Квант 1989, №7 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-математический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Зеленая трава

1989

UN SOUPER ANIMÉ CHEZ MAXIM’S
CRÉATION DES
7 PEREZOFF

1

В номере:

2 Ю. П. Соловьев. «Ради отечества, наук и слова»
6 И. Э. Лаляянц, Л. С. Милованова. Зеленая, зеленая трава…
10 С. К. Бетлеев. Почему не летают самолеты в сильный дождь?
17 Б. Д. Котляр. Удивительное равенство
22 И. Ф. Гинзбург. Физика на горной реке

Задачик «Кванта»
30 Задачи M1171 — M1175, Ф1178 — Ф1182
31 Решения задач M1147 — M1150, Ф1158 — Ф1162
39 Список читателей, писавших правенство
40 Калейдоскоп «Кванта»
«Квант» для младших школьников
Задачи
Вопросы, вопросы…
Р — значит ракета
47 20 лет спустя
49 Беседа с К. П. Феоктистовым

---

54 Д. Джоунс. Ороситель для пустии

Лаборатория «Кванта»
56 Из старых опытов

Математический кружок
63 Л. Д. Курляндчик, Д. В. Фомин. Этюды о получивании

Информация
69 Заочная школа при НГУ

---

72 Р. Фейнман. Счастьые числа
Олимпиды
75 Математические олимпиды ФРГ
75 Канадские математические олимпиды

Ответы, указания, решения
Нам пишут (71)
Смесь (16)

Наша обложка
1 Так выглядит под электронным микрокопом сред зеленого листа. В этой «лаборатории» просходят сложные физические и химические процессы, которые составляют фотосинтез (см. статью на с. 6).
2 Старинная цирковая афиса — прекрасная纵юстрация к статуе «Врацающся волчок» (с. 56).
3 Шахматная страница.
4 Тетраэдр, собраный из фигурок «орицами».

© Издательство «Нуука».
Главная редакция физico-matематической литературы, «Квант», 1989

2

«РАДИ ОТЕЧЕСТВА,
НАУК И СЛАВЫ»
Доктор физико-математических наук
Ю. П. СОЛОВЬЕВ

В самом центре Латинского квартала в Париже, по соседству с Пантеоном, Сорбонной и музеем Людовика Великого расположена небольшая тихая улица Декарта. Дом под номером 5 на этой улице известен во всем мире — более полутора веков в нем находится знаменитая Политехническая школа. История ее восходит к 1794 году — самому геронческому и трагическому периоду Великой Французской революции. Революционный переворот затронул все сферы жизни французского общества. Пожалуйста, впервые в истории политические и общественные деятельности стали по-настоящему осознавать роль науки, ее влияние на политику, промышленность и торговлю. Революционные войны и острове соперничество с Англейей заставили правительство занять проблемой централизованной подготовки научных кадров, необходимых для того, чтобы быстро и грамотно решать сложные государственные проблемы. В руководящих органах_REVOLUZIONНОГО ГОСУДАРСТВА НАХОДИЛОС НЕМАЛ ИЗВЕСТНЫХ УЧЕНЫХ. Крупнейший геометр Гаспар Монж занимал пост морского минстра, талантливый математик и механик Лазар Карно был одним из создателей вооруженных сил республики и военной промышленности. Они-то и явились инцициаторами создания высшего учебного завершения нового типа, прославившего Францию.

В старой Франции вышее образование было в основном состоянии в 22 университетах — устаревших учреждениях, задавленных группом средневековых традиций и схоластики. Особенно в плачевном состоянии находились математические и физико-имущеские науки. Исключение составляли лишь несколько привилегийрованных военно-инженерных школ (Школа местов и дорог, Мезьерская школа военных инженеров, Школа учеников артиллерии), в которых, по существу, и была сосредоточена подготовка специальностей в точных науках. Найболее известной средних являлись Мезьерская школа, в которой много годы преподавал Г. Монж и выпускником которой был Л. Карно.

В первые годы революции были закрыты многое высшие учебные заведения и средние специальные школы. В конце 1793 года высший ортолюционной властии — Национальный конент — начал реорганизацию системы образования в стране. Декретом от 29 фримера II года Республики (19 декабря 1793 года) в стране вводилось бесплатное и обязательное для всех начальное образование.

Примерно в то же время Гаспар Монж делает доклад в Комитете общественного спасения с предложением о создании нового высшего учебного заведения, готовящего специальностей по математике и точным наукам. В противоположность идеалу весторонного гармоничного развития личности, который мерцился XVIII столетю, предполагалось, что создаваемое учебное завершение должно быть специализированным, ориентированным на достижение возможных результатов в математике, точном естественного и технических науках. Все мерцы воздействия на честолюбие, окрыляемое перспективойlectricalizhevanny, должно быть привлечены для того, чтобы заставить учащихся работать с максимальным напряжением всех сил. Комитет полностью поддержал Монж и поручил ему, а также Ламбарди, Фуркруа, Карно и Приеру разработку ее проекта.

7

водорода — протонов ($p^+$), которые постоянорождаются в процессе обмена веществ. Но снаружи концентрация протонов была примерно в это раз выше, и для выталкивания их из клетки необходимо была энергия. Вот эту-то энергию и начал улавливать BP. При поглощении фотона солнечного света хвост ретиналя выпрямляется и «выбивает» протон из клетки. Но поскольку «свято место не пустует», вместо $p^+$ в клетку поступает молекula питательного вещества. Молекулу BP можно сравнить с качелями, на одном конце которых «сидит» протон, а на другом — питательная молекula. Работают эти молекулярные качели за счет энергии солнца.

Не резкое уменшение внутренклеточного концентрации $p^+$ привело к тому, что, по законам диффузии, нарушные протоны еще активнее устремились внутри клетки. И это стремление клетка приспособила себе на ползу: энергия прохождения свободы_memбрану протонов стала использоваться для образования АТФ.

АТФ расшифровывает довольно «просто»: АденозинТриФосфорная кислота. Это — «ее энергетическая высочетва» клетки, аккумулятор внутренклеточного энергии. Все процессы жизниедетельности в живой природе идут за счет энергии АТФ. При распаде молекулы АТФ выделяется огромная (по масштабам клетки) энергия, которая идет на различные нужды клетки. Таким образом, галобактерии, эти живые «ископаемые» на Земле, которые возникли порядка трех-четырех миллиардов лет назад, сумели успешно «запрячь» фотон в энергетическую колесницу.

Однако расцвет микроорганизмов, содержащих в своей_memбране BP, предопределил и их «закат» — они сошли со сцены эволюции. Ведь для того, чтобы постройть новую клетку, необходим углерод — все в нашем живом мире состоит из цепочки атомов этого элемента. Но галобактерии «выделили» все организческие соединения, состоящие из цепочки углерода. В качестве оставшегося неиспользованным был только углекислый газ

Поперечный сред зеленого листа (симмок с помощью электронного микроскода). Хорошо видны поверхностные слои клеток, защищшие лист сверху и снизу. В середине листа — клетки, в которых находится многочисленные хлоропласты (они видны как зернистая структура внутренки клеток). В этих зеленьх пластых и просходит фотосинтез.

Фотографика хлоропласта, полученная с помощью электронного микроскода. Хлоропласты представляют собой чечевищеобразные зеленье зерна, построенные из_memбра (тонкие полоски на снимке), в которых расположаются белковые комплекты, несуществ хлорофилл (темные участки_memбра). Именно в этих участках просходит фотосинтез.

$CO_2$, который постояно выделяется из вулканов и накапливается в атмосфере. Но как усовить, или, как говорят учены, зафиксировать атмосферный $CO_2$? Ведь чтобы перевести его в организческий форму, нужно его химически восстанать. А для этого необходимо энергия.

9

Светоулавливающая антенна — гигантский комплекс, объединяющий до 300—400 молекул хлорофилла, — действует подобно воронеке: она собирает фооны и передает их энергию на реакционный центр, который сравнительно при поступлении на него однооединичное фоона.

Реакционный центр построен из трех белков (на рисунке они синее), цепи которых имеют разные веса и строения. Две более мелкие цепи как бы окражены большой, имеющей длиной «хоботок», поднимающейся с нижней поверхности membranes к верхней (молекулийных кислот, образующих membrану, представленные линяями в виде «пильы», а остатки фосфорной кислоты художник изобразили желтыми кружечками). Сверху РЦ расположена молекula белка цитохрома (розовый шарик).

де, ведя борбу с пурпурными не на жизнь, а на смерть. Именно эта система обеспечивает АТФ-азу протонами до появления фосистемы П.

Создание фотосистем является одним из достижений эволюции. Впервые атмосфера стала обогащаться кислородом. Появление в воздухе мощнейшего окислителя резко подстегнуло эфективность энергетических процессов во всем живом мире. Появились возможность более активного творчества природы в деле создания сложных животных форм. Пурпурные, красные, багряные и бурые водоросли проигralы битву зеленьм, обладающим хлорофиллом. Только зеленье растения смогли выйти на сущу.

Наш расссказ, надеемся, кажется простым и понятным. Однако мы лишь редкими шрихтами обозначили сложнейшие физические и химические процессы, которые составляют фотосистез. И многое еще неясно в этих процесах, ответы на многое вопросы еще только представляют найти. Но успехи в исследовании фотосистез отромны. За работы в этой области уже присужdenы две Нобелевские премии. На этой probleме концентрировались усилия физков и химков, биологов и математиков. Лазеры и электронные микросолны, мощные комплютеры иRENTеновские установки — все это использует наука для раскрытия тайн фотосистеза.

Серодня, конечно, еще далеко до практического применения знаний, полученных в ходе этих кропотливых и дорогостоящих работ. Но в перспективе видится возможность создания совершенного новых солнечных батарей, при конструкировании которых будут использованы «прииццы» построения фотосистезирующих_memбран. Такие источники энергии смогут производить ее экологически «чисто» и с большим КПД. Эта чистота, можно сказать «стерильность», фотосистеза особенно привлекает нас, живущих в загазовном и постоянно «утепляющем» мире…

Вот такой длинный расссказ вырос из, казалось бы, простого вопроса: почему трава зелена?

ПОЧЕМУ
НЕ ЛЕТАЮТ САМОЛЕТЫ
В СИЛЬНЫЙ ДОЖДЬ?

Кандидат физико-математических наук
С. К. БЕТЯЕВ

«У природы нет плоской погоды», — утверждается в популярной песне. Это положение очень часто опровергается Аэрофлотом, который задерживает рейсы, ссылаясь на плоские метоусловия. В этом я убедился, когда всего осеннюю дождливую ночь вместе с приятелем продолжаютправления нужного нам рейса в Московском аэропорту Домодедово.

— Почему задерживают рейсы? — начал я мыслить всух. — Время гроз уже миновало, обделенное крыла в теплую погоду невозмножно, современное состояние нагигационной техники позволяет проводить полеты в условиях полного отсутствия видимости, в сплошном тумане…

В динамике снова зашуршало «…вылет рейса… откладывается… метоусловия…». За окнами в сплошном дозде расплывались фонари…

— Ясно, почему запрещены полеты,— промолвил я после продолжительного молчания,— воздуший вит не расчитан на работу в условиях повышенной влажности. Пропеллер самолета — это не гребной вит корабля.

— Наш самолет туризментовой,— поправил приятель,— неользовое присутствие воды в двигателе не оказывает сильного влияния на его КПД.

— Так в чем же дело? Выходит, метоусловия — только предлог?!

— Не торопись с выводами. Давай нарисуем, как обтекается крыло самолета потоком, содержащим водяные капли.

Приятель отодвинул недопитный станан с чаем, доставлист бумаги, авторучку с разноцветнымистернями и набросал рисунок 1.

— Мы будем рассматривать движение в системе отсчета, связанной с самолетом, в предположении, что уже находится в полете. В этой системе крыло самолета неподвижно, а воздух и капли налетают на него. И скорости их вдали от крыла одинаковы и равны по абсциссной величины скорости полета самолета.

— А сила тяжести? — спросил я, глядя на рисунок.

— Ето можно пренебречь. На пути от взлетной полосы до высоты верхней границы доздевых облаков средняя скорость современных пассажирских лайнеров равна 70 м/c. А скорость равномерного падения капли должна — около 10 м/c. Так что пренебрежение mg оправдано.

— Как же капли доздаяются с крылом?

— Давай посмотрим. Среди траекторий капель найдет две, которые касаются профиля крыла, — ABD и A’B’D’. Траектории, расположенные выше ABD и ниже A’B’D’, не пересекаются с крылом. Область, которая закрашена красным цветом, будет

13

тельные предположения. Естественно предположить, что внутри пленки скорость движения жидкости не одинакова: у поверхности крыла она равна нулю — здесь жидкость «приппает» к телу, и по мере удаления от поверхности скорость возрастает. Это связано с наличием сил вззости в движущейся жидкости: на каждый тонкий слой жидкости со стороны нижнего соседнего слоя, более близкого к крылу, действует сил вззости, направленная против потока, а со стороны верхнего слоя — сила, направленная по потоку. Если вззость жидкости мала, то скорость, равная нулю на поверхности крыла, уже на небольшем расстоянии от него выходит на постоянное значение $v_0$. Иными словами, силы вззости сказываются в тонком пограничном слое, прилегающим к поверхности крыла. Мы будем предполагать, что именно эта ситуация реализуется в нашем случае.

Рис. 3.

И приятель изобразил сказаное на рисунке 4.

Тут я условиял: диктор объявляет о начале регистрации пассажиров на наш рейс. Мы так увлеклись, что не заметили — дождь почти прошел. Все вокруг задвигались, засутились. В сутолоке было не до разговорав. Но когда мы уселись в креса, я сказал:

— Давай все-tаки разберемся с джемом. Ты остановился на пограничном слое.

— Можно считать, что именно пограничный слой «передает» действие набегающего потока крылу, создавая

Рис. 4.

дополнительное сопротивление. И это сопротивление мы сейчас оценим. Нас будет интересовать сила, действующая со стороны жидкости по касательной к поверхности крыла. Отнесенную к единующей площадке, эту силу называют напряжением треня.

— От скорости она не зависит,— начал я рассуждать.— Ведь в соответствии с условиями приложения скорость при $y=0$ равна нулю. От чего же зависит?

— Ответ на этот вопрос дал Исаак Ньюотон в своей знаменительной книге «Matематические начала натуральной философии»: напряжение треня отределяется производной от скорости $v(y)$ по нормали к поверхности $y$, т. е. $dv/dy$. И эта зависимость — прямой пропорциональной:

$$\tau = \mu \frac{dv}{dy},$$

где коэффициент пропорциональной $\mu$ называется диаметricularным коэффициентом вззости. Закон Ньюотона оказался «жизнесособным» в широком диапазоне изменяемых величины. Подчняющийся ему среды называются ньюотновыми. К ним относятся и те среды, которые нас интересуют: воздух и вода.

— Допустим, что это так. Но мы всего лишь заменили одну неизвестную тругу нейзвестной $dv/dy$, ни на шаг не продвинулись вперед.

— Конечно. Закон Ньюотона дает только физическое представление о напряжении треня. Следующий шаг в определении действующих на крыло сил сделал основатель теории пограничного слоя выдающийся немецкий

15

Лепипед длиной $\Delta l$ с площадью основания боковых граней $\Delta s$. На левую грань параллелепипеда действует сила $p_1 \cdot \Delta s$, на правую — $p_2 \cdot \Delta s$. Суммарная сила, действующая на параллелепипед, равна

$$F = p_1 \cdot \Delta s - p_2 \cdot \Delta s = (p_1 - p_2) \Delta s.$$

Так как $p_2 = p_1 + \frac{dp}{dx} \Delta l$, то

$$F = -\frac{dp}{dx} \Delta l \cdot \Delta s = -\frac{dp}{dx} \Delta V,$$

где $\Delta V = \Delta l \cdot \Delta s$ — объем параллелепипеда. Работа, совершаемая слими давления при перемещении параллелепипеда вдоль оси $x$, определяется интегралом $\int F dx$. Если произходит перемещение из точки с координатой $x = a$ в точку $x = b$, то

$$A = \int_a^b F dx = -\Delta V \int_a^b \frac{dp}{dx} dx = \Delta V (p_a - p_b).$$

Эта работа равна изменению кинетической энергии параллелепипеда, т. е. $A = K_b - K_a$ (мы пренебрегаем работу сил трения):

$$\Delta V (p_a - p_b) = \Delta V \cdot \rho \left( \frac{v_b^2}{2} - \frac{v_a^2}{2} \right).$$

Отсюда и получаем

$$p_a + \rho \frac{v_a^2}{2} = p_b + \rho \frac{v_b^2}{2},$$

т. е.

$$p + \rho \frac{v^2}{2} = \text{const.}$$

— Хорошо, — сказал я, — с уравнением Бернулина разобрались. Но как все-tаки определять отношение $v_0/v_{01}$?

— Я же сказал — с помощью этого уравнения. Оно справедливо и для потока жидкости, и для воздушного потока. Будем, как и раньше, величины, относическая к воздуху, записывать с индексом «1». Итак, в водяной пленке, образующейся на поверхности крыла,

$$p + \rho \frac{v^2}{2} = \text{const},$$

а в воздушном потоке

$$p_1 + \rho_1 \frac{v_1^2}{2} = \text{const}_1.$$

Что бы сравнить $v$ и $v_1$, надо установить какие-то соответствия между const и const$_1$, $p$ и $p_1$.

Помнишь, сравнивая сливыLOBового сопротивления при полете в сухую погоду и в дождь, мы пришли к выводу, что они практические не отличаются. Значит, давление $p_c$ в точке $C$ (посмотри на рисунок 1) можно считать одинаковым в общих случаях. А скорости частности жидкости и воздуха в этой точке равны нулю. Учитывая все это, мы можем записать:

для потока жидкости, обтекающего крыло,

$$p + \rho \frac{v^2}{2} = p_c,$$

для потока воздуха

$$p_1 + \rho_1 \frac{v_1^2}{2} = p_c,$$

и, следовательно,

$$p + \rho \frac{v^2}{2} = p_1 + \rho_1 \frac{v_1^2}{2}.$$

Теперь разберемся с $p$ и $p_1$. Выделенный нами параллелепипед перемещается с потоком практических по горизонтали, и в поперечном направлении (т. е. в направлении вертикали) скорость его равна нулю. Значит, сливы, действующие на него сверху и снизу, заведomo одинаковы. Но слила, действующая сверху,— это в обихх случаяx (и при наличии водяной пленки, и без нее) слила давления со стороны «внешнего» потока воздуха.

(Окончание см. на с. 42)

16

Заказы
принимаются

Главная редакция физико-математического литературы издательства «Наука» (Физматлит) является крупнейшей издательской организацией, выпускающей литературу по физико-математическим научкам — математике, механике, физике, астрономии, киберне также и информацией.

