Квант 1985, №3 · Страницы

КЕАНТ
3
1985
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Здесь показана модель поверхности
из уникальной колекции, хранящейся
в Московском государственном универси-
тее. Модели колекции были
изготовлены в Германии
в начале века под руководством
великого немецкого
математика Феликса Клейна.
Изображенная поверхность —
это геометрический
образ одного из интегралов вида
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^3+ax+b}}$$
в комплексиой области.
Соответствие поверхности первогообразные —
так называемые
эллиптические функции — имеют
многочисленные приложения
к геометрии, теории чисел,
анализу и механике.

В НОМЕРЕ:

2 Л. С. Понтрягин. Обобщение чисел
6 В. А. Фабрикант. Парадокс Вавилова
8 А. С. Штейнберг. Репортаж из мира сплавов
L. S. Pontriagin. Generalized numbers
V. A. Fabrikant. The Vavilov paradox
A. S. Shteinberg. Report from the world of alloys

15 Лаборатория «Кванта»
A. В. Балко. Пинг-понг… в умывалнике
Kvant’s lab
A. V. Byalko. Ping-pong… in the sink

18 Школа в «Кванте»
Физика 9, 10
Избранные школьные задачи
Kvant’s school
Physics 9, 10
Selected school problems

23 «Квант» для младших школьников
Задания
Kvant for younger school children
Problems

24 Задачник «Кванта»
Победители конкурса «Задачник «Кванта»
Задачи M911—M915; Ф923—Ф927
Решения задач M891—M895; Ф903—Ф907
Н. В. Васильев. Задча о воскми точках
N. В. Vasiliev. The eight-point problem
List of readers who have sent correct solutions

32 Калейдоскоп «Кванта»
Kvant’s kaleidoscope

43 Практикум абитуриента
И. Г. Габович, П. И. Горницей. Сколько корней имеет уравнение?
College applicant’s section
I. G. Gabovich, P. I. Gornshtein. How many roots does the equation have?

47 Информация
Латвийские открыты оlimппады и летняя школа «Альфа»
Information
Latvian open olympiads and the “Alpha” summer school

50 Варианты вступительных экзаменов
College entrance examination problems

57 Ответы, указания, решения
Наша обложка (55)
Answers, hints, solutions
Our cover page (55)
«Квант» улыбается (49)
Шахматная страница
Возвращение фигур (3-я с. обложки)
Победители шахматного конкурса 1984 года (56)
Kvant smiles (49)
The chess page
Returning pieces (3rd cover page)
1984 chess contest prizewinners (56)

На фортеграфии, воспроизведенной на первой странице обложки, можно увидеть, как признама разладает белый свет в спектр.

2

Обобщение чисел

Академик Л. С. ПОНТРАГИН

В этой статье продолжен рассакз о возможных обобщениях понятия числа, начатый в предыдущем номере «Кванта»*). Эдесь показано, что вращаться данные в этом направлении, то есть продумывать дальнейшие обобщения чисел, отличные от рассмотренных в предыдущей статье, невозможно.

§ 6. Теорема Фробенууса

Пусть $L$ — некоторая совокупность величины $x$, которые записывают в форме

$$x = x_0 + x_1 i_1 + x_2 i_2 + \dots + x_n i_n,$$

где $x_0, x_1, x_2, \dots, x_n$ — действительные числа (координаты величины $x$), а символы

$$i_1, i_2, \dots, i_n$$

называются минимыми единицами.

В совокупности $L$ определяны сложение и умножение. Пусть $y$ — некоторая другая величина совокупности $L$

$$y = y_0 + y_1 i_1 + \dots + y_n i_n.$$

Величины $x$ и $y$ считаются равными тогда и только тогда, когда их координаты равны, то есть имеет место равенство

$$x_0 = y_0, x_1 = y_1, \dots, x_n = y.$$

Сложение величины $x$ и $y$ проискит по правилау

$$x + y = (x_0 + y_0) + (x_1 + y_1) i_1 + \dots + (x_n + y_n) i_n.$$

Таким образом, величины из $L$ складывают покординатно. Величины из $L$ можно и умножать на любое действительное число, тоже покординатно:

$$\lambda x = \lambda x_0 + (\lambda x_1) i_1 + \dots + (\lambda x_n) i_n.$$

Для того чтобы задать правило умножения величины $x$ и $y$ из $L$, мы должны прежнее всего принять, что действительные числа перестановочные с минимыми единицами (51), имеющими в $L$, то есть при переменении

$$*) См. «Кванта», № 2, c. 6.$$

выражений (50) и (52) объявим образом раскрывают скобки и группируются члены, в частности, $(x_1 i_1) \times (y_2 i_2) = (x_1 y_2)(i_1 i_2)$ и т.п. Кроме того, нужно определить, по какому правлу переменнойся минимые единицы (51), например указыть, чему равно $i_1 i_2$. При этом предполагается, что произведение двух любых минимых единиц системы (51) есть некоторая величина из $L$, однаком коммутитивности умножения минимых единиц мы не требуем. Результат Фробенууса заключается в том, что совокупность величины $L$ совпадает либо с совокупностью всех действительных чисел, в этом случае какая величина записьается в форме $x = x_0$, либо с совокупностью всех комплексных чисел, в этом случае какая величина из $L$ записьается в форме

$$x = x_0 + x_1 i,$$

(55)

либо с совокупностью всех квадратнойов, в этом случае величина из $L$ записьается в форме

$$x = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k.$$

§ 7. Неколько вспомогательных утверждений

При доказательстве теоремы Фробенууса я буду считать известным понятие векторного пространства $R^m$ произвольной размерности $m^*$. Например, что каждый вектор пространства $R^m$ задается последовательностью из $m$ действительных чисел, называемых координатами вектора. В этом пространстве определено сложение векторов, которое проискит покординатно, умножение вектора на действительное число, при котором все координаты вектора умножаются на это действительное число. Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю.

Пусть

$$u_1, u_2, \dots, u_k$$

— некоторая совокупность векторов пространства $R^m$. Векторы (57) называются линейно зависимыми, если имеются действительные числа, а $a_1, a_2, \dots, a_k$, не все равные нулю, такие, что

$$a_1 u_1 + a_2 u_2 + \dots + a_k u_k = 0.$$

Результат, которое я воспользовался здесь без доказательства, заключается

*) Необходимые сведения о векторных пространствах можно прочитать в Добавлении к этой статье (c.5).

3

в следующем. В векторном пространстве размерности m всякая система векторов из k штук, где k > m, линейно зависит.

Перейдем теперь к подготовительной части доказательства теоремы Фробенуса. Величину, входящую в совокупность величины L, будем считать действительными числом, если только ее координата $x_0$ отлична от нуля, остальные же равны нулю. Выберем из L такие величины z, которые удовлетворяют следующему условию: $z^2$ есть действительное неположительное число, то есть либо оно отрицательное, либо равное нулю. Совокупность таких величины обозначим через I. Заметим, что множество R действительных чисел и множество I имеют лишь один общий элемент — нуль.

Докажем теперь следующее:

Каждая величина x из L может быть представлена в виде суммы

$$x = a + z, \quad a \in \mathbb{R}, \quad z \in I$$

единивным образом.

Для доказательства этого утверждения составим последовательность величины x, начиная от нуля до n+1. Так как последовательность (60) содержит n+2 величины, а размерность векторного пространства L равна n+1, то величины (60) линейно зависит. А это значит, что существует многочлен f(u) некоторой переменной u с действительными коэффициентами, корнем которого является x, то есть выполнен условие

$$f(x) = 0.$$

Так как x есть корень многочлена f(u), число x будет корнем неприводимого многочлена с действительными коэффициентами степени один или два, как это было доказано в конце § 5. Если этот неприводимый многочлен имеет степень один, то есть имеет вид u—a, где a — действительное число, то x—a=0, и, следовательно, x есть действительное число a. Если неприводимый многочлен q(u) имеет вторую степень и его корни не являются действительными, то его легко преобразовать к виду

$$q(u) = (u-a)^2 + b,$$

где b — положительное число. Так как x является корнем этого многочлена, (x-a)^2=-b и x записьвается в форме

$$x = a + z,$$

где a — действительное число, а z ∈ I, либо z^2=-b. Таким образом, формула (59) доказана.

Докажем теперь, что слагаемые a и z в разложении (59) однозначно определяны величины x. Это утверждение легко проверяется в случае, когда x — действительное число, так как тогда z=x-a, а R и I имеют лишь один общий элемент — нуль, так что z есть нуль. Допустим, что нарушу с разложением (59) имеет место другое разложение:

Герман Грассман (1809—1877), немецкий математик, физик и филолог, создатель общего понятия векторного пространства и (наряду с A. Кейли и Y. Гамильтоном) теории кватернонов.

$$x = a_0 + z_0.$$

Случай, когда одна из величины z или z₀ равна нулю, нами уже разобран. В дальнейшем будем считать, что они обе отличны от нуля. Из соответствий (59) и (63) вытекает равенство

$$z = z_0 + (a_0 - a).$$

Возвода это соответствие в квадрат, получаем

$$z^2 = z_0^2 + 2z_0(a_0 - a) + (a_0 - a)^2.$$

Так как z² и z₀² — действительные числа, из этого соответствия вытекает, что произведение z₀(a₀ - a) есть действительное число. Так как z₀ не равно нулю, это возможно лишь тогда, когда a₀—a=0. Таким образом, единственное разложения (59) устанавливается.

