Квант 1987, №10 · Страницы

ISSN 0130—2221
квант
Научно-популярный
физико-математический
журнал
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1987

Стартовая масса
«Энергия» съыше 2000 т,
выводный
полезный груз —
более 100 т.
На фоторафини
вы видите «Энергию»
перед стартом.
Рядом
в том же масштабе
показана
первая ракета
на жидком топливе,
созданая
Р. Годдардом (США).
Ее запуск
состоялся в 1926 году.
И хотя пропелела
она всегда лишь 56 м,
ее можно считать
прабабушкиой
современных
ракет-
носителей.

Год 30-летия
космической эры
отмечен в
нашей стране
рядом крупных
достижений.
Особое место
среди их заняли
создание
универсальной
ракеты-носителя
«Энергия»,
упешные испитания
которой проведены
в мае этого года.
«Энергия» —
двухступенчатая
ракета, выполениная
по схеме «Пакет».
Ее первая ступень
состоит из четырех
боковых
блоков-ускорителей.
Вторая ступень —
центральный блок
длиной 60 м
и диаметром 8 м.

1

В номере:

2 30 лет космической эры
3 Интервью с академиком Р. З. Сагдеевым
8 Т. К. Бреус. Встреча с кометой Галлея состояния!
14 С. Г. Гиндикин. Загадка Рамануджана
21 В. А. Фабрикант. Зачем мы зимой использем отопление?

Задачник «Кванта»
24 Задачи M1066—M1070, Ф1078—Ф1082
26 Решения задач M1046—M1050, Ф1058—Ф1062

32 Калейдоскоп «Кванта»

Школа в «Кванте»
36 В. Л. Гутенахер. Основные теоремы

«Квант» для младших школьников
39 Задачи

Лаборатория «Кванта»
40 В. В. Майер. Может ли белое быть черное черного?

Искусство программирования
42 А. П. Ершов. Мир языков программирования
48 А. А. Дуванов, Ю. А. Первин. Язык Лого. Урок 1: Путешествия Черепахи
48 Об открытии Всесоюзной заочной школи программирования

Практикум абитуриента
53 В. В. Можаев. Конденсаторы с «избыточным» зарядом пластин

Олимпiadы
60 XIII Всероссийская олимпiadа школьников
62 Призеры XIII Всероссийской олимпiadы школьников

63 Ответы, указания, решения
Наша анкета (35)
«Квант» улыбается (58)
Шахматная страница
Компьютер в компании гроссмистеров (3-я с. обложки)

На первой странице обложки — общий вид ядра кометы Галлея, полученный в результате обработки на ЭВМ телевизionных изображений ядра, переданных с борта автоматической станции «Веза-2».
О том, что дала ученымстреча с кометой, состояниеяся в матте прошлого года, рассказывается в этом номере журнала (с. 8).

© Издательство «Нука». Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1987

2

30 лет космической эры

В истории величайших научно-технических сведений событие, которое произшло 4 октября 1957 года, занимает особое место. В этот день запуском Первого искусственного спутника Земли человека встретило в новую эру — эру освобения и использования космического пространства.

При всей грандиозности последующих достижений космонавтики ни одно из них не оказало, по всеобщему признанию, такого огромного воздействия на умы и чувства людей во всех концах планеты, как запуск «простейшего спутника» (как называли его сами создается). Но запуск спутника — это не только создание аппарата, способного функционировать в условиях космического полета. Это разработка и сооружение огромного ракетно- космического комплекса.

To, что приоритет в его создании приналежит Советскому Союзу, — показатель мощного научно-технического потенциала нашей страны, способности mobilизовать усилия и ресурсы для решения сложнейших задач. Отечественная космонавтика и сегодня занимает ведущие позиции на многих направлениях изучения и использования космического пространства. Отромная заслуга в ее становлении приналежит С. П. Королеву, М. В. Келдышу, В. П. Глушко, М. К. Янгелю, В. Н. Челомею, Н. А. Пиллогину и многим другими видами и конструкторам.

В настоящее время космонавтика все в большей степени прибретает интернациональной характеристик. Десятки страна принимают участие в космических программах, некоторые из них создают собственные ракетно- космические системы.

Без космической техники уже немыслимы ни научная, ни хозяйственная деятельности. Космические аппараты исследуют Землю и дальние планеты, обслуживают геологов и работников сельского хозяйства, обеспечивают связи и обнаруживают терпиях бедствия, помогают создавать новые материалы и медицинские препараты.

Это сегодня. А завтра? Впереди новые проекты и новые маршруты, ведь космос — это дорога без конца!

2

3

ИНТЕРВЬЮ
С АКАДЕМИКОМ
Р. З. САГДЕВЫМ

— Первый искусственный спутник Земли и орбитальный комплекс «Мир» разделяет 30 лет. В технике — это целая эпоха. Нынешняя космическая техника стала уже неотъемлемой частью экономики, одной из наиболее перспективных отраслей народного хозяйства СССР. Каким представлялось будущее космиатики 30 лет назад? В каком направлении появится космический техник в ближайшие годы?

— Очень трудно сравнить то, что получилось, с тем, что ожидали получить, так как настоящего, коллективно осознанного прогноза не было. Были прогнозы отдельных ученых. Например, очень яркий прогноз К. Э. Циолковского (он был дан еще за несколько десятиков лет до запуска первого ИСЗ). Известно, что С. П. Королев много думал о том, в каком направлении будет развивать космиатика. Я полагаю, что пюнеры космиатики основные технические, организационные, психологические трудности, которые возникли позже, представляли достаточно хорошо.

Вместе с тем, сегодня космиатика, на мой взгляд, носит скорее деловой, «рутиный» характер, нежели тот романтический, который представлялся мечтательным первых лет освоения космического пространства.

Менный акцент в прогнозах делался на бесплатные автоматические аппараты. Во многих научно-фантастических сюжтах речь шла, да и сейчас идет, о деятельности на орбите или в далеком космосе экипажей или даже цельх космических колоний. Но на Земле на протяжении десятилетий идет настоящее настоящее автоматов, роботтехники. Почему же не ожидать, что то же самое будет произсодить и в космосе? Так, собственно, уже и получается. За 30 лет автоматы «научились» делать просто чудеса. В них постоянно реализуется все новые достижения из компьютерной техники, информаники. СERO-

4

нашний автомат, в существии, — предъявник искусственного интеллекта. Количество команд, «заложенных» в бортовые компьютерные также аппаратов как, например, американский «Викинг» или наши «Веги», исчисляется десятими тысяч. Но и это еще не все: благодаря постояннойшующему каналу общения Земля — КА (космический аппарат) во время полета имеет возможность перепрограммирования. Когда мы обсуждали, например, задачу нахождения маленького ядра кометы Галлея среди гигантской яркой комы, мы решили оставить за бортовым компьютер свободу обнаружения, расположения ядра, так как никто не знал, какой облик оно будет иметь. Такого рода задачи очень быстро дивигают наук и технику, и на рубеже двух тысячелей подобные КА будет определять лице космической техники.

Не буду забегать так далее, как это делает знаменитый американский физик Ф. Дайсон. КА будущее, зонды, покидащие Солнечную систему, он представляет себе в виде некоого гибрида ультрасовременной, вернее, ультрабудущей электроники, информатики и молекулярной генетики — некой «космической бабочки в защитном коконе», использующей принципы молекулярной биотехнологии и биоэлектроники. Хотя сегодня даже такие фантазии, наверное, аслуживают внимание.

— А какое место в космических полетах принадлежит все-taki человеку?

— Конечно, человек, космонавт имеет свою экономическую пищевую космосе. Например, на орбитальных станциях типа «Мир». И в ближайшие годы, может быть, до конца столетия, тенденция, которые наметились, будут развиваться. Пребывание человека на орбите уже постоянным.

Обыт, накопленный космической медициной в процессе длительных орбитальных полетов, а также опыт длительного эксплуатации космической техники в принципе позволяет бы нашему современнику отправиться в многоолетнее путешествие, например, на Марс. И такой проект имеет немало storоников. В СИША к организации такой экспедиции признают научнотехнические общества и крупные учены и специалисты в области космирования. Астрофизик К. Саган и его коллеги с этой целью основали мощную общественную организацию «Американское планетное общество». Современный уровень техники действительно позволяет осуществить такой полет. Однако его стоимость превышает бы в несколько раз стоимость самой дорогой на сегодняший день космической программы — лунной экспедиции «Аполлон», реализованной в конце 60-х — начале 70-х годов.

Этапы освобождения космического пространства

7.X — впервые КА облегел Луну и сформираfiрован ее обратную сторону (Луна-3).

1961 12.IV — первый полет человека в космос (Ю. А. Газарин).

1965 18.III — первый выход

3.XI — впервые запущен спутник с животным на борту (собака Лайка).

1959 2.1 — впервые КА (космический аппарат) развил II космический скорость (Луна-1).

14.IX — впервые КА достигла Луны (Луна-2).

5

Существуют и конкуррирующие проекты. Их авторы считают, что авторы могут собрать не менее колючество научной информации, причем при значительной более низких затратах. Скорее всего, в будущих космических программах можно ожидать сочетания плотируемой и неплотируемой техники, и рано или поздно полет человека на Марс состоящая. Однако целесообразным это становится когда минимальный объем информации будет все же получен автоматами.

— С помощью космической техники стало возможным проводить исследование, недостатные для «земной» техники, удалость сделать немало научных открытий. Каковы наиболее важные из них?

— Сегодня трудно выделить каким-либо из них. Будущее показет, какое место они займут в золотом фоне достижений человека. И речь не идет только об астрономии. 30 лет космической эры обогатили многое отражали науки и техники. На орбите получают новые материалы и медицинские препараты, ведут наблюдения за сельскохозяйственными и лесными массивами, составляют карты труднодоступных районов Земли, помогают геологам в поиске полезных ископаемых.

Что же касается астрономических исследований, здесь приоритет за двумя направлениями: изучением небесных объектов с помощью дистанционных методов и прямым исследованием Солнечной системы приборами, установленных на космических аппаратах. Выведя инструменты за пределы земной атмосферы, космическая астроономия для возможность специальным работать в недоступных на Земле из-за влияния атмосферы диапазонах —RENTеновском, инфракрасном, ультрафилотовом диапазонах, а также в диапазоне галмазических учений. В каждом из них получены конкретные результаты. Наши американские коллеги осуществили запускRENTеновского telescopа «Эйштейн» и с его помощью получили огромное количество информации о космических телах, являющихся мощными источникамиRENTеновского излучения. К этим темам относятся квазары, пульсары, нейтронные звезды и черные дыры. В инфракрасном диапазоне тоже появились свои пionеры. Например, telescop «ИРАС», созданный совместными usилиями ученых и специалистов США, Англии и Голландии. Приборы советского исследовательского спутника «Астрон» и международного — IUE проводили наблюдения в ультрафилотном диапазоне уникального события — рождения сверхновой звезды в созвездии Золотой Рыбы. Многого ожидаем мы от первого астрофизического модели «Квант», работающего в составе орбитального ком-

целовека в открытий космос (А. А. Леонов). ↓

1969
21.VII — первая экспедиция

1966
3.11 — первая мяганая посадка КА на Луну (Луна-9) и передача на Землю телевизионного изображения лунной поверхности. ↑

на Луне (Н. Армстронг и Э. Олдрин, «Аполлон-11»). ↑

1970
24.1X — первая доставка на Землю луноного груша астрофизического КА (Луна-16). ↑

6

плеска «Мир». В разработке прибов, установленных на нем, нарушу с советскими учеными прияли участие англійские, западногерманские, голландские специализы.

Изучение внедалактических объектов приведет к созданию новых моделей образования и эволюции Вселенной, формирования галактик и звездных систем, в частности — Солнечной системы.

— На заре космической эры многое надеялись, что полезы в космос сделают реальный обнаружение внешней жизни, даже извлечная мечта человека о встрече с братыми по разуму, казалось, вот-вот будется. может быть, именно это придавало космическим полетам особую романтику. Впрочем, и в фактической художественной литературе эта тема была центральной (можно воспользоваться заменой роман И. А. Ефремова «Туманность Андромеды», появившийся в это же время). Шли годы, но ученым не только не удалось обнаружить жизнь на других небесных телах, многие из них вообще считают, что жизнь на Земле уникальна. Что нового для космической исследования в этом отношении?

— В космических исследований поиск внесемной жизни занимает важное место. Если программа полета допускала возможность prolить дополнительный свет на этот вопрос, такой случай, как правило, не упускали. На космических аппаратах устанавливались специализые приборы (например, на посадочном блоке марсианского «Викинга» имелась биологическая laboratorия). И хотя признаков жизни недействности нигде обнаружить не удалось, я думало, пессистическиевыводы делать еще рано. Конечно, то, что мы знаем сегодня о Марсе, делает обнаружение даже самых примитивных форм жизни на нем мало вероятным. Да и вообще мало шансов, что где-нибудь в Солнечной системе это удastoreть. Однако исследования для много важных данных о так называемой предбюлогической эволюции молекул. Почти полный набор оснований аминокислот имеется и в состав лунного грунта, и в меторитном веществе, которое падает на Землю. Это означает, что так называемый абиогенный синтез — подготовка исходных «кирпичков» для дальнейшего скача на уровень гена — в космических условиях при наличии всегоозможноэкотических излучений, таких как рентгеновское, имеет место. И конечно, при будущих полетах к Марсу и другом, более удаленным от нас небесным телам такую возможность биологических или, как минимум, предбюлогических исследований будет учитьсяать.

— Многие учены считают целесообразным искать проявление деятельности внешних цивилизаций среди небесных тел, в «поведении» которых имеется какле-любо аномали. В свое время внимание астрономов прилекли Тунгусский meteorит, спутники Марса, некоторые кометы… Есть ли сегодня небесные тела, находящиеся у астрономов «на подозрения»?

Этаты основания космического пространства

17.XI — первый самоходный аппарат на Луне («Луноход-1»).
15.XII — первый мягкая посадка КА на Венеру («Венера-7»).

19.1V — выбору первой

межпланетным КА с протеной траектории («Пшонер-10»).

1975
17.VII — первый стыковка космических кораблей разных стран

1973
4.XII — первый исследование Юпитера

1979
1.IX — первый исследование Сатурна КА с протеной траектории

7

К сожалению, сегодня нет объектов, которые можно было бы считать «подозрительными» с такой точкой зрения. В той или иной мере на основе астрофизических гипотез, физических модели можно объяснить каждые аномали в поведении тех или иных космических тел. По крайней мере, в той степени, в какой это позволяет сделать известные факты. В то же время, радиоastronomы одной из своих главных задач считают поиск объектов с аномальными характеристиками. Это направление имеет шансы обнаружить по-настоящему аномальные объекты.

Главный вопрос современности — вопрос о мире. может ли международное сотрудничество в космосе стать альтернативой программы «звездных войн»? Каким вы его себе представляется?

Безусловно, мирное международное сотрудничество в любой форме является альтернативой миллиаризации космического пространства. Невозможно насыщать околоземные орбиты многочисленных КА военноного назначения и в то же время расширять на серые дорогостроение международные научные или, скажем, коммерческие проекты. Эти два направления приходит в глубокий конфликт. И не случайно поэтому стороны мирного космоса, звездного мира, активно выступают против использования космоса в военных целях.

Уже сегодня достаточно много конкретных областей космических исследований, в которых осуществляется международное сотрудничество, в частности, это программа «Интеркосмос», включающая в себя изучение космического пространства беспилотными аппаратами, плотируемые полеты и т. д. В рамках международного сотрудничества в 1986 году успешно завершлись исследования кометы Галлея. В середине 1988 года научся осуществление проекта «Фобос». Его цель — изучение одного из спутников Марса. Инициаторами проекта стали советские учены, а научную аппаратуру для «Фобоса» готовят специальы разных стран.

«Космическая одиссея 2001 года» уже не за горами. Какой она будет? Ведь в ней присутствуют ученные и внешние читатели журнала «Квант». Что вы можете им пожелать?

Думаю, ее сценарий будет писаться тогда, когда сегодня читатели «Кванта» станут специалистами. До этого осталось не так много, может быть, 5—7 лет. И чем раньшеины школьники займут активную творческую позицию, тем большеших результатов они добьются (и совсем не обязаательно ждать, когда они станут пятидесятыми!).