На все издания Главной редакции физико-математического литературы, включенные в аннотированный тематический план выпуска на 1990 год, гарантируется полное выполнение заказов книготоровых организаций.

Ниже приведен список книг, которые могут запрещаться наших читателей. Нумарация соответствует тематическому плану. Цена — ориентировочная.

Заказать эти книги можно в ближайшем (крупном) книжном магазина или в магазина, имеющем отдел «Книга — почтой», в ближайшие 1—2 месяца. Там же можно познакомиться с аннотированным тематическим планом.

Математика

18. Колмогоров А. Н. Математика в ее истории коммерческой развития: Сборник статей. 1 р. 10 к.
19. Пуанкаре А. О науке: Пер. с фр. 3 р. 20 к.
20. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики: Пер. с нем. — 5-е изд. 1 р. 30 к.
21. Арнольд В. И. Теория катстроф. — 3-е изд., переработ. и доп. 50 к.
22. Литтульд Дж. Математическая смесь: Пер. с англ. — 5-е изд. 40 к.
23. Петросян Л. А., Рихсиев В. В. Председание на плоскости. (Популярные лекции по математике). 20 к.
24. Лурье М. В., Алексадров В. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. руководство. — 3-е изд., переработ. 20 к.
25. Никольский С. М., Потапов М. К. Аллебра: Пособие для самообразования. — 2-е изд., переработ. и доп. 1 р.

Физика

92. Дирак П. А. Воспоминания о необычайной эхоxe. Сборник статей. Пер. с англ. 1 р. 60 к.
93. Каганов М. И., Лифшиц И. М. Квазиастцы: Идеи и принципы квантовой физики твердого тела. — 2-е изд., испр. и доп. 30 к.
94. Маковецкий П. В. Смотри в корень: Сборник любопытных задач и вопросов. — 6-е изд. 85 к.
95. Паркер В. Мечта Эйштега: В поисках единой теории строения Вселенной: Пер. с англ. 80 к.
96. Кошкин Н. И. Элементарная физика: Справочник. 60 к.
97. Яворский В. М., Детлаф А. А. Справоник по физике. — 3-е изд., испр. 2 р. 30 к.
98. Сборник задач по физике: Учеб. пособие / Л. П. Баканина, В. Е. Белонучкин, С. М. Козел, И. П. Мазанько. — 2-е изд., испр. 90 к.

Астрономия

132. Ван-дер-Варден В. Пробуждающая наука: Пер. с англ. 5 р.
133. Докучаева О. Д. Астрономическая форография: Материалы и методы. 4 р.
134. Климишин И. А. Календарь и хронология. — 3-е изд., переработ. и доп. 1 р. 60 к.
135. Зигель Ф. Ю. Астрономия с биоклем. 50 к.
136. Ламзин С. А., Сурдин В. Г. Протозвезды. 70 к.
137. Новников И. Д. Эвольция Вселенной. — 3-е изд., переработ. и доп. 85 к.
138. Степанян Н. Н. Наблодаем Солнец. 50 к.
139. Ходж П. Галактики: Пер. с англ. 50 к.
140. Астрономическая календарь на 1991 г. 1 р. 20 к.
141. Атлас планет земной группы и их спутников. 6 р. 50 к.
142. Куликовский П. Г. Справоник любителя астрономии. — 5-е изд., переработ. 2 р. 70 к.

Информация

108. Хирман Д. В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике: Пер. с англ. 1 р. 80 к.

109. Бронников В. А. Искусственные организации естественного интеллекта. 1 р.

110. Брусенцов Н. П. Микрокомпьютерная система обучения «Наставник». 70 к.

111. Зенкин А. А. Интерактивная компьютерная графика. 2 р.

112. Кауэлл У. Зарубежные библиотeki и пакеты программ по вычислительной математике. Пер. с англ. 4 р. 50 к.

113. Корягиин Д. А., Горбунов-Посадов М. М., Мартынок В. В. Системное обеспечение пакетов прикладных программ. 1 р.

114. Малпас Дж. Реляционный язык Продол и его применение: Пер. с англ. 5 р.

115. Брудно А. Л., Каплан Л. И. Московские гордские olимпиды по программированию. — 2-е изд., доп. 50 к.

116. Сенин Г. В. Персональный компьютер для новичка. 35 к.

117. Дыяковов В. П. Фортсистемы программирования персональных ЭBM: Справ. пособие. 1 р.

118. Пирпупу А. А. Программирование на алгоритмическах языках: Учеб. пособие для взвов. — 3-е изд., переработ. и доп. 90 к.

Библиотека «Квант»

179. Белонучкин В. Е. Кенлер, Ньютон и все, все, все… 40 к.
180. Бронштейн М. П. Солнечное вещество. 2-е изд. 40 к.
181. Буддин А. И., Зильберман А. Р., Кротов С. С. Раз задача, два задача… 50 к.
182. Колмоговов А. Н., Журбенко И. Г., Прокорров А. В. Введение в теорию вероятности. — 2-е изд., переработ. и доп. 60 к.
183. Носов Ю. Р. Молниш в кристаллах: Дебют отэлектроники. 50 к.
184. Перелман Я. И. Знаете ли вы физику? 3-е изд. 50 к.
185. Филиппов А. Т. Мнололикий солютон. — 2-е изд., переработ. 70 к.
186. Филонович С. Р. Судьба классического закона. 50 к.

17

УДИВИТЕЛЬНОЕ РАВЕНСТВО

В. Д. КОТЛЯР

Возможно, совпадение… Чему равно л — отношение длины окружности к ее диаметру? Читатель «Кванта» впраve обидется на такой вопрос. Конечно же л ≈ 3,14; можно и точнее: л ≈ 3,14159; можно и еще точнее… Значит, π² ≈ 9,87. А чему равно g — ускорение свободного падения? Кто же этого не знает — какый, изучавший физик, скажет, что g ≈ 9,81 m/c². Значит:

«Ну и что? — пожмет плечами читатель.— Мало ли на свете совпадений! Да и совпадение-то не настоящее: разница между π² и g не так уж мала — около 0,06.»

«Да тут вообще говорить не о чем,— вступит в разговор другой читатель,— само равенство π² ≈ g не имеет никакого смысла, потому что влевой части стонут число, а в правой — величины, имеющая размерность. Если изменять расстояние не в метрах, а, например, в сантиметрах, то g ≈ 981 cm/c². А в Англии и вовсе: g ≈ 32,2 фут/c². Так что ничего обещено между π² и g нет!»

И все-tаки давайте попробу разобраться, какова природагадаочного равенства π² ≈ g. Для этого, как правило заметил второй читатель, нужно разобраться, в каких единицах измеряется физическая величины.

Чем изменять длину? С давних времен и до наших дней люди приходится производить измерения — определять длину, время, вес, скорость и другие величины. И издавна стоял вопрос о единих измерения. Каждый знает, конечно, что в международной системе единиц (СИ) основными являются единицы длины — метр, массы — kilogramм, времени — секунд. Единцы хороше, мы к ним привыкли, без них не мыслим себе повседневной жизни. Приходя в магазин, мы просим ответить 2 килюграма круты, выходя на дорогку стадона, пробегем 100 метров, от звонка до звонка на уроке проходит 45 минут, или 2700 секунд. Время нам отсутствует часы, для определения массы нужны весы, расстояние измеряем линейкой с делениями или рулеткой. А если под рукой нет рулетки? Как изменить длину в этом случае? Хорошо было бы, если бы единица измерения всегда была под руками,— захотел и изготовил себе свой собственный «этаilon». Так obstит дело с измерением углов! Для открывания угла величины в 42° мы пользовемся трансортиром, но этаlon углов «1 градус» не нужен. Если завтра на Земле исчезнут все углы и трансортиры, мы легко сможем восстановить эту единицу, просто разделив полный угол на 360 равных частей. Желательно и для других величины иметь воспроизводимые единицы измерения. Когда стихийно возникали первые системы мер, эта воспроизводимость была заложена в них с самого начала,— единицы длины связьали, например, с размерами отдельных частей человекаского тела. Так возникли «сажень» — расстояние между концами вытянутых в стороны рук взрослого человека («сажень мерная» ≈ 176 см) и «локоть», названное которой говорит само за себя,— он равен расстоянию от локтя до вытянутых пальцев рук. От англиского слова «foot» — «ступия» — берет начало единиц длины «фут», о котором мы уже упоминали

18

(фут равен 30,48 см). «Дюйм» — ширина большого пальца у его основания. Список можно было бы и продолжить, но уже и так ясно — наши предки связали сравнительно небольшие единицы длины с размерами отдельных частей тела.

Так веденные единицы длины имели оченьные неудобства. Главное из них состоит в том, что локти-то у разных людей разные, ступни тоже не одинаковые, а единца измерения требуется одна! Поэтому возникла необходимость иметь эталон — стандартные фут или сахень, — с которым можно было бы сравнить другие эталоны, не только главные, как тот — основной и единственный. Однако такой эталон — веще не слишком хорошая. Сама процедура последовательной сверки с эталоном достаточно трудоемка и сложна. Кроме того, эталон необходимо содержать при строгого фиксированных условий — определенной температуре, влаж-

18

19

ти в Индию вокруг Африки важной задачей стало как можно более точное определение местоположения корабля на море. У некоторых ученых возникла замечательная идея — создать единицу длины без этаона! Найти такого единию для всех величины, которое можно воспроизвести в любом месте и в любое время с возможно меньшим количеством простых мате- рialов и приборов! Сделать эту единицу общей для различных стран и народов! Одним из ученых, предложивших новую единицу длины, был великий нидерландский физик, механик и математик ХристIAN Гюйгенс.

Его предложение состоит воотвて чем. Изготовим матэник, т. е. подвесим на нити небольшое тяжелое тело. Подберем длину нити l так, чтобы матэник совершал одно колебаниеровно за 2 секунды. (Это значит, что если ответти тело от положения равновесия и отпустить, то через 1 секунду оно займет симметричное, а еще через секунду вернется в исходное положение.) Так вот, Гюйгенс предложил за единицу длины принять длину нити l.

Отступление о математическом матэнике и ХристIAN Гюйгенс. Математический матэник — это материал точка, подвешенная на неевесом нерастяжимой нити. Математический матэник — это абстракция, ведь в

20

реальном мире не бывают ни матеріальных точек, ни неевесомых нитей. Но эта абстракция достаточно описывает свойств реальных предметов.

В курсе физики 10 класса выводится замечательная формула

$$T = 2\pi \sqrt{l/g},$$

выражающая период малых колебаний математического матрика $T$ через длину нити $l$. Эта формула не может не быть связана с нашим загадочным равенством $\pi^2 \approx g$, ведь в ней участвуют те же действующие лица: $\pi$ и $g$…

Предположим, что предложение Гойгенаса о выборе единцы длины было бы принято. Тогда при длине $l=1$ период $T=2$. Подставляя эти значения в формулу, получим: $2 = 2\pi \sqrt{1/g}$, или $\pi^2=g$. Наше загадочное равенство оказывась в точности верным, причем верным по определению единцы длины! Но предложение Гойгенаса было ответнуто и единца длины была установлена иначе. Как это произшло и чем все-tаки объяснить равенство $\pi^2 \approx g$, мы рассакjem в следующем разделе. А сейчас — несколько слов о самом Христине Гойгенсе.

Он родился 14 апреля 1629 года в семье известного голландского политического дейтеля Константина Гойгенаса. Время было бурое — лишь недавно Нидерланды освободились от господства католической церкви и испанского короля. Юный Христан получил хорошее домашнее образование, в 1645 году поступил в Лейденский университет. После завершения образования он занимается научной работой, сначала в Голландии, а затем в Парижской Академии наук. В конце жизни Гойгенс возвращается в родную Голландию. Он умирает 8 июля 1695 года.

И в течение этих десятилетий — настоящий ливень работ, результатов, открытий. Многие из них — подлинные шеедевры, ставшие классной науки. Гойгенс открыл колюцо Сатурна, разработал теории удара упругих тел (см. «Квант» № 9 за 1988 год), вывед формулу линзы, предложил волновую теорию света, ввел и исследовал развертки кривых — эвольвенты. Гойгенс был не только ученым, но и замечательным мастером. Он шлифовал линзы, изготовивал и проектировал самые большие для своего времени телекскопы, под его руководством был сооружен планетарий. И всего жизнь его интересовали часы. В 1673 году вышла книга Гойгенаса «Маятниковые часы». В этом труде собраны результаты, полученные ученым на протяжении многих лет. Идея матниковых часов принадлежала Галилею, но Гойгенс довел эту идею до практического осуществления — он изготовил часы, в которых последовательные равные промежутки времени отмериваются колебаниями матрика. Именно Гойгенс открыл формулу для периода колебаний матрика с небольшой амплитудой (для колебаний с большим размером период $T$ уже зависит от амплитуды).

И наконец появился метр… Но вернемся к единце длины, предложенной Гойгенсом. Ее недостатком оказалось что ускорение свободного падения $g$ изменяется на Земле от места к месту. Еще в бытность своего в Париже Гойгенс познакомился с Рише — молодым сотрудником Академии наук, взятым для помощи академикам в опытах и наблюдениях. Именно Рише впоследствии открыл зависимость длины $l$ секундного матрика от географической широты,— фактически это означает, что $g$ зависит от ширины. Есть несколько причины изменения $g$. Во-первых, $g$ меняется с широтой из-за того, что изменяется расстояние от точки на поверхности Земли до ее оси вращения и, следовательно, изменяется величины центроремительного ускорения тела. Вовторых, Земля — не идеальный шар, а тело, слегка сплюснутое у полосов. Из-за этого изменяется сила прияжения тела Землей. В-третьих, земной шар недоподжен, в отдельных его местах залегают пласты более массивных пород. Поэтому универсальный единцы длины на этой основе создается нельзя. Все же в XVIII века длина секундного матрика (для кого-

21

рого $T=2$) служила своеобразной мерой длины — путь не очень точной, но легко воспроизводимой.

Что же было делать? В 1789 году произшла Великая Французская революция. В том же году в Генеральные штаты — так назывался парламент Франции в то время — поступило несколько проектов реформ системы мер. До Национального собрания — революционного парламента — должен лишь один проект, представленный епископом князем Талейраном — будущим значением французским дипломатом. Талейран предложил выбрать в качестве единцы длины длину секундного матрика на широте $45^\circ$. Окончательное проект реформы должны разработать две специальные комиссии. Одна из них — во главе с великим математиком и механиком Лагранжем — предложила десятичные отношения для единиц измерения. Другая — во главе с замечательным математиком, механиком и астрономом Лапласом — занялась поиском надежной и воспроизводимой единцы длины, а также других единиц измерения. Перед комиссии легли два проекта. Один из них — проект Талейрана. Второй — проект самого Лапласа, который, исходя из своего интереса кстроению Земли и космологии, хотел, чтобы размер нашей планеты выражались круглыми числами (т. е. были кратными большим степеням десяти).

Комиссия решила принять предложение Лапласа, но одновременно, по мере возникности, учеть и предложение Талейрана. Для этого за единцы длины приняли 1/10 000 000 частей четырёх парикского меридиана — эта величина приближенного равна длине секундного матрика, отличаясь от него всего на 0,6 %. Тем самым принято решение как бы не ответало полностью проект Гюйгена — Талейрана, а лишь несколько «уточную» его. На принятое решение — взять за «1 метр» $10^{-7}$ четырёх меридиана — повляло, видимо, еще одно обстоятельство. Предполагалось (и было решено, но, к сожалению, не привилось) разбитый прямой угол на 100 градов — вместе привычного нам разбиения на 90 градусов. При этом 1 град на земной поверхности вдоль меридиана составлял бы $10^5$ м=100 км. 26 марта 1791 года Национальное собрание утвердило предложения комиссии, а 7 апреля 1799 года — и саму величины «метра» (пока времени — вплоть до более точного измерения длины меридиана).

Идей создания единцы длины, для которого не нужен этапон, была будет бы осуществлена: нужен точный «метр» — измеряемый и изготовленный модель «метра». При этомлина метра равналась длине секундного матрика лишь приближенно, поэтому стало приближенным и равенство $\pi^2 \approx g$. Вот и ответ на вопрос, поставленный нами в начале статьи!

В заключение — два слова о дальнейшем развития событий. Конечно длина четырёх меридиана оказалась равной не точно $10^7$ метра (согласно измерениям 1976 года — 10 001 970 м). Да и измерение меридиана — дело чрезвычайно длинное и дорогостоящее. Так или иначе, стало ясно, что без этаона метра не обойтись. Такой этапон был изготовлен из платино-придевого сплава и хранилися в Международном бюро мер и весов в Париже.

Наконец, в 1960 году Генеральная конференция по метам и весам определила метр как 1 650 763,73 длины волны оржевого света, излучаемого в вакууме криптоном. Так мы вернулись к замечлу Христина Гюйгена — взять из самой природы неизменную и воспроизводимую единицу длины.

23

ФИЗИКА НА ГОРНОЙ РЕКЕ

Доктор физико-mатематических наук
И. Ф. ГИНЗБУРГ

Мне давно хотелось написать для «Кванта» статью о том, как делать научная работа. Однако описание предмета можно собственных исследований требует слишком громоздкого математического аппарата, недостаточно для школьников, и казалось, что моим желанием не существует события. Но недавно перед мной возникли две задачи, связанные с моим увлечением — сплавом по горным рекам. Решив их, я понял, что это — прекрасные модели настоящего научной работы, и описание их решения может оказаться интересным. Я попробую восстанавить ход решения, начиная с постановки вопроса и мотивов, вызвавших мои интерес, и до этапа, когда я задумывался, как надо изложить результаты, чтобы они были понятны рядомому туристу, знакомому с физикой в объеме забитого курса средней школи.

Но сначала — как мы плаваем.

Сейчас почти нет туристов, плавающих на настоящих деревянных площадках. Многие туристы ходят на байдарках, грузоподъемность типичной двухместной байдарки не менее 300 кг. По горным рекам большисто туристов плавает на площадки или катамарах с надувными элементами — автоматными камерами (для плотов) или специально склеенных гондолами из прорезиненной ткани. Деревянный (иногда металлический) каркас массой до 150—200 кг изготовливается на месте. Объчно на одного человека приходится не менее 200 л объема воздуха в гондолах или камерах. Таким образом, запас плавучности (отношение максимальной подъемной силы к весу судна с гребцами) не бывают меньше 1,5. Это позволяет уверенно маневрировать среды воды и камней. Необходимой деталью личного снаряжения является спасательный жилет объемом 16—30 л.

Итак, первый вопрос.

Средняя плотность воды после слива

Туристам «хорошо известно», что после прохождения порога, сразу за сливом, судно «проседает». Дело в том, что в пороге вода перемешивается с воздуха, и после слива (рис. 1) пузырыки воздуха уменшают среднюю плотность воды.

