Квант 1986, №5 · Страницы

КВАНТ
5
1986
Научно-популярный физико-математический журнал
Академи наук СССР и Академии педагогических наук СССР
Зачем микрокалькулятор стек?

В этом году исполнилиось 30 лет Объединенияому цикличный — международному международному центру, расположенному в подмосковном 20-роде Дубне.

В ОИЯН проводят исследование учены Волгарии, Великии, Вьетнама, ГДР, КНДР, Кубы, Монголии, Польии, Румынии, Советского Союза и Чехословакии.

На снимке — одна из базовых экспериментальных установок институтора циклографии параметра лучиших в мире ускорителей тяжелых юнов.

1

В НОМЕРЕ:

2. К. Ю. Боеданов. Как мы дышим?
3. А. П. Веселов. О математике гармоничческих колебаний
4. Ю. Г. Павленко. Парадокс спутника
   K. Yu. Bogdanov. How do we breathe?
   A. P. Veselov. On the mathematics of harmonic oscillations
   Yu. G. Pavlenko. The sputnik paradox

Matematический кругок
16. В. В. Прасолов. Использование площадь…
Mathematics circle
V. V. Prasolov. Using area…

Школа в «Кванте»
20. Физика 8, 9, 10
Kvant’s school
Physics 8, 9, 10

«Квант» для младших школьников
25. Задачи
26. А. И. Буздин. Немного о термометре и о термоскопе Фerdинада
Kvant for younger school children
Problems
A. I. Buzdin. A little about thermometers and Ferdinand’s thermoscope

Задачник «Кванта»
28. Задачий M981—M985; Ф993—Ф997
30. Решения задачи M961—M965; Ф973—Ф977
Kvant’s problems
Problems M981—M985; P993—P997
Solutions M961—M965; P973—P977

Калейдоскоп «Кванта»
Kvant’s kaleidoscope

Искусство программирования
39. Л. Ф. Штернберг. Зачем микрокалькулятору стек
The art of programming
L. F. Shternberg. Why the pocket calculator has a stack

Полупроводниковые элементы вычислительной техники
44. IX. Сумматор
Semiconducting elements in computers
IX. Summators

Практикум абитурента
46. М. Р. Либерzon. Вспомогательный куб
College applicant’s section
M. R. Liberson. Auxiliary cubes

Варианты вступительных экзаменов
51. College entrance examination problems

Олимпiadы
57. Первая Всесоюзная олимпiadа
по математике учащихся средних профессионального-технических училищ
Olympiads
First All-Union mathematics olympiad for secondary professional-technical institutions

Ответы, указания, решения
«Квант» улыбается (8)
Смесь (58)
Шахматная страница
Весочечная доска (3-я с. обложки)
Answers, hints, solutions
Kvant smiles (8)
Miscellaneous (58)
The chess page
Infinite chessboard (3rd cover page)

Ответ на вопрос, заданный на первой странице обложки, вы найдете в стате Л. Ф. Штернберга (см. с. 39).

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1986

3

Как мы дышим?

Кандидат физико-mатематических наук
К. Ю. БОГДАНОВ

О чем рассказывает электронардиографма? КакLETУЧИЕ МЫШИ В ПОЛНОЙ ТЕМНОТЕ ЛОВЯТ МОШКАРУ? Как ПОЧТОВЫЕ ГОЛУБИ НАХОДЯТ ДОРУГУ ДОМОЙ? Ответы на эти и многое другие вопросы дает биофизика — наука, изучающая физические явления в живых организмах, лежащая на стыке физики и биологии, использующая новейшие достижения физики в биологических исследованиях. Попробуем и мы, вооружившись Школьными знаниями физики, ответить на, казалось бы, простой вопрос: как мы дышим?*)

Наша дыхательная система

При нормальном дыхании наш организм потребляет в день около 0,5 кг кислорода и выделяет почти также же количество углекислого газа. И поступление кислорода, и выход углекислого газа осуществляется через легкие.

Внутреннее пространство легких сообщается с атмосферой посредством воздуханых путьей. Воздухонные пути состоит из носовой полости, где выхаемый воздух подогревается и увлажняется, глотки, гортани, трахен и двух главных бронхов, подводяших воздуха к правому и левому легкому. Каждый бронх добится на более мелкие бронхи (бронхиолы) и заканчивается микросоппечими легочных пузырьками — альвеолами, окруженными со всех стороны сетью кровеносных сосудов. Альвеolы, которые у взрослого человека насчитывают около 700 миллионов, представляют собой соединенные друг с другом пузырьки, наполененные воздухаом (рис. 1). В каждый момент времени в кровеносных сосудах, оплетащих альвеolы, находится примерно 70 мл крови, из которого

*) От редакции и. Скоро выйдет в свет 49 выпуск «Виблотечки «Квант» — книга К. Ю. Борданова «Физик в гостях у биолога». Прочитать эту книгу мы советуем всем, кто любит физику, биологию; всем, кто любит задавать вопросы, гладая на окружающий нас мир.

1*

4

В 1929 году швейцарский ученый Карл фон Нингрард обнаружил, что давление, необходимое для развития легких, можно значительное уменьшить, если заполнить легкие физиологическим растором. Это никак не вызывась с представлением об альвеолах как о полых эластичных шариках: если бы при вдохе нам надо было преодолевать только силы упругостики, то наши усилия не зависялы бы от того, заполненое легкое растором или нет — ведь силы упругостики от этого не зависят. Данные, полученные Нингрардом, стали обясными, когда выяснились, что каждая альвеола изнутри покрыта тонким слоем жидкости. Это обстоятельство существенно влияет на механические свойства альвеолы. В частности, давление, необходимое для развития альвеолы, оказывается больше, чем в случае полого шарика из легочной ткани. И вот почему.

Известно, что поверхность жидкости ведет себя подобно растянутой пленке — обладает поверхностным натяжением. Чтобы оценить роль сил поверхностного натяжения в механике альвеолы, рассмотрим пленку жидкости, имеющего форму сферы (простейший пример такой пленки — мыльный пузырь).*) Давление воздуха внутри пузыря из-за поверхностного натяжения жидкости всегда оказывается больше внешнего давления. Величина избыточного давления внутри сферы радиуса $R$ определяется соответствием Лапласа $\Delta p=2\sigma/R$, где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения пленки. Это избыточное давление тем больше, чем меньше радиус сферы. В пленке мыльного пузыря и внутренняя, и внешняя поверхности соприкасаются с воздействием $\sigma$ пленки равно удвоенному значению коэффициента поверхностного натяжения жидкости. В альвеолах контакт воздуха — жидкость осуществляется лишь с одной стороны, изнутри.

Давайте оценим величины $\Delta p$. Для межклетной жидкости $\sigma = 5 \cdot 10^{-2}$ Н/m; примем это значение и для жидкости, выстилаюшей внутреннюю поверхность альвеолы. По-

*) В серии «Виблотечка «Квант» в 1985 году (46 выпуск) вышла книга Я. Е. Гегузина «Пузыри». В ней читатель найдет подробное объяснение поверхности мыльных пузырей в разных условиях и вообще много интересного из жизни пузырей. (Примеч. ред.)

5

лы, имеющие разные размеры. Предположим сначала, что воздушные полости альвеол не сообщаются друг с другом (рис. 3, а). Давление воздуха $p_1$ в левой альвеоле больше, чем давление $p_2$ в правой (поскольку $R_1 < R_2$). Поэтому, как только мы открыем «кран», соединяющий воздушные полости альвеол, воздух из левой альвеол начинает перетекать в правую, пока давление в обеих альвеолах нестанет одинаковым (рис. 3, б). Таким образом, при соединении воздушных полостей двух неодинаковых альвеол большая всегда будет раздувать, а меньшая — спадать. Очевидно, что такое взаимодействие между соседними альвеолами привело бы кладению всех мелких альвеол легкого и к разрыву крупных; в результате легкое уже не могло бы выполнять свой функции. Как же мы все-tаки дышим?

Рассматривая взаимодействие между соседними альвеолами, мы заранее считали, что поверхность натяжение одинаково у различных альвеол и не зависит от того, в каком состоянии — раздутом или справшемся — они находятся. У чистых жидкостей поверхность натяжение действительное не зависит от размеров поверхности. Но у жидкостей, содержащих различные примеси, σ зависит от величины поверхности, по которой они граничат с газом.

Опять Природа все предусмотрела. Вещество, содержащесся в виде примеси в жидкости, смачивающей изнутри поверхность альвеол, так регулярен величину поверхностного натяжения, что σ минимально в начале вдоха (minimalная поверхность) и максимально в его конце (maximalная поверхность). Поэтому, несмотря на то, что радиус альвеол в начале вдоха очень мал, включающий структуре очень близки к общимому мылу и при расторении образуют тонкую лепенку на поверхности воды. Если концентрация примеси высока, так что лепенка может покрыть непрерывным слоем всего поверхность воды, то σ такой жидкость равняется определенному для данной примеси значению. Когда же концентрация примеси недостаточна, чтобы покрыть лепенкой всего поверхность, поверхность натяжение жидкости будет находиться между соответствующими значениями σ для воды и примеси. В этих случаях поверхность жидкости ведет к уменьшению поверхностной концентрации примеси и вызывает увеличение σ, приближая его значение к σ для воды. При уменьшении поверхности жидкости σ будет уменьшаться.

Теперь посмотрим на рисунок 4. На нем приведены зависимости поверхностного натяжения от площади поверхности контакта лепенка с воздуха. Обратите внимание: при одной и той же площади поверхности контакта лепенка σ на «вдохе» всегда больше, чем на «выдохе». Связан это вот с чем. Примесь, попижащая поверхность натяжение, находится не только на поверхности лепенки, но и в ее объекте.

6

me. При увеличении площади поверхности, то есть при уменьшении концентрации примеси на поверхности, часть молекул примеси из глубины жидкости устремляется к поверхности. Однако равновесие устанавливается не мгновенно. Поэтому, например, в начале «вдоха» быстро увеличение поверхности жидкости сопротивляется резким ростом σ, так как расторжение в объеме примеси не успевают выйти на поверхности; равновесие между примесными молекулиами наступает лишь в конце «вдоха». Точно также, только в конце «вдоха» σ соответствует равновесному состоянию. Эти и объясняются зависимость σ от площади поверхности, показанная на рисунке 4.

Откуда берется в легких вещества, попижающие поверхности натяжение и этим облегчающие наше дыхание? Окзадость, что их синтезируют специальные клетки, находится в стенках альвеол. Синтез этих веществ, называемых поверхностноактивными веществами (ПАВ), идет в течение всей жизни человека — от его рождения до смерти. Кривая 2 на рисунке 4 соответствует легочной жидкости с понженным содержанием ПАВ. Видно, что минимальное значение σ почти в восемь раз увеличено по сравнению с нормой. В тех редких случаях, когда у новорожденного отсутствует в легких клетки, производящие ПАВ, ребенок не может самостоятельно сделать первого водоха. К сожалению, до сих пор многоноворожденных во всем мире умирает, так и не сделав своего первого водоха, из-за недостатка или отсутствия в их альвеолах ПАВ.

