Квант 1988, №4 · Страницы

Кваим
Научно-популярный
физико-mатематический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Вселенная —
тепловая машина?

1988

1

В номере:

2 И. Д. Новиков. Вселенная как тепловая машина
9 Ю. М. Львов, Л. А. Фейzin. Ленгмюровские пленки — путь к молекулярной электронике?
14 М. Гарднер. Рамсеевская теория графов
21 Интервью с американским математиком Рональдом Грэхемом

Задачик «Квант»
Задачи M1096—M1100, Ф1108—Ф1112
Problems M1096—M1100, P1108—P1112
Решения задач M1071, M1076—M1080, Ф1088—Ф1092
Избранные школьные задачи

«Квант» для младших школьников
Задачи
А. П. Савин. Десять цифр

Калейдоскоп «Квант»
Простые машины

Лаборатория «Квант»
В. Ф. Яковлев. «Физика для других»

Математический кругок
Д. К. Фаддеев, М. С. Никулин, И. Ф. Соколовский. Основной принцип дифференциального исчисления. Часть II: Свойства производной

Практикум абитуриента
В. А. Петров. Неравенства и графики
А. И. Буздин, С. С. Кротов. Поверхностное натяжение и капиллярные явления

Варианты вступительных экзаменов

Информация
Заочная физическая школа при МГУ
Омскому НОУ — 20 лет

Ответы, указания, решения
«Квант» улыбается (61)
Смесь (72)

Наша обложка
1 Читайте в этом номере статью на с. 2!
2 Этот рисунок Леонардо да Винчи, сделанный 500 лет назад,— свободный анонс «Калейдоскоп «Квант» из этого номера.
3 Шахматная страница.
4 Головоломка Рамсея.

© Издательство «Нука»,
Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1988

2

ВСЕЛЕННАЯ
КАК ТЕПЛОВАЯ МАШИНА

Доктор физико-математических наук
И. Д. НОВИКОВ

Мы живем в распирающейся Вселенной. Этот факт был предсказан теоретически советским математиком А. А. Фридманом и подтвержден в конце 20-х годов американским астрофизиком Э. Хабблом.

Нестационность окружающей нас мира имеет определенное значение для физических процессов во Вселенной. В этой статье мы рассекем о некоторых общих закономерностях телловых процессов в макромире. Применение открытых в прошлом веще законов термодинамики ко всей Вселенной приводило к странам выводам, порой к парадоксам. И мы рассмотрим здесь некоторые из них. Но прежде чем обращаться к этим проблемам, напомним очень кратко суть теоретического предсказания Фридмана.

Основная мысль работы Фридмана генциально проста и состоит в следующем. В очень больших масштабах (как теперь известно, в масштабах более многохотен миллионов световых лет) материя в виде галактики, их скопленный распределена в пространстве однородно. Взаимное приятие гигантских масс неизбежно приведет к их движению и взаимному перемешению. Приводит это движение к распределению или скатанию системы — зависит от начальных условий, от того, например, сообщили ли какие-то силы начальные скорости разлегавався вшеству, из которого потом образовались галактики (т. е. произно-
Настоящая статья появилась в ходе работы автора над книгой «Как взорвалась Вселенная». Книга будет выпущена в свет издательством «Наука» в серии «Виблотечека «Квант» в этом году. Очеень советуем приобретти эту книгу. Из нее вы узнаете о современных представлениях космологии, о проблемах, стоящих перед учеными в этой области.

шел ли в прошлом своеобразный взрыв Вселенной), или, скажем, начальное состояние вещества было очень разреженным, и силы взаимного тяготения стягивали его, заставляя скиматться со все нарастой скоростью.

А. А. Фридман использовал в своих работах релятивистскую теорию тяготения А. Эйнштейна, обобщившую на случай сверхсильных полей закон всемирного тяготения И. Ньютона. Однако важные закономерности его выводов можно посянить и в рамках теории Ньютона, не обращаясь к сложной теории Эйнштейна.

Нам потребуется основной закон движения масс Вселенной. Этот закон можно вывести из следующих сообщений. Расмотрим во Вселенной большой сферической объем с радиусом $R$ много световых лет (так чтобы распределение матрицы можно было считать однородным). Обозначим его массу $M$. Из наблюдаемой известно, что галактики удаляются друг от друга, т. е. наш объем распирается, его граница удаляется от центра. Как с течение времени будет меняться скорость $v$ этого распирания?

Согласно закону Ньютона на галактику массой $m$ ($m \ll M$), находящуюся на границе нашего объема, со стороны всех неограниченного пространизации внешних масс, учитывать не надо, так как они направлены в разные стороны и при сложении точно урав-
2

3

новшивают друг друга (мы этого доказывать здесь не будем). Теперъ уже легко написать закон движения галактики на границе шара, а значит и закон движения самой границцы шара. Для этого запишем полную энергию $E$ галактики. Она складывает из кинетической энергии $E_\kappa = \frac{mv^2}{2}$ и потенциальной энергии тяготения $E_\pi = -\frac{GMm}{R}$ (заметьте, что энергия тяготения отрицательна):

$$E = E_\kappa + E_\pi = \frac{mv^2}{2} - \frac{GMm}{R}.$$

Подчеркнем, что в силу закона сохранения энергии полная энергия $E$ не меняется — $E = \text{const}$.

Из формулы (1) видно, что если $E > 0$, то радиус шара может увеличаться неограниченно — $v$ при этом хотя и уменьшается, но не обращается в нуль. При $R \to \infty$ энергия $E$ целиком определяется кинетической энергий движения. Если же $E < 0$, то тяготение останавливает расширение шара, $v$ обращается в нуль при неокотором максимальном значении радиуса $R_{\text{max}}$ —

$$R_{\text{max}} = \frac{GMm}{|E|},$$

а затем шар начинает скиматться.

Так как наш шар был выбран произвольно, а распределение материи во Вселенной однородно, то движение границцы шара по существу описывает движение любых больших масс во Вселенной. Перешитем уравнение (1), поделив его на $m$, в виде

$$\frac{v^2}{2} - \frac{GM}{R} = \text{const}',$$

где $\text{const}' = E/m$. Это уравнение описывает с течением времени расстояний $R$ между любыми далими галактиками или частицами вещества во Вселенной (в прошлом, когда галактик еще не было). Таким образом, уравнение (3) есть уравнение диамники Вселенной.

К сказанному добавим следующей. Согласно теории Эйнштейна тяготение меняет геометрическое свойство пространства, «искривляет» его. Если const’ < 0 ($E < 0$), то геометрия оказывается подобной геометрии на сфере, паралельные прямые пересекаются, а само пространство оказывается замкнутым, имеющим конечный объем. Искривленность пространства задается «радуком кривизны мира» $l$, а полный объем замкнутой Вселенной по порядку величины есть $V \sim l^3$. Изменение $l$ с течением времени описывается, как и изменение других расстояний во Вселенной, законом (3).

Прослеживая изменение $R$ или $l$ в прошлом, мы приходим к заключению, что расширение началось с формирования точных размеров и бесконечной плотности материи $\varrho$ — как говорят, с сингулярного состояния. Мы употребили слово «формально», чтобы поддержнуть, что это заключищее — лишь математическая идеализация, либо при очень больших плотности (как показывают оценки, при $\varrho \approx 10^{94}$ г/cm$^3$) должны проявляться новые физические закономерности. В частности, в этих условиях должны появиться и которые обусловили возникновение сил отталкивания, вызвающих начальный взрыв Вселенной. Естественно возникает вопрос: а что было до того? Однакочно это ответа пока нет, и специальы расматривают здесь разные возможности.

Все сказанное выше позволяет нам представить эволюцию Вселенной в прошлом следующим образом. До сингулярного состояния произходило скатание Вселенной, плотность материи увеличалась, и в конце концов сверхплотное сингулярное состояние. Законы природы в этом состоянии мы знаем еще очень плохо, точнее — только договораемся о неокторых из них. В этом состоянии, верятно, возникнет огромные силы gravитационного отталкивания, которые останавливают скатание Вселенной и заставляют ее начать расширяться. В этой расширяющейся Вселенной мы и живем сегодня.

Возможен ли такой «сценарий» эволюции Вселенной?

4

В принципие — возможен. До недавнего времени некоторые специалистисы относились к нему весыма благосклонно. Вероятно, это отношение связано в первую очередь с чисто субъективными причинами. Действи-тельно, в таком сценарии время длит-

4

6

согласии с нашими привчными и «наглядными» представлениями). Правда, в простейшем варианте есть заметный дефект. А именно: мы считаем, что в дальнейшем в сельневая схемале из беконечного разреженного начального состояния. Уже очень приитивно и «наивно» выглядают это начальное состояние беконечного малой плотности.

Указанный «дефект» пытаюсь убрать следующим образом. Будем считать, что постоянная const’ в уравнения (3) меньше нуля. тогда расширение В сельной должно сменится скатнем. Если теперь мы положим, что после скатия до сингуляного состояния наступает новое распределение (так ли это — мы пока не знаем), то это означает повторение цикла: новое распределение В сельной, затем новое сжатие и т. д. Таким образом, мы получили пульсирушую модель В сельной. На первый взгляд эта модель выглядит очень привлекательно. Казалось бы, в ней нет истока «реки времени», В сельная существует вечно. Кроме того, нет и странного состояния беконечного малой плотности в дальнейшем, а вместо этого представка картина в среднем неизменной вечной В сельной с беконечным числом циклов пульсации.

Но оказалось, что дело обстоит вовсе не так просто, и подобный сценарий эволюции В сельной wird ли может осуществляться в действительности. Трудности, которые возникают в такой теории, уходят своим корнями в середину прошлоого века.

В 1850 году немецкий физик P. Клаузиус и в 1851 году независям от него английский физик У. Томсон открыли закон, известный как второе начало термодинамики. В формулировке Томсона этот закон звучит следующим образом: в природе невозможен процесс, единственный результатом которого была механическая работа, совершенная за счет охлаждения теплового резервуара. Отсюда следовало, что невозможное полное превращение тепла в механическую энергию. Это означает, что если изолировать какую-либо систему, то в конце концов в этой системе все виды энергии перейдут в теплло, а теплло равномерно распределится по всей системе — наступит, как говоря, термодинамическое равновесие.

На практике мы прекрасно знаем проявление этого закона. В механических системах тривиального к переходу механического энергии в теплло. В тепловых машинах мы можем, правда, переводить теплую энергию в механическую работу. Но для этого обязательно надо поддерживать разницу в температуре нагреваателя и холодильника, иначе машина работает не будет, а на это надо затрачивать энергию, и часть затрачиваемой энергии при этом также переходит в теплло. Так происходит непрерывное накопливание тепла, переход всех видов энергии в теплло. Позже Клаузиус дал математическое выражение второго начала термодинамики.

Томсон и Клаузиус поняли важнейшее значение открытого ими закона термодинамики для эволюции всех В сельной. Действительно, все В сельная должна рассматривать как изолированная система, и для нее обмен энергий сками-то «другими системами» невозможен. Значит, во В сельной все виды энергии должны перейти в конце концов в теплло, теплло равномерно распределится по В сельной. Хотя закон сохранения энергии при этом не нарушается, энергияникуда не исчезает и остается в виде тепловой энергии, но она оказывается «бессильной», лишенной возможности превращения в механическую работу, и все макросопперечисление движения во В сельной прекратятся. Такое мрачное состояние получило «тепловой смерти» В сельной. Читатель, наверное, согласится, что название этого очень хорошо характеризует саму субъектно состояние. Но В сельная, в которой мы живем, явно не находится в состоянии «тепловой смерти»! Отсюда направилась теологические выводы: либо В сельная существенно недолго и не пришла еще к состоянию «тепловой смерти», либо «кто-то» состояны вместе в эволюцию В сельной, не давая ей развивать к состоянию «тепловой смерти».

7

Проследим, как эти劈ные предсказания определились науковой. Термодинамические идеи Клаузиуса и Томсона были развиты авторским физиком Л. Больцманом. Он показал, в чем заключается смысл второго начала термодинамики. Тепло является по существу хаотическая движением atomов или молекул, составляющих матерIALные тела. Поэтому переход энергии механического движения отдельных частей системы в тепло ознакомлен переход организованного движения в хаотическое, увеличенное беспорядка в системе. То же можно сказать и о других видах движения материи. Такое увеличение беспорядка неизбежно в силу статистических законов, если только на системе не влияет извне, не способствует сохранению порядка.

Больцман показал, что метод беспорядка в системе является величины, введенная еще Клаузиусом, — энтропия. Чем больше хаос — тем больше энтропия. Переход отдельных видов движения материи в тепло ознакомлен рост энтропии. Если все виды энергии перешли в тепло, а тепловомер распределилось по системе, то это состояние максимального хаоса уже не меняется с течение времени и соответствует максимуму энтропии.

Но такая интерпретация означает, что второе начало термодинамики не всегда выполняется абсolutно точно, возможно отклонения от него. Действительно, смысл этого закона состоит в том, что изолированная система переходить во все более вероятное состояние хаотического движения частичек, ее составляющих. Но в ходе перехода возможные отклонения, флуктуации. Так, например, в каком-то небольшим объеме газа atoms при стольновениях с содержими могут случайно приобретти одинаково направленные импульсы, т. е. могут случайно начать двигаться в одном направлении. Это будет уже не тепловое (хаотическое) движение, а направление движения какого-то объема газа в целом. Тепловое движение частиц случайно перешло в направление механического движения.

Но, разумеется, такие случаи очень редки и маловероятны. И чем больше объем в газе мы будем брать, тем с меньшей вероятностью с ним могут случайаться подобыные казы. В целом, за исключением очень редких и небольших флуктуации, энтропия изолированной системы всегда растет, и система приходит в наиболее вероятное состояние максимума энтропии, в котором должна превышать неограниченное долго. Но все же, хотя и редко, то в одном месте системы, то в другом по закону случай будет проискать отклонения от этого состояния, как правило очень небольшие.

Вот на этом пути Больцман и искал выхода из мрачного заключания о «тепловой смерти» Вселенной.

Бессонченая Вселенная, говорил он, вечно пребывает в наиболее вероятном состоянии термодинамического равновесия с максимальной энтропией. Но в любом объеме ее возможны редкие отклонения от этого состояния — флуктуации. Правда, в больших объемах заметные флуктуации очень редки. Но если у нас в запасе бесконечное время, то мы можем доказатьсколько большой случайной флуктуации в огромных объемах. Вот в такой гигантской флуктуации, согласно Больцману, мы и живем.

Флуктуация гипотеза Больцмана была единственной (с точки зрения тогдашней физики) попыткой опровержения вывода о «тепловой смерти» вплоть до открытий Фридмана и Хаббла.

Эти открытия в корне изменили наши представления о том, к какому состоянии направлена эволюция проессов во Вселенной. Прежде всего, выяснили, что определенную роль в эволюции Вселенной играет тяготение. В рассудении о «тепловой смерти» тяготение вообществе игнорировалось. Между тем этого делать никак нельзя.

В общих рассудениях о переходе всех видов энергии в тепло и замирании в результате этого всех процессов в изолированной системе полагалось, что обще количество энергии системы не меняется. Конечно, скажет

8

читатель, это предположение справедливо — ведь система изолирована. Откуда же может взяться дополнительная энергия, способная поддерживать движение в системе?

