Квант 1987, №8 · Страницы

ISSN 0130—2221
КВАНТ
Научно-популярный
физико-mатематический
журнал
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1987

$a_t \sim 4\pi t^2 \cdot \Delta p/m$

$a \sim F_A/m^* \sim 10^2 \text{ fus}$

1

В номере:

2. Н. В. Васильев. Гексаграммы Паскаля и кубические кривы
3. А. А. Варламов, А. И. Шапиро. Пока чайник не закипел…
4. Л. А. Островский. Волны на воде

Задачник «Кванта»
23. Задачи M1056 — M1060, Ф1068 — Ф1072
25. Решения задач M1036 — M1040, Ф1048 — Ф1052
31. Маятник в магнитном поле и прицели суперрозиции

32. Калейдоскоп «Кванта»
    «Квант» для младших школьников
33. Задачи
34. Л. Г. Асламазов. Лунный тормоз

Школа в «Кванте»
40. Математика 8, 9
44. Избранные школьные задачи

Лаборатория «Кванта»
45. В. М. Бубнов. Вихри… на патефоне

Искусство программирования
48. В. В. Гурарий, К. А. Стыркас. Об одной рекуррентной последовательности

Наш календарь
51. Луиджи Гальвани (к 250-летию со дня рождения)

Игры и головоломки
53. Л. А. Штейнгари. Из чего угодно — что угодно

Практикум абитуриента
55. А. И. Буздин, С. С. Кротов. Работа, энергия, телло

Информация
54. Вечерняя физическая школа при МГУ
59. Х Турир юных физков

61. Ответы, указания, решения
    Смеся (36)
    Шахматная страница
    Ретроспективный анализ (3-я с. обложки)

Наша блюдака

На первой странице обложки — деталь расписного донца работы городечного мастера В. К. Лебедева (начало XX века). Эта картика, как и fotografия на второй странице обложки, — ilлюстрация к статуе «Пока чайник не закипел…» (см. с. 9).

© Издательство «Нука». Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1987

2

ГЕКСАГРАММЫ ПАСКАЛЯ
И КУБИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

Кандидат физико-математических наук
Н. Б. ВАСИЛЬЕВ

В 1640 году Блез Паскаль (ему шел тогда семнадцатый год) обнаружил замечательное свойство шестизвенной замкнутой ломаной, вписанной в окружность. В возникающей конфигурации (рис. 1), которое Паскаль назвал «мистичской гексаграммои», некоторые три точки пересечения неизбежно оказываются лежащими на одной прямой. Свое открытие Паскаль опубликовал в виде афиши, изданной в пятидесяти экземплярах для раздачи и пересылки отдельным ученым. Работа Паскаль и вышедшее четырьмя годами раныше небольшое сочинение Жерара Дезарга «Образец одного из общих способов для употребления перспективы» последули фундаментом новой математической дисциплины — проектной геометрии. Именного тогда было осознано, что «древние знания не все» (выражение ПЬера Ферма) — до тех пор достижения геометров Древней Греции считались непrevзойденными.

С именем одного из последних античных геометров — Паппа Александрийского, жившего в III веке н. э.,— связана теорема о шестизвенной ломаной, похожая на теорему Паскаль; с нее мы и начнем расссказ.

Очень советуем проведти экспериментальную проверку этих теорем:

сделать несколько кругпных и аккуратных чертежей — это не только убедит вас в справедливости теорем, но и позволяет понять восторг, охватывающий в свое время Паскаль и его современников (а быть может, и Паппа).

На геометрических доказательствах и многочисленных следствия теорем Паппа и Паскаль мы не будем задерживать, затронув лишь одну почительную тему — использовать геометрические преобразования, в том числе центрального проектирования. Наша главная цель — показать, что свойства «гексаграммо» — лишь часть проявления более общего факта, относящегося к алгебраической геометрии, одному из самых глубоких разделов математики XIX—XX веков. Мы увидим, что тот же факт обязывает и основное свойство операции «сложения точек» на кубической кривой (о его применениях в теории чисел рассказываюсь в прошлом номере «Квана»).

В заключительной серии рисунков точки трех цветов и соединяющие их прямые образуют конфигурации, где удивительные совпадения точек пересечения (которые в конфигурациях Паппа и Паскаль возникли).

Рис. 1. Теорема Паскаль. Какие бы шесть точек ни взяты на окружности и как ни занутеровать их числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, точки пересечения прямых 12 и 45, 23 и 56, 34 и 61 будут лежать на одной прямой (ее называют прямой Паскаль вписанного шестизвенго шестиугольника 123456). Другая формуларовка: точки пересечения протwoго ложных сторон вписанного шестиугольника или их продолжений лежат на одной прямой.

3

Teorемы Паппа

Начнем со сравнительной простой теоремы о 6 точках, лежащих на двух прямых a и b (рис. 2a).

Teорема 1a. Пусть вершины шестизвенной замкнутой ломаной лежат попереенно на двух прямых. Если две пары противоположных звеньев этой ломаной (1-e и 4-e, 2-e и 5-e) параллельны, то и оставшаяся пара звеньев (3-e и 6-e) параллельна.

Идею доказательства посящим с помощью геометрических преобразований. Пусть прямые a и b пересекаются в точке O (рис. 2б). Расмотрим две геометрии с центром O: одну — переводящую прямую $A_1B_1$ в $A_3B_2$, и другую — переводящую $A_3B_3$ в $A_2B_1$. Их композиция — результат последовательного выполнения этих геометрий — переводит прямую $A_1B_3$ в $A_2B_2$, поэтому $A_1B_3 \parallel A_2B_2$. Заметим, что следить за преобразованиями точки $A_1$ удобно, применяя геометрии в одном порядке: $A_1 \rightarrow A_3 \rightarrow A_2$, а точки $B_3$ — в другом: $B_3 \rightarrow B_1 \rightarrow B_2$. Результат, конечно, не зависит от порядка применения двух геометрий: их композиция — это тоже геометрия с центром O, коэффициент которого равен произведению коэффициентов этих двух геометрий. В случае, когда прямые a и b параллельны (рис. 2б), в том же расуждении геометрии нужно заменить параллельными переносами.

Таким образом, теорема 1a — это просто геометрическое выражение

Рис. 3. Конфидурация Паппа из 9 точек и 9 прямых. Какие бы трейки точек $A_1$, $A_2$, $A_3$ и $B_1$, $B_2$, $B_3$ на прямых a и b ни взять, точки $C_1$, $C_2$, $C_3$ пересечения прямых $A_1B_1$ и $A_3B_2$, $A_2B_2$ и $A_1B_3$, $A_3B_3$ и $A_2B_1$ будут лежать на одной прямой (теорема 1).

коммутиативности умножения (и сложения) чисел; это объясняет важную роль теоремы Паппа в основаниях геометрии (см., например, книгу [5]).

Teорема Паппа о 6 точках — лишь очень специальный случай значительного более глубокой теоремы (также носящей его имя) о конфигурации, состоящей из 9 точек и 9 прямых (рис. 3).

Teорема 1. Пусть три получные прямые пересекают три красные в двух прямых точках. Если две трейки черных точек лежат на двух прямых (отличных от красных и голубых), то и оставшаяся трейка черных точек лежит на прямой.

Конфигурация Паппа заменяется тем, что все три трейки прямых — голубых, красных и черных — участвуют в ней совершению равновравно: в каждой из 9 точек пересекаются три прямые разных цветов.

Начав строить такую конфигурацию, мы обнаружим, что при неудачном выборе первых шести точек $A_1$,

Рис. 2. Гексадраммы Паппа. Шесты вершин ломаной $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$ лежат попереенно на двух прямых a и b: первые четыре выбираются произвольно, затем $A_3$ и $B_3$ строятся так, что $B_2A_3 \parallel A_1B_1$, $A_3B_3 \parallel B_1A_2$, тогда обязательно $B_3A_1 \parallel A_2B_2$ (теорема 1 a). Доказательство: a), б) переменные равенства $OA_1/OA_3 = OB_1/OB_2$ и $OA_3/OA_2 = OB_3/OB_1$; в) сложив равенства $\overrightarrow{A_1A_3} = \overrightarrow{B_1B_2}$ и $\overrightarrow{A_3A_2} = \overrightarrow{B_3B_1}$, получим $\overrightarrow{A_1A_2} = \overrightarrow{B_3B_2}$.

4

Рис. 4. Сведение общей теоремы Паппа к специальному случаю (теореме 1 а). На рисуем конфигурацию Паппа на стекле или произвольные размеры, расположим ее в наклонной плоскости так, чтобы прямая $C_1C_2$ была горизонтальной, и спроектируем на горизонтальную плоскость с помощью источника света $S$ — центра проекции, — расположенного над плоскостью на той же высоте, что и прямая $C_1C_2$. В проекции получится гескадрама Паппа: пары разновеетных прямых, пересекающих в точках $C_1, C_2$ и $C_3$, проектируются в пары параллельных прямых, поэтому $C_3$ лежит на прямой $C_1C_2$.