Исключение из правил

Однако многоные животные,дышашие легкими,совсем не страдают от того, что в их альвеолах нет ПАВ. В первую очередь это относится к холоднокровным — лягушкам, ящерцам, змеям, крокодилам и т. д. Так как этим животным не надо траить энергию на обогрев собственного организма, их потребности в кислороде в среднем вдесят раз меньше, чем у теплокровных. Поэтому и поверхность легких, через которое происходит газообмен между кровью и воздухам, у холоднокровных меньше, чем у теплокровных. Относительное уменьшение площади поверхности легкого, приходящей на единицу его объема, у холоднокровных связано с увеличением приблизительного вдесят раз диаметра их альвеол по сравнению с альвеолами теплокровных. Относительное больший раздиус альвеол позволяет легко раздувать их даже в отсутствие на их внутренней поверхности ПАВ (ведь Δp~1/R).

Второй группой животных, в легких которых отсутствует ПАВ, является птицы. Птицы — теплокровные и ведут довольно бойкий образ жизни. Энергетическая затрата птиц и млекопитающих одинакового веса близки между собой. Высоки и потребности птицы в кислороде. Причем легкие птицы обладают уникальной способностью насыщать кровь кислородом при попете на больший высоте (около 6000 м), где его концентрация в воздухае падает в два раза по сравнению с концентрацией на уровне моря. Любое млекопитающее (в том числе и человека) на такой высоте начинает испытывать недостаток кислорода, резко ограничивает свою дигетальную активность, а иногда даже впадает в получиморочное состояние. Как же удается легким птицы, не имеющим ПАВ,ышать и насыщать кровь кислородом? Почему это не получается у млекопитающих?

7

Зайmemся самокритикой. Чем плохи нашли легкие? Во-первых, не весь видхаемый воздух участует в газообмене с крывью: воздух, оказавшийся в конце вдоха в трахее и бронхах, не сможет отдать кислород в крывь и взять оттуда углекислый газ, так как в этих местах легкого практических отсутствуют кровеносные сосуда. Позному часть объема легких, занимаемую трахеей и бронхами, приято называть «мертвым пространством». Общибое «мертвое пространство» легких человека имеет объем около 150 см³. Можно искусственно увеличить объем «мертвого пространства», если заставить себя дышать через длину трубку. Каждый, кто пытается так делать, наверное, заметил, что при этом необходимо увеличивать глубину дыхания (объем вдыхаемого воздуха). Очевидно, что если объем «мертвого пространства» сделать равным максимальным возможному вдоху (около 4,5 дм³), то человек начинает задыхаться, так как свежий воздуха вообще перестанет поступать в альвеoli. Таким образом, существование «мертвого пространства» в дыхательной системе млекопитающих является «ошибкой» Природы.

Создавая легкие млекопитающих, Природа, по нашему мнению, сделала и вторую «ошибку». Этот недостаток связаан с тем, что движение воздуха в легких меняет свое направление при переходе от вдоха к вдоху. Позному почти половину времени легкие практические безопасности — во время вдоха свежий воздуха в альвеoli не поступает.

А вот у птиц Природа вовь достигает совершенства. Помимо обычных легких, у птиц есть дополнительная система, состоящая из пятни и более пар воздушных мешков, связанных с легками (рис. 5). Полости этих мешков широко разветвляются в теле и заходят в неокотые кости, иногда даже в мелкие кости фаланг пальцев. В результате дыхательная система утики занимает около 20 % объема тела (2 % — легкие и 18 % — воздушные мешки), в то время как у человека — лишь 5 %. Легкое птицы, в отличие от легкого млекопитающего, представляют собой совершенствованный паралельно соединенных открытых с дыхоном тоненых трубок, окруженных кровеносными сосудами. Соединение мешков с легками таково, что во время вдоха воздуха через легкое птицы течение в том же направлении, что и при выдохе. Позному во время дыхания у птиц изменяются только объемы воздуха мешков, а объем легкого остается практическими постоянными. А разнет необходимости раздувать легкое, то не нужны и поверхностно-активные вещества в птичих легких.

Вот как много интересного можно расскаазать в ответ на, казалось бы, простой вопрос — как мы дышим.

8

У нас в гостях степгазета
«Андромеда» ФАЛТа МФТИ

ФАЛТ — это факультет аэромеханики и летательной техники Московского физико-технического института. Подробно о нем рассказано в «Кванте» №5 за 1975 год. А сегодня мы предоставляем страницу нашего журнала отдельную номора студенческой степзаzetы этого факультета.

О целях и добях
В надкушенном яблоке лучше обнаружить целого червика, чем его половину.

Объявление
Меняю один большой камень на два маленьких. Сизиф.

Об электронные
Если Вы хотите включить электронную лампочку, то:

1. Вставьте вилку от лампочки в штепсельную розетку.
2. Нажмите на кнопку выключателя.
3. Убедитесь, что свет зажется.
4. Подождите несколько минут, а затем, поплавав на палец, дотроньесь им до лампочки — при правильном включении она должна быть горячей.

Совет
Электрическая лампочка должна не перегорает, если смазать вольфрамову нить подсолнечным маслом.

Как сделать барометр
Материалы:

1. Березовый кол. 2. Фанера (12 мм). 3. Веревка. 4. Гвозди.

Изготовление:
согласно прилагаемому чертежу.

Приицип действия.

1. Хвост дожит — ветер.
2. Хвост не дожит — нет ветра.
3. Хвост стоит дыбом — перед грозой.
4. С хвоста капает — дожь.
5. От хвоста падает тень — солнечно.
6. Тени от хвоста нет — пасмурно.
7. На хвосте иней — мороз.
8. Хвоста не видно — туман.

Новости
В магазина «Детский мир» местного горпромторга поступили в продажу малогабаритные аэродинамические трубы на M=20 непрерывного действия с Re до 10⁸. Игра заинтересует старших и младших научных сотрудников.
(Причечение для незнающих: M — число Маха, равно отношению скорости течение газа к скорости звука в этом газе; Re — число Рейнольдса, см. физический энциклопедический словарь.)

9

О математике гармоничческих колебаний

Кандидат физико-математических наук
А. П. ВЕСЕЛОВ

Колебания и волны являются основным, по представлению физика-теоретика, средством познания реального мира. Колебаться может все — любые предметы, между и газы; свет, звук, нервиные импульсы в конечном итоге является видами колебаний.

Академик С. П. Новиков

Мягкиеовые часы, океанские волны, качели, смена дня и ночи, сезонные изменения в природе — каждый из вас может добавить к этому списку массу других примеров колебательных явлений. Подобно многим эволюционным процессам *), они допускают описание на математическом языке дифференциальных уравнений. Среды дифференциальных уравнений, описывающих колебания той или иной

*)См. статью В. И. Арнольда в «Кванте» № 2 этого года.

инной системы, простейшим (а поэтому и важнейшим) является уравнение линейного осциллятора (от латинского oscillatio — колебания) (или гармоничского осциллятора, или гармоничских колебаний, или малых колебаний матрика):

$$\ddot{x} + \omega^2 x = 0.$$

Здесь $\ddot{x}$ обозначает вторую произведение $\ddot{x} = x''(t)$ по времени $t$ от функции $x = x(t)$, описывающей отклонение системы от положения равновесия, а $\omega^2$ — некоторый (разумется, положительный) параметр.

Мы рассекjem здесь, откуда и как получается уравнение линейного осциллятора — хотя десятиклассики уже знают об этом из курса физики («Физика 10», п. 4) — а затем займемся его исследованием с математической точки зрения.

Где появляется уравнение линейного осциллятора?

Где только это уравнение не появляется! Посудите сами.

1. Малые колебания матрика. Пусть на тонкой нерastяжимой нити длины $l$ подвешен грузик массы $m$, размерами которого (a со-

10

ответствие и сопротивление воздуха) можно пренебречь. Такая система называется математическим матриком. Рассмотрим его качания при небольших отклонениях нити от вертикали, то есть малых α (рис. 1). Обозначим через x длину дуги BA: x=lα (α — величина угла BOA в радианах). Тогда, разлагая силу тяжестии P=mg на две составляющие T и F (см. рис. 1), находим, что величина F равна mgsin α, а уравнение движения по закону Ньютона дает

$$m l \ddot{\alpha} = - mg \sin \alpha,$$

или

$$\ddot{\alpha} = - \frac{g}{l} \sin \alpha.$$

Получим (нелинейное) уравнение относительно отклонения α=α(t). Воспользовемся теперь малостью α, пределом lim (sin α/α)=1 и заменим в правой части sin α на α, то есть проведем линейизацию. В результате получим (линейное) уравнение вида (*) с ω=\sqrt{g/l}.

2. Тело наружное (рис. 2). При отклонении от положения равновесия на некоторое x тело испытывает по закону Гука со стороныружины силу F=-kx, где k — величина, называемая жесткостьюружины. Уравнение движения совпадает с () при ω=\sqrt{k/m}. Конечно же, и здесь выражение для силы (а значит, и уравнение ()) будет точным лишь для не очень больших отклонений от положения равновесия.

3. Колбательный контур (рис. 3), состоящий из конденсатора емкости C и индуктивности L. Заряд конденсатора q меняется при отсутствии активного сопротивления по закону L\ddot{q}+\frac{1}{C}q=0 («Физика 10», п. 15), что отвечает уравнению (*) для ω=1/\sqrt{LC}.

4. Сообщающееся сосуды. Если в трубке, имеющей форму буквы U (рис. 4), уровень жидкости (например, ртути) отклонить на некоторую величину от положения равновесия, то жидкость начинает поочередно подниматься (и опускаться) в каждом из вертикальных участков трубки. Если начальное отклонение мало (как и трене), отклонение x=x(t) уровня жидкости подчиняется уравнению (*).

5. Ареометр (рис. 5). Если этот прибор, использующий для измерения плотности жидкости, отклонить немного в глубину от положения равновесия, то он, вседствие закона Архимеда, начинает колбататься вверхиз. Эти колбания тоже достаточно точно описываются уравнения (*) (во всяком случае, пока не начинает сказаться трене).

Управление (для любительей физики). Найдите вывод уравнения (*) для предоследнего примера (4), выразив ω через подходящие параметры.

Что общего во всех приведенных примерах? Состояние системы описывается одним параметром x, который меняется около своего положения равновесия x=0; на системе действия сила F(x), зависит только от параметра x. В пренебрежении потенциал энергии изменение параметра, согласно второму закону Ньютона, имеет вид $\ddot{x}=F(x)$. При этом F(0)=0, поскольку x=0 — положение равновесия. Если у функции F(x) существует

11

СТВУЕТ НЕНУЛЕВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ В НУЛЕ: $F'(0) = \lim_{x \to 0} (F(x)/x) = a$, то для малых $x$ мы можем заменить правую часть $(F(x))$ на $ax$. При этом $a$ обязательно должно быть отрицательным, иначе никакие колебания в окрестности нуля невозможны! Таким образом, мы приходим к линейному уравнению (*), где $\omega = \sqrt{-a} = \sqrt{-F'(0)}$.

Указанная процедура линейизации, конечное же, приводит к неэквивалентному дифференциальному уравнению, которое тем не менееправильно описывает качественный картину движения влизации положенияравновесия. Этот обязывается универсально уравнением линейного осциллятора (*), а также его называние.

