Квант 1986, №8 · Страницы

КВАНТ
8
1986

Научно-популярный физиком-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР

Паркеты из правильных
многоугольников

«… человек,
решивший посвятить себя
научной работе, должен начинать ее
как можно раныше —
еще в студенческие,
а лучше даже в школьные годы».
Эти слова академика И. К. Кикона,
возглавлявшего «Квант»
в течение пятнадцати лет,
определяют основную цель журнала —
ввести юного читателя
в мир точных наук,

№ 200

помочь ему сорентироваться в нем,
испытать свои силы
и выявить склонности.
Мы надемемся, наш журнал
отвечает поставленной задаче.
Сегодня вы держите в руках
200-й номер «Квант».
Этот юбилей мы отмеаем
перепечаткой нескольких лучших
статей из первых номеров журнала
и рассчитываем,
что они по-прежнему
будут вам интересны
и побудят к самостоятельной
творческой работе.

В НОМЕРЕ:

2 Советские учены в борьбе за мир
3 А. Н. Колмогоров. Паркеты из правильных многоугольников
5 А. Д. Вендукидзе. Как Декарт проводил касательные
8 И. Ш. Слободецкий. Сухое трение
13 А. А. Панов. Малярный парадокс
14 М. Б. Балк. Секрет Старого Бондаря
20 Л. Г. Асламазов. Как волны передают информацию?
25 О математическом творчестве школьников

IN THIS ISSUE:

19 Новости науки
Шестидесятиатомный углерод
Science news
Sixty atom carbon

29 Математический кругок
В. Г. Болтянский. Пифагоровы tetraэдры
Mathematics circle
V. G. Boltianski. Pythagorean tetrahedra

32 Лаборатория «Кванта»
Г. И. Косуров. Оранжевое небо
Kvant’s lab
G. I. Kosourov. Orange sky

45 «Квант» для младших школьников
Задачи
Kvant for younger school children
Problems
Who stole the tarts? (after
L. Carroll)
A. Н. Кючуков. Недачи одной цивилизации
A. N. КуICHUKOV. The misadventures of a civilisation

41 Задачи M996 — M1000; Ф1008 — Ф1012
Kvant’s problems
Problems M996 — M1000; P1008 — P1012
Reшення задач M976 — M980; Ф988 — Ф992
Solutions M976 — M980; P988 — P992

52 Практикум абитуриента
Информация о предыдущих публикациях
College applicant’s section
Information on previous publications
E. P. Kazandjan. Pupil — applicant — student — engineer

59 Информация
Праздник юных математиков
Information
Young mathematician’s gathering
Moscow university physics evening school
8th Young physicist’s tournament
VIII Турир юных физиков
IX Турир юных физиков
9th Young physicist’s tournament

63 Ответы, указания, решения
Смесь (7, 51, 58)
Answers, hints, solutions
Miscellaneous (7, 51, 58)
The chess page
Chessboard geometry (3rd cover page)

© Издательство «Нука». Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1986

2

Советские учены в борьбе за мир

Более пяты лет тому назад, 4 мая 1981 года, выдавшиеся советские учены во главе с председателем Академии наук СССР академиком А. П. Алексадровым и вице-президентами академиками Е. П. Великовым и А. А. Логуновым образили к ученым всего мира с признаем «сделать все, чтобы ответить от народов угрозу ядерной войны, … и обратить свою волю и знания на дело создания, на сохранение на земле условий, которые обеспечили бы достойную жизнь нынешнему и грудующим поколениям».

В этом обращении сказано также: «Мы являемся очевидцами тревожных событий: гонка вооружений, и в особенности ядерных вооружений, приобретает все больший размер. Переговоры по разоржению топучся на месте или вообще переваны. Подписанные договоры не вступают в силу. Действующие соглашения и договоренности, сердкивающие военноую активность, поддержаются накладам, их осуществление предамеренно затрудняет … Нельзя допустить, чтобы человекство оказалось в плену предрасудков, доказывающих, будто мир может поконтиться только на горах оружия, будто не разум, а сила во веки веков будет править ходом истории».

Авторы обращения резко критковали происходившую в то время в странах капитала погоню за нейтронными бомбами. Сейчас на первый план вышла борба против размещения различных видов оружия массового уничтожения в космосе, против стратегии «звездных войн», упорно наязываемой человекачеству американским империализмом.

Описность, нависяная над человекеством, не может не тревожить учены. Ведь они лучше людей других профессий понятно ее масштабы и последствия. И перед каждым из них встает вопрос о том, какую позицию он займет по отношению к этой опасности. Позиция советских учены четко формилирована в обращении. Она была активно поддержана учеными всех стран. Ее широко обслуживание и пропагандировала Всемирная Федерация научных работников, добровольные объединения и союзы ученых. Их многочисленные выступления и протесты помогают mobilизация широких народных масс на активное противодействие агрессивным планам империализмом.

С каждым годом крепнет международное сотрудничество в борьбе за мирное социществование народов. 1986 год объявлен Организация Объединенных Наций годом мира. Откликаясь на эту инцидативу, Советский Союз выдвинул реализческую долгосрочную комплисную программу всеобщого сокращения вооружений и разоржения, расчитанную до 2000 года. Она изложена в Заявлении генерального секретаря ЦК КПСС М. С. Горбачева, опубликованном 15 января 1986 года, которое получило широкую международную поддержку.

Советские учены внесли большой вклад в развитие авантористических военных планов, широко рекламируемых империалистических кругами — теории первого удара, ограниченной ядерной войны, космического противоракетного шита и т.п. Они убедительно показали, какие ограничности tant в себе любой международный конфликт с применением atomного оружия, опровергли рассудения противников разоржения о невозможности строгого контроля за запросением ядерных испытаний.

Социализм не нуждается в войнах и весь советский народ — активный противник войны.

Паркеты из правильных многоугольников

Академик А. Н. КОЛМОГОРОВ

Что такое паркет

Смытий простой, но и самый скучный паркет получается, если плоскость разбить на равные квадраты так, как показано на рисунке 1, а. Здесь два квадрата имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.

Паркетом будем называть такое покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.

Вероятно, вам следует видеть паркет, составленный из правильных восьмиугольников и квадратов (рис. 2, а). Красивый паркет можно составить из правильных плоскостей, многоугольников, квадратов и равносторонних треугольников (рис. 2, б).

Паркет производит приятное внешление, если он достаточно симметричен. Фигура называется симметричной, если ее можно наложить на самую себя «не тривальным» способом (то есть не таким, когда все точки останутся на своем месте).

Например, на рисунке 2, б, повернуть всю сетку вершин и сторон, образую-

щих паркет из шестиугольников, квадратов и треугольников, на 60° векруг центра одного из шестиугольников, мы получим ту же самую сетку вершин и сторон. Центр каждой шестиугольника этого паркета является «центром симметрицы шестого порядка»*).

Задача 1. Найдите все центры симметриции 4-го, 3-го и 2-го порядка паркета, изображенного на рисунке 2, а.

Что такое правильный паркет

С точки зрения симметрины нашей определение паркет не сликом удачно. Оно допускает паркеты, не обладающие никакой симметрией. Взяв общий паркет из шестиугольников (рис. 1, б), можно «испортить» его, подразделив некоторые из шестиугольников на шесть треугольников. Легко понять, что получится вновь «паркет» в смысле нашего определения. Но можно доказать (попробуйте!), что, подразделив, например, три шестиугольника, как показано на рисунке 3, и оставив все остальные не подразделеными, мы получим паркет, совсем лишенный симметрию. Чтобы установить некрасивые, недостаточно симметричные паркеты, мы ведем такое определение:

Паркет называется правильным, если его можно наложить на самую себя так, что любая заданная его вершина наложится на любую другую заданную его вершину.

Задача 2. Докажите, что паркеты, представленные на рисунках 1 и 2, правильны, и

*) Точка O называется центром симметриции n-го порядка некоторой фигуры, если при повороте этой фигуры векруг O на 360°/n она наложится на самую себя.

Рис. 1.

4

Рис. 2.

постройте самостояльно возможно больше правильных паркетов.

Основная задача

Оказывается, что все разнообразие правильных паркетов можно описать. Если длина $h$ стороны многоугольников паркета задана, то существует только конечное число различных (не накладывающихся друг на друга) правильных паркетов. Сколько именно, я не хочу вам говорить.

Перечислить их все и тем самым ответить на вопрос об их числе — это и есть основная задача, которую вам предстоит решить.

Некоторые указания

Решения задачи естественно начать с исследования устройства вершин паркета. Правильный $n$-угольник имеет $n$ внешних углов (рис. 4), сумма которых равна четыREM прямым углам (убедитесь в этом сами). Поэтому каждый угол правильного $n$-угольника равен

$$a_n = 2d - \frac{4d}{n} = 2\left(1 - \frac{2}{n}\right)d.$$

В верхние паркета должны сохранять многоугольники с суммой углов, равной 4d. Так,

$$a_3 = \frac{2}{3}d, \ a_4 = d, \ a_6 = \frac{4}{3}d, \ a_8 = \frac{3}{2}d,$$

и для паркетов, изображенных на рисунках 1 и 2, имеем:

$$4a_4 = 4d,$$
$$6a_3 = 4d,$$
$$3a_6 = 4d,$$
$$a_4 + 2a_8 = 4d,$$
$$a_3 + 2a_4 + a_6 = 4d.$$

В обшем же случае, обозначая через $m_n$ число прилегающих к верхне $n$-угольников, мы должны получить

$$\sum m_i a_i = 4d,$$

(1)

где в сумму мы включаем слагаемые с теми номерами $i$, для которых $m_i > 0$, а $a_i = 2(1 - 2/i)d$.

(Окончание см. на с. 7)

5

Как Декарт проводил касательные

Кандидат физико-математических наук
А. Д. ВЕНДУКИДЗЕ

Задача о проведении касательных — одна из важнейших задач геометрии. Этот задачей занимались еще древние греки, которые удалось в некоторых случаях успешно решить ее. В частности, они умели строить касательные к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе… Но у них не было общего метода, и в каждом отдельном случае приходилось действовать соответствующим образом — применять то или иное свойство проводимой касательной (например, в случае окружности опирались на тот известный факт, что касательная перепendlukularна к радиусу, проведенной в точку касания).

В 1637 году вышла одна из известнейших книг в истории науки — «Геометрия» Декарт. В ней автор, наряду с другими важными результатыми своего исследования, приводит и обшир метод проведения касательных — так называемый метод нормальной. (Историки установили, что Декарт владел им еще в 1629 году.) Цель настоящего статьи — познакомить читателя с этим методом.

Начнем с понятия нормали. Нормально линей в данной ее точке называется прямая, проходящая через эту точку перепendlukularно к касательной. В частности (и это важное для метода Декарт), если заданная линей — окружность, то нормаль есть прямая, идущая вдоль радиуса, имеющего конец точки касания. Понятно, что если нам удостоить нормаль, мы без труда построим и касательную. Именно так поступает Декарт: он строит сначала нормаль, а уже потом — касательную (отсюда и название его метода). Для построения нормали Декарт применяет им же разработанный метод координат, что дает ему возможность решить геометрическую задачу алгебраической путем. (Этим, кстати, как бы еще раз подчеркивается единство математики.)

Чтобы построить нормаль в точке $P(x_0; y_0)$ к алгебраической кривой $L$, заданной уравнением $F(x, y)=0$ (Декарт интересовано именно построение нормали, а не вывод ее уравнения), ищется точка пересечения $C(c; 0)$ нормали с осью абсцисс. Если $CP$ есть нормаль, то окружность с центром в точке $C$ и радиусом $CP$ касается данной кривой $L$ в точке $P$ (рис. 1); если центр окружности будет хотя несколько смещен из $C$ в другую точку оси абсцисс $C'$, то окружность радиуса $C'P$ встретиется с данной кривой $L$ в соседстве с точки $P$ по крайней мере еще в одной точке. Таким образом, искомая окружность должна с данной кривой $L$ две или более общие точки, слившиеся в одну. Koординаты точек пересечения кривой $F(x, y)=0$ и окружности $(x-c)^2+y^2=(x_0-c)^2+y_0^2$ находятся совместным решением их уравнения, для чего исключается одна из координат. При совпадении точек пересечения в $P$ корень $x=x_0$ (или $y=y_0$) результатирующего уравнения должен быть по крайней мере двойным, а это накладывает на искому воеличину $c$ определенное ее условие.

