Квант 1989, №4 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-математический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Р — значит пакета

1989

DIALOGO
di
GALILEO GALILEI LINCEO
AL SER. mo FERD. II. GRAN. DVCA DI
TOSC ANA

1

В номере:

2 С. С. Мурзин, М. Р. Трунин, Д. В. Шовкун. За пределами закона Ома
10 А. В. Сосинский. Узлы, зацепления и их полиномы
19 В. А. Чулаевский. Преобразование пекаря
24 Задачник «Квант»
25 Решения задач М1131 — М1135, Ф1143 — Ф1147
34 Список читателей, приславших правильные решения
«Квант» для младших школьников
35 Задачи
35 Школа в «Квант»
Математика 8, 9, 10:
Производная сложной и обратной функций
Избранные школьные задачи
40 Калейдоскоп «Квант»
Р — значит ракета
44 В. В. Николаев. Раз челнок, два челнок…
49 Комментарий
50 «Союз» объявляет конкурс
51 Информация и программирование
51 А. Л. Брудно. Метод Лобачевского
54 Лаборатория «Квант»
54 В. В. Утешев. Как заметить незаметное
Практикум абитуриента
60 А. И. Черноуцан. Законы сохранения энергии и импульса
Информация
9 «Виблотечке «Квант» — 10 лет
65 Заочная физическая школа при МГУ
67 Вариantsы вступительных экзаменов
73 Ответы, указания, решения
«Квант» улыбается (53, 64)
K нашим читателем (66)
Наша обложка
У конструкторов есть правило: если машина красива, значит, она проектирована верно. К комплексу «Энергия» — «Буран» это относится в полной мере. Прочесть о нем вы можете в статье «Раз челнок, два челнок…».
2 Фронтисис книги Галилле «Диалог о двух главнейших системах мира», изданной во Флоренции в 1632 году.
Три фигуры, ведущие космологический диспут, — это Аристогель, Птолемей и Коперник. Некоторые вопросы, связанные с устойчивом нашей Солнечной системы, обсуждаются сегодня в «Калейдоскопе« Квант».
3 Шахматная страница.
4 Четыре головоломки, объединенные одной задачей — как продукт толстую проволоку через узкийазор.

© Издательство «Нука».
Главная редакция физico-mатематической литературы, «Квант», 1989

2

ЗА ПРЕДЕЛАМИ
ЗАКОНА ОМА

Кандидат физико-математических наук
С. С. МУРЗИН,
кандидат физико-математических наук
М. Р. ТРУНИН,
кандидат физико-математических наук
Д. В. ШОВКУН

«Бди!» — чашце пользователь этом советом Козьмы Пруткова, когда речь идет о законах физики. В частности — о законах физики. Вспомним, например, закон Ома: ток пропорционален напряжению. Оказывается, бывает и не так. И хорошо! Если бы этот закон соблюдался всегда, то мы остались бы без многих электро- и радиотехнических устройств. К счастью, закон Ома, как и большинство законов физики, имеет ограниченную область применения. Именно за пределами действия этого закона и возникают интересные физические явления, обеспечивающие работу этих устройств. Сами по себе эти явления очень интересны, но сегодня мы обсуждим другой вопрос: изза чего нарушается закон Ома?

Закон Ома

Включим проводник в электрическую цепь и будем изменять силу тока I, текущего по проводнику, при различных значениях приложенного напряжения U. Таким образом мы получим зависимость I=I(U) — волт-ампераную электрическую проводника. Согласно закону Ома, сила тока при этом электрическую проводника, т. е. волт-ампераную электрическую представляет собой линейную функцию

$$I(U) = U/R,$$

и сопротивление R не зависит от U. Если же это не так (закон Ома не выполняется), то волт-ампераная электрическая нейнейная.

Самым простым примером проводника, в котором нарушается закон Ома, является спираль лампы нака-ЛИВАНИЯ. Для лампы мощностью 40 В волт-ампераная характеристика приведена на рисунке 1. Линейный участок имеет лишь при U<5 В, а при больших значениях U ток I растет медленнее, чем в случае линейной зависимости I(U). Нетрудно доказать, почему так получается. При повышении напряжения спираль разогревается, и ее сопротивление увеличивается. Этот пример иллюстрирует общее правило: закон Ома справедливли в лишь при достаточно малых I и U, а при больших токах и напряжениях он нарушается.

Запишем закон Ома в другом виде. Для этого введем величины плотности тока j=I/S, где S — площадь сечения проводника. Тогда

$$j = \frac{I}{S} = \frac{U}{RS} = \frac{U}{(\rho L/S)S} = \frac{1}{\rho} \frac{U}{L} = \sigma E.$$

Здесь $\rho$ — удельное сопротивление проводника, величины $\sigma=1/\rho$ называется удельной проводимость, $L$ — длина проводника, $E=U/L$ — напряжение электрического поля. Закон Ома предполагает линейную связь между плотностью тока j и напряжение электрического поля E. Если же проводимость σ по какой-то причине зависит от величины электрического поля, то зависимость j от E становится нелинейной, и закон Ома нарушается.

Чтобы выяснить причины нарушения закона Ома, рассмотрим движение электронов в проводниках в отсутствие и при наличии электрического поля.

4

$$\vec{u} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left( \vec{v}_i - \frac{e\vec{E}}{m^*} t_i \right) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i - \frac{e\vec{E}}{m^*} \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} t_i \right).$$

Величина $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i$ есть средняя скорость электровоз сразу после рассеяния. Так как скорости электровоз сразу рассеяния могут быть направлены в любую сторону, $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i = 0$. Величина $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} t_i = \tau$ имеет смысл уже знакомого нам среднего времени свободного пробета. Итак, под действием электрического поля все электроны прибретают добавочно скорость (ее называют дрейфовой), среднее значение которого равно $u = eE\tau/m^*$, и направлена эта скорость параллельно полю $\vec{E}$.

Таким образом, при наличии электрического поля наxaотическая движение электровоз накладывается дрейфовое, появляется преимущественное направление движения электровоз — возникает электрический ток. Если концентрация электровоз в проводнике равна $n$, то плотность этого тока —

$$j = enu = \frac{ne^2\tau}{m^*} E.$$

С другой стороны, мы знаем, что $j = \sigma E$. Значит,

$$\sigma = \frac{ne^2\tau}{m^*}.$$

Эта формула называется формулой Друде. Закон Ома справедлив, если ни одна из величины, входящих в формулу Друде, не зависит от $E$. Если концентрация электровоз $n$ или время свободного пробета $t$, или эффективная масса $m^*$ изменяется под действием электрического поля, то закон Ома нарушается.

Когда же справедлив закон Ома

Прежде всего рассмотрим, при каких условиях величина $t$ не меняется под действием поля $E$.

Время $t$ зависит от скоростей электровоз. Дрейфовая скорость $u =$

$$eE\tau/m^*, \text{ появляющая при включении электрического поля, возрастает при увеличении } E. \text{ Пока электрическое поля мало, так что дрейфовая скорость } u \text{ гораздо меньше средней скоростиxaотического движения } v_0, \text{ величины } u \text{ можно пребречь и считать время } t \text{ не зависит от поля } E. \text{ Если } E \text{ велико настояло, что значение } u \text{ сравнито с } v_0, \text{ то дрейфовою скорость нужно учитывать. В этом случае скорости электровоз и, следовательно, время свободного пробета } t \text{ оказываются зависящими от электрического поля.}$$

Таким образом, для выполнения закона Ома необходимо, чтобы выполнялось условие

$$u \ll v_0,$$

т. е. направлено электрического поля в проводнике должно быть много меньше $E = m^*v_0/e\tau$.

В полупроводниках, как мы уже говорили, $v_0 \sim 10^5$ м/с. Чтобы достичь значения $u$, сравнимого с $v_0$, к полупроводнику необходимо приложить поле $E \sim 10^6$ В/м. Это — огромная величина, сравнимая с направлением поля в молнии. Тем не менее такое поле удается создать в полупроводниках.

Есть еще одно, более сильное ограничение на скорость $u$. Она должна быть меньше скорости звука в проводнике (а $v_{38} \sim 10^3$ м/с):

$$u < v_{38}.$$

Как только скорость $u$ достигает значения $v_{38}$, в кристалле возбуждаются звуковые колебания. При этом время свободного пробета $t$ и проводимость $\sigma$, пропорциональная $\tau$, могут уменьшаться. Эта ситuation аналогична резкому увеличению аэродинамического сопротивления после предоления самолетом звукового барера.

Итак, в поле $E_{38} \geq m^*v_{38}/e\tau$ проводимость начинает зависеть от величины $E$, и закон Ома нарушается.

Дейстиве электрического поля не совпада только к появлению дрейфового движения. Известно, что при протекции тока в проводнике выделяется джоулево телло, и он нагревается. Расмотрим этот процесс подробнее.

5

Любой проводник можно считать состоящим из двух подистем: кристаллический решетки, образованной atomами вещества, и газа электронов проводимости, заполняющего решетку. Электrons и решетку можно характеризовать своим температурми $T_e$ и $T_p$. В отсутствие электрического поля электронный газ находится в тепловом равновесии с решеткой и окружающей средой: $T_e=T_p=T_c$. Поле $E$ действует на электроны проводимости и разогревает прежде всего их. Лишь затем от электронов теплопередается решетке, а потом окружающей среде. Поэтому при наличии поля тепловое равновесие нарушается так, что $T_e>T_p>T_c$.

