Квант 1987, №12 · Страницы

ISSN 0130—2221
Квант
Научно-популярный
физико-математический
журнал
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1987

M. WHISTON’S SCHEME of the SOLAR SYSTEM EPITOMISD. Town is annexed
A Translation of part of General Scholium at the end of the second Edition of S. L. H. Nettlew Principia. Concerning God.

В этом номере мы продолжаем знакомство с «Математическими начальными натуральной философии» Ньютона (см. статью «Великая книга Ньютона»).
Эта книга оказала огромное влияние на развитие науки и человекаской мысли.
Построенная Ньютоном механика позволяет проанализировать и обобщить многие вещи сложные явления, в том числе и астрономические.
Воспроизведенная здесь «Схема Солнечной системы», изданная в 1724 году английским ученым В. Вистоном (который после Ньютона занял профессорскую должность в Кембридже),— попытка представить «Ньютоновскую систему мира», основываясь на формулированных в «Началах» законах движения и законе всемирного тяготения.

1

В номере:

И. З. Пирогов, И. А. Тюлина. Мехматовцы МГУ в битве за Москву
В. С. Эдельман. Эта простая теплоемкость
С. Р. Филонович. Великая книга Ньютона
В. И. Арнольд. Второй закон Кеплера и топология абелевых интералов

Задачник «Квант»
Задачи M1076 — M1080, Ф1088 — Ф1092
Решения задач M1056 — M1060, Ф1067 — Ф1072
Список читателей, присваивания правильные решения

«Квант» для младших школьников
Задачи
А. И. Вуздин, С. С. Кротов. Как однажды Жак-звонарь головой сломал фонарь…

Лаборатория «Квант»
В. В. Майер, Р. В. Майер. Наблюдение электростатической индекции

Искусство программирования
А. А. Дуванов, Ю. А. Первин. Язык Лого. Урок 3: Рекурсии, функиции

Новости науки
Самый далекий квазар

Практикум абитриента
В. А. Нахшин. Уравнения думают за нас

Олимпiadы
В. В. Василов, Ю. П. Соловьев, А. А. Фомин.
XXVIII Международная математическая олимпiadа
С. С. Кротов. XVIII Международная физическая олимпiadа

Избранные задачи Ленинградской городской олимпiadы по математике

Информация
Заочная физico-техническая школа при МФТИ

«Квант» улыбается (с. 55)
Ответы, указания, решения
Шахматная страница
Метод треугольника (3-я с. обложки)

Наша Блюшека

На главной площади вашего города стоит новогодняя елка? Посмотрите на нее в вечернее время издалека, и вы увидите, что она… красная, хотя освещают ее разноцветные лампочки. Почему? На этот вопрос вы сможете ответить, прочитав статью «Как однажды Жак-звонарь головой сломал фонарь…» (с. 32).

С. Издательство «Нука». Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1987

2

Двацатого октября 1987 года закончился жизньный путь Великого ученого, крупнейшего математика современности Андрей Николаевича Колмогорова.

Место А. Н. Колмогорова в истории математики уникально — ему принадлежатfundamentalные открытия во всех областях этой науки и ее приложений. Но помимо собственного математического творчества, в жизни Андрей Николаевича огромное значение имело стремление служить Просвещению, служить воспитанию подрастшего поколения.

А. Н. Колмогоров родился 25 апреля 1903 года в Тамбове. Его редкость и разностороннее давание проявилось рано: в семь лет он самостояльно переоткрывает представление квадратов целых чисел в виде суммы простых, в двенадцать начинает изучать высшую математику, затем увлекается историей Новгорода (где делает важное открытие), серbezно интересует металлургий. Поступив на физico-mатематический факультет Московского университета в 1920 году, он окончательно связывает свою жизнь с математикой и с университетом. Уже в 19 лет ему удается постройть пример «почти всюду расходящерся тригонометрического ряда», принесший ему мирную известность. В 1931 году А. Н. Колмогоров становится профессором Московского университета, где он возглавил в разное время три кафедры и создал несколько научных школ. Нет возможности даже перечислить здесь те области знания, где Андрей Николаевич сделал важнейшие открытия. Отметим лишь создание основ теории вероятности и статистики, решение (при учении В. И. Арнольда) XIII проблем Гильберта.

В те же годы, когда Андрей Николаевич делает свои первые открытия, он становится школьным учительом и несколько лет работает в общеобразовательной школе. Начиная с 30-х годов, он читает многочисленные лекции школьникам и студентам, активно участвует в становлении школьных математических оптимид, сначала Московских, а затем Всегоский и Всегоозных. В шестидесятые годы он создает физico-mатематический школь-интернат при МГУ (которую все сразу окрестили «kolмогоровской»), много сил включивает в условиянтовование школь-ных программ и учебников. В 1970 г. он вместе с И. К. Киконым создает журнал «Кваант» и остается до самых последних своих дней его автором и активным руководителем.

Андрей Николаевич как-то сказалному из своих учеников, что человекство представляет ему в виде блуждающих в тумане огней, которые лишь смутируют свет, рассеяаемый другими. Но эти слова не только великим ученым, не только великим учительом, но и великим Просветителем. Андрей Николаевич принадлежал к числу тех несявненных геней, которые выветляют жизнь уже самим фактом своего существования. Человек, обладающий столбцовенным разумом и столб беккористной душой, не нуждается в пожавле потомства — его труды продолжают возникновать на нас, его имя не будет забито.

3

МЕХМАТОВЦЫ МГУ
В БИТВЕ ЗА МОСКВУ

Кандидат физико-математических наук
И. З. ПИРОГОВ,
кандидат физико-математических наук
И. А. ТКОЛИНА

Когда меня спрашивал, что больше всего запомнили из минувшей войны, я всегда отвечало: битва за Москву.

Г. К. Жуков

Из тринадцатей Героев Советского Союза — востпанников Московского университета — семь человек — с механико-математическо-факультета*).

Авторы этой статьи — доценты механика (механико-математического факультета) МГУ Иван Зиновевич Пирозов и Ирина Алексаидова Тюлина — были числе тех, кто зацицал Москву осенью сорок первой года.

И. З. Пирозов перед войной работал в Восточном Казахстане. Несмотря на «свиницов-чинковую» брой**)18 августа 1941 года он получил направление во Фрунзенское пехотное училище, из личного состава которого вскоре была формирована одна из особых курсанских стрелковых бризад. В конце октября 34-я бризада, две службы И. З. Пирозов, была направлена в Подмосковье. В составе 49-й артиллии эта бризада вступила в бои под Серпуховом в конце ноября, а в декабре эти части были под Тарусой. 20 декабря Пирозов был тяжелой ранен. Проijdя непележий путь подталкой эвакуации, летом 1942 г. он оказался на излечении в Свердловске, где в это время был в эвакуации механика МГУ. Еще воснительный Пирозов стал сервисно готовиться и вскоре поступил на механика, с который передавшего связана все его дальнейшая жизнь. И. З. Пирозов награжден орденами Отечественной войны I степени, Красной Звезды и медали военного и мирного времени.

Студентка 3-20 курса механика И. А. Тюлина в июне сорок первого года поступила, а к осени окончила двухсчленные курсы медсстер. Ее военная дорога была долю: началась в Туле, протянулась на тысячи kilометров через Калужскую область, Белоруссию, Польщу, Померандо до эльбы (весной сорок пятого). Сначала И. А. Тюлина была санитарруктром 330-й стрелковой дивизии, а затем — старший операционный сестрой и партором медсаната. Возвращалась на механика летом 1945 г.; окончив механика и его аспирантуру, преодолает там же историю механики. Назраждена двумя орденами Отечественной войны II степени, медали, Почетной грамотой Верховного Совета РСФСР.

*) О Героях Советского Союза, учившихся на механико-математическом факультете МГУ, см.: «Квант», 1977, № 11, с. 38—40 и 1980, № 5, с. 10—17, а также журнал «Математика в школе», 1985, № 2, с. 7—13.

**) Рабочие, заняные в произвольстве свинца и цинка, освобождались от военной службы.

В конце 1941 г. на Московы былаbrosена треть всех пехотных и две трети танковых и моториозанных сил Восточного фронта гитлеровой Германии. По Ленинградскому, Рогачевскому, Дмитровскому, Волокаламскому, Минскому, Варшавскому шоссе на Москову обрушились танковые тараны фашистов. Москови включились в оборонные работы. К осени сорок перого года были сформированы 15 стрелковых дивизий народного ополчения; из них 12 уже в июле заняли боевые рубежи.

Сотни студентов, аспирантов и сотрудников Московского университета вместе с рабочими Краснопресенского района, студентами консерватории, артистами театра Революции (телер это театр им. В. Маяковского) и других организаций записывались в 8-ю стрелковую Краснопресенскую дивизию. В отличие от регулярных войск, подавляющее большинство подразделений ополчения было укоплектовано при менее тщательном возрастном и медицинском отборе. Поэтому туда попали люди сгугубо мирных профессии, так называемые «белобилетники». Военная учеба ополчenced была очень краткой.

В 8-ю Краснопресенскую дивизию народного ополчения Московы записались 213 механитов. Большинство студентов, аспирантов и преподавателей механика направили в 975-й артиллии.

В августа 8-я Краснопресенская дивизия заняла рубеж на Ржевскойземском направлении. Воевая подготовка сочеталась с направлениями оборонительных работами. К сентябрю были созданы противотанковые загружения, огневыые точки, минные поля.

Однако противник внесские изменения в ход ожидаемых событий. В начале октября обстановка на Ельнин-

4

ском направления быстро осложнилась: враг бросил сюда свежие войска, во много раз превосходящие наши силы в танках, стволах и в личном составе. В связи с этим командавление Резервным фронтом передало 8-ю Краснопресенскую дивизию из 32-й в 24-ю армию, поставив перед краснопресенцами новую боевую задачу. Нужно было молниеносо сняться с подготовленных надежных позиций и передислоироваться в район деревни Уварово Смоленской области, что несколько южнее Ельни.

В осенней распутце обозы с боеприпасами и продуктими отсталки, но бойцы 975-го артполка, как и всей 8-й дивизии, выполнили свою задачу, задержав рушегося к Москве врага на несколько дней. Ополченцы многохранов Москвы сразусь здесь бок о бок с кадровыми частями Советской Армии. Окупантам эти бой под Ельней стонили больших потерь: около 45 тысяч солдат и офисеров. Наши потери также были велики: более трети ополченцев 8-й Краснопресенской дивизии погибли или попали раненными в плен. Среди погибших и пропавших без вести было много молодых ученых — аспирантов механита: С. С. Кудашев, А. И. Герчиков, С. Я. Карнов, М. Е. Глезерман, М. И. Песин, А. И. Вихров, В. Н. Засухин, М. Д. Брогинский, Х. М. Мильштейн, Г. Н. Алексеев и другие.

Многие выпускники механита сорок первого года были распределены в конструкторские бюро и на предприятия оборонного значения, предоставленные бронь. Однако и они почтые добровольно пошли на фронт; многое вступили в ополченце. Среди них были Михаил Иванов, уже имевший тогда несколько рабочих специальноностей. Всюду он вел активную комсомольскую и парттийную работу. В 1936 г., имея большой трудовой стаж, М. И. Иванов поступил на механите Москвы университета и в начале войны окончил его с отличием. Михаил Иванович Иванов был зачислен в 975-й артполк в звании капитана. Из кровопolitных боев под Ельней в начале октября сорок первого он не вернулся. Погибли там же его товарищи, только что окончившие механит: Мстислав Долгов, Олег Сорокин, Евгений Павлов, Петр Соколов и студенты IV курса Александр Сивков, Владимир Муранов, Виктор Подьячев и многое другие.

Среди тех, кто возвратился из этих жестостойших боев под Ельней, был Горимир Горимирович Черный, ныне академик, директор Института механики МГУ.

Вместе со студентами и аспирантиями механита пошел в ополченце доцент Николай Борисович Веденисов. Любовь к точным наукам привил ему отец Б. Н. Веденисов, выдавшийся стронтель и ученый, член-корреспондент АН СССР, лауреат Государственной премии. В 1922 г. Н. Б. Веденисов поступил на физико-mатематический факультет Московского университета. Он учился вместе с А. Н. Тихоновым, В. В. Немышкам, Л. А. Тумаркиным, А. Н. Черкасовым, в будущее известными математиками. Свторого курса эти математики вошли в семинар по топологии, организованный П. С. Урьсоном и П. С. Александровым.

По окончании учебы в университете Н. Б. Веденисов преподавал математике в Московском государственном педагогическом институте, одновременно работая в Московском университете. В годы, предшествующей Великой Отчественной войне, он был доцентом военной Артиллерийской академии. Всюду у него были ученики; в топологическом семинаре МГУ он руководил работой дипломников и аспирантов.

Вместе с сотрудниками механика-математического факультета, действками аспирантов и сотрудников Н. Б. Веденисов записался в 8-ю Краснопресенскую дивизию. За несколько лет до войны он поведил позвоночник и врачи рекомендавали ему остаться в тылу. Николай Борисович ответал всем лаконично: я должен быть там, где мои ученики — на фронте. Как и большинство ополченцев механита, он был направлен в 975-й артполк 8-й Краснопресенской дивизии. В боях под Ельней Н. Б. Веденисов был ранен, захвачен в плен и умер в октября 1941 г.

Тяжелые испытания выпали на долю тех, кто был захвачен в плен. Об их судьбе можно прочитать в книге «Без встречи пропавшие» С. П. Злобина, перенесшего четыре года в лагерях для военнопленных в Германии.

5

Доброволец с мехмата Владимир Муранов был на IV курсе, когда грянчала война. Он записался в народное ополчение и был направлен в 975-й артпolk. В октября 1941 г. пропал без вести. Почти 40 лет искали его следы четыре сестры Володи. И вот наконец пришло сообщение из Общества Красного Креста, что В. П. Муранов погиб 27 декабря 1941 г. в фашистском штале № 324 в Гродно. За три года «хозяйчины» в окрестностях Гродно оккупанты расстреляли и замучили в лагерях смерти 33 тысяч мириных жителей и военнопленных.

Долгие годы ничего не было известно о судьбе Андрея Павлова и его друга — механитов Ивана Лепехина. Оба оканчивали аспирантуру; у Андрея была подготовлена большая часть диссертации, когда началась война. По признаву Московского комитета партии Андрей и Иван были направлены на переподготовку под Серпухов (в военкомат Краснопресенского района Москвы оба явлились добровольно 28 июня). В июле они были прикомандированы к 48-му полку 38-й стрелковой дивизии на Смоленское направление. Андрей Павлов был назначен командиром взвода 120-мм минометной батарен. Осенью сорок первого он оказался на самом опасном направлении осеннего натиска фашистов — под Ярцево. К. К. Рокоссовский отмешал в своих воспоминаниях 38-ю стрелковую дивизию как самую стойкую. После некоторых стабилизации линни фронта на этом участке обстановка вновь осложилась в начале октября. Началась операцияитлеровцев «Тайфун». 38-й дивизии пришлось взять на себя содержание натиска сльнейших ударных сил фашистов, прикрывая отход 16-ей армии. Оставшиеся в заслое части 30-й дивизии были до последней гранаты. Теперь на месте октябрьскогоражения 1941 г. построен градиозный memориал в память бойцов и командиров, задержавших стремительный напор танковых и механизированных колонн врага на подступах к Москве.

---

С первых дней Великой Отечественной войны Государственный комитет обороны уделял особое внимание защите нашей столицы. В сложнейшей проблеме жизни прифронтового города самоое активное участие принимали учены, студенты, аспиранты и сотрудники МГУ, в том числе механико-mатематического факультета.

Приказом по МГУ от 12 июля 1941 г. была организована Местная противовоздуная оборона (МПВО) МГУ. В состав 1-й роты рядовыми бойцами были крупнейшие учены факультета: И. Г. Петровский, П. С. Александров, С. Л. Соболев, Б. В. Булгаков, А. А. Ильошин, Н. А. Слезкин, А. А. Космодемьянский, Д. Е. Меньшов, А. Г. Курош и другие. Кто не вошел в состав МПВО, использовался по линии МПВО на подсобных и других оборонительных работах.

Занятия в университете начались 1 августа 1941 г.; сроки обучения сокращались, интенсивность обучения сильно возросла, многие студенты были специальizados. 13 октября, в связи с эвакуацией основного состава МГУ в Ашхабад, занятия в Москве прекратились.

Москва готовилась к отражению наступления врага с воздуха. Учены геометр Н. А. Глаголев успешно решал задачу об оптимальном размещении зенитных батарей и аэростатов загрязнения вокруг Москвы, С. В. Бахвалов (тоже геометр) в самом начале войны разработал теорию прибовления артиллерийским огнем (кстати, в годы гражданской войны он был артиллерийом). Специалист по механике Х. А. Рахматулин проводил теоретические и экспериментальные работы по изучению аэродинамики привязных аэростатов и расчет тросов при поперечном ударе. Он же интенсивно проводил работы по исследованию аэродинамики параштовов.

С первых же дней войны коллектив кафедры теории вероятностей под руководством А. Н. Колмогорова проводил исследование по разработке теории артиллерийской стрелбы. За короткое время была решена задача о наивыгоднойшем рассеивании снарядов при стрелбе по площадям. Особо важной в этот начальный период войны была разработка таблиц бомбометания для малых бомбаридовшков типа ПО-2. Эту задачу также решили на кафедре теории вероятностей. Другая важная задача — задача низкого торпедирования с самолетов — была

11

для нескольких газов: для гелия, водорода и кислорода (рисунок 3). Первое, что сразу видно, — у одноатомного газа гелия в интервале температур от близких к 4,2 К (температура охжения гелия) и до тысячи градусов Кельвина теплоемкость неизменна. А вот поведение теплоемкости водорода совершено иное. При низких температурах она, как и у гелия, равна точно 1,5k — в этой области температур водородов ведет себя как одноатомный газ. При $T \approx 70$ К начинается рост теплоемкости, и при $T \approx 250$ К она выходит на новое, почти постоянное значение $c_{\text{mol}} = 2,5k$. Но где-то около 1000 К начинается новый подъем, и при 2000 К теплоемкость водорода становится больше 3k. При дальнейшем росте температуры теплоемкость продолжает увеличиться, но не будем забираться в эту область, так как слишком много явлений разгрывается в газе, когда он сильно нагрет.

Посмотрим лучшее, как ведет себя в том же температурном интервале кислорода. Для него изменить теплоемкость в газовой фазе при температуре, заметно меньше 100 К, нельзя, так как кислород перестает быть газом. Однако если бы это было не так, то при низких температуре теплоемкость газообразного кислорода тоже была бы равна 1,5k; а так кривая сразу начинается с уровня 2,5k, но загора к 2000 К теплоемкость успевает вырасти до значения 3,5k.

Какие выводы может мы сделать по приведенным экспериментальным данным?

1. Поступательное движение молекул газа есть всегда, и связанная с ним теплоемкость не зависит от температуры.

2. Вращения и колбания при низких температуре исчезают — они, как говорят, «вымерзают». При этом обычная комнатная температура попадает в такой области, когда вращение уже есть (для молекул водорода, например, оно «вымерзает» при $T \approx 100$ К), а колбания еще «заморожены».

3. У молекулы кислорода есть только один колбаний, а теплоемкость при его «размороживания» вырастает не на $\frac{1}{2}k$, а на 1k. Значит, теплоемкость, приходящая на каждое «размороженное» колбание, равна 1k.

Не это число мы уже встречали — именно такая теплоемкость приходит на каждое колбание в твердом теле! Как же понять эти результаты?

На помощь приходит квантование

Оказывается, все дело — в квантовании. И показать это нам помогет аналогия с одним из первых систем известным квантовым явлением — эмиссей электронов из металла. Фотоэмиссия — испускание электронов из металла под действием света — проискот лишь тогда, когда энергия кванта света $h\nu$ больше работы выхода электронна из металла. Но есть и другие явление — термоэлектронная эмиссия, которая шириоко используется в технике для создания электронных пучков, например в телевизионных трубках. В этом случае электроны покидают металл, когда он нагрет до высоких температур, таких, что энергия теплового движения $\sim kT$ становится сравнимой с работой выхода. Можно сказать, что эмиссия «заморожена» при низких температуре и «размороживается» при нагревании. Другими словами, «вымороживание» движения пропускают тогда, когда для его возбуждения надо приложить какой-то определенный квант энергии. И это верно всегда, а не только для эмиссей электронов.

Отсюда следует: поскольку колебания и вращения «вымороживаются», то, значит, эти движения квантовятся!