Заметим, что нарушу с любым элементом z из множества I в него входит произведение этого элемента на любое действительное число. Наряду с элементом z≠0 в I входит и элемент z⁻¹, обратный к z. Запишем это в виде формул:

$$\text{При } a \in \mathbb{R}, \quad z \in I \quad \text{имеем } az \in I.$$

$$\text{При } 0 \neq z \in I \quad \text{имеем } z^{-1} \in I.$$

Докажем теперь следующее:

I есть линейное пространство в относении действительных чисел, то есть нарушу с двумя величинами u и v из I в I входит также их линейная комбинация с действительными коэффициентами

4

entами $a$ и $b$. В виде формулы запишем это утверждение так:

$$\text{При } a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}; u \in I, v \in I \text{ имеем } au + bv \in I. \tag{67}$$

Для доказательства последнего утверждения нам достаточно рассмотреть случай, когда $a$ и $b$ не равны нулю, так как случай, когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю, содержится в уже доказанном утверждении (65). В силу разложения (59) имеем

$$au + bv = z_1 + a_1, \text{ где } z_1 \in I, a_1 \in \mathbb{R}. \tag{68}$$

Возведем соответствие (68) в квадрат. Тогда мы получим

$$a^2u^2 + b^2v^2 + ab(uv + vu) = 2a_1z_1 + a_1^2 + z_1^2. \tag{69}$$

В силу разложения (59) мы имеем

$$uv + vu = z_0 + a_0, \text{ где } z_0 \in I, a_0 \in \mathbb{R}. \tag{70}$$

Здесь величины $z_0$ и $a_0$ не зависит от чисел $a$ и $b$, а зависит лишь от $u$ и $v$. В силу единственности разложения (59) из (68) и (70) вытекает равенство

$$abz_0 = 2a_1z_1. \tag{71}$$

А так как числа $a$ и $b$ оба предполагаются не равными нулю. Мы получаем

$$z_0 = \frac{2a_1}{ab}z_1. \tag{72}$$

Из последнего равенства вытекает, что если $z_0 \neq 0$, то $a_1 \neq 0$. (73)

При этом $a_1 \neq 0$ при любых значениях $a$ и $b$, так как $z_0$ не зависит от $a$ и $b$. Принимая во внимание последнее равенство, мы можем перепись соответствие (68) в виде:

$$au + bv = cz_0 + d, \tag{74}$$

где $c = ab/(2a_1)$ — не равное нулю действительное число. Выберем теперь два кажих-нибудь числа $a'$ и $b'$, не пропорциональные $a$ и $b$, то есть такие, чтобы не имело место равенство

$$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}. \tag{75}$$

Тогда в силу доказанного мы имеем

$$a'u + b'v = c'z + d', \tag{76}$$

где число $c'$ не равно нулю. Вычитем теперь из соответствия (74) соответствие (76), умноженное на такое действительное число $a$, чтобы выполнялось равенство $c - ac' = 0$. Тогда мы будем иметь

$$a''u + b''v = d'', \tag{77}$$

где $a''$, $b''$ и $d''$ — действительные числа. Или, иначе,

$$a''u = -b''v + d''. \tag{78}$$

Так как левая часть этого равенства принадлежит $I$, в правой части этого равенства должен быть элемент из $I$ (в силу единственности разложения (59)), то есть $d'' = 0$. Мы приходим к выводу, что векторы $u$ и $v$ пропорциональны между собой. Для этого случая наше утверждение (67) привально. Таким образом, утверждение (67) доказано.

Из доказанного следует, что в соответствии (68) действительное число $a_1$ всегда равно нулю и, следовательно, в силу соответствия (72) величины $z_0$ также всегда равна нулю. И поэтому

$$uv + vu = a_0 \tag{79}$$

есте действительное число. Из этого

5

$$k^2 = -1; \quad ki = -ik = j; \quad jk = -kj = i.$$
Таким образом, для величины $i, j, k$ (85)

выполнены все условия, имеющие место для кватернионных единиц (см. «Квант» № 2, с. 11). Если теперь любой элемент $z$ из $I$ линейно зависит от величины $i, j, k$, то $L$ совпадает с множеством всех кватернионов.

Остается рассмотреть случай, когда в $L$ имеется элемент $z$, линейно не зависящий от величины $i, j, k$. Положим (см. (59))

$$iz = a_1 + z_1; \quad jz = a_2 + z_2; \quad kz = a_3 + z_3.$$ (86)

Положим также

$$l = a(z + a_1i + a_2j + a_3k).$$ (87)

Легко проверяется, что при произвольном значении действительного числа $a \neq 0$ величина $l$ принадлежит $I$ и не равна нулю. Число $a$ выберем таким образом, чтобы выполнялось условие

$$l^2 = -1.$$ (88)

Из соответствии (80) следует, что

$$il = -li; \quad jl = -lj; \quad kl = -lk.$$ (89)

Теперь рассмотрим величины $ilj$. Мы имеем

$$ilj = i(-jl) = -kl; \quad ilj = -lij = -lk = kl.$$ (90)

Таким образом, мы приходим к выводу, что $-kl = kl$, что невозможно, так как $(kl)^2 = -1$. Итак, мы пришли к противоречию — теорема Фробенуса доказана.

Добавление о векторных пространствах

Рассмотрим множество $V_3$ всех векторов в трехмерном пространстве с началом в фиксированной точке $O$. Если в пространстве ввести систему координат $x_0, x_1, x_2$ с началом в точке $O$, то любой вектор $v \in V_3$ единственным образом представляется в виде

$$v = x_0i_0 + x_1i_1 + x_2i_2,$$ (1)

эде $i_0, i_1, i_2$ — единственные векторы осей $Ox_0, Ox_1, Ox_2$, а $x_0, x_1, x_2$ — некоторые числа (называемые координатами вектора $v$). При сложении векторов их координаты складывают, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число, то есть

$$v + v' = (x_0i_0 + x_1i_1 + x_2i_2) + (x'_0i_0 + x'_1i_1 + x'_2i_2) =$$

$$= (x_0 + x'_0)i_0 + (x_1 + x'_1)i_1 + (x_2 + x'_2)i_2;$$ (2)

$$av = a(x_0i_0 + x_1i_1 + x_2i_2) =$$

$$= (ax_0)i_0 + (ax_1)i_1 + (ax_2)i_2.$$ (3)

После того, как введены координаты, можно считать, что векторы в пространстве пространства являются тройками чисел $(x_0, x_1, x_2)$ и забыть об их геометрическом проискхдении. При та-

ком подхождение изучение становится чисто алгебраическим и базируется на формула (1) — (3).

Алгебраическая подход позволяет без труда определить и векторное пространство с числом изменений большим трех. Именно, при любом $n \geq 1$ п-мерным (артифметическим) векторным пространством называется множество наборов $v = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ из $n$ вещественных чисел, в которой введены операции сложения:

$$u + v = (x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) =$$

$$= (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n) = w$$ (4)

и умножения на число $a \in R$:

$$au = a(x_1, x_2, \dots, x_n) =$$

$$= (ax_1, ax_2, \dots, ax_n).$$ (5)

При этом наборы $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ называются $n$-мерными векторами. Их можно записывать в виде $(x_1i_1 + x_2i_2 + \dots + x_ni_n)$ или в виде $x_0 + x_1i_1 + \dots + x_{n-1}i_n$, как это сделано в статье Л. С. Понтрягина (см. с. 2).

Основным понятием при изучении $n$-мерного векторного пространства является линейной зависимости: набор векторов $v_1, v_2, \dots, v_k$ называется линейно зависящим, если существует такие числа $a_1, a_2, \dots, a_k$, не все равные нулю, что

$$a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_kv_k = 0.$$

Можно показать, что любой набор из более чем $n$ штук векторов в $n$-мерном пространстве линейно зависящим; кроме того, в этом пространстве можно указать набор из $n$ штук линейно независящих векторов (такой набор зависящая базисом), например набор $i_1 = (1, 0, 0, \dots, 0), i_2 = (0, 1, 0, \dots, 0), \dots, i_n = (0, 0, \dots, 0, 1).$

Уражнения

1. Докажите утверждение о $V_3$, выделенные курсивом в начале этого Добавления.
2. Докажите, что два вектора в пространстве линейно зависящим тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой, а три вектора — когда они лежат в одной плоскости.
3. Докажите (геометрические), что любые четыре в пространстве линейно зависящим.
   4*. Докажите, что любые $n+1$ векторы в $n$-мерном пространстве линейно зависящим.
   5*. Покажите, что совокупность многочленов степени меньше или равной тем объеме априфметической векторное пространство размерности четыре, базисом которого могут служить многочлены $x^3, x^2, x, 1$.

О. М.

6

Парадокс
Вавилова

Академик АПН СССР В. А. ФАБРИКАНТ

В геометрической оптике часто и плодотворно применяется понятие о пучке параллельных световых лучей, имеющим конечное поперечное сечение. Более того, даже в теории такого волнового явления, как интеграция, во многих случаях допустимо использовать этого понятия.

Во многих случаях, но далеко не во всех. В книге «Микросструктура света» заменаального советского физика С. И. Вавилова разобран весма почительный в этом смысле оптический парадокс.

Напомним коротко, как выглядит энергетика интеграционной картины. Интеграция, как мы знаем, есть сложение колебаний. В электронным волнах колеблюется значения напряженности электрического поля и индукции магнитного поля. Эти величины в каждой точке пространства в каждой момент времени определяют энергию электромагнитного поля. Электромагнитная волна переносит энергию, и можно вести понятие о плотности потока энергии. Так мы называем величины, равную количеству энергии поля, протекающей в единицу времени через единицу поверхности.

Каждая волна характеризуется еще и фазой. Если при сложении двух световых лучей, эти лучки разность их фаз остаются все время одной и той же, мы говорим, что имеем дело с когерентными пучками.

В интеграционной картине, возникшей в результате сложения двух когерентных пучков, происходитенное perераспределение световой энергии. В светых полосах энергия больше, чем сумма энергий складываемых пучков; в темных полосах, наоборот, — меньше. Избиток энергии в светых полосах как раз компенсируется недостатком ее в темных. Полная энергия, распределенная по всей интеграционной картине, точно равна сумме энергий двух интеграриующих пучков.

На рисунке 1 показана зависимость плотности потока энергии в интеграционной картине от смесиния по экрану, на котором она наблюдается. Картина получена при сложении двух когерентных световых пучков равной энергии. Горизонтальная пунктирная линия изобрадает сумму плотностей потоков энергии в складываемых пучках. Части кривой, индущее над этой прямой, соответствует светым интеграционным полосам, а части кривой, лежащие под пунктирной прямой, — темным. Суммарная энергия, распределенная в интеграционной картине, изобрается площадью под кривой. Эта площадь точно равна площади под пунктирной прямой. Требование строого «бухгалтера» природа — закона сохранения энергии — выполняется неукоснительно.

Перейдем теперь к парадоксу С. И. Вавилова. Представьте два совершенного одинаковых когерентных резко ограниченных световых пучка шириной $a$, пересекающих под малым углом $a$ (рисунок 2). В области ABCD происходит интеграция.

Для наблюдения интеграционной картины можно установить экран, перепедикулярный плоскости черте-

8

Репортаж
из мира сплавов

Кандидат физико-математических наук
А. С. ШТЕЙНБЕРГ

1. Чистые металлы и сплавы

Возьем чистую медь. При нормальных условиях она представляет собой вещество с кристаллическим строением. «Кирипчики», из которых построен кристалл, можно изобразить так, как на рисунке 1. Это — так называемая элементарная ячейка меди. Она называется гранецентрированной кубической (ГЦК) ячейкой, так как atoms расположены и в вершинах куба, и в центрах его граней. Размеры куба весы малы — длина его ребра $a=3,6 \cdot 10^{-10}$ м. Если перiodические «продолжить» такие элементы кубики во всех трех измерениях, то мы получим кристаллическую ГЦК решетку меди.

