Квант 1988, №6 · Страницы

Квашт
Научно-популярный
физико-математический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Искусственная
радуга

1988

В номере:

2 А. А. Абриковов. Сверхпроводимость: история, современные представления, последние успехи
12 А. С. Ярский. Числа и функиции
19 С. В. Грызлов. Давление света
22 В. А. Ефремович. Что такое непрерывность

Новости научи
11 Музыкальные пульсары

Задачик «Кваenta»
25 Задачи M1106—M1110, Ф1118—Ф1122
26 Problems M1106—M1110, P1118—P1122
28 Решения задач M1086—M1090, Ф1097—Ф1102
34 Список читателей, письших правильные решения

---

36 М. Гарднер. Нульсторонный профессор

40 Калейдоскоп «Кваenta»
«Кваент» для младших школьников
45 Задачи

Лаборатория «Кваenta»
46 Я. Е. Гегузин. Кто творит радугу?
48 В. В. Майер, P. В. Майер. Искусственная радуга

Математический кругжок
52 В. С. Шевелев. Три формулы Рамануджана

Искусство программирования
56 А. Г. Шезолев. Школьная ЭВМ рисунет окружность

Практикум абитуриента
59 И. Г. Габович, П. И. Горнитеин. Решения нестрогих неравенств
61 А. А. Варламов. Парообразование. Свойства паров

Информация
67 Новосибирск — Андовер. Продолжение обмена

71 Варианты вступительных экзаменов

77 Ответы, указания, решения
«Кваент» улыбается (70)
Смеся (51)

Наша обложка
1 На рисунке — радуга, полученная в «домашних условиях». Об экспериментах с искусственной радугочитайте в статых рубрики «Лаборатория «Кваenta»».
2 Картина Р. Магрита «Прогуляка Евклида» — свободоразная纵острация идеи проекта — частного случая неперивного отображения, о котором идет речь в статы В. А. Ефремовича.
3 Шахматная страница.
4 Головоломки «Меледа» и «Чертов цветок».

© Издательство «Нука».
Главная редакция физико-математической литературы, «Кваент», 1988

2

СВЕРХПROВОДИМОСТЬ:

история, современные представления, последние успехи

Академик А. А. АБРИКОСОВ

Явление сверхпроводимости было открыто голландским физиком Камерлинг-Оннесом в 1911 году. Камерлинг-Оннесу первому удалось получить жидкий гелий, и он использовал его для создания кристалтов — приборов, в которых можно поддерживать очень низкую температуру. В частности, он решил проверить правильность существования в то время представления о поведении электрического сопротивления при низких температурах. Измеряя сопротивление ртути, Камерлинг-Оннес обнаружил, что оно скачаком обращается в нуль при температуре около 4 К. Это явление было назван сверхпроводимостью, а температура перехода в сверхпроводящее состояние — критической. В настоящее время известно много сверхпроводников с самых разных критическими температурами, от долей градуса до примерного 100 К. Но о последних яских позже.

Послеучение исследования сверхпроводников позволяет многое из замечательные свойства. Так, оказалось, что сверхпроводимость разрушается магнитным полем. Критическое поле, при котором это происходит, зависит от температуры. Далее обнаружилось, что сверхпроводимость исчезает и в том случае, когда по образцу пропускают достаточно больший ток. Наконец, был обнаружен так называемый эффект Мейснера, суть которого заключается в следующем. Если помещить металл в не очень сильное магнитное поле и попажать температуру, то при переходе металла в сверхпроводящее состояние сливые линии поля вытолкнутся из него. Послеучение изучение показало, что на самом деле при таком переходе у поверхности сверхпроводника возникнет небольшой слой, толщиной $10^{-5}—10^{-6}$ см, в котором циркulierют токи, полностью экранирующие внутренние области образца от внешнего поля. Толщина этого слоя называется глубиной проникновения.

Я не буду перечислять все факты,

3

свидетельствующие о свойств сверхпроводников. Их было обнаружено много. Но тем не менее само явление оставалось тинстевным. Большого, существовало некое принципальное обстоятельство, которое, как казалось, делало сверхпроводимость невозможной.

В 1937 году П. Л. Капица открыл явление сверхтекущости жидкого геля — его способность протекать по узким капиллярам без всякого треня. Через четыре года Л. Д. Ландду сумел обяснить это явление. В теории Ландду был выведен так называемый критерий сверхтекущости, согласно которому вззникать при движении со скоростью, превышавшей неоторого критическойую. Опишу это качество. Торможение геля означает изменение его энергии и импульса. Однако жидкий геля является квантовой жидкостью и может менять энергию и импульс, поглощая и излучая определенные кванты, называемые квазичастцами. Эти квазичастцы ведут себя в объеме тела как настоящие частицы, правда, с необучной связи между энергейем и импульсом. Различие между ними и обычными частицами — электронами, фотонами — заключается в том, что вне тела квазичастцы существовать не могут. В жидком гелии также частицы могут появляться лишь тогда, когда скорость течение геля выше определенной конечной величины.

Казалось бы, отсюда легко перейти к объяснению сверхпроводимости как сверхтекущости заряженной электронной жидкости в металх. Однако свойства квазичастцы, возникших в электронной жидкости, оказались отличными от свойств квазичастцы в жидком гелии. Так, для них критическая скорость равна нулю, и, следовательно, протекание тока без сопротивления оказывается вообществом. В чем же разница между этим двумя жидкими — жидким гелием и электронной жидкостью? Она, прежде всего, заключается в том, что собственный момент вращения, называемый спином, у атомов геля равен нулю, а у электронов $\hbar/2$, где $\hbar$ — постоянная Планка. Поэтому сразу вставл вопрос, не могут ли электроны объединяться в пары. У таких пар полный спин был равен либо нуль (спины электронов направлены в противоположные стороны), либо $\hbar$. Подобные пары квазичастцы в электронной жидкости могут быть направлены квазичастцы жидкого геля, и можно было бы надеться обязывать явление сверхпроводимости по аналогии со сверхтекущостью. Однако электроны — однопленно заряженные частицы, благодаря кулоновскому взаимодействию они откалкиваются, и никакой причины для обедения в пары, казалось бы, нет.

Лишь в 1950 году был произведен эксперимент по изменению критических полей $B_{\kappa p}$ и температур $T_{\kappa p}$ образцов ртути разного изотопического состояния, который пропил свет на возможные причины образования пар. Выяснили, что величины $T_{\kappa p}$ и $B_{\kappa p}$ зависит от массы изотопа по закону

$$T_{\kappa p}, B_{\kappa p} \sim \frac{1}{\sqrt{M}}.$$

Но масса ядер, образующих критическую решетку, проявляется лишь в их движении. Таким образом, стало ядерно, что это движение существенно для сверхпроводимости. Основываясь на этом факте, английский физик Г. Фрейlix и неависимо от него американский физик Дж. Бардин предложили концепцию, обязывающую природу сил притяжения между электронами. Дело в том, что ядра, а точнее ионы, образующие критическую решетку металла, тоже являются квантовой системой, и в этой системе также имеются квазичастцы, соответствующие колбаням решетки. Они называются фононами. Электроны могут обменивать фононами, и это обязаться по приводит к притяжению, которое может превозойти неосредственное кулоновское откалкивание.

Однако даже после того, как была высказана эта идея, оставалось неясно, как благодаря такогому притяжения возможного образование пар из электронов. Согласно квантовой механике, для этого силы притяжения должны быть достаточно большими и

4

действовать на большом расстоянии. Иначе кинетическая энергия электронов растит их в разные стороны. Выход из этого положения нашел американский физик Л. Купер, который обратил внимание на тот факт, что речь идет об образованни пар не из двух изолированных электронов, а в присутствии всей совокупности других электронов. Можно сказать иначе: пары образуют не из электронов, а из квазичастцей электронной жидкости. Эти пары по имени их открывателя стали называть куперовским.

Через год, в 1957 году, Бардиным, Купером и Р. Шриффером и независимо от них академик Н. Н. Боголюбовым была построена микросоппечная теория сверхпроводимости, которая связала воедино все известные опытные факты о свойствах сверхпроводников.

Я не буду излагать здесь эту теорию ввиду ее сложности. Отмечу лишь несколько важных обстоятельств. Прежде всего, если система находится при $T=0$, то передать ей энергию можно лишь разорвать пару. Это требует затрата конечной энергии, которое обозначает $2\Delta$. В связи с этим электронная тепломкость при низких температурах ведет себя как $e^{-\Delta/T}$. Второе: я уже отмеал, что для связи электронов в пары существует наличее всего электронного коллектива. Но состояние этой системы зависит от температуры. Поэтому энергия связи пары $2\Delta$ зависит от температуры и при $T=T_{\text{кр}} \Delta(T)$ обращается в нуль — сверхпроводник становится нормальным металлом.

Третье свойство связано с тем, что пары имеют конечный размер, порядка $10^{-4}-10^{-5}$ см. Возникает вопрос: как же они не мешают друг друга? Ведь среднее расстояние между электронами в металле порядка $10^{-8}$ см. Этот парадокс является проявлением квантовых свойств вещества. Однако из авторов микросоппечной теории сверхпроводимости Шриффер для сравнения уподобил электроны в сверхпроводнике танцorum в современной дискотеке. Двое танцуют, и хотя между ними еще много других танцоров, они не теряют связи друг с другом. Поэтому точнее говорить не о парах, а о парной корреляции электронов в сверхпроводнике.

Я уже говорил вам о том, что, когда внешнее магнитное поле сравнивается с критическим, сверхпроводником скачом переходит в нормальное состояние. Это утверждение, строго говоря, справедливо лишь для цилиндрического образца в продольном поле и притом не для всех сверхпроводников. Действительно, почему бы массивному сверхпроводнику не разбится на тонкие слоны нормального и сверхпроводшего металла и не сохранить сверхпроводимость до города больших полей? Ведь критическое поле для тонкого слоя выше, чем для массивного сверхпроводника. Разбение на слоны не происходит потому, что во всех чистых сверхпроводниках, состоящих из одного металла, существует особая поверхностная энергия, возникшая на границах между нормальным и сверхпроводящей фазами. Эта энергия, подобно поверхностному натяжению, стремится уменьшить поверхность границ. Микросоппечная теория объясила ее проискждение. Оказалось, что она связана с конечным размером куперовских пар. Если уменьшить этот размер, то поверхностная энергия может изменить знак и сделать отприцательной. Тем самым возникнет естественное разделение сверхпроводников на сверхпроводники первого рода — с положительной поверхностной энергейой и сверхпроводники второго рода — с отприцательной поверхностной энергейой. Надо заметить, что сверхпроводники второго рода являются гораздо более распространенными, чем сверхпроводники первого рода. Мало того: любой сверхпроводник первого рода можно перевести во второй род. Для этого достаточно в него некоюторе количество atoms примеции или как-нибудь иначе испортить кристаллический решетку. Электроны начинают рассеивать на этих дефектах. Характер движения электронов меняется, и размер пар становится меньше

5

ше. При достаточно концентрации дефектов сверхпроводник первого рода обязательно переходит во второй рода.

Теперь я немного расскажу о свойств сверхпроводников второго рода. Поскольку поверхностная энергия в них отрицательна, то ничего не преляется безконечному расщеплению их объема на нормальные и сверхпроводящие области. Поэтому сверхпроводимость в них с увеличением внешнего магнитного поля вытесятся постепенно, начиная с некоторого значения поля $B_{kp,1}$. Переход в нормальное состояние осуществляется вверхнем критическом поле $B_{kp,2}$. Физическая смысл $B_{kp,2}$ заключается в следующем. В магнитном поле электроны, будучи заряженными частицами, движутся по спиральным траекториям, и радиус спирали обратно пропорционален $B$. Если радиус спирали становится меньше размера пары, то пара уже не может существовать и разваливается. Если же внешнее магнитное поле ниже $B_{kp,2}$, но выше $B_{kp,1}$, то оно частично пропникает в сверхпроводнике. Проискот это за счет возникновения в сверхпроводнике выходных токов. Оказывается, что эти выходяяся квантовыми объектами. Каждый из них несет квант магнитного потока. Если хотите, можно сказать, что число силовых линий, проходящих в каждой токе, строго определяенное. Квант потока является очень малой величины и равен $\Phi_0=\pi h/e=2\cdot 10^{-15}$ Вб.

При уменьшении внешнего поля выходи расходятся и в поле $B_{kp,1}$ исчезают из сверхпроводника совсем.

Металлический цилиндр, охлаждаемый до низкой температуры, находится в сверхпроводящем состоянии. При включении магнитного поля на поверхности цилиндра индцируются круговые точки, которые создают в цилиндре магнитное поле с индуктивей $B_{tok}$, равной по величины и противоположной по направлению индуктиви $B_{беншен}$ внешнего поля. Эти круговые точки — сверхпроводящие и не затухают со временем. Поэтому в точке сверхпроводника суммарная индуктивная нулю: $B_{беншен} + B_{tok} = 0$. Линии индцирального поля не пропикают в сверхпроводнике.

Чем больше индуктивная внешнего поля, тем больше ток должен течь по поверхности, чтобы обеспечить экранировку внутренней области металлического сверхпроводника от внешнего поля. При некотором критическом значении внутреннего поля $B_{kp}$ поле пропникает внутренняя связка, сверхпроводимость разрушается — металл переходит в нормальное состояние. Для такого перехода не обязательно внешнее магнитное поле. Ток, текущий по поверхности сверхпроводника, сам создает магнитное поле, и когда $B_{tok}$ достигает значения, соответствующего $B_{kp}$, сверхпроводимость разрушается. Величина $B_{kp}$ растет с уменьшением температуры, но даже близки $T=0$ значение $B_{kp}$ у чистых сверхпроводящих металлов не велико — не более десяти долей теста.

В сверхпроводящих сплавах, так же как в ряде сверхпроводящих соединений, при некоторых индциции $B_{kp,1}$ поле начинает пропникать внутренняя связка. В том случае появляется отдельные сгустки линей магнитной индциции. Каждый такой сгусток окружен кольцевыми незагаточными токами, наполняющими выходи в жидкость или в газе. Эти сгустки и называют выходами. Внутри сверхпроводимость разрушается, но в пространстве между выходами она сохраняется. С увеличением индциции магнитного поля число выходей растет.

При некоторых индциции $B_{kp,2}$ выходи начинают перерывать, поле «заполняется» образец, сверхпроводимость полностью разрушается. Сверхпроводники с таким свойствами называют сверхпроводниками второго рода.

