Квант 1985, №2 · Страницы

КВАНТ
2
1985

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Эдесь показаны системы записи чисел, придуманные людьми в разных эпохи. Слева верхxy — числовые цероглифы древнего Египта; правее — клиописные записи чисел древнего Babylonона (2500—2000 г. до н. э.). Во втором ряду слева — числа в записи древнихLEMENTиindeцез Майа (на нижней территории Пе-ру); правее — записи чисел аутекских элементов (XI—XVII века). В нижнем ряду слева — древнегреческий алфавитная запись чисел и рядом — знакомая вам древнегреская система численения.
Мы предладаем читателями записью 1985 в каждой из этих систем числения.

1

В НОМЕРЕ:

2 Памяты И. К. Кикопна
А. В. Бушмелев, С. А. Лавренченко. Мно-гогранички-торы
Л. С. Понтрягин. Обобщение чисел
А. А. Варламов, А. И. Маляровский. Перео-
ворная трубка длиной в эквATOR?

In memory of I. K. Kikoin
A. V. Bushmelev, S. A. Lavrenchenko.
Polyhedral tori
L. S. Pontryagin. Generalization of numbers
A. A. Varlamov, A. I. Malyarovski. An
equator-long speaking tube?

Новости науки
В. А. Бронштэн. Миллиsekундные пульсары

Science news
V. A. Bronshten. Millisecond pulsars

Лаборатория «Кванта»
А. А. Боровой. Пузырьки в жидкости

Kvant’s lab
A. A. Borovoy. Bubbles in liquids

Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10
Matematika 8, 9
Избранные школьные задачи

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Mathematics 8, 9
Selected school problems

«Квант» для младших школьников
Задания
Л. Кэрролл. Бег по кругу и длиной рас-
сказ

Kvant for younger school children
Problems
L. Carroll. A caucus-race and a long tale

Задания «Кванта»
Задания M906—M910; Ф918—Ф922
Решения задач M886—M890; Ф898—Ф902

Kvant’s problems
Problems M906—M910; P918—P922
Solutions M886—M890; P898—P902

Практикум абитуриента
А. И. Буздин, С. С. Кротов. Повторим гид-
ростатику

College applicant’s section
A. I. Buzdin, S. S. Krotov. Reviewing
hydrostatics

Информация (18)

Information (18)

Варианты вступительных экзаменов

College entrance examination problems

Наша обложка (58)
Ответы, указания, решения
Шахматная страница
Парадоксы пешечного эндшпила
(3-я с. обложки)

Our cover page (58)
Answers, hints, solutions
The chess page
Paradoxes of pawn endgames (3rd cover
page)

2

28 декабря 1984 г. на 77 году жизни скончался выдакшийся советский ученый-физик, дважды Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственных премий СССР, академик Исаак Кушелевич Кикоин.

Огромное внимание уделял И. К. Кикоин воспитанию молодого поколения. По его инциативе был создан журнал «Квант», главным редактором которого он был в течение 15 лет. Он возглавил оргкомитет Всесоюзных школных олимпiad, был автором ряда школьных учебников.

И. К. Кикоин часто встречался со школьниками. Последний раз он выступил перед ним во время вручения Школе естественных наук при Институте атомной энергии им. И. В. Курчатова премии Ленинского комсомола. Его выступление — своеобразное завершение молодежи.

«Я хочу рассказать вам, о чем я думал, принимаю эту нагруду, — образился к собрашмемся И. К. Кикоин. — Я думал о том, что вот я — академик, руководитель большого коллектива, у меня много нагруд, но без всяких сомнений все это — положение, степени, звания — обменял бы я на вашу молодость, на ваши 15, путь 17, лет.

А поменяться мне надо потому, что за долгую жизни я не успел насладиться любимой своей физикой, не хватило мне времени, ясно вижу теперь — не хватило. А ведь не было ни одного дня в жизни, ни выходного, ни праздника, ни отпуска, когда бы я его не занялася. Часто и сны вижу о физике. И все равно времени не хватило. Вы сами узнали, как это былоет, когда проживете жизнь.

Позотому сейчас не упускайте времени. Все равно его не хватит, но хотя будет не так обидно. Знаете, ученный — это не название должности и не место работы. Bot он вошел в laboratorию — и стал думать о науке, и стал ученым. Это не так. Ученый — это постоянное и часто мучительное, иногда прекрасное состояние. Bot примерно об этом я думал, когда мне передавали эту нагруду».

Пусть это напутствие И. К. Кикоина навсегда остanetся с вами, как и светлая память о выдающем ученом.

3

Многогранники-торы

А. В. БУШМЕЛЕВ, С. А. ЛАВРЕНЧЕНКО

В этой заметке расссказывается о том, как найти многогранник с наименьшим числом вершин, имеющий форму тора (бублика). Картоные модели таких «рекордных» многогранников-торов (с 7 и 8 вершинами) показаны на фотографины выше. В заметке расссказывается не только о теории вопроса, но даются рецепты изготовления подобных моделей.

Многогранником называют поверхность, ограничивающего некоторый объем и состоящую из конечного числа плоских многогуляников — граней многогранника. Стороны граней называются ребрами. К каждому ребру примыкаютровно 2 грани. От всякой грани можно перейти к другому, переходя через ребра. Грани могут пересекаться либо в одной вершине, либо по одному целому ребру.

Предположим, что наши многогранники — резиновые, а потому, после «раздувания» их как воздушных шариков, один из них будет походить на сферу, другие — на тор, третьи — на крепдель и т. д. (рис. 1). В дальнейшем под многогранниками будут подразмещаться исключительно многогранники с треугольными гранями.

Треугольные сети на поверхности

При «раздувания» данного многогранника ребра и грани искривляются, и на «раздутом» многограннике образуется сеть из кривойных треугольников. Таким образом, каждому многограннику соответствует треугольная сеть на сфере (если многогранник типа сферы) или на торе (если многогранник типа тора).

Такую треугольную сеть можно начертить непосредственно на поверхности сферы или тора. Для этого нужно отметить на поверхности определенное число точек (узлы), соединить их непересекающимся линиями без самопересечений (дугги) так, чтобы поверхность оказалась разбитой на части (области), каждая из которых ограничена треягуми и треягузами, а пересечение двух областей либо пусто, либо состоит из одного узла, либо состоит из одного ребра.

Reализация сетей многогранники

Теперь естественно поставить такой вопрос: всякая ли треугольная сеть, начерченная указанным выше образом на поверхности сферы или тора, получается из вершин, ребер и граней некоторых многогранника его «раздувания»? Другими словами, можно ли всякую треугольную сеть на сфере или на торе реализовать в виде настоящого многогранника так, чтобы узлы

4

и вершины, дуги и ребра, области и грани взаимно-однозначно соответствовали бы друг другу с сохранением примыкания (то есть так, чтобы узлы, соединенные другой, отвечали бы вершинам, соединенным соответствующим ребром, и дуги, ограничивающие область, отвечали бы ребрам, ограничивающим соответствующее грань)?

Для сферы положительной ответы был установлен еще давно немецким математиком Штейницем, который доказал к тому же, что многогранник, реализующий сеть, всегда можно выпуклым. В настоящее время доказано и обобщение теоремы Штейница на случай того: всякая треугольная сеть на торе реализуется многогранником.

Примеры треугольных сетей на торе

Для того чтобы привести такие примеры, можно взять резиновую камеру в форме тора, отметить на ней узлы и нарисовать дуги сети. Однако, то, что при этом получится, затруднительно будет изобразить на листе бумаги, поэтому будем пользоваться следующей разверткой тора на плоскости. Проведем на нашей камере две замкнутые линии — $C_1$ и $C_2$ (рис. 2a)). Затем разрежем камеру вдоль линии $C_1$ (рис. 26)), после чего камеру можно продеформировать в цилиндр (рис. 2в)). Разрезаем этот цилиндр по линиям $C_2$, и то, что получилось (рис. 2г)), растяиваем на плоскости в виде квадрата (рис. 2д)). Итак, тор можно изобразать на плоскости в виде квадрата с отношением противоположными сторонами.

Без доказательства сообщаем, что список треугольных сетей на торе с 7 и 8 узлами исчерпывается рисунком 3.

Задача. Докажите, что многогранников типа тора с числом вершин меньше 7 не существует.

Указание. Воспользовитесь формулой Эйлера $\Gamma - P + B = 0$ и соответствием $3\Gamma = 2P$ (вытекающим из того, что для треугольных сетей к каждому ребру примыкаютрово 2 грани, а каждая грань ограничена 3 ребрами), где $\Gamma$, $B$, $P$ число граней, вершин и ребер, соответственно.

Методика реализации сетей с малым числом узлов

Начем с реализации сети 6) (рис. 3) (модель изображена на с. 3 справа). ШестЬ вершин располагаются в некоторой плоскости $a = (v_2v_5v_7)$ (рис. 4). В этой же плоскости $a$ лежат 4 грани — $v_7v_2v_3$, $v_7v_3v_8$, $v_8v_4v_5$, $v_2v_4v_5$. Расположим вершину $v_1$ гдеибудь над $a$, а $v_6$ — где-нибудь под ней. Для каждой грани, исходящей из $v_1$ (из $v$), ребро, противолежащее вершине $v_1$ (вершине $v_6$), лежит в плоскости $a$; все такие ребра помещены снимом (красным) цветом на рисунке 4.

Переходим к реализации остальных сетей. Нам потребуется преобразование перестройки многогранников (рис. 5), которое можно применить к пале граней, дающих в объединении плоский выпуклый четырехугольник. В изложенном выше построении расположим $v_1$ над ребром $v_7v_5$, а $v_6$ — под ним. Перестройка, примененная к грамям $v_1v_7v_5$ и $v_6v_7v_5$, приводит

6

Обобщение чисел

Академик Л. С. ПОНТРЯГИН

В этой статье рассакано о развитию понятия числа — от счета предметов в глубокой древности до создания дейстvtельных чисел, компlexных чисел и квадерионов. Во второй части статьи (в следующем номере «Кванта»), на основании современных элементарных свойства чисел, векторов и многочленов, будет обязывано, почему дальнейшее обобщение понятия числа невозможно.

По мере того как проявлялись новые практические применения чисел и в результате развития теоретической математики понятие числа развивалось, появлялись новые числа. Первым практическим применением чисел был счет предметов. Для этого использовались целые положительные числа, которые приято называют натуральными. При изменении длии и при торговых расчетах приходилось делить целые числа друг на друга. При этом результат деления не всегда был целым числом. Поэтому возникла потребность в дробных или, что то же самое, рациональных числах. Для того чтобы вычитание рационального числа из другого рационального числа всегда было возможно, пришлось ввести отрицательные рациональные числа. Так образовался запас, или множество, всех рациональных чисел.

Еще в глубокой древности, задолго до появления отрицательных чисел, которые стали рассматривать в середине нашего тысячетеля, было установлено, что отношение длин диагонали квадрата к длине его стороны не является рациональным числом. Стало необходимым ввести новые числа, которые называют irrationalными. Так возникла запас, или множество, всех дейстvtельных чисел.

§1. Комплексные числа

В процессе развития алгебры математики стали рассматривать квадратные корни из отрицательных чисел. Квадратные корни из отрицательных чисел встречались в промежутках вычислениях, результаты которых оказались обучными действительными числами. Так возникла потребность в присоединении новых чисел — квадратных корней из отрицательных чисел. В действительности, достаточно добавить только одно «новое» число, так называемую минимую единицу i, которая определяется условием

$$i^2 = -1.$$

Это новое число i и было присоединено к множеству всех действительных чисел. С так возникшими числами приходилось произвольить всевозможные алгебраические вычисления, так что пришлось рассматривать многочлен относительно i. При учете условия (1), многочлен любой степени относительно

7

но $i$ превращается в многочлен первого степени, то есть записья в виде $z=x+iy=x+yi$, (2)

где $x$ и $y$ были обычными действительными числами. Числа вида (2) были названы компликсыми числами. Операции сложения и умножения компликсых чисел были определены как операции над многочленами относительно $i$ с учетом условия (1) следующим образом. Если $z_1=x_1+y_1i; z_2=x_2+y_2i$ (3) суть два компликсы числа, то сумма их определяется формулой

$$z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=\left(x_1+x_2\right)+\left(y_1+y_2\right)i.$$ (4)

Особую роль среди всех компликсых чисел играет число нуль, определяемое формулой

$$0=0+0i.$$ (5)

Оно обладает тем замечательным свойством, что

$$0+z=z+0=z.$$ (6)

Кажdomу компликсу числу соответствует противоположное ему число $-z$, определяемое условием

$$z+(-z)=0.$$ (7)

Существование противоположного числа обеспечивает возможность вычитания. Именно

$$z_1-z_2=z_1+(-z_2).$$ (8)

Произведение чисел $z_1$ и $z_2$ как многочленов относительно $i$ с учетом соответствия (1) дает следующий результат:

$$z_1z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+\left(y_1x_2+y_1y_2\right)^2=x_1x_2-y_1y_2+\left(x_1y_2+x_2y_1\right)i.$$ (9)

Среди всех компликсы чисел для умножения играет особую роль единица, определяемая формулой

$$1=1+0i.$$ (10)

Она обладает следующим свойством:

$$1z=z1=z.$$ (11)

Для того чтобы осуществить деление компликского числа $z_1$ на компликсу числа $z_2$, достаточно определить величины $1/z_2=z_2^{-1}$. Число $z_2^{-1}$ называется обратным к числу $z_2$. Для компликсу числа $z=x+yi$ обратное число определяется формулой

$$z^{-1}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i.$$ (12)

Из этой формулы видно, что число $z^{-1}$ всегда существует, когда $z \neq 0.$

Легко проверяется, что если число $z^{-1}$ определяено формулой (12), то мы имеем

$$z \cdot z^{-1}=z^{-1}z=1.$$ (13)

Тепер деление компликского числа $z_1$ на компликсу число $z_2 \neq 0$ определяется формулой

$$z_1/z_2=z_1\left(z_2^{-1}\right).$$ (14)

Таким образом возникла запас или множество двух компликсы чисел, среди которых содержится множество всех действительных чисел. Именно, это компликсы числа вида

$$z=x+0i.$$ (15)

В самом деле, при сложении и умножении двух компликсы чисел вида (15) $z_1=x_1+0i, z_2=x_2+0i$ по формулам (4) и (9), соответственно, мы получаем (проверте!) $z_1+z_2=(x_1+x_2)+0i$ и $z_1z_2=x_1x_2+0i$, то есть просто просмотр сложение и умножение действительных чисел $x_1$ и $x_2$. Таким образом, нет нуждаявать компликсу число $z=x+0i$ и действительное число $x$, можно считать действительные числа частю компликсы. Поэтому многочленов компликсы чисел называется расширеемм многочленов действительных чисел.