Конечно, современному читателю метод Декарт может показаться искусственным и неэфективным. Прежде всего, уравнение касательной к аналитической заданной кривой $F(x, y)=0$ абсциссно автоматически пишется при помощи произвольных (правда, при этом желательно уметь дифференцировать функцию, заданной нелевно). Но даже если и не знать произвольных (а Декарт их не знал), удобнее строить касательную, минуя промежуточные построения: вместе того чтобы описанным выше способом строить окружность, касающийся данной кривой, можно (и даже проще) сразу построить прямую, касающуюся данной кривой. Для нас метод Декарт представляет, в первую очередь, исторический интерес; во вторую очередь он интересен нам (как и Декарту) тем, что позволяет получиться в метода координат.

Свой метод Декарт позволяет на примерах, в том числе на примере эллипса. Рассмотрим и мы этот пример.

6

Рис. 2.

Напомним, что эллипсом называется линия, получная сжатем окружности к ее диаметру. В частности, если окружность $x^2+y^2=a^2$ скать к оси абсцисс, получится эллипс

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. \quad (1)$$

Здесь $b=ta$, где $t$ — коэффициент скатия (рис. 2).

Итак, дан эллипс (1), точка $P=(x_0; y_0)$ на нем, и нужно проверить касательную к эллипсу в этой точке.

Возьем окружность с центром в точке $C=(c; 0)$, проходящую через точку $P$. Ее уравнение имеет вид

$$(x-c)^2+y^2=(x_0-c)^2+y_0^2$$

(здесь $c$ — пока неизвестный параметр), или

$$x^2+y^2-2cx-x_0^2-y_0^2+2cx_0=0. \quad (2)$$

Параметр $c$ следует подобрать так, чтобы окружность (2) имела с эллипсом (1) в $P$ две слившиеся точки пересечения (рис. 3). Для этого необходимо и достаточно, чтобы система уравнения

$$\left\{ \begin{array}{l} b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0, \\ x^2+y^2-2cx-x_0^2-y_0^2+2cx_0=0 \end{array} \right.$$

имела решение $(x_0; y_0)$ и $(x_0; -y_0)$. (Здесь мы учитываем симметрию относительно оси абсцисс — см. рис. 3.)

Исключив $y^2$, получим относительно $x$ квадратное уравнение

$$(a^2-b^2)x^2-2a^2cx-a^2(x_0^2+y_0^2-2cx_0-b^2)=0.$$

Так как оно должно иметь единственный корень, его дискриминант должен равнять нулю, то есть

$$a^4c^2+a^2(a^2-b^2)(x_0^2+y_0^2-2cx_0-b^2)=0.$$

Поскольку $P=(x_0; y_0)$ — точка эллипса, то есть

$$b^2x_0^2+a^2y_0^2=a^2b^2,$$

мы после несложных преобразований приходим к уравнению

$$(a^2c-(a^2-b^2)x_0)^2=0,$$

откуда $c=\frac{(a^2-b^2)x_0}{a^2}$; центр искомой окружности найдет.

Радиус $CP$ найденой окружности лежит на нормали данного эллипса, и остается через $P$ проведи периодикур к $CP$. Это и будет искомая касательная. Найдем ее уравнение.

Предположим, что $0<x_0<a$ и $PT$ — отрезок касательной. Тогда из прямого треугольника $CPT$ (рис. 4)

$$PQ^2=CQ \cdot QT,$$

и так как

$$PQ=y_0,$$

$$CQ=OQ-OC=x_0-\frac{(a^2-b^2)x_0}{a^2}=\frac{b^2x_0}{a^2},$$

получаем $QT=\frac{a^2y_0^2}{b^2x_0^2}$, так что

$$OT=OQ+QT=x_0+\frac{a^2y_0^2}{b^2x_0^2}=\frac{a^2}{x_0}$$

(мы снова токдество $b^2x_0^2+a^2y_0^2=a^2b^2$).

Таким образом, мы нашли точку $T$ пересечения искомой касательной с осью абсцисс: $T=(a^2/x_0; 0)$. (Полученный результат верен и в том случае, когда $-a<x_0<0$, проверьте это!)

Зная две точки касательной $P$ и $T$, уже легко написать ее уравнение

$$y-y_0=k(x-x_0),$$

где угловой коэффициент $k$ находится из условия

$$k=\frac{y_0-0}{x_0-\frac{a^2}{x_0}}=\frac{x_0y_0}{x_0^2-a^2}=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$$

(мы опять воспользовались тем, что $(x_0; y_0)$ — точка эллипса, так что $x_0^2-a^2=-\frac{a^2y_0^2}{b^2}$).

Таким образом, уравнение искомой касательной имеет вид

$$y-y_0=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0).$$

7

Рис. 4.

После элематриных преобразований окончательно получаем

$$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$$

— мы видим, что уравнение касательной как бы родственное уравнение эллипса.

Читатель, знающий произведение, мог все это предвидеть: ведь мы рассматривали эллипс — кривую второго порядка, а произведение уравнения такой кривой — линейные функции.

Хотя уравнение (3) и было выведено при условии $0 < |x_0| < a$, но и в случае $x_0 = 0$ и $|x_0| = a$ прямая, заданная уравнением (3), будет касательной эллипсу, — убедитесь в этом.

В заключение заметим, что уравнение касательной к эллипсу можно найти с помощью ползуясь тем, что эплипс получен сжатием из окружности. Точка $(x_0; y_0)$ эллипса (1) получена при скатании с коэффициентом $t = \frac{b}{a}$ к оси абсцисс из точки $(x_0; t^{-1} y_0)$ окружности $x^2 + y^2 = a^2$. Касательная к окружности в точке $(x_0; t^{-1} y_0)$ перепределилярна радиусу, идущеу в эту точку. Угловой коэффициент радиуса равен $\frac{t^{-1} y_0}{x_0}$; значит, угловой коэффициент касательной к окружности равен $-\left(\frac{t^{-1} y_0}{x_0}\right)^{-1} = -\frac{tx_0}{y_0}$. При скатании к оси абсцисс с коэффициентом $t$ касательная к окружности превращается в касательную к эллипсу, а ее угловой коэффициент уменшается в $t$ раз, то есть делается равным

$$-\frac{t^2 x_0}{y_0} = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}.$$

Однако это рассужждение использует очень частное геометрическое свойство эллипса — его родство с окружностью. Убедиться в общности метода Декарта читатель может, сделав у разженее: ползуясь этим методом, найти уравнение касательной к параболе $y^2 = 2px$ (в точке $(x_0; y_0)$).

Паркеты из правильных многоугольников

(Начало см. на с. 3)

Первая наша задача состоит в том, чтобы найти все решения уравнения (1) с целыми $m_i > 0$. Уравнение (1), сокращая на $2d$, удобно записать в виде

$$\sum m_i \left(1 - \frac{2}{i}\right) = 2.$$

Для каждой решения уравнения (2) надо исследовать соответствующие расположения многоугольников, применяющих к вершине. Например, решение $m_3 = 1, m_4 = 2; m_6 = 1,$

$$\left(1 - \frac{2}{3}\right) + 2 \left(1 - \frac{2}{4}\right) + \left(1 - \frac{2}{6}\right) = 2,$$

соответствует вершины, в которых ходится один треугольник, два квадрата и один шестугольник. Их легко расположить двумя существенно различными способами (рис. 5, а и б). Но легко показать (доказите), что расположению $\sigma$ не соответствует нижкой правильной паркет.

Указанный дано достаточно. Бери-teсь за работу!

Советует прочесть

В серии «Виблотечка «Квант» изделательства «Наука» готовится к выходу в свет книга «Рассказы о физике и физике» (выпуск 53). В этой книге собраны статьи, написанные в разных годы для читателей нашего журнала академиком И. К. Кикоиным, первым главным редактором «Кванта». Мы уверены, что знакомство с «Рассказами…» будет полезным и интересным и сегодняшим школьникам.

Погелу при режке морисанными авманахами запомит?
Погелу сcriпит много спаданное время?
Погелу гьвручутые равномерные силыzasматываем
звучать сcriпитнику стругу?
Все это обозначаем свойств силы мрекише,
о поморных и иgem рекь в этой статусе.

10

при улучшении полировки поверхностей сила трения сначала не меняется, а затем возрастает, а не убивает, как следовало бы ожидать на основании модели явления, предложенной Амонтом и Кулоном.

Механизм трения значительное более сложен. Из-за неровностей поверхностей они соррикаются только в отдельных точках на вершинах выступов. Здесь молекулы соррикающихся тел сходятся на расстояния, созмерные с расстоянием между молекулами в самих телах, и «сцепляются»; образуется прочная связь. При движении тела связи постояно создают и рствуя. При этом возникают колебания молекул. На эти колебания и тратиется часть энергии движущего тела. В конечном итоге она переходит в телло.

Площадь действительного контакта составляет общую от одного до двух тысяч квадратных микрон. Она практически не зависит от размеров тела и определяется природной поверхностью, их обработкой, температурой и силой нормального давления. Если на тело надавить, то выступы сминаются, и площадь действительного контакта увеличивается. Увеличивается и сила трения.

При значительной шероховатости поверхностей большую роль в увеличении силы трения начинает играть механическое замещение между «холмами». Они при движении сминаются, и при этом возникают колебания молекул.

Теперь понятен опыт с полированными стеклянными пластинками. Пока поверхности были «грубые», площадь контактов была неевелика, а после хорошей полировки оно возросло. Можно привести еще пример увеличения трения с «улучшением» поверхности. Если взять два металлических бруска с чистыми полированными поверхностями, то они сппаются. Тренние здесь становятся большим, так как площадь действительного контакта велика. Силы молекулярного сцепления, которые ответственны за тренние, превращают два бруска в монолит!

В домашних условиях можно проведсти следующий опит. Поставьте бокал на стеклянную пластинку и привязав к ножке бечевку, поташте бокал. Затем постарейтесь как можно лучше очистить стекло, смыть жиры и грязь. Опять поташите. Теперь это сделать значительное труднее. Чистый контакт стекло — стекло разорвать нелегко. Пристотрещись к поверхности, вы сможете заметить даже царапины. Вырвать кусочки стекла оказывается легче, чем разорвать контакт!

Рассмотренная нами модель трения довольно груба. Мы не остановливались здесь на диффузии молекул, то есть на проникновении молекул одного тела в другое, на роли электрических зарядов на соррикающихся поверхностях, на роли и механизме действия смазки. Эти вопросы во многом не ясны, а объяснения спорны. Можно только удивлять тому, что при такой сложности тренне описывается только простым законом: $F=kN$. И хотя коэффициент трення $k$ не очень постоянен и несколько меняется от одной точки поверхности к другой, для многих поверхностей, с которых мы часто стalkиваем в технике, можно делать достаточно хорошее оценки ожидаемой силы трения.

Сухое тренне имеет одну существенно особенность: тренне покоя. Если вждиковости или газе тренне возникает только при движении тела и тело можно сdwинуть, приложив к нему даже очень малый грубую силу, то при сухом трении тела начинает двигаться только тогда, когда проекция приложенной к нему силы $F$ на плоскость, касательную к поверхности, на которой лежит тело, станет больше некоторой величины. Пока тело не начало скольить, действующая на него силы трення равна касательной составляющей приложенной силы и направлена в противоположную сторону. При увеличении приложенной силы сила трения тоже возрастает, пока не достигает максимальной величины, равной $kN$, при которой начинается скольжение

11

нице. Дальше сила трения практические уже не меняется.