Разумеется, закон сохранения полной энергии независим. Но мы не учили в наших рассудениях энергию тяготения. А эта энергия своеобразна — она отрицательна (см. формулу (1)). Как это сказывается на произходящих во Вселенной процессов? Попробуем разобраться в этом на таком примере: рассмотрим газовый шар, между частицами которого действуют силы тяготения. Предположим, что сначала вещество шара было холодное и было рассеяно в пространстве, взаимное тяготение между частицами было крайне мало, и gravитационная энергия вещества практически была равна нулю. Пусть постепенно под действием хотя и слабого тяготения вещество собирается в шар, и этот шар скнимается все дальше тяготением. Ясно, что вещество шара при этом набирает все большую скорость и, следовательно, все большую кинетическую энергию движения. Эта положительная энергиянарастет за счет тяготения. Но в силу закона сохранения энергии, полная энергия системы должна сохранять. Значит рост положительной энергии движения сопроводяется уменьшением потенциальной энергии тяготения, т. е. ростом ее абсолютной величины (ведь $E_\pi < 0$). Теперь понятно, что при сканитии системы положительная часть ее энергии может возрастать за счет тяготения. Вот это обстоятельство раныше, когда на тяготение не обращали должного внимания, и не учитывались. Раз положительная часть энергии изолированной системы может возрастать, то нарастание энергии (которое обязательно произходит) не обязательно ведет к замиранию процессов.

Таким образом, вывод о «тепловой смерти» в том виде, как он делался в середине прошло века, когда не принимался во внимание факт несущонарности Вселенной, — неправилен.

Посмотрим теперь, как конкретно «работает» тяготение в модели пульсирующей Вселенной, определяя выбор о замирании всех макросоппических движений в мире.

В пульсирующей Вселенной в каждом цикле происходит увеличение энергии, накопление теплла (согласно второму началу термодинамики, справедливо к которым, конечно, не нарушается). накопление тепловой энергии происходит в больших масштабах, например, при свечении звезд, перерабатывающих запасы ядерной энергии в изучение. Будем предполагать, что в сигнлярном состоянии энергия не может резко уменьшаться.

Энтропия нарастает от цикла к циклу. На первый взгляд, это должно быть бы приводить к замиранию пульсации, к уменьшению их амплитуды. Казалось бы, картина должна быть подобна затуханию колебаний мятника, когда трене в его подвесе постепенно переводит энергию колебаний в телло. На самом деле картина пульсации в такой модели Вселенной выглядает совсем иначе — амплитуда пульсации Вселенной увеличивается!

Покажем это.

Обратимся прежде всего к формуле (3). В каждом цикле в момент максимума расшириения Вселенной (см. формулу (2)), когда расшириение сменяется сжатым, скорость $v$ движения вещества шара на мгновение обращается в нуль. Приравнивая $v=0$ в выражении (3), мы получим условия для этого момент: $\frac{GM}{R_{\max}} = -\text{const}'$. (Напомним, что в нашей модели const’<0.) Теперь подставим в это выражение $M = \frac{4}{3} \pi R_{\max}^3 \varrho_*$, где $\varrho_*$ — плотность вещества в момент максимума расшириения. После этого получим: $\varrho_* R_{\max}^2 = \text{const}''$. Наконец вспомним, что радиус кривизны мира $l$ изменяется со временем точно так же, как и радиус шара $R$. Поэтому и для радиуса кривизны $l_{\max}$ — в максимуме расшириения Вселенной — мы

(Окончание см. на с. 20)

10

как каждый человек имеет свой характерные отпечатки пальцев), и она может существенно отличаться от линейной (соответствующей закону Ома). В будущих разработках элементов молекулярной электрики учет подобных эффектов может оказаться существенным.

Но как же собирать схемы из таких маленьких «кирпичков»? Уже сегодня разработаны технические методы, позволяющие «собирать» устройства размером в десяти и сотни нанометров. Это, например, метод молекулярной эплитасии*, когда молекулы слой за слоем укладываются в тонкие пленки. Мы же хотим расказать о другом метод, который в последние годы привлек внимание исследователь. Это так называемый ленгмюровский метод, позволяющий получить тонкие пленки организации молекул, содержащие точно 1, 2, 3, …, 25 и т. д. молекулярных слоев в образце.

История этих пленок началась в XVIII века с опытов американского ученого В. Франклина. Франклин выил малое количество оливкового масла на поверхности пруда, покрыто мелкой рыбью, и вскоре рыбьє стихла, поверхность стала гладкой. Из этого Франклин заключил, что ничего нового касающего масла суммло покрыть всю поверхность. Обыт был описан в 1790 году в журнале «Философские записи», издавшемуся Лондонским королевским обществом (Академия наук Англлии). Через это лет английский физик У. Рэлей вывинул предложение, что в таких экспериментах на поверхности воды образуется пленка толщиной всего в один слой молекул. Зная исходный объем масла, можно, поделив его на площад пленки, вычислить ее толщину (а следовательно, размер молекулы масла). Она оказалась чрезвычайно малой — всего около 10 nm. В дальнейшем в лабораториях были поставлены опыты,

*) Эпитаксия (от греческих слов ел… — на, над, сверх, после и тадіс — расположение) — ориентированный рост одного монокристалла на поверхности другого (подложки) (Советский эпиклопедический словарь. М.: Советская эпиклопедия, 1980).

Рис. 2.

позволившие более точно оценить размеры молекул масла.

Подобный опыт можно proveсти дома в ванне. Для этого следует капнуть в заполненную ванну масла (предпочтительно оливкового, так как оно растекается по поверхности воды лучше, чем подсолнечное). Через несколько минут пленка распространится на всю ванну. Отметим, что довольно трудно определить границу масла (что лучше видеть ее, можно посвetterть на поверхности фонариком). Кроме того, пленка будет неравномерной по толщине, она будет содержать как бы окошки, где слой масла очень тонкий, и более толстые перегородки. Но, тем не менее, оценить толщину пленки мы сможем. Однако в нашем опыте есть один сервернейший минус — мы не знаем, сколько молекул по толщине образуют пленку, и не можем добиться однородности пленки по толщине.

На сторой физической уровень также опыты поставил американский

Рис. 3. Ленгмюровская установка: 1 — ванна с водой, 2 — подвижный барер, 3 — подложка, 4 — мотор, управляющий опусканием подложки, 5 — устройство, изменяющее поверхность натяжение, 6 — электронная схема, выработывающая сизал для работы мотора 7, двізающего барер.

11

физик И. Ленгмюр, получивший за данные работы в 1932 году Нобелевскую премию. Примерно так же, как в свое время Ленгмюр, и сейчас получают молекулярные пленки (их и называют ленгмюровскими). Поэтому опшем этот способ подробнее.

Сначала разберемся, как располагаются молекуры на поверхности воды. Пленки по ленгмюровской методике можно получить из таких называемых амфилльных организаческих молекул, т. е. молекул, содержащих гидрофильную («любящую» воду) и гидрофильную («не любящую» воду) части. Именно такими являются молекуры жирных кислот (масел). На рисунке 2 изображено расположение молекуры стеариновой кислоты на поверхности воды. Гидрофильная «голова» молекуры погружена в воду, а гидрофильный «хвост» расположен на воздухе и не дает молекULE уйти в воду.

Чтобы получить на поверхности воды монослой таких молекул, поступают следующим образом. Масло растворяют в летучем организском расторителе, например в ацетоне, так, чтобы относительная концентрация молекул масла была малой (около 0,01%). На поверхности воды в специальной установке, называемой ленгмюровской ванной (рис. 3), помещают каплю такого растора. Капля быстро «разбегается» по поверхности воды, ацетон испаряется, и на поверхности воды остают разбросанными одиночные амфилльные молекулы масла.

Эти молекуры надо собрать в одноподный масляный слой. Для этого по поверхности воды в ленгмюровской ванне передвигают барер (см. рис. 3), с помощью которого стоняют все молекуры к одному краю ванны и поджимают их так, что на поверхности воды образуется пленка, молекуры в которой расположены в один слой (monomолекулярная пленка). Тепер эту пленку надо перенести на специально обработанную подложку (кремневую или стеклянную пластинку). Делают это так. Подложку, находящуюся в ванне (рис. 3), начинают очень медленно, со скоростью ~1 см/ч, поднимать. Подложка хорошо смачивается водой, и гидрофильные «головы» молекул, не желая расставаться с водой, «тянутся» за ней (рис. 4, а) и в конечном итоге оказываются «прилипшими» к подложке. Так на подложке вырастает точно один слой молекул, ориентированных определенным образом — «голова» на подложке, «хвост» наружу. Начнем опускать подложку назад, в ванну. Тепер подложка не смачивается водой (рис. 4, б), за ней утрагается вниз пленка масла — образуется второй monomолекулярный слой, «сцепленный» с первым «хвостами». Наружку, в вану, торчат гидрофильные «головы» молекул, и если мы снова нанем поднимать подложку, вода, вновь хорошо ее смачивающая, «потянется» за ней, а за водой — «головы» молекул. Так что повторно поднята подложка будет «одета» в три monomолекулярных слоя, ориентированных определенным образом (рис. 4, с). Таких словев мы можем получить сколько угодно, и всегда будем точно знать, сколько молекулярных слояв расположено на подложке.

12

В развитие методов перенос таких пленок на твердотельные подложки большой вклад внесла ученица И. Ленгмора К. Блоджет, поэтому также пленки на подложках называют пленками Ленгмора — Блоджет или Л—Б пленками.

Конечно, в результате работыющих ленгморовских установках все не так просто. Во-первых, необходимо строго контролировать процесс собирания одиночных молекул, «рассеянных» на поверхности воды ввание (такое состояние называют «двумерным газом» молекул). По мере образования пленки «плотность упаковки» молекул меняется: сначала они упакованы менее плотно («двумерная жидкость»), а затем более плотно («двумерное твердое тело»); соответствен изменяется поверхность натяжение в слое. На этом этапе очень не пережать барером, иначе молекуры начнут налезать друг на друга слоями. Нанесение пленки производят в режиме «твердое тело».

Во-вторых, по мере перенос молекул на подложку в молекулярном слое на поверхности воды будут образовывать дыры. Чтобы избежать этого, барером подавливать пленку, все время уменьшая ее площадь; этот процесс отследивает электронная система. Автоматизировано движение подложек, контролируется температура, степень кислотности среды и т. п.

Естественно, создавая «кирпички» электронки, для начала надо иметь Л—Б пленки проводники, полупроводники и диэлектрики. В самом последнее время удалость также пленки. Общая схема работы такова: выбирается нужная молекula, например, краситель, затем к ней химический «пришивается» гидрофобный хвост — и теперь можно питься наносить пленку на подложку по описанной методике.

С помощью ленгморовской методики можно реализовать очень привлекательную с точки зрения электронки идею — идею молекулярной архитектуры. Действительно, мы можем перестигнуть на подложку сначала слой молекул вещества А, затем слой молекул вещества B, затем — вещества В и т. д. Правда, для этого нужно несколько ленгморовских ванн, заполненных разными веществами, или же одна многоосекционная ванна. Такие установки уже созданы. Итак, мы умем теперь наславать различные молекулы друг на друга, строго контролируя процесс и не ошибаться ни на один слой. Значит, можно питься создавать элементы молекулярной электронки размером около 10 nm, заполнированные на нашем графике (см. рис. 1) на 2000 год. Как создать? На этот счет ией немного. Ну, хотя бы такая: попробуем создать элемент по аналогии с известной электронной лампой — триодом. Пришипить работы триода вам знаком: электроны с катода, увлекательные электрическим полем, летят к аноду, а их поток регуляруется изменением электрического потенциала на расположенной посередине сетке. Как мог бы выглядеть «пленочный» аналог триода? Сделаем так: подготовим электрод — он будет аналогом катода; затем нанесем на него один слой молекул диэлектрика; на диэлектрик — один слой проводящих молекул — это аналог сетки; затем — опять один слой диэлектрических молекул; и наконец, сверху еще один электрод — анод. Роль вакуума, обеспечивающего в триоде протег электронов от катода к аноду, в нашем «приборе» играют тонкие диэлектрические прослоики, через которые электроны могут проходить с помощью туннельного механизма (квантового эфекта «просачивания» электронов сквозь диэлектрискую прослоюку толщиной 1—10 nm). Вот и готов триод размером всего в 10—20 nm. Пока этот триод только фантазия, но целый ряд подобных МДМ (металл — диэлектрик — металл) и МДП (металл — диэлектрик — полупроводник) элементов с использованием ленгморовских пленок уже создан.

Ленгморовские пленки применяются в качестве сверхтонкого и очень однородного электронного резиста. С помощью электронного пучка на пленке рисунется микросхема. В тех местах, где «прошелся» пучок электронов, молекулы пленки полимер-

13

зуются и становятся нерастворимыми для организаских расторителей, в то время как с остальных участков кристалла-подложки пленка смывается.

Еще одно применение ленгмюровских пленок — молекулярно-упорядоченная смазка. Когда мы капаем масло в подшипник, то между тушимися частями пространство заполняется сотнями и тысячи слоев молекул масла, которые и уменышают тrene — сухое тrene заменяется жидким. Однако в современных высокоточных устройствах такая смазка не годится. Например, при считывании информации с дисков магнитной записи, применяемых в современных ЭВМ, используется такая схема: над быстрою врашающемся диском движется счтывающая головка. Расстояние между головкой и поверхностью диска не должно превышать 20—30 nm. Как же здесь уменышить тrene? Специалисты японской фирмы «Сони» покрыли магнитный диск однослойной ленгмюровской пленкой и показали, что такая «смазка» позволяет почти в 100 раз повисить износостойкость головки и длительное сохранисти записи на диске.

Но все же главное, что волнует исследователей, — это создание на основе ленгмюровской технологии принципиально новых элементов электроники. Очень перспективно здесь внедрене в ленгмюровские пленки больших организаских молекул, уже «умειоших» выполнять какие-либо сложные операции. Сама природа разработала и создала для нсс тысячи таких маленьких «заводников» — это молекулы белков. Например, молекula белка родопсина при поглощении кванта света меняет свое состояние — произходит перемешение протона, которое быть зарегистировано. Если с помощью ленгмюровской технологии включить молекулы родопсина в пленку, то получится очень чувствительный датчик света. Уже созданы молекулярные датчики, позволяющие регистрации изменные концентрации газов, всегда обсуждается создание «искусственного носа», представляющего собой «мо-занку» из молекул, чувствительных к различным газам.

Создание элементов молекулярной электроники требует решения целого ряда задач. Например, как поднять проводок к такому элементу (устройства «ввода — вывода»)? Как наблюдать, что же у нас получилось в результате молекулярного строительства? Действительно,лина волны видимого света составляет ~0,5 мкм, а размер элементов — около 10 nm, т. е. в 50 раз меньше. Значит, увидеть отдельный элемент нельзя даже в лучший оптический микросопп.