Будем теперь добавлять в медный кристалл atoms другого элемента, например золота. Разумеется, нельзя добавлять atoms по одному. Зато можно взять определенные количества золота и меди, вместе их расплавить и дать жидкость остыть и за-

9

кристаллизоваться. Если посмотреть на элементарную ячейку кристалла теперь, то оказывается, что она по-прежнему гранецентрированная кубическая, а часть позиций меди занята atomами золота. (рисунок 2). Такие сплавы называют сплавами замещения, поскольку atoms одного элемента просто заменают atoms другого. Это, пожалуй, самая распространенная группа сплавов.

Можно изменять относительные коэффициенты сплавляемых золота и меди. Тогда детали микросопперской картины будут изменяться, но в целом, или, как говорят физики, качественно, она будет оставаться одной и той же — та же ГЦК решетка, по узлам (позиция) которой распределены atoms золота и меди. Это распределение может быть и хаотически, и каким-либо порядиочным — например, в вершинах куба будут находиться atoms одного сорта, а в центрах граней — другого. Так как же именно будет «расселяться» atoms разных сортов в кристаллической решетке? От чего зависит способ их распределения по позициям?

Конечно, можно всякий раз для ответа на эти вопросы ставить эксперимент, который позволяет бы наблюдать воочию «сцены из жизни atomов». Такая возможность у нас имеется. Просвещения образец интересующего нас сплава рентгеновским лучами, мы получим дифракционную картину, по которой можно восстановить характер взаимного расположения atomов различных сортов в решетке. К примеру, если при комнатной температуре посмотреть «глазами рентгеновских лучей» на сплав, состоящий на 75 % из atomов меди и на оставшиеся 25 % — из atomов золота, то мы увидим почти совершенную картину, о которой уже вскользь упоминалось, — почти все вершины кубов заняты atomами золота, а почти все центры граней — atomами меди (рисунок 3). Мы говорим «почти все» потому, что нет-heтда и мелькнет какой-нибудь шальной atom меди в вершине куба, или оказется забывающий atom золота на медной позиции, но это очень редкий случай. В основном же картина просто порядок своей правильность: в вершине куба — золото, в центре грани — медь. Про также сплавы говорят, что они — упорядоченные. Какие силы заставляют atoms в сплавах упорядочивать? Вседа ли это бывают? Какие еще могут быть упорядоченные структуры? Опять целая серия вопросов; вопросов, которые ставит перед исследователем сама природа. Сплавы всех элементов при разных концентрациях компонентов и при разных температурах под рентгеновскими лучами не переместились, и поэтому стоит побытьться выработать некоторые общие способы прогнозировать «расселение» atomов в сплавах. А для этого надо прежде всего понять основные законы «общежития» atomов.

Атомы в кристалле всегда «под пристмотром». У них есть две могуществные начальныецы, которые не в ладах друг с другом. Попадешь в миллисекунду от другой. Имя одной начальныецы нам хорошо известно: это — энергия. Вторая же пока представляется нам инкогнитно, и мы до поры до времени будем величать ее Королевь беспорядка.

2. Энергия

Для начала нам надо ввести колчественные меры взаимодействия atomов в веществе. Во-первых, будем считать

Рис. 1. Элементарная ячейка меди. Стрелками показаны неокторые пары ближайших соседей.

Рис. 2. Неупорядоченный сплав замещения медь — золота.

Рис. 3. Упорядоченный сплав замещения медь — золота (структура тила Cu₃Au; на каждую ячейку приходится по 1/8 · 8=1 atomу золота и по 1/2 · 6=3 atomа меди).

10

тать, что все atoms взаимодействуют между собой попарно. Парные силы нам хорошо известны. К ним относятся и силы Кулона, которые действуют между зарядами, и силы взаимного тяготения тел. Характерия особенность этих сил — убывание с расстоянием. Тела взаимодействуют тем слабее, чем больше расстояние между ними. Так, энергия кулоновского взаимодействия зарядов убивает обратно пропорционально расстоянию между ними.

В кристалле, состоящем из atomов металла, энергия взаимодействия между atomами убивает намного быстрее. Поэтому логично второе предложение: основное значение будет иметь взаимодействия между ближайшими соседями в решетке.

Вернемся теперь снова к рисунку 1. На нем указаны некоторые пары ближайших соседей в ГЦК решетке. Из теоремы Пифагора легко вычислить расстояние между ближайшими соседями: оно равно $a\sqrt{2/2}$ (напомним, что $a$ — длина ребра элементарного кубика). Каждый atom в ГЦК решетке имеет по 12 ближайших соседей (попробуйте показать это сами). Число ближайших соседей, которое обычно называется координальным числом, обозначается буквой $Z$.

Итак, каждый atom в решетке взаимодействует со своим ближайшим соседями. Но, естественно, atoms разных сортов взаимодействуют между собой по-разному. Поскольку в решетке находится atomы двух сортов $A$ и $B$, то их взаимодействие описывается тема значения энергии, которые мы обозначим так: $v_{AA}, v_{BB}$ — энергия взаимодействия сседних atomов одного сорта ($A$ или $B$), $v_{AB}$ — энергия взаимодействия двух atomов-сседней сорта $A$ и $B$. Теперье через эти параметры легко описать энергию любой конфигурации atomов в решетке. Она будет складываться из суммы энергии взаимодействия всех пар ближайших соседей — типа $AA, AB, BB$:

$$E = P_{AA} v_{AA} + P_{BB} v_{BB} + P_{AB} v_{AB},$$

где $P_{AA}, P_{BB}, P_{AB}$ — числа соответствующих пар сседей.

Пусть в рассматриваемом нами кристалле всего $N$ atomов, из которых $n_A$ atomов типа $A$ и $n_B$ atomов типа $B$ (то есть $N=n_A+n_B$). Через эти величины, в частности, выражаются концентрации компонентов в сплаве:

$$c_A = \frac{n_A}{N}, c_B = \frac{n_B}{N} = 1 - c_A.$$

Теперь у нас имеет все необходимое для оценки различных вкладов в энергии. Заметим, что существуют соответствия между числами $P_{AA}, P_{BB}$ и $P_{AB}$. Каждый atom сорта $A$ может иметь всего $Z$ близких соседей. Соответственно общее число близких соседей у всех atomов $A$ равно $n_A Z$. Из них $P_{AB}$ позицией приходится на долю atomов сорта $B$. Если же ближайшим сседом atomа сорта $A$ является другой atom того же сорта, то это соседство использует сразу две из $n_A Z$ позиций, так как для второго atomа первый будет в свою очередь являться ближайшим сседом. Так что для atomов сорта $A$ должно выполнять соответствие:

$$n_A Z = 2 P_{AA} + P_{AB},$$

а для atomов сорта $B$, аналогично —

$$n_B Z = 2 P_{BB} + P_{AB}.$$

Теперь из этих равенств выразим величины $P_{AA}$ и $P_{BB}$ через $P_{AB}$ и подставим их в выражение для энергии:

$$E = \frac{n_A Z - P_{AB}}{2} v_{AA} + \frac{n_B Z - P_{AB}}{2} v_{BB} +$$

$$+ P_{AB} v_{AB} = P_{AB} \left( v_{AB} - \frac{v_{AA} + v_{BB}}{2} \right) +$$

$$+ \left( \frac{n_A Z}{2} v_{AA} + \frac{n_B Z}{2} v_{BB} \right).$$

Итак, энергию взаимодействия atomов в кристалле сплава мы представили в виде суммы двух сседней. Видно, что второе сседение зависит от расположения atomов, поскольку перераспределение atomов в решетке очень сильно сказается на числе $P_{AB}$. Например, представим себе кристалл, в одной части которого сосредоточены все atomы $A$, а в другой — все atomы $B$, как это схематически показано на рисунке 4. В таком кристалле число $P_{AB}$ будет минимальным, так как соседство разномененных atomов осуществляется только в узкой зоне влизации обихих частей кристалла. Естественно, что при «перемешивании» atomов это число сильно возрастет.

12

шары разных цветов соберутся в разных концах билиарного поля. Еще менее верятно, что красные и сине шары «изображят» какой-нибудь сложный правильный узор. Это представляется нам оченьным и без эксперимента.

Но с другой стороны… Мы бросаем шары случайным (беспорядочным) образом, и их расположение на суке также совершенно случайно. Казалось бы, шара все равно как расположиться — хаотическая или в виде правильного узора. Почему же все таки они располагаются хаотически?

Проделаем такой эксперимент. Сложим из шаров какой-нибудь узор, например такой, как на рисунке 5. А теперь вынем из узора один шар и поместим его в любое другое место — узор наверняка нарушится. Проделаем тот же опыт при хаотическом расположении шаров — при переенении одного шара в другое место картина по-прежнему будет хаотической. Чтобы из хаос создать узор, нам необходимо согласованным образом перевинуть большее количество шаров. Схематически эти закономерности можно изобразить так:

$$\text{УЗОР} \xrightarrow{\text{перенесение шаров}} \text{ХАОС}$$

$$\text{ХАОС} \xrightarrow{\text{перенесение шаров}} \text{ХАОС.}$$

Иначе говоря — все пути ведут в хаос.

Перенос шар с одного места на другой, мы тем самым, по существу, «выкидываем» новую конфигурацию шаров. Но хаос многолик, и в каждой конфигурации он обращен к нам лишь один из своих бесплатных ликов. Новая конфигурация — новый link все того же хаоса.

Отсюда можно понять, что хотя все конфигурации шаров имеют равные «права на существование», но число конфигураций, соответствующих узору, значительно уступает числу кон-

фигурции, соответствующих хаосу. Иными словами, при каждом бросании хаотического расположение шаров на суке больше верятно, чем упорядоченное, в виде какого-нибудь узора.

Из всего сказанного мы можем сделать вывод: помимо энергетического, существует другой фактор, управляющий поведением шаров. Благодаря его влиянию при каждом бросании осуществляется наиболее верятная картина распределения шаров по билиарному полю — хаотическая.

А теперь вернемся к нашим сплавам. Несмотря на некоторые «узор» и «хаос», аналогия между шарами разных цветов на билиарном поле и атомами разных сортов в кристаллической решетке довольно наглядна. В случае сплава заменения билиарному узору соответствует упорядоченной сплаве, хаотическому расположению шаров — разупорядоченный. И теперь нам понятно, какую роль играет в жизни atomов вторя правительница, которое мы называли Королевым беспорядка, — она стремится встини хаос в расположение atomов в решетке кристалла. А подлинное имя этой правительницы — энтропия.

