Квант 1987, №3 · Страницы

ISSN 0130—2221
Квант
Научно-популярный
физико-mатематический
журнал
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
87

В номере:

В. Г. Болтянский. Огибающая
Л. М. Бреховских, В. М. Куртелов. Акустика в Океане
Д. Г. Крутоzin. МК: проблемы общения

Задачник «Кваанта»
Победители конкурса «Задачник «Кваанта»
Задачи M1031—M1035; Ф1043—Ф1047
Решения задачи M1011—M1014; Ф1023—Ф1027
Список читателей, письших правильные решения

«Кваант» для младших школьников
Задачи
Ю. П. Соловьев. Старый алгоритм

Калейдоскоп «Кваанта»

Школа в «Кваните»
Физика 8, 9, 10

Математический кругок
М. В. Балк, Г. М. Ландман. В поисках оптимального раскрой

Практикум абитуриента
А. С. Ярский. Неравенства с параметром

Варианты вступительных экзаменов
Ответы, указания, решения
Шахматная страница
Рекорды комьюترа (3-я с. обложки)

Наша Блюшека

Рисунок на первой странице обложки — это ответ к задаче M1012. Он получается «стереодрафический проектец» окружностей, вписанных в грани правильногоодействия (см. вторую страницу обложки, а также решение задачи M1012).

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-mатематической литературы, «Кваант», 1987

2

ОГИБАЮЩАЯ
Член-корреспондент АПН СССР
В. Г. ВОЛТЯНСКИЙ

На рисунке 1 изображена замкнутая выпуклая линия $L$. Эта линия является главной, т. е. в каждой точке этой линии можно проведить к ней касательную. Множество (или, как еще говоря, «семейство») всех касательных к линии $L$ обозначаем через $T$. На рисунке 2 изображены несколько прямых, принадлежих семейству $T$ (т. е. являющихся касательными к линии $L$). Эти прямые как бы «огибают» линии $L$; поэтому говорят, что линии $L$ является огибающей семейства прямых $T$.

Можно поставить и обратный вопрос: дано некоторое семейство прямых $T$ и требуется найти огибающую этого семейства, т. е. линии, которая касается всех прямых семейства $T$. Задача о нахождения огибающей части встречается в математике и ее приложениях. О решении этой задачи и будет здесь расссказано.

Огибающая семейства прямых

Вернемся к рисунку 2. Линия $L$ разбиает плоскость на две области, внутриною и внешнюю. Через каждую точку $M_0$, лежащую во внешней области $E$, проходят две линии семейства $T$ (т. е. касательных к линии $L$), а через точку $M_1$, лежащую во внутренней области $J$, не проходит ни одной касательной. Через каждую точку $M$ самой линии $L$ проходит одна прямая семейства $T$ (касательная).

Это обстоятельство и поможет нам найти аналогичный примем отыскания огибающей. Для этого каждой прямой из семейства $T$ мы сопоставим в качестве ее «номера» (точнее, параметра) некоторое действительное число $\alpha$. Именно, зафиксировав на линии $L$ начальный точку $A$, мы сопоставим прямой $l \in T$, касающейся кривой в точке $M$ (рис. 3), число (параметр) $\alpha$, равный длине дуги $AM$ линии $L$. Возможны и другие способы сопоставить каждой прямой $l$ семейства $T$ некоторое значение параметра.

Прямую (из семейства $T$), который сопоставлено значением параметра $\alpha$, обозначаем через $l(\alpha)$; пусть уравнение этой прямой имеет вид

$$A(\alpha)x + B(\alpha)y + C(\alpha) = 0. \quad (1)$$

Вспомним теперь (см. рис. 2), что через разные точки может проходить разное число прямых семейства $T$. Как же узнать, сколько есть значений параметра $\alpha$, для которых получаются равенство справедливо. Иначе говоря, надо решить относительно $\alpha$ уравнение

$$A(\alpha)x_0 + B(\alpha)y_0 + C(\alpha) = 0. \quad (2)$$

Например, если бы оказалось, что уравнение (2) является квадратным относительно $\alpha$, то было бы понятно, почему через некоторые точки проходят две линии семейства $T$ (уравнение имеет два различных действительных корня $\alpha_1, \alpha_2$), через некоторые точки не проходит ни одной

4

В инных случаях, например, легче геометрической увидеть, какая линия является огибающей, чем написать уравнение прямой, принадлежшей семейству, и приравнивать нулю дискриминант.

Пример 3. Дан угол (меньший развернутого). Семейство T состоит из всех прямых, отсекающих от этого угла треугольник построного перметра 2p. Найти одибающую этого семейства.

Решение. Отложим на сторонах данного угла O отрезки OA и OB, имеющие длину p (рис. 7), и рассмотрим окружность Γ, касающейся сторона угла в точках A и B. Любая касательная l к окружности Γ (проведенная так, что точка O и окружность Γ находится по разные стороны от нее) обладает требуемым свойством, т. е. l∈T, поскольку
$$OP + OQ + PQ = OP + OQ + PS + SQ = OP + OQ + PA + QB = OA + OB = 2p.$$
Если же прямая l’ не касается дуги AB окружности Γ, то отсекаемый его треугольник имеет либо меныший, либо больший перimeter, т. е. эта прямая не принадлежит семейству T. Итак, семейство T состоит из всех прямых, касающейся дуги AB окружности Γ, а огибающей этого семейства является дуга AB.

Огибающая семейства кривых

Заметим теперь, что в проведенных рассмотренных вопросах не использовался тот факт, что семейство T состоит из прямых линей. Важно было лишь то, что линей семейства T зависит от параметра α, относительно которого лежа часть уравнения является квадратным трехчленом. Следующий пример подтверждает сказанное.

Пример 4. В точке O расположено зенитное орудue, из которого можно выпускать снаряды (с заданной по величины начальной скоростью v₀) под любым углом к горизонту. Определить зону обстрела (сопротивлением воздуха претенбрец).

Решение. Достаточно рассмотреть точки, находящиеся в одной вертикальной плоскости. Если u — горизонтальная составляющая начальной скорости снаряда, вылетевшего из орудия в момент t=0, то вертикальная составляющая равна $$\sqrt{v_0^2 - u^2}.$$ Горизонтальная проекция снаряда S (точка P на рисунке 8) движется равномерно со скоростью u, т. е. в момент t абсцисса снаряда равна x=ut. вертикальная проекция движется по закону y=\sqrt{v_0^2 - u^2}·t-gt²/2, откуда (учитывая, что t=x/u) находится траекторию снаряда:

$$y = \sqrt{v_0^2 - u^2} \cdot \frac{x}{u} - \frac{gx^2}{2u^2}.$$

Выделяя слагаемое, содержащое радиал, и возводя в квадрат, получаем (после умножения на u⁴):

$$u^4 (x^2 + y^2) - u^2 x^2 (v_0^2 - gy) + g^2 x^4/4 = 0.$$

Левая часть зависит от параметра α=u² и представляется собой квадратный трехчлен относительно α. Приравнивая нулю дискриминант этого трехчлена, получаем уравнение огиба-

5

юшей семейства $T$ всех траекторий снарядов:

$$x^4(v_0^2 - gy)^2 - (x^2 + y^2)\cdot g^2x^4 = 0,$$

или, после деления на $x^4$ и упрощения,

$$y = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g}{2v_0^2}x^2.$$

Эта отбайошая называется параболой безопасности (выше нее полет безопасен); вершина этой параболы находится в точке (0; $v_0^2/2g$), а ветви направлены вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательен (рис. 9).

Важный класс задач, связанный с построением отбайоших к семейству окружностей, возникает из принцена Гюйдеска («Физика-10», п. 37, с. 96). Мы здесь не касаемся этих задач (см. «Квант», 1982, № 6, с. 30).

Задание 1.

1. Рассматриваются всевозможные прямые $ax + by = 1$, где коэффициенты $a, b$ удовлетворяют условию $a^2 + b^2 = 1$. Найдите отбайошую этого семейства прямых.

2. Найдите отбайошую семейства прямых $y = 2\alpha x - \alpha^2$.

3. В плоскости данной прямая $d$ и не принадлежая ей точка $A$. Для каждой точки $M \in d$ рассматривается прямая $l_M$, являющаяся осью симметричной точки $A$ и $M$. Найдите отбайошую семейства всех прямых $l_M$.

4. Найдите (алгебраических) отбайошую семейства линей $(x - \alpha)^2 + y^2 - 1 = 0$ и дайте геометрическое полянение результата.

5. Рассматривается семейство окружностей (рис. 10)

$$(x - \alpha)^2 + y^2 = b^2 \left(1 - \frac{\alpha^2}{c^2}\right),$$

где $b, c$ — данные положительных числа, а $a$ — параметр ($|a| \leq c$). Доказите, что отбайошей этого семейства окружностей являются ellipsис, описываемый уравнением

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (\text{где } a^2 = b^2 + c^2).$$

6. Рассматривается прямая $l(\alpha)$, определяемая уравнением

$$y - \alpha x + \frac{a}{2\sqrt{2}}(\alpha^2 - 1) = 0,$$

где $a$ — заданное положительное число, а $a$ — параметр ($|a| < 1$).

a) Найдите точки $P, Q$ пересечения этой прямой с бисекторисами первого и второго координатного углов и докажите, что $OP + OQ = a$.

b) Найдите отбайошую семейства прямых $l(\alpha)$ и убедитесь, что эта отбайошая представляется собой дуг параболы.

b) Дан прямой угол; рассматривается всевозможные прямые, отсекающие от этого угла треугольника, у которых сумма длины катетов равна $a$. Доказите, что отбайошей этого семейства прямых представляется собой дуг параболы.

7. Рассматривается прямая $l(\alpha)$, определяемая уравнением

$$bx(1 + \alpha^2) + ay(1 - \alpha^2) - 2\alpha ab = 0,$$

где $a, b$ — заданные положительные числа, а $a$ — параметр.

a) Найдите точки $P, Q$ пересечения этой прямой с прямыми $y = bx/a, y = -bx/a$ и докажите, что $OP \cdot OQ = a^2 + b^2, S_{\triangle OPQ} = ab$.

b) Доказите, что отбайошей семейства прямых $l(\alpha)$ является zunepбола, описываемая уравнением

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.$$

b) Прямые $y = bx/a, y = -bx/a$ называются acsimptotami указанной генерболы; докажите, что произвольная касательная к гиперболе определяет вместе с acsimptotami треугольник постоянной площади $S = ab$.

8. Рассматривается прямая $l(\alpha)$, определяемая уравнением

$$bx(\alpha^2 - 1) + 2\alpha ay + ab(\alpha^2 + 1) = 0,$$

где $a, b$ — заданные положительные числа; а $a$ — параметр. Доказите, что отбайошей семейства прямых $l(\alpha)$ является ellipsис, описываемый уравнением в задание 5.

9. Найдите отбайошую семейства парабол $y = \alpha^2x^2 - 2\alpha$ (где $a$ — параметр). Сделайте чертеж.

10. Найдите отбайошую семейства окружностей $x^2 + (y - \alpha)^2 = \alpha$ (где $a$ — параметр). Сделайте чертеж.

11. Найдите отбайошую семейства окружностей $(x - \alpha)^2 + y^2 = \alpha^2/5$ (где $a$ — параметр). Сделайте чертеж.

12. Найдите отбайошую семейства парабол $y = 2\alpha x^2 - \alpha^2$ (где $a$ — параметр). Сделайте чертеж.

13. Найдите отбайошую семейства парабол $y = \alpha x^2 + (1/\alpha - \alpha)$ (где $a$ — параметр); сделайте чертеж.

14. Найдите отбайошую семейства парабол $y = -\alpha x^2/4 + (\alpha + 1/\alpha)$ (где $a$ — параметр); сделайте чертеж.

Воспользовемся произвольной

Тепер мы рассмотрим другой, более общий способ нахождения отбайошей, применными и в том случае, когда левая часть уравнения не является квадратным трехчленом относительно параметра $a$. Этот способ основан на использовании поняття произвольной.

Пусть семейство линей задано уравнением

$$f(\alpha, x, y) = 0,$$

где $f$ — неокоторое выражение (напри-

7

ли по кругу, центр которого находится в точке $x = -v\alpha$ оси абсцисс, а радиус равен $\sqrt{(u\alpha)^2 - h^2}$ (рис. 12). Окружность этого кругга и ограничивает на земле ту зону, в которой (к контROLному моменту) расположился звук, произведенный самолетом при прохождения точки $A_\alpha$. Уравнение этой окружности имеет вид
$$(x + v\alpha)^2 + y^2 = (u\alpha)^2 - h^2.$$
Взяв обедининие всех указанных кругов, мы и получим образовательную к контROLному моменту зону слишимости. А чтобы найти границу зоны слишности, надо найти огню щуго (рис. 13) семейства окружностей (9). Уравнение (9) запишем в виде (4):
$$\alpha^2 (v^2 - u^2) + 2\alpha xv + (x^2 + y^2 + h^2) = 0.$$
Взяв производную по $\alpha$, получаем
$$2\alpha (v^2 - u^2) + 2xv = 0.$$
Наконец, определяем $\alpha$ из последнего соответствия и подставив в (10), получаем уравнение огибаюшей:
$$u^2 x^2 - (v^2 - u^2) y^2 = h^2 (v^2 - u^2).$$
Это уравнение описывает зигерболу; нам надо взять только левую ее ветвь, поскольку окружности (9) мы должны рассматривать лишь при $\alpha > 0$. (Заметим, что то же уравнение огибаюшей можно получить и прежним примом, взяв дискриминант квадратного трехчлена (10).)

