Квант 1987, №4 · Страницы

ISSN 0130—2221
Квант
Научно-популярный
физико-mатематический
журнал
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
87

2

12 апреля — День космонавтики

Время неумолимо движется вперед, отдаляя нас от того памятного дня, когда впервые житель Земли поднялся в космос. Полег Ю. Гагарина был не только его личным подвигом. Это был подвиг многих советских людей, которые расчётвали, проектировали, строили и испытывали космической корабель «Восток-1», готовили космонавта к полету. С тех пор наша страна успешно продлжает работу по исследованию и использованию космического пространства в мирых целях.

20 февраля 1986 года впервые выведена в космос орбитальная научная станция «Мир». Она основана шестью стыковочных узлами и представляет собой базовый блок для создания многоцелевого плотируемого комплекса со специальными орбитальными моделями — настоящого орбитального научно-технического института. Сейчас на станции «Мир» работал космонавты Ю. Романенко и А. Лавейкин.

Выдающийся успехом советской космонавтики является исследование кометы Галлея автоматически станциями «Вega-1» и «Вega-2». Советская космическая орбитальная общеватория «Астрон», основаннаяRENTеновским телефоном, в конце февраля 1987 года исследовала уникальное небесное явление — вспышку сверхновой звезды в соседней с нами галактике — Большом Магеллановом облака. А вперед — новые проекты.

Летом 1988 года планируется запуск двух космических аппаратов, предназначенных для исследования Марса и его спутника Фобоса. Ведется подготовка к полету совместных космических экипажей с участем болгарских, срийских и французских космистов.

Советский Союз активно расширяет рамки международного сотрудничества в космосе. На станциях «Вega» использовалась аппаратура, разработанная учеными Болгарии, Венгрии, ГДР, Польщи, Чехословаки, Австралии, Франции и ФРГ.

Мы — активные противники миллиаризации космоса. Поэтому мы настаниваем на ликвидации американской программы «звездных войн», которая ставит под угрозу само существование человека. И в этой борьбе нас поддерживает больший стемли.

3

Что мы делаем, когда хотим оценить температуру какого-либо предмета, заведomo не раскаленого и не очень холодного? — Мы прикасаемся к нему пальцами. Через доли секунды hervные окончания сообщают, теплые или холоднее этот предмет, чем наша кожа (ее общая температура 34—36 °C).

Однако не только температурой тел определяется наше ощущение. При комнатной температуре деревянные предметы какуются нам более теплыми, чем стекло или камень, еще более холодными представляются нам металлы, несмотря на то, что температура в комнате у всех материалов одинакова. Так что же именно чувствуют пальцы? Что происходит при контакте с предметом иной температуры? Расмотрим сначала наиболее простой случай. Известно, что на ощупь можно определить, больше ли человек, повышена ли у него температура. Мыы, как правило, определют так даже 37 °C; так что чувствуются hervных окончаний равна примерно градусу. Понять, что происходит при этом с точки зрения физики, помогает тот факт, что свойства соприкасающихся тел в данной случае одинаковы, различна только их температура.

При соприкасовении тел с различными температурами распределение температуры вблизи области контакта начинает изменяться: прилежащие слой холодного тела среваются, теплого — охлаждаются. Очевидно, что температура неосредственно в точках контакта равна средней температуре тел: $t_0 = \frac{1}{2} (t_1 + t_2)$. В конце имеется несколько видов hervных окончаний (рецепторов), расположенных на глубине 0,3—0,5 мм. Они передают информацию о тепле и холоде, о давлении на кожу, о больи и т. д. (Разделение рецепторов по «специалности» не очень четкое.) Поскольку нас интересют ощущения тела и холода, примен упрощенную модель: терморецепторы чувствуют — «измеряют» — не саму температуру, а именно разность между начальной температурой тела и той, которая устанавливается после соприкосовения. Для нашей ощущения температуры предметов наиболее важны самые первые мгновения прикосовения, когда температура кожи, а вместе с ней и нервных окончаний только начинает изменяться. Вспомните свой ощущения: после прикосовения проходит небольшое, но заметное время, в течение которого меняется цвет телоты. Оценим это время, за которое изменение температуры додает до терморецептов.

Предварительно напомним основные понятия физики теплоты и определения теплоемкости и теплопроводности. Удельная тепломкость вещества $c$ показывает, на сколько возрастает внутренняя энергия единиц массы тела, когда тело нагревается на один градус. При нагревании тела массой $m$ на $\Delta t$ градусов его энергия увеличивается на

$$\Delta Q = cm \cdot \Delta t.$$

Размерность теплоемкости — Дж·кг$^{-1}$·град$^{-1}$.

При контакте тел с различными температурами начинается теплопроводность. При этом всегда вынужден энергии более холодному. Физическая величины, показывающей как интенсивно прикосовит перенос тепловой энергии, называется тепловым потоком. Телловой поток $q$ по определению есть тепловая энергия, проходящая в единицу времени через единицу секунды. Если при смешении на $\Delta x$ температура возрастает на $\Delta t$, то тепловой поток — энергия, проходящая еже-

4

Секундно через единную площадку, перpendикулярную отрезку $\Delta x$, — равен

$$q = -x \frac{\Delta t}{\Delta x}$$

(знак минус показывает, что поток теплла направлен в сторону уменшення температуры). Коэффициент пропорциональности $x$ называется коэффициентом теплопроводности. Размерность $x$ — Дж·м$^{-1}$·с$^{-1}$·град$^{-1}$.

Процесс теплопередачи определяется тепломкостью и теплопроводностью веществ, а также их плотности.

Проведем приближенную оценку скорости изменения температуры при соррикосовении одинаковых по свойствам, но по-разному нагретых тел. Посмотрите на рисунок 1. На нем показано распределение температуры (по «глубине») в приконтактических слоях соррикающийся тел спустя время $t$ после начала контакта. Как видно из рисунка, за время $t$ в обихх телах температура успевает существенно измениться в слое толщиной $l$ (понятно, что $l$ зависит от времени). Величина теплового потока $q$ в данной момент составляет примерно $\frac{x(t_2-t_1)}{l}$. Это означает, что через сечение контакта $S$ за время $\Delta t$ проходит энергия

$$\Delta Q = qS \cdot \Delta t \approx \frac{x(t_2-t_1)S \cdot \Delta t}{l}.$$

Эта энергия и уходит на нагревание слоя с массой $m \sim \rho lS$ на разность температур $\Delta t \sim t_2 - t_1$, т. е. $\Delta Q \sim c \rho lS \cdot \Delta t$. Итак,

$$\frac{xS \cdot \Delta t \cdot \Delta t}{l} \approx c \rho lS \cdot \Delta t.$$

Сечение контакта и разность температур сокращаются, а приращение времени $\Delta t$ с точностью этого расстояния можно положить равным времени $t$, прошедему с начала соприкосновения. Из записанного соотношения мы и получаем зависимость $l(\tau)$:

$$l(\tau) = \sqrt{\frac{x}{c \rho}} \tau$$

Знак равенства мы поставили не случайно: хотя оценки были приближенными, полученная зависимость $l(\tau)$ точная (как и графики на рисунке 1).

Время, в течение которого температура на глубине $l$ сравняется с температурой контакта, зависит от величины $x$, $c$ и $\rho$, определяемых только свойствами материалов соприкающийся тел. Стояшая под корнем в равенстве (1) комбинация этих величины $x = x/c \rho$ называется коэффициентом температуропроводности и является характеристкой материалов. Например, у воды $x = 1.5 \cdot 10^{-7} \text{ m}^2/\text{c}$. Для дальнейшего нам понадобится теплые свойства некоторых материалов — они приведены в таблице на с. 6.

6

Приведенные в таблице значения $t_0$ соответствуют нашим оценкам: неподвижный воздух почти не ощутим, деревянные предметы лишь ненамного холоднее тела, стекло и камень на ощупь прохладны, а металлы — холодны. Золото — рекордсмен по величины $v$; при соррикосовении с массивным сликом температура контакта оказывается гораздо близке к температуре золота, чем к температуре тела.

Не касались ли вы случайно металлических предметов морозным зимним днем? При этом кожа пальцев иногда слегка приплпает, как бы приклеивается к металлу. Это замерзает тонкий слой влаги на коже пальцев. Следовательно, температура контакта отрицательна — $t_0 < 0$ °C. Может вычислить, как низка должа быть температура на улице, чтобы такое примерзание было возможным. Из формулы (2) следует, что опасен мороз с температурой $t < -t_\tau/v$. Конкретено, приплпаение кожи пальцев к железу возможно при температурах ниже — 3,5 °C, к алюминию — при температурах ниже — 12 °C, к золоте — ниже — 2 °C.

Кое у кого здесь может возникнуть вопрос. Известно, что до революции в обращении были залотые монеты. При довольно суровом климате России было, наверное, весма неудобно имеет в обхожде предмет, примерзющий к пальцам даже при небольшем морозе. Но что-то не вспоминается описания таких эпизодов в русской литературе.

Верно. Примерзания монет к рукам и не может быть. Дело в том, что нашей рассмотрение относилось только к массивным предметам. Tonкие монеты очень быстро прогревают теплом рук даже при сильном морозе. Так, золотая монета толщиной $l$ около 2 мм, если брать ее двумя пальцами, прогреется очень быстро, за время $l^2/4\chi_{\mathrm{Au}} \approx 10^{-2}$ с. (To же самое, конечно, относится и к современным монетам из менее благородных металлов.)

Законами теплопередачи и простыми численными оценками объясняется и ряд парадокальных на первый взгляд явлений. Некоторые кузнецы удивляют непосвященных тем, что могут схватить рукой докрасна раскаленные железные детали. В Болгарии, на островах Полинезии и в некоторых других странах есть люди, демонстриующие хозяйние возможности по раскаленным углям. И в том, и в другом случае на коже не остается ожогов, она не обугливается. Конечно, кожа рук у кузнецов по-рабочему толстая, а по углям тоже ходят профессionalны, но одной только толщиной кожи эти феномены не обьясить. Еще один парадокс — из области низких температур. Физика-экспериментатором хорошо известно, что попадание капель жидкого азота на кожу безболезнено. На короткое время можно даже напить немного жидкого азота в ладонь. Температура кипения азота — 196 °C; с жидкостью такой температуры соррикается кожа в этом эксперименте.

И сверххолодные контакты с благополучным исходом имеют по сутки общественное. Оно состоит в том, что в течение первых мгновений контакта на поверхности кожи образуется тонкий слой газа с низкой теплопроводностью. В опытах с жидким азотом этот газ есть испарившийся при контакте с кожей азот. В «эксперименте» кузнеца и при «босохождении» по углям — это пар

7

и газы, образовавшиеся при нагревании верхних слове кожи. Толщина этого газового промежутка по порядку величины составляет десять доли миллиметра. Давление газа оказывается настолько большим, что газовый слой может выдержать большие нагрузки — даже вес человекаского тела. Но основное его достоинство — высокая тепловая изоляция.

Оценим, какое время может выдержать человек контакт со сверхгорячими (и сверххолодными) предметами, если толщина газового слоя равна $l = 10^{-4}$ м. (Поверхностный слой кожи выдерживает без охотов и обморожения охлаждения до $0^{\circ}\text{C}$ и нагрев почти до $100^{\circ}\text{C}$).

Внутри газовой прослоики температура распределена линейно — от температуры раскаленного предмета (или жидкого азота) $t_1$ до температуры контакта $t_0$. Поэтому тепловой поток равен $q = \chi_{\text{raza}} \frac{t_0 - t_1}{l}$. Распределение температуры в конце зависит от времени так же, как и при обычных контактах. Приравняем тепловые потоки:

$$\chi_0 \frac{t_T - t_0}{\sqrt{\chi_0^2}} = \chi_{\text{raza}} \frac{t_0 - t_1}{l}.$$

Вы видите, в данном случае температура контакта $t_0$ зависит от времени — она растет при касании раскаленных предметов и падает при касании сверххолодных.