Такое заключение кажется особенно неожиданным, когда речь идет о вращении, — трудно представить, что молекулы нельзя поворачивать с любой, как угодно малой, скоростью. Но в квантовой механике это непреложный факт, и молекулы либо не врашают вовсе, либо уже сразу так, чтобы их кинетическая энергия, поддержанная на постоянную Больцманa $k$, стала равна примерно десяти — эта градием Кельвина (точные числа, конечно, зависят от физических характеристик молекул конкретного вещества). Ну, а когда речь идет о газе, содержащем громадное количество молекул, то в нем всегда найдет также, которые не врашают, — их доля подавляющей велика при низких температуре;

12

ectы и такие, которые врашаются, и их становятся все больше и больше по мере нагрева газа. Итак, чисто квантовое явление является на такую, казалось бы, сугубо классической величины, как теплокость идеального газа.

To же самое, что о врашении, можно сказать и о колбанях. И теперь понятно, что различеме между вкладом колбаний в теплокосты твердых тел и газов при комнатной температуре не носит прициппилального характера, а связано с численным различием характераистик веществ. Для молекулы водорода или кислорода квантовой колбаний в шкале температур равен тысячем градусов Кельвина, а для твердых тел — только сотням. И действительно, именно при таких температурах теплокосты твердых тел тоже начинает быстро изменяться (рисунок 4). И это различение чисел тесно связано с тем, что плавление твердых тел происходит при температуре порядка тысячии градусов Кельвина, а затем диссоциация молекул кислорода и водорода — при десятке тысяч градусов. А ведь механизм обихих процессов один и тот же — это тепловая раскачка колбаний до такой амплитуды, при которой «руться» связи, и чем меньше температура, при которой наступают колбания, тем меньше и температура «разрыва» связей.

Вот какая красивая картина теплового движения получена нами из анализа теплокости. Для полной гармонии неxbатает одного шриха: как-то надо уложить в одну схему $\frac{1}{2}k$ для теплокости, связанной с поступательными или врашательными стенениями свободы, и $1k$ — для колбаний. Оказывается, и здесь есть прекрасный выход. В самом деле, образите внимание, что $\frac{1}{2}$ появляется там, где движение характеризуется только кинетической энергией. Но при колбанях есть еще и потенциальная энергия, и если полная энергия колбаний равна $kT$ (т. е. теплокость равна $1k$), то это значит, что система периодически переходит из состояния с нулевой кинетической и с максимальной потенциальной энергией, равной $kT$, в состояние с нулевой потенциальной и максимальной кинетической энергией, тоже равной $kT$. А в среднем по времени кинетической энергии в точности равна потенциальной и, очевидно, обе они равны $\frac{1}{2}kT$ — и мы вернулись к положению.

Итак, окончательные выводы: при заданной температуре возбуждаются те виды движения, энергия кванта которых сравнима с $kT$ или меньше этой величины. При этом и кинетическая, и потенциальная энергия (если она есть!), приходящая на каждую степень свободы, одна и та же и равна $\frac{T}{2}$. Эти выводы прекрасно согласуются со многими экспериментами и подтверждаются строгой теории, основанной на квантовой механике.

Конечно же, рассмотренный здесь случай — простейший из возможных. Мы можем заглянуть и глубже: вычисляя степени свободы, мы считалиatom единой частицей, но ведь это так. И у каждой atomа есть свои внутренние степени свободы движения электронов atomных оболочек относительно ядер. Однако для их «размораживания» требуется уже десяти и сотни тысяч градусов. Собственно, физика плазмы и изучает газы, в которых «разморожено» движение электронов. Можно讶ти и дальше — и ядра составлены из отдельных элементов частиц, да и сами эти частицы совсем не элементарны. Но чтобы возбудить такие тепловые движения, нужны уже миллионы и миллиарды градусов, а то и много больше, и тут начинается трона, ведущая в историю рождения звезд, галактикда и самой Вселенной. А первая вxa на этой тропе — идеальные газы со своим законами.

14

отвеса в плоскости, перпендикулярной к заостренному ребру крика, чтобы колъю при качанях матрика не скользило взад и вперед, либо точка подвеса, в которой колъю касается крика, должна оставаться неподвижной. Я точно заменал начальное отклонение, сообщаемое много матрику, затем, пустив матрик, я заменал еще три других его отклонения, которые матрик имел после первого, второго и третьего размах. Я повторял это многоократно, чтобы определить эти отклонения как можно точнее. Затем я наполнял качунку свинцов и более тяжелыми из имеющихся под рукой металлим; перед тем я взвесил порожнюю качунку вместе с того частью нити, которое она была обмотана, и положило остальной части, заключенной между криком и подвешенной качочкой, либо нить, когда матрик отклонен от прямого положения, действует на него положению своего веса. К этому весу я прибавил вес воздуха, заполняющего качунку. Полный вес порожней качунки составлял приблизительно 1/78 веса качочки, наполненной металлим. Так как качочка, наполненная металлим, растязывая нить, увеличила ее длину, то я укорчивал нить настолько, чтобы при качаниях матрика была ее была такого же, как и раньше. Отведя затем магнит до первого из замеченных, как сказано, отклонений, я его пускал и насчитывал около 77 качаний, пока магнит имел отклонение, равное второму, затем еще столько, пока оно становилось равным третьему, и наконец, еще столько же, когда оно становилось равным четвертому. Отсюда я заключило, что все сопротивление заполненной качочки имеет не большее отношение к сопротивлению порожней, как 78 и 77. Если бы она сопротивления были равны, то заполненная качочка, масса которой в 78 раз больше массы порожней качочки, должна быть сохранять и во столько же раз больше свое колбаательное движение и, следовательно, по совершении 78 размахов прихождения в замеченные, как сказано выше, положения. Она же приходила в них через 77 размахов… При этих опитах я воспользовался спереди недостаточно прouthным криком, тогда заполненная качочка заменяла значительное сільнее; изыскивая причину, я заметил, что криок, поддавався веса заполненной качочки, следовало за ее колбааниями и гнулся взад и вперед; я изготовил затем более прouthный криок, чтобы точка подвеса оставалась неподвижной, после чего все шло, как описано выше.»

На основе полученных результатов Ньюотон пришел к выводу, что сопротивление, действующего на внутренние части качочки (т. е. возможное сопротивление эфира), по крайней мере в 6000 раз меньше, чем сопротивление, действующего на внешнюю поверхность качочки (сопротивление воздуха). Конечно, с позиций совершенной науки, отрицательную существование эфира, результаты этого опита объясняются иначе. (Справедливости ради отметим, что и сам Ньюотон понимал условность своей интерпретации данных.) Однако из этого примера видны удивительные изобретательность Ньюотона в постановке опитов, его внешние к деталям и добросовестность описания результатов, которая не позволяет умолчать… даже о своих исправленных ошибках,— один словом, все то, что составляет талант экспериментатора. Тщательность описания свидетельствует также о значении, которое Ньюотон придавал

15

своим опытам. Стоит подчернуть, что повторение опытов Ньютона с матниками, проведенное в 1915 году по инициативе переводчика «Начал», выдалоцеросая математика и кораблестрителя А. Н. Крылова, показало их высокую точность.

Апофезом «Начал» является третья книга, ознакомленная «О системе мира». Здесь Ньютон продемонстрировал всю мощность механики, анализируя многое, в том числе и весы сложные астрономические явления с помощью формулированных им законов движения и закона всемирного тяготения, расстоянего в начале третьей книги. Ньютон строит изложение таким образом, что закон всемирного тяготения как бы выводится на основе обобщения результатов наблюдений. Привычная нам формулировка этого закона следует из теоремы VII («Тялотение существует ко всем телам вообще и пропорционально массе каждой из них») и следствия 2 из нее («Тялотение к отдельным равным частям тел образно пропорционально квадратам расстояний мест до части»), а также третьего закона данныхки. В этой части Ньютон обсуждает особенность движения планет и Луньи, строит теории приливов и теории движения комет. Он смело объединиет «земную» и «небесную» механику, демонстрирует тем самым позначательные возможности науки.

Следует отметить, что и в построении, и в содержании этой части «Начал» особенно отсутствив проявления непрязнь Ньютона к изображению гипотesis non fingo — «Гипотез не изображимо», с этой черной творчества ученого связано отсутствие каких-либо объяснений механиisms передачи тяготения на расстояние. Поэтому в XVIII и XIX веках учение Ньютона о тяготении общно расматривалось как образец теории дальнействия. Однако сам Ньютон прекрасно понимал незавершенное свой теории тяготения. Уже после выхода в свет «Начал» он писал одному из своих корреспондентов: «Что тялотение должно быть врожделным, присутствим и необходимым свойством материалов, так что одно тело может взаимодействовать с другими, через пустоту, без участия человека-построений им механики.

«И всюду свет разлился»

Англійский потет А. Поп написал о Ньютоне строки, ставшие хрестоматiales:

16

«Природы строй, ее закон
В известной тьме таплися,
И богат сказал: «Явись, Ньюотон!»
И всуду свет разлился».

Эти строки отражают восхитение генем Ньюотона человека XVIII века. А как восприняли книгу кембриджского профессора его современники сразу после ее появления?

Рецензенты в целом высоко оценили «Начала». Оdnako того восхитения, которое она заслуживала (с нашей, современной точки зрения), не было. Почему? Причин было несколько. Прежде всего, сказалвлияние авторитета Декарта и его теории вхрей. Именно поэтому с большим вниманием изучали гидродинамику «Начал», чем теории тяготения.

Значение теории тяготения было осознано позднее, после того как усилиями Эйлера, Клеро, Даламбера, Лагранжа и Лапласа небесная механика была превращена в наиболее развитию отрасль естественного дуговения. Другое обстоятельство, наложившее отпечаток на восприятие «Начал», было связано с «синтетическим» методом изложения, о котором уже говорилось в первой части статьи (см. «Квант» № 11, 1987). Когда-то было сказано: «с легкостью делать то, что затрудняет других, — талант; делать же то, что недоступно таланту, — генциальность». С этих позиций «Начала» — свидетельство генальности Ньюотона. Но ведь у любой научной работы есть и другая задача — помочь последовательism поятки дальше автора. Метод решения задачи механики, использанный Ньюотоном, затруднял продвижение вперед. Это прекрасно посякный Эйлер: «Хотя читатель и убеждается в истинности выступлениях положений, но он не получает достагоно ясно и точного их понимания, так что если чуть-чуть изменить те же самые вопросы, он едва ли будет в состоянии разрешить их самостоятельно… Хотя мне казалось, что я достаточно ясно понял решение многих задач, одnakо задач, чуть отступающих от них, я уже решить не мог». Механика Ньюотона начала «работать» в научке после того, как она была переведена на язык дифференциального и интегрального исчисления и дифференциальных уравнений. Основной вклад здесь принадлежит Эйлеру, Даламберу и Лагранжу.

И все же «большое видится на расстоянии». История показала, что ньюотовские «Начала» действительное можно считать началом новой науки. В этой книге впервые была построена система анализа физических (точнее, механических) явлений, основанная на качественных расуджении, а на их математическом описании. Важнейшей черту «Начал» является последовательное использование данных опыта для построения теории. «Начала» для пример беспреследенного широкого охвата явлений — от перемещения тел на Земле до движения планет, их спутников и комет.

Всякая понятие значительная научная книга интересна и важна не только решенными в ней задачи. Она дает направление дальнейшем развития науки и свойствами проблемами. В «Началах» была научена целая научная программа, которая осуществлялась учеными XVIII — первой половины XIX века. Упоминание об этой программе можно найти уже в предисловии Ньюотона к первому изданию «Начал»:

«Выло бы желательно вывести из начал механики и остальные явления природы, расуждая подобным же образом, либо многое застал меня предполагать, что все эти явления обусловливаются некоторыми силиами, с которых частцы тел,驶迭ные причины покуда неизвестны, или стремятся друг к другу и сцепляются в правильные физуры, или же взаимно отталкиваются и удаляются друг от друга. Так как эти силии неизвестны, то до них пор попытки философов объяснить явления природы и оставались бесплатными. Я наделюсь, одnakо, что или этом способу расуждения, или другому, более правильному, изложенные здесь основания доставят неотородное освещение».

Действительно, законы динамики послужили базой для реализации ньюотовской программы. Творению Ньюотона предстояла долга жизни, полная интерсных событий, приведших в середине XIX века к формированию механических картины мира.

18

Рис. 2. Площадь S сегмента, отсекаемого от обала прямой ax+by=c, является функцией от (a, b, c); площадь сектора — функцией от двух прямых. Такие функции, построенные по алgebraическому овалу, называются абелевыми интегралами.

Рис. 3. Заметенная радиус-вектором площадь не может быть алgebraической функцией от тангенса t его угла наклона, так как она принимает при одном и том же t бесконечную значении.

ах+by=c (рис. 2), должна быть алgebraической функцией от прямой, т. е. должна удовлетворять алgebraическому уравнению P(S; a, b, c)=0, где P — ненулевой многочлен от четырех переменных.

Заметание. Если овал алgebraической квадрируем, то и площадь сектора, отсекаемого от него углом с лежащей внутренней овала вершиной, является алgebraической функцией от прямы, образующих угол. Ибо площадь треугольника, отличающего сектор от сегмента, алgebraчина.

Ньюотон поставил себе цель найти все алgebraические квадрируемые овалы. Его результат таков:

Теорема. Всякий алgebraический квадрируемый овал имеет особые точки*: все главные овалы алgebraски не квадрируемы.

*) Точка кривой называется особой, если величина этой точки кривая не является графиком бесконечное число раз дифференцируемой функции. При меры: точка самопересечения (рис. 4), точка возврата (рис. 8).

Пример. Эллипс алgebraических неквадрируем. Отсюда следует, что уравнение Кеплера, определяющее положение планеты на кеплеровом эллипсе как функцию времени (в соответствии со вторым законом Кеплера, по которой площадь, заметенная радиус-вектором, пропорциональна времени) — трансцендентное, т. е. не может быть решено в алgebraических функциях.

Этот пример и привед Ньюотона к его общей теореме. Удивительная теорема потому, что на первый взгляд между алgebraической квадрируемостью и особыми точками не видно никакой связи.

Заметание. В современных обозначениях уравнение Кеплера имеет вид x-e sin x=t. Это уравнение сыграло большую роль в истории математики. Со времен Ньюотона решение x искали в виде ряда по степени эксцентриситета e. Ряд скодится при |e|≤0, 6627434…

Исследование произходения этой загадочной конструкции привед O. Коши к созданию комплиексного анализа. Такие функцииемые математические понятия и результаты, как функция Бесселя, ряды Фурье, топологическая индекс векторного поля и «приицил аргумента» теории функций комплиексного переменного, также впервые появились при исследовании уравнения Кеплера.

3. Доказательство Ньюотона. Выберем точку O внутри овала и будем поворачивать выходящий из нее луч y=tx. Если овал алgebraической квадрируем, то площадь сектора, заметаемая радиус-вектором точки овала (рис. 3) должна быть алgebraической функцией от тангенса t угла наклона луча к оси x.

Заставим луч обегаать овал снова и снова. При каждом обегании овала будет увеличивать на высо величину площади, ограниченной овалом. Следовательно, заметаемая площадь, рассматривая как много-

Рис. 4. Локально алgebraическая квадрируемовая овал с одной осью (узловой) точкой.

20

квадрируемый овал может иметь сколь годно большую конечную ладкость (может всуду задаваться функциями со сколь годно большим числом произвольных). Однако во всех наших примерах на овале есть особая точка, где произвольная неокторого порядка разрывана.

Ныborон считал истинно гладкой кривой лишью такую, которая в окрестности каждой точки является графиком функции, разлагающейся в скодящей степени ряд.

$$y = a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots$$

(где начало координат выбрано в рассматриваемой точке). Сейчас также кривы незываются аналитическими.

Замечание. Различие в поведении кривы различной конечной гладкости было Ньютону хорошо известно и обусловляется в Principia, а разложение всех алгебраических и элементарных функций в быстрохcodящемся степенные ряды было одним из основных его математических достижений.

Из теоремы п. 2 Ньютон выводит гораддо более сильное утверждение:

Теорема a. Любой аналитический овал алгебраически не квадрируем даже и локально.

7. Доказательство локальной алгебраической некардрируемости аналитических овалов. Если бы овал был локально, но не глобально алгебраически квадрируемым, то заметен плоддаль выражалась бы одной алгебраической функцией по одному сторону от некоторой его точки и другую — по другую. Но для аналитического овала заметенная площадь аналитических зависит от направления луча. Поэтому об указанные алгебраические функции разлагаются в окрестности этой точки аналитического овала в один и тот же скодящей степенной ряд. Значит, об эти алгебраические функции совпадают и в окрестности указанной точки. Но тогда они совпадают вообще всуду (это следует из того, что многочлен, не равный тождевенной нулю, не может иметь большие корней, чем его степень).

Итак, если бы существовал локально алгебраической квадрируемый аналитический овал, то он был алгебраической квадрируемым и в целом. А поскольку это невозможно (пп. 2, 3), то аналитический овал не может быть алгебраической квадрируемым даже и локально.

8. Как узнать, аналитический ловал? Кривая называется бесконечно-гладкой, если она локально является графиком функции, дифференцируемой скольго разз.

Теорема a. Бесконечно-гладкая алгебраическая кривая аналитическая.

Этот факт был Ньютону известен, так как Ньютон умел записывать уравнение ловал «ветви» алгебраической кривой в окрестности ловой ее точки в виде быстрохcodящого ряда

$$y = a_1 x^1/n + a_2 x^2/n + a_3 x^3/n + \dots$$

(где начало координат помещено в исследуемую точку).

Теорему о скодимости этого ряда Ньютон формулировал так: «Чем дальше развертывается при достижении малом $x$ результат, тем более он подходит к истинному значению $y$, так что разность, на котором он отличается от точного значения $y$, делается, наконец, меньше всего данной величины».

Ряд строится при помощи так называемого многоугольника Ньютона. Метод многоугольника Ньютона*) , являющийся одним из самых эффективных средств локального анализа, к сожалению, выпал из современного схоластизированного преподавания.

Каждай член ряда с нецелым показателем имеет лишь ограниченное число произвольных. Если в ряду присутствует хотя бы один такой член нецелой степени, то определенная таким рядом кривая уже не может быть бесконечно-гладкой в окрестности изучаемой точки.

Для бесконечного-гладкой алгебраической кривой в разложении участуют поэтому только целые степени, а это и значит, что кривая аналитична.

Следствие в. Всякий бесконечно-гладкий алгебраической овал алгебраической некардрируемом даже локально.

Итак, бесконечно-гладкая замкнутая кривая не может быть локально алгебраической к кривой, удовлетворяющей алгебраической уравнении выражается равенством нуля многочлена от их коэффициентов — факт, обусловленных Ньютоном все на тех же двух страницах Principia, где задано объясняется, что две альгебраические кривы степени $m$ и $n$ пересекаются не более чем в $mn$ точках).

При стремлении $h$ к нулю точка пересечения близких к исходной кривой. Будучи, таким образом, пределом алгебраических кривых ограниченной степени, исходная кривая также алгебраическая.

Доказательство теоремы. Касательные к овалу отскакают от него сегменты нуля площи. Поэтому касательные $ax+by=c$ к алгебраической локальной квадрируемому овалу удовлетворяют алгебраической уравнении $P(0;a,b,c)=0$ (см. п. 2). По лемме овал алгебрацией.

10. Алгебраические некардрируемые кривы с особенностими. Таким образом, все бесконечно-гладкие овалы алгебраические некардрируемые (далее локально). Воле того, рассуждания Ньютона доказывают локальную алгебраическую некардрируемость бесконечного гладких невыпуклых замкнутых несамопересекающих кривых и многохривых с особенностими.

Локальное алгебраические некардрируемые все кривы, все особы точки которых является точками возврата, в частности кривы, заданные уравнением $y^2=x^3-x^4$ или $y^2=(1-x^2)^3$ (рис. 8), или кривы с особенностими типа $y=x^{p/q}$, где $q$ нечетно, и т.п.

21

Ныютон замечает, что для того, чтобы гарантировать локальную алгебраическую неквадрируемость, достаточно потребовать, чтобы к точкам замкнутой кривой не подходили «соряженные ветви кривой, уходящие на бесконечность». Видимо, он имел в виду примеры вроде показанных на рисунках 4 и 6.

В действительности, слова «уходящие на бесконечность» употреблены тут по ошибке, нужно обозначить потребовать отсутствия кких бы то ни было самопересечений.

