и большим; при этом неокоторые из множителей следует положить равными 1, как, например, в следующей задаче:
3. Решите уравнение:
$$(2y-1)\sqrt{y-2}\sqrt{y-3}=7\sqrt{2}.$$
Отметим, что способы угадавания корней могут быть разными. Рассмотрим, например, следующую задачу:
4. Решите уравнение:
$$2a+\sqrt{a-2}+\sqrt{a-3}=9+\sqrt{2}.$$
(2)

Естественно предположить, что $\sqrt{a-2}=\sqrt{2}$, откуда $a=4$. После этого легко проверить, что при $a=4$
$$2a+\sqrt{a-3}=2\cdot4+\sqrt{1}=9.$$

Докажем теперь (аналогично задаче 1), что других корней уравнения (2) не имеет:

1. При $a>4$ имеем $2a>8$, $\sqrt{a-2}>\sqrt{2}$, $\sqrt{a-3}>1$, поэтому левая часть больше правой;
2. при $a<4$ (из области определения уравнения) левая часть меньше правой.

В. Е. Ольхов

Три решения одной задачи

Часто следует так, что мы не довоим своих рассуждений до конца и отказывемся от идеи, которые у нас возникют. В данной задаче на примере одной задачи показывается, как разные идеи, далеко друг от друга в начальных стадиях, могут привести к целю, если проявить настоящийость в понисках решения.

Задча. Построите прямуюольный треугольник по zипотенуze и bicсекtrице прямого уела.

Задча на вид сравнительно простая, но решить ее «с ходу» не удалось.

Как известно, решение задача на построение состоит из 4 пунктов: 1) анализ,

30

2. построение, 3) доказательство, 4) исследование. Мы начем с исследование, общего для всех трех способов решения задач. Пусть $c, l_c, m_c, h_c$ — длины соответствующего гипotenузы и проведенных из вершины прямого угла биссектрисы, медианы и высоты. В прямогольном треугольнике имеем $m_c = c/2 = R$, где $R$ — радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Биссектриса $CD$ угла $C$ (рис. 1) проходит через точку $K$ — середину дуги $AB$. Поэтому (если $|AC| \neq |BC|$) она лежит между медианой и высотой, и ее проекция на гипotenузу меньше, чем проекция медианы на гипotenузу. Отсюда вытекает неравенство $h_c \leq l_c \leq m_c = c/2$ (равенства достигаются для равноведренного треугольника). Поэтому при $l_c > c/2$ решений нет, при $l_c \leq c/2$ решение существует и единственно.

Отметим, что при $l_c = c/2$ треугольник — равноведренный, в этом случае построение и доказательство оченьный. В дальнейшем мы будем предполагать, что $l_c < c/2$ (и треугольник равноведренный).

Первая идея. Центр окружности, описанной вокруг треугольника, лежит в середине энотенузы, а биссектриса прямого угла проходит через середину дуги (полукругжности) $AB$, не содержащей точки $C$. Будем рассматривать треугольник вписанным в окружность. Тогда, возможно, удаться найти зависимость между даними и элементами, возникающими на чертеже, вытекающие из свойств треугольника, вписанного в окружность.

Аналіз. Пусть треугольник $ABC$ искомый. Опишем вокруг него окружность (см. рис. 1). Пусть $M$ и $K$ — точки пересечения окружности и ее diamетра,

$$\begin{align*} \perp &= \perp \\ M &= M \\ K &= K \end{align*}$$

перpendикулярного $AB$. Тогда дуги $AK$ и $KB$ равны, поэтому $CK$ — биссектриса угла $C$. Треугольник $MCK$ — прямоугольный. Очевидно, что для решения задачи достаточно выразить длину отрезка $CK$ через $c$ и $l_c$.

Треугольники $MCK$ и $KOD$ подобны по двум углам. Обозначим длину отрезка $DK$ через $x$. Тогда

$$\frac{|CK|}{|KM|} = \frac{|OK|}{|DK|} \text{ или } \frac{l_c + x}{c} = \frac{c/2}{x},$$

откуда $x^2 + l_c x - c^2/2 = 0$. Поэтому,

$$x = -l_c/2 + \sqrt{l_c^2/4 + c^2/2}$$

(ясно, что подходит только положительный корень уравнения). Далее

$$|CK| = l_c + x = l_c/2 + \sqrt{l_c^2/4 + c^2/2}. \tag{1}$$

Построение. Построим отрезок $d = \sqrt{l_c^2/4 + c^2/2}$ как гипotenузу прямого треугольника с катетами $l_c/2$ и $c/\sqrt{2}$, затем отрезок $l_c/2 + d$. После этого построим прямой треугольник $CMK$ по гипotenузе $|MK| = c$ и катету $|CK| = l_c/2 + d$ проведем окружность диаметра $MK$ и построим диаметр $AB$ этой окружности, перpendикулярный диаметр $MK$. Треугольник $ABC$ искомый (см. рис. 1).

Доказательство. По построению $|AB| = c, MK$ и $AB$ — взаимно перpendикулярные diamетры, поэтому $AK = KB = 90^\circ, ACK = KCB = 45^\circ$, то есть $CK$ — биссектриса (прямого) угла $C$. Осталось показать, что $|CD| = l_c$, где $D$ — точка пересечения отрезков $CK$ и $AB$.

Проведем доказательство методом от противного. Пусть, например, $|CD| = f > l_c$. Тогда в треугольнике $ABC$ длина гипotenузы равна $c$, а биссектрисы $CD - f$, поэтому согласно (1)

$$|CK| = \frac{f}{2} + \sqrt{\frac{f^2}{4} + \frac{c^2}{2}} > \frac{l_c}{2} +$$

$$+ \sqrt{\frac{l_c^2}{4} + \frac{c^2}{2}} = |CK|$$

(по построению), противоречие. Аналогично рассматривается случай $|CD| = f < l_c$.

