Квант 1986, №7 · Страницы

КВАНТ
7
1986

Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Тайны
волшебной
ламы

Сегодня у нас в гостях болгарский научно - популярный математический журнал для школьников «Математика». Об этом замечательном издании, о его истории расскажет на первых страницах «Кванта» главный редактор журнала «Математика» Р. Русев. Задачи и статьи по математике на следующих страницах номера написаны на шими болгарскими коллегами.

Большие достижения болгарской школьной математики — признаемые места на двух последних Международных математических олимпийдах, победа города Ямбола на только что закономиземая Турнире города, заметные успехи НРБ по компьютеризации школьного образования — специальности связи вводот несомненным влиянием журнала «Математика». Насколько интересны и полезны материйы наших друзей из Болгарии, читатели «Кванта» смогут представить, прочитав этот номер.

1

В НОМЕРЕ:

2. Р. Русев. Журнал ЦК Коммунистического союза молодежи им. Димитрова
   «Математика» и его развитие
   R. Rusev. The Bulgarian young communist league’s magazine „Mathematics“ and its development

3. К. Г. Банков. Об одной теореме Кронекера
   K. G. Bankov. About a theorem of Kronecker

4. И. П. Крылов. Натагниченный atomарный водород
   I. P. Krylov. Magnetized atomary hydrogen

5. А. А. Варламов. Тайны волшебной лампы
   A. A. Varlamov. Mysteries of the magic lamp

6. Лаборатория «Кванта»
   E. Э. Коломейцев. Ионы в расторх
   Kvant’s lab
   E. E. Kolomeytsev. Ions in solutions

7. Школа в «Кванте»
   Й. Б. Табов. Об одном способе задания окружности
   Kvant’s school
   Y. B. Tabov. About a way of defining circles

8. «Квант» для младших школьников
   Задания
   Mорская kadриль (по мотивам Л. Кэрролла)
   Kvant for younger school children
   Problems
   The lobster quadrille (after L. Carroll)

9. Математический кругжок
   С. Ц. Хараалмпев. Полос и поляра относительно окружности
   Mathematics circle
   S. Ts. Kharalampiev. Poles and polars with respect to a circle

10. Задания М991—М995; Ф1003—Ф1007

11. Решения задачи M971—M975; Ф983—Ф987
    Kvant’s problems
    Problems M991—M995; P1003—P1007
    Solutions M971—M975; P983—P987

12. Практикум абитуриента
    Г. В. Дорофеев. Как расположены корни трехчленов?
    College applicant’s section
    G. V. Dorofeeev. How are roots of trinomials located?

13. Игры и головоломки
    Д. И. Вакарелов. Путешествия по графам
    Puzzles and games
    D. I. Vakarelov. In the realm of graphs

14. Информация
    Заочная школа при НГУ
    Information
    Novosibirsk University correspondance school

15. Ответы, указания, решения
    Смесь (64)
    Шахматная страница
    Загадочные маневры (3-я с. обложки)
    Answers, hints, solutions
    Miscellaneous (64)
    The chess page
    Strange manoeuvres (3rd cover page)

На фоторафини, помещенной на первой странице обложки, запечатлен момент из «жизни» светильника «Радуга».
Заметательные физические явления, которые протекают в этом светильнике, обсуждаются в статье «Тайны волшебной лампы».

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1986

2

Журнал ЦК Коммунистического союза молодежи
им. Димитрова
«Математика»
и его развитие

Народная Республика Болгария — страна зрелого социалистического общества. Ее граждан — творческая личность, борец и преобразователь. Он ищет и анализирует, открывая новые пути в науке и практике. Поэтому ему мало просто получить современные знания, он должен научиться самостоятельно и действно мыслить, творческий относиться к проблемам жизни. Отсюда необходимость в подготовке кадров, которые были способны ориентировать в изменяющихся условиях, в новейших достижениях науки и техники, самостоятельно решать название проблем. Мы должны так подготовить подготовшее поколение, чтобы оно могло организки соединить достижения научно-технической революции с применением социалистической системы, создавать и внедрять новое в науке и произвольные.

Математика всегда лежала в основе технического прогресса, поэтому Болгарская коммунистическая партия и правительство рассматривал как жизнь важный вопрос о повышении математической культуры молодежи.

В 1962 году Секретariat ЦК БКП принял решение о создании журнала «Математика» для учащихся средних школ. Журнал должен был выходить шесть раз в год и на него возлагись следующие задачи:

— знакомить школьников в популярой и привлекательной форме с крупными достижениями математики, ее исторей и ее творцами;
— более глубоко и подробно разъяснять вопросы, изучаемые в школьном курсе математики;
— поддерживать практические приложения математики и ее воспитающее значение;
— помогать во внесласной математической работе учащся;
— отражать интересные события международной математической жизни;
— знакомить учащся с ведущими отечественными математиками;
— помешать материалов по занимаемой математике.

Эти задачи наш журнал начал решать в своих научно-популярных статьях и рубриках: «Из истории математики», «Знаменные математики», «Конкурсные задачи», «Задачи», «Задачи на аттестат зрелости», «Занимательная математика» и др.

«Школьные» темы

Научно-популярные статьи связаны с учебными программами; с одной стороны, они относятся к темам, которые расширяют познания школьников в данной вопросе, а с другой — к темам, углубляющим их познания. Средние этих тем называются:

1. Основные виды отображений множества и числовые отображения.
2. Определенный интерgal и его приложения.
3. Приницы неперерывности.
4. Векторы и их приложения.
5. Свойства треугольников и четырехугольников.
6. Правильные примеры.
7. Уравнения и системы уравнений.
8. Неравенства и системы неравенства.
9. Алгебраические операции и их свойства.

В журнале рассматриваются не только темы из классических разделов математики, но также также разделы, как комбинаторный анализ, математическая логика, теория решения и графов, математическая литература, многое главы вычислительной математики, то есть те разделы, которые можно обединить под общим названием.

3

Дискретная математика

Цели, которые предуседуют статья этого направления, следующие:

1. Усиление прикладной направления. Связь между дискретной математикой, использованием ЭВМ и вычислительной математики, с одной стороны, и приложениями к экономическим и гуманитарным дисциплинам, с другой, делают изучение дискретной математики необходимым для большей части специальной средних учебных задений.

2. Ознакомление с математическим моделированием. Diskретные модели имеют свои особенности, которые позволяют их специализировать (линейное программирование, математические модели языков и др.).

3. Раскрытие существенной ролиDiskретной математики для повышения вычислительной культуры учащихся.

4. Ознакомление с комбinatorным анализом, приобретающим в нашей время все больше значения в прикладной математике. С комбinatorкой также связаны многие разделы теории вероятности и других дисциплины.

5. Повышение логической грамотности учащихся.

Какие именно темы этого направления должны быть освещены — трудный вопрос. Но редклегия журнала считает, что им должны быть в первую очередь стать, которые можно связать с темами школьного курса.

Научное мировоззренение

В связи с одной из основных задач средней школы — воспитанием научного мировоззрения — журнал «Matematika» публикует статьи, показывающие проискдение математических понятий, разъяснющие роль математических абстрактций, силу математических методов, которые позволяют просто и в определенных условиях использовать вопросы естественного — физики, биологии, астрономии и других наук. Акцентируя специализим образом внимание на философских основах математики, мы способствует более глубокой осмыслению предмета и его методов, более широкому взгляду на сам предмет и его место в системе научных знаний, на его роль как движущую силу прогресса. Вот примеры статей этого направления: «Matematika и объективнаяrealность», «Matematический способышпленя», «Matematika как профессия», «Талант и эстетика в научном творчестве», «Музька математики», «Matematический подход при физических рассмотрениях».

История математики

Огромную роль в становлении научного мировоззрения молодежи играет ознакомление с историей научки и научных открытий. На необходимость научного подхода указывают и классики марксизма-ленинизма. Изучая сложный путь,ройденный научкой, в известной степени приближаться к пониманию ее роли сегодня. Приведем несколько примеров статей, представленных эту цель: «Идеи Н. И. Лобачевского», «Из истории математики», «Первые шаги из истории счета», «Matematika древних народов Месопотами», «Из истории логарифмов», «От числа до цифры».
Отметим также специальное место, которое мы отводим на расссказы о развитию болгарской математики.
В рубрике «Знаменные математики» читатели знакомятся с жизниописанием крупных ученых в области математики и, с учетом уровня подготовки читателей, с обозрами научного творчества этих ученых. Мы помещаем и биографии видных болгарских математиков и некоторых их первыше работы.

Журнал «Matematika» стремлюрует исследоватьскую работу ученков посредством рубрики «Ученческое творчество» и «Конкурсные задачи». Еще в самом первом номере журнал в рубрике «Ученческое творчество» была помещена статья ученика 9-го класса «Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим некоторых чисел». В течение

4

первых лет существования журнала под этой рубрикой выходили преимущественно статья, содержащие оригинальные решения задачи с международных опитами. После редактора журнала стала более активно руководить ученическим творчеством, и на страницах журнала стали появляться(refераты со школьных теоретических конференций по математике.

Рубрика «Конкурсные задачи»

Эта рубрика, созданная с самого рождения журнала «Matematika», ставила своей целью привлечение наиболее способных учащихся к самостоятельной творческой работе на уровне задачи международных опитами. В известной степени здесь были реализованы прогрессивные концепции Дьёрда Пойа, состоящие в том, что в классе можно создавать такую обстановку, что ученики сами стремятся к определению исследовательской работы.

В период от 1962 по 1967 мы публиковали задачи (и затем их решения) и списку учеников, наличием образом решающих эти задачи. После 1968 года публикуются оригинальные решения и обобщения задачи самых школьников, а с 1969 года также и составленные школьниками задачи. При этом больше значения придает способности ставить и решать задачи, возникающие при изучении реального мира, пригоды.

Разделы для младших школьников

С 1980 года журнал «Matematika» выпускает 10 номеров ежедневно. Основные цели и задачи журнала не изменились, но он распространяется за счет материалов для младших школьников (4—6 классы). Созданы рубрики «Статы для младших» и «Задания для младших». В статьях для младших изучаются преждевое всего ситуации, близкие к практике и к интуитивным представлениям, дается предпочтение занимаемого элементу, диалогу. Главная их роль, однako, состоит в том, чтобы с раннего возраста прививать учащимся вкус к красоте математических расхудений и, в рамкахвозможного, навьки самостоятельной работы. Особенно тщательно подбираются задачи для младших школьников. Учащся 5, 6 и 7 классов имеют возможность участвовать в заочно-очном конкурсе по решению этих задач. Двадцать лучших семиклассников получают право без конкурсных экзаменов продолжить свое образование в математическом гимназии.

Информация

Начиная с первого номера 1985 года наш журнал увеличил свой объем. При этом дополнительный объем отводится теперь под новую рубрику, посвященную вопросам информацией. Ее цели, определяемые экономическим языком, следующие:

1. Развивать интеллектуальные способности учащихся, знакомить их с таким математическим понятиями, как система, модель, информация, алгоритм, программиное управление, форматные языки и т.п.

2. Расширять и углублять понятие о математическом моделировании на примере реальных устройств и технологии, управленческих и обслуживающих процессов, знакомить с их использованием, оптимизация и алгоритмизация.

3. Раскрывать возможность информацией и математики для решения научно-технических и экономических задачи и на их основе знакомить с количественных методами решения.

В заключение отметим, что вот уже более 20 лет журнал «Matematika» является добрым помогником учащихся средней школы. Об этом говорит хотя бы триж журнала, который возрос от 15.000 (в 1962 году) до 78.000 (в 1986 году).

Коллектив редакции стремится максимально полно удовлетворять интересы читателя, помогать в подготовке кадров с широкими математическими познаниями. Вот почему мы постоянно ищем разнообразные формы контактов с читателями.

Главный редактор журнал
«Matematika»
Р. Русев

5

Об одной теореме
Кронекера

К. Г. БАНКОВ (НРБ)

Теорема, о которой здесь поддет речь, играет заметную роль в теории чисел. Однако нам она интересна по другой причине: с ее помощью удается просто решать элементарно формулируемые, но по существу трудные задачи. Прежде чем привести саму теорему, мы рассмотрим две такие задачи.

Задча 1. Докажите, что существует степень числа 2, десятичная запись которой начинается с цифр 1986.

Чтобы решить эту задачу, нужно найти такую степень $m \in N$, чтобы $10^n \cdot 1986 < 2^m < 10^n \cdot 1987$ для некоторого $n$. Логарифмируя по основанию 10, получаем

$$\lg 1986 + \lg 10^n < \lg 2 < \lg 1987 + \lg 10^n,$$

или

$$\lg 1986 < \lg 2 - n < \lg 1987.$$

Задча будет решена, если мы сумем найти такие натуральные $n$ и $m$, чтобы одно из чисел вида

$$\lg 2 - n, m, n \in N$$

(1)

попало в маленький интераval (lg 1986, lg 1987).

Задча 2. В верхинах целочисленной квадратной сетки наиссованы

одинаковые маленькие коты (рис. 1). Докажите, что луч $y = kx$, $x \geq 0$ пересечет, кроме центраного, хотя бы еще одного кота, если число $k$ — irrationalное.

Пусть $2\varepsilon_0$ — «ширина кота», иначе говоря, пусть центраный кот пересекает ось $Ox$ по отрезку $[-\varepsilon_0; \varepsilon_0]$. Для определения предположим, что луч расположен в первом квадрате (остальные случи аналогичны). Тогда луч пересекает прямые $y = 1, 2, \dots, n, \dots$ по точкам с абциссами $\alpha, 2\alpha, \dots, n\alpha, \dots$, где $\alpha = 1/k$. Задча будет решена, если мы найдем такие натуральные $n$ и $m$, что

$$m - \varepsilon_0 < n\alpha < m + \varepsilon_0,$$

или

$$-\varepsilon_0 < n\alpha - m < \varepsilon_0,$$

6

то есть сумем установить, что одно из чисел вида
$$n\alpha - m, n, m \in \mathbb{N},$$
(2)
подает в маленький интервал $(-\varepsilon_0, \varepsilon_0)$.

