Квант 1988, №10 · Страницы

Кваним
Научно-популярный
физико-математический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Как изменют
температуру Солнца?

1988

1

В номере:

2 Р. Пайерлс. Ранние годы квантовой механики
10 С. Л. Табачников. Геометрия уравнения
17 Серрей Львович Соболев
18 А. В. Балко. Химические разнообразие небесных тел

24 Задачник «Кванта»
Задачи M1126 — M1130, Ф1138 — Ф1142
Problems M1126 — M1130, P1138 — P1142
Решения задач M1106 — M1109, Ф1118 — Ф1122

32 Калейдоскоп «Кванта»

«Квант» для младших школьников
Задачи
M. Д. Коваленко. Градиусик для Солнца

Школа в «Кванте»
Matematika 9, 10:
А. Д. Бендукидзе. Ферма ищет экстремумы…
Избранные школьные задачи

Практикум абитриента
C. А. Гордюнин, П. Л. Горьков. Преломление света

Информация
III Научно-техническая конференция школьников в МФТИ
Весоюзный конкурс «Юный программист»

Олимпiadы
XIV Всероссийская олимпiadа школьников

Ответы, указания, решения
Нам пишут
Смесь (16, 48)

1 Наша обложка
Чтобы увидеть Солнце таким сказочно красивым, достаточно подняться на … несколько сот километров над поверхностью Земли. Оттуда же можно и изменить температуру Солнца. О том, какими приборами и как это делают, читайте в статье М. Д. Коваленко «Градиусик для Солнца».

2 Репродукция картины советского живописца К. С. Петрова-Водкина (1878—1939) «Утренний натюрорт».
Не права ли, она как будто специально иллюстрирует основные законы геометрической оптики? Один из них подробно обсуждается в статье С. А. Гордюнина и П. Л. Горькова «Преломление света».

3 Шахматная страница.
4 Головоломка «Минус-кубик».

© Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1988

2

РАННИЕ ГОДЫ
КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ

Имя Рудольфа Пайерла хорошо известно
школьником 60-х годов. Можко утверждать,
и это не будет преувелищением, что его книга
«Законы природы» приведена многох из них
в физике.
Для профессionalов имя профессора Пайерла,
члена Лондонского корпельского общества,
связано с давно ставшими классическими
результатами в области теории твердого
теля, математической физики, квантовой механики,
дерной физики. Здесь трудно более подробно перечислять весь спектр проблем,
которые он занимается в течение своей
долгой научной деятельности.
Уроженey Берлина, большую часть своей
жизни Рудольф Пайерлс провел в Англили.
Работал в университетах Манчестера, Кембриджа, Бирмингема, Оксфорда. Во время второй мировой войныVEL исследовался в области atomной энергии в Лос-Аламосе (США).
Осенью прошло года Рудольф Пайерлс nobiałал в Москве в качестве гостя Академии наук СССР. Большое внимание научной общественности привелка его лекция, посыченная история создания квантовой механики и ее творцам. Зал Институт физических проблем был заполнен физиками различных студентов до розвесков Пайерла. За свою долгу жизнь (сейчас ему 81 год) ср Рудольф Пайерлс встречался и работал edва ли не со всеми выданцимся физики XX века. О них — своих учетелях и коллерах — он и рассказал в этой лекции. Это был рассказ оцевиду, пусты белый, но насыщенный живыми деталями, метками доброжелательными характеристиками и тонким номером. Ученые,цы имена уже давно вошли в учебники и энциклопедии, представили перед случаем живыми людьми, каждый со своим характерным особенностями и приучами. Это dado возможность почувствовать атмосферу того замечательного периода, когда буквально в считанные годы был заложен фундамент современной физики.
Свою лекцию P. Пайерлс читал на русском языке, и особенности его стиля мы попытались сохранить в литературной записи лекции, сделанной Н. Н. Артугоня.

P. ПАЙЕРЛС

Может показаться нескромным, что я научу с рассказа о себе. Общино так не делают, но ребьет о моих личных впечатлениях, и потому я должен сначала представиться. В университет я поступил в 1925 году. Сейчас мне хотелось бы иметь возможностьсказать, что я выбрал физик, потому что она была интересным предметом и буро развивалась. Однако это было бы нечесто. На самом деле я хотел быть инженером. То было время, когда развивалась авнация, новые автоматики, и было естественным, что мальчик хочет стать инженером. Но мне отчет стать инженером. Но мне отчет-то сказали, что на это я не годусь, что хорошо инженером не буду. Поэтому я выбрал, как мне казалось, самое близкое к своей мечте — физике.

Я поступил в университет в Берлине — городе, где был мой дом. Родители считали, что я слишком молод, чтобы узжать далеко. Там я посещал лекции Макса Планка. Это были самые скверные лекции, которые я когда-либо службы. Он читал из своей

3

книги по теоретической физике буквально. Если у вас был экземпляр, то вы могли проследить текст по строкам. Планк был очень знаменит, но мы тогда не знали еще, чем именно. Впервые новые слова простоянию Планка, атом Бора и всякие такие вещи я условия на лекциях Вальтера Боте (потом он стал ядерным физиком). Там мне стало ясно, что в физике проходит что-то новое, весма интерсное.

Через год я решил, что стал уже достагоно взрослом, чтобы покинуть Берлин. Я переехал в Мюнхен, где тогда работал самый лучший учитель по теоретической физике — Арнольд Зоммерфельд. Для теоретической физики это было замечательное время. Создавалась квантовая механика, и сейчас очень трудно представить, наколько быстро все произошло — фактически за два года.

Именно в этот период я поступил в университет и уже через год мог читать работы по квантовой механике. Но к ее формированию я опоздал. Если бы можно было повторить жизнь, то я хотел бы родиться на год или на два раныше. Феликс Блох потом мне объяснил, что не всякий человек способен создавать новые теории и что мы появились как раз во время, чтобы их применять. По-моеу, он был прав. Это было самоое подходящее время, чтобы взять какую-нибудь проблему, при решении которого страная физика приводила к противоречям, и применить к ней новые методы.

Итак, я приехал к Зоммерфельду. Зоммерфельд был маленького роста, но имел огромные услуги. Мы иногда называли его «верхняя половина и немного еще». Зоммерфельд вышлядел довольно важным и у него было значение Geheimrat — тайный советник. Это можно сравнить с современным значением академика, и он любил, когда его так называл. Один американский студент сначала этого не знал и обращался к Зоммерфельду просто «герр профессор». Через недель или две ему все объяснили, и при очередной встрече он уже обратился к Зоммерфельду

Зоммерфельд (слева) и Паули. Паули выглядит очень великим и скромным (облично это было не так!). Таким он был всегда со своим бышим профессором. Сам Паули это называл «школьным комплектом».

4

таллов и в вычислениях на доске проустил множество 2. Мы это заметили, нам казалось это не очень важным. Наконец, он подошел к закону Видемана — Франца, численный коэффициент в котором обещавен. Тут-то он и увидел, что получается неправильный результат. Мы же с интересом наблюдали, что произойдет. Заметив ошибку, Зоммерфельд не остановился произнесен, что теперь надо учеть как электроны, движущие слева направо, так и электроны, движущие справа налево, — и поставил в нужном месте недостающий коэффициент 2.

…Зоммерфельд имел в горах маленькую хижину для отдыха, куда он приглашал иногда аспирантов и преподавателей. Там он дал мне возможность выступить на моем пером семинаре. Как раз появились работы Дирака и Юрдана по теории преобразования. Зоммерфельд сказал: «Мы еще не успели понять эти работы, и может быть, вы сумеете их нам объяснить». Это было все таки тяжелой задачей для студента, который провел в университете всего года. Однако я с удовлетворением за это взялася. Не знаю, чему научились другие участники семинара, но сам я научился многому научиться. Мы с ним очень подготовились. Он до сих пор старше меня на один год. Сейчас это не так уж важно, но я все еще могу многому у него научиться.

Я провел в Мюнхене полтора года и с удовлетворением остался бы еще, но Зоммерфельда пригласили в Америку на полгода-год. Я же по совету Зоммерфельда уехал в Лейпциг работать у Гейзенберга.

Гейзенберг был совершенно не пожжен на Зоммерфельда. Никакого Geheimrat там и в помине не было. На вид, во всяком случае, он был очень скромным человеком. Типично то, что раз в неделю страивался семинар, а перед семинаром всегда был чай. Сам профессор шеел в кондитерскую и выбирал подходящие проежные. По крайней мере я запомнил это именно так. Правда, впоследствии один наш коллега, бывший тогда ассистентом у Гейзенберга, уверял меня, что ходить за проежными было его задачей. В этом есть смысл, так как он был родом из Вены и знал только в таких вещи. Наверное, я помню тот период, когда его не было в Лейпците.

Гейзенберг очень любил игра в пинг-понг и был очень хорошо игром. В свободное время мы все играли. Один раз приехал китайский физик, который смог побить Гейзенберг. Это стало сенсцией. Я потом слышал, что когда Гейзенберг ехал на парохде из Америки в Японию, то всего дорогу упражнялся, чтобы больше такая ужасная весть не повторилась.

Гейзенберг не любил чистую математку и рассматривал ее только как необходимый инструмент. Его метод состоял в следующем. Размышляя над

5

проблемой, он сначала угадывал, каким будет решение, а потом подбирал математический метод, который именно это решение дает. Хороший метод, если у вас такая же мощная интуция, как у Гейзенберга. Для других такой подход немного опасен.

В Лейпциге мне удалось написать свою первый работу. Она касалась так называемого аномального эфекта Холла.

Когда по кусочку металла идет ток и все это помещается в магнитное поле, то появляется поперечное напряжение. Ясно, что так проискит из-за отклонения электронов в магнитном поле. Но в некоторых металлах эфект имеет противоположный знак. Сейчас мы обьясняем это тем, что в таких веществ ток переносится не электронами, а дырками. Но в то время ясности в этом вопросе не было, и Гейзенберг мне просто сказал, что Блох построил электронную теорию металлов, и не мог бы я ее применить к этой проблеме. К моему большому удовлетворению оказалось, что все это действительно можно было сделать, я и решил поставленную задачу.

В Лейпциге я провел год. Гейзенберг пригласили в Америку, и он взял отпуск. По его совету я переехал в Цюрих, чтобы работать у Паули. У него я и написал свою диссертацию. Должен сказать, что я очень благодарен этой системе отпусков и приглашений в Америку, благодаря который у меня получалась такая замечательная комбинация учителей.

Как известно, Паули был знаменит еще и тем, что делал всем очень нежливые замечания. Один из самых острых выпадов был сделан Паули в разговоре с Эрнстом Штиокельберром. Тот сказал: «Паули, не говорите так быстро, я не могу так быстро думать, как вы». Паули ответил: «Это ничего, что вы думаете медленно. Я возражаю, когда вы публикуете быстрее, чем можете думать».

Кто-то показал ему работу молодого теоретика, зная, что работа не слишком хорошего, но желая все-tаки узнать мне Паули; тот проечел работу и сказал грустно: «Это даже не неверно».

Цюрих, 1930 год. Ландay (слева) по своему общковению делал смешные гримасы. В середине В. А. Амбарцумян, справа — М. П. Бронштейн (?).