4. Порядок и беспорядок в сплавах

Подведем некоторые итоги. Нам известно, что энергетический фактор стремится упорядочить расположение atomов в узлах кристаллической решетки. Это приводит либо к образованному упорядоченным структуру, либо к распаду сплава на чистые элементы. С другой стороны, энтропийный фактор стремится разупорядочить систему, создать какое-то хаотическое расположение atomов. Борьбой этих двух тенденций и определяются те законы «общежития» atomов, о которых говоря

13

рилось вначале. Какая из тенденций будет преобладать: энергетическая или энергоппийная? Кто решает тяжбу двух начальных дам — Энергии и Энтропии? Судьей оказывается хорошо известная нам величина — температура! И судьей не беспистрастным. Температура выступает соознищей сил беспорядка, сил, которые на нашем «биллиардном» языке стремятся превращать строгий узор в хаос.

НИЧЕГО ОСОБЕННО УДИВИТЕЛЬНОГО В ЭТОМ НЕТ. Мы знаем на примере газов, что с ростом температуры движение молекул становится все более и более интенсивным. То же самое проискодит и в других веществ. При определенной температуре это теплое движение оказывается способным разорвать «энергетические путь» и тем самым разупорядочить систему.

Примеров таких превращений много. Один из них — плавление. Вспомним, что происходит при нагревании с твердым телом, представляющим собой правильный кристалл, то есть тот самый узор, о котором мы уже не разговорили. С ростом температуры все сильнее становится стремлениеоновырываться из кристаллического решетки, и наконец им это удается — выше температуры плавления из правильного кристалла образуется жидкость — узор переходит в хаос.

Таким образом, при достаточно высоких температурах определяющим оказаваться энергоппийный фактор. Соответствие при более низких температурах главную роль играет энергетический фактор. Что значит «достаточно высокие» и «более низкие» температуры — решается в каждом конкретном случае по-своему. Главное, что надо понять и запомнить: температура регулятор относительно важность энергетического и энергоппийного факторов.

Вернемся, и теперь уже окончательно, к миру сплавов. При высоких температурах распределение atoms будет в основном определяться энергоппийным фактором — и сплав будет разупорядоченным. Однако по мере попежения температуры энергетический фактор будет играть все больше и больше роль, пока, наконец, при некоторых температуре не станет важнее энергоппийного. Такая температура носит название критической. При критической температуре сплав становится упорядоченным и будет оставаться таким при дальнейшем охлаждения.

Вся информация о порядке и беспорядке в сплавах обычно заключится в специальные схемы, которые носят название диаграмм состояния. На рисунке 6 приведена в несколько упрощенном виде такая диаграмма для сплавов меди с золотом, с которых мы начали этот рассказ. По оси ординат отложена температура, а по оси абсцисс — относительная концентрация компонентов. Любая точка на диаграмме соответствует определению значениям концентрации и температуры. Точки, лежащие на кривых линиях, указывают значения критических температур для различных концентраций компонентов. Над линиими расположена область неупорядоченного состояния сплавов, под линиями — область упорядоченных сплавов. Упорядоченные состояния под двумя крайными кривыми имеют уже известные нам структуры типа изображенной на рисунке 3: слева — сплав с относительным концентрациями $c_{\text{Cu}}=75\%$ и $c_{\text{Au}}=25\%$, а справа — сплав с $c_{\text{Cu}}=25\%$, $c_{\text{Au}}=75\%$. Позицини, занимаемые в критическом решетке первого сплава atomами меди, во втором сплаве занимают atoms золота и наоборот. А под кривой

Рис. 6. Упрощенное изобравнение части диаграммы состояния сплавов меди с золотом. При низких температурах точный вид диаграммы неизвестен.

14

5. Заключение

Тепер даим волю нашей воображение. Нам нужен сплав с определенными прочностью, пластностью, электропроводностью? Ничего не может быть проще. Вкладываем в компьютер все требования, и машина выдает точный результат сплава.

Очень хочет, чтобы все было именно так. Но пока до этого далеко. Сегодня мы еще умислялисьать состояние твердого вещества, и задача об упорядочиващемся сплава — только скромный этап долго пути.

Этот задаче уже 65 лет. В ее разработке принимали участие советские физики академики Л. Д. Ландду и Е. М. Лифшиц, американские учены Х. Бете и Л. Онсагер, английский физик Р. Пайерлс. Но белых пятен еще много: как расчитать величины энергии смесения? как учесть дальнее взаимодействие atoms, то есть выйти за пределы приближения близких соседей? как обобщить результаты на сплавы трех и более компонентов? Эти и многое другие вопросы до них поржут своего решения.

Парадокс Вавилова

(Начало см. на с. 6)

Покажем, что для выполнения условия $\Delta L = \lambda/4$ угол $\alpha$ действительное должно быть очень мал.

Как видно из (3),

$$\alpha = \frac{1}{2} \frac{\lambda}{a}.$$ (4)

Возьем $a=1$ см, $\lambda=5 \cdot 10^{-5}$ см; тогда $\alpha=2,5 \cdot 10^{-5}$ радиан.

Итак, непряятности с законом сохранения энергии возникают при угле между пучками порядка относительной длины волны к ширине пучка.

Решение парадокса заключается в том, что при таких малых углах уже нельзя пользоваться понятным идеальным паралельного пучка конечного сечения.

При любой попытке реализовать такие пучки мы потерпим неудачу. Благодаря явления дифракции ограничение размеров пучка с необходимостью приводит к превращению его в расходящейся пучок. Угол $\varphi$ расходения пучка определяется как раз формулой (4).ECTественно, угол $\alpha$, под которым пересекаются пучки, можно определить лишь с точностью до величины порядка угла $\varphi$. Пока $\alpha \gg \varphi$, расходением пересекающихся пучков можно пренебречь. Но когда $\alpha$ становится сравнимым по порядку величины с $\varphi$, понятие ограниченного паралельного пучка теряет смысл.

Если бы дифракция еще не была открыта, мы на основании закона сохранения энергии и формулы (4) должны были бы не только договораcia о ее существовании, но и указать на основную закономерность, управляющую величины дифракционного угла (угла расходения). Это хорошо пример того, что закон сохранения в физике всегда может служить надежной путьовой звездой.

Взявальные свойства пучки, мы никогда, конечно, не получим противоречия с законом сохранения энергии. В интерференционных опытах данного типа всегда будет свидетелься к пространственному перерасределеню потока энергии.

15

Пинг-понг…
в умывальнике

Кандидат физико-математических наук
А. В. БЯЛКО

Опыты, о которых поддет речь, доступны всем и не требуют никакого специального оборудования. Вам понадобятся только шарик для настольного тенниса (пинг-понга), стандартная раковина для умывания (или ванна), миллиметровая линейка, трехлитровая банка и часы с секундной стрелкой.

Опыт 1. Закройте сливное отверстие раковины (ваны) и наполните ее водой до уровня 3 — 5 см. Подставьте пинг-понговый шарик под струю там, где она прорезает поверхность воды, и отпустите его. Инутитивка кажется, что струя должна отбросить шарик в сторону. Но это не так! Наоборот, струя захватывает шарик, и он остается в месте ее padения.

Присмотритесь внимание. Оказывается, шарик не неподвижен — под действием струи он совершает небольшие колебания. Сложите ладони лодочкой и подведите их под шарик так, чтобы он продолжал плавать под струей, не касаясь рук. Теперь поднимайте шарик вдоль струи. Вы заметите, что частота колебаний при подъеме шарика уменьшается.

Опыт 2. Откройте сливное отверстие. В стандартной раковине (ване) оно представляется собой ямку цилиндрической формы с решетчатым домом глубиной около 20 мм и диаметром около 40 мм. Шарик для пинг-понга немного меньше — его диаметр равен 37 мм, так что шарик свободно помещается в сливном отверстиии, и еще остается зазор в 1 — 2 мм (рис. 1).

Поднесите шарик под водой к сливному отверстию и отпустите. Поток воды втянет его в отверстие, несмотря на то, что шарик в воде не тоет. Но что это? Вы слышите низкий гудящий звук, оченьindo, вызванный колебаниями шарика. Первая мысль, которая приходит в голову, — что шарик подпрыгивает на решетке. Однако не в этом. Прикоснитесь сверху к шарику пальцем, и вы убедитесь, что он колебляется не вертикально, а горизонтально — насколько позволяет ему величины зазора.

Более того. Посмотрите на фабричное kleймо на шарике, и вы видите, что шарик еще и врашается, причем достагоно медленно, так что это можно заметить глазом. Иногда врашение проискит только в одну сторону, а иногда направление врашения шарика время от времени произвольно изменяется.

Как же обязанить эти опыты? Сразу скажем, что оба они служат яркой иллюстрацией закона Бернулли — од-

16

ного из первых законов гидродинамики. Качественный его можно формулировать так («Физика 8», § 65): в движущейся жидкости давление больше в тех секундах, где меньше скорость движения, и наоборот, там, где скорость больше, давление меньше. Другими словами, при увеличении скорости движения жидкости давление в ней падает. Это уменшение давления и приводит к тому, что в обихах опытах поток воды как бы втягивает пластмассовый шарик внутри себя.

Закон Бернулли поможет объяснить и колбания шарика в стреуе и в ответсти раковины. Но прежде давайте оценим скорость воды в стреуе из водопроводного крана.

Нетрудно подобрать такой приток воды в раковину (или ванну), при котором уровень воды в ней почти не изменяется. С помощью трехлитровой банки и секундомера можно измерить соответствующий расход жидкости (то есть массу жидкости, расходуемой в единицу времени). Он оказывается равным примерно (80 — 100) г/c. Теперь линейкой измерим диаметр струи вблизи поверхности воды в раковине. Он близок к 6 мм. Этому соответствует скорость струи около 3 м/c (проверьте это). Конечно, скорость текущей можно сделать и больше и меньше полученного значения, но в дальнейших оценках давление считать ее именно такой.

Для более детального обсуждения наблюдаемых эффектов нам понадобится не только качественная, но и количественная формулировка закона Бернулли*). Согласно этому за

кону, в любом сечении струи жидкости остается постоянной сумма

$$\frac{\varrho v^2}{2} + p + \varrho gh,$$

где $\varrho$ — плотность, $v$ — скорость, $p$ — давление жидкости, $h$ — высота выбранного сечения.

Объяснение опыта 1. Давайте временно упростим себе задачу: расстояние не взаимодействие шарика с цилиндрической стреуей, а воздействие плоской стреуи на цилиндр. Существое физическое явление от этого не изменится, а рассуждается нам будет проще.

