Квант 1987, №11 · Страницы

ISSN 0130—2221
Квант
Научно-популярный
физико-математический
журнал
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1987

Рис. 1a.
Рис. 2a
Рис. 16.
Рис. 1в.
Рис. 26
Рис. 2в

1

В номере:

Всенародный праздник

К 70-летию Великого Октября
В. В. Гнеденko. О математике Страны Советов
Достинжения советских физиков

---

С. Р. Филонович. Великая книга Ньютона
Matematические работы школьников:
Я. Ю. Карпов. Оптимальная кодировка почтового индекса
А. Э. Лобковский. Matematические узоры на плоскости

Задачник «Кванта»
Задачи M1071 — M1075, Ф1083 — Ф1087
Решения задачи M1051 — M1055, Ф1063 — Ф1066

«Квант» для младших школьников
Задачи
А. И. Орлов. «Все», «некоторые» и отрицание

Калейдоскоп «Кванта»

Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10:
Закон всемирного тяготения
Расширение газа в пустоту
Электромагнитная индукция и принципи относительной

Искусство программирования
А. А. Дуванов, Ю. А. Первин. Язык Лого. Урок 2: Черепашья академия

Практикум абитуриента
А. А. Болибрух, В. М. Уроев, М. И. Шабунин. Решение систем тригонометрических уравнений

Олимпiadы
В. В. Вавилов, С. В. Резниченко, А. М. Слинько.
XXI Весоизоляция олимпiadа по математике
А. Р. Зильберман. XXI Весоизоляция олимпiadа по физике
Призеры XXI Весоизоляной олимпiadы школьников

Информация
I Весоизоляная олимпiad школьников
по информаике (30)
Вниманию наших читателей (64)

Ответы, указания, решения
Шахматная страница
Геометрические темы (3-я с. обложки)

Наша Бьюшека

Картиники на первой и второй страницах обложки наиссо-
ванны компьютером по программе школьника из Черного-
ловки А. Лобковского. Подробности — на с. 21.

© Издательство «Нука». Главная редакция физико-mатематической литературы, «Квант», 1987

2

Всенародный праздник

«Комсомольцы! Юноши и девушки!
Овладевайте наследем великого Ленина!
Учитесь работать высокофективно, творческим, активным!»
Из признавов ЦК КПСС к 70-летию Великой Октябрьской социалистической революции

Прошло 70 лет с того дня, когда все власти в нашей стране перешла в руки народа. трудно представить себе более тяжельые условия, чем те, в которых начиналось строительство нового общества. Разруша, голод, неграмотность, враждебное окружение… Но Ленин и партняя большевиков сумели сплотить народ на герочесую борьбу. Советский Союз, первая в мире страна социальizaма, стал могучея индустриальной державой.

Вместе со всей страной развивалась и крепла наша наука. И если, по словам выдалоцероса советского физика академика Л. А. Арцимовича, «всех крупных физиков царской России можно было бы свободно усадить на одном диване», то сегодня у нас более сотни только физических научных центров. Советские физики, математики, астрономы и представители других естественных наук пользовются международным признанием. Физика и математика являются лидерами научно-технической революции, и наши ученыы фундаментальный вклад в развитие этих наук. Большую роль в строительстве социальizaма сыграла советская школа.

Юбилей, как учил В. И. Ленин, это повод к критическому анализу прошло. Провода такой анализ, мы видим, что построенный в нашей стране социальизм еще несовершенен, у него есть огромные резервы, которые необходимо до конца раскрыть и реализовать в короткий срок. Молодежи иногда кажется, что время революционной преобразования давно ушло в прошло. Но жизнь опровергает эти представления. Революция продолжается. Именно она требует от нас громадного ускорения и градиизной перестройки во всех сферах деятельности. Предстоит упорная борьба, и участвовать в ней вам придется еще в школьные годы.

Кажdomу из вас, дорогие читатели, необходимо еще раз внимательно изучить материалы XXVII съезда КПСС и пленмов ЦК КПСС, документы XX съезда ВЛКСМ, вдумчиво перечитать ленинские работы, созданные после победы революции. Сколько заменяительных мыслей в одной только речи В. И. Ленина на III Всероссийском съезде комсомола! И далеко не все они вопросы в жизни. А ведь работы Ленина — это верный компас в сложном и длительном процессе всесторонних преобразований, которые ждут вас как в школе, так и за ее порогом.

3

О МАТЕМАТИКЕ
СТРАНЫ СОВЕТОВ

Академик АН УССР В. В. ГНЕДЕНКО

Великая Октябрьская социальстическая revolución явилась мощным толком к прогрессу математики в нашей стране, создала исключительное благоприятные условия для развития абстрактных ее направлений и применения математических методов в естественных и инженерном деле, организации производства.

Так, в 1918 г. был издан декрет об организации ЦАГИ — Центрального аэродинамического института и о назначении Н. Е. Жуковского его директором. В том же году была создана Нижегородская радиолаборатория.

В 1921 году — разгар разухи — по инциативе В. А. Стеклова был организован Физико-mатематический институт Академии наук. Впервые в истории нашей страны развитем теоретической и прикладной математики стало заниматься специальное научное учреждение.

Далее краткое описание того, что сделали советские математики за истекшие семьдесят лет, потребовали бы многоотномного сочинения и работы большой группы специалистов. Поэтому здесь мы вынуждены ограничиться лишь беглым обзором небольшой доли важных направлений научных исследований.

Пожалуйста, самым крупным явлением в математической жизни нашей страны следует считать возникновение Московской математической шкалы теории функций и теории множества. У ее истоков стояли два выдающихся математика и педагога — Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин. С их именами связано широкое привлечение студенческого молодежи к научным исследованиям. Многочисленные результаты, красивые построения, постановка большого числа новых задач для дальнейших исследований, живое изложение — все это суммло увлечь математической молодежи Лузина. Его perвыые ученики — Д. Е. Меньшов, П. С. Александров и А. Я. Хинчин. Первые их самостоятельные работы были в кругу идей учитель — теория интеграла, сходимость трионометрических рядов, строение так называемых борелевских множества. Эти perвыые работы в значительной степени определяли дальнейшие интересы названных исследований. Д. Е. Меньшов основные свои работы по связыванию трионометрических рядов и рядов ortogonalных функций; А. Я. Хинчин — метрический теории функций и ее применением в теории чисел, теории вероятностей и статистической физике; П. С. Александров — теории множества, а позднее — топология.

Уже perвыые приемы студентов в Московский университет после 1917 года вдали второе поколение активных учеников Лузина, Лузин организовал семинар, на котором каждому участнику предложалось прореферировать определению monогrafico, затем установить обсуждение реферата с постановкой вопросов, с вывлечением возможности прошения и обобщения доказательств.

В двадцатье годы ученики Лузина назвала свой коллектив «Лузитаней»*). Этот подчеркивалось восхождение своим учительем, его научными идеями, лекциями. Ученики Лузина гордились своей причастностью к группе, разрабатывающей его идеи, и стремились дать максимум того, на что они способны в научке.

Конечно, каждое чрезмерное увлечение несет в себе и отрицательное начало. Лузитанцы были чрезмерно заняты лишь одним направлением математического развития и неокоторые из них несколько свысока относились к классическим области

*) См. «Квант», 1977, № 10, c. 13.

4

математики. Это нашло отражение в шуточных названиях ряда дисциплины: теория вероятностей называясь у них теории непряятности, уравнения в частных произвольных — уравнениями с несчастными произвольными, конечные разности — разными конечностями и т. п. Оdnako эта недоценка других областей математики продолжалась недолго, поскольку внутри самой Лузитанина начался процесс расширения интересов. П. С. Александров и П. С. Урьсон увлеклись проблемами теорейкоможественной топологии и вскоре положили начало существования Московской топологической школи. А. Я. Хинчин в двадцать годы начал интересовать проблемы метрической теории чисел, от нее подошел к вопросам теории вероятностей и к концу двадцатьх годов целиком направил свою энергию на эти два направления исследований. Теория вероятностей вскоре стала одной из существенных частей интересов Московской математической школи. Создание Московской школи теории вероятностей является заслугой двух выдающихся ученых — А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогорова.

Далее интересы Москвыских математков обращались к классическому анализу. При этом выяснили, что идеи теории функций дают возможность серbezного продвижения. Качественная теория дифференциальных уравнений, дифференциальные уравнения в частных произвольных становятся объектом исследований Москвыей. Среди представителей этого направления следует назвать В. В. Степанова и И. Г. Петровского.

Не следует думать, что только Москва была центром математической мысли того времени. Первоклассные исследования в это время проводились на Україне — в Києве и Харькове. В Києве следует отмечить, в первую очередь, исследования по астрактной алгебре, культивируемые Д. А. Граве и его учениками. В начале революции один из его учеников О. Ю. Шmidt — разносторонний ученый и превосходный lekтор — начал пропаганду новых алгебраических идеи в Москве. О. Ю. Шmidt явился создателем Московской алгебраической школи. В Харькове С. Н. Бернштейн развивал идеи П. Л. Чебышева в области налучшого приближения функций полиномами и успешно работал в области теории вероятностей.

В Ленинграде успешно развивались исследования в области математической физики и теории чисел. Оба эти направления исследований были традиционными для ленинградцев и берут свое начало от Л. Эйлера, М. В. Острогадского и П. Л. Чебышева. По аналитической теории чисел замечатые результаты были получены И. М. Виноградовым. В 1934 г. И. М. Виноградову удалось получить полностю решить знаменитую задачу Гольдбаха: всякое нечетное натуральное число представимо в виде суммы не более трех простых чисел.

Новые университеты, образованные в ряде городов страны в первые годы революции, быстро превращались в значительные математические центры. В первую очередь мы должны назвать здесь Тбилиси и Ташкент, которые славили свои исследования-

5

ниями по математической физике (Тбилиси), нелинейным дифференциальным уравнением и математической статистике (Ташкент). Организаторами Грузинской математической школы были Н. И. Мускелшвили, Г. Н. Николадзе, А. М. Размадзе и А. К. Харадзе*). Создателем Ташкентской математической школы был В. И. Романовский.

К началу Великий Отечественный войны советская математика завоевала огромный научный авторитет во всем мире. Своими исследованиями она охватила практические все направления математической мысли. Многие математики принимали участие в решении задач естественногоания, технически и организации производства.

Особенно значительные были результаты математков в связи с проблемами, вывггаемыхimi развитием авиации. Именно задачи полета в скрижаемой жидкости было вызван построение теории квазиконформных отображений М. А. Лаврентьевым. Крупный успех накануне Великий Отечественный войны был достигнут в построении математической теории «шимми» и «штопора», явившихся причины гибели многохимических самолетов. Из математической теории, построенной М. В. Келдышем, удалось сделать практические выводы, которые позволили радикально бороться как с «шимми», так и со «штопором». Позднее М. В. Келдыш занимался ракетной техники, стал Главным теоретиком советской космонавтики.

Великая Отечественная война не прошла mismo советских математков: тысячи из них пошли на фронт,

*) См. «Квант», 1975, № 9, c. 12.

И. М. Винооградов.
А. Н. Колмогоров.
М. В. Келдыш.

6

Огромной важности математической задачи возникли и в связи с обеспечением высокого качества массовой промышленной продукции. Индивидуальная проверка качества каждого изготовленного изделия требовала огромного числа контроля. На это идти было нельзя, поскольку и без того был катастрофический недостаток рабочей силы. Именно в это время возникла идея построения теории статистического контроля качества продукции. В ее создании активное участие принял А. Н. Колмогоров. В настоящее время эта теория энергичного развития по двум пути: 1) проверка качества уже изготовленных партий (приемочный контроль) и 2) управление качеством изделия в процессе изготовления (техущий или оперативный контроль).

Послевоенные годы характерны стремительным процессом математизации знаний и практической деятельности. Математика потребовала для решения задач организации производства и для исследования биологических процессов, для проведения в области физики и при создании технических систем, для изучения экономических вопросов и при рациональном размешении производственных предприятий. Но этого мало. Оказалось, что математические методы оказавают помощь археологии и историику, лингвистиу и медику. Появились новые направления математической мысли. Математическая логика прибрела несравненно большее значение, чем до войны. В этом большую роль сыграли электронные вычислительные машины и вызванная имми потребность в тщательном логическом анализе процессов при про-
gramмировании для ЭВМ, а также при составлении математических модели является. В теории вероятностей появились новые ветви, тесно связанные с экономикой и организацией производства, а также с задачами физики.

Если прежде физика свободно обходилась привчным для математики общим понятием функций, то теоретическим построением современной физики в этих рамках стало теCHO. В конце сороковых годов физики все чаще и чаще стали допускать операции с объектами, которые не укладывались в классическое понятие функции. В самом начале пятдесятых годов появились работы С. Л. Соболева и французского математика Л. Шварца, в которых было положено начало широкому и продуктивному обобщению понятия функции — было введено понятие обобщенной функции и разработаны правила действия с этим функциями. Несколько позднее И. М. Гельфанд в результате обобщения случайные процессы, использовав для этой цели идеи обобщенных функций. Упомянем большее направление исследований, связанное с отысканием экстремальных решений. Важность этогоода исследований вывелись в полной мере только в последнее время: при нынешних масштабах народного хозяйства неудачное использование материалов ресурсов приводит к огромному перерасходу, неудачный выбор направления движения заменяет доставку пассажиров и грузов; неудачное распределение работы с оборудованием bleibt неполное использование станков и аппаратуры. Первыя задачи

7

такого рода появились двано и были известны еще в Дневней Греции.

Непосредственно перед Великой Отечественной войной Л. В. Канторович рассмотрел ряд новых задач на разискание максимального и минимального значений, связанных с распределением работ, раскроем материалов, организацией перевозок и т. п. Эти задачи послужили началом создания новой математической теории — линейного программирования, получившей после войны быстро развuite. Теперь эти первые постановки задач получили общее формулировки, для них предложены методы решения, построена интерсная теория, эти результаты распространялись на более общие случаи (нелинейное программирование).

Большое направление исследований, вызванное необходимостью получения автоматом управление технологическими процессами, движением самолетов, космических аппаратов и т. д., было разработано Л. С. Понтгриным и его учениками. Это направление получило наименование теории оптимального управления. Теория и вывинуть в ней принципы немедленного получения многочисленных практических применений.

К новым задачам в теории случайных процессов приведены такие задачи практики, как управление качеством продукции и определение момента наладки оборудования. На эти задачи обратил внимание А. Н. Колмогоров, направивший на них внимание ряда своих учеников.

Один из крупнейших математических современности Н. Н. Боголюков, начав работать под руководством академика Н. М. Крылова, свой первый результат опубликовал в семнадцатилетнем возрасте. Его научные интересы быстро расширились, охватив математический анализ, дифференциалыные уравнения, выражения, выраженное исчисление, теории функций, математическая физика, теория вероятности. Совместно с Н. М. Крыловым им были разработаны математические методы нелинейной механики. Послед Великой Отечественной войны Н. Н. Боголюбов перешел почти исключительно на решение задач современной физики и в этой области добавился крупных успехов.

Нельзя не упомянут о математике исключительно широкого профиля, результаты которого относятся к топологии, теории дифференциальных уравнений, математической физике, геофизике, вычислительной математике, электродинамике — А. Н. Тихонове. В первую половину нашей степени под влиянием взглядов замещального французского математика Адамара сложилось убеждание, что для физики и практики интересы только так называемые корректные задачи, решения которых, полученные при близких начальных данных, не могут расходиться между собой слишком сcilно. Постоянный интерес к задачам практики убедил А. Н. Тихонова в ошибочности этой точки зрения. Оказалось, что много естественных задач физики, экономики и других областей знания по существу являются неорректно поставлеными. Тихоновым был разработан подход к решению такого типа задач.