Я знал это утверждение и недократно пересказывал его начинающим «сплавщикам». Но однажды мне захотелось больше определенно в этом вопросе, и я попробовал оценить среднюю плотность воды после слива $\rho_{cp}$. Интупция подсказывала, что в действительности роль пузырыков значительное менше, чем об этом думают. А если так — достаточно оценить $\rho_{cp}$ сизу, т. е. получить наименование значения $\rho_{cp}$, совместимое с наблюданием. Но какие наблюдания использовать?

Я вспомнили, что обычно после слива в воде действительное видны вспышки и в то же время при не очень большой глубине камни на дне видны в полне отсутствиво (если в воде нет мути). Этого было достаточно, чтобы использовать одну идею, хорошо известную из физики газов и жидкости.

Будем для простоты считать, что все пузырыки имеют один и тот же радиус $r$, а их среднее число в единицах

24

це обьема (1 л) обозначим через $n$. Тогда их суммарный объем в единице объема есть $\frac{4}{3} \pi r^3 n$, и, пренебрегая массой воздуха, среднюю плотность воды можно считать равной

$$\rho_{\text{cp}} = \rho_0 \left( 1 - \frac{4}{3} \pi r^3 n \right) (\text{кг/л}),$$

где $\rho_0$ — плотность «чистой» воды, без пыльников.

Теперь вернемся к камням, видимым на дне. Если на пути светового лука, идущего от дна, встречаются пыльники, то сквозь них мы не можем увидеть камня четко — свет рассеяется на пыльках. Оценим, при какой глубине $l$ на пути светового лука почти наверняка встречится хотя один пыльnek. Выделим на дне участок площадью $S$ и рассмотрим столбoids над ним. Его объем $lS$; в нем находится $N = nlS$ пыльников, и они «перекрывают» свету площадь, не большею $S_1 = N \pi r^2 = nlS \pi r^2$. Путь свету полностью «перекрыт», если эта площадь $S_1$ совпадает с $S$ (мы считаем для простоты, что смотрим почти вертикально вниз, и пренебрегаем случайными перекрывающими, учет которых несущетенное меняет ответ). Позному наиболее глубина $l_{\text{max}}$ четкого вида она определяется из условия $S_1 = S$, т. е.

$$l_{\text{max}} = 1 / (n \pi r^2).$$

Подставляя это соответствие в выражение для $\rho_{\text{cp}}$, получаем

$$\rho_{\text{cp}} = \rho_0 \left( 1 - \frac{4}{3} \frac{r}{l_{\text{max}}} \right).$$

Это — ответ. Подставим теперь цифры, чтобы понять, что стоит за этой формулой.

Встречаются два сорта сливов. После одних видов довольного крупные пыльники с $r \lesssim 0,5$ см, а глубина видения дня $l_{\text{max}} \gtrsim 0,5$ м. После других вода каждого молочного белой от очень мелких пыльников с $r \lesssim 0,1$ см, а глубина видения дня (точнее — предmeta в воде) после таких сливов $l_{\text{max}} \approx 5-10$ см. Подставляя эти цифры в формулу для $\rho_{\text{cp}}$, найдем в обихх случаях $\rho_{\text{cp}} \gtrsim 0,98 \rho_0 = 0,98 \text{ кг/л}.$

Из формулы для $\rho_{\text{cp}}$ видно, что чем меньше размер пыльков, тем больше $\rho_{\text{cp}}$ к $\rho_0$. Поэтому с точки зрения поставленной задачи нашей предположение об одинаковом большом радиусе всех пыльков в полне разумно.

Итак, для современных туристских судов с большим запасом плаучести отличице $\rho_{\text{cp}}$ от $\rho_0$ несущетенно, и «фольклорное» утверждение, с которой я начал — о проседании судна после прохождения порога, — несправедливо.

А теперь — второй вопрос.

Веревка на туристском судне

В одном из туристских альманахов я видел статью «О пределах применимости вервки в водном туризме». По расчетам ее автора, безпасно зачалить среднее туристское судно с помощью вервки диаметром 10 мм можно лишить при скорости течение не более 1,5—2 м/c. А мы, используя более тонкую вервку диаметром 6—8 мм, уверенно чалимся на скорости 3—4 м/c. Мне стало ясно, что в.state в расчетах содержится ошибка. Казалось бы — богат с ней. Пусть тот, кто поверит автору, берет более толстую вервку (запас карман не тайнет). Но: более толстая вервка — менее гибкая, и работа с ней не очень удобно, т. е. при ее использовании труднее обеспечить безопасность; также такжеverbose тяжело; из таких расчетов могут произвести и ошибочные административные решения чиновников от туризма, а им нельзя давать дорогу; наконец, упомянутая статья имеет «очень научный» вид — автор считал на ЭВМ, и его результаты неискушенному читателю казуется точными…

Мне стало обидно за научку, и я решил сделать правильные расчеты.

Первый вопрос — о точности расчетов. По-видимому, их можно делать довольно грубо, а значит — просто. Ведь если удостранялся проще наглядные вычисления, обойдясь без второстепенных «уточняющих» деталей, то надежность результатов возрастет. Нестандартность изготовления вервки, небольшие неоднород-

25

ности по длине (микронадрезы), наконец, изменение свойств вервки при хранении (старенie) приводит к разбросу свойств вервки, который никак не меняше 15—20 %. Ясно, что считать с большей точностью не имеет смысла. И мы увидим, что при такой точности расчет становится совсем простым.

Итак, нас интересует такая задача: необходимо остановить в потоке судно массой $M$ с помощью вервки длиной $L$. При какой наиболее скорости течение это возможно?

Но прежде чем переходить к основным расчетам, поговорим отдельно о вервке и о туристском судне.

Веревка. Довольно подробный расчет о вервках, использых в туризме и альпинизме, содержится в статье А. Б. Геллера «Нужна ли альпинисту физика» («Квант», 1988, № 1). Но нам осталось сказать еще немного.

Естественно, нас прежде всего интересует прочитать вервки, максимальное натяжение, которое она выдерживает.

Обозначим через $L_0$ и $S_0$ длину вервки и площадь ее сечения ($S_0 = \pi d^2/4$, где $d$ — диаметр вервки). Хорошо известно, что при сравнительно небольших сечениях $F$ удлиние вервки $\Delta L$ пропорционально $F$ (закон Гука):

$$F = E \frac{S_0}{L_0} \Delta L = ES_0 \varepsilon,$$

(1)

где $E$ — модуль упругости (он одинаков для общного употребляемых вервок одинакового плетения), $\varepsilon = \Delta L/L_0$ — относительное удлиние вервки. Соответствие, потенциальная энергия деформации растянутой вервки —

$$W = \frac{k(\Delta L)^2}{2} = \frac{1}{2} ES_0 L_0 \varepsilon^2.$$

(2)

Эта энергия пропорциональная длине вервки $L_0$, так что полезно ввести понятие энергии единицы длины вервки $w$:

$$w = \frac{W}{L_0} = \frac{ES_0 \varepsilon^2}{2} = \frac{F \varepsilon}{2} = \frac{F^2}{2S_0 E}.$$

(3)

Отметим, что при заданной величины относительно удлинения $\varepsilon$ величины $F$ и $w$ пропорциональны $S_0$ и не зависит от $L_0$.

Итак, при малых условиях $\varepsilon$ от $F$ линейная —

$$\varepsilon = \frac{F}{ES_0}.$$

(1')

При больших условиях задачи зависит нарушения — с ростом силы удлинения начинает растие, чем по закону (1’). Когда же сила наяжения превращает неокоторое значение $F_{\max}$, вервка начинает растяться. Все это отражено на рисунке 2, где приведена так называемая нагрузочная характеристика — зависимости силы наяжения вервки от ее относительной удлинения. Величины $F_{\max}$ и $\varepsilon_{\max}$, так же как и точный вид нагрузочного характеристики, можно найти в специальных справочниках. Зная их, нам нужно определить $w_{\max}$ — максимальное энергию деформации, приходящая на единицу длины вервки (она описывается плоскью под красной кривой на рисунке 2). Общий это делают численно (нередко на ЭВМ). Однако, попробуем просчитать расчет: заменим нагрузную характеристику линейным графиком закона Гука (см. (1)), приняв в нем $E$ равным «среднему» значению, которое определяем как

$$E_{\text{cp}} = \frac{F_{\max}}{S_0 \varepsilon_{\max}}.$$

При этом энергия единицы длины вервки $w$ будет определять плоскую под пунктирной прямой на рисунке 2, которая отображает за

26

висимость

$$F = E_{\text{cp}} S_0 \varepsilon_{\text{max}}.$$

(4)

Из рисунка видно, что

$$\bar{w} = \frac{1}{2} E_{\text{cp}} S_0 \varepsilon_{\text{max}}^2 = \frac{F_{\text{max}} \varepsilon_{\text{max}}}{2}$$

(5)

менные истинного значения $w_{\text{max}}$. Нам удобно пользоваться записным значением — ведь нас интересует безопасность. Но хорошо бы представлять, на сколько мы ошибаемся, т. е. на сколько истинное значение $w_{\text{max}}$ больше получшегося из (5). Для этого рассмотрим упрощенную нагрузочную характеристику — синююломанную на рисунке 2, которая значительно близке к истинной кривой, чем пунктирная прямая (4). При удлинениях $\varepsilon < \varepsilon_{\text{max}}/2$ имеет место закон Гука (1) с моделем управления $E$, а при $\varepsilon > \varepsilon_{\text{max}}/2$ для добавки силы выполняется закон Гука с моделем управления $E/2$. При этом

$$E_{\text{cp}} = \frac{3}{4} E, \text{ т. е. } E = \frac{4}{3} E_{\text{cp}}.$$

В этом случае энергия единцы длины ввервики, растянутой до удлинения $\varepsilon_{\text{max}}$, — она вычисляется как площадь под зеленой ломаной — равна

$$\bar{w} = \frac{1}{2} ES_0 \left( \frac{\varepsilon_{\text{max}}}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} \frac{E}{2} S_0 \left( \frac{\varepsilon_{\text{max}}}{2} \right)^2 + ES_0 \frac{\varepsilon_{\text{max}}}{2} \cdot \frac{\varepsilon_{\text{max}}}{2} = \frac{7}{16} ES_0 \varepsilon_{\text{max}}^2 = \frac{7}{12} E_{\text{cp}} S_0 \varepsilon_{\text{max}}^2.$$

Сравним с (5), мы видим, что

$$\bar{w} = \frac{7}{6} \bar{w} \approx 1,17 \bar{w},$$

т. е. в пределах нашей точности размещение не существует.

Для хорошего альпинистской ввервики должно быть $\varepsilon_{\text{max}} = 0,25-0,3$. К сожалению, советская ввервика дает меньше значения. Я принял $\varepsilon_{\text{max}} = 0,15$. Это немного меньше, чем дают прямые изменения, известные мне. Приведем также известное из опыта значения $F_{\text{max}}$ и величины $w_{\text{max}}$, вычисленную по формуле (5) (все — для ввервики диаметром 10 мм):

$$F_{\text{max}} = 12000 \text{ H}(\pm 10-15\%)$$

$$w_{\text{max}} = 900 \text{ Дж/м} (\pm 20-25\%).$$

Формулы (1) и (2) позволяют перечисить эти цифры для других ввервиок. (Ну а для туристов из этих вычислений можно сообщить только минимум, затем надо дать таблицу значений $F_{\text{max}}$ и $w_{\text{max}}$ для основных использых ввервиок.)

Но тут же передо мной встал следующий вопрос: а если кто-то использовет другую ввервику? или хочет более точных цифр? Нало придумать простые способы измерения $F_{\text{max}}$ и $w_{\text{max}}$.

С изменением $w_{\text{max}}$ все просто. Возьмите короткий кусок ввервики длиной $L$. Жестко закрепите один конец ввервики, привяжите к другому концу груз, поднимите его вертикально вверх (насколько можно), а затем представьте грузу свободно падать. Повторяйте опыт, понемного увеличавая массу груза. Если ввервика порвалась при массе груза $m$, то $w_{\text{max}} = 2mg(1+a/L)$ Дж/м, где $a$ — расстояние от точки закрепления ввервики на грузе до его центра тяжести. (До разрывац центра тяжести опустится на $2(L+a)$, т. е. потенциальная энергия уменьшится на $2mg(L+a)$. Эта энергия перейдет в энергию растянутой ввервики $w_{\text{max}} L$. Приравнивающая энергии, получим приведенный результат. Здесь не учета добавка к изменению потенциальной энергии, связанной с удлинительем ввервики, — $mg \cdot \Delta L = mgL\varepsilon_{\text{max}}$. За счет этого полученное значение $w_{\text{max}}$ на 7-10 % меньше истинного, что полезно для наших целей.)

К сожалению, стол же простого способа измерения $F_{\text{max}}$ мне придумать не удалось. Вот мой рецепт. Жестко закрепите один конец короткого куска ввервики, а нагрузку на второй плавно увеличайте с помощью автоматизации или лебедки. Если ввервика порвется при усилинии $F_p$, то, с учетом необходимости недократного использования ее, $F_{\text{max}}$ должна быть $\sim 0,9F_p$. Если у вас есть специальный диаметром, рассчитанный

27

на усиля в тысячи ньютонов, вы можете с его помощью определить $F_p$. Если такого диаметра нет, воспользуйтесь лебедкой, к рукойте которой подвешен груз. Увеличайте груз, пока при неокотором значении $m_p$ не произойдет разрыв. Тогда $F_p = m_p g H / r$, где $H$ — расстояние от оси лебедки до груза, а $r$ — радиус барабана лебедки.

На этом оставим пока ввервку и займемся судном.

Судно. При движении в воде большую роль играет сила сопротивления, действующая со стороны воды на судно. Ее можно записать в виде

$$F_c = \alpha \rho S u^2,$$

где $u$ — скорость воды относительно судна, $\rho$ — плотность воды, $S$ — площадь сечения погруженной в воду части судна (сечение перpendикулярно потоку), $\alpha$ — численный коэффициент, зависимости от объодов судна ($\alpha \lesssim 0,5$). В действительности этот коэффициент зависит и от скорости, но эта зависимость существенно только на гладкой воде, и мы ее учитываем не будем.

Сначала я делал оценки, используя эту формулу. Но насолько они надежны? Ведь и коэффициент $\alpha$, и площадь $S$ известны очень плохо. И тогда я сообщил, что эти два параметра можно объединить в один, который я называл эффективной длиной судна. Согласно закону Архимеда масса судна $M = \rho V$, где $V$ — объем погруженной в воду части судна, приближительно равный произведение $S$ на длину судна по ватерлинии $l$. Эффективной длиной судна $l_{\alpha}$ я называл величины $l / \alpha$. Тогда

$$F_c = \frac{M u^2}{l_{\alpha}}.$$

(7)

Сначала я оценил $l_{\alpha}$ совсем грубо. Поскольку $\alpha \lesssim 0,5$ и длина судна $l$ обычно не меньше 4 м, то $l_{\alpha} \gtrsim 8$ м. Но потом я понял, что $l_{\alpha}$ можно изменить.

Разгоним судно на стоячей воде до какой-то скорости $v_0$, а потом опустим. Дальнейшее его движение под действием силы сопротивления описывается вторым законом Ньютона:

$$Ma = - \frac{M v^2}{l_{\alpha}}.$$

При этом изменение кинетической энергии судна на пути $\Delta x$ равно работе силы сопротивления на этом пути, т. е.

$$\Delta \left( \frac{M v^2}{2} \right) = - \left( \frac{M v^2}{l_{\alpha}} \right) \Delta x,$$

или

$$\Delta \left( \frac{v^2}{2} \right) = - \frac{v^2}{l_{\alpha}} \Delta x.$$

Будем искать теперь скорость в зависимости не от времени, а от проиденного пути $x$. Из уравнения для энергии видно, что отношение $v / v_0$ зависит только от $x / l_{\alpha}$, т. е. $v / v_0 = f(x / l_{\alpha})$. Аккуратное решение дает

$$v / v_0 = e^{-x / l_{\alpha}} \approx (2,7)^{-x / l_{\alpha}}.$$

*) Для тех, кто знаком с дифференцированием, заметим, что это соотношение есть решение уравнения баланса энергии, которое можно переписать в виде $dv / v = -dx / l_{\alpha}$.

28

ТОКА) определяется из уравнения
$$\frac{1}{2} M v_{\text{max}}^2 = w_{\text{max}} L$$
и составляет
$$v_{\text{max}} = \sqrt{2 w_{\text{max}} L / M}.$$
(8)

При заданном значении $v_{\text{max}}$ минимальная длина вервки должна быть
$$L_{\text{min}} = \frac{1}{2} \frac{M v_{\text{max}}^2}{w_{\text{max}}}.$$
(9)

Далее мы используем простое приближение (4). При этом энергия расстояний вервки $W = F^2 L / 2 S_0 E_{\text{cp}}$ (см. формулы (2), (3)). Приравнивая это выражение к кинетической энергии судна, получаем, что при скорости течения $v < v_{\text{max}}$ максимальное наяжение вервки есть
$$F_v = F_{\text{max}} \frac{v}{v_{\text{max}}}.$$
(10)

Ну а теперь выясним, какова роль силы сопротивления воды. Эта сила максимальная, когда судно остановилось, и при скорости потока $v$ составляет $F_c = M v^2 / l_{\text{эф}}$.

Найдем отношение этой добавки к наяжению вервки $F_v$. С учетом соотношения (3), (8) и (10),

$$\frac{F_c}{F_v} = \frac{M v^2}{l_{\text{эф}} F_v} = \frac{M v^2}{l_{\text{эф}} F_{\text{max}} (v / v_{\text{max}})} \cdot \frac{M v_{\text{max}}^2 / 2}{M v_{\text{max}}^2 / 2} = \frac{v^2}{l_{\text{эф}} (v / v_{\text{max}})} \cdot \frac{2 L F_{\text{max}} \varepsilon_{\text{max}} / 2}{v_{\text{max}}^2 F_{\text{max}}} = \frac{L \varepsilon_{\text{max}}}{l_{\text{эф}}} \cdot \frac{v}{v_{\text{max}}}.$$

Таким образом, роль сопротивления воды описывается параметром
$$\beta = L \varepsilon_{\text{max}} / l_{\text{эф}}.$$

Объчно при таком значении используется вервка не длинее 20 м. При $\varepsilon_{\text{max}} = 0,15$ это дает полное удлинение вервки 3 м, и при $l_{\text{эф}} \gtrsim 10$ м
$$\beta \lesssim 1/3.$$

Итак, при скорости течения меньше $v_{\text{max}}$ величины $F_c$ не превыходит $F_{\text{max}} / 3$. Поэтому добавка, обусловленная давлением потока, играет небольшую роль, и предельная скорость близка к $v_{\text{max}}$.