Ткани кожи не разрушают при $0^{\circ}\text{C} < t < 100^{\circ}\text{C}$, следовательно, в этих пределах может изменяться температура контакта. Подсчитаем температуру, за какое время поверхностная температура кожи достигает этих пределов:

$$\tau_{\text{makc}} = \frac{1}{\chi} \left( \frac{\chi_0}{\chi_{\text{raza}}} \frac{t_T - t_0}{t_0 - t_1} \right)^2.$$

Теплоповодности различных газов близки между собой. Поэтому для численной оценки $\tau_{\text{makc}}$ возьмем значение коэффициента теплопроводности воздуха $\chi_{\text{возд}} = 0,026$ Дж/(м·с×град). Расчет показывает, что при контакте с раскаленным предметом, температура которого $600^{\circ}\text{C}$, время разогрева кожи через паро-газовый промежуток до $100^{\circ}\text{C}$ равно половине секунды — вполне достагоно, чтобы переложить раскаленную большую или сделать следующий шаг по горяшим углям, приорошенным пеплом.

При контакте кожи с жидким азотом ($t_1 = -196^{\circ}\text{C}, t_0 = 0^{\circ}\text{C}$) время охлаждения кожи равно 1,3 секунды. Это тоже вполне достагоно, чтобы удивить непосвященных или просто сbrosить на пол каплю жидкого азота. При наличии скинженного газа в ладонь кипящую каплю надо движением руки переогнать с места на место.

Человеческие руки — чудный инструмент, данный нам пригодой. Берегите их от повреждений! Теория — теорий, но хватать раскаленные больши голови руками дано относительно каждому.

9

ПРОСТО О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ

Кандидат физико-математических наук
Г. А. ГАЛЫПЕРИН

Бесконечность множества простых чисел

Все знают, что большинство натуральных чисел раскладывают на множители: 10=2·5, 60=3·4·5, 111=3·37, 144=3·3·2·2·2·2 и так далее. Такие числа называются составными. Но среди натуральных чисел есть и такие, которые подобным образом на множители на раскладываются: например, 11 нельзя представить в виде произведения двух меньших натуральных чисел, оба из которых больше 1. Поэтому 11 называется простым числом. Вообще, простыми числами (или «первоначальными» — по выражению древних греков) называются такие натуральные числа, которые нельзя разложить на два сомножителя, больших 1 (сamy единицу не относит к простым числам). Вот несколько первых простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,…. Среди нихровно одно четное — 2, остальные числа нечетные.

Задание 1. Найдите все пары простых чисел, отличающихся: a) на 1, 6) на 17.

С первого же взгляда видно, что ряд простых чисел несколько причудлив; никакого простого закона в его строении не обнаруживается.

Имеет ли этот ряд конец? Этот вопрос поставлен в IX книге «Начал» Евклида и там же дается ответ на него: за каждым простым числом может быть указано еще одно, большое простое число — ряд простых чисел бесконечен.

Доказательство этого утверждения, данное Евклидом, необсячайно остроумно. Евклид рассуждает так: если простых чисел лишь конечное число и p — наиболее из них, то число N=2·3·5…·p+1, поскольку оно больше p, — не простое, а поэтому делится на какое-то простое число из имеющихся простых от 2 до p (ведь других простых чисел, по предположению, нет!). Однако N не делится ни на одно из этих чисел, так как остаток от деления N на любое из них равен 1. Полученное противоречие доказывается, что простых чисел не конечное количество, а бесконечное.

Это доказательство «методом от противного» говорит о существовании скольго угдоно больших простых чисел, но не говорит, как явно найти хотя бы одно простое число, большое p. Впрочем, это сделать не сложно: для этого достаточно проверить на простоту натуральные числа на отрезке от p+1 до N — среди них обязательно есть простое. Действительно, если само N не простое, то оно делится на простое число, притом (как мы видели) больше p, но меньше N, т. е. расположенное на отрезке [p; N].

Отрезки с простыми числами

Разбение числовой прямой на отрезки, в каждом из которых содержится простое число, можно произвольить и по другому. Доказем предварительно следующее утверждение: наименший делитель числа N=n!+1 (где n!=1·2·3…·n) является простым числом, большим n.

Обозначим этот наименший делитель числа p. Так как n!+1 не делится ни на одно из чисел 2, 3, 4, …, n, получаем p>n. С другой стороны, если предположить, что p — составное число, т. е. p делится на неокторе число, меньше p, то p не будет наименшим делителем n!+1, что противоречит предположению. Итак, p — простое число, большое n, что и требовалось доказать.

Из этого доказательства вытекает, что на любом отрезке [n; n!+1] находится хотя бы одно простое число. А тогда числа 2, 2!+1, (2!+1)!+1,

10

((2!+1)!+1)!+1 и т. д. разбиают всю числовую пряму на беконечное число отрезков, в каждом из которых содержится не менее одного простого числа; мы вновь доказали, что простых чисел беконечного много.

Оказывается, что уже в каждом из отрезков [2; 4], [4; 8], [8; 16], [16; 32], … содержится не менее одного простого числа. Но это — трудная теорема, известная под названием «поступат Бертрана»*), которая звучит так: между числами n и 2n−2 при n>7 всегда расположено простое число. Поступат Бертрана доказал в 1852 г. известный русский математик Пафнуть Львович Чебышев (1821—1894 гг.).

Задача 2. Докажите, что если (p−1)!+1 делится на p, то p — простое число. Указание. Использовите доказательство утверждения.

Задача 3. Докажите, используя простотат Бертрана, что для любого натурального n существует по крайней мере: a) одно простое n-значное число; b) 3 простых n-значных числа. Указание. Числа 10^{n−1}, 2·10^{n−1}, 4·10^{n−1} и 8·10^{n−1} — n-значные.

Заметьте, что доказательство Евклида дает во все не ближайшее следующее за p простое число, а лишь неокоторое число, лежащое обычно весма далего от p. Например, в качестве простого числа, заведomo превышающего 11, доказательство дает не 13, а 2311; за 13 оно дает не 17, а 59 — простой делитель числа 30 031.

Отрезки без простых чисел

Чтобы дать конкретное представление о сложности структуры множества простых чисел покажем, что в ряде

*) М. И. Baшмаков. Поступат Бертрана. «Квант», 1971, № 5, с. 4.

Арифметические прогрессии и простые числа

Рассмотрим все натуральные числа, дающие при делении на 3 остаток 2: 2, 5, 8, 11, 14, …; общий вид таких чисел 3n+2. Докажем, что и среди всех беконечного много простых чисел. Для этого придетя несколько видно изменить доказательство Евклида,

Таблица 1. Фрагмент распределения простых чисел.

В таблице показано, как меняется число простых чисел на интервале от 8 900 000 до 9 000 000, разбитом на 1000 сотен. В каждом столбце таблицы нижнее число указывает количество тех сотен расматриваемого интервала, в которых число простых чисел равно соответствующему верхнему числу столбца. Например, в одной сотне вообще нет простых чисел, в 117 сотных встречается по 4 простых чисел, в 130 сотных — по 8 простых чисел.

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 1 | 4 | 13 | 53 | 117 | 177 | 196 | 175 | 130 | 72 | 47 | 11 | 4 |

10

11

Таблица 2. Частота распределения простых чисел в натуральном ряде.

$A_n$ — количество простых чисел среди первых $n$ натуральных чисел. Отношение $A_n/n$ тем больше к 1/ln $n$, чем больше $n$ (частое $A_n/n:1/\ln n$ практические не отличаться от 1 при $n=10^9$).

а именно, вместо числа $N=2\cdot 3 \times 5 \dots p+1$ рассматривается число $M=2\cdot 3\cdot 5 \dots p-1$, которое, будучи на 1 меньше кратного 3, принимает к последовательности 2, 5, 8, 11, 14, …, $3n+2$, …

Задание 4. Приведите полное доказательство того, что $M$ имеет вид $3n+2$.

Число $M$, так же как и $N$, не делится ни на одно из простых чисел 2, 3, 5, …, $p$. Является ли $M$ простым или же раскладывается на несколько простых множителей — в общих случаях эти простые числа будут больше $p$. Но имеет ли среди полученных множителей такой, который имеет бы вид $3n+2$, т. е. содержался бы в последовательности 2, 5, 8, 11, …? Допустим, что нет, т. е. предположим, что все простые множители $M$ имеют вид $3k+1$. Но тогда и их произведение имеет вид $3k+1$ (см. задачу 5, а), а это противоречит тому, что $M$ имеет вид $3n+2$ (см. задачу 4). Следовательно, наше допущение неверно, и хотя бы один простый множитель числа $M$ имеет вид $3k+2$. Поэтому простых чисел вида $3k+2$ бесконечного много.

Задание 5. а) Докажите, что произведение любого количества чисел вида $3k+1$ также имеет вид $3k+1$. б) Докажите аналогично утверждение для чисел вида $4k+1$, в) для чисел вида $6k+1$.

Приведенное рассуджение (с небольшим видом изменением) дает инструмент для доказательства бесконечности множества простых чисел вида $4k+3$ и $6k+5$. Предварительно предполагаем читательм подумать над следующей задачей.

Задание 6. Докажите, что любое простое число, больше 3, имеет: а) вид $4k+1$ или вид $4k+3$; б) вид $6k+1$ или вид $6k+5$.

Здесь мы доказем только бесконечность множества простых чисел вида $6k+5$. Доказательство проведем «от противного» в двух, присущем первоначальную доказательству Евклида. Предположим, что простых чисел этого вида лишь конечное число: $p_1, p_2, \dots, p_n$. Расмотрим число $K=$ $6p_1p_2\dots p_n-1 = 6(p_1p_2\dots p_n-1)+5$. Однако из двух: либо число $K$ само простое, либо оно разлагается на конечное число простых множителей, среди которых нет ни одного из чисел $p_1, p_2, \dots, p_n$ (почему?), и не все из которых имеют вид $6k+1$, поскольку само $k$ не имеет этого вида (см. задачу 5, в). Значит, один из простых множителей числа $k$, не совпадает с $p_1, p_2, \dots, p_n$, имеет вид $6k+5$, что противоречит сделанному нами предположению. Это противоречие показывает, что список простых чисел вида $6k+5$ бесконечен.

Задание 7. Проведите доказательство бесконечности множества простых чисел вида $6k+5$, указав явный способ для нахождения этих чисел.

Задание 8. Проведите подробное доказательство бесконечности множества простых чисел вида $4k+3$. Указаниее. Учетверите произведение чисел этого вида и вычитите из произведения 1.

Задание 9. Докажите, что простых чисел, не оказывающих их на 1 (т. е. оканичивающих на 3, на 7 и на 9), бесконечного много. Указаниее. Расмотрите все простые числа вида $10k+a$, где $a \neq 1$, и проведите рассудения, аналогичные изложенным выше.

Обобщением рассмотренных вопросов является следующее теорема, формулированная в 1788 г. французским математиком Лежандром и доказанная немецким математиком Дирихле в 1837 г.

Теорема. В любой бесконечной арифметической прогрессии $a_1, a+d, a+2d, a+3d$, в котором первый член а взаимно прост с разностью $d$, содержится бесконечного много простых чисел. Иными словами, функция $y=dx+a$, где $d$ и $a$ — взаимно простые числа, принимает бесконечного много простых значений, когда $x$ пробезет последовательную ряду натуральных чисел.

Доказательство Дирихле не элементарно, и в течение долгих лет не было видно никаких элементов подховов к доказательству этой замечательной теоремы. Элементарное доказательство было впервые получено в 1949 г. (через 161 год после Ле-

12

Жандра!) видным датским математиком А. Сельбергом, доказавшим многочне очень трудные теоремы теории чисел элементарно, без использования высшей математики.

Близнецы

Вспомним первую задачу, сформулированную в самом начале статьи. Как вы, наверное, доказались, если два простых числа отличаются на нечетное число $p$ (на 1 или 17, как в задаче 1), то одно из этих простых чисел четно, и стало бы равно 2. Позатому другое простое число $q$ отличается от $p$ на 2. Если к тому же и $p$ — простое число (как $p=17$ в задаче 1), то простые числа $p$ и $q$ называются числами-близнецами; в задаче 1 это числа 17 и 19.

Задание 10. Докажите, используя теорему Дирихле, что существует бесконечно много простых чисел, не принадлежих ни к одной паре простых чисел близнецов. Указаны е. Все эти простые числа следует быть, например, из арифметической прогрессии $\{15k+7\}$.

