Квант 1985, №12 · Страницы

КВАНТ
12
1985

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

10

На верхнем левом спитке — поперечное сечение медного спитка. Подобная структура возникает в процессе затвердевания расплава. На фото справа (увеличение 200) иная структура. Она возникла при прокатке спитка — зерна-кристаллики вытянуты вдоль направления прокатки. На нижнем фото, полученном с помощью электронного микрокопа (увеличение 1000), — картина разрушения, вызванного наличием в металле «опасных» примесей, скалпивающихся на границах между зернами-кристаллими.

Какую роль играют в жизни металла между зернами гранцы? Это вопрос посыщена статья А. Л. Петелина и А. И. Федосеева в этом номере журнала.

В НОМЕРЕ:

2 А. Л. Петелин, А. И. Федосеев.
Как живут кристаллы в металле

A. L. Petelin, A. I. Fedoseev.
How crystals live in metals

8 А. В. Гончаров. Арифметика гауссовых чисел

A. В. Goncharov. The arithmetic of Gaussian numbers

14 Математический кругок
Л. Питер, И. Хегедыш. Упорядоченные наборы чисел и неравенства

Mathematics circle
L. Pinter, Y. Hegedüs. Ordered sequences of numbers and inequalities

16 Наш календарь
Формула Бальмера

Our calendar
Balmer’s formula

18 Школа в «Кванте»
Mathematica 9—10

Kvant’s school
Mathematics 9—10

21 «Квант» для младших школьников
Задачи

Kvant for younger school children
Problems

22 Л. Кэрролл. Безумное чаепитие

L. Carroll. The mad tea party

26 Задачик «Кванта»
Задачи M956—M960; Ф968—Ф972

Kvant’s problems
Problems M956—M960; P968—P972

28 Решения задач M936—M940; Ф948—Ф952

Solutions M936—M940; P948—P952

36 Список читателей, присланных правильные решения

List of readers who have sent correct solutions

38 Полупроводниковые элементы вычислительной техники

IV. Как изготовливают трансисторы в интегральных схемах

Semiconducting elements in computers

IV. How the transistors in a chip are made

40 Практикум абитриента
Е. И. Бутиков. Интерфейсция света

College applicant’s section
E. I. Butikov. Interference of light

46 Олимпiadы
T. А. Сарычева, А. А. Фомин.
XXVI Международная математическая олимпiadа

Olympiads
T. А. Sarycheva, А. А. Fomin. The 26th International mathematics olympiad

48 О. Ф. Кабардин, В. А. Орлов.
XVI Международная физическая олимпiadа

O. F. Kabardin, V. A. Orlov. The 16th International physics olympiad

52 Информация
Заоная физico-техническая школа при МФТИ

Information
Moscow physico-technical institute’s correspondence school

55 Ответы, указания, решения

62 Напечатано в 1985 году
Смесь (37, 45)
Шахматная страница
Шахматные квартеты (3-я с. обложки)
Наша анкета (4-я с. обложки)

Answers, hints, solutions
Printed in 1985
Miscelaneous (37, 45)
The chess page
Chess quartets (3rd cover page)
Our questionnaire (4th cover page)

На нашей новогодной обложке можно видеть и математические, и физические мотивы: замошение плоскости симметричных фигурами и отражение плоского узора в сферическом зернале.

© Издательство «Нука». Главная редакция физico-matематического литературы, «Квант», 1985

2

Как живут кристаллы в металле
Кандидат физико-математических наук
А. Л. ПЕТЕЛИН,
А. И. ФЕДОСЕВ

Когда речь заходит о кристаллах, то обычно представляют себе красивые многогранички, сверкающие в лучах света. Однако встречалосься в природае кристаллические материалы чаще всего не обладают столбцовшенными формами. Как правило, это поликристаллы — вещества, состоящие из множества плотно упакованных мелчайших кристалlikов, поразному ориентированных в пространстве.

Такую структуру обычно имеют и металлы. Она формируется уже в процессе кристаллизации, когда зародышки кристалlikов возникают в различных точках жидкого металла, зернакристаллики растут, встречаются и тесят друг друга. Постепенно расплавленный металл превращается в поликристалл.

Многие важные свойства металла зависит не только от устойчивости отделных зерен, но и от того, как они упакованы в поликристалле, каковы границы между зернами. Физические процессы, проискоды на этих границах, порой оказывают определенное влияние на свойства металла.

Лазейки для примесей

Что бы придать стали нужные свойства, ее поддержот термической обработке — закалке (резкому охлаждению от высокой температуры) и отпуск (повторному нагреву до менее высокой температуры). Закалка делает сталь упругой и твердой; отпуск смягчает сталь, придает ей пластичность. Меняя химический состав стали, температуры закалки и отпуска, люди на протяжении тисечетей научились добаваться нужного сочетания прочности, пластичности, твердости и т. д.

За последние полвека условия эксплуатации стальных деталей сильноужестоились, и инженеры все чаще стали заменать, что и после отпуска, проведенного по всем правилам, некоторых виды стали все равно

Так выглядит под микросомом (увеличение 500) плоский сред куска меди. (При протравлении поверхности среда кислотой на границах между отделными кристалlikами травлениеidet быстрее — там образуется углубления). Не напоминает ли вам это кукурузные зернышки в початке? Может быть, именно поэтому говорят, что металл имеет зеренную структуру?

5

близкими углами разворота зерен.
Но как они отличются! Глубина проникновения по двум почти одинаковым границам совершено разная!
В рамках островковой модели это вызывает удивление.

В целом зависимости глубины проникновения при диффузии по ГЗ от угла разворота зерен выглядит так, как показано на рисунке 3,— она немонотонна. В свете этих экспериментальных результатов ни о какой плаваности изменения свойств ГЗ говорить уже не приходится.

Порядок и беспорядок на границе

Внести относительноясность в вопрос о том, почему свойства ГЗ так сильно зависит от угла разворота зерен, помог геометрической подход к проблеме контакта двух кристаллических решеток, начало которого было положено в работах английских кристаллографов М. Кронберга и Ф. Вильсона в 1947 году. Остановимся на этом подходе подробнее.

Нам по-прежнему достаточно будет рассматривать плоские квадратные кристаллические решетки.

Вудем разворочивать две квадратные сетки друг относительно друга вокруг оси, перpendикулярной плоскости сеток, постепенно увеличивая угол разворота. При некоторых, вполне определенных, углах разворота вдоль линии контакта сеток возникнут узлы, общее для обеих сеток,— совпадающее узлы (на рисунке 4 они помещены красным цветом). Эти узлы

Рис. 3. Зависимость глубины проникновения при диффузии по ГЗ от угла разворота зерен. Кривая построена по экспериментальным результатам, полученным при диффузии цинка в алюминый.

Рис. 4. Схема возникновения РСУ. Красные точки — совпадающее узлы.

расположены на плоскости с определенной периодичностью и образуют так называемую решетку совпадающих узлов (дальше мы будем обозначать ее РСУ).

Для двух границших зерен есть несколько так называемых спецальных, «хороших» углов разворота, при которых возникют РСУ с большими плотностями совпадающих узлов.*) Границца зерен в случае таких углов имеет премиущество по сравнению с границами без РСУ — она более упорядочена, значительная часть узлов находится на местах, обусловленных кристаллическими решетками обихих зерен.

Остается только один вопрос: «чувствует» ли реальная ГЗ в металле, что есть такие спецальные углы разворота? Ведь пока что речь шла только о плоской геометрической модели ГЗ, не учитываюсь, что атомы имеют конечные, а не точные размеры, что между ними существует взаимодействие, что они могут смешаться относительно кристаллической решетки…

Вернемся к photographer на рисунке 2. Междуглубиной границ с меньшей глубиной проникновения цинка (рис. 2, а) — это граница с углом

*) Нахождение хороших углов — красивая геометрическая задача, связанная с нахождением точки с целочисленными координатами на окружности. Это вопрос посылается частью А. В. Гончарова «Арифметика гаussовых чисел» (см. с. 13) и «Задачи для исследований» (с. 45) в этом номере журнала.

6

разворота, почти в точности равным специальному углу. Значит, диффузия по границе зерен с решеткой совпадающих узлов идет медленнее, чем по границам без РСУ. Это подтверждается и зависитностью на рисунке 3 — все миниммы глубины проникновения при зернографии диффузии соответствуют углам разворота, при которых, согласно вычислениям, возникает РСУ. С точки зрения нашей геометрической модели это можно объяснить — специальные границы более упорядочены, они по структуре близке к кристаллической решетке зерен, чем границы без РСУ. Поэтому и скорость диффузии в них близке к скорости диффузии в решетке.

Самым впечатляющим подтверждением того, что решетки совпадающих узлов реализно существует на границах зерен, является прямое наблюдание расположения atomов на границе, ставшее возможным только в последнее время благодаря развитию высококорзшающего электронной микрокосолики. На рисунке 5 приведена фотография atomного строения ГЗ с углом разворота, близким к специальному, полученная на электронном микрокосоле. Сравните рисунки 4 и 5. Неправда ли, заменаительное сходство простой геометрической схемы и физического объекта — межзеренной границы, которое эта схема моделирует?

Геометрическая модель — первый шаг на пути построения общей теории границ зерен. Она дает представление об их структуре только при разорентировках, отвечающих специальному углам, остальные границы остаются неохваченными этим расстоянием. Сейчас на основе модели РСУ разработаны физические модели, учитывающие искажения кристаллических решеток при ориентациях, на несколько граducов отличающихся от специальных. Однако, как устроены ГЗ с углами разворота, далеко от специальных, пока остается неясным.

Структура и текстура

Do схх пор мы говорили об отдельных зернах и о том, как на границах между зернами из хаоса возникает порядок. В металле зерен очень много, причем их расположение и форма, как правило, не бывают совершенно случайными. Практически всегда имеет какая-то преимущественная ориентация кристаллических зерен. В таких случаях говорят, что материал обладает текстурой (от латинского слова textura — ткани, упорядоченная структура).

Причны возникновения текстур и сами текстуры бывают различные. На 2-ой странице обложки этого номера приведены две фотографии явно выраженных текстур. Однако из них возникла в металле после значительных деформаций: металлический слиток «прокатали» между двумя твердыми цилиндрами-валками так, что получился тонкий лист (такой метод обработки металлов давлением и называют прокаткой). В результате зерна вытянулись вдоль направления прокатки, и сплошились в направлении, перpendикулярном плоскости листа. Это — пример текстуры деформации.

Определению текстуры имеют и сами слитки (верхнее левое фото на 2-ой странице обложки). Она возникает в процессе затвердевания расплавленного металла и называют ее текстурой роста, текстурой кристаллизации. Процесс кристаллизации жидкого металла, находящемся в специальной ванне, изложенное, начинается в наиболее холодных областях — у стенок. Вначале формируется множество мелких кристаллов, ориентированных беспорядочно. Разрастая во все стороны, они как бы «натыкаются» на своих растуших соседей, после чего дальнейший свободный рост их воз-

8

Арифметика гауссовых чисел

А. В. ГОНЧАРОВ

Об одной из красивейших арифметических теории, построенной величим немецким математиком К. Ф. Гауссом, рассказано в этой статье. Гауссовы числа (точки с целыми координатами на плоскости) можно определенным образом складывать и умножать. Возникающая при этом теория делимости, которая наполняет общую арифметiku числа, но имеет и свой характерные особенности, вохциает внутренней стройностью и красотой. Однако теория гауссовых чисел не просто изящная математическая игрушка — это и полезный аппарат, позволяющий находить красные доказательства различных фактов из теории чисел (пифародовый тройки, число представления натурального числа в виде суммы двух квадратов), и даже кристаллографини (см. статью А. Л. Петелина и А. И. Федосеева в этом номере «Кванта»).