При изложении второго и третього способов решения задачи мы ограничим только анализ. Построение и доказательство проведите самостояльно.

Вторая идея. А не связан ли искомый треугольник с другими треугольниками, имеющими с ним общие элементы,

32

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Пусть K, M, N — соответственное основания высот AK, BM, CN остроугольного треугольника ABC. Докажите, что:
   a) треугольники AMN, BNK и CKM подобны треугольнику ABC (и между собой), при этом для каждой из них коэффициент подобия равен косинусу их общего с треугольником ABC угла;

6. AK, BM, CN — биссектрисы углов треугольника KMN.

2. a) Восьмой член геометрической прогрессии равен 10. Найди произведение всех ее членов от первого до пятнадцатого включительно.

6. Найди сумму
   $$x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + \dots + nx^n$$

3. Пусть в треугольнике ABC точка M делит сторону AB в отношении m:n, считая от вершины B, а точка N делит сторону BC в отношении p:q, считая от вершины B. Докажите, что отношение площадей треугольника BMN и BAC равно $\frac{m}{m+n} \cdot \frac{p}{p+q}$.
4. В арфметической прогрессии
   $$S_m = S_n$$
   Найди $S_{m+n}$ (через $S_k$ обозначена сумма первых k членов прогрессии).
5. a) Пусть хорды AB и CD одной окружности пересекаются в точке E. Докажите, что $AE \cdot EB = CE \cdot ED$.

6. Пусть из точки E, лежащей вне окружности, проведены к ней касательная EA (A — точка касания) и секущая EBC (B и C — точки окружности). Докажите, что $EA^2 = EB \cdot EC$.

7. Могут ли две противоположные грани четырехугольной парами быть перпендикулярными основанию?
8. a) Верно ли, что сумма двух разциональных чисел равна
   $$\cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5} + \cos \frac{6\pi}{5} = -\frac{1}{2}$$
   Преобразуйте в произведение следующие суммы:

6. $\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha + \dots + \sin (n\alpha)$;
7. $\sin^2 \alpha + \sin^2 2\alpha + \sin^2 3\alpha + \dots + \sin^2 (n\alpha)$.

Десять класс
11. Пусть шар касается всех ребер tetraэдра. Докажите, что суммы длин пар его скрещивающих ребер равны.
12. Пусть плоскость пересекает боковые ребра tetraэдра так, что отношения длины соответствующих ребра равны соответствующим a/b, c/d, e/f. Докажите, что объемы отсеченного и искодного tetraэдров относится как $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}$ (сравните с задачей 3).
13. Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника. Докажите, что:
a) $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \leq \frac{3}{2}$;
6) $\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \frac{\beta}{2} \cdot \sin \frac{\gamma}{2} \leq \frac{1}{8}$.
14. Постройте графики функций:
a) $y = \cos(\arccos x)$;
6) $y = \cos(3\arccos x)$;
b) $y = \arcsin(\sin x)$.
15. Пусть все плоские углы при одной из вершин tetraэдра примыли. Докажите, что эта вершина, точка пересечения медиан противоположной еггине и центр описанного около tetraэдра шара лежат на одной прямой.
Публикацию подготовил Ж. М. Работ

33

Квант
для младших школьников

Задание

1. Два двузначных простых числа получаются друг из друга перестановкой цифр, а их разность — полный квадрат. Какие это числа?

2. По десяти дорогкам сквера в направлении стрелок бегают спортмены. Каждый дорогку каждой из спортменов пробегает за 1 минуту, причем по одной из дорогек каждой минуту пробегает лишь один спортмен, по другой — два, по третьей — три и т. д., по десяти — 10 спортменов. Расставьте на рисунке номера дорогек.

3. Мама сварила в одинаковых частюлях компот и кисель и, открыв крышки, поставила их охлаждаться на окно. Через полчаса я потрогал частюли. Какая из них оказалась теплее?

4. На доске было написано два одинаковых числа. Степа приписал к одному из них вперед 100, а ко второму сзади 1. Оказалось, что первое числоровно в 37 раз больше второго. Какие числа были написаны на доске?

5. Вырежьте из листа клетчатой бумаги кусок, состоящий из наименьшего целого числа клеток такой, что, играя на нем в «крестики — полики», начинающий всегда выигрыает (для победы в «крестики — полики» нужно поставить три своих значка подряд).

Эти задания нам предложили: Н. К. Антонович, Л. П. Мочалов, А. В. Вялко, А. Н. Меснякин, А. П. Савин

33

34

Задча в картинах

SALOON

БУТЫЛИКУ
пепси-колы!
С ВАС
ЗДОМАРА

С ВАС ещё
6 дОИЛАРОВ.
ТРУБКУ!

ТРИ ПАЧКИ
ТАБАКА И
ДЕВЯТЬ КОРО
БОК СПИЧЕК.

ЗА ВСЁ С ВАС
11 дОИЛАРОВ
80 ЧЕНТОВ.

ЧТО?!

ИЗВИНИТЕ
Я ОШИБСЯ'!

КАК ЖЕ ОН ДОГА-
ДАЛСЯ, ЧТО Я ХОТЕЛ
ЕГО НАДУТЬ?

Текст А. П. Савина, рисунки Э. В. Назарова

34

35

Задчи

М891 — М895, Ф903 — Ф907

М891. Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равноведенный.