Желаю им успехов!

(«Пионер-11»). (На снимке — пластинка-послание с «Пионер-11».) ↓

1986
24.1 — первый исследователь Урана

1981
12.IV — вывод на орбиту первого многоразового корабля «Спеис шаттл»
(«Колумбия»)

КА с протелной траектории («Вояджер-2»).

20.II — вывод на орбиту новой станции «Мир». ↑
4.III — первый прямы исследований КА кометы Галлея («Вeaа-1»).

1987
9.IV — стыковка первого орбитального модели («Квант») со станцией «Мир».

8

ВСТРЕЧА С КОМЕТОЙ
ГАЛЛЕЯ СОСТОЯЛАСЬ!

Кондидат физико-mатематических наук
T. K. БРЕУС

Кометы все еще остаются наименее изученными объектами Солнечной системы, хотя открывают их по нескольку штук в год. Причина в том, что появляются они неожиданно, а само тело кометы — ее ядро — недоступно для наземных наблюданий, поскольку скрыто сиянием колоссальной, в сотни тысяч раз большей самого ядра, головы, или «комы» — газово-пыльевой атмосферы, возникшей при испарении кометного вещества, разогреваемого солнечным изучением при сближении кометы с Солнцем.

Комета Галлея зарекомендовала себя в прошливе возврашения как одна из наиболее ярких. Например, в 837 году она прошла в 6 млн км от Земли и была в 6,5 раза ярче Сириуса — самой яркой звезды земного небосвода. В 1910 году при проведении выполнении свещла комета оказылась между Землей и Солнцем. А так как хвосты комет всегда направлены от Солнца и тянутся на многое миллионы километров, Земля в течение нескольких часов летела сквозь хвост кометы.

В этот приход комету Галлея обнаружили на рекордно большом расстоянии — около 1,6 млн км от нашей планеты и Солнца. Это было 16 октября 1982 года, когда комета находится в созвездии Малого Пса и свещла в 40 млн раз слабее самых слабых звезд, которые еще может видеть человек невооруженным глазом. Объчно кометы обнаруживают на расстояниях в 2—3 раза меньше, но на сея раз была использована самая совершенная техника, позволяющая регистрации даже отдельные кванты света. Но вот из-за неблагоприятного расположения траектории кометы (в периоды траектории Солнеце оказылась между Землей и кометой) «побещаться» с ней непредставлено с Земли как следует было невозможно. Этот недостаток сlixвой комете сразу разозврался запуском к комете сразу пятки космических аппаратов — двух советских («Вета-1», «Вета-2»)*, одного западно-европейского («Джотто») и двух японских.

В предыдущее появление кометы Галлея в 1910 году на нее были нацелены, главным образом, спектроскопы, с помощью которых актромы уточняли состав головы и хвоста небесной госты. Еще раныше, в 1835—1836 годах, для исследования кометы Галлея был применен первый астрофизический прибор — изобретение выдающегося французского физика и астронома Араго — полярископ. Тогда было доказано, что хвосты комет светят, в основном, отраженным от Солнца светом, т. е. в них много пыли — распыленных каменных частей ядра, отгоняемых в виде хвоста прочь от Солнца каким-то силими. Только в 1910 году, после того как русский физик П. Н. Лебедев показал, что свет может оказать давление на частицы, образование пыльевых кометных хвостов получило свое обьясение.

В 1836 году в научной литературе появились и высказывания о физической природе тинстенного ядра кометы. Немецкий астроном Бессель выдвинул идею, согласно которой достоинством из летучих, т. е. легко возгорающейся от жара веществ. Подобную мысль высказал неогода Лапас. В третьем издании своего «Изложения системы мира» (1808 г.) он обьясил образование колоссальной головы и хвоста кометы быстро испарением «жидкости» с поверхностями ядра близ Солнца. При удалении

*) Полет соверших космических станций «Вета» осуществлялся в рамках Международной экспедиции «Венера — комета Галлея». О проекте «Вета» рассказывалось в статье Л. С. Марочника «Свидание с кометой» в «Кванте» № 5 за 1985 год.

9

леними кометы от нашего светила оставшиеся «жидкость» снова должны превращаться в лед, и так при каждом последующем возврашения.

В XX веке идея ледного ядра кометы новых возрождается американским астрофизиком Ф. Уипплом. Он предлагает модель (1950 г.), согласно которой кометное ядро представляет собой космический яйсберг — монолитное тело неправильной формы, состоящее из замерзших летучих веществ (H₂O, CH₄, NH₃, CO₂ и др.), смешанных с частичками meteorитного вещества. Когда кометное ядро приближается к Солнцу, летучие вещества с его поверхности испаряются, и возникают потоки газа, которые увлекают за собой пылевые частицы,— образуют кома и хвост.

Советский астроном Б. А. Воронцов-Вельяминов полагал, что ядро кометы состоит в основном из тугоплавких веществ (силикаты, металлы) и только на поверхности имеется слой замерзших газов. Голландский астрофизик М. Гринберг в общем был согласен с Уипплом, но считал, что в гипотетической состав ядра надо «добавить» сложные организации вещества. Он предлагал, что ядро кометы представляет собой не айсберг, а, скорее, своего рода сугроб, причем состоит он из частиц межземдного вещества, «спрессованных» в сложную структуру — цилиндрик длиной в несколько микрон, внутри силикатный, сверху слой оргики, а поверх оргики — слой льда.

Откуда же прилетит к нам космические гости? Где могли образовать эти сложные конгломераты пыли, газов и даже оргики — слой льда.

Откуда же прилетит к нам космические гости? Где могли образовать эти сложные конгломераты пыли, газов и даже оргики — слой льда.

Существовало большое число гипотез о происхождении комет. В соответствии с одной из них, впервые предложен Лагранжем (1788 г.), а затем развитой советским ученым С. К. Всесвятским (1955 г.), кометные ядра могли выбрасывать из недр планет-гигантов и их спутников во время вулканических извержений. Когда американские «Воядеры» обнаружили вулканическую дейтельность на спутнике Юптера Ио, это предположение обрело как бы «второе дыхание». Тем не менее отношение к этой гипотезе весьма скептическое — слишком много «но».

Большинство специализов полагают, что получить ответ на вопрос о происхождении комет удалось выдающему голландскому астроному Яну Оорту. Конечно, в начале правильность той или иной гипотезы не решается большинством голосов, и только экспериментальные факты дают объективные доказательства. Тем не менее гипотеза Оорта (1950 г.) практически не имеет изъянов.

Оорт предположил, что Солнечная система окружена гигантским «облаком» комет, пространщимся на расстояниях от 20 000 до 200 000 астронимических единиц (1 а. е. = 150 000 000 км) от Солнца, т. е. далеко за пределами планетной системы (орбита Плутона — последней планеты — порядка 40 а. е.).

Что заставляет кометы покидать свое «пристанище»? Несмотря на то, что в области Оорта по оценкам должны содержаться 10¹¹÷10¹² комет, их столкновения так редки*), что они не могут быть причиной, выталкивающей их из облака. Оказывается, ответственных за это близко прохождение звезды. Ониxaотизируют скорости движения комет и время от времени выбрасываются или за пределы Солнечной системы, или в сторону Солнца.

Остается, однако, неясным происхождение самого облака Оорта, или, как его называют, банка или сейфа комет. Решение этой проблемы и является одной из главных целей космической эксперимента к комете Галлея. Ученые надеались, что наблюдаемые ядра кометы с близкого расстояния, определяние его состава, исследование части кометы «руками» автоматов позволит понять, как образовался банк Оорта. Является ли он частью протопланетного вещества — газов-рылевой туманности, из которойprimерно в одну эпоху возникли Солнце, планеты и кометы? Или, может быть, банк Оорта имеет галактическое происхождение? Например, уже после завершения своего формирования Солнечная система.

*) Время между столкновениями двух кометных ядер с типичным размером 1 км на четырнадцать порядков больше времени существования Солнечной системы.

10

Автоматическая механическая станция «Веза».
Пыледарный масс-аналізатор «ПУМА».

Автоматическая стабилизированная платформа-с установленной на ней аппаратой. В состав televisионной системы входит узкoyольная камера высокого разрешения (1), широкоугольная камера-дагитик наведения (2) и электропонный блок televisионной установки (3). На платформе установлены также трехканальный спектрометр (4) и инфракрасный спектрометр (5).

11

стема могла пролететь через гигантское облака межзвездного газа и захватить содержащие в нем пыль, газ, организаские соединения, а возможно, и готовые кометные ядра.

Кстати, радиоastronomическими методами было обнаружено в газово-пыльных облаках в Галактике несколько типов организаческих соединений — формальдетиды, синильная кислота, спирты — исходные продукты для образования наиболее сложных производных углерода — аминокислот, которые являются «строительными блоками» белка. Следы организаских соединений регистрации в ходе наземных наблюдений и у комет. В meteoritах находят даже сами аминокислоты.

Возможно, meteoritы (как и кометы) являются «мусором» настроительной площадке, где создавалась Солнечная система. Однако они уже изрядно «подпорчены» Солнцем. Кометы же хранились на большом удалении от него, как бы в холодильнике, не поддержав воздействию излучений, и поэтому должны были сохранить свои первичные свойства.

Вот почему учены с таким нетерпенемем ждали свидания с кометой Галлея.

Самой важной задачей в проекте «Вета» было исследование физических характеристик ядра кометы. Использовались два подхода: во-первых, дистанционные измерения при помощи оптических приборах и, во вторых, прямые исследования вещества (газа и пыли), покидающего ядро и пересекающего траекторию, по которой движется аппарат.

Оптические приборы размешались на специальной платформе, которая поворачивалась во время проекта ядра и автоматически отследивала направление на него. Однако из главных элементов оптического комплекса была телевизионная система. В комплект входили также приборы, которые должны были обеспечивать проведение детальных спектроскопических исследований химического состава различных объектов атмосферы (комы) и хвоста кометы. Однако из важнейших направлений этих исследований был поиск первичных, или, как их еще названот, «родительских», молекул. Наземными спектроскопическими изменениями

обнаружить эти молекулы невозможно. Дело в том, что при переходе кометного льда из твердого состояния непосредственного в газообразное газ вылетает с поверхности кометы почти со скоростью звука, и в районе ядра плотность его очень велика. Поэтому молекулы интенсивно взаимодействуют друг с другом и в них происходит существование химических изменений. В ходе этих процессов образуется так называемые «дочерние», т. е. вторичные, молекулы. Они-то и «регистрируют» наземными спектроскопическими изменениями.

Оптические исследования газового состояния атмосферы кометы должны дополяться его изменениями при помощи специального пылидарного масс-анализатора (ПУМА).

Как уже отмечалось, кометная атмосфера состоит не только из газовых, но и из пыливых частиц. При относительной скорости слияния космического аппарата с кометой почти 80 км/c эта пыль представляет большую опасность. Для защиты аппаратов кометя создается скорость и была использована для определения состава частиц. Если на пути такой «пылинки» поставить мишень, то при удалении ее частица взрывообразно испрается, инизируется и превращается в облачко плазмы. Массспектрометр определяет ее состав, а следовательно, и состав ядра кометы, из которой эта частица вырвалась.

12

Такова идея эксперимента ПУМА (научные руководители Р. З. Сагдеев (СССР), У. Киссель (Общество имени Макса Планка, ФРГ), Ж. Л. Берто (Франция)).

Ряд приборов предназначался для измерения физических характеристик пылевого потока — числа части разной массы, их размеров, плотности.

На борту станций были также установлены многочисленные приборы для изучения взаимодействия кометныхонов с межпланетной средой, заполненной, как известно, плазмой, испускаемой солнечной короной, — солнечным ветром.

Что же нового узнали мы в эту встречу с кометой?

Аналіз телевизионных изображений, переданных с борта станций на Землю, показал, что ядро кометы Галлея представляет собой монолитное тело неправильной формы. Размеры его 8×8×16 км. Это намного больше, чем предполагающие учены (2—5 км). Объем ядра, по грубим прикидкам, составляет примерно 5·10¹¹ м³. Ядро врачается вокруг оси, которая расположена внутри конуса растором ±45° от нормали к плоскости орбиты. Направление врачися совпадает с направлением орбитального движения. Отражательная способность ядра очень низкая. Ядро кометы — одно из самых темных тел Солнечной системы. Выброс пыли происходит только на освещенной части ядра. На поверхности имеется несколько областей (примерно 10% площади), из которых пыль уходит сравнительно узкими потоками (струями). Пыль, однako, покидает поверхность и вне струж. Над поверхностью имеется тонкий (около 1 км) слой, внутри которого пыль разогнется потоком газа от нулевой скорости до нескольких сотен метров в секунду. На поверхности видны детали, напоминающие колыцевые кратеры.

Снимки, полученные заpadно-европейским аппаратом «Джотто», добавили к этой картине уточнение только в последнем вопросе: колыцевые кратеры, несомненно, реальны; они хорошо видны на обработанных сигмках вблизи терминатора (границы тени и света), где пыли над поверхностью мало, а условия освещения наиболее благоприятны.

Измерения теплового излучения ядра, выполненные спектрометром «Вени-1», позволили определить температуру поверхности. Из предварительных расчетов, основанных на условиях теплового баланса, следовало, что на дневной стороне кометы она должна составлять 200 К. Однако измерения для вдвое большие значения $T=380 \pm 30$ К.

Это можно объяснить, полагает советский ученый В. И. Мороз, если предположить, что поверхность ядра покрыта слоем «грузи» (анаалогичного тому, как это часто бывают в городах со снежными сугробами). Этот слой поглощает солнечную энергию, часть ее переизлучается в инфракрасном диапазоне, а часть передает за счет теплопроводности вниз, к внутренней «чистой» поверхности ядра, на которой температура около 200 К.

Какова структура этого слоя? Толщина его, скорее всего, не больше 0,1 мм, иначе он сильно ослабляет бызовый поток. В то же время он должен быть сплошным, иначе ядро не было бы таким черным. По-видимому, в нем много мелких частиц, и газ свободно проходит через поры. Поверхность слой в отдельных местах время от времени взламывается, и тогда образуется активная область с особо мощным источением вещества.

Образование такого слоя представляет вплечение естественных, если вспомнить, что кометный лед перемещан с частичками тугоплавких веществ, и при испарении после ухода газа концентрация их на поверхности увечивается.

Температура 380 К относится к самой теплой точке ядра, которая находится на дневной стороне на экваторе. Эта точка смещена от полученной примерно на один час следствие тепловой инерции поверхного слоя. На ночной стороне гораздо холоднее; по косвенным оценкам температура здесь 180—200 К.

Удалось оценить массу и среднюю плотность ядра кометы. Масса определялась по реактивному эффекту, который создается выбросом газа и пыли в стороны Солнца. Расчеты выполнены независимо шведским ученым Г. Рикманом и советскими учеными Р. З. Сагдеевым, П. Е. Эльясбергом, В. И. Морозом. Результаты

13

получились близкие — масса ядра кометы составляет (0,5—2)·10¹⁴ кг. Таким образом, средняя плотность вещества ядра (напомним, что объем его оценен в 5·10¹¹ м³) составляет 0,1—0,4 г/cm³.

Интересные результаты для измерения количественных характеристик пылевого потока. Эксперименты с пылевыми счетчиками показали, что около миллиона тонн космической пыли покидает комethое ядро ejecуточно. Весьма неожиданным оказался характер распределения пылевых частиц по размерам; было обнаружено неожиданное большое количество малых частиц размером порядка сотой доли микрона.

Измерения показали, что в потоке газа, уходящого от кометы, больше всего водяного пара. Вторым по обилию компонент является углевольный газ. Скорее всего, CO₂ и H₂O входят в состав ядра в виде клатрата — кристаллического соединения, в котором молекулы одного вещества (CO₂) «вкраплены» в кристаллическую решетку другого (лед H₂O).

Основную и совершенню новую информацию о химическом состоянии частиц, которые входили в состав ядра и покинули его под давлением газовых потоков, для эксперимента ПУМА (на «Вегах») и аналогичный эксперимент на «Джотто». Реально регистрации частицы диаметром в сотые и десятьде доли микрона, но их было очень много. В эксперименте ПУМА были получены спектры примерного 2000 таких частиц.