Сначала обсуждим случай, когда цилиндр лишь слегка касается стреуи, и оценим действующую на него силу (рис. 2). Согласно закону Бернулли, внутри изгибающая стреуя давление падает на величины

$$p_0 - p = \frac{\varrho}{2} (v^2 - v_0^2)$$

(слагаемым $\varrho gR$ можно пренебречь, поскольку в нашем случае величины $gR \approx 0,2 \text{ m}^2/\text{c}^2$ заметно меньше, чем $v^2/2 \approx 4,5 \text{ m}^2/\text{c}^2$). Траектория части жидкости, описающих цилиндр, —дуга окружности, поэтому они движутся с центростремительным ускорением. Это ускорение обусловлено разностью атмосферного давления $p_0$ (он же есть давление воды в прямой стреуе) и давления $p$ в изогнутой стреуе:

$$m \frac{v^2}{R} = (p_0 - p)S,$$

или $$\frac{v^2}{R} = \frac{p_0 - p}{\varrho d},$$

где $S$ — площадь соприкосовения стреуи с цилиндром. Для стреуи, толщина которого $d$ много меньше радиуса цилиндра $R$, скорость обтекания лишь немного больше начальной скорости $v_0$. Поэтому сила, отклоняющая стреую, равна

$$F = (p_0 - p)S = \frac{\varrho v_0^2 d}{R} S.$$

Такая же по модулю, но противоположно направлена сила действует на цилиндр.

Этот результат, полученный для обтекания цилиндра, остается справедливым и для обтекания шарика, возможно, с другими численными коэффициентом. Площадь соприкосовения стреуи с шариком практически всегда порядка квадрата его радиуса $R$. Поэтому сила, втягиающая шарик

17

Рис. 3.

в струю при их касании, по порядку величины равна

$$F \sim \varrho v_0^2 Rd.$$

Рассмотрим теперь центральное обтекание шарика, когда струя падает точно на его вершину (рис. 3). В этом случае вода обтекает шарик симметрично, и поэтому $F=0$. Для центрального обтекания нетрудно найти толщину слоя $d$. Из условия построения потока следует, что

$$d \sim \frac{r_0^2}{R}$$

(показите это самостояльно).

Наконец, для промежутного случая, когда смешение $x$ шарика от оси симметрини струи неверлико по сравнению с его радиусом $R$ (рис. 4), оказывается, что сила $F$ линейно зависит от $x$ и направлена так, чтобы вернуть шарик в положение равновесия:

$$F \sim -\varrho v_0^2 d \cdot x \sim \frac{\varrho v_0^2 r_0^2}{R} x.$$

(К сожалению, точное значение силы $F$ для этого случая получить трудно.)

Под действием этой силы шарик и будет совершать колбания. Выражение для частоты колбаний можно написать по аналогии с колбаниями грузика наружие:

$$F_{\pi p} = -kx \Rightarrow \omega_{\pi p} = \sqrt{\frac{k}{m}},$$

$$F_{\pi} \sim -\frac{\varrho v_0^2}{R} x \Rightarrow \omega_{\pi} \sim v_0 r_0 \sqrt{\frac{\varrho}{RM}}.$$

При массе шарика $M \approx 3$ г получаем $\omega_{\pi} \sim 40 \text{ c}^{-1}$, и $v_{\pi} \sim 6 \text{ Гц}$.

При подъеме шарика в ладонях

Рис. 4.

вверх по струе одновременно изменяется $r_0$, и $v_0$, но остается постоянным произведение $v_0 r_0^2$. Поскольку $r_0$ растет, произведение $v_0 r_0$ падает. Следовательно, по мере подъема к источнику частота колбаний шарика должна уменьшаться, что и наблюдается на опыте.

При уменьшении частоты колбаний можно заметить, что шарик еще и поворачивает в разные стороны. В тонких медленных струях колбание и врашение шарика объединяются в сложное красивое движение вокруг струи. Убедитесь в этом сами на опыте.

Объяснение опыта 2. Пусть начальное положение шарика такое, как изображено на рисунке 5 (вид сверху). Оценим скорость течение взаюре сливного ответия. Площадь зазора не зависит от положения шарика и равна $\pi(R_{\text{отв}}^2 - R^2) \approx 1 \text{ cm}^2$, поэтому средняя скорость течение вокруг шарика составляет $v \approx 1 \text{ m/c}$. Эта скорость, однako, относительно не постоянна по сечению зазора: в его широкой части она существенно больше, чем в сухойшейшейшей (вблизи точки касания $A$), где течение тормозится tremendum о стенки. Согласно закону Бернулина давление в движущейся жидкости больше там, где меньше скорость. Поэтому появляется сила зазора,

(Окончание см. на с. 48)

Рис. 5.

18

Физика 9, 10

Публикуемая книга заметка «Открытие электрона» предназначена девятиклассик, «Как увидеть невидимое?» — десятиклассикам.
Материалы подготовил Н. К. Белкин.

Открытие электрона

Слово «электрон» — называние одной из загруженных элементарных частиц — и производные от него, пожалуй, чаще всего встречаются в наших дня в научно-технической литературе. Сравнительно недавно появилось слово «электроника», обозначающее, с одной стороны, накуку о взаимодействиях электров с электромагнитными полями, а с другой — новую область техники. Такие прилагательные, как «электронный», «электронная» и т. д., широко вошли в наш язык и в нашу жизнь. Достаточно напомнить, например, о существовании различных электронных приборов и электронных вычислительных машин.

Когда, кем и как был открыт электрон? Когда, кто и как определил его основные свойства и выясил его роль в природе?

Лучи или частицы? Открытие электрона представляет собой завершение длившегося несколько десятилетий исследования газового разряда, то есть процесс прохождения электрического тока через газ («Физика 9», §70—72). В частности, приближительно к середине прошло века было выясено, что если к электродам, впаяным в стеклянную трубку с газом, приложить достаточно высокое напряжение, то через газ прохождение электрический ток, а сам газ при этом светится. Характер свечения зависит от давления газа и приложенного напряжения, а цвет света определяется природой газа. Однако при достаточно малом давлении (около одного пакеля, то есть стольсяной доли атмосферы) свечение газа почти исчезает (хотя ток продолжает идти), но это начинает светиться зеленовым светом стекло трубки.

Что же происходит в разрядной трубке после исчезновения свечения газа? По этому поводу возникли спор между физиками, наиболее активно изученными это явление.

Немецкие физики (Г. Герц, Э. Гольдштейн) считали, что из катода трубки исходят особы лучи, которые и вызывают свечение стекла. Их поэтому называют катодными лучами. Герц, открытый электромагнитные волны, естественно, склонен был считать, что катодные лучи — это особы электромагнитные волны, похожие на свет, но свет невидимый.

Англійские физики (У. Крукс, А. Шустер, затем Дж. Дж. Томсон) полагали, что из катода выходят не лучи, а какие-то отрицательно заряженные частицы и что именно под их воздействием возникнет свечение стекла. Крукс, например, утверждал, что это газовые молекулы, которые, удаляясь о катод, прибретают отрицательный заряд и затем ускоряются силой прижжения к аноду. В ползу этого говорило то, что катодные лучи отклоняются магнитным полем. Об этом важном факте знали, конечно, и немецкие физики, но в то время еще не было твердого установлено, что электромагнитные волны с магнитным полем не взаимодействуют.

Обеими спорящими сторонами было твордо установлено, что свойства катодных лучей не зависит от того, из какого материала сделан катод. Спор этот был весом плодоворным, так как каждая группа ученых стралась придумать и поставить такие опыты, которые доказали бы их правоту.

Решающее опыты были выполнены в 1897 году английским физиком Джозефом Джоном Томсоном. Опытые эти состояния в наблюдании движения заряженных частицы в электрическом и магнитном полях.

Движение заряженных частицы в электрическом и магнитном полях. В прошлом номере в заметке «О числе Фарадея и удельном заряженной частицы» было показано, что скорость v и укорение a заряженной частицы в электрическом поле определяются удельным зарядом частицы q/m (q — заряд частицы, m — ее масса):

21

Рис. 2. Схема электроннооптического преобразования: 1 — предмет, освещаемый инфракрасным светом; 2 — объекты, с помощью которого получается световое изображение; 3 — ‘фотокатод; 4 — световое изображение; 5-5’ — фокусирующие электроды; 6 — электронное изображение; 7 — аном, покрытий ломинесцурушим веществом.

которые может «увидеть» человекский глаз. Расскажем об этом немного подробнее.

В тридцатьные годы группа голландских физков во главе с В. Хольстом занимаясь проблемой лучшення качества фотографического изображения, получаемого в условиях слабой освещенности. Идея предложенного имми метода была довольно простой.

Объчная фотопленка воспринимает видимый свет, отраженный фотографируемый предмет. Оdnako и сам предмет всегда (при температуре, отличных от абсолотного нуля) служит источником так называемого теплового излучения, которое по своей природе тоже электромагнитное. Оказывается, что длина волны, который соответствует максимум в распределении энергии этого излучения по длиам волны, зависит от температуры (см. график на рисунке 1, где по оси абсцисс отложена длина волны, а по оси ordinат — энергия излучения, приходящая на единичный интервал длины волн). При очень высоких температуре тела испускают в основном видимый свет. При комнатных же температуре, когда обычно и произвольная фотографирование, максимум в излучении приходит на невидимую инфракрасную область.

Если бы удалось найти способ преобразовать это невидимое инфракрасное изображение в более коротковолновое, к которым чувствуетна фотопленка, то можно было бы фотографировать при слабой освещенности или даже в темноте.

Такой преобразователь был создан и получил название электроннооптического преобразования. Его основным элементом служит фотокатод — тонкая процедная пленка, изготовлена из материалов, содержащого atoms целочybных металлов — цезия, рубидия или калия. Красная граница фотоэфекта $\lambda_{\max}$ для таких материалов находится в инфракрасной области, поэтому при padении на пленку инфракрасных лучей с длинами волн $\lambda < \lambda_{\max}$ свет вырывает из нее электроны. Для воспользования вылетших при фотоэфективе электронов на пленку напыляется слой металла, настолько тонкий, что пленка остается преобразной.

Прициплальная схема преобразования показана на рисунке 2. Изображение предмета 1, освещаемого инфракрасным светом, формируется на фотокатоде 3. Как уже говорилось, тонкий слой металла не является преятствием для лучей, и в тех местах фотокатода, куда попало изображение предмета, с противоположной стороны пленки появляются фотомисссионные электроны. На некоторых случаях каатом расположен анод 7, поверхность которого покрыта слоем ломинесцурушенного материала (эта часть прибора наполняется собой общную телевизионную трубку). Между анодом и катодом создается высокая разность потенциалов (порядка десятков тысяч волт), котораяускоряет фотоэлектроны. Таким образом возникнет поток электронов, летящий от катода к аноду, причем, при соблюдении определенных условий, распределение этих электронов по поверхности анода повторяет форму фотографируемого предмета. Попав на анод, электроны вызывают его свечение.