А. А. Муратов

М892. a) Докажите, что среди чисел $2^m+2^k$, а также среди чисел $3^m+3^k$ бесконечно много квадратов, а среди чисел $4^m+4^k$, $5^m+5^k$ и $6^m+6^k$ нет ни одного квадрата целого числа (здесть $m$ и $k$ — натуральные числа, $m \neq k$).

6)* Есть ли квадраты среди чисел $7^m+7^k$?

А. И. Зайчик

М893. Каждый два из $n$ блоков ЭВМ соединены проводом. Можно ли каждый их этих проводов покрыть в один из $n-1$ цветов так, чтобы от каждой блока отходило $n-1$ проводов разного цвета, если $n=6$; 6) $n=13$?

В. Б. Алексеев

М894. a) Сумма пяты неотрицательных чисел равна 1. Докажите, что их можно расставить по кругу так, чтобы сумма пяты попарных произведений соединенных чисел не превысодлина 1/5.

6)* По кругу расставлено $n \geqslant 4$ неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что сумма всех $n$ попарных произведений соединенных чисел не превысодлина 1/4.

С. Б. Гашков, А. Н. Драницников

М895*. Докажите, что площадь сечения куба плоскостю, касающейся вписанной в него сферы, не превосходит половины площади куба. Расмотите случан, когда это сечение a) треугольник, 6) четырехугольник. В) Докажите, что в случае a) площадь полной поверхности отсекаемого от куба тетраэдра меньше площади куба.

С. Б. Гашков, И. Ф. Шарыцин

Ф903. На верхней образуующей главного цилиндра радиуса $R$, ось которого наклонена под углом $\alpha$ к горизонту, укреплена гибкая невесомая вервка длины $l$ (рис. 1). К другому концу вервки прикреплен небольший груз. Определить:

1. длину свисающей части вервки в положении равновесия груза;
2. период малых колебаний груза в вертикальной плоскости, параллельной оси цилиндра.

С. С. Кротов

36

Ф904. Сферу радиуса $R$, составленную из двух одинаковых плотности пригнанных тонкостенных полусферм массы $m$ каждый, наполняют жидкость с плотностью $\rho$.

1. Какую вертикальную силу надо приложить к нижней полусферме, чтобы жидкость не выливаясь, если верхняя сфера закреплена (рис. 2)?
2. С какой силой надо сжимать левую и правую полусферры (рис. 3), чтобы жидкость не выливаясь?

Л. Г. Маркович

Ф905. Тонкостенный заполенный газом цилиндр массы $M$ с высотой $H$ и площадью основания $S$ плавает в воде (рис. 4). В результате потери термического в нижней части цилиндра его глубина погружения увеличилось на $\Delta H$. Каково было начальное давление газа в цилиндре? Атмосферное давление $p$, температура не меняется.

О. Ю. Никшина

Ф906. Проводник, сопротивление которого зависит от температуры, подключили к источнику постоянного напряжения $U$. Сопротивление проводника меняется в зависимости от температуры по закону $R = R_0(1 - \mu t)$, где $R_0$ — сопротивление при $t = 0^\circ C$, $\mu > 0$. Определить установившуюся температуру проводника, если температура окружающей среды равна $0^\circ C$, а тепловая мощность, выделяемая проводником в окружающей среду, равна $W = b \cdot \Delta t$, где $\Delta t$ — разность температур проводника и среды. Изменением размеров проводника из-за теплового расширения пренебречь.

Р. Ю. Винокур

Ф907. Два металлических шара массы $m$ каждый с радиусами $r$ и $2r$ помещены в электрическое поле, направенно которой направлена от большого шара к меньшему и равна $E$. Расстояние между центрами шаров равно $R_0 = 4r$. Большой шар несет заряд $q\left(k \frac{q}{r^2} \ll E\right)$, малый шар не заряжен. Шарыотпускают. Время между первым и вторым соударенными шаров равно $t$. Найти время между $n$-ым и $(n+1)$-ым соударениями и пути, которые проидут шары между этим соударениями. Чему равно среднее ускорение шаров за достаточно большой промежуток времени? Соударения считать абсолотно упругими.

А. А. ЛанUDEC

Problems
M891 — M895; P903 — P907

M891. A circle touches two sides of a triangle and two of its medians. Prove that this triangle is isosceles.

A. A. Muratov

M892. a) Prove that there are infinitely many squares of integers among the numbers $2^m + 2^k$ and also among the numbers $3^m + 3^k$, but there are no squares

38

P906. A conductor whose resistance depends on temperature is connected to a source of constant tension $U$. The resistance of the conductor depends on temperature according to the rule $R=R_0(1-\mu t)$, where $R_0$ is the resistance at $t=0$ °C, $\mu>0$. Determine the established temperature of the conductor if the surrounding temperature is $0$ °C, while the power of heat loss to the surroundings is $W=b \cdot \Delta t$, where $\Delta t$ is the temperature difference between the conductor and the surroundings. Changes in the conductor’s size may be neglected.

P. Yu. Vinokur

P907. Two metallic balls of mass $m$ each, whose radii are $r$ and $2r$ are placed in an electric field whose tension is directed from the larger ball to the smaller one and equals $E$. The distance between the centres of the balls is $R_0=4r$. The larger ball carries the charge $q(kq/r^2 \ll E)$, the small one is uncharged. The ball are released. The time between the first and second collisions of the ball is $\tau$. Find the time between the $n$-th and $(n+1)$-st collisions and the distance covered by the balls during that time. What is their average acceleration during a sufficiently long period of time? The collisions are assumed absolutely elastic.