Задание
15. Найдите огибаюшую семейства парабол $y = \alpha^3 x^2 - 3\alpha$ (где $\alpha$ — параметр). Сделайте чертеж.
16. Найдите огибаюшую семейства прямых $y = \alpha^3 x - 3\alpha^2/2$.
17. Найдите огибаюшую семейства прямых $y = 4\alpha^3 x - 3\alpha^4$.
18. Найдите такое семейство прямых, огибающего которого служит линия $y = x^6$.
19. Найдите огибаюшую семейства окружностей $(x - \cos \alpha)^2 + (y - \sin \alpha)^2 = 1/4$. Сделайте чертеж.
20. Решите задачу о зоне слишности, если самолёт летит (so сверхзвуковой скоростью) по прямой, наклоненной к земле под углом $\phi$.

Дискриминатная кривая
Заметим в заключение, что если задано неокторое семейство линей (4), то линяя $L$, получающая при исключении параметра $\alpha$ из уравнения (8) (она называется дискриминатной кривой), может, кроме точки огибаюшей, содержать и построение точки. Так, в примере 4 дискриминатная кривая, как легко проверить, содержит, кроме параболы безпасности, линейное $x = 0$ (ось ordинат). Часть этой оси, расположенную ниже точки $y = v^2/2g$, можно, в каком-то смысле, считать «касательной» к траектории, получающей при вертикальном выстреле вверх, но верхняя часть оси ordинат (выше этой точки) расположена вне зоны обстрела и никак не связана с траекторями снарядов.

Вообщество, дискриминатная кривая (если не считать ее «посторонние куски») отделяет друг от друга области, через которые проходит разное число линей семейства. Кроме того и «посторонних кусков» дискриминатная кривая может содержать особы точки линей семейства (например, точки их самопересечения). На рисунке 14 показано семейство линей
$$(x - \alpha)^3 + 3 (x - \alpha) y^2 - 3 ((x - \alpha)^2 - y^2) = 0.$$
Эти линей (называемые декартовыми листами) получаются друг из других параллельными переносами вдоль оси абсцисс. Каждый линей имеет особую точку (точку самопересечения). Diskриминатная кривая в данной случае состоит из трех параллельных прямых: прямой $y = 0$ (множества точка самопересечения всех наших линей) и прямых $y = -k$ и $y = k$, где $k = \sqrt{2\sqrt{3} - 3}$ (огибающих). Через каждую точку вне полосы $-k \leq y \leq k$ проходит одна линяя семейства, через каждую точку дискриминатной кривой — две, а через каждую точку — три.

9

АКУСТИКА В ОКЕАНЕ

Академик Л. М. БРЕХОВСКИХ,
кандидат физико-математических наук В. М. КУРТЕПОВ

Источник пишевых ресурсов, классовая полезных ископаемых, «кухня» погоды, главная дорога Земли… Такими словами можно в обшем охарактеризовать роль Мирового океана в нашей жизни. И с каждым годом все яснее становится, как влика эта роль, как огромно влияние Океана на все сферы деятельности человека, как важны исследовательская работа в Океане и разработка технических средств освоения его ресурсов.

Человек остро заинтересован в том, чтобы как можно больше знать о состоянии Океана, о движении его вод, о строении океанческого дня. Это нужно для надводной и подводной навигации, для определения области с наиболее биологической продуктивностью, для учета влияния Океана на погоду и климат нашей планеты и для многих других целей.

Многочисленные исследовательские корабили разных стран нахождения все время в Океане и в приложениях к континентам морях. Они регистрации состояния воды масс на разных глубин, состояние атмосферы над Океаном, изучают характеристики дня. Результаты исследования стекаются в Мировые центры данных, главные из которых расположены в Москве и Вашингтоне. Эта информация очень ценна. Однако по своему объему она слищком мала, чтобы сколь-нибудь полно описать текущее состояние всего Мирового океана и приложющих к нему морей. Для этой целей поток информации должен быть увеличен в тысячи раз. Здесь на помощь приходит средства исследования Океана из космоса. Приборы, установленные на искусственных спутников Земли и на космических станциях, быстро и сразу с большой площади «собирают» данные о многих характеристиках Океана. Измерения собственного изучения Океана в информационном или сантиметровом диапазоне позволяет регистрации его поверхности. По рассеянию электромагнитных волн сентиметрового диапазона на поверхности Океана можно определить характеристику

стики поверхностных волн, скорости поверхностного текения и приверхностного ветра. По времени пробега электромагнитного имплуса от космической станции до поверхности Океана и обратно можно определить перепады уровня Океана на больших расстояниях. Именно так впервые была обнаружена «ложбина» на поверхности Океана глубиной около 23 метров над Пуэрториканской платиной на дне океана.

Однако все эти данные, полученные из космоса, относятся к поверхности Океана. И понятно почему — электромагнитные волны не могут сколь-нибудь значительно проникать в глубь морской воды. В толще вод свет затухает на расстоянии нескольких десятков метров; даже для мощнейшего луча лазера предел — несколько сотен метров.

Инструмент для «просвещения» глубин Океана дает акстика. Только звуковые волны могут распространяться в воде на значительное расстояние. Так, звук сравнительно небольшого исследовательского взрыва в морских экпериментах учены регистрации на расстоянии 22 000 километров.

Здесь нам надо обратиться к открытым сорокалетней давности. В 1946 году советские учены обнаружили в Японском море очень интересное явление. Звуки взрывов (подрывались противолодочные бомбы на глубине 100 метров) распространялись без заметного ослабления на очень большие расстояния — многое сотни километров. Детальная обработка и анализ экспериментальных материалов показали, что это происходит из-за свободизной зависимости скорости звука в Океане от глубины. Скорость звука в морской воде, вообще говоря, меняется с изменением температуры, солености и гидростатического давления. Во время работы в Японском море соленость изменяется с глубиной незначительно, и ее влияние не сказывается. При удалении от поверхности до глубины примерно 300 метров скорость звука

10

Уменьшалась из-за padения температуры. При дальнейшем углублении температура изменяла мало и составляла 0,3—0,5 °C. Однако по мере увеличения глубины (максимальная глубина в Японском море 3700 м) существенноросло гидростатическое давление. Это приводило к возрастанию скорости звука. В результате формировалась своеобразная зависимость скорости звука от глубины. Пример такой зависимости (профиль скорости звука) приведен на рисунке 1. Минимут скорости звука расположен на глубине 300 м. Выше и ниже этого уровня скорость возрастает. К чему приводит такой профиль скорости звука?

На рисунке 2 изображены звуковые лучи, выходящие из излучателя (И), помещенного на глубине 100 м, и попадающие в приемник (П), который находится на глубине 300 м на расстоянии 184 км от излучателя. Вследствие «преломления» лучи искривляются, и снова и снова они возвращаются к горизонтальной оси, соответствующей минимуму скорости звука. При этом целое семейство лучей (некоторые из них и показаны на рисунке 2) не достигает дна, где звуковые сигналы могут быть поглощаться, и не выходит на поверхности, на неровностях которого они могут быть рассеятся. В результате звук приходит в приемник по чистому водным лучам, или, как говорят, по подводному звуковому каналу —

ПЗК,— почти без затухания. Это позволяет регистрации звуковые сигналы за многое тысячи kilометров от их источника.*)

Наличием ПЗК и объясняется явление «сверхдальнего» распространения звука, наблюдается в 1946 году в Японском море. Оказывается, ПЗК имеет в любом море и любом окане при условии достающий их глубины.

Излученный звуковой сигнал, распространяясь по различным лучам, приходит в точку приема в различные моменты времени. Любые, даже малые изменения профиля скорости звука приводят к смешении момента прихода звукового сигнала по отдельному лучу. Величины этих смешений, или флуктуации,— свои для каждой из лучей. Все последовательность приятных сигналов полностью определяется свойствами среды и является чрезвычайно чувствительным индикатором этих свойств.

В действительности Океан можно считать строго горизонтально-слоистым только в пределах нескольких десятиков kilометров, да и то не всегда. Под воздействием различных процессов, протекающих в Океане, скорость звука изменяется не только по глубине, но и горизонтали. И особен-

*) Об образованнии подводных звуковых каналов, об особенностях распространения звука в ПЗК подробно рассказано в «Кванте» № 2 за 1985 год в стате А. А. Варламова и А. И. Маляровского «Переговорная трубка длиной в экватор?».

11

но влика в этом роль океанических вихрей, открытых советскими учеными. Это открытие было основным результатом проводившегося в 1970 году полудичного эксперимента, названного «Полигон». Изучая мощное пассатное течение в Атлантике, считавшееся исключительно постояным, ученыые обнаружили, что в зоне течения существуют гигантские водяные вихри размерами в сотни километров, аналогичные атмосферным циклом и антициклом (дальнейшие исследования показали, что подобные вихревы двежения охватывают практические весы Океан). Центр вихря перемещается со скоростью до 300 м/ч, но частички воды, участвуя во врашательном движении вихря, движут раз в 10 быстрее.

Проходение интенсивного вихря приводит иногда к таким изменением среды, которые могут полностью нарушить аккутическую связь и, например, могут подобно миражам в пустые, сделать ранее неслышимое — слышимым.

Несколько лет назад возникла идея воспользоваться высокой чувствительностью звуковых сигналов к изменением водной среды для организации длительных, порядка года, наблюдений за крупномасштабной изменчивостью Океана на акватории площадью до 10⁶ km². Для этого нужно разместить по перimetру акватории на разных глубинах системы заякоренных аккутических излучателей и приемников и изменить флуктуации времени прихода сигналов по весвозможным «чисто водным» лучам. Эти сигналы, как мы уже говорили, несут информацию об всех недорогодостях, встретившихся на пути. Таким образом можно осуществить «просвечивание» всей толщии Океана, сделать как «последний симок» акватории. Никакие флотили научных судов не в состоянии практическими мгновенно произвести изменения в столбьом объема. Впрочем, за такую оперативность приходится расплачивать сложность обработки экспериментальных данных. По временной последовательности приятных сигналов нужно восстановить поле скорости звука — найти значения скорости звука в различных местах акватории; анализ этих результатов дает информацию о выходах. Описанный метод и называют аккутической томографией Океана (от греческого тоцог — слой, ломоты).

Прициплальная схема восстанавливающая поля скорости звука такова. Исследуемый район условия разбивает на N объемных ячеек, размеры которых — десяти километров по

Обитаемый annarat «Пайсис» — незаменимый помещик в изучении океанических глубин.

12

Другой область применения акустической томографии является исследование океанского дна. Это не просто, если учет, что исследователь обычно отделен от предмета изучения столбом воды высотой в несколько километров. Имеющиеся в настоящее время способы сейсмофри-

$$\Delta t_m = \sum_{n=1}^{N} E_{mn} \Delta c_n.$$

Перебирая всевозможные лучи, мы получим систему из $M$ уравнений относительно $\Delta c_n$ ($n=1, 2, ..., N$). Величины коэффициентов $E_{mn}$ вычисляются, если известна траектория $m$-го опорного луча и геометрическая форма $n$-ой ячейки. В ячейках, не «затронутых» $m$-ым лучом, $E_{mn} = 0$.

Измерив флуктуации времен прихода звуковых сигналов $\Delta t_m$ и решая описанную выше систему линейных уравнений, получим значения $\Delta c_n$ в каждой из ячейки. Именно так и делается на практике, хотя попутно приходит преодолевать немало технических и математических трудностей.

Если распределение скорости звука $c_n(x, y, z, t)$ удалось восстановить, то, пользоваться известными в физике морской воды соответствиями, можно приближенно восстановить температуру, соленость и плотность воды. Знание температуры на большой akватории позволяет определить теплосодержание Океана, что важно для прогноза погоды. Но и этим не ограничивается информация, получаемая акустической томографией. По разности времени распределения сигналов туда и обратно между двумя корреспондирующими точками можно оценить среднюю вдоль луча проекцию скорости океанских течение на направление звуковой трассы. С этим связьвают надежду на изменение крупномасштабной циркуляции Океана, что недоступно традиционным методам. Существуют проекты охват томографической сетью огромных акваторий Мирового океана, что позволяет по-новому подойти к проблемам взаимодействия Океан — атмосфера и формирования климата Земли.

Другой область применения акустической томографии является исследование океанского дна. Это не просто, если учет, что исследователь обычно отделен от предмета изучения столбом воды высотой в несколько километров. Имеющиеся в настоящее время способы сейсмофри-

13

лирования дня Океана в сочетании с глубинным бурением громодки и очень дороги. Между тем существуют и другие подходы.

В.arсенал научной гидроакустической аппаратуры все более уверенно входят так называемые актичические автономные донные станции (АДС). Такая станция, сабженная приемниками звука (гидрофонами), специализированными ЭВМ и магнитофонами, может погружаться на дно Океана и там работать. Если научно-исследовательское судно, установив АДС, будет удаляться от нее, то станция зафиксирует шум судовых двигателей. В соответствии с законами распространения звука в Океане и в толще осадочных пород, сигнал, принимаемый АДС, приходит по водному лучу и допомому лучу, преломляющейся в дне Океана (рисунок 3). Кроме того, наблюдается сравнительно слабый фон из сигналов, рассеяных поверхностью и недорогоностями дна Океана, а также собственные шумы Океана. При движении судна «траектории» водного и допомого луче плавно изменяется. При этом меняется и относительная задержка времени прихода шумового сигнала по этим лучам. Разбив условно осадочные породы Океана, граничшие с водой, на слой с пока неизвестными значениями скорости звука, можно для этих скоростей составить такую же систему уравнения, как это было сделано ранее в задаче томографии океанской толщи. При этом в качестве $\Delta t_m$ будет выступать измененные станцией задержки приходов шумового сигнала для различных дистанций между судном и станцией. Решая система уравнения, мы восстановим профиль скорости звука в осадочных слоях. По окончании изменений станция вызывается на поверхность, и эксперимент может быть повторен в любом другом месте.