Из спектров следует, что по химическому составу твердые частицы комethой пыли можно разделить на три основных типа: в первом преобладают легкие элементы, во втором — углерод, в третьем — металлы. Советский физик Л. М. Мухин, анализировший эти спектры, пришел к двум важным выводам. Первая — частицы, богатые углеродом, показывают отношение элементов C/Si, существенно большие, чем в меторитах любого типа. Второй вывод — большое отношение C/Si всегда сопровождается присутствием азота, а это может быть объясено только тем, что углерод и азот входят в состав организческих молекул. Это является важным указанием на присутствие важных технологий.

В существии, каких-то непреодолимых технических трудностей для проведения таких исследований нет даже на современном уровне развития космической и ученые уже обсуждают такую возможность. Среди кометectь и такие, к ядру которых можно было бы приблизиться вплоть до прямого контакта. Возможно, такой пленет выполнен в конце этого — начале следующего столета.

14

ЗАГАДКА
РАМАНУДЖАНА

(к столетю со дня рождения)

Доктор физико-математических наук
С. Г. ГИНДИКИН

Рамануджан любил говорить, что формулы ему вручает во сне бозия Намаккаль. Интересно отмечать, что действительное он часто, оставая по утрам с кровати, тут же записьвал готовые формулы.

Сецу Айар и Рамачандра Рao

Письмо в Кембридж
В самом начале 1913 года профессор Кембриджского университета Г. Г. Харди получил письмо из далекого Мадраса. В связи 36 лет Харди был уже одним из крупнейших специалистов по анализу и теории чисел, автором ряда великопленных математических работ. Отправитель же письма, Сринавзаа Рамануджан, работал kleером в бухгалтерии почтового ведомства Мадраса с более чем скромным окладом в 20 футов в год. Он сообщал о себе, что не имеет университетского образования и после окончания школы самостоятельного занятия математикой, не следуя принятой системе, а «избрав свою дорогу». Математическое содержание письма выгляделит достаточно неуклюжнее — в полне можно принять автора за самоуверенного любителя.

Само по себе такое письмо не могло произвести на Харди сильно впечатления. Но к письму было приложено некоторое количество формул, которые предлагалось опубликовать, если они интересны, чего сам автор не мог сделать из-за своей бедности. Просмотр формул настоящего Харди: он понял, что имеет дело с незawyrdным явлением. Он заинтересованно ответает Рамануджану, между ними завызывается интенсивная переписка (сегодняя каждется удивительным, как быстро шли тогда письма между Индейем и Англей). Постепенно у Харди собирается около 120 разнообразных формул.

Формулы Рамануджана касались в основном соответствии между бесконечными радиками (вставка 2), бесконечными рядами, произведениями и цепными дробями (вставки 1, 3, 4), тождеств между интегралами. Прежде всего было ясно, что они далеко выходят за пределы

Вставка 1. Пример бесконечной суммы, вычисленной Рамануджаном

$$1 - 5 \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9 \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^3 - 13 \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^3 + \dots = \frac{2}{\pi}.$$

Эта удивительная формула — одна из приложенных Рамануджаном к первому письму Харди. Каким образом сумма знакочередующей ряда $a_0 + a_1 + a_2 + \dots$ с общим членом

$$a_n = (-1)^n (4n + 1) \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2n)}\right)^3$$

может вдруг оказаться равной 2/π, Харди долго не мог понять. В справедливости этой формулы, как приближенного равенства, читатель может убедиться с помощью калькулятора. Доказательство точного равенства не элементарно.

15

Вставка 2. Бесконечно повторяющиеся радикалы

$$\sqrt{1+2\sqrt{1+3}\sqrt{1+4}\sqrt{1+...}}=3.$$

Эту красивую формулу Рамануджан получил еще в школьные годы следующим образом: он написал последовательность оченьных равенств

$$n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)(n+4)}}=...,$$

а затем подставил $n=1$. Вопрос о закономости перехода к предлу Рамануджана не интересал. Действуя так же, читатель может попробовать самостоятельной получения формулу!

$$\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4}\sqrt{9+...}}}=4.$$

элементарной математики. Далее возникает цель вопросов: известны ли они; если да, то самостояльно ли получены автором письма; если нет, то верны ли они? Вскоре Харди понимает, что ситuation парадоксана: он, несомненно, выдавшийся специальist по современному анализу, имеет дело с рассыпью неизвестных ему формул!

Большое впечатление на Хардии произведели формулы с бесконечными рядами (см. вставку 1). После их изучения он приходит к выводу:

«…в распорядении Рамануджана должны быть какие-то очень общее теоремы, которые он от меня скрывает».

Но особо удивили Харди соответствия с бесконечными цепными дробями (одно из более поздних соответствий этого типа показано наставке 3):

«…эти соответствия местили меня полностью в тупик; я никогда не видел ничего подобного. Достаточно бросить на них один взгляд, чтобы убедиться в том, что они могли быть написаны только математиком самого высокого класса».

Чудо из Кумбаконама

Как же сложился математик, который так удивил Харди? Сриниваза Рамануджан Айенгор родился 22 декабря 1887 г. на юге Индии в сельни Эрод. Его детство в основном протекло в маленьком городке Кумбаконам (в 260 км от Мадраса), где его отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке. Рамануджан принадлежал к часте браминов, но богатство уже давно не было уделом его родственников. Его родители, а мать особенно, были глубоко реплицозны. Рамануджан получил воспитание в традициях кasts. Детство, проведенное в городе, где каждый камень связан с древней религии, в окружении людей, постояно ощущающих свою принадлежность к высшей касте, сыграло большую роль в становлении Рамануджана.

С 5 лет Рамануджан в школе, к 10 годам он заканчивает начальную школа. Он начинает проявлять незаурядные способности, получает стипендюю, обеспечивающий обучение в средней школе за половинную плату. В 14 лет студент из Мадраса дает ему двухтомное руководство по трионометрии Лони. Вскоре Рамануджан изучил трионометрию, и студент имел возможность пользоваться его консультативей в решении задач. К этому периоду относится первый рассказы и легенды. Утверждается, что он сам открыл «формулу Эйлера о синусе и косинсе» и был очень расстроен, найда эту формулу во втором томе Лони.

«Маленький брамин» полагает, что в математике, как и в других науках, следует искать присущую ей «высшую истину», рассправивает учитель. Старшие дают маловразумительные ссылки на теорему Пифагора, а то и на вычисления с процентами.

16

Вставка 3. Числовое точное с бесконечной суммой и целой дробью

$$1 + \frac{1}{1.3} + \frac{1}{1.3.5} + \frac{1}{1.3.5.7} + \frac{1}{1.3.5.7.9} + \dots + \frac{1}{1 + 1} = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}.$$

Это, возможно, самая красивая формула Рамануджана, истинное произведение математического искусства. Она неожиданно связана безконечный ряд и бесконечную целую дробь. Удивительно, что ни ряд, ни целая дробь не выражаются через известные постоянные л и e, а их сумма неопустимым образом оказывается равной $\sqrt{\pi e}/2$!

«Синописс элементарных результатов чистой и прикладной математики»

Это двуxtомное руководство английского математика Карара, написанное в 1880—1886 гг., попало к Рамануджану в 1903 г.— ему было тогда 16 лет. Эта книга сыграла огромную роль в формировании Рамануджана. В ней было собрано 6165 теорем и формул, почти без доказательств, с минимальными пояснениями. В основном книге посвящена алгебре, тригонометрии, анализу, аналитической геометрии.

Книга Карара стимулировала маленька к самостоятельному выводу формул. Об этом говорят те, кто знал Рамануджана в эти годы. Постепенно меняется область его основных интерсов: матическое квадраты, потом квадратура круга (он находится с точностью, позволяющей вычислить длину экватора с ошибкой, не превышшей 1—2 м, глазит легенда) и, наконец, наступает очередь бесконечных рядов. Это уже начало подлинной математической жизни!

Книга Карара оказалась достаточно удачной для того, чтобы формировать математический мир Рамануджана. Но ориентировка на эту книгу имела и другие последствия. Поскольку книга не содержала доказательства, а в лучшем случае — наводящие сообщения, у Рамануджана складывается своеобразный метод установления математической истинны. К тому же он лищен в Индии подходящих руководств для того, чтобы проводить строгие доказательства.

«Его понимание существи математического доказательства было более чем туманным; он приSELко всем своим результатам, как ранним, так и более поздним, как верным, так и неверным, при помощи страной смеси интуитивных доказок, индуктивных сообщений и логических рассудений…»

Mathematical syllabus of Rамануджана фактически полностью решила в эти годы — направление научных поисков, способ думать он уже никогда не менял. Здесь можно выразить сообщение, что Рамануджан формировался в тяжелых условиях. В нормальных условиях он, несомненно, стал бы математиком с лучшей профессиональной подготовкой, но можно ли быть уверенным, что он был бы столбже уникален? Смог бы Рамануджан видеть так много, если бы с детства был обучен правилм поведения в математике и доводил бы свои результаты до публикаций со стороны доказательствами, строил бы свой математический мир на базе всего доступного человекаством, а не на сравнительно небольшим числе фактов?

От чисел к формулам

В формировании математического мира Рамануджана было важно, что начальный запас математических фактов (в основном порядке наладок конкретными числами. Он коллекционноировал такие факты с детства. Его школьный товарщик вспоминал, что

17

Дом в Кумбаконаме,
недалеко от Мадраса,
в котором
провел детство
Рамануджан.

Здание школи
в Кумбаконаме:
здесь получил
среднее образование
и начал
самостоятьные
исследования
Рамануджан.

Одно из зданий
Кембриджского
университета —
Тринити-колледж.
Здесь с 1914
по 1919 годы
работал
Сриниваза
Рамануджан.

Единстевный известный
портрет Рамануджана.

Гордон Гарольд
Харди
(1877—1947),
известный
английский
математик,
профессор
Кембриджского
университета,
друг и соавтор
Рамануджана.
Фотографика
начала 1900-х
годов.

2 «Квант» № 10

17

21

ЗАЧЕМ МЫ ЗИМОЙ
ИСПОЛЬЗУЕМ
ОТОПЛЕНИЕ?

Академик АПН СССР
В. А. ФАБРИКАНТ

Заметку с таким названием опубликовал в 1938 году известный немецкий астрономик Роберт Эмден в английском журнале «Нейчур» («Пирода»). «Нейчур» — своеобразный журнал, где оригинальные научные работы (а неоторные из них удостаиваются впоследствии Нобелевских премии) публикуются совместно с попытками статьями, написанными на различных темы.

Хотя заметка Р. Эмдена и была популяриной, она все же не прошла незамеченной: выдержки из нее и ее обсуждание можно обнаружить в шестом томе курса теоретической физики А. Зоммерфельда — видного физика-теоретика, много сделавшего для развития боровской теории строения атома. Вот что пишет Р. Эмден в своей заметке: «На вопрос, почему мы топим зимой, неспециалист ответит: чтоы сделать комнату теплlee; знаок термодинамики выразится, возможно, следующим образом: что-

бы подвести недостающую энергию. В таком случае правым оказывается профан, а не ученый». Разберемся, почему так.

Специалист имеет в виду внутреннюю энергию воздуха, который заполнен наши дома, а в условиях типичных для жилых помещений, воздуха ведет себя как идеальный газ (точнее говоря, как смесь идеальных газов). Энергия идеального газа пропорциональна абсолотной температуре $T$ и количеству вещества, т. е. массе газа $m$. Поэтому для внутренней энергии воздуха можно написать

$$U = amT,$$

где $a$ — неокоторая постоянная.

Теперь становится оченьной та ошибка, которое допустил ученый. Он забил, что в данной ситуации масса воздуха $m$ является функцией температуры. И действительное — жило помещение не изолировано от внешнего мира; при проталивании воздуха, нагреваясь, расширяется и частично выходит сквозь щели и поры в стенахнаружу. Чтобы опре-

22

дельть зависимость $m$ от $T$, воспользовся уравнением Менделеева—Клапейрона для идеального газа:

$$pV = \frac{m}{M} RT$$

(М — молярная масса воздуха, $R$ — универсальная газовая постоянная). Объем помещения $V$ у нас не изменяется, давление $p$ остается постоянным, равным внешнему давлению воздуха. Следовательно, права часть уравнения (2) также должны, несмотря на изменение температуры, сохранять постоянное значение. Это возможно только при условии постоянства произведения $mT$.

Заметим, что обычно уравнение Менделеева—Клапейрона применяется в случае, когда масса $m$ фиксирована. В рассматриваемой нами задаче это условие не выполняется и, согласно уравнению (1), внутренняя энергия воздуха при постоянстве произведения $mT$ должна оставаться неизменной. Увеличение средней кинетической энергии отделной молекулы компенсируется уменшением числа молекул.

Температура воздуха в помещении вылетет на температурный режим работы человекаского тела. Сликом низкая температура вызывает сильное переохлаждение организма, в результате чего затрудняет процесс химических реакций, которые обеспечивают обмен веществ.

Вдучи астрофизиком, Эмden не мог не вспомнить о роли Солнца как своего образной «печки», что греет Землю своим излучением. Хотя Земля почти всю энергию, полученную от Солнца, излучает обратно в мировое пространство, оставшейся часть энергии, которая, видимизациясь, переходит в окружающую среду, вполне хватает, чтобы поддерживать на поверхности Земли необходимую для жизни температуру. Мощность солнечной энергии, падающей на единицу площади земной поверхности, определяет уровень температуры $T$ (чем объясняется смена времени года и наличие климатических поясов), а теплло недр Земли составляет тысячи доль от тепла солнечных лучей, и его совершенню недостачно для поддержания жизни. Поэтому опасность ядерной воды, по современным подсчетам ученых, состоит не только в разрушениях и неисредственном воздействии взрывов на живые организмы, но и в возникновении «ядерной зимы» — ведь многочисленные пожары вызовут огромные туки копоти и сажи, которые будут непроницаемы для солнечных лучей. Эти туки окутают всю Землю,

23

независимо от того, где возникнет «пожар» ядерной войны. Солнечное «отопление» Земли оказывается выключенным, и на Земле наступит ледниковый период.

Но вернемся к проблемам отопления жилих помещений.

В уравнениях (1) и (2) фигурирует температура в кельвинах. Абсолютная шкафа температур называют Кельвина в честь английского физика У. Томсона, получившего за большиеаслуги в области науки и техники титул лорда Кельвина. Титул был выбран по назначению реки, на берегу которого стоит университет Глазго. В этом университе Томсон преподавал физку пятьдесят лет. Примечательно, что в семейном кругу шутливо обсуждались и другие варианты титула — лорд Кабель или лорд Компас. Они отражали две заслуги Томсона: он участвовал в создании первого трансатlantического кабеля из Америки в Англюю в 1866 году и внес радикальные условия в конструкцию компасов для морских судов. Поэтому неудиительно, что, занимаясь разработкой основ термодинамики, Томсон задамался над рациональноностью нашей системы отопления. В 1852 году он опубликовал работу, в которой показал, что использование так называемых тепловых насосов в несколько раз выгоднее обцычных отопительных устройств. В тепловых насосах, которые работают по принципу холодильной машины, энергия затрачивается на перевод тепла от более холодного нагружного воздуха к более теплому воздуха *).

Иден Томсона долгие годы не получали развития и практического применения. В 1920 году на первом съезде советских физиков профессор В. А. Михельсон, известный своим работами в области теории теплового излучения, сделал доклад «О диапазическом отоплении», в котором в значительной степени развил и дополил идеи Томсона. Михельсон предложил использовать в тепловых насосах процессы испарения и конденсация рабочого вещества, что и делается в современных конструкциях. За последние десятилетия началось довольно широкое применение тепловых насосов для отопления. В частности, зимой прошло год в ялтинском пансионе «Дружба» начала работать отопительная теплонасосная установка, где тепл извлекается из морской воды с температурой 8 °С. Так что сорреться можно и с помощью холода.

*) См., например, «Квант», 1986, № 11, с. 19.

24

Задчи

M1066 — М1070, Ф1078 — Ф1082

M1066. ШестЬ точек расположены на плоскости так, что все попарные расстояния между ними не больше 1. Докажите, что из них можно выбрать три точки, попарные расстояния между которых строго меньше 1.