Существование и единственное решение

Как нетрудно проверить, уравнение (*) удовлетворяет функциях $x = \cos \omega t$ и $x = \sin \omega t$, а следовательно, и их линейные комбинации, то есть выражения вида

$$x(t) = a \cos \omega t + b \sin \omega t$$

(проверьте это!) *. Покажем, что другие решения у этого уравнения нет.

Воспользовемся тем, что в процессе движения сохраняется следующее величины

$$E = \frac{1}{2} (\dot{x}^2 + \omega^2 x^2) = \text{const}$$

(закон сохранения энергии).

В самом деле, $\dot{E} = \dot{x} \dot{x} + \omega^2 x \dot{x} = \dot{x} (\dot{x} + \omega^2 \dot{x}) = 0$, откуда следует, что $E = \text{const}$.

Рассмотрим теперь произведение уравнения (): $x = x_1(t)$ и его начальные данные $a = x_1(0)$ и $\beta = \dot{x}_1(0)$. Подберем коэффициенты $a$ и $b$ в выражении $x_2 = a \cos \omega t + b \sin \omega t$, так что $x_2(0) = a$, $x_2(0) = \beta$. Для этого достаточно положить $a = a$, $b = \beta/\omega$. Составим теперь разность $x(t) = x_1(t) - x_2(t)$, которое будет решением () (проверьте это). Ее начальные данные будут нулевыми: $x(0) = \dot{x}(0) = 0$. В силу закона сохранения энергии

$$E = \frac{1}{2} (\dot{x}^2 + \omega^2 x^2) = \frac{1}{2} (\dot{x}^2(0) + \omega^2 x^2(0)) = 0,$$

откуда $\dot{x}(t) \equiv x(t) \equiv 0$, то есть

$$x_1(t) \equiv x_2(t) \equiv \alpha \cos \omega t + \frac{\beta}{\omega} \sin \omega t.$$

Мы показали, что любое решение $x_1(t)$ имеет вид (**), где $a$ и $b$ однозначно определяются начальными данными: В процессе доказательства мы получили и формулу для решения через начальные данные.

Бег по кругу на фазовой плоскости

Обратим внимание на следующие обстоятельства, достойное удивления. В уравнения () совершенное неожиданным образом оказывается запрятано число $n$, хотя ни о какой окружности в постановке задачи речи не было. В самом деле, все решения уравнения () (за исключением $x(t) \equiv 0$) оказываись периодически функциями времени, причем произведение периода их на $\omega$ равно $2\pi$. Раз уж возникло число $n$, то попробуем поискать и окружность.

Где ее искать? Мы будем ее искать на фазовой плоскости, то есть на плоскости с координатами $(u; v)$, где $u = x$, $v = \dot{x}$. Точки $(u; v)$ этой плоскости называются фазовыми точками; они описывают состояние системы: координата $u = x$ указывает отклонение системы от положения равновесия, а координата $v = \dot{x}$ — скорость ее движения в данной момент времени. С течение времени положение фазовой точки $(u; v) = (x(t); \dot{x}(t))$ меняется, и она описывает некоторую линию на фазовой плоскости, называемую фазовой траекторией. Какую?

12

Догадливый читатель наверняка подумал — не окружность ли?

Не будем опережать события. Пока у нас есть лишь эллипс — линия уровня энергии $E = \text{const}$, то есть линия

$$\omega^2 u^2 + v^2 = 2E$$

(1)

(на двойку мы умножили, чтобы не возиться с ненужными дробями), показанная на рисунке 6. В силу закона сохранения энергии фазовая точка $N(t) = (x(t); \dot{x}(t))$, имеющая в момент времени $t$ энергию $E$, будет всегда оставаться на эллипсе (1), то есть будет дивигаться по эллипсу.

Построим на его горизонтальной оси как на диаметре окружность и проведем через фазовую точку $N(t)$ прямую, параллельную оси $Ov$, до пересечения с окружностью в точке $M(t)$. Тогда координата по оси $x$ точки $N(t)$ будет совпадать с координатой по оси $x$ точки $M(t)$, то есть будет равна $x(t)$.

Преобразуем выражение (**) для $x(t)$, получясь формулими дополнительного аргумента:

$$x(t) = a \cos \omega t + b \sin \omega t = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\omega t + \varphi),$$

где $\varphi$ определяется из условия

$$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin \varphi = \frac{-b}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$

Обозначив $A = \sqrt{a^2 + b^2}$, можно заметить, что $A = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + \beta^2/\omega^2} = \frac{1}{\omega} \sqrt{\beta^2 + \omega^2 a^2} = \frac{1}{\omega} \sqrt{\dot{x}^2(0) + \omega^2 x^2(0)} = \sqrt{2E/\omega}$.

Поэтому $x(t)$ можно записать в виде

$$x(t) = \frac{2E}{\omega} \cos(\omega t + \varphi).$$

Величина $A = \sqrt{2E/\omega}$, характеризующая раз-

max гармоничских колебаний, называется амплитудой, $\omega$ — циклической частотой, $T = 2\pi/\omega$ — периодом, $\varphi$ — фазой.

Тепер легко установить, что точка $M(t)$ будет врашаться равномерно с угловой скоростью $\omega$ по окружности с центром $O$ радиуса $A$. Действительно, если через $\varphi$ обозначит угол $uOM$ в момент времени $t=0$, то угол $uOM(t)$ равен $\omega t + \varphi$ в силу того, что проекция на ось $Ou$ точки $M(t)$ задана формулой (4). Мы установили, что гармоничские колебания представляют собой проекцию на прямую равномерно врашения по окружности, радиус которого равен амплитуде колебании, а угловая скорость врашения равна циклической частоте.

Эквивалентный взгладкость в том, что гармоничское колебание есть одна из координат равномерно врашающегося вектора (в данном случае $-\vec{OM}$). Длина этого вектора совпадает с амплитудой, а начальное положение определяется фазой. Такое представление колебания называется его векторной диаграммой и часто бывают полезны. Попробуйте с его помощью решить следующие задачи.

Задание 1. Докажите, что сумма двух ненулевых гармоничских колебаний есть гармоничское колебание тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую частоту (или, как говоря, координатой по оси $x$ точки $M(t)$, то есть будет равна $x(t)$).

Задание 2. Докажите, что сумма трех гармоничских колебаний одинаковой амплитуды и частоты, фазы которых суть $\varphi$, $\varphi + (2\pi/3)$ и $\varphi + (4\pi/3)$, равна нулю.

Посленее обстоятельство играет важную роль при использовании трехфазного тока, поскольку именно такие колебания дает трехфазный генератор переменного тока. Кстати, на векторной диаграмме вы найдете общие, почему относение стандартных направлений

13

Женей 220 волт и 127 волт приблизительно равно $\sqrt{3}$.

Заддача 3. Сколько корней на отрезке [0, 2] имеет уравнение

$$\cos x + \frac{1}{2} \cos(x+a_1) + \frac{1}{4} \cos(x+a_2) + \dots + \frac{1}{2^n} \cos(x+a_n) = 0$$

($a_1, \dots, a_n$ — произвольные параметры)?

Итогом нашего исследования уравнения (*) является рисунок 7. Такие рисунки математики называют фазовыми портретами или фазовыми диаграммами дифференциального уравнения. На нашей диаграмме видно, что каждая фазовая точка берет по своему эллипсу (отвечающему ее уровню энергии), при этом отклонение от положения равновесия $x(t)$ меняется periodически, также как и скорость $\dot{x}(t)$, достигающая свои максимальных значений в положении равновесия. Обратим внимание на следующие замечательное свойство гармоничческого осциллятора: период его колебаний не зависит от амплитуды! Это свойство является исключительно, что можно видеть уже на примере математического матрика, к которым мы и перейдем.

О математике математического матрика

Остановимся на теории математического матрика, отказавшись теперь от предположения малости колебаний (но по-прежнему считая, что трения нет). Уравнение движения в этом случае нам уже известно:

$$\ddot{x} + \omega^2 \sin x = 0.$$

Хотя по виду уравнения () не сильно отличается от уравнения () линейного осциллятора, оно уже не нейнено, и решить его совсем не так просто. Более того, выписать его решение с помощью известных в школе функций вообше нельзя, — для этого требуется специальные функции, называемые эллиптическими. Как быть?

Получить представление о решении уравнения (*) и о поведении математического матрика можно с помощью его фазового портрета (рис. 8), который строится с помощью закона сохранения энергии. Расмотрим этот портрет.

При жирные точки на оси $Ox$ отвечают положения равновесия — устойчивому (начало координат) и неустойчивому

Рис. 8.

(точка $A$ ($\pi; 0$)), то есть крайнему нижнему и крайнему верхнему положениями матрика. Расширяющиеся овалы около точки $O$ устойчивого равновесия отвечают различным режимам колебания матрика (с различной амплитудой); в близи точки $O$ они на глаза не отличны от эллипсов — фазовых траекторий уравнения (*)). Обход такого овала (большого или малого) отвеяет целому колебанию матрика, его пересечения с осью $Ox$ — проход через источное положение равновесия с максимальной скоростью, пересечения с осью $Ox$ — крайнее отклонение матрика (нулевая скорость). Волистые траектории в нижней и верхней части рисунка — это неравномерные выражения матрика, получающие, когда на дальнейший толок настоящего сленен, что матник достигает верхнего положения равновесия с ненулевой скоростью, проскаивает его и продолжает врашаться, достигает экстремальных значений скорости при прохождение положения равновесия. Красным цветом показаны траектории, отделяющие колебательные движения от врашательных. Эти траектории отвечают движения с уровнем энергии $E_0$, равным потенциальной энергии матрика в верхнем (неустойчивом) положении равновесия $A(\pi; 0)$. При таком движении матрикой проходит нижнее положение равновесия $B(0; v_0)$ с максимальной скоростью $v_0 = \sqrt{2E_0/m}$ и, постепенно замедляясь, подходит к верхнему положению равновесия; можно доказать, что он достигает (с нелевой скоростью) лишь за бесконечный промежуток времени.

Заключение

Мы немного познакомились со свойств линейного и нелинейного осцилляторов. Пожалуйста, самое удивительное в осцилляторе — это его многоологические и универсальные требования: трудно перечислять все те простые и разнообразные физические системы, которые описывают уравнения () и (***). Осциллятор входит в многоные системы. Например,

(Окончание см. на с. 43)

Парадокс спутника

Кандидат физико-mатематических наук
Ю. Г. ПАВЛЕНКО

При движении искусственных спутников Земли в верхних слоях атмосферы они испытывают тормозящей действие воздуха. До запусков ИСЗ сведения о плотности atmosферы на высотах до 200 км были получены благодаря полетам геофизических ракет. Позднее анализ движения ИСЗ позволил уточнить эти данные (они приведены в «таблице» на развороте).

Сила сопротивления, действующая на спутник в верхних слоях atmosферы, обусловлена стольновыми

с молекулами воздуха. Эта сила направлена противоположно скорости, и ее можно записать в виде
$$\vec{F}_c = -k\vec{v},$$
где коэффициент $k$ положительный и, вообще говоря, сам зависит от скорости. Он тем больше, чем больше площадь поперечного секения тела $S$ и плотность atmosферы $\rho$.