Часто об этом забывают при решении задач. На вопрос «какая сила трения действует на стол весом 300 Н, стоящий на полу, если коэффициент трения равен 0,4», большимство увеличено отвечает: «120 Н», что неверно. Сила трения равна нулю, иначе стол поехал бы в сторону действия силы трения, так как других горизонтальных сил нет.

Итак, если тело поконтся, то для того чтобы сдининуть его с места, к телу нужно приложить силу, большею максимального возможной силы трения покоя, которое обусловлено прочноностью молекулярных связей. А как обстоит дело, если тело уже движется? Какую силу нужно приложить для того, чтобы тело начало движется еще и в другом направлении? Оказывается, сколько углоно малую. Связано это как раз с тем, что сила трения не может быть больше максимальной силы трения покоя.

Попробуйте проделать простой опыт. Возьмите книжку и положите ее одним краем на другую книжку потолще. Получится наклонная плоскость. Теперь положите на эту плоскость спиччный коробок, к которой привязана нитка. Если коробок скольzt, то уменьшите наклон плоскости, взяв книжку-подставку потолше. Потянте за нитку коробок выбор. При этом он поддет еще и вниз! Уменьшите наклон плоскости и опять потяните за нитку. Та же картина. Коробок сокальзывает даже при очень малых углах наклона плоскости. Сила трения, равше удерживающей коробок на плоскости, стала почему-то очень маленькой.

Попробуем понять, в чем здесь дело. Если бы коробок двигался только горизонтально, то параллельно ребру наклонной плоскости на него действовала бы сила трения, равная $kN$. Для того чтобы коробок при этом не сокальзывавал вниз, вверх на него должен действовать сила трения, равная по величины проекции силы тяжестни на наклонную плоскость. Разделительный движенный движенный этих двух сил трения больше, чем $kN$, а этого быть не может. Значит, коробок должен сокальзывать с наклонной плоскости.

Возьем брусок, прияжем к нему нить и, положив брусок на горизонтальное плоскость, будем тянуть за нить с постоянной скоростью $\vec{v}_1$. Приложив к бруску силу, перепедикулярную к $\vec{v}_1$, его можно заставить двигаться еще и в этом направлении с постоянной скоростью $\vec{v}_2$. Сила трения при этом будет равна $kN$ и направлена противоположно скорости $\vec{v}$ движению.

Fig. 1

ная бруска относительно плоскости $(\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2)$. Разложим силу трения на две составляющие по направлению скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$:

$$F_1 = F_{\text{tp}} \cos \beta, \quad F_2 = F_{\text{tp}} \sin \beta,$$

где $\beta$ — угол между векторами $\vec{v}_1$ и $\vec{v}$, а $tg \beta = v_2/v_1$.

Составляющая $F_1$ силы трения уравновешивает силу натяжения нити, а составляющая $F_2$ — «боковую» силы, приложенную к бруску. Так как

$$\sin \beta = \frac{tg \beta}{\sqrt{1 + tg^2 \beta}},$$

то

$$F_2 = F_{\text{tp}} \frac{v_2}{\sqrt{1 + (v_2/v_1)^2}} = F_{\text{tp}} \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}.$$

Если $v_2 \ll v_1$, то угол $\beta$ мал и $\sin \beta \approx tg \beta$. В этом случае $F_2 = F_{\text{tp}} tg \beta = kN \frac{v_2}{v_1}$, и составляющая силы трения, препятствующая движению бруска «вбок», оказывается пропорционально скорости этого движения. Картина получается такая, как при малых скоростях при жидком трении. А это означает, что брусок, движущийся в некотором направлении, можно заставить двигаться еще и в перепедикулярном направлении скольго углоно малой силой.

Любопытный вывод можно теперь сделать для коробка, движущогося по наклонной плоскости. Здесь $F_2 = P \sin \alpha$, а $N = P \cos a (P = mg)$ — сила тяжестни, действующая на коробок,

12

α — угол наклона плоскости к горизонту). Позотому

$$P \sin \alpha = k P \cos \alpha \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}},$$

откуда

$$v_2 = v_1 \frac{tg \alpha}{\sqrt{k^2 - tg^2 \alpha}}.$$

(Это справедливо, конечно, лишь при tg α < k, так как при боблших углах наклона плоскости к горизонту коробок уже не удерживает на плоскости силой трения.)

При малых углах наклона плоскости к горизонту (таких, что tg α << k)

$$v_2 = v_1 \frac{tg \alpha}{k},$$

то есть скорость сокальзывания коробка пропорциональна скорости его движения параллельно ребру наклонной плоскости и тангенсу угла наклона плоскости к горизонту.

Этот вывод легко проверить экспериментально. Так как при равномерном движении путь, пройденный телом, пропорционален скорости, то отношение скорости v₂ к v₁ будет равно отношению отрезков, которые пройдут коробок в этих направлениях.

Явление, о котором шла речь, совсем не редкое. Например, известно, что при резком торможении электродвигателя ремень передачи часто сокальзывает со шкивов. Проискодит это потом, что при торможении двигателя ремень начинает просkalзывать относительно шкивов, и достаточно небольшой силы, чтобы сокальнуть ремень бок. Так как обычно имеется небольшой переок в установке шкивов и ремня, то такой силой является составляющей силы натяжения ремня. Вот еще примеры. Когда хотят вытащить гвоздь из стенки без помещки kleшей, его тащат, поворачивая одновременно вокруг оси. По той же причине при резком торможении автоматильтеряет управление; машину «заносит». Колеса скольает по дороге, а боковая сила возникает за счет невовостей дороги.

Остановимся теперь на последнем законе Амонтона — Кулона: сила трения не зависит от скорости тела. Это не совсем так.

Вопрос о зависимости силы трения от скорости имеет очень практическое значение. И хотя эксперименты здесь имеют много специфических трудностей, они окончаются использованием полученных сведений, например, в теории резания металлов, в расчетах движения пуль и снарядов в стволе и т. д.

Obviously считают, что для того чтобы сdvиннуть тело с места, к нему нужно приложить боблшую силу, чем для того, чтобы тащить тело. В большинстве случае это связано с загрязнением поверхностей трупихся тел. Например, для чистых металлов такого скачка силы трения не наблюдается. Опыты с движением пуль в стволе показали, что с увеличением скорости пуль величина силы трения сначала быстро убывает, затем она уменьшается все медленнее, и при скорости, больших 100 м/c, начинает рассти.

Грубо это можно обьясить тем, что в месте контакта выделяется много телла. При скорости порядка 100 м/c температура в месте контакта может достигать нескольких тысяч градусов, и между поверхностями обязается слой расплавленного металла. Трение становится жидким. При больших же скорости жидкое трение пропорционально квадрату скорости.

Интересно, что примерно такое зависимость от скорости имеет сила трения смычка о струну. Именно поэтому мы можем слушать игру на смычковых инструментах — скрипке, вилончели, альте.

Секрет
Стараго Бондаря

Доктор физико-математических наук
М. В. ВАЛК

S. IOHANNES KEPLERUS ASTRONOMUS. S. CAB.
ET ORDD; AUSTRIA MATHEMATICUS. IOHANN

Иоганн Кеплер — придворный математик астрийского императора Матвея I и знаментий астроном — с любымством и восхищением наблюдал, как молодой винодел пораztельно легко и быстро называл емуость одной бочки за другой. Кеплер вспомнил нуудное измерение, применяемое на Рейне: не боясь скучной потери вре-

15

мени, там наполняют бочку, отсутствия колчеств во листьх в нее «амфор» (емкость, приятых за единицу измерения), а затем выжигают на бочке вместе — чтобы, не дай бог, не пришлось выполнять эту утомительную процедуру еще раз.

А тут… Парень просовывает медный оконечник линейки через наливное отверстие полной бочки (рис. 1),

Пис. 1.

поперек до «пятки» (самой нижней точки) деревянного днища, и по той пометке на линейке, которая оказалась у наливного отверстия (у верхней точки «пуза» бочки), сразу называет вместе бочки. Бочки были разные— большие и маленькие, более «пузатые» и совсем «худощавые»,— но это не беспокоило парня, он одинаково быстро и уверенно выдавал ответ. «Нужели желания?» — промелькнул в голове у Кеплера.

— Не беспокоитесь, господин математик его величества,— сказал парень, как бы прочитав мысль Кеплера. — Этот способ измерения емкости установлен у нас в Линце городским властями, и их бондарей ручается за точность измерения.

— Нужели для любых бочки?

— Начет любых не знаю, но для бочки здесь, в Австрии,— наверняка,— составил парень.

— Но на каком основании ты так уверен в правильности этого способа?

— ЧERO не знаю, того не знаю. Не стану врать. Говорят, много лет назад жил здесь Старый Бондарь, он предложил вот этот способ. А почему он так предложил — не знаю.

---

О том, как Кеплер разгадел секрет авторских бондарей, он расскаал в книге «Новая стереометрия винных бочек, приемущественного австрийских, как имеющих самую выгодную форму, и исключительно удобное употребление для них кубического линейки, с присоединением дополнительная к архимедовой стереометрии». Хотя книга была опубликована 370 лет назад (1615 г.), она, как мы увидим, получила и сейчас.

Рис. 2.

цилиндрический бочки (рис. 2). Пусть $ND=\lambda$,лина образующей $AB$ равна $2x$, диаметр дища $AD$ равен $2y$; тогда

$$x^2+4y^2=\lambda^2,$$

(1)

и вместе бочки можно найти по формуле

$$v=\frac{1}{2}\pi(\lambda^2-x^2)x.$$

(2)

Нетрудно выразить вместе бочки через расстояние $\lambda$ и отношение $(t)$ длины образующей к диаметру дища $(t=x/y)$. Из (1) и (2) следует, что

$$v=2\pi\lambda^3t(4+t^2)^{-\frac{3}{2}}.$$

(3)

«Из этих формул видно,— расудил Кеплер,— что емкость цилиндрической бочки не определяется только расстоянием $\lambda$; чтобы можно было пользоваться способом австрийских бондарей, мы должны иметь дело с бочками, для которых отношение $t$ зафиксировано $(t=t_0)$. Каким же образом лучше всего выбрать это отношение? Как выгоднее всего выбрать соответствие между длиной образующей и диаметром дища? Рассуждаем с точки зрения винодela. Он занитесован в выборе— среди всевозможных значений параметра $t$— такого значения $(t_0)$, чтобы среди всех бочек, у которых расположение $ND$ равно $\lambda$, выбранная им бочка имела самый большой объем $(v_0)$: тогда он может вычислить ее емкость по формуле (3), а если

16

окажется, что при изготовлении бочки бондарь не сумел точно соблюдати идеальное отношение $t_0$, а немного отступил от него ($t \approx t_0$, но $t > t_0$ или $t < t_0$), то вINDел тоже не прогадает: реализная емкость бочки $v$ будет обязательно менше $v_0$. Таким образом, вINDел назовет объем $v_0$ (и получит с покупателя соответствующее плату), а на самом деле отдаст покупателю немного меньше количество вина, а именно $v$.

Но, с другой стороны, уважающий себя вINDел не заинтересован в том, чтобы обманнуть покупателя; он заинтересован в том, чтобы емкость реализации бочки (соответствующей реализации выбору параметра $t$, близком к $t_0$) по возможности менше отличалась от емкости $v_0$, соответствующей лучшей значению параметра ($t_0$). Еще больше в этом заинтересован покупатель. Оказывается, что это тоже достигается при таком выборе параметра $t$, при котором объем бочки $v$ наиболее.

