Квант 1988, №1 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-математический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1988

1

В номере:

2 К нашим читателем
3 В. Г. Болтянский. Программы перебора
8 М. И. Каданов. Много или мало?
16 А. В. Геллер. Нужна ли альпинисту физика?

Задачник «Кванта»
21 Задачи M1081 — M1085, Ф1093 — Ф1097
24 Решения задач M1061 → M1064, Ф1073 — Ф1077
30 Самопересечения замкнутой ломаной

«Квант» для младших школьников
35 Задачи

Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10:
36 Об одной удивительное живучей ошибке
38 Проводники в электростатическом поле
39 Интерференция и интерферметры

Математический кругжок
42 С. М. Львовский, А. Л. Тоом. Разберем все варианты

Наш календарь
48 Генрих Герц и электронагнитные волны

Искусство программирования
51 А. А. Дуванов, Ю. А. Первин. Язык Лого. Урок 4: Структура данных в Лого
47 О дальнейшей работе Заочной школы программирования

Вариantsы вступительных экзаменов

Информация
57 Новый прием во Всесоюзную заочную математическую школе
58 Новый прием на заочное отделение Малого механита
59 Заочная физика-техническая школа при МИСиCe

61 Ответы, указания, решения
«Квант» улыбается (60)

Наша обложка

1, 4 «Волшебный глобус» — еще одна математическая головоломка Э. Рубика.

2 Строительная Вавилонской башни (изображенное на карте Питера Брейделя Старшего) стало, созданное библиском преданю, прициной разновзящия народов Земли.
О прицине появления огромного количества компьютерных языков предания еще не сложены.
Об одном из таких языков — языке Лого — рассказано на с. 51.

3 Шахматная страница

2

Дорогие читатели!

Многие из вас хорошо знакомы с нашим журналом, с его разделами и материалов. Но есть и такие, кто в этом году впервые стал подписчиком «Кванта». Мы надемся, что каждый из вас найдет для себя в журнале что-то нужное и интересное.

В каждом номере мы рассказыем о достижениях науки и ее практических применениях, о функдамательных понятиях физики и математики. В рубрике «Новости науки» помещаем сообщения о новейших научных достижениях. Тем, кто любит физические эксперименты и хочет научиться делать простые приборы, предназначены материалы рубрики «Лаборатория «Кванта». Любителем математических задачи — статья «Matematическая кружка». В разделе «Школа в «Кванте» вы найдете статьи, которые разясияют наиболее трудные для понимания вопросы школьного курса.

Каждай месяц мы предлагаем читателем нестандартные, на наш взгляд, задачи по физике и математике. Решение этих задач, помещаемых в рубрике «Задачик «Кванта», требует умения мыслить самостояльно, творческий. Ежегодно журнал проводит конкурс на лучшее решение задачи из «Задачика «Кванта». Победители конкурса нагradдаются Диплом «Кванта» и получают право участвовать в ресурсивских турах Всесоюзной физико-математической оптимизации школьников.

Многие материалы журнала предназначены будущим абитуриентам. Это статья раздела «Практику абитуриента» и задачи рубрики «Варианты вступительных экзаменов».

В каждом номере журнала вы найдете рубрику «Квант» для младших школьников. Здесь мы даем заиматательные задачи, требующие не столько конкретных знаний, сколько сообщательности, внимательности, умения мыслить логически. Статы, публикуемые в этом разделе, интересны, как правило, и старшеклассникам.

Регулярно появляются в журнале материалов, рассказывающие об оптимизации школьников и учащихся ПТУ, информация о заочных и вечерних школьах при различных.byхах страны…

Объем нашего журнала достаточно большой, и рассказать коротко о его содержании трудно. Сегодня вы знакомитесь с первым номером. Понравится ли он вам? ЧERO вы вообшеjdете от журнала? О чем хотели бы прочитать на его страницах? Мы надемся узнать это из ваших писем.

3

ПРОГРАММЫ ПЕРЕБОРА

Член-корреспондент АПН СССР
В. Г. ВОЛТЯНСКИЙ

Не правда ли, паровоз «бегает» лучше человека — во всяком случае, быстрее? И если нужно попасть в другой город, вы с удовлетворением прибегете к его помощи. Есть у человека и много других помощи. Роботы переносят тяжелые детали к месту обработки, средства связи помогают передать информацию, часы ответа на вопрос «сколько времени?» и т. д.

А есть новые, сравнительно недавно появились помощники, облачанные человека интеллектуально деятельности. Это — компьютеры. Они не только могут быстро произвести расчет, но и справляются с задачими, при размышлении над которых человека производит перебор вариантов, осуществляет поиск путей решения, выполняет логическое операции. Конечно, компьютер не в буквальном смысле «мыслит» так же, как человека (ведь и паровоз «бегает» по-своему, а не шагает, как мы). Хотя свою «мыслительную» деятельности компьютер послушно выполняет в соответствии с программим, заранее составленной человеком, но, благодаря огромному быстроейство, со многими задачими он справляется горздо быстрое человека. И не только с вычислительными задачими, но и с таким, для решения которых приходится подумать и поломать голову. Расмотрим пример.

Задача 1. Сколько существует двухначных чисел, сумма квадратов цифр которых делится на 13?

Конечно, для решения можно осуществить «тупой» перебор: двухначных чисел не так уж много, и если он за другим перебор и проверить, для каких из них сумма квадратов цифр делится на 13, то мы сможем найти ответ. Однако это долго и скучно. И мы применяем логическое рассужждение, позволяющее более легко и красиво получить решение. Для этого составим следующую таблицу:

| цифра | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| ее квадрат | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| остаток | 0 | 1 | 4 | 9 | 3 | 12 | 10 | 10 | 12 | 3 |

В нижней строке записаны остатки от деления чисел второй строки на 13. Надо подобрать две цифры, сумма квадратов которых делится на 13, т. е. две цифры, стоящие в верхней строке, для которых сумма соответствующих чисел нижней строки равна 13. Например, можно взять цифры 1 и 5 (подними в нижней строке стоит 1 и 12); получаем два двухначных числа 15 и 51, удовлетворяющих требуемому условию. Можно также взять цифры 1 и 8 (под которым также подписаны 1 и 12) — это дает еще два искомых числа (18 и 81). Еще одну комбинацию цифр составляют 2 и 3 (подними записаны 4 и 9), что дает еще два числа (23 и 32). Наконец, можно комбинировать одну из цифр, под которой записано число 3, с цифрой, под которой записано число 10. Всего получаем 14 искомых чисел:

15 и 51, 18 и 81, 23 и 32, 46 и 64, 47 и 74, 69 и 96, 79 и 97.

Хотя здесь надо было немного подумать и сообщить, как найти пути решения, но, конечно, такое решение лучше, чем «тупой» перебор.

А что если бы мы, подобно компьютеру, могли выполнять сотни тысяч или даже миллионы операций в секунд? Целесообразно ли было бы в этом случае ломать голову над поиском пути решения? Не прошел ли было бы при таком быстрое процессе переработчи числа от 10 до 99? Видимо, прошел!

Рассмотрим заранее 1, как с помощью компьютера решаются задачи перебора. Мы приведем программу на весьма распространном и употребительном языке программи-

4

рования Бейсик (см. учебник информаники для 10 кл., с. 71). Но прежде даим описание имеющейся в Бейсикестроенной функции INT. Вот пример записи:

A=INT(56/13)

Она означает, что переменной A присваивается значение, равное целой части дроби 56/13 (от англійского слова integer — целый). Так как 56/13==4,30769…, будем иметь A=4.

Тепер приведем программу *) решения задачи 1:

FOR N=10 TO 99
A=INT(N/10)
B=N-10*A
S=A*A+B*B
R=S-13*INT(S/13)
IF R=0 THEN PRINT N;
NEXT N
END

Комментарий. Строки программы пропусеваны, причем не подряд, а через 10 номеров. Этот пример очень удобен: если в процессе записи программы обнаружится, что вы пропустили какие-либо операции, нужные для решения, то их можно будет потом записать в виде строк с промежуточными номерами.

Строка 10 содержит оператор цикла, который как раз предназначен для осуществления перебор всех натуральных чисел от 10 до 99 (т. е. всех двух чисел) и для каждого из них осуществить дейтельность, указанную в последующих строках. Строка 70 — окончание дейтельности, проводимой с очередным дузначным числом, т. е. приказ перейти к следующему числу.

Тепер рассмотрим промежуточные строки 20—60, описывающие дейтельность, проводимую с числом N. Строка 20 содержит встроенную функцию INT, о которой было сказано выше. Таким образом, переменной A присваивается значение, равное целой части числа N/10, т. е. A — цифра

*) Программы в этой статье написаны на языке Бейсик MSX.

5

4. Квадрат трехзначного числа окачивается трея цифрами, которые как раз составляют вягое число. Найдите все такие числа.

5. Найдите четырехзначное число, которое при делении на 133 дает в остатке 125, а при делении на 134 дает в остатке 111.

6. Пришите к 523*** три такие цифры справа, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, на 8 и на 9.

7. Пришите к ***999 три такие цифры справа, чтобы полученное шестизначное число делилось на 13, на 17 и на 19.

Рассмотрим теперь еще одну задачу, решение которого позволяет нам позначить с дальнейшими приемами программирования на языке Бейсик.

Задача 8. Должитель (т. е. целоеек, произвший болееста лет) заменил, что если к сумме квадратов цифр его возраста прибавить число его дня рождения (т. е. какое-то из чисел от 1 до 31), то получится как раз его возраст. Сколько лет должно?

Вот программа для решения этой задачи:

FOR K=1 TO 9
FOR L=0 TO 9
FOR M=0 TO 9
N=100*K+10*L+M
S=K*K+L*L+M*M
IF N<S+1 GO TO 90
IF N<S+32 THEN PRINT N;
NEXT M
NEXT L
NEXT K
END

Комментарий. Здесь вместо одного использующая три вложенных друг в друга цикла. Рассмотрим строки 10, 20, 90, 100:

FOR K=1 TO 9
FOR L=0 TO 9
NEXT L
NEXT K

Начав деятельности при K=1, мы сразу же попадем во внутренний цикл (строки 20 и 90), и пока он не закончится, мы не перейдем через строку 90 дальше, т. е. не перейдем к следующему значению K. Таким образом, при K=1 мы переберем все значения L=0,1, …, 9, затем перейдем к K=2 и снова переберем все значения L=0,1, …, 9 и т. д. Отсюда ясно, что строки 10, 20, 90, 100 обеспечивают перебор всех пар K, L (в указанных пределах). Далее, внутри имеется еще третий цикл по M (строки 30, 80). Вместе эти три цикла дают перебор всех трех K, L, M (в указанных пределах). Тепер строка 40 показывает, что в результате этого мы перебираем все трехзначные числа от 100 до 999.

Строки 50—70 предназначены для проверки, годится ли исследуемое трехзначное число в качестве возраста долговителя. Прежде всего вычисляется S — сумма квадратов цифр этого трехзначного числа (строка 50). Если N<S+1, то рассматриваем трехзначное число не годится и, более того, увеличивая цифру единиц M, мы подавно будем получить непригодные числа. Поэтому в строке 60 применен оператор условия перехода: если N<S+1 то ПЕРЕЙТИ к строке 90. Если же условие N<S+1 не выполнено, т. е. N>S, то надо еще проверить, на сколько единиц число N больше S. Если N превыходит S на 32 или более, то разность N—S не может быть числом дня рождения. Поэтому лишь при условии N<S+32 число N годится в качестве возраста долговителя (и тогда его следует напечатать).

Введите эту программу в компьютер, и вы узнаете возраст долговителя: ему 109 лет.

Задание 9. Найдите трехзначное число, квадрат которого окачивается трея цифрами, отличными от нуля.

10. Подставьте в записи 424 вместе звездочек такие цифры, чтобы полученное пятизначное число делилось на 72.

11. Найдите четырехзначное число, являющееся точным квадратом, у которого две первыые цифры одинаковы и две последние тоже одинаковы.

Указание e. В языке Бейсик имеется встроенная функция SQR, которая преобразна для извлечения квадратного корня; иначе говоря, оператор M=SQR(A) присаивает переменной M значение, равное квадратному корню из значения переменной A.

12. В магазина имеется мастика в ящиках по 16 кг, 17 кг, 21 кг. Как неокоторий организации получить 185 кг мастики, не вскрывая ящики?

13. Великий математик Пьер Ферма, много занимающийся вопросами теории чисел, высказал гипотезу, что все числа вида

6

(п натуральное) являются простыми. При $n=1, 2, 3, 4$ справедливо этого утверждения несложно проверяется, а при $n=5$ проверка «вручную» становится сликом трудной. Однако другой великий математик, Леонард Эйлер, остроимым искусственным приемом установил, что как раз при $n=5$ утверждение Ферма является ошибочным, т. е. число () оказывается в этом случае составным. Напишите программу, позволяющую при $n=5$ убедиться в правильности утверждения Эйлера, т. е. найти делитель числа (), отличный от этого числа и единицы.

Указание. По общной программе, написанной на языке Бейсик, компьютер производит расчеты с шестю значцами цифрами. Между тем число (*), получающей при $n=5$, имеет 10 значших цифр. Учитите это при составлении программы. Запись 2^16 означает: возввести 2 в 16-ю степень.

14. Найдите все трехзначные числа, равные сумме кубов своих цифр.

15. В трехзначном числе зачеркнуты первую цифру слева; когда полученное двузначное число умножили на 7, получилось исходное трехзначное число. Найдите его.

16. В трехзначном числе, все цифры которого нечетны, зачеркнуты среднюю цифру. Оказаюсь, что полученное двузначное число является делителем исходного числа. Найдите все такие трехзначные числа.

Указание: строка

10 FOR A=1 TO 9 STEP 2
означает, что A пробегает числа с шагом 2 (т. е. 1, 3, 5, …).

17. Сумма цифр трехзначного числа кратна 7. Само число также делится на 7. Найдите все такие числа.

Указание: запись R<>0 означает, что R не равно нулю.

18. Четырехзначное число, а также число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, оба являются точными квадратами. Найдите эти числа.

19. Решите следующие арифметические решения (вместо каждого буквы надо подставить неокторую цифру, причем одинаковые буквы означают одинаковые цифры, а различные буквы — различные цифры):

a) КТО + КОТ = ТОК;
b) ABBA = AA² + BB²;
b) КИО * ИО = ТОКИО.