Правильное условие отсутствия самопересечения на замкнутой кривой, удовлетворяющей уравнению $P(x, y)=0$, состоит в том, что многочлен $P$ обращается в нульров в двух точках окружности с центром в любой точке кривой, если радиус достаточно мал.

Метод Ныютона доказывает

Теорема. Все несамопересекающие в указанном смысле алгебраических кривых алгебраических неквадрируемыми (далее локально).

Напротив, самопересекающая замкнутая кривая в полне может оказаться локально алгебраических квадрируемой (эту возможность Ныютон почему-то упустил, когда писал «уходящие на.beсконечность»).

Так, для лемнискаты $y^2=x^2-x^4$ (рис. 1):

$$\int ydx = \int x\sqrt{1-x^2}dx = -(\sqrt{1-x^2})^3/3$$

— алгебраическая функция.

Но и для самопересекающих кривых алгебраических квадрируемость — редкость.

Из рассужdenной Ныютона видно, что суммарная площадь, ограниченная самопересечением

Рис. 7. При стремлении шага $h$ к нулю пунктиная кривая, образованная точками пересечения касательных, стремится к исходной кривой. Отсюда следует, что обязательная алгебраическая соемейства прямых алгебрация.

Рис. 8. Несамопересекающая кривы с точками возврата. К таким кривым примемimo рассужdenной Ныютона, и они локально алгебраическая не квадрируемы.

каошейся замкнутой локально алгебраических квадрируемой кривой (с учетом знаков), равна нулю. Например, лемниската алгебраических квадрируемя лишь потому, что обе петли лемнискаты дают в суммарную площадь противоложные вклады. И если продеформовать лемнискату так, чтобы модили плодадей петля стали неравными, то она утраит локальную алгебраическую квадрируемость.

Полное описание всех самопересекающих алгебраических квадрируемых кривых пока не найдено.

11. Доказательство Ныютона и современная математика. Сегодняя идеи, на которых основано доказательство Ныютона, называются идеями аналитического продолжения и модировки. Они лежат в основе теории римановых поверхностей и ряда отделов современной топологии, алгебраической геометрии и теории дифференциальных уравнений, связанных прежде всего с именем Пуанкаре,— тех отделов, где анализ, скорее, сливается с геометрией, чем с алгеброй.

Современная математика позволяет доказать многоогерный анализ теории Ныютона о плоских кривых. Сфера в трехмерном пространстве алгебраических квадрируема. Это вытекает из теории Архимеда, согласно которой площадь сферического сегмента пропорциональна его высоте. Поэтому все элиписиды в трехмерном (и в любом нечетномером) пространстве алгебраических квадрируемы.

Напротив, в четырехмерном (и вообщещее четырехмерном) пространстве алгебраических квадрируемых гладких поверхностей нет (это обобщение теоремы Ныютона приладжит В. А. Васильеву, 1987 г.).

Забытое доказательство Ныютона алгебраической неквадрируемости овалов было первым «доказательством невозмножности» в математике нового времени — прообразом будуших доказательств неразрешимости алгебраических уравнений в радиках (Абель) и неразрешимости дифференциальных уравнений в элементарных функциях или в квадратурах (Лиувилль), и Ныютон недаром сравнивал его с доказательством irrationalности корней квадратных в «Началах» Эвклида.

Сравнивая сегодня тексты Ныютона с коментариями его последовательей, порядкась, насоклько оригинальное изложение Ныютона современнее, понятнее и идено богатое, чем приладжающий комментаратом перевод его геометрических идей на формальный язык исчисления Лейбница: двухсотлетие от Ныютона до Римана и Пуанкаре кажется мне математической пустей, заполненной одним лишь вычислениями…

22

Задчи

M1076 — М1080, Ф1088—Ф1092

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наболее трудные задачи отмечаются звездочки. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 1 марта 1988 года по адресу: 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант».
Решения задачи из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 12 — 87» и номера задачи, решения которых вы посылаете, например «M1076» или «Ф1088».
В графе «… адрес отправителя» фамилию и имя просим писать разборную. В письмеbloжите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки решения).
Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»). В начале каждой письма просим указать номер школа и класс, в котором вы учитель.
Задчи по математике в этом номере предлагались на Международной математической олимпiadе в июле этого года.
Мы разделотить, что две из них принадлежат постоянным автором нашего журнала.

M1076. Биссертиса угла $A$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $L$, а описанную окружность треугольника — в точке $N$ (отличной от $A$); $K$ и $M$ — основания перпендикуров, опущенных из $L$ на стороны $AB$ и $AC$ (рис. 1). Докажите, что четырехугольник $AKNM$ равновелик треугольнику $ABC$.

И. А. Кушинр

M1077. Пусть $p_n(k)$ — число перестановок множества из $n (n \geq 1)$ элементов, имеющихровно $k$ неподвижных точек. Докажите, что:

a) $\sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = 0 \cdot p_n(0) + 1 \cdot p_n(1) + \dots + n \cdot p_n(n) = n!$

b) $\sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = n!$

При менее ие. Перестановкой конечного множества $S$ называется взаимно однозначное отображение $f$ множества $S$ на себя; число перестановок множества из $n$ элементов равно $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$. Элемент $a$ множества $S$ называется неподвижной точкой перестановки $f$, если $f(a) = a$.

M1078. Функция $f$ определяна на множестве $N_0$ всех неотрицательных целых чисел и принимает значения в этом множестве. Докажите, что равенство $f(f(n)) = n + 1987$ не может выполнять для всех $n$ из $N_0$.

M1079. Пусть $n$ — натуральное число, $n \geq 3$. Можно ли расположить на плоскости $n$ точек так, чтобы расстояние между любыми двумя выражениями ирациональными числом, а площадь треугольника с вершинами в любых трех — рациональных числом (отличным от нуля)?

M1080. Пусть $q$ — натуральное число, $q \geq 3$. Докажите, что если $k^2 + k + q$ — простое число для всех целых $k$, где $0 \leq k \leq \sqrt{q}/3$, то $k^2 + k + q$ — простое для всех целых $k$, где $0 \leq k \leq q - 2$.

В. Ф. Лев

Ф1088. Невесомая лестница закреплена во врашащшемся со скоростью $f=10$ об/min неевесомом подвеске так, что может свободно качаться относительно верхней ступенки (рис. 2). Обезьяна массой $m=30$ кг начинает спускаться по лестнице. На каком расстоянии $l$ от подвеска она будет находиться, когда вертикальное положение лестницы перестанет быть устойчивым?

А. В. Андрианов

Ф1089. При перелете со станции «Мир» на станцию «Салют-7», которые находились на одной орбите, наши космонавты затормозили свой корабль, перешли на более низкую орбиту и за время $t=30$ часов на гагины «Салют-7», который летел вперед «Мира» на расстоянии $L=3000$ км. Считая орбиты круговыми, определять, на сколько километров промежуточная орбита ниже основной? Высоты орбиты много меньше земли $R_3 \approx 6400$ км.

М. В. Семенов

23

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications. The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than March 1st 1988, to the following address: USSR, Moscow, 103006, Москва K-6, ул. Горького, 32/1, Квант. Please send the solutions of physics and mathematics problems, as well as problems from different issues, under separate cover; on the envelope write the words: “KVANT’S PROBLEMS” and the numbers of all the solved problems; in your letter enclose an unstamped selfaddressed envelope — we

Ф1090. ЯсноЙ морозной почью посмотрите на небо. Какие звезды мерцают более заметно: нахождения высоко над горизонтом или низко, и почему?

А. С. Бугов

Ф1091. Подвешенный на чертажимой нити длиной $l$ шарик с массой $m$ и зарядом $q$ находится в центре обруча, вдоль которого равномерно распределен заряд $Q$ (рис. 3). Радиус обруча — $R$, заряды $q$ и $Q$ — одноименны. Определить частоту малых колбаний шарика, воспользовавшись формулой $(1+x)^n \approx 1 + \alpha x$ ($x \ll 1$).

Г. В. Григорьев

Ф1092. Найти положение изображения точного объекта, расположенного на расстоянии $L$ от передней поверхности толстой плоскопаралелной стеклянной пластины, посеребренной с задней стороны (рис. 4). Изображение расматривается перпендикулярно к поверхности пластины. Толщина пластины равна $d$, показатель пределления — $n$.

В. К. Петерсон

Problems

M1076 — M1080, P1088 — P1092

M1076. The bisector of angle $A$ in the acute-angled triangle $ABC$ intersects side $BC$ at the point $L$ and the triangle’s incircle at $N$ ($\neq A$); perpendiculars, drawn from $L$ to $AB$ and $AC$, intersect them at $K$ and $M$. Prove that the quadrilateral $AKNM$ has the same area as $ABC$ (see figure Pис. 1)

I. А. Кushnir

M1077. Denote by $p_n(k)$ the number of permutations of an $n$-element set having exactly $k$ fixed points. Prove that

a) $\sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = 0 \cdot p_n(0) + 1 \cdot p_n(1) + \ldots + n \cdot p_n(n) = n!$

b) $\sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = n!$

Remark. A permutation of a finite set $S$ is any one-to-one map $f$ of $S$ onto itself; the number of all permutations of an $n$-element set is $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$. The element $a$ of the set $S$ is a fixed point of the permutation $f$ if $f(a) = a$.

M1078. The function $f$ is defined on the set $N_0$ of all non-negative integers and ranges over $N_0$. Prove that the relation $f(f(n)) = n + 1987$ cannot hold for all $n$ from $N_0$.

M1079. Suppose $n$ is an integer, $n \geq 3$. Is it possible to choose $n$ points in the plane so that the distance between any two points is irrational, while the area of a triangle with vertices at any three of those points is rational and positive?

24

shall use it to send you the correction results. At the end of the academic year we sum up the results of the Kvant problem contest. If you have an original problem to propose for publication, please send it to us under separate cover, in two copies (in Russian or in English), including the solution. On the envelope write NEW PROBLEM IN PHYSICS (or MATHEMATICS). Please print your name and address in BLOCK LETTERS.

M1080. Suppose $q$ is an integer, $q \geqslant 3$. Prove that if $k^2 + k + q$ is simple for all integer $k$, where $0 \leqslant k \leqslant \sqrt{q/3}$ then $k^2 + k + q$ is simple for all integer $k$ satisfying $0 \leqslant k \leqslant q - 2$.

V. F. Lev

P1088. A weightless ladder is fixed to a weightless support, rotating with velocity $f = 10$ rev/min, so that the ladder can oscillate relatively to the upper step (figure Pisc. 2, p. 23). A monkey of mass $m = 30$ kg begins to climb down the ladder. At what distance $l$ from the support will it be, when the vertical position of the ladder ceases to be the equilibrium one?

A. V. Andrianov

P1089. In the flight from the station “Mir” to the station “Salut-7”, which were on the same orbit, our astronauts slowed down their ship, switched to a lower orbit and in time $t = 30$ hours caught up with “Salut-7”, which had been flying $L = 3000$ km ahead of “Mir”. Assuming the orbits circular, find how many kilometers lower the intermediate orbit was than the main one. The altitudes of the orbits are much less than the Earth’s radius $R_E = 6400$ km.

M. V. Semionov

P1090. Look at the sky on a clear, freezing night. What stars scintillate more noticeably — those high up or those nearer the horizon, and why?

A. S. Butov

P1091. A small ball of mass $m$ and charge $q$ hangs by an unstrechable string of length $l$ in the centre of a hoop, along which the charge $Q$ is uniformly distributed (figure Pisc. 3, p. 23). The hoop’s radius is $R$, the charges have the same sign. Determine the frequency of small oscillations of the ball, using the formula $(1+x)^a \approx 1 + ax$ ($x \ll 1$).

G. V. Grigoriev

P1092. Find the position of the image of a point-like object, located at the distance $L$ from plane parallel the front surface of a thick glass plate whose back surface is silvered (figure Pisc. 4, p. 23). The image is viewed perpendicularly to the plate’s surface. The thickness of the plate is $d$, the refraction index is $n$.

V. K. Peterson

Решения задач
M1056 — M1060*), Ф1067 — Ф1072

Разобъем квадрат на 994 области, как показано на рисунке: первая область — это угловая клетка, второй — квадрат $3 \times 3$ без угловой клетки, третья — квадрат $5 \times 5$ без первых двух области и так далее. В каждом из 993 области, начиная со второй, сумма чисел не превышает 2. Действительно, поместим в такую область квадраты $2 \times 2$ (красные квадраты на рисунке). Клетка $A$ будет покрыться имми дважды, а клетка $B$ не будет покрыта ни один квадратом. Пусть в клетке $A$ стоит число $a$, в клетке $B$ — число $b$. По условию сумма чисел в каждом квадрате $2 \times 2$ равна 0, так что сумма чисел в этой области равна $b - a$, и следовательно, не превышает 2. Таким образом, сумма чисел не превышает $1 + 2 \cdot 993 = 1987$.

C. Иванов (8 кл., с. ш. № 239, Ленинград)

*) Эти решения составлены на основе работы участников Всесоюзной математической олимпiadы этого года.

25

М1057. Два церрока почередно выписывают на доске натуральные числа, не превозходящие р. Правилами церрок запрещается писать на доске делители уже написанных чисел. Производает церрок, который не может сделать очередной ход.
a) Выяснить, кто из церрок имеет выигрывную стратегию для p=10, и указыть ее.
b) Выяснить, кто из церрок имеет выигрывную стратегию для p=1000.

М1058. На целочисленной решетке отмечено непустое множество узлов. Кроме того, задан конечный набор векторов с целыми координатами. Известно, что если от любого отменного узла отключить все заданные векторы, то среди их концов будет больше отменных узлов, чем неотменных. Доказать, что отменных узлов бесконечно много.

М1059. График функции y=f(x), определяющий на всей числовой прямой, переходит в себя при повороте на угол π/2 вокруг начала координат.
a) Доказать, что уравнение f(x)=x имеетрово odно решение.
b) Привести пример такой функции.

a) Ответ: выигрывает начинаяющий. Первым ходом он должен писать число 6. После этого можно писать только числа 4, 5, 7, 8, 9, 10. Разобъем их на пары: (4, 5), (7, 9), (8, 10). Легко видеть, что в ответ на любое число, написанное вторым игроком, первый всегда сможет писать парное число.

6. Ответ: выигрывает начинаяющий. Докажем это от противного. Пусть у начинаящего нет выигрывной стратегиии, т. е. на любой его ход у второго игрока есть ответ, ведущий в конце концов к выигрыву. В частности, если начинаяший пишет первым ходом 1, его партнер неотменной стратегией может обеспечить себе выигрывши, написав сначала какое-то число n. Тогда, написав первым ходом n, начинаяший той же стратегией обеспечит выигрывши себе, поскольку 1 уже нельзя будет писать. Конечно, это рассужждение годится для любого p.

Д. Иванов (8 кл., с. ш. № 57, Москва)

Введем на плоскости системы координат, помещив ее начало в один из узлов решетки и направив ось абсцисс вправа, а ось ordinативверх. Разобъем данной набор векторов на две части V₁ и V₂. К V₁ относим векторы с координатами (x, y), где y>0 или y=0, а x>0. Остальные векторы относят к V₂. Если число отменных узлов конечно, то среди их можно выбрать узел, имеющий наиболее абсциссу из всех узлов с наиболее ordinатой (самый правый из самых верхих). Отложим от него все векторы (см. рисунок). Тогда концы векторов множества V₁ попадут в неотменные узлы. По условию задачи отследует, что множество V₂ содержит больше векторов, чем V₁. Точно так же, откладывая векторы от самого левого из самых отменных узлов, получим, что в множество V₁ векторов больше, чем в V₂. Это противоречие показывает, что множество отменных узлов бесконечно.

Д. Румынин (9 кл., ФМШ № 165 при НГУ, Новосибирск)

a) Покажем сначала, что f(0)=0. Пусть f(0)=a, т. е. график функции f содержит точку (0, a). После двух поворотов на угол π/2 вокруг начала координат эта точка перейдет в точку (0, —a) (рис. 1), а поскольку она тоже должна лежать на графике, a=—a=0.

Допустим теперь, что уравнение f(x)=x имеет еще одно решение x=b(b≠0), т. е. график проходит через точку (b; b). Тогда он проходит и через точку (b; —b), получаем из (b; b) трея поворотами на π/2 (рис. 1). Но это невозможное.

Итак, уравнение f(x)=x всегда имеет единственное решение x=0.

6. Искомую функцию можно определить так:

$$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x=0, \\ -x/2 & \text{при } 4^k \leq |x| < 2 \cdot 4^k, \\ 2x & \text{при } 2 \cdot 4^k-1 \leq |x| < 4^k, \end{cases}$$

где k — произвольное целое число (график на рисунке 2).

26

М1060. На плоскости даны две замкнутые ломаны, каждой с нечетным числом зеневов. Все прямы, содержащие зеневя этих ломаны, различны, и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Доказать, что из каждой ломанной можно выбрать по одному зену так, чтобы они были противоположными сторонами неокторого выпуклого четырехугольника.

Если одно из звенев первого ломанной параллельно неокторому зену второй, то утверждение задачи очевидно (эти два зенена — основания трапеции). Поэтому будем в дальнейшем предполагать, что никакие два зенена разных ломанных не параллельны.

Примую, содержащую зено, будем называть несущей прямой этого зенена. Поскольку обе ломанные состояят из нечетного числа зеневов, число $N$ точек пересечения несущих прямых одной ломанной с неусущими прямыми другей нечетно.

Допустим, что утверждение задачи неверно. Тогда, как бы ни выбрать на каждой ломанной по зену, точка пересечения их неусущих прямых будет лежать на одном из этих двух зеневов. Следовательно, число $N$ можно представить как (число пересечений первого ломанной с неусущими прямыми второй) + (число пересечений второй ломанной с неусущими прямыми первой) — (число пересечений ломанных друг с другом),
поскольку последнее число дважды учитывается в сумме первых. Покажем, что каждое из этих чисел, а значит, и число $N$, четно, в противоречие со сказанным выше. Тем самым, задача будет решена.

Будем сдигать одну ломанную в неоктором направлении до тех пор, пока она не перестанет пересечаться с другой, и следить за тем, как меняется число точек пересечения. Ясно, что оно может измениться только в тот момент, когда какая-то вершина $A$ одной из ломанных попадет на неокторое зено $l$ другой. Например, когда можно выборать так, чтобы вершина $A$ не могла совпасть с вершиной или точкой самопересечения другой ломанной. Тогда достаточно рассмотреть два случая: когда два зенена, выходящие из вершины $A$, лежат по разные стороны от $l$ (рис. 1) и по одному сторону (рис. 2). В первом случае число пересечений не меняется, во втором — увеличивается или уменьшается на 2. В любом случае четность его сохранения, и так как в конце пересечения не будет, число точек пересечения двух замкнутых ломанных четно. Аналогично доказывается четность числа пересечения замкнутой ло-

28

На рисунке изображены векторы $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3$, ориентированные в соответствии с условиям $T_1 < T_2$.

Введем систему координат с началом в точке падения осокла № 3. Тогда зависимости координат первого и третього осоклов от времени имеют вид

$$y_1(t) = H + \frac{1}{2} vt - \frac{gt^2}{2},$$

$$y_3(t) = H - vt - \frac{gt^2}{2}.$$

Поскольку $y_1(T_2) = 0, y_3(T_1) = 0$, то из уравнений (2)

$$0 = H + \frac{1}{2} vT_2 - \frac{gT_2^2}{2}, \quad 0 = H - vT_1 - \frac{gT_1^2}{2}$$

находим

$$H = g \frac{T_2T_1}{2} \frac{T_1 + 2T_2}{2T_1 + T_2}.$$

Ю. Г. Павленко

Ф1069. На уzel величины $a$, сознутый из тонкого главного стержня, надета лезкая петля длиной $l$ с прикреплением к ней небольшим грузом; уzel установлен вертикально. Найдите расстояние от груза до вершины угла в положении равновесия и перiod малых колебаний груза в плоскости угла.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф1070. Мальчик выдуает из длиной грубки мыльный пузырь. Надуть пузырь, он выпускает грубку из рта, при этом пузырь сдувает обратно в грубку и окончательно исчезает время $t$. За какое время сдуется таким же образом пузырь ввода большшего радиуса? Считать, что воздух движется по грубке достаточно медленно.

Воздух вытекает через грубку медленно, зачит, силу вззкого треня можно считать пропорциональной скорости потока воздуха. Избитьочное давление в пузыре мало по сравнению с атмосферным давлением, поэтому изменением плотности воздуха в пузыре мы пренебрегаем.

