Квант 1988, №11-12 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-математический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Правильные многогранники

1988

В номере:

2 А. Н. Колмогоров в воспоминаниях учеников
12 Ю. Р. Носов. Молнии в критале
19 Ф. В. Вайштейн. Разбнение чисел
26 Б. М. Бубнов. Поговорим немного о погоде…

Новости научки
32 Супервытянутые ядра

Задачик «Кванта»
33 Задачи M1131—M1140, Ф1143—Ф1147
35 Problems M1131—M1140, P1143—P1147
37 Решения задач M1110—M1115, Ф1123—Ф1127

«Квант» для младших школьников
37 Задачи

Калейдоскоп «Кванта»
Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10:
Равнодействующая — как ее найти?
Реальный газ и его уравнение состояния
54 Прицип Гюйгена

Лаборатория «Кванта»
57 А. Н. Агафонов, С. И. Селцер. Необычный матник

Математический кругок
59 С. Л. Табачников. О плоских кривых

Практикум абитриента
64 Е. Е. Городецкий. Гармонические колебания

Информация
69 25 лет Новосибирской ФМШ
73 Конференции в Ставрополе

Олимпiadы
74 XXII Всесоюзная олимпiadа по математике
78 XXII Всесоюзная олимпiadа по физике
82 I Всесоюзная олимпiadа школьников по информацией
87 Международные олимпiadы

Наша анкета
88 Кто и как читает «Квант»
90 Ответы, указания, решения
93 Напечатано в 1988 году
«Квант» улыбается (46)
Смесь (11, 58, 68)

Наша обложка
1,4 Правильные многогранички. Об их прощлом, настоящем и возможном будущеем читайте на страницах «Калейдоскоп« «Кванта».
2 Картина советского художника А. Г. Тышлера (1898—1980) «Директор侈оды» — естественное «предисловие» к статье Б. М. Бубнова «Поговорим немного о погоде…».
3 Шахматная страница.

2

Двадцать пятого апреля 1988 года исполнили 85 лет со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова. В его подмосковном доме в Комаровке в этот день собралась небольшая группа его ученков и сотрудников, в основном теже, когоровно за 200 до этого Андрея Николаевичи пригласил на свой день рождения. Как оказалось — на последний, который емусуждено было отметить: А. Н. Колмогоров кончался 21 ноября 1987 года. Собравшиеся были не самых старшими и титульовыми ученками

А. Н. Колмогорова (среди его ученков одной академикой — семь человек!), а математиками помогло — те, кто в последние годы его жизни были всего сотрудничал с ним. Мы публикуем воспоминания близких ученков А. Н. о том, как они познакомились с ним, совместно с ним работали или просто общались с ним. В этих воспоминаниях вырисовывает не только яркий образ великого ученого, но и образ уникальной личности.

4

Для математических работ Андрея Николаевича Колмогорова характерно то, что он явился пioneером и первооткрывателем во многих областях математики: ему принадлежат яркие достижения в теории вероятности, теории функций, функциональном анализе, топологии, теории дифференциальных уравнений, теории диинамических систем, теории турбулентного движения жидкости и т. д. — трудно указыть область математического анализа, в котором А. Н. Колмогоров не сделал бы существенного включения (порой двухсотлетних) проблем.

Первую свою значенность работы — пример ряда Фурье суммируемой функции, расходящeres почти всюду, Андрей Николаевич выполнил в 19 лет. (В качестве курбеза упомянуну, что Фурье говорил мне в 1965 году: «О, Колмогоров! Это тот замечательный молодой человек, который построил почти всюду расходящейся ряд Фурье!» Для Фурье все работы Колмогоров по теории вероятности, диинамическим системам, турбулентности и мелли меньшую цeny, чем эта студенческая работа.) Сам Андрей Николаевич всегда высоко ценил «спортивно-математические» достижения и этой первой работы гордился, но самым трудным своим спортивным достижением считал работу о 13-й проблеме Гильберта.

Технического условиянствования и обобщений построенной теории Андрея Николаевич обычнострался избегать. Зато на третьей стадии работы, когда нужно осмыслить полученные результаты и увидеть новые пути, на стадии создания функamentальных обобщающих теории, Андрею Николаевич принадлежат замечательные достижения.

Среди более чем трех сотен опубликовных им статей имеются исследования по механике, геологии, биологии, кристализации металлов, теории стрелых, теории стихосложения, теории передачи информации, теории автоматов и т. д. В самом математике Андрея Николаевич всегдастралась также проблемы, решения которых приближает нас к позначению природы и к овладению ее силами. Сам он сказал о своей прикладной деятельности так:

«Занимаясь с некоторым успехом, а иногда и с пользовой, довольно широким кругом практических приложений математики, я оставсь в основном чистым математиком. Восхищаясь математики, которые превращались в больших представителей нашей техники, вполне оценивая значение для будущего человека вычислительных машин и кибернетики, я все же думаю, что чистая математика в ее традиционном аспекте не потеряла своего закономого почетного места среди других наук. Гибельным для нее могло бы оказаться только чрезмерно резко расслоение математков на два течение: один культивируют абстрактные новейшие отделы математики, не ориентируясь отчетливо в их связях с породившим их реализным миром, другие заняты «приложениями», не восходя до исчерпывающего анализа их теоретических основ… Мне хочет поддержать закономость и достопинство позицини математика, понимающего место и роль своей науки в развитие естественных наук, техники, да и все человекаческой культуры, способного развивать свою естественную науку в соответствии с этим общими потребностями».

Эти слова Андрея Николаевича о закономости и достопинстве позицини математика, вынесенные в 1963 году на обложку посвященного ему номера «Огонька»,— его кредо и научное завершение. Актуальное его мысли и предостережений становятся все очень подробно по мере того, как сбывается предсказание Лагранжа: «Места по математике в Академии сделаются тем, чем уже стали кафедры арабского языка в университетах…»

Вспоминает доктор физико-mатематических наук, профессор МГУ Владимир Андреевич УСПЕНСКИЙ:

— Еще школьником я узнал, что есть такой математик Колмогоров, и, накогда его не видев и не зная никаких его работы, я уже знал, что самый

5

Главный математик, самый великий — это Колмогоров. А потом я участвовал в Московской оптимизации по математике (скорее всего это была весна 1946 года, когда я учился в 8-м классе), и среди тех, кто привствовал учатников оптимизации, был Колмогоров. На трибуну вышел моложавый человек. На меня произвело очень большое впечатление: и манера говорить гуасavo, наклонив голову на бок к плечу, и текст выступления, который начинался фразой: «Президент Московского математического общества Павел Сергеевич Алексадров поручил мне привствовать учатников математической оптимизации». Если самый великий математик — Колмогоров, то как же велик тот, кто мог что-то поручить самому Колмогорову?!

Познакомился я с Андреем Николаевичем, когда был на третьем курсе. Он читал специальный курс на механизм МГУ «Теория меры». На этот спецкурс ходили в основном для удовлетвория, так как сдавать этот курс было не нужно. Однако в перерывме между лекциями я к нему подошел. Мне нельзя об этом вспоминать: А. Н. сделал некоторых утверждения, которые я опроверг. На него это произвело впечатление, и он пригласил меня приехать к нему на дачу, спросив, готов ли я только говорить о математике или же могу такжекататься на льжах. Так мы с ним познакомились.

О каатании даже и вспоминать не хочется, потому что льжи просто не держались на мне. До этого я катался на льжах только в валенках, прособывая носок валенка в петельку, и никаких других креплений простоникогда не видел и не знал, что такие бывают. Андрей Николаевич выдал мне и ботинки, и льжи, и крепления (жесткие или получские, не помню сейчас). Льжи постояно с меня спадали, и академик Колмогоров всякий раз при этом стоял на коленях на снегу, поправляя крепления моих льж. Первые льжи уехали от менясовсем под гору, мы вернулись и надели другие. Я в этом, скорее всего, не был винovat, потому что при исправных креплении льжи не должны были уехать. Это все проискодило 22 января 1950 года. С этого времени я стал учеником А. Н.

Работать с А. Н. было очень просто. Все время ощушалось, что он человек генциальный. В моей жизни было три генальных человека, с которых мне довелось общаться,— это Б. Л. Пастернак, А. А. Зализянк и А. Н. Колмогоров. У А. Н. был свой особый стиль. Зимой 1950 года, впервые позавел меня к себе на дачу, он не без некоторых торжественных произвел меня в свои ученики. Тогда же он назначил тему моих занятий. Он сказал, что бывают такие особенные функции, они называются ресурсивными, и он их в нашей стране почти никогда ничего не знает. Дал несколько оттенков статей из иностранных журналов и велел разобраться. И сказал: «В крайнем случае, если из вас ничего не выйдет, будет делать нам грамотные рефераты». Одовременно с этим он подарил мне несколько отличков своих трудов, один из которых — с дарственной надписью. Это очень раннее и уникальное отлички 20-х годов, которые я берегу.

В чем проявлялась генциальность А. Н., сказал очень трудно. Но вот могу назвать такие две отличительные его черты. Первая. Будучи аспирантом, я встречался с А. Н. еженедельно. И всякий раз, в каждую последующее встречу, он помил, на чем мы расстались, и вообще всего мою работу (все, что я сделал до этого) он знал лучшее и точнее, чем я. Хотя я занимался только этим, а он, как известно, и много других. Вторая черта. Часто одновременно со мной в Комаровкуездил Г. И. Баренблатт, с которым А. Н. занимался гидродинамикой (а со мной — математической логикой). На нас с Баренблаттом произвolvedло неизгладимое впечатление, с какой легкостью А. Н. переходил от гидродинамики к математической логике и обратно. Для него это было совершенно естественно. А нам казалось чудом.

Как шла работа? Иногда мы оба с А. Н. рассуждали всух, а иногда я писал ему тексты, которые и bruчал

6

(и которые как мне теперь хотелось бы надеться он просто выбрасывал). Взяв меня в аспирантуру, Колмогоров назначил мне два трудных экзамена по алгебре и по уравнениям математической физики и объявил, что третий экзамен должен быть все же ближе к логике. И велел мне сдавать теорию релейно-контактных схем. Математический литературы по релейно-контактным схемам тогда почти не было, а была литература техническая. Поэтому подготовка к этому экзамену давалась мне труднее всего. Помню, что два места я не мог понять, как работает триод. И, только все выучив, понял, что это и не надо было понять. Помимо трех экзаменов полагались еще и аспиранские отчеты. В качестве одного из них А. Н. дал мне для перевода только чтоышедшую на немецком языке книгу венгерского математика Розы Петер «Рекурсивные функции». Немецкий язык я не знал, но сказал об этом Колмогорову не решился. Я взялся за работу и… перевел. Книжка получалась неважная, но предисловие, которое написал А. Н., — гениальное.

У меня есть две работы, совместные с А. Н., есть и работа, на котором стоит только моя фамилия, но которая полностью исприрована А. Н. Это статья в «Докладах Академии наук» про доказательство теоремы Гёделя. Когда А. Н. индуцировал у своего ученика неоторый результат, который на самом деле был им почти подсказан, он создавал такую обстановку, будто бы ученик допумался до этого сам, и предлагал писать статью в журнал о результате. Вот такая психологическая поддержка своего младшего партнера — очень существенный момент его деятельности. Проискодило ли это инстинктивно или он это обдумывал, я не знаю.

К сожалению, я, наверное, не могу считать себя полноправным учеником А. Н., потому что не обладал ни одним из двух необходимых для этого качеств: ничего не понимал в музыке и не занимался спортом. Тем не менее, он меня не проогонал. А иногда расуждал со мной об искусстве, пора-

жа меня своим позанинями во всем. Кто сегодня, например, знает шахматный учебник Дюфреня? Никто. Это известный учебник конца прошло века. Этот учебник у меня дома был (достался от отца), поэтому я его читал. И когда мы заговорили с А. Н. о шахматах, первоое слово, которое он произнес, было «Дюфрень», и он расскаазал мне содержание учебника.

Еще такой случай. Для меня было необходимство, что на гербе правой и левой стороны считаются не то, что мы видим права и слова, а наоборот. (Это потому, что герб рисовался на шите и рассматривался с точки зрения того, кто несчит.) Едва я это узнал, как А. Н. по какому-то поводу об этом упомянул.