Уражнение

1. Найдите $a^2, a+b^2, ab^{-1}$, если $a=2+3i, b=5-i$.
2. Решите уравнения $az+b=0, az^2=b$, если $a=3+i, b=2-3i$.

§ 2. Основная теорема алгебры

Для того чтобы получить все компликсы числа, мы начали с присоединения к действительным числам только одного числа $i$, являющегося корнем алгебраической уравнения

$$z^2+1=0.$$ (16)

Однако оказывается, что мы тем самым пришли к таким запасу чисел, для которого любое алгебраическое уравнение уже имеет хотя бы один корень. Это есть основная теорема алгебры, доказанная величим немецким математиком К. Ф. Гауссом на рубеже XVIII и XIX веков. Сформируем эту теорему точнее.

Пусть

$$f(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_{n-1}z+a_m,$$ (17)

где $a_0 \neq 0$, произвольный многочлен степени $n \geq 1$ относительно $z$ с действительными коэффициентами. Тогда

8

Карл Фридрих Гаусс (1777—1855), великий немецкий математик, а также астроном, физик и геодезист. Выдающийся математическое способности Гаусс проводился еще в раннем детстве. К моменту зациты докторской диссертации, в 22 года, он был автором многих ярких открытий, в том числе первого строого доказательства основной теоремы алгебры. К этой теореме он относился с особым пристрастием, и впоследствии нашел не менее шести других ее доказательств! Трудно назвать такой отрасл теоретической и прикладной математики, в котором Гаусс не внес существеное включение. Из вопросов, затронутых в этой статье, отметим еще придуманную из геометрической интерпретационной комплексных чисел, в результате которого исчезли последние возможности против использования комплексных чисел в математике.

$f(z)$ имеет хотя бы один корень, то есть существует такое компплексное число $a$, что

$$f(a) = a_0 a^n + a_1 a^{n-1} + \dots + a_{n-1} a + a_n = 0.$$

(18)

Эта теорема была доказана Гауссом для действительных коэффициентов $a_0, a_1, \dots, a_n$. После эта теорема была доказана и для того случая, когда коэффициенты многочлена $f(z)$ являются компплексными числами.

Заметим, что для компплексных чисел имеет место коммутитивность умножения, то есть многожители можно менять местами:

$$z_1 z_2 = z_2 z_1.$$

(19)

После того как компплексные числа были построены и изучены, возникли ли почти в обобщении дальнейше. Именно нельзя ли построить величины с несколькими минимыми единицами, $i_1, i_2, \dots, i_k$, то есть совокупность величины — «обобщенных чисел» — вида

$$x = x_0 + x_1 i_1 + x_2 i_2 + \dots + x_k i_k,$$

(20)

где $x_0, x_1, \dots, x_k$ суть действительные числа, и для этих величины определять сложение и умножение, обладающие общными свойствами сложения и умножения чисел. Оказывается, что такие величины можно построить с третья edиницами $i_1, i_2, \dots, i_k$. Они называются кватернионами. Для них выполненые общные свойства сложения и умножения чисел, кроме закона коммутативности умножения (см. (19)). В конце прошло века выдающийся немецкий математик Ф. Г. Фробениус доказал, что дальнейшее по этому пути уже невозможно. Доказательство этой теоремы Фробениуса, составляющее главное содержание настоящего статия, будет изложено в следующем номере.

Для доказательства теоремы Фробениуса мне придется воспользоваться некоторыми результатами из алгебры, не входящими в выше действияную программу средней шкoles, касающимся деления и разложения многочленов на множители.

§ 3. Деление многочленов

При делении целого положительного числа $a$ на целое положительное число $b$, мы приходим к равенству

$$a = bh + k,$$

(21)

где $h$ и $k$ — целые неотрицательные числа, $k < b$. Число $h$ называется частным, а $k$ — остатком при делении числа $a$ на число $b$.

Способ деления чисел хорошо известен из аргументов. Но также, как и целые числа, можно делить друг на друга многочлены. Будем исходить из двух многочленов:

$$a(z) = a_0 z^p + a_1 z^{p-1} + \dots + a_p,$$

$$b(z) = b_0 z^q + b_1 z^{q-1} + \dots + b_q.$$

(22)

Будем предполагать здесь, что числа $a_0$ и $b_0$ не равны нулю, так что многочлен $a(z)$ имеет степень $p$, а многочлен $b(z)$ имеет степень $q$. В результате деления многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$ мы приходим к следующему токдеству, аналогичному равенству

9

в (21):

$$a(z) \equiv b(z) h(z) + k(z),$$

где степень многочлен $k(z)$ меньше $q$. Многочлены $h(z)$ и $k(z)$ называются соответственно частным и остатком при делении многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$.

Если $k(z)$ — тождественный нуль, то говоря, что многочлен $a(z)$ делится на многочлен $b(z)$, а $h(z)$ является частным от их деления.

Равенство (21) доказано варифметике, а тождество (23) должно доказывать в алгебре. Но деление многочленов не входит в ные действующую школьную программу. Чтобы доказать (23), мы должны построить такие многочлены $h(z)$ и $k(z)$, которые удовлетворяют этому тождеству. Процесс этого построения представляется собой очень важный алгоритм. Этот алгоритм очень похож на обычный алгоритм деления чисел «уголком». Поэтому, прежде чем разбирать его в общем виде, советую посмотреть практический пример деления двух многочленов, показанный на рисунке 1.

Опишем теперь алгоритм деления многочлена $a(z)$ степени $p$ на многочлен $b(z)$ степени $q$ в общем случае. Если $p < q$, то тогда $h(z) \equiv 0$, $k(z) \equiv a(z)$ и тождество (23) выполняено.

Теперь мы можем строить многочлены $h(z)$ и $k(z)$ в предположении, что $p \geq q$. Сперва построим тождество

$$a(z) \equiv b(z) h_1(z) + a_1(z),$$

в котором степень многочлена $a_1(z)$ меньше $p$. Для этого положим

$$h_1(z) = \frac{a_0}{b_0} z^{p-q}.$$

Тогда разность

$$a(z) - b(z) h_1(z) \equiv a_1(z)$$

имеет степень меньше, чем $p$, так как в этом многочлене коэффициент при $z^p$ равен нулю. Остальные степени $z$, входящие в этот многочлен, очень меньше $p$. Таким образом, тождество (24) построено.

Если многочлен $a_1(z)$ имеет степень, меньше чем $q$, то тождество (24) уже является тождеством (23). В противном случае к многочлену $a_1(z)$ применим ту же процедуру, которая применена к многочлену $a(z)$ при построении тождества (24). Тогда мы получим для него тождество

$$a_1(z) \equiv b(z) h_2(z) + a_2(z),$$

причем степень многочлена $a_2(z)$ уже меньше, чем степень многочлена $a_1(z)$. Если многочлен $a_2(z)$ уже имеет степень, меньше чем $q$, то, подставляя $a_1(z)$ из последнего тождества в тождество (24), мы получим тождество

$$a(z) \equiv b(z)(h_1(z) + h_2(z)) + a_2(z),$$

которое уже является тождеством (23). Если многочлен $a_2(z)$ тоже имеет степень, больше чем $q$, то мы продолжим наше

построение dalleше и в конце концов доказем нужное тождество (23).

Здесь мы описали процесс деления многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$, то есть нахождение многочленов $h(z)$ и $k(z)$, входящих в тождество (23). Докажем теперь, что эти многочлены однозначно определяны многочленами $a(z)$ и $b(z)$. Допустим, что нарушу с тождестом (23) имеет место тождество

$$a(z) \equiv b(z) h_0(z) + k_0(z),$$

причем степень многочлена $k_0(z)$ меньше $q$. Вычитая тождество (25) из (23), получим

$$b(z)(h(z) - h_0(z)) = k_0(z) - k(z).$$

Так как степень многочлена $b(z)$ равна $q$, а степень многочлена $k_0(z) - k(z)$ меньше $q$, последнее тождество может иметь место лишь при условии $h(z) - h_0(z) \equiv 0$, так что и $k_0(z) - k(z) \equiv 0$.

Заметим в заключение, что в процессе деления многочлена $a(z)$ на многочлен $b(z)$ не могут появиться комплисные числа, так что если многочлены $a(z)$ и $b(z)$ имеют действительные коэффициенты, то многочлены $h(z)$ и $k(z)$, входящие в тождество (23), также имеют действительные коэффициенты.

У практике 3. Разделите многочлен $x^8 + 2x^5 + 2x^4 + x^2 + 2x$ на многочлен $x^3 + 1$.

§ 4. Разложение многочленов на неприводимые многоители

Пусть

$$f_0(z) = z^n + a_1z^{n-1} + \dots + a_n$$

— многочлен произвольной положительной степени $n$ с произвольными действительными или комплисными коэффициентами. Как было отмечено ранее, этот многочлен имеет хотя бы один комплисный корень $a$. Докажем теперь, что если $f_0(z)$ имеет асоидим корнем, то есть

$$f_0(a) = 0,$$

то многочлен $f_0(z)$ делится на двулен $z - a$, так что имеет место равенство

$$f_0(z) \equiv (z - a)f_1(z),$$

где, очевидно, $f_1(z)$ имеет степень $n-1$.

11

Рис. 2.

ся на неприводимый многочлен первой или второй степени с действительными коэффициентами, так что частное $f_2(z)$ от деления новых есть многочлен с действительными коэффициентами. Значит, многочлен $f_0(z)$ разлагается на действительные неприводимые многочлены степени 1 или 2.

Из этого вытекает важный вывод:

Произвольный корень a многочлена $f_0(z)$ является корнем неприводимого многочлена первой или второй степени.

Упражнение 4. Разложите многочлен $2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 8x$ на неприводимые многочлены 1 и 2.

§ 5. Кватернионы

Как уже упоминалось, кватернионы имеют три минимые единицы. Эти единицы принято обозначать через $i, j, k$.

(37) Таким образом, каждый кватернион записывается в виде

$$x = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k,$$

(38) где $x_0, x_1, x_2, x_3$ — действительные числа, называемые координатами кватерниона $x$.

Пусть

$$y = y_0 + y_1 i + y_2 j + y_3 k$$

— второй кватернион. Кватернионы $x$ и $y$ считаются равными тогда и только тогда, когда их координаты равны, то есть когда имеет место равенство

$$x_0 = y_0, x_1 = y_1, x_2 = y_2, x_3 = y_3.$$

(40) Сложение кватернионов $x$ и $y$ производит по правилам

$$x + y = x_0 + y_0 + (x_1 + y_1) i + (x_2 + y_2) j + (x_3 + y_3) k.$$

(41) Можно сказать, что кватернионы складываются покоординатно, то есть так, как складываются векторы 3-мерного векторного пространства при помощи сложения их координат. (Только координат у кватерниона не три, а четыре.) В этом смысле можно рассматривать кватернионы как векторы «четырехмерного пространства». Представить себе четырехмерное пространство, конечно, трудно. Здесь вам может помочь анализ с трехмерным пространством (рис. 2).