6

У Паули была такая привычка: ходить вечером в кино, на концерт или что-нибудь такое. Возвращался он часов в 11 и сразу же садился работать. Работал Паули довольно долго и потому поздно встал. Однажды его пригласили на заседание в 9 часов утра, но он отказался, сказал: «Нет, нет, так долго без сна я не могу оставаться».
Как-то раз Паули был в чужом городе и спросил местного физика, как ему найти кинотеатр. Тот обьясил и на следующий день спросил у Паули, удалось ли ему добраться. Паули ответил: «Вы выражаете вполне понятно, если не говорите о физике».
Я провел у Паули три года, и мне не раз приходилось выслушивать подобные вещи. Но это было уже не очень тяжело. Никто долго на Паulin не обнаружился, верятоно оттого, что он так же критически относился к самому себе, к своим собственным идеям. Один раз он объясил мне, почему он это делает. По его мнению, есть настоящее чуствительные люди, с которым можно жить, только наступив достагоное число раз на их «большую мощь». Правда, я не думаю, чтобы это было настоящей причиной.
…У нас в Цюрихе два раза Ландду. Первый раз он приехал в января 30-го года. В то время не было дипломатических отношений между Швейцарийем и СССР. Ему дали разрешение на две недели, потому продолжили срок еще на две недели. Все очень старались этого добиться. Но в конце концов он вынужден был уехать. Тогда он пошутил: «Ленин был в Швейцарии несколько лет, но революция здесь не началась. Очевидно, они богатся, что это смогу сделать я». Через год он приехал со стипендей Рок-феллера, и тогда уже никаких проблем не было: он мог оставаться столько, сколько хотел. Мы работали вместе. Ландду был еще очень молодым, но уже очень тщательно физиком. Когда появлялась какая-нибудь работа, которая его интересовала, то он ее не читал, а сразу начиная вычислять сам. И если он согласился с тем, что там написано, то считал работу хорошо. Он все любил систематировать. Например, он разделил физков на разные классы: в первый класс у него попали Бор, Зоммерфельд; Эйнштейн был в специальном классе, сам по себе. Себя же Ландду скромно поместил во второй класс. Так же «систематически» он относился и к другим вопросам жизни.
Ландду очень не любил бороду, говорил, что это — пережиток Викторианских времен, особенно у молодых людей. Среди нас был один физик, который не носил бороды, но имел очень длинные бакенбарды. Ландду это тоже считал буржуазным и, позвонив его жене, спросил: «Когда вы убедите своего мужа сбрить эти смешные бакенбарды?» Он утверждал, что на Западе, в Цюрихе, больше бород, чем в России, в Ленинграде. Мы заключили пари и сосчитали на улице, сколько бород мы встретили. Потом, когда я приехал в Ленинград, мы провели такой же подсчет и нашли, что в Ленинграде бород оказалось больше.

7

Я выигral пари, а Ланду пытался объяснить это тем, что шла коллективизация и много крестьян переехало в город.

Ланду был уверен, что только молодые теоретики могут сделать полезные вещи. Правда, позже он изменил этой идее. Как-то мы разговаривали, и выплыло имя одного теоретика, о котором он не слышал. Узнав, что ему 27 лет, Ланду сказал: «Такой молодой и уже такой неизвестный!»

Кроме Ланду, в Цюрихе были другие люди, включая Георгия Гамова. Гамов тогда уже был заменит, он тоже был большим комористом и любил всяческие шутки. Как-то мы пошли в горы и попали на вершину пика с довольно интересным названием. Там Гамов вытащил из кармана листок бумаги — это было письмо в журнал «Nature» о какой-то ядерной реакции, которое он несовсем закончил. Гамов сидел на вершине и кончал свое.

Нашсав последние строки, он поставил название пика, где они были написаны, и пользовали свои спутников за предоставленную возможность там работать.

…В те времена, точно так же, как и сейчас, физики любили путешествовать, единъ на конференции,ССССИ. Дорога тогда, правда, не оплачиваясь, поэтому зачастую приходилось сидеть всю ночь в углу железнодорожного вагона третього класса. Но когда я получил приглашение на съезд Физического общества в Одесесе, то по крайней мере внутри страны единъ с большим комфортом, как гость. Меня позвал туда Яков Ильич Френкель, который прочел мои работы.

Одним из любимых мест для поездок был Коненгаген, где работал Нильс Бор. Он был замечательным человеком. Бор ненавидел обжать людей, но в то же время не мог

8

позвольить, чтобы было сказано что-либо, противоречащее истине. И из этих двух качеств получалось страное сочетание. Так, один раз Бор сказал: «Я говорю это не для критики, но это — полная erwunda». Еще как-то он сказал, что ясность и истина — дополнительные понятия, и действительное в своих работах он скорее приблизился к границам истинны.

Процесс написания работ у Бора был довольно сложным. Начинался он с того, что Бор диктовал, а кто-то из гости должны был все записьать. Потом начинаясь правка, изменялись выражения, чтобы все написанное было безусловно верным. Измененный было много, страницы переписывались, потом перепечатывались на машине, затем снова правились и т. д. Наконец, все посылались в журнал датской Академии, где работы Бора, разумется, очень ценились. После чего начинаясь работа над корректурами, число которых доходило иогда до 16.

Очевидно, так Бор относился не только к словам. Как-то он пришел посмотреть новое здание, которое строилось для института. Мастер, который его хорошо знал, сказал: «Профессор Бор, вы видите эту степну? Если вы хотите ее опять передвинуть, то решайте скорее, так как через три часа бетон заставнет».

Как и полагается профессор, Бор был довольно рассеянным. Я помню, что во время разговора он все время курил сигары. Курит — и вдруг спрашивает, есть ли спички. Ему дают спички. Он пытается zajечь сигар, не прерывая разговора, а это довольно трудно. Потом он клади спички в карман, а через пять минут снова задавал тот же вопрос, и все начиnalось сначала. Я долго хранили законченный кусочек мела: он как-то держал сигар и мел в одной руке.

…В это время начились непряятности в Германии, и в Копенгагене велись разговоры не только о физике,

9

но и о том, как найти работу для ученых из Германии и Австрии. Для ученых это вообщество неелегкое время. Был экономический кризис, университеты не распирались, и место освобождалось, когда кто-то уходил в отставку или умирал. Докторская диссертация совсем не гарантировала места для научных исследований. У меня была茎пендия Рокфелера на год, и я мог, узжая из Цорixa, половину времени провести в Риме, а половину — в Кембридже. До меня так уже сделал Ханс Бете, который провел зиму в Кембридже, а лето — в Риме. Я поступил наоборот, и до сих пор считало, что нашел лучшее решение.

В Риме мне довелось встретиться с Энрико Ферми, который тоже был замечательным физиком. Когда его спрашивали о какой-то проблеме, то почти всегда он доставал с полки книгу, где эта проблема уже была им решена. В основном они были простые — Ферми не любил сложных проблем. Но тут встает вопрос: что называть простыми проблеами? Не становились ли они простыми уже после того, как Ферми их решил?

Самое большое впечатление от Ферми создалось у меня позже, уже в Лос-Аламсе, во время испитанияatomной бомбы. Всем, конечно, хотелось узнать, какова мощность бомбы. Для ее определения была масса инструментов, но на это требовалось какое-то время. А Ферми приготовил маленькие кусочки бумаги, и, когда к нам пришла взрывная волна (мы находились примерно в 15 километрах от места взрыва), он отпустил эти кусочки. По расстоянию, на которое они улетели, он сумел довольно быстро определить мощность взрыва. Я не знаю, что меня больше всего тогда поразило: идея метода или то, что он точно определил момент, когда надо отпускать бумажки. Уверен, что я на его месте или отпускил бы кусочки слишком рано, или забил бы отпускить их вообще.

После Рима, как я уже говорил, мы сженой поехали в Кембридж, где самым интересным был контакт с Полем Дираком. Дирак был очень

10

ГЕОМЕТРИЯ УРАВНЕНИЙ

Кандидат физико-математических наук
С. Л. ТАВАЧНИКОВ

Читатель, вероятно, видел забавные картины, глаза на которые трудно решить, что же именно на них изображено. Вот перед вам база причудливой формы; вдруг вместо вззывы вы видите два профиля, образенные друг к другу… В математике тоже порой удается взглянуть по-новому на привчную вешь и этот новый взгляд часто оказывается плодотворным.

Уравнение $x^2+px+q=0$

Что вы видите, глаза на равенство $x^2+px+q=0$? Ну конечно, квадратное уравнение с параметрами $p$ и $q$, т. е. семейство квадратных уравнений, по одному для каждой пары значений $p$ и $q$. Посмотрим на уравнение $x^2+px+q=0$ иначе — как на линейное относительное переменных $p$ и $q$; $x$ в таком случае будет параметром. Например, при $x=-1$ получится уравнение $1-p+q=0$, а при $x=2$ — уравнение $4+2p+q=0$. Вообще, при каждом $x$ получится свое линейное уравнение с переменными $p$ и $q$. Линейное уравнение задает на плоскости с координатами $(p, q)$ прямую. Следовательно, уравнение $x^2+px+q=0$ задает на $(p, q)$-плоскости семейство прямых — по одному для каждой значения $x$.

Нарисуем несколько прямых этого семейства — рисунок 1. Глядя на этот рисунок, трудно удержаться от соблазна проверки кривую, которая касается всех изображенных прямых. Такая кривая, похожая на парабoly, изображена на рисунке 2. Эта кривая называется ozибающей данного семейства прямых. Что изображая в данном случае действительно будет парабoly, мы видим чуть позже. А пока будем рассматривать семейство прямых $x^2+px+q=0$ на $(p, q)$-плоскости как семейство касательных к этой изображей.

Кстати, существование огибающей не является специфическим свойством семейства прямых, изображенных на рисунке 1. Для любого однопараметрического семейства прямых общего положения, т. е. такого семейства, в котором прямые с близкими значениями параметра не параллельны и не проходят по три через одну точку, можно построить огибающую. Более того, огибающая существует не только у семейства прямых, но и у семейства кривых на плоскости.

На рисунке 1 на каждой прямой написан ее «номер», т. е. то значение $x$, при котором уравнение $x^2+px+q=0$ задает именно эту прямую. Удобнее написать номер прямой на огибающей в точке ее касания с этой прямой. Тогда на огибающей появится шкаfa, «нумерующая» прямые нашего семейства (рис. 2).

Рисунок 2 можно использовать, как «машину» для решения квадратного уравнения $x^2+px+q=0$: если заданы значения $p$ и $q$, нужно проверсти через точку с координатами $(p, q)$ касательную к огибающей и прочитать значение корня уравнения $x^2+px+q=0$ на шкафе в точке касания. В частности, число корней для данных $p$ и $q$ равно числу касательных, которые можно проверти из точки $(p, q)$ к огибающей (рис. 3).

Ясно, что если точка $(p, q)$ лежит под огибающей, то таких касательных две; а если выше, то ни одной. А как обстоит дело с точками самой огибающей? Через эти точки можно проверить только одну касательную. Поэтому соответствующие квадратные уравнения имеют по одному (кратному) корню.

Итак, огибающая нашей семейства прямых — это множество таких точек $(p, q)$, что уравнение $x^2+px+q=0$ имеет кратный корень. Пора вспомнить, что мы умеем решать квадрат-

ные уравнения; в частности, знаем, что уравнения $x^2+px+q=0$ кратный корень бывают в случае, когда $p^2=4q$. Это уравнение квадратичной параболи и задает отибающий. Поэтому кривая на рисунке 2 — парабола. Окончательный итог исследования квадратного уравнения представлен на рисунке 4.

Упражнения

1. Пусть $x$ — число, написанное в некоторой точке шкалы на отибающей, изображенной на рисунке 2. Чему равна абсцисса этой точки?

2. Исследуйте геометрические число решения уравнения $x^2+px+q=0$ на отрезке [-1; 1]. Подсказка: проведите касательные к отибающей через точки -1 и 1.

Уравнение $x^3+px+q=0$

Учитатель, возможно, возникло вопрос: «А стоит ли огород городить? Ведь и так ясно, что число корней квадратного уравнения зависит от знака дискриминента!». Дело в том, что наш метод позволяет исследовать кубическое уравнение, решить которое гораздо труднее. Более того, он годится для определения числа корней и таких уравнений, которые вообще невозможно решить в радикалах. (Попутно заметим, что задача о числе корней уравнения, в отличие от задачи об их вычислении, всегда имеет решение: существует алгоритм, который по коэффициентам уравнения определяет число его корней.)

Итак, рассмотрим уравнение $x^3+px+q=0$. Оно задает на $(p, q)$-плоскости некоторых семейств примых. На рисунке 5 эти прямые построены для $x=0, \pm 1/3, \pm 1/2, \pm 1, \pm 3/2$. Огибающая этого семейства примых изображена на рисунке 6. Как видите, для кубического уравнения отибающая получается не гладкой кривой, а кривой с острием, или «клювом». В остальном же рисунок 6 аналогичен рисунку 2 (как и выше, на отибающей шкала значений).

Пусть заданы значения $p$ и $q$. Как узнать, сколько решений имеет уравнение $x^3+px+q=0$? Нужно проведити через точки $(p, q)$ касательные к отибающей; их число равно

12

числу корней уравнения, а номера этих прямых равны корням. Следовательно, рисунок 6 — это машина для решения кубического уравнения.

Рисунок 7 показывает, как зависит число решений от положения точки $(p, q)$. Мы видим, что в любом случае хотя бы одна касательная к отбакойной найдет, поэтому

Кубическое уравнение имеет хотя бы один корень.

Окончательный итог исследования представлен на рисунке 8. На этом можно было бы поставить точку в исследовании кубического уравнения, если бы не одно обстоятельство: мы так и не знаем, каким уравнением задается кривая на рисунках 6—8.