Ну а теперь надо дать численные оценки для туристов. Пусть судно не

обходимо оставить на струе при скорости течения 4 м/c=14 km/ч (это большая скорость!).

Необходимые параметры для вервки мы определим из формул (9), (3) и (6). Чтобы учеть разбор параметров и давление потока, мы подставим в формулу (9) несколько большие значения $v_{\text{max}} = 5$ м/c. Результаты расчетов для судов разных масс приведены в таблице, где указана (округленное) минимальная длина чальной вервки при различных типов значений ее диаметра. Это, собственно, и есть главный результат.

| Масса судна | Диаметр вервки и ее минимальная длина |
| :— | :— |
| 200 кг | 6 мм, 10 м |
| 400 кг | 6 мм, 20 м или 8 мм, 10 м |
| 800 кг | 8 мм, 20 м или 10 мм, 10 м |
| 1200 кг | 10 мм, 20 м |

И в заключение рассмотрим еще один вариант вервки. Иногда для остановки судна поперек реки нашешивают вервку. Конечно вервки с душшего судна с помощью криока цепляется за эту поперечную вервку. Ее нашешивают под углом к течению, чтобы судно сокольнуло вдоль нее к берегу, или предусматривает ее обрыв с одного берега так, чтобы судно «маятником» пришло к другому берегу.

Если эти варианты реализованы нельзя, вервку нашешивают поперек течения. При наяжении чальной вервки нашешивается и эта поперечная вервка. Ее нашежение возметет

Рис. 3.

29

на себя часть кинетической энергии судна. Но не приведет ли это к разрыву поперечной вервки? Действительно, если наяжение человека вервки судна есть $F_\gamma$, то наяжение поперечной вервки $F_\pi = F_\gamma/2 \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между направлением растянутой вервки и ее пероначальным направлением (рис. 3). Если угол $\alpha$ меньше $30^\circ$, то $F_\pi$ больше $F_\gamma$, т. е. очень тучо наянутая вервка может порвать. Разберемся в этом попродобнее. При $\alpha = 30^\circ$ длина поперечной вервки должна быть в $2/\sqrt{3} \approx 1,15$ раз больше расстояния между точками закрепления. Но предельное относительное удлинение $\varepsilon_{\max} = 0,15$, т. е. пероначально вервка не была наянута, ее длина в растянутом состоянии составит почти точно нужную величины, а просис под собственной тяжестою создается необходимый резерв длины (он нужен, например, если судно идет не по центру вервки).

Некоторые выводы

Обсудим теперь то общее, что было в обих примерах, схему их решения.

Первый этап — вопрос, не очень четко поставленный. (Какова средняя плотность воды после порога? Какойвервкой можно пользоваться?)

Второй этап — осмысление ситуаций и постановка задачи (с частным угадыванием ответа): показать, что изменение средней плотности воды после порога ничего мало; определить, какую вервку надо использовать при придунительном зачаливании. Сюда же относится предварительная оценка погрешности последующого решения.

Третий этап — собирание и организация сведений; оценка базовых параметров. В наших примерах хватило уже имеющихся у меня знаний. Вообще же на этом этапе могут потребовать дополнительные, вспомогательные эксперименты. Очень важным шагом на этом этапе было формирование с использованием избытка данных (например, $S$ и $\alpha$ в формуле для силы сопротивления).

Это позволило, представив ответ, избавиться от определения большого числа неужных промежуточных величины, заменяемых одной легкой оцениваемой величины (в нашем случае $l_{\alpha}$).

И только после этого выполняется четвертий этап — решение задачи, т. е. получение формул, а затем и чисел. Без чисел, без знания соответствия параметров невозможно получить, правильное ли решение получено, или реализация решенияшим образом определяется совсем другими причинами. Важным является и вопрос о том, как представить полученные результаты, либо решение реализной задачи облично адресуется какому-то «потребителю».

30

Задачи

M1171—M1175, Ф1178—Ф1182

M1171. Обозначим сумму $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ через $h_n$. Докажите (для каждого натурального $n$) неравенство
$$\frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{2h_2^2} + \frac{1}{3h_3^2} + \dots + \frac{1}{nh_n^2} < 2.$$
Л. Д. Курляндчик

M1172. Какой наиболее угол могут составлять между собой отрезки $OA$ и $OB$, выходящие из начала $O$ прямоголовной системы координат в пространстве, если точка $A$ имеет координаты $(x, y, z)$, а точка $B$ — координаты $(y, z, x)$?

С. Н. Вышков

M1173 *. Через одну точку внутри треугольника площади $S$ проведены три прямые так, что каждую сторону треугольника пересекает две из них (см. рисунок). Докажите, что для площадей $S_1, S_2, S_3$ трех образовшихся при этом треугольников выполнен неравенство
$$\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} + \frac{1}{S_3} \geq \frac{9}{S}.$$
Г. Н. Зайцев

M1174*. Последовательность целых чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$ задается условиями $a_1 = 1, a_2 = 12, a_3 = 20,$
$$a_{n+3} = 2a_{n+2} + 2a_{n+1} - a_n \quad (n = 1, 2, \dots).$$
Докажите, что для любого номера $n$ число $1 + 4a_n a_{n+1}$ — квадрат целого числа.

P. Козарев и С. Дойчёв (Волгария)

M1175 *. При каких натуральных $n$ верно следующее утверждение: как бы ни были разложены на плоскости несколько непересекающихся правильных $n$-угольников, один из них можно вывинуть по некоторому направлению, не задавая остальных? (Поворачивать $n$-угольник нельзя, то есть все лучи, выходящие из точек выбранного $n$-угольника в нужном направлении, не должны задавать остальных $n$-угольников.)

Д. А. Терешин

Ф1178. В пространстве падает лист фанеры. Оказалось, что в некоторый момент времени скорости двух точек листа $a$ и $b$ одинаковы — $\vec{v}_a = \vec{v}_b = \vec{v}$ — и лежат в плоскости листа. Оказалось также, что скорость точки листа $c$, находящейся от точек $a$ и $b$ на расстояниях, равных расстоянию между точками $a$ и $b$, в два раза больше скорости $v$. Где в данной момент на листе находится точка, скорости которых равны $3v$?

К. С. Сердеев

Ф1179. Если молния во время грозы попала в воду, то после грозы на озере иногда видят всплившую рыбу. Как это объяснить? Ведь вероятность попадания молнии в отдельно взятую рыбуничного мала.

А. И. Буздин

31

Ф1180. Лампочка, присоединенная к батарейке, горит три часа, после чего батарейка полностью разряжается. Сделали копию этой батарейки вдвое больших линейных размеров из тех же материалов. Сколько времени будет гореть та же лампочка, подключенная к такой копии? Внутреннее сопротивление батарейки много меньше сопротивления лампочки.

К. С. Бедов

Ф1181. Жесткое тонкое проводаще колюцо лежит на непроводящей горизонтальной поверхности и находится в однородном магнитном поле, линии индукции которого горизонтальны. Масса колца $m$, радиус $R$, величины индукции $B$. Какой силы ток нужно пропустить по колцу, чтобы оно начало проподниматься?

С. С. Кротов

Ф1182. При проведении радиолокации Лунны, взошедшей над горизонтом, чтобы обеспечить правильную направление, излучатель высокочастотных радиосигналов был сопряжен с оптическим телефоном. Оdnako при наличии оптического изображения Лунны отсутствовал отраженный радиосигнал. В то же время, когда удавалось получить отраженный радиосигнал, не было оптического изображения. Объясните это явление.

А. Р. Зильберман

Решения задач

M1147—M1150, Ф1158—Ф1162

М1147. Задано несколько точек, соединенных отрезками двух центов: некоторые пары точек — получим отрезки, несколько отрезки, несколько отрезков четно. Доказите, что все точки можно разбить на два множества так, что каждый красный отрезок соединяет точки из разных множества, а каждый голубой — точки из одного и того же множества.

Возьем одну из заданных точек $a$ и рассмотрим все точки, соединенные с $a$ путем из данных отрезков. Если такой путь содержит четное число (возможно, нуль) красных отрезков, то относим соответствующее точку к множеству $A$, в частности, $a \in A$; если же число красных отрезков на таком пути нечетно, то относим его конец к множеству $B$ (см. рисунок). Это правило разбивается корректно: если в некоторую точку $x$ можно было прийти из $a$ по двум разным путям, причем в одном из них было бы четное, а в другом — нечетное число красных отрезков, то они составили бы замкнутый путь с нечетным числом красных отрезков, что по условию невозможно.

Ясно, что любой отрезок, соединяющий точки различных множества, — красный, а любой отрезок, соединяющий две точки $y$ и $z$ множества $B$ также синий, — если бы он был красным, то, при соединении его к пути из $a$ и $b$ с нечетным числом красных отрезков, мы получили бы путь из $a$ в $z$ с четным числом красных отрезков.

Если есть точки, с которых точка $a$ вообще не связана никаким путем, — заданная конфигурация

32

М1148. Докажите, что для любого $a > 1$, $a \neq \sqrt{q}$ ($p$ и $q$ целые) и натурального $n$ выполняется равенство $[\log_a 2] + [\log_a 3] + \dots + [\log_a n] + [a] + [a^2] + \dots + [a^k] = nk$, где $k = [\log_a n]$ ($[x]$ — целая часть числа $x$).

Для любого положительного $z$ число $[z]$ равно количеству натуральных чисел, не превысading $z$, поэтому $[\log_a m]$ есть количество точек вида $(m; y)$, где $y$ — натуральное число, не превысading $\log_a m$, а сумма $[\log_a 2] + [\log_a 3] + \dots + [\log_a n]$ — это количество точек с натуральными координатами, лежащих ниже прямой $y = k$ и левее графика $y = \log_a x$. Эти два множества точек не пересекаются, так как по условию на самом графике целочисленных точек нет (за исключением $(1; 0)$). А объединение этих множества, очевидно, дает все целочисленные точки $(x; y)$ в прямой угловнике $1 \leqslant x \leqslant n$, $1 \leqslant y \leqslant k$, число которых равно $kn$.

Р. В. Алексеев, Л. Д. Курляндчик

M1149. На плоскости заданы два луца $p, q$ с вершинами в точках $P$ и $Q$ соответствующего. Две окружности — одна с центром на луце $p$, проходящая через точку $P$, и другой с центром на луце $q$, проходящая через $Q$, — касаются друг друга в точке $M$ внешним образом. Найдите множество точек $M$.

Обозначим через $l$ и $m$ прямые, перpendикулярные лучам $p$ и $q$, проходящие через их концы $(P$ и $Q)$; через $\Pi_l$ и $\Pi_m$ — соответствующие полуплоскости, заполняемые нашими окружностями с центрами на $p$ и $q$. Очевидно, что когда одна из касающихся друг друга окружностей увеличивается, другая уменьшается так, что точка касания $M$ описывает некоторую линию, лежащую в пересечении $\Pi_l \cap \Pi_m$; ее концы соответствуют крайним положением, когда одна из окружностей выходит ливо в точку $(P$ или $Q)$, либо — в прямую $(l$ или $m)$; концы линии не принадлежат исключому множеству. Мы докажем, что эта линия — дуга окружности, проходящей через точки $P$ и $Q$; для этого нужно лишь проверить, что величины угла $PMQ$ постоянна.

Предположим, что лучи расположены, как на рисунке 1 (искомое множество здесь — голубая дуга). Пусть

33

R — точка пересечения прямых l и m, t — общая касательная к окружности в точке M, α и β — углы, образуемые его с прямыми l и m. Тогда α + β = 180° – ∠PRQ и ∠PMQ = (90° – α/2) + (90° – β/2) = 180° – (α + β)/2 = 180° + ∠PRQ.

Обратно, через любую точку M головой дуги проходят две касающиеся в ней окружности, удовлетворяющие условиям задачи (если проведится через M прямую, составляющую углы α = 180° – 2∠MPR и β = 180° – α – ∠PRQ, то образуют два равноведренных треугольника с основаниями MP и MQ).

Аналогичное доказательство можно найти и для любого другого расположения лучей: величина α + β (и, следовательно, ∠PMQ) всегда выражается через угол между прямыми l и m (т. е. через ∠PRQ), поскольку углы α и β между касательными (l и t, t и m) расположены по разные стороны от прямой t.

Заметим, что центр O головой дуги — это середина дуги PQ окружности, проходящей через точки P, Q, R: например, для расположения, показанного на рисунке 1, ∠POQ = ∠POM + ∠MOQ = 2(180° – ∠PMQ) = 180° – ∠PRQ и, конечно, OP = OQ.

Сформулируем ответ в общем виде; для этого удобно дополнить лучи p и q до прямых (рисунок 2; мы считаем, что прямые l и m пересекаются). Опишем окружность �omega вокруг треугольника PQR и из концов ее диаметра, перпендикулярного хорде PQ, проведем как из центра окружности через точки P и Q; пусть ω1 — та из них, внутри которого лежит точка R, а ω2 — вторая. Если Π_l ∩ Π_m это угол PRQ или вертикальной к нему, то исключаем множество есть дуга окружности ω1, заключенная внутри этого угла; если это угол, смejный с ∠PRQ, то нужно взять заключенную внутри него дугу ω2. (Концы дуг выбрасываются.)

Другими словами, если на рисунке 2 в качестве луча p взять p_i (i=1, 2), а в качестве луча q − q_j (j=1, 2), то ответом будет головая дуга a_ij.

Отметим, что если в условиях заменить лучи на содержащие их прямые и расматривать как внешнее, так и внутреннее касания окружностей, то исключаем множество будет объединение окружностей ω1 ∪ ω2 (без точки P и Q).

На рисунке 3 изображен ответ для частных случаев, когда l || m: в случае a) это — одна точка, б) — дуга окружности с диаметром PQ, в) — пустое множество, г) — отрезок PQ (это можно получить из общего случая, приняв за ω1 прямую PQ, а за ω2 — окружность с диаметром PQ).

Читатели, знакомые с инверсией, могут применить к нашей задаче это преобразование: после инверсии с центром P дело совпадается к отисканию множества точек касания лучка параллельных прямых и лучка окружностей, касающейся заданной прямой в заданной точке; это множество лежит на двух прямых, проходящих через заданной точку.

В. Н. Дубровский

35

сти лежит трос. Какие колеса должны быть ведущими? Зависит ли от этого T?

силу тягги автоматически:

$$T = F = \frac{\mu M g}{2(1 - \mu R / l)} = 4120 \text{ H.}$$

Заметим, что для задних колес сила реакции, а значит, и сила давления на них больше половины веса автоматically, а для передних колес — меньше.

Если ведущие колеса — передние, то сила треня (и, следовательно, сила тягги) $F = \mu N_2$, а остальные уравнения остаются теми же. В результате получаем

$$T = F = \frac{\mu M g}{2(1 + \mu R / l)} = 3880 \text{ H.}$$

Таким образом, мы видим, что больше сила тягги развивается в том случае, когда ведущие колеса — задние.

В результате ситuation центр масс автоматически относительно близке к задней оси, чем к передней. Но и тогда тоже направляется в случае задних ведущих колес.

А. И. Буздин

Ф1159. Представьте, что вы находите в движущейся сукоренцем электричке и идете с постояной относительной базона скоростью вперед по ходу поезда. Весьма оцутимая сила толкает вас назад, и вы, несомненно, совершаете работу против этой силы. На что же расходуется ваша работа? Видимо, она не может идти на дополнительный разzon электрички — ведь вы толкаете ее назад. В чем же здесь дело? Не нарушается ли закон сохранения энергии?

Энергетические затраты электрички, когда человек отделяет на сидении или когда он идет с постоянной относительной базона скоростью, одинаковы. Действительно, в обихх случае ускорения человека одинаковы, поэтому одинаковы и силы, действующие на электричку со стороны человека. Значит, человек работает «на себя». Проверим это предположение.

Пусть $a$ — ускорение электрички. За время $\Delta t$, в течение которого скорость электрички изменяется от $v$ до $v + a \Delta t$, сидящему человеку массой $m$ сообщается энергия

$$E_1 = \frac{m(v + a \Delta t)^2}{2} - \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2}((v + a \Delta t)^2 - v^2).$$

Если же человек движется вперед со скоростью $u$ относительно базона, то за это же время его кинетическая энергия должна увеличиться на величины

$$E_2 = \frac{m(v + a \Delta t + u)^2}{2} - \frac{m(v + u)^2}{2} = \frac{m}{2}((v + a \Delta t)^2 - v^2) + mua \Delta t.$$

Первое слагаемое в этом выражении «обеспечивает» работа двигателей электрички (такая же, как в первом случае), а дополнительная энергия $mu \Delta t$ возникает как раз за счет работы мыщт человека. В самом деле, сила, работа против которой совершает человек, равна $ma$; за время $\Delta t$ человек пройдёт по вагону путь $u \Delta t$; следовательно, он совершит работу, равную $ma \Delta t$.

Таким образом, действительно работа мыщт при холоде обеспечивает большие изменения кинетической энергии человека, чем в случае, когда он сидит. Поэтому с законом сохранения энергии и на этот раз все в порядке.

А. И. Коротков

36

Ф1160. В цилиндре радиусом R и высотой H находится N электронов. Параллельно оси цилиндра прилокено построенное поле индукцией B. Предполагая, что все электроны имеют одинаковые по величины скорости v, лежащие в плоскости, перепendlukулярной магнитному полю, а удары электронов о стениц цилиндра абсолотно упруже, оцените,чем равно и как зависит от магнитного поля давление на стениц цилиндра, которое создает такой «электронный газ» (давление можно найти с точностью до построенного коэффициента, не зависит от магнитного поля). Заряд электрона e, масса m. Считать, что (mv/eB)≪R («сильное» поле B). Взаимодействием электронов друг с другом пребрежить.

В магнитном поле все электроны будут двигаться по дугам окружностей радиусом

$$r = \frac{mv}{eB} \ll R.$$

Соударяться со стенками цилиндра будет только те электроны, центр орбитных нахождения от стенок на расстоянии h<r (см. рисунок). При каждом соударении электрон передает стенке импульс

$$\Delta P = 2mv \sin \alpha,$$

а проискодят эти соударения с инвервалом во времени

$$\Delta t = \frac{2(\pi - \alpha)r}{v}.$$

Для оценки давления «электронного газа» на стенки цилиндра будем считать, что каждый электрон действует на стенку с силой

$$f = \frac{\Delta P}{\Delta t} = \frac{mv^2 \sin \alpha}{(\pi - \alpha)r}.$$

Количество электронов, соударяющихся с небольшим участком стенки площадью S, равно

$$z = 2rSn = 2rS \frac{N}{\pi R^2H}$$

(здесь n — плотность электронов в цилиндре).

