Квант 1986, №10 · Страницы

ISSN 0130-2221
10
1986
Научно-популярный физико-математический журнал
Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР
Как делают алмазы?

12

Веселозная
опшеница
по физике
две угашcias
СПТУ

Тыми) мая 1986г.

В НОМЕРЕ:

2 Реформа высшей школы
3 А. Н. Зайдель, В. Я. Френкель.
И. В. Курчатов: первые шаги в ЛФТИ
6 В. А. Олейников. Иrrationalность и неприводимость
12 Ф. Ф. Воронов. Как делают алмазы
Reform of higher education
A. N. Zaidel, V. Ya. Frenkel. I. V. Kurchatov: first steps at LPTI
V. A. Oleinikov. Irrationality and irreducibility
F. F. Voronov. How diamonds are made

Лаборатории «Кванта»
19 А. Н. Лузин. Еще раз о ложке в стреуе воды
Kvant’s lab
A. N. Lusin. Once more about spoons in streams of water

Школа в «Кванте»
20 Математика 8—10
22 Избранные школьные задачи
Kvant’s school
Mathematics 8—10
Selected school problems

«Квант» для младших школьников
23 Задания
24 Числа Мерсенна
Kvant for younger school children
Problems
Mersenne’s numbers

Наш календарь
26 Д. Фаренгейт и его термометры
Our calendar
D. Farenheit and his thermometers

Заданияк «Кванта»
28 Задания M1006—M1010; Ф1018—Ф1022
34 Решения задач M986—M990; Ф998—Ф1002
Kvant’s problems
Problems M1006—M1010; P1018—P1022
Solutions M986—M990; P998—P1002

Калейдоскоп «Кванта»
Kvant’s kaleidoscope

Практикум абитуриента
42 Л. П. Баканина. Оптические приборы
College applicant’s section
L. P. Bakanina. Optical instruments

Искусство программирования
47 В. А. Каймин. Решение задач и построение алгоритмов
The art of programming
V. A. Kaimin. Solving problems and constructing algorithms

Олимпiadы
52 I Всеюозная олимпiadа по физике учашихся средних профессиональных технических училищ
53 XII Всероссийская олимпiadа школьников
Olympiads
1st All-Union olympiad in physics for secondary professional technical institutions
12th All-Russian school olympiad

Информация
11 Библиотека «Квант»
51 Встреча с читателями
Information
Kvant’s library
Meeting with our readers

Ответы, указания, решения
11а обложка (22)
Шахматная страница
Компьютерный клуб (3-я с. оболожки)
Answers, hints, solutions
Our cover page (22)
The chess page
The computer club (3rd cover page)

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1986

3

И. В. Курчатов: первыше шаги в ЛФТИ

Доктор физико-математических наук
А. Н. ЗАЙДЕЛЬ,
доктор физико-математических наук
В. Я. ФРЕНКЕЛЬ

Когда, ознакомившись с биографией выдающегося советского ученого и организатора науки Игоря Васильевича Курчатова (1903—1960), задаешься вопросом: каким емким словом определять его индиvidualность? — самым подходящим представляется: стремительное вхождение в новую, независимо ему область науки — это характерно и для зрелого, и для современного Курчатова. В 1923 году он окончил Симферопольский университет и в том же году, менее чем за пять месяцев, выполнил исследование радиоактивности снега, овладев и тонкой экспериментальной технической измерений радиоактивности, и комплектом геофизических сведений, необходимых для проведения и осмысления этой работы, ставшей предметом его первой научной публикации.

Проходит полгода, Курчатов оказавется на meteorологической станции в Федосии, где изучает физику моря. Четыре месяца потребовалось молодому человеку (ему едва исполнился 21 год), чтобы проводсти сложное исследование колбаний уровня Азовского и Черного морей. Эти работы уже в начале 30-х годов, когда имя Курчатова было известно сравнительно узkomу кругу коллег, вошли в классические труды по физике моря.

1 октября 1925 года. В архиве Физико-технического института им. А. Ф. Иоффе АН СССР (ФТИ) сохранилась датированная этим числом запись: Игорь Васильевич Курчатов (заметим: успевший к этому времени выполнить и опубликовать пять научных работ) зачисляется в Институт в качестве сотрудника I разряда (это значение примерно соответствовать теоретической должности старшего научного сотрудника). А 16 ноября этого же года Курчатов вместе с К. Д. Синельниковым (1901—1966), с которым они учились в Симферопольском университете, датируют окончание первого «К вопросу о прохождения электринов через тонкие металлические фолги». Работа сразу же переводится на английский язык, и оба ее варианта — русский и английский — направляются в печать: в «Труды Ленинградской физико-технической лаборатории» и в американский журнал «Physical Review» («Физическое обозрение»). Обе статьи увидели свет в следующем, 1926 году — 60 лет тому назад.

Исследование, предприятное молодыми учеными из ФТИ, имело как чисто научный, так и прикладной интерес. Выяснение степени проницаемости тонких фолг для электринов могло способствовать усвоению трудок Брауна — так в то время называли осциллографы. Чувствительность люминофоров, которые покрывался экран трубки Брауна, была недостаточной для успешного фотографирования крыых, вычерчиваемых электриным лучом. Поэтому фотопластикку или фотопленку помещали внутри откачанной трубки, причем ее перемещение осуществлялось довольно сложно, с помощью специального приспособления (так называемого вакуумного шлюза). Возникла мысль: вывести электриный луч через закрытый тонкий металлический фолгой торец трубки прямо наружу, вне вакуумного объема, и там помещить фотопластику. Для этого надо было выяснить, насолько проницаемым после английский вариант с малоэнергичных электронов металлических фолги. К этому вопросу имела отношение работы американского ученого Г. Гарттага, опубликованная в 1925 году на страницах «Physical Review» (вот почему физических социал необходимым послать английский вариант с малоэнергичных электронов металлических фолги). Из результатов, полученных Гарттиром, следовало что электроны,ускоренные даже в небольших полях порядка нескольких волт, пространвали насвободы алюминевые фолги толщиной до 10 мкм. Это казалось страным.

Курчатов и Синельников решили проверить работу Гарттага. Они повторили его эксперимент на аналогичной установке: на пути электринов, вылетающих с катода, помещалась фольга; если электроны «пробивают» фольгу, то они попадают на анод, в цепи повяляется ток. Результаты, полученные физическими, казалось бы, подтвердили выводы Гарттага. Но затем они решили проверить: не являются ли

4

Эти результаты следует следствием несовершенства фольг — начиным в них невидимых ответствий. (Гартиг убеждался в совершенстве своих фольг, просматривая их на просвет.) С помощью несложной установки ленинградцы обнаружили, что в бездефектных «на глаз» фольгах на самом деле могут быть ответствия. Существование таких ответств был доказано путем наблюдения в жидкостях пузырьков, образующихся при продукции сквозь фольгу воздуха. Этот простой опыт являлся решающим доказательством ошибочности результатов Гартинга. Схема опыта, поставленного ленинградскими авторами, показана на рисунке. Применяя обрабатные с помощью такой установки бездефектные фольги, Картатов и Синельников убедились, что медленные электроны не пробивали фольгу-мишень; сделав же в бездефектной фольге небольшие ответствия, физически воспроизвели результаты Гартинга.

Очевидно, что американский физик «проезвал» дефектность использанных в его экспериментах фольг. Нам не известны точные условия опыта, в котором он просматривал их на просвет, но некоторыеверятные предположения о них можно сделать и попытаться оценить размеры ответствия, которое Гартиг мог увидеть.

Возможность увидеть простой церезmalое ответствие, определяется величины той световой энергии, которая, проядет в зрачок. Сделав естественные предположения о силе света источника, освещающего ответствие, и зная пороговую цветвительность глаза, оценим размеры ответствия, которое еще можно увидеть.

Экспериментально установлено, что в условиях непрерывного освещения величины энергетического потока, соответствующего критическому порогу хорошего адпитированного (привыкшего к темноте) глазза, составляет примерно 5·10⁻¹⁷ Дж/c. Электрическая лампачка преобразует в световой энергию, воспринимаемую глазом, примерно 2% подводимой к ней электрозернии. Следовательно, лампа мощностью 40 Вт — именно такие были наиболее распространенными в середине 20-х годов — излучает ежесекундно 0,8 Дж световой энергии. Полягая, что эта энергия равномерно излучается во все стороны, подсчитает ту ее часть, которая проходит через ответствие в экране (диаметр ответствия d), находящемся на расстоянии l от лампачки. Площадь такого ответствия π²/4, а телесный угол, выделяемый им из сферы радиуса l, составляет π²/4l². Отсюда для потока световой энергии, проедущего через ответствие, получим величины

$$\Phi_d = \frac{0,8}{4\pi} \frac{\pi d^2}{4l^2} = 5 \cdot 10^{-2} \frac{d^2}{l^2} \text{ Вт.}$$

Полягая l=0,1 м, имеем:

$$\Phi_d = 5d^2 \text{ Вт},$$

где d выражено в метрах. Можно считать, что ответствие очень малого диаметра в экране (исследуемый на просвет фольге) излучает равномерно в пределах полусферы, то есть телесного угла 2π (это проискит вседствие

5

дифракции). Тогда на расстоянии наилучшего зрения $r=0,25$ м на зрачок диаметром $d_{3p}$ придется поток энергии

$$\Phi_{3p} = \frac{\Phi_d}{2\pi} \frac{\pi d_{3p}^2}{4r^2} = 0,625 \frac{d_{3p}^2}{r^2} d^2 \text{ Вт.}$$

Приимая диаметр зрача адпитированного глаза равным 0,005 м, для попадаюшей в него мощности находится:

$$\Phi_{3p} = 0,625 \frac{25 \cdot 10^{-6}}{0,625 \cdot 10^{-1}} d^2 = 2,5 \cdot 10^{-4} d^2 \text{ Вт.}$$

Приравнивая ее к пороговой мощности $5 \cdot 10^{-17}$ Вт, получим соответствие для определения $d: 2,5 \cdot 10^{-4} d^2 = 5 \cdot 10^{-17}$, откуда $d \approx 0,5 \cdot 10^{-6}$ м = 0,5 мкм.

Итак, предельный размер ответствия, которое можно заметить на просвет, — 0,5 мкм.

Интересно подсчитать давление, которое обеспечило бы «проталкивание» (выдувание) воздействие в фольге, то есть давало бы картину пузырьков в сосуде, наблюдащих Курчатовым и Синельниковым (см. рисок).