Упражнения
3. Докажите, что любой многочлен нечетной степени имеет корень. Подсказка: найдите знак многочлена при $x=-\infty$ и $x=+\infty$.
4. Исследуйте геометрические число корней многочлена $x^3+px+q$ на отрезке $[-1; +1]$.

Отступление о кратных корнях

Кривая, изображенная на рисунках 6—8, состоит из таких точек $(p, q)$, что уравнение $x^3+px+q=0$ имеет кратный корень. При таких же $p$ и $q$ это проискодит?

Если число $t$ — корень многочлена $f(x)$, то $f(x)$ делится на $x-t$. Если число $t$ — кратный корень, то $f(x)$ делится на $(x-t)^2$. Например, 1 — кратный корень многочлена $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$.

Запишем равенство $f(x)=(x-t)^2g(x)$ и вычислим производую:

$$f'(x)=2(x-t)g(x)+(x-t)^2g'(x).$$

Если в это равенство подставить $x=t$, то права часть обратится в нуль. Значит, $f'(t)=0$. Следовательно,

Число $t$ является кратным корнем многочлена тогда и только тогда, когда $t$ является общим корнем этого многочлена и его производую.

(Честно говоря, мы доказали только положину этой теоремы: если $t$ — кратный корень, то $f'(t)=0$. По-

13

пробуйте сами доказать вторую половину теоремы.)

Приименим признак кратного корня к многочлену $x^3+px+q$. Если число $t$ — кратный корень, то $t^3+pt+q=0$ и $3t^2+p=0$. Выражая $p$ из второго, а $q$ — из первого уравнения, мы получим

$$p=-3t^2, q=2t^3 \quad (t \text{ — любое число}).$$

Эти уравнения задают огибающего на рисунках 6—8 параметрических: при изменении $t$ от $-\infty$ до $+\infty$ точка $(-3t^2, 2t^3)$ пробегает всю кривую с клювом. Если вам приятнее задать кривую одним уравнением, то надо избавиться от $t$ (возвода первого уравнения в куб, а второе — в квадрат):

$$4p^3+27q^2=0.$$

Это уравнение тоже задает нашу кривую с клювом. Из уравнения видно, что $q$ пропорционально $p^{3/2}$. Поэтому кривая называется полукубической параболой (если $q \sim p^3$, то парабола кубическая; у нас показатель степени вдвое меньше, поэтому парабола полукубическая).

Выражение $4p^3+27q^2$ называется дискриминатом кубического уравнения. От знака дискримината и зависит число корней уравнения.

Уражнение 5. Сколько корней у многочлена $x^3-10x+12$?

6. Исследуйте геометрические зависимости числа корней многочлена $x^5+px^2+q$ от его коэффициентов.

7. Доказите, что уравнение $x^{1988}+px+q=0$ имеет не больше двух, а уравнение $x^{1989}+px+q=0$ не больше трех корней.

Двойственные кривые

Рассмотрим уравнение

$$l+kp+q=0. \quad (*)$$

Для каждой пары значений $k$ и $l$ это уравнение задает невертикальное прямую на плоскости с координатами $p$ и $q$, причем таким образом получаются все невертикальные прямые. Значит, множество невертикальных прямых $(p, q)$-плоскости можно отождествить с множество пар $(k, l)$, т. е. с точки $(k, l)$-плоскости. Посмотрим на уравнение (*) еще раз. Для каждой пары значений $p$ и $q$ это уравнение задает невертикальное прямую на $(k, l)$-плоскости. Значит, точки $(p, q)$-плоскости можно отождествить с невертикальным прямым $(k, l)$-плоскости.

Итак, у нас есть две плоскости — с координатами $(p, q)$ и с координатами $(k, l)$. Точки каждой из них можно воспринять, как невертикальные прямые другой. Эти плоскости называются двойственными. На рисунке мы будем изображать $(p, q)$-плоскость с ним цветом, а двойственную $(k, l)$-плоскость — красным. Точки на синех плоскости обозначаются заглавными буквами, прямые — строчными буквами. На красной плоскости все наборот: прямые, соответствующие снимом точкам, обозначаются теми же заглавными буквами, а точки, соответствующие снимом прямым, — теми же строчными буквами. Посмотрите на рисунок 9. На нем изображены простые фигуры, состоящие из точки и прямых, и соответствующие им фигуры на двойственной плоскости.

Уражнение 8. Какие фигуры двойственны двум последним фигурам на рисунке 9?

Пусть на синех плоскости нарисована кривая $\gamma$. Хорошо бы определить соответствующее ей двойственную кривой на красной плоскости. Точки красной плоскости — это прямые сини; поэтому нужно связать с кривой $\gamma$ семейство прямых сини плоскости. Вы, наверное, уже договорались, как это сделать: с кривой $\gamma$ нужно связать семейство ее касательных прямых. Итак, определение:

Пусть $\gamma$ — неокоторая кривая. Двойственной кривой (на двойственной плоскости) называется кривая, состоящая из всех касательных прямых кривой $\gamma$.

Двойственная кривая обозначает через $\gamma^*$.

Конечно, в этом определении предполагается, что $\gamma$ не имеет вертикальных касательных.

Определение данного, но как им пользоваться — неясно. Например, какие кривы двойственны квадратичной и кубической параболам? Можно было бы, конечно, задать параbolы

14

уравеняями, выписать уравнения касательных, найти их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $l$ и построить соответствующее кривые на $(k, l)$-плоскости. Однако такой путь мало прилекает. Попробуем разобраться в поведении двойственных кривых без вычислений.

Пусть кривая $\gamma$ плавано поворачивается в одну сторону (см. рис. 10,a). Касательная к $\gamma$ тоже поворачивается, т. е. двойственная кривая движется в одном направлении. Но вот кривая $\gamma$ начинает поворачивать в другую сторону — в точке возникает перезуб. Что происходит с касательной? До момента перегиба касательная двигалась в одну сторону, а после перегиба — в другую. Значит, двойственная кривая $\gamma^*$ меняет в момент перегиба направление движения на противоположное (см. рис. 10,б). На двойственной кривой возникает острые! Эти сообщения уже достаточно, чтобы избежать кривые, двойственные квадратичной и кубического параболам (рис. 11).

Уражнения
9. Как отразится на двойственной кривой наличее у кривой $\gamma$ двойной касательной — рисунок 12,a?
10. Нарисуйте кривую, двойственную кривой на рисунке 12,б.

Двойственные плоскости совершено равноправны — каждая из них отражаетляется с множеством невертикальных прямых другой. А как обстоит дело с двойственными кривыми? Верно ли, что если построить по синей кривой $\gamma$ красную кривой $\gamma^*$, а затем по красной кривой $\gamma^*$ — двойственную ей синюю кривой $(\gamma^*)^*$, то получится исходная кривая $\gamma$? Илтуция подсказывает утвердительный ответ; чтобы обосновать его, разберемся, как устроена кривая $(\gamma^*)^*$.

Рассмотрим кривую $\gamma^*$. Что происходит двойственную ей кривую, нужно рассмотреть касательные к $\gamma^*$. Вместо касательной мы возьмем на $\gamma^*$ две близкие точки $l$ и $m$ и проведем через них прямую $A$ — см. красную часть рисунка 13. Какая картина возникает на синей плоскости? Точкам $l$ и $m$ отвечают прямые $l$

16

Вниманию наших читателей!

Магазин № 1 «Академика» г. Уфы высылает наложенным платежом книги издательства «Нука»:
Батурин Ю. М. Право и политка в комьютерном кругле.—1987.—40 к.
Гинзбург В. Л. О физике и астрофизике. Статы и выступления. (Нука. Мировоззрения. Жизнь).—1985.—1 р. 80 к.
Капица П. Л. Эксперимент. Теория. Практика. Статы и выступления.

Изд. 4-e, испр. и доп. (Нука. Мировоззрения. Жизнь).—1987.—2 р.
Клейн Ф. Элементная математика с точки зрения высшей: В 2-х т. Пер. с нем. Т. 1. Арифметика. Алгебра. Анализ.—1987.—1 р. 40 к.—Т. 2. Геометрия.—1987.—1 р. 40 к.
Климшин И. А. Открытие Вселенной.—1987.—1 р. 50 к.
Козел С. М., Рашба Э. И., Славатинский С. А. Сборник задач по физике. Учебное пособие для взов. Изд. 2-e, переработ. и доп.—1987.—75 к.
Марочник Л. С. Свидание с кометой. (Библиотека «Квант»).—1985.—35 к.
Рыбасенko В. Д., Рыбасенko И. Д. Элементные функции. Формулы, таблицы, графики.—1987.—2 р.
Силин А. А. Трене и мы. (Библиотека «Квант»).—1987.—35 к.
Заказы на книги направляйте по адресу: 450059 г. Уфа, ул. P. Эорде, 10, магазин «Академика».

ра x найти точку пересечения трех плоскостей нашего семейства, которое отвечают трех значениями x. Тогда каждому x будет соответствовать точке в пространстве; совокупность этих точек и образует нужную пространственную кривую.

Итак, описая поверхность семейства плоскостей $x^4 + px^2 + qx + r = 0$ состоит из прямых, которые касаются кривой в пространстве. Такие развертывающие поверхности — главные действияющие лица называемой выше статьи Д. Б. Фукса. Построенная нами поверхность называется ласточкин хвост. В статьи Д. Б. Фукса эта поверхность изображена так, как ее принято рисовать в нашей время; на рисунке 15, заимствованном из книги Ф. Клейна «Элементная математика с точки зрения высшей», она изображена в другом ракурсе. Посмотрите на рисунок 15 и сравните его с рисунком ласточкиного хвоста из статьи «Геометрия листа бумаги». Узнаете ли вы на нашей картике ласточкин хвост?

17

Сергей Львович Соболев

(к 80-летию со дня рождения)

6-го октября 1988 года исполнилось 80 лет со дня рождения выданной цергей Львовича Соболева.

Работы С. Л. Соболева оказали существенное влияние на развитие математики XX века, им был внесенfundamentalный вклад в теорию уравнения с частными произвольными, функциональный анализ, теорию функций, математической физику, вычислительной математику.

Самостояльно основив программу средней школы (Сергей Львович учился в школе всего один год — в последнем классе), Соболев в 1925 году поступил на физиomatематический факультет Ленинградского университета. Его математическое daraufие проявилось необычайно ранно. Достаточно сказать, что в 25 лет он был избран членомкорреспондентом Академии наук СССР, а в 31 год — академиком.

Годы после окончания университета были для Сергей Львовича очень плодотворными. Совместно с В. И. Смирновым им был создан ставший классический метод решения волнового уравнения, описывающего колебания в упругой среде. Изучение «соболевских пространств» функций, введенных С. Л. Соболевым в 30-е годы, составляет сейчас целый раздел функционального анализа. Особенно важным оказалось предложенное Сергем Львовичем понятие обобщенной функции; развитое позднее в работах французского математика Лорана Шварца и советского математика академика И. М. Гельфанда, оно стало одним из центральных понятий математики.

Переехав в Москву, С. Л. Соболев вскоре начал преподавать в Московском университете, в котором он проработал более двадцати лет. С 1952 по 1957 год он руководил первой в нашей стране кафедрой вычислительной математики. Вклад С. Л. Соболев в эту науку отражен в его монографии «Введение в теорию кубатриных формул».

В 1957 году С. Л. Соболев переехал в Новосибирск, став одним из организаторов Сибирского отделения АН СССР. С 1960 по 1978 год он также был профессором Новосибирского университета.

У С. Л. Соболев много учеников и последователей. Он избран членом французской Академии наук, Национальной академии дел Линченки в Риме, а также многих других научных обществ. Он — Председатель Национального комитета советских математиков.

Редакция журнала «Квант» сердечно поздравляет члена редакционного совета «Кванта» Сергей Львовича Соболева с юбилеем и желает ему здоровья и новых творческих успехов.

19

кинетическая энергия $E_0 \sim mv^2$ метерика? Во-первых, на разрушение, дробление горных пород в объеме кратера и на разрушение (вплоть до испарения) самого метерика. Сразу скажем, что при сверхзвуковом ударре размер кратера оказывается значительное большие размер метерика, поэтому затраты энергии практические будут связаны только с образованным кратера. Во-вторых, часть начальной энергии переходит в кинетическую энергию выбрасываемых из кратера горных пород. В-третьих, есть еще расход на энергию звуковых волн, уходящих в глубь Земли и в атмосферу. Есть, наконец, тепловая энергия, уходящая на нагревание, а при мощных ударрах — на частиное плавание и даже испарение горных пород. Однако учитывать ее как независящее слагаемое при подсчете энергетического баланса было бы неверно. Ведь вся (пraktические все) энергия метерика уходит в конечном счете именно на нагревание горных пород,ройдя перед этим через другие, механические, формы. (Оговорка «пraktические» связана с изменениями в результате стольновения скорости движения всей Земли и скорости ее вращения, которые ничтожны даже при стольновении Земли с большим астрономом.)