Натуральные числа 0, 1, 2, 3, … являются основой всей математики. Относительно сложения они устроены весом просто, а именно: 1, 2=1+1, 3=1+1+1, …, так что единственным исходным исходным кирпичом является 1.

Вводя в игру вычитание, мы попадаем в область целых чисел — 3, — 2, —1, 0, 1, 2, 3 … Относительно же умножения тот же ряд целых чисел устроен уже гораддо сложнее. А именно, простейших кирпичей, из которых строятся умножением все ненулевые целые числа, бесконечного много — это все простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. Natуральные числа, большие 1, получаются из них умножением: 2, 3, 2×2, 5, 2×3, 7, 2×2×2, 3×3, …. Для того же, чтобы умножением получить все целые рациональные числа, надо еще привлечь обе единицы 1 и —1.

Следующая теорема обязывает, в каком смысле простые числа являются строительным материалом для мультитипикативного (то есть относаяся к умножению) построения натуральных чисел.

Основная теорема арифметики целых чисел. Каждое ненулевое число число a = εp₁ᵢ p₂ᵢ … pₙᵢ (1)

zdе n≥0, pᵢ — различные простые числа, eᵢ — положительные целые числа, a ε — одна из единиц. Это представление определяено однозначно с точностью до порядка сомножителей.

Если простые числа p₁, p₂, …, pₙ располагаать в порядке возрастания (что естественно), то равенство (1) полностью определяется числом a: и число ε (равное ±1), и простые множители p₁<p₂<…<pₙ, и их показатели e₁, e₂, …, eₙ однозначно определяются выбором a.

Эта теорема*) была известна еще в древности.

Долгое время математики получили доказательства арифметических теorem о натуральных числах, работа лишь с целыми числами. Однако в начале XIX века Гаусс обнаружил, что некоторые вопросы теории чисел только тогда выступают во всей своей ясности и естественной красоте, когда область арифметики распространяется также и на «числа», которые мы сейчас называем целыми гауссовыми. Что это за числа?

Гауссовы числа G — это простой пары целых чисел

G = {(a, b)|a, b∈Z},

которые складывают и умножают по следующим правилам

(a; b)+(c; d)=(a+c; b+d), (2)
(a; b)·(c; d)=(ac-bd; ad+bc). (3)

Для нагладности можно представить себе множество G как «целочисленную решетку на плоскости», то есть как множество всех точек на координатной плоскости, у которых и абсцисса, и ordinата — целые (рис. 1), или — что то же самое — как множество всех векторов с началом O и концами в этих точках. Тогда сложение гауссовых чисел (2) представляется как общное сложение векторов по правлу параллелограмма, а вот умножение выглядит несколько сложной — читателью, не значаеме на c.11).

10

Рис. 4. Гауссовы числа, делящее на 2+3i.

$$5 - 3i = 1 + 1 + 1 + 1 + (-i) + (-i).$$

Оказывается, что у гауссовых чисел есть свой «основная теорема арифметики», которая сводит исследование мультитипикативного строения гауссовых чисел к изучению простых гауссовых чисел.

Простые гауссовы числа и делимость. Если для двух гауссовых чисел $a, b$ найдется трете число $c \in G$ такое, что $a = b \cdot c$, говорят, что $a$ делится на $b$ (запись $a \div b$) или $b$ делит $a$ (запись $b \mid a$). Например, $2 \div 1 + i$ и $2 = (1 + i) \cdot (1 - i)$. На рисунке 4 показаны гауссовы числа, которые делятся на $2 + 3i$.

Упражнение 4. а) Проверьте, что $1 + i \div 1 - i$. 6) Доказите, что для гауссовых чисел выполненые обычные свойства делимости:

$$a \div b \Rightarrow ac \div bc,$$
$$ac \div bc, c \neq 0 \Rightarrow a \div b,$$
$$a \div b, b \div c \Rightarrow a \div c.$$

в) Отметьте на координатной плоскости все гауссовы числа, которые делятся на $3 - 2i$.

В области целых чисел из соответствия $a \div b$ и $b \div a$ следует, что $a = \pm b$. В области гауссовых чисел, это уже не так, например $a \div \pm a, a \div \pm ia$. Однако верно следующее:

$$a \div b, b \div a \Rightarrow a = \pm ib$$

Доказательство. Пусть $a \mid b = c$, тогда $c$ и $c^{-1} = b \mid a$ гауссовы числа. Очевидно

$$1 = N(1) = N(c \cdot c^{-1}) = N(c)N(c^{-1})$$,

откуда $N(c) = N(c^{-1}) = 1$ (ибо $N(c)$ и $N(c^{-1})$ обычные целые положительные числа). Но существует лишь 4 гауссовых числа с нормой $1 -$ числа $1, -1, i, -i$, которые мы в дальнейшем будем называть единицами.

Назовем два гауссовых числа союзными, если их частное — одно из единиц (рис. 5). Гауссово число называется простым, если она не имеет других неулевых делителей, кроме союзных с ним чисел и единиц. Например, числа 3 и $2 + 3i$ — простые, а число 5 — нет: $5 = (2 + i)(2 - i)$. (Для доказательства простоты чисел 3 и $2 + 3i$ нужно воспользоваться соответствием $N(a)N(b) = N(ab)$ и перебрать все гауссовы числа, чья норма является делителем нормы данных чисел.)

Упражнение 5. Разберите, какие простые числа от 2 до 30 — простые гауссовы.

Основная теорема арифметики гауссовых чисел. Какое ненулевое гауссовую числа g представляется в виде

$$g = \varepsilon \cdot g_1^{e_1} g_2^{e_2} \dots g_n^{e_n}$$

еде $\varepsilon$ — одна из единиц, $g_1, g_2, \dots g_n$ — различные (то есть не союзные) простые гауссовые числа, а $e_1, e_2, \dots e_n$ — положительные показатели. Такое разложение единственно в том смысле, что всякое другое разложение g на простые компоненты имеет вид $a = \varepsilon' \cdot h_1^{e_1} h_2^{e_2} \dots h_n^{e_n}$, где набор простых компонентов и заменой некоторых из них на союзные, а набор показателей состоит из тех же чисел, отличая лишь порядком.

Доказательство. Чтобы доказать существование разложения (6), проведем индукцию по норме $N(g)$ числа g. База индукции: единственное числа c норми

13

Найдем теперь число разложений $n=a^2+b^2$ для произвольного натурального $n$. Нам будет удобно считать различными разложения, отличующаяся изменением знаков у $a$ и $b$ или порядком слагаемых. Тогда это число будет равным числу точек с целыми координатами на окружности радиуса $\sqrt{n}$ с центром 0.

Теорема 3. Число целых точек на окружности радиуса $\sqrt{n}$, $n \in \mathbb{N}$ или (что то же самое) число разложений целого числа $n$ на сумму двух квадратов равно учетверенному изображению числа делитель $n$ вида $4k+1$ над числом делитель вида $4k+3$.

Например, легко видеть, что окружности радиусов $\sqrt{5}, \sqrt{13}, \sqrt{17}, 5$ проходят через 4, 4, 4, 12 точек соответствующего (проверьте, что во всех трех случаях это число равно соответствующему учетверенному изображению числа делитель $n$ вида $4k+1$ над числом делитель вида $4k+3$.

Например, легко видеть, что окружности радиусов $\sqrt{5}, \sqrt{13}, \sqrt{17}, 5$ проходят через 4, 4, 4, 12 точек соответствующего (проверьте, что во всех трех случаях это число равно соответствующему учетверенному изображению числа делитель $n$ вида $4k+1$ над числом делитель вида $4k+3$.

Доказательство. Представим $n$ в виде $n=2^a q_1^{a_1} \cdots q_k^{a_k} p_1^{e_1} p_1^{e_1} \cdots p_m^{e_m} p_m^{e_m}$,

где $q_j=q_j>0$ и $p_j, p_j$ — простые гуссовы числа ($p_j$ и $p_j$ — несоответные). Пусть $n=a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$. Из основной теоремы легко следует, что $a+bi$ союзно с числом $(1+i)^a \cdot q_1^{a_1/2} \cdots q_k^{a_k/2} \cdot p_1^{f_1} \cdot p_1^{e_1}-f_1 \cdot \cdots \cdot p_m^{f_m} p_m^{e_m}-f_m$,

где $0 \leq f_j \leq e_j$.

Отсюда видно, что число представлен $n$ в виде суммы двух квадратов равно

$$\begin{cases} 0 - \text{если среди чисел } a_i \text{ есть нечетные числа}, \\ 4(e_1+1) \cdot \cdots \cdot (e_m+1) - \text{если все } (13) \\ a_i \text{ четные} \end{cases}$$

(4 появляется в результате того, что выражение (12) отличается от $a+bi$ на единицу, а единицу всего 4).

С другой стороны, любой нечетный делитель $x$ числа $n$ имеет разложение на простые гуссовы числа вида

$$x=q_1^{q_1} \cdot \cdots \cdot q_k^{q_k} p_1^{p_1} p_1^{p_1} \cdots p_m^{p_m} p_m^{p_m},$$

где $b_1 \leq a_1, \cdots, b_k \leq a_k; f_1 \leq e_1, \cdots, f_m \leq e_m$.

Но $q_i$ — натуральные числа, являющиеся простыми гуссовыми, поэтому $q_i$ имеет остаток 3 при делении на 4 и

$$(b_1+\cdots+b_k):2 \Leftrightarrow x=4k+1 \quad (k \in \mathbb{Z}).$$

Отсюда уже легко вывести (выведите!), что изображение числа делитель вида $4k+1$ над числом делитель вида $4k+3$ равен

$$\begin{cases} 0, \text{ если среди чисел } a_i \text{ есть нечетное}, \\ (e_1+1) \cdot \cdots \cdot (e_m+1), \text{ если все } a_i - \quad (14) \\ \text{ четные числа.} \end{cases}$$

Сравнивая (13) и (14), получаем доказательство теоремы.

Заключение. Мы не обьясили,откуда возникла изложенная выше теория. А дело было так: в 1796 году девятнадцатилетний Гаусс доказал квадратический закон взаимности, являющийся одной из прекраснейших жемчужин теории чисел. Об истории его возникновения и доказательстве рассказано в статье С. Г. Гиндикина «Золотая теорема» (в «Кванте», 1973, № 1).

Квадратический закон взаимности позволяет исчерпивающим образом исследовать уравнение вида $x^2-a \equiv 0(\text{mod } b)$, то есть найти все $x \in N$ такие, что число $x^2-a$ делится на $b$.