20. Найдите все двухначные числа, сумма цифр которых не меняется при умножении числа на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Нередко при решении задач на компьютере применяются работы переменные, которые в программе ответятся роль «счетчиков», «накопитель», «хранителей» промежуточных результатов. Рассмотрим это на следующих примерах.

Задача 21. Найдите наиболее значение суммы $M^2+N^2$, когда M и N пробегают все значения от 1 до 100,

Комментарий. Здесь использованастроенная функция ABS, предназначенная для нахождения модуля (или, как раньше говорили, абсолотной величины) числа; иначе говоря, оператор H=ABS(Q) присваивает переменной H значение |Q|. Далее, P, K, L — рабочие переменные («хранители»), предназначенные для того, чтобы в процессе работы программы неокторое время сохранять полученные промежуточные результаты. Переменная P предназначена для хранения доступного значения $M^2+N^2$: первоначально P=0 (строка 10), а каждый раз, когда (при наложенных на M, N условиях) получается сумма квадратов, большая, чем она была равна, переменной P присваивается новое значение, равное этой сумме квадратов. Однако временно переменные K, L получают (и хранят до следующого изменения) те значения M, N, при которых это больше значения суммы квадратов было получено. После всего перебора печатается наиболее значение суммы квадратов и те M, N, при которых оно больше доступного. Заметим, что между буквами P, K, L поставлены в строке 110 запятые (а не точки с запятыми): при таком способе печати выносимые на дисплей числа отстоят друг от друга дальше (какое число занимает 15 позиций).

Задача 22. Сколько существует «счастливых» шестизначных билетков (т. е. таких, у которых сумма

9

В этом номере мы публикуем статью известного физика-теоретика, специалиста по физике твердого тела, профессора М. И. Казанова. В ней автор на простых примерах закомит читателя с тонким, граничным с интушей искусством оценок, без которого невозможна работа сеоднящего физика-теоретика на его пути к неведомому.
Статья написана в системе edinцу СГС (сантиметр — грамм — секунда). В школе эту систему уже давно не изучают, однако профессиональные физики обычно пользоваются его (а не знакомой школьникам СН). Дело в том, что при написании формул в этой системе единицу появляется в них коэффициенты имеют ясный физический смысл. Подумав, редакция не решалась переводить формулы статьи в СН, так как этом аромат настоящего физика, всегоющий от нее, был бы безвозвращатно утерян.

МНОГО ИЛИ МАЛО?
(Рассужdenя физика-теоретика о числах)

Доктор физика-математических наук
М. И. КАГАНОВ

Однажды я задумался, сколько книг человек может прочитать за жизнь. Оценил я это число так. Скажем, человек читает 60 лет. В году 52 недели. Пусть в неделю человек прочитывает две книги. Значит, около 100 в год. Итого примерно 6000 книг за жизнь. Это число, не обсуждая, как оно получилось, я называем разным лодям. «Так мало!» — сказали один. «Нужели так много?!» — удивились другие. И я подумал: в нас нет запросимированной чувственной оценки чисел. Только сравнивая одно число с другими, только придавая числу определенный смысл, мы оценаем его величины. Число прочитанных книг, конечно, имеет в полне определенный смысл (это не просто безмычные 6000), но оценить его (оценить, сказаить — много это или мало) может только тот, кто сумет подобрать сравнение, например, задаумавшись: «А сколько книг в неделю (месяц, год,…) читают я?»…

Физика имеет дело с именованными величиными. Любая физическая величина имеет размерность. Существует специальный раздел физики, изучющий принципы размерности, системы единиц, этаlonы этих единиц и т. д. Должен признаться, всегда этот раздел физики мне казался достаточно скучным. может быть, из-за того, что из него много фактов надо держать в голове: как связаны между собой джоуль и эрг, чем отличиется эргado не изучают, однако профессиональные физики обычно его (а не знакомой школьникам СН). Дело в том, что при написании формул в этой системе единицу появляется в них коэффициенты имеют ясный физический смысл. Подумав, редакция не решалась переводить формулы статьи в СН, так как при этом аромат настоящего физика, всегоющий от нее, был бы безвозвращатно утерян.

Задумывались ли вы о том, почему все физические величины могут быть выражены через единицы длины (сантиметр), времени (секунду) и массы (грамм)? Это относится к электрическим, и к магнитным величинам, и к телловым, и к оптическим.*) В физике нет величины, которые нельзя использовать от гаусса, сколько кулонов в единице зарядда по системе СГС и т. д., и т. п. Но, как ни группно, без этого общий нельзя. Приходится, переходя от одних значений к другим, выражать их в определенных единицах и притом в одинаковых. Сравнивая магнитное поле, созданное сверхпроводящим соленом, с магнитным полем Земли, оба поля надо выразить в одних единицах: в гауссах или в теасах — безразлично, относение полей от этого не зависит. А ведь именно отношения физических величины нам, как правило, и важны, так как именно они (безразмерные отношения) определяют то, что физики любят называть «физикой явления». Эту мысль мы разовем ниже, а сейчас еще несколько слов о размерных величинах.

Задумывались ли вы о том, почему все физические величины могут быть выражены через единицы длины (сантиметр), времени (секунду) и массы (грамм)? Это относится к электрическим, и к магнитным величинам, и к телловым, и к оптическим.*) В физике нет величины, которые можно использовать от гаусса, сколько кулонов в единице зарядда по системе СГС и т. д., и т. п. Но, как ни группно, без этого общий нельзя. Приходится, переходя от одних значений к другим, выражать их в определенных единицах и притом в одинаковых. Сравнивая магнитное поле, созданное сверхпроводящим соленом, с магнитным полем Земли, оба поля надо выразить в одних единицах: в гауссах или в теасах — безразлично, относение полей от этого не зависит. А ведь именно отношения физических величины нам, как правило, и важны, так как именно они (безразмерные отношения) определяют то, что физики любят называть «физикой явления». Эту мысль мы разовем ниже, а сейчас еще несколько слов о размерных величинах.

*) Наритмер, размерность тока — [I]=[Q]/с, а размерность заряда Q можно найти, воспользовавшись законом Кулона: [Q]²/[R]²=[F], где F — сила. Так как [F]=r·cm/c², то [Q]=r¹/²·cm³/²/c. Отсюда [I]=r¹/²·cm³/²/c. Так размерность всех электрических величины через граммы, сантиметр и секунду.

10

зьло бы запись через сантиметр, секунду и грамм. Ответ на вопрос, почему все физические величины выражаются через грамм, сантиметр и секунду, может показаться неожиданным. Дело в том, что это связано с определением физики. Физика занимается теми явлениями, которые могут быть описаны с помощью сантиметра, секунды и грамм. Сантиметр и секунда нужны для описания движения в пространстве (kinematika), а грамм необходим для связи этого движения с силой, вызывающей движение (динамика). Вспомните, что по закону Ньютона сила равнаускорению, умноженному на массу. Конечно, существует множество явлений, которые мы не можем описать с помощью физических величины. Например, всё, что относится к развитию человекаского общества — к истории, экономике и т. п. Испледование этих явлений, требующое иногда сложных математических методов, не принадлежит физике. И конечно, физика не исчерпивает измерения. Фундаментальный роль в ней играют представления, положения, законы, иногда выраженные в виде математических уравнений, а иногда ограничивающей сливской формулировкой. Вот яркий пример: все тела состоит из молекул, молекул из атомов, атомы из ядер и электронов, а ядра из протонов и нейтронов. В этой фразе — огромная информация, концентрация многоевекового изучения природы, изучения, основанного на измерении величины, которые (все!) могут быть выражены через сантиметр, секунду и грамм.

К основным законом природы, несомненно, следует отнести законы сохранения. Кроме хорошо известных — закона сохранения энергии и импульса — существуют и более экстотические. Например, закон сохранения барионного заряда, утверждающий, что число частицы типа протон или нейтрон не изменяется при взаимодействии между частицами.*)

*) Античастизм приписывается барионный заряд обратного знака (у протона и нейтрона барионный заряд равен 1, у антипротона и антиптрона — 1).

Или другой пример: состояние atoms и субатомных частиц характеризуется некоторой величины, которое называют волновой функцией. Чаще всего ее обозначают греческий буквой $\psi$. Волновая функция $\psi$ — функция координаты $\vec{r}$. Так как все точки пустого пространства эквивалентны, то любую точку можно избрать за начало координат. Так вот, функция $\psi(\vec{r})$ согласно уравнения квантовой механики может быть либо четной, либо нечетной —

$$\begin{align*} \mathrm{lino} & \psi(-\vec{r}) = \psi(\vec{r}), \\ \mathrm{lino} & \psi(-\vec{r}) = -\psi(\vec{r}), \end{align*}$$

причем, что бы с частицей ни прошло до, это свойство волновой функции сохранения. Говорят, что существует закон сохранения четности. Если у частицы четная волновая функция, то такой частице можно приписать четность +1, если волновая функция нечетная — то —1. Кроме того, волновая функция нескольких не взаимодействующих друг с другом частиц есть произведение волновых функций отдельных частиц, а ее четность — произведение четностей отдельных частиц. Это дает возможность обобщить закон сохранения четности на весьма сложные случаи. Например, стандартная две частицы — четная и нечетная, а в результате рождения новых частицы; если их две, то одна из них должна быть четной, а другая нечетной, а если три, то все они могут быть нечетными. Для нас важно: сохранется безразмерное число +1 или —1.

Но для проверки этого и подобных утверждений необходимы измерения. Для этого что-то должно быть счет действия на это «что-то» как их-то сил. И мы опять приходим к физическим величины, размещенной которых может быть сведена к сантиметру, секунде, грамму. Я очень не хотел бы, чтобы меня вопригляли как «врага» безразмерных чисел. Наоборот: одна из задач этой статьи — убедить читателя в пользове и даже необходимости безразмерных

11

комбинационный размерных величины. Более того. Истинно безразмерные числа, т. е. не являющиеся комбинациями размерных величины, тоже часто встречаются в физике. трудно найти формулы, в которых не входят трансцендентные числа $e$ и $l$, не говоря уже просто о самых различных численных множителей, входящих в любую формулу.

Вернемся к физическим величинам, обладающим той или иной размерностью. Задача физической теории — связать различные физические величины соответствиями, которые допускают экспериментальную проверку. Например, желая проверить, как изменяется со временем путь $s$, проходимый частцей, движущейся с постоянным ускорением $a$, мы должны сравнить свои изменения с формулой

$$s(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2} = v_0 t \left( 1 + \frac{at}{2v_0} \right),$$

где $v_0$ — начальная скорость частицы. Это — очень простая формула. Но и она (как все формулы в физике!) требует, чтобы все входящие в нее величины имели соответствующие размерности: если $s$ изменяется в сантиметрах, а $t$ — в секундах, то $v_0$ — в см/c, а $a$ — в см/c². Но путь мы хотим не только проверить эту формулу, но и выяснить: как сказывается на характере движения частицы ускорение? Для этого удобна вторая форма записи (когда $v_0 t$ мы вынесли за скобки). Из нее видно: сначала (при $t \ll 2v_0/a$) роль ускорения незначительного — частица практической движения с постоянной скоростью $v_0$, зато потом (при $t \gg 2v_0/a$) частица «забывает», какая у нее была начальная скорость, — ее движение определяется ускорением. Как видите, нельзя однозначно ответить на вопрос, больше или маленькое ускорение у частицы. Ответ зависит от того, какой этап движения нас интересует. А выяснили мы это, сравив с единцией безразмерное отношение $at^2/2v_0 t = at/2v_0$. Строго говоря, отбрасывая первое или второе слагаемое, надо было бы учеть, с какой точность изменяет проиденный путь наш прибор, и разрешить себе пребегатель соответствующего слагаемым только в том случае, если оно оказывается меньше относительной ошибки изменения. Мы больше не будем вдаваться в подобные тонкости, хотя они очень важны при анализе реальных экспериментов.

При решении реальных задач мы часто должны упрощать — без этого попросту задачу решить нельзя. Упрощение всегда основано на пребегении малыми членами по сравнению с большими. Но для того чтобы что-то отбросить, надо произвести сравнение членов, а сравнить можно только величины одной размерности. Сказанное формулирует первое (основное) правило пользования размерными величинами. Многие физики так бояться это правило нарушить, что, начиная решать задачу, сразу обезразмеривают входящие в нее величины.

Вернемся к движению частицы с постоянным ускорением. Давайте время будем изменять в единицах $2v_0/a$ (т. е. введем вместо времени $t$ «безразмерное время» $\tau = at/2v_0$), а проиденный путь — в единицах $2v_0^2/a$ (т. е. введем «безразмерную длину» $\sigma = \frac{a}{2v_0^2} s$). Тогда формула (1) пределено упрощится:

$$\sigma = \tau(1 + \tau).$$

Переход от формулы (1) к формуле (2) и называется обезразмерным. Примущество такого подхода очень удобно: изучив зависимость $\sigma$ от $\tau$, мы узнали, как движение частица с любым постоянным ускорением, ка-

12

кую бы начальную скорость она ни имела.

Надо признаться: в сложных случаях не всегда рекомендуют обезразмеривать формулы, так как, проверяя размерность $d_o$ и $n_{osle}$ вычисления, легко найти ошибку или убедиться, что вычисление, по-видимому, продолжано правильно.

Для того чтобы сформировать еще одно правило, которое необходимо учитывать при упрощениях, основанных на существовании в формуле (в уравнения) малой величины, чуть условим формулу (1), считая, что в момент времени $t=0$ тело находилось в точке с координатой $s_0$:

$$s(t)=s_0+v_0t+at^2/2. \quad (1')$$

Тепер расстояние будем измерять в единицах $s_0$, а время — в единицах $s_0/v_0$. Тогда

$$\sigma=1+\tau+\varepsilon\tau^2, \quad (2')$$

где $\varepsilon=as_0/2v_0^2$ — безразмерная величины.