$B_1, A_2, B_2, A_3, B_3$ новые точки $C_1, C_2, C_3$ могут оказаться далеко за пределами чертежа. Например, при $A_1B_1 \parallel A_3B_2$ точка $C_1$ просто «уйдет в бесконечность». (При этом прямая $C_2C_3$ будет также параллельна $A_1B_1$ и $B_2A_3$.) Если же две из трех точки $C_1, C_2$ и $C_3$ «уходят в бесконечность», то согласно теореме 1 а и третья также должны оказаться «в бесконечности»; в этом случае удобно говорить, что все три точки $C_1, C_2, C_3$ лежат на одной «векlonной проекции» (рис. 4); художники со времен Леонардо да Винчи и Альбрехта Дюрера называют его «линейной перспективой». Проекция с центром $S$ каждой точке $M$ ставит в соответствии точку $M'$ пересечения прямой $SM$ с некоторой плоскостью $p$ (плоскостью проекции). Важно, что при этом образы точки одной прямой новых лежат на одной прямой, хотя некоторые пересекающие прямые переходят в параллельные (их точка пересечения «уходит в.beсконечность») и наоборот.

Замечательна идея Дезарга, лежащая в основе проектной геометрии: мысленно дополнить плоскость «бесконечно удаленных точками», в каждой из которых пересекаются параллельные друг друг прямые, и считать все эти точки лежащими на одной «бесконечно удаленной прямой» — тогда при центраной проекции одной плоскости на другую не возникает никаких исключающий, это преобразование становится взаимнонозначным. Эта «проектная» точка зрения будет постоянной побочной темой нашего рассказа, но мы не будем развивать ее здесь подробно (см. [1], [2]).

Конфигурации Паскала

Теореме Паскала можно придать тот же красочный вид, что и теореме Паппа о 9 точках.

Теорема 2. Пусть три красные прямые пересекают три полубые в деяти черных точках. Если шесть этих точек лежат на одной окружности, то три остальные лежат на одной прямой (рис. 1).

Верна и в определенном смысле «обратная» теорема.

Теорема 2’. Если из деяти черных точек пересечения треки красных с тройкой полубых прямых три лежат на прямой, а еще пять — на окружности, то и деятия точка лежит на той же окружности.

Как понял сразу же сам Паскаль, его теорему можно значительно обобщить: вместе окружности в ней может фигурировать эллипс, гипербола или парабола, либо любую из этих кривых можно получить центраной проекцией окружности. Поэтому из конфигурации Паскала для окружности можно получить конфигурацию для любой из этих кривых.

Все эти кривые называются кривыми второго порядка, поскольку из них можно задать уравнение вида $P(x, y) = 0$, где $P$ — многочлен второй степени:

$$P(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f.$$

Любопытно, что теорема Паскала остается верной и для вырождного случая, когда многочлен $P$ раскладывается на два линейных множителей: в этом случае второго порядка $P(x, y) = 0$ превращается в пару прямых, а теорема Паскала — в теорему Паппа.

Существует много различных доказательств теоремы Паскала для окружности (см., например, «Квант» 1982, № 7, с. 2, книги [1], [2], [3]).

5

Кубические кривые

Алгебраический кривой треугольного порядка, или кубической кривой, называется множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих $P(x, y) = 0$, где $P$ — многочлен треугольного степени: $P(x, y) = ax^3 + bx^2y + \dots + l$ (всего 10 членов). Заметим, что это определение не зависит от выбора системы координат: при перехождения одной системы координат к другому, даже косоугольной, старые координаты выражаются через новые по линейным формулам

$$x = a_1x' + b_1y' + c_1, \quad y = a_2x' + b_2y' + c_2,$$

позному в новых координатах кривая будет задаваться также многочленом треугольенной степени.

Кубическая кривая называется приводимой, если многочлен $P(x, y)$ раскладывается в произведение многочленов меньшей (первой и второй) степени, и непроводимой — в противном случае. Такую кривой мы будем обозначать иногда буквой $\Omega$ — неокторые из очень разнообразных по форме кубических кривых имеют положный вид. Например, кривая $(x + 1)(x^2 + y^2 - 1) + \varepsilon = 0$ при малом $\varepsilon$ (скажем, $\varepsilon = 0,001$) очень близка к приводимой кривой $(x + 1)(x^2 + y^2 - 1) = 0$, состоящий из прямой $x = -1$ и окружности $x^2 + y^2 = 1$. Если многочлен раскладывается в произведение трех линейных многочленов: $P = L_0L_1L_2$, то кривая $P(x, y) = 0$ будет объединением трех прямых $L_0 = 0$, $L_1 = 0$, $L_2 = 0$.

Оказывается, любой многочлен треугольенной степени можно представить в виде суммы двух таких «сильно приводимых» многочленов; это будет видно из доказательства следующей теоремы о 9 точках на кубической кривой.

Теорема 3. Пусть три кривые прямы пересекают три точки черных точках. Если воспользоваться три черных точками на некоторой кубической кривой, то и девятая лекция на той же кубической кривой.

В специальном случае, когда кривая приводима, отсюда получается теоремы Паппа и Паскала: если кривая распадается на три (черных) прямых, то теорема 3 превращается в теорему 1, а если на прямую и кривую второго порядка, то в теоремы 2 и 2’. Таким образом, доказав теорему 3, мы получим одновременное все предыдущие результаты, причем сразу в общем случае!

Пусть прямые $R_i = 0$ и $L_j = 0$ пересекаются в точке $A_{ij}$ (рис. 5; $i$ и $j$ принадлежат значения 0,1 и 2). Докажем, что если все точки $A_{ij}$, кроме $A_{22}$, лежат на кубической кривой $P(x, y) = 0$, то $A_{22}$ — тоже. Положим $K = L_0L_1L_2$, $\Gamma = R_0R_1R_2$ и доказем, что для некоторых чисел $\lambda$ и $\mu$ выполнен токдействию $P = \lambda K + \mu \Gamma$. Отсюда будет следовать, что $P = 0$ в точке $A_{22}$: ведь $K = 0$ на красьх прямых, $\Gamma = 0$ на голубых, так что в черных точках выполнены оба эти равенства.

Удобно считать, что прямые $L_0 = 0$ и $R_0 = 0$ — это оси координат, так что $L_0(x, y) = x$, $R_0(x, y) = y$ (это можно добиться, заменив переменные по формулам (1)); при этом $K(x, y)$

6

имеет вид
$$x(x - \alpha_1 - \gamma_1 y)(x - \alpha_2 - \gamma_2 y),$$
где $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — координаты точки $A_{01}$ и $A_{02}$ на оси $Ox$. Поскольку кривая $P(x, y) = 0$ проходит через точки $A_{00}$, $A_{01}$ и $A_{02}$, многочлен $P(x, 0)$ — т. е. $P$, расматривается на оси $y = 0$, образуется в 0 при $x$, равном 0, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, поэтому $P(x, 0) = \lambda x(x - \alpha_1)(x - \alpha_2)$ при некотором $\lambda$, откуда $P(x, 0) = \lambda K(x, 0)$. Аналогично доказем, что $P(0, y) = \mu \Gamma(0, y)$ при некотором $\mu$ (здесь используются точки $A_{00}$, $A_{10}$ и $A_{20}$).

Рассмотрим теперь многочлен $G = P - \lambda K - \mu \Gamma$. Он тожественное равен 0 при $x = 0$ (ведь $K$ содержит многочлетель $x$), а также и при $y = 0$, поэтому он должен иметь вид $G = xyG_1$, где $G_1$ — многочлен степени не выше первой (ведь степень $G$ не выше трех). С другой стороны, в точках $A_{11}$, $A_{12}$ и $A_{21}$, где $G = 0$ и $xy \neq 0$, многочлен $G_1$ должен обращаться в 0, а эти точки не лежат на одной прямой. Это возможно, лишь если $G_1$, а с ним и $G$ тожественное равны 0.

Теорема 3 доказана.

Сложение точек на кубический кривой

Многие интересные геометрические свойства кубических кривых, а также их разнообразные применения в анализе, теории чисел и даже combinatorике (теории кодирования) связаны с операцией сложения точек. Существование такой естественной операции — характерное свойство именно (неприводимых) кривых третьей степени, а ее геометрическое определение основано на том, что прямая, пересекающая кривую $\Omega$ в двух точках, обязательно имеет с ней еще и третьую точку пересечения. Мы увидим, что теорема 3 выражает замечательное свойство этой операции — ассоциативность: $A + (B + C) = (A + B) + C$.

Сумма $A + B$ двух точек $A, B$ кривой $\Omega$ определяется так. На $\Omega$ выбирается некоторая «начальная» точка $E$. По двум точкам $A, B$ строится третья точка $D$ пересечения прямой $AB$ с $\Omega$, а затем — третья точка пересечения.

Рис. 6. Сложение точек на графике $y = x^3$. При точки этого графика лежат на одной прямой, если и только если сумма их абсцисс равна 0.

Рис. 7. Ассоциативность сложения точка на кубический кривой. Равенство $A + (B + C) = (A + B) + C$ следует из теоремы о 9 точках.

сечения с $\Omega$ прямой $DE$; это и есть, по определению, точка $A + B$.

Особенно просто складываются точки на кривой $y = x^3$ (рис. 6): если за начальное точку $E$ взять начало координат (0; 0), то суммой точки с абсциссами $x_1$ и $x_2$ будет точка с абсциссой $x_1 + x_2!$. В самом деле, три точки $A(x_1; x_1^3), B(x_2; x_2^3), D(x_3; x_3^3)$ лежат на одной прямой, если выполнен условие

$$\frac{x_1^3 - x_2^3}{x_1 - x_2} = \frac{x_2^3 - x_3^3}{x_2 - x_3},$$

которое после упрощенной принимает вид

$$x_1 + x_2 + x_3 = 0;$$

а поскольку $E$ — центр симметрики графика $y = x^3$, точка $A + B$ (третья точка пересечения прямой $DE$ с этим графиком) имеет координаты $(-x_3; -x_3^3)$, т. е. абсциссу $-x_3 = x_1 + x_2$.