Сила вззкого треня в любой момент почти уравновешивает силу избыточного давления, а $\Delta p$ обратно пропорционально радиусу пузыря. Тогда можно записать:

$$v \sim \Delta p \sim \frac{1}{r}, \quad \frac{\Delta V}{\Delta t} \sim \frac{1}{r},$$

29

ленино, свойства мыльной пленки у обих пузырей одинаковы.

$$\frac{\Delta V}{V} \sim \frac{\Delta t}{r^4}.$$

Если у нас есть два пузыря радиусами $r_1$ и $r_2$, то отношения времени, за которые объем каждого из них уменьшится на одну и ту же малую часть —

$$\frac{\Delta t_1}{\Delta t_2} = \frac{r_2^4}{r_1^4},$$

но при этом отношение радиусов остается тем же, значит, и относение времени исчезновения пузырей будет таким же. Итак,

$$t_2 = 16t_1.$$

Д. А. Купцов

Ф1071. В схеме, указанной на рисунке 1, лампочка горит одинаково ярко как при замкнутом, так и при разомкнутом ключе К; $R_1 = R_3 = 90$ Ом, $R_2 = 180$ Ом, $U = 54$ В. Най-дите направление на лампочке.

Заметим, что сопротивление лампочки зависит от направления на ней: с повышением напряжения увеличается разогрев нити накаливания, и сопротивление лампочки растет. По условиям задачи накаал нити при замкнутом и разомкнутом ключе одинаков; следовательно, направление на лампочке $U_\pi$ и ее сопротивление $R_\pi$ и те же в обих случаях.

На рисунках 2 и 3 показаны эквивалентные схемы при замкнутом и разомкнутом ключе. Сопротивление участков $BC$ и $AC$ —

$$R_{BC} = \frac{RR_3}{R + R_3}, \quad R_{AC} = R_2 + R_{BC}. \tag{1}$$

Подставив в (1) значения сопротивлений $R_2$ и $R_3$ (в омах), получим

$$R_{BC} = \frac{90R}{R + 90}, \quad R_{AC} = \frac{270(R + 60)}{R + 90}. \tag{2}$$

Напряжение на лампочке при замкнутом ключе

$$U_\pi = \frac{U}{R_{AC}} R_{BC}.$$

С учетом (2) и того, что $U = 54$ В, получаем

$$U_\pi = \frac{18R}{R + 60}. \tag{3}$$

Аналогичный расчет при разомкнутом ключе дает

$$U_\pi = \frac{36R}{R + 150}. \tag{4}$$

Из уравнений (3) и (4) находится напряжение на лампочке:

$$U_\pi = 6 \text{ В.}$$

В. И. Чивилёв

Ф1072. Почему наличие ультрафиллетового компонента в спектре ухудшает резкость изображения, получаемого на фотопленке?

Показатель предполнения стекла и, следовательно, фокусное расстояние объекта зависит от длины волны излучения. Выбором формы и материалов объекта и оптимального расстояния до фотопленки добавится практического исключания размытия изображения при фотографировании. Соответствующие ухидрения не касаются длины волны за пределами видимой части спектра. Поэтому попадание ультрафиллетовых лучей на фотопленку приведет к общему размытию изображения. Для борьбы с этим недостатком применяют фильтры, не пропускающие ультрафиллетовое изображение. По той же причине на некоторых объектах наносится отдельная шкафа расстояний для съемки в инфракрасном диапазоне.

Л. А. Ашкинazu

31

Задания

1. Про три простых числа известно, что одно из них равно разности кубов двух других. Какие это числа?

2. В некоторых старинных часах, предназначенных для работы на открытом воздухе, магтически изготовлялся в виде длиной трубки, заканчивающейся сосудом со рутью. С какой целью это делалось?

3. Решите числовой ребус (см. рисунок). Одиноковый буква соответствует одинаковые числа, разным — разные.

4. На хуторе Семидворье семь домов. Любопытно, что какие бы три дома мы ни выбирали, расстояние хотя бы между одной парой из них равняется 100 метрам. Начертите план расположения домов на хуторе.

5. Тартарен, путешествуя по Африке, однажды остановился на ночной на берегу небольшого озера с чистейшей водой (на дне били ключи). Однако утром к озеру подошло стадо слонов. Тартарен насчитал 183 головы. На следующей утро они ушли, оставив вместе озера грязную лужу. Через несколько лет Тартарен вновь попал на это место. Озеро вновь было полно воды, но утром опять появились слоны. На этот раз в стаде было 37 слонов и воды им хватило на 5 дней. Покидая берега выпитого до дня озера, Тартарен задумался: за сколько дней опустошит озеро один слон?

Эти задания нам предложили Н. Я. Антонович, А. С. Бутов, А. М. Домашенко, ученик с. ш. № 15 г. Ставрополь Павел Скучарев, А. П. Савин

Если все краски радуги вместе смешать,—
то… получится черная грязь.
Вредного (из детского мультфильма)

КАК
ОДНАЖДЫ
ЖАК-ЗВОНАРЬ
ГОЛОВОЙ
СЛОМАЛ ФОНАРЬ…

Кандидат физико-математических наук
А. И. БУЗДИН.
кандидат физико-математических наук
С. С. КРОТОВ

33

Не будем черезур строгими по отношению к выводу Вредного про краски, а рассмотрим все по порядку, поскольку физические чистый эксперимент — это вещество тонкая…

Сколько существует на свете различных цветов? Откуда вообще берутся разные цветы? Эти и многие другие вопросы издавана занимали любимательных людей. Большой вклад в создание науки о цвете внесли великий Ньюотон. Он наблюдал разложение солнечного (белого) света при прохождении его через стеклянную призму в так называемый спектр (от латинского spectrum). Получающие при этом цвета в точности соответствуют цветам радуги. Призма позволила Ньюотону получить радгу в «лабораторных» условиях. Вот они, цвета радуги: красный, оранжевый, желтый, зеленный, голубой, синий, филолетовый. Посмотрите еще раз на заглавие статьи. Мы воспользовались шуточной фразой, помогающей заполнить последовательность цветов в солнечном спектре (как видите, и в нашей штке есть доля правды). Наверняка кто-то из вас вспомнит еще одно mnemonическое правило — фразу «каждиый охотник желает знать, где сидит фазан».

Именно благодаря опытам Ньюотона в конце XVII века было установлено, что белый свет представляет собой смесь из различных цветов. (В частности, Ньюотон показал, что если разложенный в спектр белый свет смешать, то опять получится белый свет.) Прошло много времени, пока учены осознали, что свет — это распространяющаяся в пространстве колбания связанных друг с другом электрических и магнитных полей, иначе говоря — электромагнитные волны. Наболее привящей пример такого волна — радиовольны. Было доказано, что природа света и радиовольн — одна и та же, они отличия лишь частотой колбании. Частота радиовольн в тысячи раз более низкая, чем у световых. Каждый цвет отвечает определенная частота колбании. Если воспользоваться аналогией с музыкальным инструментом, то красный цвет отвечает «басам», а филолетовый — высоким потом.

Скорость распространения электromagнитных волн $c = 300\,000$ km/c. Она во много тысяч раз больше скорости звука, так что радиослушатель, сидящий дома во Владивостоке около радиоприемника, слышит голос певца на концerte, транспортом из Москвы, раныше, чем слушатель, сидящий в дальнейм ряду концертного зала.

Приведенное значение скорости света ($c = 3 \cdot 10^5$ km/c) относится к вкусу. При распространении света в прорацном веществе скорость оказывается меншей. Особый интерес представляет тот факт, что при прохождении через вещество свет разных цветов распространяется с различными скоростями. Это явление называется дисперсей, и именно благодаря дисперсии признам разлагает белый свет в цветной спектр.

Итак, из белого света можно получить все цветы радуги. А что означает разные цвета классика на этой странице? Стопит вам приходить с собой эту статью в темную комнату (действительно, а почему бы и нет?), как все цвета вообще пропадут, кляксы станут просто серыми — сами по себе они не «светятся», какого бы цвета ни были. Чтобы видеть их разноцветными, их необходимо освещать. При этом падающей на страницу свет частично поглощается, частично рассеивается, а видим мы именно рассеянные световые лучи.

Очень важно, что разные цветы встречаются on примущеественное рассеящееся зеленье лучи, потому — красные. В этом проявляются изменения молекулярного строения вещества помидора. Кстати, не случайно в химии цвет — важная характеристика вещества.

Пришло время оставить заботы земные и… воспарить. Действительно, вред ли найдется человек, который хоть раз в жизни не увлекла заgadoная игра небесных красок. «Цвет не беспесный — синий цвет…»,— написал замечательный группинский поэт Нико Бараташвили. Но зададимся вопросом — безупречна ли физические упомянутая строчка?

34

Объчно голубизну неба объясняют рассеянием света в атмосфере. Однакопочему тогда ночное небо даже при полной луне не бывают голубым? Илипочему разные участки неба окрашены в синий цвет по-разному — один более ярко, другие — менее? А если обратиться к заходу солнца? Внимательный физик, наблюдающий заходу солнца, отметил, что сначала западная часть неба прибретает желтый или оранжевый оттенок; затем, когда солнце становится огнено-красным, свечение неба меняется от желтого-ранжевого до ярко-зеленого; наконец, примерно до высоты 25° над горизонтом небо окрашивается в розовый цвет.

Поскольку прииной всех перечисленных цветовых коллизий является рассеяние солнечного света в атмосфере, остановимся более подробно на этом процессе.

Объяснение особенностей окраски неба принадлежит английскому физнику У. Рэлею. В общих чертах сутки тела такова. Цвет неба определяется зависимости рассеяния света от частоты последнего. Приходящая от солнца электромагнитная волна «раскачивает» электроны, входящие в состав молекул воздуха. Наболее сильное воздействие на электроны оказывают лучи синей части спектра. Таким образом, из приведенной световой волны электроны молекул воздуха «забирают» колбания синей части спектра. Но, прия в вынужденное колбательное движение, электроны отдают назад взятую у волны энергии. Однако отдают они эту энергию уже во всех направлениях, а не только в направлении падения первоначальной волны от солнца. Этот процесс и представляет собой рассеяние света.

Существием для объяснения рассеяния света в атмосфере является неравномерность распределения молекул воздуха в атмосфере — постоянно имеющие место флуктуации плотности воздуха. При равномерном распределении молекул в пространстве рассеяние было бы совершенноным — небо просто-напросто было бы черным.

Итак, сильнее всего молекули воздуха рассеяют синею часть спектра, и поэтому неба, которые мы видим в рассеяном свете, кажутся нам голубыми.*) Чем сильнее удалены от солнца соответствующие участки небосвода, тем менее яркими они будут нам казаться. Причина состоит в том, что чем больше путь в атмосфере проходят солнечные лучи, тем меньше в них доля приходится на синию составляющего.Tеперь, наверное, вам понятно, почему говорят «красно солнышко»? Приемые солнечные лучи по пути к нам «теряют» синию составляющего, и применяется доплошадению долю приходшего к наблюдается излучения составляющего к небо красно-желтая часть спектра.

Понятно, что дым, пыль и другие мелкие частицы, содержащиеся в воздухе, существуют образом влияют на рассеяние света в атмосфере. Известно, что после больших извержений вулканов восходы и заходы солнца порой играют удивительныеми красками — солнце и луна могут даже стать синими. Приведем описание последствия катстрофического извержения вулкана Кракатay в 1883 году, которое дает в своей книге «Занимательная геология» замещенный русский ученый В. А. Обручев: «Мелкий пепел затемнял Солнце в Японии и в других местах на расстоянии свыше 3000 километров. Этот пепел, долго плавающий в атмосфере, обусловил синевая цвет солнца и луны в Африке и на островах Тихого океана и заменательные красные зории в конце 1883 года и в начале 1884 года, наблюдается по всей Земле».

Синяя окраска солнца и луны в данном случае обусловливается рассеянием света на атмосферных азрозолях размером 0,4—0,9 мкм, т. е. размером, сравнимым с длиной волны видимого света. Atmosферные азрозолы указанны размеров образуют путем осажения на твердых частицах дыма, пепла и т. д. при вулканических извержениях и крупных лесных пожарах. Именно вследствие своего относительного светки спектра сильнее, чем синей. Это рассеяние связиют с именно немецкого ученого Ми. При

*) Может возникнуть вопрос: почему голубими, а не флюлетовыми? Дело в том, что надо еще применять во внимание специфики воприятии цветов человека имгон и тот факт, что в солнечном свете флюлетовых лучей «меньше», чем синеих. Подробнее об этом мы обещаем расскажать в другой статье, в одном из следующих номеров журнала.

35

наблюдения солнца и лучы сквозь такой азрозоль они видятся синевами — красная составляющая белого света рассевается, и до нас доходит только синний свет.

Итак, стенки цветов, окрашивающих небесный свет, обусловлены в каждой конкретной ситуации комбинaziей рлеевского рассеяния с рассеянием света на мелких частях.

«Голубые горы, голубые дали, голубые города» — все эти позитические сочетания слов обусловно используют в качестве символов первозданности, необыкновенной чистоты, загадочности. Самое удивительное состоит в том, что и здесь не обошлось без физики.

Так, иногда над покрытой зеленью открыто местность, не сликом загрязненной вследствие человека человека деятельности, возникает очень красная тинстенная голубая дымка. В литературе часто упоминаются голубые горы Кавказа, Голубые горы в Австралии знамениты именно своей голубой дымкой. Голубой цвет «дымки» обусловлен рассеянием света на мелчайших частях, размер которых много меньше длины волны видимого света. Такими частями могут быть организские макромолекулы, испускаемые растительное, а также мелчайшие частицы, сываемые с острых частей растений электрическим полем земли. Итак, в местах скопления мелчайших частц возникает добавочный эффект рассеяния синея части спектра.

Завершая статью, предлагаем читателю сюжеты для самостоятельного рассмотрения.

1. Почему издалека новогодняя елка (скажем, стоящая на главной площади вашего города) в вечернее время кажется красной, хотя она освещена огоньками разного цвета?

2. Если вам доведется в новогодню ночь сидеть у костра, не забудьте позкериментировать и может быть gleichнуть перед окружающим, задав им следующий вопрос. Почему визу на фоне деревьев длим костра кажется синим, однako над верхушками деревьев (на фоне светлого неба) он выглядиит желтым?

3. Капнуть несколько капель молока в стакан с водой, посмотрите сквозь него на светящуюся лампочку. Лампочка показется красновато-желтовой. Если же посмотреть на отраженный от стакана свет, он будет голубым. Объясните наблюдаемое различие цветов.

Список читателей, приславших правильные решения

(Начало см. на c. 30)

(Mинск) 47; С. Бураков (Киев) 47; С. Вусленко (Тула) 50, 55; А. Вучель (Луцк) 53; С. Вавринок (Врест) 47; С. Валюх (Киев) 53; М. Ванюшов (Ленинград) 53; К. Василюо (Крайова, СРР) 47; К. Вербцикш (Москва) 55, 57; Д. Виноградов (Рига) 57; А. Винцок (Киев) 53; Д. Виткуп (Киев) 50, 55, 57; В. Вовек (Барвенков) 53, 55; К. Волошин (Москва) 49; П. Вольфбейн (Киев) 49, 53, 55, 57; А. Гладышев (Краснойск) 47; О. Глазунов (Москва) 49, 53; А. Гончаров (Новосибирск) 50; М. Гончаров (п. Черноголовка Московской обл.) 53, 55, 57; П. Горьков (п. Черноголовка Московской обл.) 50, 53, 57; Г. Григорян (Москва) 50; В. Гуревцит (Саратов) 49, 50, 53, 55, 57; С. Гуевь (Лобня) 50; С. Дворник (Новосибирск) 50, 53, 55, 57; Е. Демлер (Новосибирск) 50, 53, 55, 57; Е. Демченko (Жданов) 55, 57; К. Демьяненко (Киев) 46, 47; С. Дикий (Черкассы) 53, 55, 57; С. Дронов (Пушино) 53, 55; В. Дядечко (Винница) 49; А. Езерский (Минск) 47, 50, 53, 55, 57; А. Ельшевич (Минск) 47, 49, 50, 57; Д. Ермененко (Сумы) 47; П. Забелин (Куйбышев) 49, 52; А. Лосев (Ленинград) 47; С. Луданский (Москва) 47; О. Лучевь (Махачкала) 50; А. Лутовинов (Мичиринск) 47; А. Львовский (Москва) 47, 49, 53; А. Ладузин (Страйной обл.) 47, 53, 55—57; Д. Макунин (Серпухов) 55; Р. Малендеевич (Волхов) 55; Р. Малков (Саратов) 49, 53, 55; А. Мальшев (П. Медьянка Курской обл.) 47, 55; А. Мамaeв (Заволжье) 49, 53; А. Мамедов (Одеcca) 47;

(Окончание см. на c. 59)

36

Наблюдение электростатической индукции

В. В. МАЙЕР,
Р. В. МАЙЕР

Поднесем к проводнику заряженное тело. Пусть, для определения, проводник металлической, а заряд на теле — положительный. В проводнике возникнет электреческое поле, и свободные электроды, дивяясь против поля, будут собираться в близкойшей к заряжному телу области проводника. Следовательно, эта область прибретет отрицательный заряд, а область, наиболее удаленная от заряжного тела, — положительный заряд (что приведет к исчезновению электреческого поля в проводнике). Описанное явление, как вы знаете, и называется электростатической индукцией.

При электростатической индукции в проводнике проискит перераспределение зарядов, значит, в нем возникает кратковременный электреческий ток. Попробуем экспериментально по доказать это, воспользовавшись неоновой лампочкой.

Такая лампочка (ее можно, например, купить в магазина радиотоваров) представляет собой стеклянный баллон, заполненный неоном при попиженном давлении. В баллон вправы два электрода — аод и катод. Если на электроды подать соответствующее напряжение, в газе возникнет тлюющий разряд, который сопроводается свечением красновато-оранжевого цвета.*)

Понятно, что неоновая лампочка может служить индикатором электреческого тока. Основные преимущества ее заключится в том, что она компактна и что даже очень слабый ток (порядка нескольких микроампер) вызывает заметное свечение газа в лампе. Идея прибора для нашей опыта почти очень видна: проводник, в котором проискит перераспределение зарядов, нужно разорвать посередине и в его разрыв включить неоновый лампочку. Конкретная конструкция прибора может быть самой различной и определяется в первую очередь типом

*) Более подробно о самом неоновой лампочке, ее свойствах и практическом использовании можно прочитать в статье А. А. Борового («Квант», 1983, № 6).

37

использовой неоновой лампочки. В принципие подойдет любая, но лучшие применить лампочки типа BMH-1 или BMH-2, электроны которых равноправны, т. е. в равной степени каждой из них может быть как анодом, так и катодом.

На рисунке приведена фотографика одного из возможных вариантов прибора. Проводик образован двумя металлическими стержнями. Между ними в эбонитовом корпусе с окном расположена неоновая лампочка типа BMH-2, касающаяся своих электронами торцов стержней. На конце верхнего стержня закреплен диоралевый диск, повышющий цветительность прибора. Диск снабжен полизтиленовой крышкой, предотвращающей искровой разряд между ним и заряженным телом.

Столь основательный прибор был изготовлен нами лишь потому, что нам часто приходится показывать опыты и нерационально каждый раз терять время на подготовку оборудования. Если вы хотите только пронаблюдать явление, то легко даетсясь, как в течение получения сделать прибор из подручных материалов, скажем медной проволоки диаметром 1,5—3 мм, полихlorвиниловой трубки, припоя и т. п.

Теперь о самом эксперименте. На электронную триением эбонитового палочки, пластмассовую расчекку или полоску оргстекла. Прибор закрепите на изолированной подставке или возьмите в руку за нижний стержень. При приближении заряженной палочки к диску вы заметите свечение лампочки; следовательно, по проводнику идет ток, обусловленный перераспределением зарядов. Как только палочка оказывается неодвижной относительно диска, свечение прекраитится: заряды в проводнике перераспределились и вновь находятся в равновесии. При удалении палочки от диска лампочка опять загорается. Чем больше скорость движения палочки, тем ярче свечение лампочки, так как тем значительнее проходящий по проводнику ток.

Заметим, что опыт лучше всего проводить в полумраке, так как ярость свечение неоновой лампочки неевелика.

В заключение предлагаем несколько вопросов для размышления.