Замечательная идея теоремы Кронекара*) состоит в том, что такие множества, как (1) и (2), содержат числа, лежащие вообще в любом интервале. Чтобы дать точную формулировку этой теоремы, нам потребуется одно определение.

Числовое множество $A \subset \mathbb{R}$ называется всюду плотным (в $\mathbb{R}$), если любой интервал содержит элемент этого множества. Иными словами, $A$ всюду плотно в $\mathbb{R}$, если для любых чисел $x, y \in \mathbb{R}$, $x < y$ существует $a \in A$, такой что $x < a < y$.

Уражнение

1. Укажите, какие из следующих множества всюду плотны в $\mathbb{R}$: а) все рациональные числа; б) все irrationalные числа; в) все числа вида $n + 5m/17$ ($n, m \in \mathbb{Z}$); г) все числа вида $n + k/m$ ($n, k, m \in \mathbb{Z}$).
2. Пусть множество $A$ всюду плотно в $\mathbb{R}$ и $r \neq 0$ — действительное число. Доказите, что тогда множества
   $$B = \{a + r; a \in A\}, C = \{ra, a \in A\}$$
   то же всюду плотны в $\mathbb{R}$.

Teорема Кронекара. Для произвольного irrationalного числа $a \neq 0$ множество
$$\{m\alpha + n; m, n \in \mathbb{Z}\}$$
(3) всюду плотно в $\mathbb{R}$.

Доказательство. Нужно установить, что для любых двух чисел $x, y$, для которых $x < y$, существует числа вида $m\alpha + n$, где $m, n \in \mathbb{Z}$ такое, что $x < m\alpha + n < y$. Обозначим через $\delta$ длину интервала $\Delta = (x; y)$ и разделим интервал [0; 1] на конечное число интервалов $\Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_n$, каждый из которых имеет длину меньше, чем $\delta$. Отметим теперь, что для любого целого числа $m$, оченьное, существует целое $n$, для которого число $m\alpha + n$ лежит на отрезке [0; 1]. Так как целых чисел бесконечно много, а отрезок [0; 1] разделен на конечное число интервалов, существует целые числа $m_1, m_2, n_1, n_2$, для которых $m_1 \neq m_2$ и числа $m_1\alpha + n_1$ и $m_2\alpha + n_2$ лежат в одном и том же интервале $\Delta_i$. Это означает, что число $a = (m_1 - m_2)\alpha + (n_1 - n_2)$ по абсцилотному значению меньше, чем $\delta$. Кроме того, равенство $a = 0$ не может быть верно, потому что из него вытекает, что $a = \frac{n_2 - n_1}{m_1 - m_2}$ — рациональное число. Из сказанного следует, что некоторое число, кратное $a$, которое также имеет вид $m\alpha + n$, не целое числа, будет принадлежать $\Delta = (x; y)$; теорема доказана.

Замечание. Теорема остается верной, если множество (3) заменить на множество
$$\{m\alpha - n; m, n \in \mathbb{N}\}.$$

Это легко выводится из доказанной теоремы; вывод мы оставляем читателю в качестве упражнения.

Возвращая теперь к множеству (1) и (2), мы видим, что они удовлетворяют условиям теоремы: задачи 1 и 2 тем самым решены. (Мы считаем известным, что число lg 2 irrationalно; впрочем, это несложно доказать.)

Уражнение 3. Показите, что в задаче о котах условие irrationalность $k$ нельзя опустить.

Рассмотрим еще несколько задач, решения которых используют теорему Кронекара.

Задача 3. Докажите, что существует квадрат натурального числа, дескрипная запись которого начинается с любых предварительных заданных цифр.

Решение. Найдем квадрат натурального числа, первые цифры десятичной записи которого $-a_0a_1...a_s$. Обозначим через $A$ число $A = a_0a_1...a_s$. Будем теперь искать такое натуральное число $n$, чтобы для некоторого натурального числа $k$ были верны неравенства
$$A \cdot 10^k < n^2 < (A + 1) \cdot 10^k,$$
или lg $A < 2\lg n - k < \lg (A + 1)$.
Если мы выберем число $n$ равным $n = 2^m$, а число $k$ — четным, $k = 2t$, то lg $A < 2mlg 2 - 2t < \lg (A + 1)$. (5)

Согласно теореме, заменению (см. (4)) и упражнению 2, множество
$$\{2mlg 2 - 2t; m, t \in \mathbb{N}\}$$ является всюду плотным, и, следовательно, существует числа $m$ и $t$, для которых верно (5). Задчача решения.

Для решения следующих задач нам потребуется еще такое утверждение:

Лемma. Если две неперерывные функции принимают одинаковые значения, когда аргументы являются элементы одного и того же всюду плотного множества, то они совпадают всюду.

Эта lemma «геометрический оцендна»; ее формульное доказательство малопривлекательное (хотя и нетрудно), поэтому мы его не приводим.

Задача 4. Докажите, что функция
$$f(x) = \sin x + \sin \pi x$$
невероидческая.

Решение. Допустим, что функция $f$ невероидческая, и обозначим через $T \neq 0$ один из

7

ee периодов. Тогда равенство
$$\sin \pi(x+T) + \sin \pi\sqrt{2}(x+T) = \sin \pi x + \sin \pi\sqrt{2}x$$
(6)
верно для любого действительного числа $x$. Если в этом равенстве мы заменим $x$ произвольным четыREM числом $2m$, то получим
$$\sin \pi T + \sin \pi\sqrt{2}(2m+T) = \sin (\pi\sqrt{2} \cdot 2m).$$
Используя снова периодичность функций sin, получаем равенство
$$\sin \pi T + \sin \pi\sqrt{2}\left(2m + \frac{2n}{\sqrt{2}} + T\right) = \sin \pi\sqrt{2}\left(2m + \frac{2n}{\sqrt{2}}\right),$$
которое верно для любых двух целых чисел $m$ и $n$. Согласно теореме упражнения 2 множество
$$\left\{ 2m + \frac{2n}{\sqrt{2}}; m, n \text{ — целые числа} \right\}$$
является всиду плотным. Это означает, что функция $\sin \pi T + \sin \pi\sqrt{2}(x+T)$ и sin $\pi\sqrt{2}x$ принимают одинаковые значения, когда их аргументы являются элементы одного и того же всиду плотного множества и, следовательно (по лемме), совпадают всиду, то есть равенство
$$\sin \pi T + \sin \pi\sqrt{2}(x+T) = \sin \pi\sqrt{2}x$$
(7)
верно для любого действительного числа $x$. Вычитая (7) из (6), получаем
$$\sin \pi(x+T) \sin \pi T = \sin \pi x.$$
В последнем равенстве полагаем $x = T$; получим
$$\sin 2\pi T - \sin \pi T = \sin \pi T,$$
или
$$\sin \pi T(\cos \pi T - 1) = 0.$$
Из последнего равенства следует, что $T$ — целое число. Тогда из (7) следует
$$\sin \pi\sqrt{2}(x+T) - \sin \pi\sqrt{2}x = 0,$$
или
$$\sin \pi\sqrt{2}\frac{T}{2}\cos \pi\sqrt{2}\left(x + \frac{T}{2}\right) = 0.$$
Так как существует значения $x$, для которых
$$\cos \pi\sqrt{2}\left(x + \frac{T}{2}\right) \neq 0,$$ то $\sin \pi\sqrt{2}\frac{T}{2} = 0$; отсюда вытекает, что $\sqrt{2}\frac{T}{2}$ — целое число. Но, с другой стороны, $T$ — также целое число и $T \neq 0$, значит $\sqrt{2}$ — рациональное число, что неверно. Полученное противоречие доказывается, что функция $f$ неperiodична.

Вот еще одна задача, связанная с рассмотрением выше функций.
Задача 5. Докажите, что функция
$$f(x) = \sin \pi x + \sin \pi\sqrt{2}x$$
не может принять значения 2, но принимает значения, сколько угодно близкие к числу 2.
Решение. Если мы допустим, что $f(x) = 2$ для некоторого $x$, то будут выполнения одновременного равенства
$$\sin \pi x = 1$$ и $\sin \pi\sqrt{2}x = 1$, откуда непредставлено следует, что число $\sqrt{2}$ рационально, а это неверно. Следовательно, $f(x) < 2$ для любого числа.
Если $x$ — произвольное число вида $2m + \frac{1}{2}$, где $m$ — целое число, функция $f$ принимает вид
$$f(x) = 1 + \sin \pi\sqrt{2}\left(2m + \frac{1}{2}\right).$$
Покажем, что можно найти такое целое число $m$, для которого
$$\sin \pi\sqrt{2}\left(2m + \frac{1}{2}\right)$$ сколь угодно близко к числу 1. Имея в виду непрерывность функции sin, достаточно найти такие целые числа $m$ и $n$, что число $\sqrt{2}\left(2m + \frac{1}{2}\right)$ произвольно близко к числу $2n + \frac{1}{2}$. Поэтому достаточно доказать, что для любого положительного $\varepsilon$ существует целые числа $m$ и $n$, для которых
$$2n + \frac{1}{2} - \varepsilon < \sqrt{2}\left(2m + \frac{1}{2}\right) < 2n + \frac{1}{2} + \varepsilon.$$
Преобразуем последнюю целочку неравенств к виду
$$1 - 2\varepsilon - \sqrt{2} < 4m\sqrt{2} - 4n < 1 + 2\varepsilon - \sqrt{2}.$$
Теперь все следуем из теоремы и упражнения 2.
Задача 6. Найдиите все непрерывные действительные функции $f$, для которых $f(x) = f(x+1) = f(x+\sqrt{2})$.
Решение. Пусть $f$ — непрерывная функция, для которой $f(x) = f(x+1) = f(x+\sqrt{2})$. Это означает, что числа 1 и $\sqrt{2}$ — периоды функций $f$. Тогда периода функции $f$ является также все числа вида $m + n\sqrt{2}$, где $m$ и $n$ — целые числа, то есть для любых двух целых чисел $m$ и $n$ верно равенство $f(x + m + n\sqrt{2}) = f(x)$. Посленее равенство означает, что $f(x + y)$ и $f(x)$ принимают одинаковые значения, когда $y$ принадлежит плоскому многочеку
$$\{m + n\sqrt{2}; m, n \text{ — целые числа}\}.$$
Тогда согласно лемме получаем, что равенство $f(x + y) = f(x)$ верно для каждой числа $y$, то есть каждое (действительное) число является периодом функций $f$. Тепер, если $x_1$ и $x_2$ — два различных числа, мы положим $y = x_2 - x_1$, и тогда
$$f(x_1) = f(x_1 + (x_2 - x_1)) = f(x_2).$$
Следовательно, решением задачи 6 будут все функции вида $f(x) = a$, где $a$ — постоянная.

9

Намагничный атомарный водород

Доктор физико-математических наук
И. П. КРЫЛОВ

Водород — самоое распространенное вещество во Вселенной. Пылающие звезды и холодный межзвездный газ на 90 % состоит из водорада — элемент № 1 перiodический системы. Остальные 10 % почти полностью составляют гелий — элемент № 2. На долю всех более тяжелых элементов, столбных у нас на Земле, в космических масштабах приходится всего лишь 1/1000 часть общего количества вещества. Водород на Земле существует в молекулярном виде, в то же время в космосе водород — в основном атомарный. В чем тут дело? Можно ли создать и сохранить атомарный водород на Земле? Как это сделать? Ответы на эти вопросы вы получите, прочитав эту статью. Междузвездный газ чрезвычайно разрежен: в среднем 1 atom водорада в 1 см³. Какие максимальные плотности атомарного водорада можно получить в лаборатории? Ответ на этот вопросяется издя в день, либо сейчас учены в передовых физических лабораториях уседно работают над увеличением этой плотности.

Все земные газы при пожении температуры становятся жидкими, а потом твердют. Наболее упорно превращению газа в жидкость сопротивлялся гелий. Лишь при пожении температуры до нескольких градусов вблизи абсолотного нуля (−273,15 °C) гелий стал жидким. Впервые это удалось сделать почти 80 лет назад. Но элемент № 2 не сделая полностью: в отличие от остальных элементов он не твердет при нормальном давлении даже при абсолотном нулле. Становится ли жидким атомарный водород? Уверенно ответа на этот вопрос учены сейчас даны не могут. Есть основание считать, что элемент № 1 в атомарном виде еще более капитизен, чем элемент № 2, и не только не твердет, но даже и не превращается в жидкость. Но лучше давайте по порядку.

«Земной» и «космический» водород: молекулы и atoms

В учебнике читаем: «водород — легкий беспроводный газ, превращающийся в жидкость при −253 °C и затвердающий при −259 °C». Все это говорится про обычный «земной» водород, или, выражаясь точным языком, про молекулярный водород H₂. Свойства «космического», атомарного водорада H, совсем другие. Начнем с самого начала. Вспомним, как устрой atom водорада — простейший atom в природе.

Atom водорада образован двумя элементарными частицами: протоном и электроном. Их электрические заряды равны по величины и противоположны по знаку. Протон заряжен положительно, в 1836 раз тяжелее электрона и служит ядром атома с размером менее 10⁻¹² см. Электрон движется вокруг ядра. Однако его движение подчиняется особым квантовым законом. По современным представлениям нельзя считать, что электрон движется по какой-то определенной орбите. Он как бы «размаzan»: предпринимая неависимые попытки определить местонахождение электрона в абсолотно одинаковых атомах водорада, мы будем обнаруживать электрон в самых разных точках водруг ядра.* Так возникает образ электронного облака, плотность которого указывает, где более, а где менее ввергоно обнаружить электрон (рис. 1). Электронное облако в атомах не имеет четкой границ; однако приprevшении неокоторого расстояния плотность спадает очень быстро. Это расстояние можно принять за радиус атома. Для атома водорада эта величина называется боровским радиусом и равна a=0,53·10⁻¹⁰ м=0,53 А (здесь использована единица длины ангстрем — 1 Å=10⁻¹⁰ м).