A. A. Lapides

Решения задач

M876 — M878, M880*); Ф887 — Ф889

Будем считать, что окружность расположена вне треугольника $PCD$ (см. рисунок; второй случай, когда она висена в этот треугольник, рассматривается аналогично). Пусть $C'$ и $D'$ — точки пересечения сторон угла с касательной к окружности в точке $A$, так что (в рассматриваемом случае) данная окружность висена в треугольник $PC'D'$. Очевидно, что этот треугольник готовится треугольнику $PCD$ с центром $P$, следовательно, $E$ — точка касания висанной окружности треугольника $PCD$ со стороны $CD$. Обозначим через $M, M', N$ и $N'$ точки касания этих двух окружностей с прямыми $PC$ и $PD$. По теореме о равенстве касательных, проведенных к окружности из одной точки,

$$2|BC| + |BE| = |BC| + |CE| = |M'C| + |CM| = |M'M|,$$

аналогично,

$$2|DE| + |BE| = |N'N|,$$

по той же теореме, $|M'M| = |PM'| - |PM| = |PN'| - |PN| = |N'N|$, поэтому $|BC| = |DE|$, что и требовалось.

A. C. Меркурьев

*) Решение задачи M879 войдет в статью «Теорема Виета и вспомогательный многочлен», публикуемую в «Кванте» № 12 за этот год.

39

М877. Из листа клецчатой бумаги размеры 29×29 клеtok вырезали 99 квадратков размеры 2×2 каждый. Докажите, что из него можно вырезать еще один квадратик.

На рисунке серым цветом закрашены 100 квадратков 2×2. Вырезая из исходного квадрата 29×29 любой квадратик 2×2, мы «задеваем»ровно один квадратик. Следовательно, после 99 таких операций один из серых квадратков останется нетронутым.

С. В. Фомин

М878. Докажите, что если сумма плоских углов при вершине парамды больше 180°, то каждое боковое ребро парамды меньше полуперimetра ее основания.

Пусть $SA_1 \dots A_n$ — данная парамида. Разрежем ее боковую поверхность по ребру $SA_1$ и развернем ее на плоскость (см. рисунок, на котором $SA_1$ и $SA_1'$ — это два экземпляра ребра $SA_1$, образовавшиеся в результате разрезания, так что $|SA_1| = |SA_1'|$). Из условия задачи следует, что точка $S$ лежит внутри многоугольника $A_1 \dots A_nA_1'$. Продолжая отрезок $A_1'$ $S$ за точку $S$ до пересечения с ломаной $A_1 \dots A_nA_1'$, мы получим точку $B$, разбиивающий ломаню на две части: ломаную $A_1 \dots B$ длины $a$ и ломаную $A_1' \dots B$ длины $b$. Из неравенств $|SA_1| < a + |SB|$, $|A_1'S| + |SB| = |A_1'B| < b$ следует, что $2|SA_1| = |SA_1| + |SA_1'| < a + |SB| + |A_1'S| = a + b = |A_1A_2| + ... + |A_{n-1}A_n| + |A_nA_1'|$.

Остается заметить, что в правой части стопперметр основания парамиды.

Ю. И. Ионин

М880*. В последовательности 1, 0, 1, 0, 1, 0, … каждый член, начняя с седьмого, равен последней цифре суммы предыдущих. Докажите, что в этой последовательности не встречается подряд шесть чисел 0, 1, 0, 1, 0, 1.

Эту задачу схематически можно представить так: задано преобразование некоторого множества (множества шестерок чисел; шестерке $(x_1, \dots, x_6)$ сопоставляется $(x_2, \dots, x_6, x_7)$, где $x_7$ — последняя цифра суммы $x_1 + \dots + x_6$); требуется доказать, что повторяя это преобразование, из одной данной «точки» множества (шестерки $(1, 0, 1, 0, 1, 0)$) нельзя получить другую (шестерку $(0, 1, 0, 1, 0, 1)$). Очень часто такие задания решения решить, найдая инвариант, то есть величину, не изменяющего при заданном преобразовании: достаточно установить, что значение инварианта для двух данных «точек» различны *).

В нашем случае такой величины может служить последняя цифра числа $s(x_1, \dots, x_6) = 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 8x_4 + 10x_5 + 12x_6$. В самом деле, просто вычисление показывает, что разность $s(x_2, \dots, x_7) - s(x_1, \dots, x_6)$ (далее цифра $x_1 + \dots + x_6$) равна $10x_7 + 2(x_7 - (x_1 + \dots + x_6))$, то есть окончательно нулю.

*) Об инвариантах мы расссказывали неоднократно: см., например, статью А. Ходулева «Расселенение физек» («Квант», 1982, № 7, c. 28); там же приводятся ссылки и на другие статьи по этой теме. Ряд задач на инварианты можно найти в «Кванте» № 10 за 1983 г. на с. 30.

40

lem. Следовательно, последние цифры чисел $s(x_1, \dots, x_6)$ и $s(x_2, \dots, x_7)$ совпадают: указывая намивлична — действительное инвариант. Остается проверить, что ее значения для заданных в условиях шестерок различины:
$$s(1, 0, 1, 0, 1, 0) = 18, s(0, 1, 0, 1, 0, 1) = 24.$$
A. C. Меркурьев

Ф887. На проразное стеклянное тело, представляющее собой два соедининых оснований конуса, падает пучок параллельных световых лучей, имеющих круглое сечение диаметра $d$ (рис. 1,a). Размеры тела указаны на рисунке 1,a; показатель преломления стекла n. Кавая картина будет наблюдаться на экране, установленном на расстоянии $l$ от тела?