C. Г. Сальников

M1067. Докажите, что для неотрицательных чисел $x, y, z$, удовлетворяющих условию $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, выполнен неравенство

$$\frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} + \frac{z}{1-z^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

B. Э. Матизен

M1068. Дан угол $AOB$ (А и В — точки на сторонах угла). Построите прямую $l$, проходящую через вершину $O$ так, чтобы площади треугольников $AOC$ и $BOD$, где $C$ и $D$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $A$ и $B$ на прямую $l$, были равны.

P. О. Вурдин

M1069. В некоторых городе разрешены только парные объемы квартирами (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не участвуют в других обменах). Докажите, что любой сложный объем квартирами нескольких семей можно осуществить за два дня. (Предполагается, что и до, и после обмена каждой семья живет в отдельной квартире.)

H. Н. Константинов, А. И. Ширельман

M1070. Тетраэд пересечен tremя плоскости, каждая из которых параллельна двум его противоположным ребрам и одинаково удалена от них. Докажите, что сумма квадратов площадей этих трех сечений в 4 раза меньше суммы квадратов площадей граней tetraэдра.

B. Н. Дубровский

Ф1078. Длинная тонкая нить с грузом на конце переброшена через блок и привязана к носу модели лодки, которая может пить по длиному прямойному каналу с водой (рис. 1). Лодку и груз отпускают, и скорость лодки (в см/c) записьюют каждую секунду. К сожалению, сохранился только конец этой записи:

5,65; 6,44; 6,96; 7,31; 7,54; 7,70; 7,80; 7,86; 7,91.

Определите по этим данным скорость лодки через 0,1 секунды после того, как ее отпустили.

A. А. Шеронов

Ф1079. Если полность открыт кран холодной воды, а кран горячей воды закрыт (рис. 2), то ванна наполняется за время $t_1 = 8$ мин; если при этом на выходное отверстие насадить шланг с душем на конце, то ввремя наполнения увеличится до $t_2 = 14$ мин. Когда кран холодной воды закрыт, а кран горячей открыт полностью, ввремя наполнения $t_3 = 12$ мин; при тех же условиях, но с душем на конце — $t_4 = 18$ мин. За какое время наполнить ванна, если полность открыты оба крана? А если при этом насаден шланг с душем?

B. Е. Скороваров

Ф1080. Tonкостенный сосуд непрерывно откачивают насосом, однako из-за наличия микротрещины в стенке сосуда в нем установливается неизменное давление $p_y = 0,001$ мм рт. ст. Снаружи нормальное атмосферное давление $p_0 = 760$ мм рт. ст., относительная влажность

25

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications. The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than January 15th., 1988, to the following address: USSR, Moscow, 103006. Москва K-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». Please send the solutions of physics and mathematics problems, as well as problems from different issues, under separate cover; on the envelope write the words: “KVANT’S PROBLEMS” and the numbers of all the solved problems; in your letter enclose an unstamped

ность воздействия ф=80 %. Найдите давление паров воды в сосуда. Давление насыщенных паров воды при данной температуре $p_H=17,5$ мм рт. ст.

Ф1081. Для очистки воздействия от пыли, которая в обычных условиях оседает очень медленно, можно использовать тот факт, что пылизаряжены.

В первом опите стеклянный цилиндр (рис. 3) с пыльным воздейством помещают в электрическое поле напряженноство $E_1=1 \cdot 10^4$ B/m, направленное вдоль оси цилиндра. Через время $t_1=2$ мин всегда содержащая в цилиндре пыль осела на дно. Во втором опите вдоль оси цилиндра натягивают тонкую проволоку и соединяют ее с источником высокого напряжения. Известно, что в этом случае напряжение всей пыли на стенки цилиндра во втором опите. Пыли в воздействие немного, так что объемным зарядом можно пренебречь.

А. И. Буздин

Ф1082. В схеме, приведенной на рисунке 4, замыкают ключ K. Найти максимальный ток через катушка. Найти максимальное напряжение на конденсаторе $C_1$. Нейдеальностью элементов схемы можно пренебречь.

А. Р. Зильберман

Problems

M1066—M1070, P1078—P1082

M1066. The pairwise distances between six points of the plane are no greater than 1. Prove that there are three points among them whose pairwise distances are strictly less than 1.

S. G. Salnikov

M1067. Prove that any three non-negative numbers $x, y, z$ such that $x^2+y^2+z^2=1$ satisfy the inequality

$$\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

V. E. Matizen

M1068. The angle $AOB$ is given, $A$ and $B$ being points on its sides. Construct a line $l$ passing through the vertex $O$ so as to make the areas of triangles $AOC$ and $BOD$, where $C$ and $D$ are the bases of the perpendiculars drawn from $A$ and $B$ to the line $l$, equal.

R. O. Burdin

M1069. In a certain city only pairwise apartment exchanges are allowed (if two families exchange apartments, they cannot participate in other exchanges on the same day). Prove that any multiple exchange involving several families can be carried out in two days. (Before and after each exchange each family lives in a separate apartment.)

N. N. Konstantinov, A. I. Shnirelman

M1070. A tetrahedron is cut by three planes each of which is parallel and equidistant to two opposite edges of the tetrahedron. Prove that the sum of squares of these three section’s areas is 4 times less than the sum of squares of the areas of the tetrahedron’s faces.

V. N. Dubrovski

27

М1047. В шахматном турире, проводимом в один круг, не менее 3/4 всех сыграных к неокторому моменту партий законились внизу. Доказите, что в этот момент неокторые два участка набрали одинаковое число очков.

В этой задаче удобно пользоваться такой системой подсчета очков: 1 очко за победу, 0 очков за ничью, — 1 очко за поражение (очевидно, она эквивалентна общной шахматной). Обозначим число участков турира через n и положим k=n/2 при четном n, k=(n-1)/2 при нечетном n.

Допустим, что в данной момент все участки имеют разные результаты. Тогда среди них найдет либо k с положительным результатами, либо k с отрицательным результатами. Достаточно рассмотреть только один, скажем, первый случай. Поскольку все эти k шахматистов набрали разное число очков, а число очков каждой не меньше числа выигранных им партий, общее число побед этих шахматистов не меньше 1+2+…+k=k(k+1)/2. Число всех партий в турире равно (n-1)n/2, поэтому доля партии, заключившихся победой одного из соперников, к расматриемому моменту не меньше

$$\frac{k(k+1)}{(n-1)n} > \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4},$$

т. е. доля численных меньше 3/4, что противоречит условиям задачи. Тем самым наше допущение опровергино.

М. Бона

М1048.* Один из двух израющих («начинающий») ставит на неокторую клетку шахматной доски коня. Затем игроки по очереди переведают коня по общим правилам (буквой «Γ»), при этом нельзя ставить коня на поле, где он уже победал. Произвляется тот, кому некуда ходить. Кто может добиться

Ответ: а) выигрывает второй игрок, б) выигрывает второй при четном произведении mn и первый (начинаяший) — при нечетном.

Рассмотрим сразу общий случай доски m×n. Мы докажем, что если произведение mn четно, то клетки доски можно разить на пары так, что с одной клетки каждой пары ходом коня можно попасть на другую клетку (рис. 1), а если mn нечетно, то таким же образом можно разить все клетки доски, кроме одной (рис. 2). В первом случae победая стратегия второго игрока заключается в том, что он должен ставить коня на клетку, парную той, на которой перед этим пошел

28

победы (независимо от действий протечника) — начинаяцший или его парнер a) на доске 8×8; 6) на доске m×n, где m ≥ 3?

М1049. Будем говорить, что в цилиндр Ц₁ высан боком другой цилиндр Ц₂, если две образующие второго цилиндра лежат на основаниях первого — на боковой поверхности первого (рис. 1). Взяв цилиндр Ц₁, у которого отношение диаметра к высоте равно k, вышем в него боком (если это возможно) цилиндр Ц₂, в него вышем боком Ц₃, в него — Ц₄ и т. д. При каких значениях k a) можно высать Ц₂, но нельзя Ц₃;
б)* можно высать Ц₁₀, но нельзя Ц₁₁;
в)* можно высать бесконечную последовательность Цₙ (n=1, 2, …)?

Пусть $d_n$ и $h_n$ — диаметр и высота цилиндра Цₙ, $a_n = d_n^2/h_n^2$. Из рисунков 1 и 2 видно, что $d_{n+1} = h_n$, $h_{n+1} = d_n^2 - h_n^2$, (1)

причем высать Цₙ₁ в Цₙ можно тогда и только тогда, когда $d_n^2 - h_n^2 > 0$, или $a_n > 1$.

a) Ответ: $k \geq \sqrt{2}$. Мы должны найти, при каких k $a_1 > 1$, $a_2 \leq 1$.

Из формул (1) при n=1 получаем соответствие

$$\frac{1}{a_2} = \frac{h_n^2}{d_n^2} = \frac{d_n^2 - h_n^2}{h_n^2} = a_1 - 1;$$ (2)

позетом $a_2 \leq 1$, когда $a_1 \geq 2$ (при этом автоматически $a_1 > 1$). Остается заменить $a_1$ на $k^2$.

6. Ответ: $\sqrt{89/55} \leq k < \sqrt{34/21}$. Для того, чтобы можно высать цилиндры Ц₂, …, Ц₁₀ и нельзя — Ц₁₁, должны выполняться неравенства $a_1 > 1$, $a_2 > 1$, …, $a_9 > 1$, $a_{10} \leq 1$. Выясим, какое ограничение накладывает каждое из них на $a_1 = k^2$. Точно так же, как (2), установливается равенство

$$a_{n-1} = 1 + 1/a_n, n = 2, 3, ...$$

Функция $f(x) = 1 + 1/x$ убивает, поэтому неравенство $a_n > 1$ эквивалентно $a_{n-1} < f(1) = 2$, это, в свою очередь, эквивалентно $a_{n-2} > f(2) = 3/2$, $a_{n-3} < f(3/2) = 5/3$ и т. д.

Обозначая i-й член последовательности 1, $f(1)$, $f(f(1))$, … через $\lambda_i$, получим, что неравенство $a_n > 1$ эквивалентно $a_1 > \lambda_n$ при нечетном n и $a_1 < \lambda_n$ при четном n.

Можно заменить (см. рис. 3), что числа $\lambda_1$, $\lambda_3$, $\lambda_5$, … возрастют, а $\lambda_2$, $\lambda_4$, $\lambda_6$, … — убывают, при числа последовательности меньше чисел второй последовательности. Это следует из равенств

$$\lambda_{n+1} - \lambda_n = f(\lambda_n) - f(\lambda_{n-1}) = \frac{1}{\lambda_n} - \frac{1}{\lambda_{n-1}} = \frac{\lambda_{n-1} - \lambda_n}{\lambda_{n-1}\lambda_n}.$$ (3)

Действительно, если, например, $\lambda_n < \lambda_{n-1}$, то в силу (3) $0 < \lambda_{n+1} - \lambda_n < \lambda_{n-1} - \lambda_n$ (так как все $\lambda_i$ при i>1 больше 1), т. е. $\lambda_n < \lambda_{n+1} < \lambda_{n-1}$; аналогично, при $\lambda_n > \lambda_{n-1}$ получим, что $\lambda_n > \lambda_{n+1} > \lambda_{n-1}$. Таким образом, числа $\lambda_n$ располагаются как на рисунке 4 — каждое из них, начиная с $\lambda_3$, лежит между двумя предыдущими, причем $\lambda_1 < \lambda_2$.

У нас должны выполняться неравенства $a_1 > \lambda_n$ при $n=1, 3, 5, 7, 9$, $a_1 < \lambda_n$ при $n=2, 4, 6, 8$ и $a_1 \geq \lambda_{10}$, т. е. $\lambda_{10} \leq a_1 < \lambda_8$. Остается подчитать $\lambda_8$ и $\lambda_{10}: \lambda_8 = 34/21$, $\lambda_{10} = 89/55$. Для прощения подчета можно воспользоваться тем, что $\lambda_n = u_n/u_{n-1}$, где $u_n — n$-й член знаменной последовательности Фибоначчи

29

1, 2, 3, 5, 8, 13, …, определяемый при $n \geqslant 2$ равенством $u_{n+1} = u_{n-1} + u_n$ (в самом деле, $\lambda_2 = 2/1 = u_2/u_1$; $\lambda_{n+1} = 1 + 1/\lambda_n = 1 + u_{n-1}/u_n = u_{n+1}/u_n$, если $\lambda_n = u_n/u_{n-1}$).

в) Ответ: $k = \sqrt{(1 + \sqrt{5})/2}$. Из сказанного в пункте 6) вытекает, что искомые значения $k^2 = a_1$ должны удовлетворять неравенствам $\lambda_{2m-1} < a_1 < \lambda_{2m}$ при всех $m \geqslant 1$. Доказем, что последовательность $\lambda_n$ при $n \to \infty$ стремится к пределу $\lambda = (1 + \sqrt{5})/2$ — положительному корню уравнения $f(\lambda) = \lambda$ (см. рис. 3). Повторяя вывод формулы (3), мы получим, что

$$|\lambda - \lambda_n| = \frac{|\lambda - \lambda_{n-1}|}{\lambda \lambda_{n-1}} < \frac{|\lambda - \lambda_{n-1}|}{\lambda} < \dots < \frac{|\lambda - \lambda_1|}{\lambda^{n-1}},$$

т. е. $|\lambda - \lambda_n| \to 0$ при $n \to \infty$. Следовательно, отрезки $[\lambda_{2m-1}; \lambda_{2m}]$ стягиваются к точке $\lambda$ (рис. 4), которая и является единственным возможным значением $a_1 = k^2$.*

В. Столин

M1050. На отрезке $[-1; 1]$ выбрано $k$ различных точек, для каждой посчитанной произведением расстояний до остальных $k-1$ точек и через $S$ обозначающая сумма обратных величины этих $k$ произведений. Доказите, что a) $S \geqslant 2$ при $k=3; 6)$* $S \geqslant 4$ при $k=4$.

Puc. 3.

Puc. 4.

M1050. На отрезке $[-1; 1]$ выбрано $k$ различных точек, для каждой посчитанной произведением расстояний до остальных $k-1$ точек и через $S$ обозначающая сумма обратных величины этих $k$ произведений. Доказите, что a) $S \geqslant 2$ при $k=3; 6)$* $S \geqslant 4$ при $k=4$.

Puc. 1.

Puc. 2.

a) Ясно, что каждое из трех произведений лишь увеличится (а сумма $S$ обратных к ним величины уменшится), если крайние числа развинуты: левое заменить на -1, правое — на 1. Поэтому можно считать, что выбран们 точки -1, $x, 1$, где $-1 < x < 1$. В этом случае

$$S = \frac{1}{2(1+x)} + \frac{1}{(1+x)(1-x)} + \frac{1}{2(1-x)} = \frac{2}{1-x^2} \geqslant 2,$$

причем равенство достигается лишь при $x=0$.

6. Аналогично пункту a) задачу для четырех точек можно решать методом «постепенного уличшення». Как и выше, заменяя крайние числа на -1 и 1, мы можем только уменшить $S$. Средние точки представим в виде $-1+u$ и $1-v$ ($u>0, v>0, -1+u<1-v$; рис. 1).

Тепер преобразуем сумму $S$, полагая $d=2-u-v$:

$$S = \frac{1}{2u(u+d)} + \frac{1}{2v(v+d)} + \frac{1}{2u(v+d)} + \frac{1}{2v(v+d)} =$$

$$= \frac{d(v(2-u)+u(2-v))+2(2uv+d(u+v))}{2duv(2-u)(2-v)} =$$

$$= \frac{d(2(2-d)-2uv)+2(2uv+d(2-d))}{2duv(4-2(u+v)+uv)} =$$

$$= \frac{2d(2-d)+uv(2-d)}{2duv(2d+uv)} = \frac{2-d}{duv}.$$

Произведение $uv$ при заданной сумме $u+v=2-d$ максимально, когда $u=v=(2-d)/2$, поэтому

$$S \geqslant \frac{4}{d(2-d)} \geqslant 4,$$

причем равенство достигается при $d=1, u=v=1/2$, т. е. для точки -1, $-1/2, 1/2, 1$.

Оказывается, при каждом $k \geqslant 3$ наименьшее значение $S$ равно $2^{k-2}$ и достигается для набора $x_n = -\cos \frac{n\pi}{k-1}, n=0, 1, \dots, k-1$. Укажем красивое рассужждение, которое (в отличие от прямых вычислений, приведенных выше) годится для общего случая.