Владея понятим производной, мы можем легко обосновать это сообщение Кеплера (Кеплеру было намного труднее, чем нам, найти обоснование: ведь его книга вышла за 70 лет до рождения дифференциального исчисления). Воспользовемся следующим образом. Пусть $f(t)$ — какая-нибудь функция от $t$ (ради простоты — такая, которая имеет при $t > 0$ производную первого порядка); пусть $t_0$ — какое-нибудь выборное нами значение аргумента $t$. Тогда, при малом приращении $h$, то есть при $t = t_0 + h$, имеем

$$f(t) - f(t_0) = f'(t_0)h + \alpha(h) \cdot h,$$

где $\alpha(h) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$ (см. «Алгебра и начала анализа 9—10», п. 22).

Отсюда видим: если $f'(t_0) \neq 0$, то отклонение $f(t)$ от $f(t_0)$ будет — при малых $h$ — практическим пропорциональным $h$. Но если $t_0$ — точка максимума (или минимума) для данной функции, то отклонение равно $\alpha(h) \cdot h$, где $\alpha(h) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Это значит, что вблизи точки экстремума ($t_0$) мало отклонение параметра $t$ от $t_0$ сказывается на изменении функции $f(t)$ существенно слабее (Кеплер говорит: «нечувствительно»), чем вблизи другого значения аргумента $t$, где $f'(t) \neq 0$. Применительно к нашему случае (см. формулу (3)) это означает, что выгоднее всего выбор параметра $t$ так ($t = t_0$), чтобы цилиндрическая бочка имела наиболее наиболее высокую вместимость ($v_0$): в этом случае при необходимости и неизбежных на практике — отклонения параметра $t$ от $t_0$ отклонение емкости $v$ бочки от $v_0$ будет «нечувствительным».

Кеплер находится (при заданном $\lambda$) то значение относения $t$, при котором вместимость бочки ($v$) будет наиболее подходящей. Используя понятие произвольной, мы можем это сделать значительно легче и быстрее, чем Кеплер. Воспользовемся формулой (2) для $v$. Тогда

$$v'(x) = \frac{1}{2} \pi(\lambda^2 - 3x^2),$$

$$x = \lambda / \sqrt{3}, 4y^2 = \lambda^2 - x^2 = 2\lambda^2 / 3, y = \lambda / \sqrt{6},$$

$$t_0 = x / y = \sqrt{2} \approx 1,41.$$

(4)

При таком значении параметра $t$ вместимость цилиндрической бочки будет максимальной (при заданном $\lambda$) и будет равна

$$v_0 = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} \lambda^3.$$

(5)

---

«Обращусь теперь к более общему случае, — рассудал Кеплер, когда «клепки» бочки (доски, составляющие ее боковую поверхность) будут изогнутыми (а не прямолинейными, как в случае цилиндрической бочки). Такую бочку можно с достагоно хорошего точностью представить себе как составленную из двух одинаковых усеченных конусов, составивных свои большими основаниями (рис. 3).

Рис. 3.

При этом я, конечно, допущу некоотropy неоччитать, но если бочка не очень расстояние $ND$ равно заданному $\lambda$, выберу ту, которая имеет наиболее высокую вместимость.»

17

Следуя этому плану решения, предложенному Кеплером, мы можем выразить емкость (v) бочки через расстояние λ, через радиус (y) меньше основания усеченного конуса и через расстояние z=NF (F — основание перpendикуляра, опущенного из точки D меньше основания усеченного конуса на большие основание). Проделаем эти выкладки, воспользовавшись формулой для объема усеченного конуса и учтывая, что высота усеченного конуса равна $DF=\sqrt{\lambda^2-z^2}$. Несложные преобразования приводят нас к формуле
$$v=\frac{2}{3}\pi\left(y^2+(z-y)^2+y(z-y)\right)\times\sqrt{\lambda^2-z^2}.$$
(Kеплер суммел выяснить, при каких соотношениях между размерами бочки (инчете говора, при каких значениях y и z при заданном λ) вместеность бочки будет наиболее целиком. Мы могли бы получить результат Кеплера, решив следующее задачу:

Задча а. Докажите, пользоваться понятем произвольной, что среди бочки указанного вида с заданным значением λ расстояния ND наиболее вместемо оказывается цилиндрическая бочка, у которой образующая в $\sqrt{2}$ большие диаметра дишица. (Решение см. на с. 63.) Теперь учетем сообщение Кеплера, что «вблизи своей точки максимума мало изменение аргументов функции нечувствительно сказывается на изменении ее значения». Применительно к нашему случае это означает, что если размеры какой-нибудь бочки мало отклоняются от размеров наличишей бочки (то есть цилиндрической, с относением $AB:AD=\sqrt{2}$), то эти отклонения «нечувствительно» сказывается на емкости бочки. Поэтому объем бочки, мало отличишейся от «наилучшей», можно вычислить по той же формуле (5).

《Теперь понятно, — подумал Кеплер, что такое «австрийская» бочка: это бочка, у которой образующая ANB длине диаметра примерно в $\sqrt{2}$ раз. Так как при выборе длины «клепки» $PNQ$ следует еще учеть толщину двух дниц и то, что клепка должна немного выходит за край дниц, то на практике это означает, что клепка должна примерно в полтора раза длине диаметра дниц.»

Более того, Кеплер стал ясно, как найти объем «австрийской бочки» с помощью обычной линейки: надо изменить расстояние ND и вычислить емкость бочки $v_0$ по формуле (5). «Не ведь винодел называл объем бочки без вычислений! — размышлял Кеплер.— Видимо, дело в том, что линейка — необучная, пометки на ней расставлены не так, как на общий линейке. Каким же образом эта линейка прогradирована?…

Сначала надо бы сообщить, что это за тиннстенная «амфора», о которой говорил внодеел. Вероятно, это тоже какой-нибудь бочонок, но его вместеимость принимается за единицу объема. Но если австрийские бочки предопчитают все бочки делать так, чтобы отношение длинны к диаметру основания было оптимальным (около 1,5), то при изготовлении этаlonного бочонка, «амфоры», они вредили от того же соотношения. Пусть для этаlonного бочонка (рис. 4) расстояние $N_1D_1$ равно $\lambda_1$. Тогда

Рис. 4.

имеем (см. (5)) $1=(\pi/3\sqrt{3})\lambda_1^3$. Учитывая (5), получаем для емкости любой «австрийской» бочки такого хорошего приближенного формулу: $v_0=(\lambda/\lambda_1)^3$ (амфор). Значит, чтобы найти $v_0$, нам достаточно знать не $\lambda$, а относение $\lambda/\lambda_1$. И даже не само это относение, а его куб. Числа $(\lambda/\lambda_1)^3$ при различных $\lambda$ и надо нанести на линейку, то есть градиировать линейку не равномерно, а по «кубическому закону». На расстоянии от медного оконечника (рис. 5), равном $\lambda_1$, $2\lambda_1$, $3\lambda_1$ и т. д., ставить пометки: 1; $8=(2^3)$;

Рис. 5.

$27=(3^3)$ и т. д. И вообще — на расстоянии $k\lambda_1$ (к — любое положительное число) ставить пометку, равную $k^3$. Если я теперь вставлю вот такую линейку в бочку так, чтобы ее медный

18

оконечник упирался в пятку дница (D), то числовая пометка у наливного ответствия (N) как раз указывает, сколько амфор вместе в бочку.»

---

Осенью 1615 года по просббе Кеплера в городской ратуше Линца состоялась его встреча со старостой цеха бондарей.

— Господин староста,— начал Кеплера,— меня интересует способ, который австрийские бондари и винодели пользовются для измерения вместености бочек.

— Видите ли, господин математик его величества,— возразил староста,— это произвольный секрет нашего цеха. Эта тайна переходит от одного поколения бондарей к следующему, еще со времен Старого Бондаря.

— Я так и полагал, что когда-то существовал некий превосходный геометр, научивший этому способ ваших бочаров. Но думало, что я сумел разгадать его секрет.

— Тогда скажите, господин математик его величества, в чем, по Ващему мнению, состоит секрет Старо-го Бондаря, и я обещаю подтвердить то, что в ваших словах будет истинным.

— Размышления привели меня к выводу,— ответил Кеплера,— что при изготовлении бочки любых размеров вы, бочары Линца, пользовесь только одним сообщением: чтобы длина клепок была в полтора раза больше, чем поперечник дница.

— Совершенно истинно!— с удивлением подтвердил бочар.

— А кроме того, для измерения емкости бочки вы пользовесь линейкой, на котором деления расположены по «кубическому закону».

— И это правда,— с еще большим удивлением подтвердил староста цеха бондарей, с опасной взглянув на Кеплера.— Да не ясноидец ли вы, господин Кеплер? Я слышал, что вы, как королевский зведец, умете читать прошлое и будущее по расположению звезд. Нужели секрет Старого Бондаря вы разгадали с помощью астроlogии?

— Нет, я его вычислил с помощью математики,— ответил Кеплер, и на этом разговор окончился.

Сухое тренение

(Начало см. на с. 8)

При равномерном движении смычка струна увлекается им и натягивается. Вместе с натяжением струны увлечивается сила треня между смычком и струной. Когда величина сили треня становится максимально возможной, струна начинает прокалывать относительно смычка. Если бы сили треня не зависяла от относительной скорости смычка и струны, то, очевидно, отклонение струны от положения равновесия не изменялось бы.

Но при прокалывании трене уменшается. Поэтому струна начинает движаться к положению равновесия. При этом относительная скорость струны увлечивается, а это еще уменшается сили треня. Когда же струна, совершив колбание, движется в обратном направлении, ее скорость относительно смычка уменшается, и смычок опять захватывает струну. Все повторяется. Так возникла колбанная струпы. Эти колбания незначительные, так как энергия, потеряная струной при ее движении, каждый раз восполяет работу силы треня, подтверждающий струну до положения, при котором струна срывается.

Этим можно и закономить статью о сухом трении — явлении, природу которого мы еще не понимаем достагоно хорошего, но умеем описывать с помощью законов, выполяющихся с удовлетворительной точностью. Это дает нам возможность обьяснять многое физическое явление и делать расчета, необходимые при конструкировании машин.

19

Шестидесати-атомный углерод

Около года назад в научных журналах появилось сообщение о том, что химики открыли необучную по своей геометрию молекулу, «сделанную» из шестидесятей атомов углерода. Химическая формула такой молекулы — C₆₀. Все шестьдесятей ее атомов расположены в вершинах усеченного икасадра — многограника с 60 вершинами, 32 граями и 90 ребрами.

Сказанное, по-видимому, требует комментариев. Прежде всего всего надо пожить, что значит «открыли… молекулу». Дело в том, что молекулу C₆₀ не синтезировали, подобно тому, например, как несколько лет назад синтезировали молекулу-додекадр C₂0H₂0 (см. «Квант», 1983, № 9, с. 21), а именно открыли. Когда испарили углерод (нагревая его) в поток инертного геля, обнаружили возникновение компактных и довольно стабильных образований (кластеров) из большого числа атомов углерода. Неожиданно оказалось, что больше всего образуется классер из 60 атомов — во всяком случае, раз в 5—6 больше, чем классеров из 59 или 61 атомов.

Возможно, что своим существованием 60-atomные молекулы обязаны… геометрии. Иввести, что чем более синтезирована молекula, тем она прочее (тем больше у нее энергия связи). Вот почему устойчивы молекулы-додекадры и вновь открыты молекулы из 60 атомов углерода, а классеры из 59 или 61 атома живут недолго и быстро разваливаются.

Как же «устроена» новая молекул? Усеченный икасадр знаком, наверное, почти имеет, например, «офизальный» футбольный мяч, сшитый из 20 шестиугольников (объчно светлых) и 12 пятугольников (объчно темных). Посмотрите на такой мяч внимательно. Его связь с икасадром видна не сразу — слишком он пожжел не шар! Оdnako связь есть и самая непосредственная.