Прежде всего обратим внимание на то, что, избери мы прежние единицы для времени и расстояния, мы получили бы другое уравнение —

$$\sigma=\sigma_0+\tau(1+\tau),$$

с другой безразмерной величины $\sigma_0=as_0/2v_0^2$, входящей в формулу. Уже этот факт достиит подчеркивания: как правило, есть разные способы обезразмеривания, и нужно выбирать тот, который удобнее. Итак, пусть безразмерная величина $\varepsilon$ в уравнения (2’) очень мала ($\varepsilon \ll 1$); ну, скажем, $\varepsilon \approx 10^{-3}$ или и того меньше. На минуточку представьте себе, что $\varepsilon$ стоит множитель не перед $\tau^2$, а перед какой-нибудь сложной функцией «безразмерного времени» $\tau$. Сколь упростилась бы формула, если бы, воспользовавшись тем, что величина $\varepsilon$ мала, мы отбросили слагаемое, содержащое $\varepsilon$. Но мы понимаем (вернутьсь от (2’) к (2)), что это означает бы полностью претенбреть укоренением, или, в более общих терминах, претенбреть специфическим чертиями изучаемого движения.*

*) Не говорю уже о формальном неправильности претенбжения слагаемым $\varepsilon\tau^2$ при больших

Именного этого делать нельзя! ВыLIBать.body изванчки надо осторожно — можно выплескнуть купаоцегося в ней ребеночка.

Do sins пор мы имели дело с известным законом движения и манипуляровали входящими в формулу известными величиными. Тепер подумаем о значительно более сложной проблеме. Давайте мысленно пересеемся в доквантовую эру. Опыты Резерфора показали: во-первых, atom — сложная система, масса atomа сосредоточена в его положительной заряженной ядре, причем масса ядра $M$ в тысячи раз превышает массу отрицательно заряженного электрона $m$ (электрон уже открыт, и заряд его изменен, он равен $e=-4,8\cdot 10^{-10}$ ед. заряд СГСЕ=-1,6·10^{-19} Кл), во-вторых, внутри atomа (на расстояниях $\sim 1\mathring{\mathrm{A}}=10^{-8}$ см) действует закон Кулона.

Итак, мы знаем, что внутри atomа, состоящего из тяжелого ядра — протона и легкого электрона (для простоты ограничения atomом водорода), действует закон Кулона. Кроме того, известно (было известно и в доквантовую эру!), что все atoms водорода одинаковы, т. е. имеют одинаковые размеры ($\sim 10^{-8}$ см). Обозначим размер atomа водорода через $a_0$. И поставаемся понять: почему $a_0\sim 10^{-8}$ см? Для этого выразим $a_0$ через характерisticки составных части атома — заряд $e$ и массы электрона $m$ и протона $M$. Массу протона, по-видимому, можно исключить, считая, что протон покопится, а электрон движется вокруг него (в действительности обе частицы движутся вокруг центра тяжести, но поправки, связанные с этим, веса малы). Остаются величины $m$ и $e$. Но легко проверить (про-

значениях $\tau$. Думаю, это совершенное понятие. И все же: $\varepsilon\tau^2$ становится порядка единицами или большие только при $\tau \geq 1/\sqrt{\varepsilon}$. Это время стремится к бесконечности, когда $\varepsilon \rightarrow 0$. Представим себе, что мы изучаем некий процесс, который длится небольшое конечное время, а выяснили, что слагаемое $\varepsilon\tau^2$ достигает значения единицы тогда, когда наш процесс уже давно законился. Конечно, в этом случае без заренации совести это слагаемое можно опустить.

13

верьте!), что из них нельзя «построить» комбинацию размерности длины.

Вывод таков: классическая физика не может установить «природу» размеров atoma. К этому, в настоящее время хорошо известному, вывод можно прийти и другими путями. И известен «выход из положения».
Его обеспечила квантовая, или atomная, механика. Не входит в нашу задачу рассказывать о квантовой механике в этой стате. Напомним только, что квантовая механика в физике новую мировую постоянную — постоянную Планка $\hbar$, равную $\sim 10^{-27} \text{ г} \cdot \text{cm}^2/\text{c}$, и вернемся к atomу водорода. В нашем распоряжении теперь три величины: $m$, $e$ и $\hbar$, а из них легко построить величины размерности длины:

$$a_0 = \frac{\hbar^2}{me^2} \approx 0.4 \cdot 10^{-8} \text{ cm.}$$

Мы без оговорок приравняли выведенную комбинацию размеру $a_0$, так как с хорошей точностью она действительно равна размеру atoma водорода.

Тепер несколько серbezнее задамаемся о логике вывода формулы (3). Не решая задачи, не задумываясь над тем, какими уравнениями описывается движение электрона в atomе, только зная, какие величины ($a_0, e, \hbar, m$) должны входить в неизвестное уравнение, мы решаемся сделать вывод, зафиксированный формулой (3). Какие у нас для этого основания?

Ясно, что уравнение, которое нам придется решать для определения размера atoma, будет содержать в виде неизвестной величины ($x$) безразмерную комбинацию*), т. е. $x = a_0 me^2/\hbar^2$, а величина $x$ должна быть найдена путем решения какого-то уравнения, скажем $f(x)=0$. Но открыта у нас уверенность, что корень этого уравнения порядка единицы? Ведь легко себе представить, что $x_0$ — корень уравнения $f(x_0)=0$ — какое-нибудь огромное или, наоборот, очень маленькое число. А тогда $a_0=x_0 \hbar^2/me^2$ либо значительное количество больше, либо значительное меньше их типы, либо значительное меньше их типы. Это непростая задача — выяснить, как влияет на свойство тела проискоды в нем (в случаеных местах, в случаеные моменты времени!) радиоактивные распады. Но оказалось, что, зная энергию, которое несут осколки ядер, можно воспользоваться сообщениями размерности и оценить (прикинуть) результат сравнительного проектирования. Интупция подсказала, что результат сравнительного проектирования точно означает точным расчетом. Оказалось, чтоное значение от оценки (прикинуть) можно привести от оценки (прикинуть) можно привести был более сложен, чем это было в действительности, и нам пришлось бы ограничить.

*) Сколько-нибуд сложная функция, аргумент которого — размерная величина, — вообщее бессмысленная велица. Ведь, как правило, функция задается рядом. Например, $e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+...$

А складывать можно только величины одной размерности.

14

чится оценками, то мы в конце концов нашли бы (и без расчета) множество $(2\pi)^{-5}$ — ведь его появление отнюдь не случайность …

А вот другой — противоложный — пример. И. М. Лифшц и А. В. Погорелов (вы знаете А. В. Погорелов как автора учебника и книг по геометрии) исследовали закономерности деления тяжелых ядер. Аналогия с каплями общной жидкости и сообщения размерности помогли сравнительно просто решить задачу и получить ответ с точностью до безразмерного множитель. Авторам хотелось думать, что неизвестный безразмерный множитель близок к единице (насколько я помню, И. М. Лифшц был в этом уверен). А. В. Погорелов сконструировал специальный прибор, позволяющий с помощью «объичной» жидкости измерить ту величины, которую оценили теоретически. Оказалось, что искомый множитель равен 1,1 (!).

Что следует из этих двух примеров? Только то, что надо проявлять осторожность при оценках, основанных на сообщения размерности. Провявлять осторожность, но ни в коем случае не отказывать от методов, основанных на этих сообщениях.

Когда речь идет об области физики, занимающей такие или явлениями, для понимания которых достаточно использовать известные законы природы (т. е. они описывают с необходимой точностью известными уравнениями), методы размерности служат наводящими сообщениями, подпорьем интуции. С большими или меньшими трудностями можно произвести соответствующий расчет и получить точный ответ. Сообщения размерности прибретают особую роль, когда физик выходит в неозначную область, когда нет строих уравнений, на которые можно операться, и можно только прикдывать, оценивать и угадывать. Эта деятельности физков-теоретическов требует особого чутья, основанного на глубоком знании всей структуры физики, понимании того, что можно

подвергать сомнению (пересмотру), а что незыблено, отказот чего разрушает (буквальное) все данные физики. Наука значительно более консервативна, чем кажется тем, кто смотрит на нее со стороны, восшиается ее успехами, кому кажется, что наука все может, что ей все доступно. Наука описывает realmente существующий Мир, управляемый реально существующими законами. Эти законы наука постепенно, в мучительных понисках постирает. Построение логических непротиворечий картины Мира — столбная задача, что надо с трепетной осторожностью относиться к каждой детали этой картины, непрестанно задавая себе вопрос, не нарушули ли я что-то во всей картине, если предположу нечто новое, необходимое (как мне кажется) для объяснения какого-то факта?…

Я понимаю, что последний абзац выглядит совершенно абстрактным. И все же не хочу привить примеры — главным образом потому, что не чувствую себя специализом в той физике, из которой эти примеры следовали бы черпать: из физики элементарных частиц, из космологии. Хочу только обратить внимание на следующее. Оdnу и ту же размерность имеют совершенное различные величины: расстояние между Москвой и Нью-Йорком и размер атома водорода, время обращения Нептуна вокруг Солнца и период колебаний атомов в молекуле водорода, масса протона и масса электрона и т. д., и т. п.— примеры можно множество. Разделив размерную велиину на велиину той же размерности, мы получим безразмерное число. Можно задать вопрос: почему получилось именно это число, а не какое-нибудь другое? Ясно, что так как число отношений бесконечно, то и число вопросов тоже бесконечно. Над ли все их задать? И нужно ли на них ответить? — Ответ дает только опит. Опыт отдельного человека и опит всей физики. В ходе развития научки перечень вопросов изменяется вместе с перечнем ответов на них, причем,

15

естественно, вопросы несколько операция ответы, правила, операция не сликом значительно. Дело в том, что правильно формулированный вопрос, как правило, не eset в себе ответ. Иного вопросы выглядит совершенно невинным, а ответ на него очень сложен. ЧERO уж проще: почему относение массы протона $M_p$ к массе электрона $m_e$ равно 1838? А ответ на этот вопрос, насолько я знаю, не известен. Или другое значение число — так называемая постоянная тонкой структуры

$$\alpha = \frac{e^2}{\hbar c} = \frac{1}{137}.$$

Постоянную тонкой структуры так и называют — одна строка седьма! Почему 1/137 — современная наука даже не формулирует. Но использует $\alpha$ многократно. Относительная малость заряда ($e^2 = \hbar c / 137 \ll \hbar c$) приводит буквально к бесконечному числу следствий.

137, а тем более 1838 — числа, значительное большие единицы. Могут ли они быть следствием теории, корнем какого-либо уравнения? А ведь можно указать пример, который приводит к буквально астрономическому числу. Отношение силы электросистического отталкивания друг от друга двух протонов к силе гранитного притяжения между ними — $e^2 / (M_p^2 G)$, — конечно, безразмерное число. Оно равно $10^{36}$ (!). Решая такое уравнение, можно надеяться получить такое фантастическое число? Сейчас делается попытка построить суперфизику, объединишую все взаимодействия между частицами. По-видимому, она — эта будущая наука — должна «выдать» в виде ответа это градинозное число. Возможно, правда, в этом не будет ничего удивительного: просто (?!) искомой величины будет не само отношение, а, скажем, $\ln \ln(e^2 / (M_p^2 G)) \approx 4,4$. Но это уже не сообщение, а фантарирование… А я хотел бы предостеречь читателя от различных неоправданных сравнений величины одной размерности и обнаружения каких-то мистических соответствий. Попытка ответить на вопрос, чем должно быть равно то или другое отношение двух размерных физических величины, должно основывать на глубоком знании предмета — озарение здесь не поможет, поверьте мне!

---

Эти рассуждения трудно закончит. В любой области своей деятельности физик (и теоретик, и экспериментатор) сталкивается с числами. Одинми он должен воспользоваться, другие должны определять. Встречась с числами всегда и всегда, он прививает к ним и часто получается им, не задумываясь, открыта они возникли, почему они такие, а не другие. Это означает, что он — физик — хорошо знает свою область, что у него есть интуция, что он имеет почти бессознанную выбор из физики (из огромного запаса накопленного в ней знания) именно то, что нужно для понимания изучаемого явления. Но если его просить, почему он отбросил все остальное, он задумается и, аргументурия числа, показет, что отброшенное не должно играть существенно роли. Иnorда он ошибается. И если ошибка не тривиальная, то понимание ошибки,.linkвидания противоречия может привести к открытию… Об этом стоит помечать…

17

НУЖНА ЛИ АЛЬПИНИСТУ
ФИЗИКА?
Кандидат технических наук
А. В. ГЕЛЛЕР

Люди, покоряющие горные вершины, обчено романтики. А сами горы с их белыми вершинами настолько величественны, что любые слова о физических обязываниях тех или иных явлений, возникающих в горах, о расчетах и обоснованиях каких-то конкретичных ситуаций иногда кажутся смешными. Чем-то вводе формулы для стихов или алгоритма для создания живописного полотна.

И все-tаки мы попытаемся решить одну такую задачу и на ее примере показать, как физика помогает альпинистам. Пребывая еще на равнине, сидя за письменным столом, можно решать вопросы безопасности в горах. Итак, мы собираемся в горы. Разумеется, мы должны хорошо подбрать и подготовить необходимое снаряжение, запасись складными и ледовыми крючьями, хорошим вервками…

Альпинистская вервка, как и большиство других предметов снаряжения в современном спорте, — сложное инженерное «сооружение». Мы расскажем в этой статье, почему альпинистам нужны специальные вервки и как они «работают» в горах. Но сначала обсудим типичную и, увы, передко возникаюшую при восхождениех или на тренировках ситуацию.

На рисунке 1 схематически показано движение связи-двойки. Первая альпинист, назовем его Алексеем, поднялся по скале на высоту $L=5$ м выше второго, которое зовут Виктором. Алексей забил в точке А криок, который является точкой страховки, а затем поднялся еще на $l_0=2,5$ м. Внезапно Алексей сорвался. Виктор же очень прочно закрыл свой конец вервки, и Алексей повисна на ней.

Вопрос, который нас интересует: какими свойствами должны обладать вервка, чтобы Алексей остался нередим?

Конечно, первый делом (пока мы еще дома) стоит заглянуть в какой-нибудь справочник, где приводятся характеристики спортивного снаряжения. Так мы узнали, что для вервки диаметром 10 мм прочно есть, т. е. сила, которая нужно приложить, чтобы повять ее, равна $P=1,5 \cdot 10^4$ Н. Известно также, что максимальное число которое выдерживает человекое тело, $F_{\text{max}}=5 \cdot 10^3$ Н. Нам понадобится еще масса альпиниста с рюкзаком $M$. Будем считать, что $M=100$ кг, это вплоне разумная оценка.