Тогда искомое давление «электронного газа» можно представить в виде

$$p = \frac{zf_{cp}}{S} = 2rnf_{cp} = 2rn \frac{mv^2}{r} \left( \frac{\sin \alpha}{\pi - \alpha} \right)_{cp} = 2nmv^2C,$$

где f_{cp} — сила, с которой электрон действует на стенку, ускоренная по положению центра его орбиты, a C=(sin α/(π-α))_{cp} — некоторое постоянное число, не зависит от магнитного поля.

Окончательное давление «электронного газа» на стенки цилиндра (с точностью до построного коэффициента) равно

$$p = 2Cnmv^2 = \frac{2CNmv^2}{\pi R^2H}$$

и не зависит от магнитного поля.

Д. А. Купцов

Ф1161. В архитектурной акустике хорошо известно явление «шепучец» галереи. В крупных соборах (например, в соборе Святого Петра в Риме) по окружности основания купола устроена огороженная плоская

Представим себе, что в точке A находится направленный источник звука (это соответствует случаю говорящему человке). Тогда из узкого пучка лучей, направленных непосредственно в точку B, до нее дойдет, строго говоря, лишь один луч (рис. 2, a). Остальные лучи попадут в близкие к B, но другие точки. Если тот же пучок лучей, вышедших из точки A, направлен вдоль стены галереи, то в точку B попадет уже не один, а много

37

Цадка (галерея), куда разрешен доступ туристам. Давно было заменено, что негромкая речь в точке А (рис. 1) хорошо слышна в точке B, если говорящий смотрит вдоль стены галереи. Но если говорящий смотрит в направлении на точку B, то при такой же громкости речь в точке B ничего не слышно. Почему это происходит?
В точке А ненаправленный источник звука испускает достаточно громкий импульс дигетельностью $\tau_1$. Какова будет дигетельность импульса, приятого в точке B? Диаметр галереи d.

Задатчик, Канша

лучей, отраженных от стены галереи (рис. 2, 6). Вот почему «выгоднее» говорить вдоль стены — звук при этом как бы стелется вдоль «шепучей» галереи.

Если же в точке A находится ненаправленный излучатель достаточно громкого звука, то этот звук может попасть в точку B многоими путями. Кратчайший из них — напрямик от A к B. Сигнал, идиший таким путем, придет первым, и ему попадобится время

$$\tau_0 = \frac{d}{v},$$

где $v$ — скорость звука. Затем придут два сигнала (один справа, другой слева — см. рис. 3), однократно отраженные от стены галереи. Потом последуют двухкратно, трехкратно и так далее многоократно отраженные сигналы. Последними придут два сигнала,ышедшие из А практически по касательной к стене галереи в две противоположные стороны. Каждый из этих сигналов, отражшись от стены очень число раз, пройдет путь, практически равный половине длины окружности галереи. Для этого потребуется время

$$\tau = \frac{\pi d}{2} = \frac{\pi d}{2v}.$$

Разница во времени распространения первого и последнего сигналов составляет

$$\Delta \tau = \tau - \tau_0 = \frac{d}{v} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right).$$

Именно на такое время будет затянут звуковой импульс, испущенный в точке A, по отношению к точке B. Следовательно, дигетельность импульса, приятого в точке B, будет равна

$$\tau_2 = \tau_1 + \Delta \tau = \tau_1 + \frac{d}{v} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$$

Интересно заметить, что при любом другом расположении точек испускания и приема звуковых импульсов разница в их дигетельности будет еще больше (убедитесь в этом самостояльно).

В. И. Клячин

38

Ф1162. Под водой на глубине h находится точный источник света. Где расположено изображение этого источника для наблюдателя, смотрящего водой поверхности воды (рис. 1)? Показатель преломления воды n.

Наблюдатель, смотрящий водой поверхности воды, рассматривает изображение источника в лучах, образующих после преломления на границе вода — воздух очень малые углы с поверхности воды.

Рассмотрим луч, составляющий малый угол $\Delta\varphi$ с горизонтом и ограничивающий выбранный нами лучок лучей (рис. 2). Обозначим через $A$ точку выхода из воды этого пограночного луча, а через $B$ — точку соприксовнения с поверхности воды луча, испытавшего полное отражение, и найдем расстояние между этим точками:

$$AB = h(tg\alpha_0 - tg(\alpha_0 - \Delta\alpha)).$$

Здеся $\alpha_0$ — предельный угол полного отражения $(\sin\alpha_0 = 1/n)$, а $(\alpha_0 - \Delta\alpha)$ — угол падения на поверхности воды луча, который после преломления образует с ней угол $\Delta\varphi$.

Согласно закону преломления света,

$$\frac{\sin(\alpha_0 - \Delta\alpha)}{\sin(\pi/2 - \Delta\varphi)} = \frac{1}{n},$$

или, с учетом того, что $\sin\alpha_0 = 1/n$,

$$\cos\Delta\alpha - \cos\Delta\varphi = n \cos\alpha_0 \cdot \sin\Delta\alpha.$$

Для малых углов $\Delta\alpha$ и $\Delta\varphi$ справедливый соотношение:

$$\cos\Delta\alpha = 1 - 2\sin^2(\Delta\alpha/2) = 1 - (\Delta\alpha)^2/2,$$

$$\cos\Delta\varphi = 1 - (\Delta\varphi)^2/2.$$

Отсюда получаем квадратное уравнение для угла $\Delta\alpha$:

$$(\Delta\alpha)^2 + 2n \cos\alpha_0 \cdot \Delta\alpha - (\Delta\varphi)^2 = 0.$$

Учитывая, что $(\Delta\alpha)^2 \ll \Delta\alpha$, находим

$$\Delta\alpha = \frac{(\Delta\varphi)^2}{2n \cos\alpha_0} = \frac{(\Delta\varphi)^2}{2\sqrt{n^2 - 1}}.$$

Тогда

$$AB = h \frac{\sin\Delta\alpha}{\cos\alpha_0 \cdot \cos(\alpha_0 - \Delta\alpha)} \approx h \frac{\Delta\alpha}{\cos^2\alpha_0} \ll h \tg\alpha_0.$$

Таким образом, для парасильных лучей (т. е. лучей, для которых $\Delta\varphi \ll 1$) изображение источника оказывается в точке падения луча, испытавшего полное отражение (в точке $B$).

С. С. Кротов

40

Биссектрисы, вписанная и внешисанные окружности треугольника

Как известно, биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — в центре вписанной окружности. Но мало кто знает, что радиус r вписанной окружности связаан с высотами треугольника соотношениям
$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}.$$

Биссектриса угла A треугольника делит противоположную сторону на отрезки $$\frac{ab}{b+c}$$ и $$\frac{ac}{b+c}$$, которые относятся как приложение к ним стороны треугольника b и c. Сама же биссектриса делится точкой O пересечения биссектрис в отношении $(b+c):a$.

Длина биссектрисы, проведенной из вершины A, равна $$\frac{\sqrt{bc((b+c)^2-a^2)}}{b+c},$$ а расстояние от точки A до центра вписанной окружности равно $$\sqrt{\frac{(p-a)bc}{p}},$$ где p — полуперimetр треугольника.

Нетрудно с помощью циркуля и линейки построить треугольник по его сторонам. Чуть труднее сделать это по медиам или по высотам. А построить треугольник по биссектрикам (в общем случае) невозможно.

Если проведится все три биссектрисы внешних углов треугольника, то образуется три точки их пересечения, каждая из которых одинаково отстотит от прямых, на которых лежат стороны данного треугольника. Поэтому можно проведити окружность с центром в такой точке, касающийся всех сторонам треугольника или их продолжей. Такие окружности называются внешисанными.

Сумма величины радиусам $\rho_a$, $\rho_b$ и $\rho_c$ внешисанных окружностей, равна обратной величины радиуса вписанной в этот треугольник окружности:
$$\frac{1}{r} = \frac{1}{\rho_a} + \frac{1}{\rho_b} + \frac{1}{\rho_c}.$$

Приведем два изящных выражения для площади треугольника через радиусы вписанной и внешисанных окружностей:
$$S = \sqrt{r\rho_a\rho_b\rho_c},$$
$$S = \frac{a\rho_b\rho_c}{\rho_b + \rho_c}.$$

41

Прямы в треугольнике, соединяющие его вершины с точками касания внешних окружностей, пересекаются в одной точке, которая называется точкой Нагеля в честь открывшего ее немецкого математика Августа Нагеля (1821—1903).

Если проведи окружность через основания высот данного треугольника, то она будет проходить через середины сторона этого треугольника и через середины отрезков высот треугольника от точки их пересечения до вершин. Такая окружность называется окружностью девяты точки. Окружность девяты точки касается внешней окружностью этого треугольника.

Любопытно, что отрезки, соединяющие центр вписанной в треугольник окружности с центрами внешних окружностей, делятся пополам окружностью, описанной во круглого треугольника.

Легко доказать, что у равнобедренного треугольника равны медианы, высоты и биссектрисы, выхождения из концов основания. Не на много труднее доказать, что если две высоты или две медианы треугольника равны, то треугольник — равнобедренный. Верно такое утверждение и для биссектрис, но его доказательство довольно сложно. Само это утверждение носит название «теорема Штейнера — Лемуса».

41

42

Список читателей, приславших правильные решения

(Начало см. на с. 39)

38, 39, 41—45, 47; Д. Омецинский (Киев) 38, 39, 43; А. Орловский (Киев) 35, 38, 43, 45; С. Павлов (Новосибирск) 35; А. ПавлOUК (Киев) 38, 40, 41, 43, 45; А. Падди (Киев) 38, 40, 42, 43; В. Панков (Пенза) 37, 40, 43, 44; Д. Пастиров (Москва) 37; Д. Пастухов (Москва) 39—42; Т. Петрова (Новосибирск) 43; Е. Пивоваров (Ленинград) 37, 43; С. Полышин (Харьков) 35, 38—40; Ф. Попеленский (Москва) 43; В. Портной (Одеска) 38, 39, 41; Е. Призант (Одеска) 38, 43, 44; В. Пузанов (Донецк) 43; А. Пушнов (Вольск) 35, 37—41, 43, 44; И. Пятайкин (Москва) 38; А. Распереза (Врест) 35, 37—44; Х. Рахимов (Шават) 47; Т. Рашник (Киев) 35; В. Розенблит (Рига) 41, 43; В. Роман (Ровно) 35; А. Рувинский (Ивано-Франковск) 38, 41, 43; С. Рубницкий (Одеска) 43, 44; Н. Рябова (Харьков) 40; Д. Самборский (Истра) 35, 37—42; А. Серебряков (Москва) 37; И. Сидора (Черновцы) 43, 44; В. Стахурский (Киев)

Почему не летают самолеты в сильный дожьд?

(Начало см. на с. 10)

Следовательно, и сизу на «жидкий» и на «воздущий» параллелепид действуют одинаковые силы. Таким образом, наличие тонкой водяной пленки не изменяет распределения давления по вертикали, и в одном и том же секции в потоке жидкости и в воздухном потоке давления одинаковы, т. е. $p=p_1$.

— Дальше все ясно,— перебил я приятель. — Из условия $p=p_1$ следует, что $\varrho v^2/2=\varrho_1 v_1^2/2$, и

$$v/v_1=(\rho_1/\rho)^1/2.$$

Так что окончательно получаем: в условиях достаточно сильного дожьд силы сопротивления, действующая на крыло, увеличается в

$$\frac{\tau}{\tau_1}=\left(\frac{\varrho_1}{\varrho}\right)^{1/4}\left(\frac{\mu}{\mu_1}\right)^{1/2}$$ раз.

Приятный голос из динамika сообщил, что самолёт совершил посадку.

Напомним, что не стоит забывать свои вещи в самолете. Я забрал исписанные приятель листочки…

Вернувшись домой, я посмотрел в справочнике нужные значения плотностей и коэффициентов диамической взкости для воздуха и воды, подставил в формулу и получил $\tau/\tau_1\approx 1,5$. Таким образом, «все погодный» самолёт должен обладать пятидесятипроцентным запасом тягги по сравнению с обычным самолетом. Вот почему не летают самолеты, когда идет сильный дожьд.

Такая оценка получилась в пределложении, что на обтекаемом воздухом крыле имеет пристенчный погранный слой, состоящий из воды. Срауз же возникает каверзный вопрос: какова же должа быть тягга двигателей для движения самолета в сплошном потоке воды? Читатель, внимательно изучивший статью, решит эту задачу самостоятельно. Ответ сообщило: для «превращения» самолета в подводную лодку необходимо увеличающее мощности его движения

$$\frac{\tau}{\tau_1}=\left(\frac{\varrho_1}{\varrho}\right)^{1/2}\left(\frac{\mu}{\mu_1}\right)^{1/2}\approx 230$$ раз.

43

Задания

1. Как-то раз знаменитый индийский математик Рамануджан ехал в автомобилье со своим английским другом математиком Харди. «Вы говорите, что не бывает не замечательных чисел,— сказал Харди.— А вот номер моей машины, 1729,— ничего не замечательное число.» «Что Вы,— воскликнул Рамануджан,— это же наименьшее число, которое представляется в виде суммы кубов двух натуральных чисел двумя различными способами!» Найдите оба эти представления.

2. На лесной поляне собрались друзья: Попугай, Удав, Слоненок, Теленок, Котенок, Мартышка и Верблюжонок. Попугай начал всех мерить. Окзадось, что Слоненок длинее Теленка на 3 Попугая, Верблюжонок длинее Мартышки тоже на 3 Попугая, Теленок длинее Попугая на 7 Попугаев, Верблюжонок длинее Котенка на 6 Попугаев, а все они укладываются в точности на Удаве, длина которого 38 Попугаев. Выразите длины друзей в Попугаях.

3. Проверьте, что

$$\frac{19^3 - 70^3}{19^3 + 89^3} = \frac{19 - 70}{19 + 89}.$$

И вообще $\frac{a^3 - b^3}{a^3 + c^3} = \frac{a - b}{a + c}$, если $c = a + b$.

4. Когда Петя разбил свою копилку, в ней оказалось 16 медных монет. Он разложил их на 4 кучки по 4 монеты так, чтобы денег в каждой кучке было поровну. Тут он заметил, что наборы монет во всех кучках разные. Сколько денег было в копилке?

5. Разрежьте одинаковым образом каждую из двух одинаковых фигур (см. рисунок) на 4 части так, чтобы из полученных восьми кусков можно было сложить одну подобную им фигуру вдвое большей площади.

Эти задания нам предложили: А. П. Савин, М. В. Улановский, ученик 10 класса шкалы № 149 г. Харькова С. А. Ляшенко, А. И. Демидов, Л. П. Мочалов.

44

ВОПРОСЫ, ВОПРОСЫ…

«Предлагаемая книга представляет собой как бы пространную физическую «викторину», которая должна помочь читателю установить, насколько в действительности овладел он основами физики. Однако это никак не вопросник для экзамена; бóльшая часть вопросов принадлежит к таким, которые едва ли когда-нибудь предлагались на экзаменах. Например, книга рассматривает материал, общно просkalъывающий mismo статей экзаменационного опроса, хотя вопросы нашей «викторины» тесно связаны с элементарным курсом физики. При каждшейся простоте вопросы кроют в себе зачастую неожиданное для читателя. Иные представляются до того простыми, что у каждой готов на них ответ, который, однако, часто оказывается ошибочным.»

Так начинается книга известного популяризатора физики и математики, механики и астрономии Я. И. Перельмана «Знаете ли вы физку?», увидевшая свет в 1934 году.

Сейчас книга готовится к выходу в Библиотечке «Квант». А пока — несколько вопросов из этой книги.

1. На необходимость острове. Вот один из вопросов знаменитой Эдисоновой викторины:

«Если бы вас высадили на один из троппических островов Тихого океана

45

без всяких орудий, как сdwинули бы
вы там с места треxtонный груз —
скалу, имеющий 100 футов в гори-
зонтальном протяжении и 15 футов
в вертикальном?

2. На воздушном шаре. С воздушного шара, неподвижно держащегося
   в воздухе, свободно свешивается
   лестница (рис. 1). По ней начал взбираться человек.
   Куда при этом подвинется шар:
   вверх или вниз?

3. Пластинка на дне сосуда с жидкостью. Если ко дну стеклянного
   сосуда с водой приложить вплотную
   деревянную пластинку, она всплывет.
   Если ко дну такого же сосуда с рутью
   приложить стеклянную пластинку,
   она не всплывет. Между тем известно,
   что плаучесть стекла в рутуи (раз-
   ность удельных весов рутуи и стекла)
   гораздо большие, чем дерева в воде.
   Почему же деревянная пластинка
   в воде всплывает, а стеклянная в рутуи не всплывает?

4. Задчаа Колладона. Следующий
   вопрос былsto лет назад предложен
   известным физиком Колладоном уча-
   щимся так называемой Центральной
   школи (инженерной академии) в Париже:
   «Судно переместилось вверх по те-
   чению реки, поднявшись при этом на
   170 м (от Марселя до Лиона). При
   вычислении работы, затраченной на
   это перевижение, надо ли, помимо
   сопротивления движущейся воды,
   принять в расчет также и произведе-
   ние веса судна на 170 м?»

5. Вода в опрокинутом стакане. Об-
   щензвесен опыт с листком бумаги,
   который не оппадает от краев опроки-
   нутого стакана с водой (рис. 2).
   Он описывает во многих начальных
   учебниках и часто фигурирует в попу-
   лярных книгах. Объяснение обычно
   дается такое: извне, сизу на бумажку
   давит воздух с силой одной атмосфере;
   изнутри же, сверху напирает
   только вода с силой во много раз
   меншено (во столько раз, во сколько
   10-метровый водяной столб, соответствующий атмосферному давлению,
   выше стакана); избыток давления
   и прижимает бумажку к краям стакана.

46

Если такое объяснение верно, то бумажка должна придавляться к стакану с силю почицелой атмосферы (0,99 атм). При диаметре отверстия стакана 7 см на бумажку должны действовать силы почти в 400 Н. Известно, однако, что для отрыва вникая бумажного листка в подобном опыте не требуется такая сила, а достаточно самого незначительного числа. Пластика же металлическая или стеклянная массой в несколько десятиков граммов вовсе не удерживает у краев стакана — она отпадает под действием тяжестei. Очевидно, облучное объяснение опыта несоответлено.

Каково же правильное объяснение?

6. Сифон в пустье. Можно ли сформировать в пустье?

7. Нагревание плотичного уровня. Длина пузырька в трубке плотичного уровня меняется при колебаниях температуры. Когда же пузырек большее: в теплую или в холодную погоду?

8. Замерзание воды в трубах. В трубах подземных частей зданий вода часто замерзает не в мороз, а в оттепель. Чем это обьясить?

9. Почему снег белый. Почему снег белый, хотя составлен из произчных ледяных кристалlikов?

10. Радуга. Некто утверждает, что в полдень 22 июня он видел радгуру на небе. Возможно ли это?

