Квант 1986, №6 · Страницы

КВАНТ
6
1986

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

ISTIMIRANT STELLA

Комета Галлея
вчера,
сегодня, …

На X Всегоизной летней школе юных программистов можно было пообраться и с комьютером «Агат», и с главным организатором этих школ академиком А. П. Ершовым. Телеръ персональный компьютер — не редкость и в обычной средней школе, две уже год проводятся уроки по основам информаций и вычислительной техники.

В НОМЕРЕ:

3. С. В. Дужин, В. Н. Рубцов. Четырехмерный куб
   S. V. Dujhin, V. N. Rubtsov. The four-dimensional cube

4. С. Р. Филонович. Шарль Кулон и его открытия
   S. R. Filonovich. Charles Coulomb and his discoveries

5. Л. В. Тарасов. Зеленый луч
   L. V. Tarasov. Green ray

6. Ю. П. Соловьеев. Вызов Ван Роумена
   Yu. P. Soloviev. Van Roomen’s challenge

7. Ф. Недемейер, Я. А. Смородинский. Сопротивление ребер многоометрного куба
   F. Nedemayer, Ya. A. Smorodinski. Resistance of the edges of multidimensional cubes

Наш календарь
75-летие открытия сверхпроводимости
Oür calendar
75 years since the discovery of super-conductivity

Школа в «Кванте»
Matematika 9, 10
Mathematics 9, 10
Selected school problems

«Квант» для младших школьников
Задачи
Kvant for younger school children
Problems
The Mock Turtle’s story (following L. Carroll)

Задачик «Кванта»
Задачи M986 — M990; Ф998 — Ф1002
Решения задач M966 — M970; Ф978 — Ф982
Solutions M966 — M970; P978 — P982
List of readers who have sent correct solutions

Искусство программирования
Л. Н. Системский. Программирование на микрокалькуляторе: игры
The art of programming
L. N. Sistemski. Programming your pocket calculator: games

Полупроводниковые элементы вычислительной техники
Х. Заключене. Полупроводниковые элементы будут их ЭВМ
Semiconducting elements in computers
X. Conclusion. Semiconducting elements of future computers

Практикум абитриента
С. М. Козел. Электромагнитная индукция
College applicant’s section
S. M. Kozel. Electromagnetic induction

Вариantsы вступительных экзаменов
Entrance examination problems

Ответы, указания, решения
«Квант» улыбается (41)
Наша обложка (36)
Шахматная страница
Шахматные рекорды (3-я с. обложки)
Answers, hints, solutions
Kvant smiles (41)
Our cover page (36)
The chess page
Chess records (3rd cover page)

2

Памятки
Льва Григорьевича Асламазова

23 апреля 1986 года в распщете творческих сил трагически погиб известный ученый, профессор, доктор физико-математических наук, заметитель главного редактора журнала «Квант» Лев Григорьевича Асламазов. От нас ушел удивительное активный, трудолюбивый, многосторонное одаренный человек, сумевший за недолгую жизнь совершить много добрых и нужных людей дел.

Л. Г. Асламазов родился в 1944 году в г. Батути. В 1960 году поступил в Московский физико-технический институт, а после его окончания в 1966 году — в аспирантуру Института теоретической физики им. Л. Д. Ландду АН СССР, где в дальнейшем работал по 1975 год. Основные научные интересы Льва Григорьевича были сосредоточены в области теории сверхпроводимости, в развитие которого он внес существенный вклад. Открытое Л. Г. Асламазовым и А. И. Ларкиным является флуктуационной сверхпроводимость создало новое направление исследований в физике сверхпроводников. Оно уже вошло в учебники и монографии по теории сверхпроводимости. Одовременно с научной деятельности Лев ГригорьевичVEL большую научно-организационную работу, являясь ученым секретарем Института теоретической физики.

С 1976 года Л. Г. Асламазов работал доцентом, а затем профессор кафедры теоретической физики Московского института стали и сплавов. Блестящие лекции, педагогический, научный и организаторский талант приесли ему заслуженное уважение коллег и студентов.

Он успешно совмещал большую педагогическую и общественную работу с научной деятельности, в значительной степени определяя направление научных исследований на кафедре и в проблемной laboratorии института.

Много сил и времени Лев Григорьевич отделал популяризации научных знаний, привлечению в научку талантливой молодежи. Еще со студенческих лет он, являясь членом Оргкомитета, активно участвовал в организации и проведении Всесоизных школьных опитпад, в подготовке команд СССР к Международным опитпадам по физике.

Л. Г. Асламазов был одним из инцицаторов создания журнала «Квант», постоянным автором, членом редакционной коллекции, а впоследствии заместителем главного редактора журнала. Его неустанная, прициппальная, заинтересованная работа по поиску тем и авторов стателей, живое обсужждение всех редакционных проблем порождающих мощные творческие имплысы, столб необходимые в издании журнала.

Огромный вклад внес Лев Григорьевич в организацию, формирование и научное ректирование «Виблотечки«Квант», в котором в короткий срок были опубликованы десятипровхождения научно-популярных книг.

К любому делу, за которое брался Л. Г. Асламазов, будь то научная работа, ректирование книги или подготовка лекции, он относился с глубокой ответственностью, выполня его с неизменной тщательностью, обязательно доводя до конца. Это был отзывачный, благохалатный и в то же время очень требовательный человек. Он пользовался любым и уважением товарищей по работе, учеников, всех близких его людей. Светлая память о Льве Григорьевиче Асламазове насerca сохраниться в сердцах тех, кто имел счастью возможность трудиться и общаться с ним.

3

Четырехмерный куб

Кандидат физico-mатематических наук
С. В. ДУЖИН,
кандидат физico-mатематических наук
В. Н. РУВЦОВ

«Рассмотрим четырехмерный куб…», «Выделим в десятимерном пространстве шестимерное подпространство…» Эти и многоные им фразы авторы частенько встречали в научной литературе, слышали на разнообразных семинарах, сами произносили, одним словом, привыкли не удивляться им. Но однажды задумались:
«А ведь не так уж далеко те времена, когда слова « четырехмерный куб», «четвертое измерение» были пуляошце непривычны служу даже большинства математиков, а у неспециалистов вызывали недоумение и любопытство, среди интересу к «снежному человеку», «летающий таракам» и прочим псевдонаучным вещем». Между авторами возник следующий диалог:

А₁: Четырехмерный куб? Конечно, это тривиально! Его надо задавать просто как подмножество четырехмерного пространства с помощью формул, обобщающих школьные формулы. Только формулами!

A₂: Согласно это даст возможность формально определить, что такое четырехмерный куб, но будет непонятно, неаглядно. Четырехмерный куб легко описывает геометрические как фигура, аналогичная квадрату на плоскости или кубу в трехмерном пространстве. Проекции, развертки, секения — только так!

Недолго спорив, авторы решили по-proбовать обединить свои точки зрения, начав, правда, с наглядной стороны дела.

Как его «увидеть»

Чтобы представить себе четырехмерный куб, полезно сначала посмотреть на общий — трехмерный — куб, а также на «двумерный куб» (квадрат) и «одномерный куб» (отрезок) в диамеке — так, как они показаны на рисунках 1, а, б, с.

Изучив эти рисунки, можно попытаться понять и рисунок 2, изображаюший четырехмерный куб. Так же как (двумерная) грань ABCD трехмерного куба, дивяясь параллельно самой себе (рис. 1,a) до положения A’B’C’D’, заметает трехмерный куб, «трехмерная грань» ABCDEFGH, дивяясь параллельно самой себе до по-

Рис. 1. Так трехмерный куб получается из квадрата, квадрат — из отрезка, отрезок — из точки.

Рис. 2. А так четырехмерный куб получается из трехмерного.

4

Ложения $A'B'...H'$, «заметает» четырехмерный куб. Увидели ли вы его?
Конечно, полученный чертеж четырехмерного куба условен, он дает его искаженное изображение. Но ведь и рисунок 1,a дает искаженное изображение общного куба на плоскости. На самом деле оба чертежа имеют одинаковую природу: они показывают образы трехмерного и четырехмерного кубов при параллельной проекции на плоскость.
Разница лишь в том, что нам удается «приподнять в пространство» плоское изображение трехмерного куба успешем мысли, а такой способностью представить себе «четырехмерье» мы уже не обладаем.

Ну, а если не удалось хорошего увидеть четырехмерный куб в движении — попробуем развернуть его.

Как его развернуть
Чтобы представить себе развертуку четырехмерного куба, сначала посмотрим на развертуку трехмерного и двумерного кубов (рис. 3). Мы видим, что развертка квадрата одномерна и состоит из четырех отрезков; развертка куба двумерна и состоит из шести квадратов. Аналогично, развертка четырехмерного куба трехмерна и состоит из восеми трехмерных кубов (рис. 4).

Так же как трехмерный куб можно склить из развертки (см. рис. 3,6), отождествляя вершины $G_1 \equiv G_2 \equiv G_3$, $H_1 \equiv H_2 \equiv H_3$, $E_1 \equiv E_2$ и $F_1 \equiv F_2$ (и соответствующие ребра), четырехмерный куб можно получить из его развертки (см. рис. 4), «склеивая» вершины, обозначенные одинаковыми буквами, но с разными номерами, например $M_1 \equiv M_2 \equiv M_3 \equiv M_4$ или $I_1 \equiv I_2$; при этом склеивания не только вершины (и соответствующие ребра), но и двумерные грани, например $M_3O_3P_3Q_3 \equiv M_4O_4P_4Q_4$.

Рисунок 4 стоит рассмотреть внимательнее. Можно считать, что на нем показан макет своеобразного восемикомнатного дома. Этот дом описан американским писателем-фантастом Р. Хайнлайном в рассказе «Дом, который построил Тилл». Во время «путешествия», предприятого героями Хайнлайна по чудесному дому, их поразило следующее обстоятельство. Когда они, двигаясь в определенном направлении, проходили комнату одну за другой, то пятой комнатой на

5

их пути оказалась та, из которой они вышли. Например, если, движясь «снизу вверх», пройти четые комнаты, образующие центральную базию развертки, то вовь оказалась в комнате «первого этажа». Действительно, «крыша» дома, как это видно из обозначенной вершин, склеена с «полом» нижней комнаты. На самом деле всякий раз при пересечении границ комнат маршрут автоматически поворачивает на 90°, так что, например, ломанная $M_4AEK_3M_3$ не прямолинейна, но представляется собой контур квадрата. Этот факт легко понять, рассматривая аналогичные пути на развертке трехмерного куба и на поверхности самого куба (рис. 3). Если вы поняли идею склеивания четырехмерного куба из его развертки, вас не удивит то, что один из героев рассказа Хайнлайна, выпрыгнув из окна одной из комнат очутился… снова внутри дома!

Как его проектировать

Существует еще один популярый способ изображения четырехмерного куба, представленный на рисунке 5,6. Восемь трехмерных граней изображены здесь внутриним (малым) кубом, внешним (большим) кубом и шестью усеченными парамидами, соединяющими соответствующие грани малого и большого кубов. Этот рисунок получается при центральном проектировании четырехмерного куба на некоторую «трехмерную плоскость». Смысл этого рисунка легко понять, если рассмотреть также рисунок 5,a, на котором изображена центральная проекция трехмерного куба на плоскость из некоторой точки.

По рисунку 5 удобнее всего считать количество разного рода составляющих элементов четырехмерного куба.

Рис. 5. Изображение объчно и четырехмерного кубов в центральной проекции.

Рис. 6. «Маломерные кубы» в своих системах координат.

6

Рис. 7. Четырехмерный куб в четырехмерной системе координат.
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1. Четырехмерный куб в системе координат x, y, z, t четырехмерного пространства изображен на рисунке 7, где у каждой вершины указаны ее координаты (в целях экономии места без скобок и запятых).

Придирчного читателя не удовлетворит, однако, такое определение. Он просит: что такое система координат в четырехмерном пространстве? И вообще, что такое четырехмерное пространство?

Что бы ответить на последний вопрос, мы сначала вспомним — ну, конечно, вы угадали! — что такое трехмерное пространство. Это набор всехможных трехек чисел (x; y; z), где x, y и z — действительные числа (координаты точки), для которых определено расстояние по формуле
$$|MN| = \sqrt{(x_M - x_N)^2 + (y_M - y_N)^2 + (z_M - z_N)^2}$$
(см. учебник А. В. Погорелова «Геометрия 6—10», с. 204). Оказывается, предыдущую фразу можно взять за определение трехмерного пространства: из этого определения можно вывести все основные положения stereometрии с помощью элементаной алгебры. Так, определяв плоскость как множество точек, удовлетворяющих точке, удовлетворяющих линейному уравнению вида
$$Ax + By + Cz + D = 0,$$
(1)
неслоюно доказать, например, что через любую тройку неоколинеарных точек M, N, P проходит одна и только одна плоскость, а именно, плоскость с уравнением
$$((y_P - y_M)(z_N - z_M) - (z_P - z_M)(y_N - y_M)) \times (x_M - x) + ((z_P - z_M)(x_N - x_M) - (x_P - x_M)(z_N - z_M))(y_M - y) + (x_P - x_M)(y_N - y_M) - (y_P - y_M)(x_N - x_M))(z_M - z) = 0$$
(2)
(cм. «Геометрия 6—10», с. 212).

Тепер следующего определения должно произвольно естественно. Четырехмерным пространством называется множество всех четырехок чисел (x; y; z; t), где x, y, z, t — действительные числа, для которых определено расстояние по формуле
$$|MN|^2 = (x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2$$
(3)

С определением плоскости в четырехмерном пространстве дело обстоит не так просто. Дело в том, что здесь бывают как общные двумерные плоскости, так и трехмерные «плоскости», называемые zигерплоскости. С точки зрения задания плоскостей уравнениями, именно гиперплоскость является точным аналогом общной плоскости в трехмерном пространстве. В уравнении (1) объявной плоскости дум из трех переменных x, y, z можно придаать произвольные значения, и тогда значение третьей переменной будет определться из уравнения однозначно. Таким образом,

Рис. 8. Сеченя куба, параллельные грани.