Казалось бы, для безопасности Алексея достаточно, чтобы вервка была прочной. Тогда при padении он остановился цел, так как вервка не порвется. Но вспомним, что человек, упавший с высоты 10 м (высота третьего этажа), чаще всего разбиается, если падает на твердую землю. Если же он упадет на стог сена или в глубокий сугроб, то скорее всего отделается просто испутом. Срыв альпиниста, повисшего на нерастяжимой вервке, тоже приведет к удару в конце его полета, даже если он и не должен до основания скалы. Поэтому направляется вывод: скорость, которое прибрел человек при padении, нужно погасить

Рис. 1.

18

Плавно. Вот мы и попробуем понять, как это сделать.

Можно считать, что при сыве скорость Алексея в точке $A_1$ равна нулю и его падение почти до точки $A_2$ есть просто свободное падение (вервка не натянута!). В точке $A_2$ его скорость равна $v_0=gt$, где $t$ — время падения. За это время Алексей пролетит расстояние $gt^2/2=2l_0$; так что $t=\sqrt{4l_0/g}$, и $v_0=g\sqrt{4l_0/g}=2\sqrt{gl_0}$.

Скорость $v_0$ гасится более или менее плавно где-то вблизи точки $A_2$ за счет расстояния вервки. В тот момент, когда вервка натянулась и начала расстояния, скорость Алексея $v=v_0$, а когда удлинение вервки стало максимальным и падение прекратилось, $v=v_\kappa=0$. Если версия, за которое будет «погашена» скорость, обозначит $\Delta t$, то средняя сила, действующая на альпиниста за это версия, — $F_{cp}=\frac{M(v_0-v_\kappa)}{\Delta t}$. Величина $\frac{v_0-v_\kappa}{\Delta t}=\frac{v_0}{\Delta t}=a$ имеет смысл среднего ускорения, с которым проходит «торможение». Очевидно, что чем больше начальная скорость и чем меньше версия торможения, тем больше силы $F_{cp}$. Но тогда из того, что мы сказали, следует, что вервка, связывающая Алексея и Виктора, должна быть такой, чтобы версия $\Delta t$ до остановки Алексея было достаточно большим. Что значит — достаточно большое версия торможения? А это значит, что во всяком случае средняя сила $F_{cp}$, действующая на Алексея со стороны вервки, должна быть меньше, чем то максимальное число, которое может выдержать человека тело — $F_{\max}=5\cdot10^3$ Н. Итак, должно выполнять неравенство

$$F_{\max}\geqslant F_{cp}=\frac{Mv_0}{\Delta t},$$

отсюда $\Delta t\geqslant Mv_0/F_{\max}$ (заметим, кстати, что $a=\frac{v_0}{\Delta t}\leqslant\frac{F_{\max}}{M}=\frac{5\cdot10^3\mathrm{H}}{10^2\mathrm{kg}}=50\mathrm{m/c^2}$, а это значит, что $a$ может быть и больше $g\approx10\mathrm{m/c^2}$. Для нашего конкретного примера легко получить, что $\Delta t\geqslant0,2$ с.)

Что же может обеспечить необходимое время $\Delta t$, а следовательно, и безопасность вервки хорошо растягиваться. Для упрощения расчетов будем считать, что такое торможение при растяжении вервки есть процесс равнозамедленного движения. Тогда путь,ройденный Алексеем до его задержания (остановки), равен удлинению вервки $\Delta l=a(\Delta t)^2/2$. Подставив сюда $a=v_0/\Delta t$, получим $\Delta t=2\Delta l/v_0$. Комбинируя же эту последнюю формулу с написанным выше неравенством для $\Delta t$, приdem к неравенству

$$\Delta l\geqslant\frac{Mv_0^2}{2F_{\max}}=\frac{M\cdot4gl_0}{2F_{\max}}=\frac{2Mgl_0}{F_{\max}}.$$

Такова оценка для расстояния, на котором скорость должна быть погашена, чтобы не причинить вред альпинисту. (При $l_0=2,5$ м и $M=100$ кг $\Delta l\geqslant1$ м.) Разделим теперь об части неравенства для $\Delta l$ на длину вервки до растяжения $L+l_0$. Отношение $\varepsilon=\Delta l/(L+l_0)$ называется относительной деформацией или просто деформацией. Если вправую часть неравенства

$$\varepsilon\geqslant\frac{2Mgl_0}{(L+l_0)F_{\max}}$$

подставить числовые значения для нашей конкретной ситуации, получится, что $\varepsilon\geqslant0,13$.

Можно утверждать теперь, что Алексей при сыве не построает, если деформация альпинистской вервки больше 13 %. На самом деле хорошая совершенная альпинистская вервка имеет деформацию при нагрузках порядка $10^4$ Н около 40—45 %.

Казалось бы, все теперь ясно. Мы возьмем с собой в горы вервку с необходимыми для безопасности характерастиками, а Виктор может, не задумываясь, жестко закрыть ее.

19

No теперь представьте себя в роли альпиниста, который необходимо поднять по такой вервке. Это часто приходит делать в альпинистской практике. Идущий первым прокладывает путь по сложному реблению, используя весь арсенал альпинистской техники. Затем он закрепляет вервку, а все остальные участки восходения поднимаются уже по ней. Естественно, что вервка под нагрузкой, которая создает альпинистом, растягивается. Чем дальше альпинист находится от точки закрепления, тем больше будет абсолютиное удлинение вервки. Ошущения уlezшего по такой вервке будут примерно также же, как у альпиниста, «подвешенного на резиночке». Это, поверьте, не очень приятно, особенно когда вокруг острыя камни! Хорошо бы иметь вервку, у которой зависитность деформации от нагрузки изображается кривой $a$ на рисунке 2. Тогда при малых нагрузках вервка почти не растягиваетсь бы. Это позволяет бы подниматься по закрепленной вервке, как по канату в спортивном зале. При больших нагрузках, наоборот, нам «выгоден» быстро рост деформации. В самом деле, если область нагрузок, при которых $e$ быстро растет, примерно та же, что и нагрузки после крыва альпиниста, то вервка «работает» как резина, «принимая рыбок на себя».

В природа не существует материалов, которые обладают бы таким характеристиками. Однако сочетания различных материалов позволяет сконструировать вервку, которая обеспечит альпинистам и необходимую безопасность, и удобства при подъеме. Кривая $6$ на рисунке 2 — схематическая характеристика реального вервки.

Разрез такой альпинистской вервки изображен на рисунке 3. Наружная оплетка ее изготовлена специальным образом. Достаточно жесткие и прочные капроновые нити (иногда их заменяют лавсановыми) расположятся под углом к оси вервки. Под нагрузкой эти нити меняют свое направление и постепенно располагают-

Рис. 3.

ся почти параллельно оси. Внутренняя часть вервки представляется собой сочетание (пучок) нескольких таких же оплеток, но меньше диаметра. Нити внутри каждой такой оплетки очень прочные, они почти не изменяют свою длину вплоть до разрушения. Количество нитей подбирают так, чтобы выдерживали нагрузку примерно $3 \cdot 10^3$ Н. При сывые альпиниста, как только нагрузка на вервку превыстит эту величины, внутренние娶ские и прочные нити рруются, а все вервка в целом растягивается. Разрываясь, жесткие нити оказываются первыми «гасителями» кинетической энергии падающего тела. Существования часть этой энергии переходит в работу, затраченную на разрыв нитей. Вервкой, которой полезется после крыва, вполне безопасно можноSTRAХОВать на парника, а вот подниматься по ней будет, как мы теперь уже понимаем, неудобно.

Главный вывод, к которой мы пришли, таков: идеальная альпинистская вервка должна быть не только очень прочной, но и хорошо деформироваться. К сожалению, пока промышленность выпускает мало такой вервки. И много спортменам-альпинистам приходится пользоваться общим капроновой вервкой (лет тридцать назад, когда таких вервок тоже было мало, альпинисты пользовались прочными сизалевыми канатами). Прочность у капроновой вервки выполняется, а вот деформация маловаата. Она не превышает 15—20% при нагрузках порядка $10^4$ Н. Что же это получается? Нужели альпинисты сознанельно подвергают свою жизнь опасности, использую непригодное снаряжение?

Ответить на этот вопрос нам опять помогут опыт и физика. Но сначала

20

скажем еще несколько слов о превращениях энергии при подъеме и поденими Алексея.

Когда Алексей поднимался выше страхущего его Виктора, он с каждым шагом увеличил свою потенциалную энергию относительно точки страховки (или относительно Виктора). После сыва эта потенциальная энергия переходит в кинетическая энергия свободно подающей альпиниста. После подения на всю длину свободной вервки Алексей начинает ее растягивать. Его кинетическая энергия переходит теперь уже в энергию деформации вервки. Ситуация могла бы быть пожежей на движение альпиниста на растягивающей пружине или резинке, если бы вервка была идеально упругой. Будь это так, альпинист после остановки при подении начал бы двигаться снова верх. Однако такой колбаательный процесс на самом деле не реализуется. Под нагрузкой отдельные волокна, из которых сделана вервка, взаимодействуют между собой — труться друг о другу. Кроме того, и при растяжении волокон выделяется тепло. Колбания, о которых мы могли бы подумать, реализно затухают, не успев начатся. Кинетическая энергия упавшего Алексея переходит в тепло, выделяющего в вервке. Ну а если упругие свойства вервки таковы, что она не может обеспечить плавание замедление упавшего спорстмена? Но тогда такое торможение может осуществить партнер по связке, страхующий своего товарщика! Для этого Виктору достаточно «протравить», выпустить под натяжением какую-то часть вервки. Надежность правильной страховки, оказывается, не в том, чтобы как можно прочее, жестче закрепить вервку, если товарщик сорвался, а в том, чтобы успеть правильно и вовремя регулровать ее натяжение. Как мы уже поняли, в случае хорошего альпинистской вервки произходит переход кинетической энергии подения в теплую и упругую энергию вервки. Для «плюхой» вервки (прочной, но нерастяжимой) та же кинетическая энергия в значительной степени переходит в теплло при трении вервки о руки страхущего его страхущего. Тепло это может быть довольно большим, поэтому одно из основных правил в альпиниме — «Страхуй в рукахцах!»

Достаточно простые рассудения показывают, что это правило приуманно совсем не зря. Так как мы хотим получить лишь оценку величины выделяющегося тепла, примену условно, что вся энергия подения альпиниста переходит за счет треня вервки о руки страхущего в теплло. Кинетическая энергия подающего альпиниста к моменту, когда начинает «работать» вервка или страхующий его товарщиц, равна

$$E_{\kappa} = M v_0^2 / 2 = 2 M g l_0.$$

Подставляя $l_0 = 2,5$ м, $M = 100$ кг, $g \approx 10$ м/c², получим $E_{\kappa} \approx 5 \cdot 10^3$ Дж. Вот эта-то энергия и должна перейти в теплло Q. Много это или мало? Давайте посмотрим, какое количество воды можно было бы вскипятить, подведя к нему $Q = 5 \cdot 10^3$ Дж. Тепло, необходимое для нагрева воды от $t_1 = 20^\circ\text{C}$ до $t_2 = 100^\circ\text{C}$, равно $Q = cm$ ($t_2 - t_1$). Теплоемкость воды $c = 4,2$ Дж/(г·°C), поэтому $m = Q / (c(t_2 - t_1)) \approx 15$ г. Не так уж и мало!

Конечно, мы сделали сейчас довольно грубую оценку. Реально же нужно иметь в виду, что нагреваются не только руки страхущего, но и сама вервка. Но важнее других. Человеческое слово сравнительно плох проводит тепло (физик сказал бы: обладает плоской теплопроводностью). Поэтому при страховке голови руками нагревается и «обжигается» тонкий слой ткани рук. У слова «обжигается» здесь можно было бы как вычислить. А вот чтобы не обжчь руки на самом деле, нужно страховать в рукахцах. Теплоповодность материалов, из которого спиты рукавцы, еще меньше, чем тела альпиниста.

Таковы физические основы страховки в горах. Знать их полезно, конечно, не только альпинистам. И теперь вы сами уже наверняка однозначно ответите на вопрос, который стоит в заголовке этой статьи. Удачны вам восходений!

21

Задчи

M1081 — M1085, Ф1093 — Ф1097

M1081. Докажите, что предпоследняя цифра числа $3^n$ при любом натуральном $n > 2$ четна.

В. И. Плачко

M1082. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Докажите, что равенство
$$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2)$$
выполнен тогда и только тогда, когда либо диагонали $AC$ и $BD$ перепедикулярины, либо одна из них делится точкой $O$ пополам.

А. П. Савин

M1083. Найбольшее из неотрицательных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ равно $a$.
a) Докажите неравенство
$$\frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{n} \leq \left(\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\right)^2 + \frac{a^2}{4}.$$

б) Когда в нем достигается равенство?

Л. Г. Ханин

M1084. Две окружности на плоскости пересекаются в точках $A$ и $B$. Докажите, что можно выбрать такую точку $C$, что любая окружность с хордой $AC$ будет пересекаться данные окружности (второй раз) в точках, одинаково удаленных от $C$ (причем $C \neq B$).

В. Протасов, ученик 10 класса (Москва)

M1085*. Несоклько попарно скрещивающийся прямых, расположенных в пространстве, проектируется на горизонтальном плоскость. Их проекции изображены так, чтобы в точках пересечения было видно, какая точка расположена выше, а какая ниже. может ли получиться проекция, изображенная на рисунке $1(a - \beta)$?

С. Л. Табачников

Ф1093. Автомобиль массой $m = 1200$ кг, тормоз при выключенной передаче, катится вниз с постоянной скоростью по наклонному участку шоссе с углом наклона $\alpha$ ($\sin \alpha = \frac{1}{14}$). Каждое из четырех колес автоматически с одинаковой силой $N$ тормозные колодки $A$ и $A'$ (рис. 2). Найти $N$, если коэффициент треня скольжения между барбaconом и колодками $k = 0,4$. Просcakльывание между шинами и шоссе отсутствует.

В. И. Чувилёв

Ф1094. Узкая трубка постоянного сечения образует квадрат со сторонам $l$, закрепленный в вертикальной

22

Плосости. Трубка заполена равными объемами двух не проникающих друг в друга жидкости с плотностями $\rho_1$ и $\rho_2$ (рис. 3). Вначале более плотная жидкость заполняла верхнюю часть трубки. В некоторых моменте жидкости пришли в движение. Найти их максимальную скорость. Треня нет. Ускорение свободного давления $g$.