Если теплопередача от проводника окружающей среде уже теплопередачи от электронов atomам и, следовательно, $T_e-T_p\ll T_p-T_c$, то решетка вместе с электронами разогревается как целое. (Такая ситуация характерна для спирали лампы накаливания.) Возможен и обратный случай, когда температура электронов намного выше температуры решетки и $T_e-T_p\gg T_p-T_c$.

В металлах, как мы уже говорили, средняя скорость хаотического теплового движения электронов практически не зависит от температуры. А вот в полупроводниках увеличение $T_e$ под действием электрического поля означает рост скорости $v_0$ теплового движения электронов, а значит — уменьшение времени свободного пробета. Если изменение $\Delta v_0$ скорости $v_0$ мало, т. е. $\Delta v_0\ll v_0$, то зависит $v_0$ от $E$, и, значит, $\tau$ от $E$ можно пребреть. Условие $\Delta v_0\ll v_0$ эквивалентно условию малости перегрева $\Delta T_e$ электронов относительно равновесного состояния:

$$\Delta T_e\ll T_e.$$

Таким образом, условия неависимости времени свободного пробета от величины электрического поля, необходимое для выполнения закона Ома, задает следующее ограничения на области применения этого закона:

$$u \ll v_0,$$

$$u < v_{3B},$$

$$\Delta T_e\ll T_e=T_c.$$

Нарушение любого из этих неависимостей к отклонению от закона Ома. Ниже мы увидим, что при нарушении неависимости $u \ll v_0$ и $\Delta T_e\ll T_e$ электрическое поле $E$ может влиять и на другие величины, входящие в формулу Друде, — эффективную массу $m^*$ и концентрацию электронов $n$. Зависимости $m^*$ и $n$ от $E$ могут существенно изменить вид волт-amперных характеристик полупроводников.

Полупроводники в сильном электрическом поле

В образце, по которым течет ток $I$, выделяется мощность

$$P=I^2R=\sigma E^2LS$$

(мы учили, что $I=jS=\sigma ES$, $R=\varrho L/S=L/\sigma S$). В единице объема выделяется мощность $Q=\sigma E^2$. При одном и том же значении $Q$ электрическое поле $E=$ $\sqrt{Q/\sigma}$ в полупроводниках городадо большие, чем в металлах, так как концентрация электронов в полупроводниках и, значит, проводимость $\sigma$ наного меньше. Следовательно, в них легче нарушить условия $u<v_{3B}$, $u\ll v_0$. Кроме того, на каждый электрон в полупроводнике приходится большая мощность, чем в металле. Электронный газ разогревается сльнее, поэтому и неависимство $\Delta T_e\ll T_e$ тоже нарушается легче.

Нарушение какого из условий — (1), (2) или (3) — при увеличении электрического поля приведет к наиболее существенным отклонению от закона Ома, зависит от типа полупроводника. Например, в CdS сначала нарушается условия $u<v_{3B}$. При этом в поле $E_{3B}=1,4\cdot 10^5$ В/м на волт-amпер-

6

ной характеристике $j(E)$ возникает излом (рис. 2). Если $E > E_{3B}$, этот полупроводник интенсивно испускает звук и может быть использован в качестве генератора звуковых колебаний.

В других полупроводниках, таких как Ge, Si, GaAs, InP, CdTe, звук возбуждается гораздо слабее, и в поле $E_{3B}$ заметного излом не наблюдается. В этих полупроводниках отклонения от закона Ома связаны с нарушением условия $\Delta T_e \ll T_e$. При этом время свободного пробета оказывается обратно пропорциональным полю $E$, т. е. $\tau(E) \sim 1/E$, и зависит плотности тока отоля связывана только с изменением $m^*$ и $n$. В Ge и Si при $E > 10^6$ В/m на волт-амперной характеристике (рис. 3) наблюдается насыщение $j(m^*, n)$ не зависит от $E$. В GaAs, InP, CdTe при увеличении энергии электронов с ростом $E$ не только уменьшается время свободного пробета $\tau$, но и растет эффективная масса $m^*$. Увеличение $m^*$ вызывает изменением взаимодействия электронов с кристаллической решеткой. В результате в этих полупроводниках, начиная с некоторого значения электрического поля $E_a$, плотность тока $j$ падает с ростом $E$ (участок $E_a < E < E_b$ на рисунке 3). В GaAs падание $j$ начинается с $E_a = 3,2 \cdot 10^5$ В/m и продолжается до $E_b \approx 10$ $E_a$. В поле $E_a$ древфовая скорость электронов $u = j/en = 1,5 \times 10^5$ м/c.

В еще более сильном поле $E \sim 10^7$ В/m нарушаем условие $\Delta T_e \ll T_e$ нарушается и условия $u \ll v_0$. В таком поле электроны получают за время свободного пробета энергию, достаточно для понимания атомов. Быстрый электроны при столбчении с atomами выбивают дополнительные электроны, которые в свою очередь тоже ускоряются полем и генерируют новые носители заряда. Этот процесс называется ударной инизацияй. Общая концентрация $n$ электронов возратает, и, следовательно, растет проводимость. При еще большем увеличении электрического поля $(E > 10^7$ В/m) концентрация и проводимость возратают лавинообразно, наступает пробой полупроводника.

Таким образом, в полупроводниках в очень сильных полях $E$ плотность тока $j = \sigma E$ увеличивается быстрее, чем по линейному закону. В частности, в Ge и Si насыщение тока сменяется его непленным ростом, а в GaAs, InP, CdTe волт-амперная характеристика прибретает $N$-образный вид (рис. 3); при $0 < E < E_a$ выполняется закон Ома, в интервале $E_a < E < E_b$ имеет падающий участок, вызванный уменьшением $\tau$ и возратанием $m^*$ в сильном электрическом поле, и, наконец, в области $E > E_b$ происходит быстрый рост $j$ из-за увеличения $n$.

Эффект Ганна

Наличие падающего участка на волт-амперной характеристике приводит к интересному явлению, обнаружному американским инженером Джоном Ганном.

Приложим к образцу GaAs длиной $L$ направление $U_0$ такое, чтобы оказаться на падающем участке зависимости $j(E)$. Предположим, что сначала электрическое поле в образце однородно и равно $U_0/L$. Пусть по какой-либо причина в тонком слое $AB$ образца поле $E$ оказывается чуть большше, чем в остальном объеме образца (рис. 4). Тогда скорость древфа электронов $u = j/en$ внутрен слоя $AB$ оказывается меньше, чем снаружи. Поэтому к границе $A$ будет подлеять большие электронов, чем улетать от нее, а у границ $B$ — положительное. Следовательно, в слое $AB$ появится дополнительное электрическое поле, направленное в ту же сторону, что и исходное. Увеличение

7

ние поля приведет к тому, что действая скорость электровнутри слоя еще уменышится, и поле там еще больше возрастет.

Таким образом, однородное распределение электрического поля на падающим участке $j(E)$ невозможно: любая сколь угодно слабая неоднородность $E$, случайно возникшая в образце, не рассасывается, а нарастает. В результате образуется узкая область (размером $\delta$) сильного поля, которая называется электрическим доменом. При этом, так как напряжение $U_0$ на образце задано, т. е.

$$E_2\delta + E_1(L-\delta) = U_0 = \text{const},$$

рост поля $E_2$ в домене сопротивления уменышением поля $E_1$ вне его. Наступит момент, когда $E_1 < E_a$ и $E_2 > E_b$ (см. рис. 3). Скорость действающая электровнутри домена начинает уменышаться, а внутренняя — уvelичивать. Рост поля $E_2$ в домене прекратится, когда эти скорости сравняются, и плотности токов в домене и в образце станут одинаковыми:

$$j(E_1) = j(E_2) = j_0.$$

Из двух последних равенств следует, что установившаяся в образце плотность тока $j_0$ зависит от толщины домена $\delta$.

Объчно домен возникает в близи када (за счет вплавления контактов здесь большие неоднородностей) и, увлекаемый потоком электровнутри, начинает двигаться к аноду со скоростью $u_0 = j_0/en$. Пока он движется вдоль образца, его размер не меняется, а значит, не меняется и ток $j_0$. В близи анода домен начинает исчезать, его толщина уменышается, и ток в образце возрастает. Однако временно уvelичивается поле $E_1$ вне домена. Как только

$$E_1$$ достигнет значения $E_a$, у которой зарождается новый домен, ток начинает уменышаться, и этот процесс церподические повторяется (рис. 5). Перiod колбанный тока в образце — $T_0 = L/u_0$.

Итак, прикладывая к полупроводнику постоянное напряжение $U_0$, мы получаем переменный ток частоты $f = 1/T_0 = u_0/L$. Это совсем уже непохоже на закон Ома. В арсениде галляя (GaAs) $u_0 \approx 10^5$ м/c. Используя небольшие образцы длиной от одного до стапикрон, можно менять частоту переменного тока в диапазоне $f \sim 10^9 - 10^{11}$ Гц. На основе эффекта Ганна работает большинство современных генераторов сверхвысоких частот (СВЧ). Эти приборы используются, например, для определения постоянной ГАЙ скорости движения автоматической и в телевизионном вещении через искусственные спутники Земли.