Вспомним доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Математического института Академии наук АЛЬБЕРТ Николаевич ШИРЯЕВ:

— Об Андрее Николаевице я впервые услышал, конечно, в школе: учительница по математике очень много говорила о нем. Яучился тогда в 538-й Московской школе-интернате, и наша учительница подталкивал нас к участю во всемоможных кружках и олимпиадах. При bruченении призов на одной из олимпиад я впервые увидел А. Н. Потом было поступление в университет. Хотя об А. Н. мы слышали и раныше, но общее с ним казалось чем-то недоступным, нереальным.

Я сначала блужdal по разным кафедрам, и прошло много времени, прежде чем я остановился на кафедре теории вероятности. Впервые неоторое соприкосновение с А. Н. произшло тогда, когда я служал его курс «Анализ-3». А первый мой разговор с А. Н. произшел, когда я зашиал свою дипломную работу. Я ее выполнял между 4-м и 5-м курсами, потому что знал, что в начале 5-го курса мне будет не до дипломной работы, поскольку я входил в студенческую сборную страны по горным лыжам, и в начале февраля 1957 года принял участие во П Зимних студенческих играх в Гренобле.

7

Защита противила в конце февраля. После зашиты А. Н. вышел со мной в коридор, поговорил со мной о работе, произнес много вещи, которые я не понял. И то ли кто-то сказал ему о моем участии в играх в Гренобле, то ли мой загорельный вид говорил сам за себя, но А. Н. пригласил меня к себе в Комаровку кататься на льжах.

А. Н. справивал о моих математических интересах, но никакого дальнейшего разговора тогда не было. Начиная с 4-го курса я был в спецгруппе, поэтому я никак не мог расчитывать на работу в Математическом институте. Однако после 5-го курса мы с моим однокурсником Витей Леоновым, к несчастью, рано погибшим, узнали, что А. Н. берет нас по распределению в Математический институт. Мы сразу даже не оценили этого счастья. И тут же началась работа: А. Н. включил нас в исследование по нейнейному спектральному анализу, нейнейной теории случайных процессов. Это были настоящие и плодотворные годы, что я даже забросил горныелыжи. По поводу одной нашей работы, которая сейчас широко известна и которую мы докладывали с Леоновым, А. Н. с улыбкой сказал, что «авторы преисполнены важности разработываемой проблемы».

Когда В. Леонов и я были зачислены в МИАН, А. Н. сразу четко определил наши обязанности. В 1956 году был создан журнал «Теория вероятности», и определенная работа по журналу была возложена на нас: редактирование, разметка чужих работ. Эта деятельности, хотя и была черновой, явлась для нас хорошего школаю. Следующое, что мы должны были делать с Леоновым, — ходить на лекции А. Н., в частиности по случайным процессам, и записывать их. Кстати, этими записами его лекций я до сих пор пользовы; они остались неиздаными. На их приведение в порядок В. Леонов затрагил много сил, но когда А. Н. увидел получивший текст, его комментарий был очень краток: «Воже, какой урод получился!».

Что касается научных исследований о нейнейных случайных процессах, то А. Н. заметил в одной работе Черенкова (сына известного академика) некоторые правила вычисления так называемых сёми-инвариантов маленьких порядков. Он решил, что, по видимому, имеет место некоторое общее правило (для всех порядков), как-то его появил и поручил нам его доказать. Ситуация была очень тяжела. Каждый четверг А. Н. начинал с того, что интересовался, что нами по этому поводу сделано. Мы испытывали фантастическое количество бумаги. И только через год мы доказали сложнейшим комбинаторными путими то, что нужно. А потом мы нашли доказательство, которое уместилось на двух страницах. А. Н. написал введение к этой работе.

Тепер о том, как мы работали. А. Н. так много знал, что мы довольно быстро усвоили правила: не уходить от А. Н. без бумажки, на котором он делал при разговоре помещки. Потом, разгладивая эти бумажки, мы разгладили их, как ребусы. Часто не покидало ошибке, что он говорит что-то генциальное и по делу, а ты ничего не понимаешь. Магнитофонов тогда не было, а запись все — просто физической не было возможности. И каждый четверг на вопрос А. Н. «Что же сделано?» стояло было ответать, что ничего, и приходимь не спать, недоедать. Хотя у нас уже начали появляться семьи, мы упорно скрывали это от А. Н.

Далее спустя два года А. Н. создавал также ситуацию, которые были сопряжены с потрясениями. Например, я хорошо помню, как однажды мне позволили в 9 вечера и сказали, что А. Н. просит приехать к нему в Комаровку. Часам к 11 я добрался в Комаровку. А. Н. оказался больным. Он сказал, что завтра у него должно стать лекция, где нужно будет читать теорему Блэкулла о ресуррентных событиях. А. Н. не хочеет, чтобы эта лекция пропускалась, и просит меня ее прочесть. И предположил два варианта: либо он немедленно что-то мне рассказывет по теме лекции, либо дает отпуск работы Блэ-

8

куолла, в котором я сам должен разобраться. Лекция должна была читаться на первой паре, поэтому у меня была почь. Блэкулл писал фантастически скато. Я поехал домой, просидел всю ночь, прочитал лекцию, а потом вернулся домой спать.

Довольно-tаки быстрого А. Н. переключил меня на новую тематику. Пришлось изучать книги по радиотехнике, где было описано устройство приемников и ламп, разобраться в принципах радиолокации. Заказчики пришли и обучили суть задачи. Математическая ее постановка, предложенная А. Н., оказалась удивительно удачной (А. Н. умел так удачно формулировать задачи, что из них потом выразали совершенное новые направления). Занимался этой задачей, я написал свою докторскую диссертацию и книжку по статистическому последовательному анализу.

А. Н. никака ничего подобно не объяснял. Приходилось до всего доходить самому. Он выдал нам почти инженерную постановку задачи: минимизировать среднее время запаздывания при заданной вероятности ложных тревог. Ответ он, конечно, угадал. А. Н. сказал лишь, что в очень простой ситуации ответ должен быть такой-то, причем его нельзя было получить из какой-либо существующей в то время теории: нам ее просто пришлось придумывать.

А теперь об общей культуре. Поскольку мы были связаны секретарскими обязанностями, лекционной деятельности, приходилось часто быть в Комаровке. Ходили в походы, слушали музыку. И в музыке фамильяричать с А. Н. было невозможно.

Типичный пример. После какого-то вечера, когда было очень много музыки, А. Н. спросил: «Ну, что же еще вам сейчас поставить? Шарпантье или Куперена?». Я сказал: «Андрей Николаевич, может быть, что-нибудь полегче?» А. Н. тут же: «Сейчас я вам «Одинокую гармон» найду». Мне было неводек, что А. Н. может что-нибудь знать об этой «Одинокой гармони». А однажды, слушая музыку, я сидел и постукивал пальцами по столу. А. Н. быстро подложил салфеточку. Я все понял.

Моя деятельности (сначала неилиные преобразования, потом последовательный анализ) — пример того, как А. Н. с помощью очень простых формулировок выталкивал людей на самостоятельную орбиту, после чего он считал, что у него есть сотрудники, которые этим занимаются, и знают это лучше него (хотя знать лучше А. Н. можно было только детали, но не общие идеи).

О не математическом общеении с А. Н. могу расссказать лишь отдельные эпизоды, отдельные штрихи. Помню такой характерный эпизод. Мы были вместе в Венгрии на конгрессе по теории информации. Получили по 1300 форинтов. Посокльку там нас попили-кормили, у каждой образовалась большая сумма денег. И возникок вопрос: что купить? А. Н. сразу спросил про книжный магазин. Пришли туда. Он тут же увидел книгу рисунков Микеланджело, которая стояла 1200 форинтов, купил ее, потратив все что у него было, и сказал: «А билет на tramway вы уже мне купите».

Впервые со старыми русскими городами я познакомился через А. Н. Иногда заезжали в провинциальные русские города, в глубинку. А. Н. о каждом городе многое знал, и цель у него всегда была определенная: он помил, что здесь нужно посмотреть такую-то стену или башню. Видимо, на память об этих позедках А. Н. подарил мне на сорокалетие tollstudio книгу «Древнерусские города».

Я никогда не видел, чтобы А. Н. желался. Он никогда, ни в какой форме не искал к себе сочувствия. А на вопрос: «Как вы относитесь к всемуному почету, уважению?» — А. Н. ответал просто: «Спокойно».

Из спортивных увлечений А. Н. стоит отметить гребло и лыжные походы. В равинных лыжных похо-

9

Дах А. Н. прошвлял фантастическуюритичность движений. 30—40 км похода для нас были недостіймой вешью, мукой, а он даже в 60 лет проходил такие расстояния легко.

Вспоминает доктор физико-математических наук, профессор МГУ Владимир Михайлович ТИХОМИРОВ:

Я познакомился с Андреем Николаевичем на 3-ем курсе, в 1955 году. А. Н. был тогда деканом механикоматематического факультета, а я — секретарем комсомольской организации своего курса. Однако прошел инцидент: один из моих товарищей, человек горячий и гордый, не вытерпел оскорбления, которое нанесему взрослый человек, и ответил очень грубо. Стал разбираться вопрос о пребывании моого товара в университете. Тогда я и пришел к А. Н. и изложил существо дела. А. Н. довольно резко сказал, что это, конечно, безобразный поступок, который требует самого сурового осуществления. Я старался зашитть своего друга и говорил, что он, разумется, винovat, но все товарищи знают его как хорошо и способного человека, и потому не следует его отлучать от университета. Андрей Николаевич повторил свои слова осуществления, но когда мне уже казалось, что дело окончательно проиграно, он вдруг сказал: «Ну, мы его, конечно, не исключаим». Андрей Николаевич всегда верил в доброе начало в человека. Он поддерживал многих, и почти во всех случаях те, кому он оказал поддержку, заняли достойное место в науке.

А. Н. Никогда мне не ставил персональных задач. Я участвовал в семинаре А. Н. На нем А. Н. предложал задачи как бы всем. Одана из них мне показалась очень интересной. После того как я решил ее, Андрей Николаевич стал обсуждать со мной перепективы дальнейшей работы. Часть задачи предложал я, и А. Н. одобрял меня, по поводу другой части высказывал свои сомнения, предложал множество своих задач в развитие всей тематики. Он как бы приоткрывал засесу и показывал отдельную персектиvy, где виделись и конкретные цели и открывался путь, не имеющий конца.

Однажды А. Н. сказал мне: «Вы не должны иметь об мне представление как о человеке, который знает только математику; я принадлежу к тем людям, кто имеет собственное мнение более или менее по любому вопросу». Я знал всегда, что А. Н. — математик исключительно широты, но не мог и подозреть, в какой мере безграничным является его кругозор в философии, экономике, политике, географии, в вопросах, связанных с искусством и литературой. Он был при этом очень самостоятельен, почти всегда непредсказуем. В частности, в своих пристрастиях. Как-тоашла речь о крупнейших писателей XX века. Я задумался и стал перебирать наиболее «простих» целей (в середине пятыдесятых) именно — Горький, Шолохов, Фолкнер, Роллан, Хемингузей, Ремарк… Андрей Николаевич без колебаний вершинами мировой литературы нашего века назвал творчество А. Франса и Т. Манна, и это было для меня совершенное неожиданное. А когда речь зашла о поззиии, А. Н. также непредсказуем для меня выделил 24-летнего тогда Евтушенко.

А. Н. был страстным и неутомимым лыжником, очень любил лыжные переходы. Как-то он попросил пригласить к нему с нашей курса кого-нибудь из сильных лыжников, чтобы сделать особенно дальней переход. На нашем курсе был студент с первым юношским разрядом, ему передали просьу А. Н., тот с удовлетворением согласился. Поначалу наш сокурсик резвился, убегал, поджидал А. Н., потом уже weil рядом, берег силы, а в конце А. Н. просто нес его лыжи: в долгих лыжных походах (особенно без большой третировки) иногда наступает такой момент, когда человек еще кое-как может ковыльть пешком, а на лижах идти уже не в состоянии.

Вспоминает кандидат педагогических наук, заведующий сектором НИИСИМО Алексадр Михайлович АБРАМОВ:

— Заочно я познакомился с Андре-

10

ем Николаевичем, когда учился в сельном классе. Я прочитал его брошюру «О профессии математика».
Написана она и доступно, и ярко, поэтому хорошо помню свои впечатления и даже отдельные задачи.
А первая встреча произвела в 1963 году, когда А. Н. вручал грамоты призерам Всероссийской олимпiadы.