Г. В. Меледин

Ф1095. Рассеяний величины объема, как случайно нахал на вертикальную стенку. Оценить, при какой минимальной скорости шина при ударе деформация до металлического обода. Предполагается, что вы, хорошо представляя явление, можете задать необходимые для решения величины, выбрать достаточно правильно их числовые значения и получить числовой результат.

Г. В. Федогович

Ф1096. Проволочное колюто радиусом $R$ имеет проводящую перемычку, расположенную вдоль диаметра. В левую и правую полукругности включены конденсаторы $C_1$ и $C_2$ (рис. 4). Колюто помещено в нарастище линейно со временем магнитное поле с индукцией $B(t)=B_0 t/T$, перpendикулярное его плоскости. В некоторых моменте перемычку убирают и затем прекращают изменять поле. Найти загрудь, установившиеся на конденсаторах.

Г. В. Федогович

Ф1097. Для уменьшения доли отраженного света от поверхности стекла на нее наносит тонкую пленку, показатель преломления которого меньше показателя преломления стекла (просветление оптики). Какой наиболее толщины пленку с показателем преломления $n=4/3$ надо нанести на поверхности стекла, чтобы при padении (нормально к поверхности) света, содержащого излучение двух длины волн с $\lambda_1=700$ nm и $\lambda_2=420$ nm, отраженный свет был максимально ослаблен для обихади волн?

В. И. Чивилёв

Problems
M1081—M1085, P1093—P1097

M1081. Prove that the next to last digit of the number $3^n$ for any natural $n>2$ is even.

V. I. Plachko

M1082. The diagonals of the convex quadrilateral $ABCD$ intersect at the point $O$. Prove that the relation

24

Решения задач

M1061—M1064, Ф1073—Ф1077

Вдем установливать направления на дорогах постепенно. Пусть это уже сделано для дорог, соединяющих города из некоторого множества $M$ так, что требование задачи выполняно: из любого города этого множества можно проехать в любой другой из них, следуя по выбранным направлениям. (Для начала можно считать, что $M$ состоит из одного города, а направления игноря не установлены.) Докажем, что если не все города входят в $M$, то можно выбрать направления еще на несколько дорогах и увеличить $M$ с соблюдением этого требования.

Ясно, что найдется дорога, соединяющая город $A$ из $M$ с городом $B$, не входящим в $M$. Построим путь $c=BC_1C_2...C_kA$ из $B$ в $A$, не проходящий по дороге $AB$. Для этого возьмем любой город $D$, отличный от $A$ и $B$, и рассмотрим путь $a$ из $A$ в $D$, не проходящий через $B$, и путь $b$ из $D$ в $B$, не проходящий через $A$ (рис. 1). В качестве $c$ можно взять путь, идищий сначала по $a$ — до первого города, общего для $a$ и $b$, — а потом по $b$. Пусть $C_m$ — первый из городов $C_1$, …, $C_k$, входящий в $M$ (если таких городов нет, положим $m=k+1$, $C_m=A$). Выберем направления на дорогах $AB$, $BC_1$, $C_1C_2$, …, $C_{m-1}C_m$ по порядку: от $A$ к $B$, от $B$ к $C_1$ и т. д., и присоединим к $M$ города $B$, $C_1$, …, $C_{m-1}$. Наше условие на нарушится, так как из любого присоединенного города можно попасть в «старое» множество $M$ (доядя до $C_m$) и в любой из них можно попасть из $M$ (через $A$).

Повторяя этот процесс, мы включим в $M$ все города. На оставшихся после этого «неотрегулированных» дорогах (если такие еще будут) направления движения установим произвольно.

Можно рассуждать несколько иначе, доказав сначала, что в условиях задачи любые два города соединены двумя путями, идищими по разным дорогам (это утверждение составлено содержание одной из задач Всегоизной олимпиды).

Наша задача дает только достаточно условие. Оказывается, верна такая теорема: для того чтобы на дорогах можно было расставить стрелки так, чтобы, движения в предписанных им направлениях, можно было доехать из любого города в любой другой, необходимого и достаточно, чтобы исходная сеть дорогы связываной и не имела перешейков (т. е. после закрытия любой дороги из каждой города можно было бы добраться до любого другого, рис. 2). Эту не очень сложную теорему доказал в 1939 г. Г. Роббинс*), известный, в частности, как советор Р. Куранта по замечательной книге «Что такое математика».

В. Е. Колосов, Н. В. Васильев

*) См. теорему 4.4.1 в книге А. А. Зыкова «Введение в теории графов». — М.: Наука, 1987.

25

М1062. а) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и D. Прямые BD и CE пересекаются в точке M, AM и BC — в точке P, AM и DE — в точке N. Докажите, что

$$\frac{PN}{NA} = 2 \cdot \frac{PM}{MA}.$$
б) На ребрах SA, SB и SC треугольника SABC взяты точки D, E и F. Плокости ABF, BCD и CAE пересекаются в точке M, прямая SM пересекает плоскости ABC и DEF в точках P и N. Докажите, что

$$\frac{PN}{NS} = 3 \cdot \frac{PM}{MS}.$$

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3a.

a) Пусть сначала $DE \parallel BC$ (рис. 1). Положим $AN=x$, $NM=y$, $MP=z$, тогда

$$\frac{PN}{NA} : \frac{PM}{MA} = \frac{z+y}{x} \cdot \frac{x+y}{z} =$$

$$= \frac{xz+y(x+y+z)}{xz} = 1 + \frac{y}{z} \cdot \frac{x+y+z}{x} = 2,$$

(*)

поскольку из готовности треугольников MBC и MDE, ABC и ADE следует, что

$$\frac{y}{z} = \frac{MN}{MP} = \frac{DE}{BC} = \frac{AN}{AP} = \frac{x}{x+y+z}.$$

Общий случай с помощью центральной проекции. Предположим, что прямые DE и BC пересекаются в точке K. Проведем через AP произвольную плоскость α, не совпадающего с ABC, и выберем точку O так, чтобы прямая OK была параллельна α (рис. 2). При центральной проекции из центра O на плоскость α все точки прямой AP проектируют сами на себя (и относения $PN/NA$ и $PM/MA$ сохраняются), а прямые DE и BC, очень/no, проектируют в параллельные — как говорят, точка K «уходит на бесконечность». В результате из произвольной конфигурации, удовлетворяющей условию задачи, получается рисунок 1. Эта задача относится к проективной геометрии, в котором изучается свойства фигур, сохраняющейся при центральных проекциях. Пример понятия из этой области геометрии — двойное отношение произвольных четырех точек P, A, N, M одной прямой, равное, по определенному, величины в левой части (*). Попробуйте доказать, что оно действительно не меняется при центральных проекциях.

Можно решать задачу и с помощью центра масс (о применении этого понятия в геометрии см. статью В. Г. Болтянского и М. Б. Балка «Центр тяжесте obлегчат решения» в «Кванте» № 4 за 1984 г.). Поместим в вершину A неокоторую массу m, а в вершины B и C — такие массы m_b и m_c, чтобы центр трех масс попал в точку M. Для этого надо взять $m_b=(AE/BE)m$, $m_c=(AD/BD)m$. (Действительно, центр масс m и m_b — это точка E, поэтому общий центр лежит на отрезке CE; аналогично показывается, что он лежит и на BD.) Центр масс m_b и m_c лежит на пересечении AM и BC, т. е. в точке P, причем $PM/MA=m(m_b+m_c)$ (рис. 3, a). Тепер добавим в точку A еще одну массу m. Общий центр масс сместится из M в неокоторую точку отрезка MA. В то же время, группируя одну массу m с m_c, а другую — с m_b (рис. 3, б), находим, что он должен лежать на DE, т. е. в точке N. Наконец, группируя m_c и m_b, получаем, что $PN/NA=2m(m_b+m_c)=2PM/MA$.

6. Эта задача тоже проектируется, и ее можно было бы решать аналогично предыдущей — свести к случае DEF || ABC. Но обосновать такое решение в рамках элементарной геометрии трудно. Приведем векторное решение (рис. 4).

Для любой точки X обозначим вектор $\overline{SX}$ через $\overline{X}$.

26

Пусть $\bar{P} = m\bar{M} = n\bar{N}$, $\bar{A} = \alpha\bar{D}$, $\bar{B} = \beta\bar{E}$, $\bar{C} = \gamma\bar{F}$ (т. е. $m = SP:SM$, $n = SP:SN$ и т. д.). Разложим вектор $\bar{P}$ по некомпланным векторам $\bar{A}$, $\bar{B}$, $\bar{C}$:

$$\bar{P} = x\bar{A} + y\bar{B} + z\bar{C}.$$

(1)

Горда

$$x + y + z = 1.$$

(2)

Действенный, вектор $\bar{AP}$ лежит в плоскости $ABC$, поэтому при некоторых $y_1$ и $z_1$ $\bar{AP} = y_1\bar{AB} + z_1\bar{AC} = y_1(\bar{B} - \bar{A}) + z_1(\bar{C} - \bar{A})$, значит, $\bar{P} = \bar{A} + \bar{AP} = (1 - y_1 - z_1) \times \bar{A} + y_1\bar{B} + z_1\bar{C}$. А так как коэффициенты в (1) определяются однозначно, $y_1 = y$, $z_1 = z$, $x = 1 - y - z$. Таким образом, равенство (2) — это необходимое (а также и достаочное) условие того, что точка $P$ лежит в плоскости $ABC$.

Запишем это условие для точки $N$ в плоскости $DEF$ и для точки $M$, которая лежит в трех плоскостях — $ABF$, $BCD$ и $CAE$. Из разложения $n\bar{N} = \bar{P} = x\alpha\bar{D} + y\beta\bar{E} + z\gamma\bar{F}$ получаем, что $x\alpha/n + y\beta/n + z\gamma/n = 1$, т. е.

$$x\alpha + y\beta + z\gamma = n;$$

(3)

из разложения $m\bar{M} = \bar{P} = x\bar{A} + y\bar{B} + z\gamma\bar{F}$ — что

$$x + y + z = m.$$

И, аналогично — еще два равенства:

$$\alpha x + y + z = m,$$

$$x + \beta y + z = m.$$

Складывая три последних равенства и учтывая (2) и (3), находим, что

$$n + 2 = 3m.$$

Остается выразить отношения отрезков в условия задания через $m$ и $n$:

$$\frac{PN}{NS} : \frac{PM}{MS} = \frac{PS - NS}{NS} : \frac{PS - MS}{MS} = \frac{n - 1}{m - 1} = \frac{3m - 3}{m - 1} = 3.$$

Задачу 6) можно решать и с помощью центра масс, как задачу a).

В. Н. Дубровский

ОТВЕТ: a), 6) 18·19=342; b) 18·19=$\frac{n-3}{2}$ при четном $n$, 1 при $n=1$, 18·19=$\frac{n-3}{2}$ при остальных нечетных $n$.

Пусть $a - n$-значное число, $a = a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + a_{n-2} \cdot 10^{n-2} + \dots + a_0$, тогда $a = a_0 \cdot 10^{n-1} + a_1 \cdot 10^{n-2} + \dots + a_{n-1}$ и

$$a - a = d_1(10^{n-1} - 1) + d_2(10^{n-2} - 10) + \dots + d_k(10^{n-k} - 10^{k-1}),$$

(1)

где $k=n/2$ при четном $n$ и $k=(n-1)/2$ при нечетном $n$, а $d_l = a_{n-l} - a_{l-1}$. Поскольку $1 \leqslant a_{n-1} \leqslant 9$, $0 \leqslant a_i \leqslant 9$ при $i=0, 1, \dots, n-2$, числа $d_l$ удовлетворяют нера-

27

Венстам

$$-8 \leq d_n \leq 9, -9 \leq d_l \leq 9$$ при $l=2, 3, \dots, k$. (2)

Таким образом, любая разность $a-a$ представляет в виде (1), где коэффициенты $d_l$ выбираются из интервалов (2), что можно сделать $18 \cdot 19^{k-1}$ способами. Поискку для каждого из таких наборов $d_1, \dots, d_k$, очень удобно, можно указать числа $a$, удовлетворяющие (1), причем, как будет показано, коэффициенты $d_1, \dots, d_k$ в (1) определяются однозначно, число значений разности $a-a$ тоже равно $18 \cdot 19^{k-1}$.

Итак, доказем единственное представления (1) (при условиях (2)). Пусть для каких-то двух наборов $d_1, \dots, d_k$ и $d'_1, \dots, d'_k$ значения выражений в правой части (1) совпадают. Приравнивая нулю разность этих выражений и полагая $r_l=d_l-d'_l$, получим

$$r_1(10^{n-1}-1)+r_2(10^{n-2}-10)+\dots+r_k(10^{n-k}-10^{k-1})=0. \tag{3}$$

Ясно, что $|r_l| \leq 18$. Допустим, что $r_1 \neq 0$, тогда $r_1=\pm 10$, так как все слагаемые в (3), кроме первого, делятся на 10. Подставим в (3) $r_1=\pm 10$:

$$10^{n-1}-1=|r_2(10^{n-3}-1)+\dots+r_k(10^{n-k-1}-10^{k-2})|<18(10^{n-3}+10^{n-4}+...+1)<2 \cdot 10^{n-2}.$$

Но $10^{n-1}-1>2 \cdot 10^{n-2}$ при всех $n \geq 2$, поэтому $r_1$, а значит, и первое слагаемое в (3) равно нулю. Поэтому это расчудение для $r_2, r_3, \dots, r_k$, получим, что $r_2=\dots=r_k=0$, т. е. $d_l=d'_l$ при всех $l$.

Г. О. Эльстин

Ф1073. Маленький упру́щий мячок отпускают с высоты $H=1$ м над полом, а на его пути закрылют пластинку, от которого он отскакивает. Какая скорость будет у мячка в момент удара о пол? Как нужно расположить пластинку, чтобы мячок удалился о пол как можно дальше от начальной точки? Чему равно это максимальное расстояние?

Скорость мячка в момент удара о пол не зависит от того, где и как установлена пластинка (удар о пластинку упругий), и определяется из закона сохранения энергии:

$$mgH=m \frac{v^2}{2} \Rightarrow v=\sqrt{2gH}.$$

Определим, где и как нужно установить пластинку, чтобы расстояние от начальной точки траектории мячка до места его удара о пол было максимальным.