Для контроля пробных образцов, изготовленных по ленгмюровской технологии, используется более сложные методы наблюдения — например,RENTеноструктурный анализ. Объчно используетсяRENTеновское изучение с длиной волны $\lambda=0,154$ nm. Излучение рассеивается на молекулярных элементов, создав дифраクционную картину, содержащую чередующие максимумы и минимумы, в этой картине и защищено изобравжение. Из положения максимумов по углу рассеяния (2θ) на первом этапе обработки результатов по формуле Вульфа — Брегга (2d sin $\theta=n\lambda$) расчитывают толщины молекулярных пленок (d) и расстояния между соседними молекулами, а затем с помощью расчетов на ЭВМ удается уточнить расположение в молекулярных элементов более мелких деталей — группировок atomов и даже отдельных atomов.

Итак, методика Ленгмора позволяет в принципе использовать молекулы в качестве строительного материала для электроники схем. Можно надеться, что созданные таким методом элементы молекулярной электроники через 5—10 лет будут реализно использовать.

15

РАМСЕВСКАЯ ТЕОРИЯ
ГРАФОВ

М. ГАРДНЕР

Teория графов изучает множество точек, или вершин, соединенных линейными. Хотя несколько статей о грамсевской теории графов были опубликованы в 30-х годах венгерским математиком Паулем Эрдшем и другими, серьезная работа по исследованию того, что теперь называется числами Рамсея, началась только в конце 50-х годов. Одиним из стимулов исследования была приведенная на с. 14 невинно выглядящая головоломка.

Эту головоломку легко преобразовать в задачу о графах. ШестЬ вершин соответствуют шести лидям. Соединим пару вершин, соответствующих двум знакомм лидям, красной линии, а пару вершин, соответствующих двум незнакомм лидям, синей линии. Теперь задача состоит в том, чтобы доказать, что, как бы мы ни выбирали цвета лидей, у нас неизбежно получится или красный треугольник (соответствующий тройке попарно знакоммы), или синный треугольник (соответствующий тройке попарно незнакоммы).

Teория Рамсея, имеющая дело с такими задачами, называна по имени Фрэнка Пламптона Рамсея. Рамсею было всего 26 лет, когда он умер в 1930 году после тяжелой операции.

Его отец был председатом коллекция Магдалины в Кембридже, а брат — архипедском Кентерберийским. Экономисты знают Рамсея за его замечательный вклад в экономическую теорию. Логики знают Рамсея за его упрощения разветвленной теории типов Бертрана Расселла и за придуманное им подразделение логических парадоксов на логические и семантические.

В 1928 году Рамсей сделал доклад в Лондонском математическом обществе по ставшей теперь классической работе «Об одной проблемы в формеальной логике». В этой работе Рамсей получил глубокий результат о множествах, которые известен теперь как теорема Рамсея. Оказаюсь, что эта теорема, подобно многим теоремам о множествах, имеет большое число разнообразных неожиданных примений к комбинаторным задачам. Теорема эта в ее полной общности слишком сложна, чтобы объяснить ее здесь. Для наших целей достаточно посмотреть, как она применяется к теории раскрашивания графов.

Если каждая из $n$ вершин соединена линейной с каждой другой вершиной, то граф называется полным графом с $n$ вершинами и обозначает символьом $K_n$. При этом для нас неважно, как именно расположены вершины и проведены линейки. На рисунке 1 показаны общные способы изображения полных графов, имеющих от двух до шести вершин.

Рис. 1.

16

Предположим, что мы произвольным образом раскрасли линей графа $K_n$ в красный или синний цвет. Мы можем раскраить все линей в красный цвет, раскранить все линей в синний цвет или использовать оба цвета. Такая раскраска называется 2-раскраской графа. 2-раскраска есть, конечно, простой способ разбиения всех пар из наших $n$ вершин на два непересекающихся класса. Аналогично, 3-раскраска линей разбиает эти пары на три непересекающихся класса, и вообше, $r$-раскраска разбиает пары вершин на $r$ попарно непересекающихся классов.

Поддерф полного графа — это какой-угодно граф, содержащийся в полном графе в том смысле, что все его вершины и линей принадлежат этому полному графу. Легко видеть, что всякий полный граф является подграфом всякого полного графа с большим числом вершин. Многие простые графы имеют названия. На рисунке 2 показаны четыре семейства графов: цепи, циклы, звезды и колеса. Заметим, что колeso с четырьмя вершинами есть просто другое изображение графа $K_4$.

Рассмотрим теперь задачу, в котором участвует шесть карандашей различных цветов. Каждый цвет мы поставим в соответствие любой тип графа, какой нам нравится. Например:

1. красный: пятнуюгольник (пятинвершный цикл),
2. оранжевый: тетраэдр,

Рис. 2.

3. желтый: семивершная звезда,
4. зеленый: 13-вершинная цепь,
5. синий: восьмивершинное колесо,
6. фиолетовый: галстук-бабочка (два треугольникаровно с одной обшей вершиной).

Зададим теперь любопытный вопрос. Существуют ли полные графы, при любой 6-раскраске которых обязательно получится подграф одного из перечисленных выше типов? Другими словами, как бы мы ни раскрашиваем такой полный граф шестю карандашами, мы непрееменно получим либо красный пятнуюгольник, либо оранжевый тетраэдр, либо желтую семивершину звезда, и т. д. Теорема Рамсея утверждает, что все полные графы, начиная с определенного конечного размера, обладают этим свойствам. Наименший граф из этого бесконечного семейства называется графом Рамсея для заданного множества подграфов. Число его вершин называется числом Рамсея для этого множества подграфов.

С каждым графом Рамсея связана как игра, так и головоломка. Игра в нашем примере заключается в следующем. Два играка по очереди берет любой из шести карандашей и раскрашивает одну линей в графе Рамсея. Первый, кто закончит раскрашивание одного из заданных подграфов, считается проигравшим. Так как граф является графом Рамсея, игра не может закончиться вничью. Более того, граф Рамсея — это наименший полный граф, на котором ничего не возвращается.

Головоломка касается полного графа, имеющего на одну вершину меньше, чем граф Рамсея. Очевидно, это набольший полный граф, на котором игра может закончиться вничью. Такой граф называется критическим графом Рамсея для заданного множества подграфов. Головоломка состоит в нахождения раскраски критического графа, при которой не возникнет ни одного из заданных подграфов. Такая раскраска называется критической раскраской.

Я не имею понятия, чемру равно число Рамсея для шести указанных

17

подграфов. Соответствующий полный граф будет таким большим (содержащим сотни вершин), что об игре на нем не может быть и речи, а связанная с ним головоломка также настолько трудна, что лежит за пределами возможностей машинного поиска. Тем не менее игры и головоломки Рамсея с меньшими полными графами и с карандашами только двух цветов могут быть вполне занимательными.

Ниболье известная игра Рамсея называется Сим*). Она играется на полном графе из шести вершин ($K_6$), который моделирует задачу о компании из шести человек. Нетрудно доказать, что 6 есть число Рамсея для следующих двух подграфов:

1. красный: треугольник ($K_3$),
2. синий: треугольник ($K_3$).

В классический теории Рамсея приято полные графы обозначают просто числами. Так что мы можем выразить приведенный выше результат компактной формулиной: $R(3, 3)=6$. Это означает, что число вершин наименьшего полного графа, который при любой 2-раскраске обязательно содержит однозначный (красный или синий) треугольник, равно 6.

Таким образом, если два играе почередно раскрашивают граф $K_6$ в красный или синий цвет, то один из них непреемно проигравет, завершив построение однозначного треугольника. Соответствующая головоломка весма проста; она состоит в том, чтобы 2-раскрасть критический граф $K_5$ так, чтобы не было однозначных треугольников.

Оказывается, если граф $K_6$ 2-раскрашен, то обязательно найти путем по крайней мере два однозначных треугольника. (Если их точно два и они разного цвета, они образуют галстук-бабочки.) Возникает интересный вопрос. Каково наименьшее число однозначных треугольников, которые получаются при 2-раскраске полного графа с $n$ вершинами? На этот вопрос первым ответил А. В. Гудман.

*) М. Гарднер. Математические новелы. — М.: Мир, 1974, гл. 33. Здесь и далее примечания С. В. Белого.

Формулу Гудмана удобно разбит на три части:

если $n=2k$, то наименьшее число однозначных треугольников равно $1/3 \cdot k(k-1)(k-2)$;

если $n=4k+1$, то наименьшее число однозначных треугольников равно $1/3 \cdot 2k(k-1)(k+1)$;

если $n=4k+3$, то наименьшее число однозначных треугольников равно $1/3 \cdot 2k(k+1)(4k-1)$.

Таким образом, для полных графов, имеющих от 6 до 12 вершин, наименьшее число однозначных треугольников равно соответствующего 2, 4, 8, 12, 20, 28 и 40.

При следующей 2-раскраске будет, как правило, получаться большие однозначных треугольников. Если раскраска графа Рамсея содержит в точности наименьшее число однозначных треугольников, то она называется экстремальной. Всегда ли существует экстремальная раскраска, в которой все однозначные треугольники имеют один и тот же цвет? В 1961 году Леопольд Сове показал, что ответ на этот вопрос утвержден.*) Это порождает новый класс головоломок. Например, на рисунке полный граф с 7-ю вершинами. Можно ли вы 2-раскранить этот граф так, чтобы не получилось синих треугольников и получилось не более четырех красных треугольников? (Ответ см. на с. 73.)

Очень мало известно о «классических» числах Рамсея. Классический число Рамсея — это число Рамсея, ответающее ситuation, когда все графы из заданного множества являются полными. Способа, который позволяет все возможные раскраски полных графов, поднимаясь по этой лестнице до тех пор, пока не будет найден граф Рамсея. трудность этой задачи возрастает экстремально и к тому же с такой скоростью, что она быстро становится недоступной никакому комью-
*) На самом деле ответ утвержден только для четырех $n$ и $n=7$.

18

terру. Еще меняше известно о том, кто выигравает — первый игрок или второй — при условии, что оба играют правильно. В случае игры Сим задача решения (выигравает второй игрок), но почтите ничего не известно об играх Рамсея, в которых участвует бóльшие полные графы.

Пока мы рассматривали только разновидность игры Рамсея, которое Фрэнк Харари, знаменитый специалист по теории графов, называл церой уклонения. Как он заметил, возможно, по крайней мере, три других типа игры. Например, в церре доступен (проводашейся на том же графе, что игра Сим) выигравает первый игрок, который завершит построение однозвечного треугольника. Две другие игры продолжают до тех пор, пока все линии не будут раскрашены, и выиграшим считается игрок, который завершил построение либо бóльшего, либо меньшего числа однозвечных треугольников. Эти последние две игры являются наиболее трудными для анализа, а игра доступена — наиболее легкой. Ниже под церрой Рамсея мы понимем церру уклонения.

Кроме числа $R(3,3)$, значение которого лежит в основе игры Сим, известно еще только пять нетривиальных классических чисел Рамсея для 2-раскраок:

1. $R(3,4)$ равно 9. При любой 2-раскраок графа $K_9$ мы обязаательно получим красный треугольник ($K_3$) или синий tetraэдр ($K_4$). Никто не знает, кто выиграивает, если игра в соответствии игру Рамсея.

2. $R(3,5)$ равно 14.

3. $R(4,4)$ равно 18. Таким образом, при любой 2-раскраок графа $K_{18}$ обязаательно получится однозвечный tetraэдр ($K_4$). (Это неполная игра Рамсея, но играть в нее не легко из-за трудности расознавания tetraэдров.) Указанное свойство 2-раскраок графа $K_{18}$ соответствует тому факту, что в любой команции из 18 человек найдется либо четверка попарно знакомых, либо четверка попарно незнакомых.

4. $R(3,6)$ равно 18. В той же самой команции (из 18 человек) найдется

лобо трое попарно знакомых,LOBо шестеро попарно незнакомых. В каком отношении эти два множества находится к двум tetraэдральным множеством из предыдущего примера — интересный вопрос, который как будто бы никто не исследовал.

5. $R(3,7)$ равно 23.*)

Заметим, что предыдущий список не содержит $R(5,5)$. Дело в том, что до сих пор никто не знает, чем равно число вершин полного графа, при любой 2-раскраске которого возникнет однозвечный граф $K_5$. Стефан Барр из Отделения дальней связи американской телефонной и телефонной компании, ведущий эксперт по рассевской теории графов, считает возможным, что число $R(5,5)$ никакогда не будет найдено, настолько велик скакок в сложности. Далее задача находится числа $R(4,5)$, полагает он, настолько трудна, что и она, возможно, никакогда не будет решена. В обихах случах, однако, известны оценки: число $R(5,5)$ находится между 38 и 67 включительно, а число $R(4,5)$ — между 25 и 29 включительно**).

Известно еще одно классическое число Рамсея, но уже для 3-раскраок. Это — число $R(3,3,3)$, и оно равно 17. Таким образом, при любой 3-раскраске графа $K_{17}$ обязательно получится однозвечный треугольник. На самом деле получится несколько однозвечных треугольников, но точное число их неизвестно***.

Равенство $R(3,3,3)=17$ впервые было доказано в 1955 году. В игре Рамсея для этого графа используется карандаш трех цветов. Игроки по очередной раскрашивают линей графа в любой цвет, какой они хотят, пока один из игроков не проиграет, завершив построение однозвечного треугольника. Кто выиграивает, если оба играются наилучшим образом? Никто не знает. Соответствующая головоломка Рамсея заключится в по-

*) Недавно с помощью ЭВМ было найдено еще одно классическое число Рамсея: $R(3,9)=36$.
**) Сейчас эти оценки имеют вид: $42\leq R(5,5)\leq 55$ и $25\leq R(4,5)\leq 28$.
***) Недавно было доказано, что получится как минимум 4 или 5 однозвечных треугольников.

19

строении 3-раскраски критического графа $K_{16}$, при которой отсутствует однозвательные треугольники. На четвертой странице обложки показано одно из двух существенного разных решений.

Что можно сказать о $R$ (3, 3, 3) — числе вершин минимального полного графа, при любой 4-раскраске которого возникает однозвательный треугольник? Это число неизвестно, хотя верхнюю оценку — 64 — для него нашел Йон Фолкман — блестящий комбинаторщик, погибший в 1964 году в возрасте 31 года. Лучшая нижняя оценка — 51 — содержится в диссертации Фан Чунг — молодой китаянки из лабораторий Белла.

Существует много захватывающих обобщений классического теории Рамсея. Найболее очевидное мы уже рассматривали; находжение того, что называется обобщенными числами Рамсея для $r$-раскраок полных графов, при которых обязательно возникают заданные подграфы, отличиные от полных x. Пионерами на этой территории были Вацлав Хватал и Харари; последние же пять лет раскопками на ней занимается Барр. Рассмотрим, например, задачу нахождения чисел вершин минимальных полных графов, в которых появляется однозвательная звезда с $n$ вершинами. Для 2-раскраок эту задачу первым решил Харари. В 1973 году Барр и Роберт решили ее для произвольного числа цветов.

Другая обобщенная задача Рамсея заключается в нахождения чисел Рамсея для 2-раскраок полных графов, при которых появляется определенное число «разобшенных» однозвательных треугольников. (Треугольники называются разобшенными, если они не имеют общих вершин.) В 1975 году Барр, Эрдеш и Спенсер доказали, что если разобшенные треугольников равно $d>2$, то соответствующое число Рамсея равно 5d. Для раскраок более чем в два цвета задача остается нерешенной.

Для колес задача не решена в общем случае даже для двух цветов. число вершин для колеса с четырьмя вершинами, т. е. для tetraэдра, равно, как мы видели, 18. Колесо

Рис. 3.