8

проводящих керамик. С 1973 года и до середины 1986 года рекорд максимальной критической температуры приадлежал пленкам из Nb₃Ge, сохраняющим сверхпроводимость вплоть до 23 К. Оdnako осенью 1986 года появилось сообщение физков Г. Беднорца и А. Мюлера (Швейцария) об открытии сверхпроводимости соединия La — Ba — Cu — O с критической температурой в районе 30 К. Эти авторы не сразу подошли к своему открытию. Дело в том, что еще до них были известен сверхпроводящий окисел Ba — Pb — Bi — O с критической температурой 14 К. Странным в этом соединия было то, что плотность свободных электронов, переносших ток, у него была 10²¹ cm⁻³, что на порядок меньше, чем у обычных металлов. В то же время, согласно теории Бардина — Купера — Шриффера (БКШ), значение критической температуры растет с увеличением числа свободных электронов. Ясно, что уменьшение числа электронов должно вести к уменьшению Tₖp. А 14 К — это была относительно высокая критическая температура.

Далее внимание Беднорца и Мюлера привлекли окислы, содержащие медь в состоянии с промежуточной валентностью: часть Cu⁺⁺, а часть Cu⁺⁺⁺. Такие окислы изучались французскими физками. В качестве элемента структуры в них входил редкоемый элемент лантан. Если взять соединие La₂CuO₄, то медь в нем только двухвалентная, и это вещество ведет себя как изолятор. Мюлер и Беднорц стали заменять трехвалентный лантан двухвалентными элементы, чтобы отнять часть электронов у меди и тем самым частично перевести медь в трехвалентное состояние. В результате был получен первый высокотемпературный сверхпроводник La₂-xBaₓCuO₄, где x=0,1—0,2. Сначала Беднорц и Мюлеру ничего не поверил, и их статью открылся печать ведущий американский физический журнал «Physical Review Letters». Тогда они отослали ее в немецкий журнал «Zeitschrift für Physik», где она и вышла осенью 1986 года. Первоначально статья не вызывала интереса. Но потом японские специалисты решили проверить сообщение и убедились, что Мюлер и Беднорц не ошиблись. После этого указывающие исследования американские физики, и с начала 1987 года разразился настоящий «сверхпроводящий бум». Сейчас имеется уже несколько тысяч статей на эту тему. Я не могу расскаать о всех деталях этой гонки, но отмечу основные моменты.

Естественно было попытаться повышить критическую температуру путем замены элементов их химических аналогами. Замена Ba на Sr привела к Tₖp=45 К. Американская группа из Хьюстона во главе с П. Чу подвергла эти образцы скатки и обнаружила, что критическая температура быстро растет при скатки, хотя в обычных сверхпроводниках в подобных условиях Tₖp, как правило, слабо увывает. Тогда они решили попытаться устроить «химическое» скатие, заменив atoms лантана на atoms интрия, имеющие меньший размер. В результате было получено соединение с фантастическими высокой по тем, еще недавно, временам критической температуре Tₖp~93 К.

Идея о «химическом скатии» помогла сделать открытие, но в конце концов оказалась неправильной. Очень тщательно исследовавшие показатели, что высокотемпературным сверхпроводником являются фаза «1 — 2 — 3»: Y Ba₂Cu₃O₇-x, где x меньше единиц. Послеушие попытки замены Y других элементов показали, что сверхпроводимость с Tₖp~90 К наблюдается у соединений с структурой «1 — 2 — 3», где вместо интрия может стать осмий и почти все редкие земли, включая лантан.

Теперь я расскажу о некоторых особенностях этих соединий и о попытках теоретического объяснения высоких Tₖp. Прежде всего — о структуре. В общих типических соединиях La — Ba — Cu — O и Y — Ba — Cu — O она соответствует так называемым слонским периодским.

10

проводники: удовлетворение раз в 100 большие, чем у меди.

Что касается теоретических объяснения, то здесь больше вопросов, чем ответов. Например, по теории Бардина — Купера — Шрифера получается соответствие $2\Delta(0)/T_{\kappa p}=3,5$. Для новых сверхпроводников разные изменения дают для этой величины значения от 3 до 12. Далее, эти вещества обладают целым рядом спецических особенностей, но не очень ясно, какие именно из них имеют принципальное значение. Например, какую роль играет сложность кристаллов, существования ли atoms лантана или интрия в механизме сверхпроводимости или они играют роль процесс механического фермы, которая скрепляет кристаллическую решетку? Какова роль кислорода? Известно, что в интриевом соедининии есть слон, состоящие из цепочки Cu — O — Cu — O, а есть плоскости, в которых на atom меди приходит по два atomа кислорода. При удалении кислорода он прежде всего уходит из цепочки, и вещество теряет сверхпроводимость. Но в лантановом соедининии таких цепочки нет.

Итак, не очень понятно, за что зацепиться. Экспериментально установлено, что и в новых сверхпроводниках электrons объединены в куперovicные пары. Но каков механизм прияжения? Механизм передачи фонанов — квантов колбанный решетки — bleibt за собой изотопический эффициент, т. е. изменение $T_{\kappa p}$ с переходом к другому изотопу. Были сделаны изменения на образцах с заменой изотопа $O^{16}$ на $O^{18}$. У лантанового соедининия эффициент наблюдается, хотя и меньше, чем предсказывала теория ВКШ. Но у интриевого 90-градусного сверхпроводника, так же как и у такого же вещества с europпем вместе интрия, этого эффициента практический нет. Отсюда делается вывод, что помимо давно извесного фонаного существует другой механизм передачи взаимодействия между электронами. В принципе, в веществе могут существовать квазичастцы и инных типов — например, связанные с возбуждением электронов, удаленных от проводящих слов. Они называются плазменами. Есть и другие: вещество может находиться близко к переходу в магнитопорядочное состояние. В этом состоянии есть свои квазичастцы — магноны. Но даже если нет настоящего упорядочения, то оно может возникать в виде флуктуации и создается взаимодействие электронов. Появились теории, использующие это обстоятельство.

Я не могу перечислить всех теорий — их очень много. Отмечу еще только очень интересную концепцию двухэлектронных центров. Известно, что кислород очень легко уходит из новых сверхпроводников, в то время как в обычных окисах он связан очень poorly. Есть концепция, согласно которой два электрона могут сразу уйти с atomов кислорода на медь; это делает кислород нейтральным и тем самым облегчает его выход из решетки. А это обстоятельство, что электроны находятся то в коллективизированном металлическом состоянии, то оказываются попарно локализированными на кислороде, приводит к их прияжению.

Итак, сейчас насурупло время исследований и поисков как механизма высокотемпературной сверхпроводимости, так и способов практического применения новых сверхпроводящих материалов. исследование ведутся большемими силими, и не исключено, что они увеличают успехом. Однако одно важное дело открытие высокотемпературных сверхпроводников уже сделало: оно уничтожило многолетний предрасудок, что сверхпроводимость объясняется трехбутем температур. Это okрыляет лодей на дальнейшие позиции, и даже в том случае, если не удается «приручить» обнаруженные сверхпроводящие керамики, обязательно будут найдены другие классы сверхпроводников с более высокими $T_{\kappa p}$ и более пригодные для практического использования.

13

ЧИСЛА И ФУНКЦИИ

Кандидат физико-математических наук А. С. ЯРСКИЙ

«Алгебраическая функция», «алgebraическая уравнение», «алgebraическая кривая»… Среди почти необозримого множества ответвления современной математики не существует, пожалуйста, такого, где не подвергалась бы отдельному изучению алgebraической сторона рассматриваемого математического объекта. Нередко говорят даже о своевого рода «алgebraической эксперимента» в математике.

Множество чисел и множество функции наделены единой алgebraической классификацией: «рациональные», «algebraические», «трансцендентные». Для чисел эта классификация наcala складывается еще в XVII века (хотя лишь в 1844 году появилось первое принадлежшее Ж. Лиувиллю доказательство transcendentности определенного множества чисел) и постепенно переносла на все более широкое множество математических объектов.

Общность указанной классификации дает возможность, в частности, с единой точки зрения взглянуть на некоторые свойства функции и чисел, яснее увидеть их сходство и тем самым глубже осознать их отличие.

§ 1. Цельные числа и функции

Рассмотрим два множества — множество $Z$ чисел и множество $R[x]$ многочленов от одной переменной $x$ с коэффициентами в множестве $R$ действительных чисел. На первый взгляд, эти два множества отличия решения всего: элементы $Z$ — числа, а элементы $R[x]$ — функции, все элементы $Z$ можно расположить в виде последовательности $0,1,—1,2,—2,....$, а с элементами $R[x]$ также операцию проделать не удается — их «слишком много» для этого… Итак, увидеть разница между $Z$ и $R[x]$ легко. Труднее обнаружить те свойства, которые делают эти два множества похожими, открыть ту аналогию, которая дает основание «называть разные вещи одинаковыми именами» (чем, по словам А. Пуанкаре, и заимается математика).

1. Сумма, разность, произведение целых чисел (многочленов) есть целое число (многочлен).

2. Любое целое число (многочлен) можно разделить с остатком на ненулевое целое число (ненулевой многочлен).

Рассмотрим второе свойство — делимость. Алгоритм деления многочленов с остатком — деления «уголком» — очень похож на деление «уголком» целых чисел. Например:

$$\frac{x^3+2x^2-x-1}{x^3+3x^2-x^2-x+2}$$

Отсюда

$$x^3+2x^2-x-1=(x^2-x+2)(x+3)-7.$$

В общем случае, если $P, Q \in R[x]$ и $Q$ — ненулевой многочлен, найдется также $P_1, R \in R[x]$, что

$$P=P_1Q+R,$$

причем степень остатка $R$ строго меньше степени делителя $Q$. Частное $P_1$ и остаток $R$ однозначно определяются выбором делимого $P$ и делителя $Q$.

Напомним несколько определений. Наибольшим общим делителем (НОД) многочленов $P$ и $Q$ называется многочлен $D$, делящий $P$ и $Q$ и делящийся на любой другой их общий делитель.*) Обозначим НОД $P$ и $Q$ символьом $(P, Q)$.

*) На самом деле мы определили НОД лишь с точностью до построенного многочленя.

19

ДАВЛЕНИЕ СВЕТА
С. В. ГРЫЗЛОВ

Средневековые учены, наблюдающие за движением комет, пыталиспонять, почему в зависимости от положения комет относительно Солнца формы их хвостов изменяются. В 1604 году Иоганн Кеплер предложил, что форма хвостов комет определяется действием светового давления. С тех пор многие исследователи пыталиспонять это давление (средние них были и один из создаелей волновой теории света О. Френель). Но все эксперименты были безрезультатны. И почти 300 лет световое давление оставалось лишь гипотезой.

Эта грабора — фронтиспис французского издания 1648 года книги Ф. Годвина «Человек на Луне». Может быть, художник считал, что в небе Луны подобный летательный аппарат будет движаться за счет давления солнечного света?

19

20

В 1865 году Дж. К. Максвелл создал электромагнитную теорию света. Согласно этой теории светыные волны имеют электромагнитную природу, т. е. световые явления можно рассматривать как частный случай электромагнитных явлений. Из основных уравнений теории Максвелла как абсолотно точный факт следовало существование светового давления. Максвелл вычислил это давление. По расчетам получалось, что в солнечный полдень на поверхности, полностью отражающей световые лучи, создается давление, равное всего 4,7×10⁻⁶ Н/м².

Долго время учебы спорили о правильности уравнения Максвелла. Вновь предпринимались попытки обнаружить эфект светового давления. И вновь — безупресно.

Трудность в измерениях давления света заключалась не только и не столько в том, что сила давления света очень мала. Главные осложнения проискодили из-за того, что экспериментатор мешал… сам свет. Причем создаемые им помехи по «эффективности» во много раз превосходили давление света.

В 1899 году замечательный русский физик Петр Николаевич Лебедев впервые измерил давление света. Ему удалось быстрошие справиться с трудностями, которые мешали другим исследовать.

Основной частью прибора Лебедева были плоские легчайшие крыльшки из различных (в основном) металлических материалов. Поверхность одинки крыльше была зачерененной, а других — зеркальной. От зеркальной поверхности свет практическими полностью отражался, а зачеренная поверхности поглощала свет. В результате сила давления света на зеркальные крыльшки оказалась почти вдвое большие, чем сила давления на зачеренные. За счет этого возникалвращающий момент сил, система крыльше начинала поворачивать, закручивая нить. По углу закручивания нити оценивалось давление света.

Какие же помехи возникали при измерении?

Первая заключалась в том, что свет, падая на крыльшки, нагревал и окружающий воздух. Возникающие конвекционные потоки воздуха, подобно ветру, приводили в движение крыльшки. И когда ученый проводил измерения, неизвестно было, от чего перемешались крыльшки — то ли от светового давления, то ли от потоков воздуха.

Это была не единственная помеха. Под действием света возникает еще один эффект, который получил название радиометрического. Суть его в том, что разные стороны крыльщика нагревались по разному (ведь свет падает только с одной стороны) и отдавали разное количество энергии соприкасающимся с ними молекулам воздуха. Ту сторону, где эта энергия больше (более теплая сторона), молекули покидали с большей скоростью, т. е. с большим импульсом. А по закону сохранения импульса, улетая, они с большей силой отталкивают крыльщика, чем молекули противоположной «холодной» стороны. Оказалось, что радиометрические силы действуют в том же направлении, что и давление света, а величина их, как уже говорилось, на несколько порядков превосходит величины светового давления.

Чтобывести эти «вредные» силы к минимуму, прежде всего потребовать создать вакуум. Чем меньше молекул остается в сосуда, тем слабее помехи.

Неспростая Лебедев выбрал в качестве материалов крыльщик тонкие металлические пленки. Во-первых, такие пленки прекрасно проводили тепло, и перепад температур на разных сторонах крыльщика становились меньше — уменьшался и радиометрический эффект. Кроме того, их маленькая масса определяла небольшой момент инерции все подвижной системы, что в условиях вакуума также позволяет увеличить точность эксперимента.

Много еще различных устройств и приспособлений придумал П. Н. Лебедев. Перебрали много вариантов условия опыта и испытал различные изменения, пока его труд не приведен к успеху.

21

В результате своих экспериментов он изменил давление света; полученное им значение с точностью 20 % совпадало со значением, предсказанным теорией Максвелла. Лебедев показал, что световой поток обладает не только энергией, но и импульсом.

Долго время использовать световое давление не представлялось возможным из-за его небольшой мощности. Только появление лазеров — устройств, способных концентрировать светового энергию в очень узкий и мощный пучок, — позволило применить открытые Лебедева.