Актические методы широкого применения и для исследования мелкомасштабных недорогоностями дна Океана. Так, искажения звукового сигнала, рассеяного домом, несут информацию о/herовности границьвы вода — грунт и о различных недорогоностях в осадочных слоях. В будущеем на этом пути предоплагается, осуществить актичскую визуализацию дна.

Для проведения таких исследований и анализа результатов ведутся теоретические расчеты, разработываются специализированная экспериментальная техника и методы обработки данных, ориентированные на использование самых современных вычислительных средств. Этими и многими другими проблемами занимаются студенты и выпускники кафедры физики гидроокосма МФТИ, в том числе — и в морских экпедициях на исследовательских судах.

Одна из представительниц семейства автономных донных станций. Перед погружением.

14

МК:
ПРОБЛЕМЫ ОБЩЕНИЯ
(Путешествие по микрокомпьютеру)

Кандидат технических наук Д. Г. КРУТОГИН

В предыдущеем номере мы отправили в протулку по городу МК, осмотрели панораму города, представили життелей города, временных и постоянных. Сейчас самоое время посмотреть на план города, чтобы оценить его структуру. На схематическом плане (рисунок 1) вы видите пять крупных районов, связанных друг с другом. Мы проедем по ним в следующем порядке: районы устройства ввода (УВв) и вывода (УВы), район оперативной памяти (ОЗУ), постоянные запоминающие устройства

15

(ПЗУ) и, наконец, район микропроцессора (МП). На фотографини визу — реальный кристалл микрокомпьютера, увеличенный в 10 раз. Так он выглядает независимо до окончания процесса изготовления схемы и помещения в корпус. На нем не так просто указывать границы районов, тем более, что свободного места на кристалле почти не видно. Поэтому нам удобнее двигаться по плану. А теперь в путь…

Площадь тридиати вокзалов

На плане (рисунок 1) визу расположен центр приема туристов, или система устройства ввода (УВв) (напомним, что туристы в МК — машинные слова, объединенные в программы — делегации). Сюда, в район УВв, прибывают делегации из разных стран, к тому же самым разным транспортом. Например, с клавиатуры дисплея, с магнитофонов внешней памяти (ВЗУ) *), с экрана дисплея или от внешних датчиков. Поэтому район УВв представляет совокупность нескольких вокзалов или портов **).

No УВв не только вокзал, но и образцовое туристическое бюро нашего города, а также и таможня, отсекающая неправильные или недопустимые слова программы, словосочетания или команды. Устройства ввода встречают туристические делегации, проверяют въездные документы, снабжают их переводчики и сопровождающими лицами (адресами). наконец, те же устройства занимаются и расследием туристов в городе на время пребывания.

Итак: первая задача ввода, еще до анализа и перевода, — разгрузить транспорт, доставивший в город программы, то есть линия ввода информации. Для этого нужно запись полученные сигналы (пока просто запись, без всякой обработки) на том языке, на котором они посланы. Первоначально запись слов исходной программы выполняют входные порты. Они, собственно, и представляют собой небольшое блоки оперативной памяти длиной в одно машинное слово, то есть регистры. Каждый регистр снабжен блоком логических элементов*) — буфером, который обеспечивает подключение пустого регистра к внешним линям информации, а заполненного регистра — к микропроцессору. Mikропроцессор время от времени опрашивает входные порты и перегружает содержащие в них слова в ОЗУ, после чего порты готовы записать новое слово.

Кто командует парадом?

Надо заметить, что УВв активно участвует во всех этих мероприятиях, но главным действующим лицом является микропроцессор. Под управлением программы ввода (храняшейся

*) Устройство регистраров рассматриваось в рубрике ПЭВТ в «Кванте» № 4 за 1986 год; устройство логических элементов — в «Кванте» № 2 за 1986 год.

**) Здесь слова «порт» не только литературный образ, но и технический термин. Так называют часть микросхемы в районах УВв или УВв, обеспечивающую свою МК с внешними устройствами.

16

в ПЗУ) он сотрудничает с УВв, осуществляя прием туристических групп.

Вообще, давайте отчетим, что при рассмотрении работы ЭВМ всегда полезно разлиять аппараное обеспечение (скажем, реализные порты вводили вывода, ячейки памяти и т.п.) и программное, то есть те действия, которые совершают отдельные элементы МК, поддерживают определенным программам, управляющим машиной на разных стадиях ее работы.

Bot перед вами выключенная ЭВМ. Сейчас вы нажмите кнопку «Вкл», … что? Какие действия должны предприятить машина, чтобы подготовиться к работе, к вводу программы пользователя? Кто управляет его до тех пор, пока вы не введи свою программу? Ответ: собственная, записанная в ПЗУ программа, называемая «monitor». Ей отделяется приоритет сразу после «пробудения» машины. Оживший, но неагруженный МП как бы шлет во все концы вопрос: «Что делать? Что делать?» И первый ответает программа-monitor: «приготовься к вводу, очистти ОЗУ, вызови программу ввода, уточни, открыта (с какого порта) последует ввод…» Потом монторууступит командование программы ввода, а после завершения ввода монтор прикажет МП начинать использовать программы пользователя. Bot какая это важная программа — монтор! А кроме монтора у МК есть еще несколько службных программ.

Мы снова говорим на разных языках

Следующая задача, выполняемая при вводе, — перевод текста программы пользователя на машинный язык. Bot тут мы вновь возвращаемся к разговору о переводчиках. Переводчики живут тут же в городе, в район ПЗУ. Это специальные службные программы, называемые трансляторами (to translate (англ.) — переводить). Переводчики есть разные: один больше похож на переводчиков синхронистов, другие — на литературных переводчиков.

Синхронисты (или трансляторы-интерпретаторы) переводят одну очередную команду и направляют ее непредставлено на исполнение. В памяти переводчика-синхрониста текст переадана не сохраняется, поэтому при повторной работе с той же программы и той же командной транслятор-interпретатор снова проделявает ту же самую работу. Но иногда он вдруг отказывается переводить; это значит, что в исходной программе встречаются неточное, неверное выражение. Перевести ошибку интерпретатор не может, ее нет в его «словаре». Позатем на устройствы вывода (УВв) поступает сообщение об ошибке, даже о характере ошибки.

Литературные переводчики (или трансляторы-компиляторы) работают более солидно. Команду за командой они переписьают исходную программу на язык микрокомпьютера и занимает в его оперативную память. В конце этой работы в ОЗУ хранится полный аналог исходной программы, но уже на машинном языке. После окончания работы транслятор программы эта готова к использованию, в том числе к многократному повторению.

Какой же транслятор нужнее и лучше? Нужны оба. Для технологии с машиной, для работы в режиме диалога удобнее интерпретатор, он позволяетправить, изменить любую команду в любом месте программы. Для МК интерпретатор удобнее и потому, что требуется меньше объема оперативной памяти (для записи) и постоянной памяти (для хранения «словаря»). Это для длительных, многократных расчетов по большей и сложной программе удобнее компилятор, так как он работает намного быстрее.

Без тестов и без ошибки

Очередная задача приемного района — расселение программы. Для этого служит гостиничный комплект, называемый ОЗУ — оперативное заполнение устройств. Мы повышаем тем несколько позже, а сейчас отметим, что слова-команды и слова-операнды нужно расселить в разных клартах ОЗУ-района. Как уже говорилось раньше, с «точки зрения» машины они неразличны, и если при выполнении программы они перепутаются, то использование программы нарушится. Чтобы команду или операнд в нужный момент можно было легко найти, установить ввода снабжают все расселемые слова адресами, а адрес

17

необходимо запомнить, занести в свое-то рода «адресную» книгу. После этого машина работа уже не ссловами как таковых, а с адресами. Например: переслать содержимое ячейки № 95 ОЗУ в МП (допустим, ячейки с номерами от 000 до 199 мы отведели под команды). Еще пример: сравнить содержимое ячейки № 286 с нулем и большей число занести в ячейку № 286.

Ну и наконец, туристические бюро приемного района согласовывают порядок пребывания туристов в городе и заказывают соответствующие услуги. Согласитесь, что для расчет двух коротких уравнений, записанных пятью символами, — например,

$$c = a + b, \\ c = tg a^b$$

— потребуется совсем разная подготовительная работа. В масштабах городской жизни первая задача проста как покупка газеты, вторая больше похожа на организацию фестиваля народных танцев. Тут нужно отыскать (где? в ПЗУ) программ вычисления степениных функций, а затем уж тангенсов произвольного аргумента. Но если туристы хотят pobивать на фестивале, то он должен быть организован, таковые условия работы нашего города — туристского центра.

Устройства вывода, расположенные на плане рядом с устройствами ввода, выполняют во многом сложные функции, но, конечно, в обратном порядке. Они преобразуют машинные слова — результаты расчетов — в удобную для потребителя форму (в виде таблицы, графиков, текста, звуковой сигнализации или даже речи) и подают управляющие сигналы на соответствующие выходное устройство: дисплей, печатающее устройство, звуковые генераторы, моделирующие речь.

Далее выходное устройство представляет собой простой семисеттный цифрозаковый индикатор (рисунок 2), то для управления им на выходе МК должна стать логическая схема, содержащая около сотни транзисторов. А на табло простого калькулятора обычно не менее 5—8 таких индикаторов, и даже на электронных часах не меньше четырех.

Итак, мы познакомились с задачими двух районов города МК, но по ходу

18

Победители конкурса
«Задачик« Кванта»
Ежегодно наш журнал проводит конкурс среди школьников по решению задачи из Задачика «Кванта». Ниже публикуются списки победителей конкурса
«Задачик« Кванта» 1986 года.
Награжданются Дилломом и знаком журнала «Квант»
и получают право участвовать сразу в четвертом
(преpublikанском) туре Всегоизной олимпиады 1987 года:

По математике
Н. АЗАМОВ — с. Бальчиков Андджанской обл., с. п. № 14, 10 кл.
В. АКОПЯН — Ереван, ФМШ при ErГУ, 9 кл.
А. ВАРАБАНОВ — Киев, с. п. № 145, 10 кл.
Д. ВЕРЗИН — Калуга, с. п. № 6, 10 кл.
Р. ВАЛИЕВ — Фрунзе, с. п. № 61, 10 кл.
Я. ВАРШАВСКИЙ — Харьков, с. п. № 27, 9 кл.
Т. ГАМИДОВ — п. Борадыгах АзССР, с. п. № 1, 9 кл.
О. ГЕВОРКОВ — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комарова, 10 кл.
Р. ГЕНДЛЕР — Ташкент, с. п. № 110, 10 кл.
А. ГЛУЦЮК — Харьков, с. п. № 27, 9 кл.
М. ГОЛЬДШЕИД — Челябинск, с. п. № 31, 9 кл.
Р. ГРИНИВ — Львов, с. п. № 62, 9 кл.
С. ЖЕЛЕЗОВСКАЯ — Саратов, с. п. № 13, 10 кл.
Т. КАСУМОВ — Баку, с. п. № 193, 10 кл.
А. КОРШКОВ — Мозырь, с. п. № 8, 8 кл.
О. ЛИМЕШКО — Куйбышев, с. п. № 16, 10 кл.
М. ЛИТВИНОВ — Киев, с. п. № 145, 10 кл.
В. ЛЯНДИН — Белорецк, с. п. № 14, 10 кл.
Г. МИНАСЯНЦ — Ереван, ФМШ при ErГУ, 10 кл.
С. МУШИНСКИЙ — Новосибирск, с. п. № 130, 10 кл.
А. НАЗАРЯН — Тбилиси, ФМШ № 42, 9 кл.
Ю. НИКОНОРОВ — с. Михайловка Джамбулской обл., с. п. им. Г. Муратбаева, 9 кл.
А. ПОКРОВСКИЙ — Киев, с. п. № 145, 10 кл.
И. ПОРТНОЙ — Одеcca, с. п. № 100, 10 кл.
А. РОИТЕРШТЕЙН — Ленинград, с. п. № 239, 10 кл.
В. СТОЛИН — Вильнос, с. п. № 6, ХІ кл.
Д. ТАМАРКИН — Горький, с. п. № 17, 10 кл.
И. УСТИЛОВСКИЙ — Москва, с. п. № 91, 10 кл.
Е. ЧЕРНАЯ — Днепродзержинск, с. п. № 11, 10 кл.
Т. ЧУДИНОВСКИХ — Целиоград, с. п. № 15, 10 кл.
Е. ЧУРИКОВА — Целиоград, с. п. № 15, 10 кл.
В. ШРАЕР — Ленинград, с. п. № 30, 10 кл.
Я. ЭФЕНДИЕВ — Баку, с. п. № 82, 9 кл.