Электрон, а вместе с ним и весь atom водорада, обладает магнитными свойствами: в магнитном поле он ведет себя как магнитная стрелка. Как будто электрон «намагничен», у него есть сверрый и южный полоса. Это свойство наглядо изобравляет с помощью стрелки, показывающий на

10

ему имеет только две ориентации: по полю и против поля. К таким необычному квантовому поведению электрода надо просто привыкнуть. В микромире многое проискодит совсем иначе, чем в обычной жизни.

Молекула водорода

Рассмотрим теперь, что происходит при сближении двух atomов водорода. Атомы в целом нейтральны, так что на больших расстояниях электрические силы отсутствуют. При уменьшении расстояния электронные облака начинают перекрывать (рис. 3). Из законов квантовой механики следует, что характер деформации облаков определяется взаимной ориентацией магнитных моментов электронов. Если стрелки, показывающие направление магнитных momentов, смотрят в одну сторону (см. рис. 3), то электронные облака между ядрами разрежены. В этом случае премиущество имеет силы отталкивания, действующие между ядрами более плотны, чем в удаленных точках. При этом одерживают верх силы прияжения. Подчерком, что силы взаимодействия между atomами — электрические силы; силы магнитного взаимодействия в этом случае очень малы.

Взаимодействие atomов удобно описывать с помощью графика зависимости потенциальной энергии взаимодействия $U$ от расстояния между atomами $r$. На рисунке 4 приведены эти графики для параллельной ($\uparrow\uparrow$) и антипараллельной ($\uparrow\downarrow$) ориентаций магнитных momentов atomов водорода. Положительный знак потенциальной энергии, как обычно, соответствует отталкивание, отрицательный — прияжению. Как видно из рисунка, на малых расстояниях даже в случае антипараллельной ориентации ($\uparrow\downarrow$) atomы начинают отталкивание. Это происходит потому, что прияжение электронных облаков к «чужим» ядрам уже не может компенсировать отталкивание положительно заряженных ядер. Устойчивому положениюравновесия соответствует минимум потенциальной энергии. При этом два atomа водорода в состоянии $\uparrow\downarrow$ расположется на расстоянии $r_0=0,7\AA$.

Рис. 1. Протон в центре электронного облака — простейший atom в природе.

Рис. 2. Atom водорода в магнитном поле ведет себя как магнитная стрелка — он ориентируется вдоль силовых линий, изменяясь во ориентацию непрерывно. В отличие от нее электронный магнитик не может занимать промежуточных положений; он имеет только две ориентации: против поля или полю.

правление магнитного момента*) (рис. 2).

Как известно, магнитная стрелка в магнитном поле поворачивается вдоль силовых линий, изменяясь во ориентацию непрерывно. В отличие от нее электронный магнитик не может занимать промежуточных положений. Квантовые законы позволяют

*) В «Кванте» № 3 за этот год в разделе «Школа в «Кванте» была опубликована статья, посвященная магнитному моменту.

11

Образуется устойчивая система — молекula водорода. Энергия образования молекулы — «глубина ямы» на графике $U(r)$ — составляет $E_0 = 4,5$ эВ. При «слиянии» atomов в молекулу, называемом рекомбинацией, эта энергия — энергия рекомбинации — должна быть отдана окружающим телам. При обратном процессе, называемом диссоциации, эта энергия — энергия диссоциации — должна быть доставлена из внешнего источника. Заметим еще раз, что в состоянии $\uparrow \uparrow$ atomы водорода вообще не могут образовать молекулу.

Графики потенциальной энергии обладают большой наглядностью: система стремится двигаться так, как двигались бы санки на скользкой горе, склон которого изображен на графике. Для графика $\uparrow \uparrow$ санки уехали бы вправо, в области больших расстояний. Это означает, что atomы отталкиваются и удалиются друг от друга. На графике $\uparrow \downarrow$ имеется склон, по которым санки двигались бы влево, к началу координат, что соответствует притяжению atomов водорода.

Как проискодят столковения

Obъчно магнитные моменты atomов ориентированы случайно. Половина столковенной проискодит в состоянии $\uparrow \uparrow$, а другая половина — в состоянии $\uparrow \downarrow$.

Интересно, что далеко не каждое столковение двух atomов водорода в состоянии $\uparrow \downarrow$ приведет к образованию молекулы, то есть к рекомбинации. Обращаясь к нашей иллюстрации с санками, мы легко себе представим, что, прикатившись на совершенное скользку гору откуда-то справа, санки сокользут вниз, в яму, но по инерции вылетят на противоположный склон и оставляют на высоте, с которой они начали скальывать на правом склон. Затем санки опять подут вниз, опять просочат до ямы и уедут вправо с той же кинетической энергей, с какой приехали. Ясно, что это образимое движение проискодит в силу закона сохранения энергии при условии полного отсутствия треня. Для реализации гор часть кинетической энергии всегда уходит на работу против сил треня, то есть в телло, и санки рано или поздно оставляются на дне ямы. При склижении atomов водорода также справедлив закон сохранения энергии. И здесь уже нет никаких трудностей. Если столковение только два atomа, то им нечем передать свою энергию. При столковении atomы слизятся, просочат по инерции устойчивое положение, соедутся до полной оставки, а потом опять разлетятся, как абсолотно упругие шарики. Для образования же молекулы необходимо столковение сразу тренел: двух atomов водорода и еще чего-нибудь. Третьим телом может быть любой

13

Компаса слегка ударить, то она начинает колебаться, и вы не сможете узнать направление на север, пока стрелка не успокоится. Элементарные магнитики atomов все время подвергаются ударам со стороны других atomов в результате никакого не прекрашающего теллового движения. Поэтому даже в самых сильных магнитах, которые создают поля $B \approx 30$ Тл, при комнатной температуре ($T = 300$ К) магнитные моменты atomов водорода ориентируют по полю и против поля практические с равной вероятностью 1/2. Лишь создав поле в тысячи теся, мы смогли бы ориентировать atomы при комнатной температуре. Но таких магнитных полей мы создавать не умем. Зато мы легко можемпонзить температуру! Техника получения низких температур $T \lesssim 1$ К сейчас доступна многим laboratorиям. К тому же при этих температурах магнит можно сделать из сверхпроводшего провода. Небольшие сверхпроводящие магниты позволяют получить магнитные поля $B \approx 10$ Тл. Наконец мы пришли к правильному техническому решению проблем хранения atomарного водорода: камера в поле сверхпроводшего магнита при температуре не выше $T \approx 1$ К.

Сверхпроводящий магнит проще всего изготовить, намотав сверхпроводую проводку на цилиндрической каркас. Такую катушку еще иначе называют соленодом. Попустив по проводке электрической ток, мы получим магнитное поле, максимальное внутренние катушки, где и следует разместить водородную камеру. Помимо ориентации atomов соленоды справят еще одну важную роль: он втянет atomные магнитики в область сильного поля (так же, как принята стрелку компаса). Поэтому выше центра соленода концентрация ориентированных atomов будет гораздо больше, чем вдали от магнита (рис. 6).

Поляризованный atomарный водород — самый летучий

В первых опытах, поставленных несколько лет назад в Амстердамском университете, была получена и сохралась в течение нескольких часов концентрация $n$ около $10^{15}$ atomов

14

Рис. 6. Цилиндрическая катушка с током (солеонд) создает магнитное поле, которое вращает магнитные atoms в области сильного поля внутренки катушки и поворачивает их магнитные моменты вдоль поля.

Рис. 7. Сжатие атомарного водорода «поршнем» из жидкого тела. При очень низких температуре паров тела практически нет.

водорода в 1 кубическом сантиметре ($n \sim 10^{15} \text{ cm}^{-3}$). Много это или мало? По сравнению с механиздным газом ($n = 1 \div 10 \text{ cm}^{-3}$) это очень много. По сравнению с обычным газом при нормальных условиях это довольно мало. Напомним, что при $0^\circ\text{C}$ и давлении 1 атм в 1 cm$^3$ газа содержится около $2,7 \cdot 10^{19}$ частиц. Так что в первых опытах атомарный водород был весма разрежен.

Но по мере совершенствования технических концентраций быстро возрастает сначала. Наибольший успех присоединяющий и хорошо известный прим — скатие. Все знают, как схемают воздуха в цилиндре с подвижным поршнем. Так же можно сделать и атомарный водород. Но при сорриковении с поверхностями всех веществ, кроме жидкого тела, atoms очень быстро рекомбинируют. Поэтому внутреннюю поверхность камеры, в том числе и поршень, покрывают пленкой жидкого тела. Можно обойти и без поршня; вернее, использовать в качестве поршня поверхность жидкого тела. В начале водород заполняет почти весь объем камеры. Поднимая уровень жидкого тела, газ можно сделать в маленький пузыре и повышить концентрацию H в сотни и тысячи раз (рис. 7). Таким способом год назад удалось достичь рекордной величины $n = 5 \cdot 10^{18} \text{ cm}^{-3}$. Это значение уже сравним с плотностью газа при нормальных условиях. Получить больше мешает все та же рекомбинация.

Однако правильно ли сравнивать теплый комнатный воздуха с очень холодным атомарным водородом? Конецно, чтобы лучше оценить доступную, надо сравнить свойства различных газов при низкой температуре. Эксперименты с атомарным водородом проводились при $T=0,5$ К. Эту температуру мы и выберем для сравнения. Манометрический датчик неисредственно изменял давление $p$, а концентрация $n$ подчитывалась по формуле идеального газа. Так, приведенное выше значение для $n$ было получено по измеренной величины давления $p=35$ Pa. Давайте посмотрим, каких давлений можно достичь с другими газами.

Как известно, если скимать газ при постоянной достаточно низкой температуре, то максимальное давление давления насыщенных паров $p_{\text{н.п.}}$ данного вещества. Дальнейшее скатание не будет увеличивать давление газа, а будет приводить к переходу в жидкую или твердую фазу. При $T=0,5$ К давление насыщенных паров для всех веществ, за исключением газы, практическую равную. Для природного изотона $^4$Не оно очень мало: $p_{\text{н.п.}}=0,002$ Pa; для искусственного $^3$Не оно существенно выше: $p_{\text{н.п.}}=21$ Pa, но все же меньше рекорда давления атомарного водорода. При таком сравнительном анализе больше впечатление производят данные, полученные при понижении температуры. Самая низкая температура, при которойdo настоящего времени проводились

(Окончание см. на с. 21)

15

Тайны
волшебной лампы

Кандидат физико-математических наук
А. А. ВАРЛАМОВ

Фотография, помещенная рядом с эпиграфом, сделана не на Солярисе, не из космического корабля, поручая оцен哉 в мрачные глубины атмосферы Юпитера, и не из иллюминатора батискафа, рискнувшего подобраться к извергящему подводному вулкану. На ней изобравен работой светильник «Радуга», который, хотя и не всегда, можно купить в магазинах «Подарки». Он tant в себе множество непростых и красных явлений.

Устройство светильника весма несложно. Он представляет собой проразначную цилиндрическую колбу, в основание которого, под стеклянным домом, вмонтрированна обчная электрическая лампа. Стекло у дня прикрыто цветным светофильтром, а по его перimetру идет металлическая спираль (рис. 1). Колба примерно на 1/6 часть своего объема заполнен воскообразным веществом (о котором мы в дальнейшем будем говорить как «веществе А»), а затем почти доверху залита проразначной жидкостью (о ней мы будем говорить как «веществе В»). По

каким сообщениям выбираются эти вещества и какими свойствами они должны обладать, мы выясним чуть позднее, изучая явления, происходящие в светильнике.

Наблюдения лучшие всего проводить в темноте, когда «Радуга» служит единственным источником света. Включим ее ее в сеть и наберемся терпения. Как мы увидим, собственная происходие в светильнике, можно разбит на несколько фаз. Первую из них мы условия назовем фазой покоя и накопления сил.

Вещество А аморфно, то есть не имеет строого упорядоченной структуры. С повышением температуры оно размаггается и постепенно переходит в жидкое состояние. Отметим важное различие между переходом

16

в жидкость кристаллического и аморфного веществ. Для первого этого перехода происходит лишь при определенной температуре и требует затраты энергии — теплоты плавления, которая расходуется на разрушение кристаллической структуры вещества. Для аморфного же вещества твердое и жидкое состояние принимают не различаться. Проство с повышением температуры взкость аморфного вещества уменьшается, и оно становится все более и более текущим.

Включенная в себя лампочка, освещая сизу, сквозь светофильтр, красновато-зеленым светом внутренность цилиндра, служит также и источником теплы. На две возможности «горячие пятно» (область повышенной температуры). В этой области вещество А начинает размагчататься, в то время как ни верхняя корка, ни, тем более, жидкость Б прогреется еще не успевают и пока остатся холодными. По мере нагревания все больше часть вещества А становится жидкой, его твердая корка становится все тонше и тонше. Вследствие теплового распределения объем расплавившихся нижних слоев вещества А стремится возрасти, давление под коркой увеличивается, и в какой-то момент жидкость А пропамывает твердую корку и пузрями вырывается вверх. На две как бы заработал вулкан. Фаза покоя и накопления сил завершена — ее сменяет фаза вулканчекой деятельности (рис. 2).