Оценим теперь эти энергетические затраты по порядку величины.

Расход энергии $E_1$ на разрушение пород пропорционален объему кратера, т. е. $E_1 \sim R^3$. На что следует его (объем) умножить, чтобы получить разрушения? Нетрудно понять, что энергия разрушения породы есть объем, умноженный на предел проности породы $\sigma_n$, т. е. $E_1 \sim \sigma_n R^3$.

Оценим энергию $E_2$, которая идет на выборрос горных пород из кратера. Перемещение большей части массы при образованнии кратера происходит на расстояние порядка радиуса $R$. Для такого перемещения масс в поле также начальная скорость разлега должна по порядку величины быть равной $u_0 \sim \sqrt{gR}$. Полная масса выбросенных из кратера горных пород есть $m_\kappa \sim \rho R^3$. Поэтому затраты на выборрос — $E_2 \sim m_\kappa u_0^2 \approx \rho g R^4$.

Поверьте на слова: энергетические расходы на звуковые волны $E_3$ всегда бывают малы по сравнению с $E_1$ и $E_2$. Физическая причина этого состоит в том, что при любом сверхзвуковом стольновении сперва возникнет ударная волна. Что это такое? Это сильное скатание, распространяющееся в материалах со скоростью, большей скорости звука, и тем большей, чем сильнее это скатание, чем большие плотности. Именно ударная волна производит и разрушение, иускорение вещества. Только тогда, когда основная энергия ударной волны оказывается израсходованной, когда скатание в волне становится слабым, а скорость — равной скорости звука, ударная волна переходит в обычную актичесу, звуковую. Bolна является ударной примерно в объеме кратера, а звук убегает с малым затуханием на большие расстояния (по всей планете).

Итак, главные первичные энергетические затраты есть $E_1$ и $E_2$. Напишем теперь приближенное уравнение энергетического баланса при padените метерика (но позвольт определять порядок величины радиуса кратера):

$$E_0 \approx E_1 + E_2, \text{ т. е. } mv^2 \sim \sigma_n R^3 + \rho g R^4.$$

Обратите внимание: в кинетической энергии пропущен коэффициент 1/2. Это связано с тем, что наша цель — получить оценку только по порядку величины. Коэффициенты перед членами правой части равенства могут быть получены только точным решением задачи.

По этой же причине приведенное уравнение надо и писать несколько иначе. Посудите сами. В сумме всегда одно из слагаемых оказывается много большей другого, а если они и будут одного порядка величины, то достаточно и оставить только один. Какой из них? — Тот, что больше. А это, в свою очередь, зависит от радиуса кратера, пока неизвестного. Посмотрим, при каком радиuce оба члена в правой части будут одинаковы: при $R \sim R_0 = \sigma_n / \rho g$. Для оценки будем считать $\sigma_n$ равным пределу проности осадочных пород $\sigma_n \sim 10^7 \text{ H/m}^2$, для плотности примем значение $\rho \sim 3 \times 10^3 \text{ кг/m}^3$. Тогда

21

Доля расплавленного материала растет с ростом размера кратера. Когда средний размеров достигает характерной температуры размера или химического преобразования горных пород — примерно 300 градусов, эта доля становится подавляющей. Массовое плавление происходит при образования на Земле кратеров с радиусами, превышащими 30 км (на Луне — 10 км). Соответствие масса меторита для образования такого кратера по порядку величины должа превышать 3 · 10^14 кг. Такие кратеры — свидетельства редчайших событий. Их размеры следы сохраняются в течение почти всей геологической истории Земли, однako на все планите пока обнаружено только несколько кратеров с радиусом, больше 30 км.

Начиная примерно с этого размера, формула $R \sim E^{1/4}$ становится неприменой, поскольку учет теплоты плавления делает более сложным баланс энергии меторита. Кратеры с массовым размера пород и внешне выглядят иначе. С ростом размера становится все более заметной новая особенность — застывшие концентрические волны. Уже у кратеров с радиусом более 1 км есть отчетливое центральное поднятие, а отпечатки градиизных катстрофических столковений — кратеры с радиусами, больше 30 км, имеют 3—4 гребня и вращины. Отчетливо видны не размеры эрозий и не скрытые осадками многоокольцевые структуры гигантских кратеров на Луне. Посмотрите на фотографию лунного кратера Орientale — концентрические колца в его рельефе похожи на волны, бегущие по воде от упавшего камня.

Далее при образовании малых кратеров часть горной породы и самого меторита разлетается в виде расплава. Такие разлетые в полете каменные капли называются текстами. При образовании больших кратеров тексты разлетаются на сотни и тысячки kilометров, образуя вокруг кратеров текстные поля. Особенно четко очередиваются границы текстных полей на дне океанов, там, где осадочный слой нарастает достаточно медленно. Так, например, от кратера Босумтви (радис 5 км), образовавшегося чуть более миллиона лет назад на берегу Гвинейского залива, пространства в океан тектиное поле в форме овала $2000 \times 1000$ км. Есть на Земле тектиное поле, которое занимает почти весь Индийский океан! Однако следы его кратера (подводного?) пока не обнаружены.

Попробуем представить, что произойдет, если крупный meteorит упадет в океан. В этом случае его кинетическая энергия $E_0$ будет затрачана, главным образом, на нагрев и испарение объема воды $\sim R^3$:

$$E = (\lambda + c \cdot \Delta T) \rho R^3.$$

Теплота испарения воды $\lambda \approx 2,5 \times$

24

Задчи

M1126—M1130, Ф1138—Ф1142

M1126. В трапеции ABCD (с основанием BC и AD) на сторонах AB и CD выбранны точки K и M. Докажите, что если ∠BAM=∠CDK, то ∠BMA=∠CKD.

A. C. Меркурьев

M1127. Микрокалькулятор «Чебурашка» имеет складаватель, вычитать и находить по данному числу x обратное число 1/x. Можно ли с помощью этого микрокалькутора получить единицу, если исходное число a) √19 + 88; b) √19 + √88? (Вводить в микрокалькулятор числа, отличные от исходного или от полученных в результате вычислений на нем, запрещается.)

A. B. Воомольная

M1128. На шахматной доске расставлено несколько фишек. За один ход одна из фишек передвигается на соседнее (по горизонтали или вертикали) свободное поле. После нескольких ходов оказалось, что каждая фишка побивала на всех поляхровно по одному разу и вернлась на исходное поле. Докажите, что был момент, когда ни одна фишка не стояла на своем исходном поле.

E. B. Абакумов

M1129*. В лесу барона Монхаузена растут elки и березы. Барон утверждает, что на расстояниировно 1 км от каждой elки растет в точности 10 берез, причем elок в его лесу больше, чем берез. может ли это быть?

Ф. Л. Назаров

M1130. На плоскости dan выпukлей n-угольник, у которого длина k-й стороны равна a_k, а длина проекции многоугольника на прямую, содержащую эту сторону, равна d_k (k=1, 2, …, n). Докажите неравенство

$$2 \leq \frac{a_1}{d_1} + \dots + \frac{a_n}{d_n} \leq 4.$$

Д. В. Фомин

Ф1138. Разгоняясь с максимальной возможнымускорением на прямом участке шоссе, гоночный автоматиль увеличивает скорость от 10,0 м/c до 10,5 м/c за время 0,1 с. За какое время он смот бы сделать то же самое на коллебом участке шоссе с радиусом 30 м? При каком радиuce коллеца он вообше не смот бы увеличить скорость выше 10 м/c? Плоскость шоссе горизонтальная.

Ф1139. U-образная трубка частично заполнена водой (рис. 1). Верхние концы трубки закрывают и нагревают правое колено трубки до температуры +100 °C, а левое — до +99,5 °C. Определить установившуюся разность уровней воды в коленах трубки. Справка: на высоте 23 этажа (70 м над землей) температура кипения воды на 0,25 градуса ниже, чем на уровень земли. Тепловым распределением стека при расчете претенбрь.

Ф1140. Заряженная часть попадает в среду, где на нее действует слабо сопротивления, пропорциональная ско-

25

рости. До полной остановки частица проходит путь $s=10$ см. Если в среде имеется неокоторое магнитное поле, перpendикулярное скорости частицы, она при той же начальной скорости остановится на расстоянии $l_1=6$ см от точки входа в среду. На каком расстоянии $l_2$ от точки входа частица остановилась бы, если бы поле было в два раза меньше?

А. И. Буздин

Ф1141. В настоящее время в связи с открытием явления высокотемпературной сверхпроводимости изучается вопрос о создании линей передачи постоянного тока без потерь энергии на джоулево телло. Предполагается использовать для передачи постоянного тока коаксиальный кабель, состоящий из внутренней цилиндрической жидлы и наружной цилиндрической оболочки, выполненных из сверхпроводника. Электрическое и магнитное поля в такой системе изобравены на рисунке 2. Известно, что индекция магнитного поля у поверхности сверхпроводника не может превышать неокоторого значения $B_{\max}$, иначе разрушается сверхпроводимость, а направленность электрического поля не должна превышать $E_{\max}$, иначе происходит электрический пробой изолирующий прослоий кабеля. Определить, во сколько раз изменится максимальная мощность постоянного тока, передаваемая по такому кабелю, если диаметры внутренней и внешней оболочки увеличить в два раза. Какую максимальную мощность можно передать по кабелю с диаметрами оболочки $D=8$ см, $d=3$ см, если $E_{\max}=20$ кВ/см и $B_{\max}=5 \cdot 10^{-2}$ Тл? Примечание: индекция магнитного поля в пространстве между цилиндрическими проводниками совпадает с полем прямого проводника с током $I$:

$$B = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I}{r}$$

($\mu_0=4\pi \cdot 10^{-7} \text{ H/A}^2$ — магнитная постоянная).

С. М. Козел

Ф1142. Образование кометного семейства Юптера описывается следующей схемой. Комета падает с большого удаления без начальной скорости на Солнце и проletaет невдалеке от Юптера (рис. 3). После прекращения заметного влияния поля тяготения Юптера комета вновь движется в поле Солнца, причем ее скорость оказывается направленной противоположно скорости Юптера, а афейный новый орбиты кометы расположается влизации Юптера, т. е. на расстоянии $R=5,2$ а. e. от Солнца. На каком расстоянии от Солнца будет расположаться перигелиный орбит такой кометы?

В. Е. Белонучкин

Problems

M1126—M1130, P1138—P1142

M1126. The points $K$ and $M$ are chosen on sides $AB$ and $CD$ of a trapezium with bases $BC$ and $AD$. Prove that $\angle BAM=\angle CDK$ implies $\angle BMA=\angle CKD$.

A. S. Mercuryev

M1127. The microcomputer “Cheburashka” (the name of popular toy) can add and subtract numbers and calculate the number

27

times will the maximal power of direct current which can be transmitted along this cable change if the diameters of the inner and outer covers are doubled. What maximal power may be transmitted along a cable with cover diameters $D=8$ cm, $d=3$ cm, if $E_{\text{max}}=20$ kV/cm and $B_{\text{max}}=5 \cdot 10^{-2}$ Tl? Note: magnetic induction in the space between cylindrical conductors coincides with the field of a direct conductor with current $I$:

$$B = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I}{r}$$

($\mu_0=4\pi \cdot 10^{-7} \text{ N/A}^2$ is the magnetic constant).

S. M. Kozel

P1142. Jupiter’s family of comets can be described according to the following scheme. A comet falls from a high distance with zero initial velocity on the Sun and flies past Jupiter near the latter (see figure Pisc. 3). After noticeable attraction of Jupiter’s gravitational force ceases, the comet continues to move in the Sun’s gravitational field, its velocity being opposite to that of Jupiter, while the aphelius of the comet’s new orbit is near Jupiter’s orbit, i.e. at the distance of $R=5.2$ from the Sun. At what distance from the Sun will the perihelius of such an orbit be located?

V. E. Bélonuchkin

Решения задач
M1106 — M1109, Ф1118 — Ф1122

М1106. Какая из трех прямых, соединяющих противоположных сторон выпуклого шестиугольника, делит его площать пополам. Докажите, что эти три прямы пересекаются в одной точке.