Нарушение закона Ома

при больших токах

Do sins пор мы рассматривали движение электровнутри под действием только электрического поля. Однако известно, что протекающий по проводнику ток является источником магнитного поля. магнитное поле возникнет не только снаружи, но и внутри проводника. Например, близи поверхности прямого провода диаметром $d = 1$ мм при токе $I = 10$ А возникнет магнитное поле $B = 4\mu_0I/d \approx 0,012$ Тл ($\mu_0 = 4 \cdot 10^{-7}$ B·с/(А·м) – магнитная постоянная). Magнитное поле тока может служить причной нарушения закона Ома.

На электрон, движущейся в магнитном поле, действует сила Лоренца,

8

Рис. 6.
искривляющая его траекторию. Если индукция поля $\vec{B}$ перpendикулярна скорости $\vec{v}$ электрона, то траекторий электрона будет окружность радиуса $r=m^*v/eB$. Если угол между векторами $\vec{B}$ и $\vec{v}$ равен $\alpha$, то электрон будет двигаться по спирали, диаметр которого $d=2(m^*v/eB)\sin \alpha$, пропетая один виток спирали за время $T=2\pi m^*/eB$.

В проводнике движение электрона по спирали возможно, если время свободного пробета $\tau \gg T$ (рис. 6, а). При этом диаметр спирали $d<vT$ во много раз меньше расстояния $l=v\tau$, на которое электрон смешается за время $\tau$ в отсутствие магнитного поля (рис. 6, б). Поэтому в течение времени $\tau$ электрон оказывается как бы запертым в трубке диаметром $d$. В результате сопротивление проводника в магнитном поле оказывается больше, чем при $B=0$. Зависимость сопротивления $R$ от магнитного поля, создавемого «собственным» током, приводит, таким образом, к нарушению закона Ома.

Если же $\tau \ll T$, то между двумя последовательными столковенными движение электрона мало отличается от прямолинейного (рис. 6, с); магнитное поле практические не менее сопротивления проводника.

Индукция магнитного поля $B_0$, начная с которой влияние поля становится существенно, находится из

Рис. 7.

условия равенства перiodа обращения электрона по круговой орбите $T=2\pi m^*/eB_0$ времен свободного пробета $\tau: B_0=2\pi m^*/e\tau$. Для GaAs $m^*=0,06$ $m_e$ и $\tau \sim 10^{-13}$ с, поэтому $B_0 \approx 3$ Тл. Создать такое поле, пропуская через полупроводник ток, практические невозможно. При гораэдо меныших токах образец разрушится. По металлу же, имеющему очень высокую проводимость, можно пропускать намного больше токи. Кроме того, в чистых металлах, охлажденных до температуры жидкого геля (около 4 К), время $\tau$ может достигать величины $\sim 10^{-9}$ с, значительно больше, чем в полупроводниках. Поэтому в металлах поле $B_0$ малó — порядка 0,01 Тл. Это пример такого поле, которое возникает в проводнике диаметром 1 мм при токе 10 А.

На рисунке 7 приведена полученная экспериментальная зависимость сопротивления $R$ металлического проводника от величины тока $I$ при гелевой температуре. Видно, что с ростом тока сопротивление увеличивается в несколько раз. Электрическое поле в этом эксперименте было меньше $10^2$ В/м, что намного меньше тех полей $E$, в которых наблюдаются отклонения от закона Ома в полупроводниках. Таким образом, влияние магнитного поля тока на сопротивление является в данном случае основной причиной нарушения закона Ома.

---

Мы рассмотрели физические принципы, которые могут приводить к нарушению закона Ома в проводниках. При этом не были упомянуты наиболее важные неполученные эфективы в проводниках, находящихся в переменных электрическом и магнитном полях… Но ведь «никто не обнимет необъятного».

11

Узлы появились в дисторическе времена — вместе с первыми нитками и вервками. А может быть и раньше: лианы ведь легко заузливаются. В глубь истории уходят практические навыки обращения с узлами — ими пользовались первые мореплаватели, ткачи, строители. А вот ученые стали систематически изучать узлы лины сравнительно недавно: в конце прошло века. Видимо, жесткие рамки традиционной геометрии были слишком тестия для этих тонких и гибких объектов. Теория узлов стала успешно развивать лишь вместе с теологической — научкой о самых глубоких свойств фигур и их расположения,— заняв в ней скромное, но достойное место. Скромное — до поры, до времени.

В последние годы теория узлов перестала быть утекой лишь небольшого числа специализов, неожиданно превращилось в одно из самых модных увлечений математиков, физиков (и «классические», и «квантовых») и даже генетиков.

Но об этом — чуть позже. Пока же посмотрим на узлы с точки зрения математика и заданным самый естественный вопрос:

Любой ли узел можно распутать?

Например, можно ли распутать узлы, показанные на рисунке 1? Читатель, взглянув на узел $Y_1$, наверняка видит, что он легко расправляется в окружность. Как распутать узлы $Y_2$, $Y_3$, $Y_4$, $Y_5$ — сразу не видно;

Рис. 1. Примеры диаграмм узлов: $Y_1$ — тривальный (т. е. распутывающийся в окружность) узел; $Y_2$ — узел восемерка; $Y_3$ — табличный узел $8_1$; $Y_4$ — ? $Y_5$ — табличный узел $8_{11}$; $Y_6$ — недопустимое изображение узла (не являющееся диаграммой).

12

интупция подсказывает, что распутать узел $Y_2$, не разрывая его, невозмножно. Узел же $Y_6$ вызывает недоумение: из рисунка нельзя пойти, как этот узел расположен в пространстве.

Чтобы перейти от объвательского обсуждения узлов к серверному математическому разговору, нужно точные определения. Начнем с определения: узел — это связная (т. е. состоящая из одного куска) замкнутая ориентированная (т. е. снабженная направлением обхода) ломанная в пространстве. Узлы изображаются на плоских рисунках специальным образом — в виде диаграмм. Диаграмм называется также проекция узла на плоскость, при которой кривая самопересекается только по изолированным двойным точкам, притом пробел

Рис. 2. Элементарные свойства и эквивалентность узлов: a) замена звена AB на двухвенную ломанную ACB (и обратно) при условии, что треугольник ABC не имеет общих точек с узлом (разумется, кроме точек отрезка AB); b) уничтожение петельки с помощью одного элементарного свица; c) перевыжение целого участка ACDEB узла в положение AC’D’E’B при помощи серии из шести элементарных свицов.

В проекции указывает, какая из двух ветвей проходит ниже. На рисунке 1 настоящих диаграмм лишь пять: проекция узла $Y_6$ диаграммой не является — у нее есть тройная точка (A), точка без пробела в нижней ветви (B) и целый участок (неизоливанных) двойных точек (C). Мы рассматриваем здесь лишь ориентированные узлы и указываем направление обхода стрелкой на диаграмме. (На диаграмме вместе ломаной обчирно рисунот — красоты ради — плавную кривую.)

Два узла считаются эквивалентными (т. е. одинаковыми), если скимая, растягивая, движя в пространстве один узел (без разрывов и склеек), его можно превращать в другой*). Узел $Y_1$ таким образом превращается в тривиальный, т. е. в обычную окружность (рис. 3). Среди узлов рисунка 1 есть еще один тривиальный узел (пробуйте угадать — какой), но его распутать не так легко, как узел $Y_1$.

Угадали, что это за узел? Правильно: узел $Y_4$ — тоже тривиален. Но человек с нормальным пространственным воображением обычно находится его распутывания не сразу, только с помощью карандаша, бумаги и ластика (или доски и мела).

Упражнение 1. Нарисуйте процесс распутывания узла $Y_4$.

Тепер естьственное поставить и общее вопросы.

1. Проблема распутывания. Найти алгоритм, который по любой диаграмме узла узнет, тривиален узел или нет.

Этот вопрос — частный случай еще более общего.

2. Проблема сравнения. Найти алгоритм, который по любой паре диаграмм узнет, эквивалентны они или нет. (Проблема распутывания — это пробела сравнения с тривиальным узлом.)

*) Большое точное определение: два узла эквивалентны, если от одного к другому можно перейти по конечной цепочке элементарных свица (заменя одно звено ломаной на двухвенную ломанную и обратно — см. рисунок 2).

Рис. 3. Процесс распутывания узла $Y_1$: а) сокальзывание одной ветви с другой; б) переброс ветви через двойную точку; с) еще одно сокальзывание; д) затягивание петельки; д) раскручивание двух петелек.

Как приступить к этим проблемам?
В этом нам помогут

Операции Рейдемейстра

Проанализируем, как мы решили задачу распутывания узла $Y_1$. Из рисунка 3 видно, что в процессе распутывания вид узла приципиально изменяется лишь в те моменты, когда меняется число или характер расположения двойных точек. Одана двойная точка может исчезнуть, когда мы раскручиваем малую петлю (рис. 3, $\delta$), пара соседних двойных точек может исчезнуть, когда одна дуга сокальзывает с другой (рис. 3, $a$), наконец, пара двойных точек может перескочить через третью (рис. 3, $\delta$). Ситуации перед этим операциями на рисунке 3 выделены желтыми кругочками; все три типа операций воспроизведены отдельно на рисунке 4. Для них имеется специальное название — операция Рейдемейстра, по имени немецкого математика, который выделил их и ввадчатых годах доказал следующую.