Конец пятидесных годов и шестидесятые годы явились периодом ин-

8

ТЕНСИФИКАЦИИ MATEMATIЧЕСКОЙ ЖИЗНИ В СССР. В это время ещё активно и плодотворно работают математики старшего поколения, о которых сказано выше, но теперь к ним присоединяется целая пледа их одаренных учеников.

Эта связь поколеный наиболее проявлась, пожалуй, при исследовании знаменитой XIII проблемы Гильберта о представлении функций многих переменных через функции одной переменной, полное решение которого было получено совместными усилиями А. Н. Колмогорова и его ученика, тогда еще спирата, В. И. Арнольда.

Из математиков молодого поколения наиболее признание получили москови С. П. Новиков, В. П. Маслов и ленинградец Л. Д. Фаддеев. Серрей Петрович Новиков, проссходящий из семьи профессIONALных математиков (его отец — академик П. С. Новиков, логик и алгебраист, мать — Л. В. Келдыш, доктор физико-mатематических наук, тополог), очень рано получил ряд выдающихся результатов по одной из наиболее важных в то время дисциплины — дифференциальной топологии. Эти результаты были высоко оценены не только у нас в стране, но и зарубежом: С. П. Новиков стал первым советским лауреатом премии Филдса, наиболее представной математической премии.

В. П. Маслов начал как физик, но его первые значительные результаты связаны с развитием идеи современного математического анализа. Для его работы характерна, с одной стороны, глубина чисто математических обобщений, и, с другой — вынимание к прикладным вопросам, в частности, к математической физике.

Л. Д. Фаддеев, тоже начавший как физик и тоже проссходящий из математической семьи (его отец — Д. К. Фаддеев — алгебраист, членкорреспондент АН СССР), известен своим функментальным работами по математической физике. Международный авторитет его работ значительной в настоящее время Л. Д. Фаддеев — президент Международного союза математических современных теореми, но и в изучении явлений окружающего нас мира. Как правило, случается так, что явления природа и процессы экономики шреже и имеются средств математики. Это является вечным стимулом для развития самой математики, ее понятий и теории.

9

ДОСТИЖЕНИЯ
СОВЕТСКИХ ФИЗИКОВ

Советская физика очень молода. Но успеси, достигнутые за столь короткие сроки, убедительно свидетельствуют о ее огромной научной зрелости, способности решать сложные проблемы современного естественного.

В настоящее время в нашей стране имеется более сотни специальных физических институтов Академии наук СССР, республиканских академий, а также неокторных ведомств. Средних — всемирно известные физические институты И. Н. Лебедева, Физiko-технический институт имени А. Ф. Иоффе, Институт физических проблем имени С. И. Вавилова, Институт atomной энергии имени И. В. Курчатова, Объединенный институт ядерных исследований в Дубне. Советская наука имеет выдающиеся достижения во многих областях современной физики. К ним принадлежат, например, ядерная физика, физика плазмы и управляемых термоядерных реакций, физика полупроводников, физика низких температур, квантовая электроника, физика высоких давления. Наши учены успешно работают и в многочисленных програмных областях современной науки. Химическая и биологическая физика, физика Земли, атмосферы, космического пространства, физика Мирового океана истрофикака представлены в нашей стране многоими учеными с мировыми именами.

Советские физики выполнили так многоFundamentальных научных исследований, что всякая попытка даже кратко расскаазать о каждой из этих работ неизбежно привела бы к сухому перечню огромного количества отдельных фамилии и малопонятных для широкого круга читателей фактов. Поэтому мы расскажем здесь лишь о некоторых крупнейших достижениях наших физικών.

Краткая хроника выдающихся открытий современных физικών включает, в основном, «именные» открытия. Ко-нечное, не каждое крупное открытие непреемно приобретает впоследствии именно сделавших его ученых. Поэтому приведенный здесь список не охватывает даже самых крупных открытий, сделанных нашими учеными в области физики. Но мы надеемся, что и краткий перечень «именных» открытий позволяет нашим читателем почувствовать, как велик вклад современных ученых в сокровищницу мировой науки.

Общая теория относительнойности, созданная Эйштейном, содержит уравнения, характеризующие состояние Вселенной. Эйштейн нашел статиюарное (не зависимости от времени) решение, описывающее замкнутую неразвивающуюся Вселенную. Вскоре профессор Алексаандр Алексаандрович Fridman получил два новых решения основного уравнения общей теории относительнойности. Оба они описывают Вселенную, которая не перерывно расширяется. В дальнейшем «модель расширения Вселенной Фридмана» получила экспериментальное подтверждение и теперь является общепризнанной.

Известно, что прочность твердого тела, определяемая на опите, во много раз меньше ее значения, вычисленного теоретически. Причина этой разницы первым раскрыл академик Абрам Федорович Иоффе. Оказалось, что в пределовременном разрушении материалов повинны различные дефекты кристаллической структуры, которые не учитывались теоретическими, например микросоппические требования на поверхности кристаллов. Погрузив кристалл каменной solи в воду и расторив поверхностный слой, Иоффе достигит увеличения прочности в сотни раз. Упрощение кристаллов при расторении поверхностного слоя получило название «эффекта Иоффе».

10

Академик Владимир Александрович Фок с момента возникновения квантовой механики работал над ее развитием. Он обобщил основное уравнение этой теории на случай наличия магнитного поля и получил релятивистское уравнение квантовой механики, известное физиком как «уравнение Фока — Клейна». В дальнейшем академик В. А. Фок неависимо от англійского физика Хартри создал метод расчета спектров атомов, содержащих большое количество электронов, и даже спектров сложных молекул. Этот метод вошел в историю физики под именем «метода Хартри — Фока». До создания этого метода расчет сложных атомов был совершенно недоступной задачей для квантовой механики.

Академик Леонид Исаакович Мандельштам теоретически показал, что микрокоппические неоднородности плотности вещества, возникающие в результате теплового движения молекул, изменяют спектр рассеяного света, добавляя в него новые спектральные линии, которые очень трудно наблюдают. (Эти линии впервые были обнаружены членом-корреспондентом АН СССР Евгением Федоровичем Гроссом.) Явление, в результате которого они возникают, было назван «эффектом Мандельштама — Бриллюзона», так как несколько позднее аналогичное предсказание было сделано французским физиком Бриллюзоном.

Исследуя рассеяние света в кристаллажes кварца, академики Леонид

Исаакович Мандельштам и Григорий Самуилович Ландсберг обнаружили в спектре рассеяного света дополнительные спектральные линии, не принадлежшие падающему на кристалл свету. Эти спектральные линии возникали в результате взаимодействия падающого света с отдельными молекулами, образующими кристаллическую решетку. Несколько позднее аналогичное явление было обнаружено индийским физиком Раманом при изучении рассеяния света в жидком бензоле. Оно получило название «эффекта Мандельштама — Ландсберг — Рамана» или «комбинционного рассеяния света». Комбинционное рассеяние стало мощным средством изучения строения молекул.

Академик Петр Леонидович Капиц при помощи сконструированной им оригинальной установки для создания сверхсильных магнитных полей установки, что в таких полях изменение электрического сопротивления металлов растет не пропорционально квадрату магнитной индукции, как ожидалось на основе существовших тогда теории, а является линейной функцией магнитной индукции. Это необходимо явление, которое не удается объяснить около 30 лет, называют «законом Капицы».

С именем академика П. Л. Капицы связывано еще одно открытое им явление. Изучая свойства жидкого геля, он обнаружил, что при температуре ниже 2,19 К геляй течет сквозь узкую шель практические без всякой взз-

11

кости. В дальнейшем это явление было назван сверхтекучесью. Теория этого явления создал академик Лев Давидович Ландду. В 1978 году за фундаментальные исследования в области физики низких температур П. Л. Капица был удостоен Нобелевской премии.

Профессор Лев Васильевич Шубников, работая в лаборатории голландского физика де Гааза, обнаружил, что электрическое сопротивление высута, помещенного в магнитное поле при температуре жидкого геля, по мере увеличения магнитной индукции поля то возвращает, то убивает (как говорят, сопротивление высута осцилирует). Этот «эффект Шубникова — де Гааза» широко использовется для исследования энергетического спектра электровов в металле.

Профессор Московского университета Анатолий Алексадрович Blasov первый вывел уравнение, описывающее поведение разреженного инизованного газа (плазмы), в котором не проискudit стольновейный загруженных частиц. Оно вошло в научу под именем «уравнения Blasова».

Академик Лев Давидович Ландду теоретически показал, что свободные электроны в металле под действием внешнего магнитного поля могут двигаться только по строго определенным (как говорят физики — квантовым) траекториям. Это означает, что в магнитном поле возникают особые энергетические уровни, получшие наименование «уровней Ландду».

Из этой же теории следовало, что действие магнитного поля на свободные электроны в металле приводит к возникновению дополнительного магнитного момента, направленного в сторону, противоположную внешнему магнитному полю. Такой момент называется диамагнитным, а описанное явление «диамагнитизмом Ландду». Заметим, что эта же теория объясила и эффектив Шубникова — де Гааза.

Лев Давидович Ландду показал также, что даже при отсутствии стольновейный частицы плазмы распространяется в ней электромагнитные волны испытывали затухание. Это является этой теории, члены-корреспонденты АН

12

СССР Алексей Алексеевич Абриковов и Лев Петрович Горьков создали теорию сверхпроводящих сплавов. Эта теория известна во всем мире как «теория ГЛАГ» (Гинзбург — Ланду — Абриковов — Горьков).

Микросоппечская теория сверхпроводимости, детально обязывающая механизм этого загадочного явления, была создана американскими физики Бардином, Купером и Шрифером и независимо от них академик Николаем Николаевцем Боголюбовым. Она так и называется «теории сверхпроводимости Бардина — Купера — Шрифера — Боголюбова».

Академик Исаак Константинович Кион совместно с М. М. Носковым открыл fotoэлектромагнитный эфект, показав в экспериментах, что при освещении полупроводника, находящемся в магнитном поле, в нем возникает электродвижущая сила. Кванты света приводят к появлению носителей тока — свободных электронов и дырок, которые диффундируют вдоль направления падения света, а магнитное поле разводит их в противоположных направлениях. Это явление давно уже называют «эффектом Кионна — Носкова».

Академик Игорь Евгеньевич Тамп дал строгий выбор формулы, которая описывает света на свободных электронах. Она сыграла важную роль в разработке квантовой электродинамики. В историю физики она вошла под названием «формулы Тамма — Клейна — Нишины».

И. Е. Тамп развил метод расчета взаимодействия частиц, движущихся со скоростями, близкими к скорости света (релятивистских частиц), который вошел в теоретическую физку как метод «Тамма — Данкова».

Академик Игорь Евгеньевич Тамп теоретически predсказал существование на поверхности полупроводниковых кристаллов свободных энергетических состояний («ловушек»). Они вошли в научку под названием «поверхностных уровней Тамма».

Академик Сергей Иванович Вавилов и Павел Алексеевич Черенков открыли эффект «сверхсветового электрона». Оказалось, что в жидких и твердых средах электроны могут двигаться со скоростью большей, чем скорость света в этих средах (но, конечно, не большей скорости света в пустоте!). Электроны могут обгорать испускаемый ими свет. Этот эффект, получивший название «эффекта Вавилова — Черенкова», нашел ряд ценных практических примений, в частности для регистрации быстрых загруженных частиц (так называемые черенковские счетчики частиц). Теория, обязывающая эффект Вавилова — Черенкова, была создана академиками Игорем Евгеньевичем Тампом и Ильей Михайловичем Франком. За открытие и обязывание этого явления П. А. Черенкову, И. Е. Тампу и И. М. Франку в 1958 году была присуждена Нобелевская премия.

13

С. И. Вавилов.

Академик Владимир Иосифович Векслер открыл носящий его имя принципи автофазировки частиц, ускоряемых в циклическихускорителях. На нем основана работа всех современных циклическихускорителей — синхротронов, фазотронов и синхрофазотронов. Несколько позже, независимо от Векслера, этот же принципи открыл амерikanский физик МакМиллан. За это открытие оба они были удостоены международной научной премии.

Сложные молекулы организации веществ имеют спектры, состоящие из широких сплошных спектральных полос. Профессор Эдуард Владимирович Шпольский показал, что, расторяя организаческие вещества в специально подбранных расторителях и охлаждая полученные расторы до очень низких температур, можно получить спектры поглощения, состоящие из очень тонких спектральных линей, однозначно связанных со строением и свойством молекул. Так была создана новая область молекулярной оптики. Это явление в научной литературе повсеместно называют «эффектом Шпольского».

Полупроводники, так же как и другие вещества, могут поглощать свет, длины волн которого заключиты в определенных пределах. Для света с бóльшим длинами волн они проразны. Таким образом, существует граница для длины волн, при которой полупроводник перестает поглощать свет. Академик Леонид Вениаминович Кельыш теоретически predсказал, что под действием внешнего электрического поля эта граница должна смешаться в сторону бóльших длины волн. Аналогическое предсказание сделал немецкий физик Франц. Вскоре профессор Виктор Сергеевич Вавилов получил экспериментальное подтверждение этого явления, известного теперь как «эффект Кельыша — Франца».

Академик Сергей Николаевич Вернов и амерikanский физик Ван Аллен при помощи научной аппаратуры, установленной на первых искусственных спутников, неависимо открыли существование радиационных полос Земли. Оказалось, что Земля окружена несколькими слоями с повышенной плотностью загрязнений частиц. Эти зоны называют «радиционными полами Вернова — Ван Аллена».

Академики Алексаандр Михайлович Прохоров и Николай Геннадиевич Басов разработали основы новой области физики — квантовой электроники и создали первый квантовый молекулярный генератор на молекулах аминака. За эти выдающиеся работы в 1964 году им, совместно с амерikanским физиком Таунсом, была присуждена Нобелевская премия.

Учены всего мира, исследующие физические процессы в горячей плазме, широко используют установки, названные необъичным русским словом «ТОКАМАК». Так сокращенно называют «тороидальные камеры в магнитном поле» — советские термодерные установки, разработанные и построенные в Институте атомной энергии именя И. В. Курчатова под руководством академика Льва Андреевича Арцимовича.

Хронника подготовлена В. А. Лециковцевым

14

ВЕЛИКАЯ КНИГА
НЬЮТОНА

(к 300-летию первого издания
«Математических начал натуральной философии»)

Кандидат физико-математических наук
С. Р. ФИЛОНОВИЧ

Юбилей «Математических начал натуральной философии» Исаак Ньютона отмечается во всем мире как важнейшее событие культурной жизни. Такой чести удостановится лишь немногие научные произведения, и один этот факт говорит об огромном значении сочинения Ньютона для развития не только науки, но и всей цивилизации.

Как создавались «Начала»? Каково содержание этой книги? Какую роль сыграла она в развитие естественногония? Этот вопрос посвязывает предлагаемая читателю статья.

Начало «Начал»

Историкам науки очень редко удается установить, когда именно и при каких обстоятельствах у ученого возник zamбесел конкретной статьи или книги. «Начала» составляют счастливое исключение. Мы знаем о создании этой книги очень многое и даже можем указать событие, последившее отправной точкой в работе Ньютона над ней.

Время: августа 1684 года. Место: Кембридж, Англия. Действующее лице: Исаак Ньютон — член Лондонского королевского общества (Академия наук Англии), профессор математики и член Тринити-колледжа Кембриджского университета, и Эдmund Галлей — астроном и математик, один из секретaires Лондонского королевского общества.

В 1684 году, к моменту посещения его Галлеем, Ньютон занимал видное положение в научном сообществе Англии. Он — признаный авторитет в вопросах оптики и математики. Однако он жил и работал изолированно от других ученых, изредка обменяясь с ним письмами.