38

Язык Лого
Урок 3: Рекурсии, функции

А. А. ДУВАНОВ,
Ю. А. ПЕРВИН

Все возвращается на круги своей
Выполняя процессу ОКРУЖНОСТЬ
(см. Урок 2 в прошлом номере «Кванта»), Черепаха обжит один полный оборот и оставится. Приятно наблюдайте ее бег на экране дисплея! Поэтому хочется заставить ее покружиться еще и еще. Вот как это можно сделать:

ЭТО КАРУСЕЛЬ :R
ОКРУЖНОСТЬ :R
КАРУСЕЛЬ :R
КОНЕЦ

Эта процедура имеет непrivibuousное описание: в него включен вызов той же самой процедуры. Процедура, вызывающая сама себя, называется рекурсивной, а ее вызов — рекурсей. С рекурсей часто и неожиданно можно встретиться и вдали от уроков информаτικи. Художники любят рисунки-шутки: на рисунке изображен тритель, наблюдающий экран телевизора, на котором виден тритель, взираю-щий на экран … и т. д. Пример «lintературной» рекурсии — знаментийный стишок про попа, у которого была собака.

Вызвав рекурсивную процедуру КАРУСЕЛЬ, можно убедиться в том, что не так уж она и хорошо: она заставляет бедную Черепаху безостановочно бегать по кругу, … пока включена машина.

Что бы остановить Черепаху, управляемую рекурсивной процедурой, надо уметь отсутствать число проиденных кругов и сравнить эту переменную величину с заданным значением. Если в качестве счетчика кругов взять переменную с именем СЧЕТЧИК, то вести отчет кругов можно с помощью команды

СДЕЛАЙ «СЧЕТЧИК :СЧЕТЧИК+1,
которую следует включить в описание процедуры КАРУСЕЛЬ сразу вслед за вызовом ОКРУЖНОСТЬ :R (выогдавыаетесь, по-видимому, что для правильной работы задуманной программы надо будет в самом начале выполнить команду

СДЕЛАЙ «СЧЕТЧИК 0;
почему?).

А вот для того, чтобы сравнить две величины, потребуется новая

39

команда. Условная команда имеет вид ECЛИ условия [список-1 команд] [список-2 команд]

Стоящее в квадратных скобках списки команд представляют собой одно из двух возможных продолжений программы: в том случае, когда условия, записанное после слова ECЛИ, истинно, выполняются команды первого списка (и пропускается весь второй списк!), и наоборот, если условия ложно, пропускается первый списк и выполняются команды второго списка. Условием (точнее, простым условиям) называют два выражения, соединенные знаками отношений «<», «>», «>=» (большие или равно), «<=» (меньше или равно), «=», «/=» (не равно). Определение таким образом условия может быть либо истинным, либо ложным. Например, условия команда ECЛИ: $R/2 > 3.14*2$ [ВПЕРЕД 50] [НАЗАД 50] сначала вычисляется истинность условия при текущем значении $R$, и получив положительный ответ, посылает Черепаху вперед, а в противном случае — назад.

Допустима сокращенная форма условий команды (с одним списком): ECЛИ условия [список команд]

Тогда в случае истинности условия выполняется команда списка, а если условия ложно, то машина … ничего не делает, а просто переходит к выполнению следующей команды программы, если она есть. Этот форминой команды мы и воспользуемся для решения поставленной задачи, заставляя Черепаху углать по кругу, например, 17 раз. Для этого надо составить описание процедуры

это ПРОГУЛКА :$R$
СДЕЛАЙ «СЧЕТЧИК 0»
КАРУСЕЛЬ :$R$
КОНЕЦ

описание процедуры КАРУСЕЛЬ будет иметь вид

это КАРУСЕЛЬ :$R$
ОКРУЖНОСТЬ :$R$
СДЕЛАЙ «СЧЕТЧИК :СЧЕТЧИК+1»
ECЛИ СЧЕТЧИК<17 [КАРУСЕЛЬ :$R$]
КОНЕЦ

На сея раз процедура КАРУСЕЛЬ, хотя и остается рекурсивной, все же вызывается не всякий раз, а только если значение переменной СЧЕТЧИК не превыходит 17. Заметьте, что в процессе ПРОГУЛКА пришлось предустотть установку нулевого началаного значения счетчика. Такая программа после завершения своей работы оставит переменную СЧЕТЧИК равной 17. Переменные, не являющиеся параметрами процедуры и используемые как внутри процедуры, так и в вызывающей ее программе под одним и тем же именем и с теми же значениями, называются глобальными (ср. с определением локальной переменной на предыдущем уровне). Переменная СЧЕТЧИК в последнем примере глобальная. Поэтому программист должен помнить, что вызов процедуры ПРОГУЛКА может изменить значение глобальной переменной СЧЕТЧИК, существовавшее до вызова. Уйти от этого ограничения можно, сделав СЧЕТЧИК параметром процедуры: параметры всегда локальны. Такая процедура имеет описание

это КАРУСЕЛЬ :$R$ :СЧЕТЧИК
ОКРУЖНОСТЬ :$R$
СДЕЛАЙ «СЧЕТЧИК :СЧЕТЧИК+1»
ECЛИ :СЧЕТЧИК<17 [КАРУСЕЛЬ :$R$]
КОНЕЦ

Тепер процедура ПРОГУЛКА возвращает не нужна. Вызов КАРУСЕЛЬ 50 0

обеспечивает 17-кратное движение по окружности радиусом 50. От присваивания начального значения программы не избавлен, но теперь он делает это не отдельной командой, а установленную значения фактического параметра.

Задание 1. Перепишите процедура КАРУСЕЛЬ так, чтобы Черепаха могла обегаться любое заданное число кругов.

На прошлом уроке мы видели, что всегда, когда известно число повторяемых одинаковых действия, можно воспользоваться командой ПОВТОРИ. Значит, можно это сделать и в нашем рис. 1.

40

несложном задании — прогулке Черепахи по окружности.

Задачка 2. Еще раз перешите проедуру КАРУСЕЛЬ, исключив рекурсию и воспользовшись командой цикла.

«Рекурсивный» рисунок на с. 38 программровать мы не будем. Но часть его — прямугольники внутри прямугольников (рис. 1) — запросимировать легко:

ЭТО РЕКУРСИЯ :СТОРОНА
ПОВТОРИ 2 [В :СТОРОНА П 90 В
1.5 * :СТОРОНА П 90]
НР В :СТОРОНА / 2 П 90 В
1.5 * :СТОРОНА / 2 Л 90 Р
СДЕЛАЙ «СТОРОНА :СТОРОНА * 0.4
РЕКУРСИЯ :СТОРОНА
КОНЕЦ

Эта процедура будет безстановочно рисовать вложенные прямугольники. Самым последним (но бесконечно повторяемым!) изображается прямугольник с минимальным значением СТОРОНА, при котором еще выполняется условие СТОРОНА > 1. А как добиться остановки процедуры?

Рисунки 2, а—z выполены рекурсивной процедурой СПИРАЛЬ с двумя параметрами.

Задачка 3. Следайте описание процедуры СПИРАЛЬ, воспроизводящей рисунки 2, а—z.

Процедуры и функции

Введем понятие предписания как неокоторого приказа, отделного машине в понятной для нее форме. Такие предписания, как ВПЕРЕД, заставляющие машину произвести определенные действия без вычисления результатов, мы будем называть командами, а также, как «+», вычисляющие значения — операции.

Набор встречных команд в Лого относительно неевелик. Описывая процедуры, мы объявляем машине новые команды. Например, можно ввести команду
КВАДРАТ α
рисушую квадрат со стороны α (α —арифметическое выражение). Для этого достаточно знать в памяти компьютера описание

ЭТО КВАДРАТ :A
ПОВТОРИ 4 [ВПЕРЕД :A ВПРАВО 90]
КОНЕЦ

Выполняя команду (или процедуру), ЭВМ осуществляет некоторые действия — передвигает Черепаху, выводит сообщения на экран, организует повторения. Выполняя операцию ико, машина не только делает предписанные действия, но и (это главное!) вырабатывает в качестве результата неокоторое единственное значение (сумму, разность, …).

Мы уже пользовались арифметическими операциями: сложением, вычитанием, умножением, делением. Для более сложных математических выкладок требуют операции, вычисляющие значения функций. В Лого также операции записьюются в виде имя α, (1)
где «имя» — идентификатор функции, α — выражение, на которое воздействует функция, т. е. операнд операции. Операции и функции могут иметь не один, а несколько операндов.

Вот несколько имен, резервированных в Лого для обозначения элементов функций: SIN — синус, COS — косинус, TAN — tangенс, ARCTAN — арктигенс, SQRT — квадратный корень, RND — функция, генерирующая случайное число.

Например, выражение
$$\frac{\mathrm{tg} 2 + \sqrt{\sin a + 2}}{2}$$

перешется на Лого в виде
$$\frac{TAN 2 + SQRT(SIN :A + 2)}{2}.$$

Выражение RND можно использовать в качестве случая случайных чисел из интервала (0; N—1).

Для знакомых операций «+», «—», «», «/» в Лого также предисмотреть имена: СЛОЖИ для «+», ВЫЧТИ для «—», УМНОЖЬ для «», РАЗДЕЛИ для «/». Эти операции можно также записьать в форме (1) с двумя параметрами-операндами:
имя αβ (α и β —арифметические выражения).

41

Так, выражение $x+1$ можно перепись в виде
СЛОЖИ :x1
Для записи выражения (2) имеется эквивалент:
РАЗДЕЛИ СЛОЖИ TAN 2 SQRT
СЛОЖИ SIN :A 2 2

(расстояние внешательно соответствие форм записи (3) и (5)!). Запись выражений в форме (4), когда имя операции ставится перед операдими, называется префиксной, в отличие от более привчной, инфиксной записи, когда имя (знак) операции ставится между операдими. Например, $2+3$ — инфиксная форма записи,
СЛОЖИ 2 3 — префиксная форма записи той же операции.

Задание 4. Перепишите выражение
$$\frac{\sqrt{\sin^2 a + \cos^2 a}}{a+1}$$

на Лого, используя префиксную форму записи.

Форма записи операций (1) и (4) делает их разчително положими на команды и вызовы процедур. Однако программа СЛОЖИ :A :B (равно как и :A+:B) вызовет недоумение ЭВМ — что делать с полученным результатом? Чтобы избежать ошибок, надо помнить, что операции можно использовать только в выражениях; например:

Diagram

Процедура ПРЕДЕЛ используетстроенную в Лого функцию квадратного корня SQRT. Однако в Лого можно создавать и свои собственные функции, точно так же, как это делается при описании процедур. Единственное отличие описаний функций от описаний процедур — это обязательное присутствие в описании функций команды ВЕРНИ $\alpha$.

Эта команда возвращает в вызывающий программу в качестве результата значения выражения $\alpha$.

Итак, описание пользовательской (создаваемой программистом) функций имеет вид

Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5.

42

ЭТО имя параметры
…
ВЕРНИ α
КОНЕЦ
Здесь «имя» — это имя функции, «параметры» — список (возможно, пустой) параметров-операндов, α — выражение.

Проиллюстрируем использование созданных программистом функций при рисовании цветка, имеющего лепестки в форме прямогольных треугольников с катетами, равными A и B (рис. 4). Сначала опшем процедур, которая рисует стебель, организует рисование четырех лепестков и возвращает Черпаху в исходное положение:

ЭТО ЦВЕТок :A :B
(* РИСУЕМ СТЕВЕЛЬ )
РИСУЕМ ВПЕРЕД 3 * :A ВЛЕВО 65
ВПЕРЕД 2 * :5 ВЛЕВО 65
( РИСУЕМ ЦВЕТок )
ПОВТОРИ 4 ЛЕПЕСТок :A :B ВПРАВО 90
( ВОЗВРАТ В ИСХОДНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ )
НЕ РИСУЕМ ВЛЕВО :65 НАЗАД 2 * :A
ВПРАВО 65 НАЗАД 3 * :A
КОНЕЦ
Скобки «(» и «*»» здесь и в дальнейшем будем использовать для записи комментариев — записанных в программе, но не обработываемых машинной сообщением. Лепесток рисует партий закончились вничью, то неокотые два участка набрали поровну окков. Утверждение и решение будут верны, если подразумены, что все участки сыгры по одинаковому количеству партии, в частиности,— все сыгры друг с другом. (Без этого первый шаг решения — переход к системе подчета очков, при которой за выигрыш дается 1, за ничью 0, и за порожение —1,— не позволяет правильно судить о первоначальной сумме окков, как видно из следующого примера: четыре участка A, B, B, Г сыгрыл у Γ, В и Γ не играли между собой, остальные партии закончились вничью.)

Возвращая к направлению

Как заменили многое читатель, в формулировку задачи M1047 (решение которого было опубликовано в «Кванте» № 10) должны быть внесено уточнение. В задаче требовалось доказать, что если в турине более 3/4 сыгранных партий закончились вничью, то неокотые два участка набрали поровну окков. Утверждение и решение будут верны, если подразумены, что все участки сыгры по одинаковому количеству партии, в частиности,— все сыгры друг с другом. (Без этого первый шаг решения — переход к системе подчета очков, при которой за выигрыш дается 1, за ничью 0, и за порожение —1,— не позволяет правильно судить о perвоначальной сумме окков, как видно из следующого примера: четыре участка A, B, B, Г сыгрыл у Γ, В и Γ не играли между собой, остальные партии закончились вничью.)

43

Новости «Квата»
Как обнаружили 30 декабря 1987 года,ровно 70 лет назадв горode Малая Вишера
Новгородской областиродился член редколлециижурнала «Квант» (so дня его основания)доктор физико-математических наук,профессор,замечательный физики блестящий популяризатор научи,автор и редактор многих книги и огромного числа статей,известчайно эрудированный,добрый и веселый,mолодой и обаятельный человек —Яков Абрамович Смородинский.Мы поздравляем Я. С. с юбилееми желаем ему здоровья,неисскаемого жизниobiия и,конечно,творческие успехов,с которым обязаемсянезамедлительно знакомить читателейнашего журнала.

Редакция
Редакционная коллекция
Редакционный совет

Самыйдалекий квазар

Понски новых квазаров содержат элемент современный.Астропомы стараются найти квазар, который был бы расположен дальше всех уже известных.

Летом этого года по симкам, сделанным в Австралии,обнаружен квазар, который находится от нас на расстоянии около 13·10⁹ световых лет. Кроме того, что открытийный квазар очень далекий, он еще и очень яркий. Энергия его излучения в 10 000 раз превышает энергию излучения средней галактики.

Расстояние до небесного объекта, находящогося на столбьом уделении, можно оценить только по величины смесиния линей спектров atomов этого объекта, которое связано с расширением Вселенной. Однако песчет по современным данным величины смесиния в расстояния делается с большими ошибками. Неопределенность в вычислениях возникает здесь из-за того, что до сих пор еще не удается согласно различные определения построения «разбегания» галактик v с расстоянием R между ними:

$$v = H \cdot R.$$
Способы определения построенной Хаббла дают для нее значения — 50 и 100 км/(с·Мпс). Какое из них более точное, не выясено, но для расчетов берут общую H≈70 км/(с·Мпс).

Относительное изменение длины волны излучения, или красное смесиение,нового квазара —

$$z = \frac{\lambda_{\text{набл}} - \lambda_0}{\lambda_0} = 4,10.$$

Это означает, что линии в ультрафиолетовой части спектра водорода с длиной волны $\lambda_0 = 1215,7$ Å = 0,12157 мкм в спектре излучения квазара находится в середине видимой области. Максимальные краские смесиния равны 4,04 — для двух квазаров, открытых в этом году, и 4,01 — для квазара, открытого в 1986 году.

Далее из величины z определяют по формуле Доплера

$$z + 1 = \frac{\lambda_{\text{набл}}}{\lambda_0} = \frac{\sqrt{1 + v/c}}{\sqrt{1 - v/c}}$$

рост v, а затем по формуле Хаббла находится до интерсуциального нас объекта. Строго говоря, при таком песчете нужно учитывать эффектив кривизны Вселенной, но так как он неевелик, то такая поправка не внесет ничего существенного.

Что касается открытого квазара, то остается только сообщить его координаты. Он лежит на небесном меридиане, проходящем через точку весеннего равноведствия (при моем восходении 00 часов 00 минут), и имеет склонение 26°20′.

Я. С.

44

Уравнения
думают за нас

В. А. НАХШИН

Решение любой расчетной задачи по физике состоит из двух частей — физический и математический.

Пока мы обдумываем условия задачи, анализируем, в соответствии с какими физическими законами происходит данное явление, и составляем соответствующую систему уравнения, мы — физики. После этого физика временно отходит на задний план. Теперь мы — математики, и перед нами стоит иные проблемы: как наиболее рационально решить полученную систему уравнения и найти ответ? Причем ответ нужно найти в общем (буквенном) виде, чтобы следва от знака равенства стояла только искомая величины (в буквенном обозначении), а справа — комбинация из только известных величины (то же в соответствующих буквенных обозначениях).

Впервые эта статья была опубликована в сентябрябрьском номере «Кванта» в 1981 году. (Примеч. ped.)

Но вот ответ в общем виде получен, и мы снова обращаемся к физике: прежде чем подставить числовые данные, надо проверить размерность искомой величины и проанализировать ответ с точки зрения его правдоподобности. Если размерность верна и ответ правдоподобен, можно подставлять данные и считать.

Описанные этапы решения присущии практических всем задачам. Однако иогда — а именно о таких случаях и будет расссказано в статье — после расчетов получается неожиданный абсурдный результат, что свидетельствует о неверном решении. Так бывает, например, когда ни условие задачи, ни интуция, ни здравый смысл не могут подсказать, в какую сторону протекает тот или иной процесс или каким будет конечный результат.

Приступая к решению задачи, мы вынуждены предположить какой-то вариант и в соответствии с ним составить систему уравнения. Если ответ получится абсурдным, отмечаться не стоит. Проsto нам не повезло: наше предположение оказывается неверным. Однако определению информации мы все же получили — в предполагаемом направлении процесс не идет.

45

Что же, допустим другой вариант и так далее. Задча превращается в небольшое исследование, а уравнение — как бы в товаршей по размышлению. В конце концов они нас не подведут (разумеется, если мы их не подведем, т. е. не ошибемся в составлении и решения) и рассакжут нам об истинном направлении процесса или о конечном результате.

Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задча 1. На вершине шероховатой наклонной плоскости укреплен блок, через которых переброшена нить. К концу нити прикреплены два тела массами $m_1=3$ кг и $m_2=2$ кг. Найдите ускорение системы и силу треня между перым телом и плоскостью, если коэффициент треня $\mu=0,5$ и угол наклона плоскости к горизонту $\alpha=30^\circ$.

Куда ускоряется система и движется ли она вообше? Из условия задачи не ясно. Между тем, знать это очень важно. Так, если система движется, имеет место треня скольжения и модель этой силы равен $F_{\text{rp}}=\mu N$ (N — модель силы нормальной реакции). Если же система поконтся, на первое тело действует сила треня покоя, про которого известно только, что она не больше силы треня скольжения.

Может быть, поможет интуция? С одной стороны, первое тело тяжелее второго, но, с другой стороны, второе тело висит в воздухе, а первое лежит на наклонной плоскости, да к тому же есть трене. Нет, интуция нас не выручит, нужен анализ. Попробуем переложить наши заботы на уравнения.

Предположим, что блок вращается по часовой стрелке, т. е. второе тело опускается сускренем, а первое — с тем же по модлю ускреннем поднимается по плоскости. Изображим ссыль, действующие на каждое тело (рис. 1), и запишем систему уравнения второго закона. Ньютона в проекциях на соответствующие направления (для первого тела — это направления вдоль плоскости и перпендикулярно к ней, а для второго тела — это вертикальное направление):

$$\begin{align*} T &= m_1 g \sin \alpha - \mu N = m_1 a, \\ N &= m_1 g \cos \alpha = 0, \\ m_2 g &= T = m_2 a. \end{align*}$$

Решая эту систему, получаем

$$a = g \frac{m_2 - \mu m_1 \cos \alpha - m_1 \sin \alpha}{m_1 + m_2} \approx -1.6 \text{ m/c}^2$$

— проекция ускрення на выбранное направление отрицательна. Значит, наше предположение неверно.

Что же тогда происходит с системе? Движется в противоположном направлении? А с каким ускреннем?