с пятью вершинами (т. е. «колесо с втулкой и четырьмя спицами») имеет число Рамсея 15. Для колеса с шестю вершинами задача не решена, хотя известно, что в этом случае число Рамсея лежит в пределах от 17 до 20 включительно. Предполагаемое его значение равно 20.*) Если оно действительное равно 20, то полные графы с 17-ю, 18-ю и 19-ю вершинами обладают 2-раскракой без шествершного (с пятую «спицами») колеса. Было бы весма интерсено получить такую раскраску хотя бы для $K_{17}$.

В 1968 году Рональд Грэхем, один из ведущих американских комбинаторов**, нашел острумное решение одной проблемы рамеевского типа, поставленной Эрдешем и Хайналом. Каков наименший граф, не содержащий $K_6$, при любой 2-раскраске которого возникает однозвательный треугольник? Грэхем нашел единственное решение, которое представляет собой восмывершенный граф, показанный на рисунке 3. Читатель может попытаться доказать, что этот граф обладает нужным свойством.

Что будет, если в последней задаче граф $K_6$ заменить другим полным графом? Вопрос бессмыслен для $K_3$, потому что $K_3$ — это и треугольник. В случае графа $K_5$ задача не решена. Найлучшее известное решение — это 18-вершный граф, построенный Робертом Ирвингом в

*) Недавно Фудри доказал, что это число не больше 19.
**) В этом номере (с. 21) мы публикуем интерсено с Рональдом Грэхем. (Примеч. ред.)

20

1973 году*). Случай графа $K_1$ еще дальше от решения. Фолкман в работе, опубликованной посмертно, доказал, что такой граф Рамсея существует. Однако число вершин графа, который дает конструкция Фолкмана, столб громадно, что его невозможно даже записать, не прибегая к специальным ухищреням. Эрдел

*) Волгарские математики Н. Г. Хадживанов и Н. Д. Ненов постройли пример 15-вершинного графа; они же доказали, что требуемый граф не может содержать менее 12 вершин.

Вселенная как тепловая машина

(Начало см. на с. 2)

должны записать

$$\varrho_* l_{\max}^2 = \text{const}'''.$$ (4)

Мы уже говорили, что объем замкнутого мира $V \approx l^3$. По порядку величины этот объем в максимуме расширяния равен $l_{\max}^3$, а полная масса материи М во Вселенной —

$$\varrho_* l_{\max}^3 = M.$$ (5)

Поделив (5) на (4), получим:

$$l_{\max} = \frac{M}{\text{const}'''}$$.

Итак, $l_{\max}$ пропорционально полной массе материи во Вселенной М. Но масса М складывается из суммы масс частиц, энергии их движения и энергии фотонов. Тепловая энергия все время увеличивается (согласно второму закону термодинамики). Это означает, что будет расти и М, а значит — и пропорциональная ей величина $l_{\max}$, характеризующая амплитуду пульсаций Вселенной. Таким образом, имеет место не затухание пульсаций, а их раскачка! Такой вывод был получен

$$\text{Создание выводу американского физика P. Толмена, так меняется во времени радиусных Вселенной.}$$

в 1934 году американским физиком P. Толменом. Откуда берется энергия на раскачку? Очевидно, раскачка идет за счет отрицательной энергии гравиатического поля (так что сумма положительного энергии и отрицательной не меняется, закон сохранения энергии выполянется).

Возможно ли, что наша реальная Вселенная описывает рассмотренной модель? Вряд ли это так. Дело в том, что хотя никакого подобия старой картины «тепловой смерти» не существует, но в ходе пульсаций тепло, энтропия все более накапливаются. Если бы было бесконечное число пульсаций, то и энтропия накапливаясь бы бесконечная. А этоого нет. Значит, бесконечного числа пульсаций не было. Но тогда исчезает главная привлекательная черта модели — ее бесконечное время существования в прошлом. И мы снова возвращаемся к проблеме начала. О том, как решается эта проблема современной науки, читатель сможет узнать из уже упоминавшейся книги «Как взорвалась Вселенная?».

Развев один миф — миф о «тепловой смерти Вселенной», — наука пришла к новой не менее загадочной проблеме — проблемы начала расширяния Вселенной. Именено на решении этой проблемы сосредоточено сейчас внимание специализов-kосмологов. Таков вечный путь познания, приключения в тайны природы, когда что-то познанное порождает еще более градинозные вопросы.

21

ИНТЕРВЫЮ С ПРОФЕССОРOM РОНАЛЬДОМ ГРЭХЕМОМ

— Профессор Грэхем, когда и каким образом вы впервые заинтересовались математикой? Что повлияло на ваш выбор: семья, учитель, книги, современная?

— Сильный интерес к математике я впервые почувствовал в начальной школе, в третьем или четвертом классе. Особенно хорошо помню, как, позакомившись с алгоритмом извлечения квадратных корней — вы знаете этот старый интерционный алгоритм,— я заинтересовался,возможно ли сделать то же самое для кубических корней и для более высоких степеней. И я нашел аналогичный способ решения. Меня поддержал учитель, хорошо относившийся к моим увлечениям.

Позднее, когда я учился в младших классах средней школы, мне помогали два других учитель. Видя, что я могу решить любую задачу по алгебре, учитель мне как-то сказал: «Вот задача, которую ты решить не сможешь».
В задаче решила о скорости роста популяции мышей, зависящей от их численности, т. е. мне пришлось бы иметь дело с дифференциальным уравнением. Что же, учитель оказался прав — задачу решить я не смог. Тогда он дал мне учебник анализа и сказаал: «Если хочешь узнать решение — прочити эту книгу». Я так и сделал. Тогда математика меня и захватила.

Do этого я увлекался звездами, собирался стать астрономом. Только позднее я узнал, что наблюдание за звездами — это еще далеко не вся астрономия. Но эта наука интересует меня по-прежнему. Кроме диплома математика у меня есть еще один — по физике.

Дома мне мало чем могли помочь. Дело в том, что в нашей семье я первым закончил колледж.

— Как вы стали математиком-исследовательем?

— Насколько я помню, в средней школе и на младших курсах университета такой цели я для себя не ставил — мне просто было интересно заниматься математикой. Потом, в 1950 году, я начал подготовку по специальной программе, дававшей право поступления в университете еще до окончания средней школы. Чтобы заниматься по этой программе, необходимо сдать определенные тестовые экзамены. По математике я оказался лучшим в Соединенных Штатах. В 15 лет я поступил в Чикагский университет, в котором знаменитый професитель Р. М. Хатчинс ввел тогда

23

менитый венгерский математик П. Эр-деш, который решение задач ставит выше всего остального и разработал сравнительно мало систематических теории. Я бы сказал так: сначала обычно работаешь над решением конкретной задачи, потом подмечешь какую-то закономерность. Но как только появляется методика, применяя к решению всех задач данного типа, ее можно развить, и она превращается в теорию.

Область математики, в котором я работаю — комбинаторика. Долгое время ее считали тихой заводу топологии. Лет dvенадцать тому назад французский математик Ж. Дьедонне назвал комбинаторку «математикой на завтрак». Думаю, он имел в виду, что это лишь преддверие главного этапа ее развития. Есть и другая крайность: иной раз, говоря о комбинаторике, ее называют «комбинаторной теории». Как теория, она еще не сравнима с алгебраической топологией или дифференциальной геометрией, хотя в них многие ключевые результаты и носят комбинаторный характер.

Конкретные задачи можно рассматривать как ступени создания методики или теории: если методика хорошо для решения данной конкретной задачи, значит исследование идет по верному пути. Здесь возникнет и более глубокий вопрос: создана ли математика искусственного или она существенно вечно? Большинство математков, которые я знаю, утверены, что математика в каком-то смысле существенно реагирует ее для людей. Но тут можно просить: как же в таком случае быть с музыкой, с Бетховеном?

Открыл ли он фортепианную сонату, посвященную Вальдштейну*) или создал ее? Ответ, наверное, можно формулировать следующим образом: принципиы, которые легли в основу сонаты, существовали, но их непосредственное применение, сами notы — все уже сотрудено композитором. То же относится и к математике: можно

*) Соната № 21 До.maxор «Аврора». (Примеч. перев.)

24

но придумать конкретиное доказательство, но не его основополагающие принципы. Теория чисел, теорема о разложении на простые множители остатуса без изменения и на другой планете. В других области, например в квантовой механике, наблюдаемые может изменить или создать наблюдаемое, хотя это и кажется несколько танистенным.

Возвращаясь к вашему вопросу, хочу добавить, что решить конкретиную задачу всегда интересно, но это еще не дает полного удовлетворения. Нужно идти дальше: открыть методку гораздо важнее, чем получить отдельный результат.

— Один из наших читателей прислада нам следующую задачу, связанную с гипотезой Эрдша: $n$ бесконечных арифметических прогрессий покрывают первые $2^n$ натуральных чисел; доказать, что они покрывают весь натуральный ряд. Что вы можете сказать про эту задачу?

— Это утверждение, или его вариант с заменой $2^{2n}$ на $2n!$, сравнительно несколько доказать по индукции. Но дело в том, что сама гипотеза Эрдша (в котором вместо $2^{2n}$ фигурирует $2^n$ — и эта оценка уже точная!) доказана Криттенденом и Ван ден Эйденом (1969 г.). Доказательство трудное, о нем коротко не расскажешь.

При решении подобных задач очень важен первый этап — убедиться, справедлива ли гипотеза: вы то пытаетесь строить контрипмеры, то — доказываете какие-то частные случаи, более слабые утверждения или следствия гипотезы; так проискодит, пока вы окончательно не обретете уверенность в справедливости того, что доказываете.

— Задание на арифметические прогрессии связаны с именем Ван-дер-Вардена. Имеются ли хорошо задчи по этой тематике?

— Вот интересная задача, связанная с теоремой Ван-дер-Вардена: Обозначим, в его числе, через $W(k)$ наименьшее натуральное число такое, что при любом разбиении чисел от 1 до $W(k)$ на два класса, хотя в одном из них найдется $k$-членная арифметическая прогрессия. (Ван-дер-Варден доказал, что $W(k)$ существует при любом $k$.) Легко видеть, что $W(2)=3$, $W(3)=9$; известно еще, что $W(4)=35$, $W(5)=178$, но уже $W(6)$ не найдено даже с помощью компьютера. Я предложаю гипотезу, что $W(k)$ растет не быстрее, чем «башня» из $k$ двое $2^{2n}$. Но есть основания сомневаться даже в этой оценке: есть некоторые похожие комбинаторы задачи, связанные с именем Рамсея, где встречаются функции, растущие еще быстрее. Вы знаете, есть такая широко известная на Западе «Книга рекордов Гинесса». Так вот, там есть «самое большое число, реализно использованное в математическом доказательстве». Оно было придумано мной в связи с одной задачей теории Рамсея.

— Одазадача такого «рамсевского» типа, который также занимается Эрдшем, недавно обсуждалась в «Кванте»: из какого наименьшего числа $S(k)$ точек на плоскости можно заведом выбрать $k$ точек, лежащих в вершинах выпуклого $k$-угольника? Есть гипотеза Секерша, что $S(k)=2^{k-2}+1$. Видимо, надежда на ее доказательство в общем случае пока не прибавилось?

— Да, найти значение $S(k)$ или даже дать хорошее его оценки — видимо, очень трудная задача. Задачу можно выражать: доказать, что при большом числе точек $N$ среди всех $k$-угольников с вершинами в этих $N$ точках должна выпуклых составлять не менее $C_k$, где $C_k>0$ зависит только от $k$, и пытается оценить $C_k$. А вот еще вариант этой задачи: найти из какого числа $n=f(k)$ точек всегда можно выбрать «пустой» выпуклый $k$-угольник (т. е. такой, внутри которого больше нет ни одной из этих $n$ точек). Оказывается, такое $f(k)$ существует для $k=3$, 4 и 5, а для $k\geq 7$ его просто не существует. Для $k=6$ — никакого ничего не знает.

А вообщее эту задачу Эрдшем называет «задачей со счастливым комом»: дело в том, что его вместе с Секершом увлеклась его спиранта Эстер Клейн, и все это кончилось тем… что спиранта стала женой Секерша.

— Могли бы высказать что-нибудь об истоках теории Рамсея, приведенные примеры теории Ramсея, привести примера теории Ramсея такое утверждение:

— В качестве почты шуточного, но типичного примера Ramсеевского теории приведу такое утверждение:

25

среди любых б людей всегда существует 3 попарно знакомых или 3 попарно незнакомых.*) Такие теоремы возникали и до Рамсея. Например, есть такая известная теорема И. Шура, доказательство которого, пожалуй, по плену наиболее подготовленным читателем «Кванта»; при любой раскраске чисел натурального ряда в два цета существует monoxроматическое решение (x, y, z) диффантово уравнения x+y=z (т. е. решение, составленное из чисел x, y, z одного цета). Занимаясь более тщательным изучением истории, я пришел к выводу, что впервые теорема рамеевского типа появлялась в трудах Д. Гильберта в 1892 году.

— Если уж говорить о предыстории теории Рамсея, не какется ли вам, что следует вести не от результатов Шура, а скорее от «причина ящиков» Дирихле?

— Ну, это уж слишком далекая история, это времена Адама и Евы!

— Есть задачи, которые нежиданно завоевывают популярность. Например, вы, конечно, слышали о такой: начав с некоторого натурального x₀, положим x₀+1=x₀/2, если x₀ четно, и x₀+1=(3x₀+1)/2, если x₀ — нечетно; всегда ли в этой последовательности встретися 1 (после чего она зацикливается)? Недавно школьники принесли нам лист с огромными машинными экспериментами, показывающими, как непредсказуемо поведение этой последовательности. Каждыйли вам подобные задачи интересными?

— О таких задач — просто формулируемых, но порой очень сложных, — трудно заранее сказать, есть ли в них какая-либо математическая идея, сложны они или нет, стоит ли на них траить больше числа. Но среди задач про «интерации» есть постине uidительные. Например, вы знаете, как обычно могут вести себя последовательности, задаваемые простыми формулиами типа x₀+1=x₀(a−x₀). Возьмем такую, более сложную, формулу: x₀+2=(1+x₀+1)/x₀. Оказывается (если в ней не встречается 0 или —1), она всегда периодна 5. А x₀+3=(1+x₀+1)+x₀²)/x₀ — с периодом 8. Есть ли еще подобные примеры? (Кажется, для линейных выражений в числи-

*) См. статью М. Гарднера в этом номере. (Примеч. ред.)

теле и знаменатель их больше нет, но из многочленов более высокой степени их можно сконструировать.)

Еще пример: положим

xₙ+1=[√2xₙ(xₙ+1)], x₁=1,

где […] — «целая часть»; тогда первые члены будут 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13. Ясно, что xₙ растет примерно как √2n, так что xₙ+2 примерно вдвое больше xₙ. Оказывется, dₙ=x₂n+1−2x₂n+1 будет 0 или 1, и если записать их по порядку, то мы получим 1,011010100 … — в точности двойную запись √2! Для √3, например, ничего подобного я уже не знаю.

Последний пример: пусть ψ₁=2, ψₙ+1=ψₙ−1/ψₙ. Будет ли ψₙ неограниченным? Ответ почти наверняка положительный, но никто это не умеет доказать.