7

множество всех решений этого уравнения описывается двумя произвольными параметрами, то есть оно двумерно. По той же причине множество всех решений одного линейного уравнения в четырехмерном пространстве $Ax+By+Cz+Dt+E=0$ само по себе трехмерно. Аналогично трехмерному случай, вектор с координатами $(A; B; C; D)$ перепределкирен данной гиперплоскости и называется ее нормальным вектором.

Как его обобщить
Читатель, разобравшийся в предыдущем определении, без труда дастелерь определение $n$-мерного куба для любого $n \geq 1$. Для этого он сначала определит $n$-мерное пространство как множество наборов из $n$ чисел $(x_1; x_2; ...; x_n)$, расстояние между которых задается формулой

$$|AB| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + ... + (a_n-b_n)^2},$$

а затем и $n$-мерный куб как множество тех точек $n$-мерного пространства, для которых выполены неравенства $0 \leq x_1 \leq 1, 0 \leq x_2 \leq 1, ..., 0 \leq x_n \leq 1$.

Как его рассечить
Четыремерные функции удобно представлять себе при помощи их сечений некоторых семейством параллельных друг други гиперплоскостей (гиперплоскости параллельных между собой, если их нормальные векторы коллинеарны). Смысл этой конструкции можно понять, рассматривая сечения трехмерных тел обычными плоскостями (рис. 8, где показано сечение куба плоскости $y=h$). Аналогично выглядят и сечения четырехмерного куба плоскости $t=h$ — вспомните рисунок 2!

Для лучшего понимания геометрии четырехмерного куба рассмотрим следующие трудную задачу: изобразить семейство его сечений гиперплоскости, перепределкулярными главной диагонали. Если взять диагональ, соединяющего вершины $(0; 0; 0; 0)$ и $(1; 1; 1; 1)$, то уравнение этих гиперплоскостей будет иметь вид $x+y+z+t=h$, где $h$ — некоторая константа.

Разберемся аналогично трехмерную задачу. Трехмерный куб можно представить как пересечение двух octantов, заданных системами неравенств

$$\begin{cases} x \geq 0, \\ y \geq 0, \\ z \geq 0 \end{cases}$$

и $$\begin{cases} x \leq 1, \\ y \leq 1, \\ z \leq 1 \end{cases}$$

(рис. 9). Всякая плоскость вида $x+y+z=h$ пересекает каждый из этих двух octantов по правильному треугольнику. Проследим за изменением этой конфигурации при изменении $h$ от 0 до $\sqrt{3}$. В начальной момент $(h=0)$ один из треугольников состоит всего из одной точки. Затем его линейные размеры увеличиваются пропорционально $h$, одновременно с этим второй треугольник постепенно уменьшается, оставясь готовотипным вершому с отрицательным коэффициентом. Начиная с того момента, когда вершины меньше треугольника «протыкают» стороны большшего, их пересечение дает шестиугольник. Этот шестиугольник становится правильным, когда размер треугольников сравнивается. Далее описанный процесс повторяется в обратном порядке.

Подобным образом, четырехмерный куб представляет собой пересечение двух частей четырехмерного пространства, выделяемых системами неравенств $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, t \geq 0$ и $x \leq 1, y \leq 1, z \leq 1, t \leq 1$. Нетрудно показать, что гиперплоскость $x+y+z+t=h$ пересекает каждую из этих частей по правильному тетрадру. Однако из этих тетрадров увеличивается с ростом $h$, а другой уменьшается. Искимо множество представляет собой пересечение двух таких тетрадров и может быть точкой, тетрадром или усеченным тетрадром (в частности, при совпадении размеров обихх tetraдров мы получим в пересечении правильный octаэдр; он изображен на рисунке 3 на четвертой странице обложки «Кванта» № 6 за 1985 год).

Мы надеемся, что читатели настолько освоились с понятием четырехмерного куба, что сумме нарисовать эти сечения самостояльно.

9

Шарль Кулон и его открытия

Кандидат физико-mатематических наук С.Р. ФИЛОНОВИЧ

В этом году исполняется 250 лет со дня рождения Шарля Кулона. Это имя известно как дому, кто когда-либо изучал физика. Главным научным достижением Кулона объявило считать экспериментальное подтверждение закона «образных квадратов» — закона взаимодействия неподвижных точных зарядов. Оdnako Кулону принадлежит рядом исследований и в других областях физики, воединиnx в золотой фонд науки. Мы публикуем статью о выдающемся французском ученом и отрывки из важнейших работ Кулона, дающие представление о его творчестве.

Шарль Огюстен Кулон родился 14 июня 1736 года в городе Ангульеме, на юго-западе Франции. Его отец, в свое время пытавшийся сделать военную карьеру, к моменту рождения сына был правительственным чиновником. МатЬ Кулона произходила из знанной семьи. Детство Шарля прошло в Париже, где он получил начальное образование, посещая Коллек Четырех Наций, основанный по завершению знаменного политического деятельности кардина Мазарини. Коллек Мазарини славился высоким уровнем преподавания математики, и, видимо, там привили юному Кулону любовь к этому предмету.

После окончания Коллека Кулон уехал из Парижа на родину отца в Монпелье. Там он принял участие в работе местного научного общества и даже был принят в него по классу математики. Оdnako Кулон недолго оставался в провинции. Он понимал, что необходимо выбрать какую-то профессию, которая обеспечила бы средства к существованию. Выбор Кулона пал на профессию военного инженера, дававшую достоинно высокое положение в обществе и в наиболее степени соответствовать склонностям молодого любителя науки.

Для поступления в Военно-инженерный корпус французской армии необходимы было закончить специальную школа, располагающуюся в Мезьере. В середине XVIII века Мезьерская военно-инженерная школа считалась одним из лучших высших технических учебных заведений Европы. После успешной сдачи вступительных экзаменов Кулон был зачислен в Школе и в течение полутора лет обучался там математике, черчению, основам физики, а также получал практические науки: училия плотницому делу, обработке камня, проведению геодезических работ. В 1761 году Кулон закончил Школе и получил чин лейтенанта.

Вскоре Кулон получает приказ о назначении на Мартинику — в заморскую колонию Франции. Там молодой и ещесовсем неопытный инженер руководством военного форта — основного оборонительного сооружения острова. На Мартинике Кулон провел воcemь лет и был отозван на родину после того, как строительство форта было практически законено.

После возврашения во Францию Кулон получает последовательно назначения в Бушэн, Шербур, Безансон, Рошфор, Лилль… И все это время, продолжая службу в качестве военного инженера, выполняя множество технического характера, в том числе и очень хлопотных, Кулон нахо-дил время для исследования в различных областях технических и физики.

К числу наиболее значительных работ Кулона относится его темуар «Теория простых машин с учетом треня их частей и жесткости канатов». В нем подробно исследовано явление сухого треня. К чауалу работы Кулона над этой проблемой в научной литературе можно найти самые разнообразные утверждения относительно треня. Так, был уже известен закон Амонтона, согласно которой сила треня пропорциональная силе нормального давления и не зависит от площади соприкосновения тела. Однако некоторые исследователи осларивали его справедливость. Большой разбор царил в судженнях о зависимости сили треня скольжения от относительной скорости движения тел. Наконец, передможно было столкнуться с противоречными друг друг експериментальными результаты. Причина такого положения состоит в том, что трене — очень сложное явление, зависимости от большого числа факторов, в том числе — от состояния поверхностей. Для получения однозначных результатов следовало проведение систематических количественных исследований. С практической точки зрения особенно важна была постановка полномасштабных опытов, когда нагузки соответствуют использовым на практике.

Исследование Кулона отвечало всем этим требованиям. В его опытах изучалась зависимость сили треня от природы соприкосновения, сили давления, скимающей поверхности (Кулон использовал нагрузки массой до 1000 кг), от времени контакта, относительной скорости скольжения и т. д.

В целом Кулон подтвердил закон Амонтона, но в то же время показал, что это приближенный закон. Оказалось, что сили треня скольжения очень слабо зависит от площади соприкосновения, и чаще всего этой зависимости можно пренебречь.

Внизу на рисунке приведена схема экспериментальной установки Кулона для изучения сухого треня. На Fig. 1 изображен стол для изучения сили треня скольжения: груз на салазках (Fig. 2) скользывал по поверхности $aab'b'$ под действием сили наяжения троса, перекиниутого через блок $h$; к концу троса прикреплялась платформа $P$, на котором установалась грузы. На Fig. 3 изображен устройство для изучения сили треня покоя (действие этого устройства основано на принципе рычага). Сравнивая сили треня покоя и сили треня скольжения, Кулон пришел к выводу о существовании явления заостоя и описал это явление.

«… При скольжении дерева по дереву без смазки с некоторой скоростью сили треня также пропорциональная нормальныму давлению, но по величины она много меньше той, которая требуется, чтобы нарушить связь между поверхностями после некоторого времени их контакта. Установлено, например, что сilia, необходимая для наушения связи между двумя поверхностями дуба после нескольких минут контакта относится к силе, необходимой для предоления треня, когда поверхность движется с некоторой скоростью, как 95:22 …»

В 90-х годах Кулон провел ряд экспериментов по изучению взякого треня. В этих опытах он использовал крупный подвес. Эффект треня определялся по скорости затухания крупных колбаний цилиндра, помещенного в сосуд сжидкостью (этот прибор изобравен на рисунке взяму). Ученый пришел к выводу, что при очень малой скорости движения возникало сопротивление пропорционально скорости, а при больших скорости — ее квадрату.

12

Тщательным изучением электро- и магнитостатических явлений Кулон занялся сразу после завершения опытов по кручению металлических нитей (крутильный подвес был идеальным устройством для количественного исследования слабых по величины взаимодействия). Первый меру на эту тему назывался «Конструция и применение электрических весов, основанных на свойства металлических проволок имметы силикруня, пропорциональную углу кручения». Эта работа, в которой был экспериментально обоснован «закон Кулона», в процессе году отметила двухстолетие.

С середины XVIII века много исследователей пытались определить «закон электрической силы». Некоторые из них предполагали, по аналогии с законом всемирного тяготения, что это должен закон «обратных квадратов», однокопытки прямого определения зависимости силы от расстояния затруднялись тем, что еще не было осознано различие между взаимодействием загруженных тел и прятяжением или отталкивания «элементарных» (то есть точных) загрудов. Вседствие этого неокторые экспериментаторы делали ошибочные выводы из данных измерений.

Достоинство опытов Кулона по электричеству состоит в том, что в них измерялись взаимодействие между загрязнами, которые в первом приближении действительно можно было считать точными. Кулон использовал специальные крутильные «электрические» весы, с помощью которых определился слая отталкивания между двумя равными и одномерными загрязнами.

По традиции того времени Кулон очень тщательно описал устройство весов и методики проведения эксперимента.

«На стеклянный цилиндр ABCD диаметром и высотой 32,5 см положена стеклянная пластина диаметром 35 см, полностью покрывающая сосуд; в ней просверлены два отверстия примерно по 4,5 см в диаметре, одно из которых f находится в центре; над ним возвышает стеклянная трубка h высотой 65 см … На верхнем конце трубки h помещен поворотный микрометр, показанный в деталях на Fig. 2 … Захват q (Fig. 2, № 1) на конце представляется собой нечто вроде рейсфедера …, именно в нем укрепляется конец очень тонкой сервераной нити; другой ее конец скнимается захватом P (Fig. 3) … Игла, которое видно на Fig.1 (ag), подвешенная [на нити] горизонтально на поливне высоты большого сосуда, … сделана либо из шелковой нити, натертоу супгуном, либо из соломинки …, на ее конце a помещается маленький бузиновый шарик диаметром от 4,5 до 6,8 мм, а на конце g — небольший вертикальный кусочек бумаги, пропитанной скипидаром, служащий противовоесом шарику a и замедляющий колбания …; в крышке A продолжано второе отверстие m; именно через него [внутрь сосуда]водят маленький цилиндр mФt …, на конце которого находится такой же бузиновый шарик. Вокруг сосуда на высоте и имеет шкафа zQ, разделенная на 360° …»

Doначала опыта Кулон установивал крутильный подвес так, чтобы указаель io (Fig. 2) стоял на нульовой отметке, нить была не закручена, шарика a и t слегка касалась друг друга, причем шар a находится

14

Круг исследований Кулона в области электричеста был очень широк. Он изучил явление утечки заряда, распределение заряда по поверхностям проводников сложной формы, исследовал индукционное действие заряженного проводника на нейтральный и т. д. В целом полученные Кулоном результаты стали экспериментальной основой первой последовательной количественной теории электричеста, разработанной французским математиком С. Пуассоном в 1811 году.

В 1789 году началась Великая французская буржуазная революция, которая перевернула весь укладжни французского общества. Революционные события затронули и Кулона. В 1791 году он в чине майора вышел в отставку. В 1793 году была распущена королевская Академия наук. Кулон с семьей узжает из Парижа и полтора года живет вдали от столицы.

Однако столб крупный ученый, как Кулон, не мог долго оставаться вне научной жизни. В 1795 году был образован Институт Франции, заменивший старую Академию. Среди первых членов Института были и Кулон. После избрания в новую Академию и возврашения в Париж ученый продолжил свои исследования, однократ их интенсивность постепенно спадала.

В последние годы жизни Кулон много сил отдавал работу в качестве генерального испектора народного образования, участвуя в коренном преобразования системы просвещения во Франции.

Ученный умер в Париже в 1806 году.

Наш календарь

75-летеие открытия сверхпроводимости

Сверхпроводимость была открыта в 1911 году голландским физиком, профессором Лейденского университета Г. Камерлинг-Онисом. Каковые остоятельства этого открытия?

В 1908 году Камерлинг-Онисес, впервые ожиив гелий (его температура кипения при атмосферном давлении 4,2 К), сделал доступной для исследовании области очень низких температур: Как теперь хорошо известно, в этой температурной области сверхпроводимость обнаруживают множество металлов, сплавов и соединений. Казалось бы, открытие сверхпроводности стало неизбежным — на него просто нельзя было не натолкнуться, тем более что измене-

ем металлов при приближении к абсцилотному нулю температуры. Теория тогда еще ответа дать не могла, и существовала два диаметрально противоположных протогноза. Один — вслед за Кельвином — полагали, что при абсцилотном нуле металл станет

15

изолятором (его сопротивление станет бесконечно большим), другие же разделяющие Дьюара, считавшего, что с приближением к нулю сопротивление будет постепенно неограниченно уменьшаться (рис. 1).