Теорему: Два узла эквивалентны тогда и только тогда, когда от диаграммы одного узла к диаграмме другой можно перейти с помощью ко-

Рис. 4. Операция Рейдемейстра: $\Omega_1^{\pm}$ — раскручивание (и закручивание) петелек; $\Omega_2^{\pm}$ — сокальзывание одной ветви с другой и налезание одной ветви на другой; $\Omega_3$ — переброс ветви через двойную точку. Операции, помещенные плосом, уменьшают число двойных точек (а значит, упрощают диаграмму узла); операции, помещенные минусом, увеличают это число; операция $\Omega_3$ не меняет число двойных точек.

14

нечного числа операций $\Omega_1^{\pm}, \Omega_2^{\pm}, \Omega_3$.

Теорема Рейдемейстра свойит трудную пространственную задачу эквивалентности двух узлов к более простой «плоской» задаче о превращении одной диаграммы узла в другую с помощью трех известных операций $\Omega_1^{\pm}, \Omega_2^{\pm}, \Omega_3$ (см. рис. 4). Малointerсеное доказательство этой теоремы*) мы проводить здесь не будем.

Упражнения
2. Распутайте узел $Y_1$, пользовать только операции $\Omega_1^{+}$ и $\Omega_2^{+}$.
3. Показите, что операции $\Omega_1^{+}$ и $\Omega_2^{+}$ нельзя применить к узлу $Y_2$.

Успешное решение упражнения 2 и 3 всегда найдedy на решение проблемы распутывания. Применяя только операции Рейдемейстра $\Omega_1^{+}, \Omega_2^{+}$, уменьшающее число двойных точек, будем систематически прошать диаграмму, пока узел не распутается. Если же операции неприменимы — узел распутать нельзя.

Увы! Эта идея порочна:

Упражнение 4. Показите, что операции $\Omega_1^{+}, \Omega_2^{+}$ не применены к (тривиальном!) узлу $Y_4$.

Мы зашили в тупик. Чтобы распутать узел, иногда необходимо сначала увеличить число двойных точек, а лишь потом распутать диаграмму узла. И беда в том, что заранее не известно, на сколько нужно увеличить это число — алгоритмом здесь и не пахнет. Ведь не приведшие к успешу систематической попытки распутать узел с помощью операции Рейдемейстра ничего не доказывают: может быть, узел не удалось распутать не потому, что он нетривиален, а потому, что мы недостаточно увеличили число двойных точек.

Наш наивный геометрический подход кончился полной неудачей. Ведь в данной момент мы не располагаем доказательством нетривиального ни одного узла! Можно быть, все узлы распутываются? Нужны другие идеи.

*) Оно состоит в аккуратном анализе того, что происходит на проекции (диаграмме) узла при выполнении одного элементарного сввига (в пространстве). При этом перебираются возможные варианты с использованием идеи «малого шевления».

Рис. 5. Примеры зачетлений: $\Omega_1$ — право простейшее зачетление двух окружностей; $\Omega_2$ — колчча Борромо; $\Omega_3$ — проколотая восмера; $\Omega_4$ — зачетление, эквивалентное колчча Борромо (проверьте!); $\Omega_5$ — цепочка, зазеленная в форме трилистника; $\Omega_6$ — неустойчивая цепочка (она развалвается, если в точке А помещать местами нижнюю и верхнюю ветви).

Опытные участники математических оптимизации подсказут направление поиска. Нужно найти

Инвариант, прействующий распутыванию

Что это значит? Нужно с каждой диаграммой узла связать некоторый алгебраический объект — инвариант — так, чтобы диаграмм эквивалентных узлов отвецали одинаковые инварианты. Тогда, если инварианты у узлов разны, эти узлы не могут быть эквивалентными. Если у узла инвариант не равен инварианту тревиального узла, данный узел не может быть тревиальным. Инвариант

15

как бы «препятствует» распутыванию узла. Во всяком случае, инвариант доставляет доказательство нетривиальности данного узла*).

Итак, если инвариант разные, то узлы разные. Если верно еще и обратное (совпадение инвариантов влечет эквивалентность узлов), то инвариант называется полным. Для такой сложной задачи, как сравнение узлов, не известно простого полного инварианта. Однако хочется, чтобы инвариант был достагоно тонким, т. е. позволял бы различать если не все, то много узлы.

Как найти подобный инвариант? Для этого нам придется несколько распирить класс расматриваемых объектов: изучать не только узлы, но и более общие понятия —

Защепление

Защепленем называется конечный набор замкнутых непересекающихся ориентированных ломаных в пространстве (рис. 5). Узел — частный случайзапелления (набор из одной ломаной). Эквивалентностьзапеллений определяется так же, как узлов.

Наличие нескольких ломаных приводит к принципально новым эфективам заузливания. Например, две окружности (тривалные узлы) могут составить нераспределимую пару (3₁). Еще интереснее колчага Борромео (3₂) — три окружности, попарно незапелленные, но которые в совокупности не удается распутать. Последовательнозапеллям маленькие окружности, можно строить длиные цепочки и даже заузливать их (3₅). Занятна и цепочка из более сложных петелек (3₆): если разцепить «левый замок» (т. е. поменять самую левую двойную точку на противоположную), то цепочка последовательно распределяется слева направо. Этот эфект чем-то напоминает бег «стрелки» на капроновых чулках или «распускание» шерстяного свитера.

*) В «Кванте» уже описывается один подобный инвариант (см. статью О. Я. Виро «Раскрашенные узлы», «Квант», 1981, № 3).

Упражнение 5 (для девочек). Нарисуйте, как зацепляются верхняя и нижняя нитки при шитье на швейной машине.

Но мы не будем здесь заниматься геометрическими играми с зацепленями, а неосредственно перейдем к построению нашего инварианта. Он называется

Полином Конвеля

по имени англичского математика Дж. Конвеля. Впрочем, в научной литературе этот полином чаще называют полиномом Александера — Конвеля. Дж. Александер, выдавшийся американский тополог, придумал свой полином раныше Конвеля, в 1933 году (полином Конвеля от полинома Александера отличается простой заменой переменных), но его конструкция — изысканно красивая! — далек не элементарна. Заслужга Конвеля, разумеется, не в замене переменных, а в совершенное элементарном аксиоматическом построении полинома. Это построение я и описываю ниже, сохраняя за полиномом лишь фамилию Дж. Конвеля, одного из самых ярких и разносторонних математиков XX века, создателя игры «Жизнь» (см. «Квант», 1974, № 9), сорреальных чисел (см. Квант», 1979, № 11), несколько спорадических монстров (см. «Квант», 1987, № 2) и многох других хитрых вещей.

Конвелий поступивал, что каждой диаграмме узла или зацепления L поставлен в соответствии полином (многочлен) от переменной x с целыми коэффициентами. Этот полином обозначается P_L(x). При этом должны выполнять три аксиомы:

I. Эквивалентным диаграммам L и L’ отвечает один и тот же полином:

$$P_L(x) = P_L(x).$$

II. Тривалному узлу отвечает полином (нулевой степени), разный 1:

$$P_0(x) = 1.$$

III. Трем зацепленям L⁺, L⁻, L⁰, которые всюду одинаковы, кроме небольшого кружочка, где они выглядают так, как показано на рисунке 6,

16

Рис 6. Основное соотношение (аксиома III) для полиномов Конвеля.

отвечают полиномы, связанные соотношение

$$P_{L^+}(x) - P_{L^-}(x) = x \cdot P_{L^0}(x)$$

Мы показ не будем обсуждать, почему для каждой $L$ полином $P_{L}(x)$ существует и однозначно определяется этим аксиомами, а научимся, исходя из аксиом, этот полином считать.

Постотрим на рисунок 7,a. На нем изображена диаграмма (обозначенная $L^+$) тривиального узла с одной двойной точкой. Из аксиом I и II следует, что полином $P_{L^+}(x)$ равен 1. Если заменить двойную точку диаграммы $L^+$ на противоположную, а затем двойную точку уничтожить (в соответствии с аксиомой III), то мы получим другую диаграмму тривиального узла $L^-$ и пару незацепленных окружностей $L^0$. Применяя соотношение III, получим

$$P_{L^+}(x) - P_{L^-}(x) = x \cdot P_{L^0}(x),$$

т. е. $1 - 1 = x \cdot P_{L^0}(x)$, откуда $P_{L^0}(x) = 0$, т. е. пара незацепленных окружностей имеет нулевой полином Конвеля.

Тепер вычислим полином Конвеля пары зацепленных окружностей. На нем с заменяния: поскольку мы рассматриваем ориентированные линии, такие пары бывают двух сортов: правые и левые. Чтобы обьясить, в чем между ними разница, условия считать одну из окружностей первой, другую — второй. Линия, протыкающая плоскость первой окружности внутри этой окружности, получает направление по «обратному» правиле буравчика; если второй окружность имеет именно такую ориентацию, мы считаем зацепленную пару левой, в противном случае — правой (рис. 8).