При этом если photokatод чувствует-

22

лен к красному и инфракрасному свету, то лиминесцирующий анод излучает голубые, филотовые и даже ультрафилотовые лучи. Другими словами, при процирования на фотокатод невидимого инфракрасного изображения на аноде наблюдается видимое изображение.

Мы изложили здесь лишь принципную схему работы электроннооптического преобразования, созданного Хольстом с сотрудниками в 1933 году. В их опытах была доказана возможность преобразования длиннового нейидного изображения в коротковолновое видимое изображение с помощью фотодействического эфекта.

За прошедшие пятьдесят лет фотодействная техника ушла далеко вперед. В настоящее время она применяется не только в摄影ии, но и в научных исследованиях, военноом деле, техническе.

Избранные школьные задачи

(По мотивам книги Льюиса Кэрролла «История с узелками»)

8 класс

1. Даны длины $a$ и $b$ двух смежных сторон четырехугольника и острый угол $a$ между ними. Кроме того, известно, что углы четырехугольника, прилежащие к каждой из данных сторон, прямые. Найдите: а) остальные стороны четырехугольника; б) площадь четырехугольника.

2. Докажите, что сумму квадратов двух различных натуральных чисел, умноженную на сумму квадратов двух различных натуральных чисел, можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

3. Два путешественника выходит из гостиницы к вершине горы в 3 часа дня и возвращается в 9 часов вечера. Маршрут их по проходит поровному месту, то идет в гору или под гору. Поровному месту они идут со скоростью 4 милли в час, в гору — 3 милли в час и под гору — 6 милли в час. Какое расстояние они проходят за время прогулки? Определите также с точкистою до 30 минут момент восходения на вершину горы, считая, что при движении к вершине горы длина участков подъема большие длины участков спуска.

4. На основании данного треугольника найдите такую точку, что прямая, соединяющая перpendикularов, опущенных из этой точки на боковые стороны, параллельна основанию.

5. Внутри данного угла с вершиной $B$ дана точка $P$. Проведите через точку $P$ прямую, отскакшую от угла треугольника наименшей площади.

9 класс

6. Два путешествия в путьровно в 6 часов утра в один и тот же день. Оба идут по одной дороге и в одном направлении. Пешекод $B$ сначала опережает пешекода $A$ на 14 милли. Оба идут с 6 часов утра до 6 часов вечера. В первый день $A$, двигаясь в течение дня с постоянной скоростью, проходит 10, во второй — 9, в третьий — 8 милли и т. д. Пешекод $B$, двигаясь также с постоянной в течение дня скоростью, проходит в первый день 2, во второй — 4, в третьий — 6 милли и т. д. Где и когда пешекоды $A$ и $B$ будут договорить друг друга?

7. Две окружности пересекаются так, что их общая хорда стягивает центральные углы в 30° и 60°. Какая часть круга, ограниченной меньшей окружностью, находится внутри большей окружности?

8. В данной окружность впиште трапецю, у которой одно основание в два раза больше другого, а площадь максимальная.

9. Стакан лимонада, 3 бутерброда и 7 бисквитов стоит 1 шиллинг 2 пенса. Стакан лимонада, 4 бутерброда и 10 бисквитов стоит 1 шиллинг 5 пенсов. Сколько стоит 2 стакана лимонада, 3 бутерброда и 5 бисквитов? (1 шиллинг равен 12 пенсам)

10. В данной остроугольный треугольник впиште треугольник, стороны которого при каждом из его вершин образуют углы со стороны данного треугольника.

10 класс

11. Пусть $p$ — полуперimetр некоторого треугольника, $S$ — его площадь, а $V$ — объем прямогоного параллелепипеда, ребра которого равны сторонам треугольника. Найдите сумму квадратов стороны треугольника.

12. Несколько человек сидят вокруг круглого стола. Каждый из сидящих располагает определенным количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третього, и т. д. Первый из сидящих отделил шиллинг второму, второму — два шиллинга третьему и т. д. Каждый отделяет следующему на 1 шиллинг больше, чем он популял сам, до тех пор, пока это возможно. В результате у одного из сидящих оказался равносторонний. Найдите длину стороны шестиугольника, если длины стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$.

13. От данного треугольника прямыми, параллельными сторонами треугольника, отрезаются три треугольника так, что оставшийся шестиугольник оказывается равносторонний. Найдите длину сторон треугольника равны $a$, $b$ и $c$.

14. На плоскости расставлены три цилиндрические башни с радиусами оснований 1, 2, 3. Найдите точку плоскости, из которой их ширина будет казаться одинаковой.

15. Все грани треугольников парамиды — конгруэнтные треугольники со сторонами $a$, $b$, $c$. Найдите общем этой парамиды.

Публикация подготовил А. А. Егоров

23

Квашт
для младших школьников

Задчи

1. В числовой примике, изображенной на рисунке, расставьте знаки + и — так, чтобы выполнялись указывающие равенства. Между некоторыми соседними цифрами можно не ставить знака, обведняя их в одно число.

2. Во время подведения итогов сревнования по сбору металлолома выясились, что 6 «А» собрал металлолома больше, чем 6 «Б» и 6 «В» вместе, но 6 «А» и 6 «Б» собрали вместе столько же металлолома, сколько 6 «В» и 6 «Г», кроме того, 6 «В» и 6 «Г» собрали металлолома больше, чем 6 «А» и 6 «В». Как распределились места в сревновании этих классов?

3. На столе лежали три карточки с цифрами. Сначала из них сложили наиболее возможное число, потом сложили следующее по величины. Их сумма оказалась равной 1233. Какие цифры были на карточках?

4. Сумма 13 различных натуральных чисел равна 92. Найдите эти числа.

5. Когда я вымыл стаканы в горячее воде и поставил их сушиться вверх доньшками на гладкий стол, то они другно поползли по столу. Я вспомнили, что когда я мыл их холодной водой, то такого с ними не проискодило. Почему стаканы начали двигаться?

Эти задчи нам предложили:
Л. П. Мочалов, А. В. Сидрианский,
Н. К. Антонович, А. П. Савин.

23

24

Победители конкурса
«Задачик «Кваenta»

Ежегодно наш журнал проводит конкурс среди школьников по решению задачи из Задачника «Кваenta».
НИже публикуются списки победителей конкурса «Задачик «Кваenta»
1984 года.
Награждаются Дипломом и значком журнала «Кваент»
и получают право участвовать сразу в четвертом (ресублиkanском) туре Всегоозной олимпиады 1985 года:

По математике
М. АЛЕКСАНДРОВ — Москва, с.ш. № 542, 9 кл.
А. АСРЯН — Ереван, ФМШ № 1 при ЕрГУ, 10 кл.
Р. ВАБАЕВ — Баку, с.ш. № 145, 10 кл.
С. ВЕЛЕСЬКО — Минск, с.ш. № 103, 9 кл.
Э. ВЕЛИМЕТОВ — Баку, ФМШ № 1, 10 кл.
Л. ВЕРТГЕИМ — Новосибирск, с.ш. № 25, 10 кл.
Д. ГАМАРНИК — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комарова, 9 кл.
Р. ГЕНДЛЕР — Ташкент, с.ш. № 110, 8 кл.
А. ГРИГОРЯН — Ереван, ФМШ № 1 при ЕрГУ, 9 кл.
А. ДАВТЯН — Ереван, ФМШ № 1 при ЕрГУ, 9 кл.
С. ДЕМЬЯНЧЕНКО — Москва, с.ш. № 315, 10 кл.
В. ДЗЮВА — Одеcca, с.ш. № 100, 10 кл.
А. ДЫННИКОВ — Жуковский, с.ш. № 1, 9 кл.
И. ДЫННИКОВ — Жуковский, с.ш. № 10, 8 кл.
В. ЕЛИСТРАТОВ — Донецк, с.ш. № 17, 10 кл.
В. ЖУРАВЛЕВ — Гайворон, с.ш. № 2, 8 кл.
С. ЗЕИНАЛОВ — Баку, ФМШ № 1, 10 кл.
Л. ЗОСИН — Киев, с.ш. № 145, 10 кл.
В. КАПОВИЧ — Хабаровск, с.ш. № 2, 9 кл.
И. КАПОВИЧ — Хабаровск, с.ш. № 2, 9 кл.
Т. КОВДИКОВ — Павлодар, с.ш. № 3, 10 кл.
М. КУРИННОЙ — Харьков, с.ш. № 27, 9 кл.
С. ЛАУСМАА — Коктла-Ярве, с.ш. № 15, 6 кл.
М. МАКАРОВ — Севастополь, с.ш. № 3, 9 кл.
Т. МИСИРПАШАЕВ — Москва, с.ш. № 57, 9 кл.
А. МОЛОТКОВ — Ленинград, с.ш. № 366, 10 кл.
В. ПОГРЕБНЯК — Винница, с.ш. № 6, 10 кл.
И. САМОВОЛ — Гайворон, с.ш. № 5, 8 кл.
Р. СИБИЛЕВ — Ленинград, с.ш. № 30, 9 кл.
А. ТРУХАН — Минск, с.ш. № 116, 10 кл.
Е. ФИНК — Ленинград, с.ш. № 239, 9 кл.
Ю. ШАМРУК — д. Новый Двор Гродненской обл., 7 кл.