По физике
Х. АКИМОВ — Шават, обл. ФМШ, 10 кл.
А. АНТОНОВ — Москва, с. п. № 47, 10 кл.
Ф. АСМАНДЬЯРОВА — Целиоград, с. п. № 15, 10 кл.
Г. АХМЕДОВ — Сумгайт, с. п. № 26, 9 кл.
Д. ВЕРАДЗЕ — Тбилиси, с. п. № 42, 10 кл.
А. БЕСОЛОВ — Кишинев, с. п. № 3, 10 кл.
Д. ВИСИКАЛО — Винница, с. п. № 33, 10 кл.
А. БЫЦКО — Ленинград, с. п. № 239, 10 кл.
М. ВАГАНОВ — п. Черноголовка Москва, с. п. № 82, 10 кл.
П. ВОЛЬФЕЙН — Киев, с. п. № 145, 9 кл.
А. ГАЕК — Днепропетровск, с. п. № 23, 10 кл.
С. ГЕРАСИМОВ — Харьков, с. п. № 105, 9 кл.
Г. ГРИДНЕВ — Тбилиси, ФМШ № 42, 10 кл.
В. ГУРАРИИ — п. Черноголовка Москва, с. п. № 82, 10 кл.
Д. ЕВТУШЕНКО — Донецк, с. п. № 64, 10 кл.
Д. ЕЖИКОВ — Минск, с. п. № 32, 10 кл.
П. ЗАДОРОЖНЫЙ — Киев, с. п. № 145, 10 кл.
А. ИЛЬЕНКОВ — Киев, с. п. № 145, 10 кл.
В. КИРЮХИН — п. Черноголовка Москва, с. п. № 82, 10 кл.
С. КОНАРЕВ — Баку, с. п. № 167, 10 кл.
Ю. КРАВЧЕНКО — Москва, с. п. № 820, 9 кл.
С. КУРДЮКОВ — Москва, с. п. № 205, 10 кл.
А. КУСАИНОВ — Алма-Ата, РОФМШИ, 9 кл.
Д. КУЧУЛОРИЯ — Тбилиси, веч. шк. № 5, ХІ кл.
А. ЛОВКОВСКИЙ — п. Черноголовка Москва, с. п. № 82, 10 кл.
И. ЛУГАЧ — Винница, с. п. № 17, 10 кл.
А. МУРАВЬЕВ — Рига, с. п. № 46, 10 кл.
У. РАХМАНОВ — Ташкент, РФМШ при ТашГУ, 9 кл.
М. СЕРГАЗИН — Алма-Ата, РОФМШИ, 9 кл.
А. СТАВИЦКИЙ — Баку, с. п. № 56, 10 кл.
А. ТКАЧЕНКО — Киев, с. п. № 145, 10 кл.
Г. ФИНКЕЛЬШТЕЙН — п. Черноголовка Москва, с. п. № 82, 10 кл.
А. ФУРС — д. Дричин Минской обл., Дричинская с. п., 10 кл.
О. ЧЕПИКОВ — Могилев, с. п. № 5, 10 кл.

(Окончание см. на c. 59)

19

Задчи

M1031—M1035; Ф1043—Ф1047

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с моментта основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандарты, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наболее трудные задачи отмещаются звездочек. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 15 мая 1987 года по адресу: 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». В графе «Кому» написите: «Задчник «Кванта», новая задача по физике или «…новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школьных и класс, в котором вы учитель. Фамилию и имя просим писать печатными буквами.

M1031. На плоскости данных пряма l и две точки A и B по одному сторону от нее. На прямой l выбраны точка M, сумма расстояний от которой до точки A и B наименьшая, и точка N, для которой расстояния от A и B равны: AN=BN. Доказите, что точка чисел, обратных всем выписанным, равна n/2.
(Например, при n=3 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{3}{2}$).

A. A. Анджанс

M1032. Выписаны n чисел 2, 3, …, n+1, их всевозможные произведения по два, по три, и так далее выплить до произведения всех n этих чисел. Доказите, что сумма чисел, обратных всем выписанным, равна n/2.
(Например, при n=3 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{3}{2}$).

A. A. Анджанс

M1033. Окружность отрезает от квадрата четырех линейных треугольника (гранница каждого состояит из двух окружностей и двух отрезков). Выкрасим два из них, примыкающих к противоположным углам квадрата, в голубой цвет, два другие — в красный. Доказите, что a) суммы красных и голубых друг равны;
b) суммы перimetров красных и голубых треугольников равны.

B. B. Произвольов

M1034. Прямоугольная шоколада разбиита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий размывывает шоколада по некоторому углублению на две прямой углубления частies. Затем играющие по очереди ломают одну из получившихся частей по некоторому углублению на две. Тот, кто первый отломит квадратную долку (без углублений)
a) проигрывает;
b) выигравает.

Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш — начинающий или его партнер?

C. B. Фомин

M1035. На отрезке [0; 1] по очереди отмещаются точки x0, x1, x2, …, xn. Для каждой точки k (k=1, …, n) изменяется расстояние dk от нее до ближайшей к ней из поставленных раннее точек. Доказите, что d1+d2+…+dn≤1+\frac{\log_2 n}{2}.

B. C. Гриберг

Ф1043. По гладкой горизонтальной поверхности, вращаясь, скольит со скоростью v=10 cm/c пальочка длиной l=10 cm. При какой угловой скоростии вращая пальочка ударится о стену (см. рисунок) плашмя, если на расстоянии L=50 cm от стены пальочка была паралельна стене?

H. Ю. Потеряйко

Ф1044. Парашютист массой m=80 кг совершает затяжной прыжок. Перед раскрытым парашюта его скорость v0=60 м/c, после раскрытия парашюта установившая скорость v=6 м/c. Каково было бы максимальное на-

22

Первое из этих неравенств совпадает с неравенством a), а второе — с неравенством (*).

В) Точно так же, рассматривая функцию $f_n(x)=a_1^2-a_2^2+\dots+(-1)^n a_{n-1}^2-(-1)^n x^2-a_1-a_2+\dots+(-1)^n a_{n-1}-(-1)^n x^2$, мы видим, что при нечетном $n$ она линейна, а при четном является квадратным трехчленом с отрицательным коэффициентом (-2) при $x^2$. Поэтому доказательство неравенства $f_n(x) \geq 0$ при $0 \leq x \leq a_{n-1}$ свойства к проверке условия $f_n(0) \geq 0$ и $f_n(a_{n-1}) \geq 0$, а это — в точности утверждение задачи для $n-1$ и $n-2$ первых чисел ряда $a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_{n-1} \geq a_n$.

Таким образом, общее утверждение вытекает из принципа математической индукции в такой его разновидности: если неокторое утверждение, зависимости от натурального параметра $n$, справедливо для $n=n_0$ и для $n=n_0+1$ и из его справедливости для значений параметра $n-2$ и $n-1$ вытекает его справедливость для значения параметра $n$, то оно справедливо при всех $n$. Мы проверили утверждение для $n=2$, $n=3$ и $n=4$ (это — неравенство (*), пункты a) и 6) задачи); и продолжали шаг индукции — переход от $n-2$ и $n-1$ к $n$.

На рисунках 3 и 4 показано другое, очень изяшное решение (он было предложено несколькими участниками olимппады «Турнир городов», где прошло весной предлагалась эта задача).

Левая часть доказываемого неравенства $a_1^2-a_2^2+a_3^2-a_4^2+\dots$ — это сумма площадей головных трапей на рисунке 3 (в самом деле, из площади квадрата $a_1 \times a_1$ надо вычесть площадь квадрата $a_2 \times a_2$, добавить площадь квадрата $a_3 \times a_3$, вычесть $a_4 \times a_4$ и т. д.).

Правая часть $(a_1-a_2+a_3-a_4+...)^2$ — это площадь квадрата, сторона которого равна сумме высот этих трапей $(a_1-a_2, a_3-a_4, \dots)$; его можно разбить на трапеции с таким же высотами, но с меньшими средними линяями (см. рис. 4); поэтому левая часть не меняше правой.

Н. В. Васильев

M1012. Докажите, что a) на плоскости можно расположить несколько непересекающихся кругов так, чтобы каждый квадрасурово 5 других;
б) число 5 в пункте a) нельзя заменить на 6.

Рис. 1.

Возьемем правильный додекадр и впищем в каждую его грань okружность (рис. 1). Мы получим 12 окружностей, каждая из которых касается пяты кругих, причем все они лежат на одной сфере, а именно, на сфере, касающейся всех ребер додекадра. Возьем на этой сфере любую точку $P$, не лежащую внутри okружностей, проведем плоскость $a$, касающейся сферы в точке $Q$, диаметрально противоположной $P$, и проектируем сферу из центра $P$ на плоскость $a$ (т. е. сопоставим каждой точке $X \neq P$ сферы точки $Y$ пересечения луча $PX$ с плоскостью $a$; рис. 2). Такое обрабатание сферы на плоскость называется стереодрафической проекцией okружности переходят в okружности. В нашем случае 12 okружностей на сфере спро-

23

ектрируются в нижнюю систему окружностей на плоскости. Если точку $P$ взять на прямой, соединяющей центродекадра с его вершиной, получится конфигурация, изображенная на обложке.

Докажем теперь, что stereografическая проекция любой окружности $\omega$ на сфере тоже будет окружностью, если $\omega$ не содержит центра проекции $P$ (если $\omega$ содержит точку $P$, то проекций $\omega$, как легко видеть, будет прямая). Пусть $Y_0$ и $Y$ — проекции произвольных точек $X_0$ и $X$ окружности $\omega$. Плоскость $PX_0X$ пересекает сферу по некоторой окружности, а плоскость $\alpha$ — по прямой $Y_0Y$, которая параллельна касательной MP к этой окружности в точке $P$ (рис. 2, 3). Ясно, что

$$\angle PY_0Y = \angle MPY_0 = \frac{1}{2} \cup PX_0 = \angle PXX_0.$$

Проведем теперь еще одну, вспомогательную сферу, содержащую окружность $\omega$ и точку $Y_0$; пусть прямая $PX$ пересекает ее в точке $Y'$. Расматривая сечение этой сферы плоскостью $PX_0X$ (рис. 4), мы убедаемся, что

$$\angle PY_0Y' = 180^\circ - \angle X_0XY' = \angle PXX_0,$$

т. е. $\angle PY_0Y' = \angle PY_0Y$, следовательно, $Y = Y'$. Таким образом, проекции всех точек окружности $\omega$ лежат одновременно в плоскости $\alpha$ и на нашей вспомогательной сфере, т. е. образуют окружность.

Если точку $P$ взять на прямой, содержащую центра допекадра с центром его грани, то stereografическая проекция дает конфигурацию, показанную на рисунке 5. Строое допекадельство существенно этой конфигурации легко проверить и без выхода в пространство (мы представляем это читателю). И хотя сама по себе она нас не устранает (один ее круг содержит остальные), при инверсии с центром, скажем, в точке $O$ (см. рис. 5) из нее получится то, что нужно. Читатель, не знакомые с преобразованием инверсии и его свойствами, могут обратиться к статье В. М. Уроева «Инверсия» (Квант, 1984, № 5, с. 26); там же расскано и о stereografической проекции.

6. Допустим, что искомое расположение кругов существует, и не все они равны между собой. Расмотрим все круги наименьшего радиуса (обозначим его через $r$) и выберем из них круг, который касается хотя бы одного круга другого радиуса $r_1$ ($r_1 > r$). Пусть $O$ и $O_1$ — центры этих кругов, $O_2$, …, $O_6$ — центры остальных пятей кругов, касающихся круга $O$ (центры занутерованы по часовой стрелке, рис. 6). В треугольнике $OO_1O_2$ стороны $O_1O_2$, $O_2O$ и $OO_1$ равны $r_1 + r_2$, $r_2 + r$ и $r + r_1$ соответственно, где $r_2$ — радиус круга $O_2$ ($r_2 \ge r$), т. е. $O_1O_2$ — наиболее сторона, а значит, $\angle O_1OO_2 > 60^\circ$ (неравенство строгое, так как $O_1O_2 > OO_1$). Аналогично доказывается, что углы $O_2OO_3$, $O_3OO_4$, …, $O_6OO_1$ не меньше $60^\circ$. Но тогда сумма всех шести углов $O_1OO_2$, …, $O_6OO_1$ оказывается больше $360^\circ$, что, конечно, невозможно.

Итак, все круги должны иметь одинаковый радиус $r$. В этом случае каждой круг должна быть окружностью других, как круг $O$ на рисунке 6, что возможно лишь для бесконечного числа кругов. (Если $O_1$ и $O_2$ — центры двух соседних кругов, то и все точки прямой $O_1O_2$, отстоящие от $O_1$ на расстоянии $O_1O_2$, $2O_1O_2$, $3O_1O_2$, …, должны быть центрами кругов нашей конфигурации.)

В. Н. Дубровский, Д. В. Фомин

24

М1013. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты две точки M и N. Три параллельные прямые, проходящие через точки M, B и N, пересекают основание AC в точках K, D и L. Докажите, что площадь трапеции (или параллелограмма) не большее площади одного из треугольников ABD и DBC.

М1014. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — различные попарно взaimно простые натуральные числа. Докажите, что существует бесконечную много таких натуральных b, что числа $b+a_1, b+a_2, \dots, b+a_n$ также попарно взaimно просты.

Китайская теорема об остатках
Если натуральные числа $p_1, p_2, \dots, p_m$ взaimно просты, то для любого набора натуральных чисел $r_1, \dots, r_m, 0 \leq r_i < p_i (i=1, \dots, m)$ найдется число b, дающее при делении на $p_i$ остаток $r_i$ при всех i.

Обозначим $\angle ADB = a, AD = a, BD = b, CD = c, AK = AD = k, CL = CD = l$. тогда MK: BD=k, NL: BD=l, т. е. MK=kb, NL=lb, а KL=KD+DL=(1-k)a+(1-l)c, и поскольку расстояние между прямыми MK и NL равно KL sin $\alpha$, площадь четырехугольника KMNL равна $\frac{1}{2} (MK+NL) KL \sin \alpha = \frac{1}{2} (kb+lb) ((1-k)a + (1-l)c) \sin \alpha$.