Молодой Галлей (ему было в это время 28 лет) приехал к Ньютону за советом. Его волновала задача, которую не могли решить многое искусные математики: по какой траектории будет дивигаться планета, если со стороны Солнца на нее будет постоянно действовать сила, обратно пропорциональна квадрату расстояния? Галлей уже обсуждал эту проблему со своим коллегами по Лондонскому королевскому обществу Р. Гуком и К. Реном, и Гук даже утверждал, что знает ее решение. Однако Гук знаел (точнее, предчувствовал) не решение, а ответ — траектория будет элипсом, но представить соответствующее доказательство не смог. Гук, видимо, расскаазал Галлею, что несколько лет назад он перепи-

16

комнаты, за исключением тех случав, когда ему надо было читать лекции…»

Интересно, что при подготовке «Начал» Ньюотон многое результаты, к которым он пришел, использующий дифференциальное и интегральное исчисление (в терминологии Ньюотона — метод флюксий), получил заново, применяя так называемый «синтетический» метод, основанный на комбинации геометрических построений и диаметических сообщений. Для читателей XX века такая форма представления материала очень затрудняет чтение книги. Сделано же это было … чтобы облегчить понимание ее содержания современниками. Далее много лет спустя после первого издания «Начал» Ньюотон писал, что «в нашей время для неискушенных людей воспрятие Аналiza [т. е. метода флюксий — С. Ф.], с помощью которого были найдены эти положения, затруднительно».

Большую помощь в подготовке «Начал» к печати оказал все тот же Галлей. Он не только устранил множество описок, но и позволился отом, чтобы улучшить оформление книги. По традиции того времени, если в книге было много иллюстраций, то они выносились из текста на отдельные листы — так было проще изготовлять клише для печати. Галлей настоял на том, чтобы рисунки помещались прямо в тексте, что, конечно, облегчало чтение. Заметим, что это повышило стоимость издания, а ведь Галлей пришлось печать «Начала» на свой средства, поскольку Королевское общество испытывал в это время финансовые затруднения.

Наконец, в середине 1687 года великая книга Ньюотона “Philosophia naturalis principia mathematica” вышла свет.

Познакомимся вкратце с ее содержанием.

По страницам «Начал»

«Начала» открывались представлением автора, в котором он появил стоящую перед ним цель: применение математики к натуральной флюсофичи, т. е. к физике. Далее шли Определения величины и понятный, на которых строится последующее изложение. Заметим, что выработка этих определений была делом совсем не простым. Так, например, Определение III звучит следующим образом:

«Врожденая сила материи есть присутствая ей способность сопротивления, по которой всякое отделно взято тело, поскольку оно представлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерно примолнечной движении».

С одной стороны, оченьindo, что здесь Ньюотон говорит о важнейшем свойстве тел — инертности, и следовательно, это определение отражаетrealность. С другой стороны, в этом месте Ньюотон приписывает всем телам «врождению» силу инERTИИ, существующее независяимо от системы отчета. Такой взгляд на силы инERTИИ в дальнейшем не был принят физиками. Мы же приведем это определение для того, чтобы показать, с каким трудом роздались основные представления механики: даже великий Ньюотон при их формулировке допускал неточности.

В Почучении к Определениям Ньюотон говорит о понятиях абсолотного пространства и абсолотного времени:

«Абсолотное, истинное математическое время само по себе и по са-

17

мой своей суцности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно …
Абсолютное пространство по самой своей суцности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным».
Введение понятный об абсолитном пространстве и абсолитном времени было связано с общими взглядами Ньютона на устройство мира: он считал, что существует неподвижный центр Вселенной и даже предлагал эксперименты для доказательства этого предположения. В то же время использование этих понятный позволлювло в первом приближении правильно и, что немаловажно, просто решать многогее задачи механики. Стоит отметить, что при первой формулировке последовательной теории движения тел такие представления о пространстве и времени были неизбежны. Лишь спустя два столетия, в результате развития физики, учены в рамках теории относительной пришли к представлениям о пространстве и времени, более полно отражающимrealность.
Далее идут «Аксимы или законы движения». Вот как формулирует их Ньютон:

«ЗАКОН I. Всякое тело продолжает удерживатьсь в своей состоянии покоя или равномерно и примолнечного движения, пока и поскольку оно не получается приложенными силами изменять это состояние.

ЗАКОН II. Изменение количества движения пропорционально приложенной движения силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

ЗАКОН III. Действию всегда равное и противоположное противодействие; иначе: действия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны».
На этом заканчивается вводная часть «Начал» и начинается изложение основного материала. Он разделен на три книги (части).

Книга первая под названием «О движении тел» начинается с рассмотрения математических теorem, на основе которых строится дальнейшее изложение. Вслед за математическим введением приложяется решение множества задач, связанных с движением тел под действием так называемых центральных сил, т. е. сил, действующих по прямой, соединяющей тело с некоторым центром. Больш-

Триниты-колледж Кембридского университета (гравiopра XVII б.). Комнаты Ньютона расположены между Главными боротами и черковью Св. Троицы (справа вниз).

18

Шинство задач имеет самое неопределенное отношение к небесной механике. Задание рассматривается в строгой последовательности, так что результаты, полученные ранее, используются при решении следующих задач. Из-за этого трудно проследить за рассужdenями Ньютона, выбрав какую-нибудь теорему из середины кники. Это относится, например, к задаче IX, которое Ньютон обсуждал с Галлеем: «Предполага, что центристремительная сила обратно пропорциональна квадратам расстояний мест до центра и что абсолотная величины этой силы известна, требуется найти кривой, которое опшет тело, выходшее из заданного места с заданной скоростью».

Чтобы читатель мог составить представление о метода изложения, используемом Ньютоном, мы приведем доказательство теоремы I из отдела II «О нахождения центристремительных сил», важной для обоснования второго закона Кеплера (закона площадей). Ее формулировка такова: «Площади, описываемые радиусами, проводимыми от обращающейся тела к неподвижному центру сил, лежат в одной плоскости и пропорциональны временам описания их».

Доказательство теоремы.

«Разделом время на равные промежутки, и пусть в течение первого из них тело по инерции описывает прямую AB. Если бы оно не подвергалось никакому действию, то, продолжая идти по прямой, оно пришло бы в с (no закону I), пройдя путь Вс, равный AB, и тогда описанные радиусами AS, BS, cS, проведеными к центру сил S, площади ASB и BSc равны. В действительности же, когда тело пришло в В, то пусты на него подействовала центристремальная сила одним, но загобышим натуском, следствие которого только отклоняется от прямой Ас и будет продолжать свой путь по прямой BC. Проведем прямую сС паралельно BS до встречи в точке C с BC, тогда к концу второго промежутка времени тело (по следствию I законов)*) пройдет в точку C, лежащую в одной плоскости с треугольником ASB. Проведем SC; по паралельности SB и Cс площади треугольников SBC и SBс будет равны между собой, а следовательно, они равны и площади треугольника SAB.

Рассуждая подобным же образом, увидим, что если центральная сила действует последовательно в точках C, D, E и т. д. и заставляет тело описывать прямые CD, DE, EF и т. д., то все эти прямые будут лежать в одной плоскости, и площади треугольников SCD и SBC, SDE и SCD, SEF и SDE будут между собой равны. Следовательно, в равные времена описываются равные площади, расположенные в неподвижной плоскости. Славая, получим, что какие угодно суммы этих площадей, как SADS и SAFS, будут относиться как времена их описания. Увеличивая затем число треугольников и уменьшая их высоту бесконечно, получим, что в пределе периметра ADF будет кривой линейи и центральная сила, которое тело отклоняется все время от касательной к этой кривой, действует непрестанно, площади же SADS и SAFS, описываемые радиусом, оставаясь постоянно пропорциональными временам описания их описания, будут и впределе этом временам пропорциональны.”

В таком стиле рассматривается задача за задачей. В последнем разделе первой кники представлены элементы корпускулярной оптики, в частности, на основе законов механики обсуждается закон преломления света.

Вторая книга «Начал» называется, как и первая, «О движении тел». Знакомство с ней мы отключим до следующего номера журнала.

*) Это следствие гласит: «При силах совокупности [т. е. при действии двух сил — С. Ф.] тело описывает диазональ паралелограмма в то же самое время, как его стороны — при разделных».

19

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
РАБОТЫ ШКОЛЬНИКОВ

Здесь приведется две небольшие заметки, написанные десятикlassисками Ярославом Карповым из Ленинграда (школа № 239) и Алексадром Лобковским из Черногодовки Московской области (школа № 82) на современно разные темы. Их объединяет то, что обе статьи — «компьютерно-mатематические»: в них математические рассуждения позволяют получить интересные наблюдения только после подключения к работе ЭВМ.

Оптимальная кодировка почтового индекса

Я. Ю. КАРПОВ

Перед мной вставл вопрос: почему на конвертах используется именно такой набор цифр (рис. 1)—ведь эти кодировки можно заменить другими. Посмотрим, сколько различных наборов можно придумать (таблица 1). Всего 2×4×3×2×2×2×3×2=1152 вариантов.

Чтобы из этих наборов отобразить лучший, нужно сначала выбрать критерий, по которым мы будем сравнивать наборы. Как известно, коды, используемые на конвертах, проверяются машиной. Поэтому критерий оптимальностина набора должен заключаться именно в том, что при этом наборе машина будет делать меньше ошибок в сортировке, чем при других наборах.

Для характеристики различной кодировки цифр введем термин — расстояние между двумя кодировками. Расстояния должны удовлетворять таким условиям:

1. Чем больше расстояние между двумя кодировками, тем меньше вероятность того, что автомат примет одну кодировку за другую.

2. Расстояние от кодировки $A$ до кодировки $B$ должно быть равно расстоянию от кодировки $B$ до кодировки $A$.

Эти условия удовлетворяют расстояние Хемминга. В нашем случае — это количество «несовпадающих» символов в кодировках, т. е. количество несовпадших палочки.

При мер: Найдем расстояние между кодировками 5 и 2 (рис. 2). Расстояние между этими кодировками равно 5, так как у этих кодировок 5 несовпадющих палочки.

Обозначим через $p$ базовый вероятность ошибки, т. е. вероятность принятия автоматом палочки за «непалочку» или наборот. Тогда вероятность правильного распознавания одной палочки равна $1-p$.

Найдем, например, вероятность принятия цифры 6 за 0 (рис. 3). Для этого нужно, чтобы 8 палочки и два пробела были поняты автоматом правильно, а одна палочка была принята за пробел. Вероятность этого события равна $p(1-p)^{8}$.

Вообщие, при расстоянии автоматом любой цифры вероятность того, что эта цифра будет принята за другую, равна $p^{\gamma}(1-p)^{\alpha-\gamma}$, где $\gamma$ — расстояние между этими двумя кодировками по Хеммингу.

При расстоянии автоматом одной конкретной цифры $i$ вероятность того, что ее ошибочно примут за любую другую, равна

$$\sum_{j=i}^{n} p^{\gamma,j}(1-p)^{n-\gamma},$$

где $r_{i,j}$ — расстояние между цифрами $i$ и $j$.

20

Предположим, что все цифры встречются одинаково часть на любом из мест. Тогда средняя верятность неправильного распознавания какой-то цифры равна

$$P = \frac{1}{10} \sum_{i=0}^{9} \sum_{j=0}^{p_{j,i,j}} (1-p)^{9-r_{j,i,j}}.$$

Эту верятность мы и будем использовать в качестве критерия качества набора: чем она меньше, тем «лучше» набор.

Основанный на этом критерии перебор всех 1152 вариантов кодов был получен на ЭВМ ЕС-1035. Программа перебор была составлена на языке Фортран. В программе все варианты записей цифр кодировались в виде массивов, состоящих из 1 и 0, по следующему принципу (рис. 4): если в записи цифры присутствует палочка на данном месте, то в кодировке на месте с номером, указанным на схеме, будет записана 1, если нет — то 0.

Пример: Закодируем цифру 2, заданную в общичном виде (как на конвертах):

$$0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1.$$

Вариants кодировок цифры $i$ записывались в матрице $ki$, где количество строк равно 9, а количество столбцов совпадало с количество вариантов кодировок.

Для каждого значения базовой верятности ошибки $p$ перебирались все 1152 варианта наборов, их качество оценивалось по формуле (*), из них выбирался лучший и второй по качеству. Для этого для каждого набора формировалась матрица расстояний, которая выводилась для лучшего набора. Так как кодировки 8 и 0 имеют только по одному варианту, эти цифры не перебирались, и в вывode не участвовали.

Получились следующие результаты. При верятности базовой ошибки в пределах

$$0 < p \leq 0,3$$

напулящей кодировкой оказалась та самая, которая используется на конвертах (см. рис. 1). Так как реализная верятность ошибки распознающего автомата на почте заведomo лежит в этом пределе, то данный набор является наиболее便利ным.

Второй по качеству в этом промежутке является набор, показанный на рисунке 5. Второй набор отличается от первого всего в двух местах, и верятность ошибки при этом наборе не намного больше, чем при лучшем.

При $p=0,4$ эти наборы меняются местами.

При увеличении верятности до 0,5 все верятности становятся равными, поэтому оченьindo, что все наборы станут одинаковыми.

Конечно, мне было бы принять, если бы моя программа выявила не принятый на почте набор, а другой: я тогда смог бы предложить заменить принятый набор на свой — лучший.

Увы! Наверное, когда на почте отбирали оптимальный набор, задачу оптимизации решали так же, как и я.

Отредакции. К своим материалам, опубликованным выше, Я. Карпов приложил распечати программы (на языке Фортран), реализующие алгоритмы, описанные в статье. Распечатики дают представление о достаточно высокой программистской культуре автора статьи. К ним имеютсяясно формулированные комментарии, позволяющие легко читать программы. Однако недостаток места, а также неудачный выбор языка (Фортран не входит в школьный курс информатики) не позволяет нам опубликовать эту часть материалов.

Авторов статей, рассчитанных на использование ЭВМ, мы просим обязать поисыть свои листингы; желательно, чтобы программы были составлены на языке Бейсик (или Раппа).

21

Математические узоры на плоскости

А. Э. ЛОВКОВСКИЙ

В последнее время в прикладной математике появились работы, связанные с исследованием картины, возникших на экране дисплея, если каждую точку плоскости по некоторому правлиу окранить в тот или иной цвет. Правила окрашивания могут быть самые разнообразные.

Алгоритм, рассмотренный здесь, до того прост, что его легко может реализовать на компьютер начинающий программист. Выглядит он так: для точки плоскости $(x; y)$ вычисляется величины $c = [f(x, y)]$, где $f(x, y)$ — выбранная функция координат, а квадратные скобки обозначают целую часть числа; если число $c$ нечетное, точка закрашивается, если четное, то нет.

Вся плоскость при этом разобется на конечные однозвереные области. Размер области уменьшается при удалении от начала координат. Поэтому на компьютер, у которого размеры точки на экран могут быть больше размеров таких области, не всегда можно точно восстановить реальную картину. На самом деле в нашем алгоритме все плоскость разбивается на клетки, и каждая клетка закрашивается тем же цветом, что и ее центр. Поэтому, если на территории клетки было несколько различных области, то полученный рисунок будет отличаться от истинного. Уменьшая размер клетки, т. е. увеличивая масштаб изображения, мы улучшаем точность воспроизведения. Соответствующая программа на языке Beйсик для экрана $X \times Y$ выглядает так:

10 INPUT $S$
20 FOR $x=0$ TO $X$
30 FOR $y=0$ TO $Y$
40 IF (INT($f(x, y)/S$)) mod 2=1 THEN PLOT $(x, y)$
50 NEXT $y$
60 NEXT $x$
Роль масштаба здесь играет величины $S$.