При умножении кватернионов действительные числа можно переставлять с единицами $i, j, k$. Поэтому для задания правил перемножения кватернионов следует задать правила перемножения единиц (37). Оно следует:

$$i^2 = j^2 = k^2 = -1;$$

(42)

$$ij = -ji = k; \quad jk = -kj = i; \quad ki = -ik = j.$$

(43)

В общем виде формулы сложения и умножения кватернионов можно посмотреть в «Кванте», 1983, № 9, с. 13. Для того чтобы задать кватернион, обратный к кватерниону $x$, ведем понятие сопряженного кватерниона $\bar{x}$. Мы определим его по формуле

$$\bar{x} = x_0 - x_1 i - x_2 j - x_3 k.$$

(44)

Простые вычисления дают

$$x\bar{x} = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = |x|^2.$$

(45)

Кватернион $x^{-1}$, обратный к $x$, определяется формулой

$$x^{-1} = \frac{\bar{x}}{|x|^2}.$$

(46)

Для него имеет место соответствие $x^{-1}x = xx^{-1} = 1$.

12

Миллисекундные пульсары

Кандидат физико-mатематических наук
В. А. БРОНШТЭН

Как уже сообщалось в «Кванте» (1983, № 12, с. 12), сравнительно недавно учены обнаружили два самых быстрых (на сегодняший день) пульсара. Один из них — он находится в созвездии Лисички — имеет период приблизительно 1,6 миллисекунды, другой, видимый в направлении созвездия Лебедя, вращается с периодом около 6,1 миллисекунды.

Чем интересны эти пульсары, и почему они сразу же привлекли к себе внимание учены?

По современным представлениям пульсары — это нейтронные звезды, обладающие мощным магнитным полем. Привращении звезды наблюдается, периодические попадания в области направленного пучка радиоволн, фиксирует излучение в виде отдельных импульсов с периодом вращения звезды.

Нейтронные звезды образуют в результате выгорания термоядерного горючего (водорода, геляя, углерода и т. п.) внедrax звезд с массой, превышающей массу Солнца. Сначала выгорает водород, превращаясь в гели (этот процесс происходит в недрах Солнца и большинства звезд), затем начинает выгорать гели, затем углерод и т. д. Лишьвщись источников энергии, поддерживающих равновесное состояние звезда испытывает катстрофическое skeptие (до размеров порядка 10 км) и, соответствно, резко увеличивается скорость ее вращения.

Но так можно было быясьить существование пульсаров с периодами вращения около одной секунды. Факт образования миллисекундных пульсаров требовал особого объяснения.

Такое объяснение предположили практическими одновременно две группы исследователей —четверо американских учены во главе с М. Алпаром и, независимо от них, индивидуальной астрофизик Дж. Сринивасан и голландский астрофизик Э.ван den Xейвель. Вот какой гипотезой они руководствовались.

Допустим, что когда-то образовалась система двойной звезды, в которой одна звезда (назовем ее А) превосходила по массе другую (компонент В). Несколько миллионов лет назад звезда А, как более массивная, первой исчезла зарасывало вначало и начала скиматться. При этом часть вещества стала перетекать на звезду В. Когда звезда А полностью лишилась источников термоядерной энергии, она взорвалась как сверхновая, а ее остаток образовал пульсар.

Между тем подошли к концу запасы ядерного горючего и в звезде В. Терьер вещество начинает перетекать с нее на пульсар (остаток звезды А), при этом вращение пульсара может заметноускориться. Возможно, что после этого звезду В постигнет заже судьба, что и звезду А, — она взорвется и образует молодой пульсар.

Разработывая свою гипотезу, указанные учены еще не знали о существовании миллисекундных пульсаров. Они хотели объяснить свойства других пульсаров, входящих в двойные системы и обладающих довольно быстрым вращением — с периодом порядка десятьков миллисекунд. Открытие же самых быстрых пульсаров надежно подтвердило эту гипотезу.

Okazалось, что пульсар в созвездии Лебедя действительно входит в двойную систему. Установлено, что период образования этого пульсара во круглгцентра масс системы равен 120 суткам, а его орбитка близка к круговой. Второй компонент системы — это белый карлик с массой, примерно второе меншей солнечной.

А как же объяснить существование первого миллисекундного пульсара (в созвездии Лисички), который не входит в двойную систему?

По мнению Сринивасана иван den Xейвеля такая система могла разрушить при взрыве звезды В, так что оба пульсара — остатки звезд А и В — разлеплись в разные стороны. Есть и другие обяснения. Неоменно то, что дальнейшие исследования привести много интересного в понимании природы этих замечательных небесных тел.

Наблюдения миллисекундных пульсаров могут дать необходимые и очень важные результаты для изучения нашей планет системы. Дело в том, что из-за движения Земли вокруг голлца частоты изучения пульсаров изменяются с годовым периодом. Исследования этих годовых флуктуации позволяют точнее, чем классические методы небесной механики, определять малейшие отклонения в движении Земли под действием прижжения других планет (планетные возмущения), а значит, и массы возмущающих планет.

И наконец, что не менее важное для науки, миллисекундные пульсары могут стать новым эталоном времени.

Переговорная трубка длиной в экватор?

Кандидат физико-mатематических наук
А. А. ВАРЛАМОВ,
кандидат физико-mатематических наук
А. И. МАЛЯРОВСКИЙ

Сидя на кухне за завтраком, часто можно услышать не слишком приятное дребезжание, которое какой-то шутник произвал «пением водопроводных труб». Прекратить это «коммунальное музицирование» иногда удалется, открыв водопроводный кран в своей квартире. Большинство людей после этого облегченно возврашает к переванному завтраку, не особенно задумываясь над физической существующее происледнего явления. А задамать стоит. Почему звук, возбуждаемый стреуей воды в неисправном кране в одной из квартир, не дает покоя обитательм всего подъезда, связанного одним водопроводным стояком?

Ведь если в той же квартре свистнуть в свисток, то это услышат разве что соседи в близжайших квартирах, да и то, если дом новый. «Пение» же водопроводной трубы слышно везде, с первого по последний этаж.

Такое различие обусловлено двумя причинами. Первая — это звуковозилирущее действие стен и перекрытия, которые отражают и поглощают звуки свистка. А звуковая волна, распространяющаяся по водопроводной трубе, с ним не взаимодействует и проходит с этажа на этаж бесплатно. Теперь — о второй причине. При звучании свистка возникшая аккутичская волна распространяется в пространстве по всем направлениям, и ее волновая поверхность (см. «Физика 10», § 31), или волновой фронт, имеет форму сферы. Площадь этой сферы растет по мере удаления от источника звука, и интенсивность звуковой волны — то есть энергия, прохождение через единицу площади волнового фронта в единицу времени, — по мере удаления от источника падет (найдите сами, по какому закону).

А звуковая волна, возникшая в водопроводной трубы, «одномерна»: отражаясь от стенок трубы, она не расходит во все стороны в пространстве, а распространяется в одном направлении — вдоль самой трубы — без распределения волнового фронта, так что интенсивность звука по мере удаления от источника практики не изменяется. В этом смысле водопроводная трубка представляет собой аккутичский волновод — канал, в котором звуковые волны распростраются в определенном направлении практики без ослабления.

Другим примером аккутичского волновода служит переговорные трубы, с помощью которых с давних времен и по сек день на судах передаются команды с капитанского мостика в машинное отделение. Заметим, что затухание звука в воздухе при распространии по волноводу оказывается настолько малим, что если бы удалось сделать такую трубку длиной в 700 км, то она смогла бы служить своеобразным «телефоном» для передачи разговора из Москвы в Ленинград и обратно. Однако вести разговор по такому «телефону» было бы крайне затруднительно, поскольку

14

собеседник слышал бы сказанное вам примерно через полчаса.

Подчеркием, что отражение распространяющейся в волноводе волны от его границ является определенным свойством волновода — именно благодаря ему энергия волны распространяется не во все стороны в пространстве, а передается в заданном направлении.

Сравнительно недавно, около трицати лет назад, учены СССР и США обнаружили, что природа сама создала гигантские акустические волноводы, которые по своим размерам значительное превосходят даже выдуманную нами переговорную трубку между Москвой и Ленинградом. Такие волноводы при определениях условий возникают в океанах. Учены назвали их подводными звуковыми каналами, или, сокращенно, ПЗК. Распространяющиеся по таким каналам звуковые волны могут быть приняты за тысячи километров от их источника. Так, в одном из наиболее удачных экспериментов звук от подводного взрыва, произведенного учеными у берегов Австралии, общеел под водой поливину земного шара и был зарегистирован другой группой исследователей у Бермудских островов, на расстоянии 19 600 км от Австралии (до сих пор это — рекорд дальнейности распространения импульсных звуковых сигналов.

Каков же механизм образования такого волновода? Что в нем служит отражениешим границами, заставляющими звуковые волны распространяться на столб отромные расстояния? В качестве верхней границы сразу же направляется поверхность океана, которая достаточно хорошо отражает звук (см. Приложение). Однако она редко бывает новый из-за постоянного волнения; а это приводит кxaотическая рассеянию на ней звуковых волн. Дно же отражает звук слабо и служить нижней отраженной границей волновода никак не может. Поэтому границы волновода в океане следует искать где-то между домом и поверхностью. И они были найдены. Эти границы оказывались слойы воды на определенных глубинах океана.

Как же происходит отражение звуковых волн от «стенок» ПЗК? Что ответить на этот вопрос, нам придется рассмотреть, как вообщепроисходит распространение звука в океане.

Do such пор мы говорили о волноводах, молчально предполагая, что скорость распространения звука в них постоянна. Между тем хорошо известно, что скорость звука в океане коллеется от 1450 м/c до 1540 м/c. Она связана с температурой воды, ее соленостью, с величины гидроэлектического давления и с другими факторами. Рост гидроэлекткого давления приводит к тому, что при погружении на каждые 100 м скорость звука увеличивается на 1,6 м/c. С ростом температуры скорость звука также возрастает. Однако в океане температура воды, как правило, довольно резко убивает по мере удаления из верхних, хорошо прогретых, слоев воды в глубину, где она выходит практически на постоянное значение. Действенные этих двух механизмов приводят к такой зависимости скорости звука от глубины, как это показано на рисунке 1. Вблизи поверхности преобладающей влияние оказывает быстрое распределение температуры — в этих сложных скорость звука уменьшается с ростом глубины. По мере погружения температура меняется все медленнее, а гидроэлектическое давление продолжает возрастать. На некоторых глубинах этих двух факторов «увравновешивается» — на этой глубине скорость звука минимальная; а дальше она начинает возрастать с увеличением глубины за счет рост гидроэлектического давления.

Итак, скорость распространения звука в океане зависит от глубины. И этосказывает на характер распространения звука. Для того чтобы понять, чем определяется ход звука

15

Рис. 2.

вых лучей в океане, мы обратимся к оптической аналоги: посмотрим, как распространяются световые лучи в стопке из плоскопаралельных пластинок с различными показателями преломления, а затем обобщим наш результат на случай среды с плавно меняющимся показателем преломления.

Рассмотрим стопку из плоскопаралельных пластин с разными показателями преломления $n_0, n_1, n_2, \dots, n_k, \dots$, причем $n_0 < n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots$ (рисунок 2). Луч, падающий из самой верхней пластинки на пластинку 1 под углом $a_0$, после преломления на границе 0—1 составит угол $a_1$ с нормально к этой границе; под таким углом он упадет на границу 1—2; после преломления на этой границе луч, пройдя пластину 2, упадет на границу 2—3 под углом $a_2$, вновь преломится и т. д. Согласно закону преломления,

$$\frac{\sin a_0}{\sin a_1} = \frac{n_1}{n_0}, \frac{\sin a_1}{\sin a_2} = \frac{n_2}{n_1},$$
$$\frac{\sin a_2}{\sin a_3} = \frac{n_3}{n_2}, \dots, \frac{\sin a_{k-1}}{\sin a_k} = \frac{n_k}{n_{k-1}}, \dots$$
($c_0 > c_1 > c_2 > \dots > c_k > \dots$). Переменная последовательно эти равенства друг на друга, мы получим соответствие

$$\frac{\sin a_0}{\sin a_k} = \frac{c_0}{c_k}.$$

Устремляя толщину каждой пластинки к нулю, а число пластинок к бесконечности, мы приедем к обобщению закону преломления, который описывает ход светового луча в среде с плавно меняющимся показателем преломления (этот закон называют обобщенным законом Снеллиуса):

$$c(z) \cdot \sin \alpha(0) = c(0) \cdot \sin \alpha(z),$$

где $c(0)$ — скорость света в месте входа луча в среду, а $c(z)$ — скорость света на расстоянии $z$ от границ среды. При таком предельном переходе ломанная линия, показывающая ход луча, превращается в плавную кривой. Явление искривления световых лучей при распространении света в среде с непрерывно меняющимся показателем преломления называют рефракцией.