Чтобы операция сложения точки была определена для любых двух точек, нужно сделать несколько уточнения: учесть точки касания прямых с $\Omega$ как двухкратные (а для точек пересечения — трехкратные) точки пересечения, добавить к кривой «бесочечно удаленные» точки, выбросить «особы» точки, появляющиеся на некоторых кривых. Об этом подробнее говорилось в статье 10. П. Солвьева в предыдущем номере «Кванта».

Для такого сложения точка на кривой $\Omega$ свойство коммутиативности $A + B = B + A$ очень/no (прямая $AB$ совпадает с прямой $BA$). А вот ассоциативность доказать не так просто. Это удается сделать с помощью теоремы 3, проведя 7 прямых (рис. 7). По этой теореме точка $X$ пересечения прямых, соединяющих $A$ с $B + C$ и $A + B$ с $C$, лежит на $\Omega$, поэтому

$$A + (B + C) = (A + B) + C = Y.$$

Построение полиграмм

Назовем полиграмм тройку бесконечных последовательностей точки на плоскости — красных ($A_k$), черных ($B_l$) и голубых ($C_m$), для которых выполнен такое условие: если $k + l +$

7

+m=0, то точки $A_k$, $B_l$ и $C_m$ лежат на одной прямой ($k, l, m=0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Этот бесконечной конфигурации была посвящена задача М585 из «Задачи Кванта». (Интересно, что автор задачи В. В. Батырев писал нам задачу, когда был еще 10-классиком, а теперь он окончил механизм МГУ и стал его научным сотрудником — специальном по алгебраической геометрии.) Самую простую полиграмму легко построить на клетчатой бумаге (рис. 8), но оказалось, что существует множество разнообразных полиграмм, причем их описание теоремы не всегда со всем содержанием нашей статы, включая даже «сложение точек» на кубической кривой.

Попробуйте экспериментально проверить и затем обосновать следующие утверждения (в этом помогут рисунки 9—11, где изображены некоторые примеры полиграмм; номера расставленных лишь у некоторых первых точек — по ним легко восстановляются остальные).

1. Для любых трех прямых $a, b, c$ по произвольно заданным точкам $A_0$ (на $a$), $B_0$ и $B_1$ (на $b$) строится единственная полиграмма, у которой все точки $A_k$ лежат на $a, B_l$ на $b$ и $C_m$ на $c$.

2. Пусть заданы окружность $\sigma$ (это может быть также эллипс, гипербола или парабола) и три точки: $A_0$ на $\sigma$, $B_0$ и $B_1$ — не лежащие на $\sigma$. Тогда существует единственная полиграмма, у которой все точки $A_k$ и $C_m$ лежат на $\sigma$, а $B_l$ — на прямой $B_0B_1$.

3. Если задана неприводимая кубическая кривая $\Omega$ и на ней три точки $A_0, B_0$ и $B_1$, то по ним однозначно восстанавливается полиграмма, лежащая на $\Omega$, причем ее можно записать в виде тройки аргументических прогрессий $A_k=A_0+kD$, $B_l=B_0+lD$, $C_m=C_0+mD$ (D — точка на $\Omega$, определенная условием $B_0+D=B_1$); правда, если D — такая точка на (неособой) кривой $\Omega$, что $nD=D+\dots+D=E$, полиграмма получится не бесконечной, а периодический (такие конфигурации рассмотрены в статье [4] в связи с задачей о том, как много треок из заданного числа точек плоскости могут лежать на прямых).

4. Пусть заданы шесть точки $A_0, A_{-1}, A_1, B_0, B_1$ и $B_2$ на плоскости (в общем положении). По ним однозначно восстанавливается полиграмму, все точки которого автоматически оказываются на неособой кривой.

Для доказательства общих утверждения о полиграммах полезны следующие сообщения. Центральная проекция любой полиграммы — снова полиграмма. Каждый 9 точки полиграммы $A_k, A_{k+r}, A_{k+s}, B_l, B_{l+r}, B_{l+s}, C_m, C_{m+r}, C_{m+s}$, где $k+l+m+r+s=0$, образуют конфигурацию, удовлетворяющую условию теоремы 3; в частности, для полиграмма на трех прямых (рис. 9) они образуют 9 точек

Рис. 8. Пример полиграммы. При бесконечных последовательности красных, черных и голубых точек, занумерованных целыми числами, образуют полиграмму: три разновеные точки $A_k, B_l$ и $C_m$ лежат на одной прямой, если сумма их номеров $k+l+m$ равна 0. (В этом примере $B_{-k-m}$ — середина отрезка $A_kC_m$ для любых $k$ и $m$).

Рис. 9. Полиграммы на трех прямых. На каждой из них можно бесконечным числом способов выбрать три точки разновеных точек, служащих вершинами конфигурации Папна из 9 точек.

a) Множества красных и голубых точекометтически относительно каждой черной точки $B_l$, причем коэффициентомометрии равен $k_n=k_0q^l$.

b) Эту полиграмму, целиком расположению в трех полюхке, можно получить централированный числом 1, 1/2, 1/3, ….

Можно строить и полиграммы на трех прямых, попарно пересекающих в трех различных точек. Такие полиграммы можно получить централированный числом 1, 1/2, 1/3, ….

8

Рис. 10. Полиграмы на прямой и окружности (рис. 10) — конфигурации Паскала.

На них можно бесконечным числом способов выделить конфигурацию Паскала.
a) Отношение расстояний от точек каждого цета до концов диаметра PQ: $A_kP/A_kQ$, $C_mP/C_mQ$ и $B_lQ/B_lP$ образуют геометрические прорезции с одним и тем же значением q.

6. Если эту триграмму проектировать так, чтобы прямая b с черными точками отображалась в бесконечную удалению, а окружность — снова в окружность, то образы краских (а также головных) точек с соседними номерами будут отстоять друг от друга на одну и ту же дугу $\Theta \cdot 360^\circ$ окружности; при играциональном $\Theta$ красные и голубые точки будут плотно заполнять окружность, а при разциональном $\Theta$ полиграма получится перiodической.

Рис. 11. Полиграма на графике $y=x^3 - ax$. Проекции точек каждого цета на касательную Ot по направлению оси Oy составляют ряд равносторических точек — арифметической прорезции.

Конфигурации Паскала, а для полиграмма на прямой и окружности (рис. 10) — конфигурации Паскала.

Шкала из точек с целочисленными номерами, возникшая при построении полигramм, наводит на мысль, что существует непрерывный аналог полигramм; в самом деле, оказывается, точкам любой — приводимой или неприводимой — кубической кривой $\Omega$ можно сопоставить числовые значения $t$ — ввести на кривой $\Omega$ «хорошую параметризацию» — так, чтобы для любой прямой, пересекающей $\Omega$ в трех точках с параметрами $t_1, t_2, t_3$, выполнялось условие $t_1 + t_2 + t_3 = 0$. (Если кривая $\Omega$ содержит овал, — окружность на рисунке 106, то значение параметра $t$ определяется с точностью до прибавления целого кратного «периода», $T$, на которой меняется значение $t$ при обходе овала.) Как мы видели (рис. 6), на кривой $y=x^3$ «хороший параметр» — это абсцисса точки $(x, y)$. Приведем еще один пример. Пусть $\Omega$ состоит из трех прямых $AB, BC, CA$. Условие, что точки $M, N, L$, лежащие соответственно на этих прямых, расположены на одной прямой, имеет вид

$$\frac{MA}{MB} \cdot \frac{NB}{NC} \cdot \frac{LC}{LA} = 1$$

(теорема Менелая). Здесь за «хороший параметр» $t$ на каждой прямой можно принять логарифм соответствующего отношения: если произведение трех чисел равно 1, то сумма их логарифмов равна 0. Точно так же можно в явном виде указать «хорошую параметризацию» для других приводимых и особых кубических кривых, таких, как $y^2=x^3$ и «лист Декарта» $y^2=x^3-x^2$ (см. первые страницы книги [6]).

Для неприводимых несобых кубических кривых существование «хорошей параметризации» тесно связано с операцией сложения точек, а ее явное выражение требует знакомства с теории эллиптических функций — красившей области математического анализа, которой занимались многое крупнейшие математики XIX века.

Сравнительно недавно (1976 г.) американский математик Ф. Гриффицист заметил, что написан «хорошей параметризации» — характеристическое свойство именного кривых третого порядка: если на плоскости расположены три кусочка кривых с параметрами $t_1, t_2$ и $t_3$, так что через каждую точку одного из них можно проведить прямую, пересекающую два других, и при этом для параметров трех точек пересечения всегда выполнен условие $t_1+t_2+t_3=0$, то все эти три кусочка содержатся в одной кубической кривой. (Это — непрерывный аналог утверждения о том, что любая полигraphма лежит на кубической кривой.)

1. Яглом И. М. Геометрические преобразования, ч. II — М.: Л.: Гостехидат, 1956.
2. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии, ч. II — М.: Нayka, 1986.
3. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — М.: Нayka, 1986.
4. Математический цветник. — М.: Мир, 1983 (статья С. Барра «Как скажать деревья», с. 117—129).
5. Артин Э. Геометрическая аллебра. — М.: Нayka, 1969.
6. Шафаревич И. Р. Основы аллебраической геометрии. — М.: Нayka, 1972 (и план 1988).

