Квант 1988, №9 · Страницы

Квашт
Научно-популярный
физико-математический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Геометрия листа бумаги

1988

1

В номере:

2 В. Я. Френкель. Алексадр Алексадрович Фридман
9 А. А. Борин. Полег птицы и полет человек
17 Д. В. Фукс. Геометрия листа бумаги
24 А. В. Балко. Химчское разнообразие небесных тел
30 В. В. Козлов. Соударение тел

Задачник «Кванта»
Задачи M1121 — M1125, Ф1133 — Ф1137
Problems M1121 — M1125, P1133 — P1137
Решения задач M1101 — M1105, Ф1113 — Ф1117
Список читателей, приславших правильные решения

Калейдоскоп «Кванта»
«Квант» для младших школьников
Задачи
А. Л. Розенталь. Правило крайнего

Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10:
Основная задача cinematики
Абсолютная температура

Лаборатория «Кванта»
В. В. Утешев. Жидкий азот и медная гайка

Практикум абитриента
В. Э. Матизен, В. Н. Дубровский. Из геометрии tetraэдра

Олимпiadы
Задачи LI Московской городской математической олимпiadы
Избранные задачи Московской городской олимпiadы по физике
Весесоюзная заочная физico-matематическая олимпiadа MBТУ им. Н. Э. Баумана

Информация
Заказы принятия…
Ответы, указания, решения

Наша обложка
Вы заметили, что хвост у синички, сидящей на обложке, больше похож на хвост ласточки?
Художник придал синичному хвосту форму поверхности, которое математики так и называют: «ласточки хвост». Об этой интерсной поверхности вы можете прочитать в статье
Д. В. Фукса «Геометрия листа бумаги».

Акварельный рисунок Альбрета Дюрера (1471—1528). «Постите искусство сокрыто в прюре» — так писал этот великий немецкий художник.
И не только искусство. Многие технические самые сильные из железа человека достичь «природного идеала». Пример тому — авчация. (См. статью
А. А. Борина «Полег птицы и полет человек».)
Шахматная страница.

2

Александр Александрович
ФРИДМАН
(к 100-летию со дня рождения)

Доктор физико-математических наук
В. Я. ФРЕНКЕЛЬ

Трудно определить, к какой области науки можно отнести деятельности замечательного советского ученого Александра Александровича Фридмана. Если обратиться к биографическому справочнику «Физики», то мы найдем в нем остояльную статью об Александре Александровице. Но столъ же информативная статья имеется и в аналогичном справочнике «Математики и механики». Наконец, в третьем подобном сборнике биографий «Астрономы» мы также найдем имя Фридмана, а заодно узнаем и о том, что в его честь назван один из критеров на проверности Лунны. Кем же был этот наш соотечественный, жизнь которого справедливо называют подвигом, а открытие в области космологии — одним из самых революционных в науке, по масштабу приближаемым к тому, что было сделано Коперником? Он был «един в трех лицах», точнее — даже в четырех: и физик, и механик, и математик, и астроном (астрофизик). Созданная им в далеком 1922 году модель меняющейся во времени, расширяющейся Вселенной нахождения сейчас в центре внимания астрофизиков; она получила экпериментальное подтверждение в ряде работ-открытия, первая из которых была выполена американским астрономом Э. Хабблом спустя четре года после смерти Фридмана, а одна из самых существенных — обнаружение произвольного Вселенную электромагнитного излучения (получшего название реликтового)— около четверти века тому назад. Пожалуй, именно с момента этого открытия, сделанного americanским физиками Р. Вильсоном и А. Пензинасом, парадоксальные выводы из теории Фридмана, ему самому в свое время казавшиеся часть ли не курьезом, обрела силу практических неопроверженных фактов, а наука о Вселенной стала стремительно развивать.

А. А. Фридман родился в Петербурге 16 июня 1888 года. Его отец, тоже Александр Александрович, был артистом балета,дирижером,композитором,учился в Петербургской консерватории у Н. А. Римского-Корсакова. МатЬ, Людмила Игнатевна Воячек, doch известиного Петербургского композитора, организта и дирижера И. К. Воячека, была пианисткой. «Ген» музыкального в Александре Фридмане не проявился: он просто любил музыку, не более. В 1897 году он поступил в приготовительский класс 2-й Петербургской гимназии, располагавшейся неподалеку от дома № 35 по набережной реки Мойки, в котором жила его семья.

В гипназии был сильный преподавательский состав. Достаточно сказать, что две из учителей были авторами гимназических учебников. Сведения по истории гимназии — самой старой в Петербурге — можно найти в ее материалов, составляющих особый фонд Государственного исторического архива Ленинграда. В этом фоне есть, конечно, сведения и об учениках, и об учителях, и материалов заседаний Педагогического совета гимназии, и даже страницы кондуиты (вспомните «Кондуит и Швамбранию» Льва Кассиля!), в которые пунктуально заносились работы классных надзираателей о проступках и шалостях гимназитов.

Если в первом классе Александр Фридман учился более чем средне (по большинству предметов, включая и арифметики, у него стояли тройки), то начиная с третього класса он —

3

один из лучших учеников. Другим таким учеником, разделяющим с Алексаンドром пальму перевенства, был его многоолетний друг Яков Тамаркин. Классом старше занимался во 2-й гимназии еще один юноша, имя которого известно, вероято, читателем «Квана»,— это был в будущеем знаменитый математик академик Владимир Иванович Смирнов, товарищ Фридман по аспирантуре, советор его работ, автор пятитомного курса высшей математики. В одном классе со Смирновым учился еще один необычной одаренный юноша — Михаил Петелин, также товарищ и советор Фридман. Редкое сообщеие талантов, не в последнюю очередь, думается, проявившееся благодарящееся педагогическим способностям учитель — математиков Я. В. Иодинского и П. Н. Гензеля и физика И. В. Глиники.

В 1903 году (Фридман был тогда в шестом классе) И. В. Глиника организовал в физическом кабинете гимназии вnekлассные занятия по физике, а вскоре после этого — физический кружок, собиравшийся три раза в неделю. Наболее инциативные его участники руководили практическими занятиями своих товарищей. Затем кружок стал несколько торжественно называться «Обществом любителей физики 2-й Санкт-Петербургской гимназии». Гимназисты читали на его заседаниях реферативные доклады, организовали свою кружковую физическую библиотечку, наали издавать руководящий журнал, в котором помещались сделанные учениками обзоры по новейшим достижениям физики.

Фридман был, очень приязан к гимназическому физическому кружку и, по воспоминаниям одного из своих товарищей по университету, был на его заседаниях, уже став студентом.

Тщетно пытался я найти Алексаンドра Фридман в числе озорников, описанием подвигов которых заполненые ежедневные записи в кондитуте 2-й гимназии. Видимо, был он поналу довольно тихого права, потом вместе с Тамаркиным серьено увлекся математикой, а еще позднее, уже в самых последних классах —революционным движением. Здесь он проявил себя опытным конспиратором: гимназическое начальное и не подозревало, что один из учащихся — член Центрального комитета Петербургской социаль-демократической ученческой организации. Была у Фридман и «партийная» кличка — «Лиловый».

Однажды Фридман и Тамаркин, в то время ученики восемого класса, на уроке были необычно возбуждены, разговаривали. Их даже выступили из класса. Оdnako, когда учитель узнал причину такого возбуждения, он не дал «делу» ход. Оказалось, что именно в то утро друзья узнали, что их первый математический труд — стать по теории чисел — принят к печати известным немецким математическим журналом и получил одобренное крупнейшего математика — Д. Гильберта.

Гимназию Фридман окончил с золотой медалью.

В материалах фонда гимназии сохранились задачи, которые были предложены гимназистам на выпускных экзаменах. Приведем две

5

демика Б. Б. Голицьяна (и с одобрення В. А. Стеклова) увлекся вопросами эзро- и гидродинамики и meteorологии. В 1913 году он начал работу (наряду с преподаванием математики в Горном институте и Институте инженеров путей сообщения) в Главной физической обсерватории. В Павловске, под Петербургом, находился филиал этой обсерватории, и Фридман занимался там изучениемповедения воздушных потоков, организивал подъемы на воздушных змеях приборов, измеряющих силу и направление ветров на различных высотах, сам с этой же целью совершал полеты на дрижабле. Пятый — воздушный — океан стал на всю жизнь подлинной страстью Алексадра Алексадровича!

Когда началась мировая война, Фридман уже в августа 1914 года поступил добровольцем в действующую армию. Ему было поручено налаживание аэропангационной службы

Дом на улице Пlexанова (бывшей Казанской), в котором находится 2-я Петербургская земная. Сейчас в этом здании — школа № 232.

В этом доме на Набережной Мойки жила семья А. А. Фридмана. Дом сохранился и ные находится под охраной государства как памятник архитектуры XIX века.

7

причем оно может как возрастать, так и уменьшаться. Наша Вселенная может долгое время расшираться (название «расширяющая Вселенная» однозначно связается с именем Фридмана и соответствует ните переживаемой его фазе). А будет ли это расширение безграничным или же сменится сжатием, зависит от того, какова средняя плотность $\rho$ материалов во Вселенной. Если $\rho$ меньше некоторого критического значения $\rho_k \approx 10^{-29}$ г/cm$^3$, то расширение будет продолжаться. Если же $\rho > \rho_k$, то оно сменится сжатием; Вселенная созметя в «точку», которое называют точкой сингулярности. После этого произойдет «Вольшой взрыв» — и снова вещество, концентрированшее до уполномочительных плотностей, начинает обратное движение к расширению. «Сценарий» того, что произойдет после Вольшого взрыва, уже сейчас во многих деталях суммы воссоздадь физики-теоретики и астрофизики. Он быстро изложен в книге американского физика, лауреата Нобельской премии Стивена Вайнберга «Первые три минуты». Интересно отмечить, что само представление о розделении (или, лучшие сказать, возрождании) Вселенной в Вольшом взрыве впервые было формировано американским физиком русского происхождения Г. А. Гамовым, который в 20-e годы училися у Фридмана в Петроградском университете и считал себя его учеником.

Александр Александрович Фридман был первым, кто получил формулы для определения возрастания Вселенной и, исходя из очень неточных данных, оценил его в 10 миллиардов лет. По нынешним оценкам он составляет 15—20 миллиардов лет. Космологическая работа Фридмана, выSEDшая в свет в 1922 году в ведущем немецком физическом журнале, вызвал возражения Эйнштейна, который, как указывалось, полагал Вселенную Staционной и потому счел ошибочных выводы Фридмана о возможности ее эволюции во времени. Об этом Эйнштейн и написал краткую заметку в тот же журнал. Фридман в конце 1922 года написал Эйнштейну письмо, в котором отставал свои взгляды. Содержание письма довел до сведения Эйнштейна Петроградский коллега Фридмана — профессор Юрий Александрович Крутков, оказывающей весной 1923 года за границей. В мае этого года он несколько раз встречался с Эйнштейном, и 18 мая сделал такую получитливую запись в своем дневнике: «Победил Эйнштейна в споре Фридмане. Честы Петрограда спаесена!». Эйнштейн направил (все в тот же журнал) еще одну заметку, в которой снимал свои представление возрастания против выводов Фридмана и признавал его результаты выдающимся и пропивающим новый свет на пробелы космологии. Велиkomу ученому и раньше приходилось делать ошибки, но позднее, в 1931 году, он признался, что более досадной ошибки, чем в случае оценки работы Фридмана, он в своей жизни не совершал.

Фридман не должен до триумфа своей теории, в котором он «на кончке пера» открыл расширения Вселенную и, в общих чертах, предсказал возможные пути ее эволюции. Как упоминалось в начале статьи, доказательства пришли позднее. Через четырьге года после кончины Александра Александровича американский астроном Э. Хаббл на основе изучения спектров далеких галактик показал, что галактики удаляются от нас со скоростью $v$, пропорционально отделяющей ему от нас расстоянию $r$: $\vec{v} = H\vec{r}$. Коэффициент пропорциональной $H$, не зависит от $\vec{r}$ (и зависит, вообще говоря, от времени), получил название постоянной Хаббла. По современным данным $H$ принимают равной 75 км/(с · Мпс). Заметим, что постоянная Хаббла вместе с постоянной всемирного тяготения $G$ определяет величины критической плотности $\rho_k$: $\rho_k = 3H^2/8\pi G \approx 10^{-29}$ г/cm$^3$.

В 1965 году Р. Вильсон и А. Пензас в США обнаружили реликтовое излучение — примый след Вольшого взрыва. Работа Фридмана получила новое и мощное подтверждение.

8

Мы не будем здесь воспроизвольить формулы и рассуждения, которые приведены Фридмана к его выводам. Укажем, однako, что в 1934 году оказалось возможным целый ряд важнейших заключений сделать не на сложном языке общей теории относительнойности, который использовал в своих работах Алексадр Алексадрович, а на более простом и привчном ньютоновском языке. Очень ярко об этом расскаал на страницах «Кванта» (№ 3, 1984) замечательный советский физик-теoretик Я. Б. Зельдович, необычайно много сделавший и для глубокого развития идеи Фридмана, и для их пропаганды.

В первой половине 20-х годов Фридман продолжал работать одновременно и в области физики атмосферы, и в области теории относительнойности. В июле 1925 года, будучи директором Главной геофизической общеватории, он совершил вместе с професссиональным летчиком-эронавтом П. Ф. Федосенко геронческий полет в атмосферу на воздушном шаре; был установлен всесоизный рекорд высоты (7400 м). Фридман записал свои впечатления о полете. То же сделал и Федосенко. Замечательные статьи! Из них — особенно, конечно, из статьи Федосенко — мы узнали, что мужственный летчик-наблюдатель времени Первой мировой войны, Алексадр Фридман остался таким же храбрым человеком, став всемирно известным ученым.

Летом 1925 года он впервые за много лет поехал на три недели отходнуть в Крым. Возвращаясь домой — в Ленинград он приехал 17 августа, — Алексадр Алексадрович заболел брюшным тифом и от этой нелепой случайности погиб в 37-летнем возрасте 16 сентября, в расцвете творческих сил и таланта. Газеты откликнулись на это печальное событие рядом публикаций. В частности, «Вечерняя Красная Газета» — предшественница «Вечернего Ленинграда» — 18 сентября напечатала интервью с врачом, лечившим Фридмана. Последний день своей жизни Алексадр Алексадрович был в среду, и беде

9

Александр Аркадьевич Борин — известный специалист в области ародинамики. В течение многих лет он работал в Центральном ароидодинамическом институте (ЦАГИ) и в опытных конструкторах бюро ведущим конструктором по особо сложным объектам авацияной техники.
Эту статью А. А. Борин написал по просбебе редакции «Квант». Так служилось, что она стала его последней работы — в июле 1987 года Алексаンドра Аркадьвица не стало.
Мы решили опубликовать статью в том виде, в каком она была подготовлена автором. Понимая, что не все в ней доступно нашей читателю, мы поросили члена редаклеции «Квант» профессора А. Л. Стасенко дать необходимые пояснения по тексту. Они приведены как примечания в конце статьи.