Зная, как меняется скорость света в среде, мы можем, пользоваться соответствием (), указывает, каким будет ход того или иного луча, попавшего в среду. Точно так же, по тому же закону (), происходит искривление заковых лучей при распространении закуса в недорогой среде, где скорость закуса плавно изменяется. Частный случай такой среды и представляет собой океан.

Тепер вернемся к вопросу о том, как распространяется звук в ПЗК. Представим себе, что источник звука находится на глубине $z_m$ (рисунок 3). Каков будет звуковых лучей, выходящих из источника? Луч, идущий вдоль горизонтали $z = z_m$, будет прямолинейным. А те лучи, которые выходят под неокотыми углами к этой горизонтали, будут искриваться. По аналогии это явление называют рефракцией звука. Поскольку и выше, и ниже уровня $z_m$ скорость закуса возвращает, заковые лучи будут искриваться в направлении горизонтали $z = z_m$; в какой-то момент луч становится «паралельным» этой горизонтали и, «отразившись», повернет к ней (см. рисунок 3).

Итак, рефракция звука в океан приводит к тому, что часть звуковой энергии, излучаемой источником, может распространться, не выходя на

16

Поверхность воды и не доходя до дна. А это и означает, что в такой среде реализуется волноводный механизм распространения звука — подводный звуковой канал. Роль «стенок» этого волновода выполняет слой воды на тех глубинах, где проискодит «поворот» звукового луча.

Уровень глубины $z_m$, на которой скорость звука минимальная, называют осью ПЗК. Объчно величины $z_m$ лежат в диапазоне 1000–1200 м; однако в тропических шипотах, где вода прогревается на большие глубины, ось ПЗК может опускаться и до глубин в 2000 м. Наоборот, в высоких шипотах влияние температуры на распределение скорости звука сказывается только в приповерхностном слое, и ось ПЗК поднимается до глубин 200–500 м, а в полярных шипотах — еще близке к поверхности.

В окане могут существовать два прициппально различных типа ПЗК. Канал первого типа образуется в том случае, когда скорость звука у поверхности воды ($c_0$) меньше, чем у дна

$(c_\pi)$. Этот случай обычно имеет место в глубоководных районах, где давление у дна достигает сотен atmosфер. Звук, идущий из воды в воздухх, хорошо отражается от поверхности их раздела (см. Приложение), и если поверхность океана гладкая (штиль), то она служит резкой верхней границей волновода и канал занимает весь слой воды от поверхности до дна (рисунок 4).

Посмотрим, какая часть звуковых лучей «захватывается» в ПЗК. Для этого перепишем полученное нами ранее соответствие (*) в таком виде:

$$c(z) \cdot \cos \varphi_1 = c_1 \cdot \cos \varphi(z),$$

где $\varphi_1$ и $\varphi(z)$ — углы, образуемые звуковым лучом с горизонтальной плоскостью на глубинах $z_1$ и $z$ соответственно. Эти углы называют углами скольжения. (Понятие, что $\varphi_1 = \pi/2 - a_1$, $\varphi(z) = \pi/2 - a(z)$.) Если источник звука находится на оси ПЗК, то $c_1 = c_m$; канал занимает лучи, для которых угол скольжения у дна равен $\varphi(z) = 0$. Так что все лучи, которые выходят из источника под углами скольжения $\varphi_1$, удовлетворяют условиям (см. рисунок 4)

$$\cos \varphi_1 \geq \frac{c_m}{c_\pi},$$

попадают в ПЗК.

При/herновой поверхности воды звуковые лучи будут рассенвать на ней; те лучи, которые уйдет от поверхности под достаточно большими углами скольжения, должны дойти до дна и там поглотятся. Однако и в этом случае канал может захватывать все те лучи, которые благодаря рефракции чуть-чуть не доходят до волнуощей поверхности (рисунок 5). Канал

17

при этом пространства от поверхности до глубины $z_k$, которая определяется из условия $c(z_k)=c_0$. Понятно, что такой канал захватывает все звуковые лучи с углами скольжения $\varphi_1 \leqslant \arccos \frac{c_m}{c_0}$.

Канал второго типа характерен для мелководных районов и образуется в случае, когда скорость звука в близи поверхности оказывается большей, чем у дня (рисунок 6). Он занимает слой воды от дня до глубины $z_k$ такой, что $c(z_k)=c_0$. Это как бы перевернуть канал первого типа в случае волнушений поверхности.

Если источник звука расположен близи оси ПЗК, то в точку приема сигнала приходит, как правило, множество звуковых лучей, причем время прохождения звука по ним различно и оказывается максимальным для осевого луча (скорость распространения звука на этой глубине минимальная). Интенсивность короткого импульсного сигнала, регистрацииемого в точке приема, растет от начала приема к концу, поскольку между временами прихода импульсов по разным лучам к концу приема сигнала уменьшается, и они начинают накладывать один на другой, что и приводит к увеличению интенсивности. Последним приходит звуковой луч, распространящийся вдоль оси ПЗК (с нульым углом скольжения), после чего сигнал резко обращается.

Для определенных типов зависимости скорости звука от глубины ПЗК действует на звуковые лучи подобно фокусирующей linense: если излучатель расположен на оси ПЗК, то лучи, вышешие под различными углами скольжения, будут периоди-

чески одновременно скодиться на оси канала в точках, называемых фокусами ПЗК. Так, для канала, в котором скорость звука меняется с глубиной по закону, близком к параболическому — $c(z)=c_m(1+\frac{1}{2} b^2 z^2)$, — фокусы для лучей, вышеших под малыми углами скольжения, будут находиться в точках $x_n=x_0+\pi n/b$, где $n=1, 2, \dots$ (рисунок 7). Такой профиль кривой $c(z)$ близок к реальному распределению скорости звука в глубинных ПЗК. Отклонения от точной параболической зависимости в $c(z)$ приводят к размытю фокусов на оси ПЗК.

Ну, а можно ли заставить звук, распространяясь по ПЗК, совершить кругосветное путешествие — обогнутый под водой вес земной шар и вернуться к своему источнику? Нет, нельзя. Первой, и самой непреодолимой, пергадой служат материалы и значительные перепады в глубинах Мирового океана. Поэтому нельзя выбрать такой путь, вдоль которого существовал бы единый ПЗК вокруг всего земного шара. Но это не единственная причина. Звуковая волна, распространяющаяся в ПЗК, отличается от звуковых волн в водопроводной трубе и переговорной трубке. Как уже говорилось, при распространении в этих волноводах звуковая волна одномерна, площадь ее волнового фронта постояна на любом расстоянии от источника звука, и, следовательно, интенсивность звука (без учета тепловых потерь) также будет постояна в любом сечении трубы. В подводном звуковом канале звуковая волна распространяется не вдоль прямой, а по всем направлениям

18

в плоскости $z=z_m$. Поэтому волновым фронтом является цилиндрическая поверхность, и уже из-за этого интегисовность звука падает по мере удаления от источника пропорционально $1/R$, где $R$ — расстояние от источника звука до места наблюдания (сравните эту зависимость с полученным вам ранеем законом убивания интегисовности для сферической звуковой волны в трехмерном пространстве, а также со случаем одномерной звуковой волны, для которого интегисовность не меняется с расстоянием вообще).

Другой причиной ослабления звука служит затухание звуковой волны при ее распространении в морской воде. Энергия волны переходит в теплиз-за треня в воде. Кроме того, звуковая волна рассеивает в океане на различных неоднородности, которые могут служить взвешенные в воде частицы, пузырыки воздуха, планкton и даже газовые пузыры рыбы. Это явление использует, в частности, для обнаружения с помощью ультразвуковой локации косяков рыбы.

В заключение заметим, что описанный подводный звуковой канал — отнюдь не единственный пример волновода, существующего в природе. Так, дальнейшее радиовещание с наземных радиостанций возможно только благородя распространению радиоволн в атмосфере по гигантским волноводам. В определениях условий в атмосфере могут образоваться волноводные каналы и для электромагнитных волн с частотами светового диапазона. Тогда, в результате сверхдальних миражей, в центре пустыми можно видеть величаю плывущий морской корабль, а среди океана вдруг поднимается город.

Приложение
Рассмотрим вопрос об отражении и прохождения звуковой волны на границе раздела двух сред.

Информация

Вечерняя математическая школа при факультете вычислительной математики и книбретики МГУ им. М. В. Ломоносова объявляет весенний набор учашихся 7—9 классов. Основная цель ВМШ — углубить в объеме школьной программы и расширить знания по математике, научить основам программирования и работы на ЭВМ. Занятия в школе проводятся в виде лекций и семинарских занятий. Дляучащихся ВМШ организуются встречи с учеными факультета. Успешно закончившие школа получают свидетельство об окончании ВМШ. Прием произвольности по результатам собственника, которое состоит из марта в 10 часов по адресу: 119889, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет ВМК; телефон для справок 139-53-74.

19

Пузырьки в жидкости

Доктор физико-математических наук
А. А. БОРОВОЙ

Как устройна пузырьковая камера?

В начале пятидесятых годов нивен-heго столетия молодой сотрудник Мичиганского университета (США) Дональд Глейзер придумал новый тип прибора, регистрациишего элементарные частицы. Он получил название пузырьковой камеры.*)

На рисунке 1 изображена современная пузырьковая камера. Это содержение, занимающее большой зал высотой в несколько этажей, основное сложной технической и управляемое быстроествующими электропроводными машинами. Многие из установок имеют даже собственные имена: «Людмила», «Мирабель», «Гаргамель» и т. п.

*)Об этом и других детекторов элементарных частиц можно прочитать, например, в книге А. А. БОрового «Как регистрают частицы» (М.: Наука, 1981, серия «Виблотечка «Квант»)). (Примеч. ред.)

Однако первые модели камер, изготовленные Глейзером, никак нельзя было назвать печатляющими (рис. 2). Их главная часть представлена собой стеклянную ampульу с эфиром объёмом несколько кубических сантиметров. Жидкость была нагрета и находилась под давлением около 20 атмосфер (1 атм≈10⁵ Па). Специальное устройство (то же несложное) позволяет быстро сбросить давление, но при этом эфир закипал не сразу. Если во время такого «ожидания» через жидкость пропелала заряженная часть, оставляя за собой след из ионов, то вдоль следа появлялись пузырьки пара. Сфотографировав след, можно было снова повисить давление, пузырьки исчезали (раздавливались), и прибор был опять готов к работе.

Так пузырьки в жидкости оказались необыкновенно полезными для физики элементарных частиц. На рисунке 3 представлен один из снимков, сделанных с помощью пузырьковой камеры.

Почему же пузырьки появлялись именно на пути частицы?

Сначала вспомним, что такое кипение

Кипение — это образование по всему объему жидкости пузырьков пара, которые растут и вспышают на поверхности. Очевидно, что для этого давление пара в пузырьках должно быть больше, чем давление в жидкости (иначе последняя их разделит). Все знают, что при нормальном ат-

Рис. 1. Пузырьковая водородная камера «Мирабель», использая для исследования в Институте физики высоких энергий.

Рис. 2. Трек заряженной элементарной частицы, полученный в первой пузырьковой камере Глейзера.

20

мосферном давлении кипит при 100 °C. Именно при такой температуре давление насыщенного пара становится достаточно, и жидкость закипает. Но всегда ли закипает?

Возьемдве пробирки. Одну из них вымоеем особенно тщательно, проследим, чтобы на стенках не было царапин или посторонних частиц, и наполним ее дистиллированной водой (приблизительно 10 cm³). Во вторую пробирку нальем такое же количество, но водопроводной воды и еще бросим кусочек мела. Будем подгревать пробирки в одинаковых условиях и в отсутствие прямого соприкосовения с огнем. Оказывается, вода в них будет кипеть по-разному (рис. 4).

В пробирке с водопроводной водой кипение начинается раныше, и процесс этот будет присходить достаточно спокойно и непрерывно. Пузырьки пара образуются, в основном, на кусочке мела. Что касается пробирки с дистиллированной водой, то процесс кипения в ней начинается позже (при большей температуре) и будет присходить неравномерно. В жидкости образуется большие пузыри, их появление и схлопивание сопровождают громким треском.

В лаборатории удается очистить сосуд и воды (использовается дважды дистиллированная вода) так хорошо, что кипение не наступает вплоть до температуры 140 °C. Если в такой воду, ее называют перегретой, бросить круплинку, произойдет взрыв — так быстро образуется пузыри с паром. Химики хорошо знают это свойство кипкости. Для того чтобы процесс

Рис. 3. Фотографика процессов взаимодействия и превращения элементов частиц в жидководородной пузырьковой камере.

кипения проискодил равномерно, без взрыва, в сосуд помещают так называемые «кипелики» — обломки стеклянных или фарфоровых трубок, кусочки мрамора и т. п.