Пусть $ABCDEF$ — данный шестиугольник, $M_1, M_2, \dots, M_6$ — середины его стороны (см. рисунок). Отрезки $M_1M_4$ и $M_2M_5$ делят площать шестиугольника пополам, поэтому четырехугольники $PM_1BM_2$ и $PM_4EM_5$, где $P$ — точка пересечения $M_1M_4$ и $M_2M_5$, равновелики (какждый из этих четырехугольников в сумме с пятуюугольником $PM_2CDM_4$ дает половину площаты шестиугольника). Площади четырехугольников $PABC$ и $PDEF$ вдвое больше, соответственно, площадей четырехугольников $PM_1BM_2$ и $PM_4EM_5$, и поэтому они также равны между собой (мы пользовемся тем, что медиана треугольника делит его площадь пополам). Отсюда следует, что ломанная $M_3PM_6$ делит площадь шестиугольника пополам, как и отрезок $M_3M_6$. А это значит, что точка $P$ лежит на отрезке $M_3M_6$, что и требовалось доказать.

В. В. Произвольов

M1107. Докажите, что если $a, b$ и $c$ — длина стороны треугольника, то

$$2\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\right) \geq \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + 3.$$

Перепишем доказываемое неравенство в виде

$$\frac{2a}{b} - \frac{b}{a} + \frac{2b-a}{c} + \left(\frac{2}{a} - \frac{1}{b}\right)c \geq 3.$$

Фиксируем $a$ и $b$ и найдем минимум суммы двух последних слагаемых левой части как функции от $c$; при этом можно считать, что $c$ не превыходит $a$ и $b$, так как исход-

28

ное неравенство не меняется при циклических перестановках величин $a, b, c$. Имеем:

$$\frac{2b-a}{c} + \left( \frac{2}{a} - \frac{1}{b} \right)c = (2b-a)f(c),$$

где $f(x) = 1/x + x/ab$. Поскольку $2b-a \geq b+c-a > 0$, а функция $f(x)$ убивает при $0 < x \leq \sqrt{ab}$ (график $f(x)$ для $a > b$ приведен на рисунке) и $f(a) = f(b) = 1/a + 1/b$, при $c \leq \min(a, b) \leq \sqrt{ab}$

$$(2b-a)f(c) \geq (2b-a)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = \frac{2b}{a} - \frac{a}{b} + 1.$$

Таким образом, левая часть неравенства (*) не меньше чем $\frac{2a}{b} - \frac{b}{a} + \frac{2b}{a} - \frac{a}{b} + 1 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1$, а это число, очень много, не меньше 3.

Л. Д. Курляндчик

M1108. В выпуклом нулевойнике ($n > 4$) никакие три диагонали не проходят через одну точку внутри многоугольника. Какое наиболее число диагоналей в нем можно проверить так, чтобы все части, на которые они разобут нулевойник, оказались треугольниками?

Ответ: $[3n/2] - 4$ (где $[x]$ — целая часть $x$). Разбения, приведенные на рисунке 1, показывают, что максимальное число $f(n)$ диагоналей, удовлетворяющих условию задачи, при $n = 2m$ не меньше $3m - 4 = [3n/2] - 4$, а при $n = 2m + 1$ не меньше $3m - 3 = [3n/2] - 4$. Тепер осталось доказать, что

$$f(n) \leq [3n/2] - 4.$$

Для этого нам понадобится следующая Lemma. Если некоторый набор диагоналей $n$-угольника ($n \geq 5$) разбивает его на треугольники, то хотя бы одна из этих диагоналей не пересекается с остальными. (Пересечения в вершинах многоугольника мы не учитываем.)

Для доказательства Lemмы заметим, что никакая диагональ не может пересекаться более чем с одной другой диагональю: в противном случае один из кусков разбиения, примыкающих к участку диагонали между соседними точками пересечения, не был бы треугольником, так как сумма его углов оказалась бы большей $180^\circ$ (рис. 2). Допустим теперь, что любая диагональ пересекается с какой-то из остальных, причем только с одной. Пусть $AC$ и $BD$ — такие пересекающиеся диагонали (рис. 3). Поскольку $n \geq 5$, хотя бы одна из сторон четей рекургольника $ABCD$, например $AB$, является диагональю (а не стороной) данного $n$-угольника. Диагональ $AB$ входит в наш набор, так как в противном случае к ломаной $AOB$, где $O$ — точка пересечения $AC$ и $BD$, не будет треугольником. Следовательно, существует диагональ, пересекающая $AB$. Но эта диагональ обязана пересечать также $AC$ или $BD$, что противоречит сделанному выше замечанию.

Пользовая Lemma, неравенство (*) можно доказать индекцией по $n$ (при $n = 3$ и $n = 4$ оно очевидно). Пусть оно доказано для всех $k, 3 \leq k < n$, где $n \geq 5$. Рассмотрим $n$-угольник, разбитый диагоналями на треугольник

30

Можно показать, что длина стороны правильного треугольника, вписанного в параболу $y = x^2$, может принимать лишь значение, больше или равное $2\sqrt{3}$. Наметим план одного почительного решения, дающего такой результат. Здесь полезно заметить, что все параболы подобыны: парабола $y = ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$ получается переносом параболы $y = ax^2$ и подобна параболе $y = x^2$ с коэффициентом $1/\sqrt{|a|}$ (парабола с большим коэффициентом $a$ только кажется «остree»). Мы должны убедиться, что около правильного треугольника со стороны $d$ можно описать параболу с любым коэффициентом $a$, где $|a| \geq 2\sqrt{3}/d$. Через три не лежащие на одной прямой точки $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ с различными абсциссами $x_1, x_2, x_3$ можно проверить параболу $y = ax^2 + bx + c$; коэффициенты $a, b, c$ находятся из линейной системы уравнения $ax_i^2 + bx_i + c = y_i$ ($i = 1, 2, 3$); в частности.

$$\left(x_3 - x_2\right)a = \frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1} - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},$$

откуда

$$a = \frac{\left(y_3 - y_1\right)\left(x_2 - x_1\right) - \left(y_2 - y_1\right)\left(x_3 - x_1\right)}{\left(x_3 - x_1\right)\left(x_3 - x_2\right)\left(x_2 - x_1\right)}.$$

Численть по модулю равен $2S$, где $S$ — площадь треугольника с вершинами $(x_i; y_i)$; таким образом, $|a| = 2S/P_l$, где $P_l$ — произведение проекций сторона треугольника на прямую $l$, перpendикулярную оси параболы. (Это верно для любого треугольника.) Если треугольник — правильный со стороны $D$ ($S = \sqrt{3}d^2/4$) и прямая $l$ образует с одной из его сторон угол $\varphi$, то $P_l = \left|d^3 \cos \varphi \cos (\varphi + \pi/3) \cos (\varphi - \pi/3)\right| = \left|\frac{1}{4} d^3 \cos 3\varphi\right| \leq \frac{d^3}{4}$, и $|a| = 2S/P_l \geq 2\sqrt{3}/d$. В частности, мы видим, что при $a = 1$ длина $d$ принимает значения $d \geq 2\sqrt{3}$; равенство здесь соответствует случаю $\varphi = 0$, когда одна из сторон треугольника перpendикулярна оси параболы (а вершина треугольника лежит в вершине параболы).

Н. В. Васильев, В. Н. Дубровский

Ф1118. Рыбак, живший в усте владающей в океан реки, перебрался на новое место жительства на несколько километров вверх по течение. К своему удвilenю, он обнаружил, что время между началом прилива и началом отлива уменшилось*), а

*) В опубликованном ранее условия этой задачи допущена опечатака.

Как известно, океанские приливы и отливы связаны, в основном, с действием сил тяготения со стороны Луны. Время между приливами и отливами в океане одно и то же и равно примерно 6 часов, что и наблюдал рыбак, живя на берегу океана.

Иная ситуация может сложиться в низовых впадениях в океан рек (или в мелководных заливах). Дело в том, что по реке распространяется приливно-отливные волны, приход которых, безусловно, вылетет на интерсуцию нас времени. (На Амазонке, например, эти волны даже представляют опасность для судоходства.) Важным obstructionом является тот факт, что скорость этих волн зависит от глубины — она тем меньше, чем меньше глубина (попро-

31

время между началом отлива и началом прилива увеличилась. Как объяснить это обстоятельство?

Ф1119. В узкую ковету с параллельными вертикальными стенками на纵али некоторое количество жидкости (рис. 1). Затем ковету начали врацать вокруг вертикальной оси симметрии O—O. При некоторой скорости врацания обнаружена к-я часть площади дня. Как при этом изменилась сила давления на дно и на узке боковые стенки (по сравнению со случаем неподвижной жиденты)? При врацании жидкость не выплескивает. Поверхность натяжением претензь.

Рис. 1.

Буйте это показать самостояльно, например из сообщений размерностей). Поэтому, если высота приливно-отливных волns сравним с глубиной реки (залива), то скорость приливной волны будет меньше, чем отливной.

Это и объясняет явление, обнаруженное рыбком на новом месте жительства.

А. С. Вугов

Прежде всего введем обозначения: пусть 2l — длина коветы, a — ее ширина, h0 — начальная высота налитои в ковету жидкости.

Горизонтальная поверхность жидкости во время врацания искривляется. Так как по условию a ≤ 2l, можно считать, что поверхность жидкости прибретает цилиндрическую форму. Определям, какой вид имеет граница поверхности на боковой стенке.

Мысленно виделим в поверхностном слое врацошейся жидкость маленький объем на расстоянии x от оси врацения (рис. 2). На него действуют силы тяжестии mg и сила N реакции всея остальной жидкости на этот объем, которая направлена по нормали к поверхности жидкости в данной точке. Эти две силы создают центростремительное ускорение a₁=ω²x, направленное к оси O—O. Из рисунка 2

tg α = ma₁/mg = ω²/g x,

где α — угол наклона силы N к вертикали, равный углу наклона к оси X касательной к поверхности жидкости в данной точке.

Тангенс угла α есть f’(x), и можно найти первообразную функцию y=f(x), которая и является уравне-

Рис. 2.

нием искомой линии:

y’ = f’(x) = ω²/g x,

y = ω²/2g x² + C. (1)

Здесь C — константа первообразной. Ее смысл — высота столбца жидкости по оси Y при x=0. Свободной от жидкости k-я часть площади дня (0 ≤ k < 1) будет, если при x=kl y=0. Отсюда определим C:

(Продолжение см. на с. 34)

32

32

…начала оценей
необступный для глаз…
ЛукрепиЙ Кар

ЛукрепиЙ Кар

А так ли хорошо знаете бы,
Насколько малы
молекульы

Вопросы и задачи

1. Почему объем растора спира в воде меньше объемов воды и спирта, взятых по отдельности?
2. Отчего сильно надутый и плотно завазанный резиновый шарик оказывается несколько дней «сдутым»?
3. Если по микропористой трубе, окруженной терметической резервуаром, из которого откачан воздух, пропускать смесь газов, то в резервуаре будет накалливаться газ с бóльшим, чем в трубе, относительной humidity содержанием «легких» молекул. Как это обьяснить?
4. Водород имеет три изо-тора с массовыми числами 1, 2 и 3. Ионы какого из этих изотопов медленнее других продуктовся к катаду при электроплезе воды?
5. Стеклянную линию?

…следствие малости частинек вещества давление скрывается от взоров.
M. B. Ломоносов

Вопросы и задачи

6. Что бы «приварить» один кусок железа к другим, нагревалот оба куска добеля в пламенни горна, накладывают один на другой на накovalнение и обработают сільными ударами кузнечного молота. Почему в этом случае получается прочитное соединение?
7. На равновелых весах установленный два одинаковых сосуда. Один заполнен сухим воздуха, другой — влажным, имеющим также давление

33

5. Стеклянную пластинку покрывают с одной стороны (В) слоем меди и подвешивают на нити, как показано на рисунке. В воздействие пластинка не подвязывано, а в хлопе повоят несколько interruptов к обобщенной портуре молекул.
   Они так малы, что если бы у каждой целевка на земном пале потребовать по миллиарду молекул, то набрались бы всего несколько миллиарных долей грамм…
   Их так много, что если вылить в Мировой океан стакан воды с «помеченным» молекулами, то через диительное время в том же стакане с зачернитуой из окена водой окажется не менее 200 «меченых»…
   Им так «тесно», что при обчным условиях каждой молекула газа испытывает до 10 миллиардов столкововений в секунду со своим соседками…
   Они так быстры, что молекula газа поднялась бы, не стаканялась, на высоту около 5 километров, прежде чем сила тяжестями остановила бы ее…
   Однако, несмотра на такую молекулу и «орокость», молекулиа очень много «выдают» себя. Надеемся, решение предложенных задач не позволяет молекуламускольнуть от вашего вооруженного знаниями взора.