ПОЛЕТ ПТИЦЫ
И ПОЛЕТ ЧЕЛОВЕКА

А. А. БОРИН

Пример птиц, всюду летацих, вечно манил человека поднять в воздух.
О. К. Антонов

Спор, дляшийся столетия

Мечта о полете — о машущем полете — стара если не как мир, то, во всяком случае, как история развито человекаческого сознания. Древние, имея перед глазами пример птиц, не могли представить себе иной способ полета. Такова и легенда об Икаре.
Такова и первая сохранившаяся в истории попытка осмыслить полет с точки зрения тогдашних научных знаний. Это сделал Леонардо да Винчи. Понадобились еще сотни лет наблюдений и опытов, чтобы прийти к той оченьной для нас мысли, что летать можно и на неподвижном крыле. Тепер же мы прошли по этому пути так далек, что оставили позади пернатых летунов почти по всем показателям, хотя ни один летательный аппарат не «владеет своим телом» столбцовершенно, как птица.

Однако еще на рубеже нашей столетация представления ученых и технических были наивны и далек от действияности. «Мы встречаем опять беспочвенные попытки летать на аппаратах, наивно имитирующих птиц,

10

No notom наступает разочарование: шагнуть дальше летающих модели — а их за последнюю сотню лет построено без числа — не удалось пока никаку. Случай ли это? Или постоянные неудачи имеют более глубокие корни? Может ли человек летать в точном смысле «как птица»? И — главный вопрос: будет ли этот способ полета лучше обычного? или хуже?

Крейсерский полет

Крейсерским будем назвать горизонтальный полет на режime, обеспечивающим наиболее удобный уделяй в области пакетно-космической техники М. К. Тихонравов в своей книге «Полет птиц и машины с машущими крыльями». Более того, точно такие же попытки повторяются в 30-х годах нашего столета и, по крайней мере в проектах, неистребимо живут до наших дней. Легенда о машущем полете человека жива со времен древних греков, изменилось лишь ее содержание. В завораживающем своей легкостью парени птицы древние мифотворцы видели надежду на осуществление полета, нынешние же — они искусственны,ibo человек полетел,— шут не достигнутое нами совершенство, свято веря, что творения природа в всегда и во всем выше робких созданный разума.

Вопросы безопасности неудачам, машущий полет и сегодня привлекает громадное число энтузиастов. Его кажушаяся легкость побуждает любитель строить модель и подавать хитроумные проекты в частности уверенности, что именно им известен секрет, который позволяет наконец человеку совершить машущий полет.

Не менее впечатляет тот факт, что по нагрузке на единицу мощности (см. примечание1) птицы многократно превышают самолеты. Ведь очень, что аппарат, способный переносить по 1000Н на каждый киловат мощности, неравенно выгодной другого, переносшего (при прочих равных условиях) только по 100Н. Следовательно, заявляют адентити машущого полета, по энергетике птица во много раз совершенней самолета.

Но, не забудем,— «при прочих равных условиях»! В чем заключается их равенство?

Как и всякий энергетический процесс, полет птицы (или самолета) подчиняется закону сохранения энергии, который для любого объекта, движущегося с постоянной скоростью $v$ в сопротивляющейся среде, может быть представлен в виде $N\eta_{\text{дв}}=F_cv$, где $N$ — потребляемая при движении мощность, $\eta_{\text{дв}}$ — КПД движителя, $F_c$ — сила сопротивления среды (на данной скорости). Вводя величины качества2) $K=G/F_c$ и выражая скорость в единицах км/ч, получаем величины

нагрузки на единицу мощности:

$$\frac{G}{N} = 3600 \frac{K \eta_{\text{ДВ}}}{v}.$$

Размерность этой величины — Н/кВт.

Эта зависимость универсальная: она справедлива для любых движущихся объектов (птица, самолет, поезд, корабль, жидкость, перекачиваемая по трубам) вне зависимости от проискождения силы, приводящей их в движение (мускулятура, тепловой или электрический двигатель, ветер), и от устройства движения тела (колесо, винт, машуще крыло, насос). Чтобы решить задачу до конца в каждом конкретном случае, достаточно найти величины «эквивалентного качества» $K_3 = K \eta_{\text{ДВ}}$, поскольку кроме $K_3$ нагрузка на мощность $G/N$ зависит только от скорости $v$. Таким образом, критерий энергетического совершения, оценивающим рациональное выбор технического решения или природного устройства объекта, является не нагрузка на мощность, коренным образом зависит от скорости (не соблюдается «равенство прочих условий»!), а безразмерная величина $K_3$.

Теперь становится ясной причина больших значений $G/N$ у птиц и насекомых. Ее отсутствив иллюстрирует график на рисунке 1. Далее при низком уровня энергетического совершения (у сарачии, например, $K_3 = 2,8$, тогда как у хороших самолетов $K_3 = 13$ и больше) удельные нагрузки у них выше просто потому, что малая скорость полета. В этом смысле особо показательна точка графика, соответствующая значениеммуスクоллету «Госсамер — Кондор», перелетшей ему Ла-Манш. Этот аппарат, построенный по самолетной схеме — неодвижное крыло и винтовой движитель, благодаря очень малой скорости полета ($v = 17,8$ km/ч) имеет недостижимую ни для каких птиц нагрузку на мощность 4400 Н/кВт.

Физическая смысл изложенного крайне прост: при затрате определенной мощности переносимый груз тем большше, чем меньше скорость. В этом и заключается «тайна» больших нагрузок на мощность у летающих животных.

Леонардо da Винчи. Модель летательной машины.

12

Итак, критерий энергетического совершенства — $K_s$. Вполне естественно, что величины $K_s$ кардиально влияет на дальность горизонтального полета $L$. Согласно формуле Вреге,

$$L = -\frac{K_s}{C_y} \frac{\lg(1-\bar{m}_{\text{rop}})}{\lg e},$$

где $C_y$ — удельный расход горючего, $\bar{m}_{\text{rop}} = m_{\text{rop}}/m_0$ — относительная масса горючего, $m_0$ — стартовая масса объекта$^3$).

Из формулы видно, что абсолютиные размеры и масса не оказывают влияния на дальность полета. Таким образом, сопоставление миниатюрных размеров птиц с покрываемыми имми расстояниями относится скорей к области эмощи, нежели к научной аргументации. При оценке же реально действующих факторов сравнение и здесь не обнаруживает какого-либо преимущества птиц.

Данные о перелетах — бесплатный материал для исследования. Достаточно хорошо изучить проиденное расстояние и относительной потери массы (а это не представляется затрудней), чтобы получить надежную оценку энергетического совершенства объекта.

К сожалению, этих данных о птицах обычно и неодостатет. В сведениях об упомянутом перелете ржанок не указаны ни вес птиц, ни скорость ветра; более того, нет никаких указаний на то, что птицы не кормились в пути. Перелет чибисов через Атлантику сопровождается сильным попутным ветром — до 95 км/ч; потеря веса не изменялась. Полные и достоверные экспериментальные данные имеют лишь для одного случая: перелет стай американских словок Dendroica striata от штата Массачусетс (США) до Бермудских островов (расстояние 1300 км). Скорость полета контролировалась радиом; учитывался ветер на трассе. Потеря массы составила в среднем 0,165 от стартовой.

Соответствие данных по самолетам: относительная потери массы устаревшего самолета ЛИ-2 — 0,182 при дальности полета 2090 км, самолета АНТ-25, совершенного в 1937 году перелета Москва — Санкт-Петербург (США) — 0,542 при дальности 13 000 км. Ползуясь известными значениями удельной теплоты сторания авиционного топлива и «горючого» (жира) птиц, а также термический КПД, по этим данных можно определить $K_s$: для птицы $K_s=10,6$, для самолета ЛИ-2 $K_s=8,7$, для АНТ-25 $K_s=13,9$. Эти данные подтверждают отсутствие энергетического превосходства птиц. Интересно отмечить, что относительной потере массы 0,165 у самолета АНТ-25 соответствует дальность только 3300 км.

Взлет, посадка, внесение на месте

Да, скажут решители машины полета, но ведь птица взлетает и садится вертикально, а для самолетов, лишенных этой возможности, мы вынуждены стройть дорогостящие взлетно-посадочные полосы.

Тут, как говорится, ничего не скажешь: осуществить аппарат, взлетящий как вертолет и летящий горизонтально как самолет, мы можем лишь ценой громадного расхода топлива на взлете. Необходимо, однако, внесити некоторые уточнения.

Из второго закона Ньютона следует, что подъемная сила $P$ всякого диапазческого несущнего органа (крыла, несущнего винта) равна произведению секундной массы отросшенного вниз воздуха $m_s$ на вертikalную скорость отросшенного струи. Обозначив площадь,ометаемую несущим органом (рис. 2), через s и имея в виду, что скорость отросшенной струи $v_2$ на режиме внесения вдвое превышает скорость в плоскости несущнего органа $v_1$, найдем подъемную силу, равную аппарата: $P=G=m_s v_2=2 m_s v_1=2 \rho s v_1^2$ (ρ — плотность воздуха у земли)$^4$.

Не вся затрачивающая энергия идет на отрасывание струи; учитываются потери ее (на закручивание струи, на трене несущнего органа о воздух), ведем «относительный КПД» $\eta_0$ и найдем мощность, необходимую для подержания единиц веса:

$$\frac{N_{\text{потр}}}{G} = \frac{1}{\eta_0 \sqrt{2 \eta}} \left(\frac{G}{s}\right)^{1/2}.$$

13

Очевидно, что определяющим фактором для возникности вертикального взлета и висения является так называемая нагрузка на ометаемую площадь $G/s$. Отсюда следует важные выводы, вполне подтверждаемые практикой.

При условии геометрического и kinematического подобия (что удовлетворительно совпадается в пределах одного биологического вида) ометаемая площадь изменяется пропорционально квадрату линейных размеров, масса — пропорционально кубу; нагрузка на площадь, следовательно, пропорциональная линейному размеру. Это объясняет упомянутый выше факт: вертикальным взлетом и способностью к «трепещему» полету (зависанию) обладают только сравнительно небольшие птицы — не крупнее голубья. Более крупные — например, вороны — способны осуществлять точный взлет (с места), пользоваться мощным толчком ногами; еще более крупные — гагара, пелikan, фламинго — взлетот, подобно самолету, с разбегом. Наконец, кондор, альбатрос и другие крупные птицы могут начинать полет, только бросаясь с возникшенных предметов — деревьев, скал, прибрежных дюн.

Кроме того — и это нельзя забывать энтузиastам, мечтающим осуществить вертикальный взлет на искусственном летательном аппарате, — добиться этого можно только при условии движения крыльев в горизонтальной плоскости на режим взлета — иначе нельзя получить достаточно большую ометаемую площадь. У птиц переход от почти вертикального maxа в крейсерском полете к почти горизонтальной плоскости на режим взлета и посадке осуществляется без труда благодаря гибкости и возникшенности сильно изменять наклон корпуса. Построить же такой натурный искусственный аппарат при сеодняшнем уровне техники не представляется возможным.

Вторым важным фактором, определяющим возникность висения и вертикального взлета, является доступный для данного животного пределудельной располагаемой мощности

14

$N_{\text{pacn}} / G$. По оценке биологическом количеству от 0,0040 до 0,0053 кВт/H для птиц массой до 10 кг и снижения при дальнейшем увеличении массы. Очевидным условием вертикального взлета является выполнение неравенства $N_{\text{порт}} \leq N_{\text{pacn}}$. На рисунке 3 дан график, по которым можно проследить, как выполняется это условие для реализации объекта — животных и летательных аппаратов (масштабы $G / s$ и $G / N$ ($N \equiv N_{\text{pacn}}$) у вторых для наглядности сдиниты).

При отсутствии упомянутых выше вредных потерь $\eta_0 = 1$. Этому следует («идеальная птица») соответствует верхняя наклонная прямая графика. Ниже располагаются прямые с постепенно убивающим значением $\eta_0$. Наносся по известным $G / s$ и $G / N$ точку на график, получим характеристики соответствующего ей объекта; оченьindo, что отсутствие точки от прямой для «идеальной птицы» ($\eta_0 = 1$) является мерой энергетического совершения объекта на данном режиме. Имеющиеся (к сожалению, немногочисленные) данные для птиц дают величины $\eta_0$ от 0,27 до 0,47; для единственного обстоятельно изученного насекомого — дрозофилы — 0,16. У вертолетов $\eta_0$ количество от 0,38 до 0,68, т. е. по степени энергетического совершения на

режиме внесения они заметно превосходят летающих животных.

В этом нет ничего удивительного. Источником больших потерь у животных является неполотота ометания круга на размах крыла. У птиц к этому добавляется отсутствие упругого элемента в системе корпус — крыло (он есть у насекомых в виде упругого внешнего скелета), из-за чего возникают потери на предоление инерции крыла при каждой перемене направления взмаха. С другой стороны, у насекомых очень плохая аэродинамика из-за миниатюрных размеров и малых скоростей движения.

Таким образом, главным источником порождающего наши чувства «умения» насекомых и малых птиц взлетать вертикально и совершать трепешущий полет является простонострою малая нагрузка на ометаемую крылом плошадь.

Мы видим, что к обещаниям энергизависить искусственный аппарат машущего полета, выполняющий все, что «умет» птица, надо относиться с большой осторожностью.

Ортоптер

В заключение упомянем о способе полета, подкупающим наши оценки

Рис. 2. Ометаемая несущим ортоном площадь.
Рис. 3. Зависимость удельной взлетной мощности от нагрузки на ометаемую площадь.

15

кажущейся очередностью своей эффективности при взлете и висени:
подъемная сила создается прямым ударом сверху вниз плоскостью крыла о воздуху; при ходе вверх в крыле открывается кладаны либо оно поворачивает ребром по направлению движения. Аппарат, осуществляющий такое движение, называется ортоптером («прямокрыл»), и различные его варианты фигурируют в сотнях пределжения.

Нетрудно видеть, что при таком движении площадь сечения столба воздейства, несущено на себе вес объекта, во много раз меньше площади, омегаемой крылом при горизонтальном его движении. Это, как мы уже знаем, bleibt за собой резкий рост потребной мощности. В результате этого, а также из-за некоторых других специфических потерь, такой аппарат уступает по экономической эффективности вертолету в 4-5 раз.

В природае описанным видом летания пользовется только насекомые с очень малой нагрузкой на площадь крыла, например дневные бабочки.