Естественно, что аналогичную теорию Гаусс хотел иметь и для уравнения более высокой степени, например $x^4-a \equiv 0(\text{mod } b)$, и поэтому начало поиск «биквадратического закона взаимности». И тут-то выяснили, что хотя это уравнение первого анализа в области натуральных чисел, законченый результат практической необходимости даже формулировать (!) без целых гуссовых чисел. Воспледствии (1832 г.), Гаусс писал:

«После того, как мы начали исследовать эти вопросы в 1805 г., (…) мы скоро пришли к убежданию, что (…) для общей теории необходимо в некоторых смысле бесконечно расширить область вышей арифметики. Как только мы вступаем в эту область, точас же обнаруживается подход к индутивному нахождению веса простых и исчерпивающих всего теории теории; однако доказательства их скрыты столглубоко, что их удалось излечь на свет только после бесконечно попыток».

Области, о которой пишет Гаусс, и есть теория тех чисел, которые сейчас носят его имя.

14

Упорядоченные наборы чисел и неравенства

Л. ПИНТЕР, И. ХЕГЕДЫШ

Родители Коли хранят бумажные деньги в конвертах. Однажды они достали три конверта и положили их перед ним. В одном из конвертов лежали рублей, в другом — трешки, а в третьем — пятерки. Родители попросили Коли вытащить из одного из конвертов две, из другого три, а из оставшегося конверта четыре бумажки.

Как Коле выбрать конверты, чтобы получить наиболее возможную сумму, и как — чтобы набрать сумму, наиболее возможную из возможных? Что бы найти набранную сумму при производном выборе конвертов, нужно в таблицу 1 в нижнюю строку вместе вопросительных знаков поставить числа 2, 3, 4 в соответствующем порядке, затем взять произведение чисел по столбцам и сложить их.

Таблица 1

1? 3? 5?

Таблица 1

Если Коля хочет набрать наиболее возможную сумму, то он должен вытащить четыре бумажки из конверта с пятерками, три бумажки из конверта с трешки и две бумажки из конверта с рублями:

$$5 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 1 \cdot 2 = 31.$$

Если Коля хочет набрать наиболее возможную сумму, то он должен вытащить наиболее возможные число бумажек, то есть две, из конверта с пятерками, три — из конверта с трешки и четыре — из конверта с рублями, то есть

$$5 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 = 23.$$

Упорядоченные тройки

В обшем виде эту задачу можно сформировать так. Пусть данные тройки положительных чисел

$$a_1, a_2, a_3,$$

$$b_1, b_2, b_3.$$

Рассмотрим сумму

$$S = a_1 b_i + a_2 b_j + a_3 b_k,$$

где $i, j, k$ — это числа 1, 2, 3, написанные в каком уголно порядке. Как выбрать этот порядок, чтобы сумма $S$ оказалась наиболее возможной (соответственно наиболее возможной) из возможных?

Ясно, что если наиболее из чисел $a$ умножить на наиболее из чисел $b$, среднее из чисел $a$ на среднее из чисел $b$ и наконец наименование из чисел $a$ наименование из чисел $b$ и сложить эти произведение, то получится максимальное из возможных значения $S$ (если среднее из чисел $a$ или среднее из чисел $b$ имеются равные, то это максимальное значение $S$ получается не единственным способом). Если же наиболее из чисел $a$ умножить на наиболее из чисел $b$, среднее — на среднее и т. д., то получаем наиболее возможное значение $S$.

Пользовать этим методом, можно просто решить задачу M762 (см. «Квант», 1982, № 9)*.

Докажите, что для любых положительных чисел $a, b, c$ справедливые неравенства:

$$a + b + c \leq \frac{a^2 + b^2}{2c} +$$

$$+ \frac{b^2 + c^2}{2a} + \frac{c^2 + a^2}{2b} \leq \frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab}. \quad (1)$$

Докажем сначала первое неравенство. Запишем две тройки чисел

$$a^2, b^2, c^2,$$

$$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}.$$

Поскольку числа $a, b, c$ положительные, наиболее из чисел первого тройки расположено над наиболее из чисел второго тройки, наиболее из чисел первого тройки расположено над наиболее из чисел

15

второй тройки. Поэтому для данных троек сумма

$$a^2 \cdot \frac{1}{a} + b^2 \cdot \frac{1}{b} + c^2 \cdot \frac{1}{c}$$

является минимальной, и следовательно,

$$a^2 \frac{1}{a} + b^2 \frac{1}{b} + c^2 \frac{1}{c} \leq a^2 \frac{1}{b} + b^2 \frac{1}{c} + c^2 \frac{1}{a},$$

(2)

$$a^2 \frac{1}{a} + b^2 \frac{1}{b} + c^2 \frac{1}{c} \leq a^2 \frac{1}{c} + b^2 \frac{1}{a} + c^2 \frac{1}{b}.$$

(3)

Складывая неравенства (2) и (3), получим:

$$2(a+b+c) \leq a^2 \frac{1}{b} + b^2 \frac{1}{c} + c^2 \frac{1}{a} + a^2 \frac{1}{c} + b^2 \frac{1}{a} + c^2 \frac{1}{b} = \frac{a^2+b^2}{c} + \frac{b^2+c^2}{a} + \frac{c^2+a^2}{b}.$$

Чтобы получить второе из неравенств (1), рассмотрим тройки чисел

$$a^3, b^3, c^3,$$

$$\frac{a}{abc}, \frac{b}{abc}, \frac{c}{abc}.$$

Под наиболее (соответственно наиболее) из чисел первой тройки записано наиболее (наименьшее) число второй тройки. Поэтому

$$a^3 \frac{a}{abc} + b^3 \frac{b}{abc} + c^3 \frac{c}{abc} \geq a^3 \frac{b}{abc} + b^3 \frac{c}{abc} + c^3 \frac{a}{abc} + b^3 \frac{c}{abc} + c^3 \frac{a}{abc} + c^3 \frac{b}{abc} = \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{a} + \frac{c^2}{b},$$

(4)

$$a^3 \frac{a}{abc} + b^3 \frac{b}{abc} + c^3 \frac{c}{abc} \geq a^3 \frac{c}{abc} + b^3 \frac{a}{abc} + c^3 \frac{b}{abc} + c^3 \frac{a}{abc} + c^3 \frac{b}{abc} = \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{a} + \frac{c^2}{b},$$

(5)

Складывая неравенства (4) и (5), получаем

$$2\left(\frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab}\right) \geq \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{a} + \frac{c^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a},$$

$$+ \frac{c^2}{a} = \frac{a^2+b^2}{c} + \frac{b^2+c^2}{a} + \frac{c^2+a^2}{b},$$

что и требовалось.

Упражнения
Доказите неравенства:

1. $a^4 + b^4 \geq a^3 b + ab^3$.
2. $a^3 b + b^3 c + c^3 a \geq a^2 bc + b^2 ca + c^2 ab$.
3. $\frac{a^3 b}{c} + \frac{a^3 c}{b} + \frac{b^3 a}{c} + \frac{c^3 b}{a} \geq 6abc$ (здеся $a > 0, b > 0, c > 0$).
4. Если $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq a_4, b_1 \geq b_2 \geq b_3$, то $3(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) \geq (a_1 + a_2 + a_3)(b_1 + b_2 + b_3)$.
5. Если $a > 0, b > 0, c > 0$, то

$$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.$$

Некоторые обобщения

Пусть теперь даны набора из $n$ чисел

$$a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq ... \geq a_n,$$

$$b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq ... \geq b_n.$$

Рассмотрим всевозможные суммы вида $i$ $\sigma = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n$, где $i_1, i_2, ..., i_n$ — некоторая перестановка чисел 1, 2, …, $n$.

Число таких сумм конечно, и поэтому среди них есть наиболее $S$ и наиболее $s$. Нетрудно сообщать, что $S = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n$, а $s = a_1 b_n + a_2 b_n - 1 + ... + a_n b_1$.

Докажем это. Предварительно заметим, что для любых четырех чисел $a, b, c, d$ таких, что $a \geq b$ и $c \geq d$, выполено неравенство

$$ac + bd \geq ad + bc,$$

(*) которое равенство очевидному неравенству

$$(a - b)(c - d) \geq 0.$$

После этого заменяя наше утверждение доказывается без труда. В самом деле, если в некоторой сумме $\sigma$ имеются следующие $a_e b_q$ и $a_k b_p$, для которых $e < k, q > p$, то есть $b_p \geq b_q$, то, переставив числа $b_p$ и $b_q$, мы получим не меньшую сумму $\sigma'$ со следующими $a_e b_p$ и $a_k b_q$.

Послеовательно проводя такие перестановки, мы приедем к сумме $S$, поэтому $S \geq \sigma$.

Аналогично, если $b_q \geq b_p$, то, меняя эти числа местами, получим сумму, не больше $\sigma$.

Так как в результате нескольких перестановок мы можем прийти к сумме $s$, то $\sigma \geq s$.

Итак, для всякой суммы $\sigma$

$$s \leq \sigma \leq S,$$

(B)

причем равенство (B) возможно лишь тогда, когда в одном из наборов $a_1, ..., a_n, \text{ либо } b_1, ..., b_n$ есть равные числа.

Подводя итоги, можно сформулировать общий метод доказательства неравенства: если наборы чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ и $b_1, b_2, ..., b_n$ одинаково упорядочены (то есть из $a_k \geq a_l$ следует, что $b_k \geq b_l$), то $a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + ... + a_n b_n \geq a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + ... + a_n b_n$, (здеся $i_1, i_2, ..., i_n$ — произвольная перестановка номеров 1, 2, …, $n$).

16

Некоторые замечательные неравенства

1. Неравенство Коши:
   $$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \dots a_n} = G.$$

Доказательство. Можно считать, что $a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n$. Рассмотрим наборы чисел
$$\frac{a_1}{G}; \frac{a_1 a_2}{G^2}, \dots, \frac{a_1 a_2 \dots a_n}{G^n} = 1,$$
$$\frac{G}{a_1}; \frac{G^2}{a_1 a_2}, \dots, \frac{G^n}{a_1 \dots a_n} = 1.$$

Эти наборы противоположно упорядочены. Поэтому
$$n = \frac{a_1}{G} \cdot \frac{G}{a_1} + \frac{a_1 a_2}{G^2} \cdot \frac{G^2}{a_1 a_2} + \dots + \frac{a_1 \dots a_n}{G^n} \leq \frac{a_1}{G} \cdot 1 + \frac{a_1 a_2}{G^2} \cdot \frac{G}{a_1} + \dots + \frac{a_1 a_2 \dots a_n}{G^n} \times \frac{G^{n-1}}{a_1 a_2 \dots a_{n-1}} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{G}.$$

2. Неравенство Чебышева. Если $a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n > i$ и $b_1 \geq b_2 \geq \dots \geq b_n \geq 0$, то
   $$n (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n) \geq \geq (a_1 + a_2 + \dots + a_n) (b_1 + b_2 + \dots + b_n).$$

Доказательство. Сложив $n$ неравенств
$$a_1 b_1 + \dots + a_n b_n \geq a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n,$$
$$a_1 b_1 + \dots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \dots + a_n b_1,$$
$$a_1 b_1 + \dots + a_n b_n \geq a_1 b_n + a_2 b_1 + \dots + a_n b_n,$$
получим требуемое.

Наш календарь

Формула Бальмера

«Как только я увидел формулу Бальмера, мне все сразу же стало ясно», — так общую рассказывал Н. Бор о завершащем этапе своей работы над созданием квантовой теории атома.*)

В этом году исполнилось 100 лет с тех пор, как эта формула, который служено было сыггать выдающимся роль в истории науки, стала известна широким кругом ученых. Впервые она была опубликована Бальмером в 1884 году, но он ней почти никто не знал, пока в 1885 году не появился статья в немецком физическом журнале.