Например, можно удерживать маленькие частицы в воздухе, уравновешивая силу тяжестей силой светового давления, и перемешать их. Под действием силы светового давления частицы, имеющие разные массы, разогнются по-разному. Следовательно, можно с помощью специальных ловушек сортировать очень маленькие частицы.

Световое давление можно использовать для разделения смеси двух газов. Такое разделение может быть реализовано в случае, если частота лазерного излучения (которым облучают смесь) совпадает с частотой перехода atomов одного из газов из невозбужdenного состояния в воздухе.

Поглошая фoton, atom такого газа получает импульс по направлению лазерного пучка. При обратном переходе atomа из возбужdenного состояния в невозбужdenное вектор импульса испускаемого фотана имеет произвольное направление. При последующих поглощениях и испусканиям импульсы «испускания» взаимно газятся, а импульсы «поглошения» суммируют, и в конечном итоге резонансный atom получает общий импульс, направленный вдоль лука лазера. Таким образом, луч лазера, проходя последовательно через камеры, в период из которых находится смесь газов, увлекает за собой во вторую камеру atoms одного из них.

Световое давление можно использовать и для ускорения части в вакууме (в воздухе слишком велiko сопротивление). Этим можно воспользоваться, например, для моделирования взаимно-

22

ЧТО ТАКОЕ НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Доктор физико-математических наук
В. А. ЕФРЕМОВИЧ

Это основное понятие математики. Оно принадлежит как называемой качественной геометрии, т. е. той части геометрии, которая вовсе не интерсегуется понятыми измерительного характера (расстояниями, длинами, объемами, …). Несмотря на это (а быть может, благодаря этому?), на нем стоит все здание математического анализа и почти вся геометрия.

Эти понятим владелели (на интуитивном уровне) математики древности, но точное определение ему было дано лишь в первой половине XIX века заменить французским математиком О. Коши (1787—1857). Чтобы посянить это определение, нам потребуется

Общее понятие функций

Понятие функций претерпело ряд важных обобщений. Сначала рассматривали только численные функции числового аргумента, например $x^3$, тg $x$, $e^x$, и притом заданные тем или иным аналитических выражением. Позднее выяснились, что последнее не существует. Важно лишь, что каждому значению аргумента $x$ соответствует свое числовое значение функции. Непрерывная функция при этом изображается непрерывной кривой, получаемой движением карандаша без отрыва от бумаги (на рисунке 1 — непрерывная функция, на рисунке 2 — разрывная).

Далее можно рассматривать численные функции точного аргумента, например температуру или атмосферное давление в различных точках пространства. Еще пример. Плоккий участок земли покрыт снегом; тогда высота $h$ снежного покрова в каждой точке $p$ есть значение некоторой функции: $h=f(p)$. Если на участке установлен координаты $x$, $y$, каждая точка получит свое «имя»: $p=(x, y)$, и рассматриваемая функция $f$ может быть записана так: $f(p)=f(x, y)$. Это — функция одной переменной точки $p$, или функция двух числовых переменных $x$, $y$. График этой функции служит поверхность снежного покрова.

Наконец, можно рассматривать (самый общий случай) точную функцию точного аргумента, т. е. отображение $f: X \rightarrow Y$ функуры $X$ в функции $Y$. Таково изобравнение на плоском чертеже пространственной функции, например ortogonalная проекция тела на плоскость. Любую картину художника или фотографию можно рассматривать как функцию (т. е. отображение), где каждой точке $x$ изображается соответствует точке $x'$ изображения. В этом случае $x'=f(x)$ называется образом точки $x$. Таким функциями-отображениями занимались прежде всего художники. Особо ценен вклад Великого Леонардо да Винчи (1452—1519), одного из первых художников, основших математическое теорию перепективы.

Непрерывность

Самое общее понятие функций-отображения позволяет полне наглядно и вместе с тем строго математических

Рис. 1.
Рис. 2.

23

объяснить понятие неперрывности. Для этого сначала рассмотрим пример, где проискит разрыв, т. е. нарушение неперрывности.

Пусть $X$ — резинка для упаковки лекарств, грубая модель окружности. Предположим, что в процессе деформации она вдруг разрывается в некоторой точке $a$. Что это значит? Некоторые ее часть $B$, примыкавшая равные к $a$, т. е. находившаяся от $a$ на нульом расстоянии (пишем $B\delta a$), после разрыва (телер мы ее обозначим $B'$) оказывается неблизкой к $a'$ (новому положению точки $a$ — см. рисунок 3). Итак, разрыв в точке $a$ — это такое событие, когда некоторые часть $B$, близкая к $a$ ($B\delta a$), становится неблизкой к новому положению $a'$ точки $a$: $B\delta a$, но $B'\delta a'$. Телер понятно следующего определения:

Отображение $f$: $X \rightarrow Y$ называется неперрывным в точке $a \in X$, если всякая часть $B \subset X$, близкая к $a$, после отображения переходит в положение $B'$, близкое к $a' = f(a)$, т. е.

$$B\delta a \Rightarrow B'\delta a'.$$

Обозначение $B\delta a$ имеет точный смысл: для всякого сколь угодно малого положительного $\varepsilon$ в фигуре $B$ есть точка $x$ такая, что $xa < \varepsilon$ (здесь $xa$ — расстояние от $x$ до $a$; всуду дальше через $pq$ мы обозначаем расстояние от $p$ до $q$). Аналогично $A\delta B$ означает, что в фигурах $A$, $B$ есть точки $x \in A$, $y \in B$ такие, что $xy < \varepsilon$ при любом положительном $\varepsilon$. Заметим, что две линии e точки не могут быть в этом смысле близкими: если $a \neq b$, то $a\beta b$ (далее $ab = 10^{-100}$).*

Это определениеравносимую классическому определению Коши:

Отображение $f$: $X \rightarrow Y$ неперрывно в точке $a \in X$, если для всякого $\varepsilon > 0$ существует такое $a > 0$, что из $xa < \alpha$ следует $x'a' < \varepsilon$ (здесь $a' = f(a)$, $x' = f(x))$.

Равносильность двух определений доказана в конце нашей заметки.

Если функция неперрывна в каждой точке $x \in X$, то говоря, что она неперрывна на всем множестве $X$.

Это определение, вместе с определением Коши, не так легко освободить. Сам измененный Коши не раз ошибался, нечаяно подменя требование неперрывности более сильным — тем, что теперь называют равномерной неперрывностью. Это весна важный часть случай неперрывности, и мы на нем остановимся.

Равномерная неперрывность

Отображение $f$: $X \rightarrow Y$ называется равномерно неперрывным на $X$, если любые две близкие части $A$, $B \subset X$ переходит при $f$ в близкие части $A'$, $B' \subset Y$, т. е. $A\delta B \Rightarrow A'\delta B'$.

Упражнение. Что отображение

$$tg: \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \rightarrow R$$

не равномерно неперрывно на $(-\pi/2; \pi/2)$. (Здесь найти нужные $A$, $B$ такие, что $A\delta B$, но $A'\delta B'$, труднее: это две последовательности точки, например прообразы множества $A' = \{1, 3, ...\}$, $B' = \{2, 4, ...\}$, $A'\delta B'$.)

Имеется принципиальное различие между понятиями неперрывности и равномерной неперрывности. Первое основано на близости между точкой и множеством, второе на близости между двумя множеством относится к топологии, а близость между множеством — к геометрическим близости, более «тонкой» наук, чем топология. Чтобы понять это различие, приведем лишь один пример. С точки зрения топологии ветвь гиперболы и ее асимптоту нельзя отличить от пары параллельных прямых (любая точка гиперболы не близка к ее асимпти-

*) Определение близости, данное здесь, было впервые высказано автором этой статьи в 1936 году. Понятие близости можно задать аксиоматически, не пользоваться расстоянием, и на его основе построить всю топология. (Причем, ред.)

24

отте!), в то время как эти две пары объектов не одинаковы в геометрии близости (асимпота близка к гиперболе!).

Доказательство равносильности определений непрерывности

Пусть отображение $f: X \rightarrow Y$ непрерывно в точке $a$ по Коши, где $X, Y$ — фигуры, для которых определено расстояние между точками, обладающей общим свойством. Тогда для каждой $\varepsilon > 0$ найдется свое положительное число $\alpha = \alpha(\varepsilon)$, зависящее от $\varepsilon$, такое, что из $ax < \alpha$ следует $a'x' < \varepsilon$. Пусть часть $B \subset X$ близка к $a$; значит для всякого $\alpha > 0$ в $B$ найдется точка $x$ такая, что $ax < \alpha$. Если $\alpha = \alpha(\varepsilon)$, то $a'x' < \varepsilon$, и так как $\varepsilon$ произвольно мало, то $B' = f(B)$ близко к $a' = f(a)$ ($B\delta a \Rightarrow b'\delta a'$).

Пусть, наоборот, известно, что $f$ удовлетворяет первому определению непрерывности.

Числа и функции
(Начало см. на c. 12)

Позному из равенства (9) следует, что и $PQ' : Q$. Но поскольку $(P, Q) = 1$, то $Q' : Q$. Следовательно, степень $Q$ не выше степени $Q'$. Последнее возможно только если $Q$ — константа. Тоно также из (9) следует, что $P$ — константа. Но тогда и $r_0 = P/Q$ — константа. При построном $r_0$ равенство (8) примет вид $nr_0 = 0$, $r_0 \neq 0$. И так как $n \geq 1$, это равенство противоречиво. Теорема доказана.

Упражнение 11. a) Докажите трансцендентность функции
$y = \sin x; y = \sqrt{e^x} + 1$.

6. Приведите примеры трансцендентных функции $f$ и $g$ таких, что $f + g, fg, f(g(x))$ не являются трансцендентными.

b) Докажите, что если $f$ и $g$ — трансцендентные функции, то по крайней мере одна из функции $f + g$ и $fg$ также трансцендента.

В конце § 2 мы попытались найти какую-либо связь irrationalности функции с irrationalностью ее значений — и потерпели полную неудачу. После этого, веройто, уже никакому не придет в голову искать связь трансцендентности функции с трансцендентностью ее значений. Чтобы окончательно снять все сомнения, достаточно рассмотреть функции, график которого изображен на рисунке 5. Эта функция трансцендента, однако принимает при всех рациональных значениях $x$ не только алгебраические, но даже рациональные значения (докажите самостояльно перечисленные свойства этой функции).

25

Задачи

M1106 — M1110, Ф1118 — Ф1122

M1106. Каждый из трех примых, соединяющих середины противоположных сторон выпukлого шестиугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что эти три примые пересекаются в одной точке.

В. В. Произволь

M1107. Докажите, что если $a, b$ и $c$ — длины стороны треугольника, то

$$2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + 3.$$

Л. Д. Курляндчик

M1108. В выпukлом $n$-угольника ($n > 4$) никакие три диагонали не проходят через одну точку внутри многоугольника. Какое наиболее число диагоналей в нем можно проверить так, чтобы все части, на которые они разобьют $n$-угольник, оказались треугольниками?

M. Хованов, ученик 10 кл., Москва

M1109. В одном стором заданияке по геометрии была помещена такая задача: вычислить длину стороны правлого треугольника, высанного в парабoly $y = x^2$. В указании к задаче говорилось, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной парабoly. Верно ли такое указание? может ли длина стороны правлого треугольника, высанного в эту парабoly, быть равной a) 3; б) 1988?

В. С. Шевелев

M1110. Для данного натурального $n > 1$ выпишем наиболее общие делители всех возможных пар различных чисел от 1 до $n$. Докажите, что а) среднее арифметическое всех $n(n-1)/2$ выписанных чисел неограниченно растет с ростом $n$, но не превыходит $\ln n + 1$; б) их среднее геометрическое не превыходит 10 при любом $n$.

В. Ф. Лев

Ф1118. Рыбак, живший в усте владающей в океан реки, перебрался на новое место жительства на несколько kilометров вверх по течение. К своему удивлению, он обнаружил, что время между началом прилива и началом отлива увеличилось, а время между началом отлива и началом прилива уменьшилось. Как обязывать это обстоятельство?

А. С. Вугов

Ф1119. В узкую кловету с паралельными вертикальными стenkами налили неокоторое количество прикладных осимметрии $O—O$. При неокоторой скоростивращения обнаружется $k$-я часть площади дна. Как при этом изменилась сила давления на дно и на узкие боковые стены (по сравнению со слуаемем неподвижной коветы)? При врашении жидкости не выплескивает. Поверхностным натяжением пренебречь.

Г. С. Ланудс

26

Ф1120. Для сравнения теплопроводности различных материалов предлагалось использовать следующие методы. На горячую плиту ставятся два одинаковых цилиндра из исследуемых материалов (рис. 2). На цилиндрыкладут по кусочку воды. Где скорее воск начнет таять — тот цилиндр и обладает лучшей теплопроводностью. Верен ли этот метод?

А. И. Вуздин

Ф1121. Металлический шар радиусом $r$, удаленный от других предметов, затем через сопротивление $R$. На шар налетает пучок электронов, скорость которых вдали от шара была $v$. В секунду на шар попадает $n$ электронов. Какое количество теплопроводности на шаре за секунду? Каков загадша?

И. Ф. Гинзбург

Ф1122. Известны случаи наблюдания мира моря в пустые. На каком расстоянии от наблюдаателя возникает такой мираж? Считать, что скорость света в приземном слое в пустые меняется по закону $c(z)=c_0(1-az)$, где $c_0$ — скорость света у поверхности земли, $z$ — высота над поверхностью.

В. И. Клячин

Problems

M1106 — M1110, P1118 — P1122

M1106. Each of the three lines joining the midpoints of the opposite sides of a convex hexagon divide its area in half. Prove that these lines intersect at one common point.

V. V. Proizvolov

M1107. Prove the inequality

$$2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + 3,$$

where $a, b, c$ are the sides of a triangle.

L. D. Kurlyandchik

M1108. No three diagonals of a convex $n$ vertex polygon have a single common point inside it ($n \geq 4$). What largest number of diagonals may be drawn so that all the parts into which they split the polygon are triangles?

M. Khovanov, 10th form student, Moscow

M1109. An old geometry problem book contains the following exercise: compute the length of the sides of an equilateral triangle inscribed in the parabola $y=x^2$. As a hint for finding the solution, the authors claim that one of the vertices must coincide with the parabola’s vertex. Is this correct? Can the side of the inscribed equilateral triangle equal a) 3; b) 1988?

V. S. Shevelev

M1110. For a given integer $n>1$ select all the greatest common divisors of pairs of distinct integers from 1 to $n$.