9

ПОКА ЧАЙНИК
НЕ ЗАКИПЕЛ…

Кандидат физико-математических наук
А. А. ВАРЛАМОВ,
А. И. ШАПИРО

Ритулу чаепития посвязываны восточные трактаты и главы в специальных книгах. И все же, посмотрев на этот процесс под несколько иным углом зрения, в нем можно найти множество интересных физических явлений, объяснения которых нет даже в самом толстом кулинарном руководстве. Давайте именно с этой точки зрения подойдем к процессу чаепития, а точнее — к процессу подготовки к нему.

Начнем с эксперимента. Поставим два совершенного одинаковых чайника с равными количеством холодной воды на конфорки одинаковой мощности. Один из них закроем крышкой, а второй оставим открытым. Какой чайник закипит раньше?

Ответ на этот вопрос знает любая опитная хозяйка. Желая вскипить воду побистее, она, не задумываясь, накрывает кистрюю крышкой, и на поставленный вопрос сразу ответит, что скорее закипит чайник, накрытый крышкой. Ну что же, убедимся в ее правоте — вначале опитным путем, дждавшись кипения наших чайников, а потом обясним результат поставленного опита с точки зрения молекулярной физики.

Пока чайники нагреваются, поставим на третью конфорку плиты еще один точно такой же чайник с тем же количеством холодной воды, что и первыше два, и попробуем его вскипить быстрее (при той же мощности конфорки). Для этого нужно каким-либо способом быстро повысить температуру воды в нем, «обогнав» ее нагрев в двух первых чайниках. Например, опустить в чайник еще и кипятильник. Ну, а если кипятильник нет?

Вспомним, что для того чтобы повысить температуру воды в какой-либо емкости, в нее достагоно добавить более горячей воды. Можно быть, такой приемускорит закипание воды в третьем чайнике? Отнюдь. Не только неускорит, но еще и замедлит. Чтобы убедиться в этом, представим себе, что вода массой $m_1$, находившаяся perвоначально в чайнике при температуре $t_1$, не смешивается и не обменывает теплом с долитой горячей воды массой $m_2$ и температурой $t_2$ ($t_2 > t_1$). Тепло, которое необходимо было perвоначально передать воде массой $m_1$ для доведения ее до кипения (до температуры $t_1$) — $Q_1 = cm_1(t_1 - t_1)$. Тепрьже придется дополнительно разогреть от $t_2$ до $t_1$ еще и допитую горячую воду массой $m_2$. Поэтому полное количество теплоты составляет

$$Q = cm_1(t_1 - t_1) + cm_2(t_1 - t_2).$$

(Понятно, что нашей «абсурдное» предположение о том, что порции воды остались неперемешанным, никак не повлияло на закон сохранения энергии в системе, а лишь позволило нам рассмотреть явление процесса и быстрее.)

Пока мы безупресно возились с третьим чайником, первией, с закрытой крышкой, уже начинает «петь». Попробуем выяснить причину этого заккомого всем звука и оценить его характерную часть.

Первой причиной можно предположить колебания жидкости, возникшие при отрыве пузырьков пара от дня и стенок сосуда. Эти пузырьки чаще всего зарождаются на недорогодостях и микротрещинках поверхности. Характерные размеры пузырьков до закипания воды порядка 1 мм (при кипении они значительно возрастают и могут доходить до сантиметра). Для оценки частоты возникающего звука нам нужно найти время отрыва пузырьков от дня т. Именено это время характеризует длительность толчка, который получает жидкость в процессе отрыва пузырька, и, следовательно, период возникающих в жидкости колебаний. Соответствие, час-

10

тоа генерируемого звука определяется величины, обратной этому времени: $v \sim \tau^{-1}$.

Пока пызырек пребывает на дне в покое, на него действуют выталкивающая его вверх сила Архимеда $F_A = \rho_B g V_\pi$ ($V_\pi$ — объем пызырка) и удерживающая его на дне сила поверхностного натяжения. Заведом малой силой тяжестии мы преберегаем. По мере увеличения объема пызырка сила Архимеда возвращает и в некоторый момент становится большие силы поверхностного натяжения. Пузырек начинает свое движение вверх. Понятно, что полная сила, действующая на пызырек в процессе его отрыва от дна, по порядку величины равна $F_A$. Масса пызырка, движущегося в жидкости, определяется не его собственнойничтожно малой массой (массой заключенного в нем воздействия и пара), а так называемой «присоединенной» массой, которая для сферического пызырка составляет $m^* = \frac{2}{3} \pi r_0^3 \rho_\pi$ (в этой формуле $\rho_\pi$ — плотность жидкости, а $r_0$ — радиус пызырка). Величина $m^*$ фактически определяет ту массу жидкости вокруг пызырка, которая оказывается вовлеченной в движение при перемещении пызырка.

Таким образом, для ускорения пызырка на начальном этапе движения находится:

$$a \sim \frac{F_A}{m^*} = \frac{\rho_B g \cdot \frac{4}{3} \pi r_0^3}{\frac{2}{3} \pi r_0^3 \rho_B} = 2g.$$

Время отрыва пызырка от дна можно теперь оценить, считая его движение равноускоренным. На расстояние порядка своего размена он поднимается за время:

$$\tau_1 = \sqrt{\frac{2r_0}{a}} \sim 10^{-2} \text{ с.} \quad (*)$$

Соответствующая характеристика генерируемого при отрыве пызырков звука составляет $v_1 \sim \tau_1^{-1} \sim 100$ Гц.

Существует и вторая причина шума, возникающего при нагревании воды в чайнике. Для того чтобы добраться до нее, проследим судьбу пызырка пара после его отрыва от дна. Всплывая, пызырек попадает в еще не достаточно прогреты вверхные слоны воды. Заполняющий пызырек насыщенный пар при этом охлаждается, его давление падает и уже не может компенсировать внешнего давления на пызырек со стороны воды. В результате пызырек быстро схлопывает — в жидкости распространяется звуковой импульс.

Оценим характерную часть генерируемого при отрыве пызырков звука. Запишем уравнение Ньютона для массы воды $m$, устремляющийся внутри пызырка при его схлопании:

$$ma = F_\pi = S \cdot \Delta p.$$

Здесь $S = 4\pi r^2$ — площадь поверхности пызырка, на которой действует сила давления $F_\pi$, а $\Delta p$ — разность давления на границе пызырка, $a$ — ускорение движения границы к центру пызырка. Понятно, что в процессе такого схлопивания ввлечена масса воды, по порядку величины равна произведению плотности воды на объем пызырка: $m \sim \rho_B r^3$. Таким образом, уравнение Ньютона может быть переписано в виде

12

Клапейрона:

$$\rho_{\pi} = \frac{p_{\text{нк}} \mu_{\text{H}_2\text{O}}}{RT_{\kappa}} \approx 0,6 \text{ кг/м}^3.$$

Таким образом, для скорости вытекания пара из носика получаем окончательно:

$$v = \frac{PRT_{\kappa}}{rp_{\text{нк}} \mu_{\text{H}_2\text{O}} s}.$$

Подставляя для оценки $P=500$ Вт, $s=2$ см$^2$, $r=2,26 \cdot 10^6$ Дж/кг, $p_{\text{нк}}=10^5$ Па, находим, что $v \sim 1$ м/c.

И вот, наконец-то, закипел чайник с открытой крышкой. Он заметно отстал от первого. Кстати, chimать с плиты его следует с осторожностью — можно здорово обжчься паром. А что обжгает сильнее — пар или кипятак? Прежде чем ответить на этот вопрос, следует его уточнить: что сильнее обжгает — определенная масса кипятка или такая же масса пара? Обратимся снова к оценкам.

Пусть объем, занятый насыщенным стогадусным паром под крышкой чайника, составляет $V_1=1$ л и, скажем, одна десята его часть при открывании крышки сконденсируется на руке. Как мы уже выяснили, плотность пар при $t_{\kappa}=100^\circ\text{C}$ составляет 0,6 кг/м$^3$. Поэтому на руке оказывается около 0,06 г пара. При конденсции и последующем охлаждении от 100 °C до температуры тела $t_0$ ($t_0 \approx 37^\circ\text{C}$) выделится тепло $\Delta Q = rm_{\pi}+cm_{\pi}(t_{\kappa}-t_0) \approx 150$ Дж. Легко убедиться, что для того же теплого воздуха понадобится почти вдесят раз большая масса кипятка. Кроме того, при охоте паром значительное большей оказавется площадь поражения. Таким образом, пар обжгает сильнее кипятка в первую очередь из-за выделяющегося при конденсции значительного теплла.

Но мы отвлеклись от обсуждения результата нашего опыта с двумя чайниками. Почему же все-tаки отстал чайник с открытой крышкой? Разберемся в этом подробнее. Ответ почти оченьiden: в процессе нагрева воды в открытом чайнике наболее быстрый ее молекулы имеют возможность беспрерывственного покидать чайник, унося с собой энергию и как бы охлаждая этим оставшуюся в чайнике воду (этот процесс не что иное, как испарение). Поэтому нагревалено в этом случае приходится не только довести воду в чайнике до кипения, но и часть ее испарить в процессе нагрева. Понятно, что на это уходит больше количества энергии (а следовательно, и времени), чем при кипячении воды в закрытом чайнике, где выравнивается из воды «быстры» молекулы очень скоро образуют в замкнутом пространстве под крышкой насыщенный пар и, возврашаясь в воду, отдают свою избыточную энергию обратно.