Объяснение описанных выше свойств связано с наличием у жидкости поверхностного натяжения. Поверхность жидкости можно представить себе как растянутую упругуюпленку. Пленка стремится сжаться — силипровностного натяжения стремится раздавить образованшийся пузырк. Дополнительное давление *), обусловленное этим силами, тем больше, чем меньше радиус пузырька, так что процесс кипения подвляется в самом зародыше. Именно поэтому однородную жидкость удается перегревать. В то же время, любые недородности как в самой жидкости, так и связанные с посторонними включениями, обладают кипение. Такие недородности образуются, в частиности, на пути заряженной частицы, вот почему он становится местом образованния первых пузырьков. Теперь понятно, что важнейшее условие работы камеры Глейзера — это однородность эфира и чистота амплуы.

Неколько любопытных наблюданий над пузырьками в жидкости

Такие наблюдания можно проверить, использую газированную воду. Ее поведение иногда аналогично поведению перегретов жидкости. Сразу же возникет вопрос: почему и когда газированная вода может служить модель перегретов жидкости?

Для оптовов понадобится бутылка лимонада, стакан, ложка, сахар и долка шоколад (перечисленные материалы в любом случае гарантируют пряятный результат экспериментов). Начнем с того, что быстро открыем бутылку с водой, тогда над горлышком в первый момент появится дымок. С чем это связано?

Теперь нальем воду в стекан и подождем, пока опадет пена и в воде будет подниматься только отдельные пузырьки. Закроем стекан плотно

*) Дополнительное давление на пузыре можно оценить по формуле p=2σ/r, где σ — коэффициент поверхности поверхности натяжения, r — радиус пузырька. Такое давление испытывает жидкость в капилляре непредедвенно под выпуклой (полуферрической) поверхности (см. «Физика 9», с. 94).

21

прилегающий крышкой — через некоторое время выделение газа совсем прекратиется. Откроем стакан, и пузырыки появятся вновь. Почему?

Вросим в стакан щепотку сахара. «Кипение» воды успilitся, и на ее поверхности снова появится пена. Очевидно, в воде еще содержалось достаточно много углекислого газа. Что же мешало его выходу, и какую роль сыграл здесь сахарный песок? Бурно выхода газа и появления пены можно добиться и другими путями, например перемешивание жидкости или переливанием ее из одного стакана в другой.

Наконец, возьмем маленький кусок шоколад (можно ягоду) и бросим его в стакан. Шоколад тяжелее воды и поэтому пойдет ко дну. Здесь он начинает образать пузырыками газа, и они, как поплавки, поднимут шоколад на поверхности. Пузырыки выйдет в воздух, кусочek шоколад вновь опустится на дно и т. д. Иного такое всплывает и погружение может повторяться до десяти раз.

Как ответить на поставленные вопросы?

По существу, все объяснение свойства к ответу на первый вопрос — почему газированная вода напоминает перегретую жидкость.

Наверное, многие из вас знают, как можно приготовить газированную воду. Нет, не промышленным способом, а обычным домашним — с помощью сифона и баллончиков с углекислым газом (CO₂). Газ из баллончика под давлением поступает в пространство над жидкостью. Для того чтобы он быстро расторялся в воде, сифон встречавал. Расторение газа происходит до наступления равновесия.

Если он химически не реагирует с жидкостью, то равновесное содержание (плотность, концентрация) газа в жидкости пропорционально его давлению над поверхностью.*)

(Известны и другие домашние способы приготовления «шпучки» — добавлением в воду лимонного сока, питьевой сокы и т. п.)

Когда мы быстро открываем бутылку с газированной водой, газ, находящийся над поверхности под давлением, быстро расширяется и одновременно охлаждается. Пары воды, выходащие вместе с ним, конденсируются, образуя туманное облачко (дымок). После того как давление над поверхности значительное уменшится, расторенный в воде улекислий газ начинает выходить из нее, причем как через поверхность газ — жидкость, так и путем образования пузырыков в объеме жидкости. Сначала, после открытия бутылки, когда равновесие нарушено особенно сільно и в воде имеет больший избыток углекислого газа, пузырыки образуют легко и их много. Поэтому жидкость начинает пениться. Постепено пена спадает, хотя в воде все еще остается «лишний» газ. Но теперь образование пузырыков затруднен — концентрация газовых молекул стала меньше и случайным образом срабатывает им вместе и образовать сразу пузырек, который бы не раздавил силы поверхности поверхности натяжения, трудно. Пузырыки начинают расти только на недородностих в воде, и это действительное положение на поверхности поверхности.

*)В случае с углекислым газом и водой положение несколько сложнее, так как они реагируют друг с другом. Но получающаяся кислота — соединение нестойкое и легко распадается.

22

Объяснить все последующие опыты, наверное, не составит для читателей большего труда.

Совершенно неожиданное применение газированной воды

Эту заметку мы начали с расссказа о пузьрьковой камере. Кончить ее нам хочеется расссказом еще об одном применении пузьрьков, причем тоже в физике элементарных частиц.

Неколько лет тому назад перед советскими физиками, исследующими свойства нейтрино, вступала следующая задача. Необходимо было из большого объема жидкости (сотни литров) известный несколькоатомов газа, которые образовались в этом объеме под действием нейтриного излучения. Газ был радиоактивный (неон-19), и его atoms распадались за время, меньше одной минуты. Поэтому буквально за секунды надо было среди $10^{28}$ атомов жидкости разыскать 5—10 атомов газа, известных их, транспортировать в счетчик и сосчитать! На первый взгляд, задача казалась нерешаемой.

На помощь пришла идея газированной воды. Жидкость перед облучением насыщалась углекислым газом. Спазу после облучения объем открывался, и жидкость энергично перемешивалась специальными лопастями. Происходило бурное кипение, тем самым поверхность, через которой могли выйти atoms неона, увеличиваясь в десяти тысяч раз. Выходящий углекислый газ выносил их, а сам поглощался в другом сосуде (в расстояние щелочки). Неон собирался в специальной пробирке и в ней быстро перемешался в счетчик. Все процесура занимала меньше двадцати секунды.

Обобщение чисел

(Начало см. на с. 6)

Так как для кватернионов не имеет места коммутиативность, то есть не всегда имеет место равенство $xy=yx$, деление кватерниона $x$ на кватернион $y$ может произойти «слева» или «справа». Частное $z$ от деления кватерниона $x$ на кватернион $y$ следует формулой

$$z=y^{-1}x. \tag{47}$$

Частное от деления кватерниона $x$ на кватернион $y$ следует формулой

$$z'=xy^{-1}. \tag{48}$$

Для этих частных мы имеем формулы

$$yz=x; \quad z'y=x. \tag{49}$$

Заметим, что среди всех кватернионов выделяется многоесто действительных чисел. Это все кватернионы $x$, для которых $x_0$ — произвольное действительное число, а остальные координаты равны нулю. Таким образом, многоесто всех кватернионов является расширением многоесто действительных чисел.

Как уже было сказано, при переменной кватернионов не имеет место коммутиативность. Все остальные естественные правила, имеющие место для действительных и комплексных чисел, сохраняются.

Уражение 5. Для кватернионов $q_1=2+i+j$ и $q_2=1+2i-k$ выполните действия $q_1+q_2, q_1q_2, q_1^{-1}q_2$ и решите уравнение $q_1z=q_2$.

23

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Когда к телу приложены параллельные силы» предназначена восемиклассик, «О числе Фарадей и удельном загде загженной частицы» — девятиклассик, «Абсолютно черное тело» — девятиклассик.
Материалы подготовил Н. К. Белкин.

Когда к телу приложены параллельные силы

Хорошо известно, как найти равноведействующую двух сил, приложенных к материальной точке (рис. 1). На векторах, изображающих эти силы, как на сторонах строят параллельграмм; диагональ со стрелкой на конце, проведенная из точки, к которой приложены силы, и есть вектор равноведействующей.

Когда две силы приложены не к материальной точке, а к телу, но так, как показано на рисунке 2, то равноведействующая определяется таким же образом. Получая тем, что точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия («Физика 8», § 46), находят точку C, в которой пересекаются линии действия обихих сил.

Полагая, что силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ приложены именно к этой точке, строят параллельграмм и проводят диагональ. Правда, точка C может оказаться и вне тела, но тогда точку приложение

прявнодействующей можно выбрать в любом месте на линии ее действия. Действительно, какую точку не выбрали, равноведействующая сила $\vec{F}$ сообщит телу такое жеускорение или вызовет такой же врашающий момент, как и силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$, вместе взятые.

Если силы параллельны и направлены в одну сторону. Пусть к телу приложены две параллельные сонправленные силы (рис. 3). Линнией действия таких сил иггде не пересекаются, и параллелограмм на них построить нельзя. Тем не менее сложить эти силы и найти их равноведействующую можно.

Нетрудно понять, что равноведействующая направлена параллельно обим силам и ее модель равен артимтической сумме моделей складываемых сил. А в какой точке она приложена? Или, другими словами, к какой точке тела надо приложить силу, равную по модели, но противоположную по направлению равноведействующей, чтобы тело находилось в равновесии?

Чтобы найти точку приложения равноведействующей двух параллельных и одинаково направленных сил, можно воспользоваться правилом моментов («Физика 8», § 48). Проведем прямую, соединяющую точки A и B (см. рис. 3). Где-то на этой прямой должны, очевидно, находиться и точка приложения равноведействующей. Пусть это будет точка O. Допустим, что через эту точку проходит закрепленная ось, перpendикулярная плоскости, содержащей обе складываемые силы (то есть перpendикулярная плоскости рисунка). Если O действительно есть точка приложения равноведейств-

24

виущей, то тело будет находиться в равновесии — равноведущая уравновешивается силой реакции со стороны оси. С другой стороны, если тело с закрепленной осью находится в равновесии, то алгебраическая сумма моментов сил относительной этой оси должна быть равна нулю. Из рисунка 3 видно, что сила $\vec{F}_2$, будь она единственной, поворачивала бы тело вокруг $O$ по часовой стрелке, то есть момент $F_2 d_2$ положительный, а сила $\vec{F}_1$, если она была единственной, поворачивала бы тело против часовой стрелки — ее момент $F_1 d_1$ надо приписать отрицательный знак (здесь $d_1$ и $d_2$ — плечи сил $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$).

Следовательно,

$$F_2 d_2 - F_1 d_1 = 0,$$

или $$\frac{F_1}{F_2} = \frac{d_2}{d_1}.$$

Из подобия треугольников AOC и BOD находится, что $d_1/d_2 = r_1/r_2$. Поэтому окончательно получаем

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2}{r_1}.$$

Это значит, что равноведущая двух параллельных, одинаково направленных сил приложена к точке, делящей отрезок, соединяющий точки приложения складываемых сил, в отношении, обратном отношению моделей сил. Ясно, что эта точка лежит близке к большей из сил.

Если направления параллельных сил противоположны. Приложенные к телу параллельные сил могут быть направлены и в противоположные стороны (рис. 4). Тепер точка приложения равноведущего $\vec{F}$ не может находиться где-то между точками приложения сил $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$. Ведь вокруг точки, лежащей между ними, каждая сила поворачивает тело про-
тив часовой стрелки, знаки моментов этих сил одинаковы, и их сумма не может быть равна нулю, как это требуется для равновесия.

Легкоогдается, что точка приложения равноведущего лежит за точкой приложения большей силы, как это и показано на рисунке 4. Модуль же равноведущего равен модулю разности моделей сил $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$.

В какой же именно точке приложена равноведущего? На каком расстоянии $r_2$ от точки приложения большей силы? Воспользуемся опять правильом моментов:

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2}{r_1},$$

или $F_2 = F_1 \frac{r_1}{r_2}$.

Вычитем из правой и левой части последнего равенства величины $F_1$:

$$F_2 - F_1 = F_1 \frac{r_1}{r_2} - F_1 =$$

$$= F_1 \left( \frac{r_1}{r_2} - 1 \right) = F_1 \frac{r_1 - r_2}{r_2},$$

откуда

$$r_2 = \frac{F_1 \left( r_1 - r_2 \right)}{F_2 - F_1} = \frac{F_1 r}{F_2 - F_1}.$$

Таким образом, точка приложения равноведущего двух противоположно направленных параллельных сил расположена тем дальше от точки приложения большей из них, чем меньше разность моделей этих сил.

Пара сил. Мы видели, что если к телу приложения параллельные силы, одинаково или противоположно направленные, то всегда можно найти модулю и направление равноведущего этих сил и определить точку ее приложения. Если к этой точке приложить силу, равную равноведующей по модулю, но противоположную ей по направлению, то тело будет находиться в равновесии — оно не будет движаться поступательно и не будет врашаться.

Но, оказывается, есть один случай, когда равноведующую найти нельзя. Так бывают, если к телу приложения две параллельные, противоположно направленные силы, по модулю равные друг друга. Про также силы говорят, что они образуют пару сил. Модуль их равноведующей равен, конечно, нулю, а из формулы (*) видно, что при $F_2 - F_1 = 0$ противное $r_2$ до точки приложения равноведующей равно бесконечности, то есть что

25

такой точки попросту не существует. И в самом деле, какая же может быть точка приложения равнойствушей, которой нет?