По физике
О. АВРАМЕНКО — Херсон, с.ш. № 30, 10 кл.
В. АПАЛЬКОВ — Харьков, с.ш. № 16, 10 кл.
Г. АРВЕЛАДЗЕ — Тбилиси, с.ш. № 37, 9 кл.
А. БАИРАМОВ — Баку, ФМШ № 1, 10 кл.
А. БЕГЛАРОВ — Тбилиси, с.ш. № 42, 9 кл.
Э. БОНДАРЕНКО — Полтава, с.ш. № 6, 10 кл.
Р. БОТАШЕВ — Фрунзе, с.ш. № 61, 10 кл.
Е. ВАЙНШТЕЙН — Ташкент, с.ш. № 71, 10 кл.
М. ГОТМАН — Киев, с.ш. № 145, 10 кл.
А. ДОДА — Корсунь-Шевченковский, с.ш. № 4, 9 кл.
С. ДУБОВИК — Брест, с.ш. № 1, 10 кл.
С. ЖИЛИНСКАС — Вильнюс, с.ш. № 9, 11 кл.
Г. КЛИМОВИЧ — Болшево, с.ш. № 3, 10 кл.
Д. КУЧУЛОРЯЯ — Тбилиси, ФМШ им.
В. М. Комарова, 9 кл.
А. ЛИХТЦИНДЕР — Ташкент, в.ш. № 49, 10 кл.
К. ЛОПИН — Фрунзе, с.ш. № 61, 9 кл.
Д. ЛУНЦ — Саратов, с.ш. № 13, 10 кл.
Ю. МАХЛИН — Москва, с.ш. № 57, 9 кл.
В. МЕНЬКОВ — Мончерорск, с.ш. № 3, 10 кл.
А. МИКАЛЫКЯВИЧС — Панавежис, с.ш. им. Ю. Балчикониса, 11 кл.
О. МОРОЗ — Алма-Ата, РОФМШ, 10 кл.
А. ОНУФРИЕВ — Москва, с.ш. № 91, 10 кл.
Я. ПУГАЙ — Алма-Ата, РОФМШ, 10 кл.
С. РАХАМОВ — Казань, с.ш. № 131, 9 кл.
А. РЖЕВСКИЙ — Новосибирск, с.ш. № 149, 10 кл.
Р. РИВКИН — Минск, с.ш. № 16, 10 кл.
М. РУДЫК — Винница, с.ш. № 33, 10 кл.
М. САВЧЕНКО — Белгород, с.ш. № 3, 10 кл.
В. САКБАЕВ — Алма-Ата, РОФМШ, 9 кл.
М. СКОРОВОГАТОВ — Киев, с.ш. № 208, 10 кл.
С. СТЕПАНЯНЦ — Ереван, ФМШ № 1 при ЕрГУ, 10 кл.
В. СУЛЕИМАНОВ — Баку, ФМШ № 1, 10 кл.
С. ТУЖАНСКИЙ — Винница, с.ш. № 33, 9 кл.
Л. ФЕДИЧКИН — Москва, с.ш. № 91, 10 кл.
С. ФЕРАНЧУК — Минск, с.ш. № 1, 10 кл.
С. ЧЕРНЫШЕВ — Ташкент, с.ш. № 50, 10 кл.
А. ШЕГОЛЕВ — п. Черноголовка Московской обл., с.ш. № 82, 10 кл.

25

Задчи

M911—M915; Ф923—Ф927

M911. На сторонах AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD выбираются произвольные точки E и F соответственно. Докажите, что середины отрезков AF, BF, CE и DE являются вершинами четырехугольника, причем его площадь не зависит от выбора точки E и F.

M912. Докажите, что a) многочлен $x^2$, б) любой многочлен можно представить в виде разности двух многочленов, каждый из которых является монотонно возрастающей функцией.

B. П. Пикулин

M913. Касательные к описанной вокруг треугольника ABC окружности, проведенные в точках A и B, пересекаются в точке P. Докажите, что прямая PC a) пересекает сторону AB в точке K, делящее ее в отношении $AC^2:BC^2$;
б) симметрична медиане, проведенной из C, относительно биссертрисы угла C треугольника.

C. Литовченко, ученик 10 кл.

M914. На острове Серобуромалин obtaiот 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т. д.). Можно ли слушаться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

B. Г. Ильчёв

M915*. Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c, d верно неравенство

$$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a} + \frac{d}{a+b} \geq 2.$$

Л. Д. Курляндчик

Ф923. На гладкой горизонтальной плоскости лежат два касающихся друг друга диска, скрепленные нерастижной нитью (рис. 1). Диск радиуса R начинает врашаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, причем скорость врашения линейного возрастает со временем. В некоторых моментах диск меньше радиуса r отрывается от большого диска (перестает его касаться). На какой угол повернет к этому моменту большой диск? Тренние между дисками отсутствует.

26

Считать, что все масса диска сосредоточена в его центре.

Л. Г. Маркович

Ф924. В жаркую погоду для быстрого охлаждения воды ее наливают в обросшую льдом формучки, вынутую из морозильной камеры холодильника. Воду «перекатывают» от одного края формучки к другому, потом выливают. Оцените, больше или меньше воды становится при этой операции.

Л. А. Ашкинази

Ф925. Две одинаковых массивных трубы скатываются с горок одинаковой высоты, но разного профиля (рис. 2). По первой горке труба на всем участке движется без просkalывания; на второй горке имеется абсолотно гладкий участок (участок 1—2), но в конце пути (у подножия горки) труба вновь движется без просkalывания. У какой трубы в конце горки скорость больше?

А. И. Буздин

Ф926. В пространстве нахождения 1985 несоприкасающийся металлический шаров, заряды которых равны, соответственно, $q, -2q, 3q, -4q, ..., -1984q, 1985q$ ($q > 0$). Доказите, что среди них есть шар, у которого поверхностная плотность заряда всуду неотрицательна. Расстояния между шарами конечны.

В. А. Ясинский

Ф927. Через сцинитилляционной счетчик, имеющий форму прямогоного параллелепипеда, пропетает заряженная частца, и молекулы сцинитиллятора, лежащие вдоль ее траектории, испускают свет. Свет в каждой точке испускается изотропно, то есть равномерно во все стороны. Какая доля световой энергии выдает из сцинитиллятора в воздухах, если коэффициент преломления вещества сцинитиллятора $n=1,6$? Поглощением света в сцинитиллоре пренебречь.

Примечание: телесный угол при вершине конуса равен $\Omega=2\pi(1-\cos \theta)$, где $\theta$ — угол между осью конуса и его образующей.

С. А. Хорошов

Problems

M911—M915; P923—P927

M911. Arbitrary points $E$ and $F$ are chosen on sides $AB$ and $CD$ respectively of the quadrilateral $ABCD$. Prove that the midpoints of the segments $AF, BF, CE,$ and $DE$ are the vertices of a convex quadrilateral whose area does not depend on the choice of the points $E$ and $F$.

M. V. Stark

M912. Prove that a) the polynomial $x^2$, b) any polynomial may be represented as the difference of two polynomials, each of which is a monotonic increasing function.

V. P. Pikulin

28

—4q, …, —1984q, 1985q (q>0), respectively.
Prove that one of the balls has an everywhere positive charge density on its surface. The distances between the balls are finite.

V. A. Yasinski

P927. A charged particle flies through a scintillation counter; the scintillating molecules along its trajectory emit light. The light is emitted isotropically (i.e. uniformly in all directions) at each point. What part of the emitted light will leave the scintillator into the air, if the refraction coefficient of the scintillating matter is $n=1.6$? Light absorption in the scintillator may be neglected.

Remark. The solid angle at the vertex of a cone equals $\Omega=2\pi(1-\cos\theta)$, where $\theta$ is the angle between the cone’s axis and its generator.

S. A. Khorozov

Решения задач

M891 — M895; Ф903 — Ф907

Обозначим в данной треугольнике $ABC$ длины стороны $BC$ и $CA$ через $a$ и $b$, длины медиан $AA_1$ и $BB_1$ — через $m_a$ и $m_b$, точку пересечения медиан — через $M$ (см. рисунок). Поскольку от середины стороны до точки пересечения медиан равен ее трети, а четырехугольник $MA_1CB_1$ описан около окружности, имеет место равенство $m_a/3+b/2=m_b/3+a/2$ или

$$m_a + \frac{3b}{2} = m_b + \frac{3a}{2}. \tag{1}$$

Далее, треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ имеют одинаковые площади (равные площади треугольника $ABC$) и общую вписанную окружность, поэтому их перimetры равны: $m_a+a/2+b=m_b+b/2+a$, то есть

$$m_a + \frac{b}{2} = m_b + \frac{a}{2}. \tag{2}$$

Вычитая равенство (2) из (1), получим $a=b$.

Отметим, что утверждение задачи справедливо и тогда, когда окружность касается продолжей двух стороны треугольника и двух медиан.

A. A. Мурагов

M892. a) Докажите, что среди чисел $2^m+2^k$, а также среди чисел $3^m+3^k$ бесконечно многоочередно, а среди чисел $4^m+4^k$, $5^m+5^k$ и $6^m+6^k$ нет ни одного квадрата целого числа (здесть $m$ и $k$ — натуральные числа, $m \neq k$).
b)* Есть ли квадраты среди чисел $7^m+7^k$?

a) Заметим сначала, что если число $a^m+a^k$ является квадратом, то квадратов такого вида бесконечно многоочередно: $a^{m+2n}+a^{k+2n}=(a^n)^2 \cdot (a^m+a^k)$ (здесь $m$ или $k$ может равняться и нулю). Поэтому утверждение задачи для $a=2$ и $a=3$ вытекает из равенств $2^3+2^0=8+1=3^2$, $3^1+3^0=2^2$.

Случай $a=4$. Пусть $4^m+4^k=b^2$, где $b$ — целое число, причем $m>k$; тогда $4^{m-k}+1=(b/2^k)^2$ или $4^n+1=c^2 (n=m-k, c=b/2^k)$. Отсюда следует, что $(c+2^n)(c-2^n)=1$, что, оченьindo, невозможно.

29

Случай $a=5$. Легко видеть, что число $5^m$ при любом $m>1$ кончается цифрами 25, поэтому $5^m+5^k$ может кончаться только на 30 (при $k=1$) или на 50 (при $k>1$) и, следовательно, не может быть квадратом (квадрат, кончающийся нулем, должен делиться на 100).

Случай $a=6$. Степень числа 6 всегда кончается на 6, а значит, число $6^m+6^k$ — на 2. Но квадраты целых чисел могут кончаться только на 0, 1, 4, 6, 9.

6. Ответ: нет. Поскольку 7 при делении на 3 дает в остатке 1, такой же остаток дают и все степени семи. Поэтому число $7^m+7^k$ дает при делении на 3 остаток 2 и, следовательно, не может быть квадратом $((3n)^2$ делится на 3, а $(3n \pm 1)^2 = 3(3n^2 \pm 2n) + 1)$.

А. И. Зайчик, В. Н. Дубровский

M893. Каждый два из n блоков ЭВМ соединены прободом. Можно ли каждый из этих прободов покрыть в один из n—1 цветов так, чтобы из каждого блока выходило n—1 прободов разного цвета, если a) $n=6$; b) $n=13$?

a) Ответ: можно. Нужная раскраска показана на рисунке.

6. Ответ: нельзя. Действительно, если было использовано $m$ прободов какого-то одного цвета, то число блоков — $2m$ (столько концов у всех этих прободов, а каждый конец подсоединенровно к одному блоку). Но 13 — нечетное число.

Эту задачу часто формулируется как задачу о составлении расписания кругового турира — при этом проводам одного цвета ответает разбиение участков турира на пары для одного типа. Мы видели, что при нечетных $n$ эта задача неразрешима. Можно доказать, что при четных $n$ она всегда имеет решение (см., например, книгу O. Оре «Приглашение в теорию чисел» (M.: Нayka, 1980, гл. 8, § 3), а также решение задачи 1.16 в книге «Заочные математические описания» (M.: Нayka, 1981, с. 19)).