28

Решения задач
M1086 — M1090, Ф1097 — Ф1102

М1086. С числом разрезается производить две операции: «увеличить в 2 раза» и «увеличить на 1».
За какое наименьшее число из числа 0 получить: а) число 100? б) число n?

а), 6) Задачу удобно решать с конца, т. е. искать кратчайший способ получения числа 0 из произвольного натурального n с помощью двух операций — вычитания 1 (В) и деления пополам (Д). Пусть r(n) — число операций В и Д в таком кратчайшем алгоритме. Если число n нечетно, то к нему можно применить только операцию B, так что

$$r(2k+1)=1+r(2k).$$

Покажем индикцией по k, что r(2k)=1+r(k), т. е. четное число в кратчайшем алгоритме надо делить пополам. Для k=1 это ясно. Пусть это доказано для всех чисел, меньших k. Если к числу 2k сначала операцию B (вычесть 1), то число операций до получения 0 будет не меньше, чем

$$1+r(2k-1)=2+r(2k-2)=3+r(k-1)$$

(по предположению индикции). Если же сначала делить 2k пополам, а дальнейшие по оптимальном пути, то число операций будет 1+r(k)≤2+r(k-1). Таким образом, второй способ зависит.

Чтобы узнать, сколько операций потребуется в кратчайшем алгоритме для заданного числа n, представим n в виде суммы степени двойки: $n=2^{k_1}+2^{k_2}+...+2^{k_m}$, где $k_1$ неотрицательное, а $k_2$, …, $k_m$ — положительные целые числа ($k_1, k_1+k_2,...$ — это номера разрядов двойной записи n, в которых стоит единицу). Тогда

$$r(n)=k_1+r(n/2^{k_1})=k_1+1+r(2^{k_2}+...+2^{k_m})=...$$

$$...=(k_1+1)+(k_2+1)+...+(k_m+1)=$$

$$=(k_1+k_2+...+k_m)+m=[\log_2 n]+m$$

([x] — целая часть x), поскольку $k_1+k_2+...+k_m$ — это показатель наиболее степеней двойки, не превысая n. Отметим, что m равно количество записи числа n. В частности, для n=100 получаем ответ к задаче a): $r(100)=9$.

На полях показано превращение числа 100 в 0 в десятичной и двойной записи. Поскольку $100=2^6+2^5+2^2$, получаем $r(100)=6+3=9$.

М. В. Canир

M1087. Расстоянием треугольник ABC, точку M в плоскости этого треугольника и проекции A1, B1, C1 точки M на высоте, проведенные из вершин A, B, C соответственно. Доказите, что a) существует одна и только одна точка M, для которого отрезки AA1, BB1 и CC1 равны;

a), 6) Проведем через каждую вершину треугольника ABC прямую, параллельную противоположной стороне (и перpendикулярную соответствующей высоте). Эти прямые ограничат треугольник A0B0C0 (см. рисунок), подобный данному с коэффициентом 2. Очевидно, что отрезки AA1, BB1, CC1 равны расстояниям от точки M до стороны B0C0, C0A0, A0B0 нового треугольника. Поэтому равенство AA1=BB1=CC1 возможно тогда и только тогда, когда точка M равнодулана от сторона треугольника A0B0C0, т. е. является центром егописанной окружности. В этом случае отрезки AA1, BB1 и CC1 равны по длине радиуса этой окружности или диаметру d

29

6. для такой точки M длины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ равны диаметру вписанной в треугольник ABC окружности.

M1088. Докажите, что если числа p, q, r рациональны и pq+qr+pr=1, то (1+p²)(1+q²)(1+r²) — квадрат рационального числа.

M1089. В выпуклом четырехугольнике ABCD площадью S диагонали пересекаются в точке O. Пусть K, L, M, N — центры окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC, COD и DOA. Докажите, что произведение перimeterов четырехугольников ABCD и KLMN не меньше 4S.

Писанной окружности треугольника ABC (вспомним о подобии наших треугольников!).

Найденная выше точка M лежит внутри треугольника ABC, так как все его высоты больше d. Некоторые читатели под «проекцией на высоту» понимают на прямую, содержащую высоту. При таком понимании имеется еще robust три точки, удовлетворющие условиям, — центры внешисанных окружностей треугольника A₀B₀C₀.

А. Х. Джафаров

По условию 1+p²=qr+pq+pr+p²=(q+p)(r+p). Записывая аналогично два других сомножителя расматривается в разметке, получим

(1+p²)(1+q²)(1+r²)=((q+p)(r+p)(q+r))².

И. Варга, В. Н. Дубровский

Пусть k, l, m, n — радиусы окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC, COD, DOA. Тогда перimeter KLMN не меньше, чем 2(k+l+m+n) (KL≥k+l, LM≥l+m, и т. д.; рис. 1). Но k=2S_{AOB}/P_{AOB}, где буквы S и P обозначают площадь и перimeter, а P_{AOB}≤P_{ABCD}. Аналогично оценываются величины l, m, n. Следовательно,

$$P_{KLMN} \geq 4 \frac{S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}}{P_{ABCD}} = \frac{4S}{P_{ABCD}},$$

что и требовалось.

Рис. 1.

Рис. 2.

Заметим, что число 4 в нашем неравенстве увеличить нельзя. Действительно, фиксируем в четырехугольнике ABCD основание AB и точку пересечения diагональной O, а длину BC устремим к нулю (рис. 2), тогда

$$P_{KLMN} \rightarrow 2LN, P_{ABCD} \rightarrow P_{AOB}, S = S_{ABCD} \rightarrow S_{AOB}.$$

Позотому

$$\frac{P_{KLMN} \cdot P_{ABCD}}{S} \rightarrow 2LN \frac{P_{AOB}}{S_{AOB}} = 4 \frac{LN}{k}.$$

Но отношение LN/k за счет увеличения угла AOB можно сделать сколь годно близким к 1. Следовательно,

30

М1090. Докажите, что a) для любых положительных чисел a, b и с справедливо неравенство
$$\sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{b^2 - bc + c^2} \geq \sqrt{a^2 + ac + c^2};$$
б) неравенство из n. a) обращается в равенство, если и только если $1/a+1/c=1/b$.

Ф1097. Для уменьшения доли отраженного света от поверхности стека на нее наносят тонкую пленку, показатель преломления которой меньше показателя преломления стека (просветление оптики). Какой наименьшей толщины пленку с показателем преломления n=4/3 надо навести на поверхности стека, чтобы при nadении (normально к поверхности) света, содержащого излучение двух длины волн с $\lambda_1=700$ nm и $\lambda_2=420$ nm, отраженный свет был максимально ослаблен для обеих длины волн?

Пусть на пленку толщиной $h$ падает плоская световая волна с длиной волны в вакууме $\lambda$. После частичного отражения от верхней и нижней поверхности пленки в обратном направлении (см. рисунок) идут волны 1 и 2. Если световая волна падает нормально к поверхности пленки, то разность хода отраженных волн 1 и 2 равна удвоенной толщине пленки. Чтобы отраженный свет был максимально ослаблен, волны 1 и 2 должны быть в противофазе. Чтобы условие выполнялось, разность волны 1 и 2 должна равнять нечетному числу половин длины волн в пленке:

$$2h = (2k-1) \frac{\lambda}{2n} (k=1, 2, 3, ...),$$

где $\lambda/n$ — длина волны в пленке. Отсюда

$$h = \frac{(2k-1)\lambda}{4n}.$$

Как видим, $h$ зависит от длины волны. Максимальное ослабление света на длинах волн $\lambda_1$ и $\lambda_2$ будет при следующих толщинах пленки:

$$h_1 = \frac{\lambda_1}{4n}, \frac{3\lambda_1}{4n}, \frac{5\lambda_1}{4n}, ... = \frac{700}{4n}, \frac{2100}{4n}, \frac{3500}{4n}, ...$$

$$h_2 = \frac{\lambda_2}{4n}, \frac{3\lambda_2}{4n}, \frac{5\lambda_2}{4n}, ... = \frac{420}{4n}, \frac{1260}{4n}, \frac{2100}{4n}, ...$$

($h_1$ и $h_2$ — в направлении). Из сравнения этих двух наборов заклонаем, что наименьшее совпадание значения $h_1$ и $h_2$ равны $\frac{2100}{4n}$ нм ≈ 394 нм.

31

Ф1098. Детский пистолет, который можно представить в виде пружины конечной массы, прикрепленной к неподвижной стене, выстрелает шариком, сообщая ему скорость v. Если выстрелить шариком вдвое большей массы, его скорость будет $v\sqrt{2/3}$. Какова будет скорость шарика утроенной массы?

Итак, наименьшая толщина пленки, при которой отраЖенный свет максимально ослаблен для обеих длины волн, — $h \approx 394$ nm.

В. И. Чивилёв

Разгон шарика пружинойprodолжается до тех пор, пока пружина не оказывается в равновесном состоянии. Если к этому моменту шарик набирает скорость v, то такая же и скорость свободного (не закрепленного у стены) конца пружины. Кинетическая энергия пружины, у которой в равновесном состоянии один конец покопится, а другой имеет скорость v, можно представить в виде $aMv^2/2$, где M — масса пружины, равномерно распределена по ее длине, a — числовой коэффициент, не зависит от скорости конца пружины.

Запишем закон сохранения энергии для всех трех случая (для шариков массой m, 2m, 3m), считая начальное состояние пружины каждой раз одним и тем же и равным $x_0$:

$$\frac{kx_0^2}{2} = \frac{m}{2} v^2 + \frac{1}{2} aMv^2,$$

$$\frac{kx_0^2}{2} = \frac{2m}{2} \left(\frac{2}{3} v^2\right) + \frac{1}{2} aM \left(\frac{2}{3} v^2\right),$$

$$\frac{kx_0^2}{2} = \frac{3m}{2} u^2 + \frac{1}{2} aMu^2.$$

Решая совместно эти уравнения, найдем скорость u, которой набирает при выстреле шарик массой 3m:

$$u = v \sqrt{\frac{1}{2}}.$$

П. И. Зубков

Ф1099. В горизонтальном закрепленной открытой с концов трубе сечением S находятся два поршня (см. рисунок). В исходном состоянии левый поршень соединен с неподвижной стенкой недеформованной пружиной жесткостью k. Давление p₀ газа между поршнями равно внешнему давлению, расстояние H от правого поршня до края трубы равно расстоянию между поршнями. Правый поршень медленно вытязывают к краю трубы. Какую силу нужно приложить к поршню, чтобы удержать его в крайем

По мере вытягивания правого поршня давление газа между поршнями будет уменьшаться, левый поршень будет смешаться впраwo, растявая пружину.

Запишем условия равновесия поршней в положении, когда правый поршень выдинут до края трубы и к нему приложена сила F (см. рисунок):

для левого поршня —

$$p_0S - pS - kx = 0;$$

для правого поршня —

$$F + pS - p_0S = 0$$

(*) (p — давление газа между поршнями). Из этих уравнений следует, что

$$F = p_0S - pS = kx.$$

Так как температура постоянна, согласно закону Бойля — Мариотта для газа между поршнями имеем:

$$p_0HS = p(2H - x)S,$$

откуда

32

положения? Трене претензioso мало, температура постоянна.

$$p = \frac{p_0H}{2H-x} = \frac{p_0H}{2H-F/k} = \frac{p_0kH}{2kH-F}.$$

Подставив это выражение для $p$ в (*), получим для $F$ квадратное уравнение:

$$F^2 - (p_0S + 2kH)F + p_0SkH = 0.$$

Его решение —

$$F_{1,2} = \frac{p_0S}{2} + kH \pm \sqrt{\frac{p_0^2S^2}{4} + k^2H^2}.$$

Поскольку ясно, что $F=0$ при $k=0$, окончательно получаем:

$$F = \frac{p_0S}{2} + kH - \sqrt{\frac{p_0^2S^2}{4} + k^2H^2}.$$

В. П. Вородин

Ф1100. Достаточно длинный капитал, погруженный в сосуд с водой, герметический закрывают сверху. При этом уровень жидкости в капитале попадает на $\Delta h=4$ см. Чему равна относительная влажность воздуха у поверхности воды в сосуде, если температура окружающей воздуха 20 °C?

Когда верхний конец капитала будет закрыт, водной пар, находящийся в свободном от воды верхнем конце капитала, становится насыщенным, и парциальное давление пара увеличится. Из-за этого и понится уровень воды в капитале (так как на уровне воды в сосуде давление остается постоянным).

Запишем условия равновесия воды в капитале, находящей на уровне свободной поверхности воды в сосуде, до и после закрытия капитала:

$$p_{\pi} + p_{\beta} - \frac{\sigma}{2r} + \rho gh = p_{\pi} + p_{\beta},$$

после закрытия —

$$p_{\pi} + p_{\beta} - \frac{\sigma}{2r} + \rho g (h - \Delta h) = p_{\pi} + p_{\beta}.$$

Здесь $(p_{\pi} + p_{\beta})$ — давление у поверхности воды в сосуде, равное сумме парциальных давления пара и сухого воздуха; $(p_{\pi} + p_{\beta} - \frac{\sigma}{2r})$ — давление над искривленной поверхности воды в открытом капитале ($r$ — радиус капитала, $\sigma$ — поверхностное натяжение воды); $p_{\pi}$ — давление насыщенного водыного пара при температуре 20 °C; давление сухого воздуха $p_{\beta}$ в капитале можно считать неизменным, так как капитал достаточно длинный.

Из уравнений (1) и (2) получаем:

$$p_{\pi} - p_{\beta} = \rho g \cdot \Delta h,$$

или $$\frac{p_{\pi}}{p_{\beta}} = 1 - \frac{\rho g \cdot \Delta h}{p_{\beta}}.$$

Но $\frac{p_{\pi}}{p_{\beta}}$ 100 % — это и есть искомая влажность воздуха у поверхности воды в сосуде. Таким образом,

$$\varphi = \left(1 - \frac{\rho g \cdot \Delta h}{p_{\beta}}\right) 100\%.$$

Взяв из таблицы значения $p_{\pi} = 2,33 \cdot 10^3$ Pa и подставив $\rho = 10^3$ кг/м$^3$, $g = 9,8$ м/с$^2$, $\Delta h = 4 \cdot 10^{-2}$ м, получим $\varphi \approx 83\%$.