Рис. 7. Полиномы Конвеля: a) для пары незацепленных окружностей $L^0(P_{L^0}(x) = 0)$; b) для пары (см. рис. 8) зацепленных окружностей $L^+(P_{L^+}(x) = x)$; c) для узла трилистник $L^+(P_{L^+}(x) = x^2 + 1)$; d) узла восемерка $L^+$; e) для зацепления проколотая восемерка; f) для других варианта проколотой восемерки.

18

10. Показите, что полином Конвея не является полным инвариантом, т. е. показите, что существуют различные узлы с одинаковыми полиномами Конвея.

Указание. Простейший пример — трилистик и его зеркальный образ. Для доказательства их неквивалентности нужно моделировать полином Конвея, заменив его полиномом Джонса, который определяется так же, как полином Конвея, только изменяется аксиома III:

$$\text{III}' \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} P_{L^+} - \sqrt{x} P_{L^-} = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} P_{L^0}.$$

Подведем итоги

Далее необходимо число проведенных вычислений показывает, что полином Конвея — достаточно тонкий инструмент, позволяющий различать узлы и зацепления и установливать их нетривиальное. Посчитав, например, полиномы трилистника, восперки, колец Борромео (и убедившись, что эти полиномы не равны 0 или 1), мы строю доказали, что их нельзя распутать. Или, посчитав соответствующие полиномы, мы доказали, что зацепления на рисунках 7,δ,e не эквивалентны, что вообще-то не очень очевидно.

Разумеется, эти доказательства правомочны только в том случае, если уже установлен факт существования и единственности полинома Конвея для каждого узла (и зацепления). Ведь простое построение аксиом не гарантирует наличие объекта, удовлетворяющего этим аксиомам (вдруг аксиомы противерчивы!). Как получить такую гарантию? Только доказав существование и единственность полинома Конвея. Но известное мне элементарное доказательство этого факта очень громоздко, и здесь оно приводится не будет.

И в заключение последний вопрос:

А что же делать?

Я надеюсь, что читатель понaviлись произные и элегантные конструкции, описанные выше. Нужносказать, что в современной математике редко встречаются интенсивно развивающиеся области, о которых школьнику можно что-либо расскаать по существу. Живая математика, как правило, описается на огромный массив знаний, далеко выходящий за рамки школьной (и даже взводской) программы. Здесь же все почти элементарно, хотя довольно ново (построение полинома Конвея, например, относится к 70-м годам). Но не следует оболщаться. То, что удалось описать выше, не смогло бы, несмотря на свою привлекательность, вызывает тот повышенный интерес к теории узлов, о котором я говорил в начале статьи.

Дело здесь в другом. Во-первых, в найденных англійским математиком В. Джонсом глубоких связях между полиномами узлов, статистической физикой (более конкретно — так называемой «модель Поттса» для льда) и квантовой физикой (так называемые «квантовые группы»). Во-вторых, в появлении узлов в молекулярной биологии (заузливание колцезвых молекул ДНК*)). И, в-третьих, в недавнем решении основных проблем теории узлов (проблем сравнения и распутивания), основанием на глубоких геометрических работах немецких математиков В. Хакена и Г. Вальдхаузена.

В настоящее время в математической литературе имеется описание алгоритмов сравнения и распутивания узлов. Однако эти алгоритмы пока слищком сложны для компьютерной реализации. Имеется и полный инвариант для узлов, придуманный советским математиком С. В. Матвеевым. Но и его практическое вычисление недоступно ЭВМ. Работа в этих направлениях продолжается.

*) Подробности можно узнать из заменательной книги М. Д. Франк-Каменецкого «Самая главная молекула» (серия «Виблотека «Квант», М., Наука, 1983). Ее автор ошибочно полагает, что полином Алексадера представляет собой полный инвариант узла (см. с. 109 этой книги). Впрочем, в других местах автор заменает, что он — не математик (с. 106).

19

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕКАРЯ

Кандидат физико-математических наук
В. А. ЧУЛАЕВСКИЙ

Если приходится слишать слова «вероятность», «случайность», то, пожалуйста, чаще всего мы вспоминаем об игре в «орлянику», бросаний игralных костей или тасовании карт. Да и сам термин «азартные игры» происходит от французского слова hasard, что означает «случай». Попытки найти скрытые механизмы, управляющие слуаем, предпринимались во все времена. Однако кончались они, как правило, печально — вспомним пущинского Германна!. Да и есть ли чтоибудь общее между полной предопределностью («тройка, семерка, туз») и слуаейность? Не будем спешить с ответом, а займется пока… кулинарией.

Задача о несоленом пироге. Итак, давайте испечем пирог. Откроем кулинарную книгу и выберем рецепт по своему вкусу. Замещиваем тесто, ждем, пока оно поднимется нарожжах, раскатываем его в виде квадрата скалкой. Принимаемся за начинку… Погодите, а ведь тесто-то мы не посолили. Что же, попытаемся исправить свою оплошность: возьмем чайную ложку соли и… Ах, как неаккуратно! Вся соль высыпалась в уголок будущего пирога (рис. 1). Но это не должно нас смущать (как, впрочем, и то, что «квадрат» на наших рисунках «выглядит» прямого угловиком). На помощь приходит опыт хлебопекаров: растягаем квадрат вдвое по горизонтали, режим пополам по вертикали и снова составляем квадрат так, как изображено на рисунке 2.

To, что мы проделали с квадратом, называется иногда преобразование пекаря. Любая хозяйка знает, что таким способом можно сделать тесто очень однородным. Но как вы думаете, сколько раз надо повторить эту процедуру, чтобы соль, высыпанная в уголок, распределилась практическими поровну между всеми кусочками будущего пирога, — два? Десять? сто? тысячу?

Геометрия преобразования пекаря. Давайте разделим квадрат пополам по вертикали. Будем играть в такую игру: выберем точку в квадрате и, если после преобразования пекаря она оказывается в левой половине квадрата, мы выиграли, в противном случае — проиграли.

— Игра для детского сада,— скажете вы. — Совершенно очевидно, что точку нужно выбирать на двух вертикальных полосах, закрашенных на рисунке 2, a.

Верно. Придется усложнить правила игры; выбрав точку, повторяем преобразование пекаря 10 раз и только после этого смотрим, в какую половину квадрата она попала. Теперь выигрышная стратегия не столбец видна. Чтобы произвольного n найти множество точек, которые после n-кратного применения преобразования пекаря оказывается в левой половине квадрата, удобно проследить за движением точки под действием обрат-

20

Рис. 3

ного преобразования пекаря, т. е. преобразования пекаря, выполненого в образном порядке. Как оно выглядит, показано на рисунке 3. Применяя это после $n$-кратного повторения преобразования пекаря. И хотя «выигрышное» множество явно указано, стоит ошибиться в определении абсциссы точки на $2^{-n-1}$ (а эта величина доволь–

преобразование несколько раз подряд к единному квадрату, у которого левая половина закрашена, мы получим последовательность картинок, изображенных на рисунке 4. На $n$-м шаге оказываются закрашенныеми все вертикальные полоски шириной $2^{-n-1}$ с нечетными номерами, если считать слева направо. Именно эти точки перейдут в левую половину квадрата

Рис. 4.

20

21

но мала уже при небольших значении n), и мы проигralли. Наличие даже небольший ошибки делает игру очень похожей на орлянку: ведь выигрышное множество всегда имеет площадь 1/2, так что если выбирать точку нагад, веряность выиграть также равна 1/2.

Переменшивание. Мы уже забили, что в кухне насжет несостоящийся пирог. Оdnako время не прошло даром. Теперь мы знаем, что поправить дело совсем несложно. Достаточно повторить преобразование пекаря 15—20 раз, и тесто будет посолено практическим равномерно. Проследим за эвольюцией кругто посоленого участка пирога — рисунок 5. Можно начинать не только с квадратика, но и с фигуры произвольной формы. В любом случае через небольшее число повторений образ этой фигуры равномерно «размажется» по квадрату. Более точно это можно сформировать так. Обозначим преобразование пекаря через T,

22

и путь $A$ и $B$ — две фигуры неулевой площади, лежащие внутри квадрата, например два многоугольника. Тогда с ростом $n$ относение площад $(T^n(A) \cap B)/$ площад $(A)$ стремится к доле площади множество $B$ от площади всего квадрата. Значит, при больших $n$ шансы попасть из $A$ в $B$ за $n$ шагов под действием $T$ практически не зависит от $A$, т. е. от начального положения точки, а зависит только от площади множество $B$.

Сформированное нами свойство называют переменшанем. Оно означает, что любая фигура с течением времен равномерно распливается по квадрату.