В том же году была организована сначала первая летняя математическая школа в Красновидово, а затем и ФМШ при МГУ. Мы, ученики самого первого выпускного класса, считали, что нам невероятно повезло: и в летней школе, и в ФМШ А. Н. был нашим учитель. Да и он сам, по-видимому, испытывал особые чувства к первым 19-ти выпускникам ФМШ — спустя многое годы он помил всех.

В студенческие годы, учась на mexmate МГУ, я работал в интернате преподавателем математики и довольно часто встречался с А. Н. Но все же было полной неожиданностью, когда перед распределением он предложил мне профессиональное занимать школьными проблемами и стать его аспирантом. Естественно, я сразу согласился. Собиться было и первое посещение Комаровки.

Свою первую научную работу я выполнил в университете под руководством В. М. Тихомирова. Так что в известной мере с характером школьы А. Н. я был знаком, и это оказало большое влияние.

Хотя мне предстояло работать над педагогической диссертацией, тема требовала главным образом размышлений в сфере математики. А. Н. кратко поставил задачу: дал список аксиоме включенной планиетрии, положенной им в основу школьного курса геометрии, и сказал, что надо на их основе дать точное изложение геометрии, исследовать аксиоматку. Каких-либо инструкций (наприлёр, как выстраивать последовательность теорем) и подсказок не было. А. Н.

11

выделил только наиболее интересующей его результат — теорему об изменении углов — и указал несколько работ, которые полезно прочитать.

Таким образом, он предоставил полную свободу. И дело ограничивалось очень краткими обсуждениями. Но окончательные результаты А. Н. контрольровал, внимательно знакомился с итоговым текстом.

Позднее мы много работали над школьными учебниками. Было несколько периодов по 3—4 месяцев ежедневной работы при подготовке очередных изданий. А. Н. очень тщательно следил за текстом. Когда его что-то не удовлетворило (а это просходило постоянно, вплоть до стадии корректуры), рассматривались многие варианты. В итоге возникали горячие черновики.

На мой взгляд, главное, что давал А. Н. как учитель, научный руководитель, это увлеченность делом и веру в собственные силы. Он умел сделать так, что ученик вырастал много выше того потолка, который сам себе отмерял. Как-то студно было не выполнить задания, которое давал А. Н. Может быть, поэтому удаваюсь сделать многое из того, что ранее казалось невозможным. Очень важно иметь такой пример перед глазами — для А. Н., каждая, не было задач, которые нельзя решить, он все знал.

Мне кажется, что А. Н. в какой-то момент своей жизни (очевидно, в ранней юности) решил, что человек просто обязан быть счастлив и для этого ему нужно то-то и то-то. При этом необходимо, чтобы все виды деятельности, которые выбирает себе человека, его по-настоящему уведомили. И А. Н. удалось построить свою жизнь таким образом: его творческое достижение необычайны, он очень многоумел ценить — любил человекое общение, природу, музыку, литературу…

Внешне рациональная, размерная, его жизнь вытрение диапазона, наполнения и интересом ко всем сущему, и глубокими переживаниями. Однако А. Н. заметил, что по его мнению каждый человек, начиная с определенного момента, продолжает как бы оставаться в том возрасте, для которого наоблее характерно свойственное этому человеку мироошущение. На прямой вопрос: «А вам сколько лет, Андрей Николаевич?» — он ответил: «Четырнадцать».

Публикация подготовила А. В. Сосинский

Внимание!

Дорогие читатели! В новом, 1989 году мы увеличиваем количество страниц в журнале на 25 %. Это позволяет нам открыть ряд новых рубрик. Большое внимание будет уделено вопросом космических исследований, астрономии, общим вопросом программирования. На страницах журнала чаще будут появляться произведения художественного литературы.

Для комненации расходов по увеличению объема журнала цена каждого номера увеличивается на 5 копеек. Новая цена журнала — 45 копеек. К сожалению, решение об увеличении объема и стоимость журнала было утверждено после выпуска каталога «Союзечати» и начала подписки на 1989 год.

Если вы уже оформили подписку, просим вас в соответствиицем отделении «Союзечати» произвести долату по 5 копеек за каждый номер.

13

МОЛНИИ В КРИСТАЛЛЕ

Доктор технических наук
Ю. Р. НОСОВ

Спросите специализта по электропище — инженера, научного работника, руководителя предприятия: что сегодня самое перспективное и многообещающее в этой области? Восемь из десяти ответят: «Оптоэлектроника!»

Давняя мысль об использовании в информанике не только электрических сигналов (как это предлагает традиционная микроэлектроника), но и сигналов световых, оптических — эта мысль оказывась очень плодотворной. Выяснили, что благодаря слиянию электроники с оптикой возможности устройства вычислительной техники и связи неизмеримо возрастут: в сотни и тысячи раз повышается их быстродействие, устройства станут более надежными, помехуустойчивыми, миниатюрными.

Все это было понято еще в шестидесятые годы. Так почему же, впервые просить читатель, многое и сейчас остается по-прежнему лишь обещанием? А дело вот в чем. Чтобы «вырчь» свет в работу, надо научиться обращаться с ним как же свободно и просто, как с электрическим током. Научиться усиливать и преобразовать световые сигналы, без потреб передавать их из точки в точку, записьвать и сохранять. Но прежде всего надо научиться их генерировать. Что бы ни говорилось о важности всех элементов оптоэлектронной системы, именно источник световых сигналов, излучатель, является первоосновой, «альфой и омегой» оптоэлектроники. И конечно, нужен не просто любой излучатель, как, например, осветительная лампа, а такой, который по минiatурности, экономичности, долговечности был под стать трансистором и интегральным схемам.

Очевидно, что решение проблемы излучателя могло быть найдено лишь в сфере полупроводников.

Перенесемся мысленно лет на тридцать назад. В те годы полупроводниковая наука работала на нуждаы трансисторной техники — ведименно с этим приборами связь большие надежды электроники. Первые трансисторы изготовились из термания, но было ясно, что лучшие результаты могут быть достигнуты на кремнии и на таком новом тогда полупроводнике как арсенид галля — двухкомпонентом соединении мышьяка и галлия (GaAs). «Кремниевое» направление быстро достигло успехов и с 1960 года стало основой не только трансисторной техники, но и микроэлектроники.

А вот из арсенда галля трансисторы упорно не желали получить. И миллионные затраты на создание совершенных monокристаллов GaAs уже готовы были списать в убиток, оправдываясь тем, что «наука требует жертв», но… Не всегда известно, где найдешь, где потеряешь. Вдруг и на этом, «тупиком», направления засветилась надежда, причем засветилась в буквальном смысле слова.

В 1956 году обнаружили при проускании электрического тока через арсенидогаливый диод он начинает излучать!*) Так появились светодиоды. Физики и инженеры буквально набросились на интерсейд эфект. Тотчас же установили, что полупроводниковый кристалл в светодиоде не раскаляется — значит, ответственна за излучение ломинесценция, давно известная ученым как «холодное свечение».

Разобрались и в механизме работы светодиода. Использовемый в нем

*) Вообщие говоря, излучение полупроводникового диода впервые наблюдал в 1927 году наш соотчетственный О. В. Лосев, но интенсивность свения была так низкая, что практического применения «эффект Лосева» не получил, был забыт, и через 30 лет все пришлось повторить. Ситуация не столь уж редкая в науке.

15

ми радуги, ярко и чисто. Значит, необходимо было найти другие подходящие полупроводники с большей, чем у арсенда галля, широкой запрещенной зоны. И как всегда, когда физические механизмы поняты и задача четко сформулирована, средства ее решения нашлись.

Вскоре*) уженикого не удивило, что светодиоды на фосфиде галля интенсивно излучают красный или зеленый свет в зависимости от видаводимых в кристалл примесей. Использование тройного соединения галля, мышьяка и фосфора позволяет получить любое свечение в интервале от темно-красного до оранжевого и почти желтого. Карбид кремния заветился в желто-зеленой и голубой области спектра, правда очень очень слабо. И только синий цвет, как метерлинковская ускорização синяя птица, все никак недается в руки ученым. А самыми яркими оказались красные светодиоды — именно под «альми парусами» оптоэлектроника уверенно «вплыла» в технически и в наш быт.

Во многихустройствах использются наборы из большого числа светодиодов, размещаемых в определенном порядке на обшем шитке. По команде, поступающей отустройства управления, из отдельных светящихся точек выписьается нужная цифра, буква, график. Это наведено на естественную мысль: зачем пластину полупроводника разрезать на отдельные кристаллики, а потом, уже в состав светодиодов, снова собирать их вместе? Так появились знакопитュшие индикаторы — внутри общей пластмассовой оболочки размешается несколько кристаллов либо один кристалл с несколькими точками, светящимися независимо друг от друга.

Светодиоды и индикаторы, появившиеся в промышленности в конце 60-х годов, нашли широкое применение. Сегодня их мировое произведение приближается к 10 миллиардам(!) штук в год. В электронных часах и калькуляторах, на приборных шитках роботтехнических комплектов и гибких производственных систем, в кнопках и клавишах самой различной радно- и электронноеческой аппаратуры, на пультах управления самолетов и подводных лодок — где только не вспыхивают эти ярко-красные светлячки и цифры.

Правда, возможность светодиодов ограничены, они используют лишь вустройства индивидуального пользования при необходимости от индикатора до глаза. Но уже поговоривот о том, чтобы некоторые марки автоматин основать стопсигналами из наборов сверхинтенсивных светодиодов. Конечно, до светодиодного освещения квартир далеко, хотя кто знает «что день грудуший нам готовит?».

Однако пора и двух перевести, попробуем слегка подытожить. Все, о чем мы здесь говорили, касалось, говоря техническим языком, применения светодиодов вустройства управления информации. С их помощью информация,рождающая в недрах ЭВМ в виде электронических импульсов, превращается в primo воспринимаемого и таким образом реализно дозит до человека. Нужны, важны такжеустройства? Несомненно! Но ведь это только часть тех проблем, в решении которых должа (и может) оптоэлектронка помочь информацией. Ведь еще осталось проблемы переработки, передачи, хранения информации. Какую лепту может здесь внести светодиод? Увы… Дифирамбы неволно затихают, яркая радуга цветов блескет…

Во-первых, как уже отмечалось, интенсивность светодиодов очень малa — то, что чувствует глаз, не всегда улавливает фотоприемник, да еще удаленный на некоторых расстояние. Во-вторых, оказалось, что излучение светодиода не монхроматично — о количественной оценке этого недостатка мы поговорим ниже, а сейчас лишь указывает, что такое излучение

16

ние, захватывающее целую полосу длин волн, не годится для многохоптоэлектронных устройств.

И наконец, главное — светодиод светит почти равномерно во все стороны, сконцентрировать его энергию в одном, остронаправленном луче невозможно. Простейшую для электрических цепей задачу — передать сигнал из точки A в точку B и только в нее — светодиод решить не может. Бóльшая часть световой энергии траится не просто бесплатно, она «засоряет» окружающей пространство, проискит утека информации. светодиод — этот беспечный трансжир и тот, болтун, не способный держать язык за зубами,— явно не пара информацией, где все точно расчитано и выверено, и на каждый бит отпущеноровно столько энергии, сколько необходимо.

К счастью, светодиод как излучатель есть прекрасная альтернатива — это лазер, характеризующийся высокоинтенсивным почти монохроматическим остронаправленным излучением. Сделаем здесь небольшое отступление и поговорим о количественном содержании этих свойств лазера.

Направленность характеристиства telescим углом α, внутри которого лежат генерируемые излучательные лучи; если луч расходится, симметрично удаляясь от некоторой оси (направление излучения), то для оценки расходимости использует плоский угол, измеряемый как объчно — в радианах, градусах, минутах.

Строго монохроматических волн в природа не бывают, поэтому для характеристики приближения реализного волнового потока к идеальному говорят о степени monохроматичности. Колчественно это — отношение полосы длин волн генерируемого излучения Δλ к длине волны в центре полосы λ₀; чем меньше Δλ/λ₀, тем совершеннее лазер. Для примера указываем, что типичный газовый — гелий-неоновый — лазер обеспечивает α < 1′ и Δλ/λ₀ < 0,000001. Такой поток волне подходит для устройства вычислительной оптоэлектроники — этот термин в последнее время использовут для характеристики того направления, которое связано с обработкой информации, представленной в виде оптических сигналов.