Приступить к исследованию сопротивления металлов при «гелиевых» темперарах Камерлинг-Оннес смог только в конце 1910 года. И его сразу же ожидал сорриз: оба прогноза — и кельвиновский и дьюаровский — оказались ошибочными. Измерения на проволоке из чистой пластины показали, что при самом глубоком охлаждении сопротивление перестает зависять от температуры (см. рис. 1). Соответствив новый результат со своим более ранним данным, полученными в измерениях в измерениях при не столь низких темперарах, голландский физик приSEL к выводу: ordината горизонтального участка зависимости $R(T)$ должна быть тем меньше, чем чисе металл. И, таким образом, в случае металла идеальной чистоты $R$ обратится в нуль еще до подхода к $T=0$. С точки зрения классической электронной теории металлов такое падение сопротивления до нуля при ненулевой температуре выглядело абсцилтоно неопятным, и Камерлинг-Оннес решил прилевчь к объясению квантовую теории, широкое признание которого начинаясь как раз в это время. Таким образом ему удалось вывести зависимости $R(T)$, которое следовало ожидать для идеального чистого металла.

Ясно, что для экспериментальной проверки этой зависимости требовался металл максимальной чистоты. В те времена на эту роль могла претензовать только руть, легко поддающегося эффективной очистке путем дистилляции. Но Камерлинг-Оннес был опытным экспериментатором и прекрасно понял, сколько неудобно иметь дело с рутью. Ведь для повышения точности измерений сопротивления величины этого сопротивления должна быть по возможности большой, то есть для экспериментов надо было использовать длинуную проводку. А руть жидкая! Поэтому ученый сначала с помощью своей формулы зависимости $R(T)$ прикинул, чего можно ожидать от такого эксперимента. Расчет показал, что при температуре 4,3 К сопротивление пути будет еще означимым, а при 3 К упадет до неизменного низкого уровня. Таким образом, открывался величина возможности проследить в опите всего картину исчезновения сопротивления, и имея перед собой столбчину перспективу, стояло пускаться в нелегкую борьбу с экспериментальными трудностями.

Лишь после ряда неудачных попыток Камерлинг-Оннесу и его помощью стеклоду-виртуозу удалось разработать необходимый тип образца для измерения — аккуную эигзагообразную конструкцию из тончайших стеклянных капилляров, внутри канал которых диаметром порядка 50 мкм заполняла жидкая руть, образующая единую «ниты» длиной около 1 м (рис. 2). Легко представить, сколько хлопот доставлял такой образец. При маленьем неосторожном движении, при сильном быстрохождения или отогреве стеклянные капилляры трескались и обламывались; иногда при замораживании нарушивность трудной нити.

И все же настоящий в экспериментальное мастерство победили. Весной 1911 года Камерлинг-Оннес торжествовал: опыт — в поражительном согласии с теоретическим представлением! — показал, что сопротивление чистой рутины, еще в полное измерение при температуре 4,3 К, при 3 К действительно становится неизмерным.

Однако дальнейшее точные измерения поколебали веру ученого в его теории.

Рис. 3.

Оказалось, что сопротивление исчезает скачком (рис. 3), тогда как формула для $R(T)$ предсказывала хотя и кругое, но все же плаваное падение сопротивления. Воспследствие выяснилось, что совпадение теории Камерлинг-Оннеса с опытом вообще чисто случайное. Учены было открыто прициппилально новое явление — сверхпроводимость.

Задча обьяснения физического природиозимости оказалась исключительно трудной, и решить ее не удалось около полувека. Теория этого явления была создана лишь в 1957 году американским ученым Дж. Бардином, Л. Купером и Дж. Шрифером и советским ученым Н. Н. Боголюбовым.

В нашей ученке о сверхпроводимости превращилось в один из наиболее глубокого разработанных физик們 твердого тела. Отромные успехи достигнуты и в практическом использовании сверхпроводимости — уже работают базирующиеся на этом явлении сверхчувствительные приборы для электромагнитных изменений; широко применяется сверхпроводящие соленoids, созданные магнитные поля в таких объемах и такой величины, о которых в случае обмоток из нормальных проводников нельзя и мечтать.

В недалеком будущеем промышленная энергетика получит обладающие неслежанно высоким КПД сверхпроводящие электрические электродвигатели и электродвигатели; ведутся работы по созданию сверхкомпьютеров, которые должны превозойти тепловизию и объему памяти.

В. Е. Явелов

16

Зеленый луч

Канддат физико-mатематических наук
Л. В. ТАРАСОВ

Иногда при захode солнца можно наблюдать удивительное явление — так называемый зеленый луч. Когда почти весь солнечный диск скрылся за горизонтом, на несколько секунд вдруг вспыхивает яркий зеленый свет. Краешек солнца вместе желто-красного неожиданного превращается в яркое зеленый, во все стороны от него искодят зеленые лучи. Секунд, другая, третья …, и красочное зреление внезапно исчезает. Зеленый луч веротнее всего увидеть в такой вечер, когда солнце вплоть до самого заката ярко светит и почти не изменяет своего цвета, оставясь желтым или, в крайнем случае, желтовато-ораженным. Советский астроном Г. А. Тихов много лет изучал это удивительное явление. Вот что он пишет:
«Если солнце при закате красного цвета и на него легко смотреть, то можно сувенирностью утверждать — зеленого луча не будет. Напротив, если солнце не очень изменило свой бело-желтый цвет и садится ярким, то можно предполагать, что зеленый луч появится. Важно, чтобы горизонт имел отсутствую линию, без всяких неровностей: близкого леса, строений и т. п. Эти условия легче всего достичь на море, вот почему зеленый луч хорошо известен лодям моря».
Физика зеленого луча основывается на трех эффектах: 1) эффективиескрывления световых лучей в оптически неоднородной среде (в данном случае в земной атмосфере), 2) зависимость степенискрывления лучей от длины волны, 3) расселяния света в атмосфере (точнее, на ослаблении эффективия света в достаточно чистой и способной атмосфере). Учитем эти эффекты поочередно — сначала первый, а затем последующие.

Известно, что, проходя в атмосфере, световой луч искривляется, причем так, чтобы его траектория всегда была обращена выпуклостью в сторону менее плотных области воздуха. По этой причине мы видим заходящий солнечный диск немного сплюснутым по вертикали; его вертикальный поперечник виден под углом 26′, что на 6′ меньше углового размера горизонтального поперечника. В этом «повинно» уменшение плотности атмосферного воздуха с высотой, приводяще к соответствующему искривлению лучей (так называемое явление рефракции света в атмосфере). Когда мы, любующь на морском берегу солнечный диском, видим, как нижний край светила коснула линей горизонтала, мы обычно не сознаем, что в действительности в данной момент этот край светила находится на 2°35′ ниже линей горизонтала (а значит, и весь солнечный диск находится глубоко. за горизонтом). Величина 2°35′

17

складывается из двух слагаемых: 2° обьясняются тем, что свет от Солнца до Земли идет чуть больше восем叨нут; а вот 35′ связываны с рефракцией света в атмосфере. Заметим, что из-за рефракции верхний край солнечного диска «приподнимается» слабее — не на 35′, а только на 29′ (рефракция уменшается по мере увеличения высоты объекта над горизонтом). Именно поэтому заходящие солнец и каждая наблюдаемого слегка сплюснутым. Сказанное появляется рисунок 1, где А — наблюдаатель, АБ — линяя горизонтта. (В связи с этим советуем вам прочитать статью А. А. Михайлова «Когда день равен ночи», опубликованную в «Кванте» № 6 за 1980 год.) Рефракцией света в атмосфере обьясняются также миражки (см. статью Г. И. Гринёвой и Г. В. Розенберга «Дела. и продолжки фей Морганы» в «Кванте» № 8 за 1984 год).

Далее учетом, что чем меньше длина волны света, тем сильнее он преломляется. Именно на этом основано спектральное разложение света в признаках. Указанный эффект приводит к тому, что сине-зеленые лучи претерпеют в атмосфере более сильную рефракцию, чем красные лучи. Пусть для простоты вспекте солнечного света имеются всего два цвета — зеленьий и красный; «белый» солнечный диск можно рассматривать в данном случае в виде наложенных друг на друга зеленого и красного дисков. Рефракция света в атмосфере приподнимает над горизонтом зеленьий диск в большей степени, чем красный.

В результате наблюдаются должен был бы видеть заходящие солнеце таким, каким оно показано в правом верхнем углу на рисунке 2. Верхний край диска был бы зеленьим, а нижний красным; в центральной же части диска наблюдаются быщие цветов (наблюдался бы «белый» цвет).

Описанная картина верна лишь при условии, что атмосфера не рассеивает света. В действительности, однако, она его рассеивает. Это приводит к тому, что из светового пучка, идущего от солнца, наиболее эффективно выбывают лучи с более короткой длиной волны (закон рассеяния был установлен Рэлеем: интенсивность рассеяного света обратно пропорциональна четвертой степени длины световой волны). Поэтому каемки наверху диска мы не видим, а весь солнечный диск будет выглядеть не «белым», а красноватым.

Но вот представим себе, что почти весь солнечный диск скрылся за горизонтом, так что остался лишь самый верхний его краешек. И пусть этом стоит ясная и тихая погода, воздух чист, так что рассеяние света в атмосфере относительно невелико. Вот в этом случае мы и можем видеть яркозеленый край солнеца вместе с российю зеленьих лучей.

18

Вызов
Ван Роумена
Кандидат физико-математических наук
Ю. П. СОЛОВЬЕВ

В начале октября 1594 года король Франции Генрих IV принял в Фонтеблю посланника Республики Соединенных Нидерландов, который по имени самой крупной ее провинции чаше всего называли Голландей. Возникшая в результате дительной и упорной борьбы против испанского владичества, республика была очень молода — ей шел всего второй десятиок лет. Война с Испании не прекрашалась — голландское правительство настоящего искало соозников. А во Франции только что погасли пожары многоолетней международными, поддерживаемой испанцами, стал французским королем. Генрих не скрывал своего интереса к Голландии как к соознику в борьбе с Испании, но более всего его интересовали бурно развивающиеся голландская промышленность, торговля и мореплавание. Поэтому, прогуляясь по парку в Фонтеблю, он внимательнослушал рассказ посланника о новых шелковых мануфактурах Роттердама, бумажных фабриках Утреста, карабельных верфях Зандама.

— В Голландии сейчас много талантливых инженеров и ученых,— говорил посланник.— Математик и механик Симон Стевин разработывает новые системы шлюзов и плотин, по проектам математика Лудольфа Цейлена возводятся крепости, математик Андриен Ван Роумен славится своим головоломными вычислениями. Кстати,— продолжал посланник,— не так давно Ван Роумен сделал вызов математикам всего мира. Он разослал во многое страны письмо, в котором предлагает решить придуманную им задачу. Но пока это никому не удалось.

— Победителем непреемного будет француз,— заместил посланник,— я приведэ это письмо, но

20

Каждеое число здесь получается посредством сложения чисел, стоящих перед ним и над ним. Стоит отмечать, что Виет выражает не sin $nx$ и cos $nx$ через sin $x$ и cos $x$, как это делаем мы, а 2sin $nx$ и 2cos $nx$ через 2sin $x$ и 2cos $x$. Если в образованных таким образом выражения расматривать величины 2sin $nx$ или 2cos $nx$ как известные, то мы получим уравнение $n$-й степени относительно неизвестных 2sin $x$ и 2cos $x$.

Первоначальная цель, ради которой Виет выводил формулы синусов кратных дуг, заключалась в вычислении синусов дуг через синусы малых дуг, то есть в составлении таблицы синусов. Затем эти формулы нашли применение в алгебре и геометрии. В частности, геометрическую задачу о трискции угла $\alpha$ Виет связал с уравнением $3x-x^3=a$, которое удовлетворяют значения $a=2\sin \alpha$, $x=2\sin(\alpha/3)$. Два положительных решений этого уравнения Виет трактует как хорды, отвечающие дугам $2\alpha/3$ и $(360^\circ-2\alpha)/3$. Отрицательный корень он, по общимению своего времени, вообще не принимает во внимание. Точно так же задачу о делении угла на пять равных частей Виет связывает с уравнением $5x-5x^3+x^5=a$, которое удовлетворяют значения $a=2\sin \alpha$, $x=2\sin(\alpha/5)$.

Из сказанного ясно, в какой степени был подготовлен Виет, чтобы мгновенно решить задачу Ван Роутена. Он сразу же увидел, что предложенное значение $a$ является длинной стороны правильно пятнадцатитугольника, вписанного в единичный круг (проверьте это!), или, что то же самое, хордой, отвечающей дуге $24^\circ$. Коэффициенты при первом и предпоследнем членах левой части позволили ему предположить, что левая часть есть не что иное, как выражение 2sin $45\alpha$ через 2sin $\alpha$. Но поскольку $a=2\sin 12^\circ$, то $\alpha=12^\circ/45=4^\circ/15$, и значит, $x=2\sin(4^\circ/15)$. Именно это решение и передал Виет голландскому посланнику.

После аудиенции Виет проверил свое предложение. Однако, продолжав необходимые вычисления, он обнаружил, что левая часть предложенного уравнения не совпадает с разложением 2sin $45\alpha$ по степени 2sin $\alpha$!

Наверное, в этот момент он чувствовал себя не очень уютно, скорее всего, просто скверно.

Что произошло? Может быть, это всего лишь ошибка в весма утомительных вычислениях? Видимо, в этот момент Виет и сумел найти другой — геометрический — способ выразить 2sin $45\alpha$ через 2sin $\alpha$: для того чтобы разделить дуг на 45 части, нужно разделить ее сначала на пять части, затем каждую часть на три и снова на три. Другими словами, левую часть уравнения Ван Роутена можно получить из системы
$$\begin{cases} 3z-z^3=a, \\ 3y-y^3=z, \\ 5x-5x^3+x^5=y. \end{cases}$$

Лишь проанализировав те ответы, которые сообщал Ван Роутен для двух других значений $a$, Виет убедился, что ребястительно идет о делении дуг на сорок пять части и смело исправил ошибку в условия. Но Виет не ограничился этим решением. Двадцать два других решения, сообщенных им на следующий день, имели вид
$$2\sin \frac{360^\circ k+12^\circ}{45}=2\sin \frac{120^\circ k+4^\circ}{15},$$
$k=1, 2, ..., 22$.