11. Свеча в закрытой банке. Вот заимствованное из детского (иностранного) журнала описание опыта, цель которого — продемонстрировать атмосферное давление:

«Горяший огарок свечи укрепляют на дне стеклянной банки и, когда пламя погорит некоторое время, накрывают банку крышкой, продолжив между их краями увлажнение резиновое колюцо. Пламя тускнет и вскоре гаснет (рис. 3). Попробуйте тогда оторвать крышку от банки — это удасtery вам лишь при значительном успели.

Причину является легко понять. Пламя потребляет кислород, запас которого в герметически закрытой банке ограничен. Когда он расходуется вес, пламя гаснет. Оставшаяся часть воздуха, заняв больший объем, разрезается и давит слабее. Избыток наружного давления и прижимает так сильно крышку к банке».

Находите ли вы это обьясение правильным?

47

20 лет спустя
(к годовщине первой лунной экспедиции)

Большинство наших читателей родились тогда, когда полеты на Луну стали уже исторей, и им, наверное, неправодополным показется случай, описанный полтора века назад в газете «Московские губерние ведомости»: за «крамольные речи о полете на Луну» было решено мещанна Никифора Никитина сослать в… поселенние Байконур!

А вот другой, более свежий, но тоже любопытный факт: всего лишь за два года до запуска первого искусственного спутника Земли тогдаший президент Академии наук СССР попросил несколько учены высказать сообщения овозможности исполнения ИСЗ. «Фантастикой не увлекалось», «Предполагаю, что выход в космос произдет не ранее 2000 года», «Не представляю, какое практическое значение могут иметь ИСЗ» — таковые были ответы учены.

Жизнь, как это передко бывает, не только опровергала сомнения скептиков, но и опередила надежды оптимистов: за первым спутником всего лишь через три с половиной года в космос отправился Юрий Гагарин, еще через восемь лет американские астронавты высадились на Луне.

Вот лишь некоторые, важнейшие, вещи на пути осуществления лунной экспедиции:

| Изввание аппарата | Дата запуска | Основные результаты |
| :— | :— | :— |
| «Луна-1» (СССР) | 2 января 1959 г. | Первая станция, запущенная в район Луны. Пролетев в 5000 км от нее, вышла на околосолнечную орбиту. |
| «Луна-2» | 12 сентября 1959 г. | Первая космический аппарат, доступный Луны. |
| «Луна-3» | 4 октября 1959 г. | Получены первые изображения обратной стороны Луны. |
| «Рейнджер-7» (США) | 28 июля 1964 г. | Переданы изображения Луны с высоким разрешением. |
| «Луна-9» | 31 января 1966 г. | Первая мягкая посадка на Луну. |
| «Луна-10» | 31 марта 1966 г. | Первая искусственный спутник Луны. |
| «Сервейер-5» (США) | 8 сентября 1967 г. | Впервые выполнен непосредственный химический анализ лунного грунта. |
| «Зонд-5» (СССР) | 15 сентября 1968 г. | Перое возврашение аппарата на Землю после облегая Луны (на борту имелись живые существа — черпахи). |
| «Аполлон-8» (США) | 21 декабря 1968 г. | Перый плотируемый полет в сторону Луны (облегет Луны). |

16 июля 1969 года начался решающий штурм. В этот день гигантская ракетность «Сатурн-5» обеспечила старт Лунной одиссен. Экпаджем «Аполлон-11» командавал Н. Армстронг, плотом основного блока был М. Коллинз, плотом лунной кабины (у нее было имя «Орел») — Э. Олдрин. «По сценарию» Армстронг и Олдрин должны были высадиться на Луне, а Коллинзу предстояло ожидать своих товаров на околоземной орбите.

Почти четверо суток «добирались» астронавты до окрестностей Луны. …19 июля в 16.00 по вашингtonскому времени в Центре управления полетом (г. Хьюстон, США) руководитель полета приял решение начиная посадку на Луну. В это время ни он, ни сами космонавты еще не догадывались,

48

сколь драматичными станут следующие четырьмя часа. Первым отказало радио — оно внесло замолкло на 51 секунду. Чуть позже диспетчеры обнаружили новую неполадку — в комплотере «Орла». Ошибался ли компьютер или он получал неверную информацию?

В 16.07 уже Армстронг заметил что-то недадное: кратеры в иллюминаторе появились с запозданием на 2—3 секунды против положенного. Тем не менее, Центр управления решил полет продолжать.

Еще через минуту, когда Олдрин введил данные посадочного радиолокатора в комплотер, «началась чертовизна»: комплотер из-за перегрузки не принял новый входных данных.

Еще через 2 минуты раздался второй сигнал тревоги. Астронавты принялись анализировать сигналы, но их успокопили и разрешли продолжать посадку.

Do приложения по программе оставалось менее четырех минут, когда руководитель полета, в последний раз просив диспетчеров, скомандовал: «Орел, идите на посадку». «Вас понял,—спокойно ответил Олдрин.— Идем на посадку. Высота 1000 метров». За последнюю минуту комплотер еще трижды подавал тревожные сигналы.

«Орел» быстро снижался. Олдрин фиксировал высоту и скорость снижения. На высоте примерно 125 метров спуск внесало замедления — Армстронг наконец-то разгладел поверхность под кабиной, и то, что он увидел, испугало даже его (а ведь он был бывалым летчиком-испытателем, и его хладнокровие было хорошо известно всем): «Орел» спускался не наровную поверхность, как было заранее предусмотрено, а на доно кратера, усеянное огромными валунами. Снизив скорость, Армстронг повел кабину вперед, выискивая площадку для посадки. Время шло, но ничего подходящего не попадалось.

Когда до поверхности оставалось метров тридцать, появилось новое преятствие: из-за сильной струи газа от работающего двигателя поднялась лунная пыль. В отличие от земной она не оседала. Казалось, что вокруг плотный движущийся туман.

«60 секунд», — предупредила Земля, имея в виду запас топлива (предельный минимум — 20 секунд). «Давай, давай!» — подбадривал товарища Олдрин.

«30 секунд». До принятия команды на прекращение спуска оставалось 10 секунд. И тут «Орел» своим шупами коснулся лунной поверхности.

«Есть лунный контакт!» — закрычал Олдрин.

«Хьюстон, говорит База Спокойствия. «Орел» прилунился!» — возволновано сообщил Армстронг…

В следующие несколько лет на Луне pobывали еще 5 экспедиций, а одна попыткачь не окончилась трагически.

СССР продолжал исследовать Луну с помощью беспилотных аппаратов. В 1970 году «Луна-16», а позже «Луна-20» и «Луна-24» доставили лунный грунт на Землю. Поработали на Луне и два автоматических самоходных аппарата — «Луноход-1» и «Луноход-2».

За прошедшие тридцать с небольшим лет космической эры «социальный статус» космических полетов заметно изменился. Сегодня задачи, решаемые в этих полетах, широки и разнообразны — вопросы фундаментальной науки и новые технологии, исследование космических объектов и изучение конкретных физических и биологических явлений, и чисто «прикладные» исследования…

Как с этих позиций можно оценить первую лунную экспедицию? С таким вопросом редакция обращалась к летчику-кошонавту СССР, доктору технических наук К. П. Феоктистов. Сразу скажем, что ответ К. П. был для нас несколько неожиданным. Тем более, как нам кажется, запись этой беседы будет интересана нашим читателем, ведь это — взгляд человека, имеющего непосредственное отношение к становлению практической космонавтики, в каком-то смысле — размышления человека над своим делом.

49

Беседа с
К. П. Феоктистовым

— Константин Петрович, с того дня, когда человек впервые ступил на Луну, прошло 20 лет. Для большиства наших читателей этот день — далекая история, это было еще «до них», и вред ли они могут представить себе, каковые были тогдашие очищения людей на Земле. Как бы вы их выразили?

— 20 июля 1969 года мы поглядывали на Луну с необычными, новыми очищениями. Вроде бы как всегда видит в небе то ли изображение, то ли действительное небесное тело. Но сейчас тамходят люди — Армстронг и Олдрин… Как страно — мы здесь, а они — там, в этой золотистой сверкающей стране, на фантастическом от нас расстоянии в 400 000 километров! Вот уж именно момент самовывлечение человека. Ну, а американцев, естественно, в особенности.

Самовоспрятие людей как индивидуальной (и верующих, и атеистов) одинаково стимулирует их к понску нового, к расширенному сферы понимания, действия и жизни. Правда, чаше это проявляется в чисто «геометрическом» смысле. Тут обычно, психологически понятное, логическое не убедительное представление: различия достижимого мира, мы получаем возможность узнать больше о мире и, может быть, что-то новое о своем месте в нем и о самих себе. Для большиства это представление и было движущей силой Лунного проекта. И событие 20 июля 1969 года воспринималось, по словам Армстронга, как «огромный скачок для человека».

Впечатляющий размах и впечатляющий результат. Полный успех.

Понятна и естественная тогдашняя эйфория разработчиков проекта и, наверное, большиства американцев: «Мы на Луне!… Это мы на Луне, а не эти вечно отсталшие, произbaюшие в своих дотах и в своих административно-иерархических структурах русские… Естественное положение в мичеческих исследований восстанавливано (и наш представжет!)… To, что раньше все мы воспринимали как некоторую абстракцию, некоторую красочную и неизменную деталь на небе, оказалось тоже миром, по которым можно ходить,ездить, его можно

Я не припоминаю каких-либо особых чучеств, которые испытывал в этот момент, кроме того, что страная быть осторожным, хотел убедиться, что ступить на эту поверхность безопасно…

Нейл Армстронг

50

потрогать… Это историческое достижение. И оно наше!»

Эмоционально для всех это всемирное шоу, конечно, значило много: чувствовать себя соучастником этого необыкновенного путешествия и приключения, ощуть Луну под своим ногами…

Тут и еще раз можно поздравить и американцев, и всех нас с годовщиной прекрасного достижения. Да, конечно. Но…

— Но?

— Но есть и что-то комнительное, какое-то неудовлетворение. Высадака Н. Армстронга и Э. Олдрина на Луну явились началом реализации Лунного проекта. С 1969 по 1972 год американцы доставили на Луну 6 экспедиций. Что следует зачислить в плос Лунного проекта? 12 человек, побивавших на Луне, в целом, все вместе, прошли и проехали по ее поверхности около 100 километров. Около 400 килограммов лунных камней было доставлено на Землю. Но сами по себе эти камни никогда (кроме, может быть, сельнологически и геохимиков) не дали прициппально новый и ценной информации.

Может быть, была получена какая-то другая существенная информация? Вроде бы нет.

Положительные эмоции и представки США — да, конечно. Но «25 миллиардов за представя» — именно во столько обещался США первый полет астронавтов на Луну — звучит немного смешно. И печально. Ведь в убиток можно списать и те космические программы, которые можно было осуществить на эти громадные средства…

— Как же получилось, что «практичные американцы оставили свой выбор на Луне? Кто сделал этот выбор?

— Тут надо вернуть назад и вспомнить конец 50-х — начало 60-х годов.

1957 год — Советский Союз запустил первый во международный ракету и первый искусственный спутник Земли.

1961 год — Советский Союз осуществил первый полет человека в космос.

Почему возникло такое положение? Почему мы оказались впереди, несмотря на громадный технический и технологический потенциаль США?

Дело в том, что тогдашние ракеты и космические аппараты, космические

Человеку судьбой было предначерто рано или поздно высадиться на Луне. Этот вызов стоял перед ним с тех пор, как человек впервые взглянул на Луну, и он неизбежно должен был принять его.

Эдвин Олдрин

52

Мне не хотелось бы, чтобы создалось такое впечатление, как в базе «Лиса и виноград», но сегодня я не вижу причин огорчатся, что мы не вложили больше сил и средства для того, чтобы оказаться на Луне.

— И все-tаки, какое место — с точки зрения развития космической техники и технологически заимает Лунная экспедиция?

— Работы над Лунным проектом начались еще в начале шестидесятых годов. За эти годы американцы в результате огромной и хорошего скопированной работы создали не только корабль «Аполлон» и пакет «Сатурн-5», но и гигантскую экспериментальную базу, огневыстены для отработки пакетных двигаателей, оборудования для подготовки пакет и кораблей к запуску, средства управления полетом. Вся эта работа в целом была выдающимся техническим доступением. Но и отдельные части этой работы являются замечательным успехом. Тут оценка может носить субъективный характер. Я бы отметил следующее:

водородно-кислородный двигаатель второй ступени пакеты-носителя «Сатурн-5», примерно в 1,3 раза более эффективный, чем жидкостьные пакеты двигаатели, работающие на кислороде и керосине или на других компонентах;

спускаемый аппарат, в котором космосоваты возврашает на Землю. Достижения являются здесь создание защиты аппарата при возврашения его в атмосферу Земли со второй космической скоростью (около 11 км/c). Эта скорость резко усложняет задачу борьбы с телловыми потоками, идущими от высокотемпературной плазмы на корпус аппарата;

система вертикальной пакетной посяdkи на поверхности Луны;

система автономного сбыжения лунной кабины и основного блока на орбите спутника Лунны (при возврашения лунная экспериментия стартовала с поверхности в лунной кабине, выходила на окололунную орбиту, сбижалась с основным блоком и переходила в него);

электроимущее генераторы, работающие на водороде и кислороде;

технические средства, бортовая система управления полетом, которые стали поворотным моментом в комплектсе средства управления космическими полетами. Они обеспечивают оперативную обработку информации, поступающей с кораблей, возможность оперативного анализа, разработки рекомендаций и быстрый их передачи на борт кораблей в виде радиокоманд, указаний или советов экипажу. Наверное, надо бы отметить и другие достинения (материалы, производство жидкого водорада и т. п.).

Все это, несомненно, выдающие результаты. И все-tаки…

— И все-tаки?

— Что касается Лунной программы — поезд ушел — она реализована. Но тут есть урок для будущего.

Правильно ли была выбрана космическая цель США в начале 60-х годов? Это вовремя было сделано или рано? Складем, почему именно сегодня нам оказывается необходимым создать электрическую лампочку, открыть структуру ядра, попететь в космос, высадиться на Луну? Или осуществить революцию? Ответ, вроде бы, оченьiden — «потому что именно сегодня это оказалось возможным!»

Отнюд не всегда так. Особенно в этом случае. Особенно если учесты гигантские средства, выделенные на Лунную программу. Для меня она не только достинение, но и один из примеров неудачного или неправильно опередленной цели.

Ведь проблемы выбора цели передаются целыми народами. Можно вспомнить более близкий нам пример из области выбора политических целей. Например, что было целым Октябрьской революции, а что — средствами…

— А если вернуть в космос? В печати сейчас рассматривается вопрос о виделении суммы порядка 100 миллиардов dollars или рублей для осуществления совместной советско-американской экспедиции на Марс…

— СAMA поставновка задачи — истранить 100 миллиардов на градиозное космическое предприятие (с согласия

53

налогоплательщиков!) — мне не представляется абсурдной. За удовлетворение общееловесского любопытства или за крупную эффективную космическую программу нужно платить.

Но, принимая решение, выбирая цель, надо крепко думать!

Почему Марс? Есть ли заметные шансы найти что-то совершенное необъяснное и очень ценное на Марсе?

Вообще-то, может быть. Если, например, найти на Марсе живые организмы, хотя бы на уровне грибков или бактерии. Суметь привезти их живыми на Землю и установить механизм их воспроизводства. Понять, какой это механизм. Такой же, как у земных organisms, или совершенно другой? Найти ответ на вопрос о происклении жизни на Земле — «самозарождение» или «посев»? Или найти на Марсе следы пребывания разумных существ. Чрезвычайно интересно. Но каковы шансы обнаружить на Марсе живые организмы или следы цивилизации? Боюсь, что они, мягко говоря, невелики.

Почему же Марс? Разве нет других действияного острых, интригуоших вселенских тайн, которые можно было «раскопать» за 100 миллиардов?

Например, создать комплекс астрофизических инструментов в космосе (большие телескопы, в том числе и радиотелекопы), которые позволили бы рассмотреть центр нашей Галактики, близкийшую на окранны Вселенной или даже на северный методический поиск сигналов других цивилизации.

Или присутствить к решению градинозной всемирной хозяйственной задачи — к созданию сети orbitальных электростанций и соответствующих приемных наземных станций, что должно быть возможностью получить экологически чистую систему энергоснабжения Земли. Для решения этой задачи пришлось бы создать действительное решение ракеты-носителей, делевые космические буксиры, пленочные солнечные батареи, гигантские антенны для передачи энергии на Землю в радиоапазоне, сложное оборудование orbitальных солнечных электростанций…

Возвращаясь к сегодняшему дню, квадцатилетнему юбилею первого лунной экспедиции, я бы сказал следующее. Один из главных результатов осуществления программы высадки на Луну — это еще одно наполнение о том, что при выборе целей градинозных, дорогостяхх предприятий необходимого очень тщательное взвешивание вариантов, изучение их, проработка. Чтобы наиболее удачно и не во вред себе найти правильное соответствие цель — возможности, чтобы затрачиваемые средства и успешное соответствование результату.

---

После последней экспедиции на Луну (1972 г.) было высказано предложение, что до конца нынешнего столета человека больше не вернет туда. Похоже, так оно и будет. Когда же состояние сельма экспедиция? Каковы будут задан и кто ее организует? может быть, ответать на эти вопросы придетя вам, дорогие читатели?…

54

Ми продолжаем публикацию отрывков из книги Д. Джоунса «Изобретения Дедала». Коротенный рассказ о книге и описание одного из изобретений читатель найдет в цивьском номере «Кванта» (в заменке «Спасительная безликость»).

Ороситель
для пустьни

Дедал предлагает новый способ выделения водных паров из воздуха в пустыне, в основе которого лежит тот факт, что серная кислота или кукурузный сироп, оставленный в открытым сосуде, активно поглощают влагу из воздуха. Вообше, любой растор, давление насыщенных паров над которым ниже, чем давление водных паров в окружающей воздуха, должен поглощать влагу из воздуха. Но как выделить эту влагу из растора? Наиболее естественное было бы применить для этого «обратный осмос», т. е. просто «выжимать» воду из растора через полупроницаемыйMEMбрану*). Дедал начал разрабатывать водной пресс

для пуществеников по пустыням, который позволяет «выжимать» воду из серной кислоты через полупроницаемыйMEMбрану, а после снять внешнего давления серная кислота вновь випывает влагу из воздуха. Но затем Дедал пришел к мысли, что роль пресса вполне может играть гидрорастание давление. Высокий столб серной кислоты будет непрерывно собирать влагу из воздуха в верхней своей части, в результате диффузии вода равномерно распределяется по всему столбу и в нижней его части под действием огромного гидрорастания воды давления через полупроницаемыйMEMбрану. Дедалу, правда, не по душе всегда возня с серной кислотой — к счастью, благодаря своему больному молекулярному весу кукурузный сироп еще лучше подходит для этих целей. Если для выделения влаги из воздуха с относительной влажностью 20% потребуется столб серной кислоты высотой 2,4 км, то при тех же условиях столб кукурузного сиропа должен высоту только (!) 720 м. Из жидкости, смешивающихся с водой, наиболее удобную молекулярную массу имеет, по всей видимости, жидкий политиленокид; требуемая для наших целей высота столба этой жидкости равна всего лишь 50 м. Энергия, необходимую для разделения жидкости, в конечном случае дают сами опускающся вниз молекулы воды, так что весь процесс идет непрерывно и не требует вмешательства человека. В окончательном варианте установлен сообща к высокую колонну, заполненную кукурузным сиропом или политиленокидом, прикрепленную к буровой

*) Появление пленок, избирательно пропускающих воду, действительное дает возможность «выжимать» воду из растора. Однако для полной очистки воды требуется многоократно пропускать растор черезMEMбрану. (Причем, ред.)