— Считайте ли вы, что вычислительная наука, информаτικά, поглотит математике?

— Это довольно трудный вопрос. Большинство наиболее талантливых ученых в США пользовятся компьютерами с самого начала своей научной деятельности. Если их интересуют графы или числа, то на компьютере можно проводить самые разнообразные эксперименты. Играя в компьютерные игры, школьники в США начинают пользоваться компьютерами в возрасте 6—7 лет. Потом круг математических занятий можно расширить с помощью тех же компьютеров.

Ситуация на рынке рабочей силы такая, что спрос на специализитов по вычислительных методам огромен. Поэтому многое талантливое молодое лицо рассматривает компьютеры в контексте своей будущей профессии.

Как молодые, так и уже признанные математики приходит к выводу, что вычислительный эксперимент является источником важных и интересных задач. Например, на Международном конкурсе в Беркли результаты трех из шестнадцатей пленарных докладов были построены на использовании компьютеров. Работа многохотных математиков связана с «гиперкубическим машинами». В них входит около 64 000 процессов, соединен-

27

Задачи

M1096 — М1100, Ф1108 — Ф1112

M1096. Диаметр $d$ окружности разбит на $k$ равных частей, и через каждую точку деления проведена хорда, перепределения диаметру. Докажите, что сумма длины всех хорд не меньше 0,5 $kd$ и меньше 0,8 $kd$.

P. Харитонов, А. Чазиров (ученики 10 класса)

M1097. Координаты вершин равноведенного треугольника — целые числа. Докажите, что квадрат основания — четное число.

B. В. Произвольов

M1098. На окружности расставлены $n$ точки, заиммерованных подряд числа 1, 2, …, $n$. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит хорд, соединяющий две точки с номерами одной четверти. Любая хорда не должна иметь общих точек (далее концов) с проведенными ранее. Победает тот, кто делает последний ход. При каждой $n=4, 5, 6, ...$ выясните, кто из играков имеет выигрышную стратегию: начинаяющий или его партнер.

B. Г. Чеваов

M1099*. В отряде, ведущем подготовку к полету на Марс, 6783 космонавта, причем известно, что среди любых четырех из них можно выбрать троих, составляющих сложный экппалж для посадочного_modуля. Докажите, что можно выбрать 5 космонавтов, любые трое из которых составляют сложный экппалж.

H. Н. Силкин, М. В. Волков

M1100*. На берегу прямолинейной реки лежат брева (не пересекающие друг друга отрезки; рис. 1). Каждое брево составляет с линейной брегау угол меньше 45°. Докажите, что для любого расположения бреев обяза-тельно найдется брево, которое можно закатить в реку, не задавая остальных. (Поворачивать брево при качении не разрешается.)

B. Г. Ильцче

Ф1108. Для нагладной демонстрации воздействия лазерного излучения на вещество изготовлена мишень в виде маленького сербряного шарика, закрепленного в вершине легкого пистолетного конуса (рис. 2). Одна сторона шарика отполирована, а другая зачерена. Мишень установливают основанием конуса на шероховатую горизонтальную плоскость и на поверхности шарика-мишени фокусируют излучение от мощного импульсного лазера.

Оцените, при какой минимальной энергии светового импульса произойдет опрокидывание мишени. На какую из сторон шарика (отражающий или поглошащую) следует направить излучение?

Считайте, что масса шарика $m=3$ г и много больше массы конечной подставки; высота конуса $h=6$ см, диаметр основания $d=3$ мм; коэффициент отражения отполированной поверхности $r=0,99$, коэффициент поглошения зачеренной поверхности $a=0,99$; длительность лазерного импульса $\tau=10$ нс.

E. Н. Юносов, И. В. Яминский

28

Ф1109. С наклонной плоскости скатывают две бутылки: одна — пустая, другая — заполненная водой. Какая из них скатится быстрее? Какая из этих бутылок поднимается на большую высоту, если их пускить вверх по наклонной плоскости с одинаковыми начальными скоростями? Считать, что просkalъывания нет.

А. И. Буздин

Ф1110. Почему, когда при температуре около 0 °C ещё мороженое, пар изо рта начинает идти сливнее?

А. Ю. Алексеев

Ф1111. Равномерно заряженную полусферу разрезали на две части так, как показано на рисунке 3 (по линиям aa′), и эти части разнесли на большое расстояние. В какой точке направность электрического поля больше — в точке A′ или в точке A″ (см. рисунок)?

С. Ф. Ким, А. И. Латынин

Ф1112. В схеме, приведенной на рисунке 4, при разомкнутом ключе К конденсатор заряжен до некоторого напряжения U₀. Ключ замыкают, и через какое-то время ток в цепи прекращается. Какова должа быть величины U₀, чтобы направление на конденсатор установилось равным Uᵧ=1 В при изменившейся полярности пластин, если ЭДС каждой батареи в цепи δ=1,5 В? Диоды считать идеальными.

А. И. Киркинский

Problems

M1096 — M1100, P1108 — P1112

M1096. The diameter d of a circle is divided into k equal parts and a chord perpendicular to the diameter is drawn through each dividing point. Prove that the total length of all the chords is not less than 0.5kd and less than 0.8kd.

R. Kharitonov, A. Chagirov (10th form students)

M1097. The coordinates of the vertices of an isoceles triangle are integers. Prove that the square of the base is an even number.

V. V. Proizvolov

M1098. n points on the circle are numbered in order 1, 2, …, n. Two play the following game. Each player in turn draws a chord joining points of the same parity. Each chord has no common points and no common end points with any other. The player who makes the last move wins. For each n=4, 5, 6,… determine which player (the one making the first move or his opponent) has a winning strategy.

V. G. Chvanov

M1099*. A group of 6783 astronauts prepares for a flight to Mars. It is known that among any four of them three can be chosen, forming a compatible crew for the landing module. Prove that it is possible to chose 5 astronauts, any three of whom constitute a compatible crew.

N. N. Silkin, M. V. Volkov

M1100*. Logs (non intersecting segments) lie near the rectilinear shore of a river, each forming an angle of less than 45° with the shoreline. Prove that one of the logs may be rolled into the river.

30

щую следва звездочек (*) на знак сложения или умножения; при этом ни одна цифра не должна встречаться дважды. В конце церы вычисляется значение полученного выражения. Если это четное число, то выгрывает первый црок, нечетное — второй. Кто выгрывает при правильной црере?

**M1076. Биссектриса угла A остроугольного треугольника ABC пересекает сторону BC в точке L, а описанную окружность треугольника — в точке N (отличной от A); К и M — основания перпендикуляров, опущенных из L на стороны AB и AC. Доказите, что чет孵уольник AKNM равновелик треугольнику ABC.

M1077. Пусть $p_n(k)$ — число перестановок множества из $n (n \ge 1)$ элементов, имеющихровно $k$ неподвижных точек. Докажите, что:

$$\begin{array}{l} a) \sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = \\ = 0 \cdot p_n(0) + 1 \cdot p_n(1) + \dots \\ \dots + n \cdot p_n(n) = n! \\ 6) \sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = n!. \end{array}$$

других случайх). Поскольку у второго игрока к последнему ходу остается заведomo четная цифра, независимо от выбора операции окончательный результат будет четным.

С. А. Генкин

Площадь треугольника ABC равна $(AB \cdot AC \cdot \sin \alpha)/2$, где $\alpha = \angle BAC$, а площадь четырехугольника AKNM равна $AN \cdot KM/2$ (поскольку, очевидно, его диагонали AN и KM перепendlukлярны). Поэтому достаточно доказать, что $AB \cdot AC \cdot \sin \alpha = AN \cdot KM$.

Треугольники ACL и ANB подобны ($\angle CAL = \angle NAB$, так как AL — биссектриса, а $\angle ACL = \angle ANB$, так как эти углы опираются на одну и ту же дуг AB окружности ABC). Следовательно, $AB/AN = AL/AC$, т. е. $AB \cdot AC = AL \cdot AN$. Остается заметить, что $KM = AL \cdot \sin \alpha$ (KM — это хорда окружности с диаметром AL, на котором опирается вписанный в эту окружность угол KAM величины $\alpha$).

И. А. Кушинр

a) Заметим прежде всего, что

$$\sum_{k=0}^{n} p_n(k) = n!,$$

так как влевой части стоит суммарное число перестановок, имеющих 0, 1, …, $n$ неподвижных точек, т. е. просто число всех перестановок. Тепер доказем, что при $1 \leq k \leq n$

$$kp_n(k) = np_{n-1}(k-1),$$

считая, что $p_0(0) = 1$. Для этого подсчитаем двумя способами число $N$ пар $(f, i)$, где $f$ — произвольная перестановка $n$ элементов с $k$ неподвижными точками, а $i$ — любая из этих точек $(f(i)=i)$. С одной

31

Примечание. Перестановкой конечного множества $S$ называется взаимно однозначное отображение $f$ множества $S$ на себя; число всех перестановок множества из $n$ элементов равно $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$. Элемент $a$ множества $S$ называется неподвижной точкой перестановки $f$, если $f(a) = a$.

стороны, каждая из этих $p_n(k)$ перестановок входит в $k$ пар, поэтому $N = kp_n(k)$. С другой стороны, если $f(i) = i$, то на множестве из $n-1$ элементов, отличных от $i$, перестановка $f$ имеет $k-1$ неподвижных точек, следовательно, каждый из $n$ элементов $i$ входит в $p_{n-1}(k-1)$ пар, т. е. $N = np_{n-1}(k-1)$.

Суммируя равенства (2) по $k=1, \dots, n$ и учитывая (1) (с заменой $n$ на $n-1$), получим

$$\sum_{k=0}^{n} kp_n(k) = n \sum_{k=1}^{n} p_{n-1}(k-1) = n \cdot (n-1)! = n!.$$

6. Докажем сразу более общее точекство

$$s(n, m) = \sum_{k=m}^{n} \frac{k!}{(k-m)!} p_n(k) = n!$$

при всех $n \geq m$, $m=0, 1, 2, \dots$ (по определению, $0!=1$). При $m=0$ оно совпадает с (1), при $m=1$ — с утверждением a), а при $m=2$ эквивалентно 6), поскольку

$$\sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = \sum_{k=0}^{n} k(k-1)p_n(k) - \sum_{k=0}^{n} kp_n(k) + \sum_{k=0}^{n} p_n(k) = s(n, 2) - s(n, 1) + s(n, 0).$$

Из точекства (2) следует, что при $1 \leq m \leq k \leq n$

$$\frac{k!}{(k-m)!} p_n(k) = k(k-1) \dots (k-m+1)p_n(k) = n(k-1) \dots (k-m+1)p_{n-1}(k-1) = n(n-1)(k-2) \dots (k-m+1)p_{n-2}(k-2) = \dots = n(n-1) \dots (n-m+1)p_{n-m}(k-m) = \frac{n!}{(n-m)!} p_{n-m}(k-m).$$

Суммируем эти равенства по $k=1, 2, \dots n$:

$$s(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!} s(n-m, 0) = n!.$$

Другое доказательство (3) можно получить из почты очевидного соответствия $p_n(k) = C_n^k p_{n-k}(0)$, где $C_n^k = n!/(k!(n-k)!)$ — число $k$-элементов подмножества множества из $n$ элементов (число сочетаний).

Наш читатель Л. М. Коганов (Москва) сообщил еще об одном обобщении этой задачи, принадлежащем американскому математике Дж. Голдману: если $S(q, i)$ — это число разбиений множества $\{1, 2, \dots, q\}$ на $i$ непустых непересекающихся множества, то

$$\sum_{k=0}^{n} k^q p_n(k) = n! \sum_{i=1}^{m} S(q, i),$$

где $m=\min(n, q)$. Доказательство этого соответствия, предложенное Л. М. Когановым, написано вывод формулы (2) и совпается к подсчету двумя способами kolicheства пар $(f, \varphi)$, где $f$ — произвольная перестановка множества из $n$ элементов, а $\varphi$ — произвольное отображение множества $\{1, 2, \dots, q\}$ в множестве неподвижных точек перестановки $f$.

В. Н. Дубровский

32

М1078. Функция $f$ определяла на множество $N_0$ всех неотрицательных целых чисел и принимает значение в этом множество. Доказите, что равенство $f(f(n))=n+1987$ не может выполнять для всех $n \in N_0$.

Допустим, что утверждение задачи неверно и функция $f$, удовлетворяющая $f(f(n))=n+1987$ при $n \in N_0$, существует. Тогда
$$f(n+1987)=f(f(f(n)))=f(n)+1987,$$
и, следовательно,
$$f(n+1987k)=f(n)+1987k$$
()
при всех $n, k \in N_0$. Расмотрим теперь произвольное целое $r$, $0 \leq r \leq 1986$, и поделим число $f(r)$ на 1987 с остатком:
$$f(r)=1987p+q, 0 \leq q \leq 1986.$$
По условиям $f(f(r))=r+1987$, и в силу () $f(f(r))=f(q)+1987p$. Поскольку $r \leq 1986$, возможно только два случая:

1. $p=0$, т. е. $f(r)=q$, а $f(q)=r+1987$;
2. $p=1$, т. е. $f(r)=q+1987$, а $f(q)=f(f(r))-1987=r$.
   В обих случаях, очевидно, $f(r) \neq f(q)$, а значит, $r \neq q$. Таким образом, множество $0, 1, ..., 1986$ можно разбит на пары $(a, b)$ так, что в каждой паре $f(a)=b, f(b)=a+1987$. Но в этом множество нечетное число элементов. Полученное противоречие показывает, что функции с требуемыми свойствами не существует.

В. В. Вавилов

М1079. Пусть $n$ — натуральное число, $n \geq 3$. Можно ли расположить на плоскости $n$ точек так, чтобы расстояние между любыми двумя выражальными иранциональными числом, а площадь треугольника с вершинами в любых трех —ранционными числом (отличным от нуля).

Graph

М1080. Пусть $q$ — натуральное число, $q \geq 2$. Доказите, что если $k^2+k+1$

Ответ: можно; искомыми точками являются, например, точки $P_i(i; i^2)$, $i=1, 2, ..., n$, т. е. точки на параболе $y=x^2$ с натуральными абсциссами.

В самом деле,
$$P_iP_j=\sqrt{(j-i)^2+(j^2-i^2)^2}=|j-i|\sqrt{1+(j+i)^2}.$$
No число вида $1+m^2$ (у нас $m=j+i$) не может быть квадратом рационального числа $r$, потому что в таком случае $r$ было бы натуральным и из равенства $r^2=1+m^2$ получалось бы противоречное неравенство:
$$1=r^2-m^2=(r-m)(r+m) \geq r+m>1.$$
Таким образом, все расстояния $P_iP_j$ irrationalны.

В то же время площадь треугольника $P_iP_jP_k$ при $i<j<k$, как видно из рисунка, равна
$$\frac{1}{2}((k-i)(k^2-i^2)-(k-j)(k^2-i^2)-(k-i)(j^2-i^2)),$$
т. е. рациональная.

Вообщее, площадь любого треугольника, вершины которого имеют целые координаты, рациональная. Это показывает, что условия задачи целочисленной решетки, заботясь лишь о том, чтобы расстояние между ними были irrationalны.

В. В. Вавилов

Достаточно доказать, что если среди чисел от 0 до $q-2$ есть такое $k$, что $f(k)=k^2+k+q$ — составное, то такое число есть и в промежутке от 0 до $\sqrt{q/3}$.