Примечания

1. Конечно, смешно сравнивать такие характеристики, как, например, вес или мощность воробья с весом и мощностью межконтинентального лайнера,— слишком жалким показателя воробей. Но разумно сравнивать значение отношений этих характеристик, узнать, какой вес приходит на единицу мощности. Это отношение $G/N$ и называется нагрузкой на единицу мощности. И вот при таком сравнивании воробей оказывается большой умницей — при своих слабых силенках он переносит в это раз больший вес (чем смог бы лайнер). Правда, с меньшей скоростью.

Все сказанное и поясняет рисунок 1.

2. Сила, действующая на летаательный аппарат со стороны воздуха,— аэродинамическая сила — может быть разложена на две составляющие: подъемную силу $F_y$, перpendикулярную скорость аппарата $v$, и силу сопротивления $F_x$, паралельную $v$. Интутивно ясно, что чем больше подъемная сила и чем меньше сила сопротивления, тем лучше летаательный аппарат выполняет свои функции — поднимать и переносить повышее грузы по воздуху, тем, образно говора, этот аппарат качественно. Поэтому относение $K=F_y/F_x$ компонент аэродинамической силы получило название аэродинамического качества (или просто качества) летаательного аппарата. В случае горизонтального полета с постоянной скоростью

16

ростью подъемная сила уравновешивает силу тяжести, а сила тягги двигается — силу сопротивления.

3. Формула Бреге, по всей видимости, известна не каждому школьнику. Поэтому приведем ее вывод.

При равномерном горизонтальном полете, как уже говорилось, $F_x v = N \eta_{\text{дв}}$. Выразим $F_x$ через подъемную силу $F_y = mg$ и аэродинамическое качество $K$:

$$\frac{mgv}{K} = N \eta_{\text{дв}}.$$

Величина $N \eta_{\text{дв}}$ — это мощность, или секундная работа двигаателя против сил сопротивления. Предположим, что в единицу времени двигаатель расходует одну и ту же массу топлива $\mu$ ($[\mu] = \text{kr/c}$). Тогда за время $dt$ масса топлива изменится на $dm = -\mu dt$ кг. Разделим обе части равенства (*) на $\mu = -dm/dt$:

$$-\frac{mgv \cdot dt}{K \cdot dm} = \frac{N \eta_{\text{дв}}}{\mu}.$$

No bedь $v \cdot dt = dx$ — перемещение в горизонтальном направлении. Значит, уравнение, описывающее изменение массы вдоль пути, проходимо в горизонтальном полете, имеет вид

$$dx = -\frac{KN \eta_{\text{дв}}}{\mu g} \frac{dm}{m}.$$

Интерируя это уравнение от точки старта ($x = 0, m = m_0$) до конца полета ($x = L, m = m_0 - m_{\text{rop}}$), получим:

$$L = -\frac{K_3 N}{\mu g} \ln \left(1 - \frac{m_{\text{rop}}}{m_0}\right) = -\frac{K_3 N}{\mu g} \frac{\lg(1 - \bar{m}_{\text{rop}})}{\lg e}.$$

Теперь осталось $\mu g/N = C_y$ — и мы получим формулу Бреге.

4. Поясним этот абзац следующим образом. Изменение кинетической энергии массы воздуха, отбрасываемой в единицу времени, равно

$$N = m_s \left(\frac{v_2^2}{2} - 0\right) = m_s \frac{v_2^2}{2}.$$

(Изменением потенциальной энергии этой массы мы пренебрегаем.) С другой стороны, можно рассматривать несущий орган (например, винт вертолет) как вентилятор, преодолевший перепад давления, созданный подъемную силу. Этот перепад давления проходит «отсасываемый» сверху воздуха со скоростью $v_1$, для чего требуется мощность $N = Gv_1$.

Учитывая, что $G = m_s v_2$, из равенства двух выражений для мощности получаем:

$$m_s \frac{v_2^2}{2} = m_s v_2 v_1,$$

или $v_2 = 2v_1$.

Забегая вперед, поясним, как находится мощность, необходимая для поддержания единицы веса $-N/G$. Из равенства $G = 2\varrho s v_1^2$ выразим $v_1$: $v_1 = \sqrt{\frac{G}{2\varrho s}}$. Подставив это $v_1$ в равенство $N = Gv_1$, найдем отношение $N/G$:

$$\frac{N}{G} = \frac{1}{\sqrt{2\varrho}} \sqrt{\frac{G}{s}}.$$

Заказы принятия…

Мы продолжаем список кипы, которые будут выпущены издательством «Наука» в 1989 году и которые могут заинтересовать наших читателей (умерация соответствует тематическому плану; чена указана ориентирована; начало см. в № 7 и № 8).

Библиотека «Квант»
160. Болотовский Б. М. Как излучают электрины и atoms, летящие быстрее света. 50 к.

Если электрон или atom движутся через вещество и их скорость преводится скорость света в этом веществе, возникает электromagnetное излучение.

В книге рассматривается это «сверховтовое» излучение (эффект Вавилова — Черепкова, эффект Доплера), его свойства и применения.

161. Бялюко А. В. Наш планета — Земля. 50 к.

Центральная тема кипи — осознание того, почему наша планета при очень низкой мощности со всей Солнечной системы все же настолько уникальна, что стала единственным источником излучения. Круг рассмотрены вопросы о проискхдения химических элементов до климата Земли и его воздействия на цивилизацию.

162. Гальперин Г. А., Земляков А. Н. Математические блиры. 50 к.

Расссказывает о поведении бильярдного шара на столе произвольной формы без луз. Описание этого поведения приводит к решению разнообразных вопросов математики и механики: задач о переливинии жидкости, об освещении зеркальных комнаты, о пеленге, осцилографе и фигурах Лиссажу, о столкновении молекул газа в сосуде и др.

163. Гетман В. С. Внуки Солнца. 50 к.

Астероды, кометы, meteorные тела, в бесписленном множестве «населющие» механические пространство, все больше при-

(Окончание см. на c. 29)

17

ГЕОМЕТРИЯ ЛИСТА БУМАГИ

Доктор физико-математических наук
Д. В. ФУКС

1

Возьмите в руки лист бумаги и, не сминая, изогните его. У вас в руках окажется кусочек поверхности, форма которого зависит от того, как вы изогните лист. Образцы поверхностей, которые могут получить, показаны на рисунке 1.

Одно дело не всякая поверхность может быть представлена как изогнутый бумажный лист. Например, общеизвестно, что бумажному листу нельзя придать сферическую форму: если прижать лист бумаги к глобусу, на листе обязательно появятся складки. Лист бумаги можно, не сминая, свернуть в трубочку или в фунтик, но нельзя, избегнуть складок, свернуть его вчетверо как носовой платок (рис. 2).

Определение. Поверхности, которые можно представить как изогнутый лист бумаги, называются развертывающимся.

Не определение, а бессмыслица, ничего путного из него выйти не может, — скажет Педант и будет прав. Не в том прав, что это определение чем-то плохо, а в том, что читать дальше ему не стоит: ни строих определений, ни доказательств у нас не будет. Лучше сказать, все доказательства у нас (как в одном древнеиндийском геометрическом тракте) будут, в существии, состояние из одного слова: смотри!

Все же не для Педанта (он уже захлопнул журнал), а для Вдумчивого Читателя, почему: физические свойства листа бумаги, существенные для нашей определения, — это его гибкость и нерастижимость (нежимаемость). Второе означает, что нарушенная на листе линия может при изгибании изменить свою форму, но сохраняет свою длину; первое означает, что никаких других ограничений на характер изгибания не существует.

2

To, что развертывающимся является далеко не все поверхности, видно уже из того, что
всякая развертывающая поверхность является линейчатой.

Это означает, что к изогнутому листу бумаги можно в любом месте приложить спицу так, чтобы она прилегала к бумаге по целому отрезку,

Рис. 1.

18

Рис. 2.

с двух сторон охватывающей выбранную точку. (Доказательство: эксперимент — см. рис. 3.) Другими словами, развертывающая поверхность состоит из прямолинейных отрезков, содержащихся в ней целиком. Эти отрезки называют прямолинейными образующими или просто образующими поверхности.

Если какая-нибудь точка развертывающейся поверхности является внутренней точкой двух не проходящих одна по другой образующих, то целый кусок влизывая этой точки является плоским (рис. 4). Такой случай мы будем исключать из рассмотрения, т. е. мы предполагаем, что

никакой, даже самый маленький, кусок нашей поверхности не является кусом плоскости.

Таким образом, через каждую точку нашей поверхности проходит в точности одна прямолинейная образующая. Эти образующие составляют непрерывное семейство отрезков, заметающие нашу поверхность (см. рис. 5). Некоторые из этих отрезков вырождаются в точки, лежащие на границе нашего кусака поверхности. (Последнее замечание — для замачившей тела Педанта.)

3

Не следует думать, что всякая линейчатая поверхность является развертывающейся. Линейчатых поверхностей много. Прямолинейный отрезок, как угодно движущийся в пространстве, заметает линейчатую поверхность.

Возьемем какую-нибудь линейчатую поверхность, выберем прямолинейную

Рис. 3. Рис. 4. Рис. 5.

20

на рисунке 5 и попробу представить себе, какой форму поверхность получится, если продолжить образующие в ту сторону, в котором они сходятся (рис. 11). Потом возьмли журнал и узнал ответ. Если ты не знал и угадал, значит ты — Геометр.

А ответ таков: поверхность не будет главкой; на ней появится ребро возврата (рис. 12, а). Это — линия, в которой сечение поверхности плоскостью выглядит примерно как показано на рисунке 12, б.

5

Я обещал воздерживать от доказательств. Не потому, что я их вообще не люблю (это, конечно, неправда), и не потому, что доказательства моих утверждений, в частности, последнего утверждения, слишком сложны и не могут быть изложены доступным школьнику образом (это — правда только отчасти). Дело, скорее, в том, что доказательства (во всяком случае, известные мне) теorem этой статьи протекают в области формул: заданным поверхностью уравнениям, записем через произвольные условия развертываемости и так далее, и так далее. Я не хочу излагать такое доказательство: оно вряд ли чтоибудь прояснит. Но все же пусте не доказать утверждение, а убедить читателя в том, что оно верно, я попытаюсь.

Еще раз посмотрите на рисунок 5.

Рис. 10. Рис. 11. Рис. 12.

Как и всякое изобравнение пространственной фигуры, он представляет собой проекцию этой фигуры на плоскость — журналную страницу. Итак, мы имеем семейство прямых на плоскости. Срисуйте его на отдельный лист и продолжите все прямые. Вы видите, что все прямые сгущаются к некоторой кривой, которой они касаются (рис. 13). В анализе доказывают совсем простую теорему, что такая «огибающая» есть у всякого непрерывного семейства прямых, если только эти прямые не все параллельны и не проходят все через одну точку (похожее верно и для семейства кривых). Вот вы и увидели ребро возврата.

Но,— возражает Вдумчивый Читатель,— это рассудение, если так его можно назвать, применимо к любой линейчатой поверхности. Скажем,

21

на изображении однополостного гиперболона (рис. 9) тоже присутствует линия, которой касаются проектированные на чертеж образующие (боковая гипербола), а на поверхностиникакого ребра возврата нет.

Вдумный Читатель прав, как всегда; но у меня есть в запасе еще один аргумент, который, веройто, его убедит. Линия, о которой он говорит, — это край изображения поверхности, или, как говорят, ее видимый контур. В точках этой линии касательная плоскость к поверхности перендикулярна чертежу (см. рис. 14, на котором показан видимый контур сферы). Но у развертывающейся поверхности касательная плоскость во всех точках образующей одна и та же (помните — приложенная линейка!), а в точках, не принадлежих предполагаемому ребру возврата, она явно не перпендикулярна плоскости чертежа. Значит, она не perpendicularна ей и в точках этой линии, а расположена как показано на рисунке 15, что с неопровержимостью показывает, что наша линия — ребро возврата.

На все это можно взглянуть с другой стороны: развертывающаяся поверхности (образующие которой не параллельны и не проходят все через одну точку) состоит из прямых, касающийся одной линии — ребра возврата. Это значит, что развертывающаяся поверхности можно получить так: взять пространственную кривую (никакой кусочек которой не является плоским) и проведсти к ней все касательные (рис. 16). Эти касательные заметут развертывающую表面, а исходная кривая будет ее ребром возврата. При этом

22

всякая нецилиндрическая и некончическая развертывающая поверхность может быть так получена (теорема Эйлера).

6

Это все? Нет, как вы сейчас увидите. Увеличим мысленно развертывающая поверхность до таких размеров, чтобы по ней можно было ходить, и подем по ней перепendlкулярно образуошим (рис. 17). Образующее касаются ребра возврата, и при нашем движении оно будет либо быстро удаляться от нас, либо быстро приближаться к нам. А в чем может заклониться переход из одного состояния в другое? Посмотрите на рисунок 18. На нем изображен лист бумаги, образующее и два отрезка ребра возврата. А что между ними? Плавная линия, наполобие пунктира на этом рисунке? Нет, эта линия не может всюду касаться образуоших. Значит, остается одно:

ребро возврата само имеет точку возврата (рис. 19).

Как же устроена поверхность выполнiza этой немыслимой точки? Начнем с картини. На рисунке 20 показана сама поверхность. Кроме ребра возврата она обязательно имеет линию самопересечения. На рисунке 21 показаны ceчения этой поверхности несколькими параллельными плоскостями. Чтобы в какой-то месте убедиться в том, что поверхность выглядает именно так, будем действовать как в теореме Эйлера: возьмем предполагаемое ребро возврата и проведем к нему всевозможные касательные.

Чтобы построить «типичную» пространственную кривую с точкой воз-

Рис. 20. Рис. 22. Рис. 23.

Рис. 24.

23

врата, возьмем плоскую кривую с точкой возврата и слегка изогнем плоскость (рис. 22). Тепер проводим к этой кривой касательные и посмотрим на получившееся сверху. Каждый касательную разобъем на три части как показано на рисунке 23. Тепер отделно на рисунем первыше, вторые и третьи части всех касательных (рис. 24). На первой картине получила верхняя, слегка пронутая, перепонка между двумя ветвями ребра возврата; на второй картине получилось счленение двух кусков между ветвями ребра возврата и линей самопересечения; наконец, на третьей картине получилась оставшаяся часть поверхности. Заметим, что фигуры, изображенные на второй и третьей картиках, имеют излом вдоль линии самопересечения. Поверхность в целом называется ласточным хвостом (похоже?).

Итак, произвольным образом изогнутый, но не смятый, лист бумаги превращается, после неограниченного продолжения его прямолинейных образующих, в поверхность, имеющий ребро возврата, которое само имеет, быть может, не одну, точку возврата. Вблизи каждой точки возврата ребра возврата поверхность устроена как ласточин хвост, в частности, она имеет самопересечения. Вот какую интересную геометрию имеет обикновенный лист бумаги (см. 4-ю страницу обложки).