Таким образом, Виет удалилось найти все положительные корни (напомним, что только они считались решениями в его время).

Здесь можно было бы поставить точку, однако математическое совершение между Виетом и Ван Роутеном на этом не кончилось. Спустя короткое время Виет предложил Роутену построить циркулем и линейкой окружность, касающейся трех данных окружностей (задча Аполлония). Вскоре Виет указал изящное геометрическое построение, выполнимое только циркулем и линейкой.

Рассказывалот, что, потерпев второе поражение, Ван Роутен стал носитьным почитателем Виета и даже приезжал к нему учиться.

Сопротивление ребер многомерного куба

Ф. НЕДЕМЕЙЕР (ВНР),
доктор физико-математических наук
Я. А. СМОРОДИНСКИЙ

В конце сороковых годов в математических кружках Москвы появился задача об электрическом сопротивлении проводочного куба. Кто ее придумал или нашел в старых учебниках, мы не знаем. Задчаба была очень популярной, и о ней быстро узнали все. Очень скоро ее стали задавать на экзаменах, и она перешла в разряд почты тривиальных.

Задачу эту можно сформировать так: сосчитайте сопротивление $R_3$ между

ду точками $A$ и $B$ на схеме из рисунка 1, при условии, что все показанные на схеме сопротивления равны 1 Ом.

— Ну и что здесь интересного? — спросит скептический читатель. — Нужно долго и нудно считать по законам Кирхгофа и все получится. В обшем — скучная задача по физике.

Если такому читателю предложить сосчитать сопротивление $R_4$ между точками $A$ и $B$ при том же условия, но уже на схеме с рисунка 2, он и вовсе

22

рассердится — мыслимо ли проводить такой счет?

Между тем в этих задачах скрыты красивые геометрические и алгебраические закономерности (недаром эта с виду физическая задача рассматривась на математических кругжках), позволяющие их решить без всякого «нуndного счета», а также неожиданным образом их обобщить.

Случай трехмерного и четырехмерного кубов

Начнем с очевидного геометрического наблюдания: схема на рисунке 1 — это схема ребер общного куба (сравните рисунки 1 и 3, а). В качестве модели нашего куба рассмотрим стандартный единственный куб в системе координат $Oxyz$, сопоставив точкам $O$ и $I$ вершины (0; 0; 0) и (1; 1; 1), подразумевая наличие сопротивления в 1 Ом на всех ребрах куба. Заметим, что координаты вершин куба (и только координаты этих 6 точек) составят лишь из нулей и единиц. Изовем сумму координат какой-либо вершины ее $p$ангом. Если между точкими $O$ и $I$ создается потенциальов, то потенциаль вершин одинакового ранга одинаково (это очень из сообщений симметрии). Поэтому можно, не меняя сопротивления схемы, закоротить вершины одного ранга, получив схему, состоящую из трех последовательных групп параллельных сопротивлений (рис. 4). Для такой схемы задача решается устно (см. рис. 4): сопротивление $R_3$ равно 5/6 Ом.

Для подсчета сопротивления второй схемы (см. рис. 2) заметим, что эта схема — схема ребер четырехмерного куба*). Это — уже менее очевидное геометрическое наблюдение. Читатель может произвести его, сравнив рисунок 2 с рисунком 7 на с. 6. Далее подсчет выполняется точно так же, как в случае обычного куба. При подсчете (показном на рисунке 5) вовь используется то, что вершины однозоранга имеют одинаковый потенциал и поэтому могут быть закорочены (без изменения общего сопротивления между точками $O$ и $I$). Ответ получается такой: $R_4 = 2/3$ Ом.

Задча 1. Сосчитайте сопротивление ребер $R_5$ пятимерного куба между его диаметрально противоположными вершинами при условии, что сопротивление каждого ребра равно 1 Ом.

Сопротивление ребер $n$-мерного куба

Задачу о сопротивлении ребер куба можно обобщить далее, рассматривая кубы размерности $n=5, 6, 7, 8$ и т. д. Это можно сделать по той же схеме, что для $n=2, 3, 4$, однako мы не будем вправе считать себя математики, если не сумем сразу сопротивление $R_n$ $n$-мерного куба между его противоположными вершинами для любого $n$ (определение $n$-мерного куба см. на с. 7).

Читатель может просить — правомерна ли такая постановка задачи, ведь $n$-мерный куб при $n>3$ — лишь

*) С понятием четырехмерного куба можно познакомиться в статье С. В. Дужина и В. Н. Рубцова в этом номере «Кванта».

23

Ранг 0 1 2 Σ

Число вершин 1 + 2 + 1 = 4
Число ребер 2 + 2 = 4
Схема
Сопротивления 1/2 + 1/2 = 1

Ранг 0 1 2 3 Σ

Число вершин 1 + 3 + 3 + 1 = 8
Число ребер 3 + 6 + 3 = 12
Схема
Сопротивления 1/3 + 1/6 + 1/3 = 5/6

Рис. 4.

Ранг 0 1 2 3 Σ

Число вершин 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
Число ребер 4 + 12 + 12 + 4 = 32
Схема
Сопротивления 1/4 + 1/12 + 1/12 + 1/4 = 2/3

Рис. 5.

Рис. 6.

Ранг 0 1 2 … k - 1 k … n - 1 n

Число вершин 1 + n + $\frac{n(n-1)}{2}$ + … + $C_n^k$ + … + n + 1 = $2^n$

Число ребер n + n(n-1) + … + (n-k) $C_n^k$ + … + n = ?

Сопротивления $\frac{1}{n}$ + $\frac{1}{n(n-1)}$ + … + $\frac{1}{n C_{n-1}^k}$ + … + $\frac{1}{n}$ = ?

24

математическая абстракция, он не существует «на самом деле», так что неопонятно, какой смысл в подсчете сопротивления его ребер. Отвечаем. Смысл есть, поставленная задача — вполне реальная физическая задача. Дело в том, что хотя сам $n$-мерный куб при $n > 3$ нельзя помещить в трехмерное пространство, схема его ребер без труда в обычное пространство помещается. Так, на рисунке 2 (или 5) видно, как это делается для четырехмерного куба, а на обложке журнала даже показана схема ребер восьмимерного куба! В обшем случае ($n$ — любое) выполняст схемы ребер $n$-мерного куба в трехмерное пространство — несложная математическая теорема, на доказательстве которой мы останавливаемся не будем.

Интересно отмечить, что схему ребер трехмерного куба можно разместить без самопересечений на плоскости (см. рис. 1), однako доказано (это уже трудная теорема), что схему ребер четырехмерного (и вообше $n$-мерного при $n \geq 4$) куба помещить на плоскость без самопересечений нельзя.

Как читатель наверняка договорался, подсчет $R_n$ проводится в существии так же, как $R_3$ и $R_4$. Проследить за ним можно по рисунку 6. Ответ таков:

$$R_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n-k)C_k^n},$$

где $C_k^n$ — биномиальный коэффициент (см. «Квант», 1986, № 1, с. 23).

При подсчете мы видны пользовемся тем, что вершины одного ранга имеют тот же потенциал, и поэтому все свойства к подсчету числа ребер, соединяющих вершины соседних рангов. Понятно, что число вершин ранга $k$ равно $C_k^n$ (их столбко, сколько имеет способов поставить $k$ цифр 1 на $n$ мест), а число ребер, исходящих из каждой вершины ранга $k$ равно $n-k$ (почему?); значит, число ребер вершинами $k$-го и $(k+1)$-го ранга равно $(n-k)C_k^n$. Эти ребра можно считать параллельно соединенными, поэтому получаем (1).

Задачи

2. Проверьте, что $(n-k)C_k^n = nC_{n-1}^k$, обосновав тем самым соответствие.

$$R_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{C_{n-1}^k}.$$

3. Пользовясь формулой (2), доказите, что

$$R_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n-k)2^k}.$$

4. Установите рекуррентное соотношение

$$R_n = \frac{1}{n} + \frac{1}{2} R_{n-1}$$

алgebraические (пользовая формулой (3)) и геометрические. Проверьте наши подсчеты $R_3, R_4, R_5$, исходя из этого соотношения и равенств $R_1 = R_2 = 1$.

Другие обобщения

Предлагаемые здесь методы подсчета можно применить и к другим задачам, например такой:

Задачка 5. Сосчитайте сопротивление трехмерного куба между соседними вершинами при условии, что сопротивление каждой ребра равно 1 Ом. Обобщите на любое $n$.

Более интересно менять не точки приложенияометра, а конфигурацию расматриваемой схемы. Наши рассуждения сохраняют силу для любой схемы, у которой в каждой узел подключено одинаковое количество ребер (спротивлении в 1 Ом).

Задачка 6. Показите, что сопротивление между соседними узлами схемы из $m$ узлов, в каждой из которых входит $s$ сопротивлений в 1 Ом, равно

$$R = \frac{2}{s} \left(1 - \frac{1}{m}\right).$$

Например, для бесконечной двумерной квадратной сетки получается простой ответ: $R = 1/2$ ($s = 4, m = \infty$). Для сетки из трехгольников ($s = 6, m = \infty$) $R = 1/3$, для сетки из шестигольников ($s = 3, m = \infty$) $R = 2/3$, для тетраэдра ($s = 3, m = 4$) $R = 1/2$. Для $n$-мерного куба получаем ($s = n, m = 2^n$):

$$R = \frac{2}{n} \left(1 - \frac{1}{2^n}\right).$$

Еще более интересна (но, увы, не элементарна!) задача о подсчете сопротивления между соседними по диагонали узлами бесконечной квадратной сетки из сопротивлений в 1 Ом. Ответ оказывается равным $2/\pi$ Ом, хотя в схеме нет ни намек на окружность!

25

Mathematica 9, 10

Публикуемая ниже заметка предназначаена действиклассик и десятиклассикам. Она также будет полезна тем, кто готовится кступпельным экзаменам вузы.

Формулы для sin nx и cos nx

Сборники задач для построащих вузы пестрят синусами и косинусами «кратных углов», то есть выражения типа sin 7x, cos 9x и т. п. Не всегда, но довольно часто бывают полезно записать эти выражения как функции от sin x и cos x. В принципе это можно сделать совершенно автоматически при помощи формулы для синуса и косинуса суммы, но при многократном применении даже самой простой формулы никто не затрахован от ошибок; к тому же может помещать нежатка времени. Ниже приведится простой, легко запоминающийся и надежный способ написания формулы для sin nx и cos nx.

Треугольник Паскала. Вполне возможно, что читатель знает, что это такое; все же напомним определение. Треугольник Паскала — это числовая таблица, в n-й строке которого стоит n+1 натуральных чисел. При этом в верхней строке стоит две единицы и при каждом n в n-й строке стоит по краям единицы, а на остальных местах — суммы последовательных пар соседних чисел из (n-1)-й строки (рис. 1).

Рис. 1.

Самое замечательное свойство треугольника Паскала состоит в том, что числа из его n-й строки — это коэффициенты многочлена $(x+1)^n$:
$(x+1)^1=x+1,$
$(x+1)^2=x^2+2x+1,$
$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1,$
$(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1,$
$(x+1)^5=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

Когда-то это проходили в школе, но теперь не проходят.

Формулы. Напишите n-ю строку треугольника Паскала. (Кстати, для того чтобы найти n-ю строку, не нужно считать строки: в n-й строке на втором месте стоит n.) Пришите к числам из этой строки последовательно $\cos^n x$, $\cos^{n-1}x \sin x$, $\cos^{n-2}x \sin^2x$, …, $\sin^n x$. Подчеркийте в получившейся цепочке выражения, стоящие на четных местах: втором, четвертом и т. д. Выпишите неподчеркичные выражения и подчеркичные выражения в две отдельные строки. В каждой из получившихся двух строкек поставьте перед вторым выражением минус, перед третьим плос, перед четвертым минус и т. д. Все готово — в верхней строке вы написали выражение для cos nx, в нижней — для sin nx.

При меры. При n=2 строка треугольника Паскала имеет вид 1, 2, 1. Пищем:

$$\cos^2x \ 2\cos x \sin x \sin^2x$$

$$\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x,$$

$$\sin 2x=2\cos x \sin x.$$

При n=3 пишем:

$$\cos^3x \ 3\cos^2x \sin x \ 3\cos x \sin^2x \sin^3x$$

$$\cos 3x=\cos^3x-3\cos x \sin^2x,$$

$$\sin 3x=3\cos^2x \sin x-\sin^3x.$$

Несколько полученных этим способом формулы для cos nx и sin nx читатель найдет на рисунке 2; вдоль красных ломанных на этом рисунке можно прочесть строки треугольника Паскала.

Упражнение. Зная n-ю строку треугольника Паскала, легко написать формулу, выражующую tg nx через tg x. Попробуйте это сделать.

Доказательство формулы. Вообще-то эти формулы являются следствием «Формулы Муавра» («Квант», 1983, № 2, с. 19, статьи Л. С. Понтрягина «Комплексные числа»). Но, чтобы не ссылаться на не входящий в програм-

26

Рис. 2.

му материал, мы приведем их прямое доказательство по индукции.

При $n=2$ формулы общеизвестны. Пусть $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ $a_{n+1}$ есть $n$-я строка треугольника Паскала. Предположим, что формулы $\cos nx = a_1\cos^n x - a_3\cos^{n-2}x\sin^2x + ...,$ $\sin nx = a_2\cos^{n-1}x\sin x - a_4\cos^{n-3}x\sin^3x + ...$ уже доказаны. По формуле для косинуса суммы $\cos(n+1)x = \cos(nx+x) = \cos nx\cos x - \sin nx\sin x = (a_1\cos^n x - a_3\cos^{n-2}x\sin^2x + ...)\cos x - (a_2\cos^{n-1}x\sin x - a_4\cos^{n-3}x\sin^3x + ...)\sin x.$ Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получаем:

$$\cos(n+1)x = a_1\cos^{n+1}x - (a_2+a_3)\cos^{n-1}x\sin^2x + (a_4+a_5)\cos^{n-3}x\sin^4x - ...$$

Аналогично, при помощи формулы $\sin(n+1)x = \sin nx\cos x + \cos nx\sin x$ получается $\sin(n+1)x = (a_1+a_2)\cos^n x\sin x - (a_3+a_4)\cos^{n-2}x\sin^2x + ....$ Поскольку $a_1, a_1+a_2, a_2+a_3, a_3+a_4, ...$ есть $(n+1)$-я строка треугольника Паскала, мы доказали для $\cos(n+1)x$ и $\sin(n+1)x$ нужные формулы.