Пусть для определения $a \geq c$, тогда последнее выражение не превыходит $\frac{1}{2} b (k+l)(2-(k+l)) a \sin \alpha \leq \frac{1}{2} ab \sin \alpha$ (так как $x(2-x) \leq 1$ при всех x), т. е. площади треугольника ADB.

В. Н. Дубровский

Интересно выяснить, для каких наборов $A = (a_1, \dots, a_n)$ различных натуральных чисел выполняется утверждение задачи, т. е. суммы $a_1+b, \dots, a_n+b$ попарно взaimно просты хотя бы для одного целого b (а значит, и для бесконечного множества чисел b). Если, например, набор $A$ содержит два четырехугольника — такой набор нас неSTRAВает. Вообще, если среди остатков от деления чисел $a_i$ на неокоторое простое $q$ каждой из возможных остатков 0,1, …, $q-1$ встречается по крайней мере дважды, то при любом «сдвига» хотя бы два числа будут делиться на $q$. Отсюда следует, что набор $A$ должен удовлетворять таким условия:

среди остатков от деления чисел из набора $A$ на каждое простое $p$ хотя бы один остаток $r_p, 0 \leq r_p < p$, должен встречаться не более одного раза.

Пусть $D$ — разность между набольшим и наиболее числами в наборе $A$. Для каждого простого $p \leq D$ найдем тот остаток $r_p < p$, который деления чисел из $A$ и $p$ появляется не более одного раза. Подберем теперь число $b$, дающее при делении на каждое простое $p \leq D$ дополнительный к $r_p$ остаток $r_p^* (r_p^* = p-r_p$ при $r_p > 0$ и $r_p^* = 0$ при $r_p = 0$). Тогда числа $a_1+b, \dots, a_n+b$ будут попарно взaimно простые, поскольку на каждое простое $p$ может делиться не более чем одно из них: при $p \leq D$ это обеспечено выбором $b$, а при $p > D$ выполняется автоматически, так как все остатки от деления чисел $a_1, \dots, a_n$ на $p$ будут различны.

Н. В. Васильев, В. Ф. Лев

25

Ф1023. Лампочка высит на расстоянии $l_1$ от полка на высоте $l_2$ от пола. При ее взрыве осолки разлетаются во все стороны с одной и той же no величины скоростью $v$. Найдите радиус круза на полу, в котором попадут осолки. Считать, что удары осолков об потолок абсцилтоно уррузие, а об пол — неупрузие; до стен осолки не долетают.

Предположим сначала, что потолок отсутствует, и найдем в этом случае максимальный радиус пятна на полу, в котором лежат осолки.

Введем систему координат с началом в точке нахождения патрона лампочки (см. рисунок). Условия падения на землю через время $t$ осолка, выпLETЕШЕГО под углом $\alpha$ к горизонту, составят в следующем:

$$\begin{cases} -l_2 = vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}, \\ R = vt \cos \alpha. \end{cases}$$

Очевидно, нам необходимо так подобрать угол $\alpha$, чтобы величины $R$ была максимальной. Преобразуем для этого уравнения (*) к виду

$$\begin{cases} \frac{gt}{2} - \frac{l_2}{t} = v \sin \alpha, \\ \frac{R}{t} = v \cos \alpha. \end{cases}$$

Отсюда для величины $R$ получим неравенство

$$R^2 = (v^2 + gl_2)t^2 - \frac{g^2 t^4}{4} - l_2^2 = \left(\frac{v^2 + gl_2}{g}\right)^2 - l_2^2 - \left(\frac{gt^2}{2} - \frac{v^2 + gl_2}{g}\right)^2 \leq \left(\frac{v^2 + gl_2}{g}\right)^2 - l_2^2.$$

Таким образом,

$$R_{\max} = \frac{v}{g} \sqrt{v^2 + 2gl_2},$$

время полета $t^*$ осолка на такое расстояние

$$t^* = \frac{1}{g} \sqrt{2(gl_2 + v^2)};$$

угол выпLETЕШЕГО найдем из уравнения

$$\cos \alpha^* = \frac{R_{\max}}{vt^*} = \sqrt{\frac{v^2 + 2gl_2}{2(v^2 + gl_2)}}.$$

Высоту $h^*$ этой траектории над уровнем патрона лампоки найдем по формуле

$$h^* = \frac{(v \sin \alpha^*)^2}{2g} = \frac{v^2}{2g} (1 - \cos^2 \alpha^*) = \frac{v^4}{4g(v^2 + gl_2)}.$$

Вспомним теперь про потолок. Очевидно, если $l_1 \geq h^*$, то

$$R_{\max} = \frac{v}{g} \sqrt{v^2 + 2gl_2}.$$

В случае, когда $l_1 < h^*$, т. е. $l_1 < \frac{v^4}{4g(v^2 + gl_2)}$, максимальный радиус пятна на полу получится от осолков, у которых максимальная высота траектории (над уровнем патрона) равна $l_1$ (их траектория будет касательной к потолку). Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть хотя бы один осолок, отражшийся от потолка в точке $A$. Уровень патрона после отражения он пересечет под углом выпLETЕШЕНО. Следовательно, траектория этого осолка будет более крупной по сравнению с «касательной» траекторией, и они никогда не пересечется. Значит осолок, коснушшийся потолка, пролеит по горизонтали дальше всех остальных, ударившихся о потолок. Осолки, не допleteшие до потолка, при своем движении до земли не могут пере-

26

сечь «касательной» траектории (доказите это самостояльно).

Таким образом, если $l_1 > \frac{v^4}{4g \sqrt{v^2 + gl_2}}$, то

$$R_{\max} = \frac{v}{g} \sqrt{v^2 + 2gl_2};$$

если $l_1 < \frac{v^4}{4g \sqrt{v^2 + gl_2}}$, то

$$R_{\max} = \frac{\sqrt{v^2 - 2gl_1}}{g} \left( \sqrt{2gl_1} + \sqrt{2g(l_1 + l_2)} \right)$$

(последний ответ получается из системы уравнения (*) при условии, что $(v^2 \sin \alpha)/2g = l_1$).

С. С. Кротов

Ф1024. Оцените изменение давления в парной после того как на раскаленные камни плеснули воду из ковша. Предполагается, что вы, хорошо представляя явление, можете сами задать необходимые величины, выбрать достаточно правильно их числовые значения и получить численный ответ.

После испарения воды, которое плескули из ковша на раскаленные камни, температура в помещении несколько увеличивается (заметим, что она различана наверху у потолка и внизу у пола). Образовавшийся пар распространяется по всему помещению, частично конденсируясь на холодных участках стен, потолка и окон. Меняется влажность, изменяется процесс теплопередачи; потоки пара и воздуха приводят к различным значениям физических параметров в разных местах парной.

Для оценки изменения давления, создавшего дополнительной порцией пара, будет использовать грубую, но достаточно разумную физическую модель.

Прежде всего, считаем, что двери и окна плотно закрыты (инчете говорить об изменении давления не имело бы смысла: давление внутри и снаружи оставалось бы постоянным). Будем считать, что параметры установились (стали постоянными) и что температура пара по всему помещению одна и та же и равна $T \approx 350$ К. (Изменением температуры в помещении при этой оценке пренебрежем.) Водяной пар будем считать идеальным газом, состояние которого описывается уравнением Менделеева — Клапейрона.

Положив объем парной $V \sim 100$ м³, массу воды в ковше и, соответственно, массу образованшего водяного пара $m \sim 1$ кг и учитьвая, что молярная масса пара (воды) $\mu = 18 \cdot 10^{-3}$ кг/mоль, а газовая постоянная $R = 8,3$ Дж/(К·моль), из уравнения Менделеева — Клапейрона находится давление $\Delta p$ водяного пара, образованшего давление из ковша воды:

$$\Delta p \cdot V = \frac{m}{\mu} RT \Rightarrow \Delta p \sim \frac{mRT}{\mu V} \approx 1,6 \cdot 10^3 \text{ Pa} \approx 0,02 \text{ atm}.$$

Считая, что давление в парной обычно $p \sim 1$ атм, приходим к выводу, что изменение давления после подачи пара не велико — всего несколько процентов от нормального давления.

Заметим, что учет изменения давления, обусловленного дополнительным нагревом воздуха в парной, согласно закону Шарля приведы бы к соответствию $\Delta p/p \sim \Delta T/T$. Чтобы это дополнительное уравнение давления было сравним с приведенной выше оценкой ($\Delta p/p \sim 2\%$), при $T \sim 350$ К прирост температуры должна составлять $\Delta T \sim 10$ К.

Г. В. Меледин

27

Ф1025. В схеме, приведеной на рисунке 1, сверхпроводящее катушка имеет одинаковые индуктивности L, диод D идеальный, начальный заряд конденсатора emкостью C равен Q₀. Построите графики изменения заряда Q(t) конденсатора и токов I₁(t) и I₂(t) через катушки после замыкания ключа.

Рис. 1.
Пис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.

Схему данной цепи представим в эквивалентной форме (рис. 2). Будем считать токи в катушках положительных, когда их направления соответствуют обходу внешнего контура против часовой стрелки. Процессы в такой цепи легко проанализировать по аналогии, расматривая механическую систему, показанную на рисунке 3: одинаковые тележки массой m (анаалог катушка) соединены пружиной жесткостью k (анаалог конденсатора). Так как ток через пружину катушки благо-dаряд谊уд Д может протекать только в положительном направлении, колеса второй тележки должны быть снабжены устойчивым, позволяющим ей свободно двигаться только вправа. В этой системе скорости тележек v₁(t) и v₂(t) будут аналогами токов I₁(t) и I₂(t), а деформация пружины x(t) — аналогом заряда конденсатора Q(t).

Пружина сначала растут на x₀.

В момент времени t=0 левую тележку отпускают без начальной скорости (при замыкании ключа конденсатор начинает разряжаться через левую катушки). До тех пор, пока деформация пружины не обратится в нуль,правая тележка неподвижна (v₂=0), либо пружина тянет ее влево, куда она катиться не может (пока заряд конденсатора не обратится в нуль, так через пружину катушка протекать не может: I₂=0). Эта первая фаза движения от t=0 до момента t₁ соответствует четверти перiode гармоничских колебаний тележки массы m на пружине жесткостью k: t₁=T₁/4=
= 2π/4 √m/k (для цепи t₁=T₁/4=2π/4 √LC). К моменту t₁левая тележка разгоняется до скорости v₁, которое начинает из закона сохранения энергии:
$$\frac{kx_0^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} \Rightarrow v_1 = x_0 \sqrt{\frac{k}{m}}$$
(анаалогичное для цепи I₁=Q₀/√LC). Деформация пружины x(t) (заряд конденсатора Q(t)) уменьшается за это время по косинусialному закону от начального максимального значения x₀(Q₀) до нуля.

Затем пружина начинаетжиматься и только вторую тележку вправа, т. е., начиная с момента t₁, колеса правой тележки освобождаются (заряд нижней пластины конденсатора становится положительным, идиод пропускает ток через пружину катушки). В дальнейшем центр масс тележек движется вправо со скоростью v₁/2, и эта скорость постоянна, так как при t>t₁ никакие внешние силы на систему не действуют. На это равномерное движение накладываются колебания тележек относительно центра масс, пропуская в противо-фазе с частотой ω = √2k/m (жесткость «половины» пружины составляет 2k). Так как при t=t₁, когда пружина не деформирована, тележки движутся относительно центра масс настречу друг друг со скоростью v₁/2 = x₀/2 √k/m, то именно такой будет амплитуда колебаний скорости. Амплитуду x₁ колебаний деформации пружины можно найти из закона сохранения энергии, приравнивая кинетическая энергия тележек (в системе центра масс) в момент t₁ потенциальной энергии пружины в момент максимальной ее деформации:
$$\frac{2m(v_1/2)^2}{2} = \frac{kx_0^2}{4} = \frac{kx_1^2}{2} \Rightarrow x_1 = \frac{x_0}{\sqrt{2}}.$$

В электрической цепи аналогом равномерного движения системы как целого будет постоянной ток I₁/2,

28

Ф1026. Горизонтальная площадка, на которой лежит брусок, выбрирует по гармоническому закону с частотой $f=10$ Гц в направлении, составляющим угол $\alpha=45^\circ$ с вертикалью (рис. 1). Коэффициент треня бруска о площадку $\mu=0,5$. При какой минимальной амплитуде выбрацией брусок «поползет» по площадке?

Рис. 1.

Рис. 2.

циркульрующий по внешнему контуру. На этот ток накладываются произходящие в противофазе колебания тока в контурах (рис. 4), содержащих по одной катушке и по «половине» конденсатора (по конденсаруемкость $C/2$), период которых $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{LC}{2}}$.

Амплитуда колебаний заряда конденсатора $Q_1=Q_0/\sqrt{2}$. Графики рассмотренных процессов приведены на рисунке 5.