Представьте себе икасадр — многограник с 20 треугольными граями и 12 вершинами, в которых схожятся по путь ребер. Отрежем от каждой вершины пирамидку так, чтобы на месте вершины образовалися пятуюугольник. У оставшихся частей граней вместе 3 сторонен стanet 6. Если образать «правильно», то шестиграники будут правильными и их будет 20 — столько же, сколько было граней и икасадра. В результате получился многограник с 12+20=32 граями. Вершин у него 60, так как у плоских граней 5×12+6×20=180 вершин, а в каждой вершине многограника схожится 3 грани (180:3=60). Число ребер можно сосчитать разными способами. Например, так. В каждой вершине схожятся 3 ребра, поэтому концов ребер будут 3×60=180, а ребер — 180:2=90. Таким образом икасадр «превращается» в усеченный.

А теперь задача. Углерод обусловно 4-валентный, а от каждой вершины усеченного икасадра идут только 3 ребра. Значит, одна связь должна быть двойной. В структурых химических формулах двойную связь условно принято обозначать двойной линей. Как надо расположить двойные линии, чтобы от каждой вершины усеченного икасадра уходила одна и только одна двойная линия? Оцените, сколькими способами это можно сделать. (Заметим, что данная задача важна для определения степени устойчивости молекул — химики знают, что чем больше способов осуществления двойных связей, тем более устойчива молекула.)

Интересно, что вновь открыто молекулу можно использовать как «клетку», внутри которого можно «запереть» какой-нибудь atom. При этом atom будет связан с «клеткой» как узник, но «не прикованный» к ней химический связью. Так удалось «запереть» atomы лантана. «Клетка» достаточно простора — размер молекул C₆0 примерного 7·10⁻¹⁰ м, что в 14 раз больше размера atomа водорода.

Существует гипотеза, что молекula C₆0 может участовать в процессе образования организации молекул в космосе.

Недавно было высказано предположение о возможностях существования еще одной необучной молекулы — C₁20, по своей «геометрии» еще более близкой к сфере. Атомы такой молекулы должны быть расположены в вершинах многограника, имеющего 62 грани, 180 ребер и 120 вершин. Наколько реализно существование такого экзотического соединения, пока не ясно.

Bydem следить за новостями.

Я. С.

20

Как волны передают информацию?

Доктор физико-математических наук
Л. Г. АСЛАМАЗОВ

Мы настолько привыклили видеть на экране телевизора события, происходит на другом конце света, что даже не удивляемся этому. В современном мире радио, телевидение, телефон позволяет доволно просто получать и передавать необходимую информацию. А ведь еще сравнительно недавно все было совсем инчае…

Для того чтобы передать в Петербург известное о коронации имперции Елизаветы, произходившей в Москве, на всем пути между этим городами была выступена целочка солдат с флажками. В момент коронации первый солдат взмахнул флажком, затем следующего и т. д. Так известное о коронации дошло до Петербурга, где выступила пушки. Вот каким сложным способом пользовались для быстрый передачи информации в не столдание времени*).

*) На этом примере в статье Л. Г. Асламазова и И. К. Кикона «Что такое волна?» (Квант, 1982, № 6) обсуждалось понятие волны. Здесь мы продолжим начатый разговор и обсуждим probleму передачи информации.

21

Что же распространялось по цепочке солдат? Каждай солдат оставался стоять на месте, но в некоторых момент времени он изменял свое состояние (поднимал флажок). Это изменение состояния и распространялось по цепочке. В таких случаях говорят, что распространяется волна.

Волны бывают разные. В актических (звуковых) волнах меняется плотность вещества, в электромагнитных (свет, радиовольны и т. п.) — направлением электрического и магнитного полей. Бывают терперные волны, волны концентрации при химических реакциях, волны эпидемий и т. п. Образно говоря, волны охватывают все многообразие явлений в природе.

Простейший тип волны — монохроматическая волна, когда в каждом месте изменение состояния происходит со временем по гармоничскому закону с определенной частотой (по закону синуса или косинуса). Многие из встречалосься в природе волн можно считать monохроматическими. Звуковые волны такого типа называют музыкальным тонами. Их возникдают, например, с помощью камертов. Monохроматические световые волны получают с помощью лазеров. Волны, близкие к monохроматическим, можно возбудить на поверхности воды, периодические погружая в нее какой-то предмет. В нашей цепочке солдат также можно получить похожие волны.

Представьте себе, что каждый солдат не просто взмахнул флажком, а совершает им колебания, периодические поднимая и опуская флажок. Каждый следующий солдат повторяет эти колебания, но с некоторым опозданием (сввигтом по фазе). По цепочке солдат побежит волна. Нечто подобное можно видеть во время спортивных праздников, когда цепочки людей совершают периодические движения со сввигтом по фазе.

Это красивое зреление радует глаз, но могут ли передавать информацию также волны? Очевидно, что нет. Перiodические повторяющиеся во времени колебания не несут нам ничего нового, не передают информацию. А

Можно сделать так, что совершать взмахи в цепочке будут одновременно не один, а два, три или даже несколько стоянных рядом солдат. Тогда противенность сигнала увеличится. Пользысь сигнала разной длины, можно передать не только информацию о начале коронации, но и вообщество информации. Природа сигнала может быть различной — бывают сигналы звуковые, световые и т. п.

22

Самое интересное, что любой сигнал можно представить как сумму монохроматических волн с разными частотами (составить из таких волн). Эту возможность дает нам принцип интерференции: при распространении волн колебания в каждом месте пространства складываются. Складем, в зависимости от свига фаз колебания одинаковых частот могут усилить друг друга (при нулевой разности фаз получится колебания с суммарной амплитудой — рисунок 1, а могут и ослабить (рисунок 1, б). Оказывается, что амплитуды и частоты складываемых монохроматических волн можно подобрать таким образом, что волны газят друг друга почти во всем пространстве, кроме опистот на месте, а движется со скоростью волны, иными словами — распространяется сигнал. Если скорость с монохроматических волн всех частот одинаковая (как, например, при распространении электромагнитных волн в вакууме), то и максимум движется со скоростью c. Его ширина и равна $\Delta L = 2\pi c / \Delta \omega$. Так что длительность сигнала $\Delta t = 2\pi / \Lambda \omega$.

Получается удивительное простое фундаментальное соотношение:
$$\Delta \omega \cdot \Delta t = 2\pi.$$

Длительность сигнала и ширина диапазона частот волн, из которых сигнал состоит, связаны обратно пропорционально зависямство. Качественный это соответствие понятно: сигнал

ределенной области, где, напротив, происходит их усиление.

На рисунке 2 показан результат сложения большого числа $N$ волн одинаковой амплитуды $A_0$ с частотами, лежащими в небольшем интервале от $\omega_0 - \Delta \omega$ до $\omega_0 + \Delta \omega$. Это как бы многовенная фотография волны, показывающая значение колеблюшейся величины $A$ в разных точках пространства в фиксированный момент времени. Имеется центральный максимум с амплитудой $NA_0$ и множество побочных с быстро убывающих амплитудами. Так что действительное в основном волны газят друг друга, а их усиление происходит в области центрального максимума.

Важно отмечить, что эта область не большой длительности ($\Delta t$ велико) формируется из монохроматических волн близких частот ($\Delta \omega$ мало). А чтобы составить короткий сигнал, нужно сложить много волн с разными частотами. Все, наверное, заменали, что молния вызывает помехи в радиоприемнике во всех диапазонах частот.

Итак, каждый сигнал можно составить из монохроматических волн или же, говоря по-другому, разложить на также волны. Зависимость амплитуды монохроматических волн, образующих сигнал, от их частоты называется спектром сигнала. В рассмотрении нами случае спектр — прямогоульник высотой $A_0$ и шириной $2\Delta \omega$, показанный ниже рис. 3. Это,

23

конечно, простейший спектр. Спектры сигналов, так же как и сигналы, могут иметь самые различные формы.

Когда мы, например, произносим звуки, то заставляем специализим образом колебаться воздействуя, и эти колебания распространяются в виде звуковых сигналов определяющий формы. Спектры этих сигналов существенно различаются в зависимости от того, произносим мы гласную или согласную. Сигнал, соответствующий гласной, имеет спектр с двумя характерами максимумами при определенных частотах (их называют формантими). Спектр согласно более «размазан» по всей области частот (на рисунке 4 показан спектр согласно «С»).

Существует специальный метод — гармоничческий анализ,— позволяющий находить спектры сигналов и восстановивать сигналы по известным спектрам.

Интересно, что «кричат» умеют и твердые тела. Теплоевое движение приводит в колебание atoms в кристаллической решетке, и также колебания передаются по телу в виде упругих волн. Это тоже звуковые волны. Однако их спектр имеет максимум при очень высоких частотах, а в области слышимых частот амплитуд звука пребрежимо мала (например, даже при очень низкой температуре порядка 5 К максимум соответствует частоте $10^{12}-10^{13}$ Гц). Так что услышать, о чем говорят носить звуковые сигналы. Для этого частоту волны фиксируют (ее называют несущей частотой), а вот амплитуд меняют в такт со звуковыми колебаниями (рис. 5). Таким образом формирует последовательность сигналов, передающих нужную информацию. В приемном пункте сигналы расшифровывают (детектируют)—выделяют отб#aц#uцую, соответствующее звуковым колебаниям. Этот метод называют амплитудной модуляцией. Он широко применяется при передаче радио- и телефонрамм.

Возникает вопрос: а как много информации за единицу времени можно передавать с помощью волн? Чтобы разобраться в этом, рассмотрим следующий информацию

24

цини. Известно, что любое число можно записать в двойной системе в виде последовательности нулей и единиц. Точно так же и любую информацию можно закодировать — записать в виде последовательности сигналов и их пропусков определяной дительности. Сигналы можно передавать, используя амплитудную модуляцию (рис. 6). Чем с большей скоростью мы хотим передавать информацию, тем короче должны быть эти сигналы. Но при надежной передаче информации дительность сигнала не должна быть меньше периода несущей синусоиды. Это и даёт ограничение на скорость передачи информации. Хотите ее уведомить — уведомивите несущую часть.

Фактически тутется часть модуляции порядка $10^7$ Гц и соответственно несущая часть должна лежать в области десятиков—сотен метагерц. Вот почему в течение пришлось пользоваться высокочастотными, а следовательно, и ультракоротими волнами с длиной волны порядка метра, хотя распространяется они лишь в пределах�i видимости.

Если же для передачи информации воспользоваться светом, у которого часть колбаний $10^{15}$ Гц, то можно повысить скорость передачи информации на много порядков. И хотя сама по себе идея стара (впервые передачу звука с помощью световых сигналов осуществил изобретатель телефона Г. Белл еще в 1880 году),

«работает» уже обсуждавшееся соответствие для дительности сигнала: $\Delta t \sim 2\pi/\Delta\omega$, где $\Delta\omega$ становится порядка $\omega_0$.

Например, для передачи музыкальных программ достаточно пользоваться электронагнитными волнами с частотой порядка сотен килогерц: целоеческоеухо восприннимает сигналы с частотой до 20 кГц, и в этом случае интервал частот, составляющих сигнал, будет по крайней мере на порядок меньше несущей частоты. Однако для передачи телевизionных программ такие частоты не годятся. Изображение на экране воспроизводается 25 раз в секунду и в свою очередь состоит из десятиков тысяч отдельных точек. Поэтому требуются частота модуляции порядка $10^7$ Гц и соответственно несущая часть должна лежать в области десятиков—сотен метагерц. Вот почему в течение пришлось пользоваться высокочастотными, а следовательно, и ультракоротими волнами с длиной волны порядка метра, хотя распространяется они лишь в пределах�i видимости.

Сейчас можно с определенносказать, что эпоха медных проводов отошла в прошлое и развитие сверхскоростных и сверхмасштабных сетей передачи информации связи с волоконной оптикой.

25

О математическом творчестве ШКОЛЬНИКОВ

В нашем журнале довольно редко появляются статьи по математике, написанные школьниками. Это не потому, что старшеклассники не способны выполнить интересную и оригинальную математическую работу. Дело здесь в том, что большинство таких работ былоют узкоопещательными, часто опираются на внешрограммный материал, редко содержат общие математические идеи, полезные для большинства наших читателей. Кроме того, текст заметки в «Кванте» должен быть не только математических корректным и формально правильным, но быть написанным доходчию и ясно, занимательно и методические продуманно. Если наши опытные авторы не всегда справляются с таким требованием, то что же ожидать от научного矽их!