7

В заключение — еще несколько слов о ласточном хвосте. Эта поверхность возникает в трехмерной геометрию очень часто, к ней приводит многое естественные задачи анализа и механики. Но впервые ее изображение (не назван: последнее придумано в 60-e годы нашего века знаменитым французским математиком P. Томом) появилось в прошлом вке на страницах алгебраических книг в следующем контексте.

Рассмотрим уравнение
$$x^n + a_1 x^{n-2} + a_2 x^{n-3} + \dots + a_{n-1} = 0.$$
Оно может иметь от 0 до $n$ решение

ний. Например, уравнение
$$x^3 + ax + b = 0$$
может иметь 3, 2 или 1 решение. Чтобы узнать, сколько именно, нужно нарисовать на плоскости с координатами $a, b$ «дискримантую кривую» $4a^3 + 27b^2 = 0$ (рис. 25). Если точка $(a, b)$ лежит внутри фиолетовой зоны, уравнение имеет 3 решения, если она лежит на ее границе, кроме острия, — то 2 решения, в остальных же случаях уравнение имеет 1 решение.

Аналогичная задача для уравнения 4-й степени
$$x^4 + ax^2 + bx + c = 0$$
приводит к ласточном хвосту: в пространстве с координатами $a, b, c$ расположен ласточин хвост, подобный тому, который изображен на рисунке 20. Внутри трехгранного пенала лежат точки $(a, b, c)$, для которых наше уравнение имеет 4 решения. На границе пенала, кроме возврата и линей самопересечения, уравнение имеет 3 решения. На этих линейках, исключающий решений 2; столко же решений имеет уравнение для всех $(a, b, c)$, лежащих выше поверхности (со стороны пенала). На всей поверхности, исключая границы пенала, но включая вершину, решение одно, ниже поверхности решений вовсе нет. Подробности читатель может найти в книге Ф. Клейна «Элементарная математика с точки зрения выcisей», которая недавно переиздана в издательстве «Наука».

25

молодой планеты оставшимся телами роя. Следы этих событий в большом количестве остались не только на поверхности Луны, но и на Меркурии, Марсе, на спутниках планет — на всех небесных телах, не имеющих мощной атмосферы.

Как образовалась Луна?

Среди хаosa столковенный возможно были и катстрофические соударения, приводящие к неожиданным следствиям. Недавно группа американских астрофизков во главе с А. Камероном выдвинула новую гипотезу образования Луны. Согласно их идее, Луна возникла от сляния осколков столковенияproto-Земли с другой планетой, по массе составляющей около 0,12 земной массы (представьте себе столковение Земли с Марсом!).

На быстродействующей вычислительной машине были рассчитаны варианты столковений и из последовательных временных стадий расчета сделан кинофильм. Компьютерное кино дает возможность «своими глазами» видеть, как это происходит. Сперва две планеты слияются, при этом их тела теряют сферическую форму, вытягаваясь навстречу друг другу gravитационным притяжением. Затем следует удар. Он не был центральным — иначе Земля не прибрела бы после столковения нужную скорость вращения. По обеим планетам пробегает ударная волна, нагревая вещество выше температуры плавления. Оба тела слияются — образуется Земля; при этом разлетаются осколки. Часть эти осолков выпадает на Землю; а те, у которых скорость велика, уходят за пределы земного

Лунный кратер Бессель; его диаметр 16 км.

28

родная смесь веществ в химическом равновесии, а так удивительно разнообразен. Гравитационная дифференциальная не только разделяет вещества по их плотности, она приводит к тому, что некоторые химические реакции, энергетические невідгодные в обичных условиях, становятся возможными для больших масс в гравитационном поле.

Представьте себе, что в результате неокторой химической реакции из одного вещества (скажем, сернистого железа) образуется два — одно более легкое (сера), а другое более тяжелое (железо). Энергия, необходимая для поддержания такого разделения, может черпаться из гравитационной энергии, вывобождающейся в результате опускания тяжелого вещества и вспышания легкого. Легким веществом при гравитационной дифференциальции может оказаться и газ.

Вот неожиданный пример геофизического явления, вызванного гравитационной дифференциальной дифференциальной. 21-го августа 1986 года из Камерунна пришло трагическое сообщение: ночь из небольшего озера Ниос внесло вырваюсь облака газа, и в нем задохнулись, погибли около двух тысяч человек из близлежащих деревень.

Это озеро расположено в вуликическом кратере, поэтому в первых сообщениях прийной καταстрофы считалось выделение вулканом каких-то удушающих газов.

После изучения озера стала ясна физика происшедшего. Виновыми действительно оказались потухший вулкан и озеро в его кратере. Но вот что поразительно: поведение вулкана было, на первый взгляд, вполне невинно — ни извержения, ни землепрясения не произшло. Газ же, вызванший внезапную смерть тысяч людей, оказался обикновенным оксидом углерода CO₂, безобидным в малых концентрациях. Суть явления состояния в следующем.

Ниос — небольшее озеро, но средняя глубина его более 100 м. Вулкан, на котором оно располагается, потух, но в результате остаточных геологических процессов в его недрах медленно вырвается оксид углерода. Этот газ хорошо расторяется в воде, и его расторимость быстро возрастает с увеличением давления. Вспомните, как бурно вырвается углекислый газ, когда открывают бутылку с минеральной водой. В закрытой бутылке давление больше атмосферного. Когда бутылку открывают, давление в ней

29

поняжается до atmosферного, расторимость углекислого газа при этом давления ниже, и «лишний» газ выделяется из раствора.

В бутылке с минеральной водой избыточное давление меньше половины atmosферы, на глубине же 100 м давление равно 10 атм (≈10⁶ Па). При таком давлении и температуре 20 °C в литре воды расторяется 17 г оксида углерода, а в близи поверхности озера его концентрацию можно считать практическими нулевой. Теперь представляет себе, что в озере случайно возникнет попачаły небольший поток вверх глубиной воды, насыщенной углекислым газом. Поднимаясь, жидкость попадает в область меньше гидрорастатического давления, где расторимость газа ниже, и начинается выделение углекислого газа. Газ поднимается к поверхности и увлекает с собой окружающего жидкость. Развигается неустойчивость: поток пузیریшей жидкости, стремительно нарастая, равется к поверхности, а верхние тяжелые воды, бедные углекислым газом, опускаются на дно озера. Происходит гравитационная дифференциальия.

Заказы принimaютя…

(Начало см. на с. 16)ковывали внимание учены и любителей астрономии. Танистенный Икар, знаменитая комета Галлея, тысячи небесных камней, забиты в Землю космических ударами, многочисленные образцы этих камней в научных laboratorиях, потрясающие воображение больши, огненных шарами проносящей по небу, ливни «падающих звезд» — все это связано с удивительными творениями природы, а именно малыми телами Солнечной системы. Их описанию и посвящена эта книга.

164. Гросберг А. Ю., Хохлов А. Р. Физика в мире полимеров. 50 к.

Расссказывает о современном состоянии информации статистической физики макромолекул. Рассмотрены какFundamentальные вопросы физики синтетических горополимеров — гибкость полимерной цепи, объемные эффективы и динамические свойства полимерных систем, так и проблемы физики основных биополимеров — ДНК и белков.

167. Кэрролл Л. Логическая игра: Пер. с англ. 50 к.

Сборник логических задач автора известных сказок «Алиса в Стране Чудес» и «Сквоз зеркало и что там увидела Алиса» Льюиса Кэрролла в яркой и занимательной игровой форме знакомит читателя с оригинальным графиком методом решения силогизмов и соритов.

166. Крутогин Д. Г., Морченко А. Т. Микроэлектронка смотрит в будущее. 50 к.

В книге расссказывает о том, когда, зачем и как появились микроэлектроника, какие достижения физики и материалов ее развития, что дает и может дать она человека.

30

СОУДАРЕНИЕ ТЕЛ

Доктор физико-математических наук
В. В. КОЗЛОВ

Введение

Некоторые физические теории построены по образцу, принятому в математике, — из небольшого числа физических утверждений, которые играют ту же роль, что аксиомы в математических теории, логических строго выводятся разнообразные следствия. Эта статья посвящена одной такой теории — теории соударения тел. Явление удара хорошо описывает несложной математической моделью. Недвижительное поэтому законы удара были установлены до открытия основных принципов динамики.

Еще Галилей поставил ряд опытов для выяснения законов соударения тел. Эти опыты, правда, не привели его к определенным выводам. Современник Галилея, пряжский професор Марци в своем сочинении «De proportione motus» (1639) опубликовал некоторые результаты своих исследований явления удара. В частности, ему было известно, что тело, упруго ударившись о такое же покоящеся тело, теряет свою скорость, сообщая ее этому телу. Первоое детальное исследование законов удара было предприято в 1668 году по предложению Лондонского королевского общества. При выдающихся механика и математика Валлис, Рен и Гойгенс представили свои работы, в которых они изложили законы движения соударюшихся тел.

Джон Валлис ограничился, не оваривая этого, рассмотрением абсоалютно неупругого удара. Он исходил из гипотез о сохранении суммарного импульса сталкивающих тела.

31

Кристофер Рен изложил правила расчета упругого удара. Рен, как и Валлис, не привед никаких теоретических рассмотреней, однако для проверки своих правил он проделал ряд простых и убедительных опитов. На эти опыты ссылался Ньютон в своих знаментих «Математических начальных натуральной физиофии» (1687). Конкурсный меруар Христина Гюйгена был наиболее полным исследованием по теории удара. В нем был намечен вывод соответствий теории удара, основанный на принципие относительной Галилея. Лондонское королевское общество напечатало лишь меруары Валлиса и Рена. Гюйгенс напечатал свой меруар в 1669 году в париском «Журнале ученых».

Сохранение импульса

Рассмотрим ряд задач механики, связанных с исследованием соударения двух тел с массами $m_1$ и $m_2$, движущихся по прямой безвоздействия каких-либо сил. Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости этих тел до удара (рис. 1). Мы будем считать скорость алгебраической величины: если тело движется вправо, то его скорость положительная, а если влево, то отрицательна. В момент удара на тела действуют только внутренние силы; поэтому их суммарный импульс $m_1v_1+m_2v_2$ сохраняется. Пусть $v'_1$ и $v'_2$ — скорости тел после удара. Из сохранения суммарного импульса получаем соотношение

$$m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2.$$ (1)

Из одного этого уравнения, конечно, нельзя найти $v'_1$ и $v'_2$. Это и неудивительно: соударения бывают разными. Есть упругие и неупругие. Например, при абсолотно неупругом ударе тела сппаются и движутся затем как одно целое. В этом случае $v'_1=v'_2=v$ и из формулы (1) находим скорость сппашихся тел после удара:

$$v=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}.$$ (2)

Задание 1. Пусть $v_1 \leq v_2$. Докажите, что $v_1 \leq v \leq v_2$.

Изменение кинетической энергии

Кроме импульса в механике важную роль играет кинетическая энергия, равная $mv^2/2$, где $m$ — масса тела, $v$ — его скорость. Рассмотрим абсолотно неупругий удар двух тел. В этом случае

$$\Delta T=(\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2})-\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}$$

называется потеряной кинетической энергей.

Следующое утверждение называется первой теоремой Карно:

Потеряная кинетическая энергия равна энергии точки массой $\mu=$

$$\frac{1}{1/m_1+1/m_2},$$

которая движется со скоростью, равной разности скоростей точки до удара:

$$\Delta T=\frac{\mu(v_1-v_2)^2}{2}.$$

Задание 2. Докажите первуго теорему Карно.

Масса $\mu$ называется в механике приведенной массой системы. Она равна половине среднего гармоничского чисел $m_1$ и $m_2$.

Задание 3. Докажите неравенства

$$\mu \leq \frac{m_1+m_2}{4}, \mu \leq \frac{1}{2}\sqrt{m_1m_2}.$$

Введем в рассмотрение потеряные скорости: $u_1=v-v_1$, $u_2=v-v_2$, с помощью которых формулируется вторая теорема Карно:

Потеряная кинетическая энергия равна суммарной кинетической энергии тел с массами $m_1$ и $m_2$, движущся с потеряными скорностями $u_1$ и $u_2$:

$$\Delta T=\frac{m_1u_1^2}{2}+\frac{m_2u_2^2}{2}.$$

Задание 4. Докажите вторую теорему Карно.

Рассмотрим теперь противоположный случай: абсолотно неупругий удар. По определению, в этом случае, кроме суммарного импульса, сохраня-

Рис. 1.

32

ется еще суммарная кинетическая энергия:

$$m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1(v_1')^2 + m_2(v_2')^2.$$

Задача 5. Докажите, что в случае абсолотно упругого удара относительные скорости тел до и после удара равны по величины и противоположны по направлению:

$$v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2').$$

Задача 6. Докажите равенства:

$$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} v_2,$$

$$v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_2.$$

В частном случае, когда $m_1 = m_2$, эти формулы прибретают наиболее простой вид:

$$v_1' = v_2, v_2' = v_1.$$

Следовательно в момент абсолотно упругого удара происходит обмен скорости. Как уже говорилось, этот эффект был впервые описан Марци.

Абсолотно упругий удар тел равной массы удобно изобразать на графиках движения тел, т. е. на графиках зависимости координат от времени (рис. 2). Эта графикаская интерпретация используется в следующей задаче.

Задача 7. По прямой движутся с постоянными (не обязательно равными) скоростями несколько одинаковых шариков. Предположим, что соударения между ними абсолотно упругие и в каждом соударении участуют только два шарика. Докажите, что общее число соударений конечно.

Рассмотрим еще один частный случай, когда масса $m_1$ много меньше массы $m_2$. Тогда

$$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1/m_2 - 1}{m_1/m_2 + 1} \approx -1,$$

$$\frac{2m_1}{m_1 + m_2} = \frac{2m_1/m_2}{m_1/m_2 + 1} \approx 0,$$

$$\frac{2m_2}{m_1 + m_2} = \frac{2}{m_1/m_2 + 1} \approx 2,$$

33

так как отношение масс $m_1/m_2$ близко к нулю. С учетом этих замечаний формулы (4) примут следующие вид:

$$v_1' = -v_1 + 2v_2 = v_2 - (v_1 - v_2),$$
$$v_2' = v_2.$$

Следовательно, второе тело не изменит свой скорости, а первое будет движаться за вторым, отставая от него со скоростью, равной их относительной скорости до удара.