Возникает вопрос: сколько существует пар чисел-близнецов? Например, на отрезке от 0 до 100 000 таких пар 1225, а в интервале от 8 000 000 до 8 100 000 их всего 518. Прекратная ли когда-нибудь такие пары в бесконечно далеко простиращемся ряде простых чисел? Ни на этот, ни на более общий вопрос, поставленный в великам немецким математиком Давидом Гильбертом на 2-м Международном конгрессе математиков в Па-

Риже в 1900 г., — всегда ли разрешимо в простых числах $x$ и $y$ линейное уравнение $ax+by=c$ с целыми коэффициентами $a, b, c$, где $a$ и $b$ взаимно просты? — ответа до сих пор не получено.

Основная теорема арифметики

Любое натуральное число больше единцы допускает одно и только одно (с точностью до порядка множителей) разложение на простые множители.

Докажательство. Если существует хотя бы одно число, допускающее два разложения на различные простые множители, то существует непреемно и наименьшее число $N$, обладающее этим свойством:

$$N = p_1 p_2 \dots p_n = q_1 q_2 \dots q_m,$$

где через $p$ и $q$ обозначает простые числа. Меняя, если потребуется, порядок этих множителей, мы можем допустить, что $p_1 \leq p_2 \leq \dots \leq p_n, q_1 \leq q_2 \leq \dots \leq q_m$. Заметим, что $p_1 \neq q_1$, так как в случае $p_1 = q_1$ натуральное число $N/p_1 = N/q_1$, меньше $N$, имею бы два разных разложения на простые множители, что противоречит предположению о минимальной $N$. Предположим, что $p_1 < q_1$, и рассмотрим число $N' = N - p_1 q_2 \dots q_m$. Легко видеть, что число $N' = p_1(p_2 p_3 \dots p_n - q_1 q_2 q_3 \dots q_m) = (q_1 - p_1)q_2 q_3 \dots q_m$ положительное и меньше $N$. Значит, по нашему предположению, $N'$ имея

13

ет единственное разложение на простые множители. Но как как простое число $p_1$ входит в разложение $N'$, то $p_1$ входит в $q_1 - p_1$ или в $q_2 q_3 \dots q_m$. Из неравенств $p_1 < q_1 \leqslant q_2 \leqslant \dots \leqslant q_m$ следует, что $p_1$ не входит множителем в $q_2 q_3 \dots q_m$. Поэтому $p_1$ входит множителем в $q_1 - p_1$, т. е. $q_1 - p_1$ делится на $p_1$. А тогда и $q_1$ делится на простое число $p_1$. Этого, однako, быть не может, так как $q_1$ — число простое. Противоречие, к которой мы пришли, показывает неосостояльность первого начального допущения, чем и заканчивается доказательство.

Заметание. Из доказательства основной теоремы арифметики становится понятным, почему edиницу не относит к простым числам. Если ее включить в число простых, то любое натуральное число начинает разлагаться на простые множители многими способами, поскольку в разложение можно добавлять произвольное число единиц.

Bot одно важное следствие основной теоремы арифметики: если простое число $p$ входит множителем в произведение $ab$, то оно входит множителем или в $a$, или в $b$. Действительно, если $p$ не входило множители ни в $a$, ни в $b$, то, переменная разложения на простые множители чисел $a$ и $b$, получили бы разложение на простые множители числа $ab$, не содержащие множителя $p$. С другой стороны, справедливо равенство $ab = pt$, где $t$ — некоторое натуральное число. Поэтому, переменная $p$ и разложение на простые множители числа $t$, получаем разложение числа $ab$ на простые множители, уже содержащие множитель $p$. Таким образом, получаются два разложения $ab$ на различные простые множители, что противоречит основной теореме.

Из основной теоремы вытекает, что число $N$ представляется в виде
$$N = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \dots p_s^{k_s},$$ где $k_1, \dots, k_s$ — количество различных простых делителей $p_1, \dots, p_s$ соответствующего в разложении $N$. Все делители $N$ имеют вид $a = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \dots p_s^{r_s}$, где $0 \leqslant r_1 \leqslant k_1$, $0 \leqslant r_2 \leqslant k_2$, $0 \leqslant r_s \leqslant k_s$.

Еще раз о бесконечности простых чисел
Единостьность разложения на множители позволяет дать новое доказательство бесконечности простых чисел. Это доказательство принадлежит Леонарду Эйлеру.

Предположим, что 2, 3, 5, …, $p$ — все существующие простые числа. Тогда из формулы для суммы геометрической прогрессии со значенателем, меньше 1, следует, что для любого натурального $n$ $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} < \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}, \dots, 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dots + \frac{1}{p^n} < \frac{1}{1 - \frac{1}{p}}$.

Переменная эти неравенства почилен:
$$\left(1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^n}\right)\left(1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{3^n}\right) \dots \dots \left(1 + \frac{1}{p} + \dots + \frac{1}{p^n}\right) < \frac{1}{\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right)\dots\left(1 - \frac{1}{p}\right)}$$.

Справа стоит выполне конкретиное число; обозначим его $A$. Произведение слева после раскрытия всех скобок превращается в сумму $S$ чисел, обратных всем делителем числа $N = 2^n 3^n 5^n \dots p^n$ (в этом месте и используется основная теорема арифметики — убедитесь!). Поэтому левая часть неравенства большие суммы $A_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + \dots + 1/2^n$, в котором входит лишь часть слагаемых суммы $S$. Итак, для любого $n$ $A_n < A$. Но $A_n = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + +1/8) + \dots + (1/(2^n - 1) + 1) + \dots + (1/2^n) > 1 + 1/2 + 2 \cdot 1/4 + 4 \cdot 1/8 + \dots + 2^{n-1} \cdot 1/2^n = 1 + n/2$, что сразу приводит к противоречению: $A > 1 + n/2$ при всех $n$. Стало бы, простые числа не могут ограничивать никаким конечным списком, что и требовалось доказать.

Проверка простоты

При разложении $N$ на множители или проверке его на простоту следует проверять делимость $N$ на последовательные простые числа 2, 3, 5, 7, …. При проверке числа $N$ на простоту достаточно ограничиться простых делителей, не превысodiaщих $\sqrt{N}$. Действительно, если $N = ab$, то меньше из чисел $a, b$ не больше $\sqrt{N}$ (если оба были бы больше $\sqrt{N}$, то их произведение было бы больше $N$), и из делимости $N$ на $a$ автоматически следует, что $N$ делится и на $N/a$ (так что делимость на $N/a$ проверять уже не нужно). Первые математические икации (Леонардо Пизанский).

Примеры. а) Если $N = 91$, то $\sqrt{91} < 10$; проверив простые числа 2, 3, 5, 7, находим, что $91 = 7 \cdot 13$.

14

6. Если $N=1987$, то $\sqrt{N}<45$, …, и так как $N$ не делится ни на одно из простых чисел до 43, то 1987 — простое.

В некоторых случаях при определении простых числа $N$ можно не производить указанных делений на простые числа. Следующие несложное утверждение, сформулированное Эйлером еще в XVIII века, позволяет определить простую числа $N$ совсем другим способом.

Первый критерий Эйлера. Если нечетное число $N>1$ может быть представлено в виде разности квадратов двух натуральных чисел более чем одним способом, то $N$ — составное; если же такой способ только один, то $N$ — простое.

Доказательство. Считаем $N$ не точным квадратом, поскольку точный квадрат всегда составное число. Пусть $N=m^2-n^2=(m-n)(m+n)$. Отсюда следует, что $m-n$ и $m+n$ — делители $N$. Если $N$ простое, то $m-n=1$, $m+n=N$ и числа $m=(N+1)/2$, $n=(N-1)/2$ определяются числом $N$ однозначно, а поэтому $N$ не может быть представлено еще и другим способом в виде разности двух квадратов.

Если же $N$ составное, т. е. $N=ab$, причем $a>b>1$ — нечетные числа, то, взяв $x=(a+b)/2$ и $y=(a-b)/2$, получаем: $a=x+y$, $b=x-y$, откуда $N=ab=x^2-y^2$: получено еще одно представление $N$ в виде разности квадратов.

Отсюда вытекает, что если $N$ представляется более чем одним способом в виде разности квадратов, то $N$ не может быть простым: для простого $N$ такое представление единственного. Если же $N$ представляется всего один способом в виде разности квадратов, то $N$ не может быть составным (по доказанному выше), стало бы, оно простое. Критерий установлен.

Этот критерий дает возможность вместе испытания делителей $N$ пользоваться таблицей квадратов, и, прибавляя последовательно к $N$ квадраты $n^2$ целых чисел, проверять, получается ли в сумме при $n<(N-1)/2$ точный квадрат или нет.

Разложим, например, 3551 на множители этим способом. Добавляя к 3551 последовательно числа $1^2$, $2^2$, $3^2$, …, проверяем каждый раз, является ли полученная сумма точным квадратом. Проверка (с помощью таблицы квадратов) показывает, что $3551+7^2=60^2$. Значит, $3551=60^2-7^2=53\cdot67$.

Задание 11. Разложите указанным способом на множители числа 6557, 19019, 209209.

Несложно также доказывается.

Второй критерий Эйлера. Если натуральное число может быть представлено в виде суммы двух квадратов натуральных чисел более чем одним способом (считается, что перестановка сладаетых не дает нового способа), то $N$ — составное число.

Из второго критерия Эйлера следует, что если простое число представляется в виде суммы двух квадратов натуральных чисел, то только один способом. Но какие простые числа представляются в таком виде?

Задание 12. Докажите, что числа вида $4k+3$ не могут быть представлены в виде суммы двух квадратов. Указание. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного дает в остатке 1.

Претendentами остаются простые числа вида $4k+1$, и, как доказал Пьер Ферма, все такие числа представляются в виде суммы двух квадратов. Поэтому нетрудно ответить, например, на такой вопрос: какие из трех простых чисел 1973, 1979 и 1987 представны в виде суммы двух квадратов?

Задание 13. а) Докажите, что при всех натуральных $n$ число $N=n^4+4$ — составное (теорема Софи Жермен). 6) Докажите, что при всех натуральных $m$ и $n$ число $N=n^4+4m^4$ составное. Указание. $N=(n^2-2m^2)^2+(2mn)^2$; примените второй критерий Эйлера.

Многочлены, выдающие простые числа

С простыми числами все было бы простое, если бы существовала общая формула для их нахождения. Попытки конструкировать такой формулу were made, из которых только простые значения. Но уже при $n=40$ его значение равно $41^2$. Несложно доказать, что никакой многочлен от одной переменной не может принимать только простые значения.

Совсем недавно был найден многочлен, все положительные значения

(Окончание см. на с. 38)

15

ПО СТОЛБОВЫМ
ДОРОГАМ МК

(Путешествие по микрокомпьютеру)
Кандидат технических наук Д. Г. КРУТОГИН

От рассмотрения панарамы и изучения плана города МК (см. «Квант» № 2, 3) перейдем к экскурсии по нему. Сегодня наша цель — побивать в «жилых» районах города — ОЗУ и ПЗУ. Мы попадем туда по главной улице города, которая обчино называется «обшей шиной» и связывает все районы города. В принятых масштабах*), двигаясь по шине, мы увидим под ногами десяти примогольных металлических полосок с размерами 1×2 м (рисунок 1). На вид они неразличны, но по плану мы знаем, что эти положки образуют три системы дорог, или три отделных шины. Наиболее широкая шина — адресная. Она предназначается для распределения машинных слов по ячейкам памяты при записи и вызова их оттуда при считывании. Ячейки памяты организованы в матрицу (рисунок 2); выбор нужной ячейки производится при по-

*) Напоминаем, что для путешествия мы довоем纵ись уменшиться в миллион раз.

15

16

мощи адресных сигналов. Матричная организация запоминающих устройств наиболее рациональная с точки зрения простоты управления и числа необходимых проводов.

Две другие шины — шина данных и шина управления — обычно содержат меньше колчеств проводников. По шине данных, в отличие от других, организационно двустороннее движение (к процессу или от него).

Скорость движения на городских улицах всегда высокая. Но улиц мало, а желающий прояты по ним довольно много, так что шина данных оказывается надолго занятой. Чтобы избежать встречных потоков и аварий, около выходов на главную улицу во всех районах располагаются своеобразные «посты ГАИ» — буфера, которые согласовано задают режим

Рис. 1. Фрагмент шины. Фотографика с увеличением примерного 2000.