55

вышке или к мачте ретранслятора, — в обшем, к тому сооружению, работа на котором и загнала вас в пустию. Более транспортабельный вариант конструкции, удерживаемый в вертикальном положении при помощи оттяжек или азростата, могут использовать и бедунный кочевники; одновременно кукурузный сироп (а может быть, и полистиленоксид) будет полезен в качестве продовольственного НЗ. Правда, попытка обводить пустию, построив цельй лес оросителей, обойдется слишком доого.

Из записной книжки Дедала

Предположим, что растор содержит $N$ молей воды с молярной массой $M$ (обшая масса $NM$) и $n$ молей расторенного вещества с молярной массой $u$ (обшая

масса $n\mu$). Масса растора в таком случае равна $M=NM+n\mu$, а его объем $V=M/\rho$, где $\rho$ — плотность растора.

Осмотическая давление, под действием которого растор всазывает чистую воду, находится по другую сторону полупроницаемой_memбраны, равно

$$p_{\text{oc}}=nRT/V=nRT\rho/M.*$$

Если растор залит в соуд высотой $h$, то гидростатическая давление у дна сосуда равно $\rho gh$. Чтобы чистая вода вытеснялась растор через полупроницаемый_memбрану, гидростатическая давление должна превышать осмотическая давление:

$$\rho gh>nRT\rho/M,$$

$$h>nRT/gM=\frac{RT}{g}\frac{n}{(NM+n\mu)}$$

(Окончание см. на с. 62)

*) Обратите внимание на формульную аналогию с универсальным газовым законом Менделеева — Клапейрона.

56

Из старых опытов

Под таким заголовком уже не один раз мы публиквалисты о занимаемых и вместе с тем весы почитальных старых опытах (см. «Квант»: 1982, № 10; 1983, № 5; 1984, № 8; 1985, № 7).

Сезодняя виманцию читателей мы предложаем отрывки из книги Дж. Перри «Вращающийся волокок», изданной на русском языке в 1935 году. Книга написана по мотивам прочитанной автором — английским профессором физики Джоном Перри — публициной лекции, содержащей популяриное изложение теории волука и сопровождающей красивыми демонстрациями. Материал публикуется с небольшими редакционными сокращениями и изменениями.

Вращающийся волокок

Подумайте хорошо — и вы признаете, что поведение объIkновенного волука в высшей степени удивительное. Если он не верится, то, как вы видите, он сразу опрокидывает, и я не в состоянии удержать его в равновесии на острие. Но он обладает совершенной инными свойствами при врашении: он не только не падает, а наоборот, когда я его толкаю, проявляет удивительное сопротивление и даже принимает все более и более вертикальное положение.

Стот лишь нам пробудить в себе интерес к научному наблюдию, и мы заметим, что природа преодолoit нам явления такого рода в большом числе.

Te из вас, кому приходилось быстро вращать после или канат, знают, что быстро движение сообщает своего рода «одеревенелость» гибким и даже жидким телам. Вот, например, круг из совсем тонкой бумаги (рис. 1); если я привозу его в быстroe вращение, то он оказывает сопротивление слее моей руки или удару кулака, как если бы это был круг из стали. Вы слышите, как он звучит, когда я его ударю палкой. Куда девалась его гибкость?

Вот еще коллецеобразная цель, совсем гибкая (рис. 2). Каждый смышь, что ее можно заставить стоять, как твердый обруч, а между тем, если

57

я сообщу ей на этом барабане быстро врашательное движение и damit ей сокольнуть на пол, она безит через весь стол совершенно так, как если бы это было твердое колъю, и когда эта цепь падает на пол, то она подскачивает вверх, как игрушечный обруч.

Вода внутри стеклянного сосуда (рис. 3) находится в состоянии быстро движения, врашаясь вместе с сосудом. Посмотрите на погруженный в воду кусок парафина A, и вы заметите, что он дрожит, если я толкну его палкой, совершенно так, как если бы он был окружен густым студнем. Видимением теперь этот опыт Уильяма Томсона, как предложено было профессором Фицджеральдом. Прикрепим к концу палки кружок B. Когда я воожу кружок B в воду, вы видите, что он, хотя и не касается куска A, все-tаки отталкивает его. И далее вы можете заметить, что если я быстро врашаю кружок B, он как бы приятивает кусок парафина A.

Ударом об эластичную поверхность задней стенки ящика (рис. 4) можно привести в быстрое врашательное движение небольшое количество воздуха возле круглого отверстия с передней стороны; чтобы сделать этот воздух видимым для глаза, его смешивают с дымом, и таким образом получается колъю дыма. Это колъю движется на значительное расстояние, не изменяясь, почти как твердое тело, и я не знаю наверное, нельзя ли было бы послать большое колъю отравленного дыма так далек, чтобы оно истребило или приело в оценение армию, отстоящую на несколько километров.

Не забывайте того, что за время существования колца частцы воздуха, его составляющие, остаются один и те же. Вы можете заметить, что два колца дыма, выходящие из двух ящиков, оказывают замеательное действие друг на друга.

Уже из показательных вам опитов вы видите, что движение сообщает малым количеством жидкости удивиательные свойства упругости, приятиения и отталкивания; что каждая из целых частей вещества оказывает сопротивление разделению на две части; что нельзя даже приблизить к дымово-

58

му колыцу нож и что столкновение двух колец такого рода не так уж сильно отличается от столкновения двух каучуковых колец.

---

Посмотрите на волчок, который лежит на плоской дощечке и который я подбрасываю в воздух (рис. 5). Вы видите, что проследить за его движением трудно, и никто не мог бы предсказать заранее, пока он не упадет, в каком положении он вернется обратно на дощечку: острым концом вперед, назад или в сторону. Но если я заверчу его и теперь подброшу в воздух, то не может быть никакого сомнения относительно того, в каком положении он вернется назад. Ось вращения остается параллельной сма себе, и я могу подбрасывать волчок всколько раз подряд, не изменяя заменю его вращательного движения.

Если я подброшу вверх бисквит (рис. 6), то я не могу знать заранее, как он упадет обратно; но если я перед тем, как выпустить его из рук, приведу его во вращение, то на этот счет не остается никакого сомнения. Вот шляпа (рис. 7); я подбрасываю ее вверх и не знаю, в каком положении она упадет обратно, но если я сообщу ей вращение, то ось, вокруг которого проискит вращения, как у волка и бисквит, остается параллельной сма себе, и вы сможете быть уверенны, что в данном случае шляпа упадет на землю полями вниз.

Исследуем теперь внимательное свойство обlkновенного волчка. Он не вращается, и вы видите, что он сразу же опрокидывает; если я ставлю его вертикально на егоости, то он оказывается совершенно неустойчивым. Но теперь обратите внимание, что когда он крупится, то он не только сохраняет свое вертикальное положение, но даже, если я его ударю и таким образом изменю его состояние, начинает кружиться в прецессионном движении, которое постепенно делается все меньше и меньше, пока волчок не приходит в свое вертикальное положение.*) Тут следует сделать прежде всего два важных замечания.

Первое замечание, которое мы делаем, состоит в том, что волчок наклониется в первый момент не по направлению удара. Если я направляю удар к югу, то волчок наклониется к западу, если же — к западу, то волчок наклониется к северу. Причина этих явлений известна всем образованным людям, и закон, лежащий в основе

*) Презессия — движение оси вращения твердого тела, при котором она описывает конецскую поверхность. (Примеч. ред.)

59

поведения волчка, во многих отношениях в высшей степени важен. Второй факт, что волчок опять достигает мало-помалу своего вертикального положения, известен какдому; но нельзя сказать того же самого о причине этого факта; однако, я думаю, что понять эту причину не представит для вас больше трудности.

---

У всякого тела есть три оси, вокруг которых оно может врашаться в уравновешенном состоянии, не обнаруживая tendencies packачаивать в разные стороны, но в двух из этих трех слуаев это равновесие все же неустойчивое, и есть только одна ось, вокруг которого может иметь место совершенное устойчивое и уравновешенное врашение. Кроме того, врашающейся тело, предоставленное самому себе, по истечении более или менее продолжительного времени в конце концов начинает врашаться вокруг этого оси, если только имеется трение, успокаивающее его качание.

Чтобы сделать сказанное выше наглядным, я приведу тело во врашение таким способом, который позволяет ему принять за ось врашения ту главную ось, волчгут который врашение оказывается наиболее устойчивым. Различные тела могут быть подвешены на нити, и я могу сообщать врашение колесу, к которой прикреплена эта нить (рис. 8). Вы видите, что кружок (a) сначала врашается совершенно спокойно вокруг вокруг оси AA; но вскоре вы замечаете, как он начинает понемного packачаивать. Теперкачания успокаивают, и вот кружок врашается спокойно и устойчиво вокруг вокруг BB, так как это и есть важнейшая из трех главных его осей.

Конус (b) тоже врашается сначала спокойно вокруг вокруг оси AA; но вот начинается качание, которое становится все сильнее и сильнее, и, наконец, конус точно так же начинает врашаться спокойно вокруг вокруг вокруг BB — важнейший из трех главных его осей.

Вот еще палка (d), подвешенная к концу нити. Но, может быть, вас больше заинтересует гибкая колцеобразная цепь (c). Вы видите, как она

60

вначале висит на нити вертикальное и как ее колебания кончаются тем, что она превращается в совершенно правильное колюц, лежащое целиком в горизонтальной плоскости. Этот опит дает также наглядный пример кажущейся твердости, которое сообщает гибkomу телу быстroe движение.

Хотя стремление волчка приять вертикальное положение стало хорошо известно с тех пор, как его запустили в первый раз, я все-tаки справивало всех приступуюших в этой зале, знают ли они объяснение этого явления, и даже сомневаюсь, чтобы где-нибудь было много людей, которые оно известно. Всякий серbezный математик скажет вам, что объяснение, наверное, можно найти напечатным у Раута (автора очень известного английского учебника механики) или что он во всяком случае знает в Кембридже людей, которые, без сомнения, известно это объяснение. Может быть, он думает также, что он сам когда-то знал его, но что теперь он позабил те трудные математические доказательства, на которых он прежде изощрл свой ум. Задчаа эта была действительно разрешена сэром Уильямом Томсоном и профессором Блэкберном, когда они провели цельный год на морском побережье, готовясь к экзамену по математике. Вероятно, тот, кто интересуется работами Томсона, придет в недоумение, узнавши, что этот ученый со своим другом проводил каникулы на морском побережье, занимаясь тем, что заставл вертеться всевозможного рода круглые камни, собираемые им на берегу.

Тепер я покажу вам удивительное явление, над которым в то времялом головой Томсон. Пусть эллипсоид (рис. 9) представляет собой камень, отшлифованный водой. Он лежит на столе в весма устойчивом положении. Я привозу его в быстрое вращательное движение. Вы видите, что в течение одной или двух секунд он обнаруживает склонность вращаться вокруг оси AA, но потом начинает сильно раскачиваться; когда эти качания по истечении некоторого времени прекрашаются, то он спокойно вращается вокруг оси BB, приявшей теперь вертикальное положение; но затем снова начинается ряд быстро успливiousся качаний; когда же они прекрашаются, вы замечаете, что эллипсоид окончательно приходит в состояние устойчивого вращения, становится вертикально на самую длину из своих осей — CC. Для всякого,

61

кто думает, что тело должно врашаться именно в таком направлении, в каком я его завертел с самого начала, это явление покажется необыкновенным. А между тем вы легко убедитесь, что почти всякий округленный камень, будучи приведен во врашение, подымается таким способом вертикально вдоль самой длиной оси, если только врашение достаточно быстро; совершенно таким же образом и вертящейся волокок стремится подняться как можно больше.

---

Я подвесил здесь несколько стаканов (см. заставку к статье): один (a), наполененный песком, другой (b) — сиропом, третьий (c) — маслом, четверый (d) — водой, а пятый (e) пусть. Взгляните теперь: я закручиваю проволки, на которых站起来 стаканы, и затем предоставлю их самим себе — начинается колебательное движение, пожожее на качание мятника карманных часов. Заметьте теперь, что стакан с водой движется очень быстро и продолжительность колебания почти одинакова для этого стакана и для пустаго, т. е. вода, по-видимому, не движется вместе со стаканом. Вы заметьте также, что колебания этого стакана продолжаются в течение значительной промежутка времени.

Наоборот, стакан, наполененный песком, колебляется медленно; в этом случае пеок и стакан вместе представляют как бы твердое тело, и какое колебание длится долго.

У стаканов, наполененных маслом и сиропом, перiodeы колебания более продолжительны, чем у стакана с водой или у пустаго, но более коротки, чем это имело бы место, если бы колеблющся тела были совершенно твердыми, так как масло или сироп только частично участвуют в движении. Но раз жидкость только частично участвует в колебаниях, появляются силы tremия внутри самой жидкости, которые приводят к тому, что колебания затухают быстро, чем при пустьом или наполенном песком стакане.

Вареное яйцо (g) и невареное (f), которые одинаковым образом подвешены на проволке, обнаружат ту же самую разницу в свойствх колебательного движения, как и два тела, из которых одно внутри твердое, а другое жидкое; вы видите, насолько колебания вареного яйца медленнее, чем невареного.

Далее здесь, на этом столе можно легко обнаружить разницу между вареным и невареным яйцом. Если закрутить оба яйца, то вы видите, что невареное яйцо останавливается гораздо раньше, чем вареное, так как первоое ранше приходит в состояние покоя вследствие внутреннего tremия.

Следите теперь внимательно и уясните себе вполне отсутствивший признак, по которым можно узнать, сварено яйцо или нет. Я закручиваю яйцо или вращаю его вокруг вертикальной оси, а затем придерживаю его пальцем только на одно мгновение, как раз в течение такого промежутка времени, чтобы останавливать движения скорлупы. Вы видите, что вареное яйцо совершенило только движения скорлупы, а жидкое содержимое не только продолжает движаться, но даже возобновляет своим движением движения скорлупы, как только я удалюю от нее свой палц.

62

Теперь вы будете в состоянии условить себе четвертый способ, с помощью которого можно узнать, связено ли яйцо или нет (рис. 10); этот способ легче показать перед многочисленным собранем, чем последний из изложенных.

Вот неваренное яйцо (b). Я изо всех сил стараюсь привести его во врашение на поверхности стола, но вы видите, что я не в состоянии сообщить ему быстро врашение; при этом не наблюдается никакого особенного замечательного явления. Наоборот, вы замечаете, что вареное яйцо (a) привести во врашение совсем легко, причем по причинам, теперь очень хорошо вам известным, это яйцо ведет себя так же, как и те камни, которые закручивают Tomson на взморье: оно сейчас же поднимается вдоль своей более длинной оси, доставляя приятное зрелше для нашего теперь просвещенного глаза.

Ороситель
для пустьни

(Начало см. на с. 54)

Нам необходимо, чтобы на вершине столба растор поглощал влагу из воздуха, относительной влажность которого может составлять всего 20 %. Растор поэтому должен быть довольно насыщенным: относительное попужение давления насыщенного пара $p$ над растором (в нашем случае 80 %) пропорционально его концентрации (закон Рауля). Поэтому

$$\frac{p}{p_0} = \frac{80}{100} \approx \frac{n}{(N+n)},$$

где $p_0$ — давление насыщенных паров над чистой водой. Это условие выполняется начиная с $n=4N$, откуда минимальная высота столба жидкости

$$h = \frac{RT}{g} \frac{4N}{(NM+4N\mu)} = \frac{4RT}{(M+4\mu)g}.$$

Прием $T=300$ К и найдем $h$ для трех вышеназванных составов. Молекулярная масса воды равна 18, т. е. $M = 0,018$ кг/моль. Для серной кислоты $\mu = 0,098$ кг/моль, для сахарного сиропа $\mu = 0,342$ кг/моль, для жидкого полиэтиленоксида $\mu = 5$ кг/моль. Соответствие высота столба жидкости равна 2430 м (серная кислота); 720 м (сахарный сироп), 50 м (полиэтиленоксида). Ясно, что выбор должен пасты на полиэтиленоксид.

63

Этюды
о полуинварианте

Л. Д. КУРЛЯНДЧИК, Д. В. ФОМИН

Если вы пожелаете совместить приятное с полезным, то запаситесь кульком конфер и пограйте вдвоем с приятельем в такую игру. Сложите на столе две кучки конфер, в первой — 12 конфер, а во второй — 13. За ход каждой из вас может либо съеть две конферты из одной кучки, либо переложить одну конферту из первой кучки во вторую. Проигрывает тот, кто не может сделать хода.

Если ваш ресурсы позволят вам пограть в эту замечательную игру достагоно долго, то вы заметите странную закономерность: начинающий всегда проигрывает! Впрочем, причину этого легко понять. Дело в том, что при каждом ходе разность между количеством конфер во второй и первой кучке меняется на два. Значит, остatok от деления этой разности на 4 будет изменяться строго определенным образом: 1, 3, 1, 3, 1, 3,… Мы видим, что при каждом ходе второго игрока этот остatok будет равен trem. Но игра-то прекращается, только если конферты кончились или осталасьровно одна конферта, причем во второй кучке. Такая ситуация не может возникнуть при ходе второго игрока.

Очень возможно, что идея этого рассуждения вам известна, в частности, если ваш «читательский стаж» достаточно велик, вы могли встретить подобные рассуждения в стране «Пониск инварианта» («Квант», 1976, № 2). Помните? Инвариант — это то, что не меняется. А здесь как раз через каждые два хода не меняется остatok при делении на четые разности чисел конфер в кучках. (Это сообщение применимо, конечно, и при любом другом числе конфер.) Однако наша

65

ную картинику, состоящую из $n$ прямы и $n$ перпендикуляров. Выберем на ней два пересекающих перпендикуляра и применим нашу операцию: заменим эти два перепендикуляра на два других с меньшей суммой длин. В полученной картинике снова найдем два пересекающих перпендикуляра, снова применим к ним нашу операцию и так далее. Тогда либо на каком-то шаге мы получим картинику с попарно непересекающимся перпендикулярами, либо в конце концов получим картинику с минимально возможной суммой длин перпендикуляров (так как эта сумма может принимать лишь конечное число значений; почему?). Эта картиника и является исключой: если два перепендикуляра на ней пересекаются, то, применив нашу операцию еще раз, мы получили бы картинику с еще меньшей суммой длин перпендикуляров.