На практике, однако, чашце встречются случан, когда в момент удара тела не слипаются, но и их суммарная энергия не сохраняется. В этой ситуации обычно принимают гипотезу Ньютона, заменная соответствие (3) следующим соотношением:

$$e(v_1 - v_2) = -(v_1' - v_2').$$

Здесь $e$ — некоторый безразмерный коэффициент, заключенный в промежутке от 0 до 1 и определяемый общим из эксперимента. Число $e$ называют коэффициентом восстановления. При $e=0$ получается абсоалютно неупругий удар, а при $e=1$ удар будет абсоалютно упругим.

Пусть $u_1$ и $u_2$ снова обозначают потеряные скорости.

Величина потеряной энергии в общем случае вычисляется с помощью обобщенной теоремы Карно:

$$\Delta T = \frac{1-e}{1+e} \left( \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2} \right).$$

При $e=0$ это утверждение известно нам как вторая теорема Карно; при $e=1$ потеря энергии вообще не про-

34

исходит — удар абсолотно упругий.
Задча 8. Доказите обобщенную теорему Карно.

Адинабатический инвариант

В качестве почительного применения формул (5) рассмотрим следующую задачу. Шарик движется между двумя стenkами, одна из которых неподвижна, а другая приближается к ней со скоростью $V$ (рис. 3; шарик начинает движение от неподвижной стенки). Удар шарика о стенки абсолотно упругий. После столковения с неподвижной стенкой величины скорости шарика не меняется, а после каждого столковения с подвижной стенкой скорость шарика (см. формулы (5)) уvelичивается на $2V$. Следовательно, энергия шарика тоже уvelичивается. Пусть $v_0$ — величина скорости шарика в начальной момент времени (т. е. момент «нулевого» удара о неподвижную стенку), $l_0$ — расстояние между стенками в этот момент. Аналогично, через $v_n$ и $l_n$ обозначим величины скорости шарика и расстояние между стенками в момент $n$-го удара шарика о неподвижную стенку. Положим $I_n = v_n l_n$ ($n = 0, 1, 2, \dots$).

Задча 9. Доказите, что $I_n = I_0$.

Условим задачу. Введем функцию $I(t)$, равную произведению величины скорости $v(t)$ шарика на расстояние $l(t)$ между стенками в произвольный момент времени $t$. Пусть $t_0, t_1, \dots$ — момент удара шарика о неподвижную стенку. Согласно утверждению задачи 9, $I(t_n) = I_0$ для всех $n \geqslant 0$. Оdnako при остальных значениях $t$ получаем $I(t) \neq I_0$.

Задча 10. Доказите неравенство

$$\left| \frac{I(t) - I_0}{I_0} \right| \leq \frac{V}{v_0 + V}.$$

Подсказкой к решению этой задачи служит график функции $I(t)$, изображенный на рисунке 4.

Следовательно, если скорость стенки много меньше скорости шарика ($V \ll v_0$), то величина $I(t)$ будет очень мало отличаться от своего первого значения $I_0$. В механике также величины называются адвабатическими инвариантами (в термодинамике адвабатическим процессом называется процесс, проходящий без выделения и поглощения тепла).

Баллистический матник

В качестве еще одного применения законов удара рассмотрим задачу о баллистическом матнике, с помощью которого изменяют скорости движения тел. Он состоит из труби массой $M$, заполненной песком и подвешенной на неевесомом трое длиной $l$ (рис. 5). Снаряд массой $m$, попадая в трубу, застревает в песке. Происходит очень быстро потеря скорости снаряда — абсолотно неупругый удар.

Задча 11. Зная максимальный угол отклонения труби $\varphi$, найдите скорость снаряда.

Баллистический матник изображен англійским механиком Робинсом и описан в книге «Новые принципы пушечной стреллы» (1742).

Прицели относительно и закон сохранения импульса

Мы решили ряд конкретных задач из механики соударющся тел. Теперь снова можно обратиться к основным соотношям теории удара и обсудить их смысл и проискождение.

В темугаре Гюйгена «О движении тел под воздействием удара» закон сохранения импульса выводится из принципи относительно матрицы Галилея. Мы воспроизведем рассуджение Гюйгена для случая абсолотно неупругого удара.

35

Рис. 4.

Сначала напомним определение инерциальной системы отчета и формулировку прицена относительной пещевой времени. Предположим, что одна система отчета движется относительно друг с постоянной скоростью. Прицили относительно Галилея утверждает, что все законы механики (в том числе и законы удара) имеют в обеих системах отчета одинаковый вид. Этот принцип относительно является очень интересной механике. Специфика ньютоновской механики проявляется в том, как связанные системы отчета, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью.

Эта связь выражается преобразованными Галилея. Предположим, что в обеих системах производится наблюдание одного и того же тела. Пусть в первой системе отчета координата тела на прямой равна $x$, а часы показывают время $t$; во второй системе значения координаты и времени равны $x'$ и $t'$. Если $v$ — постоянная скорость

Рис. 5.

рост движения второй системы отчета относительно первой, то

$$x = x' + vt' + a, \quad t = \pm t' + b,$$

где $a$ и $b$ — некоторые constants.

Обратимся к выводу формулы (2) для абсцилтоно неупругого удара.

Рассуждания Гойгена включают анализ нескольких случаев.

a) Рассмотрим сначала простейшую ситуацию, когда стalkиваются два одинаковых тела с массами $m$, движущиеся настречу друг друг со скоростью $v$ и $-v$. В силу предположения о неупругом характере удара тела спипаются, образуя одно тело массой $2m$. По сообщениям симметрины, это тело после удара будет покопаться.

b) Рассмотрим более сложный случай, когда стalkиваются две одинаковые массы $m$, имеющие до момента удара произвольные скорости $v_1$ и $v_2$. Перейдем к новой инерциальной системе отчета $S'$, которая движется относительно исходной системы $S$ с постоянной скоростью $v = (v_1 + v_2)/2$. В системе $S'$ картина движения тела будет, как в случае a): тела одинаковой массы спипаются с равными по величины скорости $(v_1 - v_2)/2$ и $(v_2 - v_1)/2$. Согласно принципу относительно и заключанию пункта a), после удара тела массой $2m$ будет покопаться в системе $S'$. Следовательно, относительно системы $S$ оно будет движется со скоростью $(v_1 + v_2)/2$. Итак, формула (2) установлена в случае, когда $m_1 = m_2$.

в) Пусть теперь имеются три одинаковых тела каждой массой $m$ (рис. 6). В начальной момент все они покопаются, причем тела 1 и 2 соприкасаются. Предположим, что тела 1 и 2 разделяются в разные стороны (например, в результате взрыва). Ввиду симметрины их скорости будут равны по величины. Первое тело будет беспрерывственно движется в скорость $-v$, а второе будет движется вправо со скоростью $v$ и вскоре столкнется с телом 3. Согласно результату пункта 6), тело «2+3» массой $2m$ будет после удара движется вправо со скоростью $v/2$. Если рассстояние

36

между телами очень мало, то столкновение и спиранье тел 2 и 3 происходит практическими мгновенно. Поэтому можно считать, что с самого начала тела 2 и 3 образовывали одно целое и мы приходим к следующему выводу: если в начальной момент времени два тела с массами $m$ и $2m$ соприкасались и затем начали разлетаться в разные стороны, то скорость тела массой $2m$ будет в два раза меньше скорости тела массой $m$.

г) Рассмотрим случай, когда два тела с массами $m$ и $2m$ движутся навстречу друг другу со скоростью $v$ и $-v/2$ соответственно. Утверждается, что после абсолотного неупругого удара спишеся тело массой $3m$ будет покопаться (в соответствии с формулой (2)). Действительно, мы можем вообразить новую систему отчета $S'$, в которой часы идут в «обратную сторону». Относительно системы $S'$ все тела будут движться в противоположном направлении с той же по абсолотной величины скоростью, поэтому нам остается воспользоваться принципом относительной и результатом пункта в).

д) Теперь обратимся к случай, когда тела с массами $m$ и $2m$ движутся с произвольными скорностями $v_1$ и $v_2$. Как и в рассужdenении пункта 6), перейдем к новой системе отчета $S'$, которая движется относительно $S$ со скоростью $v_1 + 2v_2/3$. Именно с этой скоростью движется их общий центр масс (проверьте!). В системе $S'$ центр масс тела $m$ и $2m$ покопится, тело $m$ подлегает к нему со скоростью

$$v_1' = \frac{v_1 + 2v_2}{3} - v_1 = -\frac{2}{3}(v_1 - v_2),$$

а тело $2m$ — со скоростью

$$v_2' = \frac{v_1 + 2v_2}{3} - v_2 = \frac{1}{3}(v_1 - v_2).$$

Мы видим, что относительные скорости $v_1'$ и $v_2'$ отличаются знаками и $|v_1'| = |2v_2'|$. Следовательно, согласно пункту г), после столкновения тело массой $3m$ будет покопаться в системе $S'$, а относительно исходной системы $S$ оно будет движться со скоростью

$$v = \frac{mv_1 + 2mv_2}{3m} = \frac{v_1 + 2v_2}{3}.$$

Таким образом, формула (2) устанавливается в случае, когда $m_2 = 2m_1$.

Рассуждая аналогично, мы можем обосновать формулу (2) для случая рационального отношения масс $m_1$ и $m_2$. Ее обоснование для irrationalных отношений $m_1/m_2$ носит уже формульный характер и связано со строиммведением понятия действительного числа. Дело здесь обстоит так же, как с выводом формулы площади прямогольника со стороны $a$ и $b$: для созмерных $a$ и $b$ прямогольник можно разбит на одинаковые квадраты, а если $a$ и $b$ несозмерными, то нужно использовать приближение irrationalных чисел рациональных.

С математической точки зрения расчудения Гойгенаса, быть может, нельзя признать вполне строгими. Но мы и не стремились дать строое доказательство формулы для абсолотного неупругого удара. У нас была инязаель: показать, что иden Гойгенаса с необходимостью приводят к закону сохранения импульса. Подчеркием, что мы исходили лишь из принципа относительной относительности Галилея и не использовали основные принципы диамники Ньютона (например, закон равенства действия и противодействия). Расчудение Гойгенаса показывает, что закон сохранения импульса следует из симметриности (или инвариантности) законов механики относительной преобразования Галилея. Это отражает общий факт: всякая симметрия законов механики приводит к своему закону сохранения. Например, инвариантность относительной поворотов пространства bleibt закон сохранения момента импульса, а инвариантность относительной сдвигов оси времени — закон сохранения энергии. Общая теорема, связывающая симметрисии с законами сохранения, была открыта значением немецким математиком Эмми Нётер (1882—1935).

Задачи

M1121 — M1125, Ф1133 — Ф1137

M1121. Дан треугольник ABC. Две прямые, симметричные прямой AC относительно прямых AB и BC соответственно, пересекаются в точке K. Докажите, что прямая BK проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

В. Ю. Протасов

M1122. Решите систему:
$$\begin{align*} (x_3 + x_4 + x_5)^2 &= 3x_1, \\ (x_4 + x_5 + x_1)^2 &= 3x_2, \\ (x_5 + x_1 + x_2)^2 &= 3x_3, \\ (x_1 + x_2 + x_3)^2 &= 3x_4, \\ (x_2 + x_3 + x_4)^2 &= 3x_5. \end{align*}$$

Л. Тутеску (Румыния)

M1123. Примой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороны единицца. Будем рассматривать ряд клеток, параллельные сторонам угла («вертикальные» и «горизонтальные» ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд клеток содержал все натуральные числа по одному разу?

В. С. Шевелев

M1124. Боковые стороны, диагонали и продолжения основной трапеции пересекают прямую l в шести точках, т. е. высекают на прямой l пять отрезков.
a) Докажите, что если крайние (1-й и 5-й) отрезки равны, то соседние с ними (2-й и 4-й) также равны.
b) При каком отношении основной трапеции можно проверить прямую l так, чтобы все пять отрезков были равны?

Э. Г. Готман

M1125. Рассматривается последовательность слов, состоящая из букв A и B. Первое слово в последовательности — «A»; к-e слово получается из (k-1)-го с помощью следующей операции: каждое A заменяется на AAB, каждое B — на A (A, AAB, AABAABA, …).
a) Докажите, что каждое слово является началом следующей (тем самым определяется бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABA…).
b) *На каком месте в этой последовательности встречается 1988-я буква A?
b) *Докажите, что эта последовательность неперiodическая.

В. М. Гальперин

Ф1133. В卡尔итере медленно естьает расплав искледуемого вещества. Удельная теплота этого вещества (она была определена в предыдущих опитах) L=200 кДж/кг. По графику зависимости температуры вещества от времени (рис. 1) определите уделные тепломкости вещества в твердом и жидком состоянии. Теплоемкость卡尔итера претенбрь.

А. Р. Зильберман

38

Ф1134. Исследуя новый открытою планету, имеющий форму шара радиусом $R=6400$ км и покрытую по всей поверхности океаном глубиной $H=10$ km из обличной воды, ученые установили, что ускорение свободного падения остается с большой степенью точности неизменным при погружении в океан на различные глубины. Определите по этим данным ускорение свободного падения на планете. Гравитационная постоянная $G=6,67 \cdot 10^{-11} \text{H} \text{m}^2/\text{kg}^2$.

И. И. Воробьев

Ф1135. Горизонтальная плоскка с лежащей на ней монетой совершает круговое поступательное движение в горизонтальной плоскости так, что все ее точки описывают окружности радиусом $R$ с угловой скоростью $\omega$. Коэффициент треня между монетой и плосккой $\mu$. Каким будет установившееся движение монеты? Какой след «вычерчивает» она на плоскке?

E. И. Бутиков

Ф1136. В схеме, приведенной на рисунке 2, амператоры показывают точки 0,2 А и 0,3 А. После того как два резистора в схеме поменяли местами, показания амператоров не изменились. Какой токчет через батарею? Считать напряжение батареи неизменным. Сопротивления амператоров пребрежимо малы.

A. P. Зильберман

Ф1137. Электростатический генератор (рис. 3) состоит из непроводящого цилиндра, на котором наклеены полоски фольги $\Phi_1$ и $\Phi_2$, наружных обкладок $O_1$ и $O_2$, неподвижных токосъемников $T_1$ и $T_2$ снаружи и неподвижной перемычки внутри с токосъемниками $T_3$ и $T_4$. В исходном положении полоски фольги находится на протяжении обкладок и образуют с ними конденсаторы емкостью $C_1$ каждый. К внешним обкладкам подключен конденсатор емкостью $C_0$, заряженный предварительно до напряжения $U_0$. Каким становится напряжение на этом конденсаторе после $N$ оборотов цилиндра по часовой стрелке? Емкость между обкладками и полосками фольги в развинутом состоянии пребрежимо мала.