Однако имеют место и два эффектива, противодействующих расстоянию. Во-первых, в процессе испарения несколько уменьшается масса воды, которое следует доводить до кипения. Во-вторых, кипение в открытом чайнике при нормальном атмосферном давлении наступает при температуре 100 °C, а в закрытом — при более высоком температуре. Действительно, если чайник наит так, что пары не могут выходить через носик, из-за интенсивного испарения перед кипением давление у поверхности повышается, поскольку оно теперь опередляется суммой парциальных давлений наодящегося под крышкой небольшого количества воздуха и са-

14

$$\frac{\rho c S}{P} \sqrt{r} e^{-\frac{\mu H_2 O}{RT}} \cdot \Delta T.$$

При нагревании чайника температура меняется от комнатной до $T_k=373$ К. Принимая во внимание, что основная потеря массы происходит при достаточно высоких температурах, подставим в экспоненту некую среднюю температуру $T=350$ К. Для остальных величины применем: $\Delta T \approx 80$ К, $S \approx 10^{-3}$ м$^2$, $\rho = 10^3$ кг/м$^3$, $\mu H_2 O = 0,018$ кг/моль, $c = 4,19 \cdot 10^3$ Дж/кг. С учетом этих значений найдем, какая часть воды испаряется в процессе нагревания открытого чайника.

$$\frac{\Delta M}{M} \sim \frac{\rho c S}{P} \sqrt{r} e^{-\frac{\mu H_2 O}{RT}} \cdot \Delta T \sim 3 \cdot 10^{-2}.$$

Таким образом, в процессе нагревания чайника без крышки его покидает несколько процентов всей массы воды. Испарение всей этой массы воды идет за счет нагревателя и, естественно, удлиняет процесс закипания открытого чайника. Чтобы понять, на сколько, достаточно заметить, что такое испарение для нагревателя эквивалентно доведению до кипения 1/4 массы воды в чайнике (убедитесь в этом сами).

Тепер перейдем к рассмотрению эффективов, заменяющих закипление открытого чайника. О первом из них — неизменности массы в процессе нагревания — и говорить нечего. Только что было сказано, что испарение 3 % массы эквивалентно нагреву 25 % массы, так что необходимо нагрева эти 3 % в закрытом чайнике можно пренебреть.

Второй эффектив — повышение давления под закрытой крышкой — также не может составить конкуренции испарению воды из открытого чайника. Действительно, избежать (по сравнению с атмосферным) давление под крышкой не может превысть в esa крышки, относного к его площади (в противном случае крышка начинает подрыгивать, выпуская пар):

$$\Delta p \leq \frac{m_k g}{S} \sim \frac{3 H}{10^{-3} M^2} \sim 3 \cdot 10^3 \text{ Pa}.$$

Взглянув еще раз в приведенную выше таблицу (см. с. 11), видим, что также повышение давления с неокотого давления; до этого момента она герметична. В результате испарения жидкости в замкнутый объем давления в картриле повышаетсяprimерно до $1,4 \cdot 10^5$ Па, когда сраввается клапан, и температура кипения сди-

15

гается до $t^*_{\text{к}} = 108 \,^{\circ}\text{C}$ (см. ту же таблицу на с. 11). Это позволяет свариить пшщу гораздо быстрее, чем в обычной частрюле.

Но мы заговорились, а чайники на плите исходят паром. Сняв чайник с закрытой крышкой с плиты, вы видите, что кипеть он перестает не сразу — неокторое время из его носика еще вырывается струя пара. Какая же часть воды выкипает после снять чайника с плиты?

Для того чтобы ответить на эти вопросы, обратимся к рисунку, на котором показано распределение температуры воды по высоте при кипении ее в сосуде, к которой через дно подводится тепло. Из рисунка видно, что тонкий придонный слой воды толщиной $\Delta h \approx 5$ мм сильно перегрет — на его протяжении температура падает от $t_{\text{л}} = 110 \,^{\circ}\text{C}$ до $t_{\text{м}} = 100,5 \,^{\circ}\text{C}$. Температура остальной массы воды в чайнике (мы предполагаем уровень воды $h = 10$ см) около $100,5 \,^{\circ}\text{C}$, а у свободной поверхности жидкости пронсходит скачок температуры на $\Delta t = 0,4 \,^{\circ}\text{C}$. Таким образом, после прекращения подачи тепла в массе воды запасено избыточное относительное равновесного количества тепла

$$\Delta Q_1 = c\rho S_{\text{л}} \cdot \Delta h \frac{t_{\text{л}} - t_{\text{м}}}{2} + c\rho S_{\text{л}} (h - \Delta h) \cdot \Delta t,$$

где $S_{\text{л}}$ — площадь дна чайника (который мы предполагаем цилиндрической формы). Это тепло поддет на испарение массы $\delta m$ жидкости:

$$S_{\text{л}} \rho c \left( \Delta h \frac{t_{\text{л}} - t_{\text{м}}}{2} + (h - \Delta h) \cdot \Delta t \right) = r \cdot \delta m = \rho S_{\text{л}} \cdot \delta h \cdot r,$$

где $\delta h$ — понжение уровня жидкости в результате этого

Temperature graph

А стаканы как сосуды для питья чаев в обиход в XIX веке в связи с дороговизной фарфоровых чаек. Эти произведения декоративного искусства уступались желанием, а мужчины пили чай из стеклянных стаканов, которые постепенно обзавелись сербрянными подставками с вензелем хозяйна.

В заключение подумайте, хорошо ли с физической точки зреня серебро и аломиний в качестве материалов для изготовления подставников? Каким требованием должен в первую очередь удовлетворять материалы, из которой делается подставник?

16

ВОЛНЫ
НА ВОДЕ

Доктор физико-математических наук
Л. А. ОСТРОВСКИЙ

Каихх только прекрасных слов не бы-
ло сказано о море, о мыслих и чув-
ствах, возникающих при взгляде на
его вечно живую, вечно волнующий
ся поверхность! Море — символь гроз-
ной стихии, непостоянства, опасности,
непостужимого разнообразия. Наблю-
дения морских волн издавана по-

16

17

Буждали человека к размышлениям, давали начало новым научным теории. Сама наука о волнах «заро-дилась в океане», и, пожалей, боблышуо часть из того, что известно сегодня о волнах самой различной природы, люди впервые узнали, изучая волны на воде.

Бегущая синусоида
В школьном курсе физики подробно изучают движение твердых тел. Волна — движение совсем другого рода. Пусть, например, в каком-либо месте водной поверхности появилось возмущение — уплал камень, движется судно, подул ветер… Движение

2 Квант № 8

17

18

часиц воды, возникшее в этом месте, будет передаваться соседним частицам, и постепенно еще захватит общинуную часть поверхности (от камня, например, будут разбегаться круги). При этом каждая часть смещается слабо, но движение «переносится» на значительные расстояния. Энергия колебаний передается от одних части к другим, как бы поэстафете. Такое изменение состояния среды, распространяющееся в ней и несущее с собой энергию, мы называем волной.

Чтобы понять свойства волновых движений, их удобно разложить на какие-то более простые элементы. В качестве такого элемента чаще всего принимают синусовдальную волну.

Представим себе «синусоидальное гофрированную» поверхность воды, и этот «гофр» не стоит на месте, а движется вдоль оси $x$ с постоянной скоростью (рисунок 1). Если разрезать нашу волнистую поверхность

Рис. 1.

вертикальной плоскостью, параллельной оси $x$, то получится синусовда. Расстояние между двумя соседними вершинами, двумя соседними впадинами, вообще между двумя близкими точками, нахождения в одинаковых фазах, одно и то же — это длина волны $\lambda$. Так как волна безит вдоль оси $x$ с постоянной скоростью, любая точка пространства, через которого проходит волна, через определенный промежуток времени $T$ оказывается в одной и той же фазе — колебания точек проискодят с периодом $T$. Ясно, что за это время волна должна смеяться по оси $x$ на расстояние $\lambda$. Скорость такого смещения $c=\lambda/T$ называют фазовой скоростью волны.

Не бесконечных синусовд в природа на бывает — волновое движение где-то начинается и где-то заканчивается. Правда, передко волна достагоно долго остается почти синусовдальной, но это «почти» оказывается очень существенным. Чтобы понять, в чем дело, рассмотрим две синусовдальные волны с различными, но близкими периодами $T_1$ и $T_2$ и близкими длинами $\lambda_1$ и $\lambda_2$. Если в какой-то области пространства вершины и впадины обихов волн почти совпадает, то суммарный размах — амплитуда — колебаний точек пространства заметно увеличится. Но по мере удаления от этой области различе в длинах волн приведет к тому, что фазы волн, соответствующие одной и той же точке пространства, будут заметно различны, и в конце концов вершины одной волны начинают попадать на впадину другой — волны будут гасить друг друга. Потом это гашение снова смещается усилением, и вся картина будет периодически повторять. Вы можете в этом убедиться, нарисовав две синусовды с одинаковыми амплитудами со слегка различиными периодами и сложив их — наложив одну на другую, как на рисунке 2, $a$. Результат такого сложения — на рисунке 2, $b$: это как бы синусовдальная волна с периодом $T$, близким к $T_1$ и $T_2$, но амплитуда ее периодической меняется. Такой процесс называют биенями, а волну называют модулированной.