Е. И. Бутиков

Найдем сначала действующие на брусок силы, предполагая, что он движется вместе с площадкой, т. е. по закону $\vec{r}(t)=\vec{A}\sin 2\pi ft$, где вектор $\vec{A}$ направлен под углом $\alpha=45^\circ$ к вертикали. По второму закону Ньютона

$$m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F}=m\vec{a},$$

(1)

где $m\vec{g}$ — сила тяжестеки, $\vec{N}$ — нормальная сила реакции площадки, $\vec{F}$ — действующая на брусок силы треня покоя, направленная горизонтально (вправо или влево), $\vec{a}=-\vec{A}\omega^2\sin \omega t$ ($\omega=2\pi f$). Запишем (1) в проекциях на горизонтальную x и вертикальную y оси (см. рис. 1):

$$F_x=m a_x=\frac{m A \omega^2}{\sqrt{2}}\sin \omega t,$$

(2)

$$N-m g=m a_y=-\frac{m A \omega^2}{\sqrt{2}}\sin \omega t.$$

(3)

Учитывая, что сила треня покоя $|F_x| \leq \mu|N|$, из (2) и (3) получаем:

$$\left|\frac{m A \omega^2}{\sqrt{2}}\sin \omega t\right| \leq \left|\mu m g-\frac{\mu m A \omega^2}{\sqrt{2}}\sin \omega t\right|.$$

(4)

Правая часть неравенства (4) при $\sin \omega t<0$ всегда больше, чем при $\sin \omega t>0$. Поэтому минимальное значение амплитуды выбраций, при которой брусок поползет по площадке, следует искать при $\sin \omega t>0$.

Знак равенства соответствует предельной ситуации, когда треня покоя хватает для того, чтобы сообщать бруску такое же горизонтальное ускорение, с каким движением площадка, и в этом случае (4) можно использовать как уравнение для нахождения того момента времени $t_1$, когда брусок поползет по площадке:

$$\sin \omega t_1=\frac{\mu g \sqrt{2}}{(\mu+1) A \omega^2}.$$

(5)

Такой момент $t_1$ существует, если уравнение (5) имеет решение. Для этого его правая часть должна быть меньше единицы, т. е. $\mu g \sqrt{2}<(\mu+1) A \omega^2$, или

$$A>\frac{\mu g \sqrt{2}}{(\mu+1) \omega^2}.$$

(6)

Таким образом, скольжение бруска по площадке возникнет тогда, когда амплитуда $A$ ее колебаний удовлетворяет неравенству (6). Графичесное решение уравнения (5) приведено на рисунке 2. Начиная с момента $t_1$, брусок скольzt вправо относительно площадки. В момент времени $t_2$ сила треня становится в состоянии обеспечить бруску такое же, как у площадки, горизонтальное ускорение, но просkalывание продолжается еще неокторое время и после $t_2$, так как к моменту $t_2$ скорость бруска относительно площадки не равна нулю.

Итак, брусок «поползет», когда амплитуда колебаний площадки превышает минимальное значение

29

$$A_{\min} = \frac{\mu g \sqrt{2}}{(\mu + 1) \omega^2} = 1,2 \text{ mm.}$$

Если же амплитуда превышает значение $A_1 = g \sqrt{2}/\omega^2$ ($A_1 = 3A_{\min}$ при $\mu = 0,5$), то брусок не только «ползет», но еще и «подскакивает» (отрывается от плоскости), так как при этом в течение некоторой части перiodа колебаний сила $N$ нормальной реакции плоскости образуется в нуль (это легко увидеть из уравнения (3)).

Е. И. Бутиков

Ф1027. Источник света на расстоянии $l = 1$ м от экрана. В экране направьте источника сделано отверстие диаметром $d = 1$ см. Как изменится поток света через отверстие, если между экраном и источником поместить произчный цилиндр из материалов с показателем преломления $n = 1,5$ так, как показано на рисунке 1 (длина цилиндра $l = 1$ м, диаметр $d = 1$ см; источник на основе пройду через отверстие в экране.

Действительно, предельный луч, падающий из воздуха на торц цилиндра под углом $\pi/2$, после преломления будет составлять с осью цилиндра угол полного внутреннего отражения $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = 1/n$; этот луч попадает на боковую поверхность цилиндра под углом $\varphi = \pi/2 - \alpha$ (рис. 2). Так как

$$\sin \alpha = \frac{1}{n} = \frac{2}{3} < \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{\pi}{4},$$

то $\alpha < \frac{\pi}{4}$ и, следовательно, $\varphi > \frac{\pi}{4} > \alpha$. Значит, при падании на боковую поверхность цилиндра этот луч отразится. В дальнейшем луч будет идти внутри цилиндра, отражаясь каждый раз от его поверхности, и в конце концов попадает на его дальний torц.

Любой другой луч от источника, падающий на входной torц цилиндра под углом, меньше $\pi/2$, преломившись, будет составлять с осью цилиндра угол $\alpha' < \alpha$; на боковую поверхность цилиндра этот луч попадает под углом $\varphi' > \varphi > \alpha$ и завершено отразится.

Таким образом, произный цилиндр «соберет» в отверстие луч, испускаемые источником в телесный угол 2л стерадиан. В отсутствие цилиндра в отверстие попадает световой поток, сосредоточенный внутри телесного угла $\pi d^2/4l^2$ стерадиан. Следовательно, при наличии цилиндра световой поток через отверстие уvelичится в

$$n = \frac{2\pi}{\pi d^2/4l^2} = \frac{8\pi l^2}{\pi d^2} = 8 \cdot 10^4 \text{ раз.}$$

А. И. Бутков

Список читателей, приславших правильные решения

Большинство читателей, приславших решения задач M986—M1000, Ф998—Ф1012, справились с задачими M986, M987, M992, M994, M996—M1000, Ф1000—Ф1002, Ф1006, Ф1010.

Ниже мы публикуем фамилии тех, кто прислал правильные решения остальных задач (цифры после фамилии — последние цифры номеров решенных задач).

Математка
В. Акопян (Ереван) 91, 93; А. Алексейук (Одесяса) 93; М. Алимбетов (Целиноград) 88, 89; И. Аржанцев (Киев) 93; Д. Ароцер (Киев) 89, 91, 93, 95; С. Ариша (Северодонец) 88; С. Астахов (Сокольники Тульской обл.) 93; Т. Ахмедов (п. Борадыгях АэССР) 91; В. Базуткин (Кривой Рог) 91, 93; З. Бандик (СФРЮ) 91, 93; А. Барabaнов (Киев) 89, 91, 93, 95; Р. Безрукавников (Калуга) 91, 93, 95; А. Бейянку (СРР) 91; И. Белозеров (Серпухов) 89, 91, 93; Д. Берзин (Калуга) 89, 91, 93; А. Бимагайбетов (Алма-Ата) 91; П. Бучин (Киев) 93, 95; Р. Валцев (Фрунзе) 91, 93; Я. Варшавский (Харьков) 93, 95; А. Винцок (Киев) 95; А. Витгев (Новосибирск) 93; В. Володосский (Омск) 88, 91, 93; Т. Гамидов (п. Борадыгях АэССР) 93; Р. Гендлер (Ташкент) 91, 93; И. Георцшева (София, НРВ) 93; О. Гeuпель (Дрезен, ГДР) 91, 93, 95; А. Глуцок (Харьков) 91, 93; М. Гольдшейд (Челябинск) 88, 91, 93, 95; А. Гороховский (Киев) 89, 91, 93; В. Гравит (Северодинск) 88, 89, 93, 95; Р. Грипце (Львов) 89, 91, 93; Д. Гричаров (София, НРВ) 93; А. Давыдов (с. Елфимово Горковской обл.) 91, 93; Ш. Дадашов (п. Борадыгях АэССР) 91; Д. Добрицын (Москва) 95; А. Донченко (Киев) 89, 91, 93; Ю. Дрозд (Киев) 89, 91, 93; И. Дын-

31

Задания

1. Имеются два пластмассовых кубика одинаковой величины. Первый плавает в воде, опускаясь в воду на 2 см, а второй — на 1 см. На сколько опустится в воду нижний кубик, если первый кубик поставить на второй? А если второй на первый?

2. Мадемуазель Дюбya любит домашних животных. Все ее животные, кроме двух,— собаки, все, кроме двух,— кошки, и все кроме двух,— попугаи, а остальные — тараканы. Сколько каких животных у maladемуазель Дюбya?

3. Два одинаковых бумажных выпukлых четырехугольника разрезали: первый — по одной из диагоналей, а второй — по другой диагоналии. Доказите, что из полученных частей можно сложить параллелограмм.

4. Известно, что «медные» монеты в 1, 2, 3 и 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3 и 5 г. Среди четырех «медных» монет (по одной каждого достоинства) одна — бракованная: отличается весом от нормальной. Как с помощью взвешивания на цашечных весах без гриь определять бракованную монету?

5. Замените в неравенствах на рисунке буквы цифрами так, чтобы все неравенства стали верными. (Одинаковые буквы заменяются на одинаковые цифры, разные — на разные.)

Эти задания нам предложили Н. П. Дольбили, А. И. Рудинская, В. В. Произволь, ученик 8 класса шклы № 5 г. Гайворона Г. Тартаковский, Л. П. Мочалов.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ

32

32

Качество, Клима"

Вопросы и задания

1. В жарких странах напитки помещают в соузы с пористыми стенками. Зачем?

2. Свежесепченый хлеб весит большие, чем тот хлеб остывший. Почему?

3. Для чего, желая скорее высуить пол, на котором пролита вода, ее растрают по полу?

4. Когда, купаясь в жаркий день, вы входите в воду, она кажется холоднее воздуха, а когда выходите, то наоборот. Почему?

5. Пробирка наполнена во дой и открытьим концом опущена в стакан с водой (см. рисунок). Изменится ли уровень воды в про-

Торопливо и обработанное малых последниц палечи и, подиная, стал медленно подоращать. С той стороны, откуда неуловимо танил етерок, в пальце почистываюсь опущенные хлопода.

А. Серафимович «Лесная жизнь»

Вопросы и задания

6. Будет ли кипеть вода в стакане, плавающий в соусе с кипящей водой?

7. Можно ли заставить воду кипеть без нагревания?

8. Люди научились обработать бронзу раныше, чем желеzo. Чем это можно объяснить?

9. На рисунке показано, как изменяется со временем температуры металла

и стека. Которая из графков относится к металлу?

33

… существует лед, который обжелезы нам пальцы, если бы до него можно было дотронутся. Получают его под очень большим давлением, при котором вода переходит в твердое состояние при температуре значительной выше 0°С.
… испаряется, минус жидкое состояние, может и террorie тела. Наиболее известные примеры — испарение на фигляра и йода, ebiscхание замерзшего беля.
… еще в 1754—55 годах шотландский химик Дж. Блэк открыл не только постоянное точки плавания льда, но и то термометр показывает одну и ту же температуру, несмотря на приatok тенла, до тех пор, пока весь лед не растает. Отскода Блэк пришел к понятному скрытой теллоты плавания, а позже установал и поняте скрытой теллоты парообразования.

ИСПАРЕНИЕ, КИПЕНИЕ, ПЛАВЛЕНИЕ?

А хорошего ли знакомы вам процессы

К ним, разумеется, следует добавить и обратные процессы — конденсацию и кристаллизация. Все вместе они характеризуют определенные изменения состояния вещества. Состояния этих вам хорошего знакомы: твердое, жидкое, газообразное. Однако они не исчерпывают все многообразие возможных состояния. Со временем вы узнали о плазме, о нейронном состоянии вещества и о том, как к этим состояниям можно перейти. Пока же давайте заимемся не экзотическаями, а обыделными превращениями вещества, и оказывается, что обыделные они лишь на первый взгляд.

1. «Об агрегатных состояний вещества» — 1984, № 9, с. 20;
2. «Газ превращается в жидкость» — 1984, № 11, с. 25;
3. «Может ли быть неозмогенное?» — 1985, № 4;
4. «Фазовые превращения» — 1985, № 7;
5. «Приращение в парную» — 1985, № 8;
6. «Знакомьтесь: металлические стекло» — 1986, № 11.

34

На днях подошел ко мне мой сын Саша (он семиклассик):
— Купи мне калькулятор, как у Вовки!
— Во-первых, у тебя есть калькулятор, но во что ты его превращал? Теперь он вместе цефр показывает какие-то цероглифы! Во-вторых, школьник должен уметить считать и без калькулятора. В-третьих, так и быть, отнесу на этой неделе калькулятор в починку.
— Может не носить калькулятор в мастерскую, — ответал мне Саша, — складывать, умножать и делить я и сам умело. Мне уравнение квадратное надо решить, а под корнем во какое число: 16229! В учебнике-то самое большое число в таблице — это 10 000. А у Вовки калькулятор вычисляет квадратные корни.
— А хочешь я научу тебя вычислять корни без калькулятора?
— А это трудно?
— Не намного труднее деления. Вот слушай.

Различные способы извлечения квадратных корней «вручную» существуют с древних времен. Я рассказу тебе об одном таком способе, который был создан еще в XV веке и на протяжении долгих лет чисто служил и школьникам, и ученым.

Что бы освободить этот способ, достаточно разобрать несколько примеров.

Спачала рассмотрим случай, когда корень извлекается нацело, т. е. когда число является полным квадратом. Найдем, например, корень из числа 294 849.

Разобъем цефры, входящие в это число, справа налево на группы по две цефры (рис. 1, а). Самую левую группу наозвемет первой, следующее — второй и т. д. Общее число образованшихся групп определяет число цефр исключого корня.

Первая цефра находится как целочисленное значение корня из первой группы с недостатком. В нашем случае — это цефра 5. Записьваем ее в ответ, затем возводим в квадрат, вычитаем из первой группы и способ к результату вычитания следующего группу. (Если результат вычитания — нуль, то просто сносим следующего группу.) В рассматриваемом примере получится число 448 (рис. 1, б).

Переходим к определению второй цефры. Для этого слева от полученного числа 448 проводим вертикальную прямую и записьваем за ней место десятков удвоенную первуцию цефру: $2 \times 5 = 10$ (рис. 1, с).