Известно, что поверхность жидкости ведет себя подобно растянутой пленке (обладает поверхностью натяжением). Поэтому, чтобы выдать, например, мыльный пузырь, в нем надо создать избыточное давление, определяемое формулой Лапласа:

$$\Delta p = \frac{2\sigma'}{R},$$

где $\sigma' = 2\sigma$ — удвоенный коэффициент поверхностного натяжения жидкости (у пленки две поверхности), $R$ — радиус пузыря. Если помещить трубку в жидкость на глубину $h$, то чтобы выдуть с ее помощью воздействий пузырь, надо создать в нем давление, превышающее атмосферное на величины, равную сумме лапласовского давления $\Delta p$ и гидростатического давления $\rho gh$. Размер пузырьков — порядка диаметра пузки, и если он мал, то лапласовское давление значительное больше гидростатического, которое в этом случае можно пренебречь. Считая пузырь получеферой, избitable давление можно тогда найти по формуле

$$\Delta p = \frac{2\sigma}{R} = \frac{4\sigma}{d} \quad (*)$$

(у воздушного пузырька в жидкости одна поверхность). Такой же формулой можно воспользоваться, чтобы оценить избыточное давление, которое нужно создать у поверхности фольги, погруженной в воду, чтобы продукт сквозь поверхность в ней воздействие, ясно, что это давление будет тем меньше, чем меньше поверхность натяжения жидкости.

(Окончание см. на с. 50).

6

нескратийной дроби $\sqrt{2} = a/b$, то
$$2 = \frac{a^2}{b^2}, \quad 2b^2 = a^2.$$
Ясно, что число $a$ делится на 2, $a^2$ —
на 4 и, значит, $b$ — на 2. Так что
$a/b$ — дробя сократия.

Дробь $a/b = \sqrt{2}$ не может одновременно быть сократиюй и нескратийной, значит, величина $\sqrt{2}$ — не дробь. Это качество делало $\sqrt{2}$ нежеланным гостем в мире чисел, где царили гармония и порядок, простота и совершенство.

Своим появлением $\sqrt{2}$ был обязан диагонали единчного квадрата и неудачным попыткам измерить ее рациональныеми отрезками. Недача сильно беспокоила древних греков, вызывая брожение умов. Реальность, выраженная геометрическим образом, настоящую стучалась в мир чистого и прекрасного.

Прошло много веков, $\sqrt{2}$ завоевал себе место среди чисел, став другой реальностью — корнем уравнения $x^2 - 2 = 0$, и оказалось, что

число $\sqrt{2}$ инрационально

потому, что

многочлен $x^2 - 2$ неприводим.

О связи инрационального и неприводимости — наш рассказ.

Неприводимость

Многочлен

$$P(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n$$

степени $n$ по $x$ с целыми коэффициентами

$$a_0, a_1, \ldots, a_n; \quad a_n \neq 0$$

называется инрационным, если он не может быть представлен в виде произведения

$$P(x) = L(x) \cdot Q(x)$$

многочленов $L(x)$ и $Q(x)$ также с целыми коэффициентами, но степеней меньше, чем $n$. Если же подобное возможно, то $P(x)$ называется инрационным.

Например, многочлен $x^3 + x^2 + x + 1$ приводим (он равен $(x+1)(x^2+1)$ — проверте!), а многочлен $x^2 + 1$ приводим (подумайте, почему).

Линейный двучлен $a_0 + a_1x$ дает простейший пример инрационного многочлена. Его единственный корень $x = -a_0/a_1$ есть число рационального. Но

среди корней инрационного многочлена $n \geq 2$ не может быть рациональным.

7

Это свойство вытекает из более общого факта:

ТЕОРЕМА. Если число а является корнем одновременного двух многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ и один из них, скажем $Q(x)$, неприводим, то многочлен $d \cdot P(x)$ при некотором целом $d \neq 0$ делится на $Q(x)$:

$$d \cdot P(x) = L(x) \cdot Q(x).$$

Эта TEOPЕМА связана с именем прославленного немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777—1855).

Она будет доказана на с. 10, а указанное выше свойство вытекает из нее, поскольку линейный двучлен не может делиться на многочлен степени $n \geq 2$.

Открывается возможность получить много новых irrationalных чисел. Их следует искать среди корней неприводимых многочленов. В загадочную страну неприводимых многочленов насводит.

Признак Эйзенштейна. Если для многочлена $P(x)$ можно указать такое простое число $p$, что старший коэффициент $a_n$ не делится на $p$, а все остальные коэффициенты $a_k$ делятся на $p$, $k=0, 1, \dots, n$, но свободный член $a_0$, делясь на $p$, не делится на $p^2$, то такой многочлен $P(x)$ неприводим.

Ф. Г. М. Эйзенштейн (1823—1852) — тоже немецкий математик — испытал немилость судьбы и равнодушие современников. Его идеи были восприняты лишь много лет спустя.

Доказательство

Пусть, в противоречие с утверждением, многочлен $P(x)$ с указанным свойством коэффициентов приводим и потому разлагается в произведение

$$P(x) = L(x) \cdot Q(x)$$

многочленов

В первом из написанных равенств свободный член $a_0$ делится на $p$; значит, или $b_0$, или $c_0$ делится на $p$; они не могут делиться на $p$ одновременно, либо $a_0 = b_0 c_0$ не делится на $p^2$.

Пусть $b_0$ делится на $p$, а $c_0$ не делится. Тогда переходим к второму равенству: $a_1$ делится на $p$, $b_0 c_1$ делится на $p$; значит, $b_1 c_0$ также делится на $p$ и $b_1$ делится на $p$…

…И так ием до $l+1$-го равенства (при $x^l$): $a_l$ делится на $p$, все $b_0, \dots, b_{l-1}$ делится на $p$; тогда $b_l c_0$ делится на $p$ и, значит, $b_l$ делится на $p$.

А теперь переносимся в последнее равенство: значит, старший коэффициент $a_n = b_1 c_m$ делится на $p$, что невозможно по условию признака.

Если же в первом равенстве $c_0$ делится на $p$, а $b_0$ не делится, то, начав все сначала, идем до $m+1$-го равенства (при $x^{m+1}$), а затем опять переносимся в последнее.

значит, разложение $P(x) = L(x) \times Q(x)$ невозможно, и многочлен $P(x)$ неприводим. Признак установлен, а нас уже джут

Иrrациональные радикалы

Многочлен $x^2-2$ неприводим по признаку Эйзенштейна (возьмите $p=2$).

9

менее и здесь признак Эйзенштейна нельзя считать исчерпанным — следует только «расщевлять» $P(x)$, меняя переменную $x$.

Вопрос о неприводимости многочлена

$$P(x) = x^2 + 1$$

сводится к признаку Эйзенштейна следующим образом. Если бы $P(x)$ был приводим, то и $P(x+1)$ был приводим. Но $P(x+1) = x^2 + 2x + 2$ неприводим по признаку Эйзенштейна при $p=2$. Многочлены $x^4 + 1$, $x^6 + x^3 + 1$ неприводимы по той же причине. Аналогичное преобразование решает вопрос о неприводимости многочлена

$$P(x) = x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + 1$$

называемого многочленом «деления круга».

Многочлен $P(x)$ приводим, если $n=p \cdot k$ — составное число, так как $P(x) = \frac{x^n-1}{x-1} = \frac{(x^p)^k-1}{x-1} = \frac{(x^p-1)(x^p(k-1)+x^p(k-2)+\dots+1)}{x-1} = (x^{p-1}+x^{p-2}+\dots+1) \times (x^{p(k-1)+x^p(k-2)+\dots+1})$, и неприводим, если $n=p$ — простое число.

Дейстительно, если бы $P(x)$ был приводим в этом случае, то и $P(x+1)$ был приводим. Но

$$P(x+1) = \frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1} = x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + 1$$

числитель делится на $p$, а знаменатель не делится. Кроме того, свободный член равен $C_p^{p-1} = p$ и не делится на $p^2$. Тогда, согласно признаку Эйзенштейна, $P(x+1)$ неприводим, а значит, неприводим и $P(x)$.

Из доказанной неприводимости $P(x)$ следует, что среди корней уравнения деления круга

*) Мы пользовемся биномialesми коэффициентами $C_k^i$ и формулой бинома Ньютона — см. «Квант», 1986, № 1, c 23.

$$x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + 1 = 0$$

при любом простом $p \geqslant 3$ не может быть рациональны.

Можно доказать, что уравнение деления круга не имеет и действительных корней — все они комплексные числа, — и задать более трудный вопрос: когда эти корни «не слишком irrationalны», то есть когда они представимы в разничными радиkalами (это значит, что их можно получить, применяя к целым числам четыре арифметических действия и операцию извлечения квадратных корней)? Этот вопрос, в существии, интересовал еще древнегреческий математиков, так как он равносил такой задаче на построение: при каких $p$ можно построить правильный $p$-угольник циркулем и линейкой?

В консти Гаусс справился с этой задачей и доказал*), что корни уравнения деления круга выражаются квадратными радиkalами тогда (и головко тогда**)), когда $p$ есть простое число Ферма, $p=3, 5, 17, 257, \dots, 2^{2k}+1, \dots$. Гаусс очень гордился своим открытом и даже «выразил желание, чтобы в памятике на его могиле был увековен семнадцатуюгольник».

К другим, более скромным достижением Гаусса относится

Лемма о примененных многочленах

Эта лемма поможет нам дать общанное доказательство теоремы. Многочлен

$$P(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$$

называется примененным, если его коэффициенты $a_0, a_1, \dots, a_n$ не имеют общих простых делителей.

Лемма Гаусса утвердает, что

Произведение двух примененных многочленов есть снова применный многочлен.

Эта лемма использует во многох теореми чисел и алгебры. Читатель, прошедший доказательство признака Эйзенштейна (на с. 7), легко освоит и доказательство, приведенное ниже, либо имена между собой много общего.

*) Подробности этого события отражены С. Г. Гиндикиным в «Рассказах о физике и математике» (М.: Наука, 1981. — Серия Библи. «Квант», вып. 14).

*) Эта часть утверждения доказана П. Л. Ванцелем (1814—1848) — репетитором Политехнической школе в Париже.

Допустим противное, что произведение при-
митивных многочленов
$$L(x) = b_0 + b_1(x) + \dots + b_ix^l,$$
$$Q(x) = c_0 + c_1x + \dots + cmx^m$$
есты многочлен
$$P(x) = a_0 + a_1x + \dots + anx^n,$$
не является примитивным. Пусть тогда $p$ — один из простых делителей его коэффициентов. Пусть $b_i$ — самый младший коэффициент $L(x)$, не делится на $p$, $0 \leq i \leq l$, а $c_j$ — самый младший коэффициент $Q(x)$, не делится на $p$, $0 \leq j \leq m$. Такие коэффициенты обязательно найдутся, иначе $L(x)$ и $Q(x)$ не были при-
митивными. Коэффициент при $x^{i+j}$ в произ-
ведении
$$L(x)Q(x)$$
имеет вид
$$\dots + b_{i-1}c_{j+1} + \dots + b_{i+1}c_{j-1} + \dots$$
и не делится на $p$, так как все слагаемые этой суммы, кроме одного $b_i c_j$, делятся на $p$. С другой стороны, эта сумма равна $a_{i+j}$ — коэффициент многочлена $P(x)$ и должна делиться на $p$. Попученное противоречие доказывает лемму.
И наконец,
Доказательство ТЕОРЕМЫ,
которая утверждает, что любой многочлен $P(x)$, имеющий общий корень $a$ с неприводимым многочленом $Q(x)$, делится на него после умножения на некоторое целое $d \neq 0$.