Достаточно, однако, взглянуть на рисунок 5, чтобы понять, что под действием пары сил тело не будет находиться в равновесии — оно будет врашаться. Значит, у пары сил есть неотопленный какой оси? Нетрудно показать, что суммарный момент сил, составляющих пару, одинаков для любой оси, перепendlukулярной плоскости, в которой лежат обе эти силы (перpendикулярной плоскости рисунка). Действительно, возьмем любую точку $O$ и проведем через нее ось врашения. Moment $M_1$ силы $\vec{F}_1$ относительно этой оси равен $F_1 d_1$, момент $M_2$ силы $\vec{F}_2$ относительно этой оси равен $F_2 d_2$. Суммарный момент $M$ обеих сил равен $M_1 + M_2$:

$$M = F_1 d_1 + F_2 d_2.$$

Так как $F_1 = F_2 = F$, то $M = F(d_1 + d_2) = Fd$,

где $d$ — расстояние между линями действиями сил, составляющих пару, называемое плеом пары сил. Значит, момент пары сил равен произведению modуля одной из сил на плею пары. Так и говорят — момент пары сил — и не указавают относительно какой оси.

Как же все-tаки «ведет» себя тело, к которым приложена пара сил? Что ответить на этот вопрос, вспомним, что центр масс тела (о нем говорится в § 44 «Физики 8») движется так, как будто в нем сосредоточена вся масса тела и к нему приложены все действующие на тело сил (это утверждение называется в физике теоремой о движении центра масс). Но если сумма сил равна нулю, то центр масс не может.trонутся с места (если, конечно, он покопался до приложения сил). Когда на тело действует пара сил, сумма сил как раз и равна нулю, и она не может.tronутся в движение центра масс. Тело, однако, врашается. Значит, врашается оно во круглоге оси, проходящей через центр масс (ведь все точки на оси врашения находятся в покое). Оси врашения, проходящие через центры масс тел, тем и замечательны, что на них не действуют никакие силы.

О числе Фарадей и удельном заряде заряженной частицы

Явление электропила, известное с конца XVIII — начала XIX веков, особенно подробно было изучено віддающимся англійским Физиком М. Фарадем. В 1834 году была опубlikована статья Фарадей, в которой рассказывалось о результатах опыттов, приведших к установлению закона электропила. В этой же статье впервые Фарадем и ставшие теперь общепризнания. Это — электрод (а также катод и анод), он (катон и анод), электролит и называние самого процесса — электропила.

Закон электропила теперь (но не во времяна Фарадей) записьвается так («Физика 9», § 69):

$$m = \frac{1}{F} \frac{M}{n} I \Delta t.$$

Здесь $m$ — масса выделившегося на электроде вещества, $F$ — число (постоянная) Фарадей, $M$ — молярная (или atomная) масса вещества, $n$ — его валентность, $I \Delta t$ — заряд, прошедший через электропил.

Заметим, что величины, численно равная относительно М/n, в химии называется химическим эквивалентом (так она называлась и при Фараде, хотя поняття валентности тогда еще не было). Величина эта показывает, какая масса данного вещества вступает в соедининие с массой водорода, равной его atomной массе (или замена его массу в химических реакциях). Например, для atomного кислорода относительной масса равна 16, а валентность — 2, так что его химический эквивалент равен 8. Чтобы из кислорода и водорода получалась вода, на каждую единицу массы водорода должен приходит все единицу массы кислорода: 1 кг водорода содержится с 8 кг кислорода, и в результате получается 9 кг воды.

Физический смысл числа Фарадей. Допустим, что электропилз проводится так, что на электроде выделяется масса вещества, численно равная химическому эквиваленту. Тогда из закона электропила следует, что числа Фарадей $F$ численно равно электри-

26

ческому заряду, переносимому ionами, суммарная масса которых численно равна химическому эквиваленту. Из опитов $F=96500$ Кл/mоль.

Если выделившееся вещество одновалентное, его химический эквивалент численно равен массе одного моля, а число ионов, перенесших эту массу, равно числу Авогадро $N_A$. Если же на электроде выделилось двухвалентное вещество, 96 500 кулонов переносится числом ионов, вдвое меньшим числа Авогадро, и т. д.

Удельный заряд протона и других заряженных частиц. Представим себе, что опит с прохождением тока через электролит проводится так, что на каатode выделяется водород, причем его масса численно равна химическому эквиваленту. Поскольку водород одновалентен, через электролит пройдет один моль ионов водорода. Число этих ионов равно, конечно, числу Авогадро, а перенесенный имми заряд численно равен постояной Фарадей. Таким образом, мы можем сказать, что масса иона водорода численно равна относению химического эквивалента к числу Авогадро, а заряд этого иона численно равен относению постоянной Фарадей к числу Авогадро. Отсюда, согласно закону электролиза, получаем, что относение заряда иона водорода к его массе, называемое удельным зарядом иона, численно равно числу Фарадей, деленому на atomную массу.

Но ион водорода — это ядро atomова водорода. Оно имеет особое название — протон (ядра водорода входят в состав atomных ядер всех остальных химических элементов). В единицах СИ удельный заряд протона равен

$$\frac{q_p}{m_p} = \frac{F/N_A}{M/N_A} = \frac{9,65 \cdot 10^4 \text{ KJ/mоль}}{10^{-3} \text{ кг/mоль}} = 9,65 \cdot 10^7 \text{ KJ/kg}.$$

Почему мы здесь обращаем специальное внимание на удельный заряд протона? Дело в том, что удельный заряд всякой электрически заряженной частицы — одна из ее важнейших характеристик. От нее зависит, например, скорость иускорение частицы, движущейся в электрическом поле. Приведем два примера.

Пусть неокоторая частица с зарядом $q$ и массой $m$ движется в электрическом поле с направлением $\vec{E}$, так что на нее действует сила $q\vec{E}$. Напишем уравнение, выражающей второй закон Ньютона:

$$m\vec{a} = q\vec{E},$$

откуда для ускорения $\vec{a}$ частицы полукаем

$$\vec{a} = \frac{q}{m}\vec{E}.$$

Мы видим, что ускорение частицы определяется не ее зарядом и не ее массой по отдельности, а относением $q/m$, то есть уделным зарядом частицы.

Предположим, что частица, имеющая заряд $q$ и массу $m$, переместилась в электрическом поле от одной точки к другой, направление между которых равно $U$. Тогда работа, совершенная полем над частицей, будет равна $qU$. Если вначале частица покопалась, то за счет этой работы она приобретет кинетическую энергию $mv^2/2$:

$$qU = \frac{mv^2}{2}.$$

Отсюда для скорости частицы полукаем

$$v = \sqrt{2\frac{q}{m}U}$$

— скорость частицы определяется опять-таки ее уделным зарядом.

Абсолютно черное тело

Свет и цвет. Когда мы при дневном (солнечном) свете смотрим на различные тела, окружающие нас, мы видим их окруженными в различные цвета. Так, трава и листы деревьев — зеленые, цветы — красные или сине, желтые или фиолетовые. Есть также черные, белые, серые тела. Все это не может не вызвать удивления. Казалось бы, все тела освешены одним и тем же светом — светом Солнца. Почему же различны их цвет? Постараемся ответить на этот вопрос.

Будем исходить из того, что свет — это электромагнитная волна, то есть распространяющая переменное электромагнитное поле. В солнечном свете

27

содержатся волны, в которых электрическое и магнитное поля колеблотся с различными частотами.

Всякое же вещество состоит из атомов и молекул, содержащих заряженные частицы, которые взаимодействуют друг с другом. Поскольку частицы заряжены, под действием электрического поля они могут движаться, а если поле переменное — то они могут совершать колебания, причем каждая часть в теле имеет определенную собственную часть колебаний.

Эта простая, хотя и не слишком точная, картина позволяет нам понять, что происходит при взаимодействии света с веществом.

Когда на тело падает свет, электрическое поле, «принесенное» им, заставляет заряженные частицы в теле совершать вынужденные колебания (поле световой волны переменное!). При этом у некоторых части их собственная часть колебаний может совпасть с какой-то частотой колебаний поля световой волны. Тогда, как известно, произойдет явление резонанса — резкого увеличения амплитуды колебаний (о нем говорится в § 9 и 20 «Физики 10»). При резонансе энергия, принесенная волной, передается atomам тела, что в конечном случае, вызывает его нагревание. О свете, частота которого попала в резонанс, говорят, что он поглотился телом.

Но какие-то волны из падающего света не попадают в резонанс. Однако они тоже заставляют колебаться частицы в теле, но колебаться с малой амплитудой. Эти частицы сами становятся источниками так называемых вторичных электрических электромагнитных волн той же частицы. Вторичные волны, складываясь с падающей волной, совершают отраженный или прохождение свет.

Если тело непрозрачное, то поглощение и отражение — вот все, что может произойти с падающим на тело светом: не попавший в резонанс свет отражается, попавший — отражается. В этом и состоит «секрет» цветности тел. Если, например, из состав падающего солнечного света в резонанс попали колебания, соответствующие красному цвету, то в отраженном свете их не будет. А наш глаз устроен так, что солнечный свет, лишенный своей красной части, вызывает ощущение зеленого цвета. Окраска непрозрачных тел зависит, таким образом, от того, какие части падающего света отсутствуют в свете, отраженном телом.

Существуют тела, в которых заряженные частицы имеют так много различных собственных частот колебаний, что каждая или почти каждая часть в падающем свете попадает в резонанс. Тогда весь падающий свет поглощается, и отражается просто нечему. Такие тела называют черными, то есть телами черного цвета. В действительности черный цвет — это не цвет, а отсутствие всякого цвета.

Есть и такие тела, в которых ни одна часть в падающем свете не попадает в резонанс, тогда поглощения нет вовсе, а весь падающий свет отражается. Такие тела называют белыми. Белый цвет — тоже не цвет, это смесь всех цветов.

Излучение света. Известно, что всякое тело может само стать источником света. Это и понятно — ведь во всяком теле есть колеблющесая заряженные частицы, способные стать источниками испускаемых волн. Но при обычных условиях — при небольших температуре — частицы колебаний сравнительно малы, и испускаемые длины волн существенно превозходят длины волн видимого света (инфракрасный свет). При высокой температуре в теле «включаются» колебания и более высоких частот, и оно начинает испускать световые волны, видимые глазом.

Какой же свет излучает тело, колебания каких частот могут быть «включены» при нагревании? Очевидно, что возникнуть могут только колебания с собственными частотами. При низких температурах число заряженных частиц, имеющих высокие собственные частоты колебаний, мало, и их излучение незаметно. С повышением температуры число таких частот возрастает, и становится возможным излучение видимого света.

Связь между излучением и поглощением света. поглощение и излучение — это противоположные друг друг явления. Однако между ними есть нечто общее.

Поглощать — это значит «брать», излучать — значит «давать». А что «берет» тело, поглощая свет? Очевидно, что, что может взять, то есть свет тех части, которые равны собственным частотам колебаний его части. Что

28

«дает» тело, излучая свет? То, что оно имеет, то есть свет, соответствующий собственным частотам колебаний. Поэтому между способностью тела излучать свет и способностью его поглощать должна существовать тесная связь. И связь эта простая: тело излучает тем больше, чем сильнее оно поглощает. При этом, естественно, самый ярким излучателем должен быть черное тело, которое поглощает колебания всех частот. Математически эта связь была установлена в 1859 году немецким физиком Густавом Кирхгофом.

Назовем испускательной способностью тела энергии, излучаемую единшей площади его поверхности в единицу времени, и обозначим ее через $E_{\lambda,T}$. Она различна для разных длины ($\lambda$) и разных температур ($T$), отскода индексы $\lambda$ и $T$. Поглощательной способностью тела называем относение поглощенной телом световой энергии в единицу времени к падаюшей. Обозначим ее через $A_{\lambda,T}$ — она тоже различана для разных $\lambda$ и $T$.

Закон Кирхгофа гласит, что относение испускательной и поглощательной способностей одинаково для всех тел:

$$\frac{E_{\lambda,T}}{A_{\lambda,T}} = C.$$

Величина $C$ не зависит от природы тел, но зависит от длины волны света и от температуры: $C=f(\lambda,T)$. Согласно закону Кирхгофа, тело, которое при данной температуре лучше поглощает, должно интенсивнее излучать.

Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа справедлив для всех тел. Это значит, что его можно применить и к такому телу, которое поглощает все без исключения длины волн. Такое тело называют абсолютно черным. Для него поглощательная способность равна единице, так что закон Кирхгофа принимает вид

$$E_{\lambda,T} = C = f(\lambda,T).$$

Таким образом, становится ясным смысл функции $f(\lambda,T)$: она равна испускательной способности абсолютоно черного тела. Задача нахождения функции $C=f(\lambda,T)$ превращалась в задачу найти зависимость энергии излучения абсолютоно черного тела от температуры и длины волны. В конце концов, после двух десятилетий шеетных попыток она была решена. Ее решение, данное немецким физиком Максом Планком, стало началом новой физики — квантовой физики.