Понятно, что пластинка должна быть установлена так, чтобы сразу удара вектор скорости мячка был направлен под углом $\varphi=45^\circ$ к горизонту. Значит, угол между векторами скоростей мячка непредставлено перед ударом и сразу после удара — $45^\circ$, нормаль к пластинке должна составлять с горизонтом угол $45^\circ+22,5^\circ=67,5^\circ$, т. е. пластинка должна быть установлена под углом $\alpha=90^\circ+67,5^\circ=157,5^\circ$ к горизонту.

Очевидно, что дальнейство отлега мячка будет тем большше, чем большие скорость мячка в момент удара. А эта скорость тем большше, чем дальнейшее расстояние от начальной точки траектории мячка. Следовательно, пластинка должна быть установлена на полу (см. рис.ок). При этом скорость мячка сразу после удара будет $v=\sqrt{2gH}$, дальнейшее отлега мячка

28

от пластинки будет

$$l = \frac{v^2}{g} = 2H,$$

и следовательно, максимальное расстояние между начальной и конечной точками траектории мячика —

$$L = \sqrt{l^2 + H^2} = H\sqrt{5} \approx 2,24 \text{ m.}$$

А. В. Хельвас

Ф1074. Пана Карло сделал для Буратино колпак из тонкой жести. Колпак имеет форму конуса высотой $H=20$ см с углом $\alpha=60^\circ$ при вершине. Будет ли этот колпак держаться на голове у Буратино, если эта голова — гладкий шар диаметром $D=15$ см?

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф1075. Выполняя лабораторную работу, студент опустил в сосуд с водой кипятильник, включил его в сеть и стал каждые три минуты записьвать температуру. Данные этого опыта приведены в таблице 1. Затем он охладил воду, положил в сосуд не

Для решения задачи нам необходимо, во-первых, определить положение центра масс колпака. С этой целью разобем мысленно колпак на стопку узких колес одинаковой ширины $dH$ (рис. 1). При этом масса колес нарастает линейно вниз от вершины к основанию колпака. Центр масс каждой柱а находится на его оси. «Сплющим» мысленно колпак так, что каждое колюто превращится в равноведренную трапеццию, а вес конус превращится в равноведренный треугольник. Центр масс каждой составной части колпака остается на месте (на оси), поэтому и центр масс всей системы остается на месте. Но, как известно, центр масс треугольной пластины находится в точке пересечения медиан. Следовательно, центр масс колпака находится на его оси на расстоянии $2/3$ $H$ от вершины.

Положение равновесия системы будет устойчивым, если при небольшем ее смешении из положения равновесия центр масс поднимается (потенциальная энергия системы уvelичается); тогда система, предоставленная смабе, возвращается в исходное положение равновесия.

В нашем случае для того, чтобы колпак занимал устойчивое положение равновесия на голове Буратино, его центр масс (точка $M$ на рисунке 2) должен оказаться ниже центра головы Буратино (точка $O$). Следовательно, должен выполнять условие $AM > AO$, т. е.

$$\frac{2}{3}H > \frac{R}{\sin \alpha/2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}H > \frac{R}{1/2},$$

или $H > 3R = 22,5$ см. А по условиям $H=20$ см. Значит, колпак не будет держаться на голове Буратино.

С. С. Кротов

Из приведенных таблиц видно, что температура не линейно зависит от времени. Следовательно, необходиму учитывать теплотвод в комнату, который проорционален разности температуросуда и комнаты. Уравнение теплового баланса при этом имеет вид

$$c \cdot \Delta t = W \cdot \Delta t - \alpha(t - t_0) \cdot \Delta t,$$

где $c$ — тепломкость сосуда со всем его содержимым, $t$ — температура сосуда, $\tau$ — время, $W = IU$ — мощность кипятильника, $\alpha$ — коэффициент пропорциональ-

29

большой металлический образец и новый провел измерения. Результаты этого определения в таблице 2.

Определите по этом данным тепломкость образца. Напряжение в сети U=35 В, ток через кипятильник I=0,2 А, температура в комнате t₀=20°C.

Таблица 1 Таблица 2
t, °C t, °C
25,2 22,6
26,4 23,8
27,6 25,0
28,7 26,0
29,7 27,0
30,6 28,0
31,5 28,9
32,3 29,8
33,1 30,6

Ф1076. Для исследования солнечной батареи используется многопредельный волтметр (он состоит из четырехительного микромертера и набора добавочных резисторов). Подключив его к батарее на пределе 1 В, мы получаем показание U₁=0,7 В. Передлечение волтметр на пределе 10 В, мы получим показание U₂=2,6 В. Что получилось бы на пределе 100 В? Известно, что при неизменном освещении солнечная батарея ведет себя как обычный источник, последовательно к которой подключен резistor большого сопротивления.

Ф1077. По одному из гипотез звезды образуют измеж聂дной среды (космическая пыль) путем скатания под действием границы. Так как в этом уравнении два неизвестных — c и α, выберем два различных значения температуры t (t₁ и t₂), найдем величины значения величины k₁ = (Δt/Δτ)₁ и k₂ = (Δt/Δτ)₂ и запишем теперь уже два уравнения:

c k₁ = W - α(t₁ - t₀),
c k₂ = W - α(t₂ - t₀).

Отсюда найдем c:

c = W (t₂ - t₀) - (t₁ - t₀) / k₁(t₂ - t₀) - k₂(t₁ - t₀).

Подставляя в это выражение данные из таблицы 1, найдем тепломкость сосуда с водой:

c₁ ≈ 770 Дж/K.

Воспользовавшись таблицей 2, найдем тепломкость сосуда с образцом:

c₂ ≈ 890 Дж/K.

Теплоемкость образца —

c = c₂ - c₁ ≈ 120 Дж/K.

Так как ищется маленькая разница двух больших величины, определяемых неточно, при расчетах допустим довольно значительный разбор результатов: от 100 до 130 Дж/K.

Л. П. Баканина

Это совсем простая задача. Обозначим сопротивление волтметра на пределе 1 В через R₁. Тогда на пределе 10 В его сопротивление R₂=10 R₁, а на пределе 100 В — R₃=100 R₁. Обозначим ЭДС батареи 𝒙, ее внутреннее сопротивление — r. Тогда имеем (см. рисунок):

U₁ = 𝒙 / (r + R₁) R₁ = 𝒙 / (1 + r/R₁); U₂ = 𝒙 / (1 + r/10R₁);

U₃ = 𝒙 / (1 + r/100R₁).

Решая совместно эти уравнения, находим:

U₃ ≈ 3,6 В.

А. Р. Зильберман

Рассмотрим частцу пыли сферического облака, находящаяся на расстоянии R от центра облака. На нее, как известно, действуют силы тяготения со стороны только тех частиц, которые находится внутри сферы радиусом R (см., например, решение задачи 87 в книге

30

вигационных сил. Оцените время образования звезд из гигантского сферического obлака космической пыли плотностью $Q = 2 \cdot 10^{-20} \text{ e/cm}^3$. Можно считать, что при скатии частицы не обойтиют друг друга. Гравитационная постоянная $G = 6,67 \times 10^{-11} \text{ H} \cdot \text{m}^2/\text{кг}^2$.

И. Ш. Слободцкого и В. А. Орлова «Весоизные олимпиады по физике»). Поскольку по условию задачи, частицы не обгоют друг друга, суммарная масса, притягивающая нашу частицу, остается неизменной. Предположим, что все эта масса сосредоточена в центре obлака. тогда задача сведется к нахождению времени padения частицы на притягивающий центр.

Будем рассматривать движение частицы к центру как предельный случай движения по очень вытянутому эллипсу, большая получь которую равна $R/2$, и сравним это движение с обращением по круговой орбите радиусом $R$. Воспользовемся третьим законом Кеплера:

$$\frac{T^2}{T^2} = \frac{R^3}{(R/2)^3},$$

где $T_k$ — период движения по круговой орбите, $T_s$ — по эллиптической орбите. Перiod $T_k$ найти легко с помощью второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения:

$$\frac{mv^2}{R} = F_T = G \frac{mM}{R^2} = G \frac{mQ \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2},$$

откуда $T_k = \frac{2\pi R}{v} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}$, и

$$T_s = \frac{T_k}{2^{3/2}} = \sqrt{\frac{3\pi}{8G\rho}}.$$

Мы получили, что период $T_s$ не зависит от $R$. Следовательно, и время padения частицы на притягивающий центр (время обращения звезды), равное половине перiodа обращения по эллиптической орбите, не зависит от радиуса obлака космической пыли и равно

$$\tau = \frac{T_s}{2} = \sqrt{\frac{3\pi}{32G\rho}} \approx 1,5 \cdot 10^{13} \text{ c} \approx 10^6 \text{ лет.}$$

В. Е. Скороваров

Самопересечения замкнутой ломаной

В этой заметке мы приведем решение задачи M1064 и обсуждим некоторые ближе задачи.

M1064. Какое максимальное количество точки самопересечения может иметь замкнутая n-звенная плоская ломана, если a) n нечетно: 6) n четно? (Предполагается, что никакие три вершины не лежат на одной прямой и что никакие три звена не пересекаются в одной точке.)

Ответ: a) $n(n-3)/2$; b) $n(n-4)/2+1$.

Надо доказать, что рассматривается число самопересечений не может быть больше указанных значений, и привести примеры ломаных, для которых эти значения достигаются.

Ясно, что два звена ломаной пересекаются не более чем в одной точке и что смежные звены не пересекаются (т. е. не имеют общих точек, кроме общей вершины). Всего замкнутая n-звенная ломана имеет $n(n-1)/2$ пар звенев, в том числе n пар смежных звенев. Таким образом, число замкнутой ломаной с таким числом самопересечений существует: достаточно в правильном n-угольнике проведены все n диагоналей, наименее удалены от центра (см. рисунок 1 для n=5 и n=7). Эти звены составляют замкнутую n-звенную ломаную, все не-

31

смежные звенья которой пересекаются (в разных точках). Задча а) решена.
Пусть теперь $n$ четно. Занутерум вершины данной $n$-звенной ломаной подряд, начиная с любой, и обозначим через $A$ множество вершин с четыыми номерами и через $B$ множество вершин с четыыми номерами. Любое звено ломаной идет из некоторой точки множества $A$ в некоторую точку множества $B$. Пусть $l$ — прямая, содержащая некоторое звено. Если это звено пересекает все несмежные с ним звены, то все вершины с четыыми номерами лежат по одному сторону от $l$ (мы не принимаем, конечно, во внимание вершин рассматриваемого звена, которые лежат на $l$). Значит, множество $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $l$ и при этом имеет с ней по одной общей точке. Таких прямых существует не более двух. Этот факт представляется мне оченьным, но для любителей строящих рассудений я приведу его доказательство (см. рис. 2).

Пусть есть три такие прямые. Точнее, пусть $A_1, A_2, A_3 \in A$ и $B_1, B_2, B_3 \in B$ — такие точки, что множество $A$ и $B$ лежат по разные стороны от каждой из прямых $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$. Так как точки $A_2, B_2$ лежат по разные стороны от прямой $A_1B_1$, а точки $A_1, B_1$ лежат по разные стороны от прямой $A_2B_2$, то пересекаются отрезки $A_1B_1$ и $A_2B_2$; пусть $C$ — точка пересечения.

Точка $A_3$ лежит по ту же сторону от прямой $A_1B_1$, что точка $A_2$, и лежит по ту же сторону от прямой $A_2B_2$, что точка $A_1$; значит, она содержится в угле $A_1CA_2$. По аналогичным принципам точки $B_3$ лежит в угле $B_1CB_2$. Значит, пряма $A_3B_3$ не пересекает хотя бы один из отрезков $CA_1, CA_2$ и не пересекает хотя бы один из отрезков $CB_1, CB_2$. Пусть она не пересекает $CA_i$ и $CB_j$ (на рисунке это $CA_2$ и $CB_1$); тогда точки $A_i$ и $B_j$ лежат от нее по одному сторону, что противоречит предположению.

Итак, имеется не более двух звенев, которые пересекаются все несмежные с ними звены. Значит, по крайней мере $n-2$ звеня не пересекают хотя бы один из несмежных с ними звенев; следовательно, имеется по крайней мере $(n-2)/2$ пар непересекающихся несмежных звенев и общее число точек самопересечения не превыходит $n/(n-3) - \frac{n-2}{2} = \frac{n(n-4)}{2} + 1$.

Остается при любом момент $n$-звенную ломаню с $n/(n-4)/2+1$ самопересечениями.

Проведем в правильном $n$-угольнике все диагонали, близкие к его центру, но не проходящие через центр. (Причем $n/2$ они образуют замкнутую ломаню, при нечетном $n/2$ — две замкнутые ломаные, симметричные друг друга относительно центра.) Каждый из этих диагоналов все несмежные с ней диагонали, кроме один — параллельной ei; это дает $n/(n-4)/2$ пересечений. Сотрем две параллельные диагонали, а их концы соединим крест-накрест. (См. рисунок 3 для $n=6$ и $n=12$. Тонкие сплошные линии — это ближешие к центру не проходящие через центр диагонали правильного $n$-угольника. Пунктирные линии — выбрасывемые диагонали. Жирные сплошные линии — диагонали, которые они заменяют. Сплошные точки и жирные линии составляют нашу ломаню.) Число пересечений увеличится на 1, причем, как легко проверить, $n$ проведенных отрезков образуют замкнутую ломаную. Задча 6) решена.

Приведем еще несколько задач, по форме похожих на разобранную задачу. Прежде всего, можно рассмотреть класс рассматриваемых ломаных, разрешив ломаной распадаться на несколько замкнутых ломаных. Чтобы придать задание естественного форму, мы сформулируем ее так. На плоскости фиксированных $n$ точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые из этих точки соединены отрезками, причем каждая точка соединенаровно с двумя другими. Каково наиболее возможное число (Окончание см. на с. 34)

34

Программы перебора
(Начало см. на с. 7)

квадрат к ранее подсчитанному числу частливых билетников для меньших значений S. Это осуществляется в строке 100. Наконец, когда цикл по S (от 0 до 13) завершен, нужно удвоить полученное число P и вычесть 1.

Задание
23. Сколько слагаемых суммы 1+2+3+… надо взять, чтобы получилось трехзначное число, состоящее из одинаковых цифр?
24. Сколько есть целых чисел от 1 до 1988, которые не делятся ни на одно из чисел 6, 10, 15?
25. Найдиите наименьшее натуральное число M, обладающее тем свойством, что сумма

квадратов одинапчатыми последовательными натуральными чисел, начиная с M, является точным квадратом.