Швейцарц Иоганн Яков Бальмер (1825—1898), получив университетское математическое образование, с 60-х по 90-e годы прошло века преподавал математику в Базеле в гимназии для девочек и вел занятия по начертательной геометрии в местном университете.

Круг интересов Бальмера был очень широк — философия и литература, музыка и архитектура, древняя история и история естественного мира, medicine. Но как пригоден математика его больше всего улекали поиск математической гармонии, конкретино — закономерных числовых отношений: в формух кристаллов, в геометрических параметрах значенных параметров архитектуры и т.п. Именно эта улеканость «магийей чисел» и привела базельского преподавателя к его замечательному открытию.

Вот задача, которую ре

17

Шил Бальмер. Данные четыречесла.

6562,10; 4860,74; 4340,10; 4101,2.

Требуется найти «закон», которое они следует.

Тот, кто захочет решить эту задачу самостояльно (а для этого ничего, кроме элементарной математики, не потребуется), должен здесь на время превать чтение заметки, поскольку чуть дальше приводится ответ.

Числа, закономерность следования которых наилель Бальмер, — это длинный волн (в 10⁻¹⁰ м) четырехлиней в видимой области спектра атома водорода. В физике Бальмер был самоое большое диаметром и к постановке задачи пришел случайно — прослушав лекцию профессора физики по спектральным исследованием. Надо сказать, что серия линей водородного спектра физика-профессионалам была хорошо известна по меньшей мере с 1868 года. Но в попытках установить спектральный закон физики неизменного руководствовались, как оказалось впоследствии, не имеющей к делу никакого отношения актической аналогии: линии серии уподобляли обертоном звука и искали для них выражения вида λ/n, где λ — некоторая основная длина волны, а n — целое число. При этом для спектров различных элементов получали различные наборцы целых чисел, между которыхми никакой связи не устматривалось.

Вероятно, Бальмер по могло то, что он не был физиком. Не отголошенный никакими предъявляемыми, он лишь искал простую формулу, максимальное точно воспроизводующее обнаруженную длиной волн спектральной серии. И результатом этих попыток стала знаменита «формула Бальмер»:

$$\lambda = \frac{n^2}{n^2 - 2^2}.$$

Здесь λ — длина волны спектральной линии, d — некоторая постоянная (равная 3645,6 · 10⁻¹⁰ м), а n — целые числа. Приведенные четыреше водородные линии получаются из этой формулы подстановкой для n значений 3, 4, 5 и 6 соответственно. Как ученый пришел к этой формуле, не известно, но имеются косвенные указания на то, что он опирался на довольное несложное геометрическое пространство.

Получив свою формулу, удивительно точно описывающего четыреше волны, Бальмер все же совместался — нашел ли он физический закономерность или его результатъе лишь следствие порAZительного совпадения. Пропистав популярный справочник по новейшим научным достижением, он узнал, что известна еще одна, пятая линия водородной серии с длиной волны 3969 · 10⁻¹⁰ м (это уже невидимая ультрафилютовая область спектра). Подставив в свою формулу n=7, Бальмер получил λ=3969 · 10⁻¹⁰ м! Этот успех существенно подкрепил его доверие к формуле, и он показал ее количество по Базельскому уни-верситету, профессор физики. Тот отчется к открытию с большим интересом и сообщил Бальмеру, что на самом деле известны еще девять линей в ультрафилютовой части водородного спектра. Не составило большого труда убедиться, что и эти линей великолепно описываются «волшебной» формулой (при подстановке n=8, 9, …, 16). Comненей в том, что найден какой-то новый фундаментальный закон природы, больше не оставалось.

В 1890 году шведский физик И. Ридберг (1854—1919) записал формулу Бальмера несколько пониому:

$$v = \frac{c}{\lambda} = Rc \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$

(v — частота спектральной линии, c — скорость света, a R — функментальная физическая постоянная, которое теперь называют «постоянной Ридберга»). Именено в этой записи формула Бальмера предстала Бором в февралье 1913 года. Принаяв во внимание выражение для энергии кванта hv (h — постоянная Планка), Бор сразу же разгадал физический смысл формулы, остававшийся совершенной почти три десятилетия. А смысл этот предъявлено точным и ясным — спектральные линии соответствуют квантом электромагнитногоизлучения, испускаемый электронами при перескоках с орбиты с номером n (n=3, 4 и т. д.) на более близкую к ядру 2-ю орбиту.

Очень часто повторяют два утверждения: 1) крупнейшие научные открытия ученые совершают только в молодости; 2) к таким открытиям нельзя прийти к ним. История открытия Бальмера наглядно демонстрирует, что бывают и исключения.

В. Е. Явелов

18

Математика 9—10

Метод интегралов

Эта статья предназначена девятиклассикам и десятиклассикам. Она также может быть использована абитриентами при подготовке кступительным экзаменам вузы.

В школьном курсе алгебры неравенства отводится значительное место: сначала это — линейные неравенства, потом — квадратичные, потом — неравенства, в которых участвует логарифмические, показательные и тригонометрические функции. Постепенно неравенства условияются — появляются всевозможные комбинации функции, изучаемых в школе. В этой статье мы на несколько примерах проиллюстрируем один важный метод решения неравенств, который обычно называют «метод интегралов». Мы будем рассматривать здесь неравенства, права часть которых равна нулю, а левая часть представлена в виде произведения или частиного функций с известными промежутками знакопостояства. Метод интегралов основан на следующей идее: знак произведения (частиного) определяется знаками сомножителей (дelimного и делителя).

Задача 1. Решить неравенство

$$\frac{(2x-1)(x^2-x-2)}{3-x} < 0.$$

Линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом меняет знак при перехождения через корень, причем справа от корня знак функции совпадает со знаком углового коэффициента (рис. 1); квадратный трехчлен с положительным дискриминантом тоже меняет знак при перехождения каждой корень, причем правее больше корня знак квадратного трехчлена совпадает со знаком его старшего коэффициента (рис. 2).

Эти сообщения приводят к следующей схеме решения неравенства.

1. Находим корни каждой «комно-jителя»: $x=\frac{1}{2}; x=-1, x=2; x=3$.

2. Числовая ось разбилась на пять промежутков. На самом правом из них каждой сомножитель совпадает со знаком его старшего коэффициента: $2x-1>0, x^2-x-2>0, 3-x<0$.

Следовательно, дробь на этом промежутке отрицательна.

3. При перехождение через каждой из отмеченных корней один и только один из сомножителей меняет знак, и потому каждой раз меняется знак дроби. Учитывая это, рассставляем в этих промежутках знаки (как показано на рисунке 3).

4. Выбираем промежутки, на которых дробь отрицательна.

Ответ:

$$]-\infty; -1[\cup]\frac{1}{2}; 2[\cup]3; +\infty.$$

Задача 2. Решить неравенство

$$\frac{4-x^2}{(5x-2)\lg x} \ge 0.$$

Будем решать это неравенство по той же схеме, но не на всех оси, а на промежутке $]0; +\infty[$ — области оп-

19

пределеня логарифмической функции.

1. Корни «сомножитель»: $x=2; x=0,4; x=1$ (рис. 4).

2. Полуось $]0; +\infty[$ разбилась на четыре промежутка. На самом правом из них $4-x^2<0, 5x-2>0, lgx>0$. Следовательно, на этом промежутке лежая часть неравенства отрицательна.

3. При переходе через каждый корень меняет знак один и только один из сомножителей. Учитывая это, расставляем знаки на остальных промежутках (рис. 4).

4. Мы решили строое неравенство. Остается присоединить к полученному множество решений корни уравнения

$$\frac{4-x^2}{(5x-2)lgx}=0,$$

то есть корни числителя дроби (входящие в область определения неравенства).

Ответ: $]0; 0,4[\cup]1; 2]$.

Задача 3. Решить неравенство

$$\frac{(10^x-2)(x^2-5x+7)}{x+3} \leq 0.$$

Решение изобразено на рисунке 5. Квадратный трехлен в числитель дроби не имеет корней и потому не меняет знак, который совпадает со знаком его старшего коэффициента.

Ответ: $]-3; lg2]$.

Задача 4. Решить неравенство

$$(x^2-2x-3)(6+x-x^2) \geq 0.$$

1. Находим корни сомножителей: $x=-1, x=3, x=-2, x=3$.

2. При $x>3$ левая часть неравенства отрицательна.

3. При переходе через точку $x=3$ оба сомножителя меняют знак ($x=3$ — их общий корень), так что знак произведение не меняется.

При переходе через каждый из двух других корней левая часть, как и в предыдущих примерах, меняет знак (рис. 6).

Ответ: $[-2; -1]\cup\{3\}$.

Из этой задачи видно, что, применя метод интегралов, необходимо следить за тем, сколько сомножителей меняют знак при переходе через данный корень. Возможны сомножители, которые не меняют знак при переходе через свой корень (например, квадратный трехлен с дискриминантом, равным нулю).

Идей решения следующего на интуитивно ясной теореме, точно доказательство которого дает в курсах математического анализа: если функция нерерывна на промежутке и не имеет в этом промежутке корней, то она сохраняет в этом промежутке знак.

20

Задание 7. Решить неравенство
$$\sqrt{x+2} > x.$$ (1)

Функция $y = \sqrt{x+2} - x$ определяна и непрерывна на промежутке $[-2; +\infty]$.

Найдем корни этой функции, то есть решим уравнение
$$\sqrt{x+2} = x.$$ (2)

Возведя обе части уравнения (2) в квадрат, приdem к квадратному уравнению $x^2 - x - 2 = 0$ с корнями $x = -1$, $x = 2$. Проверка показывает, что корнем уравнения (2) является только $x = 2$. Эта точка разбиает область определения неравенства (1) на два промежутка: $[-2; 2[$ и $]2; +\infty[$. На каждом из этих промежутков функции $y = \sqrt{x+2} - x$ сохраняет знак, то есть либо все точки такого промежутка удовлетворяют неравенству (1), либо ни одна из них не удовлетворяет. Поэтому достаточно подставить в неравенство (1) по одной точке из каждой промежутка. Выберем точки $x = -2$ и $x = 7$. Так как $x = -2$ удовлетворяет неравенству (1), а $x = 7$ этому не удовлетворяет, множество решений неравенства (1) является промежуток $[-2; 2[$ (рис. 9).

Ответ: $[-2; 2]$.

Задча 8. Решить неравенство
$$x\sqrt{10-x^2} \geq x^2 - 6.$$

1. Области определения функции $\sqrt{10-x^2}$: $[-\sqrt{10}; \sqrt{10}]$.

2. Решаем уравнение:
   $$x\sqrt{10-x^2} = x^2 - 6, x^2(10-x^2) = (x^2 - 6)^2; x^4 - 11x^2 + 18 = 0.$$

Получаем четыре корня: $x = \pm \sqrt{2}, x = \pm 3$. Проверка оставляет два корня: $x = -\sqrt{2}, x = 3$ (рис. 10).

3. Подставляем в неравенство числа $x = -\sqrt{10}, x = 0, x = \sqrt{10}$. Число $x = 0$ удовлетворяет неравенству, а числа $x = \pm \sqrt{10}$ ему не удовлетворяют.