Рис. 2. Схема организации матричного ОЗУ 4×4 бит. Квадратами обозначены ячейки ОЗУ, треугольники — входные буфера, установленные режим записи или считывация; X и Y — провода адресной шины, PШ₀, PШ₁ — разрядные провода шины данных.

Уличного движения. Буфера же преятствуют движению слов рыблю неорганизованной толпой, они формируют их в плотные колонны и пересылают в пункт назначения. Наболее активный обмен проискодит между районами Процесор — ОЗУ.

Допустим, что из Процесора в ОЗУ направлен запрос на некое слово, содержащое в определенной ячейке памяти. Это значит, что в провода адресной шины посланы импульсы, соответствующие координатам этой ячейки, в то же время по шине управления послана команда считывания. На входе в район ОЗУ эта команда обозначена записьяя в ячейки памяти буферного регистра*). После этого начинается распирофовка и исполнение команды. Ответные сигналы ячейки (по одной на каждой разряд запрашиваемого слова) поступают, как правило, не сразу в шину данных, а опять-tаки в буферный регистр этой шины. Когда он заполняется, т. е. слово-ответ формировано, переключатель буфера направляется все содержимое этого регистра к Процесору. Одновременно в буферном регистре шины управления стирается ненужная более команда-запрос. Прибыващее к месту назначения (допустим, в процесор) слово — ответ ОЗУ — вовь размешается в «приемной», собственном буферном регистре процесса.

Мы говорили уже, что эффективная работа Процесора обеспечивает быстро и достаточно большой памяти. Чтобы скорее отыскивать требуемые сведения, проектировчики разбили район ОЗУ на кварталы — страницы. Однако страница — это матрица ячейки размером 16×16, т. е. 256 ячейки, способных хранить двучную информацию. Если и страница у нас 256, то полный объем ОЗУ — 256².

На входе в каждой квартал-страницу размещаются трансисторы логических элементы. Как бы пинмаете, для этого требуется, чтобы в адрес присутствовал код страницы и код ячейки. Поэтому адрес сам по себе является машинным словом.

Город для гостей

Ячейка, хранящая бит информации в ОЗУ, является триггером и содержит как правило, четыре трансистора. Ранее мы считали один трансistor домом, теперь уместнее будет считать его один из корпусов

*) Здесь и далее термин «регистр» мы будем обозначать небольшое оперативное ЗУ, объемом в одной — два машинных слов.

17

Рис. 3. Ячейка статического ОЗУ емкостью 1 бит: а) — неуправляемая ячейка с двумя равностойными состоянием, б) — тризер с двумя входами на основе такой ячейки.

Рис. 4. Прицицит действая динамическая память.

дома-ячейки*). Схема триггера описана русским радионженером М. А. БончБруевичем почти 70 лет назад. Простейший триггер из двух трансисторов показан на рисунке 3, а. Из двух трансисторов один всегда закрыт, другой открыт. Подав извне короткий сигнал на закрытый трансистор, положение можно изменить на симметриное и противоположное. Такая конструкция называется бистаблной ячейкой. Для гибкого управления нужно добавить к ней еще два трансистора-вЫКЛЮЧАТЕЛЯ. Та схема, которую вы видите на рисунке 3, б, практические и есть триггерная ячейка памяты на 1 бит. Это типовой элемент застройки ОЗУ-района. Такая память на триггере называется статической. Работает она быстро и надежно, но… Сооружать для каждой бита «домик» из четырех трансисторов становится очень обременительно, когда счет идет на сотни тысяч бит (ОЗУ современного микрокомпьютера должно иметь емкость минимум 64 кбайт). Главное, не хватает площадей для ОЗУ.

Позому для больших ОЗУ используется другая система памяты, принципи которой появляется на рисунке 4. Если через ключ S зарядить конденсатор C, то после размыкания ключа конденсатор будет поддерживать режим трансистора T, заданный начальным зарядным сигналом. Таким образом, режим трансистора (открытый или закрытый) как бы хранит один бит информации; но до каких пор? Пока не разрядится конденсатор C*). Выключателем S служит, как всегда в микрослектронке, трансистор, а его сопротивление велико, но не бесконечно.

Чтобы конденсатор не разрядился и хранимый бит не пропал, емкость C надо переодически (около 500 раз в секунду!) подзаряжать, как бы «освежая» память. Такаязыбкая, утекшаяся память называется диамической. С учетом систем поддержания общая схема ОЗУ оказывается намного сложнее, чем на рисунке 4, но все-tаки проще и экономнее, чем на триггерах. В диамических ОЗУ удается сократить расход «жиллошади» до 2,5 трансистора на один бит. На сегодня диамические схемы достигают емкости 1 мгабит на кристалле кремния размером 7×9 мм. Это рекорд плотности застройки.

Покидая район ОЗУ, может констатировать, что архитектура его, хотя и рациональная, все-tаки очень однозобразна. Это часто свойствано новым жилым районам и в наших городах. Заметим, что не веса район ОЗУ предоставляется клиенту микрокопьютера; часть страниц, иногда до 50 %, пользовается сам Процессор для сохранения результатов промежуточных вычислений, хранения программы обслуживания и т. п.

Город для хозяйства

Перейдем теперь в район ПЗУ, было он расположен неподалеку. В структуре ОЗУ и ПЗУ есть много общERO, например матричная организация памяти, входные логические и буферные устройства и т. д. Оdnako есть и различия. Ну, прежде всего, здесь размещаются постоянные жители нашего города. Они настолько постоянны, что никакогда не покидают свой жилой район. Кто читал повесь А. и В. Стругацких «Понедельник начинается в субботу», возможно помнить, что ее герой, увлеченные работу научные сотрудники Института Чародейства и Волшебства (НИИЧАВО), для выполнения разныхрутинных дел создавали свои личные копии-дубlikаты, или «дублей». Команды, размещенные в ПЗУ, без всякого钩одействия и без ущерба для себя многократного создания «дублей» по запросу Процессора. Попав в шину данных, «дубли» ничего не отличается от других командных сигналов. Матрица стра-

*) В вычислительной технике термином «ячейка» пользовается для триггерной цепочки, способной запомнить 1 байт=8 бит или одно машинное слово. Мы несколько упрощаем структуру ОЗУ для первого знакомства.

*) Никаких специальных конденсаторов C в микросхеме нет. Мы ранее указывали («Квант», 1986, № 2), что трансистор в СВИС часто использует в роли диода или конденсатора.

19

Прямоизмерение расстояния до квазара

Одна из самых трудных задач астрономии — определение расстояния до небесных тел, особенно далеких, таких, как, например, квазары и скопления галактик. Чтобы лучше понять, как это можно сделать, обсудим сначала несколько конкретных вопросов.

Разбегание галактик. Вселенная расширяется — галактики, квазары, скопления галактик удаляются от нас и друг от друга. Скорость удаления v пропорциональна расстоянию R и связана с ним простой формулой

$$v = HR,$$

где H называют простойной Хаббела.

Скорость можно определить по эффективному Доплера: изменение длины волны излучения, наблюдаемое при движении источника относительно наблюдаателя. Так, при удалении источника от наблюдаателя спектр излучения смещается в красную сторону, так что относительное увеличение длины волны $\Delta \lambda / \lambda_0$ связано со скоростью разбегания v формулой

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \left(1 + \frac{v}{c}\right)\gamma = \left(1 + \frac{v}{c}\right)\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

Множитель γ обязаан специальной теории относительной и обусловлен изменением хода часов в движущейся системе отчета.

Постоянная Хаббела. Величина H показывает, на сколько километров в секунду увеличается скорость разбегания при увеличении расстояния на один мерапсек (1 парекк = 3,6 светового года = 3 × 10$^{13}$ километров). Эту постоянную изменить очень трудно. Для этого опять-tаки надо знать расстояние до источника.

Существуют различные методы оценок расстояния. Например, знав.acсолитную и виммую звездную величины объекта (об этом можно прочитать в § 23 школьного учебника по астрономии). Абсолютной звездной величины принято называть ту видимую звездную величины, которое имел бы светящейся объект, если бы он находился от нас на стандартном расстоянии 10 парекк. Чтобы вычислить эту величины, нужно знать строение источника, а об этом можно лишь высказывать предположения, которые проверить невозможно.

Две разные группы астрофизков (основывающиеся, очень видимые, на различных предметах о светящем объекте) дают для H два значения: 50 и 100 km/c на металарсек. Возможны и другие, промежуточные, оценки.

Гравитационная линза. Если на пути световых лучей от далекого объекта к нам находится тело с очень большим массой, так что его гранитное поле способно отклонить свет, как линза, то вместе одного светящего объекта на небе появляется два его изображения.

Помеченная стрелкой звездочка на снимке на сетодия для нас — самый далекий, равно как и самый яркий, квазар.

Таким массивным телом может быть, например, галактика. Если она находится точно на линии, соединяющей Землю и источник света, то наблюдаете увидит светящейся колюцо. Если же галактика несколько сдинута в стороны, то колюцо превращается в два светящаяся пятна, лежащих в плоскости, в которой светятся источник, галактика и наблюдаете.

Явление разделения изображения гранитционной линзой обнаружiede было обнаружено в 1979 году. С тех пор найдено несколько таких линз. Самая «мощная» среди них, открыта весной прошлого года, дает два изображения далекого квазара. Они расположены друг от друга на угловом расстоянии примерно две с поливной минуты и дают тождественные спектры изображения.

Расстояние. Фантастическое зреление удвоения квазара (а возможно и утрое!) для астрономов оказалось очень полезным. Выяснили, что звездная величина такого квазара неопостоянна и с течением времени изменяется. Изображения «миггают», но не в унисон — одно отстает от другого примерно на 1,5 года. Это можно понять, поскольку свет, идущий в космическом пространстве по разыхтируеме от источника, а затем и постоянную Хаббела. Вычисления дали значение H=84 km/c на металарсек — значение, лежащшее между приятиями сейчас пределами (50 и 100).

Так была решена первая задача так называемой космической тригонометрии, и в космосе начала строиться абсолютная шкара расстояния. Если вспомнить еще о необходимости точных часов — пульсарх (см., например, «Квант», 1983, № 12, c. 12 и «Квант», 1985, № 2, c. 12), то слова о геометрии космоса — о пространстве и времени — приобретают ясное значение.

Все, что здесь рассказано, конечно, требует проверки. Помогут ли гранитционные линзы сколь-нибудь точное измерение постоянную H, показет время. Пока даже самое существенное также подвергается сомнению. Ясно только, что потребуется еще немного идеи и мастерства наблюдаемой, чтобы решить задачу «о нахождения расстояния от пункта A до пункта B», если эти пункты отделены друг от друга расстоянием в миллионы парекк.

Я. С.

20

С РЮКЗАКОМ
ПО АРКТИКЕ

Кандидат технических наук
Ф. Н. СКЛОКИН

Тридцать воесь суток в условиях полярной ночи продолжался льжный переход по Арктике одинадцами участников полярной экспедиции газеты «Комсомольская правда». Движение по льдам, преодоление торовов, трещин, каналов с открытой водой или покрытых тонким льдом — все это было знаком по предыдующим переходам. Но отсутствие света создавало совершенное непrivibuous условия. Помню, как на старте перехода, когда ушли провожавшие нас полярники, было психологически трудно дивниться в ночь, а не к людям, к видневшимся огнем дрейфуошей станции «Северный полос-26». Но прошло несколько дней (вернее, ночей), и глаза стали привыкать к минимальной освещенности.

Первые две недели не было луны. Помогал свет звезд, но частая облачность лишала нас и этого света. Фонарик, а в палатке еще и обычная свечка — только эти источники создавали возможность эфективной деятельности. Без фонарика невозможно было разобрать или собрать свой собственный рюкзак — на ощупь в перчатках нельзя было почять, что попадается под руки в расфасованных пакетах, а снять перчатки можно было лишь на ощень короткое время — мороз.