33

+q — простое число для всех целых k, где 0 ≤ k ≤ √q/3, то k² + k + q — простое для всех целых k, где 0 ≤ k ≤ q - 2.

Пусть y — наименьшее целое неотрицательное число, такое что f(y) — составное. Обозначим через p наименьший простой делитель f(y), тогда f(y) ≥ p². Ниже мы докажем, что если y ≤ q - 2, то p ≥ 2y + 1, ввиду чего

$$y^2 + y + q \geq (2y + 1)^2 = 4y^2 + 4y + 1,$$

и, следовательно, y² < q/3, т. е. y < √q/3.

Итак, остается доказать, что p ≥ 2y + 1 при y ≤ q - 2.

Предположим противное: p ≤ 2y и рассмотрим разность

$$f(y) - f(x) = (y - x)(y + x + 1).$$

Когда x изменяется от 0 до y - 1, выражение y - x принимает значения y, y - 1, …, 1, а y + x + 1 — значения y + 1, y + 2, …, 2y. Следовательно, при некотором x, 0 ≤ x ≤ y - 1, число f(y) - f(x) делится на p. Но в силу выбора y и p число f(y) делится на p, а f(x) — простое, поэтому f(x) должно быть равно p. В то же время y - x < y + x + 1 ≤ q + x - 1 < q + x + x² = f(x),

позному p = f(x) не может делить (y - x)(y + x + 1). Противоречие.

Заметим, что результат задачи применим к значению трехчлену Эйлера f(x) = x² + x + 41: легко проверить, что f(x) простое для x = 0, 1, 2, 3, а отсюда (поскольку √41/3 < 4) следует, что f(x) — простое для всех 40 целых x от 0 до 39.

В. Ф. Лев

Ф1088. Невесомая листница закреплена во врачающем со скоростью f = 10 об/min неевесом подвесе так, что может свободно качаться относительно верхней ступенки (рис. 1). Обезьяна массой m = 30 кг начинает спускаться по листнице. На каком расстоянии l от подвеса она будет находиться, когда вертикальное положение листницы перестанет быть устойчивым?

Пусть листница отклонилась от вертикали на малый угол a. В этот момент движение обезьяны будем рассматривать как движение по окружности радиусом ~lα (рис. 2). Центрстремительное ускорение обезьяны —

$$a = (2\pi f)^2 l\alpha.$$

Это ускорение ей может сообщить слара реакции T со стороны листницы — это единственная сила, которая имеет проекцию F на горизонтальную плоскость. Если F > ma, то обезьяна (с листицей) будет возвраться к вертикалью — вертикальное положение листницы будет устойчивым.

Из рассмотренная丝 (рис. 2) ясно, что F = mga. Из условия

$$mg\alpha > m(2\pi f)^2 l\alpha$$

находим:

$$l < g/(2\pi f)^2 = 10 \text{ m}.$$

При l больше 10 м равновесие неустойчивое.

А. В. Андрианов

34

Ф1089. При перелете со станции «Мир» на станцию «Салют-7», которые находились на одной орбите, наши космонавты затормозили свой корабль, перешли на более низкую орбиту и за время t=30 часов назад «Салют-7», который летел вперед «Мира» на расстоянии L=3000 км. Считая орбиты круповыми, определять, на сколько километров проектуная орбита ниже основной. Высота обеих орбит mnoго меньше радиуса земли R₃=6400 км.

Запишем разность угловых скоростей корабля на промежуточной орбите и станции:

$$\omega_1 R_1 t - \omega_2 R_2 t = (\omega_1 R_1 - \omega_2 R_2) t = R_3 t (\omega_1 - \omega_2) \approx L \Rightarrow (\omega_1 - \omega_2) = L/R_3 t$$

(мы учили, что высоты орбит мы по сравнению с радиусом земли, т. е. $R_1 \approx R_2 \approx R_3$). В то же время, учитьвая, что $\omega = \frac{v}{R} = \sqrt{\frac{GM}{R^3}} = \sqrt{\frac{g R_3^2}{R^3}}$ (M — масса земли), можно записать:

$$\omega_1 - \omega_2 = \sqrt{g R_3^2} \left( \sqrt{\frac{1}{R_1^3}} - \sqrt{\frac{1}{R_2^3}} \right) =$$

$$= \sqrt{g R_3^2} \left( \sqrt{\frac{1}{(R_2 - \Delta R)^3}} - \sqrt{\frac{1}{R_2^3}} \right) \approx$$

$$\approx \sqrt{\frac{g}{R_3}} \left( \sqrt{\frac{1}{(1 - \Delta R/R_3)^3}} - 1 \right) \approx \sqrt{\frac{g}{R_3}} \frac{1/(1 - \Delta R/R_3)^3 - 1}{\sqrt{1/(1 - \Delta R/R_3)^3} + 1} \approx \sqrt{\frac{g}{R_3}} \frac{3 \Delta R/R_3}{2}$$

(2)

Приравняв выражения (1) и (2), найдем $\Delta R$:

$$\Delta R = \frac{2 L}{3 t} \sqrt{\frac{R_3}{g}} \approx 15 \text{ км.}$$

М. В. Семенов

Ф1090. Ясно морозной почью посмотрите на небо. Какие звезды мерцают более заметно: находящая высоко над горизонтом или низко, и почему?

Мерцание звезд обусловлено турбулентными потоками воздуха в земной атмосфере, которые возникают из-за неравномерного протрева атмосферы. В основном это восходящие потоки, возникшие из-за разности температуры земной поверхности и прилегающих к ней слоев воздуха. Эти потоки приводят к тому, что плотность atmosферы в данной месте непрерывно меняется. Соответственно, меняется показатель преломления, и поэтому идуще от звезд лучи света преломляются то в одном, то в другом направлении — звезды мерцают. Этот эффект особенно заметен в близки земли; поэтому «низкие» звезды, лучи которых по пути к наблюдаемой проходят больший путь в близки земли, чем лучи «высоких» звезды, мерцают заметнее.

А. С. Бутов

Ф1091. Подвешенный на нераstraжимой нити длиной l шарик с массой m и загядом q находится в центре обруча, по которым равномерно распределен заряд Q (рис. 1). Радиус обруча R; заряды q и Q однозначные. Определить

Пусть шарик сместился на малое расстояние $\Delta x$ ($\Delta x \ll R$) от центра обруча (смещение по вертикали при этом пропорционально $\Delta x^2$, и мы им пренебрежем, считая, что движение пропорционать в плоскости обруча). Посмотрим, какая сила $F_3$ действует на заряд q шарика со стороны заряда обруча Q. Из сообщений симметрии (см. рис. 2) понятно, что направенно поля, создаваемого зарядом Q в точке A, направлена вдоль радиуса обруча. Так же направлена и сила $F_3$.

35

Чтобы найти $F_3$, посчитаем силу $f_3$, действующего на заряд $q$ со стороны малого элемента обруча, находящейся на расстоянии $r$ от заряда $q$ (см. рис. 2). Заряд этого элемента —

$$\Delta Q = \frac{Q}{2\pi R} R \cdot \Delta \gamma = \frac{Q}{2\pi} \Delta \gamma \approx \frac{Q}{2\pi} \Delta \varphi$$

(φ≈γ, поскольку Δx≈R). Выразим $r$ через $R$ и Δx (восползовавшись теорем косинусов):

$$r^2 = R + (\Delta x)^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \gamma \approx R^2 + (\Delta x)^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi \approx R^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi.$$

Таким образом,

$$f_3 = -k \frac{\Delta Q \cdot q}{r^2} \approx -k \frac{Qq}{2\pi} \frac{1}{R^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi} \Delta \varphi.$$

Полная сила $F_3$ равна $\int_0^{2\pi} f_3 \cos \varphi d\varphi$, т. е.

$$F_3 = -k \frac{Qq}{2\pi R^2} \int_0^{2\pi} \frac{\cos \varphi}{R^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi} d\varphi \approx -k \frac{Qq}{2\pi R^2} \left(1 - \frac{2\Delta x}{R} \cos \varphi\right)^{-1} \cos \varphi d\varphi \approx -k \frac{Qq}{2\pi R^2} \left(1 + \frac{2\Delta x}{R} \cos \varphi\right) \cos \varphi d\varphi = -k \frac{2Qq \cdot \Delta x}{2\pi R^3} \cos^2 \varphi d\varphi = -k \frac{Qq \cdot \Delta x \cdot \pi}{2\pi R^3} = -k \frac{Qq}{R^3} \Delta x.$$

Тепер запишем уравнение движения шарика:

$$m(\Delta x)'' = -\left(m g \sin \alpha + k \frac{Qq \cdot \Delta x}{R^3}\right),$$

где α — угол отклонения ниги маятника от вертикали. Поскольку нас интересют малые колебания, sin α≈Δx/l, и

$$m(\Delta x)'' = -\Delta x \left(m \frac{g}{l} + k \frac{Qq}{R^3}\right).$$

Это — уравнение гармоничских колебаний с частотой

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} + k \frac{Qq}{R^3 m}.$$

Г. В. Грицорье

36

Ф1092. Найти положение изображения точного источника, находящегося на расстоянии L от передней поверхности толстой плоскопаральной стеклянной пластины, посередней с задней стороны (см. рисунок). Изображение рассматривается перепределкулярно к поверхности пластины. Толщина пластины d, показатель преломления стека n.

На рисунке выполнен построение изображения в пластине. Как видно из рисунка, изображение находится за пластиной на расстоянии $x = \frac{l}{\varphi} - L = L + \frac{2d}{n}$ от передней поверхности.

В. К. Петерсон

Избранные школьные задания

Восьмой класс

1. Решите систему уравнений
   $x_1 + x_1x_2 = 1,$
   $x_2 + x_2x_3 = 1,$
   $x_{99} + x_{99}x_{100} = 1,$
   $x_{100} + x_{100}x_1 = 1$.

2. Докажите, что существует натуральное число, куб которого оканчивается на 1987.

3. Даны 3 целых положительных числа. Их наиболее общий делитель равен 1, сумма любых двух делителя на третье. Найди эти числа.

4. Даны три положительных числа $x, y, z$. При каком условии существует треугольник, высоты которого имеют длины $x, y, z$?

5. В одной книге описан такой случай. Резиновый мяч в дверь комнаты, отражается от стены, потом — от другой стены и, не задев ни одного предмета, в дверь в точности там, где он влетел. Могло ли это быть?

Девятый класс
6. Решите систему уравнений
$\sin x + \sin y = \sqrt{2} \sin a,$
$\cos x + \cos y = \sqrt{2} \cos a$.

7. Квадратное уравнение $x^2 + px - q = 0$ имеет решение. Числа $p$ и $q$ изменены, каждое не более чем на 1 % от его абсолотной величины. Известно, что получшеся уравнение так-

же имеет решение. Можно ли гарантировать, что большее из решений нового уравнения отличается от большого из решений старого уравнения не более, скажем, чем на 10 % от абсолотной величины последнего?

8. Каков наиболее возможный радиус круга, в котором можно расположить четыре неперекрыващих круга радиусом 1?

9. Даны четыре отрезка длиной $a, b, c, d$. При каком условии из них можно составить замкнутую самопересекающую ломанную, наккие три вершины которого не лежат на одной прямой?

10. Нарисуйте график функции
    $y = |1 - |1 - |1 - |1 - |x|$.

Десять класс
11. Решите в целых положительных числа уравнения $x^y = 48 261 724 457$.

12. Найди общего области определения функции
    $f_n(x) = \sqrt{x + \sqrt{x + \ldots + \sqrt{x + 1}}}$.

13. Дан многогранник, ни одно плоское сечение которого не имеет больше 4 сторон. Докажите, что это — тетрадр.

14. Примой круговой цилиндр и прямой круговой конус имеет общее основа. Obъем каждой из них равен 1. Найди объем их общеей части.

15. При каких $a$ и $b$ формула $\sqrt{x} \approx ax + b$ гарантирует наиболее точность при $4 \leq x \leq 9$. Другими словами, при каких $a$ и $b$ наиболее значение выражения $|\sqrt{x} - (ax + b)|$ при $4 \leq x \leq 9$ является наиболее точным?

Публикацию подготовлен Д. В. Фукс

38

ДЕСЯТЬ ЦИФР

Кандидат
физико-mатематических наук
А. П. САВИН

Граммотность начинается с умения писать и считать. Уже в 3-4 года, поднимаясь по лестнице, мы уверенно считаем ступенки: «Раз, два, три, четыре, пяты, …». А в первом классе пишем в тетради цифры:

1234567890

Эти цифры называются арабскими, хотя арабы лишь передали в Европу индийскую десятиную систему числения с ее цифрами. Об этом мы читаем в «Книге абака» иллюстрикого математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи): «Девять индусских знаков следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски «сифр», можно написать какое угодно число». Фибоначчи, издавший свою книгу в 1202 году, многое поерпнул из знакомства с математическими трудами арабов. Любопытно, что сам порядок цифр при их перечислении: 9, 8, 7, … отражает их заимствование у арабов, поскольку арабы пишут справа налево, а не слева направо.

Наверное, вы уже поняли, что слово «цифра» произойдет от названия нуля у арабов, а в России еще очень долго слово «цифра» ознакомлено знаком нуля. Поглядите на кусочек текст из «Арифметики» Магницкого (1703).

Переводится на современный русский язык этот текст так: «Нумерация есть счет или способ представлять совершенное все числа с помощью десяти знаков, которые изображаются так: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Из них девять — значшие, а последний же 0 (который цифрой нуль, или ничем, именуется) сам по себе ничего не значит, когда стоит отдельно.»

Обратите внимание, что буквы в старинном тексте еще сильно отли-

39

чаются от современных, а цифры — те же, что и в ваших учебниках. Но, конечно же, они не сразу такиеми. В 200 году в Индии они имели вид:

Со временем написание цифр совершенствовалось, причем по-разному в разных местностях Индии. Появился нуль и возникла позиционная система записи чисел. Арабы выбрали из этих различных видов цифр наиболее удобные. От них цифры продолжили свой путь по Земле. Вот как они выглядают у римского писателя Боэтия (600 год):

В 1350 году в сочинениях греческого монаха Максима Плануда мы видим их такими:

В 1480 году в книге «Зеркало Вселенной» английина Какстона они изображаются вот так:

И лишь в 1522 году в книге итальянца Тонсталля они приобретают более-менее современный вид:

Любопытно, что в самом Индии цифры тоже видизнялись и к началу XX века стали выглядеть так:

Хотя в XVI веке в Европе уже было сільно развитого книгопечатике, цифры в книгах того времени, как мы видим, очень похожи на рукоипные. Многие художники работали над созданием разнообразных типографских цифров — над формой букв и цифр,— старяясь придать им принятый для глаза вид (при этом каждый знак должен был достаточно сильно отличаться от другого). Вот один из цифровых штрифтов:

123456789

No historия цифр на этом не кончается. Совсем недавно в ряде страниц использовать вот такую запись:

123456789

Чем эти цифры лучше обчислены? А тем, что у четырех цифр «хвостики» идут вверх, а у нечетных — вниз. Тепер труднее спутать, скажем, цифры 2 и 5. Правда, это нововведение широко не привилось, но вот такое намерение цифр знаком кажdomу из вас:

0123456789

Такие цифры мы видим на микрокалькуляторах и ручных электронных часов. С помощью набора семи отрезков удается достаточно «узнаваемо» изобразить каждую из десяти цифр.