В этом месте многое допускают ошибку, считая, что система ускренняя в противоположном направлении с тем же по модлю ускреннем ($\approx 1.6 \text{ m/c}^2$). Иногода так действительное можно считать. Например, если бы в данной системе не было силы треня, при изменении выбранного направления движения на противоположное проекции всех сил изменили бы свой знак, и ускренние получилось бы таким же по модлю, но с противоположным знаком. В нашем случае при новом предположении проекция силы треня по-прежнему отрицательна, поэтому соответствующая система уравнения будет другой (рис. 2):

$$\begin{align*} m_1 g \sin \alpha - T - \mu N = m_1 a, \\ N - m_1 g \cos \alpha = 0, \\ T - m_2 g = m_2 a. \end{align*}$$

46

Отсюда

$$a = g \frac{m_1 \sin \alpha - \mu m_1 \cos \alpha - m_2}{m_1 + m_2} \approx -3,6 \text{ m/c}^2.$$

И новь проекция ускорения оказалась отрицательной; следовательно, новое предположение тоже неверно.

Итак, уравнения, «подумав» за нас, приведи к выводу, что система не ускоряется, то есть

$$a = 0.$$

Значит, для нахождения силы трения, точнее — силы трения покоя, нельзя пользоваться формулой $F_{\tau p} = \mu N$, справедливо для силы трения скольжения.

Для определения искомой силы посмотрим, какие еще силы (или их проекции) действуют на первое тело в направлении вдоль наклонной плоскости. Это — проекция силы тяжестеки, равная по модулю $m_1 g \sin \alpha = 15 \text{ H}$, и сила натяжения нити, модель которой можно найти из условия покоя второго тела: $T = m_2 g = 20 \text{ H}$. Следовательно, сила треня покоя направлена вдоль плоскости вниз и равна по модулю

$$F_{\tau p, n} = T - m_1 g \sin \alpha = 5 \text{ H}.$$

Кстати, нетрудно убедиться в том, что в данной случае сила треня $F_{\tau p, n} = 5 \text{ H}$ действительно меньше $\mu N = \mu m_1 g \cos \alpha \approx 13 \text{ H}.$

Задача 2. В калорметр, содержащий $m_1 = 3$ ккал при температуре $t_1 = -10^\circ \text{C}$, влагают $m_2 = 2$ ккал при температуре $t_2 = 80^\circ \text{C}$. Какая температура установится в результате теплобмена? Теплоемкость calorimetра не учитывается.

Ясно, что конечная температура $t$ находится в промежутке от $-10$ до $+80^\circ \text{C}$:

$$-10^\circ \text{C} < t < 80^\circ \text{C}.$$

Следовательно, она может быть больше $0^\circ \text{C}$ — температуры тяния льда, меньше этой температуры или равной ей. Какой именно она оказывается, заранее сказает нельзя. Будем к целли пробираться «на ощуп», перебирая возможные варианты и полагаясь на волю уравнения.

Предположим, что $t > 0^\circ \text{C}$, т. е. в calorimetре будет только вода. Тогда лед получает телло в три этапа: будучи собственно льдом, нагреваясь от $-10$ до $0^\circ \text{C}$, превращаясь в воду при $0^\circ \text{C}$ и, будучи уже водой, нагреваясь от $0^\circ \text{C}$ до $t$. При этом вода отделет телло только при охлаждении от температуры $t_2$ до $t$. Запишем соответствующее уравнение теплового баланса:

$$c_1 m_1 (0 - t_1) + \lambda m_1 + c_2 m_1 (t - 0) + c_2 m_2 (t - t_2) = 0,$$

где $c_1 = 2,1 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) и $c_2 = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) — уделные теплоемкости льда и воды, а $\lambda = 3,4 \cdot 10^5$ Дж/кг — уделная теплотапления льда. Отсюда найдем

$$t = \frac{c_1 m_1 t_1 + c_2 m_2 t_2 - \lambda m_1}{c_2 (m_1 + m_2)}.$$

Подставим числовые данные, получаем $t < 0^\circ \text{C}$. Значит, нашей предположение неверно.

Теперь допустим, что $t < 0^\circ \text{C}$. Следовательно, и второе нашей предположение было неверным.

Остается единственный вариант: $t = 0^\circ \text{C}$. Это и будет ответом задачи.

Здесь мы предвидим некоторое увеличение.docdsы у читателя: почему автор нарушит подбирает примеры, где все первооначальные предположения оказались неверными и оба столь громоздких решений приводят к сравнительно простым результатам ($a = 0, t = 0^\circ \text{C}$)? Почему бы, в самом деле, не предположить заранее именно эти простые варианты?

Такой путь возможно, но облегчения он не скупит. Так, в первой задаче, предположив покой и не имея при этом формулы для силы треня покоя, мы должны будет составить систему из трех уравнений равновесия, но, решив ее и найти силу треня, надо обязательно проверить, действительность или меняше силы треня скольжения. Если оказывается, что нет, придется все решения, описанное выше, начинает сначала.

47

Во второй задаче, предположив $t = 0^\circ\text{C}$, мы должны подтвердить это уравнение теплового баланса, но не известно, как его составить. Мы не знаем, что равные доныло до нуля: лед «снизу» или вода «сверх», и как следствие — расплавился ли часть (и какая часть) льда или замерзла часть воды? Можно, конечно, опять что-то предположить, но число вариантов будет не меньше, а даже больше, чем в приведенном выше решении.

Задача 3. Найдите точки во всех ветях схемы, изображенной на рисунке 3. Здесть $\mathcal{C}_1 = \mathcal{C}_2 = \mathcal{C} = 1\text{ B}$, $r_1 = r_2 = r = 1\text{ Om}$ и $R_1 = R_2 = R_3 = R = 10\text{ Om}$.

Предположим, что точки $I_1, I_2$ и $I_3$ направлены так, как показано на рисунке 3, хотя мы достоверно этого и не знаем. Если мы ошиблись, соответствующие уравнения нас поправят.*)

Поскольку в точках разветвления (узлах) электрический заряд не накапливается, заряд, поступающий в единицу времени в узел, равен заряду, уходящему из узла за то же время, т. е.

$$I_1 = I_2 + I_3.$$

Выделим в данной схеме два простых замкнутых контура, например левый и правый, и выберем в них направления обхода, например против часовой стрелки. Согласно закону сохранения энергии, алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме надений направления:

$$\mathcal{C} - \mathcal{C} = I_1R + I_1r + I_2r + I_2R,$$
$$-\mathcal{C} = -I_2R - I_2r + I_3R.$$

Обединиим полученные уравнения в системе и для простых подставим числовые данные:

$$I_1 = I_2 + I_3,$$
$$10I_1 + I_1 + I_2 + 10I_2 = 0,$$
$$10I_2 + I_2 - 10I_3 = 1.$$

Решив эту систему, найдем

$$I_1 = -\frac{1}{31}A,$$
$$I_2 = \frac{1}{31}A,$$
$$I_3 = -\frac{2}{31}A.$$

Первый и третий ток получились отрицательными. Это означает, что наши предположения об их направлениях оказались неверными. Числовые значения мы нашли верно, а направления этих токов — противоположны предполагаемым.

Задача 4. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 25\text{ m/c}$. Через какое время оно будет на высоте $h = 40\text{ m}$?

Запишем известную формулу для координат тела, брошенного вертикально вверх (положительным считаем направление вверх):

$$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}.$$

Решая его относительно $t$, получим

$$t = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}.$$

Однако при подстановке числовых данных выясняется, что выражение под корнем отрицательно. Что это означает?

Оказывается, это уравнение на свое языке подсказывает нам, что данное тело вообще не достигает такой высоты. В самом деле, максимальная высота подбема $h_{\max} = v_0^2/2g \approx 31,5\text{ m}$, что меньше $h = 40\text{ m}$.

Так что бывают случаи, когда уравнение «думают» неожиданно, незапланированно.

Упражнения

1. Оdnородный рычаг массой $m = 10\text{ кг}$ описается на опору, находящуюся на расстоянии $l_1 = 25\text{ cm}$ от его левого конца. Длина рычага $l = 1\text{ м}$. Клевому концу рычага подвешен груз массой $m_1 = 2\text{ кг}$. С какой силой надо действия на правый конец вниз под углом $a = 30^\circ$ к горизонту, чтобы рычаг находился в равновесии?

2. В calorimetр, где находится $m_1 = 1\text{ кг}$ льда при температуре $t_1 = 0^\circ\text{C}$, высказот $m_2 = 500\text{ г}$ водяного пара при температуре $t_2 = 100^\circ\text{C}$. Какая температура установится после того, как произойдет теплобмен? Теплоемкость calorimetра можно пребежать.

3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 15\text{ m/c}$. Какой путь пройдет она за $t = 2\text{ с}$ полета? Ускорение свободного падения считать равным $g = 10\text{ m/c}^2$.

48

XXVIII Международная математическая олимпиада

Кандидат физико-математических наук В. В. ВАВИЛОВ,
кандидат физико-математических наук Ю. П. СОЛОВЬЕВ,
кандидат физико-математических наук А. А. ФОМИН

XXVIII Международная математическая олимпиада проходила в Гаване — столице Республики Куба.

В олимпиаде участвовали команды из 42 стран, по 6 человек от страны. В команду школьников СССР были включены призеры Всесоюзных олимпиад последних лет: Виндер Илья (Ленинград, с.ш. № 239), Борисов Лев (Минск, с.ш. № 19), Иванов Сергей (Ленинград, с.ш. № 533), Пухов Игорь (Москва, с.ш. № 57), Смирнов Станислав (Ленинград, с.ш. № 239), Стыркас Константин (п. Черноголовка Московской обл., с.ш. № 82).

В этом году Международная математическая олимпиада впервые проводилась в Латинской Америке, в первой социалистической стране западного полушария. Центральный Комитет Компартии Кубы и кубинское правительство приложили немало усилия того, чтобы олимпиада на Кубе превращалась в яркий праздник математики. Организацияную работу возглавлял член Полибитого ЦК Компартии Кубы, министр образования Хосе Раус Фернандес; работой юрипруководили известные кубинские математики Мигель Хименес Посо и Гиермо Лопес Лагомасино.

Гавана встречала участников олимпиады 4 июля. В дни олимпиады ребята совершили несколько увлекательных экскурсий по городу и его окрестностям, побивали в историческом музее, в национальном пionерском лагере им. Хосе Марти, совершили поездку на Пляя-Хирон, ну и конечно же, познакомились со значениями гаванскими пляжами.

10 и 11 июля были днями математических соревнований. Они проходили в специальированной школе точно на 6 часов от страны. В команду школьников СССР были включены призеры Всесоюзных олимпиад последних лет: Виндер Илья (Ленинград, с.ш. № 239), Борисов Лев (Минск, с.ш. № 19), Иванов Сергей (Ленинград, с.ш. № 533), Пухов Игорь (Москва, с.ш. № 57), Смирнов Станислав (Ленинград, с.ш. № 239), Стыркас Константин (п. Черноголовка Московской обл., с.ш. № 82).

Таким образом, команда СССР, набрав 235 баллов из 252 возможных, завоевала 3 золотые и 3 серебрные медали.

В неофициальном команде зачетте страны-участницы распределились следующим образом: Румыния (250), ФРГ (248), СССР (235), ГДР (231), США (220), Венгрия (218), Болгария (210), КНР (200), Чехословакия (192), Англия (182), Вьетнам (172), Франция (154), Австралия (150), Индерланды (146), Австралия (143), Канада (139), Швейция (134), Югославия (132), Бразилия (116), Греция (111), Турция (94), Испания (91), Мароко (88), Куба (83), Белгия (74), Иран (70), Норвегия (69), Финляндия (69), Колумбия (68), Монголия (67), Польша (55), Исландия (45), Кипр (42), Перу (41), Италия (35), Алжир (29), Кувейт (28), Люксембург (27), Уругвай (27), Мексика (17), Никарагуа (13), Панама (7).

51

ХVIII Международная физическая олимпиада

Кандидат физico-mатематических наук
С. С. КРОТОВ

В этом году Международная олимпиада школьников по физике проходила с 5 по 13 июля в городе Иена (ГДР). По числу участников это была самая представительная олимпиада. В Иену приехали команды из 25 стран: Австралии, Австрарии, Болгарии, Великобритания, Венгрия, Вьетнама, ГДР, Голландии, Исландии, Италии, Канады, Китая, Кубы, Кувейта, Норвегии, Польщи, Румынии, СССР, США, Турция, Финляндия, ФРГ, Чехословакия, Швейции, Югославии. Кроме того, на олимпиаде присутствовали наблюдатели из Бельгии, Греции и Колумбии. (Как показывает опыт, возможно, уже в будущем году эти страны станут полноправными участниками олимпиады.) В проведении олимпиады приняли участие также представитель ЮНЕСКО, корреспондент журнала «Квант» и корреспонденты молодежных журналов Исландии и ФРГ.

В соответствии со статутом Международной физической олимпиады каждой команды-участник состоит из двух руководителей и пятых участников. Руководители команд вместе с членами оргомитета страны устроительного олимпиады образуют Международную комиссию — основной руководящий орган олимпиады. В этом году Международную комиссию возглавил профессор Гумбольдского университета (г. Берлин) Рудольф Герман — специалист в области физики твердого тела.

В команду СССР по итогам выступления на Всесоюзных олимпиадах и по результатам зимних и летних сборов вошли

Антон Бибиков — выпускник ФМШ № 18 г. Москвы,
Дмитрий Будько — выпускник с.ш. № 3 г. Белгорода,
Гинатас Вилькляс — выпускник с.ш. № 45 г. Вильнюса,
Дмитрий Глушенков — выпускник с.ш. № 239 г. Ленинграда,
Алексей Гольдин — выпускник ФМШ № 2 г. Киева.

Перед поездкой на олимпиаду все участники летних сборов (включая также Сергей Бобылева — выпускника с.ш. № 9 г. Березники и Павла Карклина — выпускника с.ш. № 49 г. Москвы) были зачислены без экзаменов в выбранные имы вузы.

Руководители нашей команды были назначены научные сотрудники Научно-исследовательского института содержания и методов обучения АПН СССР О.Ф. Кабардин и В. А. Орлов.

Открытие олимпиады состоялось 6 июля в зале торговственных засеединей Иенского университета. Фридриха Шилера. Вечером того же дня прошло официальное засеединение Международной комиссии, на котором были представлены задачи теоретического типа, разработанные специальной комиссии. После необходимости корректировок условий задачи и уточнения официальных решений комиссии утвердили задачи.

7 июля участникам были предложены три задачи: первая — по термодинамике, второй — по механике и электромагнитизму и третья — на колесении и волны.

Вот условия этих задач.

Teoretический тур

Задача 1

Горный хребет обтекается адиабатические влажные воздуха (рис. 1). Метеорологические станции $M_0$ и $M_3$ фиксируют давление воздуха $p_0=100$ кПа, станция $M_2-p_2=70$ кПа. Температура воздуха в точке $M_0-t=+20$ °C. Когда воздуха поднимается, при давлении $p_1=84,5$ кПа начинается образование облаков. При дальнейшем поднятии воздуха, в котором происходит condensation водыного пара (масса этого воздуха над каждой квадратным метром поверхности равна 2000 кг), достигает вершины хребета (станция $M_2$ через 1500 с. При этом он отделет, в расчете на один килограмм воздуха, $m=2,45$ г воды в качестве осадков (дожда).

1. Какова температура $T_1$ на уровне нижней границы облаков?

52

2. На какой высоте $h_1$ над станцией $M_0$ расположена нижняя граница облаков, если допустить, что плотность воздуха убивает с высотой линейно?

3. Какая температура $T_2$ будет изменена на вершине хребта?

4. Какой высоты достигает столб воды (высота осадков на единицу площади), выпадающей из потока воздуха в течение 3 часов? Условия конденсции пара считать одинаковыми на участке от $M_1$ до $M_2$.

5. Какова температура $T_3$ на задней стороне хребта у станции $M_3$? Обсуждение состояния воздуха у станции $M_3$ по сравнению с его состоянием у станции $M_0$.

Указания и данные:

Воздух следует рассматривать как идеальный газ.

Влиянием присутствия водяного пара на удельную теплопроводность и на плотность воздуха, а также зависимости удельной теплопроводности температуры следует пребречь. Температуры следует указать с точностью до 1 К, высоту нижней границы облаков — с точностью до 10 м, высоту осадков — с точностью до 0,1 мм.

Удельная теплопроводность воздуха в интервале температур равна $c_p=1005$ Дж/(кг·К); плотность воздуха у станции $M_0$ при $p_0$ и $T_0=-\varphi_0=1,189$ кг/м³; удельная теплопроводность воздуха в области облака — $q_V=2500$ кДж/кг; $c_p/c_1=x=1,4; g=9,81$ м/с².

Задание 2

Из точного источника $P$ вылетает пучок электрови и влетает в магнитное поле $B$ колцевой (торидальный) катушки вдоль линейной поля (рис. 2). Пусть угол раскрытия электрови получа $2a_0$ очень мал ($a_0\ll 1$). Инжекция электрови происходит на среднем радице $R$ торида с помощью ускоряющего напряжения $U_0$. Предполагается, что модель $B$ построен. Электростатическая взаимодействием электрови в пучке пребречь.

1. Для движения пучка по линейной стороне необходимо приложить однородное магнитное поле с индукцией $B_1$, отклоняющей пучок. Вычислите $B_1$ для электрода, который движется по круговой траектории радиусом $R$ внутри торида.

2. Вычислите модель $B$ индукционного магнитного поля, факсирующего пучок в четырех точках, сдинирующих на л/2 относительно друг друга (см. рис. 2). Указание: при исследовании траектори электрови искривлением линейного магнитного поля можно пребречь.

3. Без отклоняющего поля $\vec{B}_1$ пучок электрови не остается в ториде, а покидает его дрейфовым движением перпендикулярно к плоскости torида. Покажите, что радиальное отклонение электрови от радиуса $R$ инженции конечно. Определите направление дрейфовой скорости. Указание: углом раскрытия электровного пучка следует пребречь. Используйте законы сохранения энергии и момента импульса.

Данные: $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг, $U_0=3$ кВ, $R=50$ мм.

Задание 3

При распространении синусоидальных колебаний силы тока и напряжения по бесконечной $L-C$ цепочке (рис. 3) фазы колебаний напряжения на конденсаторах двух последовательных ячеек отличия на постоянную величину $\varphi$.

1. Определите зависимости $\varphi$ от $\omega$, $L$ и $C$ ($\omega$ — циклическая частота колебаний).

2. Определите скорость распространения волн, если каждая ячейка имеет длину $l$.

3. При каком условиях скорость распространения колебаний слабо зависит от $\omega$ и каково значение скорости в этом случае?

4. Предложите проектирование механического модели, аналогичную описанию выше электрической цепи, и выведите уравнения, которые обосновывают правильность этой модели.

Вспомогательные формулы:

$$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right),$$

$$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right).$$

По итогам проведения теоретического тура лучшего сумму баллов, с большим отрывом от остальных участков, получили два школьника из Румынии: К. Некула — 30 баллов и К. Малуреану — 29 баллов (каждая задача теоретического тура оценивалась в 10 баллов). Лучшим из советских школьников был А. Бибиков, набравший 24 балла (он решил задачи 2 и 3). Ostальные участки совершской команды получили соответствие.

53

ветствиено: Д. Будько и А. Гольдин — 19 баллов, Д. Глушенков — 15 баллов, Г. Вилькляис — 13 баллов. Ни один из наших участников неправилая полностью с задачей по термодинамике, задачу 3 полностью решил только А. Гольдин.

В целом по результатам теоретического типа команда СССР уступила школьникам из Румынии, набравшим в общей сложности 123 балла (официально командное перевенство на олимпиде не проводится, тем не менее общая сумма баллов, набранная командой, позволяет охарактеризовать ее относительной силу). Для большинства команд теоретический тур оказался достаточно трудным.

На втором заседании Международной комиссии, которое состоялось 8 июля, было рассмотрен и после обсуждения утверждено задание экспериментального типа. По предварительному протогнозу все жадели, что экспериментальное задание будет оптическим — город Иена славится своим крупнейшим оптическим предприятием «Карл Цейс Иена» по производству оптических прибора и оптического стекла. Намек на оптическую тематику многое усматривали и в официальной эмблеме олимпиды (см. заставку к статье). И действительно, экспериментальное задание оказалось по геометрической оптике.

9 июля в помещении одной из лучших школ �енены — в средней школе им. Юлиуса Шахеля II — состоялся экспериментальный тур олимпиды.

Приводим его условия.

Экспериментальный тур

Определите показатели преломления призмы и жидкости.

1. При использовании только одной признации определите ее собственный показатель преломления $n_1$ двумя различными способами. Представьте задачу в виде рисунка и выведите по нему формулы для вычисления показателя преломления.

Вспомогательные средства: признама с углами 30°, 60° и 90°, миллиметровая бумага, линейка, белая бумага.