◆ Изображение на экране будет различным в зависимости от соответствия между $a$, $d$ и $l$.

1. Расстоярим случай, когда луч $I(I')$ после преломления на грани $AB(AD)$ попадает в точку $C$ (см. рис. 1,a). В этом случае после двукратного преломления лучей (на гранях $AB$ и $DC$, $AD$ и $BC$) пучок остается параллельным $AC$ и на экране получится равномерно освещенный круг (рис. 1,6) диаметра $d$. Получающая картина от $l$ не зависит.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

варнит, определяем из рисунка 1,a:
$$\frac{d_1}{2} = |KA| \sin \alpha = (a - |BK|) \sin \alpha = (1 - tg \alpha) \sin \alpha.$$
Подставляя
$$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n}, \text{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1}{\sqrt{2n^2 - 1}}.$$
получаем:
$$d_1 = a\sqrt{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2 - 1}}\right).$$

41

2. Пусть $0 < d_2 < a\sqrt{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right)$. В этом случае каждый луч после двукратного преломления будет новый паралелен $AC$ (рис. 2, а). На экране получится равномерно освещенное колюцо (рис. 2, б). Радиусы внутри и внешней окружности колюца —

$$r_1 = \frac{a}{\sqrt{2}}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right) + \frac{d_2}{2\sqrt{2}},$$

$$r_2 = \frac{a}{\sqrt{2}}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right) + \frac{d_2}{2\sqrt{2}}(1 + 2\sqrt{2}).$$

Получаются картина от $l$ не зависит.

3. Пусть $a\sqrt{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right) < d_2 < a\sqrt{2}$. В этом случае (рис. 3, а) картина, получющаяся на экране, зависит от того, на каком расстоянии от точки $C$ находится экран. На рисунке 3, б показаны картины, получшиеся при разных положениях экрана: $\exists_1, \exists_2, \exists_3$.

А. В. Хельвас

Ф888. На рисунке изображена прициппальная схема грамметра — прибора для измерения варшацей ускорения свободного падения $g$. В теплозолювованных газовых баллонах $1$ и $2$ давления соответственно $p_1 \approx 2 \cdot 10^4$ Pa и $p_2 \approx 3 \cdot 10^4$ Pa. Цилиндрические сосоды $A$ и $B$ радиуса 10 см и соединицая их трубка заполнены рутью. Поверх력 налита очень легкая жидкость (толуол); эта жидкость заполняет также частью капилляры радиуса 1 мм, соединицание сосоды $A$ и $B$ с баллонами 1 и 2. Опишите процесс измерения варшацей ускорения $g$ с помощью этого прибора. Какова величина варшацей $g$, которые можно зарезервировать этим грамметром, если известно, что при измерениях в разных пунктах измерения разности горизонтальных смесений толуола в капиллярах могут достигать несколько

◆ Предположим, что в некоторых пунктке на поверхности Земли разность уровней рутии в сосудах $A$ и $B$ оказывается равной $h_0$. Если разность давления $p_2$ и $p_1$ в сосудах фиксирована, то из условия $p_2 - p_1 = \varrho g_0 h_0$ определяется значение ускорения свободного падения $g_0$ в данной пунктке:

$$g_0 = \frac{p_2 - p_1}{\varrho h_0}.$$

В другом пункте ускорение будет отличаться от $g_0$; пусть оно равно $g = g_0 + \Delta g$. Разность уровней рутии в сосудах $A$ и $B$ будет теперь $h = h_0 + \Delta h$. При сохранении разности давления в сосудах и при малых варшацях $\Delta g$ и, соответственно, малых приращениях $\Delta h$

$$\frac{\Delta h}{h_0} \approx \frac{\Delta g}{g_0}.$$

Таким образом, порядок величины варшацей $\Delta g$ определяется порядком измерения $\Delta h$. Измерить непосредственно малые приращения $\Delta h$ трудно. Чтобы определить значение $\Delta h$, поверх력 налита легко удовлетворяет требованиям толуола в капиллярах равна $\Delta l$ (эта величина измеряется), то, очевидно,

$$\Delta h \cdot S = \Delta l \cdot s,$$

где $S$ и $s$ — площади секений сосудов и капилляров, соответствующих.

$$\frac{\Delta g}{g_0} \approx \frac{\Delta h}{h_0} = \frac{s}{S} \frac{\Delta l}{h_0} = \frac{s}{S} \left( \frac{\varrho g_0 \cdot \Delta l}{p_2 - p_1} \right).$$

По условиям $s/S \sim 10^{-4}$, $\varrho \sim 10^4$ кг/м$^3$, $(p_2 - p_1) \sim 10^4$ Pa, $\Delta l \sim 10^{-2}$ м. Поскольку $g_0 \sim 10$ м/c$^2$, относя

42

Миллиметров (до 1 см)? Температура во время разных изменений поддерживает постоянной плотность ртути $\varphi = 13,5 \cdot 10^3 \text{ ке/м}^3$.

Ф889. Солнце находится на угловой высоте ф над горизонтом. Под каким углом α к поверхности Земли нужно бросить тело в вертикальной плоскости, проходящей через Солнце, чтобы тело тела прошана набольшей путь по Земле?

Рассмотрим отдельно случай, соответствующий различным соответствиим между α и φ.

1. Если бросать тело под углом α≤φ, то путь, проходимый тенью за время полета тела, будет равен дальнейсти полета, то есть $S_1 = \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\alpha$ (см. рис. 1).