Еще одно изображение цифр, связанное с потребностями техники, мы видим на обороте каждой почтового конверта:

0123456789

Здесь в написании цифр участвует уже девять отрезков. Эти цифры предназначены для электронной машины, сортирующей корреспондению. Жирные черточки над индексом на конверте нужны для того, чтобы машина смогла точно настроиться на написанный нами индекс:

Кольь мы уже заговорили об электронных машинах, то отметим, что хотя они восприняли от нас числа в десятичной записи и в том же виде выдают нам результаты вычислений, но для «внутренних нужд» они полы-(Окончание см. на c. 42)

40

40

Архимед пусть еход Иссео мащины
Путарх

Вотросы и задачи

1. В какую сторону будут двигаться катушки, изображенные на рисунке, под действием небольший силы F?

2. На невесовом рычаге уравновешены стальные шары. Нарушит ли равновесие, если шары погру-

Вотросы и задачи

4. Рычаг уравновешен, как показано на рисунке, силами F₁ и F₂. Нарушит ли равновесие сила F₃?

5. Бруски пытаются сдвинуть с места рычагом. Каждый из брусков сдвинет, если их массы одинаковы?

Вотросы и задачи

7. Мальчик подтягавается вверх, использует неподвижный блок. Выигравает ли он при этом в силу?

8. Каким должно быть угодл в основании клина, чтобы с его помощью можно было опрокинуть груз?

42

зуются двойной системой числения. На перфоленте, использующий в ЭВМ для хранения и передачи информации, первый 9 цифр выглядят так:

Цифре 0 соответствует пробел. Маленькие пробные точки посредние перфоленты служат для ее перемещения и фиксации.

Тем, кто не знаком с двойной системой числения, сообщим, что она, как и десятичная система, является позиционной системой: значение величины числа зависит от входящих в число цифр и от их мест в написании числа. И если в десятичной системе 10 единиц предыдущого разряда составляют единицу следующого разряда, то в двойной системе единицу следующого разряда составляют две единицы предыдущого. Поэтому для записи чисел в двойной системе достаточно всего двух цифр — 0 и 1:

$$1=1_2, 2=10_2, 3=11_2, 4=100_2,$$
$$5=101_2, 6=110_2, \dots$$

(маленькая цифра 2 справа числа означает, что запись произведена в двойной системе числения).

Сравнить эти записи с перфолентой на рисунке, вы увидите, что пробой на перфоленте соответствует цифре 1 а его отсутствие — цифре 0.

Машина читает записи на перфоленте с помощью фотоэлементов: они отмечают пробные ответствия с помощью света, пропикающего через ответствия (в непробных участках лента загораживает фотоэлемент от источника света).

Похожий принципи заполнен и в основе так называемого полосного кода.

Многие из вас, верятно, обращали внимание на полосный прямогольник, встречащийся на ярлыках разнообразных импортных товаров (рис. 1):

Рис. 1.

Что означает эти полоски? Оказывается, с их помощью записывают расположенное внимание — код товара. Компьютер, находящийся в кассовом аппарате, с помощью фотоэлементов считывает код (для этого либо проводят табличку с кодом в специальном месте кассового аппарата, либо по коду проводят «считывающий карандашом», соединенным с кассовым аппаратом). Таким образом компьютер получает информацию о продаваемом товара. В соответствии с ней он выдает из своей памяти цeny товара, а сам запоминает, что экземпляр данного товара куплен. В результате в каждой момент известно, сколько экземпляров какого товара куплено и на какую сумму, какой товар нужно еще доставить в торговый зал.

Но как устройен полосный код?

С помощью полосок можно записывать число так, как на перфоленте: тонкая черная полоска — это 1, а тонкая белая полоска — это 0 (рис. 2). Но представлять число можно по-разному. Можно просто записать его в двойной системе числения (например, число 5 762 752 950 записывается в двойной системе так: 101 010 111 011 111 001 010 000 110 110 110₂). А можно каждую цифру записать в двойной системе — тогда на одну цифру будет доставочно четых полосок, а затем представить число набором полученных полосок.

Рис. 2.

В примере, приведенном на рисунке 1, каждая цифра записана также отдельно, но не в двойной системе, а по-другому. Каждый цифре соответствует семь значков 0 и 1. Код состоит из двух частей — левой и правой, цифры в левой и правой части записываются в соответствии с таблицей (см. с. 43).

Посмотрим сначала на левую часть таблицы. Видно, что запись каждого числа начинается с 0 и заканчивается 1; эти знаки не характеризуют числа, а служат для отделения

43

одного числа от другого. На самом числе приходит 5 знаков, и они выбраны так, чтобы любые два числа разлились не менее, чем в двух местах. Легко видеть, что запись чисел в правой части таблицы «симметрина» записи слева, а именно, вместо цифры 0 на соответствующем месте стоит цифра 1, а вместе 1 стоит 0.

На рисунке 1 каждой цифре соответствует описанная комбинация из семи полосок, расположенная над ней. Все, что мы говорили, относится к «коротким» полоскам. Первые три «длинные» полоски, средние и последние полоски (им соответствующим наборы 101) являются указателями начала, середины и конца шифра. Длинные полоски, следующие за треяры первыми, соответствуют цифре, расположенной сбоку слева ( цифре 0 на рисунке 1). Аналогично, длинные полоски перед последними треяры полосками соответствуют цифре, расположенной сбоку справа ( цифре 6 на рисунке 1).

Эти «боковые» числа служат для защиты считывания от ошибок. Их значения подобны так, чтобы утроенная сумма чисел, стоящих на четных местах, сложенная вместе с суммой чисел, стоящих на нечетных местах, делились на 10. Суммирование производится слева направо; считается, что цифра, стояшая сбоку слева, находится на нульом (значение, что нам следует). В нашем случае (см. рис. 1)

$$3 \cdot (0 + 7 + 2 + 5 + 9 + 0) + (5 + 6 + 7 + 2 + 5 + 6) = 100.$$

Если компьютер неправильно прочитет одну из цифр, он сразу обнаужит ошибку. Комьютер не сможет обнаружить ошибку лишь в том случае, если он прочитет по крайней мере две цифры ошибочно, причем так, чтобы ошибки «скомпенсировались» и полученная сумма снова делилась на 10. Но вероятность этогорезвычайного мала.

Такая защитаность от ошибок очень важна, иначе за батон хлеба компьютер мог бы потребовать от покупателя стоимости, скажем, коробки шоколадных конфет.

Защита от ошибок заложена и в стандартной форме написания почтового индекса. Об этом вы можете прочесть в статье десятиклассника Я. Карпова «Оптимальная кодировка почтового индекса» («Квант», № 11, 1987).

В заключение заметим, что в последнее время много люди пишут поле так: Ø. Это — профессионалы-программисты. Дело в том, что в программе для ЭВМ буквы и цифры могут довольно произвольно перемещаться. Чтобы отличить нуль от буквы 0, и введена запись Ø. Эти системы возможные ошибки при использовании латинского шрифта. А при использовании русского шрифта возникнет возможность спутать букву 3 с цифрой 3, а букву Ч с цифрой 4. Можно быть, и эти цифры «изменятся»?

44

«Физика для драков»
В. Ф. ЯКОВЛЕВ

Ученье в институте давалось мне тягежело. Может быть, именно поэтому меня особенно возмущали часто встречались в курсах физики и математики ремонки типа «как известно…», «отсюда без труда получаем…», «легко видеть…» Откуда известно? Почему легко? Напротив, очень тягежело, а иногда и просто невозможно! Такие ремонки не только Dezинформирует студентов и учащся, но способствует появлению у них комплекта неполюценности.

А может, они прикрывают некомпетентность авторов учебников? В самом деле, — способный студент разберется даже в изобилищем ошибками тексте. Уверен, что, если бы мне предложили написать, например, курс анализа бесконечно малых, ответ от меня лекционные конструкты и учебники, я бы сделал это так, что Евклид и Архимед отлично бы во всем разобрались. Отсюда следует, что учебники для умных людей писать просто, эта задача по плечу и дракам. А написать учебник для людей с умеренными способностями — вот это непросто. Но это — какая благородная задача!

Представьте себе: «Квантовая механика для умственного отсталых», «Высшая математика для круглых драков» — да этим книгам цены бы не было! И надо обязаться по тексту этих книг также ремонки: «отсюда с трудом получаем…», «нелегко видеть, что…» и т. д. Учитатель, предодолевших соответствующие нежитные премудростии, просто крылья бы вырастали.

После сказанного легко представить, какова была моя радость, когда, читая книгу известного физика Г. А. Гамова «Материя, земля, небо»

45

(изданную в США в 1959 году), я обнаружил в ней ссылку на другую книгу, вышедшую в 1908 году в Петербурге и называвшуюся, судя по Гамову, «Physics for Fools». Это название по-русски звучит так: «Физика для драков». Я чуть не закричал на весь читальный зал библиотеки: «Эврика!» Но радость моя была преждевременной, поскольку фамилии автора Гамов не указал.

После изнутельных поисков в различных каталогах и библиографических справочниках я обнаружил заветную книгу. На ее титульном листе значилось:

Издание Общества
для Поощрения Глупости
*
Новая физика без приворов
*
Полное описание общественных опитов,
леже выполнимых домашними и др. средствами
*
Лучший доступ для государных по физике и астрономии
*
По многочисленным новейшим источникам и открытом составил
*
СЕРГЕЙ
ОЛИМПОВ

На хранящемся в Государственной публикой библиотеке им. М. Е. Салтыкова-Щедрина экземпляре имеется дарстенная надпись: «Глубокоуважемому Василию Евгеньевичу Мурашинскому на добрую память от автора. С. М.»

Хотя книга Олимпова была несовсем такой, о какой ягrezил в студенческе годы, знакомство с ней не вызвало разочарования. По стилю она близка к опубликованному у нас в своей время сборнику переводов «Физики шутят» (М., Мир, 1966). Во втором издании (1968 г.) этого сборника анекдотов и веселых истории в дополнение к шуткам физков зарубежных прибавлений шутки наших земляков. Мне кажется, что выдержки из книги

Сергей Олимпова могли бы украсить такого рода издание.

Несоклько слов о личности автора книги. Мой попытки ее установить долгое время не приводили к успеху: такой фамилии я не находил ни в физических журналах тех лет, ни в адресных книгах «Весь Петербург» или «Вся Москва», ни в многоотном словаре песводимов.

Но однажды, когда я в очередной раз прочитал приведенную дарстенную надпись, я посмотрел на подпись «С. М.» свежим взором. Почему «М»? И тут меня осенило. Как чаще всего выбирают себе песводим? Сохраняют свое имя, а отсутствие превращают в фамилию. Если это так, то автор залили Сергем Олимпевичем, а фамилия его, верятоно, начиналась на букву «М». Это была вполне хорошая запецка, и теперь можно было поprobовать начать розыск — например, в ejegодно публиковавшихся списках членов Русского физико-имического общества, протокольы заседанной которого помещал на своих страницах журнал этого общества.

Взяв несколько томов журнала, по временне недалеко отстоявших от известной мне «метки» — 1908 год, я быстро спрашился с задачей и нашел Сергей Олимпевича Максимовича. После этого, вовь обратились к упомянутым выше справочникам, ежегодникам «Весь Ленинград» и изданной в 1934 году Академией наук СССР книге «Научные работники Ленинграда», я без труда обнаружил, что родился Сергей Олимпевич 5 августа 1876 года в Петербурге, в 30-х годах жизни в Ленинграде (на проспекте Огородникова) и работал в Государственном институте геodesии и картофели, занимаясь прикладными вопросами аэрофотосъемки и физкой явлений摄影ического изображения, а также изменением различных характеристик фотоматериалов (есты также область физики: сенситометрия, или摄影ическая метrologия). С. О. Максимович преподавал в Фотокинотехникуме, сотрудничал в Государственном оптическом институте и в Ленинградском

46

физико-техническом институте (в последнем в 20-х годах интенсивно исследовались явления рассеяния и диффракицииRENTеновских лучей, и в одном из отчетов по этой работе указалось, что ее исполнитель «непрерывно пользовались советами и ценными указаниями С. О. Макси-мовича»).

Серрей Олимпивич был, помимо этого, очень остроным человеком и прекрасно рисовал. В этом можно убедиться, посмотрев на публикуемые здесь его рисунки и подписи к ним.

Рис. 1. Теллогное удлинение.
Все тела удлиняются от теллоты, поэтому, например, рельсы всегда делают короче, чем следует. Этот может повторить каждый у себя дома.

Положите представлено и независимо родственника на холодную плиту так, чтобы он упрался по самому в стену, а головой в стопку книг на краю плиты. Разведите огород, и вы увидите, как по мере наревания родственник будет удлиняться и перевызвать книги, пока они не упадут. Несмотря на очевидность явления, станем его продолжать. С повышением температуры явление изменится: родственник станет деформироваться и наконец вскочит и убежит. Таким образом все будет наладно убежены в законе, который учесть называют превращением теллоты в движение.

Если положить родственника сразу на раскаленную плиту, он может перейти в сферадальное состояние, и опит не удался.

Рис. 2. Простая электрическая машина.
Обыты с большими электрическими машинами недешевы да и небезопасны. Между тем, каждый может простить прочнее золотых часов? Никогда не тускнеющий блеск металла, движение стрелок, как бы указывалих время, — все говорит нам о постоянстве, о вечности. На самом деле это не так. Возьмите массивные золотые часы с анкерным ходом и отсоржно опустите их вечером в смесь азотной и соляной кислот, напитых в объемную фарфорную банку. На другой день часы как бы исчезнут: останутя только стеклышко и циферблат. Их надо вынуть и сполоснуть, высушить и хранить в гипросокопическойате. О часах не беспокоитесь: в природе ничего не теряется! Перелейте зеленовать юдкость в бутылку с притертою пробкой и храните ее в темноте.

В следующем нашем издании — «Химия без прибора» (так и не осуществленном — В. Я.) — мыdadим точные наставления, как получить часы обратно. Читатель, конечно,

47

догадался, что для этого мы воспользовемся услугами кародея XX столетия — электроннымом. Машина, описанная в опите 2, оказет нам при этом еще раз значительную, неочenuную услугу.

«Во время второй мировой войны луреат Нобелевской премии Федеракки Жоллю-Кюри, желая уберечь золотую Нобелевскую медаль, расторил ее примерно описанным способом и бутылку с растором прятал в течение всех лет оккупации. После освобождения Франции Жоллю-Кюри, не без помощи кародея XX века, выделил расторенное золото, переправил его в Швецию и получил новый экземпляр Нобелевской медали.— В. Я.»

Рис. 4. Преломление света.

«Что Вы делаете! — вскрикавает в ужасе хозяйка дома, видя, как вы быстро направлесь к зеркалу с поднятой палкой.— Вы разобьте зеркало!»

Ничить не бывал. Из законов оптики вы знаете, что угол padения связан с углом преломления определенным условиям, и потому достаточно сильно хватить по зеркалу концем палки так, чтобы соблюдаются это условие, и палка переломится, но зеркало даме не затрещит — к немалому удивлению приступствующих.