2. Определите с помощью двух таких одинаковых признам показатель преломления жидкости $n_2$; причем $n_1 > n_2$. Представьте задачу в виде рисунка и выведите по нему формулы для вычисления показателя преломления.

Вспомогательные средства: две признамы с углами 30°, 60° и 90°, миллиметровая бумага, линейка, белая бумага, чашка Петри, круглая подставка, жидкости.

Формулы:

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta.$$

Неколько забегая вперед, отметим, что участков совершской команды на эксперименте поступло больше разочарование. Лучший результат в совершской команде был у Г. Вилькляиса — 17 баллов (полностью выполненное задание оценивалось в 20 баллов), одnakо у 25 школьников результат оказался выше, причем восемь из них получили максимальное количество баллов.

Лучшие всех с экспериментом справились команды Польщи (90 баллов), Голландии (88 баллов) и ГДР (87 баллов), все участки которых выстили достаточно robusto (у школьников из ГДР за эксперимент было три «двадцатки»). Остальные наши участки выстили явно ниже своих возможностей и получили соответствие А: Библиков и А. Гольдин — 15 баллов, Д. Будько и Д. Глушен-

54

ков — 12 баллов. Хотя все они в причины справились с экспериментальным заданием (получили правильные ответы), очень низкой, по мнению жюри, оказалась культура оформления работ, явно недостаточными были четкость и аккуратность их выполнения. В целом по эксперименту наша команда заняла 10 место.

Заключительное заедание Международной комиссии по подведение итогов XVIII Международной физической олимпiadы состоялось 10 июля. Три первых премии получили: К. Малуреану (Румыния) — 49 баллов, К. Некула (Румыния) — 45 баллов и Б. Бэкер (Голландия) — 44 балла.*) Вторые премии были присужdenы 10 участникам. Среди них А. Бибков, лучший в нашей команде, набравший в итоге 39 баллов. Третьи премии получили 29 участников, среди них Д. Вудько — 31 балл и А. Гольдин — 34 балла. Еще два участника советской команды — Г. Вильклякс и Д. Глушенков (набравшие 30 и 27 баллов) — получили пожавленные ответы.

В неофициальном командином зачете команда СССР, набрав 161 балл, поделила 5 и 6 места с командием Венгрии, пропустив вперед команды Румынии (208 баллов), ФРГ (181 балл), Китая (175 баллов) и ГДР (162 балла). Сам по себе факт неудачного выступления нашей команды, наверное, можно было бы объяснить внешними причиными — круг участников олимпiadы постояно расширяется, уровень подготовленности команда растет, учащся Румынии, например, ходят в шкoly не 10, а 12 лет, быть всегда первыми просто невозможно и т. п. Оdnako даже беглый анализ существующей системы подготовки соответной команды свидетельствует о том, что в этом вопросе имеется цельряд недостатков. Например, система отбора в целом требует большей гибкости, необходимы дальнейшее углубление индивидуальной работы со школьниками и существование укрепление материально-технической базы летних и зимних сборов. Словом, Министерство просвещения СССР, использует весь накопленный опыт работы, должно сказать свое решение слово.

12 июля на официальном закрытии XVIII Международной олимпiadы школьников по физике состояния вручение премии и специальных признаков победителя. А. Бибков получил специальз за наиболее оригинальное решение задачи 3 теоретического типа. К. Малуреану (Румыния) получил специальз за лучшее решение задачи 2 теоретического типа. Еще один специальз (их было всего три) получила Д. Сербан из Румынии, показавшая наиболее результат среди девочек (42 балла — вторая премия). Много благодарностей произвольно в адрес организациикомитета, обеспечившего исключительное выступение олимпiadы, обеспечивку радушия, гостеприимства и благожелательности. Участники олимпiadы остались очень довольны предложенной им культурной программиой.

Заключительное слово на церемония закрытия производства команды Австрийи. От имени своего правительства он приглашает XIX Международную олимпiadу в город Зальцбург на период с 23 июня по 2 июля 1988 года. Как бы передавая этафету проведения олимпiadы Зальцбург, в зале звучит волшебная музыка Волфганга Амадея Моцарта. До встречи в Австрийи, на родине великого композитора!

По поводу задачи M1065
Редакция получила несколько писем, из которых видно, что не все читатели верно поняли условия задачи M1065. В ней подразумевается, что все образующие в представлениях векторов различны. Мы продлеваем срок отправки решений этой задачи до 1 марта 1988 г. Решению ее будет посвящена специальная заметка.

55

Кванти” улыбается

Послед экзаменов

Кванти, что на одно и то же событие можно посмотреть с разных точек зреня. На экзамене это точки зреня преподавателей и абитуриентов. Вот какие параллелы нам удалось провести между высказыванием экзаменаторов и поступающих, которые мы подслушали в самый разгар приемных экзаменов.

Преподаватели

Запутался у меня один абитуриент, ну да ладно. Сделал вид, что не заметил.

Эх, зря я сегодня одному четверку поставил. Ведь видел уже, что ничего не знает. Торопился вот только очень.

А этот, ложматый, ничего шеньки не понимает.

Я ему говорю: «Знать-то вы знаете, но не на пять баллов. Есть люди, которые и лучше знают».

Я ей один вопрос. Не ответает. Я второй. Не ответает. Я ей двойку ставить — в слезы!

Абитуриенты

Перехитрил я преподавателя. Сделал ошибку, но так ответил на вопрос, что он и не заметил.

Эх, не повезло! Экзаменатор куда-то торопился, а то бы я взял свои законные пять баллов.

А этот, льcisый, ничего шеньки не понимает.

Он мне говорит: «Знаете хорошо, немного найдется ребят, которые знают лучше вас, но …».

Задает трудный вопрос, я ему сразу ответ. Он второй вопрос — я опять ответ. А он вдруг говорит: «Ничего, вы, девушка, не знаете». Ну тут я ему и сказала, что он не прав.

Из газеты МФТИ «За научку»

55

56

Избранные задачи
Ленинградской городской олимпiadы
по математике

1(7). Имеется инструкiment для геометрических построений на плоскости, позволяющий делать следующее:

a) если данные две точки, то можно проведити прохождение через них прямую,
b) если дана прямая и точка на ней, то можно воспользовать перепределкур к этой прямой в этой точке.

Как с помощью этого инструкента опустить перепределкур из данной точки на прямую, не проходящую через эту точку?

Д. Фомин

2(8, 10). Имеется неограниченный запас монет достоинством в 1, 2, 5, 10, 20, 50 коп. и 1 руб. Известно, что А копеек можно размещать при помощи В монет. Докажите, что тогда В рублей можно размещать при помощи А монет.

Ф. Назаров

3(8). На ветях большого дуба сидит несколько ворон. По сигналу они начинают пересекаивать. Каждый минуту одну из ворон проогонют соседки, сидящие на той же ветке, и эта ворона перелетает на следующее по высоте (более высокую) ветку; если сверху веток нет, ворона улетает. Все ветки расположены на различной высоте. Докажите, что время, через которое проесся закониться (т. е. на каждой ветке будет не более одной вертикали), зависит только от начального расположения ворон, но не от порядка перелетов.

Д. Фомин

4(9). Клетки доски 8×8 раскрашены в шахматном порядке. Разрешается менять местами любые две горизонтали или две любые вертикали. Можно ли при помощи этих операций получить доску, вся лева поливна которой окрашена в черный цвет, а правая поливна — в белый?

В. Уфнаровский

5(9, 10). В точках A и B пересечения двух окружностей касательные к этим окружностям взаимно перепределкульрыми. Пусть M — произвольная точка на одной из окружностей, лежащая внутри другой окружности. Продолжим отрезки AM и BM за точку M до пересечения в точках X и Y с окружностью, содержащей M внутри себя. Докажите, что XY — диаметр этой окружности.

Д. Фомин

6(9, 10). Астроном, наблюдая на небе 50 звезд, обнаружил, что сумма всех попарных расстояний между ними равна S. Набежавшее облако заслонило 25 звезд. Докажите, что сумма попарных расстояний между видными звездами меньше S/2.

С. Фомин

7(8, 9). Даны положительные числа a, b, c, d. Докажите, что если cd=1, то на промежутке с концами ab и (a+c)(b+d) найдется по крайней мере один квадрат целого числа:

Л. Курляндчик

8(8). Плоскость разрезали по несколько окружностей, среди которых есть пересекающие. Докажите, что вырезанные при этом из плоскости кусочки не удается сложить в виде нескольких непересекающих кругов.

А. Анджанс

9(9, 10). Восемь неотрицательных вещественных чисел, сумма которых равна 1, расставлены в вершинах куба. Для каждой ребра стоящие в его концах числа переменных. Докажите, что сумма всех полученных таким образом произведений не больше 1/4.

Д. Фомин

10(9). Дана последовательность натуральных чисел a1, a2, a3, an, …, в которой a1<1987 и ai+1=ai+2 для всех натуральных i. Докажите, что если для некоторого n числа a1—an и a2+an−1 делятся на 1987, то число n нечетно.

С. Генкин

11(10). Дана последовательность действительных чисел x1, x2, … и натуральное число T. Докажите, что если среди всех возможных упорядоченных T — элементы наборов вида (xk+1, xk+2, …, xk+T) имеется не более T различных, то последовательность x1, x2, … перiodична.

И. Лифшич

12(10). Диагонали вписанной четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что

$$\frac{AB}{CD} + \frac{CD}{AB} + \frac{BC}{AD} + \frac{AD}{BC} \leq \frac{OA}{OC} + \frac{OC}{OA} + \frac{OB}{OD} + \frac{OD}{OB}.$$

Ф. Назаров

13(10). В n- элементном множестве выделили S подмножества, содержащих A1, A2, …, An элементов соответствующего. Известно, что среди этих подмножества ни одно не содержится в другом. Докажите, что

$$\frac{1}{C_n^{A_1}} + \frac{1}{C_n^{A_2}} + ... + \frac{1}{C_n^{A_s}} \leq 1,$$

где $C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!} - \text{бинимальный коэффициент}.$

А. Меркурьев

14(10). Неперрывные функции f, g: [0; 1] → [0; 1] обладают тем свойством, что f(g(x))=g(f(x)) для каждой x ∈ [0; 1]. Докажите, что если f возвращает, то f(a)=(a)=a для некоторого a ∈ [0; 1].

Д. Фомин

57

Заочная физико-техническая школа при МФТИ

Заочная физико-техническая школа (3ФТШ) при Московском ордена Трудового Красного Заменини физико-техническом институте (МФТИ) проводит набор учашистся восемилетних и средних школа, расположенных на территории РСФСР и УССР, в 8, 9 и 10 классы на 1988/89 учебный год.

Цель школы — помощь ученикам в самостоятельных занятиях по углублению своих знаний по физике и математике. При приеме в 3ФТШ предоптение отделяется учашистся, проживающим в сельской местности и рабочих поселках, где такая помощь особенно необходима.

Обучение в школе бесплатное.

Кроме отдельных учашистся, в 3ФТШ принимаются физико-технические кружки, которые могут быть организованы в любой общеобразовательной школе двумя преподавателями — физики и математики. Руководители кружков набирают и зачисляют в них учашистся (не менее 8—10 человек), успешно выполнивших вступительное задание 3ФТШ. Кружок принимается в 3ФТШ, если директор школе сообщит в 3ФТШ фамилии, имена, отсутства руководительей кружка и помещенный список членов кружка (с указанием класса в 1988/89 учебном году и итоговых оценок за вступительное задание по физике и математике). Все материалы по организации кружков и конверт для ответа о приеме кружка в 3ФТШ с обратным адресом на имя одного из руководителей кружка следует выслать в адрес 3ФТШ (141700 г. Долгопрудный Московской обл., МФТИ, 3ФТШ, с указанием «Кружок») до 25 мая 1988 года. (Тетради с работами членов кружка в 3ФТШ не высылются.) Работа руководителя заочных физико-технических кружков может оплачивать школами по представлению 3ФТШ при МФТИ как факультативные занятия.

Учашистся 3ФТШ и руководители физико-технических кружков будут полезны задания по физике и математике в соответствии с программой 3ФТШ, а также рекомендуемые 3ФТШ решения этих заданий. Задания содержат теоретический материал и разработ характерных задачи и примеров по теме, а также 10—14 задания для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные (на уровне конкурсных задач в МФТИ). Работы учашистся заочников проверяют в 3ФТШ и ее филиалах, а членов кружка — его руководители.

С учашмися Москвы проводятся очень занятия по физике и математике два раза в неделю по программе 3ФТШ в вечерних консультативных пунктах (в ряде Москвы школа), набор в которых проводится или по решествующему учебному договору за вступительное задание по физике и математике). Все материалы по организации кружков и конверт для ответа о приеме кружка в 3ФТШ с обратным адресом на имя одного из руководителей кружка следует выслать в адрес 3ФТШ (141700 г. Долгопрудный Московской обл., МФТИ, 3ФТШ, с указанием «Кружок») до 25 мая 1988 года. (Тетради с работами членов кружка в 3ФТШ не высылятся.) Работа руководителя заочных физико-технических кружков может оплачивать школами по представлению 3ФТШ при МФТИ как факультативные занятия.

1. Области (край или АССР)
2. Фамилия, имя, отчество
3. Класс
4. Номер, адрес и телефон школа
5. Фамилия, имя, отчество вшено преподавателя по физике
6. Профессия родитель и занимаемая должность матЬ
7. Подробный домашний адрес

Внизу на черте таблицу для оценок за вступительное задание:

№ п/п
Ф.
М.

Зультатам выполнения вступительного задания 3ФТШ, или по результатам очного собеседования по физике и математике (справки по телефону 408-51-45).

Вступительное задание по физике и математике каждый ученик выполняет самостоятельную работу на русском языке и аккуратно переписать в одну школьную тердаль. Порядок задач должны быть тот же, что и в задании. Тетрадь перешлите в большом конверте простой бандерло (только не сворачивайте в трубку). Вместе с решением обязательно вышлите справку из школьны, в которой вы учитель, с указанием класса. Справку наклейте на внутреннюю стону тердали. Без этой справки решения рассматривается не будет. На внешнюю стону тердали накладный по образцу (все фамилии, имена и отчество в этой анкете должны быть написаны четко печатными буквами в именноном падже).

Для получения ответа на вступительное задание в тердаль конверт с вашим домашним адресом.

Срок отправления решения — не позднее 1 марта 1988 года (по почтовому штемпелю места отправления). Вступительные работы обратно не высылаются. Ре-

58

Шение приемной комиссии будет сообщено не позднее 1 августа 1988 года.

Тетрадь с выполненными заданиями (обязательно и по физике) присылайте по адресу: 141700 г. Долгопрудный Московской обл., Московский физик-технический институт, для 3ФТШ.

Учащиеся Архангельской, Володской, Калининской, Калининградской, Кировской, Костромской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Пермской, Псковской и Ярославской области, Каральской, Коми и Уdmуртской АССР высылают работы по адресу: 198904 г. Старый Петерф, ул. 1 Мая, д. 100, ЛПУ, Ленинградский филиал 3ФТШ при МФТИ.

Учащиеся Амурской, Иркутской, Камчатской, Кемеровской, Магаданской, Новосибирской, Омской, Сахалинской, Томской, Томенской и Читинской области, Алтайского, Красноярского, Приорского и Хабаровского краев, Бурятской, Тувинской и Яктской АССР высылают работы по адресу: 660062 г. Красноярск, пр. Свободный, д. 79, Государственный Красноярский филиал 3ФТШ при МФТИ.

Учащиеся Украины высылают лают работы по адресу: 252680 г. Киев-142, пр. Вернадского, д. 36, институт Металлофизики, Киевский филиал 3ФТШ при МФТИ.

Ниже приводятся вступительные задания по физике и математике.

В задании по физике задачи 1—5 предназначены для учащихся седых классов, задачи 4—9 — для восьых классов, задачи 8—14 — для девятьх классов.

В задании по математике задачи 1—5 предназначены для учащихся седых классов, задачи 3—9 — для восьых классов, задачи 6—12 — для девятьх классов.

Вступительное задание Физика

1. Автомобиль exал из одного города в другой t часов со скоростью v₁. Обратно он exал t часов со скоростью v₂, а остальной путь — со скоростью v₃. Определите среднюю скорость движения на всем пути.

2. Два велосипеда едут со скоростью 35 km/ч. Один из них уведомивает скорость до 45 km/ч, проходит с этой скоростью 10 км, поворачивает и, не сабляя скорости, возврашает к другому велосипедству, который движется с прежней скоростью. Сколько времени прошло с того момента, когда первый велосипедист ушел вперед, до момента его возврашения к партнеру?

3. Возвшивание тела в воздухе должно значение P. Возвшивание того же тела в жидкости плотности ρ₀ должно значение P₁. Чему равна плотность вещества, из которого изготовлено тело?

4. В теплозоливрованном состоянии находится 1,5 кг льда при температуре 0 °С. В сосуд влавлен от 1 литр кипита, имеющего температуру 100 °С. Какая температура установится в сосуде? Удельная теплоемкость воды 4,2 кДж/(кг·°С), удельная теплота плавления льда 335 кДж/кг.

5. В касстрою налили холодную (10 °С) воды и поставили на электропитку. Через 10 минут вода закипела. Через какое время она полностью испарится? Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг·°С), удельная теплота испарения 2,26·10⁶ Дж/кг.

6. Свободно padащее без начальной скорости тела за последнюю секунду протеелю 3/4 всего пути. Сколько времени padало тело?

7. Найдите минимальный период спутника планеты, имеющей плотность 3000 кг/m³.

8. При параллельном включении в себя с напряжением U₁ двух нагреваелей на них выделяется мощность P₁ и P₂. Какая мощность будет выделяться на каждой из этих нагреваелей, если их включить последовательно в себя с напряжением U₂? Сопротивление нагреваелей не меняется.

9. Парашотист массой 80 кг спускается на парашотите с установленной скоростью 5 м/c. Какой будет установленшая скорость, если на том же парашоте будет спускаться малый массой 40 кг? Сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости.

10. Биллиардный шар налетает на точно такой же покоящийся шар. Проискот абсолотного управления (потреб энергики при ударе нет). Под каким углом могут разлетться шары?

11. При нагревании газа при постоянном объеме на 1 °С давление уведомилось на 0,2 %. При какой начальной температуре находится motorикLIST по закругленному дороги радиусом 80 м, если коэффициент трения между шинами моторикла и асфальтом равен 0,5?

12. Некоторые количества газа нагреваются от 300 К до 400 К. При этом объем газа изменяется пропорционально температуре: V=aT. Начальный объем газа 3 л, давление, изменение в конце процесса, оказываясь равным 1 атм. Какую работу совершил газ в этом процессе?

13. Сосуд объемом 120 л разделен тонкой подвижной перегородкой на две части. В левую помешены два моля воды, в правую — моля азота. Температура поддерживается равной 100 °С. Определите объем правой части сосуда.

Математика

1. В классе 40 учеников, из них первую задачу по физике из вступительного задания 3ФТШ решили 25 человек, по математике — 26, а 9 школьников не решили ни одной из этих задачи. Сколько учеников решили обе задачи?

2. Найдите 1988-ю цифру после запятой в десятичной записи числа 2/7.

3. Длины всех сторон прямого прямого треугольника — целые числа. Могут ли длины обихок катетов быть нечетными числами?

4. На окружности по разные стороны от диаметра AB расположены точки C и D. Найдите CD, если известно, что BC=a, AC=b, AD=BD.

5. Какие значения может принимать x, если |x-y|≤2 и |2x-y|≤1?

6. Найдите сумму 1²-2²+…+1987²-1988².

7. Основания трапеции равны a и b. Найдите длину отрезка, проведенного через точку пересечения диагоналей параллельно основанием и заклюнного между боковым сторонами. Что его длина не больше √ab.

59

8. При каком значении параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения $2x^2+2ax+3a^2-2a=0$ будет наиболее?

9. В четырехугольнике, вписанном в окружность радиусом $R$, одна сторона является диаметром, а длины трех других сторон равны $a$, $b$ и $c$. Докажите, что $4R^3-R(a^2+b^2+c^2)-abc=0$.

10. Знай, что sinα + cosa = a, найдите |sinα — cosa|.