Любопытно, что…
…е долие реки Теннесси (США) был возделен путем заделения завод по разделению изогонное, две два уровня газа (уран-238 и уран-235) непрерывно циркупровали через порции более лекций газ диффундировал быстрее, ерезультате еего газовая смесь постоянно обозначалась лекцим изогоном урана.

Любопытно, что…
…е заzonьлеевых облаках междуезедневной среды были обнаружены не только странительно просные модели, например и лектуры, например с сильная страница, но и сложные оранические соединительные их секстральные линии испускания или положения в диапазоне радиочастот.

Микроопыт
Доведите_body в чайнике до кипения и выключите обнаруженные не только газы сазовою горелку. Почем из чайника сазовою горелку же лектуры, например с сильная страница, но и сложные оранические соединительные их секстральные линии испускания или положения в диапазоне радиочастот?

«Квант» о молекулах

1. «К 175-летю закона Авозадро» — 1986, № 12, с. 12;
2. «Сильы молекулярно взаимодействия» — 1987, № 1, с. 31;
3. «Давление газа в сосуле де» — 1987, № 9, с. 41;
4. «Из жизни молекул» — 1988, № 7, с. 46;
5. «Абсолютная температура» — 1988, № 9, с. 60.

34

$$0 = \frac{\omega_1^2}{2g}(kl)^2 + C \Rightarrow C = -\frac{\omega_1^2}{2g}k^2l^2.$$

Окончательное уравнение (1) перешдает в виде:

$$y = \frac{\omega_1^2}{2g}(x^2 - k^2l^2).$$

Это — уравнение парабола; здесь под $\omega_1$ обозначана та угловая скорость, при которой обнажается $k$-я часть площади дня.

Для определения $\omega_1$ воспользуемся свойством несжимаемости жидкости. Первоначальный объем жидкости $V = 2lh_0a$ во время вращения распределится поровну по обе стороны от оси вращения: $V/2 = Sa$, где $S$ — площадь под поверхностью жидкости, т. е. часть плоскости, под графиком функции $y=f(x)$ на отрезке $kl \leq x \leq l$. Эта площадь кривойнейной трапеции соответствует определенному интервалу, взятому в пределах от $kl$ до $l$:

$$S = \int_{kl}^{l} ydx = \frac{\omega_1^2}{2g}\left(\int_{kl}^{l} x^2dx - k^2l^2 \int_{kl}^{l} dx\right) =$$

$$= \frac{\omega_1^2l^3}{6g}(1 - 3k^2 + 2k^3).$$

Тепер из равенства

$$lh_0a = a \frac{\omega_1^2l^3}{6g}(1 - 3k^2 + 2k^3)$$

получаем

$$\omega_1 = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{6gh_0}{1 - 3k^2 + 3k^3}}.$$

Сила давления на дно во время вращения не меняется. Она по-прежнему равна силе тяжестой налитой в ковету жидкости. Сила давления на боковой стенку возвращает. Показем это.

Мыслено выделим тонкий пристеночный столб жидкости высотой $h$. Из условия его равновесия по вертикали следует, что давление жидкости на этот столб у его нижнего основания равно $p_h = \rho gh$ (см. рис. 2). Но давление в данной точке жидкости изотропно (закон Паскала). Следовательно, давление жидкости на стенку при вращении коветы линейно зависит от глубины. Если жидкость у боковой стенки во время вращения со скоростью $\omega_1$ поднимается до высоты $H$, то силу давления на стенку можно будет выразить через среднее давление $p_{cp} = \rho gH/2$:

$$F_1 = p_{cp}Ha = \frac{\rho ga}{2}H^2.$$

В покоящей ковете было

$$F_0 = \frac{\rho ga}{2}h_0^2.$$

Таким образом, увеличение силы давления будет в $n = (H/h_0)^2$ раз.

35

Для определения $H$ у стенки нужно в уравнение (2) подставить $x=l$. Окончательно, с учетом (3), получим

$$n = \left( \frac{3(1-k^2)}{1-3k^2+2k^3} \right)^2.$$

Интересный и необходимый результат: $n$ есть функция только $k$ и не зависит ни от рода жизни, ни от ее количества, ни от размеров коветей. И самое главное — $n$ не зависит от $g$, т. е. от того, где во Вселенной врашать ковету: на Земле, на Юпитере или на астроиде. (За исключением лишь одного места: на космическом корабле. Почему там «нельзя врашать» ковету, читатель сможет объяснить сам.) Наконец, если положить $k=0$, т. е. врашать до той скорости, при которой доньшко «только пролянет», то «всегда и весе» будет $n=9$ (!).

Г. С. Лапудус

Ф1120. Для сравнения теплопроводности различных материалов предлагалось использовать следующий метод. На горячую плиту ставятся два одинаковых цилиндра из исследуемых материалов (см. рисунок). На цилиндрыkladут по кусочку вскака. Где скорее всканет тайть — тот цилиндр и обладает лучшей теплопроводностью. Верен ли этот метод?

К сожалению, этот простой метод сравнения теплопроводностей нельзя считать правильным. И вот почему.

Время, за которое верхняя часть цилиндрического образца нагреется до температуры плавления вскака, конечно же, тем меньше, чем больше теплопроводность. Однако это время зависит также и от тепломкости материалов цилиндра — чем она больше, чем больше время (большое количество теплоты) потребуется, чтобы нагреть образец до соответствующей температуры. Таким образом, цилиндр из материалов с большой теплопроводностью будет разогреваться медленнее, чем цилиндр из материалов с небольшой теплопроводностью и чуть меньше теплопроводности. Именно так происходит, например, в случае с высокотом и железом.

Оказывается, предлагаемый метод позволяет сравнить другие тепловые характеристики материалов, а именно — их температурроводности. Это тоже важная физическая величина, которая характеризует скорость изменения температуры вещества. Коэффициент температурроводности пропорционален относению коэффициентов теплопроводности и тепломкости.

А. И. Буздин

Ф1121. Металлический шар радиусом $q$, удаленный от других предметов, затем через резistor сопротивлением $R$. На шар налетает пучок электровок, скорость которых вала от шара была $v$. В секунду

Рассмотрим два решения этой задачи.

Первое решение — обобщное.

Полная энергия, приносимая электронами за единицу времени, есть

$$W = n \frac{mv^2}{2}.$$

Через резistor течет ток $I = ne$ (число уходяших в зем-

36

лю электронов равно числу попадающих на шар за то же время), так что в резисторе переходит в тепло энергия (в единицу времени)

$$P = I^2 R = (ne)^2 R.$$

В силу закона сохранения энергии, количество теплоты, выделяемое на шар в единицу времени, равно

$$Q = W - P = n \frac{mv^2}{2} - (ne)^2 R = \frac{nmv^2}{2} \left(1 - n \frac{2e^2R}{mv^2}\right).$$

Потенциаль шара (точнее, разность потенциальов между шаром и землей)

$$\varphi = IR = neR.$$

С другой стороны,

$$\varphi = k \frac{q}{Q}.$$

Таким образом, заряд шара

$$q = \frac{\varphi_Q}{k} = \frac{neR_Q}{k} = 4\pi\varepsilon_0 neR_Q.$$

Заметим, что электроны попадают на шар, если их кинетическая энергия больше работы, затраченной на преодоление отталкивания от шара:

$$\frac{mv^2}{2} > e\varphi.$$

Подставляя $\varphi = neR$, перешем это условие в виде:

$$n < \frac{mv^2}{2e^2R}.$$

При этом выражение в скобках для определения $Q$ положительное: $Q > 0$. Таким образом, видно, что подбор чисел в условия не может быть произвольным.

Если пероначально число попадающих электронов было больше $n$, то потенциаль шара постепенно увеличивается, так что начная с какого-то момента часть электронов перестала попадать на шар (из-за электронского отталкивания). Если пероначально потенциаль шара был больше или равен $\varphi$, то электроны не попадали на шар, а заряд стекал с него до тех пор, пока не установился режим, описанный в задаче.

Второе решение позволяет глубже почувствовать, что такое электронный jusquая сила источника.

Представим нашу систему как электрическую цель, состоящую из источника с ЭДС $\mathcal{E}$ и нульевым внутренним сопротивлением и двух последовательно соединительных «резисторов». Сопротивление одного из них — это эффективное сопротивление шара $R_{\text{шар}}$, другого — известное сопротивление $R$. Источником тока мы назовем устройство, разгоняющее электроны (например, известная электронная пушка). Здесь электрон набирает энергию $mv^2/2 = e\mathcal{E}$. Отсюда ЭДС источника равна

$$\mathcal{E} = \frac{mv^2}{2e}.$$

Цель замыкается через замемление (можно считать, что

37

вускорящее устройство попадают именно те электроны, которые шли в заземление).

Тепер наша задача — определить эффективное сопротивление шара $R_{\text{ш}}$, так как искомое количество теплоты, выделяющее на шаре, можно найти из формулы

$$Q = I^2 R_{\text{ш}} = (ne)^2 R_{\text{ш}}.$$

Запишем закон Ома для нашей цепи:

$$\mathcal{E} = I(R + R_{\text{ш}}),$$

откуда, зная $\mathcal{E}$, $I$ и $R$, найдем $R_{\text{ш}}$:

$$R_{\text{ш}} = \frac{\mathcal{E}}{I} - R = \frac{mv^2}{2ne^2} - R.$$

Подставляя $R_{\text{ш}}$ в выражение для $Q$, после простых преобразований получаем уже знакомое выражение

$$Q = n \frac{mv^2}{2} \left(1 - n \frac{2e^2R}{mv^2}\right).$$

Заряд шара находится так же, как и в первом решении.

И. Ф. Гинзбург

Ф1122. Известные случаи наблюдания мира моря в пустыне. На каком расстоянии от наблюдаемого возникает такой мираж? Считать, что скорость света в прземном слое в пустыне меняется по закону $c(z) = c_0(1 - az)$, где $c_0$ — скорость света у поверхности земли, $z$ — высота над поверхностью.

Изменение скорости света в воздухе (а значит, и его показатель преломления) с высотой приводит к искривлению световых лучей (к рефракции).*) Это явление и обусловливает возникновение миража моря в пустыне.

Пусть наблюдаемый рост которого $h$, стоит на земле (см. рисунок). Расмотрим световые лучи, выходящие из точки $A$. Луч, составляющий угол $\alpha_0$ с вертикалью, касается поверхности земли и затем уходит вверх. Углам $\alpha > \alpha_0$ соответствует лучи, также уходящие вверх. Лучи же, идущие под углами $\alpha < \alpha_0$, упираются в землю. Воспользовавшись свойством обратимости световых лучей, мы получим, что до угла $\alpha_0$ наблюдаемый видит землю, а начиная с $\alpha_0$ — небо. Но поскольку луч приходит к наблюдаемой спизу, ему кажется, что он видит головное (ведь человек подознать его распространение света прямолинейным).

Тепер найдем искомое расстояние $H$.

Согласно обобщенному закону преломления света для слоистой среды,

$$\frac{\sin \alpha_0}{\sin \beta_0} = \frac{c(h)}{c_0},$$

где $c(h)$ — скорость света на высоте $h$, $\beta_0$ — угол исследуемого луча с вертикалью у поверхности земли.

*) Подробнее об этом явлении можно прочитать в статье А. А. Варламова и А. И. Маляровского «Переговорная трубка длиной в экватор?» («Квант», 1985, № 2) и в статье С. А. Гординина и П. Л. Горькова «Преломление света» в этом номере журнала.