При $\varphi < 45^\circ$ ($\alpha < 45^\circ$) значение $S_1$ тем больше, чем больше α; следовательно, надо бросать тело под углом α=φ, и тогда

$$S_{1\max} = \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\varphi. \tag{1}$$

Если же $\varphi \geq 45^\circ$, то α должно быть равным 45°, так как $S_1$ максимально при $\alpha=45^\circ$ (в этом случае $S_{1\max} = \frac{1}{g} v_0^2$).

2. Если бросать тело под углом α>φ, то тень пройдет путь, равный (см. рис. 2)

$$S_2 = 2|OA| + S_x = 2|OA| + \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\alpha. \tag{2}$$

Найдем $|OA|$. Для этого нам надо получить уравнение касательной к параболе в точке M и определить абсциссу $x_A$ точки пересечения касательной с осью X ($|x_A| = |OA|$).

Чтобы получить уравнение касательной AM, определим координаты $x_M$ и $y_M$ точки M. Угловой коэффициент касательной равенtgφ и равен произвольной функции $y(x)$, описывающей парабoly, в точке M. Нетрудно показать, что

$$y(x) = (tg\alpha)x - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2,$$

и следовательно,

$$tg\varphi = \left((tg\alpha)x_M - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x_M^2\right)' = tg\alpha - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x_M,$$

откуда

$$x_M = \frac{1}{g} \left(tg\alpha - tg\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha,$$

$$y_M = \frac{1}{g} tg\alpha \left(tg\alpha - tg\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha -$$

$$-\frac{1}{2g} \left(tg\alpha - tg\varphi\right)^2 v_0^2 \cos^2\alpha = \frac{1}{2g} \left(tg^2\alpha - tg^2\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha.$$

Теперь мы можем записать уравнение касательной AM (см. рис. 3) —

$$y_{AM}(x) = x tg\varphi + \frac{1}{2g} \left(tg^2\alpha - tg^2\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha -$$

$$- \frac{1}{g} tg\varphi \left(tg\alpha - tg\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha =$$

$$= x tg\alpha + \frac{1}{g} \left(tg\alpha - tg\varphi\right)^2 v_0^2 \cos^2\alpha -$$

и найти абсциссу $x_A$ точки A (и $|OA| = |x_A|$):

42

43

$$y_{AM}(x_A) = 0 \Rightarrow x_A = -\frac{1}{2g \text{tg} \varphi} (\text{tg} \alpha - \text{tg} \varphi)^2 v_0^2 \cos^2 \alpha.$$

Таким образом, если тело брошено под углом $\alpha > \varphi$, то тень проходит путь (см. (2))

$$S_2 = \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\alpha + \frac{1}{g \text{tg} \varphi} (\text{tg} \alpha - \text{tg} \varphi)^2 v_0^2 \cos^2 \alpha.$$

Посмотрим, при каких значениях $\alpha$ это выражение максимально. Для этого найдем производу $S'(\alpha)$ и приравняем ее нулю:

$$S'(\alpha) = \frac{2}{g} v_0^2 \cos 2\alpha + \frac{1}{g \text{tg} \varphi} v_0^2 (\sin 2\alpha + 2 \text{tg} \varphi \cos 2\alpha - \text{tg}^2 \varphi \sin 2\alpha) = 0,$$

или

$$(1 - \text{tg}^2 \varphi) \sin 2\alpha = 0 \Rightarrow \sin 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 90^\circ$$

(случай $\alpha = 0$ нам не подходит, так как $\alpha > \varphi$).

Следовательно, $S_2$ максимально при $\alpha = 90^\circ$, то есть когда тело бросают вертикальное вверх, и (см. рис. 4)

$$S_{2\max} = 2h_{\max} \text{ctg} \varphi = \frac{1}{g} v_0^2 \text{ctg} \varphi.$$

Тепер выязываим, при каких условиях $S_{2\max} > S_{1\max}$ и при каких $S_{2\max} < S_{1\max}$. Для этого найдем отношение $S_{1\max}: S_{2\max}$ (см. (1)):

$$\frac{S_{1\max}}{S_{2\max}} = \frac{v_0^2 g \sin 2\varphi}{v_0^2 g \text{ctg} \varphi} = 2 \sin^2 \varphi.$$

При $\varphi = 45^\circ$ это выражение равно 1 ($S_{1\max} = S_{2\max}$) — тень проходит одинаковые пути при $\alpha = 45^\circ$ и при $\alpha = 90^\circ$. Если $\varphi < 45^\circ$, то $2 \sin^2 \varphi < 1$ ($S_{1\max} < S_{2\max}$) — тень проходит максимальный путь при $\alpha = 90^\circ$. При $\varphi > 45^\circ$, как мы уже говорили, $S_{1\max} = \frac{1}{g} v_0^2$, и $S_{1\max}: S_{2\max} = \text{tg} \varphi > 1$ — тень проходит максимальный путь при $\alpha = 45^\circ$.

Выпишем окончательный ответ:

если $\varphi < 45^\circ$ — тело надо бросать вертикально;
если $\varphi = 45^\circ$ — тело надо бросать либо вертикально, либо под углом $45^\circ$ к горизонту;
если $\varphi > 45^\circ$ — тело надо бросать под углом $45^\circ$ к горизонту.

В. А. Нахшин

Задча
для исследования
«произведение соседних чисел»
в таблице из ±1

В связи с двумя задачами Всесоюзной олимпиды этого года (№ 5 для 10 класса и № 8 для 9 класса; см. с. 47—48) естественно возникают следующее более общие вопросы.

Для каждой таблицы $T$ раз-мера $m \times n$, в клетках которой стоит числа 1 и —1, определяя ляяся новая таблица $P(T)$; в каждой ее клетке пишется число, равное произведению чисел, стоящих в соседних (имеющих с ней общую сторону) клетках в таблице $T$. Для каждой $m$ и $n$:

1. разным таблицам $T$ соответствует обязательно разные таблицы $P(T)$?