Л. Г. Маркович

33

Ф1101. Легкий горизонтальный стержень длиной 2а может свободно врачаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Одинаковые массивные шары насажены на стержень и могут перемещаться вдоль него без трения и упруго отражаться от упорова на его концу (рис. 1). Сначала шары закреплены на расстояниях a/2 от оси. Стержень раскушают до угловой скорости $\omega_0$, после чего шары одновременно освобождают. По каким траекторям будут движаться шары? За какое время стержень совершит полный оборот? Построить график зависимости $\omega(t)$. Размеры шаров много меньше длины стержня.

В силу симметрии начального расположения и начальных скоростей шары всегда будут находиться в симметричных точках и имеют симметричные скорости. Тогда легко показать, что шары будут движаться свободно, кроме моментов отражения от упоров.

Действительно, предположим, что на шар $A$ действует сила $F$, перpendикулярная стержню (продольных сил нет, так как нет трения). Тогда из соображений симметрии на шар $B$ должна действовать сила $-F$ (рис. 2). Но это означает, что со стороны шаров на стержень будет действовать раскрутиваюшая его пара сил. Пренебрегая массой стержня по сравнению с массами шаров, заключаем, что эти силы должны быть пренебрежимо малы (в пределе для того, чтобы поворачивать неевесомый стержень, сил вообще не требуется). Таким образом, мы приходим к выводу, что между стокновениями с упорами шары будут движаться равномерно и прямолинейно.

Проанализируем теперь стокновения шаров с упорами. Во-первых, при стокновении сохраняется $X$-компонента импульса (рис. 3), так как иначе на шары в момент удара будут действать силы, перpendикулярные стержню, что невозможно в силу предыдущего расужждения. Во-вторых, в силу упругости сохраняется энергия. Поэтому при соударении шаров с упорами выполняется закон равенства угловой падения и отражения.

Из приведенных расужждения и геометрии задачи ясно, что траекторий каждой шара будет равносторонний треугольник со стороны $l=2a\cos 30^\circ=a\sqrt{3}$ (см. рис. 3).

Стержень совершит полный оборот за время $T$, которое понадбится шару, чтобы такой треугольник со скоростью, равной начальной скорости $v_0=\omega_0 a/2$. Таким образом,

$$T=3l/v_0=6\sqrt{3}/\omega_0.$$

Найдем зависимость $\omega(t)$. ПонЯтно, что $\omega=v_t/r$, где $v_t$ — перpendикулярная к радиусу компонента скорости шара, т. е. $v_t=v\cos \alpha=va/2r$. Следовательно,

$$\omega=va/2r^2=\omega_0/(1+(2x/a)^2)$$

(см. рис. 3). Если начинать с момента, когда $\alpha=0$, то $x=v_0t$,

$$\omega=\omega_0/(1+(\omega_0 t)^2)$$ при $-\sqrt{3}/\omega_0 \leq t \leq \sqrt{3}/\omega_0$.

В момент $t=\sqrt{3}/\omega_0$ произойдет удар об упор, и цикл повторится (см. рис. 4).

А. Ю. Алексеев

34

Ф1102. Лазерный луч падает на прораничную плоскопаралельную пластину, одна поверхность которой закращена так, что может рассеять свет во всех направлениях. На пластине видна следующая картина: светляя точка в центре, темный круг с резко очереденной границей, а вокруг — светлый ореол. Объясните явление.

Лазерный луч попадает в точку $O$ закрашенной поверхности (см. рисунок). Лучи рассеянного света, исходящие из точки $O$ под углом $\alpha$, менящим $\alpha_0$ — угол полного внутреннего отражения), выходят из пластинки и создают изображение светящейся точки $O$. Лучи, исходящие из точки $O$ под углом, большем $\alpha_0$, снова попадают на закрашенную поверхность и освещают ее, создавая светящейся ореол. При этом радиус $R$ неосвесенной области равен $2d$ тg $\alpha_0$, где $d$ — толщина пластинки.

А. М. Шалаzin

Список читатель, приславших правильные решения

Большинство читателей, приславших решения задачи M1061—M1075, Ф1073—Ф1087, справились с задачи M1071, M1072, M1075, Ф1073, Ф1076, Ф1078, Ф1084, Ф1086. Ниже мы публикуем фамилии тех, кто прислал правильные решения остальных задачи (цфры после фамилии — последние цфры номеров решенных задачи).

Математка

Ц. Адриан (Каракал, СРР) 62; А. Акимов (Евпатория) 67—69; Д. Алиевский (Свердловск) 68, 70; И. Аржанцев (Киев) 61, 62, 66, 67, 69, 70; Р. Арустамян (Ереван) 61; С. Аршава (Усинск) 62, 63, 65—67, 69, 70; А. Бабкин (Киев) 62, 66—68; З. Бандик (СФРЮ) 62, 63, 68; В. Барановский (Омск) 73; В. Бодлеску (Тимишоара, СРР) 63; Ю. Безначева (Краснойрк) 62, 65—70, 73; В. Бизкадзе (Тбилиси) 73; Т. Возjonов (Алма-Ата) 68; Ж. Бопаев (Талды-Курран) 67; Я. Бренер (Вильнос) 64; Ц. Василеев (София, НРВ) 64; Ю. Великина (Диепропетровск) 63, 66, 68, 69, 73, 74; А. Винццкий (Калуга) 62, 68, 73; А. Винццкий (Киев) 68, 70, 73; А. Витлеев (Новосибирск) 63; В. Волододский (Омск) 61, 63, 64; П. Волфбейн (Киев) 68, 69; В. Волков (Шахтерск) 61—70, 73, 74; Д. Волпер (Омск) 61—64, 66—70, 73, 74; М. Всемирнов (Ленинград) 62, 63, 66, 68, 69, 73; М. Выборов (Киев) 68, 73; С. Гарданов (Керчь) 62; Ю. Гнаток (Каменец-Подольский) 66—70; М. Гольдштейн (Челябинск) 63; А. Гороховский (Киев) 62—64; Р. Гринв (Львов) 61—63; А. Давыдов (с. Елфимово Горьковской обл.) 66, 69; И. Жарков (Свердловск) 61, 62, 64; Ю. Журавель (Киев) 66, 68; В. Завражный (Фрунзе) 69; И. Зверев (Москва) 62; С. Зелик (Краматорск) 61—63, 66—70, 74; И. Зефиров (Химки Московской обл.) 61—64, 68—70, 73, 74; Т. Ионексу (Будапешт, ВНР) 62; А. Калинин (Саратов) 61—64, 67, 69, 70, 73; В. Калошин (Харьков) 61—64, 66—70, 73, 74; А. Караваев (Волгоград) 61; С. Кириллов (Одеска) 61, 69; О. Киринасовский (Винница) 62, 66, 67, 69, 70, 73, 74; С. Коваценко (Винница) 62, 67—70, 73; О Коврижкин (Майкоп) 63, 66, 69, 70; А. Козачко (Винница) 62, 67—70, 73; И. Кокорев (Ленинград) 62, 63, 66, 68—70, 73, 74; Г. Колесничкий (Тбилиси) 61; М. Колодей (Омск) 73, 74; А. Кондратьев (Отрадное Ленинградской обл.) 69; А. Коршков (Мозырь) 61—63, 68—70; Д. Косона (Белорец) 61—64, 66—69; В. Креец (Новосибирск) 62, 67, 68, 73; О. Креец (Новосибирск) 68; В. Крушикаль (Новосибирск) 62, 66, 68, 70, 74; В. Куватбекова (Фрунзе) 66, 73; А. Кулик (Киев) 61—64, 66—70, 73, 74; С. Лесик (Донецк) 61, 66, 68—70, 74; А. Лосев (Ленинград) 62, 66, 68—70, 73, 74; В. Лысенков (Белорец) 61—64, 66—69, 74; С. Ляшенко (Харьков) 69; И. Марков (Киев) 61, 64, 68, 69; Т. Мартиросова (Ташкент) 66, 67, 69, 73; М. Марченко (Гайворон) 73; В. Матвеев (Москва) 61—64, 68, 69, 73, 74; О. Мельник (Шевченko) 66; А. Мельник (Краснодар) 61, 66, 73; А. Мельцер (Ленинград) 66, 69, 70, 73, 74; М. Мельцер (Вильнос) 63, 66, 69, 70; С. Морозов (Завольье) 61; А. Морозова (Одеска) 67, 68; Я. Мустафаев (Баку) 62, 63, 65—70, 73, 74; А. Назарян (Тбилиси) 61—63; Д. Никшич (Киев) 67, 69, 73; И. Опульский (Киев) 61—63, 67—70, 73, 74; О. Павлов (Новосибирск) 63, 73, 74; С. Павлов (Новосибирск) 61, 62, 68—70; В. Павлинн (Фрунзе) 63, 64, 66, 69; А. Паламарук (Киев) 73; А. Паршин (Омск) 73, 74; А. Пиковский (Киев) 62, 63; Д. Позребинский (Киев) 63; В. Полицук (Киев) 61, 62, 66—70; Д. Прокофьев (п. Сертилово Ленинградской обл.) 62, 63, 66, 68—70, 73, 74; В. Радулин (Москва) 61, 63, 74; В. Радулин (Москва) 61, 63, 74; В. Радулин (Москва) 61, 63, 74; Л. Рябова (Клин) 67; В. Савчик (п. Ахмедлы АзССР) 73; А. Савчик (Киев) 68; Д. Синц-

37

НУЛЬСТОРОННИЙ
ПРОФЕССОР

М. ГАРДНЕР

Долорес, стройная черноволосая звезда чикагского почного клуба «Пурпурные шляры», замерла в самом центре танцевальной площадки и под еда слышный аккомпанент оркестра, наигрывавшего какую-то восточную мелодию, начала танец живота, свой знаментий номер «Клеопатра». В зале было совсем темно, и только сверху на нее padал изумрудный луч проектора, поблескивая на воздушном «египетском костюме» танцовщицы.

Первым должно было упасть произное pokрывало, исппадаетшее с головы и закрывающее плену Долорес. Еще мгновение, — и Долорес изящным жестом сбросила бы pokрывало, как вдруг откуда-то сверху донесся громкий звук, пожожий на выстрел, и с потолка головой визс свалился обжженный мужчина.

Поднялся невероятный переполох.

Метродель Джейк Боуэрс приказал дать свет и попытался успокопить зрителей. Управляющий клубом, стоящий у оркестра и наблюдающий за представленем, набросил на распростертую фигуру скатерть и перекатил ее на спину.

Незнакомец тяжелю дышал и был без сознания. Ему было далек за пятьдесят. Бросались в глаза короткая, шательно подстриженная рыжая борода и усы. Незнакомец был совершенно льс и по сложению наполинал професссионального борца.

С большим трудом trem официантам удалось переести его в кабинет управления. Зрительный зал волновался, дамы были на грани истории. Изумленно тараша глаза то на потолок, то друг на друга, зрители горячего обсуждаили, каким образом мог упасть незнакомец. Единственная гипотеза, не чужая здравому смысл, состояла в том, что тело было подброшено высоко в воздухах откуда-то сбоку от танцевальной площадки. Впрочем, никакого из приступововших в зале не видел, как это произошло.

Тем временем в кабинете управления незнакомец пришел в себя. По его утверждению, он был доктором Станиславом Сляпенарским, профессором математики Венского университета, прибившим по приглашению для чтения лекций в Чикагском университете.

Прежде чем продолжить этот удивительный рассказ, считаю своим долгом предуведить читателя, что я не был оченьцем описанного эпизода и полагаюсь всецело на интервью с метроделем и официантами. Тем не менее мне посчастливилось принять участие в цепи необычайных событий, которые и привели к складальном поевлении профессора, наделавшему столко шума.

Собиться эти начались за несколько часов до того, как члены общества «Мебиус» собрались на свой ежегодный банкет в одной из украмных столовых на втором этаже клуба «Пурпурные шляры». Общество «Мебиус» — небольшая, мализвестная чикагская организация математиков, работающих в области топологии — одного из разделов современной математики.

Объяснить человеку, далеком от математики, что такое топология, довольно трудно. Можно сказать, что топология занимается изучением тех свойств фигур, которые сохраняются неависимо от того, как деформарован такой бульк, неоторные его свойства остаются неизменными. Например, в нем всегда есть дыра. В тополо-

Рассказ замечательного американского популяризатора Мартина Гарднера мы перепчатываем из сборника «Трудная задача» (М.: Мир, 1982). Перевод Ю. А. Даниловa.

38

гини бубlik приято называть тором. Соломинка, через которое вы пьете коктейль, тоже тор, только вытянутый. С точки зрения топологии бубlik и соломинка ничего не отличаются.

Топология не интересует свойства фигур, связанные с длиной, площадью, объемом и тому подобными количественных характеристиками. Она занимается изучением наиболее глубоких свойств фигур и тел, которые остаются неизменными при самых условиях деформациях, но без разрывов и скленов. Если бы тела и фигуры разрезались разрывать и скленать, то любое тело сколь угодно сложной структуры можно было бы превращать в любое другое тело с какой угодно структурой, и все первоначальные свойства были бы безвозвращаго утрачены. Поразмысливнемного, вы поймете, что топология занимается изучением самых простых, и в то же время самых глубоких свойств, какими только обладает тело*).

Хотя еще в восемнадцатом веке многое математики были сданы решением отдельных топологических задач, начало систематической работы в области топологии было положено Августом Фердинандом Мебиусом, немецким астрономом, преподавшим в Лейпцигском университете в первой половине прошло века. До Мебиуса все думали, что у любой поверхности две стороны, как у листа бумаги. Именно Мебиус совершил обескураживание открытие: если взять полоску бумаги, перекрутить ее на пол-оборота, а концы склеить, то получится односторонняя поверхность, обладающая не двуяя, а одной-единственной стороне!

Трудно поверить, что такое вообще может быть, но односторонняя поверхность действительное существует — реализная, осзаемая вещеь, которое каждый может построить в один миг. В том, что у листа Мебиуса есть лишь одна сторона, совместья не приходит, и это свойство он сохраняет, как бы вы не растягивали и не деформировали его.

Но вернемся к нашей истории. Я предполага Mathematica в Чикагском университете, докторскую диссертацию заштитл по топологии, и мне без особого труда удалось ввести в общество «Мебиус». Нас было не очень много — всего лишь два цепей цветовек, главным образом чикагских топологов, но не некоторые цепи общества работы в университетах соседних городов.

МыSTRAВАЛИ ежемесячные заседания, носившие сугубо академический характер, но раз в году — 17 ноября (в день рождения Мебиуса) — собирались на банкет и приглашали в качестве гостя какого-нибудь знаменитого топология, который выступал с lekцией.