38

Поскольку $\beta_0 \approx 90^\circ$, получаем

$$\sin \alpha_0 = \frac{c(h)}{c_0} = 1 - ah.$$

Далее учитем, что изменение скорости света с высотой очень мало и поэтому искривление лучей также очень мало. Так что для расчета расстояния $H$ луч можно считать прямым. Из рисунка видно, что $H = h \cdot tg \alpha_0$. Отсюда, использую закон преломления, получим

$$H = \frac{h(1 - ah)}{\sqrt{ah(2 - ah)}}.$$

В. И. Клячин

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Числа $p$ и $q$ простые. Найдите их, если известно, что уравнение $x^4 - px^3 + q = 0$ имеет целый корень.
2. Докажите, что если $xyz = 1$, то

$$\frac{1}{1+x+xy} + \frac{1}{1+y+yz} + \frac{1}{1+z+zx} = 1.$$

3. Две окружности разных радиусов касаются друг друга внутриним образом в точке $P$. Хорда $BC$ большей окружности касается меньше в точке $A$. Докажите, что $PA$ — биссектриса угла $BPC$.
4. В прямогольнике $ABCD$ опущен перpendикуляр $BK$ на диагональ $AC$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AK$ и $CD$ соответственно. Докажите, что угол $BMN$ прямой.
5. Внутри данного треугольника $ABC$ построите такую точку $M$, что площадь треугольников $ABM, BCM, CAM$ будет относиться как $k:l:m$, где $k, l, m$ — данные отрезки.
6. Докажите, что уравнение

$$x^{1987} + y^{1987} = x^{1988} + y^{1988}$$

имеет бесконечного много решений в радиональных числах.
7. Последовательность $x_1, x_2, \dots, x_n$ … удовлетворяет соответствию $x_{n+1} = x_n^3 - 3x_n^2 + 3x_n$ ($n = 1, 2, \dots$). Каким должно быть $x_1$, чтобы последовательности $x_{100}$ и $x_{1000}$ были равны?
8. Бесконечная геометрическая прогрессия с положительными членами и знаменателем $q$ обладает тем свойством, что каждый ее член, начиная со второго, больше суммы всех предыдущих. Какие значения может принимать $q$?

9. Из каждой вершины пятугольника проведены векторы к серединам трех несмежных с этой вершиной сторон. Докажите, что сумма всех 15 построенных таким образом векторов равна 0.
10. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AF$ угла $A$. Пусть $D, E$ — точки пересечения $AF$ с вписанной в треугольник окружностью. Докажите, что $AD > EF$.

Десетый класс
11. Решите неравенство

$$|x^9 - x| + |x^8 - x^7| \leq |x^9 - x^8 + x^7 - x|.$$

12. Пусть $M$ — произвольная точка основания $ABC$ tetrahedра $SABC$. Через точку $M$ проведены отрезки, параллельные боковым ребрам, до пересечения с боковым гранями. Пусть длины боковых ребра равны $a, b, c$, а длины параллельных и отрезков соответственно равны $x, y, z$. Докажите, что $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.
13. Дан tetrahedр $ABCD$. Один шар касается ребер $AB$ и $CD$ в точках $A$ и $C$, а другой — в точках $B$ и $D$. Докажите, что проекции ребер $AC$ и $BD$ на прямую, проходящую через центры этих шаров, равны.
14. Решите уравнение $tg x - 2[tg x] - 3 = 0$ (квадратные скобки обозначают целую часть числа).
15. Докажите, что при любом $a$ уравнение

$$10ax^4 - 4ax^3 + a^2x^2 + 6x - 2 = 0$$

имеет по крайней мере один корень в промежутке [0; 1].

Публикацию подготовили Ю. В. Томилов, В. А. Ясинский

39

Задчи

1. Ира, Витя и Коля взяли по порции всех сортов мороженого: фруктового, сливочного и шоколадного. Оdnako трех порций каждому оказалось мало, и Ира взяла еще порцию фруктового, Витя — сливочного, а Коля — шоколадного мороженого. Уходя, они уплатили: Ира — 70 коп., Витя — 80 коп., Коля — 90 коп. Сколько стоит порция каждого мороженого?

2. Расставьте числа $a=2^{45}, b=3^{36}, c=4^{27}, d=5^{18}$ в порядке возрастания.

3. Часто со словом «снег» употребляется epitет «искрящийся». Чем это вызвано?

4. Расшифруйте арифметический ребус на рисунке. (Одинаковым буквам соответствует одинаковые цифры, разным — разные.)

5. Диагональ выпуклого четырехугольника делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон этого четырехугольника. Покажите, что эта diагональ делит пополам и площадь четырехугольника.

Эти задчи нам предложили: В. Д. Выон, А. П. Савин, А. А. Панов, С. Мадримов, Н. Ю. Нечевгаев.

9c = сЕмЬЯ

39

41

Если вы думаете, что название статьи — шутка, то ошибается. Такие градиники существуют. Но не спешите представлять себе, как космические ракеты забрасывают их прямо в огнеышаце светило. Это не так. Впрочем, без космоса дело все-tаки не обходится, но об этом немного позже. Как вы скоро узнаете, температура на поверхности Солнца достаточно велика, чтобы расплавился прибор из любого тугоплавкого металла. Да и ракеты пока не дешевы. Значит, надо уметь измерять температуру на расстоянии, нужны безконтактивные методы. Потребность в таких методах возникает и в более земных делах. Металлурги должны знать температуру жидкого металла в печи и температуру раскаленного слита, быстро несуществует по прокатному стану. Аввиинженера необходимо измерять температуру лопаток стремительно врашающейся газовой турбины. Таких примеров, когда нельзя «пошпать» измеряемый объект, много. К счастью, делать это не обязательно, и вот почему.

Все тела постояно испускают в окружающей пространство энергию в виде теплового излучения. По своей природе теплое излучение — это электромагнитные волны, т. е. связанные между собой колбания электрического и магнитного полей, которые распространяются в вакууме со скоростью света $c=300\ 000$ km/c. По аналогии с волнами на воде расстояние между двумя соседними «гребнями» колбаний называют длиной волны. Испускаемое теплом теплое излучение несет в себе сведения о температуре тела. При высоких температурах мы видим часть теплового излучения в виде свечения (такое свечение испускают все достагоно горячие тела — и слиток металла, и Солнце, и звезды). Почему только часть? Дело в том, что теплое излучение представляет собой «смесь» колбаний с различными длинами волн — от $\lambda \approx 0,1$ мкм до $\lambda \approx 100$ мкм. А человекский глаз реагирует на электромагнитные колбания с длинами волн, лежащими в узком видимом диапазоне: 0,4—0,7 мкм. При температуре ниже 600 °C тела не светятся, но тепловое излучение испускают, только длины волн этого излучения лежат в невидимой глазом так называемой инфракрасной области: 0,7—100 мкм. Человек можетощать инфракрасное излучение по его воздействию на кожу. Например, хорошо протопленная песь «пышет жаром», обжигает лицо и руки на расстоянии 2—3 метра — это действует инфракрасное излучение. Если же температура тела превышает 3000 °C, то в теплом излучении появляется длины волн 0,1—0,4 мкм; это так называемый ультрафилотный диапазон (то же невидимый).

Тепер осталось выяснить, каким образом в теплом излучении «зашипрофована» температура и как ее оттуда извлечь. Для этого нам надо знать, как изменяют спектр излучения — зависимости излучаемой мощности от длины волны. Именно в спектре и содержится все информацию о температуре. Понятно, что прежде все его как-то «разделить» теплое излучение, выделить из «смеси» излучение с определенной длиной волны. Первые спектр излучения Солнца исследовал великий англійский физик Исаак Ньютон. Он пропускал тонкий луч Солнца сквозь стеклянную призму, и посокольку свет с разными длинами волн преломляется в/materialе признамы по-разному, на экране за признамой получалась радига (цветам раду-

Рис. 1. Разложение теплового излучения в спектр с помощью спектрафа.

42

ги соответствии разные длины волны света). Призмы применяют и в современных приборах для изучения спектров — спектрафах (рис. 1). В нашей время для повторения опыта Ньютона в качестве источника изучения можно использовать общную лампу накаливания. Видная часть теплового излучения источника представляет на экране в виде радижной полосы. Если прямо перед экраном помещить непрозрачную пластинку с узкой щелью, то на экран будет попадать излучение, длины волн которого лежат в узком интервале. Перемещая щель, мы можем увидеть излучение любого цвета радиги — красное, оранжевое, желтое, зеленное и т. д.

Теперь надо изменить, какая энергия приходит на разные длины волн. Для спектральных измерений используется фотоэлектрические приемники, или фотоприемники, — приборы, способные преобразовать падающие на них излучение, в том числе и невидимое, в электрической ток. Фотоприемник помещают за выходной щелью спектрафа и присоединяют к какому-нибудь регистрации устройства (самописцу). Специальный электродвигатель равномерно применяет фотоприемник вместе с щелью, и перед фотоприемником последовательно проходят все участки спектра, а вырабатываемый при этом ток, пропорциональный мощности излучения, записывается с помощью самописца. В результате самописец отображает зависимость мощности излучения от длины волны, т. е. спектр излучения.

Я чувствую, что нетерпельный читатель уже справливает: а как же насчет градиника для Colnца? Еще немного терпения — нам осталось только выяснить, как связан температура тела и спектр его теплового излучения.

Если насстиг спектрометр на нить лампы накаливания, то в результате измерений получится кривая с максимом — как кривая 1 на рисунке 2. Такой же вид имеет спектр излучения любых конденсированных (твердых и жидких) веществ и плотных газов. При изменении температуры тела общий вид спектра остается тем же, но максимум в спектре будет смещаться. Однако из заменных свойств теплового излучения состоит в том, что длина волны $\lambda_m$, соответствующая этому максимуму, и температура излучающего тела $T$ связаны простым соотношением $^*$

$$\lambda_m T = A, \quad A = 3000 \text{ мкм} \cdot \text{К}.$$

По фамилии первогокрывателя этого соответствия его называют законом смещения Вина, а постоянную величины $A$ — постоянной Вина (точное значение этой постоянной — $A = (2897,5 \pm 0,3) \text{ мкм} \cdot \text{К})$.

Ну вот, теперь мы все знаем для того, чтобы измерить температуру поверхности Colnца по спектру излучения. Максимум излучаемой энергии в солнечном спектре приходится на длину волны $\lambda_m \approx 0,5 \text{ мкм}$ (кривая 2 на рисунке 2). Подставляя эту величины в закон Вина, получим температуру поверхности Colnца:

$$T = \frac{3000}{0,5} \text{ K} = 6000 \text{ K} \approx 5700 \text{ °C}.$$

Это значительное выше температуры

*) Температура $T$ подразумевается выраженной по шкале Кельвина — в кельвинах (К). В шкале Цельсия ($t, \text{°C}$), ее переводит по формуле $t = T - 273$. Финики пользовются школе Кельвина, так как многое закони имеют наболее простой вид, если входящая в них температура выражается в кельвинах.

43

плавления рекордсмена тугоплавкости — карбида tantала: $T_{пл} = 3900 \, \text{°C}$.

Итак, вы убедились, что «пошуpeatь» Солнце можно только на расстоянии. Но лучше не с поверхности Земли. При прохождения сквозь земную атмосферу часть солнечного излучения поглощается водяным паром, кислородом, углейсным газом, причем поглощение происходит в узких участках длиной волн. В результате спектр солнечного излучения, достигающего поверхности Земли, сильно искажен по сравнению с исходным (кривая 3 на рисунке 2). Для получения неисскваженного спектра аппаратуру помещают в высокие пакеты, страстятся, достигающие верхних разреженных слоев земной атмосферы. Налучшие условия для измерения имеются, конечно, на борту орбитальных станций, находящаяся выше атмосферы Земли. И «градиусники» для Солнца — спектрометры — в космосе действительное летают.

Теперь от проблем небесных вернемся к земным. Что дозволено Юпитеру, то не дозволено быку,—говорили древние римляне. Так бывают и в науке — метод измерения температуры по закону Вина подходит для оценки температуры Солнца, звезд, но не пригоден, скажем, в металлургии. При температуре горячее обработки металла, обычно не превышших 2000 °C, максимум излучения находится в невидимой инфракрасной области, а это условная измерения. Кроме того, погрешность определения длины волны, соответствующей максимуму, составляет до 10 %, и с такой же погрешностью определяется значение температуры. А металлургам нужна точность на уровень 1 %. Поэтому для измерения температуры они используются специальные приборы — оптические пирометры. Самый простой из них — визуальный яркостный пирометр. Temperatura в этом приборе измеряется по яркости теплового излучения — с ростом температуры яркость растет, тут все ясно. Но пирометр «иззуальный», значит, измерения ведется «на глазок»; так отчета же высока точность? Действительно, человек может определить температуру по яркости излучения лишь очень приближенно. Однако при сравнении яркостей человека глазработаетрезвычайно точно — он замечает различия, соответствующей долям градуса. На этом свойстве glаза и основано действие прибора. Пирометр (рис. 3) состоит из телекопа $T$, в корпусе которого помещены фильтр Ф из красного стекла и специальная электрическая лампа Л. Оператор наблюдает изображение litts лампы на фоне нагретои поверхности П тела, температуру которой надо определить. Лампа подключена к батарее Б и реостату Р. Если ток через лампу не идет, тонить видна как темперал полоска на фоне светящейся поверхности тела. Регулируя реостатом ток через litts лампы, а следовательно, и ее яркость, оператор добавляется того, чтобы яркость litts и нагретои поверхности сравнялась. В этот момент litts становится не различием на фоне поверхности, она как бы исчезает (отсюда и произходит другое название прибора — пирометр с исчезающей нитью). Теперь остается измерить ток лампы с помощью амператора, и по предварительно сделанной градировочной кривой (т. е. по кривой, выраженной зависимость тока лампы от температуры поверхности) определяется температура изучаемой нагретои поверхности. (Несколько слов о том, зачем нужен фильтр Ф. Спект-

Рис. 3. Схема визуального яркостного пирометра.