Пользоваться тожестемом $\cos(m+1)\varphi = 2(\cos m\varphi)\cos \varphi - \cos(m-1)\varphi$, легко доказать, что при любом $m \geqslant 1$ существует многочлен $T_m(x)$ такой, что $T_m(\cos \varphi) = \cos m\varphi$, причем его старший коэффициент равен $2^{m-1}$.

*) Ближе задачи обтерациях функций рассмотрены в книге «Заочные математические описания» (М.: «Наука», 1987; задачи 6-16, 6-17).

30

Например, $T_2(x) = 2x^2 - 1$ (рис. 2), $T_3(x) = 4x^3 - 3x$ (рис. 3). Отметим, что $|T_m(x)| \leq 1$ при $|x| \leq 1$. Многочлен $T_m(x)$ называется многочленом Чебышёва (см. статью Н. Васильева и А. Зелевинского «Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения» в «Кванте» № 1 за 1982 г.). С его помощью мы решим задачу для $k = m + 1$ точек.

Пусть $x_n, n = 0, \dots, k - 1$, — любой набор $k$ различных точек на отрезке $[-1; 1]$. Всякий многочлен степени $k - 1$ однозначно определяется своим значениями $a_n$ в точках $x = x_n$ и, как нетрудно проверить, может быть записан в виде суммы

$$\sum_{n=0}^{k-1} a_n \frac{(x-x_0)...(x-x_{n-1})(x-x_{n+1})...(x-x_k-1)}{(x_n-x_0)...(x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n+1})...(x_n-x_{k-1})}.$$

Возьем $a_n = T_{k-1}(x_n)$, тогда этот многочлен будет тождественно равен $T_{k-1}(x)$. Его старший коэффициент, равный $2^{k-2}$, является суммой выражений

$$\frac{a_n}{|x_n-x_0|...|x_n-x_{n-1}||x_n-x_{n+1}|...|x_n-x_{k-1}|},$$

каждое из которых по модулю не превозходит

$$\frac{1}{|x_n-x_0|...|x_n-x_{n-1}||x_n-x_{n+1}|...|x_n-x_{k-1}|}$$

(поскольку $|a_n| = |T_{k-1}(x_n)| \leq 1$). Но сумма величины (*) при $n = 0, \dots, k - 1$ как раз и есть интересующая нас сумма $S$; следовательно, $S \geq 2^{k-2}$.

Л. Д. Курляндчик

Ф1058. Шарик катисяводоль ребра прямогольного желова АСВ (см. рис.) со скоростью $v$ без прокалывания; расстояние $AB$ равно радиусу шарика. Какие точки шарика обладают максимальной скоростью? Чему равна эта скорость?

По условию задачи шарик катисябина, поэтому скорости тех точки шарика, которые в данной момент времени касаются желова в точках $A$ и $B$ (см. рисунок), равны нулю. Считая шарик абсцилтоно твердым телом (а это означает, что расстояние между любыми двумя точками шарика остается неизменным), приходим к выводу, что в данной момент времени все точки шарика, лежащие на отрезке $AB$, неодвижны. А это означает, что в каждой момент времени движение шарика — это вращение относительно оси $AB$. (Ясно, что точки $A$ и $B$ — точки, в которых шарика касается желова, — перемещаются со скоростью $v$).

Мгновенная скорость любой точки шарика есть $\omega$, где $\omega$ — угловая скорость вращения, $\rho$ — расстояние от точки до оси $AB$. Скорость центра шарика (т. о на рисунке) равна $v$; расстояние от т. $o$ до оси $AB$ — $\rho_0 = |oc| = R\sqrt{3}/2$. Следовательно,

$$\omega = \frac{v}{\rho_0} = \frac{2v}{R\sqrt{3}}.$$

Понятно, что максимальный скорость обладает точки шарика, наиболее удаленными от оси $AB$. Из геометрических соображений ясно, что в любой момент имеется лишь одна точка, максимально удаленная от оси, — на рисунке это точка $d$. Расстояние от т. $d$ до оси вращения равно $\rho_d = \rho_0 + R = R(1 + \sqrt{3}/2)$, и скорость точки $d$ —

$$v_d = v_{\max} = \omega \rho_d = \frac{2v}{R\sqrt{3}} R\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = v \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}.$$

С. С. Кротов

31

Ф1059. В некоторых точке пространства необходимо создать максимальное направление граbituationного поля (ускорение свободного давления), имея в распоряжении заданную массу вещества неизменной плотности.

a) Какую форму необходимо придать теляти из этого вещества?
b) Каково должно быть взаимное расположение тела и теляти?

Пусть однородное тело массой $M$ создает граbituationное поле, вектор направления которого в некоторой точке $O$ равен $g$ и направлен вдоль оси $OX$, как это показано на рисунке 1. Согласно принципу суперпозиции полей вектор $\vec{g}$ является суммой векторов $\Delta\vec{g}_i$ направженной полей, созданных в точке $O$ всеми бесконечно малыми элементами $\Lambda m_i$ тела $M$. Вклад каждого элемента в общее поле $g$ равен проекции вектора $\Delta\vec{g}_i$ на ось $OX$, т. е. равен

$$\Delta g_{ix} = \frac{G \cdot \Delta m_i}{r_i^2} \cos \theta_i,$$

где $r_i$ — расстояние от точки $O$ до элемента $\Delta m_i$, $\theta_i$ — угол между направлением на элемент и осью $OX$. Следовательно (если все элементы $\Delta m_i$ одинаковы),

$$g = |\vec{g}| = \sum_i \Delta g_{ix} = G \Delta m \sum \frac{\cos \theta_i}{r_i^2}.$$

Таким образом, при данной массе тела $M$ значение $g$ будет максимальным, если форма тела и его ориентация относительно точки $O$ будет такими, что величины $\sum \frac{\cos \theta_i}{r_i^2}$ будет максимальным.

Рассмотрим тело массой $M$, ограниченное проходящей через точку $O$ поверхности, для всех точек которого (кроме точки $O$) относение $\frac{\cos \theta_i}{r_i^2}$ одного и то же, т. е.

$$\frac{\cos \theta}{r^2} = \text{const.}$$

Такую поверхность называем поверхностью равного вклада. Тело, ограниченное поверхности равного вклада, является телом врашшения (вокруг оси $OX$; см. рис. 2). Покажем, что именно такое тело создает граbituationное поле, направжность которого $g_0$ максимальная в точке $O$.

Элементы $\Delta m$, находящиеся на поверхности равного вклада, по определению высот одинаковые вклады $\Delta g_{0x}$ в $g_0$. Вклад любого внутреннего элемента $\Delta g_{bнутр}$ больше $\Delta g_{0x}$; если бы элемент $\Delta m$ оказался за поверхностью тела, то его вклад $\Delta g_{bнутр}$ в величины $g_0$ был бы меньше $\Delta g_{0x}$. Таким образом,

$$\Delta g_{bнутр} > \Delta g_{0x} > \Delta g_{bнутр}.$$

Любая деформация тела $M$ (без изменения его плотности), не приводящая к изменению направления вектора направжности в точке $O$, совпадая с переносу массы из внутренних области во внешние области, за пределы поверхности равного вклада. Как видно из соответствия (*), это приводит к уменьшению направжности поля в точке $O$.

Следовательно, направжность граbituationного поля, создавемого в точке $O$ телом данной массы, максимальная, если это тело — тело врашшения, ограниченное поверхности равного вклада, и точка $O$ лежит на поверхности на оси врашнения.

Заметим, что отличие формы этого тела от шарообразной существению. На рисунке 2 представлены сечения такого тела и шара такой же массы. Видно, как нужно деформировать шар, чтобы получить в одной точке (в данном случае в точке $O$) максимальное возможность поле. Оказывается, что после такой деформации шар направжность поля в точке $O$ возрастет в $\sqrt{27/25}$ раза, т. е. примерно на 3 %.

E. Н. Юносов, И. В. Яминский
(Окончание см. на с. 34)

32

Замечательные точки и линия

В треугольнике существует такая точка, что отрезки, соединяющие ее с вершинами, образуют одинаковые углы со стороны точки Брокара в четырехфранцузского математика Ании Брокара (1845—1922), автора наиболее полного справочника по замечательным кривым.

Эти одинаковые углы называют уелли Брокара. Существует и вторая точка Брокара в треугольнике, которая получится при противоположном обхожде вершин треугольника. Интересно, что величины уелла Брокара для второй точки будет такой же, как и для первого.

В справочнике Брокара мы находим логарифмическое спираль. Ее уравнение r = aeᵣᵣ, где r — расстояние точки M на спирали до выбранной точки O, φ — угол между лучем OM и выбранным лучем OX. Если логарифмическое спираль подобно увеличивать и одновременно поворачивать, она будет переходить в себя.

33

Тангенс угла Брокара выражается формулой: tgφ = $\frac{4S}{a^2+b^2+c^2}$, где S — площадь треугольника, a, b, c — длины его стороны. Площади треугольников, на которых разбиается исходный треугольник, относятся, как обратные величины квадратов сторон: $a^2S_{ABM} = b^2S_{BCM} = c^2S_{CAM}$.

ГОЛОВОЛОМКИ

1. Три одинаковых треугольника разрезаны по разным медианам. Сложите из полученных шести кусков один треугольник.
   B. B. Произведение
2. Разрежьте фигуру, изображенную на левом рисунке, на две части так,

Логарифмическая спираль часть встречется в живой и неживой природе. На пример, форму логарифмической спирали имеются раковины.

Логарифмическая спираль часть встречется в живой и неживой природе. На пример, форму логарифмической спирали имеются раковины.

Логарифмическая спираль образует одинаковые углы в пересечении с лучами, исходящими из точки O. Позному, если мы начнем вблизи Северного полюса идти, скажем, на юго-восток, то мы будем обходить его по логарифмической спирали.

Чтобы из них можно было бы сложить круг. Сделайте то же самое для фигурики на правом рисунке. (П о дск а за к а: при разрезании первой фигурики вы увидите мордочку хитрой лицы, а при разрезании второй — голову неуклюжного медведя.)
A. M. Домашенко

34

Ф1060. Математический матрик представляет собой неиссимый стержень длиной l, к свободному концу которого прикреплен маленький массивныйрузчик. На стержень надета бусинка такой же массы, которая может свободно скользыть по горизонтальной направляющей, проходящей на уровень середины стержня (см. рисунок). Найти перiod малых колебаний такого матрика. Тренце отсутствует.

$$v_m = \sqrt{2gl(1 - \cos \alpha_0)} = 2\sin \frac{\alpha_0}{2}\sqrt{gl}.$$

При условии малости колебаний

$$\sin \frac{\alpha_0}{2} \approx \frac{\alpha_0}{2} \approx \frac{A}{2l},$$

где $A$ — амплитуда колебаний матрика, и

$$v_m = A\sqrt{\frac{g}{l}} = A\omega_0,$$

где $\omega_0$ — частота колебаний.

Найдем максимальное скорость грузика для нашей системы (матрик с бусинкой, находящейся все время на одной и той же горизонтали). Запишем закон сохранения энергии для системы в тот момент, когда грузик проходит нанизшую точку траектории:

$$\frac{m}{2}v_m^2 + \frac{m}{2}\left(\frac{v_m}{2}\right)^2 = mgl(1 - \cos \alpha_0)$$

($\frac{v_m}{2}$ — скорость бусинки в этот момент). Отсюда

$$v_m = \frac{2}{\sqrt{5}}\sqrt{2gl(1 - \cos \alpha_0)} = A \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}\omega_0.$$

Как видно из этого результата, частота $\omega$ колебаний нашей системы в $2/\sqrt{5}$ раз меньше частоты $\omega_0$ колебаний математического матрика длиной l. Следовательно, период колебаний системы —

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \pi\omega_0\sqrt{5} = \pi\sqrt{\frac{5l}{g}}.$$

Л. Г. Маркович

Ф1061. Плама спиртовки, перед тем как поаснуть, начинает мерцать и потребывать. Почему?

Причиной мерцания пламени является, оченьindo, неравномерность поступления горючего — спирта. Это имеет место, когда спирт кончается.

Действительно, когда спирта остается малo, начинают сказывать, помимо капиллярных сил «захвата» горючего фитилем, силы взаимодействия спирта с дном и стенками спиртовки (силы поверхностного натяжения). Перебор в поступлении горючего могут возникнуть и из-за наличия всякого рода «грузи», находящейся, как правило, на дне спиртовки.

Итак, в некоторых момент времени спирта, поступающий к пламени по фитилю, не хватает для поддержания устойчивого размера пламени, и пламы как бы пропадает; однако в следующий момент поступает «избыток» спирта, и происходит резкое увеличение пламени, сопровождающей треском.

Как правило, при диаметре фитиля 2—3 мм такие мерцания с потрескиванием воздуха, когда длина фитиля составляет несколько миллиметров, причем, чем короче фитиля — тем чаще происходит вспышки, сопровождающей треском.

А. С. Бутов

Ф1062. Космическая частьща, движущаяся со скоростью, близкой к скорости света, попадает в реа.

Наличие двух светящихся точекозначает, что скорость u, с которой частьща движется в резервуаре, большие скорости света в жидкости, т. е. большие $v = c/n$ (с скоростью света в вакууме).

35

зервуар экспериментальной установки, наполненой жидкостью с показателем преломления n=1,6. Прохождение частицы через жидкость сопровождается свечением. Через небольшой промежуток времени после попадания частицы в резервуар был включен прибор, находящаяся в точке C, который зафиксировал в момент включения две свечиces точки A и B (схема опыта в определенном масштабе приведена на рисунке; дан вид сверху, точки C, A и B лежат в горизонтальной плоскости). Объясните наблюдение явление и используя рисунок, найдите скорость частицы. Торможением частицы в жидкости пренебречь.

Действительно, в момент включения прибора к прибору пришел свет, испущенный до этого в разные моменты времени из точек A и B. На прохождение пути BC свету потребовалось время $t_1$ большие, чем время $t_2$ на прохождение пути AC. Следовательно, в точке B частица была раныше, чем в точке A, т. е. частица движется справа налево (от B к A). За время $t_2 - t_1$ свет

в жидкости пренедел пусть $l_2 - l_1$ (см. рисунок), а частица — пусть $l_3$. Как видно из рисунка, $l_3 > l_2 - l_1$. Значит, действительно $u > v$.

Знание и найдем из уравнения
$$\frac{l_2 - l_1}{v} = \frac{l_3}{u} \Rightarrow u = v \frac{l_3}{l_2 - l_1} = \frac{c}{n} \frac{l_3}{l_2 - l_1}.$$
Определив из чертежа отношение $l_3: (l_2 - l_1)$, получим $u = 0,83 c$.

А. И. Буздин

Наша анкета

Дорогие читатели! Для того чтобы при подготовке материалов к публикации в «Кванте» редакция могла учеть ваш интересы, уровень подготовки и вкусы, просим вас ответить на вопросы нашей традиционной анкеты.

Для сокращения сроков обработки анкета ответы просим высылать на отдельном листе бумаги, сохранить нумерацию вопросов, до 10 января 1988 года.

Наш адрес: 103006 Москва К-6, ул. Горького, д. 32/1, «Кванте». На конверте сделайте пометку «Анкета-87».

1. Фамилия, имя (не обязательно). Место учебы (город, сель, класс, курс) или работы (профессия, специализность).

2. Круzd интересов (математика, физика). С какого года вы выписываете наш журнал? Сколько человек читают ваш экземпляры «Кванте»?

3. Наиболее и наименее интересные статьи по математике из числа опубликованных в 1987 году.

4. Наиболее и наименее интересные статьи по физике из числа опубликованных в 1987 году.

5. Самая удачная и самая неудачная обложка журнала в 1987 году.

6. Какие разделы журнала вам нравятся, а какие — нет? Какие новые разделы следует бывести?

7. Какие материалы, опубликованные в «Кванте» в 1987 году, помогли в вашей учебе или работе, что вы искали в «Кванте», но не нашли?

8. О чем бы вы хотели прочитать на страницах нашего журнала в 1988 году?