Заметим, что абсолютоно черных тел в природа не существует. Далее самоое черное из всех известных веществ — саха — поглощает не 100, а 98 % падающего на него света. Поэтому для экспериментального исследования излучения абсолютоно черного тела использованы искусственное устройство.

Оказалось, что свойств абсолютоно черного тела обладают… замкнутая полость с малым ответием (см. рис.ок). В самом деле, когда в ответстве попадает луч света, внутри полости он испытывает множество последовательных отражений, так что шансов выйти из ответствия нарушу у него очень мало. (По этой же причине открытое окно в доме кажется темным даже в яркий солнечный день.) Если такое тело нагреть, то излучение, исходшее из ответствия, практически ничем не отличается от излучения абсолютоно черного тела.

Хорошей имитацией абсолютоно черного тела может служить и труба, один конец которого закрыт. Если труду нагреть, ее открытий конец светит как абсолютоно черное тело. При общий же температуре он выглядает совершенно черным, как и ответствие в полости.

29

Математика 8, 9

Публикуемая ниже заметка «Еще 13 доказательства теоремы о bicсектрисе» адресована восемиклассикам. Заметка «О теореме Лагранжа» предназначаена для девятиклассиков. Естественно, какая из этих заметок может быть полезной и интересной не только учащимся указанных классов.

Еще 13 доказательства теоремы о bicсектрисе

В журнале «Квант» № 8 за 1983 год была помещена заметка С. Р. Сефи-бекова «Четыре доказательства теоремы о bicсектрисе». Редакция получила ряд писем от читателей, в которых приводятся новые доказательства этой теоремы. Основной настоящей заметки послужили материалы, которые прислал С. Г. Губа. Кроме того, были использованы доказательства, указанные А. В. Аляевым, А. Г. Гольдбергом, В. Н. Дубовым, А. И. Мостовым.

Напомним условия теоремы.
Во всяком треугольнике bicсектриса внутреннего угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Иными словами, если в треугольнике ABC проведена bicсектриса CD, то AD:BD=AC:BC.

Приведем еще семь доказательств этой теоремы, шесть из которых вполне доступны семиклассиком после прохождения темы «Преобразования фигур».

Очевидно, если AC=BC, то теорема верна. Поэтому будем считать, что AC≠BC. Пусть, например, AC>BC. тогда bicсектриса CD не может быть перепределилуран к стороне AB, так как в противном случае прямогольные треугольники CAD и CBD были бы равны по катету и прилежащему острому углу, откуда следовало бы, что AC=BC.

Первое доказательство. Построим на луче CD точку E, такую, что AE=AD (рис. 1). Тогда ∠AEC=∠ADE=∠CDB. Следовательно, треугольники ACE и BCD подобны (по двум углам). Это значит, что AE:BD=AC:BC. Принаяв во внимание, что AE=AD, получим AD:BD=AC:BC.

Второе доказательство. Построим на луче CD точку E, такую, что AE=AC (рис. 2). Тогда ∠AED=∠ACD, то есть треугольники AED и BCD подобны. Из их подобия имеем AD:BD=AE:BC. Поскольку AE=AC, то теорема доказана. Вариант построения — проверки через точку A прямую, паралельную CB, до пересечения с прямой CD в точке E.

Третье доказательство. Из вершин A и B опустим перепределилуры AE и BF на прямую CD (рис. 3). Из подобия прямогольных треугольников ADE и BDF получим AD:BD=AE:BF. В то же время из подобия прямогольных треугольников ACE и BCF будем иметь AC:BC=AE:BF. В полученных пропорциях правые отношения равны, поэтому равны и левые, то есть AD:BD=AC:BC.

Четвертое доказательство. Проведем через точку D прямую, паралельную стороне AC (рис. 4). Тогда по обобщенной теореме Фалеса

30

AD:BD=CF:FB. Из подобия треугольников ABC и DBF имеем AC:CB=FD:FB, и так как CF=FD, то AC:BC=CF:FB. Следовательно, AD:BD=AC:BC (оба отношения равны CF:FB).

Пятое доказательство. Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся к соответствующим основания. Поэтому $S_{CDA}:S_{CDB}=AD:DB$ (рис. 5). С другой стороны, по свойству биссектрисы, высоты в треугольниках CDA и CDB, опущенные из вершины D, равны. Следовательно, $S_{CDA}:S_{CDB}=AC:BC$. Итак, AD:BD=AC:BC=S_{CDA}:S_{CDB}.

Шестое доказательство. Опишем вокруг треугольника ABC окружность и продолжим CD до пересечения с окружностью в точке E (рис. 6). Из подобия треугольников ACE и DCB получаем AC:AE=CD:DB, то есть AC·DB=AE·CD. Из подобия треугольников BCE и DCA имеем BC:BE=CD:AD, то есть BC×AD=BE·CD. Заметив, что AE=BE, получим AC·DB=BC·AD, откуда AD:BD=AC:BC.

Седьмое доказательство. Проведем через точку D две прямые, одна из которых параллельна стороне AC и пересекает сторону BC в точке M, а другая — параллельна стороне BC и пересекает сторону AC в точке K (рис. 7). Легко доказать, что четырехугольник KCMD — ромб. Из подобия треугольников AKD и DMB имеем AD:BD=DK:BM. Так как DK=DM, то AD:BD=DM:BM. Заметив в полученной пропорции отношение DM:BM равным ему отношением AC:BC (на основании подобия треугольников ABC и DBM), получим

требуемую пропорцию.

С помощью построений, изображенных на рисунках 8—11, читатель предоставляется возможность получить еще четырехатательства этой теоремы.

В заключение наметим еще два доказательства теоремы, предназначенные для читателя, знакомых с векторами и геометрическими преобразованиями.

1. Для любой точки D отрезка $AB\cdot CD=λ\vec{A}+(1-λ)\vec{B}$, где λ=DB:AB; 1-λ=AD:AB. Действительно, $\vec{CD}=\vec{CB}+\vec{BD}=\vec{CB}+\lambda\vec{BA}=\vec{CB}+\lambda(\vec{CA}-\vec{CB})=\lambda\vec{CA}+(1-λ)\vec{CB}$.

В нашем случае вектор $\vec{CD}$ параллелен вектору $(1/CA)\cdot\vec{CA}+(1/CB)\cdot\vec{CB}$ (см. рис. 7) и поэтому $(1/CA):(1/CB)=λ:(1-λ)$, откуда AD:DB=CA:CB.

2. Выполним последовательное симметrio относительно точки D, готовим $H_{D}^{BD/AD}$ и $H_{C}^{AC/BC}$, а затем симметrio относительно биссектрисы CD (через $H_{O}^{k}$ обозначена гомотетия с центром O и коэффициент k). В результате точки A остатся на месте, а прямая CD перейдет в себя, в частиности, расстояние между ними сохранится. Следовательно, коэффициент итогового преобразования подобия равен 1, то есть $AC/BC\cdot BD/AD=1$.

В. И.

О теореме Лагранжа

Прежде всего напомним формулировку теоремы Лагранжа.

Пусть функция f дифференцируем в каждой точке некоторого промежутка. Тогда между любыми двумя точками a и b этого промежутка найдется такая точка c, что

$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).$$

Эта теорема допускает простую геометрическую интерпретацию. Возьмем на график функции f две точки A=M(a; f(a)) и B=M(b; f(b)) (см. рисунок). Угловой коэффициент прямой AB равен $(f(b)-f(a))/(b-a)$, угловой коэффициент касательной к графику функции f в точке с абсциссой x=c равен $f'(c)$. Позотому, записав

(Окончание см. на с. 36)

31

Задания

1. «Николай Иванович,— спросил Вадик у знакомого продавца магазина,— сколько стоит блокот?» «16 блокотов стоит только же рублей, сколько блокотов можнокупить на 1 рубль»,— с улыбкой ответил продавц. Соклько же стоит один блокот?

2. В последнее время я много ходу на льжах. Правда, позавчера я прошел на 3 км больше, чем вчера, а вчера на 40 км меньше, чем позавчера и сегодня вместе. Соклько клиентров я прошел на льжах сегодня?

3. «Нарисуйте в тетрадях какой-нибудь многоугольник, стороны которого проходят по линям сетки,— сказал учитель.— Так. Теперь найдите число его сторон». «12» — сказал Вова. «4» — сказал Петя. «10» — сказал Андрей. У них были нарушены многоугольники, изображенные на рисунке. Интересно, что у остальных школьников тоже оказались многоугольники с четным числом сторон. Почему?

4. Какая физическая ошибка допущена в следующем стихотворении:
   «Она жила и по стеклу tekла,
   Но вдруг ее морозом оковало,
   И неподвижной льдинкой капля
   стала,
   А в мире почавилось телла.»?

Эти задания нам предложили С.Р. Сефибеков, А. А. Панов, Н. К. Антонович. А. П. Савин.

Бег по кругу
и длиный рассказ

Л. КэРРОЛЛ

В 7-м и 8-м номерах «Кванта» прошлого года были опубlikованы первые две главы книги Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес», сабженные вопросы и задачи, придуманными в редакции. Судя по многочисленным письмам читателей, этот материал понравился. Поэтому мы продолжаем публикацию этой замечательной книги с новыми вопросами и задачи (см. следующее разворот журнала). Читатель, у которых есть эта книга, мы просим присылать задачи и вопросы к последующим главам, нашиная с шестой.

БЕГ ПО КРУГУ И ДЛИН
НЫЙ РАССКАЗ

Общество, собрание на берегу,
имело весма неприглядный вид: пе-
ры у птиц были взверощены, церстка
у зверьков промокла насвободь. Вода
текла с них ручьями, всем было
холодно и неуютно.
Прежде всего,
конечно, нужно было
решать, как посокорее
высохнуть. Стали держать совет.
Не прошло и несколько минут,
как Алиса уже чувствовала себя
так, словно знала их всех це-
луко жизни. Она даже поспорила
с Популячиком Лори, который
надуляя и только твердил:
— Я старше, чем ты, и лу-
ще знако, что к чем!
Алиса потребовала, чтобы
он сказал, сколько ему
лет, но Популячик реши-
тельно отказылся. На том
спор и кончилась.
Наконец, Мышь,
к которой все
относились с по-
тением, закрила:
— Садитесь, все са-
ditесь и слу-
шайте. Вы
у меня вымил
высохнете!
Алиса не отры-
торопливо продолжала: — «…нашел

— Я хотел сказать, — обиженно
проговорил Додо, — что нужно устро-
ить Бег по кругу. Тогда мы вып-
высохнем! — А что это такое? —
спросила Алиса. Сказать по правде,
ее это не очень интересовало, но
Додо многоозначительно молчал, вид-
но, ждал вопрос. И так как все
тоже молчали, пришлось справивать
Алисе. — Чем объяснять, — сказал
Додо, — лучше показать!
(Mожет, и ты захочешь как-
нибуль зимой

ПРАВМА
БНОСТЬ Ф
ОРМЫ-
НЕСУЦ

сыграть в эту игру? В та-
ком случае я расскажу те-
бе, что делал Додо.)
Сначала он народовал
на земле круг. Правда,
круг вышел не очень-то
ровный, но Додо сказал:

Задача 1.
Сколько лет популячику,
если в этом году
ему исполилиось
какова сумма
цифр его года
рождения?

1 минуту.
За сколько времени она съест 60 000 мышей?

но, — ответил Додо, ткнуть пальцем в Алису. Все окружили Алису и перебой закричали: — Награды! Награды! Раздавай награды! — Алиса растерялась. В замещательстве она суннула руку в карман и вытащила оттуда пакетик пукатов. (К счастью, следы их не размочили.) Она раздала их собравшимся — каждаому по пунату, только-только хватило. — Но она ведь тоже заслужила на граду, — сказал Мышь. — Конечно, — подхватил важно Додо. И, повернулись к Алисе, спросил: — У тебя осталось что-нибудь в кармане? — Нет, — ответила Алиса грустно. — Только на персток. — Давай его сюда! — Мы проспим-teбя принять

— Прошу вас, не уходите! — крикнул ей вскелед Алиса. — Доскажите нам вашу историю! — И все хорошо подержали ее: — Да-да, не уходите! Но Мышь только мотнула нетерпеливо головой и побежала быстрее. — Как жаль, что она не пожелала остаться, — взходнул Попутайчик Лори, как только она скрылась из виду. А старая Медуза сказала свою дочери: — Ax, дорогая, путь это послужит тебе уроком. Нужно всегда держать себя в руках! — Попидержите-ка лучшие языки, маменька, — ответила оная Медуза с легким раздражением. — Не вам об этом говорить. Вы даже устрицу выведете из терпения! — Bot бы сюда нашу Дину! — сказала громко Алиса, не обращаясь ни к кому в отдельности. — Она бы мигг притащила ее обратно! — Позвольте вас спросить: кто эта Дина? —pointerсосваля Лори. Алиса всегда была рада поговорить о своей любимиле. — Это наша кошка, — отвечала она с готовностью. — Вы даже представить себе не можете, как онаLOBит мышей! А птиц как хватает! Раз — и проглотила. Даже косточek не оставила! Речь эта произвела на собравшихся глубоке

КАКУНО НУЖНО
РАЗВИВАТЬ СИЛУ, ЧТОБЫ ДЕРЖАТЬ
СЕБЯ ВРУКАХ?
ЧТОБЫ ДЕРЖАТЬ
СЕБЯ ВРУКАХ?
Задача 6. Четыре бегуна расположились в вершинах квадрата со стороны a.
По команде они побежали со скоростью v. Каждый бегун все время бегит прямо на своего сосела по часовой стрелке.
Сколько времени будет продолжаться такой бег?