Problems

M1121—M1125, P1133—1137

M1121. A triangle $ABC$ is given. The two lines which are the mirror images of $AC$ with respect to $AB$ and $BC$ intersect at the point $K$. Prove that $BK$ passes through the centre of the circumcircle of triangle $ABC$.

V. J. Protasov

M1122. Solve the system of equations:

$$(x_3+x_4+x_5)^5=3x_1,$$
$$(x_4+x_5+x_1)^5=3x_2,$$
$$(x_5+x_1+x_2)^5=3x_3,$$
$$(x_1+x_2+x_3)^5=3x_4,$$
$$(x_2+x_3+x_4)^5=3x_5.$$

L. Tutescu (Rumania)

40

Замечательные числа.
Дружесвенные числа и простые числа-близнецы

Каждуму из вас много кратно приходилось раскладывать числа на множители. Рассмотрим число и сумму всех его делителей, отличных от самого числа. Если эта сумма больше исходного числа, число называют избыточным, если в случае же равенства число называют совершенным.

При n=2 и n=4 получаются числа, найденные Пифагором и ichn аль-Ванной. При n=7 получаются числа 9 363 584 и 9 437 056, найденные в 1638 году P. Декартом (1596—1650), не завишим теоремы иbn Курры. Этими треями случаями исчерпываются все значения n≤20 000, при которых способ ichn Курры дает другихственных числа.

Леонард Эйлер (1707—1783) первый после Декарта получили новые другиественные числа. Всего им открыто 59 пар чисел, средние чисел: 3². 7. 13. 5. 7 и 3⁴. 5. 11. 29. 89, а также 3². 7. 13. 107 и 3⁴. 5. 11. 2 699. Он предложил пять методов отыскания другихственных чисел.

Математиков Древней Греции очень интересовали и простые числа — числа, имеющие равно два делителя. Средние числа, отличную числа, отличаются на 2: например, 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19.

Пифагор говорил: «Мой друг тот, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Эти два числа замещены тем, что сумма делительей каждой из них равна второму числу. Они были названы орудестеными.

41

Приятого считать, что следующую пару других чисел 17 296 и 18 416 открыл в 1636 году Ферма (1601—1665). Но недавно в одном из трак-tатов марокканского ученого ибн аль-Ванны (1256—1321) был найдены следующие строки: «Числа 17 296 и 18 416 являются других другихственных». Аллах введедущи».

Задолло до ибн аль-Ванны другой арабский математик ибн Курра (836—901) формулировал следующие последовательные других других математических неокоторых других величины чисел: если три числа $p=3, 2^{n-1}, q=3, 2^{n-1}$ и $r=9, 2^{2n-1}-1$ — простые, то числа $A=2^n pq$ и $B=2^n r$ будут других различных.

Многие авторы после ибн Курры изучали других математических числа, но ничего существенного не открыли. В их сочинениях присустутую также решение: «Что бы добиться взамм-ности в любви, нужно на чем-либо запись числа 220 и 284, меньше дать обьекту любви, а больше съесть самому».

В таблице приведены количество чисел, и фактические.

=90 2364653062 3313066515 5201592687 8 =86 2593766501 4359638769 0953818787 0786444130 4548569003 8961540360 1666597148 4088835777 4281383581 5363719932 5828701918 5759580345 6831022646 6591332953 3162256868 2747004992 7532312907 0333233826 3649647747 2706738497 3129580885 7840675607 3892061566 6452384945 3683841099 1321499127 6380031055

A и B — самые большие из известных других других чисел.

42

P1137. A model of an electrostatic electric machine (see figure Pис. 3) consists of a non-conducting cylinder with two strips of aluminium foil Φ₁ and Φ₂ glued to it, external condensator plates O₁ and O₂, fixed current receivers T₁ and T₂ outside and a fixed connection inside between the receivers T₃ and T₄. In initial position the foil strips are opposite to the external plates, forming two capacitors of capacity C₁ each. A capacitor of capacity C₀, initially charged to U₀, is connected to the external plates. What will the charge on this capacitor be after N clockwise revolutions of the cylinder? The capacity between the external plates and the foil strips when they are not opposite to each other are negligible.

I. I. Vorobjev

Решения задач

M1101 — M1105, Ф1113 — Ф1117

Ответ. Возможны три случая: 1) если AD=AE, то ∠A=2 arctg (1/4); 2) если AE=DE, то ∠A=36°; 3) если AD=DE, то ∠A=20°.

Рассмотрим эти случаи по отдельности. Положим ∠A=α.

Случай 1) (рис. 1). Поскольку AD=AE=EC=BC, боковая сторона равноведренного треугольника ABC вдвое больше основания. Очевидно, tg(α/2) = BC/(2AC)=1/4.

Случай 2) (рис. 2). Поскольку BD=AB-AD=AC-EC=AE=ED и BC=EC, треугольники BCD и ECD равны (по тем сторонам). Угол DEC является внешним в равноведренном треугольнике ADE, следовательно

$$\angle ACB = \angle ABC = \angle DEC = 2\alpha,$$

а сумма углов треугольника ABC равна α+2α+2α=5α=180°, т. е. α=36°.

Случай 3) (рис. 3). Достроим треугольник BDE для параллелограмма BDEF и показем, что △BCF — равноведренный. Из очевидных равенств ∠CEF=∠CAB=α, CE=AD=DE и EF=BD=AB-AD=AC-EC=AE следует, что △CEF=△DAE, CEF — равноведренный треугольник, причем CF=CE=CB, ∠CFE=∠CEF=α. Кроме того, BF=DE=CB, а ∠CFE=∠BDE=2α, т. к. BDEF — параллелограмм, а BDE — внешний угол треугольника ADE. Итак, BF=FC=CB и ∠BFC=60°=∠BFE+∠EFC=2α+α=3α. Отсюда получаем, что α=20°.

В конце этого рассуждения, записывая равенство ∠BFC=∠BFE+∠EFC, мы неявно воспользовались тем, что треугольники ABC и FBC лежат по разные стороны от BC и луч FE проходит внутри угла BFC. Но если бы точка F оказалась над основанием BC, то точно так же имеются three ∠BFE+∠EFC = 360°-∠BFC=300°, откуда α=100°, что невозможно, т. к. α — угол при основании равноведренного треугольника DEA. (Впрочем, и этот случай можно включить в рассмотрение, если разрешить точкам D и E находимся на продолжениях соответствующих сторонах треугольника; рис. 4.)

43

М1102. Докажите, что существуют пазличных натуральных чисел, сумма кубов которых равна кубу натурального числа, если a) n=3, б) n=4, с) n — любое натуральное число, большее 2.

Приведем примеры наборов из трех и четырех кубов различных натуральных чисел, сумма которых — куб:
a) $3^3+4^3+5^3=6^3$,
b) $1^3+5^3+7^3+12^3=13^3$.

Построить наборы из большого числа кубов можно путем «наращивания»: умножив все кубы в равенстве a) на $2^3$ (или в равенстве б) — на $6^3$), мы получим равенство кубов, наименьший из которых $6^3$; его можно заменить на $3^3+4^3+5^3$. Таким образом, из a) мы получим равенства
$$3^3+4^3+5^3+8^3+10^3=12^3 \quad (n=5),$$
$$3^3+4^3+5^3+8^3+10^3+16^3+20^3=24^3 \quad (n=7)$$
и т. д. для всех нечетных n, а из б) —
$$3^3+4^3+5^3+30^3+42^3+72^3=78^3 \quad (n=6),$$
$$3^3+4^3+5^3+8^3+10^3+60^3+84^3+144^3=156^3 \quad (n=8)$$
и т. д. для всех четных n.

Л. Д. Курляндчик

M1103. a) На бесконечной плоскости, разбитой на квадратные клетки, некоторое — быт может бесконечное — количество прямоугольников размером $1\times 2$ закрашены в черный цвет так, что никакие два черных прямоугольника не имеют общих точек (далее вершин). Докажите, что оставшуюся часть плоскости можно замостить эти прямоугольники. b)* Пусть на клетчатой плоскости закрашены несколько прямоугольников

Покроем исходную (голубую) клетчатую сетку более крупной (черной), разбияющей плоскость на квадраты $2\times 2$ клетки. Каждое черное домино $1\times 2$ либо целиком помещается в одном квадрате $2\times 2$ новой сетки, либо в двух соседних, образующих прямоугольник $2\times 4$, причем другие черные домино в этот участок черной сетки не заходят. В обих случаях остаток участка легко покрыть домино (на рисунке 1 эти домино обведены розовой линий); пусть клетки $2\times 2$ разбиаются на два домино. Отсюда следует утверждение задачи a).

Аналогично, с помощью сетки из квадратов $2\times 2$ доказывается и утверждение 6) для прямоугольников $m\times n$ из четного числа mn клеток. Здесь важно, что белая камма шириной в одну клетку, осталось на участке каждой черного домино $m\times n$, состоит из четного числа клеток (быть может, из двух полосок, в каждой из которых — четное число клеток; рисунок

размером $m \times n$ клеток, не имеющих общих точек. Докажите, что если mn четно, то оставшуюся часть плоскости можно замостить прямой纵никами размером $1 \times 2$, а если mn — нечетно, то это не всегда возможность.

M1104. В терраэдре ABCD грани ABC и BCD перпендикулярны, $\angle BAC=90^\circ$. Докажите, что из отрезков, длины которых равны произведением длины противоложных ребер терраэдра, можно составить прямой纵ольный треугольник.

Рис. 1.

Рис. 2.

2 изобраяет случай, когда $m$ и $n$ оба четны, рисунок 3 — когда $m$ четно, а $n$ нечетно).

Докажем теперь, что если mn нечетно и $k^2$ прямогольников $m \times n$ размещены рядом с промежутками шириной в одну клетку, как показано на рисунке 4, то при $k \geq 4$ покрыть оставшуюся часть плоскости домино $1 \times 2$ нельзя.

Пусть П — весь прямогольник из $2N-1=(mk+k-1)\times(nk+k-1)$ клеток, содержащий $k^2$ прямогольников. Закрасим в шахматном порядке $N$ клеток П, включая условия (внутри прямогольников — черным, вне — голубым). В каждом из $k^2$ прямогольников «лишняя» черная клетка, поэтому среди $N-1$ клеток непокрытой или облакатей П на $k^2-1$ больше белых клеток, чем голубых. Но каждое домино покрывает одну белую и одну голубую клетку.

Предположим, что все эта область покрыта домино. Некоторые из них — но не более $4(k-1)$ — могут выходит (на одну клетку) за пределы П, но поскольку $k^2-1>4(k-1)$ при $k \geq 4$, наше предположение приводит к противоречию.

М. Хованов

Докажем, что

$$(DA \cdot BC)^2=(DB \cdot CA)^2+(DC \cdot AB)^2.$$

Это равенство эквивалентно аналогичному равенству для проекта $D_1$ точки $D$ на плоскость ABC (рис. 1):

$$D_1A^2 \cdot BC^2=D_1B^2 \cdot CA^2+D_1C^2 \cdot AB^2.$$

В самом деле, вычитая из первого равенства второе, по теореме Пифагора для треугольников $DD_1A$, $DD_1B$ и $DD_1C$ получим

$$D_1D^2 \cdot BC^2=D_1D^2 \cdot CA^2+D_1D^2 \cdot AB^2,$$

а это равенство всегда верно, так как в треугольнике ABC угол $A$ прямой.

Доказательство равенства (*) можно проверсти так. Опишем окружность около треугольника ABC и обозначим через $E$ точку ее пересечения с прямой $AD_1$ (отличную от точки $A$; см. рис. 2). Треугольники $D_1BE$ и $D_1AC$ подобны ($\angle ED_1B=\angle CD_1A$, $\angle BED_1=\angle ACD_1$), поэтому $BE:BD_1=CA:AD_1$, или

$$CA^2 \cdot BD_1^2=BE^2 \cdot AD_1^2;$$

аналогично,

$$AB^2 \cdot CD_1^2=CE^2 \cdot AD_1^2.$$

Следовательно, поскольку $\triangle BEC$ прямогольный,

$$CA^2 \cdot BD_1^2+AB^2 \cdot CD_1^2=(BE^2+CE^2) \cdot AD_1^2=BC^2 \cdot AD_1^2,$$

что и требовалось доказать.

Отметим, что равенство (*) — это, по сути дела, частный случай таких называемой «формулы Стюарта» для длин отрезка $AD_1$ (рис. 2) в произвольном треугольнике ABC:

$$AD_1^2=p \cdot AB^2+q \cdot AC^2-pq \cdot BC^2,$$

где $p=CD_1/BC$, $q=BD_1/BC$.

Читательям, знакомым с преобразованием инверсии, укажем на связь нашей задачи с этим преобразованием:

45

М1105. После нескольких прямолинейных разрезов поверхности выпуклого многообразника развернули на плоскость. Получился многоугольник, для которого известно, какие точки его границы «склеиваются», т. е. отечают одной и той же точке на поверхности многообразника. Каким был исходный многоугольник, если при разрезании получился a) прямоугольник с стороны 1 и $\sqrt{3}$, b) равноведренный треугольник с углом 120°, причем в обих случаях склеиваются точки каждой стороны, симметричные относительно ее середины.

Рис. 1.

Ф1113. Шар радиусом R может свободно враться на закрепленной горизонтальной оси OO’. Под ша-

если $A_1, B_1$ и $C_1$ — образы точек $A, B, C$ при некоторой инверсии с центром $D$ (т. е. точки $A_1, B_1, C_1$ лежат, соответствно, на лучах $DA, DB, DC$ и $DA_1 \cdot DA = DB_1 \cdot DB = DC_1 \cdot DC$), то стороны треугольника $A_1B_1C_1$ пропорциональны произведениями протиоположных ребер tetrahedra $ABCD$, причем этот треугольник — прямоугольный. (По основному свойству инверсии описанная около треугольника $ABC$ окружность переходит при инверсии в окружность, описанной около треугольника $A_1B_1C_1$; легко видеть, что в нашей задаче сторона $B_1C_1$ будет диаметром второй окружности.)

В. Н. Дубровский

М1105. После нескольких прямолинейных разрезов поверхности выпуклого многообразника развернули на плоскость. Получился многоугольник, для которого известно, какие точки его границы «склеиваются», т. е. отечают одной и той же точке на поверхности многообразника. Каким был исходный многоугольник, если при разрезании получился a) прямоугольник с стороны 1 и $\sqrt{3}$, b) равноведренный треугольник с углом 120°, причем в обих случаях склеиваются точки каждой стороны, симметричные относительно ее середины.

Рис. 1.