36

Основные теоремы

Кандидат физико-математических наук
В. Л. ГУТЕНМАХЕР

Наша цель — расскаать о трех основных теоремах трех великих А: Арифметики, Алгебры, Анализа. Эти теоремы должны знать каждый, кто хотеть немного интересуется математкой. Первая — о разложении чисел на простые множители, второй — о разложении многочленов на неприводимые многочлены, третья — о вычислении площади.

Мы начем с основной теоремы алгебры: о ней писал Рене Декарт в 1637 году —ровно 350 лет тому назад — в своей книге «Геометрия».
В этой книге есть глава, посвященная уравнениям; она начинается такими словами:

«Знайте, что всякое уравнение может иметь столько же корней, какова степень уравнения; либо переменность два уравнения $x-2=0$ и $x-3=0$, то получится уравнение второй степени: $x^2-5x+6=0$, которое имеет корни 2 и 3. Если это уравнение, в свою очередь, умножить на $x-4=0$, то получится уравнение третьей степени $x^3-9x^2+26x-24=0$ с третьями 2, 3 и 4».

В курсе алгебры 8 класса доказывается, что многочлен второй степени $x^2+px+q$, имеющий корни $x_1$ и $x_2$, представляется в виде произведение многочленов первого степени:

$$x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2).$$

Примеры разложения квадратного трехлена в произведение:

$$x^2-x-2=(x+1)(x-2);$$
$$x^2-2x+1=(x-1)^2;$$
$$x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2});$$
$$x^2+x-1=(x+1/2-\sqrt{5}/2)(x+1/2+\sqrt{5}/2).$$

Однако следует, что квадратный трехлен не имеет корней и его разложить в такое произведение нельзя. Что же касается многочленов более высокой степени, то для них имеет место также теорема:

Любой многочлен вида $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_0$ можно разложить в произведение многочленов вида $x-a$ и многочленов второй степени вида $x^2+px+q$, не имеющих корней; причем это разложение единственно: два такие разложения отличются только порядком сомножителей.

37

Приимеры разложения многочленов на множители:
$$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \quad - 1 \text{ корень};$$
$$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) \quad - 3 \text{ корня};$$
$$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3 \quad - 1 \text{ корень};$$
$$x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x - 1)(x + 1) \quad - 2 \text{ корня};$$
$$x^4 + 1 = (x^2 - \sqrt{2x} + 1)(x^2 + \sqrt{2x} + 1) \quad - 0 \text{ корней}.$$

Из этой теоремы следует, что многочлен $n$-й степени может иметь, самоое большие, $n$ корней;ровно $n$ корней будет, если он раскладывается в произведение $n$ различных многочленей вида $x-a$. Многочлен может иметь именные корней за счет того, что некоторые такие многочлены повторяются (при этом возникают кратные корни), и за счет того, что некоторые многочлены — квадратные трехчлены, не имеющие корней.

Значительное более изучную форму примет эта теорема, если ввести употребление компликсии числа, т. е. выражения вида $a - b\sqrt{-1}$, где $(a; b)$ — пара действительных чисел. Тогда уже любой квадратный трехчлен (с действительными или компликскими коэффициентами) имеет два компликских корня и раскладывается на многочлен первой степени.

Приимеры разложения квадратных трехчленов с компликскими корнями:
$$x^2 + 1 = (x + \sqrt{-1})(x - \sqrt{-1});$$
$$x^4 - 4x + 3 = (x - 1)^2(x + 1 - \sqrt{-2}) \times (x + 1 + \sqrt{-2}).$$

Благодаря этому сформулированная ранее теорема принимает следующий вид:

Всякий многочлен вида $x^n + \alpha_{n-1}x^{n-1} + \alpha_{n-2}x^{n-2} + \dots + \alpha_0$ (эде $\alpha_{n-1}, \alpha_{n-2}, \dots, \alpha_0$ — компликские числа) представляется в виде произведения $n$ компликелей $(x - \beta_1)(x - \beta_2) \dots (x - \beta_n)$, еде $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ — компликские числа, причем такое представление единственно с точностью до порядка компликелей.

Это и есть основная теорема алгебры.

---

Основная теорема арифметики сродни основной теореме алгебры:

Всякое целое положительное число, большое единицу, может быть представлено в виде произведения простых чисел. Причем два таких разложения могут отличаться только порядком компликелей.

Приимеры разложения чисел на простые множители:
$$400 = 2^4 \cdot 5^2; \quad 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13;$$
$$290 981 = 43 \cdot 67 \cdot 101; \quad 1987 = 1987.$$

Этот теоремой мы фактически пользовемся, начиная с младших классов — и при сокращении дробей, и при приведении их к наиболееому общему значению.

Чаще всего мы пользовемся следующим утверждением, которое, как легко понять, равносильно основной теореме арифметики: если произведение чисел чисел делится на неокоторое простое число, то на это простое число делится хотя бы один из сомножителей.

Итак, обе основные теоремы — арифметики и алгебры — касаются вопроса разложения в произведение неразложимых. Цель числа разлагаются в произведение простых чисел, а многочлены — в произведение, как говорят, непроводимых многочленов. Обе теоремы утверждают, что такое разложение единственно.

Строое доказательство основной теоремы алгебры дал в 1799 году Великой немецкой математик К. Ф. Гаусс (1777—1855); он же в 1801 году сформулировал и доказал основную теорему арифметики *).

Утверждение основной теоремы арифметики совершено ясно и было известно с древнейших времен, но именно Гаусс понял, насоклько важно утверждение о единственности разложения на простые множители. Оказывается, возможно такие числовые системы, в которых анализ оосновной теоремы арифметики перестает быть верным. Не останавливаясь на этом подробно, мы только приведем наиболее известный пример — системы чисел вида $a + b\sqrt{-5}$, где $(a; b)$ — пара чисел чисел (которые складывают и умножают по тем же правилам, что и компликенты). В этой системе, например, $21 = 3 \cdot 7 = (4 + \sqrt{-5})(4 - \sqrt{-5})$. Мы не станем обсуждать здесь, почему числа 3, 7, 4 + \sqrt{-5}, 4 - \sqrt{-5} являются простыми в этой числовой системе. Интересующейся читатель может найти ответ в замечательной книге Г. Радемахера и О. Теплица «Числа и Фигуры» — М.: «Физматгиз», 1962.

Однако не нужно думать, что в любых числовых системах вида $a + b\sqrt{d}$

*) Доказательство основной теоремы арифметики см., например, в «Кванте», 1987, № 4, c. 12; доказательство основной теоремы алгебры — в «Кванте», 1980, № 2, c. 17; 1982, № 4, c. 3.

38

(а, b — целые числа, d — фиксированное целое число) нет однозначного разложения на простые множители. Важный пример «хорошей» числовой системы — так называемые гауссовы числа, т. е. числа вида $a+b\sqrt{-1}$, где $a$ и $b$ — целые. Для них анализ основной теоремы арифметики имеет место.

Формулируя этот анализ, нужно учитывать наличие так называемых обратимых чисел. Число (гауссово или обикновенное) называется обратным, если существует другое (возможное, то же самое) число, такое, что произведение двух этих чисел равно 1. Среди целых чисел обратимы числа 1 и — 1, среди многочленов обратимыми являются многочлены «нулевой степени» — числа, отличные от нуля, среди гауссовых чисел — числа 1, — 1, $\sqrt{-1}$ и — $\sqrt{-1}$. В разложении $q=p_1\dots p_n$ на простые многочлены можно умножить, скажем, $p_1$ и $p_2$ на числа, произведение которых равно 1, и получится другое разложение. Это вынужддает нас не различать также разложения, получающей друг из друга умножением компонентей на обратные числа. При этом и $q$, и $p_1$, …, $p_n$ нужно считать не обратными. В формулировке основной теоремы арифметики мы избежали этих оговорок, предположив, что все числа больше 1; в формулировке основной теоремы алгебры — предположив, что старшие коэффициенты многочленов равны 1.

---

В то время, как основные теоремы алгебры и арифметики родственны, как мы видели, друг другу, основная теорема анализа отходит от них достаточно далеко. Это — входящая в школьный курс математики 10 класса теорема Ньютона—Лейбница.

Эта теорема заменяется тем, что она позволяет находить площадки кривойнейных функур. Она производит огромное печатание еще и потому, что связьает воедино две, казалось бы, совсем разные геометрические задачи: задачу проверения касательных (производные) и задачу нахождения площадей (интерральы). То, что эти задачи должны быть взаимно обратны, первым заменил учитель Ньютона английский математик Исаак Барруу. Но в виде формулы эта связь впервые была получена Ньютоном и, неависимо от него, Лейбницем.

Teorema Ньютона—Лейбница утверждает, в частности, что если непрерывная положительная функция $f$, заданная на том же отрезке, (или, как говорят, функция $F$ является непреобразной функции $f$), то площадь $S$ под ее графиком находится по формуле

$$S = \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \text{ (см. рис. 1)}.$$

Например, площадь «параболической подставки» (рис. 2) может быть найдена по этой формуле: функция $f(x) = x^2$ является произvodной функцией $F(x) = x^3/3$ и, значит, интересующая нас площадь равна

$$\int_0^1 x^2dx = \frac{1}{3} - \frac{0}{3} = \frac{1}{3}.$$

Эту площадь впервые вычислил Архимед, ничего не знаний, конечно, о формуле Ньютона—Лейбница. (Интересно, что Архимед решал эту задачу в разных контекстах по крайней мере три раза, не подозревая, что он решает одну и ту же задачу.)

Задача отыскания непреобразной для заданной функции оказалась важной аналитической задачей. Для рациональных функций она связана с основной теоремой алгебры: непреобразную дробно-рациональную функцию всегда можно выразить через элементарные функции (включая логарифм и арктгенс), но для этого нужно знать разложение значенателя на линейные и квадратные множители.

39

Задания

1. Нетрудно показать, что у правильной пятиконечной звезды сумма углов равна 180°. Доказите, что такая сумма углов будет у произвольной пятиконечной звезды.

2. Мне удалось, взяв по два раза цифры 1, 2, 3 и 4, написать восминаное число, у которого между единицами стоит одна цифра, между двойками — две, между тройками — три и между четверками — четыре цифры. Какое это число?

3. Расставьте числа от 1 до 8 в кругжах фигуры, изображенной на рисунке, так, чтобы числа в кругжах, соединенных отрезками, отличались не меньше, чем на два.

4. Мой настенные часы ведут себя очень страно. В первой половине каждой часа они спешат на 2 минуты, затем во второй его половине на две минуты отсталот. В чем причина такого поведения часов?

5. Точка, взята внутри равностороннего треугольника, соединена со всеми вершинами. Кроме того, из нее опущены перпендикуляры на все стороны треугольника. Показите, что сумма площадей красных треугольников (см. рисунок) равна сумме площадей синех треугольников.

Эти задания нам предложили ученик 9 класса шкалы № 8 г. Мозыря Алексадр Коршков, А. П. Савин, А. М. Домашенко, А. А. Панов, В. В. Произвольов.

40

Может ли белое быть черное черного?

В. В. МАЙЕР

Начнем с совсем простого наблюдения.

Положите рядом листки белой и черной бумаги и создайте в комнате полную темноту. Тогда ни одного листка вы не увидите, т. е. оба они будут одинаково черными.

Казалось бы, ни при*! каких условиях белая бумага не может быть чернее черной. И все же это не так. Пробуйте придумать и поставить опыт, в котором белое оказывается более черным, чем черное. Но прежде прочитайте следующее абзац.

Тело, которое при любой температуре полностью поглощает падоще на него излучение любой частицы, называется абсолюточным черным.*) Понятно, что это — идеализация, в природа абсолюточным черных тел нет. Тела, которые мы обещно называем черными (сажа, копоть, черные бархат и бумага и т. д.), на самом деле серые, т. е. они частно поглощают, а частно рассеивают падоощий на них свет. Следовательно, для решения поставленной задачи можно, например, из белой бумаги сделать тело, более близкое к абсолюточному черному, чем черная бумага. Теперь искомое решение почти очень удобно.

Оказывается, в полне хорошего модели абсолюточного черного тела может служить сферическая полость с небоющим ответием. Если диаметр ответия не превышает 1/10 диаметра полости, то (как показывает соответствующий расчет) вошедший в ответные свойства пучок сможет выйти из него обратно лишь после многократных рассеяний или отражений от разных точек стенки полости. Но при каждом «спорикосовении» пучка со стенкой энергия света частично поглощается, так что доля выходшего обратно из ответия излучения ничтожно мала. Поэтому можно полагать, что ответные полости практические полностью поглощает свет любой длины волны, как и абсолюточное черное тело.

Конкретный прибор для опыта можно сделать, например, так. Из картона склейте коробку размером примерно 100×100×100 мм с открывающей крышкой. Изнутри коробку оклеите белой бумаги, а снаряжи — покрытие черной тушью, гушью или, что еще лучше, оклеите черной бумаги от фотопакетов. В крышке проделяйте ответные диаметром не более 10 мм. Фотографию такого приборы вы видите на заставке.

Показывая опит, осветите крышку

41

коробки настолько лампои. Тогда ответские будет выглядеть более черным, чем черная крышка. Откройте крышку, и все увидят, что за ответием — белая бумата, которая в опыте действительное оказывается чернее черной!

Загадка
Рамануджана
(Начало см. на c. 14)

полон трогательной признаательности и любви к нему…

Возвращение и смерть

Заболев, Рамануджан начинает думать о возвращении на родину. Лишь к началу 1919 г. его здоровье улучшилось настолько, чтобы совершить далекую поездку по морю. Ему было готово место в Мадрасском университете — слова его достигала Индии. Рамануджан пишет ректору благодарственное письмо, извиняется за то, что последнее время больше не давала возможность работать достоинно интенсивно. Но он так и не смог приступить к работе в университете. Менее года ему удалось проверти на родине. После трех месяцев в Мадрас Рамануджан перебрался в Кумбаконам. В января 1920 г. он посылал последнее письмо Харди, где сообщает о работе над новым классом тэтатфункией. Ни врачи, ни родные не могут уговорить смертельно больного ученого перевать работу. 26 апреля 1920 г. Рамануджан умер. Ему еще не исполнилось 33 года.

Память

Весь о смерти Рамануджана потрясала его друзей и в Индии, и в Англии. Они чувствовали свой долг разобрать в том удивительном явлении, каким был Рамануджан. Харди пишет:

«Возможно, что великие дни формул окончились и Рамануджану следовал бы родиться на 100 лет раньше; но он был величайшим создаателем формул своего времени».

Друзья и коллеги старались оценить место Рамануджана в современной математике. Они не сомневались в его удивительных способностях,

Для того чтобы просто пронаблюдать явление, можно поступить еще проще (но менее интересно). Возьмите белую фарфоровуюашку и закройте ее бумажной черной крышкой с небольшим ответием — эффект будет практическим таким же.

фантастической красоте формул, но все сходились на том, что сам выбор сложетов, которые настоящую держался Рамануджан, не позволяет ему занять достойное место в истории математики.

Прошло более полувека, и сегодня мы отчетливо видим то, что не могли предвидеть Харди и его современники. Геней Рамануджана оказался созвучен не только прошлому, но и будущеему математики. Арифметические формулы Рамануджанаередко оказались ключевыми на новых этанах алгебраической теории чисел, и можно было только удивлять, как он смог увидеть их, не зная того, без чего их увидеть нельзя. А потом пришло возродление интереса к конкретным явным формулам как внутри математики, так и в сфере ее приложений. Современная математическая и теоретическая физика обращается порой к весмам абстрактным разделам математики, причем играют роль очень изысканные явные формулы. Вот два недавних примера, связанные с Рамануджаном.

Р. Бэкстер, прославившийся построением точно решаемых модели статистической механики, при использовании модели «жесткого гекагона» неожиданно обнаружил, что постояно имеет дело с тождествами Роджерса—Рамануджана (вставка 4 на c. 19) и Рамануджана.

Нобелевский луреат С. Вайнберг недавно вспомнил, как, занимаясь в начале 70-х годов очень популярной сейчас теории струн, он столкнулся с задачей об оценке функций разбиения $p(n)$ для больших $n$. Выяснили, что нужные формулы получили Харди и Рамануджан в 1918 г. (вставка 5 на c. 19).

Красота формул Рамануджана даровала им способность возродиться при самых необучных обстоятельствах.