Непrivibuous условия ночного перехода породили любопытный зрительный эфект. Во время ходбы окружающая местность проглядываясь в пределах нескольких десятков метров, а линяя горизонта угадываясь чисто интитивно на уровень горизонтального взгляда вдаль, где, представляюсь, ледная пустия смыкается с почным небом. Из-за минимальной (почти отсутствующего) контрастиности освещенности даже близкие детали ландшафта едва различались, глу-

20

21

фекта он не пропал — по-прежнему каждый льжник щел как бы по дну траншен.

Отсутствие видимости делало путь по льдам ночной Арктики несравненно более трудным, чем путь на Северный полосовой весной 1979 года. Юрий Хмелевский, один из самых опытных учатников экспедиции, вспоминал, что из-за плоского зрения он вообще едва-edва разливал местность и ориентировался в основном по впереди идущему, все время следя за концами его льжж; по этой же информации он оценивал решение. Приходье у него создавалось печатление, что льжня идет в подъем, что впереди идущий льжник уже забрался на небольшой пригорок. Причиной этому также было отсутствие прививочной оценки персонективы из-за слабой освещности.

Финишировали мы на дрейфуощей станции «СП-27» в марте, когда на смени полярной ночь уже спешил полярный день.

Иногда в ясную солнечную погоду в Центральных районах Арктики можно наблюдать необучный оптический эффект: торсы на линии горизонтта вдруг выросли в своих размерах в несколько раз. В среднем высота торсов один — три метра, а торсы, которые находятся на линии горизонтта, выглядают как десяти-, двацатиметровые валы. Когда видшь это в первый раз, то немного пугаешься: ведь валы торсов являются основными преястиями, а тут куда ни глянь — всюду просто горы. Но все это лишь оптический эффект. Поглядев назад, неожиданное замечаем, что и там тоже выросли огромные валы, а ведь ты только что прошел этот путь сквозь общные торсы.

Объясняется этот эффект неоднородным распределением плотности воздуха по высоте. Как известно, чистый белый снег слабого поглощает солнечные лучи, в основном солнечный свет отражается от него. И все же воздействие ледного покрова прогревается и поднимается немного вверх. В этом мы не раз убеждались, изменяя температуру воздуха на снегу и на уровне головы,— они различались: приверхностный воздействие воздуха температуру на несколько градусов ниже. А на высоте в несколько десятиков и сотен метров воздуха по-прежнему оставался холодным (разумеется, если не было ветра, который мог бы легко смешать эти разные слоны). Так что телый (относительно воздуха оказывается медленно холодного). Плотность теплого воздуха, как известно, меньше, и соответственно показатель преломления света в слое теплого воздуха меньше, чем в холодном, более плотном. Неоднородность плотности приводит к оптической неоднородности воздуха, при которой возможно возникновение миражи. Ледяные горы, выратающие на горизонте на месте обичных торсов, и есть миражи.

Во времяена освоения Арктики перворохождения — в конце XIX и в начале XX веков — быстро мнение о существовании в Северном Ледовитом океане больших участков суши, островов. Фредерик Кук, известный американский полярный путешественник, одним из первых побывающих в район Северного полюса, отмечал в своих дневниках, что в ясную солнечную погоду в апреле 1907 года он видел вдалеке, на линии горизонтта, сушу, покрыто снегом с цепочками ледяных гор. Эту сушу он видел неоднократно. В первый раз он назвал свое видение Землей Бредли, во втором — Землей Крокера…

Только с развитием авиации в трицатьх годах нашей века был разведен мифо неоткрытой земле в районе Северного полюса. Суша, который неоднократно видели арктические путешественники прошли времен,— всего лишь оптическая иллюзия. Возможно, иного это были айсберги — они очень редко, но все же встречаются в Северном Ледовитом океане. А оптический эффект успливает孵аления путешественников, помогая принимать желаемое за действительное — каждому хотеловьое открыть неизвестную землю.

22

Задачи

M1036 — M1040; Ф1048 — Ф1052

M1036. Существует ли такой (невыпуклый) пятугольник, который можно разрезать на два равных пятугольника?

С. М. Хосид

M1037. Найдите все решения в натуральных числах x, y уравнения $x^y - y^x = x + y$.

А. И. Зайчик

M1038. a) Докажите, что если произведение mn делится на 6 (где m и n — целые числа, больше 1), то прямогольник $m \times n$ клеток можно разрезать на уголки из трех клеток.

При каких m и n это можно сделать так, чтобы линии раздела не вырезали (рис. 1)

6. ни одного прямогольника $2 \times 3$ клетки?

b) ни одного прямогольника (меньшего m × n)?

M. Хованов (ученик 9 класса), А. П. Савин

M1039. Точка A, B, C, D — вершины tetrahedра. Докажите, что a) если $DA \cdot BC = DB \cdot CA = DC \cdot AB$, то все три скалярные произведения равны 0;

6. если три угла между противоположными ребрами tetrahedра равны, то они прямы.

В. Э. Матизен

M1040*. Числа 1, 2, …, 3n произвольным образом разбиты на три группы по n чисел в каждой. Докажите, что можно выбрать по одному числу из каждой группы так, что одно из них равно сумме двух других.

В. Е. Алексеев, С. Савцев (НРБ)

Ф1048. Киномеханик по ошибке вставил киноленту так, что все события на экране «потекли в обратном направлении», при этом автоматически поехали назад. Как изменились скорость и ускорение автоматически в результате такой ошибки?

А. С. Бутов

Ф1049. Деревянный плот оттолкнул от берега реки так, что в начальной момент его скорость была равной v и направлена перpendicularно берегу. Траектория плота показана на рисунке 2. Крестиком на траектории оттолкено место, в котором плот находится время T после начала движения. Считая скорость реки постояной и равной u, найти графические точки траектории, в которых плот находится в момент времени 2T, 3T, 4T.

И. Ю. Потеряйко

Ф1050. Небольшая частница массой m, несущая положительный заряд q, с очень большого расстояния приближается к конденсатору по направлению, перpendicularному его пластинам, и проletaет сквозь конденсатор через небольшие отверстия в серединах пластин. Считая, что на большом расстоянии от конденсатора скорость частцы равна v, найти ее скорость: 1) в точке A внутри конденсатора (рис. 3); 2) в точке B сразу после выleta из конденсатора. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U, расстояние между пластинами много меньше размеров пластин; заряд конденсатора много больше q.

Г. В. Григорьев

Ф1051. В магнитном поле, индукция которого горизонтальная и равна B, катися без просkalывания со скоростью v тонкое металлическое колюцо, в котором

24

from the capacitor the velocity of the particle was $v$, find its velocity 1) at the point $A$ inside the capacitor (see figure Pис. 3). 2) at the point $B$ immediately after flying out of the capacitor. The capacitor is charged to a difference of potential $U$ and the distance between its plates is much smaller than the size of the plates; the charge of the capacitor is much greater than $q$.

G. V. Grigoriev

P1051. A thin metallic ring, possessing a small discontinuity of length $l$, rolls without sliding with velocity $v$ in a magnetic field whose induction is horizontal and equal to $B$; the vector $B$ is perpendicular to the plane of the ring (see figure Pис. 4). Find the EMF of induction at the moment when the angle AOC (see the figure) equals $\alpha$.

L. G. Markovick

P1052. The luminosity on the Earth’s surface from a full moon is nearly 10 times greater than that from a half moon. Why?

Решения задач

M1015. Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен $x^4+x^3+x^2+x+12$?

$$\begin{cases} a+c=1, \\ ac+b+d=1, \\ ad+bc=1, \\ bd=12. \end{cases}$$

Для $f(x)=x^4+x^3+x^2+x+12$, $f(-1)=12$, $f(0)=12$, $f(1)=16$.

Делители 12: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.

Делители 16: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 16$.

Одной из трех $g(-1)=6$, $g(0)=3$, $g(1)=2$ отвечает многочлен $g(x)=x^2-2x+3$, — делитель $f(x)$.

Ответ: можно. Искомое разложение получается так:

$$x^4+x^3+x^2+x+12 = \frac{1}{8} (8x^4+8x^3+8x^2+8x+96) =$$

$$= \frac{1}{8} ((3x^2-x+10)^2-(x^2-7x+12)^2) =$$

$$= \frac{1}{8} (4x^2-8x+12)(2x^2-6x+8) =$$

$$= (x^2-2x+3)(x^2-3x+4).$$

Найти это разложение нам помогла догадка. Но существует и более надежные способы решения таких задач. Можно было бы действовать «в люб»: предположить, что данный многочлен разлагается в произведение $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ двух квадратных трехчленов с целыми коэффициентами, раскрыть скобки и сравнить получащийся многочлен с данным. После приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях $x$ возникает система, приведенная на полях; решить ее в целых числа нетрудно — требуется лишь небольшой перебор. Для многочленов более высокой степени такой «метод неопределенных коэффициентов» приводит к громоздким системам управления.

Имеются и общие правила-alгоритмы, позволяющие любой многочлен с целыми коэффициентами разложить в произведение многочленов с целыми коэффициентами или убедиться, что это невозможно, т. е. доказать, что многочлен непроведим.*)

Один из алгоритмов для отыскания квадратного многочлена $g(x)=ax^2+bx+c$ данного многочлена $f(x)$ был указан еще Ньютоном (1707 г.) Возьмем любые три целых точки, скажем $x_0=0$, $x_1=1$, $x_2=-1$. Если $f(x)=g(x)h(x)$, где $g$ и $h$ — многочлены с целыми коэффициентами, то числа $g(x_0)$, $g(x_1)$, $g(x_2)$ делят числа $f(x_0)$, $f(x_1)$, $f(x_2)$. Посление три числа имеет лишь конечное число делителей. Для каждой тройки их делитель $d_0$, $d_1$, $d_2$ можно составить единственный квадрат.*

*) О неприводимых многочленах с целыми коэффициентами рассказываюсь в 10-м и 11-м номерах «Кванта» за 1986 г.

25

ратный трехлен $g(x)$ такой, что $g(x_i)=d_i$, и проверить, является ли его коэффициенты целыми, делится ли на него $f(x)$ и будет ли целыми коэффициенты частного (последняя проверка при $a=1$ не нужна). Этот способ можно искать и делители $g(x)$ любой степени: нужно вместе трех точек взять $k+1$ целых точек. Правда, такой алгоритм (предложенный в 1793 г. астрономом Фридрихом Фон Шубертом и переоткрытый уже в конце XIX века Леопольдом Кронекером) требует очень большого перебора. Об отсутствии более эффективных алгоритмов рассказано, в частности, во 2-м томе книги Д. Кнута «Искусство программирования на ЭВМ» (М., 1977, разделы 4, 6, 2).

Н. В. Васильев, С. Л. Манукян

M1016. Многоугольник описан около окружности с центром O. Пусть P — центр масс многоугольника, K — центр масс его контур. Доказите, что точки P, O и K лежат на одной прямой, причем PO=2PK. (При определении центра P мы рассматрием многоугольник как однородную плоскину, центра K — как контур из однородной проволоки.)

Рис. 1.

Рис. 2.

Заменим каждую сторону многоугольника ее центром масс (т. е. серединой) и помещим в эту точку массу, численно равную длине стороны. Ясно, что точка K совпадает с центром масс полученной системы материалов точек $(K_1, a_1)$, …, $(K_n, a_n)$ (зесь n — число сторонами многоугольника, $K_i$ — их середины, $a_i$ — их длины). Чтобы найти центр масс P многоугольника как плоскину, разобем его на треугольники отрезками, проведенными из центра O окружности в его вершины (рис. 1), найдем центры масс $P_1$, …, $P_n$ этих треугольников $(P_i$ — центр масс треугольника, примыкающего к стороне $a_i$), и помещим в эти точки массы, равные площадям $S_1$, …, $S_n$ треугольников. Тогда P совпадает с центром масс системы материалов точек $(P_1, S_1)$, …, $(P_n, S_n)$. Центр масс треугольной плоскины лежит в точке пересечения медиан. (Для доказательства рассмотрим степенчатую фигуру из k прямогольников равной высоты, приближающего наш треугольник — см. рис. 2 для k=4. Их центры лежат на медиане треугольника, следовательно, центр масс всеей фигуры тоже лежит на этой медиане. Переход к предлу при $k \rightarrow \infty$, получим, что и центр масс треугольника лежит на его медиане.) Таким образом, точка $P_i$ при $i=1$, …, n лежит на отрезке OK_i, причем $OP_i/OK_i=2/3$, т. е. система точек $K_1$, …, $K_n$ переходит в систему $P_1$, …, $P_n$ при готовении с центром O и коэффициентом 2/3. А поскольку и массы в точках $P_i$ пропорциональны $a_i$ ($S_i=a_i R/2$, где R — радиус окружности), точка K при указанной готовении переходит в P, что равnocльно утверждение задачи.