Ф1113. Шар радиусом R может свободно враться на закрепленной горизонтальной оси OO’. Под ша-

если $A_1, B_1$ и $C_1$ — образы точек $A, B, C$ при некоторой инверсии с центром $D$ (т. е. точки $A_1, B_1, C_1$ лежат, соответствно, на лучах $DA, DB, DC$ и $DA_1 \cdot DA = DB_1 \cdot DB = DC_1 \cdot DC$), то стороны треугольника $A_1B_1C_1$ пропорциональны произведениями протиоположных ребер tetrahedra $ABCD$, причем этот треугольник — прямоугольный. (По основному свойству инверсии описанная около треугольника $ABC$ окружность переходит при инверсии в окружность, описанная около треугольника $A_1B_1C_1$; легко видеть, что в нашей задаче сторона $B_1C_1$ будет диаметром второй окружности.)

В. Н. Дубровский

М1105. После нескольких прямолинейных разрезов поверхности выпуклого многообразника развернули на плоскость. Получился многоугольник, для которого известно, какие точки его границы «склеиваются», т. е. отечают одной и той же точке на поверхности многообразника. Каким был исходный многоугольник, если при разрезании получился a) прямоугольник с стороны 1 и $\sqrt{3}$, b) равноведренный треугольник с углом 120°, причем в обих случаях склеиваются точки каждой стороны, симметричные относительно ее середины.

Рис. 1.

Ф1113. Шар радиусом R может свободно враться на закрепленной горизонтальной оси OO’. Под ша-

если $A_1, B_1$ и $C_1$ — образы точек $A, B, C$ при некоторой инверсии с центром $D$ (т. е. точки $A_1, B_1, C_1$ лежат, соответствно, на лучах $DA, DB, DC$ и $DA_1 \cdot DA = DB_1 \cdot DB = DC_1 \cdot DC$), то стороны треугольника $A_1B_1C_1$ пропорциональны произведениями протиоположных ребер tetrahedra $ABCD$, причем этот треугольник — прямоугольный. (По основному свойству инверсии описанная около треугольника $ABC$ окружность переходит при инверсии в окружность, описанная около треугольника $A_1B_1C_1$; легко видеть, что в нашей задаче сторона $B_1C_1$ будет диаметром второй окружности.)

В. Н. Дубровский

46

ром, прижимая к нему, движется шероховатая жесткая лента, изогнутая в виде получиндра радиусом R (рис. 1). Скорость ленты v направлена горизонтально и перпендикулярно оси OO′. Чему равна установившаяся скорость вращения шара?

Рис. 1.

Рис. 2.

щий момент, раскручивающий шар. Когда угловая скорость вращения достигает величины $\omega = v/R$, точка шара B (рис. 2), максимальное удаления от оси вращения OO′, будет иметь линейную скорость, равную скорости ленты: $\omega R = vR/R = v$. Просkalъывание шара относительно ленты в этом месте прекраится, и сила треня (а значит, и ее момент) исчезнет. Однако у всех остальных точек других ABC (по которой шар контактирует с лентой) линейная скорость в этот момент меньше, чем v (эти точки близке к оси вращения), так что шар продолжает разгонять.

По мере роста угловой скорости шара точка отсутствия прокалъывания перемещается ближе к оси OO′, и число участков, имеющих линейную скорость, меньше v, уменьшается. Вместе с тем, растет число участков, где линейная скорость больше v, сила треня направлена в противоположную сторону и создает момент сил, тормозяйства. В какой-то момент разгонающий и тормозяйщий момент силы сравняются, и угловая скорость перестановяется.

Теперрыведем соответствующие расчеты. Прежде всего найдем, в какой точке будет отсутствовать прокалъывание при установившемся режиме.

Будем считать, что лента прижимается к шару во всех местах с одинаковой силой, тогда на любые два одинаковых участка контакта будет действовать одинаковые (по модели) силы треня. Пусть искомая точка отсутствия прокалъывания — это точка D (см. рис. 2). Расмотрим небольший участок других взлизи этой точки. Его длина $\Delta l = R\Delta a$; действующая на него сила $\Delta F = k\Delta l = kR\Delta a$ (к—некоторая постоянная); ее момент $\Delta M = kR\Delta a \cdot R \cos a$. Суммарный момент сил треня

$$M = \sum_i \Delta M = kR \sum_i R\Delta a \cos a_i,$$

действующий на дугу BC, при установившемся режиме должен быть равен нулю. Это означает, что должна быть равной нулю сумма проекций дуг BD и DC («положительный» и «отрицательной» соответствующего) на ось вращения OO′:

$$\sum_i R\Delta a \cos a_i = 0 \Rightarrow O'D' = D'C = R/2,$$

откуда искомая установившаяся угловая скорость

$$\omega = \frac{v}{D'D} = \frac{2v}{\sqrt{3}R} \approx 1.15 \frac{v}{R}.$$

Л. Г. Маркович

Ф1114. Каскадер nadaет с высоты H=50 м. К нему пристезнуть резиновый шурр, второй конец которого закреплен в месте старта. Длина и жесткость шурра подобраны так, что у земли скорость газится до нуля. После того как за-

Введем обозначения для неизвестных параметров: $l$ — длина нерастичного шура (очевидно, что $l + h < H$), $k$ — его жесткость, $m$ — масса каскадера, $v$ — искомая скорость. Заметим, что максимальная скорость была у каскадера как раз на высоте $h$ над землей, т. е. в положении равновесия, где сила треня $mg$ уравновешена силой упругости шура $k(H - l - h)$. Выше этой точки сила треня доминирует над силой упругости — движение каскадера ускоренное, ниже этой точки преоб-

47

тухли колебания, каскадер повис на высоте $h=10$ м над землей. Какова была максимальная скорость каскадера во время падения? Сопротивление воздуха не учитывать.

Ф1115. Замкнутый сосуд, заполненный газом, разделен на две части непроницаемым горизонтальным поршнем; масса сосуда $m$, масса поршня $M$. Вначале сосуд поконтся на подставке. Злетем подставку толком выбивают из-под сосуда. С каким ускорением начинает двигаться сосуд? Тренем между стенками сосуда и поршнем пренебречь.

Ф1116. В две одинаковые химические петки набирают до однозо и то же уровня body: в одну — холодную, в другую — горячую. Ппетки опорняют и считают при этом капли. Из какой петки уnadет больше капель?

ЛАДАЕТ СИЛА УПРУГОСТИ — ДВИЖЕНИЕ ЗАМЕДЛЕННОЕ.

Запишем закон сохранения механической энергии для положений $O$ и $1$ (см. рисок):

$$mgH = mgh + \frac{1}{2} k(H - l - h)^2 + \frac{1}{2} mv^2$$

и для положений $O$ и $2$:

$$mgH = \frac{1}{2} k(H - l)^2.$$

Учтем также условия равновесия на высоте $h$:

$$mg = k(H - l - h).$$

Исключив из уравнения (1) — (3) неизвестные параметры $m$, $k$ и $l$, найдем $v$. Проще всего это сделать так. Разделим уравнение (2) на уравнение (3) и найдем $l = \sqrt{H^2 - 2Hh}$; слагаемое $k(H - l - h)^2/2$ в уравнения (1) перепишем, с учетом равенства (3), в виде $mg(H - l - h)/2$; после чего получим

$$v^2 = g(H - h + \sqrt{H^2 - 2Hh})$$

и

$$v = \sqrt{g(H - h + \sqrt{H^2 - 2Hh})} \approx 28 \text{ м/c.}$$

Д. В. Павлов

В исходном состоянии равновесие поршня обеспечивается тем, что в нижней части сосуда газ сжат сільнее, чем в верхнем ($p_2 > p_1$). Если обозначить через $S$ площадь секции поршня, то условие его равновесия запишется в виде:

$$(p_2 - p_1)S = Mg.$$

Сразу после выбивания подставки на сосуд в верхкальном направлении действуют три силиы: силия давления газа на верхню и нижню стенки сосуда $p_1S$ и $p_2S$ и силия тяжестеся сосуда $mg$. Согласно второму закону Ньютона,

$$ma_0 = mg - p_1S + p_2S.$$

Из уравнения (1) и (2) находится ускорение:

$$a_0 = g \frac{M + m}{m}.$$

С. Ф. Ким, А. И. Латинин

Капля отрывается от конца пипетки в тот момент, когда сила поверхностного натяжения уже не может уравновесить силу тяжестеки капли.

С ростом температуры воды коэффициент ее поверхностного натяжения, а значит, и сила поверхностного натяжения, уменшается. Причем уменшается довольно заметно — примерно на 20 % при повышении температуры от 20 до 100 °C. Таким образом, силия тяжестеги капли меньше, чем холодной, а число горячных капель, наоборот, больше.

48

Заметим, что при нагревании пронсходит еще один процесс — уменьшение плотности воды (связанное с ее распределением). Это объясняется, вообще говоря, играет противоположную роль. Но обусловленный им эффект, из-за малого коэффициента теплового распределения воды, оказывается гораздо слабее первого и практическим не проявляется.

А. И. Буздин

Ф1117. Свет от точного источника А выводится сквозь непрозрачную стенку с помощью световода — тонкой пронсной палочки с радиусом секции R (рис. 1); внутренняя часть палочки с радиусом r (R—r≤r) сделана из материалов с показателем преломления $n_1$, а внешняя область — из материалов с показателем преломления $n_2$ ($n_2<n_1$). Определите диаметр светового пятна на экране, расположном на расстоянии L от правого торца световода. Источник свет наодится выполнiza центра левого торца световода.

Как изменится размер пятна, если источник удалить вдоль оси световода на расстояние l от торца?

Рис. 1.

Очевидно, что на экран придут те лучи от источника, которые на поверхности соприкосовения сердцевины и оболочки претерпевают полное отражение и оказываются как бы захваченными сердцевиной световода.

Лучи света проходят в сердцеине световода (рис. 2), если угол падения $\alpha \geqslant \alpha_0$, где $\alpha_0$ — предельный угол полного отражения на границе двух сред с показателями преломления $n_1$ и $n_2$ ($\sin \alpha_0=n_2/n_1$).

После преломления на противоположном от источника торце световода лучи свету расходит в виде конечского пучка. В соответствии с законами геометрической оптики угол преломления находится условия

$$\frac{\sin \beta}{\sin (90^\circ-\alpha)}=n_1.$$

Луч света будет испытывать на торце палочки наиболее отклонение, если угол $\alpha$ минимален, т. е. $\alpha=\alpha_0$. Тогда для максимального угла преломления $\beta_{\max}$ получаем выражение, справедливо при $n_1^2-n_2^2<1$:

$$\sin \beta_{\max}=n_1 \cos \alpha_0=\sqrt{n_1^2-n_2^2}.$$

Таким образом, зная высоту усеченного конуса (светового пучка) $L$, радиус меньше основа $r$, угол $\beta_{\max}$ между осью конуса и его образующей, легко найти радиус большого основа, или, что то же самое, радиус светового пятна на экране:

$$R_1=r+L \ tg \beta_{\max},$$

или

$$R_1=r+L \frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{\sqrt{1+n_2^2-n_1^2}}.$$

Если $n_1^2-n_2^2\geqslant 1$, то луч свету выходить под любым углом $\beta\leqslant\pi/2$ и размер светового пятна будет неограничен.

В том случае, когда источник удален на расстояние l от торца световода, в формировании светового пятна могут участвовать лучи, попадание на левый торц под углами $\gamma\leqslant\gamma_{\max}$, где $tg \gamma_{\max}=r/l$. Поэтому выходящий пучок не может иметь угол расхождения больший, чем $\gamma_{\max}$, т. е. $\beta\leqslant\gamma_{\max}$ (как при прохождения плоскопаралелной пластины). Если $\beta_{\max}\leqslant\gamma_{\max}$, то и для этого лучая справедлива формула (2). Если $\beta_{\max}>\gamma_{\max}$, то в формулу (1) вместо $\beta_{\max}$ следует поставить $\gamma_{\max}$:

$$R_1=r\left(1+\frac{L}{l}\right).$$

49

Список читателей, приславших правильные решения

Большинство читателей, приславших решения задачи M1076 — M1090, Ф1088 — Ф1102, справились с задачи M1076, M1081, M1082, M1086, M1088, M1090, Ф1088, Ф1090, Ф1091, Ф1093 — Ф1095, Ф1098 — Ф1100.

Ниже мы публикуем фамилии тех, кто просил правильные решения остальных задачи (цифры после фамилии — последние цифры номеров решенных задачи).