В нынешнем году мы решили отправовать годовщину патрона нашего общества в «Пурпурных шляпах», где цены были вполне умеренны, а после лекции можно было спуститься в зал и посмотреть программу варьте. С гости нам повезло: наше приглашение принял знаментий профессор Слипенарский, первый тополог мира и один из величайших математических гениев нашего века.

В «Пурпурные шляпы» я и Слипенарский поехали вместе на такси, и по дороге я попросил его расскаать в общих чертах то, о чем он собирался говорить на lekции. Слипенарский в ответ только улыбнулся и посоветовал запаситься терпением. Тема лекции «Нульсторонные поверхности» вызывал среди членов общества «Мебиус» также ожидленные толки, что даже профессор Роберт Симпсон из Висконсинского университета письменно уведомил правление о своем намерении прибать на банкет. Ни на одномさせании в этом году профессор Симпсон присутствовать не созволил!

*) Чтоы посянить суть дела, приведем типичную топологическую задачу. Представьте себе поверхность тора, сделанную из тонкой резины, наполобе велиспедной камеры. Предположим, что в стенке тора проколота крокотная дырочка. Можно ли через эту дырочку вывернуть тор наизнанку, как выворочивают велиспедную камеру? Решить эту задачу в «уме», руководствуясь только своим пространственным воображением,— дело нелегкое.

39

(Нужно сказать, что профессор Симпсон считался признаным авторитетом по топологии на Среднем Западе и был автором нескольких важных работ по топологии и теории поля, в которых выступал с резками наадками на основные теории Слейпенарского.)

Мы приближили вовремя. После того, как наш почетный гость был представлен профессор Симпсону и другим членом общества, мы сели за стол. Я обратил внимание Слейпенарского на традицию ожидать наши банкеты мелкими деталями, выдержными в «топологическом дуxe». Например, середрные колыца для салфеток были выполены в форме листов Мебиуса. К кофе подавали спецально испеченные бублики, а кофеник был изготовлен в виде «бутылки Клейна».

После моого краткого вступительного слова Слейпенарский вступал, поблагодарил присутствующих улыбкой за апподисменты и откашлялся.

Изложить сколь-нибудь подробно блестящий, но доступный понименно только специализов доклад Слейпенарского вряд ли возможно. Суть его сводилась к следующему. Лет десять назад Слейпенарский наткнулся в одном из менее известных трудов Мебиуса на утверждение, поразившее его воображение. По словам Мебиуса, теоретически не существовало причин, по которым поверхность не могла бы утратить обе свои стороны: иными словами, стать «нульсторонней».

Разумеется, появил профессор, такую поверхность невозможно представить себе наглядно, так же как квадратный корень из минус единиц или гиперкуб в четырехмерном пространстве. Но абстрактность понятия отпудь не означает, что оно лишено смысла или не может найти применения в современной математике и физике.

Не следует забывать и о том, продолжал профессор, что те, кто никогда не видел лист Мебиуса, не могут представить себе даже одностороннюю поверхность. Немало людей с хорошо развитием математической воображением отказываются верить в существование односторонней поверхности, даже когда лист Мебиуса у них в руках.

Я взглянул на профессора Симпсона, и мне показалось, что при этих словах он чут заметно улыбнулся.

На протяжении многих лет, продолжал Слейпенарский, он упорно стремился построить нульстороннюю поверхность. По аналогии с известными типами поверхностей ему удалось изучить многое свойства нульсторонней поверхности. Наконец, дополненный день настал. Слейпенарский выдержал паузу, чтобы посмотреть, какое впечатление его слова произвели на слушатель, и окинул взглядом замершую аудитorio. Его услия увечались успехом, и он построил нульстороннюю поверхность.

Подобно электронческому разряду, его слова обжалли сидеших за столом. Каждый встречался, удивленно посмотрел на соседа и уселяя подобнее. Профессор Симпсон яростно затряс головой. Когда Слейпенарский отшеллел в дальнейнку столовой, где была приготовлена классная доска, Симпсон повернул к соседу слева и шепнул: «Чушь неусуветная! Любо Слейппи совсем спятил с ума, либо он просто вздумал подшутить над нами».

Мне кажется, что мыслу о розыгрыше пришла в голову многим из присутствовших. Я видел, как некоторые из них недоверчиво улыбались, пока профессор вычерчивал на доске сложные схемы.

После некоторых появений (их я полностью опускаю из опасения, что они были бы совершенно непонятными большшинству читателей) профессор заявил, что хотел бы в заключение лекции построить одну из простейших нульсторонних поверхностей. К этому времени все присутствовшие, не исключая и меня, обменивались понятиями улыбками. На лице профессора Симпсона улыбочка была несколько напряженной.

(Продолжение см. на с. 42)

42

Сляпенарский достал из кармана піджака пачку синей бумаги, пожницы и тюбик с kleем. Он вырезал из бумаги фигурку, до странности напоминавшую бумажную кукулу: пять длиных высупов, или отростков, походили на голову, руки и ноги. Затем он сложил фигурку и стал аккуратно склеивать концы отростков. Процедура была весма деликатная и требовала большой осторожности, выступы весма хитроумно переплетались. Наконец, осталось только два свободных конца. Сляпенарский капнул kleем на один из них.

— Джентльмены,— сказал он, держа перед собой замыслованое сооружение из синей бумаги и поворачивая его так, чтобы все могли видеть,— сейчас вы увидите первую публичную демонстрацию поверхности Сляпенарского.

С этим словами профессор прижал один из свободных концов к другому.

Раздался громкий хлопок, как будто лопнула электрическая лампа,— и бумажная фигурка исчезла!

На мгновение мы замерли, а потом все как один разразились смехом и аплоидисметами.

Разумеется, мы были убежданы, что стали жертвами тонкого розыгрыша. Но нельзя не признать, что исполено все было великоленно. Как и другие участники банкета, я полагал, что Сляпенарский показал нам остроумный химический фокус, и что бумага была пропитана особым составом, позволяющим поджчь ее тренем или каким-то другим способом, после чего она мгновенно сторела, не оставив и пепла.

Профессор Сляпенарский, казалось, был озадачен других смехом, и лице его прибрело неотличимый от бороды цвет. Он смушенно улыбнулся и сел. Аплоидисметы мало-помалу стихли.

Мы все столпились вокруг нашего гостя и наперебой шутливо поздравляли его с заменательным открытом. Старший из официальтов напомил нам, что для тех, кто хотел бы заказать напитки и посмотреть программу варить, визузаzekазаны столкики.

Столовая постепенно опустела. В комнате остались только Сляпенарский, Симпсон и ваш покорный слуга. Два знаменительных тополга стояли у dockи. Симпсон, широко улыбаясь, указал на один из чертежей:

— Ошибка в вашем доказательстве скрыта необычайно остроумно, профессор. Не знаю, заметил ли ее еще кто-нибудь из присутствующих.
Лице Сляпенарского было серbezно.
— В моем доказательстве нет никакой ошибки,— заметил он не без разражения.
— Да полно вам, профессор,— возразил Симпсон,— ошибка вот здесь.
Он коснулся пальцем чертежа:
— Пересечение этих линей не может принадлежать многообразию. Они пересекаются где-то вне многообразия.— Он сделал неопределенный жест вправо.
Лице Сляпенарского снова покрасило.
— А я говорю вам, что никакой ошибки здесь нет,— повторил он, повысив голову, и медленно, тщательно выговаривая, как бы выстреливая сLOBа, повторил шаг за шагом все доказательство от начала до конца, постукивая для пушей убедительное по доске костяшками пальцев.
Симпсон слушал с мрачным видом и в одном месте приравал Сляпенарского, возразив ему что-то. Сляпенарский мгновенно парировал возражение. Последовало еще одно замечание, но и оно не осталось без ответа. Я не вместевался в их спор, поскольку он уже давно вышел за рамки моого понимания и воспарил к недоступным мне высам топологи.

Между тем страсти у dockи накаллись, оппоненты говорили все громче и громче. Я уже говорил о давнем споре Симпсона со Сляпенарским по поводу нескольких тополгических аксимом. О них-то теперь и защла reчь.
— А я говорю вам, что выше преобразование не взаимно непрерывно и,

44

В задней комнате я застал других членов общества «Мебиус» и администрацию клуба «Пурпурные шляпы» за шумным иестолковым спором. Сляпенарский, заверновщик в скатерть как в тогу, сидел в кресле и прижимал к нижней челюсти носовой платок с кубиками льда.

— Симпсон вернулся, — сообщил я. — Он в обмороке, но думало, что с ним все в порядке.

— Славу богу, — пробормotal Сляпенарский.

Администратор и владелец «Пурпурных шляп» так и не понял, что произшло в тот сумбурный вечер, и наши попытки что-либо объяснить лишь усугубляли ситуацию. Прибитыние полицей еще больше успили неразбериху и панику.

Наконец, нам удалось одеть пострадавших коллег, поставить их на ноги, и мы покинули поле брани, пообещав вернуться назад с нашими адвокатами. Управляющий, по-видимому, считал, что его клуб пал жертвой заговора каких-то иностранцев, и грозила взискать с нас компенсацию за щерб, нанесенный, по его словам, «безупречной репутации клуба». Оказалось, что тайнственное процесствие, служ о котором разнесся по городу, послужило клубу отличной рекламой, и «Пурпурные шляпы» отказались от иска.

Симпсон отделался легко, но у Сляпенарского оказался перелом челюсти. Я ответз его в госпиталь Виллингс, что неподалеку от университета.

Несколько недель он пробил в госпитале, запретив пускать к себе посетители, и я видел его только в день выписки, когда проводил его на вокзал. Сляпенарский уехал в Нью-Йорк, и с тех пор я его не видел. Через несколько месяцев он скончался от сердечного приступа. Профессор Симпсон вступил в переписку с вдовой профессора Сляпенарского в надежде разыскать хотя бы черновики работ своего покойного коллеги по теории нульсторонних поверхностей.

Сумейот ли топологи разобраться в черновиках Сляпенарского (разумается, если их удасся高新技术), покажет будущее. Мы извели массу бумаги, но пока что нам удавалось построить только общные двусторонние и односторонние поверхности. Хоть я и помогал Сляпенарскому «складывать» в нульстороннюю поверхность, чрезмерное волнениестерло из моей памяти все детали.

Но я никогда не забуду замечание, которое обронил великий тополог в тот памятный вечер перед моим уходом.

— Счастье, — сказал он, — что Симпсон и я успели перед возврашением освободить правую руку.

— А что могло бы служить? — спросил я недоумевающе.

Сляпенарский пожился.

— Мы бы вывернулись наизнанку,— сказал он.

Список читателей, приславших правильные решения
(Начало см. на с. 34)

M. Столар (Киев) 74, 80—82; Д. Сторожук (Киев) 74, 75; М. Субботин (Старый Оскол) 83; А. Супрененко (Киев) 74; З. Таварктиладзе (Тбилиси) 77, 87; Д. Тейтельман (Минск) 75; В. Тенависиров (Русе, НРВ) 77; С. Титов (Старый Оскол) 81; И. Тодоценко (Пермь) 74, 75, 77, 79—81, 87; Д. Толкачев (Ногинск) 85, 87; Ю. Уваров (Ленинград) 74, 77, 87; А. Усинский (с. Птичья Ровенской обл.) 74, 75, 87; Е. Ушакова (Старый Оскол) 83; В. Федотов (Москва) 77, 80, 81; Г. Фейцин (Тула) 74, 75, 77, 82, 83,

87; Д. Фельдман (п. Черноголовка Московской обл.) 74, 77, 79, 82, 83, 87; С. Фирадо (Шклов) 74; И. Химони (Днепропетровск) 74, 75, 79, 82, 87; О. Хорошилова (Старый Оскол) 83; О. Подиков (Артемовск Донецкой обл.) 87; И. Чайка (Кузнецовск) 74, 75, 77, 82; О. Чанов (Брест) 74, 75, 81, 82, 85, 87; О. Черных (Старый Оскол) 81—83; В. Чуев (Старый Оскол) 77; В. Шварцман (Брест) 75; О. Шведов (Москва) 74, 75, 77, 81, 83, 85, 87; С. Шинкович (Березники) 74, 75, 77, 79—83, 87; О. Шиховце (Верхняя Салда) 80—82; С. Штовба (Винница) 74; И. Ягольницер (Черновцы) 75; В. Янкевич (Витебск) 77, 83; И. Ясников (Тольятти) 75, 77, 81.

45

Задания

1. Числа от 1 до 8 расставьте в кружки фигуры, изображенной на рисунке, так, чтобы сумма трех чисел в вершинах каждой зеленого треугольника равнялась 13, а в вершинах каждой коричневого треугольника равнялась 14.

2. Решите числовой ребус, изображенный на рисунке. Одинаковый цифрам соответствует одинаковые буквы, разным — разные.

3. В шахматном турипре Женя и Саша сыграми одинаковое количество партий, заболели и выбыли из турипра. Остальные участки турипра должны до конца. Все в турипре было сыгранно 23 партии. Играли ли Женя и Саша в турипре между собой?

4. ЭВМ напечатала два числа: $2^{1987}$ и $5^{1987}$. Сколько цифр она при этом напечатала?

5. Все стенки и дно картоонной коробки (без крышки) представляют собой квадраты площадью 1. Разрежьте коробку на три куска так, чтобы из них можно было сложить квадрат площадью 5.

Эти задания нам предложили: Н. И. Абилов, ученца 6 класса из г. Ленинграда Н. Яковлева, ученик 10 класса из г. Гаагрина В. Близнеков, ученик 10 класса из г. Харькова В. Пущия, В. В. Произвольов.

46

Кто творит радигу?

Доктор физико-математических наук
Я. Е. ГЕГУЗИН

Radгуу творят водяные капли: в небе — дждинки, на поливаемом acфальте — капельки, брызги от водяной струи. Radгуу могут совпить и капли-росинки, которые осенним утром покрыта низко скошенная трава.

Вначале поговорим о «геометрии» радиги, т. е. о форме и расположении

Эта статья — глава из книги «Капля» известного популяризатора физики Я. Е. Гегузина (М.: Наука, 1973).

разноцветных дуг, а затем — о «физике» радиги, о том, какие физические законы определяют ее форму и цвет.

«Геометрия» радиги в небе описана давным-давно. Обычно в небе видны две разноцветные концентрические дуги — одна яркая, а другая побледне. Каждая дуга является частью окружности, центр которого лежит на прямой, проведенной через солнце и глаз наблюдается. Эта прямая — своеобразная ось, и вокруг нее изогнута радига. Глаз наблюдается оказывается в вершине конусов, в основании которых — разноцветные дуги (рис. 1). Образующие этих конусов с осью соответственно составляют углы 42° и 51°. Солнце светит из-за спины наблюдается, и чем ниже оно опускается к горизонту, тем выше поднимается вершина радиги. В тот момент, когда солнце касается горизонта, можно увидеть полукруглую радигу — большей она нижогда не былает. Если же солнце поднимается над горизонтом более чем на 42°, вершина яркой радиги уйдет за горизонт.