На место единиц ставим сумму бóльшую цефру $a$, для которой разность $448 - 10a \cdot a$ неотрицательна, т. е. положительная или равна нулю. Ясно, что в нашем случае это цефра 4. Заносим эту цефру в ответ (рис. 1, е).

Умножаем 104 на 4 и записьваем результат справа от вертикальной черты. Вычисляем разность $448 - 416 = 32$ и способ к ней следующее. На место единиц ставим сумму бóльшую цефру $b$, для которой разность $3249 - 108b \cdot b$ неотрицательна. Подбором убеждаемся, что для $b = 3$ эта разность равна

35

нулю. Заносим $b=3$ в ответ (рис. 1, е).

Умножаем 1083 на 3, записываем результат справа от вертикальной черты и вычитаем его из 3249 (рис. 1, ж).

Так как разность равна нулю, процесс вычисления корня окончен.

А теперь, глядя на рисунки 2 и 3, попробуйте самостояльно повторить все шаги, необходимые для вычисления квадратных корней $\sqrt{212521}$ и $\sqrt{165649}$.

До схх пор мы рассматривали числа с четыым числом цифр. Если же общее число цифр нечетно, то первый группа слева будет состоять только из одной цифры (рис. 4, 5).

Ну а что же делать, если число не является полным квадратом? Алгоритм в этом случае не меняется, нужно лишь правильно подготовить число. Итак, пусть $N$ — некоторое число (не обязательное целое), представленное десятичной дробью, и мы хотим вычислять корень из него с точностью

36

до $\frac{1}{10^{10}}$, т. е. хотим найти цифры в десятичном представлении исходного корня до $m$-го знака после запятой включительно. Тогда мы построаем следующим образом. Цифры, входящие в целую часть числа $N$, разбиваем на группы по две цифры в каждой справа налево, а цифры, образующие дробную часть, разбиваем на такие же группы, но уже слева направо. Если общее число цифр в целой части нечетно, то первый группа слева будет состоять из одной цифры, если же нечетно число цифр в дробной части, то к последней цифре слева приписываем нуль. Когда число групп в дробной части больше $m$, мы отбрасываем лишние группы справа, когда оно меньше $m$, мы составляем недостающие группы из нуля. Теперь все готовы, чтобы использовать наш алгоритм. На рисунках 6 и 7 показано вычисление

37

квадратных корней $\sqrt{2}$ и $\sqrt{12,5}$ с точностью до $\frac{1}{1000}$.

Чтобы проверить, освоили ли вы этот алгоритм, продолжайте следующие упражнения: вычислите с точностью до $\frac{1}{1000}$ квадратные корни $\sqrt{18769}, \sqrt{24336}, \sqrt{35721}, \sqrt{232324}, \sqrt{243049}, \sqrt{104,2441}, \sqrt{1867,1041}, \sqrt{7}, \sqrt{10}$.

Мы не будем заниматься обоснованием описанного алгоритма. Заметим лишь, что получение каждого новой цифры связано с возрастающим объемом вычисления, поэтому алгоритм разумно применять тогда, когда требуется точность не превышает трехчетырех значших цифр (чero, как правило, достаточно для практических расчетов).

Tochnostь вычисления с использованием указанного алгоритма можно повысить, если воспользоваться следующим утверждением:

Если после вычисления $n$ значших цифр корня остаток от известняния разделить на удвоенное найденное значение корня, то частное дает $n-1$ следующих цифр корня.

Доказем это утверждение. Предположим вначале, что число $a$, из которого извлекается корень, имеет целую часть из $n$ групп. Пусть найдено $n$ первых цифр корня, образующих число $c$. Тогда $\sqrt{a}=c+x$, где $x$ — дробная часть корня, которую нужно найти. Следовательно,

$$a=c^2+2cx+x^2,$$
$$\frac{a-c^2}{2c}=x+\frac{x^2}{2c}.$$

Разность $a-c^2$ это и есть остаток, который получается после нахождения $n$ цифр корня. Дробь $\frac{a-c^2}{2c}$ представляется собой то самое частное, о котором говорится в утверждении.

Поэтому

$$x=\frac{a-c^2}{2c}-\frac{x^2}{2c}.$$

Считая $x \approx \frac{a-c^2}{2c}$, мы допускаем погрешность, равную $\frac{x^2}{2c}$. Так как $x<1$, $a \geq 10^{n-1}$, имеем что и требовалось. Если запятая, отделяющая целую и дробную части в числе $a$, стоит не там, где мы ее предполагали, то ее всегда можно перевести на надлежащее место, производа умножение или деление числа $a$ на некоторую степень $10$ с четным показателем, а потом разделив или умножив найденный корень на степень $10$ с показателем, вдвое меньшим.

Рассмотрим пример. Вычислим $\sqrt{2}$ с семью значениями цифрами, т. е. с шестю цифрами после запятой. Ранее мы вычислили $\sqrt{2}$ с треязами после запятой (рис. 6). Деление остатка на удвоенное значение корня дает следующее три (рис. 8).

Конечно, в нашей время, когда почти каждый первоклассик носит в портфеле микрокалькулятор, нелегко удивить школьника ручным способом извлекания квадратного корня. Но мы все же надеемся. Известный американский математик академик Грехем вспоминал, что сильный интерес к математике он почувствовал впервые в начальной школе, увидев тот самый алгоритм по известению квадратных корней, о котором мы сейчас расскажли. Его заинтересовало, возможно ли сделать что-нибудь похожое для кубических корней и корней более высоких степени. Он нашел аналогичный способ решения, и с тех пор математика нассгда вошла в его жизнь.

Список читателей, приславших правильные решения

(Начало с. на c. 29)

09, 11; С. Тюрин (п. Правдинск Горьковской обл.) 09, 11; А. Усинский (с. Птичья Ровенской обл.) 09; Д. Фельдман (п. Черноголовка Московской обл.) 03, 05; Д. Филатев (Алма-Ата) 99; Г. Финкельштейн (п. Черноголовка Московской обл.) 03—05, 07—12; Ф. Фот (Томск) 03, 05; А. Фурс (п/o Дричин Минской обл.) 09, 11; М. Хараба (с. Надречное Терновольской обл.) 04; П. Хиль (п. Овидно-пол Одесккой обл.) 03; Д. Ходоровская (Киев) 04; И. Чайка (п. Кузнецов Ровенской обл.) 99, 05, 07, 08, 11; О. Чепиков (Могилев) 03, 09, 11; И. Шехтман (Киев) 04, 05, 09; А. Шшикин (Новый Уренгой) 09; А. Шуляк (с. Молодецкое Черкасской обл.) 11; Н. Юдина (п. Майна Ульяновской обл.) 11; В. Яйлян (Шостка) 03; И. Яковлева (Киев) 04; Ю. Яровой (Киев) 99, 09.

39

В случае сопротивления движению твердого тела в жидкости или газе речь идет о передаче импульса (количества движения) молекул слоя, который движется в каком-то направлении с большей скоростью, чем соседний слой, молекулам этого соседнего слоя.*) И наоборот, молекули этого медленного слоя, обладая кроме своего хаотического движения еще и медленным направлением движения вдоль границы слоя, разавляют «быстрый» слой, тем самым замедляя его. Объчно считается, что слой, неосредственно прилегающий к телу, имеет ту же скорость, что и тело. Следовательно, он испытывает ту же силу треня и, в свою очередь, замедляет илиускоряет слой, отстоящий чуть дальше. При этом играет роль то, как быстро нарастает (или убивает) скорость по мере перехода от одного слоя к другому, или, как говоря, сколько градент скорости.

Исследования различных ученых показали, что при небольших скорости сила взкого треня пропорциональна скорости относительной движения твердого тела и жидкости или газа. Она зависит от природы жидкости и от формы и размеров тела. Такую силу сопротивления испытывать, например, частицы тумана и дыма, оседающие в воздухе, маленькие твердые шарики, падающие в взкой жидкости (например, в глицерин) и т. п.

При любом виде треня движения происходит еще одно крайнее важное явление. Это превращение энергии механического движения во внутреннюю энергию (темловое движение молекул) в соответствии с законом сохранения энергии. Еще Кулон исследовал затухание круглых колбаний цилиндра в жидкости. В этом опите механическая энергия цилиндра при колбании рассеивает, превращается в тепло, и жидкость вместе с цилиндром нагреваются. А если жидкость была идеальной, т. е. не обладающей взкостью, то цилиндр мог бы колбаться на упругом подвеске вечно.

Итак, вззкое трене приводит к потере механического энергии, к сопротивлению движению тела в жидкости. Но означает ли это, что вззость жидкости или газа нужно во всех случаях уменьшать, что самолет, например, в таком случае будет летать быстрее? Отнюдь! Самолет в воздухе, лишенном внутреннего треня (в идеальной «жидкости»), вообще не взлетит, так как подъемная сила его крыла будет равна нулю, как и сила тягги воздушного винта. Дело здесь в особом свойстве лишенного вззости потока идеальной жидкости. Оказывается, на тело любой формы такой поток может действовать только с силами, сумма которых равна нулю. В этом состоянии существенно так называемого парадокса Даламбера — Эйлера. Но обсуждение этого вопроса, к сожалению, выходит за рамки данной заметки.

В. В. Буховцев

Metод электростанческих изображений

В школьном курсе физики вы познакомились с явлением электростанческого индукции. Вспомним, в чем оно заключается.

Поднесем точный заряд +q к какому-либо проводнику, например к незаряженному металлическому шарику. За очень малое время свободные заряды на шарике перераспределятся так, что напряжение результирующего поля внутри него становится нулю. После этого движение зарядов прекратиется. Поле внешнего заряда оказывается компенсированным полем зарядов, «появившихся» на поверхности шарика. Будем назвать их наведенными зарядами.

*) Более подробно о механизме жидкого треня можно прочитать, например, в замете Е. Е. Городцкого «О явлениях перенаса» («Квант», 1986, № 9, с. 27). (Примеч. ред.)

40

Поле наведенных зарядов есть и вне проводника, в частности, оно действует на заряд +q — заряд притягивается к шарику, хотя полный заряд шарика равен нулю (рис. 1, а). Если бы шарик был замещен, притяжение было бы сильнее, поскольку на шарике появился бы избиточный отрицательный заряд (рис. 1, б). Этот заряд переtek бы на проводник с земли под действием поля заряд +q.*)

Как расчитать поле наведенных зарядов? Расмотрим пример. Пусть проводник занимает все право полупространство (рис. 2). Тогда на его плоской границе OO′ соберутся наведенные отрицательные заряды, которые уничтожат поле всуду в проводнике. Вычислить поле вне проводника (слева от OO′) нам помогет тот очевидный факт, что поле наведенных зарядов симметрично относительно плоскости OO′. Посмотрите на рисунок 2 — на нем хорошо видно, чем равно поле наведенных зарядов справа от OO′ (в проводнике). Раз это поле компенсирует поле заряд +q, то, очевидно, оно совпадает с полем воображаемого заряд —q, помещенного в ту же точку, что и заряд +q. Теперяясно, какое поле создают наведенные заряды слева от OO′ (вне проводника). Оно в точности равно полю воображаемого заряд —q, но помещенного по другую сторону от плоскости OO′, симметрично по отношению к заряду +q. Заряд —q называют изобравлением заряда +q.

*) Поле вне проводника может быть определено, если известен либо полный заряд проводника (как в случае, изобравлением на рисунке 1, а), либо его потенциал (как на рисунке 1, б). Первая слуая соответствует изолированному проводнику, второй — проводнику, соединенного с удаленным очень большим проводником известного потенциала (например, с землей). Мы, в основном, будем рассматривать второй тип задач. Пotenциал бесконечного проводника будем считать равным потенциалу на бесконечности, т. е. нулю.

Итак, плоская поверхность проводника притягивает точный заряд +q, удаленный от нее на расстояние d, с такой же силой, с какой его притягивал бы заряд —q, удаленный на расстояние 2d:

$$F = kq^2/(2d)^2.$$

Мы получили удивительный результат: поле, создаваемое зарядом и проводником (рис. 3, а), в пространстве в неprodникка совпадает с полем всего двух точных зарядов (рис. 3, б). Почему оказывается возможность такая подмена? Вспомним, что поверхность проводника представляет собой эквивалентную поверхность, причем в нашем примере потенциал проводника равен нулю. Поле же двух зарядов +q и —q обладает следующим свойством: эквивалентная поверхность φ=0 совпадает с плоскостью симметрики OO′, т. е. точно повторяет форму поверхности расматриваемого проводника. Именено в этом скрыта причина совпадения полей, изобравенных на рисунке 3, а и б. И в других случаях надо стремиться расположить заряды изобравнения внутри проводника так, чтобы поверхность проводника совпала с поверхностью постоянного потенциала, равного потенциалу проводника.*)

Возникает резонный вопрос — как это сделать? Как найти заряды изобравнения и их положения, если известны форму и потенциал проводника? К сожалению, в общем случае такого

*) Тогда поле внешних зарядов и проводника будет совпадать с полем внешних зарядов и зарядов изобравнения (т. е. проводник помещается изобравениями). Дело в том, что граница расматриваемой области (пространство в неprodникка) имеет в этих двух слуаях одинаковый потенциал, и расположение зарядов внутри области также одно и то же (все изобравнения находится вprodнику, т. е. вне этой области). Выполнение этих условий достаточно, чтобы утверждать, что поля совпадают в точную внутреннюю область. Это утверждение часто называют приципом единственности в электростатике.

41

Резецта не существует, и обычно приходится действовать, как говоря, «с конца» — от зарядов к проводнику.