Математика
Д. Абдуллаев (Баку) 89; В. Абраамян (с. Боракан АрмССР) 87, 89; Э. Адаев (п. Борадыгах АзССР) 89; К. Адриан (Каракал, СРР) 77—80; Н. Адрианов (Электросталь) 83, 84, 87, 89; А. Акимов (Евпатория) 77—80, 83, 87, 89; А. Акоплан (Ереван) 78, 79, 83, 89; Г. Аксенов (Москва) 83; П. Андрас (СРР) 87, 89; В. Андрюшенко (Винница) 83, 87; И. Аржанцев (Киев) 83, 85, 87, 89; В. Арясов (Киев) 83, 89; Д. Асадов (Баку) 83, 89; Ш. Асадов (с. Кириллавар АзССР) 89; А. Ахметов (Алма-Ата) 87; Ш. Бабаев (Баку) 83, 89; Р. Баженов (Симфеополь) 89; Е. Баженов (Караганда) 87; Л. Бараковская (Киев) 89; В. Бараковский (Омск) 87, 89; Н. Баринова (Усть-Каменогорск) 87, 89; Ю. Безгачева (Краснойрск) 77, 79; С. Березовский (Киев) 83, 85; Н. Билусак (с. Менява Ивано-Франковской обл.) 83, 85, 87; Н. Билдилов (Алма-Ата) 87, 89; А. Блинова (Ленинград) 87; А. Бодданов (Старый Оскол) 87, 89; Я. Бойчик (Киев) 83, 87, 89; В. Боранабе (Алма-Ата) 87, 89; Ж. Бораше (Алма-Ата) 87, 89; П. Бородин (Киров) 89; А. Брейман (Москва) 83, 84; Я. Бренер (Вильнюс) 80; Д. Бринзан (СРР) 87; С. Бутвина (Житомир) 83—85, 89; В. Барламов (Воткинск) 89; Ц. Васильев (София, НРБ) 78—80; Е. Васильева (Химки) 83; Ю. Великина (Днепропетровск) 79, 83, 89; А. Вилицкий (Калуга) 79, 89; Т. Вовьский (Черновцы) 89; С. Волошин (Подгородное Днепропетровской обл.) 89; О. Волошук (Гайворон) 89; В. Волчков (Шахтерск) 83, 84, 87, 89; В. Вончурин (Москва) 87, 89; М. Всемирное (Ленинград) 83, 87; М. Вьюрнов (Киев) 79, 80, 83, 87, 89; А. Гамидов (п. Борадыгах АзССР) 89; С. Гамидов (п. Борадыгах АзССР) 89; В. Гасанов (Баку) 83, 89; В. Гацова (Орджоникдзе) 87; В. Горбачев (Харьков) 87, 89; Э. Горянский (Берегово Закарпатской обл.) 89; П. Григорьев (Рига) 87, 89; Ю. Грифельд (Москва) 83—85, 87, 89; А. Гурло (г. п. Кривичи Минской обл.) 89; А. Гурман (Одесса) 89; К. Давтян (Ереван) 89; А. Давыдов (с. Елфимово Горьковской обл.) 83, 87, 89; Р. Дадашов (п. Борадыгах АзССР) 89; А. Даниленко (Волгоград) 79; Д. Делич (Нови Сад, СФРЮ) 89; В. Демик (Орджоникдзе) 89; Х. Джкафов (Торкоба АзССР) 77—79, 83, 87, 89; Д. Долологат (Рутов) 84, 87, 89; С. Дорценко (Берогово Закарпатской обл.) 89; Е. Дорогайкин (Киев) 83, 89; Д. Драчев (Киев) 89; В. Дробовце (Москва) 84; В. Дубров (Минск) 83, 84, 87; Е. Дуда (Харьков) 83, 87, 89; К. Дышлевой (Черкассы) 83, 84; Д. Дэмбэрэл (Улан-Батор, МНР) 89; А. Ерасов (Москва) 83; Е. Ербауцев (Алма-Ата) 87, 89; О. Жеребцов (Усинск) 89; В. Жилинскайте (Вильнюс) 83—85, 89; Х. Жумабеков (с. Джайльма Джамбульской обл.) 87, 89; Ю. Журавель (Киев) 79, 83, 87, 89; Д. Зайнолданов (Талды-Курган) 84; Н. Зарубин (Харьков) 87, 89; И. Зеленко (Саратов) 77—79, 84, 85, 87, 89; Д. Зеленский (Семипалатин) 83, 84, 89; С. Зеленский (Семипалатин) 83, 89; С. Зелик (Краматорск) 77—80, 83—85, 87; Г. Зельцман (Киев) 85; И. Зефиров (Химки Московской обл.) 77—79; И. Зук (Эссен, ФРГ) 83, 84, 87; Р. Иванов (Чебоксары) 89; М. Игнатьеев (Москва) 83, 84; С. Измалков (Харьков) 83, 84, 87, 89; И. Ильина (с. Каменское Уральской обл.) 89; Д. Ильясов (с. Коктерек КазССР) 87, 89; А. Ионес (Ленинград) 89; И. Иопне (Москва) 83, 84, 87, 89; А. Исаков (Алма-Ата) 87, 89; М. Исмаилов (п. Ярдымлы АзССР) 89; А. Кабдолов (Алма-Ата) 87, 89; А. Калинин (Саратов) 79; В. Калошин (Харьков) 83—85, 87, 89; Л. Кампинштейн (Киев) 83, 85, 87, 89; И. Капуткина (Москва) 83, 87; А. Караваев (Волгоград) 85; С. Касаманян (с/х Аракс АрмССР) 89; И. Кириллов (Усть-Каменогорск) 87, 89; О. Кирисовский (Винница) 78, 79; В. Климов (Алма-Ата) 83, 87, 89; А. Клячин (Волгоград) 78; В. Клячин (Волгоград) 79; Д. Кобыш (Москва) 89; Г. Коваль (Новосибирск) 89; Т. Ковальчук (Киев) 89; С. Коваченko (Винни

51

Задчи

1. Можно ли в кружки звезды на рисунке расставить десять различных натуральных чисел так, чтобы суммы четырех чисел вдоль каждой из пяты прямы были нечетными?

2. ШестЬ пассажиров автобуса без кондуктора должны упланить за билеты по 5 копеек. Но у них есть лишь монеты по 10, 15 и 20 копеек. Тем не менее пассажеры справились с задачей. Покажите, что общее число монет у них не меньше во всем. Смогут ли пассажеры решить эту задачу, если монет у них в суммеровно восем?

3. Два последовательных двухначных числа сложили и в их сумме переставили цифры. В результате получилось большее из складываемых чисел. Какие числа складывают?

4. Определите числовое значение слова ТРАНСПОРТИРОВКА, если одинаковые буквы заменить соответственно одинаковыми цифрами, разные — разными, причем так, чтобы были выполнены указанные на рисунке неравенства.

5. Два параллелограмма — красный и синий — имеют общую вершину и еще по одной вершине каждой на стороне другого (см. рисунок). Покажите, что их площади равны.

Эти задчи нам предложили: А. М. Домашенко, Н. Б. Васильев, Жора Головатенко из Москвы, М. П. Мочалов и В. В. Произвольов.

53

ПРАВИЛО КРАЙНЕГО

Кандидат физико-mатематических наук
А. Л. РОЗЕНТАЛЬ

Если вы хотите научиться решать математические задачи, вам надо попытаться овладеть более или менее общими подходами, приемами и методами математических рассудений. Рассмотрим один весма общий подход, который мы будем называть правилом крайнего.

Правило крайнего может быть кратко выражено словами «Рассмотри крайнее!». Это правило есть просту рекомендация рассмотрить объект, обладающий какими-либо крайными, или, как говорят математики, экстремальными, свойствами. Если речь в задаче идет о множество точек на прямой, то правило «Рассмотри крайнее!» советует нам сосредоточить свое внимание на самой крайней точке множества (самой левой или самой правой). Если в задаче фигурирует некоторый набор чисел, то правило крайнего рекомендует рассмотреть наиболее или наиболее из этих чисел. Вот несколько примеров.

Задание 1. На плоскости задано неокоторое множество точек M такое, что каждая точка из M является серединой отрезка, соединяющего какую-либо пару точки это же множество M. Докажите, что множество M содержит бесконечную множество точек.

Очень часто бывают так, что ключи к решению задачи находят, решая более простую аналогичную задачу. Поэтому, прежде чем решать данную задачу, попробуем решить следующее задачу.

Задание 2. На прямой задано множество точек M такое, что каждая точка из M является серединой отрезка, соединяющего две другие точки из M. Докажите, что множество M бесконечно.

Предположим, что множество M конечно. Применим правило крайнего:

Эта статья впервые была опубликована в «Кванте» № 8 за 1976 год. (Примец. ред.)

если множество M — конечно, то среди его точек есть крайние — самая левая и самая правая. Рассмотрим одну из них, например самую левую; обозначим ее буквой A. Точка A — крайняя и потому не может лежать внутри отрезка, соединяющего две другие точки множества M; значит, она не принадлежит M. Полученное противоречие и доказывает, что множество M не может быть конечным.

Приведем еще одно решение этой задачи, использующее правило крайнего. Допустим снова, что множество M конечно, и рассмотрим длины отрезков, соединяющих точки из M. Этот набор чисел конечен. Применим к ней нашей правило в форме «Рассмотри наиболее!» — рассмотрим отрезок BC наиболее длинны. Ясно, что вне отрезка BC нет точки из M, иначе существовали бы отрезки с большими длинами. Таким образом, все точки множества M лежат на отрезке BC и, значит, ни B, ни C не удовлетворяют условиям, т. е. не принадлежат множеству M. Противоречие.

Вернемся теперь к задаче 1. Допустим, что множество M конечно. Снова применим правило крайнего. Для этого зафиксируем положение плоскости и рассмотрим самую левую точку множества M, а если «самых левых» точки несколько, то возьмем самую нижнюю из них. Легко убедиться, что эта точка, обозначим ее через A, не может лежать внутри отрезка, соединяющего две точки множества M. Действительно, если бы такой отрезок существовал, то один из его концов находится бы либо левее точки A, либо на одной вертикали с A, но ниже ее. Ни того, ни другого не может быть в силу выбора точки A.

Здесь, как и в задаче 2, тоже существует решение, основанное на рассмотрении попарных расстояний между точки множества M. Если множества M конечно, то и попарных расстояний конечное число, и среди

54

них, руководствуясь правилом крайнего, можно отыскать наиболее.

Пусть это будет рассмотрение между точками A и B. Но точка B является серединой неокоторого отрезка CD, концы которого по условию принадлежат множеству M (рис. 1). Тогда легко доказать, что либо AD, либо AC больше AB (сделайте это самостояльно, воспользоваться тем, что медиана m, проведенная к одной из сторон треугольника, меньше полусуммы двух других сторон).

Задача 3. На полях бесконечной шахматной доски написаны натуральные числа так, что каждое число равно среднему арифметической суммы соседних чисел — верхнего, нижнего, правого и левого. Докажите, что все числа на доске равны между собой.

Решить эту задачу нам помогет правила крайнего в форме «Рассмотри наименование!». Среди натуральных чисел, записанных на полях шахматной доски, непреемно существуют наименование. В этом нетрудно убедиться. Пусть k — одно из данных чисел. Если среди чисел, записанных на доске, имеется единица, то она и является таким наименшим числом (не существует натуральных чисел, меньше единиц). Если единица на доске нет, посмотрим, нет ли там двойки. Если есть, то она и является наименшим числом, если же нет, то позием на доске трейку, и т. д. Не более чем за k шагов мы отыщем таким образом наименование число m.

Рассмотрим поле P, на котором оно записано. Обозначим числа, записанные на соседних полях, буквами a, b, c и d. По условию m=(a+b+c+d)/4. Отсюда a+b+c+d=4m. В силу выбора числа m имеем a≥m, b≥m, c≥m, d≥m. Если хотя одно из этих неравенств было бы строит, то мы имеем a+b+c+d>4m, что противоречит условиям. Значит a=b=c=d=m.

Таким образом, если на некотором поле записано число m, то и на соседних полях записано число m. Отсюда следует, что на горизонтали, содержащей поле P, записаны одни только числа m. Но любая вертикаль пересекает эту горизонталь, т. е. она содержит число m, и, значит, все числа на вертикальных равны m. Поэтому вообществе все числа на доске равны m.

Задача 4. На квадратной шахматной доске размером n×n расставлены ладьи с соблюдением следующей условия: если неокоторое поле свободно, то общее количество ладей, стоящих на одной с этим полем горизонтали и на одной с ним вертикали, не меньше n. Докажите, что на доске находится не менее $\frac{n^2}{2}$ ладей.

Эта задача — трудная. Однако умение применение правил крайнего может существовать понск решения. Именно, правильно называть на мысль расстоять ту из линейной доски — вертикальной и горизонтальной, — на которой стоит меньше ладей. Можно случить, что есть несколько таких линей, «одинаково нагруженных» ладями. Тогда выберем любую из них. Пусть эта линей — горизонталь (в противном случае повернем доску на 90° — вертикали станут горизонтальными). Число ладей на этой горизонтали обозначим через k. Если k≥$\frac{n}{2}$, то на каждой из n горизонталей не менее $\frac{n}{2}$ ладей, а всего на доске не менее $\frac{n^2}{2}$ ладей.

Пусть теперь k<$\frac{n}{2}$. На рассматриваемой горизонтали n—k свободных полей, и каждая вертикаль, проходящая через такое свободное поле,

56

окружность, проходящая через точки A, B, C. Она — искомая, потому что любая окружность, проведенная через точки A и B и некоторую точку C’ «серпа» (рис. 2), меньше окружности, проходящей через точки A, B, C (доказите это самостояльно).

Задача 7. На плоскости проведено n прямы (n≥3). Никакие две из них не параллельны, Никакие три не пересекаются в одной точке. Эти прямы разрезают плоскость на части. Докажите, что какую бы из n прямы мы ни взяли, хотя бы одна из прямыкающих к ней частей плоскости является треугольник.

Пусть $l_1$ — одна из данных прямы. Руководствуясь правилом крайнего, из всех точек пересечения остальных прямы выберем ту, которая находится на наименьшем расстоянии от прямой $l_1$. Пусть в этой точке, обозначим ее буквой P, пересекаются прямы $l_2$ и $l_3$. Нетрудно доказать (сделайте это самостояльно), что треугольник, образуемый прямыми $l_1$, $l_2$ и $l_3$, составляет одну часть плоскости и, следовательно, удовлетворяет условиям задачи.

Задача 8. Докажите, что не существует четверки натуральных чисел x, y, z, u, удовлителью чисел $x^2+y^2=3(z^2+u^2)$.

Допустим, что такие четверки существуют. Расмотрим ту из них, для которого величины $x^2+y^2$ минимальная (если есть несколько четверок, у которых эта величина одинакова и минимальная, расмотрим одну из них, любую). Пусть это будет четверка a, b, c, d. Из уравнения $a^2+b^2=3(c^2+d^2)$ видно, что $a^2+b^2$ кратно trem. Но легко доказать, что $a^2+b^2$ делится на три тогда и только тогда, когда и a, и b делятся на три, потому что квадрат числа, не делается на три, дает при делении на три в остатке единицу.

Следовательно, $a=3m$, $b=3n$, откуда
$$a^2+b^2=9m^2+9n^2=3(c^2+d^2).$$
Сокращая последнее равенство на 3, получим:
$$c^2+d^2=3(m^2+n^2).$$
Мы нашли четверку чисел c, d, m, n, удовлителью число данному уравне-
ню, причем для этой четверки
$$c^2+d^2<a^2+b^2,$$
а это невозможно в силу выбора четверки a, b, c, d.

Задача 9. На плоскости расположены n прямы (n≥3). Любые две прямы пересекаются и через каждую точку пересечения проходят не менее трех из данных прямы. Докажите, что все прямы пересекаются в одной точке.

Пусть M — одна из точек пересечения прямы. Допустим, что она — не единственная. Тогда найдется прямая l данной системы, не проходящая через M. Множество точек пересечения прямы, не лежащих на l, непусто — оно содержит, например, точку M. Расмотите точку этого множества, близкой к l (а если имеется несколько точек, находящихся на минимальном расстоянии от l, то выберете одну из них, любую), и получите противоречие.

Вот еще одна аналогичная задача.

Задача 10. На плоскости заданы n точек (n≥3). Известно, что на всякой прямой, проходящей через 2 данные точки, расположена по крайне мере еще одна из данных точек. Докажите, что тогда все n точек лежат на одной прямой.

Развитием правилка крайнего является «правило расположения», которое звучит так: «Расположение элементы исследуемого множества в каком-нибудь порядке: возвращения, убывания или в каком-нибудь другом!».

Задача 11. Семь грибников собрали вместе 100 грибов, причем никакие две не собрали одинаково числа грибов. Докажите, что есть грибников, собраших вместе не менее 50 грибов.

Составим «таблицу пересечения», помещив в ней грибников в порядке убывания числа собраных имги грибов. Ясно, что рассматривать надо грибников, занявших первые 3 места — они собрали грибов больше, чем любая другая тройка. Попробуем доказать, что они собрали не менее 50 грибов. Если грибник, занявший 3-е место, собрал 16 грибов