Неколько формул. Хотелось бы научиться описывать преобразование пекаря формулами. Деление пополам, которое участвует в определении преобразования, подсказывает, что в таком описании может быть полезной двойная система счисления. Напомним, что каждое число $\alpha$ из интервала $[0;1)$ можно записать как $0, \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3...$, где каждое $\alpha_i$ равно 0 или 1. Такая запись означает, что $\alpha = \alpha_1/2 + \alpha_2/2^2 + \alpha_3/2^3 +...$; например, 1/2 можно записать в двойной системе как 0,1, а 1/3 — как 0,010101… Геометрический смысл такой записи следует. Разделим интервал $[0;1)$ пополам. Если $\alpha_1 = 0$, то число $\alpha$ лежит в левой половине интервала: $[0;1/2)$, а если $\alpha_1 = 1$, то в правой: $[1/2;1)$. Пусть для определности $\alpha_1 = 0$. Тогда $\alpha_2$ указывает, в какой половине интервала $[0;1/2)$ лежит $\alpha$ — в левой ($\alpha_2 = 0$) или в правой ($\alpha_2 = 1$). Все остальные цифры двойной записи имеют аналогичный смысл.

Упражнения

1. Докажите, что $1/3 = 0,010101$…

Подсказка: воспользуйтесь формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии: $q + q^2 + q^3 +... = q/(1-q)$.

2. Запишите 1/7 в виде двойной дроби.

3. Запишите 0,110110110… в виде объективной дроби.

Возьем точку $m$ в единичном квадрате $K = \{(x;y):0 \leqslant x < 1, 0 \leqslant y < 1\}$ с координатами $(x;y)$, записанных в двойной форме: $x = 0, x_1 x_2..., y = 0, y_1 y_2...$. Посмотрим, как изменится двойная запись координат точки $m$, если к ней применить преобразование пекаря. Если $x_1 = 0$, т. е. $m$ расположена в левой половине квадрата, то ее абсцисса уvelичится вдвое. Именно по этой причине мы предопили двойную запись десятичной: в десятичной системе счисления очень просто умножать дроби на 10 — достаточно сдинуть дробь относительно запятой влево на 1 позицию, а в двойной системе точного так же действует умножение на 2.

Итак, абсцисса точки $T(m)$ равна 0, $x_2 x_3...$. Если же $x_1 = 1$, то на первом этапе преобразования пекаря (рис. 2, б) точка $m$ перейдет в точку с абсциссой $1, x_2 x_3...$, а после разрезания (рис. 2, е) — сдинится на 1 влево, так что и в этом случае абсцисса точки $T(m)$ равна 0, $x_2 x_3...$. Проследим теперь за изменением ordinаты точки $m$. На первом этапе она уменьшится вдвое: $y \rightarrow 0,0 y_1 y_2...$, а затем либо останется неизменной (при $x_1 = 0$), либо уvelичится на 1/2 (при $x_1 = 1$). Значит, можно написать, что ordината точки $T(m)$ равна 0, $x_1 y_1 y_2...$. Для нагладности запищем координаты точки $m$ в одну строку следующим образом:

$$m \leftrightarrow (\dots y_3 y_2 y_1, x_1 x_2 x_3...).$$

Тогда точка $T(m)$ будет записьться так:

$$T(m) \leftrightarrow (\ldots y_2 y_1 x_1, x_2 x_3 x_4 \ldots).$$

Мы видим, что двойная запись координат точки позволяет представить преобразование $T$ в очень простом виде — как сдигг влево бесконечной в обе стороны последовательности нулей и единиц:

$$T: (\ldots z_{-1}, z_0 z_1 z_2 \ldots) \mapsto (\ldots z_{-1} z_0, z_1 z_2 \ldots).$$

В этой записи цифры $z_n$ имеют наглядный геометрический смысл: если $z_n = 0$, то преобразование $T$ переводит за $n$ шагов точку, отвец砌ную данной последовательности, в левую половину квадрата, а при $z_n = 1$ — в правую.

Упражнения

4. Докажите, что множество $M$ всех точек $m$, для которых $z_{i_1} = a_1, \ldots, z_{i_n} = a_n (a_1, \ldots, a_n)$ — фиксированные числа, равные 0 или 1), есть объединение неокоторого числа прямогольников со стороными, параллельными осем координат.

5. Докажите, что площадь $P$ множество $M$, описанного в упражнения 4, равна $(1/2)^n$.

Орел или решка? Будем интерпретировать последовательность $(\ldots z_{-1}, z_0 z_1 \ldots)$ как запись результатов серии бросаний монеты с равными верятностями выпадания «орла» и «решки». При этом $z_n = 0$ означает, что в $n$-м бросании выпал «орел», а $z_n = 1$ — что выпала «решка». Опыт подсказывает нам, что верятность правильного результата $n$ независящих бросаний равна $(1/2)^n$, т. е.

вероятность того, что $\{z_{i_1} = a_1, \ldots, z_{i_n} = a_n\}$, равна $(1/2)^n$, каковы бы ни были числа $a_k$ и попарно различные номера $i_k$. Таким образом, из упражнения 5 вытекает, что верятности тех или иных результатов игры в орлянку, записанных в виде множества последовательностей из нулей и единиц, совпадают с площадью множества, состоящего из соответствующих точек квадрата. Тем самым, обнаружилась неожиданная связь между далекими, на первый взгляд, весами — движением точки квадрата под действием веса простого и «неслучайного» преобразования пекаря $T$ и случайным бросанием мои

24

Задания

M1156 — M1160, Ф1163 — Ф1167

M1156. Восемь хоккейных команд совершаются между собой за выход в финальную четверку. (Каждая две встречются один раз, за выигрыш дается два очка, за ничью — одно очко, за проигрыш — 0 очков.)
Какое наименьшее число очков гарантирует выход в финальную четверку?

Санжар Ходжев, ученик 10 класса

M1157. При треугольника — белый, красный и зеленый — имеют общую внутреннюю точку M. Доказите, что можно выбрать по одной вершине каждой треугольника так, чтобы точка M находилась внутри или на границе треугольника с вершинами в выбранных точках трех разных цветов.

Имре Барани (Венгрия)

M1158. Найдите наименьшее значение выражения $(x+y)(x+z)$, если $x, y, z$ — положительные числа и $xyz(x+y+z)=1$.

Олег Христенко, ученик 10 класса

M1159. С помощью двусторонней линейки построите угол величиной $30^\circ$. Разрешены следующие операции:
(1) проведение прямой через две точки, (2) проведение прямой, параллельной данной, на расстоянии, равном ширине линейки.

А. В. Полев

M1160. У одного конца $A$ прямолинейной дороги $AB$ собрались 10 кентгуру и начали играть в чехарду. Они пригают по очереди: первый каждый раз прягает, куда хочеет; второй прягает через верного так, чтобы первый оказался точно посередине между началом и концем пряжака, третый точно так же прягает через второго и т. д., десятий прягает девятого, затем начинается новая серия пряжков по тем же правилам.
a) Могут ли через 10 серий пряжков все кентгуру собрать в точке B?
b) Могут ли они собрать там раныше?

С. Л. Елисеев

Ф1163. Из-за малого коэффициента треня автоматizable не может двигаться по льду сускорением, преосходящим по модulo $a=0,5$ м/c². По условям срезовования водитель необходимо из точки $A$ за наименьшее время попасть в точку $B$, находящую на прямой, перpendикулярной направлению начальной скорости автоматизации (рис. 1). Каково минимальное возможное время, если расстояние $AB=375$ м, а наименьая скорость $v_0=10$ м/c? По какой траектории при этом должен двигаться автоматically? Ответьте на аналогичные вопросы для случая, когда финиш находится в точке $C$, $BC=200$ м.

А. Н. Коротков

25

Ф1164. В строительстве используется так называемые предварительные напряжения железобетонные конструкции. Изготовление такой балки производит следующим образом. Стальной стержень длиной $l_1$ растягают до длины $l_2$, после чего запливают жидким бетоном. После затвердевания бетона стержень освобождают от растягающего усилия. Найти длину образованшей железобетонной балки и ее модель Юнга. Площади секения стержня и балки и модель Юнга стали и бетона считать известными. Чем предварительно напряженный железобетон лучше простого железобетона?

В. И. Клячин

Ф1165. Из бесконечной квадратной проводящей сетки с сопротивлением каждого ребра $r$ удалили часть проводников — так, как показано на рисунке 2. Найти сопротивление между точками $A$ и $B$, $B$ и $C$, $A$ и $C$.

С. С. Кротов

Ф1166. В схеме, приведенной на рисунке 3, замыкают ключ $K_1$ (при замкнутом ключе $K_2$), а в тот момент, когда заряд на конденсаторе $C_1$ становится максимальным, ключ $K_2$ размыкают. Найти максимальный заряд конденсатора $C_2$. Параметры элементов схемы, указывающие на рисунке, считать заданными.

В. В. Можаев

Ф1167. Длинный железнодорожный состав, дивяясь по инерции, выздает на горку с углом $\alpha$. Когда состав полностью оставился, на горке находится половина его длины (рис. 4). Сколько времени прошло от начала подъема до остановки? Длина состава $L$, тренем пренебречь.

А. И. Буздин

Решения задач

M1131 — M1135, Ф1143 — Ф1147

Ответ: для четырех $n$.