Ответ: $[-\sqrt{2}; 3]$.

Как известно, линейная, квадратная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрическая функция, а также их композиции и функции, получаемые из них с помощью арифметических действия, неправильны в своей области определения. Поэтому метод интегралов можно применять при решении практических всех неравенств школьного курса. Метод интегралов позволяет представить множество решений неравенства в виде объединения промежутков, границы которых — либо корни соответствующего уравнения, либо граничные точки области определения неравенства.

Требование непрерывности существено для применения метода интегралов. В этом можно убедиться на следующей задаче.

Задание 9. Решить неравенство
$$[x] \leq x - \frac{1}{2}.$$

Построим графики левой и правой части неравенства (рис. 11). Корнями уравнения $[x] = x - \frac{1}{2}$ являются числа вида $k + \frac{1}{2}$, где $k$ — любое целое число. В то же время множество решений неравенства — объединение промежутков вида $[k + \frac{1}{2}; k + 1]$, граничными точки которых является, в частности, все целые числа, которые не являются при этом ни корнями уравнения, ни граничными точки области определения.

Ю. И. Ионин, В. В. Некрасов

Безумное гаечитие

ТАК КАК
УГОЛОК СТОЛА-
ЭТО МЕСТО, ГАЕ
СХОДАЯТСЯ АВА КРАЯ,
ТО ОДНОВРЕМЕН
НОСИДЕТЬ И С
КРДЯ И НА
УЮЛКЕ РАЗВЕ
МОЖНО?

НЕОДНОЛИ
ИТОЖЕ БОЛВАН-
ЦИК ЛЮБИТ ЕСТЬ,
ЕСЛИ, ЧТО ЕСТЬ,ТО
БОЛВАНЩИК
И ЛЮБИТ?

Около
дома стоял
стол, а за ним
пили чай Мар-
товский Заяц и
Болванщик; между
ду ними спала
Мышь — Соня.
Болванщик и
Заяц облокотились
на нее, как на по-
душку. «Ведная Соня,
— подумала Алиса. Ей, на-
верно, неудобно? Впрочем, она спит — значит,
ей все равно». Стол был большой, но чаевники
сидели с одного края, на уголке. Завидев Али-
су, они закричали: — Занято! Мест нет! — Как
это нет! — возмутилась Алиса и уселась во
главе стола. — Зачем ты уселась без пригла-
шения? — спросил Мартовский Заяц. — Это не-
вержливо! — Я не знала, что это стол на тро-
их, — сказала Алиса. — Что-то ты слишком
обросла! — заговорил вдруг Болванщик. — Потру-
диться не переходить на линиюсти, — строго от-

Ветила Алиса. Волванщик широко открыл глаза и не нашелся, что ответить. — Чемворон поход на контурку? — спросил он. — Это я могу отладать, — сказала она. — Ты хочешь сказать, что думаемы, будто знаешь ответ? — спросил Мартовский Заяц. — Совершенно верно, — согласилась Алиса. — Так бы и сказала, — заметил Мартовский Заяц. — Нужно всегда говорить то, что думаемы. — Я так и делаю, — поспешила объяснить Алиса. — По крайней мере я всегда думало то, что говорю… а это одно и то же… — Совсем не одно и то же, — возвращил Болванщик. — Так ты еще скажешь, будто «Я вжу то, что em» и «Я em то, что вжу» одно и то же!
С минуту все сидели молча. Алиса пыталась вспомнить то, что она знала проворон и контorkи. Первым заговорил Болванщик. — Какое сегодня число? — спросил он, вынимая из кармана часы. Алиса подумала и ответила: — Четвертое. — Отсталот на два дня, — взоднул Болванщик. — Какие сметные часы! — заметила Алиса. — Они показывают число, а не час! — А что тут такого? — пробормотал Болванщик. — Разве творцы показывают год? — Конечно, нет. — Оттадала загадку? — спросил Болванщик. — Нет. Какой же ответ? — Поняття не имею, — сказал Болванщик. — И я тоже, — подхватил Мартовский Заяц. Алиса взоднула. — Если вам нечего делать, — сказала она с досадой, — придумали бы что-нибудь получше загадок без ответа. А так только попусу теряет время. — Если бы ты знала Время так же хорошего, как я, — сказал Болванщик, — ты бы этого не сказала. Его не потеряешь! — Не понятно, — сказала Алиса. — Еще бы! — презрительно встречнул головой Болванщик. — Ты с ним небосьникогда и не разговаривала! Мы с ним посорились в марте — как раз перед тем, как этот (он показал ложечкой на Мартовского Зайца) спятил. С тех пор, — продолжал грустно Болванщик, — время для меня палец о пальце не ударит! и на часах все шесть… Тут Алису осенило. — Позетому ookажется больше: чая в молоке или молока в чae?

1. Какие часы лучше — которые спещат на 2 минуты в сутки или которье стогт?
2. Вы пьте чай. У вас есть чашка чай и бочка молока. Вы берете ложку молока и добавьте его в чай, а затем ложку чай с молоком отправьте в бочку молока. Что

рисовали… всякую всучину… все, что начинаяется
на М. — Мне бы тоже хотелось порисовать, —
сказала Алиса. — У колодца. — Порисовать и
уколоться? — переспросил Заяц. Сона закрыла
глаза — …начиная на М, — продолжала она. —
Они рисовали мышеловки, месяц, математику, много-
жество… Ты когда-нибудь видела, как рисунот много-
жество? — Множество чего? — спросила Алиса. —
Ничего, — ответила Соня, — Просто многожество! —
Не знаю, — начала Алиса, —
… — А не знаешь — молчи,
— оборвал ее Волванчик.
Такой грубости Алисастер
петь не могла: она молча
встала и пошла прочь.
Тут она заметила дверцу.
— Войти-ка и в
эту дверцу, — подумала
Алиса. Так она и сделала и снова оказалась
в длином зале возле
стеклянного столика
в удеесном саду среди
арких цветов и про-
хладных фонтанов.

ИВСЕ-ТАКИ
МНОЖЕСТВО ЧЕЛО,
ЕСЛИ ЭТО МНОЖЕ-
СЕБЕ МНОЖЕСТВО?
СТВОНИЧЕЛО?

26

Задачи

M956—М960; Ф968—Ф972

M956. На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три из них проходят через точку A и три — через точку B (рис. 1). Докажите, что четыре точки их попарного пересечения, отличные от A и B, — вершины параллелограмма.

В. и И. Каповиц, ученики 10 класса

M957. Докажите, что из 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых содержатся среди первых 9 простых чисел 2,3,…,23, можно выбрать четыре числа, произведение которых —четвертая степень целого числа.

M958*. Пусть $0 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_n$ — целые числа. Докажите, что количество нечетных коэффициентов у многочлена

$$(1+x)^{i_1}+(1+x)^{i_2}+\dots+(1+x)^{i_n}$$

не меньше, чем у многочлена $(1+x)^{i_1}$.

M959*. В стране между некоторыми параметрами городов установлено авиационное сообщение. Докажите, что можно закрыть не более $1/(k-1)$ часть авиалиний таким образом, что среди любых $k$ городов найдется два, не соединенные между собой авиалиний, если $k=3$; 6) $k$ — любое натуральное число.

A. A. Разборов

M960*. Если разность между кубами двух последовательных натуральных чисел — квадрат некоторого натурального числа $n$, то число $n$ представляет в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.

a) Докажите это утверждение.

6. Bot один пример таких чисел: $8^3-7^3=(2^2+3^2)^2$; приведите еще хотя один пример.

b) Докажите, что таких примеров существует бесконечно много.

P. Лайнесс (Великобритания)

Ф968. На три параллельных оси, соединенных жесткими стержнями, насажены три зацепленных шестеренки с радиусами $r_1$, $r_2$ и $r_3$ (рис. 2). Оси $B$ и $C$ врашают вокруг неподвижной оси $A$ с угловой скоростью $\omega_0$; при этом размеры треуголь-

27

ника $ABC$ остаточная неизменными, а шестеренка радиуса $r_3$ движется поступательно. С какой угловой скоростью вращается шестеренка радиуса $r_1$?

В. Ванделов (г. Вургас, НРВ)

Ф969. Две банки, сделанные из одного и того же материалов, имеют одну и ту же геометрическую форму, причем все линейные размеры одной банки в $k$ раз меньше, чем другой (рис. 3). В две каждой банки сделано отверстие. Банки одновременно опускают на воду. Какая банка утонет скорее? Во сколько раз?

И. К. Соболев

Ф970. В тонкостенной непрозрачной сферической оболочке находится шар, радиус которого в несколько раз меньше радиуса оболочки. Предложите способ определения плотности вещества, из которой сделан шар. Масса оболочки неизвестна.

С. А. Хорозов

Ф971. В магнитном поле, индукция $\vec{B}$ которого вертикальная, вращается около вертикальной оси так, как показано на рисунке 4, металлический стержень. Угловая скорость вращения равна $\omega$, $R$ и $\alpha$ заданы. Найти разность потенциаль на концах стержня.

Л. Г. Маркович

Ф972. В высокоскоростном киносъемном аппарате, применяемом для съемки быстропroteкционных процессов, пленка движется непрерывно со скоростью $v$. Для предотвращения смазывания изображения между пленкой и объективом установлена четырехгранная стеклянная призма с показателем предомления $n$, вращающаяся с постоянной угловой скоростью (рис. 5). Пренебрегая расфокусировкой изображения, определите, при какой угловой скорости изображение на пленке не смазывается. Определите толщину признамы $d$ при условии, что экспонирование изображения одного кадра проводится в пределах $(-\alpha_0, \alpha_0)$ ее угла поворота, а минимальный размер различных деталей изображения равен $\delta$.

А. А. ЛанUDEC

Problems

M956—M960; P968—P972

M956. Four circles of the same radius are drawn on the plane so that three pass through the point $A$ and three through the point $B$ (Fig. 1). Prove that the four pairwise intersection points (other than $A$ and $B$) are the vertices of a parallelogram.

V. and I. Kapovich, 10th form students

M957. Prove that it is possible to choose four numbers whose product is the fourth power of an integer from any distinct 1985 natural numbers whose prime divisors are all contained in the set {2, 3, …, 23} of the first nine primes.

M958*. Suppose $0 \leq i_1 < i_2 < ... < i_n$ are integers. Prove that the number of odd coefficients of the polynomial

29

мы отбрасываем более легкий и сравниваем более тяжельый с новым камнем из группы T; после отбрасывания $n$ камней остатся нужный — самый тяжелый. Аналогично за $n$ взвешиваний из группы Л выделяется самый легкий камень.

Можно предложить и много других правилных алгоритмов, позволяющих выбрать самый тяжелый и самый легкий камень из $2n+2$ за $3n+1$ взвешиваний. Оставляем читательм более трудную задачу: выяснить, за какое наименьшее число взвешиваний можно выбрать самый тяжелый и самый легкий из $N$ камней. (Похожая задача: за сколько попарных сравнений можно выбрать $k=2, 3, \dots$ самых тяжелих из $N$ камней — обсуждение в статье «Кто пойдет в Рио» Г. Адельсона-Вельского, И. Берштейна и М. Гервера («Квант», 1972, № 8, с. 2), а также в разделе книг о сортировке и поиске — например, в т. 3 книги Д. Кнута «Искусство программирования» (М.: «Мир», 1978).)