11. Расстоянием многочлен $P(x)=x^2+px+q$. а) Докажите, что оба корня $P(x)$ лежат на

Список читатель, приславших правильные решения
(Начало см. на с. 30)
И. Маньшин (Иваново) 47; Д. Мартыненко (Киев) 47; А. Майко (Киев) 55; А. Мелевовец (Брест) 47; О. Мельников (Краснойрк) 55; Н. Михайловский (Краснойрк) 57; П. Михеев (Старый Оскол) 47; И. Мишенев (Минск) 47; В. Молодченko (Одеска) 52; А. Молчанов (Чехов Московской обл.) 47; Р. Моор (Алма-Ата) 57; В. Мороз (Ленинград) 49, 52; Р. Москов (Раменское) 46, 50; М. Мостов (Одеска) 47; В. Мытько (Минск) 47, 50, 52; О. Наумов (Завольье) 47; К. Недбаев (Брест) 53; Н. Некрасов (Москва) 47; О. Нелалиин (Старый Оскол) 47; К. Николаев (П. Черноголовка Московской обл.) 50, 53; А. Николок (Ровно) 53, 55, 57; А. Новиков (Харьков) 47; А. Новик (Мозырь) 53, 57; Д. Новотков (Алма-Ата) 46, 57; С. Ночевный (Запорожье) 46, 50, 57; А. Окунеев (Гродно) 50; П. Орлов (Ленинград) 47; С. Павлов (Владивосток) 49; В. Павлинн (Фрунзе) 50, 53; Д. Пастухов (Витебск) 47, 55, 57; Т. Пацаева (Куйбышев) 47; К. Пенанен (Одеска) 50, 56, 57; Л. Петько (Минск) 49, 50, 53, 55, 57; В. Писаренко (Киев) 47; А. Подтележкинок (Харьков) 53, 55—57; О. Покрамович (Д. Сокки Брестской обл.) 47, 56, 57; П. Полькин (Тула) 50; Л. Пономаренко (Букс) 49, 50; Д. Почуев (Харьков) 49, 55, 57; К. Приховько (Москва) 55, 57; М. Пустильник (Москва) 49; И. Рассадин (Минск) 53, 57; У. Рахманов (Ташкент) 49, 53; А. Резунево (Харьков) 53, 57; А. Рожков (Калининград)

Уравнение думают за нас

1. $F \approx -53,3$ Н. Знак «минус» означает, что силу надо направить не вниз, а вверх под тем же углом к горизонту.
2. $t = 100^\circ$ С.
3. $l = 12,5$ м.

XXVIII Международная олимпиада по математике

3. Пользысь неравенством Коши
   $$|a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n| \leq \sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2} \times \sqrt{b_1^2+\dots+b_n^2}$$ и равенством $x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2 = 1$, получим
   $$|x_1|+|x_2|+\dots+|x_n| \leq \sqrt{n}.$$
   Поэтому все суммы вида $\varepsilon_1x_1+\dots+\varepsilon_nx_n$, где $\varepsilon_i \in (0, 1, 2, \dots, k-1)$, принимают отрезку $I = [0; (k-1)\cdot \sqrt{n}]$. Разобем отрезок $I$ на $k^n-1$ равных отрезка длины $(k-1)\sqrt{n}/(k^n-1)$. Так как всего существует $k^n$ сумм, какие-то две из них оказывается в одном и том же отрезке

61

Калейдоскоп «Квант»
(см. «Квант» № 11)

Вопросы и задачи

1. Сила давления равна нулю.
2. Закон Паскаля справедлив, закон Архимеда — нет, так как и тело, и вытесяемая жидкость неевесыми.
3. С востока на запад, причем угловая скорость движения самолета вокруг центра Земли должна быть равна угловой скорости врашшения Земли.
4. Скорость тела максимальная при прохождения центра Земли (r=0). Принимая, что потенциальная энергия тела равна нулю в центре Земли, получим

$$\frac{mv_0^2}{2} = \Pi,$$

где $\Pi$ — потенциальная энергия на поверхности Земли, равная работе по перемещению тела из центра на поверхности Земли (см. защищрованную площадь на рис. 5). Тогда

$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mgR_0}{2},$$

где $R_0$ — радиус Земли. Отсюда

Рис. 5.

5. Нет, так как при этом у силы тяжесте будет составляющая, не лежащая в плоскости орбиты.

Напечатано в 1987 году

К 70-летию Великого Октября
Всенародный праздник 11 2
О математике Страны Советов 11 3
Достижения советских физиков 11 9

---

С Новым годом! 1 2
12 апреля — День космонавтики 4 2
Время творить, время держать! 5 2
30 лет космической эры 10 2

---

Интервью с академиком А. С. Боровиком-Романовым 9 2
Интервью с академиком Р. З. Cardeevым 10 3

Статы по математике
Арнольд В. И. Второй закон Кеплера и топология абелевых интерполов 12 17
Болтянский В. Г. Огибаошая 3 2

6. При спуске, поскольку при запуске скорость пакеты в плотных слоях атмосферы мала, а при спуске — велика.
7. a) По касательной к орбите; 6) стала бы падать на Землю.
8. Такая же, что и для Земли.
9. Плотность планеты. Воспользовавшись уравнением движения спутника по орбите, можно получить формулу

$$T = \sqrt{\frac{3\pi}{G_0}}.$$

10. Толькоружинными, другие часы в неевесомости работы не будут.
11. Включить дигители.
12. Можно, так как взаимодействие молотка и образытываемого материала будет определяться их инерционными, а не гравиатционными свойствами.

Микроопыт
Не будет, поскольку и банк, и вода в ней падают с одинаковымускорением.

Шахматная страница
(см. «Квант» № 9)

Задание 17 (В. Брейдер, 1966 г.). 1. Кb5 c2
2. Кd4 c1Ф 3. Кb3+ Кpb1 4. К:c1 Кр:c1 5. Kh7 g4 6. Kf6 g3 7. K:h5 g2 8. Kf4 с ничей; 2…Kpb1 3. K:c2 Кр:c2 4. Ke6 g4 5. Kg7 g3 (5… h4 6. Kf5 h3 7. Ke3+ и 8. K:g4) 6. Kf5 g2 7. Ke3+.
Задание 20 (Л. Прокеш, 1939 г.). 1. Kd7 d2 2. Cg5 d1Ф 3. C:e3+ Кра6 4. Кc5+ Кра5 5. Cd2+ Ф:d2 6. Кb3+ с ничей; 1…e2 2. Ch4 d2 3. Cf2+ Кра6 4. Кc5+ Кра5 5. Kb3+ и 6. K:d2. После 1… С:d7 ничья совсем простая: 2. Cg5 e2 3. Cd2.

Напечатано в 1987 году

Васильев Н. В. Гексаграммы Паскаля и кубические кривы 8 2
Воронин С. М., Куляzin А. Г. О задание Пифагора 1 10
Гальперин Г. А. Просто о простых числах 4 8
Гиндикин С. Г. Загадка Рамандуджана 10 14
Дорофеева А. В. Рене Декарт и его «Геометрия» 9 15
Карпов Я. Ю. Оптимальная кодировка почтового индекса 11 19
Коренин В. Е. Узоры Пенроуз и квазикристаллы 6 2
Кострикин А. И. Простые группы 2 2
Лобковский А. Э. Математические узоры на плоскости 11 21
Панов А. А. Генеологические деревья 7 8
Певзер П. А. Лучше пары для простоков 5 4
Пирогов И. З., Толлина И. А. Мехматовцы МГУ в битве за Москву 12 3
Соловьев Ю. П. Арфметика эллиптических кривых 7 2
Сосинский А. В. Конечные группы 2 8

Статы по физике
Ашавский В. С. Поверхность кристалла 7 14

62

Бернштейн П. В. Неколько дополненкий к уроку литературы, или Еще раз о научном предвиении
Вреус Т. К. Встреча с кометой Галлея состоялась!
Врежовских Л. М., Куртенов В. М. Акустика в Океане
Врук Ю. М., Геллер В. И. Белые карлики — кристаллические звезды
Вялко А. В. Тепло твоих рук
Валянский С. И. Единицы: от системы к системе
Варламов А. А., Шапро А. И. Пока чайник не закипел…
Крутовин Д. Г. Путешествие по микрокомпьютеру
Крутовин Д. Г. МК: проблемы общения
Крутовин Д. Г. По стольовым дорогам МК
Крутовин Д. Г. Кто управляет городом МК?
Михайлов А. С. Волны в сердце
Островский Л. А. Волны на воде Семенчинский С. Г. Эффект Холла: год 1879 — год 1980
Симин Г. С. Оптическая электропника при свечах
Склокин Ф. Н. С рюкзаком по Арктике
Фабрикант В. А. Зачем мы зимой использем отопление?
Филонович С. Р. О стольновении шаров и «серьезной» физике
Филонович С. Р. Великая книга Ньютона
Хилькевич С. С., Зайцева О. А. Как построить траекторию?
Эдельман В. С. Эта простая теплоемкость

Новости научки
Прямо измерение расстояния до квазара
Мечта становится реальностью
Антипропотон в ловушке
Туннельный микрокопion
Самый далекий квазар

Лаборатория «Кванта»
Вронштейн М. П. Изобретатели радиотелеграфа
Вубнов В. М. Вихри… на патефоне
Вуздин А. И., Сорокин В. В. Кипение жидкостьей
Габрилов С. Л. Постоянный или переменный?
Майер В. В. Может ли белое быть черное черного?
Майер В. В., Майер Р. В. Наблюдение электростатической индикции

Математический кругок
Валк М. В., Ландман Г. М. В поисках оптимального раскроя
Гутенахер В. Л., Раббот Ж. М. Выбор наличишего варианта
Ижболдин О. Т., Курляндчик Л. Д. Разбнение единицы
Саннисский В. Я. Размышляя об одной оптимальной задаче
Соболев С. И. О случайных блуждающих
Табачников С. Л. Сообщения непрерывности

Фукс Д. В. Построения одним циркулем
Наш календарь
Многогранник — календарь
Дифракционной решетке — 200 лет
Ван-дер-Ваальс и его уравнение
Луиджи Гальвани
Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10:
Закон Архимеда
Сылы молекулярного взаимодействия
Поляризация света
Вязкое треннее
Метод электростатических изображения
Ядерные спектры
Законы сохранения и системы отчета
Как работает электродвигатель?
Физика музыkalной гармонии
Легко ли описывать движение?
Вокруг одной задачи
Давление газа в сосуде
Гармонические колбания и равновесие
Закон всемирного тяготения
Расширение газа в пустоту
Электромагнитная индукция и принищопотносительности
Математика 8, 9, 10:
Выручает описанная окружность
Лищине условия в конкурсных задачах
Признак делимости на числа вида 10n±1
Первый замечательный предел
Формулы Виета
Преобразования плоскости в задачах на построение
Неравенство Коши — Буняковского
Основные теоремы
Избранные школьные задачи
«Квант» для младших школьников
Задания
Асламазов Л. Г. Лунный тормоз
Ашасккий В. С. И один в поле воин
Вуздин А. И., Кротов С. С. Как однажды Жак-звонарь головой сломал фонарь…
Виленкин Н. Я. Из истории дробей
Орлов А. И. «Все», «некоторые» и отрицание
Савин А. П. На кругги свои
Савин А. П. Задания на разрезание
Соловье Ю. П. Старый алгоритм
Родина Н. А. О чем могут рассказать цифры
Штейнбер А. С. Дальто взвешивать atoms
Угадай число
Калейдоскоп «Кванта»
Испарение, кипение, плавление
Замечательные числа
Законы сохранения
Замечательные линии и точки
Опыты и наблюдания
Замечательные числа √2 и e
Как движутся молекулы
Замечательные точки и линии
Тяготение

63

Задачник «Кваанта»
Победители конкурса «Задачник «Кваанта»
Задачник M1021—M1080, Ф1033—Ф1092
Решения задач M1001—M1060, Ф1013—Ф1072
Список читателей, приславших правильные решения
Трехзначные числа и орграфы
Маятник в магнитном поле и принципи суперрозиции
Искусство программирования
Об открытии Всесоюзной заочной школи программирования
Гуарий В. В., Стыркас К. А. Об одной рекуррентной последовательности
Дуванов А. А., Первин Ю. А. Язык Лого. Урок 1: Путешествия Черепахи
Дуванов А. А., Первин Ю. А. Язык Лого. Урок 2: Черепашья академия Дуванов А. А., Первин Ю. А. Язык Лого. Урок 3: Рекурсии, функции Ершов А. П. Мир языков программирования
Каймин В. А. Проверка правильности алгоритмов
Штернберг Л. Ф. Циклы, циклы, циклы…
Практикум абитурения
Белонучкин В. Е. Маневрирование в космосе
Водник В. А., Стрешинский И. Я. О графическом способе решения неокторных физических задач
Волибрух А. А., Уровь В. М., Шабунин М. И. Решение систем трионометрических уравнений
Буздин А. И., Кротов С. С. Работа, энергия, телло
Готман Э. Г. Правильное решение геометрической задачи
Дорофеев Г. В., Розов Н. Х. Функции перiodические и неперiodические
Ионин Ю. И., Некрасов В. В. Вычисление расстояний и углов
Козел С. М. Задачи на газовые смеси
Можаев В. В. Конденсаторы с «избыточным» зарядом пластин
Нахшин В. А. Уравнения думалот за нас
Ярский А. С. Неравенства с параметром
Вариantsы вступительные экзаменов
Задчии вступительных экзаменов в различных.by в 1986 году
Киевский государственный университет им. Т. Г. Шевченко
Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена
Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова
Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина
Ленинградский электrotechnический институт им. В. И. Ульянова (Ленина)
Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Московский инженерно-физический институт
Московский институт радиотехники, электронки и автоматики
Московский институт стали и сплавов
Московский станкойструментальный институт
Московский институт электронного машиностроения
Московский институт электронной техники
Московский физико-технический институт
Московский энергетический институт
Московское высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана
Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола
Олимпиды
VIII Московская олимпида по программированию
Избранные задачи Московской городской олимпиды по физике
Задачи пятидесной Московской городской математической олимпиды
XIII Всеросский олимпида школьников
XXI Всеросная олимпида по математике
XXI Всеросная олимпида по физике
XXVIII Международная математическая олимпида
XVIII Международная физическая олимпида
Избранные задачи Ленинградской городской олимпиды по математике
Информация
Новый прием во Всесоюзную заочную математическую школе
Новый прием на заочное отделение Малого механита
Зоочная физико-техническая школа при МИСиCe
Зоочная физическая школа при МГУ
Летняя школа «Юный программист»
Компьютеры на берегу Обы
Юные программы в Ленинграде
Зоочная школа при НГУ
Вечерняя физическая школа при МГУ
Х Турир юных физиков
II Научно-техническая конференция школьников в МФТИ
Новосибирск — Андовер
I Всесоюзная олимпида школьников по информаике
Зоочная физико-техническая школа при МФТИ
Игры и головоломки
1—12 4-я с. обл.
Перевертыши
Из чего угодно — что угодно
«Кваант» улыбается
Новости археологии
Простота математики

64

Наименование страницы
Итоги шахматного конкурса 1986 года 6 58
Компьютер анализирует эндшпиль 1 3-я с. обл.
Парадоксальные нахождения ЭВМ 2 «
Рекорды компьютера 3 «
Обезьяны рекорды 4 «
Чемпionаты компьютеров 5 «
Чемпionат микрокомпьютеров 6 «
Фигуры возврашаются домой 7 «
Ретроспектный анализ 8 «
Статистика эндшпила 9 «
Компьютер в компании гроссейстеров 10 «
Геометрические темы 11 «
Метод треугольника 12 «
Наша обложка 2,7
Наша анкета 10 35

Главный редактор — академик Ю. А. Осипьян

Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Заместители главного редактора:
В. Н. Боровишки, А. А. Варламов,
В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев

Редакционная коллекция:
А. А. Абрикосов, М. И. Башмаков,
В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский,
А. А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов,
Н. В. Васильев, С. М. Воронин, В. В. Гнеденко,
В. Л. Гутенхахер, Н. П. Долбилин,
В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков,
А. Р. Зильберман, С. М. Козел,
С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, А. А. Леонович,
С. П. Новиков, Т. С. Петрова, М. К. Поталов,
В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов,
А. П. Савин, Я. А. Смородинский,
А. В. Сосинский,
В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет:
А. М. Балдин, С. Т. Беляев, Е. П. Велихов,
И. Я. Верченko, В. В. Возвриженский,
Г. В. Дороевев, Н. А. Erмолаева,
А. П. Ершов, Ю. В. Иванов, В. А. Кирилин,
Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов,
В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикеева,
Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев,
А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков,
Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовки:
А. Н. Виленкин, А. А. Егоров, Л. В. Кардасевич,
И. Н. Клумова, Т. С. Петрова, А. Л. Рябев, А. В. Сосинский, В. А. Тихомирова

Номер оформления:
М. В. Дубах, С. В. Иванов, Д. А. Крымов,
Э. В. Назаров, Т. Н. Колченко, Е. К. Тенчурина,
И. Е. Смирнова, В. В. Юдин

Заведующая редакция Л. В. Чернова
Редактор отдела худоместственного оформления
С. В. Иванов
Худоместственный редактор Т. М. Макарова
Корректор Н. В. Румянцева

Сдано в набор 20.10.87. Подписано к печати 24.11.87.
Т-22573. Вумага 70×108/16. Печать офсетная. Усл. кр.-отт. 23,8. Усл. печ. л. 5,6. Уч.-изд. л. 7,28. Тираж 200 828 экз. Цена 40 коп. Заказ 2883

Ордена Трудового Красного Замени
Чеховский полигraphический комбинат
ВО • Союзполигraphпром*
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полигraphии и книжной торговли
142300 г. Чехов Московской области

103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант», тел. 250-33-54

«Волшебная парамидка» — очередной персонал наших заметок о глоболомках — была придумана до кубика Рубика, но почему-то не была тогда оценина по достоинству. Особенно объемных шаринных глоболомок, парамидки и кубика в том числе, отличаются их от црушек из предыдущего номеров, за исключением «перевертшей» (см. «Кваит», №1, 2), состоит в том, что их подвижные части могут не только переходить с одной места на другой, но и по разному «садиться» на данной место. Так, в парамидке на рисунке слева 3 тила блоков — 4 угловых, 6 реберных и 4 центральных. Первые можно повернуть на том же месте tremя способами, вторые — двумя, третья — треями; правада, повороты центральных блоков на вид неразличными. У нас выпускают несколько вариантов парамидки. Большая распространен тот, что показан справа, причем к его угловым блокам обычно прикреплены парамидные макушки, врачающей каждая сама по себе. Но горячдо интереснее парамидка с центральными блоками. Наверное, излишне объяснить, как с ней обращаться: допустимый повтор показан следа; надо переутать блоки таким повторами бокрузы всех 4 осей, а затем восстановить исходную раскраску — одноцветную на каждой

$$K_1 = AB^{-1}A^{-1}B$$

грани. Мы уже не раз объявили, как подтвернить к решению такой задачи. Сначала рассмотрим коммулятор двух поворотов (рисунок в центре; на нем видны и обозначения поворотов). Под действием $K_1 = AB^{-1}A^{-1}B$ циклические переставляются 3 реберных блока: $AB \rightarrow CB \rightarrow AC \rightarrow AB$ (порядок букв существен!), а центральные блоки переставляются парами: $a \leftrightarrow b$, $c \leftrightarrow d$, $2d e$ $a$, $b$, … — централь BCD, CDA, …. Аналогично действует $K_2 = BC^{-1}B^{-1}C$: $AB \rightarrow CB \rightarrow CA \rightarrow AB$, только 2 блока — CB и AC — иначе поворчится. Поэтому операция $K_1K_2^{-1}$ переворчитает эти блоки на своих местах, а остальные ребриные блоки не затрагиваются. Еще одна полезная операция получится, если трижды поворить $K_1 : K_2^{-1}$ переворчит только центральные блоки $a \leftrightarrow b$, $c \leftrightarrow d$. Темерь можно повернуть блоки в следующем порядке: 1) угловые (их надо повернуть, чтобы согласовать цвет на каждой грани парамиды), 2) реберные DA, DB, DC — можно ставить их по очереди, пользоваться коммуторами $ABA^{-1}B^{-1}$, $B^{-1}A^{-1}BA$ и т. n., заменяющим по одному из этих блоков 3) реберные AB, BC, CA — сначала пользоваться $K_1$ или $K^{-1}$, а затем, если нужно, перевернуть, пользоваться $K_1K^{-1}$ и т. n., 4) реберные — с помощью операций типа $K_3$. Попробуйте показать, что указанных операций всегда достаточно для полной сборки (это отличь не очень!). Вам помогет стать «Математika волшебного кубика» («Кваит» №8, 1982 г.). И еще задача: доказите, что, врачая парамидку, можно получить $3^4 \cdot 6! \cdot 2^6 = 3732480$ различных расчеток.