Заключение. Построение циркулем и линейкой правильного патиугольника (читать только любознатьным!). Пусть $x=2\pi/5$. Тогда $5x=2\pi$ и $\sin 5x=0$. По нашей формуле $\sin 5x=5\cos^4 x\sin x-10\cos^2 x\sin^3 x+\sin^5 x=\sin x(5\cos^4 x-10\cos^2 x)(1-\cos^2 x)+(1-\cos^2 x)^2=\sin x(16\cos^4 x-12\cos^2 x+1).$

Д. В. Фукс

Раздел философии, называемый математикой, является самым легким из всех разделов с точки зрения представления и доказательства… Этот раздел философии сообщает нам гибкость, укрепляет сообщение, приучает нас ненавидеть недосказанное, так как его исходные поло-жения общеизвестны, доказательства лезки, в нем воображение помогает разуму и мало противоречению.

Омар Хайм

Задчи

1. Определите угол, который стрелки часов составляют в 9 часов 20 минут.

2. Расшифруйте числовой результат:

$$\frac{+ \text{КТО}}{\text{КОТ}}$$

3. В те, еще не столько давние времени, когда непреемной принадлежность человека был пыстрый самовар с восседающим на нем заварным чайником, накрытым расшитой льняной салфеткой, заварные чайники делались с дырочкой в крышке (такие чайники делают и сейчас). Зачем нужна такая дырочка?

4. Найдите наименьшее число, сумма цифр которого делится на 17, и сумма цифр следующего за ним числа тоже делится на 17.

5. Алик, Боря, Витя и Гена ходили по грибы. Алик с Борей вместе собравли грибов столько же, сколько Витя с Геной вместе, а у Алика с Геной грибов оказалось меньше, чем у Бори с Витей. Гена нашел грибов больше, чем Витя. Расположите имена мальчиков в порядке убывания числа найденных каждым из них грибов.

Эти задчи нам предложили А. П. Савин, семиклассник Кашкадаринской школы Масаллинского района АзССР Назим Садыгов, А. Г. Самосват, Г. А. Гальперин, Н. Х. Розов.

Ах, милли, рада тебя видеть,— нежно сказала Герцогиня. Алиса приятно удивилась, увидев Герцогиню в отличном расположении душа, и подумала, что, должно быть, от перца она была такой вспыльчивой. Когда я буду Герцогиней,— сказала она про себя,— у меня в кухне несовсем не будет перца. Суп и без него вкусный! От перца, верно, и начинают всем перечит…— Алиса очень образовалась что открыла новое право, От уксуса куксятся,— продолжала она задумчиво,— от горчицы — огорчаются, от лука— лукавят, от сюбы— добреют. Как жалко, чтоникто об этом не знает… Все было бы так просто! Ели бы сдобу и добрели! Она совсем забила о Герцогине и вздрогнула, когда та сказала ей примо вухо: — Ты о чем-то задумалась, милочка. А мораль отcioда такова… Нет, что-то не сообщажу!…— А может, здесь и нет никакой морали,— заметила Алиса.— Как это нет!— возразила вкусный! От перца, верно, и начинают всем перечит…— Алиса очень очень перечитать…— Алиса очень очень перечитать…— Алиса подняла глаза и увидала, что перед ним, грозно нахмурившись, стоит Королева.— Прекрасная погода, Ваш Величество,— слабое прошелла Герцогиня.— Я тебя чисто предупреждаю,— закричала Королева и топнула ногой.— Любо мы лишимся твоERO общества, либо ты лишився головы. Решай сейчас же, нет — в два раза быстрее!— Герцогиня решила и тотчас исчезла, Вернемся к нашей игре,— сказала Алисе Королева. Алиса так была напутана, что, не говоря ни слова, побрела за ней следом·к площадке. Гости отдельали в тени, однako, увидев, что Королева возвращается, поспешили к своим местам. А Королева, подойдя, просто obъявила, что минута про медления будет стоять им всем жизни.

Пока шла игра, Королева безпрестанно ссо-
рилась с игроками. На-
конец она бросила иг-
ру и, переводя дыха-
ние, спросила Алису:
— А видела ты Под-Кот-
тика? — Нет, — сказала
Алиса. — Я даже не
знаю, кто это такой. —
Как же, — сказала Ко-
ролева. — Это такой
зверь. Из него делают
шапки и муфты
«под котик».
— Попли. Он тебе сам
все расскажет. Вскоре
они увидели Грифона,
крепко спящого на солн-
ценке. — Вставай, без
дельник, — сказала Ко-
ролева, — отведи эту ба-
рышко к Под-Котику.
Пусть расскажет ей
свою историю. — И она
ушла, оставив Алису с
Грифоном. — Смex да и
только! — пробормотал
Грифон. — Смex? — пе-
ресросила Алиса рас-
терян-

но. — Ну да, — ответил
Грифон. — Все это вы-
думки. Казнить! Ска-
жет тоже! У них такого
отрудясь не было. Лад-
но, пошли! «Вее здесь
только и говорят что
«пошли!», — подумала
Алиса. — Никогда в
жизни еще много так
не помыкали!» Когда
они подошли к Под-
Котику, тот взглянул
на них большеми пол-
ными слез глазами.
— Эта барышня, — на
чаал Грифон, — хочет по-
слушать твою историю.
ВЫнь да положь ей эту
историю! — Что же, я
рассказу, — проговори
рил Под-Котик глихим
голосом. — Садись и
не открывали
рта, пока я
не кончу. Гриф
fon и Алиса
уселись. На-
ступило молча-
ние. «Не знаю,
как это он

собирается кончить,
если никак не может
начать, — подумала
про себя Алиса. Но де-
лать было нечего — она
терпелив jqдала. Нако-
нен, Под-Котик немного
успокоился и, тяжело
вздыхая, заговорил. —
Когда мы были малень-
кие, мы ходили в школу
на дне моря. Учителем
у нас был старый Котик.
Мы зваили его Спрут-
ком. — Зачем же вы зва-
ли его Спрутком? —
спросила Алиса. — Мы
его зваили Спрутком,
потому что он всегда хо-
дил с рутиком, —
ответил сердито
Под-Котик. — Ты
не очень-то
догадлива! — Гри-
дать не кончу. Гриф
fon и Алиса
уселись. На-
ступило молча-
ние. «Не знаю,
как это он

10
JACK
шагом, що обоснує
дево у всіх
не всіх
не всіх?

Je кокк
Bot gy-
jaeme,
косел шагом
be spraye: „Do бcii
ecmь сьог шагом”?

Еуе еңүү еңүү мәхәғыр,
(пүү) еңүү мәхәғыр,
нас шагом: „Еуе еңүү мәхәғыр,
бай и мәхәғыр, бөбо
Jacr есе нүре -
Бериме?

32

Избранные школьные задачи

Восмой класс

1. Решите систему уравнения
   $$\begin{cases} x+y+z=3, \\ 2xy-2y-z^2=4. \end{cases}$$

2. a) Известно, что медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, делят угол при этой вершине на три равные части. Докажите, что этот треугольник — прямогольный, и найдите его остые углы.

3. Какое из двух чисел больше:
   $$\frac{1985^{1986}+1}{1985^{1987}+1}$$ или $$\frac{1985^{1984}+1}{1985^{1985}+1}$$?

4. В выпклом четырехугольника ABCD найдите такую точку O, чтобы площади четырехугольников, получающихся при соединении точки O с серединами сторона четырехугольника ABCD, были равны.

5. Докажите, что из любых 100 натуральных чисел можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма делилась на 100.

Девятый класс
6. Решите систему уравнения
$$\begin{cases} xy+x+y=1, \\ yz+y+z=5, \\ xz+x+z=2. \end{cases}$$

На этом рисунке и на обложке журнала — два изображения одного и того же объекта — кометы Галлея. Первое — самоое раннее (из сохраняющихся в истории), второе — сегодняшнее.

Рисунок сделан с гобелена «образца» 1066 года, вышитого королевой Матильдой, желой Вильгельма Завоевателя, под предводительством которого норманны покорили Англлюю. На гобелене видна комета и надпись «удивляются звезд». В правой части гобелена приводный астролог нашптывает последнему англо-сакконскому королю Гаролду II о дурном знаменении — комете.

На обложке журнала — изображения одного и того же объекта — кометы Галлея. Первое — самоое раннее (из сохраняющихся в истории), второе — сегодняшнее.

Рисунок сделан с гобелена «образца» 1066 года, вышитого королевой Матильдой, желой Вильгельма Завоевателя, под предводительством которого норманны покорили Англлюю. На гобелене видна комета и надпись «удивляются звезд». В правой части гобелена приводный астролог нашптывает последнему англо-сакронскому королю Гаролду II о дурном знаменении — комете.

На этом рисунке и на обложке журнала — два изображения одного и того же объекта — кометы Галлея. Первое — самоое раннее (из сохраняющихся в истории), второе — сегодняшнее.

Рисунок сделан с гобелена «образца» 1066 года, вышитого королевой Матильдой, желой Вильгельма Завоевателя, под предводительством которого норманны покорили Англлюю. На гобелене видна комета и надпись «удивляются звезд». В правой части гобелена приводный астролог нашптывает последнему англо-сакронскому королю Гаролду II о дурном знаменении — комете.

33

Задчи

М986 — М990, Ф998 — Ф1002

М986. Докажите, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство
$$2\sqrt{a} + 3\sqrt{b} \geq 5\sqrt{ab}.$$

М987. В турнире участвуют $2m$ команд. В первом туре встретились некоторые $m$ пар команд, во втором — другие $m$ пар. Докажите, что после этого можно выбрать $m$ команд, никакие две из которых еще не играли между собой.
M. Бона (ученик гимназии, Венгрия)

М988. Из одной точки $O$ на плоскости проведено $n$ векторов единичной длины. Докажите, что если для некоторого $k < n/2$ по обе стороны от каждой прямой, проходящей через $O$, лежит не менее $k$ векторов, то длина суммы всех $n$ векторов не превыходит $n - 2k$.
П. А. Калузин

М989. Найдите все натуральные числа $a$, для которых число $a - 1$ является суммой $a$ двух; $6$)* трех делителей числа $a$ (не обязательно различных; в число делителей включается 1).
В)* Докажите, что для любого $n$ существует лишь конечное число натуральных $a$ таких, что $a - 1$ является суммой $n$ натуральных делителей числа $a$ (не обязательно различных).
В. В. Батыеев

М990. В пространстве заданы три попарно скрещивающихся прямые, не параллельные одной плоскости. Сколько существует параллельпедов, у которых эти прямые $a$ проходят по ребрам?
6) проходят по ребрам или диагоналям граней?
в) содержат 6 вершин параллельпеда?
В. Н. Дубровский

Ф998. Горполыхник спускается с высокой горы с установленшей скоростью $v$. Гора образует угол $a$ с горизонтом и плавано переходит в горизонтальный участок. Как должен наклоняться лыжник, чтобы не упасть в момент перехода? Считать, что переход происходит быстро. Масса лыжника равна $M$. Соответствие воздуха не учитывать.
А. Н. Семенов

Ф999. По гладкой горизонтальной поверхности скольит мешок массой $m_1$, связанный жесткой невесомой вервкой с мешком массой $m_2$. Веревка, соединяющая мешки, проходит через не-

34

большое ответствие в столе (рис. 1). Длина вервки $L$, высота стола $H$, причем $H < L$. На какую высоту поднимается мешок $m_2$ после удара об пол, если в начальной момент все вервка лежала на столе и мешки не двигались?

Г. Л. Коткин

Из задач, присланных нашими читателями на Конкурс «Ф1000», лучше признана задача.

Ф1000. Ток $I$, текущий по контуру, образованному четырьмя ребрами куба (рис. 2), создает в центре куба магнитное поле с индукцией $B_0$. Найти величины и направление вектора индукции магнитного поля, создаваемого в центре куба током $I$, текущим по контуру из шести ребер (рис. 3).

М. М. Цыпин

Автор этой задачи — М. М. Цыпин — награждается Дипломом «Кванта».

Ф1001. В однородном электрическом поле находится незаряженный металлический шар. При выключении поля в шаре выделилось количество телла $Q$. Какое количество телла выделилось бы в шаре вторе большого радиуса?

С. С. Крогов

Ф1002. Точчный источник света находится на расстоянии $L$ от экрана. Собирающую линзу с фокусным расстоянием $F > (L/4)$, параллельную экрану, перемещают между источником и экраном. При каком положении линзы диаметр пятна, видимого на экране, будет минимальным?

Д. Ю. Григорьев

Problems

M986—M990; P998—P1002

M986. Prove the following inequality for arbitrary positive numbers $a$ and $b$:

$$2\sqrt{a} + 3\sqrt[3]{b} \geq 5\sqrt[5]{ab}.$$

M987. $2m$ teams participate in a tournament. In the first round $m$ pairs of teams meet, in the second — $m$ other pairs. Prove that after that it is possible to choose $m$ teams no two of which have met before.

M. Bona (gymnasium student, Hungary)

M988. $n$ unit vectors in the plane have the common origin $O$. Prove that if for some $k < n/2$ there are no less than $k$ vectors on both sides of any line passing through $O$, then the length of the sum of the $n$ vectors is no greater than $n-2k$.

P. A. Kalugin

M989. Find all the natural numbers $a$ for which the number $a-1$ is the sum of a) two; b)* three divisors of the number $a$ (not necessarily distinct).

c)* Prove that for any $n$ there exists only a finite number of natural numbers $a$ such that $a-1$ is the sum of $n$ natural divisors of the number $a$ (not necessarily distinct; the number 1 is counted among the divisors).

V. V. Batyrev

36

М967. Обозначим через σ(n) сумму всех натуральных делителей числа n (включая 1 и n) и через φ(n) — количество чисел, меньших числа n и взаимно простых с ним. Докажите, что для любого натурального n ≥ 2
σ(n) + φ(n) ≥ 2n.