Покажем, что каждый элемент множества $B$ принадлежитровно двум из множества $A_i$. Наличие хотя бы двух таких множества обеспечено условием в). Допустим, что неокоторый элемент принадлежит требуемым местам, скажем, $A_{2n+1}$, $A_i$, $A_j$. Сопоставим ему множество $A_i$, а каждому из остальных элементов $x \in A_{2n+1}$ — одно из содержащих элемент $x$ по условию в) множества $A_1$, $A_2$, …, $A_{2n}$. Тогда разным элементам будут сопоставлены разные множества, причем множество $A_j$ не отвечает ни одному элементу (иначе какое-то пересечение $A_k \cap A_{2n+1}$, $k \neq 2n+1$, содержит два элемента, что противоречит условиям 6)). Поэтому число элементов в $A_{2n+1}$ не превыходит $2n-1$. А это противоречит условиям a) и, тем самым, опровергает нашей допущение.

26

Для каких значений $n$ можно поставить в соответствии какдому элементу множества $B$ одно из чисел — 0 или 1 — так, чтобы каждое из множества $A_1, A_2, \dots, A_{2n+1}$ содержалоровно $n$ элементов, соответствующих числу 0?

Рис. 1.

Рис. 2.

М1132. Функция $f$ определяла на множество целых положительных чисел и удовлетворяет следующим условиям:
$$f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n),$$
$$f(4n+1) = 2f(2n+1) - f(n),$$
$$f(4n+3) = 3f(2n+1) - 2f(n).$$
Найдите число всех таких значений $n$, для которых $f(n) = n$ и $1 \leq n \leq 1988$.

Если задано распределение нулей и единиц по элементам множества $B$ такое, что в каждом множестве $A_i$ имеетсяровно $n$ «0- элементов», то общее число «0- элементов» равно $n(2n+1)/2$ (каждай из них принадлежит двум множествам $A_i$). А это число целое только при четном $n$.

Обратно, для каждого элемента $x$ множества $B$ расстоянием единственной содержащую его пару множества $\{A_i, A_j\}$ и сопоставим элементу $x$ число 0, если $|i - j| \leq n/2$ или $|i - j| > 3n/2$, и 1, если $n/2 < |i - j| \leq 3n/2$.

При четном $n$ мы получимровно $n$ «0- элементов» в каждом множестве $A_i$, что и требуется.

При решении этой задачи основные условия уходят на то, чтобы как следует понять условия. Здесь очень помогает графическая интерпретация (см. рис. 1 и 2 для $n=4$): каждое множество $A_i$ изобразяется вершиной правильного $(2n+1)$-угольника, а единственный общий элемент множества $A_i$ и $A_j$ — отрезком, соединяющим соответствующие вершины, причем красные отрезки изобразают «0- элементы», а синние «1- элементы»; множество $B$ находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех этих отрезков. Полеzero проследить за нашими рассуждениями на этом графе.

В. В. Вавилов

ОТВЕТ: 92.

Докажем индикцией по числу $k$ знаков в двойной записи $a_1 a_2 \dots a_{k-1} a_k$ ($a_1=1$) числа $m$, что
$$f(m) = a_k a_{k-1} \dots a_2 a_1.$$

При $k=1$ имеем $f(1)=1$; при $k=2$ имеем
$$f(\bar{10}) = f(2) = f(1) = 1 = \bar{01},$$
$$f(\bar{11}) = f(3) = 3 = \bar{11}.$$

Докажем теперь наше утверждение для $k$-значного ($k>2$) в двойной системе числа $m$, считая, что оно верно для всех чисел с меньшим числом знаков. Расстояние три возможных случая.

1. $m$ четно: $m=2n = a_1 \dots a_{k-1} 0$. Тогда $n = a_1 \dots a_{k-1}$ и
   $$f(m) = f(n) = a_{k-1} \dots a_1 = 0 a_{k-1} \dots a_1.$$

2. $m=4n+1 = a_1 \dots a_{k-2} 01$. Тогда $n = a_1 \dots a_{k-2} 2n+1 = a_1 \dots a_{k-2} 1$ и
   $$f(m) = 2f(2n+1) - f(n) = f(2n+1) + (f(2n+1) - f(n)) = 1 a_{k-2} \dots a_1 + (1 a_{k-2} \dots a_1 - a_{k-2} \dots a_1) = 10 a_{k-2} \dots a_1.$$

3. $m=4n+3 = a_1 \dots a_{k-2} 11$. Тогда $n = a_1 \dots a_{k-2}$ и
   $$f(m) = 3f(2n+1) - 2f(n) = f(2n+1) + 2(f(2n+1) - f(n)) = 1 a_{k-2} \dots a_1 + 2(1 a_{k-2} \dots a_1 - a_{k-2} \dots a_1) = 11 a_{k-2} \dots a_1.$$

Во всех случях формула (*) верна; тем самым она доказана для всех $m$.

27

Из формулы (*) следует, что $f(m)=m$ для чисел $m$, двойная запись которых симметрина. Чтобы получить все такие числа с $2k-1$ или $2k$ двойными знаками, надо на первое место записи поставить $a_1=1$, следующее $k-1$ мест $a_2$, …, $a_k$ заполнить произвольно, а оставшиеся места — симметрично первым $k$. Это дает по $2^{k-1}$ чисел. Поскольку $2^{10}<1988<2^{11}$ и имеет только два 11-значных «двоично-симметричных» числа, больших 1988=$\overline{11111000100}$, — это $\overline{11111011111}$ и $\overline{11111111111}$, исключение число равно $2(1+2+2^2+2^3+2^4)+2^5-2=92$.

В. В. Вавилов

M1133. Докажите, что множество решений не пересекающих промежутков, сумма длины которых равна 1988.

$$\sum_{k=1}^{70} \frac{k}{x-k} \geq \frac{5}{4}$$

является обединиемым непересекающим промежутков, сумма длины которых равна 1988.

Область определения неравенства есть объединение полупрямых $(-\infty; 1)$, $(70; \infty)$ и интервалов $(1; 2)$, $(2; 3)$, …, $(69; 70)$. Очевидно (см. примерный график на полях), на каждом из промежутков лежа часть неравенства неперерывна и монотонно убивает: от 0 до $-\infty$ и от $\infty$ до 0, соответственно, на полупрямых и от $\infty$ до $-\infty$ на интервалах. Следовательно, на каждом промежутке, кроме $(-\infty; 1)$, она принимает значение 5/4ровно в одной точке. Обозначим эти точки в порядке возрастания через $x_1, x_2, \dots, x_{70}$, тогда множество решений неравенства есть объединение полупиттерлов $(k; x_k)$, $k=1, 2, \dots, 70$. Числа $x_k$ — это корни многочлена

$$\prod_{k=1}^{70} (x-k) - \frac{4}{5} \sum_{k=1}^{70} k \prod_{i \neq k} (x-i)^*.$$

По теореме Виета (см. «Квант», 1987, № 4, с. 40) их сумма равна коэффициенту при $x^{69}$ со знаком минус, т. е.

$$\sum_{k=1}^{70} k + \frac{4}{5} \sum_{k=1}^{70} k$$

следовательно, сумма длин полупиттерлов равна

$$\sum_{k=1}^{70} (x_k-k) = \frac{4}{5} \sum_{k=1}^{70} k=1988.$$

В. В. Вавилов

M1134. Пусть $AD$ — высота в прямойном треугольнике $ABC$, $\angle A=90^\circ$. Прямая, проходящая через центры окружностей, вписанных в треугольника $ABD$ и $ACD$, пересекает стороны $AB$ и $AC$

Докажем, что $AK=AL=AD$. Выполним последовательно поворот вокруг точки $D$ на угол $45^\circ$ и готовим с центром $D$ и коэффициентом $DO_1/DB$ (см. рисунок). Тогда точки $B$ и $A$ перейдет, соответственно, в центры $O_1$ и $O_2$ окружностей, вписанных в треугольники $DBA$ и $DAC$ ($\angle BDO_1=\angle ADO_2=45^\circ$, а $DO_2/DA=DO_1/DB$, так как треугольник $DAC$, очевидно, подобен треугольнику $DBA$). Следовательно, угол между

28

прямыми BA и $O_1O_2$ равен 45°, т. е. $\angle LKA=45^\circ$, а значит, треугольник KAL — прямоугольный равноведенный. Треугольники $AO_1K$ и $AO_1D$ равны: они имеют общую сторону $AO_1$ и равные углы ($\angle AKO_1=\angle ADO_1=45^\circ$, $AO_1$-биссектриса угла KAD). Поэтому $AL=AK=AD$.

Пусть $\angle ABC=\beta$, тогда $AB=AD/\sin \beta$, $AC=AD/\cos \beta$ и $S_{ABC}=AB \cdot AC/2=AD^2/\sin 2\beta \geqslant AD^2=2S_{AKL}$.

Равенство достигается при sin 2β=1, т. е. для равноведенного треугольника ABC ($\beta=45^\circ$).

Эта задача — пример интеграционального обмена. На оптимиду она была представлена Грецией. В несколько иной формулировке: «Доказать, что AK=AL=AD» она содержится в книге И. Ф. Шаргина «Задчи по геометрии. Планimetрия».

В. Н. Дубровский

M1135. Пусть a и b — целые положительные числа, что $a^2+b^2$ делится на ab+1 без остатка. Докажите, что $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ — квадрат целого числа.