19

Изменение амплитуды при биених описыватся волной, «огибающий» основные — или, как говоря, несущие — колебания. Найдем длину $\lambda_a$ этой огибающей волны и ее период $T_a$. Сделать это довольно просто. Чисяла волн исходных синусид, укладывающихся, скажем, между двумя соседними максимумами огибающей, должны отличаться на единицу, чтобы вершины и впадины этих волн снова совместились. Для первой волны число таких волн есть $\lambda_a/\lambda_1$, для второй — $\lambda_a/\lambda_2$. Значит, $\frac{\lambda_a}{\lambda_1} - \frac{\lambda_a}{\lambda_2} = 1$, откуда

$$\lambda_a = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} \approx \frac{\lambda^2}{\Delta \lambda}.$$ (1)

Здесь мы через $\Delta \lambda$ обозначили разность $\lambda_2 - \lambda_1$, а произведение $\lambda_1 \lambda_2$ заменили квадратом среднего геометрического $\lambda_1$ и $\lambda_2$ ($\lambda^2 = (\sqrt{\lambda_1 \lambda_2})^2$) — величины, близкой к тому и другому значению, а также к длине несущей волны (точный расчет для длины несущей волны дает $\lambda_n = 2\lambda_1 \lambda_2 / (\lambda_1 + \lambda_2)$). Нетрудно получить аналогичное (1) выражение для перiodа биений: $T_a \approx T^2 / \Delta T$. Теперь может найти скорость огибающей — скорость, с которой движется биения:

$$v = \frac{\lambda_a}{T_a} = \frac{\lambda^2}{T^2} \frac{\Delta T}{\Delta \lambda} = c^2 \frac{\Delta T}{\Delta \lambda},$$ (2)

где $c$ — фазовая скорость несущей волны. Если скорости обенных синусид, из которых складывается несущая волна, в точности одинаковы так что $\lambda_1 = c T_1$, а $\lambda_2 = c T_2$, то и $\frac{\Delta \lambda}{\Delta T} = c$, и получается, что $v = c$. В этом случае все волновая картина безит со скоростью $c$ как целое. Если же $c_1 \neq c_2$, то и $v$ отличается от $c$; получается, что несущая волна движется с одной скоростью — фазовой скоростью $c$, а огибающая — с другой скоростью $v$, которое называют групповой. Именно с групповой скоростью переносится волной энергия.

Волна-огибающая, как и синусид, бесконечна и во время, и в пространстве. Только сложив не две, а много (строгого огибающего много) синусид с близкими длинами и периодами, можно получить «волновой пакет» — картину колебания, заиммающих ограниченную область

пространства (рисунок 3). И опять весь пакет будет движаться с групповой скоростью, а несущая «синусид» — с фазовой. Правда, это движение не может продолжаться бесконечно долго. Если фазовые скорости различных синусид различны, то групповые скорости для разных пар синусид, вычисленные по формуле (2), будут различны. Из-за этого на больших расстояниях волновой пакет постепенно изменит свою форму и в конце концов расплывется, «размазется» по пространству. Это явление называют дисперсей, от латинского слова dispersio — рассеяние.

Итак, для описания движения в среде с дисперсей нам приходится ввести не одну, а по меньшей мере две скорости!

Волны на воде

Вернемся к волнам на поверхности воды. Для строго описания этих волн нужно было бы записать уравнения движения части воды и попытаться найти их решения. Однако многое можно получить и без уравнений, если воспользоваться так называемым методом размерностей, который часто позволяет исследовать явление, не прибегая к сложным математическим выкладкам.

Посмотрим, от каких физических величины может зависеть скорость распространения синусидальных волн на поверхности воды. Если пренебречь влиянием атмосферы (ветра), а водоем считать бесконечно глубоким, то в нашем распоряжении — плотность воды $\rho$, ускорение силы тяжестки $g$ и, наконец, период самой волны $T$ (или ее длина $\lambda$) *). Запишем размерности этих величины:

$$[\rho] = \kappa \Gamma / m^3, [g] = m / c^2, [T] = c.$$

*) Еще один размерным параметром, который может влиять на скорость волны, является поверхность натяжение $g$. Однако как показывает расчет, оно оказывается существенным лишь для очень коротких волн (~1 см), которые мы здесь интересоваться не будем.

20

Только от них может зависеть скорость волны $c$. Как составить из них комбинацию с размерностью скорости? Поскольку $[c]=\text{m/c}$, а масса входит только в $[\rho]$, плотность $\rho$ нужно исключить. Из оставшихся величины $g$ и $T$ годится единственная комбинация: $[c]=[gT]$ (безразлично, о какой скорости – фазовой или групповой — идет речь).

Это позволяет нам утверждать, что $c$ и $v$ пропорциональны $gT$. Коэффициент пропорциональности методом размерностей не определять; из более детальной теории следует, что для фазовой скорости он равен $1/2\pi$:

$$c = \frac{gT}{2\pi}.$$

По определению $c=\lambda/T$, и из формулы (3) получается связь между длиной и периодом волны —

$$\lambda = \frac{gT^2}{2\pi}.$$

Это соответствие называют дисперсионным уравнением. Можно записать и еще одно выражение для $c$:

$$c = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}.$$

А какова групповая скорость? Выше мы получили соответствие $v = c^2 \frac{\Delta T}{\Delta \lambda}$ (см. (2)). Теперь, воспользовшись дисперсионным уравнением, найдем отношение $\frac{\Delta T}{\Delta \lambda}$:

$$\Delta \lambda = \frac{g}{\pi} T \cdot \Delta T \Rightarrow \frac{\Delta T}{\Delta \lambda} = \frac{\pi}{gT}.$$

Подставив это в формулу для $v$, с учетом (3) получим:

$$v = c^2 \frac{\Delta T}{\Delta \lambda} = \frac{gT}{4\pi} = \frac{1}{2} c.$$

Итак, для волна на глубокой воде групповая скорость равна половине фазовой, причем обе они зависит от периода волны, т. е. волна обладает дисперсии.

Запишем расчетные выражения, связывающиеся длину и скорость распространения волны с ее периодом:

$$\lambda = 1,56T^2, \quad v = \frac{1}{2} c \approx 0,78T$$

($T$ берется в секундах, $\lambda$ — в метрах, а скорости — в метрах/ секунду).

Чтобы представить себе, что бывают на самом деле, приведем небольшую таблицу:

| $T, c$ | 0,5 | 1 | 5 | 15 | 20 | 50 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\lambda, \text{m}$ | 0,39 | 1,56 | 39 | 156 | 620 | 3900 |
| $v, \text{m/c}$ | 0,39 | 0,78 | 3,9 | 7,8 | 15,1 | 39 |

Как видно из таблицы, сравнительно короткие волны движутся со скоростью пешекода, а длиные могут обогнать автоматью.

Взяв еще больший период, скажем $T \approx 1$ ч, и соответственно длину волны $\lambda \approx 20000$ км, мы получили бы фантастическую скорость $v \approx 10000$ км/ч. Однако для столдных волн гораздо равные окажется, что волна будет «достатать» до даже в самом глубоком месте океана, и наш простые формулы перестановят быть применными. Неприменимыми они и для очень коротких волн, длиной меньше нескольких сантиметров — здесь сказывается влияние сил поверхностного натяжения. И все также эти формулы годятся для описания волн в очень широком диапазоне длины — от десятака сантиметров до десятака и более километров.

Хотя волна образуется движением частицы волны, сами эти частицы вовсе не движутся вместе с волной. В этом легко убедиться, взглянув на поплавок: он остается на месте, совершая лишь небольшие колебательные движения. Чтобы представить, как в процессе распространения синусоидальной волны движутся частицы волны, удобно встать на точку зреня наблюдается, движущgosся со скоростью, равной фазовой скорости волны. Для такого наблюдается «гофрированная» поверхность волны остановится, засыпнет, но загора масса волны будет «течь» в обратную сторону со скоростью $c$. Частцы волны на поверхности скольсят по волнистому рельефу точно так же, как это делал бы любой шарик, пушеный по нему с неокотой начальной скоростью. Возвращись на вершину рельефа, такой шарик (и частица волны) будет иметь скорость, несколько меньшеую средней скорости $c$, а скативись к подшеве — несколько бóльшую $c$. В неподвижной

21

системе отчета, в котором волновой профиль безит с фазовой скоростью, движение отдельной частицы будет складывать из этих торможений иускорений как в горизонтальном, так и в вертикальном направлении. Результат такого сложения — движение по окружности, радиус которого равен амплитуде волны (рисунок 4).

Рис. 4.

Частцы, лежащие под поверхностью, тоже описывают окружности, но с меньшими радиусами. Амплитуды колебаний частиц уменшаются с глубиной по экспоненте, пропорционально $e^{-2\pi z/\lambda}$, где $z$ — глубина. Это означает, что на глубине, равной длине волны, амплитуда волновых движений в $e^{2\pi} \approx 535$ раз меньше, чем на поверхности. Поэтому даже сильные штормы практически не возникают только океана на глубинах большие, скажем, сотни метров, и если $\lambda$ меньше $2\pi H$, где $H$ — глубина водоема, то его действительное можно считать бесконечно глубоким— волны «не задавают» дня.

Конецно, в результате морском волнени волны обычно не синусовдальны, они состоит из многох синусовд, и движение частицы воды сложнее — оно тоже как бы состоит из многох окружностей различных радиусов, вращение по которым происходит с разной скоростью; но в достаточно слабых волнах это движение остается ограниченным и примерно симметричным (вверх — вниз). Но более сильная волна, даже строго перiodическая, не будет синусовдой — ее вершины остree, чем подожжия (рисунок 5). А если волна станет еще крупе, на ее вершине появится «излом» с углом примерного $120^\circ$, а затем произойдет «обруши-

Рис. 5.

вание》 — на верхне возникнет пенный «барашек». Вы, наверное, видели также барашки на море, озере, реке; при сильном ветре они покрывают значительную часть водной поверхности.