Пусть 1 = d₁ < … < dₖ = n — все делители числа n.
Среди натуральных чисел, не превыходящих n, количество кратных dᵢ равно n/dᵢ, поэтому общее количество чисел, не взаимно простых с n, равное n - φ(n), не больше суммы
$$\frac{n}{d_2} + \frac{n}{d_3} + ... + \frac{n}{d_k} = d_{k-1} + d_{k-2} + ... + d_1 = \sigma(n) - n$$
(ибо n/d₁ = dₖ, n/d₂ = dₖ-1, …). Таким образом,
n - φ(n) ≤ σ(n) - n,
откуда и следует доказываемое неравенство.
Отметим, что для простого p наша оценка точна:
$$\sigma(p) = p + 1, \quad \varphi(p) = p - 1, \quad \sigma(p) + \varphi(p) = 2p.$$
В. Ф. Лев

М968. Три многоугольника в пространстве расположены так, что их плоскости пересекаются в одной точке O.
a) Докажите, что найдется плоскость, проекции на когурую этих трех многоугольников имеют равные площади.
b) Сколько будет таких плоскостей, проекциих через точку O?

Рис. 1.

Сопоставим многоугольник M вектор $\vec{m}$, перпендикулярный плоскости многоугольника и равный по длине площади многоугольника. Тогда площад проекции M на любую плоскость α равна длине проекции $\vec{m}$ на прямую a, перпендикулярную α (площад M при проекции умножается на косинус угла между α и плоскостью M, а длина вектора $\vec{m}$ — на косинус угла между вектором и прямой a, но эти углы, очевидно, равны; см. рисунок 1).

Отложим от точки O векторы $\vec{m}_1$, $\vec{m}_2$ и $\vec{m}_3$, соответствующие данным многоугольника; их концы и точка O не лежат в одной плоскости. В силу сказанного выше условия за д а чи а) удовлетворяет плоскость, проходящая через концы этих векторов, плоскку их проекции на перпендикулярную ей прямую совпадают. А так как длинный проекций двух каки-х-libо векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ на прямую равны тогда и только тогда, когда проекция $\vec{m}$ совпадает с проекцией $\vec{n}$ или — $\vec{n}$, мы можем аналогично построить еще 3 такие плоскости, заменяя в тройке векторов $\vec{m}_1$, $\vec{m}_2$, $\vec{m}_3$ вектор $\vec{m}_2$, или вектор $\vec{m}_3$, или оба вместе на противоположные (рис. 2). Ясно, что эти 4 плоскости попарно не параллельны, и при этом любая плоскость, удовлетворяющая условия a), должна быть параллельна одной из них. Таким образом, от веет в задаче 6) — 4 плоскости.
А. Онукян, Н. М. Седракин

М969. Докажите неравенство для a, b, c > 0:
$$\frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3}{c^2 + ca + a^2} \geq \frac{a + b + c}{3}.$$

Заметим, что
$$\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3 - c^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3 - a^3}{c^2 + ca + a^2} = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0,$$
позному левую часть нашего неравенства можно переписать в виде
$$\frac{1}{2} \left( \frac{a^3 + b^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3 + c^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3 + a^3}{c^2 + ca + a^2} \right).$$
(*)

А плоскку $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ и
$$\frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 + ab + b^2} - \frac{1}{3} = \frac{2(a^2 - 2ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = \frac{2(a - b)^2}{a^2 + ab + b^2} \geq 0,$$

37

первое слагаемое в () не меньше чем $(a+b)/3$; аналогично, второе — не меньше $(b+c)/3$, третье — $(c+a)/3$, то есть все выражение () не меньше чем

$$\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}\right)=\frac{a+b+c}{3},$$

что и требовалось доказать.

Г, Г. Алиханов

М970. На начальной остановке в автобус вошло 32 пассажира, который нужно ехать до 32 разных остановок, расположенных на расстоянии 1 км друг от друга. Водитель решил проводить голосование: какие остановки отменить, а какие сохранить. Он называет остановки в некоторых породке. Пассир головет за отмену остановки, если он собирается ехать дальше, против, если собирается выходить на этой остановке, и возвращается, если — раньше (не учитывая, что при дальнейшем голововании могут отменить и его остановку). Если за отмену подано больше головов, чем против, остановку отменют, а тот (или те), кто хотел на ней выходить, решит ехать до ближайшей к ней из еще не отмененных (если таких две — до первой из них). Какое а) наименьшее, б) наиболее число остановок может сохранить в зависимости от порядка, в котором их называет водитель?

a) Ответ. 2. Две последние остановки сохраняются при любом порядке головования: против последней никто не головует, против предпоследней головует один пассажир, а за нее — не меньше одного. Если водитель называет остановки в следующем порядке номеров: 31, 32, 29, 30, 27, 28, …, 1, 2, все остальные остановки отменят (см. таблицу).

6. Ответ. 6. Пусть после головования осталось неотмененными $m$ остановок, и на $i$-й из них, считая с конца, сошло $a_i$ пассажиров (например, $a_1=1$ — на последней, 32-й остановке, оченьindo, скодит 1 пассажир). Тогда против отмены этой остановки проголовало не больше $a_i$ пассажиров (ибо последующое головование не могло уже изменить решения сойти на ней), а за отмену — не меньше $a_{i-1}+a_{i-2}+\dots+a_1$. Поскольку остановку не отменили, $a_i \geq a_{i-1}+a_{i-2}+\dots+a_1$. Пусть осталось $m$ остановок, тогда

$$32=a_m+a_{m-1}+a_{m-2}+\dots+a_1 \geq 2(a_{m-1}+a_{m-2}+\dots+a_1) \geq 2^2(a_{m-2}+\dots+a_1) \geq \dots \geq 2^{m-1}a_1=2^{m-1},$$

и следовательно, $m \leq 6$.

Таблица

| Номер остановки | Число головов | Против отмены |
| :— | :— | :— |
| 31 | 1 | 1 |
| 32 | 0 | 1 |
| 29 | 3 | 1 |
| 30 | 2 | 1 |
| 27 | 5 | 1 |
| 28 | 3 | 2 |
| … | … | … |
| 32-2k-1 | 2k+1 | 1 |
| 32-2k | k+1 | k |

Укажем такой порядок головования, при котором $m=6$. Разобем остановки, начиная с последней, на 6 групп, состоящих из 1, 1, 2, 4, 8, 16 остановок. В каждой группе отметим одну остановку так, чтобы соседние остановки были равно удалены от общей границы их групп, то есть остановки с номерами 32, 31, 30, 27, 22, 11 (см. рисунок). Проведем головование от конца к началу сперва по неотмененным остановкам (легко видеть, что их все отменяют), потом — по отменным (за каждую из них проголовут все пас-

38

сажиры ее группы, против — все пассажеры следующих групп; поскольку $2^k = 1 + 1 + 2 + \dots + 2^{k-1}$, число голосов за и против будет одинаковым и остановку не отменят).

Проведенные рассуждения справедливы для любого числа остановок; ответ в задаче 6) в общем случае — $[\log_2 n] + 1$.

С. Л. Елисеев

Ф978. На жестком неевесом стержне ABC длины 3l закреплены два одинаковых грузика B и C так, как показано на рисунке 1: $|AB|=l, |BC|=2l$. Стержень подвешен за точку A к очень длинной неевесом нити AO. В начальной момент стержень удержают в горизонтальном полюзении, и нить при этом вертикальна; затем стержень отпускают. Какой будет скорость точки A в тот момент, когда стержень будет проходить низшее полюзение?

К тому моменту, когда стержень будет проходить низшее полюзение, нить OA очень слабо отклонится от вертикали (поскольку она очень длинная). Поэтому силу натяжения нити, действующую на стержень, можно считать все время вертикальной (горизонтальной ее составляющей можно претенбчь). Следовательно, горизонтальная составляющая импульса стержня остается неизменной, то есть равной нулю, и внизшем полюзении

$$|mv_B|=|mv_C| \Rightarrow |v_B|=|v_C|=v.$$

Значение $v$ найдет из закона сохранения энергии:

$$2\left(\frac{mv^2}{2}\right)=mgl+3mgl=4mgl,$$

откуда

$$v=2\sqrt{gl}.$$

Таким образом, в момент прохождения низшего полюзения стержень врашает вокруг центра K отрезка BC (рис. 2).

При этом $|AK|=2|OB|$, и скорость точки A

$$v_A=2v_B=2v=4\sqrt{gl}.$$

Г. Л. Коткин

Ф979. В сосуде, имеющим форму двух «состыкованных» цилиндров одинаковой длины l и с площадями сечений S и αS (α>1), находится идеальный газ. Посредние каждого цилиндра находится поршни, соединенные жестким стержнем (см. рисунок); при этом давление в отсеке I равно p, в отсеке III давление равно βp, поршни находится в равновесии. К системе подвели тело Q так, что температура возросла, оставаясь во всех отsekах одинаковой. Определите, как изменилось давление в отсеке I. Внутренняя энергия одного моля газа равна $cT$ (с — молярная тепломкость газа). Теплоемкость цилиндров и поршней претенбрежимо мылы, генерием претенбчь.

Пусть $V_i, p_i$ и $v_i$ — объем $i$-го отсека, давление и число молей газа в сосуде $v=v_1+v_2+v_3$. Так как температура $T$ во всех отsekах одинакова, уравнение Менделеева — Клайперона дает

$$p_1V_1+p_2V_2+p_3V_3=(v_1+v_2+v_3)RT=vRT.$$ (1)

По этой же причине поршни не сместятся, так как при постоянных объемах отношение давления в отsekах не меняется и в любой момент времени будет выполнен условие равновесия

$$(p_3-p_2)\alpha S+(p_2-p_1)S=0.$$ (2)

Используя условия $p_3=\beta p_1$, из (2) находится

$$p_2=p_1\frac{\alpha\beta-1}{\alpha-1}.$$ (3)

Из (3) видно, что задача имеет смысл при $\alpha\beta\ge 1$, так как давление должно быть положительным. Подставляя $p_2$ и $p_3$ в (1), находим связь между давлением в первом отсеке и температурой:

$$p_1=\frac{vTR(\alpha-1)}{Sl(\alpha^2\beta-1)}.$$ (4)

Поскольку разность конечной и начальной температуры

39

ператур $\Delta T = \frac{Q}{vc}$, из (4) для изменения давления $\Delta p$ имеем

$$\Delta p = \frac{QR(a-1)}{cSl(a^2\beta-1)}$$

В. С. Фадин

После соединения пластин 1 и 4 проводником, разность потенциаль между ними $U_{14}$ будет равна нулю. При этом распределение заряда на пластинах и электрических полей между ними будет таким, как показано на рисунке 2.

$$U_{14} = E_1d - E_3d + E_2d = \frac{d}{\varepsilon_0S} (q'_1 - q_3 + q'_2) = 0.$$

Из закона сохранения заряда на пластинах 2 и 3 следует:

$$q'_1 + q_3 = q_1, \quad q'_2 + q_3 = q_2,$$

откуда

$$q_3 = \frac{q_1 + q_2}{3}.$$

Следовательно, разность потенциаль между пластинами 2 и 3 равна

$$U_{23} = \frac{q_3}{\varepsilon_0S} d = \frac{q_1 + q_2}{3\varepsilon_0S} d.$$

Г. В. Федотович

Для того чтобы определить силу $N$, действующее на перегрузок $m$ со стороны груза $M$, воспользуемся вторым законом Ньютона для движения перегрузка:

$$ma = mg - N.$$

После того как грузы отпустили, они совершают гармоничные колбания (как один груз массы $M + m$). Значит, ускорение $a$ периодически изменяет свое направление. Сила

$$N = m(g - a)$$

будет максимальная в момент, когда ускорение имеет максимальную абсолотную величины и направлено вверх, то есть в момент наиболее растяжения рукки. Для определения ускорения использует второй закон Ньютона для движения груза с перегрузком:

$$(M + m)a = (M + m)g - kx.$$

Максимальное значение $x_{\max}$ найдет с помощью закона сохранения энергии (учитывая, что в момент максимального растяжения рукки скорость груза равна нулю):

40

$$-(M+m)gx_0 + \frac{k}{2}x_0^2 = -(M+m)gx_{\max} + \frac{k}{2}x_{\max}^2,$$

где $x_0$ — удлинение пружины без перегрузка $m$. Учитывая, что $kx_0 = Mg$, из (2) получаем: $kx_{\max} = (M+2m)g$. Подставляя это значение в (1), находим максимальное значение ускорения —

$$|a_{\max}| = \left| -\frac{m}{M+m}g \right| = \frac{m}{M+m}g,$$

и зная $a_{\max}$, находим $N_{\max}$:

$$N_{\max} = mg \frac{M+2m}{M+m}.$$

П. И. Зубков

Ф982. Как известно, предельный размер различной детали изображения на кинопленке определяется размером кристалликов светочувствительной слоя. С уменьшением размера кристалликов четкость изображения растет. Оцените предельный размер кристалликов, при котором эритель перестает заменать рост четкости изображения на экране кинозала. Предполагается, что вы хорошо представляется, что вы хорошо представляется, может сами задать необходимые для решения величины, выбрать достаточно правильные численные значения и получить численный результат.

В случае простейшей проекционной киноустановки изображение на экране создается в результате прохождения через кинопленку расходящого светового пучка, обеспечивающего необходимое увеличение кадра. При этом важно отсутствие линейных искажений на экране. Это значит, что относение размера $\Delta h$ детали на пленке к размеру $h$ всего кадра должно быть точно таким же, как и относение размера $\Delta H$ изображения этой детали на экране к размеру $H$ всего изображения кадра на экране, то есть

$$\frac{\Delta h}{h} = \frac{\Delta H}{H}.$$

Пусть $\Delta H$ — предельный размер детали, еще различим глазом зрителя с расстояния $l$, $H$ — размер экрана, совпадающий с размером изображения кадра на нем, $\Delta h$ — минимальный размер детали на кинопленке, совпадающий с размером светочувствительного кристаллика («зерна») фотоэмульсики, $h$ — размер кадра на пленке (см. рисунок).