Вещества А и Б подобраны так, что плотность разогретого жидкого вещества А, вырывающегося из трещины в корке, оказывается несколько меньше плотности еще холодного вещества B. Поэтому порции вещества А одна за другой вспышают вверх. По дороге в холодной жидкости Б они оставляют и, достигая поверхности, отвердаяот, принимая самые приудливые формы. При застывении плотность вещества А становится несколько больше плотности жидкости B, и «осколки» начинают медленно опускаться. Однако некоторые из них надолго зависят у поверхности. Причиной плавании мелких осокков на поверхности может служить сила поверхности жидкости B, и «осколки» начинают медленно опускаться. Дело в том, что жидкость Б не смачивает вещество А, поэтому действующая на получателенные осокки сила поверхностиного натяжения направлена вверх и стремится вытолкнуть их из жидкости. Благодаря этому же эффекту удерживаются на поверхности воды водомерки, плавает смазанная жиром стальная игла.

Между тем избиточно давление в нижней части сосуда, под коркой, уже сброшено, края трещины оплавились, и сквозь этот кратер с небольшой скоростью продолжают вытекать очередные порции расплавленного вещества А. Однако теперь они не отрываются от дня, а медленно вытягиваются из кратера в форме удлиняющейся вверх струп. Поверхность этой струп, соррикаясь с ко-

17

лодной жидкостью Б, быстро отвердевает, образуется подобие ствола. Посмотрев на этот ствол «напросвет», вы наверняка удивитесь: он тонкостенный и заполнен внутри … жидкостью Б. Дело в том, что, когда струя расплавленного вещества А выходит из кратера и устремляется вверх, в какой-то момент для дальнейшего роста ей не достигнет вещества А. Внутри струи создается разрежение, и где-то на границе образушегося ствола и кратера возникает разлом, в котором устремляется холодная жидкость Б. Верхняя же часть струи еще продолжает свое движение вверх. Так жидкость Б заполняет ствол изнутри, охлаждая и формиру его внутренние стенки, после чего они окончательно отвердевают.

В нижней части светильника тем временем по-прежнему идет процесс плавления, и очередной шар расплавленного вещества А выходит из кратера. Он поднимается вверх уже внутри образовавшейся трубки. Поднявшись до ее верхнего конца, он за счет своего еще разогретой массы удаляет ее. С каждой порцией вещества А трубка удаляется, образуя растущий вверх гоферрованный ствол (рис. 3). Рядом с ним, развинув опавшие осолки вулканической деятельности, через некоторое время может вырасти еще один или несколько таких стволов. Стволы приудливо переплетаются, подобно стеблям экзотических растений, среди каменных глыб, усеивающих дно, и продолжаютоших опускаться по мере нагревая жидкость Б осоклов. Картина на время замирает. Эту фазу можно назвать фазой каменного леса.

Если в этот момент выключить светильник, то «окаменевший лес» останется в нем неизменным — к первоначальному состоянию светильник сам вернуть не сможет. Однако, несмотря на фейерверк проискедших событий, до рабочого режима мы еще не дошли, поэтому оставим светильник включенным и продолжим наблюдания.

Время идет, жидкость Б прогревается, лежащие на дне осолки начинают оплавляться, а уходящие вверх стволы постепенно оседают вниз. Однако среди бышщих осолков вы не увидите расплошенных капель — все они постепенно принимают сферическую форму. В общих условиях расплошивание капель на несмачиваемой поверхности проискдает благодария силе тяжесте. Она противодействует силам поверхностного натяжения, стремящемся придать капле форму шара — тела, поверхность которого при заданном объеме минимальная. В светильнике на каплю кроме силы тяжесте и поверхностного натяжения действует сила Архимеда, которая почти полностью компенсирует силу тяжесте. Поэтому капля оказывается как бы в состоянии немешать ей приять сферическую форму.

Для одной капли сферическая

18

Форма в состоянии неевесомости является энергетически наиболее выгодной. Для двух же или несколько лежащих рядом и касающейся друг друга капель выгоднее было бы слить воедино — поверхность одного большого шара меньше, чем общая поверхность нескольких малых с той же полной массой (расчитайте это самостояльно), и следовательно, поверхностная энергия у одной большой капли меньше. Однако, взглянуть вновь на светильник, вы убедитесь, что там все еще способно осуществлять несколько почти энергетических капель вещества A, и пока, какется, они вовсе не собираются сливаться в одну. А ведь вы, наверное, не раз наблюдали, как рутные или водяные капли на несмачиваемой поверхности сливаются почти мгновенно. От чего же зависит время службы двух капель?

Над этим вопросом учены заданымывальись довольно давно. Тем более, что он совсем не праздный, а, как оказалось, имеет огромное практическое значение. Так, он непосредственно связан с пониманием физических процессов, происходящих в порошковой металлургии, где прессованные металлические зерна «спекают» в вещества, обладающие уникальными свойствами. В 1944 году замечательный советский физик Я. И. Френкель предложил простейшую модель такого процесса, в результате чего появился его пинерская работа, заполняющая физические основы порошковой металлургии. Идея, лежащая в основе этой работы, позволяет нам оценить время службы.

Пусть две одинаковые жидкие капли начинают соррикаться. Вместе касания образуется перешеек (рис. 4),

который постепенно, по мере слияния капель, растет. Для оценки времени службы т проще всего воспользоваться энергетическими сообщениями. Всего в «активе» у системы двух капель имеется энергия $\Delta E_{\pi}$, равная разности поверхностных энергий наzahlного и конечного состояния (то есть двух отдельных капель радиуса $r_0$ и одной «обшей» радиуса $r$): $\Delta E_{\pi}=8\pi r_0^2-4\pi r^2$. Так как при слиянии капель их полный объем не меняется, то $\frac{4}{3}\pi r^3=2 \cdot \frac{4}{3}\pi r_0^3$, открывающая вещества капель и окружающее среды при их слиянии. Оценку этой работы мы проведем по порядку величины. Для слияния вззкого треня мы воспользовались выражением Сtokса, справедливым для случая шара радиуса $R$, движущегося со скоростью $v$ в жидкости с вззостью $\eta$: $F=6\pi \eta Rv$. Будем считать, что вззость $\eta_A$ вещества, из которого состоит капли, гораздо большие вззости окружающего среды, поэтому в формулу Сtokса подставим именно $\eta_A$. Далее, вместе $R$ подставим $r_0$. Эта же величина характеризует и масштаб перемещения массы жидкости при слиянии капель: $\Delta x \sim r_0$. Таким образом, для работы с вззкого треня находится:

$$\Delta A \sim 6\pi \eta_A r_0^3 / \tau_\Phi \sim 4\pi \sigma(2 - 2^{7/3}) r_0^2,$$

откуда

$$\tau_\Phi \sim (r_0 \eta / \sigma).$$

Для капель воды с $r_0 \sim 1$ см, $\sigma \sim 0,1$ Н/м и $\eta \sim 10^{-3}$ кг/($\text{m} \cdot \text{c}$) это время составляет всего лишь $10^{-4}$ с. Оdnako для значительного большей вззкого глицерина (при $20^\circ \text{C}$ $\sigma_{\pi \pi} \sim 0,01$ Н/м, а $\eta \sim 1$ кг/($\text{m} \cdot \text{c}$)) соответствует времени $\tau_\Phi$ составит уже ~1 с. Для различных жидкостей, в зависимости от их вззости и поверхности поверхности, $\tau_\Phi$ может меняться в весма ширики пределах.

19

Важно, что благодаря сильной зависимости вззости от температуры это время может существенно меняться и для одной и той же жизни. Так, вззость глицерина при изменении температуры от 20 °C до 30 °C уменшается в 2,5 раза. Поверхность натяжение от температуры зависит гораздо слабее (в указанном диапазоне температур σгл уменшается всего лишь на несколько процентов). Поэтому можно считать, что зависимость френкелевского времени слияния от температуры определяется именно температурной зависимости вззости.

Вернемся теперь к шарам, лежащим на дне светильника. Пока температура жидкости Б не высока, вззость аморфного вещества А больше. Теперь понятно, что именно по этой причине шары и не сливаются. Точно так же не сольются два восковых шарика, если их при комнатной температуре привести в соприкосновение или даже сдавить. Оdnako стоит их подогреть, как вззость воска резко уменшится, и жидкие шары сольются довольно быстро. Отметим и важную роль состояния поверхности шаров: если она неровная и сильно загрязнена, то перемычке между шарами образовать трудно.

Слияние капель необходимо для дальнейшего функционирования светильника, и в его конструкции предустотрен специальный механизм «перелива» вещества А из отдельных капель в уже расплавившуюся основную массу. Это — упоминавшаяся выше металлическаяружина, индуса по перimetру дня светильника. Она хорошо разогрета, и при соприкосновении с ней капли вещества А прогреваются, вззость их падает и они «охотно» втекают в основную массу.

Итак, на дне сосуда образовалась единая жидкая масса вещества А. Оdnako, благодаря продолжающему нагреву, способной она оставаться не может. Начинается фаза протуберанцев.

Оторвашияя от поверхности протуберанц под действием вытальниковшей силы медленно уходит вверх (рис. 5), постепенно принимая форму шара. Поднявшись в верхнюю часть светильника, где жидкость Б из-за своей низкой теплопроводности до сих пор не прогрелась, этот шар несколько охлаждается (оставаясь все же жидким) и медленно опускается вниз, на вздувающий поверхности. Оdnako, как мы уже выяснили, влиtsя в нее ему не так-то просто, и он довольно долго подпрыгивает на ней, постепенно скатывая к периферии; здесь推销ка «вскрывается» его поверхности, и быший протуберанц заверщает свое путьществие, возвращающийся в породившую его стихию.

Лампочка в основании цилиндра продолжает греть систему, и процесс розждения протуберанцев продолжается. По мере повышения температуры темп его нагрета. Отрываясь от поверхности, протуберанцы оставля-

20

ют высеть «между небом и землей» одиночке капли, которые никак не решат — то ли им устремиться вдогонку, то ли вернуть в родную стихию. И вот уже в цилиндре одновременно находится до десята жидких шаров, один из которых поднимаются вверх, другие опускаются вниз (рис. 6) — начинается фаза столковенной и катстроф. Именно эта, наиболее длительная и решшая фаза, рассматривается создающими как рабочий режим светильника.

Шары в светильнике сталкиваются, меняют направление своего движения, но вам не удостсяна наблюдать их сляние в процессе такого соударения. Как мы уже выяснили, шара выгоднее (с энергетической точки зрения) слиться воедино. Но на это нужно время. Понятно, что время, которое им «отпущено», — это время соударения $t$. Если $\tau_{\phi}$ больше $t$ — шары не успют слиться и разойтися. Чем же определяется время соударения? В светильнике в основном проискодяточные удары (рис. 7), при которых размагченные шары, легко деформины

руясь, сколько один по другому. В этом случае характерное время соударения $t \sim (r_0/v)$. Скорость шаров в светильнике всего несколько сантиметров в секунду, радиусы шаров — несколько сантиметров. Так что $t \sim 1$ с, и за такое время шары слиться не успевают. Вот и приходит им «бродить» в светильнике, на время залегая на дне, повисая вверху, сталкиваясь, но не сливаясь.

Фаза столковенной и катстроф.dllится очень долго, 5—7 часов. По простейшим этого времени инструкция рекомендует выключить светильник. Однако при определенных (достаточно высоких) температурах окружащего воздуха эта фаза может оказаться не последней. После того как в светильнике устанавливается Staционное распределение температуры по высоте (вся жидкость Б окончательного прогрева), плотности веществ А и В практическими сравнительными.

Все вещество А собирается в один большой шар, который зависят у дня, оголив светофильтр. Со временем этот шар, из-за касания со стенками цилиндра, несколько остывает, его плотность немного увеличивается и он медленно опускается на дно. Коснувшись дна, шар получает дополнительную порцию теплла и возвращается на прежнее место. Здесь он замирает до тех пор, пока снова не остынет, после чего описанный процесс повторяется. Эту, не предусмотренную инструкцией, фазу можно назвать фазой большого шара (рис. 8).

21

Давайте теперь, разобравшись во многих деталях поведения светильника, взглянем на это явление в целом. Напрашивается вопрос: почему вообще возникают эти непрерывно сменяющие друг друга, повторяющиеся процессы розделения, столковенной и гибели шаров? Понятно, что вся «движущая сила» процесса заключена в разности температур между верхим и нижним концам лампы («нагреватель» и «холодильником»). Если предположить, что поток теплоиспрактиется благодаря теплопроводности жидкости Б, то ее температура будет просто плавно меняется по высоте и ничего необычного в системе происходить не будет. Появление шаров, так же как и конвекция, является следствием неустойчивости, возникающих при определенных условиях в системе, в которых из-за разности температур на граних распространются потоки теплла.*) ОтЫсканием общих закономерностей таких явлений занимается новая, бурно развивающаяся наука — синегретика.

*) Рассмотренно подобных вопросов посвящена статья «Конвекция и самоорганизуции структуры», опубликованная в «Кванте» № 9 за 1985 год.

Намагниченный атомарный водород

(Начало см. на c. 8)

эксперименты с атомарным водородом, была $T \approx 0,2$ К. При этой температуре было достигнут давление атомарного водорада лишь $p = 4$ Па. Но для очень холодного газа это огромная величины. В самом деле, при столбчик температуре $^4$Не имеет пренебрежимо малое давление $p_{\text{н.п.}} \approx 10^{-14}$ Па, да и наиболее летучий $^3$Не уже практически весь вымерз и дает всего лишь $p_{\text{н.п.}} \approx 0,001$ Па.

Итак, экспериментальная физика достигла большого успеха. Получено новое вещество — газ, созданный сравнительно высокое давление при очень низких температурах. Это вещество получило обозначение $H \downarrow$, где стрелка у символа водорода напоминает, что atoms находятся в сильном магнитном поле и их магнитные моменты направлены вдоль поля. Вещество полностью намагничено. Сравнение цифр для давления показывает, что намагниченный атомарный водород $H \downarrow$ — самое летучое вещество в природе. Теория предсказывает, что при не очень больших давлениях $H \downarrow$ остается газом вплоть до абсолотного нуля. Лишь при давлениях в несколько десятиков атомсферон может сконденсировать. Так ли это, показут будущее эксперименты.