Разделим многочлен $P(x)$ на $Q(x)$ «с остатком»:
$$\frac{a_n x^n + \dots + a_0}{a_n x^n + \dots} \left| \frac{c_m x^m + \dots + c_0}{a_n \frac{c_m}{c_m} x^{n-m} + \dots} \right|$$
В результате получим, что
$$P(x) = L_1(x) \cdot Q(x) + R_1(x).$$
Частное $L_1(x) = \frac{a_n}{c_m} x^{n-m} + \dots$
и остаток $R_1(x) = r_{m-1} x^{m-1} + \dots$
будут многочленами от $x$ с коэффициентами — рациональными числами.
Если $P(x)$ разделится на $Q(x)$ без остатка: $R_1 \equiv 0$, то все уже доказано, либо тогда
$$P(x) = L_1(x) \cdot Q(x) = \frac{1}{d} L(x) \cdot Q(x),$$
где $d$ — общий знаменатель коэффициентов многочлена $L_1(x)$.
Если же $R_1(x) \neq 0$, то его степень по $x$ будет строго меньше степени делителя $Q(x)$, а число $a$, будучи одновременного корнем $P(x)$ и $Q(x)$, является также корнем многочлена $R_1(x)$:
$$R_1(\alpha) = P(\alpha) - L_1(\alpha) \cdot Q(\alpha) = 0.$$
Разделив $Q(x)$ на $R_1(x)$, получим и
остатке новый многочлен $R_2(x)$ с аналогичным свойством. Его степень будет строго меньше степени $R_1(x)$, а значит, и степени $Q(x)$.
Послеовательно деля $Q(x)$ на получающейся остатки $R_1(x)$, $R_2(x)$, …, $R_k(x)$, приедем либо к противо-
речению:
$$R_k(x) \equiv c \neq 0,$$
и $a$ не может быть корнем $R_k(x)$, либо к тому, что $Q(x)$ разделится на $R_k(x)$ без остатка: $Q(x) = L_k(x) \cdot R_k(x)$.
Приводя рациональные коэффициенты многочленов $L_k(x)$, $R_k(x)$ к общему знаменателю и выносая за скобки общие делители числителя, перепишем это равенство в виде
$$Q(x) = \frac{a}{b} [L(x) R(x)],$$
где $a/b$ — несократимая дробь, а $L(x)$, $R(x)$ — примитивные многочлены.
Остается показать, что числовой коэффициент $a/b$ в последнем разложении есть целое число, то есть что $b = \pm 1$. Допустим противное, и пусть $p$ — простой делитель числа $b$. Тогда из равенства
$$bQ(x) = a[L(x) R(x)]$$
видим, что все коэффициенты правой части делятся на $p$; $a$ не может делиться на $p$ — в противном случае дробь $a/b$ сокращима. Значит, на $p$ делятся все коэффициенты многочлена $L(x)R(x)$, что невозможно по лемме Гаусса.
Значит, многочлен
$$Q(x) = [\pm aL(x)] \cdot R(x)$$
приводим, что противоречит условия ТЕОРЕМЫ и тем самым полностью ее доказывает.
Давно канули в небытые древние греки. Миновала средневековая неразбериxa. Уходил и XIX век, классический век математики. За ним надвигался наш век — век XX-й…

11

Библиотека «Квант»
В этом году в Библиотеке «Квант» — серии научно-популярных книг для школьников — выходит из печати пятидесный выпуск — сборник «Занимательно о физике и математике» под редакцией профессора Л. Г. Асламазова. В этот сборник вошли лучшие статьи и задания, опубликованные вazine годы в журнале «Квант» под рубрикой «Квант» для младших школьников».
Библиотека «Квант» издается Главной редакцией физико-математической литературы издательства «Наука» с 1980 года. Книги серии рассказывают о том, как много интересного тайт в себе физика и математика, знакомят читателя с проблемами современной науки, способствует развитию творческого мышления и привлечению школьников к серверным самостояльным занятиям. Среди авторов книг — известные учены, активно работющие в самых разных областях физики, математики и смежных наук.
Отметим, что книги Библиотекки пользоваться большой популярностью не только у школьников — их с интересом читают студенты, преподаватели, все, кто интересует физикой и математикой. Надемся, что познакомившись с Библиотекой «Квант» в школе, вы будете возвраться к ней и в вашей дальнейшей учебе. Кстати, неоторные выпуск использует вузах в качестве пособий при изучении специальных разделов физики и математики. В качестве примера назовем книги А. Л. Эфроса «Физика и геометрия безопасности», М. Н. Аршинова и Л. Е. Садовского «Коды и математика», М. Е. Левинштейна и Г. С. Симина «Знакомство с полупроводниками».
В 1987 году издательство «Наука» планирует выпустить в Библиотеке «Квант» девять книг.
Почему петляют реки и как они размыvaют берега? Отчего звучит скрипичная струна? Как сверхпроводимость помогает расшифровать магнитное поле мозга и сердца? Как распространяется звук в океане? Об этом и еще о многих других интересных физических явлениях вы сможете узнать, прочитав книгу Л. Г. Асламазова и А. А. Варламова «Удивительная физика».
Книга М. В. Балка и В. Г. Болтянского «Geometria масс» на примере трех сотен задач рассказывает об оригинальном способе доказательства геометрических теорем. Он основан на аналоги между некоторыми геометрическими объektами и понятиями физической механики.
В сборник «Задачи Московских физических оптимизации» (под редакцией кандидата физико-математических наук С. С. Кротова) войдут наиболее интересные и оригинальные задачи (и их решения) Московских городских оптимизации за последние пятнадцать лет. Сборник будет интересен всем, кто любит задачи «с изоминкой», оказывается полезным при подготовке к конкурсным экзаменам вузы.
Книга М. Е. Левинштейна и Г. С. Симина «Варыры (от критала до интегральной схемы)» популярно расскажет о полупроводниковых приборах, их устройстве и технологии изготовления, о современной полупроводниковой электропищеке. Этот выпуск будет продолжением книги тех же авторов «Знакомство с полупроводниками» (выпуск 33).
Проблемам современной волновой оптики посвязывана книга Г. Р. Локшина, С. М. Козела и В. Е. Белонучика «Экскурсия в волновую оптику». В книге пойдет речь о когерентности и об уникальных свойствах лазерного излучения, о дифракции, о пределах, которые ставит волновая природа света, о возможностях волновой оптики.
Понятие времени — одно из самых фундаментальных в физике. В простой и наглядной форме расскажет о развитини наших представлений о времени книга А. Д. Чернина «Физика времени». В ней излагаются важные вопросы, связанные с природой времени как физической понития, срошым и будущим Вселенной.
Многие книги Библиотекки уже стали библиографической редакtoire, а сегодняшим старшеклассникам они наверняка были интересны и полезны. Именно позотому в 1987 году планируется переиздать книги М. Д. Франк-Каменецкого «Самая главная молекула» и Я. А. Смородинского «Температура».
Вторым изданием в Библиотеке выдает книга известного американского физика-теоретика Р. Фейнмана «Характер физических законов», в котором автор рассказывает о функментальных законах природы, о том, как их открывают, каковы их особенности. (А в самом году в Библиотеке планируется выпустить новой книги Р. Фейнмана «КЭД (квантовая электродинамика) — страна теории света и вещества».)
Тем, кто хочет пополнить свою библиотеку новых выпусками Библиотекки «Квант», советует заранее оформить заказы на них в книжных магазинах.

А. В.

12

Как делают алмазы

Кандидат физико-математических наук
Ф. Ф. ВОРОНОВ

Алмазы. — Кончится тем, что их будут изготовлять!
— И подумать только, что это не что иное, как угоды!

Г. Флобер. Лексикон прописных истин

Алмаз с незапамятных времен привлекательные люди красотой своих произчных кристаллов, ярким блеском и своей искусительной творостью. Крупные алмазы украшали связанные статуси, скипетры царей, оружие вельмож. Им давали имена, их покупали за баснословные деньги, пожизили, пускали в ход для разрешения государственных конфликтов.

С давних лет человек стремился получить алмаз в laboratorии. Ахимики растирали, прокаливали на «двойном жару» смеси из серы, ртути и других веществ — но безрезультатно.

Лишь после того как в 16—17 веках на смену алхимии пришла практическая химия с ее количественных методами исследований, учены们 природу алмаза.

В 1797 году английин С. Теннант установил, что алмаз, сгоря в кислороде, полностью переходит в углекислый газ. Из этого следовало, что алмаз состоит из atomов углерода. Стало ясно: чтобы получить алмаз, надо искодить из графига или других содержащих углерод веществ.

Но как заставить atoms углерода образовать кристалл алмаза? Какие для этого нужны условия?

Учены знали, что алмаз, устойчивый при обычных температурах, при нагревании без доступа воздуха переходит в графиг. Это наводило на мысль, что и обратное превращение надо искать при высоких температурах. Но как вызвать это превращение, как заставить графиг перейти в алмаз?

Из сравнения плотности угля (1,3×10³ кг/м³), графига (2,2·10³ кг/м³) и алмаза (3,5·10³ кг/м³) следовало, что для получения алмаза уголь и графиг надо уплотить, скать — применить высокое давление.

14

Рис. 2. Алмазы, полученные Муассаном (зарисовка). 1—4 — алмазы черного цвета; 5, 6 — желтоватые алмазы; 7 — бесцветный, чистой воды; 8, 9 — бесцветные с черными точками; 10, 11 — бесцветные; 12 — поздреватый, похожий на бразильские алмазы; 13 — алмаз правильной формы.

волтова дуга и нагревала тигель и помещенные в него вещества до очень высокой температуры.

Муассан решил использовать свою высокотемпературную печь для получения алмазов. Он продолжал в дне печи отверстие и под ним поставил сосуд с водой. В печи железо расплавлялось, насыщалось углеродом, и капельки этого насыщенного углеродом расплавленного железа padали в холодную воду. Внешние слои капельки быстро охлаждались и, сжимаясь, оказавали огромное давление на нахождение внутренней и еще не успевшее остить железо. Получавшие железные шарики расторялись в кислотах. Внутри шариков были найдены маленькие кристаллики более или менее правильной формы до 0,5—0,7 мм (рисунок 2). Эти кристаллики были очень твердые, и химический анализ — скигание в кислороде — показал, что они состоит из чистого углерода.