Сравним величиныускорении, сообщаемых спутнику силой сопротивления и силой притяжения. Предположим, что спутник массы $m=100$ кг имеет форму шара с сечением $S=1$ м$^2$ и движется по круговой орбите на высоте $h=160$ km со скоростью $v=8$ km/c. Для приближенных расчетов можно считать, что $k=S/v$. В этом случае абсцилтоное значениеускорения, обусловлено силой сопротивления,
$$a_c = \frac{kv}{m} \approx \frac{S_0v^2}{m} \approx 6.4 \cdot 10^{-4} \text{ m/c}^2.$$
Сила притяжения $F = G \frac{Mm}{(R+h)^2}$, действующая на спутник со стороны Земли ($M=5976 \cdot 10^{21}$ кг — масса Земли, $R=6371$ km — ее средний радиус), сообщает емуускорение, направленное к центру Земли и равное
$$a_n = G \frac{M}{(R+h)^2} \approx 9.33 \text{ m/c}^2.$$
Как видно, «тормозное»ускорение составляетprimерно одну пятнадцатисчную часть от центростремительного. И тем не менее влиние atmosферы на высоте 160 km оказывается настолько существенно, что, совершив один-два оборота, спутник начинает быстро спинаться.

Первый советский ИСЗ имел форму шара диаметром 58 см и массу 83,6 кг. Ракета-носитель была значительно большие по размерам. Казалось бы, поскольку ракета испытывает большие сопротивление (у нее больше $S$), после выхода на орбиту она должна отставать от спутника. Однако наблюдается показали, что ракета носитель значително опережала спутник. Попробуем разобраться в этом «парадоксе».

Движение спутников в настоящие время расчитывают на ЭВМ, исходя из законов Ньютона. Для решения этой задачи в случае, когда сила сопротивления зависит от скорости тела, школьных знаний математики недостаточно. МыObсящим «парадоксе» спутника на основе энергетических сообщений. Если бы сопротивление отсутствовало, то полная механическая энергия спутника $E$

оставалась бы постоянной:
$$E = \frac{mv^2}{2} + \left(-G \frac{Mm}{r}\right) = \text{const}$$
(здеся $\left(-G \frac{Mm}{r}\right)$ — потенциальная энергия спутника, находящаяся на

16

Использование площадь…

В. В. ПРАСОЛОВ

При решении различных математических задач часто бывают полезно рассмотреть какой-либо вспомогательный элемент, не присутствующий в формулировке задачи. Мы разберем основные приемы решения геометрических задач при помощи площади исходного многоугольника.

Прием 1. Если многоугольник разрезан на несколько многоугольников, то сумма их площади равна площади исходного многоугольника.

Найболее заменить применением этого приема является одно из многочисленных доказательств теоремы Пифагора.

Пример 1 (теорема Пифагора). Докажите, что сумма квадратов длины квадрату длины гипотенузы.

Решение. Пусть $a, b$ — длины квадратов, $c$ — длина гипотенузы. Докажем, что сумма площади действует со стороны $a$ и $b$ равна площади квадрата со стороны $a$ и $b$ (это достаточно очевидно), а во втором — на 4 прямоугольных треугольника с квадратами $a$ и $b$ и квадрат со стороны $c$ (это требуется некоторого обоснования, например, такого: ясно, что все стороны полученного четырехугольника равны $c$, а углы легко вычисляются).

Пример 2. Из точки $O$, лежащей внутри правильно треугольника $ABC$, опущены перpendикularы $OA_1, OB_1, OC_1$ на стороны $BC, AC, AB$ соответственно. Докажите, что сумма $OA_1 + OB_1 + OC_1$ не зависит от положения точки $O$ и равна высоте треугольника.

Решение. Пусть длина стороны треугольника $ABC$ равна $a$, а длина высоты — $h$. Ясно, что $S_{ABC} = S_{BCO} + S_{ACO} + S_{ABO}$, то есть $\frac{1}{2}ah =$

17

$$\frac{1}{2} aOA_1 + \frac{1}{2} aOB_1 + \frac{1}{2} aOC_1.$$
Позтоу му $h = OA_1 + OB_1 + OC_1$.

Пример 3. Многоугольник, описанный около окружности радиуса $r$, разрезан произвольным образом на треугольники. Доказите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше $r$.

Решение. Обозначим радиусы вписанных окружностей полученных треугольников через $r_1, ..., r_n$, их периметры — через $P_1, ..., P_n$, площади — через $S_1, ..., S_n$. Площадь и перimeter исходного многоугольника обозначим через $S$ и $P$. Поскольку $P_i < P$,

$$r_1 + ... + r_n = \frac{2S_1}{P_1} + ... + \frac{2S_n}{P_n} > \frac{2S_1}{P} + ... + \frac{2S_n}{P} = r.$$

Прием 2. Отношение длины отрезков можно заменить на отношение площадей треугольников.

Пример 4. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты точки $C_1$ и $B_1$ соответственно. Пусть $O$ — точка пересечения отрезков $BB_1$ и $CC_1$ (рис. 2). Вычислите $\frac{BO}{B_1O}$, если $\frac{BC_1}{AC_1} = \alpha$ и $\frac{CB_1}{AB_1} = \beta$.

Решение. Прежде чем приступить к решению этой весыча часть применяющейся задачи, отметим ее некоторую страничность. В самом деле, для любого треугольника $ABC$ можно взять точки $B_1$ и $C_1$, делящие его стороны $AC$ и $AB$ в заданных отношениях. Почему же в условия не задан вид треугольника $ABC$, а заданы лишь $\frac{BC_1}{AC_1}$ и $\frac{CB_1}{AB_1}$?

Рис. 1.

Рис. 2.

Переходим к решению. Ясно, что $\frac{BO}{B_1O} = \frac{S_{BOC}}{S_{B1OC}}$. Вычислим теперь $\frac{S_{AOC}}{S_{B1OC}}$ и $\frac{S_{BOC}}{S_{AOC}}$. Ясно, что $\frac{S_{AOC}}{S_{B1OC}} = \frac{AC}{B_1C} = \frac{AB_1 + B_1C}{B_1C} = 1 + \frac{AB_1}{B_1C}$. Поскольку треугольники $BOC$ и $AOC$ имеют общую сторону $OC$, отношения их площадей равно отношению длины высот, опущенных на $OC$. Отношение высот равно, в свою очередь, $\frac{BC_1}{AC_1}$. Поэтому $\frac{S_{BOC}}{S_{AOC}} = \frac{BC_1}{AC_1}$. В итоге получаем, что $\frac{BO}{B_1O} = \frac{S_{BOC}}{S_{B1OC}} = \frac{S_{BOC}}{S_{AOC}} \cdot \frac{S_{AOC}}{S_{B1OC}} = \alpha(1 + \frac{1}{\beta})$.

Пример 5 (теорема Чевы). На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ взяты точки $C_1$, $A_1$, $B_1$ соответственно. Доказите, что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $\frac{AB_1}{B_1C} \cdot \frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{BC_1}{C_1A} = 1$.

Решение. Пусть сначала прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$. Как и в предыдущей задаче, получаем $\frac{CA_1}{A_1B} = \frac{S_{ACO}}{S_{ABO}}$, $\frac{BC_1}{C_1A} = \frac{S_{BCO}}{S_{ACO}}$ и $\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{S_{ABO}}{S_{BCO}}$. Перемножая эти равенства, получаем $\frac{AB_1}{B_1C} \cdot \frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{BC_1}{C_1A} = 1$.

Предположим теперь, что $\frac{AB_1}{B_1C} \times \frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{BC_1}{C_1A} = 1$, и путь $O$ — точка

18

пересечения отрезков $AA_1$ и $BB_1$. Обозначим через $C'_1$ точку пересечения прямой $OC$ с отрезком $AB$ (рис. 3). Тогда, как мы только что доказали,

$$\frac{AB_1}{B_1C} \cdot \frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{BC'_1}{C'_1A} = 1 = \frac{AB_1}{B_1C} \cdot \frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{BC_1}{C_1A}.$$

Следовательно, $$\frac{BC'_1}{C'_1A} = \frac{BC_1}{C_1A}.$$ Остается заметить, что если точка $X$ движется по отрезку $AB$ (не выходя за его пределы), то величины $\frac{BX}{XA}$ изменяется монотонно, и поэтому $C'_1 = C_1$, то есть прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

Эта заменительная теорема заслуживает того, чтобы сделать по ее поводу неокоторые комментарии. Читатели, знающие, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, а также и все биссертрисы, и все высоты, могли заполнить, что все эти факты — следствия какой-то более общей теоремы. Это действительно так: они являются следствиями теоремы Чевы, получающимся из нее достаточно простыми вычислениями. Легко также доказать, что в одной точке пересекаются отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности со стороными.

С высотами есть, впрочем, одна сложность: если угол $C$ треугольника $ABC$ типой, то высота, опущенная из $C$, попадает не на сторону $AB$, а на ее продолжение. Оказывается, что теорему Чевы можно переформулровать (и, конечно, доказать) так, чтобы она оставалась верной и в том случае, когда точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ берется не на сторонах $BC$, $CA$, $AB$, а на прямых $BC$, $CA$, $AB$. Для этого нужно относительно отрезков приписать знаки ± в зависимости от того, в одну или в разных сторонах направлены соответствующие векторы (в формулировке теоремы Чевы участвуют лишь отношения длины отрезков, лежащих на одной прямой). Мы советуем читательам самостоятельно придумать нужную формулировку.

Пример 6. Дан выпукленный многоугольник $A_1A_2...A_n$. На стороне $A_1A_2$ взяты точки $B_1$ и $D_2$, на стороне $A_2A_3$ — точки $B_2$ и $D_3$ и т. д. Таким образом, что если построить параллелограммы $A_1B_1C_1D_1$, …, $A_nB_nC_nD_n$, то прямые $A_1C_1$, …, $A_nC_n$ пересекутся в одной точке $O$. Доказите, что $A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot ... \cdot A_nB_n = A_1D_1 \cdot A_2D_2 \cdot ... \cdot A_nD_n$.

Решение. Так как $A_iB_iC_iD_i$ — параллелограмм и точка $O$ лежит на продолжении его диагонали $A_iC_i$, из равенства площей треугольников $A_iB_iC_i$ и $A_iC_iD_i$ и сообщений подобия следует, что $$\frac{A_iB_i}{A_iD_i} = \frac{h_i}{h_{i-1}},$$ где $h_i$ — расстояние от точки $O$ до стороны $A_iA_{i+1}$. Нам остается переменность эти равенства для $i=1$, …, $n$.

Прием 3. Различные формулы для площади позвольют получить соответствующие между сторонами, высотами, перimetром и т. д.

Пример 7. Длины сторон треугольника образуютарифметическую прогрессию. Доказите, что радиус вписанной окружности этого треугольника равен 1/3 одной из высот.