Аналогичноое утверждение справедливо и для многоугольника, описанного около сферы с центром O: если P — центр масс такого многоугольника (как тела), а K — центр масс его поверхности, то $OP=(3/4)OK$.

И. З. Вайштейн

ОТВЕТ. Да. В решении этой задачи использовется прием, ставший уже стандартным: подбирается целочисленная функция от расматриваемых 5 чисел, значения которого многоотношение, скажем, уменшаются при каждой операции и в то же время ограничены сизу; такая функция не может изменять сколь углово долго (ведь каждой раз она уменшается по крайней мере на 1), поэтому после конечного числа шагов дальнейшие операции будут невозможны.

В качестве такой функции можно взять величины

26

то эти числа заменяют соответствующее на $x+y$, — у $z+y$. Такие операции выполняются, пока хотя бы одно из пятых чисел отрицательно. Обязательно ли этот процесс закончится через конечное число шагов?

$$|x| + |y| + |z| + |u| + |v| + |x+y| + |y+z| + ... + |v+x| + |x+y+z| + |y+z+u| + ... + |v+x+y| + |x+y+z+u| + |y+z+u+v| + ... + |v+x+y+z+u|$$

M1018. Пусть $A$ и $B$ — соседние вершины правильного $n$-угольника с центром $O$. Треугольник $XYZ$, равный треугольнику $OAB$, вначале совпадает с ним, а потом движется в плоскости $n$-угольника так, что точки $Y$ и $Z$ остаются на контуре, а $X$ — внутри $n$-угольника. Каждый фигуру описет точка $X$, когда $Y$ и $Z$ совершат полный оборот по границе $n$-угольника?

Ответ. Искомое множество — это правильная «звездочка», составленная из $n$ равных отрезков длины $kR$, где $k = \frac{1}{\cos(\pi/n)} - 1$, а $R$ — радиус описанной окружности данного $n$-угольника (см. рис. 1 для $n=5$); эти отрезки получаются из отрезков, соединяющих центр $O$ многоугольника с его вершинами, при томотении с коэффициентом — $k$ и центром $O$.

Рассмотрим две последовательные стороны $AB$ и $BC$ данного многоугольника (рис. 2); пусть $Y$ лежит на $AB$, $Z$ — на $BC$. При повороте с центром $X$ на угол $2\pi/n$ (равный углу $YXZ$) точка $Y$ перейдет в $Z$, а прямая $AB$ — в прямую, проходящую через $Z$ и составляющую с $AB$ угол $2\pi/n$, т. е. в прямую $BC$. Следовательно, прямые $AB$ и $BC$ одинаково удалены от центра поворота

Рис. 1.

Рис. 2.

та $X$, а это значит, что $X$ лежит на биссектрисе угла $ABC$. При движении точки $Y$ от $A$ до $B$ точки $X$ будет движаться по прямой $BO$ от точки $O$ до некоторого положения $B_1$ и обратно до $O$, причем $B_1$ — это наиболее удаленное от прямой $AB$ положение $X$, поэтому при $X=B_1$, отрезок $XY$ перепendlukурен $AB$. Отсюда находится, что $BB_1=XY/\sin \angle ABO=R/\cos(\pi/n)$. При движении $Y$ по стороне $BC$ точки $X$ пройдет (туда и обратно) следующий луч звездочки — $OC_1$ и т. д.

В. Н. Дубровский

M1019. На листе клетчатой бумаги отмечен неокторое конечное множество $M$ узлов (точек пересечения

26

27

М1020*. На сфере радиуса 1 проведена а) кривая, длина которой меньше л; б) замкнутая кривая, длина которой меньше 2л. Доказите, что найдется плоскость, проходящая через центр сферы, не пересекающая проведенной кривой. (Можно считать, что кривая на сфере — это «ломанная», состоящая из дуг больших кругов.)

Рис. 1.

Модуль точки A, причем если хотя бы на одной линии сетки имеет нечетное число точек множества M, возьмем A на этой линии. Пользовь предположением индукции, раскрасли остальные точки, как требуется по условияю. Телерь надо доказать, что точку A можно окрасить так, что на двух линиях l и m, проходящих через A, это условия не нарушится.

После предварительного раскраски на каждой из линей l и m будет либо поровну красных и белых точек, и тогда наше условие не нарушится при любой раскраске A, либо точек одного цвета будет на 1 большие, чем другого, и тогда A нужно окрасить недостающим цветом. Это было бы неосуществимо, только если бы на одной линии, скажем на l, оказалось больше белых точек, а на другой — больше красных. Но тогда на каждой из линей l и m находится четное число точек множества M (включая A), и, следовательно, в силу выбора A на всех линии сетки находится четное число точек из M. В таком случае на всех линии, отличных от l и m, число белых точек равнялось бы числу красных. Подсчитывая общее число белых и красных точек по линяям, параллельным линей l (включая l), мы получили бы, что белых точек на 1 большие, чем красных; при подсчете по линяям, параллельным m, получилось бы, что красных точек больше. Это противоречие показывает, что единственный непряятный вариант встретиться не может, и точку A всегда можно окрасить в соответствии с условиям.

А. П. Савин

Решение этой задачи становится короче и яснее, если излагается его на языке сферического геометрии. Поэтому с некоторыми словами этого языка.

Большая окружность, или, как чаще говорят, больший круг — это окружность ω, по которой сфера пересекается с произвольной плоскостью α, содержащей ее центр O; концы диаметра сферы, перепедикулярного плоскости α, называются полосами окружности ω, сферическое расстояние s(A,B) между двумя точками сферы A и B определяется как длина меншей дуги большого круга, соединяющей A и B; если радиус сферы равен 1, то, очевидно,

s(A,B)=∠AOB.

Известно, что каждый из плоских углов трехгранного угла меньше суммы двух других (доказательство можно найти, например, в учебном пособии: Геометрия 9—10 / под ред. 3. А. Скопца. — М.: Просвещение, 1981, с. 224), поэтому сферическое расстояние удовлетворяет «неравенству треугольника»*):

s(A,B)<s(A,C)+s(C,B).

В планиметрии из аналогичного неравенства выводится, что отрезок — кратчайшая из линей на плоскости, соединяющихся две данные точки; в сферическое геометрию точно так же доказывается, что кратчайший линей между двумя точками на сфере является дугą большого круга.

Телерь перейдет непосредственно к задаче.

a) Первое решение. Возьмем на данной кривой точку P, которая делит ее на две части равной длины. Для любой точки X кривой сферическое расстояние s(P,X) не превыходит длины участка кривой от P до X,

*) Если точки A и B диаметрально противоположны, знак < в нем надо заменить на =.

28

t. е. меньше π/2. Следовательно, наша кривая не пересекает большой круг с полосом P (для любой его точки Y сферическое расстояние s(P,Y)=π/2; рис. 1). Плоскость, содержащая этот круг, и является искомой.

Во втором решении мы только докажем, что нужная плоскость существует, не указивая ее конкретно. Преимущество этого решения в том, что оно годится для любого набора кривых на сфере, суммарная длина которых меньше π.

Рассмотрим множество всех больших кругов, пересекающих нашу кривую, и для каждой отметим его полосы. Докажем, что плоскость множества M всех отмеченных полосов меньше плоскости сферы, т. е. 4π. Это будет означать, что найдется больший круг, полосы которого не принадлежат множеству M, т. е. не пересекающий нашу кривую.

Ясно, что полосы всех больших кругов, проходящих через некоторую точку X, сами образуют больший круг ω_X с полосом X. Когда точка X пробегает друг AB большого круга, окружности ω_X «заметают» на сфере два равных двумугольника (рис. 2): вершины этих двумугольников являются полосами большого круга AB, а «угол растора» двумугольников равен длине s(A,B) других AB. Площадь двумугольника с углом α на сфере радиуса 1 равна 2α (очевидно, она пропорциональна α и равна 2π при α=π). Следовательно, плоскость множества полосов больших кругов, пересекающих друг AB, равна 4s(A,B), а площадь всего множества M не превыходит 4(α₁+…+αₙ)<4π, где α₁,…,αₙ — длины друг, составляющих данную кривую (или несколько кривых).

6. Выберем на данной кривой две точки A и B, разбииваем ее на части равной длины. Проведем через A и B больший круг и на меньшей из его двух друг с концами A и B возьмем середину P. Теперь, как и в первом решении задачи a), надо доказать, что для любой точки X нашей кривой s(P,X)<π/2. А это неравенство следует из lemмы, которая приводится ниже (сумма длины дуг AX и XB не превыходит длины участка кривой AXB и потому меньше π).

Лемма. Пусть P — середина стороны AB сферического треугольника ABX (на сфере радиуса 1). Тогда длина его «медianы» s(P,X) меньше, равна или больше π/2, если сумма длины заключится ее сторона s(A,X)+s(B,X) соответствующего меньше, равна или больше π.

Доказательство. Пусть сначала s(P,X)=π/2 и Y — точка сферы, диаметрально противоположная X (рис. 3). Сферические треугольники PXB и PYA равны (они «сферическими симметричны» относительно центра P), поэтому s(X,B)=s(Y,A) и

s(A,X)+s(X,B)=s(A,X)+s(Y,A)=π.

Если s(P,X)>π/2, отложим на дуг PX точку X₁ такую, что s(P,X₁)=π/2 (рис. 4), тогда по доказанному суммам s(A,X₁)+s(X₁,B)=π, но из неравенства треугольника следует (см. рис. 4), что она меньше s(A,X)+s(X,B). Аналогично рассматривается случай s(P,X)<π/2.

Задача 6) допускает и решение, аналогичное второму решению задачи a). Пусть множества M образовано полосами всех больших кругов, пересекающих данную кривую. Любой из этих кругов пересекает кривую не менее 2 раз (так как она замкнута), поэтому двумугольники, рассмотренные в решении задачи a), покрывают M по крайней мере в 2 слоя, и следовательно, площад множества M меньше, чем 4·2π/2=4π, т. е. меньше площад сферы.

Г. А. Гальперин, В. Н. Дубровский, В. В. Произвольов

30

$$F = \sum \frac{\mu v}{\Delta t} = \frac{v}{\Delta t} \sum \mu = \frac{M}{\Delta t} v = q \rho v = q \rho \sqrt{2gH}$$

(mасса $M$ равна массе воды, вытекающей из крана за время $\Delta t$, и следовательно, $M/\Delta t = m = q \rho$). Таким образом, $\pi \rho gh^2 r = q \rho \sqrt{2gH}$, откуда получаем оценку $r$:

$$r = \frac{q}{\pi h^2} \sqrt{\frac{2H}{g}}.$$

А. А. Алабузин, А. В. Уманский

Ф1030. На неевесомой нити жесткостью $k$ высит тело массой $m$. Максимальное натяжение, которое выдерживает нить, равно $T$. Тело приоднимют на высоту $x$ от положения равновесия и отпускают. При каком минимальном $x$ нить порвется?

Заметим, что $T > mg$, — иначе было бы невозможно равновесие. В положении равновесия нить растянута на $\Delta l_0 = mg/k$.

После того как груз был поднять на высоту $x$ от положения равновесия и отпущен, он будет движаться вниз. Пройдя положение, соответствующое длине свободной нити, груз начинает растяивать нить. Пусть $\Delta l$ — максимальное растяжение нити. Тогда условия обрыва нити — $k \cdot \Delta l = T \Rightarrow \Delta l = T/k$.

В зависимости от соотношения параметров $T$ и $m$ возможно два случая: 1) $x < \Delta l_0$, 2) $x > \Delta l_0$. Расмотрим их отдельно.