Четыре кристаллика были черного цвета, два желтоватых, остальные бесцветные. При кристаллика с черными точками очень наполнивали бразильские алмазы. Один был исключающего правильной формы. Кристалл самой «чистой воды» Муассан называют «регенотом».

Получение адмазов в лаборатории вызвало мирную сенсцию. Однако многочисленные попытки других ученых повторить опыты Муассана оказались безрезультатными. Только немецкому профессору Руффу удалось получить маленький кристаллик размером 0,05 мм, который по удельному весу, свечению в ультрафиолетовых лучах и горению в кислороде был признан алмазом.

Известны и другие и другие ученых, занимающихся «алмазотворением». Н. В. Каразин в России (1823 г.), Каньяр-Латур и Ганналем во Франции (1829 г.) «жжением угля» получили кристаллы, похожие на алмазы, но они оказались карбидами — соединениями металлов с углеродом. В России К. Д. Хрущев (1893 г.) пытался получить алмазы кристаллизации углерода из расплава сербра при атмосферном давлении, и также получил произведения кристаллы карбидов.

Все это были понски вслепую.

Впервые условия образования алмазов были определены в работах советского физика О. И. Лейпунского, который в 1931 году расчитал давления и температуры, необходимые для превращения графига→алмаз.

Комментария своей расчета, О. И. Лейпунский писал: «Во-первых, надо нагреть графиг не меняше, чем до 2000 градусов, чтобы atoms углерода могли переодить с места на месте. Во-вторых, его надо при этом сжать удовишным давлением, не меняше чем 60 тысця атмосфер [≈6 ГПа]. Тогда он обязаτεно перейдет в алмаз, подобно тому, как камень, подброшенный рукой, обязаτεно поднимется с земли в воздух». Расчитанная О. И. Лейпунским кривая равновесия между графиром и алмазом изображена на рисунке 3. По оси абсцисс отличено давление в ГПа, по оси ordинат — температура в

15

градусах Кельвина. Поле, лежащое справа от кривой равновесия и охватывающее область высоких давления, соответствует условиям стабильности алмаза. Поле слева от кривой соответствует условиям стабильности графита. Это значит, что если процессы выделения углерода (например, в результате химической реакции или осадения из раствора) происходит при температуре и давлении, соответствующих правновесия, углерод будет выделяться в виде алмаза и графита одновременно. Алмаз, находящаяся в условиях стабильности графита (левое поле), превращается в графит, а графит, помещенный в условиях стабильности алмаза (правое поле), переходит в алмаз. Однако эти превращения при комнатной температуре протекают очень медленно. Поэтому в обычных условиях алмазы существуют миллионы лет. При нагревании скорость превращения увеличивается. При температуре 1800 К и атмосферном давлении алмаз чернет и быстро превращается в графит. Температуру 1800 К называют температурой графитизации алмаза. Приое превращение графита в алмаз при комнатной температуре осуществить не удалось, даже подвергая графиит удовлетворим давлениям в 40 ГПа. Причина неудачия — необсячной малая скорость превращения при комнатной температуре. Для получения заметных количества алмаза в этих условиях процесс должен протекать миллионы лет. Лишь при температуре 3000 К и давления 12 ГПа удалось получить из графиита произные беспроводные кристаллики алмаза.

Обеспечить условия прямого перехода графиит→алмаз необсячной трудно, поэтому для произвольства алмазов используют иные процессы — например, выделение углерода из раствора в жидком металле (например, железе), требующое не столь высоких давления и температур. Понятно, что в этом случае рабочая область (значения $T$ и $p$) должна одновременно быть область стабильного

Рис. 3. Кривая равновесия графиит — алмаз, расчитанная О. И. Лейпунским, и расположенная atomов углерода в алмазе и графите. В кристалле алмазы каждый atom углерода содержит прочными кovalentными связями с четырьмя соседними atomами, одинаково расположенными в пространстве. Этот обязывается высокая твердость алмаза.

В кристалле графика каждый atom углерода содержит прочными кovalentными связями с трехямыми atomами, лежащими в том же слое. Большие расстояния и слабая связь между слоями обусловливают «низкие» механические свойства графица.

алмаза и область существования жидкого железа. Чтобы определить эту область, проведем на рисунке 3 кривую зависимости температуры плавления железа от давления (синяя линия). Как видно из графика, углерод будет выделяться из расплавленного железа в виде алмазов при давлениях $p \geqslant 6$ ГПа. (Если в опытах Муассана в отсутствious капле железа возникало давление большие 6 ГПа, то он мог получить алмазы! Мы про-

16

Рис. 4. Кубический аппарат высокого давления.

верим это предположение в конце статы.

Создать столь высокие давления в соответствии с высокими температурами оказалось трудной задачей. Попытки американского ученого П. Бриджмена, основателя физики высоких давления, получить алмазы в лаборатории окончились в 1940 году неудачей. Лишь в 1955 году в печати появилось сообщение о том, что группа американских ученых во главе с Ф. Банди получила первые алмазы.

В Советском Союзе проблемы получения искусственных алмазов были решена в 1960 году коллективом сотрудников Института физики высоких давления АН СССР, возглавляемым академиком Л. Ф. Верешагиным. В 1961 году были получены 2000 каратов (1 карат=2·10⁻⁴ кг) алмазов, а сейчас наша промышленность производит сотни тысяч каратов алмазов в год.

Для промышленного получения искусственных алмазов была разработана специальная аппаратура. Прежнее чем познакомиться с принципиами ее работы, поговорим о способах создания высоких давления.

Давайте мысленно проделаем следующий эксперимент. В толстостенный стальной стакан с внутренним диаметром 10 cm нальем воду и вставим поршень с уплотением. Вдвигая поршень в стакан, будем скимать воду. Чтобы уменьшить ее объем на 18%, нам придется приложить к поршню огромную силу — 7,8 MH!

При этом в воде давление будет равно 1 ГПа, что в 10 000 раз больше atmospheric. При таком давлении и комнатной температуре вода затвердеет. В интервале давления 1—2 ГПа твердотоптически все жидкости и начальной разрушаться стальные поршни, так как механические напряжения в них превозходят предель прочности стали.

Более высокие давления можно получить, если твердые тела.

Приложим к двум противоположным грамам кубика из твердого вещества скимающие силы. Тогда внутри кубика, в течение, перпендикулярном приложенным силам, разовется механическое напряжение $\sigma = F/S$, где $F$ — величины силы, $S$ — площадь селения кубика. Когда это напряжение превышает предел прочности на скатные материалы кубика — он разрушается. Но если на каждую пару противоположных грамей кубика действовать одновременно строго одинаковыми скимающими силами, то в кубике в трех взаимно перпендикулярных сечениях будет возникать одинаковые напряжения $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$, и даже при самых высоких скимающих условиях кубик не разрушится. Такое равномерное состояние создает во внутренних областях кубика всестороннее давление $p = \sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3$.

На этом принципие работает кубический аппарат высоких давления, изображенный на рисунке 4. ШестЬ особой формы деталей, называемых пучсонами, свойства одновременного к центру по тем взаимно перпендикулярным направлением. Пуансоны скимают контейнер — кубик из пластического материала, помещенный в центре аппарата. Сведения пучсонаров производится с помощью шести поршней гидравлического пресса. Пресс отрегулирован таким образом, что силы, действующие на разные грани кубика, всегда равны, и в кубике создается всестороннее давление.

Часто применяют более простые аппараты, состоящие из двух пучсонаров с лунками, которые скимают контейнер, имеющий форму чечевцы (рисунок 5).

Самый мощный гидравлический пресс для научных исследований, развивающий успление до 500 MH, имеет высокую многоэтажного дома. Он использует для создания высоких давления в аппаратах большого объ-

17

ema. Большая часть пресса расположена под землей, а над уровнем пола возвышается лишь верхняя часть пресса с рабочим пространством, в которой помещают аппараты высокого давления. В этом пространстве может свободно разгулять человек.

Материалом для пучсонов, которые должны выдерживать огромные скимирающие напряжения, служит карбид волфрама, сцементированный кобальтом. Этот сверхтвердый сплав много прочнее стали.

Контейнер изготавливают из глинистого минерала пирофиллита или других подобных ему материалов. Пирофиллит — плоской проводник телла и электричеста. Это позволяет получить в контейнере высокие температуры, используя для нагрева электрический ток.

В контейнер помещают графит и металл-катализатор (железо, nickel или их сплавы) и скимират его между пучсонами. Когда доступно необходимое давление ($p \geq 6$ ГПа), через пучсоны пропускают электрический ток, который нагревает содержимое контейнера до высокой температуры. Таким образом создаются условия, соответствующие p — T-области образования алмаза.

За процессом следят по силе тока, протекающего через аппарат. Алмаз не электропроводен, и его образование вызывает увеличение электрической противления содержимого контейнера и, соответственно, уменшение тока через аппарат. После окончания процесса выключают нагрев, дают контейнеру охладиться, снимают давление и извлечют контейнер из аппарата.

Полученные алмазы — кристаллики размером от долей миллиметра до 1—2 миллиметров — отмывают в кислотах от частечек металла и графита, сортируют и отправляют на изготовление алмазного инструмента.

Учены разработали и другие способы получения алмазов и изделий них. Если процесс в присутствии катализатора (ускорителя) при более высоких давлениях, то образуется огромное количество мелчайших кристаллов алмаза одновременно, которые срастают в прочный покрытую черного цвета — карбонадо. Карбонадо обладает большей прочностью и более стойки к ударам, чем обычные алмазы.

2 Квант № 10

Рис. 5. Аннарат гита «чечевица».

Поликристаллические алмазы можно получить любой желаемой формы и таким образом избежать трудоемких операций обработки алмазных блоков. Для этого заготовке из углеводсодержащого материала придают с учетом усадки необходимую форму, помещают в трубочную нагреватель, засыпают порошкообразным катализатором и помещают сборку в контейнер. После образования поликристаллических алмазов из контейнера вынимают готовое алмазное изделие заданной формы — например, в виде резца. Ostалось заточить у него резушую кромку, закрепить в держатель и поставить на станок. Алмазные резцы в сотни раз более стойки, чем обычные. Ими образываются твердые сплавы, металлы, пластмассы. Алмазные резцы работают на огромных скорости и дают высокую чистоту образываемой поверхности.

Из кристаллов алмаза, спеченных с металлической связкой, делают пыли и шлифовальные круги для резки и обработки твердых металлов, графита, камней.

Алмазные коронки и долота применяются при бурении скважин в горных породах. При этом скорость буреня возвращает больше чем в два раза, а стоимость работы снижается на 40—60 %.

Невозможно перечислить все профессии алмаза, ведь сейчас выпускается более 5000 видов алмазного инструмента. Подсчитано, что каждый

18

карат алмаза сберегает народному хозяйству около 100 рублей, а вся экономия по стране составляет многое миллионы рублей в год.