Решение. Пусть длины сторон $a$, $b$, $c$ образуютарифметическую прогрессию. Тогда получиметр $p$ равен $$\frac{3}{2}b.$$ Поскольку $$\frac{1}{2}h_b \cdot b = S = r \cdot p = \frac{3}{2}r \cdot b,$$ получаем $r = b/3$.

Пример 8. Внутри треугольника $ABC$ взята точка $M$. Обозначим расстояния от точки $M$ до вершин $A$, $B$, $C$ через $R_a$, $R_b$, $R_c$, а расстояния от точки $M$ до сторона $BC$, $CA$, $AB$ — через $d_a$, $d_b$, $d_c$ соответственно.

a) Доказите, что $a \cdot R_a \geq c \cdot d_c + b \cdot d_b$.

b) (Неравенство Эрдёша — Мордела.) Доказите, что

$$R_a + R_b + R_c \geq 2(d_a + d_b + d_c).$$

Решение. a) Опустим из точки $B$ и $C$ перpendикulares $BK$ и $CL$ на пря-

19

мую MA (рис. 4). Пусть $a_1=BK$, $a_2=CL$. Ясно, что $a_1+a_2 \leq a$. Поэтому
$$\frac{1}{2} a R_a \geq \frac{1}{2} a_1 R_a + \frac{1}{2} a_2 R_a = S_{ABM} + S_{ACM} = \frac{1}{2} b d_b + \frac{1}{2} cd_c.$$
Заметим, что при доказательстве мы используем только то, что точка M лежит внутри угла BAC, а не то, что точка M лежит внутри треугольника.
6) Применяя неравенство пункту a) к точке, симметричной M относительно бисекtrисы угла A (это правомерно виду замечания к пункту a)), получаем неравенство
$$R_a \geq \frac{c}{a} d_b + \frac{b}{a} d_c.$$
Аналогично,
$$R_b \geq \frac{c}{b} d_a + \frac{a}{b} d_c$$ и
$$R_c \geq \frac{a}{c} R_b + \frac{b}{c} R_a.$$
Складывая эти неравенства, получаем
$$R_a + R_b + R_c \geq \left( \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \right) d_a + \left( \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \right) d_b + \left( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \right) d_c \geq 2(d_a + d_b + d_c),$$
поскольку $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$.
Неравенство Эрдёша — Мордельла имеет довольно длину историю. В 1935 году известный венгерский математик П. Эрдёш вывинул предположение о том, что справедливо неравенство
$$R_a + R_b + R_c \geq 2(d_a + d_b + d_c),$$
однако доказать его не смог. Первым доказал это неравенство английский Л. Дж. Мордельл в том же 1935 году, но его доказательство было довольно сложным, и лишь успешная многих математических приведений доказательство неравенства Эрдёша — Мордельла к таким простому виду, в каком оно здесь изложено.
Прием 4. Если через точку E, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные стороны и разбиаются его на четыре параллелограмма, то параллелограммы, прилегающие к вершинам B и D, равновелики тогда и только тогда, когда точка E лежит на диагонали AC.
Мы предлагаем читательам самостоятельное доказать это несложное утверждение.
Пример 9. Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые PR и QS, параллельные стороны BC и AB (точки P, Q, R, S лежат на сторонах AB, BC, CD, DA соответственно). Доказите, что прямые BS, PD и MC пересекаются в одной точке (рис. 5).
Решение. Через точку N пересечения прямых BS и CM проведем прямые Q$_1$S$_1$ и P$_1$R$_1$, параллельные прямые QS и PR (точки P$_1$, Q$_1$, R$_1$, S$_1$ лежат на сторонах AB, BC, CD, DA соответственно). Обозначим точки пересечения прямых PR и Q$_1$S$_1$, P$_1$R$_1$ и QS через F и G. Поскольку точка M лежит на диагонали NC параллелограмма NQ$_1$CR$_1$, S$_{FQ_1QM} = S_{MRR_1G}$, то есть S$_{NQ_1QG} = S_{NFRR_1}$. Точка N лежит на диагонали BS параллелограмма ABQS, поэтому S$_{AP_1NS_1} = S_{NQ_1QG} = S_{NFRR_1}$. Следовательно, точка N лежит на диагонали PD параллелограмма APRD.

(Окончание см. на с. 43)

20

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга заметка «О судьбе некоторых понятных механики» предназначена воспределение массы на квадрат скорости тела. Эту величины он называл «живой силой» и установил «закон сохранения живой силы». Спор о приемществе того или иного понятия продолжался на протяжении более полввека, пока исследователи не пришли к выводу, что и «количество движений», и «живая сила» необходимо для полного описания явлений, проискодящих при взаимодействии тел.

О судьбе некоторых понятных механики

Еще в глубокой древности люди пытались найти количественные характеристики механического движения тела. Однако прошло не одно столетие, пока формировались «удобные» физические понятия.

Так, в XVII века, когда фактически создавались классические механика, с особой остротой встал вопрос о том, какую величины целесообразно использовать как меру движения. Р. Декарт предложил в качестве такого понятия «количество движений», которое, говоря современным языком, означает произведение массы тела на модель его скорости, и формуировал «закон сохранения количества движения».

To, что Декарт не учитывает векторного характера скорости, привело к ряду ошибок. В частности, при рассмотрении важной для того времени практической задачи об управлении скорением тела. По Декарту, например, получалось, что если стalkиваются два тела, движущие настречу друг другу с одинаковыми скоростями, и одно тело слегка массивнее другого, то после управления первоначального движения более массивного тела. В действительности при управлении шаров с близкими массами они разлетаются в разные стороны.

Ошибка Декарт в последствии была исправлена Х. Гойгенсом и И. Ньютоном.

Г. Лейбниц, критика теории Декарта, высказал мнение, что более

21

ученых тоже оказались сходными: и ту, и другую издатель ведущего немецкого физического журнала отказылся пубlikовать, считая их слишком «теоретическими».

Потенциальная энергия впервые появилась в работе Гельмгольца под именем «силы напряжения». Однако автор не дал этому понятие наглядной физической интерпретации, и поэтому вокруг него разгорелись споры. Суть проблемы оченьясно сформировал А. Пуанкаре: «…чтобы матерIALизовать энергию, нужно ее локализовать; в отношении кинетической энергии — это просто〈она приписьвается движущему телу〉, но не так дело обстоит с энергийной потенциальной. Где локализовать потенциальную энергию, вызванную прияжением двух небесных тел? В одном из двух? В общем? В промежутном пространстве?».

Предлагались различные решения этой проблемы. Г. Герц, например, считал необходимым … вообще отказылся от понятия «потенциальной энергии» и пытался свести этот вид энергии к кинетической энергии скрытых движений частц тела. Однако эта попытка оказалась неудачной. Позднее было выясено, что потенциальная энергия является мерой взаимодействия и что глубокая и полная интерпретация этого понятия невозможна без привлечения представления о поле. (Этот вопрос подробно обсуждается в следующей заметке на примере электростанческого взаимодействия заряженных тел. — Примеч. ред.)

Так постепенное развитие понятей механики привело ученых к идеям, далеко выходящим за рамки этого раздела физики. Взамное обогащение различных областей физической науки — характерная черта ее истории.

Энергия электростаного поля

Как известно («Физика 9», § 55), чтобы зарядить конденсатор, необходимо совершить неоторудую работу. Эта работа требуется для преодоления сил электростанческого прияжения, возникших при разделении положительных и отрицательных зарядов. За счет совершенной работы в конденсаторе запасается потенциальная электростанческая энергия

$$W = \frac{1}{2} U Q = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} CU^2,$$

где $U$ — разность потенциальных между обкладками, $C$ — емкость конденсатора, $Q$ — заряд на его обкладках.

Ясно, что для того чтобы зарядить любое удиненное тело, то есть создать в нем избыток зарядов одного знака, также следует совершить определенную работу. В этом случае она совершается против сил электростанческого отталкивания, которые действуют между одномmemными зарядами, накопливающимся на теле. Вычислим эту работу.

Рассмотрим удиненный проводник. Пусть нам уже удалось сосредоточить на нем заряд $q$. Потенциаль создавемого этим зарядом электростаного поля на бесконечности условия считать равным нулю, а потенциаль само-proводника обозначим через $\varphi(q)$. Теперь будем переосить на проводник из бесконечности дополнительный малый заряд $\Delta q$. Для этого потребуется совершить работу

$$\Delta A = \varphi(q) \Delta q.$$

Понятно, что потенциаль электростаного поля всегда пропорционален величине созданного этого поле заряда. В данном случае потенциаль проводника пропорционален заряду на нем:

$$\varphi(q) \sim q,$$ или $$\varphi(q) = \frac{1}{C} q.$$

Входящая в коэффициент пропорционалности величины $C$ называется емкость удиненного проводника. Она зависит от формы, размеров проводника и диэлектрической проницаемости окружающего среды.

Построим график линейной зависимости $\varphi$ от $q$ (рис. 1). Работа $\Delta A$, совершаемая при переосении заряда $\Delta q$ из бесконечности на проводник, на этом графике представляется плоскую затрихованного столбика. Полная же работа $A$ по зарядке удиненного проводника до заряда $Q$ определяется суммой площадей всех аналогических столбков, то есть площадь фигуры под графиком удинимости $\varphi$ от $q$. В данном случае — площадь треугольника. Поэтому работа по зарядке удиненного провод-

22

ника, равная запасаемой им потенциальной электростатической энергии, определяется формулой

$$A = W = \frac{1}{2} \varphi(Q) Q = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} C(\varphi(Q))^2.$$

Формула (2) по виду совпадает с формулой (1), однако входящие в нее величины имеют несколько иной смысл: $\varphi(Q)$ — это потенциальную интегральную прободника, а не разность потенциальов ($U$) между обкладками конденсатора, $C$ — емкость прободника, а не конденсатора.

Но где именно запасается энергия? На этот вопрос существует два равновравных ответа. Первый основывает на том, что запасенная энергия — это энергия взаимодействия зарядов, находящся на прободнике. Согласно второй точке зрения носителем запасенной энергии является электрическое поля, так что энергия распределена в окружающей проводник пространстве. В случае плоского конденсатора созданное им электрическое поле однородно, и сосредоточено в области между пластинами. Тогда легко показать («Физика 9», § 55), что плотность энергии — энергия, приходящая на единицу объема, — определяется выражением

$$w = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2},$$

где $E$ — напряжение поля, $\varepsilon$ — диэлектрическая пропищемость среды внутри конденсатора.

Оказывается, этой же формулой можно воспользоваться для подсчета полной энергии электрического поля и в общем случае, когда поле неоднородно. Так, например, в пространстве вокруг зарядного тела напряжение электрического поля уменьшается по мере удаления от

Puc. 1.

Puc. 2.

тела. Тем не менее в любом месте пространства мы всегда можем выбрать такой небольшой объемчик $\Delta V$, что напряжение поля в нем практически не изменяется. Тогда, согласно формуле (3), мы можем вычислить соответствующее плотность энергии и найти, что в выбранном объемчик заключена энергия

$$\Delta W = w \Delta V = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \Delta V.$$

Если теперь весь объем, где имеет электрическое поле, разбить на маленькие объемчики, подсчитать указываным способом энергию каждого из них, а затем все просуммировать, то мы получим полную энергию электрического поля. Как это ни удивительно, но для полной энергии получится уже известное выражение (2).