Вроде бы все хорошо, однако не будем спешить с окончательным заключением. Представим себе все тот же гелий-неоновый лазер с его почти полутерновой разрядной стеклянной трубкой и с высококольным источником питания массой в несколько килюграмм. А теперь положим рядом интегральную схему размером с почтовую марку, которая содержит около миллиона (!) трансисторов и требует всего лишь 5-ти волтового питания. Совместим ли эти два изделия? Согласитесь, не очень. И эта несовместимость подтвердилась с полной определенностью — многочисленные попытки использовать лазеры в микроклэктронных вычислительных устройствах фактически проводились. Вот уже понятие «в одну упряжку впрячь не можно вола и трепетную лань».

Очевидно, что достигнуть совместимости можно лишь в одном-единственном варианте — если лазер, как и микросхемы, будет полупроводниковым.

… История создания полупроводникового лазера веса характерия для научных открытий XX века. В 1960 году почти одновременно были изобретены твердотельный (рубиновый) и газовый (гелий-неоновый) лазеры, а вскоре после этого учены предсказали возможность создания и полупроводникового лазера. По аналогии с другими полупроводниковыми приборами такому лазеру предрекали сверхминаторность, долговечность, стоякость к внешним воздействиям, низкую стоимость, высокую воспроизведение параметров и возможность их изменения в очень широких пределах. Создать подобный прибор было очень заманчив, и в ведущих физических лабораториях мира буквально напереgonки началась охота за полупроводниковым лазером — каждому хотеловь накрыть красивую бабочка своимачком.

17

А когда теоретики довольно точно просчитали, какова должа быть квантовая структура исходного кристалла, тогда круг полупроводников, «подозреваемых» ввозможной причастности к лазерному эффекту, резко сузился. Судьба «бабочки» была предрешена… В канун 1963 года почти одновременно в лабораториях США и СССР были созданы первые полупроводниковые лазеры.

Как и при экспериментах со светодиодами, в пластине арсенда галля (снова этот полупроводник явился «пиноером») изготоввали $p—n$-переход; отличие заключалось лишь в том, что при легировании вводилось гораздо большие примесей, вследствие чего образовывалось и больше свободных электронов. Затем, нажимая на пластину острием ланцета, выкалывали из нее крошечные квадратные кристаллики. Пластина колется строю по кристаллографическим плоскостям, поэтому боковые противоположные грани кристаллика оказавются плоскопаральными и зеркальными; эти два зеркала образуют резонантор, необходимый для лазерной генерации. Затем кристаллик нижней граны напавался на массивную медную подложку (для теплотвода), к верхней грани присоедняяся второй, более тонкий электрод — структура готова для исследований.

При пропускании тока кристалли начinal генерировать инфракрасное излучение, причем, как и положено светодиоду, слабо и во все стороны. Но как только ток увеличивали до некоторого значения (его называли пороговым током), картина существенно менялась — резко возрастала мощность излучения, и интенсивный свет вырывался с боковых граней из тех мест (полосок), где плоскость $p—n$-перехода пересекает грани резонатора. Исследования спектр излучения и оказались, что полоса генерируемых волн резко сжалось. Большое сомнение не оставалось — это лазер!

Быстро разобрались в механизме его работы. Так же как и в светодиоде, приложенное извлекайщее «загонаяет» электрон на «энергетическую горку», только

«горка» эта часть повышше, а количество электронов намного больше. «Накачанные» электроны скалливаются около $p—n$-перехода (зесь образуется активная зона) и, «падая с горки», порождают кванты излучения. Но на этом аналогия со светодиодом кончается. Световая волна, распространяясь вдоль плоскости $p—n$-перехода, отражается от зеркальных граней и, многократно прохождение через активную зону, вынуждает электроны «упасть с горки». Получается, что огромное количество электронов одновременно и строго одинаковым способом выполняют предписанный им квантовый переход (на рисунке 1 этот переход обозначен черной стрелкой). Поэтому лучая镜 имеет высокую степень монхроматичности, а также полное определению поляризации. По механизму своего возникновения такое излучение называют вынужденным, stimулированным, индуцированным (это все — синонимы), тогда как излучение светодиода — спонтанное (случайное по направлению и поляризации и в какой-то степени — по длине волны).

О новом приборе заговорили. Kazалось очень быстро, что вот-вот в оптоэлектронке начнутся большие перемены. Но время шло, а реализого применения хотя в какой-нибудь аппаратере только что родившийся лазер не находится. И вскоре эффициялись удивленные размеры и выходил из строя. Оказалось также, что по степени монхроматичности он лишь в 10—20 раз был лучшее светодиода ($\Delta \lambda/\lambda \approx 0,005$ против 0,05 у светодиода) и в тышчи раз хуже газового лазера. Да и по угловой расходимости ($\alpha \approx 30^\circ$) полупроводниковый лазер скорее похожил

18

Рис. 2.

на улушенный светодиод. «Какой же это лазер?» — вскликнулули обмануться в своих ожиданиях «оптоэлектронщики-примененыцы», обженно прекратили эксперименты с новым прибором и вовь обратились к теоретическированно по поводу ослепительного будущего «идеальной» оптоэлектроники.

Самое straightное заключалось в том, что недостатки полупроводникового лазера получили в полне строе и, казалось бы, непредодолимое физическое обоснование. Электроны, инжектируемые $p$—$n$-переходом, не желали задерживать в тонкой активной зоне, а разбегались по всему кристаллу; то же проискодило и световой волной. Потерянные электроны и кванты, не давая включать в лазерный эффект, лишь бесполезно разогревали кристалл. Как удержать этих неугомонных переносчиков электрического тока и светового излучения в какой-то одной части кристалла? Ведь заслонку или экран внутри не введешь — это все-тaki monокристалл, в решетке которого atoms располагаются в идеальном порядке. Когда начали погоню за «красивой бабочкой», обо всем этом как-то не думалось. А теперь стало казаться, что «бабочка» уготовлена судьба заспиртованного экспоната кунсткамеры физических дисков.

И все-tаки — в котором раз! — изворотливость человекаского размера восторжествовала. Дело решили гетероструктуры. Если в кристалле агрения галля часть atomов галля заменить на atomы алюминия, то структура кристаллической решетки совершенно не изменится — настолько atomы этих двух элементов идентины по физическим свойствам. Однако при этом образуется новый полупроводник — арсенид галля-алюминия, у которого ширина запрещенной зоны больше, чем у чистого арсенид галля. Граница между двумя этим полупроводниками внутри единого monокристалла и представляет собой гетеропереход; в этой области имеется энергетический барер и одновременно с ним образуется «оптический барер» — граница раздела двух полупроводников с разными показателями преломления. Активная зона с большим показателем преломления, «ограненная» гетерограницами, стала идеальной ловушкой для электронов и световодом для света.

А дальнейшее слово было за «Ее Величеством Технологии». Прошло не так уж много времени, и научились внутри monокристалла изготавливать пары гетеропереходов, расположенных параллельно друг другу на расстоянии, выдержанным с фантастической точностью в нескольких atomных слоев. Пороговый ток силизляя до десятков миллиампер, верхняя граница рабочей температуры достигала 100 °C, долговечность (правда, у отдельных образцов) достигает лет. С этого начался «Ренессанс» полупроводниковых лазеров. Изобретения и усоответствования посыпались как из года изобилия. Надо еще больше силовый ток? Пожалуйста, использовать структуру, в которой активная зона «зажата» гетеропереходами не только сверху и снизу, но и с боков. Tonчайшая микропонант активного полупроводника возбудается током всего в 1 мА! Надо существует спектр излучения? И это пожалуйста. Если одну из гетерограниц сделать волнистой, то избирательность резонанта резко возратает и степень монхроматичности становится такой же, как у газового лазера. Хочется продвинутся еще дальше по этому пути — использите структуру с двумя «связанными» кристаллами (рис. 2).

(Окончание см. на с. 31)

19

РАЗБИЕНИЕ ЧИСЕЛ

Ф. В. ВАЙНШТЕЙН

Разбienем называется представленное натурального числа в виде суммы натуральных слагаемых, а сами слагаемые — частями разбиения. Порядок слагаемых не играет роли; так разбиения 3=1+2 и 3=2+1 не различаются. Мы будем записать разбиения, перечисляя их части через запятую в невозрастанию порядке. Например, разбиение 4=2+1+1 записьвается как (2, 1, 1).

Пусть $p(n)$ обозначает количество всех разбиений натурального числа $n$. Для небольших $n$ легко вычислить $p(n)$, просто выписав все разбиения. Например, $p(5)=7$. Вот все 7 разбиений числа 5: (5), (4, 1), (3, 2), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (2, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1). Однако получить таким способом, скажем, $p(100)=190\ 569\ 292$ без помощью компьютера немыслimo. Между тем $p(100)$ было известно еще в прошлом веке. Мы познакомим вас со многими интересными свойствами разбиений и научим нахождение $p(n)$, не выписьвая всех разбиений числа $n$.

Задача вычисления $p(n)$ имеет почтенный возраст. Первые она была формулирована Лейбницем в 1654 году, а в 1740 — предложена немецким математиком Филиппом Ноде Леонарду Эйлеру. Занимаясь разбиениями, Эйлер открыл целый ряд их свойств, среди которых главное место занимала знаменитая «пентагональная теорема». С исследованием Эйлера начинается история теории разбиений, в развитию которого принимали участие крупнейшие математики последующих поколений.

22

ле, и т. д., пока не достиг до числа $k_q$.

Например, разбению на нечетные части (9, 9, 5, 1, 1) числа 25 будет отвечать картина, изображенная на рисунке 1. Она состоит из симметричных относительно диагонали углов, так что в самом верхнем уголке $2k_1+1$ точек, в следующем $2k_2+1$ точек и т. д., а всего точек будет $n$. Тепер проведем на той же картике линей так, как показано на рисунке 2, подсчитаем количество точек на каждой из этих линей и образуется из полученных таким образом чисел разбиения. Оказывается, все части этого разбиения различны.

Упражнение 5. Докажите это утверждение.

В нашем примере получится разбиение (9,6,5,4,1). Подумайте, как построить по разбиению на различные части разбиение на нечетные, т. е. восстанавливать по такому разбиению исходную симметриную картику.

Отступление: решение задачи M1065

В этом разделе используется более сложная техника, чем в остальной части статьи. При желании вы можете пробежать его, не вникая в детали, и продолжить чтение со следующero раздела. Итак, займемся решением задачи M1065 из «Задачика «Кванта» (1987, № 9). Напомним ее формулировку.

Вудем рассматривать векторы $(x, y)$ с целыми неотрицательными координатами, причем хотя бы одна из координат отлична от 0. Наозем такой вектор образующим, если $|x-y|=1$.

a) Докажите, что рассматриемый вектор $(x, y)$ можно представить в виде суммы различных образующих (или он сам — образующей) тогда и только тогда, когда величана $k(x, y)=x+y-(x-y)^2$ неотрицательна.

б) Докажите, что число $N(x, y)$ различных (с точностью до порядка) представленный вектора $(x, y)$ в виде суммы различных образующих зависит только от числа $k=k(x, y)$. Найдите $N(13, 18)$.

Решение задачи наименем с того, что найдем общий вид целочисленных решений неравенства $k(x, y) \geq 0$. Числа $x+y$ и $x-y$ имеют одинаковую четность, поэтому $k(x, y)$ при любых целых $x, y$ — четное число. Следовательно, для любого целого $m \geq 0$ достаточно найти целочисленные решения уравнения $x+y-(x-y)^2=2m$. Положим $x-y=q$. Тогда $x+y=2m+q^2$. Из этих двух равенств немедленно получаем:

$$\begin{align*} (x, y) &= (m+q(q+1)/2, \\ m+q(q-1)/2), \end{align*}$$

где $q$ — любое целое число, а $m \geq 0$.

Смысл чисел $m$ и $q$ становится более важным, если представляется себе векторы вида (3) при $m=0$ как точки с целыми координатами парабoles $k(x, y)=0$, лежащей в плоскости $(x, y)$. (Вы понимаете, почему это парабола?) Тогда полученные нами целочисленные решения неравенства $k(x, y) \geq 0$ показывают, что все точки с целыми координатами, лежащие на параболе $k(x, y)=0$ и внутри нее, получаются сдигами целых точек этой парабoles на векторы $(m, m)$ (рис. 3). Удобно считать, что число $m(m=0, 1, 2, ...)$ — номер парабoles, на котором лежит точка $(x, y)$, а $q=x-y=0, \pm 1, \pm 2, ...$ — номер точки на этой параболе.