И все же в этом юбилейном, двухсотом номере журнала мы решили поместить пересказ несколько работ школьников (прислаанных в «Кванте» или расссказанных на различных конференции школьников), которые, как нам кажется, должны заинтересовать многие наших читателей. В этих работах есть и перешенные задачи для желающих проверить свои творческие силы.

Равно самопересекающийся ломанье

В работе Андрея Шанна (Москва, школа № 57), написанной в 1984 году, когда Андрей учился в сельом классе, решаются геометрические задачи о ломанях с равным количеством точек самопересечения на каждом звене. Дадим точное определение рассматриваемых ломаных: ломаными тита (n, m), где n≥3, m≥1, называются последовательности из n различных точек A₁, A₂, …, Aₙ (вершин) и n последовательно соединяющих эти точки отрезков A₁A₂, A₂A₃, …, Aₙ-1Aₙ, AₙA₁ (звеневе) таких, что каждое звено пересекаютровно m других звенев, притом в m различных внутренних точках. Например, на рисунке 1 показаны ломанные титы (6, 1), (5, 2) и (9, 2).

Задча 1. При каких n существует ломана тита (n, 1)?

ОТВЕТ: при всех четырех n (n≥6); для решения А. Шанн предъявляет ломаную тита (6, 1), а затем применяет к ней операцию вставки крестика (рис. 2, a) или вставки гармоники (рис. 2, б).

При нечетных же n не существует ломаных тита (n, 1). Верен более общий факт: если оба числа n и m нечетны, то ломаной тита (n, m) не существует. В самом деле, звеня ломаной тита (n, m) пересекаются только попарно, поэтому общее число точек пересечения равно nm/2, что невозможно, когда оба числа n и m нечетны.

Задча 2. Верно ли, что при всяком m существует (для некоторого n) ломаная тита (n, m)?

ОТВЕТ: да; А. Шанн решает эту задачу, начиная с того же примера ломаной тита (6,1), а затем применяет к ней операцию обведения (рис. 2 б, 2).

Задча 3. Для каких пар чисел (n, m) существует ломаная тита (n, m)?

Эта задача не решена до конца, хотя А. Шанн сильно продвинулся в ее решении, использует при этом разные варианты операции суммы (рис. 3). Результаты Андрея можно свести в следующую таблицу:

| ломаная тита (n, m) | существует | не существует | вопрос окрыт |
| :— | :— | :— | :— |
| m — четно | n≥2m+6 или n=m+3 | n≤m+2 | m+4≤n≤2m+5 |
| m — нечетно | n — четно и n≥8m+12 | n — нечетно или n≤m+2 | n — четно и m+3≤n≤8m+10 кроме n=4m+6 |

26

В редакции мы беседовали с А. К. Ковалджи (руководящим, вместе с Н. С. Келлиным, крупном Вечерней математической школи при МИСиСе, где занимается А. Шанин); он рассказал о некоторых других конструкциях, связанных с задачей 3, и оставил нам «таблицу белых пятен» для малых значений $n$ и $m$ (рис. 4). Мы надемемся, что наш читатель сумел постепенно заполнить эти белые пятна. Отметим еще, что имеются красивые задачи о различных классификации ломанных типа $(m, n)$, к которым журнал «Квант» еще намереен вернуться.

Обобщенное уравнение Маркова

Многих читателей занятересовала красивая теория, описывающая решения уравнения Маркова

$$x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz$$

В натуральных числах $(x, y, z)$, о которой рассказываюсь в статье М. Г. Крейна («Квант» 1985, № 4, с. 13). В конце этой статьи автор предлагает исследовать обобщение уравнения Маркова; на этот признав открытикнулся десятиклассик П. Вольф-

Бейн из Киевской физико-mатематической школи-интерната № 2; он расстривает уравнения вида

$$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = mx_1x_2\dots x_n,$$

где $n \geqslant 3$, $m$ — натуральное число. Подобно уравнению (1), здесь также каждое решение (если оно существует) естественным образом включается в бесконечное ветвящемся дерево решения. Для каждой решения $(a_1, a_2, \dots, a_k, \dots, a_n)$ в натуральных числах уравнения (2) по каждой его координате $a_k (1 \leqslant k \leqslant n)$ можно построить соедние решения $(a_1, a_2, \dots, a_k, \dots, a_n)$: под-

27

ставив в равенство (2) набор $(a_1, a_2, \dots, x, \dots, a_n)$, решить возникающее при этом квадратное уравнение $x^2 - px + q = 0$, у которого кроме корня $x = a_k$ должны быть второй корень $x = a'_k$. При этом, если $a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n$ и $k \geq 2$, то $a'_k > a_1$. Таким образом, из каждой решения можно получить новые, с большей максимальной координатой, и лишь по одной координате — максимальной — переходит к соседнему, «меньшему» решению. Такое движение вверх по дереву решений к меньшим решениям не может продолжаться неограниченно, в конце концов будет достигнут коренное решение $a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n$, для которого $a'_1 \geq a_1$, и в дальнейшем подъем невозможен (рис. 5).

II. Вольфбейн различает три типа коренных решений: (I) $a_1 = a_2 = \dots = a_n$; это, при $n = m$, решения вида (1, 1, …, 1), при $n = 3$, $m = 1$ — решение (3, 3, 3), при $n = 4$, $m = 1$ — (2, 2, 2, 2); других нет.

(II) $a'_1 > a_1$; например, при $n = 7$, $m = 5$ такое решение (2, 1, …, 1);

(III) $a'_1 = a_1$; например, при $n = 11$, $m = 5$ такое решение (4, 22, 1, …, 1).

Рассуждания П. Вольфбейна опираются на следующую доказанную им лемму: для коренного решения $a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n$ типа П или III обязательно выполняется неравенство

$$ma_3 a_4 \dots a_n < n.$$

Уравнение (2) при $n = m$ (как и уравнение (1), где $n = m = 3$) имеет лишь одно корневое решение (1, 1, …, 1), и из каждого его решения вида $a_1 > a_2 > \dots > a_k > a_{k+1} = \dots = a_n = 1$ внизходят веткировно к $k$ различным (не получаются друг из друга перестановкой координат) соседним решением. Что касается общего случая $m \neq n$, то П. Вольфбейн получил здесь лишь некоторые частиные результаты. Задача полного исследования уравнения (2) в общем случае ещежет своего решения.

Как продиферетировать функцию дробное число раз

Ученик 9-го класса СШ № 57 г. Москва Марат Ровинский придумал, как для любого вещественного числа $s$ определить по функции $f(x)$ новую функцию $-f^{(s)}(x)$ — таким образом, что:

1. Если $s$ — целое неотрицательное число, то $f^{(s)}x$ — $s$-я произвольная в точке $x$.

2. $f^{-1}(x) = \int_0^x f(t)dt$.

3. Если $f(x) = 0$ при $x \leq 0$, то $(f^{(s_1)})(s_2)(x) = f^{(s_1 + s_2)}$.

Из свойств 2 и 3 следует, что если $n$ — натуральное число, то

$$f^{-(n)}(x) = \int_0^x \left( \int_0^x f(t)dt \right) dx_{n-1}.$$

Например,

$$f^{-(2)}(x) = \int_0^x \left( \int_0^x f(t)dt \right) dx_{n-1}.$$

— выражение в скобках рассматривается как функция от переменной $x_1$, по которой затем произвольная интерпроввание.

Как известно,

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) - f(x-h)}{h}.$$

Исходным только для размышления Марата послужила формула

$$f^{(2)}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) - 2f(x-h) + f(x-2h)}{h^2}.$$

Нетрудно показать (по индукции), что

$$f^{(n)}(x) = \lim_{h \to 0} h^{-n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k f(x-kh).$$

Напомним («Квант», 1986, № 1, c. 23), что $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ элементов.

28

ментов по $k$ — можно выписать по формуле

$$C_n^k = \frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}.$$

Заметим, что права часть этой формулы определяна при любых вещественных значениях $n$. Поэтому можно определить $C_s^k$ по формуле (2) для любых $s$. Например, $C_{-1}^k = (-1) \times (-2) \ldots (-k)/k! = (-1)^k$. Хотя числа $C_s^k$, если $s$ — не натуральное число, уже не имеют никакой комбинаторной интерпретации, для них выполнения все основные свойства биомпалных коэффициентов.

Задание 1. Докажите, что

$$C_s^k + C_{s+1}^k = C_{s+1}^k + 1.$$

Задание 2. Докажите, что

$$\sum_{k_1+k_2=m} C_{s_1}^{k_1} \cdot C_{s_2}^{k_2} = C_{2s}^{m}.$$

Указание. Любые тожества такого сорта доказываются так: левая и правая части как функции переменной $s$ являются многочленами. Поэтому достаточно доказать, что они совпадают при натуральных значениях $s$.

При $s = -1$ формула (1) примет вид

$$f^{(-1)}(x) = \lim_{h \to 0} h \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k C_{-1}^k f(x-kh) = \lim_{h \to 0} h \sum_{k=0}^{\infty} f(x-kh).$$

(В формуле (1) можно считать, что суммирование по $k$ ведется тоже до бесконечности, либо $C_n^k = 0$ при $k > n$). Если $f(x) = 0$ при $x \leq 0$, то формула (3) является просто определением интеграла $\int f(t)dt$. В обшем случае нужно разбить отрезок от 0 до $x$ на $m$ равных частей и устремить $m$ к бесконечности, то есть

$$f^{(s)}(x) = \lim_{m \to \infty} \left( \frac{x}{m} \right)^{-s} \sum_{k=0}^{m} (-1)^k C_{s_1}^{k_1} f \times \left( x-k \frac{x}{m} \right).$$

(4) Тогда $(\alpha f + \beta g)^{(s)}(x) = \alpha f^{(s)}(x) + \beta g^{(s)}(x)$.

Задание 3. Докажите свойство 3.

Указание. Используйте результат задания 2.

Задание 4. Докажите, что для натурального $n$

$$f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int f(t)(x-t)^{n-1} dt.$$

Задание 5. Докажите, что при $s > 1$ (1-$s$)-я произвольная функция, то действено равной 1, равна $x^{s-1}/\Gamma(s)$, где $\Gamma(s)$ — функция от $s$.

Функция $\Gamma(s)$ — грама-функция Эйлера — одна из важнейших математических функций. Она появляется всегда, когда необходимо определить $n!$ при не натуральных значениях $n$ ($\Gamma(n+1)=n!$ при $n \in N$). Важное свойство грама-функции — функциональное уравнение: $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$. Его легко вывести, воспользоваться свойством 3 дробной произвольной. Задание 6. Докажите, что при $s > 0$

$$f^{(-s)}(x) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^x f(t)(x-t)^{s-1} dt.$$

Вопросом об обобщении понятия $s$-ой произвольной на произвольные значения $s$ издавна занимались многочерей выдающес математики, в том числе Лейбници, Иоганн Бернулли, Эйлер, Фурье, Лиувилль и Риман.

Определение (4), данное М. Ровинским, совпало с одним из способов, который Лиувилль определил дробную произвольную в 30-х годах XIX века. Формула (5) известна как формула Римана — Лиувилля.

Общая неподвижная точка двух функций

В книге известного пользователя С. Улама «Коренные математические задачи» (M.: «Наука», 1964) имеется следующая гипотеза.

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ непрерывные функции, определенные на отрезке $[0; 1]$, принимающие значения, придолжие этого отрезку и также, что $f(g(x))=g(f(x))$ при всех $x \in [0; 1]$; тогда у функций $f$ и $g$ найдется общая неподвижная точка, то есть точка $x_0$, для которой $f(x_0)=g(x_0)=x_0$.