44

характерно, что последовательность команд, извлекаемых из программы, совершенно однозначно представляется видом программы и ее входными данных. Как говорят, поведение исполнитель императивной программы полностью детermинировано.

В декларативной программе действия не предписываются командами, а находятся самим исполнителем, побуждаемый к активности наличием недостаточной цели. При этом также имеются три главных способа нахождения выполняемых действия, которые по своему назначению аналогичны следованию, выбору и повторению. Это соответствен ПОДСТАНОВКА, тоже ВЫБОР и РЕКУРСИЯ. Суть подстановки хорошего видна в вышеприведенном примере «декларативного» решения квадратного уравнения. Возможность подставить на место неокоторого выражения (в том числе и переменной) конкретное значение дает возможность сделать следующий шаг в вычислениях.

Особенноую декларативных программ является то, что выбор действия может, как и в исправных языках, однозначно определяться неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но кроме этого быть и произвольным. Декларативные программы не предписываются неокторым условием, но между собой не предусмотрено предыдущей задачи «мелких» команды. Такая влажность команды не противоречит основному принципу структуры.

В структуры программы следует по порядку выполнения команды всегда является следующей по порядку расположения в тексте программы. Естественно, что при этом допускается так называемые составные команды, однократное выполнение которых совпадается к выбору или повторению содержащихся внутри них более «мелких» команды. Такая влажность команды не противоречит основному принципу структуры.

В структуру программы каждая отдельная команда программы может иметь имя, называемое меткой. Меткой может быть число (как, например, номер строки программы в языке Бейсик) или любое слово. При наличии меток следующей по порядку исполнения команда может быть любая (а не только следующая в тексте программы) команда. Для этого достаточно приписать к текущей команде управляющего команду перехода по метке (на пример, на М), указав метку М той «удаленной» команды, которая хотят сделать следующей по выполнению. Такое условение операции следования позволяет записывать очень «хитры» про-

45

граммы, которые, однако, зачастую становятся трудно анализировать и понимать. Вот почему ограничение программырования структурными программы сейчас все больше считается хорошо стилем грамотного и систематического составления программы.

В качестве примера неструктурированной программы приведем алгоритм вывления одной фальшивой, т. е. более или менее тяжелой, из трех монет с массами $m_1, m_2$ и $m_3$ с помощью двух взвешивания. Процедура взвешивания монет с массами $p$ и $q$ выражена в виде команды выбора с третья исходами: $p < q, p > q$ и $p = q$. Смара программа выражена на смеси школьного алгоритмического языка и обычно для языков программырования способа записи меток и команд перехода по метке (рис. 1). Условное изображение блок-схемы программы (рис. 2) наглядно показывает строения программы от «паралельно-последовательных» связей между простыми командами в структурных программах.

Задание ие. Постройте структурную версию алгоритма взвешивания, например, на школьном алгоритмическом языке.

В реализных языках программырования свойства декларативности и императивности, структурности и неструктурности встречаться обычно в соответствии. Многие языки, например Паскаль, допускают команды перехода по метке и в то же время содержат конструкции составных команд выбора и повторения, поддерживающие структуроное программирование.

Почти все императивные языки допускают операцию подстановки, с помощью которого реализуется команда вызова вспомогательных алгоритмов, называемых в языках программирования процедурами или подпрограммами. При этом вызовы подпрограмм содержат параметры. При выполненении вызова проискодит двойная подстановка: сначала параметры подставляются в текст подпрограммы, после чего этот текст подставляется в главную программу на место вызова. Некоторые языки допускают недетерминированный выбор направления вычисления, в том числе и паралельные вычисления по отдельным ветвям алгоритма с использованием нескольких процессов вычислительной системы.

Большая часть современных императивных языков обеспечивает повторное использование конструкций программы, заданных ресурсивными соотношениями. В свою очередь, для многих ресурсивных конструкций декларативных языков существует способы организации их вычисления с использованием команды повторения.

47

кретий ЭВМ, точности в описании синтаксиса и семантики языка. Алгол стал родоначальником общирно-семейства языков, из которых могут быть названы советский Альфа-язик, норвежский Симуля, международный язык Алгол-68, швейцарский Паскаль, французский Ада.

В то же время, по мере расширения области применения ЭВМ появилось много задач, как тогда говорили, невысилительного характера, для которых серверную трудность представила исходная проблема строого формулирования задачи. Язык математического анализа и алгебраических формул оказался для этих задач недостаточен. Особенно таких задач был их логической характер (типа задач «волк—коза—капуста», «взвешивание», «быки и коровы» и т. д.), а также необходимость работы со сложно организованной информацией. Тем не менее и здесь выручila математика, однако не столько ее прикладные направления, сколько глубоко теоретические разделы, связанные с обоснованием самой математики: математическая логика, теория рекурсивных функций и теория нормальных алгоритмов, разработанная в 40-е годы известным советским математиком Андреем Андреевичем Марковым.

Первым декларативным языком был язык ЛИСП (от английского LIST Processing), разработанный в США в начале 60-х годов. Он основывает на теории рекурсивных функций, обобщенной на информационные структуры, имеющие вид перархин списков, т. е. последовательностей членов, каждый из которых мог иметь собственную структуру. Примером списков структуры может служить контингент учащихся шкoles: школьный коллектив делится на группы классов от 1-го до 10-го, каждая группа — это классы А, В, В и т. д., каждый класс — это список звеньев (там где они есть), каждое звено — это группа учащихся, упорядоченная по алфавиту. Язык ЛИСП широко применяется до сих пор.

Некоторые свойства декларативности были присущими императивному языку СНОВОЛ, разработанному тоже в начале 60-х г. в США для обработки текстовой информации. Его важным свойством была операция по образцу, позволяющая «одним ударом» выделять в тексте достаточно сложные сочетания слов и знаков.

Свойства ЛИСП и СНОВОЛ были обединины в разработанном в конце 60-х годов в СССР декларативном языке РЕФАЛ (от РЕкурсивные Функциональные АЛгоритмы).

Заключая сравнение декларативных и императивных языков, мы видим, что свойство декларативности обладает формулированием задачи, поддерживает решение на ЭВМ, а свойство императивности приближает запись алгоритма к тому, как он будет фактически использовать на ЭВМ. Попытка обединить эти свойства в одном языке привела недавно к появлению языков широко спектра, позволяющих путем формальных преобразования программы менять соответствие ее декларативных и императивных свойства. К этому семейству языков относится французский язык ПРОЛОГ (от французского PROgrammation LOGique), использемый в проектах разработки ЭВМ 5-го поколения и их программиного обеспечения.

---

Эта заметка о языках программирования представляет собой об открытии Заочной шкoles конных программств. В ее двухлетнем курсе учащся познакомятся с целью семейством современных языков программирования: от учебных языков программирования ЛЮГО (США, конец 60-х г.) и РАПИРА (ССР, конец 70-х г.), до таких произвольных языков, как близкий к машinem языке СИ (США, начало 70-х г.) и уже упомянутый декларативный язык ПРОЛОГ (Франция, конец 70-х годов).

48

Об открытии
Всегоозной заочной
школы программирования

Институт программных систем АН СССР открывает Всегоозную заочную школьную программирование для школьников и учащихся ПТУ, интерсуциализация информационной, вычислительными машинами и программированием. Цель Школьы расскаазать о проблемах и перспективах информационных и обосновных приемах программирования и сферах его применения, показать способы составления программ на нескольких языках программирования. Вообще говоря, предварительные знания по информанике не предполагается, и все же в тех случаях, когда авторы уроков найти полезным сравнение того или иного программного средства с алгоритмическим языком, на базе которого построен школьный курс «Основы информаники и вычислительной техники», 9—10 кл., в уроках Школьы не будет перечатьаться содержание школьного учебника. Первые четые урока Школьы будут опубликованы в «Кванте».

Каждай урок будет включать задачи из нескольких задач, решения которых следует присыпать не позже, чем через месяц после получения задания. Учебный план Школьы расчитан на два года.

Урок Заочной школьы расчитан на учащся, не располагающих вычислительной техники. Тем не менее тому, кто имеет возможность проверить правильность своего решения на доступной ему ЭВМ, рекомендуется не пренебрегать такой возможность.

Желающие приять участие в работе Всегоозной заочной школьи программирования должны do получения 11 номера журнала прислать свои заявления по такой форме:

Язык Лого

А. А. ДУВАНОВ, Ю. А. ПЕРВИН

Урок 1: Путешествия Черепахи (простейшие команды Лого)

— Может ли вы управлять телевизором?
— Конечно! Надо включить его в сеть, выбрать нужный канал, настроить изображение и звук.
Так же легко, наверное, вы можете управлять волосипедом, газовой плитой, телефоном и другими привычными исполнительами.
Мы живем в мире исполнитель. Всевозможные машины и механизмы,

приборы, простые и сложные. В роли исполнительия часто выступаем мы сами. Исполнительия являются и ограничциями, такие, как почта, почечная, магазин. В этом мире исполнительный выделяется один особый их вид — электронно-вычислительные машины. Их особая роль — помочь управлять другими исполнительами, самыми разными по назначению и устройству. ЭВМ при этом выступает в роли поредника. Человек с пульта машины задает программу действий исполнителью на специальном языке человека-машинного общения — языке программирования. Задача машины — преобразовать фразы этого языка в управляющие сигналы и передать их исполнителью.

49

Каков смысл в этом посредничсте? Во-первых, язык программирования гораздо более близок к естественному языку, нежели электронные, магнитные или механические воздействия на исполнитель. Во-вторых, машина позволяет запоминать программу и «вспоминать» ее всякий раз, когда это потребуется. В-третьих, пользовая язык программирования, можно задавать не только простые последовательности команд, но и более сложные действия: некоторые команды исполнитель может выполнять лишь при соблюдении определенных условий — условные команды; выполнение других заключается в многократном повторении группы действия — команды цикла. Наочец, ЭВМ обладает огромным быстроестием — до миллиарда операций в секунду и больше; она не знает установленные и имеет хотя и «железный», но полное способный характер: ей не знакомы обидивость, заносивость, разражительность и другие чисто человека неодестатки.

Первые четые урока Заочный школа программирования познакомят вас с программрованением на языке Лого. Этот язык предназначен для управления разными простыми исполнителями. Мы удалим внимание одному из них, по традиции называемому Черепахой. Этот исполнитель живет на плоскости. Он может пользовать по ней в разных направлениях, оставляя за собой след. Можно себе представить этот исполнитель, реализно выполненным из металла и пластика.

Одноко зачастую такой исполнитель былает виден только на экране дисплея. Надо отметить, что это довольно типичная ситuation. Многие полезные и необходимые исполнители существуют только в виде модели, программированных на ЭВМ. За их поведением можно наблюдать на экране. может показаться, что они бесполезны, поскольку неосязаемые, словно признаки. Опровергунуть это мнение можно просто перечисленем несколько активно использовемых исполнителей, существующих только «внутри» машины.

— Математик. Способен быстро и точно делать огромные по объему арифметические и алгебраические вычисления.

— Редактор текстов. Позволяет хранить, преобразовать тексты и выдавать их на печать в нужном формате.

— Редактор рисунков. Удобное средство для создания на экране картинок, в том числе мультитипикций.

— Выблютекарь. Хранить на магнитной ленте или магнитном диске готовые рисунки, результаты счета, программы; ведет архив.

Исполнитель Черепаха и язык для его управления — Лого — был придуманы в 1969 году известным американским ученым С. Пайпертом. Лого быстро завоевал популярность во всем мире как язык для начального знакомства с программированием.

Начинать изучение программирования проще всего на своем родном языке. Позмоту у Лого так много версией: в американских школах используется Лого, все команды которого записьюются по англійски; болгарские предложатели учат свои действия на болгарязьчной версии Лого. В наших уроках, естественно, исполнитель поннимает только русские слова. Об этом должен читать читатель, который захочет выполнить приложение здесь программы на доступной ему ЭВМ, если в ее программе обеспечение включен англоязычный Лого.

Внимание! Включаем комьютер. В центре экрана появляется изображение исполнителя в виде треугольника-стрелки, направленного носиком кверху. Это и есть Черепаха. Рядом с экраном — клавиатура. Она также как на пышцей машине, только клавишей на ней несколько большее.

Вы готовы? Исполнитель ждет. Вот первые две команды на языке Лого: ВПЕРЕД n, НАЗАД n. Можно писать сокращенное В вместе ВПЕРЕД и Н вместе НАЗАД, машина появится. Число n — параметр команды — задает количество шагов исполнителя. У Черепахи короткие лапы: 10 ее шагов — условия единиц длины — примерно составляют 1 см.

Итак, попробуем управлять:

50

Получилось! Черепаха сначала переед, а затем вернулась в исходное положение. На экране остались следы ее протулки.

Вот еще две команды Лого: они управляют поворотами: ВПРАВО α, ВЛЕВО α. Эти команды (их допустимые сокращения — П и Л) заставляют исполнитель поворачивать соответствующее вправо или влево на α градусов.

Давайте заставим Черепаху пруляться по квадратной дорогке:

Черепаха очень послушна! Наберем на клавиатуре еще одну команду НАЗАД100. Черепаха не тронулась с места, а на экране появилось сообщение: ЧТО ТАКОЕ НАЗАД100?

Дело в том, что в языке Лого, так же, как и в русском языке, слова разделяются пробелами. Машина пыталась найти в своей памяти команду НАЗАД100, но, конечно, ее там нет.

Давайте исправимся! Набираем на клавиатуре: НАЗАД 100. Теперь на экране получился флажок (рис. 1).

Задачка 1*. Составьте программу, по которой Черепаха нарисует кораблик (рис. 2).

Команда СВРОС стирает с экрана черпашьи следы и устанавливает исполнитель в центр экрана носиком кверху. Включение компьютера экравального выполнения этой команды. Нарисуем равносторонний треугольник. Каждый его угол равен 60 градусам. Так и хочет написать программу:

СВРОС В 50 П 60
В 50 П 60
В 50 П 60

Как вы думаете, что получится на экране? Треугольник? Вот вы и ошиблись, Черепаха нарисует вот такую фигуру (рис. 3).

Вы увидели ошибку? Что бы внутриние углы треугольника имели по 60 градусов, надо каждый раз развоирать Черепаху на 120. Вот как выглядит правильная программа:

СВРОС В 50 П 120
В 50 П 120
В 50 П 120

Задачка 2*. Описите кораблик из задачки 1 парусом (рис. 4).

Следующие две команды позволяют перемещать исполнитель по экрану, не оставляя следа (поднимать рисункой инструмент — «карандаш») и снова включить след по желанию (опускать карандаш): НЕРИСУЙ (сохранение НР), РИСУЙ (сохранение Р). Отметим, что операция опускания карандаша является составной частью выполнения команды СВРОС.

Правила Лого не всегда совпадает с правилами родного языка. Если с точки зрения русского языка правильно написать НЕ РИСУЙ, то, получив такую команду, ЭВМ снова удивится: ЧТО ТАКОЕ НЕ?

Задачка 3*. Какое слово написет на экране Черепаха, выполняя следующую программу:

СВРОС
В 40 Л 45 Н 20 П 90 В 20 Л 45 Н 40
НР П 90 В 20 Л 90 Р
В 40 Н 40 П 45 В 50 Л 40 Н 40
НР П 90 В 20 Л 90 Р
В 40 П 90 В 30 П 90 В 20 П 90 В 30

Интересно, что бы получилось у Черепахи, если бы мы продолжили неверную программу рисования треугольника (см. рис. 1) и написали:

СВРОС В 50 П 60
В 50 П 60
В 50 П 60
В 50 П 60

Ясно, что в конце пути Черепаха смотрит вверх, ведь она 6 раз поворачалась на 60 градусов. Более того, она оказывается в исходной точке.

51

Черепаха нарисовала правильный шестиугольник! Обратите внимание, что рисунок получен шестикратным повторением двух команд. Лого обладает средством для более лаконичной записи таких повторений — командой цикла. Команд имеет вид: ПОВТОРИ nl.

Число n задает количество повторений. l — это список команд (тело цикла), выделяемый квадратными скобками.

Вот как выглядит программа рисования правильного шестиугольника с использованием команды цикла:

СБРОС ПОВТОРИ 6 [В 50 П 60]
Задача 4*. Составьте программу, рисуную ел (рис. 5).