На рисунках, показанных на второй странице обложки, вы видите узоры, получившиеся при разных $S$ для $f(x, y) = x^2 + y^2$ (рис. 1, а—э), $f(x, y) = xy$ (рис. 2, а—э), $f(x, y) = x^2 - y^2$ (рис. 3, а—э).

Ярко выраженная периодичность, которое можно увидеть при малых $S$ на всех графиках, как ни страно,—издержка нашего метода воспроизведения. Перiod на всех картиках равен $S$ при четном $S$ и $2S$ — при нечетном. Докажем это на примере $f(x, y) = x^2 + y^2$. Дейстительно, цвет точки

$$\begin{align*} (x_1; y_1) &= (x + kS; y + lS) \\ (k, l) &= \text{целые числа} \end{align*}$$

определяется выражением:

$$\frac{x_1^2 + y_1^2}{S} = \frac{(x + kS)^2 + (y + lS)^2}{S} = \frac{x^2 + y^2}{S} + S(2k + 2l + k^2S + l^2S).$$

Видно, что дробные части чисел $(x_1^2 + y_1^2)/S$ и $(x^2 + y^2)/S$ совпадают, и поэтому при четном $S$ цвет точки $(x_1; y_1)$ (т. е. четность выражения $[(x_1^2 + y_1^2)/S]$) совпадает с цветом точки $(x; y)$ при любых $k$ и $l$, а при нечетном $S$ только при $k$ и $l$ одной четности. Тот факт, что этот период наименьший, мы предлагаем доказать читателью.

На всех представленных графиках число $S$ — четное. Вы можете сами убедиться, что при нечетном $S$ черные и белые круги будут чердоваться.

Можно без конца любоваться разнообразием, возникшим при таком, казалось бы,primитивном методе построения рисунка. Для $f(x, y) = x^2 + y^2$, кроме ярко выраженного семейства окружностей с периодом $T$, можно видеть еще много (более 10) менее контрастных семейств окружностей, расположенных в узлах квадратной решетки с периодом $T/2, T/3, T/4, T/5, T/7, T/9$ и даже $T/11$. Интересно было бы ответить на такие вопросы: почему возникот «вторичные» окружности, каковы периоды их решеток (если они вообше периодичны) и т. п.

Все сказанное относится также и к графикам $c$ $f(x, y) = xy$ и $f(x, y) = x^2 - y^2$, с той разницей, что на этих рисунках мы видим семейства гипербол.

В заключение хотелось бы пожелать читательу успешно этой интерсейной проблемы, экспериментровании с различными $f(x, y)$, например $x^3 + y^3$ или arctg $(x + y)$.

22

Задчи

M1071—M1075, Ф1083—Ф1087

M1071. На доске нарисовано поле для игры в «цифры»: ((((((((((___))*)_))*)_))*)*

Двое играющих ходят по очереди. Первый игрок начальным ходом записывает на месте первого (самоголевого) пробела (___) какую-нибудь цифру. Каждый дальнейший ход состоит в том, чтобы записать цифру на месте очередного пробела и заменить стояшую слева звездочку (*) на знак сложения или умножения; при этом ни одна цифра не должна встречаться дважды. В конце игры вычисляется значение полученного выражения. Если это четное число, то выигрывает первый игрок, нечетное — второй. Кто выигрывает приправленный игре?

С. А. Генкин

M1072. Разложите на простые множители число 989·1001·1007+320.

С. В. Фомин

M1073. В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ нашлась точка O, из которой все стороны видны под углом 60°. Доказите, что если $OA_1 > OA_3 > OA_5$ и $OA_2 > OA_4 > OA_6$, то $A_1A_2 + A_3A_4 + A_5A_6 < A_2A_3 + A_4A_5 + A_6A_1$.

А. С. Меркурьев

M1074. Дана стопка из 2n+1 карточек, с которой разрешается произведение следующие две операции:
(A) сверху снимается часть карточек и перекладывает вниз с сохранением порядка;
(B) верхие n карточек с сохранением порядка выкладываются в n промежутков между нижними n+1 карточками.
Доказите, что с помощью указанных операций из исходного расположения карточек в стопке нельзя получить более 2n(2n+1) различных расположений карточек.

Д. В. Фомин

M1075. Найдите наибольшее натуральное число, вдесятчиной записи которого каждой цифре (кроме крайних) строго меньше получимы двух соседних с ней цифр.

С. Е. Рукшин

Ф1083. Оdnородный кирпич $ABCDA'B'C'D'$ (рис. 1) обладает следующим свойством: если разрезать его произвольной плоскостью, проходящей через ребро $AA'$, то каждая из двух частей кирпича, поставленная на новую грань $AEE'A'$ (рис. 2), не падает. Найти соответствия между размерами кирпича, при которых это возможно.

С. В. Шлосман

Ф1084. Если к обмерзшему стеклу на незначительное время прижать пятак, то вдоль края пятaka на стекле протаивает кругок. Почему?

Л. А. Ашкинзи

Ф1085. На рисунке 3 изображен процесс, совершаемый над идеальным газом и переводящей его из состояния A в состояние B. Найдите на графике участки процесса, где температура газа повышается (понижается).

И. Ю. Потеряйко

24

NEW PROBLEM IN PHYSICS (or MATHEMATICS). Please print your name and address in BLOCK LETTERS.

P1084. If a five kopeck coin is held briefly against frost covered glass, a circle appears along the rim of the coin. Why?
L. A. Ashkinazi

P1085. Figure рис. 3 (p. 23) shows a process which brings the ideal gas from state A to state B. Locate the parts of the graph where the gas temperature increases (decreases).
I. Yu. Poteryaiko

P1086. The resulting tension of the electric field created by two point charges at the point A is zero, while at the point B the absolute values of the fields of the two charges are equal. Show that the resulting field at the point B is directed along the line AB.
V. T. Karapetyan

P1087. A mathematical pendulum oscillates. The maximum angle away from the equilibrium position is $\alpha_0 \leqslant \pi/2$. Find angles $\alpha_1$ and $\alpha_2$ where the weight’s acceleration assumes its largest and its smallest values. Plot the dependances of $\alpha_1$ and $\alpha_2$ on $\alpha_0$.
O. A. Sedletski

Решения задач
M1051 — M1055, Ф1063 — Ф1066

В обонх случаях ответ отрицательный. Чтоы убедиться в этом, окрасим доку по горизонталям: первую горизонталь — в черный цвет, вторую — в белый, третью — снова в черный и т. д. (см. рисунок). Очевидно, что при прыжке фишка всегда попадает на поле того же цвета, поэтому в начальном и конечном квадрат 3×3 должно быть одинаковое число, скажем, черных полей. Но в нижнем квадрат их 6, а в верхнем — левом или правом — 3.

Задачу a) можно точно так же решить и с общной шахматной раскраской.
J. E. Briskin

M1052. Докажите, что из n четырехугольников, отсекаемых от выпуклого n-угольника диагоналими, не более n/2 могут оказаться описными округжности. Приведите пример 8-угольника, у которого таких четырехугольников 4.

Если бы можно было отсчет больше n/2 описанных четырехугольников, то среди них нашлось бы два соседних — имеющих две общие стороны. Обозначим их ABCD и BCDE (рис. 1). У каждой из них суммы противоположных сторон равны:
$$AB + CD = BC + AD, \quad BC + DE = CD + BE.$$
Отсюда получаем, что
$$AB + DE = AD + BE.$$ (*)

Исходный n-угольник выпуклый, поэтому его diагонали AD и BE пересекаются в некоторой точке P. По

25

неравенству треугольника

$$AD + BE = AP + BP + PD + PE > AB + DE,$$

что противечит (*).

Чтобы построить нужный 8-угольник, опишем около окружности равновобку трапецю $A_1A_2A_3A_4$ с углами в 45° при основании $A_1A_4$, а затем достроим ее до 8-угольника $A_1A_2...A_8$ как показано на рисунке 2. Аналгическое строится n-угольник, от которого можно отсчёть диагоналими [n/2] описанных четырехугольников.

Н. М. Седракян

М1053. Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, где каждое число равно сумме двух предыдущих, при $m \geq 2$ встретиется не менее 4 и не более 5 m-значных чисел.

$$u_n = \frac{\tau^{n+1} - (-1/\tau)^{n+1}}{\sqrt{5}},$$

где $\tau = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Пусть $u_n$ — последовательность Фибоначчи: $u_0 = 1, u_1 = 1,$

$$u_{n+1} = u_n + u_{n-1}.$$

(1)

Нам попадбится следующая простая оценка отношения $r_n = u_{n+1}/u_n$ соседних чисел Фибоначчи: начиная с $u_3/u_2 = 3/2$, отношения $r_n$ не меньше $3/2 = 1,5$ и не больше $5/3 = 1,66... < 1,7$.

Ее легко доказать метод математической индукции. В силу (1)

$$r_n = \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 + \frac{u_{n-1}}{u_n} = 1 + \frac{1}{r_{n-1}}.$$

Позотому, если

$$\frac{3}{2} \leq r_{n-1} \leq \frac{5}{3},$$

(2)

т. е. $2/3 \geq 1/r_{n-1} \geq 3/5$, то $r_n$ оценивается сверху числом $1+2/3=5/3$, а снизу — числом $1+3/5=8/5>3/2$. А поскольку оценка (2) верна для $n=3$, она верна и для всех $n \geq 3$.

Пусть $u_k$ — наименьшее $m$-значное число Фибоначчи, $m \geq 2$. Тогда $u_k \geq 10^{m-1}, u_{k+1} \geq 1,5u_k,$

$$u_{k+2} = u_{k+1} + u_k \geq 2,5u_k,$$

$$u_{k+3} \geq (2,5+1,5)u_k = 4u_k,$$

$$u_{k+4} \geq (4+2,5)u_k = 6,5u_k,$$

и потом $u_{k+5} \geq 10,5u_k > 10^m$ — уже не менее, чем $(m+1)$-значное число. Таким образом, $m$-значных чисел Фибоначчи не больше 5.

С другой стороны, $u_{k-1} < 10^{m-1}, u_k < 1,7u_{k-1}$ и аналогично предыдущему мы получим, что $u_{k+3} < 7,1u_{k-1} < 10^m$. Следовательно, $m$-значных чисел Фибоначчи не менее 4.

Можно решить эту задачу иначе, воспользоваться явной формулой для чисел Фибоначчи *), приведенной на полях.

Н. В. Васильев

*) См., например, книгу «Заочные математические олимпиады», М.: Наука, 1987, задача 6-11.

27

речит нашему условия. Это дает не менее чем $(21-k)(20-k)/2$ отрезков. Итак, общее число отрезков в графе не меньше

$$\frac{k(k-1)}{2} + \frac{(21-k)(20-k)}{2} = k^2 - 21k + 210 \geq 100$$

(при целых $k$); минимум достигается при $k=10$ или $k=11$. Эта оценка неуляшема, как видно из расстояния, показанного на рисунке: 10 точек величия одного конца диаметра и 11 — величий другого.

В общем случае $n$ точек на окружности число 100 нужно заменить на $n(n-2)/4$ при четном $n$ и $(n-1)^2/4$ — при нечетном; доказательство сохраняется.

В. Н. Дубровский, А. Ф. Сидоренко

Ф1063. Пешеходу необходимо в кратайшее время попасть из точки поля $A$ в точку поля $B$, расстояние между которых 1300 м. Поле пересекает прямолинейная дорога так, что точка $A$ находится от нее на расстоянии 600 м, а точка $B$ — на расстоянии 100 м. Скорость перемещения пешехода по полю равна 3 км/ч, а по дороге — 6 км/ч. Какой путь должен избрать пешеход?

Чему равно минимальное время? Расстояние случан, когда точки $A$ и $B$ лежат по одному сторону от дороги и когда они лежат по разные стороны от дороги.

Для решения задачи построим фронт области достижимости — границу той области, в любой точке которой можно оказаться за данной промежуток времени.*)

Будем строить эту границу для того момента времени, когда она проходит через точку $B$ (расстоянием случай, когда точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от дороги). Для этого случая проведем через точку $B$ (см. рисунок) прямую, образующую с дорогой угол $\varphi$ такой, что $\sin \varphi = v/u$, где $v$ — скорость движения по полю, $u$ — скорость движения по дороге. Из данных задачи следует, что $\sin \varphi = 1/2$, $\varphi = \pi/6$. Пусть эта прямая пересекает дорогу в точке $D$. Из точки $A$ проведем окружность, касающаяся прямой $BD$. Из данных задачи следует, что точка $B$ лежит между точкой касания $C$ и точкой $D$.

Итак, в момент прохождения фронтом точки $B$ интересующей нас участок фронта представляется собой окружности радиусом $AC$ и отрезок касательной $CD$. **) Телер легко понять, что оптимальный траекторий из $A$ в $B$ будет ломаная $AFGB$, причем $CFD = BGD = \pi/2 - \varphi = \pi/3$.

Аналогично, если точки $A$ и $B(B')$ лежат по одному сторону от дороги, то оптимальный траекторий будет ломаная $AFKB'$, причем $B'KD = \pi/2 - \varphi = \pi/3$. Отметим, что при другом взаимном расположении точек $A$, $B$ и дороги (при других расстояниях) оптимальная траектория может представлять собой отрезок прямой без участков дороги (в этом случае точка $B$ лежит на участке фронта, являющегося частью окружности радиусом $AC$).

Телер найдет минимальное время движения из точки $A$ в точку $B$. Если точки лежат по разные стороны от дороги —

$$t_{\min} = \frac{AF}{v} + \frac{FG}{u} + \frac{GB}{v} \approx 23,5 \text{ мин.}$$

Если точки $A$ и $B(B')$ лежат по одному сторону от дороги —

$$t_{\min} = \frac{AF}{v} + \frac{FK}{u} + \frac{KB'}{v} \approx 24,6 \text{ мин.}$$

С. С. Кротов

*) О приниците построения фронта области достижимости подробно рассказываюсь в стате Об оптимальных траекториях движения в «Кванте» № 6 за 1982 год.

**) Весь фронт симметричен относительно перпендикулара к дороге, проходящero через точку $A$; левая версия его часть — прямолинейный участок от точки $D$ до пересечения с окружностью радиусом $AC$, составляющий угол $\varphi = \pi/6$ с дорогой, и часть окружности радиусом $AC$.

28

Ф1064. Нить прикреплена к ободу тяжелого объекта и намогана на него. Если другой конец нити прикрепить к потолку и отпустить объцу, то он, врачаясь и разматывая нить, будет движаться вниз. Пусть три таких объекта соединены «последовательно», т. е. конец нити следующего объуса прикреплен к оси предыдущего (рис. 1). Все объчи одновременного отпустили, и они пришли в движение. Определить, с каким ускорением движется верхний объчء.

С каким ускорением будет движаться верхний объчء, если число последовательно соединенных объечей очень велико?

Считать, что масса объча равномерно распределена по его ободу, спицы неевесыны, нити неевесыны и нерастяжимы, тренце отсутствует.

Рис. 1.

Рис. 2.

Пусть система содержит $N$ последовательно соединенных объечей, как это показано на рисунке 2. Прономуремем их сверху вниз. На обруч под номером $k$ вверх действует сила натяжения $k$-й нити, а вниз — сила тяжестями и силы натяжения $(k+1)$-й нити. Запишем для $k$-го объча уравнение движения:

$$mg + T_{k+1} - T_k = ma_k,$$

(1)

где $a_k$ — проекция ускорения центра масс объча на направление движения, $m$ — масса объча, $T_k$ и $T_{k+1}$ — силы натяжения нити.

Аналогичное уравнение можно записать для любого объча. При этом $T_{N+1} = 0$, так как нити $(N+1)$ просто нет. Таким образом, уравнения (1), записанные для $k=1\div N$, представляют собой систему $N$ уравнений с $2N$ неизвестными $a_k$ и $T_k$.