26. Сколько способами можно разметить рублей медными монетами (достоинством 1, 2, 3, 5 копеек)?

27. В последовательности 19886138… каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы четных предыдущих цифр. Через сколько цифр снова встречается начальная комбинация 1988 (инчете говоря, сколько цифр в периоде)?

28. Пусть X — сумма кубов десяти последовательных натуральных чисел, а Y — сумма этих же натуральных чисел. Докажите, что X² — Y² делится на 300.

29. Определите a) наименьшее значение отношения трехзначного числа к сумме его цифр. Для каких чисел это наименьшее (наименьшее) значение достигается?

30. Найдите четырехзначное число, в четыре раза меньше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке.

35

Задания

1. Моему племяннику в $x^2$ году исполнится $x$ лет. В каком году он родился?

2. Бревно положили один концом на один весы, а другим концом — на другой. Первые весы показали 200 кг, а вторые — 100 кг. Сколько весит бревно? Где находится его центр тяжести?

3. Кошей Бессмертный зарылklad на глубину 1 м. Это ему показалось не достаточно, он отрылklad, углубил колодец до 2 м и снова зарыл. Это ему опять показалось мало, он отрылklad, углубил колодец до 3 м и зарыл. Затем он проделал то же, углубив колодец до 4 м, потом до 5 м, 6 м и т. д. Известно, что колодец глубиной $n$ метров Кошей вырывает за $n^2$ дней. Известно также, что на 1001-й день Кошей умер от непосильной работы. На какой глубине осталсяklad? (Временем, нужным для закапывания колодца, пренебречь.)

4. Два числа называются зеркальными, если одно число получается из другого перестановкой цифр в обратном порядке. Например, 123 и 321. Произведение двух зеркальных чисел равно 92 565. Какие это числа?

5. В выпуклом четырехугольнике отметили середины сторона и соединили их с вершинами так, как показано на рисунке. Показите, что площадь красного четырехугольника равна сумме площадей синих треугольников.

Эти задания нам предложили Л. Д. Курляндчик, В. Д. Выон, Д. Б. Фукс, А. В. Васин, В. В. Произвольов.

36

Физика 8, 9, 10
Публикуемая ниже заметка «Об одной удивительной живучей ошибке» предназначаем восмиклассик, «Проводики в электростатическом поле» — девятиклассик, «Интерфериция и интерферометры» — десятикласикам.

Об одной удивительной живучей ошибке

Представим себе такую сценку на уроке физики.

Учитель. Камень брошен под углом к горизонту и движется по параболической траектории (спротивлением воздуха пренебрегаем). Какие силы действуют на камень в тот момент, когда он оказывается в некоторой точке параболи?

Учитик. Прежде всего камень испытывает действие силы тяжести. (Не больше пауз.) Кроме того, на камень действует сила бросания, направленая по касательной к траектории.

Учитель. Как известно, сила есть мера взаимодействия тела. Сила также обусловлена притяжением камня к Земле. Тут все ясно. А какое тело действует на камень с силой бросания?

Учитик. Предположим, что камень бросили рукой. Значит, рука и обусловливает силу бросания.

Учитель. Но ведь взаимодействие между камнем и рукой прекратилось, как только камень оказался в полете. Можно накопить скорость, энергии; силу же накопить нельзя. Прекратилось взаимодействие — и в тот же момент исчезла и соответствующая сила.

Учитик (немного растерянно). Получается, что на камень в полете действует только сила тяжести?

Учитель. Именно так. Если, разумеется, не принимать во внимание взаимодействие камня с воздухом.

37

Приведенная сценка является очень типичной. И не только в школе. Из года в год многие абитуренты дают на поставленный вопрос неправильный ответ — тот самый, который дал и наш ученик. Ошибку нередко допускают также студенты, сдавая экзамен по механике.

Живучеть и распространность рассматриваемой ошибки объясняется не только плоским знанием физики. Есть здесь, как представляется, и принцип психологического характера. Во-первых, на уровне житейских ситуаций мы привыкли к тому, что для поддержания движения тела на него необходимо действовать какой-нибудь силой. При этом забывается, что сила нужна лишь для компенсации треня. Во-вторых, мы живем в достаточно быстро ритме и часто, ох как часто, желаем получить результат немедленно. При этом мы просто не хотим принимать во внимание… инерцию, инерность.

— В каком направлении в данной момент времени действует сила, в таком направлении и должен лететь в этот момент камень. Изменится направление силы, точас должно стать другим и направление движения. Если бы на камень действовала только сила тяжесте, он должен был лететь вниз. А он летит не вниз, значит, кроме силы тяжесте есть еще сила. — Возможно, примерно такие мыслиmelкают в нашей голове, и возникает та самая ошибка.

Мы любим критиковать инерность, охождствляем ее с ленью, нежеланием действовать. Однако в нем на точку зрения физики и попробуемые представить, как выглядел бы мир, в котором инерция вдруг исчезла. Чтобы тело движалось в таком мире, надо было бы все время прикладывать кнему силу. Прекратилось воздействие — тут же прекратилось движение. Сила направлена вправо — тела движется вправо. направление силы сменилось на противоположное — и в тот же момент тела движется уже в обратном направлении. Можно сказать, что здесь все определяется только данным моментом времени (только, действующими в данной момент), важны лишь сimiнитные воздействия, сimiнитные указания. Здесь нет «памятки» о прошлом, прошло нисоклько не влияет на настоящее. И соответственно настоящее совершено не влияет на будущее. Мир без инерции — это мир, где нет причины-следствивных связией.

Но вернемся к нашему камню. Когда его бросали, на него, конечно, действовали какой-то силой. Теперь он в полете, но «помнит» о прошлом: характер его движения (в частности, высота и дальность полета) определяется не только силой тяжесте, но также и той силой, которая действовала на камень равше. Именено поэтому камень не летит вниз, а следует по параболической траектории. Говоря строим языком науки, движение камня в данной момент определяется как силой, действующего на него в этот момент, так и начальные условия — направлением и моделей скорости, которое он имел в начальной моменте полета. Недаром задачи такого типа обычно начинаются словами: «Тело бросили с такой-то скоростью под таким-то углом к горизонту…» Эти самые начальные условия как раз и выражают результаты действия сил в прошлом. Через них прошло влияние на настоящее.

Очевидно, что изменение приложенной к телу силы приводит к изменению движения тела. Важно, однако, что изменение движения тела происходит с учетом того, как оно движалось равше. Сила определяет неисредственное не скорость тела, а скорение, т. е. изменение скорости. Получается, что знаменитый второй закон Ньютона — тот самый, где впервые в физике появляется масса (мера инерности тела), — есть по сутки дела закон, выражающий причины инерности в механике.

Вот к каким глубоким выводом можно прийти, обсуждая движение камня, брошенного под углом к горизонту.

Л. В. Тарасов

38

Проводники в электростанческом поле

«Хочу сообщить вам новый и страшный опыт, который никак не советую повторять… Вдруг моя права рука была поражена с такой силой, что все тело содержнулсь, как от удара молнии. …Одним словом, я думал, что пришел конец … Ради французской короны я не согласился бы еще раз подвергнуть столь жутком сотрудению…» Это слова из воспоминаний лейденского профессора Мушенбрека, приведенные в книге В. Карцева «Приключения великих уравнений».
Мушенбрек в 1745 году ставил опыт по электричеству и получил простейший конденсатор, названный впоследствии лейденской банкой. Во время опытов профессор и подвергся «столь жуткому сотрудению» в результате разряда конденсатора через человека тело, являющегося, как известно, проводником.

Тот факт, что в природае существуют проводники, обогащает окружающий нас мир разнообразными электрическими явлениями, среди которых есть и далеко неbezопасные. Проводники занимают важное при изучении электромагнитизма.

Рассмотрим подробно случай, когда заряженный неподвижный проводник находится во внешнем электростанческом поле (созданным построими неподвижными зарядами). В проводнике рано или поздно все заряды перестановятся, и наступит равновесие (так как в противном случае мы получили бы вечный двигаель в результате непереввного выделения теплла при движении зарядов). Для такого заряженного и помещенного во внешнее электростанческое поле проводника будет справедливый утверждение, приведенные ниже.

1. Поле внутри проводника. В любой точке внутри проводника направность электрического поля равна нулю. Действительно, при невпопленении этого условия свободные заряды в проводнике под действием сил поля при шли бы в движение, и равновесие было бы нарушено.

2. Распределение заряда в проводнике. Для того чтобы ответить на вопрос о распределении заряда в проводнике, нам надо уточнить некоторые свойства силовых линей электростанческого поля. Например, что силовая линия электрического поля (в том числе и электростанческого) — это вообразаемая линия в пространстве, проведенная так, чтобы касательная к ней в каждой точке совпадала с вектором направления электрического поля в этой точке. Опыт изучения электростанческих полей дает основание заключить, что силовые линей этих полей непрерывны и не замкнуты, они могут начинаться только на положительных зарядах и оказываться только на отрицательных и не могут начинаться (заканчиваться) в точке пространства, где нет зарядов. При графическом изображении поля некоторых системы зарядов число силовых линей, начинающихся или заканчивающихся на каком-либо заряде, пропорционально модели этого заряда. Отсюда следует, что из любого заряда обязаτεльно выходит (или входят в него) силовые линей.

После сказанного о силовых линейах возвратимся к вопросу о распределении заряда в проводнике. Выделим мысленно произвольный достаточно малый объем ΔV внутри проводника (рис. 1). Предположим, что этот объем имеет заряд (для определения, положительных). Тогда из выделенного объема будут выходит силовые линей, т. е. вблизи него будет существовать электрическое поле. Но поля внутри provодника нет. Поэтому выделенный объем должен быть нейтрален. А поскольку этот объем взят нами в произвольном месте внутри provодника, то можно утверждать, что все «внутренность» проводника нейтрален и, следовательно, весь заряд provодника находится на его поверхности.

3. Поле снаружи provодника выполнена его поверхности. Вектор направности электростанческого поля в лю-

39

бой точке снаружи проводника выполнено поверхностно направлен переменную проводности, что другими словами можно сказать так: силовые линии поля входят в проводник и выходят из него под прямым углом к поверхности проводника. В противном случае существовала бы составляющая вектора направленности поля вдоль поверхности проводника, на свободные заряды на поверхности проводника действовали бы сила, имеющая составляющую вдоль поверхности. В результате этого по поверхности проводника стали бы дивятся заряды, что нарушило бы равновесие.

4. Распределение потенциала в проводнике. Показем, что разность потенциалов любых двух точек проводника, включая точки проводности, равна нулю. Пусть есть произвольные точки $M$ и $K$ внутри проводника. Пересечем мысленно из точки $M$ в точку $K$ пробный заряд $q$ по некоторой траектории $MBK$, лежащей внутри проводника (рис. 2). Силы поля не совершат работы над перемещаемым зарядом $q$, так как поля внутри проводника нет. Поэтому разность потенциалов $\varphi_M - \varphi_K = 0$. Если точки $M$ и $K$, одна или обе, лежат на поверхности проводника, то доказательство того, что разность потенциалов между ними равна нулю, аналогично.

Так как разность потенциалов любых двух точек проводника равна нулю, то потенциаль всех точек проводника, включая точки проводности, один и тот же. Поэтому говорят о потенциалье проводника, не указая конкретной его точки. Поскольку все точки поверхности проводника имеют одинаковый потенциал, поверхности проводника будет эквивалентной поверхности.

5. Полость внутри проводника. Удалим из внутренней области проводника часть вещества. Так как удаляемое вещество нейтрально, то следует ожидать, что электростанческое поле во всех точках вне проводника, внутри проводника и в возникшей полости не изменится. И это будет действительно так, причем на внутренней поверхности проводника (на поверхности полости) зарядов не будет. Все заряд проводника сосредоточится на внешней поверхности проводника, а наличие полости внутри проводника не скажется на распределении заряда по внешней поверхности. Поле в полости и в проводнике будет отсутствовать. Потенциаль всех точек проводника и полости оказывается одинаковой.

Интерференция и интерферометры

Световая волна, прошедшая через тело (или отраженная от его поверхности), несет огромную информацию об этом теле: его размеры, плотности, форме и т. д. Но проблема состоит в том, что эта информация защищена в характеристиках волны, меняющихся с колосальной скоростью как в пространстве, так и во времени. Ведь электромагнитная волна, частным случае которого является свет, представляет собой распространение колебания электрического и магнитного полей. Скорость распространения $c = 3 \cdot 10^8$ м/с, а частота колебаний направленности электрического поля ($E$) или индуктивного поля ($B$) в световой волне порядка $10^{14}$ Гц.

В этой ситуации единственный способ извлечения информации — это срав

40

нить прошедшую через тело волну с другой (стандартной, или, как ее называют иначе, опорной волной), поле в которой колеблется с такой же частотой. Тогда фактор времени как бы исключается, и из картины, быстро меняющейся во времени, мы получаем устойчивую статическую картину. Именно такую картину мы можем наблюдать при интерференции когерентных волн.

Чтобы разобраться в том, что именно происходит при интерференции, нам надо коe-что вспомнить. Прежде всего: волна нарушу со скоростью распространения $c$ и частотой $\omega$ (или период колебаний $T=2\pi/\omega$) характеризуется длиной волны $\lambda=cT=2\pi c$.

Хотя величины направления электроского поля $E$ в каждой точке волны непрерывно меняется, значения направления в двух различных точках однозначно связаны друг с другом. Так, например, если расстояние между двумя точками равно или кратно длине волны $\lambda$ (иногда говорят: кратно четному числу полуволн), то значения направления в этих точках всегда одинаковы. (Все временные между двумя точками равно $\lambda/2$ (или кратно нечетному числу полуволн), значения направления отличаются только знаком (рис. 1).

Теперь легко понять, что происходит при интерференции волн. Расстояние две плоские волны равной амплитуды и длины, распространшиеся под некоторым углом друг к другу. Слово «плоская» означает, что поверхностями равной направления (или равной фазы) в такой волне является плоскости. На рисунке 2 показаны два источника таких волн $S_1$

Рис. 1.

Рис. 2.

и $S_2$ и плоскости равной направности в каждой-то момент времени. Будем считать, что источники синхронизированы так, что в любой момент времени направности $E_1$ и $E_2$ в точках, где эти источники расположены, одинаковы: $E_1=E_2$.