Пусть a и b — натуральные числа и

$$\frac{a^2+b^2}{1+ab}=k.$$

Тогда b — корень уравнения

$$x^2-kax+a^2-k=0.$$

Если c — второй корень этого уравнения, число k целое и a<b, то

1. $(a^2+c^2)/(1+ac)=k$ (следует из уравнения);
2. c — целое, т. к. c=ka-b (теорема Виета);
3. c<a, т. к. bc=a^2-k<a^2 и b>a;
4. c≥0, т. к.

$$\left(\frac{1}{a}+c\right)\left(\frac{1}{b}+b\right)=\left(-\frac{1}{a}-c\right)\left(-\frac{1}{b}-b\right)=$$

$$=\left(-\frac{1}{a}\right)^2-ka\left(-\frac{1}{a}\right)+a^2-k=\frac{1}{a^2}+a^2>0,$$

и, следовательно, целое число c удовлетворяет неравенству $c>-1/a$.

Если c=0, то b=a^3. Это — «основная серия» пар (a, b), удовлетворiousх условий; для них k=a^2. Если c>0, то пару (a, b) можно заменить на пару (c, a) с тем же отношением k, к которой снова применимо наше рассудение, и т. д. В процессе «спуска» наиболее число пары каждой раз уменшается, поэтому он должен закончиться на некоторой паре (0, n), который предшествует пару (n, n^3) «основной серии»; тогда k=n^2. Наконец, если числа исходной пары (a, b) равны между собой, то отношение k может быть целым только при a=b=1; тогда k=1.

Наше рассудение позволяет построить бесконечную последовательность пар, удовлетворiousх условий, начиная с любой пары (0, n). Например, при n=2, k=4 получим пары (0, 2), (2, 8), (8, 30), (30, 4·30−8)=(30, 112)…

H. B. Васильев, B. B. Василов

29

Ф1143. Имеется очень большое количество сосудов с водой, порруженных один в другой так, что каждый следующий плавает в предыдущеем. Площадь дня самого маленького сосуда равна $s_0$ и много меньше площади дня самого большого. В самый маленький сосуд доливают объем воды $v_0$. На сколько опустится этот сосуд относительно земли? (После доливания воды все сосуды продолжают плавать.)

Рассмотрим условие равновесия любого из плавающих сосудов: сила тяжести этого сосуда уравновешивается разностью сил давления воды изнвне и изнутри. Таким образом, как до, так и после dolивания воды в любой из сосудов разность уровней воды вне и внутри каждой сосуда остается одной и той же. А это означает, что относительно земли положение уровней воды во всех сосудах остается неизменным.

Итак, относительно земли уровень воды в самом маленьком сосуде после dolивания в него воды не изменяется. Следовательно, это сосуда опустится на величины

$$h = \frac{v_0}{s_0},$$

т. е. на высоту dolитого слоя воды.

С. С. Кротов

Ф1144. На плоскости расположено $N$ одинаковых большердных шаров. Один шар толкнул, и, испытав несколько сосуденций, он оставился в той же точке, из которого начал движение. При каком минимальном $N$ это возможно? Соударения считать абсоалютно упругими.

Прежде всего заметим, что после абсоалютно упругого соударения двух одинаковых шаров, один из которых до этого покопался, шары разлегаются под прямым углом. Действительно, по закону сохранения импульса (рис. 1; здесь $v_0$ — скорость налетающего шара до удара, $v_1$ и $v_2$ скорости шаров после удара)

$$m\vec{v}_0 = m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2,$$

а по закону сохранения энергии

$$\frac{m v_0^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2} + \frac{m v_2^2}{2},$$

отсюда следует, что скорости $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ шаров после удара перpendикулярны друг другу: $\vec{v}_1 \perp \vec{v}_2$.

Теперь показем, что, испытав одно сосудение, шар отклоняется от направления своего движения на угол $\beta < \pi/2$. Согласно рисунку 2, $\beta = \pi/2 - \alpha$, где $0 \leq \alpha \leq \pi/2$. Если $\alpha = 0$, первый шар после удара оставливается (а второй шар начинает движаться со скоростью $\vec{v}_2 = = \vec{v}_0$). Следовательно, $\beta < \pi/2$.

По условиям задачи один из шаров (будем назвать его первым), испытав несколько сосуденций, должен описать замкнутую ломаную. Как известно, сумма внешних углов такой ломаной больше или равна 2π (знак равенства соответствует выпуклому многоугольнику).

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

30

Значит, число шаров, с которых должны столкнуться первой шар, должно удовлетворять неравенству

$$n \geq \frac{2\pi}{\pi/2} \geq 4.$$

Кроме того, чтобы исходный шар оставился, вызли начальный точки должны находиться еще один шар, который испытает с первымLOBовое соударение и оставит его.

Итак, минимальное количество шаров

$$N_{\min} = 4 + 1 + 1 = 6.$$

Возможное расположение шаров показано на рисунке 3.

А. А. Белопольский

Ф1145. Один конец нерастяжимой неевесомой нитui, продетой через маленькую бусинку массой m, закреплен в точке A, а другой привазан к неевесомому колцу, которое может свободно скользить вдоль горизонтального стержня (рис. 1). В начальной момент бусинку удерживает у колца, нить прямолинейна и не натянута. Бусинку отpusкают. Наути скорость бусинки в момент разрыва нити, если известно, что нить выдерживает максимальное натяжение $T_0$. Длина нити L, расстояние от точки A до стержня равно h. Тренем в системе пренебречь.

Рис. 1.

Для определения траектории движения бусинки введем систему координат так, как показано на рисунке 2 (ось X направлена вдоль стержня вправа, а ось Y направлена вертикально вниз и проходит через точку закрепления нити A). Пусть бусинка находится в точке N. Так как колцо неевесимо и скольит по стержню свободно, верхий участок нити BN вертикален. Тогда

$$BN = y \text{ и } PN = x.$$

Из треугольника APN имеем

$$AP^2 + PN^2 = AN^2,$$

или

$$(h - y)^2 + x^2 = (L - y)^2.$$

Отсюда получаем

$$y = \frac{L + h}{2} - \frac{x^2}{2(L - h)},$$

т. е. бусинка движется по параболе.

В точке N траектории на бусинку со стороны нити действуют силы натяжения $\vec{T}_1$ и $\vec{T}_2$, причем их сумма $\vec{F}$ направлена перpendикулярно касательной к параболе в данной точке. (Действительно, только один силы натяжения нити не могут вызвать движения бусинки.) Теперь, так как нить идеальная и трене бусинки о нить отсутствует, $T_1 = T_2 = T$, и, следовательно, сила $\vec{F}$ направлена по биссеktrice угла между векторами $\vec{T}_1$ и $\vec{T}_2$.

Запишем для бусинки второй закон Ньютона в проекциях на направление, перpendикулярное касательной к траектории:

$$ma_n = 2T \cos \alpha - mg \cos \alpha.$$

С другой стороны, нормальное (центростремительное) ускорение равно

$$a_n = v^2/R,$$

где $v = \sqrt{2gy}$ — скорость бусинки и $R$ — радиус кривиз-

31

ны парабOLSы в точке $N$. Для решения задачи нам остается найти $R$.

Сравним движение бусинки с движением тела, брошенного под углом к горизонту. При этом параметры этого движения выберем таким, чтобы траекторий тела была парабола, симметричная траектории бусинки (см. рис. 2). Тогда

$$u_x = \frac{OK}{t} \text{ и } t = \sqrt{\frac{2H}{g}},$$

где $OK = \sqrt{L^2 - h^2}$ и $H = (L + h)/2$.

Нормальное ускорение тела в точке $N'$

$$a'_n = g \cos \alpha = \frac{u^2}{R}.$$

Учитывая, что $u^2 = u_x^2 + u_y^2$, где $u_y^2 = 2g(H - y)$, получаем

$$R = \frac{u^2}{a'_n} = \frac{2(L - y)}{\cos \alpha}. \tag{3}$$

Объединим уравнения (1) — (3) в систему и найдем натяжение нити, по которой скольит бусинка:

$$T = \frac{mgL}{2(L - y)}.$$

Нить разорвется, если $T = T_0$, т. е. когда

$$y = L \left(1 - \frac{mg}{2T_0}\right)$$

заметим, что

$$v = \sqrt{2gy} = \sqrt{2gL \left(1 - \frac{mg}{2T_0}\right)}.$$

$$0 \leq y \leq \frac{L + h}{2},$$

т. е. $$0 \leq L \left(1 - \frac{mg}{2T_0}\right) \leq \frac{L + h}{2}.$$

Таким образом, если выполняется условие

$$2 \geq \frac{mg}{T_0} \geq 1 - \frac{h}{L},$$

то в момент разрыва нити скорость бусинки

$$v = \sqrt{2gL \left(1 - \frac{mg}{2T_0}\right)};$$

если $mg/T_0 > 2$, тонить разорвется в начальной момент; если же $mg/T_0 < 1 - h/L$, то в процессе движения бусинки нить не разорвется никакого.

В. Т. Карanetян

Ф1146. Найдите сопротивление между точками $A$ и $B$ в бесконечной последовательности элементов,

Приведем два решения этой задачи.

1. Из сообщений симметричное, что в данной схеме (см. рис. 1) есть точки, потенциальы которых одинаковы. Так, например,