Алмаз оказался помощью ученых в исследовании при высоких давлениях. В минаторных аппаратах-наковальных из алмазов получают огромные давления в миллионы атмосфер (100 ГПа), и так как алмазы проразачны для света,RENTеновских лучей и других видов излучения, то учены могут видеть, что проискот при этих давлениях с веществом, исследовать его с помощьюRENTеновских лучей.

Недавно в Институте физики высоких давления именя Л. Ф. Верещана АН СССР были получены полупроводниковые алмазы и был создан на их основе электронный прибор термistor — высокочувствительный тепловой датчик.

Так перед алмазом, сделанным руками человека, открылось новое поле деятельности — мир электронники.

Получил ли Муассан алмазы?

Оценим, какие давления могут создавать внутренние остывающие капелек железа в опытах Myaccana. Представим такую остывающую капельку в виде жесткой сферической оболочки — корки из твердого железа, внутри которого находится жидкое железо, насыщенное углеродом.

При изменении температуры от $T_1$ до $T_2 = T_1 + \Delta T$ объем оболочки изменится от $V_1$ до $V_2 = V_1(1 + \alpha \Delta T)$,

где $\alpha$ — коэффициент объемного термического расширения. Относительное изменение объема составляет:

$$\frac{\Delta V}{V_1} = \frac{V_2 - V_1}{V_1} = \alpha \Delta T.$$

(1)

При охлаждения ($\Delta T < 0$) корка-оболочка уменьшится в объеме и сокнет жидкую середину капли. Относительное изменение объема капли будет $\Delta V/V_1$. Определим, какое давление возникнет внутри жидкого железа при таком скатии.

Вспомним, что механическое напряжение, возникалошее при растяжении образа, прямо пропорционально относительной удлиниению:

$$\sigma = E \frac{\Delta l}{l_0},$$

где коэффициент пропорционального $E$ — модель Юнга.

Аналогичной зависимости связанных давления, возникалошее при вскороннем скатии образа, и относительное изменение объема:

$$p = -B \frac{\Delta V}{V_1},$$

(2)

где коэффициент пропорционального $B$ называют моделем объемной упругости. Он, также как и $\sigma$, имеет размерность давления. Закумнус показывает, что уменшение объема при таком скатии.

Приводит к увеличению давления внутри капли.

Подставив (1) в (2), получим выражение для давления внутри остывающей капли:

$$p = -B \alpha \Delta T.$$

(3)

Проведем численную оценку этой величины.

Корка-оболочка твердого железа, которая образовалась при попадании капельки в воду, охлаждается от температуры плавления (затвердевания) железа 1811 К до температуры воды, которое применяем равной 293 К (20 °C), то есть

$$\Delta T = -1518 \text{ K} \approx -1,5 \cdot 10^3 \text{ K}.$$

Значение коэффициента объемного термического расширения применяем:

$$\alpha = 35 \cdot 10^{-6} \text{ K}^{-1}.$$

Модуль объемной упругости жидкого железа полюxim равным моделю объемной упругости твердого железа:

$$B = 168 \text{ ГПа}.$$

Подставив эти данные в формулу (3), получим величины давления внутри остывающей капли:

$$p = -B \alpha \Delta T = (168 \cdot 35 \cdot 10^{-6} (-1,5 \cdot 10^3)) \Gamma \Pi a \approx 8,9 \text{ ГПа}.$$

Это давление в 1,5 раза больше необходимого для осадения углерода из расплавленного железа в виде алмазов.

Наша оценка, конечно, носит приблизительный характер. Мы не учитываем, например, разницы в температуре внутренних и внешних свойствах чистого железа и насыщенного растора углерода в железе; мы не учитывали уменьшенная обмена при затвердевании железа, а также прочности и упругости оболочки, которая несколько уvelичивает свой объем под действием создаваемого давления, и т. п.

Эти факторы по-разному влияют на величины расчетного давления. Можно ожидать, однako, что в сумме их учет существенно не изменит результат.

Итак, наша оценка показывает, что в опытах Myaccana могли образовать альмазы.

19

Еще раз о ложке в стреуе воды

Кандидат физико-математических наук
А. Н. ЛУЗИН

Возьем обыкновенную глубокую таррелку, нальем в нее воду и поставим в кухонную раковину. На край таррелки положим легкую алюминевую ложку, так, чтобы пустая она плавала, а наполненная водой — тонула.

Придержим плавающий ложку за черенок и направим на нее стреую воды. Струя должна быть такой, чтобы в ложке остался только тонкий слой воды. Перестановим подерживать ложку — а она не тонет, хотя на нее сильно давит вертикальная струя воды. Опыт легко удается, если струяровная, гладкая, без видимых зависяний. (Именно такая стреуя и течет обычно из кухонного смесителя.)

Опыт выглядит более эффективно, если вместе ложки взяты плоский диск, например металлический крышку от консервной банки. Крышка с герметизирующей резиной плавает еще более устойчиво. В качестве диска можно использовать также аккуратно вырезанное до жесткой консервной банки.

Плавающий диск не будет «убегать» в сторону из-под стреуи воды, если в центре его имеет не больше по «высоте» (1—2 мм) и диаметру (10—20 мм) углубление. Такие углубления почти всегда есть на крышках и донышках консервных банок. Если же углубления нет, его легко сделать, положив диск на хоккейную шайбу и постучав по его центру молотком.

Почему же диск (и ложка) не тонет?

Понаблюдайте некоторое время, и вы увидите, что на поверхности диска возникает водяной валик, который растекающая тонким слоем вода отгоняет все дальше и дальше к краям диска. В результате образуется нечто похожое на пустой сосуд, дом которого является диск, а стенками — водяной валик. Пояняно, что чем больше объем такого «сосуда», тем более устойчиво он будет плавать. Как показывает опыт, диск особенно устойчив в стреуе теплой воды. (Практический совет — если в наполняемую водойванну опустить указанный диск, вода будет шуметь гораздо менше.)

Тепер предлагаем вам превращить жесткой диск в плавающий и одновременно врашающего турбинку. Для этого край диска разрежьте на одинаковые «лепестки» и каждый из них с одной стороны загните. Можно ли сказать заранее — по часовой стреле или против будет врашатьсяаша турбинка? Попытайте также сделать игрушечный кораблик с водяными бортами, схематически изображенный на рисунке. С помощью насоса и наклонных труб-стоек вода заасывается из сосуда, в котором плавает кораблик, под напором подается в центр диска и растекается по нему тонким слоем. А дальше все проискодит точно так же, как и с обычным диском.

21

Легко видеть, что формула (3) эквивалентна формуле Герона: так как $S=pr$, то с учетом (1) и (3) получаем $S^2=p^2r^2=pxyz=p(p-a)(p-b)(p-c)$.

Второе доказательство. Пусть $O_1$ и $r_1$ — центр и радиус окружности, касающейся стороны $BC$ и продолженной сторон $AC$ и $AB$, $F$ — точка касания этой окружности с прямой $AB$ (рис. 4). Тогда (см. формулы (2)) $BF=p-c=z$. Треугольники $ODB$ и $O_1BF$ подобыны ($ODB=BFO_1=90^\circ$, $FBO_1=\frac{1}{2}CBF=\frac{1}{2}(180^\circ-CBD)=90^\circ-OBD=DOB$). Следовательно, $OD:BF=DB:O_1F$, то есть $r:z=y:r_1$, откуда $r_1=yz/r$. Примугольные треугольники $AO_1F$ и $AOD$ также подобыны, откуда $AF:AD=O_1F:OD$, поэтому $p:x=r_1:r$. Подставляя в это равенство $r_1=yz/r$, получим $p:x=yz/r^2$, то есть $pr^2=xyz$, что, как было показано в конце первого доказательства, эквивалентно формуле Герона.

Третье доказательство. Докажем сначала, что в любом треугольнике

$$\text{ctg} (\hat{A}/2) + \text{ctg} (\hat{B}/2) + \text{ctg} (\hat{C}/2) = \text{ctg} (\hat{A}/2) \text{ctg} (\hat{B}/2) \text{ctg} (\hat{C}/2).$$

Действительно,

$$\text{ctg} (\hat{C}/2) = \text{ctg} ((180^\circ - \hat{A} - \hat{B})/2) = \frac{\text{tg} (\hat{A}/2) + \text{tg} (\hat{B}/2)}{1 - \text{tg} (\hat{A}/2) \text{tg} (\hat{B}/2)},$$

позетом

$$\text{ctg} (\hat{A}/2) + \text{ctg} (\hat{B}/2) + \text{ctg} (\hat{C}/2) = \frac{\text{tg} (\hat{A}/2) + \text{tg} (\hat{B}/2)}{1 - \text{tg} (\hat{A}/2) \text{tg} (\hat{B}/2)}$$

$$= \frac{\text{ctg} (\hat{A}/2) + \text{ctg} (\hat{B}/2)}{1 - \text{tg} (\hat{A}/2) \text{tg} (\hat{B}/2)}$$

$$= \frac{\text{ctg} (\hat{A}/2) + \text{ctg} (\hat{B}/2)}{1 - \text{tg} (\hat{A}/2) \text{tg} (\hat{B}/2)}$$

Ответ: $\sqrt{2} < a < \sqrt{5}$ или $-\sqrt{5} < a < -\sqrt{2}$.

2. АВCD — правильный терраэдр. Точка $X$ такой, что $XA=XC$, $XB=XD$, $XA=\sqrt{3}XD$. Установите положение точки $X$ относительно терраэдра.

Ответ: граничная.

3. В каждый из трех границ улов примои прізмы $ABCD_1B_1C_1D_1$, в основании которого $ABCD$ — ромб, $AC=8$, $BD=6$, $AA_1=1$, вписан шар, касающийся конуса с вершиной в точке $O=(A_1C_1)\cap(B_1D_1)$ и основанием, вписанным в ромб $ABCD$. Найditе радиус шаров.

Ответ: $\frac{12}{29}, \frac{6}{7}, \frac{12}{25}, \frac{3}{5}$.

П. П. Горнуша

22

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Докажите, что ни при каком натуральном $n$ число $n^4+2n^3+2n^2+2n+1$ не может быть точным квадратом.
2. Постройте отрезок с серединой в данной точке так, чтобы его концы лежали на данной прямой и данной окружности.
3. Найдите все натуральные числа $n$, для которых число $n^3+3$ делится на $n+3$.
4. Существует ли треугольник с высотами $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{2}+\sqrt{3}$?
5. Автомобильист собирается пересечь пустую. Его машина траит 1 л бензина на 10 км пути. Автомобильист имеет 450 л бензина, но может взять с собой не более 150 л. Оdnako он может преодолеть более 1500 км, оставляя по пути следования часть бензина и возвращаясь обратно для пополнения бензобака. Пустinho какой наиболее ширины может пересечь автономicit?