1. $x < \Delta l_0$. Запишем закон сохранения энергии, прияв за нульевой уровень потенциальной энергии тела в поле тяжесте положение, когда нить не растянута:

$$-mg(\Delta l_0 - x) + \frac{k}{2}(\Delta l_0 - x)^2 = -mg \cdot \Delta l + \frac{k}{2}(\Delta l)^2.$$

Подставляя значения $\Delta l_0$ и $\Delta l$ из (1) и (2), находим $x$:

$$x = \frac{T - mg}{k}.$$

Легко видеть, что $x \leq l_0$ эквивалентно условию $T \leq 2mg$. 2) $x > \Delta l_0$. Из закона сохранения энергии —

$$mg(x - \Delta l_0) = -mg \cdot \Delta l + \frac{k}{2}(\Delta l)^2$$

— с учетом (1) и (2) находим:

$$x = \frac{mg}{2k}\left(\left(\frac{m}{mg} - 1\right)^2 + 1\right) \text{ (при } T \geq 2mg).$$

В. Г. Харитонов

Ф1031. Проводящая сфера разбласть на несколько оскольков, разделающихся на большие расстояния друг от друга. Осколики в произвольном порядке соединяют системы оскольков или электроемкость сферы? Емкость проводов претензий.

Сообщим системе оскольков заряд $q$ (пусть для определения $q > 0$). Начнем собирать осколики, соединенные проводами (емкость которых мы пренебрегаем), в сферу. Понятно, что поверхностная плотность заряда на любом уже собранном участке сферы будет положительное. Поэтому при сольжении оскольков между ними все время будет действовать сили отталкивания, и для того чтобы собрать оскольки в сферу, нужно совершить работу $A > 0$.

Заряд собранной сферы будет равен $q$, электростанцияческая энергия ее $W_{\text{сф}} = q^2/2C_{\text{сф}}$, где $C_{\text{сф}}$ — эфективность сферы. Энергия же системы оскольков была $W_{\text{ос}} = q^2/2C_{\text{ос}}$, где $C_{\text{ос}}$ — электроемкость системы. Ясно, что $A = W_{\text{сф}} - W_{\text{ос}}$, и так как $A > 0$, $W_{\text{сф}} > W_{\text{ос}}$, т. е.

$$\frac{q^2}{2C_{\text{сф}}} > \frac{q^2}{2C_{\text{ос}}}.$$

Это означает, что $C_{\text{сф}} < C_{\text{ос}}$ — электроемкость сферы меньше электроемкости системы оскольков, соединенных проводами.

И. М. Луценко

31

Задчи

1. Замените на рисунке звездочки цифрами так, чтобы равенство оказалось верным.
2. В 1987 году возраст старшего из двух браться стал равен сумме цифр года рождения младшего, а возраст младшего — сумме цифр года рождения старшего брата. Сколью им лет, если один старше другого на 7 лет?
3. Оdnажды Петя попробовал подключить лампочку к двум батарейкам так, как показано на рисунке. Оdnako лампочка не загорелась, хотя от каждой из батареек она зажигалась. Почему?
4. Шофер автобуса установил в одной кассе катушки билетов с номерами от 537000 до 537999, а в другой — с номерами от 462000 до 462999. В какой из катушек «счастливых» билетов больше (т. е. таких, что сумма первых трех цифр равна сумме следующего трех цифр)?
5. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника, разделил его на два четырехугольника, имеющих равные площади. Докажите, что эти стороны параллельны.
   Эти задчи нам предложили ученица 7 класса из Мурома Оля Зевалева, ученик 10 класса из Пушкинского района АзССР Натич Ширинов, С. В. Дворянинов, А. Г. Самосват, В. В. Произвольов.

31

32

Замечательные числа

Писъемная история числа π начинается с египетского панируса, датируемого примерно 2000 годом до н.э., где оно принимается равным (16/9)² = 3,1604… Древние греки питались с помошью циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий данному кругу, т. е. получить аппроксимацию числа π.

Число τ = √5+1/2 называют отношением «золотого сечения». В таком отношении точка C делит отрезок AB, если AB:AC = AC:CB. (Положив AB = x, а AC = 1, получаем, что x:1 = (x-1), откуда x² - x - 1 = 0. Положительный корень этого уравнения равен √5+1/2.

Из приведенного уравнения следует, что τ² = τ + 1, а 1/τ = τ - 1. Если от прямой неравьтных сторон которого равно τ (такой прямой неравьтный называется «золотым»), отрезать квадрат, получим подобный ему прямой неравьтный с коэффициентом подобия 1/τ. Этот процесс можно продолжать бесконечно.

Архимед для оценки числа π вычислил периметры вписанных и описанных многоугольников от шестиугольника до 96-угольника. Ему принадлежит приближенную π≈22/7=3,1428… Иndусы в V-VI веках пользовались числом √10 = 3,1611,…, китайцы — числом 22/7, а также числом 355/113=3,1415929…

Любопытно, что τ равно радиусу окружности, описанной вокруг правильного десятичного квадрата также десятичного (с хорошего точности) равен длине описанной окружности, т. е. 2π≈10 или π≈5. Еще точнее соответствие 5π≈6π. Отскода π=√30 = 3,1072… Точнее π = √31=3,14138…

33

В 1596 году голландский математик Ван Цейлен представил число π с 32 верными знаками. В 1719 году французский математик Ланья вычисляет π со 140 верными знаками. В 1844 году немец Дазе нашел π с 200 верными знаками; в конце XIX века было уже известно более 500 верных знаков числа π.

В правильном пятугольнике имеется много пар отрезков, отошение которых равно τ:AC:AB=AE:EC=AE:AD=τ и т. д. Любопытный следующее представление числа τ:τ=√1+√1+√1+…;τ=1+1/1+1/1+1/1+…

Недавно Джонатан и Питер Ворвейны (США) нашли π с 29 360 128 верными знаками. Это число хранится в память вычислительной его ЭВМ. Если его распечатать, оно займет 30 томов по 400 страниц. Японские математики обещают вычислить π со 100 000 000 верных знаков.

Головоломки

1. Уложите на стол семь монет: три однокопеенные и одну двухкопеенную так, чтобы камда из них касалась не менее трех других.
2. Переложите одну спичку так, чтобы изображен-

Пропорция золотого сечения часто использовалась художниками и архитекторами. Леонардо да Винчич находил т в проорции цихах человекаского тела. Древнегреческий скульптор Фидий использовал золотое сечение при оформлении Парфенона. В честь Фидия золотое сечение иогда обозначют буковой φ.

Золотым кубоидом называют прямоугольный параллелем с ребрами τ, 1, 1/τ. Его полная поверхность равна 4τ, а диагональ равна 2. Отскодалась седует, что поверхность сферы, описанной около «золотого кубона», равна 4π. Таким образом, отношение этой поверхности самого кубона равно π:τ.

ное на рисунке равенство выполняется до 0,002.

3. Магнитофонная лента длиной 500 м намотана на катушку диаметром 5 см; е результate получалась катушка диаметром 20 см. Какова толщина ленты?

34

«Джон Дальton,
открыщий
атомную теорию»

Из надписи
на_MEMORIALНОЙ ДОСКЕ

ДАЛЬТОН
ВЗВЕШИВАЕТ АТОМЫ

Кандидат физико-математических наук
А. С. ШТЕЙНВЕРГ

В 90-х годах XVIII века в несликом серебряном английском журнале «Календарь для леди и джентельменов» стал сотрудничать молодой человек по имени Джон Дальton. В его обязанности входило информаровать читатель о погодных наблюдениях. Новый сотрудник выказывал весма похожальное усеридие. В частности, он начал вести дневник meteorologicalских наблюдений… Аспуста много лет на страницах этого дневника появилась первая в мире таблица atomных весов элементов, которая прославила имя автора.

Идея о существовании «первокир-

34

пичка» вещества — atoma — зародилась более двух тысячи лет назад. Но, как утверждает восточная пословица, «сколько ни говори «халва, халва», во руту сдако не станет». Если atoms — реализность, у них должны быть размеры и вес. А задача физики — их измерить. Но как?

Поставьте себя на место физика или химка конца XVIII века. В вашем распоряжении имеются данные о составе ряда веществ, накопленные за столетия алхимических и химических оптовов. Например, известно, что вода состоит из кислорода и водорода, углекислый газ — из углерода и кислорода и т.д. Известно также, что существуют «простые вещества», которые невозможно разложить на более элементарные; это водород, кислород, азот, углерод, сера и т. д. Каковый ваший возможности в области измерений? Можно определить вес и объемы тел, в случае газа — измерять давление. Правда, из-за несовершенства аппаратуры все количество данных больше тойность не отличаются, ошибки до 10 %. — в порядке вешей…

Тепер подумайте, как на такой основе можно измерить что-либо, относшееся к мелчайшим atomам (само существование которых к тому же было под вопросом). Дальтон придумал и so столь скромным багазом приступил к «взвешиванию» atomов.

Он принял, что каждое из неразложенных, «простых», веществ состоит из atomов одного сорта. Дальтон понимал, что определить их абсолотный вес (скажем, в граммах *) ему не под силу. Следовало построить по-другуму: принять вес самого легкого atomа за единицу и в этих единицах выразить вес остальных. Самым легким из «простых» веществ был водо-

*) Понятно, что на самом деле речь идет о массе; но мы сохраняем терминологию, принято в то время.

Рис. 1.

Описание углерода

Рис. 2.

35

36

Вот какими численными данными располагают Дальтон:
44 % углерода + 56 % кислорода = окись углерода,
28,1 % углерода + 71,9 % кислорода = углексий газ.
В такой записи никаких закономерностей не видно. Но давайте определим, сколько приходит кислорода на одно и то же количество углерода в разных реакциях. В первой на 44 весовые части углерода — 56 весовых частей кислорода. А сколько потребуется кислорода на 44 весовые части углерода во второй реакции?
Ответ дает простая пропорция:
$$44 \cdot \frac{79,9}{28,1} \approx 112,6.$$
Почи точно в два раза больше, чем в первой! Дальтон объясил этот факт, предложив соответствующие атомные модели обихих веществ (см. рисунок 2):
1 atom углерода + 1 atom кислорода = 1 atom двойной оксичирода, 1 atom углерода + 2 atoms кислорода = 1 atom тройной углексского газа.
Из такого объяснения (совершенно верного!) следовало, что вес атома кислорода относится к весу атома углерода как 56:44 (в хорошо согласинии с современными данными).
План Дальтона по определению атомных весов был предложено ясен: сначала по реакции образования воды подсчитать вес атома кислорода, а затем по реакциям окисления — вес остальных простых веществ.
6 сентября 1803 года в дневнике Дальтона появился таблица атомных весов ряда веществ. Мы приведем часть этой таблицы вместе с современными данными (в тех же единицах измерения):

| Atom | Atomный вес | Современные данные |
| :— | :— | :— |
| Водород (H) | 1 | 1 |
| Кислород (O) | 5,66 | 15,37 |
| Азот (N) | 4 | 14 |
| Углерод (C) | 4,5 | 11,9 |
| Вода (HO) | 6,66 | 17,87 |
| (сложный atom) | | (молекуляр H₂O) |

Казалось бы, ничего похоже. Но это не совсем так. Например, относение весов кислорода и углерода по данным Дальтона равно 1,26. Современные методы дают очень близкое значение — 1,25. Не стоит также забывать, что это — лишь первая версия таблицы. Воспледствии Дальтон не раз уточнял ее. В частности, вес кислорода «вырос» до 7. К сожалению, один серверный дефект оставался во всех вариантах: Дальтон неверно определил атомный вес кислорода. А поскольку атомные веса других веществ определились в основном по реакциям окисления, ошибка автоматически переносилась и на них.

Из таблицы видно, что химический состав воды, по Дальтону, соответствует формуле HO, т. е. на каждый атом кислорода приходит один атом водорода. Именно здесь и крылась неточность. Сегодняя химическая формула воды известна всем — H₂O. Но Дальтон этой формулы не знал, а без этого не мог двигаться дальше. Поэтому он введел следующий принцип: в тех случаях, когда известно лишь одно соединение атомов A и B, оно является простейшим, т. е. по терминологии Дальтона двойным атомом AB. Поэтому формула воды и приняла вид HO.