С. В. Фомин,
Н. В. Васильев

M937. Существует ли такая фигура $F$, что его нельзя накрыть полукруг радиуса 1, а двумя ее экземплярами можно накрыть круглой фигура 1, если $F$ — а) произвольная фигура; б) выпуклая фигура?

Ответ на оба вопроса a) и б) положительный. Примеры представлены на рисунке. Для ответа на вопрос a), кроме разнообразных вариантов фигуры в виде «пропелера» или древнекистского символа «Янь и инь», годится и такой вырожденный пример: из кругга радиуса 1 с центром $O$ выкальваются три точки — вершины равностороннего треугольника с центром $O$. Для ответа на вопрос 6) подходит такая фигура: окружность радиуса 1 с центром $O$ разбиается на четыре дуги величины $\varepsilon, \varepsilon, \pi-\varepsilon, \pi-\varepsilon$ и строится «выпуклая оболочка» двух несмежных дуг. (Левый нижний рисунок соответствует $\varepsilon=\pi/2$.) Заметим, что при малом $\varepsilon$ построенная фигура имеет площадь, сколь уголно близку к площади полукругга.

Доказательство, что построенная фигура не покрывает полукруг, во всех случаях опирается на такое сообщение: концы диаметра полукруга находится на расстоянии 2, следовательно, их могут закрыть лишь такие две точки построенной фигуры, которые являются диаметрально противоположными точками кругла radiуса 1, из которого мы ее вырезаем; таким образом, наша фигура должна быть содержать цель полукруг с центром $O$ radiуса 1.

Тот факт, что двумя экземплярами фигуры можно покрыть круг, оченьiden (во всех примерах достаточно повернуть фигуру относительно центра круга на некоторый угол или отражать от некоторой прямой, проходящей через центр).

Н. В. Васильев

M938. Радиус круга с центром $O$ равномерно врачается, поворачивая за одну секунду на угол $360^\circ/n$ (эде $n$ — натуральное число, больше 3). В начальной момент он занимаем Ом$_0$, через секунду — положение Ом$_1$, еще через 2 секунды — положение Ом$_0$, Ом$_1$, …, Ом$_{n-1}$ делят круг на $n$ равных секторов в том и только в том случае, когда $n=2^k$ (к — натуральное число; на рисунках изображены случан $k=2$ и $k=3$).

Поскольку точки $M_0, M_1, M_2, \dots, M_{n-1}$ попадают в вершины правильно $n$-угольника с центром $O$, для того, чтобы $n$ радиусов Ом$_0, OM_1, \dots, OM_{n-1}$ делили круг на равные секторы, необходимо

31

ки таблицы $N \times N$ раскрашены в $N$ цветов так, что клеток каждой цветаровно $N$, и $N > (n-1)^2$, то найдется строка или столбец, в котором есть клетки $n$ разных цветов (в нашей задаче было $N=10$, $n=4$).

Предлагаем читательям доказать, что эта оценка точная, и подумать над возможными обобщениями этой задачи (например, для прямогольных таблиц, на трехмерный слуаей).

Н. Н. Константинов, Л. Д. Курляндчик

M940*. a) Квадрат разбит на прямогольники. Назовем «целочкой» такое множество этих прямогольников, что их проекции на одну из сторон квадрата целиком покрывают эту сторону без перекрытия. Докажите, что любые два прямогольника входят в некоторую цепочка.

б) Докажите аналогично утверждение для куба, разбито на прямогольные параллеленды (в определении цепочки сторону квадрата нужно заменить на ребро куба). б) Верно ли, что любые два параллеленда в разбении куба приадлежат одному «слюю» — множество параллелендов, проекции которых на некоторую границу заполняют ее цепком, не належая друг на друга?

Рис. 1.

Будем называть прямогольники (в пункте 6) — параллеленпеды), на которые разбит квадрат (куб), «кирицами», а сам квадрат (соответственно, куб) — «домом». Удобно считать, что «дом» — произвольный прямогольник (примогольный параллеленед).

Оба утверждения a) и 6) можно доказать примерно одинаково — индукцией по числу $n$ киричей, составляющих дом. Мы подробно изложим доказательство a), а затем укажем дополнительные сообщения, которые нужны в пункте 6).

Для $n \leq 2$ киричей утверждение очевидно. Предположим, что для числа киричей, меньше $n$, оно доказано. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — два из $n$ киричей, составляющих дом, которые мы хотим соединить цепочкой. Будем говорить, что цепочка идет «вдоль стороны $a$», если проекция составляющих цепочки на $a$ покрывают $a$ в один слой. Заметим, что достаточно построить часть цепочки между $\alpha$ и $\beta$, идущей вдоль $a$ (указать киричей, проекции которых на $a$ заполняется в один слой отрезок между проекциями киричей $\alpha$ и $\beta$), — после этого ее легко дополнить до цепочки: для этого достаточно найти от $\alpha$ и $\beta$ по направлению $a$ до перpendикularных к $a$ сторон и включить в цепочку встретились при этом киричии (рис. 1).

Слушай, когда киричии $\alpha$ и $\beta$ можно пересечь одной прямой, параллельной стороне дома, очевиден: все киричии, пересекаемые такой прямой, образуют нужную цепочку. Поэтому можно считать, что для каждой стороны дома найдется прямая, разделяющая киричии $\alpha$ и $\beta$. В этом случае найдется вершина киричия $\alpha$, близжайшая к $\beta$, — обозначим ее $A$. Среди прямых оценки к ней киричей найдется, кроме $\alpha$, еще по крайней мере один киричий $\gamma$, для которого $A$ служит вершиной и которойPrimыает к $\alpha$ по стороне. Он отделен от $\alpha$ некоторой прямой $l$ (идущей по сторонам $\alpha$ и $\gamma$, рис. 2).

Разрезав дом вместе с киричами этой прямой $l$, мы получим содержащий киричии $\gamma$ и $\beta$, но меньше исходного (по числу киричей) дом. В нем, по предположению индукции, можно соединить $\gamma$ и $\beta$ цепочкой; нас интересует часть $\gamma$, $\delta_1$, $\delta_2$, …, $\delta$, $\beta$ от $\gamma$ до $\beta$. Если она идет вдоль направления $l$, то можно заменить в ней $\gamma$ на $\alpha$, и нужно нам часть цепочки от $\alpha$ до $\beta$ готова: $\alpha, \delta_1$

32

δ₂, …, δ, β (мы пользовемся здесь тем, что A — ближайшая к β вершина α, рис. 2, а). Если же целочка γ, δ₁, δ₂, …, δ, β идет в перепределкулярном l направлении, то к ней можно просто добавить α (рис. 2, б).

Перейдем к решению б). Здесь следует, когда кирпичи α и β можно пересечь плоскостью, параллельной грани дома, свойится к пункту a). Остается случай, когда α и β разделены tremя плоскостями, параллельными разным граням дома. Через ближайшую к β вершину A кирпича α проходят три плоскости его граней. Они делят пространство на 8 окантов, и каждый из примыкающих к A кирпичей занимает один, два или четыре из них (в окрестности A). Поскольку число 8—1=7 нечетно, среди них найдется, кроме α, еще один кирпич γ, для которого A служит вершиной (занимающий один окант) и который отделен от α неокторой плоскостью p.

Дальше рассуждение проводится так же, как в пункте a): плоскость отрезает меньше дом, содержащий γ и β; остается рассмотреть два случая — когда существующая по предположению индукции целочка от γ до β идет в направлении, параллельном плоскости p или перепределкулярном ei.

в) Это утверждение, вообще говоря, неверно. Простой пример — куб 2×2×2, составленный из двух кубков 1×1×1, примыкающих к противоположным вершинам куба, и трех параллелепидов 2×1×1 (рис. 3). Легко видеть, что кубки здесь не принадлежат одному слюю.

Аналогичный пример дома 3×3×3 из трех кубков 1×1×1, расположенных по диагонали, и шести кирпичей 2×2×1 легко представят себе владелцы «кубика Рубика».

Н. В. Васильев,
А. И. Гольбер

Ф948. Известно, что в небольшей «просвет» между машинами, стоящими у тротуара, рекомендуется заезжать задним ходом, а не передним. Почему?

Пусть машина заехала в небольший просвет между двумя стоящими у тротуара машинами (см. рис.нок). Поставим вопрос так: как легче машине теперь выехать — передним или задним ходом?

При повороте руля сразу поворачиваются передние колеса, а задние сначала сохраняют прежнюю ориентацию; так что при любом маневрировании машины центр окружности, по которой она в данной момент движется (вперед или назад), всегда лежит на прямой, проходящей через центр задних колес.

На рисунке показана траектория, по которой машина может выехать из просвета. Видно, что при выезд задним ходом она скорее заднет соседнюю машину, чем при выезд передним ходом.

Легко понять, что выезд машины — это обращенный во времени везд. Следовательно, заезжать в небольший просвет машинами следует задним ходом.

С. С. Кротов,
Г. Я. Мякшев

33

Ф949. Одинаковы ли показания термометров, один из которых помещен у поверхности кипящей жидкости, а другой — в ее глубине?

Чтобы образователься в жидкости при кипении пузырек, наполненый насыщенным паром, не схлопнулся, давление внутри пузырька должна быть равно внешнему давлению, то есть давление окружающей пузырек жидкости. Если пузырек находится в глубине жидкости и высота столька жидкости над ним равна $h$, то внешнее давление равно

$$p = p_0 + \rho gh,$$

где $p_0$ — давление над поверхностью жидкости. Следовательно, чем глубже находится пузырек, тем большим должно быть давление $p_H$ насыщенного пара в пузырьке, чтобы он не схлопвался. Но большему значению давления $p_H$ соответствует более высокая температура. Значит, существование пузырьков в глубине кипящей жидкости возможно при более высокой температуре, чем выше поверхности.

Оценим, насколько отличается температура $T_h$ на глубине $h = 0,5$ м от температуры $T_0$ на поверхности кипящей воды. Дополнительное давление на этой глубине $\Delta p = \rho gh \approx 5 \cdot 10^3$ Pa. Считая, что над поверхностью воды давление равно нормальному атмосферному, то есть $p_0 = 1,033 \cdot 10^5$ Pa, из таблицы зависимости давления насыщенного пара от температуры находится на сколько температуре водяного пара должна быть выше $100^\circ\text{C}$, чтобы давление его было больше $p_0$ на $5 \cdot 10^3$ Pa: $\Delta T \approx 1^\circ\text{C}$.

Т. С. Петрова

Ф950. В запаянной капиллярной трубке находится два столька рути, разделенные капелькой водного раствора электролита $\text{HgI}_2$. Внутренний диаметр трубки $d = 0,3$ мм. Трубка подключана последовательно с резистором с сопротивлением $R = 390$ кОм к батарее с ЭДС $\mathcal{E} = 10$ В (см. рис.ок). Через какое время капелька сместится на одно деление шкалы?