Еще $N$ уравнений можно получить, воспользовавшись законом сохранения энергии.

За время $t$ после начала движения $k$-й объчء, движения с ускорением $a_k$, опустился на расстояние $s_k$, приобретя скорость поступательного движения $v_k$ и угловую скорость вращения вокруг объча $\omega_k$. Эти величины связаны соотношениями

$$s_k = a_k t^2 / 2, \quad v_k = a_k t, \quad \omega_k R = v_k - v_{k-1},$$

(2)

где $R$ — радиус объча. Вычислим кинетическая энергия объча, которое он прибрел к моменту времени $t$. Для этого выберем два маленьких кусочка объча одинаковой массы $\Delta m$, расположенных на одном диаметре (рис. 3). Скорость каждого из кусочков складывается из скорости $v_k$ его поступательного движения и линейной скорости вращательного движения вокруг центра объча $(\bar{u} \text{ и } -\bar{u}, u = \omega_k R)$. Суммарная кинетическая энергия этих кусочков равна

$$\Delta m (\bar{v}_k + \bar{u})^2 / 2 + \Delta m (\bar{v}_k - \bar{u})^2 / 2 = 2 (\Delta m v_k^2 / 2 + \Delta mu^2 / 2).$$

Кинетическая энергия всего объча равна сумме энергий всех таких пар, т. е. равна

$$mv_k^2 / 2 + m (\omega_k R)^2 / 2.$$

(3)

Эта энергия равна работе всех сил, действующих на объчء. Работа сил $mg$ и $T_{k+1}$ положительная и равна $(mg + T_{k+1}) s_k$. Работа сил $T_k$ отрицательная и равна $(-T_k) s_{k-1}$ (так как точка приложения силы перемещалась вниз на расстояние $s_{k-1}$). Поэтому

$$mv_k^2 / 2 + m (\omega_k R)^2 / 2 = (mg + T_{k-1}) s_k - T_k s_{k-1}.$$

Из этого уравнения с учетом (1) и (2) после преобразования получим:

$$T_k = m (a_k - a_{k-1}), \quad k = 1 \div N.$$

(4)

Уравнение (3), выражающее силу натяжения нити через ускорения, справедливо для любой нити, и следовательно, (3), как и (1), представляет собой систему $N$ уравнений с $2N$ неизвестными. Подставив из этой системы выражения для сил натяжения в системе уравнения (1), окончательное получим:

$$-a_{k-1} + 3a_k - a_{k+1} = g, \quad k = 1 \div N.$$

В этой системе уравнения следует считать $a_0 = 0$, так как это ускорение точки подвеска первого объча, $a_{N+1} = a_N$, так как $T_{N+1} = 0$ (($N+1$)-й нити нет).

Запишем теперь в развернутом виде системы уравнения (4) для трех объечей ($N=3$):

$$\begin{align*} 3a_1 - a_2 &= g, \\ -a_1 + 3a_2 - a_3 &= g, \\ -a_2 + 2a_3 &= g. \end{align*}$$

Решая эту систему, получим

$$a_1 = \frac{8}{13} g; \quad a_2 = \frac{11}{13} g; \quad a_3 = \frac{12}{13} g.$$

29

Заметим, что система (4) может быть решена при любом конечном значении $N$. Ясно, что при увеличении $N$ «трудность» вычисляется нарастает. Как же быть, если $N \to \infty$? Вот тут мы проведем рассуждения, которые справедливы и именно для случая $N \to \infty$.

Предположим, что ускорение первого обруча равно $a_1 = \chi g$, (5)

где $\chi$ — некоторое число, которое нам и нужно определить. Перейдем теперь в системе отчета, движущаяся с ускорением $a_1$. В этой системе описание движения всех обручей, начняя со второго, — задача, аналогичная нашей исходной, с той лишь разницей, что движение проискит в поле тяготения с

$$g' = g - a_1 = g(1 - \chi)$$

и общее число обручей уменьшилось на единицу. Так как обручей по-прежнему очень много, естественно считать ускорение верхнего (второго) обруча равным

$$a'_1 = \chi g'.$$

Следовательно, в неподвижной системе отчета ускорение второго обруча равно

$$a_2 = a'_1 + a_1 = \chi g' + \chi g = \chi(g' + g) = \chi(g(1 - \chi) + g) = g(2 - \chi).$$ (6)

Подставив выражения (5) и (6) для $a_1$ и $a_2$ в первое уравнение системы (4), найдем $\chi$:

$$\chi^2 + \chi - 1 = 0 \Rightarrow \chi = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}.$$

Таким образом, ускорение первого обруча при достаточно большом $N$ равно

$$a_1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} g.$$ (7)

Заметим, что уже при $N = 3$ выражение (7) справедливо с точностью 0,5%, а для $N = 10$ — с точностью $10^{-6}$%.

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Ф1065. Кастрюлю, в котором наит 1 л воды, никак не удается довести до кипения при помощи нагреваемой мощностью 100 Вт. Определить, за какое время вода остится на один градус, если отключить нагреваемый.

Это совсем простая задача — из условия ясно, что мощность нагреваателя равна мощности, уходящей от кастрюля с водой в окружающей пространство (температура воды со временем не меняется). Значит, если нагреваемый выключить, то отдаваемая мощность составляет 100 Вт и на один градус вода остится за время

$$\tau = \frac{cm \cdot \Delta T}{P} = 4,2 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 1 \text{ кг} \cdot \frac{1\text{K}}{100\text{Вт}} = 42\text{с}.$$

А. Р. Зильберман

Ф1066. Предположим, что в результате сильных пожаров в верхних слоях атмосферы возникнет слой сахки, положащий практические все nadающие на него солнечное излучение. Какой станет при этом средняя температура Земли, если сейчас она составляет 300 К?

Приближенное можно считать, что современное значение средней температуры Земли является результатом равновесия двух тепловых потоков: от Солнца к Земле и от Земли в окружающей пространство. В случае образования слоя сахки поток солнечной энергии остается прежним, но сам слой, обладая двумя поверхностями, будет излучать половину этого потока наружу — в космос, а поливину — внутри. Следовательно, поверхность Земли станет получать теплую воду меньше, чем сейчас, и после установления равновесия воды меньше теплла будет излучать обратно, в сторону слоя; т. е. $q_1 = 2q_2$,

30

I Весоюзная олимпиада школьников по информанике

В 1988 году Министерство просвещения СССР совместно с ЦК ВЛКСМ, Министерством высшего и среднего специального образования СССР, Государственный Комитет СССР по вычислительной техники и информанике, Академией наук СССР и Весоюзным обществом «Знание» проводит Весоюзную олимпиаду школьников по информанике.

Весоюзная олимпиада школьников по математике, физике и химии в 1988 году будет проводиться в 22-й раз, формы ее проведения и применяемая тематика задач устойчивых. Олимпиада по информанике проводится впервые. Поэтому при ее организации целесообразно использовать формы, обработанные в современных по другим предметам (насколько это возможно), и тематику задач, обработанную в различных современных школьников по информанике.

В тех союзных ресурсах, где имеются соответствующие условия, могут проводиться районный (городской) и областной этапы олимпиады. К совершенняемым допускают учащиеся всех возрастов, творческие основные школьный курс информаники.

Республиканские олимпиады будут проводиться в матровские канкулы. Пакеты заданный рекомендуется характера для олимпиад ресурсиканского этапа будут составлены методической комиссии по информанике Центрального оргкомитета. Эта комиссия будет осуществлять функции, анализчные функциям предметных методических комиссии Центрального оргкомитета.

По итогам ресурсиканской олимпиады формируется команда школьников на Заключительный этап олимпиады по信息均фике.

Заключительный этап олимпиады будет проводен в Свердловске с 15 до 22 апреля 1988 г. Выбор Свердловска в качестве места проведения Заключительного этапа неслучан — там объединены мистиями местных партийных и советских организа, областного и городского органа народного образования, Института математики и механики Уральского отделения АН СССР и взов во всех школьных города реализован машинный вариант (в объеме 102 ч.) курса основ информаники и вычислительной техники. Это стало возможным благодаря энергии и энергизму многих людей, в первую очередь — члена Президиума Уральского отделения АН СССР академика Н. Н. Красовского и заведующого кафедрой информаники и вычислительной техники Свердловского педагогического института В. Г. Житомирского.

Заключительный этап олимпиады, в котором присутствуют участные команды от каждой союзной ресурсики и городов Москвы, Ленинграда и Свердловска (как города — устроителя Олимпиады), будет проводиться в дватура.

В первом (теоретическом)туре будет предложены 2—3 задачи, решения которых не предполагает использования вычислительной техники. Во втором (машинном)туре будет предложены два задачи, для выполнения которых обеспечательно использование компьютеров.

В заключение приведем задачи, предлагавшие на I Международной олимпиаде по программированию, которая состоит в ЧССР в августа 1987 г. (В ней участвовали и советские школьники, подробно об этой олимпиаде будет расссказано в журнале «Информаника и образование».)

31

Задачи

1. После окончания шахматного турира в один круг (каждый сыгral друг с другом по одному разу) все пять его участников А, В, В, Г, Д, перечисленные здесь в порядке занятых мест, обменавались в печатлениями.
   — Не думал, что лишь я один не испытаю горечи порожения, — сказал В.
   — А вот мне единственному не удалось одержать ни одной победы, — затемил Д.
   Попробуйте по этим данным восстановить турируную таблицу: как каждый сыгral с остальными участниками.
2. Почему в морозный день снег скрипит под ногами?
3. Расшифруйте числовой ребус ДЕДКА+БАБКА+РЕПКА=
   =СКАЗКА,
   в котором одинаковым буквам соответствует одинаковые цифры, разным — разные и ДЕДКА>БАБКА>РЕПКА.
4. Из набора гирек с массами в 1 г, 2 г, …, 101 г потребляется 100 гирек разложить на две кучки по 50 штук в каждой так, чтобы массы кучек были одинаковы?
5. В равноведренном треугольнике отмещены середины боковых сторон и их проекции на основание. Через отмещенные точки проведены две прямые (см. рисунок). Покажите, что из полученных частей можно сложить ромб.

Эти задачи нам предложили
С. Г. Губа, А. П. Савин, А. М. Домашенко,
В. В. Произвольов, В. Д. Выон

32

Кащейское, Клима"

… и выше, что сили,
удермизационные планеты на их орбитах,
долны быть в обратном отношении
квадратных их расстояний
от центров, вокруг конх
они ограничется.

Исалк Ньюотон

1. Целовек пригает со стула, держа в руке тяжелую гирю. С какой силой давит она на руку человека в то время, когда он нахождения в воздухе?

2. Справедливый ли в условиях неевесомости законы Паскала и Архимеда?

3. В каком направлении и с какой стороны должен лететь вдоль экватора смолет, чтобы скоппенсировать уменышение своего веса, обусловленное врашением Земли?

4. Цему равна максимальная скорость тела, падающего в гипотентическую шахту, пробуренную по оси врашения земного шара? Сопротивление неучитывать.

5. Можно ли спутник движется по орбите, поскольку которого не проходит через центр Земли?

6. Чему равна первая космическая скорость для планеты, масса и радиус которого в три раза больше, чем у Земли?

7. Спутник движется по круговой орбите, радиус которого примерно равен радиусу шаровозной планеты. Какая физическая характеристика плаanetы определяет период обращения спутника по орбите?

8. Какими часами следует изменять время в космическом корабле в условиях неевесомости: магнитковыми, песочныйми или пружинными?

9. Что должен предпринять командир космического корабля, если пассажеры просят его создать состояние весомости?

34

«ВСЕ»,

«НЕКОТОРЫЕ»
И ОТРИЦАНИЕ

А. И. ОРЛОВ

Был у меня недавно интересный разговор с шестиклассником Аликом, центральным направоим футбольной команды нашего двора.

— Что, Алик, бежиш на тренировку? Зимой, небось, сменишь свой футбол на хоккей?

— Ни за что на свете! — воскликнул Алик обженно. — Зимой надо занимать, а не бегать за шайбой. Все хоккейсты плохо учатся,— футболисты учатся гораздо лучше!

— Почему ты так решил?

— А что? Все так считают в нашей команде, не я один.

— А не каждая ли тебе, что ты рассуждаешь сейчас, как печально известные обезьяны из книги Киплинга «Маггли»? Помнишь, они кричали на весь лес: «Мы велики! Мы свободны! Мы достойны восхшениния! Мы все так говорим, значит, это правда! …»

— Это кто же обезьяна?! — возмутился Алик.

— Я не хотел обидеть тебя, Алик, но ссылкой на мнение многих нельзя ничего доказать. Земля круглая, а в древности почти все думали, что она плоская. Индейцы племени сину, как пишет их воjdь Мато Нажин, считали даже, что Земля чет狸гуольная, а было это уже в XIX веке … Так почему же все хоккейсты плохо учатся?

— Ну-y, вот Сережа Кукушкин. Он все время играет в хоккей и все время получает двойки.

— Ты рассуждаешь, как один францез, который говорил: «Все английане низенькие, толстенькие и чернаяbie»,— только потом, что так выглядел единственный личанин, с которой он встречался. Имя и этот францез наушаете законы логики.

Алик задумался, а я решил помочь ему. Для начала расскаазал такую историю.

— В одном городе я видел на доме таблицу: «В нашем доме нет двоеников». На соседнем доме такой таблицы не было. Как по-твоему, Алик, значит ли это, что в соседнем доме все были двоеники?

— Н-нет,— пробормотал Алик неуверенно. Не обязательно. Это значит только, что там есть двоеники … Хотя бы один двоеник … А может быть, и все там учатся на двойки. Нет, не знаю, я ведь не был там!

— А что же ознакомет такая фраза: «Неверно, что среди ребят есть двоеники»?

— Это как в первом доме — все учатся без двоеки.

— Значит, одно из двух,— сказал я удовлетворенно. — Либо все учатся без двоеки, либо в доме есть хотя бы один двоеник. А что можно сказать о любительях шайбы?

И тут выяснились, что Алик может, подумавши, рассуждать правильно.

— Верно одно из двух: либо все хоккейсты плохо учатся, либо не все,— есть хоккейсты, которые учатся хорошо.

— Но даже в твором классе, Алик, я знаю троих отличников, которые любят гонять шайбу. Значит, верно второе: бывают хоккейсты, которые хорошо учатся.

— Ну, конечно!

— А что же тогда ознакомет ты

35

пример с Сережей Кукушкиным?
Алик задумывает.
— Что не все хоккейсты хорошо учается …
Итак, попробовав рассудать логично, Алик сам пришел к правильному выводу.
С двоеникими и хоккейстами мы разобрались сравнительно быстро. Попробуем понять, как следует рассудать в более сложных случаях. Первые пример — с разноцветными шарами. Представим себе, что в urine (небольшим ящике) могут лежать, скажем, белые и красные шары. Все шары одинакового размера и неразличны на опущь. Кто-то опускает руку в urine и вынимает шар. Шар оказывается, к примеру, красным. Что можно сказать о цвете шаров, лежащих в urine?
Некоторые сказут: «Все шары красные». На самом деле это неверно: можно ли утеверждать, что неекоторые (необязательно все) шары красные. Могут быть и белые шары. может быть и так, что вынутый шар — единственный красный средь белых.
Был вынут красный шар. Значит, неверно утеверждение: «Все шары белые». А что верно? — «Некоторые (по крайней мере один) шары красные». Давайте потренируемся. Пусть каждое из следующих утеверждений неверно.