Девятый класс
6. Что больше: $7\sqrt{5}$ или $5\sqrt{7}$?
7. Двумя отрезками длины 1 отсеке от данного угла четырехугольник наиболее площади.

Наша обложка

Тринадцать шаров в одной клетке

Хорошо известно, что на плоскости к одному кругу радиуса 1 можно приложить 6 кругов того же радиуса так, чтобы они его касались и друг друга не пересекали (рис. 1). При этом центры шести кругов лежат в вершинах правильного шестиугольника, а центр перого круга является центром этого шестиугольника. Не очень трудно строить доказать, что больше 6 кругов приложить нельзя.

А в пространстве? Сколько одинаковых материалов?

шаров можно приложить к таким же шару? Многие знают, что ответ — 12. Но можно ли столь же наглядно и четко, как с кругами, представить себе картину расположения 12 шаров, приложенных к одному шару? Оказывается — можно (см. 4-ю с. обложки).

Для начала представим себе шар, который касается всех 12 ребер неокоторого куба (рис. 2). Такой шар называется полуписанным в куб. Теперь изготовим «клетку» для 13 шаров. Для этого разобем больший куб на 27 одинаковых кубков. Остов этого разбиения, то есть ребра всех составляющих кубков, и образует искому «клетку». Мысленно закрасим это разбиение в «шахматном порядке» так, чтобы черными были центральный кубик и те

12 кубков, которые имеют с нимровно одно общее ребро, а белыми — остальные 14. В каждый «черный» кубик получится шар (рис. 3). Шары касаются ребер клеток и через них касаются друг друга. Двенадцать внешних шаров касаются центрального шара.

12 шаров можно приложить к таким же шару и других способами. В связи с этим возникет вопрос: а нельзя ли приложить 13? По этому вопросу возникли знания спор еще у Исаака Ньютона и английского монаха и математика Грегори. Но этот спор был решен в пользову Ньютона (нельзя!) лишь в 1953 году в совместной стате Шютте и Ван-дер-Вардана.

В. В. Произволь

23

Задания

1. Как в треугольнике ABC проведи ломанную BDEFG (см. рисунок), чтобы все пять полученных треугольников имели одинаковые площади?

2. Произведение миллиарда натуральных чисел равно миллиарду. Какое наиболее значение может принять сумму всех этих чисел?

3. Можно ли к числу 9999 приписать справа еще четыре цифры так чтобы полученное восмизначное число стало квадратом целого числа?

4. Два одинаковых чайника с водой одинаковой температуры поставили на одинаковые источники теплла. Через некоторое время вода в обихх чайниках закипела (см. рисунок). В каком чайнике вода закипела равше?

5. Винни-Пух и Пятачок одновременно отправились в гости друг к другу. Но поскольку Винни-Пух всего дорогу сочинял очередную «шумелку», а Пятачок считал пролетавших галок, они не заметили друг друга при встрече. После встречи Пятачок подошел к дому Винни-Пух через четыре минуты, а Винни-Пух подошел к дому Пятачка через одну минуту, Сколко минут был в пути каждый из них?

Эти задания нам предложили А. П. Савин, Г. А. Гальперин, Л. Д. Курляндчик, В. Д. Выон, С. Р. Сефибеков.

24

Числа Мерсенна

Математика, как и большинство современных наук, в настоящее время развивается со всевозрастной скоростью. В мире выходит сотни математических журналов, в которых публикуются ежедневно десяти тысяч научных работ. А 350 лет назад никаких математических журналов еще не было, и ученыые обменивались результаты своих исследований в личных письмах. Правда, был один человек — французский монах Марен Мерсенн (1588—1648), который получал таких писем больше других. Написать об открытии новой теоремы Мерсенну ознакомлено установить свой приоритет, поскольку Мерсенн, как правило, сообщал об этом остальным своим корреспондентам, в числе которых были Р. Декарт, В. Паскаль, П. Ферма, Х. Гойгенс и много другие ученыы того времени.

Эта деятельности Марена Мерсенна способствовала созданию в Париже Академии наук.

Из собственных математических достижений Мерсенна наиболее известностью пользовются изученные им числа вида $M_n=2^n-1$.

Тот, кто знает, что такое геометрическая прогрессия, сразу заметит, что $M_n$ равняется сумме первых $n$ членов геометрической прогрессии с начальным членом $2^\circ=1$ и называют 2:

$$M_n=2^\circ+2^1+2^2+\dots+2^{n-1}.$$

Мерсенна интересовало, какие из чисел $M_n=2^n-1$ являются простыми. Вопрос этот возник в задаче, поставленной древними греками (к ней мы еще вернемся).

Простые числа, получающие по формуле $2^n-1$, и называют числа Мерсенна.

Попробуем и мы немного коснуться проблемы поиска чисел Мерсенна.

Вычислим несколько первых чисел $M_n=2^n-1$ и запишем их по порядку в таблицу из четырех столбцов. Первое набоюние: числа, попадающие в один и тот же столбец, оказываются на одну и ту же цифру. А именно, числа, попадающие в первый столбец, оказываются на 1, во второй — на 3, в третий — на 7 и в четвертый — на 5 (попробуйте строго

25

обосновать это наблюдение). Значит, числа $M_n$, попадающие в четвертый столбец, делятся на 5, и среди них не может быть чисел Мерсенна.

Несложно доказать и второе наблюдение: числа, попадающие во второй и четвертый столбцы, делятся на 3. В самом деле, разность двух последовательных чисел $M_{2k}$ и $M_{2k+2}$ с четыыми номерами равна

$$(2^{2k+2}-1)-(2^{2k}-1)=2^{2k+2}-2^{2k}=3\cdot 2^k.$$

Поэтому, если число $M_{2k}$ делится на 3, то и $M_{2k+2}$ тоже делится на 3. А число $M_2$ равно трех.

Поэтому числа Мерсенна (за исключением $M_2=3$) имеет смысл искать только в первом и третьем столбцах.

Более простное изучение чисел $M_n$ приводит к третьему наблюдению: если $n$ — составное число, $n=kl$, $k>1$, $l>1$, то $M_n$ делится на $M_k$ и на $M_l$. (Это следует из того, что $2^{kl}-1=(2^k)l-1=(2^l)k-1$, а $(x^m-1)=(x-1)(x^{m-1}+x^{m-2}+...+x+1)).$ Кстати, из третьего наблюдения вытекают и первые два, поскольку все числа во втором столбце делятся на $M_2=3$, а все числа в четвертом столбце делятся на $M_4=15$.

Итак, число $2^n-1$ будет простым только при условии, что $n$ — простое.

Но для любого ли простого $p$ число $M_p$ будет простым? Надежда на положительный ответ рушится очень быстро: уже число $M_{11}=2047=23\cdot 89$ является составным.

Сам Мерсенн указыва все простые значения $n$, не превысodiaщие 257, для которых, по его мнению, числа $M_n=2^n-1$ будут простыми. Однако Мерсенн не дал доказательства; впоследствии выяснили, что его предсказание было частично ошибным.

Поисками чисел Мерсенна занимается и Леонард Эйлер, член Петербургской Академии наук, один из величины математиков Нового времени. В 1750 году он обнаружил десятое по счету число Мерсенна; это $M_{31}=2147483647$.

Если раньше понск чисел Мерсенна велся «кустарными» методами, то в 20-м веке в работе включились ЭВМ, считающие с огромной скоростью. В 1952 году было найдено сразу пять новых чисел Мерсенна: $M_{521}, M_{607}, M_{1279}, M_{2203}$ и $M_{2281}$; они являются соответствующим тринадцатым — семнадцатым числам Мерсенна. Следующее шесть чисел Мерсенна были найдены в период с 1958 года по 1963 год. наконец, в 1971 году было найдено 24-e число Мерсенна $M_{19937}$, в 1978 году — 25-e число Мерсенна $M_{21701}$, в 1979 году — 26-e и 27-e числа Мерсенна $M_{23209}$ и $M_{44497}$. Последнее известное нам число Мерсенна найдено в 1983 году: это $M_{86243}$; но пока неизвестно, является ли оно 28-м по счету числом Мерсенна.

И в заключение обьясим интерес к числом Мерсенна. Дело в том, что они связаны с так называемыми совершенными числами (которые и занимались древние греки) — числа, равными сумме всех своих делителей, отличных, конечно, от самого числа (например, $6=1+2+3$, $28=1+2+4+7+14$, $496=1+2+4+8+16+31+62+124+248$ — первые три совершенных числа). Еще Евклид доказал (доказатель и вы!), что если число $2^n-1$ простое, то число $2^{n-1}(2^n-1)$ совершенное. Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа? А нечетные совершенные числа пока никто не нашел, и никто пока не доказал, что таких чисел нет.

По материалам Ю. В. Королева и О. М. Мамедова

26

Д. Фаренгейт и его термометры

В этом году исполнили 300 лет со дня рождения Даниела Габриеля Фаренгейта (1686—1736) — создателя первых термометров, которые можно было пользоваться как стандартными и надежными лабораторными приборами.

Считается, что идея использования для температурных измерений известного еще с античных времен свойства теплового расширения воздуха и жидкости принадлежит Г. Галилюю. В конце XVII века он изобрел основный на этом принцип простой прибор — термопоп, впервые позвольший в какой-то мере объективно судить об изменениях температуры. Термоскоп Галилея представляет собой небольшую стеклянную колбу, наполненную воздуха, с очень узким и длинным горышком, опущенным в сосуд с водой. По мере нагрева или оставления колбы воздуха в ней расширялся или скимался и уровень воды соответственно поняжался или повышался.

В течение следующого, XVII столетия многие учены занимались усвоениемствованием этого прибора. Так, в 1615 году его снабили измерительной шкалой и с 1628 года все части называть уже не термоскопом, а термометром. В 1630 году на смену воздуханым пришли более удобные жидкости,

прежде всего водяные, термометры. Десятилетем, спустя их начали запаивать, чтобы на показания не влияли колебания атмосферного давления. С конца 50-х годов всегда учебыми из флорентийской «Академии опыта» в качестве термометрической жидкости стали чаще всего использовать винный спирт, не замерзаюший при самых сильных морозах и обладающий небольшой вязкостью и сравнительно высоким коэффициентом теплового расширения.

Но, несмотря на то, что конструктивные принципы в основном определении термометры, изготовлялись в то время, были совершеннены пригодны для точных и систематических температурных измерений. И прежде всего потому, что не существует никакого соответствия

с 80-х годов XVII века все большую привлекательность прибретала идея построения температурной шкалы на основе двух «постоянных» точек (при таком способе отпадала необходимость в очень затруднительной операции определения объемов резервира и капилляра у каждой экземпляра термометра).