2. для любой таблицы $T$ в последовательности таблиц $T_1 = P(T)$, $T_2 = P(T_1)$, … встретиется таблица из один?

Попробуйте ответить на эти вопросы (по-види-

мому, более простых) следующей:

«цилиндрической» таблицы $m \times n$, у которой две противоположные стороны длины $m$ считаются склеенными, и для «тора», у которой считаются склеенными две пары противоположных стороны (при этом у каждой клеткировно четыре соседних).

Заметим, что вопрос 2) для цилиндрира. высоты $m = 1$, то есть для $n$ клеток по окружности, разбирается в «задачние Кванта»; положительный ответ на него получается при $n = 2^k$ ($k = 2,3,...$).

Н. В. Васильев, И. К. Жук

44

КВАНТ УЛЬБАЕТСЯ

Место работы и должность ваших родителей.
Отчет — начальный, мать — городская больница

---

Дайте алгоритм вызывца…

Из вступительных работ в ВЗМШ

Для точно быем взвешивать на медицинских весах.

---

Занутеровать ребра куба не то чтобы вовсе нельзя, но у нас не выполняется данное условие.
Построение затрудней не вызывает, т. к. оно понятно объясено.

---

Туман — это множество мелких водяных паров.

---

Любая часть правой части оси больше любой части левой части оси.
… число больше 0, но меньше 1, значит оно равно 1/2.
Сколько многочисленных решений имеет уравнение?
Единица всегда кончается на 0 или на 5.

Качее данные в задаче лишице? Ответ: Сколько я ее ни решал, она не решается. Значит, у нее нет решения. Значит, все данные — лишице.

Тогда задача будет решения, но у меня не хватает не то времени, не то знаний.

---

Подробные рассудения, лишиные меня сна, я опустил, т. к. не смог правильно сформулировать свои мысли и-do-gadки.

---

Кубанский привет вам, товарищи жюри.
Собрал Л. Ф. Штерибер

…, где знаки над буквами говорят, куда смотреть.
Трехначные числа: 6,25 и 0,625.

---

Никакие признаки подобия сюда не подходят, но если изменить углы трансортиром, то треугольники подобны.
Пусть угол А будет наибольшим в треугольнике. Но в данном случае угол А не наибольший.

44

45

ХVIII Всегоозная олимпиада по математике

Кандидат физико-математических наук
Л. П. КУПЦОВ,
кандидат физико-математических наук
С. В. РЕЗНИЧЕНКО,
кандидат физико-математических наук
А. Б. СОСИНСКИЙ

С 11 по 18 апреля в Ашхабаде проводился заключительный этап XVIII Всегоозной олимпиады школьников по математике. В столице Советской Туркменини собрались 159 школьников (43 восемиклассика, 54 девятиклассика и 62 десятиклассика) — победители ресурсиканских олимпиад, победители Московской и Ленинградской городских олимпиад и школьники, отмеченные на предыдущей Всегоозной олимпиаде дипломами I и II степени. В состав жюри, работавшего под руководством академика АН УССР Б. В. Гнеденко, были включены 52 человек — представители Академии наук СССР, Академий наук Туркмениской и Молдавской ССР, Московского, Ленинградского и Новосибирского Государственных университетов, Московского физико-технического института, крупнейших научно-исследовательских институтов страны. Среди них старший преподаватель Туркмениского Государственного университета, организатор всех ресурсиканских олимпиад в Туркменини Б. Б. Бердьев.

С первых минут пребывания на гостеприимной Туркменской земле участники олимпиады были окружены теллогой и вниманием. В аэропорту Ашхабада команды-участницы встречали ученики школь города, представители районаных отделов народного образования и ЦК комсомола Туркмении.

При регистрации каждой участику олимпиады и руководителю команды вручался памятный суверниный пакет с книгами и открытками, рассказывающими о Туркменини, памятными знаками, программой олимпиады и приглашением принять участие в ее торжественной открытии.

12 апреля, в 15 часов, все участники олимпиады, члены жюри и оргомитета, руководители команд собращись у городского Дворца пинеров. В сопровождаении орquestра началось торжественное шествие к памятнику В. И. Ленину. У памятника был выступен почетный караул, участники олимпиады возложили цветы. А затем в конференц-зале Академии наук ТCCР состоялось торжественное открытие олимпиады. Были использованы Государственный Гимн СССР и Гимн Туркменской ССР. С темыми словами приветствия к участникам олимпиады обратился Министр просвещения ТCCР М. А. Олиева. Успешного выступления, творческой, интерсейной работы, честиго соперничства пожелали ребятам Вице-президент АН ТCCР О. О. Овезгельдьев, представлен жюри академик АН УССР Б. В. Гнеденко, первый секретарь ЦК ЛКСМ Туркменистана Ж. К. Чарыева, ректор Туркменского Государственного университета Г. М. Мяликгульев. На открытии олимпиады присутствовали зав. отделом науки и учебных заведений ЦК Компартины Туркменистана Е. О. Овлякулев, зав. отделом науки и учебных заведений Совета Министров ТCCР С. К. Какаев. Завершил торжественное открытие концерт участников коллективов художественной самодеятельности Ашхабадского Дворца пинеров.

Задания заключительного этапа олимпиады участники писали 13 и 14 апреля. Задание каждой из двух дней состояло из четырех задач, на решение которых отводилось по пять часов. Ниже приведятся условия всех задач. Некоторые из них включены в задание «Кванта» (соответствующий номер указан после условия задачи).