47

Все проискот так, будто негнущие прямы, как коромысло, закреплены в точке $O$, где находится глаз наблюдая, а на концах коромысла — солнце и вершина радиги. Это означает, что у каждой наблюдая «своя» радига, изображая вокруг «своя» оси, той самой, которая проходит через его глаз… И еще: дойти до радиги, как и до горизонта, невозможно. И приближаться к ней тоже невозможно, потому что это означает бы изменение всей геометрии радиги, в частности угла при вершине конуса. А его соблюдение — первыйшее требование и физики и геометрии радиги.

К геометрическим сведением следует отметить данные о порядке черезования цветов в радиах. Как известно, в радиете представлены «все цвета радиги» — от красного до фиолетового. Порядок цветов вдух обратный, и друг к другу они обращены красными полосами. Вот и все геометрия радиги, во всяком случае той, которая соответна каплями в небе.

Теперь о физике радиги. Ее история воскhodит к 1637 году, когда французский философ и естественныйатель Ренедекарт впервые понял роль капли в возникновении радиги. Свое открытие он подтвердил расчетом, потребовавшим затраты огромного труда: он проследил путь в сферической капле десяти тысяч параллельных солнечных лучей. Первый из них касается поверхности капли, а десятицы проходит через ее центр, т. е. расстояние между крайними лучами равно радиусу капли.

Идея Декарта была проста и естественная. Он считал, что солнечные лучи, движут поEMPLЯЯсь в капле и один раз отражать от ее поверхности, могут попасть в глаз наблюдая (рис. 2). Проследив такой путь десяти тысяч лучей, он убедился, что все лучи, номера которых приблизительно находится между 8500 и 8600, будут из капли выходит практически в одном и том же направлении, под углом $42^\circ$ к оси радиги. Следовательно, среди прочих это направление выделено свеяя яркостью, и стократно усиленный луч восприимется наблюдаемым…

Все расссказанное о десяти тысяч лучей касается главной радиги, той, к которой относится цифра $42^\circ$. Если же мы рассмотрим более сложный путь лучей в капле — два предположения при двух, а не одном отражении — получим объяснение второй радиги, к которой относится цифра $51^\circ$.

…Появление цветов — естественное следствие зависимости показателя преломления от длины волны света. В капле проискот то же, что в стеклянной призме, которая разлагает белый свет на «все цвета радиги». «Физика» радиги остается неизменной при различных «геометриях» — для радиги на мокром acфальте и на скошенной траве, покрытой росой.

Еще следует упомянуть об эффективах, связанных с малостью размера капель. Те капли, которые в основном творят радигу, имеют диаметр 0,08—0,20 мм. При таких размерах надо учитывать, что свет имеет волновую природу. Однако связанные с этим изменением элементарной теории Декарта, который рассматривает луч, а не волну, оказываются не очень существенными.

Если бы создавшие радигу капли сохранялись в небе, не изменяясь, радигу можно было бы наблюдать в течение не более 2 ч 48 мин: именно за это время солнеце по небосводу проходит дуговой путь в $42^\circ$. Но каплям в небе не свойственно долговлее — они испарются, соединяются и, уве

48

ЛИЧИВАЯ СВОЙ РАЗМЕР, ОПАДАЮТ. Все это отражается на радуте — на яркости ее цвета, ширине соответствующих световых полос, продолжительность ее жизни. Когда капель становится мало, радуга блескет и исчезает.

Искусственная радуга

В. В. МАЙЕР, Р. В. МАЙЕР

Одно дело теория радуги или случанные наблюдания этого природного явления и совсем другое — его экспериментальное исследование. Но для этого нужно прежде всего получить радуту искусственно.

Искусственные радуги известны давно. В одном из опытов наполненную водой круглую колбу сквозь отверстие в экране освещают параллельным пучком света и наблюдают возникающего на экране цветную камеру. Главный недостаток этого опыта заключится в том, что он не совсем отражает реальное положение вещея: настояшая радуга получается не от одной капли, а от огромного количества капель. Можно сделать и по-другому: с помощью пульверизатора или небольшего фонтана создается обlakо падаоших в воздухе капель и на них наблюдать радуту. Условия такого опыта соответствуют природным, однako получить требуемое обlakо совсем не просто, да и экспериментировать с ним не слишком приятно.

Мы же предлагаем вам еще один опит и надемся, что вы его обязательно проведете.

Приготовьте новый лист диораля или жести размер примерно 200×200 мм, свечу, воды или глицерин, микрозлектродвигатель, батарейку на 4,5 В, грифель от простого карандаша или кусок нихромового проводника диаметром 0,2—0,3 мм и длиной 200—400 мм, ластик, стальную проводку диаметром около 0,3 мм и длиной 100 мм (такую проводку можно получить, растянув подходящую пружинку), жестяную или полистеную крышку для банки. Оказывается, используя перечисленные предметы, можно получить устойчивое множество примеров одинаковых капель, приготовное для наблюдания и исследования радуги.

Основная идея заключится в следующем: если произнунуждость распылить на несмачивающийся его поверхность, то под действием сил поверхностиного натяжения капель превращаются в произчные шарики. А это как раз то, что нужно для создания радуги. А теперь — за дело.

Металлическую пластинку вы можете с мылом и высищите. Перемешая ее над пламенем свечи, равномерно на поверхности на поверхности пластинки слой копоти. Вода и глицерин не смешивают копоть, но, если влажность воздуха влика, копоть может отслотаться от пластинки и как бы «промокнуть». Чтобы исключить это нежелательное явление, пластинку нужно предварительно покрыть тонким сломем kleя «Момент»,нитролака или нитрокраски и после высыхания этого слоя нанесится копоть.

Глицерин в опытах предпочтительнее воды, потому что он испаряется значительное медленнее. Далее в жаркую погоду «глицериновый радут» вы сможете наблюдать несколько суток, а от «водной» уже через час не остается и следа.

Для нанесения капель жидкости на закопчению поверхности необходима распылить. К сожалению, обычный пульверизатор для этого не годится. Дело в том, что он выдает капли, размеры которых колблются

49

в довольно широких пределах, а на таких каплях радуга получается размазанной, не контрастиной. Хорошие же радуги дают примерно одинаковые капли диаметром от 0,3 до 1 мм.

Одна из возможных конструкций генератора капель показана на рисунке 1. Микроэлектроидигатель 1 жесткой обжимкой 2 и двумя болтами закреплен на основании 3. На вал двигателя насажен кусок ластика 4, сквозь которой пропущена стальная проволока 5. Концы проволоки при вращении вала попереенно погружаются в жидкость, наlintую в неглубокую банчку (крышку) 6, и, покидая ее, разбрызгивает капли. Понятно, что диаметр капель определяется диаметром проволоки, глубиной погружения в жидкость и скоростью ее вращения. Чтобы можно было изменять эту скорость, микроэлектроидигатель подключите к батарейке через импровизированный реостат, состоящий из грифеля или куска низкомового проводника. Капли, сывающесся с концов вращающейся проволоки, летят не только в направлении, показанным на рисунке, но и в других сторонах, поэтому заданы и с боков генератор капель нужно ограничить П-образным зашитным экраном из картона. Положив перед открытой часть экрана лист черной бумаги, отрегулируйте скорость вращения брызгающей проволоки (она должна составлять не более нескольких оборотов в секунду) и определяйте место премиумщественного padения капель. Введите туда закопченную металлическую платинку и, перемещая ее, добавьте по возможности равномерного

Рис. 2.

Рис. 3.

покрытия пластинки каплями. Плотность капельного слоя должна быть настолько большого болшной, чтобы в рассеяном отраженном свете поверхности пластинки казалась состоящей сплошь из блестиших капелек.

Для наблюдания радуги достаточно пластинку с каплями подставить под прямы лучи и подобрать необходимый угол φ между этим лучами и направлением наблюдания (рис. 2; радуга схематически показана кривой линей). Как следует из теории радуги, этот угол для воды должен быть равен φ_b=42°, а для глицерина — φ_r=27°.

Если все сделано достаточно хорошо, вы увидите прекрасную яркую радуги и, может быть, рядом с ней — вторую, значительную более слабую. Явление настоящего впечатляющей ее, что, чтобы увидеть его, право, стоит потрудиться.

В природа雷达а обычно представляется собой часть окружности (если исключать радуги на росе и ту, которое при особом взении можно видеть с самолета). Вам нужно немешать наблюдайте полную雷达у (полную окружность). Для этого на расстоянии 5—8 см от пластинки с каплями закрепите лампочку для карманного фонаря. При наблюдании сверху вы заметите слабо освещенный круг с разноцветной границей, которая и является радугой (рис. 3; радуга схематически показана окружность). Закрывая почередно один глаз, а затем другом, вы обнаружите, что雷达 несколько смещается от-

50

ностиельно пластинки. Вот почему при наблюдении двумя глазами сразу радуга каждой не лежащей на пластинке с каплями, а паряшей над ней.

К сожалению, мы не сумели получить цветные фотографии искусственного радуги. На рисунке 4 приведены черно-белые снимки, раскрашенные карандашами. Они лишь использовуют результаты наблюдения при разных условиях, но ни в коей мере не передают всей красоты явления. На переднем плане этих摄影ии видна закрепленная в держатель лампочка. Если на пластинку с каплями смотреть почти светру, то наблюдается полная радуга в виде эллипса (рис. 4, а); при смешении глаза вниз и в бок радуга становится похожей на парабoly (рис. 4, б) и гипербoly (рис. 4, с).

Вопросы для самостоятельной работы

1. Похожа ли созданная вами радуга на ту, которая иногда наблюдается на росе? Соответствует ли последовательность цветов в искусственной радтуре той, которая имеет место в естественной?

2. Получаясь схемой наблюдения, представленной на рисунке 3, измерьте расстояния OA, OS, OB, вычислите углы α и β и определите угол φ, под которым наблюдается радуга на водяных и глицериновых каплях. Подтверджают ли ваши измерения теоретические расчеты?

3. Объясните, почему в ваших опытах внутри радуги получается освещенная белая область (см. рис. 4), а в природа также область не наблюдается.

4. Поместив перед глазом поляроидную пленку, на полной радуте вы заметите две диаметрально протиоположные темные полосы, которые поворачиваются вместе с вращением поляроида. Какова причина этого явления?

5. Экспериментально показите, что чем меньше диаметр капель, тем слабее красный цвет радуги, затемнее филологический и в целом радуга становится более белесой.

И в заключение — рекомендуемая литература:

1. И. К. Белкин. Что такое радуга? — «Квант», 1984, № 12, с. 20.
2. Я. Е. Гегузин. Капля. — М.: Наука, 1973.
3. М. Миннарт. Свет и цвет в природа. — М.: Наука, 1969.
4. Л. В. Тарасов, А. Н. Тарасова. Беседы о предположении света. — М.: Наука, серия «Библиотека «Квант», выпуск 18, 1982.

Дорогие читатели!
Журнал «Квант» распространяется только по подписке. Если вы хотите стать нашими подпискками, вы можете оформить подписку в агентств «Союзпечати», на почтамах или в отделениях связи, начиная с любого номера (но не позднее первого числа предложенного места).

Индекс журнала «Квант» в каталоге «Союзпечати» 70465, цена одного номера 40 копеек.

51

СКОЛЬКО ДЕНЕТ В КОШЕ ЛЬКЕ?

1. Не забу…
   Маша послана Айёшу в шагу
   за покупками, грутив ешу
   копейёк с_genьлами.

2. Малbuchik, я отопду…
   Пользову детей Айёша
   упчати за шапко и сыр.

3. Аяль,
   продайте талончик
   Помаши он поехал на атомусе
   в книжници шагами,
   за проезд 5 копеек.

4. КНИГИ
   Пользову осмавниця ассе детей
   и ещё 10 копеек он упчати
   за книгу. На пользову мото,
   кто ещё осмавись, Айёша
   купил метраей.

5. НОЕ
   мне кули
   “планету”
   Виде из шагизма, Айёша
   купил мороженое за 15 копеек.

6. Тёть,
   продайте талончик
   В результате у Айёши осмавись
   5 копеек, коморье он упчати
   за проезд годы в атомусе.

СКОЛЬКО же ДЕНЕТ БЫЛО В КОШЕ ЛЬКЕ?

51

52

Три формулы Рамануджана
Кандидат физико-математических наук
В. С. ШЕВЕЛЕВ

В формулах Рамануджана всегда содержится горадо большие, чем это кажется на первый взгляд…

Харди

В этой статье речь пойдет о трех замечательных формулах Рамануджана*), каждая из которых содержит в левой части три кубических корня:

$$\sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1},$$

(1)

$$\sqrt[3]{\cos \frac{2\pi}{7}} + \sqrt[3]{\cos \frac{4\pi}{7}} + \sqrt[3]{\cos \frac{8\pi}{7}} =$$

$$= \sqrt[3]{\frac{5 - 3\sqrt[3]{7}}{2}},$$

(2)

Эти формулы трудно спутать с формулами какого-либо другого математика: они напоминают загадочное жонглирование с числами.

Первая формула более проста и доказывает последовательным возвведение в куб. Для нас, кроме естественного воспрятия, она интересна тем, что в структуром отношений очень похожа на две следующие. Что же касается формул (2) и (3), то здесь далеко не все так просто. Приведем интересные цитаты об этих формулах из брошюры В. И. Левина**):

«Эти формулы совсем элементарны, но очень глубоки. Они обладают неповторимой внутренней симметрией, иогдается об их существовании

**) О жизни и творчества этого уникального математика вы можете причитать в «Кванте» № 10 за 1987 год.

**) Левин В. И. Рамануджаан. — М.: Знание, 1968.

53

Мог только математик самого высокого ранга». И еще: «Эти точные равенства являются, конечно, частными случаями значительного более общих соотношений, которые распространяют Рамануджан, но о которых он никогда ничего не сообщил…»

Мы приглашаем читателя проследить за доказательством формул (2) и (3). В некоторых местах ему понадобятся карандаш и бумага. В награду он почти внутренний механизм, управляющий этими красивыми формулами и, по-видимому, сможет, уже самостоятьно, доказать несколько формул типа формул Рамануджана (найdenных автором, — см. упражнение 5), а возможно, и придумать свои.