Эта задача была очень популярна среди студентов-mатематicians в середине 60-х — начале 70-х годов, однако все попытки ее решения оказались безспешными. Телегр известно, что гипотеза Улама не верна: есть контрпермер.

Ученик 9-го класса ФМШ-интерната № 18 при МГУ Андрей Слепухин по рекомендации своего учитель, кандидата физико-математических наук А. П. Веселова (кстати, выпускника ФМШ при МГУ), занялся гипотезой Улама в классе многочленов. Точнее, он решал следующую задачу.

Пусть $p(x)$ и $q(x)$ два многочлена также, что $p(q(x))=q(p(x))$ при всех $x \in R$. Верно ли, что существует такая точка $x_0 \in R$, что $p(x_0)=q(x_0)=x_0$, если известно, что сами многочлены $p(x)$ и $q(x)$ имеют неподвижные точки (это, например, значит, что уравнения $p(x)=x$ и $q(x)=x$ имеют корни).

Оказалось, что если бы один из многочленов $p(x)$ или $q(x)$ имеет четную степень, то общая неподвижная точка существует.

Для многочленов нечетной степени доказательство А. Слепухина «не проходит», так что для них вопрос остался открытым.

29

Пифагоры тетраэдры

Член корреспондент АПН СССР
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ

Напомним, что треугольник называется пифагоровым, если у него один угол прямой, а отношение любых других сторон рационально (тогда, применяя подобие, можно из него получить прямой угольный треугольник с целыми длинами сторон). По аналогии с этим будем называть треугольр пифагоровым, если его плоские углы при одной из вершин прямые, а отношение любых двух ребер рационально (из него с помощью подобия можно получить треугольр с прямыми плоскими углами при одной из вершин и целыми длинами ребер).

В этой заметке мы выведем «увавение пифагоровых tetraэдров», то есть такоеувавение с трея неизвестными ξ, η, ζ, что любой пифагоров tetraэдр дает рациональное решение этогоувавения, и наоборот, любое рациональное решениеувавения дает пифагор tetraэдр. А затем, пользоваться этимувавением, найдем конкретные примеры пифагоровых tetraэдров.

Пифагоры треугольники

Сначала даим способ описания всех пифагоровых треугольников. На рисунке 1 треугольник OAB — прямой угольный; длины его катетов обозначены через a и b, а длина гипotenузы — через p (букву e резервируем для дальнейшего). Число ξ = a/b+p

условимся называть параметром прямой угольного треугольника OAB (или, точнее, параметром «относительное катета a»). Используя соответствие p²=a²+b², имеем

$$1+\xi^2 = \frac{(b^2+2bp+p^2)+a^2}{(b+p)^2} = \frac{2p^2+2bp}{(b+p)^2} = \frac{2p}{b+p}.$$

Из этих равенств непосредственно получаем формулы, выражающие отношения сторон прямой угольного треугольника через его параметр:

$$\frac{2\xi}{1-\xi^2} = \frac{a}{b}, \frac{1+\xi^2}{1-\xi^2} = \frac{p}{b}.$$

Задача 1. Пусть α — величина угла OAB. Докажите, что параметр ξ треугольника OAB равен tg α/2, и дайте с помощью этого другое доказательство формул (2).

Задача 2. Докажите, что параметр ξ′ треугольника OAB относительно катета b (то есть ξ′ = b/a+p) связана с параметром ξ соответствием ξ′ = \frac{1-\xi}{1+\xi}. Дайте интерпретацию этого соответствия с помощью тригонометрических функций (см. задачу 1).

Из формул (1) (2) непосредственно вытекает следующие утверждения:

для того чтобы прямой угольный треугольник был пифагорным, необходимо и достаточно, чтобы число рациональных. В самом деле, если треугольник пифагов, то из (1) следует, что ξ рационально. Обратно, если ξ рационально, то согласно (2) отношения сторон рациональных, то есть треугольник пифагов.

Уравнение пифагорных tetraэдров

Пусть теперь OABC — tetraэдр, у которого плоские углы при вершине O прямые. Длины ребер, исходящих из вершины O, обозначаем через a, b, c, а длины трех других ребер — через p, q, r (рис. 2). Расмотрим параметры трех прямой угольных треугольников OAB, OBC, OCA:

$$\xi = \frac{a}{b+p}, \eta = \frac{b}{c+q}, \zeta = \frac{c}{a+r}.$$

Тогда по формулам (2) можно выразить отношения сторон этих прямой угольных треугольников через их параметры:

Рис. 1. Рис. 2.

30

$$\frac{a}{b} = \frac{2\xi}{1-\xi^2}, \frac{b}{c} = \frac{2\eta}{1-\eta^2}, \frac{c}{a} = \frac{2\varsigma}{1-\varsigma^2};$$

$$\frac{p}{b} = \frac{1+\xi^2}{1-\xi^2}, \frac{q}{c} = \frac{1+\eta^2}{1-\eta^2}, \frac{r}{a} = \frac{1+\varsigma^2}{1-\varsigma^2}.$$

Из (4) непредседательно вытекает, что параметры $\xi, \eta, \varsigma$ удовлетворяют соответствию

$$\frac{2\xi}{1-\xi^2}, \frac{2\eta}{1-\eta^2}, \frac{2\varsigma}{1-\varsigma^2} = 1.$$

Это и есть общанное «уравнение пифагоровых тетраэдров».

Задача 3. Докажите, что если три положительных числа $\xi, \eta, \varsigma$ каждый из которых меньше единицы, удовлетворяют уравнению (6), то существует тетраэдр с прямыми плоскими углами при одной из вершин, для которого (при обозначениях рисунка 2) справедливый равенства (3) (а потом и равенства (4), (5)).

Задача 4. Докажите, что если $\xi, \eta, \varsigma$ — решение неопределенного уравнения (6), то числа

$$\xi' = \frac{1-\xi}{1+\xi}, \eta' = \frac{1-\eta}{1+\eta}, \varsigma' = \frac{1-\varsigma}{1+\varsigma}$$

также составляют решение этого уравнения («сопряжение решения»). Докажите, что если каждое из чисел $\xi, \eta, \varsigma$ положительное и меньше 1, то и каждое из чисел $\xi', \eta', \varsigma'$ обладает этим свойством. Каково геометрическое взаимодействие двух сопряженных решений уравнения (6)?

Задача 5. Докажите, что если $\xi, \eta, \varsigma$ — решение неопределенного уравнения (6), причем каждое из чисел $\xi, \eta, \varsigma$ положительное и меньше 1, то тетраэдр $OABC$, о котором говорится в задаче 3, может быть получен следующим образом: из точки $O$ проведется три взаимно перпендикулярных отрезка $OA, OB, OC$, имеющих длины

$$OA = 1, OB = \frac{1-\xi^2}{2\xi}, OC = \frac{1-\eta^2}{2\eta}$$

Задача 6. Числа $\xi, \eta, \varsigma$ составляют решение неопределенного уравнения (6). Возможно ли, чтобы два из этих чисел были разположены, а третье и разположены? Дайте геометрическую интерпретацию ответа.

Задача 7. Числа $\xi, \eta, \varsigma$ составляют решение неопределенного уравнения (6), причем каждое из них положительное и меньше 1. Докажите, что если $\xi = m/n, \eta = p/q$ (где $m, n, p, q$ — натуральные), то тетраэдр с прямыми плоскими углами при одной из вершин и длинами выходящих из этой вершины ребер

$$a = 4mnpq, b = 2pq = (n^2-m^2), c = (n^2-m^2)(q^2-p^2)$$

является пифагородым.

Из формул (3)—(5) непредседательно вытекает следующие утверждения: для того чтобы тетраэдр $OABC$ с прямыми плоскими углами при вершине $O$ был пифагородным, необходимо и достаточно, чтобы параметры $\xi, \eta, \varsigma$ (удовлетворяющие уравнению (6)) были разположены. В самом деле, если тетраэдр

$$\frac{a}{b} = \frac{2\xi}{1-\xi^2}, \frac{b}{c} = \frac{2\eta}{1-\eta^2}, \frac{c}{a} = \frac{2\varsigma}{1-\varsigma^2};$$

пифагород (то есть отношение любых двух его ребер рационально), то из (3) следует, что $\xi, \eta, \varsigma$ рациональны. Обратно, если $\xi, \eta, \varsigma$ рациональны, то согласно (4), (5) относение любых двух ребер рационально, то есть тетраэдр пифагород.

Поиск пифагоровых тетраэдров

Мы видим, что задача нахождения пифагоровых тетраэдров алгебраических равносильна задаче нахождения рациональных решений неопределенного уравнения (6) при условиях $0 < \xi < 1, 0 < \eta < 1, 0 < \varsigma < 1$. Легко убедиться прямой проверкой, что следующее тройки являются решениями.

Таблица 1.

| | $\xi$ | $\eta$ | $\varsigma$ |
| :— | :— | :— | :— |
| 1) | 5/6 | 2/11 | 3/13 |
| 2) | 5/8 | 1/11 | 9/13 |
| 3) | 1/7 | 9/11 | 5/16 |
| 4) | 5/6 | 6/11 | 1/17 |
| 5) | 8/9 | 1/11 | 5/17 |
| 6) | 2/5 | 5/11 | 7/18 |
| 7) | 3/4 | 1/10 | 11/21 |
| 8) | 2/13 | 17/22 | 9/25 |
| 9) | 3/7 | 3/8 | 11/25 |
| 10) | 21/23 | 1/24 | 11/25 |
| 11) | 7/18 | 1/22 | 23/25 |

Это дает возможность найти одинаковы пифагородных тетраэдров. Для вычисления длины ребер можно воспользоваться методом задачи 7 (производа, если нужно, сокращение на общий множитель). Ребра этих тетраэдров перечислены в таблице 2.

Заметим еще, что если пифагород тетраэдр $OABC$ дополнитель с ребрами $OA, OB, OC$, то получится «пифагород» парале-

31

лепипед, то есть прямогольный параллелипед с разнородными (или целыми) длинами всех ребер и всех диагоналей граней. На рисунке 3 показан параллелипед, получащийся таким образом с помощью второго из приведенных выше пифагоровых tetraэдров. Оdnako диагональ этого параллелипеда имеет irrationalную длину. Существует ли прямогольный параллелипед, у которого все ребра, все диагонали граней и диагональ всего параллелипеда имеют целые длины, неизвестно.

Рис. 3.

Задача 8. Докажите, что десять из приведенных одинаковатей решений уравнения (6) является попарно сопряженными (в смысле определения, приведенного в задаче 4). Найдите решение, «сопряжение» к одинаковатому решению; найдите соответствующий пифаговный параллелипед.

Задача 9. Изовем прямогольный параллелипед «пифаговым параллелипедом второго рода», если все его ребра, а также диагональ параллелипеда имеют разнородные длины. Докажите, что если $x_1, x_2, x_3$ — длины ребер прямогольного параллелипеда, а $y$ — длина его diagonали, то он в том и только в том случае является пифаговым параллелипедом второго рода, если она числа (параметры))

$$\xi_1 = \frac{x_1}{x_3 + y}, \quad \xi_2 = \frac{x_2}{x_3 + y}$$

рациональные. Докажите, что для этого параллелипеда справедливый соответствие

$$\frac{x_1}{y} = \frac{2\xi_1}{1 + \xi_1^2 + \xi_2^2}, \quad \frac{x_2}{y} = \frac{2\xi_2}{1 + \xi_1^2 + \xi_2^2},$$

$$\frac{x_3}{y} = \frac{1 - \xi_1^2 - \xi_2^2}{1 + \xi_1^2 + \xi_2^2}.$$

Задача 10. Обобщая результат задачи 9, доказите, что любое разнородное решение неопределенного уравнения

$$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = y^2$$

имеет вид

$$x_1 = k \cdot 2\xi_1, \quad x_2 = k \cdot 2\xi_2, \dots, \quad x_{n-1} = k \cdot 2\xi_{n-1},$$

$$x_n = k(1 - \xi_1^2 - \dots - \xi_{n-1}^2), \quad y = k(1 + \xi_1^2 + \dots + \xi_{n-1}^2),$$

где $\xi_1, \dots, \xi_{n-1}$ — произвольные разнородные числа (параметры) и коэффициент $k$ также разнороден. Можно ли вы дать геометрическую интерпретацию этого результат?