Так, в 1701 году И. Ньюотон построил термометр (с льняным маслом в качестве жидкости), на шкалу которого нанес 12 равностойных делений, причем температуре замерзания воды соответствовал нулевое деление, а нормальной температуре человекаского тела — деление «12». В это же время начал изготовлять свои температурные шкалы он принимал температуры замерзания и кипения воды. В 1708 году Рёмер посетил Фаренгейт, который датчинин во всех деталях ознакомил со своим градировкам термометров. По-видимому, Фаренгейт сразу же осознал, что этот способ содержит в себе решение давно назревшей задачи создания стандартных термометров, давших «согласные» показания (в одинаковых условиях они показывали одинаковую температуру). Уже через пару лет он

27

сумел наладить производство таких приборов, и они быстро завоевали признание вевропейских laboratorиях. Учелыми, свышимися с разноем в показаниях старых термометров, термометры Фаренгейта воспринимались как своего рода учелю. При этом нужно сказать, что Фаренгейт относить не копировал термометры — он много работал над усвоением их конструкций, изыскивал наиболее подходящие сорта стека и, наконец, модифицировал шкалу, сделав ее значительное более удобно. Температурная шкала Фаренгейта до настоящего времени применяется в английских странах. Она устроена так: интервал между точками тайня льда и кипения воды делится на 180 частей, причем первой точке приваивается значение 32, а второй 212 °F (градусов по шкале Фаренгейта).

Важнейшей заслугой Фаренгейта является также то, что он первый (в 1717 году) начал изготовлять рутные термометры. Нужно сказать, что эту идею еще за полвека до него рассматривал флорентийские академики. Но тогда рутить, из-за ее низкого коэффициента теплового расшириения (раз в шест меньше, чем у спирта), сочли малоперспективной. Фаренгейт пришел к заключению, что этот недостаток рутти с избытком компенсируется легкостью ее получения и сохранения в чистом виде, благодару ему без затруднений выполняется требование точдествности рабочей жидкости, заполняющей экземпляры термометра.

(Спирт в этом отношении менее удобен, так как, интенсивно поглощая воду, существенно изменяет коэффициент теплового расшириения.)

Ожизни Фаренгейта известно немного, его портрет до нас не дошел. Родился он в Данциге (ныне Гданьск) в купеческий семье, получил неплохое начальное образование. В 15-летнем возрасте он неожиданно лишился обиходительей. «Отцы» города решили, что мальчик должен пойти по стопам отца, и в 1702 году послали его в Амстердам обучаться купеческому делу. Профессион он успешно освоил, но интересы его все более склонялись к естественным наукам и особенно к конструкрованию точных научных приборов. По делам службы Фаренгейт часто выездал из Амстердама в другие города Голландии и за границцу, в том числе и в России, и всякий раз он старался не употребить возможности пополнить свои позиции в технике и наук у ведущих мастеров — приборостроитель и ученых Европы. Так произошла упоминавшаяся выше встреча Фаренгейта с Рёмером, так же установились научные контакты со значениями в те времена голландскими учеными — медком Г. Бургаве и физики В. Сгравесандом и П. ван Мусхенбруком, с будщим ведиким шведским естественнымателем К. Линнеем.

Как мастер-профессионал Фаренгейт в 1710—1712 годах начал изготовлять прессиюную (очень точную) аппаратру для физических, химических и астрономических исследований — термометры,

барометры, ареометры, оптические инструменты, устройства точной механики. Спрос на изделия Фаренгейта возрастал, и в 1717 году он осnahал в Амстердам специальную фирму по производству точных научных приборов, и в частиности других термометров различного назначения, которые были вне конкуренции. Небезынтегерно, что в 1721 году комплект Фаренгейтовских термометров заказал Петр I. В 1724 году Фаренгейт был избран членом Лондонского Королевского общества, предусidentом которого в это время был И. Ньюотон.

Помимо изготовления приборов, Фаренгейт много работал и как физик-экспериментатор. Он обнаружил зависимость температуры кипения жидкости делится на 180 частей, причем первой точке приваивается значение 32, а второй 212 °F (градусов по шкале Фаренгейта).

Конечно, Фаренгейта нельзя считать изобретателем термометра, да и он сам никака не скрывал, сколько многим

он обязан Рёмеру и другими своими предшествениками. Но неоспоримой заслугой Фаренгейта является введение в широкое употребление стандартного термометра, чем было положено начало термометрии, впервые позволившей осознать важнейшее развитие точных научных приборов теллоты и температуры (в отношении которых ранее царила полная неразберixa).

В. Е. Явелов

28

Задачи

M1006—M1010; Ф1018—Ф1022

M1006. Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три треугольника и четырехугольник.
a) Могут ли площади всех четырех частей быть равны?
b) Какие три этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четырехугольник?

Г. А. Гальперин, А. П. Савин

M1007. Докажите, что треугольники с длинами сторон $a, b, c$ и $a_1, b_1, c_1$ подобны, если и только если $\sqrt{a a_1} + \sqrt{b b_1} + \sqrt{c c_1} = \sqrt{(a_1 + b_1 + c_1)(a + b + c)}$.

В. П. Чучин

M1008. Лестница состоит из $2n+1$ ступеней. На $n$ нижних ступенях лежит по одному камню. Двое по очереди такают камни. Первый может переложить любой камень вверх на первый свободную ступенку, а второй — переложить камень на одну ступенку вниз, если она свободна. Цель первого — положить камень на верхнюю ступенку. Может ли второй ему помещать?

С. Л. Елисеев

M1009. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает прямые $BC$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что центр окружности, проведенной через точки $C, K$ и $L$, лежит на окружности, проведенной через точки $B, C$ и $D$.

И. Ф. Шарыzin

M1010. Последовательность $r_1, r_2, r_3, \dots$ определяется условиями
$$r_1 = 2, r_{n+1} = r_1 r_2 \dots r_n + 1,$$
так что $r_2 = 3, r_3 = 7, r_4 = 43, \dots$
a) Докажите, что при любом $n$
$$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \dots + \frac{1}{r_n} < 1.$$

6)* Пусть $n$ натуральных чисел, что сумма их обратных величины меньше 1. Докажите, что эта сумма не больше
$$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \dots + \frac{1}{r_n}.$$

Известные нам доказательства опираются на такую лемму, которая мы предлагаем доказать читателем.

b)* Среди всех наборов $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ из $n$ вещественных чисел, удовлетворяющих условиям:
$$\alpha_1 \geqslant \alpha_2 \geqslant \dots \geqslant \alpha_n \geqslant 0, \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n = 1,$$
$$\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \leqslant \alpha_{k+1} + \alpha_{k+2} + \dots + \alpha_n (k = 1, 2, \dots, n-1),$$

29

выбран тот, для которого значение $a_n$ наименьшее. Тогда
$$a_k = 1/r_k \text{ для } k=1, 2, \dots, n-1, a_n = 1/(r_n-1).$$
О. Т. Ижболдин, Л. Д. Курляндчик

Ф1018. Катер, привязанный у берега большого озера (береговая линия — пряма), неожиданное отвязался, и ветер погнал его с постоянной скоростью $v_0 = 2,5$ km/ч под углом $\alpha = 15^\circ$ к берегу. Сможете ли вы догнать катер, если ваша скорость на берегу $v_1 = 4$ km/ч, в воде — $v_2 = 2$ km/ч? При какой скорости катера это вообшевозможно?

С. С. Кротов

Ф1019. В большой сосуд с жидкостью, плотность которого $\rho_1$, опущен маленький цилиндрический сосуд с площадью основания $S$, в дно которого вставлена трубочка длиной $l$ (рис. 1); стенки сосудов жестко скреплены между собой. В маленький сосуд наливают подкрашенную жидкость плотностью $\rho_2(\rho_2 > \rho_1)$ до высоты $H$ так, что уровни жидкости в большом и малом сосудах совпадают. В некоторых момент времени отвергите в трубочке открывают. Тяжелая жидкость начинает вытекать в большой сосуд, через некоторое время легкая жидкость из большого сосуда в маленький сосуд; затем процесс повторяется. Какая масса тяжелой жидкости вытечет из маленького сосуда в первый раз? Какая масса тяжелой жидкости будет вытекать каждый раз в дальнейшем? Какая масса легкой жидкости будет вытекать каждый раз в маленький сосуд? Считать, что жидкости не смешиваются; поверхностным натяжением претензь.

В. Е. Скороваров

Ф1020. Подвижный поршень делит цилиндр на две одинаковые части объемом $V_0 = 10^{-3} \text{ m}^3$. В одной части находится сухой воздуха, в другой — водной пар и $m = 4$ г воды. При медленном нагревании цилиндра поршень приходит в движение. После смесения поршня на 1/4 длины цилиндра движение прекратилось. Какая масса водыных паров находилась в сосуд до нагрева? Какова масса воздуха, находшегося в сосуде, и его начальная температура? При какой температуре поршень перестал двигаться?
Зависимость давления насыщенных паров воды от температуры приведена в таблице.

А. И. Буздин

Ф1021. В цепи, показанной на рисунке 2, $R = 100 \text{ Om}$, $C = 10 \text{ мкФ}$, $U_0 = 10 \text{ В}$, внутреннее сопротивление батареи и сопротивление амperметра претензью малы. Ключ К перiodические замыкают на время $\tau_1 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ с}$ и замыкают на время $\tau_2 = 20 \cdot 10^{-3} \text{ с}.$ При таком режиме переключений стрелка амperметра практически не доходит. Какой ток показывает амperметр?

А. Р. Зильберман

Ф1022. «Черный ящик» содержит катушку, резистор и конденсатор и имеет три выхода. При его исследовании были получены следующие результаты.

30

В схеме, показанной на рисунке 3, амператор показал $I_1=0,1$ А при частоте генератора $v_1=1000$ Гц; ток через амператор отставал по фазе от входного напряжения на $\Delta \varphi_1=\pi/6$. Когда частоту генератора уменьшили в 100 раз, ток возрос менее чем в 2 раза. Частоту генератора вернули к прежнему значению и вместе амператора в цепь включили волтметр (рис. 4). Волтметр показал $U_1=20$ В, а сдвиг фаз между напряжением на волтметре ($u_B$) и входным напряжением ($u_{BX}$) опять составил $\Delta \varphi_1=\pi/6$.

Найдите по этим данным параметры элементов «черного ящика». Во сколько раз нужно изменить частоту генератора, чтобы в схеме с волтметром (см. рис. 4) сдвиг фаз между $u_B$ и $u_{BX}$ составил $\Delta \varphi_2=\pi/2$?

Измерительные приборы считать идеальными. Внутреннее сопротивление генератора пренебрежимо мало.

A. P. Зильберман

Problems

M1006—M1010; P1018—P1022

M1006. Two lines, drawn through two vertices of a triangle, divide it into two triangles and a quadrilateral.
a) Can the areas of the four parts all be equal?
b) What three of these parts can have equal areas? How much will the area of the fourth part differ from them?