Поскольку задачи симметрицы относительно перестановки координат векторов, достаточно вывести все утверждения для таких векторов $(x, y)$, что $x \geq y$, т. е. для векторов вида (3) с $q \geq 0$.

Докажем достаточно условия в пункте a) задачи. По формуле суммы арифметической прогрессии

$$\begin{align*} 1+2+\dots+(q-1)+m+q &= m+q(q+1)/2; \\ 0+1+\dots+q-2+m+(q-1) &= m+q(q-1)/2. \end{align*}$$

23

Позному формулы $(x, y) = (1, 0) + (2, 1) + \dots + (q-1, q-2) + (m+q, m+q-1)$ при $q > 0$ и $(m, m) = (1, 0) + (m-1, m)$ при $q = 0$, $m > 0$ дают представления $(x, y)$ в виде суммы различных образующих.

Доказать необходимость условия тоже несложно. Пусть
$x = r_1 + \dots + r_a + s_1 + \dots + s_b$
$y = r_1 + \dots + r_a - a + s_1 + \dots + s_b + b$
позному $x - y = a - b$. Положим $q = x - y$ и
$m = (r_1 - q) + (r_2 - (q - 1)) + \dots$
$\dots + (r_q - 1) + r_{q+1} + \dots + r_a +$
$+ s_1 + \dots + s_b = x + y - q(q + 1)/2$
(здесь мы снова воспользовались формулой суммы арифметической прогрессии). Из неравенств (4) следует, что $r_a \geq 1, r_{a-1} \geq 2, r_{a-2} \geq 3, \dots$ и вообще $r_i \geq q - i + 1$. Позному $m \geq 0$, т. е. $(x, y)$ — вектор вида (3), что и требовалось.

В геометрических терминах утверждение 6) означает, что число

$$N(x, y)$$ зависит лишь от номера $m$ парабoles и не зависит от номера $q$ точки на параболе.

Пусть $T(m, q)$ — множество представлений вектора (3) в виде суммы различных образующих и $t(m, q)$ — число таких представлений. Задача будет решена, если мы докажем, что для любого целого $q$ имеет место равенство $t(m, q) = t(m, q - 1)$ (это и значит, что $t(m, q)$, а вместе с ним $N(x, y)$, не зависит от $q$). Мы отложенные выше множество $T(m, q)$ с множеством таких пар последовательностей, удовлетворяющих неравенствам (4), что $r_1 + \dots + r_a + s_1 + \dots + s_b = m + q(q + 1)/2$ при $q = a - b$. Такую пару мы будем записать в виде $(r_1, \dots, r_a | s_1, \dots, s_b)$.

Рассмотрим отображение $\varphi$ множество $T(m, q)$ в множество $T(m, q - 1)$, заданной формулой
$$\varphi(r_1, \dots, r_a | s_1, \dots, s_b) = \begin{cases} (r_1 - 1, \dots, r_a - 1 | s_1 + 1, \dots, s_b + 1, 0), \\ \text{если } r_a > 1, \\ (r_1 - 1, \dots, r_{a-1} - 1 | s_1 + 1, \dots, s_b + 1), \\ \text{если } r_a = 1. \end{cases}$$

Упражнение 6. Проверьте, что $\varphi(r_1, \dots, r_a | s_1, \dots, s_b) \in T(m, q - 1)$.

Чтобы доказать, что $\varphi$ — взаимно однозначное отображение, построим обратное отображение $\psi$: $T(m, q - 1) \rightarrow T(m, q)$, прочитав правило, заданное $\varphi$, следваем:

$$\psi(r_1, \dots, r_a | s_1, \dots, s_b) = \begin{cases} (r_1 + 1, \dots, r_a + 1, 1 | s_1 - 1, \dots, s_b - 1), \\ \text{если } s_b > 0, \\ (r_1 + 1, \dots, r_a + 1 | s_1 - 1, \dots, s_b - 1), \\ \text{если } s_b = 0. \end{cases}$$

Построенные отображения взаимно обратны, поэтому $\varphi$ — взаимно однозначное соответствие. Значит, $t(m, q) = t(m, q - 1)$, что и утверждалось.

Чтобы научиться вычислять значения $N(x, y)$, установить между числами $t(m, q)$ и $p(m)$.

Утверждение: $t(m, q) = p(m)$.

Мы уже знаем, что $t(m, q) = t(m, 0)$, поэтому достаточно доказать, что $t(m, 0) = p(m)$. Воспользовемся простым и полезным графическим средством, называемым «диаграммой Юнса раз-

24

бценя. Рассмотрим, например, разбиение (6, 4, 4, 2, 1). Его диаграмма Юнга изображена на рисунке 4 (в первой строке стоит 6 точек, во второй — 4, в третьей — 4, в четвертой — 2, в пятой — 1). Всякое разбиение можно изображать в виде диаграммы Юнга и по всей диаграмме Юнга — записать разбиение.

Проведем на диаграмме Юнга диагональ — черная линия на рисунке 4. Пусть $r_1$ — число точек в первой строке, лежащих на диагонали и справа от нее, $r_2$ — число точек в третьей строки, лежащих на диагонали и справа от нее, и т. д.; $s_1$ — число точек первого столбца под диагональю, $s_2$ — число точек второго столбца под диагональю и т. д. Поставим в соответствии диаграмме Юнга, изображаемо разбиение числа $m$, пару последовательности

$$\left( r_1, r_2, \dots | s_1, s_2, \dots \right),$$
$$r_1 + r_2 + \dots + s_1 + s_2 + \dots = m,$$

т. е. элемент множества $T(m,0)$. Например, диаграмме на рисунке 4 соответствует пара (6, 3, 2|4, 2, 0). Знай пару последовательностей, можно легко восстановить диаграмму Юнга. Следовательно, мы установили взаимно однозначное соответствие между множеством разбиений и множеством $T(m,0)$. Утверждение доказано.

Теперь ничего не стоит ответить и на последний вопрос задачи — о значении $N(13,18)$. Поскольку $13 = 3 + 5 \cdot 4/2$, $18 = 3 + 6 \cdot 5/2$, точка (13,18) лежит на третьей параболе. Значит, $N(13,18) = t(3,0) = p(3) = 3$.

Следующие упражнения — на применение диаграммы Юнга.

Упражнения

7. Число разбиений $n$ не более чем с $k$ частями, равно числу разбиений $n$ с частями, не превысordingными $k$. Подсказка: отразите диаграмму Юнга относительно диагонали.

8. Число разбиений $n$ с различными частями равно числу разбиений $n$, диаграмма Юнга которых симметрина относительно диагонали. Подсказка: вспомните соответствие Сильвестра.

Формула Гаусса — Якоби

Решая задачу M1065, мы проделали большую работу. Нельзя ли снова воспользоваться произвольными функциями и извлечь из равенства $t(m,q) = p(m)$ какое-нибудь красное тоjdество?

$N(x,y)$ — это число способов, которые можно представить вектор $(x,y)$ как сумму различных образующих вида $(k,k-1)$ и $(k-1,k)$. Рассуждая так же, как при выводе формулы произвольшей функции числа разбиений с различными частями, мы запишем произвольную функцию для $N(x,y)$ (это ряд от двух переменных $u$ и $v$):

$$\prod_{k=1}^{\infty} \left( 1 + u^{k-1} v^k \right) \left( 1 + u^k v^{k-1} \right) = \sum_{x,y=0}^{\infty} N(x,y) u^x v^y.$$

Поскольку $N(x,y) = t(m,q)$, где $x = m + q(q+1)/2, y = m + q(q-1)/2$, равенство можно проделить:

$$\sum_{q=-\infty}^{\infty} \left( \sum_{m=0}^{\infty} t(m,q) u^m v^m \right) \times u^{q(q+1)/2} v^{q(q-1)/2}.$$

Воспользовемся теперь, что $t(m,q) = p(m)$ и продолжим равенство:

$$\sum_{q=-\infty}^{\infty} \left( \sum_{m=0}^{\infty} p(m) u^m v^m \right) \times u^{q(q+1)/2} v^{q(q-1)/2}.$$

Ряд, стоящий в скобках, — произвольная функция чисел разбиения $p(m)$, которое мы знаем (формула (1)), поэтому продолжаем:

$$\prod_{k=1}^{\infty} \left( 1 - u^k v^k \right)^{-1} \sum_{q=-\infty}^{\infty} u^{q(q+1)/2} v^{q(q-1)/2}.$$

Теперь приравняем левую часть первого и правую часть последнего равенства, умножив обе части на $\Pi(1 - u^k v^k)^{-1}$. Получим окончательный результат:

$$\prod_{k=1}^{\infty} \left( 1 + u^{k-1} v^k \right) \left( 1 + u^k v^{k-1} \right) =$$

25

$$\sum_{q=-\infty}^{\infty} u^{q(q+1)/2} v^{q(q-1)/2}.$$

Это тожество — цель наших преобразований. Оно называется формулой Гаусса—Якоби. Из этого замечательного тожества с двумя переменными можно получить много разных тожеств с одной переменной.

Упражнение 9. Подставьте в формулу Гаусса—Якоби $u=-t$, $v=-t^2$ и получите пентагональный теорему Эйлера.

Тепер подставим в формулу Гаусса—Якоби $u=v=-t$. В левой части получится:

$$\prod_{k=1}^{\infty} (1-t^{2k-1})^2 (1-t^{2k}) = \prod_{k=1}^{\infty} (1-t^{2k-1}) \prod_{k=1}^{(1-t^k)}.$$

Заменяя произведение $\Pi(1-t^{2k-1})$ на $\Pi(1+t^k)^{-1}$ по формуле (2), мы преобразуем левую часть в $(1-t)(1-t^2)(1-t^3).../(1+t)(1+t^2)(1+t^3)...$.

Правая часть формулы Гаусса—Якоби при подстановке $u=v=-t$ превращается в $\sum_{-\infty}^{\infty} (-1)^q t^q$. Мы получаем следующее формулу:

$$\frac{(1-t)(1-t^2)(1-t^3)...}{(1+t)(1+t^2)(1+t^3)...} = 1-2t+2t^4-2t^9+2t^{16}-...$$

Подстановка $u=t$, $v=1$ в формулу Гаусса—Якоби аналогичным образом приводит к формуле:

$$\frac{(1-t^2)(1-t^4)(1-t^6)...}{(1-t)(1-t^3)(1-t^5)...} = 1+t+t^3+t^6+t^{10}+...$$

Эти две формулы получены Гаусом. Нечего и говорить, что это удивинительно красивые формулы!

Тождества Роджерса — Рамануджана

В заключение я хочу познакомить вас с двумя значениями тожествами теории разбиения, для которых до сих пор не найдено произвольных доказательств, хотя эта задача и посядень остается в сфере интересов многих математков.

Первое тожество. Число разбиений натурального числа $n$, в которых разность между любыми двумя частями превозходит единицу, равно числу разбиений числа $n$ на части, дающие при делении на 5 остаток 1 или 4.

Второе тожество. Число разбиений натурального числа $n$, в которых разность между любыми двумя частями и каждая часть превозходит единицу, равно числу разбиений числа $n$ на части, дающие при делении на 5 остаток 2 или 3.

Конечно, закономерность, утверждаемая этими тожествами, в высшей степени красива и нетривиальная, и неудивительно, что крупнейший английский математик нацелого века Г. Харди, узнаший о них из письма Рамануджана датированного 16 января 1913 года, пришел в восхшение.*)

При чтении этой статьи у вас, может быть, сложилось впечатление, будто теория разбиения наполинает кунсткамеру, в котором заботливо собраны различные экзотические эксперименты, никак или почти никак между собой не связаны. До недавнего времени так оно и было. Ситуация коренным образом изменилась лишь в 70-х годах нацелого века, когда английскому математнику И. Макдональду удалось найти единий подход к доказательству большого класса тожеств теории разбиения и открыть много новых, объединив их в стройную теорию (тождество Гаусса — Якоби включается в нее).**) Для тожеств Роджерса — Рамануджана и многих аналогичных тожеств общего подхода не найдено, хотя в последнее время и появились алгебраические методы их доказательств.