Красивым примером, показывающим плотность такого подхода вычисления энергии, может служить задача о нахождении силы отталкивания между двумя половинками заряденной проводящей сферы, находящейся в вакууме.

Прежде всего вспомним, что поле внутри проводящей сферы, как и внутри любого проводника («Физика 9», § 44), равно нулю. Вне сферы напряжение поля также же, как у точного заряда, равного заряду сферы и нахождения в ее центре:

$$E(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2},$$

где $Q$ — заряд сферы, $r$ — расстояние от ее центра до расматриваемой точки. $Y$ повреждности сферы радиусом $R$, таким образом, напряжение поля оказывается равной

$$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R^2}.$$

Давайте теперь мысленно разрежем сферу пополам и позволяет использовать силу отталкивания $F$ отдельным одну половинку от другой на малое расстояние $\Delta x$. Совершенная при этом работа

$$\Delta A = F \Delta x$$

равна уменьшению полной энергии электрического поля, запасенной, как мы знаем, во всем окружающей сфере пространстве. Действие

23

вительно, до нашего мысленного сdwита в области пространства (объем $\Delta V$), защищенной красным на рисунке 2, была запасена энергия

$$\Delta W = w \Delta V = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \Delta V = \frac{Q^2}{32 \pi^2 \varepsilon_0 R^4} \Delta V.$$

После сdwита эта область оказывается уже внутри сферы, и направленность поля в ней стала равной нулю. В образованный заорм между полусферами поле практическим не проникло, а в остальном пространстве оно почти не изменилось. Нетрудно убедиться в том, что объем защищенной области совпадает с объемом образованшего области, который легко вычисляется:

$$\Delta V = \pi R^2 \Delta x.$$

Таким образом, согласно закону сохранения энергии, можно записать $\Delta A = \Delta W$, или

$$F \Delta x = \frac{Q^2}{32 \pi^2 \varepsilon_0 R^4} \pi R^2 \Delta x.$$

Отсюда сила отталкивания между двумя полусферами оказывается равной

$$F = \frac{Q^2}{32 \pi \varepsilon_0 R^2}.$$

Итак, можно считать, что энергия заряженного тела — это энергия взаимодействия его зарядов, а можно приписывать ее создаваемому телом в пространстве электрическому полю. Какой из этих точек зрения отделить предопчение — в рамках электростанки это «дело вкуса». Оdnako при изучении переменных полей единственно возможным оказывается именно второй подход, связывающий энергию с электрическим полем.

Капельная модель ядра

Однажды великого английского физика Э. Резерфорда, основоположика ядерной физики, спросили, какой практический интерес могут иметь его открытия в области радиоактивности. Ученый ответил, чторовно никакого. В то время действительно невозможно было даже вообразить способ использования внутридерных процессов и явлений. Сегодня же каждый представляет, какое значение в жизни человека имеет atomная энергетика.

Важнейшую роль в открытии возможности использования atomной энергии сыграла способность некоторых тяжелых ядер к делению («Физика 10», § 110). В 1938 году было обнаружено, что при bombardировке ядер урана нейтронами образуется ядра-осколки более легких элемents.

Тов. Этот процесс всегда сопровождается испусканием нескольких новых нейтронов.

Почему же ядра могут делать? Первую теорию деления ядер созданы в 1939 году физики-теоретики датчинин Н. Бор и американц Дж. Уилер и неависимо от них советский физик-теоретик Я. И. Френкель. Данное имя объяснение основываясь на капельной модели atomного ядра. Согласно этой модели ядро, представляющее собой структуну нуклонов, ведет себя подобно капле электрических заряженной жидкости. Разберемся в этом подробнее и преждеем всего выясним, от чего и как зависит энергия связи ядра — энергия, которое необходимо затратить для разделения ядра на составляющие его нуклоны.

Ядерные силы, приятившие нуклоны друг к другу, проявляются лишь на очень малых расстояниях (они обладают ограниченным радиусом действия, порядка $10^{-15}$ м), поэтому каждый нуклон взаимодействует практическим только со своим близкимими соседями, а не со всеми имеющимися в ядре нуклонами. Так же обстоят дела и в обычной капле — поскольку силы механического прияжения действуют на расстояниях, не превышающих расстояния между молекулами, приходится считать с взаимодействием близких соседей. Число соседей у каждой нуклона можно считать постоянным. Таким образом, включает в себя модель экспериментальной установки, с помощью которой было осуществлено открытие деления тяжелых ядер: 1 — источник нейтронов; 2 — парафиновый блок для замедления нейтронов; 3 — облачаемый препарат (растор соли урана); 4 — металлическая мшень.

24

энергию связи, обусловленный ядерными силами, оказывается пропорциональным числу нуклонов в ядре, то есть массовому числу $A : E_\alpha \sim A$.

Однако у нуклонов на поверхности «ядерной капли» соседней менше, чем внутри ядра, поэтому в энергию связи они дают несколько меньший вклад, чем мы им уже приписали. Это можно учеть, вычтя из $E_\alpha$ поверхностную энергию $E_{\text{пов}}$, пропорционально числу нуклонов на поверхности ядра, а следовательно, и площади его поверхности: $E_{\text{пов}} \sim S_{\text{пов}} \sim R^2_\alpha \sim A^{2/3}$ (здесь мы воспользовались тем, что, как показывает опыт, радиусы ядер довольно точно пропорциональны кубическому корню из массового числа). Как видим, и тут имеется полная аналогия с каплей общий жидкость — молекулы, находящиеся на поверхности, стремятся уйти в глубь и создают силы поверхностного натяжения, с которых связана поверхностная энергия жидкости.

Что бы получить окончательное выражение для энергии связи ядра, нам осталось учеть, что часть нуклонов (протоны) заряжены. А это означает, что, помимо ядерного притяжения к ближайшим соседям, они испытывают еще действие сил общного электростанческого отталкивания, подчиняющегося закону Кулона. Взамное отталкивание протонов стремится разорвать ядро и, таким образом, уменьшает его энергию связи. В отличие от ядерных, кулоновские силы дальнейestructuveются — каждый протон взаимодействует со всеми протонами этого ядра. Энергия взаимодействия двух протонов $\sim e^2/R_\alpha$. Если в ядре имеется $Z$ протонов, то каждый из них взаимодействует с $(Z - 1)$ остальных и число взаимодействия.

График зависимости удельной энергии связи (в расчете на нуклон) от массового числа.

действующих пар равно $1/2 Z$ ($Z - 1$) (для больших $Z$ можно считать, что это число пропорционально $Z^2$). Таким образом, находим, что энергия электростанческого отталкивания протонов в ядре $E_{\text{эл}} \sim Z^2 \cdot e^2/R_\alpha \sim Z^2 e^2/A^{1/3}$.

Итак, окончательное для энергии связи ядра получаем $E_{\text{cb}} = E_\alpha - E_{\text{пов}} - E_{\text{эл}} = \alpha A - \beta A^{2/3} - \gamma Z^2/A^{1/3}$, где $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — некоторые постоянные. Эта формула неплохо описывает экспериментальное кривую зависимость удельной энергии связи от массового числа («Физика 10», § 108). Сначала с ростом $A$ энергия связи растет. Где-то в средней части таблицы Менделеева $E_{\text{cb}}$ достигает максимума, а затем начинает уменьшаться.

Рассмотрим теперь процесс деления ядра. Пусть ядерная «капля», поглощив попавший в нее нейtron, начинает колбаться и в какой-то момент вытягается. Minimalный протон взаимодействует при заданном объеме имеет сферическая капля. У вытянутой капли поверхностная энергия увеличивается, а энергия связи ядра соответствует среднее расстояние между нуклонами, и энергия их электростанческого отталкивания уменьшается, в результате чего энергия связи должа увеличится. Если в этой борьбе победит электростанское взаимодействие, ядро разорвет; если же поверхностное — ядро вернет в исходное состояние.

Из полученного выражения для $E_{\text{cb}}$ понятно, что судьба ядра во многом зависит от числа протонов ($Z$) и общшего числа нуклонов ($A$). С ростом порядкового номера элемента энергия электростанческого отталкивания возвращается быстрое поверхности протхого энергии, поэтому делится могут только тяжелые ядра.

Как уже говорилось, в процессе деления ядра всегда испускается еще несколько нейtronов, которые могут вызывать деление других ядра (для урана обычно 2—3). Именено эти нейtronы и позволяет, опровергув рассматрившее предсказание Резерфора, реализовать на практике целую ядерную реакцию деления, которая сопровождает выделением огромного количества энергии.

25

Задания

1. У Пети три брать. Первый старше его на три года, второй молодое его на три года, третий молодое Пети второе. Зато отец второе старше Пети. Всем вместе им 95 лет. Сколько лет каждому?

2. Решите числовой ребус
   $$\text{USA} + \text{USSR} = \text{PEACE}.$$
   Одинаковый буква соответствует одинаковые цифры, разным — разные.

3. Наша речка небольшая. Obычно я перехожу ее, погружаясь не более чем по поле. Дно иLISTое, и ноги провалиются в или по шиколотку. Однажды после сильных джедей вода в реке сильно поднялась. Теперь уже, перехожая реку, я опускался в воду по щеко. Интересно, что при этом ноги перестали вззнуть в ile. Почему?

4. Пятуюгольник разрезан на 11 части (см. рисунок). Расставьте в них числа 1, 2, …, 11 так, чтобы суммы чисел были равны во всех треугольниках, все вершины которых являются вершинами пятуюгольника.

5. На столе лежат три красные палочки разной длины, причем сумма длин равняется 30 cm, и пять синих палочки, сумма длин которых тоже равняется 30 cm. Можно ли распилить те и другие палочки так, чтобы их потом можно было расположить парами, и в каждой пале длины палочки были одинаковы, а цвета разные?

Эти задания нам предложили В. Д. Вьюн, ученик 9 кл. 149 школи г. Харькова Борис Круглников, А. П. Савин, В. П. Чучин, В. В. Произвольов.

26

Немного о термометре и о термоскопе Фердинанада

Кандидат физико-математических наук
А. И. БУЗДИН

Жарко, тепло, холодно, мороз…
Так мы в быту характеризуем степень нагрестия разных тел. Мерой нагрестия является температура: чем выше температура — тем более нагрето тело.

Мы легко на ощупь отличаем горячое от холодного, но наука начинается с количественных измерений. Сегодня и doisкольник знает — что бы изменить температуру, надо взять градиусик, то есть термометр. Именно с изобретения термометра началось развитие науки о теплоте.

В большинстве термометров используется свойство тепл расшираться при нагревании (и скиматться при охлаждении). Первый термометр, который был построен Галилеем в самом на-
чале XVII века, работал на воде. Понято, что с его помощью можно было изменять температуры не ниже температуры замерзания воды и не выше температуры ее кипения. Со временем наиболее распространение получил рутный термометр. В сильные морозы он, однako, перестает работать — при температуре — 38,8 °Cруть замерзает. На помощь здесь приходит спиртовый термометр ( температура замерзания спирта намного ниже, чем у рутки, и равна — 97 °C), который также сейчас находится широкое применение.