Связь с формулами Виета

Связь между тригонометрией и алгеброй легко угадавается в формулах Рамануджана. Вглядимся пристальное в числа

$$\begin{cases} \cos \frac{2\pi}{7}, \cos \frac{4\pi}{7}, \cos \frac{8\pi}{7} \\ \cos \frac{2\pi}{9}, \cos \frac{4\pi}{9}, \cos \frac{8\pi}{9} \end{cases}.$$

Прежде всего бросается в глаза, что аргументы косинусов составляют в обеих тройках геометрические прогрессии со значенателем 2.

Воспользовавшись преобразованием

$$\cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha = \frac{\sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha}{2 \sin \alpha} = \frac{\sin 4\alpha \cos 4\alpha}{4 \sin \alpha} = \frac{\sin 8\alpha}{8 \sin \alpha},$$

можно установить такие равенства:

$$\cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{8\pi}{7} = \frac{1}{8},$$

$$\cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{8\pi}{9} = -\frac{1}{8}.$$

Это — наш первый успex, показывающий, что аргументы косинусов в формулах Рамануджана выбранны относительно не случайной.

Попробем найти теперь суммы трех косинусов. Имеем:

$$\cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{8\pi}{7} =$$

$$= \frac{2 \sin \frac{\pi}{7}}{2 \sin \frac{\pi}{7}} \left( \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7} \right) =$$

$$= \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{7}} \left( \sin \frac{3\pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7} + \sin \frac{5\pi}{7} \right) - \sin \frac{3\pi}{7} + \sin \pi - \sin \frac{5\pi}{7} = -\frac{1}{2};$$

$$\cos \frac{2\pi}{9} + \cos \frac{4\pi}{9} + \cos \frac{8\pi}{9} =$$

$$= \cos \frac{2\pi}{9} + \cos \frac{4\pi}{9} - \cos \frac{\pi}{9} =$$

$$= 2 \cos \frac{3\pi}{9} \cos \frac{\pi}{9} - \cos \frac{\pi}{9} = 0.$$

Наконец, пошем такие суммы:

$$S_1 = \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{8\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{8\pi}{7},$$

$$S_2 = \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} + \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{8\pi}{9} + \cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{8\pi}{9}.$$

Упражнение 1. Докажите, что $S_1 = -\frac{1}{2}, S_2 = -\frac{3}{4}$.

Напишем теперь формулы Виета для кубического уравнения. Если $x, y, z$ — корни уравнения

$$t^3 + pt^2 + qt + r = 0,$$

то, как известно,

$$\begin{cases} x + y + z = -p, \\ xy + xz + yz = q, \\ xyz = -r. \end{cases}$$

Сравним (4) с равенствами, которые мы получили выше для рамануджановских троек косинусов, заключаем, что первая тройка состоит из корней уравнения

$$t^3 + \frac{1}{2} t^2 - \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} = 0,$$

а вторая — из корней уравнения

$$t^3 - \frac{3}{4} t + \frac{1}{8} = 0.$$

Этот этап — самый важный в нашем доказательстве. Он показывает, како-

54

ва природа связи между трионометрическими и алгебраическими выражениями в формулах (2) и (3).

Рассмотрим сумму трех корней…

Поставим теперь задачу так. Дано уравнение
$$t^3 + pt^2 + qt + r = 0,$$
корнями которого являются числа $x, y, z$. Требуется найти сумму их кубических корней (куб этой суммы обозначим через $A$):
$$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{A}.$$
(7)

Оказывается, сумму (7) легко искать вместе с другой суммой:
$$\sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{xz} + \sqrt[3]{yz} = \sqrt[3]{B}.$$
(8)

Возвода в куб обе части (7), а затем (8) и учитывая формулы Виета (4), получаем (проверьте это самостояльно):
$$A = -p + 3\sqrt[3]{AB} + 3\sqrt[3]{r},$$
$$B = q - 3\sqrt[3]{ABr} - 3\sqrt[3]{r^2},$$
(10)

Умножая (9) на $\sqrt[3]{r}$ и складывая с (10), выражаем $B$ через $A$:
$$B = q - (A + p)\sqrt[3]{r}.$$
(11)

Подставляя это в (9), получаем уравнение только относительно $A$:
$$A + p - 3\sqrt[3]{r} = 3\sqrt[3]{A(q - (A + p)\sqrt[3]{r})}.$$
(12)

Наконец, возвода обе части уравнения в куб, получаем следующее кубическое уравнение относительно $A$:
$$A^3 + 3(p + 6\sqrt[3]{r})A^2 + 3(p^2 + 3p\sqrt[3]{r} + 9\sqrt[3]{r^2} - 9q)A + (p - 3\sqrt[3]{r})^3 = 0.$$ (11)

Упрощение кубического уравнения

Пусть дано кубическое уравнение
$$x^3 + 3bx^2 + 3cx + d = 0.$$ (12)

Покажем, как — в некоторых случаях особенно успешно — оно может быть упрощено.

Подставляя в (12) $x = z - b$, получим кубическое уравнение относительно $z$, не содержащие $z^2$ (проверьте!). Более того, если $b$ и $c$ в уравнения (12) связаны соотношениям
$$b^2 = c,$$
то в уравнения относительно $z$ исчезнет и член с $z^1$. В результате уравне-
ние (12) примет вид
$$z^3 = b^3 - d.$$
Возвращаясь к $x$, получим
$$x = \sqrt[3]{b^3 - d} - b.$$ (13)

Проверим, в каком случае выполняется условие $b^2 = c$ для уравнения (11). Сравнивая его с (12), имеем:
$$b = p + 6\sqrt[3]{r},$$
$$c = p^2 + 3p\sqrt[3]{r} + 9\sqrt[3]{r^2} - 9q,$$
и условие $b^2 = c$ принимает вид:
$$3\sqrt[3]{r^2} + p\sqrt[3]{r} + q = 0.$$ (14)

Тепер насупает волнующий момент: ведь числа $p, q$ и $r$ известны для уравнения, корнями которых является рамануджановские тройки косинусов (см. формулы (5) и (6))!

Для первой тройки: $p = 1/2$, $q = -1/2$, $r = -1/8$; для второй тройки: $p = 0$, $q = -3/4$, $r = 1/8$. Подставляя эти значения в (14), получаем числовые равенства! Но в этом случае, согласно (13) (при $x = A$, $b = p + 6\sqrt[3]{r}$, $d = (p - 3\sqrt[3]{r})^3$),
$$A = \sqrt[3]{b^3 - d} - b.$$
В случае первой тройки $b = \frac{1}{2} - 3 = -\frac{5}{2}$, $d = \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\right)^3 = 8$, так что
$$A = \frac{-3\sqrt{189} + 5}{2} = \frac{5 - 3\sqrt{7}}{2}.$$
В случае второй тройки $b = 3$, $d = \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{27}{8}$ и
$$A = \sqrt[3]{27 + \frac{27}{8}} - 3 = \frac{3\sqrt[3]{9} - 6}{2}.$$

Не это как подкоренные выражения правых частей формул Рамануджана (2) и (3). Следовательно, доказательство завершено.

Упражение 2. Положив $\sqrt[3]{x} = u$, $\sqrt[3]{y} = v$, $\sqrt[3]{z} = w$, доказите, что условие (14) при $u, v, w$, не равных 0, эквивалентно условию
$$u^3 + v^3 + w^3 + \frac{(uv)^2}{w} + \frac{(uw)^2}{v} + \frac{(vw)^2}{u} + 3uvw = 0.$$ (15)

Из нашей доказательства следует, что условию (15) удовлетворяет кубическе корни рамануджановских

55

косинусов (первой и второй тройки). Непосредственное легко проверить, что ему удовлетворяет также тройка чисел

$$u = \sqrt[3]{\frac{1}{9}}, v = -\sqrt[3]{\frac{2}{9}}, w = \sqrt[3]{\frac{4}{9}}.$$

Таким образом, в основе равенств (1), (2), (3) лежит общее условие (15).

Возможно, Рамануджан знал и другие тройки чисел ($u, v, w$), удовлетворяющие условию (15).

Упражнение 3. Показите, что вместе с числами $u, v, w$ условию (15) удовлетворяют: a) числа $\frac{1}{u}, \frac{1}{v}, \frac{1}{w}$;
6) числа $\sqrt[3]{u^3+uvw}, \sqrt[3]{v^3+uvw}, \sqrt[3]{w^3+uvw}$.

Упражнение 4. Доказите, что если выполнен условие (15), то справедливо равенство

$$\left( \frac{u}{v} + \frac{v}{u} + \frac{u}{w} + \frac{w}{u} + \frac{w}{v} \right)^3 + 6 = \left( \frac{u}{v} \right)^3 + \left( \frac{v}{u} \right)^3 + \left( \frac{u}{w} \right)^3 + \left( \frac{w}{v} \right)^3.$$

Проверьте, например, (16) для тройки чисел $u = \sqrt[3]{\frac{1}{9}}, v = -\sqrt[3]{\frac{2}{9}}, w = \sqrt[3]{\frac{4}{9}}$. Можно ли, наоборот, вывести (15) из (16)?

Упражнение 5. Доказите равенства:

$$1^\circ. \sqrt[3]{\sec \frac{2\pi}{7}} + \sqrt[3]{\sec \frac{4\pi}{7}} + \sqrt[3]{\sec \frac{8\pi}{7}} = \sqrt[3]{8-6\sqrt[3]{7}};$$

$$2^\circ. \sqrt[3]{\sec \frac{2\pi}{9}} + \sqrt[3]{\sec \frac{4\pi}{9}} + \sqrt[3]{\sec \frac{8\pi}{9}} = \sqrt[3]{6(\sqrt[3]{9}-1)};$$

$$3^\circ. \sqrt[3]{\sec 2+\sec \frac{2\pi}{7}} + \sqrt[3]{\sec 2+\sec \frac{4\pi}{7}} + \sqrt[3]{\sec 2+\sec \frac{8\pi}{7}} = \sqrt[3]{6\sqrt[3]{7}-10};$$

$$4^\circ. \sqrt[3]{\frac{1}{2}+\cos \frac{2\pi}{7}} +$$

56

Школьная ЭВМ рисует окружность

А. Г. ШЕГОЛЕВ

В предыдущего номере «Кванта» мы немного расскаазали о графических возможностях школьной ЭВМ «Ямаха» (и языка MSX — Бейсик), нарисовали красивые картины — вернее, составили алгоритмы, выполняющие эти рисунки. В этот раз мы продемонстрируем графические возможности машин们 при решении геометрических задач на построение. Мы ограничимся разбором лишь одной задачи, но разбор этот будет очень подробным; он основан на принципах систематического программирования (см. «Квант», 1987, № 10, 11). Итак, задача: проведите окружность через три точки, заданные свойства координат.

В существия вам задача о построении окружности, описанной около треугольника. Такое построение выполним, причем единственным образом, если данные три точки различны и не лежат на одной прямой.

Проведем полное систематическое построение алгоритма и программы.

Построим окружность, проходящую через три точки.
Координаты первого точки
Координаты второй точки
Координаты третьей точки

Через эти точки нельзя проводить окружность (и при этом единственно!)!

Рис. 1.

57

Постановка:
Дано: $(x_1, y_1)$ — координаты точек $A, B, C$.
Требе: $\sigma$ — изобравнение окружности (или ее части, находящейся в пределах экрана).
При: $A, B, C$ не лежат на одной прямой.
Связь: $A \in \sigma, B \in \sigma, C \in \sigma$.

Сценарий:
На рисунке 1 в синее кругочки сведены переменные элементы будущего диалога — конкретные числа, сообщаемые человеком в ответ на запрос ЭВМ. В фигуры скобки заключены два варианта ЭВМ: первый будет видан в случае, если точки с данными координатами лежат на одной прямой, второй — если координаты точек удовлетворяют постановке; в этом последнем случае на экране будет изобравнения точки $A, B, C$ с заданным координатами и проходит через них окружность.

Метод:
Условие того, что три данные точки $A, B$ и $C$ лежат на одной прямой, равносильно колlinearности векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ (рис. 2) и имеет вид
$$(x_2 - x_1)(y_3 - y_2) = (y_2 - y_1)(x_3 - x_2).$$
Уражение 1. Убедитесь в том, что это условие охватывает и случаи, когда любые две (и даже все три) точки совпадают.
Для того чтобы изобравить окружность, мы должны сообщить исполнитель (школьной ЭВМ) координаты ее центра и радиус.
Как известно, центр $S$ описанной окружности может быть найден как точка пересечения середины перепределкиров к двум сторонам треугольника $(AB$ и $BC$ на рисунке 3).
координаты векторов:
$$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1),$$
$$\overrightarrow{BC} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2);$$
$M$ — середина стороны $AB$ — имеет координаты
$$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2});$$
координаты точки $N$ — середины

стороны $BC$
$$(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}).$$

Любая точка, лежащая на прямой $MS$, имеет координаты $(M_x + \lambda m_x, M_y + \lambda m_y)$, где $M_x$ и $M_y$ — соответствен абсциза и ordinata точки $M$; $m_x = y_2 - y_1$ и $m_y = x_2 - x_1$ — координаты вектора $m$; $\lambda$ — некоторое число.
Уражение 2. Докажите, что $\vec{m} \perp \overrightarrow{AB}$.
координаты точек на прямой $NS$ выражаются аналогично через параметр $\mu$, координаты точки $N$ и вектора, перпендикулярного к $\overrightarrow{BC}$ (например вектора $n = (y_3 - y_2, x_2 - x_3)$). Для нахождения точки пересечения прямых $MS$ и $NS$ приравняем соответствующие координаты:
$$\begin{cases} M_x + \lambda m_x = N_x + \mu n_x, \\ M_y + \lambda m_y = N_y + \mu n_y. \end{cases}$$

Решая эту систему линейных уравнений относительно неизвестных $\lambda$ и $\mu$, получим, например, выражение для $\lambda$:
$$\lambda = \frac{1}{2} \frac{(y_3 - y_2)(y_3 - y_1) - (x_2 - x_3)(x_3 - x_1)}{(y_2 - y_1)(x_3 - x_2) - (x_2 - x_1)(y_3 - y_2)}.$$
координаты центра окружности
$$S_x = M_x + \lambda m_x = \frac{x_1 + x_2}{2} + \lambda (y_2 - y_1),$$
$$S_y = M_y + \lambda m_y = \frac{y_1 + y_2}{2} + \lambda (x_1 - x_2).$$
Радиус obtuisется по теореме Пифагора как расстояние между центром и любой из данных точек (напри-