Мы заставили использовать рисовать шестиугольник. Попробуем проектировать: ШЕСТИУГОЛЬНИК. Вы правы! ЭВМ снова напишет знакомое:

ЧТО ТАКОЕ ШЕСТИУГОЛЬНИК?
В обшем-то, все правильно. Ведь мы не сообщили ей, что ранее записанная совокупность команд называется ШЕСТИУГОЛЬНИК.

Научить использовать понятие новых незнакомые слова и воспринять их как команды можно с помощью еще одной команды языка Лого. Команд, начинающаяся словом ЭТО, заставляет машину запоминать любую программу — последовательность команды (или, в частности, одну команду), завершающийся словом КОНЕЦ. Именно запоминать, а не выполнять! Вслед за словом ЭТО надо написать имя, под которым машина будет знать запоминаемую программу. Так, запись

ЭТО ШЕСТИУГОЛЬНИК
ПОВТОРИ 6 [В 50 П 60] (1)
КОНЕЦ
есты команда запоминания программы (зесь состояние из одной команды)

ПОВТОРИ 6 [В 50 П 60]
Выполняя команду ЭТО, машина не посылает никаких указаний исполнителю и, следовательно, Черепаха не движется с места. Действительно, ЭВМ в это время занята запоминанием программы, имеющей имя ШЕСТИУГОЛЬНИК. Под таким имеем эту программу можно теперь вызывать для выполнения. Для этого достаточно набрать на клавиатуре слово
ШЕСТИУГОЛЬНИК
и Черепаха выполнит уже знакомый рисуок. Таким образом машина «научилась» новой команде — ШЕСТИУГОЛЬНИК.

Программа, хранящаяся в памяти машины и имеющая имя, по которым ее можно вызвать для выполнения, называется проедурой. Запись (1), включаяшая строки ЭТО ШЕСТИУГОЛЬНИК (заготовок описания проедуры) и КОНЕЦ (окончание описания), есть описание проедуры, а собственно команда запоминаемой программы (в нашем примере строка ПОВТОРИ 6 [В 50 П 60] — тело проедуры).

Задача 5*. Составьте проедуру, рисуную дом (рис. 6).

Попробуем теперь нарисовать точно будь последнее — например,оты для печел (рис. 7).

Разобем рисуок на три слоя. Проедура СОТЫ будет иметь вид:

ЭТО СОТЫ
ПОВТОРИ 3 [СЛОЙ]
КОНЕЦ

Каждай слой (рис. 8) будет начиная рисовать в точке 1 и заканчивать в точке 4. Это гарантирует правильную стыковку слоев друг с другом при выполнении цикла в проедуре СОТЫ.

ЭТО СЛОЙ
РЯД
ПОДВОДВ3
РЯД
ПОДВОДВ4
КОНЕЦ

В описании проедуры СЛОЙ использованы вызывы трех, еще не запрограммированных проедур РЯД, ПОДВОДВ3, ПОДВОДВ4. Вызывать проедуру СЛОЙ нельзя, пока они

52

не описаны. Опишем процессу РЯД:
ЭТО РЯД
ПОВТОРИ 8 [ШЕСТИУГОЛЬНИК ПОДВОД] КОНЕЦ

Хотя, по-видимому, понятно, что именно поручено делать процессу РЯД, в ее описании есть вызов еще одной, пока не описанной процессуры ПОДВОД. Процедура ПОДВОД необходима для установки Черпахи к месту, с которой она должна очень очередной шестиугольник в ходе рисования ряда:

ЭТО ПОДВОД
НР Л 60 Н 50
Л 60 Н 50
П 120 Р
КОНЕЦ

Подвод в точку 3 состоит из возврата в точку 1 и перемещения в точку 3:

ЭТО ПОДВОДЗ
НР ВОЗВРАТ
В 50 Л 60
В 50 П 60 Р
КОНЕЦ

Возврат делается из точки А в точку 1 девятикратным вызовом процессуры ШАГНАЗАД:

ЭТО ВОЗВРАТ
ПОВТОРИ 9 [ШАГНАЗАД]
КОНЕЦ

Опишем процессу ШАГНАЗАД:

ЭТО ШАГНАЗАД
Л 120 В 50
П 60 В 50
П 60
КОНЕЦ

Осталось описать процессуры ПОДВОД4:

ЭТО ПОДВОД4
ВОЗВРАТ
В 50 П 60
В 50 Л 60
КОНЕЦ

Вот и все! Если теперь очистить экран: СБРОС, и выдать команду СОТЫ, то можно будет увидеть, как исполнитель, тщательно следуя нашим предписаниям нарисует шестиугольные ячейки.

Задачка 6*. Составьте программу для рисования а) улицы из 10 домов, таких как в задачке 5; 6) поселка из пяты улиц.

Задачка 7. Составьте программу, которая рисунетLOBийк ПОДВОД] КОНЕЦ

На примере рисования сот показан метод проектирования сложных программы, называемый в информанике методом «сверху вниз». Этот метод похож на рисование дерева, растущего ветвями вниз (рис. 9).

Планируя процессу СОТЫ, записываем обращение к процессре СЛОЙ. Тепер начинаем проектировать процессру СЛОЙ. В ней не обойтись без процедур РЯД, ПОДВОДЗ, ПОДВОД4 и т. д. Иными словами, мы начинаем с общей схемы задачи, вводя команды вызова несущеннуюших процедур. Каждый такой новую команду описывается при помощи процедуры, в которой, в свою очередь, могут появиться вызовы новых, не описанных процедур и т. д.

Вершины дерева, у которых нет растущих вниз ветвей, называются листями. Чтобы программа могла работать, все имена на листях должны быть правильными командами языка Лого. В этом смысле дерево на рисунке 9 не является полным.

Задачка 8. Дополнительное рисование СОТЫ так, чтобы на листах были записаны команды языка Лого.

Внимание! Напоминаем, что проверяться будет только задачи 1—6, помещенные звездочек.

53

Конденсаторы с «избыточным» зарядом пластин

Кандидат физико-математических наук
В. В. МОЖАЕВ

Многие характеристики ошибки абитурientов при решении электростатических задач обусловлены формальным пониманием связи между потенциальами и зарядами проводников. А связи эти весы разнообразны. Например, между проводниками может существовать разность потенциальов при отсутствии зарядов на них или, наоборот, при нулевой разности потенциаль проводники могут быть заряжены. Возможен также промежуткий вариант — на проводниках находится заряды и между ними существует разность потенциальов.

К последнему случайю относится широко распространения сигания, когда два уедининых проводника (другие проводники отсутствуют) заряжены

ны одинаковыми по величины, но противоположными по знаку зарядами. В такой системе разность потенциальов $U$, возникшая между проводниками, пропорциональная заряду $q$ на них:

$$U \sim q, \text{ или } q = CU,$$

(*)

где $C$ — коэффициент пропорциональности, называемый электроемкостью двух проводников. Как известно, $C$ зависит только от размеров и формы проводников, их взаимного расположения и дилектрической проницаемости okружаюшей среды.

Еще раз подчеркием, что линейная связь между разностью потенциальов и зарядом на проводниках не является универсальной. Она сохраняется только тогда, когда не сказывается влияние других проводников и заряды на двух данных проводниках равны по величины и противоположны по знаку. Другими словами, когда силы линей электроэлектро поля, выйда с одного проводника, замыкаются на другом. Типичным примером такой системы является конденсатор. Он представляется собой два проводника,

54

Рис. 1.

разделенные слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников (обкладок конденсатора).

Тепер разместим несколько конкретиных задач. Все они предлагались в различных времен на вступительных экзаменах в Московский физик-технический институт.

Задача 1. Две металлические незаряженные пластины 2 и 3 расположены внутри плоского заряженного конденсатора (рис. 1, а). В конденсatore существует однородное электрическое поле с напряженной $\vec{E}_0$. Чему равна разность потенциалов между пластинами 2 и 3, если расстояние между ними равно $d_2$?

В этой задаче реализован первый частиный случай, когда проводники не заряжены, а разность потенциалов между ними существует.

Пластины 2 и 3 формально образуют плоский конденсатор, но они не являются изолированными — рядом с ними находится другие пластины, да еще заряженные. Поэтому соответствие, если под коэффициентом $C$ понимается между пластинами 2 и 3: заряды на этих пластинах отсутствуют, а разность потенциалов между ними не равна нулю.

Найдем эту разность потенциалов, причем двумя способами. Сначала не будем прибегать к понятию емкости, а использовать только определение разности потенциалов. По определению разность потенциалов между пластинами 2 и 3 численно равна работе по перемещению единичного полюжного заряда от пластины 2 к пластине 3. Во внешнем поле $\vec{E}_0$ на пластинах 2 и 3 произойдет перераспределение зарядов: левые поверхности этих пластин зарядается отрицательно, а правые положительно (как это и показано на рисунке 1, а). Очевидно, что поле между пластинами остается равным $\vec{E}_0$, а поверхностная плотность зарядов на них будет равна $\sigma = \varepsilon_0 E_0$ (попробуйте самостояльно показать это, используя принцип суперпозициии электрических полей). Тогда разность потенциалов между пластинами

$$\Delta \varphi_{23} = E_0 d_2,$$

где $d_2$ — расстояние между внутренними поверхностями пластин.

А теперь найти эту разность потенциалов, используя понятие емкости. Наша система четырех пластин будет эквивалентна системе трех последовательно соединенных плоских конденсаторов, приведенной на рисунке 1, 6. Действительно, каждую из пластин 2 и 3 можно как бы расщепить на две части, сохраняя на каждой из них свой заряд, а поскольку они (две части) находятся при одинаковом потенциале, то их можно закоротить. Общая емкость всей системы

$$C_{14} = \frac{\varepsilon_0 S}{d_1 + d_2 + d_3},$$

где $S$ — площадь каждой пластины, а общая разность потенциалов

$$U_{14} = E_0 (d_1 + d_2 + d_3).$$

Тогда заряд

$$q = C_{14} U_{14} = E_0 \varepsilon_0 S.$$

При последовательном соединении заряды на конденсатрах равны, поэтому разность потенциалов на конденсаторе 2—3 будет равна

$$U_{23} = \frac{q}{C_{23}} = \frac{E_0 \varepsilon_0 S}{\varepsilon_0 S/d_2} = E_0 d_2.$$

Задача 2. Закоротим проводником пластины 2 и 3, рассмотрение в предыдущей задаче, и найдем появшение на них заряды.

Очевидно, что если пластины 2 и 3 соединить на коротко, то разность потенциалов между ними станет равной нулю, а на пластинах появятся равные по величины, но противоположные по значку заряды (рис. 2, а). Таким образом, в этой задаче рассматривается второй частиный случай, когда заряды на проводника есть, а разности потенциалов нет.

55

Найдем заряд на пластинах 2 и 3 теми же двумя способами. Поскольку разность потенциаль между пластинами равна нулю, то и напряжение электрического поля в промежутке 2—3 также равна нулю. А это поле является результатирующим полем, создаваемым конденсатором и зарядами на пластинах 2 и 3. Пусть на пластине 2 находится заряд — $q$, на пластине 3 — заряд + $q$, а поле конденсатора равно $\vec{E}_0$, тогда результатирующее поле между пластинами 2 и 3 будет равно $E_0 - q / (\varepsilon_0 S) = 0$. Из этого условия находится

$$q = \varepsilon_0 SE_0.$$

Эквивалентная схема для этого случая показана на рис. 2, б. Это система двух последовательных соединенных конденсаторов. Заряд на пластине 2 найдем из рассмотрения конденсатора, образованного пластинами 1 и 2:

$$q = C_{12} U_{12} = \frac{\varepsilon_0 S}{d_1} E_0 d_1 = \varepsilon_0 SE_0.$$

Совершенно аналогично можно получить заряд и на пластине 3.

Задание 3. На пластине 1 находится заряд $q$, пластина 2, находящаяся от пластины 1 на расстоянии $d$, не заряжена. Чему равна разность потенциаль между этим пластинами?

Как видно, в этом случае на проводиках находится произвольные заряды, а между проводиками существует разность потенциальов.

Опять будем решать задачу двумя способами. Под действием поля, создаваемого зарядами пластины 1, на левой стороне пластины 2 будет индуцирован отрицательный заряд, а на пра-

56

Тогда разность потенциалов между точками $A$ и $B$

$$U_{AB} = \frac{q}{C_{06}} = \frac{q(C + C_0)}{C_0(2C + C_0)},$$

а искомая разность потенциалов между пластинами 1 и 2 (в эквивалентной схеме это направление между пластинами $1'$ и $2'$) будет равно

$$U_{12} = \frac{q}{2C + C_0} \approx \frac{q}{2C} = \frac{qd}{2\varepsilon_0S}$$

(здесь мы пренебрегли величины емкости $C_0$ по сравнению с емкостью $C$).

Задание 4. В схеме, изображенной на рисунке 4 (величины $C$, $R$, $\varepsilon$ известны), при разомкнутом ключе $K$ заряд левой обкладки плоского конденсатора равен нулю. Определите начальный заряд правой пластины конденсатора, если после замыкания ключа на резисторе $R$ выделяется такое же количество теплоты, как и в случае, когда конденсатор вначале не заряжен.

В отличие от предыдущего задачи здесь между пластинами дополнительно поддерживается разность потенциалов, равная $\varepsilon$.

Обозначим начальный заряд на правой пластине конденсатора через $q_0$. Будем полагать, что он равномерно распределен по поверхностям (как внутренней, так и внешней) пластины. На лице заряда $q_0$ приводит к тому, что в пространстве между обкладками существует однородное электрическое поле с направлением разность потенциалов

$$E_0 = \frac{q_0}{2\varepsilon_0S},$$

где $S$ — площадь пластины, а между пластинами имеет разность потенциалов

$$U_0 = E_0d = \frac{q_0d}{2\varepsilon_0S},$$

где $d$ — расстояние между пластинами.

Пусть $U_0 < \varepsilon$, тогда после замыкания ключа конденсатор начинает подзаряжаться. На его правой пластине заряд будет увеличивать, а на левой пластине появится заряд противопо-
ложного знака, равный по величины дополнительному заряду на правой пластине (но не полному заряду на ней!). При этом источник будет совершать положительное работу, заряжающая пластины конденсатора. Подзарядка пластин будет идти до тех пор, пока разность потенциалов на конденсатор $U$ не станет равной ЭДС источника $\varepsilon$. Пусть за время зарядки через источник протек заряд $q$, тогда условия равенства напряжения на конденсатор ЭДС батарей будут иметь вид

$$\frac{q_0d}{2\varepsilon_0S} + \frac{q}{C} = \varepsilon.$$

Учитывая, что $C = \varepsilon_0S/d$, получим

$$q = \varepsilon C + \frac{q_0}{2}.$$

Найдем теперь то количество теплоты, которое выделится на резисторе $R$ за время зарядки. Работа, совершенная источником, частично пошла на увеличение энергии электрического поля в пространстве между пластинами конденсатора, а частично на нагревание резистора:

$$\varepsilon q = \Delta W + Q.$$

Энергию электрического поля будем вычислять через объемную плотность энергии электрического поля, равную $\varepsilon_0E^2/2$. При разомкнутом ключе $K$ эта энергия равна

$$W_0 = \frac{q_0^2}{8\varepsilon_0S^2} Sd = \frac{q_0^2d}{8\varepsilon_0S} = \frac{q_0^2}{8C}.$$

После зарядки конденсатора энергия электрического поля между пластинами увеличится и станет равной

$$W = \frac{\varepsilon_0}{2} \left( \frac{q_0}{2\varepsilon_0S} + \frac{q}{Cd} \right)^2 Sd = \frac{q_0^2}{8C} + \frac{q_0q}{2C} + \frac{q^2}{2C}.$$

Увеличение энергии электрического поля

$$\Delta W = W - W_0 = \frac{q(q_0 + q)}{2C}.$$

Тогда полный энергетический баланс можно записать в виде

$$\varepsilon q = \Delta W + Q = \frac{q(q_0 + q)}{2C} + Q,$$

откуда найдем количество теплоты, выделившее на резисторе:

$$Q = \varepsilon q - \frac{q(q_0 + q)}{2C}.$$

Подставляя в это уравнение выражение для заряд $q$ (из условия равенства разности потенциалов между