Задания
Первый день
8 класс

1. а) Произведение некоторых n чисел равно n, а сумма их равна нулю. Докажите, что число n делится на 4.

6. Пусть n — натуральное число, делитсяся

46

на 4. Докажите, что найдуться $n$ целых чисел, произведение которых равно $n$, а сумма равна нулю.

А. А. Фомин

2. Докажите, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство
   $$\frac{1}{2}(a+b)^2 + \frac{1}{4}(a+b) \geqslant a\sqrt{b} + b\sqrt{a}.$$

А. Н. Смоляков

3. На плоскости расположены два равносторонних треугольника $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$, вершины которых заимерованы по часовой стрелке. Из произвольной точки $O$ отклонены векторы $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$, равные, соответственно, вектора $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$. Докажите, что точки $A, B, C$ также являются вершинами равностороннего треугольника.

Л. П. Купцов

4. Имеется четыре краски и бесконечного много квадратных плиток со стороны длины 1. Разрешается окрашивать стороны плиток так, чтобы цвета всех сторон у каждой плиточки были равны, и приклеивать плиточки друг к другу стороны одного цвета. Для каких чисел $m$ и $n$ эти плиток можно склеить прямоугольник размера $m \times n$, у которой каждой стороны покрашена одним цветом и цвета всех стороны разные?

В. А. Уфнаровский

9 класс

1. Докажите, что при всех действительных $x > 0, y > 0$ и при всех действительных $a$ справедливо неравенство
   $$x^{\sin^2 a} \cdot y^{\cos^2 a} < x + y.$$

В. И. Буренков

2. Имеется куб и две краски: красная и зеленая. Двое играют в такой игру. Начинающий выбирает 3 ребра куба и красит их в красный цвет. Его партнер выбирает 3 ребра из тех, что еще не покращены, и красит их в зеленый цвет. После этого снова 3 ребра в красный цвет красит начинающий, а затем 3 ребра в зеленый цвет — его партнер. Запрещается перекрашивать ребро в другой цвет или красить дважды одинаковой красной. Выигравает тот, кто первым сумет покрасить своего красной все ребра какой-нибудь грани. Верно ли, что начинающий при правильной игре обязательно выиграет?

Н. Х. Адаханов

3. По кругу записаны $n \geqslant 3$ натуральных чисел так, что для каждого числа относение суммы его соседей к нему является натуральным числом. Докажите, что сумма таких относений: а) не меньше 2n; б) меньше 3n (M875).

О. Р. Мусин

4. Окружность с центром в точке $O$, выснаная в треугольник $ABC$, касается его стороны $BC, AC, AB$, соответственно, в точках $A_1, B_1, C_1$. Отрезки $AO, BO, CO$ пересекают окружность соответственно в точках $A_2, B_2, C_2$. Докажите, что примыты $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

И. Ф. Шарын

10 класс

1. При каких целых $m$ и $n$ выполняется равенство
   $$(5+3\sqrt{2})^m = (3+5\sqrt{2})^n?$$

Ю. В. Михеев

2. В строку ввозрастящем порядке выписали $n$ различных действительных чисел. Под ним во вторую строку выписали те же числа, только, быть может, в другом порядке. Для каждой пары чисел, выписанных одно под другим, вычислили сумму. Эти суммы образовали третью строку. Оказалось, что числа в третьей строке также расположены ввозрастящем порядке. Докажите, что первая строка совпадает со второй.

А. В. Анджанс

3. Дан треугольник $ABC$. Через точку $P$ провели прямые $PA, PB, PC$, которые пересеклили описанной оклоэ этого треугольника окружность в точках $A_1, B_1, C_1$, отличных от вершин треугольника. Оказалось при этом, что треугольник $A_1B_1C_1$ конгрузтен треугольнику $ABC$. Докажите, что существует не более восеми точки $P$ с указанным свойством.

И. Ф. Шарын

4. Положительные числа $x, y, z$ удовлетворяют системе уравнений

$$\begin{cases} x^2 + xy + \frac{y^2}{3} = 25, \\ \frac{y^2}{3} + z^2 = 9, \\ z^2 + zx + x^2 = 16. \end{cases}$$

Вычислите величины $xy + 2yz + 3zx$.

А. А. Болотов

Ребята довольно успешно справились с задачами, предложенными в первый день. Нибольшие трудности, как и ожидалось, вызвали задачи 8.4, 9.3, 9.4, 10.3 и 10.4. Особенно трудной оказалась задача 9.3. Лишь два участника сумели правильно решить оба ее пункта. Очень трудной оказалась и геометрическая задача 10.3, акуратоное решение которого представили лишь 3 участника. Однако ни в одном из классов не было задания, которое бы никтого не сумел решить. Жюри с удовлетворением отметил, что довольно трудную задачу 9.4 девятиклассики решали значительное лучшее, чем ожидалось, причем многое ребра сумели также решения, которые оказались проще решения, известного жюри.

13 апреля, после завершения работы над конкурсными задациями, ребра приняли участие в спортивном празднике.

Второй день

8 класс

5. Учителя написал на доке квадратный трехлень $x^2 + 10x + 20$, после чего по очереди каждил из учеников увеличил или уменьшил на единицу либо коэффициент при $x$, либо свободный член, но не оба сразу. В результате на доке оказался написан квадратный трехлень $x^2 + 20x + 10$. Верно ли, что в некоторых моментах на доке был написан квадратный трехлень?

А. А. Берзины

6. Монету радуса $r$ перемещают по плоскости так, что ее центр обходит контур выпукло