◆ Протекание электрического тока в электроплете связано с переносом массы. В данном случае на катоде происходит восстановление металлической рути из растора электролита, а на аnde — окисление рути, то есть переход ее в растор электролита. В соответствии с законом электролиза Фарадей масса рути, которая выделится на катоде за время $t$, равна

$$m = \frac{1}{F} \frac{M}{n} I t,$$

где $F = 9,65 \cdot 10^4$ Кл/моль — число Фарадей, $M = 0,201$ кг/моль — молярная масса рути, $n = 2$ — валентность рути, $I$ — протекающий ток. Этот ток практически определяется сопротивлением $R$, так как по сравнению с ним сопротивление металлической рути и электролита и внутреннее сопротивление источника ничтожно малы. Позотому $I = \mathcal{E}/R$, и

$$m = \frac{M \mathcal{E}}{FnR} t. \tag{1}$$

Выделение рути на катоде и расторение ее на аnde приводит к смешению капельки электролита в стороны аnde на расторение $l$ такое, что

$$m = \rho \frac{\pi d^2}{4} l, \tag{2}$$

где $\rho = 13,6 \cdot 10^3$ кг/м$^3$ — плотность рути.

34

Из (1) и (2) находится время, за которое капелька электропита смеится на расстояние $l$:

$$i = \frac{\pi d^2 F n_0 R l}{4 M C}.$$

Подставив значения, приведенные в условия, и $l = 1$ см, получим $t = 100$ ч.

Подобные другие часы нашли применение в электронной технике в качестве малогабаритных временадоших устройств, счетчиков времени наработки. Их используют также для измерения заряда — построения кулонметров.

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Ф951. Определить емкость системы конденсатора, приведенной на рисунке. У каждой конденсатора указано значение его емкости, измеренной в микрофарадах.

◆ Представить исходную схему как систему параллельно и последовательно соединенных конденсаторов неудается. В таких случаях необходимо, как говоря, упростить схему. Например, что под этим подразумевают.

Объчно, исходя из сообщений геометрической или физической симметрии, какие-то узлы схемы разъединиют или, наоборот, соединяют, какие-то конденсаторы удаляют и т.п., добавясь того, чтобы новая схема из последовательно и параллельно соединенных конденсаторов была эквивалентна исходной, то есть чтобы при подаче на исходную и преобразованную схемы одинаковых напряжений схемы заряжались одинаково, — в этом случае емкость схем одинаковы, и расчитывают емкость и преобразованной схемы.

В основе применения описанного выше метода лежит теорема единственности, суть которой в нашем случае совпадается к следующему. Если на схему подать неокоторое напряжение, то напряжения (и, соответственно, заряды) на всех конденсаторов примут единственно возможные значения. Приведем не очень строгое доказательство этой теоремы методом от противного.

Предположим, что существует две возможность зарядам «рассествия» на конденсаторов схемы при подаче на нее напряжения $U_0$. Это означает, что по крайней мере на одном из конденсаторов, например, с емкостью $C_0$, заряды в первом и во втором случаях будут разные. Подадим на схему включенные насстечу источники напряжения $U_0$ и — $U_0$ (то есть суммарное напряжение, поданное на схему, равно нулю). Вследствие принципиации схема независимым образом «отрегирует» на напряжения $U_0$ и — $U_0$; в первом случае на конденсаторе $C_0$ оказывается заряд $q_0$, а в ответ на напряжение — $U_0$ конденсатор зарядится зарядом $q'_0$ с противоположной полярноостью, причем $|q_0 + q'_0| \neq 0$. Таким образом, на схему было подано нульевое напряжение, работа внешних источников была равна нулю, а на конденсаторе $C_0$ оказался запас электрической энергии $\frac{(q_0 + q'_0)^2}{2} \neq 0$. Противоречие.

Обратимся теперь к нашей схеме. Пропорциональноность значений емкости горизонтальных участков схемы наталкивает на следующую стратегию — упрощение схемы путем удаления конденсаторов между параметрами точек: $c$ и $d$, $e$ и $f$, $f$ и $g$.

Действительно, если удалить конденсаторы и подать на упрощенную схему неокоторое напряжение, то потенциальы соответствуют точек будут одинаковыми: $\varphi_c=\varphi_d$, $\varphi_e=\varphi_f=\varphi_g$ (показите это самостояльно!). Вернем на место удаленные конденсаторы. Переаспределяния зарядов на других конденсаторов схемы вследствие теоремы единственности не производит. Поэтому емкости исходной и преобразованной схем будут одинаковы.

Емкость преобразованной схемы равна

$$C_{AB}=1:\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\right)+1:\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)+1:\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\right)=\frac{9}{2} \text{ мкФ.}$$

А. И. Буздин, C. С. Кротов

Ф952. Наблюдатель расматривает удаленный предмет и фотографию этого предмета, сделанную из той точки, в которой находится наблюдатель. Что ему кажется большим — предмет или его фотографическое изображение? Во сколько раз? Фотография была сделана annaparatом, объективного которого имеет фокусное расстояние $F=3$ см; при печатании снимка было сделано увеillance $k=2,5$.

Размер изображения предмета на сетчатке глаза прямо пропорционален $tg\varphi$, где $\varphi$ — угол зрения для данного предмета. Поэтому видимое увеличение при расматривании предмета на фотографию равно

$$\Gamma=\frac{tg\varphi}{tg\varphi},$$

где $\varphi_1$ — угол зрения, под которым виден предмет на фотографии, $\varphi$ — угол зрения при непосредственном расматривании предмета. Если $l$ — размер предмета на снимке, а $D$ — расстояние, с которой расматривается снимок, то $tg\varphi_1=l/D$. Найдем $l$.

При фотографировании удаленных предметов резкое изображение получается в фокальной плоскости. Поэтому расстояние от объектива до фотопленки в этом случае должно быть равно фокусному расстоянию $F$. Размер изображения на фотопленке равен $l_1=F tg\varphi$. После печатания размер изображения на фотографии становится равным $l=kl_1=kF tg\varphi$.

Таким образом,

$$\Gamma=\frac{kF}{D}.$$

При нормальном зрении $D$ не меньше 25 см. Подставив для оценки $D=25$ см, получим $\Gamma=0,3$ — при расматривании фотографии предмета каждый примерно в 3 раза меньше, чем при непосредственном наблюдении.

В. С. Рыбин

36

Список читателей, приславших правильные решения

Большинство читателей, приславших решения задач M911—M925; Ф923—Ф937, справились с задачами M911, M912, M914, M916, M917, M918, Ф924, Ф930, Ф933 и Ф934. Ниже мы публикуем фамилии тех, кто прислал правильные решения остальных задач (цифры после фамилии — последние цифры номеров решенных задач).

Математика
Р. Агаширипов (с. Хурай Аз. ССР) 13; А. Аксенов (Великие Луки) 13, 15; М. Александров (Москва) 15, 19, 20, 22, 23; Р. Алексеев (Магнитогорск) 13, 15; А. Алеев (с. Каракая Аз. ССР) 19; М. Алт (Одеcca) 13, 19—21; А. Артугонян (с. Мереня Гр. ССР) 13, 15, 20; С. Аршава (Северодонецк) 13; А. Асташкевич (Томск) 13, 15, 22-25; Е. Баланова (Рига) 19; А. Барабанов (Киев) 13; А. Баран (Киев) 23; Н. Безденежных (Нжинный Тагил) 13, 15; Р. Безрукавников (Калуга) 20; А. Белопольский (Киев) 19, 22, 23; А. Бендерский (п. Черноголовка Московской области) 22; В. Берездивин (Донецк) 13, 15; Н. Биндер (Ленинград) 19, 24, 25; Е. Боzemол (Алма-Ата) 15; М. Бойко (Киев) 19; В. Быков (Киев) 20; И. Вайштейн (Калинин) 15, 19, 20; Р. Балев (Фрунзе) 13; Я. Варшавский (Харьков) 13, 15, 19, 20, 23, 24; В. Васильев (Воткинск) 19; Т. Васильева (Ленинград) 12, 13, 15; М. Векслер (Ленинград) 24; И. Верный (Киев) 19; Р. Вуддон (Баку) 13; С. Волков (Нжинный Тагил) 19; В. Ворошил (Львов) 13; Г. Габибзade (с. Ленинград Аз. ССР) 15; Т. Газарин (Ереван) 13, 15, 19, 20; Д. Гамарик (Тбилис) 13, 15, 19, 20; А. Гамаюнов (Полтава) 13; Т. Гамарян (Баку) 13; Г. Гевондан (с. Меликгох Арм. ССР) 13, 15; О. Генделман (Харьков) 13, 19; Р. Гендлер (Ташкент) 13, 19, 21—23, 25; О. Гупель (Дрезден, ГДР) 21; М. Годин (Ленинград) 19; В. Годлевский (Киев) 13, 19; Р. Гой (Львов) 23; Г. Горбатенко (Арзамас) 13, 22; А. Гороховский (Киев) 13, 19, 21—23; Ю. Грабовский (Киев) 13; Д. Гребнева (Алма-Ата) 15; Н. Григорьева (Андропов) 13, 20, 22, 23, 25; Г. Григорян (Ереван) 13, 15, 20; А. Давтян (Ереван) 13, 15, 20; Ю. Дейкало (Киев) 19; А. Дементцев (Нальчик) 19; М. Добрицин (Москва) 13, 15, 19—25; А. Донченko (Киев) 13; В. Душацкий (Киев) 19; А. Динников (Жуковский) 13, 15, 19, 20, 22—24; И. Динников (Жуковский) 13, 15, 19—25; В. Жданов (Москва) 19; В. Журавлев (Гайворон) 13, 15, 20, 21; П. Задорожный (Киев) 13; Р. Зайнуллин (Белорецк) 19; Д. Зайцев (Киев) 13, 19, 22, 23; А. Запольский (Москва) 23; А. Захаров (Гатчина) 19; Н. Захаров (Алма-Ата) 15; К. Зварц (Хмельницкий) 19; А. Иванов (Первомайск Николаевской области) 13, 15, 19, 20—24; С. Иванов (Севастополь) 19; М. Изнавев (Саратов) 13, 19, 22; С. Исмаилов (Баку) 19, 23; А. Кадач (Усть-Каменогорск) 19; А. Кальбаева (Алма-Ата) 15; В. и И. Капович (Хабаровск) 13, 15, 19, 20; А. Каринский (Невиномысск) 15; А. Карнаухов (Устинов) 13; О. Кирнасовский (Винница) 13, 19; А. Киселев (Ленинград) 12, 13, 19, 20, 22; И. Кица (Киев) 19; П. Кларк (Тула) 19; Д. Клионский (Ленинград) 19; А. Козинский (Гайворон) 13, 15, 20, 21; И. Козуля (Жуковский) 13, 19; Ю. Конд-

38

IV. Как изготовлять трансисторы в интегральных схемах

Доктор физико-математических наук М. Е. ЛЕВИНШТЕЙН, кандидат физико-математических наук Г. С. СИМИН

В прошлом номерах журналы мы рассакали о принципах работы трансисторов. Сегодня ребьет о том, каким образом изготовливают современные трансисторы.

В технологически изготовления полезных и биполярных трансисторов так много обещено, что достаточно рассмотреть ее на примере только биполярного трансистора, устройства которого несколько сложнее.

На рисунке 1 показана конструкция биполярного трансистора — элемент интегральной схемы (ИС), используемый в ЭВМ. Эта конструкция так сильно отличается от показанного на рисунке 2 схематического изображения трансистора, обусловшего в предыдущей статье, что на первый взгляд трудно поверить, что это один и тот же прибор. Тем не менее, влядевшись внимательно, нетрудно видеть на рисунке 1 то же черезданные $n—p—n$-области, что и на рисунке 2.