Ионы
в расторх

Е. Э. КОЛОМЕЙЦЕВ

Я в течение всей моей жизни не забуду, когда я впервые узнал имя Сванте Арренинуса. Это было в июне 1884 года, когда мне попала в руки его работа. Было слишком трудно ее сразу одолеть, и я провел лихорадную ночь со скверными снами. То, что было написано в работе, настояло отличалось от привлечного и известного, что я сначала был склонен все в целом принять за бессмысlichу.

В. Оствалд

Слова, приведенные в эпиграфе, относятся к одной из первых работ по электропитической диссоциации известного шведского физико-химика С. Арренинуса. Несколько позже за создание теории этого явления Арренинус был удостоен Нобелевской премии.

Под электропитческой диссоциации понятно распад молекул расторяемого вещества на положительные и отрицательныеоны под влиянием электрического поля молекул расторителя. Расторы, в которых такой процесс произойдет и потому они способны проводить электрический ток, называют электропитами.

На рисунке 1 изображен простейший прибор, с помощью которого можно определить, является данный растор электропитом или нет. Прибор состоит из батарейки, лампочки для карманного фонаря и двух электродов, например графитовых стержней. Если при опускании электродов в растор лампочка загорается, значит, исследуемый растор — электролит.

О пыть 1. Приготовим расторы

Автор этой статьи Евгений Коломейцев — ученик 10 класса Московской средней школи.

23

поваренной соли, сахара, уксуса и соды в воде. Исследуем каждый из них на проводимость электрического ток. Мы увидим, что расторы соли и соды хорошо проводят ток, уксус проводит гораздо хуже, а растор сахарасовем не проводит электрический ток.

Теперь повторим один из опитов Арренуса по электропроводности растровов. Для этого нам понадобится уксусная эссенция (Осторожно! Берегитесь окога!) и прибор, с которым мы проводили предыдущий опит. Только вместе одной батарейки лучше взять две, соединенные последовательно.

О пыт 2. Нальем в стакан немного уксусной эссенции и замкнем цель. Лампочка не горит. Теперь будем наливать в стакан воды, одновременно следяза лампочкой. Мы увидим, что в какой-то момент лампочка загорится и затем будет светиться все ярче и ярче. Наблюдая это явление, Арренуус пришел к выводу, что молекулы воды «разрывают» молекулы растроенного вещества на ионы, и чем больше первых (то есть чем разбавленной растор), тем больше носитель электричеста появляется в расторе.

Говоря о понах, мы должны хорошо представлять их поведение в расторах. Попробуем, например, установить на опите скорость перемешения ионов.

О пыт 3. Возьмем блюдце или мелкую тарелку. Положим на дно промокашу, смоченную в расторе поваренной соли, и поверх промокашки насыплен кристаллики марганцовокислого калия. На противоположных концах укрепим два графитовых электрода и подключит их к источнику (к двум батарейкам, соединенным последовательно). Кристаллики начнут расторяться, и мы увидим, что в стороны положительного электрода потянутся малиновые язычки. Измерив скорость их передвижения, что нетрудно сделать с помощью часов и линейки, можно оценить скорость перемешения ионов в расторе. Понятно, что она будет зависят от многих факторов, и прежде всего — от напряжения источника. Для сравнения приведем несколько значений средней скорости движения ионов под действием электрического поля, например которой равна единице (такую скорость называют подвижностью

Скорость ионов зависят также от температуры и от концентрации растора. Попробуйте убедиться в этом самостояльно.

Действие электрического тока не проходит для электролита бесследно. Оно вызывает необратимые химические изменения в нем.

О пыт 4. Приготовим растор поваренной соли, добавим в него несколько капель фенолфталена и опустим концы электродов, соединенных с полюсами батарейки. Через некоторое время у отрицательного электрода растор оказывается в малиновый цвет. Это свидетельствует о том, что в расторе появилась щелочь, то есть произшла химическая реакция.

Действиеительного, при замыкании цепи положительных ионы натрия Na+ начали двигаться к катоду, а отрицательные ионы хлora Cl− — к анду. На катоде происходит реакция восстанавливания натрия

Na+ + e− = Na0,

который тут же реагирует с водой, в результате чего и образуется щелочь:

2Na + 2H2O = 2NaOH + H2↑.

На анде в это время происходит другой процесс — образование газообразного хлora:

2Cl− − 2e− = Cl2↑.

Вот почему этот опит надо проводить в хорошего проводриваемом помещении

24

Рис. 2. Схема промышленной установки (электролизера) для получения чистого алиминия: 1 — графитовый аномод, 2 — железный с графитовой обкладкой катод, 3 — расплав оксида алиминия и криолита, 4 — чистый алиминий.

и стараться закончит его как можно быстрее.

Итак, при прохождения электрического тока через электролиты (их называют также проводниками второго рода, в отличие от проводников первого рода, например металлов, в которых носители тока являются свободные электроны) в них происходит химическое превращение. В результате вещества, входящие в состав электролита, могут выделяться в свободном виде. Такое явление называют электролизом.

Электролиз находит большое практическое применение. Прежде всего — для получения чистых металлов. Так, например, можно получить магний, натрий, алюминий. В настоящее время все промышленный аломиний получают в специальных установках — электролизера (рис. 2) — электролизом расплава смеси оксида алиминия (Al₂O₃) и криолита (Na₃AlF₆). При этом на катode происходит следующее:

$$\text{Al}^{3+} + 3e^- = \text{Al}^0.$$

Понятно, что аломиний мы получать не будем, но немного меди получить попробуем.

О пыть 5. Приготовим концентрированный растор сульфата меди (CuSO₄) и опустим в него два графитовых электрода, подключенных к полосам батарейки. Через некоторое время на катode появится красный налет меди:

$$\text{Cu}^{2+} + 2e^- = \text{Cu}^0.$$

Давайте станем на несколько минут алхимиками и попробуем один металл «превратить» в другой. Для этого повторим следующие опыты, только вместе отрицательного электрода опустим в растор алхиминевую путьовицу (например, от школьной формы). В процессе электролиза вместе алхиминевой «получится» медная путьовица.

Покрытие предметов слоем металла при помощи электролиза называется галванностейной. Металлизовать можно не только металлические предметы, но и предметы из дерева, ткани. При достагочной аккуратности вы сможете изготовить изделия, не уступающие по красоте ковелирому. Так, например, можно покрыть слоем меди листы растений, кружева, мертвых насекомых. Для того чтобы сделать их жесткими, надо поддержать их несколько минут в расплавленном воске. Затем равномерно покрыть слоем графита, чтобы сделать их проводящими, и опустить в галванностуюванну.

Телер заимемся другой, не менее интересной работой — изготовлением галванопластических копий. В качестве оригинала можно взять какое-нибудь ребеное изображение, например из гипса, или изготовить его самим из парафина. Чтобы получить медную копию, надо сначала тщательно натереть поверхности оригинала графитовым порошком, а потом обмотать его тонкой медной проводкой так, чтобы она касалась графитового слоя. Проволоку нужно присоединить к отрицательному полюсу батарейки и заготовленную форму погрузить в 20-процентный растор медного купора. Дальше процесс пропускит так же, как и при получения медного покуптия. Когда толщина меди достигает 1—2 миллиметров, форму из растора следует вынуть и осторожно отделить от нее металлическую копию.

Способ электролитического получения металлических копий открыл русский ученый В. С. Якоби. Гальванопластика сразу же нашла широкое практическое применение. В частности — в полигraphическом проводлении, что позволяет значительное повышение качества текста ииллюстрации. Сам Якоби много сделал для внедрения галванопластики в типографское и монетное дело, а также для производства художственных изделий. И в настоящее время область применения галванопластики в технике общими и разнообразны.

25

Об одном способе задания окружности

И. Б. ТАБОВ (НРВ)

Как известно, окружность определяется как геометрическое место точек, одинаково удаленных от фиксированной точки O. Но существует и много других способов задания окружности. Мы рассмотрим здесь один из них.

Пусть P — точка, l — исходящий из нее луч. Отметим на луче m, также исходящем из точки P и образующем с лучом l острый или прямой угол φ, точку M, находящуюся от P на расстоянии a cos φ, где a — фиксированное положительное число (рис. 1).

Теорема. При изменении угла φ в промежутке от —π/2 до π/2 точки M составляют окружность диаметра a, проходящую через точку P и симметрично относительно луча l.

(So знаком «плюс» мы откладываем углы в направлении против часовой стрелки, so знаком «минус» — в направлении по часовой стрелке.)

Доказательство. Пусть R — точка нашей окружности, диаметрально противоположная точке P, и пусть M — произвольная точка

нашей окружности (рис. 2). Тогда ∠PMR=π/2, и значит,

PM=PR · cos (∠MPR)=a cos φ.

(Случай M=R (φ=0) и M=P (φ=±π/2) требует, строго говоря, отдельного рассмотрения, которое мы оставляем читателю.) Таким образом, все точки окружности принадлежат нашему геометрическому месту, а так как окружность пересекает каждой луч m, то никаких других точек расматриваемое геометрическое место не содержит. Теорема доказана.

Заметим, что если в описании геометрического места выражение a cos φ заменить выражением a cos (φ+δ) (и, конечно, условие, что угол φ — острый или прямой, заменить условием, что cos (φ+δ)≥0), мы получим окружность диаметра a, проходящую через точку P и симметрично относительно луча, составляющего с l угол δ (рис. 3).

Наконец, если вместо выражения a cos φ написать выражение a sin φ (и условие sin φ≥0), то мы получим окружность диаметра a, касаощую луча l в точке P (рис. 4).

Продемонстрируем полезность нашей наблюдания на решении одной нестандартной задачи.

Задача 1. Дан равноведренный прямогольный треугольник A₀A₁A₂ с прямым углом при вершине A₀. Для произвольной точки C на описанной вокруг треугольника A₀A₁A₂ окружности отметим на луче A₀C такую точку M, что

A₀M=A₁C+A₂C-A₀C.

Найдите геометрическое место точек M.

26

Решение. Приимем диаметр нашей окружности за 1 и обозначим через φ угол CA₀O, где O — центр окружности. Тогда, очевидно (рис. 5),
A₀C=cos φ,
A₁C=|sin (φ+π/4)|,
A₂C=|sin (φ-π/4)|.

Рассмотрим три случая.

1. -π/4≤φ≤π/4. Тогда
   A₀M=sin (φ+π/4)−sin (φ−π/4)−cos φ=√2cos φ−cos φ=(\sqrt{2}-1)cos φ.

Таким образом, соответствующая часть геометрического места будет дугоой окружности диаметра √2−1, проходящей через точку A₀ и симметричной относительной луча A₀O (рис. 5). Поскольку угол φ пробегает промежуток [−π/4; π/4] длин π/2 (а не π, как выше), мы получаем, что эта дуга равна получружности диаметра √2−1 (на рисунке 5 она выделена красным цветом).

2. π/4<φ<π/2. Тогда
   A₀M=sin (φ+π/4)+sin (φ−π/4)−cos φ=√2sin φ−cos φ=√3(√2/3sin φ−√1/3cos φ)=√3cos (φ+δ),
   где δ=arccos(−√1/3). Таким образом, соответствующая этим значением φ часть геометрического места будет дугоой окружности диаметра √3, проходящей через точку A₀ и симметричной относительной луча A₀O.

Окончательный ответ к задаче 1 изображен на рисунке 7.

Задание 2. Дан многоугольник A₀A₁A₂……Aₙ, вписанный в окружность c. Для произвольной точки C окружности c отметим на луче A₀C такую точку M, что
A₀M=|x₀·A₀C+x₁·A₁C+…+xₙ·AₙC|,
где x₀, x₁,…, xₙ — некоторые числа.
Найдите множество, которое описывает точка M, когда C пробегает окружность c.

Задание 3 (это — задание M853 из «Задачника «Кванта», см. «Квант», 1984, № 3). Квадрат ABCD врачается вокруг своего неподвижного центра. Найдите множество, которое описывает середина отрезка PQ, где P — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на неподвижную прямую l, a Q — середина стороны AB.

27

Задания

1. Решите в целях числа уравнения
   $$xy + 3x - 5y = -3.$$

2. Все точки некоторой окружности произвольным образом окрашены в два цвета. Докажите, что найдется равноведенный треугольник с однозветными вершинами, вписанный в эту окружность.

3. К сумме цифр двухначного числа $A$ прибавили квадрат этой суммы и получили число $A$. Найдите, чему равно $A$.

4. Пусть $CM$ — медиана треугольника $ABC$. Известно, что $\angle CAB + \angle MCB = 90^\circ$. Докажите, что треугольник $ABC$ — прямогольный или равноведный.

5. На окружности радиуса 10 расположены несколько непересекающихся дуг общей длины 32. Докажите, что для любой прямой найдется хорда окружности, параллельная этой прямой, концы которой принадлежат двум таким дугам.

Эти задания нам предложили $A$. П. Савин и болгарские авторы $K$. Коларов, И. Тонов, С. Савчев, И. Проданов.