Так что, понимание истинной природы этих тожеств, верятоно, еще впереди.

*) О жизни и творчества замецательного индисккого математика вы можете прочитать в статье С. Г. Гиндикина «Загадка Рамануджана» («Квант», 1987, № 10).

**) Волее детальную информацию об этом вы можете найти в статье Д. В. Фукса «О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе и Макдональде и об упущенныхвозможностях» («Квант», 1981, № 8).

26

ПОГОВОРИМ НЕМНОГО
О ПОГОДЕ…

Кандидат физико-математических наук
В. М. БУВНОВ

В давние времена правильного топления предписыли при первом знакомствеzteвать разговор о погоде. Поговорим о ней и мы, а именно о той стороне вопроса, которая касается движения атмосферы как некоторого физического объекта; ведь, в конце концов, погода в любой точке нашей планеты определяется движением атмосферных масс. Однако такое движение является настолько сложным, что точное предсказание поведения атмосферы на длительный срок не представляется возможным. Для получения достаточного удовлетворительного прогноза погоды требуется гармоничное развитие двух направлений. Первое направление — уvelищение частоты изменений основных параметров atmosферы (температура, давление, влажность, скорость ветра и т. д.) и уменшение расстояний между точками, в которых эта информация chimaiot. Второе направление, которое является предметом изучения физики atmosферы, — исследование основных физических закономерностей, определяющих atmosферы процессы.

Модель Хэдли

При рассмотрении очень сложных объектов (а атмосфера безусловно относится к таким объектам) физики страдают постройные модель и в рамках этой модели рассматривать поведение объекта. Переход от объекта к модели является наиболее важным шагом любого исследования. С одной стороны, модель должна отражать те характеристики объекта, которые мы изучаем, т. е. удовлетворять экспериментальным и натуральным данных, с другой — она должна быть достаточно простой для понимания и теоретического описания. Какая же самая простая модель удовлетворяет этим требованиям при рассмотрении крупномасштабных движений atmosферы?

Прежде всего, модель должна учитывать основные факторы, определяющие эти движения.

Первым фактором следует назвать силу gravitationного взаимодействия. Эта сила в значительной степени регулирует газовый состав atmosферы и определяет способность планеты удерживать свою атмосферу. Чем больше масса планеты, тем проще ей удерживать легкие газы; при малой массе врашающее тело может совсем лишиться atmosферы (возможно, именно поэтому нет atmosферы у Луны).

Вторым важным фактором является облучение планеты солнечной радиации. Количество энергии, поступающих к планете от Солнца, зависит от времени суток, а также от наклона орбиты (зима — лето, экватор — полос). В среднем на каждый квадратный метр земной поверхности от Солнца ежескундно поступает энергия 1372 Дж. (Зная радиус Земли, легко вычислить суммарный поток энергии, поступающих от Солнца.) Падающие на Землю лучи частично отражаются; отношение отраженной радиации к радиющей называется альбедо поверхности. Альбедо surfaces в зависимости от вида поверхности, принимаем значение от 0,1—0,15 для океана до 0,6—0,8 для чистого снега; в среднем для Земли альбедо примерно 0,3. Чем больше энергии приходит в данное место планеты, тем сильнее оно нагревается. Нагретий воздушистry вхлопьет — опускается, и в результате в атмосфере возникают вер-

28

яснение, не зная о работе Хэдли, для значений философ Иммануил Кант (1756 год) и Джон Дальтон (1793 год). Естественно, что за прошедшее 250 лет наши знания о темной атмосфере сильно изменились, и в связи с этим неоднократно изменялись и дополнялись схема общей циркульции (рис. 2 и 3), однако и сейчас она еще далека от совершенства.

Циклоны и антициклоны

Всякий раз, служая прогноз погоды, мы узнали о передвижении или взаимодействии циклонов и антициклонов, т. е. вхревых образованный, размеры которых соответствуют километров. Как связать наличие этих образованный с общей циркульцией атмосферы? Оказывается, что в зависимости от основных определения параметров (скорости вращения Земли, перепада температур в направлении экватор — полос и т. д.) конвективная ячейка может быть как устойчивой — и в этом случае развивается циркульция Хэдли, так и неустойчивой, как это наблюдается на Земле, где образуется волновое движение, состоящее из различного числа вхрей. В атмосфере обычно наблюдаются пять-шесть крупных вхрей. Если же все вхревые движения осреднить за достаточно большой промежуток времени, то осреднение движения будет аналогично рассмотренной нами зональной циркульции.

Проще всего схему образования крупномасштабных вхрей рассмотреть в laboratorном эксперименте. Берутся два металлических цилиндра и установливаются сосно. Внутренний цилиндр соответствует полюсу — его охлаждают, внешний соответствует экватор — его нагревают. Между цилиндрами налита жидкость. Если система вращается с постоянной угловой скоростью, то в ней могут наблюдаться различные режимы движения. При малой скорости вхрения частицы движются от внешнего цилиндра к внутреннему по спирали, так что жидкость относительно неподвижного наблюдается вхристое, чем цилиндры (рис. 4). Если увеличивается вхревая картина постоянно наблюдается на картах погоды, особенно в южном полушарии, в котором влияние материалов не столбило, как в сверном. Однако из таких карт приведена на рисунке 6.

29

Если прициппальная схема образования цикловов и антицикловов достаточно проста, то детальное описание их движений развито слабо и прежде всего потому, что слишком много факторов определяют это движение. До сих пор мы рассматривали идеализированную атмосферу, а теперь рассмотрим возможность влияние материалов на общую циклуляцию atmosферы. Материки выше океанов, и особенно сильно изменяют движение atmosферы высокие горные хребты. Кроме того, средние температуры материалов и океанов сильно различаются, так как океаны больше инерты, они медленнее нагреваются, но заго и медленнее охлаждаются. На рисунке 7 представлены среднегодовая и средняя температура поверхности на ширете 55° в северном полушаринии для разных периодов года. Различие температур материалов и океана в зимнее время лишь немного меньше различия между темперарами полярных и тропических области. Такая тепловая недородность и влияние рельефа приводят к тому, что крупные вихри перестают передвигаться вместе с волной и в течение нескольких недель вихрь может не менять своего положения. Это состояние atmosферы получило название «блокирующий ситуации» и приводит к многочисленным катстрофическим последствиям, в первую очередь — к засухам.

Парниковый эффект и ядерная зима

Внешние факторы, определяющие движение atmosферы, практические не меняются со временем, но изменения, произходящие в атмосфере, в первую очередь вызванные влиянием человека, могут приципппальным образом изменить суммарное действие этих факторов. Расмотрим это на примере так называемого парникового эффекта и явления «ядерной зимы».

Что такое парниковый эффект? Как известно, всякие нагреты тела излучают тепло, и длина волны этого теплового излучения тем меньше, чем выше температура тела. От Солнца к

Земле приходит коротковolverное тепловое излучение, Земля же испускает длинновolverное. Если бы atmosфера одинаково пропускала эти виды излучения, то установилось бы определенное тепловое равновесие. Однако коротковolverное излучение слабо поглощается atmosферой, а длинновolverное сильно. В результате температуры atmosферы выше, чем это можно было ожидать, не учитывая поглощения в толще atmosферы. Каким же образом действие человека может сказаться на изменении температуры atmosферы?

В основном тепловое излучение Земли поглощается водяным паром, облаками и углекислым газом. За последние 150 лет относительная концентрация CO₂ в атмосфере увеличилась на 25 % и достигла 345 молекул на 1 миллион молекул воздуха. За счет

31

Молнии в кристалле

(Начало см. на с. 12)

Гетеролазеры изготовливаются миллионами штук в год, их применение перевернуло наши устоявшиеся представления во многих областях технически. Лазерная волоконно-оптичная линяя связывает за одну секунду передать такое количество цифровой информации, который могут быть закодированы все 30 томов BCЭ! Лазерное дисковое заполнение устойчивое, объемом с тумбочку письменного стола, способно «вместить» более миллиона книг. Оптичное интегральные схемы, используемые гетеролазеры, разработываются с прицелом на суперкомпьютеры, которые по производительности в тысячи раз будут преводиться ЭВМ.

Ну а почему «молнии в кристалле»? Да потому, что плотностьока в светодиах и лазерах может в несколько, а иногда и в десятики раз превышать плотностьока в разряде молнии. Значит, десятики «микромолний» сверкают в кристаллах, только управляются они волей человека и служат не разрушению: их вспышки вдохнули жизнь в оптоэлектронку.

Тому, кто сегодня или завтра посвятит себя светодиодам и лазерам, посчастливится работать на предмет мыслих для твердого тела физических и технических воздействий. Уже создана аппаратура, позволяющая выращивать такие полупроводниковые структуры, в которых состав и свойства меняются через каждый monoatomный слой. Создатель таких сверхрешеток попине обладает «могуществом бора» — он может по своему усмотрению распоряжаться судьбой каждого электрона: одного «посадить» в «квантовую яму», другого «замуровать» в «квантовый ящик», третьего пустить беспрерывенно «гулять» по всему кристаллу. Но… это уже приятней продельать, чем об этом писать. Поверьте мне. А еще лучше — подрастайте и проверьте сами.

32

Супервытнутьядра
В семье физических «сверхобъектов» — сверхпроводник, сверхновая звезда, сверхтекущий гейли — появились сверхядра — супервытнутьядра.
Объчно атомные ядра рисуют в виде шариков. Но не все ядра — шарики, некоторые из них слегка вытягнуты, другие сплошнуты, но почти во всех известных случаях отклонение форм их поверхности от сферы мало (не более 10%).
Форму ядра можно представить так. Вырежем из бумаги эллипс. У эллипса есть две оси — большая и малая. Если врашать эллипс вокруг большой оси, то получится вытягнутый эллипсид; если врашать вокруг малой оси — получится сплошный эллипсид. У вытягнутого эллипсид две одинаковые малые оси и одна большая ось. У сплошенного — две одинаковые большие оси и одна малая.
To, что было сказано о форме ядра, можно сортировать так: ядро имеет форму сферы или эллипсида врашения, причем A и B или A и C мало (~10%) отличают друг от друга.

У сравнительно недавно открытых суперъедер ось A существенно большие оси B (и C).
«Чемпиноом» в 1986 году стало ядро диспрозия $^{152}$Dy. У него A=2B (отношение осей

Ядра уменышается и становится равным примерно 22 $\pi$, ядро резко меняет свою форму, превращается из сильно вытягнутого эллипсида в слабо сплошный. Это — своевого рода фазовый переход, т. е. явление того же типа, что и испарение, кондensation, плавление.
В 1987 году были открыты еще два суперъедерядра. В Канаде — ядро изотопа газолиния $^{149}$Gd со спином 63 $\frac{1}{2}$ $\pi$, полученное в реакции $^{30}$Si+$^{124}$Sn $\rightarrow$ $^{149}$Gd+5n, и в США — ядро «соседнего» изотопа $^{148}$Gd в реакциях $^{48}$Ca+$^{104}$Rn $\rightarrow$ $^{148}$Gd+4n, $^{29}$Si+$^{124}$Sn $\rightarrow$ $^{148}$Gd+5n.
Волlee подробно о свойствах этих ядер еще не объявлено.

Я. С.

33

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формирования задачи мы обещаю указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задачи из этого номера следует отправить не позднее 1 февраля 1989 года по адресу: 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». Решения задачи из разных номеров или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 11—12—88» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M1131» или «Ф1143». В графе «… адрес отправителя» фамилию и имя просим писать разборную. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещите: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»).

В начале каждого письма просим указываать номер школьи и класс, в котором выучитесь.

Задачи M1131 — M1135 предназначены.

Задачи
M1131—M1140, Ф1143—Ф1147

M1131. Пусть $n$ — натуральное число и $A_1, A_2, ..., A_{2n+1}$ подмножества некоторого множества $B$. Предположим, что
a) каждое множество $A_i$ ($i=1, 2, ..., 2n+1$) содержитровно $2n$ элементов;
b) каждое множество $A_i \cap A_j$ ($1 \leq i < j \leq 2n+1$) содержитровно один элемент;
b) любой элемент множества $B$ принадлежит не менее чем двум из множества $A_i$ ($i=1, 2, ..., 2n+1$).
Для каких значений $n$ можно поставить в соответствии каждому элементу множества $B$ одно из чисел — 0 или 1 — так, чтобы каждое из множества $A_1, A_2, ..., A_{2n+1}$ содержалоровно $n$ элементов, соответствующих числу 0?