G. A. Galperin, A. P. Savin

M1007. Prove that two triangles with sides $a, b, c$ and $a_1, b_1, c_1$ are similar if and only if
$$\sqrt{aa_1} + \sqrt{bb_1} + \sqrt{cc_1} = \sqrt{(a_1 + b_1 + c_1)(a + b + c)}.$$

V. P. Chichin

M1008. There are $2n+1$ steps in a staircase. There is one rock on each of the $n$ lowest steps. Two persons take turns carrying rocks. The first may place any rock on the lowest free step, the second may move a rock one step down on a free step. The aim of the first is to put a rock on the top step. Can the second stop him?

S. L. Eliseev

M1009. The bisector of angle $A$ of parallelogram $ABCD$ intersects lines $BC$ and $CD$ at points $K$ and $L$ respectively. Prove that the centre of the circle passing through points $C, K$ and $L$ lies on the circle passing through points $B, C$ and $D$.

I. F. Sharygin

M1010. The sequence $r_1, r_2, r_3, \ldots$ is determined by the conditions
$$r_1=2, r_{n+1}=r_1r_2\ldots r_n+1,$$
so that $r_2=3, r_3=7, r_4=43, \ldots$
a) Prove that for any $n$
$$1/r_1+1/r_2+\ldots+1/r_n<1.$$
b) Suppose that the sum of the inverses of $n$ natural numbers is less than 1. Prove that this sum is then no greater than
$$1/r_1+1/r_2+\ldots+1/r_n.$$
The proofs that we have are all based on the following lemma, which we propose to our readers for proof.
c)* Among all the sequences $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ of $n$ real numbers

32

КАЛЕЙДОСКОП

Замечательные точки и линия

В курсе геометрии вы знакомитесь с неокотorbыми замечательными точкими в треугольнике: с точками пересечения высот, медиан, биссеектрис и серединных перпендикуляров к сторонам. Эти точки замечательны не только тем, что в них пересекаются с разу три рассматриаемые прямые. О других свойствах этих точек, а также о других замечательных линиях и точки мы расскажем в нашем «Калейдоскопе».

Эванжеллеста Торричелли извесен не только как физик, но и как математик. Его именем помимо «торричеллевой пустоты» называна одна из точек в треугольнике. Полячается она так. Сначала на сторонах данной треугольника стройся равносторонние треугольники, потом вокруг каждой из них описывается окружность

Все знают, что высот треугольника пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника. Но мало кто знает, что если окружность, описанную вокруг треугольника, зеркально отразить относительно его сторон, то полученные три окружности пересекутся в ортоцентре этого треугольника.

(она называется окружностью Торричелли). Оказывается, окружности Торричелли пересекаются в одной точке. Эту точку и называли точкой Торричелли.

33

Любопытно, что центры равносторонних треугольников, расстояний при построении точки Торричелли, сами являются равностороннего треугольника. Это утверждение принимают на основание.

Головоломки

Треугольники и квадрат Разместите в круглочках рисунка числа от 1 до 8 так, чтобы сумма чисел в треугольника каждого из заштрихованных треугольников равна с сумме чисел в треугольнике.

Пьер Ферма обнаружил, что если удаленные вершины равносторонних треугольников, построены на сторонах произвольного треугольника, соединить с противоположными им вершинами исходного треугольника, то эти три прямые пересекаются в одной точке — точке Торричелли, поэтому ее называют и точкой Ферма.

Наполеон Бонапарт

АТ+BT+CT <AM+BM+CM

Цифры на кубике

На гранах кубика написаны шесть различных цифр. Сумма цифр на противоположных гранах одна та же для каждой пары параллельных границ. Какой остальные три цифры, если три единицы равны сумме чисел в треугольнике?

34

Решения задач

M986—M990; Ф998—Ф1002

Положим $a=x^{10}$, $b=y^{15}$ и рассмотрим функцию
$$f(x)=2x^5+3y^5-5x^2y^3, \quad x \geqslant 0$$
(при фиксированном $y > 0$). Надо доказать, что $f(x) \geqslant 0$. Производная
$$f'(x)=10x^4-10xy^3=10x(x^3-y^3)$$
обращается в 0 при $x=y$, отрицательна при $0 < x < y$ и положительная при $x > y$. Таким образом (см. рисунок), при $x=y$ функция $f(x)$ принимает минимальное значение, и при всех $x > 0$
$$f(x) \geqslant f(y)=2y^5+3y^5-5y^5=0.$$
Другие доказательства, не использующие математического анализа, можно получить, разложив $f(x)$ на множители:
$$f(x)=(x-y)^2(2x^3+4x^2y+6xy^2+3y^3)$$
или воспользоваться неравенством между средним аргументом и средним геометрическим для пяты чисел $x^5, x^5, y^5, y^5, y^5$:
$$\frac{2x^5+3y^5}{5} \geqslant \sqrt[5]{x^5 \cdot 2y^5 \cdot 3}=x^2y^3.$$
(Подробное обсуждение этой задачи содержится в новом издании книги «Заочные математические оптимизации», М.: — «Наука», 1986, задача 4-16.)

Н. В. Васильев

M987. В турнире участвуют 2м команд. В первом.type встретились неокторы.m пар команд, во втором — другие.m пар команд. Докажите, что после этого можно выбрать m команд, никакие две из которых еще не играли между собой.

Изображим наши 2м команд точками на плоскости. Пары команд, встречавшихся в первом.type, соединим красными отрезками, во втором — голубыми. Тогда из каждой точки будет выходить один красный и один голубой отрезок. Любая команда принадлежит неокторому «циклу» — замкнутой ломаной, состоящей из чередушихся голубых и красных отрезков, так что все 2м точек и 2м соединяющих их отрезков образуют один или несколько таких циклов (см. рисунок). Поскольку цвет чередушихся, число команд в каждой цикле четно. Выбрав в каждом цикле пользову команд, стоящих через одну, получим набор m команд, которые еще не играли друг с другом. Из решения видно, что такой набор можно выбрать $2^c$ разными способами, где $c$ — число циклов, и что более чем m команд, не игравших друг с другом, выбрать нельзя*).

M. Бона

M988. Из точки O плоскости проведено n векторов единичной длины. Докажите, что если для неокторого $k < n/2$ по обе стороны от каждой прямой, проходящей через O, лежит не менее k векторов, то длина суммы всех n векторов не больше n—2k.

Пусть $\vec{s}$ — сумма данных векторов; можно считать $\vec{s} \neq \vec{0}$, иначе все очень видно. Например положительное полусьвое $Ox$ системы координат $Oxy$ вдоль вектора $\vec{s}$. Двигаясь по часовой стрелке от

*)Вот еще одна задача с похожей идеей решения: доказать, что если каждый из m участников кружка решил две из m предложенных задач, то можно организовать разбор задач так, чтобы каждый рассакал одну решенную им задачу (см. задачу 5-42 в книге, упомянутой в решении M986).

35

отрицательной полуси $Ox$, заиммерем данные векторы, лежащие в верхней полуплоскости $y \geqslant 0$:
$\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots$; аналогично, дивяясь против часовой стрелки, заиммерем остальные векторы (в нижней полуплоскости): $\vec{b}_1, \vec{b}_2, \dots$ (см. рисунок). По условияю по крайней мере $k$ векторов лежат влевой полуплоскости $x \leqslant 0$; пусть это будет $\vec{a}_1, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_l$ и $\vec{b}_1, \vec{b}_2, \dots, \vec{b}_{k-1}$, … Условие «по обе стороны от каждой прямой лежит не менее $k$ векторов» эквивалентно тому, что каждый из $n$ векторов вместе с $k$ следующими за ним против часовой стрелки (или по часовой стрелке) лежат в одной полуплоскости. Отсюда следует, что $k$ попарных сумм векторов:
$\vec{a}_1 + \vec{b}_{k-1+1}$ (то есть сумма вектора $a_1$ и $k$-го от него против часовой стрелки, $\vec{a}_{l-1} + \vec{b}_{k-l+2}, \dots, \vec{a}_1 + \vec{b}_k$, а также $\vec{b}_{k-l} + \vec{a}_{l+1}, \vec{b}_{k-1-l} + \vec{a}_{l+2}, \dots, \vec{b}_1 + \vec{a}_k$ — все дают отрицательные проекции на ось $Ox$. (Действительно, например, сумма $\vec{v} = \vec{a}_1 + \vec{b}_k$ направлена по биссектрисе угла, образованного векторами $\vec{a}_1$ и $\vec{b}_k$, а отрицательная полуси $Ox$ лежит внутри этого угла и потому составляет острый угол с $\vec{v}$.) Проекции каждой из остальных $n-2k$ векторов не больше 1. Поэтому проекция суммы всех векторов, а она равна длине $\vec{s}$, не больше $n-2k$.

Заметим, что в условиях задачи вектор, лежащий на прямой, можно считать расположенным по любому сторону от нее.

Интересно было бы получить утверждение, аналогичное нашей задаче, для векторов в пространстве.

П. А. Калуцин, В. В. Прасолов

◆ Пусть $d_1, d_2, \dots, d_n$ — такие делители числа $a$, что
$$a - 1 = \frac{a}{d_1} + \frac{a}{d_2} + \dots + \frac{a}{d_n}.$$
Тогда
$$1 - \frac{1}{a} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \dots + \frac{1}{d_n} < 1.$$ (1)

Идей решения задачи заключится в том, чтобы каждый $n=2, 3, \dots$ в множестве $X_n$ чисел, представимых суммой $n$ чисел, образных натуральным, указать наиболее число $\mu_n$, строго меньше 1. Тогда из (1) будет следовать оценка для $a$:
$$1 - \frac{1}{a} \leqslant \mu_n \Rightarrow a \leqslant \frac{1}{1-\mu_n}.$$ (2)

Заметим, что поскольку множество $X_n$ бесконечно, даже существование такого $\mu_n$ для каждой $n$ нуждается в доказательстве: наглядное объяснение этого доказательства, которое мы приведем в пункте в), состоит в том, что $X_n$ получается прибавленем к каждому числу из $X_{n-1}$ всех чисел вида $1/k$ ($k=1, 2, \dots$) и потому точки из $X_n$ в бесконечном количестве накапливаются лишь справа от каждой точки из $X_{n-1}$ и не могут скопиться слева от каждой точки (в частности, от точки 1).

a) Ответ: $a=3, 4, 6$. Если
$$x = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} < 1, \quad k_1 \leqslant k_2,$$
то $k_1 \geqslant 2, k_2 \geqslant 3$ (начue $x \geqslant 1/2 + 1/2=1$), поэтому $x \leqslant \mu_2=1/2+1/3=5/6$ и из (2) следует, что $a \leqslant 6$. Перебирая все такие $a$, видим, что число $a-1$