Под-Котик
глубоко вздохнул и вытер глаза.
Он, видно хо-
тел что-то сказать, но его душили
рыдания. — Ну, прямо словно кость у не-
го в горле застряла, — сказал Грифон. И
принялся трясти Под-Котика и бить его по
спине. Наконец Под-Котик заговорил: — Ты, дол
жно быть, никакда не видала живого омара… — За-
то я его пробова…—начала Алиса, но спохватилас
и покачала головой. — Нет, не видала.— Значит, ты
не имеешь понятия, что такое морская kadриль с ома-
рами. — Нет, не имею,— вздохнул Алиса.— А что это
за танец? — Прежде всего,— начал Грифон,— все выст-
раиваются в ряд на морском берегу…— В два ряда! — за-
кричал Под-Котик.— Тколени, лососи, морские черпахи и
все остальные. И как только очистить берег от медуз…
— А это не так-то просто,— вставил Грифон.— Делаешь
сначала два шага вперед…— продолжал Под-Котик.— Взв
подручку омара! — закричал Грифон.— Конечно,— подтвер-
дил Под-Котик.— Делаешь два прохода вперед, кидаешься на
партнеров…— Меняешь омаров и возвращается назад тем
же порядком,— закончик Грифон.— А потом,— продолжал
Под-Котик,— швыряешь…— Омаров! — крикнул Грифон,
— Подальше в море…— Плывешь за ним!— завопил Грифон.
— Кувыркаешься разок в море!— воскликнул Под-Котик и
прошелся колесом по песку. Вот и вся первая фигура,— сказал
Под-Котик внесално улавшим головом.— Это, должно быть,
очень красивый танец,— заметила Алиса.— Вставой.— прика-
зал Грифону Под-Котик — Покаком ей первую
фигуру.— И они заплясали. Под-Котик

Затянул грустную песню
про треску. — Большие спасибо, — сказала Алиса.
— Очень интересно
было посмотреть.
— Кстати, о треске, —
заметил Под-Котик. — Ты ее видала?
— Да, — сказала Алиса. — Она иногда былала у нас на обед. — Ты, видно, хочешь сказать, что она былала у вас на обедах, — поправил Под-Котик Алису. — Ну, раз вы так часто встречались, ты, конечно знаешь, как она выгляди…
— Да, — сказала задумчиво Алиса. — Хвост во рту, и вся в сухарях. — Под-Котик широко звернул и закрыл глаза. — Объяснией ей про хвост, — сказал он Грифону. — Дело в том, — сказал Грифон, — что она очень любит танцевать с омарами. Вот они и швыряют ее в море. Вот она и летит далеко-далеко. Вот хвост у нее и застревает во рту — да так крепко, что не вытащить.
Все. —
Большие спасибо, — сказала Алиса. — Это очень интересно. Я всего этого и не подозревала. — Это что, — сказал Грифон. — Я такое могу про треску рассказать! Если хочешь, конечно… Знаешь, почему ее называют треской?
— Треску много, — сказал значительно Грифон. Алиса растерялась — Много треску?

1. Отгладайте числовой ребус ФОН²-ГРИФОН
2. Участики танцев расположились в зале 5×7 м, разделном на квадраты 1×1 м так, что в каждом квадрате оказалось по одному танцуру. По команде кооролевы каждый танцор переходит в соседний квадрат. Если в каждом квадрате оказался два (или больше) танцора, королева приказывает отрубить им головы.
   Придется ли палачам пора-ботать?
3. Алиса хочет справедливо поделить квадратный торт на 20 кусков так, чтобы все разрезы не были палательны краям торта. Может ли она это сделать?

— переспросила она с недоуменем. — Ну да,— подтвердил Грифон. — Рыба она так себе, только от нее мало, а треску много.
— Очень любит поговорить, — продолжал Грифон. — Другой такой трещотки не сыщешь! И друзей себе таких же подобрала. Ходит к ней один стариок Судачок. С утра до ночи судачит. А еще Шука забегает — так она всех шучит. Бывает и Com — этот во всем комнате… А как соберутся все вместе, такой подымут шум, что голова кругом идет. — Тут Под-Котик открыл глаза. — Ну, хватит об этом,— проговорил он. — Рассказки теперь ты про свой приключения. — Я с удовлетворением расскажу все, что случилось со мной сегодня с утра,— сказала неуверенно Алиса. — А про вчера я рассказывать не буду, потому что тогда я была совсем другая. — Объясни, какая, — сказал Под-Котик. — Нет, сначала приключения,— нетерпеливо перебил его Грифон. — Объяснять очень долго. — И Алиса начала рассказывать все, что с него случилось с той минуты, как она увидела Белого Кролика. Сначала ей было немного не по себе: Грифон и Под-Котик привидились к ней так близко и так широко раскрыли глаза и рты. Но потом она осмелела. Грифон и Под-Котик молчали, пока она не дошла до встречи с Синей Гусеницей и попытки прочитать ей «Папу Вильяма».
Тут Под-Котик глубоко вздохнул и сказал: — страноно! — Страннее некуда! — подхватил Грифон. — Все слова не те,— задумчиво произнес Под-Котик. — Хорошо бы она нам что-нибудь почитала. Вели ей начать. И он посмотрел на Грифона, словно тот имел над Алиской власть. — Вставь и читай «Это голос Лентя»,— приказал Алисе Грифон. Она встала и начала читать. Но мысли ее были так заняты омарами и морской кадрилью, что она и не знала, что говорит. Слова получились, действиялено, страныные. Это голос Омара. Вы слышите крик? — Вы меня разварили! Ax, где мой парик? И поправивши носом жилетку и бант, он идет на носочках, как лондонский франт. Если отмель пустынна и тихо кругом, он критит, что аклы ему нипочем. Но лишь только вдали заприметит аклу, он забется в песок и критит караул? — Совсем не похоже на то, что читал я в школе,— заметил Грифон — это ужасный видор! — Алиса ничего не сказал; она села и закрыла лицо руками; ей уж и не ванно…

лось,
что
все еще
может сю-
ва стать
как прежде.—
Она ничего обьяс-
нить не может,—
торопливо сказал Гри-
фон. И, повернутьсь к
Алисе, прибавил: Читай да-
лыше.— А почему он идет на
носочках? — спросил Под-Котик.
Обысяни мне хоть это. — В балет
готовится, должно быть,— сказала Али-
са. Она и сама не понимала. Ей не хо-
телось больше об этом говорить.— Читай
же,— торопил ее Грифон.— «Шел я садом
однажды…» Алиса не посмела ослушаться, хотя
и была уверена, что все опять получится не
так, и дрожащим голосомprodолжала: Шел я са-
дом однажды и вдруг увидал, как делили ков-
рижку Сова и Шакал. И коврижку Шакал прого-
тил целиком, а Сове только блюдечко дал с ободком.
А потом предложил ей: «Закончим дележ — ты возьми себе
ложку, я — вилку и пож». И, наевшись, улегся Шакал на траву,
но сперва на десят проглотил он…— Пожалей, хватит,
— сказал он к радости Алисы.— Хочешь мы еще
станцем? —prodолжал Грифон.— Или пусть лучше Под-Котик
споет тебе песню? — Пожалейства, песню, если можно,— отве-
чала Алиса с таким жаром, что Грифон только пожал пле-
нами. Под-Котик открыл было рот, но в эту минуту вдалеке по-
сышалось: — Суд идет! — Побежали! — сказал Грифон, схватил
Алису за руку и потащил за собой.— А кого судят? — спросила,
задыхаясь Алиса. Но Грифон только повторял: — Побежали, побе-
жали.— И он прибавил шагу.

32

Математический курсок

Полис и поляра относительно окружности

С. Ц. ХАРАЛАМПИЕВ (НРБ)

От редакции. В этой заметке рассакazo об очень красивых задачах, решаемых с помощью понятой полиса и поляры относительно окружности. Болгарские школьники знакомы с этим понятыми, которые, однако, не входят в программы школа в СССР. Поэтому редакция предложала заметке неольшие сведения об основных свойствах полиса и поляры.

Введение: полис, поляра и их свойства

Две точки $P$ и $Q$ называются сопряженными относительно окружности $(k)$, если окружность с диаметром $PQ$ ortogonalна окружности $(k)$ (рис. 1). Множество всех точек, сопряженных точке $P$ относительно окружности $k(O; r)$, называется по-

лярой точки $P$ относительно $(k)$. Далее мы зафиксируем окружность $k(O; n)$, и поэтому будем опускать слова «отношение $(k)$».

Свойство I (построение поляры). Поляра точки $P$ является прямой; она может быть построена так, как показано на рисунке 2. Если прямая $l$ служит полярой для точки $P$, говорят еще, что $P$ является полюсом прямой $l$.

Свойство II (построение полюса). У любой прямой, не проходящей через центр окружности, имеется единственный полюс; он может быть построен так, как показано на рисунке 3.

Свойство III (бзаимность). Поляра $l_p$ любой точки $P$, принадлежащей поляре $l_Q$ точки $Q$, проходит через $Q$.

Свойство IV (характеристиское свойство). Для точки $M$ поляры $l_P$ точки $P$ и только для них выполняется соответствие

$$OM^2 - PM^2 = 2r^2 - OP^2.$$ (1)

Доказательства этих свойств мы оставляем читателем.

Применения понятой полюса и поляры

Пример 1 (полярное свойство касательных). Если из точки $P$ проводить

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 4

34

Рис. 8.

Q и R, P и R, P и Q лежат соответственно на полярах точек P, Q и R, что и утверждаюсь.

Своеобразным итогом разобраных примеров служит рисунок 7. На нем показано, сколько разных заменательных точек лежит на поляре: точки касания (T и T′), пересечение диагоналей (Q), противоположных сторон (R) и касательных (M, N).

Пример 3 (теорема Брюкара). Пусть P, Q и R являются соответственно точками пересечения диагоналей и противоположных сторон вписанного в окружности k(O; r) четырехугольника ABCD. Тогда ортоцентр треугольника PQR совпадает с центром O.

Доказательство. Из предыдущей задачи следует, что точки P=(AC)∩(BD), Q=(AB)∩(CD) и R=(AD)∩(BC) относительно окружности (k) имеют в качестве поляр соответственно прямые QR, PR и PQ. Тогда OP⊥QR, OQ⊥PR, OR⊥PQ, то есть O является ортоцентром.

Пример 4. Пусть X₁X₂X₃X₄ является четырехугольником, вписанным в окружность (k), а Xᵢᵣ является точкой пересечения касательных (k) в точках Xᵢ и Xᵣ (i≠j, i, j=1, 2, 3, 4). Тогда у диагоналей четырехугольников X₁X₂X₃X₄, X₁₂X₂₃X₃₄X₁₄ общая точка пересечения.

Доказательство. Пусть P=(X₁X₃)∩(X₂X₄), Q=(X₁X₂)∩(X₃X₄) и R=(X₁X₄)∩(X₂X₃) (рис. 8). Но X₁X₂ и X₃X₄ являются секущими окружностями (k), проходящими через точку O, поэтому точки пересечения X₁₂ и X₃₄ пар касательных к (k) в точках(X₁, X₂) и(X₃, X₄) будут находиться на поляре PR точки Q. По аналогии установливается, что точки X₂₃ и X₁₄ лежат на поляре PQ точки R, следствие чего (X₁₄X₂₃)∩(X₁₂X₃₄)=(PR)∩(PQ)=P.

Пример 5. На окружности данной путь точек: U, V, A, B, C. Построены три пары точек: M=(UA)∩(VB) и M₁=(UB)∩(VA), N=(UB)∩(VC) и N₁=(UC)∩(VB), P=(UC)∩(VA) и P₁=(UA)∩(VC). Тогда прямые MM₁, MN₁ и PP₁ имеют общую точку или параллельны («Математика в школе», 1982, № 2, задача 2480).

Доказательство. Пусть K=(MM₁)∩(NN₁) и K₁=(MM₁)∩(PP₁). Четыреугольники ABVU и BCVU вписаны в(k) (рис. 9), поэтому поляра точки K проходит через точки пересечения пар прямых UV, AB и UV, BC, то есть поляра K является прямой UV. По аналогии четырехугольники ABVU и ACVU вписаны в(k), поэтому поляра точки K₁ проходит через точки пересечения пар прямых UV, AB и UV, AC, то есть поляра K₁ — это прямая UV. Точки K и K₁ имеют одну и ту же поляру, поэтому K≡K₁. Если прямые MM₁ и MN₁ параллельны (их точка пересечения K — «бесконечно удаленная» точка), то тогда UV — диаметр окружности (k), поэтому PP₁∩MN₁.

Задания

1. Данные окружности (k) и прямая p. Построена окружность (k₁) с центром O₁∈p и радиусом, равным длине касательной от O₁ к (k), пересекающей (k) в точках P и Q. Доказите, что когда O₁ описывает p, хорошо PQ параллельны или проходит через постоянную точку.

2. Окружности k₁(O₁; r₁) и k₂(O₂; r₂) пересекаются в точках A и B так, что ⊥AO₂=⊥BO₂=90°. Построена окружность с центром O∈AB и радиусом, равным отрезку касательной от O к одной из окружностей (k₁) и (k₂), пересекающей (k₁) и (k₂) соответственно в точках P₁, Q₁ и P₂, Q₂. Доказите, что хорошо P₁Q₁ и P₂Q₂ проходят через точки O₂ и Q₁.

35

Задчи

M991—M995; Ф1003—Ф1007

M991. В треугольнике ABC проведены высота CH и медиана СК. На стороне AB выбраны точки E и F так, что ∠ACE=∠BCF, и на лучи CE и CF опущены перпендикуляры AM и BN (рис. 1). Докажите, что точки M, H, K и N лежат на одной окружности.

M992. Среди 90 выпускников одной математической гипназии у каждой не менее 10 друзей. Докажите, что любой выпускник может пригласить в гости трех друзей так, что среди четырех собравшихся у каждой будет не менее двух друзей.

M993. a) Найдите 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат натурального числа.
6)* Докажите, что при 2<n<11 не существует n последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат.

M994.* При каком наиболее значении k неравенство
$$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geq k(ab+bc+ca)^2$$ выполено при всех значениях a, b и c?

M995. Функция y=f(x) при всех x определяна, непрерывна и удовлетворяет условиям
$$f(f(x))=f(x)+x.$$
a) Найдите две такие функции f.
6)* Докажите, что других таких функций нет.

Ф1003. Локомотив движется по круговому пути радиуса R со скоростью v. К нему на трое длиной L прикреплен легкий воздушный шар, который движется с постоянной по величине скоростью на высоте H. Определите траекторию установленного движения шара.