Возьем в пространстве произвольную точку $A$. Расстояние от этой точки до источников $S_1$ и $S_2$ обозначаим соответствующее $l_1$ и $l_2$. Здесь нам придет расстояние нескольких волн.

Предположим для начала, что на длине $l_1$ укладывается четное, а на длине $l_2$ — нечетное число волн. Тогда направность первой волны в точке $A$ равна направности в месте расположения источника этой волны: $E_{A1}=E_1$, а направность второй волны в точке $A$ противоположна по знаку направности в месте расположения второго источника: $E_{A2}=-E_2$. Но так как $E_1=E_2$ (условие синхроизация источников), то очевидно, что $E_{A1}=-E_{A2}$ и суммарная направность в такой точке равна нулю. Напомним еще раз: все направности колеблется со временем, но указанные равенства сохраняются во все моменты времени. Совершенно аналогичная система будет, если на длине $l_1$ укладывается четное, а на длине $l_2$ — четное число волн. Раз суммарная направность, создавшая обеими волнами, в точке $A$ равна нулю, то и освещность в этой (и аналогичных ей точках) будет нulleвая.

Если количество полуволн, укладывающихся на расстояниях $l_1$ и $l_2$, одинаковой четности (либо на обихах расстояниях четное, либо на обихах нечетное), то направности первой

41

и второй волн в точке $A$ всегда одинаковы и взаимно успливются. В таких точках обеспечить будет максимальный.

Можно формировать общее правило: если разность хода — разность $l_1$ и $l_2$ — двух волн до некоторой точки равна нечетному числу полу волн, то освещенность в этой точке минимальная:

$$l_1 - l_2 = (2k + 1) \frac{\lambda}{2}$$

— условие минимума.

В случае, когда разность хода равна четному числу полу волн, освещность в соответствии точке будет максимальная:

$$l_1 - l_2 = 2k \frac{\lambda}{2}$$

— условие максимума.

Поместим теперь на пути этих интерференции волн экрана. Очевидно, что на нем возникнут чердеушие темные и светлые полосы, соответствующие условиям минимумов и максимумов освещенности. Это и есть интерференционная картина.

Очень важно поддержить, что интерференционная картина определяется не столько тем, какой путь проходит каждой из интерференции волн до той или иной точки экрана, сколько тем, какое количество полу волн укладывается на этом пути. Это важное потому, что скорость световой волны (а значит, и длина волны) зависит от показателя преломления той среды, в которой волна распространяется: $\lambda = vT = (c/n)T$. Здесь $v = c/n$ — скорость света в среде, а $n$ — показатель преломления среды. Понято поэтому, что если на пути одной из волн (например, первой) поставить какой-нибудь произчный предмет, то число полу волн, укладывающихся на расстоянии $l$, изменится из-за изменения длины волны внутри тела. Интерференционная картина при этом деформируется, причем тем сильнее, чем больше толщина предмета.

Возвращаясь к началу нашей заметки, можно сказать, что с помощью интерференции мы переведим информацию о произном теле из быстроя меняющейся характеристик волны в статистические характеристики интерференционной картины.

Практические это делается с помощью интерферометров. Существует довольно много типов таких прибов. В задачу любого интерферметра входит формирование двух (или более) конгентных волн и последующей их сведение с целью получения интерференционной картины.

Схема одного из интерферметров (он называется интерферметром Маха—Цендера) приведена на рисунке 3.

Плоская волна падает на полупрозрачное зеркало 1 и частично отражается, а частично проходит сквозь него. Тем самым мы получаем две конгентные волны $S_1$ и $S_2$. Сведение их осуществляется с помощью обычных зеркал 2 и 3 и получающихо зеркала 4. Отражение от зеркал 2 и 3 волны падает на получающихо зеркало 4. Волна $S_2$ проходит сквозь зеркало 4, а волна $S_1$ отражается от него. Всегда можно подобрать положение зеркал так, чтобы на выходе зеркала 4 получить две волны, распространяющиеся друг по отношению к другу под некоторым, как правило небольшим, углом. Тогда в соответствии со сказанным выше на экране $\partial$ возникнет интерференционная картина. Помещая теперь на пути одной из волн ($S_1$) изучаемый произчный объект, мы будем наблюдать искажение этой картины, по которым и можно судить о свойствах этого объекта.

Е. Е. Городецкий, А. А. ЛанUDEC

42

Разберем все варианты

С. М. ЛЬОВОВСКИЙ,
кандидат физико-математических наук
А. Л. ТООМ

Метод тут примерно такой, как при поисках одной горошины в мешке гороха: преждевое необходимо терпение, молодой человек.
К. Чапек. «Купон»

Когда в младших классах ученики впервые начинают решать задачи по математике, им специально подбирают такие задачи, которые решаются заранее преодоленными методами, и получается один определенный ответ. На оптимизации подбирают задачи, которые имеют неожиданное, но простое и красивое решение.

Но Природа не считается с нашими вкусами. Поэтому профессионалматик, решая задачи, возникло еще развития естественногония, постояно стalkивается с задачами, которые то не имеют решения, то имеют много решений, то требуют непrivibuных, а подчас и громоздких, «некрасивых» методов решения.

Таким «некрасивым» методом ученики младших классов часто считают метод перебора. Некоторые даже думают, что метод перебор — это «неправильный» метод, и им решать задачи якобы нельзя. На самом деле задачу можно решать любым способом, лишь бы получить верный и обоснованный ответ. Найти все ответы и доказать, что других нет, — это и значит решить задачу. А оказаться этих ответов может сколько угодно: один, несколько, ни одного или бесконечного много.

Конечно, метод перебора служаев, о котором идет речь в этой заметке, необходимо применять с умом, а не как попало. Прежде всего заметим, что любой перебор, который один человек или все человекство когда-

43

любо сможет осуществить, — это конечный перебор, и никакая вычислительная техника этого не изменит. Но даже конечный перебор осуществим лишь в ограниченных пределах. Фактически при решении задач «вручную», при помощи авторучки и бумаги, можно перебрать десять, ну — сотно вариантов. Компьютер уведомляется это число до тысячи, ну — миллионов. Однако сплошь и рядом возникают задачи, решения которых методом перебор приводит к гораздо большему числу вариантов. Уже простые настольные игры типа шахмат дают такое число позиций, с которым не справится никакая машина. Поэтому искусство программирования, как и искусство решать математические задачи, включает умение сокращать перебор до осуществимых масштабов.

Сплошной перебор всех вариантов осуществим лишь в самых простых случаях. Для. Свифт остроумно выместел его в своей книге «Путешествия Гулливера». В пятой главе третьей части он описывает машину, осуществлявшую перебор всегоможет составить полный обзор всех искусств и наук». Сатира Свифта метила во вполне реальную цель: создание «думающих» машины, связанное с идеей перебор. Еще в XII века рыцарь-монах Раймуд Луллий сконструировал машину для механического доказательства всех положений ХристIANства и отправился с ней к маврам, уверенный, что эта «наука» обратит их в истинную веру. Идеи Лулляй интересованы Джордано Бруно и Лейбница, мечтавшего о таком прогрессе науки, который позволяет не спорить, а вычислить.

Великий немецкий ученый Лейбницц (1646—1716), бывший старшим современником Свифта (1667—1745), во жизни развивал идею «всеобщей характеристики», т. е. равного по точности математике описания всех процессов человекаского мышления.

В полной мере эта идея не осуществлена по сейчас и, может быть, никогда не будет осуществлена. Но математизация многих сторон человекаской деятельности, несомненно, проискит. А вместе с этим все более широкое применение получают и основные математические идеи, в том числе идея перебор вариантов.

Задача 1. На складе стоит 5 станков массой соответствующего 1500 кг, 1020 кг, 800 кг, 750 кг и 600 кг. Требуется увеличить часть из них на машинерузоподъемности 3 тонны, загрузив ее максимально, но не перегрузив. Какие станки надо порезать на машину?

Решение. Предположим, что мы решили не быть самый тяжелый станок. Тогда масса остальных станков 1020+800+750+600=3170 кг, что больше трех тонн. Значит, придется оставить еще какой-нибудь станок. Мы захватим самый большой вес, если оставим самый легкий станок — в 600 кг. Надо, конечно, еще

44

проверить, сможет ли трехонка увеличти оставшиеся станки: 1020+800+750=2570 кг<3 т. Итак: если не брать самый тяжелый станок, то мы увеличем, самое больше, 2570 кг. Пусть теперь мы погрузили на машину станок в 1500 кг; тогда в машине еще остается места на 1500 кг. Уложиться в эти 1500 кг можно взяв только один станок, что даст нам, самое больше, 1020 кг (а всего в грузовике будет 2520 кг), либо взять два станка, что даст, самое больше, 800+600=1400 кг, а всего на грузовике будет 2900 кг.

Сравнивая все варианты, мы видим, что последний — наиболее. Итак, надо погрузить станки массой 1500 кг, 800 кг, и 600 кг.

Подобный прямой перебор не всегда возможно. Чаще приходится применять его в сочетании с другими методами. Вот пример.

Задача 2.*) Найдите все натуральные трехначные числа, каждое из которых обладает следующим двумя свойствами:

— первый цифра в 3 раза меньше последней его цифры;
— сумма самого числа с числом, получающимся из него перестановкой второй и третьей его цифр, делится на 8 без остатка.

Здесь прямой перебор метод перебора значило бы перебрать все трехначные числа и выбрать из них те, которые удовлетворяют условиям. Делать это вручную — все равно, что искать иголку в стоне сена или нужную горошину в мешке гороха. Правда, с помощью комьютера перебрать все трехначные числа недолго, но «спортивнее» решать простые задачи простыми средствами: это заставит нас выработать приемы сокращения перебора; кстати, эти приемы резко увеличitat наши возможности, когда у нас будет комьютер.

Данную задачу мы начнем решать алгебраические и прибегнем к перебору лишь тогда, когда удastoreсти ее к немногим случям.

Решение. Пусть $x$ — цифра сотен, $y$ — цифра десятиков искомого числа. Тогда цифра его единиц равна 3x. Очевидно, 3x≤9, откуда $x\leq 3$. Нуlem первая цифра числа быть не может. Значит, $x$ не может равнять числу иному, кроме 1, 2 и 3. Эти три возможности мы рассмотрим по отдельности, но сначала запишем второе условие, обозначая время точками (:) выражение «делится на»:

$((100x+10y+3z)+(100x+30x+y))\div 8,$

т. е.

$(200x+33x+11y)\div 8.$

Мы нарочно оставили 200x и 33x отделными слагаемыми. Так легче заметить, что 200x можно отбросить (так как 200 : 8) и записать это условие так:

$((33x+11y)\div 8,$

или

$11(3x+y)\div 8.$

Для этого необходимо и достаточно, чтобы 3x+y делилось на 8. Теперь присутствим к перебору, который вполне осуществим, так как состоит всего из трех случаем.

1. $x=1$. Тогда $3+y$ : 8. Это будет при $y=5$.

2. $x=2$. Тогда $6+y$ : 8. Это будет при $y=2$.

3. $x=3$. Тогда $9+y$ : 8. Это будет при $y=7$.

Итак, задача имеет три ответа: 153, 226, 379.

Задача 3. Решите в натуральных числах уравнение

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1.$$

Напомним, что натуральными называются целые положительные числа. Решить уравнение в натуральных числах — значит найти все его решения, в которых неизвестные принимают натуральные значения. Сплошным перебором, рассматривая все тройки натуральных чисел по отдельности, решить эту задачу вообщество: таких трех бесконечного много. Поэтому, прежде чем присутствить к перебору, необходимо как-то свести до к конечному числу случаем. Nam будет удобнее проводится пе-

45

ребор, если мы чуть-чуть изменим условия задачи.
Задача 3’. Решите в натуральных числах систему

$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1, \\ x \leqslant y \leqslant z. \end{cases}$$

Решение задачи 3’. Очевидно,

$$\frac{1}{x} \geqslant \frac{1}{y} \geqslant \frac{1}{z}.$$

Предположим сначала, что $x > 3$. Тогда

$$\frac{1}{3} > \frac{1}{x} \geqslant \frac{1}{y} \geqslant \frac{1}{z},$$

откуда

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3},$$

что противоречит условиям. Итак, $x$ не может равняться чисему иному, кроме 1, 2 и 3. (Видите, как резко мы сократили перебор!)

1. $x = 1$. Тогда

$$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0,$$

чero не может быть.
2) $x = 2$. Тогда

$$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}.$$

Если $y > 4$, то

$$\frac{1}{4} > \frac{1}{y} \geqslant \frac{1}{z},$$

откуда

$$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} < \frac{1}{4} + \frac{1}{4},$$

чero не может быть. Итак, $y$ не может равняться чисему иному, кроме 2, 3 и 4. Подставляя каждое из этих значений, убеждаемся, что $y = 2$ не годится, а два другие значения дают два ответа: (2, 3, 6) и (2, 4, 4).
3) $x = 3$. Тогда

$$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{3}.$$

Если $y > 3$, то

$$\frac{1}{3} > \frac{1}{y} \geqslant \frac{1}{z},$$

откуда

$$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} < \frac{1}{3} + \frac{1}{3},$$

чero не может быть. Итак, в данном случае надо рассмотреть для $y$ только одно значение 3, что дает еще один ответ: (3, 3, 3).

Все случаи разобраны. Задача 3’ решения. Она имеет три ответа: (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3).

В отличие от нее, задача 3 имеет другой список ответов, получающихся из этих всех возможных перестановками. Вот ответ задачи 3:

(2, 3, 6), (2, 6, 3), (3, 2, 6),
(3, 6, 2), (6, 2, 3), (6, 3, 2),
(2, 4, 4), (4, 2, 4), (4, 4, 2), (3, 3, 3).

(В каждом из этих ответов первое число — значение $x$, второе — значение $y$, третье — значение $z$.)

В задачах, которые мы do сих пор разбиали, необходимо было найти все ответы, удовлетворяющие данной условия. Для того чтобы доказать, что такой объект не существует, необходимо разбиать все случаи или проводить общее рассудение. Для того же чтобы доказать, что такой объект существует, достаточно привести всего один пример. Вот две задачи такого типа.

Задача 4. Известно, что для двух треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ выполняются следующие три условия:

$$\angle A = \angle A', AB = A'B', BC = B'C'.$$

Могут ли треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ быть неравны?

Ответ: могут.