Возьем несколько точных зарядов, рассчитаем их поле, найдем любую эквивпотенциальную поверхность $\varphi = \varphi_0$ и заполним пространство внутри этой поверхности проводником с потенциалом $\varphi_0$. Тогда поле, которое мы уже рассчитали, представляется собой готовое решение для получения шегосяпровдника и тех зарядов, что оказывась в него! Заряды же, которые «погибли» внутри проводника, играют роль зарядов-изображений. Таким способом можно построить много «готовых» решений, но нет гарантии, что среди них найдется проводник заранее заданной формы.

Рассмотрим пример. Возьем какую-нибудь эквивпотенциальную поверхность для тех же зарядов $+q$ и $-q$, например с $\varphi = -1$ В (рис. 4, а). Поле этих двух зарядов вне этой поверхности совпадает с полем заряда $+q$ и проводника, имеющего фиксированный потенциал $\varphi = -1$ В (рис. 4, б).

Еще пример. Поле четырех зарядов $+q$, $+q$, $-q$ и $-q$, размещенных в вершинах прямого угольника (рис. 5, а), имеет эквивпотенциальную поверхность $\varphi = 0$ в виде двух взаимно перpendикулярных плоскостей. Значит, часть этого поля, заключенная в первом квадрате, совпадает с полем заряда $+q$, помещенного в двухгранный угол (рис. 5, б). При других зарядах является изображениями заряда $+q$. Попробуйте сами найти решение для заряда, помещенного в трехгранный угол, — для этого вам придется использовать семь дополнительных зарядов.

Вернемся теперь к примеру с металлическим шариком, о котором шла речь в начале статьи. Возьем заряда $+q_1$ и $-q_2$ ($q_1 > q_2$), расположенные на расстоянии $l$ друг от друга. Оказывается, что эквивпотенциальная поверхность $\varphi = 0$ представляется собой

сферу (рис. 6, а).*) Чтобы определить радиус этой сферы $R$ и расстояние $L$ от ее центра до заряда $+q_1$, можно приравнять к нулю потенциальы точек $A$ и $B$ (рис. 6, б):

$$k \frac{q_1}{L-R} - k \frac{q_2}{R-(L-l)} = 0,$$

(*)

$k \frac{q_1}{L+R} - k \frac{q_2}{R+(L-l)} = 0.$

Поле этих двух зарядов в пространстве вне сферы в точности совпадает с полем, которое возникает, если заряд $+q_1$ помещить на расстоянии $L$ от центра заемленного металлического шара радиусом $R$ (рис. 6, б). В этом случае, когда задано положение шара, нам известны $R$ и $L$, а положение отпечатленного заряд-изображения ($l$) и его величины ($q_2$) можно найти из той же системы (*):

$$l = L - R^2/L, \quad q_2 = q_1R/L.$$

Сила, с которой заряд $+q_1$ принята к шару, равна

$$F = k \frac{q_1q_2}{l^2}.$$

*) Потенциаль точного заряда $q$ имеет вид: $\varphi = kq/r$. Условие $kq_1/r_1 - kq_2/r_2 = 0$ преобразуется к равенству $r_1/r_2 = q_1/q_2$, т. е. описывается геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до заданных двух точек имеет фиксированное значение. Доказьте сами, что это сфера.

42

А как же найти поле и силу притяжения в случае незаряженного шарика? Тогда кроме изображения — $q_2$ надо поместить в центр сферы еще один воображаемый заряд + $q_2$. Поле этих трех зарядов вне сферы будет совпадать с полем заряда + $q_1$ и незаряженного шарика. Почему? Заметим, что поверхность сферы оставется эквивалентной поверхности и после добавления третьего заряда. Зато число силовых линей, входящих внутри сферы, теперь точно числу силовых линей, из нее выходящих — ведь полный заряд внутри сферы равен нулю. Но такому же условия удовлетворяет поле и в случае незаряженного проводника! Значит, мы нашли правильное поле. Сила притяжения заряда + $q_1$ к шару в этом случае будет заметно меньше — ведь он не только притяжается к изображению — $q_2$, но и отталкивается (с меньшей силой) от другого изображения + $q_2$:

$$F = k \frac{q_1 q_2}{l^2} - k \frac{q_1 q_2}{L^2}.$$

А. И. Черпоучан

Ядерные спектры

Как вы знаете, атомные ядра состоит из нукlonов — протонов и нейтронов, между которых действуют ядерные силы притяжения и кулоновские силы отталкивания. Что может произойти с ядром при его стольновении с другим ядром, частей или гамма-квантом? Опыты Э. Резерфорда, выполненные в 1919 году, показали, например, что под воздействием альфа-частицы из ядра может быть выбит протон. В экспериментах, проведенных Д. Чедвиком в 1932 году, было установлено, что альфа-частицы могут выбивать из atomных ядер и нейтроны («Физика 10», § 106). Но всегда ли так заканчивается процесс стольновения? Не может ли atomное ядро поглотить энергию, полученную при стольновении, и перераспределить ее между входящими в его состав нуклонами, изменив тем самым свою внутреннюю энергию? Что будет проискотить с таким ядром дальше?

Ответы на эти вопросы для примыты опыты по изучению взаимодействия протонов с atomными ядрами. Их результаты очень похожи на результаты опытов Франка и Герца по изучению стольновейной электронов с atomами («Физика 10», § 96). Оказываться, при постепенном увеличении энергии протонов сначала употребляется с atomными ядрами, кинетическая энергия не превращается в другие виды энергии, а лишь перераспределяется между протоном и atomным ядром как одной частицей. Однако, начиная с некоторого значения энергии протона, могут проискотить и неупругие стольновения, при которых протон поглощается ядром и полностью передает ему свою энергию. Ядро каждого изотопа характеризуется строго определенным набором «порций» энергии, которые оно может принять.

Эти опыты доказывают, что ядра обладают дискретными спектрами возможных энергетических состояний. Таким образом, квантование энергии и ряда других параметров является свойством не только atomов, но и atomных ядер. Состояние atomного ядра с минимальным запасом энергии называется основным, или нормальным, состоянием с избitable точкой энергии (по сравнению с основным состоянием) называются возбужденными.

Атомы обчную находится в возникновении состояний примерно

43

10⁻⁸ секунды, а возбужdenные атомные ядра избавляются от избытка энергии за горадо более короткое время — порядка 10⁻¹⁵-10⁻¹⁶ секунды. Как и атомы, возбужdenные ядра освобождаются от избытка энергии, испуская кванты электромагнитного излучения. Эти кванты называются гамма-квантами (или гамма-лучами). Дискретному набору энергетических состояний atomного ядра соответствует дискретный спектр частот излучаемых ими гамма-квантов. Гамма-лучи представляют собой поперечные электромагнитные волны, такие же, как радиоволлы, видимый свет илиRENTеновские лучи. Они являются самым коротковольным видом электромагнитного излучения из всех извесных, и соответствующие им длины волн лежат в диапазоне примерного от 10⁻¹¹ м до 10⁻¹³ м.

Энергетические состояния atomных ядер и переходы ядер из одного состояния в другое с поглощением или извесением энергии приято описывать с помощью энергетических диаграмм, аналогичных энергетических диаграммам atomов («Физика 10», § 94). На рисунке представлена энергетическая диаграмма ядра изотопа железа — 58/26 Fe, полученная на основе опытов по бомбардировке протонами. Заметим, что при качественном сходстве энергетических диаграмм atomов и ядер между ними есть существенные колчественные различия. Если для перевода атома из основного состояния в возбужdenное требуется энергия в несколько электроновольт, то для возбужdenя atomного ядра необходимо энергия порядка сотен тысяч или миллионов электроновольт. Это различие обусловлено тем, что ядерные силы, действующие между нуклонами в ядре, в значительной степени превозходят силы кулоновского взаимодействия электронов с ядром.

Способность atomных ядер самопроизвольно переходить из состояния с большим запасом энергии в состояние с меньшей энергейой объясняет происходение не только гамма-излучения, но и радиоактивного распада ядер.

Многие закономерности в ядерных спектрах можно обьясить, если воспользоваться так называемой оболоченной моделью atomного

44

В понсках оптимального раскрой

Кандидат физико-математических наук
М. В. ВАЛК,
Г. М. ЛАНДМАН

Завод детских игрушек присутствил к массовому выпуску нового изделия, одна из деталей которого — небольшой многоугольник определяющий формы и размеров (рис. 1) из тонкойжести. На заводе имелся станок, на котором легко и быстро можно было нарезать из листа жести прямогольники любых заданных размеров. Поэтому технически было принято решение: нарезать сначала одинаковые прямогольные заготовки надлежащих размеров, а затем уже обрезать каждый такой прямогольник так, чтобы из него получить требуемую многоугольную деталь. А размеры прямогольников следует, естественно, выбрать так, чтобы отходы на обрезки были минимальными. Так возникла математическая задача, о решении которого мы расс克拉ем в данной заметке.

Основная задача. Указать алгоритм, который позволяет среди всех прямугольников П, вместе соихих в себе данные многоугольник М, выбрать тот, который имеет наименьшую площадь.

Примугольник, удовлетворяющий условияю этой задачи, мы будем называвать оптимальным. Если какой-либо прямогольник вместе в себе многоугольник M, а на контур прямогольника нет ни одной вершины многоугольника, то можно прямогольник улущить, т. е. заменить его другим прямогольником меньшей площади, также содержащим в себе многоугольник M. Для этого достаточно перевести параллельно самой себе каждую из четырех прямых, содержащих стороны прямогольника M так, чтобы они (после перемена) уже проходили через какие-то вершины многоугольника M. На рисунке 1 таким «улущенный» прямогольником (по сравнению с П) является П′.

Принято называть опорной прямой для данного многоугольника M любую прямую, которая содержит хотя бы одну точку контур многоугольника и не содержит ни одной его внутренней точки (например, на рисунке 1 прямые a и b — опорные для многоугольника M, а прямая c — не опорная). Примугольник, все четыре стороны которого лежат на опорных прямых для многоугольника M, будем называть описанным около M. Таким

45

Является прямогольник $\Pi'$ на рисунке 1. Как только мы для заданного многоугольника $M$ (рис. 1) выбрали опорную прямую $(a)$, мы тем самым уже однозначно задали прямогольник, описанный около $M$. Описанный около $M$ прямогольник обладает, очевидно, тем свойством, что на каждой его стороне (быть может, в ее конце) помещается хотя бы одна вершина многоугольника (рис. 1). Из двух прямогольников, описанных около данного многоугольника $M$, будем называть лучшим тот, который имеет меньше шифу площадь. Оптимальный прямогольник, о котором говорится в основной задаче, следует, очевидно, искать среди прямогольников, описанных около $M$.

Технологи завода высказали две гипотезы:

Гипотеза I. Оптимальный прямогольник для многоугольника $M$ — это тот описанный прямогольник, у которого одна сторона содержит наиболее ширую сторону многоугольника.

Гипотеза II. Оптимальный прямогольник — тот описанный прямогольник, у которого одна сторона параллельна наиболее шириной многоугольника.

На этот этапе задача была предложена математику.

С чего начал математик

Matematик начал с совсем, казалось бы, неинтересного и малосодержательного вопроса: «А существенно ли вообще оптимальный прямогольник?»

Выберем на плоскости какую-нибудь точку $O$ и проведем через нее ось $l_0$ (рис. 2a). Затем проведем через $O$ произвольно луч $l = l_\varphi$ и пусты он образует угол $\varphi$ с осью $l_0$. Мы можем построить для многоугольника $M$ опорную прямую, параллельную лучу $l$, и затем — тот (единистенный) описанный прямогольник $P$, две стороны которого параллельны лучу $l$; его площадь обозначим через $S(\varphi)$. Будем изменять угол $\varphi$; пусты этот угол растет от 0 до $\pi$; при этом будет меняться и прямогольник $P$, и мы получим все возможные прямогольники, описанные около $M$; будет непрерывно изменяться и $S$ (т. е. при малом изменении угла $\varphi$ мало изменится и величины $S(\varphi)$). Но функция, непрерывная на некотором отрезке (в нашем случае — на отрезке [0; $\pi$]), обязана принять при каком-то (хотя бы при одном) значении $\varphi$ из этого отрезка своего наименьшего значения («Алгебра и начала аналiza 9—10», с. 89). Значит, найдется такой угол $\varphi$, что соответствующий описанный около $M$ прямогольник будет иметь наименьшую возможность площадь (будет оптимальным). Иначе говоря, среди прямогольников, описанных около многоугольника $M$, называя имеется (хотя бы один) оптимальным.

Удостоверившись в существование решения, математик приступил к его поиску.

Рассмотрим произвольный многоугольник — невпуклый или выпуклый. Слушай невпуклого многоугольника, однако, легко свойства к случаю выпуклого многоугольника. В самом деле, пусты $M$ — невпуклый многоугольник. Расмотрим наименьший выпуклый многоугольник $M'$, содержащий многоугольник $M$ ($M'$ называют выпуклой оболочкой многоугольника $M$, рис. 26). Легко понять, что прямогольник $P$ содержит в себе многоугольник $M$ в том и только том случае, когда он содержит его выпуклую оболочку $M'$. Следовательно, задача поиска оптимального прямогольника для многоугольника $M$ равносильна той же задаче для выпуклого многоугольника $M'$.

Чтобы освободятся с ней, попытаться сначала ее в простейшем частном случае, когда $M$ — треугольник.

Решение задачи для треугольника

Пусть $M$ — треугольник $ABC$, а $P$ — какой-либо прямогольник, описанный около $M$. На каждой из четырех сторон прямогольника должна быть хотя бы одна вершина треугольника. Поэтому по крайней мере одна вершина треугольника «обслуживает» две