Д. Ю. Григорьев

Ф1004. Tonкий одноподныйстерень, который может свободно врашаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через конецстерня, неподвижно висит над водой (рис. 2); длинастерня l, плотность материала ρ (ρ меньше плотности воды). Медленно опуская ось,стерень погружают в воду. Найдите зависимость между углом отклонениястерня от вертикали и расстоянием от оси до поверхности воды; построите график этой зависимости.

Д. В. Белов

36

Ф1005. Имеется печь, в которой постоянно поддерживает температура $T_1$, и холодильник, температура в котором $T_0 < T_1$. В холодильнике устанавливается катушка с намотанной на ней длиной проволокой. Конец проволоки выходит из холодильника, входит в печь и закреплен на катушке, устанавливаемой там. Катушки врашают так, что проволока смытается с холодной катушки на горячею, двигаясь со скоростью $v$. Сечение проволоки $s$, объемная тепломкость $c$. Чтобы температуры $T_1$ и $T_0$ не изменились, пришлось увеличить на $\Delta E_x$ мощность печь и на столько же уменьшить холодопроводительность холодильника. Найдите $\Delta E_x$. Считать, что теплобмен проводки с окружающей средой не зависит от скорости движения проволоки.

Д. В. Павлов

Ф1006. Определяйте сопротивление схемы из резисторов, показанной на рисунке 3. Значения сопротивления указаны в омах.

С. С. Кротов

Ф1007. На шар, составленный из двух полушарий, которые сделаны из стекол с показателями преломления $n_1$ и $n_2$ ($n_1 > n_2$), падает луч света. Шар начинают врашать с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, перpendикулярной направлению луча (рис. 4). Найдите максимальный размер светового пятина на экране, устанавливаемой на шаром.

Л. Г. Маркович

Problems

M991 — M995; P1003 — P1007

M991. CH and CK are the altitude and the median of triangle ABC. The points E and F are chosen on the side AB so that $\angle ACE = \angle BCF$, and perpendiculars AM and BN are lowered on the rays CE and CF (see figure Pisc. 1). Prove that M, H, K and N lie on one circle.

M992. Each of the 90 alumni of a mathematical gymnasium has at least 10 friends. Prove that any alumnus can invite three other alumni so that among the four each has at least two friends.

M993. a) Find 11 successive natural numbers whose sum of squares is the square of a natural number.
b) Prove that if $2 < n < 11$, then it is impossible to find $n$ successive natural numbers whose sum of squares is a square.

M994.* For what largest value of $k$ the inequality
$$a^4 + b^4 + c^4 + abc(a + b + c) \geq k(ab + bc + ca)^2$$
holds for all values of $a, b$ and $c$?

M995. The function $y = f(x)$ is, for all $x$, defined, continuous and satisfies the condition
$$f(f(x)) = f(x) + x.$$
a) Find two such functions $f$.
b) Prove that there are no others.

P1003. A locomotive moves along a circular track of radius $R$ with velocity $v$. An aerostat is tied to the locomotive.

37

pe write the words: “KVANT’S PROBLEMS” and the numbers of all the solved problems; in your letter enclose an unstamped self addressed envelope — we shall use it to send you the correction results. At the end of the academic year we sum up the results of the Kvant problem contest. If you have an original problem to propose for publication, please send it to us under separate cover, in two copies (in Russian or in English), including the solution. On the envelope write NEW PROBLEM IN PHYSICS (or MATHEMATICS).

Problems M991—M995 were proposed to us by the Bulgarian magazine «Matematika».

P1004. A thin uniform rod which can rotate freely in the vertical plane about a horizontal axis passing through its upper extremity hangs motionless above water (see figure Pisc. 2); the length of the rod is $l$, its density $\rho$ ($\rho$ is less than the density of water). Slowly lowering the axis, the rod is immersed in water. Find and plot the dependence between the angle formed by the rod with the vertical and the distance from the axis to water level.

D. V. Belov

P1005. A heater in which a constant temperature $T_1$ is maintained and a refrigerator with inner temperature $T_0 < T_1$ contain coils of wire. The wire from the coil in the refrigerator comes out of it and goes into the heater to the other coil. The coils rotate so that the wire from the cold coil moves toward the hot coil with velocity $v$. The wire section area is $s$, the volume specific heat is $c$. In order to keep the temperatures $T_0$ and $T_1$ constant, it was necessary to increase the power of the heater by $\Delta E_x$ and decrease the production of cold by the refrigerator by the same magnitude. Find $\Delta E_x$.

D. V. Pavlov

P1006. Determine the resistance of the resistor circuit shown on figure Pisc. 3. The resistances are given in ohms.

S. S. Krotov

P1007. A light ray falls on a solid sphere made out of two glass hemispheres of refraction indices $n_1$ and $n_2$ ($n_1 > n_2$). The sphere is rotated with angular velocity $\omega$ about an axis perpendicular to the ray (see figure Pisc. 4). Find the maximal size of the spot obtained on a screen placed directly behind the sphere.

L. G. Markovich

Решения задач

M971—M975; Ф983—Ф987

Поскольку суммарное число выгрышей всех команд равно числу проигрывшей и каждой команды провела 7 матчей, среднее число выгрышей, приходящиеся на команду, равно 3,5. Следовательно, хотя бы одна из команд — назовем ее $A$ — выгрыла не менее 4 матчей. Аналогично на каждую из 4 команд, проигрывших $A$, приходит в среднем 1,5 выгрыша в матчах между ними, поэтому одна из них — назовем ее $B$ — выгрыла не менее чем у двух. Из этих двух команд одна ($C$) выгрыла у другой ($D$). Команды $A, B, C, D$ образуют искому четверку.

Легко видеть, что утверждение задачи можно обобщить: если в турире участвовали $2^{n-1}$ команда, то всегда можно выгрыть n команда $A_1, \dots, A_n$ так, что каждая из них выгрыла у всех команда с большими номерами.

Интересно выястить, при каком наименшем $N$ (в зависимости от $n$) выделенное условие выполняется для любого турира с участем $N$ команда. Схемы туриров, изображенные на рисунках 1 и 2 (где стрелки проведены от выгрыших команда к проигрывшим), показывают, что при $n=3, N=3$ и $n=4, N=7$ наше условие уже не выполено. (Заметим, что на обихих рисунках все команды равно равны, причем на рисунке 1.) Следовательно, в этих двух случаях наименшение допустимо значение $N$ равно $2^{n-1}$. Читательям предлагается ответить на вопрос, верно ли это для $n=5, 6, \dots$.

A. T. Украинцев

38

M972. Последовательность $x_1, x_2, \dots$ задается условиями $x_1 = 1/2, x_{n+1} = x_n^2 + x_n(n=1, 2, \dots)$. Найдите целую часть числа
$$\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \dots + \frac{1}{x_{100}+1}.$$

Ответ: 1. Ясно, что
$$\frac{1}{x_n+1} = \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x_n(x_n+1)} = \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x_{n+1}},$$
позному рассматриваемая сумма равна $1/x_1 - 1/x_{100} = 2 - 1/x_{100}$. Последовательность $x_n$, очевидно, возвращает и $x_2 = 3/4$, $x_3 = (3/4)^2 + 3/4 > 1$, следовательно, и $x_{100} > 1$, то есть $1 < 2 - 1/x_{100} < 2$.

A. A. Анджанс

M973. В треугольнике ABC проведены высота AH и bisсектора BE. Докажите, что если $\angle BEA = 45^\circ$, то и $\angle EHC = 45^\circ$.

Рис. 1.

Рис. 2.

Достаточно доказать, что HE — биссектора угла AHC.
Проведем из точки E перпендикуляр к AC; пусть D — точка его пересечения с BC (рис. 1). Треугольники BEA и BED равны по стороне BE и приложением к ней углам ($\angle BEA = \angle BED = 45^\circ$), поэтому AE=ED. А поскольку точки A, E, H и D лежат на одной окружности (ибо сумма углов AHD и AED равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$), углы AHE и EHD равны как вписанные углы, опирающиеся на равные хорды AE и ED.

Другое решение опирается на известную теорему о bisсекторасе: если BE — bisсектора треугольника ABC, то AE:EC=AB:BC (см., например, «Кваант», 1985, № 2, с. 29). Легко видеть, что справедлива и обратная к ней теорема, поэтому достаточно доказать, что AH:HC=AB:BC. Обозначая углы треугольника при вершинах A, B, C через α, β, γ, получим, что AH:HC=tg γ и по теореме синусов AB:BC=γ:sin α. Но sin α=sin ($\beta + \gamma$)=sin ($90^\circ - \gamma$)=cos γ (так как β/2+γ=∠AEB=45°), то есть sin γ:sin α=tg γ.

Заметим еще, что рассматриваемый в задаче треугольник можно охарактеризовать тем, что центр O окружности, проходящей через точки B, H и E, совпадает с проекцией точки B на прямую AC (рис. 2). (Эта окружность является так называемой окружностью Аполлория для точки A и C, то есть для ее точек X относительной AX:XB построенной.) Отсюда можно получить еще одно решение.

И. Ф. Шарыцин,
В. Н. Дубровский

M974. Двое церрают в шахматы с часами. После того как оба сделали по 40 ходов, часы обоих показали 2 часа 30 минут.
a) Докажите, что в партии был момент, когда часы однозоно обозначаили часы других более чем на 1 минуту 50 секунд.
b) Можно ли утверждать, что в некоторых моментах разница часов была не менее 2 минут?

a) Пусть абсолотная величины разности показаний часов ни в какой момент не превышает t=1 минут 50 с. Тогда время, затраченное первым шахматом на первый ход, не превышает t, а время, затраченное на любой из следующих ходов, не превышает 2t (если время обдумывания какого-либо хода больше 2t, то в начале или в конце этого отрезка времени разность показаний часов будет больше t). Таким образом, общая длительность партии, равная 5ч=300 мин, не превышает 80·2t-t=159t, то есть t≥300/159 мин>1 минут 50 с. Полученное противоречие показывает, что в

39

некоторые момент разность показаний часов превысит 1 мин 50 с.

6. Ответ: нельзя. Если на самый первый ход (точнее, по шахматной терминологии, «полуход») в партии было затрачено время $t_0=300/158$ мин, на каждый из 78 следующих — $2t_0$, а на 80-й, последний — $t_0$, то общее время обдумыания для каждого шахматиста равно $39 \cdot 2t_0 + t_0 = 79t_0 = 2$ ч 30 мин, а разность показаний часов в любой момент не превыходит $t_0 < 2$ мин; график изменения разности приводится на странице 38.

С. В. Фомин

М975. На «шахматной доске» $n \times n$ полей стоит 20 различных фигур. Известно, что каждая фигура с любого поля будет не более 20 полей.
a) Докажите, что при $n=100$ эти фигур можно переставить так, чтобы они не были друг друга.
b) Пусть дополнительно известно, что если фигур с двенадцатью, то множество полей, которые она быет, тоже параллельно свинеется (на тот же вектор). Докажите, что при $n=30$ эти 20 фигур можно расставить так, чтобы они не были друг друга.

a) Расстоянием всегоэзможно расстановки наших 20 фигур на доске $100 \times 100$ и оценим долю $p$ тех расстановок, при которых хотя бы одна фигура будет какую-то другую. Легко оценить долю расстановок, при которых данной фигур $A$ будет данную фигур $B$: при любом положении $A$ для фигур $B$ имеет $100^2-1=9999$ свободных полей, из них не более 20 находится под ударом фигур $A$; следовательно, эта доля не превыходит $20/9999$. А поскольку число (упорядоченных) пар фигур $(A, B)$ равно $20 \cdot 19=380$,

$$p \leq 380 \cdot \frac{20}{9999} < 1,$$

позному существуют позицини, в которых ни одна фигура не будет другую (их доля равна $1-p>0$).

Отметим, что наша оценка довольно грубая — позицини, в которых несколько фигур был другие, мы учили столько раз, сколько в них таких пар фигур.

6. Будем ставить фигуры на доску последовательно. Если первая фигура уже поставлена, то вторую нельзя ставить на 1) поле, занятое первой фигурой, 2) поля, находящиеся под ударом первой (их не более 20), 3) поля, с которых вторая фигура будет первую. Покажем, что в 3-й группе также не более 20 полей.

Пусть $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_k$ — векторы, соединяющие центр поля, занятого 2-й фигурой, с центрами полей, которые она быет. Этот набор векторов не меняется при сдвиге фигуры, однокоторые из них могут выходить за края доски (на рисунках показаны такие векторы для двух положений шахматного коня). Поля, с которых 2-й фигура быет 1-ю, получаются, если отложить от поля, занятого 1-й фигурой, векторы $-\vec{v}_1, -\vec{v}_2, \dots, -\vec{v}_k$ — их не более 20.

Таким образом, для 2-й фигурцы число запретных полей не превышает 41. Поставим ее на одно из оставшихся полей, тогда для 3-й фигурцы будет не более $2 \cdot 41=82$ запретных полей и т. д. Для 20-й фигурцы число запретных полей не превышает $19 \cdot 41=779<900$, поэтому и ее можно будет поставить на доску с соблюдением условий задачи.

Обратите внимание на принципальное решение двух пунктов нашей задачи: в отличие от решения задачи 6) решения задачи a) никак не помогает найти нужную расстановку — это, как говоря, «чистое доказательство существования».

А. К. Толыцо

40

Ф983. На шероховатом столе лежит брусок массой $m=1$ кг; коэффициент треня покоя бруска о столе $\mu_0=1$, коэффициент треня скольжения $\mu=0.9$. К бруску прикреплена пружина жесткость $k=1$ Н/m. Пружину начинают тинуть в горизонтальном направлении так, что ее свободный конец движется с постоянной скоростью $v=1$ м/c (пис. 1). Как будет движаться брусок?

Вудем рассматривать движение системы поэтапно.

Первый этап: брусок неподвижен, пружина расстояется. Это происходит до тех пор, пока в некоторый момент времени $t_1$ сила натяжения пружины ($|kx_1|$) не достигает значения максимальной силы треня покоя ($\mu_0mg$); с этого момента брусок начинает движется.