1. Все шары в urine красные.
2. Некоторые шары в urine красные.
3. Некоторые шары в urine белые.
4. Все равноведенные треугольники являются прямоугольными.
5. Все ученики класса были на собрании.
6. Некоторые девочки были на собрании.
   Сформулируйте верные утеверждения.
   А теперь общая схема решения всех подобных задач — наше «волшебное средство». Пусть у нас есть множество M таких-то объектов (это может быть несколько шаров, или несколько книг, или все ученики какого-то класса). Каждый из элементов этого множество может обладать, а может и не обладать некоторым свойством A. Например, шар может быть красным, а может и не быть; хоккейет — быть или не быть двоениким.

Закон такой: верно может быть либо утеверждение, либо его отрицание. Однако и только одно из двух!
(В логике этот закон называется законом исключенного третьего.) Какое утеверждение, которое мы используем, либо верно, либо неверно.
Любо утеверждение B, либо его отрицание (т. е. утеверждение: «Утеверждение B неверно»). Любо все хоккейсты плохо утеvers (обладают свойством A). Если же это неверно, то хотя бы один хоккейст утеvers хорошо (не обладает свойством A).
Итак, вот наша схема:
Утеверждение

1. Все предметы из M обладают свойством A.
2. Некоторые предметы из M обладают свойством A.
   Его отрицание
3. Хотя бы один предмет из M не обладает свойством A.
4. Все предметы из M не обладают свойством A.
   Обратите внимание на то, что утеверждение «некоторые предметы обладают свойством A» и «хотя бы один предмет (а может быть, и все) обладает свойством A» ознакомят в нашей схеме одно и то же.
   А теперь — задачи.
   Постройте отрицания следующих утеверждений:
5. Все углы данного шестиугольника тупые.
6. Для любого x из множества A выполнен неравенство x² > 4.
7. Некоторые люди — детей.
8. По крайней мере для одного x из множества A будет x² - 2x + 1 = 0.
9. Все мужчины выше 2-х метров.
10. Все простые числа — нечетные.
11. Для любого простого p число 2ᵉ — 1 тоже простое.
    Вернемся к urine, в которой лежат шары, неразличные на опущь. Шары могут быть белого, красного, синего, черного цветов.
12. Известно, что не все шары в urine белые. Berho ли, что там есть красный шар?
13. Известно, что не все шары одного цвета. Berho ли, что в urine есть хотя бы один не белый шар?
14. В urine 10 белых, 8 красных, 11 черных шаров. Сколько из них надо вынуть, чтобы наверняка попался белый шар? Чтоы попались шары всех трех цветов?
    И еще одна задача — чуть последнее.
15. В классе 5 отличников, 20 «хорошистов» и 10 треочников. Отличник может получить за ответ только 5, «хорошист» — 4 или 5, треочник — 3, 4 или 5. В классире новый учитель, он не знает никакого из учеников. Сколько человек ему достаюно вызвать к·доске, чтобы наверняка была поставлена хотя бы одна пятерка?

Впервые эта статья была опublikована в федеральском номере «Кванта» в 1976 году.

36

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Закон всемирного тяготения» предназначаена восмиллассикам, «Расширение газа в пустоту» — девятиклассикам, «Электромагнитная индукция и прицили относительной» — десятиклассиком.

Закон всемирного тяготения

Есть люди, чья жизнь и деятельности служат настоящим водоразделом в истории человека. Именно таким человеком был великий английский мыслитель Ньюотон, открывший в 1667 году закон всемирного тяготения. Попробуем воспроизвести соответствующие рассуждания Ньюотона.

Сначала несколько слов о том, что предшествовал открытию. Кеплер, изучая на протяжении ряда лет таблицы движения планет, завищанные ему его учительем Тихо Браге, в начале XVII века формулирует три необыкновенного комплектных и изящных закона (которые теперь называют законами Кеплера):

1. Все планеты движутся вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2. Радиус, проведенный от Солнца до планеты, «заметает» равные площади в равные промежутки времени.
3. Квадраты перiodов двух планет ($T_1$ и $T_2$) относятся как кубы больших полуосей их орбит ($R_1$ и $R_2$): $T_1^2/T_2^2 = R_1^3/R_2^3$ (или, иначе, $T_1^2/R_1^3 =$ const для всех планет).

Уже из этих законов чувствуется, что Солнце играет какую-то особую роль в «планетной жизни». Однако сам Кеплер, несмотря на мучительные попытки, не смог до конца понять эту роль.

Приблизительно в то же время, когда Кеплер открывает законы движения планет, Галилей формулирует закон инерции, утверждающий, что, если на тело ничего не действует, оно будет двигаться с постоянной скоростью и по прямой.

Вот с этого уровня и стартовал Ньюотон. Прежде всего, развивая идеи Галилея, он задается вопросом: если телам внутренне присущество сохранять свою скорость, то за счет чего же все-tаки она может менять? Отвечая на этот вопрос, он формулирует закон, известный сегодня любому школьнику (второй закон Ньюото-

37

на): для того чтобы изменить скорость тела, надо подействовать на него силой. При этом изменение скорости за единицу времени (т. е. ускорение $a$) пригоропционально силе ($F$) и обратно пропорционально массе ($m$) тела: $a = F/m$. Из закона, открыто Ньютоном, видно, что чем больше масса тела, тем heavier оно меняет свою скорость. В этом смысле говорят, что масса тела — это мера его инертности.

Генциальность Ньютона состоит в частности, в том, что, рассматривая какое-то конкретное физическое явление (например, движение тела под действием силы), он всегда имел в виду весь мир в целом.ECTественно поэтому, что Ньютон пытается применить формулированные им законы диамники к описанию движения планет. Вывод направляется сам собой: никакой силы, подгоняющей планеты в их движении по орбите, не нужно. Наоборот, нужно сила, не позволяющая планетам улететь по прямой линия (в соответствии с законом инерции) и заворочивающая их каждый раз на круговые или близкие к круговым орбиты. Другими словами, на планеты должны действовать сила, направленная не вдоль, а поперек движения. А раз так, то не остается ничего другого, как предположить, что источником этой силы является Солнце.

Дальше все было просто. Ускорение планеты при ее движении по круговой орбите равно $a = \omega^2 R = 4\pi^2 R/T^2$ (обычно центростремительное ускорение). Подставляя это выражение в свой собственный закон ($a = F/m$), Ньютон получает

$$\frac{4\pi^2}{T^2} R = \frac{F}{m}.$$

Здесь $F$ — та самая сила, которая действует на планету со стороны Солнца, а $m$ — масса планеты. Используя третий закон Кеплера, Ньютон приходит к выводу, что величана $F/m \sim 1/R^2$ и не зависит от характеристик планеты, т. е. сила, действующая на планету со стороны Солнца,

$$F = \text{const} \cdot \frac{m}{R^2}.$$

Размышляя о том, от чего бы могла зависти величина входящей в это выражение constants, Ньютон поступает, что она определяется только массой Солнца ($M$). (Почем? Да просто так ему казалось естественным.) Вот так и возникло знаменитое и одновременное столпивчное сегодня выражение

$$F = G \frac{Mm}{R^2}.$$

Величина коэффициента $G$ ни от чего не зависит и является мировой константой (она получила название гранитционной постоянной).

Дальнейший анализ движения планеты показал, что при такой силе автоматически выполняются и первые два закона Кеплера. Это уже был большой успех. Воодушленный им, Ньютон пытается описать движение Луны во круглг Земли и, хотя и с некоторыми приключениями, получает превосходное соглашение своих расчетов с экспериментом.

И тут Ньютон решается на противодействие своей силе обобщение. Он утверждает, что открыта им сила никаким образом не связана со спецификой небесных тел, а является универсальным свойством любых объектов природы. Так был формулирован закон всемирного тяготения: сила, действующая между двумя любыми телами с массами $m_1$ и $m_2$,

$$F = G \frac{m_1 m_2}{R^2}.$$

Вопрос о том, почему те самые массы, которые характеризуют стремление тел сохранять свое движение (т. е. являются мерой их инертности), одновременно определяют и взаимное прияжение тел друг к другу, волновал много поколеней ученых и являлся последствием отправной точкой для построения Эйнштейном общей теории относительнойности.

Коль скоро закон всемирного тяготения применим к любым телам, появились возможность экспериментального измерения величины gravitationной постоянной $G$. Она оказалась невероятной малой:

$$G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{H} \cdot \text{m}^2/\text{kr}^2.$$

Это означает, что gravitationные силы очень слабые. Именно поэтому мы совершенно не заменаем gravitationного прияжения между окружностями нас телами. Эта сила становится заметной только тогда, когда хотя одно из тел очень большое (такое, как Земля, Солнце и т. п.).

38

Расширение газа в пустоту

Спросите кого угодно, что произдет с температурой идеального газа, который расширяется в замкнутом состоянии элементы, вычислить силу взаимодействия между таких элементками, а потом все силы геометрической сложить. (В обшем случае это довольно громоздкая процедура, а выражение для результирующей силы может оказаться столь сложным, что его попросту неозможно записать в виде конечной формулы.)

Дальнейшие 150 лет были годами настоящего триумфа ньютоновской картины мира. Стали понятны принципы океанских приливов и связь ускорения свободного падения с плотностью залегающих в данном месте пород. Были обязываны тончайшие детали в движении планет, их спутников, да и любых других небесных тел. На настоящие годы было пожоже чисто теоретическое представление существования восмой планеты Солнечной системы — Нептуна (1846 г.). Причем англцианин Адамс и Францз Леверье не просто представили ее существование, но и вычислили, в какое время и куда надо направить телекскопы, чтобы ее увидеть. И все произело в точном соответствии с их расчетами. Такая же история произила и с открытом девятой планеты — Плутона (1930 г.) Движение двойных звезд и форма звездных скоплений, структура галактики и их взаимодействие друг с другом — все подчиняется открытом ньютоном закону всемирного тяготения.

Успехы были столблены, что возникла иллюзия, будто все в мире описываться с помощью законов Ньютона. К сожалению (а может, наоборот, к счастью), действительность оказалась гораздо более научная революция XX века приела к созданию новой картины мира, в которой законы Ньютона нашли свое точное место среди другихFundamentальных законов природы.

Е. Е. Городецкий

Расширение газа в пустоту

Спросите кого угодно, что произдет с температурой идеального газа, который расширяется в замкнутом состоянии элементы, вычислить силу взаимодействия между таких элементками, а потом все силы геометрической сложить. (В обшем случае это довольно громоздкая процедура, а выражение для результирующей силы может оказаться столь сложным, что его попросту неозможно записать в виде конечной формулы.)

Дальнейшие 150 лет были годами настоящего триумфа ньютоновской картины мира. Стали понятны принципы океанских приливов и связь ускорения свободного падения с плотностью залегающих в данном месте пород. Были обязываны тончайшие детали в движении планета, их спутников, да и любых других телекскопы, чтобы ее увидеть. И все произело в точном соответствии с их расчетами. Такая же история произила и с открытом девятой планеты — Плутона (1930 г.) Движение двойных звезд и форма звездных скоплений, структура галактики и их взаимодействие друг с другом — все подчиняется открытом ньютоном закону всемирного тяготения.

Успехы были столблены, что возникла иллюзия, будто все в мире описываться с помощью законов Ньютона. К сожалению (а может, наоборот, к счастью), действительность оказалась гораздо более научная революция XX века приела к созданию новой картины мира, в которой законы Ньютона нашли свое точное место среди других Fundamentальных законов природы.

Е. Е. Городецкий

39

А что происходит между этими состояниями? К сожалению, школьная термодинамика ничего об этом сказаить не может. Почему? Да потому, что вся она верна только для очень медленных (так называемых квазистатических) процессов, которые происходит со скоростью, много меньше тепловой скорости движения молекул. В нашем же случае как только мы уберем перегородку, газ буквально бросится в вакуум со скоростью порядка тепловой скорости молекул и даже еще быстрее, потому что в газе есть отдельные молекулы, скорость которых намного больше тепловой. А тут термодинамика просто неверна. Вот почему на рисунке 2 мы изображили неизвестный нам процесс шрихами, а не сплошной линии.

Все наши рассуждания справедливы для случая идеального газа. А если газ не идеальный? Тогда его молекулы взаимодействуют друг с другом, и внутренняя энергия газа складывается из кинетической энергии движения молекул и потенциальной энергии их взаимодействия.

На рисунке 3 изображена зависимость потенциальной энергии $\Pi$ взаимодействия двух молекул от расстояния $r$ между ними. Там, где потенциальная энергия минимальная (точка $r_0$), вещество конденсируется, т. е. переходит в жидкое состояние. Так как, по условиям, мы имеем в начальной момент газ, то среднее расстояние между молекулими соответствует точке $r_1 \gg r_0$. После удвоения объема среднее расстояние между молекулими становится равным $r_2 = r_1 \sqrt[3]{2} > r_1$. Получилось, как будто в результате расширяния газа слегка «вытащили» наверх, по склону потенциальной ямы. Но кто поработал над тем, чтобы увеличить потенциальную энергию на $\Delta\Pi$? Никто. И сам газ тоже ни над чем не работал. Поэтому остается признать, что увеличение потенциальной энергии произойдет ЭДС оказывается пропорциональной скорости изменения магнитного потока (закон Фарадея), а направление индукцион-

40

ного тока определяется правлим Ленца («Физика 9», § 92, 93).

Самому Фарадю казалось совершенство естественных, что оба варианта описываются одним и тем же законом. Однако вимательный анализ показывает, что такая система является далеко не оченьной. Попробуем разобраться в этом вопросе поподробнее.

При перемещении контур в магнитном поле, которое не изменяется со временем, роль сторонней силы, порождающей ток в цепи, играет сила Лоренца, которая действует со стороны магнитного поля на любой движущейся заряд. Напомним известный вам пример («Физика 9», § 95). Пусть в однородное магнитное поле с индукцией $B$ помещен прямогольный контур, плоскость которого перепределкулярна линяем индукции (рис. 1). Одана из сторона контур представляется собой перемычку со скользывами контакками. Если перемещать перемычку со скоростью $v$, то в ней возникнет ЭДС индукции $E = Bvl$ (л — длина перемычки). Действительно, на свободный заряд $q$ в движущейся перемычке действует сила Лоренца $F = qvB$ (направление силы указано стрелкой); соответствуют этой стороне силы ЭДС

$$E = \frac{A}{q} = \frac{Fl}{q} = \frac{qvBl}{q} = Bvl$$

где $A$ — работа стороне силы на длине перемычки. Сравним этот результат со скоростью изменения магнитного потока:

$$\left| \frac{\Phi}{l} \right| = \left| \frac{\Phi(BS)}{l} \right| = \left| \frac{\Phi(Bxl)}{l} \right| = Bvl$$

Легко также проверить, что знак возникшей ЭДС соответствует правлим Ленца.

Разбранный пример показывает, что в случае движения проводников в постоянном магнитном поле возникновение индукционного тока не представляется собой принципально нового физического явления.

Совсем другая картина получается в случае неподвижного контур, по-

Рис. 1.

мещенного в изменяющейся со временем магнитное поле. Так как свободные заряды в проводнике изначально неподвижны (разумеется,xaотичное тепловое движение мы не учитываем), магнитное поле на них не действует и поэтому не может вызвать их направленного перемещения. Следовательно, индукционный ток может появиться только под действием электрического поля. Как оно возникнет и какими свойствами обладает?

Ясно, что во многом это электрическое поле отличается от известного электростатического поля. Например, оно создает ЭДС в замкнутом контуре, значит, его работа по перемещению зарядов по замкнутому пути не равна нулю. Это поле выходе, т. е. его сливые линии имеют вид замкнутых линий. И т. д.