Заслужга изобретения спиртового термометра принимает герцогу Фердинану II, правившем в середине XVII века во Флоренции. Наряду с государственными делами герцог много времени уделал занятым естественными наукими. В своей время он был учеником Галилея и внес заметный вклад в развитие методов измерения температуры. До того как термометр прочно вошел в обиход, был распространен термоскоп. Этот прибор для контроля температуры позволяет лишь судить о том, выше или ниже температура некоторой определенной величины. Но измерять термоскопом температуру было не-

27

В изготовлении различных термоскопов Фердинанд достиг большого мастерства. Один из своих термоскопов Фердинанд прислал немецкую изучу Кирхеру, занимашемуся «по совместительству» научными исследованиями. Прибор состоит из открытой сверху стеклянной трубки, почти полностью заполненной водой (см. рисунок). В воде находится несколько крошечных грушевидных сосудников с оттянутыми вниз горлышками. В каждом сосуднике был заключен пузырек воздуха, размер которого был подобран таким образом, чтобы при определенной температуре сосудики плавали в воде внутри трубки. При более высокой температуре воздуха в сосудках расширялся, частично вытесняв воду; в результате этого увеличалась выталкивающая сила, и сосудки поднимались на поверхности воды. По описанию, сделанному Фердинандом, можно судить, что температура, при которой сосудики «висели» внутри трубки, была около 15 °С. Когда же температура окружащего воздуха опускалась ниже 15 °С, воздуха внутри сосудков скималлся, количество воды в них увеличилось, и они опускались на дно.

Одновременно с этим прибором и подробным описанием его работы Фердинанд прислал Кирхеру и другой термоскоп. Он был очень похож на первый и отличался лишь тем, что был полностью заполнен водой и запаян. В этом приборе, однako, наоборот, сосудки опускались при нагревании, а поднимались при охлаждении. Фердинанд предоставил Кирхеру самому решить загадку второго термоскопа. Нам неизвестно, справился ли с этой задачей Кирхер. Но мы надеемся, что вы, читатель, сделаете это без особого труда. (А проверить правильность своего ответа вы можете, посмотрев на с. 58).

Фердинанд построил и термометры самых разнообразных типов и конструкций. Любопытно, что он многое делал для «внедрения» научных открытий в «производство». Один из проектов Фердинада заключался в широкомасштабном развении кур. Он построил один из первых инкубаторов, где использовал свой термометр для контроля температуры при искусственном насиживании яиц.

Однако уже тогда внедренное достижение науки было делом непростим: из 150 яиц Фердинанд получил лишь трех цыплят. Почему так произшло? Может быть, из-за недостаточной расстояности работыника, несерьезно относившегося к показаниям термометра и больше доверящегося своимощущиям, а может быть, из-за слабых знаний Фердинада по биологии. Сейчас остается только гадать, отчего закончился крахом этот эксперимент.

С большим успехом Фердинанд использовал термометр для наблюдения за погодой, он проводил важные meteorologicalские измерения, обобщил материалов наблюдений за температурой в глубоких колодах и подземельях в различных времена года. Оказалось, что на глубине времени года происходит несколько позже, чем на поверхности — нуже во время, чтобы земля успела протреть или, наоборот, охладиться.

Закончиим мы наш маленький расчет о термометрах и термоскопах вопросом к читателю: получите, почему водяной термометр неудобен для измерения температуры, близких к температуре замерзания воды?

28

Задчи

M981—M985; Ф993—Ф997

M981. Докажите, что число 11…1 (1986 единиц) имеет по крайней мере a) 8, 6) 28 различных делителей.

Л. Д. Курляндчик

M982. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты ABB₁A₂, BCB₁C₂, CAA₁C₂. Докажите, что перпендикуляры к отрезкам A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, восставленные в их серединах, пересекаются в одной точке.

Н. Азамов (ученик 8 класса)

M983. В турнире с учасием 16 теннисистов каждой двое играют одну партию.

a) Приведите пример распределения результатов партии, при котором любых 10 участников можно расставить по кругу так, чтобы каждый выигral у своего левого соседа.

6. Докажите, что если условие a) выполнено, то и любых 11 участников можно расставить по кругу таким образом.

К. П. Кохась

M984. Через произвольную точку K квадрат ABCD проведена прямая, пересекающая его противоположные стороны AB и CD в точках P и Q. Докажите, что отличная от K точка пересечения окружностей, проходящих через точки K, B, P и K, D, Q, лежит на диагонали BD (рис. 1).

В. Н. Дубровский

M985. Углом между двумя прямыми, пересекающими в точке Q, называется угол между их лучами с вершиной O, не превысющий 90°. Сколькими способами через точку O в пространстве можно проведги три прямые l₁, l₂, l₃ так, чтобы углы между l₂ и l₃, l₃ и l₁, l₁ и l₂ соответствовали равнялись данными числам α₁, α₂, α₃? (Две точки прямых l₁, l₂, l₃ и l₁′, l₂′, l₃′ считаются одинаковыми, если они «конгруэнтны», то есть если существует поиметрия относительно плоскости, переводящие l₁ в l′′ для всех i=1, 2, 3.)

Предстоящие епсесение: ответ зависит от величины α₁, α₂, α₃; например, для α₁=α₂=α₃=30° он не такой, как для α₁=α₂=α₃=70°.

А. В. Гончаров

29

Ф993. Через неподвижное, горизонтальное закрепленное бревно переброшена ввервка. Чтобы удерживать груз массы $m=6$ кг, подвешенный на этой ввервке, необходимо тянуть второй конец ввервки с минимальной силой $F_1=40$ Н (рис. 2). С какой минимальной силой $F_2$ надо тянуть ввервку, чтобы груз начал подниматься?

А. И. Буздин

Ф994. Спутник исследует планету, плотность которого $q$, движясь по круговой орбите с периодом обращения $T$ и фотографируя ее поверхность. Какая часть площей планеты остатется неизследанной?

В. В. Дорин

Ф995. В запаянном капитляре находится жидкость плотности $q$. При нагревании капитляра на малое $\Delta T$ оказывась, что граница $AB$ между жидкостью и ее паром (рис. 3) не сдугается. При этом давление пара возросло на $\Delta p$. Как изменилась плотность жидкости?

Л. Г. Маркович

Ф996. В пролетном масс-спектрометре источник испускает стусток заряженных частиц, которые сначала летят свободно (рис. 4) и пролетают через первый датчик ($\Delta I_1$), находящийся на расстоянии $L$ от сетки (С). За сеткой по нормали к ней на частицы действует электрическая сила $F$. Частцы поворачиваются, вылетают через сетку назад и пролетают через второй датчик ($\Delta I_2$), находящийся на том же расстоянии $L$ от сетки. Меняя режим работы источника, изменяют время между сравнительными датчиков и находят наименьшее время проleta т. Какова масса частиц? (Начальная скорость зависит от напряжения источника, но точное значение ее неизвестно.) Как можно найти массы частиц, если источник испускает одновременное несколько сортов частиц с разными массами?

И. И. Воробьев

Ф997. Известно, что светящийся след падающего meteorита по мере приближения к Земле становится ярче. Однако в верхних слоях атмосферы он сохраняет значительное долще, чем у Земли. Почему?

А. С. Бутов

Problems

M981 — M985; P993 — P997

M981. Prove that the number 11…1 (1986 ones) has at least a) 8, b) 28 different divisors.

L. D. Kurlyandchik

M982. The squares $ABB_1A_2$, $BCB_1C_2$, $CAA_1C_2$ are constructed on the exterior of sides $AB$, $BC$, $CA$ of triangle $ABC$. Prove that the perpendiculars at the midpoints of the segments $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ intersect in one point.

N. A. Azamov (8th form pupil)

M983. Sixteen tennis players play in a round robin tournament (each pair playing once). a) Give an example of the results of such a tournament where

31

+∠AEM) = -\frac{1+3}{1-1\cdot3} = 2, следовательно, ∠CFN = ∠AME, и треугольники подобыны по двум углам.

Приведем еще одно, чисто геометрическое решение. Очевидно, что AM:MC=AE:CD=1:3, AB:AC=√2/2, следовательно,

AE:AM = (\frac{1}{3}AB) : (\frac{1}{4}AC) = \frac{2\sqrt{2}}{3}.

Аналогично, CN : NA = CF : AB = 1 : 2 и

CN:CF = (\frac{1}{3}AC) : (\frac{1}{2}CD) = \frac{2\sqrt{2}}{3},

то есть AE:AM = CN:CF; отсюда вытекает подобие треугольников.

Эта задача построена на соответствии arctg1 + arctg2 + arctg 3 = π/2; оно же использется и в задаче, приведенной на рисунке 2,— попробyte решить ее чисто геометриски!

А. П. Савин, В. Н. Дубровский

M962. Докажите, что ни для какого многочлена P(x) с целыми коэффициентами не могут найти такие различные целые числа x1, x2, …, xn (n ≥ 3), для которых выполнялись бы равенства P(x1) = x2, P(x2) = x3, …, P(xn-1) = xn, P(xn) = x1.

◆

Покажем, что если целые числа x1, …, xn удовлетворяют равенствам из условий задачи, то среди них найдет одинаковые.

Мы используем такую лемму: если P(x) — многочлен с целыми коэффициентами, b и c — различные целые числа, то P(b) — P(c) делится на b−c. При этом будет выполняться неравенство |b−c| ≤ |P(b)−P(c)|; только это следствие и попадбится для решения задачи.

Поскольку P(x1) = x2, P(x2) = x3, по лемме |x1−x2| ≤ |x2−x3| ≤ |x3−x4| ≤ … ≤ |xnx1| ≤ |x1−x2|, а значит, |x1−x2| = |x2−x3| = … = |xn−x1|.

Если n ≥ 3, отсюда следует, что среди чисел x1, x2, …, xn найдет равные: можно считать, что x1 — наименьшее из этих чисел; тогда

x2−x1 = |x1−x2| = |xn−x1| = xn−x1,

то есть xn = x2.

Докажем следующее. Из равенства, приведенного на полях, ясно, что число b^k−c^k при любом натуральном k делится на b−c. Пусть P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n; тогда число P(b)−P(c) = a1(b−c) + a2(b^2−c^2) + … + a(n(b^n)) также делится на b−c.

◆

Докажем сначала одно вспомогательное утверждение.

Пусть отрезки AB и CD параллельны, а отрезки AC и BD пересекаются в точке P (рис. 1). Тогда множество точки X, лежащих внутри APB и CPD, таких, что треугольники XAC и XBD равновелики, есть прямая, соединяющая отрезков AB и CD.

Для доказательства проведем точку X при мую, параллельную AB и CD; пусть она пересекает (Окончание см. на с. 34)

M963. Три пары противоположных сторон шестиугольника параллельны. Докажите, что отрезки, соединяющие их середины, пересекаются в одной точке.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

32

1. Приведите пример, когда при сближении двух разноментонозаряженных тел сilia пригяжения между ними уменшается до нуля.

2. Какова направность электрического поля в точке, одинаково удаленной от зарядов, образующих электрический диполь?

3. Покажите, не произвольная вычисление, что направность поля электрического диполя тем меньше, чем меньше расстояние между зарядами, образующими диполь.