Найдем $t_1: kx_1=\mu_0mg$, или $k(vt_1)=\mu_0mg$, откуда

$$t_1=\mu_0\frac{mg}{kv} \approx 10\text{ c}.$$

Введем обозначение $k/m=\omega^2$. Тогда

$$t_1=\mu_0g/v\omega^2.$$

В этот момент расстояние пружины

$$x_1=vt_1=\mu_0\frac{g}{\omega^2}.$$

Второй этап. С момента времени $t_1$ брусок начинает движаться. Расмотрим это движение в системе координат, которая движется со скоростью $\vec{v}$. В этой системе (обозначим ее $c$) в момент времени $t_1$ брусок имеет скорость $-\vec{v}$ и координату $x=0$, пружина расстояга на $x_1=vt_1$. Дальнейшее движение бруска происходит под действием силы упругости $f_{\text{упр}}=kx_1$ и силы треня скольжения $f=\mu mg$, направленной в сторону, противоположную направлению вектора $\vec{v}$ (так направлена скорость бруска относительно стола, которой в системе $c$ имеет постоянную скорость $-\vec{v}$). Вспомним, что под действием упругой силы и постоянной силы (в данном случае — треня) тело совершает гармоничное колбация:

$$x_c=x_{c\text{max}} \sin(\omega t+\varphi)+x_0(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}),$$

где $x_0$ — положение равновесия, которое определяется условиям

$$k(x_1-x_0)-\mu mg=0 \Rightarrow$$

$$x_0=x_1-\frac{\mu mg}{k}=x_1-\mu\frac{g}{\omega^2}=\Rightarrow \Delta\mu\frac{g}{\omega^2},$$

где $\Delta\mu=\mu_0-\mu$.

Скорость бруска при этом изменяется по закону

$$v_c=\dot{x}_c'=x_{c\text{max}} \omega \cos(\omega t+\varphi).$$

Найдем значение $x_{c\text{max}}$ и $\varphi$. Для этого подставим в (1) и (2) значения $t=t_1$, $x_c=x(t_1)=0$, $x'(t_1)=-v$:

$$0=x_{c\text{max}} \sin(\omega t_1+\varphi)+\Delta\mu\frac{g}{\omega^2},$$

$$-v=x_{c\text{max}} \omega \cos(\omega t_1+\varphi).$$

Перепишем эти уравнения в такой форме:

$$x_{c\text{max}} \sin(\omega t_1+\varphi)=-\Delta\mu\frac{g}{\omega^2},$$

$$x_{c\text{max}} \cos(\omega t_1+\varphi)=-\frac{v}{\omega}.$$

Возведя (3) и (4) в квадрат и сложив полученные выражения, найдем:

41

$$x_{c \max}^2 = \frac{(\Delta \mu)^2 g^2}{\omega^4} + \frac{v^2}{\omega^2} \approx 2 \text{ m}^2, \quad x_{c \max} \approx 1,4 \text{ m}.$$

Поделив (3) на (4), получим:

$$tg(\omega t_1 + \varphi) = \Delta \mu \frac{g}{v \omega}$$

$$(\sin(\omega t_1 + \varphi) < 0, \cos(\omega t_1 + \varphi) < 0)$$

откуда

$$\varphi = \pi + \arctg \frac{\Delta \mu \cdot g}{v \omega} - \omega t_1 \approx \frac{5 \pi}{4}.$$

Перейдем теперь в неподвижную систему отсчета (в момент времени $t_1$ начала координат в обеих системах совпадают):

$$x = x_c + v(t - t_1) = x_{c \max} \sin(\omega t + \varphi) + v(t - t_1) + \Delta \mu \frac{g}{\omega^2} = \sqrt{2} \sin((t - 10) + \frac{5 \pi}{4}) + (t - 10) + 1 \text{ (м)},$$

$$x' = x_{c \max} \omega \cos(\omega t + \varphi) + v = \sqrt{2} \cos((t - 10) + \frac{5 \pi}{4}) + 1 \text{ (м/c)}.$$

Эти уравнения описывают движение бруска от момента времени $t_1$ до момента $t_2$, когда скорость бруска становится равной 0 и силу треня скольжения заменит сила треня покоя. В момент $t_2$

$$x' = x_{c \max} \omega \cos(\omega t_2 + \varphi) + v = 0.$$

Вспомним, что угол $\theta = \omega t_1 + \varphi$ находится в третьей четверти. При дальнейшем росте $t (t > t_1)$ угол этого будет растит, cos $(\omega t + \varphi)$ также будет растит, следовательно, и скорость будет растит, оставаясь положительной. Когда $(\omega t + \varphi)$ оказывается во второй (шестой) четверти, cos $(\omega t + \varphi)$ будет отрицательным, и когда он становится cos $(\omega t_1 + \varphi)$, скорость бруска становится нулю. Таким образом,

$$t_2 = t_1 + \frac{2 \left( \pi - \arctg \frac{\Delta \mu \cdot g}{v \omega} \right)}{\omega} \approx 15 \text{ c},$$

$$x(t_2) \approx 7 \text{ m}.$$

Заметим, что силы натяжения пружины в моменты $t_2$ и $t_1$ связаны соотношениям

$$f(t_1) - \mu mg = -(f(t_2) - \mu mg) \Rightarrow f(t_2) = 2 \mu mg - f(t_1).$$

Но $f(t_1) = \mu_0 mg$; поэтому

$$f(t_2) = mg(2 \mu - \mu_0) < \mu_0 mg.$$

Значит, в момент $t_2$ брусок остаются и не будут движаться до момента $t_3$, когда $f(t_3)$ станет равной

42

по модулю $\mu_0 mg$. Интервал времени $t_3 - t_2$, очевидно, равен

$$t_3 - t_2 = \frac{f(t_3) - f(t_2)}{kv} = \frac{2(\mu_0 - \mu)g}{v\omega^2} \approx 2\text{ c.}$$

Затем цикл повторяется, так что $t_4 - t_3 = t_2 - t_1$, и т. д. Графики функции $x(t)$ и $x'(t)$ приведены на рисунках 2 и 3 (см. с. 41).

И. И. Мазин

Ф984. При kolke drove torop иногда застревает в расщепление полена. В таких случаях должны так, как показано на рисунке 1, либо — как на рисунке 2. Какой способ более эффективен?

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

По мере того как топор входит в полено, увеличивается расщеплина между полинами полена по обе стороны от топора: эти поливны испытывают скатные в направлениях, перпендикулярных «шекам» топора; происходит накопление пругоя деформации в дереве. Разрыв (раскол) полена происходит в момент, когда эта деформация достигнет определенного «максимального выдерживаемого» значения.

Будем считать, что перед ударом о «наковалью» в первом и во втором случая система топор + полено имеет одну и ту же энергию. При ударе о наковалью часть этой энергии переходит в тепло. В первом случае (дерево внизу) удар неупругий, во втором — упругий. Значит, в первом случае потери энергии при ударе ($\Delta E_1$) больше, чем во втором ($\Delta E_2$). Оставшаяся энергия расходуется на работу против сил треня при взаимном перемещении топора и полена и на увеличение энергии пругоя деформации в полене. Запишем этот энергетический баланс:

$$E'_1 = E - \Delta E_1 = A_1 + U_1,$$
$$E'_2 = E - \Delta E_2 = A_2 + U_2.$$

Из сказанного выше ясно, что $E'_2 > E'_1$, то есть $A_2 + U_2 > A_1 + U_1$.

Понятно, что если $U_2 > U_1$, то второй способ более эффективен.

При одном и том же перемещении топора относительно полена из одинаковых начальных положений, то есть при одном и том же значении $A$ ($A_1 = A_2$), очевидно, $U_2 > U_1$. Показем, что величины $A$ и $U$ пропорциональны друг другу.

Работа $A$ совершается против силы треня, которая меняется при смесении топора относительно полена, поскольку сила нормальной реакции $N_t$ (рис. 3). Энергия $U_t$ равна работе, совершаемой силой нормального давления топора на дереве. Эта сила в любой момент времени численно равна силе нормальной реакции $N_t$. Из всего сказанного ясно, что условие $A_2 + U_2 > A_1 + U_1$ означает, что и $A_2 > A_1$, и $U_2 > U_1$, и следовательно, второй способ — удар о наковалью топор — более эффективен.

Т. С. Петрова

Ф985. В сосуд, заполненный жидким эфиром, погружают перевернутую пробирку $A$. Из нее сразу же начинают

43

выходить пузырьки. Пузырьки «собирают» в первоначально полностью заполнению эфиром пробирку B (см. рис.нок), длина которого в два раза больше, чем длина пробирки A. При этом из пробирки B вытесятся 2/3 первого начального объема эфира. Температура в комнате поддерживается равной 20 °C, давление равно нормальном atmosферному. Объясните процесходит несколько мм pt. ст.). Пузырьки перестановыт выходить, когда прекратиется испарение эфира внутри пробирки A, то есть когда давление пробирка там становится равным давлению насыщенных паров $p_H$ и суммарное давление равно $p_H + p_B = p_0$, где $p_B$ — давление воздуха.

Аналогичное условие должно выполняться и в пробирке B. При этом воздуха, занимающий в пробирке A объем $V_0$, в пробирке B будет занимает объем $\frac{4}{3}V_0$. Пользовать законом Бойля — Марютта, можно записать:

$$p_0V_0 = p_B(V_0 + \frac{4}{3}V_0) = \frac{7}{3}p_BV_0,$$

откуда находим $p_B = \frac{3}{7}p_0$. Тепер легко определять давление насыщенных паров эфира:

$$p_H = p_0 - p_B = \frac{4}{7}p_0 \approx 430 \text{ мм pt. ст.}$$

А. И. Буздин

У атомов металла (вольфрама и платины), находящся на поверхности пластины, и у атомов углерода в молекULE оксини углерода CO имеются ненасыщенные химические связи. Взаимодействие оксини углерода с чистой поверхности металла приводит к возникновению сильной химической связи между атомом C и поверхности атомом металла. Эта реакция сопровождается выделением тепла. При этом оксини углерода на поверхности металла, образу монослой, причем на каждой атом металла, расположенного на поверхности пластины, приходит одна молекуля CO и ось молекул перепедикулярна поверхности металла (рис. 1).

Вблизи поверхности пластиновой пластины можно выделить две плоскости $P_1$ и $P'_1$, находящаяся на расстоянии $l$ друг от друга и проходящие через центры атомов углерода и кислорода соответственно. Будем считать, что положительные заряды (дипольные заряды $+\Delta q$) расположены в плоскости $P_1$ с поверхности плоскости заряда $+\sigma_1$, а отрицательные — в плоскости $P'_1$ с поверхности плоскости заряда $-\sigma_1$ (рис. 2).

Аналогично, вблизи поверхности волфрамовой пластины расположены две разноментою заряженные плоскости $P_2$ и $P'_2$ с поверхности плоскости заряда $+\sigma_2$ и $-\sigma_2$ соответственно.

Таким образом, расчет разности потенциальов $U$ между пластинами волфрама и пластины сводится к определению разности потенциальов между двумя параметрами разноментою заряженных плоскостей:

$$U = \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0} l - \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0} l = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{\varepsilon_0} l. \tag{1}$$

44

Среднее число atomов металла, нахождение их на единичной площади его поверхности (поверхность плотность atomов γ), определяется через объемную плотность atomов соотношения

$$\gamma = n^{2/3},$$

где $n$ — объемная плотность atomов металла. В свою очередь объемная плотность atomов равна

$$n = \frac{\rho N_A}{M},$$

где $\rho$ — плотность металла, $N_A$ — число Авогадро, $M$ — молярная масса металла. Ясно, что

$$\sigma = \Delta q \gamma.$$

Учитывая соотношения (2)—(4), искомуо разность потенциалов представим в виде

$$U = \frac{\Delta q \cdot l}{\varepsilon_0} N_A^{2/3} \left( \left( \frac{\rho_W}{M_w} \right)^{2/3} - \left( \frac{\rho_{Pt}}{M_{Pt}} \right)^{2/3} \right).$$

Подставив численные значения ($\varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} \text{ Ф/m}$, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$, $\rho_W = 19,1 \times 10^3 \text{ кг/m}^3$, $\rho_{Pt} = 21,5 \cdot 10^3 \text{ кг/m}^3$, $M_W = 0,184 \text{ кг/mоль}$, $M_{Pt} = 0,195 \text{ кг/mоль}$), получим $U = 24 \text{ мВ}$.

В заключение следует заметить, что в решении задачи допущено упрощение — мы не учили, что в кристаллической структуре atomы волфрама и платины расположены в определенном порядке и, следовательно, при различных средах различное число atomов металла оказывается на его поверхности. Поэтому формула (2) требует уточнения для каждого конкретного случая расположения atomов на поверхности металла. Кроме того, в различных плоскостях поверхности atomы обладают различной валентностью, и это тоже надо учитывать.

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Ф987. На картине И. Левитана «Март» тени на снегу, отбрасываемые деревьями в ясный солнечный день, солубого цвета. Не правильнее ли (с физической точки зреня) было направлять их темными, бесцветными (черными или серыми)?

Освещенное любого участка поверхности земли создается как прямыми солнечными лучами, так и рассеянным в атмосфере солнечным светом. Как известно, граница тени задает область, куда не попадают прямые солнечные лучи. Если бы вообщеника лучи в эту область не попадали, то соответствующее участки были бы бесцветными (черными).

В ясный солнечный день (когда на небе почти нет обlakов) рассеянный солнечный свет, приходящий на землю, «имеет синюю окраску» (цвет неба). Попадая в область «прямой» тени, этот свет отражается от белого снежного покрова без существенного поглощения (таково свойство белого снега) и придает тени синей цвет. Описанный эфект тем более наглaden, чем чисте снежный покров.

А. С. Бутов