Мы видим, что анализ ситuations, возникка ошибки в случае неподвижного контур в переменном магнитном поле, приводит к широкому кругу совершенню новых физических явлений, указавалось на прямую факт, не подкрепленный в то время никакими экспериментами: перемещение во времене электрическое поле всегда, в свою очередь, порождает магнитное поле. Придав этим физическим утверждением математические симметричные форму (уравнения Максвелла), он завершил построение единой теории электромагнитного поля.

После всех этих рассуждений может показаться, что закон электромагнитной индукции описывается два

41

совершенно разных физических явления. В постоянном магнитном поле индукционный ток в движущемся контуре вызывается самим магнитным полем, а изменяющиеся магнитное поле порождает выходное электрическое поле, которое и заставляет заряды движаться вдоль неподвижного контура. Так почему же закон электромагнитной индукции для этих случая один и тот же? Что это — удивительное совпадение? Оказывается, в этом «совпадении» проявляется глубокая связь теории электромагнитного поля со специальной теории относительнойности, в основе которого лежит принцип относительнойности Эйнштейна. (Основные идеи специальной теории относительнойности были формулированы Эйнштейном в 1905 году.) Согласно этому принципу все явления природы (не только законы механики, как это следует из принципа относительнойности Галилея) должны проискать одинаково во всех инерциальных системах отчета. Важное следствие этого природа заключится, в частности, в том, что нельзя однозначно, вне зависимости от системы отчета, сказать, какие поля существуют в окружающей пространстве.

Рассмотрим в качестве примера взаимодействие двух электронов с точки зрения двух наблюдаемый (рис. 2). наблюдаемый А утверждает, что движущие заряды создают вокруг себя как электрическое, так и магнитное поле, и кроме кулоновского отталкивания между ними действует магнитное приятие (как между паралельными токами). наблюдаемый В не согласен с ним и утверждает, что магнитного поля нет, раз заряды по吻ется, и между электронами действует только кулоновское отталкивание. Приципп же относительно примера обиха наблюдаемый,

утверждая, что оба они правы, поскольку понятия электрического и магнитного полей являются относительнойми, зависимости от системы отчета. Оба эти поля выступают как части единого целого — электромагнитного поля.

Вернемся, однако, к закону Фарадей и представим себе следующий эксперимент. Будем ссылать постоянный магнит и замкнутый проводящий контур (рис. 3). Гальванометр, включенный в контур, зафиксирует относительный ток. Отклонение стрелки галванометра увидит как наблюдаемый А, который стоит на магните, так и наблюдаемый В, сидящий на контуре. «Все ясно, — скажет наблюдаемый А, — контур движется в постоянном поле мочего магнита, на магните в контуре действует сила Лоренца — вот и течет ток!». наблюдаемый «Магнит приближается к моему неподвижному контруру. Изменящееся магнитное поле порождает выходное электрическое поле — оно и создает ток в контуре!». Но, по Эйнштейну, оба наблюдаемые правы. Оба они видят одно и то же отклонение стрелки галванометра, т. е. один и тот же результат проявления закона Фарадей. А это означает, что и сам закон Фарадей, конечно же, должен быть одинаковым для общих расстояний слушав.

А. И. Черночан

42

Язык Лого
Урок 2: Черенашья академия

А. А. ДУВАНОВ, Ю. А. ПЕРВИН

Арифметика Лого.
ЭВМ, конечное же, должна уметь вычислять. Мы можем набрать на клавиатуре команду ВПЕРЕД 10+20. Машина сложит 10+20 и пошлет Черпаху на 30 шагов вперед. Во всех ранее введенных командах вместе конкретного числа шагов или градусов поворота можно использовать арифметические выражения. Машина выполнит указанные в нем действия, округлит результат до ближайшего целого числа и будет использовать это число как параметр команды. Так, движения исполнитель будет совершенно одинаковы при выполнении команд
НАЗАД (100+20)/5 и НАЗАД 24
ВПРАВО 30—200/(2+3) и ВПРАВО —10
ВЛЕВО 20/3 и ВЛЕВО 7.

В языке Лого в качестве знаков арифметических операций использоваться:

• операция сложения;
  — операция вычитания;

• операция умножения;
  / операция деления.

Круглые скобки служат, как обычно, для управления порядком действия. Выражения должны быть «вытянуты» в строку: (2+7)/5, а «многоэтажные» записи типа $\frac{2+7}{5}$ недопустимы. Это ограничение связано с тем, что на клавиатуре ЭВМ все символы выражения можно набрать только последовательно. Все знаки в арифметическом выражении должны явно указаны. Запись вида ВПЕРЕД (3+7)(40+30) заставит машину признать:
НЕПОНЯТНО ЧТО ТАКОЕ (3+7)(40+30)
Правильно следует писать: ВПЕРЕД (3+7)*(40+30). Десятические дроби в Лого записываются как обычно, но вместе запятой для отделения дробной части используется точка.

Черенаха одинаково средирует на команды:
ВПЕРЕД 2*(48+3)/2. 5 и ВПЕРЕД 40
ВПРАВО 180/3. 14 и ВПРАВО 57

Все эти, не совсем прививные, правильные записи арифметических выражений не имеют никакого отношения

43

к самом предмету программирования и связанны лишь с несовершенством нынешних машин, но в силу этого становятся суровой необходимостью, когда действительное нужно задать программу реализной ЭВМ.

Коль скоро ЭВМ может считать, естественно, что она имеет выводить на экран результат своих вычислений. Для того, чтобы заставить машину напечать на экран результат деления 25 на 4, достаточно дать ей команду:
ПИШИ 25/4

Выполняя команду, ЭВМ зажигает на экран результат: 6.25. Заметьте, без округления! Дело в том, что округляются только параметры команд, заставляющих Черепаху перемещаться. И в самом деле, ведя единцией перемещения является число «шагов» — точек экран, которое должно быть целым. Машина уже имеет вычислять (и выдавать) результат с весма высокой точностью.

Задача 1 (на тринировку записи выражений). а) Запишите команду НАЗАД без знаков операций, выполяющего то же действия, что и команду НАЗАД (42*5/7—15)/7; б) Заставьте машину сосчитать арифметическое выражение

$$\frac{5}{6} \left( \frac{21}{0,56} + \frac{6}{19} \cdot 21,31 \right).$$

Так необходимые имена

… Мою подругу зовут Валентина. Правда, красивое имя?
… Кис-кис! Феропонт, котик, иди сюда.
… Величина, именуемая x, не может принимать нульое значение, когда она является знаменателем дроби 1/x.
Имена служат удобным средством для идентификации людей, животных, предметов, понятный, явленный, т. е. для выделения конкретного объекта среди других, однотипных с ним. В языках программирования имена так и называются — идентификаторы. Как и в математике, они обозначают переменные величины. Идентификатором в Лого может быть произвольное слово, такое как x1, СТОРОНА или ВАСЯ. Идентификатором, как ярыком, помещается некоторая область в памяти ЭВМ, где хранится значение переменной. Чтобы различить, когда идет речь об именуемой области памяти, a когда o ее содержимом, в Лого в первом случае перед идентификатором переменной ставят кавычки, а во втором — двоеочие. Так, запись «X означает имя переменной X, а запись :X — значение этой переменной.

В Лого существует специальная команда СДЕЛАЙ, называемая командой присваивания, при помощи которой переменным можно присваивать значения. Например, при выполнении команды СДЕЛАЙ «X :X+1» приведет к увеличению значения переменной X на 1, так что X получит значение 2.

Итак, в команде присваивания — три части: обязательное (ключевое) слово СДЕЛАЙ, идентификатор переменной и выражение. По этой команде сначала вычисляется аргументное выражение. Если в нем есть переменные, то эти значения из соответствующих области памяти и подставляются в выражение. Результат вычисления становится переменной, идентификатор которого располагается неосредственно за словом СДЕЛАЙ. Вот пример:

СДЕЛАЙ «ВАСЯ 2
СДЕЛАЙ «ВАСЯ :ВАСЯ +1
(переменная ВАСЯ получает значение 5). Рассмотрим друг пример, связанный уже с геометрией.

44

Рис. 2.
СДЕЛАЙ «СТОРОНА 100 СДЕЛАЙ «УГОЛ 180
ПОВТОРИ 4 [В :СТОРОНА П :УГОЛ/2]
ПОВТОРИ 4 [В :СТОРОНА/2 П :УГОЛ/2]

(нарисованы два вложенных друг в друга квадрата, с совмещенным левым нижним углом).

Задча 2. Составьте программу, вычислую объем ангара, изображенного на рисунке 1.

Процедуры с параметром

Занимаясь арифметикой и расчудяя об именах, мы совсем забили нашу Черепаху, которая весма умело чертит … если его правильно управлять. Давайте научим Черепаху рисовать вот такую «пирамиду» (рис. 2).

Задча решения при помощи вызова процедуры ПИРАМИДА, описание которого имеет вид
это ПИРАМИДА
ПРИМОУГЛЫНИК 1
НР В 10 П 90 В 20 Л 90 Р
ПРИМОУГЛЫНИК2
НР В 10 П 90 В 10 Л 90 Р
ПРИМОУГЛЫНИК3
НР В 10 П 90 В 5 Л 90 Р
ПРИМОУГЛЫНИК4
КОНЕЦ

Здесь использованы четыре «прямоугольных» процедуры:
это ПИРАМИДИК1
ПОВТОРИ 2 [В 10 П 90 В 80 П 90]
КОНЕЦ
это ПИРАМИДИК2
ПОВТОРИ 2 [В 10 П 90 В 40 П 90]
КОНЕЦ
это ПИРАМИДИК3
ПОВТОРИ 2 [В 10 П 90 В 20 П 90]
КОНЕЦ
это ПИРАМИДИК4
ПОВТОРИ 2 [В 10 П 90 В 10 П 90]
КОНЕЦ

Они очень похожи друг на друга.
В таком случае можно записать всего одну процедуру с параметром, вынесенным в заголовок описания процедуры и названным, например, СТОРОНА. Тогда в описании процедуры вместе размер стороны примоугольника будет фигурировать имя СТОРОНА, обозначающее значение из таким образом помещенной области памяти.

это ПИМОУГЛЫНИК :СТОРОНА
ПОВТОРИ 2 [В 10 П 90 В :СТОРОНА П 90]
КОНЕЦ

Параметр процедуры, представляющий собой имя переменной, называется параметром описания процедуры, или ее формальный параметром.

Наша процедура вызывается к использованию при помощи команды
ПРИМОУГЛЫНИК α,
где α — арифметическое выражение (в частности, число), называемое фактическим параметром процедуры, или параметром вызова. Вызов происходит так: формальный параметру СТОРОНА выделяется область свободной памяти (возможно при каждом вызове разная); вычисляется фактический параметр и его значение помещается в выделенную для формального параметра область; выполняется команды тела процедуры; после этого область памяти, временно отведенная под параметр, объявляется свободной.

Переменная, для которой место в памяти отводится каждой разного в момент вызова процедуры, называется локальной переменной этой процедуры. Формальные параметры процедуры в Лого — это локальные переменные.

Далее несколько процедур использоваются формальные параметры, это не описано для программы, вызывающей эти процедуры. Действительно, формальные параметры локальных, и значит, будучи занятыми во время выполнения некоторых памяти освобождаются к ее завершению и могут быть использованы под любым (и в том числе, тем же самым) именем в других процедурах. Таким образом, локальное форматовое позволяет распределить составление сложной программы, включая необходимый текстовыйом программистов. В следующем примере

это А :X :Y
ВПЕРЕД :X ВПРАВО :Y ВПЕРЕД :X КОНЕЦ
СДЕЛАЙ «T 45
А :T :T2
переменные X, Y — формальные, а выражения :T и :T2 — фактические параметры процедуры A. Соот-

45

Ветствие между формальными и фактическими параметрами — позиционное: первый формальный параметр соответствует первому фактическому, второй — второму и т. д.

Вернемся теперь к нашей примике. Это ПРАМИДА
ПРЯМОУГОЛЬНИК 80
НР В 10 П 90 В 20 Л 90 Р
ПРЯМОУГОЛЬНИК 40
НР В 10 П 90 В 10 Л 90 Р
ПРЯМОУГОЛЬНИК 20 (1)
НР В 10 П 90 В 5 Л 90 Р
ПРЯМОУГОЛЬНИК 10
КОНЕЦ

Задача 3. В программе (1) четырехыповторяется вызов процедуры ПРЯМОУГОЛЬНИК, правда, с разным, но закономерно изменяющимся фактическим параметром. Проанализировав закономерности программы, составьте описание процедуры с параметром ПРАМИДА:ОСНОВАНИЕ, где вызов процедуры ПРЯМОУГОЛЬНИК осуществляется бы внутри цикла. Предложите, по крайней мере, два варианта такой процедуры. Объясните, какой из них и почему, по вашему мнению, лучше. Используйте вашу программу для рисования примыцы с основанием 120.

Программисты стараются всегда, когда это возможно, сделать свои программы универсальными.

Задача 4. Расширьте возможности предыдущей программы, описав процедур, которая рисунет примыцу с произвольной высотой колца. Нарисуйте с помощью вашей новой программы рисунок, составленный из двух примыид (рис. 3).

Правильные многоугольники

Рисуя правильные многоугольники с треями, четырьмя, пятую, … сторонами (рис. 4), легко убедиться, что с возможностью числа сторонами числа сторон фигура становится все более «круглой». На правильном шестиугольнике уже выполнено exactly как на колесе, если он достаточно мал (рис. 5)!

Угол правильного $n$-угольника равен 180—360/$n$ градусов. Значит, Черенаха после отрисовки каждой стороны должна поворачивать на дополнительный угол, равный 360/$n$ градусов. Вот описание процедуры для построения произвольного правильного $n$-угольника:

Это ПРАВИЛЬНЫЙ : $N$ :СТОРОНА
ПОВТОРИ : $N$ :СТОРОНА П 360/$N$

ВЫЗОВ
ПРАВИЛЬНЫЙ 4 100
нарисует на экране квадрат со стороной 100, а вызов
ПРАВИЛЬНЫЙ 8 20
— правильный восмнутый со стороной 20. Наконец, рисунок правильного 360-угольника со стороной 1 — это вызов
ПРАВИЛЬНЫЙ 360 1

Это наличище приближение окружности, создаваемое Черенахой, которая не имеет поворачивать на углы, меньше 1 градуса, и перемещаться на расстояния, меньше 1 черепашнего шага. Длина этой окружности 360 шагов, а радиус $R = 360/2 \pi$, т. е. приближительное 57 шагов. Увеличить ее радиус можно, если при обращении к процедуре ПРАВИЛЬНЫЙ будет увеличена сторона. А вот уменьшить радиус можно, только уменьшив число сторон многоугольника.

Задача 5. Придумайте процедуру ОКРУЖНОСТЬ с одним параметром РАДИУС. Она должна рисовать наличище возможность заданного радиуса. Точку расположения Черенахи на экране использует в качестве центра окружности, в которой исполнитель должен вернуть после завершения рисования.

46

Решение систем тригонометрических уравнений

Кандидат физико-mатематических наук
А. А. БОЛИБРУХ,
кандидат физико-mатематических наук
В. М. УРОЕВ,
профессор М. И. ШАБУНИН

В данной заметке на примерах задач, предложенных в разных годы наступительных экзаменах в МФТИ (письменных и устных), приведены некоторые способы решения систем тригонометрических уравнений.

Напомним определения, относящаяся к любым, не обязательно тригонометрическим, системам. Если каждое решение одной системы является решением другой системы, то вторая система называется «следствием» первой. Если первый система является следствием второй, а второй — следствием первой, то такие системы называются равносильными.

Укажем некоторые преобразования системы, в результате которых получаются системы, равносильные исходной.

1. Любое уравнение системы можно заменить равносильным ему уравнением.

2. Любое уравнение системы можно заменить уравнением, которое получается сложением данного с другой уравнением системы.