37

Вероятно, этот принцил не очень удовлетворял Дальтона. Буквально через несколько строк после определенения составы воды он пишет: «В конце концов надо допустить возможность того, что вода может быть тройным соединием. В этом случае, если два.atoma водорода соединяются с одним.atомом кислорода, атом кислорода должен весить в 14 раз больше.atoma водорода»…

Дальше этого Дальтон не пошел. Более того, ко всем попыткам других исследователей переместить или уточнить его результаты он относился крайне враждебно. Но научных тайней не оставлял до самого конца жизни. 27 июля 1844 года, за несколько ко часов до смерти и ужечевствуе приближение, Джон Дальтон в последний раз взобрался на метевышку и дрожащей рукой сделал последнюю из 200 000 записей в своем дневнике…

Ошибки Дальтона еще при его жизни исправил замечательный шведский химик Яков Берцелius. Будучи убежданым стороником атомистической теории Дальтона, Берцелius в то же время писал: «Числа Дальтона лишены той точности, которая необходима для практического применения его теории». В 1826 году, следуя идеям англійского ученого, Берцелius составил таблицу atomных весов, которая по существу не отличается от современной.

Дифракционной решетке — 200 лет

Едва ли какому-либо прибору современная физика обязана стоять же многим, как дифракционной решетке, позволяющей точно и надежно определить длины световых волн.

Спектральные приборы с использованием дифракционных решеток впервые начал строить видающая немецкий оптик И. Фраунгофер (1787—1826) в двадцатых годах прошло века. И в течение болееста лет считалось, что именно он изобрел дифракционную решетку. Но когда в 1932 году в США готовились отметить общей одного из зачинателей физики и астрономии в Новом Свете Д. Риттенхауз (1732—1796), неожиданное обнаружилось, что этот ученый изготовил и исследовал дифракционную решетку еще в 1786 году.

Биография Дейвida Риттенхауз довольно хорошо известна. С детства он увлекался конструктивным различным механизмом и приборов. После к этим увлечениям добавилась «натуральная физика», которое он построил, штуидируя соинення великого Ньютона. Изготовление физических и астрономических приборов, исследований и наблюдения с их помощью стали делом всей его жизни. Оргинальные по замыслу и отличные по техническому использованию хронометры, термометры, планетарии, оптические системы и другие приборы Риттенхауза принадлежали к наиболее совершенным исследователям средством его эпохи. Риттенхауз изучал скимаемость воды и тепловой расширение дерева, занимался усвоениеманием громоотводов и экспериментировал с магнитами. Костати сказаны, оказалось, что в своей понимании природу магнитизма твердых тел он чуты ли не на сто лет опередил современников.

Научные заслуги Риттенхауз не оставлись без при-
знания — он занимал пост профессора и ректора Пенсильванского университета, состоял почетным членом Лондонского королевского общества, после смерти знаменитого Б. Франклина (1706—1790) его избрали презidentом Американского философского общества, а в конце жизни он был назначен управляющим Монетным двором.

Как-то в марта 1785 года Риттенхауз получил от одного знакомого юриста письмо, который его необычайно запятелесовал. «Дорогой сэр! — говорилось в письме. — Позволило себе привлечь Ваше внимание к следующему вопросу из оптики. Я полагаю, вопрос этот совершенню нов, и ответ на него составит удовлетворение для Вас и будет почетным для меня. В один из вечеров прошло лета, сидя у двери моого дома, я вынул из кармана шелковый носовой платок, и сильно растуну его обемни руками, стал смотрить через него на улицы фонарь ярдых вста〈примерно 90 м〉 от дома. Я ожидал, что увижу крупным планомниты ткани платка. И дей-

Дифракционная картина, полученная в монхроматическом свете с помощью дифракционной решетки.

39

Математика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Признак делимости на числа вида 10n±1» предназначаем восмиклассикам, заметка «Первый делательный предел» — девятиклассик и десятиклассикам, заметка «Формулы Виета» — учащимся восмых — десяты классов.

Признак делимости на числа вида 10n±1

В 1884 году в одном из номеров издавшегося в Киеве «Журнала элементарной математики» была помещена статья основателя журнала профессора В. П. Ермакова «Признаки делимости чисел». В статье были показаны описываемые ниже признаки делимости на числа вида 10n±1.

Чтобы узнать, делится ли данное число N на число m=10n+1, нужно:
А. отбросить от числа N последнюю цифру;
В. вычесть из полученного числа произведение отброшенной цифры на n;
В. с полученным числом проделать операции A и B;
Г. делать это до тех пор, пока (последняя операция B) не остается число, меньше или равное 0;
Д. если оставшееся число есть 0, то N делится на m=10n+1; в противном случае N не делится на m.
Докажем это. Если k — последняя цифра числа N, то операции A и B превращают число N в число
$$\frac{N-k}{10} - kn = \frac{N-k-10kn}{10} = \frac{N-km}{10}.$$
Очевидно, что это число делится на m тогда и только тогда, когда N делится на m. Дальнейшие операции уменьшают число, не меняя его делимость на m, откуда и следует Д.

Примеры

$$N = 11934, m = 51:$$
$$11934 \rightarrow 1193 \rightarrow 1173 \rightarrow 117 \rightarrow 102 \rightarrow 10 \rightarrow 0$$

$$N = 15314, m = 61:$$
$$15314 \rightarrow 1531 \rightarrow 1507 \rightarrow 150 \rightarrow 108 \rightarrow 10 \rightarrow 38$$

Мы видим, что 11 934 делится на 51, а 15 314 не делится на 61.

Заметим, что если в случае делимости записать отброшенные цифры в обратном порядке, то получится част-

40

ное; например, 11 934:51=234 (доказайте!).

Чтобы получить признак делимости на $m=10n-1$, нужно в Б заменить вычитание сложением, в Г и в Д вместо 0 написать $m$, а вместо 10$n+1$ написать 10$n-1$.

Пример

$$N = 9246, m = 69$$

(здесь операция Б— это измененная операция В).

Значит, 9246 делится на 69. Придумайте, как в этой строке прочесть частное 9246:69.

Заметим, наконец, что если записьать числа в двойной системе счисления, то любое из наших правил дает признак делимости на любое нечетное число (признак делимости на 2 в двойной системе самоочевиден).

В. Г. Столяр

Первый замечательный предел

В учебном пособии «Алгебра и начала анализа 9—10» (М.: Просвещение, 1986) в п. 20 (с. 94) доказывается теорема о произвольной синуса: функция синус имеет произвольную в любой точке и $(\sin x)'=\cos x$. При доказательстве этой формулы существует используется то, что отношение $\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$ стремится к единице, когда $\Delta x$ стремится к нулю:

$$\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x} \rightarrow 1$$ при $\Delta x \rightarrow 0$.

Иными словами, используется теорема о пределе отношения $\frac{\sin x}{x}$ при $x \rightarrow 0$:

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$$

Математики называют этот предел первым замечательным пределом.

В этой заметке мы доказем теорему о пределе отношения $(\sin x)/x$ при $x \rightarrow 0$ (в школьном учебнике соответствующое доказательство опирается на геометрическую наглядность, см. с. 95). При доказательстве нам понадобится более формальное определение предела, чем то, которое дается в «Алгебре и начала анализа 9—10» на с. 76. Именно, мы будем говорить, что функция $f(x)$ стремится к пределу $L$ при $x \rightarrow a$ ($x \neq a$), если для любого положительного $\varepsilon$ найдется такое положительное $\delta$, что для всех $x$, таких, что $|x-a|<\delta$ выполняется неравенство $|f(x)-L|<\varepsilon$. Другими словами, функция $f(x)$ стремится к пределу $L$ при $x \rightarrow a$, если для любого $\varepsilon>0$ можно указать такую окрестности точки $a$, что при всех $x$ из этой окрестности, $x \neq a$, будет выполняться неравенство $|f(x)-L|<\varepsilon$. (Продумайте самостояльно эквивалентность всех трех пределений предела: наших двух и определеня, данного в школьном учебнике.)

Итак, переходим к доказательству теоремы.

Предположим вначале, что $0<x<\frac{\pi}{2}$. Расмотрим единную окрестность с центром $O$ и сравним с центрам $AFC$ с плоскью прямолинника $ABCD$ (см. рисунок).

Площадь сегмента $AFC$ равна разности площадей сектора $OAC$ и треугольника $OAC$, т. е.

$$S_{AFC} = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin x > 0,$$

откуда

$$\sin x < x.$$

Оценим теперь площадь прямолинника $ABCD$. Так как $AD=\sin x$, $DC=1-\cos x$,

$$S_{ABCD} = \sin x (1-\cos x) = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \sin x < 2 \cdot \frac{x^2}{4} \cdot x = \frac{x^3}{2}.$$

Поскольку сегмент AFC лежит внутри прямогольника, мы получаем целочку неравенств:
$$0 < S_{AFC} < S_{ABCD},$$
$$0 < \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin x < \frac{x^3}{2},$$
$$0 < 1 - \frac{\sin x}{x} < x^2$$
(в промежутке 0 < x < $\frac{\pi}{2}$).

Заметим теперь, что функция $\frac{\sin x}{x}$ четная, поэтому неравенство (*) справедливо и в промежутке $-\frac{\pi}{2} < x < 0$, т. е. оно справедливо для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x| < \frac{\pi}{2}$.

Так как $x^2 \rightarrow 0$ при $x \rightarrow 0$, то для любого $\varepsilon > 0$ можно указать такую окрестность, что при всех $x$ из этой окрестности, $x \neq 0$, будет выполнять неравенство $x^2 < \varepsilon$. Учитывая (*), получим, что для всех $x$ из этой окрестности, $x \neq 0$, будем иметь
$$1 - \frac{\sin x}{x} = \left| 1 - \frac{\sin x}{x} \right| < \varepsilon.$$

Это и означает, что $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ – наша теорема доказана.

Г. А. Сорокин

Формулы Виета

В школьном курсе алгебры (см. «Алгебру 7», п. 23) доказывает теорема Виета для приведенных квадратных уравнений. Однако аналогичная теорема справедлива и для кубических уравнений, и для уравнений четырехстепеней, и вообще для произвольных алгебраических уравнений степени $n$, причем старший коэффициент (при $x^n$) вовсе не обязательно равен единице.

При $n=1$ мы получаем линейное уравнение $ax+b=0$ и если $x_1$ – его корень, то $ax_1+b=0$, откуда
$$x_1 = -\frac{b}{a}.$$

Пусть есть квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ ($a \neq 0$), и пусть $x_1$ – его корень. Тогда
$$ax_1^2+bx_1+c=0.$$

Вычитая из уравнения $ax^2+bx+c=0$ тоджество $ax_1^2+bx_1+c=0$, получим
$$a(x-x_1)^2+b(x-x_1)=0,$$
откуда
$$(x-x_1)(ax+ax_1+b)=0.$$

Так как $x_1$ корень уравнения $x-x_1=0$, то второй корень квадратного уравнения $x_2$ удовлетворяет уравнению
$$ax_2+ax_1+b=0.$$

Значит,
$$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}.$$

Это – первая формула Виета для квадратного уравнения. Далее,
$$x_1^2 + \frac{b}{a}x_1 + \frac{c}{a} = 0,$$
или
$$x_1^2 - (x_1+x_2)x_1 + \frac{c}{a} = 0,$$
откуда получаем вторую формулу Виета
$$x_1x_2 = \frac{c}{a}.$$

Заметим, что при выводе обеих формул Виета нам вовсе не попадились формулы для корней квадратного уравнения. (Кстати, они из формул Виета легко находятся.)

Используя формулы Виета, мы можем доказать полезную теорему: если $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного трехчлена $f(x)=ax^2+bx+c$, то $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$. В самом деле,
$$f(x) = ax^2+bx+c = a(x^2 - \left(-\frac{b}{a}\right)x + +\frac{c}{a}) = a(x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2) = a((x^2-x_1x) - (x_2x-x_1x_2)) = a(x-x_1)(x-x_2).$$

Для корней кубического уравнения формулы Виета выводятся совершенно аналогично, но чтобы читатели лучше усвоили технические приемы, мы еще раз проделаем всю последовательность шагов.

Для общего случая алгебраического уравнения степени $n$ читатели, знакомые с методом полной математической индукции, смогут вывести формулы Виета самостояльно. Здесь мы эти формулы только выпишем.

Пусть данную уравнение
$$a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_nx^n = 0.$$