Отношение $\Delta H/l$ определяется так называемым «угловым разрешением глаза» зрителя, то есть минимальным углом $\theta$, на границах которого глаз разделяет (видит неслившимся) две точки или две линии. Величину этого угла несложно оценить. Вспомним, например, посыщение кабине-вара-окулиста: с расстояния нескольких метров, расматривая таблицу букв так же, как мы смотрим кино, мы различаем детали букв, не менящие нескольких миллиметров; то есть по порядку величины угол $\theta$ равен

$$\theta \sim \frac{\Delta H}{l} \sim 10^{-3}.$$

Таким образом, $\Delta H \sim l\theta$, и

$$\Delta h = h \frac{\Delta H}{H} \sim \frac{hl\theta}{H}.$$

При $h=1$ см, $l=20$ м, $H=5$ м, $\theta \sim 10^{-3}$ для минимального размера кристалликов фотоэмульсики, за пределами которого зритель перестает заменять рост четкости изображения на экране, получаем

$$\Delta h \sim 0,04$$ мм.

Эта оценка выполняется с известными параметрами кинофотоматериалов.

Г. В. Меледин

42

Программирование на микрокалькуляторе: игры

Л. Н. СИСТЕПСКИЙ

Стация предназначаена в первую очередь для девятиклассиков, изучающих курс основ информации и вычислительной техники и имеющих доступ к программируемому микрокалькулятору, по будет интересна также и всем, кто пользовется таким микрокалькулятором.

В течение учебного года вы научились писать программы на алгоритмическом языке. На страницах журнала «Квант» мы обьясили, как транслировать эти программы в коды программируемого микрокалькутора (см. «Квант», 1985, № 2, 3). Эти навыки позволяют вам пользоваться вашим кабельтором и для решения школьных задач из курса математики, например нахождение корни алгебраических уравнений.

Не это дело будущего. А сейчас, перед летними каникулиами, мы предлагаем вам отвлечься от математических задач и пограть в игры с помощью вашего программируемого микрокалькутора.

Игра Башше

Из кучи, содержащей $p$ предметов, например спичек, два игрока по очереди берут некоторое количество спичек. За один раз можно взять не менее одной и не более $k$ спичек. Число $k$ (лучше выбрать его намного меньше $p$) устанавливается игроками заранее. Проигрывает тот, кому придется взять последнюю спику.

Введите в машину программу, данные в таблице 1, обзаведесь предварительно набором спичек, путешещили других предметов, и, внимательно прочитайте инструкцию, начинайте игру. Можно играть с машиной один на один. Убедившись, что машина — сильный партнер, позволяет на помощь товарища и попробуйте сообща сыграть против машины.

Инструкция

1. Ввести программу B/O.
2. 1 ВП 7 П 7 1, 8 F 1/x П/8.
3. $p$ C/П $(p)$, $k$ C/П (0).
4. Если первый ход делает машина, то C/П (количество спичек, взятых машиной), ввести ваш ход C/П (ход машины) и опять ваш ход и т. д.
5. Если первый ход хотите делать вы, то введите число взятых вам спичек, C/П (ответный ход машины), ваш ход C/П (ход машины) и т. д.
6. Для новой игры: B/O и идти к п. 3 инструкции.
7. Задачи
   1 (для любитель математики). Для данных $p$ и $k$ найдите выигрышную стратегию в игре Башше.
   2* (для любитель программырования). Попробуйте расшифровать стратегию машики.

Балистическая игра

Изображение на клетчатой бумаге системы координат, причудливый пейзаж и два города гулпцов, вражуюших между собой (рисунок). В пределах каждого города установлен стартовую процедку и отметьте точками положения орудий (пушек), из которых неразумные жители вражуюших города обстрелвают друг друга хлопушками. Введите в машину программу из таблицы 2, нажмите B/O, введите данные согласно инструкции.

Таблица 1

00 П 0 40 24 F Вх 0
01 C/П 50 25 — 11
02 ↑ 0E 26 ИП 1 61
03 1 01 27 /-/ 0L
04 + 10 28 × 12
05 П 1 41 29 ИП 0 60
06 0 00 30 + 10
07 C/П 50 31 1 01
08 F x≠0 57 32 — 11
09 15 15 33 F x≠0 57
10 /-/ 0L 34 44 44
11 ↑ 0E 35 П 2 42
12 ИП 0 60 36 /-/ 0L
13 + 10 37 ↑ 0E
14 П 0 40 38 ИП 0 60
15 ИП 0 60 39 + 10
16 1 01 40 П 0 40
17 — 11 41 ИП 2 62
18 ИП 1 61 42 БП 51
19 ÷ 13 43 07 07
20 ИП 8 68 44 1 01
21 — 11 45 П 2 42
22 ИП 7 67 46 БП 51
23 + 10 47 36 36

43

Таблица 2

| | | | | | |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 00 | ИП 3 | 63 | 34 | + | 10 |
| 01 | F sin | 1[ | 35 | П 0 | 40 |
| 02 | ИП 2 | 62 | 36 | ИП А | 6— |
| 03 | × | 12 | 37 | ИП 3 | 63 |
| 04 | П 0 | 40 | 38 | + | 10 |
| 05 | ИП 3 | 63 | 39 | П А | 4— |
| 06 | F cos | 1Г | 40 | ИП С | 6[ |
| 07 | ИП 2 | 62 | 41 | ИП 6 | 66 |
| 08 | × | 12 | 42 | — | 11 |
| 09 | ИП 8 | 68 | 43 | П С | 4[ |
| 10 | × | 13 | 44 | ИП 0 | 60 |
| 11 | П 3 | 43 | 45 | ИП 9 | 69 |
| 12 | ИП 0 | 60 | 46 | × | 12 |
| 13 | П 2 | 42 | 47 | ИП 2 | 62 |
| 14 | ИП 6 | 66 | 48 | + | 10 |
| 15 | F sin | 1[ | 49 | ИП 0 | 60 |
| 16 | ИП 5 | 65 | 50 | × | 12 |
| 17 | × | 12 | 51 | ИП 1 | 61 |
| 18 | П 0 | 40 | 52 | + | 10 |
| 19 | ИП 6 | 66 | 53 | П В | 4↓ |
| 20 | F cos | 1Г | 54 | ИП 0 | 60 |
| 21 | ИП 5 | 65 | 55 | ИП 9 | 69 |
| 22 | × | 12 | 56 | × | 12 |
| 23 | ИП 8 | 68 | 57 | ИП 5 | 65 |
| 24 | × | 12 | 58 | + | 10 |
| 25 | П 6 | 46 | 59 | ИП 0 | 60 |
| 26 | ИП 0 | 60 | 60 | × | 12 |
| 27 | П 5 | 45 | 61 | ИП 4 | 64 |
| 28 | 0 | 00 | 62 | + | 10 |
| 29 | П 0 | 40 | 63 | П Д | 4Г |
| 30 | П В | 4↓ | 64 | C/П | 50 |
| 31 | П Д | 4Г | 65 | ВП | 51 |
| 32 | ИП 0 | 60 | 66 | 32 | 32 |
| 33 | ИП 8 | 68 | | | |

Инструкия

1. Ввести программу. Переключатель меры угла перевести в положение Г (градусы), В/O;
2. Ввести данные:
   $Y_1$; П 1; $v_1$; П 2; $\alpha_1$; П 3; $Y_2$, П 4; $v_2$; П 5; $\alpha_2$; П 6; 1; П 8; 5; /—/; П 9; $X_1$; ПА; $X_2$; ПС.
3. С/П;
4. Результаты: ИП А ($X_1$) ИП В ($Y_1$) ИП С ($X_2$) ИП Д ($Y_2$)
5. Далée, к п. 3 инструкции.
   Смысл данных следующий:
   $Y_1$ — ordината пушки первого города (слева); $v_1$ — начальная скорость хлопушки, вылетающей из этой пушки;
   $\alpha_1$ — угол прицела первой пушки (см. рисунок) в градусах;
   $Y_2$ — ordината пушки, установленной во втором города (справа);
   $v_2$ — начальная скорость хлопушки второй пушки;
   $\alpha_2$ — угол прицела второй пушки (см. рисунок) в градусах;

Запустите программу клавишей C/П. В регистрах А и В будут занесены абсцисса и ordината пушки, выпущенной из второго города. Нажав C/П, вы получите положения хлопушки еще через 1 секунд и т. д. Пока машина вычисляется, отмещайте положения хлопшки на чертеже. Выигравает тот гулепцел, кто (первым) поразит старуюую площадку соперника.

В регистра 8 (см. инструкцию) перед началом игры запосится 1. Вы можете заносить любое число t, меняя тем самым промежуток времени между отделными показаниями машинки (можно интервовать положениями хлопушки не через каждую секунд, а через 2 секунд или 0,5 секунд и т. д.). В регистра 9 запосится величины — g/2, где g — величинаускорения свободного падения в м/сек². Мы положили g=10. Если гулепцы живут не на Земле, а на Луне, то нужно выбрать g в 6 раз меньше. Короче говоря, вам представляется широкий диапазон для фантации о возможных безобразиях гулепцов. Тот, кто лучше разбирается в физике и условиям движения, получит хорошую возможность моделирования процесса движения тела в поле тяготения.

44

Х. Заключение. Полупроводниковые элементы будущих ЭВМ

Доктор физико-mатематических наук М. Е. ЛЕВИНШТЕЙН, кандидат физико-mатематических наук Г. С. СИМИН

Полупроводниковые элементы, на основе которых работают современные ЭВМ, достигли высокой степеню совершенства. Время их переключения составляет стопиллонные доли секунд. Размеры их так малы, что на кремнийой пластинке размером 5×5 мм помещаются сотни тысяч трансисторов — полевых или биполярных.

Современные ЭВМ способны управлять космическими аппаратами и ставить диагноз большому, доказывайте математические теории и руководить предприятыми, переводить научные тексты и планировать перевозки в масштаб целей страны.

Однако существуют задачи, которые пока что не под силу даже самым мощным из нынешних ЭВМ. Например, чтобы составить удовлетворительный прогноз погоды на завтрашный день, проведсти очень точный расчет поведения самолета в воздушном потоке или электронов в твердом теле, необходимо ЭВМ с быстродействием порядка 1 триллиона операций в секунду. И для таких ЭВМ, разработка которых ведется уже сейчас, попадаются новые, более совершенные элементы.

Совершенствование элементов ЭВМ производит сразу в несколько направлениях. Улучшают параметры биполярных и полевых трансисторов, создаются и испытаются новые переключательные элементы, предлагаются и проходят всестороннюю проверку новые способы обедининия переключательных элементов в Сверхбольшие и Сверхскоростные Интерgalные Схемы.

Совершенствование существующих элементов ЭВМ

Из принципи работы биполярных и полевых трансисторов (см. заметки II и III настояшей серии в «Кванте» № 10, 11, 1985 г.) следует, что скорость переключения этих элементов тем выше, чем меньше их размеры и чем больше подвижность носителей тока в полупроводнике, из которого они изготовлены.

Поэтому совершенствование существующих элементов ЭВМ — биполярных и полевых трансисторов — идет двумя основными путями. Создаются новые технологии процессы, позволяющие получить трансисторы с возможной меньшей толщиной базы (биполярный трансистор) или возможной более коротким каналом (полевый трансистор). Идет поиск новых материалов с большой подвижностью носителей трансисторов.

Современные технологии процессы позволяют под контролем ЭВМ наращивать слой полупроводникового материала толщиной в один-единственный atomный слой. Практические создания и проходят испitation приборы с толщинами рабочих элементов 10—15 Å (рис. 2). Созданы биполярные трансисторы с толщиной базы ~0,1 мкм и полевые — с длиной затвора 0,15 мкм.

Рис. 1. В таких установках на тонких ленках monокристаллических полупроводников наращиваются очень быстро (0,05—10 мкм, обладающие всеми свойствами, необходимыми для создания ВИС.

Рис. 2. Структура из чередующся слоев двух разных полупроводников, выраженных друг на друге. На электронной микрофотографии каждая темная зона состоит из шести atomных плоскостей GaAs, каждая светлая — из четырех atomных плоскостей Al1-xGa_xAs. Обратите внимание на четкие границы между полосками, характеризующие точность, с которой результат толщина слое выращивания.

Рис. 3. Селективно-легированная структура. Атомы доморной примеси (обозначены ⊥) вводятся в материал 1 (GaAlAs). Они создают в этом материале свободные электрины (обозначены ●). Часть

46

созданием интерральных схем нового типа — объемных ИС, каждая из которых должна содержать десяти и сотни миллионов полупроводниковых прибора.

Объемная ИС наопнимает сложный пирог. Каждый слой этого пирог — уже знакомая нам плоская ИС.

После того как заканчивается формирование общной плоской ИС на полупроводниковой пластине: изготовливаются все трансисторы, соединения между ними, внешние выводы и т. д., сверху направляется слой диэлектрика. Затем поверх диэлектрика направляется слой полупроводника. На этом полупроводниковом слое создается вторая ИС и т. д.

В корпус помещается теперь не пластинка, а «кубик», содержащий много ИС. При этом содержания между плоскими ИС выполняются внутри «кубика» сразу в процессе изготовления объемной ИС. В результате число внешних содержений резко уменьшается. Возрастает надежность и уменшается стоимость схемы.

Полупроводниковые элементы оптических ЭВМ.
В ЭВМ информация, как мы знаем, хранится и обработывается в виде электрических сигналов. Оdnako уже с середины 70-х годов начались работы по созданию ЭВМсовсем иного типа — оптических ЭВМ.

В современных ЭВМ «нулю» и «единица» — двум числам, с помощью которых записывается вся хранимая и перерабатываемая машиной информация, условно соответствует закрытое и открытое состояние трансисторов. В проектируемых оптических ЭВМ «единица» соответствует прохождение света через оптическую ячейку, «нулю» — поглощение света в ячейке.

Предполагается, что луч полупроводникового лазера, введенный в световод (рис. 6), будет направляется к полупроводниковым оптическим ячейкам, произносить которых может изменяться десяти миллиардов раз в секунду с малыми затратами энергии.

Удивительные элементы совершенного необъичных ЭВМ
Природа подсказывает нам, что увеличение быстрореduction — не единственный путь усвоенияствования интеллектуальных возможностей ЭВМ. Клетки человекаого мозга — нейроны — переключаются за время, приблизительно в миллион раз больше, чем «клетки» совершенных ЭВМ. Оdnako именно Человек изобрел и ЭВМ и очень много другие замечательные вещи.