Ветровые волны

В конце прошло века замечательный англійский физик Релей заметил: «Основным законом морского волнения является отсутствие какого-либо закона». Правда, уже давно была разработана описательная классификация состояния морской поверхности, необходимая для моряков. Как известно, сила ветра характеризуется 12-баллной шкалой Бофорта, а высота волн — 9-баллной шкалой волнения. Выдержки из этих шкал приведены на с. 16—17. Как видите, они во многом основаны на словесном описании обстановки. Эта классификация немного напоминает пушкинскую «Сказку о рыбке и рыбке». Помните, сначала старик «видит, море слегка разгrafалось»; потом «помутилосся сине море», затем «почерелло сине море» и, наконец, «видит, на море черная буря: так и видились сердные волны, так и ходят, так воем и воют»… Пожалуйста, тут даже можно указать, сколько баллов волнения прибавляется к каждой раз золота рыба!

В последнее время средства изменения морских волн значительно усовершенствовались. Кроме специальных волнографов — прибора, записывающих колебания поверхности моря в данной точке, все большие значения приборают дистанционные методы. Уже простое фотографирование морских волн с судна, самолета дает массу информации. Эффективна и радиолокация моря. Появились и быстро развивается «спутниковая океанография». В результате многолетних наблюдений обширные данные о морском волнении. Но получить ответ на вопросы о том, как именно ветер возбудает волны на воде, как они развиваются дальше,совсем не легко, и полная ясность не достигнута по сейчас, хотя основные механизмы известны.

Представьте себе гладкую водную поверхность. Вот подул ветер — появились волны. Почему? Прежде всего потому, что ветер — это неровный,

регулярый поток воздуха, скользывающий водной глади. В нем всегда есть случайные пульсации давления, которые действуют на воду, возмущая, искривляя ее поверхность. Если эти пульсации действуют «кто в лес, кто по дрова», беспорядочным образом, то в итоге никакой заметной волны, скорее всего, не возникнет. Иначе обстоит дело, если скорость ветра близка к фазовой скорости возбуждаемой им волны. Тогда возникнет резонанс: поверхность колеблется в такт с воздушными пульсациями, и волна, распространяясь, непрерывно успливается. По мере роста амплитуды волна сама начинает влиять на пульсации воздушного потока, успливая их и успливаясь под их действиям еще больше, и этот взаимосвязный рост идет еще быстрее, чем на начальном этапе. Такой «разгон» может произойти достаточно долго, и тогда волна достигнет значительной высоты. Но в конце концов, даже если ветер не прекратиется, этот процесс замедляется. Вершины волн будут заостреть (как на рисунке 5) и затем обрушивать, образуя барашки. Вотторы, различные волны не существуют какдая сама по себе, а взаимодействуют, т. е. передают друг другу энергию, которая перераспределяется между ними сложным образом.

В результате всего этого и формируется картина реального ветрового волнения, состоящего из волн различных длины, амплитуд и направлений. И все же в этой картине преобладают волны, фазовая скорость которых близка к скорости ветра $u$, и значит, длина волны равна примерно $2\pi u^2/g$: чем сильнее ветер, тем больше характера длина и, конечно, высота волн. Вообше, высота гладких волн не превышает 1/7 их длины; более крупные гребни обрушиваются, образуя барашки. При слабом ветре существуют только короткие волны, но и то не всегда. Как уже упоминалось, для очень коротких волн необходимо учитывать влияние поверхностного натяжения. Это влияние сказывается в том, что фазовая скорость не убивает до нуля с уменьшением $\lambda$, а достигает минимума для волн с длиной 1,73 см и снова растет с дальнейшим укорчением волны. Minimum фазовой скорости составляет 23 см/c (для чистой, лишеной поверхности пленок воды). Это и есть минимальная, пороговая скорость ветра, при которой могут появляться волны, причем волны короткие, «сантиметровые»; их легко заметить, наблюдая появление ряби в любой луже при кратковременных порывах ветра.

Нужно заметить, что передко на спокойной морской поверхности всегда появляется довольно правильные синусидальные волны — зыбь. Это отголосок далекого шторма: в области шторма возникает сложное волнение, но вдаль убегают прежде всего длинные волны, которые имеют набольшую группповую скорость и к тому же слабо затухают. Это и есть зыбь, распространяющаяся иногда на тысячи километров и вызывающая непряятную качку судна.

Море волн

Понстине в probleме морских волн большие вопросы в том, как называется поверхность коснулись ее. «Поверхность» еще и потому, что, как мы видели выше, ветровые волны возмущают лишь тонкий, в десятки метров, верхний слой океана — ведь для глубоких его области эти волны всегда короткие. Но есть и другие волны — приливы, цунами, — длина которых больше глубины самых глубоких мест океана. В таких волнах движение воды захватывает всю толщу океана, а сами они распространяются с набольшей для данной глубины $H$ скоростью $c=v=\sqrt{gH}$. Но и это не всё. В толще океана существуют «волны-тихоходы» — так называемые внутренние волны, бегущие со скоростями, не превышающих одного — двух метров в секунду, но это достигающие огромной высоты в десятики, подчас сотни метров. Впрочем, что там метр в секунду! Имеются и такие волны — волны России, перiodeх которых достигают несколько месяцев, а скорости составляют всего 1—2 сантиметра в секунду; для таких волны определяющего роль играетвращение Земли. Эти и другие волны интересы для физков, океанологов, meteorологов, и они заслужают отдельного рассказа.

23

Задачи

M1056—M1060, Ф1068—Ф1072

M1056. В каждой клетке квадратной таблицы 1987×1987 написано число, не превыходящие по модулю 1.
В любом квадрате 2×2 данной таблицы сумма чисел равна 0. Доказите, что сумма всех чисел в таблице не превыходит 1987.

А. С. Меркурьев

M1057. Два игрока почередно выписывают на доске натуральные числа, не превыходящие p. Правилами игры запрещается писать на доске делители уже выписанных чисел. Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход.
a) Выясните, кто из игрок имеет выигрышную стратегию для p=10, и укажите ее.
b) Выясните, кто из игрок имеет выигрышную стратегию для p=1000.

Д. В. Фомин

M1058. На целочисленной решетке отмечено неупустое множество узлов. Кроме того, задан конечный набор векторов с целыми координатами. Известно, что если от любого отмеченного узла отложить все заданные векторы, то среди их концов будет больше отмеченных узлов, чем неотмеченных. Доказите, что отмеченных узлов бесконечного много.

Д. Г. Флаас

M1059. График функции y=f(x), определяющий на всей числовой прямой, переходит в себя при повороте на угол π/2 вокруг начала координат.
a) Доказите, что уравнение f(x)=x имеетровно одно решение.
b) Приведите пример такой функции.

А. В. Клюшин

M1060. На плоскости даны две замкнутые ломаны, каждой с нечетным числом звенев. Все прямые, содержащие звенья этих ломанных, различны, и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Доказите, что из каждой ломанной можно выбрать по одному звену так, чтобы они были противоположными сторонами неокоторого выпуклого четырехугольника.

А. Сердюков, Д. Г. Флаас

Ф1068. Снаряд, летящий по вертикали, разрывается в верхней точке траектории на три равных осокла. Один из осоклов, двигаясь по вертикали, упл чезз время T₁ после выстрела, два других упл одновременного чезз время T₂ (T₁<T₂). Найти высоту H, на которой разорвался снаряд.

Ю. Г. Павленко

Ф1069. На угол величины α, согласно из тонкого гладкого стержня, надета легкая petля длиной l с прикрепленным к ней небольшим грузом; угол установлен вертикально (рис. 1). Найти расстояние от груза до вершины угла в положении равновесия и период малых колебаний груза в плоскости угла.

И. И. Мазин

Ф1070. Мальчик выдувает из длиной трабки мыльный пульсрь. Надув пульсрь, он выпускает трабку из рта, при этом пульсрь сдувается обратно в трабку и окончательно исчезает чезз время t. За какое время сдуется таким же образом пульсрь вдвое большого радиуса? Считать, что воздуходящее по трабке до-

26

Лемма

Если $f'(x) > g'(x)$ при $x \geq x_0$, то $f(x) > f(x_0) + g(x) - g(x_0)$ при $x > x_0$ (действительно, функция $f(x) - g(x)$ имеет положительное произведение и следовательно, строго возрастает при $x \geq x_0$).

$$f(a+1) > 2a+1;$$

тогда согласно лемме, приведенной на полях для функций $f(y)$ и $g(y) = y + a$ ($g'(y) = 1$), из (2) и (3) будет следовать, что при $y \geq a+1$
$$a^y - y^a = f(y) \geq f(a+1) + g(y) - g(a+1) > 2a+1 + y - (a+1) = a+y.$$

Оценим произведение $f(y)$:
$$f'(y) = \ln a \cdot a^y - ay^{a-1} = (\ln a - 1)a^y + (a^y - y^a) + y^{a-1}(y-a) > y^{a-1}(y-a)$$
(ln $a \geqslant \ln 3 > 1$, $a^y - y^a > 0$ по доказанному выше). Из этой оценки сразу следует (2), поскольку $y^{a-1}(y-a) \geqslant (a+1)^{a-1}$ при $y \geqslant a+1$. Для доказательства (3) заметим, что $y^{a-1}(y-a)$ — это произведение функции $g(y) = y^{a+1}/(a+1) - y^a$, и по лемме на полях (для $x = a+1$, $x_0 = a$)
$$f(a+1) > f(a) + g(a+1) - g(a) = -g(a) = a^a - \frac{a^{a+1}}{a+1} = \frac{a^a}{a+1} = \left[ a^{a-2} \left(1 - \frac{1}{a+1}\right) \right]a.$$

Функция в квадратных скобках, очевидно, возрастшая и при $a \geqslant 3$ не меньше $3(1-1/4) = 9/4$. Поэтому
$$f(a+1) > 2a + \frac{a}{4} \geqslant 2a + \frac{3}{4};$$
но числа $f(a+1)$ и $2a$ — целые, значит, $f(a+1) \geqslant 2a+1$, причем равенство здесь возможно только при $a=3$, но и в этом случае $f(4) = 3^4 - 4^3 = 81 - 64 > 2 \cdot 3 + 1 = 7$.