4. Как будет вести себя положительное заряжение шар в каждой из электрических полей, изобразенных на рисунке?

5. Заряженный проводник, взятый в виде листа, свернул в шлиндр. Изменилась ли направность электрического поля у поверхности проводника?

6. Заряд (-q) находится в центре полей металлических сферы, которая несеет заряд (+2q). Изображение с помощью силовых линей результирующее электрическое поле.

7. На расстоянии r от проводящей независимой плоскости находится заряд (+q). С какой силой будет взят действовать заряд и плоскость?

8. Может ли существовать в пустоте показанное на рисунке электрическое поле?

34

AC и BD в точках Y и Z (см. рис. 1). Треугольники XAY и XCY имеют общие основание XY, а сумма их высот, опущенных на это основание, равна расстоянию h между прямыми AB и CD, поэтому

$$S_{XAC} = S_{XAY} + S_{XCY} = \frac{1}{2} XY \cdot h,$$

где буквой S, как обычно, обозначены площами. Точно так же

$$S_{XBD} = \frac{1}{2} XZ \cdot h.$$

Следовательно, треугольники XAC и XBD равновелки тогда и только тогда, когда X — середина отрезка YZ. Но множество середин всехозможных отрезков, параллельных AB, с концами на прямых AC и BD, оченьно, и есть прямы, соединяющиеся отрезков AB и CD (и, кстати, проходящая через P).

Отметим, что $S_{XAC} = S_{XBD}$ и для точек X на прямой, параллельной AB и проходящей через P; для точек, не лежащих на указанных двух прямых, эти площади различны.

Перейдем к доказательству утверждения задачи. Пусть $A_1A_2...A_6$ — данные шестиугольник, $M_1, M_2, ..., M_6$ — середины его сторон, P, Q, R — точки пересечения (больших) диагоналей $A_1A_4$, $A_2A_5$, $A_3A_6$, O — точка пересечения «средних линий» $M_1M_4$ и $M_2M_5$ (обозначения см. на рисунке 2). По доказанному утверждению $S_{OA_1A_4} = S_{OA_2A_5}$ (так как O лежит на $M_1M_4$) и $S_{OA_2A_5} = S_{OA_3A_6}$ (так как O лежит на $M_2M_5$), следовательно, $S_{OA_1A_4} = S_{OA_3A_6}$. Кроме того, точка O принадлежит объединению углов $A_1PA_2$ и $A_4PA_5$ и в то же время объединению углов $A_2QA_3$ и $A_5QA_6$, а пересечение этих двух пар углов — треугольник PQR (рис. 3), который содержится в одном из углов $A_3RA_4$ или $A_6RA_1$. Снова пользоваться нашим утверждением, заключаем, что третья «средняя линия» $M_3M_6$ тоже проходит через O.

Упомянем еще три решения этой задачи. Первое из них аналогично приведенном нами и опирается на то, что множество точек X трапеци ABCD с основанием AB и CD, для которых треугольники AXD и BXC равновелки, есть отрезок, соединяющий оснований (ср. с доказанным выше вспомогательным утверждением). Кроме того, надо использовать еще один факт, интересный и сам по себе: если в шестиугольнике $A_1A_2...A_6$ противоположные стороны параллельны, то треугольники $A_1A_3A_5$ и $A_2A_4A_6$ равновелки. Другое решение основано на специально подобранном параллельном проектировании. Именно, как можно показать, всегда существует такая проекция, при которой diagonал данного шестиугольника становится равным (достаточно добиться того, чтобы две его «средние линия» стали перпендикулярными сторонами, которые они соединяют). Легко видеть, что в таком случае «средние линия» будут бискетрисами треугольника, ограниченного большими diagonалами, и, следовательно, пересечаются в одной точке. При этом шестиугольник оказывается в окружность с центром в точке пересечения «средних линий». Наконец, утверждение задачи можно вывести из общего условия пересечения в одной точке трех прямы, проведенных из вершин треугольника (в данном случае треугольника PQR — см. рис. 2), — так называемой теоремия Чевы (см., например, задачу 34 в статье М. В. Балка и В. Г. Болтянского «Центр тяжестей obлегчатей решения» в «Кванте» № 4 за 1984 г.).

35

М964. Докажите, что в последовательности $(a_n)$ различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию $a_n < 100n$, найдется число, в десятичной записи которого
a) встречается цифра 1;
b) встречается 1986 единиц подряд.

М965. Дано шесть чисел $a_1, a_2, ..., a_6$. Чтобы подсчитать в «лоб» сумму их попарных произведений $a_1a_2+a_1a_3+...+a_5a_6$, нужно затратить 15 умножений и 14 сложений. Покажите, как можно найти сразу: сумму этих чисел, сумму их произведений по два, по три, по четыре и по пяте, затратив всего 15 сложений и 14 умножений.

a) Достаточно показать, что если в десятичной записи различных натуральных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$, не встречается цифра 1, то число $a_n/n$ может быть сколь угодно большим (в частности, $a_n/n > 100$ при некотором $n$).

Заметим, что среди первых $9^k$ чисел нашей последовательности найдется такое $a_n$, запись которого состоит не менее чем из $k+1$ цифр, то есть $a_n \geq 10^k$. В самом деле, количество натуральных чисел, записываемых не более чем $k$ цифрами, отличными от 1, равно $9^k-1$ (в каждом из $k$ разрядов такого числа стоит одна из 9 цифр 0, 2, 3, …, 9, а число 0 исключается; мы подразумеваем, что числа, имеющие меньше $k$ знаков, дополнены нулями в старших разрядах до $k$-значных). Поскольку $n \leq 9^k$, справедливо неравенство $a_n/n \geq (10/9)^k$, а его правая часть неограниченно растет с ростом $k$.

6. Совершенно так же, как в пункте a), доказывается, что если в записи чисел $a_1, a_2, ..., a_n$, числа $S_n^k$ — сумму их произведений по $k$ штук. Тогда мы можем последовательно найти

$$S_2^1 = x_1 + x_2, \quad S_2^2 = x_1x_2,$$

затем

$$S_3^1 = S_2^1 + x_3, \quad S_3^2 = S_2^2 + S_1^2 \cdot x_3, \quad S_3^3 = S_2^2x_3,$$

затем $S_n^k (1 \leq k \leq 4), \quad S_5^k (1 \leq k \leq 5)$ и, наконец, $S_6^k (1 \leq k \leq 5)$, пользоваться формулами

$$S_n^1 = S_n^{1-1} + x_n, \quad S_n^k = S_n^{k-1} + S_n^{k-1}x_n$$

($1 < k < n$), $S_n^n = S_n^{n-1}x_n$.

Для вычисления всех $S_n^k (1 \leq k \leq n)$ потребуется $n-1$ сложений и $n-1$ умножений. Таким образом, чтобы сделать это вплоть до $n=6$, нужно $1+2+3+4+5=15$ сложений и столько же умножений. Посленое умножение $S_6^k = S_5^kx_6$ можно сэкономить, поскольку считать произведение всех 6 чисел.

Эту последовательность операций иллюстрирует схема на полях (голубые стрелки — сложения, красные — умножения).

Коротко это решение можно обьясить так. Нам нужно найти коэффициенты многочлена $(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_6)$ при $x, x^2, ..., x^5$, а мы последовательно находим произведение $x+a_1$ на $x+a_2$, затем на $x+a_3$, …, на $x+a_6$.

Аналогично можно доказать, что все суммы произведений $n$ чисел по $k (k=1, 2, ..., n)$ можно найти за $1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2$ сложений и столько же умножений. Интересно вычисить, можно ли обойтись для этого меньшим числом операций.

Н. В. Васильев

36

Ф973. Тело начинает движаться примолнено из точки А и через время T попадает в точку В a) с максимальной возможности скорость; б) с минимальной возможности скорость; расстояние |AB| равно l. Начти скорости тела в этих двух случаях, если скорость в точке A v₀=0 и ускорение тела -a<a<a₀.

а) Чтобы прийти в точку B с максимальной скоростью, нужно двигать следующим образом. До некоторого момента времени t₀ нужно двигаться с ускорением -a₀, затем до конца с ускорением a₀. Точка t₀ находится из условия, что проходимый путь равен l:

$$l = -\frac{a_0 t_0^2}{2} - a_0 t_0 (t - t_0) + \frac{a_0 (T - t_0)^2}{2} \Rightarrow t_0^2 - 2 T t_0 + \frac{T^2}{2} = \frac{l}{a_0}, t_0 = T - \sqrt{\frac{T^2}{2} + \frac{l}{a_0}}$$

(знак в решении квадратного уравнения выбирается из условия t₀<T). Скорость в момент времени t обозначаем через V(t). График функции V(t) показан на рисунке 1 красной линии. Пусть U(t) — скорость при другом режиме движения, удовлетворяющим нашим условиям, таком, что U(T) > V(T). Показем, что тогда U(t) ≥ V(t) при любом t (см. рис. 1). Предположим, что U(t₁) < V(t₁) при некотором t₁ (эта возможность показана на рис. 1 пунктом). Если t₁ ≥ t₀, то среднее ускорение на отрезке t₁ ≤ t ≤ T больше a₀ (черная линия на рис. 1 наклонена круче, чем красная), а если t₁ ≤ t₀, то среднее ускорение на отрезке 0 ≤ t ≤ t₁ меньше -a₀. Итак, если U(T) > V(T), то U(t) ≥ V(t) при любом t и тело, движущемся со скоростью U(t), прошет за время T отрезок, больший l. Значит, V(T) — максимальное скорость. Находим ее:

$$V(T) = -a_0 t_0 + a_0 (T - t_0) = a_0 (T - 2 t_0) = a_0 \left( -T + 2 \sqrt{\frac{T^2}{2} + \frac{l}{a_0}} \right) = \sqrt{2 a_0^2 T^2 + 4 a_0 l} - a_0 T.$$

6. Аналогично: чтобы прийти в точку B с минимальной скоростью, нужно до некоторого момента времени двигаться с ускорением a₀, затем до конца с ускорением -a₀. Точка t₀ находится из условия, что проходимый путь равен l:

$$l = \frac{a_0 t_0^2}{2} + a_0 t_0 (T - t_0) - \frac{a_0 (T - t_0)^2}{2} \Rightarrow t_0 = T - \sqrt{\frac{T^2}{2} - \frac{l}{a_0}}$$

(graphic скорости v(t) в зависимости от времени t показан на рисунке 2). Скорость в момент времени T равна a₀ t₀ - a₀ (T - t₀) = a₀ (2 t₀ - T) = a₀ \left( T - 2 \sqrt{\frac{T^2}{2} - \frac{l}{a_0}} \right) = a_0 T - \sqrt{2 a_0^2 T^2 - 4 a_0 l}.

Доказательство того, что эта скорость минимальная, аналогично предыдущему доказательству: если u(t) — другой режим движения и u(T) < v(T), то u(t) ≤ v(t) при любом t.

Причем а) может оказаться, что t₀ < 0: это будет при l > \frac{a_0 T^2}{2}; тогда решения нет. Тогда не имеет решения и часть 6 (под корнем отрицательное выражение).

Д. А. Акопян