45

Математика 9, 10

Публикующий заметка адресована деятикlasсикам и десятиклассикам.

Ферма ищет экстремумы…

Кандидат физико-mатематических наук
А. Д. БЕНДУКИДЗЕ

Существует множество задач, требующих нахождения наиболее или наиболее значения некоторой переменной величины. Возьмем, к примеру, следующую задачу. Забором длиной 4a нужно отородить прямолинейный участок наиболее площади. Каковы должны быть размеры участка?

Решить эту задачу не трудно. В самом деле, пусть длина участка x. Тогда ширина его будет 2a—x, а площадь x(2a—x). Дело вводится к нахождению x, для которого функция S(x)=2ax-x² принимает наиболее значение. А для этого достаточно заменить, что S(x)=a²-(x-a)²≤a²,

причем равенство достигается лишь при одном значении x: при x=a. Но тогда и 2a—x=a, т. е. участок должен иметь форму квадрата.

Не всегда, однако, при решении подобных задач удается обойти элементарными методами. Вот пример: найти размеры прямого параллелепида наиболее объема с квадратным основанием, если сумма длины стороны этого квадрата и высоты параллелепида равна a.

Ясно, что если длину стороны основания обозначит через x, то объем параллелепида будет равен x²(a—x). Итак, необходимо найти такое значение x (0<x<a), при котором функция v(x)=x²(a—x)

принимает наиболее значение. Как

46

решить эту задачу элементарным путем, не видно. Что же делать?

Читатель, наверное, думает: а чего мудрить? Вычислим $v'(x)$, решим уравнение $v'(x)=0$, найдем критические точки и посмотрим, в какой из найdenных точек наша функция имеет наиболее значение — все очень просто!

Согласно, проше всего действовать по схеме, изложенной в учебном пособии «Алгебра и начала анализа». Конечно, привлечение произвольной существению облегчает исследование функции — нахождение промежутков возрастания и убывания, экстремумов, а также найбольшие значений.

А все же, нельзя ли обойтись без произвольной? Нeyжели раныше, до изобретения произвольной, учены не решали задачи подобного типа? Решили, как не решали! Но часто приходилось прибегать к очень хитроумным преобразованием или к геометрическим построениям. Иными словами, до поры до времени не существовало единого метода, приготовного если не для всех, то хотя бы для достаточно общирного класса задач.

Первым, кто нашел такой метод, был генеральный французский математик Пьер Ферма, о жизни и творчестве которого не раз расссказавалось в «Кванте». Например, в статье И. Г. Башмаковой «Пьер Ферма» («Квант», 1976, № 8) приведено известное правило Ферма для нахождения экстремумов, которое сам автор успешно применял и для проведения касательных. Если воспользоваться современной символькой, это правило можно записать следующим образом.

Для нахождения экстремума некоторой функции $f$, зависит от $x$, следующей найти $f(x+h)$, где $h$ достаточно мало, и написать приближенное равенство $f(x+h) \approx f(x)$. Упростить полученное равенство и разделить его на $h$ или на высшую возможность степень $h$, следует отбросить члены, которые еще содержат $h$, и приближенное равенство заменить точным. Получим уравнение, корнями которого будут именно те значения $x$, для которых $f$ может иметь экстремум.

Сформировав это правило, а произвольное это не позднее 1629 года, Ферма решает в качестве примера следующую задачу: «Разделить отрезок $AC$ точкой $E$ так, чтобы прямогольник с стороны $AE$ и $EC$ был набольшим по площади». Читатель, конечно же, договорался, что это именно та задача, которую мы решили в начале.

Посмотрим, как она решается при помощи правил Ферма.

Сохраним прежние обозначения: пусты длины отрезков $AC$ и $AE$ равны соответственно 2$a$ и $x$. Приравняв (в смысле Ферма!) $S(x+h)$ и $S(x)$, где $S$ — площад прямогольника, получим:

$$(x+h)(2a-x-h) \approx x(2a-x).$$

После перенесения правил части в левую, раскрытия скобок и сокращения на $-h$ получим: $2x-2a+h \approx 0$. Отбросив член, содержащий $h$, и заменив приближенное равенство точки, найдем: $x=a$. Искомый прямогольник — квадрат.

Познакомимся еще с одной задачей, рассмотренной Ферма: «Рассчет данного линю $AC$ в точке $B$ так, чтобы тело, построенное на квадрат со стороны $AB$ и с высотой $BC$, было набольшим».

Ясно, что Ферма имеет прямой параллелепид набольшего объема с квадратным основанием при условии, что сумма стороны основания и высоты дана. А это — выше формулированная задача! Для нее $v(x)=x^2(a-x)$, и, согласно указаниям Ферма, имеем:

$$(x+h)^2(a-x-h) \approx x^2(a-x),$$
$$2axh-3x^2h-3xh^2+ah^2-h^3 \approx 0,$$
$$2ax-3x^2=0.$$

Итак, $x=0$ или $x=2a/3$. Первый корень не годится — ведь выше было сказано, что $0<x<a$. Остается второй, т. е. параллелепид имеет набольший объем, если стороны основания вдвое больше высоты.

Верен ли полученный результат? Чтобы ответить на этот вопрос, мы преждевременно вверно ли само правило Ферма. Сле-

47

дует заметить, что Ферма сначала дел только формулировку своего правила, но позже и обосновал его. Проследим на примере функции $v$ ход расчеденной Ферма.

Пусть $v$ достигает своего наиболее значения при значении аргумента $x_0$. Тогда для любого скольго малого положительного $h$ должно быть:

$$\begin{cases} v(x_0) \geq v(x_0 - h), \\ v(x_0) \geq v(x_0 + h). \end{cases}$$

Вспомним, что $v(x) = ax^2 - x^3$, после элементных преобразований и сокращения на $h$ систему можно представить в следующем виде:

$$\begin{cases} (2ax_0 - 3x_0^2) - (a - 3x_0 + h)h \geq 0, \\ (2ax_0 - 3x_0^2) + (a - 3x_0 - h)h \leq 0. \end{cases}$$

Докажем, что из этих соотношений следует равенство $2ax_0 - 3x_0^2 = 0$. В самом деле, пусть $2ax_0 - 3x_0^2 \neq 0$. Возьмем $h$ настолько малым, чтобы было $h|a - 3x_0 \pm h| < |2ax_0 - 3x_0^2|$.

Этоого, в силу произвольной малости $h$, всегда можно добиться. Но тогда выражения

$$(2ax_0 - 3x_0^2) - (a - 3x_0 + h)h$$

и

$$(2ax_0 - 3x_0^2) + (a - 3x_0 - h)h$$

либо оба положительных (если $2ax_0 - 3x_0^2 > 0$), либо оба отрицательных (если $2ax_0 - 3x_0^2 < 0$). А это противоречит системе (1). Итак, $x_0$ должно быть корнем уравнения $2ax - 3x^2 = 0$, что и доказывает верность полученного результата (существование исключого параллелепипеда не вызывает сомнения!).

Рис. 1.

Как видим, правиль Ферма довольно просто и при этом эффективно. Но важнее то, что эти правиль冯а Ферма фактически ведет производную!

В самом деле, ведь он после правильная нулю выражения

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

отбрасывает члены, содержащие $h$ или его высшие степени, и приближенное равенство заменяет точным. А это равносильно переходу к предлуу в выражения (2) при условии, что $h$ стремится к нулю, т. е. нахождение произвольной $f'(x)$. Иными словами, правиль冯а Ферма позволяет можно представить в виде следующей схемы:

$$f(x+h) \approx f(x),$$
$$f(x+h) - f(x) \approx 0,$$
$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \approx 0,$$
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 0,$$
$$f'(x) = 0.$$

Итак, необходимо условие существования экстремума, высказанное упомянутым правлом, есть не что иное, как хорошо известная нам… теорема Ферма!

Между прочим, Лагранж, Лаплас и Фурье считали, что правиль冯а Ферма послужило началом создания дифференциального исчисления. Им не было известно мнение великого Ньютона — делю в том, что в одном письме, впервые опубликованом лишь в тридцатьх годах нашей степени (более двухсот лет после смерти его автора!), Ньютон недвусмысленно заявляет: «Намек на метод я получил из способа Ферма проведения касательных; применя его к абстрактным уравнениям прямой и обратной, я сделал его общим». Здесь необходимо отметить, что метод, упомянутый Ньютоном, есть его метод флюкси, т. е. то, что мы сейчас называем дифференциальным и интегральным исчислением, а способ冯а — не что иное, как его правило, о котором мы беседовали выше. Познакомимся с тем, как оно может быть применено для проведения касательных.

48

Пусть дана линия $y=f(x)$ и точка $P=(x_0, y_0)$ на ней и требуется провертика касательную к линии в этой точке. Предположим, что касательная $PT$ уже проведена (рис. 1). Возьмем на линия другую точку $Q=(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$ и точку пересечения вертикальной прямой $BQ$ с касательной обозначим через $C$. Из подобия треугольников $TAP$ и $TBC$ имеем:

$$\frac{TB}{TA} = \frac{BC}{AP}.$$

В этой пропорции отрезок $BC$ заменим на $BQ$. Получим:

$$\frac{TB}{TA} \approx \frac{BQ}{AP},$$

или, что то же самое,

$$\frac{TA+AB}{TA} \approx \frac{BD+DQ}{AP}.$$

Но $BD=AP$, и значит,

$$\frac{AB}{TA} \approx \frac{DQ}{AP}.$$

Учитывая, что $AB=\Delta x$, $AP=y_0$, $DQ=\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$, полученное приближенное равенство можно переписать так:

$$\frac{y_0}{TA} \approx \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$

(3)

Остается применить правило Ферма. Именно, в выражении

$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

произвести деление, отбросить члены, которые после этого еще содержат $\Delta x$, и приближенное равенство (3) заменить точным. Тем самым мы найдем длину отрезка $TA$, а значит, и точку $T$, после чего проведение касательной не представляется никакого труда.

Рассмотрим конкретный пример.

Пусть данная линия — это парабола $y^2=2px$ (рис. 2). Для нее равенство (3) имеет следующее вид*):

$$\frac{y_0}{TA} \approx \frac{\sqrt{2p(x_0+\Delta x)}-\sqrt{2px_0}}{\Delta x}.$$

Преобразуем правило часть этого равенства:

$$\frac{\sqrt{2p(x_0+\Delta x)}-\sqrt{2px_0}}{\Delta x} =$$

$$= \frac{2p(x_0+\Delta x)-2px_0}{\Delta x(\sqrt{2p(x_0+\Delta x)}+\sqrt{2px_0})} =$$

$$= \frac{2p}{\sqrt{2p(x_0+\Delta x)}+\sqrt{2px_0}}.$$

Отбрасывая в последнем выражении член, содержащий $\Delta x$, подставляя результат в (4), заменяя при этом приближенное равенство точным, получим:

$$\frac{y_0}{TA} = \frac{p}{\sqrt{2px_0}}.$$

Но $y_0=\sqrt{2px_0}$, а значит, $TA=2x_0$, т. е. $T=(-x_0, 0)$; остается провертичнее точки $P$ и $T$. Задача решения!

*) Для определения, пусть $y_0>0$.

К нашим читателем

Продолжается подписка на журнал «Квант» на 1989 год.

Журнал расчитан на учеников 6—10 классов. Он полезен учителям, особенно тем, кто ведет кружки и факультативные занятия, и всем любительям математики и физики.

В новом году объем журнала увеличается и рубрики расширяются.

Индекс журнала в каталоге «Союзпечати» 70465.

Подписная цена одного номера 45 копеек.

Подписка принимается без ограничений в течение всего года и с любого номера в агентств «Союзпечати», на почтамах и в отделениях связи.