А. И. Зайчик, В. Н. Дубровский

M1038. a) Докажите, что если произведение mn делится на 6 (вде m и n — целые числа 1), то прямогольник из $m \times n$ клеток можно разрезать на уголки из трех клеток. При каких m и n это можно сделать так, чтобы при этом линия раздела не вырезали:
б) ни одно прямогольника $2 \times 3$ клетки;
в) ни одно прямогольника (меньше $m \times n$)?

a) Достаточно рассмотреть два случая: $m = 3k$, $n = 2l$ и $m = 6k$, $n = 2l+1$, где $k \geqslant 1$, $l \geqslant 1$. В первом случае прямогольник $m \times n$ можно разбит на $k \times l$ прямогольников $3 \times 2$, каждый из которых разрезается на два уголка (рис. 1, a). Во втором — отрезаем от прямогольника $m \times n$ полоску $m \times 3$, которое можно разрезать на $3k$ прямогольников $2 \times 3$ (рис. 1, б), а затем (при $l > 1$) разрезаем оставшийся прямогольник $m \times (2l-2)$ так же, как в первом случае.

Вообще, прямогольник $m \times n$ можно разрезать на уголки тогда и только тогда, когда одно из чисел m и n равно 3, то уголки неизбежно должны складывать в прямогольники $3 \times 2$ (рис. 1, б), поэтому другое число должно быть четно. Обратно, пусть m делится на 3. Можно считать, что $m/3$ и $n$ — нечетные числа, $m \geqslant 9$, $n \geqslant 5$ (остальные случаи выше), т. е. $m = 9+6k$, $n = 5+2l$, $k$, $l \geqslant 0$. Примогольник $m \times n$ разрезается на 3 прямогольника: $9 \times 5$, $9 \times 2l$ и $6k \times n$; разрезание первого из них на уголки показано на рисунке 2, два других разрезаются на прямогольники $3 \times 2$, как было показано выше.

6), в) В обеих задачах 6) и в) ответ одинаков:
«разрезания без прямогольников» (будем называть их правильными) существует лишь для прямогольников $6k \times 2n$, где $k \geqslant 1$, $n \geqslant 3$, $6 \times 4$ и $3 \times 2$.

Как мы уже видели в решении задачи a), одно из чисел m и n должно делиться на 3. Заметим далее, что при правильном разрезании уголок может применять к стороне прямогольника $m \times n$, отличного от

27

3×2, только по двум клеткам — иначе образуется прямогольник 3×2 (рис. 3). Следовательно, числа m и n должны быть четными.

Прямогольник 6k×2 правильно разрезать нельзя — очевидно, он обязательно распадется на прямогольники 3×2. Легко видеть также, что при попытке правильного разрезания прямогольника 6k×4 обязательно образуется прямогольник 6×4 (начините с короткой стороны — рис. 4), поэтому при k>1 правильное разрезание здесь также невозможно. Наконец, правильное разрезание прямогольника 6k×2l при k≥1, l≥3 показано на рисунке 5, где нужно взять k-1 «блоков» A по вертикали, а по горизонтали — по l-3 головных «блока» в ряду.

Существуют и другие замошения прямогольников уголками. Например, переставляя уголки внутри «крестов», можно получить симметричные правильные разрезания из разрезаний на прямогольники (см. рис. 6 для случая 6k×6l). Можно показать, что любой прямогольник, допускающий правильное разрезание, допускает и симметриное правильное разрезание.

M1039. Точки A, B, C, D — вершины тетраэдра. Докажите, что a) если $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{AB}$, то все три эти скалярные произведения равны 0;
b) если три угла между противоположными ребрами тетраэдра равны, то они прямы.

a) Для любых четырех точек A, B, C, D справедливо тождество
$$\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0.$$ (1)

Это становится очевидным, если представить его левую часть в виде $\bar{a} \cdot (\bar{c} - \bar{b}) + \bar{b} \cdot (\bar{a} - \bar{c}) + \bar{c} \cdot (\bar{b} - \bar{a})$, где $\bar{a} = \overrightarrow{DA}, \bar{b} = \overrightarrow{DB}, \bar{c} = \overrightarrow{DC}$. Из (1) сразу следует утверждение задачи.

6. Пусть угол между противоположными ребрами тетраэдра равен $\alpha$, тогда углы между векторами $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равны $\alpha$ или $180^\circ - \alpha$. Поэтому (1) можно переписать так:
   $$\cos \alpha (\pm DA \cdot BC \pm DB \cdot CA \pm DC \cdot AB) = 0.$$

Покажем, что выражение в скобках не может равнять нулю, т. е. $\cos \alpha = 0$ и $\alpha = 90^\circ$. Для этого достаточно доказать, что произведение длин любых двух противоположных ребер тетраэдра строго меньше суммы произведения длин двух других пар противоположных ребер, например

28

$$DA \cdot BC < DB \cdot CA + DC \cdot AB.$$

Проведем через точки $A, B$ и $C$ произвольную сферу. Пусть она пересекает ребра $DA, DB$ и $DC$ в точках $A_1, B_1, C_1$. Легко видеть, что треугольники $ABD$ и $B_1A_1D$ подобны, и следовательно, $A_1B_1 = AB \cdot (DB_1/DA)$. Аналогично, $B_1C_1 = BC \cdot (DB_1/DC)$. Деля почленно первое из этих равенств на второе, получим, что

$$\frac{A_1B_1}{B_1C_1} = \frac{AB \cdot DC}{DA \cdot BC}.$$

Таким образом, стороны треугольника $A_1B_1C_1$ пропорциональны произведением противоположных ребер tetrahedра, и (2) следует из неравенства треугольника для $A_1B_1C_1$.

Тетраэдры, о которых идет речь в этой задаче, называются ортоцентрическими, так как их высоты пересекаются в одной точке (что, вообщее говоря, не имеет места).

В. Э. Матизен

M1040. Числа 1, 2, …, 3n произвольным образом разбиты на три группы по чисел в каждой. Доказите, что можно выбрать по одному числу из каждой группы так, чтобы одно из них равнялось сумме двух других.

Обозначим эти три группы буквами $A, B, C$ и предположим, что числа от 1 до $k-1$ попали в группу $A$, а число $k$ — в группу $B$. Тройку чисел назовем хорошей, если они все из разных групп и сумма двух из них равна третьему. Допустим, что хороших треек нет, и покажем, что тогда для всякого a из группы C число a-1 принадлежит A. Отсюда будет следовать, что в $A$ чисел больше, чем в $C$, что противоречит условиям.

Пусть $a$ — число из $C$. Тогда $a-1$ не принадлежит $B$, иначе тройка $(1, a-1, a)$ была бы хорошей. Допустим, что $a-1$ принадлежит $C$. Расмотрим число $a-k$. Если оно входит в $A$, то $(a-k, k, a)$ — хорошая тройка, если в $B$, то $(k-1, a-k, a-1)$ — хорошая тройка. Следовательно, $a-k$ входит в $C$. Аналогично, если число $a-k-1$ входит в $A$, то хороший тройкой будет $(a-k-1, k, a-1)$, а если в $B$ — то $(1, a-k-1, a-k)$. Повторяя это рассуждение, приходим к выводу, что все натуральные числа вида $a-ik, a-ik-1$ ($i=0, 1, 2, ...$) принадлежат $C$. Но при некоторых числа $a-ik$ совпадает с одним из чисел 1, 2, …, $k$ и, значит, входит в $A$ или в $B$. Это противоречен доказываем, что $a-1$ принадлежит $A$. Следовательно, если $C$ состоит из чисел $c_1, ..., c_n$, то $A$ содержит числа $c_1-1, ..., c_n-1$, причем все они больше 1, так как 2 принадлежит $A$ или $B$. Но $A$ содержит и 1, поэтому в $A$ по крайней мере $n+1$ число.

В. Е. Алексеев

Ф1048. Киномеханик по ошибкеставил киноленту так, что все события на экране «потекли в обратном направлении», при этом автоматически поехали назад. Как изменились скорость и укорение автоматия в результате такой ошибки?

Пусть, когда лента вставлена правильно, автоматически имеет скорость $\vec{v}$. Тогда его перемещение за малый промежуток времени $\Delta t = t_2 - t_1$ есть

$$\Delta x = \vec{x}(t_2) - \vec{x}(t_1) = \vec{v} \cdot \Delta t.$$

Если же лента вставлена так, что события на экране «потекли в обратном направлении», перемещение автоматically за это же время $\Delta t$ будет

$$\Delta x' = \vec{x}(t_1) - \vec{x}(t_2) = -\Delta x.$$

Но $\Delta x' = \vec{v}' \cdot \Delta t$, так что

$$\vec{v}' \cdot \Delta t = -\Delta x = -\vec{v} \cdot \Delta t,$$