3. Значение неизвестного, найденное из некоторого уравнения системы, можно подставить в любое другое уравнение той же системы.

4. К системе можно добавить уравнение, являющегося следствием данной системы.

5. Если система содержит уравнение $f \cdot g = 0$, где функция $f$ и $g$ определяны на одном и том же множестве, то она равносильна совокупности двух системы, в одной из которых уравнение $f \cdot g = 0$ заменено уравнением $f = 0$, а в другой — уравнением $g = 0$.

Приступая к решению системы тригонометрических уравнений, целесообразно вначале проверить, нельзя ли неопределенно из какого-либо уравнения системы выразить одно из неизвестных через другие.

Задача 1 (МФТИ, 1983). Решите систему уравнений
$$\begin{cases} tg x + tg y = 1 - tg x \cdot tg y, \\ \sin 2y - \sqrt{2} \sin x = 1. \end{cases}$$

Решение е. Исподная система имеет смысл лишь в случае, когда определены функции $tg x$ и $tg y$, т. е. выполл-

47

найотся условия
$$\cos x \neq 0, \cos y \neq 0.$$ (3)

Рассмотрим первое уравнение. Естественно было бы разделить обе его части на 1 — тg x · tg y и воспользоваться формулой тангенса суммы. Тогда уравнение (1) можно было бы переписать в виде
$$\text{tg}(x + y) = 1;$$ (4)
но при этом мы можем потерять те решения системы (1), (2), для которых
$$1 - \text{tg} x \cdot \text{tg} y = 0.$$ (5)
Однако легко убедиться в том, что система (1), (2), (5) не имеет решения. В самом деле, если бы существовали решения этой системы, то из уравнения (1) следовало бы, что tg x + tg y = 0. Но тогда уравнение (5) прияло бы вид 1 + tg² y = 0, и следовательно, оно бы решений не имело.

Таким образом, исходная система при условии (3) равносильно системе (2), (4).

Из уравнения (4) находится x + y = π/4 + πn, т. е.
$$y = \pi/4 + \pi n - x, \ n \in \mathbb{Z}.$$ (6)
Тепер найденное для y выражение подставим в уравнение (2) исходной системы:
$$\sin(\pi/2 - 2x + 2\pi n) - \sqrt{2} \sin x = 1.$$
Полученное уравнение приводится к виду sin x (2 sin x + √2) = 0, откуда
a) sin x = 0, x = πm, m ∈ Z,
6) sin x = -√2/2,
x = (-1)^{k+1}π/4 + πk, k ∈ Z.
По формуле (6) определяем соответствующие значения y. Для серии a)
$$y = \pi/4 + \pi(n - m), \ n, m \in \mathbb{Z};$$ (7)
для серии 6)
$$y = \pi/4 - (-1)^{k+1}π/4 + π(n - k), \ n, k \in \mathbb{Z}.$$ (8)
Значения (x, y) из формулы (7) удовлетворяют условия (3). Для серии (8) требуется дополнительное исследование. Если sin x = -√2/2, то cos x ≠ 0, так что первое неравенство уравнения (3) зависит воиполнено. Второе неравенство cos y ≠ 0 выполняется не всегда.

Если k — четное число, т. е. k = 2p, где p ∈ Z, то по формуле (8) находится y = π/2 + π(n - 2p). Для этих значений y условие (3) не выполняется. Если же k — нечетное число, т. е. k = 2p - 1, где p ∈ Z, то y = π(n - 2p + 1) и условие (3) вы-
полено. Соответствующие значения x находится по формуле 6): x = -3π/4 + 2πp.
Ответ: (πm; π/4 + π(n - m)), (-3π/4 + 2πp; π(n - 2p + 1)), m, n, p ∈ Z.

Целочисленные параметры, входящие в запись решений системы, нельзя обозначать одной буквой. Это означает, что они обозначены принимать одинаковые значения, в то время как в действительности они принимают клегугодно цельные значения — одинаковые или разные.

В дальнейшем k, l, m, n, p, r, s, t, если не оговорено противное, принимают все целые значения.

Задача 2. Решите систему уравнений
$$\begin{cases} \sin x \cdot \cos y = -1/2, \\ \cos x \cdot \sin y = 1/2. \end{cases}$$ (9)

Решение. Сложив уравнения системы (9), а затем вычтя из второго уравнения первого, получим систему, равносильно системе (9):
$$\begin{cases} \sin(x + y) = 0, \\ \sin(y - x) = 1, \end{cases}$$

откуда последовательно находится
x + y = πn, y - x = π/2 + 2πk,
x = π(n/2 - k - 1/4),
y = π(n/2 + k + 1/4).

Ответ: (π(n/2 - k - 1/4); π(n/2 + k + 1/4)).

Так же, как система (9), можно решить любую систему вида
$$\begin{cases} \sin x \cdot \sin y = a, \\ \cos x \cdot \cos y = b. \end{cases}$$

К таким системам приводятся, например, системы
$$\begin{cases} \sin x \cdot \sin y = a, \\ \text{tg} x \cdot \text{tg} y = b, \\ \sin x \cdot \cos y = a, \\ \text{tg} x \cdot \text{ctg} y = b. \end{cases}$$

Если система содержит только две комбинации трионометрических функций либо приводится к такойой, то, обозначив эти комбинации функций за новые неизвестные, можновести исходную систему к алгебраической.

Задача 3. Решите систему уравнений
$$\begin{cases} \cos x - \sin x = 1 + \cos y - \sin y, \\ 3 \sin 2x - 2 \sin 2y = 3/4. \end{cases}$$ (10)

Решение. Воспользовемся тождеством
$$(\sin x - \cos x)^2 = 1 - \sin 2x$$ и обозначим

48

cos x - sin x = u, cos y - sin y = v;
(11)

тогда
sin 2x = 1 - u², sin 2y = 1 - v²,
и система (10) сведется к алгебраической системе
$$\begin{cases} u = 1 + v, \\ 3u^2 - 2v^2 = 1/4. \end{cases}$$

Система (12) имеет два решения:
$$u_1 = -9/2, v_1 = -11/2 \text{ и } u_2 = 1/2, v_2 = -1/2.$$
Рассмотрим вначале значения $u_1, v_1$. Возвращаясь к исходным переменным, по формулам (11) получаем:
$$\begin{cases} \cos x - \sin x = -9/2, \\ \cos y - \sin y = -11/2. \end{cases}$$

Но уже первое уравнение системы (13) решений не имеет, так как cos x - sin x = $\sqrt{2}$ cos $(x + \pi/4)$ $\geqslant -\sqrt{2} > -9/2$.

Следовательно, система (13) решений не имеет.

Рассмотрим теперь значения $u_2$ и $v_2$. Вновь по формулам (11) получим
$$\begin{cases} \cos x - \sin x = 1/2, \\ \cos y - \sin y = -1/2. \end{cases}$$

Для первого уравнения находим
$$\cos x \cdot 1/\sqrt{2} - \sin x \cdot 1/\sqrt{2} = 1/2\sqrt{2}, \cos(x + \pi/4) = 1/2\sqrt{2}, x + \pi/4 = \pm \arccos(1/2\sqrt{2}) + 2\pi n, x = -\pi/4 \pm \arccos(1/2\sqrt{2}) + 2\pi n.$$
Точно так же получаем
$$y = -\pi/4 \pm \arccos(-1/2\sqrt{2}) + 2\pi n.$$
Таким образом, найдем следующее решение исходной системы:
$$(-\pi/4 \pm \arccos(1/2\sqrt{2}) + 2\pi n; -\pi/4 \pm \arccos(-1/2\sqrt{2}) + 2\pi n)$$
(знаки выбираются независимо друг от друга).

В некоторых случаях система удается привести к виду
$$\begin{cases} \sin x = f(y), \\ \cos x = g(y), \end{cases}$$

откуда в силу основного трионометрического точекства $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ получаем уравнение $f^2(y) + g^2(y) = 1$, содержащей лишь одно неизвестное.

Если система приведена к виду
$$\begin{cases} \text{tg} x = f(y), \\ \text{ctg} x = g(y), \end{cases}$$

то неизвестное $x$ исключается переменным уравнения: tg $x \cdot \text{ctg} x = 1$, откуда $f(y) \cdot g(y) = 1$.

При таких способах решения необходимо внимательно следить за тем, чтобы не потерять решения и не прибрести посторонних решений.

Задача 4 (МФТИ, 1978). Решите систему уравнений
$$\begin{cases} 4 \sin x - 2 \sin y = 3, \\ 2 \cos x - \cos y = 0. \end{cases}$$

Решение. Систему (15) можно привести к виду (14). Следовательно, получим равносильную систему
$$\begin{cases} \sin x = 3/4 + 1/2 \cdot \sin y, \\ \cos x = 1/2 \cdot \cos y. \end{cases}$$

Возвода почленно уравнения системы (16) в квадрат и складывая, получаем уравнение, являющегося следствием системы (16):
$$1 = \frac{9}{16} + \frac{3}{4} \sin y + \frac{1}{4} \cos^2 y,$$
или
$$\sin y = 1/4,$$

откуда
$$y = (-1)^n \arcsin 1/4 + \pi n.$$
Из первого уравнения системы (16) с учетом (17) находим $x = 7/8$, $x = (-1)^m \arcsin 7/8 + \pi m.$

Поскольку при решении системы (15) могут появиться построение решения (использовалась операция возвления в квадрат), необходимо произвести отбор, подставив найденные значения (18), (19) во второе уравнение этой системы.

Легко видеть, что при четных $m$ и $n$ в формулах (18), (19) соответствуют значения cos $x$ и cos $y$ положительных, а при нечетных $m$ и $n$ эти значения отрицательны. Таким образом, |cos $x| = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{15}/8, |\cos y| = \sqrt{15}/4$, так что для выполнения второго уравнения системы (16) требуется только, чтобы значения cos $x$ и cos $y$ совпадали. Отсюда получаем
$$\begin{cases} x = \arcsin \frac{7}{8} + 2\pi k, \\ y = \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi l, \end{cases}$$

$$x = -\arcsin \frac{7}{8} + (2k + 1)\pi,$$
$$y = -\arcsin \frac{1}{4} + (2l + 1)\pi.$$

Обе полученные серии (20) можно объединить и ответ записать в следующем виде.

49

Ответ:

$$((-1)^p \arcsin \frac{7}{8} + \pi p),$$
$$((-1)^p \arcsin \frac{1}{4} + \pi (p + 2r)).$$

При решении тригонометрических систем часто бывают непросто сделать первый шаг, найти «ключи» к решению задачи. Какие-то общее рекомендации здесь даны нельзя. Можно лишь посоветовать стараться применять такие преобразования уравнения системы, которые приводят к появлению тригонометрических функций одного аргумента или хотя бы не увеличивают число функций с разными аргументами.

Задача 5 (МФТИ, 1982). Решите систему уравнения

$$\begin{cases} 3 \cos 3x = \sin (x + 2y), & (21) \\ 3 \sin (2x + y) = -\cos 3y. \end{cases}$$

Решение. Если выразить члены уравнения через синусы и косинусы аргументов $x$ и $y$, то получится довольно сложная система. Поэтому следует избрать другой способ решения.

Заметим, что сумма аргументов косинусов в уравнениях системы, равная $3x + 3y$, совпадает с суммой аргументов синусов. Учитывая это, переможим уравнения системы (21) «крест-накрест», т. е. умножим левую часть одного уравнения на правую часть другого. Получим уравнение $-\cos 3x \cos 3y = \sin (x + 2y) \sin (2x + y)$, (22) являющегося следствием системы (21).

Заметим в уравнения (22) произведение тригонометрических функций соответствующими суммами (разностями); получим после применения подобных cos $(x - y)$ + cos $(3x - 3y) = 0$, откуда 2 cos $(x - y) \cdot \cos (2x - 2y) = 0$. Это уравнение распадается на два уравнения:

$$\cos (x - y) = 0, \quad (23)$$
$$\cos (2x - 2y) = 0. \quad (24)$$

Следовательно, система (21) равна ссовокупности системы (21), (23) и (21), (24).

a) Из уравнения (23) следует, что $x = y + \pi/2 + \pi n$. (25)

Подставляя $x$ из (25) в систему (21), получаем:

$$3 \cos (3y + 3\pi/2 + 3\pi n) = \sin (3y + \pi/2 + \pi n), \quad 3 \sin (3y + \pi + 2\pi n) = -\cos 3y.$$

Оба уравнения этой системы приводятся к виду 3 sin $3y = \cos 3y$, откуда $y = \frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi m}{3}$. Из (25) находится соответствующие значения $x$.

6. Расмотрим теперь систему (21), (24). Из уравнения (24) находится $x = y + \pi/4 + \pi k/2$. Подставляя это значение в системе (21), получаем:

$$3 \cos (3y + 3\pi/4 + 3\pi k/2) = \sin (3y + \pi/4 + \pi k/2), \quad 3 \sin (3y + \pi/2 + \pi k) = -\cos 3y.$$

Далее воспользуемся формулами приведения. Из второго уравнения системы (26) следует, что $\cos 3y = 0$, т. е. $y = \pi/6 + \pi p/3$. Подставляя это значение в первое уравнение, получаем

$$3 \cos (\pi p + \pi/2 + 3\pi/4 + 3\pi k/2) = \sin (\pi p + 3\pi/4 + \pi k/2), \quad \text{откуда } (3(-1)^k + 1) \sin (3\pi/4 + \pi k/2) = 0.$$

Посленее равенство не выполняется ни при каких целях $k$, поэтому система (26) несовместна, и в случае 6) решений нет.

Ответ:

$$\left( \frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi m}{3} + \pi n; \frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi m}{3} \right).$$

Уражения

Решите системы уравнения:

1 (МФТИ, 1982).

$$\begin{cases} tg y - tg x = 1 + tg x \cdot tg y, \\ \cos 2 y + \sqrt{3} \cos 2x = -1. \end{cases}$$

2 (МФТИ, 1978).

$$\begin{cases} 6 \cos x + 4 \cos y = 5, \\ 3 \sin x + 2 \sin y = 0. \end{cases}$$

3 (МФТИ, 1982).

$$\begin{cases} 2 \cos (3x + y) = \sin (x - y), \\ 2 \sin (x + y) = \cos (3x - y). \end{cases}$$

4 (МФТИ, 1982).

$$\begin{cases} \sin (2x + y) + \sin (2x - y) = \sqrt{2} \cos y, \\ tg (x + \pi/8) + \cos y = tg^2 y. \end{cases}$$

5 (МФТИ, 1981).

$$\begin{cases} \cos 2y + 1/2 = (\cos y - 1/2) (1 + 2 \sin 2x), \\ \sin y (tg^3 x + ctg^3 x) = 3 ctg y. \end{cases}$$

6 (МФТИ, 1976).

$$\begin{cases} \sin^2 x + \cos y \cdot \sin x = \cos 2y, \\ \cos 2x + \sin 2y = \sin^2 y + 3 \cos y \cdot \sin x. \end{cases}$$

7 (МФТИ, 1978).

$$\begin{cases} \sqrt{1 + \sin x \cdot \sin y} = \cos x, \\ 2 \sin x \cdot ctg y + 1 = 0. \end{cases}$$

8 (МФТИ, 1986).

$$\begin{cases} tg x \cdot \sin y + 2 ctg x \cos y = \sqrt{5/2}, \\ 2 ctg x \cdot \sin y - tg x \cdot \cos y = \sqrt{5/2}. \end{cases}$$

9 (МФТИ, 1982), Найдите все решения системы уравнения

$$\begin{cases} tg x \cdot \sin y + 2 ctg x \cdot \cos y = \sqrt{5/2}, \\ 2 ctg x \cdot \sin y - tg x \cdot \cos y = \sqrt{5/2}. \end{cases}$$