M1132. Функция $f$ определяна на множестве целых положительных чисел и удовлетворяет следующим условиям:
$$f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n),$$
$$f(4n+1) = 2f(2n+1) - f(n),$$
$$f(4n+3) = 3f(2n+1) - 2f(n).$$
Найдите число всех таких значений $n$, для которых $f(n) = n$ и $1 \leq n \leq 1988$.

M1133. Докажите, что множество решений неравенства
$$\sum_{k=1}^{70} \frac{k}{x-k} \geq \frac{5}{4}$$

является объединением непересекающихся промежутков, сумма длины которых равна 1988.

M1134. Пусть $AD$ — высота в прямой гольном треугольнике $ABC$, $\angle A = 90^\circ$. Прямая, проходящая через центры окружностей, вписанных в треугольника $ABD$ и $ACD$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках $K$ и $L$. Докажите неравенство $S_{ABC} \geq 2S_{AKL}$.

M1135. Пусть $a$ и $b$ — целые положительные числа, что $a^2 + b^2$ делится на $ab + 1$ без остатка. Докажите, что $\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ — квадрат целого числа.

M1136*. Докажите для неотрицательных чисел $A, M, S$ неравенство
$$3 + (A + M + S) + \left(\frac{1}{A} + \frac{1}{M} + \frac{1}{S}\right) + \left(\frac{A}{M} + \frac{M}{S} + \frac{S}{A}\right) \geq \frac{3(A + 1)(M + 1)(S + 1)}{AMS + 1}.$$

Д. П. Мавло

Эту задачу автор посвятил 100-летию Американского математического общества (American Mathematical Society — AMS), которое отмечается в этом году.

M1137. В выпуклом $n$-угольнике все углы равны и из некоторой точки, расположенной внутри $n$-угольника, все его стороны видны под равными углами. Докажите, что этот $n$-угольник правильный.

К. П. Кохас

34

М1138*. Докажите, что для любого натурального $n$ между числами $n^2$ и $n^2+n+3\sqrt{n}$ найдется три натуральных числа, произведение двух из которых делится на треть.

Л. Д. Курляндчик

М1139. a) Поверхность выпуклого многогранника можно разрезать на несколько квадратов. Докажите, что у этого многогранника не больше 8 вершин.
6) Какое наиболее число вершин может иметь выпуклый многогранник, поверхность которого можно разрезать на правильные треугольники?

В. Э. Матизен

M1140. Нарисуем на плоскости одну или несколько пересекающихся кривых (кривые могут иметь точки самопересечения, рис. 1). В каждой точке пересечения можно думя способами выполнить «перестройку» (рис. 2). Если проделать перестройку во всех точках пересечения, то получится несколько пересекающихся кривых (рис. 3).
a) Докажите, что число пересекающихся кривых, которые могут получиться, не больше числа области, на которых делили плоскость исходные кривые (на рисунке 1 таких области 7).
6) Всегда ли можно сделать перестройки так, чтобы в результате получалась одна кривая?
в) Выберем на каждой кривой направление обхода и будем производить перестройки в соответствии с этим направлениями так, чтобы стрелки «отталкивались» друг от друга (рис. 4). Может ли в результате получаться одна кривая?

С. Л. Табачников

Ф1143. Имеется очень большое количество цилиндрических сосудов с водой, погруженных один в другой так, что каждый следующий плавает в пределыщем. Площадь дна самого маленького сосуда равна $s_0$ и много меньше площади дна самого большого. В самый маленький сосуд должен объем воды $v_0$. На сколько опустится этот сосуд относительно земли? (После долива воды все сосуды продолжают плавать.)
Г. В. Григорьев

Ф1144. На плоскости расположено $N$ одинаковых бильярных шаров. Один шар толкнул, и, испытав несколько соударений, он остановился в той же точке, из которого начал движение. При каком минимальном $N$ это возможно? Соударения считать абсолютино упругими.

А. А. Белопольский

Ф1145. Один конец нерастяжимой невесомой нити, продетой через маленькую бисинку массой $m$, закреплен в точке $A$, а другой привязан к невесомому колццу, которое может свободно скользить вдоль горизонтального стержня (рис. 5). В начальной момент бисинку удерживает у колца, нить прямолинейна и не натянута. Бисинку отпускают. Найти скорость бисинки в момент разрыва нити, если известно, что нить выдерживает максимальное натяжение $T_0$. Длина нити $L$, расстоя-

37

P1146. Find the resistance between the points $A$ and $B$ in the infinite sequence of elements shown on figure Pис. 6. All the elements are identical, the resistance of each is $r$. S. Zdravkovich (Yougoslavia)

P1147*. A small weight lies on a platform which is inclined by the small angle $\alpha$ to the horizontal plane. The platform’s mass is much greater than that of the weight, whose distance from the lower edge of the platform is $l$ (see figure Pис. 7). The platform oscillates harmonically about the $OO'$ axis with frequency $\omega$ and amplitude $L$. The friction coefficient between the weight and the platform is $k$. How much time will it take the weight to fall of the platform? (This time is assumed much greater than $2\pi/\omega$).

Решения задач

M1110 — M1115, Ф1123 — Ф1127

M1110. Для каждого натурального $n>1$ выпишем наиболее общие делители всех возможных пар различных чисел от 1 до $n$. Докажите, что $a$ среднее арифметическое всех $n(n-1)/2$ выписанных чисел не ограничено расстоянием $n$, но не превышает $\ln n+1$; $b$ их среднее геометрическое не превышает 10 при любом $n$.

Рис. 1.

a) Обозначим через $P_n(d)$ количество пар $(a, b)$ натуральных чисел $a < b \leq n$ с наиболее общим делителем $d=HOД(a, b)$. Каждый такой пар можно представить в виде $a=dx, b=dy$, где $x<y \leq k=[n/d]$, причем $x$ и $y$ взаимно просты. Количество $P_k=P_k(1)$ таких пар $(x, y)$ взаимно простых чисел нетрудно оценить сверху:

$$P_k \leq 1+2+\ldots+(k-1)=k(k-1)/2,$$

поскольку при каждом $y \leq k$ число $x<y$ принимает не больше $y-1$ значений. Отсюда

$$P_n(d)=P_{[n/d]} \leq \frac{n}{2d}\left(\frac{n}{d}-1\right) \leq \frac{n(n-1)}{2d^2}.$$

В конце решения мы докажем оценку сизу $P_k \geq k(k-1)/4$; из нее получается оценка для $P_n(d)$:

$$P_n(d) \geq \frac{1}{4}\left(\frac{n}{d}-1\right)\left(\frac{n}{d}-2\right)=$$

$$= \frac{n^2-3nd+2d^2}{4d^2} > \frac{n(n-1)}{4d^2}-\frac{3n}{4d}.$$

Сумма чисел $d=HOД(a, b)$ по всем параметрам $(a, b)$ равна $\sum_{d=1}^{n-1} dP_n(d)$, а их среднее арифметическое $A$ равно $\frac{2}{n(n-1)}\sum_{d=1}^{n-1} dP_n(d)$. Используя оценки для $P_n(d)$, получаем:

$$A \leq \frac{2}{n(n-1)}\sum_{d=1}^{n-1} d\left(\frac{n(n-1)}{4d^2}-\frac{3n}{4d}\right)=$$

$$= \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n-1}\right)-\frac{3}{2}.$$

Далее нам потребуется следующее

Лемma. Для любого натурального $n$

38

$$\frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n} < \ln n < 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n-1}.$$

Для ее доказательства можно воспользоваться тем, что $\ln n = \int_{1}^{n} 1/t \, dt$ — площадь под гиперболой $f(t) = 1/t$ на участке $1 \leq t \leq n$ (рис. 1); можно не пользоваться интегралом, а, например, убедиться в справедливости неравенств

$$\frac{\alpha}{1+\alpha} \leq \ln(1+\alpha) \leq \alpha \quad \text{при} \ \alpha \geq 0$$

(заметив, что при $\alpha=0$ все три члена равны 0 и сравнив производные), затем подставить в них $\alpha=1$, $\alpha=\frac{1}{2}$, …, $\alpha=\frac{1}{n-1}$ и сложить все полученные неравенства.

Применяя лемму к оценкам (1) и (2), получим

$$\frac{1}{2} \ln n - \frac{3}{2} < A \leq \ln(n-1)+1 < \ln n+1.$$

6. Логарифм среднего арифметического несколько чисел равен среднему арифметическому их логарифмов. Поэтому для решения задачи достаточно доказать, что среднее арифметическое чисел $\ln d$ (где $d=\text{НОД} (a, b)$, $a<b \leq n$) меньше 2: ведь $e^2 < 10$, т. е. $2 < \ln 10$. Действуя так же, как и выше, получим

$$\frac{2}{n(n-1)} \sum_{d=1}^{n} \ln d \cdot P_n(d) \leq \sum_{d=2}^{n} \frac{\ln d}{d^2} < \sum_{d=2}^{n} \left( \frac{1}{d^2} \sum_{h=1}^{n} \frac{1}{h} \right).$$

Здесь мы применили лемму: $\ln d \leq 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{d}$.

В образовательной двойной сумме чисел вида $\frac{1}{d^2} \frac{1}{h}$ ($1 \leq h \leq d$, $2 \leq d \leq n$) удобно собрать вместе числы с одинаковыми $h$ ($1 \leq d \leq n$ при $h=1$, $h \leq d \leq n$ при $h>1$) и оценить $\sum_{d=h}^{n} \frac{1}{d^2}$ с помощью легкого сворачивающейся суммы

$$\sum_{d=h}^{n} \frac{1}{d(d-1)} = \sum_{d=h}^{n} \left( \frac{1}{d-1} - \frac{1}{d} \right) = \frac{1}{h-1} - \frac{1}{n} < \frac{1}{h-1}$$

(эта оценка понадобится сейчас раз для $h=2$).

Окончательно получаем

$$\sum_{d=2}^{n} \frac{\ln d}{d^2} < \sum_{d=2}^{n} \frac{1}{d^2} + \sum_{h=2}^{n} \left( \frac{1}{h} \sum_{d=h}^{n-1} \frac{1}{d^2} \right) < 1 + \sum_{h=2}^{n} \frac{1}{h(h-1)} < 2.$$

Доказем теперь оценку $P_k \geq k(k-1)$, используяную в решении пункта a). Положим $m=[k/2]$. Среди всех целых точек $(x, y)$, где $0 < x < y \leq k$, называем красными те, для которых $x$ и $y$ взаимно просты (рис. 2). Проведем через каждую красную точку в треугольнике $x < y \leq m$ луч из начала координат $(0, 0)$. Эти $P_m$ лучей содержат, конечно, все $m(m-1)/2$ целых точек в треугольнике $x < y \leq m$.

Рассмотрим целые точки на любом из $P_h$ лучей.

39

IX kolichestvo на участке $h+1 \leqslant y \leqslant k$ может превосходить их kolichestvo на участке $1 \leqslant y \leqslant h$ не более, чем на единицу (ведь целые точки $(x, y)$ встречаются на луче через равные промежутки). Поэтому в трапеции $m+1 \leqslant y \leqslant k$, $x < y$ из всех $k(k-1)/2-m(m-1)/2$ целых точки на проведенных лучах лежат не более $m(m-1)/2+P_m$ точек. Все остальные точки в трапеции — красные; таким образом, их число

$$P_k - P_m \geqslant \frac{k(k-1)}{2} - m(m-1) - P_m,$$

откуда

$$P_k \geqslant \frac{k(k-1)}{2} - m(m-1) \geqslant \frac{k(k-1)}{4}$$

(последнее неравенство нетрудно проверить для $k=2m$ и $k=2m+1$).

Можно показать, что $\lim_{k \to \infty} \frac{P_k}{k^2} = 3/\pi^2$, т. е. верятность, что случайное взятие натуральные числа $(x, y)$, не превосходящие $k$, оказывается взаимно простыми, стремится к $6/\pi^2$ при $k \to \infty$ (см., например, задачу 30 к главе III в книге И. М. Виноградова «Введение в теорию чисел», М.: Наука, 1965).