В. В. Алексеев

M894. a) Сумма пяты неотрицательных чисел равна 1. Доказите, что их можно расстоять по кругу так, чтобы сумма пяты попарных произведений соседних чисел не превысходит 1/5.

b)* По кругу расстояло $n \geqslant 4$ неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Доказите, что сумма всех n попарных произведений соседних чисел не превысходит 1/4.

a) Доказательство будем вести от противного. Допустим, что при любой расстановке чисел $a, b, c, d, e$ рассматриваем сумма больше 1/5, в частности (см. рисунки 1 и 2):

$$ab+bc+cd+de+ea > 1/5,$$
$$ac+ce+eb+bd+da > 1/5.$$

Отсюда получим противоречие:

$$1 = (a+b+c+d+e)^2 = \frac{a^2+b^2}{2} + \frac{b^2+c^2}{2} + \frac{c^2+d^2}{2} +$$
$$+ \frac{d^2+e^2}{2} + \frac{e^2+a^2}{2} + 2[(ab+bc+cd+de+ea) +$$
$$+(ac+ce+eb+bd+da)] \geqslant$$
$$\geqslant 3(ab+bc+cd+de+ea) +$$
$$+ 2(ac+ce+eb+bd+da) > 1$$

(мы использовали неравенство $x^2+y^2 \geqslant 2xy$).

Из решения видно, что условие неотрицательности чисел не существует. Утверждение задачи

30

(c заменной 1/5 на 1/n) справедливо для любых $n$ чисел.

6. Мы должны доказать, что для любых $n \geqslant 4$ неотрицательных чисел $a_1, \dots, a_n$ сумма которых равна 1, выполнен неравенство
   $$a_1a_2 + a_2a_3 + \dots + a_{n-1}a_n + a_na_1 \leqslant 1/4.$$

При четном $n (n=2m)$ это неравенство доказывается неопределенно: пусть $a_1 + a_3 + \dots + a_{2m-1} = a$; тогда, очевидно,
$$a_1a_2 + \dots + a_na_1 \leqslant (a_1 + a_3 + \dots + a_{2m-1}) \times \times (a_2 + a_4 + \dots + a_{2m}) = a(1-a) \leqslant 1/4.$$

Пусть теперь $n$ нечетно и пусть $a_k$ — наименьшее из данных чисел. (Для удобства будем считать, что $1 < k < n-1$ — это не ограничивает общности при $n \geqslant 4$.) Положим $b_i = a_i$ при $i=1, \dots, k-1$, $b_k = a_k + a_{k+1}$ и $b_i = a_{i+1}$ при $i=k+1, \dots, n-1$. Применяя нашей неравенство к числам $b_1, \dots, b_{n-1}$, получим:
$$a_1a_2 + \dots + a_{k-2}a_{k-1} + (a_{k-1} + a_{k+2})b_k + a_{k+2}a_{k+3} + \dots + a_{n-1}a_n + a_na_1 \leqslant 1/4.$$

Остается воспользоваться тем, что
$$a_{k-1}a_k + a_ka_{k+1} + a_{k+1}a_{k+2} \leqslant a_{k-1}a_k + a_{k-1}a_{k+1} + a_{k+1}a_{k+2} \leqslant (a_{k-1} + a_{k+2})b_k.$$

Заметим, что в общих пунктах указанные оценки точные (их нельзя уменшить); в пункте a) оценка $1/n$ достигается, когда все $n$ чисел равны, а в пункте 6) — когда два из них равны 1/2, а остальные 0.
С. В. Гашков, А. Н. Драншинков

*M895. Докажите, что площать сечения куба плоскостью, касающейся вписанной в него сферы, не преосходит половины площади грани куба. Расмотите случан, когда это сечение a) треугольник, b) четырехугольник. b) Докажите, что в случае a) площать полной поверхности от куба треугольника меньше площади грани. (Ортогональные проекции этих трех граней на плоскость первой грани полностью ее покрывают, а площади проекций меньше площадей самих граней.) Тем не менее, мы докажем a) независимо, поскольку при этом получится несколько более общий результат.

Обозначим вершины рассматриваемого треугольного сечения куба через $A, B, C$, общую вершину трех ребер; на которых они лежат — через $V$, точки касания вписанной сферы с плоскостями $ABC, VAB, VBC, VCA$ — через $T, K, L, M$ (последние три точки, очень удобно, — центры грани куба; рис. 1). В силу равенства касательных, проведенных к сфере из одной точки, $AT=AK=AM, BT=BK=BL, CT=CL=CM$, поэтому треугольники $ABK$ и $ABT, BCL$ и $BCT, CAM$ и $CAT$ (рис. 1), а также $AVK$ и $AVM, BVK$ и $BVL, CVL$ и $CVM$ (рис. 2) попарно равны и, тем более, равновелики. Следовательно, площать сечения $ABC$ равна сумме $S_1$ площадей треугольников на рисунке 1, а площадь $S_{\text{тетр}}$ полной поверхности треугольника $VABC$ равна сумме площадей четырехугольников $AKBV, BLCV$ и $CMAV$, то есть удовеной сумме

31

$S_2$ площадей зеленого, красного и желтого треугольников на рисунке 2:
$$S_{\text{тетр}} = 2S_2 = 2(S_{AKV} + S_{BKV} + S_{CLV}) = 2(S_{AKBV} + S_{CLV}).$$

Пусть $S_0$ — площадь грани куба. Докажем, что для любых трех точек $A, B, C$ на ребрах куба, выходящий из вершины $V$,
$$S_1 = S_{ABK} + S_{BCL} + S_{CAM} \leq S_0 / 2$$
(1)
(и, в частности, утверждение a)).

Для этого заметим, что если две из трех точек, например $B$ и $C$, закрылены, то площади треугольников $ABK$ и $ACM$, а значит и всегда сумма $S_1$, линейно зависит от $x=VA$ (доказательство см. на рисунке 3). Поэтому всегда можно передивать точку $A$ в конец ребра так, чтобы величина $S_1$ возросла (или, во всяком случае, не уменьшилась). То же самое можно проделать последовательно с точки $B$ и $C$; следовательно, неравенство (1) достаточно доказать для точек $A, B$ и $C$, расположенных в вершинах куба. Имеется всего 4 таких расположения (с точностью до переобозначией); они показаны на рисунке 4. В двух случаях $S_1=0$, в двух других $S_1=S_0 / 2$. Легко понять, что за исключением двух последних случав неравенство в (1) всегда строое, но треугольник $ABC$ на рисунке 4, в можно рассматривать как предельное положение сечения, касающейсяписанной сферы, поэтому оценка в задаче a) точная.

Докажем теперь неравенство
$$S_2 = S_{AKBV} + S_{CLV} < S_0 / 2$$
(и вместе с ним — утверждение b)).

Пусть для определения $KB \geqslant KA$. Очевидно, прямая $KB$ делит грань куба на две равные трапеции площади $S_0 / 2$, одна из которых — $VBB_1U$ (рис. 2) состоит из четырех треугольников $AKBV$ и $AKB_1U$. Таким образом, достаточно доказать, что
$$S_{CLV} < S_{AKB_1U}.$$
Отложим на ребре $UV$ отрезок $UC_1=VC$ (рис. 5); тогда треугольники $C_1KU$ и $CLV$ равны, причем $\angle C_1KU = \angle CLV = \angle AKB_1$.

(Действительно, из равенства однозвечных треугольников на рисунке 2 следует, что $2(\angle CLV + \angle AKB) = \angle AKB + \angle BLC + \angle CMA = \angle ATB + \angle BTC + \angle CTA = 360^\circ = 2(\angle AKB_1 + \angle AKB)$.) Следовательно, $\angle B_1KU = \angle C_1KA$ (рис. 5) и, кроме того, $KB_1 = KB \geqslant KA$, $KU > KC_1$, поэтому $S_{AKC_1} < S_{B_1KU}$, то есть
$$S_{CLV} = S_{C_1KU} = S_{AKC_1} + S_{AKU} < S_{B_1KU} + S_{AKU} = S_{AKB_1U}.$$
Такие же сообщения, как в пункте a), показывают, что и здесь оценка точная.

6. Пусть $ABCD$ — четырехугольное сечение куба, отделящее от него ребро $UV$ и пересекающее грани с центрами $K, L, M, N$ (рис. 6). Как и выше, легко видеть, что его площадь равна сумме $S_3$ площадей треугольников $ABK, BCL, CDM$ и $DAN$, которая, очевидно, меньше суммы
   $$S_4 = S_{ABK} + S_{BLCV} + S_{CDM} + S_{DNAU}.$$

(Окончание см. на с. 34)

32

Калейдоскоп «Кваита»

П. Л. Чебышёв

«Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого вызывает; сами научки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных…»
П. Л. Чебышёв

---

Пафнутьй Львович Чебышёв (1821—1894) — великий русский математик и механик. Ему принадлежат выдавшиеся результаты во многих областях математики. В частности, он показал, что количество $n$ простых чисел, не превысading их числа $n$, с большей точностью описывается зависямостью: $\pi(n) \approx n/\log n$. Чебышёв построил теорию приближения функций многочленами, внес огромный вклад в развитие теории вероятности. В то же время он много внимания уделял прикладной математике и механике. Известны его работы о рациональном раскрое ткани, строении географических карт, полетах артиллерийских снарядов.

Очень интересны исследования П. Л. Чебышёва по теории и конструкрованию шарнирных механизмов, которые он посвятил 15 своих работ. Им было придумано и конструкровано около 40 разнообразных механизмов, в числе которых следует отметить «стопоходящую машину»,

квант 3
1985

или, как ее называли, «механическую лошадь», лодку с гребным механизмом, регуляторы к паровой машине (см. фото), арифметметр и многое другое.

П. Л. Чебышёв был и выдавшимся педагогом. Он воспитал многохренных математиков, составившихпетербурскую математическую школа, традиции которого живы и посядень.

Нарисуем на клетчатой бумаге какой-нибудь многоугольник с вершинами в узлах сетки, например такой, как на рисунке 1. Попробуем теперь посчитать его площадь. Как это сделать? Наверное, прошшее всего разбит его на прямойные треугольники и прямойники, площади которых уже нетрудно вычислить, и сложить полученные результаты. Последовательно проводя вычисления, получим, что площадь нашего многоугольника равна 20,5, если за единицу площади взять площадь одного квадрата клетчатой бумаги. Но если вспомнить, что сторона такого квадрата равна 0,5 см, а значит, его площадь равна четверти квадратаного сантиметра, площадь равного многоугольника в квадратах сантиметрах будет равна 20,5/4=5,125 см².

Использованный нами способ несложен, но очень