Задача 11. Обобщите результат задачи 10 на неопределенное уравнение

$$x_1^2 + \dots + x_p^2 = y_1^2 + \dots + y_q^2$$

(то есть дайте формулы для нахождения всех разнородных решений).

---

В заключении остановимся на вопросе о том, как были найдены указывающие выше 11 разнородных решений уравнения (6). Для этого была использована электронная вычислительная машина. Алгоритм для вычисления на ЭВМ был составлен на основе следующих сообщений. Пусть

$$\xi = \frac{a}{b}, \quad \eta = \frac{c}{d}, \quad \xi = \frac{e}{f},$$

(7)

где $a, b, c, d, e, f$ — натуральные числа. Идея алгоритма — перебрать все такие шестерики, придавая каждому из шести чисел значения 1, 2, …, 25, по формулам (7) найти соответствующее тройки ($\xi, \eta, \zeta$) и из них отобрать те, которые удовлетворяют уравнению (6). В действительности целесообразнее, освобождение от значенияелей, вести вычисления не с $\xi, \eta, \zeta$, а с натуральными числами $a, b, c, d, e, f$. Дело в том, что при работе с разнородными числами $\xi, \eta, \zeta$ компьютер заменил бы их некоторыми десятичными приближениями, которые точно не удовлетворяют бы уравнению (6).

Задача 12. Напишите алгоритм на учебном алгоритмическом языке. Попробуйте его усовершенствовать, чтобы избежать (на самом деле не нужно) полного перебор всех шестериков $a, b, c, d, e, f$.

32

Оранжевое небо

Кандидат физико-mатематических наук
Г. И. КОСОУРОВ

В этой статье мы представляем несколько опытов по цветовому зрению. Все они связаны с различными цветовыми иллюziями, вызванными необъичными условиями работы глаза или его цветовым утомленем.

Механизм восприятия цветов глазом очень сложен и до конца еще не изучен. Известно, что сетчатка глаза содержит два рода светочувствительных клеток, которые носят название палочек и колочек. В палочках содержится фототимическую цветительную pigment — зрительный пурпур, или родописин. Под действием света родописин обеспечивает и действует на первые волокна, передающие возбуждение в мозг. При ярком свете он обеспечивает полность и палочки слепнут. В темноте идет обратный процесс — восстановление зрительного пурпура. Колочковое су-
метчное зрение обладает очень большой цветовительностью, но оно ахроматично: палочки не цветуют цвета.

При достаточно большой яркости вступает в силу колочковый механизм зрения. Колочковое зрение цветочувствительное. Есть много убедительных опытов, приводящих к выводу, что колочки содержат фототимические цветовительные pigments трех сортов с максимумом цветовительного в красной, зеленой и синеющей спектра. Различная степень выцветания всех трех pigmentов дает в нашем сознании ощущение цвета и позволяет видеть мир во всем разнообразии красок, оттенков, полученных и переходов.

На трехцветной природа цветового зрения основано воспроизведение цветов в кино, в телевидении, в цветной фотографии и в полиграфини. Методы количественного измерения цветов также основаны на трехцветном приципке.

Однако ощущение цвета можно вызвать не только красками, но и, например, перевистим освещением. Перечертите тушью на чертежную бумагу черно-белые диски, показанные на рисунке 1 (а, б, в, г). Достаточ-

33

но, чтобы диски имели диаметр 8—12 см. Вырежьте диски и приведите их в не очень быстроеращение, примерно 1—3 оборота в секунду. Для этого можно надеть их на ось наматывайте кинопроектора, проигрыватель, магнитофона или просто сделать из дисков волчики. Вместо черных дуг вы видите цветные окружности. Окраска зависит от скоростиращения, освещенности и характера рисуника. Например, у диска на рисунке 1, адуги, следующее за черным сектором (по направлению вращения), при слабом освещении кажутся красными, а при ярком — желтыми. При некоторых скоростиращения и ярком освещении черные секторы кажутся синями. Полного обязывания этому явлению пока еще нет.

Краски различаются не только цветом, но и насыщенность. Если постепенно добавлять к красной краске белила, цвет будет становиться все более розовым. На картинах и тем более на типографских копиях с картинами трудно получить насыщенные тона и большие градиции ярости. Отношение ярости самой белой краски к ярости самой черной еда достигаетста, а в природа мы имеем дело с различием в ярости во много тысяч раз. Поэтому копии с картинами кажутся слишком белыми либо, наоборот, слишком темными. Это нарушает один из элементов восприятия объемности — воздействующее перспективу. Изображение пейзажа или жанровой сцены выглядит плоским. Значительно ширие диапазон передаваемых яростей при проекции на экран диапазонтов. Именно поэтому так выразительные и объемные photographer на цветной обратимой плenge — слайды.

Рис. 1.

Воспрятие картины можно значительно улучшить, освещая ее специализим образом. Возьмите цветную включку из «Огонька», сформируйте ее и отпечатайте контактным способом с пленки на пленку контрассный черно-белый диапазон. Вставьте диапазон в проектор с большим световым потоком (подойдет проектор типа «Свет») и проектируйте диапазон на оригинал так, чтобы контуры проекции и оригинала точно совпадали. Результат не заставит вас пожалеть о затраченном труде. Картина окивет, приобретет объемность и особую выразительность. Выключите проектор, и вы убедитесь, насоколько тускла и невыразительна картина при равномерном освещении.

Следующие опыты относятся к так называемым последовательным цветовым образом. Это явление связано с тем, что полное восстанавливающее цветочтивительное применение — процесс сравнительно медленный. Если продолжительность время смотрить на однозвечный рисунок, а потом перевести взгляд на белую бумагу, стену или потолок, то белый цвет будет восприниматься так, как будет в нем недостает цвета, утомившего глаз. На белой поверхности будет виден тот же рисунок, но окрашенный в цвет, который называют дополнительным.

Вырежьте из цветной бумаги красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий и фиолетовый квадратки размером 2×2 см. Положите один из цветных квадратков перед собой на лист белой бумаги и смотрите на него, не направлягла глаз, секунд тридцать. Смотреть надо, как говорят, в одну точку, чтобы изображение квадрата не перемещалось по сетчатке. Переведите взгляд на белое поле, и через секунд — две вы видите на бумаге четкое изображение квадрата в дополнительном цвете. Так вы узнаете, что дополнительным к красному цвету является зеленый, к синиему — оранжевый

35

Задания

1. Белых грибов я после дждя на-брал — насилиу дотащил,— рассказывал на уроке математики Николай Борисович. — Но тащил я главным образом воды: ведь в свежесобранных грибах 90 % воды! А когда грибы подсохли, их вес уменышлся на 15 кг, потому что вода составляла теперь только 60 % их веса. Сколько килogramмов грибов я принес из леса?

2. На рисунке изображены два прямоугольника 9×12, раскрашенные по-разному в три цвета. Разрежьте прямоугольник, нарисованный слева, на 4 части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник, нарисованный справа.

3. Коля и Витя живут в одном доме. На каждом из этажей во всех подъездах их дома расположено по четыре kvартиры. Коля живет на пятом этаже в kvартире № 83, а Витя — на третьем этаже в kvартире № 169. Сколько этажей в их доме?

4. Мы с Ирой пошли в лес за ягодами. Ира шла правее меня. Вдруг слева я услышал ее «Ау!», через минуту — снова «Ау!», но уже, какется, сзади. Почему в лесу так трудно определить направление на источник звука?

5. На стол положили несколько одинаковых листов бумаги прямоугольной формы. Оказалось, что верхний лист покрывает больше половины площади каждой из остальных листов. Можно ли в таком случае воткнуть бульавку так, чтобы она проколла все листы?

Эти задания нам предложили А. Я. Халамайзер, А. В. Швецов, ученик 10 кл. школа № 462 г. Москвы А. Хамитудили, А. П. Савин, В. В. Произвольов.

2. Большик купил материал для шлялы за 5 монет, а шляну продал за 6 монет, затем купил ее за 7 монет и снова продал за 8 монет, потом купил ее же за 9 монет и тут же продал за 10 монет. Какую привыль он получил?

3. До того, как Алиса начала рассти в зале суда, ее вес и рост были равны весу и росту каждого из присяжных заседателей. Когда же она выросла, то стала весить столько же, сколько все 12 присяжных вместе. Во сколько раз выросла Алиса?

13ДЕСPI

Недачи
одной цивилизации

А. Н. КЮЧУКОВ (НРВ)

На Отрезке $AB$ существует цивилизация. Ее представители — Точки — были развутыми существами. Отрезок был большой, существа — очень маленькие; и места хватало для всех.

С развитием науки и техники существа начали обумывать вопрос: как покинуть родной Отрезок и выйти в открытый Космос — в Плокость? Сначала нашли середину $C$ Отрезка. Самые видные учены предложили построй в Плокости равноведенные прямогольные треугольники $AA_0C$ и $BB_0C$ с прямыми углами при вершинах $A$ и $B$. Они нашли способ посадать космический корабль в середину $M_0$ отрезка $A_0B_0$ (рис. 1). Этот проект принял с восторгом, но он чут не провалился. Равноведенные треугольники строили разные организации и они построили их неcorласовано — в разных Плокоскостях относительно Отрезка $AB$. Поэтому вместе того чтобы взлетить в точку $M_0$, космический корабль остался в середине $C$ отрезка $AB$. Ошибку исправили, и для определения существа решили летать пока только в Верхнюко Плокоскость. Космический корабль успешно должен до точки $M_0$, и все были довольны.

Следующое поколение, однako, не захотел ограничиться точкой $M_0$. Молодые учены заменили середину $C$ Отрезка произвольной точкой $C', C' \in AB$, после чего снова построили в Плокости равноведенные прямогольные треугольники $AA'C'$ и $BB'C'$ с прямыми углами при вершинах $A$ и $B$. Затем они послали космический корабль в середину $M'$ отрезка $A'B'$ (в Верхнюко Плокоскость; рис. 2). Каково же было их удивление, когда оказалось, что корабль снова попал в точку $M_0$. Большинство ученных решили, что это совпадение является неизбежным свойством Плокости. Они начали искать другие способы выхода в открытый Космос при помощи равноведенных прямогольных треугольников (наверное, технические средства цивилизации не позволяли других методов). В конце концов удалось использовать точку $C_1$ в Плокости, не лежащую на Отрезке $AB$. Вне треугольника $ABC_1$ построили равноведенные прямогольные треугольники $AA_1C_1$ и $BB_1C_1$ с прямыми углами при вершинах $A$ и $B$ (рис. 3). Было много предложений, аргументированных по-разному, как выбирать точку $C_1$ в Плокости. Однако самый законченый скетик заявил, что споры беспредметены, потому что середина $M_1$ отрезка $A_1B_1$, куда пойдет космический корабль, и в этом случае совпадает со старой точкой $M_0$.

Его слова былиосприняты как неуместная шутка. Пивилизация выделила большие денежные средства, чтобы опровернуть скетик практические. Выбрали две различные точки $C_1$ и $C_2$ в Верхнюко Плокоскости, построили соответствующие прямогольные треугольники. Потом послали два корабля в середины $M_1$ и $M_2$ полученных отрезков $A_1B_1$ и $A_2B_2$. Только виртуозное мастерство плотно корабли от стolkновения! Скетик же заявил, что корабли избежали стolkновения только из-за неточности построения треугольников.

А что думать вы, дорогие читатели? Почему произошло совпадение точки $M_0$, $M'$, $M_1$ и $M_2$?