Н. В. Васильев, В. Ф. Лев

M1111. Около оструольного треугольника ABC описана окружность. Касательные к окружности, проведенные в точках A и C, пересекают касательную, проведенную в точке B, соответственно в точках M и N. В треугольнике ABC проведена высота BP (точка P лежит на стороне AC). Докажите, что прямая BP является bisсектрисой угла MPN.

Докажем, что треугольники APM и CPN подобыны (см. рисунок),— отсюда следует, что $\angle APM = \angle CPN$, т. е. $\angle MPB = \angle NPB$. Положим AB=c, BC=a, $\angle BAC=a$, $\angle BCA=γ$. В равнобедренном треугольнике AMB угол MAB между касательной AM и хордой AB данной окружности равен половине величины дуги AB, как и вписанный угол ACB, т. е. $\angle MAB=γ$. Следовательно, $\angle MAP=α+\gamma$, AM=c/(2 cos γ). Аналогично, $\angle NCB=α$, $\angle NCP=γ+\alpha$, CN=a/(2 cos α). Кроме того, AP=c cos α, PC=a cos γ. Таким образом, в треугольника APM и CPN равны углы MAP и NCP и отношения сторон:

$$AP/AM=2 \cos α \cos γ=CP/CN,$$

что и доказывает их подобие.

Отметим, что утверждение задачи и его доказательство с небольшими изменениями сохраняется и для тупоугольного треугольника.

В. И. Чиник

M1112. На доске написаны два числа: 1 и 2. Разрешается дописывать новые числа следующим образом: если на доске имеются числа a и b, то

Ответ: в случае a) — можно, в случае 6) — нельзя Заметим, что если $c=a+b+ab$, то $c+1=(a+1)(b+1)$. Поэтому вместе чисел, записанных на доске, удобно расматривать числа, на 1 больше. Тогда каждое новое число равно произведению двух уже имеющихся. Вначале имеется числа $2=1+1$ и $3=2+1$; значит,

40

Монно написать число ab+a+b. Монно ли этом способом получить a) число 13121; б) число 12131? Докажите, что существует бесконечного много натуральных чисел, не представимых в виде e) x+y+xy, г) x+y+2xy с натуральными x и y.

Все последующие числа имеют вид $2^n \cdot 3^m$ ($n$ и $m$ — натуральные). Остается проверить данные числа: $13121+1=2 \cdot 3^8$, а $12131+1=2^2 \cdot 3^2 \cdot 337$.

В силу сказанного выше, достаточно доказать, что имеется бесконечного много натуральных чисел $n>1$, не представимых в виде $(x+1)(y+1)$ с натуральными x и y. Но этому условию удовлетворяют все простые числа (и только они), а их, как известно, бесконечного много. (Напомним включенную идею доказательства бесконечности множества простых чисел: если $p_i$, …, $p_k$ — простые, то число $p_1 \cdot \dots \cdot p_k+1$ имеет делитель простое число, отличное от $p_i$.) г) Если $z=x+y+2xy$, то $2z+1=(2x+1)(2y+1)$. Рассудя так же, как в задаче в), мы убедаемся, что нашей утверждение эквивалентно тому, что множество простых чисел вида $2z+1$ (т. е. нечетных) бесконечно.

Докажите самостояльно утверждение задач в) и г); для любого натурального a множество чисел, не представимых в виде x+y+axy, бесконечно.

А. А. Берзиньш, В. Г. Ильццев

M1113*. В стране 21 годод. Аввационное сообщение между ними осуществляет несколько авакомпанций, какая из которых обслуживает 10 бесплатных авакомпанций, связывающихся по парю некоторые пять городов (при этом между двумя городами могут летать самолеты нескольких компанций). Каждый два города связаны по крайней мере одной бесконечной авакомпанцией. При каком наменшем колчестве авакомпанций это возможно?

Рис. 1.

Ответ: При 21. Поскольку число пар городов равно $21 \cdot 20/2=210$, каждая пара обслуживается хотя бы одной компании, а каждая компания обслуживает 10 пар, число компании не может быть меньше 210:10—21.

Остается привести пример схемы обслуживания городов 21-й авакомпаней. Изображим города вершинами правильно 21-угольника и занумерением по часовой стрелке (рис. 1). Пусть 1-я компания обслуживает города с номерами 1, 3, 8, 9, 12, 2-я — города с номерами 2, 4, 9, 10, 13, получающейся из первого набора поворотом на угол $360^\circ/21$ (по часовой стрелке) и, вообше, k-я компания — город, которые получаются из первого набора поворотом на $(k-1) \cdot 360^\circ/21$. Любая пара вершин многоугольника попадет в один из этих наборов, так как средняя местudy точками первого набора встречаются по разу длины всех сторон и диагоналей 21-угольника.

Легко проверить, что построенная нами схема удовлетворяет следующим условиям: 1) любые две точки входят хотя бы один набор (это требуется в задаче), 2) любые два набора имеют одну и только одну точку. Если заменить здесь слово «набор» словом «прямая» и добавить еще одно условие — 3) имеется 4 точки, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, — мы получим аксиомы так называемой (абстрактной) проективой плоскости: по определению, это произвольное множество точки, в котором выделены некоторые подмножества — «прямы», удовлетворяющие условиям 1) — 3). В частности, наша схема — это конечная проективая плоскость из 21-угольника. Нетрудно доказать, что любые две конечной проективой плоскости состоит из одинакового числа точки, причем если это число равно n, то число точки

41

на плоскости равно $n^2 - n + 1$ и такое число прямы. На рисунке 2 показана схема самой маленькой проективной плоскости — из семи точек.

Д. В. Фомин, В. Н. Дубровский

M1114. Докажите, что для любого tetrahedра имеет место неравенство

$$r < \frac{ab}{2(a+b)},$$

еде $a, b$ — длины двух скрещивающих ребер, $a, r$ — радиус вписанного шара.

Рис. 1.

Рис. 2.

*M1115. a) В первой строке написаны 19 натуральных чисел, не превосходящих 88, а во второй строке — 88 натуральных чисел, не превосходящих 19. Изовем отрезком одного или несколько подряд написанных чисел одной стороны. Докажите, что из данных строк можно выбрать по отрезку так, что суммы чисел в них равны. b) Пусть $n, m, k$ — натуральные числа, $m \geq n$. Докажите, что если

$$1 + 2 + \dots + n = mk,$$

то числа 1, 2, …, $n$ можно разбить на $k$ групп так,

Заметим, что радиус $r$ вписанной в tetrahedр сферы равен $3V/S$, где $V$ — его объем, а $S$ — площадь поверхности. (Для доказательства достаточно представить объем tetrahedра как сумму объемов четырех tetrahedров, основаниями которых являются грани данного tetrahedра, а вершины совпадают с центром сферы.) Оценим $V$ и $S$ через длины ребер $a, b$ и расстояние $h$ между содержащими эти ребра скрещивающимися прямыми. Опишем вокруг tetrahedра параллелепид, для которого $a$ является ребром нижнего основания, а $b$ — верхнего (рис. 1). Его высота, оцененное, равна $h$, поэтому его объем не превыходит $abh$. В то же время, этот объем в 6 раз больше объема tetrahedра, что становится ясным, если принять за основание параллелепида его боковой грань, содержащую грань tetrahedра. Таким образом, $V \leq abh/6$.

С другой стороны, расстояние от концов ребра $b$ tetrahedра до ребра $a$ не меньше $h$ и хотя бы одно из них больше $h$ (рис. 2), поэтому сумма площадей граней, примыкающих к ребру $a$, больше $ah$. Аналогично, сумма площадей двух других граней больше $bh$, т. е. $S > (a+b)h$, а

$$r = \frac{3V}{S} < \frac{abh}{2(a+b)h} = \frac{ab}{2(a+b)}.$$

Н. В. Васильев

a) Пусть $a_1, a_2, \dots, a_{19}$ — числа первой строки, $b_1, b_2, \dots, b_{88}$ — второй, $A(i)=a_1+\dots+a_i, B(i)=b_1+\dots+b_i$. Предположим, что $A(19) \geqslant B(88)$ (случай $A(19) < B(88)$ рассматривается аналогично). Для каждого $i$ обозначим через $n_i$ наименьшее из чисел $n$ таких, что $A(n)-B(i) \geqslant 0$; такое $n_i$ существует в силу нашего предположения. Расмотрим 88 разностей $A(n_i)-B(i)$; они могут принадлежать значения от 0 до 87, так как $A(n_i)-B(i)=A(n_i-1)-B(i)+a_{n_i} < a_{n_i} \leqslant 88$. Если эти разности различны, то среди них есть 0 и наше утверждение выполено. В противном случае-то две разности — скажем, для $i=l$ и $i=k$, $k<l$ — совпадают. Тогда

$$A(n_l)-A(n_k)=B(l)-B(k),$$

т. е. искомые отрезки — это $a_{n_k+1}, \dots, a_{n_l}$ и $b_{k+1}, \dots, b_l$.

Ясно, что числа 19 и 88 в этой задаче можно заменить на любые натуральные.

6. Доказательство проведем индукцией по $n$. Для $n=1$ доказываются нечего. Допустим, что наше утверждение

42

верно для всех значений параметра, меньше $n$, и рассмотрим множество $S_n = \{1, 2, \dots, n\}$.

Если $m = n$, то $(n+1)/2 = k$ — целое и нужное разбиение такое:

$$\{n\}, \{1, n-1\}, \{2, n-2\}, \dots, \{(n-1)/2, (n+1)/2\};$$

если $m = n+1$, то $n$ четно и разбиение имеет вид

$$\{1, n\}, \{2, n-1\}, \dots, \{n/2, n/2+1\}.$$

Тепер рассмотрим 3 случай.

Случай 1: $n+1 < m < 2n$, $m$ нечетко. Выделим из набора $S_n$ набор $S_{m-n-1}$; остальные $2n-m+1$ чисел можно разбить на пары с суммой $m: \{m-n, n\}, \{m-n+1, n-1\}, \dots, \{(m-1)/2, (m+1)/2\}$. Сумма чисел набора $S_{m-n-1}$ равна

$$\frac{(m-n-1)(m-n)}{2} = \frac{m^2-m(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} = m\left(\frac{m-2n-1}{2} + k\right)$$

и делится на $m$, причем $m \geqslant m-n-1$, поэтому эти числа по предположению индекции также можно разбить на группы с суммой $m$ в каждой группе.

Случай 2: $n+1 < m < 2n$, $m$ четно. Здесь мы тоже выделим набор $S_{m-n-1}$, а остальные числа разобим на пары с суммой $m: \{m-n, n\}, \{m-n+1, n-1\}, \dots, \{m/2-1, m/2+1\}$, и еще одно число $m/2$. Сумму чисел набора $S_{m-n+1}$ представим в виде $(m-2n-1+2k)(m/2)$. Она делится на $m/2$, причем $m/2 \geqslant m-n-1$, так как $m/2 < n$. Поэтому набор $S_{m-n-1}$ можно разбить на нечетное число $m-2n-1+2k$ группы с суммой $m/2$, к одной из них присоединить $m/2$, а остальные объединить попарно — получается группы с суммой $m$.

Случай 3: $m \geqslant 2n$. Будем разбивать набор $S_n$ на $k$ группы с равной суммой, которая уже автоматически будет равна $m$. Заметим, что $k = n(n+1)/2m \leqslant (n+1)/4$, и потому $n-2k \geqslant 2k-1 > 0$.

Выделим из $S_n$ набор $S_{n-2k}$. Сумма чисел этого набора

$$\frac{(n-2k)(n-2k+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2} - k(2n+1)+2k^2$$

делится на $k$, причем частное от этого деления не меньше $n-2k$ так как $(n-2k)(n-2k+1)/2(n-2k) = (n-2k+1)/2 \geqslant k)$.

Следовательно, $S_{n-2k}$ можно разбить по предположению индекции на $k$ равных по сумме группы. Ostальные $2k$ чисел разбиаются на $k$ пар с равной суммой: $\{n-2k+1, n\}, \{n-2k+2, n-1\}, \dots$. Остается объединить каждой группы с одной пар.

А. В. Анджанс

Ф1123. К концу вертикальной водопроводной группы при помощи короткою отрезка резиновой

Рассмотрим силы, действующие на горизонтальной насадку (см. рисунок). Это две силы $F$ давления воды в изгибах насадки, сила веса воды $\rho lSg$ и сила тяжестеки самой насадки $Mg$.