Как устройен человекский мозг, почему он работает с такой заменательной эфективностью — эти вопросы интенсивно изучаются и еще очень далеко от разрешения. Оdnako уже середня сделаны первые шаги по созданию биомолекулярных ИС — основы будутших биологических ЭВМ. Запатентован метод изготовления ИС на основе белкового материала — полinizина. Созданы молекулярные переключатели, белковые полезные трансисторы, биодатчики сигналов, сравнительных приядных, биологических или химических воздействиях. Предполагается, что плотность упаковки элементов в таких биополимерных структурах приближится к плотности упаковки структур, ответственных за фотосинтез в зеленых листах растений и составит более миллиарда на 1 mm². Есть основания надеяться, что биополимерные ИС будут не изготовляться, а выращивать, как живую ткани.

Впрочем, если эти надежные оправдаются, такие элементы не будут иметь отношения к полупроводникам.

Но в ближайшее десятилетие именно прогресс в области полупроводниковой электронки определит и уровень достижения в разработке совершенных ЭВМ.

47

Электромагнитная индукция

Доктор физико-mатематических наук
С. М. КОЗЕЛ

Явление электромагнитной индукции было открыто Фарадем в 1831 году. Это открытие показало, что между электрическим и магнитным полями имеется технология связи — изменяющеся во времене магнитное поле порождает электрическое. Примерно через 30 лет Максвеллу удалось показать, что изменяющеся электрическое поле в свою очередь порождает магнитное. В этих двух великих открытиях прошло века заключена, по существу, все современная наука об электромагнитных полях. Они позволили предсказать существование радиоволн, даь обязывание электромагнитной природы света.

В результате многочисленных и разнообразных опытов Фарадей установил колiectвенный связь между ЭДС индукции $E_{\text{ind}}$ и скоростью изменения магнитного потока $\Phi$, произвольно его замкнутый контур (закон Фарадея):

$$E_{\text{ind}} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}.$$

В более строгой математической записи $E_{\text{ind}}$ выражается через первую произвольную магнитного потока по времени: $E_{\text{ind}} = -\Phi'(t)$.

Обыты по электромагнитной индукции, поставленные Фарадем, можно разделить на две группы. К первой группе относятся опыты с проводниками, движущимся в магнитном поле. В этом случае возникнет ЭДС индукции объясняется действием силы Лоренца. При движении проводника его свободные заряды движутся вместе с ним. Сила Лоренца, действующая на эти заряды, вызывает их перемещение относительно проводника.

На рисунке 1 изображена схема одного из таких опытов. В магнитном поле постоянного магнита находится замкнутая проводочная рамка, в цепь которой включает галванометр Г. Рамка удаляется со скоростью $\vec{v}$ от южного полока магнита, а ее плоскость остается перpendикулярной оси магнита. При движении в рамках возникнет индукционный ток. Формула Фарадея позволяет найти направление индукционного тока.

Вопрос 1. Каков физический смысл знака «—» в формуле для $E_{\text{ind}}$?

Для определения направления индукционного тока нам необходимо

48

прежде всего задать положительное направление тока в рамке и направление положительной нормали к плоскости рамки (которая определяет знак магнитного потока). Эти два направления должны согласованы по правилалу правого вината (буравчика). Так, если на рисунке 1 выбрать направление положительной нормали $n$ к плоскости рамки слева направо, то положительное направление тока должна быть выбрано против часовой стрелки (если смотреть на рамку состояны магнитна). При таком выборе магнитный поток, произвольной контур рамки, $\Phi > 0$, но при удалении рамки от магнита поток уменшается и, следовательно, $\Delta \Phi / \Delta t < 0$. Из закона Фарадей следует, что $\mathcal{E}_{\text{инд}} > 0$.

Если рамка обладает активным сопротивлением $R$, то индукционный ток $I = \mathcal{E}_{\text{инд}} / R > 0$. Это означает, что ток будет течь против часовой стрелки.

Разобранное здесь правило знаков часто ускользает от внешания абитурентов. А между тем знак «—» в законе Фарадей обеспечивает выполнение закона сохранения энергии. В нашем примере на каждый элемент рамки, по которым течет индукционный ток, будет действовать сила Ампера $F$. Горизонтальная составляющая этой силы направлена против движения рамки. Таким образом, в соответствии с законом сохранения и превращения энергии рамка будет испытывать торможение, а в самом рамке будет выделяться джоулево телло.

Индукционный ток в рамке возникнет не только при ее поступательном движении, но и при вращении или деформации рамки в магнитном поле. Важно только, чтобы изменялся магнитный поток, произвольной рамку.

Опыт показывает, что если рамку оставить неподвижной, а перемещать магнит, то индукционные явления протекают точно так же, как и при движении рамки. Индукционный ток зависит только от относительной движения рамки и магнита. Закон Фарадей применим и в этом случае, одноко объяснение явления теперь оказывается совершенно другим. В неподвижных контурах сила Лоренца не может вызвать движения зарядов по проводникам. Ответственным за возникновение $\mathcal{E}_{\text{инд}}$ в этом случае является электрическое поле, возникшее при изменении магнитного поля. Это поле называют вихревым, потому что, в отличие от электростатического поля, его силовые линии могут быть замкнуты.

Вопрос 2. Какова количество связь вхревого электрического поля с $\mathcal{E}_{\text{инд}}$?

По определению электрижущая сила равна работе сил, действующих на единичный положительный заряд при его перемещении по замкнутой траектории. В электростатическом поле эта работа всегда равна нулю (такие поля называют потенциальными). В вихревом электрическом поле она может быть отлична от нуля. Эта работа и равна $\mathcal{E}_{\text{инд}}$.

В качестве примера рассмотрим магнитное поле между положами электромагнита (рис. 2). Пусть, для простоты, положы цилиндрические, так что магнитное поле в области, близкой к оси, можно считать одноподным. Если магнитное поле будет изменяться со временем, то взаоре электромагнита возникнет вихревое электрическое поле, силиовые линии которого представляют собой концентри

49

трическое окружности. Выделим окружность радиусом $r$. Работу вихревого электрического поля при перемещении единичного положительного заряда по этой окружности можно записать в виде

$$E(r) \cdot 2\pi r = \mathcal{E}_{\text{инд}} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -\frac{\Delta B}{\Delta t} \pi r^2.$$

Отсюда

$$E(r) = -\frac{r}{2} \frac{\Delta B}{\Delta t}.$$

Направление линейнапряженности $\vec{E}$ вихревого электрического поля на рисунке 2 показано для случая, когда индикция $\vec{B}$ магнитного поля возвращает со временем.

Представление о вихревом электрическом поле было введено Максвеллом. По Максвеллу, существуя является электримагнитной индукции состоит в возникновении вихревого электрического поля, которое может возвращаться не обязательно в проводниках. Оно может возникнуть и в пространстве, где нет никаких проводников. Вихревое электрическое поле, порождаенное изменяющимся магнитным полем, может пройвиться в действии на отдельные заряженные частицы в вакууме, как, например, вускоритель электровоз — бетатрон (см. задачу 4).

Рассмотрим теперь ряд задач на индукционные явления в движущихся и неподвижных проводниках.

Задача 1. По двум вертикальным параллельным рейкам, замкнутым в верхней части через резistor с сопротивлением $r=1,1$ Ом и батарею с ЭДС $E=1$ В, без треня скольчит стержень CD, длина которого $l=10$ см и масса $m=10$ г (рис. 3). Система нахождения в однородном магнитном поле с индукцией $B=1$ Тл. Вектор $\vec{B}$ перpendicular плоскости чертежа и направлен к читателю. Найдите установившуюся скорость стержня. При каком соответствии между параметрами задачи установившаяся скорость будет направлена вверх?

Рассмотрим контур ACDK,ащтрихованный на рисунке 3. При движении стержня в нем будет возникать $\mathcal{E}_{\text{инд}}$. За положительное направление тока в этом контуре выберем направление против часовой стрелки. Тогда положительная нормаль к плоскости контура направлена к читателю и, следовательно, магнитный поток

$$\Phi > 0.$$ При движении стержня визм магнитный поток через контур увеличивается: $\Delta \Phi/\Delta t > 0$. Если скорость падения обозначить через $v$, то $\mathcal{E}_{\text{инд}} = -\Delta \Phi/\Delta t = -vlB$.

Запишем теперь закон Ома для контура ACDK:

$$Ir = -\mathcal{E} + \mathcal{E}_{\text{инд}} = -\mathcal{E} - vlB.$$

К этому уравнению нужно добавить условия постоянства скорости: при установившемся движении сила тяжестеги $m\vec{g}$ компенсируется амператорой силой $\vec{F}$, действующей на стержень с стороны магнитного поля. Применяя правило левой руки, легко убедиться, что амператора сила будет направлена вверх, когда ток в стержне течет справа налево, то есть при $I < 0$. Следовательно,

$$mg = F = -IBl.$$

Отсюда

$$v = \frac{1}{BL} \left( \frac{mgr}{Bl} - \mathcal{E} \right).$$

Подставляя числовые данные, найдем: $v = 1$ м/c > 0 — стержень действующего движения.

Для того чтобы установившаяся скорость оказалась направленной вверх, должно выполнять условие

$$\mathcal{E} > \frac{mgr}{Bl} = 1,1$$ В.

Обратим внимание на то, что из написанных формул вытекает очень важное энергетическое соотношение:

$$I^2r = -\mathcal{E}I - vlBI = -\mathcal{E}I + mgv.$$

Джоулево теплло $I^2r$, выделяющееся в единицу времени на сопротивлении $r$, равно сумме работы батареи — $\mathcal{E}I$ (эта работа положительная, так как $I < 0$) и силы тяжестеги $mgv$ за это же время. Magнитное поле работает не совершает!

51

Задание 4. Вускорите электронов — бетатроне — роль ускоряющего поля црает вхревое электрическое поле, возбуждаемое изменением магнитного потока, произвлающего орбиту электронов. Считая радус орбиты электронов неизменным, определяте необходимое для этого в данной момент времени соответствие между средним магнитным полем $B_{cp}$, произвлающего орбиту электронов, и магнитным полем на орбите $B$. Магнитное поле параллельно оси симметрины вакуумной камеры бетатрона.

Физика этой задачи состоит в том, что вхревое электрическое поле $E$ и сообщаемая этим полем электрону скорость $v$ определяются изменением среднего значения магнитного поля, произвлающего орбиту, а сила Лоренца, удерживающая электрон, зависит от магнитного поля на самом орбите.

Провода те же рассуждания, что и при решении предыдущего задачи, запишем

$$|E| = \frac{r}{2} \frac{\Delta B_{cp}}{\Delta t}, \quad v(t) = \frac{er}{2m} B_{cp}(t).$$

Из условия движения электрона по орбите $evB = mv^2/r$ получим

$$B(t) = \frac{mv(t)}{er} = \frac{B_{cp}(t)}{2}.$$

Таким образом, для стабильной работы бетатрона нужно, чтобы среднее магнитное поле внутри орбиты в любой момент времени было в два раза больше поля на орбите. Следовательно, магнитное поле в центральной части орбиты должно быть больше, чем на самом орбите. Это достигается специальным выбором конфигурации магнитов.

В заключение рассмотрим интересное применение закона электромагнитной индукции к сверхпроводящим катушкам. Сверхпроводники широко использоваются при создании сильных электромагнитов. В замкнутой сверхпроводящей обмотке ток может циркулировать длительное время без источника энергии.

Допустим, что у нас есть короток замкнутая рамка из сверхпроводника. Пусть ток в рамке равен нулю. Внесем рамку во внешнее однородное магнитное поле с индукцией $B$, направленной перpendicularно плоскости рамки.

Вопрос 4. Какой магнитный поток пропизывает рамку?

Надо ответить, что многое абитуренты отвечают на этот вопрос так: магнитный поток равен произведению $BS$, где $S$ — площадь рамки. Этот ответ неверен. Правильный ответ состоит в том, что магнитный поток, произвлающий орбиту электронов, и магнитный полем на орбите $B$. Магнитное поле параллельно оси симметрины вакуумной камеры бетатрона.

Физика этой задачи состоит в том, что вхревое электрическое поле $E$ и сообщаемая этим полем электрону скорость $v$ определяется изменением среднего значения магнитного поля, произвлающего орбиту, а сила Лоренца, удерживающая электрон, зависит от магнитного поля на самом орбите. Этот результат вытекает из закона Фарадея. Действительно, для сверхпроводящей замкнутой цепи закон Ома записьается в виде $0 = -\Delta \Phi/\Delta t$. В левой части этого соответствия стоит падение напряжения на нулевом сопротивлении сверхпроводника, в правой — ЭДС индукции. Отсюда следует, что $\Phi = const$. Таким образом, замкнутый сверхпроводящий контур является консерватором магнитного полока. Он сохраняет тот магнитный поток, который пропизывает контур в момент перехода в сверхпроводяще состояние. Этот поток нельзя изменить никакими внешними полями (до тех пор, пока сохраняется сверхпроводимость).

Физическая механизм, обеспечивающий сохранение потока, состоит в том, что при изменении внешнего магнитного полока в контуре появляется индукционный ток, магнитное поле которого полностью компенсирует изменение внешнего магнитного полока.

Задание 5. На какую величины изменяется ток в круговой петле из сверхпроводника, если надеть ее на длинный соленод, который подключает к батарее с ЭДС $\mathcal{E}$, как показано на рисунке 5? Полное сопротивление цепи соленода $r$, индуктивность петли $L$, индуктивность соленода $L_0$, его число витков $N$.

Пусть $I_0$ и $I$ — начальное и конечное значения ток в петле. Заметим, что ток в соленод не изменяется и остается равным $\mathcal{E}/r$, так что собственный магнитный поток соленода равен $L_0\mathcal{E}/r$. При этом каждый виток соленода пропизывает магнитный поток $L_0\mathcal{E}/(rN)$. Такой же поток (внешний по отношению к петле) пропизывает и петлю, надетую на соленод. Но полный магнитный поток в петле должен оставаться неизменным. Поэтому

$$LI \pm L_0\mathcal{E}/(rN) = LI_0,$$

или

$$I_0 - I = \pm L_0\mathcal{E}/(LrN).$$

Двузначность в этих формулах связа-