Конструкция, показанная на рисунке 1, называется планарной, то есть плоской (от английского слова plane — плоский): все операции по изготовлению такого трансистора производятся с одной стороны кремневой (или арсенид-галлиевой) плоской пластины. Планарная технологическая при изготовлении интегральной схемы является единственной возможной. Во-первых, поскольку при изготовлении ИС на одной пластине размещается десятики и сотни тысяч трансисторов размером в несколько микрон, точно совместить отдельные элементы каждого трансистора с двух сторон пластины было бы невозможно. Во-вторых, планарная технологическая позволяет использовать только такие (толщиной стого и более микрон) пластины полупроводника. Такие пластины обладают достаточно механической прочностью и удобны в работе. При двусторонней технологической попадобились бы пластины толщиной в доли микрон. Работать с пластинами такой толщины практически нельзя.

Существует довольно много способов изготовления ИС. Однако из широко распространенных технологий, по которым создавались БТ, в упрощенном виде показана на рисунке 3.

1. Поверхность кремневой пластины описывается. На ней образуется слой двухкиси кремния SiO$_2$. Затем поверх описывается тонкий слой светочувствительного полимера — форезиста. Форезист обладает способностью изменять свои химические свойства под действием света.

К покрытой форезистом полупроводниковой пластине прижимается стеклянная пластина с нанесенным на ней рисунком, составленным из произвольных и непрозрачных участков, — форезаillon. После этого форезист освещается через форезаillon, и те участки форезиста, на которые попадает свет, прибретают способность расторять в определенных трапителях. Эта операция называется фореитографией. Она — одна из самых важных в процессе изготовления всех ИС.

Когда пластина с засеченным форезистом погружается в трапитель, происходит расторжение участков форезиста, на которые попадаел свет, а также находящийся под ними участков двухкиси кремния. На полупроводниковой пластине в этих местах открывают области чистой поверхности кремния — «окна». Затем в другом трапителе, расторяющем незасвеченный форезист, но не расторяющим SiO$_2$, удаляется оставшийся форезист. В результате поверхности пластины представляет собой сочетание «окон» с участками, защищенными слоем прочною, устойчивой к высокой температуре двухкиси кремния — «маской».

Рис. 1. Планарный биполярный трансistor — элемент ИС на БТ.
a) Транзистор в разрезе.
b) Вид на трансistorную структуру сверху.
Приведены типические размеры трансистора в мкм; толщина базы $W=0,5$ мкм.

Рис. 2. Схематическое изображение биполярного трансистора.

40

Интерференция света

Канддат физико-mатематических наук
E. И. БУТИКОВ

Волновые свойства света наиболее отчетливо обнаруживают себя в явлениях интерференции и дифракции. Эти явления характерны для волн любой природы. Они сравнительно легко наблюдаются на опыте, например, для звуковых волн или волн на поверхности воды, но для наблюдания интерференции или дифракции света необходимо выполнение определенных условий. О них, в частности, и поддет речь в этой стране.

Под интерференцией света понятно процесс наблюдения нескольких световых лучков, при котором результативная интенсивность света*) в каждой точке не равна сумме интенсивностей отдельных лучков. В некоторых местах интенсивность оказывается больше суммарной, в других меньше, то есть образуют чердующееся светление и темные участки — возникает интерференция картина.

Простейший пример интерференции дает наблюдение двух monochromатических волн одинаковой частоты и с одним и тем же направлением колебаний в складывающихся волнах. В результате в каждой точке происходит колебания с той же частотой и неизменной во времени амплитудой, зависит, однako, от положения этой точки.

Пусть амплитуды складывающихся колебаний одинаковы, тогда для результативного колебания $E(t)$ получим

$$E(t) = E_1(t) + E_2(t) = a \cos(\omega t + \varphi_1) + a \cos(\omega t + \varphi_2) = 2a \cos \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} \cos \left( \omega t + \frac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} \right),$$

то есть амплитуд $A = 2a \left| \cos \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} \right|$ зависит от разности фаз $\varphi_1 - \varphi_2$ складавающегося колебаний и принимает значения от удвоенной амплитуды $2a$ каждой из волн (в точках, где колебания совпадают по фазе) до нуля (в точках, где колебания происходит в противофазе). Энергия колебаний, а следовательно, и интенсивность света $I$ пропорциональна квадрату их амплитуды: $I \sim A^2$. Как видно из формулы (1), результатирующая интенсивность $I$ в зависимости от положения точки наблюдания принимает значения от нуля до учетверенной интенсивности отдельной волны $I_0 \sim a^2$:

$$I = 4I_0 \cos^2 \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} = 2I_0 (1 + \cos (\varphi_1 - \varphi_2)).$$

Множества точек пространства, которые соответствуют одинаковая интенсивность (в частиности, максимальная или минимальная), образуют поверхности, зависимости от свойств и расположения источников света.

Вопрос 1. Два одинаковых точных источника расположены на некотором расстоянии друг от друга. Какой вид имеет в этом случае侈роности максимальной и минимальной интенсивности?

Разность фаз $\varphi_1 - \varphi_2$ в данной точке зависит от разности хода $l$ волн от синфазных источников: $l = l_1 - l_2$. Если разность хода равна целому числу длины волн: $l = k\lambda$ ($k = 0, 1, 2, ...$), то волны приходят в точку наблюдания в фазе и при сложении дюит колебания с максимальной амплитудой. Если же разность хода равна нечетному числу полуволн: $l = (2k + 1)\lambda/2$, то волны приходят в противофазе и «гасят» друг друга. Таким образом,侈роности максимумов и минимумов определяются условиями $l_1 - l_2 = const$.

В любой плоскости, содержащей источники, например в плоскости чертежа на рисунке 1, можно точек, разность расстояний до которых от двух заданных точек — в данном случае от источников $S_1$ и $S_2$ — одинакова, представляется собой гиперболу

41

(S₁ и S₂ — ее формулы). Из симметрия ясно, что в пространстве множеству точек, удовлетворяющих условию l₁−l₂=const, соответствует поверхности врашення гипербольы вокруг прямой, проходящей через источники, — так называемый гиперболонд врашення. Форма интерференционных полос на каком-нибудь экране дается линяями пересечения таких гиперболондов с плоскостью экрана.

Например, на экране A, перpendикулярном к проходящей черзе источники S₁ и S₂ прямой, интерференционные полосы имеют вид концентрических окружностей (см. рис. 1). На экране B полосы имеют форму гиперболол. Когда расстояния от источников до экрана B много больше расстояния между источниками, в небольшей окрестности точки O интерференционные полосы практические можно считать параллельными прямыми, отстоящими на одинаковые расстояния друг от друга.

Задача 1. Найдите расстояние между соседними интерференционными максимальными на экране B, удалением на L=1 м от источников S₁ и S₂, если они находится на расстоянии d=0,5 мм друг от друга (рис. 2). Длина волны света λ=5·10⁻⁷ м. По какому закон изменяется освещенность экрана при переходе от максимума к минимуму интерференционной картины?

Проведем в точку наблюдания P прямую SP из середины отрезка S₁S₂ и обозначим через θ угол, образуемый этой прямой с направлением SO на центр интерференционной картины. При малых θ разность хода l=l₁−l₂ можно найти, опуская перепределуляр из S₂ на прямую SP до пересечения с S₁P:l=d·θ. Поляга здесь l равным целому числу длины волн kλ, находим направление θ_k на максимум k-го порядка:

θ_k=kλ/d, k=0, ±1, ±2, … (3)

Угловое расстояние Δθ=θ_k+1−θ_k между соседними максимальными равно λ/d, а расстояние h между ними на экране B получим, умножая Δθ на L:

h=LΔθ=λL/π=10⁻³ м=1 мм.

Отсюда ясно, что расстояние L, а значит, и интерференционные полосы тем ширие, чем близke друг к другу расположены источники.

Чтобы найти закон изменения интенсивности вдоль прямой OB, достаточно в формуле (2) выразить разность фаз складывающих колебаний φ₁−φ₂ через положение точки наблюдания P на экране:

φ₁−φ₂=2π/λ(l₁−l₂)=θπl/λ=2π/λdθ.

Таким образом, получается, что освещенность экрана зависит от направления θ на точку наблюдания по синусoidальном закону

I(θ)=2I₀(1+cos(2πd/λθ)).

График этой функции показан в правой части рисунка 2.

Ослабление световых колебаний в одних местах интерференционной картины и успление в других не связано с какими-либо превращениями энергии колебаний. Это хорошо видно из формулы (4), согласно которой среднее по всем направлениям значение интенсивности равно 2I₀, то есть суммарной интенсивности от двух источников.

42

До сих пор предполагалось, что источники $S_1$ и $S_2$ создают монохроматическое волны одинаковой частоты. Но для обычных (не лазерных) источников свет никака не бывают строгого monoxроматического. Испускаемая отдельным atomом волна представляет собой не бесконечную синусиду, а лишь ее отрезок, или, как говоря, цуг синусидальных волн. Длительность т такое цуга не превышает $10^{-8}$ с. Предельная протяженность цуга $ct$ составляет около 3 м ($c=3 \cdot 10^8$ м/c — скорость света, с которой цуги перемещаются в пространстве), и он содержит несколько миллионов «гребней» и «впадин» ($ct/\lambda \approx 10^7$ при $\lambda=5 \cdot 10^{-7}$ м).

Если даже считать все цуги, испускаемые различными atomами источника, одинаковыми и характеризовать их одной и той же длиной волны $\lambda$, соответствия фаз между ними совершено случайными, так как акты спонтаного испускания света atomами проискодят в случайные моменты времени. Таким образом, свет реальных источников можно рассматривать какxaотическая последовательность синусидальных волновых цугов. При наложении пучков света от разных источников фазовые соответствия между световыми колебаниями в любоий точке за время наблюдания успешот многоократно измениться случайным образом. В результате сложения большого числа колебаний со случайными фазами энергия результирующего колебания в каждой точке будет равна сумме энергий складывающихся колебаний, то есть не произойдет характерного для интерфейсии перерасредления энергии в пространстве.

Отсюда ясно, что для наблюдания интерфейсии света нужны специальные условия: свет от одного и того же источника нужно разделить на два пучка (или несколько пучков) и затем каким-либо способом свести эти пучки вместе. Если разность хода от места разделения до точки наблюдания не превышает длины отдельного цуга, то случайные изменения амплитуды и фазы световых колебаний в двух пучках проискодят согласно. О таких пучках говорят, что они коэференты. При наложении коэференты пучков и образуется стационарная интерфейсionная картина.

Рис. 3.

Впервые обязывание интерфейсции света на основе волновых представлений было дано английским ученым Томасом Юнгом в самом начале XIX века. Поставленный им опыт с двумя отвергениями подробно описан в учебнике («Физика 10», § 69). Кореентность световых пучков от отвергии в этом опите обеспечивает их проискодением из одного первичного пучка.

Другой способ получения коэреентных световых пучков основан на использовании отражения первичного пучка от двух поверхностей тонкой проискодением из одного первичного пучка.

Вопрос 2. Какую форму имеет интерфейсционные полосы на экране В, плоскость которого параллельна граммплатики (рис. 3)?

В каждую точку наблюдания $P$ приходят две волны, резкость хода которых можно найти, построив изобравжения точного источника $S$ в верхней и нижней гранах платики. Для простоты можно пренебреть