Проанализируем эти два решения. Мы действовали в них по одному схеме: вводили неокоторую величины (в первой задаче это сумма всех чисел таблицы, а во второй — сумма длини перпендикуляров) и операцию, в результате применения которой эта величина менялась определенным образом: в первой задаче увеличивалась, а во второй — уменьшалась. Решение основываясь на том, что введенная величина может принимать лишь конечное число различных значений. Следовательно, данная операция может быть применена лишь конечное число раз, и мы неизбежно придет к требуемой в задаче ситуации.

С этой точки зрения второй задача труднее первой, так как в ней нам пришлось приумять не только искомую величины, за изменением которой мы должны проследить, но и саму операцию.

Кроме того, второй задача — прекрасный пример того, как легко можно получить по ложному следу: новые перепендикуляры $AA_2$ и $BB_2$ не пересекаются, и поэтому каждым следу за количество точек пересечения наших $n$ перпендикуляров, которое, на первый взгляд, всегда уменьшается при описанной операции. Однако это не так (постройте соответствующий пример).

Научиться придумывать нужную пару «операция — величина» далее не просто. Здесь требуется опит и интуиция.

Величину, меняющаяся монотным образом и принимашую лишь конечное число различных значений, мы и будем назвать получиваном.

Следующую задачу также можно отнести к разряду хорошего известных.

Задание 3. Докажите, что любые 2$n$ точек на плоскости являются концами $n$ пересекающих отрезков.

Проведем $n$ отрезков с концами в данных точках произвольным образом. Если никакие два из них не пересекаются, то требование задачи выполняно. В противном случае рассмотрим пару пересекающих отрезков $AB$ и $CD$ (рис.2). В качестве исключения естественно рассмотрить замену пересечения отрезков $AB$ и $CD$ на пересекающую отрезки $AC$ и $BD$.

Осталось найти получиванент — величины, которая при этой операции ведет себя монотно. Так как сумма длини диагоналей $AB$ и $CD$ выпуклого четырехугольника $ACBD$ больше, чем

66

сумма длины противоположных сторон AC и BD, в качестве полупваранта можно взять сумму длины n отрезков. Ясно, что эта сумма может принимать лишь конечное число значений. Рассуждая так же, как в предыдущей задаче, в конце концов получаем набор из n отрезков с минимальной суммой длины. Нетрудно понять, что в нем никакие два отрезка не пересекаются.

В задаче 3, по сути дела, вначале не было ни операции, ни полупваранта. Однако после того, как мы подбрали операцию, выбор полупваранта не представлял труда.

Задача 4. По окружности расстояния n чисел. Если подряд стоит числа a, b, c и d и при этом (a-d)(b-c)>0, то числа b и c разрезается поменять местами. Докажите, что через несколько шагов нам не удался произвести ни одной такой перестановки.*)

Здесь операция замены чисел задана. Несмотря на то, что она затрагивает лишь два числа, удобно воспринять эту операцию на всем наборе чисел, считая, что все остальные числа операция оставляет неизменными: ведь в соответствии с нашей «философей решения» необходимо подбрать неоктору величину, зависимости от всего набора чисел.

Итак, путь подряд идущие числа a, b, c и d таковы, что (a-d)(b-c)>0, т. е. ab+cd>ac+bd. При выполнении нашей операции мы перешли отчетверки a, b, c, d кчетверке a, c, b, d, причем мы видим, что сумма произведений соседних чисел уменьшилась: ab+bc+cd>ac+cb+bd.

Теперь ясно, что полупварантом в этой задаче является сумма попарных произведений соседних чисел всего набора. При данной операции полупварант уменьшается, и так как он может принимать лишь конечное число значений (почему?), то наш операция может быть применена лишь конечное число раз.

Следующая задача взята нами из книги В. В. Прасолова «Задачи по планетарии» (Часть 2, 21, 25).

Задача 5. С невеликим многоугольником производается следующие операции. Если он лежит по одному сторону от прямой AB, где A и B — несмежные вершины многоугольника, то одна из частей, на которые контур многоугольника делится точками A и B, центрально симметрично отражается относительно середины отрезка AB. Докажите, что после нескольких таких операций многоугольник становится выпуклым.

Итак, операция снова задана — это преобразование многоугольника. Полупварант, монotonно уvelичивающийся при этой операции, здесь очень видим, что сумма произведений соседних чисел уменьшилась: ab+bc+cd>ac+cb+bd.

Теперь ясно, что полупварантом в этой задаче является сумма попарных произведений相邻 соседних чисел всего набора. При данной операции полупварант уменьшается, и так как он может принимать лишь конечное число значений (почему?), то наш операция может быть применена лишь конечное число раз.

Следующая задача была предложена восемьиклассиком на Всесоюзной олимпiadе в 1979 году. Ее решили всего три участника.

Задача 6. В парамента у каждой не более трех врагов. Докажите, что парамент можно разбить на две палаты так, что у каждой

67

парламентрия в одной с ним палате будет не более одного врага.*)

Разобем parlament на палаты произвольным образом. Если у каждой parlamentaria при этом в одной с ним палате не более одного врага, то требование задачи выполнено. В противном случае рассмотрим parlamentaria $A$, у которой в одной с ним палате не менее двух врагов. В качестве полинваранта рассмотрим число пар врагов, находящемся в одной палате. Понятно, что перемещая parlamentaria $A$ в другую палату, мы уменьшаем это число. Остается лишь произвести стандартную фразу: «Полинварант может принимать лишь конечное число значений».

Следующая задача предлагалась на Московской городской олимпiadе в 1964 году. Она оказалась настолько сложной, что ее не решил ни один из участников олимпiadы.

Задача 7. При двое короля Артура собратьсь 2N рыцарей, причем каждый из них имеет среди прусуствуоших не более $N-1$ врага. Докажите, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за Круглым Столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

Рассадим рыцарей за Круглым Столом произвольным образом. Если при этом получится, что никакие два врага не сидят рядом, то требование задачи выполнено. В противном случае рассмотрим рыцария $A$, сидящо слева от своего врага $B$ (рис. 4, а).

*) См. также задачу M580 («Квант», 1979, № 8).

Как и в предыдущей задаче в качестве полинваранта (это подсказывает самим условия задачи) рассмотрим число пар врагов-соседей. Нужно придумать операцию, уменьшающего это число. Это и есть самая сложная часть решения.

Среди друзей рыцария $A$ обязатьсяно найти такая рыцарь $C$, что его правый сосед $D$ — друг рыцаря $B$ (инначе у рыцаря $B$ врагов более $N-1$). Тепер «развернем» весь участок слова от $B$ до $C$ (справа от $B$, рис. 4, б) в «обратную» сторону (рис. 4, б). При этом рыцарь $B$ станет соседом рыцаря $D$, рыцарь $C$ — соседом рыцаря $A$. Остальные пары соседей не изменятся. Следовательно, полинварант действительно уменьшается.

В задачах на полинварант естьственное возникнет вопрос о времени, за которое заканчивается рассматриваемый процесс. Мы рекомендуем вам проанализировать с этой точки зрения все разобранные задачи. Вы убедитесь, что обычно это непростой вопрос. Мы приведем лишь один пример.

Задача 8. На доске в ряд произвольным образом написаны $N$ чисел, каждое из которых равно $+1$ или $-1$. За один ход разрешается поменять знак у нескольких подряд идущих чисел. За какое наименьшее число ходов можно завершено получить из исходного набора набор из одних единиц?

Операция нам задана, а в качестве полинваранта рассмотрим число пар соседей разного знака. При выполнении одной операции замены знаков этот полинварант может измениться не более чем на два.

Рис. 4.

68

Докажем теперь, что из набора чисел —1, +1, —1, +1, … нельзя получить набор +1, +1, +1, … менее чем за [(N+1)/2] шагов. (Через [x] обозначена целая часть числа x.) Расстоянием отдельно случайного и нечетного N. Пусть N=2k, т. е. [(N+1)/2]=k. Тогда вначале получиванит равен 2k—1, а в конце он должен быть равен нулю. Но за k—1 ход добавляется требуемого невозможно.

Пусть N=2k+1, т. е. [(N+1)/2]=k+1. В этом случае получиванит исходного набора равен 2k, поэтому за k—1 ход исходный набор завершено нельзя перевести в набор из одних единиц. Докажем, что это нельзя сделать и за k ходов. Для этого достаточно заменить, что по крайней мере один раз получиванит изменится не более чем на единицу (это произойдет тогда, когда операция замены знаков затронет какие-то из крайних чисел —1).

Остается показать, что за [(N+1)/2]ходов из любого исходного набора можно получить набор из одних единиц. Выделим в исходном наборе все группы подряд иуших чисел —1, их не более [(N+1)/2]. Тепер после добавления изменим знаки у чисел этих групп.

Обращаясь в заключение к исходной задаче про конфеты, заметим, что в ней в качестве получиванита можно было взять величины 2a+b, где a — число конфет в первой кучке, а b — число конфет во второй кучке.

У разження

1. На плоскости данной 2N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. N из них оказываны в краский цвет, остальные — в синий. Докажите, что эти точки можно соединить N непересекающимся отрезками, каждой из которых будет соединять краchyную точку с синой. («Квант», 1975, № 1, задача M301.)

2. На плоскости данной N точек, неоторные из которых соединены отрезками. Известно, что из любой точки выходит не более 11 отрезков. Докажите, что эти точки можно раскрыть в четыре цвета так, чтобы отрезков с однозвечными концами были не более N.

3. Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Известно, что точку особы, если более половины соединены с ней точек имеют цвет, отличный от ее цвета. Если хотя бы одна особы точка, то выбирается любая особы точка и перекрашивается в другой цвет. Докажите, что через конечное число шаров не останется ни одной особой точки. («Квант», 1974, № 8, задача M277; Всеосновная олимпида, 1974)

4. На каждой грани куба написано число, причем не все эти числа одинаковы. Каждый из написанных чисел заменяется на среднее арифметическое чисел, написанных на четырех соседних гранах. Могут ли через несколько таких операций на всех гранах оказаться исходные числа?

5. По окружности выписаны n натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами вписывается их наиболее общий делитель. После этого прежние числа стирают, а с оставшимся проделывают ту же операцию. Докажите, что через несколько шаров все числа на окружности будут равны. (Ленинградская городская олимпида, 1973.)

6. На доске написаны 10 чисел: единица и девять нулей. Разрешается выбрать любые числа и заменить каждое их средним арифметическим. Какое наиболее число может оказаться на месте единиц после серии таких операций? (Ленинградская городская олимпида, 1984.)

7. На бесконечном клеттом листе белой бумаги несколько клеток закрашено в черный цвет. В моменты времени t=1, 2, 3, … проискают одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка K принимает тот цвет, который имело в предыдущей моменте большинство из трех клеток: самой клетки K и ее соседей справа и сверху. Докажите, что через некоторое время на листе не останется черных клеток. (Всеосновная олимпида, 1973.)

8. По кругу стоит несколько ребят, у каждой из них несколько конфеты. По сигналу ведущего каждый передает половину своих конфет стоящему справа (если число конфеты у когоибудь нечетно, то ведущий передавитель добавляет ему одну конфету). Это повторяется много раз. Докажите, что когда-нибудь у всех ребят поровну конфет. (Ленинградская городская олимпида, 1983.)

9. По одной стороны бесконечного коридора расположено бесконечное число комнат, заумерованных по порядку целыми числами, и в каждой стороне по роялю. В этих комнатах живет некоторое конечное число пинастиков (в одной комнате может жить и несколько пинастиков). Каждый день какие-то два пинастика, живущие в соседних комнатах — k-й и (k+1)-й, — приходит к выводу, что они мешают друг друга, и пересекаются соответствующим в (k—1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти пересечения прекратиется. («Квант», 1984, № 6, задача M870.)

10. В библиотеке на полке в произвольном порядке расставлены N томов Британской энциклопедии. Робот-библиотекарь каждую минуту делает следующуюе: берет произвольный том, не стоящий на своей месте, и ставит его на место (т. е. если номер том — k, то он ставит его k-м по счету). Докажите, что через некоторое время все томы будут стоять на своей месте. (Ленинградская городская олимпида, 1987.)

69

Заочная школа при НГУ

При Новосибирском ордена Трудового Красного Замени государственном университете им. Ленинского комсомола работает Заочная школа (3Ш) для учащихся 8—10 классов общеобразовательных школ Сибири, Дальнего Востока, Средней Азии и Урала.

Основная задача 3Ш — оказывать помощь в формировании и развитию у учащся интересса к естественным наукам.

В 3Ш пять отделений: математические, физические, химические, биологические и экономические. На математические, физические и химические отделения принимаются учащся 8—10 классов, на биологическое — только учащся 9 классов, на экономические — только учащся 10 классов.

Кроме отделных учащся, в 3Ш могут быть приняты также математические, физические, химические, биологические и экономические кружки и факультативы, которые работают в школе под руководством учитель. Руководители кружков набирают и зачисляют в них учащся, успешно выполнивших первоое задание по соответствующему предмету. Кружок принимается в 3Ш, если руководитель сообщает в 3Ш свою фамилию, имя, отчество и высылает помененный список ключов кружка (с указанием итогов оценок за период задание), подписанный директором школа и заверенный печать. После этого окончание артель осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; другая половина кружала малый лугу, на котором к вечеру еще остался учаток, скопенный один косом за один день работы. Сколько косов было в артели?

2. На координатной плоскости изображено точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

$$y + |x| \geq x^2.$$

3. Найдите две последние цифры числа $19^{89} + 81^{89}$.

4. Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями $a$ и $b$ проведен отрезок, параллельный основаниям, с концами на боковых сторонах трапеции. Найдите его длину.

5. Найдите количество решений уравнения

$$x + y + z = 99$$

в целях неотрицательных числа. В тех случаях, когда число желающих учиться в 3ШPrevышает возможность нашей школи, предоптение может быть отдано школьникам из малых городов и поселков.

Руководитель кружка должен прислать на имя директора 3Ш письмо с просьбой выслать первое задание и дополнительные материалы к нему.

Заявление о приеме на математические или на физические отделение 3Ш можно выслать вместе с решениями соответствующего первоого задания, публикуемого ниже, но не позднее 10 октября.

Решение задачи запишите в простую ученческую терраду в клетку, оставив поля для замечаний преподавателя. На обложке терради укажите те же сведения о себе, что и в заявлении. Работы отслежите вместе с заявлением только простой бандеролью (третье не перегибайте и не сворачийте в трубку). В третье с решениями выслать листок размером $6 \times 10$ см с написанным на нем вашим адресом (его наклей на конверт, когда будут отыты ответ).

70

6. Точка движется по гипотенузе прямогольного треугольника. При каком ее положении расстояние между основаниями перпендикулов, опущенных из нее на катеты, будет наименьшим?

9 класс

1. Все натуральные числа выписаны одно за другим в ряд:
   012345678910111213…
   Какая цифра стоит в этой последовательности на 1989-м месте?

2. На координатной плоскости изображите множество точек $(x, y)$, для которых
   $$[x]+[y]=0$$
   ([a] — целая часть числа $a$, т. е. наибольшее целое число, не превышает ее $a$; например, $[-1,1]=-2$; $[3]=3$).

3. Действительные числа $a, b, c, d$ таковы, что
   $$a+b=c+d; a^2+b^2=c^2+d^2.$$

Докажите, что
$$a^3+b^3=c^3+d^3.$$

4. Основания трапеции равны $a$ и $b$. Прямая, параллельная основаниям, делит ее на две равновеликие части. Найдите длину отрезка, высекаемого на прямой боковым сторонами трапеции.

5. Имеется 1988 г. гирь массой в 1 г, 2 г, 3 г, …, 1988 г. Можно ли разложить их на две кучки равной массы? А на четые кучки?

6. На плоскости задны три параллельные прямые. С помощью циркуля и линейки построите квадрат, три из вершин которого лежат на этих прямых.

10 класс

1. Докажите, что при любом целом $n$ число
   $$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$$
   является квадратом целого числа.

2. На координатной плоскости изображите множество точек $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют неравенству
   $$x^2+y^2\leq 4x.$$

3. Три вершины квадрата лежат на трех заданных параллельных прямых. Определите, где может находиться четвертая вершина.

4. Исследуйте функцию
   $$y=x^3-2x.$$

5. Из чисел 1, 2, …, 100 выбрано 51 различное число. Докажите, что среди них обязаельно найти два числа, разность которых равна 2.

Рис. 1.

6. Основание равноведренного треугольника равно $a$, угол при вершине — $36^\circ$. Не используется трионометрических функций, выразите длину его боковой стороны.

Первое задание по физике

Поскольку имеются задчи различной степени сложности, для построения на физической отделение 3Ш может оказаться достаточно правильно решить одну — две задчи.

Одноко после разбора задач своего класса полезно (и мы вам рекомендуем) ознакомиться с задачими для других классов, а понравившиеся задачи — попробовать решить (чем больше, тем лучше).

Экспериментальная задача — одна для построения во все классы.

Измерьте, придумав соответствующий способ, ширину звуковой дорогки на грампластинке.

Теоретические задчи

8 класс

1. В стакан, площadbна которая $S$, наlintа вода. Плотность воды $q$. В воду кладут кусочек льда массой $m$. Вода при этом не выливается, кусочек льда плавает. Найдите изменение уровня воды в стакане. Что будет с уровнем воды, когда лед растет?

2. На рисунке 1 изображен участок электрической цепи, по которой течение выделяемое на трех резисторах сопротивлением $r$ каждый, меньше количество теплых выделяемого на резисторе сопротивлением $R$?

3. В жидкосте плотностью $q$ плавает наполовину погруженной в нее стакан, высота которая $H$ (рис. 2). В сосуд наличии еще одну жидкость, не смешивающегося с первой. Когда ее слой на поверхности первой жидкости достигает толщины $2/3 H$, она доходит до верхней кормки стакана. Определите плотность этой жидкости. Сечение стакана $S$.

4. В нагревале объемом $V$ вода нагревается от температуры $T_0$ до температуры $T_1$ за время $t$. Какова будет температура воды на выход из нагревале, если ее прокачивается с объемным расходом $Q$? Temperatura воды на вход $T_0$.

9 класс

1. Модель ракеты взлетает вертикально в верхние сускорением $a$. Люди, стоящие у места старта, условия выключение движения через время $t$ после старта. Считая скорость звука в воздухе равной $c$, определите скорость модели в момент выключения движения.

Рис. 2.