36

О теореме Лагранжа

(Начало см. на с. 30)

равенство (1) в виде $(f(b) - f(a))/(b-a) = f'(c)$, мы получим геометрическую интерпретацию теоремы Лагранжа: существует такая точка $c$ промежутка $]a; b[$, что касательная к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x=c$ параллельна прямой $AB$.

Точек $x=c$, для которых выполено равенство (1), может быть и более одной. В этом вы можете убедиться, выполив следующей упражнение.

1. Найдите все значения $x=c$, при которых для функции $f(x)=(x-1)^3$, $a=0$, $b=2$, выполняется равенство (1). (Ответ: $c=1-1/\sqrt{3}$ и $c=1+1/\sqrt{3}$.)

Мы хотим познакомить вас с механической интерпретацией теоремы Лагранжа. Пусть материальная точка движется по прямой и в момент $t$ имеет координату $s(t)$. тогда ее средняя скорость на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ будет равна $(s(t_2)-s(t_1))/(t_2-t_1)$. Хорошо известно, что мгновенная скорость в момент времени $t$ равна $s'(t)$. Вполне понятно, что в некоторых моменты времени мгновенная скорость будет больше средней скорости, в другие — меньше. Однако обязательно найти дется такой момент времени (и может быть не один!), что средняя скорость будет равна мгновенной. Следовательно, для некоторого $t_0 \in ]t_1; t_2[$

$(s(t_2)-s(t_1))/(t_2-t_1)=s'(t_0)$, то есть $s(t_2)-s(t_1)=s'(t_0)(t_2-t_1)$. (Сравните эту формулу с формулой (1).)

Отметим также, что в случае, когда $f$ не имеет произвольной в какой-либо точке, лежащей между $a$ и $b$, применять теорему Лагранжа нельзя: рассмотрите в качестве примера функции $f(x)=|x^2-1|$, $a=1/2$, $b=\sqrt{7}/2$.

Уражнения

2. Для каких промежутков можно применять теорему Лагранжа к функции $f$, если: a) $f(x)=x$; 6) $f(x)=[x]$; b) $f(x)=|x|$?

3. Материальная точка движется по прямой по закону $s(t)=t^3$, где $s$ — путь в метрах, $t$ — время в секундах. В какой момент времени ее мгновенная скорость равна средней скорости на промежутке от $t_1=13$ с до $t_2=46$ с?

4. В каких точках для функции $f(x)=x^2$ и $g(x)=px^2+qx+r$ для промежутка [a; b] выполено равенство (1)?

Как объяснить геометрические совпадение результатов для обихих функции?

Л. Н. Смоляков

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. В драматружке число малыхков составляет 80 % от числа девочек. Сколько процентов составляют число девочек в этом кругже от числа малыхков?

2. Какое из чисел больше: $\sqrt{1986}+\sqrt{1984}$ или $2\sqrt{1985}$?

3. Разложите $x^5+x+1$ на множители.

4. Длина боковой стороны трапеции равна $a$, а расстояние до нее от середины противоложной стороны равно $b$. Найдите площадь трапеции.

5. Докажите, что в любом треугольнике $R \geq 2r$, где $R$ и $r$ — радиусы соответствующего описанной и вписанной окружности.

Девятый класс

6. Какое из чисел больше: $\sqrt{1986}+\sqrt{1984}$ или $2\sqrt{1985}$?

7. Каким является треугольник (остроугольным, прямогольным или тупоугольным), если: a) его высоты 3, 4 и 5; b) его медианы равны 3, 4 и 5?

8. Найдите множество значений функций (без использования математического анализа):

a) $f(x)=2x+\frac{3}{x}$; 6) $f(x)=\frac{x^2+2x-2}{x^2-x+1}$.

9. Найдите $f'(2)$, если

a) $f(x)=(x-2)^2g(x)$, где $g(x)$ — произвольная дифференцируемая при $x=2$ функции;

6. $f(x)=(x-2)^2g(x)$, где $g(x)$ — произвольная непрерывная при $x=2$ функции;

b) $f(x)=(x-2)\left(\sqrt[3]{x+\sqrt[4]{x-2}}+(x-2)^2\times \sqrt[7]{x^5+\sqrt[3]{x}}\right)$.

10. Докажите, что любой треугольник можно спроектировать в правильный при помощи: a) параллельной проекции; 6)* ortогonalной проекции.

Десяты класс

11. Площадь основания прямых равна 1. Проведена плоскость, параллельная основанию прямых и делящая ее на две части равного объема. Найдите площадьечение.

12. Сравните числа: $2\sqrt{\log_2x}$ и $x\sqrt{\log_2x}$ (>1).

13. Докажите, что любая плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся ребер tetraэдра, делит его объем пополам.

14. Докажите, что для любых действительных чисел $a$, $b$, $c$ выполняется неравенство $a^4+b^4+c^4\geq abc$ (a+b+c).

15. a) В терраде проведены 4 отрезка, каждый из которых соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоложей грани. Докажите, что все 4 отрезка пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершины.

6. Докажите, что в любом tetraэдре $R \geq 3r$, где $R$ и $r$ — радиусы соответствующего описанной и вписанной сфере.

Публикацию подготовил В. М. Ивлев

37

Задчи

M906—М910; Ф918—Ф922
M906. а) Докажите, что при любом натуральном а уравнение
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{a}$$

имеет по крайней мере три решения в натуральных числах x и y.
6) Найдите число натуральных решений этого уравнения при a=1985.

M907. Про треугольник ABC с длинами сторона a=BC, b=AC, c=AB известно, что $3\hat{A} + 2\hat{B} = 180^\circ$. Докажите, что $a^2 + bc - c^2 = 0$.

T. A. Джортменадзе

M908. На стороне AB треугольника ABC выбирается точка P, и через нее проводятся прямые, параллельные BC и AC, до пересечения со сторонами AC и BC соответственно в точках M и N. При каком выборе точки P отрезок MN имеет наименьшую длину?
Решите эту задачу a) для треугольника с прямым углом C; 6)* для произвольного треугольника ABC.

Э. Г. Готман

M909. а) Докажите, что существует арифметическая прогрессия из 4 различных членов, содержащая только степени натуральных чисел $n^k (k \geqslant 2)$. Существует ли такая прогрессия из 6) любого конечного числа, в) бесконечного числа членов?
Существует ли бесконечная (не постоянная) арифметическая прогрессия, не содержащая г) ни одной степени натурального числа, д) ни одного числа, составленного из одинаковых цифр?

P. H. Азизян, B. Толстых, A. B. Аллеев

M910. На сторонах правильного шестиугольника взяты точки $A_1, A_2, \dots, A_6$ (рис. 1). Известно, что три попарно не смешные стороны шестиугольника $A_1 \dots A_6$ ($A_1A_2, A_3A_4, A_5A_6$) определяют треугольник KLM, вершины которого лежат на продолжениях диагоналей правильного шестиугольника. Докажите, что это верно и для трех других сторон шестиугольника $A_1 \dots A_6$.

С. Ю. Оревков

Ф918. Пара одинаковых группов A и B, связанных неверсом нитью длины l, начинает сокальывать с гладкого стола высоты l, причем в начальной момент групп B находится на высоте h=2l/3 от

38

пола (рис. 2). Доступный пола, грузик $B$ приплпает к нему; грузик $A$ в этот момент слетает со стола. На какой высоте над уровнем пола будет грузик $A$, когда нить вновь окажется натянутой?

Г. Л. Коткин

Ф919. На рисунке 3 показано долевое сечение прибора, использующего в качестве эталона длины. Центральный стержень $C$ и внешняя оболочка $A$ прибора сделаны из материалов с коэффициентом теплового расширения $\alpha_1$; их длины при $t_1=20$ °C одинаковы и равны $l$. Внутренняя груза $B$ сделана из материалов с коэффициентом теплового расширения $\alpha_2$. Какой должа быть длина внутренней трубы при $t_1=20$ °C, чтобы при изменении температуры полная эталона $|CD|$ не менялась?

А. П. Ершов

Ф920. Через трубку переменного сечение продукют воздуха. Входное отверстие трубки имеет площадь $S_1$, выходное — $S_2$. На входе скорость воздуха $v_1$, температура — $T_1$, давление — $p_1$; на выходе температура воздуха $T_2$, давление — $p_2$. Какова скорость воздуха на выходе?

Г. Л. Коткин

Ф921. Плоский конденсатор подключен к источнику напряжения $U$. Пластины конденсатора имеют площадь $S$ каждой, расстояние между пластинами равно $d_1$. К одной пластине прижата металлическая пластинка площади $S$ и толщины $d_2$ (рис. 4), имеющая массу $m$. Пластику отpusходит. С какой скоростью она ударится о другую пластину конденсатора? Влиянием силы тяжести пренебречь.

Ф922. Фотография муравы с близкого расстояния, экспериментатор использовал удлинительное колюц, которое увеличило расстояние от пленки до объекта на $\Delta l=7,5$ мм. Резкое изобравнение муравы получилось в том случае, когда на шкаffe объекта было установлено расстояние $b=1,05$ м (на шкаffe указываются значения расстояний от предмета до объекта без использования удлинительных колц). Фокусное расстояние объекта $F=50$ мм. На каком расстоянии от объекта находился муравей? Считать объектив тонкой линзой.

А. П. Ершов

Problems

M906—M910; P918—P922

M906. a) Prove that for any positive integer $a$ the equation

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{a}$$

has at least three positive integer solutions $(x, y)$.

b) Find the number of positive integer solutions for $a=1985$.

M. V. Slavinski

40

P921. A flat capacitor is connected to a source of tension $U$. The capacitor’s plates are of area $S$ each, the distance between them is $d_1$. A metal plate of area $S$, mass $m$ and thickness $d_2$ is pressed against one of the capacitor’s plates (Fig. 4). Then the metal plate is released. With what velocity will it hit the capacitor’s other plate?

P922. In order to get close up of an ant, a photographer added a cylindrical extension to his camera, increasing the distance between the film and the lens by $\Lambda l=7.5$ mm. A well focused picture of the ant was obtained when the distance reading on the camera was $b=1.05$ m (the distance reading does not take the extension into account). The focal distance of the lens is $F=50$ mm. What was the actual distance between the lens and the ant? The lens may be assumed thin.

A. P. Ershov

Решения задач
M886 — M890; Ф898 — Ф902

Ответ: a) можно (рис. 1); $s$ может равнять $\pm 41, \pm 12; 6)$ нельзя; b) можно (рис. 2); $s=\pm 8, \pm 24; r)$ можно; $s=\pm 3968, \pm 11904$.

Задача состоит в том, чтобы разбить некоторый набор из $4n-4$ последовательных целых чисел на $n-2$ четверки и еще 2 пары чисел так, чтобы суммы чисел во всех четверках и парах были одинаковы и равны $s$. Обозначим через $c$ сумму двух крайних из $4n-4$ таких чисел — наименьшего $m$ и наибольшего $M$. (Для дальнейшего заметим, что $M=m+4n-5$, то есть $c=2m+4n-5$ и $m=(c+5)/2-2n, M=(c-5)/2+2n$.) Разумеется, $c$ всегда нечетно. Сумма всех $4n-4$ чисел равна $(2n-2)c$, поэтому, если требуем разбиение воздуха, должно выполнять равенство

$$ns=2(n-1)c.$$

Это необходимое условие позволяет сразу использовать случай, когда $n$ делится на 4, в частности, $n=4$ (пункт 6) задачи): при таких $n$ разбиения не существует, поскольку правая часть (1) не делится на 4, а левая — делится.

Для нечетного $n$, к которым относится все дальнейшее, условие (1) также дает сильные ограничения: поскольку $n$ и $n-1$ взаимно просты, а $n$ и $c$ нечетны, $c$ делится на $n$, так что при неокотом нечетном $r$ должны выполнять равенства

$$c=nr, \quad s=2(n-1)r.$$

На рисунке 3 показано, как можно построить нужные разбиения для $r=1$ и $r=3$. Две пары чисел — «красная» и «желтая» — имеют одинаковые суммы $s$ (то есть общий центр симметрины в точке $s/2$), а остальные $4n-8$ чисел образуют четыре «голубые» последовательности по $n-2$