Объявенное стекло, не зеркало, при таких условиях, конечно, разбилось бы вдребезzi.

Рис. 5. Распространение звука.

Как известно, звук распространяется по поверхности металлических тел. На этом основан интересный опыт, изображенный здесь. На голову желающего наведать тонкостенный жесткой кotel и стрелют в него в упор из пистолета, пулемета или мортиры. Лицу под котлом ослужитный выстрел показется не громче щелчка.

Рис. 6. Человек на дейцах. (К физиологии птиц).

Этот опыт произведит большую сенсацию, особенно в кругу хозяйки дома. «Кто из вас может вывести цыплят в течение четверти часа?»

Окинув торжествующий взором безмолвное собрание, вы удаляетесь и, отыскав на дворе наседку, отбираете из-под нее два десята хорошего насженных яиц. Вернутьшь в залу, выkladете их на табурет, но предварительно ставите под него, незаметно для публики, зажжению керосиновую лампу и скрываете ее под полами сиртука. Скрытая теллота керосина разовет необыкновенное скоро цыплят, которые и оласят комнату веселым цирканием. Нado только страться не раздавить лиц.

Рис. 7. Интерфейсция и диффрактия.

Прикрепите к стете, по возможности мраморной, лист белой бумаги и осветите его свечкой. Телер зажигите другую, разумется, при строю определенной разности расстояний. Можно было бы осидать, что свету прибавится, но окажется, что лист бумаги потемнет. Это и есть интерфейсция, которое великий Нью-ton назвал золотым ключом Провидения.

48

Основной принцип дифференциального исчисления

Часть II:
Свойства произвольной

Член корреспондент АН СССР
Д. К. ФАДДЕЕВ,
кандидат физико-математических наук
М. С. НИКУЛИН,
И. Ф. СОКОЛОВСКИЙ

В нашей предыдущей статье (см. «Квант» № 3) мы расссказали об основном принципе дифференциального исчисления. (Коротко он состоит в том, что график хорошего функции на достаточно малом промежутке почти не отличается от графика линейной функции.) Затем мы подробно изучили свойства линейной функции. В частности, мы определили мгновенную скорость изменения линейной функции как $k = \Delta y / \Delta x$, т. е. прияли ее равной средней скорости на любом промежутке.

В обшем же случае (т. е. для произвольной функции) такое определение непригодно: средняя скорость для разных промежутков может быть не одинаковой. В обшем считания мы сталиваемся с противоречением, субъектого в том, что мы пытаемся говорить о «мгновенном значении» величины, которая по своему физическому смыслу может рассматривать только как функция от промежутка. Корректное определение понятый введем мгновенной скорости изменения существования использует формальный математический аппарат предельного перехода.

Заметим, однако, что обоснование элементов анализа на основе теории пределов было осуществлено O. Коши только в начале XIX столетия, т. е. спустя более двух тысяч лет после появления некоторых идеей, лежащих в основе дифференциального исчисления, и через 200 лет после его создания Ньютоном и Лейбницем. Математический анализ, включая

49

Циний в себя дифференциальное и интегральное исчисления, был ведущей и высоко развитой ветвью математики к тому моменту, когда было дано его обоснование.

Применение «основного принципа» и привлечение линейной функции позволяет нам дать наглядное, интуитивное ясное определение понятия «мгновеной скорости» в общем случае, минуту теории пределов.

Здесь мы и подошли к вопросу о том, почему линейная функция занимает особое место в математике.

Дело в том, во-первых, что все, что касается линейной функции, как вспекте проблем исследования функции, так и в плане геометрического и физического источника результатов, очень просто и наглядно. Именно эти простота и наглядность отвечли линейной функции особую роль в математике при изучении свойств тех функций, которые наиболее часто встречаются в приложениях.

Второе и самое существенное обстоятельство было отмечено в первой части статьи: ко всем элементарным функциям и к большимству функции, к которым мы приходим при изучении зависимости между реализыми величиными, применим «основной принцип» дифференциального исчисления.

Иначе говоря, при решении определенного кругга задач каждой из этих функций выполненной точки можно заменить линейной, график которого есть касательная к графику рассматриваемой функции в выбранной точке. Поскольку важнейшие свойства линейной функции определяются ее угловым коэффициентом, то по угловому коэффициенту касательной, т. е. по значению произвольной от функций в данной точке, можно судить о поведении самой функции выполненной точки.

Мы не будем здесь останавливаться на технические вычисления произвольной (считая, что читатель в какой-то мереей владеет). Заметим лишь, что (как показано в статье «О касательной к графику функции», см. «Квант», 1986, № 3) для некоторых функций значения произвольной можно получить, исходя из по существу элементарных сообщений.

Геометрическое и физическое источование произвольной $f'(x_0)$ от функций $f(x)$ в данной точке $x_0$

В соответствии с «основным принципом» считаем функцию $f(x)$ выполнiza точки $x_0$ линейной, а малый кусочек графика совпадающим с отрезком касательной в точке $x_0$. Тогда $f'(x_0)$ показывает, насколько кругло наklonen (и в какую сторону) маленький кусочек графика функции $f(x)$, содержащий точку $f(x_0)$. В этом состоянии геометрический смысл произвольной.

Например, по таблице

| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $f(x)$ | 0,5 | 2 | 3 | 1,5 |
| $f'(x)$ | 1 | 2 | 0 | -2 |

мы можем построить не только сами точки графика, но и маленькие кусочки графика, содержащие табличные точки (рис. 1).

Мы знаем, что в тех случаях, когда прямая есть график зависимости между двумя физическими величинами, угловой коэффициент прямой имеет ясный физический смысл. Этот же физический смысл имеет и произвольная от функций (не линейной), если эта функция описывает зависимость между теми же величинами. Но только численное значение $f'(x_0)$ произвольной от функции $f(x)$ в точке $x_0$ уже нельзя отвести ко всем функциям в целом, а лишь к малой окрестности точки $x_0$. Например, если функция $T=f(t)$ описывает зависимость между температурой тела и временем его нагрева (рис. 2), то $f'(t_0)$ есть скорость изменения температуры (скорость нагрева) на малом интервале времени, содержащем точку $t_0$. Последнее утверждение

50

Рис. 2.

нице тем более точное, чем меньше интеграл, содержащий точку $t_0$. Поэтому $f'(t_0)$ называют скоростью нагрева в момент времени $t_0$. Отвлекая от конкретиного физического содержания, мы говорим, что $f'(x_0)$ есть скорость изменения функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Приближенные вычисления

Теорема. Абсолютная погрешность в вычислении значения функции примерно равна абсолютной погрешности измерения аргумента, умноженной на модель значения производной в соответствии точке.

Доказательство. Действительно, пусты $x_0$ — приближение значения аргумента и $x$ — неизвестное точное значение аргумента, заведено близкое к $x_0$. Величину $\Lambda x=x-x_0$ абсолютной погрешности примем за малое аргумента. Считая (в соответствии с «основным принципом») функцию $y(x)$ величия точки $x_0$ линейной с угловым коэффициентом $y'(x_0)$, получим в силу характерастического свойства линейной функции (доказанного в первой части статьи) $\Lambda y=y'(x_0)\cdot \Delta x$, что и требовалось доказать.

Следует понимать, что высказанное утверждение справедливо в предположении, что абсолютная погрешность аргумента действительно достично мала для данной функции.

Если известно значение функции $f(x)$ в точке $x_0$ и требуется вычислить значение $f(x)$ величия точки $x_0$, то, исходя из «основного принципа», можно заменить трудомкие вычисления функции приближенными вычислениями по уравнению касательной в точке $x_0$. Именно,

$$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).$$

Приближение приращение функции, вычисленное «по касательной», т. е.

$$f'(x_0)(x-x_0),$$

называется дифференциальом функции и обозначает символьом df. Приращение аргумента $x-x_0$ называют дифференциальом нерависимой переменной и обозначает dx. Таким образом,

$$df=f'(x_0)dx.$$

В терминах дифференциальов «основной принцип» следует понимать так, что истинное приращение «хорошей» функции на малом интервале от приращения, вычисленного «по касательной», на величины, преобразимо малую по сравнению с df. Здесь необходимо отмечать одно важное свойство дифференциальа: разность $\Delta f$-df между истинным приращением функции и ее дифференциальом не просто намного меньше, чем df, — при уменьшении dx эта разность убивает существование быстрее, чем dx. Точный смысл термина «существенно быстрее» и соответствующое доказательство возможно только после надлежащего более строго описания исходных понятий анализа.

Мы ограничимся разъяснением смысла терминов «одинаково быстро» и «существенно быстро» на конкретных примерах. Величины, связанные примой пропорциональной зависимости, изменяются одинаково быстро, именно, изменение одной в $n$ раз приводит к изменению другой тоже в $n$ раз. Величины, связанные, например, квадратичной зависимости, изменяются с разными скорностями. Действительно, если $y=x^2$, то при уменьшении $|x|$ в 10 раз $y$ уменьшается в 100 раз, при уменьшении $|x|$ в 100 раз $y$ уменьшается в 10000 раз и т. д. Вообществе, если $y=x^a$, где $a>1$, то при стремлении $|x|$ к нулю $y$ убивает существование быстрее, чем $|x|$. Это подтверждается тем, что отношение $y/x=x^{a-1}$ приближается к нулю при стремлении $x$ к нулю. То же можно сказать о разности $\Lambda f-df$ — относение $(\Lambda f-df)/dx$ стремится к нулю при стремлении $dx$ к нулю.

Два свойства дифференциаль — 1) дифференциаль функции пропорцион-

51

Рис. 3.

нален дифференциальную аргумента и 2) разность между истинным приращением функций и ее дифференциальным убывает существенно быстрее, чем дифференциальная аргумента, — вполне характеризуют дифференциальная функция и определяют его наиболее элементарные, но важнейшие приложения в физике, технически и т. д. Дело в том, что дифференциаль (в отличие от произвольной) часто бывают виден «на глаз» и может быть найден проще, чем произвольная. После этого произвольная может быть вычислена как отношение дифференциальов: $df = f'(x_0)dx$,

$$f'(x_0) = \frac{df}{dx}.$$

Пример 1. Вычислить $f'(0) = f'(x)|_{x=0}$, если $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$.

Решение. Вблизи $x=0$ дифференциальная аргумента равен самому аргументу $(dx=x)$, а приращение функции — значению функции. Часть приращения функции, пропорциональная $dx$, есть слагаемое $4x$, а остальные слагаемые, содержащие $x$, убывают величие существенно быстрее, чем $x$. Так что в точке $x=0$ имеем $df=4dx$, а значит, $f'(x)=4$.

Оба свойства дифференциального иллюстрируются графическими рис. 3). На этом рисунке значение $dx$ выбрано довольно большим, одноко «на глаз» видно, что при уменьшении $dx$ разность $\Delta f - df$ убывает существенно быстрее, чем $\Delta x$.

Дифференцирование сложной функции

Исходя из «основного принципа» легко получить выражение для произвольной и дифференциальная сложной функции.

Пусть $F(x) = f(g(x))$. Считаем функцию $g(x)$ линейной «в малом» величине точки $x$, а функцию $f(t)$ — линейной величине точки $t = g(x)$. Тогда в силу теоремы о композиции линейных функций, доказанной в первой части нашей статьи, $F(x)$ — линейная величина $x$ и ее угловой коэффициент равен произведению угловых коэффициентов функции $g$ и $f$, т. е.

$$F'(x) = k_1 \cdot k_2, \quad \text{где } k_1 = f'(t)|_{t=g(x)} \quad \text{и } k_2 = g'(x).$$

Для дифференциальала сложной функции получаем выражение

$$dF(x) = k_1 \cdot k_2 \cdot dx = \frac{f'(t)|_{t=g(x)}}{\cdot g'(x)}dx.$$

Поскольку $g'(x)dx = dg(x)$, получаем

$$dF(x) = f'(t)|_{t=g(x)} \cdot dg(x).$$

Это важное равенство говорит, что форма записи дифференциальала не зависит от того, что находится под знаком функций — независимая переменная или функция от другой переменной. Это свойство дифференциальала называют инвариантностью. Свойство инвариантности дифференциальала помогает легче освободить технически дифференцирования сложных функций.

Пример 2. Найти произвольную от $F(x) = \sqrt{\sin(3x-1)}$, зная, что $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\sin x)' = \cos x u (3x-1)' = 3$.

Решение:

$$dF(x) = (\sqrt{t})'|_{t=\sin(3x-1)} \cdot d\sin(3x-1) = \frac{1}{2\sqrt{\sin(3x-1)}}(\sin t)'|_{t=3x-1}d(3x-1) = \frac{1}{2\sqrt{\sin(3x-1)}} \cos(3x-1)3dx = \frac{3\cos(3x-1)}{2\sqrt{\sin(3x-1)}}dx.$$

Раскрытие неопределенности типа 0/0

Часто приходится изучать поведение дроби величины точки, в котором числитель и знаменатель обращаются в нуль. Непосредственные вычисления с помощью даже высокоточных ЭВМ могут быть в этих случаях грубую ошибку из-за уничтожения значих

52

Рис. 4.

$$f(x)/g(x)$$ при значениях $x$, приближающихся к $x_0$, если в этой точке исслитель и заменатель обращаются в нуль. Считаем $f(x)$ и $g(x)$ линейными величинами точки $x_0$, мальые кусочки их графиков заменяем касательными к графикам этих функций в точке $x_0$. Таким образом, считаем, что
$$f(x)=f'(x_0)(x-x_0), \quad g(x)=g'(x_0)(x-x_0).$$
Тогда, если $g'(x_0) \neq 0$, то
$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)(x-x_0)}{g'(x_0)(x-x_0)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}.$$
Надо помнить, что фактически это равенство приближению, но тем более точное, чем близке к $x_0$. Мы получили правило, известное в математике как правило Лопитала для раскрытия неопределенности типа 0/0.

На языке пределов это правило читается так: предел отношения $\frac{f(x)}{g(x)}$ при $x \rightarrow x_0$, если $f(x_0)=0$ и $g(x_0)=0$, равен отношению произвольных $f'(x_0)$ и $g'(x_0)$:
$$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} \quad (g'(x_0) \neq 0).$$

Пример 3. Составить таблицу значений функций
$$f(x)=\frac{2x^2-x-\sin x/2}{\sqrt{x}-\cos(1-x)}$$
близи точки $x=1$.

Решение. Результаты вычислений на МК В3-34 показаны в таблице 1. Применим правило Лопитания
$$\left(2x^2-x-\sin \frac{\pi}{2}x\right)' \bigg|_{x=1}= = \left(4x-1-\frac{\pi}{2}\cos \frac{\pi}{2}x\right) \bigg|_{x=1}=4-1=3, (\sqrt{x}-\cos(1-x))' \bigg|_{x=1}=$$

Численное решение дифференциальных уравнений

Во многих случаях удается получить зависимость между величины, содержащую их произвольные, т. е. в виде дифференциального уравнения. Далеко не всегда уравнение удается разрешить, т. е. найти функцию, являющейся решением данного дифферен-

Таблица 1

| $0 x$ | 1,1 | 1,01 | 1,001 | 1,0001 | 1,00001 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $f(x)$ | 6,1762693 | 6,0196529 | 6,0039984 | 6,012024 | 6,1224489 | 7,5 |

52